高一物理圆周运动轻绳轻杆模型怎么做

竖直圆周运动，我们首先来看两个最常见的模型，第一个是神模型。首先我们想这样一个问题，如果你钓着一个小球，然后给他一个水平方向的出速度， 如果你给的出速度比较小，他是不是就会小角度的摆动起来呀？这个手他就会先到达这里，到达这里时，当他的速度为零，他就不能继续上升了，那他就会再回来，回来之后他又会回到另一侧， 那就在这两点之间来回摆动。但是如果你增大这个速度，那此时他就会到达我们远心等高处。假设他到达远心等高处时， 速度为零，那这个时候他是不是又会摆动回去，然后到达另一侧比远心等高处啊？这个根据我们生活常识我们能导出来。所以说当你的速度比较小，他在远心等高处以下摆动时，那他始终都会做圆周运动。 但是如果你继续增大速度，当我们的速度比较大时，就比如你到了这一点，假设此时他恰好不会做圆周运动，那你想这个时候的临界条件是啥？ 临界条件就是我们这个绳子中的张力 t 等于零，因为你想如果绳子当中有张力的话，他就会绕着这根绳做一个圆周运动。但是当你绳子张力恰好等于零时，说明他恰好要脱离。这个时候既然他要脱离， 那此时他的速度方向是不是过该点的切线方向啊？也就是朝这个方向。然而此时他只是一个重力，那他的加速度就应该为重力加速度计。所以此时他做一个什么运动， 是不是就会做一个斜抛运动呀？所以此时他就会托你了。那我们在想，如果你要让一个小球能做完整的圆周运动，这个时候他在哪个点最容易托你了？ 显然他在最高点最容易脱离，所以说在最高点他恰好能够。最高点的临界条件不就是在最高点所受绳子的拉力 t 等于零吗？ 所以说我们能做完整圆周运动的临界条件就是在最高点时的速度要大于等于这个临界速度。那这个临界速度我们把它算一下，由于此时绳子的拉力为零，那他只受一个重力 mg， 就 有重力提供向心力 m g 等于 m r 分 之。那这里我们写作 v 零的平方，所以我们算出这个零件速度 v 零，它就应该等于根号下 g r。 哎，由此我们知道当我们的这个最高点时的速度，最高点的速度 v 大于等于咱们的 v 零时，那这个手他可以做完整的圆周运动。注意哈，这个 v 指的是最高点时的速度。然后我们再来看，对于我们一般的神模型而言，当他做一个完整的圆周运动时，我们看三个点，第一个是最低点， 还有一个是与与圆心等高处的这一个点，还有一个就是我们的最高点。那我们看这个 abc 三个点。 首先在 a 点时，他受哪些力了？是不是受一个竖直向下的重力？受到一个指向圆心的拉力 t， 所以 此时就有 t 减去 mg 提供向心力，因为咱们说了，指向圆心的合力提供向心力，他就应该等于 m 二分之为 a 方好，这是第一个。然后我们看在 b 点，在 b 点它是哪些力了？受到绳子的一个拉力，只能指向绳收缩的方向，这是 t 还是一个重力？ mg 现在指向圆心的合力，那不就是咱们的 t 吗？那因为只有 t 指向圆形啊。你说此时 t 就 应该等于 m 二分之 为 b 方，然后我们再来看 c 点时，由于它的最高点，这个时候它是一个重力 mg， 那 你想咱们的拉力只能指向绳收缩的方向，所以说向下，那这里是 t， 所以 此时有 t 加上 mg， 就 应该等于 m r 分 之为 c 方。 如果哈，当我们的 vc， 此时它等于咱们的零时，这时候咱们的 t 恰好等于零， 这个是我们神模型，当然这是我们最典型的一种题型，那我们通常的神模型还有哪些呢？比如我们有这样一个光滑的圆轨道，此时我们的球他在轨道内侧做一个圆周运动， 那这个跟我们的绳模型也是也是类似的，因为你想嘛，这个时候不过是我们绳子的拉力变成了我们这个轨道对他的弹力啊。同样的，如果是这样的一个环，假设是这样一个环，此时他绕着这个外环做一个圆周运动的，也是咱们的绳模型， 因为此时只不过我们绳子的拉力变成了外面这个环做圆周运动，里面的环对他是没有弹力的 感。模型，你想，假设我们这里有一根杆，他可以绕中心这个点 o 转动，然后在杆的末端挂了一个小球， 那此时你给小球一个速度，他是不是就能转动起来？你看，假设我们开始就给他一个较大的速度，他转动到了这个位置，那他转动到这个位置时，能做圆周运动的临界条件是啥？是不是这一点他的速度为零， 因为此时我们杆可以给他拉力，也可以给他向外的弹力，对吧？这弹力可以指向圆心，也可以沿圆心向外。所以说此时 如果他能做完整的圆周运动，那此时你想他恰好能够最高点时的临界条件是啥？ 那显然就是我们到达最高点时，速度恰为零，速度恰为零，那这个就是我们对应的能过最高点的临界条件。所以说我们要过最高点的话，我们在最高点的速度 v 就 大于等于零就可以了。 好，注意我们这个 v 是 最高点时的速度，所以说 v 大 于等于零，他就能够能做完整的圆周运动。然后看一下，对于感模型的话，就要分析一下，同样我们分析三个点，首先我们来分析 a 点，那在 a 点他受到一个重力数值向下， 那这个时候感，因为它是可转动的感，那它的受力方向只能延展，那显然此时只能延展向上呀。那这是我们的 f n， 所以 说此时就有 f n 减去 m g， 就 应该等于 m r 分 之为 a 方。 好，根据我们向心力的公式，指向圆心的活力，提供向心力。然后我们再看在 b 点，此时它是一个重力数值向下， m g 收到杆给他的一个弹力，那既然我们要提供向心力，那杆给他的弹力只能沿杆指向圆心，这是 f a， 所以 此时指向圆心的活力就是我们的 f a 吗？那就应该等于 m 二分之为 b 方。我们继续来看 c 点，那 c 的 情况要复杂一点，我们要分为几种情况， 第一个就是当我们的微等于零时，微等于零时，那你想此时我们受一个重力 mg， 然后我们的向心力是不是此时只需要等于零就行了？所以说感给他的力必然是向上 fn， 所以 说此时 fn 就 等于 mg。 第二种情况，因为根据我们对神模型的分析，那我们知道 当 v 等于根号下 g r 时，那我们用大 r 表示哈，这个时候它是指数重力的， 所以说此时咱们的 f n 等于零，因为此时重力提供向心力的话，我们能得出这个对应的尾码，那这里我们也可以再写一下，也就是 m g 等于 m r 分 之位方，从而我们算出这个 v 是 等于根号下 g r 的。 所以说当 v 等于根号下 g r 时，那这个手他只受重力，杆对他的弹力为零，而当我们的 v 大 于根号下 g r 时，你看我们所需要的向心力是不是需要更大呀？然后这个手就受一个重力，那杆对他的弹力必然是向下 f n 或此时咱们有 f n 加上 mg， 他 才应该等于 m r 分 之为 c 方。 然后我们的微小于根号下 g r， 使，那你想他的速度更小，所需要的向心力也更小，所以此时他是一个重力 mg 感对他的力就应该沿杆向上，那此时就有 mg 减去 f n 等于 m r 分 之为 c 方。 好，所以说咱们有这样的情况，这个感摩弦同样他不只是这种情况下是感摩弦。那我们再来看几种常见的情况， 那我们再来看一种情况，或者是是一个管，然后小球绕着管做一个圆周运动，那这个时候管的内侧和外侧都能给他弹力，所以说这也是我们的感模型，他常见的情况。 就比如咱们汽车过拱桥和凹桥，这个时候在最高点时受什么力？是不是受一个重力 m g 啊？受到这个拱桥对它的一个弹力，那么写作 f a， 此时咱们指向圆形的回力，提供向心力，所以说这点我们写作 a 点， 那我们就有 m g 减去 f n 是 不是就应该等于此时？那我们设它的半径为 r， m r 分 之为 a 方，那这个时候我们要注意哈，如果你的这个 f n 等于零时，那我们的小车是不是恰好要呃脱离我们这一个轨道呀？所以说此时 当咱们的 f n 等于零时，那对应的是我们的小车恰要脱离轨道，恰要脱离。 那你想，如果我们 f n 已经等于零了，那你再加速的这个时候重力不足以提供向心力，此时它就会飞出去，所以说我们要注意这种情况。然后再看一下最低点 b 点时， 此时它受一个重力是竖直向下的 mg， 受到一个向上的支持力，那么写作 f n 一 撇，所以说在 b 点的话，那么就有 f n 一 撇，减去 mg 就应该等于 m r 分 之为 b 方。那你看此时我们求出这个 f n 一 撇，它是不是应该等于 m g， 再来加上 m r 分 之为 b 方呀？那这个时候我们就要考虑考虑会不会 爆胎，为啥？因为这个时候如果你继续增大速度的，你看你这个 f n 一 匹会继续增大，对吧？当你的 v b 增大，那你这里 f n 一 匹会增大，那咱们轮胎它受到的这个力变大了，它如果超出了它承受的极限，它就有可能会爆胎。

第七个模型叫轻杆模型，那么轻杆它的特点是既拉又压，就是能支撑，也能拉也能拉伸。比如说这个杆对这个小球，它既有拉力， 也可以有支持力，这是杆的特点。那么显然这种模型就是它一个圆管，这里边有个小球，这小球呢既可以接触上面，也可以接触下面， 既可以产生压力，又可以产生支持力，这个时候呢，他就是一种轻杆模型。那么在这种模型做圆周运动的时候，那我们就建立他的最高点的动力学方程啊，比如说在这个点，那么他的受力呢，就是 受到有重力，这个杆呢，可以对它产生一个拉力啊，也可以对它产生一个支持力。所以动力学方程呢，是 mg 加减杆的拉力 t 来提供相吸力，那么是加还是减，那当然这个就取决于它的线速度大小了。同样道理 啊，这个小球在这个环中受到的是向下的弹力还是向上的弹力，这个当然取决于它的线速度大小。 那么在轻杆模型中，它有一种临界，当 mg， 当重力跟弹力合力为零时，那这个时候它是一种平衡状态，它的加速度为零， 那么这个时候它的最小速度就是过最高点的最小速度可以是零，就可以没有相信力，重力跟弹力合力为零，没有力来提供相信力， 这个时候呢速度可以是零，所以轻杆模型通过最高点的最小速度，这个极值是零。那么这个根号 g 二是什么呢？根号下 g 二这个速度，这是轻绳模型中的最高点的零件，而这个速度是弹力方向变化的零， 因为这个速度他是这么求解出来的啊。他是重力提供向心力的时候推出来的，这个 v 等于根号减二，那重力提供向心力，意味着这个杆对这个球没有弹力，那就是弹力为零，所以弹力为零就是方向变化的零。结 最，在轻杆模型中，我们掌握最高点动力学方程，以及过最高点的最小临界速度零。还有根号下 g 二这个速度是弹力方向变化的临界速度，这是轻杆模型需要掌握的。

