八下数学第20章勾股定理基础训练

勾股定律的五种正法在书本的三十二页，先来看到勾股定律的第一种正法， 这个是弦图的另外一种正法，它用的是以斜边为边的正方形的面积加上四个三角形的面积。这里是以斜边 c 为正方形的一个面积，加上外面四个三角形的面积，会等于整个大正方形的面积，是这个意思。 那么这里里面，这里有这个正方形的面积，它就会等于 c 的 平方啊。以斜边为边的正方形的面积，对应的是 c 的 平方加上四个三角形的面积，这四个三角形的面积是外面四个三角形的面积。这一段是 a， 那么这一段就是 a， 这一段是 b， 所以 这一段也是 b 啊。同样的，这段是 a， 这段是 b， 这段是 a， 这段是 b， a、 b 就 这个意思，所以这四个三角形的面积，它就会等于二分之一 a、 b， 然后再乘上一个四啊，就这个意思，等于外面正方形的面积。外面的这个正方形，它的边长是 a 加 b， 所以 是 a 加 b 的 平方。然后再打开 c 的 平方，加上二 a， b 等于 a 的 平方，加二 a， b 后面是完全平方。公式打开， 那加二 a， b， 加二 a， b 抵消掉了，就剩下 c 的 平方，等于 a 的 平方，加上 b 的 平方，你看这个是不是就是个五厘米，对不对？这个是第一种正方。 第二种正法是传说中必达格拉斯的正法。这里提示把图一当中拼成的正方形与图二当中拼成的正方形面积相等就可以了。你看图一，这里是一个正方形，边长是 b， 所以 它的面积是 b 的 平方，这个是 a 的 平方， 然后这四个三角形呢？它的两条直角边分别都是 a 和 b， 所以 它的每一个三角形面积都会等于二分之一 a、 b， 对 吧？好，这里有四个，所以第一个图就是 a 的 平方加上 b 的 平方加上 四乘上二分之一 a、 b， 这是第一个图，第二个图拼成的正方形面积是，这里是 a， 加上 a 加上 b， 是 这个整体的面积啊。但是我们要的不是这个整体的面积，我们要的是把它拆分出来的面积，这里是四个二分之一 a， b， 这里有四个，所以也有四个二分之一 a、 b， 然后中间这个正方形的面积，它是 c 的 平方，它的边长是 c， 所以 我们就可以把它写成四乘二分之一 ab 加上 c 的 平方， 然后四分之一乘二分之一 ab 和这边是可以抵消掉的，就只剩下 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方了，你看勾股定律就出来了，对吧？ 再来看到第三种方法，折矩积矩法，那么它是什么意思呢？它是把三四五这个直角三四为边，往外画了一个正方形，那就是这里， 这里是直角，这里是三，这里是四，这里是五，你可以看得出来，这个正方形就是四的平方， 这个正方形面积就是三的平方，而这个蓝色的正方形，它的面积就是五的平方，它就通过这种方式割补法， 把这个两个正方形的面积割补成一个大的蓝色的正方形的面积，就把这两个三角形的，就把这个两个正方形的面积填充到里面去了。啊，就这个意思。然后后面就是它的割补过程，看一下， 先画成这个样子，然后呢他在这里连条线，原本呢这段是四的，原本这里他是四的，啊，这里割一下，这里就变成了三了啊，他这里结了一个三下来， 所以这一段是三，那这一段也是三，然后接着他又在这里，这一段他是四，是不变的，这一段是四，他是不变的，然后在这个上面又结了一个一下来，所以这一段 是一，这一段是三，所以呢，因为这里是一，这里是三， 这里是一，这里是三，所以这一段或者是反过来画，这一段就是四，所以这条边他也是四，看到了吗？啊，所以刚才的这里的三，四， 这里的三，四，这个三角形它就可以旋转过来填充到这里来了，这里是三，这里是四，对吧？好，然后把这个哎补过来，因为它这里是一，这里是三，正好这里也是一，这里也是三， 那就把这个小长方形补过来了，补过来了之后，那这一段它就是四，原本这里是三，这里是一的，那补过来之后，这里就变成了四，这里变成三了啊，那同样的道理，这里也是三，这里也是四， 所以他就把这个三角形的面积填充到这里来了，这个三角上面这个三角形的面积填充到这里来了，最后整个 大三大正方形的面积就是五的平方，这就是五的平方， 那就把三的平方和四的平方填充到五的平方里面去了，就可以得到三的平方，加上四的平方等于五的平方，它是以这种形式割补法去凑出勾股定律的， 这个是勾股定律的第四种证法。在一本书里面有记载，这本书叫做原本，它也是用面积法去证的， 让直角三角形的三条边往外做三个正方形，如果把这个直角三角形的三条边边长分别叫做 a、 b、 c， 那 么这个三个正方形的面积就是 a 平方、 b 平方、 c 平方。我们的目的就是为了证明出 a 平方加 b 平方等于 c 平方就可以了。 他把下面这个大的正方形分割成两个长方形，让小长方形的面积等于小正方形的面积，大长方形的面积 等于中等正方形的面积，就可以得到这个式子了。好，他这里有提示，正方形的面积等于这个三角形面积的两倍， 然后小长方形的面积等于这个三角形面积的两倍，然后让这两个小三角形全等， 全等之后面积就相等，就可以说明这个小正方形的面积等于小长方形的面积了。好，我们写一下这个过程啊，你连接一下 ig， 再连接一下这个 a、 j， 我 们先证明这里的三角形面积和这个三角形面积相等， 这个三角形面积和这个 a、 d、 j 三角形面积相等啊，怎么来的？都是等底同高。你看， 因为 id 等于 id 同一个三角形，它们的底是相等的，底是同一条，那肯定是相等。然后又因为 这个 h、 c 平行 id， 所以 平行线之间它们的距离处处相等，这个距离指的是垂直距离， 在平行线之间作高，看到没有？高是相等的，所以三角形 i、 d、 g 与三角形 i、 d、 c 它们的这个面积相等，是因为同底等高， 所以我们可以得到三角形 i、 d、 g 的 面积会等于三角形 i、 d、 c。 的 面积，那么由于这个正方形的面积会等于 i、 d、 g。 面积的两倍， 因为 a 的 平方会等于两倍的三角形 i、 d、 g。 的 面积，所以这个 a 的 平方也会等于 两倍三角形 i、 d、 c。 的 面积。好了，这样的话，我们就把第一句话证明出来了，再看第二句话，这个小长方形的面积等于这个 a、 d、 g。 面积的两倍。怎么来的呢？同样的方法， 因为 a、 d 等于 a、 d， 这两个三角形它的底是同一条，那然后这个 a、 d 和 g、 k 是 平行的， 又因为 a、 d 平行 j、 k， 所以 三角形 a、 d、 j 与三角形 a、 d、 g 也是同，也是同底等高， 它们是同底等高的，那高都在这里， 高在这，对吧？然后 g 往下做垂线，高在这，这两条高会相等，所以三角形面积会相等，所以三角形 a、 d、 g。 的 面积会等于三角形 a、 d、 j 的 面积。 面积是相等的。好，那么不难看出，这个矩形面积的一半就等于 a、 d、 j， 因为这个 a、 d、 j 应该是这个 a、 k、 j、 d。 这个矩形的面积 会等于这个小三角形面积的两倍，等于两倍的三角形 a、 d、 j。 的 面积，所以这个 a、 k、 j、 d。 的 面积就会等于两倍的三角形 a、 d、 g。 的 面积。 那么剩下的就是你要证明这两个三角形全等了，那么这个小矩形的面积就等于这个小正方形的面积了， 怎么证明全等呢？你看这两个三角形 i、 d 等于 j、 d、 a、 d 等于 c、 d， 再加上它们中间的夹角是相等的，就是这个角和这个角是相等的，都等于九十度，加上同一个角，对不对？好， 因为算了，我写个全等五好吗？ 在三角形 i、 d、 c 与三角形 g、 d、 a 当中， i、 d 等于 g、 d 角 i、 d、 c 等于角 g、 d、 a， 它都等于九十度，加上这个角 g、 d、 c， 然后最后一个就是 cd 等于 a、 d， 所以 我们可以得到三角形 i、 d、 c 全等于三角形 g、 d、 a。 全等。条件是边角边 全等之后，所以我们就可以得到这两个三角形的面积也是相等的。 好，它们的面积现在是相等，就这两个面积相等了，所以 这个 a、 k、 j、 d 的 面积 a、 k、 j、 d 这个面积就会等于 小正方形的面积 a 的 平方。好，这里我们就证明了。左边的那还有一边呢？这个时候你要连什么呢？哎，你就要需要连这里和这里了，我们连一下。 思路是一样的，那你同时也要连 b、 j 和这个 e、 g。 证明过程我就不写了，思路我写一下。另外一层，就是让这个中等正方形的面积等于这个三角形的面积的两倍，从而也会等于这个三角形的面积的两倍。 这个我写一下。 b 的 平方会等于三角形 g、 c、 e 的 面积的两倍啊，写一下，两倍， 而这个 g、 c、 e 的 面积和这个 d、 c、 e 的 面积也是同底等高的，这两条线平行，对吧？这个是正方形，上下肯定平行的，高相等啊，同底等高，棱底等高，对吧？好，等于两倍的三角形 d、 c、 g 的 面积。好，得到了这个，然后再拿这个长方形的面积，它会等于这个 b、 c、 j 面积的两倍，而这个 b、 c、 j 的 面积会等于 b、 c、 g、 c、 j， 它会等于两倍的三角形 b、 c、 j 的 面积就会等于两倍的 三角形 b、 c、 g 的 面积就等于两倍这个 b、 c、 g 的 面积，而这两个三角形是全等的，你看这里也是九十度， 中间夹了一个角，然后这两条边相等，就是 e、 c 等于 g、 c， 然后这个 b、 c 会等于 dc， 对吧？好，再加上中间的夹角，所以这两个三角形全等，知道吧？啊？又因为三角形 bce 会等于等，它的面积会等于三角形 bcg 的 面积，原因是全等， 因为我在这边已经正过一遍了，我这里就写不下了，就不写了，所以我们就可以得到这个 a、 b、 c、 j 的 面积会等于 b 的 平方的面积，看到了吗？好，现在你再把这两个面积加起来 就会等于 c 的 平方了，知道吧？啊？这是一式，这是二式，你把一式和二式加起来，一式加二式， 你就会得到这个 a、 a、 k、 j、 d 的 面积，加上 a、 b、 c、 j 的 面积就会等于 a 的 平方加 b 的 平方， 这是让左边加左边，右边加右边，而这两个长方形面积加起来就会等于 c 的 平方，所以我们就可以得到 c 的 平方，会等于 a 的 平方加上 b 的 平方，这样的话，我们就可以得到勾股定律的结论了。 欧古定律第五种正法是没文顶的正法，它这里提示是正方形 a、 g、 e、 f 的 面积加上正方形 h、 j、 d， g 的 面积会等于正方形 a、 b、 c、 d 的 面积就可以了。那么它具体是怎么操作的呢？ 也是一样的， a、 g、 d， 这个是一个直角三角形 r、 t， 三角形 a、 g、 d， 然后分别以它们的三条边往外做一个 正方形，不过这条边是往里做了一个正方形，那它这条边是 a， 那 这个就是 a 平方，这条边是 b， 它整个面积就是 b 平方，然后斜边是 c， 那 么这个就是一个 c 平方啊，就是大概是这个意思， 然后进行分割。怎么分割的呢？你看它这里画完之后， 把这个正方形你挪到这里来啊，这边也是 a 啊，因为你看这里是 a， 这里是 b， 你 做了正方形之后，这条边就是 b， 然后这个是一个矩形，对称过来，这条边就是 a， 那这条边就是 b 减 a 啊。接下来你要用全等去证一下，这条边是 c， 这里做垂直，这个是垂直，这个也是垂直，对吧？你可以证明这两个三角形全等， 全等之后，这条边就是 a 了啊。具体的就是九十度，九十度啊，这里是角一、角二、角三角一加角二等于九十度，角二加角三等于九十度，所以角一等于角三，所以这两个三角形是全等的，你全等之后，这里是 a 对 称过来，这条边也是 a 啊，这条边也是 a， 然后呢，因为这条边它是 b 啊，这里垂直了，对不对？这条边就是 b 减 a， 这条边是 b， 这条边也是 b 减 a， 这个是一个直角，所以中间就是个正方形，中间就是个正方形。全等之后，这条边是 b 嘛，这条边也是 b 嘛，对不对？然后这条边是 b 减 a， 这条边是 b， 这条边是 b 减 a， 所以 这条边就是 a。 好 了，这就是一个正方形，对吧？直角不用考虑，它画的都是垂直， 所以它这个正方形，那么这个正方形小的空白的正方形，就和上面的这个正方形的面积是一样的啊，边长都是 a 的 正方形，然后接下来把这个移下来之后，哎，它把现在它的这个面积就变成了这样的了， 好进行分割，把上面这部分的面积平移下来啊，平移下来覆盖这里，然后把这部分的面积移到右边去，你看用割补法就补出了这个正方形，正方形 c 的 平方就可以了。 如果要写这里的证明过程就太多了啊，我把这个思路大概写一下啊，首先你先证明这个 a、 d、 m 和这个 a、 b、 i 全等三角形 a、 d、 m 全等于三角形 a、 d、 i， 这里有个 i 哦，我遮住了 全等全等条件，角角边全等之后的话，你就可以得到 a、 i 等于 a 啊，然后等于 b、 l 等于 b、 l， 然后再证明这里是一个正方形，就是 四边形 k、 j、 m、 i 为正方形， 你就可以得到这个 b、 k 也等于 a， 那 么这个正方形啊，这个矩形两边都是 a， 所以 它就是正方形，所以我们就可以得到四边形为 四边形 l、 b、 k、 h 为边长 等于 a 的 正方形。好了，那么接下来把这个面积移过来再进行分割就可以了，把它进行拆分， 这里拆分一下这个 c 的 平方会等于什么呢？会等于 这里拆分出来的四个小面积，中间正方形加四个三角形。我们这里写一下三， a、 b、 c、 d 的 面积，这 a、 b、 c、 d 的 面积会等于三角形 a、 b、 i 的 面积，加上三角形 a、 d、 m 的 面积，加上三角形 a、 g、 c 的 面积，加上三角形 a、 b、 c 的 面积。最后再加上中间这个正方形的面积， 那么现在这个 a 的 平方加 b 的 平方会等于什么呢？ a 的 平方加上 b 的 平方会等于这个 a、 f、 g、 h 的 面积。 a、 f、 g， a， 不 对，是 a、 g、 e、 f， 再加上这个 g、 h、 j、 k， 呃， j、 d 的 面积， 而这个面积咱们又可以把它转化成 这个正方形的面积， 是 l、 b、 k、 h， 加上刚才的这个 g、 h、 j、 d 的 面积。好，现在我们就变成了这两部分的面积， 而这两部的面积它又可以拆分成什么呢？它又可以拆分成这个，加上这个，加上这个，再加上这两个。看到了吗？好，我们把它写出来，就是三角形 a、 b、 l 的 面积，加上三角形 a、 b、 i 的 面积，再加上三角形 a、 d、 m 的 面积，加上上面这个三角形 a、 g、 d 的 面积，最后再加上一个最中间的一个正方形，就最中间这一个正方形就是上面这个 整体，往这边挪一点。 好，接下来就一一对应了。那接下来就一一对应了。首先这个面积这三个面积是不变的，这三个面积是不变的。 a、 b， i， 找到 a、 b， i 这个面积不变， 以及 a、 d、 m、 a， d、 m 不 变，还有个正方形的面积不变，那么接下来把这个面积和这个面积分别平移到这里和下面这个位置。啊，注意，这个面积移下来之后，这个空白的地方是补起来了的啊。 好，对应一下。 a、 l、 b， a， b， l 对 应哪一个？对应这个？ d、 j、 c， d， j、 c， 在 这里它们两个可以互换， 然后最后一个就是 a、 g、 d 和 k， b、 c 进行互换， 那 e 对 应相等的，所以你会发现 a 平方加 b 平方得到的五个面积和 c 的 平方得到的五个面积是相等的，所以我们最后就可以说，所以 c 的 平方等于 a 的 平方，加上 b 的 平方就可以了。

