2026石家庄二模立体几何

我们来看一下石家庄二模的这个填空的压轴题啊，这个题呢，米奇老师真的是想恶心大家一下啊， 呃，他说呢，在母线与底面左上角为三分之派的圆锥里面，放了三个半径为一的球，这三个球呢，两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切啊，第一个空挡让咱们求圆锥的底面半径， 那么为了让大家呢，更方便理解这个题啊，我把这个图呢大概做了一下，注意啊，大家看的时候要注意，后面还有一个球呢啊，也就是前面两个，后面一个，当然上面这个球是为第二个做第二个做准备的啊，它是咱们球这个球的半径，圆锥的底面半径。 那么要想做出这个题来呢，我们只需要做两个图就可以了，第一个呢是， 嗯，洁面图啊，哪个洁面图呢？假如是这三个底面的球的球心呢，分别是， o 一， o 二， o 三，注意啊， o 三在后面呢啊，在后面呢，我就不标了啊， o 三，那么这三个呢，由于这个球啊，是规则的对顺图形，圆锥呢，也是规则的对顺图形，所以说呢， o 一， o 二， o 三一定可以构成一个什么形啊？等边三形， 对吧？ o 一， o 二， o 三可以构成一个等边三角形，那么我们想啊，既然这三个球呢，分别与侧面和底面向切，所以它肯定是关于谁对称啊，中心对称嘛，那对称中心是谁啊？对称中心呢，实际上就是我们这个等边三角形的 圆形 o， 那 么他说呢，这三个小球的半径呢，全是一，所以呢，这个等边三角形的边上呢，就是二，所以说呢，我们可以求出谁来， o e o 的 长就是高的三分之二呗，对吧？那么我们知道等边三角形的高 h 呢？等于二乘以的二分之根号三，所以呢，等于根号三， 那么呢， o e o 就 等于呢，高的三分之二，三分之二 h， 所以 等于三分之二倍根号三， 三分之二倍根号三， ok， 那 么 o e o 我 们就求出来了，那么 o e o 有 了之后呢？我们怎么去求这个底面 圆的半径的？这个呀，我们找一个洁面图就可以了，为了方便的理解呢，我们做把它的俯视图和 斜轴洁面图做出来啊。俯视图，我们先看俯视图，俯视图呢，大概是长这样的，嗯，这有一个圆， 这有个圆，这呢？还有一个圆，是一坨啊，这个画的不是很圆。 ok， 然后呢，那个我们说的等分三角形的中心呢？在这，这是 o 一 o 二 o 三， 对不对？然后呢，外边还有一个大圆，就是他让咱们求外边这个大圆的半径，外边这个大圆的半径呢，实际上就是求这段距离呗，是吧？假如说这个大圆的圆心是 o o 撇吧， 不能跟我们这个等边三角形的圆心给重合掉，其实让咱们求的是 o 片 a 的 距离，对不对？这是俯视图啊，那么 o 片 a 呢？我们怎么去理解这个俯视图？我们来看啊，实际上我们还得把它的这个呃 轴结面可以做出来。轴结面做谁呢？就是轴结面千万不能做正视图啊，不是正图，这个做的轴结面不是正视图。为什么不做正视图嘞？因为你正视图做出来是这样的， 这有一个圆，这有，呃， 这有一个圆，这有一个圆，对不对？好像感觉着，嗯，为什么不做这个正视图了？因为这个正视图 我们跟底面圆的圆心啊，没办法建立联系是不是？那他两个，这两个 o 一 o 二连线的终点呢？也不是，不是，什么呀，不是底面圆的圆心， 对不对？所以说做正视图是不行的啊，那我们做的是什么图呢？我们我们在这个左边这个图当中简单画一下，是 s， 假如这是 a， 这是 b， 我 们做的是这个这个界面，嗯，这我画成虚线吧， e 是 从底面穿过去的啊，不是从这个球面穿过去的，做的是这个轴界面， 大家懂懂这意思吗？就这个轴结面啊，这个要要包住这个点，就是他是这么斜着结过去的， 因为只有斜着结过去才有可能我们找到这个中心嘛，这个中心在顶上投影才是啊。假如说这是 o 了，这是 o 片了，我们我们俯视图当中的这个，呃， o 片啊，就是老师刚才画的这个，这是俯视图啊， 俯视图中 o 片是这个位置，大家能看，大家能想得出来吗？并不是正视图当中的这个位置啊，并不是正视图当中的这个位置，这个位置可不是 o 片， ok 吧？好，我们再做一个这样的图啊，把这个界面给拿出来，就是 s， 这个点，就表表一个 b 吧， s a b， 这个界面 拿出来， 对不对？然后呢，这是 o 一， 这是 o 了，你看这有一个 q q o 一 啊， q o 一， 对不对？这是 o 一， 然后呢，他跟侧面相切和底面向切，对不对？然后呢？这一段距离啊，注意啊，这段距离可不是正视图当中的这段距离啊，而是我们谁呀？ o e 到 o 的 距离，对不对？那么 o e o 的 距离呢？我们已经求出来了，是多少啊？ o e o 是等于呢？三分之二百杠三。那么实际上这个半径就是 o 撇 a 的 长嘛，那么 o 撇 a 呢？就是 r， 我 们要求的半径大， r 是 o 撇 a， o 撇 a 等于谁啊？等于呢？ o e o o e 我 标得远了， o e 实际上指的这个位置 o 片 a 呢？等于 o e o 加上谁啊？假如说这个点是 d 点吧，加上 ad， 那 么 ad 怎么求呢？ ad 就 放在这个直角三角形当中来求了，因为等于呢？ o e， o 加上呢谁啊？ a o e 应该是 o e d o e d 除以谁啊？它这个，呃，它这个六十度，是不是 六十度？所以呢，我们来求一下，它等于多少呢？ o e o 的 差是三分之二倍根号三，就是因为 o， e， d 是 等于半径一嘛，所以就变成了三分之二倍根号三， 加上呢三分之三倍根号三了， 对吧？根号三， 我们来看一下啊，这个是不是 v d 一， 这是三十度了，这个角是三十度，因为他说，呃，母线和底面的夹角呢，是六十度，所以这个一半是三十度了， 对吧？ a d 呢？应该等于贪婪三十是对比斜啊，贪婪三十。我们写一下啊，贪婪的三十 是等于的，对比斜的对 o e， d 除以谁啊？ a d 嘛？哦，所以这写错了，这稍微出点问题，应该不是除以贪婪，就是除以贪婪三十。 把这个写清楚一下啊，就是他那个三十，因为这个大角是换个颜色吧，这个翘角是三十度啊，因为母线和这个大角这个角，这个绿色的角是六十度嘛，所以紫色的角就是三十度了，所以呢，我们来求一下啊， 黑色篮球再写一下弹性的三十，弹性的三十是等于谁啊？ o e d 除以谁 a d 嘛， 对吧？所以说 a d 应该等于谁啊？这应该是三分之根号三，加上呢一除以弹性的三十，就是三分之根号三， 对吧，也就等于呢，三分之二倍根号三加上根号三喽，所以这个以通分呢，等于三分之五倍根号三，对吧？所以第一问呢，这个半径大 r 呢，就等于三分之五倍根号三， ok， 那 么第一问搞定了吧？第二问呢，就相对来说简单一些啊，所以命题老师呢，觉得第一问做出来了，第二问就顺理成章了。那么第二问怎么做呢？第二问还是用我们最后结的这个 s a b 这个结面，我们再重新画一下这三角形啊， 放在这， 这是 s a b， 这呢有一个球，画一个球就可以了， 然后呢，它说上边啊，还有一个球跟它相切，然后呢，也跟，这个 大概是这么个意思啊，这是 o e， 其实就是我们这个上面这个图当中最上面这个球给他取个什么名字嘞？嗯，叫 m 吧， 求 m 吧，可以吧，这，这个这个球啊，这个球在上面标一下这个球，就是求 m， 球心是 m， 那 么这是 m 点在这呢，对不对？ 所以说呢，我们当然显然这个球就更是对称的了，是不是？这个什么意思嘞？就是说这个点 m 啊，一定是在这个圆锥的 轴线上，对吧？圆锥的轴线上，要不然他不可能跟三个小球同时相切，然后呢，跟圆锥的侧面也都相切，是吧，所以他是不可能达到这个的啊， 哦，他没说啊，是的，所以呢，我们来看啊，这个怎么办呢？因为现在呢，第一问，我们已经算出来了，这段距离， 也就是说绿色的这段距离啊，就是说球心 o 一 啊，是三分之二倍根号三，注意啊，这个还是不能跟正视度高混了啊，不能觉得他是一啊，这个呢，这个绿色的长度是三分之二倍，根号三， 给他取个名字吧，叫做 m n， 这点是 n 对 不对？也就是说 o e n 啊，由第一问，我们已经知道了，是三分之二倍根号三， 对不对？然后呢，我们知道这个球的半径呢，是一，也就说这段距离 n n o 撇是吧， n o 撇就是 o 撇， n 是 一的。然后呢，又因为这是相切的， 这是相切的，因为这个球 m 和侧面相切嘛，那么我假设呢，这个小球的半径呢，是小 r 小 r， 那 么所以呢，因为母线跟底面的夹角，这是六十度，所以呢，这个角必然是多少度啊？三十度， 我们知道三十度所处的角边呢，斜边的一半，所以说呢， ms 就 等于二 r 对 不对？那么由于呢，上面这个球和下面的球都是相切的，所以说 m o 一 呢，是等于 r， m o e 呢，是等于二加一的，那所以说呢，由这个我们就可以推出来，推什么来？呃， m n m n 的 场应该是多少啊？购物定律嘛，是不是等于根号下 r 加一的平方减去呢？三分之四，减去三分之四，对不对？那么由第一问呢，我们已经求出来了，就是底面圆的半径呢， r 等于谁啊？ o 片 a 等于呢， o 撇 b 等于呢？呃，三分之五倍，根号三，所以说呢，我们可以求出来这个圆锥的高 a h 是 等于五的， 对不对？怎么求的呀？根据正弦值嘛，这我可以写的详细一点，就是弹性的六十 等于谁啊？ h 除以 r 吗？所以呢，我们求出来 h 是 等于五的， h 是 等于五的，没错吧，那么 h 又怎么表示呢？ h， 这就是五等于 h 等于谁啊？等于 o 撇 n 加上 m， n 加上谁啊？ n m s 是不是？所以呢，那么我们就可以表示了啊，就是 四，我们代一下数吧，不挑拨啊，代一下数，六计算，换成黑色的来计算，就是五等于呢， o 撇 n 呢是一对吧，加上 m n 呢，是根号下 r 加一回来的平方减去了三分之四，加上呢 m s， m s 是 二二，所以我们解这方程就可以了啊， ok， 放到上面了，所以呢，我们知道了，四减二二 是等根号下哦，完全平衡公式可以展开了啊， r 方加上 r， r 减去的三分之一，所以呢，我们两边同时平方，那么我们就得到了再化简，就是 十六减去八，二十四个八，这是十六， r 加上呢四 r 方等于呢， r 方加上二 r 减去呢三分之一， ok， 我 们一项整理呢，就 得到了。嗯，三 r 方减去呢十八， r 加上十六，加上三分之一等于一，所以呢，这个分式化整式等于零啊，不是等于一，所以就是九 r 方 进去呢，五十四， r 加上了四十九等于零，所以呢，我们就解这个方程就行了啊，有一点计算量， r 呢，等于二， a 分 之十八，负 b 五十四加减更好， b 方减 c， c 就是 五十四乘以五十四 比方吧，减去 c， c 四乘以九乘以呢，四十九，然后呢，这里面就五十四。加减呢，里面先提出一个九来，九开出来变成三， 然后呢，再提一个四，四开出来是二，所以呢，这变成了提个九呢，剩个六，对吧？呃，六，再开出一个四是九九，八十一，这八十一减去呢，四十九， 除以了十八，所以呢，这个就变成了。呃，三分之消掉了一个六嘛，九加减的。嗯， 根号下八十一，减三十二， 三十二，所以呢，就等于三加减三分之四倍。根号二嘛。啊，因为你这个圆锥的高才十五了，所以它不可能是加啊，所以等于呢，所以二等于三减 三分之四的一点二。 ok 啊，这个题呢，还是有难度的啊，不好想，就是不好，容易错。在哪呢？容易把这个正视图啊，当成我们要做题的这个图啊，这两个图容易搞混。

本卷为石家庄一中二零二六届高考二模数学试题，满分一百五十分，考试时长一百二十分钟。整体难度梯和高考侧重基础与综合能力考察。试卷题型规范，分为单选、多选、填空解答四大模块。单选择题八道，共四十分，覆盖负数模长集合并集抛物线、交半径、向量、夹角等比，数列通向充分必要条件函数周期性与其有性椭圆、蒙日圆。以基础计算为主，侧重概念理解。 多学科。三道，共十八分，考察导数应用数据统计的平均数方差于百分位数正四棱锥陷陷角体积于外接球，注重多维度判断，易漏选。十分。填空题三道，共十五分，涉及条件概率、双曲线、离心率等差数类，性质，技巧性较强，需灵活运用公式解答题五道，共七十七分，题目明显。解三角形，考察边角互化与三角横等变换。 立体几何证明线面平行，求解点面距离，兼顾几何法与空间。向量。概率统计结合频率分布值方图计算概率求分布列与期望，贴近实际应用解析几何围绕椭圆方程与定制证明，考察连力运算与逻辑推理。最后一道创新题，结合数列与集合探索规律，区分度高，能有效检验考生知识掌握与解析能力。需要解析的评论区领取。

