26初三西城一模几何综合多解

大家好，那今天来看一下二六年初三一模西城初三一模的第二十七题，几何综合的题目啊。那这道题的第二问主要是要证明一下二倍关系啊。那来先看一下它的第一问。这里面提到角 b a c 等于 r 发，然后 ab 等于 a c c， d 垂直于 ab 于点 d， 然后又做了一个 b m 平行于 a c 呃，然后又得到了一个特殊的一个条件，就是这个角 c a q 等于角 a p c。 第一问的话呢，如图一，就角 c a q 等于二 r 发，也就是这个 c a q 被 ab 平分的时候，就这两个角都是 r 发的时候，然后求角 b c p 的 度数， 这个 ab 等于 a c， 可以 得到的是这个角 abc 应该是九十减去二分之一的 r 发，然后这个角 a p c， 他 说等于角 c a q， 那就都等于的是 r r 发，那么这个角 b c p 的 度数呢？就用角 a p c 减去角 a b c 就 行，就用 r r 发减去九十，减二分之一 r 发就可以。那么最后的答案是二分之五倍的 r， r 减去九十。 正好它这里也专门提到了 r 发大于三十六，小于六十，就是为了让二分之五 r 发减去九十能够大于零。然后第二问是如图二点， e 为 a p 的 中点，用等式表示 d 与 b q 之间的数量关系，并证明它只有两条数量的话呢，我们就不用猜， 然后量一下之后就很容易能够量出来 b q 的 长度大概是 d e 的 二倍，这里面提到 e 是 a p 的 中点，然后我们要证明的是 b q 等于二倍的 d e， 那 么 e 是 a p 的 中点，能够说明的是 a p 等于二倍的 a e， 呃，然后 e d 呢？它应该是等于 d e 减去一个 d p， 所以 我们就会想要把这个它们的等量关系给它转化一下。因为 d e 和 b q， 我 们想要得到一个二倍的 d e， 或者想要得到二分之一的 b q 呢？呃，做出来都有点奇怪， 所以我们可以考虑把 b q 给它加长一下，让它等于一个 a p， 那 这样的一个情况下呢？我们应该要做的是，因为这个角 c a p 它是等于 r 发的，然后 ac 它又平行于 b m， 所以 这个角 a b m 也等于 r 发。所以我们要想在这个 b m 上截取一段等于 a p 的 话呢，我们就只要构造一个三角形全等就可以。 我们要证明多的这一段它应该是等于二倍的 d p， 然后我们画完之后就会发现，那我们可能直接做一个垂，要更省事一点。一起这样做一个，呃，三角形全等，我们做个垂，让它等于 a c d 可能要更省事一点，比如说我们现在做一个垂，然后让这个 a g 垂直于 b g， 然后我们的目标就变成了 q 等于 d p， 这两个三角形全等呢？有一个 ab 等于 ac， 然后再加上一个角 abc 等于角 c a b， 那 么我们做一个垂的话呢，这个三角形 c a d 就 应该要全等于三角形 ab g， 然后这个 b g 就 应该等于 ab， 那 么如果 b g 等于 ab 的 一个情况下，我们简单推导一下，就能够得到这个 b q 等于二倍的 d e， 可以 把推导写在旁边啊。可以发现，我们如果要是 b g 等于 a d， 然后 g q 等于 d p 的 情况下，我们就相当于证明了 b q 等于二倍的 d， e， 那么我们现在呃，可以证明这两个三角形全等得到了 b， g 等于 a d， 那 我们现在就只差一个就是 q g 等于 d p， 而且我们证完全等之后，这个 a d 应该是等于 c d 的， 然后这里又有一个直角 a g b 等于角 c d b， 那 么就只差一个条件， 要么证明边相等，要么证明角相等。那么根据我们剩下的条件来说，比如说这个 r 发倒角，我们现在这个角 c a， q 等于角 a p c， 我 们就还都没有用到，所以我们就 呃，很大概率我们就要求的是这个角 a q g， 它等于这个角 a p c， 那如果我们设的是这里面提到的这个角 c p a， 它是等于角这个 c a， q 的 这个 a c 吧，它又平行于 b m， 所以 这个角 c a q， 它就应该是要等于这个角 q g 的， 那么这个角 a p c， 它就也等于角 a q g， 那 我们最后就能够得到两个三角形全等，那么照完这两个三角形全等，我们再用上面这个导边导一下，就能够得到 d， e 等于二倍的 b q。 记得点赞关注哦！

各位同学家长大家好，我们一起看一下二零二六年北京西城尼泊尔的几何综合这道题抛弃了咱们常规等思想，利用了 s 与 a 来构造全等，并且在导边的上面进行了一些小的设计，与二三年北京中考和二五年北京中考的导边技巧一致，可以进行设参， 设参导边。我们一起来看一下这道题，它告诉我们在这里边三角形 b， a c 是 一个等号三角形，并且告诉我们 a c 等于 a b 这个角是阿尔法这个角，如果是阿尔法，那我们就根据等三角形，可以把角 c 这个大角和角 b 这个大角求出来。因为这道题我用到了角 b， 所以 把 b 这个角表示出来是角数减去二分之一倍的阿尔法，告诉我们 b m 等于 m c。 注意这里边我们通过几何的逻辑，第一个我们要想到倒角，第二个它这里面是否会出现中位线，或者说是八字全等，这也是我们在几何当中经常会出现的一个内容。告诉我们 c q 等于角 a p c c a q 在 这， a p c 在 这，告诉我们这个角和这个角相等，这个角是辅助我们去导角的，所以说角度信息给了已经很多了。 那第一问告诉我们 c q 等于二倍的 alpha， 也说这个是二倍的 alpha， 然后我们就能得到这个角也是二倍的 alpha。 那 根据算式的一个外角，咱们就可以直接把第一问给秒掉了，是二倍的 alpha 减去九十度，减去二分之 alpha， 所以 第一问的答案是二分之五 alpha 减去九十度。 好，这是我们所说的第一问，对大家来说应该没有任何的压力，我们来看一下第二题，他说 e 是 a p 的 终点，看到了这个终点，可能很多人会想到咱们配合着刚刚的平行，可能能想到的是中一线，或者是所说的八字全等。但是在这里边他又告诉我们 d e 和 b q 这样的一个数量关系，那我们会发现 d e 和 b q， d e 和 b q 这样的关系还是非常好猜的， b q 应该是等于二倍的 d e， 那 我们现在拿到了一个二倍的关系，到底该怎么去正？这是很多学生可能不太好想的一个点。 在这里大家一定要注意我们这里面拿到的一些边角信息，这也是全等最基本的逻辑，也是我们全等当中最容易被大家忽略的一些小的细节。我们会发现这个边等于这个边，这两个边相等，这一角是阿尔法，因为平行这一段也是阿尔法，所以我们要研究的是 b q 和 d e 之间的一个关系，那我们要么共行，要么共线，那此时你会发现有一个边有一个角已经相等了，所以我就直接在这个 a t 上截取一个 a k， 使 a k 等于 b q， 那 这样就是这一条边一个阿尔法，还有 a c 这条边和我们下面的 a b 这条边阿尔法以及 b q 这条边这两个三角形求全等了，所以此时我们就可以根据 s a 再构造一个条件得到全等，那是三角形 c a k， 它就全等于三角形 a b q 这两个就相等。之后我们要去进行导边导角，那这个导边导角咱们到底该怎么去做？大家注意了，一定要用好这个平衡的逻辑，这个角我们假设它是贝塔，那么这个角是不是一百八十度减去一个贝塔？ 那如果说这个角是贝塔，这个角它是不是也是贝塔？那此时你会发现这个角是不是一百八十度减去一个贝塔？所以说这个角是不是也是贝塔？好，我们把信息给重新梳理一下，我们得到贝塔，这个角是贝塔，所以这个三角形，那我们就可以假设这一小边是 a， 这一小边是 a， 这是我们现在得到的第一个内容，现在告诉我们的是什么呢？这个 d 它是这条边的一个中点，然后 e 是 这个 a p 的 中点，那拿到这样的一个信息，咱们该怎么办呢？咱们可以在里面去进行设餐，我们假设这一边等于这一边都等于 c， 好， 这两个小边咱们设两个小 a 就 好了，这个时候你会发现这一小边应该是 c 减去二 a， 没毛病吧？那这样我会发现你 a k 又等于 b q， 所以 说 b q 它应该就等于二倍的 c 减去二倍的 a， 它的边就得到了。我们会发现这个 d e 在 这儿 d e 是 c 减二 a 再加 a 就 等于 c 减去一个 a， c 减 a。 好， 到此时我们写一下 b q 等于二， c 减二 a， 然后呢 d e 它就等于 c 减去 a， 所以 最终我们又能得到这个 b q 应该等于二倍的 d e。 那 这道题咱们就中出来了 西城今年的一模，他抛弃了咱们所谓的模型思想，在这边考了一个 s a 构造全等的逻辑，并且在导编的过程当中给我们进行了一个小小的设计，也是这几年咱们几宗当中经常会考察的一个思路，大家一定要注意这个多中点设餐问题， 在这道题当中咱们的辅助线也是正好配合了等腰三角形去进行设计的。这道题出的总体上来说我觉得是非常好的，在考场上的时候是 非常检验大家对于几宗的一个理解和几宗的一个基本的知识的。如果说孩子平时过于关注模型思想的话，这道题做起来可能并不会那么的轻松，这是今年的西城一模的结合综合，希望可以帮助到大家。

这道题是今年西城一模的原综合真题，百分之九十五的孩子啊，拿不到满分。好同学们，我们来看题啊，他说如图啊， a、 b、 c、 d 均为圆 o 的 直径，也就说 a、 b 是 一个直径，然后 c、 d 是 一个直径， 然后做这个 a、 e 和 c、 d 是 互相垂直的，也就说这个 a、 e 和 c d 垂直。这有个角是直角与点 f， 然后连接 ac， 他 把 ac 给连上了，然后过点 b 做圆 o 的 切线。比如说这个角度啊，他应该是一个直角， 因为 c、 b 是 圆 o 的 切线啊，然后交 a、 e 的 延长线与点 j。 第一小问让我求证的是角 c a e 这个角， c a e 这个角，那就我们给它标一下啊，应该是这个角就是这个点角，它等于的是二分之一倍的角 a o c 啊，等于这个弧角， 那我们应该怎么正呢？朋友们，因为我发现啊，朋友们，这个点它是一个 o 点，这是垂直，所以根据垂径定律，这个条线段的长度和这个线段长度相等，所以我立刻想着去把 c e 连上， 因为等弧它可以对这个等弦，所以因为这个弧 c、 e 和我们的这个弧 a、 c 相等，所以这两段它应该是一个相等的关系。那这个是点角，那这个角它就应该是一个点角， 所以我们再来看一下，因为弧 a、 c 是 我们在圆当中的一条公共的弧，所以一条弧所对的圆周角和圆心角之间是应该是一个一半的关系。第一问就正完了啊，然后第二问，让我们去连接第 e， 咱们把第 e 这个线给它连上， ok， 那 当我们连完这个 d e 之后呢？因为 c d 啊，他是这个远 o 的 直径，所以直径所对的圆周角应该是九十度，我们能够得到的应该是这个角度，他应该是一个直角啊。 呃，然后他告诉我 d e 是 四倍根号六，这个 d e 的 长度是一个四倍根号六， 然后扣散引角 c a e c a e 正好是这个点角，它的这个余弦值是根号六比三，然后让我们去求的是这个 e j 的 长度，这个 e j 啊，求这一小段啊， 那我们应该怎么做呢？朋友们，当我们知道直角的时候，就可以用这个点差去标下图，所以呢，我们的突破点在哪里？还是在这朋友们，这个图当中，所有跟这个角跟角 c a e 相等的这个角，它的余弦值应该是一样的， 那么我们可以说这个角是一个叉角，朋友们，根据这个角是一个直角，所以这个角它就应该是一个点角，这个角是一个直角，所以这个角呢就是一个叉角，这是直角这点角，所以这个角它应该是一个叉角。 下面我们就可以在这个 r t 三角形当中，我们看一下咱们给的这个边啊，是这个 e d， 所以 先要在这个直角三角形当中去求一下，我们能够求出什么呢？朋友们啊，咱们来求一求啊。也就说第二小问，咱们在这个 r t 三角形 e f d 当中 应该是 cosine， 咱们这个角就是 f d e f d e 这个角它应该等于的是邻边比上斜边，所以等于 d f 比上它的斜边就是四倍根号六， 然后它应该等于我们这个 cosine 角 c a e， 然后应该等于一个根号六比三。 好，那我们就可以利用这两个式子，同学们，我们看能求出什么呢？咱们是不是可以去求一下这个 df 的 长，所以是不是应该就是三个 df 是 四倍，刚好六乘上一个刚好六，所以是四乘六，等于二十四，所以我们能够求出 这个 df 的 长度啊，它应该是一个八，然后这个 d 的 长是四倍，刚好六，我们就可以知道这个 e f 的 长是一个四倍，刚好二， 然后接下来这个 e f 的 长，它是一个四倍根号。那么在这个 r t 三角形 c f e 当中，我们还可以去用这个相等的两个角的三角函数值相等， 所以呢应该是 cosine 角 c e、 f， 它等于 cosine 角 c a， e 这两个角相等啊，它的三角函数值相等，那我们 cosine 值应该是邻边比，斜边是四倍。根号二比上 c e， 所以 它应该等于的是根号六比三， 所以我们立刻可以去求出咱们这个 c e 的 长度，所以 c e 呢，就等于四倍根三。 ok， 朋友们，这个 c e 的 长度啊，它就是一个四倍根号三。 然后我们可以再利用勾股镜里去求一下咱们这个 c f 的 长度，所以 c f 的 长度就等于四，好，这个 c f 的 长就是四，那么我们就发现这个直径就出来了，所以咱们这个 c d 和这个 ab 相等，然后它应该都等于的是十二， ok， 等于十二，那么他是十二。之后 a o 和 ob 相等，就应该等于六， a o 等于 ob， 然后他应该等于六。朋友们，那么下面我们要求的是这个 e j 的 长度，这里边有一个反 a 字形相似，我们下面把这个相似三角形这个列一下，应该就出来了啊，咱们写一下这个相似的过程， 我们找到这个反 a 字形相似，所以应该是三角形 a f o， 它应该就是 a f o 这个三角形，这个 a 角是公共角，这是一个直角，所以这两个三角形相似，那么 a f o 这个三角形和我们的这个大三角形 a b g 这个三角形相似， 那我们现在要求的是谁呀？要求的是这个 e j 这个边，那相似三角形对应边是成比例的，所以我们来比一下，应该是 a o 比上 aj， 然后呢？对应边成比例啊， a o 比上 aj， 那 应该等于的是 f o 比上一个 b j， 等于 f o 比上 b j， 然后还应该等于的是 a f 比上一个 ab， 那 相似三角形对应边乘比例。咱们写完之后看一下，我们要求的是要求 e j， 要想求 e j 的 话，我可以想办法去求出来这个 a e 的 长度，因为 a f 的 长度也是一个四倍根号二，所以它加一块应该就是一个八倍根号二， 只要我能够求出这个，咱们先要求 aj， 只要求出 aj 的 长度就可以了。那关键是这个 aj 的 长，咱们怎么求呢？咱们看这个里边可不可以求 ao 的 长度是一个六六比上一个 aj， 然后等于我们还知道谁呀？ f o 的 长度好像不知道，然后这个 b j 的 长度呢？ af 的 长咱们知不知道啊？ af 的 长我们可以看一下啊， af 的 长是四倍根二，所以这个是知道的。四倍根二比上 ab 的 长度，咱们也是知道的，应该是一个十二， 对吧？正好是我们的直径，所以从这个里边我们能够去算一下这个 aj， 这个 aj 一 算的话，它应该是一个九倍根号二， aj 是 一个九倍杠二，那我们要求的这个 e j e j 的 长度，它应该等于的是 aj 的 长度减去 a e， 所以 aj 呢是九倍根号二，减去 a e 的 话，它是一个八倍根号二， 所以最后呢，它就等于根号二，所以这道题最后 aj 的 长度，它应该等于的就是根号二。好朋友们看一下啊。就是我们还是利用相等的角的三角函数值相等，然后持续的去 传染边，然后把它求出来，然后再利用这个相似三角形对应边乘比例，我们可以去求一个线段的长度。好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

