甘肃二诊数学三角函数

这种风格的题型改头换面，变化多端，反复出现， 它的难度适中，又常考常新。其特点是，如果把两个已知条件给它打开，那将把整式化成分式，既有整角又有半角， 将事与愿违，一团糟糕。所以我们的策略是，正南则反逆向拆解成垢。我们看所求中的这个角，就是这个形式， 如果把它拆解一下，就变成这个既有整角又有半角，就向已知中的角靠近了一步，再进行重组， 就变成了已知角的和的形式。于是我们所求的这个式子，哈林特就等于 tan 这个式子，然后就等于 tan 这个式子。 下面我们用两角和的正切公式把它打开，就得到了这个情况，然后再把已知条件中的数值带进去，就得到了 这个形式，也就得到了结果。所以整个这个重点的思路就是拆开重构，然后到前后统一，灵活机动，越做越顺，这样会解一个题，能解一类题。

今天给大家分享一个咱们正在进行的省二诊的甘肃省二诊的数学的第五题啊，一个比较简单的三角和等变换的题目。 咱们先看一下题，他给 f x， 然后里面两个都是三角和等变换的公式，他们最少值是多少，所以我需要简单给他整理一下，对吧？ f x 等于 先把式子给它一抄，然后你需要判断一下，看这两块分别都用什么公式， 对吧？很显然一个地方见到二分之派是诱导公式，二倍的奇变偶不变，先给他变一下符号看象限，二分之派加一个锐角在第二象限，第二象限与弦值是负 负的啊。然后第二部分二倍的 cos 方减一，二倍的 cos 方减一，很明显是个二倍角，它就等于 cos 二乘二分之 x， 也就是 cos x。 你 这个如果没有想起来二倍 cos 方减一的话，降到平方也可以，降次降低公式给它降下去也可以。然后现在我就看到，哎，一个正弦加一个余弦，或者减一个余弦，很明显是辅助角，对不对？所以我先把符号给它提出来，二倍的 cos 减 cos， 然后就等于括号里面用辅助角根号下二的平方加上负一的平方乘 x， 然后加上一个 f i， 这时候前面我发现是负根号五乘 x 加 f i， 这时候 f i 并不知道是多少，但是我知道它这个 f i 是 b 比 a 负二分之一，但是对这个题来说没有影响啊，他不是让求这个函数的最大值或者最小值吗？ 因为正弦函数他有取值范围，就是我画曲线的部分是负一到一，对吧，所以这整个函数的取值范围是负根号五到根号五啊，直接就做出来了，里面用了两个公式，嗯，诱导和。 呃，这个是什么啊？三个公式，诱导背角和辅助角。所以这种常见的恒等三角恒等变换啊，咱们越到后面阶段越需要多多复习，它不不仅在小题里面能考到，在大题里面也比较容易出现啊，这是这一个题目。

这个视频我来讲讲三角函数的定义。平面内一个角，而法它的中边过点 p， x， y 过点 p 作 pm， 垂直 x 轴于点 m， 这样 o m 就 等于 x， pm 就 等于 y， o p 就 等于根号 x 方加 y 方。 我们定义塞尔法等于 y 比上根号 x 方加 y 方。口塞尔法等于 x 比根号 x 方加 y 方。贪婪恰尔法等于 y 比 x。 这三个就分别叫做贾尔法的正弦函数、余弦函数和正切函数。 除了他们，你还得认识三个，余戈口 c 肯扎尔法，它其实就是正弦倒过来等于根号 x 方加外方比外正戈 c 肯扎尔法，它其实是余弦倒过来等于根号 x 方加外方比 x。 还有余切口参俊恰尔法其实是正切倒过来的，等于 x 比 y。 高中阶段怎样重点研究的是这三个。只要知道角中边上的点的坐标，这些三角函数值就可以求了。 比如已知角尔法的中边过点 p 负一二，你能分别求出塞尔法、口塞尔法和贪俊恰尔法的值吗？ 根据坐标，负一二， x 等于负一， y 等于二，那根号 x 方加 y 方就等于根号负一的平方加二的平方等于根号五。 接着就可以算下面这些了。塞耳法等于 y 比根号 x 方加 y 方，也就是二比根号五等于五分之二根号五。 口塞尔法等于 x 比根号 x 方加外方，也就是负一比根号五等于负五分之根号五。最后是贪俊恰尔法等于外比 x， 也就是二比负一得负二全部搞定。 像这样，给你中边上的点，咱就能把角的三角函数值都求出来。如果再进一步问你，三塞尔法的平方加二贪俊恰尔法等于几，你会算吗？ 这两个值刚才都算过，所以原式等于三乘五分之二，根号五的平方加二乘负二，结果得负五分之八。 所以遇到式子时，就先分别算出塞尔法和贪婪查尔法的取值，然后再算整个式子。 刚才的题目里，点 p 的 坐标是直接告诉你的，如果题目改成角尔法的中边在直线， y 等于负二 x 上，那你会求这些三角函数值吗？ 看这条直线，阿尔法的中边可能在第二项线和第四项线，所以得分别讨论。但阿尔法中边在第二项线时，咱只要在周边上取个点，用它的坐标来算就行， 比如这个点屁就可以。那塞尔法口塞尔法和贪巨蝉尔法刚才都算过，不用再算了。 再看阿尔法中边在第四项线时，同样在中边上取个点，比如点 q 一 负二， x 等于一， y 等于负二，那根号 x 方加 y 方等于根号一的平方加负二的平方得根号五，所以塞尔法等于负二比根号五得负五分之二，根号五 口塞尔法等于一比根号五得五分之，根号五 tan 乘尔法等于负二比一得负二，这样就求好了。 做这类题时要注意，如果只知道角的中边，就在中边上取个点来算就行，另外一条直线会确定两个中边，所以得分类。讨论 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，已知角尔法的中边过点屁 x y 塞尔法等于 y 比根号 x 邦加 y 方 tan g x 等于 y 比 x。 如果只知道中边，那就在中边上取个点来算。怎么样？你学会了吗？如果学会了就速速刷题去吧。

嗨嗨嗨，今天来给大家讲一下三角函数概念大课堂的 第四节，一节啊，那么这个第四节分了两小节，那么是为什么这一节其实算一个彩蛋的一个讲词啊，那么其实我给大家来画一个三角函数的这样一个图像啊，带大家去感受一下这个三角函数图像 啊。那么我们接开讲。首先是正弦函数，那么如果 y 等于塞沿 x 这样的函数的一个图像，我们是在第三点学公式一，右角公式一就是我们任意加二倍儿，我们可以，我们是可以再回到这个塞沿值上面的， 所以说我们可以初步确定它是一个周期为二派的一个周期性函数，那么这样我们只需要画出的最小正周期 t 就 可以确定出这个 y 在 x 的 这样一个函数的图像。好，那我们现在来画一下， 我们建好细的就一个 x， y 的 一个细，为什么要这么长呢？就因为它这个周期，所以说，而且它的最高点它也是一，所以说我们 y 轴就可以短一点，然后 x 轴标注在这小柱形，我们不是整出来，而是以 pi 的 个它 pi 的 这样一个倍数， 这里的标度呢，我选择了二分之 pi 为最小的 这样一个表格，那么这是为什么呢？因为，因为我们要画这样正弦函数类似的中间函数，我们是用用一个方法就五点画出法，我们将最具有特点的五个点分别是零、二分之派派、二分之三派和二派，这五个点我们做出来之后就会大概出的画出这样一个函数的一个图像。 好，现在我们开始描点五点作图，上面是零和二分之派派，二分之三派和二派，那么首先看零， 这个可是 y 在 x 图像，你要注意一下，首先 x 取零的时候， y 取多少，我们知道在 x 等于零的时候也在这里， y 也是零，所以说第一个点就在零零处，然后是二分之派，这个点，二分之派也就是在这里也就最高，它的散值是它的动作表，也就一。第三个派派正好旋转到这边，然后它的散延值是零。 第四个二分之三派，二分之三派正好旋转到这里，这里的坐标是负一。 最后一个二派，我们知道任意一个角加二 k 派都回到去，那么这个零度的一个角加二 k 也是同样也是零。 好，我们做出这五个点了，可以开始连线。注意了，这个不是一个直线，要用平滑的曲线连。这里为了让大家看的更好，我们用一下红 b。 好，那我们一个周期内的就画出来，分别是在这一边递增，然后递减，再递减，递增这样一个趋势。那么同理啊，因为它是周期性的一个函数，那我们两边其实都是一样的。我们来继续补充 我们正弦函数的图像，就画，大家可以观察一下这个图像，果然就是它，就是这样一个零到 ipad 的 一个正周期，最小正周期啊， 非常的有规律。好，那我们来看一下余弦还有没有注意，它跟正弦是一样，但它是横坐标，注意一下，所以说我们在七十点零，我们还是取这五个点啊，也，我们在七十点零到一的时候，它是横坐标，所以说它这个第一个取值就是一， 第一个点零的时候，它是在一，那我们第一个点就在这里二分之派的时候，它是在最高处，但是它的横坐标是，所以说第二个就在这里，那么第三点，第三点在负一，它的横坐标是负一，所以说在这里第四点 坐标是负一，然后横坐标就是零，那我们已经描出这四个点，那我们就可以开始先取连线了，注意也是平滑的曲线，因为它也是一个曲线，和正线图像非常像， 那么我们一个周期内的图像已经画完了，所以你到二拍，大家可以看一下它正弦函数图像非常像，这边正弦就像平移了一个，也是对的啊，它就是平移了一个二分之拍，但是我们只有学到诱导公式的时候，也会知道，它就是正弦，和余弦的关系就比较紧密的， 然后因为它是有周期性，也是旋转一周，那么我们可以再把其他地方也补充上 好，那么余弦函数 y 扣在 s 以内补充完成，因为这里面它其实是一样的。我们上一节课是讲特殊角的三角函数值的，那我们 如果想要更精确的函数图样，我们可以再去描更多点，比如四分之拍、三分之拍、六分之拍这些更精确的点，那么在这里我就不给大家太过于精确了，最经典的方法也就是五点做图法，大家一定要学会。好，那我们来再说一下最后一个，也就是 y 等于 tangent x， 那 么这个图像它就是比较奇怪的，就因为 y 等于 tangent x 是 sin x， 除以 cos x， 那 么在我们 sin x 角为最大的时候， cos x 是 最小的时候，它就是无限大， 有这个函数图像比这两个都有难度好，那么现在就来画一下 y 等于 ten percent 的 图像，那么画这个图像呢？我们就可以借助 sin x 比 cosine x 等于 ten percent 这个式子来画，那么我们有了这两个，在零零点的时候，我们 x 除以括号的 x， 就 说这个 can 减 x 的 这个点同样也是零，到这里两边一样变成零。但注意了啊，我们在 can 减 x 这个值为零的时候，它是没有意义的，所以说我们先画一个渐近线， 我们越往上，它就越趋向于正无穷，但是无限接近于这条线，这条线也就是它的近点，我们这个点 p 的 这个射线越往上移动，那我们的图像肯定是 这样往上，但是它会有，它是趋向于正无穷，但你永远也不会与这个 x 等于二分之 pi 这个直线有交点，这点是注意了啊。然后在这一边， 也就是在这边负的，同样也是有这边，我们看 g x 的 图像是 越趋向于负无穷，和正无穷这面是一样，那我们在这边也是，我们越往这边负一，越靠着它 x 越来越小，最终趋向于负无穷， 但是它也是一个周期性的函数，而且你看周期是一个零的负二分之派到二分之派的这样一个周期，所以说我们其他的都参考我们第一个画的就可以。 注意，因为诱导公式啊，我们在这这些点上面都是没有意义的，所以我们提前把进阶函数 好，我们来画一点就复制就可以了。好，那我们 y 等于 tangent x 的 图像就画完了，就直接像 tangent x 的 这样一个图像，我们这边 一开始它是零，然后越来越趋向于正无穷，但注意，永远要注意这点，在 cos x 等于零的时候，这个式子是没有意义的，所以说平行 x 虽然不能取二分之 pi， 二分之三这些点，所以说这边是以渐近线的形式给大家展示出来的， 然后这两边都是无穷趋向正无穷和负无穷号。那么本期的三角函数的图像的讲解和画法就讲解，呃，就讲解到这里，那么希望大家有收获。

