2026柳州三模数学第8题教程

好了，我来画一个草图啊，先把这个题目自己看仔细了啊！把这个题目看仔细了，然后我来画一个草图。 这是一个抛物线， y 平方等于这个四 x 加上这条直线是 a i b i， 这个是 a i 加一， b i 加一，它们相交于 a n i 啊，它们的终点一个是 m i， 一个是 m r 加一啊。其实第一问和第二问挺简单啊，其实用初中的几何知识就能就能有思路 m r 的 重注标。你要知道，抛线是一个极其对称的图形，如果这两条直线平行斜立等一， 只要他平行，他们的终点就一定是在一条水平线上面，平行于 x 轴的水平上面，所以他们的重坐标一定是相等的啊，一定相等的。第一问题，求 m r 的 重坐标。年龄伟大的你就知道他跟这条直线，只要这条直线斜率和这条直线斜率相等， 他们的中距标就一定是一样啊。你是 a i b i， 这个 a i b i， 这条直线 a b e， 它是 x， 等于 y 加一，我们反射这条直线啊，那么 a i b i 这条直线 就是 x， 等于 y 加上你设这个，呃，在这个 x 轴上面的是 t i 嗯，加这一点是 t i 的 话啊， t i 零，这一点是 t i 零， 就可以这么射。那么这样的话， a 的 这个点就是 x i， 你 一 y i 一 的表示 b i， 你 就是 x i 二 y i 二的表示。 那么你连力和这个抛射连力消去 x， 关于 y 的 方程，你就得到 y 平方减四， y 减四 t i 我 就不写那么太严谨了啊，那么这样，这个 y y i 一 加上 y i 二，就应该等于就应该等于四啊， 那我们这个 m i 的 重坐标，你设 y m i， 它就应该等于二分之 y i 一 加 y i， 二就应该等于四，除以二就等于二，所以第一问它重置 y 就 等于二，它的重坐标等于二的话，你同理可得 m i 加一的重坐标也是等于二， 那那后面的每一条直线上面的纵坐标都是这样， ok， 那 所以第二问，如果是你是第二问的话啊，你第二问， 第二问的时候，你就可是有一只 y m i 就 等于 y m i 加一，对吧，也就是这两个点， 首先这两个点的中指标相同，然后我们把这两这个点和 m i 连接，把这个点和 m i 连接，我们要证明这三点贡献，我们要证明这三点贡献，我们只要证明 m i 加一 a n i 这个向量它等于，那么它被的 m i a n i 向量， 根据向量的，根据这个向量，这个讲的三点共线啊，只要他这个两个向量成比例关系，那这两个向量，而且他有一个点是公共点的话，这两个向量就一定是在同一条直线上，只要满足这个式子就 ok 了， 对吧？只要满足这个式子就 ok 了啊，怎么满足这个式子呢？你看好了啊，我们射， 因为因为这是平行线啊，这两个三角形，这个三角形和这个三角形是相似的呀，所以他比他就等于他比他呀，这是初中的知识，对吧？这是初中的，也就是说 an i a i 加一，哦，它比上一个 b i an i 的 话，假如是它是等于 number 的 话，它就应该等于 an i b i 加一，这个项链比上一个 a i an i 项链射啊，也就是说它比它等于，它比它等于，那么它你射这个等于，那么它。 ok， 下面我们证它比它 这个项链比上这个项链也等于那么大，就 ok 了。哦，这个项链比这个项链， 这个项链比这个项链，这个项链比这个项链，它们的比值都是相等的，因为它的膜膜长的比值是相等， ok， 懂了吧？懂不懂啊？这个项链比上这个项链等于，那么它的情况下，这个项链比这个项链也等于，那么它， 你能不能理解？因为它们的摩擦比例是相等的呀？ ok， 好 了，这样的话你看，那我们的这个项链 n i m i 加一这个项链也是这个项链，因为这个是中点啊，它等于二分之一的这个项链 加这个项链啊，它等于二分之一的 n i a i 加一这个项链加上一个 n i b i 加一这个项链啊，等一下啊，这个项链，这个项链加这个项链，这个是中点，知道吧？ 而这个项链，这个项链等于那么大倍的这个项链，而这个项链也等于那么大倍的这个项链，所以它就等于二分之一倍的那么大倍的 这个 b i n r 项链加上一个 a i n r 项链，把，那么它掉到前面，懂不懂？它等于，那么它背的叉，它也等于那么它背的叉，那总的来说，它加它不就等于，那么它背的它加它吗？ 对不对？而它加它就等于二分之一倍的，它加它就等于这个向量，所以它就等于那么它倍的这个 m i n i 向量 就满足这个等式啊，也就是这两个向量之间成比例关系啊。 ok， 成比例关系，懂不懂？ 其实你初三的知识有知道，你看他等于等于他等于他，他又等于他等于他，对吧？那么他比他就等于他比他呀。 ok， 他 比他就等于他比他就等于他比他就等于他比他。那所以这三个点一定是在一条直线上面的啊，这三个点就一定在这条直线上面的，否则你就就是没办法自圆其说了， 懂不懂？ ok， 懂吧。只有这个过这个点的一条直线，无论是哪一条直线，你看无论是哪一条直线，过这个点，三点共线才满足才满足， 无论是平行或者不平行。三，他要你证明是三点共线啊，你只要满足他比他等于他比他 啊，那么这三点就是贡献。其实不用，要不要用高中的讲法，你就用初中的来解释也是可以的。只要他比他等于他比他等于他比他， 那么这三个点就一定是在一条直线上面的啊，这个也是可以的，也是可以的。 ok， 这是前这个题目啊。第三问啊，看着挺难。其实也不难啊。其实也不难，你只要对几何稍微有了解啊，我刚才分析的，你看这个长度比上这个长度， 这个长度等于他等于他，因为这个是直角，这个长度等于他等于他，所以他比他就等于他比他啊，你要了解了，这个就 ok 了。哎，这个长度就是 h i 啊，这个长度就是 h i 加一啊， 懂不懂？所以 a i b i 等于啥？嗯， a i b i 也就是 h i 等于一个 a i b i a i b i 我 们这个长度，你可以用这个连立方成。嗯， 它的这个 k 用 a i b i 这条直线的斜率，它就等于根号 k 平方加一 k 不是 一吗？对吧？ k 不 就是一吗？除以 y i 一， 减去 y i 二，这是一个公式啊，这是一个公式。 a i 你 它的坐标你是 x i 一 y i 一， 这个 这个 b i 的 坐标是 x r 二 y i 二，这个公式知道吧？嗯，这个公式啊，这个不是啊，这个是开平方分之一的，是这样的， 这个公式，知道吧？一条直线啊，和这个抛线相交，那条直线的这个长度，那个线段的长度啊， 现在的长度等于根号加 k， 平方加一 x 二减 x 一， 或者是 k 平方分之一加一 乘上一个 y 二减 y 一 啊，这个是公式啊，这个是不是根号啊？是绝对值，这个是公式，我们用的就是第二个公式啊，我们用的是第二个公式，那就很容易的你就知道了，它就等于根号二， 这个东西，你再用把它用这个完全平方 y i 一， 加上 y i 二的平方，减去四倍的 y i 一 y i 二， ok， 我 们在第一问的时候连立了回答，第一问我们连立了回答，知道 y i 这个等加起来是等于四的， 加减是等于四的，所以它根号二里面是四的平方十六减去这个玩意，我们当时也算了， y 乘 y 等于一个负四 t i， 对 吧？那所以这个就是四倍的根号二，乘了一个 e， 加上一个 t i， 就是 h e 的 长度，就是 a r b i 的 长度啊，就是 a r b i 的 长度， 就是 a r b r 长度。 ok 啊，就是 a r b r 长度， 那这个这个长度呢？这个长度是是是什么？你看这个长度，因为它是平行，四边平行的，所以这个长度和这个长度是相等的，懂吧？这个点我说过了，是 t i 零，这个点是 t i 加一零， t i 加一零，所以这个长度是这个长度减去这个长度，所以， 所以这个 m i 加一 m i， 它就等于 t i 加一减去 t i。 