2026河南五市一模标准答案

好，今天呢，我们来评讲一下我们刚刚考过的一模考试的一个数学试卷，嗯，那本视频呢，主要是从单选和多选择题啊，给大家去讲解 啊。首先呢，我们来看啊，看第一个题，第一个题呢就是一个集合问题，但是这个题呢，实际上是一个易错问题，是一个易错问题啊，通过这些题呢，我们去给大家复习这些相应的知识点 啊。那首先呢，我们看其集合 a， 集合 a， 它 x 属于 n， 那 么这里面第一个易错点就是这个 n 啊，同学们做的时间长了，他就忘记了， n 呢是自然数，它包含零啊，包含零一二三四这些正整数。那所以我们在解这个不等式的时候，一定要注意一下，就是它是含零的，那我们首先呢对这个式进行一个因式分解，进行一个因式分解， 然后我们看这里面配啊，十字相乘法的话是一负一，然后一三，因此呢它一式分解以后呢，写成这样的一个形式，然后我们画的是啊，这个二函数，相应的二函数，那对应的方程的根呢，是负一和三，然后开口朝下。 那因此我们解集大于零的话，对于集合 a 来说啊，它这个地方就是 x 大 于负一，然后小于三，那么因为呢 x 它又得是什么呢？自然数，所以对于集合 a 来说，它等价于零一和二。 好，这是集合 a 中的注意事项，就是 n， 可能时间长了容易忽略零。第二个是对数型函数的一个解不等式， 那么我们看就是你在解对数函数对数不等式的时候，一定要注意，真数怎么样呢？是大于零的，这也是一个第二个易错点。 那么这个呢，我们可以转化成是以二为底 x 小 于二呢，它可以转化成是以二为底四的对数，那因此这个对数不等式的话，它的解集就是小于等于四。同时咱们不要忽略了零 啊，因此集合 b 呢，他看成是一个 s 集合的话，他应该是零到四啊，零到四，左开右闭，那对应的话，我们再去求交集啊，最后再去求交集的话，他就很好求了。那最后的交集应该是什么呢？应该是一个整数 啊，同时呢，他不包含零，所以应该是一和二，那么正确答案选的是 c， 我们在做这个，呃，第一题集合问题的时候一定要注意，比如说第一种啊，易错的是分式形啊，分母不能为啊，为零啊。第二个呢，是对数形啊，对数形，我们强调的是啊，真数大于零。 第三个呢，你要区分是 z 整数级啊，自然数级和啊正整数 n 星啊。第四个呢，你要分清楚是求的是交集并集还是补集还是补集啊。第五个呢，你要注意清楚，是求的是元素个数啊， 是元素个数还是子集个数啊，还是真子集个数啊，这是第五个。那么第六个呢，我们强调的是什么呢？强调的就是啊， 呃，强调这是子集，那我能想到的易错点啊，就这些。还有一个很重要的就是你的竖线前面是元素还是点啊？这些都是我们在做集合中问题所容易出现的，所容易出现的易错点。 好，接下来我们看一下第二个题。第二个题呢，是他考察的是百分位数，他考察的是百分位数啊，这个百分位数我们应该怎么做呢啊？ 我们通过观察，其实在题干已知信息中啊，他是从小到大已经给大家排过了。那我们的百分位数在做题的过程中啊，第一个一定是从小到大 啊去排列，从小到大去排列，然后第三个，第三个是屁分位数。第二个是啊，就是屁分位数，应该怎么求？我们先数一数，题干信息中有几个数字，我们 n 乘以屁，如果是一个整数 啊，如果是一个整数，比如说啊，比如说它等于 k 了啊，整数，那我们就取，我们就取 ak d k 的 数和 d k 加一个数的 平均数。好。第二个，如果 n p， 它为什么呢？它为小数，它为小数部分啊，也就比如说我们取的是大概是七点五，对不对？那我就取下一个 a 八 数作为这个 p 分 为数的一个求值。那因此我们看一下，对上面数字来说，我们从小观察到他是从确实是从小到大排的，那这一步我们就可以不用去处理了，那么我们依次标上一二 三四五六七八啊，我们按照刚才老师教给大家的这个百分位数的求法，我们来去实施，然后我发现 n 是 几， n 是 八，然后他又求的是百分之七十分位数，那么 n p， 也就是啊，八去乘以零点七五 啊，相当于八乘以四分之三啊，八乘以四分之三，那它应该是一个六，那我们发现呢，它是一个整数了，那因此此时的话，我就取第六个数和第七个数的平均数啊， n p 为整数，就取这个整数和下一个整数的平均数。如果是一个小数，那我就取比它大一，比它大的一个最小的整数就可以了。所以我们就选取第六个和第七个的平均数，也就是二二三，然后加上二五二，然后除以二， 算出来的话，应该是啊，四七五除以二，那最后是二三七点五啊，二三七点五 啊，这个地方他应该是二三七点五，你看这个是标错了啊，这个是标错了， 好，是标错了，答案应该选的是啊，二三七点五。好，这是第二个题，那我们在一楼复习的，在在这个二楼复习阶段，就是我们如何做到查漏补缺啊？如何做到啊？查漏补缺，那就是说我们啊， 我们如何有效的去复习？就是我们看到一个题，我们错的时候，我们一定要去啊，去了解，去啊，反复的去复习啊，去复习我们的这个知识盲区啊，知识盲区，那下次出到别的你也会啊，比如说我们下次出到了小数点，那你也是 会求这个百分位数的，这种问题是不容不允许丢分的啊。然后我们看第三题，那么第三题呢？实际上他考察的是比较复杂的这个问题啊，那我如何去下手？首先我们看到这个周期派，还有他的一个指令哈， 啊，我们去用排除法去做一下，那首先我们看一下，就是说它的这个，呃，既然它的周期是派，我们去验证一下，那周期是派的话，我是不是横有 f x， 它就等于 f x 加派 啊？那我去验证验证，如果它是 x 加派的话，它是 x 加派的话，那么与原来的啊，与原来的这个函数究竟是否是相等的关系啊？那么口算 x 加派对不对？好，这里面呢，实际上就是大家 还有还有个注意细节，就是说在做题的时候，其实他后面是一个乘法啊，是口三 x 乘以后面这个框里面的绝对值函数，然后去乘以括号啊，那就是三 x 加派， 然后再减去啊，三 x 加派，那实际上呢啊，他这个题放在第三题的位置啊，很容易吓到同学们啊，那我觉得他第一个知识点呢，应该是考察大家的，是 啊，诱导公式的一个应用，诱导公式的应用，那比如说我 f s 加派啊， f s 加派，它等于什么呢？它等于这个是负口三 x 对 不对？然后我去乘啊，中括号里面是负的 三 x， 那 绝对值里面对它是没有影响的啊，绝对值里面对它是没有影响的，那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面是没有影响的。那所以说啊，所以说这个地方呢，还是减去三 x 里面，其实是负的，但是有加了一个绝对值 啊，所以最后的 f x 啊，它加个 pi， 它加 pi 应该等于什么呢？应该这个有符号， 这里面也有符号，所以负负为正了，就是口三 x， 它乘以啊，三 x 怎么样？加上三 x 的 啊，绝对值啊，这是这样的一个函数，那我们很明显发现啊，就是这个函数，它其实跟原来的这个负负号是不对的，所以说它的周期不会派，那因此我们在 cd 之间去选 啊， cd 之间去选，也就说它的周期一定是二派，那我们每个函数它周期啊，这个口三 x， 它的周期是二派啊，绝对值是派，那综合完以后，它周期就是二派啊， 我们也可以去验证啊，这是啊，第一层面去通过周期去算。第二是值域，那在算值域的时候，我们就不得不去考虑绝对值函数的这个， 呃，如何去拆分啊？它的本质呢？就是一个绝对值的一个拆分，我们知道 x 的 绝对值，那分两种情况，它大于等于零的时候，就是它的本身， 如果它小于零的话，就是它的相反数。那因此对于 sin x 来说，我们先画出啊 sin x 的 整体的一个图像啊，整体的图像，那么整体的图像它是这样的一个趋势啊，它这样的一个趋势，这边是 pi， 这边是二 pi， 那 因此对于 sin x 的 绝对值来说啊，我，我整体来去啊去处理啊，这部分。 好，我们来看一下，那他就分两部分啊，第一个是啊，当 x 我 就先研究一个周期就行了，因为我的周期是二派啊，大于等于零，然后小于等于派的时候， 它的这个三是不是等于它本身，所以减完以后是一个零。如果是大于派啊，大于派，然后小于等于二派的时候，那它会多少呢？它是一个负值，所以我们看它实际上就是三 x 呀，然后加上，因为你提个符号，负负为正，加上三 x， 那他所以就是一个二倍的三 x。 好， 那么接下来呢，我们来看一下，就这个地方呢啊，这个地方，我写到这个步骤以后呢，就是我对这个括号里面呢进行一个处理。 那接下来呢，我再结合口三 x， 所以 原来的函数，整体来说他也是一个分段函数，那么零乘任何数是零，所以在啊零到派上啊，他这个是零，然后呃，在派到二派上，他是一个这样的一个 呃，这样的一个二倍的三 x， 所以 二倍的三 x， 原来 s 相乘的话，实际上就是二倍的三 x 乘以口三 x， 那 么这里面的它的范围呢？就是派到几？派到二派啊？ 派到二派，那么这个地方呢？我们啊，刚才呢，我们是考察了诱导公式啊，考察了诱导公式， 然后这个呢，又考察了绝对值函数，同时又考察了一个背角公式，所以它的啊，综合性是比较强的啊，综合性比较强的，从前面题已经开始啊，这个考察大家知识点是比较多的，那这个的话，我直接就换成是三 e 二 x sin x， 那 么整个来说，我们去画出 sin 二 x 图像， sin x 图像，那么 sin 二 x 图像，它的周期呢？是派啊，它的周期是派，然后这个是派，对不对？ 这个是呃，相当于是呃周期呢？为什么是派呢？是二派，除以它的系数是 二，所以周期是派，我们先画出呀，三 e 二 x， 它的完整的图像啊，完整的图像啊，大概是这样的一个趋势，对不对？然后我们再去 啊，再去描述这个是二派了，对不对？好，现在呢，我们去综合的去看一看啊，原来我们这个本期中所想要的零到派，我们现在去看综合了零到派上啊，它是零，所以我们整合完以后的 f s 函数，零到派上是零， 然后呢，派到二派是三 e 二 x， 那 么三 x 的 图像是这样去画的啊，是这样去画的， 所以说整个来说呢，我们最后的啊，这个这个值域呢，应该属于什么呢？应该属于负一到一啊，所以本题的答案选的是 c 啊，本题的答案选的是 c 啊，我们看到这种复杂的问题，一定要从题干去下手啊，不要害怕， 那我们第一层呢，我们再复盘下，第一层呢，我们通过周期去筛选啊，那如果派是周期呢？是不是横有 f x 跟 f x 加派相等，那发现它不等啊，发现它不等，那这样的话，我们的周期肯定就是二派了， 肯定就是二派了。然后接下来呢，我们去求它的值域，我们在求值域的时候可以分两段啊，可以分两段，就是我们先研究三 x 减去它的绝对值 啊，我们该如何去处理，那去绝对值就考虑三 x 什么时候为正啊，零到派上是正的，减完以后是零，然后派到二派呢，它是负的，负负为正，所以是二倍的三 x， 那 这个时候呢，我们不能单独的看二倍三 x 的的之余和口算的之余，我们要联合在一起，是吧？