2026中考几何考点

初三最后三十天，越是数学成绩一般的孩子，越不能只翻课本复习，因为数学拿高分的关键就是压轴题。那我应该怎么准备中考数学想考高分，一定要重视这八道压轴题，把它吃透了，数学就是你的优势科目。第一个，二次函数的最值问题。第二个，取值 范围问题。第三个，二次函数与一次函数的相交问题。第四个，二次函数的图像与几何综合问题。第五个，存在性问题。第六个，二次函数与相似三角形。第七个，最值问题、第八个，公共点问题。这些考点都来自这套新华书店的中考数学压轴题、 选择题、填空题、解答题。新题型四合一，包含了中考数学能考到的所有压轴题型，像二次函数与相似三角形，考察多个知识点的综合运用。 很多孩子一看到题就蒙了，他直接把解题方法、答题步骤以及涉及到的考点上标注的清清楚楚，一步一步教孩子踩准得分点关键。就连心情境新考法也给你整理好，像 传统文化题、数学文化题、跨学科融合题等等，这些可都是中考的风向标。把考点和题型提前适应，考试强度，考前用好这套卷子，中考题提前吃透，上了考场就跟回家一样熟悉。另外，扫码还有三十套中考数学题，提前吃透上的，抓紧安排上！

一零一一年出生的初三孩子，天上掉馅饼的好消息来了！中考数学出题范围划定了，就是扒到边出！真的吗？现在不练，考试直练起来！第一个，二次函数的最值问题。第二个，二次函数与相似三角形问题。第三个，取值范围问题。第四个，二次函数的图像与几何综合题。第五个，最值问题。第六个，公共点问题。第七个，二次函数与一次函数的焦点问题。第八个，存在性问题。 自己不会，家长又不会教的，千万不再去补习班里学了，既得不到重点，还浪费时间，浪费金钱！直接用这本中考数学能考到的所有压轴题， 你像二次函数与相似三角形，中考常考必考，他考察多个知识点的综合运用。很多孩子一看题就蒙了，这本书直接把答题方法、答题步骤以及涉及到的考点标注的清清楚楚，一步一步教孩子踩准得分点。就连新情境、新考法，他也整理好了。 你像数学常考的传统文化题目，数学文化题、跨学和融合题等等，中考怎么考，咱就怎么练，把考点和题型提前吃透，上了考场，孩子就和回家一样熟悉。另外呢，扫码还有三十套！中考题型提前吃透，上了考场，孩子就和回家一样熟悉。另外呢，扫码还有三十套！中考数学对孩子来说就是小菜一碟，家有出三生的，赶紧安排上吧！

中考数学想考高分，一定要重视这八道亚洲题的训练。哪八道中考数学的亚洲大题，就这八道，从现在开始练起来，吃透了，中考直接躺赢！第一个，二次函数的最值问题。第二个，二次函数与相似三角形问题。第三个，取值范围问题。第四个，二次函数的图像与几何综合题。第五个，最值问题。第六个，公共点问题。第七个，二次函数与一次函数的焦点问题。第八个，存在性问题。 自己不会练，家长又不会教，可以用这套新华书店的中考数学压轴题、选择题、填空题、解答题、新题型四合一，包含了中考数学能考到的所有压轴题。你像二次函数与相似三角形，他考察多个知识点的综合运用，很多孩子一看题就蒙了，他直接把解题方法、答题步骤以及涉及到的考点标注的清清楚楚， 一步步教孩子踩准得分点。关键就连新情境新考法也整理好了，你像传统文化题、数学文化题、跨学科融合题等等，这可是中考的风向标，把考点和题型提前吃透考场，就像回家一样熟悉。另外，扫码还有三十套中考真题，让孩子提前适应考试强度，考前用好这套卷子，中考数学就是小菜一碟，家有出三生的，抓紧安排上！

这个探照灯模型啊，我觉得还是有必要跟大家讲一下的，因为我发现还是有一些同学不太会。 那首先我们为什么要叫他探照灯模型呢？是因为有人觉得这个形状看起来像一个探照灯一样，所以就给他取了这么一个名字。 不过呢，这也就是听起来觉得挺新鲜的，相比之下，我还是更喜欢叫他定角定高模型，因为这个名字更符合他的本质。 由于这两个角对角互补，所以这四个点是共圆的。那根据圆周角定律，我们可以知道这两个角是相等的，看定角出现了， 然后因为这个三角形是固定的，所以它这一条边上的高也是固定的。看定高出现了， 好，关键点来了，为什么一定要去做这一个三角形的外接圆呢？因为这一个角是定角，而我们要求的是他所对的这条线段的最小值。如果我们把它放在一个圆里的话，那这就变成了一个求弦长最小值的问题了。 而由于这个圆周角是定角，所以它的圆心角也是定角。因为这是一个等腰三角形，所以求底边长度最小值的问题，也就变成了求腰长最小值的问题了，也就是求这个外接圆半径的最小值了。 所以现在你明白为什么一定要做外接圆了吗？好，接下来我们把题目的数据补上。 四边形 a、 b、 c、 d 是 一个矩形， ab 的 长度是六， ad 的 长度是八， e 点和 f 点是两个动点，并且 af 和 ef 是 垂直的。然后让我们求 g、 f 的 最小值，所以也就是求半径的最小值了。 这里我们应该过 o 点向 g f 做一个垂线，这样一来，这两个小角就都等于 alpha 了。因为 alpha 的 正切值等于四分之三， 所以我们令 f n 的 长度等于三 a， o n 的 长度等于四 a， 那 半径 of 的 长度就是五 a 了，所以 o a 的 长度也是五 a。 可以看到 o a 加 o n 显然是大于等于 a h 的。 当前仅当 n 点运动到 h 点的时候，才能取到最小值。 然后我们整理一下，也就得到了 g f 是 大于等于三分之二倍的 a h 的， 至于 a h 的 长度，我们可以用等面积法来求。最后我们把 a h 的 值带上去就行了，算出来 g f 的 最小值应该是五分之十六。 好了，不知道看完这个视频之后，你有没有学会定角定高这个模型呢？虽然说他就是一个死模型， 但你说他会不会考呢？他还是可能会考的，毕竟去年连云港就考到了。这道题我之前也讲过。所以说呀，还是那句话，多学一点东西总归是好的。

