无穷符号什么意思∴∴∴

无穷大只是一个很大的数字对吗？当然不对了。在数学的国度里，无穷大并非一个巨大的、遥不可及的普通数字，而是一个代表趋向或无界的抽象概念。它不属于实数级，也无法参与常规的加减乘除。当我们说某个含数趋于无穷， 描述的是它无限增长、永不停级的态式，而非抵达某个具体的数级终点。数学家格奥尔格康托尔解析了无穷也有大小积分， 自然数的无穷可数，无穷比习数的无穷不可数、无穷在量级上更小。这是通过一一对应与对角线论证严谨证明的。无穷不是一个可以触摸的终点，而是一扇通往几何论分析学以数学哲学先触的门。 我的意思是，我们生命中那些看似无限的细物而痛苦时间也并非只是一个庞大却可计量的堆积， 他们是无法被简单比较的集合，是不断展开的过程，而非静止的结果。你以为的无限悲伤，可能只是另一段无限温柔的可赎子疾，某个看似微不足道的瞬间，却可能承载着不可赎的意义力度。

当你第一次听到无限这个词，脑海里会浮现出什么？但是这个问题本身是不是就有点矛盾？无限怎么可能被具体的表达出来呢？我们到底该怎么去理解它？对于我们大多数人，无限最直观的形象可能就是那个横躺着的八字符号， 也叫双纽线。这其实不怪我们，因为人类的大脑压根就不是为理解没有尽头的事物而进化的。在进化史上，我们何曾需要去理解无限呢？我们学会的是在有限的人群、有限的时间、有限的空间中生存， 这或许是一种策略。所以无限这个概念其实是在挑战我们这种偏爱边界的大脑，逼迫它去突破演化设定的框架。它之所以迷人，恰恰是因为我们无法真正把握它。举个例子，当你仰望浩瀚的星空时，是什么让你着迷？ 是那种可能性，就我们所知，它可能就是无限的。我们来想想银河系里的恒星数量，搜索一下，你会看到一千亿到四千亿颗，我们会惊叹，哇！但这个数字对我们来说究竟意味着什么？我们中有谁能真正想象出一千亿颗星星是什么景象吗？我敢说，没有人能做到， 光是尝试去想象一亿颗，我们的大脑恐怕就要死机了。而无限是比任何你能数出来的数字都要大的存在。所以想象有限的星星都如此困难，理解无限岂不是希望渺茫？别急，或许我们可以换个思路， 来一场思想实验。请看一个圆，任何圆都行，现在就看看你身边，找个圆的东西，瓶盖戒指都可以， 然后摸摸它的边缘，问问自己，你指尖感受到的那道完美弧线是由多少个紧紧挨着的点组成的？一百个？一千个？一百万个？答案可能是无限个。你手上拿着的这个小小的圆形物体， 或许就是我们理解无限的最佳桥梁。还不信？那我们亲手试试。现在，请在纸上画一个圆大小随意 找到它的圆心，画一条线连接到圆周。对，这就是半径。那么问题来了，一个圆到底能画出多少条半径？很快你会发现，你无法用一个数字来回答，因为理论上，你可以从圆心向圆周画出无限多条线。这意味着就在这个圆的边缘上存在着无限多个点， 每一个都可以被连接回中心看。只需要一张纸，一支笔，我们不就亲手触碰到无限的踪影了吗？

