张宇1000题线性代数基础第六讲

今天来一期新型代数满分的全程规划。首先技术阶段，新型代数可选择老师实在太多，他的抽象性是拉满的，技术阶段你想要一遍学透，直接会做题，基本上是不可能的，所以技术阶段不会做，听不懂千万不要自我怀疑，这是普遍的现象，你稳扎稳打就好。而且技术阶段切记不用疯狂刷题，重点是把知识点听懂，把概念捋明白， 刷题是强化阶段的事情。首先老师选择上第一个张宇，张宇的现在虽然很多人说内容阶段愿意卷的人， 我说实话，学习学完章鱼现代技术，你对于现代会有更高维度的理解，理解也会更加的深刻。第二个江小仙，他的基础课主打一个精简，课时短，干货密， 能帮你快速过完技术知识点。但要记住，你学完他的基础课，大概率是不会做题的，但是不是问题，你直接嫌弃他的强化课就完美了，性价比是直接拉满的。第三个没咋了咋子哥的现在也是非常厉害的，他讲的的确通俗易懂。然后思路是比较清晰的， 基础阶段的现在你不用做过多题型，大量刷题应该放在强化阶段，基础阶段肯定先做讲义上的例题，学习四的话，你可以选择六六零的现代跟张宇的话去做他的一千题 a 部分，这个题量是比较大。 然后重点是强化阶段现在的特点就是上手难，但只要你学完强化，你会瞬间豁然开朗，你觉得现在其实一点都不难。这里给大家一个黄金建议，就是现代基础和强化一定要连着学，然后这样时间不会间隔太久，他耗时少，提分效果还最好，千万别分开学，效率会大打折扣的。 然后强化阶段，老师我首推姜小仙，他的现代强化课课时短效率高，全程手把手教你做题方法和技巧，你学完就能直接上手做题，提分速度超快，你闭眼跟就对了。 其次是咋子哥的现代强化内容质量依旧在线，然后解析思路和方法总结的也都比较到位，你跟着他学做题，手感是比较好的。 还有个小钟老师就是周扬新，他的课程呢是非常全面的，量比较大，特别适合零基础或者学数学比较困惑的，你跟着他就行，然后直接做他的配套讲义和析题就可以。强化阶段，刷题就不用纠结了，跟教材打字哥的同学直接冲八八零现代部分就行了。

hello， 大家好，我是美，咋了？这期视频我们来聊一下考研现代数的复习规划。现代这门课呢，一共有六个章节，行列式、矩阵、向量、翻组、矩阵相似和二次性。 它最大的特点就是各个章节之间啊联系比较紧密。所以对于现代基础较弱同学来说啊，你会发现现代上手它比高数还要难一些，这是正常现象啊，大家不用太焦虑。 那么在现代的基础阶段，你会发现，哎，怎么学行列式的时候突然学着学着就出现一些矩阵和向量，学习向量的时候又时常混着方程组的思想，让人晕头转向，我相信很多这个基础比较弱的同学应该深有体会。 那这样一个问题其实不在于你，我曾经在现代基础阶段的学习也吃过这样一个苦头，我是能够感同身受的。 为此，我设计了一套现代基础阶段的解决方案。首先，为了保证所有的同学都能够顺着知识脉络有逻辑的学，我的课程设计中，第一章行列式专注于具体型行列式的计算，而将涉及到矩阵向量的抽象型行列式融入到后续章节中去。 因此部分同学可能会觉得第一章内容略显单薄，但这完全不用担心，这样的设计恰恰是为了让你先夯实具体计算的基础，避免因过早引入矩阵向量而感到吃力。 再比如，向量中的很多概念、定义、结论都需要借助方阵组的思想才能够更好的去理解。所以我把现方阵组章节拆分成了两部分，方阵组初步认识和方阵组结构。先有了方阵组的初步认识，才便于理解向量中的概念与结论。 你会发现，我的基础讲义在这一部分的设计上，和大多数教材把向量章节在前方，阵组章节在后的方式不太一样。 除此以外，为了减轻大家基础阶段的学习压力，我把一些不影响现在整体脉络的边角料知识点，以及一些较难的小板块统一放在了强化阶段集中进行讲解。比如说边角料知识点行列式的逆序数定义，又比如比较有难度的广义出人变换同解方阵组。 所以有些内容在机构阶段没讲。不要怕，只是因为他们在机构阶段没那么必要。就拿逆序数来说，这样一个概念和现代的核心内容之间啊，是有一定突悟感的。 那实际上，国内国外很多知名现代教材，比如说清华大学现代数教材、东南大学现代数教材，美国的现代数经典教材，他们都是采用地推规划法来定义行列式，因为这样对初学者而言更适合，更容易接受。而没有采用逆序数定义法， 没有必要因为这样一个边角料去破坏既有一段整体的设计。总而言之呢，我的现代修讲设计有它的独特之处，我倾向于把知识点顺承着出现， 而不是揉成一团直接塞给你，因为这会把基础阶段薄弱同学彻底搞晕。我也问过很多高分的同学，他们也都表示在基础阶段很难把握现代章节之间的联动性。 所以在我看来，如何解决初学者面对这种联动性而带来的困难处境是更为重要的。我也相信你跟着学下来，能够感受到我的课程设计巧妙之处。 现代的基础阶段重点任务就是把现代的基本概念、公式定义、结论、基础性的立体搞清楚。所以在学现代基础的时候，我建议大家按照二加二加一加一共分为四个阶段来学， 学完行列式和矩阵这两个章节，留出一些时间把这两章内容彻底复盘整理一下，再去进入向量与方向组的学习。 如果说你跟着其他老师，他的讲课顺序是先讲向亮，再讲翻组的话，我强烈建议你在学完翻组之后，自己再回过头来回顾一遍向亮章节，这会让你对向亮的理解更加清晰深刻。 至于说最后面的矩阵相似二次型这两个章节综合性比较强，我建议在旧阶段不要太过深入，你把讲义上的基本概念和例题搞懂即可，这两个章节重点放到强化阶段去突破。 然后这里特别提醒大家一点的是，上面我划分的这四个阶段呢，我建议学完一个阶段，你就做对应阶段的习题。 做习题不要以章节的节奏去做，以阶段的节奏去做，并且在学完每个阶段之后，要及时的复盘巩固。我相信你按我说的去做，能够避开很多困扰。 以我的体系为例的话，基础阶段重点呢是把讲义上的例题搞懂，每道例题都是针对知识概念的一次巩固，在讲解例题过程中，我也会给大家总结做题方法，所以例题是最为重要的。 如果说学有余力的话，可以再做一做美杂了现代六百题。然后这里也特别提醒一下，如果说现在就有阶段，跟的是我，别急着刷八八零一千题这种综合性的题型，因为可能会出现题目不会做的情况，这是非常正常的，因为每个老师课程体系不一样， 这样一些题目呢，你可以考虑放到强化阶段再去做。 ok， 以上就是我对现代就有阶段的学习建议，希望能对你有所帮助。我是美杂，我们下期再见。

