西城26高三一模数学解析几何

大家好啊，那今天看的是二六年高三下一模的呃，基层一模的选择第十题，它的选择压轴。那我们现在在前面写了这个题目的知识点， 那这个题是直线与圆的部分的题目。这里面首先提到了 m， 在 圆心为 c 的 圆上面，我们把这个圆进行一下，配方是 x 减一的平方，加上 y 的 平方等于三， 所以这是一个圆心为一斗零，半径为刚好三的一个圆。呃，如果动点 p 满足向量 m p 的 长度等于一，也就是说，呃， m 在 这个圆 c 上面，这个 p 在 这个圆 m 上，这个 m 的 半径是等于一， 是 c m 乘以 c p 的 呃，向量乘积等于三，那这个可以把 c m 先给他连上，因为 c m 是 不会变， c m 的 长度是不会变的。 那我们可能会想要用坐标系去求一下这个，但这个用坐标系呢，做起来会比较慢。如果是圆的，它几何性质很多，我们比较建议用几何的办法来做。 那么 c m， 我 们可以发现 c m 的 膜长，它就等于的是根号三。那么呃， c p 呢？我们可以乘以一个 c p 的 膜，再乘以一个 c p 和 c m 的 夹角的余弦。 但是 c p 的 膜也不知道，我们夹角的余弦也不知道啊。那我们其实可以确定的一件事情，就是说 p， 它其实是呃在 c m 上的投影长度是根号三， 也就是说它其实是在这样一条直线上，也就是说，如果我们这个 m 的 位置就在这里，它这个 p， 其实它就总共就只有两个位置，一个这个 p 一， 一个这个 p 二 啊，那这个 p 一 和 p 二又都在这个圆 m 上面，所以这个 m p 一 和 m p 二的长度是一，然后 c m 的 长度是根号三，那我们就可以发现这两条条件，我们可以得出一个结论，就是 c p 的 长度是等于二，也就是说我们现在可以认为 p 是 以零 逗一，呃一逗零作为一个圆心的，然后半径为二的上的一个圆，上的一个点。呃，那么点 p 到直线 x 加上 a， y 加上二， a 等于零， 这个就呃，可以发现他应该是一个过着一个定点旋转的一条直线，我们把 a 给他提出来，那可以发现他过的这个定点是零负二。呃，那么这个圆 c 上的点 p 有 可能有一些点是取不到的。呃，但是他问我们的最大值的这个点，我们应该是能够取到的， 因为最大值的这个点它是呃一个比较普通的点，并没有什么特殊之处。呃，那就应该是负二零负二，然后到 c 的 距离，然后再加上 c 的 半径，最后的话呢，就是根号五加二选 a。 记得点赞关注哦！

大家好，那今天来看一下呃，二六年西城高三下一模的选择的第八题。呃，一道和 解不等式还有这个值有关的题目，那这里面要解的不等式是 x 方小于 x 的 绝对值加上二的 m 次方， 他说他的解集为 p， 但是并没有给出 p 是 多少，而是说 p 是 二到四的一个开区间的一个子集， 则实数 m 的 一个取值范围是多少。所以我们首先需要把这个题目进行一下翻译，呃，把它翻译成我们能够理解的一个形式，那么首先这里面有 x 和 m 两个字母， 呃， x 又在左右两边都有，那这个地方我们可以把 m 理解成为一个常数，那么有两种理解方式，一种是 x 方作为一个图像， x 的 绝对值应该是可以画出它的图，再向上移动二的 m 四方， 然后呃，要去看如果他的解集就是说 x 的 绝对值加上二的 m 次方，他在 x 方上面的部分，这个部分是在负二到四之间，会发现还是非常的难以理解。 那有一个简化的方法，就可以把 x 的 绝对值挪到左边来，因为 x 方减 x 的 绝对值实际上也是一个分段函数，我们可以直接画出他的函数图像， 然后呃，我们就可以先画出这个函数，然后他就会变成二的 m 次方大于 x 方加 x 的 绝对值，我们可以用一下参变分离，那我们先把 x 方减 x 的 绝对值画一下，嗯， 那我们现在把 f x 给他写出来，并且画出他的图像，这个图像可以看成这个粉色的关于 y 轴对称的这两个抛物线的一部分， 那么这个解集 p 我 们可以看作是这条黑色的这条直线上下移动的时候，哎，呃，可以发现它的解集一定是左右对称的， 然后当这个二的 m 四方往上移动呢，它的解集就会变大，呃，向下方移动的时候，它的解集就会变小，但始终是保持对称的。那我们可以发现，我们的解集要属于负二到二， 因为如果它包含三和四的部分，就一定也包含负三和负四的部分，所以我们这个线呢，应该是在这个位置往下，因为这个 f x 它过的是二斗二和负二斗二， 那么当这个二的 m 四方等于二的时候，这个时候 m 就 等于一，这个时候 p 正好是负二的二 向下一直移动的呢，它的解集就会逐渐变小，然后一直到小于负的四分之一的时候，会变成空集，但是空集也是这个的子集，所以最后这道题就选的是二 b。 记得点赞关注哦！

今年高考不管是一卷还是二卷，我觉得解析结合难度肯定是要上升的。我们先看一下二五年全国一卷这道解析结合，我觉得这道题他其实只能算得上是一道中等题，而且他是第一十八题。我们再看一下改革近两年以来的这四道一十八题， 其实我们是可以观察到就是他这道题是这四道题里面难度最低的，所以我觉得一卷的一十八题是不可能比这道题再简单了。然后我们再看一下阿卷， 这是二五年阿卷这道解析结合，我觉得这道题应该算得上也是近五年来难度最低的一次吧，所以我感觉不管是一卷还是二卷，他解析结合今天肯定是要提升难度。

今天咱们借着海南最新的初三一模考试题，给大家弄明白一个道理，就是几何辅助线这种东西，咱到底该怎么才能学透？首先先说结论啊，几何辅助线，其实最终它的根都在哪？就在 几何变换上，那么整个几何变换呢？一共就三种情况，平移、对称和旋转。比如说，无论是三角形还是四边形，都有一个常见的条件，叫什么呀？啊？叫两边相等，两边垂直。 那这个东西我该怎么做辅助线呢？你会发现，哎，一会这个题啊，咱这么做，一会那个题，用另外一种做法了，是吧？仿佛他变化无穷，是因为你没有学透，学透了以后你会发现，哦， 一共就这三种变化。第一个说我两边相等，两边夹角九十度，我能不能通过平移让这条边跟这条边重合呢？哦，显然不能，所以遇见这种条件平移，你别给我想， 李老师说清楚了吗？那接下来对称呢？哎，对称就能，为什么呀？因为你有两边又垂直又相等。哦，那你只要把它连上，这就是一个什么三角形啊？ 哎，是不是就是一个等腰三角形啊？等腰三角形中有一条重要的弧线，叫什么呀？哦，就叫三线合一啊。哦，也就是我们去找它的对称轴吗？左右对称着就行了。好，那接下来再来 说，如果我两边相等，夹角九十度，嘿，我现在不是对称，让它重合，我旋转，能不能让它重合呀？ 哦，当然也可以啊，啊，你让他任意找一个三角形，转多少九十度，是不是就给他转过来了？ ok， 那 么这种旋转我们就叫做条件旋转，哎，有变长直升者这个条件，带着三角形就能转过去，毕老师讲清楚了吗？ 如果你这个东西会的话，那么这道海南二十六年的一模题，各位是不是轻松就能拿下了？一起来看吧！ 