是， 就是这么来的，因为我们这个直线是反射的，这条直线的点坐标你应该知道， ok， 那我们又知道这个是 h i 啊？ h i 知道了，那么同理，我们知道 h i 加一就等于 x i 加一， b i 加一，它就等于四倍的根号，二的根号角一加上 t i 加一，对吧？ 那这三个这三个线段有什么关系呢？你看了好了，我们已经说了，他等于他的一半，他等于他的一半，那所以这个长度就等于他的一半加他的一半，懂不懂？所以 他加他应该等于两倍的，他， ok， 那 所以四倍的根号二， 一加上 t i 加上四倍的根号，根号下一加 t i 加一，它应该等于两倍的，它两倍的它就是 t i 加一减去一个 t i。 好， 关键的时候来了啊，这个时候我们就用了一点技巧在里面里面了啊，这个二把它约掉，和这个二和这个约掉， 带一个二出来，二不零和二不零和。我们提取二不零二根号出来，这个里面有个一加 t i 加上根号下一加上 t i 加一等于一个。 这个玩意我们要做一点技术处理，做什么技术处理？它等于它的一加上 t i 加一，减去个一加上一个 t i。 这个东西就等于根号下它的平方，这个东西就等于根号下它的平方，这样可以变成一个完美平平方差公式，它就变成一加上 t i 加一 加上根号下一加 t i， 乘上一个根号，下一加 t i， 加一减去根号，下一加 t i。 ok， 好， 左右两边同时约掉一个 这个和这个，因为这个不等零，可以预料，那所以就推出来这个东西就等于二百零根号二，懂吧？这个东西就等于二百零根号二，根号下一加 t i， 加一减去一个 根号，下一加 t i 就 等于二百零根号二。那所以我们的这个 h i 加一减去 h i， 就等于这个，减这个就等于这个，减这个 就等于四倍的根号二，它减它乘一个二倍的根号二，就等于二十八二八十六，后项减前项是一个常数，那所以 h i 就是 以公差 对十六的等差数列。这个题目还是蛮好的啊，计算量不大 全就是看你思路，你是怎么能不能把握这个题目还是还是还是很不错的啊，作为高考题，如果作为高考题来讲啊，他的计算量又不是很大，如果你对几何的好好了解的情况下啊，好了，这个题目质量还是蛮高的啊，跟你讲了。

好，各位同学，我们看一下今年大家二零二六年执教高考数学科目，考完之后大家都觉得非常简单，那我们今天一探究竟，看一下第一题考的是集合与元素的关系，那我们看集合里面他有三个元素，那三个元素他问下列 abcd 的 元 素属于集合里面的，那这一题的话简直就是送分题了，那我们就应该选哪个？ a 选项只有六，那 属于里面的集合，那我们接下来看一下第二题，三位同学依次投篮，那这个规定时间内投入的篮，先分别求出这三个数，求平均数的式，那我们求平均数的无非就是用这三次的投篮除以三，最后等于什么？三 选择。第三题，已知 a b 为非零项链的，那求出这两个的值，那我们之前求项链的时候是这个楞达，楞达的话是乘以一个项链加上 另一个项链，我们可以得出来是 number a 项链和 number b 的 项链，那我们同样这个里面四呢，代表的就是我们说的 number 这个数，那把它乘进来是八 a 项链，减去四 b 项链，所以答案出来选择 a 选项。第四题求的是函数，那我们看一下 y 与分裂次数 x， 他 满足的是这个函数 y 等于二的 x。 好， 他问现在的是 x， 是 两次分裂，两次求这个数为多少，那我们就把带进来就可以了。二的二次方程 c 选项。第五题单角函数的值三三十度，那这个时候我们进行讲了，三十度， 四十五度，六十度都是它的特殊的角，我们必须要熟，所以像三三十度的话，那我们直接被它的内公式的话得出来是二分之一的。第五题，同样也是考向量的，已知向量 a 的 坐标，向量 b 的 坐标，并且知道 a 的 向量 加 b 的 向量等于这个坐标，求出它的 x 值，那我们都知道这两个向量，它们的和 和项链的加法求出来是负二加零，我们可以得出这个里面的一个项链，那负二加零的这个项链，那我们可以得出来是负二零加五的这个项链，我们得出来的 是五，那也就说 a 项链加 b 项链，它对应的是 x 的 值，是等于负二，所以答案应该选 boy 选项。第七题，某次三月三的活动，抛出绣球，那我们现在抽的这个是概率，古典概率的一个球法，那古典 概率的球法，首先我们要求出总数，总数为多少？你看红色的球为六个，黄色的球为四个，那总共的数的话应该是有 十个。现在他问这些绣球当中，我任意抽一个，则红球的概率为多少？某一事件发生的概率红球是六个，那我现在求的总的除以总的概率是十，所以求出来应该是零点六概率。 第八题考的是几何？第一题九，我们看一下长方形 a， b， c， d 这一个图，它已经给予我们了。问与 a、 a、 b 平行的是 a、 b 这个线，我们可以看 a， b， a， e， b， e 这个面里面它是一个什么 呀？长方形相互平行的，那只有 a， e， b， e。 第九题，标准圆的方程，那我们求的是该圆的圆心，那么标准圆的方程是 x 减 a 的 平 平方加上 y 减 b 的 平方等于二的平方，而圆心代表的是 a 和 b， a 和 b， 那 你看一下三代表的是 a， 七代表的是 b， 所以 圆心的话应该是三 和七减 a 选项第十题考不等式，那我们看一下求不等式的话，你可以看一下这个里面我先令 x 减一乘以 x 减二等于零，求出 x 一 等于一， x 二等 二。首先看这个是小于号取中间，所以答案出来 x 大 于一小于二，那我们用区间来表示的话，那就是一到二答案选 boy 选项。好，关注老师，下节课我们讲到填空跟大题。

二六公大三魔小压轴，哈喽啊，给大家分享一下二零二六年西公大刚刚考过的三魔的小压轴，三分还有点难度，看看要命，咱们一起分析啊！ 他来告诉我们，这是个平行四边形，给了边长是五和七，然后呢，贪婪的 a 是 四比三，贪婪贪婪的，那第一想法就是给他勾到一个直角上行。那么这个时候呢，其实大家发现，如果对边比零，边是四比三，再配合斜边数五的话，其实马上就能算出来，这个长本来就是四，这个长本来就是三， 那你总长是七，如果做完垂直之后的长度是三的话，则剩下的长度其实就是四呗， 对吧？那么顺势其实你会发现，我们如果过 b 点往上做个垂直的话，则这个也是四，这个也是四。我们中间的这个图形，它其实是个正方形， 对吧？你想邻边还相等，本来还有个直角，那它岂不是个正方形？这些都是读题我们就能反应过来的一些数据啊，看后面怎么用好。题目意思是说我们这呢，有 p q 这两个点，它满足这样的要求，第一， b q 垂直于 p q 啊，这是个直角。 第二， p q 虽然直线是要平分它的面积和周长，这个直角怎么直接用还真不好说，因为你的 b p p 是 个动点嘛，它并不是个定线段，对吧？定线段呢？你还能说定边定角，它不是个定线段， 所以这个直角呢？我们暂且先割一下，我们先用后面这条线。你知道如何去平分一个平行四边形的面积周长这样东西吗？其实就是经过它的对称中心，也就是只要经过 平四边形 a、 b、 c、 d 的 对称，中心记对角线的两个交点，假设这个 o 的 话，只要经过对角线的交点 o， 哎，不管你的 q 是 这样的还是这样的，它都是会平分我们的平行四边形的， ok 吧？因为中心对称所分的这两个图形，它是全等的，一模一样，也就是说 p、 q 是 一个，一定是一个经过 o 点的这样的一条直线，可能 p 点在这。与此同时，我们还要保证 b q 是 垂直的，那我就过 b 点呢？我这边做个垂直， 比如说此时此刻 p 点在这儿的时候， q 点应该在这儿，这样的话它才能保证，第一，这是经过 o 点平分的，第二，这是垂直的， 那么这个时候它想求 b q 的 最大值，其实我们需要的话，画出这个 q 点的轨迹， q 点轨迹你会画吗？哎，这个时候你会发现这是个直角，但它不是个定边，不能画，没关系，我们所谓 东方不亮西方亮，西方不亮东方亮。你下面是个直角，它不是定边的话，可以转到上面，对吧？