各位好，我们来看二零二六年石家庄二模第十题，那么这个题呢，我觉得是贯穿了多想少算这个思想。 在三角形 a、 b、 c 中， a， b 等于二， a， c 等于一角呢，是六十度点， d 是 个三等分点，点 p 呢，是 a、 d 的 中点。来，我们先给他画个图，其实从前三个条件来说呀， 无非就是说 c 等于二，对吧？ b 等于一，然后角 a 呢，是三分之派，我们就可以得到，当然你可以用余弦定力，是吧？得到这个 a 呢，应该是根二三，所以这三角形啊，应该是一个直角三角形， 我们把它画出来，呃，这是 a， b， c 啊，这角是垂直的，然后点 d 呢？是一个靠近 c 的 三等分点， 这是 d， 然后点 p 呢？是一个 a 的 中点啊， a 选项呢？这个好说，是吧？因为我们对呢，你这是一，这是根号三，这是二，是不是 c， d 的 长度就已经是一个三分之根号三了， 那我们 a、 d 的 长度呢？这个也简单，是吧？勾股定的一加上三分之一啊，所以呢， a 选项肯定是不对的， 然后二 b 选项说 pb， 那 pb 这个里边呢，他主要考察的应该是基底法 啊，基底法就是我们要想去表示出来 pb 这个向量，你最终呢，是转化成 a 开头两个向量的形式，所以 pb 等于谁呢？应该是 a， 谁减 a 谁，大家思考一下 啊，应该是这个 ab 向量，是吧？减去个 ap 向量，这是 pb 向量，所以即使到此为止，你 ab 向量已经成功了，那我们只要把 ap 给它换掉， ap 就是 谁呢？ ap 就是 二分之一的 ad， 然后再把 ad 向量换掉这个 ad 向量，这是一比二的关系，所以这是两份，这是一份，对吧？所以我们讲的 ad 向量应该是等于 注意，这是一比二，这边是两分，三分之二倍的 a c 加上三分之一个 ab， 所以 把这个式子往里带入啊，应该是 ab， 然后减去二分之一，然后乘以三分之二个 a c 加上三分之一个 ab， 整理一下，也就是你看啊，这个地方相当于是减了三分之一个 a c， 然后这地方现在减了个六分之一个 a b， 那 也就是一个六分之五倍的 a b， 然后减去三分之一个 a c 向量啊，所以二 b 选项呢，是正确的，这个没有问题， 来看 c c 选项，说 p b 是 吧？在 ab 向量这个方向上的投影向量， 那这个呢？题呢？你看啊，如果说我们不太进行思考，我们直接来进行计算的话，其实也没有问题，那无非不就是他在他的投影向量吗？我们把它一写，这是 pb 的 膜啊，乘以 q 三 c 的 啊，乘以这个 ab 向量比上 ab 的 膜， 是吧？这可以老老实实算啊，我们快速的带大家算一算啊，也就是 pb 的 膜 乘以，这应该是 pb 点成 ab 比上 pb 的 膜，乘以 ab 的 膜 啊，然后再乘一个 ab 向量比上一个 ab 的 膜，所以这里边呢，我们是不是可以把这 pb 给它约掉啊？那整个就是一个 pb 点乘 ab 比上一个 ab 的 啊，膜的平方，这么多倍的 ab 向量，这个 ab 的 平方呢？这应该是四，对吧？因为 ab 等于二吗？这应该是四，然后这个东西是我们 b 选项当中已经表达出来了 p b 了， 所以把这个式子使我们点乘一个 ab， 就是 我们要的这个结果，这个 ab 乘 ab 就是 ab， 方就是四，然后 ac 点乘 ab 呢？ ac 点乘 ab 也好说，么么乘以口算六十度啊，所以这个算出来以后就是一个四分之三倍的 ab 项链。那这个是可以的 啊，是可以的，就是在考场上我们这么去做也没有问题啊，能说明他这个选项是正确的。哎，当然了，我们再去想一步啊，再往里想一步，这个题还可以考虑怎么去操作呢 啊？就是我们直接把它投影向上的几十亿给它画出来，那无非不就是点屁往这去做了一个垂直吗？比如说叫一， 那也就是说我们对应的投影向上就是这个 e b 的 长度，那 e b 到底是多长呢？对吧？是不是这个四分之三倍的 a b 呢？这个你不能说光靠看，你看是不行的啊，我们需要进行计算呢。呃，那怎么计算呢？这给大家提供两个想法啊。提供两个想法，第一个呢， 呃，因为这个位置啊，现在你中点往这做垂直吗？所以我们也可以考虑过这个 d 往这做垂直，你看 这应该是他的一半，是吧？他应该一半，然后 d 往上做垂直。这个长度我也不会啊，那 a 转化成了什么呀？我可以再去做一个，就是 c 往上做垂直，因为 c 往上做垂直是不对应，这两三角形是相似的， 能跟上吗？这 a 字相似，应该是二比三的一个结构。那这个我可会了，这个对应的就是是不 等面积呗，就是一乘根号三除以二，就是我这段长度，那这段长度呢？就是乘一个多少呀？乘一个三分之二，然后这段长度再乘个什么二分之一，那也就是我的这个 p e 的 长度啊，这是我 p e 的 长度， 具体是多少呢，我就不带大家去算了啊。那有了 p e 以后呢，因为你这段长度是一直的，那这段也就出来了，是吧？我们可以算出来这段长度呢，最后等于二分之一的是满足一个自然分点。 那么另外呢，就是我们啊，也可以直接从哪入手啊？就是我们这求出来是一三分之二三了，我们可以得到这个角啊，应该是个三十度，那这边呢，也是个三十度， 那这个问题就太简单了，因为你 a p 的 长度，我们第一问当中呢，应该你看人体铺垫的非常好，是吧？第一问，这应该是根号下一加上三分之一，也就是根号三分之二，就这么个东西，哎，所以说呢，这个东西的长度是根号三分之二，所以它是根号三分之一， 哎，这个角又是三十度，所以说我们马上就可以把这个三角形拿出来来说了，对吧？哎，三十度，然后斜边是知道的，这是三角形，马上呢，这个问题就解决了， 哎，所以反正呢，无论怎么样啊，你能够求出来这段长度是二分之一，那么应该是这个点是四等分点，所以对应是四分之三倍的 ab 向量是正确的就可以了，好吧，嗯，这是我们作为方法二啊， 好，这是 c 选项，然后四 d 选项，四 d 选项就比较基础了，是吧？呃，就是从这个三点共线的转化来出发，一开始呢，我们讲的就是 b、 c、 d 三点共线，那这个呢，其实刚才也已经用过了啊，就是说 a d 向量 应该等于是三分之二倍的 a、 c 加上三分之一倍的 ab， 然后呢，从这个三点公弦出发，转换到谁去呢？就是你的 m、 n、 d 三点公弦啊， 那左边呢？不变还是个 a d 向量，右边等于这个 a、 c 变成谁了呢？ a c 呢，就应该是 m 分 之一的 a、 n， 这就是三 m 分 之二的 a、 n。 然后 ab 呢，应该是篮的分之一的 am， 就是 三篮的分之一的 am 啊，然后我们讲的三点公线是不对？就是三缪分之二加上三篮的分之一是等于一的啊，所以把它三给它乘过来嘛，就是篮的分之一加上缪分之二是等于三的。 当然这个题你要再往后考的话，我们完全可以考一个。什么呀啊，你比如说我们最终要去求 lamb 的 加 lamb 的 一个最小值啊等等啊，就是遇到一个乘以法的一个，再往后的一个进一步的操作，你看是不是跟我们邯郸二模那个十一题 c 选项有点相像的一个核心考点。 好吧，那这个题目呢？啊，其实整体来说，我觉得还是多去想一想，然后减少你的计算量，尤其在考场上，其实整张卷子的计算量来说应该是比较大的啊，我们要琢磨琢磨如何呢去减少计算量。这个题答案呢是 b、 c、 d。 好 了，那我们这个题就说到这。

好，同学们，那么今天呢，我们来讲一下今天刚刚考完的石家庄二模的单选的压轴题啊。那么在讲这个第八题之前呢，老师先想谈一谈我个人呢，对这套卷子的一个理解。 呃，主要是谈两点，第一点呢，是我觉得这套卷子比一模出的更好一些啊。那么老师说的这个更好一些的角度呢，是从命题的信应程度上来说。 那么众所周知啊，我们一模的题出的太老套了，没有什么的新意，那么二模呢，就出的更有新意一些，显然呢，呃，二模的命题老师更用心了。 第二一点呢，就是一模，二模呢，有一个共同特点是什么呢？他都在帮助同学们，就是他出的这些题啊，都在帮助同学们以以点带面的形式进行查漏补缺。那么如果我们一模也好，二模也好，有哪一道题没有做对？那么 同学们，请你呢，一定要找到这个题相应的知识点，把这个知识点的 体系知识进行一个系统性的复习巩固，查漏补缺，提升。那么如果你这个工作做好了，我相信呢，嗯，你在接下来这四十天呢，数学会有一个比较可观的提升 啊。当然，那么仅仅这一模的十九道，十九道题，加上二模的十九道题呢，不可能包含我们高中所有的知识点，但是啊，它是一个有代表性的， 比方说，这个第八题你做不出来，或者说你没做对，那么我想呢，肯定是你解析几何复习的还不到位啊，如果复习到位了，这个题呢， 你仍然是能够看出命题老师的命题意图来的。 ok， 我 们来看一下这个题啊，他说有一个椭圆，那么过 f 二的直线交点弦喽，与椭圆的交于 p q 两个点，那么 三角形 p q f 一 的内切圆呢，分别和 p f 一、 p f 二相切，不是这个 p f 一 和 p q 相切于 ab 两个点，那么我把这个图画出来了，当然我又设了一个新的点，我假设呢，这个内切圆啊，跟 f 一 q 呢，相切于 d 点，他给了我两个线段的比例关系，就是说 b p 比上 b q 等于呢二，然后呢，他给了我 f e a 的 长呢，是 a， 让咱们求这个椭圆的离心率。当然，那么做圆锥曲线的那七圆的问题，我们其实主要的一个核心考点 之一呢，是切点弦定理。什么切点弦定理呢，就是过圆外的一个点，做圆的两条切线，切线长应该是相等的，所以说呢，由这个题呢，我们很快啊反应出来， f e a 应该是等于谁的 f e d 等于 a 的， 对不对？他说呢，这个 b q 啊啊， b p 比上 b q 等于二，所以呢，我就可以射呀， b q 的 长是 t， 那 么则呢，根据期限长定里，则 b d 则 q d 的 长也是等于 t 的， 那么根据这个比例关系呢，我们就可以知道， p b 的 长啊，是二 t， 那 么根据期限长定里 pa 的 长呢，也是二 t， 对 不对？ 那么显然啊，我们这个三角形啊，一看到交点弦啊，就是 p q 呢，这个直线经过右角点 f 二吗？那么这个三角形 f 一 p q 的 周长肯定是个定值了， 是不是周长定值多少 c 吗？这个同学们应该都能理解吧，如果不理解呢，老师简单做一个分析说明啊，因为你这个周长不就等于 p f 一 加上 p f 二加上呢？ q f 一 加上 q f 就是 二加二等于四 a 了是不是？那所以说呢，我们四 a 就 等于谁啊？二 a 加几 t 加六 t 嘛，所以说呢，我们的 t 等于多少？三分之一，没错吧，朋友们，所以说呢，我们就得到了 p b， p a 是 等于呢三分之二 a 的 二 t 嘛？对，三分之二 a。 那么接下来我们的思路是什么呢？因为让咱们求离心率。呃，从题目中已知提供的这个信息上来说呀，我们离心率得找一个建立一个 a b 或者是 a c 或者是 bc 的 一个方程吧。 嗯，那么我们从已知条件提供上来说呢，想要找到想跟 b 或者 c 建立联系是比较难的，所以呢，我们只能想两个东西，哪两个东西啊？就是定比分点公式和什么呀？和 焦点弦长公式啊。那么如果知道这两公式呢？这个题就水到渠成了啊，那我们来看一下这两公式分别的内容是什么，以及如何进行应用啊。那么因为 pa 呢？等于 a， 三分之二 a 了，所以呢，我就可以求出 p f 一 的长是几啊？ 就是 pa 加上谁啊？ a f 一 等于谁啊？三分之五 a， 没错吧，四分之五 a 啊。 那么又因为呢， p f 一 加 p f 二是等于二 a 的， 这也是呢，我们 必须要理解的深刻理解的一个点。什么点呢？就是说，在解析几何小题当中呢，基本上它会让你用一下第一定义，那所以说呢，我们就解出来了 p f 二的长时间 三分之一嘛，对不对？那么又因为呢， p q 是等于谁啊？ p b 加上 q b 等于 a 喽， q b q b 啊， p b 加上 q b 等于 a， 所以 说呢， 我们可以得到谁啊？ q f 二的场直接三分之二 a 吗？ 为什么老是要想到这个知识点呢？就是，为什么我会想到不是这个知识点啊，想到要求出 q f 二呢？因为啊，我们在椭圆当中呢，我，我在这画一个图啊， 就是我们讲过椭圆的第二定义，在讲椭圆第二定义的时候呢，我们讲了这个第一搅拌镜框式和第二搅拌镜框式，所以呢，这就是 我们为什么要讲这个点，那么第二搅拌工第二搅拌机公式呢，我们就得到了一个定比分点公式嘛，什么公式啊？就是如果向量 q f 二 等于拉姆特倍的向量 f 二 p， 我 们有什么结论啊？我们这个结论是 e 乘以 cosine c 叉的绝对值， 对谁？拉姆特减一除以拉姆特加一的绝对值，对吧？并且呢，我们推出了弦长 p q 是 多少？ a 一 分之二，比方通径是不是除以谁啊？一减去一方 cos 方 c 叉， ok， 其实这个题呢，就是考察了这两个公式啊，如果我们用这两个公式，这个题就已经搞定了， ok， 我 们来实操一下啊，那么现在呢，我们给它带进去，那么显然啊，我们只要是这个倍数关系吗？那么 q f 等于三分之二 a 嘛，那么 p f 等于三分之 a 喽，一个是三分之 a， 一个是三分之二，所以说，那么它一个等于几啊？那么它等于二 是不是？所以呢，我们待会下边表达式，我们就得到了 e 乘以 cos， 它的绝对值等于几啊？三分之一嘛， 对不对？等于三分之一。然后呢，我们知道 p q 的 长是 a， 也就是说 a 是 等于谁啊？ a 分 之二， b 方除以谁，一减九分之一， 所以说呢，我们就得到了。呃，九分之八 a 方等于谁啊？ a 分 之二，不是，这就不能是 a 分 之八 a 吧。先一共画一下，九分之八 a 等于谁啊？ a 分 之二 b 方。嗯，所以呢，我们就得到什么了？ b 方等于谁？九分之四 a 方。 那么又因为呢？呃， b 方加 c 方等于 a 方，所以我们推出来了 c 方是等于九分之五 a 方， 对吧？那么离心我们就求出来了。所以呢，那么一方呢，就等于谁呀？九分之五嘛，所以一就等于三分之六。 所以这个题呢，答案选什么呀？选 b 啊，答案选 b。 这个题有没有影子呢？有影子的，这个题的一切的核心考点都跟谁完美的相像啊？如果我们真题刷的足够到位的话， 二一年的填空十四题啊，他所有的核心考点都来自于二一年的二一年新课标一卷啊， 新课标一卷的填空题的第十四题。 ok， 这题我们就先讲到这里。

石家庄二模已经结束了，包括试卷的奖品我们已经讲完了，整个二模的试卷相比一模来说，第一个他的计算量要大一些。第二个就是一些解答题，比方说像第十七题的解答题，像立体几何这个对称点不太容易找，包括像十八题的第二本，可能二次求到 这些，可能一些同学想不到，那这些可能是我们不如于拿分的点。但是相对来说，整个的一个基础分值，就是这张试卷的一个基础分值，至少要在九十分左右啊。 这第二个呢？整体的试卷其实出的是非常非常不错的，是非常贴近于高考，也是把我们所涉及到的这个知识点啊，都囊括到了能够去作为我们 高三学生这个阶段去查漏补缺，去认真盯正的一张试卷。其实整个石家庄的这个模拟考试，无论是一模、二模，包括去年的二模跟三模，试卷的质量都是非常不错的。如果说有时间的同学完全是可以把这几套试卷去做一做。 咱们石家庄的二模试卷也出来了，我们大概分析一下咱们这次的考试的题，整体来说难度不是特别大， 它的梯度也是比较明显，也就单选的最后一个题，就第七题，以及多选的第十题，还有计算题的最后一个题，十五题相对来说有些难度，其他的题难度都不是特别大， 整体这一块还是本着是能够得分的一个原则，他的梯度会比较明显，有一些基础题，有一些中档题，还有一些选拔性的题目。从这套卷子上我们体会到高考的选拔重要的一个能力就是我们那个什么是一个，有一个扎实的一个功底，我们做题要认真严谨， 这些题难度都不是特别大，但是有的要想得分，那么我们需要就是这种规范的解决思路，严谨的逻辑推理的一个习惯。 有一些题，像这个的多选题的第九个题，人家会出一些因为考试的题会有一些坑，那么这个坑就是咱们平时孩子们比较易错的一些点， 就根据孩子们错的这个易错的这个点，他就出现这个选项，我就按照这个错误的一个思路去做出来，发现有答案， 孩子们都毫不怀疑的就把它写上这个答案了。那么这一点主要就是我们平时一定不要有思维定式 该是什么，我们严谨的一个逻辑推理，或者是一个扎实的一个知识功底一定要到位。还有一些其他的，尤其是实验题，难度不是特别大，但是要的就是一些基本能力，谁平时做的比较扎实，学的做题习惯比较好，那么拿分就会比较高一些。 刚才说的那个三道大题很会有一些难度，它的综合性会比较强一些，具有一些选拔性。其他的题只要去认真答题，只要有一定的知识储备，还要再练习到一个什么一定的那种 做题的，这种平时的做题的比较规范，比较熟练了，按部就班的就应该把这些题都能够做对，拿到一些我们必要的一个分。那么从这次套卷子上也能够 给咱们这些提示，以后咱们在做题的时候一定要注意，我们做就把它扎扎实实的，把它做透，做一个就对，一个学一个就会一个就行。 对石家庄二模的生物试卷做一个分析，从整体难度、考察方向和后期的学习方向三个方面。第一个，整体难度上中等偏上，梯度明显，基础题占比约百分之四十五，中档题百分之四十把，高题百分之十五，还是比较符合新高考的命题梯度，没有偏题和怪题。 对于选择题来说，基础比较稳定，但是陷阱要增多。单选前六道测重教材的基础知识难度比较低，后几道测重逻辑推理难度较大。多选题会结合着图表情境和实验辨析，概念混淆点多，易错率相对较高。 对于非选择题来说，综合性比较强，答题门槛有所提升，不是在单纯的去考察背诵、默写，更多的是以真实的科研和生产生活为题材去进行一个述。 第二个，从核心考察方向上来说，教材的主干知识覆盖面还比较广的，更侧重一些核心概念，尤其是主动运输、协助扩散体验、免疫、细胞免疫这种异混概念。其次，更贴近情景化、生活化和热点化命题，更多的题目会结合农业生产和人体健康等这些 前沿的一些素材进行命题。最后，从冲刺学习方向上，同学们一定要扛起基础，回归教材。首先要把课本上的核心概念、名词等这些概念要记清，避免基础题丢分。其次要强化审题和答题的规范，要养成审题的习惯， 边读题边圈话题干的限定词。其次，规范一下主观题的答题，要采用原理加题干、加信息、加结论这样的答题模板避避免这个口语化和碎片化。其次要选择单独的现实训练来提升自己的做题速度与准确率。 还有这个时候已经可以开始整套的试卷定时模拟了，来合理的分配选择题和大题的答题时间。每次考试都是为了查漏不缺，同学们要从错题中去寻找题分点。

