八年级下册第一单元几何题旋转

今天我们来讲第二节图形的旋转。首先我们来看旋转的定义， 在平面内将一个图形绕着一个定点，按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。那我们来看这个风车，还有我们这个时针，以及我们的摩天轮，都是旋转的运动。上节课我们学的是平移， 他们是有区别的，平移是沿着某一个方向移动一定的距离，那这个是绕一个定点。首先这个定点我们起了个名字，叫做旋转中心， 按某个方向，一般不是顺时针方向，就是逆时针方向转动一个角度，我们称为旋转角，转动的这个角称为旋转角。旋转和平移一样，不改变图形的形状和大小。好，我们来看一下这个图里面 我们将三角形 abc， 然后点 o， 按顺时针方向旋转一个角度，得到了三角形 df。 那 么旋转前后，点 a 的 对应点是点 d， 点 b 的 对应点是点 e， 点 c 的 对应点是点 f。 我 们再来看对应线段 ab 的 对应线段是 d、 e、 a、 c 的 对应线段是 d、 f、 bc 的 对应线段是 ef。 我 们再来找对应角，对应角角 b、 a、 c 与角 e、 d、 f， 角 abc 与角 d、 e、 f， 角 a、 c、 b 与角 a、 f、 e， 它们都属于对应角。 那哪一个是旋转中心呢？我们知道啊，这个定点我们绕的是点 o 转的，所以点 o 是 旋转中心，然后它的这个旋转方向上面说了是顺时针，那旋转角是谁呢？ 这里面旋转角有角 a、 o、 d、 角 b、 o、 e 和角 c、 o、 f， 就是 旋转前后的对应点与旋转中心 的连线所加的这个角就是我们的旋转角，也就是它转动，它本来从 a 转动了到点 d， 所以 说角 a、 o、 d 就是 旋转角，在这里面这三个角相等，因为它们都等于旋转角的度数。 好，我们再来看说将一个四边形 a、 b、 c、 d 绕点 o 旋转，得到了四边形 e、 f、 g、 h。 那 么旋转前后有哪些相同的线段和相同的角呢？还有你能拿得到什么 等量关系呢？好，我们直接来看这个结论，说一个图形和他经过旋转所的图形中对应点到旋转中心的距离相等。什么意思啊？对应点到旋转中心的距离相等。就好比说我们看 a、 o 和 e、 o， 因为 a 和 e 是 一组对应点，所以 a、 o 就 等于 e、 o， 然后第二个任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，那就是角 a、 o、 e 是 旋转角， 角 d、 o、 h 是 旋转角。还有对应线段 ab 等于 e、 f、 ad 等于 h， 还有对应角，角 a 等于角， b 等于角 f， 这个就相当于是我们旋转的性质，这个大家要记住啊， 分别是这四条，一个是对应点到旋转中心的距离相等，任意组对应点旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。这里面有角的关系，有线段的数量关系。 好，来看观察思考，说图三杠十五一到四里面的三个图形中，哪个不能由三角形 a、 b、 c 经过平移或旋转得到的，对吧？ 那这个二、三、四肯定不是他经过平移得到的，那我们来看一下，他肯定是经过旋转得到的。那说老师我怎么知道他是不是旋转前后的这个图形呢？对吧？他的旋转中心在哪呢？怎么找呢？那我们来看一下。 好，我们会发现啊，这个图二和图三他们都可以看成是通过这个平移旋转得到，但是图四 不行，为什么呢？因为这个三角形与三角形 abc 对 应角的方向发生了改变，而我们知道平移和旋转都不会改变图形对应角的什么一个方向，所以说图四是不能够由三角形 abc 经过平移或旋转得到的。 我们再来看课后的随堂练习。第一题说四边形 a、 b、 c、 d 经过旋转后与四边形 a、 d、 e、 f 重合，指出这一旋转的旋转中心，那很明显旋转中心就是点 a， 然后旋转角角 b、 a、 d， 角 c、 a、 e， 角 d、 a、 f。 图中相等的线段有， ab 等于 ab， bc 等于 d， e、 c、 d 等于 ef， ac 等于 af， a、 d 等于 af， ac 等于 a、 e。 好 相等的角，这里面也比较多啊，角 b 等于角 a、 d、 e， 然后这个角 c、 d、 a 等于角 f。 还有这些角啊，它们都是相等的，并且旋转角也是相等的。第二题，如图，你能绕点 o 旋转，使得线段 ab 与线段 cd 重合吗？那我们就可以尝试一下，我们连接这个 a、 o 和 c o， 再连接 b o 和 d o， 然后我们看一下这个角度是否相等，然后就可以看他们的线段能不能重合。 连完之后，你会发现这个 a、 o 和 c o 都不相等，然后这个 b、 o 和 d o 都不相等，因为我们知道对应点到旋转中心的距离是相等，他不满足，所以说这个是不能够通过旋转使得线段 a、 b 与线段 c、 d 重合的。 好，那么我们学习了这个旋转的概念和性质，怎样才能画一个图形，按一定条件旋转后的图形呢？我们来看一下这个例题， 说让你画出现段 ab， 然后点 a， 顺时针旋转六十度后的线段，那怎么画啊？首先我们以 ab 为一条边，然后做一个六十度的角，因为顺时针嘛，所以我们在右边做一个六十度的角，然后画一条射线，画一条射线之后，我们在这个射线上截取一个线段，等于 ab， 那我们这个线段 a、 c 就是 我们线段 ab， 然后点 a， 顺时针旋转六十度后的什么呀？线段操作交流如图，三角形 a、 b、 c， 然后点 o， 按逆时针方向旋转后，点 a， 旋转到了点 d， 所以 我们可以连接 a o 和 d o， 那 么这里面的旋转角就是角 a， o， d。 让你画出旋转后的三角形，那我们接下来就要再连接 b o， 我 们用量角器去量一下角 a、 o、 d 的 度数，然后以 b、 o 为一条边，做一个角，等于角 a、 o、 d。 做完之后，我们画一条射线，在这个射线上再截取这个 o， e 等于 o b， 同样我们再连接 o、 c， 然后同样做一个角，等于角 a、 o、 d， 再画一条射线，截取 o， f 等于 o c， 那 我们就可以做出来一个三角形 d， f 就是 旋转后的这个三角形。 好，那么确定一个图形旋转后的位置需要哪些条件？比如说我们需要知道旋转的方向，旋转的角度，对吧？ 然后这个旋转中心。好，那我们看这个尝试思考说假图案经过怎么样的运动，可以与以图案重合。那么首先我们要先旋转 绕点 a， 然后我们给他逆时针旋转一定的角度，旋转完之后再向沿 ab 的 方向平移，那我们就可以与以图案重合。 看学堂练习，在图中画出现段 ab， 绕点 o， 顺时针方向旋转五十度后的线段，那首先是绕点 o， 顺时针方向旋转五十度，所以我们要先以 a o 这个为边，然后做一个五十度的角， 然后在这个射线上截取一个 o， c 等于 o a， o d 等于 o b， 那 这时候我们绕点 o， 将线段 ab 旋转，顺时针旋转五十度之后的线段就是我们的线段 cd。 同样第二题也是一样的啊，我们将这个五边形绕点 o， 顺时针方向旋转九十度，所以大家自己可以用两脚气去做一下啊， 那这个就是我们旋转九十度之后的什么呀？五边形。 好，接下来我们再来看像这个图三个二十和图三个二十一，像这样的，它也是经过一些运动和圆图形重合了，那么它是怎么运动呢？那就给出了我们这个 呈中心对称的定义，说如果把一个图形绕着某一个点旋转一百八十度，它能够与另外一个图形重合，注意一个图形另一个图形，说明这是两个图形的关系， 我们就称这两个图形。关于这个点对称，或者说呈中心对称，呈中心对称指的是两个图形之间的关系，这个点叫做他们的对称中心。比如说我们看下面这个图，三角形 a、 b， c 和 c 2 片 b， c 片，他们就是呈中心对称， 因为他们都是绕着点 o 旋转了一百八十度，然后这个图形和这个图形完全重合了，点 o 在 这里面是它的对称中心， 那么呈中心对称的两个图形有什么性质呢？啊？它的性质就是呈对，呈中心对称的两个图形，对应点 所连线段一定会经过对称中心，且被对称中心平分。那这样我们就可以判断一下啊，它是不是呈中心对称的两个图形，就可以用它的这个性质去判断。 好，我们来看例二说，如图，点 o 是 线段 a、 e 的 中点，以点 o 为对称中心，画出与五边形 a、 b、 c、 d、 e 成中心对称的图形。那首先我们知道啊，因为这个对应点所连线段经过对称，且被对称中心平分， 那我们就可以直接连接 a、 o， 连接 a o 并延长，然后使得这个 o、 b 片等于 o b， 同样我们延长 c o 连接 c o 并延长，使 c 片 o 等于 oc， 同样这样我们就可以画出来了。因为你看我们这个延长 c o 等于 oc 片呢？ o 是不就是 c c 片的中点，那不就是对应点所连线段被对称中心平分吗？并且是旋转一百八十度的，对吧？所以我们就可以通过这个方法去画这个成中心对称的 图形。那有些图形他不是两个图形，比如你看他就自己一个图形，他也有些特征，什么特征呢？就将这一个图形，哎旋转一百八十度之后，他能与本身重合。像这样的图形，我们起了另外一个名字叫 中心对称图形。注意，中心对称图形是一个图形绕着某个点旋转一百八十度，如果旋转后的图形能与原来图形重合，这个图形就叫做中心对称图形，而刚才我们说的是两个图形之间的关系是成中心对称啊，这不一样的，这个点叫做它的对称中心。 那我们来看一下啊，下面这个哪些图形是中心对称图形？我们说了中心对称图形，就是将这个图形 绕着某个点旋转一百八十度之后，能与它本身重合，那我们就可以拿出这个课本，我们上下颠倒，让它旋转八十度，如果发现，哎和原来图形长得一样，那它就是中心对称图形啊，我们可以通过这个方法去看一下它是不是这个中心对称图形。 好，包括这个我们也可以给他转一下看是不是，那这个呢？我们旋转一八八度之后，那就不是啊。然后第二个下面扑克牌中哪些牌的牌面是中心对称图形？ 那同样我们就用这个把它给颠倒一下啊，把它颠倒一下，我们把它上下一颠倒，哎，发现一下，看他是不是，那是就他就中心对称，如果不是就 不是如今的东西，那你看像这里面这个，这个桃心就不是啊，这个是这个就不是，然后这个呢？这个勾是不是这个八 八，不是吧？这梅花也不是啊， 这个就是我们今天讲的图形的旋转，主要呢有三个内容，就是什么旋转，旋转的定义是什么？旋转的性质是什么 啊？如何画这个旋转后的图形？旋转的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角，还有就是呈中心对称的两个图形 啊，他是怎么画的？以及中心对称图形是一个图形的关系啊，我们就可以把这个图形上下颠倒，如果颠倒后的图形和圆图形能够完全重合，那我们就说它是中心对称图形。好，那么你学会了吗？

这道题十个同学七个都不会，题中告诉我们 p 点为等边三角形 a、 b、 c 内部的一点，并且告诉我们 p、 a、 p、 b 和 p c 的 长度，让我们求三角形的边长。这个三角形 a、 b、 c 呢，是一个等边三角形，要求边长，我们随便求 abac 或者 bc 的 长度都可以，那怎么来求呢？求 abac 或者 bc 的 长度都可以，那怎么来求呢？还是要把我们这三个数据给用好。 看到三四五，大家很容易想到勾股数，如果我们能把这三条线呢，放到一个直角三角形当中才好呢？ 那么如何去放呢？当我们遇到等边三角形内部有一点这样的条件，我们通常可以通过旋转六十度构造等边三角形的方法来做辅助线。比如我们可以把这个三角形 a、 p、 p 绕 a 点， 逆时针旋转六十度，到达三角形 a、 c、 b 撇的位置，这个时候轻松就可以得出三角形 a、 p、 b 撇实际上是一个等边三角形，再利用这个等边三角形进一步去解决问题，下面我们来具体的看一下。既然三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形，那么三个角呢，都是六十度， 我们就可以把三角形 a、 b、 p 绕着 a 点逆时针旋转六十度。很显然 b 点呢，旋转六十度之后，必然到达了 c 点的位置。我们假设这个 p 点旋转六十度，到达了 p 撇点的位置， 连接一下 a、 p 撇和 p 撇 c 三角形 a、 c、 p 是 这个三角形旋转过来的，这两个三角形呢，很显然是全等的， 所以这个 a 撇的长度必然就等于 ap 的 长度，就等于三撇撇 c 的 长度呢，必然就等于 pp 的 长度，就等于四 p 旋转的六十度到达了 p 撇，那么这个角 p a p 撇撇必然就是六十度。 这个时候大家来看一下 ap 等于 ap 撇撇都等于三，中间的夹角呢，是六十度。那么我们把 p 和 p 撇连接起来，有一个角是六十度的等腰三角形，必然是等边三角形。 轻松得出三角形 a、 p、 p 撇实际上是一个等边三角形， p 和 p 的 长度呢，就等于 a、 p 的 长度就等于三，这个角和这个角呢，都是六十度。再来看一下这个 p、 c 的 长度，五，这个时候三、四、五是不是正好可以放到这个三角形 p、 p 撇 c 当中来考虑？ 利用勾股定律的逆定律，我们知道角 p、 p 撇 c 显然是一个直角，这个地方呢，又是六十度，那么这个角 a、 p 撇 c 必然呢就等于六十度加九十度，一百五十度，这个角是一百五十度。那么我们延长一下 c p 撇，它的零补角 必然是三十度。三十度的角是一个长的特殊角，我们初中几何当中经常构造含有特殊角的直角三角形，我们只需要过 a 点做 c， p 的 垂线， 垂足为 d 点，这个时候这个三角形 a、 d、 p 撇实际上就是一个含有三十度角的直角三角形。同时呢， a、 c 的 长度实际上也可以放到这个直角三角形 a、 d、 c 当中进行求解，一举两得。在这个直角三角形 a、 d、 p、 b 当中，三度角所得的直角边等于斜边的一半，所以 a、 d 的 长度呢，是二分之三。勾股定律算出 d、 p、 b 的 长度是二分之三，根号三， 这个时候再求 a、 c 的 长度就非常容易了。我们可以放到直角三角形 a、 d、 c 当中进行求解。直接运用勾股定律， ac 的 平方就等于 ab 的 平方，加上一个 dc 的 平方就等于二分之三的平方，加上一个 dc 的 平方， dc 呢，实际上就是四加二分之三刚好三， 轻松看出 ac 的 长度呢，就等于根号下二十五加十二，根号三就是我们要求的三角形的边长。

