近几年河北初中一模数学题

河北区一模数学刚刚考完，质量不错，十七题难度爆表。纵观整套试卷，范围，贴合中考部分题目，计算量较大，具有挑战性。这套试卷能上一百一十的孩子，中考差不多也能稳一百一。这二题考了今年大热门动点问题， 二十四题是一道相对常规的折叠问题，二十五题是计算偏大的二次函数常规题。而整套试卷里重点关注的是十七题。这道题综合了勾股定律、三角函数、中位线模型和划斜为直模型，综合性强，计算量也很大。这套题可以使用间隙法去做， 以 d 为圆点， c， d 所在直线为 y 轴，间隙求出 m n 的 坐标，再用两点间的距离公式就能搞定这道题的答案。数字比较怪啊，算出来一定要相信自己， 下去的孩子一定要试试，对你的综合能力训练有很大的帮助。总的来说，这次河北一模难度比和平难开更低一些，但比河东虹桥要更难一些，是一套非常适合中等生查漏补缺和拓展综合计算能力的试卷。各区所有试卷都打包好了，领取方式老样子，点点关注看评论！

今天初三，一模试卷已经考完了，这次数学还是有难度的，而且他时时刻刻都在骗你六分。这条视频告诉你这次一模的真相，审题门槛极高， 题干长，信息多，比如十一题的难度突然增加，十二题的题干超吓人。当然，这次试卷的基础题仍然占到百分之七十左右，而且压轴题型难度分层明确。 十七题到二十一题先为基础，二十三题的前两问依旧为送分题，最后一问计算量超大。最后一到二十四题就说很多老师讨论了半天才商讨出来的结果。所以说，这次一模也给我们接下来的复习敲响了三个警钟。 第一个基础题才是拉分之王，重视基础，降低失误率。第二个，心态和节奏尤为重要。第三个，审题能力才是中考的隐形能力。如果你还没有拿到这次一模试卷的难度分析表点，关注评论区留言，一模我都会发给你！

聊一聊新华区区模拟的这次数学考试。前面我已经聊过了裕华、桥西、长安这三套数学卷，那么新华放到最后也是因为他最后考。还有一个就是新华区对我来说有感情啊，是我教学的起点。 感谢各位家长朋友们对我的关注和催更，你们的每条评论我都会认真看，我也希望能够用我十多年的教学经验，能够帮助到二六届中考的孩子们。整体来说，这套卷思维量大，有些题目的选举比较冷门，计算量也大，相比于长安区来说，题目的深度会低一点， 但是在考场上给孩子们带来的冲击是一样的。如果纯纯的从难度来说，我们终于可以把四个区的卷子进行一次难度的梳理了。首先长安区最难，其次是新华区，其次是裕华区，再最后是桥西区。 做完这套卷子呀，你会感觉有一点生理不适，因为明显能看到出卷人啊，是憋着要难你一把，甚至这里面有一点勉为其难。而且我们能看到新华区的出卷人阅题量非常的大， 参考的题目来源啊，很多都是高于中考题的模拟题，甚至视角啊，已经走出了河北省，走向了全国。我把这里面有难度的题进行一轮讲解。首先选择的第六题和第七题， 这两道题考察的知识点有一点冷门，第六题参考了二四年邯郸的二模卷，考察的是平行四边形的判定，第七题考察的是二元一次方程，但是啊，它是一个不定方程， 也就是说它的解不为一，我们需要用枚举法去试出一共有多少组正整数解，那么这两道题处在这个位置，对于孩子们的心理压力是有一点大的。 十一题和十九题考察的都是手拉手的旋转，一个考察的是全等，一个考察的是相似。这两道题和长安区的填空压轴第十六题是类似的，但是深度呢，不如长安区的，因为长安区已经考到了瓜豆原理。 第十二题考察了一次函数和一线三等角模型的结合，思维量不大，但是计算呢，复杂一点，相比于长安区的第十二题来说，难度差不多。长安区啊，是不好想好算， 新华区啊，是好想不好算。第十五题需要从数轴中分析出 ab 的 正负和 a 加 b 的 正负，对于孩子们在考场上来说，思维压力会有点大。第十六题就比较复杂了， 他考察的是已知三角形的三条边，要根据勾股定律方程去求解出三角形的高。这个题啊，其实参考了邯郸二五年三模的第十六题， 图都一样，就是改了点数。还有二十三题，考察的也是这个点，在考场上啊，对孩子们的计算压力和心理冲击是有点大的。十八题考了一个未知原理。这道题啊，其实参考的是二五年石家庄一模的第十八题， 第一问改了改数，第二问完全一样。但这道题啊，是一个易错题，在去年一模的时候就有很多同学出错，这一次应该也有挺多同学翻车。二十三题 又是几何图形的简拼，跟裕华区这次驱模拟的第十一题很像，都是致敬了二四年中考题的。第二十三题，钻石五边形，不过这道题的原创是二五年廊坊的一模卷 第二十四题，前面啊还比较简单，最后一问很难算。其实这道题啊，是二五年成都中考的第二十六题的一个变形分析。完了这么多题，你就能感受到新华区这套卷的出卷，老师确实是憋着想让我们难一把。 全区的题大部分都是二四和二五年里面模拟题的压轴，四个区四套卷，曲老师已经帮大家都分析完了。我们可以看到，二六年河北中考对于孩子们素质模型画像的标准考察，对函数的深层理解， 对计算的要求高，尤其是二次函数和解三角形的计算，但对于平面几何分析能力的要求啊，稍稍有些下降。最后，我想对备战二六年中考的学子们说两句， 考试难一点不是坏事，扛过去心里承受能力会越强，下次遇到压力反而会更稳，更从容。所以别怕难，难是成长的养分。如果你认同曲老师所说的，请你点点关注， 会持续分享初中数学学习的干货，也会守护着大家共同进步。难题压轴不用处，曲老师带你有思路！

