第五章抛体运动的所有公式

本视频时长一百三十六分钟，带你通透高中物理必修二抛体运动，内容包含小船过河、速度、关联带约束的平抛、抛体零件极致四大重难点题型，从底层逻辑到解题技巧，彻底掰开揉碎讲清楚。评论区回复抛体零讲义 完整电子版免费下载！哈喽，同学们，从这个视频开始，我们开始进入必修二的重难点题型的一个讲解啊， 那这个视频比较轻松，我们开始小船过河吧。啊，这个问题相对来说还算比较简单啊，我将通过一个例题来给大家说一下啊，我们小船过河这个问题的底层解析逻辑是什么好不好？我们来看下这个例题吧。啊， 他说已知河宽 d 是 六十米啊，告诉我现在河宽是六十米了，然后水的流速 v 一 是两米每秒啊，从左向右流，然后船在进水中的速度 v 二对吧？好，让我们求啥？如果 v 二是二倍根三的话，求最短过河时间以及此时对应的 v 一， 然后二三问是当 v 二等于四或者一的时候，求最短过河位移以及此时对应的时间。 ok， 那 这个就是我们这个例题要解决的问题了啊，那我们来看一下小船过河到底他的运动 是个什么样子的啊？其实小船在过河的时候，他有两个分运动啊，第一个分运动就是船在随着水往下飘的一个分运动，那这个分运动对应的速度就是水流速度为一， 对吧？那第二个分运动其实就是船在净水中的一个运动，那这个运动对应的速度就是船的净水中速度 v 二对吧？那当然这个 v 二不只是可以指向这儿，它也可以连着指，对不对？只要船头指向哪，那 v 二就指向哪。 ok， 那 这个时候小船的核运动是啥呢？ 哎，它的核速度就是 v v 二的一个矢量核，那它的核运动其实就是沿着 v 核方向做一个匀速直线运动，哎，就这么斜着过去了， 对吧？那这个就很典型的运动的合成，那实际上小肠过河其实也就是很深刻的来用运动的合成与分解的方法去解决这样的问题的一个体型。 ok， 那， 那至于这类问题，其实一般情况下就两大问题嘛，两大考法嘛。第一大考法就是最短时间过河， 让你求一些东西啊。第二大合法就是最短位一过河的时候，让你求一些东西。大家有没有发现，我的第一问就是最短时间混合我的二三问，其实就是最短位一过河，所以你把这个题搞定了，你小长过河问题基本上没啥问题了啊。那好，那我们先来看一下第一问， 哎，如何以最短时间去过河？那我们要研究这个以最短时间过河，那我们得看待这个运动，得换一个视角啊。 ok， 你 不能只是用那种河运动的视角去看待这个运动了啊。 那我们先来看一下过河的本质是什么？如果我们在这里建一个平面直角坐标系 y x 的 话，你会发现过河、过河、过河这件事只存在于 y 方向，我们是不是只说要关注 y 方向就行了，对吧？ 那其实过河的本质是啥？其实就是在 y 方上的微移，它是等于何况 d 就 可以了，所以我们在研究只研究过河这件事，不研究其他的东西的话，我们只关注 y 方向就 ok 了。 好吧，那举个例子吧。啊，那这个时候我们不要单单看和运动，如果是我的话，其实我更愿意把它分解在 x y 方向上，我把它看成这两个方向的分运动。举个例子啊，比如说它的速度啊，一个分速度是 v 一， 另一个分速度是 v 二， 如果是这样子的两个分速度的话，那这个时候你看 v 已经在 x 方向，但是 v 二不在 x 方向上，怎么办呢？我可以把 v 二再正交分解一下啊，我把它分解到 x 跟 y 方向上， 这个叫 v 二 y， 这个叫 v 二 x。 那 好，那这个运动就不一样了啊，它在 x 方向上运动是啥呢？ 它 x 方向运动是 v 和 v 二 x 的 和速度，我要给他俩做一个矢量和，对吧？那这个时候如果 v 大 于 v 二 x 的 话，你就用这个减去这个，那这个就是 x 方向运动了，对吧？那 y 方向运动呢？其实就是与 v 二 y 做一个匀速直线运动。 那好，那我们回到这个问题，如果你这样的视角去看待这个小船过河的话，那这个时候就变得简单了。我们过河吗？我们只关注 y 方向吗？我要求最短的过河时间，那是不是我只需要 让这个时候 y 方向的速度最大就行了？所以当我们要搞定时间的时候啊，其实很简单，这个时间其实就是等于 y 方向上的为 d， 再除一个 y 方向上的分速度为 y， 对 吧？那最短时间，哎，其实就对应的此时啊，最大的一个 v y， 那 大家想想什么时候 v y 最大呢？我这个 v 一 这个分速度与 v y 有 关吗？没有一毛钱关系，它已经在 x 方向上了，对不对？什么时候 v y 最大？是不是 v y 只是与 v 二有关？ v 二的 y 方向分量它就是 v y， 对 吧？所以当我 v 二是完全沿着 y 方向的时候，那此时 v y 应该是最大的啊，所以我们现在已经知道了啊，这个时候 v y 最大，那好，那这时候水的速度 v 一 就在这，那我的 v y 当我 v 二等 v 二的时候啊，那这个时候时间一定是最短的， 那这时候的和速度肯定在这，我们等一会再算和速度啊，那我们先把这个最短时间算算出来吧，对吧？好，我这个最短时间，我叫他 t 一 吧， t 一 就应该等于 d 比上一个 v 二， 对吧？因为这个 v y 的 最大值其实就是 v 二的啊，所以 d 是 多少呢？ d 就是 六十，那 v 二是多少呢？二倍跟三， 对吧？我不带单位了啊，大家看着意思到就行了啊，那这个算下来啊，这也就应该等于十倍跟三啊。好，这是我们的最短过河时间， ok， 那， 那现在如果我时间已经搞定了，对吧？我还要搞定此时对应的过河位移，那过河位移是啥呢？ 谓仪是在一个空间的视脚下，对不对？所以说这个时候我们就要去研究这个和运动的谓仪，那什么叫这时候谓仪呢？其实就这段长度呗。 那，那这个和谓仪它其实有两部分组成，一个是 y 方向的谓仪，就是这个 d， 一个是 x 方向谓仪，对吧？那你会发现这个 y 方向的谓仪 d 是 知道的呀，对吧？就这个玩意是知道的呀， 那好，那你现在是不是只要知道一个角哎，那你就可以把这个和为一求出来，你都不用去求这个 x 范围，用勾股定律算，不需要，对不对？那所以说我们现在哦，你要求的和为 x 一， 它是不是就应该等于 y 方向上的为一 d， 如果再除以这个 cosine theta 就 可以了啊，好，那我们来看一下，那这个 cosine theta 你 能求出来吗？ 哎，可以的啊，大家能看出来这个 v 二和 v 一 大小知道的 v 二是啥？二倍根三，对吧？ v 一 啥？ v 一 是二，大家有没有发现啊，这个 v 二和 v 一 是根号三倍， 那在这个直角三角形这个速度的合成这个直角三角形矢量三角形中，那这个是两个直角边的倍数关系，是根号三倍的话，那这个角一看啊，他是三十度，是不是 c 塔就是三十度了？所以，那其实现在我的 v 一 就是等于这个 d 的 长度六十，再除以一个 cosine 三十度， cosine 三十度应该是二分之根三，那这个一算啊，这个应该等于四十倍的根三米啊， ok， 所以 这个就是我们的第一问， ok， 好 了，那我们来看一下这个第一问到底怎么解决的啊？第一问，我们来求最短过河时间的时候，注意你一定要看透这个过河本质，过河本质其实就是 y 方的位位零，对不对？那既然你看透这个本质的话，那我们求时间的时候，只需要用 y 方向的位移除以 y 方向速度就可以了， 而这个 y 方向的最大速度其实就是 v 二，因为所有的 y 方向上的分速度都是由 v 二分解过来的，对吧？ v 一 不负责 y 方向啊。好嘞，那这个就完了啊，我们看第二本啊， 第二本他说，哎，如果 v 二等于四米每秒，求啥最短的过和未移，以及此数对应的时间？好，大家想想啊，那首先啊， 我们的位移是看啥呢？是不是我们的位移完全取决于核速度的方向呀？对不对？比如说啊，假如说咱核速度朝这，这是 v 二，咱核速度朝这的话，那此时的位移就应该是这么长， 对不对？好，我们再换一下啊，假如说我们再随便这样一下啊，比如说我们的 v 二在这， 那和速度在这的话，那卫衣就这么长了，对吧？因为和速度指向哪，哎，我就沿着哪个直线走，对吧？所以我们的卫衣啊，一定要记住啊，他的大小完全取决于和速度的方向， 而且你会发现我这个和速度方向啊，越靠近这个虚线，他应该是越小的，对吧？我理论的最小值其实就是这个和宽吗？我理论的卫衣最小值，对吧？ 那好，那现在其实问题就转化了，我要求最小的，最短的和为一，其实就要看哎， 我的和速度咱能不能到这个理论上的最小值这个东西了。来，大家能理解吧，对吧？啊？你能和速度能到这个方向上， 好，咱这最小为一就是 d， 你 如果到不了这个方向上啊，那咱来看一下，你能不能越靠近这个方向就够了。 好，所以说一切的一切的问题都转化为，我们要判定核速度的方向到底能朝哪，那，那这个核速度方向谁来决定的呢？你会发现这个 v 一 是死的，哎， 对吧？它的大小，它的方向就死，我的 v 二是可以变的，对吧？ v 二可以朝，这，也可以朝，这，也可以朝这，你会发现核速度方向是取决于 v 二的大小方向的。 那好，那这个时候我建议大家啊，来判定这个和速度方向，我们不要用平行四边形定则，我建议大家用三角形定则，那假如说啊， v 二是朝着这个方向的，那好，那我们如何来判定和速度方向呢？你看我把它平移一下，让首尾相接， 哎，这 v 二平移完了之后，对吧？那我这个时候的和速度就朝这个方向，那这个时候我们拿三角形定则，那我们就可以这么看他了啊， 那如果 v 二是朝这个方向上的，那我的核速度是不是就朝着这个方向？那现在我们也解决了，哎，我们的核速度方向，哎，怎么由 v 二去决定了？那好，那现在就来解决最后一件事，咱的核速度方向能不能沿着 理论上最短的一个方向？那怎么弄呢？你发现，哎，我用三角形定则的时候，我这个 v 二呀，它的大小已经定死了 四米每秒，他的方向是不是可以变，对吧？好，那我们想想啊，那这个时候是不是相当于我 v 二可以以这个为圆心，以这个大小为半径，做一个轴， 再转圈圈，对不对啊？我画一个圆，好吧，好，那这个时候呢，大家想想啊，那这个时候我 vr 是 可以在这一直方向一直变，那什么时候咱的核速度能到这个方向，能不能达到这个，哎，你就可以做出来了，你会发现，当 vr 在 这的时候， 我的核速度就可以到我的理论最短方向上了， 所以你可发现，哦，原来 v 二等于四米米二的时候，我是能达到理论最小值的，是不是？ ok， 好， 那这个时候我们就可以把这个算出来了啊，我把这个这块应该有动画的啊。 ok， 好， 那现在我们知道了，这个时候已经可以沿着这个虚线方向去过到核外了，那我们的理论的最短的位移 x 二，他就等于 d 啊，就等于六十米，他是可以达到理论值的，对不对？那这个时候时间该怎么算呢？记住了，刚才说到了啊，时间 t， 我 们依旧只关注 y 方向上， y 方向上的 v 是 d， 我 们用 d 再除一个 v y 就 可以了，你不要关注别的东西啊，我只关注 v y， 那 v y 是 谁分解出来的呢？这个时候我们你求微和也行，但是我还是建议大家来以这样的视角来思考啊，就是，我们依旧来分解 v 二， 我们把 v y 哎作为 v 二的一个分量去思考它，对吧？所以你现在只要求出这个 v y 就 可以了，那 v y 能求吗？当然可以啊，来， v 二是多少？ v 二是四， v 一 多少？ v 一 是二。好，斜边是四，这个边是二，那这个角就是三十度了，对不对？所以我们的 v y 等于啥？ v y 其实就等于 v 二，再乘一个 cosine 三十度， ok， 那 d 是 六十， v 二是四，再乘 cosine 三十度，是二分之根三，对吧？好，那你把这一算，这个就应该等于啊，十倍的根三秒， ok， 你 看，我们现在算这个时间，依旧是拿我们的过和本质去求的。好，我们看一下第三问啊，第二问 v 二是四，对吧？咱可以到这第三问， v 二我小了一点，变成一米每秒， 那咱现在还是来求最短的波和微移，以及此时对应的时间，那好，那还是一样啊，我们把问题转化为咱微和方向能不能到这个方向依旧通过三角形定则啊？那这个时候 vr 我 就可以作为一个这样的一个 vr 啊， 以这个点为为心，画一个圆，代表他去改变方向，对吧？那你会发现这个时候我的核速度无论如何都不可能到这个方向上，因为我 v 二比 v 一 小，对吧？这个圆比较小，那这个时候既然到不到这个最短为一的方向，理论为一，那这时候最短为一在哪呢？ 哎，那最短为一，就看我们 v 和是不是越靠近这个线方向，越靠近这个线，那他 v 一 是不是最短？ 那好，那大家好，如果 vr 在 这的话，微核是不是在这，对吧？那 vr 在 这的话，微核是不是在这，是不是？那啥时候最靠近那个线呢？其实你做一个切线不就得了吗？也就是过这个点，你做这个圆的切线，那这个就是理论上最靠近这个 垂直于河岸方向的一个微河了，对吧？那此时对应的 v 二是不是应该在这，对吧？好，那这个我用动画，我用动画来做一下啊。 ok， 好， 那这个就是理论上最靠近这块的啊，那好，那你现在啊，你要求的 就是这个位置，此时他的位置应该是这么长，以及此时的过河时间，我们先求位置吧，那位置其实还是一样啊，现在他的数值位置已经知道了，对不对？所以你还是只需要一个角就行，你如果能把这个角求出来， 那我们根据这个数值为一，已知的啊，再加上这个角三角函数，我们一定能求出这个和为一的，对不对？不需要 x 方向为一啊，那，那这个角怎么求嘞？你看这个角，我们抖一下角啊，这个角其实在这个三角形中啊，速度矢量三角形中其实等于这个角， 对吧？大家想想， v 二是一啊， v 一 是多少？ v 一 是二，哎，斜边是二，这是因为是切线吗？这是切线啊， 它的邻界应该是相切的啊，所以这是垂直的啊，所以这直角三角形啊， ok， 那 你会发现这个角它就应该等于六十度， 对不对？那这个 theta 就是 六十度了啊，好，那所以说这个时候我们的最短的过和为 e x 三，它应该等于 d， 再除以一个 cosine 六十度， 对吧？那好，那应该等于啥？ a 是 不是应该就等于一百二十米？那我们的此时对应的时间呢？注意时间 还是我们看过和本质过和，本质是 y 方向为一是 d， 对 吧？我们还是用 d 再出一个 y， 永远是用 d 出 y 就 行了，你不要管什么和速度。那这个 y 是 谁来 分解出来的呢？只有 v 二，你问 v 二，我只要求 v 二的 y 方向分量，其实就是等于整个运动的 y 方向的分速度了，对不对？好，我们把 v 二再分解一下， ok， 那 这个 v 二的 y 方分量是不是在这儿，对吧？那这个就是那个 theta 了啊，所以我们的 v i 应该等于 v 二，再乘一个 sin theta。 好，那我们带一下值吧，就可以把这个求出来啊，哎， d 等于多少？ d 应该等于六十米，那 v y v 二是等于一，再乘一个 sine theta 二分之根三，对吧？好，我们一算啊，这个最终结果应该是，呃，还是等于四十倍的根三啊。 好了，那到这里我们讲完了，我们总结一下，首先啊，小船过河问题，大家首先得知道啊，它的和速度就是我水流的这个分速度和我船在净水的分速度之之和，对吧？这个和速度是可以这样看， 但是很多时候我们其实在计算的时候并不是。哎，以用核速度去计算什么时间了，计算位了，当然可以那么求啊，对不对？我们是依旧是啥？我们依旧是把它利用正交分解的思想，只看 x 方向跟 y 方向， 对不对？我们还是用分解的思想去解决这个问题，所以过和本质是啥？我们用这个思想去发现过和本质其实就是 y 等于 d， 那我最短时间的时候，我在求任何时间，或者求最短时间的时候，我们只关注这个过客本质就行了。我们的时间始终等于 y 方向上的 v e d 再出一个 y 就 行了。那这个 y 哪来呢？ 就是我们的 v r 那 块来的，对吧？我们的 v r 才能分解出一个 y 出来，但是 v e 是 不可能的啊。 ok， 好，那我们来看最短位移过河啊。那首先我们得知道位移取决于啥？位移其实取决于我们的核速度方向，对吧？那理论上我们的最短位移是在这，对吧？所以我们就看核速度方向能不能朝着这个方向，如果能的话，最短位移就是 d， 如果不能的话，咱就越靠近他越短， 那最终我们发现啊，如果，哎，咱的 v 二是大于这个 v 一 的话，那这个圆就可以画大一点，那这个时候咱的和速度是可以朝着这个方向的，对不对？所以 v 二大于 v 一， 为何能沿 y 方向？ 那好，那如果 v 二小于 v 一 呢？你会发现这个圆比较小的话，那我为何就不能沿 y 方向呢？那这时候临界在哪呢？临界应该在这块切线着，也就是这个和速度，只要与这个圆相切的地方才是我和速度最靠近 y 方向上的地方。 ok， 那 这个就是最后我要说的事情啊。好了，那已经知道它的本质以及我们的时间跟位移到底看什么？接下来我们看一下这道题吧。啊，三十七题啊， 来，小船在净水中的速度告诉我是三米每秒，他在一条宽为一百五十米，水流速度为五米每秒的河中渡河。那下列说法正确是啥啊？这个三亿五十三， cosine 五十三都告诉我了啊， ok， 好，那首先啊， a 选项问我小船能不能到达对岸以及 c 选项，哎，他说以最短的位移渡河，小船的渡河时间对吧？其实 a c 其实都是关于啊最短位移的。那我们首先来看一下最短位移啊， 那我们最短位移的时候就看 v 和方向能不能沿着这个 y 方向吗？对不对？那大家想想啊，那这个时候我已经告诉我 v 和方向能不能沿着这个 y 方向吗？对不对？那大家想想啊，那这个时候我已经告诉我 v 和是五啊，这个 v 是 五， 对吧？那好，那我们的全在进水，速度是三，哎，你会发现我的船速是小于水流速度的，那这时候河速度他能沿着这个 y 方向了吗？不行， 对吧？我们做一个圆，我们以三为半径做一个圆，以这个为圆镜啊，你发现这个时候无论如何都到不了，那，那最短的位移在哪呢？最短的位移应该在这个切线这，对吧？这块切线这， ok 啊，那所以说这个时候我们 a 肯定错了，我们没办法到达河的， 对吧？那如果以最短位移过河，就只能这么过，那求这个过河时间该咋求呢？记住了， 关注过河本质。我过河本质是 y 方向，对吧？谓语是 d， 所以 我们只关注 y 方向。行了，我们的过河时间 t 是 不是应该就等于 y 方向上的谓语 d 再出一个 y y， 对 不对？ 那好，那这个时候 d 已经知道了啊，是多少？一百五十米 y y 是 啥了？ y y 只需要把 v 二再分解一下就行了， v 二分解到水平和数值，我就直接在这分解了啊， 对吧？这个就是我的 v y， ok， 好， 那现在你需要一个角才行，对吧？哎，我觉得我想求这个角吧。 c 它吧，那这个角，你会发现它是等于这个角的 啊，你稍微倒一下角啊，稍微倒一下角好不好？ ok， 它等于这个角，所以你现在的 v y 它就等于 v r 再乘一个 cosit， 那我们这个 cosine 下能求吗？哎，可以求的啊，大家看到 v 二是三对不对？那 v 一 是五，对吧，那这刚好是三四五的个五数啊，所以这个 v 和应该是四， 所以这个 theta， 哎，你很明显它应该等于三十七度啊，好，所以说，哎，我们 cosine theta 就 应该是五分之四，那我们算一下啊，这个 d 是 一百五十， 对吧？那 v 二是多少？ v 二是三，再乘以个啥？五分之四，好，那这个你一算啊，他应该等于六十二点五秒，好，那这个 c 选项就对了， ok， 好， 我们再看一下 b 跟 d 选项啊， b 选项说的是渡河的最短时间， d 选项是以最短时间渡河小船的渡河为一，是多大？ ok， 那， 那这个其实就是我们以最短时间过河的一些事了，对吧？那大家想想啊，最短时间过河，我只关注啥，哎，我只关注 y 方向就可以了，对吧？我如何让这个 y 方向上的速度最大就行了，因为 y 上位已经知道是 d， 对 吧？ 所以我们来看一下啊，最短时间，那好，那这个时候最短时间 t 是 不是应该就等于 d 比 y， 那 什么时候 y 最大呢？那很明显，我 v 二就是沿 y 方向的时候，这个 y 是 最大的，那这时候核速度应该是在这，对吧？因为这个是三，这个是五嘛， 对吧？那好，那这个算这个时间就应该等于啊，一百五十，再除以一个 y 是 三百零秒啊，它的最大值应该是 v 二， ok， 所以 这个时候应该等于多少五十秒？所以二 b 是 对的啊， 好，那这时候我们的位移多大呢？位移，其实你要求的是这个东西，对吧？记住了，你 y 方向位移是知道的，你是知道这个的，所以根据三角函数，其实你只要知道一个角就行了， 对不对？那这个角是什么？特殊角吗？如果纯做这个题的话，我已经可以判断 d 是 对了，因为这个角根本不是特殊角，因为它两条直角边一个是五一个三，所以这条直角边应该是五五二十五加九，根号三十四，微合应该是根号三十四。 那好，那这个时候你想想啊，我要求此时的谓语我写底下啊， x 它是不是应该等于 d？ 再除一个 cosine theta 是 不是应该等于一百五十？再除一个 cosine theta 是 不是应该等于三？除一个啥？根号三十四， 所以它绝对不是个整数，对吧，我甚至可以算一下，它应该是五十倍的根号三十四啊，对吧。所以这个题最终我们选择 bc 就 可以了啊。 好，我们看一下下一个题啊，来三十八挺啊，他说一个一艘汽艇呀，在净水中速率为微啊，这净水中的速率对吧，以平直河流和宽为 d 啊，我这标着了啊，然后水流自左向右流动，速率为零 啊，水的速度是为零，在这，现在我该汽艇啊，分别按照甲乙两种方式渡河， 能看出来甲船头位置与河岸是 c 塔，那其实他在净水中的速度方向与河岸就是 c 塔，乙也是一样啊，只不过是一个朝左一个朝右偏的啊。 ok， 好， 那这个夹角都是 c 塔告诉我了，船头朝向如图所示啊，且甲种方式刚好可以垂直渡河到达河对岸的 a 点 哎，甲刚好可以垂直度和，那好，我把甲的速度合成一下，他的核速度方向一定是沿 y 方向呗，对吧？所以甲这块，其实我把甲这块的速度矢量和画一下啊，他就是拿 v 零，我 v 和方向一定是沿这个方向， 那我的 v 呢啊， v 是 在这个方向的，只有这样才行。那现在问我们，哎，下一个说法正确是啥啊？这是假啊。那乙，我不知道，对吧？首先 a 两种方式的度和时间， 哎，又求时间，求时间，我们只看 y 方向，行了，不用管他啥啊。所以 a 选项我们的时间 t 就 应该等于 d， 再除以一个 y， 那 不管是假还是乙，它的 y 都等于啥呀？它的 y 是 不是都等于我的 y 再乘一个 三 e c， 它，对吧？对于假来说，你把这个 y 正交分解下，它是不是 y？ 就是 啊， v 再乘一个 c e c， 它对于来说也是一样， 对吧？所以两个 v y 相同，那么时间一定相等啊，所以 t 甲应该是等于 t e 的 啊。 ok， 所以 这个错了， 好换 b 啊。如果改变船头与河岸的夹角气艇的最短渡河时间等于这个，那啥时候时时间最短呢？ 不就是 v y 最大的时候吗？那啥时候 v y 最大呢？我的速度就是沿着 y 方向的时候，对吧？船的净水速度沿 y 方向的时候，所以这个时候的最短时间，它其实就等于 d 比上一个 v， 对，这个 v 沿着 y 方向啊，这就最大的 v y 了，对吧？所以这个错了，我们看 c 啊，如果河水流速增大，甲种方式不需要调整角度，也可以到达 a 点，大家想想，河水流速增大，我是不是这个矢量三角形，这个 v 零是不是应该大一点？ v 零大了，我把它变长一点，这叫增大，对不对？ 那你说你不需要调整这个角度，如果这个 v 还是这样，加了个 c 塔，大家想想，这时候我的核速度是不是朝着这个方向上了，他还能沿 y 方向上吗？不行了呀，对吧？他不行，你必须得调整这个 v， 哎，才可能到达一点，对吧？不然根本不可能啊。然后，对啊，一种方式，到达核对岸时，将偏离度和垂直点的距离为多少？ 啥意思呢？就以这个玩意，他肯定在做一个斜着的一个运动，假如说他的核速度是这个方向，对不对？这是他核速度方向， ok， 好， 那现在他是说，哎，我这个点是距离 a 点啊，偏离这个垂直点啊，他还不是 a 点，他偏离自己的 垂直和按点，偏离这个 a 撇点到底有多远？那这个时候该咋算这个呢？其实他在求的是啥？一个 x 方向上的一个位移， 他是不是在勾引你？哎，我把这个运动我就分解到 x 方向上和 y 方向上，分解一下啊，好，那首先啊，我们把这个第一个分速度画出来为零，那第二个分速度呢？这是乙啊，这是 v， ok， 好， 那这个时候我们如果把所有速度分解到 x y 方向上，就是变成这样，我们只需要分解 v 就 行了啊，它有自己的 v x， 还有自己的 v y， 那 这个时候我 x 方向上的分速度变成啥了？这个是小 c 塔啊，我 x 方向的分速度 v x， 它就应该等于 v 的 分速度加上 v 零，也就是 v cosine theta， 再加上为零，那说实话，微 cosine theta 其实就等于为零，因为甲已经告诉我这件事情了， 对吧？甲已经告诉我这件事情了，所以你甚至可以写成它等于两倍的为零都可以啊。 ok， 那 y 方向速度是啥嘞？ y 方向速度是不是应该是 v， 再乘个 sine theta， 那 我现在要求的是啥？我要求的是 x 方向上的为一， 对吧？那 x 方向上的 v x 是 不是应该就等于 v x 再乘以这个 t 啊？就用 x 方向速度再乘时间就行了。那时间咋求呢？我通过 y 方向过河来求，对吧？我的时间 y 就是 d， 是 不是应该等于 v y t， 那好，我们就可以求出我的 t 就 等于 d 比上 v y 是 不是应该就等于 d？ 