爱的无穷技术有这样一个神奇的公式，派分之一等于后面这一大串，这大串是个什么东西呢？是九千八百零一分，这二倍根号二，这个大家能够理解，对吧？这是个什么东西？这个叫 c 个码仇和符号 什么意思呢？他就代表把后面的这个分式，把 k 从零变到正无穷。 请注意， k 等于零的时候，这个数字可以算一个字， k 等一的时候，这个数字还可以算一个字，一直这样下去，直到 k 等于真无穷，一直这么算下去，然后把所有的算出来，这些数字全部加起来，这个叫做 c 个码求和。 那么这个公式呢，是由印度的数学家拉玛努金在一九一四年提出的，比较神奇的是什么呢？这个公式提出了 以后，直到七十多年之后才得到证明，也是说他提出的时候，他并没有证明的。这个事情就很神奇了，就是这么复杂的公式，他提出来了，却没有给出证明，他怎么知道是对的？ 这个问题呢？有人问过，那么母亲，那么母亲给错答复是这样的，这些神奇的公式，他不止贴到这一个公司，还贴了很多其他公司，这些公式呢，都是他的女神在梦里告诉他的哈，所以这个事情就变得有点 奇幻。那么这个公式非常的强大，强大体验在哪里呢？他每计算一项，就可以得到派的六位数值的准确表达，什么意思呢？就是说我取 k 等于零，我一二三四五六后面都不要，我就只算一个 k 等于零。 各位同学可以看用计算器算一下，可以等零的时候，这里叫四 k 就零的感叹号，感叹号代表接触， 但零的最简单，零的阶层等于一，所以你把这一坨就看成一啊，这就是一 k 的阶层啊，这零也是一，然后三减六的四 k 次方。因为 k 等零吗？所以这个零次方他也是一，所以这三项都是一，然后这一项呢，是零， 所以实际上右边只有幺幺零三啊，只有这一个数，所以当 k 等于零的时候，这个是很好算的，右边就是幺幺零三，你再用计算器去按一按啊，九千八百零一分之二百分二，然后最后呢，因为是百分之一，所以你算出来结果要取个倒数，那这样的话，你可以发现他一下子就出来了 派的小数点后的六位有效数字。如果说你有精力去算一个 k 等于一的话，再把它和前面的数字再加起来，你就会发现一下子又多了六位有效数字，这个公式非常神奇。

小田老师，好多小朋友在评论区说最大的数字是无限大，这下总对了吧？无限大并不最大数字哟。可是不管你说的数字多大，我的数字都无限无限无限无限无限无限无限大。那他不是最大的数字吗？ 摆摊时间小天才想，他一个概念代表没有尽头，那你数数可以永远数下去，但永远遇不到宇宙无限顶点，那他就是最大的概念喽？主动先求是，无限本身没有大小喽。 啊？无限还有大小对，比如说和偶数的个数是无限，和整数的数也是无限，他们可以一一配对，这也不多不少，这说明 他们俩是有一样大的。无限倒了，可是和小数的数，他的无限比整数无限要大，而且是大的多的多就另一种无限。 我的脑子他不转了，数学世界没有终点，探索无限才是真正的开始。呆呆同学，你明白了吧？哈哈哈，对了，我要考出你们最小的数字是多少。

神奇的莫比乌斯环，把纸条的一端旋转半天，粘在一起，粘成一个环。现在可以试着在这个纸条上画一条线，画呀画呀，终于画到起点之后，你会发现 这条线覆盖了纸条的两个面。把纸条拦腰剪开，猜猜他会变成什么？他变成了一个环，你猜到这个结果了吗？ 把纸条按三分之一的宽度拦腰剪开两次，再猜猜他会变成什么样子？ 这个环变成了一个大环，套着一个小环，神奇吧？