今天来看河北区的这个十八题，这个题本来不想讲，我一看到这种话，我就感觉这题有点二乎，但是这题运用的两种方法我觉得都是模仿的，去年中考题很重要，所以咱们再讲一下，点 b 是 格点，这个是切线，点 f 是 切点 c d 是 直径，并且 c d 是 一条铅垂线，让我们找到弧 cf 的 中点， 找弧 c f 的 中点，那么我们我们可以先如果没有网格的情况下，我们得分析一下这个弧 c f 的 中点。首先这条线也是圆的一条切线，这条线也是圆的切线， 所以应该说我我，我拿这个点和这个圆，如果能找到圆心，我把它和圆心一连，根据这个切线长度里的这个对称性，那么这个焦点肯定是点 p。 所以说，呃，我们解决这个问题啊，我就可以，你看这条是因为对称的点 c 跟点 f 是 这对称轴 c f 对 称点，所以我这个题第一个思路其实就是找 cf 的 终点， 找 cf 的 终点第二个思路是干什么？我们也可以去找这个 c d 的 终点。我一开始怎么做的？我一开始我把 b e 所在的这条直线划出来， 不是要找 cf 的 终点吗？所以点 f 在 这条线上，是吧？所以点 c 在 这，它在横线上，那我就取它与横线的交点，现在这个 h， 这个点 h 就是 c g 的 终点，我再找它与横线的交点，就点 i， 那 我连接 c i， 这个点 j 就是 c i 的 终点。其实我连接 h j 以后有点丑，这条线和这个 b e 平行，所以呢，如果你连接 cf， 这个焦点 k 其实是 cf 的 终点，我还得连这个点和点 k， 此时我发发现我画了六条线，不行， 那怎么办？还是同样的原理，我刚才是做的这个，相当于做的 ceb 的 中内线，我们也可以做 cdf 的 中内线连接， df 连接做直线 df。 用刚才的方法， 我们点 c 是 横线，那么在这也得有个焦点，是吧？这条红线跟横线不也得有个焦点吗？画太丑了，应该往那边一点行，连完以后这个焦点 k 应该就这条线段的终点。同理，我再找四层的，他这根横线有个焦点， 我一连和横线的这个焦点就要点 m， 是 吧？其实此时你连接 k， m 这个焦点就正好点 p， 为啥呢？因为这个现在这个我们不用连到。如，如果你连上这个焦点不是 cf 的 中点， 现在这都是中位线，它和 df 就是 平行的。由于 cd 是 直径，所以 df 本来就和 cf 垂直， 所以咱们这条线实现了既过 cs 中点，又跟它垂直，所以你只需要四根线就能找到这个点 p， 这是他其实模仿的。去年构造中位线 同样是运用这个平行，其实这些都是咱们先有平行，平行线分线段成比例，我们也可以 找圆心来做。你这人体里没说点一在格点，你甭说拿 h 格点做圆心，那不只一步完了吗？人体里没说点一在圆，在圆上， 所以说我们同样是找圆心，我就是找 c、 d 的 中点，我们找线段中点的方法都可以用。上次咱们讲过一个视频的那个线数定义的方法， 比如我连接 b、 d 再延长，我连接 b、 d 再延长和横线六个交点，比如叫点 k。 那 我现在想找 c、 d 的 中点不是不好找吗？那没关系，我找 b 到这的这个中点点， b 在 格点，所以这个中点直接就是这个格点， 这个点 i， 这个点 i 是 不是 bbc 的 终点？那我现在连接 i k， 你 放心，这个焦点一定是 cd 的 终点 o， 所以 这也很快。现在咱们用了两根线延长一下，三根线再一连 连，这也是四根线出点 p， 也就是我给你换个颜色，也就是你看从 b 到 c， dc 也就是黄色区域，这不正好咱们说的线数定理吗？这两颗天垂线平行，只要这个点是 b、 c 的 中点，那么你连完这个顶点以后，这个焦点 o 一定是 c、 d 的 中点，就这个线数定理，还有刚才的构造中位线， 这两种方法，不管中考考不考，他一定是二六年非常热门的东西。这个你要研究十八题，这两件事你一定得学会。对于这道题来说，我本来不太喜欢，但是他的这两种方法都是最热门的方法，我建议你得学会。

破题，这是二十四，二十五倒是挺好算，但是前面的数十二呀，十七呀都可麻烦了，可难算了这数，所以我觉得数有点怪，统计也怪不好算的。所以这套卷呢，我觉得就是参考性不大，就是纯粹为了考计算而考， 没啥意思，大家可以做做重点题，差不多就行了。那咱们就给大家说说十二，十一，十八、十三、十五这些题，然后所以十二题又是个动点面积类的，所以大家也当重点去做，其实计算的时候仔细点就行了吧。 p 又是在 a d c 上做，所以 a d 三秒零到三，对了吧？然后 dc， 然后是三到五吧，然后题目说的是啥？看清楚，它速度是一，它速度是三是吧？然后第一个 p 可不可以到达 c， 那 p 几秒到 c 啊？十五除以三，是不是五秒到达 c， 所以 它六秒到达 b， 所以 它是可以的。那第二个求 b q c 的 面积，那 b q c 你 看清楚是六减 t 对 吧？你范围是零到五了，已经是六减 t， 那 高是几啊？ 这是你的这个边，长度是九，所以做高的话往下做垂九乘二分之根三，就二分之九倍根三了，所以六减 t 乘二分之九倍根三除二，也就四分之九倍根三的六减 t， 那 它范围是零到五，是个越来越小的吧。 t 越大，整体越小，那最小的是四分之九倍根三，到不了八分之九倍根三， 所以它不对。最后一个难度比较大，计算量和比较大至人说的是至少有两个时刻没问题吧，至少两个或两个以上，所以你自己算算这两个式子数就可以了。第一个 p 在 a d 上就零到三的时候，你看这式子再不零到零到三的，能不能解出来整体是几啊？六乘九，再乘以 二分之根三吧，所以这是平四的面积，减去左下角这一块，这两相乘成个四，二分之根三，再除二，又乘以四分之根三吧， 这也是一样，你的右下角也就是九减三 t 乘以六乘四分之根三吧。那这个是刚才求过的，就是刚才这个东西 把三个减了，去得到这样一个式子，让它等于八分之二十七算出来。那第二个的话，三到五的时候，是不是还有那三到五的时候，也就是几啊？在这上面了。你画图的时候，上面这个边长是不是十五，减去三 t 那高的话，乘以九乘二分之三，就二分之九倍跟三，再除二吧，也乘个四分之九倍跟三，那所以它等于八分之二，这又有一个，所以它至少两个是没问题的，行了吧。所以这个选 c 计算量比较大，大家可以自己算一算。 然后第二第十七题这道题方法比较多，间隙的话，东西不太好，想构造三垂直其实挺好的。然后最常规的方法就是我水平竖直去做呗，就你实在不会，那你这个斜着的线，那我就水平竖直去做，只不过需要利用点相似去做，所以就是最后一步算量大，其他其实还好。那所以 我做一条水平线，那是不是只要把 m h 算出来，把 n h 算出来是不就可以了？那 n h 这个东西，你自己想一想，这是中点，这是几啊？一比上几的关系，一比 一的关系吧，就它 c n 占 c o 的 二分之一，所以我做一个垂面的话，这个斜面上的高五分之十二，这都能求出来吧？所以这个是五分之六，这占的是五分之八，那移过来五分之八，对了吗？ 问个问题吧，所以用几啊？你五分之八，这有了，所以咱们需要干的是啥？我是不是需要求出个 m h 来？所以得用二分之五减去个五分之八，边上不是五吗？一半是二分之五，减去五分之八，还剩个十分之九，所以这块是十分之九的，那这个是五分之六加个五，对了吗？ 所以勾股定律直接在这里面勾股定律就行了吧，直接用算可以吧？算的时候这个东西，哼，看着就不，不敢算了。也是吧，算完之后这个东西因为它是三九二五，算出来它俩平方和是 一百分之三九二五，那三九二五它能约掉个二十五，也就是四分之一百五十七，那开出来就根号一百五十七就可以了。二分之根号或者是间隙，那或者是反着，因为这是什么正方形嘛？把弦图补全嘛，就是我绿色这个图，你把弦图补全， 对吧？这补全弦读的方法，后面间隙也行，怎么做就可以了。间隙的话，这是 s 轴，这是 y 轴，对吧？然后标坐标去，那 e、 f、 m 就 有了吧？那 n 坐标也有两点间的距离，公式，行吧。或者你在这这样去画水平数值，你看我画平行 s 轴的， 然后往下去做，你只要找到数值方向的水平方向的长度是不就可以了？你这样也得用相似去找，也不好做，所以还是间隙，间隙的话，它是这样去键会好一点，行了吗？ 然后第十八题，这个题第一个不多说了，二倍根式，第二个的话，其实让你找什么让你画 c f 的 中点，无 c f 的 中点，那你自己想一想， f 这是个切点，这是个切点，那相当于切线长定里的话，是不是 平分加角，也就是切线长定里什么呀？从圆外移的切线引两条它们怎么办？它们是不是长度相等，并且平分加角，所以相当于我做一条角平分线是不是就行了？角平分线的话，你想想，把它延长出去，把 f e 延长 和这个水平线，因为水平线是切线吗？这是切线长，所以这点长度相等，所以和圆心的连线是不是平分加角？所以这一定是终点，要不就结束了吗？所以先确定圆心。所以考前是不是给你强调了，就算不会做，把圆心给我画出来，得一分，怎么画圆心呢？ h 一 连圆心就出来了， 对了吧，因为这是一个 h， a j 是 一个九十度圆周角，所对线是直径，然后要考虑线线形定力吧。然后第二十四题，这个题其实挺好算的，是吧？做的时候仔细一点就可以了。那分两种情况，第一种情况是不是他题目告诉你了，零到第一问不说了啊。第二问，零到三倍跟三，那零到三倍跟三的话，相当于是不是 咱们要看和这个三角的重叠的时候，最后一个三角再往做，是不是就四变形了？ 所以零到二倍根三是三角比它大，比它小，是四四边形，所以这两种情况吧，那四边形很好求你用三角形的面积去减去一个小三角面积数就可以了，大三角面积，这是 t， 这是三分之根三 t， 所以 除二吧。然后这一块是几 t 减去一个，先把这一块算出来吧。整体这是四倍根三，这是它的 t， 四倍根三减 t， 那 还剩一个二 t 减四倍根三，这个等腰三角形呢？高是多少啊？高是它的二分之根三吧，所以再除二，有四分之根三，看到吗？乘以二 t 减四倍根三的平方跨剪出来，是这样一个式子， 可以吗？那最后一问，你先看最大值的话，这是一个先大后小的，不有先增后减的话呢？咱们来看，轴是几轴的话，负二分之 b， 也就是五 分之十二倍根三，所以咱们说快速让你求。还记得吧，带一次项除二再加 c， 所以 有带一次项除二再加 c 的 话，也就是五分之七十二倍根三减十二倍根三，所以就五分之十二倍根三， 所以最大值是五分之十二倍根三。那最小值呢？比较一下两个端点谁更小就行了吧。二分之一带进去，然后把四分之十一倍根三带进去，所以二分之一的时候是更小的，所以这个还好。最后一道题看了，这么唬人，这破题出的啥玩意？ 一不多说，那第二个的话，你看清楚给他这些点。首先你要判断出来，开口向上，并且轴是负一，对吧？ b 等于二 a 负二 a， 它是负一，所以开口向上的话，你要过屁，对吧？你要过的不是屁，你要过的是什么呀？屁在 pi 线是吧？过的是屁在 pi 线上，没问题吧？然后怎么办？ 题目说的是这几个点也有，你先把它大概标出来，二，这是 p 在 pi 线上，没问题吧？然后题目说的是什么？ mp 是 两位 n i i 是 不是一定在它的下方？木有问题吧？所以因为你要想过，因为过屁了，要想又过 i， 所以 是不是只能这样过？所以， 因为你 n 和 p 的 纵坐标相同，所以 i 一定在它的下方，所以这个长度的话是纵坐标做叉就行了吧。所以你看清楚 mp 等于两边的 n i n i 就是 几啊， n 是 二到三，对了吧。然后 怎么办？是不是 m p 等于的是三到五，三到三，所以这是二，可以吧？那二等于它 n i 就是 一，就这个线段长度一， 所以设坐标线段长度是一就可以了吧？这是一的话，你现在 n 的 坐标是二到三，所以一到三就，那这是二到二就行了吧？它坐标是二到二啊，二到二的话，带进去求出七分之一，然后解析式，我就不写了， 自己后面去写。兄弟们，大家是不是也说清楚了，后面自己去写去。行吧，七分之一找这一堆去带。那第二个的话，十五恩爱减，它等于七，看着它好像很恶心，但是特别简单，你现在恩爱好不好？表示解析式，咱们刚才是不是 带入三到三，本来 b 等于二 a 了已经这个东西只剩 c， 把三到三带进去，那 c 就 用 a 替换了吧，这里面只有 a， 那 现在你的 n 和 i 它的什么坐标是一样的？它的横坐标是不是一样的，对了吗？那横坐标都是二，那把二带进去 得到三减七 a， 那 所以它的长度就是七 a， 对 了吗？然后就说老师，这个 m h 它俩的纵坐标都是五，但是这个横坐标我不好表示，但是有这个 你从抛物线不好表示，但从这个式子中好表示呀。那你带进去十五乘七 a 减去过七 m h 就 等于七。那我 m h 不是 表示出来是十五 a 减一对了吗？长度有了， m 是 三到五，那往右数十五 a 减一，那所以相当于它是一个十五 a 加二到五，那带入抛物线则得了 a， 对吧？ a 是 正数，所以我把负的舍掉，就最后算出来就可以了，只是计算量稍微大一点，但是方法非常简单，没有什么，所以是转化，就是一个线段长度问题。所以感觉题挺没意思的，大家回去可以好好看一看，行了吧？