刚考完的西城一模，分享一下这道几宗题。这个题第二小问考察了两个关键点，一、构造全等三角形。二、导边。导边是一个重要的考点， 我给他起了一个大家比较好记的名字，稍后会做解释。先来看本题的构造全等三角形构造有两种方法，第一种方法呢，更偏向于从条件出发，比较直观。在途中我们可以看到有三个关键条件，一、等腰三，有题目给的一组平行线， 平行线就会得到内错角相等，同时还可以得到和蓝色大角相等的内错角。此时我们会发现所给的条件集中在这个位置，在这个位置有一个直角三角形和另一个直角三角形， 它俩挨着组成的三角形 c、 b、 p。 如果我想构造全等，很直观的一种方式是构造直角三角形全等做垂直是牙比较熟悉和擅长的。过 a 点做 b、 m 的 垂线交点为 f， 不 难证出三角形 a、 f、 b 全等于三角形 a、 c、 d， 进而再证出三角形 c、 d、 p 全等于三角形 a、 f、 q。 由这两组全等，我们就把 e、 d 所在的这条线中的 a、 d 和 b、 f 关联起来了，同时还把 d、 p 和 f、 q 关联起来了， e、 d 呢，又是 a、 d 的 一部分。通过这些复杂的等量关系去找 e、 d 和 b、 q 的 关系，这就是导边下来要做的事。那 这里面一系列的复杂等量关系，我怎么能够更快去更直接的导呢？因为很多同学导着导着就把自己绕晕了。给大家讲一下，我们用方程思想假设未知数，我们假设 e、 d 为 x， b、 q 为 y， 分 别去表达这个包含 x 和 y 的 一些有关系的长度。比如说在本题中， a、 d 是 等于 a， e 加上 x 的， b f 是 等于 f， q 加上 y， a d 和 b f 是 相等的，所以 a e 加上 x 等于 f， q 加上 y， 一下一下就变成 a， e 减去 f， q 加上 x 等于 y， 我 们再进行转化， a、 e 等于什么？ b p， f q 等于 b p， 左边这个位置相减 刚好是另外一个 x， 因此我们得到二倍的 x 等于 y 结束。关键的思路就是保留 x， y， 把其他的东西进行快速转化，最后要么都消掉，要么变成 x 和 y 相关的东西。这是讲的方法一、方法二。方法二就不纯粹是从条件出发了，是结合条件和所求。我们要求的是 e、 d 和 b、 q 的 关系。很显然，他俩现在 并不在一条线上。有一种找两线关系常用的方法就是把它们转移到同一条直线上去。所以在这个思路下，我依然可以看到 一边一角和底下 b、 q 所在的三角形一边一角相等。我如果在 a、 d 上截取一个 a， f 等于 b q， 就 可以把它转移上去，所以它的方法是在 a、 d 上取 a、 f 等于 b q， e 正三角形， a、 c、 f 全等于三角形， a、 b、 q 正完之后，再去 证明这地方是一个等腰三角形。做完这一步之后，剩下的又回到了我们的导边，把 a、 f 这一段假设成 x， 把 e、 d 这一段假设成 y， 分 别去表达它们可以去写， x 加上 f， d 等于 a d， y 加上 a， e 等于 a d。 所以 x 加上 f， d 等于 y 加上 x 等于 y 加上 a e 减去 f、 d。 啊，我在移项的时候有个小技巧啊，总是 会拿大减小线段，不会得负吗？而这个 a e 呢和 f d 呢，是可以转移其中一个的 a， e 是 等于 e p， f d 是 等于 e p， 这两者相解刚好又是一个 y， 所以 x 等于二 y 就 整出来了。 以上就是本题的两个解法，关于导边这一块，我之所以给它命名，是因为它的二零二三年和二零二五年的中考中都陆续出现了，所以重要性非常高，希望大家重视。

希成英文的代宗说得太好了，这道题值得所有的学生好好的研究，这道题我们真的理解透了，代宗这个问题我觉得对大家来说应该就不会有太大的难点了，我们一起来看一下这次希成英文的代数综合到底考了哪些内容。第一题比较简单，在这里面 去算到了一个临界值的思想，当 x 等于二的时候，是我们所谓的二次数的一个对称轴，所以我们可以直接出答案，这道题我们就直接过了，我们来重点分析一下这道题在哪儿呢？ 第二人说，当 a 等于一， b 等于二的时候，这个对大家来说没任何问题，直接把式子写出来，图像 c 一 和 c 二都很清晰，然后告诉我们过点 p 做垂直于 x 轴的线段， c、 c 二分别于点， m n 好， m 点可以表示出来， n 点表示出来。到目前为止，这些东西都是我们常规的考试内容，对于学生来说没有任何的问题。 接下来我们再来看一下它的提问方式，就说当 t 大 于负一小于三的时候， m n 之间的距离存在最大值，求 k 的 范围。好了，各位，我们一定要弄清楚这里面的 t， 它是 a 一 的，那我们会发现 大于一，你通过前面的基本的图像画出来之后，零在这边是 k 加二， k 是 大于零的，所以说这两个位置相对来说是固定的，那负一一定在零的左边。这里边大家一定要注意了，此时你会发现这个地方是空心圆， 这个地方是空心圆很重要，也就是说在此处我们取不了最大值，那在这里取的不了最大值，我们又说在 m 上存在最大值怎么办？那我们这个 p 叫通过负一往右运动运动，运动到哪，它会发现在我们的这个函数当中，一定是在对称轴处会有一个最值出现的可能性， 这里大家能理解吧？所以那我们现在就要去思考一个非常重要的问题了，如果说负一的这个数值，各位如果说负一的这个数值，他在我们这条线的上方，那你会发现这个最大值是不是也取不到？ 这一点非常的重要，所以我们就能得到了第一个非常关键的信息，这个关键信息是什么？就是当负一的时候， y 等于负一的时候，他的这个 y 的 值一定要小于等于二分之二加 k， 也就是对称轴的这个高度的值，这一点非 非常重要，各位看一看是否能理解。好，接下来我们要去思考第二个问题，就是当我们继续再去运动的过程当中，我们还要去考虑第二个就是三，他应该在哪？三，如果在这样的一个位置，你会发现负一在这，三在这，那这个地方都没取得最大值，所以三他必须得在二分之二加 k 的 右侧，也就是二分之二加 k 在 这里边他干嘛？他要 二分之二加 k， 他 要小于三，能不能去等？不能去等，这里面一定要注意这个地方能不能去等，可以去等，因为就算等于我们这个地方等于他这里也是取不到的。 ok， 好， 除了这两个之外，大家还需要注意的一个细节是什么？他这边说的是存在最大值，那很多人会说老师三，他如果持续性的往右跑，跑到了右侧的某一处，他跑到这个位置，你会发现他比这个高了，怎么办？ 这就是我们这道题大家需要注意的细节。我们这个二次函数翻过去之后，它依旧是一个轴对称图形，要满足我们所说的对称性，那我们会发现二分之二加 k， 它是大于一 一的二，二分之二加可以是大于一的，那么它到负一之间的距离一定是大于二的，它到三之间的距离一定是小于二的，这一点大家能否理解？如果能理解的话，你会发现三的这个数值，也就是 y 负一的这个数值，它永远大于 y 等于三的这个数值，所以三咱就不需要考虑了。 那我们需要做的就是什么？把这个负一的负一的函数值把它给算出来，负一的函数值算出来，把它给带到 m 的 解析式，我们算出来应该是 k 加三，它永远都小于对称轴这样的一个函数的值小于等于四四分之二加 k 的 平方，进而能算出来 k 大 于等于二倍杠二小于等于 负二倍杠二。当然因为 k 大 于零，所以这个部分舍了，又因为二分之 k 加二，也就是说三它要在二分之 k 加的一个右侧，所以我们能算出来 k 小 于四。那么这道题的最终答案是， k 大 于等于二倍杠二 小于四。这道题出的太好了，所有的学生一定要好好的去看一下，他对于我们的临界值的思维，对于我们的一个对称性，对于我们的一个运动状态和存在性都进行了考察，只能说西城的教研组真的领先了，非常的牛，很棒。

几何快带竖纹新定义，还能提智商？哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下西乘一模的圆综合，这个圆综合的第二问答案呢就是根号二，好，你对了，不 来我们说说为什么是根号二哈，首先呢就是命题老师啊，他给的提醒足够明显，那么他通过第一问给我们垂径定里引导我们要关注 c e 等于 ac， 这个角等于这个角， 然后他又让我们连接 d e， 连接 d e， 那 我们就知道他应该在提醒我们一定要关注 c d 这个直径所对的圆周角 有直角，我们就点叉传染角啊，来疯狂的传染，这是叉，这就标点在直角三角形中啊，有点就标叉，有叉就标点，哎，然后咱们就可以把这个信息一目了然的标在图上，可以很明显的看到这些，有很多点叉直角， 那很多点差直角有什么用呢？哎，就可以传染了，怎么传染？你看第二问，他说 d e 是 四倍根号六，然后勾一个 cosine c a e， 我 们这种知道三角函数值的角，我们就叫它工具角，那么在本道题目中，所有和 c a e 相等的角全部 cosine 值都是这个东西， 那 c a e 在 这里面我们标的差角，所以所有的差角，它所在的直角三角形都满足这个关系， 那么哎，只要把叉角和一个边放在一块，就能求另外的边，对不对？所以咱们就放心大胆的去传染边了，比如说我们把它放到这个直角三角形里，根据 cosine 叉等于三分之根号六，知道斜边就能求 df， 对 不对？哎，这个 df 就 可以求出来是八， 然后根据勾股定律可以求出来，这是四倍根号二。继续，哎，在这个直角三角形里，又有叉有邻边，可以求斜边根号三，四倍根号三，这个 c f 就是 四， 然后因为垂径定律 f e 和 a f 相等，也是四倍根号二。好，那我们就可以发现，目前能穿闪这么多，是吧？ 接着 c d 是 四加八十二，那直径是十二，半径还是六，半径还是六？哎，传染出来一堆。然后我们呢，顺便还发现，你看这个直径三角形 a f o 和这个三角形 a b g， 这叫什么呀？ 这叫，哎，这叫反 a 相似，对不对？哎，这个相似有相似，我们就列比例，所以我们就可以列比例。 哎， a o 比上 a g 等于 af 比上 ab， 把数带进去，就可以求出来， a g 的 长是九倍根号二， a g 减 a e， 这就是 e g 了， e g 就是 根号二啊。所以呢，如果你圆轴和想要做的非常快，那就抓住传染工具，传染传染，传染传染就可以了。想要快速搞定圆轴和，就来双体找彩虹老师。