再除以一个啥 v sin theta， 这是我的时间，对吧？那我把时间带到这里，我就可以去求这个 x 为一了。 v x 等于啥？ v cosine theta 加上 v 零， 对吧？ t 是 啥？ d 出一个 v sine， 所以 这个就对了啊，甚至把这一堆换成二倍为零才是对的。好吧，好了，那这个题就选择倒数就行了。好，我们看最后一个题啊， 这个三十九题稍微稍微有一点点难啊。他说某人划船横渡一条河，河水的流速处处相同，且是横定的，对吧？船的滑行速度也是横定的， ok， 然后已知此人过河的最短时间是 t 零哦。 首先告诉我，最短时间过河，他的时间是 t 一， 如果此人用最短的位一过河，则需要时间为 t 二， 对吧？然后他告诉我，哎，船的滑行速度我叫它 v 二吧，大于水速，我水速叫 v 一 吧。 v 二是大于 v 一 的，则船的滑行速度与水流的速度之比。求 v 二 比上 v 一 大小之比。那我们捋一下条件吧，他第一次他就告诉我俩条件啊，最短时间过河的时间是 t 一， 最短 v 一 过河的时间是 t 二。两个都是关于时间的啊，我们画个图吧。啊，最短时间呢？肯定是我 v 二沿着 y 方向，我时间最短是 t 二，两个都是关于时间的吗？ 对吧？那这个 t 你 稍微表示一下，他是不是应该等于 d， 再除以一个 v 二啊？跟 v 一 没啥关系， 对吧？那最短 v 一 呢？最短 v 一， 大家知道现在我 v 二是大于 v 一 的，那这个时候我是可以让 v 和是沿着 y 方向上的，对吧？我做一个圆比较大啊，我可以让 v 和沿 y 方向的，所以我最短 v 一 啊，就是这个这样去走， 对吧？那这个时候他给的还是一个条件式时间是 t 二，那 t 二等于啥嘞？ t 二是不是应该等于 d 比上一个 v y， 那 这个 v y 是 不是就是 v 二的数值，或者叫 y 方向的分量，对吧？那我设一个这个角叫 theta 的 话，其实就应该等于 d， 再比上个 v 二，再乘一个 sine theta， 那 好，那这个 sine theta 可以求吗？可以求啊，对吧？但是这个时候啊，散析塔，你拿 v 一 v 二去表示一下，这个三角函数是可以的啊， ok， 但是这个我后来做了一下，发现勾股定律，直接把这个 v 二求出来也行吧，对吧？ v y 直接求出来也行，其实 v y 就 等于这个此时的微和，所以咱直接用勾股吧，勾股吧。啊， ok， 其实我们的 v y 啊，此时就等于根号下 v 二的平方减去 v 一 的平方，对吧？求的就是这个直角边吗？ ok， 好， 那到此为止，我们把两个已知条件首先都表示出来了， 那接下来你要求的是啥？ v 二比 v 一， 那这咋办？好像没有别的办法了啊，你现在得到的是两个式子，对吧？你现在唯一的办法就是连立， 那这里有哪一个东西可是比较讨厌的呢？是不是就这个 d 啊？ d 我 不知道呀，所以我的思路是我们先试试连累，把这个 d 消掉再说，对吧？哎，我说他是一式啊，他是二式， 怎么消这个 d 呢？我们做个比就行了啊，我们用一比二啊，那一比二，左边比左边就是 t 一 比 t， 右边比右边呢？右边比右边 d 消掉之后就应该等于根号下 v 二的平方减 v 一 的平方比上一个啥 v 二好，那这个时候呢？ 这有根号不爽，那我们两边都平方一下，那你是平方，你是平方，这个根号 就干掉了，我就擦掉了好不好？那这边就是 v 二的平方了。那好，那这个时候我写到这，我其实心里已经笃定了，我一定能求出 v 一 v 二的比例关系的，因为这里没有什么长竖向，所以只有 v 一 和 v 二 t 一 t 二， 所以你稍微倒一倒，经过数学匀算，一定可以求的啊。所以我们先十字相乘一下啊，来，十字相乘一下，这边就是 t 一 方 v 二方，那那边呢？是 t 二方， v 二方减去 t 二方， v 一 方 好移向，把这项移过去，把这项移过来，对吧？那就变成了 t 二方减 t 一 方，括号 v 二方， 把上移过去，就变成了 t 二方 v 一 的平方，所以你是可以求出 v 二的平方比上 v 一 的平方的，对不对？ v 二平方比 v 一 平方应该等于啥？是不是应该等于 t 二方比上一个 t 二方减去 t 一 方？ 好，那你再开个根就行了。你发现你再开个根，你就可以得到 v 二比上 v 一， 它就应该等于 t 二比上一个根号下 t 二方减去 t 一 方，选谁呢？哎，那当然选 a 了啊。 好嘞，总结一下啊，小肠割合对吧，我们不应该只知道啊，和速度是两个分速度之对吧，我觉得我们更应该沿着正交分解的思想再去把这个运动分解一下。 很多时候我们只需要研究 x 方向跟 y 方向运动，其实就把这个小浑成过河问题给解决了。 ok， 好， 那这是第一点啊，我们换个角度一定要再次分解它啊，分解到 x y 方向上，那第二个呢？在我们求最短时间的时候，我们依照这个思想，我们只关注 y 方向运动就够了，毕竟过河本质就是 y 方向上为一是 d 嘛。 ok， 在 我们在研究我们最短位移的时候，记住，我们其实是主要关注啥？主要关注微和的方向啊，微和方向能延 y 方向，那就是啊，最短为 d 了， 如果延不了 y 方向呢？我越靠近 y 方向就行了嘛，对不对？所以我们通过哎，我们的矢量的一个作图三角形定则，对吧？我们把最能够靠近 y 方向的微和做出来，那这个最短位移也就出来了。 好了，我们也不需要背什么结论了，就是这么多最基本的最底层的东西，我相信你越是啊，对这个理解的深刻， 比你记很多结论要有用的多。第二个速度关联了啊， ok， 那 讲这个之前，我们先来回顾一下我们高一啊见到的一些啊连接体，比如说，哎，我们绳连接杆连接，还有这种接触面连接啊， 好，那像这种连接体啊，他们运动的时候，你会发现他的路都有个特点，比如说绳连接的时候啊，他们的速度大小什么关系呢？你会发现相等，对吧？杆连接呢，也是一样， 对吧？接触面也是一样，哎，你会发现，这些连接如果在同一直线上运动啊，他们的速度大小一定是相等的， 那好，那我们都觉得，哎，这不是常识吗？对吧，那我们想一想啊，如果这两个物体速度大小不等，会发生什么事，对吧？ ok， 那 好，那我们来看一下第一个，如果啊，这个 v 二，它是小于 v 一 的，大家觉得会发生什么事？ 哎，大家发现没有啊， v 一 快， v 二慢，对吧？那这个绳子现在已经绷直了，那你再一快，咱俩距离一增大，这绳子必然会断掉， 但是在我们物理中，在题目中，一般绳子是理想的，对吧？只要没有说他啊，有什么啊，可以承受的最大拉力，那其实我们认为绳子是不会断的啊，所以啊，在理想状态下啊，在理想模型下，这个货是不可能发生的啊， v 二小于 v 一， 对吧？ 那，那如果不是这样啊，如果 v 二大于 v 一 呢？二快一慢呢？那你觉得这个绳子会发生什么事呢？你会发现这绳子会松弛，对不对？所以你会发现，在第一种绳连接的情况下，只要绳子是绷直的，那么 v 一 一定等于 v 二，所以我们稍微总结一下啊，这个玩意啊，我们可以理解成，哎，两个物体如果绳连接，那么它们在沿绳方向上，速度一定相同的，对不对？ ok， 好，我们再看杆连接啊，那杆连接，我们来想想啊，那这个 v 二和 v 一 如果大小不一样，会发生什么事情啊？如果 v 一 比较大的话，那这杆被拉长了。大招杆吗？它是个硬的东西，它不是弹簧，对吧？它不能伸长，也不能缩短，对吧？所以当 v 一 比较大的时候，它不可能伸长，除非杆断了。 那微比较小呢？他杆会被压缩吗？也不可能呀，是吧？所以啊，那正是由于杆的这个特性啊，那所以他俩的速度一定相同。那我们可以总结为，哎，两个物体啊，杆连接的时候啊，他一定是沿杆方向上，速度一定相同的， 对吧？那好，那都要接触面了，那两个物体接触面相同，你说一的速度能大一点吗？不可能，一大了，这都不接触了，分离了，对吧？ 那一的速度能小吗？也不行，一速度小的话，那两个物体就会发生形变了，对吧？那必然会被压缩，对吧？所以正是由于这个特征，哎，我们也发现这种连接，只要是接触的那两个物体速度一定相同， 那我们再总结下，那这两个物体速度应该是垂直于接触面的，因为接触面在这个方向上，对不对？所以他们在垂直于接触面方向，哎，速度应该相同的，好，那这个是不是看起来很好理解啊，对吧？好，那接下来后面我们将会用到这个东西，先记住这个啊， 那第二个呢？既然这个题型本身是比较基础的啊，所以我希望大家在学识这个题型之后，具备一个非常非常基础的能力，叫做能熟练的把一个时量正交分解在任何一个方向，比如说这是一个时量 啊，随便啊，他比如说是速度化，对吧？我现在要把它分解到哪呢？我可不是让你把它分解到水平数值啊，我让你把它分解到 这个方向跟垂直于这个方向上，对吧？那你说你要能分解吧，对吧？你得具备这样的能力啊。比如说我分解到这个方向的分量，我就沿着这个箭头做他垂线，这就这个方向的分量，对吧？那我再垂直于他方向分量呢？ 那我沿着这个箭头做这个方向的平行线，对吧？那这个就是垂直分量了，所以你得具备这样的一个基本功啊，那这个基本功如果你还不熟练的话，请先把这个练好，再来听这个视频，好不好？ 好了，那我们回到切正题，哎，我们看一下什么叫速度关联问题啊？在我们必须二的这个刚开始这一张我们学习了运动的合成，一分解之后，你会发现很多时候我们见到的运动，它的运动方向，它都与这个绳杆或者是接触面， 他都不不啥呀，哎，他都不是相同的了，不是做那种相同的一个运动了，对吧？那好呢，这个时候呢，比如说像这种啊，一个车拉着一个船，对吧？那这两个速度你说相同吗？那这时候他就不一定相同了，对吧？那你说这两个速度啥关系呢？那接下来我们要解决的就是这个问题， 那同理，这个杆上的两个球的速度也是不相同的，我们要解决这两个速度到底有啥联系？还有这个小球跟这个活塞的一个速度关联问题，对吧？那好，那我们先看第一个啊，第一个，哎，这个车拉着这个船啊，那我们怎么去理解它呢？首先我们确定一下他们是绳子相连的， 对不对？那好，那有没有想起我们刚才刚刚说过的，绳子相连的两个物体，那么他们在延绳方向上的速度他一定相同，如果你这个速度不相同，那绳子要么被拉断，要么松弛， 是不是？所以我们就奔着这个最基本的原理，我们就可以解决这两个速度的关联。那好，那首先我们看下 v 啊，这个车的 v， 你 会发现它已经在延伸方向，因为绳是水平，我 v 也是水平，对吧？所以 v 一 它就是这个车延伸方向上的速度。那你说我需要分解它吗？我不需要分解它啊， ok， 那 好，那 v 二呢？ v 二不是，你看 v 二是沿着这个方向上。 对啊，它们并没有延伸，所以你会发现，我需要把 vr 分 解到延绳跟垂直于绳，我们把 vr 这个运动看成两部分运动，对吧？好，我们分解到延绳，再分解到垂直于绳， 对不对？那好，那现在我要解决的，哎，就是，哎，已知 v 一 跟 c 打，都忘读题了啊，求 v 二的大小。 v 一 c 打，知道的，我要求 v 二。那好，那既然咱延伸方向速度相等，那就意味着 v 一 延伸的速度就是 v 一 等于 v 二，延伸速度就这个速度， 是不是？那你很容易能写出它们的关系来， v 一 是不是应该就等于 v 二？它的这个分量应该等于啥？再乘一个 cosine theta， 那 你看这个 v 二不就解出来了吗？ v 二是不是等于 v 一 除一个 cosine theta？ 搞定 对吧？好，我们看第二个啊，来，第二个，这是一个杆，杆上两个球，这个球是向下的运动，叫 v 一 啊，这个球向右运动， v 二， 对吧？那你说这俩速度有啥关系呢？那首先我们来确定一下他俩是什么连接的？杆连接的那杆连接的物体，那我这俩速度没沿杆怎么办呢？那他们一定有沿杆方向的分量呀， 对不对？那只要是杆连接物体，我至少沿杆方向的速度应该相同吧，不然杆就断了，或者是 被压扁了，对不对？所以我们都把它分解一下啊，分解谁呢？分解就这个实际速度， v 一 v 二，对吧？来， v 一 在这呢啊，我们把它分解到沿杆和垂直于杆，对吧？那 v 二在那呢？我们也把它分解到沿杆方向跟垂直于杆方向。 好，那现在我已知 c 塔和 v 一， 我要求 v 二，对吧？那好，那我们就知道了啊，你们俩沿杆方向速度应该相同，也就是 v 一 的这个分量一定等于 v 二的这个分量，因为这俩分量都是沿杆方向 的，对不对？那我就可以列等式了。来， c 塔在这，那我们在这个矢量三角形里， c 塔在哪呢？很容易能看出来。 c 塔在这啊， 这个导角也是基本功，你们自己导去吧。啊，我现在不主动讲导角了啊。 ok， 那 好，那你说这个分量怎么表示呢？这个分量应该是 v 一， 再乘以个 sin theta， 那 好，那 v 二沿杠方向分量，那 theta 应该在这，这是个对顶角，对吧？所以它应该等于 v 二，乘以个啥？ cosine theta。 那 v 二等于啥？我要求 v 二， v 二是不是应该等于 v 一 sin theta 除以 cosine theta。 哎，这不就解决掉了吗， 对吧？好，我们再看第三个啊，你看这个球，他这连着杆，杆可以绕这个转，对吧？转到这是 c， 他 就那球现在往往左转，那之前，现在速度叫 v 一 v 一， 我知道 c， 他 也知道那球转的过程中，这个活塞是不是会往下运动呀， 对不对？那你说这个球跟活塞是什么连接的？那有位同学说，哎，老师，这杆吗？呵，杆连个辣子呀，对不对？这个杆是把球跟这个轴连在一起的，对吧？那球跟活塞这两个物体， v 与 r 这两个物体，他是接触面连着，大家没有发现他们是这个接触面连接的，所以这是个面连接。 那好，那既然接触面连接，我们有什么呢？有发现他们一定在垂直于接触面方向上分，速度相同，对吧？那我们就分解一下吧，那 v 二 v 二已经在垂直于面上了，因为我们的面接触面就是这个，对吧？这是我们的接触面啊，所以 v 二已经在垂直于接触面上，不用分解了，你分解 v 一 就行了啊，来 v 一 分解一下啊， v 一 分解到垂直于接触面跟平行接触面， 哎，我要的就是垂直接触面上的分量，因为你的 v 二一定是和这个分量相同，对不对？那我倒个角吧， c 塔在这，那我们导出来， c 塔应该在这， 是不是？好，那所以说这个时候我们就可以写出他们的关系啊，也就是 v 二就等于 v 一 再乘一个 sign 啊，这个分量。总结一下啊，我们这个问题就解决了，那速度关联问题，其实就是解决这两个速度之间到底有何联系，有什么等量关系的事， 对吧？我们通过三个例子把绳连接、杆连接，跟这种接触面连接的物体的速度关联都讲了一遍，对吧？那好，我们如何来解决这个问题？解题的核心是啥啊？ 首先第一步啊，你得首先确定好两个物体他们到底是什么连接的，是绳还是杆还是接触面，这个得看清楚吧，对吧？这个要看不清楚的没得解啊，对吧？那看清楚这个之后，其实你只要做好两步就行了。第一步，分解，分解啥呢？分解他们的实际速度， 对吧？他实际速度为一，我就分解为一，他实际速度为二，我就分解为二啊，你千万不要分解其他速度的去，对吧？而且我们这样的分解一定要正交分解，就是分解出两个方向，一定要是垂直关系，正交关系，对不对？那通常情况下，我们把这个实际速度分解到 盐绳、盐杆和垂直面方向，对吧？那好，那这个时候我们已经知道了，把它分解到这个盐和垂直这个两个方向。然后呢，第二步，我们列等量关系行了，什么相等呢？ 盐绳、盐杆它分速度相等，那面呢？应该是垂直面相等完事，对吧？所以只要你做好这两步，一，第一分解，第二个啊，写列个等量关系这事就 o 了。 那至于那些小细节，我相信大家在前面 b、 c、 e 的 学习中，比如说倒角这种学 b、 c、 e 学习中应该掌握的很好了，还有正交分解，对吧？ ok， 好， 就到这里啊，那好，那我们的基本方法就写到这了，那接下来我们通过几个题我们练习一下好不好？ 来，首先我们看一下第四十题啊，他说如图所示啊，在水平面向右运动啊， b 向右运动的，那物体 a 呢？恰好匀速上升 a， a 是 匀速上升的，那首先我们通过匀速上升，至少知道 va 是 不变的，而且你看到匀速了，至少你得知道 a 的 核外力为零吧，对吧？那好，那问你下列说法正确是啥啊？首先 ab 选项啊，就问的是，哎，我 b 做啥运动，对吧？那首先大家能看出来 ab 是 干啥的？绳连接的， 对吧？那好，那你就一分解二相等呗，对吧？来分解 va， 你 需要分解吗？你不需要分解， 因为它已经延伸了，不需要分解，对吧？那 v b 呢？ v b 在 这啊， v b 需要分解吗？哎，需要分解啊。 ok， 我 们把 v b 分 解到延伸跟垂直于什么方向， 对吧？那好，那我需要是哪个分量呢？我需要的是延伸的这个分量，也就是这个分量， 是不是？好，那这里看它给了个 r 法啊，这个 r 法，你会发现随着 b 的 运动啊，它会变，对吧？我们先把这个 r 标着啊，这个就是一个对顶角了。 r 法，那好，那我们能写出来 va 和 v b 的 等量关系是啥呢？是不是就是 va， 它就应该等于 v b 的 这个分量啊，再乘以 a 做什么运动，是不是？我们就看 v b 怎么变就行了。那 v b 等于啥？ 哎，我就不用写 v b 等于啥了啊，我们看 v b 怎么变形了。首先 b 向右运动的时候，这个 r 法怎么变，你们知道吧？哎，这个 r 法会变小，对不对？那儿法变小，那 cosine 法是不是一定会变大？ y 弦嘛？ 是不是？锐角嘛，对不对？那 cosine 法变大， v a 又是不变的，那么 v b 一定会减小，所以 b 一定会做减速运动， 那你说它是匀减数吗？那很显然不是，对吧？它这是个三角函数关系啊，对不对？怎么可能匀减速啊？所以这个 ab 选项啊，肯定都错了啊，我就不知道为啥不是匀减速了。 ok， 好， 那接下来我们看 c d 选项啊，那 c d 选项 d 选项我们已经可以用这个来解决了，我们把 d 选项写下啊，那现在我如果这个 r 法等于三十度角，问你 v a 比 v b， 那 么 v a 比上 v b， 它是不是就应该等于 cosine 三十度这个 dog 选项啊，那就等于多少呢？二分之跟三啊，所以这个 dog 肯定是对的。 好，那剩下 c 了， c 跟这个速度观念没啥关系，但是我们也能解决啊，我们来看一下 c 啊，来，地面对 b 的 摩擦力怎么变啊？那这个其实就是涉及到一个受力分析了啊。 ok， 那 首先我们来看 b 受什么力啊？来， b 首先受到一个向右的 f， 对 吧？那还有自己的重力， 还有什么力呢？还有这个绳子，这有个拉力 t， 对 吧？还有一个这个弹力， 嗯，当然还有摩擦力，摩擦力是地面对它摩擦力 f 还有啥力吗？我找不到了啊，基本上就只有这些力了啊。 ok， 那， 那很明显这个摩擦力它是一个滑动摩擦力，对不对？那我们能知道啊，这个 f 等于啥？ f 是 应该等于没有 n， 那 这个没有肯定是不变的，那也就是说这个滑动嘛，它也不是平衡状态嘛，对吧？所以你也不可能用通过平衡的状态去求这个 f， 所以 我们现在只能用这个滑动摩擦力这个东西了啊，那这个 f 怎么变？是不是完全取决于 n 怎么变？那有些同学说，哎，老师，这个 n 不 就减了吗？ n 等于 mg 吗？ 大家想想， n 等于 mg 吗？对吧？这还有个斜着的 t 呢，所以我们正交分解思想，你会发现我在数值方向平衡我 n， 它不是等于 mg， 你 要考虑这个 t 呢，对不对？我们把 t 分 解一下啊， 对吧？所以你会发现这个 n 等于啥？哎， n 就 应该等于 mg， 再减去一个，这个角是 r 法啊， 减去一个 t 的 一个数值分量啊，也就 t 再乘一个三幺二法，这是 n。 那 好，那大家请讲，那 n 怎么变，那 f 就 怎么变呗。这 m g 是 个定值，那 t 呢？ t 是 定什么？ a 没问题， t 是 定，为啥 a 是 匀速的呀，是不是 a 匀速，所以 a 受到一个 t 和 m a g 这两个 t 是 不变的，对不对？那变的指是谁变的？是 r 法， r 法怎么变呢？ r 法在减小，所以三样 r 法整体在减小，那三样 r 法在减小，这一堆减小，那我 n 呢？ n 就 会增大，因为 mg 不 变嘛，这个或减小了，那这个叉值肯定增大， n 增大了，那 f 一定会增大，所以这个错了。 好，那这个题最终我们选择 dog 就 行了啊，所以 a b dog 选项都是可以用速度关联解决的，只有 c 选项，哎，掺杂了一下这种摩擦力的一个判断啊， ok， 综合的还挺好的这个题，所以我把它选了。好，我们看四十一题啊， 来，四十一题。说是这样啊，如图所示啊，重物大 m 沿竖直杆下滑往下走，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动啊， 车向右走，你向下走，对不对？反正就是这样一个事。然后说，当滑轮右侧的绳与竖直方向成贝塔角时候，且中下滑的速度为 v 的 时候，问你啥，哎，滑轮左侧的绳与水平面夹角是 r 法角，就这是，现在是 r 法角，问你啥？小车的速度， 对吧？求小车速度啊。 ok， 那 这很明显也是个速度关联。那首先看一下这个大 m 跟这个小车靠啥连接绳子呗，对吧？那好，那大 m 的 速度就是这个 v， 对 吧？小 m 的 速度。我画一下啊，我就说他是这个 v 撇吧，对吧？好，那你现在我只要找到 v 跟 v 撇的关系啊，这事就 o 了，对吧？那既然绳连接，我们分解他俩 分解这个 v 为撇，分解到延伸跟垂直于绳方向，哎，我们只要知道延伸速度相等就行了，对不对？来分解这个 v 撇来 v 撇分解到延伸就在这，大概是这， 对吧。垂直于绳大概在这，哎，我们要的就是延伸这个分速度这个玩意啊，那这个 v 呢？我们也分解到延伸方向跟垂直于绳方向， 哎，我们要的也是延伸方向这个速度，对吧？那好，那你会发现对于微撇延伸分速度就这个玩意儿啊，是微撇乘一个 cosine alpha， 那 对于微的延伸分速度呢？因为这是 bea， 那 这个也是 bea， 对 不对？对，顶角嘛， 所以应该是 v 乘以个 cosine beta， 对 吧？那你求的微撇等于啥？是不是等于 v cosine beta 除以个 cosine alpha？ 所以 这个题选谁嘞？选倒格就行了嘛， 一步搞定啊。好，我们看四十二，如图所示的机械装置可以将圆周运动的转化为直线上的往复运动啊，也就这个有个轴 带着这个杆，杆带着 b 这样转圈圈，那这个 a 呢？就这样往复运动，大概这样子啊，连杆 a b o b 可绕图中的 a、 b、 o 三处的转轴转动。 这是一个连杆 o、 b， 还有一个连杆 a、 b 可绕这个轴，三个轴 o、 b， a 开始转动啊，这个圆圈的都是轴啊。然后连杆 o、 b 在 数值面内的圆周运动，可通过连杆 a、 b 使滑块在使平杆上左右滑动，已知 o b 杆的长度为 l， 对 吧？这个是 l， ok， 好，那现在呢？绕 o 点做逆时针方向的转动的角速度是 omega， 给我这个 l， 也就给我 b 的 一个圆周运动的半径，还有给我角速度 omega 了。其实我是可以求出 b 的 一个限速度的，对吧？那 b 的 限速度为 b， 它就等于 omega l， ok， 那好，那当连杆 a b 与水平方向夹角为阿尔法的时候， ok， 那 这个连杆与这个夹阿尔法的时候， ab 杆与 o b 杆的杆的夹角为贝塔，也就这个大角是贝塔，对不对？求的是啥？求滑块的水平速度大小。 ok， 那 现在其实你现在知道的是啥？你现在知道的是 b 的 一个速度，对不对？ 好嘞，那我们先看一下 ab 速度之后朝哪个方向吧， a 只能左右动，所以人家也标出来 a 现在朝左动，所以 a 的 速度 v a 应该在这个方向上，对吧？那 b 呢？ b 做圆周运动，所以 b 的 速度方向应该是这个切线方向， 对吧？ v b 等于多大呢？ o b 等于多大呢？ o， 我 们知道的，对吧？那好，那，那大家想想这个 b 和 a 靠啥连接？ 靠杆吗？是不是 ab 这中间这个杆呀？所以它俩是杆连接。那好，那既然是杆连接，那咱啥分解完之后，对吧？沿杆方向速度相等就完事了，所以我们就分它吧，来分解为，分解为分解到沿杆方向 跟垂直于杆方向，这是 v， 对 吧？我们要的是沿杆方向速度，还有 v b v b 也要分解到沿杆方向 和垂直于杆方向，注意，垂直的是 ab 杆啊。 ok， 别分解错了。好，我们要的是沿杆方向这个 v b， 对 吧？在这呢？ 好，那也就是说你的这个分速度和我这个分速度应该相等的。那好，那我们就可以列等量关系了呗。那 v a 的 这个沿杆分速度，那这个 r 法，那这个不就也是 r 法吗？所以就是 v a 乘以一个 cosine 尔法，这是 v 沿杆分速度，对吧？那 v b 沿杆分速度呢？哎，你会发现，那这个夹角可不是贝塔了，贝塔是这个带这个大角，对吧？你要的角应该是这个角，我叫它 c 塔，它应该等于 v b 乘以个 cosine c 塔，那你说 c 塔角，你不知道怎么办？你要求 v， 你 没法求呀，是吧？那这么干啊，这么干啊。首先他告诉我这个贝塔了， 对吧？这个大角是贝塔，对吧？好，大家没有发现，我要求的这个 c 塔是不是应该等于贝塔减去九十度啊？为啥呢？因为 v b 和这个 o b 是 垂直关系，这有个直角，对 吧？这是半径，这切线嘛，对吧？所以整个大角是贝塔，那我把这个直角减掉之后，剩下的角不就这个 c 塔吗？啊，所以我们的 c 塔角应该等于等啥嘞？ c 大 角应该等于贝塔 减九十度，是不是被它减九十度？ ok， 好， 那你知道这个玩意儿的话，那好，那现在我们就可以去解决一些问题了啊，好，那你看我这个 v a 乘以 cosine 而法， cosine 而法，知道的，那 cosine 被它减九十度等于啥嘞？ 我再写一步啊，这个根据三角函数的关系啊，它就应该等于，哎， v b 再乘一个 sine 被它， 对吧？ cosine beta 减九十度就是 sine beta， 对 吧？这个诱导公式啊，自己推导一下好不好？我就不推了啊。好，那知道这个之后，那好，那现在我们把 v b 等 omega l 也代一下，它应该等于 omega l sine beta， 那 你说 v a 是 不是就出来了？那 v a 是 不是等于 omega l sine beta 再出一个谁 cosine alpha 该选谁呢？啊？该选 dog 对 吧？ dog 是 对的啊，好嘞， 那四十二也就完了，我们看第四十三题啊，我如图所示啊，一根长为 l 的 轻杆 o a 啊，现在呢？ o 端用角链固定在这呢啊， ok， 然后呢？轻杆靠在一个高为 h 的 物块上，然后某时刻杆与水平方向的夹角是 c 塔告诉我了物块向右运动的速度是 v， 也告诉我了，对不对？问你此时 a 点的速度，求这个点的速度， 那大家发现没有啊，当我这个物块向右运动的时候，这个杆应该是绕到这个 o 点在转，对不对？那你说这个物块与杆有啥关系呢？ 因为物块与杆的在 b 点这相连接着呢，相接触着呢，对不对？那他俩是通过什么连接在一起的？ 哎，你会发现他俩是通过接触面，对吧？他们，哎，是通过这个杆的这个接触面连在一起，所以这是个接触面连接的物体啊，你要首先得确定这一点。 ok， 那 好，那我们这个 v 肯定是与 b 点这个 速度，那 b 点速度应该垂直于杆吗？ v b i 一定是有关系的，因为他们是接触面连接，所以他们俩的关系是啥？应该都是在垂直于接触面上，哎，我速度应该是相同的， 对不对？好，所以我们首先明确了 v 跟 v b 是 有关系的，但是现在我求的不是 v b， 对 吧？我求的是啥？我求的是 v， 那 咋整？那 v b 与 v 有 关系吗？ 啊，当然也有啊，对吧？ v b 与 v a， 它们都是在绕着这个 o 点转动，它们的角速度应该是相同的，对吧？所以 v b 与 v a 的 关系，其实我们通过角速度相同就可以找到它们的关系了，它们的大小应该与它们的转动半径是成正比的，对吧？毕竟 v 等于 omega r 嘛。 所以我们的思路就来了啊，我们首先通过这个速度 v 雾块儿速度 v 求出 v b， 然后再通过 v b v a 的 欧米伽相同的关系，我们再求出 v a 就 可以了啊，这就是我们的整体思路，对吧？ ok， 好， 那我们先来根据这个接触面关联连接的这个把 v b 球啊， 那现在 v b 已经不用分解了，因为它已经垂直接触面，我们的接触面是就这样吗？对吧？那 v a 呢？这个速度有没有垂直接触面？没有，你得把它分解一下啊。那我们把它分解，我把它画大一点吧，我把它分解到沿着平行于接触面，对吧？和垂直于接触面啊，这两个差不多平行啊， 这个能分解啊？ ok， 这个分解有点技术含量。 ok， 好， 那我们要的其实就是垂直于基数面的这个分量，那我的 v b 应该等于它，对吧？所以我们再先写一步来，我的 v b 应该等于啥？哎，应该等于 v 再乘一个，这个角是 c 塔啊，这个角是 c 塔，因为这个是同位角啊，跟这个 c 塔相同啊。 v 再乘一个三 in c 塔， 没毛病吧啊？ v 乘以三下，好，我 v b 求出来了。那好，那我们再来找 v b 和 v a 的 关系，由于它们欧根相同，对吧？哎， v b 等于。如果 b 的 这个转动半径是这段的话，你会发现这个叫做 r b 吧，对吧？这个 r b 能算吗？ 能算的啊，这个虽然没告诉你，但是这个 h 告诉你了，所以这个 r b 应该是 h 除以 sine theta， 对 吧？ ok， 应该等于 omega 再乘一个 h 除以 sine theta， 这是 v b 啊，那 va 呢？ 是不是应该等于 omega 再乘一个杆的长度？杆长度告诉我了 l， 对 吧？所以你看，我又与 omega 相同，我这做个比例就可以得到了啊。 哎， v b 比 va， 它应该等于 h， 比上个 sine theta， 哎，再除以个 l 对 不对？所以我们的 v a 等于啥？ v a 是 不是应该就等于一个 h 分 之 l sine theta 再乘一个 v b， 对 吧？好，那你再把 v b 带进来。 v b 不是 求出来吗？所以它就应该等于 h 分 之 l sine theta， 再乘以一个啥？ v sin sin theta， 那 最终就是 lv sin sin theta 平方了嘛，我就不写了。那就 h 分 成 lv sin theta 平方， 谁呢？ c 就 对了，对吧？所以我们这个题选 c， 那 这个题总结稍微总结一下有点难度，第一个你得看清楚，哎，这个速度 v 到底是与谁有关？其实是与它接触的这个 b 点的速度有关， 明白吗？因为毕竟是这个 b 点与它接触，那它们俩是什么关系呢？接触面连接垂直于面的方向上，速度相等，这是你要看清楚的第一点啊。第一点，你得找到这个 v 到底与谁有关。那第二点，我们求的不是 v b， 我 们求的 v， 你 得找到 v b 跟 v 的 关系，它俩关系啥呢？ 欧米伽相同，角，速度相同，就这点了好吧， ok， 好， 最后一个我们看四十四题啊，说如图所示啊，将器型的木块 b 放在光滑水平面上，靠墙边，并用手扶着，我先用手扶着它对不对？不要让它动。 ok， 然后呢，在木块和墙面之间放入一个小球，放上小球对不对？ 然后七星木块的轻角是 c 塔，我标上了，然后放手，让小球和木块同时又静止开始运动，我们知道小球就往下运动了，木块就往右运动了，对不对？然后某时刻二者的速度分别为 v a 和 v b。 现在问你 v a、 v b 的 比例关系，那我们先看一下这个小球跟木块 它们俩之间是什么连接的，很明显，它们俩之间是接触面连接的，对不对？ 所以你先看清楚这个连接的一个情形，再来看一下这俩速度传感器。既然我们已经判断出来接触不良连接，那剩下的我们只要知道，我把这俩 v a、 v b 分 解完之后，分解到垂直于面跟平行于面，它们垂直于面速度相等就完事了，对吧？所以我们分解一下啊，来分解 v， 把它画大一点啊，来 v， 我 们在垂直一面的分，速度在这，在平行一面的分速度在这，我们要的是它，然后我们倒一下角，其实这个角就那个 c 塔了啊，那我们再分解一下 v b， 那 v b 我 们也把它画长一点吧。 好，它要垂直于这面跟平行于这面不太好画啊。我们先做这个交叉平行线， 这就是平行于极数面的分量了，再做它的垂线，这就垂直于面的分量了，对吧？我们要的是这个分量，那 c 塔在哪呢？ c 塔在这。 好，那接下来我们就可以写等量关系了啊，你的这个分量等于我的这个分量，咱都垂直于极数面，分量相等吗？所以应该是 va cosine theta 就 这个分量了啊，应该等于啊，这个分量就等于 v b a sin theta， 那你说 v a 比 v b 呢？是不是应该就等于一个 sine becauseing 完事了呗。所以选谁呢？哎，选 b 就 行了啊。好嘞， 速度关联其实非常非常容易解决，对吧？只要你知道了这些绳连接杆连接跟基数面连接它们最底层的速度等量关系， 对吧？绳连接杆连接是沿绳连杆分速度相等，而我们的接触连接是垂直于接触面，速度相等，只要知道了这个，那剩下的事只需要分解列等式就完事了。 所以你 get 到了吗？带约束的平抛能看见我画个星吧。啊，那这个就是我们必须二，至少是我们的一个抛体运动这一章啊，很重要的一个体型了啊。 那首先啊，我们来想想啊，什么叫带约束的平抛啊？那平抛我们都知道啊，出速度为零啊，它只需要重力，它就平抛，对吧？那如果是一个这样的一个平抛， 对吧？它 freestyle 对 吧？它，它就这么一直运动下去，你说它是带约束的吗？不是，对吧？那什么是带约束的平抛呢？ 比如像这种这种这种这种这种啊，他要么就是落在地面上，要么就落在这样的球面上，要么落在鞋面上，等等等等，要么就垂直打在鞋面上，要么就垂直打在球面上，要么就是刚好哎，无碰撞进入这个球面， 对吧？总之这种啊，对这种平炮不管是在卫衣上或者速度上有一定限制的啊，我们都叫做带约束的平炮。 ok， 那 好，那我们接下来就来看一下这类平抛到底应该怎么处理啊？那首先啊，我们底下有六个例图啊，都是让我们求平抛时间 t， 那 图中这些数据啊，都是已知量好不好？好，那我们首先看一下第一个啊， 说实话，平抛运动我们到底是怎么处理，大家也都知道啊，就分解嘛，而且我们通常都是水平数值分解他，对吧？那像第一个啊，我从这平抛以 v 零平抛过来啊，我的这个数值高度是 h 的 话，那你说我怎么求这个平抛时间 t 呢？ 很简单嘛，大家想想，我现在知道啥啊？我知道的是 v 零啊，出速度我还知道啥？哎，我还知道的是啥？数值为一 对不对？那好，大家发现没有，我现在是已知未知的已知这个数值未知的。那好，那我接下来 我就分解为一就够了，我就不需要分解速度，明白吗？所以我分解为一哦，我发现数值方向上哦，原来 h 等于二分之一 j t 的 平方，所以我们直接就把这个 t 求出来了，对吧？等于根号下 j 分 之二 h 搞定了吧，对吧？所以啊，你看，我们就是根据已知什么，哎，我们就可以决定我们分解什么。那接下来我们看第二个啊，那第二个是这样子的啊，我从圆心处平抛一个物体，对吧？它落在这了，然后圆心与落点之间的连线与数值线方向的夹角是 c 塔， 对吧？一样的，哎，我已知是为零，还有已知 c 塔，那我现在还是要求时间 t 该怎么求呢？分解呗，对吧？那这个时候分解，你有两个选择，你是分解位移呢？还是分解速度呢？还是两个都分解呢？我们怎么选？ 那好，很简单啊，你就看你知道什么已知什么，你就分解什么。那现在已知速度吗？哎，我们看一下 b 点， b 点速度你知道吗？不知道，你只知道出速度，对吧？对于 b 点你一无所知， ok， 所以 对于这个速度，既然不知道，我们就不要去分解它，不用浪费那时间。那现在我知道啥？我知道 ob 连线与数值方向夹角，那这个 ob 连线是啥呢？ 不就为移吗？对吧？所以我现在其实不是知道为移的大小，是知道为移的一个方向，这个夹角代表它方向，对不对？所以一样，我已知为移，我分解为移，那我把这个为移划出来，我把它分解一下， 对吧？那好，那这时候我不知道 v 一 大小，我知道 v 一 方向，我怎么求这些时间替呢？大家想想啊，当我知道一个方向的时候，这里分解完之后，这里像是存在这样的一个矢量三角形的， 对不对？矢量三角形，而且这肯定是个直角三角形。那好，那一个矢量三角形里，你知道一个角的话，其实就是给了你三边关系，因为三角函数他会把这个三边关系联系起来，对吧？所以啊，当我们知道这个时候，我们就可以利用三边关系来求， 那好，那大家想想啊，那这个时候我能列什么式子？哎，我建议我们列水平数值为一的关系， 对吧？那水平数值为一关系其实就是与这个角的正切值有关。我们来看一下啊，如果我列个正切，它宁可塞它，它应该等于啥？它是不是应该等于水平为一，除以数值为一，对吧？那水平为一应该是 v 零 t， 那 数值为一是啥？二分之一 j t 方。 哎，好巧不巧的， t 还能约掉一个，好，那 t 约掉一个，剩下啥了？剩下就是 j t 分 之二为零， 对不对？好，那你现在要求的 t 能求出来吗？当然可以求，那 t 它就应该等于二为零，除以一个 g， 它整数，你看，这不就解决了？ ok， 好， 所以你看，像这种啊，哪怕我不知道大小，但是我知道方向，我依旧是可以求出时间的啊，那靠啥求呢？靠这样的一个矢量三角形的一个三面关系，对吧？ ok， 好，我们看第三个啊，来，第三个就是一个小球，从 a 点平抛平抛落在这个 b 点斜面上，这个 b 点，那斜面呢？轻脚是 c 踏出速度为零，我也是知道的，那你说这个时候我该怎么求时间呢？ 那还是一样分解吗？分解谁呢？那就看知道谁分解谁呗。那大家想想，你现在知道啥呢？知道 b 点速度，对吧？速度方向，速度大小你都不知道，那你知道从 a 到 b 的 位置吗？ 好像你是不知道为一大小的，但是你会发现我是知道为一方向的，因为 ab 连线其实就是为一方向。那这个为一方向一定是啥？沿斜面的， 对吧？那所以现在我就是已知为一，那我就分解为一。来分解一下啊，这是他的为一，我翻了分解一下。啊，那角在哪呢？角在这， 我知道方向。那刚才已经告诉我了，知道角了，就知道三边关系了，所以我就列一个水平与数值的一样的关系，找正切就行了，对不对？你不用找正弦与弦啊，我们找正切啊。好， 那三点四点应该等于啥？这个时候就等于数值为一，比上水平为一，它就应该等于二分之一 gt。 方，就是我的数值为一，比上水平为零 t。 啊，好，把这个 t 约掉一下啊，那就变成了二倍的 v 零分之 gt。 对吧？那你说这个 t 你 能求出来吗？可以的啊， t 就 等于 g 分 之二 v 零 find the set。 好， 我们研究一下这个速度吧。啊，研究下速度吧。来，比如说，哎，我这个平抛，我的速度是这个方向，对吧？那速度其实与水平方向有个夹角，我把它叫做 r， 那 这个角我们可以起个名字啊，大家都应该知道，这叫速度偏角， 对吧？那好，那你会发现这个时候咱的谓一偏角是啥？谓一偏角其实就是这个 theta， 指谓一与水平方向之间的夹角。那这两个啥关系呢？我们有个推论啊，就是这两个偏角之间有个这样的关系， 就是 tangent 的 算法应该等于二倍的 tangent 的 theta 也就速度偏角的正切是位于偏角正切的二倍，对吧？这个我不在这里正啊。 ok， 那 我主要想在这里说啥呢？就是在这样的一个在斜面上平抛的时候，大家想想啊，只要你落在斜面上，你的位于偏角， 变吗？他不变，比如说你速度小点，你落在斜面上 v 一 偏角还是 c 塔，你速度大点，落在斜面上， v 一 偏角还是 c 塔。只要你落在斜面上， v 一 偏角是一定是相同的。那大家想想，既然 v 一 偏角是相同的，那么我速度偏角呢？哎，他一定相同， 对吧？所以我们有个结论啊，就斜面平抛，速度偏表，哎，均相同，哎，这就是我想给大家好用的结论啊，这种结论可以在有些特定的情况下啊，将这种斜面平抛的情况下啊，可以帮助你快速的去做一些选择题的一个判断啊。过啊，第四个 来第四个这样一个从 a 点一个平抛，垂直打在这个鞋面上， ok， 好 嘞，垂直打在鞋面上出速度，这个是知道的，对吧？这个速度我们当不知道啊，这个是不知道的啊，这个图忘改了，不过没关系啊，那接下来我们思考一下啊，我们现在如何求这个 t。 大家想想，你现在知道什么？ 你知道谓一吗？你不知道谓一，对吧？ ab 连线方向大小你都不知道，那你现在知道什么？你知道这速度为啥呢？他告诉我垂直打在弦面上，说明我现在知道的是速度的方向， 对吧？那这个速度方向一定与这个弦面倾角 c 塔是有关的，对吧？所以我已知速度，我分解速度，对吧？来把这个速度分解一下，这是它的水平，这是它的数值，那水平分速度叫 v y， 对不对？那好，那现在我知道速度的是方向，不知道速度大小的话，我怎么去求这个时间 t 呢？哎，我们来看一下方向啊，由于这个角 c 塔，我们倒一下角，这个角就是 c 塔了啊。 ok， 大家想想啊，那现在我这个方向依旧是给我带来这个尺量三角形的一个三边关系， 所以我依旧只找两个直角边的关系，也就是水平数值分速度的关系就行了。靠谁呢？靠，正切 tan angle theta 是 不是应该等于 v 零比 y， 那 就应该等于 v 零比上 j t 好， 那所以说我的 t 啊，就等于啥？ v 零比上 j tan angle， theta， 对 吧？ ok， 好， 这个就叫做已知速度分解速度了啊，那我们看第五个啊， 第五个垂直打在这个圆面上，那你会发现这个时候我还是已知速度啊，当这个默速度不存在啊，这个默速度大小我不知道啊。这个图忘改了。好，那现在还是已知速度方向的，不知道为宜的，所以已知速度分解速度。把这个速度分解一下， 那，那根据这个内错角，这个角就是 c 塔了，对吧？我们找的还是贪婪的 c 塔，那贪婪的 c 塔还是等于 v 零比上 v 外，对吧？就等于 v 零比 t， 所以， 哎，我这个时间 t 就还是等于 v 零比上一个 g， 它就等于 the theta。 搞定啊，时间搞定啊，那最后一个，最后一个，这个平抛过来，哎，我无碰撞进入这个圆弧面， 对吧？那这个速度我还是不知道啊，还是不知道，但是现在我知道这个角，对吧？就这个 o b 连线与竖直方向的夹角，对吧？ ok， 现在我这样无碰撞进入，证明啥？证明是沿着圆弧的切线进入的，对不对？那沿着切线进入，证明现在我还是知道的是速度的 方向，对吧？那已知速度，分解速度，把这速度分解下，那，那这个角 c 塔，那我们倒个角，这个角应该是 c 塔，所以我们继续找一个两个直角边的关系，就是贪念了 c 塔，那贪念了 c 塔就变了啊，变成 v y 比为零了，那就应该等于 j t 比为零， ok， 所以 时间 t 等于啥？哎，时间 t 就 应该等于一个 j 分 之 v 零，它就等于 c， 到此为止啊。这六个例子，我们把每一个的时间都搞定了， 那我们回顾一下啊，我们到底是怎么去求出这个时间呢？大家想想，为什么有时候我们就分解为一了，为什么有时候就分解速度了？也就是说我们在这个时候，在选择分解谁的时候，我们是如何做选择的？我们分解啥？ 其实我们的选择逻辑非常非常简单啊，就是我们知啥分啥，哎，你知道为一了，那你就分解为一啊，你知道速度了啊，你就分解速度嘛， 对吧？那有时候要求啥呢？其实你求啥分啥，其实也说得通啊，对吧？总之就是我们选择我们分解的对象为还是速度的时候，就是看已知所求 就是这么简单，对吧？ ok， 这是第一个分解啥？好，我们第二个，我们再看打列式啊，我们分解完之后，我们到底怎么列式啊？有时候我们知道的是 大小，比如说 v 一 大小，有时候我们知道的是方向，比如说速度方向，对吧？当我们已知大小的时候，其实很简单，我们就列大小就行了，比如说我已知 y 方向的 v 一 大小， y， 那 y 就 等于二分之一，这个地方，你就列这个十字球体， 那我知道 x 方向大小。说 x 等于 v 零 t 啊，这叫已知大小。列大小，那比如说我已知 y 方向速度的话， v y 的 话，那 v y 等于 g t， 就 直接把 t 求了， 对吧？这叫列大小。那如果已知方向呢？你会发现我们这个方向，我们这个 c 叉角其实给的是一个三边关系，对吧？它有了角了，肯定是有三边关系的啊，所以这个时候啊，我们就列一个 正切就行了，对不对？因为正切我可以找到水平跟数值方向的分量的一个关系，那我们通过水平数值分量，哎，就可以求出时间替了，对吧？ ok， 那 好，那你们有没有思考过，为什么我们要求替呢？ 我们求其他的不行吗？为什么偏偏要求替？好，那大家思考完，我们来再公布一下啊，就是这个平抛运动中啊，你会发现，当你知道时间的时候， 你就可以为所欲为了。你想想，你从初始时刻到最终啊，平炮的时间搞定了，你说你求哪一个卫衣求不出来，你求哪一个速度求不出来，对吧？随便求。 所以在平炮运动中，我最关键的要求啥，就求 t， 假如说题目没让你求 t， 那 你也应该知道，这个 t 是 我们解决平炮运动的一个非常非常关键的桥梁， 对吧？所以很多时候我们群跑运动，要么就是列方程去求个 t， 对 吧？要么就是直接求 t 啊，基本上就这一回事啊，或者是把 t 削掉， ok， 基本上这样啊，好了，那这就是我们的带约束平抛啊，那这个就是我们最终的一个最核心的一个总结要点啊，大家 体会一下。 ok， 那 我们接下来通过一些题目来练习一下啊。首先我们看一下第四十五条，哎，如图所示 啊，斜面的倾角是 c 塔在这呢啊，位于斜面底端 a 的 正上方的小球以出速度为零，正对斜面顶点， b 水平抛出啊，一个物体在这抛出了，对吧？注意几何关系啊，他在 a 的 正上方哎，他在与 b 在 同一水平面上，对吧？ ok， 好， 那小球到达斜面经过的时间为 t 啊，重力加速度是 g， 问，你下列说法正确的是啥啊？好，我们先看 h 啊， 若小球以最小的位移到达鞋面，问，你 t 的 有多大啊？那你首先思考一下啊，什么叫最小位移，对吧？我这样平抛，平抛，平抛，你给我问，平抛到鞋面上，不同位置我位移是不一样的，对吧？那位移是啥呢？ 位移本质上啊，他就是这个点到我落点的一个直线的一个有效线段， 对吧？比如说落点落到这了，我的卫衣就这一段，是不是？那你说说我的最小卫衣在哪呢？哎，最小卫衣其实就是抛出点到鞋面的最短距离， 对不对？那这个最点这一咋做呢？那做个垂线不就得了吗？所以当我卫衣与这个斜面垂直的时候，哎，那这个时候就是最小卫衣了。好了，那现在我们要求替大家想想我该怎么求。记住了啊，知啥分啥，你如果找到最小卫衣了，你现在知道啥？你知道速度吗？ 不知道，你现在知道的是 v 一， 而且不知道 v 一 大小，你知道的是啥？ v 一 的方向，对吧？因为它垂直于斜面，所以你这个方向一定能知道，所以我们分解 v 一， 对吧。以这 v 一 分解为一，把这 v 一 分解到水平处直，你看这个角就是 c 塔了啊， 那，那如何求这个 t 呢？已知方向的时候你就列 tangent 就 行了啊，因为 tangent 能找到水平数值的关系，那 tangent c 塔是不应该等于水平比数值，对吧？所以这时候应该等于 v 零 t 比上一个二分之一 gt 方， 对吧？它就应该等于 gt 分 之二 v 零，所以你要求的 t 就 应该等于啥？二 v 零比上一个 g 是 tangent c 塔好，那这个对吗？这个对啊。 好嘞，我们看第二个 b 选项啊，如果小球垂直几种斜面，什么叫垂直？几种斜面？什么垂直？ 他的速度垂直，对吧？所以这个时候，哎，我的速度是垂直于斜面的。那你现在知啥？分啥？你分解谁呢？你分解魏仪吗？你魏仪一无所知啊，对不对？我现在知道啥，知道的是速度， 对吧？我知道速度方向，所以你就分解速度就行了啊。已知速度，分解速度。那，那 c 塔在哪呢？ c 塔在这啊，那依旧是知道速度方向，知道方向的话，列个贪婪的，贪婪的 c 塔应该等于 v 零比上 v y， v y 就 这 t 了啊，所以 t 就 应该等于 v 零比上这贪婪的 c 塔， 那对吗？对了啊， ok， 那 我们看 c 选项啊， c 选项，若小球击中斜面中点，哎，问你时间 t 来，我打到终点了，我打到终点，我知道的是啥了吗？你知道速度吗？不知道，但是我现在我把这个点与这个终点一连线，你会发现我是知道这个为一方向的。为啥呢？因为这是个矩形嘛，对吧？这其实就是个矩形的对角线嘛， 是不是？那你这个角是 c 塔，那其实很容易挣出这个角其实也是 c 塔，那说实话，我是知道为一的一个方向的， 那已知为一，我分解为一，对吧？我把这个为一分解一下，那继续已知方向，我列 tan 点的 c 塔，那 tan 点的 c 塔这时候就是 y 方向为一，比上 x 方为一了啊，所以它就应该等于二分之一 g t 方，哎，比上 v 零 t， 那 得到的就是二 v 零分之 g t， ok， 那 所以你要求的 t 就 应该等于 g 分 之二为零。 tan 点的 c 塔啊，对吗？ 不对。 ok， 好， 我们看 d 选项啊。那无论小球到达斜面何处，运动的时间均为这么大？怎么可能？大家知道我们平抛运动，像这种有约束的平抛，对不对？我打到斜面平抛之后结束了，对吧？那它的时间取决于啥呢？ 你会发现他跟水平方向没啥关系，对吧？因为说水平方向的速度越大，他的轨迹是越平的，对吧？他与水平方向没关系， 对吧？又或者说关系不大，真正决定他运动时间的，其实应该数值方向。为啥呢？因为不管水平速度为零多大，他再怎么变，我数值方向永远是在做啥？自由落体，那数值方向自然做自由落体，所以我决定时间的依旧是我们的数值位， 也就是说我数值位越大，我时间越大，数值位越小，我时间越小。那现在我在不同的位置，我数值位很明显是不一样的，所以它的时间它一定是不一样的，所以这个不可能啊，不可能。 好了，这个题我们就选择 ab 就 可以了啊，这是我们的四十五题，就是这个号的第一个题，就想给大家说一下啊，就是我们到底在真实的题目中，如何是利用到知啥分啥这个分解思路的，对吧？其实时刻要想着，哎，我知道什么 对吧？你知道什么了，你再分解什么？不用两个都分解啊，不用，是 v 一 速度的分解，那只有这样你才能快速找到一种，哎，做平抛运动最核心的一个点啊。好，我们看四十六一七年浙江的一个高考题啊， 他说途中给出了某一个通关游戏的示意图，那安装在轨道 ab 上可上下移动的弹射器啊，这个 ab 上这个弹射器能上下移动，然后能水平射出的大小可调节的弹丸。哦，他这样可以水平射出一些弹丸， 这个速度大小我们还可以，大小可调，对吧？弹丸射出口在 b 点的半径是两米啊，你是两米， 我知道了，对吧？直径 b d 水平且与轨道 a b 处在同一个数值面内。没毛病啊，这个没啥好说的，角孔 p 和圆心 o 的 连线与水平方向加了一个三十七度， 这有一个孔对吧？它与 o 连线，这夹了个多少角呢？我叫它 c 塔吧，三十七度啊。 ok， 好， 那现在呢？游戏要求啊，但凡从这平抛对吧？