来初三的家长们同学们啊，我给你们推荐一套试卷啊，来我们一起看一下啊，就是石家庄裕华区啊，这是初三一模的数学啊，现在这个网上都在说这套卷啊，我放大一下给大家分析一下啊， 那么这套试卷的这个计算量是真大呀，一般一套试卷一个小时出，点头我就写完了，那么这套试卷我都花了将近快小两个小时了也，那么计算量真的很大，你看二十四题，这是那个大题的压轴的第三问，分了好多种情况，真的 呃，包括还有现在网上说的这个选择亚洲十一，十二，还有就是填空的十六啊，其实这几道题我觉得还好，然后解析我也写了，我觉得还好，但是呢，现在你看考察难度呢，我觉得应该是介于二四年二五年中考之间， 然后现在越来越考察这种创新题啊，或者就是情景啊，阅读啊，就这种类似，他不会重考你知识点，都会让你去分析你包括十二题是不是看上去感觉啊好麻烦。这说的什么呀，其实你读完以后明白以后只需列个方程也是很简单的， 包括这个东西你需要怎么思考等等啊，我话不多说，我希望给孩子们打印一下来，不着急，写一下啊，练习一下，看看自己能考多少，就这种题量很大 啊，计算量很大，也考察了孩子这种思维啊，想法等等综合吧，我觉得这套卷真的挺好啊，可以看一下，整体的话我觉得难度还好，就是这个量大，思考啊，计算等等啊，解析我都写了。呃，一会我就给 啊可以造一下啊大概。嗯 层。好嘞好嘞，还有就是像邯郸三月刚考完的，还有那个张家口，张家口桥东区的这两份物理，还有二十八中的数学等等吧，近几天我慢慢更新吧。嗯。

