八下苏科版数学几何折叠

各位同学大家好，今天视频我们来讲解一道关于矩形折叠类的几何问题。 先读题，如图，矩形 a、 b、 c、 d 中 b、 d 对 角 b、 d 为对角线，将矩形 a、 b、 c、 d 沿 b、 e、 b、 f 所在直线折叠， 使点 a 落在 b、 d 的 点处，点 c 落在 b、 d 的 点盈处。 连接 ef， 已知 a、 b 等于三， bc 等于四，则 ef 场为多少？ 依旧老规矩，我们把已知的条件先标上，它是三，它是四，哎，它又是矩形，我们对角线 b、 d 肯定就是 五了。好，除此之外呢，题目中还有一些条件是我们解析的关键。 拿折叠我们说了，折叠类的考点，你一定要记住了，对应边相等，对应角相等，还有对应点呢？啊，有的时候要连线，连线呢，它是与对称轴相互垂直的。 那我们来看看。呃， ab 得三，那么 b m 是 得三， bc 得四，那 b n 得四，也就是说我们的 m n 是 一，那很明显， d n 也是一啊， d n 是 一， d m 应该是得二。好，呃，我们说啊，要求线段的长度，求线段的长度，最常用的方法呢？是构造定律、等积法，呃，相，三角形、三角函数等等， 那它 d f 已经在什么？已经在直角三角形 d f 中了，如果我们求出 d e 多少和 d f 多少，是不是就可以求出 ef 的 值啊？ 啊，那 d e 多少， d f 多少，怎么去求啊？啊，依旧老样子，求线段的长度要用固定力，那 d e 在 什么里面啊？ 第一代直角三角形 d、 m 中， d f 呢？在 直角三角形 d、 n、 f 中，它呢可以用 e m 方加上 d m 方等于 d e 方，它呢是 d m 方加上 n， f 方等于 d f 方。我们也说，如果啊，你在题目中有两条线段等于具体的值，两条线段相加等于具体值，要设其中一条线段为 x， 这里面呢，我们要求的是 d e， 所以 我们不妨设 d， e 为 a， 那 么 a e 呢，就是四减 a 啊， d f 是 b， 那 么 c f 就是 三减三减 b， 同样的，折叠过去，它也是四减 a， 它是三减 b， 你 看就满足了吧，满足我们刚刚列的这个了。所以呢，我们可以得出啊， 呃， a 平方，它是等于括号四减 a， 括号方加上二方的。还有 b 平方是等于括号三减 b， 括号方加上一方的， 那化简等于十六减八， a 加 a 方加四，所以呃， a 等于，应该是等于二分之五，嗯，等于二分之五。同样呢， b 方等于九减六， b 加 b 方加一，然后是 b 应该等于三分之五，所以我们的 e， d 是 三分之五。要求 e， f 的 长度是等于根号下， d 方加上 d， f 方等于根号下二分之五，括号方加上三分之五，括号方等于六分之 五倍，根号十三。所以这题答案选择 c 好，拿到手之后依旧老样子，找出题目中的关键啊，解析的关键，这题的解析关键呢，首先啊折叠， 然后求线段，要想到用勾股定律，那知道折叠，把对应的边，对应的角度标出来，然后用勾股定律就可以得出我们最终想要的结论了。

今天的视频我们来讲解一下学霸八下转 d t o 特殊平行四边形中的折叠问题里面那道题目。 呃，折叠问题是我们初中里面经常会考的，是吧？我们上一个视频讲七下的时候就讲讲过一个折叠问题，当时是求角度的 啊，我们在所有的折叠问题中呢，其中考的最多的啊，考的最多的是矩形中的折叠，因为矩形里面他本身是平行四边形，有平行可以用，有平行就有角角相等，对吧？这个他有九十度，有九度的话，他可能会用到勾股定律，求其线段啊。刚才说了有平行，有角相等，可能里面还会存在一些相似， 我们学完九，呃，九年级的时候学完相似的时候，可能会把相似也会把它放到这个里面啊。我们今天讲的就是一个矩形的一个折底啊。六十页的第五题来看下这个题目啊，在矩形 a b c， d 中 点， e 是 a d 的 终点，哎，这可无非是一个重要条件，是吧？把这个条件圈一下，然后，哎，我们一直讲的养成一个好习惯，把这个条件先分析一下啊，这个我明显是这个这个图把它翻转过来的，是吧？翻转过来，我们刚才说终点，我们先把这个条件用先分析一下啊，终点的话就是有线段相等，这个线段剪这个线段， 哎，一定要再往下再再延伸一下啊。这个线段你翻折的时候我刚刚说了，这个矩形翻折的时候有边相等，有角相等，那我们如果说不是求角度的，我们要就要注意他的边了，你看这个边的话，这个边他是有胆量的，是这边的，所以说， 所以说这个边跟这个边相等的，你，哎，像我一样养成好习惯啊，把这些边上相等的稍微标一下，用你自己的自己的一些方法把它标一下啊，那让你时刻告诉你它是等腰三角形是吧？然后下面就是翻折，哎，条件就这么多， 嗯，然后第一个 d， e， d， d， e， d 撇是七十度，哎，翻折，翻折这条线相当于是什么？相当于是一个，呃，对称轴是吧？也可以看成是个角平分线，由这七十度我们可以得到这是三数，这也是三数， 那你求 d， a， d 撇的度数， d， a， 求这个角的度数啊，这个角的度数的话 啊，我们可以用什么来求呢？我们可以看啊，其实刚才我们，呃分析条件的时候是吧，我们其实分析的非常好，这是一个，这两个边是相等的，所以说他是一个等腰三角形啊，所以第一题其实你要把这个条件分析透了。这个条，这个第一题就非常简单了，等腰三角形，这个角跟这个角是相等的， 而且是等于这个角的一半的，所以说第一题答案非常简单，三十五度是吧？啊，有的题目我们看上去解的很简单，就是就是因为你条件分析的非常到位啊。来看第二个，连接 ef， 判断四边形，连接 ef， 判断四边形， c， p， d， p， e， f 的 形状，这个四边形是吧？我们在翻折的时候啊，这个翻折有角等，有边等，就是求角度的时候，我们就是去看它的角，等 不求角度的时候，我们就重点去看它的边啊，但是就是看边的时候，我们有什么用什么角，我们一定要注意一下呢？就是翻折完之后它是九十度的，把九十度要稍微标一下 啊，因为九十度特别有用，因为九度他可以构建直角三角形，是吧？可以利用勾股定律，要告诉你这个，比如说九度一标，我就时刻提醒你，哎，这个就是一个直角三角形，那我们可以用，当求一些边长的时候，我们用一些勾股定律，当这题是没用到，我们看到这两个 直角，对吧？我们很容易来判断出他这个大概率是个图形啊。 哎，大概率是一个平行，是一个矩形，是吧？是个矩形啊，其实很多证明题啊，我们可以可以去反推，那你既然是矩形，那你通过什么来证明他是矩形呢？因为这边有两个角是九十度了，我只要证明 再来一个角，这个角是九十度啊，那他就是矩形，然后我们去反推啊，反推这个角九度，这个角九度的话，也就说这个角是九十度，是吧？这个角当这个角是九度的，很有可能会有什么呢？怎么来证明这个角是九十度呢？ 啊？我们现在看一下，这这如果说这两个三角形，你看啊，这两个三角形，如果他全等的时候，那么这个角就跟这个角一样，就是九十， 九十九度就能蒸出来，是吧？所以说我们把这个问题呢，把证明的东西把它转换一下啊，证明题，这个是非常实用的一个技巧，就是我们可以去反反推你，你证明他是什么什么东西，其实他肯定是的吗？他百分百是的，是吧？只不过 就是你想想说他即使是的，如果说他是是的，他就有什么是吧？我们只要把那个就有的东西把它证明出来就行了 啊。我们说如果他是矩形的话，那他就有这个是九十度，我们要怎么来证明他九十度？那证明九十度的话，哎，从从这个平行来正是吧？从勾股定律的立定里来证啊，或者说从全等来证来综合一分析，我们发现这个全等是 最有可能的，其他的都不太可能啊。呃，我们如果全等是最有可能的，其他的都不太可能啊。呃，我们如果全等是最有可能的啊。我们就找边角是吧？找这两三角形的边角 来，首先角的话有个对顶角，对顶角，然后我们再看其他的角，这个角肯定这么出来吗？这个角就是让你最后让你呃旋转来得到的是吧？这个角肯定是下子隆出来的，那这个角能不能跟蹬这个角相等？ 发现也基本上是弄出来的，那么这个角弄出来了，我们来看看边啊，这个边跟这个边能不能等？如果说角没有的话，我们利用边角边是不是也可以啊？那么这个边跟这个边怎么等呢？ 这里面就有一个重要的一个思想啊，重要的思想我之前也讲过啊，角平分线、平行 等于幺啊，这三个啊，这三个往往出现两个的时候就有第三个，特别是在这种平行四边形翻折的题目时候，经常有这个东西可以用 啊。你翻折的时候我们刚才说了这是角平分线，那这是不是也是角平分线啊？是吧？是这边也出现了一个平行啊， 那么就这两个加起来是不是就有等腰出现了，你看这个三角形是不是等腰啊？为什么啊？因为这个平行，是不是这角跟 这角相等？那这角跟这角相等，这角这两个也相等，所以他跟他角相等，角相等，所以说我们得到这两个边相等啊，这两个边相等，呃，我们这边添加一个字母，这焦点是 o， 我 们证明这两三角形相等，是吧？那么我们就可以得到 b o 等于 一有，是吧？哎，一个边一个角了，把这个大大的证明出大大的这个来来，这个认为我们这个猜想应该是基本上是对的，是吧？有边角了我们再来，是吗？我们角读出来，我们再来边边的话，只能是这个边跟这个边，那这个边跟这个边怎么等呢？ 那我们再反推，如果说他等的话，那这个就是什么三角形呢？这就是一个等腰三角形，我们从边的话可能得不出来，那我们可以从角度来看啊，从角度来看， 从角度，那么只要证明出这两个角相等，是吧？这两角相等，那他就是等腰三角形，那这个 y 就 等于 y， 那这两个角相等的话，就有什么再反推，是吧？这相等的话，那说明什么？你看这两个角也相等的，说明他们的顶角还相等啊。对，顶角，所以说这条线肯定跟这条线就会平行， 就是我们只要证明出这两条线 a d 撇和 b e 平行就行了啊，平行我们用什么来占啊？ 哎，平行我们是通过角度来的呢，有内触角、同位角或者是同邦内角互补，我们就可以得到，是吧？我们这个时候再想想，第一问啊，第一问他不是让你白求的，第一问这个结论往往在第二个问中他会有用的 啊。我们这时候就想到第一问，当时求了角度，求了这个角度，是吧？我们如果说他们平行，那这个角，我看他们平行这个角就跟哪个角啊，哎，跟这个角相等， 哎，这个角我们刚才分析过了，是吧？这个是七十，这个三十五，三十五，你看我们分析的是，你看貌似好像是有的很多次分析多余，但是你后面很多时候会用到的啊，所以说你在分析题目的时候一定要把分析彻底了，是吧？哪怕这个时候用不到，可能到第二问，第三问可能会用到，即使用不到，我们养成这个习惯也好。 那么这个三十五之上说明这两条线就是平行的，那么平行的话，这个角等于这个角等于这个角，那这就是等于，所以说五 f a o 就 等于 f o， 那 么就可以得到这两个三角形啊，三角形 a o b 全等于三角形 f o e， 所以 说得到角 e f o 等于九十度，你看这个题目就占出来了， 大家可能看我真的很轻松啊，其实我们这里面有好多的好多的技巧在里面啊，啊，这个其中有一个，这个大家记住，正好记住这个题目，我们再把它我们再讲一下啊，角平分线、平行等腰，你看到两个条件的时候，往往就会有第三个可以用啊， 这里面还有翻折的一些，翻折的一些对称轴，相当于角平分线啊，这个东西也是一个比较好， 也是以我们以后要注意的一个东西啊，犯罪的时候抓住一些边相等，脚相等。嗯，好吧，今天的这个视频我们就讲这么多吧？