在这里呢，我们直接用纯几何法来解决，分算量小得可怕，他说直线 p b 于平面所称的角为六十度，并且呢， p b 的 长度是不是还是一的？那我们先把题看一下吧。来， a b 的 长度是一个根二， a c 的 长度呢，是等于三的角 b a c 呢？四十五度。那我们有预先定理是不可以求 b c 的 长度 bc 方啊，就应该等于二加九减二乘根二再乘三再乘二分之根二是不是十一减六等于五，所以 bc 的 长度不就是根五吗？好，他说直线 p b 又等于一，那就是一， 它与平面 a b c 所称的角是一个横为一个定值六十度。那么大家可以把一根笔啊放在桌子上，然后呢，让这个笔与桌面所称的角永远是一个六十度，是不是我们去活动这根笔， 我们就会发现呀，这根笔呢的活动的就构成了一个圆锥状的东西，是不是倒着的圆锥？所以呢，这根笔的顶点啊，也就是 p 点在底面上的投影所形成的轨迹啊，是不是就是一个圆啊？因为 你是，咱们做一个垂直下来，那这个假设叫 h， 这是长度是一，那么角 p b h 是 不是相当于横为六十度？所以呢，我们的 b h 的 长度 就横为二分之一，那么 h 点到 b 点的距离永远为二分之一的话，那么是不是 h 点的轨迹就应该是以 b 为圆心，二分之一为半径，是做出来的一个圆。 那么这个圆到底会不会跟 ac 相交呢？以及他跟其他边的关系到底是啥呢？我们是不是得需要简单的做一个计算，我们得需要看看 b 点到 ac 的 距离是个几啊？咱们过 b 点做 ac 的 垂线，我们这个垂足叫 m 吧，而角 b a c 是 不是等于四十五度角？那所以啊，你的 b m 的 长度是不是很显然是等于一的？也就是说，以 b 为圆心，二分之一作半径， 所画的圆是不是正好交于他的一半？那咱们大概画个圆吧，是吧，就是这样的一个东东，那这是不是就是 p 在 abc 上的投影 h 点的轨迹啊？ 好，那么现在我们研究的目标呢？是平面 a p a c p a c， 也就是后面的这个面，是吧？ 与平面 abc 夹角，它要的还是还是夹角的垂直范围？那么我们现在啊，点 p 是 不是到平面的距离是一定的？我们可以利用三垂线定力是不是来做出这个二面角来？也就是我先过 p 做平面 abc 的 垂线， 垂足为 h， 再过 h 做 a c 的 垂线，比如说这个点叫 n， 垂足为 n， 是 不是连接 p n？ 我 们是不是就很容易能够证明 p n 也是垂直于 ac 的， 从而啊，叫 p n h 就是我们的要找的二面角的平面角。那么在这里呢， p h 的 长度一定是不是是应该等于二分之根三？所以啊，我们是不是只需要来计算 h n 的 长度， h n 的 范围不就可以了吗？而 h 点是一个轨迹的轨迹，不是一个圆儿吗？ 是不是很显然转化为点 b 到 a c 的 距离加减半径不就可以了吗？所以 h n 的 范围不就应该是属于二分之一到二分之三？所以呢，我们就可以来计算，摊进它角 p n h 不 就应该等于二分之根三 比上 h n， 而 h n 的 范围在这，因此最后算下来的结果不就应该是三分之根三到根三吗？所以角 p n h 不就应该是属于六分之派到三分之派这样的一个范围？所以你看这立体几何运算量真小了。我最喜欢这样的立体几何题了。所以大家呀，不能过于依赖间隙是吧？有的情况下没办法的间隙，有办法的情况下间隙啊，运算量太大。

考完石家庄二模的同学们抓紧过来，这次二模物理卷，那可以说是我见着两级分化最离谱的一套卷，简单题简单到离谱，难的题难到无从下手， 整张试卷几乎完全没有中等难度题过度，硬要说中等难度题，那只有实验题勉强能凑数了。咱先从头细细捋一遍，先看单选部分，一到七题我在做完全过程几乎没有动过笔， 这时候给我一种错觉，就扫一眼知识点，就直接出答案了，简单到让我有点恍惚。我感觉自己做了一套假模拟试卷，作为高三二模，记住题 有点过于简单了，整体水准明显不足。一直做到多选，难度总算回归常规了，中规中矩。重点说一下第十题， 这道题，涡旋电场属于课本中的重点知识，但是在高考至今还没有怎么考察过，大部分同学根本也不知道怎么自主的去推导原理。不过好在这道题目的容错率比较高，就算你不会深层的推导， 蒙对几个选项，基本上问题是不大。那接下来说实验题的部分。第十一题实验我觉得还是可以的，出题方式，一道题融合两个实验，前半部分是一个弹簧测力计，第二个实验考察的其实是物理公式函数化的一种能力， 也就是我们需要通过公式推导出来一个所谓的数学表白式，去研究图像中的斜率、面积等对应的物理意义，非常考察平常在做题的过程中总结的方法。那第十二题呢，就属于很老套的传统实验了，没有什么难点啊，细心就能拿满分。 重头戏来了，计算题难度呢，直接断崖式飙升！第十三题呢，活塞气缸热血模型，题型非常中规中矩，思路简单，公式一套就能解了。那这道题纯属绝对不能丢分的送分答题。接下来重点说第十四、十五题，压轴题， 也是本张试卷最坑最失分的重灾区。先说第十四题，这道题综合考察了牛顿运动定律，能量放热、动量守恒，那坑全在第三问的 a 对 b 平均作用力大小， 绝大多数卡在这个位置的同学，他根本就没有摸透出题人的意图。题干上提到了弹性碰撞，但又提到了碰撞时间，所以出题人隐藏意图有时间，但还需要动量守恒，那必须内力远大于外力 这个核心前提。导致大多数学生没想到整个过程中两个物体之间相互的冲量就只有 a、 b 之间作用力，重力呀和摩擦力，这些力做的冲量都不予考虑。其实 这道题只要在题干上著名一句话，动量守恒，学生我觉得瞬间就能反应过来，可他偏偏刻意隐藏，让你不知道内力远大于外力这件事。最后压轴第十五题，这道题， 电场磁场的组合场问题。前两问呢，难度不算太大，只要认真仔细，还是可以轻松拿分的。陷阱全部在第三问， 不仅要求学生有较强的作图能力，那还要能够判断出粒子可能会出现的周期性变化。那更隐藏的坑在哪呢？这个周期性变化不是无穷无尽的，而是当他转了几圈之后就不成立了。 所以最后这个条件， n 小 于四的一个取整数，大部分人可能直接忽略或者根本想不到，那还是会丢分，所以最后一问，那根本就不是普通学生能啃下来的分数。那最后总结一下， 整张石家庄二魔五式串选择和实验部分过于简单，基础分有点泛滥。十四十五题最后一问，难度呢，拉满了，普通学生基本上拿不到分， 那简单题太过白给，而难题呢，又太过刁钻，全程缺少了中档题的过度来区分分层。 考完之后呢分数我觉得会出现两级分化的分数，基础好的分数会很高，中等生难题基本全空。 各位高三的同学，千万不要被前面的简单题骗了自信，也不要被压轴难题打击了心态。后续重点补齐图像的分析，挖掘隐藏条件，符合厂做图模型，有针对性的模型提分。

大家好，我是易老师啊，又到了我们这个题目精选栏目啊，这个栏目呢，是易老师把 啊最新考完的各地区的一些优秀试卷我们当中啊挑选出一些精华题目啊，拿出来给大家做一个精讲啊。那今天呢，我们要看的这道题还是选自石家庄二十六届高三的二模啊，他的第八道题，也就是他单选的这个压轴小题， 我们还是先读一下题目，已知椭圆 c 的 左右焦点分别是 f 一、 f 二过 f 二的直线交椭圆 c 于 p q 两点， 三角形 p f 一 的内切圆分别与 p f 一、 p q 相切于 ab 两点，并且告诉你 b p 比上 b q 等于二， f e a 等于 a。 现在呢，让你求这个椭圆的离心率， 好一道非常标准的一个原汁曲线问题啊，还是老规矩，这道题呢，给大家五到十分钟的时间，先自己去做一下啊，一定要先自己做一遍哦，做完之后呢，带着你的答案啊，来看看易老师是怎么解决这道题的， 欢迎回来啊，不知道各位同学做的怎么样了啊，如果你做出来呢，可以把你的答案打出来啊，没做出来也没关系，因为我们这个栏目其实重点不在于这道题它的结果，答案究竟是什么，而是希望各位同学呢，通过这道题呢，检测一下自己啊， 有哪些东西掌握的不牢固，以及重点，看看易老师拿到问题是如何去思考啊，这个思考的过程是最重要的。好，那我们还是回到这道题啊 啊，读完题之后啊，我们知道这道题是一个很标准的圆锥曲线问题，而且它是我们圆锥曲线当中一个非常常考的一个题型，叫离心力问题啊，离心力问题绝对是我们圆锥曲线中啊非常重要的一种题型，也是每年必考的，所以这种题型各位同学一定要啊，重点掌握。 那离心率是什么？他的定义呢，就是 a 分 之 c， 所以 离心率问题，我们无非就是要研究 a 和 c 的 关系，这是我们这类问题的一个核心思路啊，所以各位同学啊，一定要带着核心思路去思考问题， 所以我们的目标就是找到 a 和 c 的 关系，怎么找？那无非就是利用题目中的已知条件，再结合我们学到的一些知识点。那题目我们刚才已经读完了，我们先啊，根据题目我们简单画一下图像， 首先呢，有一个椭圆，椭圆两个焦点 f 一 f 二，有一条直线过这个右焦点 f 二 和这个椭圆交 p q 两点，然后我们再把 p q 两点和 f 一 连接，这样就形成了一个三角形。 现在呢，我们再在这个三角形里边画出它的一个内切圆啊，为了方便起见呢，我们把这个三角形啊给它单独的抽象出来，哎，就这样一个三角形 p q f 一， 然后呢把它的内切圆也画出来， 这个内切圆呢和三条边的切点呢，分别是 a， b， c。 同时呢，我们还知道 b p 比上 b q 等于二，那有这种比例关系，我们肯定要设出未知数来，这里呢，我们就设这个 b q 呢等于 m， 那 么 b p 呢，自然就等于二 m。 同时我们还知道这个 f 一 a 等于这个小 a， 现在我们把目光啊都聚焦在这个三角形当中，这个三角形它有个内切圆哦，这个内切圆是不是我们经常打交道的啊？因为这个内切圆呢，可以把这个三角形三条边分成几段， 那这个每一段啊，他们之间又都是有关系的，为什么呢？因为他们是切线嘛，比如说我们去看这个三角形 b、 q、 f 一 这个三个切点 abc 呢，就把这个三角形分成了三段。我们看最左边这个 f 一 这一段，它形成两个切线， f e a 和这个 f e c 是 相等的啊，因为我们题目已经知道 f e a 等于小 a， 那 么这个 f e c 呢，也是等于小 a 的。 那么同理， q 点形成的这一段，两个切线也是相同的，也就是说这个 q c 等于 q b 都等于 m， p a 和 p q 呢，自然就等于二 m。 哎，所以你看这个三角形，其实呢，他们这三条边我们都可以表示出来了。同时呢，各位同学，你还要注意啊，这个三角形它不是一个普通的三角形，因为它是过焦点的三角形。 这种三角形在我们原始曲线当中啊，有一个特殊的名字叫做焦点三角形。那焦点三角形啊，它很重要， 为什么重要呢？因为它有很多非常有意思，非常重要可以利用的一些特点。那么关于这个三角形的这个三条边，有没有什么我们可以利用的这个结论呢？自然是有的， 首先我们现在根据已知的一些信息，我们已经可以表示出这个焦点三角形它的一个周长了，也就是说这个三角形 p q、 f e 的 周长，也就是这三条边的长度加起来， 这三条边呢，我们都可以用 a 和 m 来表示出来，最后我们得到的结果呢，就是二 a 加上六 m， 同时呢，它这个周长呢，还有一种算法哎，就是利用我们这个椭圆第一定义，因为这个三角形 p q f 一 的周长啊，就等于 p f 一， 加上 p f 二， 再加上 q f 二。我们根据椭圆的第一定义呢，这个 p f 一 加上 p f 二，就等于二 a， 那同理 q f 一 加上 q f 二呢，也等于二 a， 所以 这个三角形的周长啊，其实就是四 a， 哎，那么这个四 a 自然就等于这个 二 a 加上六 m， 哎，这是不就是我们经典的算两次啊，算两次以后呢，让他们相等，我们得到这个 a 等于三 m， 也就是说我们设出的一个未知数 m 可以 用已知条件中的 a 表示出来了，那么现在这个三角形啊， 在我面前啊，就已经没有什么秘密了，对不对？首先它的三条边我们都可以表示出来了， p f 一 呢，就是 a 加上二 m， 也就是三分之五 a， q f 一 呢，就是 a 加上 m 等于三分之四 a， 那 么 p q 呢，就等于三 m， 也就是等于 a。 好，那么现在这个三角形呢，我们已经可以说彻底掌握，但是到这一步啊，还不行，我们还是解决不了这个问题，因为我们要找的是 a 和 c 之间的关系，要找它们之间关系，我们肯定要列方程，问题是我们现在列不出 a 和 c 之间的方程， 那怎么办？没关系，我们再继续挖掘这个题啊，那么我们现在已经求出这三条边了，但其实我们呢，还可以把 p f 二和 q f 二也表示出来，因为我们根据这个椭圆的定义啊， 这个 p f 二就应该等于二 a 减去 p f 一 啊，也就是三分之一 a， 同理，这个 q f 二呢，我们也可以求出来，它等于三分之二 a， 哎，那我们重点看一下这条边，这条边呢，这个 p f 二 比上 f 二 q 呢，就应该等于二分之一，所以这个 f 二啊，其实是这个向量 p q 的 一个定比分点，并且它们这个形成的比例 number 呢，是二分之一。同时呢，这个 f 二的坐标呢，我们是知道的，它是 c 零，哎，现在是不是有 c 的 出现了，同时呢，我们还知道这个 f 二分，这个 p q 两点，他们这个定比分点呢，这个比例呢，咱们的是二分之一，那么如果我们能够用 a 表示出 这个 p 点和 q 点的横坐标啊，我们把它设出来，我们把 p 点坐标设成 x 一 y 一 q 点坐标 x 二 y。 如果我们能用 a 表示出这个 x 一 和 x 二来，我们再结合定比分点公式，那是不就可以列出一个 a 和 c 之间的关系啊？ 哎，这个就是我们的其中一个思路，我们先利用这个思路来求一下，所以现在我们的目标就变成了，要利用 a 表示出这个 x 一 x 二来，那这个我们能不能表示出来呢？太能了啊，因为这个 p q 这条直线啊，它是过这个焦点 f 二的。 那其实各位同学，你应该想到一个什么呢？叫交半径公式的，这个交半径公式啊，对于这种过焦点的直线啊，以及这种焦点三角形，是很有用的一个公式啊，如果你记不住也没关系， 因为交半径公式就是从椭圆第二定义来的，所以我们完全可以利用椭圆的第二定义给它推导一下。所以很多东西如果你记不住，你要记住它的原理， 就算你忘了，我们现场也可以推导出来。当然你要是记忆很好，你能把它记住呢，也会更有优势，这也是我们为什么说，呃，其实有时候我们记一些结论呢，也是有好处的。好吧，那么现在我们就现场推一下啊， 首先这个 p f 二呢，我们根据椭圆的第二定义啊，它就应该是 e 乘以 pp 一， 这里 pp 一 呢，我们表示的是这个 p 点到它的这个右准线的长度。我们展开以后呢，它就应该是 c 分 之 a 方减 x 一， 括号乘以 a 分 之 c， 把括号展开以后呢，我们得到 a 减去 a 分 之 c 乘以 x 一 呢，等于三分之一 a， 那 么我们就可以把 x 一 表示出来了，它应该等于三 c 分 之二 a 方，那同理这个 q f 二呢，我们利用第二定义呢，也可以把它表示出来，它应该是三 c 分 之 a 方。 现在呢， x 一 x 二都有了啊，这个栏目的也有了，我们可以直接利用定美分点公式，那么 c 呢，就应该等于 x 一， 加上栏目的 x 二，比上一加上栏目的，我们把具体的式子呢都代入，最后我们整理化简以后，它应该是九 c 分 之五 a 方。 算到这里啊，那基本上就宣告这道题呢，我们解答成功了，我们现在已经知道，九 c 方呢，就等于五 a 方，那么 a 方要分之 c 方，就应该等于九分之五， 我们要求的这个离心率呢， e 等于 a 分 之 c， 也就是根号下九分之五，我们把它开根号以后呢就是三分之根号五，所以这道题的答案呢就是 b 选项。最后我们还是简单回顾一下，其实这道题呢啊，考察的主要就是椭圆的基本性质， 他的第一定义，第二定义啊，这些东西你都清不清楚啊，还有一个就是关于焦点三角形，你应该有一些常用的一些呃，手段和技巧你需要掌握，比如说他的搅拌机公式啊，他的周长啊， 它的面积啊，有一些比较有用的结论啊，我们可以适当去记一记，重点还是记原理。最后呢就是利用了一个定比分点公式，看我们考察点，没有什么难的东西，都是我们学过的东西，所以最后还是要强调基本功最重要，因为我们高考考的就是基本功，不是你学的知识面有多广多深， 关键就在你这些最基本的东西掌握的扎不扎实。那以上就是易老师拿到这道题整个的一个思考的过程，当然解法永远都不是唯一的，如果你有更好的更简变的解法，也欢迎你在评论区分享一下。 好，最后如果看到这里啊，各位同学觉得易老师讲的不错，希望多给易老师点赞评论，那你们的支持呢？是易老师继续做下去的动力。好，那么我们今天这道题就分享到这里。

