池州一模数学解析几何

快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是安徽 c 二零联盟一模数学的几何压轴大题， 题目给了我们一个等腰直角三角形 a、 b、 c、 d 点在 b、 a 延长线上， e 点在 b、 c 边上，并且 d 一 和 d、 c 是 相等的，所以这个三角形是一个等腰三角形，然后再做 e、 g 垂直 ab， 他的题干就是这么的简洁。不知道大家读完题目之后有什么感想啊？反正我的感想就是，这道题他延续了安徽省前两年中考几何压轴题的特点，一是难度不大，二是不需要辅助线。 好，我们先来看第一小问，他让我们证明 e、 g 和 a、 d 是 相等的，那要证线段相等。我们的第一想法是不是去找全等三角形啊？ 可以看到 e、 g 在 直角三角形第一极中，而 a、 d 也在一个直角三角形中，并且这两个直角三角形的斜边还是相等的，所以说我们要么再找一组相等边， 或是再找一组相等角，要是根据题目条件来看的话，显然是不是倒角要方便一些啊。 可以看到角 e、 d、 g 是 等于 r 法减四十五度的，而这个角 d、 c、 a 它也等于 r 法减四十五度，所以角 e、 d、 g 和角 d、 c、 a 是 相等的，那现在全等条件就够了吧，所以说 e、 g 和 a、 d 确实是相等的。 好，再来看第二小问，题目说若 a、 f 和 c、 f 的 长度都是二，然后让我们求 cd 的 长度， 这答案是不是都写在脸上了呀？因为很显然三角形 a、 d、 f 和三角形 a、 c、 d 是 相似的，所以 af 比 ad 等于 ad 比 ac， 这样 ad 的 长度就出来了，然后再用勾股定律就能把 c、 d 的 长度算出来了。 好，我们再来看最后一小问题目说若 a d 比 a， b 等于 c， 一 比 b 一 等于 k， 然后让我们把 k 的 值求出来。 就这个问题，怎么说呢？如果你还需要加辅助线的话，那说明你的反应还不够快。因为第一问我们已经证明了 e g 和 a d 是 相等的，又因为三角形 b g 是 等腰直角三角形，所以 b g 和 e g 也是相等的。 那也就是说啊， b 七比 ab 也等于 k， 然后再根据平行线分线段成比例， a 七比 b 七等于 c， 一 比 b 一 等于 k。 发现问题了没有？这个时候 a 七比 b 七等于 b 七比 ab 等于 k。 那 看到这个东西，不知道你们有没有想到黄金分割比啊？ 去年广东中考是不是刚考过啦？所以说这个 k 它是等于二分之根五减一的，你学会了吗？

欢迎同学们来到这节课，今天我们介绍二零二六异模解析几何的综合空间内容。这节课主要围绕抛物线与椭圆两大核心展开，题目均来自异模真题。 本次的考点和方式非常明确，重点集中在三个方面，一是向量垂直的证明，二是定点存在性的探索。三是三角形及四边形面积的最大值与最小值求解， 这是解析几何大题的经典攻坚方向，适合一轮复习后期的综合训练咱们直接开始，我们先看第五题，这是典型的抛物线压轴题。 第一问是基础核心考察的是向量垂直的分析。题目给出过点 p， 做直线与抛物线交于 ab 两点，要证明 o a 与 ob 垂直。 这里的关键思路是设直线连力，利用维大定律算出坐标关系，再通过向量数量积为零来证明垂直。同时，第二问的核心突破口 在于角平分线定律的运用，题目给的线段比例条件等价于 t， p 是 角 a t b 的 角平分线， 这是快速锁定定点位置的关键一步。我们要解决面积最小值的问题，这一步的核心点在于必须先把 t 点求出来，只有通过几何性质转化确定了定点 t 的 坐标，我们才能后续带入面积公式。接下来用斜长公式求 a、 b， 再求点 t 到直线的距离，最后代入面积公式。通过分析这个关于斜率的函数，我们发现当直线斜率为零时，面积取到最小值八。 这部预算量较大，大家暂停视频，自己再核度一遍。接下来看第六题，这是椭圆综合题。第一问求轨迹方程， 这一问属于难题类型。核心解法是利用椭圆的几何法，题目背景是动圆与定圆内切同时过对称点，我们需要把这些几何的内切和过点条件转化为距离关系， 会发现圆心 p 的 轨迹满足椭圆的定义，所以直接利用椭圆参数就能写出它的轨迹方程。这种几何法的思路是解决轨迹问题的核心引导方向。 现在看第六题第二问的第一小问。求定点这一面我们主要通过韦达定律来处理。介绍非对称根的解法，设直线方程连力椭圆，利用韦达定律处理出坐标关系，核心是把斜率倍数的条件转化为代数等式。 这里要特别注意，这种题目运算量非常大，是这类题目的典型特征，同学们在答题时要细心注意运算的每一个步骤。我们继续看定点问题的优化解法这一面介绍的是其次化的方式，这是求定点模型的一个高效技巧， 用其次化的方法去处理，能有效降低相应的运算量，大幅减少计算错误和时间。通过其次化转化，我们能更简洁的求出直线所过的定点，这是解析几何大题中 能大幅提升解析效率的核心技巧。最后，求面积最大值，这一步主要利用维他定律去分析面积的变化过程。这里有个关键问题要注意， 如果在第二题第一小问已经用过其次话，那么我们在处理面积时，还需要再用一次维达定律来生成新的坐标关系。把四边形拆成两个三角形， 利用维达定律结果把面积表达式转化为单变量函数，再通过换元转化为二次函数。求最值，最终求得面积的最大值是三分之八。从几何图形到函数最值，这就是解析几何面积问题的完整闭环。