啊，获得了，在这个函数呢，他在派到二派上啊，实际上是一个这样的一个图像，是一个三，是个三二 x 图像啊，所以说呢，我们的最大值是一，最小值是负，一好就获得了。 那么在领导派上呢，他的这个值实际上是恒为零的啊，好，这是我们考察的知识点，诱导公式呀，去绝对值呀，书型结合呀啊，这些思想得用上。 好，接下来呢，我们看下第四题，那么第四题呢，是考察的是向量啊，什么是投影？什么是投影？向量？我们先呢啊，对知识进行一个复习，比如说投影是什么意思呢啊？比如说这是啊， b 向量啊，这是 a 向量， 那么投影啊，我们先解释投影该怎么求，然后什么是投影，什么是投影向量啊？概念不能模糊是吧？我们 a 向量在 b 向量的投影，实际上就是影子嘛，对不对？影子的大小只是说在向量中呢，它有正向投影呢，它是有正有负有零的。 好，那么如何来求这个投影啊？其实就是投影呢，就是 a 的 模哈，乘以口塞 c 塔，但是直接去求，那如何来间接求呢？我们是 a 向量，点去 b 向量，然后除以 b 向量的模。哎，这是投影的概念。 第二个呢是投影像量啊，投影像量，我们注意啊，我们注意，投影像量呢，就是我们刚才这个投影啊，它是一个数啊，它是一个数，它有正有负有零啊，正投影负，投影零， 那么投影像量呢？它最终呢是一个向量的形式呈现的啊，那就是这个向量就是它的投影向量。我们刚才算啊， a 向量乘以口算 c 塔，实际上算投影的数量， 投影的大小，投影的正负，对不对？然后我们再乘以 b 方向上的单位向量，就获得了 a 在 b 方向上的投影向量， 也就是说前面是一个数值，后面是一个单位向量，组合成相乘以后就是投影向量，那么进而我们得到一个公式啊，我们把这个放过来，就是 a 向量啊，点成 b 向量， 去除以 b 的 模，然后再乘以 b 方向上的单位向量，组成了投影向量。 好，我们在理解清楚呀，理解清楚这些啊，相关量以后呢，我们再去解决问题。那我现在我的目标是非常清晰明了的 啊，我的目标呢，就是求 a 向量在 b 向的投影向量，我就拿 a 向量点成 b 向量，除以 b 的 模， 然后再乘以 b 方向上的单位向量。那么这里面呢，我们要解决的是，我们要解决的是 a 与 b 的 数量级，从哪里解决？就从这个式子， 我们知道向量的啊，模方就是向量方，对不对？所以我们把这个 a 向量减 b 向量啊，向量方就是魔方，它就等于五， 通过这个式子，我们能够获取啊，能够获取出什么呢？ a 与 b 的 向量的数量级啊， 好，这是解决问题的关键切入点啊，切入点第一步好，那么因此我们看 a 模是一，然后减去二倍的向量， a 点成向量 b 加上 b 的 模， b 模呢，我们知道啊，它的运算呢，就是根号下 x 方加 y 方，就是根号二，那所以这个地方就是一个五 啊，进而得到 a 向量啊，点乘 b 向量，它等于几呢？它等于负一啊，所以我们的目标带过来啊，我们的目标带过来就可以是负一， b 向量的模呢，是根号二，然后这里面 b 的 模式，这是根号二， 那么 b 向量这里面呢，你就用点乘坐标来表示啊，它其实就是一个负二分之一的 b 向量。那如果说题目中是啊，以 b 向量的形式来展现，我这个答案就对的，但是呢，它已坐标，所以我再把 b 向量的坐标带进去，那就得到负二分之一， 负二分之一，所以本题的答案选的是 a 啊，这个相对来说是比较简单的，就是我们在做题的时候呢啊，要搞清楚，要搞清楚啊，它是一个数，它是可正可负可为零 啊。第二个是投影向量，投影向量最后一定是以向量的形式来展现啊，它可以是啊， b 向量前面加一个 lm 的 数字，对不对？也可以是一个点乘坐标。好，这是考察的是基本量。 好，那么接下来呢，我们来看一下第五题，其实这个，呃，这个一模考试的题呢，相对来说 难度还是还是比较大的，就每个题呢，他考察的点是比较多的，然后知识也是非常零碎的，就是任何考察考察你任何知识点，你必须得是非常熟练才能解决问题。那么这个就是你看到题啊，你就要知道出题人他想考察的是什么， 他想考察的是二项式定律啊，二项式定律，通过二项式定律来找余数来找余数的问题。好，我们知道啊，他说今天呢，是三月十九号，是星期四，问，再过这么多天是星期几， 那我们知道他的，呃，这个我们知道一周是七天，所以以期为一个他的周期 啊，那我就看，比如说啊，我看七的余数，比如说我是这个我，我假如说再过，再过十天，对不对？都究竟是星期几，那我十呢？是不是七加三啊？我一个周期过去以后余了三，那我就往后再数啊，五 啊，六日，那就是星期天。是这样的，所以我们实际上就是他的核心问题啊，他的核心问题就是找二的八十次方这个数呀，啊，他除以七以后的余数啊，我们就是找余数的。 好，那么我们知道二的二的一次方，二的二次方，二的三次方，二的四次方中，这个二的三次方是比较特殊的，它是八，那么八跟七是比较接近的，所以我就想办法凑出一个八， 那这里面呢，我们知道二的三次方才是八啊，是不行的，对不对？他凑不出来一个三，不能整除，那我们就在想啊，八十，我除以三以后会是等，会是多少呢？我们看二三得六，然后是二十 啊，三六一十八，然后余个二，对不对？所以我们是啊，八十呢，它可以等于什么呢？等于三乘以二十六，再加个减，再加个二， 哎，是不是这样的，那这样的话，我就能凑，凑出三，三呢？凑出八呀，八是七加一，因为我自始至终呢，想要找的是七的除七以后的余数，那因此我们啊，二的八十次方啊， 它等于什么？它等于二的啊，三乘以二十六，再加上二，那因此就换成是四去乘以二的三次方的二十六次方，哎，那就是变成四乘以 八，八的话，就是七加一的二十六次方。那么我们本题呢，主要想拆解的二项式是它，想拆解二项式它，我们这里面也要复习一下二项式的定律，是不是二项式的展开式呀？ 啊的 n 次方，那么首项呢？是 c n 零啊，看清楚，是 a 的 n 次方，加上 c n 一 a 的 n 减一， b 的 一次方 啊，一直加加到通项 d r 加一项，它是多少？它是 c n r， 然后 a 的 n 减二， b 的 二次方，一直加加最后一项是 c n n， 然后 b 的 n 次方啊，二项式的展开式，二项式的展开式，它是按照 好，他是按照什么呢？ a 的 升密排列， a 的 降密排列， b 的 升密排列。那因此呢，我们看一下啊，对于这个，呃，先看研究七加一的二十六次方来说啊，他应该是 c 二十六 零，然后是七的多少次方啊？二十六次方，然后再加上 c 二十六一，然后七的二十五次方啊，一直加加到啊， c 二十五， c 二十六，二十五次方呢，就是七，再加上 c 二十六的 二十六次方是一，那因此就是对于这个七加一的二十六次方的运算呀，我们这个地方啊，他其实啊，被七除以后呀，被七除以后，余的是一， 但是整个来说他的余数不是一，他前面还有一个四，对不对？还有一个四啊，还有一个四 啊，所以说啊，所以说啊，他的最后二的八十次方啊，他除完七以后啊，余的数应该是几啊？余数应该 是啊，因为前面都能被七整除，所以余的是四，余的是四。好，余的是四。那我再往后数四天，星期五，星期六，星期天，然后就到第四天是星期一，所以本期答案选的是 a 啊，本题答案选的是 a。 好，那么在这里面呢，大家要注意一个问题，是什么样的问题呢？就是我们看到这个题我就知道他考察的是二项式定律，利用二项式定律求余数的问题，求余数的问题，但是呢，他并不是说直接就可以去拆分了 啊，因为我们是按星期周期是七，所以肯定是在二项式定律的这个展开式中，肯定是有七的，肯定是有七的，那我们这里面的二怎么样才能换成七？那么离七近的是八 啊，这个地方的话就是说八十啊，它的转化啊，八十，它的转化是三乘二十六，再加几啊，再加个二， 哎，这个也是有问题的，这个转化可能大同学会陷入迷区啊，会陷入迷区，或者有的同学我看到这个题，我说二的三次方啊，八跟七接近嘛，然后是三分之八十啊，那这样的话它是展不开的，它是展不开的 啊，它得换成二的三次方，然后是二十六，是吧？二十六，然后再加几啊， 再再加个这个三分之几啊，三分之啊，三分之二。哎，这个地方是需要大家注意的啊，也是一个难点和呃就是不好突破啊，所以大家做做做的过程中肯定是很难受的，这这个这个过程，所以他更多的是考察大家的思维能力啊。 好，接下来我们看一下这个第六题，其实第六题呢，相对来说是比较简单的，就是我们看那么多啊，我们看了这个这么多，就是说它这个地方啊，它这个地方就是啊， 这个天顶距 c 塔的正切值。哎，这个关系我们要我们要看清楚啊，这关系一旦弄清楚的话，我们就好算了啊，比如说他说的这个实际上就是一个呃，实际的模型，就是这是 c 塔对不对？ sat 呢？是等于 l 影长嘛？你假如说太阳光啊，从这直射下去，那么这个是啊，这个是它的影子对不对？然后这个是实际上的一个高，那这样的话，我们看 tan 的 sat 啊，它就等于这个 l 除以高了， 一旦你这个这个数学模型构建好了以后，你再去解决问题就好了。你看他说第一次的话啊，他的这个是 r 法对不对？这个隐藏啊和表高的是二倍，那所以我认为呢，他想给大家传达信息，就是他的 r 法，他就是二， 然后呢，他又已知到贪镜塔 r 法减去贝塔等于二分之一，然后去求贪镜塔贝塔的值，那这个模型一一旦转化的话，他就很好处理。我认为突破口就是在于这个关系，你把这个关系用直角三角形 啊去给他构建成以后实践考察。问题就是两角和一差的正切值，那么贝塔角啊，贝塔角，我们已知的是贪镜塔 r 法，还有就是 啊，这个 r 法减贝塔，那么贝塔角该怎么去求呢？就是 r 法减去 r 法减贝塔啊，原来的数据你就不要拆了。那所以啊，贪心他贝塔，我们的目标啊，就是贪心他这两个角的正切值的这个差值，对不对 啊？直接就是相当于是啊给值求值了，对吧？ 好，这是一个数学文化的一个应用啊，数学文化的应用 啊，他的这个数学文化实际上就是转化成我们的正切的定义了啊，正切的定义你去啊，给他画出这个直角三角形，问题就很好解决了，然后再用两脚叉的正切就可以解决。那这里面呢，是不允许出现啊，不允许出现公式的一个误用的啊 啊，正切值他们的差除以一加上啊， tan 它 r 法和 tan 它 r 法减倍它啊，所以算出来以后应该是一个二减二分之一，然后除以一加上一加上几一加一啊，所以就是四分之三 分数三，所以答案选的是啊，答案选的是 b， 答案选的 b。 这个其实呢，相对前面那几个题来说还是比较容易的啊，就是考察了一个正切的这个和以查和查公式。