西城一摸几中第二问挺有难度的，只要没思路就找主角三角形几何，快待，手稳心地，还能提智商。大家好，我是谢全民，我给大家精讲一下西城一摸的这个几中这道题，说实话，第二问挺有难度的，大家记住几条，第一个，只要没思路就找主角三角形。各位，你会发现三角形 abq 绝对是主角。 按照我们的技术分析，按照你的直觉，你会发现，首先它含有结论的这个 b、 q 是 吧？还含有 ab 这个三角形，这个是阿尔法，这是贝塔，那么这个角是贝塔减，阿尔法其实也很重要， ok， 它还有平行啥的，所以这是个主角三角形。大家知道北京几宗第一工具就是全等，所以我们要有意识去找全等三角形， 但是这个全等不太好找。这个时候我再告诉你，北京近几年一个集中的热点就是善于把直角三角形要补成等腰三角形，所以这道题猛一看不好找全等，但是我们可以补一下， 因为 a、 d、 c 是 一个直角三角形，我们可以把 a、 d 倍长补成一个等腰三角形，各位请看，就补成这样一个等腰三角形。 在这种情况下，你可以看一看标角，你很容易发现三角形 a、 q、 b 是 全等于三角形 c、 p、 n 的。 你可以暂停一下，看看 这些角有没有找够，包括和平行 alpha。 到这来，你可以看一看，这时候 a、 s、 a 就 已经全等了，因为 ab 等于 acac 还等于 c、 n， 这些 alpha 都是可以标出来的，因为这个 alpha 是 等腰三角形，所以等于这个 alpha， 包括这个贝塔减 alpha， 也等于这个贝塔减 alpha， 那 么这个全等就出来了， 全等出来以后，那咱们怎么证明 d e 和 b q 的 数量关系呢？各位，边长信息若乱就射餐。前两周我刚给我的学生讲过，这里边边长信息太乱了， e 是 终点是吧？ d 还是 a n 的 终点？其实你要记住双终点结构也行，记不住没关系，很简单，各位，我教大家一下啊，我们接下来只需要 设三标，你比如说我们要设 d， e 是 小 a， dp 是 小 b， 因为 e 是 a p 的 中点，所以 a， e 等于 p， e 等于 a 加 b， 那 么 ab 就 等于 a 加 b， 再加 a 是 二， a 加 b， 所以 你会发现这个就等于二 a 加 b， 然后减去这个 b， 你 会发现这个蓝色的 b， n 就 等于二 a， 那 么 b n 呢？因为全能等于 b q， 所以 二倍的 d， e 等于 b q 就 做出来了。 这是我们的其中一个方法啊，我们别的视频会发布别的方法，一定要了解北京近几年几宗的热点，同时还要有一些研究一些很复杂信息的一些好习惯，涉餐等等。

视频给大家分享北京西城今年初三的一模试卷，我今天给大家来讲一下这个带宗啊，我觉得这道题出的非常不错，比海淀出的这个带宗都要好，而且整个西城出的这个带宗可以说是带宗，原宗和起宗当中带宗的难度是相对最高的。那么我们就话不多说，直接来看这道题目， 如果说你在考场上没有想明白这道题目，那么一定要认真听思老师把这道题给大家拆解清楚。我们来看一下这个第二十六题啊， 这个题目你感觉好像不是特别难，但是做起来又没有什么思路，对吧？所以这就是出题人出的巧妙的地方。好，我们来看这个题啊，他说第一 问啊，这个 x 小 于等于二十 y x n 而减小， x 大 于等于二十 y x n 而增大，那么这个时候就说明什么？二是对深轴，对吧？所以 a 和 b 的 关系咱就自然就知道了，所以他没有按照以往的考察去考，我们，比如说给给我们点的坐标对不对？那么这个题目我觉得 x 应该等于什么？对应轴应该是负的二， a 分 之负， b 等于多少？等于二，所以 b 等于四 a。 第一问，我相信只要你数学七十分以上，第一问绝对能做，如果不能做，那就说明你对基础知识掌握的太弱啊，所以说还是要加强好。那么我们来看第二问，第二问，我们还是一样的，它还是一个 关于 mn 的 这样的一个式子，对不对？但是大家一定要注意，从今年的一模开始，我们会发现一个变化在哪儿，就是他问的是两点之间的距离，不是问的是线段长度，这有什么区别呢？就是说两点之间的距离可以距离为零，但是线段长度一定不能为零，对不对？ 那么我们来看这个题目啊，所以我们就可以直接无脑操作，先写出一大堆，对不对？什么呢？应该是 y 等于 x 方减去二 x， 这是它的二函数解析式。好，然后 y 等于 k x， 对 吧？然后这个 t 六零，所以我们就可以把 m 点和 n 点坐标都表示出来，对不对？好，所以应该是 m 点坐标是 t 到，呃，这个 t 方减二 t， 然后呢？ n 点坐标是 t 到 k t， ok， 那 这个时候我们怎么去表示 m n 之间的距离？你知道谁上谁下吗？ 不知道，不知道要干嘛带绝对值，所以我们就可以求出 m n 等于多少？应该是 t 方减去二加 k， 括住乘以 t 的 绝对值，对不对？我这就已步简化了啊，就是应该是 t 方减二 t 减 k t， 所以 说减去两个数等于减去两个数的和，然后提一个公式 列吧。 ok， 那 接下来应该干嘛呢？令这一项等于零，是不是？所以我们可以算到 t 一 等于零， t 二等于二加 k， 它的图像是不是现在就可以画了？怎么画零和二加 k？ 谁在左谁在右？非常简单。为什么？因为 k 是 大于零的，所以说这个二加 k 一定是在零的右侧，这一点大家也要注意啊，是一个很小的细节，但是你还是需要弄明白的， 所以图像是不是就可以画出来了？图像画出来之后，是不是下方的部分翻上去？ ok， 好， 这是零，这是二加 k， 那 么对称轴我们自然就知道应该多少，应该是零加二加 k 除以二，就可以写一下啊，应该是 等于一加上二分之 k， 对 不对？好，他说的是什么？他说的是负一到三，也就是 t 取负一到三的时候存在最大值。什么叫存在最大值？就是说能取到最大值，是这意思吧？所以说我们来看一下这个零，呃，负一的时候，那么我们知道应该是这样的， 那么这个三呢？你知道在哪吗？不知道为什么？因为三一定是在零的右侧，但是具体在哪儿吗？不知道为什么还知道一点就是什么呢？ 我们要明白的是啊，他说存在最大值，那么这个三一定在哪？一定是在一加对称轴到二加 k 之间，对吧？这是一种情况，能理解吧？因为什么？因为这时候在对称轴处取的最大值 没问题吧？因为他说存在就是能取到。如果说你，你这，你如果三在这的话，那这个最大值是谁呢？不知道，在两个端点都取不到，对吧？这是根据函数性质来的，能明白吧？所以这是第一种情况，三在这。呃，三在二加 k 的， 三在二加 k 的 右侧，所以我们先来分析，三在二加 k 的 左侧，那这时候在哪取得最大值？一定是在对称轴处取得最大值。那有同学可是说，那孙老师为什么不能够在负一处取得最大值？他是能取到这个值，你负一的时候能取到吗？不能，所以说只能在 对称轴处取得最大值。所以第一种情况很简单，应该是一加二分之 k， 干嘛呢？小于三能等于三吗？绝对不能。等于三的时候你是什么？ 也就是说你小于对乘轴了，对不对？你等于三的时候小于对乘轴，那你取不到啊，这还是取不到，所以说这个等号不能取，听明白了吧？所以应该是 k 是 小于四的，这是第一种情况，那么第二种情况呢？我再把这个图给大家画一下啊，应该是这样 的，是吧？这是零，这二加 k， ok， 好， 这是一加二分之 k， 然后这是负一，然后这是三，这时候在哪？在二加 k 的 右侧，三在这，那么我们要知道他这个时候在哪？在二加 k 的 右侧，三在这，那么我们要知道他这个时候要取的最大值，从这到这， 然后再到这，那么能取到最大值，是不是还是在对称轴处取的最大值，对不对？然后为什么呢？我们来看一下啊，这个在两个端点处一定取不到，那我们只要让对称轴处取的这个这个最值应该是比谁大就行，比这两个端点处的这个谁取谁的大 就比他大就行了，能理解意思吧？也就是说我看一下负一处的函数值，我不用去算啊，因为负一距离是不是比三距对称轴更远？为什么？你算一下轴距是不是应该是二 加上二分之 k， 而三到这个距离是不是应该是三减一减二分之 k， 就是 二减二分之 k， 所以 说一定是负一到这个距离更远，能明白，所以它对应的函数值更大，是不是只要让对称轴处的这个函数值比负一处这个函数值大，这个题就 ok 了，那么我们就把这个负一处的函数值带进去，然后算一算。 我给大家简单写一下过程啊，如果是 t 等于负一，那么 m n 的 值等于多少？三加 k， 对 吧？我们就把负一带进去就可以了。然后如果是 t 等于这个二分之二加 k 就是 对称轴，那么 m n 等于多少？ m n 等于的是四分之二加 k 括住的， ok， 那 么我们就要知道的是，我们这个负一处，这个函数值一定是比这个对准处这个函数值要小，对不对？好，所以应该是三加 k 是 怎么着的？小于四分之二加 k 括住的方， ok， 那 么这个时候我们就会知道一个等于的问题，能不能去等，那就把等于带进去，所有的东西都不用去纠结， 等于带进去。如果三分之三加 k 等于它，那就是负一的这个函数值等于它，能取到吗？能取到你不影响，因为你这取不到，但是你在这的时候呢？取得到不就行了吗？对不对？仍然不影响我能够取得最大值，能明白我意思吧？所以说这个等号可以取吗？ 可以取， ok， 那 我们就可以解下应该是十二加 k 小 于等于二加 k 的 方，然后我们最终可以解的 k 的 值应该是 k 大 于等于二倍根二， 为什么是二倍根二呢？那个负的我们就舍掉了，为什么？因为 k 是 大于零的，能理解吧，所以我们就知道了最终它的范围应该多少。 k 大 于等于二倍根二小于四，这个题目就可以轻松搞定了， 你会发现这个题目的思路还是非常非常的巧妙的，对不对？如果说你能够想到什么时候能够取得最大值，那么这个题目呢？就可以被我们轻松搞定，所以说同学们，我们的中考都是存在创新的，只有你能够把握住根本，把握住原理，这种类型的题目才可以被我们轻松秒杀。

我也对二模做一个预测，寻求和二次函数结合的区域应该会变多。北京十二个区，初三一模的专题分析来了，今天要给大家讲的是选择压轴体，后续我们还会推出待增、己增等专项，希望大家关注我们账号。在一模之前，我曾做过预测，我说选择压轴题啊， 会有大约一半或者一半多的区域，会完全考察和二零二五年中考一致的，是反比例函数加几何综合的这种选择。亚洲这是二零二五年第一次出现的题型，更早之前呢，是纯几何的，所以大部分的区域呢，会选择完全模仿中考。 那这十二个区中，我们看到朝阳、西城、丰台、平谷、通州、房山、燕山这七个区确实超过了一半。那第二种类型是什么？就是我不仅想模仿，我还想超越。哎，我觉得这个题他不一定非得和反比例函数结合，还有可能去和其他函数结合，而这个所谓的其他函数，那大概率就是 二次函数，所以有的区想走在前面。那今年就出现了两个这样的区，一个是海淀，一个是大兴。除此之外呢，可能还会出现第三种类型。果然就是出现了。说我呢，不知道是由于什么样的想法，还是没有关注这种考试的变化。我依旧考察二三年和二四年喜欢考的这种 纯几何综合的题，那就是昌平、石景山和顺义。总结完了之后呢，我也对二模做一个预测，二模呀， 纯模仿中考的第一种类型应该会减少，寻求去往前进一步，和二次函数结合的区域应该会变多。至于是否还会有继续考察第三种类型的，那我确实就没法判断了。所以大家要重点关注和二次函数相结合的这种考试题型。

