大连中考一模数学2026分析函数

大年初三一模数学也太能唬人了，字赶上语文试卷了，题目里面废话真多，不过前面基础题是真简单呀，正面选择五分钟搞定。你看后面这题是给阿基米德做的吗？二十二题读题就得读一阵，计算量看着挺大，细心的话会发现考察的二次函数比平常做的还简单。二十三题几何得让学生寻思寻思， 主要考察倒角能力和终点策略。这次一模整体看就是中考难度，数学想考一百一十二分以上挺难的，前面选择填空要是大一了，一百一十分就没戏了。那么这次数学一模试卷分析我都给大家整理好了，需要的回数学一模，让孩子回去多看看，查缺补漏。

好，这是今天下午刚考完的大连市初三一模的数学考试啊，二十二题的函数亚洲题，我们来看一下这道题的解析逻辑啊，然后这个题目中给的抛物线呢啊， c 点坐标零到三， o a 和 o c 相等， a 点坐标负三零， o b 长度为二， b 点坐标二到零啊，然后这个呢，我们就能把这个函数表达式给写出来了啊，这函数表达式应该是 y 等于负二分之一， x 的 平方减去二分之一 x 再加上一个三， 所以呢，这个小 a 呢，是等于负二分之一的啊，小 b 也是等于负二分之一的。然后这个 d 点的横坐标呢？ 为一是吧，所以 d 点带到抛物线里面应该是一到二啊，所以 b、 d 的 长度应该是等于根号五。题目中告诉我们叫 d， e 等于二分之一的 b， d 是 吧，那 b、 d 的 长度是根号五，那 d、 e 的 长度呢？二分之根号五，我们通过距离是吧，很容易求得一点坐标啊，一点坐标应该是零到二分之三， 然后呢，这个 e 点坐标已知， d 点坐标已知，是吧，所以证明 a 点在直线 d 上，我只需要把 d 的 方程写出来就好了啊， d 的 方程啊，也很简单，应该是二分之一 x 加上一个二分之三， ok， 这是再把 a 点带进去成立啊，这 a 点在直线上，我们重点来讲一讲括号三， 括号三呢，说射线 b、 e 交一个 f 点是吧， m、 n 分 别在 b、 f 和呃 d e 上线段，然后横坐标是 x x 二， x x 二是不相等啊，然后 p， m、 q、 n 都平行于 y 轴啊，所以我做一条竖线啊，好，这个点呢，就是 m 点，这个点就是 p 点，再做一条竖线 啊，这个点是 n 点，这个点是 q 点，而且上下的位置关系都是确定的啊，然后再跟下面交一个 g 点，是吧？呃，给了我们一个线段长度叫 pm 等于 q n 加 e j 啊，所以这道题 逻辑上是特别简单的，我们只需要把 pm、 q、 n、 j 这五个点的坐标写出来就可以了啊。好，首先呢，我们需要知道 b f 的 直线方程是吧？ b f 这个方程就是 y 等于 y 等于负四分之三， x 加上一个二分之三，好，这就是 b f 的 方程啊。所以呢， m 点的坐标横坐标为 x 一， 纵坐标应该是负四分之三 x 一 加上一个二分之三， 好。 p 点的坐标 x 一 带到抛物线里面，负二分之一 x 一 的平方减二分之一 x 一， 再加上三，好。所以 pm 的 长度因为 p 和 m 的 位置关系确定啊， pm 的 长度就应该是 p 的 纵坐标减 m 的 纵坐标负二分之一 x 一 的平方 加上四分之一 x 一， 再加上一个二分之三，好，右边 n 点的坐标呢？那 n 点的坐标横坐标为 x 二啊， d d e 的 方程应该是在这里啊，二分之一 x 加二分之三，是吧？那就二分之一 x 二加上一个二分之三，好，然后 q 点依然带到抛物线里面， 负二分之一 x 二减去二分之一 x 二，再加上一个三，好，然后这个这点的横坐标 x 二，纵坐标应该带到 b f 里面，是吧？负四分之三 x 二加上一个二分之三，好。那么 q n 的 q n 的 这个距离呢？也很简单是吧？啊，用 q 的 纵坐标减 n 的 纵坐标啊，应该是负二分之一 x 二的平方减去一个 x 二，加上一个二分之三，好，唯一一个就是 e g 的 距离是吧？好， e g 的 距离我们用勾股定律就可以了啊，叫根号下， 根号下这个横坐标的差，是吧？ x 二的平方加上纵坐标的差，应该是负四分之三 x 二的平方就是四分之三 啊， x 二的平方， ok， 根据比例关系，三四五啊，叫四分之五倍的 x 二， ok， 然后接下来就是列方程了啊，这个方程呢，就是负二分之一 x 一 的平方，加上四分之一 x 一， 再加上二分之三，应该是等于右边这两个相加，右边这两个相加就变成负二分之一 x 二的平方。 啊，加上四分之一的 x 二啊，再加上二分之三，对吧？ ok， 好，这个方程二分之三，我们约掉之后呢，它就会变成我全都移到，全部移到 e 右侧。啊，负二，正二分之一， 正二分之一 x 一 的平方减去一个 x 二的平方，再减去一个四分之一的 x 一， 减去一个 x 二，移到右侧。啊，应该是等于零的，因为 x 一 和 x 二不相等，直接约掉啊，就会变成叫 x 一 加上 x 二，应该是等于啊二分之一的，是吧？ 然后呢，这道题最后还有一个写 x 一 的取值范围，那 x 二的取值范围是特别简单的， x 二是不是应该是大于零小于一的，所以 x 一 呢，是等于一减二分之一， 减去一个 x 二，是吧？啊，这个 x 一 的取值范围应该是大于负的二分之一，小于二分之一，但是这里面有细节是吧？ 就是这个 x 一 呢，首先是不可以等于 x 二的，所以当 x 一 和 x 二相等的时候，它等于四分之一，这个点是要舍掉的，对不对？所以叫且 x 一 不等于四分之一。那还有一个点呢，就是这个 m 点是不能在一点的， 在一点的话 pm 平行 y 轴，它俩是重合的，平行 y 轴是不成立的，对不对？所以这个 m 还 x 一 还是不能等于零啊，且 x 一 不等于零， ok， 或者我们这么写啊， x 一 的范围叫 x 一 大于负的二分之一小于零，或者 x 一 大于零小于四分之一，或者 x 一 大于四分之一， x 一 大于四分之一小于二分之一啊， x 一 大于四分之一小于二分之一啊，这么写也可以，我们上面这么写也是可以去掉两个啊，特殊的指数啊。不等于啊，上面是不等号， x 一 不等于四分之一和 x 一 不等于零，是吧？把这两个点去掉就可以了啊，好，整体来说，这道二次函数的题目呢？呃，难度不大， 难度不大啊，大家只要知道啊，就是像这种线线满足线段的一个方程，对不对？我们把点的坐标写出来，正常列，列这个距离的一个一个表达式，对不对啊？列方程，解方程就可以了啊，注意这里面的细节。 ok， 好， 这是二次函数的压轴题。

今年我跟大家做一个预测，二十一题，铁出什么铁出时间用，女儿有可能会被放掉，直接出时间用。今天早上大家可以看到，我来了之后，我就在那做题，为啥？因为有一个李富的学生，他们这个假期留了几套名校联盟的卷，那题难的我呀， 上课问的我，我说我下课给你做吧，出租车我做一道，然后来这我接着看，没做出来，其实真恶心呐。但是这套卷呢，我们不得不说，它的确是有迹可循的。我们来陪我一起来分析一下这套卷。首先先来看一模套卷第十题，我们叫函数类运动动点图像分析， 这个题是老大连卷当中的二十四题动点。为什么说有二十四呢？因为老大连卷是一到二十六， 我们认为大连一定会有一点私心的。什么意思？我要在辽宁省省考范围内掺合进去点自己的东西。头两年留了点手，第三年我觉得这题出来有可能今年就不留手了，有可能在填空题或者选择题最后一道简单的小压轴上出现一个。这个第二块，我们说一下啊， 我最惊讶是哪个题？我真跟大家说一下，大家回去自己问一问，孩子，你们整个天选部分错了哪几个题有十一题做错的？我一个班将近二十五号人，十一题做错的有俩呢，这比例不少了。填空题第一题根号下大于等于零，有两个孩子给我写大于零，我不明白他脑子是怎么想的，做错了 第二个错误的点，填空题第十五题。我不得不说，实际上这套卷我在做 ppt 的 时候，根本没想把第十五题拎出来，因为十五题纵观我看了整整，我教课教了十三年， 对吧？在学大十多年，我没见过这么简单的填空题，第十五题根本不能作为压轴来使用。为什么 ppt 里边我没放？因为一句话，这个题跟中考不符。十五题做什么？做过其他省市的模拟十五题都非常相符。 至于第二十一题，今年我跟大家做一个预测，二十一题铁出什么？铁出实际应用，女儿有可能会被放掉，直接出实际应用。因为今年有两个区出了实际应用，一个是这个，一个是皇宫 啊，这两个区都出了实际应用。所以我们对二十一题呢？有可能说什么呢？我们有可能会放缓一缓。今年整个大连，一到二十一题，没有什么路子去分析。我就一句话，您问孩子这套卷一到二十一题，没有什么路子去分析。我就一句话，您问孩子这套卷一到二十一题，没有什么路子去分析。我就一句话，您问孩子这套卷一到二十一题是多长时间答完的？ 如果孩子给你的时间在五十分钟开外，那我就告诉您剩下的时间，起码来说，每周至少让他给我刷三套基础，直到把这个时间能给我刷在基础题一个点以内。家长告诉我说，我家孩子都告诉我这套卷五十分钟左右，我还说 这套卷你要基础用五十分钟，你答正规的一套卷，沈阳的那些曲模，你答那个卷，打底一个点，这套卷的时间要比其他卷至少省十分钟，这是最低限度的，因为既没有难题，又没有计算强度。第二个， 有关于这个大题啊，请原谅啊，这个大题我的确是没有细画的，我没做那样的分析，因为的确家长也不好拍。 我左侧放的是这道题的原题，也就是大连今年考试的项目二十二题，属于一个比较简单的话题 啊，当然第一问，有的同学又勾股定理了，然后，呃，说几个好玩的事啊。第一个，大连今年的判卷规则，这个最后一问，取之范围好多，写的不对， 但是搭记没写 x 不 等于四分之一的给分了啊，正常是不能给的啊，回去自己看一看孩子的卷，但是只有一分嘛，不会差距太大啊。那咱们来看一下这套卷，这套卷的结构我在右侧给大家摆了啊，三种类型题，这是这套卷的一个拆解， 我为什么要做拆解呢？为的是告诉大家，告诉各位家长一种分析试卷的方式。我们做一套试卷不可能就题论题，因为我们的中考中不让出现原题， 甚至不让出现太类似的题型，我们的教练员在出题的时候会有意的避开这些东西。那我们就要分析什么，分析题型类型。上面这个题来自于鞍山市，今年二零二六年一模，我尽量给大家找新题。 底下这个山东省淄博市、淄川区，分别代表上减下的三种问题。第一个，上减下求对值就是这道题了。第二个，水平底铅水高度应用鞍山市的。第三个，斜长转横长的和转纵长的比例问题 啊，整个的淄川区。那所以我希望大家在做一道题的时候，咱们得到一个题的有效分析，意思是什么？你们一定要把这道题，如果你不会，你把类型题摘出来， 而不是像有些同学一样，他们在怎么做？我这道题不会。 ok， 我 隔两天我再把这题再做一遍。再做一遍管啥用了啊？还能出吗？怎么的？是不是？所以你们要对一个题进行一个有效的拆解，我们把它的同类型题尽可能做出来。如果家长有兴趣，把这两道题拍一下，回去看看孩子们会不会做， 可以吧。啊，这两道题很好，搜答案的，一个鞍山考完了，网上有答案。第二个淄川区的啊，淄川区那个卷在网上实际上都有这道题。实际上我找到的类似题一共分了四个大类。啊，这里边少一类啊， pd 也放不下。

我们来看一下刚刚进行完的沈阳二模这套试卷呢，整体难度比较适中，贴合于中考今天的视频，重点来看这套试卷的两道压轴题。其实我们能够发现， 这一套二模试卷其实和大零一模比较相似，二十二题都放了一道函数的细题，二十三题呢则是用几何作为压轴。 所以在中考里面想去冲击满分的同学，在后面的一段时间里面，一定要把几何的做题思路和逻辑理顺清楚。那这个视频首先我们来先看一下二十二题的考点和比较出色的部分。那首先第一问和第二问都是比较常规的题型， 求表达式，以及用中点坐标公式去求 p 点坐标，我想重点来分析一下第三问。这道第三问非常不错，首先考到了 平移，但是这个平移不仅仅是简单地向左向右，而是水平方向和数值方向，它是有距离关系的，我们一定要分析出这个 b、 c 射线斜着平移，它的水平方向和数值方向存在一个什么样的距离关系， 找到这个关系之后，再去写出顶点坐标这个函数，那就非常可以简单进行求解了。但是在真正做的时候，我们能够发现，在二十二题第三问，相当一部分同学成都比较好的往往会扣一分，这个一分到底是在哪里扣的？ 其实是在读题审题的时候，有一个关键性信息，点 f 不 与点 a 重合，这个情况没有讨论到，没有舍掉， 所以在这种细节问题上，大家一定要注意，再注意看看题目中有没有限定条件。二十二题看完之后，我们来看一下二十三题。二十三题我们可以从题目中能够发现，它是以一道翻折作为底色的一道题，而且其中包含了倒角， 虽然它的背景是翻折，但是我们可以在做题的时候显而易见的能够发现它的核心本质是一线三等角。 很多同学都进行了卡壳，所以没有摸清出题人的逻辑，一味的再去进行翻折呀。这个思路往下进行，所以能够发现我们不要去一味的被模型被套路，而是在短时间内找到出题人的核心逻辑， 想让我们干什么。第二问就是很明显的一个一线三垂直嘛，对不对？当第三问他不是垂直的时候，那我们应该再怎么去分析？所以在后来的一段时间，大家再去复习的过程中，一定要去把自己的薄弱项去 补充好，尤其是在几何这一部分啊，不要去被太多的在模型和套路了，而是一定要拿到题之后，我应该从哪个地方下手，提到终点，我应该怎么下手？提到角分线该怎么下手？ 翻折我能得到什么条件？倒角我应该如何去倒，这才是我们现在重中之重的主要目标。

昨天啊，咱们二零二六年大连中考数学一模已经结束了，咱们今天呢，简单做一下分析哈，这张试卷呢，主要的特点就是基础为主，分层比较明显，其中啊，基础题约占啊百分之八十啊，中等题的比重呢，是增加了的 题型啊，更注重与实际问题结合的综合思维。但是啊，前二十一题啊，难度不是说特别的大啊，最后两道的几何和函数啊，属于是分层题，本次考试啊，将几何函数压轴的位置啊调整了一下啊， 几何压轴，最后啊，两问啊，会有一些吃力啊。但是题目的难度和中考的难度哈，基本上是吻合的啊， 整体啊，两道压轴题的难度啊，是比去年一模的时候要略难一些的，但是整张试卷一百零八分这样的成绩还是比较正常的啊，要是想取得一百一十五分以上这个成绩呢，是稍微有一些难的啊。如果有的家长是想要这张试卷的， 或者说是想要答案的，还有有问题的家长啊，可以在下方留言，我看到了呢，会一一回答的。那么接下来啊，咱们就就着这张试卷哈，咱们来做一个详细的分析。咱们先来说一下第一个部分，选择题。第一题比较容易啊， 考察内容是正负数意义，考察生活中的正负表示纯属是基础题啊，粗心的话就会丢分。第二题呢，考察的是立体几何图形的三式图，考察的思维空间的想象能力啊，中考必出的简单几何式图题。第三题，科学技术法， 考察大数改写。中考啊，必出的基础计算，熟练就能得满分。第四题，整式运算，考察合并同类项密运算 积的乘方代数基本功啊，这道题比较容易。第五题，图形性质判断几何的入门必考题，比较容易。第六题，平行线加上三角形内角几何基础推理送分题啊，考察步骤啊，严谨性。这道题比较容易啊！第七题，方差比较 统计核心看数据波动，不用算，直接判大小。这道题也是比较容易的啊！第八题，追及问题列方程，考察一元一次方程应用，认真审题啊，找等量关系。这道题也比较容易啊！第九题， 解直角三角形，三角函数实际应用，中考几何计算高频考点啊，这道题需要注意一下啊！第十题，考察的呢是正方形加上二次函数最值几何加上函数综合选择题的一个压轴题啊，数形结合这道题属于是中下等的一个难度。 咱们再来说一下第二个部分，填空题。先来看一下第十一题啊，考察内容是二次根式的性质，代数式取值范围。 这道题属于是基础的细节题啊，比较容易啊！第十二题，考察的内容是概率计算，两步随机选择。中考概率题必考简单模型。第十三题啊，考察内容是坐标轴对称 平面直角坐标系的基础啊，这道题必须拿分。第十四题啊，比较容易啊，考察的内容是新定义运算，考理解加上转化能力，近年啊，中考热门的题型。第十五题啊，难度中上等，考察的内容是矩形垂直平分线相似 几何小从何填空题的一个压轴题啊，考辅助线与相似。咱们再来说一下第三个部分，解答题。第十六题啊，这道题比较容易啊，主要考察的是实数的混合运算，加上分式化简考计算的一个基本功啊。 这道题十分是必须要拿的啊，一定要注意的是计算的习惯，基础概念，千万不要哈眼高手低的，要不然这道题啊，一定会失分的。第十七题呢，主要考察的是增长率问题。不等式应用考察一元二次方程加上不等式。中考应用题必考的模板 考建模能力筛选啊，粗心和不会列方程的考生。这道题属于是中等难度。第十八题呢，就属于是中下等的一个难度，主要考察的是统计图表的分析， 考察频数，中位数，用样本估总体统计呢，全都是送分题啊，看清图表不丢分，不要看错题， 本题呢，几乎哈就是需要全员都是满分的啊。第十六题，难度属于是中等题啊，主要考察的呢是函数的图像工程问题，考察一次函数实际应用考察呢，学生的读图列式。中考高频应用题。 这道题啊，其实就是会了，这整个题型都不太难啊。第二是题呢，这道题呢，主要是考察圆的综合中考几何压轴必考的某块圆中角切线证明 弧长计算步骤分啊，一定要抢，是中等生和优等生的一个分水岭。咱们再来说一下二十一题啊，二十一题呢，反比例函数实际应用，函数建模，还有呢，考的是代入计算，考察知识的一个迁移能力啊，更贴近于生活计算。如果粗心，审题不清，不看单位，格式不规范，步骤啊， 又跳步的话，这个学生很容易丢分。第二十二题啊，他的难度啊，属于是一中难，然后主要考察的呢，是二次函数的综合中考数学的压轴题啊，考察呢是函数几何，代数大综合顶尖的学生啊，一般生啊，直接就是拉开了一个距离啊。 括号二的这个问题啊，转化能力弱，倒角倒边不严谨，模型不熟，计算卡壳的学生啊，这个括号二啊，很容易就丢分了。咱们再来说一下第二十三题啊， 难易程度呢，就是易和中啊。考察内容呢就是等腰三角形，加上全等，加上角度推倒，加上线段比值，几何综合压轴 需要多辅助线啊，构造思想，连续三条垂线的构造。主要呢考察构图的直觉，不是说刷题啊，咱就能刷出来这种破题的能力的啊，主要呢还是考察一下孩子的精准度和逻辑闭环的一个能力啊， 如果说这个孩子树形结合能力差，辅助线直觉弱等等啊，这个方面哈，不太足的这种学生啊，这道题他得分很难得满分。

