六年级下册语文圆柱侧面积的推导过程

有的同学会问说，王老师六年级数学下册哪一个单元最难？很多同学可能都会想到第三单元，圆柱与圆锥。那今天呢，王老师来说一说有关圆柱体它的侧面的面积的问题。 我们这道圆柱体，它有三部分组成，分别是上底面、下底面和中间的侧面。上下两个底面是完全相同的两个圆啊，就是圆的面积，中间的侧面呢，是一个曲面。 那么如果我们把这个圆柱体沿高给它剪开，展开以后，它是这样一个形状， 上下两个完全相同的圆，中间的一个侧面展开之后是一个长方形，那么同学们来观察，这个长方形的宽就是圆柱体他的高，这个没有任何问题啊，有疑问，那么 中间的这个长方形的长，同学们发现啊，我把它还原回去之后，是不是就是这个底面圆的周长，所以这一部分就是 底面周长？我们知道底面周长是圆圆的周长，那圆的周长我们用字母 c 来表示，所以这个圆柱体它的侧面的面积，这个公式就有了哈，也就是 s 侧 s 测应该等于什么呢？就等于底面周长是不是乘高啊？那底面周长，我们用大写的字母 c 来表示，那高呢？用 h 来表示，所以圆柱体侧面积，那就等于 c h， 那 又因为这个 c 啊，我们还可以把它换成是 我们这个圆的周长等于圆周率，是不是乘直径，所以我可以把根据这个 c 等于派地，我把它换成派地，然后乘 h。 那如果已知的是底面圆的半径啊，我们还可以把这个 d 换成二耳，也就是等于二排二，把 c 换成二排二，那它还等于二派二 h 啊。所以啊，那这个圆柱体它的侧面积就有这样的三个公式， s 等于 c， h 等于派 d h 以及二排二 h。 那对于王老师所讲的这期视频，有关圆柱体的侧面积的面积求解，你学会了没有？关注王老师，下一期我们会讲底面积加侧面积，叫底侧公式。你们在学校里没有学过，拜拜。

错误率最高的还是这道题，一个圆柱的高减少两厘米，哎，这一段是两厘米，它的表面积就减少五十点二四平方厘米，此时它的体积减少多少？我们来看一下，高减少两厘米啥意思？就是从这儿咔给它切一刀， 上面这一节不要了，哎，我们只要下面这一节来，我们对比一下表面积出现了哪些变化，起码这一块是不是减少了？这一块减少了，但是我们来看这一块是不多出来的，多出来一个上底面，你减少一个上底面，这两块是不是抵消了？ 所以表面积减少了五十点二四，这个五十点二四是不是就是这一角的侧面积？这一块我们给他沿着高给他攒开，展开之后我们会发现这个长方形的面积就是五十点二四。这一段的长度 是不是底面圆的周长啊？但是我们不知道有多长，对不对？哎，但是这个高是两厘米，我们可以找出来长方形面积有了，哎，这条边是两厘米，我们是不是可以求下面这条边的长度？那么也就是说五十点二四除以二 等于二十五点一二厘米，这个二十五点一二是不是底面圆的周长？二十五点一二够了，由周长是不是可以求直径 周长除以 pi 是 不等于直径，再除以二是不等于半径，所以半径就等于四厘米，它要求的是体积减少多少，哎，减少的部分是不是上面这一截圆柱啊？圆柱的体积底面积乘以高，那就是 pi r 的 平方 再乘以高，高是二，最后等于派乘以四的平方再乘以二，最后等于一百点四八，单位是立方厘米。好，关注正能量，我们一起学数选。

六下圆柱的表面积高频题，一个圆柱形的物体被斜着这样结成了两个完全一样的物体，这是其中的一个，最低处高是八分米，最高处高是十分米。问被结之后这一个物体的侧面积是多少？ 背结之后是两个完全相同的这样的物体，那另外一个我们可以给他倒过来，再扣在上面，我们这样给他倒扣在上面，再给他重新拼回去，拼成一个圆柱体，想要求其中一块物体的侧面积， 我们只要求出来他们两个的侧面积之和再除以二就可以了。通过这个图我们就可以看出来， 他们两个的侧面积之合正好等于这样一个圆柱的侧面积，那这个圆柱他的底面直径就是六分米，那高就是八分米，加上十分米等于十八分米。 所以我们只需要求出来底面直径是六分米，高是十八分米，这样一个圆柱的侧面积再除以二就可以了。圆柱的侧面积等于底面周长乘高， 底面周长等于派地三点一，四乘六，这是底面周长再乘高乘十八。求出来这样的一个侧面积之后，我们再去给他除以二，就是每一部分的侧面积等于一百六十九点五六平方分米。

动物城警局紧急报案，商业街援助型物资接连被做标记，嫌疑人留下线索，只有算出援助表面相关面积，才能找到他的踪迹。各位小侦探，我是朱迪，我正式邀请大家成为动物城警局的侦探，而我你 一起破解线索，抓捕嫌疑人！想要破案，得先搞定圆柱的表面积计算，这可是破解所有线索的关键，准备好了吗？同学们，一要算出给圆柱整体涂色的面积，必须！ 这是破解线索的第一步， 想要拿到贴纸后的线索，必须先算出侧面贴纸的面积，也就是圆柱的侧面积。快一起探索侧面积的计算方法吧！ 这是嫌疑人留下的核心物证，算出罐头侧面面积和整体涂色面积，就能锁定嫌疑人的活动范围。各位侦探开始计算， 嫌疑人故意混淆侧面写表面写两个概念，各位侦探一定要明确二者的区别，才能避开陷阱，顺利找钱犯。 同学们，你通过计算和嫌疑人的表面一合 计，获得了嫌疑人留下的密码， 界面标注了三个嫌疑人曾经出现的地址。同学们，快点出发，破解嫌疑人留下的线索， 成功算出所有线索答案，嫌疑人已被抓捕，报案成功！大家凭借超强的数学推理能力，完美掌握了圆柱表面积的计算方法，为你们点赞！ 授与全体同学动物城机制侦探称号！希望大家继续用数学知识解决生活中的难题，做最棒的数学小侦探！

今天我们一起来解决一道关于切割圆柱求圆柱体积的应用题。先来看到题目， 一个圆柱如果切成两个小圆柱，如下左图，我们看沿着这条边把圆柱切开， 切开之后，一个圆柱变成了两个小圆柱，告诉我们它的表面积会增加一百点四八平方厘米， 切开之后它的面积增加到哪里？切开之后，这里会增加两个圆的面积，所以一百点四八平方厘米指的就是两个圆的面积。 继续如果沿底面直径切成两个半圆柱， 沿着底面直径切开，我们来看这一条是圆的直径，那这一条呢？ 它是圆柱的高，没错，切开之后表面积会增加，增加的就是两个长方形的面积， 而增加了二百四十平方厘米指的就是两个长方形， 而这里每一个长方形的面积，一条边是直径，一条边是 高，所以一个长方形的面积就是用底面圆的直径乘高得来的。现在让我们求这个圆柱的体积，我们知道圆柱的体积 是等于底面积乘高，所以要求体积。首先我们得得到的是圆柱的底面积是多少，高是多少。 从第一个条件我们知道，底面两个圆的面积是等于一百点四八，那么圆的面积就是用 一百点四八除以二，得出一个圆的面积就是五十点二四平 方。底面积有了，现在我们要数的是它的高， 两个长方形的面积是二百四十，那么一个长方形就是二百四十除以二，得出一个长方形的面积是一百二十平方厘米， 而长方形的面积是用底面圆的直径乘高得来的，我们要求高，那么就先得得到底面圆的直径是多少？圆的面积是五十点二四， 那么五十点二四怎么来？圆的面积是 s 等于 pi， r 的 平方等于五十点二四， 我们知道 pi， 我 们在取的时候是取三点一四，那么 r 的 平方就是等于五十点二四，除以三点一四， 所以得出 r 的 平方是等于十六， r 的 平方是十六，意味着 r 就 等于 四四四十六。半径有了，我们要求高，直径怎么求？直径就是等于半径，就是厘米四乘二八厘米 长方形的面积一百二十，其中一条边是八，那么另外一条边就是一百二十除以八，它的高是等于十五厘米。 最后再根据公式，底面积乘高，求圆柱的体积就是等于底面积五十点二四， 乘上它的高十五，结果等于七百五十三点六。注意单位是立方厘米， 你听懂了吗？