胡不归，模型问题是初中几何里的重中之重，也是中考高频考点，更是一个难点。就像这道题求最小值的问题，那可是难住了不少的同学，不仅容易卡住啊，而且容易没思路。大家看到啊，别着急，也别担心，今天老师就一条视频带你彻底学懂胡不归。直接来看题， 说，已知 a c 等于六， bc 等于四点， p 是 a c 线段上的动点。接着让我们求 p b 加上二分之根号二倍的 p a， 它的和的最小值是多少？那么这道题目，我们先来看图分析一下。已知一个直角三角形背景之下，两条直角边的长给了一个是四，一个是六点 p， 它是一个动点，哪的动点呢？ 是一条线段上的动点，那 p 在 a c 上动来动去，所以首先我们明确动点在哪？动点在直线上啊，或者说线段上。接着让我们求的这个式子就非常非常的有特点了，要求的是 p b 一个定点定点点 b 和动点之间连成的线段，再加上二分之根号二倍的 pa， pa 是 什么？同样是一个定点点 a 和动点点 p 之间连成的线段，但是注意前面有系数是二分之根号二倍的这样一大类问题。那么见到这类问题，首先很多同学要想到的是 将军印码对不对？哎，那么大家想一想啊，我们学过的求折线段和的最小值问题的将军印码模型考的是什么？ 一条直线上，一条小河上有一个洞点，在河岸的同侧有两个定点，所以这是经典将军印码模型的样子。也就是说呀，求的是那个 p b 加上 p a 型的 折线端盒的最小值，啥意思啊？一个动点在直线上运动，另外两定移动和它连接，对吧？那么这个线段盒两边都是没有系数的，或者说系数是唯一的，所以这是我们将军密码类型的。 但是这道题目同样求折线段和的最小值，但是其中某条线段前面的系数不为一，那么注意，这就是咱们第二类常见的啊，弧不规问题，也是求折线段和最小值有系数非一的情况。那么第三种呢？我们还有一个叫做阿是圆， 如果说动点在弧圆弧上运动，那么同样求折线段和的最小值就会变成我们的阿是圆问题。好，那我们来看这个弧不规他的解析思路。 既然说呀，我说线段前面的系数它不是一了，有了这个系数该怎么办？这就是解决所有弧不规问题的核心，注意听这里边的核心思路，就是带有系数，当然啊，这个系数我用 k 来表示的话，那么我说现在这个 k 的 取值范围啊， 是零到一之间的啊，如果 k 不是 零到一之间怎么办？方法就是提取系数，让它变成零到一好，默认系数 k 在 零到一之间时，那么这样的 带系数的这个线段，我们就要把它转化成另外一条线段，怎么转化？注意，方法技巧来了，非常简单，就是让我们的 k 去等于一个 sine 法。老师，什么意思？注意看啊，在图形上 定点和动点连接 ap 线段前面带有一个零到一之间的系数，这时候咱们就从定点出发去做一条射线，那么就会和咱们的 pa 啊，这个定动连成的线呢，有一个夹角，这个夹角就是我所说的阿尔法。那现在我的目标是什么？让我的这个代引阿尔法就等于 k， 也就是说等于那个二分之根号二。同学们， 萨因阿尔法等于二分之根号二的话，阿尔法的值你是否会算？当然知道对不对？特殊角三角函数值啊！萨因，我们从三十度四十五度到六十度二分之一，二分之根二，二分之根三，所以萨因阿尔法二分之根号二，阿尔法也就是 四十五度啊，换句话说，这是一个四十五度角。老师，你的目的是在干嘛？注意看啊，此时我过点屁，向你做出的这条射线去做一个垂过屁， 向此射线作垂垂足，比如是 q 点的话，这样呢，我就构造了这样一个绿色的啊，直角三角形 a p q， 请注意看，在此直角三角形中， sin r 法，它等于什么？嗯， 在 r t 三角形 a p q 中，我发现 sin r 法就是对边比上斜边，也就是 p q 比上 p a。 哎，那么这有什么用呢？同学们，我稍稍整理一下，我想要的那个萨因阿尔法乘上 p a， 是 不是就变成了一条线段，也就是 p q 的 长 p q， 就是 萨因阿尔法乘上 p a， 萨因阿尔法就是咱所谓的 k， 看到没有？非一的那个系数啊，零到一之间的这个系数 k， 所以 它就是 k 乘上 p a 呀，所以核心思路就是把带有非一系数的这个多少多少倍的 p a 这样的一个线段转化成一条线段。哪条线段呢？就是咱们现在的 p q， 所以 根据构造的思路是构造啊，构造直角三角形， 使得那个 k 啊，就这个系数零到一之间的系数 k 等于 sin alpha， 利用三角函数 sin alpha 乘上这个斜边 pa， 那 么就等于这条直角边的长。换句话说，把斜边转化到了直角边的位置，那么此时要求的折线断和的最小值变成了什么呀？ 你看现在我们要求的啊， p b 加上二分之根号二倍的 p a， 它的核就变成了 p b 加上 p q， 是 不是变成了它们两个核的最小值就可以了？所以动点 q， 点在哪动呢？在这条射线 a q 上运动定点点 b 变成点到线的距离垂线段最短这五个大字来解决问题啊。所以我过点 p 向这条射线 a q 做垂 追逐，叫做 q 撇，与线段 a c 的 交点就是咱的 p q 撇，它的最小值 就是我图形中的线段 b q 撇的长。接下来的任务只有一个，把 b q 撇这条垂线段长算出来就可以了。阿尔法的角是四十五度，这里我有一个小小的直角三角形，所以此处也是一个阿尔法四十五。 再来对顶角相等，这里还是一个四十五。换句话说，我画粉色阴影的这个直角三角形 b c p 撇是一个等腰值四 四，斜边四倍根号二。还有 a c 长是六六减四，这里是一个二。所以在左侧这个小直角三角形中，根据三边关系，一比一比根号二，所以这条直角边长是根号二。换句话说，这个 b q 撇的长度就是 四倍根二加上根二，所以要求的线段和的最小值也就是五倍根号二，咱们就已经完成了啊。所以总结一下，这是我们经典的胡不归问题。首先遇到模型问题，你要学会识别模型， 什么样的问题会想到用弧不规来解答呢？也就是求折线段和的最小值，并且有一条线段前带有一个非一系数，这个系数我们想方设法的让它在零到一之间，并且动点是在直线上运动的。 ok， 弧不规问题来了，怎么来解决呢？构造直角三角形 打造的是塞隐阿尔法等于这个零到一之间的系数 k， 进而把 k 倍的 pa 这条线段乘上 k 变成了啊，或者转移到了直角边的位置，把折线段和的最小值问题转化成点到线的距离垂线段最短进行计算，你学会了吗？