各位好，我们来看二零二六年石家庄二模第八题，这个题呢，应该来讲整体难度不大啊。呃，应该属于一道中等题目，说椭圆的左右焦点是 f 一， f 二过 f 二的直线呢，交叉于 p q 两点， 然后说这三角形 p f 一 q 啊，它的内切圆。很有同学看见内切圆仨字就已经不会了， 但是没关系啊，这个题跟内切圆关系并不大，说跟着内切圆呢啊，相切于 a b 两点，就是 a， 这是 b， 那 比如这也是个字母 m 吧。 然后呢，满足的是它的值比是二，它等于 a， 那 我们标一标啊， f 一 a 等于 a， 这是 a， 那通过这个内切圆的，我们应该知道这个位置和这个位置相切的，所以说 f 一 a 和 f 一 m 的 长度一定是相等的啊，这叫过圆外一点做两条切线，切线长相等，是吧，所以这是 a， 那 同样的呢，他跟你讲出这个 b p 比上 b q 是 等于二的，就这段比，这段是二比一的关系，那我们可以把它设成 t， 这就是二 t， 这就是 t， 这就是二 t。 所以呢，整个这个三角形的周长呢，其实就可以被我写出来了，哎，周长就应该是一个二 a， 然后加上一个 这几 t 啊，六 t， 但是我们还知道这个三角形是个很特殊的三角形，对吧？应该是两个交叉三角形拼出来的，所以它周长应该是四 a， 所以 我们就建立一个关系，就是什么呢？就是六 t， 应该是二 a， 就 t 应该是三分之一 a。 那于是呢，我们把这三角形的这个三个边啊，重新给它求一求，你看啊， 呃，这个 p q 的 长度呢，是三 t， 就是 一个 a， 是 吧？然后这是 a 加 t， a 加 t 就是 个三分之四 a， 这边呢是 a 加二 t， 那 就是三分之五 a， 所以 到此为止，我就明白了。哦，直线这个 a 的 作用是谁呀？ a， 其实就是三分之三 a 嘛， 这不三四五出来了，对吧？三四五，所以我们就得到了这个位置，应该是个直角啊，那么回到原体当中，它是垂直的，那我们最终要表达离心率是不？我只要去建立一个 a 和 c 的 关系式就可以了，那这个关系式是天然的勾股定律。 好，那么在这三角形当中，这个边呢是二 c， 这个边呢是 a 加 t， 刚才求出来是三分之四 a， 那 么这边呢，就应该是一个 总共长边二 a 吗？就是三分之二 a， 所以呢，我们就建立这个关系，也就是三分之四 a 的 平方加上三分之二 a 的 平方，应该等于个二 c 的 平方 啊，整理一下就是九分之这是十六 a 方加上一个九分之四 a 方，等于一个四倍的 c 方，所以就是个九分之二十 a 方等于四倍的 c 方，那么 c 方比上 a 方，就应该是用这个地方约定这是五，对吧？啊，九分之五， 所以 c 比 a， 就是 我的 d 乘以应该是一个三分之根号五，所以这个计算上来说呢，也比较简单啊，应答案是二 b。 呃，这个题目整体来说呢，没有什么特别难的地方。呃，主要是第一个，我们要会去求出来这个 t 和 a 的 关系，当然呢，你能从这里面找到一些隐含的条件，从而呢，建立一个等式求离心率。好了，这个第八题我们就分析到这里。

hello， hello， 各位同学们啊，今天我们去讲解一下咱们昨天刚刚结束的石家庄二模啊导数的压轴题，其实它考了一个非常经典的一类导数与数列结合啊，不知道咱们各位同学们 有没有做对，哈哈，对吧？当然我相信还是会有一部分同学啊，呃，会在这一问啊，也就是十八题的第三问上啊，会有一点点难度啊，或者说可能没做出来啊。其实我们会感觉导数与数列结合的话，可能会在导数当中算是比较难的啊，但我们说之所以觉得他难，是因为 不知道他的设问背景是什么，以及他在解题的过程当中用到的是什么方法或者说技巧点， 套路点啊。但一旦这两个点如果我们知道的话，你发现其实他和导数跟数列结合的这类题，其实他难度反而没那么大啊，因为他的计算量相对来讲会比其他类的要小一些啊。那今天我们就就着二模的这道导数的压轴题，我们稍微来说一下啊， 导数与狩猎结合的这类问题，它的设问背景啊，以及它的解析的，呃，技巧点啊，或者我们说的这个套路点在哪啊？首先它在设问上一般的啊会出现的是什么呀？我就是想证明 a 一 加 a 二加 a 三点点点点点加到 a， n 大 于什么呀？ 一个和 n 有 关的表达式啊，当然也可能会小于它，反正就是和 n 有 关的一个表达式去比大小。首先我们说我要能识别清它是与数列结合， 为什么呀？首先自变量是一些孤立的正整数值对不对？哎？其次的话，它就是对某一个结构给它进行了求和。我说这些求和就只有在数列当中有，所以先辨别清楚啊，什么叫做跟导数结合？ 那第二个我们要知道的是，不等号两边地位等同，也就是等不等号的一边是不代表一个竖列的和呀，对不对？哎，也就是 这个部分，它代表的是一个竖列的和啊。比如说，我假设它代表的是什么呀？代表的是 s n 吧，对吧？那不等号的另一边一定也是一个竖列的和，那我假设它是 t n。 好， 我想比较这两个竖列和的大小。首先它虽然是与竖列结合，但是一定不是说老师我把这一部分求出来 啊。然后呢，我再和 f n 比大小，不是的啊，因为这个竖列的形式我们说，嗯，我记不出，计算不出来，对吧？你比如说它长这样子，咱们说哪个竖列的通向它长这样子，然后我能给它求和吗？没有， 所以说它一定不是在比较 sn 和 t n 之间的大小，对吧？那我就要给它转，怎么转呀？ 我想比较 sn 大 于 t n 或小于 t n， 那 我就找这两个竖列分别对应的通项公式。也就是说，我把和的大小是不是它的通项，比如说对应的通项是 a n 啊， 好， t n 对 应的通项是什么呀？是哎， b n， 所以 我就把它转化成什么呀？ a n 大 于哎， b n 或 a n 小 于 b n， 转化成通项的大小。那就是说，如果 a n 这个竖列比 b n 这个竖列的每一项都要大， 那我求完和之后的 s n 是 不是一定比 b n 求完和的这个 t n 要大吧，对不对？哎，所以说，既然我和没法算，所以我就转成通项的大小关系， 所以这个时候我们说，那我就 a n 好 找啊，因为它本身就是一个竖列的和，所以我们说相当于把它转化成什么呀？转化成 a n 与这个什么呀？与这个哎， b n 的， 哎，大小关系啊， b n 咋找呀？ t n 的 表达式是 fn， 所以 说这个时候我这个 b n 的 话啊，第一步，先把 b n 整出来啊， b n 就 等于 f n 减去， f n 减一。好，那第二问啊，我说这个时候 b n 有 了，那我这个时候实际上把和的大小 转化成，证明什么呀？ a n 和 b n 的 大小关系了啊，好， a n 和 b n 怎么找呀？ 老师，跟我前面有关系吗？有的，所以第二问当中啊，我只要转化成 a n 和 b n 之后，我一定会用到前一问当中啊，这也是套路点了，对吧？一定会用到前一问当中所得到的什么呀？表达式，所以这个时候第二问，我不说，那我就用 前一问当中所得到的，哎，不等式，哎，去求解啊，去表示出来，或者是去怎么着证明 a n 和 b n 的， 哎，大小关系，其实这个地方往往是给它进行什么呀，哎，赋值，对吧？好， 那我说赋值的时候，我们说这个不等式怎么去利用，赋值的时候我应该给 x 负多少呢，对吧？咱们就通过这道题，哎，为例啊，我们稍微来理顺一下它在每一步当中比较细的这种什么呀？哎，技巧点啊。 首先我们先来介绍一下这个题的背景啊，第二问，第二问解出来 a 的 范围是不是大等一啊，对吧？我记得应该算出来是，哎， a 在 大于等于一的时候啊，我是能够满足什么呀？ a 倍的 x 减去 x 分 之一，减去二倍的零， x 大 于零啊， 当 x 大 于一的时候啊，它满足这个，哎，不等于。好。首先我们说，既然我想利用上前面的这一问的不等式，这个不等于式当中有参数， 我要证的结论当中没有参数怎么办呢？所以第一个套路点就是我的不等式，哎，他既然是有参数的啊，好，参数范围也就是他不有一个取值范围吗？ a 大 等一，好，先取端点值， 哎，先取端点值，也就是说我 a 大 于一，我的端点值不就是一吗？对吧？所以在下一问当中啊，第三问当中，我要用到的不等式就变成 x 减去 x 分 之一，减二倍的零， x 大 于 i， 零也当然了， x 大 于 i 一 的时候， 这个式子是，哎，成立的啊，那说明我下一问就要去使用了啊。其实前面的这一部分，我说在第三问当中，我们说这就是求和，对吧？明显的，我其实要对 n 方减四分之一，开根号分之一，我要对这个竖列求和，所以左半部分代表的是和，那右半部分这个 long 二 n 加一代表的也是什么？也是和啊，那也代表的是爱和，所以我要转成通向的爱大小。所以这个时候我们说，那我这个时候 b n 啊， 就变成了这个，相当于就是咱们的 fn 了，它就等于 fn 减去， fn 减一，那就是等于 long 二 n 加一，减去 long 二 n 减一，那就等于 long 二 n 加一，比上二 n 减一，对吧？好， 所以这个时候我们说通向有了，那我想证，哎，也就是变成了我想要证明，哎，原式成立，我是不是只需要证明， 哎，我把这个什么呀根号下啊，这个 n 的 平方减四分之一分之一当做是 a n 啊，刚刚我们说这个 long 二 n 减一分之二 n 加一呢，咱把它当做了 a b n， 所以 我只需要证明什么呀？ a n 大 于 a b n 就 可以了啊。那现在我们说这个和这个比大小， 我要想跟我通项啊，跟我第二问当中的这个不等式产生联系的话，你看左边其实是关于 n 的 一个密函数啊，右边是个对数，所以这个不等式呢，我就给它换换， 我把 long 二倍的 long x 呢给它挪过去啊。好，这也是我们在利用不等式的时候常用到的习惯。第一个参数先取端点值，第二个根据我想证的结构，把不等式给它进行哎，移项，那就变成 x 减 x 分 之一大于二倍的 long x 啊。第二个技巧点啊，我说这个不等式，大多数来讲 x， 那 就是 long x 的 平方啊，为啥我要把二拿上去啊？因为这个是一次，这个里边出现了二次，它俩要赋值的话， x 一定赋的是一样的结构，对不对啊？你左边是一，我右边也得是一，它俩是一样的结构，所以它俩的次数尽量是哎，一致的， 它有二次，我就把二拿上来变成 x 哎方好了，现在我可利用的是它，我想挣的是它，对不对？那它俩之间有联系吗？我给 x 负多少呀？显然我们说这边是 long x 方，这边是 long 二 n 加一比上二 n 减一， 那我 x 方不就应该充当的是二 n 加一比上二 n 减一这个结构嘛，对不对？所以这个时候就是令 x 方等于它， 对吧？令 x 方，哎，等于它啊，所以这个时候我再继续保险就变成了，哎，有第二问我可以知道啊， 当我的 a 等于一的时候，我的 x 大 于一的时候啊，好，我应该满足的是什么呀？ x 分 之， x 方减一，是大于 l x 的， 哎，平方的，那咱们说了， 这个平方跟这个结构，它俩在同一个位置啊，所以很简单粗暴的，我就是令 x 方等于二， n 加一，比上二 n 减一，其实也就是 x 等于什么呀？根号下二 n 加一，比上二 n 减一。好， x 比一大，不 肯定比一大嘛，对不对？分子比分母大，又是正的，那它肯定比一大，我就应该满足这个什么呀，哎，不等式，好， 那我说不等式带入呗，对不对？我说把 x 这个值带到我的左右两边，我令 x 等于它，哎，带到我第二问当中得到的不等式当中， 代入到形式当中啊。不等号的左边是不就变成 x 方的话，那就是二 n 加一，比上二 n 减一，减个一啊，比上根号下二 n 加一，比上二 n 减一。当然你这个时候如果没通分啊，没有去给它通分，直接带这个结构，哎，也可以啊，我这个是给它通分了啊，或者说你就在这个位置， 我不给他通分，哎，这个书写形式，哎，更简单一些。那就变成 x 减去 x 分 之一了啊，那就变成了根号下二 n 加一，比上，根号下二 n 减一啊，减去，哎，根号下二 n 加一分之，根号下二 n 减一。好， 应该大于 l n， 哎， x 方就是它了，那就是 l n。 什么呀？二 n 加一，比上二 n 减一，其实不等号的右边已经是 b n 了，左边我只要能化成 a n 就 可以了嘛，对不对？能化成 a n 就 可以了啊。好，等号左边我再去看呗， 对吧？我这是 n 方减四分之一，其实也就是什么呀？我让它这是二 n 二 n， 我 就让它都成四，对吧？分子分母都成个都成个四啊，大家根号分子分母都是都成个二啊，放进去相当于成了个四，那咱们说，那我就从这化简吧，对吧？我就让它俩通分， 我也能出现四 n 方减一，好吧，好，等号左边，那咱们说这个时候就变成了，哎，这个式子， 这个式子，哎，等于根号下二 n 减一，哎。乘上根号下二 n 加一分之多少呀， 对吧？就变成根号下二 n 加一的，哎。平方减去根号下二 n 减一的，哎，平方，那其实就是二比上，根号下二 n 加一，乘二 n 减一，对吧？二 n 加一，哎，乘上二 n 减一，好，那咱就让它的分子分母都除以二，就变成一比上啊。这要除以二的话，放到根号底下是不是就除以四了，对不对？哎，就变成了，哎，四分之一乘上这个平方差展开 四 n 方减一，我要乘个四分之一，也就是谁呀？ a n 了， 对吧？就是 a n， 也就是，所以我就可以得到我的 b n 是 小于什么呀？ a n 的， 那自然我的和要正的不等式也就能够，哎，正完了，因为我们把原题干当中和的大小 转为了正通向的大小啊，通向大小得正啊，那我原来的和我说转成的这个结构已经正完了，所以这里边的技巧点我们稍微来回顾一下。首先第一个，先辨别清楚是不是我们要找的这一类啊，竖列和倒数相结合，它的设问形式，我们说了 不等号，两边地位等，通一个 s n， 一个什么呀？ t n 啊，好，那我和的大小转成什么呀？通向的大小啊，至于说，老师，那我另一个 b n 通向怎么找呀？让它去做叉对吧？让它去做叉找到 b n， 所以 我们说和的大小转成通向， 那通向大小要用到前一问的不等式。前一问的不等式在利用上有两个点啊，第一个，参数往往是有范围的啊，但是我想用这个不等式给他的参数取一个端点值啊。第二个， 根据我想征的这个结构，我对这个不等式给它进行变形，变成与这个结构，怎么着呀？哎，类似的，你看这边是 loan， 那 我就把 loan 挪过去啊，当然我们说了，最好是希望它的自变量左右两边次数哎，一致好， 根据我想挣的和我有的，我去给它赋值。那显然这个和这个是同步的，也就是 x 方等于它，那我就知道我给 x 负的是多少了，它往往也是符合它这个不等式的。这个哎，范围的啊，好，负完之后整理变形即可， 基本后边就没有什么计算量了好吧啊，这是哎，这一类啊，希望咱们各位同学呢，有时间呢还是好好去研究一下这类题啊。当然导数与数列相结合的也是咱们近几年其实在导数这块 呃，考的比较多的啊，很多同学其实不得其法就会觉得这类题比较难啊，但是一般的了解清他的涉文背景以及他的啊，这个方法的这个技巧点在哪？这类题其实相对来讲不算太难啊，注意计算即可。好吧，嗯，那咱们今天的分享就先到这。好嘞，拜拜。 当然还会有一些，我们也有一些其他的呃，导数与数列相结合的这种巩固训练啊，如果有其他同学想呃了解的话，呃，也可以跟老师去私聊。好吧啊，我可以无偿的分享给大家啊，也是希望咱们各位高三同学能能够在今年的高考当中取得好成绩。好，拜拜。