上周五呢，沧州八中初三一模数学试卷刚考完，就有好多同学跟我吐槽说，前面的选择填空啊，做的顺风顺水，做的快的同学甚至一个小时都不到就都做完了，结果呢，栽在了第十六题和第二十四题的最后一问上了。 这两道题呢，都是最值问题，一个填空，一个压轴，直接把平均分拉低到十分。今天呢，咱们就扒一扒这两道题，看完你就知道了，原来最值问题也根本不是玄学。我们先来看一下第十六题填空题里面的将军一马变形题， 很多同学一看到 x 轴上的动点，加上求线段和的最小值，直接就套将军一马模型，结果呢，算出来都是错的。那么坑在哪呢？ 你有没有发现，这道题里面的 bc， 它不是固定长度，它是跟着动点 b 一 起变的， 很多人呢，直接把 bc 当成定值，从根上就踩坑了。那么破题思路一句话说清楚，我们先把 bc 转化成二分之一 o b， 题目呢，就变成了 ab 加上二分之一 o b 的 最小值，这是典型的互不规模型 构造。三十度角，把二分之一 o b 变成垂线段，再利用垂线段最短直接算出答案，根号三。那么这道题的核心呢，就是别死记模型，先看线段系数系数，如果不是一，就别硬套将军印了。再看第二十四题的最后一问，压轴题里面的双动点陷阱， 很多同学看到屁和 b 撇两个动点，直接就蒙了，越算越乱，那么坑在哪呢？别被两个动点的条件整蒙了，如果你死磕 b 撇的轨迹，那完了，越绕越远。 解析思路，一句话说清楚，别盯着 b 撇死磕，利用正方形和旋转的角度关系呢，证明三角形 d b、 b 撇和三角形 c、 b p 相似，直接把 b 撇 d 的 长度转化成根号二倍的 c p。 问题呢，瞬间就变成了求 c p 的 最大值，再利用点到圆的最大距离，点到圆心的距离加上半径，直接算出 c p 的 最大值，再乘以根号二。答案呢，就是四加根号二。 这道题呢，从头到尾用的都是咱们课本里面的相似三角形和点和圆的位置关系最值。中考压轴题的本质呢，就是把复杂的问题转化成你学过的模型。 我给咱们初三的同学做最直问题，总结了三点要避的坑，家里有中考考生的家长可以收藏给孩子看看。 第一呢，就是先看线段，再选模型，有系数的就考虑胡不归，别硬套将军印码有旋转呢，先别着急找轨迹，试试用相似做转化。第二个就是别死磕复杂的动点，压轴题里面的双动点呢，大多都能通过相似全等等转化成单动点的问题。 第三个呢，就是转化思想是王道，中考最直拼的不是谁会的模型多，而是谁能把陌生的问题转化成熟悉的问题。这两道题呢，一个是模型的变形，一个是转化思想，都是中考最爱考的套路。 这次一模踩坑的同学呢，也别慌，把这两道题的核心思路吃透了，下次再遇到最直的问题呢，你肯定就是考场里最稳的那一个。

好来，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二六年河北区九年级一模数学第十七题的相关解析思路。呃，这个题 不太难想，但是有点太不好算了啊，来，我们来看这题啊。嗯，说是菱形 a、 b、 c、 d 以正方形 c、 d、 e、 f 边长均为五啊，就是这两个图形是边长一样都是五， 连接 a、 c、 b、 d 交于点 o 啊，穿过菱形的对角线，然后 b、 d 是 六，那这两边都是三，对吧？ m 和 n 分 别是两边的中点，那我连接 m 啊，这就是所有的已知。那么看第一问啊，说是求线段 c、 n 的 长，这个就其实还好，因为我知道这个边长是五，然后刚才说的 b、 d 是 六的话，被 o 平分，这边是三，这边也是三，那么就能知道中间这个 a、 o 是 四，这边是四， c、 o 也是四，对吧？那 n 是 终点的话，上面一个二，下面一个二 啊，所以这个 c、 n 长是二这种问题对吧？好，这是第一问，那我们来看这个第二问，求这个啊， m、 n 的 长， 这个长，我们就得琢磨琢磨。这个 m、 n 它是两个终点，两个终点的话，我们就是奔着中位线去考虑，这个没有问题，但是 m 和 n 现在所处的这个位置，它不在同一个三角形里 啊。不过这个也比较常规的处理方法，就是我们考虑 n 是 c、 o 终点，然后 m 是 f、 e 终点，你就分别把这个 n 和 f、 e 相连，你就这样连接 f、 n， 然后给它延长过来到对过这个边， 你看 n 像不像个终点，不像也去掉， 你看这个，然后再连接 m 和 c、 o 一 样，你看他连连连过来，这个连接之后，这地方延啊，这地方延，你看他能不能像个终点，这要能像就接着做，不能像就接着换另外一个， 那就是一一个，一个就试，总能试出来一个。就比如这个连接 c m 边延长和 d e 的 延长线和这个边的延长线就到这个位置，他能不能是个终点？ 哎，能，那么就是 m 就是 c c g 的 终点，哎，那 m 是 c g 终点， n 是 co 终点，那 m n 就是 三三角形 c o g 的 一个终点线，那我只需要把 o g 求出来除以二就可以了， 对吧？求 o j 怎么求？呃，这也不太难想，这个我求这个点 o 向 d j 做一个垂直，求这个直角三角形就可以， 哎，这个直角三角形，这，呃，点点 p 吧，好吧。求 o p j 这个直角三角形的这个直角边就可以，对吧？ 这两个边好求，他说边长是五，所以这个是五，你这属于被长过来，因为这个 m 是 c g 终点，你是靠这个三角形和这个三角形全等上过来的，所以这个长也是五， 这个好办，对吧？那么就差 o p d 这个三三角形里边这两边怎么求？这个稍微有点说法，这个我知道 o d 刚才说 b d 是 六， o d 就是 三，对吧？ 我知道这个是三，我要求 o p 跟 p d， 我 知道一条这个斜边，我求两直角边，那再直角三角形 a， 我 应该去想啥了，那一定得找角了，对吗？找这个角的三角函数值 啊，咱别说他答案一般是啥，就是按我刚才求的这个三四五，我也，我也应该知道这个三边长应该是三比四比五的，对吧？好，你有这个想法，你去验证一下就可以，就比如说这个角加上这个角是九十度，而这个角加这个角是九十度，所以这个角和这个角是 相等啊，那这个角的对边连边斜边是三比四比五，所以这个角的对边连边斜边是三比四比五。好，那这边是三就是五份，这个是三，我求这两边长就好办了，对吧？ o p 等于，呃，五分之三， 五分之三乘以三，这个是五分之九，然后 p d 等于五分之四乘以三等于五分之十二。好了，接下来就是痛苦的计算的过程了，这个边是五分之十二，这两边加一块是十，也就是这个，呃， p g， p g 是 十，加上五分之十二等于五分之六十二， 然后这个边是五分之九，五分之九和五分之六十二，勾勾股一下，这个就能出现这个 p g 的 场。这个数的确是有点不太好算啊，这个 也没有办法，咱该算的就得算，别忘了算完之后还得再除以二才是这个 m n 的 场啊。这个计算量有有点大，但是想法其实就还好，没有特别的难想啊。 好了，那这是我我们对于这个十七题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这个十七题先和大伙说到这了。

十八题咱们来审一下，看一下第一问它 a 到 b 的 距离。大标题给了 a 和 b 都是隔点，所以这是 b， 这是 a， 它是横着二竖着六来勾股的，二个六勾股刚好四十，所以第一个空是 二倍的根号十。第一个空一般也比较简单，这是十八题，主要看第二个问题，主要第二个做图比较麻烦，他说请用无刻度的直尺在这个图上做出来这个半圆上画出弧 c、 f 的 一个中点，让找这个点 p 问，咱们只要找就可以了， 他说还有要求，他说不要求证明，但是所做的直线和射线还有线段的条数不得大于五条，这是第一次见尺寸图。还有 这个要求，那咱看一眼吧，不管多了，你看我如果要找这个 f 是 什么？是这个切点，其实这个 c 咱也可以看成这条切线的切点，因为这个圆很明显与最底下这条红色的线他应该也是相切的。所以说这作为两条切线，我可以首先把这两个切线先延长交在同一个点上。假如说这个点是 a h， 接下来这两个切线，根据千层定律来说，我现在只需要找到圆心 o， 我 把这个 h 和 o 一 连与这个圆的交点，就是咱们的弧 c、 f 的 中点。为什么？三平行定律，那既然如此，咱们底下就找圆 o 的 位置在哪，而圆心是什么东西，是两个直径的焦点， 而 c、 d 已经是直径了，所以在这个圆上我再找到一条直径交点，一定就是圆心 o， 咱怎么看？找这个直径来观察一下角 a 这一块看到是不是有一个直角， 所以过 a 竖直向的这条线就有一个点，给它标成 m， 横着的这条线与圆交点有一个 n， 我 只要把 m n 一 连，大家就能发现这个地方就是圆心 o， 这个交点处就是圆心 o， 圆心 o 找到之后，我直接把 h o 一 连 与这个圆的交点，这个位置就是咱们要找的点 p， 因为 p 就 平分弧 c f 应该是没有问题的，因为这个 c h 本来就是切线 b f 这条线也是切线，我用的是千长定律，这个 h f 和 h c 是 相等的，只要连接 h o， 那 这个与圆的交点肯定能平分弧 c f， 这是用的圆的几何知识，所以这题就解决了。所以我做了几条线，一条、两条、三条，我做了三条线，所以没有超过，这样就可以了。所以我才说像这个网格题，相对于和和西的来说，它是一点简单的，没有超过，这样就可以了，所以我才说像这个网格题相对于是八题。