哈喽，大家好，我是苏州数学小吴老师。今天我们跟大家讲的是四月三号初二数学下每日一练的第一题，我们一起来读题。 如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 为边， bc 上一点，将三角形 a、 b、 e 沿 a、 e 折叠至 a、 b 撇 e 处， b 撇 e 与 a、 c 交于 f 点， 若角 e、 f、 c 等于六十九度，那么我已经把六十九度给他标上去了，他问的问题是角 c、 a、 e 为多少度？我们这里讲的是一个正方形，这个对角线是平分的，所以也就是说咱们这个角 b、 a、 c， 它是四十五度，设这个角 c、 a、 e， 它为阿法， 所以那旁边这个角的话，那他就是四十五度减阿法，这边这个下面是六十度，那是不是就说明这个上面他也是一个六十九度，他们俩是一个对顶角，折叠的话，那么角臂和这边他们都等于一个九十度，所以咱们是不是就可以把这个角 b 撇 a、 f 给它求出来了？那它是不是等于九十度减六十九度等于二十一度，这边讲了是折叠吗？角 b、 a、 e， 它就等于角 b、 p、 a， 于是乎我们就四十五度减阿法，那它是等于阿法加二十一度，就这样的话，我们就可以得到两倍的阿法呢？它是等于二十四度，这样我们就可以知道阿法它是等于十二度。求角类的一个问题， 那么求角类的一个问题的话，用的比较多的两个方法是什么呢？第一个就是方程思想， 第二个就是什么呢？参数参数思想，像方程思想的话， 题目问什么角，那你就直接去设什么角就好了，那参数思想的话就是什么呢？就是设而不求，好吧。啊？目前这两句话比较多，所以我们这道题结束了。

下面我们一起看一下第七题，如图，在一个矩形 a、 b、 c、 d 当中啊， ab 的 长度是十二哦，长是十二，宽是十点， e、 f 呢？分别是它的两条长边上的点， 而且是三等分点吧。 ab 是 等于三倍的 b， e， dc 是 等于三倍的 d、 f， 所以 由此可见，这段长等于四，这个是等于四，所以 d、 f 等于八， a、 e 也等于八吧。 好，那紧接着下面有个动点出现了，动点 p 在 哪上面？哎，把直线两个字画出来，它在直线上面，不是在线段 a、 b 上，而是直线 a、 b 上。这种题目一旦出现一个动点在直线上的时候，你一定要引起警觉，这个警觉是什么呢？ 可能有几种情况，可能需要分类讨论吧。好，这个地方，这是我们分类讨论的一个 预警啊。好，下面我们继续往下看啊，连接这个 d p， 把 d p 连起来，接下来把三角形 a， d p 沿着 d p 进行翻折，直到得到一个 a 撇 d p， 那 现在当这个 a 撇点啊落在哪上面？落在直线 ef 上。好，同样我们直接把这个直线两个字也圈出来。 这句话也就告诉我们什么呢？有可能这个 a 落在这个线段上，那也有没有可能落在它的延长线上呢？也有可能，所以很有可能它这个直线和直线就是告诉我们这题目不止一个答案。好，紧接着题目要求 ap 的 长度，那接下来我们要求 ap 的 长度。首先我们得画个图来，我们来画个图。 第一种情况，如果说此时 a 撇点落在哪里呢？ a 撇点假如落在，我们就用紫色的来画吧。 a 撇点落在我们的这个 这个上面有可能吧，线段 e f 上长这个样子的，大概是吧，我们可以对这个图进行微调一下， 哎，大概长这样子吧，没有问题吧，所以此时此刻这个点我们给它取名为屁屁撇。哦， a 撇点啊， 这是一个 a 撇点，那么此时 p 在 这里，那要求 a p 的 长度怎么求呢？哦，这是一个矩形的折叠问题。在矩形的折叠问题中，我们用的最多的就是勾股定律，或者用相似吧， 因为这有个直角哦，这边有个直角，所以瞬间就能发现，这个三角形跟这个三角形是不是一定属于相似的呀？这是直角，这是直角 k 形，相似对不对？ 哦？相似目前我们还没有学过，所以我们不能用，我们现在只能用勾股定律啊。那既然用勾股定律的话，那 a p 的 长度，当然，如果你们咱们提前学过相似的，同学，这个填空选择你随便用，可以用相似啊。 好，这段长度是我们要求的，我不妨设它为 x， 那 么这段是不是也是 x 啊？那根据题目， a e 的 长度是八，所以 pe 不 就是八减 x 吗？ 还有八减 x， 那 么这段长度 a 撇 e 是 多少呢？那么根据这个题目啊，我们很快知道，折叠这段长是十，所以折过来这个是不是也是十啊？这个又是八，所以瞬间就有这段是六吧。好，这个是十，标出来 这个是六，这个是六，那么根据题目这个是多少呢？是不是十减六等于四啊？所以这个上面的长度是四。那么接下来，在二梯三角形 a 撇 pe 当中， 在二 t 三角形 a 撇 p e 当中，是不是就能够得到八减 x 括号的平方 加上四的平方，就等于 x 的 平方，从而就能得到 x 等于五。当然，这个题目，如果说我们知道这个勾股定律的同时，又知道相似的情况下，我们在列式子，你可以这么去列，但是计算的时候呢，你可以有一点巧办法。什么巧办法？这个三角形和这个三角形它不是相似吗？ 你看这是个六八十，所以这个三角形它必然也是个六八十，也就是三四五吧，它的三边比是三四五，所以这个三角形的三边比是不是也是三四五啊？哦，四份就是四，所以五份不就是五吗？ x 就是 五，你可以直接口算得到五，但你可以验算一下，对不对呢？哦，发现是对的吧， 三的平方 x 等于五的，三的平方加四的平方正好等于五的平方，完全 ok。 那 么第二种情况还有别的情况吗？来换一种情况， 那有没有可能屁，跑到这个位置来了，跑的很远了。那么此时我们把 d p 连起来之后呢？同样沿着这个 d p 进行翻折，翻折之后，有没有可能我们的 a 撇点落在 这里呢？是不是也是有可能的呀？啊，那在这种情况下，我换个蓝色的笔，是不是同样有可能啊？那 a p 的 长度 p 在 这里，这是一个 a 撇点，那此时这种情况， a p 的 长度怎么求呢？同样，我也可以设 a p 的 长度，这段长为 x， 看蓝色的笔，那么所以这个 a 撇 p 是 不是也是 x 啊？那根据题目啊，我们如何去构造这个？呃，要求得 x 的 这个方程呢？其实很简单，同样，你看到这个直角，我们内心是不是立刻想到了，也是要构造 三垂直的呀？好，那这时候我们不妨对它进行延长，过点过这个直角顶点，做一条直线，然后做一条直线 过锐角顶点，做这条直线的垂线段。比如说这个点，我们给它取名为 m， 这个叫 n， 那 此时此刻在这个图当中啊，我们根据题目的意思，这段长度是十，所以这个长度是不是也是十啊？来标一标， 这个是十，但他也是十，这个上面的 d、 f 是 八，所以 a p m 也是八，那么根据勾股定律，这段长度就是六吧，那这个长度是六的话，那这段长度我们是不是就知道了这段长度是多少哦，瞬间就有了，是十加六，所以是十六吧，所以这个长度是十六， 这个长度是 x， 那 么这个长度怎么表示呢？我们知道这个整个是 x， 所以 下面这个是不是 x 啊？这个是相当于是 x 减八呀。 同样在这个第二种情况，在三角形二 t， 三角形 p a 撇 n 当中啊， 同样也有什么八的 x 减八，括号的平方加上十六的平方，是不是等于 x 的 平方？通过解方程， x 等于二十，但其实我的方程并不是这么真正去解它的啊。同样，我也是利用这个三角形和这个三角形相似， 因为这个三角形它的位置关系是不是三四五啊？它的三边关系是三四五，所以这个三角形的三边关系也一定是三四五吧。那四份是十六，那五份不就是二十吗？那你可以验算一下这个二十带进去满不满足呢？当然是满足的哦，这十二的平方加上十六的平方等于二十的平方，没有问题吧， 对吧？十二、十六和二十，他的三边是不是满足过股数，所以是可以的，所以从而当然你也可以老老实实的把它 x 平方减去十六， x 加上六十四，再加上二，这个十六的平方等于 x 平方，然后通过计算也能得到 x 等于二十，只不过稍微慢一点罢了。 所以通过这个题目呢，我们就学会了一个东西，什么呢？就是在我们矩形的折叠问题中啊，他在学我们学相似之前啊，矩形的折叠用的就是什么？用的就是勾股定律，而且用的是什么？三角形的勾股定律，我们把它写下来叫非重叠部分的三角形的勾股定律。非 重叠部分来解释一下什么叫非重叠部分呢？比如说我们举个例子啊，在这个三角形它折完了，折完了之后啊，同学们感受一下， 那你看非重叠部分是不是这个三角形和这个三角形啊？什么叫非重叠部分？你看它折完之后，这个三角形和这个三角形是怎么样？是重叠的？那么没有重叠的部分，是不是这个三角形它根本就没有三角形的存在，对不对？ 对于我们非重叠部分的三角形，就是除了折叠后重叠部分以外，剩余的这个，呃，三角形在哪里？这两个三角形利用它的勾固定力， 对于下面这个直角三角形，它的三边都是知道的，那么正因为它的三边知道，才能求出最长长度啊，对不对？同样第二种折叠也是一样的，你把这个三角形咔咔一折叠，折完之后，你看这两个是重叠的，那么除了这两个三角形以外的其他的三角形，你把它补全一个， 补全一个矩形是吧？补全成一个矩形之后，是不是得到这个三角形和这个三角形是非重叠部分啊？那么对于这个三角形，它利用它的三边勾固定你的关系，是不是能求出这段长度是等于六啊？这个等于 这段长度等于六之后，我们才能顺利的求出这段长度是十六吧，对吧？所以这个长度是十六之后，我们才能顺利的利用勾股定律吧，看得懂吗？所以在矩形的折叠问题，我们重点就是找的那个非重叠部分。什么？这个非重叠部分怎么寻找的？其实很简单， 就是折叠前和折叠后之后的这个点 a 撇点啊，它落在某一条边，某一条边和原本的这个直角三角形的两条边构成了一个大的长方形，在这个内部，除了这个重叠部分之外，剩下的这两个都叫非重叠部分， 同样也是，你看这个三角形给它折叠到这来，你看是不是这个点所在的一条直线和我们折叠前的这个直角三角形，它所在的一个长方形啊？ 在这个长方形当中，除了重叠部分以外的两个部分是不是都是非重叠部分啊？所有的矩形的折叠重点就是找这个非重叠部分的直角三角形，然后呢，利用这个直角三角形进行勾股定律计算，当然等我们学完相似之后，可能会更快利用的是非重叠的两个部分，它是什么呀？ 它是相似的，因为矩形的折叠一定会出现三垂直吧？我们三垂直学的是三垂直的全等，那么如果它这个地方没有这两条边不相等的情况下，那它就是三垂直的相似啊。