必须得垂直在 p 点圆弧切线方向射入小孔 p， 我 才能进入下一关。那啥意思呢？我平抛完之后， 对吧？我这个速度呀，必须得垂直于切线，那垂直于切线实际上就是沿啥沿半径吗？对吧？这个速度肯定是沿半径方向的啊。 ok， 那 这样你才能射入小孔才能通关。 他说弹射器离 b 点的高度这块和带玩的射速速度分别是多大啊？ ok， 好， 就告诉你啥，就告诉你一个 c 塔一个速度方向，让你求啥？ 第一个你要求出速度，哎。啊，这个比较难得啊，出速度没告诉你要求出速度。第二个呢？要求这个 ab 之间的高度 h。 好 了，那我们来看一下啊，那这个时候 我们如何处理这个问题啊？首先来思考一下，你知道啥？你要分解吗？对吧？你知道啥？ 那函数题目第一个让我知道的其实就是这个速度方向，对吧？那已知速度方向，那我就分解速度就行了，对吧？你这个角是 theta， 那 我这个角也是 theta， 那 好，那我们看一下能不能求呢？你列一个 tangent theta， 那 tangent theta 是 不是应该就等于 y 比为零，那就应该等于 j t 比为零，对不对？好了，为零你知道吗？ 嗯，不知道，时间你知道吗？你也不知道，对吧？所以你靠，这个，说实话，你求不出位零，也求不出 t。 那， 那你现在就来想一下啊，那我还知道啥？或者说我还有哪些东西没用，你问下我这个半径是不是没有用到呀，对吧？那这个半径能干啥呢？ 我从这射到这了，哎，好像是，我知道魏， 对不对？你会发现我把谓语划出来之后，你看数值谓语我可能不知道，但是水平谓语我一定知道，因为水平谓语就等于半径再加上一个 这么长，对吧？所以我已知谓语，我分解谓语，我现在知道水平谓语的啊，那我水平谓语等于啥呢？就等于这段半径啊，再加上这段长度，那应该等于 r， 再加上 r 小 于 t。 好， 当你把这两个式子列出来之后， 你会发现你得到的是两个未知数，两个方程，那接下来该怎么做吧，就连利呗，对吧？我就不解了啊，你们自己解去啊，这个方程很好解啊，他都不能严格意义上算是个二次方程。反正很好解啊，虽然有平方，对吧？我把这解一下，我抄一下答案啊，我懒得解了，对吧？ 允许我抄一下啊，你们自己解一下啊。那这个时候我们把这个 v 零先解出来， v 零应该等于一个四倍根三，那 t 呢？ t 就 应该等于十分之三倍的根三啊。好，那这个就是我们的一个 v 零和 t 了啊。 ok， 好， 那我们把 v 零解出来之后，你看这个 c 跟 d 就 pass 掉了，现在就看 ab。 还要求啥？我要求一个这块的 h。 那 好，那我们来看一下这个 h 咋求？大家想想这个 h 是 啥呢？ 这 h 你 要转化，你会发现它是数值位移的一部分，对不对？我数值位移是应该是这么长，我用数值位移把这个底下部分一减，哎，不就是 h 吗？ 那底下这部分呢？我是不是可以在这个三角形里通过 r 能算出来，对不对？所以我们来看一下 h 到底应该怎么求啊？那 h， 哎，就应该等于我的数值为一，减去一个 r sine theta， 对 吧？那现在你把数值为一求出来就够了。我数值为一咋求呢？ y 啊，等于二分之一 g t 方嘛，为啥呢？因为你时间求出来了，你可以为所欲为，想求啥求啥，我要求个数为一而已啊。所以你把这个 y 算一下啊，这个 y 应该等于二十分之二十七米啊。 ok， 那 你把 y 带进去，把 r 带进去，把三 x 塔也带进去，你会发现最终求出 h 就 应该等于二十分之三米。二十分之三我们画一下啊，就应该是零点一五米， 搞定啊，搞定好吧，所以这个题我们选择 a 选项啊。好，总结一下，你会发现有些题目啊，你光知道谓一，你求不出来， 对吧？所以有些题目确实是需要你通过已知光知道速度，你求不出来啊，已知速度我要分解速度。已知为一，要分解为一，把两个都分解之后，然后通过连立方成去求解的，对吧？所以大家一定要适应这种需要连立方成的题目啊。那这种连立方成题目其实也不难，对吧？你反正就 疯狂的去找你的已知量就行了，明白吗？对吧？解这个方程其实也比较简单， ok， 所以 这种题啊，我们一定要有这样的方程意识啊。走，我们看一下四十七啊， 那四十七是二四年浙江一个题，我发现浙江是挺爱出这个品抛相关的题目的啊，这个题其实也比较比较经典啊，他说，哎，我如图所示啊，小明取山泉水时，发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍， 对吧？然后呢，地面上平移水桶，哎，水恰好从桶的中心无阻挡地落到桶底边缘。 a 啊，能看出来这是轨迹，对吧？这是中心，这是底部啊，角角，这啊，已知桶高为 h 啊，桶高为 h， 那刚才说细水管到地面的距离是 h 的 两倍，那这个就是二 h 了啊，那，那直径是 d 啊，那直径是啥呢？直径是这一段对吧？这是我的直径。问你，水离开出口的速度大小，其实让你求的就是这个出速度。好，那我们来想想啊，这个时候你面对的是这样的一个平衡，难受不难受？ 很难受。那为啥呢？如果啊，你会发现你要求出速度，你从一开始不管是到这个点还是到这个点， 你都很难受，因为你到桶中心这块，你最多知道一个数值为一，那你说你通过数值为一，你能求啥啊？你最多求一个时间，但是这时候求时间好像不能为所欲为，为啥呢？因为你求 v 零的时候，你需要水平为一，你水平为一，知道吗？ 不知道，对吧？好，那你如果分析研究到这一样的，你知道数值为一是二 h， 那 依旧是从这到这的水平为一，你不知道，所以你问水平为一不知道，让你求这个出速度特别恶心，因为你求出速度，你肯定要用水平为一来求，对吧？他在水平方向， 那你现在知道啥？你在水平方向好像知道的唯一一个东西就是这个桶的直径是不是？那这个直径又与这个出事点又没啥关系， 所以这个我相信是所有人遇到这个题一开始比较恶心的点。我也是啊。 ok， 那 好，那我们还是以从已知处发， ok， 那 既然我已知这一段，那我能不能找一段与这个玩意有关的东西呢？当然可以，我们找这段平抛 看没？那你如果研究这段平抛的话，你就发现它的水平为一是多少呢？二分之低，它的数值为一是多大呢？就是 h， 所以 你问你研究的是这段平抛的水平数值为一，你都知道的，当我们试试，我们看能不能求， 对吧？那首先我们研究这段啊，这叫 o 点吧？这叫 b 点，这叫 a 点，好不好？ o e a 啊？好，那我们研究 b 到 a 这段啊， 因为 b 到 a 段，我们啥都知道，水平为一，数值为一啥都知道，那现在已经知道水平数值为一了，我们就分解为一呗。那 b 到 a， 你 会发现，在水平方向上，你就可以列二分之 d 应该等于为零 t， 你 要求的为零就在这了， 对吧？所以只需要求出 b 到 a 的 时间，那那数值方向上，你会发现我数值方向为一是 h， 没问题，对吧？但是数值方向它不是一个从零开始的，一个匀加速直线运动了，它在这块它有数字分速度的，对吧？所以你通过这个 h 在 求这段时间的话， 好像啊，没法求，那咋整啊？没关系吗？啊？我们观察一下数值方向啊，他数值方向是不是实际上就分为两段，上面这一段他的 v 一 是 h， 他的时间，我叫他 t 一， 底下这一段 v 也是 h， 他的时间，我叫 t 二， 我要求的就是这个 t 二。那现在呢？你会发现，我只要能把总时间求出来，我再减去第一段时间，我就可以求出 t 二。那为啥我能想到这呢？这个需要大家思考一下， 因为啊，你看，我总谓一是二 h 知道的，二 h 一定能求出总时间，那我这段谓一是 h， 它出速度是零，我一定能求出来这段的时间 t， 对 吧？所以我就能想到总减去第一段了，对吧？所以我们来感受一下啊，这个 t 二， 它就应该等于 t 总时间减去 t， 我 写简单点吧。好，我们总时间的球，那就是二 h 应该等于二分之一这个地方，所以我们把总时间 t 一 球，它应该等于根号下 j 分 之四 h， 对 不对？好，那第一段时间就是 h 等于二分之一这个地方， 所以我们求出来第一段时间 t 一 应该等于根号下 j 分 之二 h， 好， 那我们要求的第二段的时间 t 二就等于等于 t 减去 t 一 啊，就应该等于啥？就是二减根号二，再乘一个根号下 j 分 之 h 啊， 好，那这个就是我们的 t 二了，那好，那我们接下来我们就剩最后一步，我们求为零了，对吧？那为零 他就应该等于二分之 d， 水平为一除一个啥？这个 t 二，好，那他就应该等于二分之 d， 再乘一个啥？这个 t 二的倒数就应该是二减根号二分之一二，再乘一个根号下 h 分 之 z 啊，就是它的倒数了啊。 ok， 好， 那我们分母由里画一下啊，分母由里画，你会发现这个时候就变成了一个啥，这个乘一个二加根号，这也乘二加根号，对不对？那这个就是四分之二加上根号二，哎 d 再乘一个根号下 h 分 之 j， 算。到这了时候我震惊了，我的天呐，四分之二加根号，看了一圈，没有吗？ 对吧？难道是我哪里算错了吗？哎，那我又发现一个事啊，好像我算的应该没啥问题啊，关键是啥？他有的这是 h 分 之 j， 有 的是 h 分 之 j， 对 吧？这是 h 分 之 j， 但是很多选项他说是二 h 分 之 j， 也就是他分母其实还有个根号二的啊，所以我觉得我跟他的区别就在于，好像就差分母，这啊，再给他一个根号二，我再倒一倒，看一下行不行， 对吧？那怎么导呢？它我就不是跟它分母差了根号二吗？对不对？我给分子分母都乘一个根号二，可以不？那我就凑出来一个二 h 分 之 j 的 一个根号下了啊，所以我们来看一下这个导一下啊，导一下子，我们先写一个根号下二 h 分 之 j 啊， 对吧？把这个根号二，我把这一乘，那它就乘一个二倍根号二，再加上二除以四了啊，再乘一个 d， 好，那这个四根，这一约，这就是二，这就是一，这就是一了啊，所以应该是二分之根号加一底了啊，那哪一个呢？那就 c 了啊，只有 c 了啊，所以这个题我们选择 c 啊。所以这个题最关键呢，就是我们已知为一，分解为一，我们知道的是这小段 b a 段的为一，我们就分解它就行了，好吧，就过了啊， 四十八题是这样子的啊，他说在一个斜面顶端，将甲乙两个小球分别以 v 和二分之 v 的 速度沿同一个方向水平抛出，两球都落在斜面上，假球落在斜面上的速率是乙球落在斜面上速率的几倍。好了，那我们来看一下，这又是一个在斜面上平抛的一个小球吗？对吧？ 那速度大了跑了远，速度跑了近，对吧？所以两个平抛啊，都跑到这了，对不对？那？那现在甲的速度大，明显乙的速度小， 对吧？那问的就是这俩速度的一个大小关系，那你说这大小关系，你要是硬求吧，不容易求啊。但是大家有没有记得我们在斜面平抛那有一个推论， 对吧？或者有个结论啊？啥结论呢？就是斜面平抛，我们的速度偏角应该都是相同的，啥意思呢？就是这个微角与水平方向的夹角和微。 这不能用 c 塔了啊，与 v， e 与水平速度方向夹角是完全完全相同的，对吧？那既然你速度偏角相同，我们想想，我们现在就是已知速度偏角了吗？那我分解一下速度，那对于 e 来说，这个水平速度就是二分之 v， 对 于假来说，水平速度就是 v， 对吧？那大家想想啊，那在这两个矢量三角形里，这个三角形是不是与这个三角形是完全的相似关系，对不对？那你说他俩的相似比是多大呢？ 看出来没？不就是一比二的关系，所以相似比是一比二，那相似比是一比二，那你说斜边之比呢？那斜边之比也是一比二，所以是几倍呢？ 那当然是两倍了，对吧？所以像这种结论啊，就遇到这样的一个问题的时候，我们是非常非常容易搞定的啊，并不需要太多的计算，只需要你能知道这个速度偏角是相同的，只需要你能看到这样的一个相似关系，那这个就搞定了啊。抛体的临界机制， 好像似乎每一个章节啊，都会有他的临界值，那确实是这样子的啊，因为每一个情景下的临界值值都是我们高考题型经常考察或者重点考察的内容啊，所以我们来看一下 party 会怎么临界值啊。 那首先 party 运动，那这块临界值啊，有两种啊，第一种叫做轨迹临界啊，比如说轨迹跟哪相切了，对吧？基本上就这种了啊， 那另外一种呢？哎，就是这种距离临界，也就是说，哎，我抛的时候我距离斜面啊，最远的距离了，这种啊， ok， 好， 那我们就接下来先来说一下轨迹临界 那轨迹零件，我们先来看一下这个题吧。啊，四十九题，将一个抛球入筐游戏简化如下，这是一个筐对吧？这是我们的球啊，然后在地面上竖着一个矩形框架，框架高是一米，长是三米，能看出来，这一米三米标到这了啊，这是个立体的啊， ok， 它是个长方形，它不是个平行四边形， 然后呢，抛球点位于框架的底边中点正前方两米处，这是底边中点对吧？他在这正前方两米处，然后离地高度是一点八米，也告诉我了， ok， 那 现在如图所示啊，假定球被水平抛出，方向可在水平面内自由的调节，对吧？ ok， 那不计空气阻力啊，这也取时忽略框架的一个粗细球视为质点。问，你，球要落进框内，我这个速度大小的一个范围，也就出速度大小范围啊。 ok， 那 好，那我们先来看一下啊，首先啊， 你说这个很明显就是一个轨迹临界，对吧？我们要抛到框内，其实有一些临界情景就是，哎，我这个球呀， 就有可能擦着边，对不对？擦着边对吧？这种就是，哎，我们的一个临界情景了。啊，那好，那我们来如何找这个临界呢？那我们有一个最最基本一个事啊，就叫做这个东西啊，就是你会发现平抛运动啊，它的出速度， 它决定了水平方向的运动，对吧？它不会影响到数值方向运动。那你万出速小了，这个轨迹啊，它就弯一点，出速越大，它轨迹应该越平一点， 对吧？出速更大，它轨迹更平。那你说为什么会产生这种现象呢？ 原因就是数值方向他的运动是不受出速度影响的，水平方向的运动匀值是受出速度影响的，明白吗？那这个时候假如说我们取相同的数值高度， 对吧？相同数值高度啊，你会发现我如果取相同的数值高度的话，那我数值方向的时间一定是相同的，因为自由落体嘛。 那好，那一定的时间相同的话， ok， 你 会发现出速度越小，我水平位移越小，水平位移越小，我能打到这个点的话，那意味着我轨迹应该是越弯一点的，那出速越大，我水平位移是不是越大呀？出速度更大，我水平位移更大呀， 是不是？所以你会发现这个轨迹啊，与出速度息息相关，那我们就知道，哎，出速度越大，轨迹应该是越平的，那我们找这个临界其实就是靠这个原理去找的， 对吧？那你现在要打的框内，其实就找一下我速度的最小的时候，我应该打在哪个边缘，我速度最大的时候应该擦着哪个边吗？对吧？基本上零件都处在边缘这块啊，那我们想想啊，速度最大的一个平抛轨迹，也就最平，那个平抛轨迹应该打在哪个边缘呢？ 哎，我相信大家能够看出来啊，应该打在这个边缘，对吧？就是这个角角，这， ok， 这个对应的我们的最大的速度啊，那速度最小的一个平抛轨迹，那对应的哪个边缘呢？ 我相信大家也能看出来啊，应该是对应的这个点，对吧？也就我们的这个底边的中点这块啊？ ok， 那 这个是所有平抛轨迹里面最弯的啊，这个是所有平抛轨迹里面最平的，那好，那你只要把这两个轨迹对应的出速度算出来，那好，那它的范围就出来了。 好了，那现在我们已经做好了非常重要的一步，就是把这个轨迹临界的一个轨迹找到了， 那剩下的事其实就是算了啊，我们来看一下啊，那大家想想啊，我找到这两个邻界了，对吧？我擦着这个边沿，擦着这个边沿，你想想，擦着边沿其实是告诉我们什么的， 如果一个平抛的轨迹擦着边，本质上是告诉我们水平为一，数值为一的，对吧？那这个是个立体图形，其实不太好看啊，所以我们尽量的去把它转为平面图， 我们把它降为处理一下啊，比如说我看个测试图，从这看，那这时候两个轨迹是变成这样子了，一个打到底边终点，一个打标那个角角，这， 那好，那你会发现很明显这个轨迹打到底边终点这个轨迹，现在在这个测试书上已经能看出来他的水平数值为一的，他的水平为一就是这一点八米， 对吧？好，那打到这个角角这个轨迹，这个你还看不出水平为一，但是你能看到数值为一，数值为一应该是这段，这段应该是多少呢？这如果是一米的话，那这就应该是零点八米， 这是我哎，这个轨迹速度最大的轨迹的数值为一，那水平为一怎么看呢？水平为一我们要通过俯视图去看啊，俯视图你会发现，哎，我打到角角这块的，我的轨迹应该是这么长， 对吧？这是他的真正的水平位仪，所以我们通过简单的哎去改变仕图，我们就可以找到这两个临界轨迹的水平数值位仪了。 那好，那接下来不就是根据这个水平数值位仪去算他的出速度就行了，对吧？好，那我们先算这个最小的啊，因为最小的靠测试图就够了啊。 ok， 那 你看，你看，我的速度最小时，那我们的水平方向上 啊，我现在算数值吧。啊，我数值方向上数值为一，叫做 y 一 吧，对吧？那好，那 y 一 等于二分之一 j t 一 的平方， 这是我们的 y 方向啊，那好，那我通过这其实是可以求出 t 一 的啊， t 一 应该等于根号下 j 分 之二 y 一， 那算一下啊，这应该等于零点六秒， 好，这是我们的啊，时间，那为什么要算时间呢？因为你如果对这个平抛比较熟悉的话，水平数值为一给你了，你通过数值把时间算出来，那通过水平啊，直接就可以算出我们的出速度了，那根据水平为一，我教这个两米就是 x 一 吧。啊， 那这个 x 一 是不是应该等于这个时候的 v 一 t 一， 所以我们能推出我们的最小速度应该等于 x 一， 比上 t 一， ok， x 一 是两米， t 一 是零点六秒，那算下来应该是六分之二十，或者是三分之十 米每秒，对吧？啊，大家不要在意我这个格式了啊， ok， 算出来就够了啊， ok， 所以 我们的最小速度已经搞定了， 然后我们看最大速度啊，那最大速度一就是你看他对应的数值为一，变成零点八了啊，所以我把这个零点八叫 y 二啊，根据 y 二应该等于二分之一，这 t 二的平方，那你可以得到这个 t 二应该等于零点四秒，我就不算了啊，非常简单。那这个时候我的 x 二呢？ x 二得在这算啊，那这个是他的一个水平位一，那好，那这个时候该怎么算呢？勾股嘛，对吧？这里有个直角三角形，这个直角边是二，那这个直角边应该是三米的一半啊，是一点五， 对吧？那斜边应该是二点五吧，对吧？所以 x 二应该是二点五米，那应该等于 v 二，再乘个 t 二，所以我们的 v 二应该等于 x 二，比上 t 二就应该等于二点五，再除以个零点四就应该等于四分之二十五米每秒。 好了，那到此为止，我们的最小速度和最大速度已经求出来了，所以我们最终，哎，我们的范围是三分之十到四分之二十五。 ok， 那 好，那我们来思考一下，我们总结一下，我们到底是如何把它算出来的？ 我如何把这个范围求出来的？其实求一个范围，其实就是求它的最大值，最小值吗？那这个最大最小值一定是在于临界，出现在临界啊，那好，如何找？这个临界是我们做的第一步， 那找这个零件我们的底层逻辑什么呢？其实就抓住了这个轨迹，他与出速度的关系，出速越大，轨迹越平，对吧？所以我们就可以很轻易找到速度最大和最小的一个轨迹零件了，这是第一点啊， 那第二个呢？当我们知道这种轨迹零件的时候，其实一定要通过这样的几何关系去找啥呢？去找这个轨迹对应的 水平数值为一，因为其实大部分这种轨迹临界擦着边啦，擦着沿啦，其实都是在告诉你水平数值为一的，那好，一旦水平数值为一，告诉你了，算出速度，那就是手到擒来的，对吧？好，那这个题就到这里， ok， 好， 那我们来看一下第五十题啊，五十题是二零一五年信口标一卷的，距今十年前了，但这个题也算是挺经典的吧，我们来看一下啊。 然后一个带有乒乓球发射机的乒乓球台，如图所示啊，水平台面的长和宽分别是 l 一、 l 二，能看出来啊，长宽告诉你了，中间网的高度是 h， 也告诉你了，对吧？这个 h 我 标这吧。然后呢， 发射机安装于台面的左侧边缘的中点， ok， 能以不同的速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，然后发射点距台面的高度是三 h j， 题目中有，然后不计空气的作用， 重力加速度告诉你是 g。 若乒乓球的发射速度在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球都要落在右侧台面上。大家都打过乒乓球吗？对吧？你不能下网对吧？刚才那个上一个提示要我打到网内，现在要打到右侧台面上啊？ ok， 问你 v 的 一个曲值。 ok， 那 好，那就很明显，那这个时候依旧是存在一个轨迹临界，那我们只要把它的最大至最小至搞定就行了，那靠啥搞呢？ 我们的出速越大轨迹越平嘛？大家想想，我最大的这个出速度对应的最平的轨迹打到这个右侧台面的哪一块就是那个轨迹了， 我相信大家能找出来，是不是打得到这个角，或者这个角都行了，对吧？这个对应的我们的出速最大，那出速最小呢？哎，我这最弯的那个轨迹应该打在哪呢？ 是不是应该打在网的终点的上沿啊？因为你只有超过上沿了，你才能落到那个右边台面吗？对吧？你不能下网呀，对吧？所以我最小的轨迹对应的这个打到网的终点这块，所以你看我两个零件找到了， 那两个邻界找到了，那接下来呢？我们是不是就要通过这两个邻界的轨迹去利用几何知识去算它的水平数值位移，进而算出我们对应的一个速度， 对吧？好了，我们算一下吧。那首先我们测试图看一下啊，因为这又是个立体问题，测试图能看出来两个轨迹，那这个测试图是直接可以看到那个最小的轨迹的，你可以看出最小的轨迹对应的水平位应该是二分之一的 l 一， 对吧？因为这是一半，那它的数值为一呢？注意，数值为一，你只能看这儿，这应该是二 h， 为啥呢？这儿三 h 减去 h， 因为我擦的这个边嘛，对不对？所以我们通过这个，我们就可以把最小的速度算下，我们算一下吧。啊， 来吧，二 h 应该等于二分之一 g t 一 的平方，所以我们可以得到我们的 t 一 就应该等于根号下 g 分 之四 h 也就二倍的根号下 j 分 之 h， 对 吧？ ok， 好， 那我们对应到这个 v 一， 我就直接写了啊， v 就 应该等于二分之一的 l 一， 再除以这个题，那就等于二分之一的 l 一， 再乘一个它的倒数，再乘一个二分之一，再乘一个它的倒数啊 h 分 之 j， 所以 最终算下来，哎，我们他应该是四分之 l 一， 再乘一个根号下 h 分 之 j。 好，这是我们的最小的一个速度了，对吧？好嘞，那好，那我们来看一下最大的，那最大的这个速度。你靠，这个不行，这个你最多能看出来，他的数值为一是三 h 水平为一，因为他斜着过去的，还得看俯视图啊，我们看俯视图， 这个才是它的真正的水平为一，对吧？水平为一咋算呢？勾股呗，对吧？这个边是二分之 l 二，这个边是 l 一， 所以你勾股一下啊，它这个边啊，就是根号下它的平方加它的平方嘛， 对吧？所以我们算法跟刚才一样，对吧？数值方向上，数值为一是三 h， 那 就三 h 应该等于二分之一 j t 二的平方。 好，那你把这个 t 二一算啊， t 二就应该等于根号下这分之六 h。 我 直接算 v 二吧，因为这块勾股挺好的啊， 算的啊，它就应该等于二分之 l 二的平方，再加上 l 一 的平方，对吧？这是我们的位移，就是这个斜边了啊。好，那再除一个这个 t 二， ok， 那 这边我们开方之后，通分一下就变成了根号下， 对吧？四分之 l 二的平方加上四倍的 l 一 方， ok， 这是我们的水平位一，再除一个 t 二就乘以它的倒数，那也就乘以一个啥根号下六 h 分 之 g， 那这个四 k 开根该出去啊，就是二分之一了，对吧？好，那这个我们 v 二也就算出来了，所以最终的最小速度是这个，最大速度是这个，对吧？那我们对应一下我们的答案，那答案最终哎，刚好是和我们这个 哎四 d 是 契合的，所以这个题我们就选四 d 了。好，那总结一下，你发现这个五十题跟我们前面讲的那刚才讲的四十九题上一个题其实几乎是一致的，我们走的还是两步嘛，对吧？第一步我们通过我们的出数越大，轨迹越平，先把它的一个临界的 轨迹找到，这是我们走的第一步，对吧？好，你走到第一步完了之后，找到临界之后，那我们走第二步就是计算，那计算无非就是根据这样的临界轨迹， 根据几何关系啊，找到水平数值为宜，去算出速度了啊。好了，那基本上这个轨迹临界就讲到这里吧。 ok， 然后我们看一下第二个 距离临界啊。 ok， 那 距离临界，我们通过这个五十一这个例题啊，我希望大家有更深刻的理解啊， 我们先看一下啊，他说如图所示啊，从轻脚为 c 塔的一个斜面上的 a 点与出速度为零，哎，我水平抛出一个物体， 然后物体落在斜面上的 b 点啊，这就是个平抛，对吧？然后不计空气阻力，求啥呢？求抛出后经过多长时间，物体与斜面之间的距离最大？注意 物体求的是啥时候与物体斜面之间的距离最大，对吧？还有只要求一下这个最大距离是多少，对吧？那大家想想，这是个他的轨迹，那什么叫物体与斜面之间距离呢？ 比如说他到这了，那这个就是他的距离，他到这了，就这个就是他们距离，这个大的这个就是他们距，能看到这个距离应该是先增大后减小的一个过程。那具体最大在哪 啊？啥时候最大？说实话，如果你按普通的思路去算的话，很难算啊，很难算，为啥呢？ 你会发现这个距离啊，他不在水平方向上，他也不在数值方向上，但凡让你算一个水平或数值方向上一个距离，哎，那我们找到他们与未知的关系啊，我们还行，对吧？但是这样是不是个斜的呀？ 是不是啊？他算的是个轨迹与这个斜面的一个距离，对吧？本身这个斜面也是斜的，这个也是个斜的，对吧？所以啊，你出来看这个东西啊，算这玩意就很麻烦，对吧？那好，那到底该怎么办呢？ ok， 那 接下来就要给大家说一个非常非常重要的一个思路了啊，就是我们求距离境界的时候，一定要关注一下你所求距离的方向， 对吧？