同学们好，我们来看一下这套三角函数的应用问题。好，首先第一个它给我们锐角 alpha 的 中边与单位圆的焦点的纵坐标是这一个，我们根据三角函数定义，我们就可以得到 sine alpha 是 等于五分之根号的。同样的，后面这个这句话，我们可以得到 cosine beta 是 等于十分之三倍根号十。 所以第一题能让我们去求塞阿法和塞口塞阿法和塞贝塔的值，那以及对吧？阿法和贝塔都是一个锐角，所以我们可以得到口塞阿法等于根号下的一减 塞方阿法，然后我们直接计算出来是等于五分之二倍根号，同样道理，塞贝塔等于根号下 e 减扩散方贝塔等于十分之根号十啊，这是第一个问， 一个是五分之二倍根号，一个是十分之根号十，好，第二个问他让我们去求阿法加贝塔的一个角度的值。 这里我们首先肯定要要么利用塞阿瓦加贝塔，要么利用 cosine 阿瓦加贝塔或者是 tanning 阿瓦加贝塔，这些都可以用，让我们来看一下题目的已知条件，对吧？我们结合题题目以及第一个问，我们得到的是塞阿尔法， cosine 法塞贝塔和 cosine 贝塔，如果我们用第三个的话也可以用， 但是相比比较起来是不是还要多求一步 tina 阿法和 tina 贝塔的值，对吧？所以我们选择塞和苦塞，然后具体选择哪一个，我们还要看这个角度的范围， 阿法是属于零到二分之派的，贝塔也属于零到派，那根据这两个角的范围，我们是不是可以得到阿法加贝塔的范围是属于零到派的，如果我们选择正弦函数的话，我们应该知道，对吧？ 同样的一个正弦值，在锐角和钝角的情况下，它是有两个的，对吧？比如说三 x 是 等于二分之一的，那我们 x 既可以等于六分之派，也可以等于六分之五派，这样的答案就不为一。 但是在第一和第二象限里面，他的余弦是有正有负的，所以我们就可以根据余弦值的正负去得到距离的角度的度数。 所以我们要做的就是首先先判断出来，他让我们去求这个角到大概在哪些象限，对吧？然后再根据这个象限里边三个三角函数的正负情况去讨论。好，接下来我们决定了用 cosine 的 值之后，那就是 cosine alpha， cosine 减去 cosine， 然后我们把各自的值带进去算就可以了。等于 五分之二倍根号五，乘以十分之三倍根号十。减去五分之根号五， 乘以十分之根号十，那这个我们去计算一下就可以了，它是等于二分之根号二。 然后因为苦赛阿法加贝塔的值是一个正数，阿法加贝塔又是第一项线和第二项其中的一个范围，那我们知道苦赛只有在第一项线是正的，在第二项线它都是负的了， 所以我们就可以得到阿法加贝塔是等于四分之派。好，这是这种问题，我们要如何去解决？

跟我同意，大家好，今天我们开始分析一下该是什么第二次模拟考试数学世界啊，这个从整体那上来说，这个它更贴近新高考卷，注重基础与能力，什么结合啊？现我们从每个题进行研 分析一下啊！第一个考的是向量，这是一个什么容易题啊？第一题考的像啊！第二题是考的什么椭圆的笛心月，这是一个什么叫容易题？ 这个第三题他考的是负数的用算与什么实数结，也是一个什么容易题，这个第四个考的什么等差数的啊，这是一个什么容易题？ 第五题他考的是三角横等便携最值问题啊！这个牛借形是吧？化为同名的啊！这是一个中等难度的问题啊！ 第六题他考的是一个什么培力聚合的问题，这也是一个什么中等难度的问题啊，对吧？ 第七题考的是四面体中最短距离的问题啊，这是一个什么中等难度的题？而第八题考的是对数函数、对数函数和基本不等式，这个是难题啊，这是一个难题。 这个多选择题的第一题，他考的是等比数列与对数求和和等比数列题啊，这是一个什么中等难度的问题啊？ 第十题考的是三角函数的周期性激永系等问题啊，这是一个什么难题，对吧？第十一题考的是解析结合，就是曲线与直线距离等问题啊，这属于是一个什么来题啊，这是一个来题。而第十二题 考的是全给女公式啊，全给女公式，这个是一个什么中等难度的问题。而第十三题考的是偶函数、倒数对数不等数，这个题是构造函数的问题啊，构造函数的问题啊， 这是一个什么中等难度问题啊！第十四题考的是圆锥的结面重形轨迹的面界问题啊，这是一个什么蓝起？ 而第十五题考的是用正余弦定裂解三角形的问题啊，这是一个中等来动问题啊！ 第十六题考的是信信回归方差更与对称形式吧正零的问题啊！信信回归方差更与对称性正量而更与对称性正离的问题，这个是我们第一次遇到啊！第二，这是一个中等来动的问题啊！ 而第十七题考的是立体结合丁问还是正尼直线和平面平行的 第二问，这个奇异的已知条件发生了什么变化？他已知的是这四点，共灭。我们要求的是灭与灭所成的什么与险平局啊，这是一个中等偏来问题。偏来问题啊，中等偏来问题啊！ 而第十七题靠的是抛线、切线和什么定值问题啊！抛线切线和什么定值问题啊，这是一个什么来值？这个，因为这个求定值的我们以前见到的，一般时你要证明它这条直线横经过某一个定点的问题，或者说用于的什么切线放松的问题啊。 第十九题靠的是倒数单斗线不等式证明的问题啊，这是一个什么来记？这个， 你按第十八点抛物线中参数曼格达是否为定制啊？考察了解析结合与对数用算能力。第十五九题函数单挑线对数不等射，数位不等射综合性强，它是一个什么压轴物体？对啊，这个相对于我们这个 试一者来说，这个视觉的难度明显怎么大增大啊？视觉的明显来的，那你比方说第七题单选题的是吧？第七题和第八题这都是一个难，难度很大的问题啊。这个就说 多选题的第十一题和第十一题啊，这个是解答题，第十九题啊，总体来说，这个基础题啊，中档题啊，蓝题的丰富是吧？清晰的，对吧？这个强调摒起推理能力啊，数形结合对数变形啊，空间想象能力啊，空间想象能力， 竟敢说第十八题，第十五六题据不一定的是吧？区分度是以选拔性是吗？搞事啊，这个第六题它用了实际背景文创产品，第十六题是新能源汽车，体现了数学文化的什么应用。哎，这个你要知道啊，这个第十 十九天作为倒数与不等式的综合问题啊，一定要复习的说，你要一定要复习一些十八典型例题啊，对吧？哎，这个第十六天更与对称型证明的问题啊，你一定要知道这个总结出证明外号，你以后再总结出一定十八方法，因为这个是第一 第一次遇见的第十四题和第十一题，多选停得第十一题和填空题的第十七题，这是一个什么培优题啊，是比较来的，总体上来说啊，这个就说比试营业额难度增大啊，我们就分享到这，谢谢大家。