来聊一聊石家庄长安区的这次一模数学考试。这次数学考试出的非常有水平啊，我觉得这才是新课标下符合中考命题新趋势 和选拔学生标准的一套好卷。这套卷子呀，不偏不怪，灵活且有深度。做完这套卷子，你就感觉看了一场意境悠远的电影。开始的时候啊，你看很多题都不难，面目可亲， 但越坐到后面的时候，你就越能感受到与出卷人的斗智斗勇。从难度上来说，这套卷子的难度要大于玉华区，要大于桥西区。但评判一套卷子，不应该是越难越好。 我在课堂上会跟孩子们说，有的题难是为了难而难，这叫勉为其难。比如说加入一个奥数知识的考察，比如加入一个孩子们没怎么学过的模型的考察。这种题在我看来出的就没水平。好的题应该是从出题角度和知识深度来着重设计。 接下来，我把每一个有陷阱、有深度的题讲解给你看。首先选择第四题，这道题的思维量就比较大，题目考察的是格点中有几个点与已知的三个点能构成轴对称的四边形。这个出题的角度放在第四题这么靠前的位置，对孩子们的心理压力就会很大。 有两个点很明显，马上就可以看出来，但是孩子们就会担心会不会少数，所以需要在格点中每一个点连起来再去试。第八题出了一个概率问题，但是他结合的角度特别巧，考察了正方、体点、棱面的关系。 第十题考察了一个矩形对角线相等的性质。别小看这个性质啊，这道题有区分度的，对于学霸来说很容易一眼就看出来，但对于学渣来说，真的想不起来。第十题，考察了斜率的深层理解， 很多同学可能在考场上会看不懂题，如果你对于斜率 k 的 理解只停留在学校教的初级阶段上，那么这道题你大概率看不懂他在说什么。对于我们这种啊，跟中考出卷人斗智斗勇了十多年的老教师来说， 看这道题真的会会心一笑。第十六题，考了一个相似型的刮豆原理。刮豆原理啊，其实也是我们中考模拟的一个常课了，像是新华区二十八中在九上这个学期的时候考了非常多。如果对这块有问题的同学，要好好去看一看，手拉手的全等手拉手的相似 再去学习刮豆原理，那么这道题啊，就很简单了。再来说二十三题，这道题考察了圆和解三角形的知识，乍一看人畜无害的，但是第二问计算有一点复杂，尤其那个得数很难看。还有就是第三问需要调取孩子们的几何想象能力。 那么这道题呢，它的边界选曲也非常的易错，有陷阱。最后再说二十四题，这道题一上来就有难度，因为它给我们植入了一个新定义，叫好点。当我们按照题目中的含义用 k 来表示出 p 的 坐标之后，很多同学可能就停留在这，把它当做一个未知点来处理了。 但是应该很少有同学意识到，如果我们可以用一个未知数去表示点 p 的 坐标，他的轨迹是有方程的，他是有图像的。那只有理解到这个深度，你才可以去做最后一问，那么这道题啊，也是有原型的，二三年二十五题第二问的圈二选项，考察的就是这个。 最后总结一下这套卷子，有心意，有灵活，有深度，如果中考分数想要冲击一百一十五级以上的同学，要好好把这套卷子做两遍， 而且吃透。考的不好的同学啊，也不用气馁，因为这套卷确实有点难，借由这套卷，我们既可以检测知识上的漏洞，又感受到了真实中考的深度和强度，聚焦问题一定可以再进一步。难题压轴不用处，曲老师带你有思路！

好，那各位同学，各位家长，大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们说一说这个二零二六年河北区九年级一模数学第二十四题的相关解题思路。这个题一个中规中矩的二十四题啊，那我们看这题啊， 当说是在数学系当中， o 是 圆点，直角三角形 a b o 中， a o b 是 九十， a b o， a b 是 三十， 然后 a b 和 x o 平行外周角以点 c， a o 是 六。哎，有这个条件，嗯，有这个条件，我们就知道这里面，呃， a、 o， b 这个三角形，包括 o、 c 什么都能算，对吧？那看第一个，呃，求点 a 坐标，求点 a 坐标好办，等于求一个 a c， 求一个 o c， 因为这个角是三十度，这个边长是六，那这个就好办，那这就是三，也就是三倍函数三， 这个比较容易，对吧？所以 a a 点坐标是三位，根号三到三好， b 点坐标，那也好办，这个是三十，这就是六十呗，对吧？这是三，这就是根号三，但是别忘了啊，这个 b 在 第二项线，所以它应该是负根号三到三啊，这是两点。 好，这是第一个啊。来看第二个，说是过点 a 做外周的平行线，这样做一个外周的一个平行线，然后水平往这边挪， 然后走到一个 l 撇，且 t 在 零到三百个号三，哎，注意这个啊，到三百个号三之间，三百个号三是动脉场，这他是 a c 的 场，也就是说这条线最多到万轴就停 啊，好，分别交这两个，一个是 m， 一个是 n， 然后这个把这个 a n m 这个向左翻折重叠部分这块记为 s。 我 们来看第一个啊，当重叠部分是四边形的时候，用 t 表示那个面积，我们把图放大一点啊， 来重叠部分四边形，什么时候它是这种四边形？我们需要看，如果这个 l 是 这样的话，那它翻过来就是一个三角形， 对吧？得翻到什么时候开始能出现这个 a 撇 b， 什么玩意？就出现这块空白，那是不是我得从， 我得从中间这叠的时候，也就我找一个 ab 的 一个垂直平行线，这阵翻过来 a 就是 b， 那 这样的话，这是最后一个成为三点零的情况，再叠过来就是这这个弧， 对吧？那我叠成这样的时候是什么情况？是 ab 的 终点？好，我刚才上一问求呢， ac 是 三倍根号三， bc 是 根号三，所以 ab 的 长一共是四倍根号三，整个是四倍根号三，所以这一半呢，这就是二倍根号三。 于是 t 的 取值范围我先知道了， t 的 值是从二倍根号三开始到它给的这个范围三倍根号三停， 因为到这块石头它依旧是一个，是一个四边形，对吧？好，有个 t 的 范围，求这个面积就好办， 那这个面积明显应该拿 a 撇 n、 m 减去这个这一小块的面，对吧？那好，那 a 撇 n、 m 好 办，这块是 t， 这就是根号三分之 t， 所以 整个的面积呢，就是根号三分之 t 方除以二， 就是这块的面，也就是这块 a a 撇 n、 f 的 面积，对吧？那这一小块的面面积呢？这小块的面积我们也好办，因为叠过来这是三十度，然后这个角呢，这个角也是三十度，这是一个三十三十一百二的一个三角形，我能知道这一小块的长， 哎，这块这块长我是怎么知道的？整个是 t， 那 这块就是 t， 对 吧？这块是 t， 那 b n 多长？是四倍根号三减 t， 这块这块是四倍，根号三减 t， 因为整个 ab 是 四倍，根号三减去这块就是这段，对吧？那这个 a 撇 b 呢？就应该是 t 减去这个东西，那就是二， t 减去四倍根号三，是这个的长，对吧？好，有这个的长，你做高就 ok 了， 对吧？做这个高呢，因为 a 撇 b 是 二， t 减四倍根号三，所以这段也是二 t 减四倍根号三， 那这块有了这个三角形，还是一个三十六十九十的三十六十九十的一个直角三角形，你等于知道的斜边求那个啊，根号三倍的那个直角边，那它除以二乘以根号三，就是这个东西 啊，他乘以他除以二，就是这块的面积，那刚才那个面积减去，他就是这个面积的表示方式，那这是圈一呃，计算量就还好，是一个比较正常的一个呃，圈一的计计算啊。来看我们的这个圈， 说是这个当 t 在 这个范围的时候，求 s 的 这个值，求 s 的 取值范围，这个啊，这个我们有偷偷手，就是我们能这个确定它的最大值或者最小值，不用计算，很快就能算出来，能确定哪一个能确定？ 能确定他的最大值，最大值应该在什么地方取得。不过你看啊，这块这块是是不是那块是不是越越叠越大？就是从这块来看的话，我是不是越叠越大， 对吧？这个越往这边走，他要越大，对吧？那么是不是在这的时候，我我一一直这个面积没有减少，我越往这边就是在 l 超过这条线的之前，是不是我怎么叠他都会面积都是增大的，对吧？所以最大时会不会在这块取得？ 会不会在这块取的有可能，对吧？所以你如果不会的话啊，你就当 t 等于二倍根号三的时候，你求一下这块的面积，拿他当最大值就可以啊。当然我们也需要试一下啊，这个是不是最大，先把这个求出来，然后二分之一和四分之十一倍根号三， 当他在二分之一跟二倍根号三之间的时候，他的面积可一直是一直是这一块的面积， 对吧？好，当超过二二倍根号三到四分之十一倍根号三的时候，一直是这个四边形的面积，对吧？就是你上一份求的这个四边形的面积，需要考虑一个最大值和一个最小值， 在二倍根号三到四分之十一倍根号三之间取一个最大跟最小，看看最小值和二分之一的时候，也就是这一小块时候谁更小，最大值和这一块相比的话，谁最大，这两个做一下比较就可以了 啊，这个计算量稍微有一丢丢的大，那但是就是整体来说就还好，一个比较重规重矩的一个二十四题。 好了，那这就是我们对于二十四题的一个思路的分享啊。如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这就是我们对于二十四题的一个思路的分享啊。