啊，说，我首先有一个正方形，正方形这些边长都相等，假角全是九十度，紧接着我 b e 等于 d f。 来吧，各位家长，请问哪两个边跟它们相等有关系？是不是我正方形中这两边相等？哦，再遇见你这两边相等， 咱们就在一起了。想到这两边来回答，毕老师，是平移对称还是旋转，是不是谁都能看出来？旋转吧，旋转多少度？ 九十度啊，所以你在那还等什么呀？是不是赶紧连上 a e 和 a f？ 哦， s， a s 两个三角形全等，然后这条边也就旋转九十度 到这条边上来了，是这个道理吧。好，紧接着再看下一个条件， a n 垂直于 e f。 哦，我这两边已经又垂直又相等了，你又给我来一个垂直。各位，那我这个家伙，黄色这三角形不就是一个等腰吗？你垂直我等腰的底，那不就叫做 三线合一吗？画家说，这么一对称不就过来了吗？哦，那各位，你这么一对称，你这条线就应该叫什么 对称轴吧，也叫中垂线吧，合着我是不是又过中点又垂直啊？那反过来，中垂线上的点到线段，两段距离 相等啊，就是因为对称呢，对称，你还等什么呀？赶紧连呢，连完以后哈，整个这条边是不是就能对称过来了？好，最后告诉我们， b e 这边长等于五啊， c n 这边长等于八，问， c e 得多长？ c e 得多长？我不知道，它就是 x， 那 么正方形边长就是 x 加五， x 加五再减去这小块八是不是就等于它啊？那它就是 x 加五再减八，也就是 x 减三啊。旋转之前你是五，旋转之后我还是五吧。好，所以整个这条子线多少？ x 减三再加五，是不是就 x 加二？你是 x 加二，对称过来这边还是 x 加二？好，这道题我做完了，为什么呀？在一个直角三角形中勾股定力，斜边 x 加二，括号的平方等于直角边 x 平方，再加上另外一条直直角边八的平方，是不是这道理？好，继续。这种方程怎么解最快啊？学习要学的是细节。 什么叫学会啊，又快又准才叫会啊。两项加和二， x 加二，两项作差就是二，对吗？右边啊，八的平方就是八乘八呗。 我约掉一个二，还剩四倍的吧。我再约掉一个二，左边剩 x 加一，右边还剩二倍吧。二八十六。所以一个 x 就 等于十五，口算做完了， x 等于十五。各位家长，什么叫会？毕老师说清楚了吗？

二六年昆明市统测的这道几何压轴题，那么它的解法一共应该是有五到六种思路，那我把常见的并且具有代表性的三种解析思路跟大家分享一下。这三种思路也就恰巧对应的是咱们在圆的几何题里边儿 所常见的一些解析的方法。首先第一种，呃是结合角平分线去构造垂线，这个思路呢，有两个前提背景条件，如果说大家碰到之后可以去往这个方向去思考。首先第一个就是题目中有角平分线， 然后第二个就是在你要去正的这个式子中含有边的平方，这个前面提到过边的平方。咱们在初中阶段，呃，几乎就是两种思路，要么去考虑勾股定力，要么就去考虑相似， 所以去做垂线，也就是往勾股定律的方向去思考。那么通过这个角平分线做两条垂线，一条得 e， 题目已经给你了，那么咱们就做第二条得 h 垂于 ab 即可。在这个模型里面，做完掉这个垂线段之后，它是有两组全的三角形的， 第一组是这里的 c 的 e 和这里的 b 的 h， 然后第二组是这里的 a e 的 和 a h 的 这两组三角形都可以证明它们全，等证明完之后，咱们就可以利用它的这个边的关系去互相转化，也就是这里的 c e 就 等于 b h， 还有就是这里的 a， e 是 等于这的 a h 的。 好，那么这个是前置条件。然后的话，从题目中分析，咱们从 a 的 出发找平衡线， a 的 方就可以等于它的两两个勾股， a h 加 d h， 所以 a 的 方等于 a h 方加 d h 方，然后再把 d h 给它展开成 b 的 方减 b h 方， 就是这步，然后把它组合，把 a h 方和 b h 方啊，利用平方差公式把它组合在一起，就变成了 a h 加 b h 和 a h 减 b h， 那 么 a h 加 b h 就 变成了这条 ab 边， 然后这里的 a h 减 b h 就 变成了是不是 a h 和 a e 相等，然后 b h 和 c e 相等，因此就变成了 a e 减 c e 也就等于 ac， 那么此时咱们就把 ab 乘 ac 这个整体把它表达出来了。然后第二步题目中还要你去审的是 c 的 方和 ab 方的关系嘛，对吧？是 c 的 方和 ab 方关系，而咱们已知的是 a 的 方，那咱们根据图就可以知道 a 的 b 的 和 a 和 ab， 那 c 的 可以变成 b 的 吗？对吧？这三遍的关系就是勾股定律，所以再列一个勾股定律方程，也就是 a 的 方等于这里的 ab 方减 b 的 方， 然后此时把两把两个列的等号，因为 a 的 方这里等于这这个十字，然后下面 a 的 方又等于 a b 方减 b 的 方，所以两个列的等号得到这里。 然后题目中要求的是这里的两倍 c 的 方已知 c 的 和 b 的 相等，所以相当于是你要把两倍 b 的 方把它找出来，那么很简单，你把这里的 b 的 给它放到同一边即可，所以两倍 b 的 方就等于 ab 方减 ab 乘 ac， 那 么把 b 的 换成 c 的， 也就证明出来。题目中给了这个式子， 这个是第一个思路，然后第二种思路是通过做这个延长线来去构造边的关系， 那么这这题的题目中，它的切入点是从后半部分出发，也就是 ab 方减 ab 乘 ac 这个式子出发，那他们发现 ab 方减 ab 乘 ac， 可以 把 ab 提出去，因此就可以得到的是 ab 减 ac。 所以写完掉之后，咱们要去解决的问题，也也就是 ab 减 ac 到底应该等于多少？那线段问题，咱们常见的就要把线段放在同一条直线上去进行加减，对吧？所以 第一，呃，他有两种思路吗？你要把这个短边给他截到长边上，或者把短边给他补出去，补成和长边一样长。那么那么这题他的这个思路比较巧，直接将 a e 和 b 的 分别延长，延长到点 m， 就 可以去证明这里的 am 是 等于 ab 的。 跪下，好，那么首先几何题你需要去前置分析一下边角关系，由题目可知的是弧的中点，那就是弧 c 的 等于弧 b 的， 所以这两个角是相等的，那咱们用相同的符号去表示，也就是红角等于红角，那么此时 在这两个角三角形是不是 a e 的 和 a b 的 里边，你看直角对应相等，红角相等，所以剩下的两个角是不是也相等？那么我用蓝角来表示，也就是这个蓝色的角等于这个蓝色的角表示完之后， 那此处又发现，你看这两个三角形 a m 的 和 ab 的， 它们显然是全等的嘛。你看你做的是延长线， b 的 延长出去，所以这里也是直角，然后这两个也是红角，你看是不是直角和直角相等，红角又和红角相等，所以这个蓝色的角也就等于这个角 m 也是一个蓝色的角， 所以整角对等边，因此可以证明 a m 等于 ab。 同时咱们还可以去证明 c e， 这里的 c e 是 等于 em 的， 那么也很简单，这里是直角了，谁想办法去证明这个角也是蓝色的角，那显然是相等的。