胡不归问题堪称初中几何的终极压轴王，就像这道题啊，不仅求最值，而且还带系数，就是非常考验孩子们对模型的理解能力。与此同时呢，还有系数的处理能力，还有辅助线的构造添加能力，很多同学算到崩溃，第一步都不知道怎么写。 别慌，老师，今天啊，一条视频带你彻底学透胡不归。好，我们来看题啊，这类型的题啊，基本上老师已经讲的非常的熟练了啊，大家一搜就能搜到，但我今天再给大家梳理一遍。首先呢，我们要看一下，拿到题目先看问题 哦，线段和的最小值，你脑子里面想到了什么？模型两个，第一个胡不归，第二个阿是圆，很多孩子临到中考一模前了还分不清，不可以啊，胡不归呢，一定要注意，它的动点在直线上， 像这个题， p 点是线段上，那不就直线的一部分吗？是不是阿是圆的动点呢？在圆上， 这是它们最本质的区别。好，它们的相似点我们也能总结，就是系数 小与一，就这里这个五分之三的系数小与一。好吧，其中呢，我们阿式圆，大家可以关注一下我们以往作品或者以后会发啊，阿式圆的系数呢，是相似比好吧，然后呢，弧不规的系数是三角函数， 他的转化思路是完全不一样的，能明白， ok？ 当然，今天呢，我们不展开去讲阿是圆，大家可以关注老师的作品，我们以后去讲啊，今天重点去讲胡不归。好，那我们接下来继续看，既然你都知道是胡不归了，对不对？那关键就是怎么处理。首先呢，常考的系数有这么几个， 二分之一、二分之根号二以及二分之根号三。初三的娃一定知道二分之一代表什么？代表的是三十度。 二分之根号二呢？ sin 四十五度，二分之根号三呢？ sin 六十度， ok， 这是常见的三角函数，对不对？就比如说啊，我现在给你翻译三十度，请问大家这里是三十度，这里是直角，请问你现在告诉我，现在这个 pa 比上，我们的 pb 等于多少？是 pa 比上 pb 就 等于 sin 多少？三十度等于二分之一嘛， 能理解。好，这就是二分之一的来源啊。好，那问题来了，那请问题干中可不是这么给的呀，题干中是二，五分之三，那又是什么呢？好跟大家说啊。还有一些不太常考的点，就是一些非二分之一、二分之二、二分之三这种东西，比如说这里的五分之三， 他是一些普通角度，但这个角度呢？大家别担心，老师我可没背过塞应谁等于五分之三？记住不要怕，一定是先去找直角三角形就可以了。你比如说我问大家，他告诉你这里是三，这里是四，你告诉我那个五分之三怎么找？ 很简单呀，连接对角线是不是？这里就是勾股定律，是不是五？它是五，你告诉我，这个角的阿尔法就出来了，是不就是我们的三比五就是五分之三， 所以这个角的正弦值就是五分之三。那么因为你是矩形平行的，所以这个角是不是也是五分之三？能理解我的意思吗？好，然后你再去转化哦，五分之三乘以 p d 啊，它怎么转化？是 p d 在 这个地方 对不对？五分之三乘以 p d， 那 这个角不是五分之三吗？对不对？那我向下作垂喽，可不可以？可以，但你会发现，比如说啊，这是 pm 啊，你看各位， pm 比上我的 p d 是 不是等于 sine？ 这个阿尔法是不是就是五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d。 那 这个题又变成什么了？它就变成了 p b 加上什么？你看 p b 加上 pm 能理解吗？那 p b 加 pm 这个点也不固定呀，所以说这种折线的问题， p b 加 pm， 你 想到了什么？这不就是咱们最基础的将军印码吗？所以这个题你就是把它给它翻折上去就可以了，对吧？顺带你把这个 r 法也给它翻折上去，这里就是 r 法， 能理解吗？然后把它延长上去，给它构造一个直角造型来，大家现在请看，我把这个笔记擦掉啊，你可以回去截图，大家现在请看，我现在重新的去给他做一遍，就是连接它， 这里是阿尔法，这里也是阿尔法，对不对？然后呢？现在我这里做一个角，也是阿尔法，把它又延长，找一个直角造型， 对不对？好，那大家现在想想，是不是继续那一个什么？对，反正一个 sine alpha， sine alpha 是 不就是我们的三比五，对吧？就这里的是不是三四，这里是五，所以这个 sine alpha 它和它是相等的呀，是不是也是啊？这个五分之三， ok， 它是五分之三，那么 p d 乘以它是不是就这里作高， 对吧？就是我们的 p 什么 pm 吧，是不是？好，那现在这个问题是不是就很清晰了？你看 p b 加上这里是垂直， pm 什么时候最短？因为 p 点是上面随便走的呀，你想想， p 点跑在这是 p m， 如果啊，是粉色，这里是不是也是一样的 p b 加上 pm， 对 吧？如果 p 点跑在这里， pm 是 这样子的，是不也就是 p b 加上 pm？ 好， 请问什么时候最短？这是垂线哦，什么？很显然，答案就是 点到这条直线的所有距离当中，这条线是最短的，那这个才是我们真正的 p 点，你求的是 pb 加 pm 是 不就可以了，对不对？好，我们来写一下过程啊，最后再教大家怎么去求，求的反而是简单的好不好？来过程怎么办呢？就是首先连接我们的啊， bd 好， 然后呢，因为角啊，这个 dcb 等于九十度，对吧？然后呢， cd 等于三， cd 等于四 啊，勾股定律，所以说 b d 等于根号下三的平方加四的平方，也就是五，我要出现这个五分之三嘛，对不对啊？所以说我们的角啊， d， b， c 等于角， a， d， b 等于阿尔法，那么 sine， 阿尔法 就等于我们的 c， d 比上我们的 b， d， 也就是三比五不就出来了吗？好，那我们要保证这两个角相等可以干嘛？是不是相对？我把这个象形给它翻上去，对不对？那就是延长 b a 至 n， 使得什么呀？使得我们的 a， n 等于 ab 连接我们的 n d 好， 然后呢， e 正，这个比较简单啊， e 正，三角形 a， d， n 全等于三角形 a， d， n 和 a d， b 是 全等的，所以说角 a， d， n 也等于 r 法，对吧？然后呢，紧接着我们就是把那个辅助线做出来，对吧？过 p 做啊，我们的 pm 绿色这根啊，垂直于我们的 d n 交 a d 于 p 点。 ok， 你 要懂这原理，你才能懂我这个过程在干嘛，对不对？因为这个角现在不是阿尔法吗？对不对？好，你就说，所以在这啊，所以我们可以得到我们的。呃，这个 find 阿尔法 等于五分之三，又等于谁呢？我不是说这里做了条垂线吗？就是 pm 比上 pd， 那 所以说 pm 就 等于五分之三倍的 pd， 所以我们的 p b 加上我们的五分之三倍的 p d 就 等于 p b 加上我们的 pm， 这不是 pm 吗？对不对？好，当 p b m 共线的时候，其实就是这种情况下，对吧？此时 有最小值。好，最后一步是最简单的，就是求，怎么去求？来，我给大家把这个擦掉。啊，怎么去求它？我把它延长，这里是我们的 n， 然后连接，然后这里做一条高，对吧？这是我们的 m， 这是我们真正的 p， 对 吧？怎么去求？这个 pb 加 pm？ 大家去想， 你刚才是不是正过全等了，是不是？这是阿尔法，这是也是阿尔法，然后这里是垂直，垂直求一条高用什么？对，求高用面积，所以说你会发现，因为你全等，刚才不是说这里一正，他们是全等的吗？对不对？全等以后你是几？五，那我这里是不是也是五， 对不对？然后这里是几呢？你这里是三，我这里是三，对不对？这里是几呢？这里是几？是不是四，对不对？所以说你会发现三角形的面积怎么求？三角形？我们的 b、 n、 d 二分之一，我们的 b n 乘以，我们的 a、 d 就是二分之一，乘以 b， n 是 六，乘以 a， d 是 四，也等于二分之一的谁是不是他乘以他，对不对？好，就是二分之一，我们的 d n 乘以我们的 b m， 对 吧？ d， n 是 几呢？所以说 b m 就 出来了呗。 b m 就是 二十四，除以 d， n 是 五，对吧？勾股定力五， 你最后答案就是它，所以最小值为五分之二十四，求这条高就行了。好吧，就是这条，你现在看到这条高， ok， 就是 整个题啊，我从逻辑练出发，告诉你最小值两种思考，紧接着就是五分之三，怎么去构造，对吧？靠我们的什么？靠我们的直角三角形，哎，三四五去构造，这里是阿尔法，这里是阿尔法，然后你再去构造一个阿尔法， 对吧？想方设法把五分之几三倍的 p d 构造出来，一开始是往下构造嘛，对不对？但是他加他，你想这没法做呀，一定要把他在像将军一样翻上去，对吧？求他加他的最小值，然后最后求值的时候用面积问题把它求出来。各位你听懂了吗？赶紧点赞收藏！

给二零二六年即将参加中考考生的几点复习建议？今年六月中考数学想上九十五分的昆明考生，首先要吃透函数综合题， 函数是拉分的核心，重点勾二次函数与几何结合的压轴题。总结二次函数与三角形、四边形 角度的存在性的常考模型。比如求抛线上是三角形面积最大的点，记住设点表示边长列面积公式，求最值的固定步骤。每天练一道函数综合大体，先拆解求解析式 分析几何图形，找变量关系的逻辑练，再对照答案优化解题步骤，把分类讨论数形结合的思路练熟。其次，突破几何辅助线和动点几何难题的关键是辅助线和动点分析。把构造全等相似三角形的辅助线， 比如截长、补短、倍长中线、构造直角、圆中切线、弧长相关的辅助线连半径做直径，找圆心角 这些整理成专题。每类辅助线找五道典型题。练透动点题，重点练坐标细中动点、轨迹运动过程中图形的存在性。掌握设动点、坐标表示线段长度、列方程或不等式分析方法。

家人们初中几何逢考必出的香蕉弦定律，三十秒看懂，一分钟学会！不管是学生刷题还是家长辅导，看完直接拿捏，今天就带大家从画图到推导，一步搞定核心逻辑。 我们先看第一张图，图中两条弦 a、 d 和 bc 相交于点 p， 这就是相交弦的核心模型。我们连接 ab 和 cd， 发现角 a 和角 c 都对着弧， b、 d 同弧所对的圆周角相等，同理，角 b 也等于角 d， 那 这两个角分别相等，那三角形 a、 p、 b 就 会和三角形 c p、 d 相似，三角形对应边成比例交叉一成，核心结论就出来了， a p 乘以 d p 就 等于 b p 乘以 c p。 记住这个式子，做题直接用！ 掌握了这个基础定律，我们再看高频推论，考试考的比定律还多。而这个圆画一条过圆心的 m n， 再画任意弦 b c 和它相交于点 p。 根据刚才相交弦定律， b p 乘上 c p 就 等于 m p 乘 n p， 而这里 m n 是 直径 o m 和 o n 都是半径 r， 所以 mp 就是 r 加上 o p， 而 n p 呢，就是半径去减 o p， 平方差一算，它就变成了 r 方减 o p 方。这三个式子等价记牢就能秒杀同类题！ 最后总结一下两个核心知识点，记准不丢分！第一，圆内两条相交线交点分两段的积相等。 第二，过圆内的一点直径和任意弦相交弦的两段记就等于直径的两段记，也等于半径平方减圆心到该点的距离平方。 不管是学生刷题还是家长辅导，把这两张图牢牢的记清楚，相交弦定律的相关题目就能迎刃而解！关注我，收藏起来反复看喔！