hello， 同学们，大家好，我是农民老师，欢迎大家来到我们的物理课程，今天我们要学习的内容是什么呢？今天我们要分享的内容就是精神和情感模型。好，大家一起来看看。 我们首先来看一下这个是用一个精神来连住这个手术，让他在数值平面内做原则运动，那么我们就来分析一下他的数据情况， 我们来看一下对，他在上面受理分析，因为他是在最高点，他从下面飞上， 对吧？那么为了大家对这个问题有一个深刻的认识，有个全面的认识，我来看看。如果我在底端给他一个速度比较小，他可能这个小球滚在这里，他就退回来了，对吧？还没，还没有能到达最高点 再给他更大速度呢？他可能来这里，这个是什么？还不能到了最高点又退回来，对吧？那再给他更大的速度呢？他可能从这两这里掉下来， 好明显还没能带来最高点，对吧？我再给他大减速度，逐渐掉下来，对不对？ 再大一点速度总结，掉下来我们就发现什么他大，还没有大的最高点的时候他还有速度，对吧？只是他速度比较小，还没能大的最高点，所以按照这个趋势，速度更大的时候大到一定程度，他就刚好 能够经过最高点的，对吧？再大那当然更加能经过了，所以我们这样分析，他能到了最高点时候，他要什么条件，但速度要达到多少？好，我们来看一下他在最高点对的时候的分析，他最多是什么呢？最多一定是受重力向下，还有什么绳子，最多只能够提供拉力向下， 因此就有 m g， 再加上增值单利息等于 l b 的平方。 根据刚才我们这里分析那么久，我们就知道绳子搭在最高点的时候，一定速度不能为零，对吧？角球的速度一定不能为零，根据刚才我们这的分析上去， 好，那接下来我们来看一下，他的速度越大，他要向心力越大，他的重力毕竟是有限，所以绳子拉力就越大，对吧？反过来这个速度越小，他的向需要向心力 也是越小的，但是越小重力是不能变变的，还是下水啊？还是在变伸直拉力再变小，那他在进步变小，那他整个向力也在进步变小，小到什么时候呢？小到伸直拉力问题。 因此当绳子拉力为零的时候，只有重力来提供橡皮力的时候，这个时候他的速度是最小，也就是说他这个速度是到达最高点的，临界条件 小于正数，他就不能到了最高点，就像这种一二三这种类型，不能到最高点。 好，那我们来计算一下他速度要达到多少 m 跟 m u 去好，把区域在乘过来，就在区域二，等于比比比方看看他就在这个。因此呢， 要想他自动到达最高点，他速度必须要达到区啊，他才能够经过最高点。小于这个，他在半路已经掉下来， 要大一些的，那大一些大概能经过，能经过，只不过是这个时候重力不足，以及公摊下面，所以又多了一个绳子拉力出来帮忙，对吧？ 好，比如说我们现实生活当中有什么例子啊？我们知道水流星就是什么意思，他在一个脸盆里面装水，你看脸盆装水，你这样竖直放下水当然会掉下来，但是如果他是这样旋转旋转水，等一下他到最高点的时候，他是不会掉下来，为什么？ 就是因为他水受到重力，已经完全用来提供项链，没有多余的力让他掉色。好，这就是轻省模型。 接下来我们再来看一下轻感模型，我们都知道杆跟绳子有什么不一样的地方，杆，哎，这就像我这个 教编一样，他是敢可以提供推力推过去，也可以提供拉力拉过来，还可以提供这项方向力，对吧？各个方向力他不可以给，他不像绳子一样， 那么正因为他能够给出各个方向力，而且还不容易看出来，对吧？所以我们说精打模型，我们往往用这个过来表示，我们来学习一下。好，我们还是像刚才说竞争模型一样，他从最底端上去 好，速度比较小的时候，他到了这里又退回来，还没到最后一点，对，再大点，速度减小到这回又退回来再大点，减小到这里，速度为零又退回来， 再大一点，那速度来了这里减少为零又退了。再大一点，速度减少为零又退了，对吧？很明显他到达这个，呃，上面说速度能减 小，问题不会跳伞，对吧？啊？意思说他不会这样的趋势跳伞再大一点的，哎，刚好到达最高点，速度为零，对吧？哎，说明他能够做比较做运动，刚好到达最高点， 那再大点的大概就重新交代了，再大点就更加能做圆圈动，对吧？好，但是这样子，所以我们说他到了最后点时候，他有速度为零的这种情况， 那速度再大的，怎么他就想挽回水更厉害？各位好，想挽回水更厉害，那想挽回水这个 外面这个环就不给，不给他搞坏水，对吧？就给他一个力向下压好，接下来他的重力往下水是由这两个力来提供下力，但是速度很大，这那就用 fm 加上 h 带着 led 冰棒。 那像刚才说他速度比较小的时候速度比较小，他虽然能做别人做运动，但是毕竟他还想掉下来，对吧？想掉下来，只是有这个内环再顶住他不给人掉下来，对不对？给他一个向上的， 所以见到还是做圆转动，那说明还是有自制力跟重力来提供他向力好，这个时候就重力减去向上的自制力等于 m v 平方，所以 那么也有某个程度把无法放大。刚才说他速度比较小的时候，他是压内环，内环给他向上之力，如果速度比较大呢？他想往外飞，压外环，外环 向下的弹力，那如果是不不大不小的，刚好飘进在空中，又不压外环，又不压内环，这时候有什么力来提升下降力啊？那就有完全有重力来提高他的下降力啊。有这么一个情况， 所以如果我们在做这个轻档模型的时候，我们也可以先算他临界条件，临界条件的速度为零， 如果象比一他比比零要大，说明他是这情况对不对？干，他得一个向下压力一起压下来，那如果象比二他比比零还要小，那还小，那就是这种情况。 各位来提供项目。所以如果做重决的时候，我们也可以先进行呃，找他的临界条件，再来分是属于哪种类型， 一起来分析。好，接下来我们通过三道题来分析。呃，加强一下我们这个情感跟精神模型。 我们首先来看一下，他说用绳子长是 l 的细绳选择这样是 m 在上面做数字平面运动，圆圈运动。首先是什么？ 细绳，轻绳模型，对不对？好，我们来看下 a， 小图在最高点的时候，受力相机力一定为重力，一定为重力吗？不一定，对吧？我们说他刚好由重力来腾向利润的时候可以， 但是如果他这速度更大，这个他这速度更大，他让像素更大，重力已经不足以提供相率，对吧？所以这个时候用绳子的力来帮忙，所以 这时候绳子拉力再加，重力拉紧哦，所以就不一定，应该说可能等于还是这个比。小球在最高点的时候，绳子拉力不可能为零 啊，那就不行，对吧？但是我说当打到某物体值的时候，刚好由他的重力来提供下力，这时候就绳子能力就不规定了，好是不可能是可能的，在小球过最低点的时候，绳子来一定大于重力啊。他问最低点，我们来看看 对具体的思维分析，它是从第二收到 m g， 注意向下，还有什么绳子难以向上，对不对？既然是向上，正做圆这一朵，说明向上能力得到，因此就有积减去 n g 等于什么？ am meet 平方再除以八减六乘十八立减，好移过来。 所以绳子拉力梯等于什么？ m g 再加上 m v 的平方等，这个对吧？所以绳子拉力就应该等这个，所以明显是大于重力。所以当水时期 接到接下来的题，当如果小图刚好在数字里面内做一个震动，刚好说明什么？刚好有重力来停下去，对吧？所以就算得出这个算好， am 越序就等于什么？就等于区啊， 等于 v 平方， v 平方一开车更好，就等于句号，所以单词是 c 跟 d 好，这道题就是考察的是精神武器， 往往考察到是最高点跟最低点的问题。好，接下来我们来看一下气道模型，他说光滑管道这个半径。是啊，大 介绍，小球 a b 是相同质量，不是 l， 然后能再管住无摩擦的运动， 两球先后以相同的速度， v 通过最高点，相同速度经过最高点， a 在最低点的时候， b 在最高点，下一次发生正确的是， 好，我们来看一下 c 个 a， 那小球 b 在最高点一定对外的有向上的压力， 在最高点上我们对着车的分析，因为他是情感，说明他可能是内环给了力，也可能是外环给了力，对吧？你我们能分清楚了吗？他是最高点，因为我们刚才说 当当当我由终于来提供下一页的时候，那么他就速度就满足这个。 对，如果他通过这个速度比 b 零还要大，还要大，说明怎么样？重力已经不足以提供效率，对吧？说明外环就给了一个向下的压力，压下来好，反过来也是一样，如果他这个通过最高点速度比 b 零要小， 他压不了，那么相距，对吧？所以重力又减去部分，他压不了那么多，所以他就来压内环。我们要分析进去，他是压内环还是压外环， 所以他说一定对外轨，那不一定啊，小猪逼在最高点一定对内轨，哎，也是一样都不一定，对吧？因为他没有告诉我速度具体是多少多少，只知道进步最高点有没有可能为零啊？刚好为零也可以他的速度， 但是精神就不行，对吧？精神，毕竟绳子不会给他一个支持力，他会掉下来。好，接下来再看下戏啊。速度至少为这个才能使两球在里面做原车运动。对啊，速度至少得这个吗？ 我们说该说他速度还可以等于零，对吧？他速度都可以等于零都可以，因为他不像绳子那样，他会掉色， 所以不是，这 c 才是金色呼吸啊。速度为零， ok， 接下来看点 d， 小球在 第一点一定对外轨道有向下压力。好，那对了，他在最最低点是不是分析他是什么力啊？他受了重力，向下还有什么支撑力向上对不对？就由这两个力来提供下力，所以他说 这个是指的是水表，是外轨道给他一个向上的自制力，说明什么？你给我向上力，那么小球就给外轨道一个向上的压力，对吧？作用力的反重力，所以答案显示低。明白了，好，接下来我们来通过一个具体的例子过来计算一下。 好，他的质量是零点二千克，固定在长，是要零点九米的轻杆杆吗？好，围靠欧点转动。他问小球在最高点的速度为多大的时候，球队杆的力为零为多大的时候，竟然把球队杆的力为零，说明没有力， 没有绿色公司有重力来提供，所以有重力来提供，那就 m g 等于 m v 平方 g l 对不对？所以 m m 约去一一 短线 v 平方就等于 g l 好，开根号 v 等于 g l， 所以速度达到这个时候，呃，球队感应为好。第二，当小球在最高点的时候，速度分别是六厘米秒跟一点五米秒。球球队感的重力是多大和方向？现在有两种情况出来。好，那我先先，我先用第一个方法来分析。 我先借个方法分析，我先把具体速度带出来，我来计算看看。好，半径是零九是吧？区域是十，所以等于九九开套等于三，也就是说当它到了最高点的时候，速度等于三， 那么他对港客这个魅力只由重力来评价，你，对吧？那六米一秒大一张说明什么？ 敢给他一个向下的拉力往下拉，那就有 m g 再加上向下的拉力，对吧？ t 就等于什么 m b 的地方，对不对？好，我把另一个余秒搭起来，等一下我就可以组成直发力出了。 再看，如果他是一点五米的秒数，一点五米秒小于这个小于，这个说明他想往下掉，对吧？敢不给人掉下来就给了一个力向上对不对？那就有 m g 减去向上之力，他要不有那么多之力，他要不有那么多之力，所以终于有减去部分 他要的动作。对， v 平方，这个是六，这是一点五，对不对？所以分别给球得出拉力跟支持力出来啊。这是一种方法，但是如果 我们只能从这个这个指出来说，我不知道他带到底是拉力还是压力，那怎么办？那我们统一假设， 我假设我现假设的向下一位好向下，那我就用 m g 再加上 f 五向下就提供相应等于 m b 平方啊。 这个时候我统一把六厘米秒跟三厘米秒，呃，一点五厘秒分别大声等一下算出来。如果 f 为正，那说明什么？跟我们假设的方向一样，他证明就是这个值，就直接算出来。但是如果是 f 是负的 类似部落，说明跟我们假定的方向相反，说明他不是向下，而是向上，对吧？我们再用文字说明一下就好。

竖直面内的圆周运动。第一个青绳或者是单轨。青绳或单轨啊，他俩哪个都行，他俩是一样的，他俩归类于一类青绳或单轨模型。 青绳或单轨模型啥意思呢？就是说你拿个线，拿个线，栓个球，或者是一个轨道，然后让小球在轨道里头跑。 青绳当鬼模型，你们比较常见的水流星啊，都是这玩意的。水流星是啥呀？对啊，好了，没看好水流星的表演。还有这种青绳模型当鬼模型，他们都是一类啊，就是说你转起来的速，没事，别害怕，大不了开口的能告诉他是不是 你转的速度不能太小，你转的速度太小，你转转转。哎，那这这水是不是正一口就出来了？但是如果你速度达到一定值以后，他就说没事，撒不了，但是撒不了，没有事 啊，咱们都是一个原理，如果速度太慢了，速度太慢了，你再走一走啊，永远看一个死胖子。 只要你速度够快，啥都没事。如果你速度够快，这个东西这都没事，你能晃的行吗？哈哈哈哈，只要你速度够快，晃一下，晃一下，洗澡，哈哈哈，可以教你们自己玩啊。 好了，那么这里面你得足够大的受宠，要不然这球就会干啥掉下来。那我们今天来分析分析，看看到底怎么一回事。我们挑几个点，比如说这个是 a 点， 这个是 b 点，这个是 c 点，这个是 d 点，这个是 e 点， a 是 最低点， b 是 这个最右边的啊， d 是 最高点，然后 c 跟 e 就 随便挑两个都行的，没事分 c。 受啥力，重力， mg 还有啥力？ 支持力？ fn 那 么重力跟支持力他们两个谁大谁小，支持力大，支持力大，因为做的是圆周运动，就一定需要力来充当向前力，所以在 a 点就应该是 fn 减下去 mg 等于 mv 方零 v 就 v a 呗。 那这个 fn 就是 在 a 点的作用力，如果是轨道的话就是 mv， 如果是绳子的话就是 mt， 就 绳子拉力是这个样子的。 这是在 a 点，那在 b 点是咋回事呢？这里面光滑，不计摩擦，如果是轻绳的话就不计公斤阻力。那在 b 点我们再受力分析一下，抬头看，在 b 点的时候，啥力？重力 mg， 看啥力？支持力 f n， 哎， 光滑没有摩擦，哎。那玩意咋整的？这这什么玩意？这 mg， 这 mg 这咋整？这里边你受这飞机完事以后，我们正常是不是应该给他延半径？垂直于半径进行正交分解？指向圆形的合力来干啥呀？ 充当下倾力嘛。所以不就 f n 等于 f n 等于 f n 这个力它是与速度有啥关系？ 奉献，他是哪个方向？沿切线方向起个名叫啥力切向力用来干啥呢？改变微的大小嘛。如果说他从底下往上去，那速度向上， 那么这个力向下，那么他就干啥减速。那如果从上面下来呢？速度向下，重力也向下，那就使速度大小变啥，变大就加速呗。那就是 b 点，是他，是他吧。好好好，对吸力，我再手里面记一下。那吸力都受什么力？重力？ mg 还有呢？支持力，哎，分这招怎么受力，这招怎么了？哎，非常好啊，有这么说了，受力分析完事之后正交分解一分解。哈哈哈，你们不行学我啊， 你就把这两个力给他，正交一分解，怎么正交分解盐速度垂直于速度，或者叫盐半径垂直于半径进行正交分解。假什么角谁看？然后呢？这里面这个角就是谁看。

情感模型情感一端连接 o 点，另一端系以质量为 am 的小球。小球从 a 点以水平向右的速度为零开始运动。由于初速度较小，小球不能到达 b 点。小球将在圆弧 b、 a、 d 之间来回运动， 增大小球在点 a 的速度。小球通过 b 点，但不能到达 c 点，小球仍然沿着圆弧 b、 a、 d 往返运动。 小球在点 a 的速度越大，小球摆动的越高。由于轻感有支撑作用，小球不会脱离圆弧掉落。 当小球速度减为零时，小球沿着圆弧向下运动，此后小球在圆弧上往返运动。当小球在 a 点速度 达到一定值时，小球刚好运动到 c 点，此时小球在 c 点的速度为零，这是小球刚好能通过最高点 c 的临界条件。小球在 c 点静止，则情感对小球的支持力等于小球的重力。向心力为零， 小球在点 a 的速度再增大一点，小球到达 c 点的速度大于零，小球通过最高点。由于情感有支撑作用，小球不会掉落下来。小球到达最高点时的速度大于零，小球都能通过最高点继续增大小球再点 a 的速度。 小球运动到 c 点的速度等于根号下 g r。 此时小球对情感没有力的作用，重力提供向心力。小球通过 c 点后做圆周运动， 继续增大小球再点 a 的速度。小球运动到 c 点的速度大于根号下 g r。 此时小球向外拉轻杆，轻杆对小球的拉力与小球的重力的合力提供向心力。小球通过 c 点后做圆周运动。 小球在点 a 的速度越大，运动到最高点 c 的速度也就越大，小球对情感的拉力也随之增大。