理不清的面积之间的关系，八年级数学下册第一张的三角形的第二十五题， 以至于图在正方形 abc 中，点 e 在 b、 c 上，点 f 在 c、 d 上啊，这里首先告诉是正方形 abcde， 还有三角形 a、 e、 f 是 等边三角形，当然我这里的这个图画的不太标准啊，求证，三角形 c、 e、 f， 呃，它的面积与三角形 a、 b、 e 还有 a、 d、 f 的 面积相等， 这一个三角形的面积等于两个三角形面积的和。所以在这地方我们怎么办呢？我们想办法把两个三角形的面积合二为一，所以在这里我们可以延长 c、 b 到一点， 是吧？使这个 b、 g 等于这个 d、 f， 就是 说我们把这个三角形移到这里来，当然我们可以说把三角形 a、 d、 f 绕着点 a 顺时针旋转九十度 啊，那么也是可以的。这个就说这个辅字线呢，每个人呢他的说法，呃，在写的这个时候可能有不一样的 啊，所以比如说我这里是延长 c、 b 到一点积时， b、 g 等于 d、 f， 由于正方形这里直角，这里直角，这里直角，然后呢，这一边等于这一边，所以我们就有了三角形 a、 d、 f 是 前等于三角形 a、 b、 g 的 啊，这个三角形全等的，那么这个三角形的全等呢？所以这个三角形的面积就等于这个三角形面积，嗯，所以我们现在只要证明这两个三角形的面积相等就可以了。我们现在怎么设呢？设等边三角形的边长是 a， 那么等边三角形的边长是 a 的 话，那么 s 三角形 c、 e、 f， 那 就等于二分之一乘以 a， 由于这是直角，这个就应该， 嗯，实际上刚才这里啊，这个是六十度的角，这两个三角形也是相等的。我们刚才说这两个三角形啊，其实这两个三角形也是相等的，为什么呢？因为这个 a e 等于 a f， 嗯，这直角等于直角，这个 a b 等于 a d， 哎，根据斜边直角边啊，这个根据 h l， 哎，这个呢，是根据那个 s a s， 对 吧？根据 h l 叫做三角形 a d、 f 是 前等三角形 a、 b、 e 啊，这个根据 h r t e 三角形， 嗯，那么也就说刚才 d f 是 等于 b e 的， 那么所以 c e 等于 c f， 呃，于是这个等腰直角三角形，它的面积二分之一乘以底乘以高，高是多少呢？高就是底边的一半，等于二分之一， 也就是等腰占据底边的中线，等于底边的一半，也就是四分之 a 的 平方。 那我们来看到这个 s 三角形 a b e 加上 s 三角形 a d f， 那 么刚才我们说 s 三的 a d f 等于 s 三 a b e， 所以 就等于 s 三 a g e， 那 么 s 三 a g e 就 等于 a f， 那 么高过多少呢？我们过点积作 做这个垂直，对吧？做，比如说 e m e m 垂直，那我们刚才实际上这个是六十度， 哎，刚才我们说这两三千呢，你说这就是一十五度，这也是一十五度，对吧？那么这个角也是一十五度，那就说在这个三角形 a m b 中，三十度角所在的 b a 等于斜边的一半， 呃， em， 那 就等于 a e 的 一半， em， 等于 a e 的 一半，所以 em 呢，也就是二分之一 a 了，耶，不也就等于四分之 a 的 平方吗？ 对吧？所以这两个三角形的两个面积和等于这个面积，那么这一题呢，我们就整完了， 哎，当然刚才这里只是说一下怎么做，而且这个图呢，还不咋标准，所以大家可以看一下这里的已知在这么些 a、 b、 c、 d 中，对吧？三角形 a、 e、 f 是 等边三角形 e、 f 在 边上， 要求准三角形 a、 e、 f 的 面积等于三角形 a、 b、 e 的 面积加上三角形 a、 d、 f 的 面积。 好，那么这个我现在这里的证明过程在这里，对吧？呃，我这里写的时候呢，是把三角形 a、 d、 f 绕着叠，甚至这旋转九十度啊，根据旋转得来的，我刚才呢，这里是延长它，呃，这个都是没有关系的， 好，这里的过程自己把它理一遍啊。 s 三角形 c、 f 是 等于四分之 a 的 平方， s 三 a、 b、 e 加 s， a、 d、 f 也是四分之 a 的 平方，所以刚才呢，我们说这个等边三角形的三边的长度为 a 啊，具体的过程呢？呃，自己去看啊，这里呢，在没有看到这个过程之前呢，我想很多学生是做不出来的， 即使这里我讲了，也仍然是很多人做不出来的，所以我的视频呢，没有多少人看，因为现在呢，也没有多少人想读好书的，记得点赞关注哦！

将三角形 a、 b、 c 绕点 a 逆时针旋转一定角度，得到三角形 a、 d、 e。 角 c a、 e 等于六十五度， 角 e 是 七十。由旋转啊，三角形是全等的，角 e 和角 c 应该相等，那角 c 这里也是七十， 而 a、 d 垂直 bc 直角。大家去观察一下我们这个小三角形， 这个小三角形它内角和是一百八十度嘛？去掉一个九十，去掉一个七十，那么剩下的上面这个小角应该是二十一百八减九十到九十，九十再减七十到二十， 所以 d、 a、 c 就是 二度。想让我们求出角 b、 a、 c。 先把这个角 d、 a、 e 求出来，角 d、 a、 e 它是二十加六十五 和是八十五度，有旋转吗？ b、 a、 c 和 d、 a、 e 的 角度是一样的，所以角 b、 a、 c 的 度数是八十五度。

o 旋转角是角 a o a 撇和角 b o b 撇，点 a 的 对应点是点 a 撇，旋转方向是顺时针，点 b 的 对应点是点 b 撇，旋转方向是顺时针。 嗯，回答的很完整，请坐啊，看来你对旋转的知识掌握的很扎实，那同学们，旋转在我们看来可能仅仅是课本上的概念，但是在工程师手中，他就是改造世界的伟大力量。 还记得我们课前需要利用旋转来对接的大桥吗？同学们，我是本次桥梁旋转工程的总指挥，你能结合旋转的知识，帮助我下达清晰的指令，指挥现场工程师完成桥梁对接吗？ 现在大桥呀，在绿色的位置，能通过你的指令完成对接吗？谁来试一试？ 好，那你来说。嗯，这个女同学将矩形 a， b， c， d 绕点 a 顺时针旋转三十五度，我们来试一下 大桥成功对接，你的指令非常明确，通过这两个问题，学生初步具备了在具体实力中明确旋转三要素以及对应点的能力。 接着设计了本节课第二个学生活动，让学生类比平移和轴对称性质的探求过程，在动手操作和小组合作当中探求并归纳旋转的性质。 旋转为什么会在建筑当中，物理学当中有如此多的应用呢？是因为它具备怎样的特点呢？那这就需要我们了解旋转的性质， 请同学们拿出手中的学具啊。在活动清单当中，按照活动二的要求完成操作。 老师看到同学们都已经画完了，那么哪位同学愿意到前面来展示一下你的成果，谁来试一试？嗯，好，那你来吧， 这个便是我的成果展示图。我是将三角形 a、 b、 c 绕平面内一点 o， 沿顺时针的方向旋转了一定的角度，得到了三角形 a、 e、 b、 e、 c、 e。 哼，掌声鼓励一下， 特别好，表述的很清晰，图形化的也很规范。谁还想再来展示一下你的作图？ 好，那你来吧！我是把三角形 a、 b、 c 以 a 为旋转中心，顺时针旋转了三十度，得到三角形 a、 e、 b、 e 和 c e。 嗯，非常好啊，请坐。 那还有其他的展示吗？哪位同学再来试一试？好，那你也来试一下。 呃，我是将三角形 a、 b、 c 绕点 a。 呃，逆逆时针方向旋转七十八度，得到三角形 a、 e、 b、 e、 c。 那 我们来对比一下三位同学的作图。我们看到 三位同学所画的旋转以后，图形的位置各不相同，这是为什么呢？ 嗯，旋转中心不一样，还有吗？还有，所以我们再一次感受到了旋转三要素对于旋转的重要作用。 做完了旋转以后的图形，你能否类比着平移和轴对称性质的研究途径和思维方式对旋转的性质进行探讨吗？我们先来看一下平移的性质啊，它的研究途径是怎样的呢？谁来试一试？ 好，那你来说，平移前后的两个图形全等对应点所连线段平行或在同一条直线上且相等。嗯，非常好，请坐啊，你掌握的很清晰。实际上啊，第二条性质 就是交代了对应点与平移方向和平移距离之间的关系。那轴对称呢？谁来分析一下？ 好，那你来吧，孩，轴对称的性质有全等对应点连线被对称轴垂直平分。嗯，很好，请坐。那其实啊，第二条性质就探究的是对应点与对称轴之间的关系。好，那同学们思考，那旋转呢？ 请同学们先独立思考。

来吧，小伙伴们，欢迎大家回来啊，那我们来继续来看这道题，我看很多小伙伴已经做出来答案了啊，还有很多小伙伴也在私下问，我还是没有太听懂，那我们再来看一下这里呢，二四二倍根号是三，几个边长，再加上这是一个一百二十度。来直接求 a b 或者 a c， 能求吗？求不了 对不对？条件不够，只有边没有角，只有边没有角。好了，那么这里出现了共边等线，那我们可以怎么办？哎？将 a 的 c 这个三角形也好，还是 ab 的 这个三角形也好，怎么样？沿着，呃，因为我图画的这是吧，那我就往下转， 我可以将 ab 的 这个三角形向顺时针的方向，让 ab 和 ac 重合， 能理解吧？朋友们，那来吧，我们看一下，将它重合，那也就是将 ab 和 ac 重合，它旋转多少？告诉我 b， a 旋转到 c， a 旋转一百二十度， a， 好 了，那我也可以将的 a 向下旋转一百二十度，大概是这样， 那么这个角也是一百二十度。好了，那我们只需要连接一下这个两个点， c k 变成 c k 之后，我们就能得到什么？同学们，我们是不是能得到这个 ab 的 三角形和这个三角形？我做的是谁？ a， c， k 是 全等的对不对？为什么他这个条件是 i c s， 因为我们这里面 a 的是旋转到 a k 的， 它俩相等。已知条件 b， a 和 a c 是 相等的，然后呢？蓝色旋转一百二，红色也旋转一百二，所以那么这两个角 都等于一百二十度，减去这个弓角，对吧？一个导角大家都会，所以他俩全等。好的，那么我们第一步构造了旋转之后和技术性质一样啊，我们还是要注意那三件事，第一件事，也就是什么旋转角度，一百二十度和一百二十度是相等的。 第二件事是不是就他俩全等？好，他俩全等要干什么？复制条件对吧？全等之后要复制这个条件，所以呢，我们把有条件的东西找过来，那么 b 得就等于谁了，这里面 b 得就等于谁，是不是等于 c？ k， 这是二对吗？是三，然后这个 c 的 呢？还是二 对吧？ c 六没变对不对？然后这面红这个角位是一百二十度。好，那么第二件事，我把条件复制完了之后 继续。同学们，那么第三件事，我们是不是要找到那两个等腰三角形？来吧。同学们，哪两个是等腰三角形？ 第一个是什么 a， 这个少布置的一个条件啊，这个第一个是 k 的 a， 是 不是也是？怎样？继续对应点连线 bca 是 不是也是等号？好的同学们， 那我们想一想，这里我们用哪个呢？看看这两个的等腰我们用哪个？一个是个 k a， 一个是 b c a， 我 们可以用哪个呢？这两个等腰 来 b a， c 是 提利给的，那这是一百二十度，这俩蓝边是我们要求的对不对？来，那那个的 k a 呢？这里是不是四，这里是不是四？这里是一百二十度。哎，所以怎么样？我们是不是可以通过的 k a 的 这个三角形？ 那我把这个先擦掉啊，这个 k a 的 三角形，知道了什么？这是一个两个腰，是四四夹角，是一百二十度的一个三角形，那你告诉我，你能不能求这个斜边？能不能求这个 d， 那 你是可以的啊，是什么关系？我们可以做个举例， 做垂，因为三线合一，然后再往上，所以它就是六十度、九十度，对吧？三六，所以两个幺是四，那这个高是二，然后两边就是二倍根号三，对不？所以整个绿色的长度是四倍根号三啊，所以这个在一百二十度、三十度、三十度的这个枕头里，大家要记一下啊，是一比一 三啊。这个推演的过程刚才给大家说了，来吧，同学们继续，那么这里这是四倍根号三，那他有什么用啊？这是二，这是二倍根号十三，同学们发现什么事了？我们发现二的平方是四，对吧？然后二倍根号十三的平方是几啊？是 五十二，然后四倍根号三的平方呢？是四十八，对吧？所以一个三角形在三角形的配 c 中， 三边是二，二倍根号十三和四倍根号三，然后呢？他们的平方是不是有一个满足什么二方加四倍根号三的平方，等于二倍根号十三的平方，所以那么每个是不是有一个直角三角形在哪里？直角三角形， 这个是二点零二十三，是斜点，对吧？然后这个是两个二和四点零三，是两个这角点，所以这个角是九十度，看明白了吗？利用了一个勾股定力的判定好了，那我们继续来回到我们本质的问题，那么这个是四，刚才我们说了，这个是不是三十度， 对吧？因为这是一百二十度的一个等角，最低角是三十度，那么三十加九十又变成多少了？这个大角是不是一百二十度？好了，那么得 c 是 二，得 a 是 四，又回到了我们上期视频的那道题吧， 二四加角是一百二十度，来求第三点 对不对？朋友们看，这就是一个解三角形的一个题目，大家可以算一下答案是二百根号七六百根。上期的那道题最后呢，解三角形的方式是一模一样的，来吧，我们同学再来回顾一下这道题啊，一道八下的一道几何小压轴的题目，那么这里第一步 给的条件我们是没法来直接求出蓝色边长的，但是呢，这里给了共圆的线，所以我们可以通过旋转， 通过勾到旋转，把这些边角的条件给它复制过来，哎，那么这里复制完之后，这就是四，对吧，然后这里就是二零零二十三，然后根据旋转角相等，那么蓝色的夹角 b， a， c 是 一百二，那么得 a， k 他 也是一百二十度。第一件事旋转角，第二件事复制，第三件事，找到这两个等等， 那么红色的的 a， k 是 一个等腰三角形，那么所以我们就能求出了的 k 的 长度，那么根据一个复制过来的条件，这是二十二零二十三，一个勾股定力的判定，所以我们就得到了一个关键角度，这个角是九十 度，然后再加上九十度加三十度是一百二，二十四，一百二，最后来进三角形。好了，请答那道题啊，同学们，你们听会了吗？好的，下期视频我们将继续给大家来讲解关于这个共点等线和对角合并的题目。好，我们下期视频再见。

图形的旋转一生活中你经常见到这些现象，时针的旋转、荡秋千、 齿轮转动，这些运动有什么共同的特征？它们都是图形的旋转， 可以看成点 a， 绕着定点 o 旋转。 再来看刮雨器是怎样工作的。 可以看成线段 a、 b， 绕着定点 o 旋转。 三角形 a、 b、 c 也可以绕着一点 o 旋转。 仔细观察在旋转的过程中，三角形的形状和大小有没有改变， 旋转不改变图形的形状和大小点 a， 旋转到点 a 撇，称为对应点。继续观察旋转过程， 线段 a、 b， 旋转到线段 a 撇、 b 撇称为对应线段。再观察角， 角 a、 b、 c， 旋转到角 a 撇 b 撇、 c 撇称为对应角。现在我们来做一个实验， 这两个图形为何不同呢？因为旋转中心不同。如果旋转中心相同， 你发现旋转方向不同，得到的图形也不同。 显然旋转方向不同，那旋转方向相同呢？ 你发现得到的位置还和旋转角度有关。小丽小胖听了以老师的讲解和展示，说说看你学会了什么？ 将一个图形绕一个定点，转动一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转， 这个定点叫旋转中心，旋转的方向和角度分别称为旋转方向和旋转角。小胖不要淘气， 这个定点叫旋转中心，旋转的方向和角度分别称为旋转方向和旋转角。