还在面对三角函数的题目发愁吗？其实呀，咱们初中数学的三角函数呢，一共就这六种考法，那么今天量呢，将从这六大核心板块出发，每个板块我们搭配一道经典的例题，带你一次性理清所有重点题型。那么看完这个视频呢，你会发现全都是纸老虎， 嘿嘿嘿，那么第一个板块跟第二个板块呢，整体来说难度不大啊，我们通过课本甚至都可以搞定。那么第三个，求三角函数，他有可能在选择填空题，有可能在大题里面考察，那么平均水平呢，还是比较适中的啊。 那么从第四个开始，和我们的元呐相似呀，对吧，融合在一起啊，就是我们一些常规的应用啊，整体难度也不大。但是到第五个呢，三角函数 他有可能跟我们的旋转翻折动点相似，我们的圆啊，各种融合在一起，那么整体难度就会变得比较大了，属于几何综合了。那最后一个呢，就是我们中考啊，特别喜欢考的三角函数的应用题了，那整体难度也比较适中，但很多同学呢，可能比较怕他，仅此而已。 首先第一个就是三角函数的定义，比方说像这种他表示的是哪两边之比，你得知道， 比方说给出一个直角三角形啊，角 c 等于九十度，好， tan 币呢，等于五分之十二，好，那我画一个就差不多大概长这个样子了，草图，嗯，好，角 c 九十度就是 c， 好， tan 币，它的对边比邻边啊，对边更大，邻边更小，对吧？所以我们 b 在 这里啊，我的对边比邻边五分之十二嘛。 好，那我们知道 a 点就在这，通过勾股定律，我们可以求出来，这个边呢是十三的，让我们求什么呢？求三，以 a 就是 a 的 正弦值，也就是它的对边比上斜边五比上十三，所以选什么呢？选我们的 b， 选项搞定。 那么第二个呢，就是我们特殊角的三角函数，比方给出三十度呀，四十五度呀，六十度呀，他们的正弦与弦正切分别是什么呢？你一定要非常快速的把它反映出来，那比方说给出一个三角形，告诉你角 a 的 正弦和角 b 的 余弦，巴拉巴拉，满足这么一个等式，对吧？ 请问这个三角形是一个什么形？创，说白了，我只要把角 a 角 b 求出来就可以了。好，那其实你会发现，那这里面是一个平方，这里面是一个绝对值，相加等于零，那不用多说了 啊，你这个框里面为零，对吧？也就是我们知道根号三倍的贪婪的 a， 哎，减三 等于零，所以我们知道，也就是你这个贪婪等于多少贪婪，它是等于根号三的，是不是？你想想 一个角的正切值等于根号三，你想想这个角等于多少度呢？啊？很明显，我们知道角 a 呢等于六十度，嗯， 好，另外呢，我们知道那绝对值里面也等于零，也就是二倍的 cosine b 呢，减一等于零，一样的道理，那这个我们求出来 cosine b 呢，也就是二分之一，一个角的余弦值等于二分之一。如果你说来了这个东西，咋判断呢？其实我告诉你啊， 特殊角他只会出现在两种三角形，一个，还有三十度，六十度直角三角形，一个等腰直角三角形嘛，你想想一个什么样的角，对吧？余弦值是，呃，一比二的二分之一，就是我的邻边比斜边是一比二，那你这个角 b 不 就是这个角吗？对吧？ 所以我们知道这个角肯定是三十度了，你这个角不就六十度吗？对不对？因此我们可以求出来。你说角 a 咋来的呀？一样的道理嘛，你画一个， 对吧？也就是啊，我们这个角 a 呢，它的对边比邻边是根号三的，那就根号三比一，好吧，你求出来这个边是二吗？你角 a 是 不是在这里对边比邻边，所以你有犯一二根号三，很明显这个角也是六十度吗？不就求出来了吗？就如果你能 记住，当然更好，对吧？哎，非常这个，呃，清晰的把所有的这个角度的三角函数值把它记下来。如果你说亮亮我老是忘，或者我不想记，你就索性用三十度直角三角形，或者用四十五度直角三角形的三边比例关系，呃，去怎么样呢？辅助性的记忆它就可以了。 你这个角六十度，这个角六十度，那剩下一个角呢？那当然也是六十度，对吧？所以我们知道角 c 六十度，那因此它是个等边三角形，所以我们选 b 搞定。 第三个，求三角函数。其实这个考点亮亮个人觉得它其实有一点说法的，因为首先求三角函数，它呈现的形式不一样，比方说它可以在三角形中，可以在四边形中，可以在我们这种网格中，对吧？就它求解的这种，呃，题型不一样。另外呢， 求三角函数它的方法也不一样，那不管你是在三角形四边形圆，对吧？哎，甚至在我们这种平行线里面，或者说在我们这种网格里面求三角函数，总共只有三种方法，那我索性在这里跟大家说一下啊。 第一个方法就是什么呢？首先你要看这个角是不是一个特殊角，比方说这个角如果它是个三十度，四十五度、六十度，你想想 你还需要把它放在一个呃，直角三角形中吗？就完全不需要了，对吧？哎，我们可以直接求解我们刚才才提到的特殊角的三角函数吗？好，第二个呢，就是如果你发现他根本就不是特殊角，那不是三十，不是四十五，不是六十度，干嘛？那么此时你就需要做垂线，对吧？干嘛？ 你肯定要把它放在一个，哎，哎，直角三角形中，对吧？用边长比例关系来求我们的，呃，这种三角函数值，那么除此之外呢，我告诉你有个极其重要的方法叫做 怎么样呢？等角转换，就是你让我求这个角的三角函数，对吧？我不，你这个角呢？犄角旮旯的，你这一看就不好处理，这谁求呀？对吧？我把你等角转换一下，我把它转换成我相等的角，我就求那个角的三角函数就可以了。比方说网格里面 它就可以经常用到等角转换的思维，嗯，比方说那在边长为一个单位的正方形网格里面，哎，说白了连接 a、 b， 连接 c、 d， 会产生一个夹角，对吧？好，让我们求角 a、 o d， 哪个角？ a、 o、 d， 就 求求这个角的三角函数，很明显，那它也不在一个三角形中 啊，那它是一个特殊角吗？三十度，四十五度，六十度，其实扭转它也不是的，所以我们要求它，你可以做垂线，对吧？啊？特殊角肯定不行了嘛。你，不是的， 所以你要不做垂线，把它放在一个直角三角形中，你要不等角转换？两个方法，其实我告诉你都可以啊，那在这里面能等角转换的，我们优先考虑等角转换，比方说呢？嗯， 那 c d， 哎，我把它给挪到这里来，可不可以比方这样在这放个屁啊？哎，放个红色的屁，臭死那些听半天不关注我的各位同学们。嗯， 那你想想，我们这是正方形的对角线，这也是正方形对角线，你告诉我这两条线平不平行？一定平行吧？也就是这一条红边， 他一定平行于这条红边，而这两条红边呢？两条边平行，他被我们这第三条边所截了，对吧？因此我们知道同位角相等，是不是也就是你这个角他一定等于我们这个角，我把它标出来，也就是等于这个角， 所以我只要求这个角他的正切值是不就可以了？好，那问题来了，他也说亮亮，那有啥区别？你放在这个三角形跟放这个三角形有区别吗？只不过这个小一点，这个胖一点，大一点，好处理，对吧？嗯，没有什么区别。我告诉你啊， 我们刚才说在网格中求三角函数，除了做垂线，除了等角转换之外，还有一个就是网格中我们经常会利用正方形的对角线， 你用对角线来进行等角转换，你还可以用对角线来构造我们的直角三角形，比方说你是一个等腰直角三角形，咱们知道这个角一定四十五度，对吧？好，我再连一下，你会发现我把 a p 连接起来，那不用说了，百分百会经过地点的啊，其实经不经过都不重要， 你会发现我也是一个大的正方形嘛，二乘以二的正方形对不对？哎，所以你会发现 a p 是 整个二乘以二正方形的对角线，正方形的对角线与边的夹角。那我们知道这个角百分百也是四十五度，那你会发现 两个四数都放一起，这是一个大大的直角哦，你让我求它，我不，我去求它的正值，是吗？而它我们就把它放在 a p b 这样的一个大的直角三角形中了。你的边上不是一个单位吗？你是一，你是一，所以这个边是根号，对吧？哎，你这个边是二， 哎，你这个边是二，所以你会发现咱们用勾股定底或者等腰直角三边比例关系。嗯，所以整个边呢？二倍根号， 所以我这个角的正切值等于这个边二倍根号比上这个边根号，那其实你们都可以口算了，等于几？ 很明显，也就是等于二，对不对选 d。 其实另外我跟大家说一下啊，我们这面刚好可以等角转换，刚好可以利用网格中的对角线来巧妙的构造直角三角形，但如果有的题目你无法等角转换，你无法令对角线，怎么办呢？ 你只能做垂线，该怎么处理好？我告诉你啊，有机会跟大家说下。网格中我不管你怎么样，有一个万能方法叫做等面积法， 有机会跟大家聊，好不好？不管什么样的犄角旮旯的，对吧？一个角度，不管考的有多么玄乎，有多么为难，我们用这个方法百分百可以求出所有网格中三角函数值。 悄悄告诉你，其实这三种方法就是在我们内部系统班所讲到了，所以其实你会发现亮亮在我们内部系统班好像有讲不完的方法，对吧？像这种东西我可以给你拓展很多很多的一些怎么样的小技巧 好，来到我们三角函数几何应用啊，你会发现它是一个非常具有代表性的，对吧？在我们三角形四边形中和我们这种三角函数啊结合求边呐，求角度，求面积啊等等的啊啊，整体难度比较适中，好，给出一个四边形 a b c d， a b c d 好，干嘛呢？ ab 垂直 b， d， 就是 咱们这个角是一个大大的直角。好，然后呢？ bc 平行 a， d 啊，就是 bc 平行 a， d。 我 告诉你啊，就在我们整个几何图形里面，平行线，它往往就是告诉你怎么样呢？等角 啊，百分之九十九点九九九九九九，就这一个问题是吧？哎，就是两直线平行，什么同位角、内缩角，同胞内角会满足一定数量关系啊。 好，现在连接 a、 c、 b， d 啊，连接 a、 c， 连接 b、 d， 会产生一个焦点异，整个图形来说，嗯，不是很复杂。我告诉你，角 b， a、 c 等于角 a d， b， a c 是 哪个角？ b， a， c 啊，就是你这个角，对吧？我换一个颜色啊，比方说这个角呢，我用一个蓝角， b， a、 c 等于谁呢？等于 a d b a d b 就是 等于这个蓝角。 好，先不要走，我们刚才是不是说了，平行往往意味着等角我们还没有用，对吧？你想想，两直线平行 被我们第三条边所截，所以你会发现我们这个角跟这个角是不内错角的关系，你是蓝角，所以咱们知道这个角也是个蓝角，哎，我们把能求出来的角把它给标出来，嗯，两个蓝角相等，好吧，其实我们这个角 还等于这个角，但这两个角呢，它好像跟蓝角也没有关系，对吧？好，那我们就先过了。好，现在我告诉你。 tan， 一 a d b 等于二分之一， a d b 是 哪个角？ a d b， 哎，那首先我就令这个角是 ar 法，所以你这个条件就相对告诉我， tan， 一 ar 法等于二分之一啊，大家一定注意，我们刚才讲到了等角转换，对吧？你这个角的正切值二分之一，那我们这个角，对吧？我所在的这个直角三角形，这个边比这个边也是二分之一， 包括如果你待会把这个 a r 法锐角，你要是把它放在一个直角三角形中，我的正题是也等于二分之一，好，继续往后， a e 呢，等于二分之三倍的根号五，就是哪条线段，哎，告诉我们，这个斜边， 就咱们这个边呢，是二分之三倍的根号五。好，其实在这里面我跟大家说一个口算的小技巧，像这种题目我一般都是直接口算的，我待会告诉你怎么做到的啊？ 比方说第一个题目求 b d 的 长度，求哪个边？求这个边，对吧？就在正常情况下，很多同学说，亮亮，你看看这个 a r 反正截值二分之一，所以我这个 a r 反正截值的也等于二分之一，对吧？啊，所以这个边比这个边，哎，是不是一比二呀？那我令你是 x， 可不可以 这个边 x， 那 你这个边是二 x， 可不可以？可以吧，所以你犯在整个直角三角形中你的平方，嗯， 加上你的平方，嗯，他一定等于什么呢？一定等于他的平方对吧？你可不可以把 x 求出来我告诉你一定可以，但是 我个人觉得这个方法特别的慢慢很标准啊，你考试得这么写，但是太慢了，有没有稍微简单一点，快一点的方法呢？比方说啊，尤其是在我们选择填空题的时候该怎么处理大家一定要注意啊。 一比二的直角三角形，它也是一个特殊的直角三角形，就是在这里面讲到你会发现它不只是这个题目啊，它在很多题目里面都会用到。比方说呢你这个边是 x 这个边是二 x 好 不好， 大家不要觉得这是三十度啊，你要是这么讲的话那量就崩溃了啊。你这个边是二 x 对 吧？哎，这个我们是一比二关系，你才是三十度啊，我们直角边一比二他不是任何的特殊角好不好？好，那问题来了那这个边等于多少呢？ 这边你们估不定的求他是根号五倍的 x 也就是如果一个直角三角形，两直角边是一比二的斜边一定是根号五，说白了就是我的斜边一定是较短直角边的根号五倍这个东西有什么用呢？我觉得特别重要啊， 他在我们很多的相似呀。呃，三角函数，直角三角形，他经常会出现，这个边是四这个边是八，我是不是你的二倍，所以斜边一定是他的根号五倍，所以四倍的根号五。 明白了没有？好，那反过来如果有听我说同学们呐嘿嘿嘿说起来怪不好意思的啊，这个斜边等于四倍根号五，现在我告诉你，这两条直角边呢，是一比二的关系，那你告诉我，请问这个边等于几？ 一比二嘛？所以从这个边到这个边，我们是乘以根号五，对吧？那反过来呢？从这边到这个边呢，你得除以根号五，是不是四，是不是很快？我们是一比二的关系吗？我不就是八吗？对吧？所以我们这一定是一比二，比根号五， 对吧？也就我一定是你的根号五倍，你直接用它除以根号五，那 x 是 不是出来了？所以你看整个 b 长度等于多少呢？就是你除以根号五是二分之三，所以我们可以求，也就是这条边的长度呢，是二分之三，那这条边的长度呢？ 你会发现，我们可以非常快速求出来，也就是三，对吧？那剩下的，那这个角所在的直角三角形挠一边， 一比二，所以你会发现这个边呢，它是不是等于六呀？ b、 d 的 长度是你的二倍吗？搞定了，所以其实你会发现，我们用这个结论来处理我们的第二问，他也会比较快。现在我告诉你什么呢？ b、 c 等于根号五，也就是哪个边这个边是根号五的，对吧？让我们求谁？求 c d 的 长， c 里求这个边，这太简单了，好过 c 点直接往上。因为为什么呢？ ar 是 个锐角，我知道它的三角函数，你说你如何把一个角的三角函数用上呢？当然把它放在直角三角形中了，最常见就是做垂线，对吧？比方说放个红色的屁，那你会发现 ar 它的对边比上长的直角边，这是一比二了，所以呢，你这个边是不是一啊， 以及你整个边的长度是不是二呀？有没有问题？你这个 x 我 给你擦掉了。这个边是不是二，有没有问题？这个边是二，所以你会发现，那我们刚才说呐，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白。第一小问，整个 b d 等于六，所以我们知道这个边呢，是不是四哦， 在这个直角 p c， d， 它是个直角三角形嘛，四一勾股定律，根号时期。所以其实你会发现我们需要打草稿吗？完全不需要，对吧？嗯，非常简单，搞定。 好，那么接下来来到我们的几何综合，我们刚才说经常跟我们的翻折呀，旋转呀，什么三角形，四边形，对吧？动点问题啊，相似呀， 圆呐啊，各种来进行结合啊。我觉得这个题就是一道比较具有代表性的题目。首先给出一个矩形， a， b， c， d 啊，大大的长方形了。好， e 是 ab 的 中点，也就是告诉你这条边等于这个边，对吧？ 哎，你是个中点。嗯，两条线段相等好， f、 h 呢，分别是两边上的点， f 在 这里， h 在 这里，好像没有什么特殊性，但我告诉你， ab 等于 b， f a b 也就这个边呢，等于这个边啊，就是我们两个边相等的。好，我们先放下这个条件，我暂时没有用上， 我把它框起来啊。好， d h 等于三倍的四 h， 你 没完没了了，就这条线呢，等于它的三倍。行，我忍不了了，我令你是 x， 好 吧，我就是令你，这个线段呢，是 x。 喏，所以我们知道这个边一定是三 x， 没问题吧？整条线呢，是个四 x， 所以你是不是也是四 x， 对 吧？哎，包括我是不是也是四 x， 为什么呢？ a b 等于 b f 嘛？你是四 x， 所以 咱们也是四 x， 你 是个终点，两条线段相的，所以你是二 x， 以及你呢，也是二 x。 好， 其实你会发现，在这面我们可以得到一个什么，它肯定是个直角三角形，对吧？也就是我们可以得到一个一比二的直角三角形。你看，跟我们上一题讲的是不一样的， 所以你发现这种直角边是一比二。直角三角形在我们整个几何题目里面出现的概率极其大。好，现在把这个三角形沿着 e f 啊，就是把这个三角形翻一下，翻到这里，使得这个 b 点呢告落在了 g 点位置。好，现在让我们求什么呢？ 你发现这个题目我们都不知道可以求什么，对吧？他突然蹦出来，那么 h g 比上 a g， h g 是 这条线段，比上这条线段，该怎么处理呢？这个题看起来好像让人感觉蒙蒙的，对不对？好，其实很简单， 如果我们令这个小小的角等于 a r f， 那 你会发现我在一个二比四啊的直角三角形中，也就是我们的正切值等于二分之一的。 好，我们知道，那你把这个三角形翻过去，所以我们知道这个角呢，一定也等于 a r 法，对吧？好，接下来 你让我求两边之比嘛，我只要把这条线段以及这条线段用 x 的 式子把它表示出来就可以。那怎么表示呢？我们当然用到这个 a r 法所在直角三角形的边长比的关系。好，那注意啊，在正面，我索性带你们快速的推角，比方说，各位同学来告诉我。亮丽， 我们知道这个角是 ar 法，这个角是 ar 法，请告诉我，那这个角度我们可不可以把它给求出来？有了这个咋求呢？好，那我们索性背一点啊，用最憨的方式。你这也是直角为什么翻过来的嘛？ 你这个角是 ar 法，所以我们知道这个角是不一定是九十度减去 ar 法。同样的，你这个角是 ar 法，所以这个角是不是也是九十度减去 ar 法没问题吧？ 所以，因此你会发现，喏，整个大角是一百八十度，我减去你，我减去你。所以剩下你会发现，我们这个角多少度？一定是二倍的。 ar 法 还没完，我们还可以求出哪些角呢？注意，我们是把这个三角形翻过来的，你这个边是二 x， 所以 我们知道 e g 这个边呢，它的长度一定也是二 x， 对 吧？也就是，喏，这条线呢？二 x 这条线呢，也是二 x， 所以 它是不是一个等腰三角形？喏，请问一下， 一个等腰三角形的顶角是二倍的 alpha， 请告诉亮亮，那我这个等腰三角形的每一个底角等于多少度？也就是我们这个角可以求出来吗？很明显，对吧？ 哎，你用一百八十度，我们减去顶角二倍的 alpha， 我 们再除以二了，所以你会发现， 那这是不是很笨的方法，所以我们求出来等于多少？等于九十度减去 arf， 对 吧？哦，就是你这个角呢，等于九十度减去 arf。 好， 接下来我请问，那各位同学，请告诉亮亮，我们这个角可以表示出来吗？ 一个大的九十度角里面拿走它，所以剩下这个角一定也是 arf， 对 吧？哦，跟我们下面这个蓝角是完全相等的。好，接下来我把其中的干扰条件把它给清掉， 那么整个图形就大概长这个样子。好，那问题来了，我们这个线段 h g 和我们线段 a g 该怎么表示呢？好，我们一个一个来，比方说先拿矮的嗯 做作为突破口，先求 a g。 啊，这个 a g 怎么办？你会发现这是一个等腰三角形，我的两腰是二 x， 顶角呢，是你这个 a r 的 二倍，我可不可以通过边长以及这个角把整个底边求出来？ 好，求，为什么呢？你只要过顶点往下做垂线就可以了，这么做垂线有什么好处呢？首先等腰三角就有三线合一的性质，你把整个二倍的 ar 平分，也就是我们这个角呢，其实就是我们熟悉的 ar 角， 而我们知道 ar 所在的直角三角形，它的较短直角边比上较长直角边，一定是一比二的关系。那现在我们知道斜边是二 x， 如何求较短的直角边呢？大家记不记得 从较短边到斜边，你乘以根号五，所以从斜边到较短直角边，你只要除以根号五就可以了，也就是我们这一条线段等于多少？ 这条线段一定是等于挠，也就二 x 除以根号五的，对吧？也就是等于怎么样？五分之二倍的根号，五 倍的 x。 而我们知道等幺三角三线合一吗？你过顶点往下做垂线，除了平分顶角之外，还平分整个底边，对吧？ 所以这条线段等于这条线段，因此整个 a g 呢，等于它的二倍，也就是我们的 a g 等于多少？等于你的二倍，也就是五分之四倍的根号五 x。 好，那我们剩下的 g、 h 怎么求呢？很简单，这个角大家不要忘了，它是不是在我们 a、 d、 h 这个大的直角三角形中， a、 r、 f 所在直角三角形，它的两边之比，对吧？较短直角边，比上较长直角边一定是一比二的，你是三 x， 所以 我们知道这个边一定是六 x。 好，一样的道理，一比二的直角三角形，斜边呢，一定是较短直角边的根号五倍，也就是我们整条线段 a、 h 的 长度等于多少？你的根号五倍，也就是三倍的根号五 倍的 x。 好， 现在我们已经拿走一段了，这段等于多少呢？等于五分之四倍的根号五。所以剩下我们这个 g h 的 长度等于多少呢？ g h， 我 们只要用整个长度三倍根号五倍的 x 减去你这个，对吧？五分之四倍的根号五 x， 所以 我们求出来等于五分之十一倍的根号五倍的 x 就 可以了。 所以最后你会发现 h g 呢，等于这么多， a g 呢？等于这么多，我用它比上它，也就是用五分之十一倍的根号五倍的 x， 比上那这个五分之四倍的根号五倍的 x。 那 最终你会发现，那这里面很多东西呢，我们都给约掉 x x 干掉了 分母分母根号五根号，所以最终你只要用十一比上四就可以了啊，所以我们的答案呢，等于四分之十一选 b 搞定。当然了，这个题的标准答案呢，也给大家展示一下，你们可以对比一下啊，就是量的方法和这个标准答案的方法，你们更喜欢哪一个 好？第六个，三角函数的应用题，这个可以说是我们全国绝大多数地区那必考的一种类型的题目了。你像我们以前还喜欢考什么仰角、俯角呀，方位角呀，什么坡度的问题，对吧？但现在慢慢转化成什么呢？跟我们的实际生活结合起来了。比方说水龙头， 哎，这个行李箱对吧？还有纽曼各种什么自行车，对吧？呃，包括我们之前讲过的高锰酸钾制氧气那个玩意都出来了，包括纽曼。这个是什么？这是我们教学楼平面一个视域图啊，让我们求这个高度，哎，那么整个题目呢，我们把它简化一下，它大概长这个样子，好， 那么如图一呢，是我们学校平面视域图的一个展板啊，就是在这里，对吧？哎，比方这是我们的教学楼呀，食堂呀，图书馆呀，呃，还有网呸，实验室呀， 好，我们简化一下，比方说呢，它是一个学校平面的视域图展板啊，就大概长这个样子，对吧？我们这个学习小组呢，想要测量此展板最高点到地面的高度，他们绘制了图二的一个侧面的， 呃，展示图，他这个洁面图就把这个板子呢侧过来啊，他大概长这个样子，说白了就是想测这个点到我们这个底下的高度，对吧？你拉个尺子一量，其实就很简单了，但是呢，他不，嗯， 我们学了三角函数，我们得把它用起来，对吧？嗯，为难为难。大家好，现在我测了 a、 b 等一百二，就哪一个？就这条线段是一百二十厘米。 好， b、 d 呢？等于八十。哪个呢？啊？就是这条线段，我把它标出来吧，就是这个红色的边，它等于多少呢？等于八十，我就不带单位了好不好？甚至我们知道这个蓝色的线段等于多少呢？这条蓝色的边它等于多少？它是等于一百二的啊，我刚才没有写好把它标出来。 好，现在问题来了，我要开始告诉你了，嗯，这个角 a、 b、 d 等于九十度，你确定吗？这个题其实你有办法特别偷懒啊，这个角很明显是个大的钝角，对吧？大家，不，我告诉你九十度， 那他就是九十度。好，现在我告诉你， b、 d、 q 等于六十度， b、 d、 q 就是 哪个角呢？就咱们这个角对吧？啊？就这个角，它是六十度角，这个角我们还能接受，是不是？好，六十度角 啊？大概在这里能看到不？好。底座四边形啊，为矩形， e、 f 等于五，就是底下呢，是一个长方形矩形，对吧？然后呢， e、 f 等于，就是这个高度，五啊，就是这条边是五的，我把它写在这里啊。 好，那么让我们计算结果精确到一厘米，参考书里根号等于根号，哎，包括这个根号三，好，第一个，咱们把点 b 到地面 p、 f 的 距离， 就是 b 点到我们整个地面的距离，那其实很简单了，是吧？你这个已经是五了吗？所以接下来我们需要做的是干嘛呢？就是我们只要知道你这个 b 点到我们这个 q、 e 是 不是到你这个 小长棒上面的距离就可以了。好，它大概长这个样子，对不喽？大概长这个样子，对不喽？这是个直角，对吧？而我们知道呢，你还有六十度，这个就不用说了，那肯定就是含有三十度直角三角形，我们知道 三十度数对直角边等于斜边的一半，所以你可以首先把这个边求出来，等于多少？这个边一定是四十，对吧？你的一半吧。嗯，所以这个边等于四十。那剩下这条边呢？ 你不管用勾股定力，还是用特殊直角三角形三边比例关系来求，这个边都是四十倍的根号三，没有问题吧？ 所以我们这个 b 点到整个地面的距离呢，就是你这一段，再加上这一段五，也就是怎么样呢？四十倍的根号三， 再加上五，对吧？好，最终呢？呃，你要精确到一厘米，所以我们必须得把它算出来，根号三是一点七三，好，我们再乘以四十六八，六十九点二，加上五，七十四点二啊，七十四点二，那最终呢？约等于多少？精确到整数，对吧？嗯，七十四厘米， 好，单位，我们就直接把它放在后面了。第一步，搞定好接下来这个题目，你会发现，哎呀，好吧，算他有良心啊，他本来是九十度，对吧？好，现在干嘛呢？其实也没有良心，你会发现 他从九十度增大到一百零五度中哪个角？ a、 b、 d 嘛？你好，他给个九十度角呀，你这个也不是九十度，好吧？好，问这个最高点 a 到地面的高度增加了多少？其实我想问一下，增加的高度是哪一部分？ 我问一下你这个，你这个蓝色的线绕着 b 点转来转去，转来转去的，你这个角度变来变去， b 点到整个底下高度，你这段高度变不变，永远不变，对吧？ 所以你只要求一下，你原来九十度，你的高度多少？你的一百零五度高度多少吗？好，我们首先求什么呢？比方说，如果你是个直角九十度好不好？那么你 a 点，我们就要求这个 a、 b 之间的高度差就可以了。好吧，哎，把它给求出来，你想想，嗯，咱们这个角是不是三十度，大家记不记得？嗨，我们就这么说吧。呐， 因为这条线跟这条线平行的，你是六十度，所以我们知道这个角呢，一定也是六十度。我写的比较小啊，在这里大家能看到吗？ 这个角百分百是六十度，对吧？好，如果你 a、 b、 d， 它是一个九十度角，你拿走六十度，所以我们知道第一种情况呢，也就是你这个角它一定是三十度角，对吧？三十度角，而我们知道三十度数对的直角边呢，一定是斜边的一半，所以此时这个高度呢，是六十， 没有问题吧？哎，如果你是一个直角，你别管啊。嗯，这个 a、 b 应该长这个样子，对吧？我们就利用不太标准的求出标准的，我是你一半，此时 a 点到 b 点，这个数值的高度差是六十。 好，那现在我增加了多少呢？我就是看看在这个六十呃，厘米的基础上，我的高度是多少，减去六十就可以了。好，现在我想问一下，如果我增大到一百零五度，你这个角是一百零五度，对吧？你拿走六十度，所以请问此时这个角一百零五减去六十，你这个角会变成四十五度吗？ 好，那你就不再是六十了。是什么？你这个等腰直角三角形了。等腰直角三角形斜边是一百二啊，所以你不管用勾股定律，还是用特殊直角三角形三边比的关系高度呢？六十倍根号， 那你本来是六十，对吧？本来是六十厘米，现在变成了高了六十倍根号，所以我们的高度增加了多少呢？你只要用我们后来的高度六十倍的根号，我减去六十就可以了，对吧？好，在这里面等于多少呢？ 根号是一点四一四吗？就是六十乘以，提个六十出来，根号减一，对不对啊，根号二约等于一点四一四，把一点四一四带进去，所以也就是怎么样呢？等于六十乘以一点四一四，减它呢？就是零点。呃，零零点怎么样呢？ 四一的，对吧？所以再乘以它等于多少？等于二十四点六，所以我们怎么样最终取整？精确到，精确到一厘米，大家不要忘了，所以它约等于二十五厘米，最终作答我们就不再说了啊。搞定 好，相信通过这六大核心板块的梳理呢，你已经对初中三角函数有了系统的掌握，那么今后在考场上，无论题型如何变化，你都能够一眼看透考点，精准作答，一分不丢啦。当然啦，对于我们今天这个配套的资料，亮亮也给大家整理好了，然后来提升自己，跟着亮亮无脑学习。