大连数学一模考完了，先说结论，和中考可以说半点都不挨着，也就是以本套卷子来作为复习的方向，就是完全错误的，只能说当做一次练兵。 二十二题呢，考的是二次函数，前两问没有问题，第三问呢，用点坐标来描述线段，计算量会稍微大一点， 求他的范围呢，需要采用声东击西的方法，因为 x 二的范围是确定的，所以根据 x 二的范围呢，可以求出 x 一 的范围，这个叫声东击西。那么二十三题几何呢？这个终点是唯一的一个条件，那么怕就怕大家在背长中线上下太多的功夫， 那就会导致你的辅助线非常复杂，那么你只要先怀疑他是根号二倍，然后呢，想办法去证明 a j 和这个底边中线相等，想办法去倒角正等腰，利用中位线就可以了，选对方向这道题就没有几分钟。 那么最后一问的做法呢，可能见仁见智，那么如果大家采用母子线相似呢，最终会产生四四方方程，那么解出来以后会出现根号套根号的情况。 呃，那么如果采用辅助线的做法呢，那就相对比较复杂了，所以最后一问，考察大家个号套个号，能否再把它开出来。

你得明确咱们会遇到哪些角的问题，其实函数几何综合题比咱们纯粹的几何题角的考法要有限的多，主要就会出现三种角，第一种就是直角，第二种呢，就是已知三角函数的角，或者说 咱们之前的特殊角，四十五度、三十度这种都算作已知三角函数的角。那么在最后一个呢，就是角关系，比如说他给了你图中的几个角，角一加角二等于四十五度，或者角三等于角四，给你这样的角关系，主要就是考这三类问题啊， 咱们今天呢，把他们一个一个都说一下。咱们先说第一个直角，当你在坐标系中看到一个直角的时候，你会想到干什么？注意啊，我说的肯定不是那种最简单的直角啊，你告诉我说在这有个这样的垂直，问你怎么用，那没有意思啊， 我问的呢是坐标系种那种两边都是斜线的直角，这类直角一般怎么处理？其实主要的思路有两种啊，主要的思路有两种，一种是可以用斜率相乘等于负一，但是这个方法呢， 初中实际上没学过啊，是高中的内容，那么有的地区呢，允许用超纲的知识点，那有的地区不让用，所以呢，这个公式 我今天就不讲了。那么咱们讲另外一个比较通用的思路，就是构造三垂直相似。那么在构造三垂直相似的过程上，我们看个例子吧，比如说以这个直角为例，告诉你 a、 c、 b 是 直角 啊，还知道直角边的比，正好是一比二，你看到这样的直角的时候，你就可以构造三垂直相似。 但是具体怎么构呢？要有一个小原则，就是尽量用横竖线段来构造横竖，我用拼音首字母代替了啊， h s 横竖线。因为咱们讲过啊，函数题中什么样的线段是最好算的呢？横平竖直的线段，横平竖直的线段是最好算的，那你构造完三垂直以后，你肯定要用这些线段的关系， 所以呢，那我们就一步到位的用横竖线来构造三垂直，直接得横竖线关系，题目就会变简单，所以看到直角勾，三垂直，用横竖线勾， 具体到这个图里啊，怎么勾呢？通常我们会先过直角顶点做个竖线或者横线啊，你就看这个三角形怎么摆的，你过直角顶点做个横竖线，再往这条线上做垂直， 那么这时候你就会发现，这两个红色阴影的三角形就相似了，我一定可以得到它上面边之间的比例关系啊，比如说这两节蓝线是对应边成比例，这两节绿线 也是对应边乘比例，而且它们都是横竖线。那么这里我们再去品一下为什么要过到三垂值。你会发现，在原本的这个直角三角形里，我们拥有的其实是两段斜线的比例关系。 你的 a、 c 是 斜线，你的 bc 是 斜线，那么这个斜线的比例你用起来就很不方便。你说你表示它的长度， 那么表示出来是带根号的啊，得用两点间距离公式，那这个长度就不好表示。但是呢，你构造完三垂直以后，你会发现，哎，你就把原本原本斜着的一比二变成啥了， 是变成蓝线比蓝线一比二，绿线比绿线一比二，它们都是横竖线，横竖线就会简单， 所以这个直角构造三垂直，本质上其实就是一种化，写为直，是让一个计算复杂的图形变成简单的横竖线图形再去处理的思路。关于怎么构造就说完了啊，用横竖线去构造三垂直， 那构造完了以后，接下来的计算大家要注意啊，就构造完三垂直以后呢，你会发现，这个图形中往往会有点坐标，会有横竖线段的关系，那这时候我怎么去计算呢？ 思路也很简单，你就记住进行两种量的相互转化就行了。哪两种量的我有点坐标，我有横竖线段，那有了点坐标，我就可以表示出横竖线段的长度，反过来，横竖线段有了以后，我也就能得到更多的点坐标了。所以 有了三锤式，就是有点表示线，有线表示点，你把图里面的线和点都搞出来了，等量关系通常也就出现了。具体到这个图 你会发现，因为 a c 的 坐标知道了，那所以 a、 c 之间的横竖线段长，你就能算了。比如说这根横线 a g 其实就是 c 点横坐标和 a 点横坐标的差啊，所以呢，它的长度是 t 减三， 然后同时呢，这个 j c 就是 a、 c 之间的竖线段，就是两个点的纵坐标差，所以呢，就是纵坐标八减去纵坐标， t 方减 t， 这个整理一下呢，就是八减 t 方，再加个 t， 这叫做有点表示线有了两个点了，他俩之间的横竖线段长就能表示出来。而这两条线段有了以后，借助相似比是一比二啊，中间 a 二 a 相似比一比二，所以呢，这个是二， t 减六就有了， 这个呢是十六减二 t 方加二 t 也就有了乘二嘛。相似比，我就表示出了更多线段，而各位，当有了更多线段以后，我又可以干什么？你会发现我又可以表示出新的点坐标了，点 b 坐标就能弄出来了。 怎么弄的？很简单啊，你就用平移的思路去弄就行了。其实 b 点就相当于是点 c 向下平移这么多个单位，再向左平移这么多个单位，向下平移，再向左平移，那平移量就是这个式子嘛， 那坐标肯定就能算出来了，比如说向下平移，是不是纵坐标减去平移量啊？所以呢，你的 y b 就 能表示出来， y b 就是 这个 t 方减 t 减去这个向下的平移量， 那么整理一下就出来了，整理一下就是 t 方减三 t， 再加上一个六，这是 b 点的纵坐标，然后呢，横坐标呢，就是 c 点向左平移，向左平移呢，就是横坐标减去这一坨啊。所以 x b 就是 啥呀？横坐标 t 减去这个式子， 十六减二 t 方加二 t， 然后这个整理一下呢，就是负十六加上二 t 方 减去一个 t。 总之，通过平移的方式，点 b 的 坐标就可以表示出来。这里这个表示计算细节啊，不用太纠结，主要是感受这个思路。有了三垂直以后，我们就是有点 表示横竖线，有了更多的横竖线，有了更多的横竖线，我就能继续表示出新的点坐标。当你把图中的点和线都表示好了以后， 接下来一定有办法找到等量，列出方程，这就是函数中直角的一个完整处理思路了。先勾出三垂直，接 下来进行点和线的转化。构造三垂直的时候，过 c 做个横线应该也可以吧？可以的，过 c 做横线的话，就会变成构造内三垂直跟外三垂直本质是相同的， 但是内三垂直有一个缺点，大家可以瞅一眼，就如果你在里面去构造三垂直的话，得的是这个白阴影，和下面这个白阴影相似。那你会发现这两个三角形呢，经常会跟 a c b 这个直角三角形的斜边有重叠， 所以导致这个图看起来会比较乱。所以我一般不建议构内三啊，除非你很熟了对这个东西。好了，关于直角的思路就说到这啊， 最后注意看到斜的直角勾三垂直，用横竖线勾，然后勾完了就进行点和横竖线的相互转化啊。那注意，如果点不够用，比如说你已知的点太少了，那你肯定要怎么办？那你肯定要设点，就像刚刚这个点 c 啊，就相当于是我提前帮你设好了。好了， 下来咱们来看个具体的题你就知道了，这个题我带大家一块读一下啊。已知了，白色的抛物线过抛物线上的 b， c 有 个直线，那这个直线的表达式其实顺手也帮大家 求出来了，这个直线就是 y 等于负 x 加四，然后接下来呢，告诉对称轴跟 x 轴交于一个点 e 啊，点 e 的 坐标也就知道了。 他说呢，在一象线有一个点 p， 一 象线抛物线上有个点 p， 然后在四象线的这个蓝色直线上有一个点 q， 四象线的蓝色直线上有个点 q， 满足啥呢？满足 p e， q 是 个直角， 同时满足啥呢？满足 e q p 的 正切值，这个角的正切值是一个二分之一，给了这样的一个直角三角形，告诉这个角的正切值是二分之一，其实就是已知了这两条边的比例是一比二， 就跟刚刚一样，有直角已知了一比二，让你求屁的横坐标，咱们一起来看啊，条件就是这么个条件啊，给了这个角的正切值是一比二，那我相当于知道了这里的直角边的比例关系， 现在呢，要根据这些条件求出点屁的坐标啊，求点屁的坐标，那你发现这时候核心的条件显然就是这个直角三角形了， 那直角怎么用呢啊？我们说看到坐标系中的直角，你就想着去构造三垂直，注意用横竖线去构造啊，所以这里怎么构呢？是不是它的直角顶点已经在对称轴这个竖线上了？那你就直接往对称轴上做垂直过顶点 p 和顶点 q 分 别做垂线， 我就得到这两个三角形相似。这就是咱们说的，看到直角用横竖线构造三垂直 构造完了以后，你会发现，其实就是把斜着的一比二转化成了什么的比例啊，斜着的一比二是不是就变成了小蓝线段和这个小蓝线段一比二，这个红色线段和这个红色线段，它俩是一比二。当然了，这里呢，图不是特别准， 大家注意这种题子图多半就是示意图，你自己画的啊，看个大概就行了，只要别出现什么一比二长 这种比较逆天的场景就 ok 了。当你把这些线段的关系找到以后呢，那你会发现，接下来呢，我们肯定要进行谁和谁的转化了，你只要有了三垂直，就是一堆横竖线的关系。所以接下来呢，肯定是进行点和线的相互转化， 有点表示线，有线表示点，但是你会发现，现在呢，任何一个红蓝线段你都表示不出来，为啥呢？因为点坐标缺的太多了，你只有一个点， e 是 已知的， p 和 q， 都不知道你表示谁啊，谁都表示不了。 所以这时候需要什么呢？需要更多的点坐标怎么办？我们就去设点那题目，让你求 p 的 横坐标，那我就设点 p 的 坐标呗，对不对？很好，设横坐标，设个 m， 带到表达式里，纵坐标就出来了， p 点坐标一设， 那有了屁点，接下来就好玩就好操作了。屁点有一点有，屁点有一点有。哎，那这时候他俩之间的横竖线段就能算了吗？是不是小 m 减一，横坐标差，这就是 m 减一，然后呢，屁一之间的竖线，小红竖线就是纵坐标的差， 纵坐标的差，这纵坐标直接减零啊，就是负的二分之一， m 的 平方加 m， 再加上一个四，这个是利用点去表示线，那有了这两条线段以后，相似，比一比二能让你得到谁的场？这两个一比二， 那它有了，乘个二， n q 长度就有了嘛。所以呢，乘起来，它就变成了负 m 方加二， m 再加上一个八来。同样的道理，这个是 m 减一，乘个二，下面这个线段 二， m 减二，我也就表示出来了，这就是有点表示线有 p， e 表示出了上面的小红小蓝， 那下面的大红大蓝也就得到了。好了，得到这些线段以后，接下来有了更多的横竖线，你又可以表示什么了？有了更多的横竖线，咱都说了，你就点线相互转化，你就把三垂这里面的所有点坐标都搞一搞嘛。 所以这时候你会发现，我就可以尝试去搞一搞点 q 了。怎么搞呢？就用平移的方式搞就行了。平移的方式搞，那你会发现，从 e 到 q， 相当于是往下平移，二 m 减二，往右平移。这个式子好，那点 q 的 坐标就很容易得了。横坐标就是一加上这一坨， 一加上这一坨，直接就是负 m 方加二， m 加八，再加一加九，纵坐标呢，就是零向平移，二 m 减二，零减二， m 减二，是不是就是二减二 m？ 所以点 q 坐标我就表示出来了。为什么不加绝对值？因为在这个图中， p 和 e 的 上下关系，左右关系是确定的，你要画出满足提议的这个一比二的直角， p 点一定会划到 e 点的右上方去，那这时候 pm 左右关系定横坐标叉，你相当于直接顺手把绝对值去掉了。竖线表示长度的时候，因为 p 一定在上， e 一定在下，所以上减下相当于这个线段的长度，也就直接去绝对值了。因为这里知道上下关系，所以就没带绝对值 这块。其实就是已知了点坐标以后，横坐标差就得到两点间的横线长，纵坐标差就得到两点间的竖线长度。利用相似 把下面的两条线段也表示出来。表示出来以后呢，其实就是已知了这两条横竖线和点 e 的 坐标。 怎么去得点 q 坐标？那你会发现，就相当于是点 e， 横坐标是 e， 它往右平移了这么个红线的长度嘛， e 点是不是往下移这么多，往右移这么多， 那横坐标是不是要加下面这个红线的长度啊？一加上这个式子，就得到了 q 点，横坐标零减去二， m 减二，往下平移这个式子， 那么就得到了这边的坐标啊，这边的正坐标。当你得到这些坐标以后，最后方程就很简单了，各位看一下怎么列最后的方程。我们是不是看到点 q， 人家告诉你是在依次函数的图像上的， 所以怎么办？代入嘛，我把这个点 q 代入到依次函数的表达式中就好了呀。所以啊， 代入 y 等于负 x 加四就得到一个方程二减二 m 等于负的负 m， 平方加二， m 加九， 再加一个四啊，通过渐点代入就得了关于 m 的 方程。那最后你去解这个方程， 问题就解决了啊，我就不解了，最后解出来 m 的 值呢？有两个，一个是正根号七，另外一个呢？直接舍掉了，因为另外一个答案应该是个负值。我记得啊，负值解出来不在 题目要求的 p 点范围里面，题目要求 p 点必须在一项线的抛物线上。好了，这就是这个题的思路啊。 总结一下，以后看到坐标系中的直角，你就构造三垂直，注意，用横竖线构造完三垂直以后，我就需要他这里面的点和线，那么如果缺点的话，那你就把点一设啊，把点一设， 有了点以后，有点表示线，得到更多的线以后，反过来用线再表示出更多的点坐标，那这里我们最后就相当于表示出点 q， 那 点 q 通常是有条件的，你给他带入对应的表达式，就能解放成了。好的，那么刚刚呢，咱们就讲了直角的基本处理思路，那么这里要注意， 直角的处理思路其实是接下来一系列方法的前置技能，所以接下来讲的过程中，不要忘了，这个直角可以勾三垂直。那么下来第二个， 我们讲一讲三角函数。首先呢，你要明确三角函数的基本用法，咱们初中阶段看到三角函数，要考虑把它放到什么里面， 你得放到直角三角形才能用起来。初中阶段，三角函数肯定要放直角三角形才有用，那么如果没在直角三角形怎么办呢？那我们通常需要自己去做垂直，构造直角三角形，所以三角函数做垂直，这是基本意识。 那么具体在做题的时候呢，我们会遇到不同样子的三角函数啊，我举个例子，比如说有的时候呢，你会看到这有个竖线，告诉你这有一个角 p a b， 比方说 tangent a 等于三分之一，那么这里呢，它的 ab 边是平行于 y 轴的啊，这种三角函数过谁做垂线，你后面你肯定过 b 做垂线， 为什么呢？因为过 b 做完垂线出直角三角形的同时，直角三角形的直角边都是横竖线，那么你忽然这个正切值三分之一直接就变成了横竖线的比， ph 比 a h， ph 比 a h， 那 这两个的比值到了一比三知道了，那么你就有计算的思路了。横竖线吗？总是能表示的，这是最简单的三角函数， 有一边是横竖线，你就往横竖线上面做垂直，直接就能用了。这第一种啊，然后呢，再接下来，再接下来第二种啊，有的时候呢，你还会看到这样的三角函数， 我就继续用这个三分之一吧，同样是一个正切值等于三分之一的角，但是呢，你会发现它的两边都是斜线， 那你要用上这个三角函数咋办？怎么去用它？首先啊，别的都不用管，首先一定百分之百的先得把它放到什么三角形，先得 做垂直，放到直角三角形，这个是必然的，那比如说这里呢，如果点 d 是 个已知点啊，随便给大家举个例子啊，比如说题目中点 d 是 已知点，那这时候呢，我们就可以过点 d 去做个垂线， 哎，做出一个直角三角形，那我就相当于得到了这两条边的比是一比三，而有了这两个一比三以后，各位接下来就变成什么问题了， 你看着这个直角三角形，有没有一点眼熟？刚刚才见过斜着的直角三角形，我是不是就可以去构造三垂直了？ 构造三垂直了，那接下来利用这两个相似就可以解决这个题了，这是斜着的三角函数的用法，先做垂直，出直角三角形，再接下来呢，构造三垂直， 把斜着的一比三变成横竖线的一比三，方便你下来继续计算。然后这里面一个是做垂线，一个是勾三垂直，每一步的目的是不一样的啊，我们去品一下，一开始过地做垂线，放直角三角形是为啥呢？ 是为了让三角函数一个角的条件变成什么的条件，角的条件变成了一比三，变成了边的条件。三角函数做垂直是为了把角变成边的关系，变成边的关系以后呢？那我又构造三垂直，为啥呢？ 因为坐标系里斜着的边不好用，所以我构造三垂直，把斜着的边又转化成了横竖边的关系， 简化了计算。这是两个辅助线的构造的底层逻辑，一个是为了用起来角，一个是为了让斜线变好用。当然了，这个三垂直的构造过程中呢，有一些小细节要注意，一会儿题目中再给大家说啊，就是怎么算会更简单， 有个注意事项，咱们题目中再说。但总之，以后看到三角函数，你就想着去做垂直，给他放直角，三角形角有横竖边，那你就往横竖边上直接做垂直，做完就能用。 如果脚的两边都是斜线，那你就做完垂直以后，构造三垂直，构造三垂直，再去计算。这个理解了，咱们来看个题啊，一块来看一下啊。这道题已知抛物线，已知了顶点是 d， 说 p 是 x 轴上的动点， 满足 p d o 的 正切值等于二分之一，求 p 的 坐标。首先啊，你会发现，这个题 没有给你把屁点画出来，那大概率意味着这个题要干啥呢？大概率意味着这个题要分类讨论。 这个跟咱们上一道题还不太一样，上一道题呢，给了很多限制，什么屁在一象限， q 在 四象限，把那个图的位置给卡死了。但这道题呢，人家说整个 x 轴上都能动，那这时候你就得考虑考虑有没有不同的情况。 那右边我能画一个矢图，那你会发现，跑到左边的时候，同样可以得到一个角，让他的正切值等于二分之一。所以这个题上来 打眼画一下矢图，就知道应该有左右两种情况，然后两种情况有了以后呢，接下来呢，我就一个一个去算，那么算的时候，其实我就会觉得右边这个情况呢，有点微妙，感觉好像可能正好是垂足， 但是这就是猜一下啊，其实这里有更明确的标志，什么标志呢？你会发现题目给你的地点坐标是个二负四，我们要正切值一比二，那你会发现二负四，这里本身就存在一比二的关系， 地点的横坐标、纵坐标的比是一比二，这意味着啥呀？意味着你过地做个垂线，这对应的线段就是二，这对应的线段就是四， 他的坐标本身存在一比二的关系。那你就得看一看这个坐标带来的直角三角形，是不是正好满足咱们的题了。要有这样的意识啊，就看到相关的比例，你看一看是不是出题老师的仁慈，送你分呢。 那一看，果然是，这时候这个角的正切值就是一个二分之一，也就是说，当 p 点正好走到 h 点处的时候，这就是一个答案，所以他送了一个二零的答案。接下来主要的任务就是求一下左边的这个答案了。左边的这个答案， 左边这个答案呢？因为这个图的特殊性啊，所以呢，做法会比较多。但这里呢，我主要想讲一讲三角函数做垂线的思路啊。有别的做法可以做，比如说这里其实是个角分线啊，角分线的话呢，你也可以角分线，构造全等也能做啊。 但是这里我想给大家讲一下三垂直的思路。现在呢，我们相当于是已知了这个角的正切值，需要你去求点 p 的 坐标，那么点 p 的 坐标怎么求呢？你会发现，其实点 p 呢，就相当于角的一边跟 x 轴的啥呀， 它相当于是 dp 和 x 轴的交点。大家求焦点有什么思路？求焦点有一个想法，是不是可以求出 dp 的 表达式，而求 dp 的 表达式 d 点坐标已经有了，那我就需要它直线上的另外一个点， 那当然了，这个点必然不会是点屁了，屁是所求。所以呢，接下来需要这个直线上的另外一个点，这是大前提。需要这条直线上的另外一个点，这是大前提。那这个点肯定由什么条件得到呢？就是题目给你的三角函数了，三角函数我就想到了 做垂直，那这里我们过哪个点做呢？那有的小伙伴说，那我就选择过屁做垂线啊，往哪做呢？你往他的这条边上做， 但你会发现，你做完了以后，你的屁点不知道，你的垂足坐标也不知道，你要说算的话，能往下算，但是呢，就比较费劲了，相对会麻烦一点。所以这里面注意，做垂线的时候第一个原则啊，我肯定希望已知点越多越好， 所以呢，我们可以选择过已知的点 o 点来做个垂直，那做完了以后呢，这是 h， 那 你会发现 o、 d 两个点都知道，那这个直角三角形呢？我就可以构造三垂直去算了。但是各位，这样做垂直呢，依然不是最简单的， 因为这样做垂直，你再去构造三垂直的时候，会遇到一个小问题。遇到一个什么小问题呢？ 你说三垂直是不是就是为了用这里的横竖线段去解题，但是你有没有发现，这里的横竖线段是全都不知道的，你这个 h 点没有横竖线段就都表示不了，想一想，是不是 h 点没有横竖线段就都表示不了？ 那当然了，我是可以射出 h 点再去表示那些线段，能射也能算下去。但是那我们就想了， 如果我能让垂足直接是个已知点，那不就更简单了吗？那各位我还可以怎么去做这个垂直呢？教大家一个小技巧，这个技巧叫做过已知点， 做他所在边的垂线，过已知点，做他所在边的垂线。 哎，你看啊，我过 o 做了 o d 的 垂线，得到一个 o q， 那首先我是不是依然得到直角，三角形依然得到了正切值一比二，这有一个 a 二 a 的 比例，我的做垂线的任务是完成了的，而与此同时呢，我同样可以构造三垂直， 他过地，这已经做好一个垂线了，那我过 q 在 这再做一个垂线，三垂直就出来了。 这个三垂直有个啥好处呢？就你会发现，因为 o d 之道， o 作为三垂直相似的连接点， o 之道， d 之道，那么右边的线段都直接能算，而左边的线段呢，相似比一比二，一和二也就直接出了，二除以二是一，四除以二十二， 二和一直接处，那你会发现，你的点 q 坐标是不是直接就口算负二负一了，是不是就非常好算了？