驻马店、信阳、南阳、三门峡、漯河的高三党们，这次五式联考的数学卷你们做哭了吗？别慌，今天博主带大家极速复盘这套神仙试卷，尤其是最后一道折叠题，简直是高考风向标！不懂这个模型模考绝对吃大亏！赶紧点赞收藏，我们马上开讲！第一点， 选填有坑，基础不牢，地动山摇。这次选择题第六题直接搬出了古代数学家僧一行的鬼影算法，考三角函数实际应用。第七题，等差数列结合，基本不等式求最值，看着简单计算量去暗藏玄机。填空题第十三题的概率统计， 稍微不留神就会掉进次品率的陷阱。记住，新高考越来越喜欢这种披着文化外衣的计算题，审题必须慢准狠！ 第二点，大题重逻辑，立体几何回归本质。第十七题，立体几何没有复杂的间隙套路，反而考察线面垂直的正弦和二面角的正弦值。很多同学习惯无脑间隙，结果算到怀疑人生。其实这道题用几何法找垂心两步就能秒杀，这就是在提醒大家， 回归课本定义，别只会死算！第三点，压轴题王炸折叠问题变双曲线！最精彩的来了！第十九题，圆规画圆再折叠，这不就是经典的折纸定义圆锥曲线吗？ 题目让你把圆周上的点折到圆外，定点轨迹，直接就是一个双曲线。第一问送分，第二问直接上重心，内心面积范围，综合性极强。这道题如果没看出 m c m d 等于二 a 这个核心定义，后面根本没法动比。这类动态定义题型绝对是二零二六年高考的超级热点，必须吃透！总的来说，这套卷子重思维，轻套路，强计算，它不是在考你会背多少公式， 而是在考你面对新情境时的拆解能力。还没做完或者做错的同学，别气馁，现在暴露问题就是赚到了。想要这份试卷的解析版，评论区扣六百六十六分，或者直接点个关注后台私信我，免费发给你。

试卷分享，高三全科一模河南五市一模河南省五市驻马店、南阳、信阳、漯河、三门峡二零二六年高三年级一模考试试卷及答案 视频时常有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。

哈喽，宝宝们，让我们来看一个河南五市的第十一道题，多选择题哦，来，不是一模的啊，第十一道题，它是一个多选择题，放在一起的位置，大家也知道它含水量有多高，对 吧？让我们来看一下这样的，已知它是一个等差数，那就意味着 b 乘 cos 再加上 c 乘 cos 等于 i， a 乘上 cos a， ok， 那 这是一个 a 对 不对？所以 a 等于 i， a 乘 cos a， ok， 我 们就知道了， cos a， a 就 等于二分之一对 cos a a， 因为它是一个三角形的里面吗？所以 a 就 只能为六十五岁， a 选项正确啊，然后紧接着我们来看 b 选项，咱们求 b 的 值，对， 我们知道，就说这块的 cos 已经知道了，对不对？然后 a 乘上这个 cos 等于根三倍的减去，这个，比如说我可不可以把它提过来呢？它变成了是 a 乘 cos， 再加上根三倍的 a 乘 cosine c， 那 这边呢？等于根三，那么这个提取的 a 之后，它就变成了这个里边二 cosine c 加上根三倍的这个 cosine c， 它等于根三，然后再减负两公式就变成了 a a， 对 吧？然后乘上是 cosine c， 加上是不是三分之 pi， 然后等于根三，那 a 乘三 b 呢？它又转化变成是二 b 三 a 要等于根三， ok 吗？那三 a 我 们就知道对不对？它等于二分之一，这块三 a 呢，等于是二分之根三，所以把它往回带之后呢，我们就知道了 b 等于一， ok， 所以 咱们的 b 选项也是正确的。那我们先来看一下现象，他说让咱们求这个三角周长，那周长他肯定是 a 加 b c， ok， 那 我们知道 b 已经是一了，所以我们只需要去求这个 a 加 b 的 值，对不对？那么 a 加上 b 等于多少？ a？ c c 的 值是错了， a c、 c 的 值是多少？我们有重写呢，是知道的，就是说咱们这块 a 是 不是它就等于 b 乘上这个三 a， 再比上三 b， 然后同样再加上是 b 乘上这个三 c， 再比上三 b， 那 我们对奇形化讲，因为 b 已经是一了，所以上面就是一个三 a 三 a 呢，我们也知道它又是固定的三，等于二分之三，对吧？所以这是二分之三，然后再比上这个三 b， 然后继续啊，我们再加上这块呢，是三 c 三 c， 它等于三 a， 这个 a 加上这个 啊 b， 对 吧？所以呢，它就变成是三 b 乘 cosa， 再加上是三 a 乘 cosb， 然后再比上咱们这个是三 b， ok， 那 这样的话，这块就说这个地方它会出来，就是这个 cosa 的 话，它是一个二分之一，对不对？这是一个，这是一个二分之根三，是不是？那么这样就能把这个地方它就变成二分之一了，对不？再加上这应该是二分之三，然后再比上这个三 b， 然后再加上这块的，我们知道这块的这块是肯定出来了，对不对？所以呢，这是二分之三， 对吧？这是一个 cosine b， 然后再比上一个 cosine b， 是 这样子，对不对？那完了呢，我们就把它这个三 b 它不动啊，这是二分之一，对不对？加上，那合起来之后呢？把这个二分之三提出来，现在变成是 cosine b， 再加上一个 e， 对 不对？那这款我们又耍了一个小新，我为了把这个 e 弄走啊，所以呢，我们把这个 cosine b， 把它变成二倍的 cosine， 以二分之 b 的 平方减去 e， 这样就消掉了，那它呢？变成二倍的 cosine 二分之 b， 再重上 cosine 二分之 b， 是 这样，所以呢，整个我们就变成了是 cosine 二分之 b， 再分之什么 e 是 不是？那 ok， 我 们现在来找 b 的 值范围，是不是因为它是一个锐角三角形，所以角 b 它自己得小于九十度，然后角 c 等于一百二十度，减去角 b 还得小于九度，所以我们就知道角 b 的 度数是它必须得大于三十度，且小于九十度， ok， 那 么二分之 b 它就大于十五度，角与四十五度没有问题，继续往下，弹力二 分之 b， 弹力二比它大，于是这个二减去根三，再小于一， ok， 继续，那我们就得到了弹力二分之 b， 再分之一。啊，弹力二分之一，那我们继续。好，那这块的话就是弹力大一，对不对？二减根三分之一的话，它出来的应该是一个二加上根三， 所以呢我们就能够得到，就说它这样一个整体的一个范围，对不对？因为我们就可以找到，就说这个周长，对吧？也就他等于是 a 加 b 加一个 c 方式，那我们就能找他的范围范围，之后找这个 c， 它是一个错的，我们继续计算一下，然后今天我们看一下 b 选项，他说若他是他的一个这个圆，外接圆的一个圆心，比如说现在有这样一个圆啊，那这个圆呢？它里边 是这样子的，这个 a， 这个是 b， 这个是 c 呢？这是它的外径的圆心。然后咱们找就说这个 o a c 和 o c， 对 吧？他要等于就说这个 o a c 乘以它二乘以二的平方，对吧？再乘以三二 b s 三角形，这个 o b c， 它乘以二分之二的平方，再乘以三二 a， 因为角 a 是 这个呢，一百二角 a 六，所以它就是二分之三，乘上二分之一，再乘二平方，那它说是做叉，对不对？所以 s 三角形 o a c 减去 s 三角形 o b c， 嗯，此时呢，我们把它进行做叉之后呢，我们就能够到它等于，那我把这个二分之一二平方总共给它计算，变成三二 b， 减去二分之三，是这样子， ok， 那 是不是呢？那二是谁呢？乘上这个三 b 是 不是就等于二二 b 等于二，等于二等于二，那是不是就意味着说咱们这个它这个三 b 的 平方分之一，然后在里面变成是三 二 b， 再减去二分之三，对不对？那我们继续啊，又来一个新机啊，所以把八分之一的地方不动啊，把它进去就变成是三二 b， 再比上，是不是三 b 的 平方，对不对？然后再减去就是二分之三，上面呢？就有一，所以这样三 b 的 平方分之，这是三 b 的 平方，再加上 cosine b 的 平方，那这块呢？就变成八分之一，这里面变成二，乘上 tan b 分 之一，然后再减去，我们在这块是二分之三的问题，对不对？ 那么它这块变成是二分之三里边的话，就肯定是一对，再加上 tan b 的 平方分之一，是这样子的，对吧？此时我们将这个 tan b 看成一个函数，对吧？ tan b 看成 b， 它就是关羽，对吧？ tan b 分 之一的一元二次，对吧？那它分之一的一元二次，我们是不是要找一个平方 b， 那 么它就知道 b 的 方是，它是不是 b 的 方就出来了，对不对？它 b 的 方就说它必须是大于这个三分之根三，对不对？那么它就必须小于这个根三解大于多少零，也说它的范围是小于零解小于多少根三，是不是？那我们去找相当于写这个幺二方程，通过去解出来，结果我们这个 d 选项是一个正确的啊，所以这个大家还是自己去解一下哈。

好，那接下来呢，我们看一下第七题啊，第七题呢，首先他说是一个等差数列啊，等差数列，然后有这样的几个关系，有这样的几个关系，然后说 a 一 方和 a 四零四七取得最小值的时候，求 a 二零二六的值 啊，那么这个问题呢，我们该如何来处理啊？就是说啊，其实也是一个回归本源，就是当你啊，当你就是在题目信息中啊， 啊，很多信息挖掘不出来的时候，或者说等价条条件转化不过来的时候，那你就回归到本源，比如说等差数里啊，他的 a n 是 什么？就是首项加上 n 减一乘以 d， 对 不对？那这里面呢，我们看 a 二零 啊，这个地方呢，你看 a 二零二二减去 a 二零二三，刚好是一个负 d， 对 不对？然后他再加上 a 二零二五 啊，等于五，那其实 a 二零二五减一个 d， 那 不就回到了 a 二零二四等于五吗？是不是我们得到了这个 a 二零二四？ a 二零二四是非常好的一个数，因为它是 a 一 和 a 四零四七的什么呢？等差中项， 所以我们知道 a 一 加上 a 四零四七啊，啊，他就等于什么呢？他就等于二倍的 a 二零二四，也就说是一个十， 那么这个时候我们要求 a 一 方啊，加上 a 四零四七，对不对？它的平方和最小，那我们可以通过替换啊，通过替换，比如说我把这个是 a 一 方哈，我把这个 a 四零四七换成是一个十，减去 a 一 方， 然后我关于 a 一 的一次函数，那我解出来就是 a 一 方，然后减去二十，然后 a 一 加上十的平方，那么它是一个二次函数，当 a 一 等于几啊？二， a 分 之负的二， a 分 之 b， 对 不对？负的二， a 分 之 b， 对 称轴的位置取得最小值啊，所以它应该是 a 一 是五， 那此时我们看 a 一 是一个五啊，然后 a 四零四七啊，也是一个五，那说明呢，它是一个什么竖列？它是一个长竖竖列啊，它是一个长竖竖列， 那么长竖竖列的话，那我 a 二零二六也必然是一个五，所以答案选的是 a 啊，这个地方实际上是竖列的话，应该是比较简单的一个问题。 好，那接下来呢，我们看一下啊，看一下这个题啊，这个题的话，应该是单选中的一个压轴题啊，单选中的压轴题， 呃，这个是，嗯，比较难的啊，比较难的，嗯，但是我们也是可以通过啊提案信息去获取，去获取啊。