嗯，高中数学必修三啊，大家在学这本书的时候，有没有发现诱导公式啊？在学了 g 变 o 变否正确，对吧？然后到后面这一章是不是突然间就背了很多公式，我们觉得非常不舒服啊， 对吧？那咱们今天一节课把这个诱导公式以及后面的给它结合起来去学。 先说诱导公式，嗯，老师是不是讲过让我们背一个口诀，即变偶变符号看象限。那对于阿尔法加二分之 k 派，就比如说这种题型啊，我们是会的，那我现在给他换成了四分之派，那是不是就不会了，对吧？呃，在你没学后面那张 是不是就不会了？那高考的时候，比如说这两种题，你不可能说啊，他用一种方式方法去解，然后他用第二种方法去解，对吧？那他俩有没有可能能用同一种方法去解呢？就是你记两种方法一定是比记一种方法，他是要费劲的 来占你脑容量的，所以说今天就把它一起整明白。那你看啊，比如说做这这种的题的时候，那我是他是要探讨的，就是阿尔法和这个二分之派， 阿尔法加二分之派与阿尔法，然后和二分之派分别，他们的关系，对不对？就是加上这个三角函数值的关系。那咱去找一下啊，之前是不是学了这个三角函数值的关系？那咱去找一下啊，之前是不是学了这个三角函数值的关系？那看图。 嗯，首先呢，我先写一个，我先随便点个点 o a， 我 设这个 o a 长度等于一，然后这个假与 x 轴正半轴夹角是阿尔法，那我现在将 o a 逆时针旋转贝特度 啊，旋转到了 o b， 那 o b 长度是不是也是一？好，那现在三阿尔法加贝特，我用三角函数线来表示，那等于什么呢？你看是不是等于 b c 啊？ 那 bc 又等于什么呢？ bc 是 不等于 b e 加 e c 啊？啊？给大家解释下这是怎么来的，首先我过 b 点向下做垂直，然后过 b 点向 o a 这个线做垂直，有个对，然后对点向 bc 做垂直，有一个 e 点。 那你看第一，在这个小三角形中，你看啊，在这个 o b d 三角形中， o b 是 e， 这个角是 b t， 那 b d 怎么表示？是不是三倍？ 好，那咱看啊，在这个小三角形中，我这个角是不还不知道呢？你看这个角，这有垂直，这垂直，这是对顶角，这个小角是不是等于阿尔法？ 那 b e 怎么表示啊？是不是斜边乘以？这是什么？这是不是邻边？是不是 cosine alpha？ 所以 说 cosine alpha 加上 e c， 那 e c 是 不是等于这个的 f 啊？是不是在这个 o 的 f 这个小三角形中，那 o 的是什么？是不是 cosine？ 因为我是 b 点向下做的垂直啊？ o b 的 cosine 的， cosine 的， 那得 f 是 不是 cosine beta 乘以 sine alpha， cosine beta 乘以 sine alpha。 好， 那我是不是 sine alpha 加 beta 整体的与分别的角的关系我是不是找到了？好，那正常来讲，减记为是什么？ sine alpha 加 beta 等于 sine alpha， cosine beta 加 cosine alpha， sine beta。 先说一下，为什么要记这个形式呢？你可以给他简记为三 s c 加 cs， 然后我们记，统一记住顺序。就是先阿尔法后贝特啊，他比较好记，说一遍他就能记住 好，大家能不能理解，那比如说再回来，那学完这个了之后，现在是不是推导出他们的关系了？那再回来，比如说应对咱之前的这个， 这个叫什么诱导公式？ sine 阿尔法加二分之派，我是不是可以给他套到我这个？ 给他套到我这个公式里来，是不是？ sine 阿尔法 cosine 二分之派加 cosine 阿尔法 cosine 二分之派，对吧？那 cosine 二分之派多少？咱是不是学过单元元？那他的作业坐标是不是零到一？ cosine 找他什么横坐标是不是零？那就说在你写的时候，这一项我是不是勾掉，因为零乘任何数都是零嘛？那 sin 呢？是不是一，所以说他等于 cosine 二法，那这就是这个基变偶变符号看象限它的由来。好，那你听完我讲了之后，这句话可以直接从脑海中删除掉了。