你是不是以为我把八字写倒了？其实这是数学里的无穷大符号，只要你手速够快，一笔成型就可以快速打出来。

大家好，我是尚阳。今天咱们来聊一个能把人脑子烧坏，但又让你忍不住想去问的问题。这个问题就是，无穷大到底有多大？你可能会说，嗨，这不简单嘛，无穷大嘛，就是没有尽头，比任何数字都大呗。没错，但我要告诉你一个颠覆三观的冷知识， 无穷大其实不是一个数，它是一个概念。而且最神奇的是，这个世界上存在着不同级别的无穷大，它是一个概念，而且最神奇的是，这个世界上存在着不同级别的无穷大。还要大？ 听到这，你是不是已经蒙了？别急，咱们先从一个关于无穷大的恐怖故事开始。传说在十九世纪末，德国有位数学家叫希尔伯特，他为了向人们展示无穷大的魔力，提出了一个著名的思想实验，叫希尔伯特旅馆。 这个旅馆很牛，他有无穷多个房间，房间号是一二三四，一直排下去，永远没有尽头。好，有一天晚上， 旅馆客满了，每个房间都住了一位客人。这时候来了一位新客人，他可怜巴巴的问， 还有房间吗？按理说，客满了就没房间了，对吧？但在这个无穷大的旅馆里，店主人却说，没问题，他拿起对讲机，让所有客人做了一个动作，让原本住在一号房的客人搬到二号房，二号房的客人搬到三号房，三号房的客人搬到四号房，以此类推。 你看，这样一来，一号房是不是就空出来了，新客人就可以住进去了？这就是无穷大的第一个怪癖。一个无穷大的集合，加上一个有限的东西，还是无穷大，他给无限个客人挪出了一个空位，简直易如反掌！好！故事还没完，更刺激的来了， 半夜突然开来一辆旅游大巴，这辆大巴上坐着无穷多位了吧？刚才只来了一位，可是现在来了无穷多位啊！ 但店主人微微一笑，说没问题，他又拿起了对讲机。这次下的指令是，让所有客人搬去房后，是自己原来两倍的房间。也就是说，一号房的客人搬到二号房，二号房的客人搬到四号房，三号房的客人搬到六号房， 原来的 n 号房客人搬到二 n 号房。这样以来，所有基数号的房间一三五七全都空了出来，而基数有多少个，也是无穷多个。于是大巴上那无穷多位客人，就这样轻轻松松的住进了这些空出来的基数号房间。你看，这就是无穷大的第二个怪癖， 一个无穷大既然能容纳下另一个无穷大，而且自己还是满的。现在问题来了，既然无穷大和无穷大之间好像能比出大小，比如所有自然数，一二三四是无限的，所有偶数是无穷大， 所有有理数也是无穷大，那他们都一样大吗？不，这就是我们的故事主角，数学家康托尔的伟大发现，他告诉我们， 我们刚才说的这些，比如自然数、偶数、整数，虽然都是无穷大，但他们属于同一个级别，叫做可数无穷大。你可以把他们一个一个的列出来， 虽然永远列不完，但你知道顺序。但是这个世界上还有另一个无穷大，是你根本无法列出来的。比如零到一之间，你随便找两个数，零点一，一零点一，一零点二二二二， 无穷无尽，你根本没办法把他们像自然数那样按顺序一个一个排好队，他多到你完全无法数。康托尔用一个天才的对角线法证明了这种实数的无穷大要比自然数的无穷大大的多。 这就好比虽然希尔伯特旅馆能容纳下无穷多辆大巴车的无穷多位客人，但你如果拿到一本零到一之间所有小数的花名册给店主人，他会崩溃的发现，这个旅馆就算再大，也住不下这些人。 因为识数的无穷大是更高级别的无穷大。所以当有人问你无穷大有多大，你可以告诉他，那要看是哪种无穷大的。就像富豪排行榜，有的无穷是村里的首富，有的无穷是全球首富，他们根本不是一个样子的。 这就是数学里最浪漫也最反直觉的事实。无限不是终点，它本身就是一个有着不同阶梯的宇宙。下次当你觉得事情多到无穷无尽，烦到无法收拾时的时候，你可以想想，其实烦恼可能只是 可数无穷大，而你的潜力是那个更高级别的无法估量的，实属无穷大。好了，今天的故事就到这里了，有没有觉得自己脑细胞经历了一次奇妙的旅行？如果你喜欢这种烧脑又好玩的故事，记得点赞加关注，我们下期再见！