三角形遇中线背长中线，全等线，谁加谁等于谁。截长补短，换掉短一条线上三等角缺少一个，补一个。头对头手对手浅，连一下全都有 角含半角可旋转，旋转过后全等线。

费马点模型呢，是近年来中考正确率非常低的题，很多孩子呀，在平时的考试中苦不堪言，其实呢，费马点问题啊，他解决的核心问题就是任意三角形里面的有个动点，屁， 然后呢，求三个线段和的最小值的这一类题，就是费马点。那今天呢，贾老师带着大家把费马点的题目，斗争方法，思路、口诀和计算的坑点，难点一次性给大家讲透。好，接下来我们来看题，费马点 这个题呢，他考试给到你的是一个任意三角形，他是五，他是三，这里是三十度，对吧？然后呢，求一个三角形内有一个动点，对吧，可以在任何位置啊，求他加他加他什么时候有最小值，当然他也可以在这个位置，对吧，求他加他加他， 对吧？总之，这个 p 点只要在里面就行，问什么时候 p 点在哪，最小值是多少？一般啊，答案都是问最小值是多少的问题。 好，今天我们来分析一下啊，首先我们来整理一下结构啊，梳理一个知识点，费马点问题的题目特征是什么？它的题目特征啊，就是一个动点，三个定点的 pa 加 pb 加 pc 的 最小值问题， 能理解啊，求三个线的最小值，就是非马点。好，这第一个特征好，第二个，咱们要从本质上来去回顾一下啊，我的最小值问题的本质是什么？ 在初衷啊，就是两句话，第一句话就是两点之间线段最短，第二句话是垂线断最短。那这个题他用的是哪个呢？他用的是第一句话， 两点之间线段最短，注意是哪两个点呢？哎，这是最飞马点，最有价值去研究的问题。好，那因为要画图，我们可以教给大家做飞马点的方法是什么？就是通过旋转 把你本来听好了啊，你本来我随便点个屁好不好？你本来比如屁在这是不？这三个线段，这怎么保证两点之间线段最短呢？需要大家干嘛把这三个线段给他，通过一些旋转的方式给他拼在一起， 怎么拼？来，听好了，是我们这节课非常重要的核心啊。旋转那么费麻点问题，就这种普通系数为一的费麻点呢？它的特征比较特殊啊，它一定是旋转几度，记好笔记，旋转六十度去构造等边三角形，一定是这样的。 好吧，好，那我看之前的评论区有人问啊，老师到底是绕哪个点转呢？你就看条件在哪，你就绕哪个点转，基本上很多题目都是这么操作的，那这个题绕 c 转，好吧，好，我们来看下具体步骤啊，假设呢？屁点在这个位置对不对？我现在呢， p a p b pc 求最小值，我们说了旋转等边，对不对？所以说呢，我们挑哪挑特殊角度对吧？特殊角在哪，你就绕着谁转。好吧，这个提头角是不是三十度绕着三十度转啊，这里是三十呢，所以说我就把你看啊，我现在把这条边 给它绕着它转下来，好，转成这样子，把它连起来，这里是 p 一 撇。好，这我们的第一步构造，等边三角形， p c p e 撇。我来说下为什么等边啊？因为这条边和这条边是旋转关系相等，然后你这里又转了个几度，各位，你这里是不是又转了一个六十度？所以说他这个什么等边造型，那你的这条粉边呢，就转移到了这个位置， 有点感觉没，你看，原本你是这样的，没法，两点之间线最短，现在是变成这样子的了，好吧，紧跟着的另外一个绿边是不是也得给他想办法转下来？那怎么转呢？你想粉的绿的是这样一个三角形，是不是靠这条边去维系？他 靠这条边去给他连起来，对不对？这个三角形嘛，又包含粉边，又包含绿边，我想把绿边转下来，对不对？所以说把蓝边呢，也跟着转，也跟着转， 对吧？就是这个 c b 就是 c b 一 撇，好吧，那你会发现 c p b 和 c p b 一 撇一拉， 是不是这两三角形全等的？第二个就是三角形 c p b 全等于三角形， c p b 一 撇能跟上，所以说，哎，那么这条绿边呢，就顺势转了下来， 你想我原来求的是啥？我原来求的是黄的加粉的，加绿的是不是最小，对不对？那现在我求什么呢？还是不变呀？还是黄的加粉的加绿的的最什么值？最小值， 对不对？而且还有个非常大的好处，是你这个点是定点，对不对？那这个点是不是也是固定的呀？是不是也是定点？那你定点转一个，这个角是六十度，请问这个点是也是什么？是不是也是定点， 对吧？这个点是不是也是定点？大家现在想啊，跟着我想啊，有这么三根线是咔咔咔 把它连在一起，你是一个，比如说建筑工人，我告诉你，这两个点之间，你给我修三个桥，就三根木头，对吧？给他拼在一起，什么时候木头最短，大家告诉怎么办？什么时候？很显然就是当这四个点共线的时候， 就可以得到我们的 a p 加上 pp 一 撇，再加上 p 一 撇， b 一 撇，是最小值，对不对？好，来练一下啊，就这根线是最小的， 能理解吗？好，这根线是最小的，然后紧接着你再去找真正的 p 点，应该在这条线上，对吧？然后再找到这个 p 点连起来，然后它转六十度，连起来就真正的那个 p 点应该是在这个位置， 能保证，你看这个时候的 pa， 对 吧？加上 pc 就 转到这里了，对不对？然后呢？ pb 是 转到了这里，对吧？保证他家他家他是最小的就可以了，对吧？考试啊，它往往就是不需要你找，你只要给我把这个最小值求出来就可以。好，那接下来是我们的最后一个步骤，就是怎么算的问题， 算这条线用什么方法呢？听好了啊，用勾股定律啊，一定用勾股定律。而且有人家长问老师，绕着 b 点 a 点行不行？不行？在这个题，为什么？因为只有 c 点这里提供了一个三十度的信息，因为这个角是三十，你看到了吗？它是三十，你这里一转，是不是？这里是六十， 对吧？所以说 a c b 一 撇角， a c b 一 撇等于九十度，那就用勾股呀，对不对？勾股的话，你想现在告诉我这里是几？ a c 是 五，对吧？ bc 是 六， bc 转下来这里是不是六五六，那么这个长度是不是就出来了？ 所以说 a b 一 撇等于根号下五的 二十五加三十六，答案是六十一。好，这就是我们的最小值，至于说什么时候最小，对吧？最小点是怎么找的呢？啊？我看了这么多年试卷啊，他很少去考到他，对吧？那接下来我们最后总结一下口诀，怎么去找到费马点的最小值的那个点， 对吧？你找到你才能画出来，对不对？听好了，我们的方法就是先做等边造型，先向外做一个等边造型做完以后呢，找到两个定点，直接一连好，这个线段就是我们的最后的最小值 就可以了。好吧，以上就是关于不加权的最经典的费马点的问题，该如何的找特征，抓本质，看方法，找计算，各位你学会了吗？