因为 abc 的是一个圆内接四边形，它的对角互补， 所以这个蓝色的角加 ac 的是等于一百八，那做的延长线，这里相加也是一百八，所以这个角也是一个蓝角， 那此时对吧？两角两角相等，那么这两个 c 得 e 和 m 得 e 也是全等的，全等之后就得到了 c e 等于 e m， 也就是这里。那么这两个条件有了之后，后面的过程就非常简单， ab 方减 ab 乘 ac， 把 ab 提出去，等于 ab 乘以里面的 ab 减 ac， 那 么 ab 减 ac 就 变成了 am 减 ac， 也就等于两，呃， 也就等于两倍的 ab 乘 c e 嘛。这个二要构造出来，是因为题目中的这个 c 的 方前面也有一个系数二，所以你要和它的结构相对异， 那么构造出来出来这这步之后，咱们发现后面这个式子是等于两倍的 ab 乘 c e， 那 你要去证明它和二倍 c 的 关系，相当于是要去证明是不是要证明 c 的 方为什么等于 ab 乘 c e， 对吧？要证明 c 的 方为什么等于 ab 乘 c e 呢？显然这个就是一个标准的这个呃，乘积式去勾，呃，去通过相似去构造的这个乘积式嘛，所以他找的相似呢，也很好找。大家请看， c 的 ab 和 c e， 他 们要产生关系，那显然 c 的 方要拆出去一个 c 的， 还有一个 b 的， 所以它的三角形非常好找。三角形 c 得 e 和 a 得 b， 证明它们相似即可。那相似你看我在图上已经包的非常全了，直角直角相等，蓝角蓝角相等，所以它们肯定是相似的，相似之后边乘比例，把比例化成乘积式即可， 因此 c 的 方等于 ab 乘 cd， 然后这里又等于二倍的 ab 乘 cd， 所以 两个就可以列等号。 第二个思路也比较简单，然后第三种解法，也就是这个标答的解法，通过两组相似去证明这个式子，那我这里就不过多解释，大家就看着这个对照这个这个过程看一下即可。 那么咱们云南中考这边几何题他非常爱考的，就是像这样通过多种思路都可以去解决的，而且很多时候像这样的这种证明结论性问题，大家都是去通过这几个思路去构造的。第一个做垂线，通过勾定力去表表表示边的关系，然后 是这个做延长线也是一样的，做延长线的本质呢，就也是有这种叫做外角，等于他的这个内外角 圆内这四边形嘛，对角互补，所以蓝色的角和这个是互补的，然后做延长线也有互补，所以进而就有角相等。那么第三种思路就是通过多组相似相似关系之后，使它的这个编程比例相加即可。 所以这些思路都是非常呃，在几何体里面是容易考到的，大家要去着重去整理的地方。

家人们挖到宝了，这套河南五式异模数学直接打四颗星！题型不老旧，重思维轻套路，二轮复习刷它超合适！单选第六题，直接取古代数学加僧一行的鬼影算法，把三角函数的实际应用藏在传统文化背景里。 第七题看似是常规的等差数列结合，基本不等式求最值，上手门槛低，实则计算环节埋了不少坑。填空第十三题的概率统计题，稍微不留神就会掉进次品率的陷阱。审题一定要慢准、稳，别被外壳晃了眼。 第十七题例题几何题直接反套路出牌，没给方便。无脑间隙的规整条件，核心考察线面垂直的证明与二面矫正，斜直角解。不少同学习惯了拿到题就间隙死算，结果算到崩溃还拿不到分。平时练习时一定要回归几何本质，不能过度依赖间隙。 第十九题的折叠类压轴题，堪称全卷的点睛之笔，把圆周上的点折到圆外，定点轨迹直接就是一个双曲线。第二问直接把重心、内心面积范围结合到一起，综合性拉满。 这类基于定义的动态轨迹题型，绝对是二零二六年高考的热门考点，一定要彻底吃透，别等到考场才第一次见！

南通一模堪称二十六届至今最贴合新高考命题气质的优质模拟卷。它不靠偏题怪题博眼球，而是在常规题型中见思维深度。在创新设计中，首高考本源难度梯度清晰， 小题藏巧思，大题有格局。第七题反套路函数基友性中档题跳出 f、 g、 n、 x 机械判断的固化思维，核心考察函数图像平移与对称性的本质理解，需构造平移后的函数判断。基友性 直指高考函数性质题从套公式向结构分析转型的命题方向。第八题立体几何球面交线压轴，小题融合空间想象与几何证明，核心是通过面面垂直证明将空间交线转化为平面圆弧求解，最终得交线长派。二、贴合新高考立体几何结面问题，证明加计算 融合的必考趋势。第十一题，新定义均增数列题是小题中最具思维量的一题，以新定义为包装深度考察等差等比数列的通向求和与单调性， b、 c 选项极易出错，需通过举反例构造数列验证既核心高考新定义题下沉，小题重迷解转换而非复杂计算的方向。第十四题 向量与解三角形综合题看似基础，实则暗藏门槛。核心是通过证余弦定理完成向量条件到边角关系的转化，最终划归为其次，是用基本不等式求得最值五分之四，是高考解三角形边角互化加统一变量核心考法的经典呈现。第十八题回归本源的解析几何题彻底摒弃花里胡哨的秒杀技巧， 整体无几点极限放射变换的用武之地，必须靠加时的设点列式化简计算，回归弦心距勾股定理与坐标法的结合， 纯粹考察解析几何，用代数研究几何的核心本质，拨正了解析几何重预算功底重几何直观的备考方向。第十九题，权健灵魂所在，以对数函数零点为背景，融合函数与方程数列不等式证明，致敬高考经典压轴题。 第二问，将零点转化为关于参数的函数，通过构造函数分析、单调性思维设计巧妙。第三问，传承高考经典压轴题精髓，通过地推变形、列向放松 极致，考察代数推理与不等式证明能力，完全贴核心。高考压轴题函数与数列跨界融合的命题偏好。这份南通异模卷告诉我们， 优质的高考模拟卷，从来不是靠偏难怪题制造难度，而是赢在对高考核心考点的深刻把握，对通信通法的坚守。他也给二零二六届考生指明了方向，高考备考重本质、重基础、重思维，远比重技巧、重套路更重要。

哈喽，同学们好，我是专注安徽中考的全场。刘老师，我们来看一下合肥瑶海，呃，是不是瑶海是合肥包河一脉的。 这个几何压轴题难度是个人认为是中等偏上，然后第一题是全等都会证明，然后第二题他说这个纪念是终点，那我求这个 b e 的 长 b e， 在 这里我们不妨说，它是 x， 它也是 x 啊，它也是 x， 因为全等嘛，这是二减 x 啊，这也是二减 x。 关于中点呢，有很多的常规的一个一些构造辅助性的方法，比如说对称中线，我们尝试一下用对称中线来看一下，延长 a e， 然后再延长 d c 交于 m 点，我们可以知道这个 abg 和 gfm 全等。 abg 和 gfm 全等，那这个是二，说明这个长度也是几啊，也是二，那这是二减 x， 当你构造出圈呢之后，你还构造出一个新的八字形在这里啊，同学，看看一下这个，当你能注意到这个八字形，这个题就出来了，二减 x 比上二等于 x， 比上二减 x， 解方程就可以了 啊，这是第一种啊，我们来说第二种。第二种就是利用中点勾到中位线，我们来看一下，过这个 g 点往这里做个，往这里做个垂线， 这是 m 点。好，你这是 x， 这也是 x， 你 这个 m 点可能是终点嘛，中国现在禁止你 m 点是 b c 终点，这个 b m 是 减 b， m 是 e， 这个 m c 也是 e， 所以 m e 是 e x 对 不对？ m e 是 e x， 这个太小了，我放大一点啊，就是这个叫什么呢？这个 g m e 啊， m e 是 一减 x， 那 我这个 g m 是 不是零点五 x， 同学，是不是对不对？那么这个 g m e 和这个 ab 是 不是相似的？那一减 x 比上零点五 x， 那 等于什么？比什么？等于这个 b e 吧，是不是？ b e 怎么表示啊？ 你这是 x b 一， 是不是二减 x？ 二减 x 比几比二？哎，这个东西也能求出 x， 能听明白吗？然后再看这个第三种，第三种是什么呢？我们这样子，我们也是构造选等啊，我们没有变上中线，也没有中位线，我们利用 f 点啊，利用这个中点构造选等，我们过 f 点做平行线 啊，这样子可以知道呢， f m g 和 b g e 是 全等，这是 x， 这是 x， 这是二减 x， 这也是二减 x， 当然呢，这个 m e 也是二减 x， 当你把这个 m d 连起来之后，你会发现 m d f 是 一个等腰直角三角形，你会发现这角多少度？四十五度。 那我们同学如果说这是四十五度延长 dm， 那 我这个线肯定经过什么点？经过这个 b 点吧，也就是说此时此刻 bmd 是 共线的。那我怎么求 x 呢？你看啊，你看这个 md， 你 看这个 md 比上 bm， 这个比 md 比上 bm， 是 不是等于二减 x 比 x， 是 不是？ md 比上 md 比 bm， 是 二减 x 比 x， 那 md 比上 bm， 它又等于什么？这是二，它又等于二比上二减 x， 是 不是？同学， 对不对？就是你 mdm 比上 mb， 有 两种表示方法，那这这两个是相等的， 也可以，也可以求出 x， 然后这个是第二题，第三题是什么呢？他说 g 点、 o 点是中点， o 点是中点， g 点也是中点，现在 h 点是什么点？不知道 h 点像不像中点啊？像吗？ 啊？但咱们得证明啊，我们带着这种猜测去做题，比如说这个是阿尔法，这是啊，比如说这个角，这个角是等于这个角，为什么？因为 b、 f、 c 和 d e、 c 是 全等。 当然这个 b 一 是等于这个 df 的， 好像全等吧？啊，就是你想证明 h， 如果说你想证明 h 呢？是终点，如果说你想证明 h 呢？是终点，你就证明 dh 就 等于 bf 的 一半，也就是证明 dh 等于 bg。 我 这么说，同学你可能理更能理解。 好，我再说一下，我现在有一种猜测啊，猜测 h 点就是终点，你想证明 h 点是终点，你就证明 d h 等于 b g， 懂吗？你先把这个弄明白，咱们再往下走啊，咱们再往下走。 好，这个 d f 等于 b e， 我 问你，三角形 a、 b、 e 是 不是全等于三角形 a、 f、 d 这两个三角形是不是全等？是不是？是全等之后我这个角是不等于这个角？同学，你没有看到，看到了吧？看到了吧。所以啊，所以这个三角形和这个三角形是什么？ 它们是全等，它们就是全等。全等之后，以 dh 就 等于 b g 啊，以 dh， 以 dh 就 等于 b g， 那我这个 b， 那 我这个 b g 是 b f 的 一半，对吧？同时 b f 又等于 d e， 你 说 h 点是不是 d e 中点是不是？那是 d e？ 中点的话好说，那中位线，那我这个 o h 是 b e 的 一半，对不对啊？你 o 点是中点， g 点也是中点，那我这个 o g 是 d f 的 一半，那你说 o h 是 不等于 o g？ 好，你 o h 是 平行这个 b e 的， 然后你这个 o g 又是平行这个 d f 的， 你 b e 和 d f 的 位置关系是垂直，那我这个 o h 和 o g 的 关系是不是垂直？ 因为平行就是相当于平移吗？平移是不改变位置关系的。不改变位置关系啊，这个过程同学们自己写一下啊，我们这节就讲到这里啊。

今天我做了一下十大实验，昆明湖校区啊，关于一模的模拟卷第二十六题，那么这个题它巧妙的运用了两个点，关于对称轴对称的特点来对式子化简求证， 还是值得同学们好好去研究研究的好，我们来看一下这个题。首先第一问，让我求 a 分 之 b 的 值，那么你来看 啊，因为图像它过 a 点和 b 点，我会发现 a 点和 b 点的纵坐标相等啊，那么也就是说，因为图像 过 a 是 一斗 t， b 是 二斗 t， 那 么所以，所以 a b 关于对称轴对称， ab 关于对称轴对称，那么所以对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b， 它等于二分之一加二，所以 a 分 之 b 等于负三， 那么第一问就出来了啊，第一问就出来了，那么我们来看第二问中的圈圈一，那么由一 可得，因为我们要把换掉一个可得， b 是 等于负三 a， 那 么所以 y 它就变成了 a x 的 平方减三， a x 减二。 好，那么紧接着，因为，呃，最大值，最大 值为一减四分之三 a 的 平方，那你想想抛物线他有最大值，那说明什么？说明他的顶点 处取的最大值啊，他要取的最大值，说明开口要干什么向下，所以 a 要小于零，是吧？那么 a 小 于零顶点 就为在对称轴上取的。那对称轴我们刚刚说了是二分之三吗？这里你看这里是不是等于二分之三，好，那这里是二分之三的一减四分之三 a 方， 那么所以代入就可以得到，把它带进去，就是 a 乘 二分之三的平方减去三， a 乘以二分之三，等于一减四分之三 a 的 平方。好，那么解得 a 等于负一， b 啊， a 一 等于负一， a 二等于九，那么因为我们知道 a 是 小于零的，所以它等于九。要干什么？舍去 啊，舍去，那么所以表达式就是 y 等于负 x 的 平方加三， x 减二。好，那么紧接着我们再来看第二个， 第二个，那你想想，因为 m n 的 纵坐标相同啊，也就是说因为 m n 两点 纵坐标相同啊， 啊纵坐标相同，所以它们关于 x， 它们关于对称轴对称， 那么所以 x 一 就等于三减 x 二。好，那么接下来我们再来看 好，那么紧接着，因为 m 在 啊二次函数上，在抛物线上， 那么所以 m 就 等于啊负 x 一 的 平方加三倍的 x 一 减二，那么我们会发现这一个是，它是可以进行十字相乘的，你看它可以写成负 x 一， x 一， 这里写成负二，这里写成一。交叉相乘刚好等于三倍的 x 一， 所以它可以把它写成 负 x 一 加一，乘上 x 一 减二。啊， m 得到这一个，那么这个以后，接着他要让我证明这一个东西， 那你想想，我要证明两个数相等，也就是如果我要证明 a 等于 b， 那 么我可以证明 a 化解，或者是处理以后得到 b， 也可以证明 b 得化解后处理得到 a。 同样我还有一种方法可以证明 a 减 b 等于零，都是可以的，那么这两种方法都行得通，那我就讲一种处理左边的那个，那么所以 左边的式子就是 x 一 减一的平方除以 m， 它就等于 x 一 减一的平方除以 m， 上面这个就是负的 x 一 加一，然后是 x 一 减二。 