各位好，我们来看二零二六年石家庄二模第十八题，这个题目呢，整体难度呢，也不是很大，我们快速的给大家说一说。那么第一问呢，这个直接写答案了啊，应该是 a 等于四分之五， b 等于四分之一，这一共三分。不再说了，我们从第二问开始说。第二问说，当 b 等于一的时候，对于任意的 x 大 于一，有 f x 大 于零横成力。 那么首先呢，我们把这 f x 写出来，就对于任意的 x 大 于一 f x， 它是等于 ax 减去 x 分 之一，减去二 b 的 long x 大 于零横成力的。 那么这个式子呀，第一个我们可以考虑呢，用这个必要性探路的想法， 那你看碳的话呢，就是碳短点值吗？这个一的这个位置上，我们要保证在大于一的时候，它是大于零横成力的，那么一这个位置上必须得怎么样呢？你看我画个图啊，我说如果在一的这个位置上是个小于零的数， 那么他从小于零的时候，增长到一个大于零的时候，是不是得有一段过程，就是负的， 能明白我的意思吗？就从你小于零，然后增长大于零，是不是一定得有负的，然后到等于零，然后才能大于零，因为你这个函数连续的吗？ 所以我们要保证一个点处至少至少得怎么样得等于零，因为一处等于零，哎，我增的是不就可以了？或者是我一处这个点处压根就大于零，那我啊增也好，稍微减一点，再增也好，是不就可以保证？ 当然这是一个前提，就是说如果你移出这个函数值都不是大于等于零的，那我就别闹了，对吧？如果我移出这个函数值都是个负的，然后呢？哎，你就满足不了这个式子恒成立了， 所以呢，这是他的一个必要条件，当然了，满足这个一定满足题，一定不满足题， 哎，这就叫必要性探路，你要把它搞清楚啊，所以我们把它代入，那就是一个 a， 这是减一，对吧？大约等于零，所以解出来 a 大 约等于一，那实际上我们说呢，这其实就到最后一步了，那么你如果写必要性探路呢？那你要写上下正充分性 啊，就是在 a 大 于一的时候，那我 f x 就 大于，等于，是吧， x 减去 x 分 之一，然后减去二倍的浪 s， 那 这个是大于零，那应该是显然的了，对吧？他考的就是这个飘带放缩了， 当然了，你也可以把它构造成，比如说 h x 啊，我对这个孩子求导，我说明这个 h x 最小值呢，应该是零，是吧？啊，就可以了，当然是在 x 大 于一的这个范围当中去啊，是不是它大于零，那这个过程呢，就不带给大家去写了。 呃，这里边需要大家强调的一点就是，这个 a 呢，是带等号的，就是必须要有这个这个一的，这个点啊，如果没有的话是不行的，这第一个啊，不要求探路，第二个就是我们老老实实分餐 分叉呢，无非就是说计算上面稍微的复杂一点点啊，但是也还好，就是 a x 要大于等于二倍的 long x， 然后加上一个 s 分 之一，所以 a 大 于等于二倍的 x 分 之 long x， 然后加上一个，这是 x 方分之一， 所以你把它构造成个新的函数，比如说 h x 对 它求导，那么 h 导 x 应该是二乘以，呃，前面就应该是 x 方， 是吧？然后上面是子导，那个是 x 分 之一，然后乘以 x， 然后减去一个 long x 乘一个一，然后后边加上一个，这是 x 四次方，然后是零，对吧？然后减去一个 二 x， 所以 把它整理一下，也就是一个二倍的，这是 x 方分之一，减 long x， 然后加上一个，这是 x 三次方分之，这是负二， 所以我们干脆把这个二呢给他提出来里边去通分，那就是 x 三次方分之，这是 x 减去 long x， 然后减去一个 一，是吧？那减该减，这是 x 被 long x 啊，减去一，那么我们导函数只看正负这一部分是横正的，在 x 大 于一的时候呢，你注意定域是 x 大 于一啊，呃， x 三次方也是正的，所以呢，只要取决于这一部分正不正就行了。 当然这一部分证呢，其实也是一个比较显然的事情啊，我不知道能不能看出来啊。他其实呢，但你看不出来的话，那就令是吧，令 g x 是 x， 然后减去个 x 浪 x 减一，然后再去研究这个 g 导 x 怎么怎么不再去写了啊，就是 很简单的一个分集这个函数的过程了，但你能看出来的话，他其实考的就是我们的一个切线吗？ 也就是说这是 long x 是 吧？然后这有根切线，然后它的对应的还有一根这个它的一个曲线，这是一减去 s 分 之一，这是 long x， 这是 s 减一。我们给大家说了好多回这个互推的一个过程啊，我们再简单写一写， 就是 long x 呢，肯定是小一点 x 减一的啊，这个大家都会去讲到，然后呢，如果你要想找到一个 long x 比谁大这件事，就是把这个不等号要编号的话，应该怎么去操作呢？那就是令 x 取什么呀？取 s 分 之一， 这个 x 取 x 分 之一呢？所以这就变成了一个 long x 分 之一要小于等于 x 分 之一减一了，而 long x 分 之一呢？这样我给大家写到后下一页上去啊， 嗯，就是 long x 分 之一应该小于等于 x 分 之一减一了，所以把这个式子呀，这个 long x 分 之一就是负的 long x， 对 吧？小于等于 x 分 之一减一了，所以我们整理一下，就是 x long x 要大于等于一点 x 分 之一了， 两边同时穿个符号的，这个不等号方向是要发生改变的啊，就这么一个问题，那这个 long s 大 于谁呢？这个一般不多啊，一般 long s 就 比较小了，是吧？让他出大于谁，这个不多。 这里边呢，我们也能够得到这么一个事，因为这个数字如果成立的话，两边你同时乘以 x 就是 x 倍的 long x， 是 吧？要大一点 x 减一，那就是你看他不就是 x 减去他吗？那就是 x 减去 x， long x 减一肯定是小一点零的，这是分子， 当然了，你看不出来，那就老老实实求导，求导的也挺快的啊，所以这样的话，我们就说明了，到这一步呢，这个 h x 导数呢，是小于零的，那 h x 最大值呢？ h x 最大值按理说应该是 h 一， 但是你注意这个定域是 x 大 于一，所以这个等号实际上是取不到 h 一， 但是等于一的。 所以我们就讲，你不是 a 大 于 h x 的 最大值吗？但是这个 h x 最大值是取不到一的，是趋近于一，但是取不到的，所以我们再往下再写一步的时候，这个很容易错，就是 a 是 可以取到一的。 什么意思？就是如果我 h 的是一，因为你 h x 是 趋近于一，始终取不到一的，所以这个一肯定也比这个数大， 能想清楚吗？就是我如果 a 取的是一，那一肯定也比这个数要大，所以我这个 a 是 可以取等号的啊，就就是这个地方呢，是很容易错的啊，只需要大家把它想清楚。好吧，这是第二问， 下面我们说第三问啊，第三问呢，最近考的也很多，但是他其实就是一个竖列型不等式的一个证明。 呃，左侧呢，它是一个前 n 向和，对吧？前 n 向和就对这个式子的求和，那右侧呢？实际上我们也要把它理解成一个前 n 向和的结构， 也就是说什么意思呢？我们给大家演示一下啊，就是我要想证明 s n 大 于 t n， 我 们找到 s n 的 通向 a n， 再找到 t 的 通向，叫 b n， 是我只要能够证明 a n 大 于 b n， 那 么就能够得到什么呢？就是 a 一 大于 b 一， a 二大于 b 二，然后往下一写， a n 大 于 b n， 就 这个式子一定都是成立的，所以你左边加左边，右边加右边，那就是 s n 要大于 t n， 就 相当于得证了。 也就是说我们要想去证这个式子成立，就转化成了去证这个东西成立就可以了。 好，来，那我们看一下啊，那左边呢，其实就是一个通向的形式，你把这个换成 n 方就行了，那就是根号下一 除以根号下，是吧？ n 方减四分之一，右边呢是个 t n， 你 看我这还得多来一步，这个 t n 呢，是等于劳恩二 n 加一的。那我请问大家 b n 是 什么？ 这是最最基础的数列问题了啊，一直 t n， 求 b n 用啥方法？用啥方法？是不是 t n 减 t n 减一就是 b n 呢？也就是说劳恩二恩加一减去劳恩二恩减一，其实他其实就是我们要找的那个式子，就是 b n， 所以这样的话呢，就变成了我要去证明他大于老，当然把它调整一下，那就是二 n 减一分之二， n 减一，我要证这个式子是成立的，只要这个式子证出来了。 哎，我的题干，那无非就是负一，然后 n 等于二是吧？ n 等于三到 n 等于 n 进行累加就可以了。 好，那这个式子怎么去正呢？我们还得从哎二十就是第二问这个结果出发，这里边呢，要写清楚一句话，就是由而可知， 你看我们通过第二问，是不是说明了就这个式子复制过来啊？ 啊，我们通过第二问呢，我们现在知道了这个式子是成立的，数到这吧。好，那我们就得从这个式子呢 把它进行变化，然后得到我们现在啊，让你求证的就代证的这个式子，那这两个式子之间有什么关系呢？那其实也好说，我们来整理一下，就是二倍 long x 要小于 x 减去 x 分 之一，当然范围是 s 大 于一。 好，呃，请问大家，你说这个东西和这个东西之间有什么关系？你可能看不出来，但是核心问题在这，就这个二在这发挥了一个什么作用？ 你看，如果说这个二，其实这个二啊有两个作用啊，一，通常来说有两个作用，第一个就是你可以考虑把二除过去，写成 long x 要小于二分之一的 x 减 s 分 之一，那这里边是那个二分之一的问题。第二个就是把这个 long x 啊，给它变成平方，这样的话呢，这个二次这边是一次，所以我们结合着这个要正的这个式子，我们应该能够想清楚啊，最终呢，应该选的是这个结构 啊，也就是说我们在这打一下草稿，就 long x 方要小于 x， 减去 x 分 之一。当然了，那，那再往下呢，我们要稍微给他换个元，就是令 t 等于 x 方，所以我们整个这式子就是 long t 要小于，那你 x 就是 根号 t 呗，就是根号 t， 然后减去个根号 t 分 之一， 当然 t 的 方法也是大一的，然后再往下呢，你就可以去代入这个结果了，是吧？呃，就直接进行整体的换元，就是令 t 等于二， n 减一分之二， n 加一， 所以就是一个 l n 减一分之二， n 加一要小于，这是根号下二， n 减一分之二， n 加一，然后减去，这是根号下二， n 加一分之二， n 减一。 好，那右边其实就已经匹配好了，我们只要说明这个式子和这个式子是相等的就行了，嗯，通过分就完事了啊。我们把这式子稍微处理一下，这是根号下二， n 减一分之，根号下二， n 加一，然后减去，这是根号下二 n 加一分之，根号下二， n 减一。 实际上你看啊，你通分，这是根号加二，人减一，乘一个二人加一，那上边呢？上面他乘以他，那就是一个什么呀？就是一个二人加一，对吧？同理，那你拿这个式子和这个式子相乘，那就是一个二人减一，就是这个二人减一， 所以呢，它整个分子上其实就等于个二，而下边应该是根号下，这是四 n 方减一，那你看这个结果和它是不是就是一样的？因为这个式子我们可以上下可同时乘一个，乘一个这个二是吧？就变成了二，然后下面是根号下四 n 方减一， 到此为止呢，实际上这个问题就证明完成了啊，我们把整个这个问题呢给大家再简单的回顾一下。首先第一问呢，就是一个在某点处切线，这个你百分之百的考察要做对的。 而第二问呢，我们要说明他横成力的一个问题啊，可以考虑进行必要的探路，也可以考虑从分餐的视角去解决这个问题啊。呃，分餐这里面涉及到了一个这个切线放松不等式。 第三问呢，是一个竖列型不等式的问题，那首先呢，我们要找到他的通向，然后呢，你得明白由二可以得到一个什么不等式，就这个不等式的证明一定是有提示的， 他不可能贸然的，对吧？作为一个题目来说，他第三问平白无故的给了你一个不等式，这个绝对是不合理的， 所以他一定会通过第二问给了你一个什么提示，然后呢，要对这个式子进行一个适当的变形，你对吧？进行个适当的变形，然后呢，通过通分也好，通过怎么运算也好， 最终呢，我们可以得到啊，这个式子是成立的。然后呢，你再往下写这个过程啊，我们最终呢写上四个字就是累加可得，对吧？哎，他是成立的，就完事好了。那这个题目呢，就给大家分析到这里。