托勒密定律学校不教，但是你必须要学会的定理，学完就能拿高分。好，同学们，接下来我们看一下到底什么是托勒密定律，它的内容是这样说的，在这样的一个圆内接四边形当中啊，这个四边形的两组对边的乘积之合，等于这个对角线的乘积，就是这样的一个结论。 那么如果我们想要去证明一下的话，首先这是一个乘积的形式，线段乘积的形式，那么我们首先应该能够想到的应该是相似， 那我接下来呢，在这个图形当中看一下有没有相似三角形，根据相似三角形判定两个角对应，相等的两个三角形相似。 弧 a、 d， 它所对的一个圆周角应该是这个角 a、 b、 d， 我 们设它是点角，那么弧 a、 d， 它所对的另外一个圆周角应该是角 a、 c、 d， 咱们也给它设成是点角，所以这两个点角应该是相等的。那么再来弧 a、 b， 它所对的圆周角应该是角 a、 d、 b， 我 们给它设成叉角，所以这个角是叉角。 弧 a、 b， 他 所对的另外一个圆周角应该是角 a、 c、 b， 我 们也给他设成叉角，所以这两个叉角相等，这两个点角相等。那么在这个图形当中，我们发现其实还是没有相似的，那接下来呢，我就想着去构造一组相似，那同学们想想，我们应该怎么样去构造一组相似呢？ 就是这个图形当中，我们要构造一组相似。好，那我们看这个图吧，接下来呢，我就是在这个 b、 d 上去取一点 m， 然后呢，根据刚刚的咱们这个弧 a、 d 啊，它所对的圆周角相等，然后以及弧 a、 b 它所对的圆周角相等，我们看一下能不能去找到这里边的相似三角形 啊？首先我们是做两个角相等，咱们设这个角，就是它设角一，这个角呢，咱们给它设为角二，所以呢我做角一等于角二，也就说咱们的角一应该等于角二， 接下来呢，弧 a、 d 所对的圆周角就是这个角，我们可以给它设成的是角三，那么弧 a、 d 所对的圆周角这个角，咱们给它设成角四，所以这时候我们发现就会出现相似三角形， ok， 那 么角三等于角四，角一等于角二，角三等于角四，所以第一组相似就出来了，朋友们是不是应该是三角形 abm， 它应该相似于，注意是 abm 这个三角形 acd， 那么根据相似三角形对应边乘比例，我们来写一下它的比例关系式，所以应该是 ab 这个线段比上 ac 这个线段，然后等于 am 线段比上 ad 这个线段，然后应该等于咱们的 bm 这个线段比上 cd 这个线段。 ok， 那 么它的比例关系式咱们就写完了。 接下来呢，我们看一下，在这个结论当中啊， ab 乘 cd， 我 们把它乘一块，这个交叉相乘，好，咱们就出现这样的一个式子，接下来呢，我们再来看一下它是不是应该等于 a c 乘 b m， 那 这时候我们发现我们还做不出来，我们看这里边还有没有相似， 那么刚刚啊，这是角一、角二、角三、角四，我们可以设这个角，朋友们咱们给它设成角五，就是这个角啊，它是角五，那你发现一加五等于二加五，所以是不是应该有这个大角，它就和这个大角它俩应该是相等的。 那么再根据弧 a、 b 它所对的圆周角看一下，弧 a、 b 它所对这个圆周角，咱们设它是角六，那么弧 a、 b 它所对的这个圆周角，咱们可以给它设成角七，所以同学们，这时我们发现角六等于角七，然后这两个大角是相等的关系，那么这里面是不是又出现一组相似三角形， 我们看啊，这个角，这个大角 b a、 c 这个大角，也就是说咱们的角 b a、 c， 它应该和谁相等呢？朋友们注意啊，是 b a、 c 这个大角和 m a d 这个大角相等，等于角 m a、 d 这两个角相等，然后格外再加上我们的角六等于角七，所以我们就可以得出另外一组相似，那么也就是说三角形 abc 这个三角形 a m、 d 这个三角形 ok， 那 么另外一组相似应该是 三角形 abc， 它相似于三角形 amd。 那 么根据相似三角形对应边乘比例，所以我们能够去写出它的比例关系式，应该是 ab 这个线段比上 am 这个线段，然后呢，等于谁呢？等于 ac 这个线段比上 ad 这个线段。 注意同学们， ab 比上 am 等于 ac 比上 ad， 那 么还应该等于谁呀？等于 bc 这个线段比上 md 这个线段。 我们看一下这个结论当中它有 a d 去乘上 bc， 我 们这里边有没有有交叉相乘， a d 乘 bc， 所以 我能得出来， a d 乘上一个 bc， 它应该等于什么呢？它是不应该等于 a c 乘上 m d？ 好， 那么我们把第一个式子咱们给它记作一式，然后第二个式子记作二式，这时候我们来观察一下，如果我们把这两个式子加一块，就是一加二，你看 a b 乘 cd， a d 乘 bc， 是 不是就是上面这个式子， ab 乘 cd， a d 乘 bc， 那 么它的右侧如果我们加在一块的话，同学们，它是 ac 乘上 b m 加上 ac 乘 md， 那 么在这个图形当中，我们看一下 这个 b d 这个线，就是 md 这个线段，加上 md 这个线段，所以正好就是咱们的 b d， 那 么它的题干当中给的就是 ac 乘 md， 所以 我们只需要把一加二就可以得出结论，把这两个加一块啊，所以就得到了是 ab 乘上一个 cd， 然后呢？加上一个 a d 乘 b c， 然后等于的是 a c 乘 b d， 好， 同学们，那我们就做完了，你看你学会了吗？记得点赞关注哦！