还有人不知道勾股定律的吗？勾股定律入门篇，超易懂的学科攻略！本期是勾股定律章节的第一课，我们将简单的介绍勾股定律和它的证明方法，以及如何利用勾股定律把长度为五厘数的线段 为之后进一步掌握勾股定律的应用打下基础。勾股定律说的是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说，如果直角三角形两直角边长分别为 a 和 b， 斜边长为 c， 那么 a 平方加 b 平方等于 c 平方。那这个定律为什么称为勾股定律呢？在中国古代，我们称直角三角形为勾股形，直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，因此这个定律称为勾股定律。 在了解了勾股定律之后，如果已知直角三角形中任意两边长，我们就能求出第三条边的长度。比如，已知直角三角形中两边长分别为三和四，要求第三边的长度，那么由勾股定律可得 c 等于根号 a 平方加 b 平方，也就等于五 等等等等。由于这里已知条件中并未说明哪一条边为斜边，因此这里 c 也有可能是直角边，所以当 c 为直角边时，由勾股定律可得 c 等于根号 b 平方减 a 平方等于根号七。 我们再来看另一种情况，若当已知的是直角三角形中的一边长以及任意两边之间的数量关系时，我们同样可以通过勾股定律求出另外两边的长度。这里由于边长为正数，所以将 a 等于负，根号五舍去得到 a 等于根号五， b 等于二，根号五。 目前已知的勾股定律证明方法大约有五百种，通过对图形进行切割、拼接，再结合它们之间的面积关系，我们就可以对勾股定律进行证明。 比如赵爽弦图就是利用图形的切割与拼接证明勾股定律的一个范例。我们用四个全等的直角三角形拼成一个正方形， 若这四个直角三角形的三边长分别为 a、 b、 c， 那 么由它们的面积可知，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间这个小正方形的面积， 这里小正方形的边长恰好为 b 减 a。 将这个等式化简后，就能推导出 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 那同样的，加菲尔德总统拼图与比达格拉斯拼图也利用了各图形之间面积存在的等量关系来对勾股定律进行证明。 我们将两个全等的直角三角形拼在一起，并连接他们的顶点，这样我们就得到了一个直角梯形，这个梯形的面积是等于这三个直角三角形的面积和。 接着把它们的面积分别用 abc 表示出来，再将相同的部分消去，化简后，就能推导出 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 接下来我们再看一个利用不同的拼图方式进行证明的范例。首先同样令直角三角形的三边长为 abc， 接着我们可以像这样将它们拼成一个边长为 a 加 b 的 正方形。 又或者像这样先把它们两两拼成一个长方形，再将这个图形补齐，同样拼成一个边长为 a 加 b 的 大正方形。 那在图形一中，大正方形的面积可以表示为中间这个小正方形的面积加上四个直角三角形的面积。 在图形二中，大正方形的面积可以表示为两个小正方形的面积和再加上四个直角三角形的面积。由这两个大正方形的面积相等，我们将这两式连立，即可证明出 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 最后我们再介绍一个经典的证明方法，刘辉的青珠出入图，它是一个通过红蓝两色的正方形，经过分割拼合，构造出以弦为边长的正方形来证明勾股定律的方法， 红，假设红色正方形面积为 a 平方，蓝色正方形面积为 b 平方，新正方形的面积为 c 平方。那根据出入相补的原理，我们可以把红蓝两正方形中与新正方形不重合的部分都平移至新正方形中， 这样新正方形的面积就等于原来红蓝两个正方形的面积和即 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 好呢，了解了这几种证明方法，我们来尝试一下对勾股定律进行证明。通过上述几种勾股定律证明方式，我们不难看出，要证明勾股定律，我们可以通过将一个图形的面积用不同的方式来表示，建立出现段之间的等量关系。 那这道题已知，图形中只有两个直角三角形和一个不规则四边形，显然，我们是无法通过它们之间的面积关系来构建线段 abc 之间的等量关系。 那我们看在直角三角形 a、 c， e 中， a、 c 是 等于 c e 的。 所以如果我们延长 bc， 再过点 e 做 e， d 垂直 bc， 将 bc 延长线于 d 点，就能以 c、 e 为斜边构造出一个直角三角形。这样这个图形就回到了我们上面介绍过的加菲尔德总统拼图的形式， 利用梯形 a、 b、 d、 e 的 面积等于三个直角三角形的面积和即可进行证明。那这里在进行证明时，我们依旧会先利用到三角形全等得出边的相等关系， 再利用面积之间的关系证明出结论。 在学习了勾股定律之后，利用勾股定律，我们就能做出长度为根号 n 的 线段。它的做法如下， 先画一个两只角边长均为一的直角三角形，由勾股定律可知，他的斜边长为根号二。 接着以根号二为直角边，一为另一直角边做直角三角形，这样这个直角三角形的斜边长就是根号三。以此类推，我们就能画出长度为根号四、根号五、根号六这样长度为五厘数的线段。 那利用类似的方法，我们也可以在数轴上找出表示五里数的点。首先我们在数轴上找到一的对应点，过该点做垂线，画出两只角边长均为一的直角三角形，得出它的斜边长为根号二。 接着用圆规结局的方式找出根号二在数轴上的对应点，再构造两只角边长分别为根号二和一的直角三角形，即可找出根号三在数轴上的对应点。以此类推，我们可以找出根号 n 在 数轴上的对应点。 那是不是在数轴上找出表示五位数的点，就一定要经过如此繁复的步骤呢？我们看这道题，要在数轴上找出表示根号十三的点， 不能让我画十六对直角三角形吧，当然是不用的，遇到这类问题，我们首先要考虑的就是将被开方数进行拆分，尝试将它拆分成两个完全平方数之和，这样我们就能通过一个直角三角形找出所求点。 这里十三可以拆成四加九，也就是二平方加三平方记。我们可以通过构造一个两只角边长分别为二和三的直角三角形，通过截取它的斜边长根号十三来找出表示根号十三的点。 首先我们在数轴上找出表示三的点 a， 过点 a 做直线 l 垂直于数轴，之后在直线 l 上截取点 b 是 ab 等于二。最后以 o 为圆心， o， b 长为半径作弧弧与数轴正半轴的交点 c， 即所求点。 好了，勾股定律的入门篇就介绍到这里，你学会了吗？拜拜！

一个视频带你快速学会勾股定律的六大必考题型，全都是考试里的高频必考点，多学一道，多长五分！在评论区打出我必看完，我们直接开始。先来看我们这里的第一道题目， 他讲的是勾股定律与折叠问题综合到一块来进行考察。我们来读题，他说如图，将长方形 abcd 沿直线 a、 e 折叠，就只要我们做题碰到折叠两个字，你就立马反应出来，他现在考察的是折叠问题。而折叠问题大家只需要记住，折叠的话，他是不是不改变，他的长度、角度都是不变的，对不对？ 长度、角度这些都不变，你可以一边读题，一边把这些多余的解题思路你脑子里要清楚哈。然后再往下读题，他告诉我们顶点 d 恰好落在 bc 边上的点 f 处， 那就是 d 点折完以后，对应到 f 点这里了呗。所以说这里一定是有全等三角形的呀，对不对？折叠它一定会出全等的一个三角形，因为折叠本身折叠前和折叠后它长得是一模一样的，那肯定就是全等的了呗，对不对？ 所以说在这个题目里面，我们来看一下哈，它告诉我们， c、 e 等于三，这块等于三， ab 等于八，这块等于八， 它既然是一个长方形，那么 a、 b 是 不是就等于 c、 d 呢？ c、 d 是 不是也等于八？然后 c、 e 等于三的话，那么 d、 e 是 不是就等于五了呢？对吧？然后你发现 d、 e 它是不是跟折叠有关？它是折过去的呀？它折完以后， d、 e 变成了 e、 f， 对 不对？所以说 e、 f 它的长度呢，也是五， 然后我们再往下看，它要求什么？它要去求边 bc 的 长是多少，那我们来看哈，边 bc 的 话，它对应的是我们这段的距离，对不对？现在我们知道 e f 是 五， c e 是 三，这里是直角，所以 c f 肯定是等于四的， 所以说白了就是求一下我们 b f 的 长度嘛。那 b f 的 长度怎么去求呢？现在利用已知条件能推出来吗？大家来看一下， 我们现在呢还知道什么长度呢？ a d 不知道， a d 不 就是 bc 吗？都不知道， a f 也不知道，就剩下的条件我们都没有办法直接去推了，那这个时候怎么办呢？这个时候我们是不是就可以开始设未知量，我们设 x 来列方程呀？因为你现在没有办法直接推出来，那肯定要列方程嘛， 现在要求 b c 的 长，那就是求一下 b f 的 长嘛。所以说我们可以设 b f 为 x， 如果 b f 是 x 的 话，那么大家来想 b c 的 话就是 x 加四了，那么 ad 呢？不也就是 x 加四了吗？对吧？ 咱们现在设完 x 以后，肯定我们的目的就是尽可能的我们来构造勾股定律啊，对不对？因为我们通过勾股定律就可以得到一个方程了嘛。 现在问题在于如何放到一个直角三角形里面，当你不知道怎么放的时候，你就尽可能的去表示个边的长度就行了。比如说现在我们知道 a d 是 x 加四，然后根据折叠的一个性质，折叠完以后长度不变，所以说它对应的边 af 也是 x 加四，它是等于 ad 的 吗？ 这个时候你看在三角形 a b f 里面，我们是不是就构造了一个直角三角形，可以进行勾股定律了呢，对吧？所以说我们直接列方程，就是八的平方，再加上 x 的 平方就等于 x 加四，括起来的平方 也就是六十四，加 x 方就等于 x 方加八， x 再加十六。大家可以自己去算一下，看一下答案是什么，可以直接打在我们的弹幕里哈。现在这道题的答案选什么？ 我们来给大家计算一下。 x 方和 x 方消掉了，那么八 x 呢？它是不是就等于六十四减去十六呢？我们来化简一下，这个是八，这个是四，就是四十八了呗，然后六八四十八，所以 x 是 等于六的，那这块是六的话，六加四就等于十了呗。 所以说对应的 bc 的 长度是多少呢？那很明显就是十了嘛。所以说我们这道题的答案就是我们的 c 选项对不对？我们就把第一题快速搞定了哈，这是我们第一题对应的一些答题思路，大家看一下自己能不能跟上。 关于第一道题，我们最后给大家总结一下呢，就是大家一定要记住，在折叠问题里面，只要题目里面出现折叠两个字，你就记住他考察的是折叠问题，对应的解析思路就是长度和角度都是不变的，这里会有全等的一个三角形哈。 ok， 我 们继续往下看，再来看第二个题型，第二个题型呢叫做最短路境问题，就是他可能和我们之前学过的一个模型进行结合，比如说在这个图里面，我们来看一下，他说如图，在平面直角坐标系 x o y 中，已知点 a 呢是三零，点 b 呢是零二 过点 b 做 y 轴的垂线 l， 那 这个 l 的 话，他一直就是 y， 等于二了嘛，对不对？ 然后 p 是 直线 l 上的一个动点，它是一个动点，然后连接 po 和 pa， 那 o 和 a 的 话，肯定都是定点了呗，对不对？它让我们去求 po 加 pa 的 最小值，那么这道题大家读完以后，很明显它要求的是 po 加 pa， 就是 求的是线段 和的一个最小嘛，对吧？那么大家来想一下，求线段和的最小，并且这里涉及到的还是两个定点，一个动点，那么他考察的是哪一个模型，他考察的是哪一个题型呢？大家现在能不能想到我们想到的同学可以打在弹幕里哈。 对于两定移动问题，要求线段和的最小，很明显他对应的解题思路是我们之前讲过的将军仪马模型啊，对不对？将军仪马模型，那这个时候 对于将军密码模型，咱们的解析思路呢？也很简单，就是做对称呀，对吧？我们给它对称过去，所以说再往下推，那就是我们现在要做对称，对吧？那这个时候你要么把 o 点对称过去，要么把 a 点对称过去，我们要让这个两个定点，它们在异侧，对吧？ 那假如说我们这里过 a 点做一个对称吧，那大家来想，那对称完以后得到的那个点，比如说这个点是 a 撇的话，那它的坐标是多少呢？大家来看一下，横坐标没有变，还是三对不对？纵坐标呢？ 咱们来想哈，因为 b 点呢，它是零二，所以说这段的距离是二对不对？那对称过去以后，上面这段肯定还是二了呗？然后二加二是等于四的，所以它就是三逗号四嘛，对不对？那对应的 a a 撇，你看 a a 撇的长度就是四，那这一块我们就求出它的长度了嘛， 这个是很好去推的，所以说现在 p o 加 p a 的 最小值，我们可以转换成 p o 加 p a 撇的最小嘛，因为 p a 撇肯定是等于 p a 的， 因为这个直线 l 可以 看成 a a 撇的垂直平分线嘛，对吧？垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以 p a 撇是等于 p a 的， 那对应的 p o 加 pa 的 最小值，我们现在转换成了 p o 加 pa 撇的最小值，这个时候它是一个折线嘛，对吧？那两点之间什么最短呢？大家可以在弹幕里打一下。两点之间什么最短？很明显线段最短，或者说直线最短嘛，对吧？所以说我们应该把我们的这个 o 点和我们这个 a 撇直接连接起来，我们要求的就是什么呢？就是线段 o a 撇的长度，对不对？那线段 o a 撇的长度是多少呢？现在其实这里已经构造直角三角形了呀，所以说怎么做呢？直接勾股定律啊，对吧？ 你看我们通过勾股定律， a 撇等于四，然后 o a 是 等于三的，那么斜边就是五了呗，它是勾股数三四五，所以说我们就可以求出来了。斜边的长度 o a 撇它是等于五的，那么这道题最终的结果也就是等于五了呗。大家来看一下，我们是不是就快速求解出来了呢？所以说继续这道题，给大家总结一下我们这道题。对呢，答题思路就是，哎，我看到他要去求线段和的最小，并且这个线段和呢是两定一动问题， 于是我想到了他考察的是将军一马模型，于是我又想到了他对应的答题思路是做对称，对吧？大家可以发现哈，所有的数学题都是这样的，我们都是通过题目里给的关键条件来猜出他在考什么题型。然后我们再去想这个题型他对应的答题思路是什么哈，所有的数学题都是这样的。 然后我们继续往下看，再来看下一个题型。第三个题型呢，咱们讲的是勾股定律，逆定律的一个应用。我们先来读题，他说已知 abc 是 一个三角形的三条边，并且满足这个式子， 这个式子其实很常见嘛，对吧？那通过这个式子，我们能不能求出 abc 的 值呢？大家来看一下这个式子，它是非常典型的。什么呢？ 我们看到这个式子就应该想到他对应的题型应该叫做零零模型。什么叫零零模型呢？其实就是零加零等于零嘛。比如说在这道题目里面， 他告诉我们这三项加起来是等于零的，对不对？然后我们发现左边这三项呢，绝对值平方以及根号，那这三项都是非负的呀，对不对？他们都是大于等于零的。 那三项大于等于零的数加起来等于零，对应的只有一种情况，就是每一项都是零，对吧？所以说我们就知道 a 减二是等于零的， b 减根号十三是等于零的， c 减三也是等于零的，于是 a 等于二， b 等于根号十三， c 等于三。大家来看一下， 我们是不是就快速求出 abc 的 值了呢？然后他要问，呃，他又问我们这个三角形的面积是多少，那我们是不是得求一下这个三角形长什么样呢？对吧？然后我们现在，呃，我们正在学勾股定律，对吧？那你给你一个三角形，你就算猜也应该往直角三角形上面去猜嘛。所以说我们现在验证一下 a 和 c 这两个稍微小一点，你会发现 a 的 平方加上 c 的 平方，那不正好就是四加九就等于十三吗？那十三的话不正好就是 b 的 平方吗？对吧？所以说我们发现 a 方加 c 方等于 b 方，所以它是一个直角三角形，两条直角边呢？一个是二， 一个是三，斜边是根号十三吗？所以说面积的话就是二分之一乘二，再乘三就等于三了，所以说第三题的答案就是三，大家看一下能不能跟上。 那关于这道题给大家总结一下。首先第一点我们考察了非复性哈，我们考察了零零模型里面的一个非复性，碰到零零模型一定要注意看看是不是每一项都是非复的， 然后我们就能对应的得到每一项的值了。然后这是第一点，第二点呢，就是割股定律，逆定律的一个应用，这个也是考试里面非常常考的哈，大家一定要搞清楚。 ok， 这道题大家看一下能不能跟上，能跟上以后我们继续跟着老师再来看下一道题哈，下一道题呢是勾股定理解三角形，这个在考试里面非常常见，他可能有很多种出题形式，但是核心都是用来让你去解三角形，就是让你求边长呀，求角度呀之类的。比如说我们来看这道题， 它说如图，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中告诉我们 a、 c 等于 b， c 等于二，然后呢，它这里竟然是直角，两个直角边又是相等的，那这不就是等腰直角三角形吗？对吧？于是我们立马就可以得到 a、 b 的 长度呢，是二倍的根号二， 然后这两个角度呢，都是四十五度，大家来看一下，这些东西是不是我们都可以快速求解出来的呢？ 对不对？然后他又告诉我们点， d 在 ab 的 延长线上，并且 c、 d 等于 ab， 现在我们知道 ab 是 二倍根号二了，那么 cd 也就是二倍根号二了呗。然后现在要让我们去求 b、 d 的 长是多少， 那大家来讲这个时候怎么去求呢？ c、 b、 d 又不是直角三角形，如何求解呢？很明显求解不了呀，对吧？所以说这个时候呢，其实它就涉及到几何里面对应的一个做辅助线的一个解析思路了。我们这里给大家来讲一下哈， 这个辅助线是怎么做出来的呢？你看，因为角 abc 是 四十五度，所以说角 cbd 就是 一百三十五度了，大家来看一下 这个能不能想到角 cbd 是 一百三十五度。而在几何里面，我们碰到特殊角，给大家总结一下哈，我们碰到特殊角，要学会去做辅助线。什么是特殊角呢？ 那常见的三十度、四十五度、六十度肯定是特殊角了，对吧？那除此之外，它们与之对应的补角，比如说一百五十度，一百三十五度以及一百二十度， 这些角度其实都叫做特殊角。比如说我们看到一百三十五度，那我们可以做它的补角呀，因为它的补角是一个四十五度，是一个特殊角呀，对吧？所以说咱们一定要注意这一点哈，所以说这个时候我们可以把 c、 b 进行延长， 因为我们延长以后，你看一百三十五度的补角，不就是四十五度吗？我们肯定想要三十度、四十五度、六十度这种特殊角吗？对吧？那这个时候有了四十五度了，那对应的我们再要去构造直角三角形呀，因为我们要特殊角的目的不就是构造直角三角形吗？对吧？ 这些三十度、四十五度、六十度在直角三角形里面才有用。所以说我们碰到特殊角，第一步呢，就是咱们可以做辅助线吗？然后第二步呢，就是我们要构造直角三角形，所以说我们现在再来做一个辅助线，怎么构造直角三角形呢？在四十五度这里构造，所以说我们可以过点地，你看 我们可以过点地，做一个垂直呀，对不对？垂直 c b 的 延长线与点啊，与点 e 吧。那这个时候我们来看一下哈，咱们可以来进行一下求解， 因为它是一个四十五度的直角三角形，所以说它是一个等腰直角三角形，对吧？那这个时候你直接来设未知量呀，我们就可以设 b、 e 就 等于 e、 d 就 等于 x 呀，对不对？ 那这个时候我们能不能列方程来求解， x 呢？它们在不在直角三角形里面呢？很明显在的呀，这里有一个三角形 c、 e、 d 呀，对不对？所以我们可以在 c、 e、 d 这个三角形里面，我们来列一个勾股定律， 也就是二加 x 扩起来的平方，再加 x 方就等于二倍根号二。扩起来的平方，我们来化解一下，四加二，呃，四加四， x 再加 x 方再加 x 方就等于八， 也就是二 x 方加四， x 减四等于零，也就是 x 方加二， x 减二等于零嘛。 这个时候这个方程怎么解呢？很明显用不了十字相乘法了，那我们直接就上咱们的公式法哈，二 a 分 之负 b 加减根号下 b 方减四， a c 也就是四减去个四 a c 的 话，对应的就是四乘一，再乘个负二嘛，这个一直接省去了， 然后呢？这不就是加八吗，对吧？然后四加八的话是十二呀，根号十二的话，那不就是二倍的根号三吗？对不对？这个步骤老师直接省略了哈，最终化简出来是二倍的根号三，然后我们上下，你看下面分母是个二吗？那我们再化解，那最终得到的不就是负一 再加减个根号三嘛，对不对？然后我们现在求的是 x， 它是一个线段的长度，不可能为负数嘛，所以说最终结果只有负一加根号三这一个解，对吧？但是你千万不要把这个直接写到答案那里哈，那肯定是不对的，因为你要注意一个点，你现在求的是 x， 然后这道题我们要求解的是 b、 d 的 长度，对吧？等腰直角三角形三边之比是一比一比根号二，所以 b、 d 的 长度的话， 它是根号二倍的 x 嘛，对不对？也就是根号二倍的 b， 呃， b e 或者说 e、 d 嘛，所以说就是根号二再乘个根号三减一，最终结果就是根号六，再减根号二了呗，对不对？大家来看一下，我们是不是就快速求解出我们的第四道题了呢？ 所以说这道题的话，给大家总结一下我们对应的一些解析思路呢，就是特殊角要学会做辅助线， 我们做呃，这个特殊角辅助线的目的就是为了通过特殊角来构造直角三角形哈，一定要注意，尤其是一百五十度，一百三十五度，一百二十度，碰到这三个角，要学会去做他们的补角哈，要学会去做他们的补角。 ok， 这是我们第四个题型，大家看一下自己能不能跟上，然后我们继续往下看，再来看我们第五个题型，关于勾股数问题哈， 这道题呢，题干非常长，但是没关系，我们直接来看一下他要求的是什么。他告诉我们，清代扬州数学家罗士林痴迷于勾股定律的研究，推呃，提出了推算勾股数的罗士林法则，法则的提出不仅简化了 这些东西都没有用，他说由此法则写下了几组勾股数，根据以上规律写出第五组勾股数是多少。那其实这道题很明显就是一个找规律问题嘛，对吧？那咱们就找一找规律呗。 第一个是三四五，第二个是五十二十三，第三个是七，二十四二十五，第四个是九四十四十一。那我们就一个一个来看哈。要写第五组勾股数的话，咱们先来看一下第一个呗，三 五七九。我们先看勾股数里面每一组勾股数里面的第一位嘛，我们发现他其实是偶数，他其实是基数呀，对不对？三五七九，那第五组该到几了呢？九后面是十一呀，对不对？他对应的基数是十一， 所以说这道题我们来看一下哈，我们把第一位写出来了，那第二位呢？再来看一下，它是四十二、二十四、四十， 这个呢，大家来想一下哈，四怎么变成十二了呢？乘个三，但是十二乘三的话又不是二十四，这个好像不太对，就我们直接来看的话，你这个四十二、二十四、四十，好像看不出来什么太大的规律，反正我们一眼不太好看出来吗？对吧？那这个时候怎么办呢？ 那你就再来看一下第三位呗，对不对？万一第三位能求出来呢，对吧？那如果第三位能第三位能求出来的话，根据各五定律，我们也能求第二位吗？对吧？第三位的话，一个是五，一个是十三，一个二十五，一个四十一，你能看出来规律吗？ 看起来好像也没有什么太大的规律啊，对不对？大家来看一下，他们每每个数之间好像也不是什么加减乘除的关系，那这个时候怎么办呢？ 那你再把第二位和第三位你放到一块再来看，因为现在是找规律哈，所以就考察你的观察能力了，你看这个四五是二十三、二十四、二十五、四十和四十一，你没有发现 他们的后两位就是第二位和第三位，他们之间相差就是一吗？对不对？当你发现这个规律以后，你就可以来写第五组割股数了，虽然你现在不知道第二位是多少，但是你可以设第二位是 x， 那 么第三位就是 x 加一，大家能理解吗？ 就是我先设出未知量嘛，对吧？然后再利用勾股定律来求解不就行了吗？我们来求解一下，那前两个肯定是小一点的，所以就是十一的平方加 x 方，就等于 x 加一括起来的平方，对不对？这是我们可以求出来的，然后我们来化简一下， 那就是一百二十一加 x 方，就等于 x 方加二 x， 再加个一，左右两边 x 方消掉了，那就是二 x 呢？等于一百二，那 x 不 就等于六十了吗？所以这个勾股数的话，就是十一、六十、六十一， 对不对？大家来看一下，我们找完规律以后，也是可以快速求解出来的，所以说这道题呢，他就不算什么题型了，也没有什么方法可以总结，也没有什么方法可以总结了。你能记住的就是找规律的话，一定要细心哈，一定要细心，尽可能的去找每一组数之间有什么的有什么联系哈。 这是第五题，然后我们再往下看，再来看我们第六题，这个也是非常常考的哈，就是把割股定律和面积进行结合，和正方形的面积的话，大家来想， 你设边长是 a 的 话，那它面积不就是 a 方了吗？对吧？然后一个数的平方在勾股定律里面是不是特别常见？因为勾股定律不就是 a 方加 b 方等于 c 方吗？所以说勾股定律经常和我们正方形的面积进行结合，比如说这道题，大家来看一下 这道题呢，看大家能不能猜出来哈，它告诉我们，在直线 l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是一二三、 一二三，这三个是一二三了呗，对吧？七个正方形对应的不就是一个、两个、三个、四个、五个、六个、七个，不就是这七个吗？对不对？然后其中斜放置的，你看就是斜着放的这三个面积分别是一、二、三， 然后正放置的这四个正方形呢？它们的面积依次是 s 一、 s 二、 s 三、 s 四在图里面已经标出来了，现在问我们 s 一 加 s 二加 s 三加 s 四，它的一个面积是多少？ 那么大家来思考一下，这个时候呢，你就尽可能的去推一推条件，比如说我现在知道第一个三角形的面积是一对不对？那我们来写一下，既然它的面积是一的话，那这个边长是不是就是一了呢？对不对？ 那对应的第二个它这个边长就是根号二，这个边长就是根号三了呗，对不对？这些我们都是可以快速求解出来的， 那边长有了，然后你发现下面这一堆，你看他这几这一些东西不都是直角三角形吗？所以说我肯定要放到直角三角形来里面啊，放到直角三角形里面通过勾股定律来进行研究呀，对吧？ 你现在学的就是勾股定律，所以说你看到直角三，直角三角形，你肯定往勾股定律上面去想呀。所以说你再来看这两条边之间有什么关系呢？ 那你看这个边的平方加这个边的平方就等于一了呗，这个边的平方加这个边的平方也等于一了呗，对吧？这些都是我们可以快速看出来的。然后大家再来想，那下面这两个小的直角三角形，你不觉得他俩长得很像吗？大家来看一下这两个直角三角形， 你不觉得他长得很像吗？数学就是一个观察的过程，咱们就是要去找那些看起来长得像的，看起来可能是全等的，比如说在这个图里面，我们看起来长得像的，看起来可能是全等的，比如说在这个图里面，它是不是直角三角形呢？ 很明显是的，这个就是我们讲的一线三垂直吗？大家来看，这里有一个垂直，这里有一个垂直，这里有一个垂直。一线三垂直，我们是不是可以得到全等三角形呢？对不对？我们来验证一下，其实也很好去推。首先斜边长度是相等的吗？对不对？然后这个角， 呃，这个角加上这个角等于九十度，然后这个角加这个角也等于九十度。我们给大家放大来看吧，给大家推一下吧， 你看比如说这个是角一，这个是角二，这个是角三的话，角一加角二是不是等于，是不是等于九十度的？然后角二加角三是不是等于九十度的？所以角一是不是就等于角三了？是不是推出一组角是相等的了，对不对？给大家来画一下绿色哈， 这个角和这个角现在就是相等的了，对不对？然后同样的道理，你是不是同样可以推出，呃，这两个角是直角呢？对吧？那，那是不是根据 a a s 我 就可以推出两个三角形全等了呢？对吧？这些都是我们可以快速推出来的哈，这里就不多说了， 所以说我们就可以得到这两个三角形，它是全等的。然后同样的道理，这两个三角形也是全等的，这两个三角形也是全等的，我们大家可以自己去推一下哈，都是很明显的，那对应的，既然每一组三角形都全等，那我可以得到什么呢？我们先来研究第一个， 第一个既然它全等的话，我们设这个边长是 x 一， 哈，代表的是第一个就是 s 一 面积是 s 一 的这个正方形的边长。我们设它边长是 x 一 的话，那我设这个 s 二，它的边长是 x 二， 那对应的根据全等，那这个边就是 x 二了呗，这个边就是 x 一 了呗，对吧？因为你是全等三角形呀，所以说我是不是可以得到这个， 然后基于这两个直角三角形，其实我们都可以得到 x 一 的平方加 x 二的平方是等于一的吗？对吧？这两个小直角三角形，你放到哪个里面都可以，我们都可以得到 x 一 的平方加 x 二的平方等于一，对吧？然后你再来想这道题要求什么？他要去求这几个的面积和 s 一 对呢？是什么？ s 一 它不就是 x 一 的平方吗？对吧？ s 二不就是 x 二的平方吗？对不对？正方形的面积就是边长的平方，所以其实这个对应对应的不就是 s 一 加 s 二等于一吗？ 那你看，问题已经搞定了呀， s 一 和 s 二的面积和有了那么同样的道理，你能不能去求 s 三加 s 四呢？ 肯定是可以的呀，我们放到这个这个两个直角三角形里面不就行了吗？对吧？我们设这个边长是 x 三，这个边长是 x 四的话，那对应的这段就是 x 四，这段就是 x 三了呗。 那同样的 x 三的平方加 x 四的平方就等于他们斜边的平方，现现在斜边是根号三，那不就是他的平方不就是三了吗？对吧？那这个对应的不就是 s 三加 s 四是等于三吗？现在有了呀，一个是一，一个是三，所以说他俩加起来那不就是四吗？所以说这道题我们也就快速搞定了呀，对不对？ 那通过这道题想给大家总结的就是，咱们勾股定律经常会和正方形的面积进行结合，大家以后做题碰到类似这种题型，你思考的时候，你就往面积上面去思考，你一定要注意正方形的面积，你看他不就是边长的平方吗？对吧？往这个思路上去进行思考哈。 ok， 那 通过咱们上面讲的这几道题呢？我们给大家总结一下，你会发现老师讲的每道题，老师不仅讲题背后，还会给你总结他对你的一些解析思路，解析模型，对不对？所以说老师给大家讲的每道题， 最有价值的不是说这一道题你能不能算出正确答案，而是说他背后的这个方法，这个答题思路，你能不能学会，能不能听懂哈？那像比如说，为什么很多同学平时一上课听得懂，但是一到考场拿起笔就蒙了呢？为什么你错过的题反反复复错，稍微换一个包装，你就又不会做了呢？大家来想一下， 根本原因其实不是因为你刷题刷的太少了，更不是因为你脑子笨，而是因为你永远停留在就题解题的一个浅层，你没有建立起举一反三的一个模型库。就像老师我哈，可能很多同学不知道，我以前数学也是一个 不及格的底子，我之所以能一路逆袭到很多次满分，我靠的就是一套极度理性的数学提分系统，因为题海战术救不了低分，但是对的方法可以。 所以如果你觉得自己现在的数学成绩死活卡在瓶颈期，靠自己怎么都突破不了的话，那你就不要再低效死科了。 你可以直接通过这里加我，把你最近刚考完的一张卷子以及成绩发过来，我直接帮你做一次最深度的试卷分析，揪出你提分路上的致命漏洞， 带着你的问题，你可以直接来找我哈！ ok， 那 以上就是我们本期视频的全部内容了，大家千万别忘了三连加关注，我们下期再见！