hello， 同学们好，我是泡泡老师，我们今天呢来看一下我们石家庄二模的一个数学的选择题的部分。好，我们来看一下第一题。第一题考察的是我们的复数的部分，他问的是我们这个复数在负平面 所对应的点是在第几象限。好，我们知道负数 z 呢是等于 a 加 b， 那 么这个时候我们能够有一个对应的坐标，那么也就是我们的 a 逗 b， 看一下 a 逗 b 是 在第几象限，那么我们的负数 z 对 应的点就在第几象限，那么在我们整理化简之后呢，是等于三加二，所以点的坐标呢是三逗一都是正的，所以是在我们的第一象限。 然后第二个题是考察我们的集合的运算啊，它是考我们的交集的部分， g 和 a， 我 们整理一下，是 x 是 大于负一，小于一集合， b 呢是 x 是 大于等于负二小于零，那么这个时候交集的话，大于取大数，小于取小数，那么最终的结果就是我们的负一到零。 然后第三题是我们的等差数列其实是考的我们的下标和的性质，所以如果说对一些等差数列的性质还有不熟悉的同学，下来之后要抓紧先来复习一下啊。好，那么他让我们给了我们一个条件是 a 七加上 a 三是等于二十，让我们去求一下 s 九的和是多少， 那么 s 九呢，是从 a 一 一直加到我们 a 九，我们知道啊， a 一 加上 a 九，一加九是十，三加七也是十，所以 a 一 加 a 九是正好等于 a 三加 a 七。所以利用一下我们的求和公式，就是二分之 n 乘括号 a e 加上 an， 算出来，结果呢就是我们的九十。然后第四题是考察我们的回归方程，要知道我们的 x 八和 y 八永远是在我们的回归方程上面的，那么去求 a 加的话，我们直接把这个两个数据带入去求算一下就可以，答案是 c 啊， 然后第五题求的是这个，呃，告诉我们 f x 是 偶数，让我们去求 f 二 a， 那 么我们就先要利用这个是偶函数的条件的话，去把我们的 a 结果来求一下，我们知道偶函数它应该满足的是 f 负 x 是 等于 f x 的 f 负 x 呢，我们把它带进来整理一下，是这个 二 x 加一，分之负 x 乘以二的 x 方减去 a x 加一，那么等于我们的 f x 两边把一同时就可以消掉，然后把这个减 a x 挪到我们的这边来，把这个式子再挪过来之后，就能得到一个这样的式子，是二 a x 等于这一坨啊，那上面上下就可以约掉，直接剩下我们的负 x， 那 么也就是说我们的二 a 是 等于负一的， a 呢，是等于我们的负二分之一，把我们的 a 呢带回到我们的 f x 这个式子里面，就能得到了这个结果。 那么二 a 是 一，二 a 是 负一，我们直接去算一下负一的这个值就是我们的六分之五啊，六分之五好，那么第六级他是考的是我们四棱台的体积和表面积，我们一定要记住我们几个常见的这些公式啊，棱柱棱台以及我们的圆柱，圆锥啊 这些，那么对于棱台来说呢，就是三分之 s 上底面的面积加上下底面的面积，再加上根号下上下底面的沉积，再乘以我们的高，我们直接带数据就能够把我们的高求出来，是根号七。 好，那么去求表面积，上下底面积有了，我们其实就只需要去求我们的四个侧面积就可以了，因为它是正四棱台，所以每个面的面积都是相同的。那么想要去求侧面积的话， 我们侧面是一个梯形对不对？这边是一个梯形，上下底都有了，我们需要求出一下侧面的高，那么侧面高怎么来求呢？我们去截一个它的一个平面出来啊，我们已经知道了这一小节的高是我们的根号七，那么上面是二，底下是我们的八， 这一块啊，做一个中垂线，这块就是我们的一，这是我们的四，这是对应的一，那么这就对应的是三，那么勾股定律就能求出来，我们的斜边的这个高应该就是我们的四，那么这个时候的表面积就是上下底面加上我们四个斜面的面积，算出来呢？是我们的一百四十八是 a。 然后第七题他说 f x 这个三角函数在这个区间上是单调递减，我们先用一下我们的辅助角公式，把它换成这样的一个形式，然后呢我们对给了我们 x 的 一个区间范围，我们把这个括号内的当做一个整体，把它的范围求出来， 求出来之后，他说要在范围上递减的话，那意味着我的右边的这个范围是不能够跨过我的二分之三派的， 所以我们就应该需要满足三分之五 pi 加上 pi 是 小于等于我们的二分之三 pi 算出来的 pi 呢，是小于等于我们的负根号六的负六分之 pi 的， 那么 tan 的 pi 呢，是等于我们的 b 啊，所以算出来的 b 的 值呢？是负的三分之根号三啊，还可以，然后稍微有一点点难度，但其实难度也不算大，比较常见的一个就是我们第八题的去求我们椭圆的离心率， 他给了我们一个条件，他说这个，呃，三角形 p q f e 的 内切圆呢，是和我们两条线相距 a b 点，给了我们一个比值范围，还给了我们一个 f e a 的 末长度是我们的小呃，小 a， 好， 我们把图画出来之后呢，你会发现这块，他告诉我们了 b p 比上我们的 b q 是 二，那我们就假设我们的 b q 呢，就是二 t， 那 么他说这是一个内切圆，内切圆呢，是我们角分线 的一个焦点，那么这我们就知道了，它两个三角形应该是全等的啊，对不对？好，那么这块是 f 一 a 是 a， 那 么这块是 a， 这块是 a， 这是 t 的 话呢，这就是 t， 这是 二 t 的 话，这也就是二 t。 好， 那么这个三角形呢，它两个相加是二 a， 这两个相加呢，也是二 a， 所以 这个三角形的周长总长应该是四 a， 那 么就是这个加起来应该是满足我们的二 a 加上六 t 是 等于四 a 的， 那么 t 解出来呢，是我们的三分之一 a， 好，那么这个时候我们就知道了，每个边的长度啊， p f 一， 也就是这个长是 a， 加上这个二 t 就是 三分之二 a 是 我们的三分之五 a， 那 么 p q 呢？ 是三 t 就是 三分之一，是三分之三 a， 那 么 q f 一 呢？是 a， 加上三分之一 a 是 三分之四 a， 那 么三四五三角形，那这就知道了，这是应该是一个直角，对不对？好，这是直角，那么我们想要去和我们的二 c 联系起来的话，我们还要去知道这个边长是多少。好，那这呢是 我们的三分之五 a， 那 这块对应的它的两个和是二 a 的 话，这就是三分之一 a， 那 这一段呢，就是我们的这个 q f 二，应该是我们的三分之二 a， 那 这一块呢？还是我们的三分之三 a， 那 么也就是勾股定律的话，能够知道了是四 c 方，应该是等于三分之二 a 方，加上三分之四 a 方是等于九分之二十 a 方，那么 e 方我们算出来呢是九分之五，所以 e 的 就是三分之根号五啊。所以其实选择题的部分没有说特别特别的难，如果说还有同学没有做对的话，一定要把这个题嗯回归到我们的这个知识点的模块，把这一块全部来整个复习一下啊，不要给自己留一些漏洞啊。 整个难度选择题的部分还可以，那我们下节课去讲一下我们的多选以及我们填空的部分，然后再去讲我们的解答题的部分。好，那我们这一节就先这样，拜拜。