上节课我们讲了函数极限的性质，这节课我们来看一下无穷小与无穷大，无穷小又叫无穷小量，然后就是 x 均匀，这乱七八糟的东西，可以趋近于 x， 零可以趋近于无穷，可以趋近于无穷。 无穷大可以驱逐正无穷大，可以驱逐负无穷大。 f x 等于零，那么 f x 就 为 x 趋近于 x 零，或者趋近无穷大的时候，无穷小。我说对着了吧？然后 当 n 区域竖列，对于竖列来说，当 n 区域无穷大的时候， x n 等于零，那么这个竖列就是当 n 区域无穷大的时候，它就无穷小。 它极限等于零的话，它进了零的话，这需要注意的是负无穷大是无穷大，不是无穷小 很小的数，零点零一，它是，它是一个数，它是一个准确的数，所以它就不是无穷小。因为无穷小的话， 因为我还能找出比它更小的数来，所以它不是无穷小，它只是一个很小的数。然后第三点就是零是无穷小，而且零是一个唯一一个无穷小的一个场数场量。 然后我们就可以引申出来定义，当 x 趋近于 x 零时，如果它的还趋近于 x 零，它极限是 a， 那 么就等价于它是 a 加 f， x 等于 a 加 f， f 是 无穷小。 这个就是很好思考和理解，就是它有极限的创造条件时，它的极限可以增加一个， 就是非常非常小的一个数，一个无穷小的数，然后他如果加个无穷小的数的话，他这个极限可以加无穷小数的话，那么这个就是他的极限。嗯， 然后我们看一下无穷大，无穷大，然后也可以叫无穷大量，然后我们这里给出的例子是 x 分 之一这个函数例子，当他去零的时候，他的极限很明显就是无穷大，然后去零正的时候，也就是说 从右边往这个上面逼近，往离逼近的时候，他是趋近于正无穷。这个图像就很直观，零负的时候就是负无穷。 然后这里我们给出的例子是 x 减一分之一这个函数，当 x 趋近于一时，它就趋近于负无穷，这里我们不是，它就趋近于无穷大。这里我们可以注意到， x 趋近于一的时候，一减一就是零，然后零是无穷小，所以无穷小分之一就是无穷大。 所以我们就得到这样的定律， f x 无穷大，那么 f x 分 之一就是无穷小， f x 是 无穷小，并且 f x 不 等于零， f x 分 之一就是无穷大。这里为什么要强调不等于零呢？因为零它作为一个除数，它作为一个 除数是没有意义的，就是 f x 趋近于零和 f x 等于零，这两个东西是两码事，然后要注意这一点，然后这里给出了两组 呃，一些简单的运算或者说例题。首先是无穷大加无穷大，它是没有意义的，就是或者你不确定他不是对着无穷大和无穷大，因为你不知道，就是比如说他可能是无穷正无穷大，正无穷大，你就只有正无穷大， 然后可能正好相等，而且还是一正一负，那就是零，所以他是没有意义的，你你不知道他是不确定是什么的无穷大减，无穷大极，也不知道是什么 无穷大减，无穷大不等于零，因为这两个不一定是相等的，然后无穷大乘无穷大，那肯定是无穷大，无穷大除无穷大也是没有什么意义的。然后正无穷大加正无穷大的话就是正无穷大，正无穷大减无穷大是没有意义的，因为你不知道他们两个谁更大一些， 然后正无穷大乘正无穷大就正无穷大，他们相处没有意义，然后我们与与就是相互类比的，就可以得出来负无穷大加负无穷大，他就是负无穷大，负无穷大减负无穷大的话没有意义的，因为这两个你不知道谁更小 谁更大。负无穷大乘负无穷大等于正无穷大，因为负负得正嘛。然后他们俩相处是没有意义的。 然后现在假设 alpha beta 是 无穷小的，然后 x 是 介于 x 零，然后 alpha 加 beta， 那 肯定是无穷小， alpha 减 beta 也是无穷小， alpha 乘 beta 无穷小 alpha 除 beta， 它就是没有意义的。