好几何快，但是稳，心里还能提直畅。大家好，我是双擎数学邵老师啊，那今天呢啊，我给大家再次深入的研究一下西城的这个阴谋的几何综合，很多同学反应 很难啊，但是呢，今天呢，我在这个视频啊，这个靠后的位置，大家呢可以往如果着急看他的方法的话，就往后翻啊，我会给你提供他的第二问的啊，多种快速秒杀的方法啊。 当然呢，哎，这道题呢，我这个视频呢，主要是想给大家呢，再次通过新城区的这道几宗题呢，进行一个深入的探究， 看看通过这道题对我们接下来啊各位同学在几何综合的复习这块啊，还有哪些启示啊，所以呢，这个视频呢，可能会比较长，前面呢会对几何综合考察的一些热点的方向呢，去进行一个深入的挖掘 啊。最后呢，我会给大家提供啊，六种啊，目前的啊一些答题方法啊，当然我相信其实像几何综合一道题有十几种做法非常正常，也欢迎呢咱们各位同学家长，包括同行啊，在留言区啊，这个批评指正， ok， 好， 那这道题呢，题目条件各方面我就不读了啊，因为大家现在应该比较清楚了，而且我今天呢，重点就讲他的这个括号二，这个第二问， ok 啊，那么在这道题目当中呢，我想跟大家一起研究啊，首先先研究几个点啊， 第一个想要研究的点就是关于角度的这个理解啊，很多同学呢，在这个做几宗题的时候，往往对于角度这种条件呢，不是那么的敏感 啊，因为边呢，往往一标哎，比如说这道题 a b 等于 a c 是 吧，你一标这个边长相等，哎，他就比较醒目的提醒着我们啊，不管是哎用颜色去标啊，还是你标这种啊，斜杠啊等等 啊，但是角度这个呢，一个是有很多同学都没有标角的习惯啊，很多同学标角都这么标，一个圆弧代表一切是吧？啊，所以呢，往往很多同学不够重视它 啊，那么在这里面通过这道题呢，哎，我对角度这块呢，有这样的一些这个建议或者提示给到大家啊，第一个呢，就是关于主角角的这个概念啊，这也是咱们双题呢原创的一种说法啊，咱们呢，提出了主角，三角前有主角角，主角角什么意思？一般来讲， 题目中给某个角取一个名字，那你想想，它其实不是为了重点介绍介绍这个角 b a c 根本能理解吗？它其实为了重点介绍的是这个 alpha， 各位同学你体会体会啊啊，它就告诉你， alpha 在 这个题目中的角度当中，它占的地位是极高的啊，为什么要给它叫叫做 alpha？ 那 就意味着这道题的很多其他角都可以用这个字母给它表示出来， 这样的话，他可以串联起整个这个题目中的很多的其他角， ok， 所以呢，通常呢，这种的主角角，我们呢，第一个要标图传染啊，第二个要关注这个角度的关联性 啊，咱们叫同角 b 关联，对不对？比如说你有标阿尔法的，哎，有标二阿尔法的，有标二分之阿尔法的，这有背角关系，对吧？你可能还会标九十度减阿尔法的互余关系，是吧？哎，然后看到阿尔法，如果题目中还有一百八十度减二阿尔法，往往就会有 这种 r 为底角的等腰三角形，这叫哎，主角角的关联性哎，各位同学，你不信你可以翻一翻其他的带有这种 r 角的题目，你去验证一下是不是这样的 啊，所以在这里面的话，我们一定要标图传染，把能跟他相关的这个角度，尽量的都去确认一遍啊，都去过一遍， ok 啊，这就是关于这个主角角的理解啊，像这道题当中，哎，有一个非常重要的跟他关联的这个角，就是这个角是个阿法， 对吧？因为他后面有个平行线啊，平行线，那这个角的阿法在这道题的证明过程中啊，对全等这块啊，这个起着非常关键的作用。 好好，第二个，这道题呢，还有一个角度呢，就是这个 c i q 等于角 a p c 啊，这种呢，给两个啊，两个隔着老远的十万八千里的，这这样的两个角是吧， 那通常来讲，他就是我们造全等的重要素材啊，要么这两个角就是某两个全等三角形的对应角了，要么呢，哎，通过他们再找到第三者啊，比如说这道题，大家如果细细的挖掘，还能发现这样一个贝塔， 对吧？哎，那这样一来，这道题这个贝塔和这个贝塔之间的这种关联性就极强啊，除了这两个贝塔的补角也是相等的 啊，这两个补角的相等，对这道题的这个证明呢，也是有哎，很大的价值的啊，所以要充分的标图传染，把它开发透。 当然，这道题关于角度这块，还提供了像垂直呀，像平行啊等等这些非常常见的传染角的工具啊，咱们对这些可以倒角的工具特别敏感 啊。最后呢也提醒大家一下，虽然这道题呢没有重点考察，那还有可能是用了一次全等以后，再利用全等的对应角相等进一步转化啊，特别是我们最常见的这个几个全等工具，比如说 旋转的啊，这个全等，还有对应边的加角等于旋转角这样的关系是吧，哎，八字全等有平行线是吧？等等，这些大家要关注。 总之在这个角度这块，各位同学，如果你通过这道题哎进行了这种做题，并且进行了一些研究以后， 能不能对这个角度形成自己的一个总结，或形成自己的一个框架笔记，对吧？啊，我们建议大家有啊，那从这里面，哎，我再次啊理解了一下，那我发现就是首先乞丐中给的角度通常都是为了这个权的 来进行服务的。大部分情况是这样的，因为咱们这二十七题基本上就是要考全等的啊，所以给的这些关系不一定是直接就能用的，当然有可能直接能用 啊，我们一定要通过做集中的最基本的习惯叫做标图传染啊，再结合在我们熟悉的工具去灵活使用，那为什么要标图传染，因为角度最容易被我们忽略，只有你才能把它用的准，用的明白 啊。比如说这道题目中的关于贝塔，大家有没有发现我标出来的这个靠下的这个贝塔这个角啊，这个在后面的我的几种方法当中啊，起着非常重要的作用，有些方法就是得看一看，看到这里有个贝塔角才能想的清楚，想的明白， 好，这就是这道题的第一个啊，这个探求点，其实我的探求点就是价值点啊，就是大家看看通过这道题能不能让你对于角的理解，哎，又上了一个台阶，上了一个层次啊。 好，第二个，这道题的这个探求点是什么呢？是垂直哎，有同事说，垂直有什么好探求的对吧？标个直角，然后去倒角吗？护于角吗？ 确实有一些垂直就是给我们用来倒角用的，但是对于垂直这个条件来讲，他背后的东西可太多了 啊，很多同学往往看到垂直以后，没有深入的去想啊，比如说看到垂直，对吧？他是不是有直角三角形 啊？像咱们这个图当中有 dcp， 有 bcd 是 吧？有 acd 啊，一系列的这个直角三角形，那么这些直角三角形出现了，我们就可以用 勾股定律，斜变中线，哎，等等这样的工具是吧？这是直角三角形天生自带的啊，天生自带的，所以而这些工具的话，往往它不是那么显眼，它不是两个对应边相等那种，那么明显的摆在眼前， 都是背后要去再挖一层的，所以有些同学呢，往往看不透他啊，那再一个，哎，直角这个条件各位一定要重视，他有一个非常非常重要的热点的考点， ok 啊，叫做直角补等腰。那么很多同学对于直角补等腰的理解，他停留在补完等腰，会有旋转的手拉手，其实不只是这样 啊，这个咱们呢，在二三年中考有直角不等腰，补完以后旋转手拉手，对吧？哎，咱们二五年中考也是直角不等腰，补完了以后旋转手拉手，各位同学可以自己去翻一下啊，我就不给大家看图了啊 啊！然后呢，像这个今年的海淀一模也有直角补断腰， ok， 但那个补完以后就不一定是找一个旋转圈的，同样，咱们这个题目也可以直角补断腰，而且你看到因为他有三个直角三角形，理论上来讲可能有三种补法，是吧？啊，所以就带来了这种复杂性， 那么这个时候我们要想明白，我为什么要补等腰啊？直角补等腰是为了得到全等工具，而且我们会发现，咱们双体总结的四大全等工具，他都能找到 第一个，哎，补出等腰以后，等腰自带共端等长，是吧？哎，共端等长就意味着有旋转全等啊，各位体会一下啊，体会一下，比如说我把这个，这个，这个 c d p， 哎，我补成一个等腰，哎，变成了一个这样的一个等腰三角形，这就共端对称，是吧？并且补的时候呢，可以往上补，也可能往下补， 各位一定要看清楚，对吧？我也可以，甚至还可以这么补啊！同样，我在这里面也可以把这个 a、 c 这个边往往右边补，往往是一种非常常见的处理方法， 对吧？啊，当然也可能是往下面补，对吧？哎，这些都是他非常有可能的一些直角补等腰的补法，所以一个直角出来，咱们有多种补等腰的方向，而且补完以后，这些等腰往往首先都有自带边等，有旋转圈等 好。其次呢，直角补了一个等腰啊，为了方便看，我还是选择中间的这个小的啊。补完等腰以后，大家看，这里就有轴对称 啊，它自带这三线合一是吧？啊，如果是三线合一，就自带一个终点关系，所以你看，我要往左边，比如说补一个这个 d f 和 d p 相等，是吧？哎，那就显然 d 就是 一个新的终点 啊，终点就背后可以用八中斜三是吧？哎，同样，哎，这里面有一个轴对称的结构对吧？哎，这个白塔角就可以跑到这个白塔这个地方啊，好，再一个呢，就是他有可能直角补完等腰干嘛呢？就只是给你提供一对边等 啊，你只要利用这个边等去作为其他全等的转化一种普通全等，所以后面可能用照猫画猫 啊，咱们这道题也会存在一种这样的做法，所以关于这个点，我相信各位同学通过刚才我给大家的一个描述，应该开始重视了啊，所以垂直或者说九十度可能是最容易被咱们忽略的一个热点条件， ok 啊，这里面千万不要只是标一个直角符号，甚至有时候题目都已经标好了，你都不管他啊，这我认为，哎，我给他这个加一个属性，他可能是一个典型的叫做扮猪吃老虎的条件， ok， 看起来这种人畜无害的，但其实背后你看隐藏的四大工具全部都能从他背后挖出来， 是吧？所以面对垂直这个条件，我建议各位同学做做一个轻探索，哎，就是我一看到这个垂直了，首先看背后有几个支教三角形啊， 对吧？哎，所以潜在的边的勾股定律的关系啊，如果计算就勾股定律对不对啊？潜在的斜边中线你都可以看一眼啊，然后呢，这里可能往哪个方向去补等腰啊，哎，补完了以后，大概有个什么效果呀？先稍微建立一个直观的感受 啊，所以快速确认一下，这个叫浅探索，这样你有个印象，一会呢，信息多了啊，再去想，从这个条件去开发，是比较容易开发的。 ok， 好，这是这道题的啊，第二个，哎，值得我们深入思考的啊。当然呢，哎，大家可能有更多的更好的一些想法，也欢迎大家啊，在这个视频后面留言去啊，我们进行交流。第三个，就这道题，是个很好的探讨终点的一个啊，一个题目 终点呢？首先呢，咱们呢，跟同学们讲过很多遍，看到终点就是八中斜三八字全等啊，就所谓的背长中线是吧啊，然后中位线，斜边中线，三线合一， ok， 那 这道题呢，它的终点信号其实就很多，对吧？哎，除了题目中给的一个明显的意识，终点意识 ap 终点啊，包括刚刚说的这个直角不等腰以后，这个 d 很 有可能就是个终点 啊，很有可能是终点，所以这里面终点的线画很多的啊。另外就是这个里面，如果看到两条线段有两倍关系，这道题呢，我们可以猜 b q 等于二倍的定义对不对？ 哪怕题目中没有终点，结论中出现这种两倍的线段数量，这两条线段可能隔着十万八千里没管点，他往往背后也会藏在终点， 因为你说这两倍线段怎么出来呢？对不对？最快的，最容易得到两倍线段的，往往就是终点是不是？当然，如果题目中有三六九啊，或者什么呢，又是可能另外的可能了，但大部分情况下，这个背后都有终点， ok， 好， 那再一个就是这个刚才说的终点有八中斜三，各位要注意啊，终点背后的这个八中斜三这四个工具，他经常是组合拳 啊，经常会组合使用八字全等加中卫线啊，八字全等加三线合一等等。 ok， 这里面简单给大家画一个截个图来试一下啊，比如说啊，我们在这里面有一个终点的信信息， 对吧？哎，那么我们经常会看到有些题目，大家也不知道有没有见过啊，一个八字全等穿过这个终点， 同时呢，哎，这个八字圈的目的是什么呢？他为了让你得到的实际上是跟这个哎栏边相关的某一个某一个三线合一啊，因为这个三线合一呢，你又会发现他又有一个旋转圈的在这藏藏着，经常会啊， 当然这这这个不一定啊，有些题目经常会藏着一个旋转圈，等会什么样的啊，所以就这种叫组合拳， 对吧？哎，所以你看终点，你不要孤立的去看它，好啊，那么再一个就是关于这道题，关于终点的一个重要的启示啊，就是这道题的终点，很多同学看的会非常难受，因为这个终点在线段 ap 中的一部分， 是吧，这也是这道题很多时候做起来不舒服的地方。那其实如果你以后看到线段的一部分有终点，往往是再找一个终点，在这条线再找个终点，就出现了双中点结构。双中点结构，各位同学不用去记它的结乱 啊，初一的时候有的同学可能老师让记过啊，这个线段 a b 的 中点是啥？然后 a、 c 的 中点是啥？然后这两条线段啊，这两个中点连起来是哪条线的中点？不用去想，这里面就告诉大家，只要出现双中点就设参标点 啊，设参表示，各位能理解，就是对于一个双中点结构以后出来以后，他就是很容易用参数去表示他，比如说，这是 a 啊，这是 b， 对 不对？哎，假如 a、 b 有 个中点 c 啊，然后呢，我们在这里面再来一个一个一个中点，是吧？啊，比如说这个，这个里面这个 a d 再来个中点 e， 是 不是就很乱，对吧？哎，这个时候你去设参数去表示它，你发现就很简单啊。在这里面，比如说，哎，这个 d c 是 小 a 啊，这个是小 b， 对 吧？哎，那么 d e 就是 a 加 b， 那 a e 呢？也是 a 加 b 啊，那么这个时候 a c 呢？就是二 a 加 b 啊，所以 bc 就是 二 a 加 b， 哎，然后 b、 d 就是 二 a， 哎，你会发现这个 ec 就是 b、 d 的 一半， 对吧？这不用刻意记，就是这种射餐标边是非常好的处理双中点的，这个方法 ok 啊，所以这道题有没有通过这道题回头对咱们重点这块的这个认识又加强了呢？ 啊，又加成了， ok， 好， 那再一个啊，这道题呢，还有一个重要的探讨点啊，就价值点，就主角三角形这道题呢，同学们在实际考场上做的时候是感觉比较棘手的啊，那么这个我们有双题，有个独创的主角三角形技术 啊，什么叫主角三角形啊？任何一个三角形一定是有三个要素，这六个要素通常来讲只要有三个以上 啊，是跟条其他条件有关联的，或者跟结论有关联的，那这个三角形一般就是主角三角形了，就很有用了啊，甚至在某些时候有两个有用就已经很有用了。 ok， 那 这种三角形呢？通常叫主角三角形， 特别是如果这个三角形啊，他的这种有用的信息当中，既有跟条件中的核心工具关联的边或角，又有跟结论相关的边或角，那这个三角形基本就主角三角形。 ok， 他 是我们几种提速的关键，就是几何综合，有的同学不知道咋做，就在那里绕圈，绕圈绕圈 啊，绕圈就是没有目的，没有目标啊，你拿着一把利枪猎枪在在原始深里面走来走去，对吧？啊，你不知道打啥打什么啊，但是如果你知道主角三角形是你的目标，那你做题就快多了 啊，就像你打的时候，你知道你专门为了打兔子，你怎么去找兔子是吧？啊，你要去打鹿，你怎么去找鹿啊？所以主角三角形就是我们做这个几中的一个非常好的提速的技术。那么这道题呢，有一个非常非常好的三角形，主角三角形 啊，这个直角三角形，就是我们在下面的这个三角形， abm 啊， abq 啊，注意这个 m 和 q 很 容易混啊，为什么呢？首先看 ab 是 跟条件有关的，对吧？有 ab 等于 ac 这样的条件是吧？啊？然后呢， b q， 它是我们的结论边， 我们要证 b 口等于二分之一的，你看，这已经值两毛钱了啊，我们细称这个三角形三个边，三个角一共是六毛钱，这就有两毛钱了。好，然后呢，由平行线可以知道它里面有一个内角 r 三毛钱了吧。啊，由这个题目中这个角 和这个角相等，那么你会发现，这个角虽然没有直接标，但是跟条件给的两个一个主角角，一个给的等的角都有关联，所以呢，哎，是不是这个角也至少值半毛钱吧 啊，同时如果你关注到平行线，发现这是个贝塔的话啊，那这个角就是一百八减贝塔啊，那这个至少也值半毛钱吧，哼，所以这个这个三角形值三毛钱没没毛病吧？啊，那他确实是个主角三角形， ok， 这是个主角三线，围绕这个主角三线开发，是我们这道题非常快速的做法啊，那么接下来呢，哎，我给大家介绍介绍啊，这个我研究的几种这种做法啊，当然可能做法不止这些，但是呢，这些方法呢，主要是提供大家呢这个 探索使用啊，每个方法呢，我也做了一些简单的这个点评，大家来体会一下啊。啊，好，这道题呢，首先呢，就是主通过这个主角三角形来扩句 啊，这个主角三角形呢，给我们破局，主要是要通过一种照猫画猫的权的，但是呢，这个照猫画猫是不太好找的啊，那怎么办呢？你就需要找边和角的信息，而这道题主要是为了角的信号， 以及我们对于这个题目中直角不等腰的这个热点的敏感，就可以抓住这个方向啊，这个方法放在第一个说是因为主要是这个直角不等腰啊，是现在非常热点的一个方向啊，应该也是很多同学 尝试做辅助线的方向啊。 ok， 所以 我跟大家说一下，刚刚我已经说了，这个粉色阴影的三角形是个主角三角形很合理，对不对 啊？但是我怎么找这个全等呢？那你就观察他这里面有阿法角，有白塔减阿法角，对吧？哎，有白塔的补角， 所以还有红边，对吧？你要去构造，那要么就是在红边旁边构造，这道题可以啊，但是呢，一般同学不太容易想到那个方向，所以我放在后面说，要么就围绕这个角，哎，你会发现，白塔角旁边一百八十度减贝塔 这个一百八十减去的。而一旦同学们如果做了个直角，不等腰，就会发现，哎，这个红边就变成这个 c f 了， 对吧，并且阿法角也出来了啊，所以一下子就可以看出来，这个粉粉色的和这个青色阴影的两个三角形是一对全等三角形， 因为他们的三个内角都对应的啊，这个角也是北塔角啊，只要有一条边，那显然红边相等，所以不管是角边角还是角角边，都很轻松就可以挣出来这个全等了， ok， 所以 这就这道题目呢，非常快的一个方向啊。当然这个方向呢，有一个小难点，就是，哎，我们如果得到这个全等啊，我们会发现，这个 b q 呢，它是等于这个 f p 的，是吧？ 啊，这个 f p 怎么能等于这个 d e 的 两倍呢？啊？那这个时候你就要体会到，如果是共线的出现，这种隔着这个两倍的关系，一定是双中点， 所以呢，对于这个双中点的设参标编法，大家要特别熟悉，那在这里面我给大家再来一遍，是吧？啊，强化一下，一般来讲，设小的编，短的编啊，为那个小 a 小 b 啊，任意两个比较短的不等边，你设出来就行了，比如说，哎，这个 d e 是 a 啊，那 d p 是 b， 可以吧？啊，那因为 e 是 a p 的 中点，所以呢，这个 a e 呢，就是 a 加 b， 跟刚才一样，对不对？那这样一来，这个 a d 呢，就是二 a 加 b， 哎，然后呢，这个直角不等腰，有三线合一，这个 d f 就是 二 a 加 b， 对 吧？ 减去 d p 一个 b， 所以 这个 p f 就是 二 a， 也就是 d e 的 两倍，轻松出来了吧。 ok 啊，这就是双中点，咱们这个设餐标边的啊，常用处理方法，这也是咱们啊，今天给大家提供第一个思路啊，那第二个思路呢，也是围绕这个主角三角形 啊，只不过呢，在这里面我们直角不等腰呢，我不是像刚才那样啊，这个方法呢，也可以说是这道题所有证明方法当中，可以说是最简单的一个方法了啊，但是呢，这个方法呢，说实话啊，很多同学不太习惯往里面去，直角不等腰， 对不对啊？而我们会发现，因为这里面有贝塔是吧？啊，贝塔角跟这个粉色的三角形是有强关联啊，那如果我把这个 点 p 关于点 d 做一个中性对称啊，在就是在这里面截取一个 f 连接 c f， 那 这里面就出现了一个轴对称，那么贝塔就跑过来，所以这个角就是一百八减贝塔对吧， 而这个角是阿尔法，所以显然跟我们这个粉色的主角三角形角就对上号了啊，这个角是贝塔减阿尔法，对不对啊？而边呢，现成的 ab 等于 ac， 所以这个全等就出来啊，那这个全等出来了以后，咱们的这个 b q 是 吧？哎， b q 就 跟 a f 相等了， 那同样，这里面要证 af 是 这个 d e 的 两倍，也要去设参标啊，那么这里面同样我们设最小的那些部分啊，比如说 ef 是 a 啊， d f 是 b， 那 么 pd 就是 b， 那 么这个时候呢， p e 就是 a 加二 b， 对 吧？那 a e 呢？哎，也就是 a 加二 b， 对吧？ a e 就是 a 加二 b， 然后呢，我们这个要的 a f 是 不是就等于二 a 加二 b， 对 吧？然后呢，这个 d e 在 这个图里面是不是就小 a 加小 b， 所以 它俩是个两倍关系，轻松搞定， ok， 所以 这种设参啊，去处理双中点的方法非常之好用， ok 啊，那所以呢，这种方法呢，说实话啊，虽然是这个，这个 挺简单的一个做法啊，但是呢，这种内部去指导不准，要不是所有同学都很熟悉的一个方向啊，朋友们可以多去尝试，也就说在这个地垂直这个地方啊，我们可以任意去补，只要合理就补啊，当然， 好像把 c、 d、 b 补过来是不太行的，为什么呢？因为 c、 d、 b 当中没有啊，其他的有价值的边的，或者或者角的信号啊，所以补出来没有太大意义啊。 好，那接下来我跟大家说一下第三个思路啊，仍然围绕这个主角三角形，仍然是围绕主角三角形，怎么去构造？我们会发现，这个粉色的主角三角形有一百八减倍它角， 哎，在这个图形当中，现成的呢，就有一个红边，他这里面有个阿法角，但这个呢，有的同学不太好想，待会我提供另外一个思路也可以做啊，那么我们会发现，哎，如果往上做一个平行，这个就是阿法 啊，然后呢，这个地方就是被它减法，其实这种想法也可以用类似于一种轴对称的想法，因为 abc 是 个等腰三角形， 等腰就有轴对称是吧？啊，大家看吧，其实是相当于把粉色的三角形啊，沿着 bc 边上高所在的直线翻过去 啊，翻过去了，所以你如果啊对轴对称比较敏感，你也可以说这是一个轴对称的这个想法啊，其实这个想法我我我第一眼想的，当时是想试一试轴对称的工具能不能用啊，然后呢，哎，看出来 啊，那么这么翻出去以后的话，哎，咱们呢，这个 cf 就 跑到上面了啊，但是这个 cf 等于定义的两倍呢，哎，还需要你对这里面另外一个轴对称结构，就是有个等腰梯形，要稍微敏感一点 啊，因为这个角是贝塔，上下是平行的，对吧？啊，上下是平行的，所以这样一来，这就是一个等腰梯形，我们呢还需要呢，这个 这个再做一个啊， f 往下的垂线啊，正得这个左右的这两个小直角三角形全等之后， 得到中间这个 f c 啊，就是这个这个 d e 啊，这个这个就等于这个 b q 啊，然后呢，再根据意识终点等量减等量，就可以得到中间这两条线段，说明这个 c f 是 d e 的 两倍啊，也就是 b q c 的 两倍， ok 啊，这个呢，也是主角三角形，很容易切入啊，但这种对称的结构呢，我们不太熟啊，提供大家作为参考啊，各位一定要注意啊，我虽然讲几种方法，但最后我会跟大家说，我不推推荐大家啊，特别是同学们在平时 啊，去研究太多的一题多解。 ok 啊，那咱们各位家长同行老师啊，可以呢，这个多研究是吧？啊，咱们有时间啊，有精力啊。好， 那接下来呢，我们再来看看，如果我们对这个里面的条件比较敏感的话，我们还可以怎么做呢？那就是观察发现，只要你看到这边有一个贝塔角，这边有一个贝塔角， 哎，那你发现这里面就存在着两个直角三角形的全等直角三角形，那就是一个是这个粉色的和青色的直角三角形。 ok， 一个是我画紫色斜钢卷的这个直角三角形，那其实如果你看明白这个以后的话啊，这个当然需要对线段的这个关系呢，有一定的敏感度，你发现其实就是这两个边，一个是在 a d 这么长的基础上往外补一块，一个是在 a d 这么长的基础上往内收一块啊，所以最后一定可以得到两倍关系啊，对吧？那这个呢，同样咱们呢也要写一下啊，写一下就是这里的 a d 作为对应边，它应该等于这个 b f， 对吧？啊，那 a d 这个边它怎么回事呢啊？它在这里面我们要找到它这个 d e 啊，它是 a e 加上 d e， 对不对？而 b f 呢？ b f 呢？这条边啊，咱们看看它，它是 b q 加上加上 q f， 我 们先把目标的啊结论边先给它找出来，接下来再往这个方向转化啊，其中呢，意识中点是 a e 再写成 p e 加上 d e， 这个 b q 不 动，而 q f 作为全等的对应边，把它写成 d p， 对 吧？然后这个 p e 减去 d p， p e 减去 d p， 是 不是又是个 d e， 所以 是两个 d e 等于 b q， 哎，这就出来了。 这个说实话啊，这个方法整体来看也挺简单的，但这个线段关系，我认为很多同学在考场上是不太感觉到的啊，他对这个线段啊，是这么一回事啊，一个是过去， 这方面的经验不会太多啊，在考场上有压力的情况下，也挺难想到这个方向， ok 啊，所以呢，这个呢，大家可以参考一下啊。 好嘞，那我们会发现啊，在这里面，也就是说任何一个方法，你首先要有个关注点啊，知道基于什么去切入，因为直角三角形简单，所以呢，我们以直角三角切入，对吧？同样，如果我关注终点呢，因为这道有终点 啊，那终点也可以啊，那么围绕终点，我们可以开发相似啊，这个里面主要是对终点怎么用大家看，比如说这个 e 是 ap 的 终点 哎，在一的附近呢，还有直角三角形，所以在这里面的话，我们就可以综合利用。刚才说中点工具哎，它经常会组合使用，对吧？咱们只要取一个 c p 的 中点啊，那这样 e f 就是 a c 的 中位线， 它平行且等于 a c 的 一半，所以呢，这个 d f 啊，就是 pc 的 一半， 并且呢，这个角是 beta， 那 这个旁边这个角就一百八减 beta， 然后这个角就是 beta 减 alpha， 哎，所以这个小三角形的三个内角和这个大三角形的三个内角是不是完全一样的， 那也就意味着这个三角形 d e f， 它一定相似于三角形 q b a 对 不对？ 并且它其中的对应边 e f， 哎，和 a b 之比刚刚好是一比二， 所以这个 d e 就是 b q 的 一半，而且这个是不是也很简单啊， 当然，虽然简单，说实话啊，这个方法呢，相信同学们在考场上呢啊，不太敢用啊，因为我们都知道二十七题考察，我们主要考察的是全等是吧，所以像相似这种工具呢，是一些啊，呃，一个是对相似呢掌握的比较好， 同时呢，这对于这个图形的关系呢，结构呢，比较自信，就想到他必然的吗？这两个三角形他角都一样了吗？哎，并且有边是一比二的关系吗？ 啊，可以这么说，这方法应该是所有的证明方法当中可能是导边这个地方最简单的一个一个方向啊，但是呢，呃，确实说实话，虽然这个方法简单啊，也不是我第一优先推荐给同学们的啊，推荐的还是前两种这种做法好吧。 啊，那同样这道题呢，我们还可以有些其他的做法啊，比如说啊，咱们在这个里面啊，从结论出发，我就想找二 d e， 我 想有的同学考场上就这么想的 啊，我就找两倍 d e 行不行啊，我们把 d e 呢往左边去延长一下，其实这个没有辅助线，就取一个点是吧？啊，得到这个 f， 哎，这个 d f 就 要两倍， 那我怎么证 d f 和 b q 相等，同样利用 b q 所在三角形的角度关系，我们就可以强行的去做一个这样的构造啊，那就是在 f 这做一个 cp 的 平行线，那就有贝塔角啊，以及一百八减贝塔角是吧？啊， 在 d 这个地方呢，做一个阿帕角啊，然后呢交于点记啊，然后呢就连接 g a 啊，那这样一来的话，这个 青色的阴影的三角形就出来啊，剩下的话，我们需要呢，在这里面正一下，他得有一个边啊，得有一个边啊，这个里面的话啊，如果直接这么做辅助线去正 他，稍微有点麻烦，也不是不能正啊，所以呢，结结合刚才的这个分析，我们最后呢啊，可能做的辅助线是什么呢？是过 a 做一个 a g 垂直 ab， 并且跟 cd 相等 啊，然后呢，这个这个连接啊，在在这个里面再截取一个 a f 等于 d p 啊，然后连接先正这个紫色的全等，对吧啊，然后呢，这样一来，这个这个紫色小三角形全等了以后啊，我们呢通过这个关系呢， 可以得到这个大的啊，这个 a d g 和 c d a 也是全等的，所以这个阿发角也就出来了啊，然后呢红边也就出来了，最后再占这两个阴影的三个全等啊，这方法非常的复杂啊，那我之所以说一下是因为什么呢啊，这个方法就要讲一个道理， 就如果有同学想往这个方向去想，是不是因为考场上我们无法控制同学们的想法，是吧，很多同学都是基于某一个角度去想的，但是呢，其实在考场上我们是没有时间去想很多种方法的， 我的意思是，同学们只要在做题过程中你有想法，并且这个想法有一定的理性，特别是他跟其他的条件和结论的信息能整合在一块，这个想法通常就有用 啊，所以从我们考场上做几宗题，最怕的就是我不知道这个走法行不行，我们有个判断的标准，就是你是不是始终在用条件贴结论啊，就只要是不断的用条件贴结论的这种方向，他就可以， ok， 好， 那当然这道题肯定还有很多种做法啊，一道几宗题十几种非常正常啊，那我在这里面呢，也不给大家这个讲太多了 啊，啊，因为我认为我对这道题的研究目前还比较肤浅啊，那我把阶段的这个研究的成果啊总结跟大家再过一下。我认为通过这道题啊，我们得到的启示是，首先呢是几中，特别是啊，咱们这个备战中考同学 啊，不要因为这道题有一定的难度，然后呢就偏离他的方向啊，集中还是围绕最热点的这个考点和工具去进行开发啊，像咱们刚才讲的四大全等工具对不对啊？像咱们讲的主角三角形这些都是啊， 非常重要基础的啊，这种处理方法，这个还是最后一个阶段咱们复习的重点啊。第二个呢，这道题呢，我给大家讲了六种方法是吧？啊，但是 我不推荐咱们同学们啊，这个研究一题多解， ok， 研究一题多解的事留给老师干就行了是吧？啊，这个，为什么一旦你形成研究一题多解的这种 意识以后，你在考场上冷不丁的就会这个想想那个想想啊，结果选择多了，可能反而是弊大于利的，你反而不能坚定的从某条路走到终点， ok 啊，好，那再一个就是在这道题目中啊，提醒我们，对于这个直角不等腰这个热点的这个考点，还需要大家进一步深入的这个探讨啊，我相信呢，咱们呢各位老师啊，包括我们各位同学在平时做题中会刻意关注一下 啊，这个直角补等腰他是啊，二三二五年中考啊，像今年海淀西城都考到的这样的一个考考察的方向啊，并且补完等交以后，也不一定就是用旋转全等啊，也可能用它的角度关系，也可能用轴对称等等， 所以这个里面的话啊，是很有灵魂的一个应用的啊方向啊啊，所以值得我们各位同学多体会啊。嗯啊，在这里面我其实应该打的很灵活，哈哈。啊 啊，好吧，来，那这就是关于这道题的啊，我再一次研究的一个思考啊，这个各位呢，欢迎呢在留言区啊，这个这个做一些这种点评分享， ok 啊，那当然，如果各位同学啊，想在这个几东这块啊， 最后的冲刺阶段，还想进一步这个深入的这个去学习一下，你之前没有什么太系统的方法，也欢迎呢跟咱们科普老师了解一下啊，咨询一下咱们相关的课程，好吧。