这堂课我们来学习一下系统机械能守恒，那所谓系统机械能守恒呢，就是我们研究的对象是两个或两个以上的物体呢组成的系统，并且这个系统呢，它只有重力做工 或系统内的弹力做工，这样的话系统的总机械能是不变的，也就是系统机械能手痕，或者是这个系统内他只有重力或系统内的弹力做工，有其他外力，但是外力不做工，或者是外力做工的代数和为零，这样的话整个系统的机械能也是手痕的。 那么具体的公式表达的话，我们可以这样表示，对一个系统来说的话，它系统初始状态的总机械能和系统末状态的总机械能呢，是相等的，也就是一一等于一二，或者是这个系统 它增加的动能等于减少的势能，或者增加的势能呢，等于减少的动能。我们可以用变化量来表示系统的机械能守恒，或者是可以用机械能来表示增加的机械能等于减少的机械能。比如说一个系统当中，它有 a、 b 两个物体，那要 系统机械能守恒的话，那么 a 物体增加的机械能，它等于 b 物体减少的机械能。在系统机械能守恒当中呢，有一个非常经典的模型，就是轻绳模型， 轻绳模型呢，它的特征呢，就是比如说质量为 m 一 m 二的两个物体呢，用轻绳相连，然后绳子呢跨过光滑的定滑轮。在这个模型当中呢，比如说 m 二在下降， m 一 在上升，对 m 一 m 二构成的这个系统来说的话， 虽然 m 二下降， m 一 上升的过程中，绳子的拉力会做功，但是由于绳上的拉力是处处相等的，那么 m 二下降过程中，他会受到绳子向上的拉力，所以呢，这个绳子对 m 二做副攻， m 一 上升的过程中呢，他也会受到向上绳子的拉力，所以这个绳子的拉力对他做正功 精神，它移动的距离呢，是相等的。那也就说，对 m 二做的副功和对 m 一 做的正功呢，刚好相互叠加，代数和为零。也就是说，对这个系统来说的话，只有 m 一 和 m 二的重力做功，所以这个系统它总的机械能是守恒的。 所以这样一个轻绳模型，首先呢，两物体组成的系统，它的机械能守恒。其次呢，由于它是轻绳连接，轻绳不可伸长，所以呢，两物体它在运动过程中，任意时刻，它的速度大小是相等的。 嗯，再次呢，由于青绳不可伸长，那么 m 二下降， m 一 上升的过程中， m 二下降的高度等于 m 一 上升的高度，这个呢，就是这个模型它对应的一些特征。 我们来看一下这样一道立体质量分别为 m 和二 m 的 ab 呢，是用青绳连接，跨过一个定滑轮， 用手呢托住 b 物体，轻绳刚好拉直，这个时候 b 物体距地面的高度为 h， a 物体的底面呢，与地面是有接触的。那么放开 b 物体后， a 物体距地面的最大高度是多少？现在 ab 两物体的质量呢，是 m 和二 m， b 的 物体呢，它的重力比较大，所以呢，放开手之后， b 物体就会下降， a 物体就会上升，那 b 在 下降， a 在 上升的过程当中，可以看到，这是一个非常典型的系统机械能手痕当中的轻绳模型，所以对 ab 来说的话，这个系统它的机械能是手痕的。 那在 b 物体下降，当它下降到刚好与地面接触的时候，此时呢， a 物体呢，应该上升到这个位置， b 物体下降的高度和 a 物体上升的高度是相同的，也就说 b 物体下降 h， a 物体呢就上升 h， 那 么假设 a 物体上升到 h 的 高度，此时 ab 它的速度大小是相等的，我们设这个速度是 v， 这个过程中系统的机械呢是守恒的，那就说明这个过程当中 系统增加的动能就应该等于系统减少的重力势能。系统增加的动能呢，就是二者的总动能，那就是 a 物体的动能二分之一 mv 方，加上 b 物体的动能就是二分之一乘二 m， 再乘以 v 方， 这是系统增加的动能，它就等于这个过程中系统减少的重力势能。那么减少的重力势能呢，应该是二 mgh， 而 a 他的重力势呢，是在增加的，那么他增加的重力势呢是 mgh， 而我们这个地方要求的是整个系统减少的重力势呢，所以呢，就要把增加的这部分减掉，那就是减去 mgh。 这个呢，是当他上升高度为 h 的 时候，对应的这样一个系统机械能守恒，但是呢，当 a 上升到 h 这个位置的时候，他有一个向上的速度 v， 此时呢， b 已经跟地面接触，那 b 跟地面接触之后， b 受到了这个地面的支持力，所以呢，绳子就会处于松弛状态，也就是说绳层的拉力消失，此时呢， a 就 会只受到重力，然后呢，以速度为做数值上抛运动，所以呢，他会继续做数值上抛运动， 到达速度为零，那这个过程中他上升的高度，如果我们设为 h 撇的话，根据数值上抛运动它的特征就可以知道 v 的 平方，它就应该等于二 g h 撇，因为它最终速度减到零了，那这样的话，我们把两个式子连立一下，就可以得到这个 h 撇呢，它就应该等于三分之一倍的 h， 那 h 撇是三分之一倍的 h 的 话， a 呢？先上升了 h， 然后呢，上升了三分之一倍的 h， 最后呢，速度为零，达到了最高点，所以整个过程中它上升的最大高度是三分之四倍的 h， 这样的话，这道题正确选项应该是 c 选项。

轻绳模型，轻绳一端固定于优点，另一端系以质量为 a、 m 的小球。小球从 a 点以水平向右的速度为零开始运动。由于出速度较小，小球不能到达 b 点。小球将在圆弧 d、 a、 b 之间来回运动， 增大小球在点 a 的速度，小球将摆动得更高，但小球仍然运动不到 b 点，小球仍然在圆弧 d、 a、 b 之间往返运动， 继续增大小球在点 a 的速度，小球刚好摆动到 b 点，离开 b 点后，继续在圆弧 d、 a、 b 之间往返运动，则小球到达点 b 时，速度 小于或者等于零。小球都将在圆弧 d、 a、 b 之间往返运动，继续增大小球再点 a 的速度，小球通过 b 点，但不能到达 c 点，小球将从圆弧 b、 c 段离开圆弧，做斜向上抛运动。 综上可知，只要小球通过 b 点，但不能到达最高点 c， 小球都将从圆弧 b、 c 段离开圆弧，做斜向上抛运动。 当小球在点 a 的速度达到一定值时，小球刚好能通过最高点 c， 此时小球在 c 点只有重力的作用，绳子没有力的作用，向心力等于重力， 这个刚好能通过最高点 c 的速度，叫做临界速度，也是刚好能过最高点 c 的最小速度。小球运动到最 高点的速度只要大于或等于根号下 g、 r， 小球都将通过最高点做圆周运动， 继续增大小球在点 a 的速度。小球不仅能通过最高点 c， 还对绳子有拉力，此时小球在最高点 c， 重力与拉力的合力提供向新力， 小球在最高点 c 的速度越大，小球对绳子的拉力就越大，速度大到一定值，绳子被拉断。