所以这里啊，注意整个思路想法啊。第一，看到三角函数，看到三角函数，我们可以想到去 做垂直，那做垂直的时候，为了后续计算简单，要注意小技巧。我们通常希望已知点越多越好，所以要过已知点去做。然后呢，做的时候呢，我又希望三垂直相似的，这个 相似三角形连接点是已知的，所以呢，我就得让这个已知点当垂足，相当于是过已知点做他自己所在线的垂线，我们把这个叫做垂自己啊，这是自己起的名字啊，你去品这个感觉， 过已知点做他自己所在边的垂线，把这个已知的三角函数放进去，过已知点垂自己。你这样做完垂直这个相似的线段一定是最容易得的。于是呢，点 q 坐标就得到了。 各位，点 q 坐标得到了，那求点 p 是 不是就随便来了？你只要把 d q 的 表达式到 q 点式表达式一求， 那么屁点的坐标我也就求出来了啊。好了，这是这个求解的思路啊，他的整体逻辑就是看到三角函数想到了做垂直，做垂直完了以后，通过三垂直就完成计算了。那么重要的细节是为了计算能简单， 有一个做垂线的小技巧，叫做过已知点垂自己。来，我给大家再画一个例子啊，比如说这个角的三角函数，你要放直角三角形，这是个已知点，我随便写。比如说二五， 我要过已知点垂，自己要怎么做呢？你就过已知点 a 啊，过角的边上的已知点 a， 去做他自己所在边的垂线， 做他自己所在边的垂线，那么你一定能得到直角三角形，同时直角三角形的直角顶点是一致的，你后续构造三垂直的时候，线段就更容易表示。来看最后一块角关系，今天的内容呢，基本上是一步一步往上叠的啊，你发现 处理三角函数要用到直角的用法，那么各位接下来处理角关系，你就要用到三角函数的用法了。什么是角关系呢？我举个例子啊，比如说 有的题目中呢，他告诉你角一等于角二，这是最基本的角关系，然后呢，这两个角呢，可能八竿子打不着，比如说这有一个 y 等于负的四分之三 x 再加三， 他告诉你呢，这个角是角一，然后接下来呢，在离的二百里远的地方， 他告诉你这有一个角 a、 b、 c， 这是角二，告诉你角一等于角二， 这种叫做给了角关系。那么这个角关系的题呢，他有两种主要的思路。先说我不准备讲的那种啊，一种呢，就是要通过题目给的条件呢，想尽办法去倒角，然后呢，让这两个角相等，或者是角的别的关系变得更好用。 但这个方法呢，就是要见题拆题，他不同的题中有不同的处理思路。然后呢，还有一种方法呢，叫做给你两个角的关系，就意味着给了你两个角的 三角函数关系。所以还有一种思路呢，就是我直接用三角函数去处理这个等角，咱们今天主要讲这个，因为这个是一个更朴实的方法， 就比如说在这道题目中，你已知了角一等于角二，角二呢，在一个未知点比较多的三角形里，但是你的角一，你会发现它所在的三角形边长是直接可以得的， 也就意味着啥呀，也就意味着角一的三角函数值你是能求出来的啊。这里面你会发现 tangent 角一，它就是一个三分之四，三角函数是能求的，那你说其中一个三角函数求出来了，它俩相等， 三角函数什么关系？角相等三角函数肯定也是相等的嘛。所以呢，我是不是就直接相当于得到了 tangent， 角二就等于三分之四？ 来，各位，那你说接下来这个问题跟刚刚上一道题是不是变得一样了？角一三角函数推出了角二三角函数，角二三角函数知道，那如果这个点 a 又是一个已知点的话， 点 a 又是一个已知点的话，那这不就又变成刚刚说的那种了吗？你就过已知点做垂直构造，三垂直就 ok 了。所以啊，以后看到角关系，你先看看这里面角的三角函数能不能求 一个角的三角函数，只要搞定了，另一个角也就出来了。那接下来我们就可以用这样的思路去解决问题。比如说接下来这道题啊，这道题呢，给了抛物线，给了直线 bc， 给了对称轴上的焦点 f， 现在呢，它告诉我们说，在一项线的图像上有一个点 p， 然后这个点 p 要满足 p f b 等于 b c a 啊，给了一组角相等，我先帮大家把视域图画出来啊，有个 p p f b， 这个蓝角等于 b c， a 等于左边这个蓝角啊，两个蓝角相等，让我们球屁的横坐标来，咱们来看这道题啊，这道题呢，我准备讲两种思路，第一种思路呢，就是比较好想的， 相当于是通过三角函数来硬算。第二种方式呢，就算是见招拆招了啊，叫做通过倒角 来找到更简单的角关系啊，就化简角关系，让这个难用的角变简单。然后咱们先说第一种啊，第一种呢，就是三角函数硬算，你看到两个角相等，那么自然要想到两个角的三角函数也相等， 所以如果我能搞定其中的一个角，也不用其中一个了，屁事所求，那这个角肯定是弄不出来的嘛，这都有未知点呢， 我只要搞定左边这个角，那么右边这个角的三角函数也就知道了，对吧？所以第一种思路就是搞三角函数啊，你把不含未知点的那个角想办法求出来就行了。 那左边这个角 c 想求三角函数，咋求呢？那我们要求一个角的三角函数，那肯定要看清楚它在哪个三角形里嘛， 我会发现我的角 c 呢，就在这样的一个黄三角形里，它的对边等于四， 然后呢，它的邻边啊，这个呢，等于根号十，另一条邻边 bc 能不能求呢？也能求，等于三倍根号二， 而且你会发现这个三角形还蛮特别的，里面还有一个四十五度角。好了，那这时候我想求这个蓝角角 c 的 三角函数，怎么求呢？ 用完这个就很好求了，这有四十五度，这是我的所求角，我肯定是过第三点，往这做个垂线，既能用上四十五度，又能把所求角放直角三角形，所以肯定是过 a 做。 而过 a 做的话，你看一下这个图，你会发现，好像也不用做我直接连谁就行了。因为 b a 是 对称的， f 在 对称轴上嘛，所以呢，你把 a f 一 连这四十五度，这四十五度，这直角就直接出了啊。所以呢，你这块要做这个直角，其实非常的好做， 直接连一个 a f 就 ok 了。为啥做直角呢？就是为了求这个角的三角函数值嘛？做完这个直角以后，你会发现就很开心了，随便标这 bfa， 这是一个等腰直角三角形，斜边是四，那直角边就是二，为根号二。 然后呢，我知道 bc 全长是三倍根二，这是二倍根二，那所以这条边就是根二，于是我的这个蓝角，它的三角函数呢，就变成了对边比邻边。在 r t 三角形 a c f 中， a c f 中我的 tan 角 acf， 它就等于了对边比邻边等于一个二倍根二，比根二算出来等于根二，相当于通过解三角形，我们求出了左边这个蓝角的三角函数值。也就是说咱们通过连接 a f 做垂线，已经求出了角 c 的 三角函数了。 那接下来我是不是就相当于已知了角 p f b 的 三角函数也是二角 p f b 的 三角函数也是二，我把它写在这啊， 相当于 tangent 角 p f b 等于二。好了，怎么去用上这个三角函数？那你看你要用这个三角函数，那它是不是就得放到直角三角形里？ 怎么做呢？刚刚说的过什么点？怎么做这个角，它的两边一个是 f b， 一个是 f p， 我 们说要过已知点垂自己，谁是已知点啊？两边上谁是已知点？是不是这边 点 b 是 已知点，过已知点 b 做它所在边自己的垂线，所以做出来是不是长这样，那这时候你会发现延长 f p， 延长 f p 就 能得到一个点 q， 那 这时候我就做出了一个直角顶点，是已知点的直角三角形，而且正切值是二比一的话，那你会发现这个是二倍根二，这个是四倍根二， 我就给它表示出来了。而接下来呢，我要求我的 p 点坐标，我只要知道什么就行了。 p 点是不是就相当于是啥呀？ 相当于是 f q 和 p 的 交点， f q 和 p 的 交点，我是不是只要搞定这个直线 f q 的 表达式就可以了？ 表达式怎么搞定？ q 点坐标求一下呗。那直角有了，怎么求 q 呀？构造三垂直嘛，你往下一坐，三垂直一够，那你会发现左边的长度呢？这知道是二，这知道是二， 那三垂直相似一比二，那右边这就是四，这就是四，于是点 q 坐标就出来了。点 q 坐标是啥呀？点 q 坐标是不就相当于是 b 往右走四个，往上走四个，所以呢，它就是一个七逗号四。好了，点 q 坐标有了 f q 表达式，你就能求出来。 f q 表达式有了，那么 p 点你连立一下也就解出来了啊。好了，这就是整个处理思路啊。是这啊，我们 带大家一起快速的串一遍，来，一起串一遍，怎么想的？首先呢，我看到了两个角相等，有一种思路就是看三角函数能不能求， 那这里面要求的话，肯定是看已知点构成的这个角 a c b， 那 我们会发现 a、 c b 这个角呢，它旁边知道四十五度， 我要求它的三角函数要做垂线，那我肯定是过 a 做个垂线，那过 a 做垂线的时候呢，注意到 a b 是 关于对称轴对称的，所以连了个 a f， 直接由它是四十五度得到，它是四十五度，这儿直角就出来了。 直角出来以后，很容易就求出了这个三角函数值，就是对边比邻边是一个二，这个是怎么求的呢？在 r t 三角形 a c f 中求的得到了正切值，二， 左边的正切值有了以后，那这时候右边这个角的正切值，右边这个角的正切值也就出来了，他俩相等正切值也等于二。 好了，那现在就变成了已知正切值怎么用这个角的问题。而这个角怎么用呢？就是咱们刚刚讲过的了一个三角函数，已知，我要做垂线勾三垂直， 注意怎么勾过已知点，做他自己的垂线过已知点，垂自己过已知点垂自己完了以后，哎，我就得到了这样的一个 一比二的直角三角形，这个直角三角形就可以帮我去构造三垂直。那么这时候因为左边的线段你都能算出来是二二相似，比一比二四四，有了点 q， 坐标就有了， 于是 f q 表达式一求，问题就结束了。最后呢就是 f p 和我的抛物线去连立就行了。 最后连力球屁，你在刚刚这个推导的过程中，你会发现你的每一步想法，刚刚的每一步想法是不是都是非常自然的？那你说角相等，是不是看一看三角函数，有一个知道的，另一个就知道了， 那这个看出来了呢？这边角是不也就知道了？那你说这个角都知道了，他是不是就变成了你之前熟悉的另一个问题了？你已知了这个角的三角函数，他变成了你之前做过的熟悉的问题了，那我是不是就可以继续利用之前的思路， 过已知点垂，自己构造三垂直来计算？当然你说这个过程中有没有别的想法也能解出这个题肯定是有的， 但是我把它变成了一个我之前做过的熟悉的问题，那接下来后续的思路不就相当于已经直接打通了吗？那我就把它执行下去就好了呀。实际上整个过程干的就是第一想办法去求角 a、 c、 b 的 三角函数，然后接下来 去用角 p、 f、 b 的 三角函数。啊，这个 p、 f、 b 的 三角函数咋用的呢？就是咱们之前说的过已知点垂自己，然后呢就构造出了三垂直， 当你构造完三垂直以后，你的 q 点坐标就肯定能算出来了。 q 点坐标都算出来了，那你把 f p 表达式一求啊， f p 与抛物线连立就行了。刚刚这种思路咱们先说到这， 接下来再给大家讲一种思路，咱们刚刚呢，相当于是看到了三角函数相等，想着去把三角函数求出来，我就能硬算了啊，这是一种想法， 这个想法呢，在计算的过程中通常不是最省事的，但是呢，它是一个没有很复杂，但一定能执行下去的方案，就相当于是比较通用的一个思路。所以注意，刚刚三角函数这个方法的好处是比较通用， 你熟悉了整个操作流程以后拿到的这种题，你用这个方式就可以直接动手开杠，但是呢，你说有没有更简单方法，肯定有下来呢，我们来说一种啊， 接下来的简单方法呢，全部都是基于倒角的，其实倒角这个方向也很容易想到，因为题目给了你角相等， 角相等结合图中的已知角条件，那你会发现可以得到更多的角的关系，比如说在这道题中你会看到啥呢？因为 o c 等于 o b， 这是直角， 所以你忽然这里是直接会有两个四十五度的。然后我现在要导这两个蓝角相等，我看到蓝角的一部分是四十五度了，那我是不是就可以把蓝角表示为 alpha 加四十五度？也就是说我的已知的等角里面已经有 a、 c b， 它等于一个 alpha 加四十五度，它是 alpha 加四十五度，那就意味着右边这个或肯定也是这个值， 那他是这个值的话呢？那这时候你发现他既然是 f 和四十五度角的和，那它里面肯定也可以分出来一个四十五吗？那我们就想怎么就能分出来四十五了，怎么就能在右边的这个角里面分出一个四十五度呢？因为下面这有个四十五， 你在这想分出个四十五，你做个啥线就行了。哎，你会发现我在这只要做个横线，下面这个角内错角相等一定是四十五度， 因为这个蓝角也等于阿尔法加四十五，所以上面这个小角是阿尔法，我就退出来了。也就是说，我通过倒这个四十五度角，我让原本的两个大蓝角箱的都去掉了一部分四十五度， 剩下了阿尔法等于阿尔法。那这两个阿尔法有个啥好处呢？左边的阿尔法，他直接在一个有横竖边的直角三角形里，这边是一和三，相当于正切值，直接知道攀正阿尔法等于三分之一， 那是不是意味着右边这个 alpha 的 三角函数也直接知道了啊？也是三分之一。而这个 alpha 呢？它的边是啥呀？边是横平竖直的线，那我要用上这个三角函数怎么用呢？ 那我就直接做数值的垂线。做数值的垂线，那我就直接得到了右边的贪婪，他 r 法，它就等于 p h 比上 f h 等于三分之一，我相当于把两个不好用的角 通过倒角的方式变成了更简单的有横竖边的 alpha 相等，那这个 alpha 三角还是直接得的，那所以这边做垂线，我就直接把 角变成了横竖边的比例关系下来，你用这个去计算就行了，这个明显的比上一个要好算的多。 但是啊，这个就需要你有一定做这类型题的经验，然后呢，有倒角的意识，然后呢，这里还需要你自己想着去构造出四十五度角，相对而言比那个方法要更难想，所以我说三角函数直接相等是更通用的，更好想的思路。 然后这种倒角的题呢，你就得见招拆招，毕竟不是每道题都会直接给你四十五度，让你用算就简单了啊。你要去算的时候呢，那你会发现，因为我现在得到的是一组横竖线的比例关系， 那我现在是不是只要表示出这组横竖线段就能列方程了？来，那我就问你，你要表示这两条线段，你需要谁？ 你发现这两条线呢，是不是都跟屁有关？所以我需要点屁的坐标吗？那咋办呢？我就设屁的坐标，设了屁的坐标以后来 你看 f 坐标，知道屁坐标，知道 f p 的 长度就都能表示了。那这里面 f h 的 长度呢？就是横坐标的叉是 m 减一， 然后 p h 的 长度呢，就是纵坐标的差，就这一坨减去二，所以呢，就是负 m 方加二， m 加三减二就是加一， 所以带进来呢，就得到一个方程，是负 m 方加二， m 加一，比上 m 减一就等于三分之一，那么这个方程整理一下，就是负三， m 方加六， m 加三等于 m 减一。 你去解这个关于 m 的 一元二次方程就行了。解完了，最后答案长这样啊，把负值舍掉，因为 p 在 异项线来。各位啊，这题还有一种思路啊，也是通过倒角来解决的，总之倒角的方式呢，整体就会比较灵活。 你看啊，在这道题目中，我们知道这里两个大角相等，我用个背它吧， 我知道这两个大角相等，然后呢，大角相等呢？你后面直接算用三角函数，有小伙伴嫌烦，所以这时候要倒角。那么倒角呢，有两个方向啊， 刚刚一种方向呢，是倒角的过程中，我去关注了已知角，去关注已知角和这个等角的关系。 是不是刚刚看了四十五度一只脚，然后还有一种思路呢，就是我想办法让两个脚，想办法让两个脚产生联系，怎么就产生联系呢？想办法把俩脚 放一起，把两个角放一起啊。来，那这里我们来看一看，怎么就能让两个被他放到一起呢？你会发现这个 p f b 他 是朝右边的，我想让两个被他放一起。有一种思路，是不是让右边这个角往左挪，各位想一想，怎么就能挪过左边来， 怎么就能让右边的贝塔跟左边贝塔跑一起去呢？那你会发现这里呢，我们可以尝试去反向延长一下 f p， 延长的目的是啥呢？是为了构造出贝塔的对顶角，而你构造出贝塔的对顶角以后来各位你发现得了个啥？ 贝塔，贝塔在同一个三角形了，我相当于是得了一个等腰三角形，得到了。这里面假设这个点是点 q， 我是不是相当于得到了一个 q c 等于 q f， 这个点 q 是 在直线 a c 上的。好，那你得到这个点 q 以后来我们想一想啊，我想求 p 点坐标， p 点相当于是 p q 和抛物线的交点嘛。 来，那你说你只要求出谁就行了，那你是不是只要能求出点 q 坐标就可以了？因为 f 坐标已经知道了嘛， q 点只要知道了直线表达式，有了 p 点坐标就搞定了。而 q 点怎么求呢？你这都有等腰了，它俩相等，你就直接列方程解就行了嘛。那这里呢，需要表示 q c q f 的 长度，所以呢，你需要把 q 点坐标设一下， 那 q 点坐标咋来呢？ q 点呢？在直线 a c 上， a c 的 表达式能求吗？ a c 的 表达式就是三 x 加三嘛，所以点 q 坐标就可以得到是 t 三 t 加三，然后你把这两条线段直接用公式一算，方程一列就解出来了。这个的整体倒角的大方向就是两个等角放同一块放啊，我们可以继续看啊。 刚刚这种方式呢，我让右边的脚跑到左边去了吗？让右边的贝塔转化到了左侧的三角形里，这是转化右边的脚。 那我同样的，其实也可以想办法让左边的贝塔往右边跑，左边的贝塔往右边跑，怎么跑呢？你就想你能够挪脚的方式有什么吗？刚刚是对顶脚挪了个脚，那咱们还有什么方式能挪脚呢？ 是不是还有平行线内错角可以挪角，看这是 a c 对 不对？然后我要挪 a c 边上的这个贝塔，角咋挪呢？我过 b 做个 a c 的 平行线，做一个 a c 的 平行线，于是内错角相等，贝塔就跑到这了。 那贝塔跑到这以后呢？那这两个角是不是显然就可以往一个三角形里凑了？所以呢，可以得到这样的一个三角形，比如说这是 b j 吧。得到这样的一个三角形，那你忽然这同样是一个等腰三角形，我同样知道 p 点是一个交点， 所以呢，我只要能够求出这点的坐标表达式，有了 p 点，坐标就能求出来。好，那现在问题就是这次这两条线段相等，好像这点的坐标不是直接能设的。那怎么搞呢？也很简单啊，你自己做的平行对不对？平行意味着什么？平行意味着 这里面 a c 的 k 值和 b、 g 的 k 值是相等的， a c 的 k 值是三，所以 b g 的 k 值也是三， b g 的 k 值也是三 k 知道有已知点，所以 y 等于三 x 加 b 把三零带进来，所以呢， b 等于负九就减出来了啊。所以我们可以得到 b j 表达式是 y 等于三 x 减九点， j 的 坐标 t， 三 t 减九就设出来了。 然后下来你再去表示这两条线段长度。也可以啊，但这种就属于是我觉得明显不如前几种方法，然后你能想到了，可以啊，但是想不到也没啥。各位，咱们来总结一下今天讲的是什么函数中的角来。现在回想一下， 关于角，我们讲了几类问题，函数中的角有几类？第一类呢？直角？第二类呢？已知三角函数的角。第三类呢？给你一个角的关系，这是三种类型的问题啊。 然后呢，直角是怎么处理的？有直角，我们直接想到构造三垂直啊，构造三垂直，注意细节是什么？要用横竖线去做啊。然后呢，再接下来第二个啊，三角函数，三角函数其实就多一步，三角函数要注意先做什么呀？ 先做垂直，做完垂直你就可以接上第一个方法，构造三垂直了。然后同样注意的细节是什么？ 为了让题目好，算，注意的细节是什么？是不是有一个过已知点捶自己的小细节，这是三角函数的基本思路啊。然后呢，再接下来第三个角关系。角关系呢，我们说了两种方式啊，第一种就是硬来，直接 想到去求角的三角函数值，求出一个角，另一个角三角函数也就能推出来了啊，所以第一个方式求三角函数值，第二个方式呢，就会比较灵活，你要通过导角 大方向是啥呢？通过导角来简化题目给你的角关系，我们品一下怎么简化的呢？题目告诉你，这个红角 和这个红角相等。一开始第一种思路怎么转换的，我去关注了图中的已知角，关注已知角，发现呢，哎，这个大红角呢，它就变成了已知角和阿尔法角的和。所以呢，我们去把这个角拆一下， 下面拆出一个四十五度，那么上面这个角是阿尔法，我就把斜着的等角变成了有横竖边的等角了，这是一种 通过倒角简化角关系。然后呢，还有一种呢，还有一种就是你想办法把两个角往一块放，你等角放到同一个三角形，就容易得到关系。所以呢，还有一种思路，就是你把这个边反向延长， 那你换这个红角和这个红角相等，相当于得了一个等腰，具体细节看刚刚讲的题目。然后呢，总之你要去抓住一个大方向，你要倒角到底是为了什么？ 你不能说是原来的角向的，你越倒越复杂了，那没意义。我们的核心目标是通过倒角，让原本计算量大的角关系 尽量变得好用，变得简单，那变成横竖边的角就会简单。然后呢，放到一个三角形，变成一个等腰的问题，也会让它变简单 来，这是主线的三个方法。主线说完了以后，各位有什么细节，就主线之外需要你注意的点。我举个例子啊，比如说每次构造完三垂直以后，我们需要进行谁和谁的转换呀？ 有了三垂直以后，我是不是有点就去表示线，反过来，有线你就去表示点啊，有线去表示点，进行点和线的相互转换，这是一个。除此之外呢，勾三垂直，用横竖线过已知垂自己，这些其实也属于是细节啊，但这就不坠数了。 然后刚刚呢，在扩展方法的过程中啊，我们还通过等角放三角形 得了等腰，然后各位等腰的问题是怎么去处理的？你直接用坐标表示线段列方程就行了，对吧？这叫细节啊，就是你解题过程中，你不能说光想脚，脚推到那了，出了个等腰，不会的，那也不行，虽然他不是今天的核心，但是你要会好 那类似的，刚刚最后还举了个例子，得到平行线要注意得啥？得到平行线你注意得 k 相等。好的，各位，今天就聊到这啊。