那么我们首先来看，他说椭圆一一啊，他的这个跟椭圆一二，他的交于四个点， 那么这个四个点是对称的关系啊，它组成的是啊，可能是矩形，也可能是正方形啊，那么一和一二的焦点啊，又与这四个四个点 啊，这个共圆。那其实呢，我们来看一下，就是我这里面其实也特意的画出了啊，画出了这，这，这个刚好就是我把这个几个焦点啊，又放到圆里面了啊，刚好画出这样的一个圆 啊，这是 f 一 啊，这是 f 二。好，那我们看一下，就是对于椭圆一一来说呀，他的 x 方除以四啊，加上外方除以，这个是 b 方啊，等于一，那么通过。就是 啊，这个一一椭圆，我好像也不清楚是什么对不对，但是我知道就是他，既然啊，焦点和这几个点都是共圆的问题 啊，那我在想一个问题，就是他们的 c 值啊，一一的 c 啊，和一二的 c 啊，它应该是相同的，然后我观察一二的 c 该如何去求 啊？那么这里面呢，就是啊，首先要看清楚 b 呢，它是零到四，所以说它的一的焦点就是在 x 轴上 啊，然后这个是相当于是 a 方，这个是 b 方哈啊，这个一二的椭圆的 b 方，那么它里面呢，就是 a 方肯定要大于 a 方减 b， 所以 它的这个焦点是在外轴上，焦点是在外轴上， 那么再算 c 的 两个 c 相等，相等，所以第一个对于一来说，他的 c 方等于什么？他的 c 方等于啊，四减去 b 方啊，对于一二来说，他是 a 方，减去 b 方等于三啊，所以说这个 b 实际上是一啊，也就说 这个 s 轴上椭圆的 b 是 一啊，他们的 c 是 多少？ c 是 根号三啊，这个 y 轴上椭圆 c 也是一个根号三。那有这些信息呢？我该如何去解决问题呢？好，我们思考这样的一个问题， 我们知道焦点三角形的面积公式对不对？焦点三角形的面积公式， 焦点三角形的面积公式呀，对于椭圆来说啊，对于椭圆来说，这个是 p f 一， p f 二，对不对？ 椭圆中的焦点三角形面积公式你用到了，必须脱口而出，是不是 b 方乘以 tanne 二分之 c 塔好，那因此也就说三角形 p f 一 f 二，它的面积就是一， 那么这个一呢？我们还这个三角形面积还可以怎么算呢？我们知道这个是二倍根号三，因为刚才我们已经说过 c 是 根号三了，它这个面积还等于什么呢？二分之一乘以二倍根号三去乘以屁点的纵坐标，是不是还是一？ 所以啊，屁点的纵坐标呢，就变成是多少了？是三分之根号三， 三分之三。好，那这个口突破以后啊，我们的问题基本上是解决了，为什么呢？因为我们知道四点这个六个点都共圆，那么 o p 的 长度是多少呢？ 是啊，是根号三，因为它是这个跟 c 一 样，然后我们刚才又算来，这个高是三分之根号三，那么这个点的坐标实际上也是出来了，是多少呢？ 也出来了，对不对？这个点呢，就是勾股定律啊，勾股定律 x p， 它的算法就是啊，三减去三分之一啊，所以就是多少，所以就是啊，三分之八，那就等于什么呢？三分之二倍根号六。 因此呢，也就说 p 点的横纵坐标呀，我现在已经很好的去解决了，就是三分之二被根号六和多少和根号三。如果我 p 点的坐标解决了啊，我再把这个 p 点的坐标带入到这上面，是不是就能很好的解决了？ 好，我们思考这样的问题，我刚才呢，在应用的呀，是焦点三角形的面积公式，我能不能啊？我能不能回到这个图上 再去用一次焦点三角形的面积公式，是不是啊？本题中的这个 a 方就直接解决了。 刚才我讲的方法一呢，就是 p 点的坐标是三分之二倍根号六和根号三，然后你给它代入啊，代入到哪里？代入到一二的椭圆方程中，求出 a r 啊，这是第一种方法。那么第二种方法我就在想啊，就是这个焦点三角形是不是也是可以用一次？那么三角形啊，这是 m n 吧，也是这个一二的椭圆的焦点三角形 p m n 啊，它的面积是不是也等于 啊？ b 方乘以 tan 二分之 c， 它呀，它的这个 b 方呢，实际上就是在这啊，在这是不等，像那个，这个是九十 啊，这个是九度四点公圆嘛，对不对？所以说刚才我这个地方好像忘记说了，他们都是四点公圆，所以这个是一 啊，因为是直径所对的圆周角是九度，那他也是 b 方，就相当于是 a 方减三，那他这个椭圆的面积还等于什么呢？这个焦点三角形 p m n 的 面积还等于什么呢？二分之一的 d 乘以高 d， m n 是 不是乘以二倍根号三， 那高是多少呢？高就是算出来的这个屁点的横坐标啊，三分之根号六，三分之二倍根号六，哎，所以你看这个地方是多少，这个地方呢？算出来，是啊，算出来是二倍根号二， 所以 a 方啊，减三等于二倍根号二，那么 a 方直接就出来了三加二倍根号二，所以答案选 d 好。那么本题的所考察东西是焦点三角形的这个面积公式， b 方乘以 tan 二分之 tan， 不 管是焦点在 s 轴，还是焦点在 y 轴，这个公式都是成立。 b 是 短半轴啊， b 是 短半轴，那么我们还要利用圆的相关性质，其实他把椭圆也考察了啊，圆也考察了，是不是直径所对的圆轴角是九十度 啊，这个屁点既落在圆上，又落在啊一一椭圆上，又还落在天一二椭圆上，所以反复不断的去用啊，反复不断的去用， 好，那同时你还得找到他们之间的关系啊，这几点公圆呢，说明他们两个 c 就是 相等的啊，就是相等的啊，这个题呢，应该来说这个考察思维层面的是比较多的啊，比较多的。 好，那接下来呢，我们来看一下第九题，我们来看一下第九题，那么在第九题的问题处理上呢啊，我们看一下该如何来解决问题，他说呢，任何一个复数呀，他都可以写成是什么，写成是一个这个三角的式，三角式，那么 c 它呢，就是 a 除以 r 啊，这个是三， cosine 它是 a 除以二， cosine 它是 b 除以二。那其实我可以可以认为就是负数啊，在负平面中对应的点的坐标是 ab， 对 吧？然后你把它放到负平面中以后，那对应的这个这个角就是它的这个三角式中的 cosine， 它和 cosine 它 我们称为负角啊，并且规定在零到二二排上。那接下来呢，我们去求这个方程的根，那实际上就是说啊，无理，这个负数根呢， 我们在啊，我们其实呢，在引入负数的时候，不知道大家有没有印象啊，我们课本上是如何引入负数，比如说这个方程啊，我记得应该是它，对不对？ 这个方程呢，是没有根的，是没有根的，我们按照求根公式啊，在实数范围内它是没有根的，在负数范围内它是有根。我们复数的定义呢，是 a 方等于负一。 我们先来解决啊，就是课本上它是如何引入的，那就是求根公式二 a 分 之啊，负 b 加减根号下 b 方减四 a c， 对 不对？ 所以呢，我们看他的根是多少呢？他是二分之负一，然后加减根号下 b 平方啊，一减去四， 是一个负三。好，那么我们看一下负三呢，他等于什么呢？他等于三爱方， 所以开出来是正负根号三爱，那因此就是二分之啊，二分之负一加减根号三爱。哎，这是课本上，我应该来说也有可能是 s 方减 s 加一啊，他去求根， 所以说我们通过这个这个复数定义的隐身呢，我们再去解决这个问题就好办了。你就记住，爱方啊，等于什么呢？等于根，等于这个负一，所以我们去求解这个方程的根 啊，那他的根呢？就按照求根公式就是二 a 分 之啊，负六加减根号下 b 型方。是啊，这个是三十六，对不对？然后减去四乘以十二 啊，此乘以十二，那么这里面呢，是三十六减去四十八，所以是负十二，对不对？负十二，那么负十二的话，它就等于这个十二爱方， 然后你再去开根号，再去开根号，它就等于什么呢？再去开根号，当然这个地方是正负啊，开根号的话，那实际上就不能写成正负三，就根号三 i， 开根号是三乘以四，对不对？所以是二倍根号三 i 啊，所以这个地方呢，它就是等于什么呢？啊？负六加减去 二倍根号三 i 啊，得到了这个两个负数，两个负数啊，这两个负数呢，其实它在负平面中对应的是不是就是负三和根号三，对吧？然后还有个是负三和负根号三，那么对于这个呃，负角来说，我可以先算出 tanit 它 c 它啊，也是可以的。 呃，这个是负三分之根号三，然后这个呢，是贪心的 c 塔啊，等于，呃，三分之根号三，那因此我们看一下啊，就这个 c 塔究竟在零到二分二派上究竟是哪角？你比如说这个负三和根号三，那我这个是 s y 哈， 啊，负三和根号三我应该放在哪个位置呢？应该是放在第二项线啊，那他这个 c 塔呢，就很明显就是六分之五派， 然后这个负三到到负三啊，负三到负三，那应该是第三象限的啊，第三象限，那么第三象限呢，我们应该是六分之七派啊，所以答案选的是 b c， 答案选的是 b c 啊，这个实际上就是考察了一个啊，负数的由来啊，运二次方程的负数根该怎么求？还是用求根公式？那么注意一下，就是这个爱方啊，注意一下，爱方等于负一。 好，接下来我们看第十题啊，第十题考察的是一个抛线的问题啊，抛线呢，是外方等于四 x 啊，根据抛线的标准方程，我们知道二 p 呢，就是一个四，那 p 就是 一个解，就是一个二 啊，所以说 f 点啊，焦点是二分之 p 零，所以就是一零，那因此呢，这个焦点的是一零，然后对应的是准线就是 s， 等于负一。好，然后接下来我们我们先把这个抛线给它完善一下啊，抛线给它完善一下， 好，嗯，这个点呢，我给它稍微挪一点 啊，挪到这个位置，然后呢，我们再来读题过焦点 f 啊，一零，然后呢，它做了一个直线与抛线交于 a b 两点。好，那这样的话，我们去画一个直线 啊，画一个直线与抛线交于 ab 两点，然后呢分，那其实 ab 呢，就是一个交点弦， ab 就是 一个交点弦，然后我们过交点弦的两个端点 ab 分 别做准线的垂线啊，做准线的垂线 啊，过 a 点做一个垂线，垂足是 m， 这是 l， 然后过 b 点又做一个垂线，垂足为 n。 好， 然后接下来呢，我们看一下，嗯，若三角形 a、 f、 m， 也就是说这个三角形呢？它是一个等边三角形啊，它是一个等边三角形。 好，我，我来补充一下啊， 好， a、 f、 m 是 一个等边三角形。那第一问，哦，第一个，先说 a 选项 a b 的 斜率是否是三？那么我们知道焦点弦它是有很多的公式的，比如说上方的交半径 啊，上方的交半径，比如说 a、 f 啊，它等于什么呢？ p 除以一减口三 a c 塔，这个 c 塔呢，就是它的倾斜角，那么下方的交半径啊， b、 f， 它是什么呢？它是 p 除以一加口三 a、 c 塔。那么在这里面呢，我们它是一个 a f m f， 它是一个。呃，什么三角形呢？是一个 正三角形啊，是一个正三角形，那么它所有的角啊，它所有的角是不是都是六十度？那？因此我们能够非常快速的得到啊？得到。哎，这个角它就是一个六十度，那对应的这个角是不是也是六十度？ 这个是不是也是六十度？所以说我们知道 k a、 f 的 斜率就是根号三吗？