同学们好，我是江涛。我们对二零二六山西中考百校联考四 a 卷几何压轴进行视频分享。考点涉及到终点。用法，利用构造中位线或者平行八字来解决，线段长。那么一起看一下本份试卷几何证明二十三题。本题十三分，综合于探讨 问题情境。如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中，点 e 是 射线 a、 d 上一点连接 b、 e 将三角形 a、 b、 e 沿直线 b、 e 折叠，点 a 的 对应点为 f， 要注意关注动点的活动范围，点 e 是 射线 a、 d 上一点要注意分类讨论。我们看第一问，猜想证明。 如图二，当点 c 在 线段 e、 f 上时，判断 d、 e 和 c、 f 的 数量关系，并说明理由。那么说，目测在图二当中 d、 e 和 c、 f 应该是相等的关系，那么先判断，再回答，再证明。 那么题上告诉我们说， a、 b、 c、 d 是 矩形，对边平行且相等，四个角都是直角，而且在折叠当中折横，要关注它是垂直平分线，也是角平分线。 那我们来观察，首先，由于折叠哎角 f 对 应角 a、 哎角 a 是 直角，所以角 f 是 直角。因为 ab 和 cd 平行产生同位角，所以 cd、 e 是 直角。 那么有没有边等呢？当然 bf 是 ab 折下来的， ab 和对边 cd 相等，所以为全等又提供了一组边等。 又提上告诉说点 c 落在 e、 f 上， e、 c、 f 三点共线，而 a、 d 所在直线和 b、 c 所在直线平行产生同位角，所以这个角一等于角 d、 e、 c 这个角二。 所以这个时候全的理由是小脚直角边，小脚直角边角角边全等，从而挣出来 d、 e 等于 c、 f。 第一问非常简单，然后拓展延伸。第二问，连接 d、 f 直线 d、 f 与直线 bc 交于点记。 第一问如图三，当点意为 a、 d 的 中点时，连接 eg， 判断四边形 eg、 c、 d 的 形状，并说明理由。 那我们来看一下目测四边形 e、 d、 c、 g 为矩形，为什么呢？因为目现在 e、 d 和 c、 g 已经平行，并且已经具备了直角。 也就是如果我们能够证出来 e、 d 和 c、 g 是 相等的关系，那它就是个平四加一个直角，那不就是矩形了吗？ 那么如何证它是个平次呢？可以选择证 e、 d 和 c、 g 相等。那如果大家这个题做到这个地方的时候，你不难想到这题的考点跟二零二一年山西中考数学的几何证明二十二题的做题思路是一致的，大家可以去做一下那道题。那么说 如何去证明 e、 d 和 c、 j 相等呢？那么同学们，而 e 是 a、 b 的 中点，也就是说大家得证明这个 c、 j 啊，是矩形长的一半，那也就是大家得证明这个 c、 j 等于 b j。 那 如何证 c、 j 等于 b j 呢？我们可以选择先证明 b、 j 等于 e、 d， 也就是说我如果能够证出来 b、 j、 d、 e 是 平行四边形，那这个题就成功了。那我如何证它是平四呢？这组对边已经平行了，如果能证出来 b、 e 和 d、 j 平行，那就大功告成了。那这就用到在折叠当中折横式关键线的作用。 折痕是角平分线也是中垂线，所以折叠当中对应点连线 a、 f 被折横， b、 e 垂直且平分，它是关键的辅助线。我们假设这个焦点为 o 啊，其实我们根本就用不到这个垂直，为什么呢？因为平分，所以 a o 等于 f o， 那 么又因为 e 是 a d 的 中点 e a 等于 e d， 所以 此时 e、 o 是 三角形 a， d、 f 的 中位线， 中位线 e、 o 和对边 d， f 所在直线平行，所以 b e 和 d j 平行，又因为 d e 和 b j 平行，所以两组对边平行得平。四，所以 b j 等于 e， d， 从而等于矩形长 a、 d 的 一半。 那又因为 a、 d 和 bc 相等，所以 b j 也是 bc 的 一半，从而 c j 等于 b， j 等于 e d， 所以 e、 d 和 c j 既相等，又平行得平。四，再加一个直角得矩形。我们可以写一下这一问的这个简单的思路哈，先证明四边形 b， e， d， j 是 平行四边形，那怎么证的呢？因为这个 a、 f 垂直平分， 垂直平分，我们的谁呢？ b e， 所以 咱们得出来，所以 o a 等于 o f。 而本身呢，因为 e a 等于 e， d， i f 用得出，所以 o e 是 三角形 a， d、 f 的 中位线， 那既然是中位线，所以 o、 e 所在直线和 d f 平行，而本身 d e 和 b j 也是平行的，所以平行。四边形正出来了，所以我们得出来，这个 b j 就 等于 d e， 从而等于二分之一 a d 啊。然后呢，又因为这个 a、 d 和 b c 是 相等的，所以 b j 就 等于二分之一 b c， 所以 得出 b j 和 c j 相等，从而都等于谁呢？都等于我们的 一。哎，这个思路就明晰了，我们来看最后一小问，说，若 ab 等于四， bc 等于六，当地 j 等于二倍的 f， j 是 直接写出现段 c j 的 长。那么对于这一份呢，就涉及到看到中点的时候，各到中位线以及平行八次了，为什么说中点呢？大家看图二， 如果满足条件， d j 等于二倍的 f j 等于二倍的 f j， 那 就相当于这种情况下 f 应该跑到 d j 的 中点。 而对于这样的辅助线构造呢，它终于考出来了。同学们，是我们二零二六年山西中考几何专项冲刺第九讲终点中线用法一二所涉及内容，那么老师也提到过，在直播当中说这些考点会陆续出现在后期的考试当中，为什么老师这么笃定呢？ 是因为这些考点就一直是我们山西中考高频的考点，而且这些课程都已经有回放，那么同学们可以通过哎联系江涛获取这些课程回放。那老师也提醒大家，我们可以预约二六年山西中考的几何专项冲刺最后冲刺学习 对应的时间分别在五月三十一号、六月七号和六月十四号上午的十点到十二点。我们根据二零二六年山西中考前所有的模拟考试出现的高频考点，带领同学们进行最后的冲刺学习。 同学们可以通过搜索微信公众号、微信视频号、抖音或小红书、江涛数学，通过主页添加江涛微信，也可以添加江涛个人微信、江涛幺三九零三四来加入到我们二六年山西中考最后冲刺学习当中。 那么来画图吧。对这个题呢，我们说要求 d j 是 二倍的 f j， 那 这个图的话，因为应该稍微调整一下，而且题上说点意是射线 a d 上的一个动点，所以它一定需要分类讨论好。怎么办呢？我们来调整， 我们可以把它再往前面一点点，那么 f 是 不是就往上了？好，我们来画一下啊，哎，比如说 e 在 这折叠折了一个直角，这样写，哎，连接这个 df， 交这个 bc 与点 g， 哎，好的同学们，那我们就假设是这个图，哎，这个点是 e， 这个点是 f， 这个是 j， 那 这个时候满足的条件是 d j 等于 二倍的 f j， 那 么此时 f 是 d j 的 中点，条件标上去 ab 是 四，折过来 b， f 也是四，并且，哎，不要忘了这是直角，还有 ab 的 长度是六。 那这个题上已知条件是 f 是 dj 的 中点，并且要求的是 cj。 那 么同学们，当你看到中点的时候，我们可以联想到勾到中位线，或者八字全等，八字相似等等，那我们说怎么办呢？我们直接选择过点 f 做 bc 的 平行线，同学们， 由于 f 是 中点，九字针眼又做了平行线啊，垂直垂直平行， dk 比 ck， 等于 df 比 gf 一 比一， 所以 c， 这就是二倍的 f k， 所以 现在核心就是解决 f k， 那 么解决 f k 可是总共的长是六呀，那我就应该把多余的给它剪掉，那于是我这个辅助线就变成这个样子，我选择过点 f 做 b、 c 的 平行线，分别交 a、 b、 c、 d 于点 k 和 h。 好， 同学们，那么自然 k 和 h 就 都是中点了。哎，根据我们刚刚分析过的九字真言，那么同学们马上就求出来了，既然是中点，那么 a b 是 四， b h 就是 二， 哎，这个斜边是四，特殊的角度，这个角是三十度，一比根号三，哎， f k 也有了，所以它是六节二倍，根号三。 那这个题的答案 c j 就是 f k 的 二倍，所以 c j 哎，在这种情况下，它等于十二减四倍根号三。当然同学们除了这样的弧线构造之外呢，我们说看到终点，我们可以选择怎么呢？构造八字全等，我们把这个图清理一下 好，怎么就出现八字全等了呢？我们说可以延长 b f 交 a d 的 延长线于点 k， 那 这个时候同学们也可以理解成什么呢？ 哎，我们说在平行线间有一个中点延长八字全等，理由特别简单，对顶角平行产生内错角，再加上什么呢？再加上 f 是 中点边的条件。 那么全等之后，这个题让求的是 c j， 那 是不是只要解决了 b j 就 好了呢？那 b j 是 不是和 j k、 d k 是 相等的呢？解决 d k， 我 们来观察， 因为八字全能已经构造完了， f b 是 四，所以它对应边 f k 也是四，所以这个此时 b k 就是 长度为八。在直角三角形 a b k 当中，这个短直角边是四，这个锐角所对的直角边是四，斜边是八，那说明这个角 k 是 三十度， 哎，三十度三边关系直接得 a k， 这个长度是四倍根号三，所以做叉 d k 是 四倍，根号三减六，而 b j 和它相等也是四倍，根号三减六。我们来看， 由于 bc 长度是六减去前面的整体呢，就是六减四倍根号三加六，依然是十二减四倍根号三。这是这个题的第一种情况，点溢在线段 a d 上， 那么点 e 也可以跑到射线 a d 上，那其实这个图同学们可以不画，因为图二已经给我们画完了，我们就利用图二，他说什么呢？连接 d f 交 b c 于 j， 那 么条件是什么呢？哎，条件就是，哎，当地 g 等于二倍的 f g 时啊，我们说 d g 等于二倍 f g， 那 这个时候我们就省略了画图了。 大家还记得这个题第一种情况我们怎么做的吗？是不是过点 f 做了个平行线，而这个题本身是一道题，那我为什么不能在这个题当中用同样的方法去构造呢？可以的来，我们选择过点 f 做 b 的 平行线，分别交 a b 和 c 的 延长线于点 k 和 h， 那 这就都是垂直了。 我们先把条件标上去啊，矩形的宽是四，长是六，折过来这是四， 然后并且提倡满足条件， d j 比 f j 是 二比一的关系好，那么大家看，根据平行线分线段成比例，所以 ab 比 b k， d j 比 f j 二比一，所以 b k 长度是二的。 那么这个时候大家会发现，那么这个锐角，同学们，这个锐角就是什么呢？三十度，因为三十度所对直角边斜边一半啊，这个图还是看起来会有一些出入的啊，所以长直角边是二倍，根号三。 那这个时候题上让求的是 c j， 大家发现，哎，这个地方出现了 a 字形相似， d j c 和 d f h 相似，比是多少呢？是二比三， 那么 c j 的 对应边是 f h， 而 f h 由于我们的辅助线构造，它已经出来了，整个长度是六，所以这一节就是六减二倍根号三。我们来求一下， c j 比上 f h， 六减二倍，根号三等于什么呢？二比三，那么 c j 又求出来了， c j 就 等于它俩一乘呢，就是十二减四倍，根号三除三，所以答案是四减三分之四倍根号三。 那这是我们站在了一个跟第一种情况的第一种方法哎的情境下，我们这样做的，如果我们站在跟第二个情境一样下，能不能做出来呢？当然可以，我们来依然在图二当中重新构造 连接 d f 交 b c 于 j， 满足的条件是 d j 比 f j 是 二比一。那么第二种情况，我们是构造了一个八字全的，那么同样我们在图二当中没有，这是终点了，我就可以构造八字相似 条件，标上去，这是四，折过来是四矩形的，长的边是六，怎么就出现八字相似了呢？我可以选择过点 d 做 b f 的 平行线，交哪里呢？同学们，交到我们的 b c 的 延长线与点 k， 我 们加上这个交点是 k， 那 这个八字相似，它就出现了相似比是几比几呢？一比二。 所以既然这个边是四，那么它对应边 d k 就是 八。好。同学们，那么又因为 d c 长度这个是四，所以在 d c k 这个直角三角形中，那么角 k 这个锐角就是三十度， 那么长，直角边就是四倍，根号三。好，我们接下来看分析啊，最终是不是让求的是 c j 呢？那我们会发现，此时，哎，因为八字相似，我们还是把这个八字给大家框一下啊。 八字相似，我们会发现什么呢？这个 j k 啊， b j 比上 j k 相似，比是一比二，所以 j k 比上 b j 是 二比一， b j 比 j k 是 一比二，那么 j k 比 b j 是 二比一，求出 j k 减四倍，根号三不就是答案吗？ 那么同学们，那么 j k 就 占了整个 b k 的 多少呢？三分之二，因为一比二的关系了，那我就得先把 b k 算出来，那 b k 好 算吗？ b k 也好算，前面是六吗？后面是四倍，刚好三，所以 b k 的 长度就是一个六加 四倍根号三。而我们的 k j 占了整个的三分之二，所以是三分之二乘以六加四倍根号三。啊，我们来看啊，并且我们来先把它算出来嘛，二六十，二十二，除三是四，后面是个三分之 哎，加上一个三分之八倍根号三，别忘了这是 k j 的 长度，我们最后要的是 c j 吧，那我们再减一下，所以 c j 用等于 k j 减 c k， 那 就是三分之八倍的根号三。四加三分之八倍的根号三， 再减四倍根号三，四倍根号三是三分之十二倍的，所以就是四减三分之四倍的根号三。哎，跟我们刚刚这种情况，答案算下是一样的，四减三分之四倍根号三。 那么这道题分析到这里，在这个题目当中，老师提到了二零二一年的百校，呃，山西中考的几个证明题，在第二问当中啊，做题思路是一致的，大家可以去做一下这道题，我们分析到这里。