大连一模数学考试已经结束了，那么试卷我相信网上有很多，大家应该看的也比较多。针对这套试卷，王老师和大家说一下大家比较关心的几个问题。 首先第一点啊，我们直击最重要的就是难度，好多家长在问说，我们这次艺考考试的难度和中考的难度相比，难度怎么样？如果对比去年和前年这两年的中考试卷的难度我认为持平。 我们在中考命题的时候还是比较严格，按照七二一这样的一个分值分配来进行命题的，所以有百分之七十的基础题目啊，百分之七十基础题目，那基本上就是八十四分，百分之二十的中档题目和百分之十的把高的题目。 所以我们现在这个辽宁省中考说题难不难，其实主要集中在几个题型上面，比如说我们的填空题的第十五题，选择题的第十题，然后圆的那个第二个问题，还有二十二、二十三，几何和二次函数的这两道题。 所以如果你说这个几何和二次函数，以及我们来说的填空选择的压轴题，这个题如果不偏不怪的话，那么整张试卷难度我们统一就定位正常， 不能说它简单，但是是正常的。那相对于我们去年大连的一模考试来说，这个试卷是要简单一点的，相对于我们统一的这个， 呃，中考这个命题难度肯定是要比我们平时的模拟考试的难度要简单一些的，也就说你平时的一模、二模试卷难易程度啊，起码一模考试要稍微难一点，二模考试要适中，这样的话让同学们既能找到自信，也能找到我们相应的存在的这个问题。 那么呃，统一下这张试卷，这张试卷前面的题目没有特别注意，需要你 呃，易丢分的点也是我们所所说的这个挖坑给你跳，并没有太多啊。那有几个稍微比如说我们的第十七题啊，第十七题，这个结果保留应该是三三三四，有同学没有结合着实际问题写成三三三三了，那这个一分， 这个容易扣掉。然后我们的第十九题，第十九题里面好多同学写的啊，人告诉你是 s t 的 函数表达式写成 y s 了，每年都有这样的一个问题啊。然后是第十九题当中你需要注意的这个过程也需要啊，认真去作答。你看这个第二十题，呃，这个 试卷本身就是干区教练员去出的这个试卷，所以你看跟上一次干区的那个月考试卷的形式，基本上离同他把他这个圆，当时我还说了一下，我说把圆的问题放到了第二十题， 难度设置啊，相对来说要简单一点了啊。第一个问也排除了正切线，第一个问直接推了个弧等，就是看你弧弦，还有我们直接所对的这个圆周角等于九十度这样一个小的性质的一个应用。 第二个问求一个弧场，主要求半径还有圆心角，那这里面，呃，切线已经是给你了，直角、三角，斜边中线等于斜边一半，然后倒角有特殊角，所以难度也不大。之前我就说我说辽宁省， 呃，对于园的考察，到目前为止其实都是偏简单的，相对于南方或者其他城市来说，园的考察不难 啊。然后他把这二十一体给你增加了一个实际的一个问题啊，大文字量的一个实际问题，其实就是一个反比例啊， 并没有什么繁体类，函数也特别简单，比干区的那个月考的那个题目也简单多了啊。那最后一个问的时候，保留的时候要写，这里面有几个几道题需要你保留，你要注意看到保留整数，然后要写好约等于 那么整张试卷啊。那么问题集中在了我们这个二十二和二十三这两道题上面。二十二题王老师之前就说了，说我们现在已经定下来这个基调了， 因为甘区的教练员主出的这个题目，从去年甘区教练会上来说，我们这大半年甘区主推的二参数的方向就是计算推理，不是待机综合，也没有所谓的这个新定义，也不是焦点的取之范围。他主推 计算推理问题，那这道题的这个分值分配给了四三五分。第一个问求 ab 的 值和线段的长度，给了四分基础。第二个问点 a 在 直线 d e 上啊，那么我们需要把这个 d e， d e 根据这个第一长度啊，求出点一的坐标，求出直线第一的解析式，然后带入验证一下就可以了。所以这七分应该是比较友好的，那那整体啊，参数来说，他没有那么难。那么第三分就是我说的叫计算推理的问题了，他给你的分值是五分 里面的，有同学说计算量偏大，如果说这道题的计算量偏大，那我们只能证明一个问题，就是我们平时对于二次函数的计算，你练习的有点少， 那么这道题里面看似五分，但是有非常几个关键的得分步骤，你是可以得到分，得分步骤 b e 的 解析式你可以得到分，那这 m n p q 这几个点的坐标我们是可以设出来的， 然后其中三条线段 pm q n e j pm q n 是 可以得出来的，那这个就属于关键的不走分，那所以这道题的难点在哪了？除了计算稍微多一点含餐之外，关键的就是那个 e g 的 表达方式， e g 这里面我用的是因为 o e b 这个三角形的三角函数，我们是知道的，所以我用的是角 o b e 的 三角函数， 做了一个 e k 垂直来表示的一个 e j， 这个算是这道题了，没呢一个小的坑点，那需要你去注意的，然后接着把这个表达完了之后，把它们带入进去，你看其实就这一步， 然后进行一个化简化解，因为 x 一 不等于 x 二，所以直接除掉了得到 x 一 加 x 二等于二分之一的这样一个表达式。那么这道题里面其实还有一个小问题，就关于 x 一 的取值范围问题，因为这里面明确告诉我们 pm q n 平行外轴，我们初中人教版的教材对于平行的定义是 不相交的两条直线叫做平行，重合不算平行。那所以这里面实际上我们的这个答案应该是大于负二分之一，小于二分之一，而且还要排掉不等于零，不等于四分之一这样一个范围。但是这一次批卷 啊，那你只要有负二分之一，二分之一，四分之一呢？这里这道题算对了啊，所以这个最后一个问，一分批的是非常非常松的啊。今天我们刚批完了这个试卷，应该是非常非常松的， 所以整体第二十二题跟去年一模一样，我们把这个位置稍微调整一下。考前我还发了一下，我说不管看到什么样的题型，或者有什么样的变化，你都不要去惊讶，你不要去选择先做二十三。去年有很多同学就倒在这个坑上面了， 所以考前的时候我还反复强调，我说，如果把几何题放到二十三，你不要先做几何，那说明二十三题放到几何，那说明几何能稍微难一点了。 而且干区教育员出题，他比较擅长几何问题，二三数，我一直认为中山的二三数出的会更更全面，会更好一些， 那这道题就二三数。我说完了，这个七七分是基础，五分第三个问，但是有些关键步骤你是可以得分的，所以五分就算得不到，你能把线段的长度表示出来之后，那起码得两三分是没有问题的。 那所以好多同学二十二十二题这道题真的是最后一个问没有做出来，没有关系，不影响他只扣了两分，所以能得到十分的。 那么整张试卷要想拿到高分，就是二十三题。这一道题得几盒得高分，那这几盒四个问分别是三、二、四四， 第一个问就全等同学都能拿到，第二个问倒个角得九十度，绝大多数同学也能拿到啊。那么难点集中在后面的两个问当中那八分，所以你看这八分加上二十二题的最后一个问 啊，二十二题就会问，虽然是五分，但是你可以得到一些过剩分的啊，那么所以整体的这个难的分数就是在十分到十二分之间，这个也是非常符合我们的那个七二幺这个难度设置的，所以每张卷都会有十到十二分偏难一点的这个题目 啊，那么这个是给冲更高分或者充满分的同学留着的，他不影响你能考到优秀，所以对于大部分同学来说，那整张试卷以这个难度去面临中考的时候，那最低就是一百零八，我，我考前发的他就是你的生命线， 是不影响你考到一百零八的，那至于说前面的数算错了，或者约等于或者是哪些细节扣分，那你就要去平时练习的时候，还有两个月你就要去注意这方面的内容啊，那么这二十三题也是一个非常典型的啊，刚需的几何风格需要你去倒角了， 你看他第二个问大条件给你了两个角，一个给了二倍角，一个给了二倍角，减四十五度，那注定了这道题我们就要设参数。去倒角之前王老师和大家说说，几何题在辽宁省考试，你一定要有一个区分， 你要知道他考你的是偏向大连的风格还是偏向沈阳的风格，大连的倒角 倒角去找关系构造全等，这是偏向大连的沈阳的风格，给你图形旋转翻折隐藏条件解三角形偏计算为主， 所以这是两个不同的风格，当你看到这个角与角的关系给了你两个时候，你就基本上就断定这道题我们就是要通过倒角，而且二倍角呢？必有等腰吧，是不是也是二倍角？绝配角？干区经常考你的这个内容， 那这道题的入手点其实还不是二倍角和绝配角。当然你心里知道，出现二倍角的时候，我要设参数，我要倒角，肯定有等腰，但是这道题的入手点还是一个中点所引起的， 那看到中点的时候，你脑袋里面能不能马上浮现出八字全等三线合一，中位线，还有直角三角形斜面，中线的斜面一半。 在这道题里面，如果你开始选择八字全等，能不能做？能，但是很麻烦，八字全等加减三啊，这就会非常麻烦，我像你没有一定的时间，或者没有非常强的这方面的功底，你根本做不了的 啊。但是这道题如果是中位线来进行入手点的话啊，那他就比较简单一点了。中位线我们也可以有两个构造方法，你可以以 a 为另外一个重点，或者是过 a 向 b， c 做垂线段都可以。你看，如果我想一开始想个 aj， 因为他问你 aj 比 ac， ac 是 直角三角形的这个直角边， aj 这条边， 我先想把 aj 怎么转化，所以如果你 aj 为中位线作为基础的话，那就肯定是把 a 变成中点了， a 变成中点一延长相当，或者你做平行都可以，然后就会出现 m、 f、 c 这个等腰三角形了，那那这个比值就通过中位线的一个转化就比较容易理解了， 但是你能不能想到？当然你可以过点 a 往下做，垂直三线合一也有终点啊，然后有一个直角三角斜边，中线斜边一半，然后再接着倒角，倒角是这道题的核心思想，你要设参数倒角，但终点是我们的入手点，出发点的， 那最后一个问，最后一个问也有不同的这个方法啊，那么这道题里面有的同学，你看有的采用我这种方法呢，他不会开根号，加根号就能得出来一个啊，那根号下 四加二倍杠二三，这个也算正确了啊，也批卷的时候也没有给你扣分，如果你会开杠二的话，呃，那么就是杠二三加一，那么他也算是一个，也是这个正确的这个答案，所以两种都都没有问题的。 那这个第三个问，第四个问延续着第三个问，延续着第二个小问，你看那个图，如果你前面用的什么方法，你第二个接着用什么方法，那我这里面有等腰之后，紧接着就是一个等角的三角函数就可以解决，当然因为相似也没有问题，就涉及到解的时候会稍微费点劲了 啊，那就是其实也还好啊，因为这道题里面最终答案你根号套根号也算正确了。所以这道题整张试卷来说，我们 主要的卡分点就是二十三题的后面的两个文八分，还有二十二题的第三个文，但是对于你冲高分的同学，其实没有那么那么大的一个影响。 那这里面我们再提提示一个，就是我们在考试当中还有一个信息差，其实考前我和大家说过，我们这次整体的这个出卷 啊，这些信息，那有的同学，我，我二十二，我没做过就说我，我还留言跟有些家长探讨，我说这个二十二题，这个计算推理问题，干驱已经练了大半年了， 从去年十一月份的这个调研活动，然后他们的期中、期末，然后这次的月考，干脆月考都在考二次函数的计算推理的问题。那所以这个你就得知道这个计算推理的这些去年调研会的这些题目都下发到各个学校，那当然有的老师有的学校没有选择讲 啊。那但是常听王老师视频呢，你就应该知道我们大方向是这样，你不能低头闷着头去去复习，一点不看整个整个我们出题的这个方向或者信息，那肯定是不行的。 那那么距离我们中考还有一个半月的时间，马上啊，这个中考命题组基本上要确定了。那你确定完了之后，大概的出题的方向和风格，是不是你就应该 大概了解，然后复习的时候我们实际上是有一定的侧重点的。那所以就是你再努力，你也得选择对方向才可以的，你方向不对，那努力不都是白费吗？啊？所以这个就是王老师对于整个一模考试 呃，我的一些见解和整个的一个试卷分析。那么后期还是要看你孩子自己的这个丢分点，以及他试卷当中存在的问题，有针对性的，一定是有针对性的 去练习，我们是有侧重点的练，但是不是放掉所有的我只练聚散推理，那肯定也不合适吗？对不对？你不能只练这个东西，因为最终谁出题，是不是我们现在还不完全 能确定，所以有侧重点，有重要方向的去练，但是其他的你也需要稍微兼顾 啊。你不能说我，哎，我这个焦点问题我一点都不看了，我不擅长，我一点都不用管了。不是一定不是这个意思啊。当然如果计算推理你格外不行的话，或者你认为这个计算量真的特别大的话，那你就需要在这方面 进一步的加强。包括二十三体的那个倒角，大连的这种题型你确实就不擅长，对于其他的同学来说你做的很少，那更要有针对性的去练习了。