第六题，这个题目啊，考的是非常非常好的，我希望同学们认真去对待一下这个题啊。如图，正方形 a、 b、 c、 d， 它的边长是四点 e 呢？从点 a 出发，沿着线段 a、 d 向点 d 运动，且不与 a 和 d 重合。这个地方一定要仔细看啊， a 是 从 a 图啊，沿着线段 a、 d 向 d 运动，说明这个 e 只能在线段 a、 d 上，它不能出去的。所以你这句话一定要认真一个字一个字的看完。有同学他看题目啊，就直接，哎，眼睛一眨，感觉我看完了。但其实啊，这个地方你没有认清楚动点的轨迹到底是线段还是射线，所以这一点一定要仔细看一下，因为如果是射线，可能要分类讨论哦。 好，再看。同时另外一个点 f 也是一样的，从 d 到 c 运动到 c， 那 此时它也在线段上面，点 e 呢，与 f 的 速度相同，哎呀， 并且是同时运动，速度又相同。所以其实这个题目，换句话说，它只是告诉我们了一个， a、 e 永远都等于 d、 f， 这两条线段永远相等呗。好，下面有四个结论，一二三四，问其中正确的是什么？首先第一个，他说 b， g， f 是 个定值， b g f， 哦，这个角啊， 哎呀，这个太简单了吧。这道题对于我们而言，这个角是定值，我们同学们很快就能发现这里面了。这就是我们正方形中常常见的一个角，是定值，我们同学们很快就能发现这里面了，这就是我们正方形，就有它俩相等。 好，我们说有相等，它就一定有垂直，那么垂直是怎么证明的呢？来，我先把这个全等的这个颜色给它涂一涂，小黄跟小绿它俩全等。哎，同学们也可以把这个全等的条件，三个条件自己尝试写一写，应该问题不大，都能写出来。小黄这个三角形和小绿这个三角形，这两个三角形，它们必然是全等的。 好了，有了这两个三角形全等，接下来我们很快就能够发现，这个题目中的角一标一下跟这个角二啥关系啊？很明显，它们是相等， 而角一跟这个角三什么关系啊？又是互余的吧啊？第一，小问，由全等我们可以得到角一等于角二，而因为角一加上角三是等于九十度的，所以瞬间就能得到角二加上角三是不是也等于九十度啊？当我们角二加角三等于九十度，所以角 a g b 是 不是就等于九十度？ a g b 等于九十度，为什么？因为三角形的内角和是一百八十度啊，这两个角加起来是九十，所以剩余的这个角不就九十度吗？那题目说的是哪个角？ b g f o a， 这是 b g a， 那 b g f 跟 b g a 它们是互补的吧，所以我们很快就有角 b g f 这个角永远等于九十度，所以第一个完全正确。那第二个呢？ 他说 b f 平分， b f 在 哪里？这个角平分谁平分？角 a c f。 哦，他说这两个角相等。来，我们来证明一下，比如说是这个是角四，这个是角五。假如啊，假如角四等于角五的情况下，若角四等于角五，我们可以反过来推，那么能得到什么？ 因为我知道角五内错角相等，这个跟这个是不是相等啊？假如是角平分线，是不是必然会出现有平行，有角，平面肯定有等腰吧，你看看角五又等于这个角，哎，两直线平行内错角相等。哎，角五角五等于什么？我把它写下来，因为角五 等于角 a、 b f， 由这两个同时条件，我们同时能知道角四是不也等于角 a b f， 那 如果角四等于角 a、 b f， 所以 瞬间就有 a f 等于 ab 吧。哎，一个三角形，两个底角相等，所以它一定是等腰， a f 等于 ab， 而由第一个条件我们能得到，因为 a f 是 等于 b e 的 吧，由全等 有小黄跟小绿的权盾，是不是立刻能得到？ a f 是 等于 b e 啊，所以就能够得到什么？哎，同学们，你发现 b e 要等于 ab， 那 你看看，对于一个直角三角形而言，他的斜边 b e 要等于 ab， 可能吗？很明显，矛盾不成立，这个地方就矛盾了吧， 是不是推出矛盾，他不成立，不可能成立的不成立。所以由此可见，第二个他一定是错的，他不可能平分。如果平分，那就意味着这个直角三角形的斜边要等于直角边，而我们众所周知的是，他们不能相等，所以这个第二个错的太离谱了。好，第三个， 他说当点 e 运动到 a d 的 中点的时候，哎，把中点两个字圈出来，我们很早就之前就讲过，看到中点，我们有哪些想法呢？第一个是关于中位线，第二个是关于什么背长中线，往往就常见的就这两个，对不对？那这里面它只出现一个中点，那么往往我们想到的背长中线可能更多一点。那接下来我可以这么去划拉一下，也可以这么去划拉一下，这个就随便你，你看最终要求什么？ c g 等于 ab， 哎， c g 在 这等于 ab 等于这个正方形的边长，那怎么来正呢？它对不对呢？同样的，我们也去证明一下，你看看到终点有人说，老师我又有平行又有终点，我背长中线之后，你看看是不是 题目说的是 e， 是 a d 的 终点，那其实换言之就是 f 是 什么？ f 就是 我们 dc 的 终点啊，这个是两个终点都是一样的，随便谁是谁终点一模一样好了，如果说它是终点的时候，我们因为题目涉及的是 c g 吧， 所以此时此刻你想，如果你背长中线是不是，你看是不是能够挣到他们俩三角形？全等？全等之后，你是不是能够挣到这个角跟这个角是九十度，这个角有九十度，从而证明三点公线啊。如果我们避免证明三点公线，我干脆就是延长 b f 交 a d 的 延长线有一点，这是可以的吧，但是你发现，哎，我们 c g 在 这跟我们这个好像关系不大，所以接下来我们就看，如果我这样延长呢？ 我也被长中线，对吧？当然，为了避免证明三点公线，我不妨延长 a e 和 bc 交于一点。一旦我这么延长之后，我们很快就能够发现。什么呢？这个三角形跟这个三角形是不是全等？因为这个角跟这个角是相等，那是那个什么是我们的呃，叫 对角角是吧？再加上这条边跟这条边相等，所以你看角边角，这两个三角形是全等，全等之后，我们的 f 是 不是这个的终点？同样，我们的这个 c m 是 不是就等于 a d 啊？ c m 等于 a d， 是 不是 c m 就 等于 bc 啊？所以 c 其实是它的终点吗？那你看，这是个直角三角形， 这是个斜边的终点，哎，那不就等于斜边的一半吗？所以 c g 永远是等于刚才我们做的那条边的一半的，所以从而就有了这条边的一半，不就是正方形的边长吗？所以这个题目的辅助线怎么做？首先我不妨延长 a f 交 bc 的 延长线于一点，这一点呢，给他取个名字，这个名字你就随便取，这个点取名叫 m 点。其实同学们可以记住这个啊，就是以后如果遇到了，在我们的十字架模型就是正方形的十字架模型中，如果十字架的焦点和正方形的某个顶点，它的年限， 哎，这个年限的长度只有当它是中点的时候，这个年限的长度才会等于边长。如果不是中点这段两个动点，它不是边的中点的时候，那此时这个年限它是不可能等于边长的。如果要证明这个年限等于边长，其实方法不止这一种，我们初二目前学会的会的只有这一种。到了初三之后，我们还可以用四点共圆去解决。一会我给大家补充一下啊，到了初三的知识，反正是我们很快就会学初三的， 来我们看一下，一旦我们延长他们教育点，先把这个方法讲完，那么很快就发现这个三角形跟上面的小黄是不是也是全等的呀？那么全等之后，我们的 c m 不 就等于 a d 吗？而 a d 等于 b c， 所以 c 是 不是它的中点啊？ c 是 中点，就是直角，第一小段就正到了，这是个直角的话呢，瞬间就有。我们 c g 是 怎么样 的？是等于二分之一 b m 的， 而 b m 的 二分之一不就是边长 ab 吗？所以 c g 等于 ab 对 不对？第三个它很明显是对的。 那么对于这个题目呢，如果我们到了初三，我们还可以怎么去证明这个 c g 等于 ab 呢？来初三的时候，我们可以不用，不用这个备长中线，我们可以用什么？四点共圆？我们到了初三将会学过，如果一个四边形， 它的一组对角是互补的折，这个四边形的四个顶点会在同一个圆上。这是初三学的一个知识，给大家先补充一下，如果能听得懂就听，听不懂你先放一遍， 等我们初三升初二的暑假，会把所有的这个初中的数学全部学完， 那么学完这个圆之后，这个知识点你一定能够听懂。当然我们有很多人是目前跟着我们一起学初三的课的，所以是会的啊，你看一下这个跟这个，当我们看到一个四边形，它的对角只要互补这个四边形的四个顶点在同一个圆上，你可以把它记住。虽然我们没有学，但是我们初二如果做选填小题这个东西，你可以当成一个黑魔法使用啊。 好了，那我们接下来就能够发现这个角根据我们圆当中一个定律叫同弧所对的圆周角是相等的，所以通过题目我们很快发现，哎，这个弧 所对的圆周角和这个弧所对的圆周角，这两个角是不是必然相等啊？那如果这两个角相等的话来，当然这个知识也是我们圆中的知识啊，这是第六，六，角六、角七，角六、角七相等，那么根据我们角六等于角七，而题目中角七等于角二吧，因为它是终点，这也是终点，角七是等于角二的， 那如果角是等于角二，从而就有角六是等于角二的，角六等于角，那接下来你看，角六跟这个角是互余的，角二跟这个角是互余的，所以从而我们就发现了，原来我们知道等角的与角相等啊，这两个角相等，所以 c b 就 等于 c g 吧。 c b 等于 c g， 而 c b 又等于 ab， 所以 我们 c g 就 等于 ab。 当然这是初三的方法啊，初二你可以用构造 一个什么，哦，不，是构造一个全等三角形，也就是说有中点加平行可以构造类似于我们被藏中线的那个叉叉形，全等就可以了。好，这是第三小问，那么我们看一下第四小问。 第四小问，他说，当四边形，哪个四边形？ g e d f g e d f， 哎呦，这个四边形的面积等于二，那么这时候 g 到 cd 的 距离， g 到 cd 要求这个距离。很明显，这个四边形它是个不规则四边形，如果要求它的面积，好像，嗯，不太好表示对不对？有人说我可以用割补，对，你可以用割补，但是你割补完之后，你这条长也不知道你这条长也不知道你这个高，也不知道你这个高。这些好多好多都不知道的东西，所以对于我们而言，这个方法肯定是 不太可取的。那怎么处理呢？我们可以用等量代换的方式，由第一小问，我们正到这个三角形和这个三角形全等，哎，全等三角形去掉公共部分剩余的部分是什么关系？你把这个问题想明白就可以了。全等三角形去掉公共部分剩余部分的面积是相等的。把这句话写下来，全等三角形去掉公共部分， 公共部分剩余部分的面积相等，剩余部分面积相等， 从而我们就能得到。这个里面我们其实就指的就是 a b g 的 面积等于二，而 a b g 这个三角形的面积太好求了，是不是它的面积等于二？那这时候我们的面积好表示不，我不妨直接过 g 做一个垂线， 这个垂线做完了之后呢，我们发现它的底是几啊？哦，底就是正方形的边，长是四，那么它高是几呢？哦，面积是二，那因为我们 s 三角形这个的面积是等于二分之一， ab 乘以高，高是什么高？比如说叫 g h， 这个点标一个 h 很 快就有了，很快我们就能够代入数据，就是二，等于二分之一乘以底，底是四，再乘以 g h， 所以 立刻就能得到。原来我们的 g h 等于一， g h 等于一。那接下来我们要求的是什么？我们要求的是 g 到 cd 的 距离，我们知道 g 到 ab 的 距离是一，这段长是一，整个这段长是四，所以这段距离是几是三，简单不？哦，所以很快就能推出这个三，所以第四个它也是对的吧。 最后我们来对这道题进行总结一下，对于这样的题目，以后考试在正方形当中，你会发现什么呢？在他的两条边上有两个相同的动点，在动，然后移动的距离居然相等的情况下，这两个角相等，你立刻能发现这个全等，全等之后就是会变成我们熟悉的一个十字架模型。在十字架模型中有一个特殊的情况，我把它写下来啊。第一个就是十字架模型， 十字架，十字架里面我们常见的是相等，能够得到，或者说我用符号表示吧，省得写汉字了啊。从相等我们能够推出垂直，同样反过来，你用垂直也能推推到相等，那么这是十字架中的第一个重要结论。 第二个重要结论是什么？就是如果我们的 e、 f 是 终点时，是终点折十字架的终点，折十字架的焦点就是 g 吧，哦，十字架的焦点 c， g， c 和到十字架交点的距离永远都等于边长。这个结论也非常重要，它的证明方法有两种，第一种是什么？证明方法有两种，第一种，第一种，哎，这个我用，这是第一个，这是第二个结论，两个结论。那么它的证明方法有两种，一种叫背长中线， 第二种方法叫四点共圆。当然四点共圆在我们初二使用的时候，你就把它当黑魔法用，选填，小题随便用，但是大题，呃，到初三马上暑假一过，你就可以使用了啊，目前还不能用啊。所以这个题目最终的答案除了二是错的。一三四，正确答案选 b。