哎，各位，看这道题啊，咱们怎么用三角函数解决几何问题？ 来看已知条件？已知条件， i 是 内心，内心是什么？内心就是三角形的三个角的角平分线的交点，对吧？ a， d 垂直于 bc， 对 吧？ a， d 垂直于 a i， b， e 垂直于 a i， 然后呢？ c， f 垂直于 a i， c， f 垂直于 a i， 是 吧？求证。 b， d 乘以 d， c， b， d 乘以 d， c 等于 be 乘以 c， f 等于 be 乘以 c， f， 咱们看一下啊，如果咱们用常规做法，不用三角函数，用常规做法，咱们怎么做呢？你看着啊，这个条件是不是可以转化为 b， d 比上 b， e 等于 c， f 比上 d， c， 就 求这个，是吧？那 b、 d 看着啊， b、 d 比上 b， e 等于 c， f， c， f 比成 d， c， 那 是不是就是求什么呢？三角形 d， e， b 以三角形 c， f， d 相似，是吧？这两个三角形相似，对吧？看看咱们能不能求相似， 这垂直，这垂直，这个角相等，对吧？还能知道其他条件吗？这个角和这个角呢 边有关系吗？所以啊，用常规办法啊，求这个相似啊，不太容易。 那看一下啊，咱们用三角函数看看，简单不简单？看着啊， b、 d 看看， b、 d 等于什么呢？ b、 d 是 不是 b， i 乘以这个角吧，对吧？是不是等于 b i 乘以 b， i 乘以 cosine 二分之 b 啊，对吧？这个，这是直角啊，对吧？是不是 cosine 二分之 b 啊？这个 cosine 二分之 b， 这个是多少呢？是不是等于 b i 乘以 cosine 九十度，减去二分之 a， 加上二分之 c 啊， 对吧？因为呢，这三条线是三个角的角平行线，对吧？三个角的一半相加，是不是等于九十度，对吧？啊，所以啊，这个二分之 b 可以 换成这个，对吧？它等于多少？是不是等于 口三音？口三音九十减，这个是不是等于三音了？是不是正确了，是吧？三音二分之 a 加上二分之 c， 二分之 a 加二分之 c 是 多少？二分之 a 加二分之 c， 是 不是正角， 对吧？是不是等于 b？ i。 乘以三角 b i f 是 不是这个角，对吧？看 d c 啊， d c 等于多少 d c 是 不是？这是个直角三角形，是不是等于 c i。 乘以勾三阴二分之 c 啊， 对吧？二分之 c， 对 吧？就等于 c i 勾三阴九十度减去二分之 a 加上二分之 b， 对 吧？ 那是等于 c i。 三元二分之 a 加上二分之 b， 对 不对？那是不是等于 c i。 三元二分之 a 二分之 b， 二分之 a， 这个是二分之 a 二分之二分之 a 二分之 b 二分之 a， 二分之 b， 是 不是这个角？ b i f e f 哎， 不对啊，这个二分之 a 加上二分之 c 二分之 a， 二分之 c 是 c c f 啊，这个是 c f 啊，这个是 c f c i f， 对 吧？那它俩相乘呢？它俩相乘 啊 b d 乘以 d c 是 不是等于 b i 三阴 c i f 乘以 c i 三阴 b i f， 对 吧？ 乘以啊， 那是不是它可以换成 b i 三音 b i 三音 b i f 把这拉九啊，这拉九倒一下啊，乘以 c i 三音 这个角搁这来啊 c i f。 看啊， b i 三阴 b f b i 三阴 b i f 是 不是等于 b e c i 三阴 c i 三 c f 是 不等于 f？ 是 不等于 f c， 对 吧？啊，所以 b d 乘以 d c 等于什么呀？ b e 乘以 c f， 是 吧？所以啊，这这种题啊，利用三角函数 解决这个几何问题啊，是很简单的，是吧？根据条件顺理成章啊，就出来了，对吧？