哎，我打了问号啊， 一定是根号三吗？如果啊角 a、 f， 这个是 s 轴，这个角是六十度的话，那它的斜率肯定是根号三。 但是我们知道我们题干信息中有没有强调 a 一定在第一项线，没有强调， 所以说，那如果没有强调 a 在 第一象限，那 a 会不会在 x 轴的下方呢啊？比如说我们的位置关系，大概是这样的位置关系， a 在 这个位置， b 在 这个位置，我们是否也可以满足啊？也可以满足 啊，这个 m f， 它是一个什么三角形？它是一个等边三角形，那这样的话啊，这样的话，我们看这是六十度，对不对？那此时它的倾斜角 c 塔就应该是一百二十度， 此时的 k 就是 负根号三。所以说我们 a 选项啊，可能很多同学图一画，直接就默认是六十度，我们不确定 a 的 位置 啊，因此 a 选项是错误的，很多同学都误选了 a 啊，很多同学误选 a， 好， 这是 a 选项。好，那接下来呢，我们来看一下这个 b 选项啊， b n 的 b n 的 问题， b n 的 问题啊， b n 呢，实际上就是它。如 对于 b n 选项来说啊，我们想要求 b n， 实际上就，呃，可以求出来是什么呢？是 b f 哈， b f， 那 我们看，如果说 b 点在下面的这个方向哈， b 点在下面的方向，那么按照这个搅拌镜的公式啊，它是 p 除以啊，一加上二分之一，对不对？也就是二除以二分之三，所以最后是三分之四 啊，如果是在上方位置，其实他们这个位置呢啊，虽然就是倾斜角，一个是六十度，一个是一百二十度，但是不影响他们的长度变化啊，这个时候他变成上方的搅拌镜， 那么预算的时候用的是这个一百二十度上也是一样的啊，也是一样的长度，虽然就是 ab 直线方向位置不一样，但是他们的这个这个长度关系是确定的。好，第二个我们来看一下 amf， amf 它的周长哈，那这个地方呢，其实也是非常确定了啊，对于新选项来说啊，我们刚才说不管是上方，如果 a 点在上方，它倾斜角是六十度，如果是在下方倾斜角是一百二十度，那我们算出来的 af 呢？啊，其实也是一个唯一确定的数值哈，那它就是二除以 啊，一减去二分之一，对吧？啊，所以它这个地方呢，应该是一个四啊，那进而我们看边长是四的话，它的周长就是十二，所以 c 选项是对的。然后接下来呢，我们再来分析一下 d 选项啊，再来分析下 d 选项。那么在呃在 做 d 选项的时候呢，我们他想要大家探讨的是什么呢？想要探讨的是啊， b o m 这三点是什么关系呢？啊？是是否是共线关系？ 那我们其实呢是需要算出来 m 点的坐标，以及啊 b 点的坐标。那我们其实可以通过啊，初中学习的这个啊，特殊的直角三角形来分析，那比如说因为你这个 a f 啊，每个选项它其实都是环环相扣的，你比如说 a f， 它是一个四，这是一个三十度，是吧？这是一个三十度角，那所以这个是二，这个是二倍根号三啊，为什么算这个地方呢？其实主要是想算一下这个 a 点的纵坐标是二倍根号三，那对应的 m 点，它就是负一和二倍根号三。 好，那么接下来呢，我们同用同样的方法，因为它这个倾斜角比较特殊啊，我们看一下这个地方也是六十度，对不对？嗯，那我们刚才说了，这个 b n 呢，是三分之四啊， b n 是 三分之四， 那我同样需要去算出 b 点的横纵坐标啊，这个边是三分之四啊，这个是三十度，那对应的啊，对应的这个 f q， 它应该是 啊， f q， 它应该是多少呢？长度？是啊，三十度的一半，那就是三分之二，那这边是一，所以这个 q o q 啊，它的长度 啊， o q 的 长度呢，它就变成了是三分之一，那因此 b 点的横坐标就是三分之一啊， b 点的横坐标三分之一，那么纵坐标呢？我们看一下啊，纵坐标，你看 b q 啊，它除以啊，它除以三分之四哈，它除以三分之四，应该是多少呢？应该是二分之根号三 啊，所以 b q 呢，我们看一下，等于几啊？等于啊，三分之二倍根号三啊，是负的三分之二倍根号三。那因此呢，我们看，对 d 选项来说啊， m 点的坐标呢，看清楚，是一个负一，然后是二倍根号三 啊，对应的 b 点的坐标呢，是三分之一啊，然后是负的三分之二倍根号三啊，那你用项链或者是你用这个啊， 这个斜率都可以表示，你看 k o m 的 斜率啊，它就是负二倍根号三，是吧，然后 k o b 的 斜率啊， k o b 的 斜率也是负二倍根号三。所以呢，我们知道 b o m， 然后是三点 啊，三点共线的啊，所以这个 d 选项也对，那么因此本题答案是 b c d， 那 么这个地方呢， a 是 一个很很容易出错的啊。 好，接下来我们来回顾一下本题的解析思路啊，它主要是考察的是啊，第一个是抛物线啊，抛物线的相关性质啊，焦点三角形的面抛物线啊，焦点三角形的面积公式 啊，焦点三角形的这个这个相相交半径公式啊，应该说错了，是交半径公式啊，这个要 背的滚瓜烂熟的对不对？然后注意分析几何关系啊，你看这个斜率啊，我们的位置关系其实是不确定，但是我们的长度是确定的，然后还有就是 amf 啊，它这个突破口在于，这个是正三角形 啊，其实周长啊，包括边的长度，其实都是很容易获得的啊，放在第十题的位置，实际上是比较简单的，只是说预算量可能会大一点。最后呢，就是三点共线的问题，我们需要解决的是啊，点 m 和点 b 的 一个坐标。 好，这是这个问题，这是这个问题。好，接下来我们看一下这个多选题的最后一个题。首先我们来读一下题，他说在锐角三角形啊，这个强调是锐角角 a 角 b 啊，分别对应的这个小边， 然后 o 呢，是三角形的一个外心，他说这个式子依次乘等差数列啊，给了我们两个式子，第一个式子是等差数列，第二个是这个式子的成立，那么我们先从题干信息中去获取信息， 他既然依次乘等差数列，那我一定能得到二 a 啊，乘以口三 a， 然后等于啊， b 乘以口三以 c， 加上 c 乘以口算 b， 那 这这个地方呢，实际上就是三角形中的摄影定律啊，我看到这个式子我就能想到啊，摄影定律啊，三角形中摄影定律的一个应用，那它是怎么说的？比如说啊，也是非常好理解的 啊，这个摄影定点呢，我们做一个垂线啊，做一个垂线是 m， 那 么我们看这个边是 c， 这个边是 b， c 乘以口算 b 啊， c 乘以口算 b， 那 它实际上相当于是 b m 啊，然后再加上 b 乘以口三以 c 啊，口三以 c， 它实际上相当于是 mc， 它俩的和其实就是边 a， 那 因此呢，我们这个啊，一次乘等差竖列这个式子呢，它可以提炼啊，或者叫转化，转化完以后就是一个 a， 那 因此我们得到口三以 a 呢，等于二分之一，所以角 a 就是 多少度了，角 a 就是 六十度了， 角 a 九十六度，这是第一个条件的转化，所以 a 选项是对的。那么接下来呢，我们再来看第二个选项啊，嗯，我们知道呀，就是再说，呃，第二个， 这个式子能够得到什么信息的之前呢，我们先说一下，就是正弦定律啊，正弦定律的应用我们都知道， a 除以 c， a 啊，然后等于 b 除以 c， b， 然后呢，等于 c 除以三以 c 啊，等于二 r， 那 么我们在实现边角互换的时候，它必须是其次的。你比如说啊，我假如说 a 加 b 啊，啊，它等于 c 乘以口三以 c， 那 我在边和角互换的时候，实际上它每一个选项它都成了一个二 r 啊，三 a 加上二 r 三以 b 啊，然后等于二 r 三 c 啊，再乘一口三 c， 这个时候二 r 约掉了，那么才能实现啊，我们所谓的边和角的互换，那因此不管是边转化成角，还是角转化成边，它都得是其次的， 那我们给的啊，我们要强调这个。其四，我们看 a 乘以三以 c 啊，啊，它等于根号三，然后是一减去 a 乘以口三以 c， 那 么这里面呢，我觉得好像有点小问题，就是它不是其次的，但是我又看到了根号三，它是比较特殊的，你知道吧？ 为什么特殊呢？我们知道，嗯，我们角 a 已经求出来了，我们的三 a 呢，它是一个二分之根号三，这里面呢，就是啊，需要把特殊的数啊， 特殊的数去给它转化成三角函数，这样实现其次啊，实现其次啊，怎么实现呢？我们都除以二，我们都除以二， 那这个地方呢，左边就变成了是二分之一 a 乘以三以 c， 对 不对？然后这个二分之根号三，它就有着落了，它就换成是三 a， 然后是一减 a 乘以口三 c， 对 吧？ 那因此咱们再来看，你看这里面呢，我有一个三以 c， 还有三 a， 我 就可以实现边与角的一个互换，所以这里面就换成二分之一 a， 然后这个，是啊，这个三以 c 的 话，就换成是 c 边，然后三 a 边就换成 a， 然后是一减 a 乘以口三 c， 对 吧？那接下来呢，我们看 a a 边是不是就消掉了？所以这个的话，整个整个而言就是 c 啊，等于二减去二 a 乘以乘以口三乘以口三 c。 好， 那么接下来呢，我们来看一下。呃， 好，其实这里面这个地方呢，是非常的巧妙的啊，非常巧妙的，就是我们还有一个问题啊，就是这个二分之一 c， 它等于一减去 a 乘以口三以 c， 那 这个地方呢，我觉得 啊，就是又遇到了一个问题，但是我们还是对于特殊三角函数值的一个敏感度，就是我走到这里面，我发现我走不下去了，对不对？我正正弦也好，我就解决不了问题了。 那我还是好像还是刚才这个摄影定律的一个重复的应用，我们看一下，就是那个二分之一，也是比较特殊的二分之一，它是口算 a 呀，哎，刚好是二分之一，所以我又把这个特殊的数换成三角函数值给它带进去，那就是 c 乘以口算 a 啊，然后再把这边挪过来，就是 a 乘以口算一， c， 然后等于一，你看，这是非常巧妙的，所以说，嗯，这个事情呢，它其实思维量考察的是是非常多的啊，我们刚才在换的时候，我，我知道，因为这边是 a 边 a 和三 a c， 所以 我把二分之根号三给它替换了，那么进而实现弦切互换，那么换到这里面，我又什么信息都获得不了，所以我就又遇到了啊，又用到了这个角 a 的 余弦值。好，那么我们看 c 乘以 c 乘以口三， a， 我 们这里面再去用啊，余弦定的，再去切换一下，你看啊， abc， 对 吧？啊， c 乘以口三， a， 那 其实我是这样做垂线，对吧？啊， c 乘以口三啊，做错了，做到这儿 好，是做到这儿的，那么 c 乘以口三， a 是 这段， 然后 a 乘以口三， c 是 这段，所以它们两个的加起来就是 b， 那 因此啊，根据以上定律，我们知道 b 是 一， b 是 一，所以啊，这个这个选项是不对的，这个选项是不对的 啊，不过这个试卷上这个也是一，我写，所以 b 是 一啊， b 是 一啊， ab， 这里面都是选的， ab 是 都是选的。好，那接下来呢，我们再来看一下啊，再来看一下 c d 选项， c， d 选项。 