高三一模已经结束了，咱们今天主要说一下这个大体的前三个，如果咱们这次考试大体的前三个出错，那就说明咱们根本就没有做过近几年的高考原题。 咱们第一个三角函数来说，那个题不是太难，你需要画图，那个咱们经常来说，也经常爱画图，那个题咱们在高考整体里面没有找到原题，但是画图体相似的图非常多， 咱们今天主要说第二个、第三个，如果你第二个立体几何没写出来，那就说明你连二零二四年全国二卷那个题，咱们高考整体那个题你根本就没做。 那个题他俩的思路是一样，只是这个题的第一位变成了平行，那个题的第一位变成了还是证明垂直，而这个题第二位告诉你的 p b 等于根号六，而那个题告诉的 p c 等于 二倍几根号几。你可以看一下，他俩的思路是一模一样的，都是需要证明个三垂直，都是需要用勾股定律在证明那两条线垂直，而勾就做成了三垂直，去间隙， 知道吧？所以说你这个题没写出来，那就说明什么？咱们那个题就没写过，然后有十七题，有十七题。好多孩子说，老师，这个题我就没学过呀，这个打乒乓球，他这是打球，我就没学过呀。 你这个题如果你没没有做过，那就没有见过，就说明你干嘛呢？你二零二一九年那个全国二卷新高考题你也没有做过，那个题是打什么呢？也是一个乒乓球，那个是，他是一个打成十比十。什么你可以看一下，你可以看上面的题， 这两个题几乎如出一辙，这个题的就是第一位，比那个题的第一位稍微难一点，那个球是打，那个题是打了四个球，而这个题是打了六个球，也是画四，那个题是画四个圈，你这个题是画六个圈，你只要那个题会研究，稍微简单点，那这个题咱们也就会研究了。 虽然什么意思？我一直强调大家平时做题的时候要以高考真题， 如果咱们这次考试这三个大题没有写全对，你记住问题，那就说明什么意思呢？咱们最最基本的高考题都没做对，那我问你，那你说咱们今年高考考场怎么办呢？ 所以说咱们还有这两个月的时间下去，努力的把高考真题一个一个挨着挨着去做，不要有任何偷懒，不要有任何偷奸耍滑的机会。说是，哎呀，我这个题看着会了会了，不要这么去想，所以说你现在一定要请我高考真题为主， 一定要去教教你，你放一万个心，你只要能把近几年的高考整体做做对，会分析，我告诉你近几年的高考数学肯定不会差。

同学们好，我们来看一下安徽省刚考的啊，百校联营一模数学的几何压轴题。 这一题的难度不大啊！难度不大，第一小题和第二小题，这个八分是送一分，这个最后一小问啊，最后一小问主要是考察到 同学们的一个画图作图能力啊。那我们来具体的看一下题目。 a、 b 等于 a、 c 角 b， a、 c 等于九十度 点 d 是 b、 c 延长线，然后一点连接 a、 d， 将线段 a、 d 绕点 a 逆时针旋转九十度得到线段 a、 e， 所以 角 e、 a、 d 是 九十度，这个角 b、 a、 c 也是九十度。那么这是一个手拉手模型， 判断 b、 d 与 c、 e 的 数量关系和位置关系，数量关系是相等，位置关系是垂直。 那么第一小题我们只需要证明一组全等这个分儿就可以拿到了。三角形 b、 a、 d 全等于三角形 c、 a、 e。 为什么呢？因为 b、 a 等于 c a， b、 a 等于 c a 角 b、 a、 d 等于角 c、 a、 e、 a、 e 就 等于 a d s a、 s 可以 证明全等，所以数量关系是相等，位置关系是垂直。这里面有一个八字形， 这个啊，我标红的这一个是八字形。由全等我们可以证出角一等于角二，全等的话，角一等于角二。 那么又因为角 e、 a、 d 是 九十度，所以你可以很轻松的得出角 e、 c、 d 是 九十度啊，角 e、 c、 d 是 九十度，那所以 e、 c 和 b、 d 是 垂直的。那么第一小题 的思路啊，就是这样，正全等，然后找八字形。好，我们看第二小题，延长 b、 a 交 e、 c 于点 f 连接 b、 e、 g 点是中点， g 点是中点。若 哦，当 ab 等于 ac 等于二， g、 f 垂直 g、 e 的 时候，如果这里是垂直， 让我们求线段 g、 f 的 长度，那你要这样想一下，第一小题没有无缘无故的第一小题啊，第一小题角 bce 是 等于九十度，角 bce 等于九十度。 哎，那这个时候我们就能得到中位线啊，哪一个是中位线？ g、 f 是 三角形 e、 b、 c 的 中位线啊，平行且等于二分之一 b、 c， 所以 第二小题我们把 b、 c 的 长度求出来就可以了。 ab 等于 ac 等于二，所以这个 bc 勾股定律，二倍的根号二， 那么 g、 f 就 等于二分之一乘二倍的根号二等于根号二。那么第二小题我们就解答完成了，到这里的话，我们就能拿到八分了啊，很轻松啊！ 好，我们来看最后一小题，在做最后一小题的时候，我希望大家能记得你第一小题用到了中位线啊， 所以我们像几何压轴下一问的思路，你要想一想上一问是怎么做的？好，带着这一个我们来读题过点 c 做 c、 h 平行 ab， 若三角形 a、 p、 f 与三角形 a、 c、 h 全等，求 c、 h 比 c、 d 的 值。好，我们来分析一下， 平行，那么角 c、 h、 d 角 c、 h、 d 啊，角 a、 c、 h， 角 a c、 h 等于角 b a、 c 是 等于九十度的，然后这个角 b、 c、 f 是 九十度，所以角 b、 f、 c 等于角 c、 b、 f 是 四十五度啊，角 c、 b、 f 是 等于四十五度的，这个是能证出来的啊。很简单，因为 a、 b 等于 a、 c 三角形 a、 b、 c 等腰直角三角形，所以我们可以得到角 b、 f、 c 也是等于九十度啊，也是等于四十五度， 那么等角对等边三角形 b、 c、 f 是 等腰三角形，是一个等腰直角三角形， 然后三线合一可以得到 a 是 b、 f 终点， a 是 b、 f 的 终点，又有一个终点，结合题干中告诉我们， g 点也是终点， g 点和 a 点也是终点啊。 而我们上一题用到了中位线，那么这一题需不需要用中位线呢？ g、 a 也是中位线呀， g、 a 是 三角形， b、 f、 e 的 中位线。好，我们写在这里啊， g、 a 是 三角形， b、 f、 e 的 中位线。 好，继续来思考这个题干中的这个条件，这两个变形题全等，我们还没有用上啊！其实这一小题很多同学没做出来，他认为这个 a p 是 等于 a c 的， a p 和 a c 是 对应边，是这样的吗？ 肯定不是啊，因为这一题给你的是文字型全等，文字型全等，他没有给你这个全等符号，所以 ap 和 ac 他 不是对应边。而我们刚才分析的是三角形 a、 c、 h 这个角 a、 c、 h 是 等于九十度的， 然后 ac 是 等于 af 的， 所以 ac 与 af 才应该是对应边， ac 与 af 是 对应边，那么我们就可以得到角 afp 应该等于九十度，这是一个重要的条件，角 af、 p 等于九十度，所以这一题的难点就出来了，它这个角给的很明显不是九十度。那这一题就考察到同学们的作图能力了啊，你要把这个图形给它画出来。好，那我们来画一下。 所以这个时候 g 点应该在这里啊，这里是直角，所以 p 点， p 点就要在这边了。 好，然后这个中位线啊，中位线我们也给它连上。现在中位线有什么用，我们可能还不知道。好，再来分析一下啊， a、 f、 p 与三角形 a、 c、 h 全等，那么我们就有对应边相等， a、 c 等于 角， f， a、 e 全等。三角形对应角相等， 然后还有一个 a、 d 绕点 a 旋转，所以它等于 a e 这个 s a、 s 又可以得到一组新的全等三角形。 三角形 a、 c、 d 全等于三角形 a、 f、 e 这两个三角形全等，那么我们就得到这两个三角形全等，然后啊， a p 等于 a h， a p 等于 a h， 所以 这个 pe， pe 和 h d 是 相等的，对吧？同时减去 a p 和 a h 嘛。 好，那所以 a p 与 pe 的 比值，也就是等于 a、 h 与 h d 的 比值喽，对吧？因为你根据这两个 c 形全等，那我们就可以得到这一个好用黑色的笔写啊， a p 与 pe 的 比值， a p 与 pe 的 比值等于这个 a、 p 的 对应边，我们可以替换成 a h， pe， 我 们就替换成 h， d 等于多少呢？这个时候中位线我们就用上了啊， a g 平行且等于二分之一 ef， 所以 a g 比 ef 等于一比二，所以 ap 与 pe 的 比也是一比二， 那么 a h 与 h d 的 比自然也是一比二。如果说 a h 我 们设成 t， 那 么 d h 就 可以用二 t 来表示 啊，是 a h 等于 t， 所以 这个 d h 就 等于二 t， 那 这个时候 d h 比上 d a 就 等于二比三了。 结合题目中的 c h 平行 b a 这个蓝色的小三角形和这个大三角形一个 a 字形相似啊，三角形 d， h， c 相似于三角形 d， a、 b 相似于三角形 d， a、 b。 好， 让我们求 c、 h 与 c、 d 的 比值，那么我们来设一个数吧啊，我们设 ab 等于一，那么 ac 也是等于一， bc 就 等于根号二， 这个时候 c h 就 能求出来了，对吧？ c h 就 能求出来了，我们来求一下 c h 啊， 这个时候 c h 比 ab， 对 吧？这两个三角形相似啊，这个 a 字形相似。 k 是 等于二比三的，所以 c h 比 ab 就 等于二比三， 那么 c、 h 就 可以求出来了， c h 就 等于三分之二。乘 ab、 ab 的 长度我们设为一，所以 c、 h 是 三分之二，下面再把 c、 d 求出来。 c、 d 怎么样求呢？ c、 d 比 b d， c d 比 b d， c d 比 b、 d 是 等于二比三的，我们 c、 d 用 m 来表示啊，所以 c、 d 用 m 来表示，那么 b、 d 的 话就是 m 加根号二， 它们的比值也是等于二比三。交叉相乘二， m 加二倍的根号二等于三 m， 所以 m 等于二倍的根号二， 那 cd 的 长度就知道了，所以 cd 是 等于二倍的根号二的。那么第三道题我们到这里的话就可以解出来了。 c h 等于三分之二， cd 等于二倍的根号二，所以 c h、 c h 是 比上 c、 d 就 等于 c h 是 二分之三，然后比上二倍的根号二乘二倍根号二分之一，约分二和二消掉等于三倍的根号二分之一。分布有理化， 同时乘根二，六分之根号二，所以最后一小题的答案是六分之根号二。好，这道题就讲解到这里，再见。

来讲这个几何压轴的最后一问，考的是相当经典啊，一定要听。 最后一问，考的是什么呢？ a 相似于 b 相似于 c 的 绝佳考法，带你去感受一下。 首先题目说这个边比这个边等于，这个边比这个边等于 k， 也就是他比他等于他比他等于 k， 他 想在跟你表达什么？ 想跟你表达分线段成比例。所以连接 c e 会得到平行 a 字，没问题吧？我们连接 c e， 也就是说把这个条件就转化成了，现在我已经知道这是平行的，这是个平行 a 字，这条件并不是结果，能理解，不就是说我们要通过这个条件继续往下推，能推出什么呢？ 首先这些角你得知道这是不是角一，如果这是角一的话，这垂直是不是这垂直？这是等下直角，所以这是角二。角二，那么这个角会是几？ 不知道是不是。那么这个角呢？跟这个角是不是相等的？因为是等于二，这是等于二，所以这个角跟这个角是相等的。这个角利用外角是角一加角二，那么这个角是不是也就是角一加角二？你现在已经有角二了，所以剩下那个人就是角一， 没有问题。同理，由于是平行，我把这个角就就就角三，那这大角也是角三，那这个角由于是平行，所以它是不是也角三？ 那么至此就把各个角给它导出来了。导角用的是外角转化、怠速转角这些方法。 好，那么这个条件是不是在说平行 a 字，所以它考的是这么多字母？呃，相似啊。关于平行 a 字，我可以得到 c d 比上 a c， 就 这个人可以得到，等到 b e 等于 a e， 那么还可以得到什么呢？我们利用这个平行的条件，我可以发现这个三角形是不是跟这个三角形相似，一左一右，你可以说它是对称相似，也是 ok 的， 无所谓。 利用对称相似，我就发现问题了， c d 比 a c 吧，和 b e 比 a e， b e 比上 a e， 不 就等于这个边比这个边没问题，所以就等于 b f 比上 a c， 然后我发现这个分母都是 a c， 所以 通过题干的平行得出来的第一个重要结论就是， c d 等于 b f， c d 等于 b f， 至此，题目就其实已经做出来了。 为什么呢？因为这地方还有一个字母想设，我现在得到边相等了吧，边都不知道，所以要设了。我是不是可以把 c d 设为 t， 那 么 b f 是 不是也就是 t bc 这个总槽不知道。我设为一，那么 c f 是 不是就是一减 t？ 而在这样一个三角形中，是不是有个子母相似，公共角尖角相等，所以字母相似，立即退，退出。嗯，你可以写字母啊，立即退出。 t 方应该等于一，减去 t 乘以一， 也就得出了 t 方加 t 减一等于零，所以 t 等于二分之根号减一。结束。 就你要冷静的分析，你要清楚哪个是题目给你的条件，哪个是你自己推出来的条件，你要通过题目给你的条件去推，推理出重要的条件，其实就这一步，关键 ok。 然后大家还说到那个什么圆，对吧？嗯，那个圆呢？最好不要用答案的方法，不要用答案的方法，哪有那么多辅子线， 你再复杂的题也就一条辅子线，还是那句话，辅子线最多就一条，不要给我扯那么多。 ok， 下个视频再讲。