师傅，这幅传世的双面绣阵法全乱了，正反面的图案完全对不上，神鸟们都快变成乱线团了。小满莫急，双面绣的最高境界藏在翻转半圈的衔机里， 只要让特定的图案精准的倒转一百八十度，正反便能浑然一体。 要让这幅百鸟朝凤，重现人间驱解开这三道翻转之谜，小满带着针线去寻找图案里的平衡法则吧！翻转半圈，这难不倒我们？屏幕前的朋友们，快拿起你们的工具，跟我一起穿针引线，修补这绝美的江南丝雨！ 哎，这两只喜鹊的绣法分毫不差，可偏偏有一只是彻底颠倒的，这要怎么才能让它们比翼双飞啊？ 若以这颗东珠为支点，让其中一只喜鹊绕着它在卷面上精准的倒转半个圈，你们想一想，转过之后，它能和另一只完美的重合吗？ 第二步，要把这颗花蕊缝在最中间，才能定住阵角，可是这袖布上连个墨线都没有，哪里才是最绝对的中心点？花开并蒂，必有轴心！ 如果这两朵牡丹是连线两端的极点，你们知道该把这颗绿宝石修在这条线的什么位置，才能彻底平分两段的美景吗？ 花开并蒂，必有轴心。记住这条铁律呈中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 最后一步是绣上中心主图，可是这绣帮一直在翻篇覆地的倒转图案，绣上去就全乱套了。 世间万物，有些纹理藏着极致的对称之美，你们找找看，在这些底稿中，到底哪一种图形，哪怕让他彻彻底底的颠倒过来，他的模样也和原来分毫不差， 原来有的图形自己转半圈竟然和没转一样。这就是以不变应万变。 如果把绣布变成方格纸，这些点的坐标怎么变？ 最后一针落定，这千丝万缕终于在旋转中织就了最完美的圆满。丝随心转，千针万线皆有法度，这便是流淌在江南水乡里的大美之魂。 无论岁月如何流转，中华文化里这根平衡对称的轴心永远熠熠生辉。

八年级一类必考的题目是关于图形的平移和旋转，那旋转呢？相对来说考试题目可能会更多一些，它包含基础题以及我们最后一道题的那个压轴题。 好，关于旋转里面的这些基础题，同学们一定要把它掌握牢靠，因为他你只有把基础掌握扎实了，你后面的那道压轴题才能解决。 如果咱们旋转里面的这些基础题，有的同学容易丢分的话，可以私信老师来领取往年的一些关于旋转的一些考试真题，好加强练习啊。然后接下来呢，我们就来看一下这道题，这道题是让我们求的旋转角度是多少求旋转角的，我们来看一下解决这类问题到底做题的思路是什么？ 好，角 a， c， b 等于九十。所有的几何题我们都是边读边标，然后角 b 等于三十五度，这个角度等于三十五度， 然后将 a、 c， b 绕着点 c 旋转旋转，得到一个 d， c， e 这个三角形啊，当地 c 平行于 ab， 除了原始的三角形里面给的一些数据信息，只给了一个 d， c 平行于 ab， 所以这个平行我们一定要把它用起来啊。其实说到平行，同学们脑子里第一反应是我们七年级学到过的两只线，平行里面是不会涉及到一些同位角，同旁内角以及内错角，对不对？好，那这个题里面我们就来看一看这两条线平行在这个题目里面出现了什么角度呢？ 这个比较明显，是不是出现了有内错角，谁和谁是内错角？这个 a c， e 这个角度， d， c， e 这个角度，以及这个比如说中间给个字母 m 吧，和这个 b c bmc 这个角度，它俩是 b 组内错角，内错角其实相当于是九十度 这个位置，它就是九十。好，九十度给了，那这个旋转角不直接就出来了吗？旋转角就是谁啊？就是里面的 b c e 这个角度，那 b c e 根据内角和直接求的结果，答案是五十五度，所以这个题正确答案选的应该是二 b。 其实它里面用到的知识点非常简单啊，就是旋转前后对应角相等以及两直线平行内错角相等。

我们下面有请第四位老师，黑龙江佳木斯市第二十中学杨浅珂老师进行展示。 嗯，尊敬的各位专家，亲爱的老师们，大家上午好！我是来自黑龙江省佳木斯市第二十中学的数学教师杨浅珂。今天我交流的课题是图形的旋转，我将从以下六个方面来进行我的表述。第一部分，教学内容解析 本节课选自人教版九年级上册第二十三章旋转的第一课时图形的旋转 从教材自然单元来看，本节课是本章的第一课时，其中旋转的概念和性质既是本章的基础，也是本章的核心，能够为后续特殊的旋转中心对称和语文的学习奠定知识基础。 从图形变化这一主题单元来看，旋转是继平移和轴对称之后所学习的又一全等变化。通过本节课的学习，学生将更系统的认识图形变化的研究过程，掌握类比的学习方法。 同时，在本节课的学习过程中，学生将经历从实验到猜想到验证，这样的探索过程能够培养他们的观察能力和规划能力。那么，基于以上分析，我将本节课的教学重点确定为旋转的性质。第二部分，教学目标设置 依据课程标准中的学段目标和学业要求，以及本节课的教学内容，我将本节课的教学目标确定如下，其中第一条是单元整体目标，第二和三、四是本节课的课时目标。 第三部分，学生学情分析在知识上，学生在小学对旋转已经有了一定的直观认识，但是还不能清晰准确地把握旋转的性质， 需要教师结合学生在小学阶段对旋转的理解啊，引导学生将实际生活中的物体抽象成平面图形进行探索。 而在活动经验上，学生在七八年级已经学习了平移和轴对称的相关内容，积累了图形变化的活动经验， 而且初步具备了类比能力和合作探索能力，能够依据经验展开自主探索。 但是学生的思维还具有一定的局限性，不能够明确从哪些途径、哪些角度对旋转的性质进行探讨。所以，基于以上分析，我将本节课的教学难点确定为如何确定探讨方向和角度，自主探讨旋转的性质。 第四部分教学策略分析为了突破本节课的难点，调动学生的学习积极性，我将情境融合策略和任务驱动策略贯穿整节课，通过合作学习策略来提升学生的学习能力。 同时在各个环节辅助以师评、自评、组评等评价方式对学生进行多维度、多角度的评价，能够帮助学生在学习过程中及时的进行诊断和反馈，提供给学生正向的激励和引导。 第五部分教学过程设计环节一、创设情境导入新课 你见过会跳舞的大桥吗？重庆上空总重量相当于一万五千辆小汽车的五座桥梁，在同一区域、同一平面同步转体八十二分钟大秀空中芭蕾，而如此惊艳的一幕是世界首次，也是目前为止全球独一无二的奇迹。那为啥要让五座大桥同时转起来呢？ 原来在这个项目下方跨越了整整十条铁路线，如果因为修桥而迫使这些铁路停运，那造成的经济损失将无法估计。最终大桥仅用了短短八十二分钟就完美对接，丝毫没影响下方铁路的正常运行。 不得不说，中国基建既有破釜沉舟的勇气，又有胜券在握的霸气，为他点赞！通过这一视频，学生不仅明确了本节课的学习内容，同时也能感受到数学可以直接为社会创造价值，体会学习旋转的重要性。 由于旋转的探求过程与平移和轴对称有着极大的相似之处，那为了降低学习难度，使学生感受到图形变化之间的关联，进而明确本节课的探求脉络，我将第二个环节设计为课前梳理成果展示。 请看，这是我在课前布置的图形的变换的思维导图，我把它分为了三个部分。第一个部分，平移的知识点，它的定义是在平面内将一个图形按某一方向移动一定的距离。它的性质是平移前后的两图形全等连接各组对应点的线段平行或在同一直线上且相等。 第二部分是轴对称的知识点，他的定义是把一个图形沿着某一条直线重合。那么就是说这两个图形关于这条直线成轴对称， 它的性质是呈轴对称的两图形全等。呈轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。在小学中，我们还学习了旋转的知识点，这就是我的分享，谢谢大家 梳理的非常详细啊，特别棒！那通过它的梳理，我们了解到，无论是平移还是轴对称，我们都是按照怎样的脉络进行学习的呢？点一点二十有用， 所以啊，旋转作为第三种图形变化，我们也可以类比着平移和轴对称的，它就过程按照这样的脉络进行学习。 在明确了本节课的学习脉络后，我设计了第一个学生活动，让学生根据生活中的旋转现象，将实际物体抽象成平面图形，并根据其特点归纳定义。 那么在小学，我们对旋转已经有了一定的直观认识，旋转在生活当中是非常常见的，那生活中你都观察到了哪些旋转现象呢？谁来试一试？你来说， 呃，在我们吹电风扇的时候，电风扇的扇叶绕着中间的那个轴旋转，嗯，非常好，请坐。还有其他的吗？ 嗯，你来说，钟表的那个秒针绕着中间那个点进行转动，这是一种旋转，嗯，非常好，是很典型的旋转。那么实际上，在生活当中，许多利用旋转设计出的建筑或工具已经成为了当地的地标。我们来看一下，这是哈尔滨的雪花摩天轮， 大庆的油量式抽油机，还有佳木斯的发电风车。那么生活中有这么多的旋转现象，到底什么是旋转呢？我们将实际生活中的物体抽象成平面图形，请同学们观察三个平面图形的旋转，他们有什么共同的特点？ 那你说好来，都是某一图形绕着某一点进行转动，嗯，很好，请坐啊，那这样的话，孩子们，你能否类比着平移的定义，根据我们发现的旋转的特点，尝试归纳总结出旋转的定义吗？谁来试一试？ 好，你来说，在平面内将一个图形绕某一点转动一个角度，这样的图形运动。

中考必会正方形旋转球最直题，你能秒出答案吗？答案打在评论区，详细答案明天见评论区哦，记得点赞关注哦！

咱们初中数学几何辅助线比较难画的，肯定有旋转啊，这个礼拜八年级周末课，我们就要研究一下什么时候需要构造旋转怎么构造啊？那构造之后还有哪些细节要注意啊？那说到难画啊，有的小孩肯定是不知道什么时候该画，他不知道这个特征 啊，但实际上，呃，构造旋转啊，他也特别明显啊，就是看到这个共点等线啊。那什么叫共点等线啊，就是有两条一样的线段啊，比如说这个等边三角形啊， ab 等于 ac， 那 这个 a 点就是共点啊，所以这就是一个很明显的一个特征啊， 就这样的啊，但是啊，等边三角形，他这种情况有三组啊，那就是以 b 为攻点，还有以 c 为攻点啊，所以像这种这种图形，这种特征呢，咱们有六种画辅助线的方法啊，那究竟用哪种的话，还是在结合题目中的条件啊，咱们看一下，这个 a 点叫 a 点，咱们可以把这个，嗯， 这个右边这个 a 得 c 啊，绕着这个 a 点啊，然后转六十度啊，变到这个三角形啊，这个位置啊，然后也可以啊，把左边这个 a b 得啊，给它转六十度，转到这个位置啊，那你要是以这个 b 为共点的话，咱们可以把下面这个给它转到上面 啊，同样也可以把上面这个转到下面啊，那以 c 为共点的话，也是同理啊，所以这个辅助线啊，他的基本的画法咱们要掌握啊，那做题的时候，他往往会给你呃一个等边三角形，这样的话，这个辅助线的画法会少一点啊，或者是仅仅给你呃一组线段 相等，然后这个线段绕着某一个点转着多少度啊？这种特征啊，只要是共点等线，你别管它是什么形式的啊，咱们都可以去构造旋转啊。那这个辅助线咱们就能画了啊。那咱们这节课啊，除了要掌握这个基本的 这个画法之外啊，咱们还要通过几个咱们往年考过的真题去进一步巩固啊。嗯，我准备了三道题啊，那如果咱们这一刻把这三道题给他研究明白，我相信啊，咱们在考试啊，就不会一点失误都没有啊，加油。