下来我们看一下，练习练习，又是个折叠，来，同样给大家记个时，做好的同学，飘二，嗯，班长第一个做出来的，有七位同学做出来了。 好，所有同学，我们来看一下，对于这个题目而言，我们怎么处理？同样，我们刚才讲的一个口诀叫什么，见折叠我们就找等腰，只要你见到折叠，我们要做的事情就是找等腰。来，我问一下同学，找到这里面等腰，谁是等腰？你找到等腰是谁？来，我请问同学，殷浩，殷浩泽，你来说一下， 找等腰，你找的谁是等腰？ a f c 啊，我们陈子晨在评论区已经打出来了是吧？我们一号则回答的很好， a f c。 来看黑板， 我来教大家一招，这个找等腰是怎么找出来的啊？仔细看，我们说，只要是折叠，第一步，折叠它对应的两个角是相等的，你看折叠的本质是不是就是，首先，第一步，你先找到折叠前后相等的角，第一步对于我们来说是不是很轻松？第二步，你看相等角的这个相当于角边角平分线，谁跟这两条边平行？你看一下 有没有哪条边跟这个两条边上的其中一条边平行，太明显了，跟 b c 平行，那不就是 a d 吗？所以用这两条线平行来找到内错角，相等角三等于角二， 角二等于角，角三等于角一啊，从而我们就能得到，原来这就是我们一个等腰三角形，这个等腰对不对？能找到吧，这是我们要找的线。折叠找等腰，这是我们第一个可以找到的东西，就是折叠里面的。 好了，当你找到这个东西之后呢，接着得找等腰，你发现，哎，题目又给你出现了一个惊喜，这个惊喜是什么？给了我们角平分线，角三等于角四，哎呀，当我们找到一个等腰三角形题目，又出现一个，角平分线，角平分线，请问此时此刻你能够想到什么东西呢？ 啊？这题我们周末作业有。对，这就是为什么我们这个春秋季的讲义是每周发一份。是这样的，就因为每周题目讲义上的题目全部都是我们最新的，就比如说很多学校里面的周册上的，就是每周一周的周册周测试，或者说像那个什么刚刚考完的试卷上的， 或者是刚刚基本上是刚刚出来的题目会比较多一点，或者说你们即将要做到的题目，有些学校做了，有些学校没做的。所以我们的讲义为什么是那个春秋季？是每周一发，都是现现实的题目啊，不是那种去年、前年的题目。 好，那紧接着下面我们看一下。看到等腰，看到角面，你想到什么？我看有没有人打出来，有没有人打出来。知道同学可以开麦回答一下。来，我请同学回答一下。翟一辰，你来回答一下。哎呀，韩明艳已经打出来了， 就是平行，哎，对了，就是平行，非常好。当你看到等腰，看到角门线，立刻想到平行，哎呀，其实这里面谁跟谁平行呢？角三等于角四，角四又等于角二，角角三又等于角二，所以角四等于角，所以我们的 a g 和它是平行的，那么由此可见，这是一个直角，这是个直角，这是个直角，哎，这是什么形？请同学们告诉我这是什么形？知道同学在评论区打出来， 知道的同学在评论区打出来，这是一个什么形？哎呀，对的，正方形，是不是正方形？这个当中是一， 正方形的边长是一一一一一，这些都是一。最终题目是为了求什么呢？哦，求 f h， 既然要求 f h， 我 们怎么处理呢？既然你这些是正方形，这个角必然就是四十五度了，对吧？那么我们可以看到，遇到这个四十五度，我们内心是不是特别渴望这个四十五度的角在直角三角形当中啊？所以我们就想呢，我不妨做个垂直， 同时我们还想到根据角边点到角，两边距离相等，所以我做个垂直，所以瞬间它俩相等。这个是 x， 这个是 x， 这段是不是就是二？这个可以写成一减 x， 也可以写成，你可以利用等腰直角三角形写成根号二 x， 然后 x 加根号 x 等于一 解方程 x， 或者你也可以写成什么，这是一减 x， 那 么 x 比上一减 x， x 比上一减 x 等于一比根号二，也可以解出来 x 等于多少。两种方法都可以做好，那么对于这样的一个问题，我们一定要弄清楚， 所以我们来解一下吧。两种方法啊， x 比上一减 x 等于一，比根号二，所以我们很快能得到 x 是 等于二减，根号二是根号二减是什么？是相当于是根号二 x， 根号二 x 等于一减 x， 所以 挪一下象 x 就 等于一除以根号二减 一，除以根号二减。哎，根号加一吧，所以 x 算出来应该是根号二减一啊，原来 x 是 根号减一， x 是 二，根号减一，所以 f h 的 长度是不是就是一减去 x 就 等于二减根号？所以最后的答案是二减根号。