二倍角公式又被我秒了！很多同学呢，背这个二倍角公式啊，背完就能够弄混，然后做题的时候就是一脸的懵，对吧？很多同学都有这种感觉，但其实他根本不需要去死记啊， 挣钱。乘以二百二法是不是等于二倍乘以二法 cos 二法，那我们就能够推出乘以二法 cos 二法等于二分之一乘以二平方 cos 平方，二法加减二倍乘以二法 cos 二法，那他是不是就等于乘以二法加减 cos 平二法的平方 你选 cosine 二倍 r 法是不是就等于 cosine 平方 r 减 cosine 平方 r 法，那它不就等于二倍 cosine 平方减一吗？等于一减二倍 cosine 平方 r 法，我们把二分之 r 当成 r 法，就有生命公式一加 cosine r 法是不是就等于二倍 cosine 平方二分之 r 法一减 cosine r 等于二倍 cosine 平方二分之 r 法吧。 然后我们看这 cosine 二倍啊法的这两个公式，我们是不是又能够推导出加密公式？ cosine 平方啊法等于二分之 cosine 二倍啊法加一剩余平方啊法等于二分之一减去 cosine 二倍啊法等于一减贪婪的平方啊法分之二倍贪婪的啊法记住这个分子分母的符号，我们是不是就不会用错了？ 掌握这三个核心的公式啊，所有的二倍角题目都是送分题，看一道二倍角题目都是送分母的符号，我们是不是就不会用错了？掌握这三个核心的公式啊，所有的二倍角题目都是送分母的符号，我们是不是就不会用错了？掌握这三个核心的公式啊，所有的二倍角题目的符号等于多少？ sin 二倍 r 法是不是等于一减二倍的 c 衍平方 r 法？那他就等于一减二乘以三分之一的平方吧！那他不就等于一减九分之二吗？那他不就等于九分之七吗？选 b 这是一个高考题啊，但我们只花了十秒。二倍角公式，不用死记硬背，掌握核心的公式。所有的高考题都是口算题。 再来看一道二零二一年新高考全国乙卷的题目，他说 cosine 平方十二分之派减去 cosine 平方十二分之五派。答案是多少？大家把答案写在评论区，让我看看有多少人会做，会做的同学打一个！会了点个关注，高中数学干货持续更新，轻松提分！

好，通过这一道题给大家把怎么求这一类问题给大家讲明白，因为大家知道三角函数这类题的话，出现的频率和概率还挺高的，所以这种题该怎么去做呢？我们三步走就好了， 我们知道第一步是不是可以先求 a， 对 吧？第二步求迷港，然后第三步再求斐就好了。那求 a 怎么去求呢？就是去看他的最大值和最小值，看图像最大值和最小值，那么根据图像就发现最大值是二，其实最大值二，那么原来的这个 c 最大值不是应该是一吧？那这次能变成二，是不就因为是我的 a 等于二呀，对吧？那再来看算欧米伽，欧米伽是怎么算的？是，算的是 x 轴上两点之间的距离，然后呢，再看它占整个周期的几分之几就可以了。那么来看 x 轴上给的两点之间距离算出来是多少呀？是不是应该十二分之五 pi 减去十二分之二 pi， 也就是十二分之三 pi， 也就是四分之 pi 呗，对吧？所以这段距离就是四分之 pi。 那 么再来看看占整个周期的一个周期的几分之几啊？ 是不是一看就会发现，他是不是占一个周期的四分之一？一个周期的四分之一四分之派，那他的一个最小单位的也就是最小正周期，是不就是应该是四分之派乘以四了，对吧？四分之派乘以四，也就是派。那最后欧米伽怎么算呀？是不就在用我们的 公式，对吧？公式就等于二派，除以欧米伽带进去，算出来，欧米伽是不是应该等于 我的二位，对吧？大家注意哈，我们敏感，要去的是正值。好了，那么来看怎么算斐呀？斐的步骤是什么呢？斐就是带入一个点求值就可以了。带入一个点求值就可以了。带哪一个点呢？ 往往图像里呢，会给两个点带其中一个就可以了。那我们带谁呢？我们带六分之派都连进去吧。 哇，那么大家注意带这个点进去，带的是谁呢？一定要是注意，一定要把 a 和 omega 都带进去，也就是带的是这个表达式进去，带到这个表达式进去，那么 x 等于六分之派带进去，也就是二倍的 c 三分之派加 f， 对吧？然后等于 y， y 就是 零。好了，那我们知道这个零要想解它，那我的零是不是要转换成 c 多少度呀？那转换成 c 多少度呀？这个大家一定要记住了啊，就是应该是 c 零度零加 k 派，对吧？ k 除以 z， 好， 那我就可以解出来，也就是 c 三分之派加 f 等于 c， k 派， k 除以 z， 那 我知道两边相等，那就可以得到三分之派加 f 等于 k 派嘛。然后呢，再来再来看 k 的 取舍范围，那往往 他要想落到这个取舍范围，我只需要令我的 k 等于几就好了。对，只需要令 k 等于零就可以了，所以就可以算出来 f 等于负三分之派。好，这就是一类题，三步走。

今天推导一下合脚公式，顺便帮大家熟悉一下欧拉公式。首先 cosine alpha 加 beta 和 sine alpha 加 beta， 它都是一的 艾贝阿尔法加贝塔的实部和虚部，所以我们只需要根据这一个式子把它解出来就可以得到这两部分。具体怎么操作呢？我们通过指数的运算法则把加号变成乘号， 然后两个食指分别通过欧拉公式进行展开， 展开过后，然后再整颗一下，然后在这里我们直接把把十步给提取出来， cosine alpha 乘以 cosine beta 是 十步， i 被 cosine alpha 乘以， i 被 cosine beta 是 十步。 然后包含虚虚部的部分就是 cosine alpha 乘以艾贝塞因贝塔，艾贝塞因 alpha 乘以 cosine beta。 好， 最后就算了这个结果。那么根据欧拉公式呢， cosine 阿尔法加贝塔就是它的食部，也就是那么 cosine 阿尔法加贝塔就是它的虚部， 这也就是我们常说的 cosine 塞塞塞，括括塞，你学会了吗？