ok， hello， 各位同学们大家好，我是合肥奶爸，接下来呢，我们一起来看一下二零二六年蜀山一魔的这道几何压轴题。呃，首先我说一下我对于这道题目的一个评价啊，一般 啊一般，为什么呢？因为在中考当中不可能考这种模型化过于明显的题目，那这道题的一二两问可以说是考的就是，呃，直接对于模型进行考察了啊，叫什么模型呢？有的学校老师把它叫背靠背模式，有的老师把它叫脚拉脚模型啊，实际上呢，就是一组反旋转 啊。什么叫反旋转啊？你看这个题啊，他说这两个直角三角形对不对？这两个直角三角形的话呢，两个 这个有一个直角啊，有一个直角，然后另外有个角相等，有个小角相等，有个小角相等，那我们其实很容易能得到这两个三角形肯定相似的呗，对不对？但是你看啊，他不是旋转，他 绕着 a 的， 他不是旋转，他是有一点对称在旋转，对不对？我们就把它叫反旋转啊，那这种其实就是很经典的叫脚拉脚或者叫背靠背啊，这种模型每个老师的名名字不一样啊，都是一些乱七八糟的名字，但是本质上都是一样的啊。来，然后的话，第二个条件就是三个中点， f， g， h 三个中点好第一空啊，求证。 a d g 相似于 a e h， a d g 相似于 a e h 啊，那就简简单单，为什么呢？因为我这是 r f， 对 吧？你这是直角三角形的中点，那是不是想到斜中线哎，根据斜中线的话呢，这两个就相等， 哎，这两个相等对不对？那这是 r f 啊，这里面也是一样啊，斜中线这两个相等，所以的话呢，这也是 r f， 那 这两个这就是 r f 对不对？好，那这一组角相等呢？另外一组角也简单，哎，这个角是不是九十度减 r 法，对不对？互余嘛？然后这个角呢？哎，跟这个角，呃， e a h 是 不也相等？它也是九十度减 r 法，所以的话呢，我们都可以通过 a a， 首先这两个角都是九十度减 r 法 啊， d a b 和 e a c 都是九十度减 r 法。首先第二个角的话呢，这两个角都是 r r 法，然后的话呢，我们 a a 就 可以得到这个相似啊，非常简单，大家考试的时候过程完整一下就可以了。 这第一题，第二题啊，求证，这个 d f 等于 e f， 呃，讲句实话啊，你对于这个模型熟悉的话，你就跟背一样，就把这过程写出来啊，你要对于模型不熟悉，我就按条件给大家分析啊。这个题目我们应该考虑什么？证明边相等，是不是应该想全等， 对不对？那目前没有全等，那我们就要干嘛？那我们是不是就得构造全等，而怎么构造？这个题目中是不是应该想终点的辅助线对不对？那一个终点 你想什么？斜中线想什么？背长中线，这里有多个中点了，那我是不是应该想中位线对不对？又要构造全等，所以的话呢，哎，我们的辅助线也就呼之欲出了啊，那我们就连接什么呢？连接这里的 g h 和 f h 啊，连接 g h 之后你能看到吗？哎，我这个 g h 在 这个三角形 a b c 当中能看到吗？呢？ 是不是中卫线啊？ f h 在 这个三角形 abc 当中呢，是不是中卫线啊？呃，讲句实话，就是模型啊，没，没有别的东西啊，你要是不知道这个模型，你还这个题还有点意思啊，还能想一想，要知道模型，像我写这个题，我就把它背下来了。遇到我初二的同学都遇到过很多次了啊，我要证明这两个变相的， 那证明这两个群的时候就可以了啊，证明这两个群的就可以了。那怎么证呢？也就是说来看好了啊。呃，一个个推。 首先你把辅助线一连来，用一次中位线 g f 来，因为是 a c 的 中位线对不对？所以它是不是应该等于 a c 的 一半啊，是不是应该等于 a c 的 一半？ a， 也就 a h， 而 a h 在 这个里面，斜中线是不应该等于 a e h， 所以呢，也就得到啊，得到这条边和这条边是不相等， 来看一下啊。那首先中位线导到这来，再利用斜中线导到这来，对吧？也就得到什么？得到 g h 啊，和这里的 e h 相等啊，和这里的 e h 相等，对吧？这是第一个啊，这第一个，第二个。再看 f h f h， 那 中位线是不是等于 ab 的 一半，等于 ab 的 一半，也就等于 g a， 然后 g a 又等于谁？又等于 d g， 对 不对啊？所以你已经有两条边了，一条边是这个，还有一条边是这个，对不对？然后我是不是应该想个夹角， s a s 吗？那夹角怎么想？首先我们通过这两个边的夹角，也就锁定我要乘这两个角， 对吧？乘这两个角，结果你已经发现这有个阿尔法了，所以我们只要证明这两个角相等就可以了，是不是证明这两个角相等？那这两个角怎么相等呢？哎，我们还是利用中微线，你会发现刚刚我们说这个是平行的，对不对？而这个也是平行的，所以这个里面这个四边形是个什么？四边形？ 平行四边形啊，这个 a g f h 是 个平行四边形。平行四边形是不是有个性质叫对角相等？ 哎，对角相等，这两个角是不是相等？也就 a g， a g f 跟 a h f 是 不是相等，所以我们就可以得到什么呢？哎，我们就可以得到 d g f 是 阿尔法加上这个角，对吧？然后这个大角，是啊，这个大角是阿尔法加上这个 a h f， 那 么就可以得到什么？你看这两个是相等的，以及 a 以及 a g f 跟 a h f 也是相等的，那这两个都是阿尔法，对不对？所以我们就可以得到这两个大角相等了， 那 s e s 是 不是就可以证明这两个三角形的，对吧？然后这个 d f 是 不是等于 e f 了啊？这考就是角二角模型啊，没有任何的技巧跟含金量，所以我觉得出的一般，你知道吧？