两个边长分别为 a 和 b 的 正方形，如图，放置其 未折叠的部分，面积为 s 一。 然后呢，如果再在图一的一个基础上，它的大正方形右下角再摆上一个边长为 b 的 小正方形，如图二，两个小正方形折叠的部分为 s 二。第一问 问，用 ab 的 代数式分别表示 s 一、 s 二，那我们来看一看，在这里无非就是通过面积的 呃求减，然后把这个 s 一 s 二来表示出来，那 s 一 的话，大家会发现，其实是用大正方形的面积减去这个小正方形的面积就是 s 一 这块阴影的面积，所以 s 一 就等于大正方形的面积，是 b 方，就等于 a 方减 b 方。 那 s 二大家看它是怎么来的啊？它的话是由我们的，这里有一块正方形， b 为变长的正方形，这里有一个 b 为 变长的正方形，然后它俩折叠后重合的部分是 s 二，那这块 s 二其实是有两个这个正方形的面积加在一起，是不是减去了我们这个长方形的面积？ 而长方形它的长是 a， 宽是 b， 所以 是减去一个 ab， 那 我们第一问就解决出来了。接下来来看第二问， 第二问告诉你， a 减 b 等于八， ab 等于十三，让你求 s 一 加 s 二的值。好，那 s 一 加 s 二，它等于 a 方减 b 方加上一个二， b 方减 ab， 那 其实就是 a 方 加 b 方减 a b。 好， 那我知道 a 减 b， 知道 a b， 哎，其实知二求二，大家可以进行一个应用啊，那我在这里面是不是可以给它组成 a 减 b 的 完全平方， 那这样子的话，它展开是 a 方加 b 方减二 ab， 而这里只有减 ab， 所以 我们要再给它加上一个 ab， 保持式子不变，这样的话 a 减 b 啊，那就是八的平方加上一个 ab 是 十三，那就是六十四 加十三，答案等于七十七，这是第二问。然后接下来我们来看第三问。 第三问这个题啊，求这个阴影部分的面积，它是一个不规则图形，我们可以用两个正方形的面积减去 这两块三角形的面积。那第三问，这个阴影部分的面积，我们就可以表示大正方形的面积是 a 方，小正方形的面积是 b 方。减去啊，那这块三角形，它的面积是二分之一正方形的一半，对吧？就是二分之一 a 方啊。 然后下面这个三角形的面积，它的底可以看成是 b， 它的高的话，其实是 b 和 a 的 和，所以是二分之一乘上一个 b， 再乘上一个 a 加 b 的 值。我们进行一个化简，是 a 方加 b 方 减二分之一 a 方减二分之一 ab， 再减二分之一 b 方，那化简后是二分之一的 a 方加二分之一的 b 方，再减二分之一的 ab。 啊，那都有个二分之一，我们可以提取出来，就是 a 方加 b 方减 ab。 那题目条件中告诉你， s 一 加 s 二是等于三十四， s 一 加 s 二，根据第一问，我们可以得到 s， 一 是 a 方减 b 方， s 二是 二倍的 b 方减 ab。 其实化简完了，就是我们的 a 方加 b 方减 ab， 那 它的值是等于三十四，所以我们直接给它带进去， 那我们就可以得到阴影部分的面积，它就等于二分之一乘上三十四等于十七。

跟着苏老师学数学，数学就会变得无比简单。今天我们来看八下四边形这张翻折的问题。矩形 a、 b、 c、 d， a b 等于六， bc 等于八，那么 b、 d 就 等于十六八十， 将矩形纸片沿 b、 d 折叠。 注意，我们遇到折叠的问题，折痕都是垂直平分对应点的连线，比如这里的 b、 d 是 折痕，那如果我们连接 a、 e 的 话，他是垂直平分 a、 e 的 啊，为什么？因为他说点 a 落到点 e 处， 然后他说连接 c、 e 求 b、 f 的 场。这一题就非常的基础。在做这一题之前，我们要有一个前置条件， 就是平行线间有角，平分线一定有等腰三角形。有的还会问这题，哪有角平分线啊？你看，翻折前后对应边相等，对应角相等，这两个角是相等的 啊，平衡线谁呀？ a、 d 和 b c， 角一和角三是相等，所以角二等于角三啊。平衡线间有角，平分线一定有等腰三角形，这是个二级结论， 也就是说这两个角相等的话，就是 b e。 呃，第一， f 等于 b f， 那 这一题我们就可以做了，它就什么模型要求 b、 f 的 场，我们设 b f 是 x， 那 这里就是 x， 那 f c 呢？就是八减 x， 那 这是六。我们通过勾股定律也可以求解啊，八减 x 的 平方加上六的平方等于 x， 平方，解出来 x 等于四分之二十五 啊。第一问很简单，那第二问问我们 b、 e、 c、 d， 很 明显 b、 e 和 c、 d 是 相等的啊， 好，第二位。嗯，这两条边是相等的啊。刚才我们已经证明了 b、 f 和 d、 f 是 相等的，所以剩下答案这个 b、 c 和 d、 e 啊，也是相等的，为什么？因为 d e 等于 a d 啊，那这两个被圈圈的相等了之后，那剩下的两个也是相等，这两个等幺三也行，所以这两个角是相等的。那所以 b e c 平行， b d e c 平行， b d b e 又不平行， c d e 组对边平行，另一组对边不平行，而且 d c 和 b e 是 相等的，所以它是等腰梯形。 嗯，啊，好，关键是第三问， g s 啊， g h 求 g h 的 长。这里我们需要利用到前面的条件，如果你知道翻折前后对应点的连线被折痕垂直平分的话，那这一题就非常之简单。我们先来讲一个简单的问题，那什么意思？也就是说 b d 啊，翻折前后 b 跑到 d 了，它一定是被 g h 平分的啊。如果我们连接 b g 的 话，那形成这个 b h d g， 这是一个菱形， 为什么？因为 g i， 嗯， g h 是 垂直平分 b d 的 啊，所以 g 到 b 和 g 到 d 的 距离是相等的啊。这这两条边 b j 和 d j 是 相等的， b h 和 d h 相等的，那利用前面的条件，这有角平分线啊，可以证明这两条边也是啊。那相等的，为什么这两个角相等？ 角一等于角二，角一等于角三，随角二等于角三，所以这四条边向呢？所以它是啊，嗯，菱形啊，那我们就可以通过用面积来做这个菱形， b h d g， 它的面积可以等于底乘高，也就是 b h 乘啊，过点 d 做 bc 的 垂线，也就是和 c d 是 一，和 c d 是 一样长的， 嗯，和 c d 一 样长的啊，那 g h 和 b d 是 对角线，那离型的面积还等于对角线相乘？扯，再乘二分之一，也就是二分之一 b d 乘 g h 啊 b h， 我 们通过刚才的算法，利用这个算法也是一样的，和刚才算的 b f 是 一样的。那算法都一样，为什么呢啊？你设它是 x， 所以 它是 x， 这就是八减 x， 这是六，对练式子一样的，也就说 b h 应该是等于四分之二十五。 c d 呢？ c d 是 六，那二分之一 b d， b d 是 十，所以二分之一 b d， 这是五啊，所以 g h， 所以 g h。 就 啊，这个五和二。四分之二十五约掉的话，这是还剩个五，所以是四分之三十，也就是 g h 等于二分之十五，这是利用面积法做。当然了，你也可以利用两次勾股定律来算，那就比较麻烦。嗯嗯，这个方法也比较常规 啊，朋友们，你听懂了吗？今天我们就讲到这，喜欢的点赞哦。

你看不出来吗？现在看什么？你看什么？有勾股点，你看到了吗？六八十。 什么六八十啊？张冠李戴。呃，是矩形的题啊，它 a b 等于六标一下， a 到等于八标一下啊，然后意思 a 到上一点，然后把 c 到一沿， c e 对 折，对，折到这个 c f 啊，然后把 c f 延长交 a b 一 点 g， 对 不对？然后 g b 等于 g f 标一下。好吧， 那么这里折叠问题我们其实，嗯应该是老生常谈啊，折叠问题主要还是相当于是全能的，对不对？嗯啊，那 e f c 这个直角咱们先标一下啊， 对吧，那么全等的话，那用很多就三三组边都对应下呢，是不是？是包括还有这个角平分线之类的啊？好，我们继续看，他要求什么？ a e 的 一个长度是吧？好的，题目中呢，其实就除了这么一对折叠以外，就恰好有一个条件，就是 g b 等于 g f， 对 不对？是，那我不妨啊， 可以想想看你的六和八，你先给我标好，好吧，标了没有标好哦，对啊，有时候做不出来，就是标少了， 还没有标完，你看 c f 等于多少？六，对啊，懂吗？所以你看就是就是，你的差距跟同学的差距在哪里？你没有标完，人家标完了，你知道吗？ 懂吗？懂了，标完了吗？现在标完了吧？标完了，哎，对，现在你你想标的设未知数，对不对？是啊，现在你有什么感觉吗？设 b g x， 那 就标对对设。对啊，学聪明的会设的，对吧？哎，对，然后有感觉吗？ 这个是六减 x 啊，也可以，你想标九个，你想标九标，没关系啊，这都无所谓啊，你看不出来吗？现在 看什么？你看什么？有勾股，你看到了吗？六八十。什么六八十啊？张冠李戴啊。没有没有没有， x 方加八的平方等于，哎，不对啊，六加 x 的 平方。对，写出来速度快。 哎，你都看到了就就是有进步的啊，对吧对吧？对，没问题。那我好，我们这里节约时间。 x 等于三分之七。好吧，啊，这个就不给大家算了啊，来我们继续看啊。这个 x 等于三分之七，算出来了之后求 a e 能求了吗？好像也不能直接求啊。那你把这个三分之七 有没有什么价值啊？我们看一下 e f 对 吧。那你说现在怎么办？现在是不是有点难办？难办，对，难办，那也没办法，也得办，对吧？你再塞，再塞给我一个数呗，那不是很麻烦。那有什么办法你办，现在你办不了啊，那是 a e 为 y。 嗯，也行嘛，没事嘛，然后你怎么办呢？这是八减 y 对 标标下去 e f e f e f 是 多少哦？八减万。对啊，好，现在其实呢有一有一个新的一个购物定律，你可能没看出来啊，对吧？这有可能看不出来，对你来说你把 g e 连一下啊， g e 对， 你看是不是有一个双勾股，两个勾股定对不对是吧，你看极一方可以看成是 y 方加六减 x 的 平方，对不对啊？也可以看成是 x 方加八减 y 的 平方，对不对？对，那好点，勾股定就出来来操作一下就 y 方加 六减 x 的 平方等于 x 方加八减 y 的 平方啊。好，那么这样子一来的话你再把这个 y 算出来， y 算出来是二分之七。 好了啊，他求的就是歪，对不对？对，那就结束了，听懂吗？听懂，所以这个勾股地理可能你就是不一定看出来对不对？但他的策略上来讲是没有问题的，你该设位置就得设啊，但是你该标的条件也是一个都不能少的给他标上去，听懂了吗？听懂了。好，我这个题我们就讲到这里啊。