那好，那这时候我们关注了他的方向，如果是垂垂斜面的话， ok， 那 接下来你就按已知或者所求方向去分解就行了。那现在我们所求的是这个距离，那我们按所求方向去分解。 这个逻辑其实很简单，就是我所求的位仪，所求的速度，所求的物理量在哪个方向，我就朝哪个方向分解，而不是局限于啥。每一个平抛都是水平数值分解，明白吗？因为水平数值分解，你只能求出水平数值的物理量， ok， 所以 你看，我所求已经在垂直于斜面方向上，我就垂直于斜面分解，我在垂直斜面方向间隙。 那有些同学说，哎，老师，我没见过这样间隙啊，为啥还能这样间隙呢？我们看一下这样间隙会发生什么啊？首先这个出速度你就可以分解一下，因为它已经不在于你这个啊，坐标系上了，我把它分解成这个沿斜面跟垂直斜面， 对吧？那这个角就是我们的 c 塔了啊。那除了出速度，你要分解到这两个方向之外，我们还要干啥呢？你会发现，这时候加速度你也得分解，因为加速度他也不在这个方向上，那加速度是不是竖直向下的？这他平抛肯定是这个。那好，你把加速分解到沿斜面跟垂直斜面， ok， 那 好，那你会发现这样分解之后，这个运动已经不一样了，他再也不是原来那个啊水平方向的匀值数值方向的自由落体了，他现在变成了这样， 在 x 方向上，对吧？它的出速度 v 零 x 就 应该是这个分量，就是 v 零乘一个 cosine， 对 吧？那它的加速度呢？是这个 ax 等于啥？ j 再乘一个 sine theta。 为啥是 sine theta？ 因为这儿也是 theta 啊，倒角我就不讲了。 ok， 所以 加速度的这个分量是 j sine theta。 那 它做什么运动呢？你看出速度与加速度同向，所以它在做匀加速直线运动，在这个方向上匀加啊。 ok， 好，我们看 y 方向啊， y 方向它的出速度 v 零 y 也就这个分量啊，它应该等于 v 零再乘一个 sine 它，对吧？那好，那它的 a y 呢？加速度呢？就这个分量了啊，就是 j 再乘一个 cosine 它， 你看，那他在 y 方向做啥运动呢？出速度朝上，加速度朝下，他应该先做减速，减速到零之后他不会停啊，他会再反向加速，也就会做一个这样的一个折反，或者你可以把他类比成啥？ 数值上抛，对不对？那好，那你现在要求的是啥？你现在要求的是哎，物体与斜面间的距离，以及啥时候距离最大。 那什么时候呢？我们是不是只关注 y 方向就行了，因为这个距离只与 y 方向的位移有关。那你就想想啊，我 y 方向位移什么时候最大？它向上先减速，是不是减速到零的时候，这个就是我最大位移啊， 对吧？那好，那我从出速度这么大一直减速到零，我所需要的时间 t 是不是应该就等于 v 零 y 比上 a y， 我 把它逆向一下，我逆向成从零开始加速到这啊。所以我们用速度变化量除以加速度，可以求出减 t， 那 就应该等于 v 零乘一个 sin theta， 比上一个 g cosine theta， 你 甚至可以写成 v 零比 g， 再乘一个 tanne 的 theta， 哎，时间是不是搞定了，对吧？那好，那你这谓语咋算呢？你这段长度咋算呢？你可以速方差，你可以平均速度公式，甚至你可以用 x 等于二分之 a t 方，对吧？所以我就用速方差了啊，来， v 零 y 的 平方等于二 a y 再乘一个最大距离， 对吧？出速度末速度都有，加速度也有。那好，那我们的最大距离我叫它 dm， 它就应该等于啥？哎，就应该等于 v 零 y 的 平方比上一个二 a y， 那 v 零 y 就是 个 v 零 sin theta， 那 应该是 v 零方 sin theta 方，比上一个二倍的 a y， a y 是 j， 乘一个 cosine theta。 好了，那我们的时间，我们的最大位都搞定了，对吧？没啥问题啊。那好，我们来回顾一下我们到底是怎么做的？ 像这样求这种距离临界，你会发现你所求物理量一旦不在水平数值方向的话，你会很难受，对吧？但是我们只要理解一个最基本的一个分解逻辑，就是我们的平抛不一定非得按水平数值分解， 我们原则上是可以按任意方向分解的，对吧？但是呢，现在我所求在哪个方向，你就朝哪个方向求分解，这不就够了吗？ 我相信这个逻辑大家都能接受，对吧？那有时候他可能不是所求在这个方向，有时候可能是已知在这个方向上他不是在水平数值方向，那你就按已知方向去分解，其实也是解决一个问题的关键。 好，所以我们以后遇到已知所求啊，不在水平数值方向上，大家一定要去转换一下啊，去尝试着按已知所求方向分解，这个我觉得才是平抛运动分解的最高的一个阵地。好吧， 好了，那讲到这，如果没见过这个分解的同学啊，到这总算明白了到底为什么这么分解，对吧？那如果见过这个样子分解的同学一看，嘿，老师，你这个不就是斜交分解法吗？对吧？对，我也知道斜交分解法， 那你会发现，我在这里我从不会给大家说，哎，这个题我们要用斜交分解法，为什么呢？因为现在网上太多老师去讲这个斜交分解法可以解决这样的一个题， 但是他们从来不会告诉你，为什么我要用斜交分解法，对吧？大家一定要理解，为什么我们要这样斜着分解， 其实他最底层最核心的逻辑是啥？就是因为我已知所求不在水平数值，已知所求在这样斜着方向上，所以我才斜交分解， 所以很多同学都在直播间问我，哎，老师啊，我斜交分解这个方法理解不太透，不知道该怎么用，对吧？原因是啥？就是他没有理解这个本质，而这个本质对于斜交分解这个名字来说 完全没有，对吧？我们不需要理解那个名字，我们只抓住这个本质，你会发现，你会解决几乎所有的平炮的问题。 ok， 好， 大家同意的点点赞吧，给我视频点点赞好不好，我需要大家的点啊，一箭三连支持一下啊。好嘞，好，那五十一完了，我们接下来看五十二，二零二四年山东卷的这个题啊， 说实话，这个题我第一次做的时候，我是没有任何思路的，对吧？但是这个题他给了我一些提示，加上我有这样的一个暗喻，之所就分解的积累， ok， 那 我就把这个题很顺利做出来了，我们看一下啊， 他说，哎，如图所示啊，工程对象峡谷的对岸啊，抛射物重物出速度为零的大小是二十每每秒，好，那与水平方向夹角是三十度， ok， 这不是个平抛，它是个斜抛，对吧？然后抛出点 p 和落点 q 的 连线，与水平面方向夹角也是三十度，能看出来这个 他最终落在 q 了，对吧？然后我这样连线啊，与这夹角也是三十度。 所以现在你摆在面前的就是出速度大小两个角，对吧？这是已知信息啊。那现在重力加速度让我取时忽略空气阻力，问我重物在此过程中，下列 a、 b、 c、 d 说法正确是啥啊？首先我们看 a 啊 a， 它让我们求的是运动的时间。我一看蒙了， 为啥蒙了呢？因为我只知道一个斜抛的，一个出速度的一个大小跟方向，对吧？我对落点几乎一无所知，我只知道落点与出使的位置连线与这个角三十度。 那你说从这的数值位移我知道吗？不知道。水平位移我知道吗？不知道。也就是说在水平数值位移完全未知的情况下，其实这个时候算这个时间是挺难的啊。我不是说他不能算啊，他是挺难的，这个大家得同意吧。所以说我一开始看 a 也看不太好算， 我先暂时略过，我们看 b 落地速度与水平方向的夹角， ok， 那 这个落地的这个速度嘛，说实话也很难受。你说落地速度，假如说在这 啊，你要求这个夹角与水平方向夹角，说实话，你得把水平分量数值分速度把它分解一下，水平数值分速度求出来之后，你才能求，对吧？那这里水平分速度我们好说，对吧？毕竟这个 v 零乘一个 cosine 三十度正交分解一下可以，但是数值分速度呢？一无所知 啊，不好抽，对吧？好，我们我所以说我 b 选项我也略过了，当时做的时候我们看 c c 叉说，哎，重物离 p q 连线的最远距离。 啥叫重物离 p q 连线的最远距离呢？是不是它的轨迹距离，这个虚线的最大的距离啊？ 哎，这个东西好像刚才那个题是不是见过？刚才我们是在斜面上是一个平抛，求的是轨迹距离斜面的最大距离。那现在呢？换了一下，不是没有斜面了，但是这个虚线跟斜面一回事， 对不对？然后呢？他是个斜抛，平抛变斜抛了，依旧求的是这个连线与这个虚线的距离，对吧？那你会发现这不一回事吗？ 我刚才平抛，我所求方向是在垂直于斜面方向，所以我就垂直于斜面去分解了。那现在我斜抛我的所求我的极致依旧在垂直于斜面方向上，或者垂直虚线方向上，那我就按所求方向还是那样分解就行了， 对吧？所以 c 选项其实是给我一些突破，对吧？我是从 c 选项突破。来，我们来看一下，我们沿垂直于虚线跟平行于斜线去分解它，我们把速度分解一下， 分解成这个样子，对不对？你会发现这个角就六十度了啊？ ok， 非常简单，然后加速度，我也可以分解一下，分解到垂直于跟平行于，这个，对吧？那好，那我们需要关注沿斜面方向吗？沿虚线方向，不需要关注，我们只需要关注一下垂直于虚线方向，把它叫 y 方向吧。啊， 对吧？你会发现我的 v 零外，它就应该等于啥？它应该等于 v 零，再乘一个三也六十度，哎，这个角应该是六十度好不好？那这个分量就是它，它应该等于二分之根号三为零，对吧？那应该等于十倍的根号，三米每秒， 这是我们的初速度啊，那我们的加速度呢？加速度 a y， 它应该等于啥？那这个角应该是三十度吧。 啊，这个角很容易你能啊，得到，它是三十度啊， ok， 所以 a y 应该等于 g， 再乘一个 cosine 三十度，那也应该等于二分之根号三，再乘一个十，对吧？十乘二分之根号，应该是五倍根号三。啊，米秒，双秒， ok， 那 它做什么运动呢？它在 y 方向，它俩反向的吗？是不是还是先做一个匀减，匀减到最高点，然后再到反向匀加，还是这样的一个折法？ 那好，那你现在要求这个最大距离，我们就直接速方差，对吧？啥时候距离最大呢？ 他在 y 方向速度等于零的时候距离最大，对吧？所以我们速方差一下， v 零 y 的 平方就等于一个二 a y 再乘以个最大距离。最大距离我选一个啥呀？ y m 吧，所以我们得到一个我们的最大距离 y m 是 不是就应该等于 v 零 y 的 平方除一个二 a y， ok， 那 为零 y 的 平方是不是这一堆的平方应该是一百乘以个三， 那二 a y 呢？二 a y 再乘一个，这个就是二乘一个五倍的根三，对吧？所以二五一十十和一百余是十，那三除以根三还是等于根三，所以应该等于十倍根三米， 那这个对吧？啊，这个就不对了，所以我们的这个 c 选项就错了，那同理，我们 c 选项搞定了之后，好，最大距离搞定之后，哎，我发现他从 p 到 q， 他 做的是一个这样的一个斜抛，那我到 q 点是不是还是回到了我这个虚线呀？ 那是不是我如果研究 y 方向，我从 p 到 q， 其实它就是向上先过去，然后向下回来，回到这个虚线这个过程呀，对吧？所以你看我运动时间，是不是我只要把这个折反时的总时间搞定就行了？ 那这个 a 选项不就一块就搞定了吗？所以我们 a 选项我们要求的时间是不是就是这样的一个折反总时间，那这个折反我们看成一个数值上抛吧。啊，我单程的时间和过去时间跟下来时间是对称的，是相等的啊，所以它应该等于 二倍的单乘时间， v 零 y 比上 a y， 对 吧？那应该等于二倍的 v 零 y 是 十倍的根三，比上 a y 是 五倍的根三，那应该等于多少四秒？所以这个也错了， 你看一个突破口， c 突破好了，那么 a 选项也就够了。好吧，那我们看一下 b 和 d 啊， b 和 d， 那 b 和 d， 我 们看 b 求的是落地速度与水平方向夹角，好比如说在这落地了， 对吧？你要求与水平方向夹角，大家想想，这个所求是不是与水平方向有关呀？ 对吧？注意啊，这个角是与水平方向有关的，我们看第一个选项啊，洛洛轨迹最高点与落点的高度差， 对吧？轨迹最高点在这，它的高度差一定是与数值方向有关。你看，不管是 b 选项还是倒格选项，它这两个所求都是与水平数值有关。那大家想想，那你这个时候一定要水平数值分解， 那这个时候为什么我们就可以水平数值分解了？因为这个时间 t 就是 在我们的平抛斜抛中最核心的一个物理量求出来的，你就真的可以为所欲为，知道吗？所以这时候水平数值分解什么？想求啥求啥，对吧？来我们水平数值分解，把这速度分解一下啊，分解到水平数值， 对吧？好，那你想想，我要求末速度与水平方向夹角，我是不是把水平分量跟数值分量求一下就行了， 对吧？那好，那我把水平分量数值分量求出来，你看，这个角就是你要求的，你想想，你这个水平数值分量求出来之后，这个角的正切值是不是有了？那正切值有了，那我这个角不就得出来了吗？所以我要求这个角就是求 v x 跟 y， 对 吧？那这个时候它的水平分量 v x， 它是不是就应该等于啥？这块的水平分量，因为它斜抛嘛，水平方向还是在做匀值，所以应该等于 v 零再乘一个 cosine 三十度， 对吧？那我们算一下， v 零是二十， cosine 三十二分之根三，那应该等于十倍根三，明白没有？好， v x 搞定，那 v y 呢？那 v y 这个时候也好搞定，因为时间已经有了， 对不对？我数值分量是这么大啊， v 零乘三 e c， 它我经历了四秒的时间，那我就可以把末速度算出来，对吧？所以我的 v y 是 不是应该就等于 v 零乘以个三 e 三十度 就是我初时状态的数值分量，对吧？然后我得减去一个 gt。 那 好，那这 v 零乘三亿三十度应该是十 gt。 减去十，再乘一个四，时间是四，等于复古三十米秒秒。所以这个 v x 是 十倍根三， 这个呢？是三十。好，这十倍根三，这三十他们差了几倍啊？是不是差了根号三倍，对吧？所以很明显 v y 是 v x 的 根号三倍，那这有了根号三了，那这个 theta 不 就等于六十度吗？所以 tanne 的 theta i 就 等于 v y 比上一个 v x， 它就等于一个根号三，所以我们就可以得到 c， 它应该等于六十度啊， ok， 所以 这个题二 b 选项是对的。那好，我们看四 d 选项啊，四 d 选项问的是轨迹的最高点与落点的高度差， ok， 那 想想啊，轨迹最高点有啥特点呢？它只有水平的速度，它没有数值速度，速度是零，对吧？那我们如果按水平数值分解它的话，从最高点到落点，其实就是做了一个自由落体嘛， 对不对？那你现在知道啥？你知道 y 啊？ y 刚算出来啊，那已经知道了，出速度， y 方向的出速度是零， y 方向末速度是这个 v y 也算出来了，也有加速度，加速度是 j。 好， 我要求个位移就是这个啊，高度差，那这个高度差是不是速方差就算出来了？所以 v y 的 平方就等于个二 g h 啊，所以我们求出 h 应该等于啥啊？ v y 方比上两个 g， 对 吧？那 v y 是 这个三十的平方， 再除一个二，再乘一个十，是不是应该就等于四十五米？所以我们这个四 d 也就对了啊。好嘞，那这个临界就讲到这啊，我们的距离临界到此结束啊。 那好，那我想通过这两个临界想告诉大家的事是什么呢？第一个，当我们遇到诡计临界的时候，我希望大家能抓住我们找临界的核心，找临界 靠啥？ v 零越大，轨迹越平去找，对吧？第二个呢，我们得会算临界。为啥咋算呢？ 通过这样的一个擦边临界去找他的水平数值为宜，然后去算他的出速度，当然有时候不是这样算出速度啊，总之这个临界他一定会通过几何去告诉你水平数值为宜的。 好吧，好，这是轨迹临界啊。那第二个呢？我们的距离临界啊，其实距离临界这块，他不单单是出现这种距离临界，就任何情况下啊，任何平抛， 我们不要拘泥于水平数值分解，我们更应该追求一个更高层次的分解思路，对吧？什么叫更高层次呢？就是我们的已知所求 在哪个方向？哎，我们就按已知所求方向去分解，我讲的两个题恰好已知所求它不在水平垂直方向，就在那个斜着方向上，所以我按斜着方向分解是可以搞定的。 好吧，那这个思路，甚至在以后你在静电场中，带电粒子在电场中的类抛体运动， 对吧？带电粒子在电场，还有其他的场的一个符合场中的一个运动，对吧？都可以去做，按照思路去分解啊，也就是说，我们遇到的任何曲线运动啊，不是圆周运动啊，任何曲线运动， 你按这样的思路去分解它，一定是没有错的。好，那我们的视频就到这里啊。

大家好，我是咱们瑞斯教育的物理老师赵老师，今天咱们讲一个 b 休二中曲线运动中的一种类型，平抛运动。 平抛运动是咱们 b 休二刚开始的一个重点内容，很多同学不清楚平抛运动的运动特点及其运动公式，今天呢咱们通过一个简单的讲解，明确一下它的运动特点和相关公式， 大家一起来看这个图如图一，物体以出速度为零水平抛出，不计空气阻力，经过时间 t 运动到屁点，求此时屁点的分速度和分为一。从图中可以看出来，出速度水平方向不计空气阻力，既然不计空气阻力，那此时它就只受一个力，没问题，就是重力。 图中竖直方向向下的这个力就是对应的是它的重力提供那个加度。重力加度， 那也就是出速度是沿水平方向受到一个力，重力数值方向这个对应的就是平衡运动，那对应的咱们看一下各个方向分别会做什么运动，水平方向有一个出速度， 没有其他力。咱们牛顿第一定律告诉咱们说，入体不受力，将一直做静止或匀速直线运动，这里有出速度，那水平方向做的也就是匀速直线运动，匀速直线运动的话，那对应的出速度 v x 就是 等于 v 零 x， 就 咱们初中也就学过 x 等于 v 零 t， 这个对应就是匀速运动的速度和位一的表达式两个公式。接下来咱们看一下数值方向，数值方向它是没有出速度的， 但是有一个加速度 t， 那 咱们 b q 一 中就学过出度为零，只受一个加度的时候，而且这个加度是固定的，那它做的就是匀加速直线运动，而如果加度是重力加速度的话，那相当于只受重力，这个匀加速运动，咱们把它单独叫做自由体， 所以在数值方向上做的是自由体运动，是一种匀加速直线运动的类型，只不过比较特殊。加速 g， 那 既然是匀加速直线，那 v y， 根据咱们必须得出来， v y 等于 a t， 此时 h g， 所以 v y 就 等于 g t y 呢，也就是咱们的 h， 就是 咱们必须一 h y 等于二分之一 g t 棒， 也就是以前咱们的二分之一 a t 棒把一换成 g， 那 这个时候咱们就总结出来了，水平方向做匀速直线， v x 等于 v 零 x 等于 v 零 t 棒把一换成 g， 那 这个时候咱们就总结出来了，水平方向做匀速直线， v x 等于 v 零 x 零 t 数值方自由落体，微 y 等于 g t y 等于二分之一 g t 方，这个对应的就是水平轴之一数值自由落体，它对应的速度公式以及 v 轴公式，两个方向互不影响，但是是同时进行的啊，分别求出了分运动 速度和位仪关系式，那有的时候题里面还会让你求它的和速度和它的和位仪，那水平数值速度和位仪都是矢量和速度，和和位仪就可以通过勾股定律那对应的必修一，咱们学过矢量合成对应的去解决这个大家下来自己思考一下。好，大家有什么问题就打到评论区，今天咱们就说到这。

不少高一的学生已经开始学习必修二第五章抛体运动了，这一章对于咱们后期物理的学习非常重要，今天咱们针对这一章的重难点详细的来分析一下。 首先要想学好这一章，你要知道什么是曲线运动，曲线运动的条件。曲线运动呢有两种类型，一种是匀变速曲线运动，一种是变加速曲线运动。 云变速曲线运动的典型例子呢，就是咱们这一节的抛体运动。抛体运动呢分为三种，一种呢是平抛运动，一种呢是斜上抛运动，一种呢是斜下抛运动。 咱们这一章节最重要的就是平抛运动。知道了曲线运动，曲线运动的特点，咱们还要学会判断物体做曲线运动的一个轨迹。 那怎么来判断呢？就牵涉到第二节运动的合成与分解。运动的合成与分解里面，咱们要知道，如果你要对运动合成的话，一定是两个分运动，合成完之后 成为一个核运动，这个核运动呢就是物体的实际运动。同样的，如果你要对运动分解，也一定要对核运动进行分解，分解成两个分运动，而这个核运动呢，仍然是物体的实际运动。 只要你记住，咱们对物体进行分解或者合成的时候，合成的一定是实际运动，你分解的时候呢，也一定是对实际运动进行分解。知道了这一点呢，你做题的时候呢，就不容易出错。 针对运动的合成一分解又有两个专题，一个呢就是小船渡河模型。小船渡河模型这类题呢，一般在期末考试的时候会有一道选择题或者是一道计算题，这种题呢，也主要是三类题型， 一类是问你小船渡河的最短时间，一类呢是问你小船渡河的最短位宜 最短位移的时候呢，又分两种情况，一种呢是船速大于水速，一种呢是船速小于水速。只要你把这三种题型给理清楚了，小船度和模型呢，就没有问题了。 接下来的这个专题呢，是稍微难一点的速度关联模型。速度关联模型呢，也分两种题型，一种呢是绳杆模型的速度关联，一种呢是接触面间的速度关联。咱们最主要的题型呢，就是绳杆连接的 速度关联模型。这类模型呢，你只要记住要对物体的实际运动进行分解， 分解的时候呢，也是有方法的。一般呢，我们需要沿绳方向跟垂直于绳方向做一个正交分解， 算出沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。第二步呢就是列等式方程，等式方程的两边呢，就是咱们的沿绳方向的分速度。一般系统内呢，会有两个物体， 这两个物体沿绳方向的分数相等，你就可以列出你的方程了。根据这两步呢，你基本上可以把绳杆连接的速度关联模型给搞定。 关联速度模型呢，刚接触的时候他可以单独来出题，但是后期高考的时候呢，主要是跟一些比较难的压轴题结合在一块的，所以这类题型呢，主要是咱们解决难题过程中的一个附带的知识点， 如果你知道这个知识点呢，在遇到难题的时候，你就有思路了，如果你不知道这个知识点呢，对你解决一般的问题呢，也没有特别大的关系，但当你遇到难题的时候呢，可能就会有影响。 前面的知识点呢，是咱们作为曲线运动的基础内容，接下来咱们就进入了第三节，平抛运动的特点，这是一个实验， 通过实验呢，你可以了解平抛运动的特点，特点就是他在水平方向做匀速直线运动，数值方向做出速为零的自由落体运动。我们在实验里面呢，需要通过各种情况来验证他在水平方向和数值方向的一个运动。 在计算题里面呢，会把水平方向和数值方向运动的方程呢给列出来，通过这些方程呢，咱们可以总结出平抛运动的规律。 平抛运动呢，总共有九个公式，如果你掌握了这九个公式，不管哪一种题，理论上来说你都是能做出来的。这九个公式呢，牵涉到九个物理量，一般情况下，你任意知道 三个独立的物理量，就可以解除呢咱们要求的量。如果你对我说的这些知识点还不太清楚的话，说明你对平抛运动研究的还不太透彻，那么你一定要找一些参考书，把咱们这九个公式，把咱们这九个物理量给凑齐，看一下我说的是否是正确的。 第四节呢，就到平抛运动的规律了，平抛运动呢，有两个推论，首先呢，你要记住这两个推论， 其次呢，平抛运动有很多模型，而这些模型呢，就是咱们期末考试的重点，一般情况下，期末考试的时候一定会考一道平抛运动的计算题，所以如果老师讲解这些模型的时候，你一定要把这些模型的方法呢给记下来， 甚至这些模型的结论你能够在理解的基础上呢，也要记下来，这样的话，如果他出的是选择题的话，你很快就能够写出答案， 基本上掌握了以上知识点。我觉得你高一期末考试呢，对于抛体运动这块知识点呢，就没有问题了， 如果你想学的再难一点的话，还有平抛运动与斜面的关系，以及平抛运动的临界问题。这 问题呢，一般在高三一轮复习或者二轮复习的时候呢，老师会讲，如果你前面的知识点能够掌握好的话，你就可以找一些辅导资料，把这些知识点呢给学了，这样的话，你到高三的时候呢，就跟别人的起点不一样了。