好，这个地方是一啊，好，我们看一下 c 选项，在已知角 a 和边 b 的 情况下，我们求周长的取值范围，那这里面呢，我给大家提供两种做法，第一个是常规的思路，第二个是秒杀的方法。 那么常规的思路该怎么做呢？我们知道他给我的好像不是很好，就是给我的是是角和邻边，我如何去算周长的取值范围呢？ 啊，这里面我们看一下。那么在做这个三角解三角函数的时候，无非就是正弦定力和余弦定力，那我们先是把这个三角形给它画出来啊，三角形给它画出来，这是 abc， 然后我们知道的是角 a 是 六十度，然后边 b 是 一啊，边 b 是 一，那因此我们来看一下，就是要么是正弦定律，那就是 a 除以三 a， 是 吧，然后等于 b 除以三 b， 然后等于 c 除以三 c， 然后它等于二 r y 结圆的半径啊，这个我们在 d 选项中是有用到的，那因此呢，我们把这个条件呢，再给它罗列一下，那个 a 啊三 a， 我 们知道是二分之根号三，然后 b 呢是一 啊三 b， 然后是啊 c 除以三 c 啊，它们是正弦定力的应用，那我在算周长的时候啊，我的周长是不是 b 边，我刚才已经算出来，然后加上 a， 再加上 c， 那因此呢，我就需要算出啊 a 边，那通过这个挣钱定律，我们看一下 a 边等于多少呢？ a 边，是啊，二分之根号三啊，乘以啊三以 b 分 之一，对不对？ 然后 c 啊 c 的 话，它等于我们这两个式子可以结合，就是三以 c 啊，除以三以 b。 好，那么实现了一个边和角的互换，那么三 c 呢？我们知道，又等于三 b 加 a， 也就是三分之派啊，我们对它进行一个化简，化解完的话，我们的这个式子中只有一个变量，就是三 b， 好， 那它等于三 b 啊，乘以口三，那就是二分之一，加上二分之根号三，乘以口三 b 啊，这是 c 边的一个形式。 好，那他就等于二分之一啊，加上二分之根号三乘以贪念他啊， b 分 之一， 好，因此呢，我们的目标啊，我们的周长呢，他就等于一啊，加上多少呢？ a 边呢？是啊，这个是二分之根号三，然后加上 c 边是二分之一，加上啊，二分之根号三 乘以啊，摊进他 b 分 之一，好，那么现在呢，我们你看我们的目标呢，其实就转化成啊，转化成一个角的问题了，实现了边角的互换，那么这里面我们在读题的时候，也就说他是一个锐角三角形， 所以对于锐角三角形来说，他有一个角是六十度，那么对于其中一个角来说，他就是六分之派啊，到二分派的一个范围。那这里面啊，我我 啊，教大家一个比较简单的一个方法啊，我们看如何来求，其实你思考一下，我们能不能用单调性来解决问题啊？单调性，大家思考一下啊，就是说 啊，你本身呢，单调函数哈，单调，它在零到二分之派上是单调递增的 啊，那导数分之一不就单调递减了吗？ cos tangent 函数也是，原来也是单调递增的，对吧？在零到二分之派上，导数分之一是不是也是单调递减？因此对于这个整个函数来说，它在啊，它在 b 啊，属于这个啊，六分之派到二分之派这个范围内是横单调递减的，那因此 b 啊，它等于六分之派的时候，我的 l 取得了最大，当然我是取不到开取键啊，我的 b 等于二分之派的时候， l 取得了最小值啊，它也是取不到的，是不是？ 好，有的同学说，那你代入进去算一下，特别是二分之派啊，那我们看一下，呃， 第一个式子是二分之三，对吧？然后加上这个，如果是三十度的话，那么二分之一乘二是一，所以根号三对不对？然后再加上，呃，这个是二分之根号三， 那么三分之根号三的导数就是根号三啊，所以这个地方是三，加上根号三，他最大值是三加根号三，那么最小值呢？有的同学说，二分之派带不进去没有关系，二分之派对于贪心的函数来说，他趋近于无穷大了，对不对？无穷大分之一这一项就可以理解为零 啊，然后再去带，就是二分之三，加上二分之一这一项就可以理解为零啊，然后再去带，就是二分之三加上二分之根号三，因为当他等于九十度的时候，角 b 时， 角 b 是 三，根 b 是 一，所以它就是一个二分之啊，三加根号三。因此呢，这个 l 的 准确的范围应该是啊，二分之三加根号三啊，到三加根号三的这个范围 好看清楚啊，那我们看，其实这个地方呢，他其实有跟有一个高考题比较相似啊，就是我们前期他的这个基本功啊，我我，我认为啊，对咱们的基本功啊是要求比较高的啊，就是一个 啊，这个边角互换这个摄影定律啊，还有这个特殊角，这个根号三啊，以及我们刚才算的二分之一啊，就是扩 能够快速反应过来。那么第二步呢，就是他给到了一个角，又给到了一个边啊，角和邻边的关系啊，我们通常呢用啊，这个是正弦定力 啊，进行边角互换，因为你要求啊周长的取之范围，那如何体现这个锐角，那我就是把边转化成角的关系，进而去求直余的问题。好，那么这里面呢，我们再给大家讲一个秒杀的方法啊，那这边我就 给它擦掉了，给它擦掉，我们看一下怎么去秒杀啊，这种都可以用啊，然后我们看一下，就是我们在已知条件下啊，就在已知条件下如何去秒杀，得到正确的结果。比如说我给的是角 a 和邻边 啊，那角 a 现在是非常确定的，角 a 就 得是六十度，它是一个锐角三角形，那么它的极限位置就是一个直角，它可能是啊，它可能是啊 b 式直角，它也可能是啊， c 式直角，对不对？那么这里面呢，边 b 是 确定的，是一 好，边 b 确定这是三十度，所以这个是二分之一和二分之根号三啊，用极限的方法 来解决啊，用极限的方法来解决好。那么还有一个就是角 a 是 横定，是六十度，那么角 c 是 极限位置九十度，那我们知道边 b 是 一，那这是二，这是根号三，因此它这两个刚好角 b 的时候，角 b 是 九十度的话，它取得一个极限位置的最小。角 c 是 一个九十度的话，它取得了一个极限位置的最大，所以它最后 l 的 取值范围你看看清楚，刚好是二分之三啊，然后加根号三到三，加根号三 a， 这个就秒杀了 啊，非常的好用，非常的好用啊，好，非常的好用，好，所以这是 c 选项的一个处理，我们如果是作为解答题来说，该怎么去解决，然后作为小题来说该怎么解决 好，那下面呢，我们来看一下 d 选项， d 选项来说呢啊，应该来说是我们先补充一下条件啊，角 a， 刚才是啊，六十度啊，然后边 b 呢是一 好，如何来求这个问题呢？实际上也是比较呃考察大家的这个基本功的啊，考察大家基本功，那么在这里面呢，他用到了一个什么呢？他用到了一个外心啊，用到了一个外心，那我们知道啊，外心呢，实际上就是一个三点共圆的问题了，是不是 啊，外接圆的一个问题？好，那这里面也是用用到了一些相关圆的性质啊，圆的性质好，我们知道这里面其实考察的是啊同弧所对的啊，圆心角是圆周角的二倍 啊，圆心角是圆周角的二倍，那么接下来呢，我们来看一下啊，该如何来解决问题。 那么首先呢， oac 啊， oac， 这是 o 对 不对？它的面积公式呢？我们看 s 三角形 oac， 它的面积就是二分之一的 r 方去乘以 sin 角 aoc， 我 们知道刚才我说了，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，那如何来体现这个 aoc 这个面积呢？我认为它应该是可以写成是二分之一的 r 方乘以啊，塞以多少呢？塞以二 b 是 吧？好，再看三角形 o b c o b c 的 话，其实好处理就是二分之一的 r 方 乘以三引啊 b o c， 我 们知道角 a 呢，它是一个六十度的角，是不是？所以对于这个角来说是一百二十度，所以直接就是三分之二派啊，那它对应的是二分之一的 r 方去乘以三引多少乘以三引啊，这个是二分之根号三就可以了啊。 好，好，那接下来呢，我们看他的差额呀，啊，他，我们的目标写清楚啊，我们的目标呢啊，其实就等于什么呢？就等于二分之一的 r 方啊，乘以什么呢？乘以塞以 啊二 b， 然后减去二分之根号三。好，我们要求的是取值范围，这个 r 我 们也不清楚，那还是用，刚才我们是在上一步骤中啊，我们说 a 除以三 a 就是 二分之根号三，是吧，等于 b 是 一除以三 b 哈，三 b， 然后它等于二 r， 那 因此我们看这个 r 呢，它可以写成是二倍的 sine 啊， sine b 分 之一，所以我们的目标呢，它就是多少呢？它就是二分之一啊，乘以四分之一再乘以 啊，塞以 b 方啊，乘以塞以二 b 啊，也是一个什么呢？这个角角的问题啊，最后的问题都转化成函数化了。 然后接下来呢，我们看一下，就是我们的目标该怎么处理啊，这个分子呢，是塞以二 b 啊，减去二分之根号三，然后分母呢？是这个相当是八乘以塞以 b 啊的平方。哎，我们解决这个问题其实是不太好解决的，是吧，我们看到三以二比，所以说我们按照被角公式啊，口三以二 b 呢啊，它等于一减去二倍的三以 啊 b 方，所以降密扩角了，是吧？降密扩角，那就是等于多少呢？等于三以二 b 啊，三以二 b 减去二分之根号三， 然后除以什么呢？除以，这是八等于什么？等于八分之一了，对不对？等于八分之一三以 b 方呢？它可以换成是二分之一减口三以二 b。 好， 那因此我们的目标呢，它就等于多少呢？二乘上去就是一个啊，四分之一啊，四分之一乘以啊，三以二 b 减去二分之根号三，然后除以一减口三二 b。 那 么这里面呢，其实他就综合性就比较强了啊，综合就就比较强了，那他接下来该怎么去做呢？啊？这地方换成口三二 b 减个一。 好，那么接下来呢，就是针对这个问题呢，实际上我们还是，呃，所有的东西其实都回归了本源，回归了本源啊，就是大家记不记得我们在学啊，学这个正弦函数的时候，求值域的时候学没学过一个 sine alpha 减一啊，除以口 sine alpha 啊，这个比如说我减个二，然后再加个一啊，像这种狮子，它是如何来求值域的？而且我我认为它这个 b 呢，它还是有范围的，就是比如说它是六分之派到二分之派啊，那么我们可以用啊，我们可以用单位元，或者说用这个 啊，圆的，这个圆的参数方程啊，这里面牵扯到圆的参数方程，把它转化，把它转化。我们看一下这个二 b 的 范围啊，二 b 的 范围它等于什么？它的范围是多少？是啊，三分之派 啊，三分之派到派的一个范围，那么我塞啊，二 b 啊，它就可以看成是一个 啊，看成是一个 y， 是 不是？然后口三以二 b 呢，可以看成是 x， 那 我们知道它们内在关系是 x 方啊，加上 y 方等于一，当然这个二 b 是 有范围的，所以说它不是一个整圆，它不是一个整圆啊，我们看一下。 好，我们在这里面你看啊，就是它是一个，我们可以把它看成是一个单位元啊，单位元，它是这样的一个单位元，是吧？好， 那么单位元的话，我们这里面就可以转化成是负二四分之一，然后是 y 减二分之根号三，然后除以 x 减一，哎，这样去处理，那么也就是说一和二分之根号三这个点啊，这个点 大概在这个位置，比如说 p 点，它是一和二分之根号三，对不对？