咱们看这道题啊，这道题呢，难度不大哎，快点。第一个说， d a 等于 d c， d a 等于 d c， 说明这两个底角有啥关系了，相等了，对吧？然后他说以 ab 为直径的圆，经过了点 d、 f 点呢？是直径 ab 上的一点，对 d 让证明啥？证明是角 c 等于角 d 一 b 角 c 等于谁？等于 d 一 b， 会测吗？会测啊，为啥？看见这个弧了吗？ b、 d 弧等于谁啊？等于 b、 d 弧， 那说明他们所对的圆周角有啥关系？相等对，也说明角 b、 a、 d 是 等于角 b、 e、 d 的， 对吧？哎，他俩相等了。而第一 b 题目说了，和角是啥关系？是相等的，那说明这俩啥关系？相等， ok， 哎， d 就 完事了。 然后第二说，如果角 c 等于多少度？三十度，那他三十，那他也多少度？三十，这个呢？都三十，让求谁？求的是 d、 f、 b 的 度数，这个角的， 他这但凡这么问你了啊，这些角肯定什么角？肯定是特殊角，对吧？你不然没法算。 那么这个角你看一下等于啥？一个外角是不等于不，他与他不相邻的内角之合呀，是不是？那你是不是就能想到了哦，他等于水，等于了这两角相加， 对，对，这两角相加，那么这两个角，咱们知道这个是三十度，是不是？那么这多少度呀？四十五度呀？对，为啥看这 a 一 弧等于谁？等于 b 一 弧，是不是两弧相等，说明两个圆周角呢？ 是不是相等多少度了？四十五度，对啊，然后你看这个圆周角数对的弧谁了？是 a 一 弧， 看见没？ a 一 弧，而 a 一 弧数的圆周角有两个，一个是它，一个呢，就这个，那说明这角多少度？对了，四十五度，是不是？所以一个外角等于它不，两不相邻的内角是和三十度加上个四十五度，答案是七十五度， 然后第二个，然后看一下这个，他说如果 d f 等于个二倍根号二，求谁？求 ad？ 是 不是求的是 ad 给的，谁给的是 d f？ 你 看这两个边，你要建立关系的话，它该如何建立呢？ 有人会想说，我连个 b d 连个 b d 的 话，你发现吗？就是 abd 啊，它是三十六十九，是特殊三角形，这没问题是吧？但是问题在于哪？在于说 abd 边长以及 abd 边长和 abd 边上三条边都不知道 是不是只给了谁，只给了 df， 你 一定要跟 df 解决关系，所以咋办？对过 f 点做他的什么垂线垂出为谁了？ m 为啥这样做呢？因为这个三角形上是个什么？对等腰直角三角形。 既然 df 为几，二倍根号二，是不是？那说明 df 和 m f 为几了？一定为二。那么听着啊，这两个长度为二啊，你咋做的？咋做的？ 你不能突然跑来二是不是？虽然你知道答案是二，是不是因为一比一比二吗？那么咱们怎么出现两个方法？第一个， 勾股定律，你可以设 dm 为 x f m x， 那 就是 x 平方加上 x 平方等于谁？二倍根号二的平方来做的，是吧？那么第二种方法呢？那就用到啥了？三角函数了吗？是不是找什么？找这个 角的什么邻边和斜边的关系？那么邻边和斜边关系啥关系啊？不就是个 cosine 吗？是不是？哎，所以用到啥了？ cosine？ cosine 角 fdm 是 等于邻边 dm 比上谁比上个 df？ 哎，总要总要，可以求神，求 dm 还有 m f。 那 这样求完以后呢？啊，咱们知道了，这为几二，这个呢？二是不是关键求神其实是 ad 吧。那你是不是还差个 am 呀？是不是？哎，那方法几个？两个？ 第一方法，三十度所对直角边等于谁斜边的一半，那说明 af 几了。四，再来勾股定律，求谁？求 am 是 吧？这用的啥？用的是勾股定律，以及三十度所对的直角边等于斜边的一半。那么换个方式， 知道了角了，又知道了对边了，求谁？求邻边用啥？那不就三角函数吗，而且是对边和邻边，应该是正切了吧。哎，你的会写过程啊，在二 t 三角形 amf 中， 摊你的角， m a f 等于了 m f 比上个 a m 对， 就等于了 它以它三十度等于个 m f 多少是二吧。 am 等于个它仅三度为三分之根号三， ok， 那 么 am 呢？求了吧？可以求了，应该是二倍根号三。 好嘞， am 是 二倍根号三， dm 是 二，那说明最终的 a d 长 是不就是二倍根号三，加几了，加二了， ok， 哎，这就是这道题啊。

很多同学一看到三角函数填空，就觉得复杂难算，甚至直接跳过百百六分。但我告诉你，二零二四年新课标全国二卷第一十三题，本质就是送分题，完全不用死算硬算，只要掌握核心公式，就能够轻松拿分。 先给大家拆解一下，这道题的三个核心考点都很基础，第一是合脚公式， 正确的合角公式，第二是同角，三角函数基本关系。第三是象限角的符号判断全都是课本上的基础知识点。 题目给了这两个角啊，就是象限，还给了这两个式子啊，就是相加相乘，要求这两角相加的正弦值。 很多同学会踩坑，就分别把这俩就求出来，但算来算去都算不对，还浪费时间。其实根本不用这么麻烦，我们看到这样的条件啊，直接用正切的和角公式就可以了 啊， ten 塔，阿鲁法加上耶塔， 等于这分子直接就给出来了啊，上面是跟这边是同号的这个加号，下面就是减号了，一减就这俩相乘， 呃，你看相加的这这分子就是四题目给了啊，分子一减去这俩相乘，题目也给了，更好啊，加上一， ok 啊，就容易啊，计算得到 这俩相加的正切值，等于负的二倍，更好啊， ok！ 第二步呢，我们需要判断象限，这两角相加的象限， 一个是第一象限角，一个是第三象限角啊，零到二分之派，这个是派到二分之三派，最小的跟最小的加起来得到 阿尔法加上比特，是属于派到二派， 加上二 k 派，这也加上二 k 派啊， k 去整数啊，好了啊，咳咳， 比如说这两角相加呢，是属于三四象限的， 咱们这个正切值求出来是属于负的，也满足三四象限的。 在接下来的话，咱们一会用到的公式呢，正弦平方和等于一啊， 以后可能把这两个角啊相加用一个符号来表示啊，用 c t 表示就计算的话，可能会少写一些东西啊，那也就相当于咱们知道了 t n t t 啊，也就撒音 set 除以 cosine set 等于负的二倍根号二，再结合这个式， cosine 方加上 cosine 方 等于一。因为我们要求的是 sine， 所以 这两个式子想办法消掉 cosine 啊，消圆 sine 就 出来了是吧？ sin 刚开始求出来呢，是等于正负的三分之二倍的根号二，但我们判断了这两角相加是在三四象限的， sin 只能够是负的。 这上面这个条件啊跟下面这个最终呢是负的三分之二倍的根号二。 ok， 这题就解决了 负的三分之二倍的根号二这个题的答案，你看三角函数填空也不是难题，只要记住基础公式，避开死算的坑，就能够轻松拿分。 关注我，每天一道基础题，把数学基础打牢！

你还在被三角函数的问题所困扰吗？那下面让我们通过按图索记的方法来把这个问题搞清楚。 好，我们先看这个题目一，如图，小明在点 c 处测得数顶端 a 的 阳角为二方，且 b、 c 等于十米，则数的高度 a、 b 为多少米？ 这道题目呢，它考察的就是三角函数的基本概念。那么我们在这个直角三角形 a、 b、 c 当中啊，我们就去看这个 sin 二法，就等于 a b 比上 a c， 那 么 cos 二法呢，就等于 a b 比上 b c， 那 么 cos 二法呢？就等于这个啊， b c 比上 ab， 这里呢，是已知 bc， 求 ab， 也就是 ab 等于 bc 乘以弹力的二法，也就等于十倍的弹力的二法，那也就选 a。 那 我们看这个题目二啊，如图啊，又是小明，这小明同学又来了，这个小明为了测量其所在位置 a 点到核对岸 b 点之间的距离，沿着 ab 的 垂直方向啊走了十米，到达了点 c， 那测得呢，这个角 a、 c、 b 等于 r 法，那么 ab 的 长为多少米？ 这考察的呢，还是这个三角函数的基本概念。那么在这个直角三角形 a、 b、 c 中呢，那还是 sin 二法等于 ab 比成 bc， 那 么 cos 二法呢？等于 ac 比成 bc， 那 么弹性的二法呢？等于 ab 比成 ac， 那 么 cos 弹性的二法呢？就等于这个 ac 比成 ab， 那 么这里是已知 ac， 求 ab， 也就是 ab 等于这个 ac 乘以弹性的二法，也就是十倍的弹性的二法，所以选 d。 我们看这个题目三啊，这个活动小组利用测角仪和皮尺来测量这个学校旗杆的高度，这个示意图呢，就是如图所示， 在 d 处测得这个旗杆顶端 a 的 阳角呢，就是 a， d， e 是 五十五度，那么这个地点呢，距离旗杆的距离呢，就是 d， e 是六米，那么侧角移 cd， 它的这个高度呢是一米，设其干 ab 的 高度为 x 米，则下列关系正确的是， 这就是一个三角函数的应用的问题了，那先把呢相关的线段的数据啊都列出来，这个 cd 就 等于 b e 等于一米，那么 b e 呢，就等于六米， 那么 a， e 呢，就等于这个 a b 减 b， e 就 等于 x 减一米，那么角呢？ a d， e 等于这个五十五度， 那我们知道这个散热五十五度呢，它就是等于这个 a e 比上这个 a d， 那 么扩散五十五度呢，就等于 a e 比上这个 d e， 那么几何体的五十五度呢，就是这个 b e 比上 a e 好 了，那我们看这些关系，哪个跟这个答案能对得上，那就是 b， 哎，所以就选这个 b 选项。 好，今天就到这里，大家有什么疑问都可以在评论区留言给我，我都会一一解答的，再见！