part 运动不管是高一高二还是高三，其实一直都是考试的绝对重点，那么 part 运动模型最简单的学习方式其实就是按照它的解法进行分类，只需分三类，第一类分解速度，第二类分解位宜，第三类分解运动。 那么接下来呢，我只需要九分钟就可以带你吃透高中物理常见的所有抛体运动模型，跟我一起一把拿下。好，那我们看第一类分解速度，分解速度呢，主要针对的是垂直击中、相切， 我们看到这两个关键词，直接分解速度，带入角度，带入正切，就可以快速完成。比如说这里有三个演示，第一个呢，他是垂直击中，第二个呢，还是垂直击中，只不过呢，他是斜抛，第三个呢，就是沿切线进入，那么这里就是直角。 好，那像这三个图呢，我们直接分解速度就可以快速完成。来看一下，先看第一个图，分解速度，分解之后呢，带入角度，这个角是 c 塔，所以它的 c 塔就等于对边为零，比上零边 g t， 因为 c 塔有微零，有 g 也知道，那么 t 就 可以快速完成。当 t 完成之后呢，剩下就没有任何难点，因为比如说，如果你要水域为零，直接为零 t， 如果你要数字为零，直接二分之七地方，或者是你要速度角为一角，都可以完成。 那么接下来看第二个图，还是找到 t 就 可以。第二个图呢，它是斜抛，最终垂直击中斜面，那么还是进行速度分解。 带入角度，这个角是 c 塔，这里加这里是九十，左边加右边也是九十，所以右边这个角就是 c 塔角，那么带入正切摊减 c 塔， 就等于对边水平速度，那注意了，这里水平速度不是为零，因为它是斜抛，所以水平速度呢，我们在左边进行分解， 那么水平速度呢，就是 v 零乘以扩散算法，比上数值速度，数值速度呢，是一个易错点，我们来看一下，因为左边这个是正的，那这个呢，也是正的， 所以呢，你一定要保证下面也是正的，不然的话，有很多同学算出来之后，不知道怎么多了一个负号，我们只需要保证分母是正的，那么就不会有这个问题。那么接下来看，最终呢，数值速度是向下，所以为了保证它是正的，那我们就可以取向下为正， 以它为正方向好，按照这个方向的定义，初速度呢，数字向上为 v 零乘以三二八，所以说呢， 代入公式啊，就是 v 等于 v 零加 a t 这个公式 v 零点八。好，这是矢量式，初速度呢，它是数字向上，与正方向相反，所以说就是负的 v 零乘以三二八， 然后加上加速度呢，数字向下为 g， 与正方向吻合，所以呢写正好。那么接下来呢，这个式子就搞定 好，那么这个式子里面呢，其实只有一个位置量，就是 t， 那 么 t 呢，和左边一样，那我们就可以快速解出来，解出来之后呢，剩下的问题就没有任何难点啊，直接搞定。接下来我们来看第三个图， 第三个图呢，就是沿切线进入圆弧相切相切，这个角呢就是九十度，我们还是进行速度的分解， 分解之后呢，带入角度，那么贪剑 c 塔就等于对边数值速度 g t 比上水平速度为零，那么这个四字典里面还是只有一个未知量，就是 t， 那 么 t 搞定之后呢？剩下就没有难点，那么这三个图搞定， 所以以后碰到的垂直击中相切记得一定分解速度，带入正切基本上都可以完成。那第二点呢，就是分解位移，分解位移，我们来看一下，这五个图都是分解位移， 第一个图是落在斜面上，第二个图呢，它是斜坡落在斜面上，第三个图它是有最短位移，第四个图是落在圆弧，第五个图还是落在圆弧，接下来我们看一下，先看第一个图， 谓语在斜面上，所以说将谓语进行数值水平分解，分解之后呢，我们带入角度，这个角就 c 塔角， 那么贪念 c 塔就等于对边数值为一，比上零边水平为一，那么化简就是二倍为零分之 g t， 那 么这里呢，你看他还是只有一个位置，这样就是 t， 那 么就搞定 好，接下来看第二个图，第二个图呢，它是从鞋面上做斜泡，又落在鞋面上，那么这种情况啊，不管它是朝哪里做斜泡，最终落在鞋面上，未移就一定是有固定方向。接下来呢，我们将未移进行分解， 分解之后呢，带入角度， tangent theta， 就 等于对边数字为一，以上零边水平为一，水平为一呢，我们写成水平速度啊，水平速度就是为零，乘以扩散压板 乘以时间，这是水平为一。接下来分子呢，就是数字为一，数字为一呢，有一有一个易错点，因为这里是正的，它也是正的，所以呢，我们分子也要保证正的。用公式呢，我们用的是这个 x 等于 v 零 t 加二分之一 t 方这个公式， 那么这个公式呢，它是怎样式？为了保证它是正的，你看它最终的数字位呢，是向下的，最终数字位也是向下的，我们用这个公式，那么保证它正的，只需要取向下为正。 好，接下来我们来看代入公式，初速度呢，数字向上，所以说要写负值，所以就是负的为零，乘以三而法，这是数字方向的初速度，乘以 t， 然后再加上二分之一， 二分之一 a t 方，因为 a 向下，因为我们取的也是向下为正，所以说写正值，那么就是二分之一 g t 方好， 那么这个公式虽然长，但其实只有一个位置量，就是 t， 把 t 解出来，这个模型直接拿下。接下来我们来看第三个图，第三个图呢，其实就是一个最短位移，所以这根虚线就是位移，方向与斜面是垂直的。 好，那我们还是分解位移，分解位移之后呢，带入角度 tangent theta， 就 等于对边水平位移，水平位移呢，就是为零 t 比上数作移二分之一 g t 方 好，那么这个式子里面还是这一位置，两 t 搞定。接下来第四个图，第四个图呢，是从圆心平抛落在圆弧上某一个点，那么这个点未知，所以呢，这里用角度用普通方法不好做，怎么办呢？我们用勾股定，还是将位进行分解， 用勾股定律用这个三角形，那么这个三角形，这是数字为一，这是水平为一，这是 r， 所以呢，根据公式， r 的 平方就等于数字为一，二分之一 g t 方， 加上是因为以 v 零乘以 t 的 平方，那么这个式子一定成立，只有一个位置，让 t 解出来就结束。接下来看最后一个图，最后一个图呢，它是从圆心的等高点 平抛，最终落在圆弧上，那么这种时候呢，我们还是分解为一， 将未移进行数值水平分解，分解之后就是这样子，但是这里呢，有个小技巧，你看这个大三角形是不能直接用的，因为这个斜边没有任何已知量，数值未移，水平未移，但是斜边不能像左边一样用 r， 那 怎么办呢？ 我换个颜色怎么办呢？我们用这个小三角形就可以把它灵活处理掉，用这个小三角形，因为这个小三角形这个边是数字为一，和左边的 y 是 一样的，那这个边呢，底边其实就是 x 减一个 r， 因为这一段它就是 r 呀， 然后斜边呢也是 r， 所以呢，最后一个图我们就用小三角形，用勾股定律就可以快速完成，那么它的公式就是二分之一 g， t 方 的平方加上 x 就是 为零， t 减 r 的 平方就等于 r 的 平方。 好，那么分解位仪的常见的这五个模型我们就全部搞定，那你只要看到这种图，直接分解位仪带入角度，基本上都可以快速完成。好，那么最后呢，我们来看 第三类，那第三类呢，就是分解运动，我们需要将运动进行沿斜面和垂直斜面进行分解，比如这个题出速度为零，平抛落在斜面上，问运动过程离斜面最大距离 h， 那么这种时候呢，我们就需要将运动进行沿斜面和垂直斜面分解，这样做是最简单，接下来呢，我们画一下坐标轴， 这是 x， 这是 y， 好， 因为它要的是离斜面最大距离，也就是 h， 所以呢现在我们只需要看 y 轴的方向运动就可以， y 轴呢，我们来看一下它的粗速度，粗速度呢，我们就做速度分解， 那这个就是 v y 带入角度，下面是 c 塔这个地方， c 塔上面这个地方就 c 塔， 那么出速度呢？ v y 就是 v 零乘以三引 c 塔，这就出速度，那末速度呢？末速度，因为它要的是离斜面最大距离，以及是 y 轴最大的距离，那么末速度就是零，因为减到零才有最大距离。接下来看加速度， 那加速度的话呢，因为平抛而出之后呢，它其实只受重力，加速度恒定向下为 g， 那 我们现在只需要将这个加速度分解到 y 轴就可以。接下来做分解分解，这个就是 a y， a y 的 话，我们代入角度，这里加这里九十，这里呢加右边也是九十，所以这就是 c， 它角，那现在我们就知道 a y 的 话就是 g 乘以 cosine c， 它 好，你看有出速度，有末速度，有加速度，做减数运动，那我们就可以代入公式，零的平方减去 v， 零乘以三 e， c 塔的平方 就等于负的二乘以 a y， a y 的 话就是积乘扩展 e c 塔，然后再乘以 h， 好 h 就 可以算出来搞定。

可以说他是我们高中物理当中斜抛运动难度的，不光是物理上有一定的难度，最主要的是对数学能力的要求实在是太高了，可以说如果数学能力不是特别的强的话，这道题目基本上是没有希望接受挑战吧。 如图所示，足够长，鞋面的倾斜角是三十度，一个小球从鞋面底端以某一横定速率斜向上抛出，不计空气阻力。要想使小球落在鞋面上的位置和鞋面底端的距离最远，小球的出速度和水平方向的夹角应该是多少。 那么这道题目其实描述非常简单，就是一个斜抛运动的射程问题，但是和常见射程问题的区别在于，我们要研究的不是沿着水平方向的最大射程， 那么就是这一个微小的变化，就使这道题目的难度发生了天翻地覆的改变，可以说难度非常之大。那么我们带领大家用两种方法去进行分析。首先我们按常规思路带领大家去进行求解， 那么在常规思路当中研究斜抛和平抛运动问题，也就是所有的匀变速曲线运动问题，我们常见的想法就是沿着所求问题的方向 去进行正交分解就行了。那么在这道题目当中，它所求的问题就是沿斜面方向的最大位移，也就是最大射程，那所以我们不妨沿着斜面方向、垂直斜面方向去建立坐标轴，然后把这个运动进行正交分解。 那所以我们把坐标轴画出来，假设垂直斜面是 y 轴，沿着斜面是 x 轴，那么我们需要把它的出速度和加速度进行正交分解，我们假设出速度和斜面的夹角设为 c t， 那这个时候把它进行正交分解就可以了。很明显，物体在沿着 x 轴方向有一个出速度是微零，乘以 cosine。 沿着 y 轴方向有一个出速度是微零，乘以 sine sine， 那 么接下来再把它的加速度进行正交分解，它只受重力，所以加速度就是数值向下的 g， 那 么我们把它进行正交分解。 很明显，两个分加速度其实是非常熟悉的，因为这个角度蓝色的这条弧线画的角度对应的一定是三十度，那所以在 x 轴方向，它的加速度大小是 g 乘三十度。在 y 轴方向，加速度大小应该是 g 乘 cosine 三十度， 那么这样的话，两个方向我们发现其实都是做匀减速直线运动，因为两个方向上出速度和加速度都是反向的，那所以我们两个方向分别进行列式就可以了。那么在 x 方向，它应该是做匀减速直线运动，什么时候它的射程最大呢？就是我们在 x 轴方向的时候，呃， 在 x 轴方向，它做的是匀减速直线运动，那么所以 x 轴方向的微移，也就是它的射程。我们设为 s 的 话，它应该等于 x 方向的出速度是 v 零，乘以 cosine， 那 么再乘以是减 t， 减去二分之一， x 方向的加速度应该是这乘呃，三十度，所以就是二分之一，这乘以三三十度，再乘以 t 的 平方，那么这是他的位宜。在 y 方向，他做的是一个类似于数值上抛运动，那么他从抛出 到落回到斜面，相当于在 y 方向的分位移等于零。我们出速度是沿 y 轴正方向的，那么这个时候带着正负进行计算，在 y 方向我们的总位移，当它再落回斜面的时候，总位移应该等于零，那么它应该等于出速度是 v 零乘以 sin， sin 再乘以时间 t， 然后再减去二分之一，这一乘 cosin 三十度乘以 t 的 平方， 那么这样的话，我们通过 y 方向的微移可以计算出它的时间，然后代入到 x 轴方向，就可以计算出它的射程，沿着斜面方向射程的表达式，那么这个表达式很显然是关于 theta 的 一个函数，在这里面我们默认 v 零和 v 零是一致的， 那所以这个运算其实从物理层面上并不复杂，但是在数学计算上将会非常繁杂， 我们数学能力差的同学基本上可能就没有能力去解决了，所以这个方法我们就不代表大家讲了。当然这里面要说一下，有的同学可能说，老师你这 y 方向的劣势可能麻烦了， 那么 y 方向如果我们对于数值上抛这个对称性的运动足够熟悉的话，我们可以类比数值上抛运动，那么数值上抛运动当中，我们上升下落回到出发点的总时间 应该是二倍的 v 零比 j， 那 在这里面的话，如果我们同学熟悉的话，其实 y 方向的这个时间可以快速的口算出来，就应该是 y 方向的初速度是二 v 零乘以 sin theta 比上 y 方向的加速度大小应该是 j 乘 cos theta， 这就是这个时间啊，所以 y 方向求时间。如果你对数值上抛这个类型的运动足够熟悉的话，我们这个时间是可以口算出来的，如果不是的话，你可以写 v 一 公式，也可以写速度公式，都是可以的。 那么这个推导的过程我们就不带让大家算了，因为求出 s 的 表达式之后，还要经过非常繁杂的推导，才能想办法去求出这个 s 的 最大值。 那么在这里面的话，我们不用常规方法，我们用一个新的方法去进行解决，那么在解决斜抛运动的问题当中，很多时候我们可以考虑斜交分解，所谓斜交分解，就是说我们运动的分解其实并不一定是按着两个相互垂直的方向上进行， 那么之所以大部分情况下我们都是正交分解，是因为第一正交分解之后，两个方向相互垂直，我们很多量更方便进行计算。第二的话呢，是两个完全垂直的方向上，他们的运动彼此之间的牵连很小，或者说几乎没有牵连， 这在实际运算当中有很大的优势。但是在少数情况下，我们也可以根据需求去沿着两个并不垂直的方向进行分解，那分解的思路也是一样的，把出速度进行分解，把加速度进行分解，然后两个方向的运动分别计算，利用他们的时间相等，就可以解决这个问题。 那么在这里面的话，我们可以考虑沿着出速度方向和数值方向进行分解。为什么要沿着这两个方向分解？是因为如果我沿着数值方向和这个方向分解，那么它的加速度就不用分解了，因为加速度就在这个方向上，那么它的出速度也不需要分解了，因为出速度就在这个方向上， 这样的话我们所需要涉及到的计算量其实是最小的，那所以我们所需要涉及到的计算量其实是最小的，那所以我们不用常规方法采用斜交分解的方式， 那么按照斜交分解的这个思路，我们沿着出速度方向和数值方向去进行分解，那么由于出速度方向就在这个， 就是它的这个出使方向，所以我们这个方向的分速度就是为零，那么在这个方向它的加速度是等于零的，因为实际加速度我们 就是数值向下的 j， 那 么两个方向分解之后，很明显它在这个方向的分量就得零，所以这样分解的分解之后，两个方向上一个方向没有加速度，另一个方向上没有出速度。大家注意这个斜交分解的方式，那么按照这种方式分解之后，我们可以分别分析两个方向的分运动， 在 v 零的这个方向上，它是只有出速度没有加速度的，所以它做匀速直线运动， 那么在这重力加速度这个方向，也就是数值方向上，它只有加速度，没有出速度，那么所以它的运动其实是一个纯正的自由落体， 那也就是说按照这种方式分解，我们斜跑运动可以理解成一个斜向上的匀速直线运动和一个数值向下的自由落体运动的合成。那么按照这种方式我们去进行分析，我们把这个图啊重新给大家去画一下， 这是斜面，斜面倾斜角告诉我们了已经是三十度，那么物体的出速度，我们用蓝色的笔画假设是朝这个方向的，这是它的出速度为零，那么它的加速度是数值向下的， 这是重力加速度 g， 我 们按照这两个方向进行分解，那么分解之后沿着出速度方向做匀速直线，数值方向做自由落体，那么最终我们要保证它要落在斜面上，那就说明一个问题，只要它最终落在斜面上了，它的实际位移一定是沿着斜面方向的， 这是一个关键的点，只要落在斜面上，实际位移一定沿着斜面，那么实际位移，沿着斜面，我们要考虑我们把它分成两个方向的分运动，那么实际位移就应该是两个方向的分位移的矢量和， 所以这里面又又要用到三角形法进行矢量匀算，那么当它落在斜面上的时候，我们可以分析出沿着斜面方向的分位移，我们直接就用这个图了，那么沿着斜面方向的分位移应该是 v， 零乘以是点 t， 那 么在数值方向的分位移应该是二分之一，这题方把它俩首尾相结合，位移必须沿着斜面方向，所以这个图就应该是这样 数值的这个，呃，蓝色线段代表的是数值方向的分位移是二分之一这地方，那么这里面的话，我们标出来的这个红色箭头，也就是荧光笔的这个部分，这就是我们的实际的移，也就是沿着斜面方向的射程，我们用 s 来表示， 那这样的话，我们发现任意时刻只要它落在斜面上，那么射时间是 t 的 话，我们这三个位以满足这个三角形的几何关系，我们要研究的是出速度方向和水平方的夹角，因为水平方向和斜面的夹角我们知道是三十度，所以我们不妨设这个角度是 c 的， 那么我们只需要求出 theta 就 解决了这个问题，那么我们看在 theta 刚好处在这个位于三角形当中，那么在这个三角形当中，这个角度很容易能够分析出分析出来，因为这个角是三十度，这个角是六十度，这个角显然是一百二十度，所以我们把这个角度也标出来，它是一百二十度， 那这样的话，我们就可以在这个三角形当中想办法建立 s 的 相应的关系。那么 s 相应的关系怎样去建立呢？很明显它是一百二十度，这个角度一百二，这个角度 c， 它，那我们 s 所对的这个角就应该是一百八十度减一百二十度，再减 c， 它也就是六十度减 c， 它， 那么这样的话三角形当中的三个角出来了，很明显我们可以考虑用正弦定理去找他们的关系，所以接下来根据正弦定理， 我们可以列出这样的式子，首先我们要求的路程比上它对应角的正弦值，也就是 sin 六十度减 c， 它应该等于沿着出速度方向的分位移 v 零 t 比上它对应的这个角加角应该是 sin 一 百二十度，也就是 sin 六十度， 那么同时还等于数值方向的分位，以二分之一 g t 方比上它对应的角是 c t， 所以 比上 c t， 那 么这个关系我们就列出来了。列出这个关系之后，我们发现后面两个式子，呃去做计算，可以把 t 约掉一个，计算出它的运动时间，然后计算出运动时间，之后，由前面两个式子进行连累，把 t 带入，就能求出 s 的 表达式。 那么这个计算啊，我们就呃简化一下这个时间 t， 我 们看一看，大概应该是呃计算一下，约掉一个 t， 那 么 t 应该等于二倍的二为零乘以 c， c 的 比上二为零 c， c 的 比上这一倍的 c 六十度，那么把这个 c 六十度可以直接带进去啊，带进去之后就应该是四 v 零 乘以三 c， 它比上根号三倍的 g， 那 么把这个 t 带入到这个式子当中，那么它俩连立，我们可以求出 s 的 表达式。那么这个 s 的 表达式啊，我们就直接给大家了，应该是八 v 零方乘以三， 括号六十度减 c， 它再乘以三 c， 它，然后再比上三 g， 应该是这样一个结果。那么很明显，在这个斜泡当中出速度大小是固定的，也就说八 v 零方是定值，三 g 也是定值。我们要想让这个射程最大，其实就是让这个这一项最大，也就说要让 sin 六十度减 c 乘以 sin c 这个乘积最大。 那么怎么样去计算这个成绩最大，满足的条件的 set 到底是多少呢？我们其实有多种办法，那么其中一个比较好的办法，我们可以用一下，有一个公式在三角函数当中叫做基化和差公式，那按照基化和差公式，这个公式啊，可能用的比较少，我给大家简单的写一下，说 sine alpha 乘以 sin 比特，它应该等于二分之一倍的 cos 阿尔法减比特，再减去二分之一倍的 cos 阿尔法加比特，这是一个呃，不算特别常用的公式，那如果大家对这个公式熟悉的话，我们可以直接把我们要分析的这一项 sin 六十度减 z 再乘以 sin z， 那他应该写成二分之一倍的 cosine， 那 么 alpha 就是 六十度减 theta， alpha 减 beta 就是 六十度减二 theta， 所以 二分之一倍的 cosine 六十度减二 theta， 然后再减去二分之一倍的 alpha 加 beta 就是 六十度减 theta， 再加 theta， 也就是 cosine 六十度，所以应该是再减去二分之一倍的 cosine 六十度， 那么化简成这样一个式子，很明显后面这一项它是一个定值，对吧？我们要想要让整个式子最大，那就让 cosine 六十度减二 c， 它最大，那么 c 它是一个锐角。六十度减二 c， 它要想让它的余弦值最大，显然 cosine 六十度减二 c， 它应该等于一，那也就说当 二 c 等于六十度时，我们这一项是最大的，也就说这个乘积最大，也就是路程最大，那也就是说当 c 等于三十度时， 我们的射程是最大的。那么这样的话，这个数学运算在相当大的程度上得到了简化。所以这就是我们利用斜交分解的方法，结合一点挣钱定律，结合一点我们计划和查的公式，就能快速的去解决这道问题。 呃，如果用常规方法去进行推导的话，第一耗费的时间会非常的长，第二的话，绝大部分的同学我相信没有能力去解决这个问题。 呃，对于这道题目而言，可以说它是我们高中物理当中斜抛运动难度的天花板了，不光是物理上有一定的难度，最主要的是对数学能力的要求实在是太高了，可以说，如果咱们孩子数学能力不是特别的强的话，这道题目基本上是没有希望的。

这道 a level 剑桥考试局 projectile motion party 运动真题，百分之九十的同学都会踩坑。先看题干关键词， projectile party horizontal motion 水平运动 vertical motion 数值运动 air resistance is negligible 空气阻力可忽略 constant velocity 匀速 constant acceleration 匀加速题干翻译，一个 party 从水平地面以四十五度角向上发射空气阻力可忽略哪一行？正确描述它的水平和数值运动状态。这是 a level 力学必考基础，核心就是分水平数值两个独立方向，分心受力， 水平方向忽略空气阻力就不受力。根据牛顿第一定律，速度保持不变，也就是 constant velocity 匀速，直接排除 c、 d 选项， 数值方向只受重力，重力加速度居恒定不变是 constant acceleration 匀加速。冰选项说加速度变化直接排除。所以答案选定 a 水平匀速， 数值匀加速，这就是抛体运动的核心规律。关注于老师不迷路， a level 提分上高速！

这期视频咱们主要通过两道习题去讲解一下解决抛体运动的两个常见的方法。那么讲解之前呢，咱们首先去回顾一下 抛体运动他们具有什么样的特点。首先第一个是平抛运动啊，这是平抛运动的运动性质啊，一个云变速曲线运动。这里边我们需要强调的啊，就是这个云变速曲线运动，他在相同的时间间隔内，他的速度变化量是一样的， 速度变化量并不等于他速度大小的变化量啊。举个简单的例子啊，你比如说咱们有一个平抛运动啊，他的水平速度呢，是 v 零， 过了 d 的 t 时间以后呢？哎，他的末速度呢，变成了这个方向，这是他的末速度 v 一。 那么从 v 零变到 v 一 这个过程里面，他的速度变化量是哪一段呢？这一段就是记乘以一个 d 的 t 啊，有加速度乘以时间。 那么你再经过一段 d 二 t 以后呢，它的这个速度变化量呢，依然是一样的，因为在运动的过程中，它的加速度始终是不变的，那所以过了个 d 二 t 以后呢， 它的速度变化量又增加了这么多。那它从 v 一 变到 v 二这个过程里边，我们就可以从这个矢量三角形里边去发现啊，从 v 零到 v 一， 再从 v 一 到 v 二，这个整个的过程中，每经过相同的时间间隔，它们的速度变化量 d 是 一样的。但是要注意啊， v 就是 大小上，如果说咱们取 这个 v 一 的大小减为零啊， v 二的大小减 v 一 这样的话，这个 v 二减 v 一， 他并不等于 v 一 减 v 零啊，那么 v 二减 v 一， 这个表示的是速度大小的变化量， 他跟速度变化量不是一回事啊，这个我们再去做题的时候呢，要仔细一些，然后呢我们解决这个平抛运动呢啊，这是我们的基本的方法，也就是我们通过它水平和数值的分运动啊，可以选择我们解决两个方向上的运动所需的公式 啊，以及呢？呃，他的轨迹方程，那我们说平抛运动，他的运动轨迹是抛物线的一部分啊，那我们知道抛物线又是二次函数的一个图像，对吧？那所以说他在数值方向的位移跟水平方向的位移啊，应该满足一个这样的轨迹方程 啊，这是平抛运动啊，以抛出点为原点啊，咱们去建立平面这个坐标系啊，画出来的抛物线，他满足这么个轨迹方程。那么抛体运动除了平抛运动以外呢，咱们还有斜抛运动， 那斜抛运动该怎么去解决呢？其实也很简单啊，我们理解了平抛运动以后呢，斜抛运动他也就好分析了。那你比如说咱们平时扔实心球，咱们是斜向呃上方去抛出的，那这时候呢，他的出速度啊，是 斜着的，这时候咱们可以考虑什么情况呢？就是咱们把这个出速度进行一个分解，分解成水平的跟数值的，他水平方向依然是做一个匀速直线，数值方向呢，变成了先做竖直上抛，再做自由落体，那么他整个的运动轨迹呢，咱们说就是一个先往上走 啊，然后呢再下来的一个这么一个过程。那么在这个运动轨迹里边呢啊，我们说我们可以把这个运动轨迹呢，可以分成两部分啊，从哪呢？从这个最高点啊，为分界线分成两部分，那么到达最高点的什么意思呢？就是他不能再往上飞了，那所以说这个点它的特征呢，就是数值为零了，对吧？只剩了一个水平速度 啊，一个 v x 了，那么这个 v x 跟谁？刚开始的时候，咱们进行运动的合成与分解，那么分解出来的这个水平初速度 v x， 那 就是同一个 v x， 只是数值方，这个 v y 呢，它变成了， 它变成零了，那这时候我们发现你从这个对称轴开始啊，你你你这个这个往右，他其实做的又是个平抛运动了，那当然呢，他前面这一部分我们也可以把它看成是一个反向的平抛运动，也就是他从这个位置啊，飞到这个位置， 那他先从这个位置再飞到这个最高点的这个过程呢？哎，是对称的。所以说你解决斜抛运动的问题，其实利用平抛运动的规律就可以解决啊。那么除了解决这个，呃，平抛运动用到这个， 呃这三个基本规律以外呢，他还有一些推论。那我们通过他的轨迹呢，去研究一下这个平抛运动里面他有哪些推论。那我们去以抛出点 为坐标，原点水平和数值分别为 x 轴、 y 轴去建立那么一个平面平面，这个坐标系黄色的呢，是他的这个运动轨迹啊，破除以后呢，咱们在这个轨迹上随便找那么一点 a， 根据曲线运动速度方的确定这一点的切线方向，表示的就是该点的速度方向。哎，就和速度方向 啊，他就是黄色轨迹的切线，然后呢，在这里边我们发现，他水平抛出的时候呢，速度跟现在的速度之间呢，有一个夹角，也就是他的末速度跟出速度之间存在一个夹角，这个夹角呢，我们通常把它称为速度偏转角，然后呢，他从 o 点到 a 点，实际的位置是从 o 点到 a 点的一个有效线段，就是 oa 这个长度， 然后呢，这个位移呢，当然我们也可以通过这个运动合成与分解，把它分解成水平位移和数值位移，那么 o b 就是 水平位移， ab 的 长度就是它的数值位移。那么而在这个水平位移跟这个和位移之间呢，又存在一个夹角，就是个阿尔法角 啊，这个阿尔法角呢，表示的就是它的位移偏转角。那现在我们需要研究的就是这个水平方向啊，与这个和位移之间的夹角，和水平速度与和速度之间的夹角，他们分别满足一个什么样的规律？哎，我们发现啊，它的速度偏转角的正切值，它进的 c 特 啊，在这个速度的矢量三角形里边啊，我们可以给它写成 v y 比上 v 零啊， v y 呢，等于 g t 展开之后呢， g t 比 v 零 谓一偏转角弹性纳尔法 y 比 x 啊，用 ab 比上 ob 啊，我们整理完之后呢， g t 比上二为零。