二十分钟掌握空间角几何法，看完本期视频，你就是空间角的神！我已加入抖音精选应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，对我的高考百日百课。 空间角作为我们立体几何中的老大哥题型，我们除了要会间隙法，一些简单的几何法我们应该也要去掌握，不可能每道题都去用间隙对不对？特别是出现在一些小题里面的时候。那么今天呢，我们就来讲一讲线线角，线面角以及二面角 他们一些常见的几何法该怎么去解决。在平面中，我们知道两条直线的夹角，我们在一起的话，那么取这个锐角零到二分之派的时候，这个呢就是我们两条直线的夹角对不对？ 那么如果在空间中怎么办？我们需要把它移到一起，有交点的时候，那么此时呢，他这个角就是我们两条异面直线的夹角。下面我们来看到一个具体的例题， 这种方法往往是最简单的，正方体中 p、 q 分 别是 a、 d、 e、 b、 d 的 中点，这里呢我图已经画好了，他问的是 p、 q 以及 b、 c、 e 这两条意面直线所成的角的大小。好，我们来看一下， 我们说了，我们是需要通过平移让他们两条直线有一个交点，对不对？那么我们的 p、 q 也可以去移动， b、 c、 e 呢？也可以去移动，这个题目比较简单，我们直接把 b、 c、 e 去移动会比较容易吧？移到哪里？ 移到我们的 a、 d、 e 这里，他们两个是平行的，所以我直接移过去，你发现 p 点呢，就是他们的交点，那么这两条异面直线所成的角呢？ 不就是我们的 a p q 这个角吗？我们这样一连把 a、 q 连起来，那么这个三角形的三边我们能不能求？来看一下各边长的关系？我们假设正方体的边长为二好了，那么这条线怎么求啊？我这样做一个垂直过来， 那这里就是一，这里呢也是一，这里是根号二，没问题吧？那么这条边呢，我们这样垂直下来，他这里也是根号二吧，这里是一，然后呢这边也是一，根号二，同样 这条长度怎么去求？我们只需要这样做一个垂直下来，然后这里垂过来，这里是一，这里是一，这里也是根二。所以你会发现这个脚踏其实就是六十度，对不对？这种平移当然比较简单，还有没有别的平移方法？有，只不过是比较麻烦嘛，你可以平移到终点，我们再讲一个， 把它平移到这条线上来，然后你会发现，此时呢他们没有终点，对不对？因为有些题目他可能不可以这样直接平移过去就能有焦点，然后你平移到这里之后，然后怎么办？与这条线没有焦点，那我怎么样才有焦点呢？我是不是得往 外面呢？呃，这个应该叫前面吧，得往前面去移，移成这个样子才有焦点，对不对？那么此时呢，我们连接 q 与我们底面，就我们的 d c c e d 这个面，它的中心，哎，是不是此时呢它们就有焦点了呀？当然这样平移需要那么一点点的空间想象能力，那么此时呢，我们去把这两个连起来，你会发现呢， 这条边的长度，我们这样做垂直过来，垂直过来他也是根二，没问题吧？那这条边呢？这里过去过去他也是根二吧，同样都是根二，那么这个角度呢，也是六十度，同样会得到 c 选项。第二种，线面角，如果我们要去求直线 a c 与我们这个平面 r 的 夹角， 那么最简单的方法就是过 a 点去做我们 r 法的垂线垂直呢？我们这个 r 法这个平面，然后去连接我们的 c b， 那 么此时这个 c 塔就是我们所需要的线面角，对不对？ 但是这里有一个什么问题，我这个垂足啊，往往不会去，很容易找到，你不知道它垂在哪个地方，哎，你说这个 b 点在这呢，这样子垂直的是不是也有可能呢？那此时我说这个角才是它的线面角， 所以我们这里的难点是什么呀？没有办法去确定垂直，如果题目里能够看出来的，当然简单了，什么情况？比如这是个等腰三角形，对不对？那我这样做过去，他当然就垂直了。 然后呢，如果此时我们有一个平面呢，你会发现他与我们的 r 法是垂直的，那我经过这个北塔这个面，我去做一条直线垂直交线，那么我们这条直线是不是就垂直我们的底面？ r 法能理解吧？ 那么，呃，既然他垂直我们的 r 法，那他当然就垂直我们的 bc 了。所以呢，此时，哎，这个角就是我们的线面角，所以我们往往会一拖，什么呀？面面垂直去找到这条 直线，从而呢，垂直这个 r 法，从而去找到他的线面角。当然这里都是比较常规的方法。那再难一点点怎么办？我们还要等体 积法吗？对不对？等体积法呢，我们是不需要知道它这个垂直在哪里，我们只要知道 a 点，它是垂直这个平面的，所以这条长度，哎，不就是这个我们的什么呀？ 高，对不对？那么通过等体积法是能够把这条高求出来，它的计数量可能会大一点点啊。这里我们不讲这个方法，我们只讲一下我们常规的一些方法。 看到题目在长方题 a b c d a e b c d e 中，他给了我们 ab 等于 bc 等于二，那么说明这个是正方形吧， a a 等于一，他问的是 bc 以及我们这个平面所形成的角的正弦值。好，这里图呢，我已经画好了，我们来看一下 你要求这条线与这个面的线面角，那我们刚刚讲过，我想过 c 点去做这个面的垂线，对不对？那么这个垂足在哪里，我们是不能够去确定的吧？那怎么办？ 我需要去找到一个面与我们这个红色的平面垂直，然后呢，在那个平面上，我们再去做一条与他交线垂直的，那么他必然就垂直我们这个红色的面吧。我们来看一下这里有哪个是垂直的面， 很明显我们的上下底面呢，都会与我们这个红色的平面垂直，没问题吧？这个应该，哎，不难看出来吧。然后再来看到这条直线 b c e， 你 会发现 c e 怎么样？他是不是在这个平面里面呢？ 所以我过 c e 呢，去做这条交线的垂线，好，这样垂直过来。那我想问一下 c 这个点我们取为 m 好 了， c e m， 他 是不是垂直这个红色的平面呢？是不是没有任何问题？好，那么既然他垂直这个红色的平面， 所以这个 m 点就是什么呀？我们做垂直的垂足嘛，我们只要连接 m b， 那 么我们这里的线面角不就是这个角吗？ c t 没问题吧？那么此时呢，我们的线面角就做出来了，然后我再来看一下它的各个长度就可以，这里是 二，这里呢是一，所以这个长度它不就是根号五吗？然后再看一下这一篇啊，这边如果同学们看不出来的话，我们可以把这个正方形呢拿到平面上来，它是个正方形，那么另外一条是对角线，那么要垂直，它当然就是对角线了， 所以这里它是一半的对角线的长度吧，这里是二，这里是二倍根号二，所以这条长度是根号二。再来看到这条线的长度，我们这里图画的没有那么标准，它应该是在这个地方没问题吧？ 啊，我们把它画标准一点吧，这样大家看起来可能会舒服一点啊。我们再来看到这条线的长度，那么这里呢，他是一，没问题吧，这里是根号二，所以这里你看他是多少 根号二加一，他不就是根号三吗？那我们去求这个角度的什么值？正弦值，所以这条边我们是不用求的吧，他就是根号二，比上我们的根号五好，所以最后等于五分之根号十，选到 d 选项。 接下来呢，我们来看看大家最喜欢的二面角的问题，那么什么是二面角啊？如果有两个半平面，他们所形成的角度呢？就叫做二面角。最简单的生活中的例子就是，我们把书本打开好，打开到某一个角度，那这个角呢？就是我们的二面角，对不对？他记住我们的 r、 f、 l 倍特，那么我们这个二面角怎么去求呢？我们肯定是以平面角来求它吧，如果我在阿尔法内某一点好，比如这里呢，我画的是 a 点，过这个 a 点，做一条垂直于他们交线的一条直线，垂直为 m， 然后呢，我再过倍特上一个点 b 点，他也去垂直我们的交线 l， 他 也的垂直呢？为 m， 那 么此时我们的 a、 m、 b 就为我们二面角所在的平面角。能不能理解，那么我们要做的是什么呢？两条垂直于他们交线的线，对不对？然后他们所形成的角， 他这个 c 塔就是我们二面角所在的平面角，但是啊，这里是定义，对吧？我们在题目中，往往你会发现，哎，我过这个 a 点，你去做，哎，你会发现做到 m 点，但是我过这个 b 点呢，他不一定做到 m 点呢，他可能做到旁边这里是垂直的，做到 n 点，怎么办？ 那么此时我们就没有办法去说它这个角是二面角吧，因为它已经没有形成一个角了，对吗？下面我们来看到可以用定义法直接找到的二面角。看到题目正方体中 二面角，第一好与我们的 a、 c、 d 这两个面的二面角，这里呢，图案已经画好了，就这个红色的与这个绿色的，对吧？那我们第一步干嘛 在某一个平面上，比如我们下面这个绿色的平面找到点 d， 然后呢去做我们 a、 c 的 垂线，这里很明显它是个正方体，所以 a d 等于 d c， 那 我过点 d 做垂线的话，它一定是交于我们 a、 c 的 中点，这里是垂直的， 然后呢，我需要在另外一个平面哎，也去做 a、 c 的 垂线，比如我过点 d 一， 那么我们这里看到 a、 d、 e， 它与 c、 d、 e 是 不是也是相等的呀？它都是正方形的，什么呀？面对角线嘛， 所以这里呢，它也是相等的，所以它也是一个等腰三角形。那么过点 d、 e 去做 a、 c 的 垂线，当然也是会垂直它的中点了，比如我们记中点为 m， 那 么此时呢，我们这里它明显的就是我们的二面角所在的平面角吧，他们求的是什么呀？ 它的正切值，那么这里是不是就是垂直的？没问题吧？那么正切值的话，我们只要用这条边比上这条边就可以了， 不会有些同学不知道为什么这里是垂直的吧？因为我们这个 d、 d、 e， 它是垂直底面的呀，所以它一定是垂直我们的 d、 m， 所以呢，这里它就是个直角三角形，能理解吗？ 那么这条边它的长度，我们假设正方体的边长为一好了，那它这条长度不就是一吗？然后这条长度呢，这里是一，这里是一，那么这里的对角线就是根号二，那么这里是一半的对角线，所以它是二分之根号，用一比上二分之根号二， 所以呢，就等于根号二分之二，也就是等于根号二。选到 d 选项。我们刚刚讲过用定义法呢，不一定能够做的出二面角，那怎么办呢？还有没有别的方法？肯定是有的，我们还有一个什么三垂线定律，什么意思？ 如果我们现在要去做出这两个半平面的二面角，首先我过点 a 做我下面这个面的什么呀？垂线，假设呢，这个垂足为点 b 好 了，然后你这里有两个方法，第一个，我过点 a 去做这条交线的垂线，好，假设这里我们垂到 m， 然后呢，我这里直接去连接 mb， 这里不再是做了直接连接就可以了。那么一定我们这个角 a mb 就是 我们二面角所在的平面角。为什么我们来证明一下，首先呢，我的 ab 是 垂直底面的，我这里写一下好了， a b， 它是垂直，我们上面记为阿尔法，下面记为贝塔，垂直贝塔，所以我们能推到什么呀？所以我们的 a b 这条直线一定是垂直 l 的 吧？那然后呢，我们的 a m， 你 不是真的是做的垂直 l 吗？ 然后我们又有 a m 垂直 l， 所以 你会发现这个 l 啊，它既垂直 a m， 还垂直 ab， 所以呢，我们能推到 l， 它是垂直我们的平面 a b m， 那 么当然 l 它还垂直什么呀？我们的 mb， 你 看看 l， 它既垂直 a m， 这是我们做的，然后呢，又垂直我们的 mb， 这是我们正的，所以我们这个 a mb 这个角，它不就是我们二面角所在的平面角吗？这里我们是过点 a 做 l 的 垂线， 那么同样我过点 b 去做它的垂线，然后连接 a m， 它是不是也是一样的呀？如果我们过点 b 去做 l 的 垂线，同样也交于点 m， 那 我们现在知道 ab， 它是垂直 l 的， 然后呢， bm 也是垂直 l 的， 所以我们的 l 同样垂直这个平面，那么它当然就垂直 a m 了。根据我们的定义法，那么两条直线同时垂直这个交线啊，并且在同一点，那么他们所形成的角呢？就是我们二面角所在的平面角吧。下面我们来看到具体的例题， 这是一道二四年的高考题，我们看一下题目，如图，四人追 p， a， b， c， d 中 pa 它是垂直底面的，我们知道它就垂直底面的任何一条线吗？看到每句题目一定要翻译一下， 然后呢，他给了我们 pa 等于 ac 等于二，好，我们就把它标上去，意味着这里是一个什么呀？等腰直角三角形，能不能理解？所以 pc 呢，我们顺手就把它算出来，这里就是二倍杠二， 然后他还告诉了我们 ab 等于根号三，那么 ab 等于根号三， bc 又是一，然后 ac 又是二，所以你会发现这里呢，它也是个直角吧，并且这里是三十度，六十度有没有用？不管我们先把它算出来对不对？ 然后再往下看，这里第一问，我们就不看了，我们直接看到第二问，若 a、 d 它垂直 dc 的， 那么这里呢？它说也是垂直的，我这里 标记已经打好了，那我们求二面角 a， p、 c， d 这个二面角，哎，不是让我们求二面角，它说这个二面角的正弦值为七分之，刚好四十二，那我们去求 a、 d 的 长度， 这里题目给了我们二面角的正弦值，那我肯定先得去做出二面角啊，那怎么做？我们说了最简单的就是做两条垂直它的交线嘛。我们先来看到 p a、 c 这个三角形， 哎，我们有 pa 等于 ac 吧，所以我过 a 点去做 pc 的 垂线，那么它一定在哪里？在它的中点，假设这里是 m 点，那它肯定是垂直，对不对？然后你再看到下面这个， 那我过 d 点做它的垂线会不会在 m 点呢？我们得去算一下吧。那什么情况下我们过点 d 也会垂直的话，交于点 m 呢？只有我们的 pd 等于 dc 的 时候，它也是个等腰三角形才可以吧，对吧？那我们来看一下 pd 它到底等不等于 dc， 我们来算一下 pd， dc 就 可以了，但是你会发现这个 pd 跟 dc 它算不出来，对不对？那我们这里要求的是 ad 吧，我们设 ad 为 x， 那 你设了它为 x 之后，那我的 pd 不 就可以求了吗？这里是一个直角三角形， 这里是二，这里是 x， 所以 p d 的 长度呢？根号四加 x 方。好，我们 dc 的 长度怎么算？题目里告诉了我们 ad 它是垂直， dc 的 长度怎么算？题目里告诉我们 ad 它是直角三角形，这里是 x， 斜边是二，所以 dc 的 长度呢？ 根号四减去 x 方，所以你会发现它这两条边怎么样不相等的，除非我的 x 为零，那我 a、 d 肯定不可以为零呢？ 然后所以它这里过点 d 去做 p、 c 的 垂线，不会交于点 m。 那 怎么办？那我们考虑三垂线定律，在某一个平面找一个点做另外一个平面的垂线。那我们这里是找点 d 做 p a， c 的 垂线，还是找点 a 做 p c， d 的 垂线呢？我肯定找这个 a 点吧，好画也好画一点，对不对？所以我这里过点 a 做我们 p、 c、 d 的 垂线，假设垂足为这，我们既为 h， 然后连接 h m， 那 么此时这个角就是我们的二面角所在的平面角 c， 它。注意哈，这里你要证明一下它为什么是二面角了，你要怎么去写啊？因为 a m， 它是垂直平面 p c d， 所以呢，我们知道 a h， 它一定是垂直，我们的 p c， p c 又垂直 a m 又垂直 a h， 所以 我能得到 p c 垂直平面，哪个平面呢？我们这个平面吧， a h m， 所以呢，我最后能得到 p c， 它是垂直 h m 的。 那我们的二面角的定义法就是这样的嘛，这条直线呢？它垂直交线，这条直线呢，它也垂直交线，那么它们形成的角度就是二面角。 好，那现在告诉我们，正弦值为七分之，刚好四十二，对边比斜边，那么就是 a h 比上我们的 a m， 所以 a h 比上 am 等于七分之，根号四十二。那么这里有没有已知的呀？我们的 a h 没有办法去算对不对？我们的 am 是 不是能算？这里是一个等腰直角吧，这里又是中点，这里呢是二倍，根号二，所以它的长度就是根号二，所以我们可以写成 a h 比上根号二，等于根号四十二，比上七。所以最后呢，是不是能把 a h 算出来？我们算一下 a h 啊， a h 呢？我们这里算出来应该等于 七分之二倍，根号二十一。但是这个题目让我们算的是 a d， 对 不对？那我这里只能求出 a h， 我 的 a d 怎么去算？同学们想想看， 你这个 a h 是 什么东西啊？是不是 a 点到这个面的距离，我们有点到面的距离，并且很明显 a p d c， 它是一个四面体，对不对？这个顶点到底面的距离，那我不就可以考虑到用等体积法吗？所以我这里有 va a 当顶点啊，然后呢， p d， c 当底面，它就等于三分之一的 s 三角形， p， d， c 乘以我们这里的 a， h， 没问题吧？我们把数据带进去了，那我们就是三分之一 pdc 的 面积，怎么求啊？你看看它这个是什么三角形，好像看不出来， 想想看，这里是不是有一个垂直的，然后呢， pa 是 垂直底面，所以它自然也是垂直 dc 的 了，所以 dc 你 又垂直 ad， 又垂直 pa， 所以 dc 垂直 平面 p a， d， 那 么 d， c 呢？它当然是垂直 p d 了，这里同学们自己在写的时候要写上去，这里是个直角三角形，所以它的面积能不能写了？就等于二分之一，根号 四减 x 方，乘以根号四加 x 方，然后再乘以我们的 a h 七分之二倍，根号二十一。好，那我们再来把它表示成另一个，那你觉得另一个拿什么当零点比较合适啊？ 很明显，把 a 啊，把 p 当顶点比较合适吧。这里都已经是垂直里面了，所以 pa 呢，就是它的高，没问题吧？那么就是 p， 然后注意是 a， d， c 啊，不要写成 a， b， c， d， 我 们这里是什么呀？一个四面体，所以呢，它等于三分之一的 s 三角形 a， d， c 乘以我们的 pa， 好， 同样带进去三分之一，那么就是 x 乘以根号四减 x 方了。 二分之一 x， 根号四减 x 方，最后呢，再乘以我们 p a 的 长度，是不是等于二号？ 那么他们两个是不是相等的令他们相等把能约的呢？约一下三分之一，约到了二分之一约下来，然后呢，根号下四减 x 方也约掉了吧，那这个二还约掉了，所以剩下的呢？他剩下了这么多，他剩下了这一项，我们把它写到上面去，所以最后就变成了 七分之根号，二十一倍的根号，四加 x 方等于 x， 把七乘过去，两边同时平方二十一倍的 四加 x 方等于四十九倍的 x 方，同学们这里自己整理一下，那么最后得到了二十八 x 方等于八十四，那么 x 方呢就等于三，那么 x 呢，就等于根号三，当然负的不能取，我们 a d 是 个长度吧，所以最后呢，我们 a d 求出来就是等于根号三， 这里呢就利用到我们的什么呀，三垂线定律以及等体积法去求助我们此题的答案。以上呢就是我们几何法去求空间角的一些常规手段，比较基础的一些东西啊，同学们一定要掌握，如果碰到更难的怎么办，那就去见戏吧。 以上呢就是我们本期视频全部内容，我想一想，我们下期视频再见。

做立体几何折叠题总丢分的同学举个手，到底是思路不对，还是基础没打牢？评论区说说你最头疼哪类题？这道高频易错题，我一步步讲清楚。今天这道立体几何折叠题，我用数理系统化提升模型，从头给你拆到尾，教你会一道通一类。 先别急着算百分之九十的孩子，第一步就瞎动笔，这道题藏着多个核心考点， 折叠前后不变量分析二面角平面角判定线面垂直判定定里面面垂直性质、定力空间、直角坐标系，建立平面法向量求解向量夹角公式应用。 很多孩子连折叠前后哪些量不变都搞不清，一看到二面角点到平面距离直接就蒙了，这就是基础没搭牢。 接下来跟着我四步把题拆明白，一步都不跳。第一步，分析折叠不变量，推导线面垂直，折叠前后边长不变，再结合已知的垂直条件，用线面垂直判定定律，直接推出 a、 d， 呈现 p、 o、 b， 找到二面角的平面角。第二步，用面面垂直性质锁定点到平面的距离。根据面面垂直的性质定理过 p 做 o、 b 的 垂线，就是 p 到平面 a、 b、 c、 d 的 距离，再用三角函数直接算出结果。 第三步，建立坐标系，写出所有关键坐标，以 a、 d 中点为圆点， a、 d、 o、 b 垂线分别为 x、 y、 z 轴，快速写出 a、 b、 c、 p 各点坐标，为后续向量计算打牢基础。第四步，求法向量算夹角，二面角正弦值直接锁死，分别求出两个平面的法向量，用向量夹角公式算出余弦值，再用平方关系求出正弦值， 完美解决二面角问题，听懂不是终点，课后一定要做好这几件事，才能真正吃透这一类题， 把这道题完整重做一遍。默写步骤纠正跳步漏步，找同类型辨识题练手巩固方法， 避开折叠不变量分析错二面角，平面角找不准坐标系见错法，向量求解失误，二面角与向量夹角混淆，这些易错坑。跟着这套方法，孩子遇到例题、几何折叠题，思路清晰，步骤规范，精准避坑， 不用盲目刷题，也能稳定发挥。关注徐老师学习梳理不踩坑，每天一道题，稳步进步！

一题几何多选好题，这是由线面角和二面角综合考察了，当然这个题因为下面是直角梯形，很明显的第一思路还是想用间隙来做。传统方法咱暂时就不写了嘛。好在四零锥 p、 a、 b、 c、 d 中，你的下面是个直角梯形， a、 d 平行于 bc， a、 d 等于四， bc 就 等于二，咱们写在旁边 a、 d， 然后 a、 b 垂直 a、 d。 角 a 是 直角， a、 d、 c 等于六十度三角形 p， a、 b 是 等边三角形。二面角出来了，在线面角也有了线面角，知道求二面角的可棱值，我们也画图， 对吧？角 a 是 直角，所以 a 画到最里面好间隙，然后 d 要长点，然后这个因为 d 要长点，所以这是 a、 d 拉一半，大概就是这样， a、 b、 c、 d， 然后 p 点，现在随便画好图形就是这样了嘛。 错了，再去直线，那我们就把 p 点拉高一点，这就画图的时候没 p 点，在这个位置 稍微画一下好，是不是得到四零锥了？四零锥标数据算数据， a、 d 等于四， bc 等于二，这个一般是取上面的中点，即为 m， 所以 就把这个四先改成二和二，这就我们用铅笔标的嘛。 好，这是二，这是二，继续往下 bc 等于二。好，没问题，这肯定垂直的。他告诉角 a、 d、 c 等于六十度， 个为六十度，这个就为三十度，三十度所对的边是斜边的一半，这个就是勾股定律。这二倍杠三，这个二倍杠三，二倍根号三，你看数据是不是出来了，那数据出来，我们就开始来进行设点了。 x 轴， y 轴，这个垂直拉上去是 z 轴，所以我们找，因为有个线面角，所以 p d， 哎，我们讲一下这个关键的一个东西， p 的 坐标我们一般可能是 m， n， s， 三是这三个字母，但我们没用。利用好这个等边三角形，找哪个的坐标，就是向哪轴做垂线嘛，所以肯定向 x 轴做垂线， 这不是 m 了， m 标过了做 h， 所以 一定是中点，所以 p 的 横坐标一定是根号三，这就非常关键的，只要降圆的思维，我们要明确，做多了就不要设三未知数，所以 p 点就是根号三， m， n 两个未知数，这个根号三是一个比较关键的东西。 好，根号三出来了，所以 d 的 坐标就是零四，零 p， d 向量写出来下面这个面 a， b， c， d， 它的法向量 m 可以 等于我们加一个法字， 法向量 m 肯定可以取零零一了嘛，零零一还有它是等边三角形，这边长是得到关系的，所以就有个 p a 的 平方是等于二倍根号三十二代减就是三，加 m 方加 n 方等于十二， m 方，加上 n 方是等于九的，是不是就得到第一个关系式了？ 哎，明早就得到它，如果你不设为根号三，你还要加一个，如果不设为根号三， 那么你还要写 p a 方等于 p b 方，这个算出来还是 x 等于根号三而已。在我们就以后熟悉了，就中等腰等面上沿去终点拉下垂直了嘛，好得到这个条件，继续线面角的公式，所以线是 p d， 我 们写 dp， 向量好写一点， dp 就是 p 减 d 的 根号三， m 减四 n， 所以 根据线面角的公式，塞赢阿尔法就等于扩损 m 向量和 dp 的 余弦值的绝对值。所以套减就是魔长了，魔长一个的魔长就是三，加上 m 减四的平方，再加 n 方，然它乘以它，法向量乘以它，就变成了 n 的 绝对值，对吧？这个是等于题目的六分之根号十五平方来算就行了嘛。就计算 n 方除以三，加 m 方减八 m， 加上十六十六，再写十九，我们就把三抹掉，这是快速算一下，再加上 n 方就等于三十六分之十五，约去个三就等于十二分之五，所以交叉相乘就行了，就推出。 写到下面就推出十二平方减二五平方，就是七平方，就等于五 m 方，减五八四十 m， 再加上五九四十五，一五得五九十五，是否得到第二个关系。所以消元， 对吧？我们刚刚写的这是一式，这是二式，这两个一消元就可以推出 七 n 方，七九六十三，减七 m 方，就等于五 m 方，减四十 m， 加上九十五，再画件在一块就十二 m 方，减四十 m， 再加九十五，减六十三，三十二等于零，差个值就不要了，这是 可以简单口算的好，得到它，同时出一个四，就得到三 m 方减十 m 加上八，等于零。十次相乘三和一，二四 不行，交换位置，这个是四二负的，负的二三得六满足。所以一个根编号垂他，一个根是三分之四， 一个根编号垂他， m 就 等于三分之四，或 m 等于二，是不是得到 m 的 值啊？下面套求二面角就直接套就行了。我们就写到这面来， 要求二面角，就要求两个反向的，一个是 p a b 的， 一个是 a b c d 的 m， 写一下我们刚刚算过，是零零一，对吧。下面我们要求 p a b 的 a， p 向量就是 p 的 坐标 根号三 m n， 然后还有 ab 项呢，就是 b 的 坐标二倍根号三零零，是吧？二倍根号三零零了，所以发现呢，这个 x 肯定为零的，所以 x 等于零，写出来就是交叉相乘，是啊，交叉复制了这个。另， y 等于 n， y 等于 i， z 就 等于负 m， 所以 这很明显一只它的发现呢， n 就 等于零， n 负 m 是 不是零 n 负 m 啦，所以套夹角公式 它是哪个夹角？ cosine cot， 所以 cotine 九开根号就是三二嘛，我们刚刚算过的，然后这个这套零零一代点就是 m 的 绝对值， m 刚刚算过了，所以在最终就等于三分之四除以三，九分之四或二除以三，三分之二，九分之四或三分之二。所以答案选 c d。 这个题就给大家讲到这，这就是好间隙，我们就顺着间，间隙有个特点， p 的 横坐标是可以快速知道的，这是我们不要慢慢去设，浪费计算量，这就平时要总结了嘛。