好，那么接下来你发现 i 负的 x 一 加一和 x 一 减一，它是互为相反数，所以一约掉一个 x 减一，剩下一个负一负一拿过去，它就负一拿上去，那么它就等于 啊，嗯，可能有的同学不懂，我再详细一点就是 x 一 减一的平方比上负 x 一 减一， x 一 减二，那么它就等于负的 x 一 加一，分别上 x 一 减二，那么我们来观察，因为 啊， x 一 减二和左右边这个 x 一 减二是不是已经相同了？但是分子还不同，所以我们需要用到我们刚刚 就是关于对称轴对称得到的这个关系，我们可以来做一下这个题。好，那么接着，那么他就等于啊，不是搞错了。 好，那么他就接着等于把 x 一 换成三减 x 二，那就是负负三减 x 二， 然后加一，嗯，比上 x 一 减二，那么以后他就化减，你看一化减就等于 x 二减三加一，比上 x 一 减二，那么他就等于 x 二减一，比上 x 一 减二啊，这里是减二。 好，那么是不是就我们把左边的就画成右边的了，那么所以就可以得到 x 一 减一的平方比上 m 就 等于 x 一 减二分之， x 二减二就证明出来了。 那么还有一种方法，同学们可以去尝试一下，就是我把这里给他减过来，就是你把它试指就是 x 一 减一的平方 m 减去 x 一 减二分之 x 二减一，然后进行通分 化解处理，然后同样又用到前面的关系，你就可以得到了，同学们可以去尝试一下啊，加油。

hello， everybody， 让我们来看一下四月二号这一道高考数学冲刺的每日一题，今天为大家带来的是一道关于平面几何的 填空压轴，大家可以先暂停看一下题干，感受一下这个题目的难度，如果对我们这个系列比较感兴趣，可以点赞加关注加收藏，下次再看，不迷路。题干给到了两个呃单位互相垂直的单位下面， 好呢，又给了两个已知向量 ab， 他 满足这样的式子是吧？啊，先问我们向量 a 减向量 b 的 呢？魔长的最大值， 很显然这里他会有两种思路啊，一种是有纯代数方向的，那我直接去硬算，但既然是平面几何这个或者说平面向量的相关，我们尽可能还是把它往什么呀？往 图像构构造也是竖形结合上面去，靠，是吧？那么我们的向量 e 一， 向量 e 二，我们就可以把它写成怎么样的坐标， 比如说我们就可以去建个平面直角坐标系，对吧？我们的 e 一 就是横向的， 然后呢，一二就是怎么样重相，那么一一就是向量一一等于多少，等于一零，对吧？向量一二就是多少，就是我们的零二零一， 对吧？这样的话我们看啊，那么现在我们看这个角值符号里面的看右侧，其实比较简单，我们念向量，念点 a 等于向量 a， 好 吧，等于我们的 x 一 y 一， 好吧， 点 b 等于向量 b， 等于我们的 x 二 y 二， 这样的话，对于我们的 b 点而言，他其实是比较好分析的。就是什么？就是我们这里先来看四倍的一二，这个这个这个项链可以写成什么？就他可以理解为是一个在横，他就可以写成我们的四倍的，什么 四倍的零一也是，他可以理解为坐标什么零四，对不对？那就是向量。当然因为是加号，而平面直角坐标系中两点之间的距离或说有相线段，他应该是带方向，也是做减号的，是吧？所以我们这应该写 把什么把我们的向量 b 加上四倍的向量 e 二，把它等价为向量 b， 减去负四倍的向量一二，就等于多少？就等于 我们的 x 一。 那么我们注意到负四倍的向量一二，它就应该是个怎么样的坐标？向量 b 我 们已经写出来了，是多少？是我们的 x 二 y 二， 而我们的负四倍的根号二 啊，那负四负四，零负四，是吧？然后现在他说这一段魔长等于几， 这个魔长是一个定长，是个几啊？是个三倍根号三，那我们就可以理解为，而我们的注意到这个零四负四，它是一个平面直角坐标系列的确定点 x， 而 y 二，它是一个不定点，那就是平面直角坐标系列一个不定点到一个定点的距离横定为多少？ 为三倍根号三。那么我们就可以确认。确认什么？确认我们的呃 b 点轨迹，或者说我们的相呃 b 点，满足 它就应该是个圆嘛，是吧？满足以以零负四为圆心， 三倍根号三为半径的圆轨迹的轨迹圆， 是吧？这是我们 b 点轨迹。然后我们再来看我们的 a 点轨迹， a 点轨迹呢？我们就按以此类推，我们的向量 a 加上二倍根号二倍的向量 e， 它就等价于什么 啊？它就等价于我们的 a 点，或者说向量 a x 一 y 一 减去多少？减去我们的二倍根号，这里也是个加号，所以我们要改写一下负二倍根号二， 然后你是吧？然后呢？再来看右侧的是多少？ x y 一， 中间逗号忘了打啊。 x y 一 减去多少？二倍根号二零啊，这很大，等于六啊，这是很明显的，你要能够察觉到这很明显是一个椭圆，这实在不行，我们就令这个点为 c， 好 吧，那么它这个点为 c， 那 么我们这里就可以理解为是一个什么啊，这个点是 a， 这就是 c， a 加上什么加上啊，这个是 c 一， 好吧，这个是 c 二，那就是 c 一， a 加上我们的 c 二， a 等于多少？等于定差为六，哎，这是一个典型的什么东西？咳， 这是一个典型的椭圆啊，椭圆，因为我们知道椭圆上面任意一点到两个焦点的距离的和。为什么 为我们的两倍的长焦距，是吧？两倍的长焦距，而这典型，而我们这里很明显是让焦焦点长在哪里，长在 x 轴上面的是吧？从而我们这就是以以 b a 点轨迹为， 我们这里长焦距是六，然后呢？ 短焦距的话，那么我们这里对于这个椭圆而言，小 a 就 应该等于几，我们的小 c 等于三，然后呢？小，哎，不，小 a 等于三，然后呢？小 b， 小 c 等于几呢？小 c 等于二倍根号二，那么求出来小 b 应该是等于一的，所以这个 a 点轨迹为。 为什么？我以解析式为， x 方焦点长在 x 轴上， x 方比上九，再加上 y 方比上一等于一的椭圆， 是吧？这样就我们目标就变成了去求什么线段 a b 的 长的最大值，从而我们这里向量 a 减去向量 b 就 转化为的要去求线段 a b 的 最大值，是吧？线段 a b 的 最大值，差劲。我们注意到， 因为 b 点是一个轨迹圆嘛，是吧？而我们这 a 点是一个椭圆，那么或说克是一个任意点平面直角坐标系中任意点 点到圆上面的一点的，点到圆的圆上一点的距离的最大值等于什么？等于我们的点到圆心的距离再加上半径，是不是？那就是等于我们的，那我们这个圆心我们就念它为得。好吧，那就等于我们的线段 a 得的长 啊，再加上我们的这个圆轨迹圆的半径，那么就 a 得的长就是多少？ a 得的话，呃， 就等 a 的 长再加上半径是几啊？半径是这个圆的半径是三倍根号三 是吧？那我们只要求这 a 的 长对最大值就行了，接下来就硬算吧， a 的 长呢？就是什么呀？也就是我们根号下的 x 一 减去零 的平方，再加上我们的 y 一 减负四，也是加上四的平方，再加上三倍根号三。而对于这个式子的话，我们注意到啊， 就等于 x 一 方加上 y 一 方，再加上八倍的 y 一， 再加上十六，再加三倍根三，而因为我们的呃这里它是能够去进行一个等量代换的嘛，是吧？