你 b q 垂直于这条线，那岂不是说这也是个直角，我们的角角 b q、 o， 它是个直角， 对吧？并且 b、 o 它是个定边，看有没有问题，知道为什么吗？因为你 b o 不 就是 o， 是 对角线的交点，是平分的吗？ b o 等于二分之一的 b d 吗？ 对吧？ b d 可以 算吗？ b d 这是四，这是四 b d， 我 甚至能口算四倍根号二呢，我在这里直接给算，我们的 b o， 它是二分之一倍的 b d， 也就是二分之一乘以 b d 可以 自己算啊。四倍根号二等于二倍根号二， 说明什么？说明这是个定角定边，我们的 q 点是一个以 bo 为定边，直角为定角的这样个轨迹，那么定边定角你会处理吗？定边定角，我们的做法都是啊， 可以换它所在的外接圆，我们来做三角形 bo， q 所在的外接圆， 换个大概啊，哎，大概在这。哎，我们可以说 q 点呢？是在这样的一段弧上运动的理解吗？定边定角，那 q 在 这个圆上运动，你说什么时候 b q 最大？ 想要 b q 最大， b q 不 就是这个圆当中的一条弦吗？一个弦长什么时候最大？我们说弦长它最大的时候是直径，也就是 b o， b o 等于二倍根号。就如果这个题它需要问 b q 的 最大值的话，它的最大值是 b o 是 二倍根号， 大家能想明白圆当中一条弦长最长，最长是直径的时候， ok 啊，在这个题上面问，他问的是此时此刻 p c 长多少，那为了大家看的方便一些，我们把图重新画一下。 你想 b q 想要取最大值，它是 b o 的 话，说明什么？说明 q 点此时就在 o 点出来，这个点它既是 o 点也是 q 点， 对吧？然后还要去过 q 点做个垂直，以产生一个我们的 p 点，以产生一个 p 点，那你猜这个 p 点它在哪？ 其实 p 点就是我们刚才说的正方形的这个点，你知道为什么吗？因为 你相当于 q 是 中点，然后还要垂直， q 是 中点，然后咱们还想要垂直，那这玩意不是叫垂直平分吗？ 对吧？垂直平分，线上点到线段，两个端点均相等，说明此时测 p d 和 p d 是 相等的，而我们刚才四和四就是相等的，甚至不用算就可以直接判断 p 点应该在这儿，这样的话两个四它才是相等。好了，现在这个最终的问题你肯定会了， p 点位置都导出来了，它还不简单吗？简直白给。 想算 p c 怎么办？一条倾斜的线段，我们就用勾股定律过 c 往下做垂直，甚至都不用算，这个长度是四，这个长度是三，这个长度也是四。 哎，我说为啥呢？因为这两个造型它是旋转的吗？一模一样哎，所以我们可以说怎么样 p c 此时此刻它是等于根号下四的平方，加四加三的平方 之后就计算呗，十六加四十九等于根号六十五，六十五能化解，十三乘五化解，所以我们说 p c 长是根号六十五。 ok， 看听懂没？这是非常经典的一个体型啊，如果你不太会做伏线啊，不太知道这个思路是怎么来的话，你可以去看一下我们的商品橱窗， 我们的橱窗里面有一本专门推荐给学霸的神书，你会有惊喜的。可以点赞一下啊，我们大压轴马上更新。

好的，我们今天来讲一下数学三模考试中的第七题，分段数。首先我们要知道，所有的分段函数基本一定会考数形结合，所以拿到分段函数要做的第一件事就是画图， 画图中六个还是比较简单，我就不讲了。那第一个函数呢？根号 x 是 x 的 二分之一四，也就是一个逆函数，那么它是一个缓慢递增的曲线哦，那只截零到一的部分，他只要大于一的部分，画出来的图像就是这个了。好， 第二步， f a 等于 f a 加一，那两个函数值相同，第一种可能 x 相同，那 x 相同很明显是不成立的呀。那第二种可能 x 不 相同， y 相同， 那要 y 相同。我们拉一条直线，这个直线如果画在上面，那么只有一个解画在下面，才会有两个不同的 x， 但是 y 相同的情况吧，所以这条直线大概是画在这个点以下。这条线以上 画完了之后，我们就发现，因为 a 和 a 加一一定是 a 小， a 加一大，所以他在左，他在右， 那么我们就可以确定 a 是 在零到一这一段， a 加一是在一到正无穷这一段。哦，这次得到了 a 和 a 加一的范围吧。得到范围之后，那么我们就可以得到 f a 解其式和 f a 加一的解其式什么？看一下分段函数的这个区间就可以了。好， 所以这两个的解析式我们就有了。最后题目说 f a 等于 f a 加一，那么把解析式带进来，等加于这个式子，这个式子很好解，解得 a 等于四分之一，那 最后一步， f a 分 之一就是 f 四，那四代用的是这一段。好，分析出来，答案是六了。

好勾纳，三模大压轴。呃，第一问就不说了，就说一下第二问，第三问吧。 那么第二问呢？是考了一个三角形的一个十字架，呃，一个等边三角形，然后给了一个 am 比和 b n 是 四。 哦，那我们马上就能看出来，这个这个角是六十度啊，这是初一就学过这东西，然后这是六十度的话，呃，这个道题给多给了一个谁呢？ p 是 中点， p 是 中点的话，我们通过一个全等啊，通过这个证明三角形，这个三角形和 这个这个三角形全等啊。或者胖的和胖的也行啊，瘦的和瘦的胖的胖都行。那么能正确的，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法全等的对应角，那么这个角是 beta， 这个角也就是 beta， alpha 和 beta 合为，呃，六十度， 那么这个里边这也是六十度，是吧？然后呢，这个也是六十度。呃，我们能找到好多的相似在这里边啊，比如说我标标号吧，这是一号三角形，这是二号三角形，这是三号三，这是三号的四边形，这是四号的三角形。 那么我们找第一种相似，就是带六十度的，并且带这个 alpha 的， 那都有谁呢？一号三角形带六十度，带 alpha， 然后它会相似于一号和二号，也是带六十度，带 alpha。 呃，还有吗？还有一个就是一号和三号， 这是带六十度，带 r 法的，然后带六十度和带 beta 的 呢？有，呃，四号三角形会相似于二加四， 带六十度带 beta 的， 还有一个是三加四。好，这么多相似呢，供我们使用啊，因为这个 p 是 中点， 这道题呢，求外接圆的半径，其实就在求边长，求边长呢，就是在求这个 n c 啊，那求 n c 的 话，或者求这个 b m， 那 么我们求线段长度啊，会考虑到相似，那 p 是 中点， 怎么能用到 p 是 终点呢？我既要用到 c p 等于 pm， 还要尽量用到这个四或者这个四，那你看，这是已知，这是我知道的，这是我要求的，这是已知。那很显然，我们可能会考虑四号和二号相似，对吧？我们用到了四号和二号相似 啊，就用到了四号和二加四相似啊，会用到这个东西，会用到这个相似，然后对应边乘比例呢，就会有这个，或者是就会有 am 方等于呢？ pm 乘 mc 啊，对应边乘比例写乘积式就是这东西啊，类似于数学定律。 然后 am 呢是十六， pm 呢，我们设成 x， mc 呢，就是二 x， 那 就二 x 方等于八 x 等于二倍根二就算出来了。 呃， x 呢？二倍根二，这个是二倍根二。呃，算完之后呢，我们要算的谁呢？要算的是边长啊，求边长。那我们有一种方法呢，有一种考虑思路呢，是在这边呢，用什么呢？用这个 相似啊？因为这边你看啊，我要求 n c 的 话，是否有可能考虑在这边用相似，那这边用相似的话，就用到的是一号，是相似于一加三啊。那么对于一号来说呢？这个 c， 我 把 c n 设成 m， 是 吧？那么 m 比上 这个 c m， 大 三角形的 c m 会等于小三角形的 c p 比上大三角形的 c b。 好 嘞， c p 呢是等于二倍杠二。刚才已经算过了， c b 呢是 m 加四， 然后 c m 呢是四倍杠二。交叉相乘， m 方加上四 m 会等于二四得八十六， 然后 m 方加上四 m 等于，呃，减十六等于零，然后求根公式去求，求完之后 m 就 出来了 啊，那求一下 b 方减四用得扫，我看看因式分解或者是啥呢？或者是配方也行。 