很显然啊，咱们从这个表达式里边可以看出来 啊，在平抛运动的过程中，轨迹上任意一点啊，轨迹上任意一点，它的速度偏转角的正切值是它谓一偏转角正切值的两倍，要注意是正切值两倍的关系啊，不是角是两倍的关系，那么这是我们要说的第一个推论。那么第二个，咱们把这个和速度 啊反向延长啊，有时候在 a 点，咱们把这个核速度反向延长做了一个这个延长线 am， 这个 am 呢，它与 o b 啊，与 o b 有 个交点啊，这个交点就是 m 点，那么这个 m 点它跟 o b 的 长度有什么样的关系呢？ 啊？我们通过这个呃，三角函数啊，就是这个角啊，它跟这个角 那就是一个同位角的关系，也是相等的。那么在三角形 aob 和三角形 amb 里边，贪婪的 c， 它就是 ab 比上 mb， 贪婪的阿尔法就等于 ab 比上 ob， 对 吧？那通过这个平面几何，咱们可以确定这个 mb 是 ob 的 一半啊，当然这个时候呢，我们说这个，这个课下，我们呃看视频的时候可以去暂停，自己去推导一下啊，在三角形 amb 和三角形 aob 里边去找贪婪的阿尔法和贪婪的 c 的 关系啊，我们就很轻松的能找到 啊 mb 和 ob 之间的关系。那么找到这关系之后呢，我们可以确定啊， m 点，它是 ob 的 中点啊，这是我们又得到我们解决平抛运动的第二个推论啊，叫速度的反向延长线与水平位移的焦点平分。水平位移这个点 是我们经常容易忽略的点啊，但是他在我们做一些这个呃题的时候呢，是我们可能会用到的一个小结论啊，当然并不是说这个， 我们解决方法一定要用这个推论啊，我们用普通的方法去解，能解吗？也可以解啊，只是有的时候我们为了节约时间呢，用这些推论解决问题可能更方便一些，那现在呢，咱们就把平抛运动的特点，还有平抛运动的推论啊，以及这个抛体运动的解析思路啊，进行了一个分析。现在咱们开始去 看这两道题，那么第一道题呢，是我们课本啊，课本教材上的复习题组里边的一道题啊，然后呢，这个滑雪运动员的一个运动模型啊，就是相当于他做一个平抛运动啊，先通过题目中的条件啊，就暂停一下视频去做一做这个题，解决一下 a 处的速度啊和空中的飞行时间 啊，这个呢，咱就不再去呃计算了啊，运动员在空中距离坡面的最大距离是多少？ 那么解决这个问题，我们说就相信先去理解啊，什么时候离这个坡面是最远的啊？最远的，那我们就找一个轨迹上的一点，对吧啊，轨迹上的一点，这一点呢？切线方向如果说跟坡面 平行的话，那么这两个平行线之间的距离就是离坡面最远的这个距离了，对吧？这是我们的一个解题思路。一会咱们现在把这个图呢给画出来，也就是他在轨迹上啊，轨迹上找一点，这一点呢，他的切线方向跟坡面平行啊，那我们找了点 a 啊，点 a， 他的切线方向就是他的和速度的方向啊，这时候呢， ab 这个长度就是离坡面最远的这个距离， 那这时候呢，我们对 a 点进行呃位移和速度的合成与分解，其实根据题目中的条件，咱们这个水平速度这个 v 零啊，已经求出来了啊，十倍的跟三米每秒啊。然后在我们 a 点进行这个运动的合成与分解，完成以后啊，我们发现啊，就是 他竟然是平行的关系啊，那么这个角啊，这个角他就跟啊这个角呢是一样的，就是此时他的速度上角是三十度，然后呢，我们就可以通过 这个 v y 比 v 零，等于啊，他进了三十度就可以解出来啊，这个 v y 他 应该等于十米每秒，那 v y 是 十米每秒。告诉我们一个结论，什么结论呢？就是他从 o 点飞到 a 点，他需要的时间呢 是一秒，然后呢，我们再过 a 点做什么呢？做这个速度的反向延长线，也就是咱们平抛运动里边的第二条推论啊，做速度的反向延长线，他这个延长线 a c 会与水平为一， o e 交于点 c， 我们过点 c 呢，再做坡面的垂线 c d， 那 么 a b d c， 这就是一个矩形，那所以说 a b 跟 c d 长度是一样的，那所以说现在求 a b 就 变成了求 c d， 那 我们发现在三角形 o c d 这个三角形里边啊，这个角啊也是三十度，因为这个角跟这个角是内错角，那所以说在这个 三角形里边呢， c d 的 长度，我们就可以用 o c 乘以三角三十度去表示了，这样就变成了求 o c 的 长度了。那么 o c 是 什么呢？根据推论， o c 是 水平位移的一半，也就是 o c 等于二分之一倍的 o e， 那 o e 是 它从 o 点到 a 点走过的水平位一，那水平位一，很显然我们就可以用它的水平速度再乘一个时间 x o e， 它等于 v 零乘以 t o e， 我 们把这个 o e 求出来， o c 有 了， o c 有 了，乘以三三十度，这个 c d 就 有了，哎，就这么一个思路，这时候我们发现 啊，把这过程展现一下，我就不再去读了啊，整个的过程就是这样的，这时候他主要是用到了平抛运动的第二条推论，就是速度的反向延长线与水平位移的焦点平分水平位移，那这样一个抛体运动，他就变成了一个几何问题了 啊。所用到的方法，一个是推论，一个就是运动运动的合成与分解，就是位移跟速度，他们都可以进行适量的。 呃，分解啊，这个过程呢，可以暂停下视频啊，仔细去读一读。然后呢，这是方法一啊，方法一，咱们用到的推论啊，那么第二个，也就是咱们解决抛体运动的第二种常见的方法，把速度跟加速度进行分解啊，那么还是这个问题，对吧？只是换一种方法，那这时候呢，我们说 什么时候距离坡面最远呢？也就是它在垂直于坡面的方向上没有速度了， 他就是最远的。那你比如说平抛运动，他什么时候这个斜抛运动什么时候会达到最高，你斜抛运动什么时候达到最高，就是他垂直于水平方向的这个数值分速度他减为零之后，对吧？就这地方他的水平速度数值为零了，只有水平速度了，就是他不能再往上飞了，就是他的最高点。 那同样的，那就回到这个鞋面上以后呢，我们说他什么时候离鞋面最远，那就是他垂直于鞋面的速度减为零，只有沿鞋面上下的速度，那这时候他就是最远的。这个点， 所以说我们就有了一种新的思路，我们把它的水平速度就是在这个这个起跳点的这个速度给他分解，分解成一个垂直鞋面的速度和平行于鞋面的速度，那么他在远离鞋面的过程中就一定是垂直于鞋面这个速度啊起的作用， 那我们就可以有了这么一种一种解题的方法，就是我让这个垂直于鞋面的方向上速度减为零，就是当微垂直减为零的时候，他一定是离鞋面最远的时候， 那么他在垂直于鞋面和沿鞋面上又分别做什么样的运动呢？这时候呢，我们就需要把他的重力加速度小记进行一个分解， 分解成一个沿斜面向下的跟一个垂直于斜面向下的，那么这个 g 垂直他跟微垂直是反向的，所以说他在垂直于斜面的方向上，应该是做的一个出速度为微垂直加速度为 g 垂直的一个匀减速直线运动，让他的微垂直减为零，加速度也有了，出速度也有了，那我们就可以确定 他的位移了，咱们就可以用运动学的公式，对吧？方方公式啊， v t 方减为零方等于二 x 进行求解。那么具体的计算过程呢，我也写在这了啊，我同样呢不再仔细去读了啊啊，这里边就给大家提供了一个思路啊，什么思路啊？就是我们 可以啊，把这个平抛运动给他啊，沿我们想要的方向进行一个分解，但前提啊，你得先去理解人家题目中他想要考察的方向是什么，对吧？你得去理解他什么时候距离鞋面最远啊，这是咱们说的第二个方法啊，可以把速度和加速度 进行适量的分解。那我们现在看第二道练习题啊，这个呢是高三一道模拟题啊， 呃，这个模拟题呢，它的 abc 三个选项呢？通过，呃，动能定律啊，还有这个斜坡运动规律呢啊，还是比较好解决的啊，我们可以先暂停一下视频去做一做啊，把这个 abc 三个选项呢给它算出来。然后现在咱们重点解决的是这个四 d 这个选项 就是他从 b 点飞出以后到再次落到这个地点，他一共需要多长时间，那我们说他从 b 点往上飞，做一个斜抛运动，他到达最高点咱们是可以算的，因为他从 b 点飞出以后，他的水平速，他这个这个核速度我们是 已经求出来了，这个速度三十米每秒啊，这个咱们可以先去算算啊，那么有了这个速度以后啊，我们可以把这个速度给它分解成水平的跟数值的 数值的他往上飞，那就会达到一个最高点啊，就这个最高点 c 咱们是可以确定的，那是我们确定了从 b 点到 c 点以后呢，他从 c 点再落到斜面上，这是个什么过程咱就不知道了， 对吧？因为我们只可以去算的是 b 和 c 之间的这个高度，那他从 c 再调到 d 点这个高度，那就不太好算了。那这时候我们有了一个什么呢方法呢？我们还是考虑，如果说咱们把 b 点的速度呢进行一个 呃分解，咱们也把它分解成一个沿鞋面的跟一个垂直鞋面的，他从鞋面上飞出去，然后再回到鞋面上，那就相当于是在垂直于鞋面的方向上做了一个对称的运动，那这时候呢，我们 可以把这个 b 的 速度进行一个分解，在 b 点先确定他的末速度，因为这个根据题目中的条件，他飞出以后，他与水平方向的夹角是十五度，那所以说他与鞋面的夹角呢，就是四十五度， 咱们把这个速度为零呢，给它分解成一个垂直于斜面的，还有一个平行于斜面的。同样呢，再把这个加速度进行一个分解啊，分解成沿斜面的跟垂直斜面的，这时候我们就发现他在垂直于斜面的方向上做的依然是一个， 先往这个这个向上做一个这个匀减速直线运动，对吧？有出速度是微垂直啊，加速度是 g 垂直的一个匀减速直线运动， 然后呢他到达这个这个这个离斜面最远的时候呢？哎，然后呢再回来，那么 我们如果说只看他垂直于斜面这个这个方向的运动的话啊，只看听清楚啊，是只看垂直于斜面方向的运动，他就相当于从 o 点 先做一个匀减速直线运动，到达最高点一点，然后到达一点以后呢，再匀加速回到 o 点，就是回到这个这个这个这个鞋面上， 所以说咱们只看垂直于斜面方向这个这个这个运动的话，相当于他从 o 到 e 先匀减速上去，再从 e 到 o 匀加速下来，那么整个的过程中他的加速度是不变的，那就相当于你往上扔一个苹果，然后呢他在喂到，他在落到你手里啊，他在最后的这个这个末点呢，又落到你手里， 那我们这就相当于这个树枝上抛运动，对吧？那我们知道树枝上抛运动，他上去再回来，这个运动过程呢，是对称的，因为加速度始终是不变的啊，然后呢，这个位移也是不变的，那么同样呢，我们也可以通过这个思路去解决下这个问题，对吧？他从 o 到 e 啊，做匀减速，加速的是 g 垂直，他从 e 到 o 做一个匀加速，它加速度还是 g 垂直，并且 o e 之间的长度是不变的， 对吧？那所以说从 o 到 e 和从 e 到 o 就是 具有对称性的，那么它从 o 到 e 的 时间和从 e 到 o 的 时间呢？就是相等的啊。那我们确定了这么一个思路以后呢，咱们把这过程去写一写，先把这个速度初速度为零跟加速度小记啊， 给他分解到垂直斜面跟沿斜面啊，那么他从 b 到 d 所经历的时间，根据等时性就等于他从 o 点到 e 点的时间，再加上他从 e 点到 o 点的时间，那我们就变成了解决 o 到 e 的 时间了 啊， o 到 e 他 做的是一个这样的一个一个一个一个一个运动啊，我们根据运动的公式， v t 等于 v 零加 a t 啊， v 零就是它的微垂直啊啊，我们就就就列这个式子就可以解决这个这个从 o 到 e 所经历的时间了。那么从 o 到 e 的 时间以后呢？以后有了以后呢？我们说再回到这个 o 点所的总时间啊，就是两倍的 t o e， 这就是我们说的啊，利用耗体运动的推论啊，还有运动的合成与分解这个角度解决这些问题，所以有的时候啊，你会发现，呃，再去解决这些问题的时候呢，首先我们得先确定好啊，这个题的考察意图是什么 啊？然后呢，我们脑子里得有那么两根，两根弦就是我们解决这个跑体运动，我们说常常用的方法都有什么，对吧？哎，一个呢，就是你老老实实的用跑体运动的规律，对吧？水平方向怎么着？数值方向怎么着去解决问题。那么还有一个呢，就是你用推论或者结合这个平面几何怎么解决问题， 对吧？再有呢就是你平抛运动，他本身就是一个曲线运动，而我们说你解决曲线运动的最重要的工具，那就是运动的合成与分解。哎，所以说当我们遇到一些题，你发现他缺少一些条件，或者说解不下去的时候呢，我们不妨试着去换一下思路 啊，正常的这个平抛运动规律解决不了的时候呢，我们就用推论，对吧？我们就另辟蹊径啊，去找他的这个运动的合成与分解啊，都可以。 那么这两种方法介绍完成以后呢，咱们这节课的任务呢就结束了。那么最后呢，咱们去留下一道习题啊，是一道高考题啊，这是一道高考的实验题啊，咱们重点去解决一下第四问啊，第四问 啊，有兴趣的同学呢，可以去做一做啊，做一做啊，如果说有问题啊，可以啊，咱们在评论区讨论一下啊，或者说私信我啊，咱们再去讲解， ok， 那 这期视频咱们就分享到这，下期视频咱们再见。

抛体运动总是学不好，归根结底是对食量分解和运动独立性的理解不够深入，容易混淆速度和位宜的分量。下面我们先来看看抛体运动的易错点，一是容易忽略数值方向的匀变速运动。二是角度和分量对应容易出错。三是常常漏看临界条件。 学习时要特别注意和运动与分运动具有等时性，以及速度偏角和位移偏角之间的关系。抛体运动主要有平抛、斜抛类平抛这几种模型。常见的解析思路是把运动分解为水平方向的匀速运动和数值方向的匀变速运动， 然后列出方程连力求解。接下来为你全面汇总抛体运动的常见题型。一、基础平抛问题，已知高度或者水平位移，求给出速度、运动时间以及落地速度。二、 速度与位移分解问题，求解分速度和速度以及偏角正切值之间的关系。三、鞋面平抛问题，包括垂直打在鞋面、沿鞋面抛出以及落点在鞋面时的运动时间与位移 四类平抛问题，涉及电场光滑、鞋面内加速度恒定的曲线运动。五、斜抛运动问题，含盖斜上抛和斜下抛，求解最大高度、射程以及运动时间。六、临界极值问题，比如刚好越过障碍、最小抛出速度以及落点范围等问题。 七、多体平抛问题，两物体同时抛出，涉及相遇、相距最远等追及相遇问题。八、平闪图像问题，根据平闪照片 v t 图或者 x 减 t 图求解出速度与加速度。九、圆周衔接平抛问题，物体从圆周轨道飞出后做平抛运动，求解抛出点与落点。十、实际应用问题，像投篮、喷水、炮弹轨迹等生活中的模型问题。

大家好，我是树里花付老师，咱们这一节课来讲一下有关于平抛运动的几个重要的推论。好，我们先看一下这个立体哈，在一斜面的顶端，将假一两个小球分别以 v 和四分之 v 的 速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上，假球落在 斜面时的速率是以球落至斜面时的速率的几倍。在讲这个问题之前，我们先推到几个结论哈，我们先来看一下。 好，第一个推论呢，我们来研究一下啊，这个物体呢，做平抛运动，假如说这个小球呢，运动到这个点，运动到这个点的这个时候，他的这个末速度的这个方向，末速的这个方向就是和水平方向这个夹角与他位于与水平方向的夹角之间的关系。 好，那我再重复一下，我们现在第一个推论呢，是要来研究一下这个末速度的与末速度的这个方向，它和水平方向的这个夹角 r 法 和这个位移，它运动到这个点的时候，这个位移与水平方向的这个夹角 c， 它之间的关系。好，我们看一下这个末速度。假设说这个物体啊，物体这个小球呢，从 o 运行到这个 a 点吧， 运行到 a 点的时候，它的这个运行的时间呢？我们设为 t。 好， 那这个时间 t 呢？我们看一下这个它的这个水平方向上的这个速度，水平方向的这个速度呢，是 v 零， 没有什么变化，对吧？然后数值方向上，数值方向上它做自由落体运动，然后做匀加速直线运动的话，那就是这个，我们设它这个方向的这个模，这个数值方向这个分速度啊，是 v y， 好， 这个是啊， v y， 这个 v y 呢？它等于什么呢？它等于 gt。 所以 那么贪整的 r 法等于什么？ tangent 算法等于这个数值方向上这个分速度和这个水平方向这个分速度的比值，那么数值方向是 g t， 然后水平方向是 v 零，对不对？我们得到了这样一个式子，好，那我们再看一下它这个位移，它运行到 a d 时的这个位移的这个 tangent， 这个 theta 是 多少？ tangent theta， 毫无疑问，那它等于这个数值方向上呢？比上它水平方向上的位移呢？我们看一下哈， tangent theta， 那 就数值方向上等于二分之一 g t 方，对不对？二分之一 g t 方，水平方向好，为零 t， 对 吧？ 我把这个式子整理一下，你就会发现，那个 t 呢？我们约定了一个，对不对？然后二分之一这个二移下来，那就是二为零 g t， 对 吧？好，那么我们会发现这个 tangent 阿尔法和 tangent sit 之间有一个关系，那就什么呢？就是 tangent 阿尔法比上 tangent sit 好， 这边比上这边的话，那这个的话还剩一个，这个，这个都比下去了哈， v 零，然后这个是二为零，然后 g t， 对 吧？然后 g t g t 约掉 v 零， v 零约掉，那么也就是它是等于二。好，那这个式子我再整理一下， 那就是 tangent r 法等于二， tangent theta 好。 由此呢，我们得到一个结论，就是什么呢？ 做平抛运动的物体，在任意时刻，任意位置处设其速度方向与水平方向的夹角为 r 位，以水平方向的夹角为 theta， 则 tangent 阿法等于二， tangent theta。 好， 这是推论一。 好，我们再看一下推论二。推论二的话，我们是来研究一下，就是这个位以， 好，我让它 x 一 吧，这个这段谓语和这段谓语之间的关系，我叫它 x 二， 就是 x 一 和 x 二之间的关系。好，那这个问题的话，我们很简单哈，就能推导出来，这个是数学方法哈，那这个在这个直角三角形当中，在这个直角三角形当中的话，我们知道参证的 r 法， 它是不是等于数值上的好，数值上呢？我教它，这一段是，嗯， y 吧，那这段呢？是 y 数值上面的 v e， 那 就等于 y 比上 x e， 对 吧？好，我们再看一下 tangent theta， tangent theta 的 话，它是在哪个直角三角形来探究的？是在这个直角三角形，对不对？这个直角三角形来探究，那么就是 tangent set 等于 y 比上 x 一 加上 x 二，对吧？好，根据我们的推论一， tan 值的二法等于二， tan 值的 theta， tan 值的二法等于二， tan 值的 theta， 那 么也就是 y 比 x 一 等于二， y x 一 加上 x 二。好，我们会发现 y 和 y 是 不是约掉了？ 那你得到的是 x 一， 我们十字相乘， x 一 加上 x 二，就等于二， x 一 好，移向 x 二等于 x 一， 好，这个呢就是推论二。也就是说做平抛运动的物体，任意时刻的这个顺时速度的反向延长线。好，顺时速度的反向延长线， 这个什么一定通过此时水平位移的终点，我这个图画的不准哈，但是这块和这块我们已经证出来，它就是相等的，对吧？ 好，我们再看一下推论三，推论三的话，那么引由图上面就可以得知哈，就是假如说这样一个斜面， 就是这是一个斜面，这是一个斜面呢，以不同的这个初速度，以不同的水平速度完了以后呢，我们抛这个物体 a 和 b 吧。 好，假如说物体 a 呢是 v 零，物体 b 呢是二分之一 v 零，那么他们都会落到这个上面，会落到这个斜面上，对不对？那么他落到斜面上的时候，这个末速度的这个方向有没有变化？这个末速度的方向它有什么规律呢？好，既然是我们这个 它平抛出来的这个水平方向和这个斜面之间的这个夹角的话，它始终是 tanthan theta， 对 不对？始终是这个 theta 这个角，那么 tanthan theta 是 不是就不是固定的？ tanthan theta 是 固定的话，那么无论你以什么样的速度来抛出来的话，那你的这个末速度的这个夹角， tanthan theta 是 不是就会保持不变？因为它有这样一个规律啊， tanthan theta 等于二， tanthan theta 始终等于它的二倍，对不对？那么你的末速度方向是不是就保持不变？ 那么所以呢，无论是以 v 零的速度也好，二分之一 v 零的速度也好，或者四呃， v 零的速度也好，那么他们只要是落在斜面上的这个末速度的方向都是一致的哈， 速度方向是一致的，这是推论三。好，咱们来回过头来看一下这道题，这个小球呢，分别以 v 和四分之 v 的 速度沿同一水平方向抛出，那么他抛出落在这个斜面上， 只要这个斜面的，我们说这个倾角保持不变的话，这个角度和水平方向的这个角度保持不变，那么它落地时，就落在鞋面上的时的这个速度的方向，它速度的这个末速度方向是不是就保持不变？好，那我把这个图呢再给你讲一下啊， 也就是说这个小球呢，是四分之一的速度对不对？而另一个小球呢，是 v 的 速度，对不对？它们俩是以不同的速度这个走。问你这个啊末速度，这个速度的值比是多少？那么我们根据这个规律的话，只要你的值落在这个斜面上啊，这个抛出的这个物体 落在这个斜面上，那么这个 c 角保持不变的情况下的话，那你落在这个斜面时的这个速度的方向 就保持不变，它始终是什么？符合这个 tangent 阿尔法等于二倍的 tangent theta， 只要你 tangent theta 不 变，哎，你的这个 tangent 阿尔法就保持不变。 tangent 阿尔法保持不变的话，我们知道这个默速度，根据矢量的这个计算法则的话，那你看一下这个水平方向上的这个啊 v 零和这个 末速度的这个大死小，它们之间是不是就存在一个关系啊？那这个关系呢？就是啊，这个水平方向这个 v 零，然后呢比上这个微末，然后它是不是就等于 q 三压法？ 水平速度 v 零，然后呢比上这个末速度 v， 它是不是就等于啊 q 三压法了？ 就等于口三也 ar 法，是不是口三也 ar 法，这个 ar 保持不变， ar 保持不变的话，当你的这个速度是为零的话，那你的这个末速度也是，呃，成比例关系对不对？ 好，等于口三也 ar 法对不对？那么当你的这个它是不是还等于啊，你是四分之一为零的话，那这个是 v 末，这个 v 一， 然后呢，这个是 v 二，我们就会发现这个它的出速度和它的这个出速度的比值就等于它的末速度和它的末速度的比值。 所以当你的这个出速度分别是 v 和四分之 v 的 时候啊， v 和四分之 v 的 时候，我们会发现 v 末的速度比呢？就是啊，四比一是吧？就是一比四分之一，那就是四比一，所以它是它的四倍，这个题就选 b 哈，这个题还是 挺简单的，但是呢，这个推论大家一定要记住哈。好，有关于平抛运动的规律、应用和推导我们都已经一一讲完了，希望同学们回去好好把例题看一下。好，咱们下期见。