啊，他的滚轮是一个圆柱式的，那关于圆柱你有哪些了解和认识？谁能说一说？ 花气果，嗯，我觉得圆柱就是他不像正方形那种平面图形，他是一个立体图形，说的非常好。还有呢？ 继伟，嗯，圆柱有三个面，一个是底上底面，一个下底面，一个是侧面。不像不像正方形和长方形那种，有，有四个面， 咦，正方体和长方体有六个面，他只有三个面，哪三个？孩子们一起说一说。上底面，下面， 侧面，啊，这是一个侧面，哎，还有孩子说到了什么？面？曲面，哎，圆柱的组成，面的组成好对折。还有，还有他那个上底是个圆形， 上底是个圆形，那下底呢？也是个圆形，而且这两个圆形有什么关系？相同，完全相同，周长面积都相等。那这是圆柱的什么 高？圆柱有多少高？无数条，看样子孩子们对圆柱已经认识的非常多了。那么我想问一问，你还想了解有关圆柱的什么知识？紫纯表面积，它的表面积，哎，是个好问题。七， 他，他的占地面积他的占地面积，子墨，他的体积，他的体积。看样子孩子们对于圆柱的探索还是充满了兴趣的。今天啊，就让我们一起来研究 圆柱，研究的是圆柱的表面积。我们在什么研究什么物体的时候说到过表面积 紧穿正方体、长方体、正方体和长方体。回忆一下正方体和长方体的表面积，底深是底深是底深 是底深是底深？哎，请一个孩子说一说。有很多孩子想起来了，郑哲， n 正方，正方体是 n， 边长乘边长，乘六是边长还是棱长，这是一个体，对不对面，我们才说边长棱，长乘棱，长乘六，通俗易懂一点，这个六是什么？ 六面，那也就是说是它的六个面的面积之和，那长方体可不可以这样说？可以，长方体的表面积是什么？ 好，小一，我们直接说就是他的六面的面积之隔。那孩子们思考一下，圆柱的表面积是什么？三个面积，三个面积，这是上底的面积加下 底的面积，再加侧面的面积，上面同意吗？同意同意。我们一起来感受一下。圆柱由几个部分组成？三个，这是上里面，这是下面，这是侧面，那它的表面积就应该要等于三 三个面啊，三个面的面积之和。我把它记下来，我们找到了圆柱的表面积，它是等于 三个面的面积之和。哪三个面？上面、下面、下面啊，一个是侧面，是不是 侧面的面积？还有是底面面积。哎，我就这样放的，你们同意吗？不同意。为什么还有一个上面留着？ 因为圆柱它的表面筋，它是有上面一个圆和下面一个圆的。嗯，所以它的底面积应该是上底面的面积加下面的面积。 我们刚刚说到了上下底面有个怎样的关系？相同相同，相克的面积是相等，相等，对不对？子涵，你想说什么？ 嗯，我觉得底面积后面可以写一个乘二，底面积后面可以写一个乘二，同意吗？同意，请坐下博城。为什么要写一个乘二？因为上底面和下底面是一样的，一样的，所以我们可以直接用底面积乘二。 底面积会算吗？会，怎么算？圆的圆的面积，圆的面积 s 等于 pi r 的 平方， pi 乘半径的平方， pi r 的 平方，那也就是说又算圆锥的底面积，只要知道谁就可以了。半径。 关键我们重点今天就聚焦在这一个什么侧面体，这个侧面与长方体和正方体的面有什么不一样？它是曲面，它是一个曲面。 曲面也有面积吗？有，孩子们猜一猜，你猜想一下，这个曲面的面积会和圆柱的什么有关？ 云溪，我觉得与它的周长和高有关。与它的周长，圆柱的周长，圆的周长，圆的周长。请坐下。莫寒，我觉得应该跟这个圆柱的高有关系，跟它的高肯定是有关系，你觉得是吗？嗯， 俊哲，你还和那个圆的跟那个周长有关系，因为他这个圆，这是什么底？底里面的周长有关系是吗？请坐下。 好，我们把得出的结论写下来。圆柱的表面积，我们刚刚说了等于侧面积加两个底面积。看看这里， 刚刚孩子们说了它与周长，而我们知道底面圆的周长，它的大小是由谁决定的？ 半径？半径，孩子们都认为圆柱的侧面与半径和高的长短有，那么孩子们，我们来看一看现在我变动的这是什么半径的半径？仔细观察 侧面的大小，你感受到了没有？请一个孩子说一说，这个半径与侧面的大小有什么样的关系？ 当我这样的时候，侧面变大了，也就是说当半径越来越大时，我们的侧面的大小也会越来越大，越来越大。哎，再看 怎么样？越来越小，越来越小。所以圆柱的侧面的大小与底面圆的半径有关吗？有，那我们再来看一下与高有关吗？ 有，有怎样的关系？如果高变长，那么就会怎么样？ 它的侧面就会变大，哎，如果高变短呢？侧面就越来越小，看样子 底面圆的半径和高圆柱的高的大小对我们的侧面肌是 存在着影响的，但侧面肌到底与底面半径和高有着怎样的关系呢？今天我们就一起来研究一下圆柱的侧面肌，但是侧面它是一个曲面怎么办？ 把它展开。金伟，可以可以把它展开，你觉得可以把它展展开的话，这个曲面就会变成一个长方形的平面，是不是？是哦，看样子孩子们都有想法了。好，拿出你的圆珠，拿出你的小剪刀，赶快尝试一下开始。 咳咳， 什么情况？ 哈哈， 好，已经操作完成的孩子带着你的方向和你组队的小伙伴分享一下 来吧。 啊， 哎 呀 啊啊， 可以吧， 哈哈哈， 来， 哈哈哈哈 啊， 几个孩子带着你的元素上来给大家讲解一下你的发现好不好？ 好，我给你按着你说。嗯， 这里是圆柱的两个底面，然后呢这是它的呃，侧面，呃，我们我们我们组发现那个这个它展开之后是一个长方形，然后呢这个长方形的，哎，这个长方形的 宽就是这个圆柱的高，然后而他的这个长就是这个圆的这个，呃，也就是里面的 呃。周长。你给大家来演示一下，为什么它的长就是里面的周长？呃，这个圆柱体本来是这样子的，然后呢这里就是它展开后的呃，长，也就是这个圆这个底面的周长 能看清吗？能，那我们带着大家走一圈，这个是展开前的样子对不对？是的，我们把圆放回去找一找，这个长能找到吗？能，刚好是什么？圆的边长，底面圆的周长。那你能得出什么样？ 测面积测面积，测面积。我觉得所以我们所认为测面积就是他的。呃，圆柱的高乘底面积的周长，底面积的周长，同意吗？同意哎，谢谢你非常棒。 谁来说一说像他这样说一说你的发现是一样的，对吗？好，那么我们一起看到自己的孩子们你们怎么样展开的 剪刀沿着哪里剪？剪刀沿着刀剪开，剪开以后得到的是一个什么样的形状？长方形，我们将曲面现在就变成了我们需要的平面了，是不是好，看到你的长方形。 长方形的长是哪里？呃，里面的圆柱的高啊，里面圆的中长宽是？呃，是圆柱的高。哦，圆柱的高。好，你这样不清楚看我这里， 我先给底面圆换上颜色，你现在能看到了吗？仔细看这样一个圆在展开的时候到了哪里？ 长方形的长是不是底面圆的周长和长方形的长是一样的？好，我收起来你再看一看。看出来了没有？看出来了？好，再看一遍啊，展开 合起来的时候更能看清楚对不对？好，再看到高高高展开以后到了哪里 两边两侧也就是长方形的弯，所以我们说侧面积就被转化成了什么样的面积。长方形的面积对不对 啊？我们知道长方形的面积等于长宽宽，长城宽，而长方形的长就是圆的底面圆啊，圆的底面周长， 长方形的宽就是圆。嗯，圆柱的高，圆柱的高，所以我们的侧面积可以变成圆里面，里面周长乘高。 嗯，现在你会计算圆柱的表面积了吗？会，如果用字母来表示，孩子们告诉我， a 等于 里面周长，怎么表示？二太低太低，或者二太儿成高高，我们用一个什么字母表示？ h 二派 r 乘 h 加上底面积，爱而爱的平方再乘二，那也就是二太而的平方， 这就是我们所研究的圆柱的表面肌。接着开始 侧面展开，是一个长方形，它的长就是长，底面周长宽就是圆柱的高，圆柱的面积还有 所以侧面积转化成长方形的面积，长方形的面积长成宽，就是底面周长成高。我们再来理一遍，再加上什么呀？ 两个圆的面积，这就是我们要求的圆柱的表面积，是的， 底面周长二帕尔乘高， h 加上二帕尔的平方，就是我们要求的圆柱的表面积。你现在会求圆柱的表面积了吗？