这节课我们来讲旋转的定义和性质，那我们来看这三个图，第一个风扇，第二个时钟，第三个摩天轮，那我们发现这些物体都是绕着某个点，按照某个方向旋转， 那么我们把在平面内将一个图形绕一个定点，按某个方向转动一个角度，那么这样的图形熨等成为旋转，那么这个定点 o 就 叫做旋转中心， 转动的角度称为旋转角。转动的方向分为顺时针和逆时针，那么这里要注意旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 我们来看点 a 和点 d 是 一组对应点，线段 a、 b 和线段 d、 e 是 一组对应线段，角 b、 a、 c 和角 e、 d、 f 是 一组对应角，那么旋转中心就是点 o， 旋转角就是 这个角，或者是这个角，或者是这个角，那么就是角 a、 o、 d 或者角 b、 o、 e 或者角 c、 o、 f， 那 么旋转角。我们发现这两个字母表示的是对应点，中间是一个旋转中心， 比如点 a 对 应点 d， 点 b 对 应点 e， 点 c 对 应点 f， 那 么这里的 o 都是旋转中心。 来看，第一，三角形 a、 b、 d 经过旋转后到三角形 a、 c、 e 的 位置，问旋转中心是哪一点， 围绕 a 点欲等，所以旋转中心是 a 点。第二，问旋转了多少度，顺时针还是逆时针， 那么从 abd 经过旋转到 a、 c、 e 应该是逆时针，那么它的旋转角就是六十度。第三，如果 m 是 ab 的 正点，经过上述旋转后，点 m 转到了什么位置， 那么它的对应点应该就是 ac 的 正点。那么我们在确定图形的旋转时，必须要明确旋转中心、旋转角和旋转方向，那么这三个也被称为旋转的三要素。 并且我们要注意，旋转的范围是在平面内，并且旋转变换同样属于全等变换。 我们来看这个图点 a、 b、 c、 d 都在方格指的格点上。若三角形 a、 o、 b 绕点 o， 按逆时针方向旋转到三角形 c、 o、 d 的 位置，则旋转的角度是多少？ 那么旋转角，我们就可以找对应点和旋转中心的连线所组成的夹角，那么我们发现应该是九十度，所以选 c。 那么再来看如图，是两张透明纸上的四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 e、 f、 g、 h 完全成合。在纸上选取旋转中心点 o， 并将其固定，把其中一张纸片绕点 o 旋转一定的角度， 那我们来观察这两个四边形相等的线段和相等的角。我们发现有 a、 b 和 e、 f 相等， b、 c 和 f、 g 相等， c、 d 和 g、 h 相等， d， a 和 he 相等，那么相等的角就是对应角角 b， a、 d 和角 f、 e、 h。 角 abc 和角 e、 f、 g。 角 b、 c、 d 和角 f、 g、 h。 角 a， d， c 和角 e、 h、 g。 我 们把所有的点和旋转中心连接，那么这里面相等的线段有 a、 o 和 e， o， b， o 和 f o， c， o 和 g， o， d， o。 那 么也就是对应点和旋转中心所连成的线相等， 那么相等的角有角 a、 o， e 和角 b， o， f 和角 c， o， g 和角 d、 o、 h。 那 么这是对应的点和旋转中心连线所组成的夹角，也就是旋转角。 第三，在途中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，那我们发现任意一组对应点和旋转中心的连线所组成的角都等于旋转角， 那么我们就得到了旋转的性质。一个图形和它经过旋转所得到的图形中对应点到旋转中心的距离相等。任意一组对应点和旋转中心的连线所成的角都等于旋转角以及对应线段相等，对应角相等。 那我们来看这四个图，在图一到图四的四个三角形中，哪一个不能由三角形 abc 经过平移或旋转得到？ 那么第一个图我们发现它是可以由平移得到，第三个图可以由旋转得到，第四个图还可以由旋转得到。那么只有第二个图，它和 a、 b、 c 是 一个镜像的关系，既不能通过平移，也不能通过旋转 来看。第二，如图，将等腰三角形 a、 b、 c。 绕顶点 b。 逆时针方向旋转，阿尔法度到三角形 a、 e、 b、 c、 e 的 位置 a、 b 和 a、 e、 c、 e、 b、 c、 e 分 别交于点 f。 第一问，求证三角形 b、 a、 e、 d。 全等于三角形 b、 c、 f。 那么因为是等腰三角形，所以 ab 等于 bc 等于 bc， 并且这个角等于这个角，这个角和这个角相等，那么也就是这个角等于这个角，所以我们就可以用 a、 s、 a 来证明 来看证明过程。在等腰三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 b、 c。 角 a 等于角 c。 那 么有旋转的性质，我们可以得到 a、 e、 b 等于 a、 b 等于 bc， 角 a 等于角 a 一、 等于角 c。 角 a、 e、 b、 d 等于角 c、 b、 f。 所以 在三角形 b、 a、 e、 d 和三角形 b、 c、 f 中，角 a、 e 等于角 c、 a、 e、 b 等于 bc。 角 a、 e、 b、 d 等于角 c、 b、 f。 所以三角形 b、 a、 e、 d。 全等于三角形 b、 c、 f。 第二问，当角 c 等于阿尔法度判断四面形 a、 e、 b、 c、 e 的 形状， 那么因为题目当中说了旋转角是阿尔法，所以角 c、 b、 f 也是阿尔法度， 那么因为旋转，所以角 c 一 等于角 c 等于二发度，那么这两个角相等，我们可以推断出这两条线平行，所以啊， a、 e、 e 就 平行于 bc， 那 么同理，我们可以得出 a、 b 平行于 c、 e。 所以 啊，这就是一个平行四边形。那么又因为 a、 e、 b 和 bc 相等，所以它是一个菱形。 那我们来看证明过程，因为角 fbc 等于角 c 等于 r 法，角 c 又等于角 c 一 等于 r 法多，所以角 fbc 等于角 c 一。 所以 a 一、 c 一 平行于 bc， 所以角 c 一。 e、 c 等于角 c。 那 么又因为三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 e、 b、 c 一 为等腰三角形，所以角 a 一 等于角 c 等于角 c。 那 么角 a 一 就等于角 c、 e、 c。 所以 a、 e、 b 平行于 c、 e。 所以 四边形 a、 e、 b、 c、 e 是 平行四边形，又因为 a、 e、 b 等于 bc， 所以 四边形 a、 e、 b、 c、 e 是 菱形。 我们来看这个图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于二十二度角 a、 c、 b 等于四十五度 a、 b 等于六厘米。那么三角形 a、 b、 c 逆时针旋转一定角度后，与三角形 a、 d、 e 成合，且点 c 恰好成为 a、 d 的 正点。那么第一问，指出旋转中心，并求出旋转的度数， 那么因为三角形 a、 b、 c 逆时针旋转一定角度后，和三角形 a、 e、 d 成合，所以啊，点 a 是 旋转中心，那么角 b、 a、 d 就是 旋转角。 因为点 c 在 a、 d 上，角 b 等于二十二度，角 a、 c、 b 等于四十五度。那么根据三角形内角和等于一百八十度，我们可以求出来，角 b、 a、 c 等于一百一十三度，所以旋转角的度数就是一百一十三度。那么第二问，求 a、 e 的 长度， 那么这里 a、 e 等于 a、 c 没有知道 c 是 a、 d 的 中点，所以 a、 c 就 等于二分之一 a、 d， 那 么这里 a、 d 就 等于 ab， 所以啊， a、 e 就 等于二分之一 ab 由旋转得到 a、 e 等于 a、 c、 a、 d 等于 ab 等于六厘米。因为点 c 是 a、 d 的 中点，所以 a、 c 等于 dc 等于二分之一 a、 d 等于三厘米，所以 a、 e 的 长是三厘米。 那我们来看练习题。第一题，下面生活的实体不是旋转的，是 a 传送带传送货物，那么这个应该是平移，它不是旋转。 第二题，如图，将三角形 a、 b、 c 绕点 a 旋转后得到三角形 a、 d、 e， 那 么下列结论不正确的是，那我们来看 a 选项 b、 c 和 d、 e， 那 么这两个是对应边，所以它们应该是相等。 b 选项，角 e 和角 c， 它们是对应角，也应该相等。 c 选项，角 a、 c 和角 b、 a、 d。 那 么因为角 b、 a、 c 和角 d、 e 相等，所以啊，角 e、 a、 c 就 等于角 b、 a、 d， 它也对。 第一选项角 b 和角 e， 它们不是对应角，所以不相等。第三题，将三角形 o、 e、 b 绕点 o 逆时针旋转八十度，得到三角形 o、 c、 d。 若角 a 等于三倍的角 d 等于一百二十度。问角 r 法度数， 那我们先找旋转角，也就是角 b、 o、 d， 它等于八十度， 那么角 a 等于一百二十度，角 d 等于三分之一，角 a 等于四十度，所以角 b 应该也等于四十度。那么根据三角形内角和，我们可以求出角 a、 o、 b 就 等于二十度， 所以角阿尔法就等于八十减二十，等于六十度。第四题，三角形 a、 b、 c。 绕点 c 旋转，得到三角形 d、 e、 c。 那 么在这个旋转过程中，旋转中心应该是点 c， 旋转角 可以是角 b、 c、 e 可以 是角 acd 第五题，一块等腰直角三角板 a、 b、 c 在 水平桌面上绕点 c， 按顺时针方向旋转，得到三角形 a 撇 b 撇 c 的 位置，使 a、 c、 b 撇三点共线，那么旋转角的大小， 旋转角可以是 a、 c、 e 撇，那么因为是一个等腰直角三角瓣，所以角 a、 撇 c、 b。 撇就等于四十五度，那么旋转角就等于一百八减四十五，等于一百三十五度。 第六题，如图， p 是 正方形 a、 b、 c、 d 那 一点，将三角形 a、 b、 p 绕点 b 按顺时针方向旋转，能和三角形 c、 b、 b 成和。若 b、 p 等于二， 问 p、 p 的 长度， 那么我们由旋转可以知道，角 a、 b、 p 等于角 c、 b、 p、 p、 b、 p 等于 b， p、 p 等于二。 因为角 a、 b、 c 等于角 a、 b、 p 加上角 p、 b、 c 等于九十度，所以角 p、 b、 p、 p、 p 等于角 c、 b、 c 等于九十度， 那么也就是这个角等于九十多。所以根据勾股定律，我们可以计算出啊， p、 p 撇等于二倍根号二。

小青啊，这幅九天朝原图是仙人的心血，如今地动山摇，必画错位，若不能在日落前将其复原，这千年的神韵就要归于黄沙了。 师傅，这些线条全都乱了，原来的位置早已模糊不清，我该如何下笔，才能分毫不差的画出他们原本的模样？ 万物有法，行止有度，图形的流转在于定其心， 明其相，度其脚。孩子，用你手中的尺规去找回那些失落的轨迹吧！修复师们，时间紧迫，请随我一起用精确的线条重绘这盛世的飞天。 师傅，这琵琶的姿态不对，他应当是顺着神女的手腕向右侧倾斜，才能弹出绝世妙音。 琵琶之颈犹如一条线段，欲将其复位。你去定下旋转中心，看准方向，但最关键的是，那琴头究竟要转过多少度才能精准归位？ 师傅，这莲花座是个巨大的三角形，他现在的三个角全错位了，若是我只修补一个角，其他的角是不是也就跟着歪了？ 千一发而动，全身整体的旋转实则是顶点的流转。若已知中心与角度，你该如何运比？让这三角形的三个顶点同时落入正轨？ 这里还有一个损坏的五边形阵法，快帮我把它顺时针转九十度补齐，千万别把顶点连错顺序哦！ 这条飘带最难，它不仅离神女那么远，连朝向都是反的，这绝对不是转一下就能解决的呀！ 有些修复不能一蹴而就，仔细看清他究竟是先经历了怎样的平移，又进行了何种旋转，方能让其完美衔接。 这飘带太远了，而且朝向是倒着的，这绝对不是原地转一下就能解决的他到底经历了什么？ 修复壁画不仅要绘画，还要会找，你能一眼看穿哪个点是他们旋转的中心枢纽吗？ 千年的尘封终于在这一笔中精准找回了原本的轨迹，这便是法则的奇迹，每一次分毫不差的流转，都在唤醒沉睡的神明。 原来数学的线条真的能丈量出盛世的容颜。匠心不灭，一眼千年。今日，我们重回了敦煌， 这节课你有什么收获？