好，来看一下大连市一模的二十三题，告诉我们这是一个等腰，然后又告诉必得等于一个 c、 e， 那 这两个三角形是不是边角边全等括号一就转完了，括号二呢？它告诉 角 b、 a 的 等于二倍的角 acf 减去一个四十五度，然后又告诉 a、 e、 b 也是一个二倍的角 acf， 那 这样的话，我们就把 acf 设成一个 r 法， 那因为这个角是等于这个角，那所以说这个角 e、 a、 c 也等于一个二倍的阿尔法减四十五，然后这个角是二阿尔法，那么我们用外角二阿尔法减去它减出这个角就是四十五， 因为是个等腰，那这个角也是四十五，那所以说这个就是一个九十呃，圈二，它告诉 g 是 b、 f 的 一个中点，让我们求证 a g 和 a、 c 的 一个比值，那这个题啊，我们可以去 往下去做个垂，那这样的话这个小的它也是一个等腰直角三角形， 那这个 k 点它就是一个中点，然后这个 g 点呢，它也是一个中点，这样的话我们把 g、 k 给它连接上，那说明我们的 g、 k 是 不是三角形 b、 f、 c 的 中微线，对吧？那它是不是就和我们 f、 c 是 平行的？那刚刚是把这个角设成一个 alpha， 那 这个角是不是四十五减 alpha， 平行的话，这个角也是一个四十五减 alpha， 然后我们再用九十减去四十五减 alpha， 哎，这个角能减出是四十五加上一个 alpha， 然后刚才这个角是二阿法减去一个四十五，然后这个角也是一个四十五度，那所以说是不能减出这个角，应该是四十五减去它，也就是说九十减掉二阿法， 然后我们发现这是一组绝配角，剪完之后啊，这个角也是四十五，加上一个 r， 那 所以说就能证出 ak 这个边啊，它是等于 ag 的， 那所以想让我们求 ag 比上 ac， 我 们就可以把 ag 用 ak 换掉， 那 a k 比上 a c a k c 是 一个等腰值，那这样的话就是一比上一个根号二啊，结果就是二分之根号二， 对吧？嗯，好，再来看一下圈三，他说当 b f 等于 c， f 等于二的时候，然后让我们求 a c 的 一个长， 那我们知道 f 是 不是在 bc 的 垂直平分线上，然后 ab 等于 ac， 那 a 也在 bc 的 垂直平分线上，我们连接一下 af， 对 吧？这个就是刚才的那个 k， 好， 这样的话我们发现这是一个中点，根据斜边，中线等于斜边一半，是不是能导出 j k 应该等于 j f， 然后刚才的这个 a k 还等于一个 a g， 对 吧？那他俩就是相当于共底，然后双等腰，是不是这两个三角形就一定相似？ 然后我们看一下边长，他告诉 b f 等于 c， f 等于二，那说明我们这个蓝边是不是应该等于一，对吧？这题啊，我们接下来去导一个比值就行，是不是用一这个边比上 a k， 对吧？ ak， 我 们发现不知道，那接下来老师把 ak 呢？设成一个小 a， 然后就应该等于啊这个 f k， 然后再比上一个 j k 是 一，对不对？那接下来就是 a 乘以 f k 应该等于一解出 f k， 它是等于 a 分 之一， 那也就是说这个边长是 a 分 之一，然后 b k 这个边，它就等于 ak 等于一个 a， 然后这个 b f 这个边还等于一个二，那接下来是不是在 b、 k、 f 中可以列一个勾股定律，那就是 a 的 平方 加上 a 分 之一块的平方，应该等于二的平方，那接下来呀，能把这个 a 方给它解出， 是等于根号三加上一个二。但是这题啊，我们不想要 a 方，想要的是 a c 的 值，那么我们知道 a c 的 平方，它应该等于二 a 方， 您说二倍根号三加上一个四，那接下来怎么去开这个 a c？ 需要把这个二倍根号三和四给它凑成一个完全平方， 那么我们知道这个二倍根号三呢，就是那个二 a b， 然后这个四呢，可以变成一加三，对吧？加上二倍根号三， 那这个一呀，就是一的平方，三呢，就是根号三的平方，然后加上二倍根号三，所以说就变成一加根三括号的平方，所以说就能解出这个 a c 啊，就等于根号三加一，对吧。

大连市一模的二十二题啊，他告诉我们一个解析式，然后又告诉我们 o a 等于 o c， 我 们知道 c 点坐标是一个零豆三，所以说 o c 得三，那么 o a 呢，也是一个三，他就是负三豆零， 然后 b 点坐标又是得二豆零，我们把 a 和 b 往里一带，就能解出小 a， 小 b 啊，想让我们求 b 得的长度，那告诉我们得点坐标了，我们把得点的横坐标带进去，然后得点坐标能解出是一个一到二， 那根据得点和 b 点，然后再用两点距离公式，就能把得 b 算出是等于根号五，那么得 e， 这个也得一个啊，得他的一半是二分之根号五。 接下来呀，老师把一点坐标设成一个零逗 b， 这个点坐标是一逗二，然后根据两点距离公式，二分之根号五应该等于根号下， 嗯，一减零的平方，再加上一个二减 b 括号的平方，然后就能把这个 b 算出是两个值，一个是二分之五，还有一个是二分之三， 但是呢，二分之五比这个 o b 大 了，所以说要舍掉。那最后啊，也就是说解出 e 点的坐标就是零度啊，二分之三就能把 d e 的 解析式给它算出来啊， y 就 等于二分之一 x 加上一个二分之三，然后我们再把 a 点带进去，发现它在这个上面。 好，再来看一下括号三，给了我们两个动点，一个 m， 还有一个 n， 然后这里头有一个很重要的信息，就是 pm 平行于 q， n 平行于 y， 这样的话呢，就说明它们都不能跟 y 轴重合。呃，然后我们先把啊 b e 的 解析式算出来，然后就能把 f 点的横坐标算出来， 那接下来啊，我们把 p 点坐标用 x 一 勾负的二分之一 x 一 的平方，然后再减去二分之一 x 一 加上一个三， 那 m 坐标呢？就是 x 一 逗，负的四分之三 x 一 加上二分之三，这样的话我们就能把 pm 给它解出来，因为它只要在这个线段 f b 上面， p 点始终在上边， m m 点在下边， 所以说应该用 y p 减去 y m。 好， 减完之后就是负的二分之一 x 一 的平方加上四分之一 x 一， 加上一个二分之三。好，接下来再把 n 和 q 啊给它表示出来， 那 n 点坐标它是 x 二逗，二分之一 x 二加上一个二分之三， 那 q 点坐标是 x 二到负的二分之一 x 二的平方，然后减去二分之一 x 二，再加上一个三， 那 n n q 啊就可以减出来，是负的二分之一 x 二的平方减去 x 二，加上一个二分之三。那接下来我们需要去给它解决 e g， 把这个往下延长，这个点就是一个 g， 然后呢， e g 就是 这个长度。好，我们刚才算出来了，这个边是得二，然后这个边是二分之三啊，那你说弹进它这个值就能算出来， 对吧？然后我们过这点往这边做一个垂直啊，然后根据这个点的横坐标啊，就是 x 二，所以说就能把这个 e g 给他求出来，等于四分之五倍的 x 二。 那接下来，因为啊， pm 它是等于 q n 加上一个 e g， 那 所以把这个 pm 负的二分之一 x 一 的平方加上四分之一 x 加上一个二分之三，好，等于 q n 是负的二分之一 x 二的平方减去 x 二，加上一个二分之三，然后再加上一个四分之五倍的 x 二， 这个化简完之后啊，就会得到二倍的 x 一， 减 x 二乘以 x 一， 加上 x 二，然后等于 x 一 减去 x 二。 我们知道 x 一 和 x 二不相等，那这个可以约调，对吧？最后解出 x 一 加上 x 二，等于一个二分之一， 对不对？接下来还有一个，它让我们求 x 一 的一个范围，我们知道啊，啊， x 一 它是不等于 x 二，然后呢？ x 二它又大于这边一个零，然后小于这个一个一， 对吧？不能等于零，因为等于零就和刚才说他跟 y 轴就不平行了，是重合了，对吧？然后跟这个的如也不能等于一，等于一的话，那个 n 和 q 他 俩就重合在一起了，对不对？那这样的话，我们就能解出 x 一 它是大于一个负的二分之一，然后小于一个一。但是这里啊，还有一个特殊点，就是这个 x 一 它不能啊，等于一个零， 因为 x 要等于零的话，他也跟 y 轴重合了，对吧？那所以这里头啊，还要刨除掉一个 x 一 不等于零，然后 x 一 不等于 x 二。我们让他俩相等，发现 x 一 和 x 二都等于四分之一，那所以这里头还要刨除掉一个不等于四分之一。

我认为这套卷中评是没有什么参考性，今天挺好玩的一点啊， 我先带大家简单的分析一下，二零二六年大连一模，我当时拿到这套卷的时候挺惊讶的，为什么呢？这套卷当时我看完之后，我觉得起码就我个人而言，这套卷给我一种印象叫做我无从下手。为什么呢？因为这套卷两级分化非常严重 啊，大家都应该已经听到孩子们回家跟您说的印象了，什么意思？基础题，如果一个好一点的孩子，我给大家举个例子，我手头可能理数的学生比较多，如果一个理数的孩子，基础题四十分钟之内答完，我感觉这个孩子做慢了，三十五分钟 连写步骤带答题，一点问题没有，后边一个半小时他都能砸在那，二十三题最后一问他不一定能算出来数， 所以他就会导致一个很有意思的现象。是什么呢？孩子们会告诉你说，这套卷简单跟难有两个分化，情况特别特别的严重。 如果咱们家孩子平常情况下考试分数大概在一百零五分上下或者一百分上下，他会告诉你说，今年的一模卷极其简单，没意思，我感觉前面技术太简单老， ok， 我 能做。 如果咱们家孩子平常是一百一、一百一十二，他会告诉你说这套卷挺难的。 如果说这个孩子平常我是奔满分冲刺的，那怎么样？他拼运气，有一部分考到一百一十八，一百一十九的孩子告诉你，这套卷特别难，后面我不会，我想了足足四十分钟，我就是想不出来怎整啊， 所以这套卷老师很无从下手，但是大家不要太担心这个问题，因为这套卷在我看来，如果让我给他一个评价，我认为这套卷中评是没有什么参考性，我们可以快快乐乐的去等沈阳了，因为这套卷跟我们平常做的卷不太相符啊。

今天是大连一模考试的第二天，我们先来浏览一下整个试卷的试题难易程度，以及呃，部分大题后面两个压轴题的分值分布情况。先简单浏览一下试卷，我看了一下啊， 呃，一到十呢，考的还是比较简单的。那第七题，这里出现了方差，他没有在后面的概率题中出现，而是一个简单的选择题的形式出现，所以说对大家来说挺友好的，挺简单。那第十题呢，出现了一个几何动点，这也是大连常考的一种动态分析问题。嗯，是需要根据 图二这个二次函数的图像去分析正方形 a、 b， c， d 这个边长的长度，对吧？好，那根据图像呢，我们就能得到， 呃， a e 是 x， 那 么 ab 是 一，因为 x 等于零的时候，这个面积为零嘛，对不对？那就是一减 x， 根据这些条件再去进行做题即可，还是挺简单的。 再来看一下十五题，十五题考得也相对来说比较简单。第一，他没有涉及到动情况分析问题分情况讨论，而是求一个固定长度的线段的问题，对不对？所以在这里给大家列举一下，他是使规作图和相似进行了相结合，进行了考察。 那么十六题的计算也相对来说比较简单。十七题也还不错，考到了二次函数的增长率问题啊，一元二次方程的增长率。看一下第十九题。第十九题呢，这里可能会出现部分细节扣分问题，也就是第二问 出现的函数表达式。注意，一定是 s 与 t 的 表达式，就不会得分了啊，这个一定要注意。 那二十题呢，考察的第一问和第二问其实都是考察了一个圆周角相等，那他们对应的同乎也是相等的，其实这一个圆周角的考察在鞍山一模也会涉及到，在第一问倒角的时候， 后续呢，我们会把这个图给贴出来。鞍山一模也是考察了圆周角相等，嗯，很多同学就是卡在了圆周角，不知道去没看出来，所以导致那道题二十 一题的这个圆的题就卡住了。然后我们再来看一下二十一题，二十一题是反比例函数的实际应用啊，的一个相结合，那这里呢，也是存在一点扣分的点，也就是第一问 注意一定写的是小 f 与 l 之间的表达式，而不是 x 与 y， 所以 简单的来看这张试卷的一到二十一题的基础，但是细节点部分扣分的点也是挺多的，有很多的坑，比如 s 与 t 的 这个关系式， f 与 l 的 函数表达式，一定要注意 看清题目所求，那我们再来看一下后面的二十二十三题。二十二十三题，尽管是大连的一模考试，给他调换了位置，二十二题考察的这个二次函数的计算，二十三题考察的几何，但是无伤大雅。我们先来看二十二题， 二十二题呢，首先我们打眼一看，其实没有涉及到新定义，也没有分情况讨论问题，只是第一问还是很简单，涉及到计算。第二问呢，那么就是要把 d e 这个解析式表达出来，通过这个题目所给条件， d e 等于二分之一 b， d 啊，那这样去把这个 d e 的 这个解析式求出来，再去判断 a 是 否在这个直线上，一定要注意写清，当 x 等于负三时，哎，代入 y， 哎， y 等于通过计算啊，把你这个 d e 的 这个解析式算出来之后，把负三带进去看看 y 是 否等于零，然后再去说明啊， a 点这个点的纵坐标和算出来的这个纵坐标是不是相等，所以点 a 在 直线 d， e 上。第三题呢，这里占五分的分值， 这个也是比较简单的一个横平竖直的线段嘛，对吧？好，那我们在这简单标一下， m 其实是在这， p 点是在这，这是 q n g m p 和 q n g， 它其实是两条平行于 y 轴的线段，所以就是把它们的横坐标，纵坐标表示出来，嗯， pm 就是 它们的横纵坐标之差， q， n 这条线段其实就是它们的纵坐标之差。 e g 这条小线段呢，我们是通过勾股定律去把它表示出来， 所以对于大部分同学来说，嗯，计算情况较好的，那我们能够得到的是 x 一 与 x 二的这个数量关系是完全没有问题的，可能会在这个十二分里面会扣一到两分，嗯，就也就是关于这个 x 一 的取值范围。

只要这道题我不会，我一个字都不写。呃，这套叫二十三。我再跟大家说一个很可爱的事，自己回去看一看孩子下答题卡之后，大家一定要看一件事。还有什么事呢？您看看他答题卡二十二、二十三怎么答的？ 不是说他答的对错与否，而是看他二问三问有没有字。什么意思？有一批孩子，哎呀，太可爱了，我打初一就这么教育他们，但是一直教育了三年就不写。只要这道题我不会，我一个字都不写。 你要知道，中考中的确会有因为今年题目难易而产生的现象，导致了这道题会有一种东西叫可酌情给分。 写出来什么什么东西之后，我们允许酌情给分。是我想酌情，我酌哪啊？你那个卷白的，你给我个让我酌情的点好不？ 每一年中考都有方法分，有步骤分，有算出来某个数的分，但是你啥都没有。我真心话，把我的学生拎出来一半，你判他那个验草纸，我能给他加三分。他那个验草纸好多东西都是对的呀，我都恨不得给他验草纸撕了，但是没有用。所以您回去一定要看一下有多少，比如说这个几何的。第二问， 我倒角步骤都没有，我倒完角之后，倒角的东西我一个都不往上写的。那这道题沿用的是什么模型呢？沿用的是一个中位线的小棋子模型。哎， abj 直接在这截一条中位线上去。小棋子模型。整个题呢，我提供了六种做法，但六种做法里面呢，分为四大类， 因为我对一些题多解的概念跟有的老师不太一样，我感觉属于同类型的辅线，我就给他归大成一种就可以了啊。这道题的第三问，我还告诉大家，因为现在我看到有些孩子在听， 你们一定要记住一句话，辽宁省出题，因为有这样一个出题要求，你一道题你听到最后你只有一个解，或者只有两种方式，两到三种时间去解。你这道题出的不合格，有老师会骂你，暗戳戳的骂你，恨不得举报你，举报你，你出题人你背锅，你教员你背责， 他敢那么出呢？不，他不敢。所以他这道题同一道题，你像去年的辽宁省中考，能总结出来将近三十种做法，为什么我们要总结这些做法？我一定要留一条后路，那条后路叫什么？ 叫？这道题一定可以通过导度数解三角形硬记。而我想问问你们在座的同学们，自己问问你们班大神，这道题保准有人把它的具体度数给我干出来，而你们大多数同学没有， 你们根本都没想到，这题竟然会有具体度数。我还就跟你们说，正常这种题都会出具体度数来。我给大家提供个思路啊，连接 g e 则 g e 是 三角形， a 答 e 的 中位线， a g e 等边所有的具体度数都有。拿着这个回去就直接告诉孩子，你能不能照这个给我导出来。 这道题的原样模型来自于哪，大家可能都没看出来，右上角这道题我知道下边有学生，你们来告我说，右上角那道题哪来的？是哪年哪届哪一块出的？好样的，我听见你摸到了哈，好事，好事，特别好，你能认得这道题，你过关了？ 这俩题是完全同样的五题，这道题去年二零二五年大连市一模，你把这个拎出来问孩子，孩子告诉我说，这题我好像见过，但我记不住，那我想说，那这孩子可能有点事，是吧？ 这道题你们仔细去想一下，我如果沿用第二个的做法，我是不是应该在这建立个钟锤连接？ g h 是 不是等值里边凑了一个等幺，这个里面是直角里边凑了一个等幺，他无非就是把直角给他改成等值了而已吧。构建了一个二倍角，构建了一个绝配角，对不对？在右下角的部分呢，我拿出来一个非常有意思的东西，这个东西啊，正经几何我就直接圈了，我说这个东西来自于正经几何， 书也不我出的，我占人工不好啊。大连市教练员罗老师出品啊，我推荐。最后的一段时间，如果大家想要这个啊，图片的话，我尽量拍过去，因为几盒绝配角二倍角，您为这买一整本书不知道吗？ 啊，你要，要的话，我把绝配角这几张给您拍过去，也就四五页纸，我推荐你们在中考之前把绝配角做明白啊，因为无论如何，这个都还是一个重点知识内容。绝配角这几张纸啊，到最后可以管我要。