会了，我们再来看一下这样一个老师，他对圆柱表面积的推的。 我们知道圆柱是由两个底面一个侧面组成，沿高把这个圆柱展开，这个长方形的船相当于圆柱的底面中长宽相当于圆柱的高，所以圆柱的侧面积就等于底面中长乘高，用字母表示就是 s 侧等于 c 乘 h。 知道了侧面积的计算方法，把这三个面加在一起就能得到圆柱的表面积了，也就是圆柱的表面积等于两个底面积与它的侧面积的和，用字母表示就是 s 表等于 s 侧加二倍的 s 底。 我们把这个字母公式接着展开，因为侧面积等于底面周长乘高，底面积等于 pi 乘二分，所以等于 c 乘 h 加上二 pi 二分，我们知道二乘二等于二分，所以等于 c 乘 h 加上二 pi 二乘二， 二拍二就是圆的周长，所以可以用 c 来表示，那么就等于 c 乘 h 加上 c 乘二，根据乘法分配律把 c 提取出来，所以等于 c 乘 h 加二的和，这个表示什么动动呢？你还记得圆面积的推导公式吗？ 对了，就是把圆切拼成近似的长方形，这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽就是半径二。 我们利用这个原理，把圆柱表面切拼成一个大的长方形，我们先把上面的圆切拼成近似的长方形，小长方形的长就是二分之 c， 它的宽就是二， 我们再把另外一个圆切拼成近似的长方形补过来，这样就变成一个大的长方形了。这个大长方形的长就是圆柱的底面周长宽就是高与半径的和，所以圆柱的表面积也可以用 c 乘 h 加 r 的 和来计算了， 听懂了吗？懂了，其实就是在这个地方把它运用了一次乘法的分配率。看面积，我们可以拆测面积来感受，也可以将什么， 还可以将两个底面积根据圆面积推倒，把它拆成什么样子长方形，对的，所以我们在这个地方还可以加一个怎样的公式？ s s 等于 c 和 h 加 r。 当然孩子们哪个你觉得用起来方便，你就用哪个，我这个方便的用。好，现在请孩子们看到我手中的这样一个圆柱体， 我给你，如果我让你算它的表面积，你需要我给你哪些数据？高，半径高，好，我现在给你。这要是手里这一个，它的半径 r 等于五厘米，高等于 二十厘米。请孩子们拿出你的淘淘本，帮我算一算它的表面积是什么？好转位，你来试一试。 oh， my god， 好，完成了吗？完成了，好，停一停。这我也得讲解，根据，根据我们得出来的，得出来的字母是，我们可以求出 底面圆的面积。底面圆的底面圆的周长，底面圆的周长等于二 k r， 我 们知道了半径，所以底面圆的周长就等于二乘三点一，四乘五等于三十一点四厘米。求出了 出了圆面圆底底面的周长，那我们就可以求出侧面的面积。根据第二个，嗯，求出来的字母是 c 乘 c 乘 h 加 r 的 和，我们可以 嗯，得出三十一点四乘二十加五的和等于三十一点四乘二十五等于七百八十五平方厘米。请问大家有什么问题吗？ 同意吗？同意，你们算出来也是七百八十五平方厘米吗？是的，好，谢谢，感谢你们帮我解决了这个问题，那么我们不但可以用 s 等于 c 乘 h 加二乘 r 的 都是可以的。 请孩子们继续。你们帮我解决了这样一个问题之后， 我手里还有一个薯片的盒子，它的侧面贴着商标纸，圆柱的里面半径是五厘米，高是二十厘米。这张商标纸的面积又是多少呢？ 咦，还是求整个表面积吗？不是，是求侧面积，看样子实际问题中还有不同的情况发生，对不对？这个时候我们还能选择这个公式吗？不好，尝试一下，如果是这样又该怎么计算？ 哎，一会你的孩子已经送完了， 你们算出来是多少？六百八平方十八平方米，请跟孩子说一说 有账怎么算？我用的公式是 s 等于二帕 r h 二帕 r h。 好， 钥匙简化一下， s 等于 c h 可以 等于二乘三点一四乘以五乘二十， 二乘三点一四乘五乘二十，得到的结果是六百二十八平方厘米 啊，这张商标纸的面积是六百二十八平方一米，这个时候我们要求的就只有哪里了。 色面，哦，这个薯片桶的色面积。所以孩子们，我们在求面积的时候要具体的问题 具体分析对不对？并不是所有的球面积都需要球圆柱三个部分的面积，是吗？那你看到这里先和你的同桌说一说这些是球底面积，侧面积和侧面积还是表面？开始 啊啊 啊啊 啊啊啊， 接下来请一个孩子你上来试一试，方法是我们可以将这一朵云移在你认为该在的位置，如果消失了，说明你就对了。 好结果，你来试一试。孩子们帮他检查一下，先读题，再移 做茶叶桶所需铁皮的面积，嗯，我认为它是，就是像这个圆柱一样，它所有的地方都是铁皮，所以我认为它就是求它的表面积。嗯， 第二个，压路机的滚筒转动一周压路面积让我们求是压路面积，嗯，我们那时候已经看过这个压路机的滚筒了，就是它是这么装的，这样滚，呃， 如果像我这样滚的话，你们可以看出来它滚的其实就是这个圆柱的侧面积，所以我认为它压路的面积就是侧面积。 第三个做一节烟囱所需铁皮面积，嗯，有的家里是有过烟囱的，烟囱就是那种。呃，一个桶，但是没有上，没有上面、 上底面和下底面，因为他需要把烟把它排出来往上，所以我认为他就是求的这这一个圆筒，这一个圆柱的侧面积。 第四题，圆柱形鱼缸的占地面积。假如这个圆桶是那个圆圆，呃。鱼缸，它是占地面积，其实我认为它就是它的底，它就是它的一个底面积。 呃，所以我认为它是求它，求的是底面积。 第五题，圆柱形水池镶瓷砖的面积。呃，我认为圆柱形的水池的话，就是比如像观赏鱼缸，他的上面就不会，上面应该就不会有上底面， 因为他要网鱼啊，加水什么的，所以，呃，我认为他镶了瓷砖的面积， 我觉得他镶的瓷砖的面积就是他的底面。呃，但是我不确定他要不要镶，他的四面积不知道要不要镶，孩子们要不要镶？要，要，所以我们应该选择 一个底面积和一个四面积。最后一题，薯片盒上商标纸的面积。 呃，我们刚刚求的就是一个薯片盒，他的上，他的下面就是本来就看不见，不会贴商标，上面就是盖子，需要打开，所以我认为他求的是。呃，这个薯片盒的侧面写可以吗？可以。 哎，你看我们一开始涉及到的这些原圆柱，生活中常见的圆柱的物体，在不同情境下要求的面积也是不同的。所以孩子们以后在学习中遇到这种问题，我们先要来思考具体的情境。那最后 给你这样一个思考题，要是有一个木头，它的里面半径是两分米，高是十分米，现在我要将它截成两段， 问你表面积之和比原来增加了多少？尝试一下， 做完了吗？做完了请跟孩子说一说你有什么想法？ 切球，我觉得把它截成两个，它就是它就是增加了两个两个底面积。增加了两个底面是吗？打开以后会增加两个 底面，切开以后会增加两个底面，也就是两个圆的面积，所以你算出来答案是二乘以二二 pi r 的 平方，也就是 二十五点一二，还有吗？莫寒，我觉得他还可以竖着切，那么增加就是竖着切长方形，咦， 什么样子？是竖着切还没有感觉吗？来说一下是不是这样？ 他增加的就是什么样的面，两个长方形，这两个长方形你能找到他的长和宽吗？能，长是直径，直径宽是高，所以他增加的面积还怎么算？一算 四十，八十多少？八十一个长方形的面是四十，两个就是八十。所以孩子们，我们在思考问题的时候应学会多角度多方法去思考。好，今天我们就一起学习了什么人之的两面 面积。回到这里我们再回顾长方形真方体的表面积以后再看到的圆柱的表面积。那么请孩子们仔细观察一下这三个立体图形之间有着怎样的联系，或者说你发现他们有什么的相似之处吗？ 子辰，他们，他们都有高，他们都有高， 这是正方体的高，这是长方体的高，这是。哎，有圆柱的高，他们都有高，是不是？还有吗？十七，他们都有一个共同的表面积，公式是什么 啊？你觉得他们都有一个共同的体积公式是吗？底面积乘，你为什么会这么认为？