我的 x 一 它是在哪个轨迹上面？ 他是在 a 点轨迹是一个椭圆，是吧？所以的话，我的呃 x 方他就等于多少？等于我们的九减九 y 方 合并一下的话，就应该是负八 y 一 的方再加上八 y 一， 再加上几啊，再加上二十五，再加上三倍根号三，这个括号里面是可以配方的，而我们的 y 的 范围是怎么样的？ y 的 范围的话，它就应该是属于 y 一， 它应该是属于。对这个椭圆的话，椭圆的话它应该是属于 负一到一，是吧？负一到一之间，而这里很明显是能够取到这一值是多少等于负八倍的 y 一 减二分之一的平方 啊，加二，加二的话就加上二十七，然后呢，再加上多少？再加上三倍根号三。那么就当且紧张 我们的 y 一 等于二分之一时，我们的向量 a 减去向量 b 等于 a， b 的 长，向量 a， b 的 长它就有 max， max 等于多少等于我们三倍根三，加三倍根三等于六倍根三。好，这也是我们今天的这个题目，大家可以去暂停，好好捋一下思路，一个很标志的竖形结合的题目啊，大家可以 仔细消化一下。如果对这个题目有什么想法或者困惑，可以在评论区留言或者给我来私信，大家友好交流，看了都会挨个回复的。如果对我们这个系列比较感兴趣，可以点赞加关注加收藏，顺便转发给你，觉得有需要的小伙伴，大家一起每天变得更强，今天内容就到这里拜了个拜！

各位同学们，家长们，今天呢，和老师来分享一下瑶海区二六年一模的呃，几何压轴题，这道二十二题，这道题的第二本难度是相当大的啊，如果有学生能在考场把它做出来，证明 能力确实是非常强的，非常强的。我们来看看这个题，这题告诉我们，在平行四边形中， a， d 等于 k 倍的 ab 啊，这个平行四边形两个邻边是有关系的。然后的话 ef 呢，分别是这个边上的点，且 c， e 等于 af， 在 这里它存在一组等线段连接 a， e 和 c， f 交于点， p 连接 b p。 第一个，当 k 等于一的时，那他们在这里我们直接翻译条件 k 等于一时，就是，也就说明 ab 和 ab 是 相等的，是吧？那这个时候平行四边形菱边又相等，所以此时它是一个菱形， 它告诉我们角 d 等于六十度，角 d， a， p， 这个角是五十度，求角 b， c， p， b， c， p 的 度数，这怎么求呢？ 在这里同学们，我们可以利用对称性，是吧？因为这里边菱形它本身都具有非常明显的轴对称性啊，你可以正一个全等倒倒角，这个难度是比较低的，你比如说咱可以证明三角形 d， a， e 全等于三角形 d， c， f 啊，通过这样去导一组全等就可以了，你也可以去再正的，稍微复杂一点都可以的啊，都可以的。那所以我会发现这个角 dcf 应该等于这个 dap 也是五十度啊。所以的话，我们利用呃同行的角互补角 bcd 这个大角是一百二，把五十减掉，第一本就得正了是吧？很简单，七十度。第二本的话，咱也快速标记一下，说三 f p 等于三， f p 等于二 pc， 这很明显，同学们是考察的是共线线段之间的关系，是吧？我们先把它翻译一下，把它进行一个乘积化比，那一个是 f p 比上 pc 应该等于二比三的关系，所以我们直接开始射源。既然是二比三，二 x 三 x， 它告诉咱 ab 是 六，那同学们，我们已经有菱形的结论了，所以上面这个 bc 也是六， ab 和 bc 都是六，求 c e 的 长度好，求这个 c e 的 长度。 那 c e 的 话，它和 a f 是 相等的呀，是吧？和 a f 相等的，所以我们就利用好这个二比三就可以了。怎么用呢？大家看一下怎么利用这个二比三。 呃，你可以把 b p 进行延长，因为在这里老刚才说了，已经具有轴对称性了，我们可以证明 b p、 d 这三点是共线的，是吧？所以它的上比下也是二比三的关系，那所以这是六 d f 就 自然为四了，所以 a f 的 话就为二。 好吧，这个题我们这个第一问稍微讲快点，我们重点来说说这里边的第二问。第二问 啊，第二问说，若 k 大 于一，那在这里 a d 和 ab 就 不相等了，是吧？它是一个普通的平行四边形，具有一个 k 倍的关系，是猜想角 a b p 与角 c b p 的 数量关系，并给出证明。 说实话，朋友们，这道题拿到手啊，压力是比较大的，为什么呢？因为这个关系就有点恐怖了啊，我们不确定它到底是哎，带不带 k 啊，或者是能否用含 k 的 式子表示出来。那像这种怎么去先猜再正呢？ 老师来告诉大家啊，这里边同学们，我们就活学活用就行了，那既然是 k 倍，我不确定 k 是 几，那我多画几个不就行了吗？是吧，我先去验证到底是什么，咱再去证明是吧？那这个 k 不 确定，也就说 a d 和 ab 的 邻边关系不一定，所以不妨咱把 a d 画长一点， ab 画短一点，像这种 我们就画出平行四边形。那然后同学们，大家注意啊，你在画的时候要满足题目中的条件，他说 af 和 c e 是 相等的，所以你在找点的时候，同学们， af 啊， c e， 你 要找点时候，你要满足题，对吧？然后的话，咱就连 连连接 cf 啊，这个老师可能画的稍微有点误差，大家自己画画，连接 cf， 连接 b e， 连接 ae 哦，连接 cf， 连接 e， 你 自己再把这个屁点连一连，你看一看这两个角度之间什么关系啊？你通过多画几个，你会发现，哎，它的角度好像都是相等的呀，所以朋友们，在这里我才敢说我要以此为方向，好吧，所以你不要空想啊， 不要空想，否则你根本不会知道怎么证。所以老师说啊，先猜再证。我们猜测 a b p 和 c b p 是 等角，那怎么去证明这两角相等呢？ 这道题的压力就在于它给的条件足够的少啊，足够的少，首先的话，在这里两个零边存在一个一比 k 的 关系是吧？如果有代数能力比较强的同学，可能会设元 x k x 或者你是一 k 都无妨啊，能表示他们的比例关系。那最重要的条件，你再重新读题，发现没什么条件，最多最多的条件就是这个 a f 和 c e 这两个线段相等，这怎么办呢？这个线段相等怎么办呢？ 给老师带来了一定的压力啊，那接下来我就开始展示联想，在这里啊，我想一下大家的分析思路就是这个线段相等，如果你脑子里全都是全等，那这个题基本上就稍微有点炸裂了啊，基本上就已经炸了，为什么呢？这两个线段相等，朋友们，你能否构造出全等呢？ 答案是不太行是吧？有的说，老师，这不是有一种呃胖瘦三角形的感觉吗？但能你能够出全等吗？同学们，你想一想，胖瘦三角形我学过，已经有一些边相等，它有对顶角， 但是我请问他们，这能构造出来吗？有的说，老师，我隔一刀不就行了吗？哎，我们标记一下，假设这是 y， 这个也是 y， 它有存在对顶角，哎，我割一刀，我过点意义，做个平行行不行呀？ 朋友们，你做平行脚都相等我，请问朋友们，在这里，你的边能个能得到吗？这个边能得到吗？ 这个边能得到吗？得不到是吧？没有啊，所以这也就是老是陷入压力的地方。