接下来的湖北几何复习，目标是教会大家学会使用几何，分类几何。同学们好，我是蔡老师，今天老师想给大家分享的是我们在解决几何题时要有一些模型思维，我们的模型不需要记太多，只需要记老师现在给的这五个模型即可。也就是看到交叉想八字形的全等， 看到共顶角加两组等，线段相等，想手拉手形的全等或者是相似，看到一线三等角啊，也就是直线穿直角形，我们去想到往两边做垂，去构造出全等或者是相似。 再来就是前面两个视频给大家分享的绊脚模型，九十度里面加四十五度，或者是一百二十度里面加六十度，以及这个六十度里面加三十度啊，都是我们比较容易想到的这种绊脚模型。再就是三线合一，现在这道题有一个一点，在三角形 a、 b、 c 的 内部， 我们有两组角等分，一组角是明确的六十度一组角，这里有一个阿尔法这个不确定的角的度数，然后再来给了两个特殊角，分别是一百五十度和九十度。我们第一问说，当阿尔法等于六十度的时候，需要判断三角形的形状，以及去求一个线段之间的等量关系。 那我们来看一下题目的信息，做一个基础的标注。先看第一个等角，我们先把这个弧度标上去，角 abc 等于角， abc 等于六十度，角 edb 等于六十度， 两个六十度相等，加上两个等角，那第一位里面给了如果 r 法等于六十度的时候，那我们可以知道，其实上这是两个等边三角形叠在这个 b 点处，也就是我们可以很快想到 这个手拉手模型存在在里面。好，那第一问，它需要判断这个三角形 e、 b、 d 的 形状， e、 b、 d 啊，就是一个 等边三角形，这应该非常好做出来。第二问，需要求证 b、 d 等于根号三倍的 a、 e。 好， 这里呢，我们就会有一些信息的一个积累，比方说 b、 d， 它可以转换到 d、 e， 也可以转换到 b、 e， 还有就是从题架里面特殊的这个六十度，我们可以得到一组这个手拉手存在在里面，所以在这里啊，同学们可以很快想到的一个辅助线，应该就是连接 c、 d， 为什么呢？因为已经有两个 等边三角形共顶点放在一起了，所以我们就可以顺着题目的信息去得到一个牵引点，也就是辅助线怎么去给他做出来。 连完 c、 d 之后，我们可以快速得到这个 a、 e 啊，它是等于这个 c、 d 的， 由三角形 b、 a、 e 和这个三角形 b、 c、 d 全等得来的，所以这里的 a、 e 和这个 c、 d 是 相等，那我们就可以转换成题目，要证 b、 d 等于根号三倍的 c、 d， 也就是要探索这个 b、 d 和 c、 d 之间的这个根号三倍的关系。我们知道等边三角形，所以 b、 d 是 不是可以转到这个 d、 e 来，也就是去证这个 d、 e 是 等于根号三倍的 c、 d 啊？ 好，那现在这个题目就是非常的清晰了，也就是要去证这个三角形 e、 d、 c 是 一个三六九三角形， 那我们看题干里面，这里是不是可以服务它角 a、 e、 b 是 一百五十度，这里是一百五十度，有全等，我们可以得到这个角 b、 d、 c 也是等于一百五十度，所以我们可以得到这个角 e、 d、 c， 它就等于九十度啊，这里是个垂直。 好，再来题目里面的这个信息，角 b、 e、 c 是 九十度， b、 e、 c 是 九十度，那角 b、 e、 d 啊，等于六十度， 角 b、 e、 d 是 六十度，那我们得到角 d、 e、 c 就是 三十度。好，两个角也出来了，就是由这个模型的全等带来的一系列的信息同步，所以我们可以决定啊，它就是一个三、六、九三角形，那这里的等量关系也就成立了。 好，我们再看第二位，现在这个角 r 法变了，变成九十度了，我们前面的是手拉手型的全等，那现在角变了，是不是有可能就变成了手拉手型的相似，对不对？这是我们思维的一个牵引，那角本来是两个六十度的角，变成两个直角啊，叠在一起，所以 刚刚连的辅助线 c、 d 在 这个地方， c、 d 是 不是依旧去给他连起来？手拉手这个结论是不变的，所以我们可以得到 三角形 b、 a、 e 是 相似于三角形 b、 c、 d， 它们之间的相似比，也就是 b、 a 比上 b、 c 前面的六十度啊。 a、 c、 d 是 六十度依旧能用，还是在三、六、九三角形的背景里面，所以我们可以得到的是它们之间的这个比例关系啊，是 根号三比一的关系。我们再看题目里面这个前面的直角能不能用得上这个一百五十度？ 嗯，刚刚的一百五十度。在这里， a、 e、 b 的 一百五十度是不依旧没变，所以 b、 d、 c 的 一百五十度没变，那角 e、 d、 b 的 这个六十度也没变，所以这个直角啊，依旧是存在的。好，再来这里的 九十度的直角是不是没有变？然后我们题目里面信息角，这 b、 e、 d 是 不是还是个一百五十度的补角，三十度也是没变的，所以啊，这里的六十度，所以三角形 e、 d、 c 它的三六九三角形依旧是确定的。好，那这个 b、 d 啊，和这个 d、 e 之间之前是相等，现在 b、 d 和 d、 e 是 不是在三角形 b、 e、 d 中，它不是等边也是个三六九？我们把两个题目的信息当九十度发生变化，什么东西变了，是不是三个地方都变了，去给它罗列出来，我们就可以很清晰的知道这道题该如何去操作。 看这道题的目标，它要求的是 b、 d 比上 a、 e， 我 们就尽量的把这个 b、 d 啊去往 a、 e 上面去导，现在呢，这个 a、 e 和这个 cd 之间的关系，我们已经构造好了。好，再来看这个第二步啊，三角形 e、 d、 c 中 e、 d、 c 里面，我们的 cd 和 d、 e 之间的关系，我们去给它找出来，也就是 cd 比上这个 d、 e， 我 们是等于根号三比一。那在第三步里面，这里啊，要去探索 b、 d 和这个这里的 d、 e 的 关系，那这个 b、 d 比上 d、 e， 它是等于一比上二啊，这里的关系就有点变化了。现在题目要求 b、 d 比上 a、 e， 也就是要把 b、 d 和 a、 e 间的关系找出来， 我们发现这个地方 a、 e、 c、 d、 c、 d、 d、 e、 d、 e 和 b、 d 是 不是刚好可以形成一些关系的转换？所以我们先用这三个式子来变形一下啊，得到第一个式，得到 a、 e 等于根号三倍的 c， d。 第二个式子可以得到 cd 是 等于根号三倍的 d， e， d， e 是 等于两倍的 b， d。 所以 把这个式子去进行一个族积相乘啊，我们可以得到 a， e 是 等于根号三倍的 cd， 又等于 根号三倍的 d， e 又等于三倍的 d， e 就 等于六倍的 b， d， b， d 比上 a， e 就 等于六分之一，这是我们题的最终答案，那在做这个题的时候，我们发现做的思路是比较清晰的，原因是因为由这个模型快速识别出了手拉手在里面的一个转换，所以我们可以知道，如果是等角的话啊，我们这边是手拉手，现在全等， 而这个地方是手拉手型的一个相似，都是一些特殊角，所以他的一些关系我们可以快速翻译一下，一些基础的模型学会了之后，我们有一些信息会叠加在里面使用。比方说中点的四种打开方式，角平面线的三种打开方式，还有四十五度角，三十度角的一些剪三角形的处理啊， 都是我们比较常考的点，大家可以进行一个更加深度的学习，这样的话可以对几何有一个更加清晰的把控。这是今天给大家分享的几何知识点，你学会了吗？