学习了圆柱的展开图，你能用学过的知识解决这个问题吗？ 中间有两个圆柱，仔细观察它们的数据，你认为哪三个图形可以围成圆柱角，哪三个图形可以围成圆柱乙呢？请两个同学上来，分别把它们拖进去。 你们两个 米托甲的啊，米托乙的， 恭喜你们都选对了！老师，刚刚发现 你们都选的是两个相同的圆，你来说说为什么？因为圆柱的底面是完两个完全相同的圆。说的真好，那 你为什么要选这个长方形，不选这个长方形呢？因为二十厘米对应六十二点八，二十厘米乘三点一四，就等于它的周长。哦，这个周长正好等于这个长方形的什么长？ 说的很好，请回到座位。看来同学们学过的知识没有忘记，还能灵活应用， 一起看看。圆柱以的沿高展开图， 中间这个长方形是圆柱哪个面的展开图呢？侧面，所以这个长方形的面积就会等于谁的面积。 圆柱状面的面积。 那这两个圆的面积是圆柱哪两个面的面积啊？两个底面的面积。 那圆柱的侧面积 加上圆柱的底面积就等于什么呢？圆，圆柱的面面积。 今天这节课，我们就一起来研究圆柱的表面积。 老师画了一个圆柱，我们一起来看看它的沿高展开图。 谁能用自己的话说一说圆，圆柱的表面积指的是什么？ 你说圆柱的表面积指的就是它的一个侧面积加上它两个底面积。哎，你真是一个善于总结的孩子，请坐！ 圆柱的表面积指的是它的侧面与两个底面的面积之合。那圆柱的表面积具体怎么求呢？我们一起来看看 两个圆的面积你会求吗？会会。那等于什么呀？等于什么？概二的平方， 关键是 它的侧面积怎么求呢？接下来我们分小组一起探求圆柱的侧面积公式 要求小组合作，共同共同完成。合作单时间是四分钟，计时开始。 这个长方形的长势面的皱纹，然后身上长了一个圆珠的小圆珠的小圆珠 是。好的，谢谢你。别动，里面都是水 长方的圆柱的展开后高是一个长方形还是圆柱的高，然后就是扁的 轴 站住的下面就站站站，我真的挺 侧面就变成了一个长方形， 成了一个长方形 圆珠字的圆珠字的圆珠字写 什么？写几个，哎，写一个。那个长方字的长就是里面的圆珠字 长发及腰高， 香港香港里面的 我以求求求求求 求求求求求求求求求求 啊！ 时间到 你来说说你们组的推打过程。 呃，我们小组先用了这个圆柱的展开图，我们可以发现圆柱侧面沿高展开就是一个长方形，长方形的面积与圆柱侧面的面积是相等的， 所以长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高， 就可以得出圆柱的侧面积等于底面周长乘圆柱的高用字母表示。底面周长可以用 c 来表示，圆柱的高可以用 h 来表示，所以用字母表示就是 s 侧等于 c h 思路非常清晰，写的也很有条理。请回到座位。接下来我们一起把圆柱的侧面积公式再梳理一下 圆柱它的侧面是一个什么面？曲面，我们可以用数学里的转换思想将曲面转换成平面， 那么圆柱它的侧面沿高展开之后，就变成了一个 长方形，而这个长方形的长等于圆柱的什么？平面图长， 而这个长方形的宽等于圆柱的什么高， 那么圆柱的侧面积就会等于什么？一面一面周长乘圆柱的高。 周长用哪个字母表示 c 高呢？ h， 那 我们用字母表示 s 测就等于 d h。 圆的周长公式还记得吗？周长等于派 d 或二派二。嗯，说得很好，那么 它的侧面积就也可等于什么呀？派 p h 还可以等于二，派二 h。 那 我们发现求圆柱的侧面积有几个公式？三个，什么情况下选择第一个公式呢？ 告诉了我们圆柱的底面周长就用第一个公式，就告诉你周长你就能求出来了。还有圆柱的高，说完整，什么时候用第二个公式呢？嗯，告诉了我们圆柱底面的 直径和圆柱的高。什么时候用第三个公式呢？告诉了我们圆柱底面的半径和圆柱的高，我觉得非常好， 那么接下来我们就一起用侧面的公式来做一下练习。请同学们看到坐一坐， 请一个同学读题，你来一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱底面半径是五厘米，高是二十厘米， 这张商标纸的面积是多少？声音响亮，读得很清楚，请坐，请同学们独立完成题目 做完的请举手。四 五 国庆节快乐，踏步一二踏 步。 好，一起来看看这道题要我们求的是什么？算命算命算命算命。那它告诉我们哪些数学信息呢？ 里面的选择里面三百斤和圆柱的高哦，告诉了底面半径和高，那选择第几个公式，第三个 做对了，请举手！这么棒，这道题完成了吗？没有，缺了啥？答，这个，解决问题千万不要忘记做答。下面 我们已经学习了圆柱的侧面积公式了，那圆柱的表面积公式 你会了吗？会，会了，会了，等于什么呀？请一个同学来说， 你说圆柱的表面积公式等于二 pi r h 加上二 pi r 的 平方。哎，总结的很好，我们看，我们直接用它的侧面的公式，看到这左边对不对？ 而前面我们这两个底面的面积应该怎么样啊？那么我们知道圆柱的侧面积公式，圆柱的表面积公式 就是 s 表等于二 pi r h 加上二 pi r 的 平方。接下来请同学们完成学习单上的知识规划。 ahh ah 同学们，我们学习知识就是为了生活中的应用。老师想做一个圆柱形的铁皮水桶，请你帮忙计算需要的铁皮面积。 看到例一，请一个同学读题，谁来？你来做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，高五分米，直底面直径四分米，至少需要多大面积的铁皮？你的声音真好听，请做， 请同学们独立完成题目。 ahh ah ah ah 先不要作答， 注意这道题先不要作答！ 好，刚刚老师看了，大部分同学都已经做完了，老师拍了两种解答方法， 谁来说说你的见解？谁来说说你的见解？你说， 而这个同学，他做错了，为什么呢？因为他说的是做一个无盖的圆柱形铁皮水桶啊，那他错在哪里？无盖 他求了几个底面，他求了两个底面，应该只求一个就够了。哦，是这样， 那你觉得这个同学做对了吗？ 做对了哦，他的是对的，是不是请做。哎，这位同学不仅会审题，还能够准确的把自己的想法说出来，真不错， 看看老师怎么做的。这两个同学啊，有一个做的非常好，就是他们在处理这个直径的问题上啊，来都是算了半径再去做的。 无钙说明要求哪几个面的面积啊？一个一个一个里面的面积，所以我第一步先求侧面积， 第二步 求水桶的底面积， 第三步将侧面积和底面积相加起来计算结果等于七十五点三六平方分米。 放对的同学举手。老师看看哦，请坐哦。我刚看了啊，还是有个别的同学出了问题，那么 如果这道题他要我们结果保留整平方分米，那也就是要我们求他的 平方数哦，那我用四舍五入的方法求得七十五点三六平方分米就约等于七十五平方分米，你们同意吗？不同意 来，那那个女生你说。嗯，七十五平方平方分米是不够的。嗯，他还有一个零点三六平方米没有。呃，没有用用到，所以应该是七十六平方米才应该平方分米才够。哦， 请坐。你真是一个爱思考的孩子，学习数学就需要你这种质疑精神，因为在这道题目当中实际使用的材料比我们计算的结果要怎么样啊？ 我也行，那我们用这种四舍五入的方法取净四数行不行？不行，面对这一类的问题，我们要用净一法来取净四数， 那如果用净一法的话，七十五点三六应该约等于多少呀？七十六点三米，最后作答 至少需要七十六平方分米的铁皮。同学们，在我们生活当中有许多圆柱形的物体，老师搜集了一些图片和视频，咱们一起来看看 圆柱形的茶叶桶，这是什么烟囱？仔细观察烟囱，它的两个底面都是红色的。 圆柱形的水池这个见过吗？有没有见 过？生活中还有很多的圆柱形物体等着大家去发现，下面我们一起来玩一个游戏， 看看遇到这些问题，你知道是求哪几个面吗？我们随机选两个同学上来， 恭喜你们两个，陈意涵，余洋清，余洋一哦余洋一哦， 老师说一下规则啊，这个游戏规则是谁先选择正确的答案，谁加一百分，所以不仅要选对，还要选的快准备好了没有？准备好了， ready go 啊！我的天呐，你这是才挂了吗？你一个人得了五百分，太厉害了！没关系， 我们一起来看看这些题目。 第一题，计算做一个圆柱形茶叶桶需要多少纸皮是求圆柱的哦，乘面积加两个底面积。 计算做一个圆柱形的烟囱要求多少面积？错面积， 压路机前轮转动一周的压路面积是求圆柱的错面积。哎，这个你们也知道， 这个题目求圆柱形水池的占地面积。底面积，这期不是求它的表面了对不对？ 做一顶厨师帽至少需要多少面料？是求圆柱的一个面积加一个底面积，为什么加一个啊？因为它要加一个底面积五十。 通过这个游戏，我们知道在解答问题前一定要怎么样啊？先分析对，看他要求的是哪几个面的面积，然后再选择解答的方法。 接下来我们一起来看看压路机里面的数学。请个同学读题，谁来？ 李田，一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽两米，直径一米，前轮转动一百周，压路的面积是多少平方米？ 读对声音很好听，但是老师要纠正一个字的错误啊，这个是念经啊，读念经。好，下面请同学们独立完成题的题目， 老师拍了两个同学的解析思路，我们来看看，他们的算是不同，但是结果是一样的。 云烟，你能说说你算式的含义吗？我先求出圆柱的底面周长，也就是圆柱侧面展开图，长方形的长啊， 再乘以圆柱的圆柱的高啊，就是就是圆柱的侧面积啊，再乘以一前轮转动一百周，再乘以一百。所为什么求它的侧面积呢？ 因为压路机滚动的面积是圆柱的侧面积哦，他也就他滚动一周，就是他的什么呀？侧面积，然后他说滚动一百周，再乘一百，是不是？哎，思路很清晰，请坐， 你来说说你的三式含义，那个圆柱的侧面展开图，其实就是一个长方形，我们可以先求出这个长方形的长，然后再乘它的宽，就会得出它的面积 哦，它的长，我们来看看它的长，这个三点一四乘以是什么？ 算出他他转动一周的周长哦，转动一周的周周长的长哦，然后再乘一百，也就是这个大长方形的长，是不是？嗯，你的思路好特别清楚， 刚才呢，这两位同学，他们的方法都是对的啊，但是在解析的过程当中，我们可以自己选择自己喜欢的方法， 转动一周就是什么呀，求前人的作用面积。那老师的方法也是先求出转动一周的面积，然后再怎么样乘一百等于转动一百周的压力面积了。 最后作答压路机的面积，压路的面积是六百二十八平方米。 老师，这里还有一个有趣的视频，也是关于圆柱的表面积公式的，我们一起来看看 这个视频。我们来说说圆柱的表面积。我们知道圆柱是由两个底面一个侧面组成，沿高把这个圆柱展开，这个长方形的长相当于圆柱的底面周，长宽相当于圆柱的高， 所以圆柱的侧面积就等于底面周长乘高，用字母表示就是 s 测等于 c 乘 h。 知道了侧面积的计算方法，把这三个面加在一起就能得到圆柱的表面积啦。也就是圆柱的表面积等于两个底面积与它的侧面积的和，用字母表示就是 s 表，等于 s 测加二倍的 s 底。 我们把这个字母公式接着展开，因为侧面积等于底面周长乘高，底面积等于 pi 乘二分，所以等于 c 乘 h 加上二 pi 二分。我们知道二乘二等于二分，所以等于 c 乘 h 加上二 pi 二乘二， 二拍二就是圆的周长，所以可以用 c 来表示，那么就等于 c 乘 h 加上 c 乘二，根据乘法分配率把 c 提取出来，所以等于 c 乘 h 加二的和，这个表示什么东东呢？你还记得圆面积的推导公式吗？ 对了，就是把圆切平成近似的长方形，这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽就是半径二。 我们利用这个原理把圆柱表面切拼成一个大的长方形。我们先把上面的圆切拼成近似的长方形，小长方形的长就是二分之 c， 它的宽就是二。 我们再把另外一个圆切分成近四的长方形补过来，这样就变成一个大的长方形了。这个大长方形的长就是圆柱的里面中长宽就是高于半径的和，所以圆柱的表面积也可以用 c 乘 h 加二的和来计算了。 圆柱表面积的计算方法你都掌握了吗？太神奇了！这里面用到了我们数学里面常用的一种方法，竖形结合， 想要继续研究的同学，课后可以再去看看视频，说不定你会有新的发现。 同学们，今天这节课你有什么收获呀？有什么感想？你说我学会了数学里面常用的转化思想啊，请坐。 你说我学会了团队合作解决问题，真不错。你说我学会了用塑形结合的思想解决解决生活中的数学问题。说的真好，还有吗？费心球，你说我。