哈喽，大家好，我是小杨老师，这节课我们要来讲的是关于数值面内的圆周运动。那数值面内圆周运动的话，分为两个模型，一个是绳模型，一个是杆模型。我们本节课来讲的是关于绳模型， 那什么是绳模型呢？来就是下边的这个图，用一根绳拴着一个小球，在数值面内做圆周运动，这就叫做绳模型。那我们下节课讲的是用一根杆来支撑一个小球来做圆周运动的事情。 那么这个绳模型有什么特点呢？他最大的特点就是他做的是一个非匀速远周运动， 因为我们这个小球，比如说给他这个方向的一个出速度为零，那么接下来他在向上运动的过程之中，因为受到重力的因素，所以他向上其实会做一个减速运动， 对吧？就是他在做圆周运动的时候，做的并不是一个匀速圆周运动，而是一个非匀速圆周运动。那他做非匀速圆周运动的话，其实他的合力就不指向圆心， 那这是为什么呢？比如说我们在这个情况小球运动到这里的时候，给大家简单分析一下，那么此时首先小球会受到一个数值方向向下的重力为 mg， 还会受到绳给他的一个沿绳方向的拉力，比如说我们把它叫做 t， 那这两个力合力，你简单一画的话，你会发现，哎，合力大概是指向这个方向的来，这个时候合力指向圆心吗？ 并没有，对吧？这个合力并没有指向圆心，此时这个合力沿着半径方向的分力才是他的向心力，而这个合力沿着运动方向的力啊，更准确来说是沿着运动方向的分力，他是和速度方向相反的， 对吧？那么这样的一个合力的分力，将会使我们这个圆周运动做减速，就是这个分力是负责他做圆周运动的， 而左下方的这个分力是使他做减速的，所以他在向上转动的过程之中，将会做的是减速圆周运动，然后再向下转的时候，在重力自动下，将会做一个加速圆周运动，对吧？哎，是这样的过程啊，也就是一个非匀速圆周运动结合力不止像圆心的，但是 有两个点是特殊点，就是最低点和最高点，那这时候比如说我们取这个最低点进行受力分析下来看，这个最低点他将会受到一个竖直方向向下的重力，对吧？还有一个绳给他沿绳方向的拉力，那你会发现这两个力的合力 一定还是数值方向的，对吧？那这两个力的合力就是这个方向的合力是指向圆心的， 对吧？所以说在最低点的时候，他的合力一定是指向圆心的，那么此时他的合力就等于向心力，因为这个时候的话，没有沿着运动方向的分力，对吧？那没有沿着运动方向的分力，就没有任何一个力能使我们这个小球在最低点加速或者减速， 对吧？那所以说在最低点的时候，他的合力就是指向圆心的啊，或者说合力是竖直方向的，可能向上，可能向下，对吧？就是我们在不知道这个绳的拉力以及重力大小关系的情况之下，我们可以判断的是这两个力的合力一定是数值方向的， 对吧？就这个合力，他有可能向上，有可能向下，但是因为他做的是一个圆周运动，那么他的合力需要指向圆心，或者说需要有一个指向圆心的合力， 所以说这两个力啊，这个绳的拉力和重力的合力一定是竖直向上的，哎，是这样的一个事情啊，这是对于最低点的受力分析，这个受力分析其实我给大家剖析的算是比较透彻， 对吧？最高点也是同样的道理，最高点的话，他也会受到一个数值方向向下的重力，还会受到一个沿绳方向的拉力，那这两个力的合力一定是数值向下的了，对吧？因为这两个力他都是向下的，所以说合力也一定是数值向下，指向圆心的，那么此时他的合力就等于向心力。 也就是说对于数值面内的绳模型在做非匀速圆周运动，只有最高点和最低点，其合力是指向圆心的，那么也就是只有最高点和最低点，其合力是等于向心力的。 那么好在怎么这个数值面对的圆周运动呢？在同步的课程啊，就大家在高一学到这里的时候，他百分之九十九的题目考的都是最高点和最低点的事情，所以说只要记住这个最高点和最低点，他的合力才等于向心力就 ok， 就是 这样的一个事情， 那接下来就是具体的受力分析了。最低点其实我们刚才已经分析过了，他会受到一个重力，还有一个绳的拉力，那么此时就是绳的拉力减去重力，等于的是他做圆周运动的向心力， 对吧？这是最低点，那么最高点的话，他会受一个绳的拉力 t， 会受一个竖直方向向下的重力，那么在最高点的时候就是绳的拉力 t 加上 重力啊，这个我是不小心写多了，没有这个东西啊，等于的是他做圆周运动的向心力，对吧？这是最低点和最高点的受力分析，那么在这里啊，大家在高一的时候你学到这里，只要能把这两个式子完全搞明白，这里就够用了啊。那接下来我们来练习两道小题啊。首先来看第一题， 这道题他说如图所示，长度 l 等于十米的一个绳子。记着一个小球在数值面内做圆周运动， 小球的质量告诉我们了，等于两千克，小球的半径不计。哎，那小球半径不计这几个字啊，它的含义就是告诉我们，小球做圆周运动的半径就等于绳子的长度等于十米。 然后他还告诉我们，小球在通过最低点时，他的速度大小等于的是三十米每秒。然后让我们来求各种各样的事情，那我们就来看，首先第一问，他让我们求的是小球在最低点的向心加速度 来，这个时候向心加速度我们都等于什么呀？我们的向心加速度 a， 哎，他等于的是 v 方比 r 等于的是欧米克方乘 r 还等于欧米克乘 v， 对吧？这是我们的向心加速度。那么对于这道题而言，他给出了半径，还给出了限速度，那我们选择的肯定就是这个公式，对吧？那么非常简单，我们可以求得其向心加速度 a 等于的是 v 方比上 l 啊，因为这道题这个半径直接用 l 来表示的，我就直接写 l 了， 那么代入数值之后可以求得，哎，其向心加速度等于的是九十米，每二次方秒，对吧？非常非常基础的第一问。然后接下来我们再来看他的第二问， 他让我们求小球在最低点所受到绳子拉力大小等于的是多少，那必然就要进行受力分析了，那么小球在最低点就会受到一个竖直方向向下的重力，会受到一个向上的绳子的拉力，那么因为小球在做圆周运动，他的合力一定是向上的，对吧？所以说我们的绳子拉力一定大于重力，那我们就可以列式子， 其拉力 t 减去重力，哎，那么这其实就是它的合力，那么合力提供向心力，哎，那么等于的也就是 m 乘上 a， 对 吧？因为我们上一问已经求得了向心加速度了，那么向心力直接就用质量乘加速度会更简单一些。 那么接下来就是带入具体的数值，其绳的拉力 t 是 我们要求的，再减去其重力，哎，等于的是二十牛，哎，这道题没有给出小 g 等于十哈，那他给的不严谨，应该再加一个小 g 等于十米，每二次方秒，那么可以求得其重力等于的是二十牛， 然后 m 再乘上 a 的 话，等的是一百八十牛，然后简单一算就可以求得，省的拉力 t 等于的是二百牛，对吧？哎，就是这样一个非常简单的事情啊，这个东西很简单啊，没有什么太多的难度，因为咱们同步的课程学到这里的时候，就是大家在高一的时候学到这里的时候，还没有学到能量的事情， 那么数值面内的直线运动如果不涉及能量的话，其实他考的东西就是这么简单的一个事啊。那么这是关于最低点的分析，然后再给大家讲一个例题，就是关于最高点的分析，那么最高点的话，哎，是这样的一个模型，那这个模型的话，有的同学可能会说，哎，小孩，这也不是绳啊， 哎，他虽然说不是绳，但是他的道理和绳子是完全相同的。比如说我们再回到上一道题来看，这个绳子的话，是不是只能提供指向圆心的拉力， 对吧？他没有办法提供背离圆心的支持力，这是我们绳子的特性。那么这样的一个轨道其实也是相同的道理，这个轨道给这个摩托车只能提供指向圆心的支持力，对吧？无论这个摩托车是在最高点还是在最低点，还是在这里，他只能提供指向圆心的支持力， 而没有办法提供背离原心的力，对吧？这个轨道没有办法给摩托车提供这个方向的力，对吧？所以说这样的一个模型，那就是一个外边有单轨道的这样一个模型，其实它和我们的绳模型完全是相同的道理。 那这道题的话，他是让我们对于最高点进行分析，告诉我们在最高点的时候，他的速度等于的是这么多，那我们其作用力的大小等于的是多少？其方向应该是指向哪里的？这道题也有点不严谨，这道题的问的应该是轨道对于车的支持力啊，不应该叫做作用力， 他问的应该是支持力，哎，大小多少？方向指向哪里？因为这道题他如果问作用力的话，不排除这个摩托车和轨道之间有摩擦力啊，对吧？这个摩托车在最高点如果加速的话，那这个力其实就不好求了。那这道题的话，他应该严谨一点，问的是轨道对于车的这个支持力啊，那么其大小等于的是多少？其方向没打力， 那么如果问的是支持力的话，那这个方向直接我们瞬间就可以答出来是数值向下的，对吧？在最高点的时候，他只能提供这个方向的支持力，然后接下来我们再来分析他的一个作用力的大小，那么想要分析作用力的话，必然就要涉及到受力分析了， 那么这个摩托车在最高点就会受到两个力，一个自身数值向下的重力以及哎轨道给的支持力 f， 那 么这两个力之合，哎等于的就是他所受到的合力，那么等于的也就是他做圆周运动的向心力。那么因为题目给出的是限速度，那我们用的就是 mv 方比 r 哎这样的一个式子， 那么接下来就是把题目的已知量，也就是这个速度给它带进来，那么也就是 f 加上 mg 带进来的话，它等于的应该是二倍的 mg， 对 吧？那么可以求得其 f 等于的就是一倍的 mg， 那么就求得了这道题，哎第一个问和第二个空的结果，那这道题也是非常简单的一个问题，那么通过这道题就是给大家带着简单分析来最高点我们如何来进行计算的事情，那么最低点和最高点都在大家分析了一道题目之后，给大家留了一个简简单单的小细题啊，真的是非常简单的小细题，就是关于这道题， 就是分析最高点和最低点的一个支持力的事情，对吧？那当然这道题的正确答案仍然是给大家放在了屏幕的左下角，自己做完之后对一下答案。那这道题练习完之后，我们来看这里常考的下一类题，那就是关于定性分析的这种题 有这样的一根绳拴着这样的一个小球，然后接下来他由静止释放，然后接下来他将做一个加速圆周运动，对吧？然后到达最低点，然后在这里啊告诉我们有一根钉子，那这里有一根钉子的话，小球运动到这里，他会继续向右运动，但是受这根钉子的阻挡，他接下来做圆周运动的半径将会发生变化， 对吧？那他刚开始的时候做圆周运动的半径，他的长度等于的是 l， 那 被这个屁点这个钉子挡了一下，那么接下来他做后半段圆周运动的半径其实等于的就是这一段的长度了，如果屁点在中间的话，那么他的半径就变成了二分之 l， 对吧？哎，是这样的一个事情，那么当然这道题它并没有说 p 点在中间啊，但这个道题的话， p 点在不在中间也无所谓，因为它也并没有进行定量的计算，它只是进行一个定性的分析，那么对于定性分析的话，就我们一定要抓住它在变化的前后，什么是变化的？那么变化前后什么是不变的 来，就在这个临界前后，这个小球什么是不变的？ 因为他在最低点的时候，他一共只会受到两个力，对吧？一个是自身的重力 mg， 还有一个绳给他的数值方向的拉力 t， 而这两个力的合力他一定是数值的，对吧？也就是水平方向，我们这个小球在最低点将不受到任何力， 那么也就是没有任何一个水平方向的力，将会使他加速或者减速， 对吧？那么所以说在最低点它的速度是不变，哎，那么这就是我们要找的非常关键的一个量，就是变化前后的不变量，它的限速度 v 是 不变， 那它什么是变化的呢？最直观的变化就是它的半径发生了变化，对吧？哎，它的半径大 r 减小。 那接下来我们就是根据这两个信息来判断各个选项他是如何进行变化的，他描述的究竟对不对？那我们一个一个来看，他问的都是什么？首先来看 a 选项，他问我们小球的角速度是否突然变大来，这个角速度和线速度和半径有没有关系啊？ 当然有，对吧？角速度 omega 等于的是不就是线速度比上大 r 啊，而我们的线速度 v 是 不变的，大 r 减小，那么说明我们的 omega 将会增大， 对吧？所以说 a 选项描述的就是正确的。然后再来看 b 选项，他说小球的瞬时速度突然变大，哎，并不会，我们刚才有分析过，他在最低点的时候不会受到任何水平方向的力，那他既不会做加速，也不会做减速，所以说他的瞬时速度是不变的， 那么 b 选项描述的就是错误的。然后再来看 c 选项，他说绳上的拉力突然减小吗？ 来涉及到拉力了，我们就要进行受力分析了，对吧？那么在最低点的时候，他会受两个力，一个是重力，一个是绳的拉力 t， 那 么是绳的拉力 t 减去重力等于的是他做圆周运动的向心力，也就是 mv 方比 r， 对吧？那这时候他问的是什么呢？问的是绳子的拉力，来看我们右边的这几个量，首先它的重力是不变的， m 是 不变的， v 也是不变的，只有大 r 减小了， 那么大 r 减小将会使这一项增大，那么这一项增大将会导致 t 增大， 对吧？哎，也就是将会导致我们绳子上的拉力突然变大，而不是变小，所以说 c 选项描述的也就是错误的，哎，是这样的一个事情，就是题目如果涉及到某一个力的分析的话，我们就要从受力的角度来进行分析了。 然后最后来看 c d 选项，他问我们球的加速度突然变大吗？哎，向心加速度的话，等于的是 v 方比 r， 对 吧？但你会发现这个 v 是 不变的，那么 v 方也就是不变的，而 r 是 减小的，所以说 a 是 增大的， 那么四 d 语言描述的也就是正确的，那么这道题的正确答案选择的就是 a 和四 d， 对 吧？哎，就让那个比较简单的小题，只不过这里的话比较常考。这个类型题简单给大家放一个立体，简单讲了一下，那么同样也给大家准备了一个这个类型的习题，就是下边的这个题，自己把它做一下，完全相同的道理啊，完全相同的事情， 那这道题的话，正确答案也给大家放在了屏幕的左下角，做完之后对下屏幕左下角的答案，那至此关于这个绳模型的比较基础的受力分析的事情 就给大家说完了，那接下来我们要讲的是关于数值面内圆周运动绳模型非常重要的一点就是通过最高点的最小速度 来，这时候我带大家一起来分析一下。那么首先比如说他最开始在底下底端的这个出速度，比如说我们把它叫做 v 零，那么首先我如果这个 v 零啊特别大的话，那他一定是能够转到上边去的，对吧？他一定能完成整个的圆周运动， 那这个应该是大家有个非常直观的感受，应该没有什么太大的问题。那接下来如果这个出速度 v 零减小啊，上面这个也是 v 零，那么到达最高点的速度他也是会减小的，最高点的速度比如说我们把它叫做 vh， 最高点的速度他也会减小， 对吧？那么最高点的速度如果减小的话，将会导致他到达最高点的时候，绳子的拉力 t 将会减小， 那这个事再给大家简单分析一下，我稍微有点跳步啊，这里的话，对于最高点进行受力分析，他会受到一个重力，会受到一个绳的拉力 t， 对 吧？那么整体来看的话，就是重力再加上绳的拉力 t， 等于他做圆周运动的向斜力，也就是 mv 方比 r， 对吧？那么此时这个 v 指的就是在最高点的速度，而这个他所对应的就是绳子拉力 t， 那 么也就是在最高点他的速度越大，绳子的拉力 t 将会越大，那么在最高点他的速度越小，那么在最高点绳子的拉力 t 也就越小， 没有问题吧？哎，是这样的一个事情啊，那么在最高点的速度越小，绳子拉力 t 越小，哎，那这个时候我问大家，在最高点绳子的拉力最小最小能到多少？ 最小是不是他也就到零了，对吧？他最小最小也就减小到零了，他不可能变成一个负值，对吧？因为绳子他没有办法提供向上的支持力，他只能提供向下的拉力， 对吧？所以说这个拉力最小最小只能减小到零。那么绳子减小到零的时候，所对应最高点的速度，其实就是他做圆周运动的最小最高点速度。那接下来我们就一起来求一下，这个最小的最高点的速度等于的是多少？ 那么他所对应的是拉力刚好等于零的情况，那么当 t 等于零时，那么在最高点时就是重力提供向心力，对吧？ mg 等于 mv 方比二。 那么根据右边这个式子，我们简单一求，可以求来，此时此刻这种状态的话，其 v 等于的是根号下的 g r， 那么这所对应的就是最高点的最小速度。最高点的时候他如果小于这个速度会怎样呢？就有的同学会有一个疑惑说，哎，小怀，我这个时候最高点他的速度小于这个速度，我会怎样呢？ 就比如说我手拿着这样的一个球，我用手给他拉到了最高点，然后我突然给他了一个啊小于，比如说二分之一根号下 g r 的 速度 来。这个时候有的朋友会说，哎，小怀，我这个球到没到最高点，是不是到最高点了，对吧？有没有速度？有速度对吧？小没小于，你这个最小速度小于了，他说你凭啥说这个是到达最高点的最小速度呢？ 来看，如果你以这样的一个出速度，从最高点把这个球进行释放的话，他接下来做的都不是圆周运动，他做的是一个平抛运动，他为什么做的不是圆周运动呢？我们来分析一下，如果对于这个情况，他想做圆周运动的话，需要什么？是不需要向心力， 对吧？那么此时能够在最高点提供向心力的只有两个东西，一个是重力，一个是绳的拉力，对吧？而且能够提供的只有向下的力， 所以说对于最高点进行受力分析的话，就是绳的拉力 t 再加上重力。然后来看啊，这个时候等于的是它以这样的一个速度做圆周运动的向心力的话，那么就是 m v 方比 r， 你 把这个值那二分之一根号下的 g r 带到这个里边， 这个式子就变成了 t 加上 mg， 等于的应该是四分之一的 mg， 那 我问你，这个时候求来这个 t 等于的是多少？求来这个 t， 你 会发现等于的是负的四分之三倍的 mg， 可能吗？ 不可能，所以他就没有办法在这样的一个半径的前提之下，哎，做这样的一个圆周运动， 能够理解吧？啊？所以说在接下来将会做的其实是一个平抛运动，这是关于最高点最小速度的这个事情，就给大家解释了一下，或者你也可以通过另外一个角度来分析一下，其实你小于这个速度的话，你是上不去的，对吧？就比如说根号下 g r 的 时候是刚好能够达到最高点，刚好做一个完整的圆周运动，对吧？ 这个时候我如果出速底端的时候，这个速度再小的话，他其实就会到这，到这之后就直接就下来了啊，他到不了最高点， 就是他想做一个完整的圆周运动，想要到达最高点的话，他的速度一定需要达到根号下的 g r， 因为小于这个值，其实到最高点之前他就会做一个平抛运动就下来了，那是这样的个事情，至此，关于这个最高点的最小速度就给大家解释完了，然后怎么求得的呢？就是在最高点的时候，刚好由重力提供向心力的时候， 就是我们速度最小的时候，那么等于的也就是根号下的 g 二。那么这个事搞清楚之后，那接下来就是简单练习一道小题啊。首先来看这道题，这样的一个数值面对的圆周率动若小球在最高点不掉下来， 球在最高点的最小速率啊，那这个东西非常简单了，想要让他在最高点不掉下来的话，就是在最高点其绳的拉力 t 刚好等于零， 这就是不掉下来这个最小速率，那么此时解重力就等于他做圆周运动的象限力。这个不能用 r， 题目用的是大 l， 那 我们这里也直接用大 l， 那 接下来就把这个量给他带入到这个公式之中，对吧？那我们小 m 他 是零点六，那么左边的就是六牛，六牛等于的是零点六千克， 乘上 v 的 平方，再比上零点八米，对吧？题目这里给的是八十厘米，我们需要把它换算成标准单位啊，换算成一个零点八米，那么简单一算，哎，可以求得这个 v 的 话，等于的应该是根号八， 那根号八也就是二倍根号二，对吧？它所对应的是米美妙，那么这就是第一问，对吧？就是相当于我们重力提供向心力，然后就可以求得的这个速度，对应的就是最高点的一个最小速度， 第一问就完美的解决掉，然后接下来第二问说，若小球在最高点的速率，哎，等于的是这么多，让我们来求绳子的拉力，那这个就非常简单了，对吧？就是我们刚才第一部分讲的内容，就是对于最高点进行一个受力分析啊，就是重力再加上绳子的拉力，等于的就是他做圆周运动的向心力，对吧？ 比 r。 然后接下来再把这个式子你带入数据，简单一求，就求到了第二问的结果，那么这个第二问大家也可以作为练手，简单把它算一下，那仍然是正确答案，给大家放在了屏幕的左下角，自己做完之后，对下屏幕左下角的答案。那么关于最高点最小速度这个事呢，还给大家准备了一个题啊，就是下边的这个题，那这道题比刚才那道题稍微难一点， 因为这道题它涉及到了两个过程，首先第一个过程，小球在最高点的速率为 v 的 时候，那么两根绳刚好没有拉力， 那么也就是速率为 v 的 时候，就是刚好以最小速度通过最高点的时候，对吧？那么对应的也就是 mg 等于 mv 方比 r 的 时候， 对吧？然后接下来他又问我们，如果这个小球他在最高点的速为三倍的 v 的 时候，问每根绳子的拉力等于的是多少？ 那这个时候的话，我们直接用两根绳子的拉力之合啊，那么在最高点的时候其实会受到三个力，对吧？一个是重力，一个是左边这根绳子的拉力 t 一， 一个是右边这根绳子的拉力 t 二。当我列式子的时候，直接把 t 一 t 二给它列在一起，这个时候大家看着会更加清晰一些， 其实他所对应的就是整个的 t 总，两根绳子的拉力啊之合 t 总也就是绳子的总拉力，再加上重力，提供他做圆周运动的象限力，对吧？这是得加个括号。那这两个式子一列完，其实你就可以求得这个总的拉力等于的是多少， 然后再根据其角度就可以分析出来每一个绳子的拉力等于的是多少。其实相当于给大家讲完了。这道题是本来打算给大家作为一个练习题的啊，你就当刚才没听见我讲，大家自己把它算一下，仍然正确答案给大家放在了屏幕的左下角，自己做完之后对一下屏幕左下角的答案， 那至此关于这节课内容就给大家讲完了。那这节课其实讲的东西比较简单啊，他的考法也比较简单，最主要的是说数值面对圆中运动，这里相对来说会比较简单， 只会考最低点和最高点的事情，那么在最低点和最高点还是合力等于向心力，就进行受力分析就 ok 啊，你只要能够分清绳子拉力是哪个方向啊，就 ok 了啊。 然后还有一点就是最高点那个最小速度，那么就当最高点的时候，绳子的拉力等于零的时候，哎，就是它能够通过最高点的最小速度的时候，然后通过重力等于向心力就可以推导出来它的最高点最小速度等于就是根号下的 g r， 对 吧？ 那么这节课就这么多东西啊，就到这里，那我们下节课接着来讲关于杆模型的事情。那么杆模型其实和绳模型还是比较像的啊，区别有那么一点点，但是不多，大家如果还有精力的话，移步到我们下一节课继续来听关于杆模型的事情。