hello， 大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂。欢迎来到满分数学八年级下册第十四周旋转模型。 我们今天这节课主要讲三个啊问题，第一，什么是奔驰模型啊？介绍奔驰模型第二个，什么是手拉手模型？第三个，什么是绊脚模型？我们先来讲第一个奔驰模型 啊，如图所示，三角形 a、 b、 c 中啊，它若是个等边三角形，那么在 p 是 三角形内部的一个点，我们连接 p、 a、 t， b， p、 c 啊，这样的一个形状，我们称之为奔驰模型，因为它内部的这个三个线很像我们奔驰的车标好，所以称之为奔驰模型。 那半自动机有什么特点呢？我们发现由于它的三角边相等啊，有一个相同的边，所以我们其实可以利用这三条边中其中那一两条边啊等线段去构造旋转变换 啊。我们可以选择把其中一个三角形，比如说 a、 b、 p 或 a、 p、 c， b、 p、 c 都可以选择一个，我们如果选择 a、 b、 c、 d 的 话啊，这三角形我们可以绕着 a 点进行旋转，也可以绕着 b 点进行旋转啊，比如我们绕着 a 点旋转，那好，我们会以 a、 b 这条边作为一个机制， 那它旋转啊，逆时针旋转六十度，刚好会旋到 a、 c 角边上啊，但边的旋转我们带动的整个三角形一起旋转，所以三角形 a、 b、 p 我 们同时一起逆时针旋转过来啊，撇到这位置啊， 我来画一下啊这里，那我们可以把这个旋转轴画出来啊，再这样子打，旋转完之后呢，我们再连接这个 p、 p 撇， 我们为什么可以这么去旋转？所以当我们遇到题目中给我们了共顶点等线段，我们就可以进行旋转了啊，等线段可旋转？ 我来解释一下什么是到共顶点等线段可旋转？ 有一个公不定点 a 以及一组相的线段 a、 b 和 a c， 那 我们就可以将一个线段旋转到另外一个线段。但注意，我们旋转线段的同时，其实目的是要把所对的三角形一起旋转过来，所以我们是带着这三角形一起旋转， 旋转完之后会得到一些新的结论，我们一起来看一下啊。由于可旋转前后啊对应的 a、 b 和 a、 c 相等，以及旋转后的 ap 和 a p 也相等啊，两组边相等了。 还有我们观察到这里有两个六十度角啊，旋转着角是六十度，两个六十度相等，我们就可以利用一个角度转换我们常用的，比如我们标为角一，角二、角三啊，我们可以知道角一加角二等于六十度， 角二加角三等于六十度，所以可以推出什么？对了，是可以推出角一等于角三了啊，我们得到一和三相等之后，我们就可以证明全等了，可以证明啊， a b p 和 a p， p c 全等啊，这是可以旋转，我们前后可以证明全等。 以及呢，旋转完之后我们还可以得到一些新的信息啊， a、 b、 p 呢，它会是个等边三角形啊，等腰加六十度出等边， 这些方法都可以帮助我们去得到更多的信息。所以遇到奔驰模型，我们可以去做一些旋转，如果一开始三角形是 a、 b、 c 是 个等边三角形，那么旋转而后它新的会组成一个新的等边三角形， 那这是等边的情况，我们再来看啊，如果是告诉我们这原来三角形 abc， 它是个九十度角，还有相等的边，也就是它是个等腰直角三角形的话，我们同样可以去做旋转构造一些信息， 我们可以把 a b p 啊，绕着 a 点进行旋转，比如我们一样的逆时针旋转九十度啊，因为我要把 a、 b 边旋到 a c 边，这这一过来，所以这里假角是九十度，我们要旋转九十度啊， 旋转完之后连接 pp 撇，我们一样可以证明出来三角形 a p、 p 撇啊，这个是啊，一个等腰直角三角形， 所以这两个方法都可以帮助我们去构造出一些新的线段和构造出一个新的特殊的三角形。学会了奔驰模型，我们来看一下例题，一 点 p 是 等边三角形的内部的一个角，告诉我们三条线段的长度，要求角 a、 p、 b 的 度数， 要求角 a、 p、 b 轴度数。怎么办呢？我发现它给了线段六八十啊，说这三条边没有什么关系，我们没法利用什么边长细节得到这个角度， 暂时得不到啊，而且呢，我们观察它是一个奔驰模型，遇到奔驰模型，我们可以思考去做构造旋转啊，去转移这些边角关系，再去求解 题目，因为我们求的是 a p、 b， 那 我们可以去旋转什么三角形呢？你也可以优先去考虑这个三角形 a、 p、 b 啊，好，这就我们可以暂停作图作答，请暂停， 我们来看例题。一，根据奔驰模型，我们要求的是三角形 a、 p、 b， 我 们可以选择将三角形 a、 p、 b 绕着点 b 去旋转。 怎么去学呢？学到哪里？我们要去找等线段啊，以 b 为公共顶点，那么相等线段就是 b a 和 b c， 我 们可以选择把 b a 逆时针旋转六十度到达 b c， 所以 代的正角形 a、 e、 t b 一 起旋转过来。好，我们来做个图啊，我们把图直接做出来 啊，全对完之后，我们可以起比较简单证明出全到，其后全的三角形 b a、 p 会全等于三角形 b、 c p 撇全对有什么用？它可以带着边角进行转化啊。此时我们的 b p 这条边啊， b p 八，就告诉我们是八，那转移过来 b p 撇是就八了。还有呢， t a 到哪里打 pa？ 是 不是整到 p 撇 c 了？所以 p 撇 c 是 六啊，我们看这是六了啊。还有 p c 是 十，它并没有随着一起转换成 p c 没有变啊。那么再来看一下 三角形 b p p 撇这三点很特殊，一组等腰加这个旋转角六十度，它是什么？是不是等边啊？对了，所以我们还知道三角形 b p p 撇会是个等边三角形，我们来算出来， 知道等边有什么用，等边三条边都相等，所以 t p 撇也是八。好，我们发现一个特点吗？首先我们要求的这个 bpa， 我 们前面说到了它旋转过来到哪里啊？是不是旋转过来到了 b p 撇 c 了？ 所以我们只要求出角 b p 撇 c 的 度数，就能求出角 a p b 的 度数了。 这个被分为两个角，上面这个部分多少？上面是不是六十度啊？约等边三角形是六十度，那上面下面这一部分呢？好，我们发现三角形 p p 撇 c 是 个什么？三角形 六八十，讲到什么？对了，勾股定律，它是个直角三角形啊，又麻死满足勾股定律直角，这下我们知道了，原来 这个角度由六十度加九十度是等于一百五十度，所以我们原来要求的 a p 撇 b 也是一百五十度，我又折出来了啊！ 接同学们，像这样的奔驰模型，它的做辅助线方式是比较多种的，都能去解决问题啊。除了我们可以这么去做辅助线，还可以怎么做呢？我们再看看啊， 我们也可以选择把 a p c 去旋转啊，旋转上来啊，旋转上来的目的呢？我们可以求出这个角度数，然后再移过来再去思考啊。如果或者是加在题目中，量力求至 a p c 的 度数，你也可以去操作了啊。 同学们讲，如果下次量我们除的是 b p c 的 度数，那我们可以怎么做辅助线呢啊？同学们可以回家之后呢，也可以把这个图画一画啊，看一看啊，如果下次呢，你去旋转别的角，你该怎么去做辅助线？ 好，这里就可以留给大家去解决问题了，那我们继续来学习，我们前面学习了奔驰模型，我们接下来学习一个我们的老朋友手拉手模型。手拉手模型在我们学习全等三角形的时候就学大过， 那我们今天这节课学习旋转模型，那我们可以把手拉手模型以旋转的角度再去思考啊，再去看待它 原来有两个等变上经 a b c 和 d c e d c e， 我 们可以还原它原始旋转前的样子，好比如说在这位置看 新闻，就可以看作三角形 c、 d 撇一撇，好绕着它们的公墓点 c， 给它旋转了一个角度 r 发角 啊， c d 撇就旋转了 c、 d 同时 c e 撇就旋转阿法角旋转到 c e 了。当我们这个两个旋转角有了之后，我们只要连接啊 b、 d 和 e a 这两个拉线，是不是我们就可以证明出在脑筋全等了啊？旋转角一样啊，两等边的条边也是一样长，什么都可以快速证明出在脑筋 a c、 e 全的成形 b c、 d 了。好有，那我们帕丁力 s s 啊，其实我们可以通过旋转的角度去知道这两个小球为什么去减等啊，那么再来看，证明减等之后，我们就可以得到两条拉线相等，也是 a e 会等于 b d 啊，我们就把这种常用的结论我们复习一下， 其实呢，我们还能证明住这两条拉线的夹角会是六十度啊，这个夹角会是六十度，在六十度，怎么正呀，我们来回到这个八字模型啊，我们换一个颜色笔啊，八字模型 a f 哈， b c a 啊，这么是一个八字模型啊，这个八字模型呢，我们可以看到啊， 上面这角尖尖角，我们标于角一，这个角标于角二。角一和角二什么关系啊？所以由于全等，我们可以知道角一等于角二，这么还有一组对顶角相等， 一个三角形内角和是一百八十度，角一跟角二相等呢，对，你要相等，所以剩下两个红字的角它得相等，那底下这等面是六十度，所以上面也是六十度。好，我们就可以用八字模型啊，八字模型去证明 第三个，我们还愿证明出 c f 和平分角 b、 f、 e 啊，这比较特别了，这里也是个角平分线， 那如何去证明它角平分线呢？那就要从它的角平分线的定义出发啊，如果我们能证明角平分线点到角两边的距离相等，那它就是角平分线了啊，距离段我们过 c 点做垂线段，那做两条高啊 点，一个比方 m， 如果我能证明出 c m 会等于 c n 的 话，那么就可以证明它的小平分线了。 c m、 c a， 我 们观察到很特别啊，出现了垂线，可以想到什么？是想到三角形的面积啊，对了，我们利用全等，除了角相等，还可以知道三角形 b、 c、 d 的 面积会等于三角形 a、 c、 e 的 面积。面积相等底边是谁啊？底边一个是 b、 d 和 a e， 底边相等，面积相等高怎么样？高是相等 好等等啊，这利用等面积法啊，面积相等，底边相等高也会相等，所以我们知道 c m 等于 c n， 也就能推出来它会平分角 b、 e、 f、 e 了 啊。所以其实我们在抓住这些旋转的思路的话，它这些旋转摩羯它的个特点就是共顶点的线段可以旋转啊，有公共的顶点 c 有 相等的线段啊，可以继续旋转啊。好， 那除了等立方形以外，我们还有另外一种手拉手模型，比如说两个正方形，好，两个正方形长这样子，我们也可以把它看作 c e、 f g， 它绕的 c 点旋转了一定的度数得到的， 那这时候我们只要把两个拉线连接起来之后，我们也可以得到类似的结论。第一个 b、 c、 e 和 b c、 g 会全等啊，这两个拉线连接起来啊，这两个上行会全等。还有呢，全等完之后，两条拉线会相等， 其次这两头拉近了夹角会刚好等于我们原先原先这个角啊，你说我 b、 c 旋转过来的九十度，我旋转了九十度，这里也是九十度啊。这两个角轴位相等证明方法跟我们学面一样的，利用这个八字模型，我们大家把它画在这个八字模型啊， 这里，角相等啊，一组全等后，一组角一角二相等，所以两个角相等九十度啊。 第三也是角平分线，角平分的证明方法跟我们前面证明方法一样的，利用它的面积相等以及底边相等，去得到两条高是相等的关系， cm 是 相等关系，再证明它是角平分线 啊。所以发现遇到这种旋转的特点啊，你要记住，当题目中有一组公共的线段啊，公共的顶点，还有一组围绕公共端点的一组等的线段，我们就可以进行旋转变换，可进行旋转变换。 好，学会了手拉手模型，我们来看下下面的例题，现在呢，四边形 o、 a、 b、 c 和四边形 o、 d、 e、 f 都正方形，两个正方形 将其中一个正方形绕的它们的公共顶点 o 进行旋转。问， a、 d 和 c、 f， 你 说这两条拉线会有什么位置关系 啊？ b 证明，我们说到位置关系，通常会有哪些平行垂直，最特殊的是相交或者成夹角多少度啊，同样是这样的情况。好，这是我们前面提到的一个 a、 d 和 c、 f 的 一个结论，我们来去暂停书写一下啊，请暂停。 好，我们来看例题二。第一小问，要证明 a、 d 和 c、 f 的 位置关系，首先我们要先证明占位权的那两个呢？ c， o f 和 d o a。 好， 我们来复习下过程。 第一个字啊，我们结论是什么？结论可以等我去写啊。结论我们会发现 a、 d 和 c、 f 在 数量上它们是相等的关系啊， a、 d 会等于 c、 f 在位置上他们是垂直的关系，这是我们通过我们手拉手模型来给我知晓的啊，那我们来看第一个要证明全等 题目告诉我们的是正方形，所以我们要从正半径信息出发，正半径可以知道边相等和九十度直角啊，但发现我们要证明的 c、 o， f 和 d o， e， d， o a， 它们的角是这个 d、 o， a 还是它们的角，所以我们要给它推导一下， 我们可以假设上面是角一啊，我这里把这角改一下，改成角一、角二、角三并用去书写啊。在正方形 o a、 b、 c 中啊，会有 o c 等于 o a 啊，还有呢，角 c o a 等于九十度，这是我们业信息啊。在正方形 o， d， e、 f 中也有一些信息啊，同样的，对应的 o d 等于 o f， 角三等于九十度啊，我们也可以把角一改角一啊，角一等于九十度，方便的我们去写。 那接下来我们来去处理一下，角一是九十度，角三是九十度，那么角一和角三都相等， 那我在等式两边同时加上又括过角二，是不是等式也仍然成立啊，那所以就得到角 c、 o f 这个大的角和角 d， o a， 它会相等，那我们就可以这么选等吗？在 啊，在滑移线分割线啊，在三角形 c、 o f 和三角形 d o a 中，我们罗列间前面得到信息啊， c o 等于 o f， 角 c o f 等于角 d o a 以及 o d 等于 o f， 所以 我们就可以证明三角形 c o f 会全等于三角形 d o a 了。用到判定命令 s a s 全等的目的，可以得到一组拉线相等，也就是 c f 等于 d a， 我 们至少先这笔出来了，他两的长度关系是相等的。我们再来看位置关系，位置关系用到八字模型，由于全等，我们可以知道角四和角五相等啊，而且还要知道角四和角五相等，这两个角相等 在我们的利用八字模型啊，可以，这里可以给一个点啊，我们可以给点点 m 吧啊，点 m 点物的两个对顶角啊，因为角 c m o 会等于角 a， m f 啊，这两种对顶角会相等，也还要告诉我们角四和角五相等，所以利用三角形内角和一百八十度，所以剩下的角一就会等于啊，这里一个字母没有，我们来给个 n 吧啊， 角 e 会等于角 m， n， a 都等于九十度啊，三角形内角和一百八，其中任意两个角都相等了，第三个角都只能相等了啊，既然是九十度，所以 c f 会垂直于 d a， 我 们就得证两个结论呢，相等且垂直的关系 好。以上的第一小问，我们再来看第二小题。好，我们继续来看例题二的第二小题，他说当 o 跟 o a 是 根号三啊，大正方形的面边长是根号三， 那说当 o 点旋转到 o a 直线上的时候，会发现角 d， o， c 恰好是三十度。问，当地点旋转，旋转到直线 o a 或者直线 o c 上的时候，求出 a d 的 长，这道题只需要解决呢，不需要写证明过程嘛。 首先我们要先去给他找到当地点，在 o a 情况上啊，看一看到底的小正方形的边长会是多少，这样才能帮助我们去求出 a d 啊。同学们呢，可以去暂停把这个图像画出来去作答啊，注意到 o a 和 o c 啊，它是有两多种情况的，需要分类讨论。好，接下来请暂停作答。 好，同学们，我们来看例题二。首先我们先把它画出来啊，当地点转照 o a 的 时候，我们来画出来它的可能性啊，图长这个样子，我们把点标一下啊，当地点转过来了， 我们把几个关键点标出来，此时 d、 o、 c 是 三十度啊， o、 d， a 是 根号三，要求 da 的 长度。我们来看，由于这是正方形，所以说都是根号三， 右边左边这个 d、 o、 c， 它刚好会是一个直角三角形，且它的度数是三十度、六十度、九十度，我们说三十度、六十度、九十度的三角形，它的边长比是一比，根号三比二，所以我们可以知道 d o 是 等于一，那么 d a 就是 等于 啊，根号三加一了，我们就求出 d a 的 情况了，此时我也就求出来了， d、 o 的 边长都是一，那我们再来看 它，除了在这个 o a 的 左边这一侧，你想我们再去给它往往速呢？学长，是它 d 可以 选得到内部啊，因为它这个地点刚好可能在 o a 的 线段上，我们再画一个哦，这时候可能地点旋转进来了，那地点是不是跟它共线没？ 那这个时候我们怎么求出 d a 的 值呢？我们前面提到了 o a 是 根号三， o d 前面上台是一，那 d a 的 长度是不是就是根号三减一呀？啊？所以我就讨论出来了，当地也在直线 o a 上的话，有两种情况，根号三加一或者是根号三减一。那题目还告诉我们说在直线 o c 上该怎么样呢？那我们继续把它画一下啊， 就我们提到了这是 e 值根号三，如果 o d 刚好旋转到 o c 上的话，我们现在画出一种情况，此时是不是要求求出 d a 的 长度啊？那其实也很简单，这里是根号三，这里是 e， 我们直接利用勾股定律啊，一比刚才比二也可以直接得到，这是二，所以 d a 是 等于二，然后计算时候 d a 等于二，我们再把最后等情况画出来，因为地点它可以旋转到 o c 的 内部啊， 旋转上来 o d a， 此时我们发现 o d 是 前面提到的是一， o a 是 根号三，一样的勾股定律，以上 a d 等于二，所以这种结论也是等于二。 那我们综上所述啊，我总结一下，我们算完这些答案之后呢，最终 d a 可以 是多少啊？我们把 d a 的 答案写加，这可以是根号三加一，前面想到根号三减一，或者是啊 d a 的， 或者是，哎呀，对，所以有三种情况，我们前面讲了手拉手模型，我们再来学习一个绊脚模型 啊。如图，在正方形 a b c 中，角 a e， a、 f 是 四十度，但这里有半角，指的是 我们以 a 作为公共顶点，它存在两个大，一大一小的角，刚好小的角或者大的角的一半，那九十度和四十度，这个是半角模型，要半小模型，我们可以利用好这个半角性质去 做一些旋转啊，原因是我们这里角一和角二我们要分开来看啊， 因为它的九十度，所以角一加角二也会等于九十度，减去四十五度等于四十五度， 说明射令下两个角之合会正好等于这个半角四十五度啊，等于角 e、 f， 因此我们可以选择把角一给它旋转到角二的边上，这么给它组合成一个四十五度角，这样的话就会跟角 e、 f 相等了。 但你角度旋转过来，我带着这个整个三角形一起旋转过来啊，旋转的哪里呢？由于 a、 d 边跟我们的 ab 边相对，共顶点等线段可旋转，所以我们一起整个带过来啊，带过来就勾到了一组旋转嘛。 啊，是这么原理去旋转的，那我们来画一个图啊，把图画出来啊，我们一起画这图画了个好看点啊。 好，第一步，我们可以选择把 a、 d、 f 啊，选绕着 a 点顺时针旋转九十度，旋转到 a、 b、 g 这里， 那我们就可以得到三角形 a、 d、 f 会全等于三角形 a、 b、 g 啊，这两个如果要证明也是可以证明的好。第二个，旋转完之后，一组小全等，还能证明一组大全等 a、 e、 f 和 a g、 e 这一组全等 啊，这只大节呢，怎么证明呢？就要利用到我们该提拉的一个性质了，角一，角二啊，我们可以给角三， 我们换到角一，旋转到角三了，所以此时的角三加角二合起来就是等于这个 a、 e、 f 一 组角三呢，它就等于四十五度了啊， 角一等于角三，然后用角二加角三就会等于四十五度，等于角 e f 一 组角相等了。还有 a g 和 a f 是 一组旋转节后的一个对应边相等啊，以及公木边 a e， 我 们就用 s a s 可以 证明出第二组全能了啊。 证明出第二种全等之后，我们又可以得到一些新的边角关系，比如我们的 e g 这条边就会跟 e f 这条边相等啊，进而我们还可以得到 d f 加 be 会等于 e f， 这怎么来的呢？你看 d f 是 等于什么？ d f 是 不是等于 b g 啊啊，我们前面旋转过来再等于 b g g b， 那呢，它再加上 b e 时，就构成了 g e 啊，我们只能说 g e 是 等于 e f， 所以 它这个得到的信息了啊，所以接住正完圈的之后，都可以连续证明出来的它的特点。我们要注意啊， 有一个公顶点，中间一个大角和小的角，而小的角会是大角的一半，这个是半角模型的特点 啊，参考了有这个正方形，还会有种等腰直角的形状啊，比如在等腰直角 a b c 中， 大的角是九十度，里面角 d c e 是 个四十五度，那它呢，也可以符合我们蛋的半角模型，比如旁边这两个角，角一和角二，它们俩加起来也会是四十五度，所以我们可以选择把角二绕的这 c 点旋转到角一的边上啊，这会旋转过来， 因为这样旋转过来之后呢，它可以给它拼凑成一个式数，都叫与之相等啊，这是我们构造全等的一个思路。而且呢，它还告诉我们的一组等边了，我们也可以把 b c 这条边旋到 b a 这条边过来啊，因此我们把图像画出来，来看我们旋转珠啊， 我们可以把 c、 e、 b 旋转到这个 c、 e、 a 啊， c、 a、 f 啊，这两个旋转过来，所以我们可以直接证明出三角形 c、 e、 b 会全等于三角形 c、 f、 a 啊，旋转前后全的啊，旋过来， 而且证明完全的之后，我们还能再证明一组全等，也是我们组上这个阴影部分。 d、 c、 e 跟 d、 c、 f 是 全等的关系 啊，跟我们前面证明的思路是一样的啊， c、 f 等于十一，一条微向的，公共面向的，还有这个夹角啊，这两个夹角我们刚刚提到了角一和角二是四十五度，角一又等于角三，所以角二加角三合起来也是四十五度，跟它角是相等的关系耶， 是用 s、 a、 s 证明全等啊，除了这个全等以外，净额还能再证明一些信息，我们来再继续看一下啊，净额证明哪些信息呢啊？还能证明出 d、 a、 f 是 个直角三角形， 这个怎么得到的？由于等腰直角，这是四十五度角，这是四十五度角，那我们把角 b 旋转过来，是跟这里拼错起来啊，所以这里四十五度角 b 旋转到这个位置， f、 a、 c 这里来了，正好组成那个九十度角，所以它是个直角三角形啊，这是第一个，第二个 三角形 a、 d、 f 新的的周长会刚好是等于 ab 啊，这又怎么来正呢？ a、 d、 f 怎么组成的？是由 a、 d 边加上 af 边加上 d、 f 边这三条边组成的，其中 a、 d 先不动， af 可以 等于谁啊？ af 是 可以等于 b、 e 啊，旋转前后这一边，所以就改成了 b、 e、 d、 f 可以 变成谁呢？由于我们前面这选对了， d， f 是 不是跟 d e 相等啊？所以再转过来 d e， 那 你看 a， d 加 d e 加 d e 是 不是就是合在一起就是 ab 啊，我们就挣出来了啊， a， d、 f 的 周长刚好会等于 ab， 还有呢，由于啊，它是 由于是正知道哈密奇满足勾股定律，所以我们可以知道 a、 d 的 平方加上 fa 的 平方会等于 d， f 的 平方，其中 fa 是 可以用谁替换，是不是可以用 b， e 去替换啊？ 以及我们 d、 f 可以 用 d、 e 去替换，所以我们又折正了两条边的平方和会等于中间那条的平方啊。 我们的半角模型特点在注意了，当中间出现了一个四十五度角或者是一个小的角，他刚好会这个大角的一半，这就是符合我们的半角模型，我们就会利用下这个角度关系进行旋转去构造全等 啊，进而推出别的知识条件，学会了八角模型。我们来看例题三好， e、 f 分 别是正八角 a、 b、 c， d 边上的一个动点满足 e， a， f 是 四十五度啊，是半段它们三边之间的关系 啊。我们先将 d， a， e 旋转到 b， h， a 啊，旋转过来， 然后证明全等可以得到结论啊，它是满满重叠的一个猜想。那我们跟大家猜想，我们来完成下面的问题。第一个线段， b， f， e， f， d， e， d 间会有什么数量关系呢啊？这三个阶段有什么数量关系啊？ 我们可以结合我们前面讲的绊脚摩金思路去证明啊。第一小题可以暂停作答，请暂停！ 好，同学们，我们一起来看一下。首先题目告诉我们了它的思路是把 d a e 旋转到 h a b 好 说明我们可以知道 d a， d、 e 会全等于三角形 a、 b、 h。 旋转完之后，我们可以知道了，这里角一、角二、角三的关系 啊，角一等于角三，那我们知道，因为角一加角二会等于四十五度，那现在转化就变成了角二加角三也等于四十五度，就等于角 f a e 了。 那么也还可以证明出三角形 a， f、 e 全等于三角形 a， f h 啊。第二，我们判定定零 s a s 啊，全等一条边相等啊，这个 a e 等于 a h 夹角相等，公共边相等，正好可以证明全等全等完之后，我们就可以知道 h f 会等于 e f 了啊，这两大相等，那其实条件也差不多了， d e 加上 d e 啊，这一条边它转移到 h b 了，它加上 b f 是 不是就等于 e f 了？哦，我们就知道了， d e 如果加上 b f， 它就会等于 h b 加上 b f 也就等于 h f 就 等于 e f 啊，我们关系就找到了，直接写上去， d e 加上 b f 会等于 e f 啊！第一，小问就得正了， 那么今天来看一下例题二的例题三的第二小问，如图啊，在正方形 a、 b， c、 d 中， e、 f 是 四十五度啊，这角四十五度， 然后呢，它们分别交于 m n， 像判断是 b m， m n 和 d n 这三条直线的数量关系啊， 我们现在观察啊，四十五导出来了，发现正方形这里有个九十度角，那有四十五度，九十度刚好是一半，所以它也符合我们前面党的半角模型，我们来找找看，是这里有一个 abd 啊，啊，这把 abd 加出来，我们观察到 a、 b、 d， b， m， n， n， d 是 不是就是我们提到的前面的半角模型？第二种情况等于幺直角的情况啊， 对了，所以我们可以去做一个旋转，比如说我们把 a、 d、 n 可以 旋转过来啊，如果我们大家觉得这斜的不好看，我们可以正过来看一下啊，把 a、 d、 n 旋转过来 啊，这么去旋转构造啊，连接 b、 p、 b、 m， 我 们再去证明啊，这是我们一个做辅键思路，遇到半角，要想到半角可以积极旋转变化好加同一面，按下暂停键啊，自己在原图上去构造做辅字键做。答， 好，我们来看例题三。好，我们去做出辅助线了，我们把 a、 d、 n 给它旋转到 a、 p、 b 啊，这么去做旋转啊，我们且正啊， 我们可以将 a、 d、 n 啊，三角形 a、 d、 n 绕 a 点哈，这是 顺时针啊，一定要交代好顺时针啊，旋转多少度？旋转九十度啊，到三角形 a、 p、 b。 好， 然后呢，旋转过来之后呢，再连接 pm。 好， 我们要把它旋转过来，再连接 pm 啊，所以我们可以知道，三角形 a、 n、 d 会乘等于三角形 a、 t、 b 啊，全等全等完之后呢，就有边相等和角相等了，我们可以知道这个角挪过来了啊，挪过来，所以呢，角一要等于角三以及边相等， d、 n 要转移到 t、 b 了啊，转移过来了， 接下来我们要证第二种权的，也就是这个 apm 和 amn 这两种税权的啊。由于角一等于角三，那么我们前面还知道，因为角一加角二会等于九十度，扣掉四十五度啊，也就等于四十五度， 所以呢，角二加角三也会等于四十五度了啊，因为等量代换，它就会等于角 m a n。 那 么我们就可以证明纯的第二种结论了。在三角形 a p m 和三角形 a n m 中， 第一组一组对边相等， a p 等于 a n， 第二个假角相等角 p a m 会等于角 n 五， a n。 第三个公共边 a m 等于 a m。 所以 三角形会卷的 a p m 全等于三角形 a n 了。五 好，又到了 s s 判定方法第二组圈呢，证明目的什么呢？也是为了得到一些边的关系，比如 t m 会等于 m n。 好， 这下我们就成功地把这两条边转移过来了，转移到这个 p p m 这三条边上去了。 我们转移过来之后呢，我们是希望找到它们的关系。我们观察到这里有两个四十五度角啊，怎么来的呢？其中一个角是因为全等得到的，那这里是四十五度， 那转移过来了，因为我们前面提到的全等三角形 a n b d 会全等于三角形 a p b 啊，我们开始做实线了，所以角 a d b 等于四十度，会转移过来，等于角 a b p 啊，所以我们的大角 t b m， 它就有两个四十度得到的，所以是四十五度加四十五度等于九十度。既然这是直角，那我们就可以利用过薄定律了，在 r t 三角形 t b m 中， 勾股定律满足两条直角边的平方和会等于第三条边的平方。然后接下来我们来等量代换一下， p b 是 谁啊？ p b 是 d n 呐啊， bm 呢？是啊， p m 呢啊， b m 就是 保留， p m 呢？就是 m n。 所以 我们又找到它们的关系了啊， d n 的 平方加 b m 平方会等于 m n 的 平方。我们来看一道中考直击题啊，这是我们啊，来自浙江的 如图，已知角 b， a、 c 会等于六十度， a， b 等于四， a， c 等于六啊，点 p 在 这内部。好啦，既然呢，它绕着 a 点去旋转，把 a、 p、 c 绕到了 a， e， f 啊，这两个选对 最后要求的是 a 一 边加 p， b 边加 tc 边对角啊。 那我们看这道题该怎么答？它其实跟我们的一个啊，奔驰模型很像啊，非常相近，由于这是转六十度啊，其实我们也可以快速证明出 ape 是 一个等边套型啊，也就是说对应的这个，它要求的就是 pa 加 pb 加 pc 最小啊。 我们先看它怎么可以转移呢啊，哪条边可以转移出去？这是这点问题的关键了。其中 a、 e 角边，它由于是整边三角形，它可以转移到 p e 啊，它可以变 p e， p b 角边不用动。那 p、 c 角边呢？由于全等转移到了 e、 f， 所以我们发现磁力球是什么？磁力球是是 b， p， e， p 和 e f 这样的一个折线什么时候是会最小？ 那你要想一下，折线什么时候最小，是不是当对了，当四点共线的时候最小啊？同学们，所以这道题的特点就在于，你要通过这个思路转移信息后找到，原来是当它四点共线时候最小啊，这样我们看看能不能求出这个 最小值啊。同学们可以按下暂停键作答，请暂停！ 好，我们来看这道直击中考题，我们前面提到了这三角边相加，如果直接去算，你是很难算出来的，我们需要给它转移，通过我们前面学过的这些知识，可以快速得到一些结论啊。我们可以发现，实际上它要求的就是这三条线段之 和最小啊，这道呢折线，但我们知道当出现多段折线的时候，只有当它们四点共线的时候才会最小啊，所以我们把它最小的金块给它画出来啊， 要把它擦掉啊。四点光线的时候也都是 b、 f， 这它们的最小值也就是我们的 b、 f 的 长度，所以我们先要把 b、 f 给它求出来。那 b、 f 如何去求呢？我们来先把信息写下， 这里是四，这里是六啊，这就是六十度啊。由于旋转，我们发现 a、 c 旋到 a、 f， 所以 这也是六十度。我们得到了 b， a、 f 是 一个一百二十度的角啊，一到一百二十度角，我们可以怎么办呢？它要求的是一百二十度角的这个三角形的斜边啊，这个时候我们就要 去做这个钝角的反向延长线啊，为什么？因为他旁边是六十度，然后再过 b 点做他的垂线去构造出一个特殊的直角三角形啊，因为六十度角的直角三角形，他还有个三十度，他有边长是有关系的， 一比根号二，三比二啊，来我们来复习一下啊，三十度，六十度，九十度，直角三比二，那么来看，斜边是四，那么三十度所对的这个直角边就是它的一半啊。我们给个字母啊，给个给一个 q 嘛。 a q 的是二了， 但 b q 呢？一比根号三倍，这是二，所以它根号三倍是二，根号三，我们就求出了 b q 的 长度 以及 a、 f 的 长度是多少呢？ a f 会等于 a c， 所以 等于六。我发现在 r t 三角形 q f b 中，我们的两条直角边都已经求出来了，斜边是不就可以求了？公布定律， q f 的 平方加上 q b 的 平方啊，会等于我们斜边 b f 的 平方，所以要数的 b、 f 就 可以看作根号下啊，我们直接代入来算了。 q f 就是 二加六等于八八的平方， 加上二根号三的平方，我们进行展开计算，得到是二根号十九，所以就九出来了。 b f 是 二个号十九，那么它们的最小值就会是二个号十九 啊。其实我们说啊，这道题它考察的是叫费马点问题，费马点就是在一个三角形的内部啊，如果任意剪个 p， 我 连接 p a t， b t、 c 这三个点啊，如何能求出这三条线段之和最小？也就是我们这个问题了啊，它也是像呢，我们要先做旋转，出去之后再去求 啊。在这道题也考察到了我们说的等变站型那些特性，以及如何去除两点之间啊，或多个线段什么时候是最短，什么大妈们共线的时候最短，这结合了我们之前所学的各种知识。 好，我们来看下这节课学的学长模型啊，学的模型起到三，学过三个模型，第一个，奔驰模型， 奔驰模型。让我们注意的是，如果一开始三角形是个等边三角形，那么我们若要求内部的这个点 p 到三条边的长度关系，或者是这个 p b p a 的 一个角度弯斜时候，我们可以选择去 将其中一个三角形绕着某一个顶点进行旋转啊，比如我们可以把 a b p 啊，绕着 a 点啊，逆时针旋转六十度，旋转完之后呢，可以证明出一个新的小的等边角形 a t p 撇。 同样的道理，如果是等腰直角三角形的话，我们也可以这么做，旋转构造出一个新的等腰直角三角形 a p p 别啊。第二个， 对于手拉手模型来说，我们主要是复习了一下手拉手，我们之前这样的一个结论，我们可以通过旋转的思路去看待这个手拉手模型，也说当出现共顶点等线段的时候，就可以进行旋转了。 常见的结论有啊，中间这两个阴影部分，三角形是全等的关系，以及它们的拉线会相等，而且呢，拉线的夹角会等于原始提供的信息的夹角啊，原来的夹角是六十度，那么我们拉线夹角也是六十度了 啊，以及 cf 会平分这个 b f e 啊。同样道理，如果他给的是正方形或是等腰直角的话，那么 全等也会有拉线相等，也会有它们两条拉线的角度就会是跟这个直角相等啊，都是直角以及也有角平分的一个性质好。第三， 一道半角模型，我们要注意了，当题目给的信息是一个四十五度和一个九十度啊，或者比如说六十度，一百二十度啊，这种一大一小的两个角，刚好小的角是大小一半的话，我们就可以知道它属于半角模型，可以进行旋转，我们可以把 a、 d、 f 旋转到 a 去 b 来 啊。旋转的主要的核心是因为角一跟角二，它们俩加在一起刚好会是中间的半角， 所以我把脚一挪到一边之后，跟另外一个角就能凑成一个完整的角啊，他会跟这个半角是一样大小的啊，这样我们就会构造出一个新的全等。同样道理，如果给我们等腰直角的话，我们也是可以这么做的， 可以把一边的角转移到另外一边去，给他拼成是一个新的四舍五入角啊，这都是半角模型的核心。 以下呢，就是我们本节课的全部内容了，大家回去记得及时复习巩固啊，拜拜。