试卷分享高三全科二模石家庄二模河北省石家庄市二零二六届高三二模试卷及答案视频时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。

家人们，石家庄高三家长一定要请他来听！石家庄二模成绩已经出炉，千万别只盯分数高兴或焦虑，河北高考前报永远是为此大于分数，精准定位自己院校层次。九十六个平行志愿 一定要做好充稳保期，绝对不能全部扎堆钱报，重点看好办学性质，创业受限学费要求，避免高分滑档被退档。二模就是高考最后的磨题，现在做好准规划，高考前报，少走弯路，孩子稳稳上岸理想大学关注我，带你了解 二零二六河北高考志愿简报干货，评论区留言六七八录取了！祝愿孩子今年高考超常发挥，考出高分，报对志愿前程似锦！

大家好，我们来看一下这样一道题，这道题是咱们最近合肥二模的啊，解答题都是个十八题， 呃，这道题的话，难度是属于中等的，大家努努力是完全是可以拿到满分的。 好，我们来看题，第一个在面积为三倍根号三的梯形 a、 b、 c、 d 中啊，它的面积是三倍根号三， a、 d 等于两倍的 ab， a、 d 等于两倍的 ab 等于两倍的 bc， 一 比一比二的关系 好， bc 是 平行 a、 d 的 好， e 是 a、 d 的 中点啊，那既然 e 是 a、 d 的 中点的话，那这个，这个，这些这四条线的长度应该都是啊一样的， 那么将 a、 b、 e， a、 b， e 这样沿着 b、 e 给它翻折到这个 a、 e、 b 这个三角形上来。 ok， 我 们来看一下啊，这个地方我们比较核心的条件其实就是这个长度关系啊，长度关系加上这个翻折起来的，我们这个翻折前后的话，这个长度应该是保持不变的，就这个应该是等于这个的， 然后 a、 e 应该是等于 a、 e 的 啊，然后我们这里面这些长度啊，是相同的， 在梯形中啊，我们如果遇到这些长度相同的话，我们会很容易去想的，如果我们去连接这个 c、 e 的 话，那我们立马就能得到一个菱形，菱形一，二菱形 好，那么这个题目还给了一个面积三倍根号三，这个到时候怎么用呢？面积的话啊，我们梯形面积可能想到是呃底乘以高除以二，对吧？但是这个地方我们可以看一下，其实这里 这里面把这个梯形分成三个三角形，三角三角形，那么这三个三角形的面积其实应该是一样的，其实应该是一样的，因为这边啊是菱形嘛，对角线平飞，他俩面积一样， 然后他俩呢？他俩是底是一样的，高是一样的，那么这三个面积是一样的， 所以每个面积应该都是这个根号三，根号三。 ok， 这个是咱们读完题之后啊，读完题之后应有的一些想法，我们来看一下能不能用到这个题目之中。首先我们来看第一道题， 第一道题让你去证明 a a e a e 垂直于 a e c a e c， 证明这里看能不能是垂直的，那么跟垂直有关，因为我们这里有菱形啊，我们有菱形，那么我们很容易去想到， 我们很容易去想到去连接它的对角线，因为有对角线的话，它就会有这个呃，垂直的情况发生嘛？ 好，假设连起来，这个是 o 点啊，连 a c 交 b e 与 o 点， 然后我们这个 c e 也是连起来的，那就再连一下 c e 了啊，我们这里很容易得到，我们这个 a c 是 垂直于这个 a c 是 垂直 b e 的， a c 垂直 b e 的， 那么并且的话， a o 是 等于这个 o c 的， a o 等于 o c， 那 因为啊，因为是翻折过来的，因为翻折过来的话，那么 a o 的 话，应该会等于这个 a e o a o 应该会等于这个 a e o 的， 也就是说由翻折可知， 这个 a o 是 等于 a o 的， 嗯，那再由于下面这个是个菱形了， 那菱形的话，我这个 a o 还是可以等于这个 o c 的， a o 等于 o c， 那 也就是因为，那也就是 a e o， 对 吧？是等于二分之一个 a c 的， 那这个其实就已经可以去证明这个 a、 a、 e 是 垂直于这个 a、 e、 c 的， 因为我们知道直角三角形，直角三角形啊， 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，斜边的中线等于斜边的一半，那么这个定力逆过来也是正确的逆过来啊，如果中线三角形的中线等于这个他这个对边的这个一半的话，那这个三角形就一定是直角三角形。 其实我们可以通过画圆来证明画圆，我们过这个 o 点做这个圆啊，这只是补充一下啊，我们实际用的时候就直接用就可以了。 ok， 那 你因为这个 o 点就是外心啊，三角形 a、 b、 c 的 外心，那么这个 a、 b、 c 都在这个圆上，并且 b、 c 是 直径，那直径所对的圆周角呢？就是这个九十度啊。 ok， 这样我们第一题能证明出来啊。 好，第二题我们来看一下。第二题说 a、 c、 a、 c 等于两倍的 a， a 一， a、 c 等于两倍的 a a 一， 我们来看一下 a、 c 等于两倍的 a 等于二倍根号三，二倍根号三呢？我们把长度标一标啊，那我们 a、 a 一 就是根号三， a、 c 是 二倍根号三，那这个，那这个一半都是根号三，都是根号三。好，那我们还能得到什么呢？我们好像其他的都得不到了，对吧？ 第一个问的是平面啊，平面 a、 e、 b、 c 与这个 a、 e、 c、 d 是 形成的夹角，那这个问的是面面夹角了， 那我们应该是想着去啊，间隙，应该想着去间隙啊，那我们细的话啊，这里比较明显这个 o 点，因为这里是垂直的，我们希望这个是 x 轴，这个是这个 y 轴，那我们 z 轴怎么办呢？ z 轴看上去只能竖直，是不是只能竖直向上去，这样去间隙啊？ 那么我们现在想一想啊，我们缺什么？我们缺什么？因为我们接下来是要找这些点的坐标， a， e， b 啊， c 啊 d 的 坐标， 其实我们会发现下面 c 点好办，但是这个 b 点不太好办，这个 b 点，因为 b 点这个长度 b、 o 的 长度我们还没有求出来，那这里该怎么办呢？ 请注意，我们题目中刚才讲了，我们有这个梯形面积是三倍根号三这样一个信息啊，那么其实我们可以得到这个 a e， b 的 a e， b 的 这个呃，面积应该就是根号三了。 那 a、 b 是 等于 a 一 的， a， b 是 等于 a、 e 的， 那么 a、 o 其实是呃，我们就可以通过这个 b e 乘以 a o 除以二，是不是能算出这个 b， e 的 这个长度啊？ ok， 那 么这里我们写一下啊。呃，这个， 这个该怎么写？由 e 为 a d 的 中点啊，我们这个长度先把它正好啊。 e 是 a、 d 的 中点， 那么且 a、 b e， a， b c， e 为菱形，可知 s 三角形 a， b、 e 的 面积是等于，呃，三分之一个 s t 型 t 型 a， b， c、 d 等于根号三的，等于三分之一乘以三倍根号三，你写一下吧， 那也是等于二分之一个 b， e 去乘以这个 a o 的 b， e 乘以 a o， a o 是 等于 a、 c 的 一半嘛？ 二分之一个 b， e 乘以二分之一个 a， c 啊，二分之一个 a c， 那 么 a、 c 长度是知道的，这个可以推出来， b、 e 的 长度其实应该是等于二二乘以根号三，再除以二，所以这个面积就是根号三， 那么我们接下来这个长度搞定了啊，长度搞定了二， 那么这个长度是二的话，其实我们可以发现，因为，呃，这个和这个现在长度是一样了，这个和这个长度其实也是一样的，所以这里其实是一个正三角形， 那么正三角形你要呃求 a 一 点坐标的话，那是比较简单，我们做垂直，做垂直下来就可以了，对不对？ ok， 那 么这些点坐标其实啊就好搞了啊，我们 b 的 长度是二呢，这个是一，这个是一，这个是不是都是二？ 好，那我们就是说以 o 为圆点。 呃，这个地方大家考试的时候自己去写一下啊，我这里就简单一点了，如图间隙， 这里节省时间，我写简单一点，大家考试的时候要去写一下，那么我们这个时候来写坐标了，接下来就是坐标的事情了，有哪些点？有 a 一、 a 一 的坐标，我们向下做垂直，向下做垂，它的横坐标肯定是零，那竖坐标是这个，这个长度不是负的二分之根号三， 也是负的二分之根号三，这个 a 一 的这个数坐标啊，这个是纵坐标数坐标的话应该是二分之根号二分之三吧，二分之根号三乘以根号三。 好， b 点坐标一零零一零零，那个 c 点坐标的话是零，根号三零 d 点坐标 d 点坐标的话，横坐标是负二横坐标啊，横坐标是 d、 c 长度的这个相反数，纵坐标是根号三，竖坐标是零啊。 ok， 那 么接下来就是去求个法向量的问题啊，那这个地方我给大家省略一下，大家可以刻下自己去求一下 a、 e、 b、 c 的 法向量，我们求出来结果是啊，假设是 n 一 是根号三， e 根号三， 这个还有一个是 a、 e、 c、 d 的 这个法向量 n 二是等于这个零一根号三的啊，那这个时候我们那个夹角的余弦值啊，夹角余弦值肯定是我们要正的啊，就等于这个， 这个大家算一下是等于七分之二倍，很好奇的大家，这里啊，这里的步骤，大家课下可以自己去练习一下啊，这里 求法向量的过程啊，自己去练习一下啊。 好，我们来看第三个问啊， 那第三个问的话，它题目告诉我们 b e 是 等于 a a 一 的，那现在没有这个没有第二题的条件了啊，第二题的条件就不存在了。 ok， 那 我把这个长度这个给它擦掉啊， 这是第一第二题的长度啊，那么我们现在这个是，呃，是用不上的。 b e， b e 等于 a， a 一 看一下 b e 等于 a a 一， 它们就是长度关系，问的是体积的最大值， 哎，我们底面积不是固定的吗？底面积是固定的，其实是不是就是问高的最大值？那我们过 a 一， 过 a 一 点，做 a o 的 垂线， 过 a 一 做 a o 的 垂线啊，交到这个位置 abcdef， 对 吧？那么这个 aef 其实是垂直于这个底面的，垂直于底面的 呃，因为我们这里是可以去证明这个，呃， a e， a c 是 垂直于这个底面的嘛，这个是比较容易证明的，因为有这个对角线垂直嘛。好， 那么我们再来看一下，我们其实只需要去求出这个 a e、 f 的 这个，呃， a f 的 这个最大值就可以了， 我们来看看这个长度啊， b 等于 a a 一， 我们把这个长度细化一下，我们假设 b 一 的长度是二 x， 这是 x， 这是 x， 这个就是二 x， 那么我们根据面积啊，我们是不是还可以求出这个 a o 和 a e o 的 长度， a a o 跟 a e o 的 长度仍然还是相同的嘛。呃，那这里啊，我们写一下这个三角形的面积 仍然是等于二分之一个 b e 乘以 b e 乘以 a o 的。 好，我这里设啊，设 b e 的 长度是二 x， 二分之一个 b e 乘以 a o， 也就是 x 乘以 a o 等于这个是因为这个面积啊，还是等于三分之一个梯形的面积？就等于这个根号三，这个解出来， a o 是 x 分 之根号三 x 分 之根号三啊， 好，那么我们再来看一下，我们把这个三角形啊，给它画出来啊，这个这个三角形 长这个样子的， a o a e， 呃，这个长度是二 x， 这个长度是二 x， 然后这个下面写的是根号三比 x， 根号三比 x 啊， 那我们要关键求的是这个这个长度 a f 这个长度 a e f 这个长度，那么我们可以想到用这个等面积法来求这个 a f 啊， a e f， 那 么 我们这个面积的话，底乘以高除以二，还可以是二分之一个 a b sin c 嘛，那么我们呃，最好是求一下 sin 这个角吧， sin 这个角，那我们这里做垂直， 因为是等腰三角形，等腰三角形过 o 点做这个 a a e 的 垂线， a b c d e f g 啊， 做这个垂线之后，这个，呃，这个角啊，这个 c 叉，这个角是 c 叉啊，然后这个长是 x， 这个长是 x， 那 么这个时候我们过程啊，省略一点啊。 sine c 叉是等于， 就是 a g 比上 a o a g 比上 a o 等于 x 比上根号三 x 根号三比，所以是根号三分之 x 的 平方， 那么这个 cosine theta 就 会等于一减它的平方开根号，那我们的 sine 角 a e o a 是 不就等于 sine 二 theta， 那 就等于两倍的 cosine， 这个咱们化简一下，是三分之二 x 的 平方，根号下一减，呃，根号三，三减 x 的 四次方。 好，这个是 sine 这个大直角，那 a e f 不 就出来了吗？ a e f 应该是等于 a e o 乘以 sine 角 a e o a， 这个是 x， 根号三，这个是三分之二 x 的 平方。三减 x 四次方，这个是等于三分之二倍。根号三 x 三减 x 的 四次方。 我们要求七个最大值，很显然是要构造这个方，构造这个函数啊，我们把这个 x 送进去， 就变成了三 x 平方减 x 的 这个六次方的六次方。那我们啊，方便一点，我们令 x 的 平方是等于 t 的， 这个 t 是 大于等于零 啊。然后 g t x g t 就是 三 t 减掉 t 的 这个三次方，我们求这个 g t 的 最大值，那就 g 撇 t 三减三 t 的 平方 啊，就这样，那这里都是正的。那啊，这个地方穿根图就是一减 t 的 这个穿根图， 先增后减，所以啊，这地方当 t 等于一时，当 t 等于一时的话， g t 呃取最大值， 当 t 等于一的时候， gt。 取最大值，那么 gt 这个最大值是多少呢？ g 一 g 一 的话是二嘛， 那也就是说 a e f 的 这个最大值，它就等于三分之二倍根号三，再乘以这个根号二，也就是三分之二倍根号六。 那整个体积的这个最大值为这个 a、 a、 b、 c、 d 的 最大值是三分之一个 a， 三分之一个这个高乘以底面积，这个底面积是题目给的是三倍根号三， 也就是三分之一乘以三分之二倍根号六，再乘以三倍根号三，这个大家来算一下，是二倍这个根号二，这样我们就把这个题给它呃，解出来了啊。 呃，当然我在中间省略了一些步骤啊，省略一些步骤，大家可以去补充一下，大家可以补充一下。 ok， 那 这道题咱们就讲到这。

哈哈哈。