晾衣杆模型是高中物理当中非常经典的考法，今天琴姐教你一句最牛口诀，让你遇到晾衣杆题目，考场能够秒出答案，节省大量做题时间，轻松 拿下高分。在讲课之前，我给大家准备了一份二十五个模型手卡资料，关我免费下载打印，提前吃透，才能稳赢高考冲刺九八五。首先什么是晾衣杆模型呢？我们先把这图画一下，就这里一根杆子，这里一根杆子，这里呢掉了一个衣服，这就是一个晾衣杆问题了。 那么你可想而知，这两一个问题肯定是需要我进行受力分析，然后去找他力的关系的，对吧？那我们先看这个题目呢，他会有什么样的问法，这个对于我们而言是比较重要的，就是我要了解他怎么问，才能够根据他的问法去提前做好规划去解析。他大概就两类问法，第一类问法就是我将这个 往左移或者往右移，绳上的拉力是变大还是变小。第二种问法就是我这个绳子的挂点，他往上移或者往下移，他绳子的拉力是变大变小，那就是问这两类问题。那我们此时先来看一下，先从他最基本的受力分析开始，你呢会受到重力，然后因为这是同一根绳子， 所以左右两边绳子拉力一定是相同的，它是同一根绳子，同一根绳上的拉力处处相等。然后我们再将这个场景呢进行一下分解，把这个重力水平竖直方向建立直角坐标系，去分解这个不在系上的力，所以这个绳拉力分过来，把这个角叫做这样吧，把这个角叫做 c 特一， 所以这个 t 乘以 sine sine 一， 就它的水平方分力，竖直方分力呢，就应该是 t 乘以 cosine sine 一， 那么这里边就把它叫做 sine 二了。你除过来这个地方，把这个力呢朝着水平方分解，就是 t 乘以 sine sine sine sine 二，它的竖直方分解就是 t 乘以 cosine sine sine 二，那你又因为它得平衡，所以左边等于右边，对吧？ 啊，因此我就可以知道， t 塞 in c t 一， 等于 t 塞 in c t 二，那 c t 一定是等于 c t 二，所以这个 c t c t 我 可以不用区分，它两个夹角一定是一样的。其次，那在竖直方向上平衡 向上的是两个 t cosine c t 向下的是一个 mg， 所以 绳子拉力 t 就 等于 mg 比上二 cosi theta 这表达式出来了。所以你看绳子拉力跟重力有关，重力是不变的吧，所以唯一一个会改变这个绳拉力大小变化就是这个角度。 theta， 如果这个 cosi theta 变大，那我的绳子拉力变小，如果 cosi theta 变小，那绳子拉力就变大。所以我来看第一种场景，就是杆儿如果往左移，请问 theta 角怎么变？ 同学们，高二如果往左移，这个四它怎么变呢？高二往左了，你想这个绳子从这到这了对不对？它是不是一定要往下垂啊？你想象一下，肯定是要往下掉的，因此往下掉了之后，我跟竖这方的夹角，是不是 c 的 角就应该变小？ c 的 角变小，根据三角函数， cosy theta 一定是增大，那么 cosy theta 增大，根据我的公式， m g 比上二 cosy theta 分 母增大，整个分是减小，所以杆左移的时候，绳子拉力在减小，那杆在右移呢？如果杆右移，同学们，你琢磨一下，这个绳子 从这拉到这来了，你看，最开始绳子在这吧，现在绳子拉到这来了，它是不是肯定会被撑平，所以绳子都撑平了，它跟竖直方的夹角是不是变大，所以角度变大？ cosine theta 变小，那么绳子拉力应该是变大的。同学们，那这就可以总结出来结论了，你杆往左移，绳子往下坠，所以它是变竖了，对不对？变竖力就变小，所以竖小。而当你往右移， theta 角变大，绳子是变平了，平了力就会变大， 所以第一个口诀叫做竖小平大。第一个结论学会了，再来第二个，我除了杆左移右移之外，我还可以将绳子的这个挂点往上挪或者往下挪，那么在你往上挪，往下挪的时候，这个四大角怎么变呢？这块我得擦干净一点，还能给你讲清楚这个题目，现在这是那个杆，这是那个杆，然后这是那个绳子，这是那个绳子，对不对？ 现在呢，我们来仔细的看一下这个问题，这里是我们刚才说的 seat 角，你是 seat 角，是不是？这就是 seat 角，这是一个内错角，没问题吧？那么此时呢，我还告诉你，这根绳子从左到右，整体的绳长为 l， 然后两个杆的间距呢？杆的间距是 d， 绳长是 l， 杆的间距是 d。 那 么 此时我顺着左边的这条绳子，你看左边这个绳子牌叫 l 一， 右边是 l 二，所以 l 一 加上 l 二就等于 l 吧，是不是？那我顺着左边的这个绳子往这边去画它的延长线，画它的延长线。同学们，你告诉我这条和这条满足什么特征？你延长下来 跟它应该是完全对称的，所以你是 l 二，我也是 l 二。因此这一条绳子就是我们整个绳的长度， l 没问题吧？从这边去做这个杆的垂线，那这里是一个垂线，这个就是杆的间距 d。 所以 同学们，你看，在这样一个三角形当中， c 的 角在这儿， 对边是 d， 斜边是 l， 所以 sine theta 等于 d 比 l， d 是 杆的间距， l 是 绳的长度。因此，在你把这个绳子的端点往下移动或者往上移动的时候， d 发生变化了吗？没有。 l 发生变化了吗？没有。所以 in theta 是 不是就不变？那既然 theta 是 不变的，绳子拉力是不是就不变？因此，这里我们可以总结下来第二个结论，叫做上下不变。当我把绳子的一个端点往上挪或者往下挪，它的绳子拉力是不变的。 因此口诀就出来了两句话，竖小平大，上下不变。你杆左移右移，就用竖小平大，绳子的一端上移下移，就用上下不变。学会了吗？来截图。 截好图了之后，接下来我们去看看题目，感受一下这两个口诀，帮助我们能够如何快速解题。下列判断正确的是 a， b 选项，我将 b 端 往上挪，挪到 b。 一， 请问绳子的张力变大还是不变啊？这个口诀是叫上下不变。当你上下挪动的时候，绳子的拉力是不变的，所以答案选 a， 不 选 b。 然后如果我保证这个端点不动，让杆移到虚线位置， 就挪到这来了吧。杆儿挪到虚线位置，那这个绳子一定会往下坠，所以变竖，根据口诀竖小频大，所以力 变竖，绳子变竖了，力就变小，所以选变小。这个题选 a 和 c 选项做完了，快不快？快的走一波快。所以做题啊，我们在高中阶段， 你不仅仅要会做，你还得做的快和准，这个也是我们提高分数，提高能力的一个重要的方式。你不仅仅是要会，因为谁都会给你足够多的时间，你都能做出来，但关键是现在时间并没有那么充足，我们需要更快更准。所以关注琴姐，后续还有更多高考物理干货，能让你在考场更快更准的拿下分数。

高一物理学不好，别灰心，别气馁，跟着马老师帮你重拾信心，从最基础的开讲，想要资料私信我， 今天我们通过这个视频呢，帮大家把圆周运动一个非常经典的模型给大家。这个讲明白。呃，什么呢？就是绳杆模型，这个绳杆模型啊，它主要针对的就是物体啊， 在绳的牵引下，或者是在杆的牵引下，呃，并且是处于竖直面内的 一个圆柱运动，并且绳杆模型它还可以衍生出是一个小球与单轨或者是双轨这样一种组合，也是在竖直面内做圆柱运动。呃，对于单轨跟双轨这样的情景啊，其实在 呃真实的考题中啊，可能会更多一些。首先呢，我们先把这个绳这样一个情景先研究明白。呃，如图所示，这个低俯图， 小球在绳的牵引下，呃，以 o 点为圆心，做这个数值面内的一个圆柱运动，这个虚线圆就是它的轨迹。那对这个小球来讲，此时他应该受到两个重力， 呃，一个呢是本身的重力，一个呢是绳给他提供的一个拉力，这样两个力，那么对于小球，他现在在最高点这样一个位置，我们把他的速度哎画出来，那此时的象限力应该是由重力和拉力 支盒提供的，这个很容易看出来，是吧，那么按照向心力的公式，它应该等于 m v 方比二二呢，就是，呃，圆柱运动的这样一个半径。那么有此事的我们可以探讨一下，说，当你的在最高点的这个速度，如果是比较大的时候，那你这个时候肯定是拉力，就 而相反，如果速度要是要小的时候，那你这个拉力呢，就会比较小，这里边重力他肯定是不会变化的，那么同学们要注意一个细节啊，我们现在写出的是他在最高点这样一个位置，这个位置其实是很特殊的一个位置啊， 我们探讨的其实就是这样一个特殊点，刚才说你速度如果比较小，他的拉力会比较小，是吧？但是你在最高点的速度啊，他能不能说无限小呢？这个是不可以的，我们说当速度小到一定程度，这个拉力有可能怎么的就变成零了，那我反过来可以写成说当拉力等于零时等于零时， 那你这个表达式是不是要写成什么了？是不是要写成只有重力提供向前力的一个表达式了，对不对？那么此时对应的这个速度，你也可以给他写出他对应的表达式就是刚下 g r， 并且这个速度应该是 最小值，最小值你看他的最高点的速度能不能比这个再小了，是不是不可以啊？因为你在最高点，你的向前力最小也就只能是这个重力了。 那么也就是说对于绳模型来讲，我们现在得到一个结论就是他在最高点的最小值，对应的最小的速度，对应的就是杠下，这样就不能比他再小了。如果在题干中说他在绳的牵一下，说恰好通过最高点， 或者说刚好通过最高点说有这样的话语，是吧？我们可以写出来刚好这个或者叫恰好过最高点。过最高点 那意味着啥呀？就意味着它的此时的速度就是最小时，在最高点就是勾加 g r， 对 于这个小球来讲，它最高点我们现在探讨完了，那其实与最高点对称，是不是应该还有一个这个最低点呢？ 这个最低点呢？其实，呃，没有那么特殊，不像最高点，它最低点，我们只需要知道，在最低点时，它这个拉力呀 是指向圆心的，但重力就是背离圆心的了，它重力就是背离圆心的了。也就是说你在最低点如果要写这个表达式的话，这个我们得写成拉力减重力了，拉力减重力 等于这个向心力，这个千万别写，写错了，我们写一下，这在最低点我们还是写成这个红色最低点。那么 这个状态下呀，你要说在最低点，那你看此时的拉力是不是就是比较大？如果在最低点，你的速度要比较小，那是不是就拉力就比较小？是不是你就在最低点，在最低点的速度也可以，特别特别小， 都可以，但是你也不能无限大，因为你速度特别大，拉力会特别大，那绳有可能就怎么的了，就断了。如果在最低点，你的速度如果是对应的是特别特别小，那你说他 小到一定小到零行不行呢？小到零理论上也可以，那个时候拉力在最低点跟重力相等，但是你在最低点的速度如果特别小，不代表他就一定能做圆周运动了，他在最低点，如果速度小到一定程度，他有可能就呃完成不了一个完整的圆周运动了。 因为我们刚才说你在最高点是有最小速度的，那你在最低点也会对应的，应该也有一个这个速度的最小值，但它不可能是零，对吧？呃，如果在同步课阶段，我们现在呃想求出与最高点的最小速度对应的最低点的最小速度目前还算不了， 还算不了，这个在同步课阶段刚学这块的时候也不会考到这么难，那阶阶段我们只先把这个基础的事情先理解好就够用了。那其实与时模型的一个拓展。呃，情景啊，这个一样的，就是单轨模型。这个单轨模型啊， 呃，我们从受力的角度先把最高点是吧，先研究一下它最高点的时候重力肯定得有，是吧？那么 跟轨道之间会有一个什么力啊？是不是得有个挤压的力啊？这个其实就是一个支持力了，因为他是个单轨吗？轨道在最高点的时候给小球一个向下的指向圆心的一个力吗？是不是？那么此时你会发现他跟绳的这个情景基本就是一样的，只不过绳是提供的拉力，而轨道是支持力， 就表达式上没有什么区别，结论上其实也没有什么区别的，一样的一样的。所以说这个单轨模型还可以称为叫绳模型的一个衍生嘛，就是统称为绳模型， 物理模型。其实是之所以叫模型就是因为它可以适用于各种各样的情景，那么所以说我就不重新写了，说这个知识力等于零时，你对应的可以求出它的最小速度也是多少，告诉下 这样一样的。哎，也没区别。最低点轨道给他一个支持力，这个他自身有一个重力，你在最低点呢，这个就是支持力，减去重力等于这个向前力，那么很显然在最低点也是速度大的时候他支持力大，速度小的时候他这个支持力小。 但也不可能说在最低点的速度，说无限小与最高点速度最小速度对应的，在最低点也会有一个最小速度， 是吧？这个是单轨模型，单轨情景完全复刻了，这个什么型的所有事情一模一样。那这块，呃，我们再次强调一下一个事情，就是这几个临界状态，这个临界状态是很重要的啊，这个临界状态就是什么？刚好 恰好通过最高点，就这句话，他引含的告诉你，他在最高点的速度就是缸下这样，这是是体干中经常会说或者是提及到的这样一个字眼。然后呢，我们再来看看这个杆模型，这杆模型就要比什么型要复杂一些了，因为啥呢？因为杆吧，它既可以提供拉力， 呃，他又可以提供支持力，他就分这个两种情况。那对于这个杆的这个模型啊，我们说，呃，也是一样的，他在数值面内做圆周运动，也是要先探讨一下他在最高点的一个状态。比如说我们说他在最高点的时候，假如说杆，他现在给小球提供的是一个拉力这样一情景， 那么他自身肯定还得有个重力，是吧？那么我们画出来是这样的，那这个时候我们就应该是，呃，拉力，就是重力加上拉力，我们调了一些 重力加上这个拉力，等于这个降息力，是吧？ mv 方边，那很显然还是这个速度比较大的时候，拉力越大，速度越小，这个拉力就越小。但我说他也有可能杆给他提供的是什么力啊？ 有没有可能？有可能啊？你比如说杆给他提供的是支持力，但你不能说在同一种情况下说既提供拉力又提供支持力，他只能是二选一。所以说你第二种情况，你写出情况应该就是重力减去支持力，这个是他的所谓的降息力。是这样， 但是如果是支持力，是吧？这个三式你比如把它称为叫三式。如果这个三式，你看啊，这个时候如果你速度比较大，他的支持力是比较小的，就是你速度越大，他支持越小。在最高点的时候杆他没有力，有没有可能？你看你看三式，他速度越大，他支持力越小，当支持力为零的时候，是不就是杆没有力了？ 哎，存在这种情况，那个时候就是只有重力了，只有重力就是重力提供下力嘛，对不对？哎，就这样一个三式、 二式的时候，这是一共这三个，设一式、二式、三式是这样的，那么，呃，我们分别可以探讨一下啊。 就是如果是一式的话，说明这个时候速度是咋的？是比较大的，如果是这个二式呢？速度居中，如果是三式，这时候他说明他速度咋的是比较小的。一式、三式对应的向量是最小的，那么我们说对于杆模型，他不像这个这个这个这个什么型，他只有单一种情况，这杆模型得探讨， 得探讨。而这个对于二式来讲，他有一个通过二式可以求出一个临界的速度，就是钢下 g r， 钢下 g r， 如果说他 在最高点时速度是钢下 g r， 那 说明这个时候板不提供作用力。如果说你在我们说这个速度设为 v， 呃，给他加个角标吧，这样好探讨问题。 v 零，如果你这个速度大于这个 v 零在最高点， 最硬的，他的最高点杆给他提供的就是什么力啊？就是这个拉力。如果你速度小于零这个临界速度，他杆提供的就是什么？就是支持力，就是我们通过最高点的临界速度去探讨 他这个杆提供的是什么力，然后这个杆模型他最高点有没有最小速度呢？也有，这是通过三式可以导出来的，这个三式你推导出当杆的支持力其实会变大的， 对不对？当你速度这个越来越大，它杆的支力就咋的就变小。这个当你速度特别特别小，当你速度有可能小到多少，有可能小到零了，当你速度特别特别小，特别特别小，那小到一定程度，你这个时候杆的这个力啊，支力就跟重力咋的了？就相等了。这个状态下我们可以写一下，就是重力等于杆的支力， 也就是说而给他提供的这个知识也跟重力抵消了，这个时候他最高点的速度就是零。那么你像刚才我们提及到说，他如果是恰好或者刚好做圆周运动，那么那意味着啥呀？意味着这个他在最高点 的速度就是零，当然你得这是一个临界状态，是吧？恰好或刚好这个做圆周，这是对于杆模型来说，恰好刚好做圆周，它最高点的临界状态就是零速度，那么这是杆型的一个基本探讨。两个点。一呢，你要知道杆模型它在最高点的这个最小速度是零。 二，鸟会判断他的最高点杆给他提供的是支持力还是拉力，这是两个点，然后这杆模型的最低点呢？最低点其实比较简单，就唯独就是最低点，要判断一个事就行了。什么呢？就是他在最低点的时候，杆 百分之百只能提供什么力，就是拉力，他不可能是支持力，如果你支持力，他就往往下指啊，他就往背离圆形的方向指，那就不对了，那个时候你没有指向圆形的力，那你怎么提供向下力呢？是不是？所以说他在最低点的时候，一定是这个杆提供的是拉力，减掉重力等于这个向下力， 他跟那个绳模型就相当是一样的了，就没有区别了。是这样。然后呢？呃，这个杆模型它有一个衍生情景，就是变成这个双轨， 这个双轨啊，呃，小球呢？刚好大小呢？是接近于这个双轨中间这个缝隙，那么呃，这句话想告诉我们，就是这个双轨这个情形，小球在这个轨道里面运行的时候，他不可能同时挤压外轨 和内轨，他要不就挤压外轨，要不就挤压内轨。如果你这个小球挤压外轨的时候，那么外轨给他一个支持力是指向圆心的，如果他挤压内轨的时候，内轨给他支持力，是这个背力圆心的，是吧？也就是说就有点向导模型，他提供的是拉力还是支持力这样一种情景，那么 我们写一下的话，其实也是要在最高点去写，其实他也分成三种情况，你要不就挤压外轨，这个是重力加上这个外轨给他的这个重力等于这个向下力，你要不就是挤压这个内轨，内轨加内轨的话就是重力 减掉，这个内轨给他的指示力是往外指的 m v 方比二，如果在这个图中我们画一下的话，强调一下外轨给他的只能是向下的，当然这个指手 这个两者选其一样，不可能同时挤压外轨和内轨，是吧？要记住，那么当然了，它也可以存在这个既不挤压内轨，也不挤压外轨的一种情况，就是只有重力提供牵引力了，也会存在这样三个三个式子，那么它是不是也会存在这个最小的一个速度啊？ 也会存在一个临界的速度啊，是不是？那么我们通过二式导出一个临界的速度，勾一下 g r 是用来干什么？就是如果你的最高点数大于为零，就意味着什么？就挤压的是外轨，因为你看这个一式，一式所对应的这个向心力是比二式的向心力要大呀，要比二式所对应的速度要大呀，是吧？这个时候对应的是，呃，挤外轨，挤外挤外轨，外轨，外轨给它的向心力，外轨， 哎，给它吸引力，指向这个圆心的，然后这个如果速度小，速度小于为零，那就挤压挤内轨，那么速度小，挤内轨内回给他个知识力，就被圆心 的，是吧？这就这个，那个时候就是三式，那他也会有一个最小速度，就是通过三式，你可以导出他的一个最小速度，也是一样的，也是零， 也是零，那么他也可以是这个一个临界状态，是不是？这个时候其实就是他速度如果是零的话，他夹内鬼啊，就是速度比较小，夹内鬼，那么内鬼给他，这个内鬼给他支持力，是跟重力抵消了， 是这样，这个时候也是所谓的什么就恰好啊，或者是刚好啊，恰好或者刚好啊，做这个圆周运动是这样，那么他也存在于，也存在这种在最低点的一个情况，在最低点呢，他百分之百，怎么的？ 只能挤压哪个轨道？只能挤压外轨？他只有在最低点挤压外轨的时候，外轨才能给他一个指向圆心的力啊。如果在最低点，他要挤压的是内轨，那内轨给他力是背力，圆心的向下的，那不对了，就 那重力本身也向下，都向下的，谁来提供下力啊？是不是？所以说他在最低点只能是挤压外轨，给他一个知识力，向指向圆心，然后减去重力，等于向心力。是这样的， 那么在最低点的时候，你也可以探讨他最低点的速度，若比较大，速度比较小，外部的力就比较小。是这样，那么我们同步课阶段主要还是探讨的是最高点的这个情景，探讨这个最低点探讨的少，相对来说， 等我们再往后学啊，这个必修二这本书往后学，你往后学，学到这个功能的时候呢，还会把这个情景再探讨一下，那个时候就可以呃，这个多角度的去多位置的去探讨了，其实就是最低点，最高点都可以去详细的去探讨。是这样，那么呃，对于这个神魔型和感官型，主要讲的就是最高点和最低点， 那如果说你要是说想探寻一下这个其他位置，其他位置其实啊呃就无所谓是绳不行还是杆不行了，你比如说圆心等高这些位置，这个时候他呃绳也好，是杆也好，必须得提供一个指向圆心的力，因为你在这些位置啊， 你只有靠除了重力之外的力才能提供下力。你重力是向下的，他跟这个下力咋的没关系，是吧？体会一下，这个时候就没有那么多探讨的了，只能是绳，那就是绳的拉力，如果是杆就杆的支持力，如果是轨道，那就轨道支持力， 是吧？这个与圆形等高的位置，就没有那么多需要探讨的，就直接就可以写出唯一的一种情况，是吧？最后再补充一下这个问题的讲解。