冬虫一模的几何综合有点太简单了，各位同学如果要是需要其他的资料，可以在评论区敲六六六，这些资料都会打包给大家，我们一起来看一下冬虫一模的这个几何体。第一题，角度问题，对于大家来说我觉得应该比较简单，我们在这里面呢可以给 b 设一个阿尔法，因为这个角是六十度，所以根据三角形的内角和你就能得到这个角是一百二十度减去一个阿尔法， 它告诉我们 ab 绕点 a 旋转一百二十度，所以说这一个角应该是一百二，这边一百二十度减阿尔法，所以这个边就是一个阿尔法，所以第一问对他来说没有任何的压力。 我们来看一下第二个，让我们去求 a i、 a、 f 和 bc 之间的一个关系，大家猜可能首先也会猜二倍，那这个二倍关系咱们到底该怎么去证？各位，我们会发现你第一问已经证明这两个角是相等的，条件里又告诉我们这两个边是相等， 那此时你会发现一边一角，这个就和西充的思路是一样的，那我们构造全能怎么构造？还有一个非常特殊的条件是咱们几何当中比较重要的，那就是特殊角度，这里面有一个六度，我们会发现这一个三角形，他旁边有一个角是一百二十度， 那这个六度能干嘛？我们能想到构造等边，所以你在这个地方如果构造等边，那大家就会发现这个角度就是一百二十度，就和这边的这个角度也相等了，所以你会发现这道题的全等构造起来是非常的清晰，也非常的简单， 那这两个全等出来了之后呢？我们就直接设边三就好，这里边是一个等边三角形，这边是 a， 这边是 a， 好， 那这个就是一个中点，这边是 b， 这边也是 b， 那 所以我们就能得到 a， e 就 等于 b， m 就 等于 a 加二 b， 那 这样的 bc 就 等于二倍的 a 加二倍的 b， 那 我们会发现 af 就是 a 加 b， 所以 这道题就是 bc 等于二倍的 af， 总体上来说难度是非常小的。对于我们全等当中没有考察，我们所谓的 叫做手拉手模型，或者这些前模型考察的是和西中一样的边和角的构造。东重在去年模考当中也考察了这些的内容，但是总体难度不大，大家在考试的时候我觉得还是要拿到满分。