正常情况下的话，咱们二十二题是几何综合压轴题，二十三题是二次函数压轴，然后这次的话大连出题是把二次函数放在前边的，然后把几何放在后边的，所以说这个是第一个题型上的变化，另外一个题型上的变化的话就是这个圆。正常情况下的话，咱们说中考当中圆都是第几题， 是不都是第二十一题，他把这个圆的话是放在的二十题的位置，这次大连一模数学的话，二十题圆，然后二十二题考的是二次函数，是三题考察的几何压轴。为什么说大连这次 出题难度要比中考题难度要简单？你可以看一下他前面选择填空，选择题的话是第十题压轴，填空题是第十五题 压轴，这个第十题话他出的是动态的函数图像问题，但是的话这个动态函数图像并没有非常的难。十五题的话，其实变成省统考之后，将叫以前就省统考之前，但是也 做不到，就是说百分之一百所有同学都能够把这道题目是给他做出来的。大连的这个十五题做的话，说句实话，我不能说百分之一百吧，但是的话百分之九十的孩子能做出来这道题 基本上就已经差不多了，因为这个十五题确实是出的非常简单。做前边的时候，我还以为大连老师出题一百性的把这个试卷出的特别的简单，然后等到做到后边的，做到二十二题跟二十三题的时候，二十二题这个二次函数题的话，它比较简单，它的难点在哪？就是在计算这块，它这个计算量的话会稍微大一些， 所以说需要咱们家孩子在做计算的时候呢，一定要静下心来去做一下，太着急的话大概率你这个答案可能是错误的，你得需要去进行一个二次业算，这样的话会比较耽误时间。等到做到二十三题这个几何题的话，会发现这个几何题的难度的话，它是比较大的。咱们家孩子去做这个大连一模数学试卷的时候， 你会发现前边的一到二十二题可能会做的非常的快，可能会在这个二十三题上面去耗费过多的这个时间啊。第一个问正全等话还行，然后正九十度也倒还好，主要是这个二十三题的这个圈二跟圈三会稍微有点难，他所考察的这个综合点是比较多的，特别是这个圈三，他的这个方法有很多 多种，包括可能大家在网上应该也看到了点题方法的话有很多，哎，有难的有简单的，最简单的话肯定还是导角导出，它是三十度的特殊角，证明方法的话是最简单。整体来看的话，其实我觉得还是大家可以去做一下大连的一模试卷，因为它虽然说简单吧，但是的话也就通过简单这个程度更加能够检测 测出来咱们家孩子基础知识部分他是不是过关的，在哪个知识点或者说题型上边出现问题的话，咱们可以去进行一下专项训练。然后大连这次出题的话，也是他没有去把这个三角函数去出大题，跟咱们去年省统考中考真题卷是一样的，都是以小题的 形式进行的，这边建议的话就是还是三角函数的大体的话咱们也练几道，别彻底就是放弃，万一今年就改回来了，三角函数又出大体了，你要是一点都不练的话就有点吃亏了，大体小题的话都对应去练一下就行。说有需要大连这个一模试卷的家长您可以在评论区里边冲我要一下。

好，我们来学习一下二六年西城一模的小函数。综合我们来看题，他说是经过负一逗号三和一个二，逗号零，那求 k 跟 b， 那 肯定就连立方程组 k 负一， b 等于二， 这个很简单，只要咱们计算没有问题，就可以看第二个 x 大 于负一的时候。所以咱们首先是要做直角坐标系，把它的连接值那个坐标先画出来， 画上这根线以后，因为它是大于负一，咱们就画了一个向右的箭头，既大于 y 等于 k 加 b， 是 负 x 加二。这个咱们画的时候精细一点，你比如说 x 等 y 等于零的时候， x 等于什么呀？等于 二对不对？ x 等于零的时候， y 是 不是等于二啊？那当 y， 当这个 y 等于零的时候， x 呢？ x 的 时候应该是取二，所以这个时候咱们就能把 y 等于负， x 加二这个 数，它一是一样的， x 等于零的时候， y 是 等于二，所以零的和二。 另外一个，那咱们肯定哪个方面计算哪个？那 x 等于四的时候，应该 y 等于一，应该经过四等号一这个点，所以咱们确定了 y 等于负四分之一， x 加二的函数值，函数图像， 而且你要把它都标上，因为题目，到时候你考试的时候，你的草稿在哪？你的草稿在草稿纸上或者试卷的旁边，你不可能再去一直对应的题目，所以为什么让你画箭头？ ok， 他 说了 m， x 加四， m 在 哪？同学们， m 是 不是在 k 的 值上面？那 k 的 值上面第一个是考什么？ 考平行，第一个是考香蕉。那我们来看一下，首先咱们肯定是要根据四十五度初值值来计算，因为它加四 b 等于四，所以它横过了一个四的这个点，横过一个四到二的点。 要想比他俩高，比他俩大，是不是外值肯定是大呀？所以因为他们俩的外值都是小的，所以怎么只能一直转？首先第一步可以转哪？ 是不是转到这了？转到这时候什么情况？这个时候这个 k 是 不是跟这个负的四分之一 x 加二平行？平行的时候你看 满足不满足提议是不是？满足啊？因为这个值，他的外值是不是比这两个焦点的值都要怎么样？大，对不对？而且他平行，我是横比你大，是不是横比他大？所以他是满足提议的。那满足提议以后，咱们来判断一下还能不能再往下了，也就是说 这条线还能再往下转？不可以。为什么？因为再往下转，他两个就可能会相交，相交的话他就会比他小。 mx 加四就会比咱们说的负四分之一 x 加二会小，只要相交就会小，所以他这个时候这是最小值， 咱们写上最小值就是负的四分之一。那继续吧。那就看看能不能往上转吧，还是这根线。 那我转转转，我在最多转到哪？同学们，是不是转到与他交点？因为他横过零到二四，是不是最多就转到这了？ 因为你再往上转怎么样？我觉得怎么样？是比这个负 x 加二小了，所以再转，再转最大，最大，我就只能转到与负 x 加二的交点，而且这个时候这就是最大值，这就是最大值。因为你再往上转怎么样？ 是不是不行了就会漏出来？漏出来以后我就比他小，那怎么算小点？那横坐标负一，纵坐标带入进去，咱们可以算出来纵坐标是三，这个时候咱们带进去以后，带入到圆式里边， y 等于 m 加四，算出来 m 是 一，所以他的最大值就是 一。这个时候咱们确定一下，那取一等，因为他条件里边不带等号，结果是带等号，为什么？因为咱们算的是以负一为零点，那其实最后 取的时候是什么呀？不包含负一负一的右边，所以说肯定是比负一大的，这个时候咱们是带等于号，所以 m 是 大于等于负的四分之一，小于等于一。嗯，老师还要提提示一点，就是这个 k 他是怎么样不等于零的？ k 不 等于零，那你只要这个 k 里边他把这个零包含掉了，所以你一定写什么呀？写 m 不 等于零，那这道题才拿满分。好吧，那咱们把这个步骤再回顾一遍。一， 咱们建立平面直角坐标系以后，同一大，还是用尺子零点五厘米画出临界值，方向箭头。第三， 你要用铅笔把这个图像画准，才能去直观一点，因为有些行图像他挨的很近，你不好判断，咱们画准以后他自己转吗？第四，一定是出，是指你比如说你说求的 k， 咱们就是四十五度，你比如说求的 b， 那 咱们就说零 开始，明白了吗？同学们？第五，转化不等式一定要合理。三点，当你觉得你合适了以后，首先你要确认第一点，你是否有个提议，是否满足人家说的是大还是小。 第二，你看还能不能再往上或者再往下确定临界值。第三就是找到是否渠道怎么选，就是看他大于还是小于， 带不带等号，基本上他不带等号，咱们就带等号，他要带等号，那咱就不能带等号。为什么？因为他能取到那个值，咱要是带等号，那这个值就会相等，就不满足大于或者小于这个条件了。 第六也是一件强调一点 k 的 取值范围，如果它包含零的话，一定要注明起 m 不 等于零。最后一个就是第一个， 咱们要计算的准确一些，因为第二问都是以第一问的结论来开始画图的。好，那这道题很简单，就给大家分享到这。

大家好，我是学大教育管委会校区的数学老师甜甜，今天和大家一起说一下刚考完试的大连市一模。 我们先来说一下前面的基础题，一到二十一题，整体的难度是适中的，不是很难，但是有几个点我们需要注意一下，比如说第十题，我们近几年不怎么考，但是今年考了，是往年大连市考察的动点问题，与二次函数图像结合， 然后再看一下十七题，它是有一个易错点的，第二问要求结果保留整数，但是这个不是常规的四舍五入就可以，我们需要结合实际问题去看，所以说它的答案是三千三百三十四。 基础题当中的十九题考察了意思函数的图像问题，那么需要同学认真审题，也有一些啊易错点，尤其是第二问，让求的是 y 与 x 之间的函数解析式，那么可能会扣一些分数。 二十题的位置考了圆，那么第一问在证明的时候，大家需要注意一下，利用圆心角去证明，或者是全等。看一下基础题的最后一题。二十一题考察了反比例函数的实际问题， 那么这道题难度不大，但侧重于学生们的计算，计算量比较大。我们来说一下后两道压轴题，那么这一今年的一模把二十二题和二十三题的这个常规的考察顺序改变了一下。二十二题考察的是二次函数， 那么二次函数的第一问，第二问比较常规，第三问也比较简单，主要考察了是牵垂线段长以及斜着的线段，我们用化纤为直的思想去求。 第三问，虽然难度不大，但是他更加考察的是学生用含字母的式子进行计算，还是考察计算能力。最终的那个直接写出 x 一 的取值范围，这块的是易错点，因为他涉及到的细节比较多，大家还是需要注意。 最后一题，二十三题几何综合，那第一问比较简单，第二问的圈一也比较简单，只是涉及一个倒角。二三问分别考察了终点问题。我们遇到终点问题一共有四类，一个是直角三角形、斜边中线、 倍长中线等腰三角形，三线合一以及中位线，那么这道题考察的是三线合一以及中位线的构造，比较简单。但是这块需要注意一下，近两年我们的试题更侧重于是导角度，那么当同学们没有思路的时候，可以尝试着通过题干当中的条件导一导角度。 圈三考察的是倒角以及结三角形。那么整套试卷看下来之后，大家可以在接下来的备考过程当中有几个特征点，比如说动点问题，虽然历届我们不常考，但是我看了一下今年的沈阳的一些区的模考卷子，也会有动点的影子，那我们是一模的第十题也出现了， 大家可以稍微关注一下。说一下后两道压轴题是二次函数和几何，我觉得二次函数今年的一模更侧重考察的是函数本身的性质问题，不是我们常见的一些什么题型和模型，所以大家要关注一下二次函数的性质。 几何也是除了终点问题之外，它还涉及到了倒角，那么可以练一练二倍角啊，绝配角啊等角度相关的几何题， 二十二题和二十三题，这两个题目考察的题型相信大家都比较熟悉，尤其是学生们，在老师讲完之后都会有一种恍然大悟的感觉，那么自己在考场上就是缺乏思路，缺乏经验。那主要的原因是可能平时我们在做练习的时候，都是以专题的形式去进行的， 但是考场上并不会给你这个题目考察的内容是什么，需要孩子自主的判断题目考察的类型，找到相应的方法。那么建议大家接下来的学习当中将题型打乱，进行综合练习。