情感模型情感一端连接 o 点，另一端系以质量为 m 的 小球。小球从 a 点以水平向右的速度为零开始运动。由于出速度较小，小球不能到达 b 点。小球将在圆弧 b、 a、 d 之间来回运动， 增大小球在点 a 的 速度，小球通过 b 点，但不能到达 c 点，小球仍然沿着圆弧 b、 a、 d 往返运动。 小球在点 a 的 速度越大，小球摆动的越高。由于轻杆有支撑作用，小球不会脱离圆弧掉落。当小球速度减为零时，小球沿着圆弧向下运动，此后小球在圆弧上往返运动。 当小球在 a 点速度达到一定值时，小球刚好运动到 c 点，此时小球在 c 点的速度为零，这是小球刚好能通过最高点 c 的 临界条件。 小球在 c 点静止，则情感对小球的支持力等于小球的重力，向心力为零， 小球再点 a 的 速度再增大一点，小球到达 c 点的速度大于零，小球通过最高点。由于氢感有支撑作用，小球不会掉落下来。小球到达最高点时的速度大于零，小球都能通过最高点继续增大小球再点 a 的 速度。 小球运动到 c 点的速度等于根号下 g r。 此时小球对轻杆没有力的作用，重力提供向心力。小球通过 c 点后做圆周运动， 继续增大小球再点 a 的 速度。小球运动到 c 点的速度大于根号下 g r。 此时小球向外拉轻杆，轻杆对小球的拉力与小球的重力的合力提供向心力。小球通过 c 点后做圆周运动， 小球再点 a 的 速度越大，运动到最高点 c 的 速度也就越大，小球对轻杆的拉力也随之增大。 轻绳模型， 轻绳一端固定于 o 点，另一端系以质量为 m 的 小球。小球从 a 点以水平向右的速度为零开始运动。由于出速度较小，小球不能到达 b 点。小球将在圆弧 d、 a、 b 之间来回运动， 增大小球再点 a 的 速度，小球将摆动得更高，但小球仍然运动不到 b 点，小球仍然在圆弧 d、 a、 b 之间往返运动， 继续增大小球再点 a 的 速度，小球刚好摆动到 b 点，离开 b 点后，继续在圆弧 d、 a、 b 之间往返运动，则小球到达点 b 时，速度小于或者等于零，小球都将在圆弧 d、 a、 b 之间往返运动。继续增大小球再点 a 的 速度， 小球通过 b、 c 段离开圆弧，做斜向上抛运动。 综上可知，只要小球通过 b 点，但不能到达最高点 c， 小 球都将从圆弧 b、 c 段离开圆弧，做斜向上抛运动。 当小球在点 a 的 速度达到一定值时，小球刚好能通过最高点 c， 此时小球在 c 点只有重力的作用，绳子没有力的作用，向心力等于重力，这个刚好能过最高点 c 的 最小速度。 小球运动到最高点的速度只要大于或等于根号下 g、 r， 小 球都将通过最高点做圆周运动。 继续增大小球再点 a 的 速度。小球不仅能通过最高点 c， 还对绳子有拉力，此时小球在最高点 c。 重力与拉力的合力提供向心力， 小球在最高点 c 的 速度越大，小球对绳子的拉力就越大。速度大到一定值，绳子被拉断。

哈喽，同学们，我是你们讲解超有量，讲解超有方法的物理大美老师，今天我们来讲一下轻绳和情感模型，很多同学说这个模型真的特别的多，感觉自己不会啊，觉得自己不行， 谁说你不行，谁说你不行就是他不行哈，那么今天老师就用大招，一两分钟教会你这种轻 绳情感模型。同学们都知道你们脑子里面会有点东西，对不对？他就他恰好通过最高点，我好像知道一个是 通过最高点的，有一个是零，有一个是根号 g r， 是 不是？那同学就说，老师，我就记不清楚，这模型太多了，我不知道到底是你是零还是你是零，你是根号 g r 还是你是根号 g r， 你 说我记不清楚对不对？那么今天老师教你一个方法哈，同学们，我们就看这个单轨商轨吧，你们最害怕是哪种轨道？ 同学们是不是最害怕的是这种单轨，为什么？因为它会好像掉下来，对不对？它会掉下，它是不会的，那么也就是说，如果你这个速度如果是等于零的话，那它是有可能会掉下来的，对吧？那它要是掉下来，那你说它能等于零吗？那不能，要做圆周运动嘛， 所以他就不能等于零，那这等于什么呀？那他最小最小，哎，那他就是等于根号加的，这不就对应了吗？而他会掉下来吗？他不会，是不是？所以他速度速度最小，他就可以，哎，等于零，明白吗？同一来我们看这个啊， 哎嘎，他会掉下来吗？他不会，是不是？所以他最小最小他也可以等于零，而这个绳子能吗？他不行，因为他会松弛吗？你慢了他不就松了吗？所以他速度最小，他就得等于根号之啊， 这不就记下来了吗？这四个模型是不是很简单，一下就记下来了？当然我们不能简单的去记哈，因为考试要是考这么简单，那就好了，但是我们要去理解它的理论，明白吗？这样的话你就可以做别的题了，那我们现在从理论上来解释一下哈。首先第一个 来，我们看一下这个绳和这种圆轨的，还记得吗？它恰好通过最高点，那个速度最小是多少来着？同学们，零还是根号 g r 呀？它是根号 g r， 是 不是啊？因为它会掉下来。那同学们，那我们怎么来的呢？为什么呢？对不对？我们说了，我们上一个视频就说了，零界的 速度啊，什么要求？那你就要达到零阶的受力，那我们是不是得受力分析？好，那咱受力分析哈，看这里，那它受到重力吧和拉力吧，那它的向前力就是谁呀？那就是这个拉力加上一个重力，对不对？然后等于什么呀？等于 m v 方比 乘 r， 明白吗？ ok， 好， 那我们现在这个速度要小，对不对？那干嘛呀？那这里面有一个力要小吗？谁能小？重力能小吗？那小不了，人重力就确定了，就 m g， 是 不是？ 所以只有这个拉力小，他一直小小小小，小到等于零的时候是不是就零件了呀？所以呢，这个时候就是一个零件，那我们就把这个零件啊，最小的这个速度求出来，那不就是 m g 等于什么呀？ mv 方比上 r， 所以 就说我们的 v 不 就等于什么呀，等于根号 g r 了呀，这不就把这个最小的速度，为什么是根号 g r， 咱们不就出来了吗？是不是？好，同学们，来，这个模型你也来一下，你看看他为什么零件也是根号 g r， 能不通过受力 受到重力，对不对？当然他对上面的轨会有一个压力，对不对？所以有一个压力，有一个支持力哈，所以它的相吸力是什么呢？是这个支持力加上 mg， 是 不是？然后等于什么呀？ mv 方比 r， 然后我这个速度要最小，同样的，那干嘛呀？这要一起要小吗？那只能支持力最小对不对？ 那它等于零是不是一个零件呀？所以呢，又是 mg 等于根号 g r， 这里面有一个非常关键的东西了哈，就是 v 等于根号 g r， 发现了没？他只受到什么力？只受到重力，这个真的是相当的关键哈，就是看到 v 等于根号 g r， 就 意味着他只受到重力，听明白了吗？那这个模型的所有内容咱们就讲完了， ok， 好， 然后我们现在再来看一下，这个模型也没有很难哈，来，先回忆一下吧，这个他恰好通过最高点的时候，他速度最小是多少来着？ 它是等于零的对不对？最高点是等于零哈，因为它不会掉下来嘛，对不对？ ok， 好， 老师再问哈，那如果 v 等于根号之啊，我们回忆一下，还记得吗？这个有什么特点意味着它只受到重力？只受到重力？好，现在老师又开始移 发问了哈，如果这个 v 大 于根号 g r， 同学们，就意味着什么？因为我们等于根号 g r 的 时候是 mg 等于什么呀？ mv 方比上 r 对 不对？现在你大了， 就意味着这个值是不是要整体偏大呀？那就说明你这个 mg 够不够？它不够了吧，因为你这个值偏大， 然后你这个是不够，那怎么办？那就是又有个力要去帮忙吧？那谁帮忙呢？那这时候你重力不够了，那他就会有一个支持力往下去帮忙，哎，帮助他。所以呢，这个时候，哎，我大于的话，就是 mg 还要多一个人帮忙，就是这个支持力，听明白了吗？那这个时候才能 mv 翻比啊，就成立了。所以这个时候我想问一下， 请问就比如说以这个双轨道来吧，请问他是对上面那个轨道有压力，还是对下面这个轨道有压力啊？那 很明显应该是对上面这个轨道有一个压力，对不对？所以它的支持力不就往下吗？是不是？所以呢？这个它就是对上轨哎，有一个 啊，弹力，明白了吗？好，同学们，如果 v 要是小于根号 g r 呢？就意味着什么呀？意味着这个值它就比较小，因为它等于根号 g r 的 时候是刚刚好相等嘛。 现在你这个 v 小 于了，所以这个值是不是偏小了呀？那偏小的话，这个 m 值是不是太多了？多了怎么办？那我就让一个力给它抵掉一部分，对不对？所以呢，我就另一个力去抵一部分。那这个时候同学呢，他是对下轨有利还是上轨有利？是不是？对下轨？因为要抵消一部分，对不对？ 所以呢？那他就是对我们的下轨，哎，有作用力，听明白了吗？ ok， 你 看是不是相当的简单 呀？同理，这个梗也是差不多的哈，梗也是一样的，如果你等于根号 g r， 意味着什么啊？意味着他只受到重力，也就是你对 这个梗，哎，没有力啊，没有力。如果你要是大于根号 g r 呢？就说明什么？说明你重力是不够的，那这个梗就得往下给他拔， 爬着不让他走，明白吗？啊？如果你这个 v 小 于根号加二呢？那就意味着你这个这个重力太大了，那就要往上拖着他一点，听明白了吗？所以感对他力就往上了。 ok， 那 这个模型的内容，哎，也差不多讲完了，我们还有最后一个关键点哈，就是我们的 v 如果刚刚好等于零， 它的受力有什么特点？这个考的也是比较多的哈，就等于零，速度等于零就意味着静止吧。静止就意味着什么呀？意味着平衡是不是平衡？什么意思？就受力平衡吗？那就意味着你的重力 和你这个支持力，哎，那他就是等大的反向的，明白吗？所以这个时候感对他的力就是往上的，而且跟重力是等大的，而这个时候呢，感是这个时候这个光滑的这个管道是对，这个小球是往上的力，对不对？要跟重力抵相吗？ ok， 那 轻绳和轻杆的一些主要的一些结论咱们就讲完了，是不是很简单呀？当然，如果没有听懂的话，也在评论区里面啊，留言哈，因为我说了 没有你听不懂的哈，如果你要是没懂，那就说明老师没讲彻底，谁说你不行就是他不行哈，咱们要自信一点，听明白了吗？啊？ ok， 精神和情感模型咱们就讲完了，记得点赞加关注，老师以后接着笑着陪你学物理哦！