二倍角公式，正负号总搞反，别死记用特殊值一秒验算面对复杂的三角横等变换，你是否经常怀疑自己推导的公式符号是不是写反了？或者在考场上突然卡壳，想不起二倍角公式的具体形式？ 今天我们要讲的不是如何死记硬背几十个公式，而是一套通用的公式错误验证法。只要掌握三个关键的特殊角，你就能在几秒钟内判断一个三角等式是否成立， 从而避开那些隐蔽的计算陷阱。这套方法的核心逻辑非常简单，如果一个横等式对任意角都成立，那么它对我们选定的任何一个特殊角也必须成立。反之，如果代入某个特殊角后，等式左边不等于右边，那么这个公式一定是错的。 我们首选的第一个试金石就是四十五度角，也就是排除以四。为什么选它？因为 sin 排除以四和 cos 排除以四的值都是根号二分之一，计算极其简便。 而且二倍角之后变成派除以二三角函数值也是简单的零或一。让我们拿这个常见的二倍角余弦公式来测试，假设你记忆模糊，写成了 cos， 二、阿尔法等于二，森阿尔法的平方减一， 我们将阿尔法替换为派除以四。先看等式，左边二乘以派除以四，等于派除以二， cos 派除以二的值是零。 再看等式，右边 sin 派除以四是根号二分之一，平方后是二分之一乘以二，得到一，再减去一，结果也是零。左边等于右边，这说明什么？ 说明在这个特定角度下，这个公式是成立的。但这还不够，因为有些错误的公式可能在个别角度巧合相等，我们需要更多证据或者排除其他干扰项。但是，如果我们不小心把符号记错了，比如写成了 cos 二阿尔法的平方加一，再次代入派除以四， 左边依然是零。但右边呢？ cos 派除以四的平方是二分之一，乘以二得一，再加一等于二，零不等于二等式不成立。 红色的叉号告诉我们，这个公式绝对是错的。这就是特殊执法的威力。它不能直接告诉你正确答案是什么，但它能迅速帮你排除那些明显错误的选项， 特别是在做选择题时，这能为你节省大量时间。除了排除以四，零角也就是零度是第二个极佳的验证点。它的优势在于，所有正弦值都为零，余弦值都为一，计算几乎不需要动脑。 比如验证二倍角正弦公式， sin 二二法等于二， sin 二法， cos 二法代入零，左边 sin 零是零，右边二乘零乘一也是零通过。 但如果你混淆了，公式写成了 sin 阿尔法的平方减， cos 阿尔法的平方代入零后，右边就变成了零，减一等于负一，左边是零，右边是负一，显然错误。 通过零度和四十五度这两个角的组合，绝大多数基本的符号错误和系数错误都能被捕捉到。最后，为了应对更复杂的系数问题，我们引入三十度角，即排除以六。这个角度的三角函数值包含根号三，能有效检验分母中的系数或根号处理是否正确。 例如，验证正切的二倍角公式代入排除以六，左边碳排除以三是根号三，右边分子是二倍的三分之根号三分母是一，减去三分之一，即三分之二。化简后，右边也等于根号三等式成立。如果你记错了分母的符号，比如写成加号计算，结果就会出错。 这三个角度零三十、四十五度构成了我们的三角函数。验证铁三角。总结一下，当你在考场上对某个三角公式存疑时，不要慌张地从头推倒，那样太浪费时间。请立刻在草稿纸上写下这三个角度，零四十五度和三十度 优先用零度快速排除长数项错误，再用四十五度检查系数和对称性，最后用三十度确认根号和分母的细节。 这种特殊执验证法不仅适用于三角函数，也适用于代数横等式的快速检查。它将复杂的逻辑推导转化为简单的算术计算，是你抢分路上的得力助手。希望这个方法能帮你建立起对公式的直觉，而不是机械的记忆。 如果你觉得这个视频对你有帮助，请点赞收藏，方便考前复习。我是你的数学向导，我们下期再见！点赞收藏，考前花一分钟过一遍，避免低级失误！

下第三文啊，那么 f 小 f x， 它等于烙印 x 加一的话，那么大 f x， 它就等于。嗯，那么爱总结的学霸应该都知道，它就等于 x 被烙印 x 加 c 了， 嗯，那么 s 一 逗 x， 它就等于大 f x 减去一个大 f 一， 就等于 x 比 等于 s， 对 吧？那么这个函数呢，它其实就是我们常用的那个六大超越函数图像，它的图像呢，就是这个样子的。好，那么 y 等于 c， 它就是一条直线， 那么它跟这个图像有什么交点？好，横坐标，我们设为 x 一 x 二，那么这时候呢啊，我们很显然就能发现， x 乘以 x， 它肯定是大于零的，对吧？ 然后呢，我们再来证明，它的右边那 x 一 乘以 x 二小于一方分之一，这个呢，我们其实有两种思路的啊啊，第一个思路呢，就是把它转换成令绕引 x 等于 啊 t， 那 么它就转换成了 t 倍的 e 的 t 次方，这就是一个极值点偏移问题了啊， 好，这个呢，他思路稍微难理解一点，我们用第二种方法就是双变量比值换元来做一下啊。好， 那么要要证明他成这个式的成立的话，那么我们给他两边同时取对数，他就变成了烙印 x 一 乘以 x 二小于负二。也就是说，我们要证明的是烙印 x 一 加上一个烙印 x 二小于负二。好， 那么由图像我们可以发现， x 一 乘以烙印 x 一， 它就等于 c x 二乘以烙印 x 二，它也等于 c， 那 么我们不妨令这个 x 二，它是大于 x 一 大于零的，那么这个时候 x 二比 x 一， 它就等于 t 了啊，这就是比值换成最关键的一步，并且 t 呢，它是大于一的，那么这个时候 x 二，它就等于 t 倍的 x 一。 好，那么就相当于是 x 一 乘以烙印 x 一， 就等于 t 倍的 x 一 乘以烙印 t 倍的 x 一。 等价于这个 t 倍的 x 一 乘以烙印 t 加烙印 x 一。 两边约掉这个 x 一 以后，那么它就等价于烙印 x 一 等于 t 倍的烙印 t 加上一个 t 倍的烙印 x 一。 这样我们就可以解得烙印 x 一， 它等于一减 t 分 之 t 倍的烙印 t。 那 我们再来算一下，烙印 x 二，烙印 x 二，它就等于烙印 x 一 加上一个烙印 t， 就 等于一减 t 分 之 t 倍的烙印 t， 那 就变成了烙印 t 了啊。所以我们现在要证明的就是这个一减 t 分 之 t 倍的烙印 t 加上一减 t 分 之烙印 t 小 于负二 啊，其实它就是我们第二所说的那个飘带放松啊。然后呢，因为 t 它是这个大于一的，所以呢， t 一 减 t 是 一个负值。我们的原则是什么？是不是对数单身狗啊？好，那么我们两边同时乘以一减 t， 它就变成了 t 加一 啊，背的烙印 t， 它就大于二倍的 t 减一了，对吧？也就是说，我们要证明的是烙印 t 它要大于 t 加一分之二倍的 t 减一， 那这不就是我们第二个证明的吗？对不对？所以呢，我们构造一个新的函数，令 h t 等于烙印 t 减去上一个 t 加一分之二倍的 t 减一。好， t 是 大于一的啊，定域一定要请跟踪，然后我们再念起一页啊， 好，那么它的导数就等于 t 分 之一减去上一个 t 加一的平方分之上导下不导，就是二倍的 t 加一 再减，上部倒下倒，就是减二倍的 t 减一就等于 t 分 之一减去上一个 t 加一的平方分之 上面是不是变成四了？通风以后就是 t 倍的 t 加一的平方分之， t 方加二， t 加一减四， t 就 等于 t 倍的 t 加一的平方分之 t 减一的完全平方，对吧？那么它就是恒大于零的，所以呢， h t 它就是单调递增的，那么 h t 它就大于 h 一， h 一 就等于零，对吧？所以呢，原式乘零。

这个视频我来讲讲，由三角函数符号求角。 上回说到三角函数在各象限的符号，塞纳尔法在一二象限为正，三四象限为负。口三尔法在一四象限为正，二三象限为负。 pendulum 法在一三为正，二四为负。 这样只要知道角 alpha 在 第几象限，就能判断这些值的正负。反过来，如果已知 sine alpha 大 于零，那你能判断 alpha 的 象限吗？看看图， sine alpha 大 于零的，也就是第一、二象限，所以 alpha 是 第一、二象限的。 再比如，口三 alpha 小 于零，那 alpha 的 象限又是啥呢？这回看口三 alpha 的 图，找小于零的，也就是第二、三象限。那如果这两个条件要同时满足呢？你看，只有第二象限两边都满足，所以 alpha 一定是第二象限的。 像这样，知道了三角函数在各象限的符号，咱就能判断出 alpha 的 象限了。 如果我进一步问你二分之 alpha 在 哪个象限，你会吗？ alpha 的 象限已经知道，那二分之 alpha 也好求了。方法前面讲过，分母是二，就把每个象限二等分画出来，是这样的， 接着就逆时针方向，一二三四循环标注，然后看 alpha 是 第二象限的，就找数字二，看看数字二的位置。在第一、三象限 以后，如果告诉你三 alpha 和口三 alpha 的 符号要求的却是二分之 alpha 的 象限，你可以先判断好 alpha 的 象限，然后像这样来求二分之 alpha 的 就行。 刚才给的三角函数形式比较简单，我再给你个复杂点的试试。比如三 alpha 的 五次方和贪占的 alpha 的 三次方相乘小于零，你能判断 alpha 的 象限吗？ 它俩相乘小于零，说明它俩正负相反，那 sine alpha 的 五次方大于零时， tan l alpha 的 三次方就小于零。 反过来， sine alpha 的 五次方小于零时， tan 俊的 alpha 的 三次方就大于零。所以咱得分两种情况看，先看第一种，它的五次方大于零，说明 sine alpha 大 于零。 看看 sum， alpha 在 各象限的符号大于零的是第一、二象限，所以 alpha 在 第一、二象限。再看 tint alpha 的 三次方小于零，说明 tint alpha 小 于零。 看看 tint 在 各象限的符号小于零的是第二、四象限，所以 alpha 在 第二、四象限。接着这两个条件得同时满足，那 alpha 在 第二象限的了。 第一种情况搞定了，还得看第二种方拍。跟刚才一样，我就简单来说说，它的五次方小于零，说明赛 alpha 小 于零，那 alpha 就 在第三、四象限，而它的三次方大于零，说明天震差 alpha 大 于零，所以 alpha 在 第一、三象限， 两个取值都得满足，所以 alpha 在 第三象限。最后这两种情况都可以，所以 alpha 在 第二象限或者第三象限。这道题告诉咱们，不管式子多么复杂，关键要找到最基本的三角函数的符号，这样就能判断 alpha 的 象限了。 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键就是记住这些三角函数在各项线的符号，这样如果给你三角函数的符号对应，就能判断角 alpha 的 上线了。 怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！