八年级一类必考的题目是关于图形的平移和旋转，然后接下来呢，老师就来带领大家以这道题为例，来看一下关于平移里面的一些相关的题目，到底该如何去分析，如何去理解。如果 咱们孩子啊，做这类题经常丢分的话，一定要私信老师来领取往年的关于这类题的一个 是真题，因为这一类题他一定是你一道送分题，一定一定是一类你可以拿满分的题目啊。好，来看一下这道题，他说在三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度，说明是一个直角三角形，还告诉我们 ab 等于 bc 等于十，好，那说明他是一个等腰直角三角形， 然后这样三角形除了腰相等九十度之外，我们脑子里面是不是应该还浮现出来一个四十五度这个特殊的图，这个特殊的角度，所以我们也可以在这个上面给它简单的做个标准啊，这是一个四十五度的角。然后接下来呢，把三角形 abc 向右平移，平移的距离是四，那反映在这个图上是不应该这个位置就是四， 其实这个是四，后面这个 c 撇 b 是 六，是不是自然就标出来了。然后问的是图中阴影部分的面积是什么？我们来观察一下这个阴影部分 这个硬部分的面积，这个硬部分是个什么图形？应该是一个梯形对不对？我们想要求梯形的这个呃，面积，应该知道它的上底下底以及高，才能求梯形的面积。 这个呢，其实也能解决，只不过我要求的东西会比较多，所以做这类题呢，我们一定要学会一个适当的转化，转化是什么意思呢？这个阴影部分你看看，你观察观察他其实和这个图形里面哪一块的面积是一样的？如果你能看出来了这一点，那么这一类题目你就可以直接去 套这个式子就可以了，套这个模型就可以了，它和谁的面积是一样的？它应该和旁边这个 a、 c、 c 撇这个地方，比如说是个 d 吧？ a、 c、 c 撇 d， 它的面积是一样的，其实也很好理解，就是阴影部分加上这个三角形是不是原始的这个大三角形， 而这一块它加上这个空白的三角是不是也是 abc 的 面积？所以我们其实就相当于是把这个阴影部分的面积给它转换成了这个梯形，谁的面积呢？ a、 c、 c 撇 d。 因为这个题型很明显，我要好求很多，那这个题型里面具体的长度对应的到底是几呢？我们已经标的差不多了，其实上底有着 c、 d、 c、 d 的 长度应该和 c 撇 b 一 样，它是一个等腰直角三角形，所以这里是六， 然后呢？下底刚才已经标过了，是十，然后这个高是它平移的距离是四，所以这个地方它的面积我们直接就可以去求了啊，等于上底加下底乘以高，然后再除以二， 求出来最终的结果就可以了。这个题求出来的结果等于三十二。其实这一道题如果你能听明白，那关于这种平移里面所有涉及到求面积的问题是不都是同样的思路？我们利用的一个问题就是 找这个这个应用部分，它和哪一块儿规则图形的面积是一样的，直接就可以解决这一类题目。