好，我们这个视频呢，是接着上个圆桌运动，就是谁先滑动问题，然后进阶版的。就是我们这个题型呢，属于圆桌运动啊，同侧物体中间带着绳子的。 那核心考点呢？咱们一会讲一下啊。整体来说还行，也不太难，但有些东西你该记，你得背背啊，你要如果不背的情况下，很难理解中间什么意思。 好，第一个咱们通过上节课学习呢，就是说，呃，上个视频就是我们，嗯，知道角速度小的那个物体先滑动，你看，比如说我们如图所示，这个图就是 b 一定要先滑动，那我们讨论什么呢？就是绳子什么时候出现拉力， 哎，那一定什么时候呢？那就说我们列个式子，就一定是当这个 b 物体达到最大滑动摩擦力， 哎，我们可以接着把它解一下 o 我 们一个值呢，得勾一下 meu g 呢比二 b。 当我们这种题出的时候也是啊，同一个圆盘嘛，它的马赛克数应该都是一样的，那这个时候，当我们角度是它的时候，这个时候它的拉力就出现了， 对吧？绳子就开始有拉力了，那我们绳的拉力出现之后，他的受力分析呢？就全变了，首先绳子出现拉力，然后 b 想滑，但是滑不出去，因为 a 拽拽着他那种感觉，那当然他的受力分析是这样的，拉力 这个位置是个重点啊，就此时 b 已经达到滑动摩擦了，这个力就不能变了，也说未来，未来的永远永远的这个力都是这个。如果这个理解不上去，我建议背啊，因为我们探讨深了，没什么大意义， 对吧？由于啥呢？自控力，反自控力，这个时候我可以画下 a 的 受力分析。 a， 我 们说 a 没达到话筒最大，话筒 a 如果到的话，它不飞了吗？它绳子呢？只拉不推，它是这样的，那我们照照一个什么过程呢？叫中间阶段，它在中间阶段的时候就放大一点， 少到它在中间的时候呢？我们说 a 的 物体就静摩擦减去的 生的拉力得 m o m 个方 r a， 但此时这个我们给我加一次吧，这个我们跟之前值肯定不一样了吧，因为我发现 o m 值呢，会比 b 的 那个角度还要大，就 b 快 飞的时候那个角度要大一点，这是对 a 列的，对 b 呢？ 我们 b 这个式子就很有意思了，得 m o m o m 方 r b 这样的两个式子。 那发现啥呢？就是说这个值我们已经是个定值了，就是不用你再讨论了，我刚才已经讲了，未来都是定值，但是随着你这个角度在增大。上上个视频我已经说过了，我们下边可能有个手去转这个圆盘，这角度一增大呢，导致我拉力增大， 这个拉力也增大，但是你这个角度不在增大吗？对不对？我们是同一个角度，对不对？然后这个也增大呢？但是我这个静默，他呢，我们就得到一个结论，他要干嘛呢？他要长， 他就一直往上升，哎，这个很重要，那我们现在就是第最后一个阶段，当我没讲的时候，我们也知道吧， a 的 摩擦力增到什么时候为止呢？一定增到他滑为止，因为我说滑动摩擦力是他最大值的，你不能再增了吧，对不对？所以说这个中间阶段有什么用呢？ 就是在我平常做题时候，选项会这么设计，你就问你中间这个过程，你这个是一定要学的 啊，除非说我们下一个视频之后要讲的就是说，呃，一侧中间有绳子，那可能我讲一下那个知心，对吧？知心力举那个， 哎，那个可能说一下，但这个呢，我们真没必要，但是这个题呢，我们考频呢，还是挺高的。我建议啊，你这个中间阶段当个重点记一下，你反复推一推，我们严格方程数学思想推出来的，很有理有据，对吧？要不然我们都不知道怎么回事，是吧？ 这样呢，我们中间蹬过，咱们就这，哎，增生了，对吧？他到最后了吧，随着我们那个筋摩擦力一直增大，那 a 的 筋摩擦力一定是到达一个最大值了， 我再加上此时绳的拉力，但是这个拉力呢，肯定是比之前还要大呀，这个是一定你想的过程就可以啊，但是拉我我也加一次啊， m a o m a 直接加两次吧， r a 这平方 b 呢，就是拉力也是那个同一个拉力，重力反重力嘛，加上 m b g 等于 m b 欧明两方，然后 r p， 我 们最终的式子就是这个了。这个式子干嘛用的？ 我们是求出来一个东西，就是说我知道 b 想先飞，但是飞不了，然后我再算 a a 什么时候飞， a 如果一飞了，那 b 跟着又一起飞了，他们就一起飞出去了，对吧？那这个时候呢，我们知道一个结论叫一起飞的时候， 当我们一起飞的时候呢，我们可以简单把它放上解一下。嗯，是不是这写错了？对，两式相加即可吧，缪 m a g 加上缪 m b g 这一侧呢？ m a 后我们一个方二 a， 然后再加上什么呢？ m b 后我们一个方二 b， 我 们要解什么？是不是解这个我们一个值，对吧？我们把这个值算出来之后，就是啥呢？最终它们一起飞的那个角度了， 这个可以简单算一下啊，就是说，嗯，这样吧，把迷糊记提出来， m a 加 m b， 对 吧？这个位置定住，然后，呃，它的右侧呢？我们可以写成，嗯，把我名字提出来， 哎，大概这样吧，然后整理一下，稍等，就是没有记背的， m a 加 m b 等于啥呢？ m a r a 加上 m b r b。 当然咱们推这个式子是一般式啊，就是一般形态的，我们知道很多题头质量相等，但咱们推不相等的。这个时候呢，我们观察这个式子， 我们左右两端呢，同时除以 m a 加 m b， 这这个东西咱们高一板块学过吧？我，我就不说它是啥了，我把它名字告诉你，它是个加速组，对吧？这一侧呢，我们写出一个这个东西， r a 加上 m b 二 b 来，我再乘以 o m 一个方，这个式子我们是不是可以联想到我们刚学圆周的时候，对吧？这不配过的吗？ a 的 要 o m 一个方 啊呀，但这里面这个啊是不对应，就他的权重就跟这个一样，对吧？我们把他其实叫啥呢？就叫 至新的一个半径啊，至新半径位置，对吧？可能下个视频我有时间的话会讲一下那个预测的，预测的不 不推荐，像我们刚才讲这个模型一样，就是从头至尾我都推的明明白白的，因为那个题本身也超纲，我们针对高考来说，他也不会，不怎么会考他，但这个你是必须学会的，对吧？我们拿道例题说一下， 题干呢，简单读一读就可以了，它还是个模型，这个位置为 l， 这个位置还是个 l。 我 们干的事无非就这几个事。第一步，求出啥呢？什么时候有拉力，我直接写写了，当我们有得根号下谁先飞，说 b 想先飞， 然后 miu g 比成 b 的 半径二 l， 当这个角度对，我们知道有拉力，哎，这时候拉力出现了，那我们是不是还设计个中间过程？那中间过程对于 a 来说，是不是 f 径 减拉力等于 m a omega 方 i 那 个 omega 我 就不加了，一会加乱了。 b 呢？什么 t 加 mu， m g 等于 mb， 欧明方二 b， 这是个中间过程。第三个，最后那个结论呢？那我直接用最后那个，呃，我们那个解析式解了，就是说最好也是啊，如果说你想做这种题，速度快点，你把二的结论就得背背了 二 b， 然后乘以啥呢？欧明个方，那这个欧明个呢？我们说了，它是最终形态的，那咱们看下选项啊。第一项说，当欧明值大于这个数时， ab 转动，我们可以算一下这个值啊，用最后这个式的算这个就回过头自己算呢，一模一样的。对了，那就 a b 发生滑动了。第二项呢，当我们的值大于它的时候， 绳子一定有弹力，你看我们弹力什么时候出现的，是不是这个是出现了吧，但你偶遇，只要你大于它，是不是接下来是不都有，对吧？哪怕你飞那一瞬间我也都有，对吧？而且这时候告诉你绳子被断率，我们不要想那个说，哎，一起飞怎么办呢？ 这个离心运动了，对吧？那你看这个东西他也没问你，而且说我们说断裂之前的事吗？所以说我们 b 是 也是对的 c 项呢？如果我们刚听完这个东西，听懂之后说 b 所说的摩擦力变大，这是错的。当在于介于这个值跟这个值之间的时候，叫做 我们这个 b 的 摩擦，他就不变了，对吧？哪怕非得它都不变。第四个呢，当这个 m 值大于零，小于这个 a， 所得摩擦力一直增大，你看我们是从头开始，他从静摩擦一直增到他的滑动摩擦吧， 从镜一直中到滑。我们这个题呢，就是说你主要是在无限的回悟，这个推导过程，我们最好是能复述一遍，就是复写一遍，你这个题做就没事了。这里边我刚才我已经强调了，唯独一个恶心的东西呢，就是这个这个位置， 这个 b 的 摩擦力就不变了，这个你最好是背下来，这是最最有效，也是最这个性价比最高的。好，这个视频录到这里。

下面咱们看一下这个绳，轻绳轻杆在竖直平面内做圆周运动， 这个时候的分界，这是模型，这是绳子，像这边有一个速度，圆心，绳子长度二， 他就是这样运动的，在这个圆上有一个这个速度，其他地方也是切线匀着转， 这是绳的模型。那么在最高点，他如果想通过最高点的时候，他的受力是什么样的？咱分析一下。他做圆周运动的时候，他有一个向心力， 就是 m 二分之微方相近力，这是效果力，合力的效果力，那么看它的受力，在这这个物体， 咱可以看它在最高点的时候，在这它有一个本身的重力， 这是 mg 绳子呢，还给他一个向下的拉力， m n， 这个 m n 可以 有，可以没有。 如果到最高点的时候，这个切向的速度正好是重力，提供这个向心力的时候，那么这绳子就可以是没有力，他要画个图，就是这样的， 看一下，指示重力给这个速度维持这个向心力，那么把它俩写到一起呢？就是 mg 加上 fn， 这是和公式 这个云。如果这个物体能做圆周运动，它的最小的在上边的速度，那么就是绳子不受力最小吗？它得零 重力，提供向心力的时候，它可以围这个圆转。还有一种情况就是转到下方的时候，在这 它是什么呢？是不是就是上面这个速度二分之一 mv 方 加上 mg 上下是能没了二二 等于二分之一 mv 撇，这个 v 撇是它在下边的速度， v 撇的平方，他是在下边这个点的速度，再根据这个公式看一下他到底有多大，他如果超过了绳子的拉力的时候， 就是这个的平方，它的能量还是根据它算吗？把这个 v 撇方计算出来，根据这个公式把它算出来之后，往这反 算出一个结果是它相亲率就是在下方它所有的相亲率是多大， 绳子的拉力能不能承受的住？如果绳子断了，那么他就飞出去了，如果在绳子的拉力承受的范围之内，就相当于是啥？这个量跟他的关系， 他的势能变成动能，那部分动能跟他的拉力能不能承受住，能承受住就能圆周运动，不能承受住的时候就飞出去了，这是绳 上面的最小速度，下边球是最大速度，最大速度就看他这个绳拉力是多大，超不超范围，不超就能做运动。那么要说上面的最大速度能到多少， 他的最小速度是重力最大速度，咱能这么算吗？就是绳子的最大拉力加上他在这最大速度， 那么他转到下边的时候，是不是是能变成动能的时候，这绳子不就断了吗？求这块最大速度， 那么不是求他的最大，而是求下方的最大， 也就是在这块的最大速度，那么他就是这个公式，就是他求来的这个速度，那么就是下边的速度到上面的速度呢？同样就是 假设这个是 v 撇，最大的速度是它，那么就是二分之一 mv 撇的平方， 它得等于二分之一 mv 方，加上 mg 二二和还是它就是已知它了。求上面的速度，这样去求 有速度了，再看向前力，他肯定是这个绳子是受有一部分拉力，然后不是说他的，嗯， 也跟那也没关系，主要就是看这个绳子拉力跟拉力有关系了，在最高点这个绳子受不受拉力 跟这块的数据量得通过具体的数值去计算，不能说他不受拉力，也不能说他受拉力，得看他转上去的时候，那么赶上这种情况，正好是他就一个速度， 重力提供的速度到这下来的时候，他这个势能变化的量正好与这绳子拉力相等的时候，那么就是就是这个速度没变化。但是如果绳子拉力大 到下边，他这绳子拉力比这大的时候，到上面他可能就是受两个力底下最大，那么他就是 这个是在底下这块他的拉力是这样的，咱分析一下重力 f n 拉力，那么他提供向心力 是不是就是这样了？ f n 减去 m g 等于 m 二分之微方，这个时候这个求出来下边最大的 v， 然后 再用这个 v 再反过来再求上边的 v， 这个时候上边的 v， 他 就是整个这个的最大值，他是到底下，他是这公式了， 拉力减重力能提供向心力，但是这个拉力如果不够，不够大的时候，那么绳子会断，他就不能保证这个圆轴运动了，就是这个公式， 拉力与重力相等，那就飞出去了。向心力他俩的差值要提供这个在下边转的一个向心力， 这是两种情况，分析上边这个点，那么他就是两个力，两种情况，到下边的时候，这个点， 那么就是一种情况，拉力减重力，重力的方向肯定是向下的，这绳子肯定是要受力，所以说就这一种情况，分析底部的速度，分析上部速度，然后咱们再看一下这个杆， 这个杆是个硬杆，他是不变形的，没有弹性的。那么他的模型呢？咱就可以看成是这样的，两环 球是在环里边运动的，是这种模型。咱们看一下他的在上边分析下他的受力情况， 在这块他有一个重力，这是肯定要是有的，这是这样的，然后再看一下能有重力， 还有一个杆球到上面了，他压，压着他就相当于这个球压着他了， 这不是这，这不是球压他，这个是这个得是要是向下的话，得是外边这一层，外边这层给这小球才能给向下的力。 再看这种是重力 m g， 然后有一个向上的力，那么就是杆推着它向上推着它，这个时候咱们看一下它的那个像这种情况， 就是重力提供向前力， 这种情况呢就是重力加上 f n 乘以 m 二分之微方，它俩的和提供相近力，这个呢 就是重力与知识力合力方向相反， mg 减去一个 f n m 二分之微方，它来提供这个 向心力。那么这个时候咱分析上边的速度 k 是 多大， 如果只是重力提供向前力，那么这是他的速度，如果是全部向下，也就是这个环外边这个环向下压，他再加上一个重力，这个是两者夹合 提供这个速度，他这个力大，那么速度就大。这个呢，这是特殊的情况， 重力与这支持力方向相反，也都压到内环上了，在这个内环上给他一个向上的支持力，然后重力向下，这个时候呢，怎么看这速度大小？ 这个也就是在顶点的时候，速度变化的情况是什么样的？咱们看一下他做叉，如果说他俩相等， 他俩相等的时候小球会掉下来吗？ 重力向下的跟他这个杆的支持力，他俩相等，在顶上大小相等，方向相反，那就相当于核外力为零了， 他也都是等于零的时候，也就是让这个式子等于零，他等于零，那就速度为零，速度为零的时候，他在这能做到这一点， 这里边就是速度为零，可以在这成立他的速度，然后再速度再大，这个速度就是可以做到大于等于零， 最小速度上面最小速度，速度是零，最小速度是零，是能变成动能，下边的速度咱也就知道了。然后再分析它在下边的受力，咱们再看一下 还是在这重力是不是还得有一个杆的， 这时候就叫拉力，这是 mg 在 下边的时候，那么它就是 f n 减 mg 等于 m 二分之微方。 看看还有别的情况吗？就是重力向下，然后 在这块这个给他提供一个力，这个是重力，这是咱们写的这种情况。 然后咱们再看一下，如果说跟上面对比一下，我只受重力呢？没有压力的时候，只受一个向下力，是不是飞出去了，那么这上面还会给他一个力，所以说只受重力的这种情况不存在。再看一下 这是反向，那么里边这个环向下压他，然后还受一个重力，相当于两个力向下， 一个 mg， 一个 fn 都向下，那么谁给他提供向心力呢？没有向心力他也飞出去了，所以说在圆环里边这两种都是不成立的，他在下边的公式，运动的公式就是他， 这也就是杆在下边，他在上边有最小速度，在下边他也有最小速度，最小速度呢也就是他 可以求出这个力是多大来速度，下边的速度用动能势能转化，那么也也就出来了。 这里边咱们能看一下，就是分析顶点的速度的时候，顶点的最小速度是多少？重力提供向心力的时候是最小速度，那么也就是这个 最小，把它一削 v 就 等于根号 g。 二，这是省里边最小速度是它。 但在杆里边看一下杆，从这能上下力相等的时候，他能做到零，所以说他的速度是大于等于零的。 求极值的时候，要知道杆在顶端的速度最小可以为零，绳在顶端的最小速度是根号 g r。 重力提供向前力，杆是重力，等于这个杆的支持力，这五体在上，它的重力等于支持力相等，它可以速度为零，这就是轻绳与杆两个模型计算它的关系， 这是基本模型，就是它上面的速度。怎么算下边的速度呢？根据公式一导下来也就出来了。这里边就是设定到一个计算 f n 绳的最大拉力需要多大，他才能在这做圆轴运动，或绳的最小的拉力是多大，他能做圆轴运动，那么就根据这个公式算完，上边算下边求出它 这个就是绳的拉力，绳的这块就是算上下的拉力，杆的这块知道上面的速度为零。杆做题比绳的要简单一些。