你总说你数学强的可怕，那我问你，为啥一加二加三加到无穷大反而等于负十二分之一？这好像不是小学数学吧。你要能把这个困扰我三十年的难题讲清楚，我就真信你数学强的可怕。我真能给你讲清楚， 但我是个小学数学老师。来吧，交给我来看这个啊，欧拉都证明错了的，这一加到无穷大，最后结果是负的十二分之一，你们觉得可能吗？我觉得也不可能，对不对？但我们看看他怎么证明的啊。其实他这样的，我们先设了一个 a， 这个 a， 什么 a 就 等于一个一减一加一减一加一减一加一减一啊，无穷那个好像也没啥问题，对不对？那这个 a 是 多少呢？你感觉这个 a 是 零不？你要考虑无穷嘛，我前面再套一个数啊，我再套一个一减去括号里面就是一减一， 然后呢？加一减一，加一减一，然后吧啦吧啦吧啦。好，那里面这一部分是不是 a 啊，对不对？但是你一想啊，我给他一转，换出来，把括号一拆，这个数本身就是个 a， 对 不对？所以 a 就 会等于什么呢？ a 就 等于一减 a， 因为是无穷吗？ a 等于减 a， 那 这样我得到 a， 什么？ a 等于二分之一了哦， 有点神奇，对不对？好，那接着欧拉就继续想，哎，我再去找别的式子，你既然可以减 a 了，那我能不能减 b 呢？哎，其实也行，对不对？那我 b 就 等于什么呢？就 b 就 等于一减二加三减四加五减六 啊，加七减八，然后巴拉巴拉啊，一直省，反正是无穷个嘛。然后我们再来一个 b， 我 们来个错位相减型的来看。好了啊，这里来个 b， 写到这，那就是一减二加三减四，然后一直啊加五减六，然后一直加巴拉巴， 你会发现这两个 b 相加怎么样呢？两个 b 相加， b 往下加，一减一，一减一，一减一。两个 b 相加呀，它就等于一减一加一减一加一减一，怎么样？ 这不刚才的 a 吗？对不对？所以两个 b 就 等于 a， 那 这样我就能得到 b， 什么呢？ b 就 等于一个四分之一。好，现在回头我们干嘛呢？我要求这个证明这个一加二加三加四了，对不对？那我们就考虑 c 等于这个一加二加三加四，加到无穷大。 那有人说，老师，这个 c 和这上面没关系啊，谁都没关系，有的是关系啊，你仔细看啊，这个我 b 已经是一减二加三减四加五减六了，那接下来 c 和 b 有 啥关系呢？你看这二点一加 怎么样？二和二没了，四和四没了，对不对？然后呢？六和六没了，接下来 b 减 c 就是 见证奇迹的时刻。那现在我们 b 和 c 去比较，是不是都有一二三四，一二三四啊？那谁更大一点， c 更大一点，因为 c 全是加的 b， 什么？ b 是 减的对不对？那我就用 c 去减去 b 看一眼啊， c 减 b 得到什么呢？我们得到的是一没了，剩下二减负二，剩下一个四，剩下一个三没了，剩下四减负四，剩下一个八，就是四加八加十二，一加八八八，它就等于什么？它就等于四倍的 一加二加三加四，一加二加三加四，又是什么？不又是 c 吗？所以我们得到一个式子怎么样呢？我写在上面啊， 我们就会发现 c 减 b 等于四 c， 而 b 是 多少呢？ b 是 四分之一，对不对？我们得到就是 c 减去四分之一等于四， c 拿过来移过来，得到 c 就 等于负的十二分之一，懂了吗？ abc 全程过程好像没有错误啊，这个证明对不对啊？ 当然结果一定是错的。为什么？因为本身无穷的数就不能相加减，你看啊， a 是 一个一加一加一加一，一减一，一减一减一， a 就 等于零啊，对不对？你这里 a 等于一减零等于零这个事本身就是不存在的 啊。所以呢，无穷极数，无穷的数直接加减就一定不对，你们就不要想着我们去偷懒，去证明所谓的数学家不存在的定律了。现在负十二分之一，明白了吧？