但是我们我们刚才说 b 是 有范围的，所以说这里面是有有一点小问题的，就是它这个地方呢，它实际上是一个多少呢？是，是一个啊，是一个 啊，是一个圆上的一部分啊，圆上的一部分，所以我们过这个点啊，这个点是在圆外的，我们过这个点做它的一个切线，然后 啊与过啊， p 点啊，过 p 点与这个弧线有交点的啊， k 的 范围，它的 k 再乘以个四分之一， 再乘以四分之一啊，所以说后续的话，实际上就转化成直线问题。那么因此呢，我们看第一个，我这个我可以是设成外减二分之根号三啊，等于 k 倍的 s 减一啊， 它与原相切啊， s 方加 y 方啊，等于一相切，然后第二个点就是这个点是负一零啊，我们过 p 点就是一零，它的几何意义啊，转化到几何意义上了 啊？转化到几何意义上，转化到几何意义？就是过 p 点一二分之根号三的一个点，它的直线呢？与这个半弧啊有交点， 求 k 的 范围，求 k 的 范围，那其实我们可以从水平位置开始旋转，一直旋转，那么这个地方呢，作为 k 的 一个最大值，这个地方作为 k 的 最小值啊，最小值就是相切啊，最大值的话就是这两点之间的一个斜率公式。 好，那我们来看一下啊，我们来看一下，我这个地方写不下了，我要不就放到上面吧啊，放到上面来写 好，我们看一下，那么如果相切的话，那么圆心啊，圆心到直线的距离等于半径啊，所以它应该是二分之根号三， 减去 k 的 绝对值，然后除以根号下一加 k 方，然后等于一，那么这个地方呢，它算出来一个 k 值啊，算出来一个 k 值啊，大概就是一个啊，大概是一个 是一个负的啊，负的四倍根号三分之一啊，那么这个地方呢，应该是算出来一个值，那么另外呢，还有一就是我们两点之间的距离公式啊，负一啊，这个地方算出来是啊，二分之根号三 啊，除以啊，一加一，那就是四分之根号三，那因此呢，我们看它的一个取之范围，就是一个最小的啊，最小的就是相切位置，是一个负的 四倍根号三分之一，然后最大呢是四分之根号三，那么这里面呢，我们乘的是负四分之一啊，所以乘个负四分之一以后啊，乘个负四分之以后，它就变成什么了，它就变成一个负啊，十六分之根号三到一个多少呢 啊？这个地方再乘应该是一个十六十六倍根号三分之一，那么刚才呢，在这里面其实是啊，有有有一点，有一些问题的，有一些问题的，你比如说他是一个啊三分之派到派的过程啊，所以这个点是不能取的，也就说这个， 这个是一个开区间，那么这个相切是在三分之派到派之间，这是一个 b 区间啊，所以我们这个地方再进行调整，也就说相切的位置可以取，但是这个这个特殊点负一零他就不能取，是个开区间啊，所以取完以后应该是左开 啊，左开右闭啊，左开右闭，这个十六倍根号三分之一，刚好就是啊四十八分之根号三啊，这个注意一下。 好，那这个题就讲完了，那实际上这个题呢用的东西还是非常多的。第一个就是啊，从前期的啊，前期的边角互换呢，然后到这个啊外心的应用，然后所有的问题都转化成角的问题， 然后最后结合啊圆的参数方程，然后利用几何关系来解决问题。

好，各位同学，大家好，我们今天来点评一下这个五式联考的一个卷子， 这个五式联考卷子，我们来看一下这份二零二六年啊，高三 啊年级的一模数学试卷啊，整体难度是中等偏上，那么在这里我要做一个预测啊，就是说白了啊，二模难度和这个一模难度是基本上是大差不差 啊，我们看一下这次的一模啊，可以说是历届来最低的水平了啊，因为什么？大家看一下今年所出这个分数线啊，这个 一模的本科线的数学，竟然理科方向就是物理方向啊，竟然能达到三十四分啊，以及这个啊，我们所说的叫什么特空线啊，也就是啊，五六十分的样子啊，我印象是，那么这个地方啊 啊，和我们试卷难度是有关联的，用试卷难度难，他就分值压又普遍要低一些，这个道理大家应该能懂啊，要水涨船高，有道理，那么这个试卷的整体难度，我刚说中等偏上 二模呀，跟他是啊，基本类似的，可以让说大家在背靠二模手，一定要注意以下几个方向点，第一个是计算量较大啊，第二个注重的是知识点啊，多综合运用与逻辑的推理。 这个试卷呢，我可以这样说，它这个质量啊，非常高啊，适合大家用来这个突破你的一个真实水平 啊，因为今年高考的难度肯定是要提升了，因为去年我们都做过那个卷子，是吧，你看前六题都可以松分，但是大家看啊，这前六题基本上啊，我还正确率不是很高 啊，平常考一百一百二的前六题还有栽倒的啊，但是对于平常我们考一百一百二，我们发现前六题基本上是稳做的啊，就可以说是稳对的啊， 那么我从下面几个方面入手，第一个是整体难度评价，就说这试卷它的好题和它去温度再熨哪啊，也让同学们去备战的时候啊， 容易去啊，更高效的去备战，而不是盲目性的备战啊。第一个是一道八题啊，它的基础以中档题为主啊，比如说第八题，它就是一个综合性较强的题目， 那么这个放在高考中也是这样的一个位置啊，他不可能会放到第六题，也不可能会放到第五题，他只能放到第八题。好，所以这块在备战时大家一定要注意好，平时我们去练习的时候，好，我们第八题就要强调了一个啥运算以及你的分析期末能力， 九到十一啊，可以说是一选错了啊，或者说是错选的啊，甚至漏选啊 啊，他这里面啊，就是我们刚所说的啊，尤其是第九题，我看好多好学生平时能考一百二一百三的，这第九题也不会了啊，考场上去转的时候，发现好多题的第九题书 还能选错啊，甚至第十题啊，会出现这个错选的现象，疑十一题 啊，你要是细致的去分析，就静下心来预看的话啊，十一题实际也不难啊，也是我们平时所练的部分啊，可能就这 d 选项有点蒙啊。 那么从十二到十四这三个选择就有填空题中啊，我们发现 好填空题的十四题是几何了，综合性的大题，我们很少见到几何了题目啊，在小题中用间隙的形式， 他这个今年就打破了常规，你像往常我们说起了半截球就压根就用不到间隙这个思想，但今年呢，可能会用到啊，就是我们所说的暴力间隙吧，他是最直接了当了 啊，当然特殊方法也有啊，不能说就是奸细把，就维解。没有这样说啊，我们也可以通过这个啊，立几何的几何性的关系去找啊，也是可以的啊，不过那个思维性比较强，甚至这个综合性也比较大。 十五到十六，这十五题有坑啊。十五题啊，我看大多数同学所写的步骤是有问题的啊，这个地方扣你两分。好的同学到现在就没有发现，为什么我会扣我两分啊，我的这答案都对，为什么还会扣我两分啊？因为你的 啊，步骤也就我们所说的先假设，我们叫个假设 h 零啊，然后再去进行，是不是啊， 这个否定他这个说法，然后再去验证啊，是否是成立的啊，那不成立就是假设，是不是就不成立，那假设不成立就是说白了什么找他的还是不记。 第二，这个利用的是条件概率的形式啊，条件概率啊，他就考察学生的读题的一个逻辑啊， 这地方容易出问题啊。十六题啊，这个题难度啊，不是很高，也是个很长的问题，就是我们所说的啊，构造啊， 啊，它利用等差的模型啊，去求解这个 a n 啊，构造 a n 和 s 木关系去求解。实录是第二问的啊， 也这非常好的题啊，他这个原题比这个难啊，但是他考试简化了啊，原题他所表述就是我们所说的分解形式啊，把这个因素 啊，把一个这个数分解成多个因式的形式啊，但这个题他做了简化啊，就说难度还是再降低的， 那么十七题这个题的错误率是最高的题啊，没有想到就立即几个题成为这个卷子的死亡点啊，可以说标志你能上高分就立即和我看。好多朋友这第二问竟然能做不出来，哎，我当时就非常疑惑， 这个地方强调一点，实际的模型可能已经变形，大家可以去看武汉的三调。那个的利益几何也是很难的啊，就说再增难，不能说很难，是增难了，增加了一定难度。就是说 迪莫也是震的是垂直，他好像震的是面面，而他有一个也是长的是这个蟹面啊， 以及二面狭角啊，还有立体几何的个球体积啊等等等等啊，求线段长也是可以的，哼。 啊，那么这个题啊，当时我记得我考场上转的时候横队的第二问是错了，就瞧了三遍，都是不是一个答案就答案对不上号啊。那你可以寻求几何法的思路，我们所说两可得啊，只要我们找到这个先线角 啊，就差的平面角，我就可以把这题做出来了啊。方法是一定是可以行得通的啊，就说我们所说通法是一定能行通的，只不过很多同学就是说在学了立体几何之后就空间向量之后，他会遗忘他所学的这个几何法， 但是大多数的教材现在赏的都是这个间隙法，但很少去提这个几何法，因为为什么几何法不好想啊，他来去构造这个平面是不太好想的，但是这个思路是非常明确啊，是可以利用几何法去 啊，精益求精，因为去年的高奥题以及前年都是可以利用几何法去啊求角的啊，是可以的， 每年都是可以的啊，所以说大家一定要注意哈，你在学建一把的同时，一定要加强自己的几何方向啊。然后十八题是个特别特别好题，这题是最容易产生错误的地方，啥意思呢？ 我们来看一下。十八题凑合率最高，他是个韩餐啊，讨论的问题就是零年讨论问题，第二轮他用了反韩中的思想去求证了 啊，以负函数的形式去推导了。这题是个相当不错好题，它实际是你必修一，老教派必修一的一个经典例题啊。这个例题我待会可以给大家找一下，它实际就差了一个改变，就差了一个升级版啊。十九题啊， 说是一个这个新定义的轨迹题，实际它考察是折痕和直线的焦点问题啊，折痕啊 和焦点啊，需要转化成一个啊曲线的形式。那么这里面啊，提示一下， 给各位考生做一个复习建议啊。第一个是回归了的课本基础啊，强化它的概念，尤其像第二题百分 啊位数这个题，好多同学他觉得这个八个数二还是您家赢，你从小到大排列好了，他觉得四分之三的就是六个位置好，直接就秒选了二十三个答案，好发现是错的。这题你能这样做，莫打想象肯定是不行的，他肯定是要找第六和第七的答案 生不平均值啊。而第三题，看似这个题很难，又加了一个陈浩，而且还有个绝对值，难就难在这个形式上面啊，但是我们发现它是可以化简的 啊，或者我们用最基本的一个常识去这个代入啊，就可以得到答案，就是我们索取了一个公式啊，代入一下就可以知道周期了啊，不用太多的这个运算啊。 第四题是一个向量的投影向量的考察，这是坐标的形式考察，当然我们还有非坐标的形式考察啊，以及我们还有投影数量的这个考察方向。还有一个就是南奥一高之前考的题，是非常好的一个题， 个人感觉这个出题啊非常有水平，他考的是投影向量模，当时好多同学问什么叫投影向量模，那不还是求了时差啊，是不是长度的问题啊，那就是在投影向量技术上再加上他的模，那你比如说这题问的是投影向量为多少， 那么现在改为了是投影下的魔鬼端，那大家想想是不是就是他的横轴标题吗？将纵的标题吗？再开放就他的投影向量的魔长啊，就这样做的，很多人说投影向量还有魔投影向量肯定有魔长啊，大家想想他的魔长不就是他的长度啊。 那么这时候我们来看下第五题，第五题很多同学说用二乘四算十一，这题用不到二乘四，它就是个很简单的找规律啊，个人来说他 变到我们的数列中也不为过啊，也是不为过的啊，因为你列几个例子啊，找这个几个为一组啊，那就是周期的一个形式啊，可以看那个周期数列去解决。 虽说这个题的解法是不一的，你站角度不同，你会发现解法是不一的，个人感觉只要能把这个题解对都是可以的啊。 然后就是我们第六题，这个若读啊，古代数学文化问题啊，就是你要读这个文化啊，然后读懂之后才能去做。第七题是非常坑的，谁还没有发现算完之后他是个长竖脸啊， 因为他在低旁再提示啊，他是个两次项的形式啊，也就是平房，平房而求和。 注意好这第八题啊，四点共圆的一个窗户，条件打响是什么？在圆之学院里面它有一个啊，说法的第九，就是我们所说的复数的根的问题，这个题啊，是要先转化成它的 啊， a 加 b i 啊，把我们的 x 一 s 二求开， s 一 就是 z 一， s 二就是 z 二，求开之后就可以求它的魔长，魔长就是啥呀，就是二二，我们 a 就是 它的 实部啊， b 又上虚部啊，然后对应的求 cosisata 萨克斯塔就能求那个俯角是多少啊？ ok， 到这里结束。