初二同学们必看的一集来了，勾股定律当中的最短路径问题，这类问题呢会在我们的月考、期中考、期末考持续的以压轴题的形式考察各位，至少呢会占到五分，那这五分你要想拿住，今天跟着小七老师我们来把这里边最典型的三类题型全部都学透，包括 爬阶梯最短路径问题，以及长方体当中的最短路径问题，还有我们的圆柱内外壁最短路径问题。好，那首先我们来看第一个最简单的爬阶梯问题，就说这个点 a 处呢，有一个蚂蚁，然后点 b 处有食物， 它要从点 a 处去到点 b 处去运食物，求这个最短路径好，那么图中我们可以看出这段距离是二， 这段距离呢是三，这段距离是二十，那么我们可以推出这块也是二，这块也是三，这块也是三。好，那如果我们把这个阶梯的表面给它展 开，那么这个平面图形应该是一个什么图形啊？应该是一个这样的长方形，对吧？我们把这六个面依次给它捋直展开。好，那么就是这样一个长方形，这里是点 a， 这里是点 b， 蚂蚁在这，然后呢 植物在这，那现在我们看一下这个长方形，它的宽应该是二十，那它的长呢？应该是二加三加二加三加二加三，也就是六加九十五，那现在能不能求这个点 a 到点 b 的 最短距离呀？哎，根据两点之间线段最短，直接连接上这两个 斑点，那么这个 ab 就是 我们要求的最短路径了。那剩下的就是根据我们的勾股定律来算出 ab 的 长，那么也就是十五的平方加上二十的平方，应该等于 斜边 ab 的 平方，那么要求 ab， 就是 求根号下十五平方加二十平方，那么也就是根号下二百二十五加上四百。好，那么也就是根号下六百二十五，也就是二十五， 所以说最短距离呢，就是二十五。这道题搞定，再来看第二题，给出一个长方体，它的长宽高分别是八、四、 五，那么这回蚂蚁呢，也是从点 a 处出发，要到达这个点 b 处，沿着这个长方体的表面爬行，要么去求它的最短 路径。那我们先想一想几种可能的爬行方案，我们要求的是最短距离，所以说这个蚂蚁它不可能说从点 a 出发，绕几圈再到点 b， 所以说我们要考虑的肯定是经过两个面的爬行方案，三个面或三个面以上的我们肯定不考虑了。好，那他有可能是从点 a 出发，经过前面，经过左面到点 b， 也有可能经过前面，经过上面到点 b， 对 吧？那也有可能呢，他经过右面，经过上面到点 b， 也有可能经过右面，再经过后面到点 b， 那也有可能他先经过下面，再经过左面到点 b， 有 可能经过下面，再经过后面到点 b。 好 了，那我们是不是六种情况了？但其实这六种情况呢，咱们是有重合的啊，你看，从点 a 出发，咱们经过前面，再经过上面到点 b 和从点 a 出发，先经过下面，再经过后面到点 b， 这两种情况其实是不是一样的呀？因为我们的前面和后面面积是 一样的，上面和下面面积又是一样的，所以说呢，我们应该把这三个不同的面进行两两组 合，得到这三种不同的爬行方案。那么第一种呢，应该是这两个面的组合，那画出展开图就是这样一个长方形，它的长呢应该是八加四，宽呢应该是这个高五。好，那么这个情况下去求这个最短路径 a b 应该是十二的平 方，加上五的平方，再去开根号，那么也就是十三。那再看第二种方案呢，就是这两个面的组合，那么画出展开图，这个长方形，它的宽呢就是八，而长呢也就是五加四 九。好，那么现在去求出这个最短距离 a b， 也就是根号下八的平方，加上九的平方，也就是根号一百四十五。再看第三种方案呢，就是这两个面 组合，那么画出展开图，这个长方形的宽呢应该是四，长呢应该是五加八，也就是 十三。好，那么求出这个 a b， 也就是根号下四的平方，加上十三的平方为根号一百八十五。那么我们比较这三个长度，可以发现这个呢就是最短距离。但是其实这道题呢，它不用这么复杂，既不用分类讨论，也不用去画图， 直接使用一个技巧就可以秒杀。来，我们先找出长方体的长宽高，当中比较短的比较小的那两个数，在这里就是四和五，那我把这两个数相加 去平方，然后呢再加上比较长的比较大的这个数的平方，再开根号，这个就是我们的最短路径了，所有的像这样的长方体当中的最短路径问题，都 都可以使用这个技巧迅速解决。好。接下来我们再看第三个，也是最难理解的圆柱内外壁最短路径问题，那如图呢？我们有一个圆柱形容器，它的高是十八厘米，底面周长是二十四厘米，也就是这一圈他是二十四。好，那在杯内 壁离杯底四厘米的点壁处，这个点壁离杯底是四，那这个点壁处呢？有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在背外臂离背上沿两厘米的这个点 a 处，这是两厘米，那么这块就是十八减二十六厘米。而且注意啊，这个点 a 它和点 b 是 相对的。相对什么意思？就是点 a 你 往上走啊，到这点 b， 你 往上走是在这，那么这两个点你一连上。假如说我们可以沿着这条线 切割这个圆柱体，那肯定是对半切了，也就是这条线，它应该是这个圆的直径。好理解这个相对的意思了哈，那么我们的蚂蚁呢，要从 外 b 的 a 处到达内 b 的 b 处，这个最短距离是多少？那么这道题啊，它难就难在点 a， 它在这个圆柱体的外 b， 而点 b 它在内 b， 所以我们能不能直接连接 a b， 求最短呀？肯定不行啊，你这样去连的话，蚂蚁到这来，它是吃不到杯子里边的蜂蜜的。那么我们应该怎么去做呢？我们应该让这个蚂蚁从点 a 处出发， 先爬到这个杯子的杯口，然后呢翻到里边去，接着再走到这个点 b 处。所以呢，我们来画出这个展开图，应该是先画一个长方形。好，那注意啊，咱们只画这个圆柱体前面这一半的展开图，不画后 后面这一半，那么这个长方形它的宽呢？应该是对应这个圆柱体底面圆周长的一半，也就是十二，那我们的点 a 呢，它应该在这个位置，注意在外部，那么这一段是二，这一段是十六，而我们的点 b 呢，应该在这个位置，注意在内部， 那么这段呢是四，这一段是十四。好了，那么现在我们在这个展开图上面画一下蚂蚁的爬行路线，首先它是从点 a 出发，爬到杯口，然后呢翻进去，再从杯口呢爬到点 b 处，也就是 从定点 a 出发，到达这条线段上的某一个点，也就是看成我们的动点 p， 再从动点 p 到达定点， 那么我们要求的是这两段距离之和的最小值，请问这是什么问题？没错，就是我们熟悉的将军印码问题。好，那将军印码问题怎么做？先找这两个定点当中其中一个点的对称点，那么我们找出点 a 的 对称点，也就是点 a 撇，那么连接 a 撇和动点 p 这两条线段的长度应该是一样长的，那么求他俩之和动点 p， 这两条线段的长度应该是一样长的，那么求他俩之和的最小值。 好，那么点 a 撇和点 b， 我 们直接两点之间线段最短，连接上两端点，就是我们要求的最短距离啦。好，那接下来要想应用勾股定律求出 a 撇 b 呢，我们可以过点 b 往这条线上做一个垂线，这段呢就是十二，而这段呢应该是二加 加十四，也就是十六。那么根据勾股定律求出斜边长，也就是根号下十二的平方，加上十六的平方，计算一下，也就是根号下一百四十四，加上二百五十六，那么也就是根号下 四百，也就是二十，所以说最短距离就是二十厘米了。好了，同学们，这三道题你都学会了吗？关注小新老师，带你学习更多解题妙招！