m 方加上四， m 加上四会等于二十， 然后 m 加二的平方呢，会等于二倍等于二十，那 m 加二呢？会等于二倍根五，所以 m 呢会等于二倍根五 减二啊，那那个负二倍根五舍掉了是吧？ m 就 出来了，所以 c b 的 长度呢，就等于二倍根五减二，再加四等于二倍根五加二， 然后呢，这个外接圆半径就是他要，他要除以根三啊，这个为啥就不讲了？ r 就 会等于二倍根五加二，再除以根三，呃，就会等于三分之二倍根十五加上二倍根三。 呃，那不这么做的话，比如说我刚才做到哪了？做到这啊？我不用这边相似的话，我看到这个六十度， 然后我会怎么想呢？我可能会因为有六十度呢，我可能会想到去做垂啊， m h 是 垂线，然后呢？ pm 是 二倍根二，然后 p h 呢就会等于的是根二， 然后 m h 呢就会等于的是根六 h a 呢就等于根六方加上四方四四一十，呃，对，四四一十六，然后再加上这个根六的平方 就会等于我看啊，根，呃减去啊四 c 十六，减去四个平方，减去这个根六的平方就十六。减六会等于根十啊，等于根十，所以我就能得到这个 ap 呢，就会等于根十 加上根二。那我第一次已经用到了这个二号和一，一加这个四号和这个二加四相似，是吧？所以我就能得到 a p 呢，它和 a c 呢，也是对应边这个比值呢，会等于的是，呃 一呃一比根二啊， a p 会等于谁呢？会等于 a m p 比上 m a 啊，会等于一比二，所以呢， a c 就 能得到出 a c 就 应该等于 a p 乘以根二，哎，等于二倍根五 加上杠啊， ac 又出出来了，剩下就是一样了，就是我单独用同一侧的相似也是可以的啊，我通过这六十度去做垂也可以的。那有些人可能这个就习惯于六十度去做垂了啊，也是可以的。那么这个图当中我们用到了母子型的反义相似，是 第三个呢，我们来盘一盘条件， 角 b 是 九十度啊，数给的看起来有点乱，又是带根号的，又是这个加来加去的，是吧，看着就是有点不太舒服啊啊，角 b 是 九十度， o b 呢，等于的是一百二十啊，底边是幺二零，然后呢，这个边是九十， 那这是一个三四五的三角形，那这个边应该是幺五零，然后 bc 呢，给了个二十倍根三， 呃，我把九十写的远一点啊，这个这个数目前看起来就有点不太舒服了，我们想去求 a c， 发现求出来不太舒服，九十减二十根三挺难看的，然后这是个六十 啊，这是六十，然后这个啊就没了，然后给了个 cd 长， cd 长是二十八倍，根三减二十四，二十八倍根三减二十四。哇，这数给的挺难受的啊，然后又给了个 d e 长度， d e 长度给了个十二倍根三 就完了啊，就就就就我们目前来看呢，整个图形当中的 a、 o， b， c， d e 这些都是定点 啊，因为它们都是向定方向延伸了，定长度都是定点啊。呃，然后题目告诉我们， 这个 b p 比上 o q 呢是个四比五啊，这个如果是这是四 x 的 话，那么 o q 就是 五 x m 呢是 p q 的 一个终点呢，图中现在来看到呢， p q 还有 m 呢是动点， 然后让我们求 tangent 啊， emd 的 最大值啊，这事情就就完事了，数据呢，看着不太舒服， 那我们想一下，刚才我们分析过了，这个 m 呢是个动点，那么最大章角啊，肯定要找到 m 的 轨迹，然后呢去把那个圆做出来，那 m 的 轨迹是什么样子呢？呃，这里边其实呢 就看大家对这个四四比五是怎么去处理了啊，这个 p b 比上比上这个 o q 是 怎么处怎么处理的？它等于四比五啊，那么这个两个比值是四比五的情况呢？在初中几何里面其实也比较常见的 啊，我们看下大背景，大背景是什么呢？大背景是这个 bo 比上 a o 也是四比五，这个三四五的三角形， 也就是说我 b p 上的这条线呢动的，我如果把 p 看成个动点呢？ p 是 从 p 是 从 b 向右动，它的速度是四，然后呢 q 是 从 o 斜向上动，它的速度是五，是吧？那么我们可以把这个 q 的 速度啊分解成两部分，一个是向上分解，一个是向向右分解， 那 q 呢，沿着 o 斜上斜向上动，他可以认为是向上走一部分，向右走一部分啊，这个有点类似于这个思想呢，其实高中物理啊，就是这个适量的正交分解 啊，会这个经常要这个思想。什么叫正交分解呢？就是我把一个斜的线呢分解成互相垂直的两条线啊，那比如说，嗯，拿坐标系来说啊，你看 我向右走了四个单位，向上走了三个单位啊，是不是相当于我沿着这个矩形的对角线走了五个单位 啊？那这点坐标不就是四斗三吗？就是我的平移啊，我的平移，如果我沿着这个这个和 x 轴交减为 alpha 的 这条线去移动五个五个单位，是不是相当于我先向右平移四，再向上平移三呢？所以这道题我们能感觉出来， 如果有这样的一个感知的话，学这个一次函数的时候，能有这样的一个感知的话，那么我知道 o q 这个段呢是五 x， 那 我可以把它分解一下，那这段呢就是四 x 这段呢，就是这个假设，这个垂足是 h， 那 q h 呢？就会是三 x。 好，那么我能就能设 q 点坐标是啥呢？比如说我间隙这个 o 是 零斗零，是吧？那么 q 点的坐标就是四 x 斗三 x， 那 么 p 点的坐标呢？就是，呃，幺二零减四 x， 斗零幺二零减四 x， 然后呢是这个斗零的， 那 m 点是中点，中点呢，它的坐标呢就会等于 p q 相加除以二，那就四 x 加上一百二十减四 x 除以二和三 x 加零除以二。 好，那么我们就得到了 m 点的轨迹。 m 点轨迹，那它的横坐标呢？是六十，纵坐标是个变的，横坐标是六十，纵坐标是个变的，说明 x m 呢，它的轨迹是一条数值的线 啊，并且呢，它的轨迹是六十，也就是它到原点的水平距离呢，是六十啊，也就是这段是六十，那换句话说，这段也是六十，也就是 m 的 轨迹是 o b 的 中垂线 啊，这是我们找 m 轨迹的方法之一。那如果其实我觉得间隙是最快的，就是我们看见一个比较规则的图形呢，间隙会最容易找到灵感。那么另外一种方式呢，就是 我看到了 m 是 个中点，并且呢，这个位置是五 x， 这边是四 x， 那 如果我过 p 点去做一个和 a o 平行的线啊，比如说我做了一个 p f 是平行于 a o 的 啊，那么就这里面会有个相似小三角形呢， b f p 是 相似于大三角形呃， b a o 的， 那相似之后呢，也会得到 p f 是 五 x， 那 现在呢？ o q 呢？就会平行且等于 p f。 哎，这就出现了个平四 好，平四出现了 m 点呢，就会是对角线的焦点，所以我连接 o f 呢，也会过 m 点，那 m 点是 o f 的 焦点， f 的 轨迹是什么呢？ f 的 轨迹是在 ab 上动 的是吧？那 m 呢？我们做一个向下做个垂线 m h， 你 会发现 m h 应该是平行且等于二分之一 b f 的， 它是个 他的中位线啊，那 m 也应该在这条线上动好。和刚才间隙一样，我们都得到了 m 的 轨迹是平行，是这个 ob 的 中垂线。好了，现在我们把它把这些都擦掉啊，两种方法都能得到 m 的 轨迹，那得到了 m 的 轨迹之后， 我们要去找 m 的 具体位置啊，那这个画的不太好擦了吧。 好，大概是这样。然后我就要去应该过让这个 e d 为弦，做个圆，和 m 这条直线的相切。呃， 这找到一条线中点，我看大概，我看原形大概在哪？大概可能是在这啊，我们试一下哦，不太不太标准，我得移一下 啊，差不多可能也不太标准这个意思啊。好，那那这就是我的圆 o 是 吧，然后这个点呢？切点就是我要找的 m 至最大张角啊，具体问，具体细节就不带说了。然后呢，这点假设是 f， 呃，我要求 tangent e m o e m d 啊。 e m d。 那 求 tangent e m d 呢？其实在求这点假设是爱点啊，那就是 tangent， 就是 在求 tangent e o i 啊，就求这个东西。那 tangent e o i 呢？我需要求啥呢？我需要得知道半径啊，就是在这个三角形当中，在 r t 三角形 e o i 当中呀， e o i 当中呢？