保定异模数学卷解析来了！重点看这些压轴题！吃透就是分！初三的孩子们，稳住心态，把每一道错题吃透，达文堂陪你攻克每一个知识点，错题变神话！

好来，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天我们来说一说这个二零二六年河北区九年级一模数学第十八题的相关解题思路 啊，这道题对于十八题来说，我觉得有点有点简单啊，来来看看这题啊。啊，说是在这个边上为一的网网络当中， ab 是 在格线上，那就是这两个点是格点， c 是 格线， 然后这个圆的直径 cd 和这个 c 所在的格线是互相垂，也就是直上直下的一条线啊，然后垂足是 c， b 是 切线， f 是 切点。 好，第一个 a 和 b 的 距离，这个距离，这，这好吧，对吧？数格呗，竖着一二三四五六，横着一二竖六横二，对吧？竖六横二的话勾五算一下可以，这是根号三十六加四根号四十二个根号是 对吧？哎，这第一个再按到写，那看第二个无效的指示，在这个网格当中画出 c f 的 中点 p， c f 弧的中点 p， 然后这个说说这个点 p 如何找到，然后注意啊，这有一个设设线或者直线的线段条数，就是你纵的线不能超过五条，不得大于五条， 这个限制啊，就说我话的不能太多，对吧？那来，我们看我们怎么考虑这个问题啊。首先我们找胡的中点，我不知道他在哪，但是胡的中点我可以通过什么方式来得到，呃，我们由胡的这个性质上知道，胡等则圆心角等。 哎，那我就是，我如果能找到圆心的话，我还不知道在哪，就是先有一个圆心，那这样的话，那么就应该是有，呃，这个角的 p o f p o f 这个角 等于 p o c 这个角就这俩角等，对吧？好，那如果这俩角等的话，那么点 p 就是 你这样画一条线，就必然是这个 c f 弧的终点， 对吧？好，那这俩角怎么等？哎，我发现问题，我这个切线，这是个九十度，那么下面这个角和这条边正好也是个九十度， 哎，如果这两个都是九十度的话，而且这个 o f 和 o c 还相等，这个对于十八题，你要想做十八题的话，那这个就应该马上反过来，这是啥？这是，这是一个角的角平分线， 这肯定是某一个角的角角平分线，对吧？这是一个角角平分线到角两边距离相等，那这是哪个角的角平分线？那就是这个角呗。你把这个 b e 延长下来， b e 延长下来，这个边这样延延长过来，那它应该是这个角的角平分线。 哎，这你能找到这个角的角平分线过来一连接圆心，那这个自自自然，这个这就是一个角平分线，因为他到角两边距离是相等，对吧？那我就能知道这个焦点，这就是我要的点 p 了， 对吧？那整个的重点就变成了找圆心了，对吧？那这要变成找圆心这个事就好办了，对吧？这找圆心实实在是太简单了，因为我已经有过一个直径，我再找另外一个直径的，可以，咱们找 a 是 在格点上，对吧？ a， 这就是个九十度，这个常规找圆心的方式，上面和这个角的交点，然后连接这边和角的交点，这又是一个直径，俩直径的交点就是圆心。好，有了圆心，我把 b e 这个延长下来， 延长下来， b e 和这个角有一个交点，那这条线我就不用连了，对吧？那么和这个的交点把它和圆心连一块， 那么这个焦点就是我要的这个这这个弧的终点的位置，因为这两个角是相等的，然后这边是个九十，这边是个九十，所以这两角也相等，圆心角等于弧的过程中 啊，所以这个考虑还是，嗯比较简单，你能想到这个 o f 和 o c 是 相等且和它垂直的，就直接应该能想到。讲讲什么些啊？ 好了，虽然我说的这个题好像比较简单，但是我依旧要说一下啊，如果我们的数学没有稳定在一百一十七分及以上，别在十八题上耽误过多时，时间就两分，而且在考场时间是比较有限的啊。 好的，那这就是对于十八题的一个思路的分享，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和教。那好的，那这个十八题先和大伙说到这了。