大家好，今天我们来讲数值平面内的绳模型。圆周运动。绳模型最核心的特点，绳子只能提供拉力，不能提供支持力，弹力永远。圆绳指向圆心， 物体做圆周运动时，向心力由拉力和重力沿半径方向的合力共同提供。我们重点看最高点，在最高点，拉力向下，重力也向下，合力提供向心力。 t 加 mg 等于 m 乘以 v 方除以二， 速度越小，拉力越小。当拉力 t 等于零时，达到临界状态，只有重力提供向心力。 mg 等于 m 乘以 v 方除以二，约调质量 m 得到最高点，临界速度 v 零等于根号下 g 二 速度大于等于根号 g 二能完成完整圆周运动，速度小于根号 g 二到不了最高点，绳子会松弛， 出速度很小。物体在水平直径及以下来回摆动速度中等，能冲到水平直径上方，但拉力会减到零。绳子松弛，物体做静心抛体运动，不再做圆周运动。

好，这一题啊，这一题的难度不大，但是很好的去分析了我们绳模型的三个特殊位置的受力， 看哪三个呢？一个是最高点，我们最常用的一个点，那其次是最低点和等高，圆形等高，那这三个点好，那我分别去看一下，他在这个区域内做圆周运动，光滑 轨道啊，首先确定他是什么型啊，然后我们再去看，在整个过程中，这个外面的这个框他始终没有去动。好，那也 啊，那我看啊，当我在最高点的时候啊，最高点的时候啊，重力向下啊，那是不是重力和 支持力的合力提供向心力？好，那支持力啊，一定向下，所以最高点有速度要求，是不是啊？重力提供向心力 a 方 b 啊，这是个零件啊，那是不是？好，我再继续增大啊，是不是要有知识力提供了，所以就是 t 加 m g 等于 mv 方 b 啊，那这个 t 呢，是向下的，所以 a 给这个框的是向上的 好，所以 a 点的时候好，整个大 m 这个框受到一个向上的一个 力，也就是 a 给他的。好，那我分析 m 的 时候，那只有向上的一力，没有左右，没有左右，所以 a 点的时候他 不受地面摩擦力啊，但是他的支持力呢？啊，可啊，会干嘛？地面给 m 的 支持力啊，一定是 小于等于大 mg 的， 那为什么？因为 a 啊，这个物块会，会，这个物块会在 a 点时给他一个向上的一个支持力 好，这是 a 点好，然后是 c 点好， c 点是好，重力向下，那一定是啊，它做圆周运动也需要向上的向心力，所以一定是 tc 减 mg 来提供我们的向心力。好， tc 减 mg， 那 说明啊，它 这个物块会给 m 一个向下的 t 啊，向下的 t， 而且这个 t 呢，这个压力呢，一定会比小 m 的 重力要大好，所以，哎，地面给 大 m 的 支持力要大于等于大 m 加小 m 乘以 g 啊，这个时候也没有摩擦力啊，因为 a 这个物块给这个 框的啊，轨道的力是向下的，那没有左右啊，没有左右，所以 a， c 点是没有摩擦力的啊，我找到 a， c 点是没有摩擦力的好，就是 b， d 好，我们看能分析 b 就 可以了，分析 d 是 一样的啊， b 这个位置好，首先能提供向心力的重力是不可能的，所以只有支持力提供向心力 啊，只有支持力提供向心力，所以啊，筐啊，轨道对物块的力朝 指向圆心就是朝右啊，那框给啊，这个物块给框的朝左，那要想它左右平衡只能给它朝右的，那只能给它朝右的，这两个方向判断的是没有问题的。那我就需要看这个支持力好，那是不是 物块给筐的力只有水平方向，没有数值方向，那说明这个啊，轨道他数值方向平衡就是啊， b 啊， c 位置支持力啊，就等于 圆这个轨道的重力就可以了啊，不需要其他的力了啊，所以答案选 b， 答案选 b。 这一题难度不是很大，但是需要你去对我们神魔型的特殊点的受力，那比较清楚。

来，同学们，今天呢，咱们看一下有关圆周加弹簧的一个综合计算问题，来共同读一读。说如图，一根圆长 v l 的 轻弹簧套在了光滑纸杆 ab 上， 其下端固定在杆的 a 端，质量为 m 的 小球也套在这个杆上，且与弹簧怎样？上端是相连的，那么小球和杆一起绕经过杆 a 端的一个数值轴啊， o 撇，怎样匀速转动啊，让它匀速转动， 那么且杆与水平面之间的夹角啊，始终保持 c， 它等于三十七度角， 那么已知杆处于静止状态时，弹簧的长度为多少？零点五 l， 那 么重力加速度啊，大小为 g 等等，让你去求第一问来看啊，他说弹簧的进度系数 k 啊，是多少？ 那好，要求弹簧的进度系数，咱们要根据那个胡克定律了是吧，也就是要解决这个 k， 弹簧的弹力哎，等于什么呀？ k 乘以得 x 对不对？要想求这个 k 呢，我得知道 f， 得，知道什么呀？嘚瑟 f， f 呢，也就是弹簧给的弹力是不是？这里边嘚瑟 s 是 好看的，也就是怎样原长减去现在的长度是不是零点五 l 啊，这就是型变量对吧？ 那弹力 f 呢？来，咱们给这小球进行受力分析了是吧？小球呢，受到有什么呀？重力啊，还受到这个弹簧给的一个什么呀？弹力 f 对 吧？沿这个杆方向的啊，还有就是垂直一个杆的一个什么呀，哎，支持力， 对吧？这三个力让这小球在这保持静止，那好，我把这个知识力给他，怎样？哎，反向给他移下来啊，再把这个弹力 f 呢？哎，给他移到这来，对吧？哎，好，这也就是咱们所要求的那个弹力 f， 对 不对？ 来，咱们观察，这个角是三十七度角，那这个角呢？对吧？上面这个角就是三十七度角，三十七度的啊，角的对边是求的咱们这个 f， 是 吧？斜边是 mg， ok， 利用咱们的一个三角函数就可以求解了，是吧？那 f 也就等于 mg 乘以三三十七度， 对吧？那 f 也有了，但是 s 也有了，他俩怎样一除，也就是这个 k 了，对吧？啊，好，一连立，咱们 k 就 怎样得出来了， k 就 等于六 m， j 比上五零啊，自己可以算一算，看看是不是这答案。好， ok， 那继续第二问，他说弹簧为圆长的时候啊，小球的一个角速度，欧米个零是多大，然后有角速度了，是不是？哎，这小球运动起来了，运动起来了，弹簧就会怎样伸长了，对不对？弹簧伸长了，比如说伸长到这了，好吧？啊，好啊，圆长了， 弹簧拿到圆长了以后呢，对它的弹力就为零了，对不对？小球此时受到的有什么呀？重力， mg， 还有就是这个杆给的什么呀？支持力，对不对啊？哎，就剩下这两个力了，那这两个力的合力啊，也就是向心力了，那求出来向心力，咱们就可以求解这个欧米哥零了，对不对？好，我把这个支持力给它，怎样？哎， 挪到下面来，根据咱们的矢量三角形，对吧？那这俩力的合力啊，也就向心力是不是水平方向的呀，对吧？哎，所以这个力就是怎样向心力了。 那好，还是这个角度是多少？三十七度角啊，相当于三十七度角的多少？对边啊，是这个相心力，咱们求解就好了，根据咱们的三角函数啊，也就是相心力 就等于什么呢？ m j 乘以摊推三十七度， ok， 相心力知道了，它就等于什么呀？等于 m 乘以 欧米伽的平方，欧米伽零的平方再乘以 r， r 也就是运动的半径，是不是？那这个半径找一找啊，也就是这个长度，对不对啊？好，那这长度 r 是 半径的，是吧？ 那此时这一块的长度咱们知道了，此时正好是弹簧的原长 l 啊，那这个角度呢，也是三十七度角，那么求 r 啊，也就是 l 乘以 cos 三十七度， 对不对啊？好，所以根据这个式子，咱们就可以求解这个欧米个零了，对不对？那欧米零哎，求解出来是等于多少呢？四分之一倍的根号下十五 g 啊，比上 l， 那 自己可以算一算，看看是不是这个答案，好吧，好， ok， 咱们第二问，就给他怎样求解完了 来再看第三问，他说，杆的角速度欧米伽等于多少？四分之五 g 的 根号下 g 二十啊，那么弹簧的一个长度 l 撇是多少？你发现这个欧米伽是大于咱们求出来这个欧米伽零的， 这能看来吗？它是等于多少？你给它乘进去是等于十五 g 比上十六 l， 这个呢，是二十五 g 比上十六 l 是 吧？一对比，这 omega 是 大于这个什么呀？ omega 零的，说明你的角速度增加了，那肯定弹簧要怎样伸长了，对不对？哎，伸长了，来，继续啊，咱们往下看， 说明小球怎样向上运动了，对不对？哎，圆长的时候，比如说在这，你往上运动了，肯定怎样把弹簧给它拉长了，对吧？ x， 那么最终呢，咱们要求这个弹簧的长度 l 撇，也就相当于你的伸长量 x， 再加上这个什么呀，圆长 l 就是 最终的一个长度 l 撇。好，咱们其实就解决 x 就 行了，对吧？那 ok， 咱们给这个小球呢进行受力分析，受到有向下的重力， 还有就是弹簧给它弹力了，是吧？此时弹簧伸长，肯定给它弹力，就是怎样。哎，向下的了，这个弹力正好是等于根据胡克定律，也就是 k 乘以这个伸长量 x， 对 不对？那还收到一个力，也就是怎样？支持力， 咱们 f 值，好吧，这三个力，那咱们给它分解成什么呀？水平方向和数值方向来去研究问题。 那么在数值方向，好吧，数值方向也就是支持力在数值方的分力啊，这个角呢，正好也是三十七度角，对不对？就是 f 之乘以啊，扣三 三十七度。哎，数值向上的一个分力，它等于什么呢？等于向下的力，有一个 m j， 再加上这个弹力啊，数值向下的一个分力，对吧？哎，加上 k x 乘以多少呢？你看这个角度是多少？是三十七度角，相当于 k x 乘以 sin 三十七度， 对吧？好，那么水平方向上呢？水平方向上，那知识力在水平方向的分力，也就是 f 之，这次是不是成了多少了？ sin 三十七度了，对不对？哎，刚刚是 cos 是 吧？ 那再加上啊，这个 k x 在 水平方向的分力啊，就是 k x 乘以 cos 三十七度， 那他俩也就是提供了什么呀？相心力了，对不对啊？好，那么相心力是等于多少呢？哎，是等于 m omega 的 平方，再乘以半径 r， 这个 omega 呢？就是这个值，后续给他带进来，对不对？ 那这个半径 r 是 多少呢？在这了，对吧？他运动的半径 r 啊，咱们知道了，这个长度是多少啊？ 是啊，圆长再加上伸长量 x 对 不对？那这个角度呢？是三十七度，正好是这个长度，再乘以啊，扣三三十七度。哎，这个整体也就是什么呀？半径 r 了，对不对？根据哎这几个式子，咱们可以把 x 给它怎样？求解出来 x 是 等于多少？二 l？ 那自己亲自算一算，看看是不是这个值。好吧，那么 l 撇就等于你的身长量是二 l， 再加上这个圆长 l 是 不是就是多少？三 l？ 好， 整题咱们就讲完了，自己呢整理归纳下课。