朋友们，今天我们讲解一下这道六年级高频易错题，求圆柱形的表面积。首先我们观察一下，现在图中给了我们两个已知量，一个是长十八点八四，一个是宽十分米，那么根据这个图形，首先我们看一下十八点八四是什么条件， 看这两个是圆柱的表面底面积，那么这一部分是不？圆柱的侧面积，那么这十八点八四是不就相当于圆柱侧面积的底面周长，对吧？知道了底面周长， 然后我们是不能求出直径，半径是不都就能知道了，所以说我们用十八点八四除以三点一四除以二，半径是不就是三？ 半径是三分米的话，然后我们再看宽这个十，告诉我们什么条件，首先看这这边是不一条直径， 这一条边是什么呀？侧面积的宽其实也是圆柱的高，对吧？那么这是十，我们直径算出来刚才半径是三，直径是不就是六， 然后直径是六分米的话，然后我们用十减去六，那么这个圆柱的高是不就是四分米？ 圆柱的高也知道了，半径也知道了，我们是不是就能求出表面积了？所以说两个底面积三点一四乘以三的平方乘以二，再加侧面积派 d h 三点一四乘以四，算出得数，大家理解了没理解同学 点点赞并加关注，然后评论区扣一不听，没听懂的同学，然后咱们私再私信讲解。