我现在能很快的知道 e i 是 多少， 然后呢，我要再知道半径的话，我就能知道 o d 是 多少，那 tan 它就 ok 了。那求这个最大长角呢？我可以把它固定一下啊。就是，呃，我得需要过， 我就是我得延长 e d， 延长 d e， 让它和我的这个切线相交，但是现在交不交 f 呢？有待于验证啊，我不管它交于哪，比如交于这，然后用到一个圆半径里，那我现在验验证一下吧。啊，刚才我们已经感感觉到了，这边是呢，这个是六百 对吧？然后又告诉我们 bc 呢，是二十倍根三，那这是六十度，如果我延长 c e 的 话，那 c 这个三角形 我延长 c e， 我 不知道交到哪一点啊。不管交到哪一点，那这个三角形一定是个三十，六十九十的，所以这条边应该是个六十啊，是二十倍，根三的根三倍。那所以呢，延长 c e 就 一定交于点 f 啊。好了，交于点 f。 呃，那这时候就可以用这个圆半径里了，那这个时候呢， f m 的 平方就会等于 f e 去乘以 f d 啊，这是一个计算当中 记，我认为计算量是比较小的一种方法，虽然说他圆明定律得正一下，但是这个证明过程远比其他的方法计算起来要简单的多啊。现在盘盘数吧。呃，我能知道 f c 是 等于四十倍根三啊，刚才给的数呢，我忘了啊，我再看一下。 呃，这个是二十八。呃， f d c d 呢？是二十八倍根三减二十四，然后中间的 e d 呢是十二倍根三。 哦，那我现在我要先求谁呢？我把数呢写在左上方啊，我现在要搞定谁呢？先搞定这个 f e 是 吧。那 f e 等于什么呢？来，我们在左上方搞定它啊。 f e 会等于 f c 减去呢？ c e f c 是 f， f c 是 几呢？ f c 呢是四十倍跟三。 c e 呢？就是那两段相加，减去一个十二倍跟三，再减去一个二十八倍跟三，加上二十四 啊，然后这两个刚好抵消，等于二十四啊， f 一 等于二十四，把它标在这啊， f 一 等于二十四啊，二十四，然后再乘以 f d， f d 就 等于二十四，乘以括号二十四加上十二比根三， 然后 f m 呢就会等于中间这个开根等于二十四去乘以括号二十四，加上十二倍根三。那带根号啊，我肯定要让根号前面这个系数呢为二。这是我们初二上学的啊，双重二次公式的一个化简啊。那都提个六出来 啊。那就是幺四四乘以括号四加上二倍根三啊。幺四四开除是十二，那四加二倍根三配完方呢？是，这个配完方应该是根三加一的平方啊，那就十二倍根三，括号加一 啊， f m 就 求出来了，就在这呢。呃， f m 求出来了之后呢？呃，我们延长这个， 因为呢，这个位置是垂直的，这是切线，这点交于呢？是啊， g 点吧。好吧，然后这个时候我只要用什么呢？只要用这个三角形三边比和这个三角形三边比是一样的，就相似的 就可以了。然后我这里边设这个为 r， 那 么 g o 呢，就会是二 r， 因为这是三十度嘛，然后 g m 呢，就会是根三 r， 对 吧？ 然后再到这个大三角形当中去用这个。呃，直角边，短直角边，因为是可知的吗？长直角边是带 r 的 未知数吗？他俩比是二比一就可以算出来了啊。然后我的 g f 呢， 就会等于根三 r 加上 fm， fm 在 那刚才算出来的啊，加上十二倍根三，再加上十二，然后我的 g fi f i 呢，会等于一个二十四，加上 e d 的 一半是六倍根三，然后 f i 乘以二，就这两个就会相等，所以说根三 r 加上十二倍根三，加上十二倍根三， 然后呢，十二倍根三抵消，根三 r 会等于三十六， r 会等于三十六，除以根三十二倍根三 r 求出来十二倍根三，我把它标上去，十二倍根三 啊，然后呢， d i 刚好是六倍根三，是吧？然后我就发现，那就是一比二比根三的嘛，这就是，这就是三十度啊，所以说贪婪的三十度呢，就是，呃，等于的就是三分之根三，贪婪的三十度啊，等于三分之根三。好了，第二最后一问的第一个事就做完了。 第最后一问，第一个事做完了，做完之后呢，我们还要求谁呢？还要求 a q p b 的 面积，那么我得把 p q 找出来， 那用到刚才的那个方法，就是用到我，如果，如果大家用的是第二个方法，用到那个平四边形的方法呢？那我们知道这 m 点呢，应该是对角线的交点，那 对角线的焦点，哎，我看我换个颜色啊，我不想擦这个图，我看这个颜色好用不啊？不知道，来试一下吧，所以我连接一下 o m。 哦，这就是我刚才做的那个平行四边形，应该是，是吧， 哎，这还挺有趣的这个颜色啊，好吧，这一点就应该是我的 q 点，然后这一点呢，应该是我的 p 点啊，这一点呢？给一个 m n 用了吧？ n 没有用，用个 n 点吧。好吧，那就这样了。 呃，那，那么我现在要求的是这个三角形的面积，瞄一下啊，就是 a q p 啊，不是三角形 b 啊，求这个四边形的面积，是吧。那我可以用整体减空白啊，因为尝试一下，你要自己去单独求那部分还挺麻烦的。 那整体减空白，整体很好，求整体呢，是这个底乘以高就行了，不说了，空白是谁呢？空白就是这个 o p 的 面积，那我只要去求出 o p 的 长度，再求出 q 的 纵坐标来，求这段长，也就是 b n 来就可以了。 那 o p 这段我们刚才算了。哪段呢？我们刚才算了。这个， 把 f m 已经算出来， f 在 这了，是吧？啊，我们把 f m 已经算出来了 啊，我们把 f m 已经算出来了。所以呢，呃，这个长度， 呃，我看一下跑哪去了 啊？这个长度 b n 就 出来了 b n 的 长度呢，应该是 f m 的 两倍，因为呢，这有一个 相似啊，于是 f m 应该是个中位线啊，这边是中点，这边也是中点，所以 b n 就 出来了。好吧， b n 出来了，我看看，我擦一下吧，这啊， b n 就 应该是 f m 的 两倍，那就是二十四倍根三加上二十四，那 a n 也出来了， a n 应该是九十减它，那九十减它九十减二十四，就是个六十六，减去二十四倍根三。呃， 我啊，求 b n 是 为啥呢？求 a n 的 目的是为了求 q n， 求完 q n， 我 的 o p 就 出来了，底就出来了，那 q n 是 几呢？ q n 和它是个三比四的关系，用这个去乘以这个三分之四啊，我看一下，等于八十八 哦，减去三十二倍跟三好了。所以这个 o p 出来了，八十八，减去三十二倍跟三好吗？啊，最后我只要用个整体监控白就可以了，整体呢，是九十乘以一百二十 除以二，减去空白是底是八十八，减去三十二倍根三是底乘以高，高是 b n 啊，高是 b n， 也就是二十四倍根三加上二十四。哇，这道题做到这，在考场上，其实 啊，还是如果之间不充裕，其实还是挺挺纠结的啊。这这个数不是很友好，那么前面这个很好算，这个应该等于的是六十乘以九十啊，是五千四百六九五十四，五千四百。然后面这个呢，我得提提公式了啊，八十八和三十二，我能提个八出来， 提个八纯呢，里边就变成十一减去四倍根三，然后再乘以后面这个二十四呢，我提个谁提个二十四出来啊，乘到前面去二十四乘以八，然后就变成了根三加一啊，底下再除以二，好吧，二和这个 八再约个分啊。等于四，那就等于五千四百减去这前面。这个是九十六倍的啊。九十六倍，然后把这个 十一倍根三十一减去四倍根三乘以根三加十一减去四倍根三乘以根三加一。把它算出来啊，类似于多项式乘多多多项式是吧？十一倍根三加上十一减去十二，再减去四倍根三啊，这个括号化减一下呢就是， 呃，抄一下吧。五千四百减去九十六倍的十一倍跟三，减四倍跟三就是七倍跟三，再减去一啊，等于五千四百加上九十六，再减去七九六十三 六九七十二，六百四十二倍跟三啊，这个 啊，对，那最后等于五四九六，再减去六百七十二倍跟三啊，这个啊，对，那最后等于五四九六，再减去六百七十二倍跟三 啊。我不确定我做的对不对啊。这个答案有可能是最后计算是有问题的。我，我稍微把这检查一下啊，别的地方我就不看前面，错了就错了吧啊。十一倍根三，十一减去四倍根三 啊，十一减去四倍根三乘以根三减一，十一倍根三加上十一减去这个，这是这是个减号，是吧？ 所以这应该也是个减号，所以七倍零三减一啊，大概就这样好吗？那么这道题数据部分还是挑战挺大的啊。这个有点像高中的考试了，初中考试好像这么麻烦，计算很少。那么稍微总结一下就是说， 呃，我们对最后一问呢，一个是要有一个间隙的思想啊，间隙有时候你不一定用这个方法，但是它可以帮你得到很多结果。第二个呢就是，呃，一个图形呢？比如说这个，是 啊，六比八吧，随便编个数，然后这段呢和这段呢也是一个八比六的关系，我们就可以构造一个平行四边形啊，在这可以构造出一个平行四边形出来。好了，就说到这里吧。