大家好，我是老刘，今天我们来看这个折叠的问题，那么在做之前，我们首先一定要按照我们几何的方法，掌握了几何的方法，你才能在几何这个内容上学得更好。那接下来我们来看一看，我们首先是条件的分析和结果的分析，大家可以对照条件分析来看一看啊，看一看自己哪里有问题。好，那接下来我们来看啊，首先矩形 a、 b、 c、 d 中 啊，矩形的话对边相等，然后对角线，对角线相等，然后每个角是九十度，那这里比较多，我们就不写了啊，那 abbc 矩形的边长，那么 e 为 bc 的 中点， 那我能得到什么呢？ b 一 等于 e， c 等于三，所以能得到 a 一 等于五， 那接下来折叠，那折叠之后就是折叠两个三角形全等，那么我们要把这个边 等于 a、 f 等于四这种有边长的，肯定是要把它写出来的，等于 e、 f 等于三，那这样是不是也等于 e、 c 啊？ 这三条都是相等的。好，我们重点看一下 b、 e、 e、 c 和 e、 f 这三条边，那这个内容可以看一下，这个像什么呢？直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，那现在我的条件呢？ 这条边上的中线等于这条边的一半，那它会不会是直角三角形呢？我们看一下啊，这三条边如果相等，角一，角一，角二角二，那我的角一 加呃，角 b 加角 c， 加角 b， a、 c 等于一百八十度，那这三个角其实就是角一加角二加角一加角二等于一百八十度，所以我能得到角一加角二等于九十度啊，所以得到这个角，它其实是直角 啊，得到是直角啊，角 b f、 c 等于九十度啊，这是一个非常关键的一个环节啊，那我们是看到这个东西跟我们 有一个性质是比较接近的，那么我们就来看我是不是可以通过这个得到新的内容。好，那接下来还有什么内容呢？那我们可以得到 ab 等于 a f b e 等于 e f， 所以 还能得到什么？ b f 垂直平分。 呃， a 一 垂直平分 b f， 那 得到假说，这个是 o 点啊， b o 等于 o f， 然后这直角得到这直角，那接下来我们看条件分析差不多就结束了，接下来我要看这个结果，我要求 c f 的 长，那 c、 f 的 长很明显，我这里是用什么 b c 的 平方减去 b f 的 平方等于 f c 的 平方，那么 b c 是 六，那么它就是三十六。 b f， 我 知道吗？ b f 我 不知道，所以我要求 b f， 那 这里很明显，在 a b e 这个直角三角形当中， b o 是 它斜边上的高，对吧？那这里很容易得到 b o， 利用等面积替换的方法和得到它等于五分之十二，那么 b f 就 等于五分之二十四，那接下来只要把它带进去，我就能把 f c 求出来了。

好，同学们，好，我们把这个四月五号的这个每日一练给大家讲一下啊，这个题呢， 其实是我们嗯，这么长时间以来做的最简单的一个题，它就考察了一个折叠的啊，折叠，那么勾股定律这个题，其实大家需要把它做出来啊，这个做出来好，我们看这个题咋说的，他说在一次数学课上， 嗯，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定一个正方形一边上的一个三等分点，也就是说，我们通过折纸，然后能确定一个三等分点，然后乘风小组同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作，他第一步是干嘛？第一步如图一啊，他把那个 将正将边长为六的正方形纸片对折啊，对折，使 a 与 b 重合就对折，你看就是上下对折，对吧？与 e f 对 折，呃，第二步，将 bc 沿着 c e 翻折，就连接 c e， 然后将这个 bc 翻折过去啊，得到 g c 连接啊，连接这个 eg， 呃，延长了交这个 a d 与 h 啊，这样的话，他说 h 就是 三等分点，他证，证明，怎么证的啊？下面，下面有证明，证明是这么说的， 他说连接 c h 正方形沿着 c e 对 折，那角 b 等于角 d， 我 们看啊，他是说角 b 等于九十度， 所以你这个也九十度啊，这个也九十度，对吧？对，折过去的嘛，那 c g 呢？是，他又说 c g 等于 cb 等于 cd 啊，这也相等是吧？啊，然后呢？ c h 等于 c h， 哎，他接下来说这两个三角形就全等啊，全等，那所以这个一处的推理依据应该是 h l 是 吧？ h l 啊，大家能看到吧，叫直角三角形啊，斜边直角边啊，好。 呃，接下来他说 g h 等于 g d 设 d， h 是 x， 他 说他设这个地方是 x， 那因为你全等，所以这也是 x， 对 吧？这也是 x 啊，然后这个对折的，所以这边是三，这边也是三啊，这边也是三， 那这边就是 a h 就是 六减 x 啊，六减 x， 因为它边长是六嘛。所列方程啊，方程不没必要化简。那方程我写一下啊，方程就很简单啊，我写在上面啊，就应该是三的平方加上六减 x 的 平方，它是等于 三加 x 的 平方啊，平方。 好，这个就是我们所列方程啊，方程。然后，嗯，结合破浪组，小组操作破浪组，看他干啥了。他说如图二所示，将正方形纸片对折，使得 a 与 b 重合。第一步是一样的，呃，将正方形纸片对折，使 b 与 d 重合， 其实就是，就第二步其实就是啥？就是按照 a、 c 去对折，对吧？就你把这边折过来吧。啊，好，按照这个对折，使它重合。重合完了之后呢，他说交于，交于点， 就是我们的 e、 d 啊，连线与这个 a、 c 交于点记，通过点记折叠，使 mn 平行于，就是我们，我们以它为折痕，折一下啊，折一下这个 mn， 经过点记， 他这样的话，这个 m 点就是 m 点，就是我们的三等分点啊。嗯，证明结论那个，是的，证明这个证明一，一看就是什么用相似吧，我们写一下啊，就是，嗯，你这个是三， 这个是三， a e 是 三， dc 就是 六，对吧？所以这个根据八字形相似啊，这个八字形。所以你能推出比值上是一比二啊，你说比值就这这边也是，也是一比二， 这边也是一比二，对吧？我们只需要前面那个一比二啊，一比二。呃，那所以呢？所以就是大家又看到一个 a 字形，对吧？ 嗯，这个是一，这是二，所以又平行，所以这边也是一比二啊，那这样的话，我们就能推出这个边长是二啊，这个这是四嘛，所以是三等分点啊，会正吧，我就不写了啊，不写了，就用了个八字形，和 a 字形相似，就出来了第三个。 第三个啊，这个图三是没用的啊，图三没用。在一个边长为六的正方形中， e 是 b a 上一个点啊，我们假设 e 在 某一个位置，在这个位置 啊，在某一个位置是射线 b a 啊，是射线 b a， 所以 你有可能在外面啊，这样话，连接 c e， 将 b e c 翻折，翻折， 翻折。然后他现在说，呃，交于 h d， h 等于三分之一 a d， 其实就第一幅图，是吧？啊，我们也可以画一下吧，可以画一下啊。嗯，这，这样，这样不行啊，我们重画一个啊，重画一个，就只有第一幅图，哎，第一幅图 e 啊，然后你翻折过去之后，是这样的吧。假设啊，假设， 然后这边有个 h 啊，这边有个 g 翻折过来，然后延长 e， g 交于 h 啊，但是 h 在 这吧，我们下面重换一下， 这样，对吧？哎，这样可以啊。嗯，他现在说如果 d h 是 三分之一 a d， 所以 这面就是二，这面就是四。 呃，直接写出 b 的 长那个，这一看，这第一题的反面，是吧？这种情况就是二啊，这题肯定有好几个情况，因为他没给图，而且还给了个备用图，肯定是有好几个情况，这个是二，我们按照第一题的做法，我们依然能证明这个三角形和这个三角形一定是全等的， 原因在于这个，他等于这个，对吧？所以也是 h 幺垂直，垂直啊，全等。所以呢，我们知道这边是二， 我就写个思路啊，写个思路，这是二，然后他说求 b 一 长，你就是，他是 x， 对 吧？那他就是 x， 那 这边是四，那这个就是六减 x， 那 你就列了个方程法，对吧？方程长什么样的？就是，嗯，四的平方加上 六减 x 的 平方，会等于我们的二加 x 的 平方啊，这样的话，你写的 x 等于三啊， x 等于三，那所以 b 就是 三啊。好，但是注意啊，这个地方呢？他， 呃，你只写这一个答案，肯定是，肯定是会扣分的。那我们还有一个思路，还有一种情况，就是你他只是说 d h 是 二，呃，三分之一 a d 吗？就二，那你 d h 有 没有在 h， 有 没有在右边呢？ h， 你 们看，在这个位置，我们可以反着画图啊，反着画图，就如你 h 在 这的话，你大概率画个图，嗯，这样子，是吧？ 就你这样，这边做垂直，画个图啊，就教你们怎么画图啊，画图就我们反着想，你，你这个 h 是 b， g 延长，你 g 肯定在这边，然后你又垂直，你是对着这个折叠的，所以你的图呢？所以你这个地方， 这样吧， 那不行，就是就是这样吧，就这样看啊，然后这边，呃，可能你的一点在这个位置啊， 然后 g 点呢？就是你反正折叠过来嘛，就对称，可能 g 点在某一个位置啊， g 点折过来，有可能在这种位置，是吧？ 超过去了啊， g 点在这， 看能不能感受到垂直把它折叠过去啊，所以我们画图的时候可以反着画啊，你标一下啊，这边是二。 呃，大家同理，一定能证明这边也是二。他先让你求 b， e 的 长，你求 b， e 是 x， 那 这边就 e， g 就是 x， 那 这个就是 x 减二，然后这是六， 这也是六，所以这个是 x 减六。哎，你看方程又列出来了，方程是什么方程？是是是不是？但是我们可以写 y 啊，我们有的时候前面写 x， 我 们就写 y 吧， 这是 y 吧。 y 啊，就你设这个 e， b 是 y， 那 这边就是 y 减六，这边是 y 减二啊，那你就会列一个方程，就是应该是 y 减六的平方，加上 八的平方，等于 y 减二的平方，对吧？那这样的话，你就在 y 等于十二啊， y 等于十二，所以这个题 b e 的 长应该是 三或十二啊。嗯，好，这题难度不高啊。难度不高，这题应该要写出来啊，写出来它就是一个简单的折叠啊，这些作为一个小题都可以。好吧，嗯，那今天每日一定呢，我们就。