咱们先来说一说函数中的线段，一般在一个函数题中给你线段的条件，或者让你去求一个线段呢？一般会有这么几种情况啊，要么长度有关的，要么线段最值有关的，要么是给你线段的关系让你求坐标啊，诸如此类。 那么不管是哪种线段让你去处理，有一个基本的思路大家要先明确，因为我们面对的是函数中的线段， 那么函数是由什么组成的？函数是不是有点坐标组成的，有点坐标组成的，而你会发现点坐标跟我们的线段也是存在关联的。所以函数中的线段有一个很基本的思路，就是你把它的端点坐标搞出来，然后试着去干啥呢？ 试着去表示线段，这个表示是核心啊，给你函数中的线段，你先尝试能不能表示，这个表示的大方向。有了以后，那么具体在题目中怎么去表示线段呢？那么咱们从易到难说起啊， 坐标系中我们最喜欢的线段长啥样呢？最喜欢的就是那些横平竖直的线段，就是平行于 x 轴、 y 轴的线段。 比如说给你一个线段 a、 b， 或者给你一个线段 c、 d， 看到这样的线段，怎么表示，怎么表示它的长度呢？哎，你会发现，这个横线的长度其实就相当于两个端点的横坐标差啊， x b 减 x a， 那 么竖线的长度呢，就相当于两个端点的纵坐标的差啊，你用上面的减去下面的 y c， 减去 y d， 坐标差，就能表示出横竖线段的长度。那么稍微注意一个小细节就是，有的时候呢，图中给你的这个端点位置呢，是不确定的，比如说这里面，比如 b 或者 a 是 个动点， 那么 b 在 a 的 左边还是右边呢，你就不确定了。所以严谨起见呢，应该给他加上绝对值啊，加上绝对值，这个竖线长度同样如此啊，给他加上绝对值。总之啊，就是看到横竖线段的时候，横竖线段它其实就相当于是坐标的差， 这个坐标差得线段长的过程中，注意绝对值，这是最简单的线段啊。那这种你知道了以后呢？ 我们也知道，不是说所有题都是这么简单的线段，有时候呢，确实会看到斜着的线段，斜着的线段怎么表示呢？比如说，这有一个线段 e、 f， 斜着的线段怎么表示呢？先说简单的，最简单的情况就是你发现斜着的线段，两个端点坐标都很简单，比如说啊，随便举个例子， e 点是个已知点， f 点呢？哎，我们知道他在一个一次函数上运动啊，比如说他的坐标是啥呢？他的坐标是 t， 逗号， t 减五， 我随便来的啊。这你发现两个点的坐标很简单的时候，这个斜线的长度也就很容易表示了，直接带一个两点间距离公式就行了啊，横坐标的叉， t 减 e 的 方， 加上纵坐标的差， t 减五，再减五的平方，利用这个两点间距离公式，我就能表示出这个线段的长度啊。所以比较简单的斜线可以直接上公式， x 一 减 x 二的方，加 y 一 减 y 二的方， 这是坐标系中的斜线。但是啊，我们要知道，有的时候它给你的点坐标会比较复杂， 或者更有甚者，这一两个点的坐标，你是压根搞不出来，斜线的坐标你不好搞，或者搞不出来，那这时候还可以怎么去表示这个斜线呢？我们说还有一种思路，就是你可以把这个斜线转化一下，把这个斜线转化一下。 那我想问一下大家，那你说要转化一条斜线，我们应该有个目标，有个方向，你把斜线转化成什么样的线段， 他就好算了，你会发现我们如果能把斜线转化成横线或者竖线，尤其是竖线，那么这个问题就会简单很多。因为我们刚刚说了，如果是个竖线的话，你直接上减下纵，坐标差就可以表示长度了， 对不对？横线的也会比较简单，但是你完了可以自己试一下横线，竖线都能转化的时候，通常竖线一定会更容易啊，我这就不多解释为啥了， 总之你知道斜线有个转化方向，就是转化成横竖线，最好是竖线，最好是竖线。我来给大家举个例子啊，要转化 我们就简单写了啊，转化竖线我们来举个例子啊，比方说，比方说现在呢，我告诉你，有一个直线 y 等于啥呀？ y 等于负的四分之三， x 加一个六，负的四分之三， x 加一个六，那么这个表达式有了，你就相当于知道了这两条线段是六和八。来，那各位 现在如果给了你这样的一节红色线段，让你去表示，你可以怎么表示呢？我们就可以想着先把它转化成竖线，哎，你会发现这条线段啊，它是很容易找到跟竖线的关系，怎么找呢？ 我们可以先尝试把它放进有竖线的三角形，有竖线的怎么放呢？你就直接过端点，你去做个竖线， 你是不是就把这个斜着的红线放到这个红直角三角形了？这叫做放进有横竖线的三角形，而你只要放进去，你就会发现，哎，原本的这个斜线他跟竖线就产生关系了。 怎么产生的呢？小红和这个大的六八十的三角形它是相似的，所以这个小三角形的边长比就是多少呀，大的六八十，小的呢，是不是就是三比四 比五？那么你要表示的相当于就是个五 a 嘛，那这个五 a 是 不是就可以找到它跟跟这个竖线三 a 的 关系？你五 a 不好表示，三 a 总好表示吧，那这个斜线我就给它转化成横竖线了，大家体会一下这个过程的想法啊， 我看到一个斜着的问号，线段不好表示，斜着的这条线段不好表示，我想要转化，怎么转化呢？我给他做竖线，放到有横竖线的三角形里，放到这样的三角形以后呢，你会发现你很容易就能找到啥呢？相似或者三角函数， 哎，利用这个相似三角函数，哎，我就找到他跟竖线的关联了。所以啊，这里注意这个画斜线为竖线的思路啊，怎么画的呢？放进有竖线的三角形 看相似或者三角函数，这是转化单一线段啊。那么其实我们还可以利用这种放进有横竖线三角形的思路呢，去转化比例啊，转化比例。来，我给大家随便画个例子啊，比如说， 比如说啊，现在呢，有 l 一 l 二两个依次函数，我把这个 l 二画的斜一点啊，不然总以为是个横线，现在呢，有可能会出现一些题，让你求啥呢？它可能会让你去求这里面 a e 和 e b 的 比例啊，它让你求 a e 比 e b， 求 两条斜线的比。那我们知道斜线的话，你直接表示就不好表示啊，最次也得带个公式，所以这时候就有一个想法，是啥呢？我可以把这个斜着的比例转化成横竖线的比例， 转化成横竖线的比例，怎么转呢？跟刚刚一样，你就想着把这个斜线放到有竖线的三角形，怎么放？直接做个竖线就好了，朋友们，直接做个竖线就好了， 比如说你过 b， 直接做个数值的线，得到一个 b m， 你 过 a， 同时也做一个竖线，得到一个 a n， 那 你会发现你就得到啥了， 是不是得到这两个小三角形是一个八字相似，哎，那八字相似里面，我的斜线比就是什么我的 a e 和 e b 的 比就等于啥了，是不是就变成了竖线？ a n 和竖线 b m 的 比 是不是也是通过把斜线放到有竖线的三角形，放到这个三角形以后，哎，我就有办法去转化这个斜线的比例了，所以注意这个放进三角形，通过相似三角函数转化线段的思路。 那到这呢，就给大家把函数中线段的处理思路梳理完了啊，我们最后总结一下啊，以后看到函数中的线段，你要有一个整体思路，就是要用点去表示线，这个表示是关键啊， 要用点去表示这个线怎么表示呢？最简单的是什么？最简单的就是横竖线， 横竖线直接就可以变成坐标的差，这是最容易的。然后再接下来呢，我们还会遇到斜线，斜线最简单的呢，直接带什么就行了？直接带两点间距离公式就行了。两点间距离公式啊，根号下横坐标差的平方 加上纵坐标差的平方好，那如果是带公式不好算， 或者压根就不知道坐标不好表示的线段，该怎么办呢？我们要想到去给他转化，转化最好转化成什么样的线段呀？ 最好给他转化成竖线段，因为竖线段你用咱们坐标差的方式很容易得长度，那么这就是坐标系一种线段处理的基本思路。那么有一个说法叫做画斜为直啊，这个画斜为直就是咱们刚刚说的这个斜线转化。横竖线 斜就是倾斜的线段啊，直就是横平竖直的线，这个 b 就是 大家熟悉的画斜位置。第一题是比较容易的已知抛物线，已知了直线 b c、 p 在 四象线的抛物线上做垂直， 垂足是 d， 跟 bc 交于点 e。 现在呢，他给了这个红线黄线之间的一个比例关系，让我们求 m 的 值， m 就是 点 d 的 横坐标。 你看这个题就是给了一个线段的关系，给了线段的关系，我们的思路就是表示他。那么这里我会讲两种思路啊，一种就是直接干啊，直接硬表示也不难。然后呢，还有一种呢，就是可以把不好表示的斜线 稍微转化一下。先说第一种啊，直接表示，那么我想表示这里面的线段啊，那你会发现我肯定需要有什么呢？需要有点的坐标啊，比如说表示 p e 的 长度，它是竖线。竖线是什么呀？竖线就是上面的 y 减去下面的 y， 所以 我是不是需要有 p e 两个点的纵坐标， 然后接下来 b， e 是 个斜线，那这个斜线的话呢，它可以用两点间距离公式表示，那我是不是同时也需要 b 和 e 的 坐标？就所以你要表示这个线段呢？首先肯定是搞坐标，那这里面 b 已知了 e， p 坐标怎么来呢？我会发现它俩呢？ 什么坐标已经有了？它俩的横坐标是不是跟 d 是 一样的呀？啊，相当于横坐标已经有了， 那纵坐标怎么来呢？是不是直接带到对应的函数表达式就行了？ p 点 x 等于 m， 带进这里面就有了坐标了。 e 点 x 等于 m， 带到依次函数，也就有了坐标了啊。所以这里面很容易得到 pe， 而有了 pe 的 坐标以后，线段长就很好表示了，比如说这条竖线的长度，竖线就是纵坐标的差，上减下啊，二分之一 m 减二， 减去，二分之一 m 方减去。这个式子啊，我不念了，这是 p e 的 表达式，那么整理一下的话， p e 就 可以整理成一个负的二分之一 m 方， 加上一个二 m， 你 把这化简一下，合并一下同类项就有了。这是竖线，很简单，上减下，然后再接下来这个斜线。斜线怎么表示呢？我们说斜线是不是有两点间距离公式，所以呢，我的 b e 也能直接得， 就是根号下横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，这一坨减个零 就是二分之一 m 减二的平方。你会发现我能把线段长表示出来，那么有他俩的关系是， 那我是不是只要把这两个货带入进去就可以解放成了？这是最直白的思路，就是上来以后你就想着直接去表示，反正表的试起来都不复杂啊，你就直接干，这个思路肯定没毛病啊，你 这个往下算就拿到满分了啊，没啥难的。但是呢，我想通过这道题给大家说一下斜线的另一种处理思路。我们说斜线还可以想着去转化，转化成横竖线，那么这里怎么转化呢？ 你会发现竖线 p e 的 长已经不用你纠结了，竖线 p e 的 长已经有了，所以接下来呢，就算需要转化，你也只是要考虑一个 b e。 而我们刚刚说转化这种斜线毕页要放到什么样的三角形呢？是不是要放到这种有横竖线的三角形里？有横竖线的三角形里， 所以呢，我就把它放到这个红直角三角形里想办法。而你只要放进这个三角形了，只要放到这样的三角形了，你会很容易看到有什么关系？这个红直角三角形存在什么关系？它是不是存在一个 a 字相似的关系？ 当然，你也可以认为是啥呢？你也可以认为是红三角形里的 alpha， 同时在蓝色直角三角形里， alpha 的 三角函数。知道了这里 alpha 的 三角函数跟两个三角形相似，效果等价 理解成哪个都行。而你忽然有了这个相似以后，大蓝三角形的边长我是知道的。 哎，那所以呢，根据相似小红三角形的边长比，我也就知道了， 小红三角形肯定也是一比二比根号五，你看二四二倍根号五，一比二比根号五，小红也是一比二比根号五，那斜线占根五份，我就能把它转化成谁？斜线占根五份，是不是就能转化成这个小竖线 d e 的 根五倍了？这个逻辑详细的写出来，就是我通过把 b e 放到这个有横竖线的小三角形，横竖我用首字母 h s 代替了啊，放到这个有横竖线的三角形里，那么我就得到了一组相似， 而借助这组相似，我就得到了 b e 其实就等于根五倍的 d e。 你这个 b e， 这是个斜线对不对？那我是不是把这个斜线就转化成了一条竖线？那这个竖线的表示，那就是直接瞪眼瞪出来的， 是不是就比你直接代公式要简单？好，咱们把它操作完啊。竖线这一节有了，接下来你会发现我得到它是根五 d e 以后带进来，带进来会发现就得到了 p e 等于二分之五倍的 d e。 你把根五 d e 带到 b e 里面， p e 就 等于二分之五 d e， p e 是 有的，你再表示个 d e 就 行了，那 d e 的 长度都不用费心想 d 点纵坐标减去一点纵坐标，直接等于二减二分之一 m， 二减二分之一 m 啊。所以这时候方程就得出来了， p e 等于二分之五 d e， p e 是 啥呀？这个式子负的二分之一 m 方加二 m d e 呢？二减二分之一 m， 这不比刚刚那个方程看着舒服吗？你就解这个方程就行了，这就是个一元二次方程啊。这个一元二次方程呢？你可以把它化成一般式以后可以解出一个二分之五，一个四解出二分之五四。 那么注意干啥？注意取舍吗？你算出来地点的横左边是四，那不就跟 b 重合了， b 重合了，那 b e、 e、 p 都不存在了，这个比例关系也就不成立了。所以把四舍掉，最后就一个答案 好了。这是这个题的处理思路啊。其实这就是最简单的函数中的线段题，他给了你一个很明确的线段关系，你只要想着去表示就解决了。 只不过咱们讲了两种表示方式，一种是直接代公式去表示斜线 b e， 用两点间距离公式。还有一种呢，就是刚刚这一套操作， 相当于是通过化协为值，把不好表示的斜线 b e 转化成了很容易表示的竖线 b e 简化的问题。那么在这道题中呢，你可能还觉得这个转化的意义不会特别大，因为它节约计算量，节约的也很有限啊。但是注意，在一些比较复杂的题中， 你会发现，那个斜线表示起来就会很麻烦，甚至就表示不了。那么这时候这个化邪为直的思路就非常重要了。这道题的题目我给大家简单说一下，还是已知了一个抛物线，然后呢，在 y 轴上找了一个零三的点 d， 把负四零和点 d 一 连呢，做出来个 a f 直线表达式，我也送你了。现在呢，他说这个点 p 在 线段 a o 上动，做了个竖线， 抛物线交于了 q， 直线交于了 e， 然后他搁这做了个什么呢？他搁这做了个 q e q f 相等的等腰三角形， 做了个 q e q f 相等的等腰三角形。现在呢，问我们这个等腰三角形周长的最大值，那么你看到求一个周长的最大值啊。所以呢，你还是回归函数题的基本思路， 函数题里面，不管是求啥最值，你的想法都是先去表示它，去表示它，那么你会发现这个三角形呢，它其实就是圈圈叉三条边的和，这个周长就是三条边的和吗？而这三条边里面， 我们会发现， q e 等于 q f， 其实相当于就是一条竖线， q e 竖线是很容易表示的，对吧？所以呢，这里面 q e 没啥难度，相当于 q f 也就有了 两倍 q e。 然后接下来呢，关键在于谁呢？关键在于这个斜线 ef， 竖线没压力斜线， 我们需要想明白怎么表示，而抢这个斜线的时候呢，你会发现，哎，这个斜线呢，一种想法就是看他的 两点坐标，直接带这个两点间距离公式，那你后面这时候呢，一点坐标，一点坐标呢？你可以设，因为他跟 p q 两个点的横坐标是一样的啊， 所以一点呢，本身就得设，他好说，但是你会发现这个 f 点 f 点，那你就不得不另外搞一个 坐标了，另外设一个坐标，那你说你 e f 两个坐标设出来的线段，那表示出来也没有意义，未知数太多了，所以这就是咱们说的那种不好表示的斜线，那这时候的想法是啥呢？ 不好表示的斜线，那你就要转化它嘛，对不对？所以接下来的想法是转化我的 e f， 最好转化成什么呢？最好给它转化成竖线。怎么转化？你要转化你就要找关系，那你首先得把它放到一个三角形里去， 而且最好是什么样的三角形，有横竖线的嘛，对吧？那这时候选择就非常的明确了， 你说你要转化 e f， 肯定在哪个三角形里玩？他正正好好就在一个很特殊的还有竖线的三角形里嘛，所以肯定在这个绿三角形里玩，而他的绿三角形，他又是等腰三角形的底边。 等腰三角形的底边，各位想到了什么？等腰三角形的底边，那我们是不是可以想着做三线合一啊？这是等腰的基本处理思路嘛。好，做个三线合一， 做完了以后，哎，你就变成了需要转化两个小勾线段了。好了，那小勾线段怎么转嘞？小勾就在这样的一个直角三角形里，这个直角三角形能看出什么特征？你会发现它里面的角呀， 是容易倒的，而阿尔法跟这个角是互余的，阿尔法跟这个角显然也互余，所以这两个角是贝塔。 好了，看出啥了？有没有发现咱们的这个小红三角形啊？他又跟一个已知的直角三角形相似了呀？ 是不是 b 点坐标知道， a 点坐标知道，这个蓝三角形就是一个三四五的直角三角形，哎，我的小红跟小蓝又相似了，他俩相似了以后，小红的边长比是不是也是三比四比五呀？ 对不对？也是三比四比五。哎，那这时候呢？这个比例关系如果不好想的话，我可以设一下，就是三 a、 四 a 和五 a， 这边是三四五等腰三角形嘛，那这边是不是就是五 a？ 这边是不是也是三 a？ 我 就用这个 a 把所有的边都表示出来了。那各位，你说这时候我能不能让 e f 转化成竖线呀？你发现 e f 的 长度是六 a， 这个六 a 跟我的竖线五 a 是 同一个字母呀，所以斜线跟竖线的关系找到了就能转化了，写出来就是你会发现周长它就相当于是二乘五 a 加了六 a 等于十六 a， 我的不好转化的 ef 跟我的 q e 都用 a 表示出来了，那我现在想要求周长的最大值，那我是不是就是求 a 的 最大值， 求 a 的 最大值，那你看看这里面哪个 a 的 最大值最好求呢？那我们会发现这里面竖线 q e 就是 五个 a， 竖线的长度最好表示最值最好求， 所以我就把 e f 相当于转化成了我的 q e 去搞定 q e 问题就结束了。又是放三角形画斜位置，不过这次因为放的是一个等腰三角形， 所以多了一步三线合一，其实就是做了个三线合一，找到个相似，那么这个等腰三角形的边长比就可以得到了。有了边长比，那你发现求周长就变成了求 a 的 最小值， 那 a 里面最简单的是 q e， 所以 你求 q e 就 ok 了，就是这么个逻辑啊，那么咱们把它写清楚点，其实就是周长十六 a， q e 等于 五 a， 我 只要去求出 q e 的 最大值就可以了。那这就进入一个新的问题了啊，转化完了以后，求 q e 的 最大值来 q e 的 最大值，大家会不会求求这颗竖线的最大值？竖线，那我就表示它嘛， 那 e 点 q 点的坐标就得到了， e 点的坐标也就得到了 坐标。有了以后， q e 的 长度是不是就能算出来，是不是就是纵坐标的差上减下？ 所以呢，写一下负的二分之一 t 方减 t 再加四，减去啥呢？减去这个四分之三 t 再加上一个三， 这个线段你表示出来就是负的二分之一， t 方减了一个四分之七， t 再加一，它的线段表达式就长这样。那我要求 q e 的 最大值。先不要管这个答案啊，我要求 q e 的 最大值，那不就是求这个式子的最大值吗？ 各位，这个式子咋求最大值？ q e 是 一个关于 t 的 啥呀？二次式怎么求它的最大值？配方呗，对不对？你给他配方呗。配完方了以后，你会发现，当 t 等于负的四分之七的时候，我的 q e 最大值就是三十二分之八十一。配方求最值 这块就很简单啊，一看到是竖线求最值，设坐标表示长度，表示完了，通常是个二次式，二次式配方求最值就解决了。那这个求完了，我相当于是得到了五 a 的 最大值 等于一个三十二分之八十一。那各位， a 的 最大值是不是就有了 a 的 最大值？你把五除过来，是不是一百六分之八十一带进去，周长最大值十分之八十一就搞定了。讲完了啊，总结一下就是两个环节，第一个环节，发现这个三角形的周长有一个斜线，不好表示， 所以呢，咱们想到了通过做三线合一，倒角得相似化斜位置啊，倒角得相似化斜位置。所以第一步的关键在于化斜为值的这个转化。而第二步呢，转变成了求一个 q e 的 最值。 q e 的 最值就简单了， 直接设坐标表示就行了，表示完了以后就是一个关于 t 的 二次式，二次式求最值配方就完事。 那么通过这两道题，就带大家感受了一下线段的基本处理思路啊。最后呢，我们再强调一下，你在坐标系中只要看到线段，不管是长度最直还是线段的关系式， 我们都要想到干什么？基本思路就是用点坐标去表示，他可以怎么表示呢？最简单的就是横竖线段直接坐标差，然后再接下来呢，稍微麻烦一点的就是斜线，那么斜线第一反应会想什么呀？ 第一反应会想到用公式，两点间距离公式，如果用它能直接秒也很快乐，但是如果直接秒不了，那这时候就要想着干啥呢？想着去转化，最好是转化为什么？最好是转化为 竖线，这里怎么转化的？注意一下这个思路啊，我们每次想要转化一条斜线，都是先把它放到什么样的三角形，是不是把这个斜线放进有横竖线的 三角形？有横竖线的三角形，最简单的情况就是直接有，比如刚刚做的两道题，都是直接能看到有横竖线的三角形，难一点的，你就得自己主动去做竖线啊，主动去 做竖线，一般做竖线啊，其实做横线理论上也可以啊，一般做竖线会简单一些，主动做竖线，你就能通过 三角函数和相似化切为零了。我们有时候会在函数题中看到已知了一个三角形四边形的面积，或者已知了两个图形的面积关系，或者让你求一个面积的最值，甭管是哪种情况，这些面积的题基本的思路就是一句话，把 面积转化成线段，你要想办法把面积的问题转化成线段的问题， 那么接下来就能用刚刚的思路设坐标表示线段来解决了，这是大方向，面积要转化成线段，那么怎么去转化呢？ s 转化，线段怎么转化呢？通常是两大类思路。 第一类思路呢，就是直接代公式，代公式，比如说，哎，有的面积我直接二分之一底层高，二分之一底层高就变成线段的关系式了。然后呢，再比如说，有的面积底层高不好用啊，比如说三边都斜的面积。 三角形三边都斜。有一个公式叫啥？是不是三角形面积等于二分之一，乘以水平宽， 乘以千锤高。这是第一种思路，就是你看到一个面积，你看能不能用底层高 把它表示出来，能不能用水平宽千锤高把它表示出来。表示完了，面积的条件就变成线段的条件了，你就能用前面的你已经熟悉的思路去解决了。 这是第一种思路，咱们今天就不讲了。为啥呢？因为二分之一底层高，这对大家而言毫无难点。 而第二个呢，你知道这个公式就非常 easy， 你 不知道公式的话，我得搁这讲半个小时。公式怎么推的，我觉得就太浪费时间了。 如果你不知道这个公式，如果知道就罢了。如果你不知道是这啊，不知道这个公式，你到马哥主页，你到他的主页搜一个视频，他有一个 函数的六讲六练，就在他首页，你往下翻一翻也找到了啊。或者搜一下函数六讲六练， 他这个六讲六练里面第一个题讲的就是水平关千锤高的，你到他主页去看那个视频就会了，我这就不再去重新讲了啊。这种思路是比较直白的，面积代公式一表示转化成线段再去处理就行了。接下来第二种思路呢？ 第二种思路就是借助面积的转化，借助面积的转化，把面积直接变成线段的关系，把面积的关系直接变成线段的关系啊，来这块呢，我给大家展开说一下啊， 怎么转化呢？面积转化有哪些方式？朋友们来一块看啊，其实大家很熟啊，有三种思路，第一种， 你看到这样的 s 一 和 s 二来，那我请问你，求 s 一 比 s 二可以转化为求什么？ 你发现这两个 s 一 s 二呢？高是相同的，同高三角形底边比等于面积比，所以 s 一 比 s 二就等于 bc 比 cd。 这是面积转化的第一种思路啊，面积比等于底边比。然后接下来第二种啊， 比方说，我现在告诉你说，这个蓝三角形和这个红三角形底相同，面积相等，这两个三角形底相同，面积相等。各位要想到什么， a、 b、 c、 d 底相同，面积相等，是不是就可以得到直线 bc 和直线 a、 d 是 平行线，这个其实是大家小时候学过的拉窗帘对不对？ 因为平行线的存在，两个三角形高是相等的，底又相同，所以面积相等，反过来已知了三角形面积相等啊， s 三角形 abc 等于 s 三角形 dbc。 那么由这个等面积，我就可以推出啥呀？可以推出这个图中存在平行线，这个是利用平行线的等面积关系，然后呢，这里要注意啊，这个二呢，它有一个变形。 各位，如果我告诉你 s 一 等于 s 二，你能得什么？写错了啊，平行 a、 d 平行 bc， 抱歉啊，如果我告诉你 s 一 等于 s 二，你能得到啥呢？来注意啊， 这个 s 一 等于 s 二，同样可以得到平行线，同样可以得到平行线，这个是咋得的呢？其实就是让 s 一 s 二 都补个 s 三， s 一 加 s 三也就等于了 s 二加 s 三，那你会发现这幅图就变成了跟前面这幅图一码事了。告诉你， s 一 等于 s 二，你一连就变成了一加三等于二加三，这两块面积加起来也相等， 所以呢，跟前面一样的道理就能正出平行线，这个就是大家小时候学过的蝴蝶等面积啊， 蝴蝶等面积，那这里一定要注意这个蝴蝶等面积，蝴蝶等面积其实就是平行线的变形啊，所以注意这样的等面积也能得平行。那这些呢，是相对而言，大家可能课本里面没有直接提过的啊，这两个是课本里面没有直说， 但是很容易自己悟到的。然后呢，最后还有一个就是课本里直接提过的，如果看到相似三角形面积比相当于什么的比，相似三角形面积比相当于啥？相似比的平方，对吧？所以呢，还有一种呢，就是相似三角形，我写在这个角落啊， 那么这三个就是咱们转化面积的常见思路，以后转化面积你就想底边比面积比，想平行线等面积以及蝴蝶等面积，还有一个呢，就是相似，各位一起来瞅一下啊。抛物线已知依次函数已知 d 在 异象线抛物线上动，那你会发现 d 动的过程中你的一点肯定也在动，然后呢，动着动着给了两个面积求面积比的最大值。首先我们知道看到面积基本思路是什么？你的面积你得转化成什么问题？ 面积要转化成线段问题，那这里呢，又是一个面积的比例，面积比例很自然，想到了啥，要么相似，要么底边比。面积比嘛，那这就太明显了， s 一 s 二， 它的 a e 和 d e 边共线啊。然后呢，你会发现这些边上的高呢，就是相同的同高三角形，底边比，面积比。 所以呢，我直接就把面积比转化成 d e 和 a e 的 比了。这是这个题的第一步，底边比等于面积比，直接把面积转化成了线段。而转化成线段以后呢，我会发现，我要处理的是两条斜线的比例，斜线的比例是不是不好处理啊？ 所以这时候要想着怎么转化呢？这时候是不是要想着把斜线转化成横竖线？ 横竖线我就好处理了。那咱们刚刚讲半天了，斜线怎么画横竖线我给他放到有竖线的三角形里吗？横线也行啊，横线稍微麻烦一点，所以尽量画做有竖线的三角形。 怎么做呢？那就很简单了，我过 d， 我 做个竖线，那么圈线段是不是就进了有竖线的三角形了？同时，我过 a 也做个竖线，那会发现叉线段也进入有竖线的三角形。 所以啊，直接做竖线，把两个斜线放进去，哎，我就得到这两个三角形。 而各位，这两个三角形是什么关系啊？因为都做的是竖线，是平行的，所以直接八字相似，八字相似，哎，我的圈比差， 是不是就转化成了 dm 和 a n 的 比，转化成了竖线的比？好，这是这个题的两步核心转化。咱们稍微停顿一下啊。第一步，面积转线段怎么转的？这里是不是用到了咱们的写完整一点吧。 同高三角形，面积比等于底边比，我把两个 s 一 s 二的比就变成了圈比差了，而圈比差是斜线，那么你会发现斜线不好处理，我要想着给它转化成谁呀？转化成横竖线，就咱们说的画斜为直， 怎么转呢？直接往有横竖线的三角形里放啊，或者再说的直白点，直接做竖线 给他放三角形里，做竖线过 d， 做竖线过 a， 做竖线放三角形里。那你发现你放到三角形呢，其实就得到了一个八字相似。哎，那这时候我就利用相似 把斜线笔转化成竖线的笔了。这是咱们的第二步转化，转化成两个竖线以后，竖线就好办了。怎么办？竖线我就看他的坐标就好了嘛，坐标上减下就行了。那你发现左边的 a n， a 点横坐标，知道 n 点横坐标就也是负一，那么 n 点坐标整个就能算出来负一带进去，整个横坐标纵坐标就都有了。那这时候你发现这条线段的长度等于二分之五就有了。 而各位，这个二分之五一出，你往进一带二分之五分母上是二分之五，那你发现这个比值是不是直接变成五分之二 dm 了？ 各位，那你说你想要求一个面积比的最大值，它一通转化呢？已经转化成这么个式子了，那我求谁的最大值就行了。那我是不是只要求我的 dm 的 最大值就行了？所以接下来 你就去求 dm 最大值，求 dm 最大值是不是就跟上一问一样了？求 dm 的 最大值，射坐标表示 dm 的 长就结束了吗？ 接下来呢，展示一下计算啊。 dm d 点坐标，一设 m 点坐标就有了，那么接下来表示长度就是纵坐标做叉，纵坐标做叉，叉完了就得到了 dm 的 表达式长这样。然后呢，怎么求它的最值配方呗。 那么这时候你会发现，当 t 等于二的时候， dm 就 取到了最大值。二， dm 取最大值的时候，面积比也取最大值吗？所以二带进来四比五比值最大值有了， 你地点的横坐标二也有了。好了，这就是这个题啊，这个题最后的计算其实就是一个配方，求最值没啥啊，关键在于前面这一页我们还是倒回到前面这一页啊。 关键在于它的前两步转化，第一步，同高三角形底边比面积比。第二步，斜线，斜线想到了做竖线，放到三角形里画斜位置，那利用这个八字相似，斜线笔直接变成竖线笔，那有一个竖线直接是已知的， 所以接下来求个 dm 的 最大值就完事了。来，我简单的说一遍啊，整个思路其实很简单啊，就是一上来看到求面积比的最大值，面积你是不是要给它转化成线段？ 面积你要转化成线段，看到啥呢？这是面积比等于底边比，因为这个 s 一 s 二正好是两个同高三角形的面积，所以它俩的比就等于了图中的 d 比上 ea 等于了 d， e 比上 e a 转化成线段笔以后呢，线段呢？我们的思路就跟前面是一样的啊，横竖线你就直接表示斜线， 斜线看看能带公式不，公式不好带就划斜为止。那这里怎么划斜为止呢？你要划斜为止就是要找线的关系嘛。找关系，那你是不是得先把它往三角形里放，然后呢，你又希望找到的是横竖线的关系， 所以呢，这时候你做的线就应该是横竖线。那当然了，有小伙伴说做横线也能得八字没问题， 但是函数体里竖线通常会更好表示，所以呢，我们选择了过 d 做个竖线，过 a 也做个竖线，就构造出一个八字相似。 八字相似，就帮你把斜着的圈比叉转化成了竖线。 dm 和竖线， a n 的 比竖线就比斜线，好处理嘛，所以这是第二步画斜位置。而画斜位置完了以后呢，你会发现，你肯定要表示这两条横竖线的长度吧。 那你会发现，左边这个 a n， a 点已知 n 点坐标直接算了，所以 a n 的 长度是知道的。那这时候它俩的比是不是就变成了 dm 比了个二分之五？ 所以我求这个比例的最大值就是求 dm 的 最大值，而 dm 的 最大值怎么求呢？ dm 最大值，这就是二次函数里面最基本的图形问题了。竖线求最值，你就设坐标表示竖线的长度。设个地点的横坐标是 t， 带到表达式里坐标有了，嗯，那 d 点和 m 点是竖线，竖线横坐标一样，所以 m 的 横坐标也是 t， 带到依次函数里， m 的 坐标也有了，两个点的坐标都有了， 纵坐标作差。上减下，这个线段的长度就能表示出来。这两个式子相减嘛，二和二直接减没了二分之三， t 减去负二分之一， t 就是 变成了个正二 t 了嘛，所以表示出来就是右边这个式子，就是上减下算出来的， 减完了以后，这个式子求最值。你把它看作一个二次函数就好了呀， 它相当于是一个关于 t 的 二函数， dm 是 一个关于 t 的 二函数， 所以呢，你求它的顶点坐标就完了啊？怎么求顶点坐标？其实还是配方对吧？所以呢，看到二次式想配方就完了。配方当 t 等于二的时候，前面这坨取零了， dm 就 取得最大值二了。 你求 dm 最大值是二，你求它俩比值的最大值，那不就是五分之四吗？来，咱们看一下这道题，这道题的条件很简单啊，图也很简单，各位，只是我觉得函数题里这种考法比较少，所以带大家看一下啊。同样是已知一个二次函数，已知了 b、 c、 d 点的坐标， 现在呢， p 在 四象线的抛物线上，它搁这一通连线连出来，这两个面积相等，让你求 p 的 坐标。来我们看啊，题目呢，其实就相当于是给了我们这样的一组面积关系啊，我随手画一下，我把它摘出来啊， 他给了你 s 一 等于 s 二点，我用他的 d、 c、 b、 p 啊，告诉你，这样的两个面积相等， 这是咱们刚刚说的什么面积？这是不是就是那个蝴蝶等面积？看到这个蝴蝶等面积，要想到能得啥呢？蝴蝶等面积要想到可以得平行，怎么得嘞？你只要把这里面 d、 b、 c、 p 连起来， 哎，你会发现，因为 s 一 等于 s 二，所以 s 一 加 s 三， s 一 加 s 三这个蓝三角形的面积和 s 二加 s 三 这个绿三角形的面积。蓝三角形、绿三角形面积相等，底又相同，所以高相等 证出了这两条线是平行线，所以看到蝴蝶等面积注意得平行。你这个只要知道这个平行，这题就结束了。我连 d b 连 c p， 哎，我就可以证出这是平行线。证出这是平行线以后呢？坐标系中的平行想什么？直线平行想什么？坐标系里面直线平行，你是不是想 k 相等，想 k 相等来，那你会发现 b、 d 的 表达式能求呀？ b、 d 表达式是不是可以很容易求出来？是三分之一 x 减一，所以它的 k 就是 三分之一平行 k 相等，所以呢，我就得到了 k， c p 也是三分之一 k， c p 是 三分之一 k， 知道了 y 轴交点，这不就是 b 吗？所以 c p 的 表达式是不是有了 c p 的 表达式就是啥呀？ 三分之一 x 减三， k 是 三分之一，它的 k 也是三分之一， b 是 负三啊，所以呢， y 等于三分之一 x 减三。好了，只要 cp 的 表达式出来了， 我想要求 p 点的坐标怎么求？ p 点不就是 cp 直线和抛物线的交点吗？ 焦点连立就完事了。连立就是 y 等于 y， 表达式等于表达式嘛，解一下屁子作边就搞定了，最后算出来是个三分之七。这这个题的核心就是给你一个面积关系，你把它转化成了两条直线的平行关系， 也是面积转化成了线段关系。来，各位总结一下今天讲的线段怎么处理？表示它 表示，它实在是不好表示，那你就化写为直了再表示， 直接表示，化写为直了再表示啊，就这么个基本思路，然后再接下来。面积呢？函数中的面积啊，前面这些函数中的几个字不写了啊，但是避免出现误会啊，写个这样的形式， 函数中的面积怎么处理呢？函数中的面积转化成线段问题，转化为线段问题啊，转化的方式，第一，公式 第二，直接面积转化。这个面积转化指的就是平行线底边笔相似啊。各位，细节，咱们今天讲课涉及到的哪些细节？ 所谓细节就是除了主线剩下的重要思路。方法，首先等腰三角形注意做什么？做三线合一啊，我剪写成三一， 蝴蝶等面积。主要说一说怎么画斜为直啊，我觉得这个细节比较重要，画斜为直是主线，是大方向。但是具体怎么画呢？我们通常会把那个斜线 放到有横竖线的三角形，甚至更直接一点啊，有时候你直接去做横竖线就好了。 再说一个，看到二次式求最值想干啥？二次式求最值，你想到配方吗？好了啊，大概就这些吧，没啥问题，打六。