答题一下册一共就两大难点，一个是旋转，还有一个是平行四边形。那关于平移旋转这一类题呢，是很多同学的拦路虎，同学们只要一看到这种动态的旋转的东西， 就被吓得不行。那其实这一类题呢，你只要看透了他的旋转的本质，会构造这个旋转情况下的这个图形的话， 你是可以直接秒杀出来这种难题里面的第二问和第三问的，能帮你轻松拿分。接下来呢，老师就以这道题为例，给同学们讲清楚它旋转的本质到底是什么，我们该如何去构图呢？那关于这一类题，老师也给大家整理了历年的一些考试真题， 如果咱们孩子做这类题，经常最后两问得不到分，一定要把它打印出来，结合着老师上课所讲课的方法啊，直接去秒杀这一类的大题啊。来看一下这道题，他给了一个定义，给了个等补四边形。什么是等补四边形呢个邻边相等，并且呢有一组对角互补的凸四边形，我们就给它称之为是 等补四边形。这个概念我们读完了之后，脑子里有个印象，等会儿在题目里面，我们就可以直接去用这组等补四边形来看第三问啊。第三问呢，就是三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形， 在 b、 c 上任意取一个点 d， 然后连接 a、 d， 把三角形 a、 b、 d 绕着点 a 逆时针旋转六十度，然后让 a、 b 和 a、 c 重合。根据题目上给的条件，根据等补四边形的定义，判断一下 a、 d、 c、 e 是 否是一个等补四边形。 这是一个什么？是不是一个三角形 a、 b、 d 和 a、 c、 e 应该是全等的， 所以这个地方它不仅仅是旋转，是不也可以理解成我们七年你所学过的叫什么？是不是旋转型的全能，手拉手型的全能是不一个意思，对不对？好，那那 a、 d、 c、 e 是 不是一个等幅四边形？观察里面的条件够不够就行了？邻边相等，有没有邻边相等？ 三角形都全等了，那里面 a、 d 和 a、 e 的 这个边的长度是不自然而然是全等相等的。好，那有没有对角互补？也有，因为因为全等，所以里面的 a、 d、 b 和这个 a、 d、 c 这两个角度相等，而这边又是一个邻补角， 它两个互补，那也就意味着里面的 a、 e、 c 这个角度和 a、 d、 c 这两个角度是不是直接就是互补？它俩是不是称之为对角？所以对角互补直接就出结果，这个地方它是一个等补四边形，所以第一问其实相对来说比较好，拿出来直接通过旋转来看来看这个图形就可以了。来第二次问，他说 在这个等补四边形 a、 b、 c、 d 当中告诉我们了 a、 b、 c、 d 是 一个等补四边形，还知道 ab 等于 bc， 一个边相等边形，还知道这个角度和这个角度，这两个角度它都是九十度。问我们四边形 a、 b、 c、 d 面积等于八，让我们求求 b、 d 的 长， b、 d 怎么求？ b、 d 在 这上， b、 d 怎么来求呢？ b、 d 如何来求？给了四边形的面积，这个四边形可以理解成里面是不是有两个直角三角形？ 给了两个直角三角形，我们也不知道其中任何一个边的长度，那如何去解决这个问题？所以这个题第二小问，如果我们没有思路，一定要考虑考虑这个题， 从前往后刚才我们做了一些什么事，其实也可以理解成这类题，他也可以理解成是一个类比探究的题。第一问里面我们在做什么？我们在通过旋转是不是正了一组四边形，是一个等补四边形？第二问是告诉我们他是一个等补四边形，那我们其实由着第一问的 思路，第一问他不是白给我们的，不是随意给我们出了一个题，就是为了给后面的第二问和第三问做铺垫用的。这里面有一个旋转型的全等，那这个图里面我们是不是也可以根据这个等补四边形倒着去推倒着去构造这样一组旋转型的全等？可以的， 旋转型的全等其实也就相当于我们刚才是不是在第一问里面说了是不是相当于一个手拉手，那手拉手的基本模型是什么？ 共顶点、双等腰，夹角相等，那所以我就在第二个图里面去找手拉手形的基本基本特征，共顶点，双等腰有没有共顶点？这个里面共的这个顶点你一定能看得出来，一定是谁，一定是 d， 这个点 一定是 b 这个点，那双等腰里面已经给了 b， a 等于 bc 一 组等腰已经有了，我接下来是不是只需要再构造第二组就 ok 了？而让我们求的是 b d 的 长，而 b d 刚好就在这，所以我们的第二组我在构造的时候，就可以直接去 以 b 这个点为为为共顶点的那个顶点，画出来一个和 b、 d 一 样长的一个线段，并且夹角相等， a、 b、 c 的 角度一定也是九十，好让它在这 不是往这个方向给他构造，在这边构造一个九十度，让他和谁和 b、 d 这个线段是不是让他俩一样长就行了？而这个题我一旦构造出来之后，你会发现一个问题，里面这个 b、 a、 d 这个三角形和下面这个 b， 比如说这边是 e 吧、 e 吧和 b、 e、 c 这个三角形，这两个三角形一定是什么关系？一定是一组全等的三全等的这个三角形一定是一组全等三角形。因为九十度九十度，所以这个角和这个角相等，这个地方是否构造出来的啊？构造出来这组全等有什么用？构造出来这组全等之后，我们就会发现一个问题，这个角度 它和下面这个钝角，也就是这个 bce 这个角度，它俩一定是相等的。而刚才去原始图形 a、 b、 c、 d 当中，对角互补角 a、 b、 c 和 a、 d、 c 它们两个九十度是互补的，那剩余的两个角度也是互补的，这个角度和这个 b、 c、 d 它们两个是这个叉角和这个点角，它俩是不是也是互补的？那它们两个互补也就意味着旁边这个 bce 这个角度和 bcd 互补。其实在这个问里面我们就挣出来了一个东西是什么？是这个 dce， 这三个点应该是处于一个共线的关系，我只要构造出来这样一一个 bce 这个线段，那么我就能推出来 dce 是 共线的，求出来它是共线有啥用呢？ 那我就能发现，把这个三角形跟这个三角形，我是不可以把它俩替换一下，那 a、 b、 c 这个 a、 b、 c、 d 这个四边形的面积，你会发现一旦换到这两个三角形之后，它其实就相当于是里面三角形 b、 e、 d 的 这个面积。而 b、 e、 d 这个三角形是一个什么图形？ 他是一个等腰直角三角形，我构造出来的等腰直角三角形，所以我就可以直接去根据他的面积是八，是不求出来直角边的长度，直角边的长度应该等于他是几 b、 d 的 长，在这一种情况下是不直接求出来，结果是不就等于四？ 所以你看其实他还是一道类比探究。我们要根据第一问的这个图，第一问的这个思路用在第二门里面，只不过第二门我是干什么，我是不是倒着去用，倒着去推的 这个过程很重要。来看第三小问，他说在四边形 a、 b、 c、 d 当中，这个题还是给了 a、 b 等于 b、 c、 a、 b 等于 b、 c 知道 b、 d 等于四，知道角， a 加这个角 c 等于一百八十度。 让我们求 a、 b、 c、 d 的 面积的最大值是什么？咱先不说最大值，先说求 a、 b、 c、 d 的 面积，你就会发现这个题里面的第二问和第三问是不是也是非常类似的关系？无非是第二问给了面积，让你去求 b、 d， 第三问给了 b、 d， 是 不是让你去求面积的？ 那所以第三问构造图形的时候，在第二问的基础上，我们是不是更容易构造？怎么构造？这个地方是构造了一个这样子的双等腰，那在这边我是不同样的思路，也构造一个双等腰，所以这个地方我 还是要过 b 点再构造一个和 b、 d 一 样长的一个线段，但是注意啊，我构造的时候，因为我要保证夹角相等，所以那个角度是一定要和 a、 b、 c 这个角度是相等的，所以同学们在画的时候一定要注意尽量的把它画的相等一点，比如说在这边这个是 e、 b、 e 和 b、 d 一 样长，其实通过第二问这个地方，我们就可以直接划发生，那把 c、 d 这个线是不是往反向给它延长一下，延长一下之后，它一定和这个 e 点，它们三个点也是共线的关系，我们给他推就行了， 我们先把图形给它画出来推就行，很好推的。怎么推？你看角 a 和这个角 b、 c、 d 它俩是一个互补的关系，而我构造出来了 b、 d 等于 b、 e 的 话，这个边等于这个边，而且还保证夹角相等，那就意味着这两个小角也相等，所以里面全等三角形是不是出来了？ 全等三角形出来了，那也就意味着里面角 a 这个角，它应该和角 b、 c、 e 这两个角度是不应该是相等的， 这个角度和这个角度它俩是相等的。而题目上告诉我们了，角 a 和角 b、 c、 d 相加等于一百八，那也就意味着角 b、 c、 e 和角 b、 c、 d 相加也是一百八。好，直接 d、 c、 e 贡献好它们两个贡献让我们求的是四边形 a、 b、 c、 d 的 面积， 那在这个图形里面，其实就可以转换成是哪个图形的面积是三角形 b、 d、 e 的 面积啊？三角形 b、 d、 e 的 面积，那 b、 d、 e 在 这个三角形里面，红色的三角形里面，我们现在已知 b、 d 的 长度是四，也知道 b、 e 的 长度是四， 什么情况下最大？那我们接下来就是考虑最大值的这个问题了，什么情况下最大？ b d 的 长度是固定的，位置也是固定的，什么时候最大，是不是就看 b e 所处在处的位置上对不对？那 b、 e 在 什么时候的时候会是一个最大值呢？长度还固定，只能是垂直，也就是 b e 大 概是在这个位置上的时候， 第一大家处在这个位置是垂直的时候才是最大值，所以这个题的最大值直接就出来了啊，四四二分之一，结果是个八，所以这个题最终结果还是个八。