家人们保定一模数学考完了，张老师带大家整体分析一下这套试卷整体的情况。首先，我们总的来说，这套卷区分度不是很大， 因为难题实在是太难了，简单题呢，又太水，所以说这套卷你想考的很高是很难的啊，想考的很低也很难，所以说我给大家定了一个区间，如果你考一百一十分以上，就是中上同学，如果是九十五左右，就是中等同学 啊，这是我的一个定位。那么我们接下来把所有的难题和中等题给大家梳理出来，看看到底是有多少分啊，您就知道我为什么是按这个题目来划分。首先，前面选择全都白给，直到第十题才出现了一个中等题啊，三分啊， 十一题特别的难，也是三分。那么十二题呢，也是一个中等题啊，阅读理解比较多啊啊，然后呢，这个选填空题，前三个白给十六题啊，一步一步的去操作，也是个中等题，三分， 前五个大题，没见过这么水的，真的，我相信孩子们在做前五个题的时候，应该感觉非常的爽哇，非常顺畅啊，十七，十八，十九，二十二，一二啊，前六个都非常的水，直到二十三题才出现了 这个一道比较难的问题啊，这个就是最后一问，第四问这个题啊，第四问两分啊，比较难，呃，前三问都比较常规啊，算是我们常规练习的题目， 那么二十四题的倒数第二本啊，算是一个中等的中等题啊，三分，然后最后一问又很难啊，四分。所以这是我对这个 整体试卷这个中等题和难题分布的一个统计。那么总体来说，难题啊，真的是特别特别难的啊，是九分，大家能看到吧啊，这里九分， 然后呢中等题呢？呃，十二分啊，如果把二次函数那个倒数第二问也算上的话，那可能是十五分啊，总之十二到十五分，所以我说啊，其他的全是基础题啊，那么这就是为啥我说一百一以上就很厉害啊， 那个然后呢，一百分以上就是中上，那么九十五分左右就是中等，那么这套卷啊，比二零二四年的中考数学还是要简单的啊，大家可以去看看二零二四年的中考卷，无论是选择填空还是大题，都比这套卷整体要难啊，从阅读量，从难度啊，从这个出题的新颖程度啊， 这个二零二四中考数学都是完爆这套卷的啊，那么这个一模卷呢，和去年呢二零二五年的中考卷难度是持平的 啊，这是整体的一个情况，所以大家也可以根据这套卷啊，考试的成绩去合理的估计自己在中考的时候数学的分数啊，今天晚上九点钟，我会在我的抖音直播间 给大家进行呃，直播这些问题的讲解啊，直播这些试卷啊，试卷的讲解啊，欢迎各位同学来听啊。