百分之九十的学生看到这种几何压轴题，直接就放弃了辅助线，完全没有思路。涛哥今天带你去拆解这道题的核心的底层逻辑，教你看完题目之后，一眼就能找到辅助线怎么做，彻底去吃透这类备长中线的模型， 以后再遇到同类的压轴题的时候，轻松就能够去拿满分了。下面我们来看具体的题目，那我们会发现，看到这个图形的时候，就感觉这个题已经有点难度了，对吧？甚至我们看到，你看我们在这里面会出现什么？第一问，第二问，第三问，那我们大概率就会知道这道题绝对不简单， 那我们应该怎么去分析呢？首先我们来看第一问，大家一定要去掌握压轴题的底层的套路。我们先把第一问讲完之后，来看后面具体应该怎么做。当然如图，在这个三角形里面的是终点，那我看到那我知道终点是关键词圈出来说连接 a 的 并延长至 h， 使得什么？哎，那它是不是在告诉你这个东西怎么做？ 然后呢？说角 a 的 b 等于角 c 的 h， 我 去图里面看， a 的 b， a 的 b 等于角 c， d， h， 这不就是对顶角吗？对顶角相等，又因为我在这里面做了 d h 等于 a， d， d h 等于 a， d， 然后呢？有对顶角相等，又因为题目里面有终点，那我们知道 b、 d 和 d、 c 相等，自然这个东西是不是就全等了？那么我们知道，由这个知道之后，既然三角形全等，那么不就有了 ab 与 c、 h 的 数量关系，那自然是相等的呀， 对应边相等，那位置关系是什么呢？因为有三角形全等，所以就会有对应的角相等，那对应角不就是内错角吗？那既然是内错角的话，那我们就知道我们的位置关系就是平行，所以第一问非常轻松就能够 拿到，我们说这至少是两分，那么下面我们来看第二问，到底应该怎么样去做呢？说如图， ap 平分。好，我就先来研究 ap 平分，那么我在这里面标 x 和 x， d 是 中点还是要 d 是 中点，我在这里面先标出来，我把写个中，这样子不容易忘掉题目里的条件。然后呢， d q 和 a p 平行，观察一下 d q 在 哪里？ a p 在 哪里？那既然有 d q 和 a p 平行，那我们知道两直线平行啊，同位角相等，我在这里标个 x， 哎，这是 x， 那 我这个自然是不是也是 x？ 好，那么再看，那我这边这边也有一个 x 的 话，那我这 q 不 也是 x 吗？你看这是不是我根据平行线跟角平分线，我已经能得到非常多的相等的角了。好，下面问我们什么了？ b q 与 b k 与 c q 的 关系。好，那我们来观察 b k 与 c q 的 关系，而且我们说了题目上问的是数量关系，那我们知道这种简单的数量关系，那我们猜一下是不大知，也能猜到是他们俩相等，但是呢，他让我们说明理由，那我们就要去到那说明理由，那我得去证明呀，那我怎么来证明？ 下面我们是不是就得有证明过程了？那么很多同学就会想说，那正线段相等，前面有有给大家梳理过啊，我们怎么正线段相等了？其实来说主要有两个思路，如果他们在同一个三角形里面，我们一般会去正等幺，如果他们不在一个三角形里面，那我们就去正全等， 大概率会是一这样子两个思路，但是那这道题放在这里面，那么我的思路应该是什么呢？你说正全等吧，现在好像也没有，那正等于吧，他们又不在一块，这就出现了压轴题的套路，你一定要去想你第一问在干什么？那么在第一问里面， 我们分析完题目之后，我们大致已经想到了什么，他不是有一个三角形全等吗？那这个全等他是怎么来的呢？他也给了终点，那么关键就在这， 这都是干了什么？这其实就是辅助线的思路，这是很多学生发现不了的辅助线的思路，再加上他前面的这个模型，我们会发现这个叫倍长中线，所以这就需要学生，你要你如果说这类题型比较弱的情况下，你先尽量去把这类模型你都认识，然后那我们再来看， 好，那我会发现哦。第一问里面因为的是中点，我就把 a 的 这个中线给他延长了，那在这一问里面的竟然还是中点，那我仍然把它延长呀， 对吧？那我延长之后，那我做什么了？我做什么了？你看，那么我在这个三角形里面有关系的话，那是什么？是 b 的 q 这一块，那我肯定不可能是去做 的 q 的 被长中线，对不对啊？所以那我们就做的是的 k 和这儿标个的 k 撇儿，它们俩相等， 然后连接。那么根据第一问的思路，那我很容易去证明这边三角形和这两个三角形全等，因为有对顶角，有中叠，又做的是倍长三角形全等，那我们知道三角形全等了之后，它就有什么呀？它不就有对应的边相等，对应的角相等吗？所以就有了 b k 等于 c k 平， 那我既然要证相等，那我是不是证 c k 平和 c q 相等就行了呀？怎么能证明它们相等呢？ 因为有对应的三角形全等，有对应的角相等 x x， 那 你看，那你这个角是 x， 这个角也是 x， 那 么你的 c k 撇儿，这个线段跟我的 c q 不 就相等了吗？ 我这个题不就正完了？所以你会发现这个题的套路是什么？就是你第一份辅助线怎么做的，你第二份借着用就行了， 非常简单。好，下面我们关键词了，我们来看第三问，我们知道这道题肯定是第三问，是我们真正的压轴题，属于难度比较大的题，对吧？那我们应该怎么去做呢？下面来看还是一样，首先看题目好，有九十度， b， a c 九十度我标上，然后 a c 等于六，我也标上， ab 等于八六八十，又因为得是终点，那这不就各是五了吗？ 然后连接以后，什么什么动点之后有 b f 等于 ac， 那 这也是六呀。好，下面那求 a e， 那 一般我们说我们求什么，我设什么，我会设这是 x， 那我设 a， e 是 x， 那 我们可以说了，求线段，我们优先勾股定律，勾股定律不行，全等，全等不行，相似相似不行，有等腰，还有线段加减，思路就太多了，那我具体应该怎么做呢？到这一问的时候，不要盲目的去思考，去看你的第一问和第二问干了什么， 去看他们干了什么。你看我们第一问有辅助线的思路，第二问我又借鉴了，那第三问大概率继续沿用，所以既然得是终点，那我就仍然要做倍长中线。 只是这一问的问题就来了，那我是做的 f 的 一倍，还是做的 a 的 一倍，就需要同学们去思考了，不会的同学两个都去试一遍，那么会的我们就知道，这道题我肯定是要做的 f 的 倍长中线，因为为什么我会去做的 f 的 倍长中线呢？我标 c m， 因为这里面有六， 因为我的 b f 是 等于六的，那我要把我这个六用上呀，所以就有了我这边这两个三角形，全等它们全等之后，这不就有了六了。好，同样的，有了六了之后，你看，那我还是一样，我们这里面有内错角，那么有有，有什么有对应的角相等，而这对应的角正好是内错角。那同样道理，我在上面标 x 对顶角相等，你的六和六相等，那我上面仍然有 x， 那 就说明你的 e、 f 不 也是 x 吗？直接在这个 r t 三角形 a、 b e 中勾股定律就能解决了，直接利用勾股定律， 你就会发现这道题非常简单，所以你看，这就是压轴题啊，而且这个预测今年很有可能会考到，所以那么我们说这类题型同学们一定做的时候不要盲目的去刷题啊，一定要去掌握压轴题的解析套路，你只要把这种套路明白了，你会发现这种题真的非常简单，还没有完全听懂的孩子们可以多去听两遍。

此题关键是找到一的坐标，求出直线第一的函数解析式，再利用对称性表示出矩形的边长二次函数求解。

中考数学最难的几何最值问题，命中率百分之九十七，吃透稳进前三二零二六中考数学几何最值问题，强化训练考点一，将军引马类型第一题题目解答考点二，动点辅助圆类最值第一题到第二题 考点三，四点共圆类最值第一题题目解答考点四，刮到原理最值一题到第二题以上就用电子版。