哎，西城一模数学今天下午出来了，你给我讲讲呗。行啊，那趁着这热乎劲咱们也来分析分析今天下午这卷子啊。就今天下午这卷子吧。一模这个函数相关的考了有十八分吧，二十一题考了一次函数，二十六题考了二次函数，二十八题考的新定义也是函数的内容吧， 基本上呢，就是压轴三个题有两个涉及函数。所以说函数还是很重要的啊，基本上对称轴最直，然后焦点距离基本上这几个问题，然后数学是考了十四分，这次考的不算难啊，我觉得都是计算化简，一时分解，然后整体带入这些内容，然后起宗啊。压轴考的是 呃，等二三角形全等线段倍数关系，然后远考了六分，呃，基本上也就是什么垂直定律，呃圆周角切角三点函数这些东西，然后方程不等式考了十三分啊，涉及不等式组分式化简实际应用我想特别说明一下子。就是有的家长看了这个。刚才也有人跟我讨论哈，觉得说 选择题的最后一题好难啊。其实我觉得并不难啊，因为他考的是这个几何规律的探求，然后他只不过是说更要求这个逻辑的归纳。他是一个 叫做呃规律探讨类的题型啊，考的是比较灵活啊。确实是，然后从命题趋势上看呢，难度结构其实还是比较常规的啊，基础百分之六十，然后呃选择填空，简单计算基础证明这些东西，然后中档题大概也是个百分之三十左右，然后函数综合呀，原综几何计算 难题有个百分之十吧。从命题特点上看呢，这次考试其实计算量还比较适中的，所以说孩子们在写的过程中其实压力不是很大啊。他这次考试我觉得他主要是重思路不重死算。 然后几何其实还是那些常规必考嘛，全等相似三角函数组合，二次函数的必考点也还是对称轴啊，区间最直，然后焦点距离。 第二十六题那个焦点距离那个题，其实它难点就在于这个距离函数 d 的 分段讨论，其难点就在这。然后原必考的也还是垂直定力切角角度转化。压轴题呢，其实还是比较稳定。在 你比如说几何，就二十七题这个题吧，其实就是用我们经常练的截长补短、构造全等中微线对称思想的结合， 其实就能搞定。然后呢，函数形定义就二十八那个题，这个题就是答案是属于比较复杂的含餐不能试的范围设计，根号预算和数形结合，咱们简单预测一下。二，我觉得应该会在己中函数压轴和填空压轴上拉开这个区分度。