最近老师遇到了一些问题，想在这节课跟同学们一起来研究一下，我要给我的女儿买了一份这样的礼物，现在我想把这个礼物啊全部包裹起来， 需要准备多大的包装纸？这样的大小够吗？不够，肯定不够，那我们想用包装这份礼物把它全部包裹起来，需要包装他的哪几个部分呢？哪个同学来指一指？好，可以去， 我们需要包装它的上面和下面以及它的侧面，同意吗？同意吗？同意，你的回答非常的流畅，回答很流畅，而且很清晰，表达的很好。那我们来想一想，既然 个圆柱这个礼物，它的三个部分实际上就是我们今天要研究的圆柱的表面积，所以我们今天这节课的时间，我们一起来研究圆柱的 表面积。好，通过刚刚我们的分析，我们知道圆柱的表面积实际上是这三个部分的面积之隔。 好，这样是知道它的隔，那这两个部分，我们把它叫做圆柱的表面这个部分，那我们就不难分析出那圆柱的表面积实际上是等于什么？圆柱的表面积实际上我们就可以得到，应该要等于等于圆柱的一个侧面积 加上两个底面的面积。好，那我们就得到了这样的一个环形式。那我们思考一下，我们要求圆柱的表面积，实际上只需要知道什么和什么就可以了， 圆柱的侧面的面积，圆柱的侧面积以及两个底面的面积就行了， 那我们已经知道了。哎，原来圆柱的表面积就是去求这两个，那我们仔细再来观察这一个圆柱，我们仔细来看这圆柱的两个底面，它是什么图形面积的面积我们能求吗？能，这个问题我们可以解决，现在我们思考一个问题，哎，这个圆柱的侧面 他是一个局面，那他这个面积我们该如何去求？我们可以聊出来吗？不可以。那你能有其他更好的办法吗？高教授，我们可以将圆柱的侧面进行展开，得到一个长方形，这个长方形的面积就是圆柱的侧面积。 我觉得我们大家所同学的回答非常的有条理，也很清晰。好，他跟我说他把这个圆柱的侧面展开是一个什么形状？长方形，他说是一个长方形， 但是你就知道是不是一个长方形，实践是检验真理的唯一标准。那我们先看一看，它会展开是一个长方形，那我们试一试它到底是不是一个长方形呢？现在袁老师手上拿着是一个 圆柱，现在我将它展开，也就是沿着圆柱侧面的这个高将它展开，我们看一下是不是像包小鼠同学所讲的那一样。好， 现在我们来看，现在于老师将这个圆柱展开了，对不对？我们看到的侧面是不是一个长方形啊？是一个长方形， 大家看一下是不是？你就说我们高中同学说他说把它展开是一个长方形，那接下来于老师又有一个疑问了， 我们把它展开之后，它是一个长方形，那这个长方形跟原来的这个圆柱到底有什么关系呢？那 圆这个长方形的面积我们又该如何去求呢？那接下来我叫小程序们带着这两个问题进入我们今天的小组合作的环节。好 听要求，首先我希望每一组首先第一个安排一个同学解，解的同时其他几个人认真的 观察，观察完之后再讨论官方于老师的提的问题，再完成导学单。完成之后，我们安排每组安排一个人进行总结发言，限时五分钟。好，现在开始。 这个同时你要仔细观察得到的展开的这个长方形有什么关系，如果有评论了，你们就可以研究导学班上面的问题，可以自己在里面讨论一下。好，我们请 每一组的同学来说一说他们的研究题目。请说桥上来 来说一说我们研究乘除公式，我们可以先沿着圆柱高将圆柱剪剪开，将圆柱剪开就可以展开，就可以得到一个长方形，所以此时我们就可以知道，长方形的侧面积对，圆柱的侧面积相当于长方形的面积 再对应，所以长方形长相当于圆的周长，长方形的宽相当于圆的高。再解决第二题，展开长方形的基本公式就长乘宽， 圆柱的侧面积长对应圆的周长，宽对应圆柱的高，所以前面圆柱的周长乘以圆柱的高。而再看第三题，圆柱的侧面积用字母表达是表达，所以用字母表达是圆的周长就是二块二，但那么圆柱的高就用 h 来表示。 掌声，刚刚我们的苏文强同学思路很清晰，也调理很清楚，他展示的他们这一组的研究的结果啊，但是同学们，你们认同吗？ 认同他的结果吗？认同，有疑问吗？啊，今天请你来说一说啊，是，这里说的是展开图，他是一个长方形到长方形，他的公式就求出来了，但是如果他这里是一个展开，是个正方形，他的公式还成立吗？ 你的意思是说他展开可能不一定是个长方形？我觉得你的质疑非常的有建设性，我觉得你很有帮，数学家潜质非常好，这样有疑问我们就答什么解决，有疑问就解决好。正好袁老师做了一个这样的一个圆柱， 我们仔细看这是一个圆柱，这个是半径，底面圆的半径，我们把半径调节 它的圆圆的面积，底面圆的大小是不是会变化？对，所以说变化它会变小，同时这个是圆柱的高，它也会怎么样？ 变大变小，对不对？当它的半径和高达到某一个关系的时候，也就是说当我们的底面圆的这个半底面圆的周长和水相等的时候， 等的时候，我们接下来他会出现一个什么现象？仔细看，现在我教他展开这个什么图形？正方形。因为这个时候我展开的时候这个长方形的长和圆柱的高怎么样 相等了，这个时候展开的是个什么图形？正方形，方方。我们现在请记住这个理论，如果展开的是个正方形，这个结论还成立吗？ 我们想一想，不管它是展开的是个长方形还是个正方形，我们展开的这个矩形或者说正方形，它的这个边长是不是还是底面积的周长？是，也就是说长还是底面积的周长？只是我们这个长是变成了正方形的 边长，而这个高正好也是正方形的边长，所以还是用底面周长去乘以高，是不是还是求出的是正方形的面积，也就是反映出来是圆柱的侧面积，因为它展开的是个什么图形，是一个 正方形，那接下来我们再来看一看，我们去演示一下，这个是展开的是一个这样子的形状啊， 展开就是这样的一个形状，很好看，同学们非常有质疑的一个这样的心态，那接下来我们来看一看，既然我们得到了这样的一个关系，那我们也知道，原来我们把这一个圆柱体展开， 我们将这个圆柱体展开，你会发现确实圆柱的展开的侧面展开的长，方形的长，就等于这个圆的底面圆的周长， 仔细看看一下是不是？所以我们这个结论是成立的，那我们来看一看，我们将这个圆柱这样展开，是不是就能得到三个部分， 是不是就得到了这三个部分？而我们刚刚通过我们的研究，也得到了一个原来展开的长方形，实际上就是圆柱的侧面积， 而长是底面圆的周长，所以我们能得到这样的一个，那就是圆柱的侧面角，它是等于圆柱的底面周长去 乘高，这个侧面就求出来了，我们只需要干嘛乘以两个，我们只需要再加上两个底面的 面积，是不是就能得到圆柱的表面积？公公，我也看到我们苏文强这一组，他们这后面还得到了一个什么公式啊？所以在数学上为了表达的方便，我们可以教文字的公式，也可以整洁出一个字母的公式，那这个公式就是，哎， 底面周长，你的周长二百二，我们只要知道圆柱底面的半径以及这个圆柱的高，我们就可以得到一个这样的，我们是二百二乘以高，高 h 加上 ok 到别的面积等于二派儿的平方，派儿的平方再乘一个减二，所以我们写字母公式的时候，我们把数字写在前面，所以是二派儿的平方。好， 报告同学们，经过我们这样的一个学习研究，我们发现得到了一个解决这个援助表面积的计算的方法以及公式。那我们总结出了计算的方法，那能不能解决于老师最开始的问题了， 这个礼物包装到底需要多少的包装纸？所以于老师我特意的去怎么样去测量了一下， 我得到了一个这样的数据，出来计算一下，我大概是测得这个圆柱的半径大约等于四厘米，这个底面圆的半径，这个圆柱的高得到的是二十厘米。那我们 能不能利用我们刚刚所研究出来的这个计算的方法能求出这个问题呢？现在我们只需要干嘛呢？把数据带入我们这个公式就行了，对不对？ 直接带就行了。二乘以太，我们取乘以四，再去乘以二就是多少四，那就乘以四，再去乘以二十，二十对二十就是高，那这个式子求出的是啊面积，但是我们还要加上 二到十二点二元的面积，两个元的敌面元的面积乘以三点一四，再去乘以二平方，二四个平方能求出来吗？能，同学们呀，算 做完了呢，我们就做好。好，我刚刚看了一圈，大部分同学已经完成了，还有小部分同学还没有完成，还有最后一点点好作证。好，刚刚我们只需要去进行计算。好的同学来说一说你求助的，他就说 你来说说你求出的这一个正面积是多少？我求出的正面积是五百零二点四，五百零二点四，求出的底面积是一百点四八，一百点 四八，所以求出的表面积等于六百零二点八八平方厘米。六百零二点八八， 前方零米，请坐。同学们，你好吗？你好，我们一起来验证一下。同学，我刚才看到这个解决过程有出现二乘以三等于四，乘以四乘以二十，实际上我们实验就是乘以几块六块， 十六块，十六块等于多少？五十点二四，二十四到二十，因为这里是十六块，实际上是这里是多少？一百六，所以实际上再去乘以十，那就是五百零二点四。好在这里同样的这里是多少块？三十二块还是十六块十六块？我们知道应该是 五十点二四，但是这里乘以减二乘以二，所以是一百点四八，求出来是六百零二点八，这个是正确的。好，那我们想一想，一个完整的解答过程做完了吗？ 我们还要干嘛？对，我们还需要做到，记住我们要完整的解答，需要有过程，还要有解答，至少需要六百零二点八八。 密封瓶封迷你的纸包装纸说我们解决了这个包装纸的问题。大同学们思考一下，我们刚刚是不是 用数学知识来解决了生活中的问题，那就其实这就说明什么？说明我们的数学既来源于生活，也也源于生活。那现在刚刚我们是用我们自己研究的这样的一个成果来解决了一个 跟老师一起来解决了一个生活中的问题，对不对？那你们现在能自己独立解决问题了吗？嗯，是吗？可以光说胡念假把式，那我们一起来练一练，练一练他的下一题，等着他们四分钟、三分钟的时间。