我们我发现呢，在这里我不能脑子里只想全等了，你必须要想什么呢？你要想想死 啊，相似，其实我们有时候在相似中证明线段相等，也可以用相似的思路，所以我要回归到线段比，那这个时候我就不怕了，我就不怕了，我只要构造出相似就行了，那在这里他又有一种共线线段的感觉， 是吧？所以的话，我们的辅助线迎刃而生啊，怎么来的呢？老师的做法是延长 ab， 延长 ab， 再延长这个 cp， 产生一个交点，当然往这边延长应该也可以啊，也可以假设一个 m 点嘛。啊，我这样做的原因其实还是胖瘦三角形给我的感觉，胖瘦三角形给我的感觉，我想给他补成一个大的八字 啊，好那但是这个做完之后呢，脑袋又开始混乱，这个八字我感觉啥也没有啊，这边 am 的 数据我完全不清楚啊 啊，这个可能就是把代数和几何结合在一起啊。嗯，需要一些你的基基础的储备啊。在这里头呢我们就表示线段啊，我发现这里边有谁可以表示呢？那利用我的 x 和 k x 的 话，你会发现 f d 是 可以表示的，所以的话 f d 的 话就应该等于 k x 减 y， k x 减 y 这样子吧。那所以的话既然这样表示的话，那在这我发现了 am 和 cd 作为一条平行线，他不光有这个小八，他有这样的一个小八字，是吧？在 f 点作为交叉，他还在 p 点这做一个交叉，这是咱们的初衷， 我最开始就讲在 p 点这做一个交叉，所以的话，朋友们，我们把这个比例给它用好，把这个 a f 和 d f 的 比例用好啊，当然这个算式是稍微有点恶心的啊，所以我会得到 am 比上这个 c d， a m 比 c d 啊， c d 的 话就是咱 x 比上 x 就 应该等于 y 比上 k x 减 y， 这个我虽然不知道 am 是 多少，但是 am 是 可以表示出来的，它就应该等于 x y 除以 k x 减 y， 这是我对 am 的 表达， 我表达出来之后呢还是有点晕。 am， 嗯？然后呢？然后怎么办？朋友们， 在这里我想到一个东西啊，我既然要想要正角相等，有一个东西映入了眼眼帘，因为我知道 am 的 长，那 am 和 c e 的 比例我知道，那所以的话，这个小平行八的比例我知道，那在这里 f p 比上 cp 这两个线段的比值我是清楚的， 对吧？我想到了什么的感觉呢？就是角平分线定，你说的是角平分线的两个邻边之比，等于它的交点到两个端点的距离之比 啊。就是 mp 比上 cp 等于 bm 比上 bc， 有 这样的一个反推，不知道能不能行，所以我们抱着试一试的态度，在这里头我们来推一推啊，推一推，嗯， am 已经清楚了，是吧？所以的话， mp 比上 cp 这个比例应该是等于 am 比上 c e a m 比 c e 啊，所以就应该等于 x y 比上 k x 减 y， 再比 c e， 那 不就在除一个 y 吗？除一个 y 约一下，所以就等于 k x 减 y 分 之 x 啊，这是我们的 mp， mp 比 c p， 那 接下来我还要知道这两个零边之比，这个零边已经知道 k x， 那 这个 b m 咱不就加一下吗？所以，所以 b m 的 长应该等于 x 加上 k x 减 y 分 之 x y 啊，这个需要点计算功底啊。所以就等于 k x 减 y， 背的上面的话，应该是 k x 方减 x y， 然后呢，再加 x y， 哎呦， 用 x 没了，所以它就等于 k x 减 y 倍的 k x 方，这 b m 的 长，而 b c 我 也知道，所以 b m 比 b c 就 应该等于 k x 方比上 k x 减 y， 我 们的 b m 比上 b c 比上 k x， 那 再约掉 k x 的 话， 那上面不就是 x， 它也等于 x 比上 k x 减 y 啊。所以在这老师算的是稍微有点复杂，但是我内心充盈的力量，力量，我只需要把它化解，我发现它俩就是相等的，那它就满足我们这个角平分线定律。 但是角平分线定律这个考试时候能用吗？能直接反推吗？我还要打上一个问号，这怎么办呢？ 那我想到了角平面定力啊，其实是怎么证呢？是利用这里边 m p 和 c p 的 平行 a 八，他俩是共线线段之比证的，是吧？所以不妨我们在这里为了验证逻辑的完整性， 对吧？我们把这个笔再倒一倒，再倒一倒啊，所以我们方法是在延长 b p。 老师，这个辅助线可能稍微有点复杂啊，稍微复杂，但是我是想把它有理有据的搞定的啊，假设交一点 n 吧， 延长 b p 啊，那这个时候的话，这个 m p 比上 pc， 它就应该等于这个大的八字啊。我们再构造一个大八，把这个 b 转出去，它应该等于 b m 比上 c n， 它等于 b m 比 c n， 我 发现了，它又等于 b m 比上 bc， 这是我刚刚发现的事情， 是吧？它等于 b m 比 c n， 它又等于 b m 比 bc， 所以 说明了 c n 和 bc 是 相等的，所以的话，特别说明这两个底角相等，这两个底角相等，我们再利用平行内错角的转移，我就可证它俩是等角 啊。所以这道题啊，在何老师的方法看来，铁们，我们需要对于这个线段相等的利用啊，就是我们要摆脱全等的构造，在这里确实没办法构造全等，你必须要回到相似，是吧？但是胖瘦三角形给了我构建相似的这种辅助线的冲动， 然后那么一定要把握好我能标记好的线段，把这个线段笔，对吧？不停的去做，我发现我可以表示出 am， 那 最终的落点在于你对于角平分线定理足够敏感， 你能发现角平分原理的反用反推也能正，那这样的话我们就可以有理有据的正出来。好，这道题分享给大家，难度是不小的。

我刚看了一下，呃，二零二六年昆明市一模卷子的第二十六题，那么这个题对于官渡区和盘龙区的孩子就比较友好了，为什么呢？因为你们 九年级上册的期末考就考到了这种区间最值问题啊，只不过呢，这个题和我们平时练的又有点不一样，因为我们平时练的要么是区间是固定的，动抽啊，对称轴是动的， 或者是反过来啊动，对称轴是固定的，区间是动的。那么这个题呢，它是对称轴和区间都是动的。那么好多同学就纠结了，该怎么去做？两个都在动，那么其实它的方法是一模一样的，我们只需要去分 对称轴在区间的左侧，对称轴在区间的右侧啊，这是这两种是最最简单的。还有一种的话就是，呃，对称轴在区间里面，那么对称轴在区间里面的时候又分成两种情况，第一种情况的话就是 对称轴靠近区间的左侧端点，第二种情况的话就是对称轴靠近区间的右侧端点。 那么我们分出这四种情况以后，把这四种情况草图画出来，他的最大值，最小值你就可以清楚的看到，然后一座叉就可以把我们的呃那个参数求出来了。