翻到课本四十三页，咱们继续来看到勾股定律的综合运用。先看第六题，如图，在三角形支架当中，这个 a、 d 垂直 b、 c 垂足点为点， d， a、 b 等于二，咱们标上去， a、 b 等于二， a、 c 等于一点五， d、 c 等于零点九。好，第一个叫我们求 b、 d 的 长度，那么这里要用两次勾股定零，对不对？第一次勾股定零，先算 a、 d， 再用一次，这里也是垂直勾股定零啊，再算 b、 d 就 可以算出来了。好，我们写一下，这里向我们求的是 b、 d 啊。先看第一个，在 直角三角形 a、 d、 c 当中，咱们先把这个 a、 d 算出来，这个 a、 d 的 平方，它会等于 a、 c 的 平方，减去 d、 c 的 平方，也就是一点五的平方，减去零点九的平方，它就会等于多少呢？我们把这个二往里面挪，往里面挪， 它就会等于二点二五，减去零点八一。啊，它算出来的结果呢？它就等于一点四四啊，我们这里有点写不下了啊。往前写， 这里等于二点二五，减去零点八一，它就等于一点四四。所以我们可以得到 a、 d 等于根号一点四四就等于一点二。好， 那么 a、 d 算出来等于一点二。你再构建一个勾股定律，在直角三角形 a、 b、 d、 a、 b、 d 里面就可以求出 b、 d 了，对吧？好，继续写。在 rt， 三角形 a、 b、 d 当中，这个 b、 d 的 平方就会等于 a、 b 的 平方。减去 a、 d 的 平方就会等于二的平方。减去一点二的平方，它就会等于 四。减去一点四四，四减一点四四，它就会等于二点五六。所以啊，所以这个 b、 d 就 会等于根号二点五六。 根号二点五六的话是多少呢？就是等于一点六的，它这里都有单位，所以我们要带上单位米。然后其实这个步骤啊，这个步骤应该写在这个步后，步骤后面，知道吧？我们写一下，这个步骤 应该写在这个步骤后面啊，打个箭头。好，再看第二个判断，支架外， 判断直角外框这个 a、 b、 c 的 形状也说明理由，这里是一点六，那我们可以看得出来，大概像一个直角三角形，所以我们只要算出 ab 的 平方加上 ac 的 平方等于 bc 的 平方就可以了，对吧？好，第二问，因为 ab 等于两米， ac 等于一点五米，这个 bc 等于一点六，加上零点九等于二点五米，好，我们再算。 所以 ab 的 平方加上 a、 c 的 平方会等于二的平方，加上一点五的平方，二的平方加一点五的平方就是四，加二点二五，等于六点二五。 然后呢，这个 bc 的 平方我们也算一下，二点五的平方会等于六点二五，对不对？你看这两个是不是都是等于六点二五？所以 ab 的 平方加上 ac 的 平方就会等于 bc 的 平方，我们就可以得到，所以这个 三角形 abc 为直角三角形 就 ok 了。再看第七题，如图，一根竹子高一丈，注意这里的一丈就是十尺， 折断后竹子的顶端落在离竹子底端三尺处，那原来这根竹子这么长，对不对？这是它的顶端折断之后，上面这段折下来了，变到这里来了，所以它的顶端落在离这个竹子的底端这个地方有三尺那么长。 他问我们折断处，这里就是折断处，离地面的高度是多少啊？离地面的高度，这是地面， 也就是求我们这一段的长度，对吧？好，那么这里他说原来这个这个竹子加起来是有一丈，也就是十尺那么长的，而这里有两个未知数，我们应该怎么表示呢？你就把其中一个设为 x， 另外一个就是十减 x， 对 不对？因为这里一丈是等于十尺的嘛，我们正常来表示的话，这个就是 x， 这个就是十减 x， 因为我们要单位换换算成统一的才方便计算啊。 这两段加起来一共是一丈，一丈等于十尺，它叫我们求的是折断处离地面的高度，我们把这一段设为 x， 那 另外一段就是十减 x， 就 可以构建勾股定律的计算，因为 这个竹子到地面啊，它的位置关系是垂直的，对不对？好，所以我们这里直接列的话，就是 x 的 平方加上三的平方等于十减 x 的 平方， 那么 x 平方加上九等于。后面这个括号打开一定要用完全平方公式，也就是十的平方减去二乘十，再乘 x， 再加上 x 平方，等于 a 的 平方减二， ab 加 b 的 平方， 所以 x 平方加上九等于一百减去二十， x 再加 x 平方。由于两边都有 x 平方，咱们就可以直接两边同时减掉，减掉之后再把二 x 移过来，变成二十， x 等于一百减去九，所以二十 x 就 会等于 九十一啊。然后我们把二十再移过去， x 就 等于九十一，除以二十， x 就 等于四点五五。好，这里就是四点五五尺，那我们怎么设呢？我们这里设的话，就这样去设设这个折断处 离地面 是 x 尺啊，就可以了。那再说，假如说 把这三个点设为 a、 b、 c 啊，这个点是 a， 这个点是 b， 这个点是 c， 对 不对？好在直角三角形 a、 b、 c 当中啊，我们可以得到的是这个 b、 c 的 平方加上 a， c 的 平方等于 ab 的 平方， 那你再一一对应，这个 bc 就是 x 平方，这个 ac 就是 三的平方，这个 ab 就是 十减 x 的 平方就可以了。那这样的话，这个过程我们就补充完整了。 再来看第八题。古希腊哲学家柏拉图曾经指出，如果 m 表示大于一的整数，那么 a 等于二， m， b 等于 m 平方减一， c 等于 m 平方加一，那么 abc 就是 勾股数。你认为这个说法正确吗？哎， 肯定是正确的，不然的话就不会有第二问了啊。他说叫我们利用这个结论写出一些勾股术。当这个第二问出来的时候，你就要知道他肯定是正确的，不然怎么写出一些勾股术呢？对不对？所以 我们就知道他是正确的。那我们需要证明什么呢？你看他说了他是勾股术了，那你肯定就要证明勾股定律嘛，对不对？所以我们需要的 就是把 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方证明出来就可以了。那我们就先算 a 的 平方加 b 的 平方， a 的 平方是 r， m 整体的平方 加上 b 的 平方就是 m 的 平方减一整体的平方，那么它就会等于 四 m 的 平方。而后面这个括号打开的话，一定要用完全平方公式，也就是 m 的 平方的平方减去二乘 m 的 平方，再乘一，再加上一的平方，它就等于四 m 的 平方加上 m 的 四次方，减去二， m 平方再加上一。好，这个时候你看一下， 你看一下，都是 m 的 平方，这里是四，这里是负二，所以把它合并起来，就等于四 m 平方加上二 m 的 平方再加上一，对不对？那如果你足够啊，你足够敏锐的话，你就可以直接看出它，这个是可以直接等于 他，这个是可以直接等于 m 的 平方加上一整体的平方的，他就等于 c 的 平方，为什么呢？他就满足勾股定律，满足这个完全平方公式啊，因为这个 m 的 四次方等于 m 的 平方的平方，再加上二，乘 m 的 平方，再乘一，再加上一的平方，它是不是满足完全平方公式，对不对？好，那如果说你说，老师，哎，我看不出来，我看不出来，这个东西可以直接合并起来，那怎么办呢？你就再算一下 c 的 平方嘛，对不对？好，那么 c 的 平方会等于 m 的 平方加上一的 整体的平方，所以 c 的 平方就会等于，就会等于这个括号啊。打开用完全平方公式打开，就会等于 m 的 平方的平方加上二，乘 m 的 平方，再加一的平方啊，这里乘个一吧， 再加上一的平方，这个 c 的 平方就会等于 m 的 四次方加上二， m 平方再加一，那你把它写成这个样子，也就是说把它都拆开，他们是不是也是相等的，对不对？如果你不能直接从这种式子转换成这种式子，那你就把另外一个打开就可以了，不管怎么样，反正我们是可以说明， 所以这个 a 的 平方加 b 的 平方是等于 c 的 平方的，那我们是不是证明出来了勾股定律对不对？所以我们在解这道题的时候，你就说是正确的， 先回答他说是不是正确的，你就说正确的啊。然后我们再利用这个结论写出一些勾股数，比如说，当 这个 m 等于二的时候对不对？这个 a 就 等于二乘二，就会等于四，这个 b 就 会等于二的平方减一，它就等于三，这个 c 的 平方 c 就 会等于二的平方加上一等于五，你看 三四五，它是不是一组过五数，对不对？好，再看。如果当这个 m 怎么样，它是等于三的时候， 这个 a 就 会等于二乘三等于六，然后呢，这个 b 呢，就会等于三的平方减去一，它就等于八，然后这个 c 呢，就会等于三的平方加上一等于十，你看 六八十，他是不是也是一组勾股数，对吧？好，所以呢啊，你就可以再利用这些勾股数再写，再利用这个结论写出一些勾股数了。 大家看到第九题，如图，一个长方形，由五个边长为一的正方形组成的，请你把它分割之后，拼成一个大的正方形。 那么在哪里拼割呢？哎，我们先画一个网格出来啊，等会我们把它分割完之后，就在这个网格里面把它拼起来就好了。好，那么你先分析一下， 一个长方形有五个边长为一的正方形组成，那请问它的面积等于多少，对不对？好，它的面积这个长方形的面积就等于五，乘上一乘一，因为正方形 它的面积等于边长乘边长就是一乘一，有五个就乘上五，所以它就会等于五，这个长方形的面积 要等于五，他要把它变成一个正方形，那么这个正方形的面积也会等于五，而正方形的面积公式是什么？边长乘边长，也就是 a 乘 a 会等于五，那么 a 的 平方就会等于五，这个边长 a 就 会等于根号五，那你想一下这个根号五是怎么来的？ 根号五作为边长，请问怎么样才能得到它呢？对不对？所以我们就要想去构思一下啊。 这个根号五，我们可以由哪两条直角边得到根号五呢？它可以写成根号二加 根号下二的平方，加一的平方，那这样的话就会得到根号五了，对不对？所以我们要把它分解成这个直角三角形，它的直角边为二和一， 我这里用文字描述了一下，就是把这个根号五构造成以二和一为直角边的三角形的斜边，那么你看怎么找到二和一呢？呐？ 这里就是一，这条边它就是二，所以我们连接这个对角线，它这个对角线就是根号五，对不对？好，我们再分割一个，这里， 这里是一，这里是二，那这里就是根号五，那我们就可以分割出四个 直角三角形啊，都是全等的，它的边都是一和二，然后中间还剩下一个正方形，对不对？这个正方形的边长是一一，那么怎么去构造呢？你看就可以在这里面去构造，比如说我拿 这几个图去构造，好吧？好，你先把这个一号位，假如说我把这里，这里是第一个三角形，第二个三角形，第三个三角形，中间这个正方形是第五个图形，对吧？好，你看我这里是一和二，那我们就构造到哪里去呢？哎，构造到这里来， 你把这里连起来， 这个直角三角形就是一号位，就是一号， 那就是这一个。然后你再接着构造第二个，第二个画在哪里呢？我们第二个画在这里看得到吗？好，连这里 这二号，那么这个三号呢？我们把它倒过来，哎，把它倒过来变成这样，那放在这里， 这三号，然后最后这个四号呢？把它反过来，把它旋转过来，绕这个点旋转过来，变成这样啊？变成这样就直接移到这里来， 这个就是四号位。 好，这个就是四号位了啊。然后中间这个五号位，你看正好就把它的位置给腾出来了， 中间这个正方形就补齐了，对不对？好，就像这样的去拼接啊，这个应该再往上拉一点点， 它就是一个边长为根号五的正方形，它的面积等于五，和这个长方形的面积是一样的。

八年级的同学们大家好，今天这节课呀，我们继续来学习勾股令的极其应用，老师们，请你们看看这两幅图，这是美丽的海螺， 在数学中呢，也有这样一幅美丽的海螺形的图啊，这是第七届国际数学教育大会的会，会 叫什么？那么这个绘绘的画是不是一幅美丽的海螺形的图案呢？那么这个图是怎样绘制出来的呢？他与我们所学的数学知识又有哪些联系呢？ 今天我们一起来探求这个知识。今天这节课一共有三个学习目标，第一呢，我们要学会用勾股定力来解决简单的实际问题，建立数形结合的思想， 每一个同学都要学会数形结合的思想，把我们的数学抽象的。 第二个学习目标呢，就是要能够利用勾股令在竖轴上做出表示无理数的 点，哎，竖轴上每一个点都代表着一个数字，但不管是无理数还是有理数都能够在竖轴上表示出来，但是无理数的点表示的时候啊，那就需要知识了， 我们就可以利用勾股定力在竖折上做出来。第三个学习目标呢，就是要能够灵活的运用勾股定力进行计算，并且呢要学会用勾股定力来解决相应的折叠问题。折叠问题， 哎呀，勾股定力也可以解决折叠问题，那么带着三个学习目标进入今天的学习，来学习知识点一证明 h l 我们在八年级上册中间呐，我们曾经通过探讨得到了结论，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 那么他们既然是直角三角形，那么我们只要用一条斜边和两条直角边中间的一条，我们如果他们完全相等，那么这两个三角形他就是个全等三角形，比如说这两个三角形 a、 b 和次 a、 次 b 相等，斜边相等啊， b、 c 和次 b、 次 c 相等，你看一条斜边加上一条直角边，两条直角边只要用一条就可以了，是吧？啊？就可以证明这两个三角形是全等三角形。 那么学习勾股定律之后，你能不能够证明这一个结论呢？这个结论到底行不行的通啊？斜边加上一条直角边，如果它们完全相反，那么这两个三角形完全相 反，那么我们也可以用勾股定 律用到两个三角形来一起证明证明。如图， 在直角三角形 a、 b、 c， 而直角三角形自 a、 自 b、 自 c， 一 种角 c 等于角 c 等于九十度，那么告诉我们它是直角三角形的。其实直角三角形，直角三角形，起码它有一个角，是直角吧，是吧？直角直角， 同志们，这个直角所对的边是哪条边呢？看看角 c 和角次 c 所对的边呢？角 c 所对的边是不是 ab？ 角次 c 所对的边是不是次 a 次 b， 是 吧？直角边所对的就是斜边 啊。那么 ab 等于次 a、 次 b， ac 等于次 a、 次 c， ab 等于次 a、 次 c 呢？是不是斜边相等， ac 等于次 a、 次 c 呢？是不是直一条直角边相等？ 要我们证明三角形 a、 b、 c 全等于三角形，自 a、 自 b、 自 c， 同志们，你能证明出来吗？那么能不能利用勾股定律把它证明出来呢？我们一起来证明。 证明在直角三角形 a、 b、 c 和直角三角形自 a、 b、 c， 角 c 等于角自 c 等。 根据勾股定律， b、 c 是 不是等于根号 ab 的 平方减去 bc 的 平方，斜边的平方减去一条直角边的平方，然后再看根号是不是等于另一条直角边呐，前面我们已经学了呀。 好， b、 c 我 们知道了啊。那么次 b 次 c 呢？是不是等于根号？次 a 次 b 的 边方减去次 a 斜边的边方减去一条直角边的边方。开根号是不是等于另一条直角边 啊？又因为 ab 等于自 a 自 c 等于自 a 自 c， 是 不是所以 b、 c 等于自 b 自 c， 所以 bc 等于自比自习，是吧，我们就知道了， bc 他 们也是相等的呀。既然三条边现在都相等了， 那么两个直角三角形，它三条边分别相等，那么这两个直角三角形是不是全等三角形？所以三角形 a b c 四 a 四 b c， 那 么就 得到了我们的三条边都相等的两个三角形，他们就是全等三角形。边边边 s s s， 是 吧？ 好知识！第二，利用勾股令底在数轴上来确定五位数， 在竖折上呢？确定五位数，这个五位数的话，是很难确定的，是很难确定的。你能在竖折上表示根号二的点吗？负根号二呢？我找到了根号二的点，我负根号二，我就好找了， 是吧？好找了啊，零到根到二的距离和零到根负根到二的距离只是方向相反，你在这边，我在那边，对吧？其实他们距离都是相等的 啊。好，竖边上表示根号二的点。同学们，根号二的话，你们想想根号二是怎么得来呢？根号二的话，同学们是不是可以在这里做一个直角三角形啊？直角三角形， 那么直角三角形它的它的直角边是一个单位，是吗？啊，那么斜边呢，是不是等于根号一的平方加上一的平方 斜边的长度，斜边的长度是不是等于一的平方加上一的平方， 哎，一的平方加上一的平方是不是等于根号二呀？做斜边的长度是不是就根号二，是吧？斜边的边这是根号二啊，这是一，那么斜边的长度是不是根号二？ 斜边的长度根号二。那么知道斜边的长长度是根号二的话，同学们，我们拉出圆规，一 点点为圆心，以斜边的长度为两个角的宽度画一条，这个就是呀，以他的为圆心吧。啊，然后画一个圆弧， 哎，圆弧与竖轴的交点是不是就是根号二的这里？因为这是利用了圆里面所有的半径都相等八，是吧，所以说这就是根号二的位置了， 老师们，是不是这样的呢？看看多聪明呐！我们学了数学知识，就是要运用同样的方法，你能做根号三，根号四，根号五，根号六，根号七吗？老师们，看看根 这里，然后再以这里为半径做一条圆弧啊，一条圆弧，那么它的焦点与轴的焦点，它就是根号四，其实就是二的位置，根号四不就等于二呀？那根号五呢？ 我们要以根号二这里为啊，为直角边，是吧？ o 顶点到这个直角边这里的交点，那么以它为圆弧呢？又做一条啊，圆弧与轴的交点就是根号五了， 那么继续往下是不是就找到了根号六的位置了，这就是根号六，然后继续往下的话，我们就可以找到根号七的位置了，根号七在这里， 他什么？那么你弄懂了这个原理吗？其实就是勾股定律来求的呀，勾股定律来求的啊！我们可以构造直角三角形，做出他的边长为五厘数的边， 边长为五厘树的边，你就能在竖折上画出角 上构造直角弯的角，构造直角弯的角作为边长为五厘树的边，边长为五厘树的边，就能在竖折上画出表示五厘树的 边，重为根到十三角形的斜面。 这三角形的节点呢，这个我们真的要看多看多啊，根据上面的位置，我们在坐标上画一个表示根到十三的点啊，根到十三的点， 那么这里的根到十三，根到十三减去， 根到十三减去零。 这个时候呢，如果是直接直接十二 减去二，十三括号的平方，这是十 三十三根号三括号的平方，这是十三十三减去三的平方。 注意，根号四，根号四，这里是不是就是二，根号四等等。 那么根据上面的问题，我们能不能在数轴上画出表示根号十三的点呢？能画出根号十三的点吗？后面两个是可以画的，是 后面两个是可以画的，因为我们得到的它的另一条直角边是一个整数，三、二三和二啊。好步骤是这样的，首先呢，看看三得二啊， 在竖轴点上找到 a 点是 o， a 等于三，是 o， a 等于三。找到啦， 然后再以三这里做一个直角三角形 a 点，然后做直线， l 垂直于 o， a 垂直于 o， a， 取一点 b， a， b 等于二， ab 等于二，是两个单位啊， ab 等于二，这里是二啊，这里是二，然后再连接 o b， 然后再连接 ob， 以 o 为圆心， ob 长为半径作弧，你看，连接 ob， 然后以它为半径来作弧 啊，作弧，弧与竖轴，它的交点交相交于 c， 这个点 c 就是 根号十三的点，看什么？是不是我们就找到了五笔数根号十三的这个点呢？ 啊，就找到了，同学们知道找了吗？也可以使用 o a 等于二， o a 等于二， ab 等于三，同样可以求到 c 点，它们都是同一个点啊，都是同个点，在这里老师点拨方法，同学们 利用勾股定律来表示无理数的方法。第一个呢，是利用勾股定律把一个无理数表示成为直角三角形的两个正数的直角三角形的斜边啊，两个正数的直角三角形的斜边啊， 以圆点为圆形，以无理数的斜边为半径。画符，与竖轴 存在焦点，记住要与竖着存在焦点。在原点的左边的点表示五里数啊，表示负五里数，左边是负五里数，那么原点右边的点呢？就表示正五里数了。老师们，这个你也可要知道啊， 正负都可以表示出来，好考点。一、利用勾股令的在竖轴上确定无理数的点，根到十七，他说根到十七，我们首先要想出一个两个正整数，直角边是两个正整数，等于根到十七了，是吧？ 啊，那么如果是一，那么你们说另外一个是多少？说十七根到十七跨的平方啊，减去一的平方 是不是等于十七？减一等于十六，根号十六是多少，他就是四，是不是根，根号十六等于四，根号十六等于四，那么这个就可以画出来了呀啊啊，先找到一个单位，做法， 在竖折上找到 a 点 o， a 等于找到了 a 点在这里啊，然后再找到以 a 点为直径啊，为啊， 做一条垂线，以 a 点来为垂足，做一条垂线啊，过 a 点做 l 垂直于 o， a 垂直于 o， a 在 直线 l 上面取 b 点， ab 等于四， ab 等于四，这里等于四。 然后呢，连接 o、 b 连接点和 b 连接这里啊， 然后以 o、 b 为半径画一个圆，那么它就是根号十七了。然后呢，以 o 为圆心， o、 b 长为半径作弧，那么弧与这条竖轴的交点就是根号十七的点， 它就是，其实它是四点多一点，四点几，对吧？这是四点几，家人们七点就找到它 啊， c 点就找到了，好在竖折上点 c 的 位置就是根号十七的， 看你是否弄清楚。如图，点 a 表示的实数是多少？点 a 表示的实数是多少？那什么点 a 表示的实数是多少呀？那我们可以算出来啊，我们可以算出来啊， 这个一，一的二，一的平方加上二的平方，一的平方是二的平方是四，那么 a 的 点是不是负根号五？是不是负根号五？ 是 d 等于负根号五。我们根据勾股定律求出这个斜边的，斜边的长度 啊，那斜边的长度其实就是 a 点它的距离，那么 a 又位于负半轴，所以说它就负这个距离，负这个距离，因为它的距离是多少？距离是根号五，那么它在负半轴是不是就是负根号五？好， 下一个题。如图，在长方形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于三， ab 等于一， ab 在 竖轴上， 若以点 a 为圆心，对角线 a、 c 的 长为半径作辅交数轴于点 m， 则点 m 表示的数为多少？点 m 表示的数是多少？ 这个其实也可以运用勾股定律，是吧？我们就可以求出 m 的 位置，它是极的，根到十减一，它的点 m 的 数位是根到十减一，根到十减一。好了， 那么学到这里，我们就初步的探索勾股定律应用。 那么最后呢，老师啊，布置一个题目来考考大家打开书到课后的练习，在练习中呢，选几个题目做一 做，在配套的练习册中选一本做一做，看看今天你所学的知识是否学到位了，如果还不知道做，请你回过头再听一遍我的讲解。今天这节课上到这里，再见！