啊，对，模型考太明显了，而中考当中，这违背了我们中考这个命题趋势啊。 呃，然后第三题啊， d f e 的 度数，呃， d f e 的 度数的话，那就这个角啊，那这这个题的话就倒角啊，就倒角 d f e 在 这，对吧？在这，那怎么去进行倒角呢？ 我们会发现，嗯，通过第二个证的，这个全等啊，这个证的全等啊，这个圈应该对应这个圈，这个叉应该对应这个叉，对不对？好，那我这个角在这是不是可以利用什么？利用这个大角减去圈，减去叉， 对不对？也就这个 g f h 减去圈，减去 x 啊？然后我就开始导呗，转换呗，这个 g f f 能， g f h 能怎么导？这个图里面哪个角不能相等来？首先平行四边形，是不是这个东西是不能换成 b a、 c， 对 不对？这个地方 g f h 能换成 b a、 c。 然后圈和叉呢？来看圈和叉， 因为全等啊，这个叉能相等对吧？那我这个圈和叉的和啊，也就相当于一百八减 d h， d g h， 对 不对 啊？减圈和叉，那就相当于圈和叉，就可以换成一百八减 dgf。 那 dgf 是 什么？ dgf 是 二 f 加上 agf， 对 不对？所以把这个 dgf 拆成二 f 啊， 和 agf 也就一百八把 agf 减掉。哎，这下把二 f 减掉，然后的话呢，那我们就会发现了哦，一百八减 agf 是 什么？一百八减 agf 不 就是 agf 的 补角，也就是这个角，对吧？而这个角和 bac 什么关系啊？ 这俩是不是平行，所以相等对不对？这个角就是 b a、 c， 那 b a c 减 b a c 就 没了，那减去负二法，二法，二法啊，比如的话，这个题目就没了啊。因此你看这个题第三问出的还稍微好一点，前两问就没有任何含金量啊。呃，以上为这道题目的一个讲解。

好，我们来一起看一下这道题。如图，四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 c， d， e、 f 均是正方形 啊。点 g 是 对角线， d， f 上一点，点 g 是 对角线， d， f 上一点，那么 d g 等于 d c， 那 它的声肯定也是等于 d a 的 连接 a， g 过点 d 做它的做用 d， h 是 做这个角的角平分线，然后 d， i 垂垂直 分别连接好。第一问，若 d i 等于 e， 求 tan 角 d， a， i 的 值。 那首先我们根据题目里面呢，我们先分析一下这道题啊，那么 d g 等于 d， c 等于 d a， 那 么三角形 a， d， g 就是 一个等腰三角形， 它是个等腰三角形，它让你去求这个角的弹力值，那这个角和这个角是不相等，它其实也就是我们也可以去求弹 力角 d， g， r 啊，也可以去求弹力角 d， g， r 这个这个边是一 要求角，那我们肯定要去求它的值，肯定是需要知道这个边的值，那么这个边的值我们怎么去求呢？那我们因为它是正方形，所以这个角肯定是九十度，那它就是 四十五度，所以角 a， d， g 就是 等于一百三十五度， 那角 d， a， g 是 不等于角 d g， a 等于二分之一百八十度，减去一百三十五度，等于二十二点五度，它是二十二点五，它也是二十二点五。那么角 g， d， c 是 不是等于四十五度？因为它是正方形的角平分线所平分出来的，所以 d h 是 平分角 c， d， g 所以 角 c， d， g 是 等于二十二点五度， 但是它是二十二点五，它也是二十二点五，这个三角形的外角，那么所以角 d， h， i 是 不等于四十五度啊？ 那么 d h i 等于四十五度，那三角形 d h i 是 等腰直角三角形， d h i 是 个等腰直角三角形，那 d h 就 等于根号二。刚才说的这两个角也是相等的，所以 也是等于 h g。 那 么同时 tanning 角 d a i 是 不等于 tanning 角 d g i 等于一。比上根号二加一，那么分母幺零化等于根号二减一，这就是第一问。

好，我们再来看一下第三位，如图二，延长 d h 交 c、 f 以点 g 求证点 h 是 d g 的 终点，求证终点，也就是让你去求 d h 是 等于 h g， 一 般求线段相等，我们肯定是转全等。 那么来看一下这个图 h 在 这，现在让你这这两个边相等，这两边相等，它是在一个直角三角形里面抱正，那因为 h 界不在直角三角形里面去，所以我们就需要去 构造，把它放到一个直角三角形的。怎么去构造？连接 b、 d 连接 b、 d。 以后 我们去证三角形 d、 b、 h 全等于三角形， 借 b、 h 就 可以了。那这个证证明就比较好证了 啊。用 b、 d 是 正方形 a、 b、 c、 d 的 对角线， 所以角 d、 b 借是等于四十五度。 我们从第一问就可以得出来，因为角 c、 d、 j 是 等于二十二点五度， 角 c、 d、 j 加上角 d、 j、 c 是 等于九十度。角 h b、 j 加上角 d、 j、 c 也是九十度，所以角 h、 b、 g 是 等于角 c、 d、 g 等于二十二点五度， 那所以角 d、 b、 h 也是等于二十二点五度啊，所以 这个边是公共边，这两个都是九十度。 三角形 b、 d、 h 全等于三角形，借 d b、 h 啊，所以 d h 等于 g h， 所以 d a、 h 为 d g 的 中点。