师大三魔小鸭咒白送三分，哈喽啊，给大家分享一下二零二六年师大、陕师大刚考完的三魔的小鸭咒，填空的就会到 题目信息很简单，考的还挺巧的，我们先来看一下，发来题目告诉我们，这是个圆与直线相交， o 是 圆心往下做垂直，并且 o a 等于三， 然后呢，圆的半径是六，半径是六，那连接 o、 b 的 话， o、 b 的 长度就是六呗。 b 是 圆上一个动点往下做垂直，请求这个 a、 c 加 b， c 的 最值，请求这两个线段的最值。正常来说，线段求最值的话，我们学过平移、对称、旋转、构造权等等的一些方法， 哎，但这里面好像有一些信息我们还没提取完，你看这个给了三有什么用？这个给了三的话，我是不是说我要是过 o 点往 b、 c 做过垂直，这个记为点 d 的 话，那么我们的 c、 d 就是 三， 没问题吧？它是矩形嘛？那这个时候呢，本来想求的是这两个线段的最值，其中有一份三是固定的，那我们现在只需要去求 a、 c 加 b、 d 的 最值就行， ok 啊，那为了更直观一些，为了大家看的更清楚一些，我们不如我大胆假设，我假设 a， c 是 a， 那 么这样的话， o、 d 就是 a， 我 假设 b， d 是 b， ok 吗？那我现在问题其实是不是就是请求出 ab， a 加 b 的 最值， a 加 b 的 最大值就行，对吧？而且它还是个垂直，它有个特点是 a 方加 b 方是等于六的平方。 这个题呢，用高中的方法肯定能做啊，有什么构造对偶式啊啥的。我们不管那些，我们就分享初中的方法， 初中这种题是怎么做的？你看想要求这两个线段的最直，而这两个线段它有个特点，第一，它们的夹角是九十度，第二，它的对面是六厘米长度的定边。这个东西其实我们可以管它叫定边定角。 哎，为了大家看的清楚一些，我们在下面重新起图啊，我们重新画个图，假设这是 a， 这是 b， 这是六，请求 a 加 b 的 对称。这个题作为填空题的话，我们可以把答案给猜出来，定边定角可以把辅助圆画出来，画出来之后呢，这个点在这个圆上运动， 运动的过程当中，你说什么时候他俩有最值？因为原有对称性，你往左边放和往右边放的效果是一样的，所以我们就往正中间放，往正中间放，那它长度，其实这就是个等腰，这样算行呗。这个是六的话，这两个长度都是三倍和二倍，所以 a 加 b 的 最值就是六倍和二倍。 猜的话可以这样干啊，但我们讲题给你讲清楚，防止万一他解答题口的话，你不能再猜了，哎，怎么办？线段求最值，还是要画这为值。我们可以选择延长， 延长 o d 至减 e， 使得 d e 的 长度等于 a， 再连接 e b， 知道为什么这么干吗？这么干第一个原因就是这样一来， a 加 b 就 在一条线上， 对吧？第二，因为这本身是直角，我再做个长度 a 相等的话，这岂不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形，岂不是说角 e 呢？是我们做出来的四十五度。 哎，这个时候我们想求 a 加 b 的 最值，就求我们此时此刻 o e 的 最值均，而 o e 它仍然是一个新的定边定角。 这个东西呢，其实是一个双重定边定角，如果你不会的话，可以去翻我们的主页，我们主页专门讲过这个系列几乎一模一样，双重定边定角。 ok， 那 怎么办？我们现在给画外接圆，画谁的外接圆？画三角形， o e b 的 外接圆，画这个四十五度角的外接圆，双重的定边定角， 好在这个位置，那化为圆第一件事就是化圆了就先找半径呗。 假设半径是 q 的 话，我们连接 o q， 连接 b q， 则这个角是直角。半径为 r 的 话，我们的六呢，是等于根号二倍的 r 的， 没问题吧？圆心角是圆周角的二倍呢，一比一，比根号二，所以很容易算出半径呢，是等于三倍根号二，半径是三倍根号二。我们要求 o e 的 最值，你说 o e 的 最值多少？ o e 的 最值， o e 作为圆中的一条弦，它最长，最长是直径的时候，对吧？所以它是小于等于我们的直径的两倍的半径，也就是六倍根号二。 哎，这样一来，我们就可以说 a c 加 bc， 它在我们图中是一个 a 加一个三加一个 b， 也就是 a 加三加 b， 那 它合在一起就是小于等于六倍根号二，再加三， 所以它最大值六倍根号二加三。好吧，搞定。

咱们来看一下现在我刚才用梯形造生成的西宫大附中三模数学填空压轴题这道题啊啊，这道题说的是平行四边形， abcd 中 ab 等于七， ab 等于三分之四。 p 呢，是 bc 上的一个动， ab 上的一个动点 b q 垂直于 p q 直线， p q 是 平分面积于周长，然后 b q 最大的时候 p q 最大，求 p q 的 长。咱看一下这道题的运动轨迹啊， 还是上传题目图片生成几何动图啊？我已经生成过了，咱们来看一下。好，点击左上角的自动播放，它就可以动起来了。 好，这道题说的是 b q 最大的时候，求 pc 的 长，对吧？ 好，听一下，点左下角这个 b q 最大啊！定位答案，这个按钮一点 b q 此时最大 pc 的 长是多少呢？来看一下答案，答案给的是根号六十五，这里有详细解析啊，关键的解析步骤， 这里的解析步骤仅供参考，大家可以先来自己对一下答案对不对啊？这个答案是 ai 生成的， 过程可能不一定详细啊，大家也可以试着用一下这个工具来看一下动点是如何运动的，你也可以拖动右上角的滑杆去看这道题的运动轨迹啊。

树感在线，逻辑不偏。大家好，今天我们来看一下铁一路港三模的这个十三题啊，这个题呢，其实它的难度不算大，但是呢，关键点呢，很多同学想不到，尤其是怎么确定这个动点的运动轨迹，这是一个比较有技巧性的东西。好吧， 我们一起来读一下题。如图， c 是 am 上一个点，并且呢， ab 和 ac 垂直， ab 长度是个定长，等于四 e 呢，是 ab 上一个动点，并且要保证 be 这条线和 ac 这条线永远相等，然后呢，连接 bc， 过点 e， 做了一个垂直于 bc 的 一条线 e h， 对 吧？然后再把 a h 连接起来，来求 a h 的 最小值。而看到求 a h 的 最小值，这个核心点呢，就是嘛，就是 h 的 轨迹呗， 我们要找到 h 的 轨迹，因为 a 是 动点，当 h 轨迹确认的时候，我们说点线最值还是点圆最值，这些东西都很好求了，对吧？所以呢，核心点就是这个 h 是 怎么动的。那么接下来我们要考虑的是关键问题是这个 b e 和 ac 相等，这个关键条件怎么用？ 看到这个条件之后呢，大概率需要构造什么全等，所以呢，过点 b 呢，往外做一条平行于 am 的 一条直线，然后呢，再延长 e h 和它相交于点 f， 而此时呢，我们不难证明，三角形 b a c 一定全等于三角形 f b e 的 这组全等的证明非常简单哈，大家其实核心记住，这里边有一个垂直，所以它是角一，它是角二，那么这个地方必然是角二，再加一个直角，还有 b e 和 a c 相等，所以这两个必然全等。 好，那么有了这一组全等之后呢？那么这个问题其实基本上就已经解决到一大半了啊！核心呢，是你一定要记住，虽然这个图里面没有标注这个是垂直的，一定要记住，这里边有一个垂直，所以 b h 和 h f 垂直， b f 定长，对吧？