哈喽，各位屏幕前的同学们，你们好，欢迎回到我们的压轴周周练。今天是我们八年级下册的第一期的压轴周周练。首先我要恭喜你们在我们八年级上个学期啊，坚持写完了十八期的同学， 你们已经完成了初中阶段最痛苦的试用期。你们比任何人都清楚，我们要解决压轴题，不是靠灵光一闪，而是靠死磕到底的。 但我也要提前给大家打个预防针，八下的几何证明和函数综合的难度啊，会上一个台阶。可能啊，有时候你会觉得，明明上学期还能做出来的题，这学期怎么又卡住了？别慌，这个太正常了， 因为咱们念的就是这个，在卡住的地方，再往前迈一步，这学期咱们继续每周一期，不求多，但求吃透， 只要你能像上学期一样，把每道题都揉碎了，嚼烂了，到期末回头来看啊，你会发现自己已经站在了更高的地方。准备好了吗？咱们开始攻克巴夏的第一座小山。好，下面我们来看一下第一题。 这道题呢，它的难度系数三颗星，我们可以花个三分钟时间去做一做啊。我们看它考察的是一个平行四边形中的一个平移问题。对于平移问题啊，我们一定要回忆一下。关于关于平移问题，有个非常重要的，就是平移前后线段是相互平行且相等。 平移前把这句话写在旁边，平移前后的线段 是平行且相等，平行且 相等。当然，这个地方有一个特殊情况，是什么呢？这个平行啊，也有可能是重合的，为什么有 的时候，比如说我这一条线段它是怎么平移的呢？比如说给大家看一下它的平移方法，它是把它沿着这个线段本身平移的，那如果往这个方向平移，你会发现它其实跟原来的有可能是重合的。 那么重合的情况因为在我们整个初中阶段不研究，所以我们就不去考虑它了，所以我们直接说平行前后的线段，除了那个重合的情况不考虑以外，剩下的就是平行且相等。好，我们一起看一下这道苏州的月考题。如图，在一个三角形 a b， c 中， a b 等于 a， c a 告诉我们它是等腰三角形，而且它的底边告诉我们是十四。题目有已知条件，告诉我这个底边是十四。我们不妨在图中标一标，这段长是十四 点， d 呢，是在 a c 上一点，并且告诉我们 dc 的 长度是五。先将线段这条线段啊， dc 向左平移八个单位，得到 e， f， 使得 e 在 ab 上，而 f 是 在我们的 bc 上。那此时此刻问四边形它的面积是多少？那么我们知道刚刚讲过了， 平移前后的线段是不是属于平行且相等的一条线啊？这是五，所以这个也是五吧 啊，这段长度是五，从而我们就知道了一一组对边平行且相等的四边形，它是不是平行四边形啊？因为它是向左平移了八个单位长度，所以这段长度是八，那么总共是十四减八，这就是六。 那我们要求的这个平行四边形的面积是不是底乘以高底现在已经知道了，是八，那么高呢？哦，太简单了，接下来我们立刻就想到了，我要求高，我是不得把高做出来 高做出来，做出来高之后，那这个高怎么求呢？比如说这个点叫 h e h 的 长度我们怎么求？哎，下面非常重要的，因为我们知道平移，平移前后的线段是平移平行且相等啊，所以就有这个角一等于角 c 吧。 而由于题目中给我们 ab 等于 ac， 所以 本来题目中给的这个角 b， 它也等于角 c 吧，角 b 等于角 c， 角一也等于角 c， 所以 角一就等于角 b。 哎呀，这个小的是不是也是个等腰三角形？既然它是等腰，所以这就是五。根据等腰三角形的三线合一， 整个 b f 的 长度是六，所以 h 是 终点的情况下，这个点是不是就是三啊？根据勾股定律， e h 就是 四，哎，从而我们就知道了，原来这个平行四边形的高就是四，那接下来我们要求的面积就等于 e f， c d 就 等于底， c f 乘以高， e h， 那 就等于八，乘以四等于三十二。这个地方有一个小小的细节要注意一下，因为很多同学算面积的时候，正常就是 啊，算三角形的面积会比较多，二分之一底层高，那么平行四边形的面积是没有二分之一的，所以这个地方要注意一下这个细节，很多同学做错了，写个十六，哎，其实他就是最后一步求面积的时候，不小心成了个二分之一。 好了，这道题你们学会了吗？最后我们总结一下，对于平起平移的问题，一定要注意，平移前后的线段是平行且相等，这个东西要牢牢记住它。 还有要记住最后这个答案千万不能写成十六，要写成答案是写多少？三十二才对吧？

嗨，各位亲爱的同学们大家好，欢迎来到压轴周周练的第四期，这期呢比较特别是属于我们的月考专题。首先呢，要感谢各位家长发来的试卷，本周呢，我会先录制其中一部分，未来两周会陆续完成剩余的内容。 月考已经结束，分数呢，它只是一个数字，真正值得我们去学习的是题目背后的知识点，方法和一些解析技巧。把这些吃透呢，其实就是为了我们期中考试做最好的准备。来，我们一起开始。先看这个利益啊，这道题主要考察的是正方形中的折叠问题，来我们看看。 如图，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，点 e 是 a、 d 边上的一个点 d， e 的 长度是等于四，我们在图中标一标 b、 e 的 长度等于八，说明正方形的边长它就是十二。我们标一下，这个是十二，这个是十二，这个是十二。 将正方形的边 c、 d 沿着 c、 e 进行折叠，折叠到 c、 f， 所以 这是个垂直，这是个垂直延长 ef 交 a、 b 于点记连接 c、 g。 下面四个结论一二三四，问正确的有什么？第一个他说角 e、 c、 d， 找找看在哪里？角 e、 c、 d、 o 在 这里，也就是个角一加上角 b、 c、 g、 o 加上角二，这两个角加起来等于四十五度，那我们看看这两个角加起来是不是等于四十五度呢？其实我们只要去证明 中间这个角是四十五度是不是就可以了呀？如果我能正到中间这个角是四十五度，那这个问题是不是解决了呀？好了，那我们看看怎么正呢？我们知道在折叠的过程当中啊，重叠部分的角，比如说这个角和这个角，哎，肯定相等吧，所以我不妨设它为 r f， r f 可以吧。那么因为是正方形的边，所以这条边跟这条边相的哎，也等于这条边三条边都相等，这是个直角，这也是个直角，中间还有个公共边，所以从图中我们瞬间就能看到这个三角形，小黄三角形，大家看一下和下面这个三角形它们是什么关系，可以思考一下。 哎，很明显吗？是什么关系？也是一个全等关系。那么为什么全等？同学们想想全等的理由是什么？因为他们都是直角三角形，同时还有一条直角边和 h 和我们的斜边是怎么样的 相等的？所以它是 h 和全等。一旦全等之后，那我问一下，这两个角是什么关系啊？哦，这个角跟这个角很明显他们也是相等吧，所以我就标他为北塔，北塔，所以由第一个我们能得到，因为两个 r 加两个北塔不就等于九十度吗？从而我们就能得到 r 加北塔就是四十五度，所以第一小问就是对的第一个， 那第二个他说 g 是 ab 的 终点，那 g 是 不是 ab 的 终点呢？那我们来证明一下， g 如果是终点，那就意味着 a g 跟 b g 相等，等于六，是吧？那么这个跟这个肯定是折叠过来的啊，他俩没有说相等啊，不一定 不是，是他俩相等，但不是因为折叠。是因为什么？是因为全等啊，这两个全等，所以我知道他俩相等。那接下来如果我要证明他俩相等的话，是不是只要证明这个角跟这段长跟这段长都等于六啊，那怎么证呢？哦，其实我们就是去求解嘛，那我不妨设这段是 x， 那 么根据折叠我们就知道了，这段是不等于四啊？ 那么根据全等这段是不是也是 x 哦，根据整个边长是十二，所以这段长度是不是就是十二减 x 啊？十二减 x， 那 么第二个就直接可以用勾股定律二 t 三角形 a g e 当中啊，我们能够得到 a g 的 平方， a g 的 平方加上 a e 的 平方，不就等于 g e 的 平方吗？那么代入数据就是，十二减 x 括号的平方加上八的平方，就等于 x 加四括号的平方，所以解一下方程， x 等于六。哎，有人说，老师你怎么解这么快，其实我压根没解，我是 抄的，哦，是什么？相当于是抄的。怎么抄的？你看我们常见的是不是六八十啊，那这个六八十，哎，你看我抄一下，你看，如果它是正确的情况下，它是六，那你我只要去验证一下这个六 能不能满足这个方程，如果六能满足这个方程，所以这个就是对的，如果六不能满足这个方程，我就是错的，就是我是抄他这个答案，他全部告诉我们这个 g 啊，是终点，那我就假设这个答案是对的。哎，我抄袭一下，假如他是六，那这个是六，这个是六， 这不是，假如他是错的，那六肯定就不满足这个方程吗？那我一看，哦，这是六的话，这也是六，这是八，这四正好六八十， ok， 没有问题。所以我们发现这个 x 算出来是六，那就意味着第二个也是对的吧，能够得到终点，好，第三个我们看看对不对？ 题目说 a f 这条边平行于 c、 g， 如果这两条线边平行，那就意味着要使哪两个角相等来，我换一种颜色，需要使这个角，比如说这个角我们给它取名叫 m， 或者叫 c 塔吧， 这个角叫 c 塔，这个角如果也能正到，它等于 c 塔，是不是就可以了？比如说我们不叫 c 塔了，换一个叫角一和角二，那如果角一跟角二相等，这个题目是不是就正到了？那角一跟角二相等吗？哎呀，根据题目，我们知道这个地方呢，因为 全等，所以角二等于角三，那就因为我们这个知道了是六，这个也是六，这两个都是六，所以这个角一是不是等于角四啊？这个角一等于角四，所以由此可见，角一等于角四，角二等于角三。哎，那既然他们娘俩相等，我是不是可以用相同的符号来表示？比如说相等的角我就用 m， 哦，这也是 m， 这个相等的角我就用 n， 我 就用 n。 那 么根据题目，我们来观察一下，对于三角形的一个外角，嗯，是不是二 n 加上，也就是说我把它写下来， 有同学反应不过来，我把它写下来就是 b g， f， 这是三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角之合， g， a f 加上角 g fa。 好 了。由此可见，此时我们发现这个角是不是就是二 n 啊？这个角是 m， 这个角是 m， 所以 就是二。 n 等于 m 等于 m 吗？所以 m 等于 n。 当我们得到 m 等于 m 的 时候，哎呦，这个角跟这个角相等，所以平行，所以第三个它也是对的。那第四个，我们看看他说某一个三角形， 哪个三角形 a、 f、 e 在 哪里？找找看， a、 f、 e 这个三角形的面积等于几呢？等于九点六。那我们要求这个三角形的面积，其实有几种求法呢？ 第一种，其实有三种啊，你要求它的面积，是不是得知道它的底和高呀？直接用公式，底是八高，你是不是得求高哦？求高，这个可能有点麻烦，但是能做对不对？能做做起来比较麻烦。你再看第二种，已知这个底是四，那求高。哎，这个高好像好求一点，为什么？因为这个高和这个三角形它正好是等积法，可以求出最高吧。这个高好求第二种方法。 第三种方法是什么？我们可以利用这个是四，这个是六。所以也就意味着 e f 与 g f 的 比是二比三吗？所以这个三角形面积和这个三角形面积之比，是不是二比三？哦，也就是这个面积是两份，这个面积是三份。那整个这个直角三角形面积是不是五份啊？ 那五份是多少哦？五份的面积我们是知道的，所以我们的两份是不是这种方法是最快的呀？好，这道题我们可以怎么做？先求 a、 g、 e 的 面积等于二分之一， a g 直角边的乘积乘以等于二十四。 好。第二个 s 三角形 a、 f、 e 这个面积，这个面积是不是等于五分之二的 s 三角形 a、 g、 e 啊？ 因为题目中 a、 f 把整个面积分成二比三两份吧，那么总共是五份，那么它占两份，所以它的面积是它的五分之二，所以代入数据很快就能算出来，等于五分之四十八哦，五分之四十八是不是就是九点六啊？所以正确答案第四个也是对的。好，所以四个答案都是对的，正确答案选 d。 在这个正方形的折叠问题当中啊，大家要注意，如果我把某个角把它折过来之后，这条线把它延长交一边，那么一定会有两组全等，这个地方一定要注意，那么经常用的就是非重叠部分的勾股定律，你看这个部分是不是没有重叠啊？ 什么叫没有重叠？就是这个给它折过来是不是可以重叠？这个你可以折过来是不是也是重叠？它有全等吗？这个全等是可以正倒的，那么剩余的没有跟它重叠的这个纹，也就没有跟它全等的这个部分，那么就是经常会用这个部分做用，做它的勾股定律，也就是这个。第二小问经常会考这种。