哈喽，大家好，那么我们今天也是朝阳刚考完他的一模数学题啊，我们这节课拿到了他的这个十九题解析几何题啊，给朋友们讲一下。这道题其实难度不大，我觉得是一个比较常规一些常规的题目。呃，第一问我们就直接写答案了，是 x 方比四加 y 方等于一。 ok， 我 们直接来看第二个点 d 负一逗，负一 过点 d 的 斜率存在且不为一的直线 l 与椭圆 e 交于不同的 m n 两点，那我们就先随便画一下 m n 这均布与点 a 重合，点 a 是 在这，然后点 b 是 它，点 a 的 坐标是零到一点 b 的 坐标是零到负一 点 p 与点 m， 关于原点对称啊，这是点 o 直线 b p 直线 b p 与直线 o d， o d 是 这个 o d 交于点 q。 求证 n q 啊，直线 n q 经过点 a， 这这道题的未知数啊，用的是直线 n m 的 斜率 k， 那 么也就是说 m 点就是我的 x e y e n 点 x 二 y 二，点 p 与点 m 关于原点对称，那么点 p 的 坐标是负 x 一 到负 y 一。 那么这道题你会发现左点坐标其实我们能标出来，然后呢，他说用 n q 直线 n q 经过点 a， 那 n 点坐标我们是知道的， a 点坐标我们也有，那么只需要先把点 q 的 坐标求出来就可以了。那么点 q 的 坐标呢？我们用 b p 与 o d 进行连立，这个直线 o d， 它就是 y 等于 x。 好， 那么我们来设一下这个 b p 的 直线啊。呃， b 点坐标是零到负一，然后 p 点坐标是负 x 一 到负 y 一， 这个我们用 b 点的坐标减 p 点坐标吧，就是负一加 y 一 比上 x 一， 这个是 k x 加 b， 这个 b 是 负一。 ok， 好， 那么直线 o d 是 y 等于 x， 这个 b 是 负一。 ok， 好， 那么直线 o d 是 y 等于 x。 好，我们直接算一下， x 等于负一加 y 一 比 x 一 等于负一加 y 一 减 x 一 比上 x 一 x， 那 么我们的 x 就 等于 x 一 比上负一加 y 一 减 x 一。 ok， 好， 那么我们的 q 点坐标就出来了， 那写在这吧， q 点坐标 x 一 比上负一加 y 一 减 x 一。 逗 x 一 比上负一加 y 一 减 x 一， 它是横纵坐标，相当大。 好，那么这个我也擦了，这个这些几个题就比较占地方。好，那么下一步我们来看一下啊，现在 a 点 q 点 n 点三个点坐标都有了，那么我们如何证明三角线？它其实就是三角线的题， ok 吧，那么我个人用这个方法， k a n 减 k a q 等于零啊，它不等不等，不等零，我们需要证一下，你直接算 k a n 减 k a q 等于多少就可以了， ok 吧，那么正常来说，三角线应该是等于零的。好，我们来直接写一下 k a n， 呃，我们是 y 减一比上 x 二， k a q x 一 比上负一加 y 一 减 x 一 减一比上 x 一， 负一加 y 一 减 x 一。 在这个式子里面，我们会发现有 y 一， 有 y 二，那么这个动作表啊，我们通过 m n 这根直线的解析式是 y 等于 k 倍的 x 加一减一啊，过点负一到负一，且斜率为 k 的 直线啊。设完之后呢，我们的 y 一 y 二可以用 x x 二来表示，那么这个式子就只剩下 x x 二了，那么只剩下 x x x 二，我们肯定是要用这根直线与椭圆连力去化简， ok， 我 们来直接连理一下 y 等于 k 倍的 x 加一减一，然后是椭圆方程， x 方比四加 y 方等于一，这个我直接连理了啊， x 方加上四 y 方，四 y 方是四 k 方， x 加一块 y 的 平方减八 k， x 加一加四等于四， ok， 同学们写的时候我不建议像我这样跳步学，因为我比较熟练了，所以我直接跳步了四 k 方加一倍的 x 方，然后加上，这里面有 x 倍的 x， 加上四 k 方减八 k， ok， 这个四月掉了，所以我们等于零。好，那么我们直接写出来， x 一 加 x 二等于八 k 减八 k 方，比上四 k 方加一啊，这里面有个符号嘛，所以给它直接塞进去了， 然后 x 一 x 二等于四 k 方减八 k， 比上四 k 方加一， ok， 好， 那么这一步是很重要的考点点，基本上百分之九十九的题目，百分之九十九的解析几何题都会有这个尾数的出现。