朋友们大家好啊，今天何老师来继续分享这个蜀山区一模的第二十二题，这道题的话，考察是对终点的一个系统的运用啊，其实整体难度来说还是中等偏下的啊，在这个几何压轴方面，他说如图啊，在三角形 a、 b、 c 中， 呃，向 a、 b 和 a c 的 外面去做 r t 三角形 a， d b 和 r t 三角形 a， e， c。 在 这里角 a， b， d 等于角 a c， e， a， b d 啊，等于角 a， c， e 对 r 法，我们把它记为 r 法， f， g、 h 呢，分别是中点， g， f、 h 分 别是中点是吧？在这里头，首先我们要把中点知识体系掏出来啊，在这里，直角和中点，它是典型的斜面中圈的使用。 第一个的话，让我们证明 a、 d、 g 和 a e、 h 的 相似，那 a， d g 和 a e、 h， 我 们知道斜边中线等于斜边的一半，所以你会知道这里边 d g， a g， b g 是 等线段是吧？同样道理，在这里边 e h， a h， c h 也是相等的，所以在这里， a、 d、 g 等腰三角形， a、 e、 h 也是等腰三角形。 而这等腰三角形呢，我们利用我们这个呃，两个等腰的外角倒角就可以了，你会发现 a d g 这个角是二 r f 啊， a e、 h 这个角也是二 f 二 f， 那 所以的话，同学们，我们就知道等腰，而且呢，顶角相等，他肯定是相似的，你也可以列一下对应边之笔啊，第一本就是类似于 s e， s 的 相似，第二本的话，他们证明 d f 等于 e f 啊，这个 d f 等于 e f 啊，同学们可能还需要想一下， 可能需要把中点给它想明白的啊，我们的 d f 和 e f 呢？有同学可能会思考，老师，这是不是直角加中点也是斜边中线呢？ 在这他们有问题啊，有问题， f 的 话它是谁啊？ f 的 话它是 bc 的 终点，你这里边 d 跟它是没有关系的，这个直角跟它没有关系啊，这不是斜面中线，除非你延长，而你延长的时候 f 又不是终点了啊。所以这里边考察的并不是斜面中线，而是什么呢？ 而是需要观察，而是需要思考。我们有这么多终点，到底应该怎么使用呢？在这里我们不光有单一的终点 f 五，还有 ab 的 终点，还有 a、 c 的 终点，所以在这里我们想到了多终点啊，这是把我们的知识体系是第二位，我们这种方法是多终点，我们想到了中卫线 啊，我们进行了连接的尝试，所以只要你知道，哎呀，我只需要连接 f g， 连接 f h， 那 这个问题就自然迎刃而解了，你马上就应该知道我如何证明这个线段相等，其实通过的就是咱们三角形的全等， 那有这种感觉的话，你还要把这个边角转化给它，导的明明白白的。怎么去证明三角形 d g， f 全等于三角形 f h， e 呢？如何证明呢？我们去观察对应边啊，长的 d g， 哎，我想证 d g 和 f h 相等，怎么建立呢？ 你就利用好咱们的中位线和斜边中线的性质就可以了。你会发现朋友们， d g 啊， d g， 它是斜边中线，是等于二分之一 ab 的， 而 f h 呢？大家来想， f h 是 两边中点的连线，它是三角形的中位线，所以它平行于 ab， 而且也等于 ab 的 一半，所以它是等于 f h 的。 同理可得，同学们，我们也知道 f g 啊，这个 f g， 它呢是等于二分之一 a c 的， 而 e h 呢，因为它是斜边中线，它也等于二分之 a c， 所以 两边都搞定了，接下来只需要找一角就可以了，是吧？两边夹一角，因为第三边是咱要正的， 那中间这个假角的话，同学们，我们当然要去证这个 d g， f 和这个 f h e 相等，那我们通过第一份的标记， r f 已经确定了，我们只需要证明这两个角相等就可以了。怎么证啊？ 怎么证？方法很多，你可以利用平行四边形，你也可以利用公共的去倒个角，都可以啊，都可以，我们用平行四边形吧，因为他们就是咱们证的平行四边形的两个对角嘛，是吧？所以的话，咱们可以这样搞，我会发现，因为这里边不是平行吗？ f h 是 平行 ab 的 啊。呃，然后呢，这个 f g 是 平行 ac 的， 所以咱们很容易能够得到平行四边形这个 a g， f h， 所以 我就会得到角 a g f 应该是等于角 f h a 的，是吧？这两个角属于对角相等啊。对角相等，那他俩都相等的话，对吗？那所以二 f 加它和二 f 加它等，先等角，所以我们用 s e s 就 可以得证了 啊。那当然他们也可以去倒角啊，倒角的话可能对第二个更好用。我们可以设这个角为 beta， 因为他们都有关系，所以这个角呢，是一百八十度减 beta， 这边呢，也是一百八十度减 beta。 都可以的啊，自己看自己看好第三个的话，问你角 dfe 用 r 法表出来啊，其实这个第三个，这个倒角是我们出中间的非常重要的一个能力啊，就是 边角转化啊，或者是去找角度之间的联系，怎么去找他们之间的联系？我们在小题中会考，在大题中这一次也考到了，那 dfe 和角 f 角 r 的 干关系怎么去看待呢？ ok， 那 在这里头呢，我们就可以有个非常好的方式，就是分析角的组成啊，找到它与到底与谁有关系，这个角 dfe 到底跟谁有关系呢？ 啊，在这里头呢，有可能有很多的分分析方式，何老师来给大家分享一种，我会发现他是等于 g f h 这个大角减去隔壁这两个兄弟 啊，减去隔壁这两个兄弟，就是找他与谁有关系。而隔壁这两个兄弟呢，我们知道他是由全等的，他是有三角形的，全等的，所以这边啊，老师简单进行标记，比如说这个标角一，这个标角二， 你会发现角二它具有显然的等角，它等于角三啊，是吧？所以角一加角二是等于角一加角三的，那就可以用内角和去把它表示出来。所以第三问老师想分享的方法就是纯倒角啊，纯倒角角 d f e d f e， 它应该等于贝塔，因为因为我们这个平行四边形，刚刚老师说了啊，平行四边形对角相等，你这是贝塔，这边也是贝塔，是吧？所以它就应该等于贝塔减角一，再减角二 啊，所以就等于贝塔减去角一加角二，而角一加角二是等于角一加角三呢，就应该等于一百八十度减去这个角一加角三，那就是减去咱们的顶角，那应该是一百八十度减去，嗯，一百八十度减二 f 在 这个， 嗯，再减去一百八十度减贝塔，稍微有点乱了，这个慢一点， 慢一点，他等于贝塔减去角一加角二，咱们先把角一加角二搞清楚吧，角一加角二的话应该等于呃，角一加角三 啊，等于一百八十度减二阿法，再减去一百八十度减贝塔， ok 啊，别被绕晕了啊。稍微老师有点被绕晕了，所以他应该等于一百八十度减二阿法，再减一百八十度再加贝塔，所以你会发现啊，这里边别掉了，所以就等于贝塔减二阿法 啊，那角一加角二清楚了，所以角 d、 f、 e 也清楚了，那就等于背他减去背他减二阿法，所以就等于二阿法。这个就搞定了 啊，就搞定了。当然朋友们这个题还有一些其他的导角方式啊，绝对不止何老师这一种。那我们的核心思想大家要知道，就是导角就是找关系，找到 d f、 e 到底具和谁有直接的联系。然后呢，尝试用含 r 法 或者是贝塔的式子把它表示出来，这是我们的研究的核心。那这个题同学们大家自己再总结一下，对于终点的用法足不足够全面，是吧？咱们复系统的复习一下，我们的这个直角加钟点， 还有平行加钟点，还有斜边这个这个什么等腰加钟点， 还有咱们的多个中点带来的中位线，以及咱们可能会比较古老的背长中线等等，这些中点的用法大家有个系统的学习，对于这个特征要把它再敏感一点。