看到书本三十页，我们来看一下勾股定律的综合运用。在直角三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度， a、 b 等于小写字母 c。 第一个，他说如果角 a 等于三十度，叫我们求 b、 c 和 a、 c， 我 们先不忙把图画好， 这里是角 c 等于九十度，角 a 等于三十度，这个是角 b、 a、 b 写成小写字母 c 啊。虽然这里有两条未知边，但是我们可以根据这个三十度特殊角去判断，因为在直角三角形当中，三十度所对直角边会等于斜边的一半。好，我把这句话写一下，三十度 所对直角边 为斜边一半， 这是我们上学期学的，所以这个 b、 c 就 会等于 ab 的 一半，所以 b、 c 会等于二分之一， ab 就 会等于二分之一 c， 所以 这个就是二分之一 c。 剩下的就可以用勾股定律算了。由 在 r、 t 三角形 a、 b、 c 当中，由勾股定律 可以得到， a、 c 的 平方会等于 ab 的 平方减去 b、 c 的 平方， a、 c 的 平方就会等于 c 的 平方减去二分之一 c 的 平方， a、 c 的 平方就会等于 c 的 平方减去四分之一 c 的 平方，所以 a、 c 的 平方会等于四分之三 c 方，那么 a、 c 就 会等于根号下四分之三 c 方。注意，开方之后，我们是直接把负值舍去了的， 那么这个 a、 c 就 会等于二分之根号三 c， 这就是二分之根号三 c， 那 么 b、 c 和 a、 c 就 都用 c 表示出来了。 再看第二个，他说如果现在角 a 变成了四十五度，那刚才的那两条边又是多少呢？ 这个是 a 等于四十五度，这个是 b 啊，叫我们求 bc 和 ac， ab 的 长度用小写字母 c 来表示。好，那我们先可以判断这个三角形是一个等腰直角三角形，怎么判断呢？在三角形 abc 当中， 角 b 会等于一百八十度，减去四十五度，再减去九十度，得到四十五度，所以这个角也是四十五度， 所以我们就可以得到三角形 a、 b、 c 为等腰直角三角形， 等腰直角三角形，所以 a、 c 会等于 b、 c， 这两段是相等的，那么因为我们要 构建勾股定律去计算，所以我们这里设这个 a、 c 等于 b， c 等于 x， 这两段都设为 x， 那 么我们就可以由勾股定律。由勾股定律 我们可以得到 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方会等于 a、 b 的 平方，带进去算就是 x 平方，加上 x 平方等于 c 平方，所以二 x 平方等于 c 平方， x 平方等于二分之 c 方，所以 x 就 会等于根号下二分之 c 方。注意 a 方的负值直接舍去，所以 x 就 会等于根号二分之根号 c 方就是 c。 然后在分母有理化上下同时乘根号二 x 就 会等于二分之根号二 c， 所以 我们就说 a、 c 等于 b， c 等于二分之根号二 c 就 可以了。 在直角三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度， a、 c 等于二点一， b、 c 等于二点八。教我们求三角形 a、 b、 c 的 面积。好，我们先求第一问，先把这个三角形画一下 角， c 是 九十度， ac 等于二点一， bc 等于二点八，叫我们求这个面积，那么这个面积还是比较好求的啊，底层高除以二就可以了，对吧？三角形 abc 的 面积就会等于二分之一的底层高， 所以三角形 abc 的 面积就等于二分之一，乘上二点一，再乘上二点八，算出来的结果 就是二点九四啊。由于它这里没有写单位，所以我们的面积也不用写单位了。第二个叫我们求斜边 ab， 那 么就用勾股定律了，对不对？在 r、 t 三角形 abc 当中，由勾股定律 我们可以得到， a、 b 的 平方会等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，那么这个 a、 b 就 会等于 a、 c 的 平方， a、 b 的 平方就会等于二点一的平方加上二点八的平方，所以 a、 b 的 平方就会等于四点四一加上七点八四， 他就会等于一十二点二五，这个是 ab 的 平方，所以 ab 呢，会等于一十二点二五 开方。注意咱们的负数开方的时候要舍去啊，那我们算出来 ab 的 结果，他就等于三点五，好，这个 ab 就是 三点五，第二问就求完了，再来看第三问，他叫我们求高 c、 d， 那 你就要从 c 点往下做一条高下来， 对吧？这里可以用面积法，这个三角形有两组，底和高， a、 c 为底， b、 c 为高，或者是 b、 c 为底 c d， a、 b 为底， c、 d 为高，所以我们用面积法。三角形 abc 的 面积，它可以等于二分之一的 ab 乘 cd， 也可以等于二分之一的 ac 乘 bc， 那 我们就用下面这个后面这个式子转换过来，二分之一 ab 就是 三点五， cd 不 变， 等于二分之一乘上 ac 二点一，再乘上 bc 二点八，两边都有二分之一，就可以约掉了。 然后三点五 cd 就 会等于二点一乘二点八，然后这个 cd 就 会等于二点一乘二点八，去除以三点五，最后这个 cd 就 等于一点六八。好，这个就是第三问。如图，一处台阶的高 h 等于十五厘米，为了行走方便，准备在台阶处修建一个水泥坡道， 那在这里修建一个水泥坡道就是这一处。如果所修坡道的坡度是 h 比上 d 等于一比十二， h 比上低等于一比十二，那么所修坡道的长 l 为多少，这段为多少？叫我们结果保留小数点后两位。好，我们把这个把它划出来，这个高就是台阶的高度 h， 这个是 l， 这个是 d。 好， 这个 h 呢？等于十五厘米啊，他说这个 h 比上 d 等于十二比一，然后这个 l 它等于几呢？就是叫我们算出来的结果啊。好，我们先算一下， 因为这个 h 比上 d 等于多少啊？等于十二分之一，然后呢，这个 h 又等于十五厘米，我们把 h 带进去算， 就可以得到十五比上 d 等于十二分之一，交叉相乘就可以得到 d 等于十五，乘上十二，它就等于一百八十厘米，所以这个 d 等于一百八十厘米，那么再由勾股定律就可以算出来了。由勾股定律， 这个 l 等于 h 的 平方，加上 d 的 平方再开方，这里开方的时候负数给它舍去。好，这个 l 就 会等于十五的平方，加上一百八十的平方开方， l 就 会等于 二百二十五，加上三万两、三万两千四百再开放，这个 l 就 会等于三万两千六百二十五 再开放。如果你用计算器直接算的话，它的结果会等于一百八十点六二三九幺九，无限不循环，所以这个 l 保留 小数点后两位，那我们就对它的第三位进行四舍五入，那么对这个三进行四舍五入就舍掉，所以它就约等于一百八十点六二，单位是厘米，这个就是坡道的长度。 l。 如图，有一个水池，水面是一个边长为十尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，他高出水面一尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，他的顶点端恰好到达池边的水面， 水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？好，这个题目呢，有点不太好理解，因为他画的是一个横截面啊，我们把他说他的这个上面， 他这个水池是一个正方形的，我们这里只画了他的横截面，我们把他的俯视图画出来。好，我们把他的俯视图大概画出来。 把俯视图画出来的话，这个芦苇会在正中间的位置，那你连接对角线， 这个点就是芦苇正中间的位置。然后呢，他把这个芦苇拉向什么旁边的中点，你看把这根芦苇拉向水池一边的中点，他往右边拉了，对不对？他其实拉到的是这个位置，所以他是往这里去拉了， 然后到这里的终点，明白了吗？那就在这个点上好了。他说边长为十尺，他的边长是十尺，那么正中央到一边的距离就是五尺，就这么来的，所以这一段就是五尺 啊，然后高出水面一尺，高出水面这里这段距离是一尺， 叫我们求这个芦苇的长度和水的深度，那你把这个芦苇拉向旁边，这个芦苇它是不变的，所以芦苇的高度会比水池的深度多一尺。好，我把这句话写出来。这个芦苇 的高度比水池的深 多一尺，所以我们就可以怎么样呢？把这个水的深度设为 x， 那 么这个芦苇的高度就设为 x 加一，所以我们这里设 芦苇高 x 尺，水深 写反了，应该是水深 x 尺，芦苇的高度比它多 一尺，所以就是 x 加一尺。好，这里是 x， 这里是 x 加一。那这一段就是 x， 这一段是 x 加一，这里是一个直角三角形，所以我们就可以在 r、 t 三角形当中，由 勾股定律就可以得到一个等式了， 咱们就可以得到。这个五因子怎么来的呢？是十的一半，对不对？就可以得到 x 的 平方加上十除以二的平方会等于 x 加一的平方就变成 x 平方加上二十五，把这个打开， x 平方加上二， x 加上一，这里打开用完全平方公式啊啊，两边都有 x 平方抵消掉，所以二 x 加一等于二十五，减一二 x 等于二十四， 所以这里算出来 x 就 等于二十四，除以二 x 就 等于十二。所以我们就可以知道它这里的水深是十二尺，它这个芦苇的高度 十二加一等于十三尺就 ok 了。如图，一张三角形纸片， abc 角 c 等于九十度， ac 等于八厘米， bc 等于六厘米。现在将纸片沿着直线 b、 d 进行折叠，把上面这个三角形往下进行翻折，使得点 a 与点 b 重合，叫我们求 cd。 的 长 九十度，给我们标好了， bc 等于六厘米， ac 等于八厘米，好叫我们求 cd。 其实呢，有些同学会把这个 a b 算出来，但实际上呢，不用算，为什么呢？我们只需要通过这两条边就可以把 c、 d 算出来了，直角它是不变的，对不对？他叫我们求 c、 d， 我 们就把 c、 d 设为 x， 把 c、 d 设为 x， 然后这个上面的这个 a、 d 就 会等于八减 x， 因为整条线段是八，这里是 x， 那 上面呢？就是八减 x， 你 再把这个 a、 d 折叠过来，得到 b、 d， 那 么这个 b、 d 就 会等于八减 x， 就可以在 d、 c、 b 这个直角三角形当中构建勾股定律 c、 d 的 平方加上 b、 c 的 平方会等于 b、 d 的 平方，对吧？好，我们这里设 c、 d 等于 x， 因为 a、 c 等于八厘米，所以这个 a、 d 就 会等于八减 x 厘米。 因为是折叠过来的，所以我们可以因为折叠，所以 b、 d 会等于 a、 d 等于八减 x 厘米。好，接下来在直角三角形 b、 c、 d 当中构建勾股定律， c、 d 的 平方 加上 b、 d 的 b、 c 的 平方会等于 b、 d 的 平方。带入进去算就是 x 平方加上六的平方会等于八减 x 的 平方。把括号打开， 用完全平方公式啊，八八六十四啊，再减去二乘八，再乘 x， 再加上 x 平方。两边都有 x 平方，可以抵消掉 三十六就等于六十四，减去十六 x 移项十六， x 就 等于六十四，减去三十六十六， x 就 等于二十八， x 就 等于二十八。除以十六再约分， x 就 等于四分之七， 所以我们就知道 c、 d 等于四分之七，单位是厘米。 甲、乙两个三角形弓箭的尺寸如图所示，他们的单位都是毫米，分别求他们的高 h 一 和 h 二， h 一 在这， h 二在这，好分甲、乙两边。我们先算甲的这边， 你可以先观察到甲，它有两条腰是相等的，都是二十六，对吧？做一条垂线下去等腰三角形，三线合一，高线角、平分线以及中线是同一条，所以它肯定会平分 a、 b， 那 么这里就可以得到是十， 这里是二十六，就借助勾股定律就可以把这个 h 一 算出来了，对吧？好，我们写一下。先说一下 这个 h 一 做 c， h 垂直 ab， 好， 我们把这个点当做 h 点，把这个点当做 h 点，然后因为 a c 等于 b， c， c h 垂直 ab 三线合一， 所以也是中线，所以我们就可以得到这个 a、 h 就 会等于二分之一的 ab， 就会等于二分之一。乘上十，乘上二十就会等于十，所以这个等于十。那么就在直角三角形 a、 h、 c 当中，我们就可以构建勾股定律，这个 h c 的 平方会等于 a、 c 的 平方。减去 a、 h 的 平方， 那么这个 h c 就 会等于二十六的平方，减去十的平方，再开放负数舍去， 所以这个 h c， 它就会等于六百七十六，减去一百开方， h c 就 会等于五百七十六开方，它就会等于二十四，所以 h 一 等于二十四。注意单位，这里是毫米啊，把它单位补上 再来看，以我们这里这个垂点也没说，我们就说这个点是基点， 以作 h g 垂直 d e， 对 吧？因为这里没有告诉我们哪个角是直角，你说，哎，这个是不是直角？不一定啊，不一定，你可以用勾股定律验证一下，算出它并不是直角，那怎么办呢？ 那我们做了高之后，就用两边这两个直角去构造就可以了。你先把 d、 e 这条边设为 x， d g 这条边设为 x， 下面这个 g e 就 会等于二十一减 x， 然后中间这条高，它就会既等于 d、 f 的 平方减去 d， g 的 平方，也会等于 e、 f 的 平方减去 e、 g 的 平方。好，我们就直接说在 r、 t 三角形来先设一下啊，设一下， 设 d g 等于 x， 这个 g e 就 会等于二十一减 x。 在直角三角形 d、 g、 f 当中， 这个 g、 f 的 平方会等于 d、 f 的 平方，减去 d、 g 的 平方。 在下面这个直角三角形 e、 g、 f 当中，这个 g、 f 的 平方也可以等于 e、 f 的 平方，减去 e、 g 的 平方。 那你看都等于 g、 f 的 平方，那这两个式子就是相等的。所以 d、 f 的 平方减去 d、 g 的 平方会等于 e、 f 平方，减去 e、 g 的 平方。 e、 f 是 十三的平方，减去 x 平方等于二十的平方，减去二十一减 x 的 平方。为了避免粗心，我们拆这个括号平方的时候，记得打上括号啊，打上括号 十三的平方等于一百六十九减 x 平方量二十的平方等于四百，减去二十一的平方。二十一的平方等于四百四十一，减去 二乘二十一，再乘 x， 再加上 x 平方打括号，我们这样等会儿拆括号的时候，就不会忘记编号了。 括号前面是减号，所以里面的就要编号。减 x 平方都有， x 平方就可以抵减 x 平方就可以抵消掉了。 一百六十九等于负四十一，加上四十二， x 等于负四十一，减去一百六十九，负四十二， x 就 等于负两百一，所以 x 等于负两百一，除以负四十二， 所以 x 最后的结果它就会等于五， 所以这个 d、 g 等于五的情况下，再去算 h 二，好，接着往这边算，因为 h 二，因为 d、 g 等于 五毫米，所以这个 h 二就会等于十三的平方，减去五的平方。这里多写一步啊， 所以这个 g、 f 的 平方会等于 d、 f 的 平方，减去 d、 g 的 平方， 这个 h 的 平， h 二就会等于十三的平方，减去五的平方再开方，所以 h 二就会等于一百六十九，减二十五开方，等于根号下一百四十四，所以 h 二就会等于十二毫米。 如图，分别以等腰直角三角形 a、 b、 c 的 三条边 a、 b、 a、 c、 b、 c 作为直径去画一个半圆，那 a、 c 画了一个半圆， b、 c 画了一个半圆， 叫我们求证所得到的两个月牙形的图案， a、 g、 c、 e 这个以及 b、 h、 c、 f 它们的面积之和， 这两个月牙形的形状面积之和，它们的面积之和呢？等于直角三角形 a、 b、 c 直角三角形 a、 b、 c 的 面积。哎，这个应该怎么正呢？我们只需要把阴部面积表示出来，然后推导一下就可以了啊，因为它是一个等腰直角三角形，因为 三角形 a、 b、 c 为直角三角形，我们就可以得到 ab 的 平方会等于 ac 的 平方加上 bc 的 平方，对吧？好，那么这个阴影部分面积我们分别一个一个表示出来，先表示三个半圆的面积 啊，三个半圆的面积。首先三角形这个先求这个 c、 b、 f、 c、 f、 b， 它会等于圆的面积，等于 pi r 平方，它只是半圆，所以要乘个二分之一，所以是二分之一。 pi 乘上半径，它的半径就是 b、 c 的 一半 的平方，所以把它打开就是四分，所以是二分之一乘上 pi 乘上四分之 d， c 的 平方就会等于八分之一 pi 乘上 b、 c 的 平方， 然后第二个半圆就是 c 一， 这个 c、 e、 a、 c、 e、 a， 它的面积也等于二分之一派。因为是半圆，要乘二分之一，它这个半径换成 a、 c 等于二分之一乘上派乘上四分之 a、 c 的 平方等于八分之一派乘 a、 c 的 平方。最后一个半圆就是这个以 ab 为直径的 就是 abc， 它等于二分之一派乘上 ab 除以二小过的平方，等于二分之一乘派乘四分之 ab 的 平方等于八分之一 a、 b 的 平方。好了，那么现在你要求这个阴影部分面积就是这个这两个月牙阴影部分面积，我们就只需要把半圆 两个小半圆加起来，再加上三角形的面积，最后减去这个大半圆的面积就可以了，对不对？好，图中的阴影部分面积，它就会等于 两个小半圆。三角形 a、 b、 c 的 面积加上两个小半圆的面积， 再加上半圆 c、 e、 a 的 面积，减去大的半圆 a、 b、 c 的 面积。好了，这个三角形的面积 a、 b、 c， 我 们不用化简出来，因为它最后问的是等于这个对不对？好，我们这个不用动，不用打开它， 这个面积等于八分之一派加上 b、 c 的 平方，加上这个八分之一派乘上 a、 c 的 平方，再减去这个八分之一派乘上 a、 b 的 平方， 所以阴影部分面积会等于 s、 a、 b、 c， 把它们的八分之一。哎，这里我写成了加号啊，应该是乘号 八分之一派全部提出来，然后就是 b、 c 的 平方加上 a、 c 的 平方减去 ab 的 平方。那么前面我们是不是说了， 这个 a、 c 平方加上 b、 c 平方是等于 ab 平方的，所以它们是会等于零的，对不对？好？因为 ab 的 平方是等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，所以它俩相减会等于零，所以 这个 b、 c 的 平方加上 a、 c 的 平方减去 ab 的 平方会等于零。那么下面这个式子， 这个阴影部分面积，它就会等于三角形 a、 b、 c 的 面积加上八分之一半，再乘上零，零乘任何数都等于零，所以三，所以阴影部分面积就会等于这个三角形 a、 b、 c 的 面积。好，那么这个证明过程咱们就写完了。 这道题是一个手拉手模型，如图，三角形 a、 c、 b 和三角形 e、 c、 d 都是等腰直角三角形。那么什么叫等腰直角三角形呢？就是它的每一条边啊，它的腰都是相等的，并且是直角，所以它的两个角都是四十五度， 这个 c、 d 和 c、 e 也是相等的，并且它的这两个底角也是四十五度。我们标一下 c、 a 等于 c、 b、 c、 e 等于 c、 d， 我 们都已经标好了，对不对？ 三角形 a、 c、 b 的 顶点 a 在 三角形 e、 c、 d 的 斜边上，在这个斜边上叫我们求证，这个 a、 e 的 平方加上 a、 d 的 平方会等于两倍 a、 c 的 平方， 那么提示叫我们连接 b、 d 啊，我们就直接按照它的提示来连接 b、 d 之后你就可以构造三角形全等了，就可以得到一个三角形全等，就是这个三角形 和这个三角形全等。为什么呢？你看一条边相等，两条边相等，对吧？然后两个九十度重叠了一个角，所以剩下的角也会相等。那我们可以先证明三角形全等， 全等完之后呢，你就会发现这个 a、 e 就 会等于这个 b、 d 了，这里是四十五度，所以这里也会是四十五度，这里也是四十五度， 那么你看把这条边转到这边来，再加上 a、 d， 你 就会发现这里是直角，则 a、 d 的 平方加上 b、 d 的 平方， 就会等于这个 ab 的 平方就等于 ab 的 平方，而这个 ab 的 平方呢？又和这个 ac 相关，对不对？因为这个 ab 是 以 ac 为等腰直角三角形的 这个三角形当中，所以它可以用 ac 的 平方加上 bc 的 平方等于 ab 的 平方，那么这个 ac 的 平方。 ac 和 bc 是 相等的，所以这个 ab 的 平方 会等于 ac 的 平方加上 bc 的 平方当中，你可以把这个 bc 的 平方换成 ac 的 平方，就会得到两倍 ac 的 平方了啊，整体思路是这样的，我们来详细写一下过程啊。这里标上角一角二角三， 因为三角形 a、 c、 d、 a、 c、 b 与三角形 e、 c、 d 都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形， 咱们同时连接 b、 d 这个辅助线，咱们也写上去，所以就会得到角一加上角二 等于九十度，角二加上角三也等于九十度，所以这里的角一和角三就相等了。那我们就证明三角形全等。 在三角形 e、 a、 c 与三角形 d、 b、 c 当中， a、 c 等于 b、 c 角一等于角三， e、 c 等于 dc 边角边，所以三角形 e、 a、 c 全等于三角形 d、 b、 c 全等条件边角边边角边全等之后，这个角 e 和这个角就相等了。 聊一下，这个是四十五度，所以 a、 e 会等于 b、 d、 a、 e 这条边会等于 b、 d 这条边，并且角 e 会等于角 b、 d、 c 等于四十五度。好，这个角就是四十五度， 所以我们就可以得到角 a、 d、 b 就 会等于两个四十五度相加就会等于九十度。哎，这里就会有一个九十度，所以我们就可以说 在 r、 t 三角形 a、 d、 b 当中，我们可以得到 a、 b 的 平方等于 a、 d 的 平方加上 b、 d 的 平方。而又因为 在 rt 三角形 a、 b、 c 当中， a、 c 等于 b、 c， a、 b 的 平方会等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，所以这个 a、 b 的 平方也等于 a、 c 的 平方加上 a、 c 的 平方。就是把这个 b、 c 换成 a、 c 就会等于两倍 a、 c 的 平方。那么这里的两者结合一下，那它们都是 ab 的 平方，所以我们可以得到 a、 d 的 平方加上 b、 d 的 平方等于两倍 a、 c 的 平方。 但是这里还有个 b、 d 要转换成 a、 e， 对 吧？所以因为 a、 e 等于 b、 d， 所以 a、 d 的 平方加上 a、 e 的 平方会等于两倍 a、 c 的 平方，那这样的话我们就证明出来了。