好，那我们来接着化解这个三点共线的这个斜率相减的式子，这个式子因为我们考虑的是它等于零，所以我们只需要通分之后把分子写上就可以了， 我们不需要考虑分母， ok 吧，来通分之通问一下， y 二减一，乘以 x 一， 比上负一加 y 一 减 x 一， 这个是它的 x， 这个它的分子啊，乘以这个分母减去，然后这个是分子乘这个分母 x 一 x 二比上负一加 y 一 减 x 一， 然后这里面是加 x 二， 别忘了，因为这个这个分数啊，前面是减号，所以你乘完之后，这个名变成加号，我们还是只看分子就可以了， x y 二减 x 一 减 x 一， x 二加上，然后这个我们通分啊，这面是减号减 x 二，加上 y 一 x 二，减 x 一 x 二， ok， 那 到这里啊，你会发现其实它都是你看有减 x 一 减 x 二，就是就是减上 x 加 x， 然后这里面是减去二倍的 x x， 这里面有 x 一 y 二和 y e x 二，你看到这个形式就基本上能保证我们并没有做错， ok 吧？好，那么剩下的我们需要把这个 y 二和 y e 给它替换掉啊，用这个 m n 的 直线去替换 好，那么也就是我直接写了 x 一 乘以 y 二，那就是 k x 一 x 二加一减 x 一， 然后我们再写这个 y 一 乘 x 二，加上 k x 二 x 一 加一减 x 二，好，那么再写后面这两个，减去 x 一 加 x 二，减二倍的 x x 二， ok， 好， 那么我们接着这个写来，那这里面我们就可以处理一下了啊，我们先看 x 一 x 二前面的系数，这里面有个二 k， 然后这里有个减二，就是二 k 减二倍的 x 一 x 二，我们再看 x 一 加 x 二的系数啊，这里面有一个加 k 倍的，加 k 倍的，然后是减 去减一倍，就是减二 k 减二倍的 x 一 加 x 二， ok， 好， 那么我们可以直接带回原底了啊。 呃，二 k 减二乘以这个 x 一 x 二，是四 k 方减八 k， 我 们还是我把分母直接去了，我直接写分子了，加上 k 减二乘以 x 加 x 二，是八 k 减八 k 方来，那么我们最后这一步给它打开，八 k 的 立方，减十六 k 方，减八 k 方，加十六 k， 加上八 k 方，减八 k 的 立方，减十六 k 加十六 k 方来 k 的 立方， k 方 k ok， 等于零啊，所以呢？他的这个等于零，那么这两个，这两条直线过公共点 a， 而且是六月零，说明这三点共线， ok 吧？那么这道题是一个非常非常常规性的题目啊，那么下一个视频我可能会给大家做一下那个导数的题，好吧？ ok， 那 么我们本节视频就到这里了。

从左下向右上移动的过程当中，抛物线与线段 a、 b 第一个焦点就是出现在这个相切的这样的一个位置，然后继续平移。 第二个极端的位置就是抛物线的右支恰好过点 a， 那 么此时与线段 a、 b 是 两个交点， 继续向右移动的话，右支与点呃，与线段 a、 b 就 不再相交了，就一直保持一个交点继续平移， 那么最后一个极端的位置就是抛物线的左半值呃，刚好过点 a， 那 么此时抛物线与线段 a、 b 尤其只有一个交点，呃，这个动图也可以看出来，这个 抛物线在移动的过程当中，抛物线与外轴的交点，它的这个最大值其实也就是二。

我们再看一下第二位，求证角 d， h b d d， h b 这个角是九十度啊！根据第一位，我们已经知道这个角是四十五度，那我们现在只要求证这个角是四十五度就行了， 那它要求它是四十五度。那么在这个三角形，在三角形 a、 b、 h 中，想求它是四十五度，不好求，没头绪。但是四十五度一般是不是出现在等腰直角三角形里面？ 它没有怎么办？没有，我们就构造，哪怕把它放在等腰直角三角形里面，那就过点 b 做 b， a， b， k 垂直于 a， g， 这是 k， 那 做完以后我们会发现， a、 b 是 等于 a d 角 b， a、 k 加上角 k， a、 b 等于九十度。角 d， a， i 加上角 k， a、 b 也是九十度，所以角 d a、 r 是 等于角 a、 b、 k 所以 三角形 a、 b、 k 是 全等于三角形 d， a i 的， 那么这两扇形全等，我们就可以得出 a， k 是 等于 d i， 它是不是等于 h i 啊？这是第一问可以得出来的，它等于 h i 啊。三角形 a， d， g 是 等腰三角形 d， i 是 垂直 a g， 所以 i 是 a g 中点， 那它是中点，所以是不是 a， i 是 等于 g i 那 已经是 a， k 是 等于 i h， 那 i k 是 不是等于 h g i k 是 等于 h g 那 所以 kh 是 不等于 k i 加上 i h， 那 它是不是就等于了 a i 呀？那它也就等于了 b k 所以 三角形 bkh 是 等腰直角三角形，所以角 a、 h、 b 是 等于四十五度，所以角 d、 h、 b 等于九十度啊！我们可以转化一下。