同学好，我们今天一起来看一下八下的必考题，折叠问题。正方形的折叠问题呢？看见头就打，不要急，今天一分钟教给你秒出答案！边长为十二，折痕为十三。第一步，先做辅助线，通过 b 点做 f、 g 的 平行线 b、 k， 那么由此可见， b、 j， f、 k 是 一个平行四边形，这里是十三，所以 b、 k 等于十三。根据勾股定律，这里是十二，这里是十三，所以 a、 k 为五。那么重点来了， a 点和 e 点折叠重合，那么由此可见， f、 j 是 垂直于 a、 e 的， 所以由此可见，这里角一，这里是角二，角一加上角二等于九十度，角二加上角三也等于九十度。所以由此我们可以推出来角一等于角三。那我们又知道角 d 等于这个角 a， 大 的这个角 a， 然后 a， d 呢？又等于 ab， 所以 由此我们可以推出来这个三角形 a， d， e 全等于三角形 a， b、 k 根据的是 a s， a， 那 么由此我们可以推出来， a， k 就 等于 d， e 就 等于五。那么最后我们要求的是 c c， e， c， e 就 等于边上十二，减去 d， e， 五，最后等于七。 ok， 折叠问题的核心是垂直全等勾股，记住这个思路，折叠题了解学会的扣一。

各位八年级的家长和同学们一定要注意了，马上要期中考试了，数学想拉开差距，关键就要紧盯正方形模型。我实话告诉大家，八年级考试的压轴大题，几乎都是以正方形为模型改变出题的 技术题大家都会啊，真正能甩开分数的啊，能够拉开排名的全场的正方形的综合几何模型里面啊，今天我们把考试备考的七大核心模型呢，一生讲清楚，一定要记牢收藏！第一个什么折叠啊，第二个，十字架模型，教大家对角互补同旁张等角 夹板角模型，一线三对角，手拉手构造正方形啊！那么普通人只会算边长算角度，但尖子层呢，早就把这模型烂熟于心， 看到图形呢，就能秒判考点啊，思路呢，直接一步到位，很多孩子压的题，做题卡壳啊，不是不够聪明，是模型没规范，是套路没吃透啊！正方形的所有难题呢，翻来覆去都是这七种变化， 轻松冲刺，不用盲目刷题啊，把这七个模型的逐个攻破，看懂结构，记辅助线的画法，记经典结论，考场压轴，不用慌不用蒙，直接套模型就能快速解题。 八年级的分寸里呢，就要集合，正方形就在分寸里面的重中之重，想要期中冲刺高分，压得不丢分，一定要把这些个模型的练透吃透！

八下数学勾股定律与折叠问题全部吃透，稳进班级前三。八下数学勾股定律与折叠问题，第一道，第二道， 第四道，第六道。

八、下学完购物定律和矩形之后，大家一定会遇到一种题型，就是矩形的折叠问题，那其中两次折叠问题又是考试的重点和难点，我们一起来看题目。 对折矩形纸条 a、 b、 c、 d 使得 a、 d 和 b、 c 重合，得到折痕 m、 n 好， 那所以我们这个 m、 n 是 不是就垂直平分 a、 b、 c、 d 好， 然后再展平点 e 呢？是 a、 d 上的一个动点。 若 d， e 等于两倍的 a、 e 好， 那就是这两段成二倍的关系。将三角形 a、 b、 e 沿着 b、 e 折叠好，第二次沿着折 b、 e 折叠对不对？好点， a 的 对应点 f 落在 m n 上好， a 点和 f 点是对应顶点。 若 bc 等于个六好，那就是这段长度等于个六。那刚刚说了， a、 d 和我们的 d、 e 是 二倍的关系，那所以 a、 e 是 不是就是二 d、 e， 它就是个四？哈，让我们去求 a、 b、 f 的 角度和 f、 n 的 长度，就是这一段和这个角 的大小。那考试的时候，我们可以先拿量尺量一下 a、 b、 f 的 大小，那大概你量出来应该是接近六十度， 那怎么求出来这个长度呢？那我们刚说了，经过第一次折叠 m、 n， 它是垂直平分 a、 b 的， 对不对？好，那键中垂，两两端得相等，所以呢，我们把这个 a、 f 连起来好，那所以 a、 f 和 b、 f 的 长是不是就相等了，对不对？好， a、 f 和 b， f 小 长相等，这是第一次折叠，我们可以得到结论。那它还有第二次折叠，它是沿着 b、 e 折叠的好，那我们的 a、 b 和 b、 f 是 不是折叠前后的两条边，对吧？所以我们的 a、 b 和 b、 f 也相等，所以这三条边它都相等，所以咱们的 a、 b f 这个三角形， 它是不是就是等边三角形，对不对？好，那它是个等边三角形，那所以 a b m 的 角度，那就是六十度，对不对？好，那所以第一个问题解决。第二个求 f n 的 长度，这段长度，那我们知道 b c 总的是一个六，那求这段，我们就想，如果我们求出来 f m， 那用六减去 f m 是 不是就可以了？好，那怎么求 f m 呢？哎，那来看啊，这个 a e 的 长是个二，刚刚我们还求出来这个角 a b f 是 个六十度，对不对？好，那经过第二次折叠，是沿着 b e 折叠，所以 b e 是 个折痕，对不对？所以我们的这个角它是不是就是三十度？那 这两个角它都是三十度，那所以我们 a、 b e 这个三角形是不是就是含三十度的直角三角形？所以它的直角边和我们两条直角边的关系是不是就刚好三倍的关系？ 好， a e 是 个二，那所以 a b 它是不是有两倍根号二，两倍根号三，对不对？好，那 m 又是一个中点， a m 等于 b m， 那 所以我们的 a m 和 b m 的 长它就相等，分别就是根号三，对不对？好， 那 a m 和 b m 的 长度是根号三，怎么求 f m 呢？我们再来在这个三角形里面去看哈。那刚刚说了， m n 它是垂直平分， a b 的 这块也是垂直的，所以这个角是六十度，那这个角自然就是三十度了，对不对？好， 这个点是三十度，所以它的对边和这个相邻的直角边是不是又是刚好三倍的关系？所以 b m 是 刚好三，那咱们的 f m 它是不是就是三，对不对？好，那所以 f m 长度求出来了，是个三，那所以咱们的这个 f n 那 是不是用六减三就可以了？所以 f n 它的长度也是三。哈，好，你学会了吗？

哈喽，大家好，今天咱们来讲一道关于矩形折叠的经典题型，我们看一下这个十三题。如图，在矩形只欠 abcd 中， a、 d 等于四厘米， ab 等于十厘米，按照如图方式折叠，使得点 b 与点 d 重合，折痕为 e， f 得 d， e 的 长为多少？这道题是关于咱们的这个矩形折叠的一个问题。首先第一步的话，我们需要找一下等量关系，根据折叠的性质，咱们这个折叠前的这个 b 点呢，和折叠后的地点 啊，它是重合的，这个 e f 是 它的，其实就是 b d 的 一个垂直平分线啊，其实就是 b d 的 垂直平分线，所以呢，这块的 d e 其实就等于这个 b e， 这是咱们解析的关键。 我们这一块现在是要求的是这个 d e 啊，要求 d e， 那 么 d e 的 话，咱们之前讲过，就是说如果要求线段的长，我们最好是把它放到一个直角三角形里边，然后再利用勾股定律去求。那直角三角形呢？这道题当中我们已经看到是这个三角形 a， d e 啊，如果是在这个 a d e 当中，我把这个 a d 求出来，然后 a e 也求出来，那么 d e 的 话，就很很容易就可以算出来，对吧？那 a e 的 话咱们不知道呃， d e 呢？也不知道，但是呢，我们这块有一个 ab， 它等于十， ab 等于十，那如果是我把这个 b e 和这个 d e， 因为它俩相等，我假设说它俩都是 x， 然后这个 a e 的 话，它就应该等于十减 x 啊，那这样的话，我们在这个 r t 三角形 a， d， e 当中呢，我们可以利用勾股定律啊来设未知数，设一个未知数，然后列一个方程，根据勾股定律列方程，对吧？ 两个直角边的平方的和等于第三边的平方，所以这块应该就是 a d 的 平方加上 a e 的 平方等于 d e 的 平方 啊，也就是说四的平方加上十减 x 括号的平方等于 x 方，那这样的话，我们把这个 x 给它求出来就可以了啊。这个最后算出来是一个五分之二十九， 或者说你写成五点八也可以啊，所以我们 d e 的 长就等于 五分之二十九厘米，对吧？那咱们简单总结一下折叠的问题呢，其实就是找等量关系，然后再根据勾股定律列方程，咱们再复杂的折叠问题都能轻松解决。