无理伪装自己，世界很大，别总在原地，不惧风雨，闯荡四季，这烈火才是生命的意义。 不会遇到很多的难题，披上战衣，披荆斩棘，太阳升 起， 是否追梦路上手足，有太多事总被人摆布， 你是否读了很多年书，还是沦为生活的囚徒？正方形的手，他的一个人吗？你为了自己，世界很大，别 走，烈火，这才是生命的 一匹劲战旗，太阳升起，你的眼前将晴空万里， 那这边是不是就是我们书本经验，关于你们利奥所讲所要求我们学会什么？如何求研究的什么测验机制，对不对？ 有太多事总被人 否，读了很多年书，还是沦为生活的囚徒。好，我们看一下下面， 为了自己，别总空在了原地。我去，风雨穿过四季，这烈火，这才是生命的意义。请 你站起，太阳升 来，我们把课本翻到十二页，这边呢，就是关于什么表面题目的字，对不对？那需要我们先干嘛呀？把这一个什么这个圆柱的展开图给他画在下面，是吧？

同学们好，今天我们来揭秘圆柱测面积的公式是怎么来的。先回忆一下，圆柱的侧面是一个弯曲的面，如果我们沿着高把它剪开，展开后会变成什么形状呢？ 没错，展开后变成了一个长方形，长方形的长就是底面的周长，宽就是圆柱的高。所以圆柱测面积等于底面周长乘以高，底面周长等于派乘以直径，也就是二派二。 写成公式就是测面积等于二，派二乘以 h， 其中二是底面半径， h 是 圆柱的高。 来做道题，一个圆柱底面半径三厘米，高十厘米，求测面积代入公式，二乘三点一，四乘三乘十等于一百八十八点四平方厘米。记住口诀，侧面剪开变长，方周长乘高，求面积。同学们，你学会了吗？

同学们好，上节课我们学了圆柱侧面积，今天来搞定圆柱的表面积。先来区分两个概念，侧面积是圆柱弯曲侧面的面积。表面积呢，是圆柱所有面的面积之和。 圆柱有哪些面？两个底面加一个侧面，所以表面积等于侧面积。加上两个底面积等于派 r 的 平方，两个底面积就是二派二的平方， 所以圆柱表面积公式是 s 表等于二 pi r h 加二 pi r 的 平方来做道题。圆柱底面半径二厘米，高五厘米。侧面积等于二乘三点一四乘二乘五等于六十二点八。底面积等于三点一，四乘四等于十二点五六。 表面积等于六十二点八，加二乘十二点五六等于八十七点九二平方厘米。记住，侧面积只算侧面，表面积要加两个底，同学们学会了吗？

回看我们昨天探讨的这个问题，他在解决什么？精英，他在解决圆柱的表面积，数学眼光，这就是我们今天要探讨的内容。 现在进行组内共学，时间五分钟开始。 哪个小组先来分享文件，小组要做一个圆柱形纸盒，如果接口不进，至少需要用多大面积的纸板， 从屏幕中他是要做一个圆柱形纸盒，这边又说需要用多大面积的纸板，我们就能看出他是要求圆柱的表面积，而圆柱形纸盒是由一个侧面和两个底面组成的。 我用的方法是一个最简单六岁无期的方法。我们知道一个圆柱大概是这样子的，而我们可以把它沿高剪开， 就变成了一个长方形与两个圆形，而这两个圆形是圆柱的底面，而这个长方形是 侧面，能展开图，所以我们知道就是由圆柱面积，圆柱表面积都是由这个长方形的面积加两个菱形的面积。接下来我们来求出这这一个长方形侧面和这两个里面的面积。我们 可以看出长方形的长等于这个圆柱底面的周长，长方形的宽就等于圆柱的高十厘米 底面，这两个圆就是两个底面。我们来看，既然长方形是高乘底面周长，那我们就可以用十乘四乘二乘三点一四，得出长方形的面积为二百五十一点二。 接下来我们来求圆面积，圆的面，这两个底面的面积是二的平方再乘二，所以底面积为四乘四乘三点一，四乘二等于一百点四八，求出两个底面的总面积， 那圆柱的表面积就为二百五十一点二。长方形的侧面展开图加一百点四八，也就是两个里面的总面积等于圆柱的表面积三百五十一点六八平方厘米。 大家听明白我们小组的想法了吗？讲的非常完整，跟他们小组用到一样方法的请举手。 这么多小组都用到的这种方法，孩子们在探求圆柱表面积的计算方法当中，哪一部分会比较困难？我认为在计算圆柱表面积的时候，侧面积是最难算的。 那我们刚才是怎样探求出圆柱测面积的计算方法？你能再讲一遍吗？能。首先我们将这个展开图还原回原来的圆柱形，那么我们发现这个长方形其实就是上面的这个顶面 展开出来长方形的这条长就是这个底面的周长，那么长方形的高就是圆柱形的高。我们知道的长方形的表面积等于长乘宽，那么这个长方形的表面积， 这条宽是高，这条长是圆的周长，所以这个长方形的表面积就要等于底面周长乘高。 谁还有补充？我的发言结束，刚才我们一直用到一个很重要的数学思想，转化思想，我们运用到了转化思想，转化思想可以让图形化新为旧、化取为值、化繁为简，在这过程当中，什么变了，什么不变？果然 图形的形状改变了，但它的面积不会改变，很好，请坐。那么侧面还能转化成哪些图形呢？我还能将侧面转化成平行四边形，能说说你怎么计算这个侧面吗？ 侧面，侧面，将它斜着剪开一条线，斜着剪开这条，我们可以把它看作像我们第一次推到平行四边形的时候，平行四边形面积的时候，将它移多补少，移到这 我们可以发现平行四边形的高，将它转化之后，也就是这块长方形，那么它的高相当于我们剪开的这条十 cm， 第一同样也要围绕着这个里面周长一圈，所以所以它的平行四边形的高，里面的周长就是长。平行四边形的底， 大家还有补充吗？我还可以将圆柱的侧面肌转化成梯形。首先第一步，先将圆柱的侧面肌像孙一阳那样转化成一个平行四边形，然后 在平行四边形距离顶点有一定距离后，画一条斜线，这里的距离和这里的距离相同，这里的距离也和这里的距离相同，所以是两个相同的心形。你们有什么想说的吗？龙吟， 我认为上一次反而焕然一新，因为我们要求长这个圆柱的侧面积，如果给它转化成两个梯形，我认为还不如给它转化成一个梯形。我对农民的发言有补充， 而且把它转化成两个梯形后，这一条梯形的底下底和上底很难算，还有补充吗？你对他们的想法我同意他们的想法， 除了转化成平行四边形，不规则的可不可以？可以这样子可以吗？可以， 那这样子可以，也可以陈述。我有总结这个圆柱体的侧面积，不管结成什么样子，它最终都 可以通过割股回到原来的长方形。大家同意我的想法吗？同意，看来这么多种的转化方法，最后殊途同归。总结完测面积的计算方法还是 一是会转化是前提，懂得找内部之间的关系更是关键。现在我们明白了测面积的计算方法， 现在谁能用字母式表示圆柱表面积的计算方法呢？果然我们用用用 h 表示圆柱的高的话用，而且我的想法好像不太正确，有没有谁能够帮助我？比宽 没关系，我们用 h 表示高，也就是这条边圆柱的高表示 h， 用 r 表示圆的半径，这样子测面积就是长乘宽，也就是 先算出圆的周长，再乘以高，也就是圆柱表面积，也就是派 r 的 平方还要乘以二， 因为有两个底面积，加起来就是圆柱的表面肌，大家对我的想法有补充吗？ 我有补充，圆柱的表面肌就相当于侧面肌和两个底面肌的壳，所以可以表示为 s 底， h 测加二 s 底，那么测面积我们算出来是二 pi r h， 两个底面面积是 pi r 的 平方，乘二也可以写成二 pi r 乘 r， 那 么我们可以发现 这个像这个加法的两边都有二 pi r， 那 么我们就可以利用乘法分配率写下来，我们就可以利用乘法分配率把二 pi r 提出来， 然后，然后再把剩下的项加起来，这样就就得到了简洁的公式。我们又发现二派 r 其实就是底面的周长，所以可以表示为 c 底，再乘以 高加上半季。大家能理解我的想法吗？你们听明白了吗？听明白了，谢谢你们的分享，太会推理了，最强推理大师再次掌声！孩子们，看着现在总结出来的公式， 再看看你手中的圆柱，大胆的展开想象，这时候圆柱的表面会变成什么样呢？有想法吗？凯欣学习单，我们知道我们在推导圆形， 我们在推导圆形面积的时候，我们可以推导过一个狗牙模型，他们像这样一个排列开来，但是他们像这样， 只要他们划分的够多，他们就越接近一个方形。过长方形是边形，那么我们我们这个下面的部分，他们是圆周长的一半， 那么他们最后转化出来的方长方形也得底的长，也是也是圆形，圆形周长的一半， 那么我们有两块这样的长方形，我们也知道我们推到了圆柱的他的长和宽，他的长就是由里面的周长，里面他的长与里面的周长相等，而两块长方形的长 加长正好等于侧面这一个的长，所以说我们可以把它拼起来，拼起来，拼起来就可以形成一个大的长方形，就大的长方形有一个分为两个长方形， a h 上面一个长方形，它的宽就是二。 根据前面总结出来的公式，我们也可以看到是有一个部分是 h 加二的，这个就是他们总结出来公式，长方形的宽 还要乘以它的长，长就是圆形的长就是圆形的周长，也就是 c 乘以乘以 h 加二的和。 我的发言到此结束，十元五抽，你们有听明白吗？龙赢，我可以把你想的这个图给报出来， 我认为你想的这个图应该是上面这一个，我用黄色的荧光笔代表一个圆，另一个用粉色荧光笔代表另一个圆。我从你这个图还可以举一反三， 我们不仅可以把圆转化成两个圆，转化成两个长方形，还可以把上面这一排的看成一个圆，下面这一排的看成另一个圆，这样子也可以得出一个长方形， 大家同意我的想法吗？怎么样？农民们买新的钢板，不但 运用了我们以前学过的转化思想，将这个圆转化成平行四边形，还把这个圆平均分成无数份，运用了数学中的重要思想，极限思想还有五方呢， 韩经理，我有总结，以后我们无论是在做题，还是在探讨某个公式或是某个图形，都要巧妙的运用数学思想或是数学方法，做到一转化，二找关系，三推导。 你们太厉害了，不仅会学习，还会思考，掌声送给你们，能想象吗？我们再一起来看一遍，孩子们解决问题的时候，大胆的去尝试，你就会有不一样的惊喜。 现在请大家根据今天的学习内容，对自己的学习单进行修正，时间两分钟，包括修正你的新收获，新想法。 现在请大家翻到学习单的背面，完成组内过关，时间四分钟。在刚才的练习当中，你们有什么想说或想提醒大家的吗？我想提醒大家， 在算圆柱的表面积的时候，测面积不能直接写上直径，而是要先算出圆的周长才能写上。