八下勾股定律全部练熟，考试稳进前三。

我们今天来复习一下第二十章勾股定律。这一章主要讲了勾股定律以及勾股定律的逆定律，同时还有它们的应用。 我们来看一下第一个知识点，勾股定律。如果直角三角形的两条直角边分别为 a、 b， 斜边长为 c， 那 么 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方，这是它的几何语言。 接下来我们算一道关于三角形的题，已知 a、 b 的 长度是六， b、 c 和 a、 c 的 长度都不知道，但是它们之间的关系给出来了， b、 c 减去 a、 c 等于二，那我们去算 a、 c 的 长度。假设 a、 c 的 长度是 x， 这里是 x， bc 减去 x 等于二，那么 bc 就 可以表示成 x 加二。在这个三角形里面，使用勾股定力就可以得到斜边的平方等于另外两条直角边的平方和左边，利用完全平方公式展开就得到这个等式， 所以 x 就 等于八。我们来看一下如果题目叫我们判定一个三角形是直角三角形，我们应该如何操作。首先第一种方法就是想办法正这个三角形里有一个角是九十度， 这个时候可以证明它是直角三角形。第二种方法，我们可以正这个三角形里有两个角的和是九十度，也就是它们互余。 第三种方法，我们可以正这个三角形里面那两条最短的边的平方和等于最长那条边的平方。也就是使用勾股定律的逆定律也能够证明它是直角三角形。 如果能证到最短两条边的平方和等于最长那条边的平方，也能下结论说它是直角三角形。记住哈，不是每一个三角形最长边都用 c 来表示的。勾股定律跟勾股定律的逆定律有什么区别和联系？ 从这里我们可以看出，把勾股定律的提色和结论调换位置之后，就可以得到勾股定律的逆定律。 我们来做点题，我们可以借用勾股定力的逆定律来判断一下所给的三角形是否为直角三角形。也就是说最短两条边的平方和有没有等于第三条边的平方等的话，它就是直角三角形，如果它不等，它就不是。首先第一，小题 二的平方加三的平方，它是等于十三，而四的平方是等于十六，它不懂，因此它不是直角三角形。第二，小题六的平方加八的平方等于一百，而十的平方也等于一百，刚好等，所以它是直角三角形。 第三，小题五的平方加十三的平方，也就是二十五，加上一百六十九，它是等于一百九十四， 而十七的平方是等于二百八十九不等，因此它不是直角三角形。继续做一道三角形的题， a、 d 等于八， b、 b 等于二， c、 d 等于十七。那我们计算 ac 和 bc 的 长。首先我们在三角形 a、 c、 d 中，根据勾股定律可以得到 ac 的 平方加八的平方等于十七的平方，从这里可以解出 ac 等于十五。 接下来在最大的那个三角形，也就是 r、 t 三角形 a、 b、 c 中， 可以得到 a、 c 的 平方加 a、 b 的 平方等于 b、 c 的 平方，也就是十五的平方加上十的平方等于 b、 c 的 平方。从这里可以得到 b、 c 是 等于根号三百二十五开出来，也就是五根号十三。 我们来做一道关于速度的题，两人从同一地点同时出发，一人以二十米每分钟的速度向北直行，另一个人以三十米每分钟的速度向东直行。十分钟之后，它们相距多远？也就让我们算 a、 b 的 长度。 根据路程等于速度乘以时间，我们可以算一下 a、 c 它的长度，用这个速度二十乘以时间十，就可以得到 a、 c 的 长度是两百。同样的， b、 c 的 长度也可以用三十乘以时间十，它的长度就是三百。 在这个直角三角形里面，两条直角边都知道了，算斜边 a、 b 就 等于根号二十三， 他要求结果取整数，那么把根号十三的净式值算出来，再乘以一百，就可以得到三百六十一。 再来我们算一下四边形的面积和周长，我们先算周长吧，我们知道四边形的周长就是把四条边都加起来嘛。首先在这个直角三角形里面， 因为每个小正方形的边长都是一，所以这里是一，然后这里是五，所以 ab 的 长度就等于根号一的平方，加五的平方等于根号二十六。 在这一个直角三角形里面，我把它的两条直角边也标出来了，所以 bc 的 长度也可以利用勾股定律来算， 那么它就等于二，根号五。接着在这一个直角三角形里面，我也把它的直角边标出来，就可以得到 c、 d 等于根号一的平方，加二的平方等于根号五。接着到这个直角三角形， 它的两条直角边我也标出来了，我们也利用一下勾股定律算一下 等于根号十七，它的周长的话，就是把四条边都加起来，接下来我们算一下面积吧。 对于这种没办法直接用底乘以高去计算面积的四边形，我们可以用割补法去计算它的面积。我把 a、 b、 c、 d 补成一个正方形， 用我刚刚补到的这一个正方形的面积减去阴影部分的面积，是不是得就得到四边形 a、 b、 c、 d 的 面积啦？ 那么怎么计算呢？我们一起看一下。 a、 b、 c、 d 的 面积可以看成是正方形 a、 e、 f、 g 的 面积减去三角形 a、 b、 e 的 面积，再减去三角形 b、 c、 f 面积，再减去 三角形 a、 d、 h 的 面积，然后再减去这里，这里是 t 型哦， t 型的面积， 正方形的面积是五乘以五，这个三角形的面积，我把它的底乘以高哈写在这里，底乘以高除以二，然后这一个三角形的面积底和高除以二。 这一个三角形， 那这一个梯形上底是一，下底是三，上底加下底乘以高除以二，这答案就是十四点五， 接下来我们看一个最短路径的问题，给出一个长方体，长宽高都给出来了。一只小虫从 a 点沿着外表面爬到 c、 e 点，问它爬的最短路径是什么？这个时候需要把这个长方体长开来， 我们来看一下，假设它爬行过程中经过前面那个面和上面那个面，那么展开之后就是这一幅图，然后计算斜边 a、 c、 e 的 长度，就可以利用勾股定律，在这个直角三角形中，一条直角边是三，另一条直角边是二加一嘛。 那么斜边 a、 c、 e 就 可以等于根号三的平方等于根号十八，也就是三根号二。 那么如果它爬行的过程中，经过的是前面那个面和右边这个面的话，展开来之后就是这一幅图。 这个时候斜边 a、 c、 e 计算的时候，也可以利用勾股定律，一条直角边是三加二，另一条直角边是一，所以 a、 c、 e 就 等于根号 三加二的平方，加上一的平方，也就等于根号二十六。那如果它爬行的过程中经过的是左边这个面和上面那个面的话，展开之后就是这一幅图，这个时候斜边 a、 c、 e 利用勾股定律计算，就是等于这个 等一根号二十，也就是二根号五。那是不是每次做这种题都要每一幅图都列出来，然后分别去计算呢？这样很浪费时间啊。那我们想快速完成这一道题，可以这样，这种类型题，它最后列出来的话是这种格式， 你看一下是不是都是这样。我们在前数据的时候，要想获得最短的，我们就把最短的两条边写在一起，它们作合之后，再平方另一条边写在这里，这样计算出来的话，就是最短的路程了。 我们来讲一道计算三角形面积的题，已知在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 c 垂直于 d、 c， 也就是这里是直角，给出了三角形 a、 d、 c 的 面积是三十， d、 c 和长 d、 c 的 长度和 abbc 的 长度都给出来了， 让我们去算三角形 a、 b、 c 的 面积。目前可以看到三角形 a、 b、 c 非恒接近直角三角形，但是我们还是要自己去证。首先 根据三角形 a、 d、 c 的 面积是三十，就可以得到二分之一乘以 d、 c， 如果以 d、 c 为底的话，那么它的高就是 a、 c， 计算起来就等于三十。把 d、 c 的 长度带进去， 就可以算到 a、 c 是 等于五的，也就这里是五。接下来我们看一下在三角形 a、 b、 c 中， 这里面就是一组勾股边，对吧？但是我们写的时候还要写下，可以看到 a、 c 的 平方是等于五的平方，等于二十五，而 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方，把数值带进去，算起来也是二十五， 所以就可以说 a、 c 的 平方是等于 a、 b 的 平方加 b、 c 的 平方，因此它就是直角三角形，这也是直角。那算面积的时候就用底乘以高，也就是 a、 b 乘以 b、 c， 再乘以二分之一，就可以算到它的面积了。 接下来的课堂检测，请大家做完自己对答案。