因为全等之后呢， ab 是 个四的话，那 b f 必然是个定长四， b f 定长，然后呢，这里有直角，那么 b h f 必然共圆，所以 f 的 轨迹就是一个什么，就是一个半径为二的圆，所以我们把这个圆画出来 好，那么 h 的 轨迹呢，是一个半径为二的圆，那么这个题其实基本上就已经解决完了，对吧？那么点圆最值啊，就是 a 一 箭穿心嘛，对吧？一箭穿心记，这个点为 o 的 话，嗯，那么此时 a h 的 最小值呢，就应该等于 o a 的 长度减去半径 r， 对 吧？而 o a 的 长度的话，直接勾股定底就行了啊。此时这个地方，因为你要保证 o h 连接起来， o h o h 的 长度就是什么 r t 三角形斜边中线嘛，所以 o h 必然等于二， o h 等于二，也就半径 r 等于二，对吧？ o h 和 b o 相等，都等于二，所以呢， a o 的 长度呢，我就可以直接勾股定律，等于根号下 o， b 方加上 a， b 方根号下二十，等于二倍根五， 好， a 五等于二倍根五，所以呢，直接 a h 的 最小值就等于二倍根号五减半减二二结束，好吧，好，当然我觉得这个题最核心的一个点就是能不能想到，因为 b e 和 a c 相等，所以说我需要往右去构造一个 正方形，或者说构造一组全等关系，然后呢，把 a o h 的 这个长度呢进行一个转化，然后呢确定 a o 的 长度减去半径 r 就 能找到 a h 的 这个最小值了。其实就是一个点原最值问题难度并不是很大，但核心点是这一组全等关系的构造，好吧？

我们今天讲一下留住四三五的第十三题，我们先看题目，题目中给出一个函数，给出一个特殊的式子， f a 方加 f b 等于求 a 方加三 b 的 最小值。这道题目中，如果我们 不考虑特殊办法，我们只考虑用题目中的条件 f a 方加 f b 等于零，那我们就试着去考定这道题目中原式。原式中我发现对等 s 有 个特殊的式子，对等 s 分 之一，他们两个相加等于零，那这时候就得到一个特殊的未知数 s 分 之一，这时候我们就试着把 s 分 之一给代入圆还是中，我就发现 知道这个式子 f s 泵机是等于原式 f s 的 相反数的，所以我觉得 f s 加 f s 泵机等于零，那就等加于题目中。给我们调进这个式子和这个式子是一模一样的，就觉得到 s 乘 s 分 之一等于 a 方乘 b 的 一，那这个时候最终的题目的问题， a 方加三 b， 套用我们的基本不等式，它大于等于二倍。根号三乘以根号 a b， 那 就意味着根号 a b 等于一，那就意味着我们的答案就是二倍的。

好，我们来一起看一下陕师大附中三模数学第十三题的填空压轴题的几何动图啊。先看一下动图吧。嗯，动图是这样运动的 啊，求的是 bc 加 ac 的 最大值。嗯，看一下，求的是 bc 加 ac 的 最大值。这是 ai 给的一个三种啊，三种解析步骤， 精工参考啊。这里方法一我都不建议去看了，然后方法二和方法三可以看一看， ai 给的答案和可能和大家做的方法不太一样，但是有的还是值得一看的啊。好，咱看一下这道题，这道题说的是圆 o， 呃，有一条直线相交啊， l 这条直线相交 o， a 是 垂直于 l 的， 垂足是 a， 然后 b 是 直线 l 上方圆 o 上的一个动点， bc 垂直于 l， 圆 o 的 边半径是六 o， a 是 三。 ac 加 bc 的 最大值是多少啊？就是这么一道题， 这样的话，我们可以让这道题动起来， b c 加 a， c 的 最大值啊，就是这样子的。那这道题具体怎么做，大家可以看一下这个参考答案给的，尤其是方法二和方法三可以看一看 啊，这可能用到一些。嗯，三引啊，法加科三引啊法之类的一些可能会高中户可能会学到一些知识点， 以 sine f 加 cosine f 等于一，这样子的知识点，大家可以。嗯，就是参考一下 a i g 的 答案。好吧，就是这道题的动图了。

距离中考只剩七十天了，对于中考数学模考九十分左右的陕西考生，只要练好这八道题就够了。作为专治研究中考命题趋势的数学人，高老师在此建议，对于成绩中等偏上的孩子，只要练好选择题、填空题最后两道外加解决问题的后四道，中考成绩一百零八加不是梦。

这个视频我们讲一下二零二六年初三春季第四讲小册 出错率比较高的几道题型。首先看一下第七题，若点 a x 一 负一， b 点 x 二一， c 点 x 三五都在反比例函数 y 等于 x 分 之五的图像上，则 x 一 x 二、 x 三的大小关系是多少？ 那么我们可以画一个草图，我们把这三个点大致的在这个图形上，把它标出它的一个位置，我们就应该能够确定这一个 x 一 x 二、 x 三它的一个大小关系。我们先画一个经过一三象限的一个反比例函数的一个图像， 然后 a 点它的一个坐标是 x 一 负一， 我们假设这个点，对吧？这个点就是一个 a 点，那这里对过来，这里下面，这里就应该是标一个 x 一 这个位置，我们就应该是标一个负一，在这里代表 a 点的坐标，那 b 点的坐标我们应该是标一个， 它的纵坐标是一，也就是我们这里这个位置标一个 b， 然后这里纵坐标是一，那么它对下来，这里就应该是一个 x 二， 然后 c 点它的一个纵坐标是五，那 c 点的纵坐标是五的话，它就应该是在它的应该是大概在延长线，它可能在这个位置， 这个点就是 c 点，然后我们把它延长下来，这个位置就应该是 x 三，然后它的一个纵坐标往 y 轴这里对应一下的话，这里就应该是一个五， 那么我们来比较一下这一个 x 一 x 三和 x 二的一个关系，就会发现，对吧？ x 一 在最左边， x 三在中间， x 二在最右边，所以我们就得到了 x 一 小于 x 三小于 x 二， 所以这道题我们应该选择 boy， 看一下第八题，下列命题中是真命题的为哪一个？ a， 一 组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。这个我们可以举一个反例，比如说我们画一个等腰梯形就行了， 等腰梯形它就满足了，一组对边平行，另外一组对边相等，所以 a 是 假命题。对角线互相平分的四边形肯定不是矩形，它应该是一个平行四边形。 c 一 组对边相等且对角线互相垂直的一个四边形是菱形，那么这个在考试的时候我们应该是比较难去验证的，所以我们可以看一下 d 选项，看一下它描述的对不对。 d 选项它说三个角是直角，三个角是直角，也就意味着它现在已经是一个矩形了。好，加上对角线又是垂直的， 对角线垂直，那它肯定可以变成一个正方形，因为这是属于正方形的一个判定方法，就矩形加上对角线垂直，一定能够得到正方形。所以第八题应该是选择 d 答案的。看一下第十题， 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h 与小球的运动时间 t 之间的一个关系是 h 等于三十 t 减五 t 的 平方。有下列的结论，小球从抛出到落地需要六秒，怎么理解？第一句第一个小结论， 那么它从抛出到落地落到地面的时候，也就意味着这个 h 它就变成零了。所以这道题我们首先就是令 h 等于零， 那令 h 等于零，就得到一个三十 t 减五 t 方等于零。 这个方程我们就应该可以先先乘一个负一吧，那就得得到一个五， t 方减三十， t 等于零，再缩小一个五倍，那就得到了 t 方减六， t 等于零，然后我们可以把它进行一个提供一四 就变成了 t 乘以 t 减六等于零，所以求到有一个 t， 一 是零， t 减六等于零，所以求到有一个 t， 一 是零 t 二是等于六， 但是我们知道这个 t， 对 吧？他说从抛出到落地需要六秒，这个是没有问题的，他落地就一定是六秒的，这个一是对， 小球在运动当中的高度可以是三十米，这这句话怎么理解？