欢迎来到王老师的数学课堂上节课啊，我们讲了有关高的变化引起圆柱表面积的变化问题。这节课呢，我们继续来探讨圆柱表面积的增减变化。第二节， 平行于底面起引起的表面积变化问题。把一根长两米，底面直径为四分米的圆柱形木料锯成三段小圆柱后，问表面积增加了多少？ 首先第一个地方要注意，本道题是给了大家图，所以我们知道它是怎么切，如果题目没有给我们图，我们怎么去判断它是如何切的呢？这个时候要注意，题目说了，它是锯成了三段小圆柱。 什么样的锯法我们的圆柱形成的是不同的小圆柱呢？我们一定是平行于底面切， 所以通过我们锯成的三段小圆柱就知道我们的切法是平行于底面切。好，这是第一个知识点，要注意。第二个知识点就又回到了我们的切木头问题上，我们复习一下，切一刀是增加两个面的， 而现在你要知道，你现在是锯成了三段，说明我们切了几刀，切了两刀，所以我们切两刀增加的是四个面。 我们锯成三段小圆柱，也就是切了两刀，一共增加了四个面。为什么是增加四个面呢？我们再复习回顾一下。我们先看 切一刀的时候，原本我们是没有中间的这个面的对不对？当我切了一刀之后，也就是我变成了两个小圆柱， 那这边的一个小圆柱形成了一个底面，这边的小圆柱也形成了一个底面，是不是就增加了两个底面了？同样的道理，又切一刀是不是又会增加两个底面，所以当我们切两刀的时候，实际上是增加了四个底面啊，这每个面就是一个 圆形，所以我们最后要求表面积增加了多少，其实就是求四个圆形的面积是多少。那现在就把题目转化到了求四个圆的面积上， 题目给了直径，所以我们先求出一个圆的面积，就是三点一四乘半径的平方，这是一个面的面积。 而我们现在切两刀增加的是四个面，所以再用一个面的面积乘四就可以了，你学会了吗？

想一想怎样计算圆柱的体积呢？我们知道，长方体的体积等于长乘宽乘高，正方体的体积等于棱长的立方，它们的体积都等于底面积乘高。那圆柱的体积是否也等于底面积乘高呢？我们一起来验证一下。 这是一元的硬币，可以看成一个圆柱， 通过叠硬币，我们发现硬币的底面积是固定的，每增加一枚硬币高就增加一些，体积也随之增大。由此可见，圆柱的体积等于底面积乘高。我们进一步来推导，我们可以将一个圆柱从中间切开，分成两半再拼接，这样就变成了一个长方形， 此时长方形的体积就等于圆柱的体积。我们知道长方形的体积等于长方形的底面积乘长方形的高。通过观察，长方形的底面积等于圆柱的底面积， 长方体的高等于圆柱的高。因此，我们再次验证了圆柱的体，我们进一步推到他的同时，我们知道长方的体积等于长乘宽乘高，此时等于圆柱的体积。 长方体的长就等于圆柱的底面积周长的一半，长方体的宽就等于圆柱的底面的半径， 长方体的高就等于圆柱的高。因此，圆柱的体积就等于底面周长的一半乘半径乘圆柱的高，用字母表示就等于 a， 二乘二，再乘 h。 跟着六六一起学数学。

今天我们分享一道生活实际问题，我们一起看题。一个刷油漆的滚筒长为一点四分米，底面直径为五厘米，如果他向一个方向滚动一百周，能刷墙多少平方分米？ 我们看图，我们读题，滚筒的长为一点四分米，那就说明这个滚筒是一个圆柱体，说明这个圆柱的高是一点四分米， 然后他向一个方向滚动一百周，能刷墙多少平方分米？那么我们知道这个滚筒啊，他滚动一周刷墙的面积就是这个圆柱的侧面积， 那么圆柱的侧面积公式是什么？我们知道圆柱的侧面积公式， s 测， 它就等于底面周长乘以高，那么这个题它的高是一点四分米，底面直径为五厘米，他们的单位不同意，那么最后问的平方分米，所以这个题我们首先要统一单位，那么五厘米 就等于零点五分米，那么 x， 它就等于 泰底 h， 它就等于泰乘以直径零点五乘以高一点四，它就等于零点七泰 平方分米，这是这个滚筒滚动一周刷墙的面积， 那么现在滚动的是一百周，那么我们自用哪柱一周的面积， 零点七派乘以一百，他就等于七十派，最后就等于二百一十九点八平方分米，这是一个实际生活问题，把这个题收藏起来，让孩子们试一试。

圆柱的侧面积化取为值，所以圆柱的侧面 就等于长方形的面积，那么长方形的面积就是长乘以宽，而长方形的长就是圆的周长，所以说圆柱的侧面积就是底面周长乘以高。

这个卷纸是个圆柱，今天我们求它的侧面积。首先我们仔细观察一下圆柱的侧面展开图， 没错，是个长方形，这个长方形的面积正好是这个圆柱的侧面积， 长方形的长正好是圆柱的底面，底面周长，长方形的宽正好是圆柱的高。 这个长方形的面积就是底面周长乘以高，也就是侧面积等于底面周长乘以高。

今天我们分享一道有难度的问题，看题，一个零件它的正中间有一个圆柱形的孔，你能算出这个零件的表面积吗？我们知道物体的表面积的和叫做这个物体的表面积， 那么这个零件的表面积就是这个零件所有面积的和。那么我们观察图形这个零件它的面积，它首先有前后左右这四个正方形的面积， 还有上下这两个带有圆空的上下的两个底面积，还有中间哎中间这个空，他这个面积就是里面这个小圆柱的侧面积。 那么我们把这个零件的表面积这么多面积进行整合，那就是我们取出这个正方题六个面的面积之合，然后再减去上下底面这两个圆形的面积，最后我们再加上里面这个圆柱的侧面积， 所以我们先看这个圆柱的底面直径是二分米，那么我们能求出它的半径是二除以二等于一分米， 那么一个圆形的面积 s 等于 pi r 的 平方，它就等于 pi 乘以一的平方，就等于 pi 平方分米， 这是一个圆形的面积。那么我们要想求这个零件的表面积，我们先算出这个正方体的六个面的面积之和，那就是五乘以五乘以六，它就等于一百五十平方分米， 然后我们再算出里面这个圆形空，也就是这个小圆柱的侧面积 s 测， 它就等于底面周长乘以高，它就等于 pi 乘以 d 乘以 a， 七就等于 pi 乘以底面圆的直径，二乘以高五分米，最后它就等于十 pi 平方分米， 那么最后这个零件的表面积 s 表，它就等于六个 正方题，就是他就等于这个正方题六个面的面积之和一百五十，减去上下这两个小圆的面积，减去 pi 乘以二，再加上最里面这个侧面积，那就是十 pi， 他就等于一百五十，减去六点二八，加上三十一点四，最后他就等于一百七十五点一二平方分米。 这个题他的突破口就在于，我们求这个零件表面积的时候，一定不要忘记加上最里面这一个小圆柱的侧面积，这是这个题的难点，把这个题收藏起来，让孩子们试一试。关注我，每天分享小升初考试的重难点！