二零二六年河南五市联考漯河市参考分数线发布，物理组复分后，特控线四百六十二分，本科线三百五十六分，两线略高于此前公布的南阳市，略低于驻马店市分数线。 历史组复分后，特控线五百分，本科线四百一十五分，历史组分数线略高于南阳和驻马店分数线。目前信阳及三门峡还未发布，待发布后将第一时间公布。点击关注，河南高考全程陪跑！

有粉丝朋友留言，想让老师讲一下焦作一波这个填空压轴题。下面我们看一下这个题。 如图，在三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度， ac 等于 bc 等于三倍的根号二，点 d 是 平面内一点 ad 等于二，以 ad 为边做等边。三角形 a， d、 e 连接 b， e， f 是 b、 e 的 中点， 连接 df， c、 e。 当 df 分 别取到最大值和最小值时， c、 e 的 长分别为多少？ 这里边这个点 d 是 个动点，因为 a、 d 等于二，所以呢，点 d 在 以 a 为圆心，以二为半径这个圆上运动。三角形 a、 d、 e 是 个等边三角形，所以呢，点 d 在 这个圆上运动的时候，点 e 也在这个圆上运动。 f 是 b 的 中点，所以呢，点 f 随着点 d 和点 e 的 移动也在运动。在运，在这个运动的过程中，我们要注意这个点 f， 它运动的轨迹。我取 ab 的 中点 o， 我 连接下 o、 f。 咱看三角形 b， e， a 这个三角形 a、 b、 e 的 中位线 o、 f 平行且等于 a、 e 的 一半， 所以呢，这个 o、 f， 它等于一点 f 永远在以 o 为圆心，以一为半径这个圆上运动。 但是现在这个我们即使知道点 f 的 运动轨迹，也很难确定这个 df 什么时间取得最大值，什么时间取得最小值。 在这种处理这种动态几何的问题过程中，我们一定要注意哪些东西是变化的，哪些东西是不变的，一定要抓住不变的东西。这里边我取 a、 e 的 终点 g， 我 连接 d， g 连接 g、 f， 无论 d、 e 如何运动，这个 d、 g 的 长它是不动的，它等于根号三，永远等于根号三。 再一个 o、 f 平行且等于 a、 e 的 一半，也就是 o f 和 a g 平行且相等，这个 g， f 它也是不动的，它永远等于 o， a， 它是平行且等于 o a。 这时我们发现一个三角形， d， g， f， 在 这个三角形里边，这个 d， f 永远小于 df 加 g f 大 于它俩的差。 那么这时 df 什么时间去最大值，什么时间去最小值就好处理了。当 df 三点在同一条直线上时， 在同一条直线上，且记在 df 中间的时候，这时 df 是 最大，等于 df 加上 fg。 那这时求一下 c， e 的 长，要求 c， e 的 长。这时注意 d， g， d， f 或 d g， f 和 a e 是 垂直的，和 a e 是 垂直的。那这时呢，这个 a， o， f， g 这个四边形是个矩形，假如 e， a， c 应该是 四十五度。这时呢，我过点 e 做 e， h 垂直于 a， c 有 a， e 等于二。所以呢，这个 e， a、 h 是 个等腰直角三角形， a， e 等于二， e， h 等于 a， h 等于根号二， 那所以这个 c、 h 它就等于根号二，也就是三倍的根号减去根号，等于二倍的根号二啊。 c， h 是 二倍的根号二，知道 e， h， c， h 了，所以这时 c、 e 的 长有勾股定律，我们可以求出是根号十。 这是当 df 取得最大值时， c、 e 的 长。当 点 d 位于 g、 f 中间的时候， d、 g、 f 三点在同一条直线上，也就位于这个位置的时候，这时这个 g、 d、 f 是 取得最小值，它是最小，它最小时。这时我过点 e 做 e， i 垂直于 ac， 将 c a 的 延长线与点 i， 那这时呢？还是 a， e 等于二，那 a， i 等于 e， i 都等于根号二， c i， 它就等于三倍的根号加上一个根号二，也就是四倍的根号二。四倍的根号二的平方也就是三十二， 三十二加上这个根号的平方也就是三十四啊，所以呢，这时 c e 的 长就是根号三十四，所以呢， c e 的 长是根号十和根号三十四。好。

二零二六年五市联考三月十九号到三月二十号，南阳一模现分数线已出。物理组，本科线三百二十分，省排名三十四万名， 但是如果想让孩子上一个本科，需要考到三百四十四分，省排名三十万名以内才有机会。 想上一个公办本科，需要考到三百八十九分，省排名二十一万名以前才有机会。 物理组，特困县，四百四十四分，省排名十四万名，但是如果想上一个一本院校，需要考到四百六十九分，省排名十万名以内才有机会。历史组，本科线三百八十四分，省排名九万名， 但是想上一个本科，需要考到四百零一分，也就是省排名七万五千名以内才有机会。想上一个公办本科，需要考到四百三十九分，省排名五万名以内才有机会。历史组，特控线，四百八十六分，省排名两万五千名， 但是想上一个一本院校，需要考到四百九十六分，省排名两万名以内才有机会。你们家孩子考了多少分，可以打在评论区，老师给你换算。省排名，推荐院校，推荐专业。

来我们看一下新鲜一摸这个填空压轴题。如图，在三角形 abc 中，角 abc 等于九十度， ab 等于八倍的根号二， cd 是 边， ab 的 垂直平分线 m 是 ac 上一点，且 am 等于二。 作 d， n 垂直 dm 交 bc 于点 n， 若点 p 是 直线 m， d 上一点，且 d p 等于二分之一 m， d， 则三角形 pnb 的 面积是多少？ 在解这个题之前，我们先简单的分析一下这里边这几个条件。 cd 是 边 ab 的 垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，咱可以得 ac 等于 bc。 三角形 abc 是 等腰直角三角形 d 边 ab 等于八倍的根号二，咱可以得这个腰长 ac 跟 bc 的 长都是八，这是大三角形的条件， 里边有个 dm 垂直 d， n 有 这个 dm 垂直 d， n， 咱可以正三角形 a， m， d 全等于三角形 c， n， d 这两个三角形是角，边角全等啊。四十五度角，下面是九十度，减去 m， c， m， d， c， 呃，边是 a， d 等于 cd， 这两个三角形全等 a， m 等于 c， n 等于二，咱可以得这个 b， n， 它是六，也就是这个三角形 p， n， b 的 一边咱知道。 然后这个题 d 是 ab 的 中点，如果咱过点 d 做 d， f， d， g 垂直于这两边的话，这个 d， f， c， g， 它是实际上是个正方形， 正方形的边长是四，也就这个 f， c 的 长是四，下面剩这个 a， f， 它也是四。第一种情况，当这个点 p 在 md 上的时候，因为 p 是 md 的 中点 m， 因为这个 d p 等于二分之一倍的 md 啊， p 是 中点，我过点 p 向 a f 做垂线做 p， h 垂直于垂直于 a， f， 这时因为 am 等于二， m f 也等于二，那这个 h f 它就等于一，因为 p 是 终点啊，这儿， 所以呢，这时 f h 是 一，那我们就求作 h c h c 就是 五，其实这个 h c 也就是 p b n 这个三角形 b n 边上的高， 这条边上的高有底有高了，所以这个三角的面积咱就可以求出来了啊。这个三角的面积是五，这个六乘以这个五除以二，就是十五。那另一种情况，另一种情况，当这个点 p 在 m d 的 延长线上的时候，在这种情况下，咱也求一下这个点 p 撇到 b n 的 长就行。那这时呢，咱过点 p 撇也做 ac 的 垂线，做 ac 的 垂线。因为这个 dp 撇和这个 dp 是 相等的，所以这边这个 h f 和 fi 是 相等的啊。咱可以得这个 fi 等于 c i， 那 就等于三，所以这个三角的面积就是九好。

啊，你现在看到的是二零二六年河南焦作市的中考一摸化学试卷， 他这个试卷还是按照二零二五年河南中考整体那个时间分值体型来命名制的啊，咱们二零二零二六年河南中考化学有个变化，我看这个还没有体现。咱们看这套卷子， 他第一题是个单项选择啊，一共是啊，你看一下啊，在这呢，一共十四个题，你看十四是个计算，十三是个设计评价啊， 第二是个填空题啊，这个不同点，这个十九题呢，他给这个计算和以往不太一样啊，这是个综合反应了， 第三解答啊，第四是个综合应用题，他整体的模式还是按照啊二零二五年河南中考这个整体的体型来命名制的，还没有体现。二零二六年中考的新变化，还没有体现的。 呃，这套卷子呢，总体来说还不错，有解体，有做的价值。咱们学生啊，可以做做这套卷子啊，我把卷子放到咱们这个主页，如果需要电子版的，可以加粉丝团，就领取这套电子版资料了。

二零二六年河南南阳、信阳、驻马店、三门峡、漯河五市第一次联考分数线已全部发布。以物理组、本科线从低到高排序，分别为，南阳一模物理组特控线四百四十四分、本科线三百二十分。 信阳物理组特控线四百六十七分、本科线三百四十五分。驻马店物理组特控线四百六十二分、本科线三百五十四分。 漯河一模物理组特控线四百五十六分，本科线三百五十六分。三门峡物理组特控线四百六十分，本科线三百五十九分。以历史组、本科线从低到高排序，分别为，三门峡历史组特控线四百五十四分、本科线三百六十五点五分。 南阳一模特控线四百八十六分、本科线三百八十四分。信阳历史组特控线五百零六分、本科线三百九十九点五分。 驻马店历史组特困县四百九十六分、本科线四百一十八分。漯河一模历史组特困县五百分，本科线四百一十四点五分。点击关注，河南高考全程陪跑！