这个题竟然是代数题型的几何伪装数！在八下考试，甚至中考考场里无数学生啊，对着这个式子猛算代数，却不知题目就是把几何密码藏在了式子里，只要一旦识破数形结合加勾股定律的思维，就能直接秒杀这道题。 别着急啊老师，今天一条视频带你彻底学透数形结合的代数应用，学会后不管期中、期末还是中考，都能轻松秒杀！一起来看题 说，已知 x 加 y 加 z 和等于六，让我们求根号下 x 方加一，加根号下 y 方加九，加根号下 z 方加十六，和的最小值是多少？已知条件非常简单， x、 y、 z 三个字母和是等于六的。 接着要求的这个式子呀，它的特点就非常明确了，大家来看，根号下 x 方加一，那一呢，我可以看成是一的平方， 第二个根号下外方加九，那个九显然是完全平方数三的平方。第三个这方加十六，那十六呢？自然我们想到是四的平方，换句话说呀，根号里边通通都是什么呀？平方和的形式对不对？那么在我们初中阶段， 出现根号下 a 方加 b 方的形式往往都在哪儿啊？勾股定律对吧？哎，在直角三角形中，如果两只角边小 a 小 b， 那 么斜边小 c 就 可以用 根号下 a 方加 b 方进行计算，这是我们大名鼎鼎的勾股定力。并且呢，出现这样的式子，往往都是竖形结合去构造这样的直角三角形，勾股定力帮助我们解析。好，我们一起来学习一下本题如何快速利用勾股定力完成竖形结合的 构造来解决这道代数题啊，那么第一个呢，我们要配凑的两直角边，一个长度是 x， 一个的长度是一，那我就画一个直角三角形， 这条直角边长度为一，另一条直角边 x， 那 么斜边长根号下 x 方加一。 好，接下来我们再来看第二个两直角边，一个长度是 y， 另外的一个长度是这个三， 那么我要如何去画图呢？所以关键是啊，很多同学他能够看出来，这道题目确实要用数形结合，确实要用勾股了，但是他不会去画图。那么老师来教大家，已知条件给的是啥？你看啊， x， y， z 三者之合，所以在图形上，我们如何把这三个边长，把它相加求和呢？所以 图形上要想把它三加起来，我们往往是把它画在一条直线上，对吧？如果它歪七扭八的，它就没办法知道哪条边是六了，能理解吧？ 所以说啊，我在画第二个直角三角形的时候，延长这条直角边，这个长度就是我的 y， 就是 我的 y。 好， 那接下来我再画这样一个直角三角形往下画。老师，你为啥往下画，不往上画呢？大家来讲啊，最后我们要求的是什么？ 斜边加斜边加斜边，大家都讲过这个将军印马是吧？做轴对称，如果往上画，是不是还得对称下来？我得让 斜边想方的好像连到一起，对吧？在一条直线啊，或者是折线上。好了，那么我们往下画直角三角形，这条直角边长度是三，斜边就是外方加九。 好，那关键问题来了，老师，第三个直角三角形 z， 另一条直角边是这个四，这时候我该怎么画？同样的， 老师说了，这个 z 啊，我要延长跟 x y 在 同一条直线上，这条边长度为 z， 那 这时候我比如说我再往下画，往上肯定是连不上了那个斜边，但是往下画呢？你看我这画直角边三角形， 哎，我怎样画直角三角形啊，都没有办法跟前面两条斜边连到一起。所以这里有一个小小的技巧啊，连不上的时候，我们可以先去做一个矩形， 你看我先构造这样一个矩形，利用矩形对边长度相等，把这个 z 转移到这样一个位置，此时大家再去构造这直角三角形，是不是就容易连多了？你看是不是我这时候再把它画下来， 你看这条直角边长度是四，这条直角边长度是 z， 所以 这个斜边就是 z 方，加上十六再开方 没有问题啊，所以这里边有一个构造矩形的小小技巧，这时候大家再来跟我观察已知条件， x y z 之盒转化成了三边之盒，并且连成了一条直线上，那么这条红色线段的长就是这个六。让我们求的是这三个斜边啊，斜边、 斜边和斜边和的最小值是多少？经典的化折为值问题， 当这些点通通共线的时候，也就是说我这三条斜边长成绿色线段的样子，此时取到和的最小值好了，那么最后一步我们只需要完成计算即可。同样去构造上方的 矩形，这个六就是这个六，这个一就是这个一，对不对？在大大的直角三角形中，勾股定律求斜边，所以这个斜边是根号下六方加上这一三四，也就是八六方加八方勾股 number， 直接口算六八十， 斜边长度为十，也就是这三条斜边和的最小值。所以这道小题回过头来看，发现这样经典的根号下平方和的样式，想到勾股定律， 大直角三角形，利用竖形结合，把这些代数的式子转化成一些线段长，通过求三条线段长度和的最小值来完成这样一个代数式的最小值计算，你学会了吗？

翻到书本二十三页，我们来看一下勾股定律，勾股定律是怎么来的呢？ 有一个叫三高的人，他构造了一个勾股弦分别为三、四、五的直角三角形，并且指出了两矩共长二十有五。什么意思呢？就是说分别以勾和股为边的正方形，它们的面积之合恰好等于以弦为边的正方形的面积。 哎，你看他举了个例子，这里有一个红色的直角三角形，他的三边分别为三、四、五，然后以这三条边分别往外做一个正方形，哎，得到一个正方形， 那么这个小的正方形加上这个中等的正方形的面积，他加起来正好会等于这个大正方形的面积。 哎！从边的角度来看，这个直角三角形的三边，他是满足两条直角边长的平方和等于斜边的平方，也就是说这里会得到这个三的平方， 加上四的平方，会等于这个五的平方啊。所以他就在想，那其他的直角三角形的三边是否也蛮也能满足这样的数量关系呢？哎，来看到探讨，他说 每个小方格它的面积均为一，图中这个正方形 a、 e、 b、 e、 c， e， 它们的面积关系有什么样的？它们的面积关系是什么？好，你来看到这个 a、 e、 b、 e、 c、 e， 你来看一下这个 a 一 很好算，它的边长都是一和一，对不对？它的边长都是一和一，所以它的面积就是一乘一得一，而这个 b 一 的面积，它的边长是二和二，所以它的面积就等于四。你再来看这个 c 一 的面积，怎么算呢？我们可以用割补法来算。那你把它看作一个什么？ 你把它看作一个大的长方形啊，大的这个正方形减去旁边四个小的三角形就可以了，而这个小的三角形的边长分别是二 和一啊，这个直角边的边长分别是二和一，所以这里是三，这里是三。 c 一 的面积，它就会等于三乘三。减去什么呢？减去四个小三角形的面积，减去四个小三角形面积。二乘一除以二， 它就等于多少呢？这里二二二和二约掉就等于四，所以是九减四等于五。发现了没有？你看这个 c 一 的面积求出来等于五，它们的关系也满足。 a 一 的面积加上 b 一 的面积会等于 a 一 的面积，会等于 c 一 的面积，那这个就是它的关系。什么关系啊？ a 一 的面积加上 b 一 的面积会等于 c 一 的面积。 好，他又问，那么 a 二、 b 二、 c 二呢？也能满足这样的关系吗？我们再来算，你看这个 a 二的面积等于二乘二等于四，这个 b 二的面积，它的边长是三，所以是三乘三等于九。然后这个 c 二的面积跟刚才一样，你把它画成一个大的 正方形，用割不放，你用大的正方形减去四个。哎，这里画少了， 应该往里面画一点，这个大的正方形减去四个小的三角形就可以了。所以这里的 c 二，它会等于这个长是五，这个长也是五，对吧？就等于五乘五， 减去四个小的三角形，它的长，它的边长是二和三，所以是四个二乘以二，那么约掉二三四十二， 然后这里是五五二十五，二十五减十二等于十三。哎，你会发现，四加上九等于十三，所以它们的关系也是 a r 的 面积加上 b r 的 面积会等于 c r 的 面积，那这个就是 a 二、 b 二、 c 二的关系。然后再看 a 三、 b 三、 c 三一样的，你同样去算这个 a 三的面积，它等于三乘三，等于九，这个 b 三的面积， 它这里是五，这里是五，那就是五乘五等于二十五，而这个 c 三的面积把它围成一个大的 正方形，再拿这个大正方形的面积减去四个小三角形的面积，这个小三角形，它的两条直角边分别是三和一、二、三四、五和五，对吧？那么这个 c 三， 它的面积就会等于，这里是八八乘八， 减去三乘五除以二，这是一个三角形的面积，再乘上一个四，好算一下，这里约掉还剩二三五十五，十五乘二等于三十六，十八、八六十四，六十四减三十等于三十四。 好，你看这个九加二十五是不是正好等于三十四？所以他们的关系也是 a 三的面积加上 b 三的面积等于 c 三的面积， 那就满足这样的关系。看到了吗？以格点为顶点，你看中间夹着的这个三角形，是不是全都是直角三角形？发现了没有？ 哎？发现了没有，全都是直角三角形，那么以格点为顶点，在正方形纸片上任意画一个直角三角形， 类似的做出三个正方形，那么这三个正方形的面积有什么关系？由此你可以得出直角三角形三边关系的猜想吗？那这个三个正方形的三，这个面积有什么关系？两个中等的 啊，一个小的加中等的三角形的面积等于大正方形的面积，就是这个意思，知道吗？啊？小正方形面积加上中等正方形面积会等于大正方形的面积，只要满足是直角三角形的三边往外做的正方形就可以了 啊，那么因此我们就可以推出他的结论了，可以发现，以直角三角形两边 两条直角边为边的正方形的面积之合，就等于斜边为边的正方形的面积。由此我们可以猜想，如果直角三角形的两条边长分别为 a 和 b， 斜边为 c， 那 么就可以得到 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方， 对吧？那你看这里，这里是三的平方，这里是五的平方，这里是多少这里的斜边啊？我们不知道，但是我们知道它这个面积是等于三十四，对吧？好，那么这个是三十四的话，它的边长就是根号三十四了，对不对？好，是一样的，所以这个就是勾股定律。 知道了什么是勾股定律，那这个东西应该怎么证明呢？哎，我国古代数学家赵爽，他就是用这个图来证明的，这个图也叫赵爽弦图。哎，他是怎么证的呢？你看，他是拿两个 正方形，这个正方形的边长分别为 a 和 b 啊，所以这两个正方形的面积就是 a 方和 b 方，那我把它框出来啊， 它就是边长为 a 的 一个正方形，而右边 就是边长为 b 的 一个正方形，他把这两个正方形合在了一起，那么至少你知道 这个小正方形的面积等于 a 平方，这个大正方形的面积等于 b 平方。现在他把这个两个正方形拼在一起之后，找到一个点，使得这条边和这个 a 是 相等的啊，然后呢，通过构造一线三等角啊， 他可以分出几个呢？分出四个，一二、三四，这四个一模一样的全等三角形，然后把下面这个三角形 往上折，把这个三角形往上翻，哎，他就得到了一个。那你把这个图放到这里来，你把这个三角形放到这里来，他就拼成了一个斜着的一个正方形，看到了没有？他把这个斜着的正方形边长当做 c， 哎，这个 c 看，我也把它框出来。 这个正方形的边长是 c， 而这个正方形它是由什么得到的呢？它是由这两个正方形 拆分之后重新拼起来的，所以这个正方形的边长是 c 的 话，它的面积就是 c 平方， 所以这个大正方形的面积由这个两个小正方形的面积拼起来的，所以就可以得到 a 方加 b 方等于 c 方，所以 a 方加 b 方等于 c 方啊， 这个是他的思路，那么他后面呢？哎，在探讨里面，他又说，你能通过计算来计算这个面积，推导出勾股定律吗？那我们就直接拿这个图来推导一下，好吧，用面积法去证。那他上面讲的这个，哎，其实就是我刚刚讲的这两个图的转换思路。 那现在我们如何去证明勾股定律呢？你看他说了这个小镇小的 三角形，它的边长这一段是 a， 这一段是 b， 所以 这个也是这一段是 a， 这一段是 b， 那 这一段是 a， 所以 这一段是 b， 那 么这个黄色的小正方形的边长 这一段就会等于 b 减 a。 你 看现在我们可以看得出来，这个大的正方形，它的边长是 c， 他这个大正方形的面积等于四个小三角形的面积，再加上中间这个小正方形的面积，这个中间是一个小正方形，他的每一条边都是 b 减 a， 你 看这段是 b， 这段是 b 减 a， 他的每一条边都是 b 减 a， 知道吧？好，这里写的完整一点是大正方形和小正方形，而这个大正方形的边长是什么呢？是 c 的 平方啊， 是 c， 它的面积就是 c 的 平方，所以大正方形的面积就是 c 的 平方。而四个小三角形的面积是 a 乘 b 除以二， 是 a 乘 b 除以二，再加上中间这个小正方形的面积，就是 b 减 a 的 平方，那么 c 的 平方就会等于这两个就约掉了，等于约掉之后还剩个二，二乘 ab 就是 二 ab 加上 这个括号的平方。用完全平方公式把它打开，会得到 b 的 平方减二 ab 加上 a 的 平方，你会发现 二 ab 和减二 ab 就 抵消掉了，所以就会得到 c 的 平方等于 b 的 平方，加上 a 的 平方，再反过来写，你就得到了 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方。这个是用面积法去证的。 哎，就是我们这里探求的要求，那他叫我们通过计算弦图的面积去推导勾股定律，那这样就推导出来了，这个就是用面积推导赵爽弦图当中的规律。 来看到例题一，怎么用勾股定律呢？你只要是在直角三角形里面，就可以用勾股定律去计算，根据所给的条件，分别求出两个直角三角形当中未知的边长。 在这个三角形当中， b， c 知道 a， c 知道 ab， 不知道对不对？好，这里有个直角写了，那么第一个我们就怎么写呢？首先你要知道是在直角用 r、 t 来表示 r、 t 三角形 abc 当中，这是直角三角形，我们可以根据勾股定律， 根据勾股定律， 咱们可以得到这个 a、 b 的 平方啊，不对，这个 a、 b 的 平方会等于 a、 c 的 平方， a、 b 的 平方会等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，所以这个 a、 b 就 会等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方再开放，那么它就会等于八的平方，加上六的平方再开放，等于根号下六十四，加上三十六 等于多少，等于根号一百，根号一百等于十，所以 ab 这条边就等于十，对吧？好，那这个怎么样呢？那一样的，它这里有直角，然后斜边和一条直角边告诉我们了，我们用勾股定律去算，对不对？在 r、 t 三角形 d、 e、 f 当中啊，根据勾股定律， 我们可以得到这个 d、 e 的 平方加上 e、 f 的 平方会等于 d、 f 的 平方，所以这个 d、 e 的 平方会等于 d、 f 的 平方。减去 e、 f 的 平方， 那么 d、 e 的 平方就会等于十七的平方。减去十五的平方，七的平方是等于二百八十九的，十五的平方是二百二十五，所以这里一减等于六十四， 那么 d、 e 的 平方是等于六十四的，所以这个 d、 e 就 会等于八，就可以了。那这样写就 ok 了。 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b， 它的斜边长为 c。 第一个已知 a 等于六， c 等于十，叫我们求 b， 因为 c 是 最长的，对不对？好，我们就直接 由勾股定律，因为它这里直接说了是直角，对吧？好，所以我们就可以直接用勾股定律，直接由勾股定律 咱们可以得到，这个 b 是 等于 c 的 平方减去 a 的 平方再开方的啊，那么这里带进去就会等于十的平方减去六的平方， 十的平方减去六的平方，它就等于根号多少啊？哎，根号六十四，根号六十四的话，它就等于八，所以第一个答案就是八，对吧？那第二个也是一样的啊，它告诉我们 ab 叫我们求斜边 c， 那 么就可以由勾股定律得， 这个 c 的 平方是等于 a 的 平方加 b 的 平方的，当然我们这里可以一次性把它写好，就直接写 c 会等于 a 的 平方加上 b 的 平方开方，那么它就会等于五的平方加上十二的平方再开放五的平方等于二十五， 十二的平方等于一百四十四，加起来就等于一百六十九，对于一百六十九开方， 那就等于十三，然后第三个已知 b 等于十五， c 等于二十五，叫我们求 a， 我 们这里一样的由勾股定律去得 啊，这个 a 是 直角边，所以呢，我们要用斜边去减去 b， 对 吧？所以 a 就 会等于 c 的 平方减去 b 的 平方再开方，就等于二十五的平方减去十五的平方再开方，它算出来的话，它就等于这个四百 拆方，他就等于二十，因为这个是等于六百二十五的，这个是等于二百二十五的，他们一减就等于四百，所以根号四百等于二十。 如图，图中所有的三角形都是直角，三角形、四边形都是正方形，已知正方形 a、 b、 c、 d， 它们的边长分别是十二、十六、九、十二，叫我们求最大正方形 e 的 面积是多少？好，我们这里标一下啊， 这个是边长是十二，这个是十六，然后 c 的 边长是九， e 的 边长是十二。好，他教我们求最大的这个正方形 e 的 面积是多少？由于它这里都是直角三角形，所以它是可以满足勾股定律的，对不对？好，因为 所有三角形 都是直角三角形， 所以可以用勾股定律。 我们把中间这两个没有标注出来的正方形，我们设为 m 和 n， 它的两个边长我们分别设为 m、 m、 n、 n。 好， 那么这个 e 呢？它的边长我们把它设为 e、 e、 e。 好 了，那么现在来看一下。首先在这个直角三角形当中，你就会知道， 这个 a 的 面积加上 b 的 面积是等于 m 的 面积的，也就是用勾股定律你会发现是十二的平方， 十二的平方加上十六的平方会等于 m 的 平方，而这个 m 的 平方就等于什么？就等于这个 m 正方形的面积，对不对啊？所以就可以得到这个 a 的 面积加上 b 的 面积会等于 m 的 面积。 然后再看这个，这里是九，十二的平方，加起来会等于 n 的 平方。这个勾股定律，九的平方加上十二的平方会等于 n 的 平方。我们就可以推出 c 的 面积加上 d 的 面积会等于 n 的 面积。 而最后一个三角形，我们就可以得到 m 的 平方加上 n 的 平方是等于 e 的 平方的，那这里就可以推出这个 m 的 平方是 m 的 面积， n 的 平方是 n 的 面积，它就会等于这个 e 的 面积。把这两个式子还原回它们两个，所以这个 e 的 面积， 把这两个式子还原回它们两个。所以这个 e 的 面积加上 s n， 那么这个 s m 它等于 s a 加 s b， 所以 就是 s a 加上 s b， 再加上 sc 和 sd。 好， 那么这个 x e 的 面积到这里就可以算了。 s a 等于十二的平方，第二个就是十六的平方加上九的平方，加上十二的平方啊，然后把它全部算出来，加起来就可以了。 十二的平方呢，等于一百四十四，十六的平方等于二百五十六，九的平方等于八十一，十二平方等于一百七十四，一百四十四，把它全部加起来等于六百二十五，所以这个 e 的 面积就等于六百二十五，就 ok 了。 如图，在平面直角坐标系当中有两个点，一个是 a 点五零，一个是 b 点零四，叫我们求这两个点之间的距离，叫我们求两点之间的距离的话，最好是构建一个直角三角形，用勾股定力计算。 但是你会发现，这个图里面本身就有 x 轴和 y 轴是相互垂直的，所以这个九十度就是白给的，对吧？好，所以呢，我们就可以用勾股定力直接算 ab 就 可以了。 那我们也要解释一下，因为点 a 的 坐标是五零，所以 o a 等于五啊，因为 o b b 点的坐标是零四，所以 o b 的 长度就等于四，对吧？又因为这个 o b 是 垂直 o a 的， 所以在 r t 三角形 a o b 当中可以用勾股定律啊，我们就可以构建这里，接着往后写， a 的 平方加上 a， b 的 平方会等于 a b 的 平方，那反过来，你要求 a b 的 话，就会等于 a b 的 平方加上 a b 的 平方再开方。好，直接代入 a b 就 会等于 五的平方加上四的平方再开方，那么 ab 就 会等于二十五加上十六再开方，二十五加六等于四十一，所以 ab 就 会等于根号四十一。好了，它的结果就是根号四十一。猜不出来的啊。