二次函数上的一个动点到两个定点的最小值问题，那么是不是将军引马呢？我们说将军引马问题，它的动点的轨迹是在直线上，而我们现在这刻研究的轨迹它是在抛物线上，所以呢，它并不是将军引马问题。 所以当求三角形周长最小值动点是在抛物线上的时候，自然而然来求我们这个来结合来分析一下来看，给出这个正方形的边长是八， 通过这个我们知道这点的坐标是零八，这个点的坐标是八零，所以呢它是 y 轴上，我们设解析式是 y 等于 a， x 平方加八，把八零带到里面，可以确定解析式是负八分之一， x 平方加八 好。 p 是 a， a， c 上的两个动点，那么现在呢， d 点的距离坐标是零六， c 点的坐标是四零，那么它到这两个点的距离 和的周长的最小值，那么求此时 p 的 位置，那么在二次函数上当中求周长的最小值。我们最需要记住的一个是转换思想啊，转化思想怎样来转化？ 我们先看啊 p 点到 d 点的距离和 p 点到 e 的 距离是多少， 我们说我们 p 点是在抛物线上，我们可以设这个点的坐标，横坐标是 x， 那 么纵坐标就是负八分之一， s 平方加八 好，根据两点间的距离公式，我们可以知道 p d 就 等于个号下 x 平方加上负八分之一， x 平方加八减六个平方，我们整理一下，整理好之后呢，它就是八分之一 x 平方加上二的平方，打开根号就是八分之一， x 平方加二。好，接下来我们来确定 p e 的 距离， p e 是 p 点到这条边的距离，那也就是说八减去负八分之一， x 平方加八， 那么整理一下它的答案就是八分之一 x 平方。我们来看 p d 和 p e 它们都有个八分之一 x 平方只是相差了一个二，所以我们可以确定 p d 减去 p e 就 等于个常数二。 所以呢，我们求它两和的最小值，这时候就是要转化 它到它的距离，它比它多二，所以呢，这点所对应的直线是 y 等于八，所以我们转化成和 p d 相等的线段，就是要向它再做垂线延长下来。 那么这条直线的解析式是 y 等于十啊，相差二。假设这个垂足是 f 的 话，那么说明此时 p d 就 等于 p f， 因为 p f 和 pe 的 差也是二， p d 和 pe 的 差也是二 好。所以呢，这时候周长三角形 p c d 的 周长就等于 c d， 而 c d 是 一个定值四六，根据勾股定律，它是二倍，根号十三好，接下来加上 p d， 加上 p c， 而 p d 等于是 p f 加 p c。 所以呢，这两条线段什么是最小呢？就是三点共线，而这里又是垂直的，所以转化成点 c 向它引垂线，那么这时候这个 就是最小值，所以这个最小值就是十，所以呢，整个周长的最小值就是二倍，根号十三加十。

各位宝贝们好呀，我们今天来讲解一下二零二六年这一套呃，辽审出的冲刺秘诀。好，我们来看一下这个压轴题，二十三题。好，首先先读题，他这里面说这个抛物线与 s 轴的焦点分别为点 a 和点 b， 然后呢，与 y 轴的焦点为点 c， 顶点的坐标是三到四，那么括号一呢，他让我们求 g 的 这个解析式， 很明显，在这道题里面呢，我们就需要把这个顶点带回到这个原式当中去，那么最简单的一种方法呢，就是把这个抛物线呢变成顶点式。好，我们来写一下，这里面应该是 y 等于负四分之一， s 方加上 b， s 加 c， 给他配个方， x 方减二， b 的 平方加 c 加上 b 方，所以说呢，就是各回各家，各找各妈。那么很明显呢，他这个啊，就是我们顶点的横坐标，后面这一坨呢，就应该是顶点的纵坐标啊，所以说我们列一下，二， b 等于三， 然后呢， c 加上 b 方等于四， b 等于二分之三， c 等于四分之七啊，第一道题解决这一块呢，是两分，好，来看一下括号二， 括号二，他说如图一，他说这个 p 点在直线 bc 的 上方，然后呢，三角形 pbc 的 面积为三角形 abc 面积的四分之五，求 p 点坐标。在这这一道题呢，他其实和我们这一次大连市二十二题的括号三考的非常的像， 都是考的是待定系数法，然后呢，这道题他还融合了一个知识点呢，就是牵垂法， 相信千锤法大家应该不陌生了哈，好，那么现在呢，我们先把这个 c 点求一下，这个 c 点的话，其实，呃就是也可以秒了，因为刚才已经把这个 c 求出来了，所以说这个 c 点呢，他就是零到四分之七啊， c 点零到四分之七， 好，那么再来啊，我们把这个 a 点 b 点写一下啊，大家在这个就是中考的时候呢，一定是尽你所能啊，能写到哪写到哪，所以说在这里面啊，我把这个零啊往里面一带，那么 a 点呢，是负一斗零，然后呢 b 点是七斗零， 在这一块的话，这个求点 p 的 坐标，所以说我们现在呢，先把这个我们知道的这个三角形，也就是说三角形 abc 的 面积给它求出来，嗯，三角形 abc 的 面积呢，就应该是底乘高， 底呢是这个 b 点的横坐标，减去 a 点的横坐标是八乘四分之七乘二分之一，结果应该是 十七。好了，那么我们继续啊，我们过这个 p 点，向这个 c d 做一个铅垂，那么这个焦点可以为这个 q 点啊，那么这个 p 点呢？此时呢，我们是在抛物线上，所以说我们用抛物线来表示 p 点坐标，那它就是 m 到啊，负四分之一 m 方，再加上二分之三 m， 再加上四分之七，好，这就是我们 p 点的坐标，好，千锤千锤，我们现在呢，就是以这个 p q 它的长度为这个底儿，然后呢以这个 bc 它的这个长度为高，所以呢，我们还要把这个 p q 的 长度表示出来，在这里面呢，很明显大家能看到啊，这个 q 点，它是在我们这个 c b 上，所以这件事情呢，我们要把这个 l c b 给写出来， l c b， 我 在这里面用点斜式，那么就是 y 等于 k 倍的 x， 那 么大家知道啊，已经是过了点 c， 所以 说是 k， x 加上四分之七，好，那么此时呢，再把我们点 b 带进去，点 b 是 七到零 带一下啊，那就是七 k 加上四分之七等于零，好，七 k 等于负的四分之七， k 等于 负四分之七，乘以七分之一，等于的是负四分之一。 ok， 我 们已经把这个他的斜率解出来了啊， k 等于负四分之一，所以说这条直线呢，应该是负四分之一 x 加上四分之七， 好，表示完 p 点的坐标呢，我们同理也要表示一下 q 点的坐标，因为他们俩呢，都在同一条，是个竖线上，所以说呢， q 点坐标，他的横坐标应该也是 m， 可是它的纵坐标应该符合的是一次函数的解析式，所以是负四分之一 m 加上四分之七。我们现在用大坐标减小坐标啊， 那么就是这个 p q 就 应该等于的是负四分之一 m 方加上二分之三， m 加上四分之七。减去，注意好打括号啊，一会这个符号要变号。 好把，这个不怕步骤多啊，我们就怕算错，已经算到最后道题了啊，就怕步骤算错，所以说能多写尽量不要少写好，约掉约掉 啊，这块是四分之二啊，我看一下啊，这个是四分之六，加上四分之一是四分之七，负的四分之七 m， 好， 这是我们的 p q 把我们的这个 s 三角形 b c p 表示一下， s 三角形 b， c p 呢，它的横长啊，水平的横长就应该是 p 的 横坐标，所以说是七 乘以我们的这个 p q 负四分之一 m 方，再加上四分之七 m， 然后呢，再乘二分之一，就应该等于我们的，它说等于这个三角形 a， b， c 的 四分之五，那么的是乘法，所以说在这里面呢，我们就把这个七再乘一个 四分之五，最后呢能把这个 p 点给它写出来啊，这个 p 点呢能解出来 p 点，第一个点呢是这个 m 一 等于的是二，那么 m 二等于的是五， 当 m 一 等于二的时候呢，我们也是把它往里带一下啊，是二到四分之十五，然后呢 m 二是五的时候，应该是五到三啊，大家往里带一下，计算一下就可以了。 好好，我们来看一下括号三，括号三呢，这里面他说如图二，然后呢连接 o d， e 为这个 o d 的 中点，所以说大家可以先把这个一点求一下啊，这个一点应该是这个二分之三，逗二， 然后呢我们再来看说 m 呢是一点，然后呢做的是 e， o， m， n， 然后呢让这个 dm 加 d n 曲的最小值，然后呢求这个最小值， 好，这个最小值应该是什么呢？大家我看啊，你们在看到这个式子的时候呢，其实就应该反映到这道题考的是什么内容了，这道题呢，它其实考的是一个将近一码，是一个对称问题， 那么这道题呢，他只是单纯的考了一个点的对称啊，说实在的，这道题考的挺简单的，我们历年的中考题呢，他其实更喜欢考的是那种抛物线的对称，然后抛物线对称呢，你还要写出他的全新的一个抛物线的解析式，对于学生来说难度挺大的啊，在这种情况下呢， 是这个啊，将军引马问题，所以说我们可以随便选一个 m 点或者是 n 点对称过去就行啊，点地是不能动的啊，那么这个是 m n 是 这个动点吗？所以说这个， 但是这道题啊，大家知道啊，就是点地不能动，但是我为了这个大家看这个图更加的方便一些啊，我还是选择把这个 m 点就这样对称过去的。 但是你要知道啊，我们对称过去之后呢，要使得我的这个 m 撇和我的 d 点和 n 点是三线合一的，为什么？因为我是最小值吗？最小值肯定是三点共线啊，是三点共线。 好了，那么我们把每个这个坐标先表示一下，他这里面没有给我们任何一个坐标，那么我们就自己设一下呗，他是 t 六零 n 点呢，就应该是 t 加二分之三到二，然后这个 d 点是三到四，这个我们知道给他对称过去怎么对称，是呃过点 d 的 那么一条水平线， 然后我们关于这条水平线去对称 m 撇。好，大家观察一下这个 m 撇的坐标，首先第一件事，他俩这个横坐标肯定是一致的， 好纵坐标呢，你看点 d 距离，我们的这个 s 轴之间距离是四，对不对？那么我们对称过去之后，距离也是四啊，总共加起来就应该是八，所以说它这个坐标应该是 m 撇啊， m 撇应该是 t 逗八， ok 完成。所以呢，现在呢，我们其实是点 d， 然后 m 撇还有 n 点呢，是三点共线啊， 大家不要说这是老师怎么不贡献呀？因为这道题吗，我是直接给他翻过去，其实正正常来讲，他们是应该是翻过去之后，然后他们这个线是这个在同一条直线上的啊，要理解一下这个事情，好把。这个点地点地是三斗四，这个 m 撇， m 撇是这个 t 逗八，这个 n 点呢？ n 点是二分之三加 t。 哎呀，加 t 逗二，好，全部带入啊，把这个直线设为 y 等于 k， x 加 a， 全给它带进去啊，带进去之后呢，它就会变成三， k 加 a 等于四，还有这个 t， k 加 a 等于八，还有这个二分之三加 t， k 加 a 等于二。那么在这里面你可以它是一个三元一次方程，还 ok 啊，所以说 k 等于的是 负四， a 等于的是十六， t 等于二。我们把所有的坐标全都求解出来了，它这里面就是让我们求 m 点的坐标，所以说 m 点坐标是二度零，你学会了吗？