听说啊，常压住这道题，很多人都讲不明白，曲老师今天来挑战一下难题，压住不用处，曲老师带你有思路。来，我们先来读一下题， 在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比他的横坐标的两倍还大一个单位长度，那么我们就把这样的点叫做好点。题目中啊，给了我们一个新的定义，我们一定要记住这样的规则，纵坐标比他的横坐标的两倍还大一啊。这个关系整体来说还是比较简单的， 比如说零到一，哎，那我们把零乘以二再加一，哎，确实等于一，我们把一乘以二再加一，确实等于三啊。好，他说，如图十六、抛物线 l 的 顶点 p 是 一个好点， 并且抛物线 l 的 开口方向和大小都不变，开口方向和大小指的其实就是谁啊？抛物线的 x 方的系数 a 嘛，对吧？ a 只要你求出来了，后面都是一致的。 已知，当顶点 p 为负二分之一到零的时候， l 与 y 轴的交点为零到负四分之一。那题目中现在给了我顶点坐标，我可以根据顶点坐标射出顶点式，所以射 y 等于 a 倍的 x 加上二分之一的平方，再加上零，我们就不写了。 好，他说这个焦点在这，我们是不是可以往里带啊？现在你就可以求出 a， 这个 a 呢，后面都可以用啊。因为他说了， a 大 小都不变，那就是负四分之一等于 a， 乘以二分之一的平方就是四分之一。所以此时我们可以得到 a 应该等于负一， 那么直线 l 是 y 等于负二分之一， x 加二与 x 轴外轴分别交于 a、 b 两点，设顶点 p 的 横标为 k， 咱们需要加工一下啊，这个直线 l 在 这呢，告诉我们说与 x 轴和 y 轴的交点， 那我们现在是不是可以求出 ab 两点的坐标？那么 a 点既然它是与 x 轴的交点，我们可以让它的外为零来算一下，所以 a 点坐标啊，就应该是四到零，然后 b 点坐标就应该是零到二，还有就是设顶点， p 的 横坐标为 k， 那 它的纵坐标符合刚才好点的定义啊，我们就可以写出来了，应该是二 k 加一。 那么第一问，我们来看一下他说什么，当 k 等于零的时候，求 l 与 x 轴交点的坐标， l 就是 我们要求的这个抛物线，抛物线我们知道什么呢？我们知道它的顶点这个， 而且此时 k 已经等于零了，你可以带进去啊。那么第一问， p 的 坐标就应该是零到一，然后我们还知道什么？如果我要用顶点式来表示的话，它的 a 我是 知道的， a 等于负一，所以我们就可以用顶点式来写 y 等于负一倍的 x 减零的平方，那就是 x 方加一， 这就是我们抛物线 l 的 解析式。他问你与 x 轴的交点，你只需要让它 y 为零算 x 就 行了，那就是负 x 方加一等于零，所以 x 方此时等于正一， x 应该等于正负一， 所以与 x 轴的焦点坐标就应该是负一到零，一到零。好，第一问我们就搞定了，接下来我们再看第二问，他说下面是关于 l 的 两个结论。假结论说 l 与 y 轴的焦点有最高点，以说 l 与 y 轴的焦点会沿着 y 轴的正半轴无限延伸。 啊，什么意思呢？一个是有最高点，一个是没有最高点，那其实我们要看的就是 l 与 y 轴的交点，那么大家要注意第二问啊， k 是 没有给值的，所以你要带着这个未知的 p 的 坐标去求出它的抛物线。解析式应该是 y 等于负的 x 减 k 的 平方加上二， k 加一， 这个 l 要求与 y 轴的交点，我们应该让 x 为零，去求 x 等于零时， y 应该等于负， k 方加二， k 加一。那么题目中问我有没有最高点，我们其实要看的就是这个 y 值啊，它有没有最大值， 它是一个关于 k 的 式子，这个 k 啊，是可以任意取的，那它有没有最大值呢？答案是有的，因为这个式子啊，它是一个关于 k 的 二次函数，你可以给它进行配方来观察，它应该等于负的配方减二 k， 然后这块应该是写一个加一，但是呢，我们括出来就是减一， 减一的话呢，再加一，那就应该是加二，所以它应该等于负的 k 减一的平方加二。好，这个式子的最大值我们就可以看出来了，当 k 等于一的时候，这个式子的最大值应该等于二，所以谁的对呢？应该是假对， 当 k 等于一时，这个 y 的 最大值为二。大家别忘了，在第二问的一开始要写一个假对，这个顺序不能错啊，顺序一错就要扣分了。 好，前两问我们都已经讲完了啊，整体难度还是比较简单的，咱们来看第三问，若点 p 在 三角形 aob 的 内部不含边界，则对于 l 上的点和点比较 m 和 n 的 大小。就这道题，可能很多同学看不太懂啥意思， 为什么呢？首先 p 啊，它是这样的一个坐标，那这个坐标它的运动轨迹是个啥呢？很多同学可能没有概念， 那你就不知道它怎么才会在 a、 o、 b 的 内部。然后其次呢，这个后面它比较 m 和 n 的 大小，它其实看的是什么呀？看的是二次函数的增减性。 有的同学可能没有意识到，这道题也就没有思路了，所以这道题是拉开我们题目分数的关键。首先先要说一个非常重要的点，当我们的 p 用一个字母去表示了它的坐标，同学们一定要心里有概念，这个 p 点，它的运动轨迹是可以求出来的。怎么求呢？ 我们可以把它写成 x， 把它写成 y。 我 们其实求的呀，就是 p 点 x 和 y 的 关系， x 既然等于 k， y 既然等于二， k 加一。好，你发现了吗？我们如果要让这个 k 消掉，我们是不是直接把这个 x 带进去就行了？ 对，所以 p 点的横坐标的关系就是 y 等于二， x 加一。相信听到这的同学，你已经理解了 p 点的运动轨迹是个什么，它应该是 y 等于二 x 加一这条直线。好，我们已经把 p 点的运动轨迹给它画出来了。 接下来他说 p 在 三角形 a、 o、 b 的 内部，你是不是就理解了，它应该就是在这一段嘛？ 那它如果在这一段，我们是不是可以求出来 k 的 取值范围呢？啊？因为你看你的 x 值就应该在一和这个点之间，对吧？这个点是什么呢？我们可以让 y 的 二 x 加一和 l 这条线进行连立，求出来的就是它的横坐标。 我们来求一求 y 等于二， x 加一和 y 等于负二分之一， x 加二，好，把它进行连立。二 x 加一 等于负二分之一， x 加二，四， x 加二等于负， x 加四，所以五 x 应该等于二， x 应该等于五分之二。假设这个点我们叫 m 的 话，这个点的横坐标就应该是五分之二，那么我们是不也就知道了，这个 p 它横坐标 k 的 取值范围就应该卡在这个点和这个点之间，也就是零到五分之二之间， 所以 k 应该是好，能不能取等，我们可以思考一下，他说不含边界，所以这和这都不能取等，那求这个东西是为了干什么？同学们别忘了，老师刚才说到了，我们要比较这两个值，它纵坐标的大小其实是要看二次函数的增减性，那么二次函数的增减性跟什么有关？跟开口，跟对称轴有关， 那么开口我们已经知道了，就是负一对称轴，我们来写一下，你会发现对称轴就是 x 等于 k， 我 们现在已经把 k 的 取值范围求出来了， 所以啊，这个二次函数它的增减性啊，我已经可以确定了。好，我们已经把这个图像画出来了啊，这个抛物线啊，老师没有画它的形状，但是我画出了它的对称轴，对称轴就卡在零到五分之二之间，开口向下这样来画， 那么我们现在只需要看这两个点，它与对称轴的关系就好了。五分之四和五分之二谁大呢？五分之四大，所以五分之四应该在右边， 然后八分之七和五分之二的关系，谁大呢？八分之七大，对吧？而且我们还可以看一下八分之七和五分之四谁大呢？我们可以给他通分一下是吧？四十分之三十二，四十分之三十五，哎，我们发现还是八分之七大一点点，所以 五分之四就应该在这，八分之七就应该在这，他们应该都比对称轴要靠右，那么我们这个二次函数就可以画出来了，应该长这样。那我们可以看到啊，这个五分之四，它所对应的外轴外值和八分之七它所对应的外值大小关系就一目了然了， 所以此时 m 就 应该大于 n。 好， 接下来我们来看第四问。第四问，同学们千万别害怕，当我们掌握了 p 的 运动轨迹的时候，第四问啊，其实也就不难了。 当 l 与线段 a、 b 只有一个公共点时， l 是 个什么？ l 是 一个这样的解析式，那这个解析式它在动，它什么在动？它的 a 不 变，它的顶点在动， 所以我们可以把它想象成这样，这个抛物线啊，它会沿着它顶点的移动轨迹去移动，整体来说 就是沿着这条线在动嘛。如果同学们，你理解了屁的运动情况是这样的话，我们现在就可以通过平移来去看它的边界情况，它与线段 a b、 线段 a、 b 只有一个公共点，我们往上挪，与线段 a、 b 只有一个公共点。 哎，此时就算一种情况，此时的这个抛物线恰好与 a、 b 它们两个相切，那我们如何去算出这种情况呢？我们可以把这个抛物线 l 和线段 a、 b 进行连立，你一定可以求出来一个 k。 好， 我们继续把抛物线往上移，看看它还有没有一个交点的情况，再往上挪，哎，有一个关键点是到点 b 了，对吧？但是到点 b 之后，哎， 他会不会与这个直线 ab 有 交点呢？同学们要思考一下，我们刚才的第二问，他说呀， l 与 y 的 交点有最高点，我们刚才已经求出来了，而且呢，这个最高点就是二，对不对？所以其实他与 y 轴的这个交点啊，他就不会上到 b 的 上方去， 所以他在这块啊，随着抛物线在动啊，他的交点仍然在 ab 内，好，那么此时啊，他一直是两个交点，所以 b 注意不算是一个临界值。 那么继续再往后取，还有什么情况呢？我们可以看到，这抛物线的右侧应该跟 a 有 交点，对吧？右侧的这一针如果和 a 有 交点，那它永远是两个交点，对吧？但是如果它再往上，当这个右针过 a， 再往上的时候，是不是就只有一个交点了？ 这个焦点就是左侧的这个和 ab 的 焦点，对吧？那我们就可以把点 a 的 坐标带入到抛物线里面，我们应该可以求出来两个值，一个是右值过 a， 一个是左值过 a， 所以 此时正好卡在这两个之间啊，那应该是把 a 带入到 l 里面，求出来两个值。所以我们现在啊，这种情况下能求出来 k 的 值，这种情况下能求出来 k 一 和 k 二两个值，最终的结果呢，就应该是要么等于它， 要么卡在 k 一 和 k 二之间，那能不能取 k 一 和 k 二呢？注意， k 一 是不能取的啊，因为如果取 k 一 的话，他此时右值正好过左端，还有一个端点 k 一 不能取， 但是 k 二呢，是可以取的，因为左值如果过，那就只有一个角点好，那么具体的值啊，曲老师就不算了，相信同学们都会第一个，这个应该等于八分之三，然后这两个是五减根号时 和五加根号十。 k 的 取值应该是 k 等于八分之三或五减根号十小于 k 小 于等于五加根号十。 好，这道题啊，我们已经讲完了，同学们可以看到这道题的复杂度啊，还是非常高的，如果我们在考场上是很难把每一个步骤想清楚想细的。同学们看明白，曲老师讲这道题啊，回去之后一定要自己再做两遍。行了，就这样吧，难题压轴不用出，曲老师带你有思路。

初三的一模结束了啊，今年的数学确实是挺有意思的，之前咱们的数学一模他只是一个题型偏难，但是今年的亚洲题就是偏这个竞赛题啊，但是吃定型丸中考他不会以这种竞赛的题型难度出现， 但是今年的一模真的是非常的具有指向性，这次题出的更多偏向于咱们的阅读理解，还有新概念的问题，这就非常有意思，比如说选择题的第十二道，还有大题的第二十三道， 只有题中给了定义，给了新概念，但是大纲上没有这个定义对吧？考了就是你的一个理解力。那么初三接下来数学应该怎么去规划，怎么去学？ 还是像我之前说的比较基础的学生，想要得到九十分以上，那么还是像原来一样，咱们去刷题型，查漏补缺，把基础打捞，对吧？一百分以上的同学呢，咱们建议是攻克数学的新定义，也就是新概念， 平时咱们得多练习阅读理解类的题目啊，要学会快速的读，去去数学的规则。 第二呢，多练和熟练的掌握面积距离的最值问题，对吧？核心考法，还有咱们的折叠问题，能够快速的识别辅助线的做法。 最后呢，给初三的所有的学生发一个福袋啊！一模考的试卷分析与重点，咱们保定所有的初三学生均可以免费的领取整体的试卷分析 啊，精确到每一种题型的命题趋势，备考建议，同时赠送这个方案。还有咱们的学科规划啊，只要你需要 就私信我啊，咱们在新秀八中还有十一中旁边都有店啊，助力孩子最后两个月冲刺理想的高中，加油！