我们北京初三的家长们，昨天这份西城一模的试卷考完了，整体难度呢，要比海淀一模大一些， 不是题目出的偏，而是出的更加灵活，也更深，着重考察孩子数学的综合能力，对逻辑性和思维严谨性要求更高。张老师呢，还是大家拆解一下，也帮孩子具体查漏补缺一下。 首先呢，部分，这个跟海淀的一模类似，稳稳的拿到分数是关键，但是有些题目确实更加灵活。 首先选择题的前七道非考察了轴对称图形求角度科学技术法数轴问题，概率有序列据判别式尺规作图。求角度 填空题的九到十四题也是重规重矩，但是第十五题更加灵活，考察了相似或者三角函数，很多同学容易在这个题上卡壳 夹题的基础。前五道考点和海淀一模类似，实数计算解不等式组分式化简四边形综合这个与全等相关求边的倍数关系。 方程解应用题以某个图形为背景加入和差辈分的关系。这几个基础的题目是我们的基本盘，一定要拿到满分，为后边蓄力冲刺。 接下来呢，咱们来聊聊选田压轴呢，海淀和西城各有侧重侧中小几何论证和最值。选田压轴相对于来说呢，昨天的海淀一模难度更大一些， 题对标的是二五年北京中考，但是后两小问更加灵活，分析需要更加的严谨，既有对基本功的考察，也增加了灵活度的运用。 填空压轴，这个和今年海淀一样，考察优化对值问题，但难度相对来说更大，对孩子的要求更高。整体的题型呢，相对是固定的， 中间的解答题部分核心考点依旧不变，重规重矩，但是对于基本功要求更高，更加灵活。依次，函数综合依旧是直线的旋转，依旧是竖形结合，找准焦点。不过西城这道题多了一个函数，需要加点小心。 统计。综合问题，考察平均数与中位数结合，表格与折现图，对信息精准提取要求更大。 综合相对来说，昨天海淀的难度更大一些，依旧是重点解多个直角三角形。西城这道题解了三个，但这个题呢，都考察相似函数。研究问题，依旧是考察了实际应用两个函数。最后一问依旧需要几何，图像与表格的结合，也加入了一定的计算难度。 接下来咱们说说压轴题，西城的代宗和己宗很有难度。新定义呢，相对来说比较友善。代数综合难度不小，但绝对是道好题，紧贴二五年北京中考，对线段问题进行拆解，然后再剖析对应的二次函数，值得同学们反复做一做。 几何综合这个题难度依旧不小，考察了终点模型，方法比较综合，但是这个类型对标的是二三年的北京中考的几何综合，这个也是我们课上重点强调的，从终点找到突破口。 新定义依旧是多动态轨迹问题，前两问难度适中，适合同学们上手做一做。最后一问，西城这道题对运算的要求更高，做到第三问的同学可以体验一下整体的难度，算是在新定义里边比较适中。 总的来说，新一模数学对孩子的整体考察更加灵活，对基本功的要求更高，不是对套路的生搬硬套，而是要理解条件与条件之间的逻辑的链接，思维量更大。 同学们可以对着试卷看一看，哪些题目能稳定的拿分，哪些题目思路不清晰，条理不明确就卡壳了。 有针对性的进行查漏补缺。需要试卷和家长的家长口吸成一模，我发给你，让孩子结合题目好好复盘，把错题搞明白，比错题搞明白，比盲目刷题更管用。越是这种考察入目三分有深度的题目，越要吃透，提升自己，各位加油！

二零二六年呢，北京西城初三一模已经考完了，我们来分析一下西城的数学的命题的一些特点。我们先来看一下这个整体的命题的方向。首先西城一模呢，高度贴合北京中考的命题的范式， 他以核心素养呢为导向，然后逻辑推理呢为骨架，通过代数几何综合呢为抓手，他特别强调孩子的什么呢？严谨性是吧，规范性，综合性以及创新性。他在这个题型的结构上和这个分值分布上设问的方式呢，基本上是完全对标中考的 七成。数学呢，也是遵循了三大的命题主线，这个里面呢，涉及到了实数的混合运算方程以及呢函数。 那么第二条主线呢，就是几何主线，那么这个主线呢，主要考察到了就是圆的性质，切线啊，矩形啊，菱形的判定以及全等三角形，包括了一些旋转也好，折叠也好。第三条主线是创新的主线 啊，这个里面我们看到的在统计决策实际的情景，建模方向啊，新定义的几何方向，几何代数的综合压轴的方向，都对孩子创新能力提出了非常高的要求。 总体来讲呢，本套试卷的难度系数呢，处在是零点六二到零点六五之间，他是略高于中考的啊，相对来说是一个比较标准的一门的难度。总体来说，如果孩子现在的考试还没达到八十五分以上，说明孩子呢，或多或少还是存在一些数学基础上的问题。 欢迎呢家长呢，把你孩子的试卷私发给我，我帮你分析分析孩子目前存在的问题以及呢，接下来一个多月应该怎么去解决一下这些问题？