同学们好，今天呢，我们利用这么一道题目给大家来讲解一下抛体运动如何来处理。那么高中呢，我们遇到的这种抛体运动一般分为两类，第一类呢就是平抛运动，第二类呢就是斜抛运动，当然还有我们常见的这种类平抛和类斜抛， 那对于这种抛体运动，我们如何来处理呢？这里呢，我们首先来回顾一下什么是平抛，什么是斜抛以及平抛，斜抛我们应该如何来处理？ 第一个就是哎，平抛的它的概念我们需要明确啊，也就说一个物体，那么我如果说能够看到一个质点啊，一般是质点来处理啊，给他一个出速度， 如果说仅受重力的条件之下，那么他做的就是一个平抛运动，也就是对于平抛运动而言，那么他能够做平抛的条件，哎，也就说需要满足两条，第一条呢就是 啊，具有水平出速度啊，这个 v 零它是水平的啊。第二个呢就是我们所说的啊，紧受重力，受力上啊， 啊，紧受 mg 啊，一般都说，哎，忽略空气阻力，哎，不计阻力等等，那么它做的就是一个平抛运动， 那么什么叫做斜抛呢？斜抛的话也很简单，斜抛，那么斜抛的话，也就说他的这一个出速度为零，他不是水平了啊，可以斜向上啊，斜向下等等，那么他做的就是一个斜抛运动， 那么这里呢，这就是对于这种基本的平抛和斜抛的概念，我们先明确一下啊。第二个就是如何来处理平抛运动以及斜抛运动我们处理的思想。 第一，首先平抛和斜抛他做的是一个曲线运动，那么对于曲线运动的话，前面我们讲直线运动，那么所用的那些基本的形式， 哎，你来处理的话，哎，他不是很很好处理了，所以说我们要想办法把这种曲线运动，把它转化为直线运动来处理，那么对于平抛的话，你看，哎，给他一个出速度为零， 减速重力 mg， 那 么抛出去之后，我们说了，因为合理和出速度方向互成一定的角度，那么他做的一定是曲线，而且这个轨迹呢，他一定是向力的方向弯去， 那么这样的话，我们可以看出来，在水平方向上他是不受力的，那么不受力的话，也就说水平方向上他是没有加速度的，那么他一定是做一个匀速运动啊，这是水平方向上， 那么对于竖直方向的话，他受到重力的作用，那么这个重力呢，就会给他提供一个加速度，那么这个加速度呢？就是重力加速度，哎，竖直向下，那么竖直方向的出速度呢？为零，所以说在竖直方向他做的是一个出速度为零， 加速度为 g 的 这样一个匀加速运动，也就说做的是一个自由落体运动 啊，这是他的数值方向，那么水平匀速数值自由落体运动，那么对于匀速运动和自由落体运动，那么这里的话，我们是比较清晰的， 那么也就是说，你看啊，我们把这个曲线运动转化成了两个不同方向的直线运动，直线运动的话，我们是比较擅长的，那么这种思想呢，他就叫做什么呢？叫做化取为直的思想啊，把曲线 转化为直线，哎，这就是化取为值的思想，那么化取为值的思想，他的操作就是需要我们去分解，哎，把它分解为一个匀速和一个匀变速运动， 那么这里分解的话，我们就需要去建立一个坐标系，那么你像我们一般解析的这种方式呢，当然是多样的啊，一般是水平数值可以去建立坐标系，比如说平抛运动，我们常见的啊，就是这样，水平建立 s 轴， 数值建立 y 轴，这里相当于是一个坐标原点，那么对应的我们需要来求的话啊，一般求什么呢？比如说经过一段时间它到达某个点 a 点， 那么对应的这个 a 点的它的速度是多少？好，我们可能需要求一下啊 v， 再一个从 o 点到 a 点，他的位一是多少啊？啊，这一个是位一出位置指向末位置的有效线段吧啊，这就是他的位一 l， 那 么我们可能需要去求解一下他，那么求 v a 的 话，刚才说了，我们为什么要分解啊？啊？我们分解的目的就是把复杂的曲线运动 转化为了这种我们常见的直线运动。那么好了，你看啊，那么 v， 我 们把它分解的话，只要是适量都可以分解啊，速度啊， v 一 加速度力等等都是可以分解的，只要分解的话，我们就可以满足这一个平行四边形定则啊， 严格意义，你像我们经常画的画这种，嗯，就说矩形的形式啊，正交分解等等，这样的话它比较简单一点，那么水平方向的话，这个 v x， 因为它是匀速运动嘛，始终都是 v 零， 那么到了数值方向上，在 a 点这个速度，我们可以令它为 v a y， 也就是说沿 y 轴方向的这个分速度啊，我们令它为 v a y 好了，那么这样的话，我只需要去求出 v a y， 然后再求出这一个 v x， 那 么我们就可以求 v v x 的 话就是 v 零，这个是已知量，那么 v a y 的 话，这里表示出来也很简单，在 y 轴方向上啊， v a y， 它就等于什么呢？啊，根据我们基本的速度公式，数值方向出数为零，加速度为 g， 所以 说它应该等于零，加上 g， 我 这里就直接写成，哎， g 乘以 实线 t， 哎，这就是到达 a 点之后它的一个数值速度，那么这个 v a 的 话，我们要求解，这里就可以用基本的勾股定律去把它求出来，它就等于根号下 啊， v x 方加上 v 外的平方，这样的话，你把这一个 va 外 以及这一个 v x， 它等于 v 零，把它带进去，这样的话我就可以去求出这一个 va 来。大家需要注注意的是啊，有的时候它让你求速度啊，速度的话它是个矢量，除了求这一个大小， 我们还必须去标注它的方向，那么方向的话，一般我们会表示什么呢？表示那么这个速度与水平的夹角，这个角令它为 c， 它吧，啊，这个夹角的正切值 啊，当然你表示的正弦和余弦也没问题，一般的话我们都是表示这正切值啊，哎，弹 c 它， 它就等于对边比上邻边，看这个对边比上邻边，也就等于 v y， 比上这个 v x， 它就等于 g t 比上 v 零，那么这样的话，我就去表示出来了它的方向。如果说这个贪值是我们常见的，你像三十度啊，六十度啊，是吧，还有这个四十五度等等啊，你就可以直接去表示出这个 c， 它是多少？ 如果说，哎，这个角度我们不明确，那么你求出这个贪心特来，我觉得说就 ok 了啊，当然说，你也可以写出它的反三角函数来，这个 c， 它啊等于 ark， 哎，贪这一题比上 v 零，因为有的同学呢，他还没有学这一个三角函数和这个反三角函数，那么这里的话，你就直接去表示贪心特，我觉得这就是可以的啊， 这是他的方向啊，只要是求个矢量，必须既要求大小，又要求他的方向啊，这是对于 a 点的速度啊，我们去求他，这个我们要求什么呢？求 v， 刚才说了 v 的 话，他是 l， 那 么求 v 的 话， 我们可以怎么办呢啊？先求一下他的水平 v 一 分解这一块是 x， 再求一下它的数值为 y， 那 么这里的话，这是一个直角，所以说你要求 l 的 话，根据勾勾定力，我们也可以求出它的位置来。那么对于水平方向上这个 x， 它就等于初速度为零，乘以十点 t 匀速运动，那么 y 轴方向上的话 啊，它的数值为等于二分之一 哎，乘以 g， 再乘以 t 方，哎，这是它数值方的微一， 那么这样的话，我们来求这一个实际的微一 l， 它就等于根号下 x 方加上外方，哎，这就是它的微一的大小。微一大小， 那么我们表示了它的大小。同样的，我们说 v 一， 它也是一个矢量啊，所以说我们还需要去标注它的方向，标注它的方向的话，一般标注的有什么呢？就是 v 一 偏转角，它的正切值，这个角呢，我令它为阿尔法角，也就说 v 一 于水平方向与 s 轴的交角，这就作为 v 一 偏转角，那么表示它的正切值的话，也就说它阿尔法 我们可以写成谁呢？你看对边比上邻边，也就说等于 y 比上 x， 它就等于二分之一，这地方比上 v 零 t， 那 么一化简的话，这个式子就是两倍的 v 零分之 这一题。哎，这就是贪阿尔法角。那么同样的，你去如果说这个角度我们非常熟悉，你可以去直接写出角度，如果不熟悉，我们就表示这一个贪阿尔法，哎，就是可以的啊， 这是这个矢量，既要求它的大小，也要求它的方向。哎，那么这个地方呢，它还有两个推论。 第一个推论是什么呢？大家来看到啊，这个贪谁特，刚才我们求出来了，它等于 gt 除以 v 零。贪阿尔法的话，刚才我们也求出来了，它等于 gt 除以二 v 零。所以这里的话，贪谁特和贪阿尔法，我们不难发现啊，他们之间有一个关系， 大家看一看啊，谁是谁的两倍啊？哎，应该是一个什么呢？贪谁特 等于两倍的探二法，也就说位于偏转角的正切值，它是速。呃，说错了啊，速度偏转角的这一个正切值，它是位于偏转角正切值的两倍。 大家注意啊，是正切值是两倍，他不是随他等于两倍的阿尔法，这个是不对的啊，随他等于两倍的阿尔法，这个是不对的，应该是正切值是 v 一 偏转角正切值的两位，这是我们明确的第一个结论。 那么再一个结论呢？这个也嗯，很容易去写出来啊，把这下面这里擦掉 好了。这个结论是什么呢？这里呢，我们可以去把这一个它的速度 a 点的速度啊，可以进行一个反向的延长，哎，反向延长之后呢， 它就会与 x 轴相交于某一个点， 哎，相交于某个点，那么相交于某一个点的话，这个点呢，我可以令它为 o 撇吧，就这里这个点啊， o 撇，那么我们可以看出什么来呢？啊，这个角度，哎，这个角度它也是 c 的， 为什么说它是 c 呢？因为这个角刚才所画的它与速度与水平面的夹角， 这个角它也是 c， 它俩属于一个什么呢？属于一个同位角，这是对于速度的反向延长嘛，所以说这两个角度是一样的。那么在上面这个 c 角这里，我们也可以去表示它的 tan， 表示出来，它应该等于 y， 除以这一个这块距离，哎，这块长度， 这块长度呢，我令它为 x 撇，啊，除以一个 x 撇，那这里就可以写成一个。 刚才说了啊， tan theta 的 话，咱也表示了 tan theta 这个地方啊，啊，这个地方它等于 g t 除以 v， 那 么我们也可以写成，哎， g t 比上 v 零，看这么一个形式，那么 y 的 话，它等于二分之一 g t 方，我把它替换掉啊，这个 y 这里它是等于一个二分之一 g t 方。 好了，这样的话，两边交叉相乘，交叉相乘之后呢，你看，我就可以求出这个 x 撇来， 一交叉相乘，把 t 约掉，把 g 约掉好了，这个地方它就等于谁呢？等于二分之一 v 零乘以 t， 而 v 零乘以时间 t， 刚才我们说了，它就是到达这一个 a 点的这一个水平的位，所以说这个二分之 v 零 t， 它就应该等于二分之 x， 所以 说这样的话，你看啊， x 撇，也就说它等于二分之一 x， 也就说我们的反向延长线所交的这一个 o 撇点，这里这个 o 撇点， 那么它就是水平位的中点，所以说第二个推论呢，就是啊，速度 反向延长线 过水平为一的重点 啊，这个笔太不好用了啊 啊，水平为一的终点，这地方我就不写了啊啊，速度的反向延长线过水平为一的终点，这是第二个推论，第一个推论就是，呃，速度偏转角的正斜值 tan theta 等于两倍的 tan alpha， 这就是我们所说的平抛运动中我们常见的这么几个点，大家需要去知道它如何来处理。就是分解嘛，要么分解速度，要么分解为一，满足的就是平行四边形的关系啊，需要去找这个三角函数的关系，包括啊，这是我们所说的这一个平抛， 那么斜抛的话， 斜抛我们来处理起来，你看啊，重力 m g 这里有一个出速度为零，那么这个也很简单，它的轨迹的话，大致就是这么一个轨迹， 哎，大致啊，这样一个发生的斜坡的轨迹，那么我们处理起来呢，也是用到的办法啊，化去为零。分解嘛，这是抛出点 o 点，我们一般分解的话，你看啊，可以令水平方向为 s 轴， 数值方向为 y 轴，那么我们建立坐标系之后，我们就需要去分解，分解什么呢？谁不在坐标系上，我们就需要去分解谁，那么你看这个 v 零的话，很明显它是不在坐标系式的，所以说我们需要把它分解为水平的 v x， 数值的 v y， 哎，这个角呢？定它为 r 发角吧，哎，这样我们就出现了两个分速度，那么这两个分速度呢，我们也可以用 v 零和 r 发角表示出来，那么对于 y 轴方向的话， 好了，它的初速度就是 v y， 那 么加速度的话，我们说受到重力吗？竖轴方向，所以说竖轴方向重力给他提供加速度就是重力加速度， 那么竖直方向上出速度 v 外和加速度 a， 他 俩是反向的，所以说从 o 点抛出他往上走，他做的是一个匀减速运动啊，匀减速运动，匀减速运动的话，那么这里就会经过一个最高点， 这个最高点为 a 点吧，那么到他最高点这个位置的话，那么他的数值速度 v a 外，他就减为零了啊，你要不减为零的话，他他还得往上走，所以他的数值一定减为零了，那么减为零之后，这一个问题，到达最高点他的速度是零吗？ 很明显不是，因为水平方向上的话，你看他不受力，但是水平方向有出速度，所以说对于水平方向而言，他做的也是一个匀速运动啊，水平方向 他是匀速直线运动，所以说这样的话，到达 a 点之后，他还是有水平速度的 v x， 所以 到达最高点他的速度并不为零，只是数值方向的分速度减为了零。 那么到达最高点 a 点之后呢？那么这个位置同样的啊，他在任何一个位置都是受到重力作用，那么之后很明显他做一个平抛运动。 那么对于这个问题的话来看，我们处理的时候啊，水平方向做匀速运动，那么他的水平速度 v x， 我 就可以写成 v 零，把它分解，往水平方向分解啊。嗯，这个是 v 零，这个是一个阿拉伯角， 所以说我们来表示 vs 的 话，很明显求的是这一个零边，它就是 v 零乘以 q 三阿尔法， q 三阿尔法。那么对于数值方向上看， y 轴方向上啊， y 轴方向的话， 我们去表示啊，出速度这一个 v y 的 话就是 v 零，这一块是 v y 啊，求的是这一个对边啊， v 零乘以 c r 法， 那么这里的话，好了，我们从 o 点到 a 点，那么它运动减为零所需的时间，这个是很容易去求出来的啊。哎，速度 v a y， 它等于零，它就等于谁呢？ v y v y 就是 v 零乘以三 r 法，哎，减去这一乘以 t， 这是从这一个 o 点到 a 点，速度减为零，它所需要的这一个时间写成 t 一 吧。啊， 那么从 a 点抛出再到 b 点，大家注意啊，从 o 到 a， 再从 a 到 b， 在 数值方向而言，你看啊，它的速度变化量都是一样的，从零变成 a， v i 等于零， 从这个 v y 变成 v， a y 减为零，再从零反往 b 点跑的话，你看下落高度也是一样的，所以他们时间上具有一个对称性，包括他的 v e 啊，水平方向也是具有一个对称性，所以说从 o 点跑到 b 点的总时间 啊， o 到 b 这个总时间，我可以写成 t 啊， t， 它压个 e 等于两倍的 t， 两倍的 t， 这就是根据对称性来的。 那么从 o 点抛出到 a 点，它的这一个高度是多少呢？我们也能求这个高度，这个也很简单，你看末速度是零零的平方，我们用的一个速度 v y v y 的 话是 v 零乘以三 l 法，它的平方 注意啊，必须是末速平方，减出的平方等于什么呢？注意它做减数一定不要漏了负号啊，漏了负号就算错两倍的 啊。二 g 乘以 h 啊，这就是它的上升高度 h， 看，我也可以去给它求出来。 那么水平总位一从 o 点跑到 b 点，这个总位一怎么求啊？这个也很好求， x o 点到 b 点总位一，因为它是做匀速运动嘛， o 到 a 点用时为 t 一， 刚才说 o 到 b 用时就是二 t 一， 所以它就是水平速度 v s v 零乘以 口三 alpha 再乘以二 t， 这就是它的水平位置啊，它的水平位置。 所以说我们这种斜坡的话，你看处理起来啊，无非就是重力和速度不垂直了，不垂直咋办？我们还是需要去进行分解，我们的目的还是要把这种复杂的曲线运动分解为 某一方向匀速，哎，另外一个方向，这样是一个匀加速哎，匀变速，这样一个曲线直线运动来处理。当然有的时候呢啊，你分解之后也不一定是完全按照这一种方式去分解，比如说你像 啊，比如说你看有的时候这种斜面，这种斜面的话，你看，哎，我给他一个水平速度为零吧，抛出让你来求距离斜面最远的距离。这种题呢，我们也经常做到， 那么这个时候呢，你在分解的时候，我们就不建议在水平竖直间隙了啊，怎么办呢？你看，咱可以沿斜面垂直于斜面建立的微斜哎，沿这方向， 这是 x 轴，这是 y 轴，这样间隙的话来看啊，哎，抛出去之后落到这斜面上， 你看距离鞋面最远的位置，我就写一写啊，比如说这里这个 a 点，这个 a 点什么特点呢？就是他的 y 轴方的速度啊， v a y 他 一定减为零了，这样的话，你看啊，他就不可能在，哎，沿外轴这个正方向在运动啊，这就是相当于距离鞋面最远的位置。 那么这个时候呢，你看我们建完系之后，很明显重力和初速度都不在坐标系上，都不在坐标系上，怎么办呢？都得分解，你看把它分解为朝下的 j y， 沿 x 轴的 j x， 把这一个速度来， 也得去分解，把这个速度分解为朝上的 v y， 还有沿这一个 s 方的 v x， 比如说这个角为 c t 吧，那么根据这一个， 呃，三角函数关系啊，那么这里这个角那几个关系啊，这里就是 c t 角，那么这里是 c t 角的话，同样的这个角 他也是 c 的 角，你看我们分解之后呢，他就出现了这么一个情况啊，那么对于 y 轴方向的话，他做的是一个以加速度 g y 来提供，等于谁呢？你看这里是啊， m g 乘以口塞 c， 它这是它的合力，它就会给它提供一个 m a y， 哎，这个方的一个加速，所以 a y 的 话等于 g 乘 q 三 c 大， 那么它的出速度 v y 的 话是谁呢？这个 v y， 它就等于 v 零乘以三 c， 它所以说在 y 轴方向上，它就是以 y 为出速度，以 a y 为加速度，它两个方向相反，一定是做一个匀减速度，那么这样的话，它到达最高点的时间，或者这个 v 一 到达最高点的这个距离斜面的高度吧，啊，这个 h， 这里我们就可以去求了，那么时间的求解的话，你看很简单，因为 v a y 的 话等于零了，它就等于谁呢？出速度是 v y， 再减去，注意啊，不能减 g 啊，减 g 是 不对的，因为什么呢？它是重力沿 y 轴方向的这样一个分力，应该是减谁呢？ a y a y 的 话就是 g 乘以 q， 三 c 的 减去 a y 乘以时间 t， 这样的话，你就可以去求出这一个 t 一 是多少啊？这个 t 一， 那么这样的话，你求出 t 一 来了。 好了，我们再来求求这个最大高度 h， 距离斜面，那么这个的话也很简单，沿 y 轴做匀减速嘛，啊末速度 v y 等于零，那么也就是零的平方减去出速度是 v y v y 的 平方， 它就等于谁呢？负的减振运动啊，两倍的。注意，刚才还是说的啊，不能乘以 g， 两倍的 a y 乘以 h， 哎，这样的话，你把这个 a y 以及 v y 带去，我们也可以去求出这一个高度 h， 哎，求 h 是 等于多少？ 哎，这是这个地方啊，这就是求沿斜面方向的，就说距离斜面最远的距离 h， 你 这样加起的话，我们就是沿斜面垂直斜面加起，这样简单，如果你就说水平数的键能接不？也能接，但是它要稍微复杂一些啊，稍微复杂一些， 这是这样一个间隙的四好处啊，所以说间隙的方式并不是唯一的，我们需要去根据具体题，具体题目它的情况来处理。 再比如说 a 浪求什么呢？落到斜面上时距离 o 点的距离，哎，这里是个 o 点，比如说这个地方是一个 b 点吧，落到斜面，也就说 o b， 它的长度 l， 那么 l o b 怎么求呢？大家注意啊，沿 s 轴方向，这个时候刚才说了啊，有个 g x， 这个 g x 的 话，它将会给它提供一个 沿斜面向的加速度，它就等于谁呢？ m g c c 等于 m ax， 哎，你可以去求出 ax 来啊，那么再一个，它的出速度 v x， 刚才我们也说它等于 v 零乘以一个口三 c 啊，这是它的初速度。那么沿着这个方向做什么运动呢？因为 g x 和 v x 它俩是同向的，所以说沿着 s 的 方向一定是做一个匀加速运动，所以这里我们来写的话就是 v x 乘以 这个时间，注意啊，从 o 到 b 的 时间，注意，它可不是 t 一 啊，因为 o 到最高点距离斜面这里这个 a 点的时间是 t 一， 那么从 a 到 b 的 话，我们说根据这种 时间的对称性，他应该是 o 到 b 的 时间等于 o 到 a 的 时间的两倍，所以这地方应该乘以二 t 一， 再加上二分之一，这一个 ax 乘以 二 t 一， 裹起来看，注意这地方啊，需要去裹起来的平方啊，这样才行啊，这样的话我们就可以去求出 l o b， 哎，它等于多少，这是我们常见的，你像这种斜抛，哎，还有这一个平抛等等，哎，你像咱前面高考，高考题当中啊，二四年高考题，那么这一个， 呃，选择题的这一个压轴题，考的就是那种斜坡运动啊，这个斜坡的话考的频率也比较高啊，这是一个考察的重点，所以说我们首先呢，你需要把这种最基本的处理办法 啊？怎么来去受力分析，建立坐标系，怎么来分解是吧？啊？非常的唯一啊，你去把它搞明确 啊。这里呢，我就先把这个基础知识呢给大家来讲一下。嗯，下一个视频的话，我再把这个题目来给大家继续去讲一讲啊，如果有什么疑问大家可以去留言去说明一下啊。

大家好，咱们一块看一下啊，抛体运动二、运动的合成和分解课本上呢，也是给了咱们一个材料，就是竹筏过小河，就好比小船过小河的一个场景。他在这也说了，运动的合成与分解是处理复杂运动过程复杂运动的一个基本方法。如果一个物体同时参与了几个运动，那么物体的实际发生的运动就是这个几个运动的和运动。 也就是后边呢，会遇到比较复杂的运动，你就可以用运动的分解来去解题，是吧？也可以用运动的合成来去解题啊。比方说，他觉得这个例子，假设当竹筏始终垂直于河岸，这个匀速滑行，他会从小河小河的 a 处运动到 b 处啊。嗯，因为船速是始终垂直的，但是它含有什么？ 向右的这个水速？水速你看单独看垂直于河岸的话，这是一个分运动，是吧？单独看水速的话，这是一个分运动。那他标红的这一个点其实就是他的一个核运动。综上所述，两个运动的核运动就是 红色的这一个，其实就是一个核运动了。他的思路呢，很像于咱受力分析，是吧？这个力的分解与合成运动的分解和合成和力的分结合成相似， 为什么相似呢？因为他们都遵循什么，都遵循平行四边形法则， 是吧？就好比他下边以一个图的形式，先说了运动的分解，什么叫做运动的分解？已知和运动去求分运动，比方说红色的就像刚才这个竹筏一样，小船也一样，是吧？红色的就是小船的实际运动。我把实际运动分解成什么呢？分解成两个方向啊，也就是你看这个分解，这就类似于咱力的 正交分解啊，就像咱立的正交分解啊，但是分解只有这一种啊，不是的，那也可以去像咱立的分解，除了正交分解，也可以按效果分解，分解的方法类型会有很多，这个就是正交分解的， 并且这个正交分解完之后就是他传输的，他可能跟你说传输始终像垂直于河岸，就像刚才说的这个竹筏一样，是吧？然后水平方向呢？就是水速的水平向右的啊， 实际观察的运动分解成两个方向的分运动，那其实实际观察的运动其实就是咱所说的核运动。哎，这就叫做运动的分解啊，那运动的呢？运动的合成呢？运动的合成其实就是已知分运动去求核运动， 就好比他觉得这个船垂直于河岸的，这个是船速是吧？平行于河岸的水速或它俩合成，那就是 传到实际运动是吧？也就是他说的实际速度啊，两个独立的分运动合成实际运动啊，这就是运动的分解和运动的合成，你就可以很好的和它 和力的分解合成紧密联系啊。下面他在这里也说哈说的两个点，第一个就是运动的合成和分解，速度的合成和分解，因为位仪和速度都是矢量， 那矢量的话，那都可以用什么平行四边形法则啊？那包含它，为什么咱也用正弦分解？用正弦分解的话，咱就可以用勾股定力，是吧？勾股定力也可以用什么三角函数 去解题啊，用勾股定力和为一啊，这个计算和速度的这个计算就符合勾股定力的这个公式啊， 而这个题他没涉及到加速度的话，那加速度也是矢量，那加速度是不是当然也可以去合成与分解，当然也可以合成与分解，这是力的运动的合成和分解。下面这点呢，就是刚才所说的这一点。第一，运动的合成已知分运动需求和运动， 运动的分解已知和运动需求分运动，一个合成，一个分解。你看他后边说在这说了，谓以数速度、加速度都是矢量，他们都遵循骑行四面形的定策啊。然后 运动的分解的原原则是吧，也可以按照实际效果分，也可以按照正交分解分啊，这个按你具体的思路去走啊。和运动与分运动的关系啊，出了三个，等时性，独立性和等效性。等时性都是同时开始，同时进行，同时停止。你说时间是一个，咱后面解析的话是一个突破口啊，是一个关键点。 你说我可以按水平方向的计算数时间，那数值方向的时间和水平方向的时间肯定是相同的。独立性，一个物体同时参与了几个分运动，各分运动独立进行，不受其他影响的这个独立性、等效性。分运动规律叠加起来与和运动的规律是完全效果的相同的啊。你说考虑分运动，你就不要考虑和运动了，考虑和运动就不考虑分运动了，和弹力的分解合成是一样的啊。 那后面呢？他他加了一个点，就是曲线运动是否为匀变速运动取决于他所受力的情况啊，物体的受力啊，受到的核外力。因为咱上节课只讲了曲线运动的定义，曲线运动的定义就是物体所受的合力与速度的方向不共线，或者物体的加速度与速度方向不共线，那这个运，这个曲线运动到底是 匀变速曲线运动还是非匀变速曲线运动呢？其实第一步的话，咱就是先看，先看核外力的大小啊，核外力的大小如果是一个不变的且不为零的，那一定是匀变速， 到底是匀变速还是匀变速曲，要看最终的速度和加速度方向的这个贡献还是不贡献了啊，就像他说的匀变速运动，如果加如果核外力是一个不变的 且不等于零的，不变的且不等于零的，一定是匀变速了，到底是匀变值，就像他所说的匀加速直线运动，匀减数直线运动还是匀变曲。匀变曲，比方说抛体运动，这个后面，后面他会具体的学啊，如果他所收到的核外力是一个 变化的，是一个变化的啊，那就是一个飞云变速啊，不是变化的那就是飞云变速啊，就比方说变加速直线运动啊，就比方咱 咱学习的恒功率启动的汽车是吧？恒功率启动汽车加速度逐渐减小的加速运动，就加速度时刻在变啊，或者是变加速曲线运动啊，就好比圆周运动，圆周运动也是下一章会学的啊，曲线运动的两个代表平抛运动和圆周运动。 所以说判断这个物体到底做什么运动的时候，咱先可以判断它的核外力的大小啊，就和它后面讲解的一个点，两个直线运动的合成。第一步的话啊，就是先判断 核外力与核速度是否共线是吧？共线那就是直线运动是吧？如果不共线的话，就是曲线运动啊。再判断核外力是否恒定是如果恒定的话，是不恒定变化的，那就是非匀变速。那它这里罗列了两 两个直线合成的四种情况啊。第一种情况呢，就是两个匀速直线运动啊。两个匀速直线运动的合成，那合成之后一定还是匀速直线运动。举了两种情况，如果是垂直的 v 一 v 二，那合成的话 就是平行四边形法则。如果不垂直的话啊，有一定加减的话，还是符合平行四边形法则，把它的和速度能求出来。就说两个匀速直线运动的合成一定还是匀速直线的啊。那另外一个呢？一个是匀速直线运动， 如果合成的话，它分成了两种情况是吧？若为何与 a 和共线，那就是匀变值。如果为何和 a 和不共线，那就是匀变曲，匀变曲抛体运动。那下节课回家是吧？匀变直如数值上抛是吧？数值上抛，咱可以怎么去理解呢？有时候你的手手手手用用一个数值上抛的一个点去理解啊，就是匀速直线 和一个匀变速直线，是吧？那第三个点呢？两个出速度 为零的匀加速直线运动，那合成的话还是匀加速直线运动啊？如果两个出速度不为零的匀加速直线运动呢？那要看具体的情况了，还是看最终 这个和速度等于零，或者和速度与 a 和共线是吧？那是匀变值啊，也就是它所罗列的假这种情况是吧？你看 a 一 a 二合成合成 a 和 v 一 v 二合成， 合成渭河，哎，渭河 a 河在同一条直线上，那就是匀变值是吧？如果渭河 a 河不共线呢？啊，那就是一个最终是一个匀变曲线，这个所以说大家要对于这四种情况要比较熟悉一下啊，那很多同学可能会对这个点， 渭河啊匀变值这个数值上坡的这个点可能会有一些疑问，就是一个是匀速直线，一个是匀变速直线，那数值上坡的话，哪个是匀速直线，哪一个是匀变速直线呢？ 理解，你可以想象一个物体本来是匀速上升的物体啊，匀速上升的物体突然受到一个向上的加速加速度或者是向上的一个合力，那最终呢，就是一个匀变速直线，你可以这样去理解。 那运动的分解和合成呢？咱先讲解这些，一定要注意它定义的这个点啊，因为它合力的分解合成很相似，但是咱要注意这个 判断到底是直线还是曲线的方法，还有两个直线合成的场景啊，这四种场景在选择题上经常会容易出现啊，对应的一些图示，对应的一些例子，大家要熟悉啊，那今天呢先讲解这些，谢谢大家观看，希望大家多点点关注。

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