翻到课本二十六页，我们来看一下勾股定律的应用。勾股定律有广泛的应用，下面我们用它来解决两个问题。第一个是 l t r 里面的一个门框的尺寸，如图所示，它的高是两米，宽是一米， 现在有一块长三米，宽二点二米的长方形保木板，它能否通过这个门框？为什么？哎，你会发现 这个门框宽是一米，高是两米。如果你放一个高三米，宽二点二米的一个木板，无论你是这样， 无论你是拿宽这个竖着过来，还是拿这个长横着过来，或者是竖着过来，你都不可能比这个二米还要短的，那怎么办呢？哎，那你可以把它斜过来，对吧？你先把这个保木板横过来，哎， 这里是三米，这里是二点二米，然后你把这一段斜过来，斜过来，看看能不能通过他的对角线。 那所以我们要比较的就是这个宽二点二米和这个门框对角线的大小到底是 a c 长还是这个宽更长就可以了。那么这个对角线怎么算呢？就可以构造过古定里了，为什么呢？因为这个门框是一个直角，那这个直角， 所以我们就可以由题可知，知道吧。你连接 ac， 把 ac 算出来就可以了啊。把 ac 连一下，连接 ac， 连接 ac， 再然后同时要说明一下角 abc 是 等于九十度的，所以我们在 r t 三角形 abc 当中 就可以用勾股定律了。所以根据勾股定律，那么这个 a c 的 a b 的 平方加上 b c 的 平方，就会等于 a c 的 平方，对不对？好，那么这个 a b 等于几啊？等于一， 所以我们反过来，这个 a c 就 会等于 ab 的 平方加上 bc 的 平方再开方，那么 a、 c 就 会等于一的平方加上二的平方开方，所以 a、 c 就 会等于根号五米。好，那么你再算一下，根号五约等于多少？根号五，它约等于二点二四米。 二点二四。那你再拿这个二点二四和这个 a、 c， 啊，和这个宽度作比，对不对？好，那么就因为 这个二点二是小于二点二四的，所以这个二点二就小于根号五，也就是说这个二点二是小于 a、 c 的 长度，也就小于这个对角线的长度，那小于这个对角线的长度，他就可以通过了，知道吧？哎，这个题目呢，书上也有答案，你可以看一下 它，这里是连接 a、 c， 在 直角三角形 a、 b、 c、 d 当中，根据勾股定律算出 a、 c 约等于二点二四，然后这个 a、 c 它大于这个木板的宽二点二米，所以这个木板是可以从门框当中通过的，知道吧？啊，这是最大程度的，最大程度上的， 那么由于这个是薄木板，他是薄木板，所以他的厚度可以忽略不计。如果你说，哎，他这里厚厚个这个二十厘米，对吧？那么就不一定过的过的去了，那个这个宽度，他可能就是长这样的，那你就要重新计算了。 一架长为二点五米的梯子，它斜靠在竖直的墙壁上，此时梯子的一边，它的顶端位于墙面点 a 处。啊，原来在这个位置底端位于地面的点 b 处，那原来是这样放的。 点 p 到墙面的距离 b、 o 的 长度为零点七米，这里为零点七米。我们标一下，这个梯子是二点五米，这里距离是零点七米。好，他说如果现在将这个梯子底端沿着 o、 b 的 方 向向外移动零点八米，也就是说这一段是零点八米，零点八米， 那么这个梯子的底端也会沿着墙体向下滑，零点八米嘛，也就是说这里他问的是什么呢？问的是 a、 c 等于多少？那从 a 点滑到 c 点，对不对？那么就是在墙面上下滑的距离， 所以我们只需要算出 ac， 就 知道它到底下滑了多少米。那么怎么算呢？其实这里墙面它是垂直于地面的，所以这里可以构造两个直角三角形出来，我这里稍微画一下，先看第一个直角三角形， 这个是 ab， 哦，这里垂直，这里二点五，这里零点七， 所以我们可以通过勾股定律把 a、 o 算出来。再看第二个，它，这里稍微宽一点，它这里是 c 点， d 点， o 点，这里垂直，然后这里 o、 d 的 距离等于零点七加零点八，零点七加零点八， 那我们现在要求就是 oc 的 距离，不过这个 cd 我 们也是知道的， cd 就是 这个梯子，所以梯子的长度不变，也是二点五米。那我们就根据两次勾股定律算出它的直角边的距离，用 a o 减去 c o 就 可以得到 ac 了，对不对？好，我们算一下。 在 r t 三角形 a o b 当中，根据勾股定律，根据 这个 a o 的 平方会等于 ab 的 平方。减去 ab 的 平方，所以 a o 的 平方会等于二点五的平方。减去零点七的平方，所以 a o 的 平方会等于二点四的平方，所以这个 a o 就 会等于二点四， 那 a o 等于二点四了，我们再通过相同的方法把这个 o、 d 给它求出来，这个 o、 c 给它求出来。好一样的，同样的话，在 r、 t 三角形 c、 o、 d 当中，根据勾股定律 我们可以得到 o、 c 的 平方会等于二点五的平方。减去零点七加零点八的平方， 那么这个 oc 的 平方就等于二点五的平方。减去一点五的平方， oc 的 平方就等于四，所以 oc 就 等于二。好了，这个等于二点四，这里等于二，那么这个 ac 的 长度 就会等于 a、 o 减去 o、 c 就 等于二点四，减去二等于零点四米。所以他问的是，那么这个梯子顶端也延长 o a 下滑了零点八米吗？不是零点八米 对吧？是下滑了 零点四米。 再来看到练习，如图， a、 b 是 池塘边上的两个点，一个在这，一个在这， c 是 与 b a 方向与 b a 方向呈直角方向的，呈直角方向上的一个点，所以 c 在 这个位置 测得 bc 等于六十米，这里就是六十米， a、 c 等于二十米，让我们求 ab 两点间的距离，结果取整数。好，我们这里算一下，那这里因为有直角三角形对不对？所以我们就直接在 r、 t 三角形 b、 a、 c 当中，根据勾股定律就可以算出 ab 的 长度。根据勾股定律 咱们就可以得到这个 a、 b 的 平方会等于 b、 c 的 平方。减去 a、 c 的 平方，那么这个 a、 b 的 平方就会等于六十的平方。减去二十的平方，它也等于三千六百。减去四百 等于三千二百，那么这个 a、 b 就 会等于三千二百开方三千二百等于一千六百，乘上二 六一千六百等于四十的平方，也就四十的平方乘上二开方，提出来等于四十倍的根号二，单位是米，然后他叫我们取什么？取整数， 那我们这里就要单独写一下了，根号二他是约等于一点四一四的，然后我们拿这个一点四一四去算， 那么这个 ab 就 会等于四十乘上根号二，那么就约等于。我们拿这个四十乘一点四一四，最后算一下，它会等于 约等于五六、五十六点五六，那我们取整数的话，四舍五入就约等于五十七米就可以了。 如图，用激光测距仪去测量一栋楼的高度，那位于点 a 的 地方就是这个激光测距仪，它先拿这个激光测距仪摄像，楼底到 b 点，它显示这个 a、 b 的 长度是二十三点一米。然后呢，又拿这个激光测距仪摄像，楼顶显示 a、 c 的 长度等于三十一点九米， 三十一点九米，最后他就可以直接显示出这个楼的高度， b、 c 的 高度是二十二米。他问我们，你能说出其中的数学道理吗？那肯定是勾股定律，那应该怎么说呢？对不对？好，首先勾股定律在什么三角形里面存在啊？直角三角形，所以你要先说这个楼 是垂直于地面的，对吧？所以它是一个直角三角形，把它写出来就好了。然后再说这个 a、 b 和 bc 是 直角边，对不对？其中 a、 b、 bc 为三角形的直角边， ac 为斜边，所以呢， 这个 b、 c 的 平方就会等于 a、 c 的 平方减去 a、 b 的 平方，对吧？也是满足勾股定律的。满足勾股定律？ 好，其实我们不应该这么写啊，应该先说满足勾股定律，我们再用勾股定律，对不对？好，这是直角三角形，这两个是直角边，这个是斜边，满足勾股定律，所以 b、 c 的 平方会等于 a、 c 的 平方减去 ab 的 平方。那当然你也可以自己算一下， 电视机屏幕的尺寸是指屏幕对角线的长度，那么通常以英寸为单位，这里的一英寸是二点五四厘米。王芳测得他自家的电视机屏幕宽为 七十一厘米，高为四十厘米，那么这台电视机屏幕尺寸是多少英寸？注意最后要转换成英寸，我们先按照这个厘米去算，他说宽是七十一厘米， 高啊，这个高是四十厘米，那么我们要连，我们要算他对角线，连一下对角线，这里是九十度，对吧？好，那么他的对角线， 也就是对角线，咱们直接用什么？直接用勾股定律，因为这里有一个直角嘛，对不对？好，它就会等于 七十一的平方加上四十的平方再开方。好，那么这里的话呢，因为它计算出来数字比较大，七十一的平方等于 五千零四十一，加上四十的平方，四十的平方等于一千六百，你把它加起来再开方比较大，我们就直接用计算器算得它约等于八十一点五厘米。 好吧，我们直接出结果了，然后呢，我们再把这个厘米转换成英寸，就除以二点五四，所以我们再拿 八十一点五除以二点五四，那么这里最后它就约等于三十二英寸，所以这个电视机是三十二英寸的。

八下勾股定律全部练熟，考试稳进前三。

同学们，大家来看楼高二十米电梯。

hello， 大家好，今天我们一起来看勾股定律的常考题型。如图，圆柱形玻璃杯，高是十四厘米， 底面周长为三十二厘米。在杯内壁离底五厘米的地方 有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 蜂蜜在杯子的内壁，蚂蚁在杯子的外壁，离杯上沿三厘米处。 现在蚂蚁从外壁 a 处到内壁 b 处的最短路径。 同学们这道题一定要注意，蜂蜜是在内部，蚂蚁是在外部的，那这个地方涉及到了一个最短路径问题。首先我们把这个圆柱形的玻璃杯侧面展开图画出来， 这一点是 a， 这一点 是 b。 现在蚂蚁要从外 b a 到内 b b 处， 这道题就不能单纯地再连接 ab， 求 ab 的 长了。首先我们这道题涉及到了最短路径问题，那想一下，最短路径问题不就是将军蚁吗 这个类型的题目嘛。所以说首先我们要过这个点 e， 这个点 e 做 a 的 对称点 a 撇， 然后我们连接 a 撇 b， a 撇 b 才是蚂蚁在 a 处到 b 处的最短路径，那么 a e 等于三，则 a 撇 e 也等于三。 这个底面周长为三十二，那么这一段的长，这一段的长，它就是十六。现在我们过点 b 向左做垂线， 垂足为 p。 在 这个直角三角形 p b a 撇里面， b p 是 等于十六的， a 撇撇则等于 a 撇一的长度，加上 e p 的 长度。那么 e p 的 长度怎么求呢？这个杯子的高是十四厘米，点 b 离杯底五厘米处，那这这一块就是五厘米，所以说 e p 的 长度为九厘米，那么 a 撇 p 等于 a p， e 加 e p 等于三，加九等于十二厘米。 那么在直角三角形 a 撇 p b 当中，我们可以借助勾股定律， a 撇 b 就 等于根号下 b p 的 平方，加上 a 撇 p 的 平方等于通过计算我们可以得到的是二十厘米。所以说这道题选择 c 选项。

同学们，生活里藏着好多数学知识呢！看王师傅家新做了一个门框，他想知道这个门框的角是不是标准的直角，可他手里只有一把卷尺，你们能帮他想想办法吗？ 同学们，我这新做的门框总觉得不太值，可我只有一把卷尺，你快教教我咋检查。 大家回忆一下我们学过的勾股定律，逆定律是什么？如果一个三角形的三边满足两边平方和等于第三边平方，那它就是直角三角形。 那我们能不能用这个原理帮王师傅设计一个检测方案呢？谁来说说我们需要量出哪些边的长度哦，量三边就行。我量了 ab 是 八十厘米， bc 是 一百七十厘米， 你能帮我判断一下角 b 是 不是直角吗？对了，只要量出门框的两条邻边和对角线的长度，就能判断是不是直角啦！ 那如果我的卷尺只有一米长，量不完整，门框的边还能检查吗？对了，我们可以在边上各量一小段，用小三角形来验证大角是不是直角。这就是数学里以小见大的智慧。懂了，就是在 a、 b 边上量八十厘米， b、 c 边上量六十厘米。在量这两个点之间的距离要是刚好一百厘米，就说明大角是直角，这筐子真省事儿。 同学们，大家有没有注意到两艘轮船的航行路线在空间中形成了一个什么样的几何图形？ 如果我们要判断这两艘轮船的航行路线是否垂直，也就是航线形成的夹角是否为直角，大家可以回忆一下我们学过的哪些数学知识可以帮助我们解决这个问题呢？

好，今天我再给大家录制一期视频，什么呢？勾股定律，特殊狡辩的关系。这个如果要是备注了啊，大家在勾股定律的世界中，如鱼犹如鱼儿得了水一样 在里边怎么了？认来又认去的，又明白了没？所以这道题我给大家通彻的讲一下啊。看好 第一个常见基本基本结构，什么三六九，三角形的是没关系。什么叫三六九呢？是角度的关系，一个角为三十度，一个角为六十度，另一个角为九十度，它们之间的边有什么关系呢？ 在初二上学期学的什么三角形，三十度是对的，直角边，在直角三角形中，三十度左右的直角边是斜边的一半角， a 等于三十度，对不对？他对的边是谁？ bc 吧，那 bc 是 谁的一半呢？是 ab 的 一半吧，这个你就知道了，如果 bc 等于一，那 ab 呢？等于几？ 等于二？ a c 呢？根据勾股定律，是不是根号三呀？所以在三六九关系中，他们的比是多少呢？边长比，你看三十度垂直角边是斜边的一半吧，是多少？一比，从小到大说角度是三六九，对不对？边长呢？是一比根号三 比几？比二。所以大家以后知道了一条边，就可以根据比例算出来其他的边了。首先先算什么边？先算斜边， 然后呢是二比关系，你看另一个直角边是三十度数的边是几倍，根号三倍就好了， 就是这样算，所以 a、 c 等于几根号三，那 b、 c 等于 m 呢？那不是它的根号三倍吗？对吧？ m 倍的根号三，所以含三十度的角的直角三角形中，长直角边是短直角边的多少？根号三倍， 明白了没？那等直角等腰直角三角形呢？是多少度？四十五度，明白了没？一个是三十度的，一个是四十五度的，四十五度就等腰直角三角形，他有什么关系呢？大家看好啊， 如果 ac 等于一， bc 等于一对不对，那 ab 呢？是根号二吗？根据勾股定律，所以边长之比多少？一比一比根号二，一和一是什么？你看一是四十五度对的边， bc， ac 呢？是不是也是四十五度？对的边长的是什么？ 就是大角对的边。所以在高中以后，你们会学到一个东西叫什么小角对小边，大角对大边，这是构建三角形的一个规律。好吧， 所以你看他是一笔一笔根号二，对不对？一笔一笔根号二的话，老铁，那是你看等腰直角三角形，这不体现出来等腰了吗？斜边是什么？是两个直角边的根号二倍，所以 a、 b、 a、 c 等于 b， b 等于一， ab 等于几？根号二？那等于 m 呢？它是根号二倍，是 m 倍的根号二， 这不就 ok 了吗？斜边是直角边的根号二倍，记住了吧？如果想掌握更加特殊的三角形的规律 的同学们，请记住第三点。第三点是什么？是比较特殊的，是一百二十度的等腰三角形的三边关系，这个可以大家记住啊，其实这等腰三角形一百二十度，它有个特殊法。什么呢？你等腰三角形把三线合一做了垂线以后， 两个直角相等，是不是三十度？你看这出来也是三十度的直角边对应的斜边的一半。如果大家忘了这个规律的话，可以大家画图自行去推导一下，设边上为一就好了，明白了没？你看 ab 等于 ac 等于一吧，斜边等于一三十度对应的直角边 ab 是 不是斜边的一半多少？二分之一吧。 那三任度三六九怎么分？一比根号一比根号三比二吧，这是二分之一，对不对？他是他的根号三倍，你用已知他怎么求他二分之一乘以根号三呀？然后斜边是他的二倍，不是一二分之一乘以二都算出来了。 那 b、 d 因为 d 三线合一吗？ a、 d 是 不是中线呀？也是，那 c、 d 等于多少根号三？所以他们的关系多少 是根号三倍，也是底边是幺的根号三倍，记住了吧？记住这些东西大家在计算题里边就可以直接秒杀了，有时候就不用写，不用算明白了没，就口算就 ok 了。好了，今天就到这里了，谢谢大家。