hello， 大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂，欢迎来到满分数学八年级下册第十三周玄奘。 我们带三个问题进入课堂，第一，如何旋转的图？第二，如何利用旋转的性质去求点坐标？第三，如何利用旋转来解决线段和面积的问题。 首先我们来看一下旋转作图如何去画，我们要先弄明白旋转的三个要素啊，我们如果以 o 为圆心啊， o a 为半径进行旋转的话，我们来看啊，旋转完之后呢？把 o a 旋转到 o a 撇， 那么我们旋转就会摇由求描述它的旋转的方向，这是第一个，它是顺时针还是逆时针啊？还有旋转的角度，我到底旋到了多少度角， 以及我们的旋转中心是绕着谁去旋转的？所以这是我们旋转的三个要素啊，我们可以描述 o a 这个现状是绕着 o 点顺时针旋转六十度得到了 o a 撇啊，这么去描述一个旋转， 其中 a 就 称 a 撇，就称为 a 的 对应点。好。第二，我们旋转前后有什么特点呢？比如我们把这角形 a、 b、 c 绕的 o 点去旋子灯旋转到一百二十度得到了 a 撇， b 撇 c 撇啊，它们旋转了一百二十度得到它。但我们来看一下 旋转前后这两个三角形什么关系啊？旋转前后是不是该全等啊？以及每一个对应点跟旋转东西的连线什么关系？ o a 和 o a 撇什么关系？是不是要相等啊？ o b 要等于 o b 撇 啊， o c 也等于 o c 撇，它们跟我们的旋转中线连线长度是要一样的。还有呢，它们旋转角，比如说角 a o a 撇什么关系？ a o a 撇这个旋转角是不是要等于角 b o b 撇啊？这是我 a 旋转多少度，我 b 也要旋转多少度 啊，同理， c 也要旋转多少度啊，所以它们都是关于旋转中心的夹角要相等啊，以及它旋转前后这两个正方形是全等的关系。 所以我们可以总结三个点，对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心所连的夹角等于这个旋转角。第三，旋转前后图形相等。 好，那我们来看一下我如果要已知旋转中心和一组对应点，我如何去做出旋转号图形？ 我们先来看啊，三角形 a b c 啊，一个 o 点，以及我知道 a 要旋转到 a 撇啊，我们给它 a 撇点这位置，我选到这里，那我能不能把剩下图给画出来呢？ 第一个，我们先连接 a o a o 撇， b o 撇啊，把这些所有的对应点都跟我们的旋转中心先给它连起来 啊，连接完之后我们再来看一下，我们连接完之后，就看这个一组对应边 a o 和 a o 撇这组，我们通过它可以知道旋转角啊，说明这个角度就是我们要旋转的一个角度大小， 那其余的所有的 b o 啦， o c 我 们都要这样的去旋转同样的角度，所以我们就可以把 b o 和 o c 它关于 o 点旋转后的那个线段给它画出来啊， 也就是说我们可以画出位置，画出位置之后呢，我们再把剩下的给它连接起来啊，让我们旋转 o c 得到 o c 撇啊，一样的，这个旋转度是要跟这个 o a 旋转度是要一样，同理 o b 旋转轴数也需要一样啊，旋转完之后呢，就得到了 b 撇 c 撇啊，那我们只需要把这些新的三角形的三条边给它连起来， 我们就化作它旋转完的图形嘛。啊，所以总结一下，然后先锁定 o a o a 撇啊啊， b o 和 o c 给它全部旋转嘛，最后给它连起来。 我们如果知道了旋转前后的图形，想要确定它们的旋转中心，我们该如何确定呢？ 啊？首先我们要先去分析一下我们如何去确定，假设我们知道一个 o a 啊，显得以及它的旋转后的位置 o a 撇， 那我们观察这个旋转中心 o 它到两个对应点的距离是不是一样啊？说明 o 点会在 a 撇连线的中垂线上 啊，因为中垂线上的点到线到两端点距离相等，所以我们就利用这个性质去确定旋转同不形。 那好，那我们来看右边的图啊，已知三角形 a b a 撇， b 撇 c 撇， 我们先想确定它们的旋转中心屁究竟在哪个位置，精确的位置我们可以怎么办呢？啊？第一步，我们连接 a 撇以及 c c 撇啊，我们寻找找到任意两组去对应点去连线，然后呢将这对应两组的中垂线给它做出来 啊，那么焦点就是我们的旋转中心屁点，我们来看一下，比如我们选择 a 和 a 撇，我们给它连线完之后，坐住它们的中垂线， 我们可以知道旋转中心一定会在 a a 撇的中垂线上，但是由于一条线上的点，我们没法确定具体哪个位置是，我们需要再找一条，比如 c 和 c 撇啊， c 撇连接起来之后呢，再做出他们的中垂线，但 又 p 点呢，就会在 c c 撇中垂线上，同时 p 点也在 a a 撇的中垂线上，那么我们的锁定了，他们的焦点就是我们要的旋转中心 p 点。那怎么通过两组钟垂线就可以锁定它的旋转东西了？当然你也可以选择连接 b、 b 撇去画它的钟垂线也是没问题的啊，我们只需要两组就够了，所以我们选择两组去画即可。 当我们选的时候呢，我们尽可能的去选，如果有些是这种联系完之后是水平的或数值的啊，或者它正好在网格的这中间正好画的，我们先去画啊，瑜伽画，帮助我们更精确的去锁定它。 学会了这几种旋转的作图方式哦，我们继续来看例题。好，我们来先看例题一， 在马尼玛格中告诉我们 a 点坐标是四对四，然后将三角形 a， b， c 绕点 o 逆时针旋转九十度，画出三角形 a， e， b， e， c， 再求出它们的坐标啊，我们这样观察， a 点的坐标是四对四 啊，那说明一个网格就代表一了，那 b 点这八字一到一， c 能的话是三到一。好，我们先指导一下它所代表的坐标位置，然后我们先要关于 o 点去逆时针，逆时针是从这个方向转九十度， 那我们同学们可以暂停先画出这旋转后图像再做的，请暂停。 好，我们来看例题，我们如何去画三角形 a， b， c 绕点 o， 逆时针旋转九十度后的图形呢？ 我们先从好的画起，比如说 o b， o b 的 好画啊， o b 观察到了它是一斗一，这么一说，刚好 o b 一 连它的正方形的对角线，随着四十五度啊，这样子呢，就九十度出来了，所以 b 一 找到了 啊，那 o a 连线起来，先把这对应点跟 o 点连线， o a 是 四乘四的正八型这条线，所以你旋转九十度之后呢，也会更好是四乘四的这条线，找到 a 撇点啊， a 一 点。 好，我们再来看 c 啊，这 o a 也可以连起来了， o a 啊，是这样，我们可以用虚线表示，就是多一部分，我们这样可以用虚线表示了， 向 c， 我 们先把 o c 连接起来，连接到 o c 这个 o c， 我 们来想它如果学呢，九十多会到哪里呢？那这里其实用到了一个我们之前所学的知识，我们来看一下啊， 一个直角三角形，如果我绕着这个 o 点啊，旋转九十度，逆着旋转的时候，在这里垂直啊，那我把这个再做垂线下来， 正面来看，出现什么了，是不是出现我们经典的一线三垂直啊啊，因为你旋转九十度直角，包括你这样做垂线也是直角，是它们俩会全的。你做 c 点的横坐标为 a， 正坐标为 b， 对过来，它的长度是 a 和 b 啊，这样的去对应全的啊，所以 c 的 这边也可以去读出来了，是负 b 到 a 啊，这里是 a 到 b 的 话，这是零到零的话啊， 所以我们也这样看啊，如果要取 o c 去旋转九十度，其实就是一个三乘一，大家去看三乘一的长方形的对角线，那我转过来就变成一乘三这样的长方形的对角线，所以在哪里啊？在这位置， 那一乘三的角线，这位置，这下我们就可以把它们的赛道边连起来了。 b c 和 a c 怎么就画作图像了？旋转后的图像，那么 a 点的标可以表示了， a 点的标负四斗四， b 点的标负一斗一，四点的标啊，负一斗三，这会发现啊，这个三斗一变负一斗三， 它们的横坐标和纵坐标位置是不是发生变化没啊啊，位置发生变化了，而且呢，如果你正变负的话，那如果你正变负，这有一个是相反之的关系 啊，怎么造？如果是绕圆内旋转九十度后两个点横轴坐标左右，它的位置上会发生改变啊，一张一左右会画，就横轴标变成纵轴标，纵轴标变成横坐标啊，它们呢，绝对只会互化。至于随正随负，你就需要看它的图形位置来确定随正随负了 啊，其他的核心类只用到我们的一线三垂直去变换的。 好，我们再来看例题啊，如果在阿的正弦 a o b 中角 a o b 是 九十度，现在呢，我们要已知 o a 是 二角， a， o b 是 三十度。先把射角形 o a b 绕着 o 点逆时针旋转一百五十度， 得到了 o a 撇 b 撇，问旋转后的对应点 a 撇的坐标是多少， 然后这是三十度，这是 o a 四。所以第一步，我们先要先画出来那三角形 o a b 逆时针旋转一百五十度后的图，再去找做 a 点坐标。同学们可以暂停作答，请暂停！ 我们来看例题二，要去画一百五十五，怎么办呢？我们先要观察有什么特殊的地方 三十度，那么剩下这一部分的话，是互补的，是一百五十度啊，哦，这里刚好是一百五十度，那我们就可以先锁定了 o b， o b 如果绕一百五十度，刚好会落在 x 的 负半 轴，所以 o b 找到 o b 撇，既然呢，它反推出 o a 就 好了， o a 旋转一百五十度，那么就会到这里 啊，这么一个情况。好，那接下来我们看一下。由于我们旋转前后两个长是全等的，所以对应的这轮 a 撇 o b， 它的夹角还会值三十度。 但我们要求出 a 撇点的坐标，那无非是横坐标和纵坐标，那我们看给它做条垂线 啊，横坐标是 o、 d， 这段重坐标是 a 撇 d 这一段我们知道 o a 是 等于二， o a 撇也会是等于二。那么这里构造出一个三十度的特殊直角三角形，它的边长 b 就是 一比根号三比二，也就是一比根号三比二， 长度有了，坐标也出来了，负根号三等一。各位同学们， 遇到这种旋转图形的时候，第一步我们也要去做辅助线啊，你去根据旋钮的情况把这个图形给它画出来。其次，如果遇到这特殊度数的话，我们可以做一条辅助线，比如常见的就是做 x y 的 垂线， 这样做完垂线，我们就可以表示它的横轴之外的长度了，再根据题目意思去求出我们的点坐标。 我们做完例题二，再来看下例题三，这道题正方形 a、 b、 c， d 中啊，告诉我们 d e 四为二，且 a e 绕的点 e 旋转九十度后，得到了 e、 f， 去求 f c 的 长度。 我们来分析一下 a e、 f 这里就会这个等腰直角了啊，我们出现等腰直角三角形，旁边这个 a、 d、 e 正好也是九十度， 那会讲到什么呢？是不是他会想到构造一线三垂直啊？两个九十度了，我们再过 f 点做一条垂线下来关于 d、 c 的 垂线，这就勾到的一些长对值， 我们也就能够找到一九全的三角形 a、 d、 e 和我们的 e、 g、 f 了。所以我们可以知道三角形 a、 d、 e 和三角形 e、 g、 f 怎么玩下，谁晓得？ 这就是我们可以通过一些题目常见的这种两只角在同一位置的信息，一条线上信息去构造第三个直角。好，兄弟们，这要给暂停作答，请暂停！ 我们来看第第三啊，我们现在可以证明这两个向量全等了，接下来看如何去求 f、 c。 由于全等，我们就知道了 f g 和我们的 d、 e 相等也等于二。好，一二相等了，全等还能知道 a、 d 跟 e、 g 是 相等的， 那么观察，由于正方形很特殊， d、 c 次的边数也就跟 e g 相等了啊，边长一样的， 那 d c 螺跟 e、 g 相等的话，中间的 e、 c 是 公共边，那么剩下两边 d e 和 c、 e 什么关系？是不是也要相等啊？啊，我也知道了， c g 又等于二了 啊，上下两面要相等，那这里勾股定你结算就好了。二的平方二根号二啊，所以 f c 长度的是二根号二。 所以我们这二题其实重点在于，如果我们出现两个直角的时候，我们真的会再做一个直角构造一线三垂直。 好，接下来我们去看例题四，读图，边长为一的两个正方形相互重合在一起了啊，我们现在是将一个正一个正方形绕着点 a 旋转四十五度，所以这里的假角旋转角就是四十五度啊，这四十五度 便利 a、 b 旋转的 a、 b、 p 也是四十度，由于正方形，所以上面这也是四十度啊。 接下来我们来看这个如何去求这个重叠的阴影部分面积，现在我们思考要求这个不规则面积 怎么求啊？ e 的 方法，我们是连接 a、 e 啊，连接 a、 e， 你 去求把它先连接 a、 e 去求一半啊。但如果这样的话，你呢？要去思考的是这个 b、 e 多长啊？其实不容易去思考， 那么再来观察一下，由于角 d 撇 a、 b 是 个四十度角，那么我连接 d 撇 c， 你 说说，刚好这是一条对角线啊，它们刚好共现在一起了，约的四十五度 啊，那么上面这里就会出现一个等腰直角，因为上面这也是是属独角，等腰直角，那我们就阴影面积是不是就可以用个部法去处理了？好，咱们可以按下暂停键作答，请暂停。 我们来看例题四啊，这位置话要求阴影部分面积不好直接求，我们可以选择连接 d 铁 c 去把它转变成为一个大的直角三角形，减去一个小的直角长方形 啊，所以这一部分就可以变成了大的这直角函数 abc 减去小的三角形 d 撇 c、 e， abc 的 面积好求，它的边长为一，所以是二分之一乘一乘一，但 d 撇 c、 e 的 边长如何去求呢？ 我们先来翻查下， a、 c 角边正好是对角线，那利用勾股定律，一比一比根号二，所以 a、 c 是 根号二，那 a、 d 撇是一，那么剩下的 d 撇 c 是 多少？ d 撇 c 是 不是根号 二减一呀？所以我们就知道了，直角三角形 c d 撇一，它的边长是根号二减一，所以是二分之一乘上根号二减一的平方，因为它这个等腰直角 d 撇一也是根号二减一， 所以我们就要展开去求二分之一减去二分之一乘下啊，我们展开三减二，根号二啊，二分之一减去二分之三加根号二，所以就拿根号二减一 重叠面积则裁了，更好的剪辑好。所以我们注意啊，如果他给了我们了一个四十五度角，你要知道正方形的对角线，它与一条边的夹角是四十五度，如果遇到这种不规则的图形，我们可以考虑到割补法去求这个面积。 好，我们来看例题，物两个平方为一的一个正方形，如图所示，将我们中心同壳，我们不难知道，重叠部分面积为四分之一，这里的四分之一只代表是这个正方形 o d， b， e 啊，它是我们大正方形的四分之一，所以它面积也是四分之一。好，现在我们向大家旋转，旋转过程中询问的是两个正方形的重叠部分是否发生改变，这里的重叠部分问的是什么？是问的是四边形 e 撇 o d 撇 b 啊。哦，我问的是这个四边形，它的面积会不会随着旋转发生改变 啊？其这道题是不是很像我们之前讲过的风车模型啊？对了，我们也可以利用着风车模型的思路去证明它。请按下暂停键作答，请暂停。 好，我们来看例题五啊，要求的是这个不规则四边形的面积会不会是四分之一？其实你要看啊，我们可以连把 不规则四边形给它先分成规则的，我们连接 o b 啊，给它割成两段，两个三角形再去找话。好，我们来夸一下， 把 o b 连起来连接 o a， 我 们这么一做的话，我就可以把 四边形不归四边形分可两部分了啊，看它的面积，我们就归分可的两部分，一部分是三角形 o e 撇 b， 另外一部分是三角形 o b、 d 撇，其中 o b、 d 撇，我们是不是可以转到这里来？ ok， 转过来啊，于是我们去证明它全的就能转过来了，转过来之后我们就发现它新的四边形就会变成了 s 三角形 a、 o b 了，那就是四分之一 啊，它就不会变了。这是我们一个通过风车模型结论去看这道题，我们可以这么去思考，现在我们该怎么去写这个证明过程呢？证明过程 第一步我们要连接这个 o a、 o b 啊，这啊，第一个连接 o a 和 o b， 那 其通过连接 o a、 o b 之后，由于大的是个正方形，那我们可以知道，在正方形 中，我们可以知道 o a 就 要等于 o b 了，因为我们连接它，这两条对角线的一半是会相等的，而且呢，还有角度，角 o a、 b、 d 要等于四十五度，会等于角 o b、 d 解的是正方形的一个结论，我们知道一个边一个角相等了，还有呢， 角 a、 o b 中间的角还会是九十度啊，这些都是我们通过正方形的性质的几何到了，那你看这里出现九十度了， 另外一个虚线这方你也是九十度。那么两个九十度出现，我们就可以我们日常常用的一些技巧了，就是角一加角二等于九十度啊，因为 然后角二加角三等于九十度，两个都九十度，所以角一等于角三，我们就转换过来了， 得到角相等之后就可以证明全等。那我们这里这里是思路哈，我们继续写证明全等。在三角形 o、 a、 e 和三角形 o、 b、 d 撇中，我们罗列信息，第一个角一等于角三， o、 a 等于 o、 b， 以及角 o、 a、 b 等于角 o、 b、 d 撇是边角啊，角边角证明全等。所以三角形 o、 a、 e 会全等于三角形 o、 b、 d 撇 啊，用到的是 a、 s、 a 证明全等。证明全等之后，我们目的是把面积转化，所以此时的三角形 o、 a 的 e 的 面积会等于三角形 o、 b、 d 撇的面积。 最后呢，我们就可以把这一步转过过来了。好，我们最后一步，它的重叠部分面积就分为两部分，其中一部分转换成了这个 o、 a、 e 了，那正好就是 s 占型， o、 a、 b 正好是四分之一了，就得证它不变。 所以其这道题应用到的是我们之前所学的分寸模型的一个思路啊，一个常用的这种连接辅助线，把一部分旋转过来去整的啊，最后呢，就可以利用割补法去求出面积。 好，我们这节课学习旋转啊，旋转，我们首先要知道如何去旋转的图，记住旋转三要素， 旋转方向、旋转的角度以及旋转中心是谁啊，我们要说谁绕着某个旋转中心啊，甚至还逆时针旋转啊，多少角度？我们这么去描述一个旋转啊，旋转前后，注意了，两扇形或旋转前后的图形是相等的， 所有的对应点与旋转中线连线长度要一样，以及它们旋转的夹角要一样啊。 第三，对于旋钮做图，我们通常如果是已知三要素后去做图的话，那我们就根据它的性质先去连接 我们的对应点和旋钮中心，把对应点和旋钮中心的线去旋转啊，我们一般通常思路是把这个线啊，这个线去旋 转，旋线者旋转即带动了这个点的旋转啊。但如果我们是已知旋转后两个图形 啊，再来一下这样两锤要找旋转东西，那我们就要把对应点的连线中垂线去找啊，一般找两条啊，我们找两个对应点连线中垂线就可以锁定它的旋转中心嘛啊！ 第二，如果我们要想利用旋转性质去求这个点坐标，我们记住第一步，先画出辅助线， 画完辅助线之后呢，我们根据旋转的性质把线段长度剪出来，再去写这个点坐标 啊。第三，如果我们要去求旋转中的一些线段和线段和面积的问题啊，比如说我们面积，我们通常会用什么根部法去做啊，或者是我们可以去构造一些特殊的三角形去求解线段长度 啊，或者也可以用全能拓形总面积相等去计划好长电呢，也会有我们的一线三垂直模型的应用 啊。以上呢就是我们旋转的全部内容啦，大家回去后记得及时复习巩固，拜拜！

成都初二的家长，如果孩子成绩在一百一十五左右，那么一定让他来看一下这道二零幺五期中育才的半期真题，让他试一下，看一下能不能做对。好，我们一起来看一下题。如图，将直角三角形 abc 沿着 a、 c 方向平移到三角形大 e、 f， 那 么关键信息就是这个平移，一会我们来分析应该想到什么， 然后再看后续的信息，若 c 大 的长度等于六，不要看 af 的 长度等于十四，让我们去求这个什么 b、 e 的 长度好，那做几何题呢？关键是对于知识点，几何的基础知识点要熟悉。其次就是在图中看到关键词的时候应该去联想到什么。 好，那我们来看第一个平移，平移第一个需要想到就是平移前后图形是全等的，所以平移要想到前后的三角形是全等，而全等我们自然而然的又会回到边和角，所以全等要应该联想到什么边和 角是相等的，那我们来看一下这个，它是 a、 b、 c 和大于 f 是 全等，所以它就有三组边相等，三组角相等，那我们到底用什么信息？先把题目条件处理一下， 通过全等我们也可以用 a、 c 和大 f 是 对应相等的，是不是？所以这个全等我们先由全等可以得到 a、 c 等于 大 f， 那 么 a、 c 和大中间假有一段公共部分 c 大， 那么减掉中间部分，是不是得到 a 大 和 c f， a 大 和 c f 是 相等的？好，他们俩相等整段四十四，减去六，剩下两段之后就是八又相等，所以每一段就等于什么等于四，我们都等于什么都等于四。 好，那现在要去求这个什么？求这个 b、 e， 那 怎么求？这里就要用到一个什么，用到一个平行四边形的性质和判定。好，我们来看一下平行四边形 怎么去证呢？我们先目标证出它是一个平行四边形，因为全等，所以 ab 和大 e 是 相等的，对应边相等，所以 ab 等于大 e， 然后又有全等，这两组对应角是相等的， 所以可得到 ab 平行于大。于，那由平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，就能证出这个图形是平行四边形 的性质，我们就可以得到什么可以得到 b e 就 等于它的对应边 a 大， 就等于什么四，所以这题呢，就是四，所以这题出题人想考察的点一个就是平行四边形的性质以及平行四边形的定义、性质和判定。