同学们，这个视频我们来讲解一下西城一模的这道代数综合题，很多考完的同学们反映这道题的难度会比较大一点， 他至少会比海淀的期末呃，海淀的一模难度要大一点。但是李老师想说的是什么？就是他包括我们的西城一模，包括我们的海淀一模，他都是从我们的中考的题去改编来的，就二五年中考题去改编来的，那么我们不管他这道题再怎么变，他的核心是不变的， 所以我们接下来来跟着李老师来去走，看他的核心到底是什么？我们怎么样可以很顺的去把这道题去做出来。我们来看题啊， 在平面直角坐标 x、 o、 y 中已知二次函数，那么这个时候有 ab 两个位置的字母，那么看到这个解数，我们立马写到它是横过的，是零，逗号零对不对？ 那么括号一，当 x 小 于等于二十， y 随 x 增大而减小。当 x 大 于等于二十， y 随 x 增大而增大，用等式表示 ab 的 关系，那么你看 x 等于二这条线是它们增大而减小和增大而增大的一个分界线，对不对？所以说 x 等于二，那么就和它对称轴， 所以第一问直接是由由提一可知，由提一可知。那么在这个地方 pull 物线的对称轴， pull 物线的对称轴， 对称轴为的是什么？ x 是 不等于二，那所以说负二 a 分 之 b 对不对？ x 的 系数是不是就会等于二？所以说这个地方 b 就 等于 c， 所以 说在这个位置我们出现第一个易错点啊，看看同学们，你们谁在这错了，一定要去注意负二 a 分 之 b， 不要直接写成负二 a 分 之 b， 然后等于二，这个是一定是错的， 我们的 b 一定要注意一下，它指的是 x 的 系数，所以这个系数是负 b， 所以 这是第一个同学们易错的点，所以说这个地方得需要去知道一下啊。这第一个，然后我们看第二本， 当 a 等于一， b 等于二时，将二次函数 y 等于 a， x 平方减 b x， 图像记作 c 一， 那么我们来看 a 等于一和 b 等于二，这个二次函数的解数我们是不是确定的？ 是不是确定的，对不对？所以说那么这个解是已知一次函数，一次函数，这个 k 不知道，但是它的 k 是 大于零的，图像记为 c 二，所以这个图案是 c 一， 这个图案是 c 二， 过 p 括号 t， 逗号零去做 x 轴的垂线，分别去交 c 一， c 二于点 m n， c 二于点 m n， 那 么我们可此时它最后是不是问的是 m n 的 距离，它最大值是不还是问的 m 和 n 的 距离？那么 m 和 n 的 横坐标它它是不是为 t， 所以 它们仍然是为横坐标相的两个点？所以这个时候还是要去建立新函数，建立一个什么 m n 关于 t 的 一个函数 对不对？然后就问，当你 t 大 于负一小于三时，它这个地方存在了最大值，对吧？存在最大值，那么在这个地方，我们一般情况下，我给了一个自半的垂直范围，我要去看我的 y 的 最大值和最小值，我们一定是不是找到它们对应的图角。 但这道题有一个易错点是什么？这个地方存在的是最大值，我们只要给你一个范围，那么他的最大值要么是他们端点所对的那个点是一个最高点或最低点，要么就是顶点的纵坐标是个最高点或最低点，对不对？但是你看，如果你的端点他是个空圈的话，他们两个不可以作为最高点和最低点 或最低点，明白吗？所以这是个 e 错点，那么到底是什么意思呢？那我们接下来来去看题啊。那么我们这个地方就是因为我 a 等于一， b 是 不是等于二？所以说在这个地方我 y 就 会等于什么？ x 平方在这个地方是不是减去 的，是不是就等于 t 的 平方是不是减去二 t， t 的 平方是不是减去二 t， 然后 n 的 纵坐标是不等于 k t， 那 所以说，那这样 m 的 坐标是不是 t t 的 平方减去二 t， 那 么 n 的 坐标是不就是 t？ 逗号是不是 k t， 所以 m 和 n 的 坐标是不是就已知了？那所以说在这个地方我们 m n 是 不就可以等于是什么？注意啊，我 m n 和 n 谁在上谁在下，我是不确定的，所以这个时候我要去就是要去加个绝对值， 对不对？ t 的 平方减去二 t 减去 k t， 你 说老师你为什么现在还不画图呢？因为你想啊，它这个就是我们可以大致的去画一下，它这个图案是长成这个样子的，这是个二，然后这是它是一个这个样子的，对不对？ 有没有发现？是不是？所以说你 m n m n 过 p t t 是 大于负一的，负一小于三的，对不对？ 所以你看啊，它们的，它们的这个这个 m n 的 距离，对吧？它们的距离是不是从大变小，然后再变大，再变小，然后再变大，对吧？所以说我们用绝对值的话，我就不用去分一这个图像了，是不是？所以说这样的话等于 t 的 平方减去二，加上 k t 是 不是？所以说这个地方我可以去将 m n 是 不看作 看错谁的一个函数，看错 t 的 一个函数，那么到底是看错 t 的 函数还是看错 k 的 函数呢？一定要去注意一下后面它谁是在变化的 对不对？它的 t 是 在变化的，所以 t 它作为的是一个自变量是不是？那么我们接下来需要看的是这个 m n 关于 t 的 一个图像，那么关于 t 的 一个图，它这个是属于的一个绝对值的一个就绝对值函数的一个图像。那么我们在去做之前啊，我们先来回顾一下啊，很多孩子们不会去画， 就是举个例子啊，你要是这么去画一下，假如说我要去画 y 等于绝对值 x 平方减二 x 检测，因为这个函数解释我们很熟悉，我们很熟悉，那么我要去画它的这个图像，说白了我们只需要干什么？ 我只需要你看啊，原本它是一个这样的图像的，那我我们要再去画图像之前哈，你一定要先要干什么？把它们与 x 轴的交点坐标给去求出来，这是加上一对不对？还有一个是什么？ x 减一的平方，是不是减去四 对不对？所以说他在这个地方我们可以教育的是什么？一个是三逗号零， 一个是三逗号零，一个是负一逗号零，他过的是一逗号负四，是不是？负一负三负四是不？他本身他是一个这样的一个图像， 对不对？本身它是一个这样的一个图像，对不对？那么我加的绝对值的意思是什么？就当它的函数值为负数的时候，加一个绝对值是不是取到它们的相反数？所以说那么当我们的这些这这一部分的图像的函数值是不是都为的是负数， 对不对？所以说这个负数我加了绝对值之后，是不是变成的相反数？那相反数的话，这个顶点是一负四，那么它的这个 绝对值是不是就成了四？所以就好比是它关于的是一个 x 轴给它去对称，明白吗？所以说，所以说它最后的这个图像，它就是这个， 就把 x 轴下部的部分给它翻折上，那我们来去画一下 m n 关于 t 的 一个函数，所以在这个地方的话，我们需要去干什么？那么我在这个时候，我是不是得知道这个 m n 和那个 x 轴的焦点的这个顶点，所以说最后它还得 去求出它的顶点的坐标，是不是？所以说我们这样子可以去令 m n 是 不是等于的是零，对吧？令 m n 等于零，即这个地方是不 t 的 平方，减去二加 k 括号， t 是 不等于零，是不是就是 t 乘以 t 减去 括号，二加 k 中括号是不等于零，所以说这个地方 t 一 是不等于零，那么这样的话 t 二是不等于二加上 k， 所以 说 m n 与 x 轴 m n 的 图像， 所以说 m n 的 图像在这个地方与 x 轴 我们是不是交于的是零？逗号零和 k 加二是不是逗号零，对不对？一个是这个，那么还有一个我们是要去求下对称轴，对吧？对称轴是什么？ x 等于的是对称轴，为 我们直接画下顶点的顶点，是吧？ m n 等于的是 t， 去减去的是二分之二加 k 的 平方，这个地方是不是减去四分之？什么？减去四分之，这个二加 k 的 平方， 对吧？绝对值，对不对？所以说它的图像的对称轴，所以说 m n 图像， 呃，我们先稍微等一下，就是所以说 m n 的 对称轴，所以说 m n 图像的对称轴， 对称轴是不是就为的是 x 等于二分之 k 加二，对吧？好，然后接着我们就可以去画下它的图啊，那么这个图像你可以画 y 轴，也可以不用去画 y 轴，所以说它是一个这样子的，那么一个是零零， 一个是 k 加二，所以这个地方是不是 k 加二，对吧？所以说那么在这个时候，因为你的这个地方 k 大 于零，所以说你 k 加二，它一定是在 h 的 右侧，所以说在这个地方它实际上是一个过圆点的，然后过它这边的，所以说它要把下方给它翻折上来， 它是一个这样的一个图像，对吗？然后这个地方 它的对称轴，对称轴为的是什么？ x 等于对称轴，为的是 x， 等于的是二分之 k 加上二， 对吧？所以说这个是它的一个对称轴。然后接着我们再来去看一下，我们是不是前半部分我们都已经解决了，这是 m n 的 图像，那么你看负一到三之间，负一它肯定是在这边儿， 对不对？你负一肯定是在这边，那么三，他可能在这一段，也可能在这一段，也可能在这一段，所以很多同学因为他这道题考的他不再是我们像二五年中考试题似的，你随着谁的增大而增大，所以说那么他可能就在这三个区域， 对不对？那么我们先一定要去看这种最值问题，一定要去看他啊，因为你看此时他翻折过来，这是顶顶的纵坐标，对吧？这是顶顶的一个，这个顶顶的纵坐标翻折上去，所以他的他的值等于四分之二加 k 的 平方，那么如果是说 我的负一的函数值我超过了这个顶点，有没有发现你不论你的这个三在他的哪一个位置，这个这个点是不是做的是最高点，对不对？但是你请注意这个点它是空圈，这个值取不到，所以此时我们说的是什么？最大值是不存在的， 那么这道题他是有最大值，就说明这个点的纵坐标干什么？他一定会小于顶点的纵坐标，对不对？没有问题吧？ 所以说在这个地方我就先要去写第一句话，因为 t 大 于负一小于三十 m n 是 不是存在最大值？ 我们一定要先要干什么？我们所以说你 x 等于负一的函数值，是不是一定要去小于？等于它，你等于它没有问没有关系，因为这个地方是空圈，它即使等于它的顶点坐标的话，这个是不还是一个最高的点， 对不对？存在最大值，所以说你要去把这个负一带进去，负一带进去对不对？负一带到这个里边，他要去小于这个顶点中的标，所以说负一的平方减去二加 k 去乘以负一， 对不对？是不是？因为词是正的，我就可以不用加去对值，它的值是不是小于等于我们后边这个四分之二加上 k 的 平方， 对吧？我们先得保证这个东西是不是，所以这样的话他就属于的是什么？一去加上二，加上 k 是 不是小于等于的是四分之？因为我们这个地方垫不够了啊，包括你们考试的时候，在这个位置的话，你可以过程直接写个得就没有问题。四分之一乘以的是什么？ k 的 平方加上四， k 加上四，所以这是三，加 k 就 十二加上四， k 是 不是小于等于是 k 的 平方加上四， k 是 不是加上二？所以四 k 和四 k 没了，就是 k 的 平方是不大于等于的是 大于等于的是大于等于的是一啊，不，我看一下啊，这个是三次十二，这个地方大，这是四对不对？大于等于的是八，所以这样的话是不是 k 大 于等于的是负二倍根号二， 对吧？这个是一元二次不等式。所以说如果同学们反应过，你可以第一个你去想， k 的 平方等于八，那么 k 等于正负二倍根号二，它的平方大于等于八，所以一个是 k 大 于等于二倍根号一，是 k 小 于等于负二倍根号二，这个不用结合图像，那么除了因为这种比较简单，除此之外，剩那些不等式我们一定要去结合到函数图像去做， 是不是？那么你 k 是 大于零的，所以说这个地方显然你的 k 小 于等于负二，呃， k 小 于等于负二倍根号二是不要去舍掉，所以说这个地方你可以得到什么？ k 大 于等于的是二倍根号二，对不对？然后或者是 k 小 于等于的是负二倍根号二，那么再去写，因为 在这个地方，因为我们的是不是 k 是 大于零的，所以说这个地方 k 大 于等于根号二，所以说在这个位置的话，它是我们第一个的有限的范围，对不对？那么我们接着再稍微去继续一下啊，所以说这个最大值也就意味着它不作为最大值，那么意味着我的顶点它一定是最大值， 对不对？所以说 k 大 于等于根二，那么此时我们的二分之 k 加二和这个四分之二加 k 的 平方是为的是什么？最高点， 对吧？也就是说我四分之二加 k 的 平方，它成为它的顶点坐标，是一个最大值，对不对？是一个最大值没有问题吧？那么这个时候呢， 我们你看你写不写这句话都可以，或者是我可以这么去写，因为此时你的三是不是在右侧，所以我们一个一个分析一下，三是三是在外侧，所以第一部分你三是在这边，那么你肯定是不满足题的，所以你可以第一个写句三，写一下三大于零小于 二分之 k 加二十，对吧？你直接可以写结合图像 可知是不是不满足题，一般 对不对？然后我们就可以这样子逐点逐点的给他去分析，然后下一个，那么我接着我的三是不是在这边，然后在这个地方，你就当我们的三去大于等于二分之 k 加二，你小于等于 k 加二时， 即我可以去求出一个 k 的 值，是不是 k 小 于等于十四吧？前面是小于等于四，右边的话是 k 大 于等于一，对不对？那么在这个区域的时候，此时存在最大值 为多少？是不是就为这个点的的纵坐标是四分之二加 k 的 平方，对吧？然后我们当 当什么，在这个地方，当我们的三去大于 k 加二，即 k 小 于一时，我们去观察一下它到底满不满足题，那么在这个地方略儿再换个颜色去说这个地方会稍微有点难度，因为如果你三在这的时候 对不对？那么很多同学说，老师你这么分在讨论干什么？你老师你直接去做一条 y 等于就过这个顶点做一条 l 的 平行线，你让这个三小于这个的横坐标不就行了吗？可以，同学们可以 就是直接让你的三三大于等于这个二分之 k 加二小于等于这个点的横坐标，没有问题。这个方法是可以的，但是你们可以试一下这个的计算会稍微的复杂一点，这个计算会就有点复杂，但是说他是可以的， 对吧？也能够去算出我们的最终的答案，这个你们可以去试一试，就直接令令 y 等于的是四分之二加 k 二加 k 括号的平方，然后一个是得到得到这个 x， 一 是得到这个 x， 我 们这个 x 是 有用的，然后最后让你的三大于等于二分之 k 加二小于等于这个的横坐标，没有问题， 对吧？这个计算量很大，但是他是对的这个方法。那么接下来李老师要跟大家去说的一个比较简单的方法， 我们主要是判断这个点是不是小于，他是不就行了？小于这个顶的纵坐标是不就可以了，对吧？翻折下来这个顶点纵坐标是不就可以了？那么我们可以采取一个什么样的方法去做呢？有两种方式。 第一种方式，我们根据对称性，你可以和他去比较，如果这个点，如果你三所对应的这个纵坐标对不对？哎？我都比这个负一所对应的纵坐标要小， 那么我前面这个点是不是表代表了负一的这个所对应这个点的坐标是不是小于等于他，那么他这个点又小于等于他，所以他是不一定小于他。这第一种方式是不是？是不是？我只要和他这个去比较，他和他比较有两种方法，第一种方法，根据对称性去看看这和这的距离 对不对？那么你这个距离是二分之 k 加二，再加个一，对吧？去比较他们的距离 对不对？这个用二分之，你看这个是二分之 k 加二去加上一，这个结果是为一，呃，二加上二分之 k， 这个结果的距离是大于二的，对不对？然后后边这个呢？这是三用三减去二分之 k 加二，这等于三减去二分之 k， 然后这是二减去二分之 k， 因为 k 大 于零，所以这个是小于二的。由这个图像你可以知道，倒顿值的距离越远，它的函数值是越大的，所以说很明显这个函数大于它， 所以说在这种情况下它都是满足题的。这第一种看距离啊，然后第二种你可以怎么着呢？我就直接，我就直接用它的纵坐标去比嘛，对不对？那么像这个来说，你 s 等于负一的时候，它所对的这个是不是在这个地方， 这它的纵坐标，所以你直接去解一下，这个地方就是负一的平方，所以你刚开始你可以把 s 等于负一的值给它算出来，因为后面也有用，所以就是负一的平方，就相当于加上这个地方，就好比是什么 一去加上二去加上 k， 对 不对？是这这个的结果，对吧？那么我让他们去做叉，做叉，我可以先算一下 x 等于三的函数值吧？你 x 等于三十，我们的 y， 我 把它带到这个减去式里边，是呃，不 t 等于三， t 等于三的时候， 是不是？那么我的 m n 它就会等于什么？是不等于的是九减去三去乘以九减去六，是不是？减去的是三 k， 所以 这个等于的是三减去三 k， 对 吧？这个要去加上绝对值， 对不对？那么在这个地方，因为你的 k 是 小于一的，所以说它是个正数，所以这个结果是不是三减去三 k 没有问题吧？好，那么所以说我在这个用它去减一去加上二去加上 k， 减去括号，三减去三 k， 那 么这个结果等于什么？ 减三，所以说这个结果是不等于四 k， 所以 说这个结果是不等于的是四 k， 又因为你的 k 是 大于零的，所以说四 k 大 于零，是不是？所以说这个前边这个地方就是三加上三 k， 是 不是大于的是三减去三 k， 三加 k， 这属于的是三加 k 大于后边儿这个地方，是不是？就是，就是呃大于后边儿这个三减去三 k， 所以 这个你的坐标是不大于它，那么所以说这样的话，你的 k 小 于一，是不是横成立的， 对不对？所以说，那么在这个地方，那么你看 k 大 于等于根号二成立，然后 k 大 于等于一，小于等于四成立， k 小 于等于小于一，在这个地方是不是也成立，那么这个地方所以说因为 k 还是大于零的，所以 k 大 于零小于一是横成立的，那么这三段是不是取公共的部分？ 所以说最后那么我这个地方综上所述，大大取较大， k 大 于零， k 大 于等于一， k 大 于等于根号二，所以就 k 大 于等于根号二，在这个地方是小于等于十四，所以这是所以说在这个地方它是一个小于四的一个值， 那么你看这个地方会有一个点是什么啊？我为什么这样说小于四呢？你来翻回去再看，因为取等这个地方我要去单独的去考虑，那么像这个来说，这个这个二分之 k 加上二，在这个地方我如果是要去小于等于三的话， 二分之 k 加二，那么三我和这因为，因为，因为你的这个是 t 是 小于三的，明白吗？如果三和顶点重合，这是个空圈，明白吗？所以说在这个位置的时候他不能去取等，明白吗？所以说在这个地方他就取不了等， 所以这个地方最终这个取等的位置同学们一定要去单独去考虑一下，明白吗？所以说最后他就是一个这个答案， 那这道题就告诉我们一个什么呢？你一定要去把它可能在的位置一定一点一点的去看，对不对？所以就是在最后在这个地方的话，我们就用了一个小技巧，就是给他做差，对吧？就是我避开了求这个横坐标，这个这么大的计算量， 明白吗？这么的计算量的的的这个过程是不是还有一个是什么？那么他如果这个地方没有等号的时候，所以说你 s 等于负一的值和 s 等于三的值，他不能作为最大值去出现， 明白了吗？同学们不能作为他最大值或最小值，因为这是个空缺啊。所以整体来说这道题是一道非常好的题，同学们可以自己好好的去做一下啊。

今年的海淀区啊，西城区的初三英国数学都考完了，海淀西城就基本代表了咱们北京的中考的风向了。首先先说说难度，总体来讲呢，今年海淀的英国的数学试卷难度和 咱们去年中考和往年的英国考试的难度都差不太多。西城区的这条卷子考完以后，咱们同学普遍反映确实有一些难度。如果说这两条卷子做起来你感觉有一些难，那肯定是对新的一些方向些趋势需要了解一下。这两条卷子中 除了大家都知道的通用的结构，稳定的方向之外，有啥各自特点。我们主要就说这几个压轴题啊，像第八题 肯定是有新意的，他考的是一个带着新定义的一些属性的一个题目，所以这道题很多同学做起来就感觉像新定义了，这说明第八题的考察并不是固定的，像去年中考那样方便来做。那么考这两个区的填空压轴就十六题， 都是这种时间分配的问题，这种也是非常常规的一种考法。那再一个就是带中还是围绕着咱们步骤函数这种热点的方向展开，基本上也还是比较稳定的。而在几中上呢，这两个区的几中都考了一个重要的热点问题， 直角三角形、独等腰。如果你掌握了这个技术的话，这两个题目还是比较好做的，相对来讲七层的体重更灵活了一些，他对同学们要求比较高，但是用主角三角形啊，围绕在咱们的几大工具开发也是可以搞定的。最后就新定义的话，这种题目每年在阴历的时候，其 各个区还是比较放飞自我的，相对来讲海淀的稍微难一点，西省就相对简单一点啊，但是他还是有一些易错点的，对于范围啊都是要有影响。最后就是新定义中的计算，现在明显的体现出有一定的要求，同学们呢，还需要做一些重点的训练。 通过这两个区的视角大家看到，首先大家一定要坚持训练咱们最热点的考点，不要追求那些偏怪难的东西。这两个区 即使有难度的题目，考的也是最传统最常规的。那么这两区的这些压轴题呢，咱们也进行了充分的研究，我们还出了原创题，如果对这个原创题感兴趣的话，扣原创两个字，我们给你提供。