那么因为这个 h 他 是一个关于 t 的 一个二次函数，所以我们可以进行一个 配方吧，把它配成一个顶点式，所以我们首先提一个负五出来，那它就变成了一个 t 方减六 t 下一步的话，我们就可以把它变成一个负五乘以 t 方减六， t 先加一个九， 再减一个九， 所以我们这里就应该得到一个 负五乘以一个中括号 t 减三的平方，然后再 减一个九，然后把负五把它乘进去，就应该得到了一个负五乘以 t 减三的平方，然后加上一个四十五。 也就是说小球他其实在运动当中他的最大的一个高度 h， 他的一个最大值就应该是四十五。然后题目说小球运动当中的高度可以是三十米，这个是没有问题的，因为最大高度都可以达到四十五，那么某一某一某一时刻肯定可以达到三十米的，所以这个二是对的。 那么三它的小球运动两秒时的高度小于运动五秒时的一个高度，这个怎么理解呢？这个我们应该可以把它理解成是一个函数图像的问题。我们先把这个函数图像画一下， 它应该是一个开口向下的一个二次函数，而且它会经过两个点，一个点是零斗零， 那还有一个点应该就是六斗零啊，一个六斗零，比如说我们假设这个点就是六斗零，然后它的一个开口应该就是向下的一个抛物线。 好，左边我们应该是，本来我们应该是这样，但是我们可以先画一个虚线。那么运动两秒时的一个高度，我们找一下，先找对正轴吧，它的对正轴是多少呢？ 它的对正轴就应该是二分之零加六，也就说对正轴是 x 等于三的。然后我们找一下，一个是两秒时，两秒时，也就说它距离对正轴刚好就是一个单位长度， 那运动五秒时，五秒距离，这个对准走走应该是两个单位长度，所以五应该是大概在这个位置。好两秒时，他的高度刚好是对过来，这里好五秒时，他的一个高度，他刚好应该是对到下面。这里来 好。题目说小球运动两秒时的高度小于五秒时的高度，两秒时的高度是在这个位置，五秒时的高度是在它下面，所以并不是小于，而应该改把它改成大于，所以这个三是错的，我们正确答案应该选 c 有两个好。十二题，一个代数是有意义，那我们要保证两个东西，一个是根号有意义，根号有意义就要保证被开方数大于等于零。好，这里有分母 s 减四，不能等于零， 所以我们这里的话，最后写范范围就应该写 s 大 于等于零，然后要加一个，且下面这里应该得到是 x 不 等于四，所以要加上 x 不 等于四。注意，我们有部分学生是写了一个 x 大 于零 被开放数有意义，它是可以等于零的啊。好，十三题。如图，在一个圆形餐盘的正面及其固定支架的结面图。凹槽 a、 b、 c、 d 是 矩形，当餐盘站立且紧靠支架时， 紧靠支架位于点 a 和 d 时，恰好与 bc 边相切，则此盘参盘的半径等于多少厘米？那很明显，这道题应该是考察一个垂径定律有关的一个知识点。我们先过 o 点做一个垂线下来， 那么垂直于弦就会平分弦，这个 a、 d 就是 这个 bc， bc 是 十六厘米。然后我们假设这里有一个 e 点嘛， 我们做一个，比如说我们这里做一个 o、 e 垂直于这一个 bc 吧，对吧？我们这里标一个 h， 先说交代一下，做 o、 e 垂直 bc 交 a、 d 与 h。 根据垂径定律，垂直于弦会平分弦，所以我们就这一个 a 等于 d 一， 我们就可以标 两个八吧在这里。然后这个 e、 h 其实就是 c、 d， c、 d 就是 这个四厘米。你说这这这个 e、 h， 这里我们就可以标一个四啊。简单交代一下就可以有 a 一 等于 b 一 等于八， 然后这一个 e、 h 等于 c、 d 等于四。因为我们这道题是要求半径，求半径肯定要再把这一个 o、 a 把它连起来， 然后我们使用一下勾股，比如说我们设半径为 x， 那 么这个 o、 e， 这里就应该标一个 x 减四。所以下一步我们就可以列一个方程， x 减四的平方等于 x 的 平方， 所以我们这解的这个 x 应该是等于十的，所以参盘的半径就等于十厘米。 现在我们看一下第十四题，这个十四题也是错的比较多的一道题啊。我们首先看一下它的条件，在平面直角坐标系当中， a 点的坐标是一到零 点 b。 在 反比例函数 y 等于 x 分 之 k， x 大 于零的图像上， b， c 垂直于 s 轴于点 c 角 b， a， c 等于三十度。将三角形 abc 沿 ab 翻折，若点 c 对 应点 d 落在该反比例函数的图像上，则 k 的 值为多少？ 好，我们简单标一下这个角可以标一个三十度，那三十度所对的直角边是等于斜边的一半。我们不妨假设这个 b， c 的 长就是一个 a 吧，我们先 令这一个 b， c 的 长等于 a， 然后我们就立马可以求到这一个 a， c 的 长应该是它的根号三倍， 根号三 a， 所以 我们进而就可以把这个 b 点的坐标把它表达一下。 b 点的坐标横坐标，这个要注意一下，它是因为这条边，我们刚才说了它是根号三 a， 但是它前面有一个 o， a 的 长度是一， 所以 b 点的横坐标就变成了根号三 a， 要加一个一重坐标，就是 a。 接下来我们要去想一下这一个低点，低点的坐标怎么表示那低点？我们首先我们要做一个垂线下来， 比如说我们假设这里是一个 h， 我 们做一个 d， h 垂直于 s 轴 与 h， 根据翻折，我们知道这一个 a， d 会等于这一个 a c， 它会等于这一个根号三 a， 也就说这个 a、 d 这条边，这里我们可以标一个根号三 a， 然后我们知道翻折它的对应角会相等，这里标了一个三十度，那这个位置也标了个三十度，这个角 a、 d、 h， 我 们也可以标一个三十度，所以我们就可以知道这一个 a、 h 的 长，它就应该是等于二分之 根号三 a， 然后这一个 d、 h 的 一个长，它就应该是根号三倍的 a h， 根号三倍的 a h， 所以 它就应该是等于二分之三 a， 所以我们现在我们就可以表达一下这个 d 点的一个坐标， d 点坐标就是横坐标，它就应该是二分之根号三 a 加一个一，二分之根号三 a 加一个一重坐标就是二分之 三 a。 然后我们知道这一个 d 点和 b 点都会在这个反比例函数的图像上， 那么把 b 点的横坐标跟纵坐标相乘，它就会等于 k， b 点的横坐标和纵坐标相乘，它也会等于 k， 那 也就意味着 b 点的横坐标乘纵坐标会等于 b 点的横坐标乘纵坐标。所以我们就可以得到一个方程， 我们就把它写到这里，所以就有 a 乘以根号三 a 加一个一，等于 二分之三 a 乘以一个二分之根号三 a 加一个一。好，我们其实可以解这个方程的话，我们可以先把这个 a 约一下，因为左右两边都有 a， 所以 左边就剩下了一个根号三 a 加一， 右边就得到了一个二分之三乘二分之根号三 a， 那 就得到一个四分之三倍根号三 a， 然后再加上一个二分之三， 然后我们把这个四分之三倍根号三 a 移移到左边来，就变成根号三 a 减四分。之三倍根号三 a， 所以 它得到的是四分之 根号三 a， 然后二分之三减一，那就得到二分之一的。所以我们接着我们就求一下这个 a 等于多少，那 a 的 话就应该是等于二分之一乘以 根号三分之四，就应该求到它等于根号三分之二，那也就是得到一个三分之二倍根号三， 求到这一个 a 是 三分之二倍根号三，所以这一个 b 点的坐标，我们就可以把它写一下，根号三，乘以这一个 a， 那 就变成了 根号三，乘以它，那就变成了二，二加一就是三， 那这个 a 就是 三分三分之二倍根号三，所以就变成了 b 点的横坐标是三，重坐标是三分之二倍根号三，所以这个 k 我 们就是把它的横坐标乘重坐标三，乘以三分之 二倍根号三，它就得到二倍根号三，所以这里就填二倍根号三就可以了。

咱们九年级的刚刚参加了 c 二零教育联盟的艾摩数学试卷呢，刚已经考完了，张老师呢也已经拿到了 那。呃，像咱们苏州市的啊，徐中一中的，他们是参加了这次的 c 二零的模拟考试啊，像其他的话，像 九中的和十一中的话还没有，是下周考试。所以说大家呢，务必呢要把这张试卷呢先 练练手啊。嗯，需要的话可以呢跟我说一下对吧？在评论区回复中考加油！我发给大家啊，一定要提前去模拟一下，看看赛灵按摩的考哪些题型，考哪些题型对吧，提前练练手肯定对你有所帮助，加油！