二期考研，现代基础阶段学完之后做不动题该怎么办？感觉先进代数比较难，这正常吗？那今天我们就具体来说一说这件事。关注魔系学长，今年带你一战，从双飞上岸！九二。 对比高数而言，同学们刚开始进行代数，会觉得他更复杂，更难入手。这是因为我们在中学时代没有接触过相关方面的知识，比如行列式、矩阵质不像高数的知识，我们已经接触过了函数、数、列导数以及四则运算的法则。简单点来说，就是因为我们没有这个衔接的过程， 将之大学阶段的学习，对于接触考研的绝大部分同学来说也是没有的。那大家都是大学生，大家都懂大学时代大家到底在干什么，对不对？大学的现在课程呢？就约等于没学啊。对于大学现在的期末考试，那我相信大多数同学都是最后一个月才开始学，或者是最后突击两三个星期。 有的同学刚学现代，感觉自己什么也不会，这是很多人的共性问题，并不是你一个人的问题啊，不必担心。现代呢，一定是越学越简单的，理解了之后再加上一定的熟练度，没有任何问题。 也会有小部分的同学在现代基础学阶段会有做不动配套老师习册的情况，这也是正常的。如果有这样的问题，你可以尝试二加二加一这样的节奏学习现代，也就是学完第一章、第二章的内容，再去做这两张对应的基础习册，也可以换一本比较简单的现代习册，比如六六零的现代部分， 六零的现代和概率都是比较基础的，那大部分同学都是做的动的。我在之前发视频中，我说不太推荐大家做六零的这个现代和概率，那是因为我觉得它的含金量并不是那么高，对于我们的训练不是那么到位啊。但如果你做不动习策的情况下，那六零也是可以的。 还有就是一个七百题的现代分册。七百题的现代呢，它是一本偏向于基础，但是又有一定质量的习策，也是非常适合的。 如果实在还做不做习一测，那基础阶段可以不再额外做习一测了，就只要理解书本上知识点和搞懂例题就行了。因为现代整体性和前后关联性比较强，那基础阶段没学明白，我们可以等到强化阶段理清思路再开始做题。 比较推荐的现在学习路线就是全部基础学完之后紧跟着强化。那当然了，如果你按照传统的这个策略，学完全部的基础，再开始全部的这个强化，那是没有问题的，只是说我更推荐这样的路线而已。 还有这种阶段做不动题呢，只是针对部分同学而言的，你能做动题就一定要做题啊，因为这更便于巩固你的知识。 也就是说你能做的动题就不要降低对自己的要求，因为你明明能考一百三，为什么最后一定要要求自己考一百二呢？对不对？我其实更倾向于大家在这种阶段还是要做一定的这个题的，至于现在跟哪个老师又该如何具体学习，写哪些题型， 以及其他一些更详细的安排，我主页的一期视频都有说明啊，那我前一天才发布，大家有需要的话可以去看一下。 如果现在跟着张宇，因为基础三十讲课程体系的原因，他是基础强化一体课，那如果你能跟上张宇的节奏的话，肯定能做动现在题目了。 那你在做一遍书本例题和完成课后习题之后，可以写一千题的现代基础篇。但是我要告诉你，一千题的现代基础篇呢，是有一定难度的，如果你做不动，可以换成八八零的现代基础篇，也可以尝试我前面说的二加二加一加一的节奏。如果八八零的基础篇也做不动，可以考虑换一本七百题， 底线是三十讲例题和课后习题一定要完成并弄懂。因为张宇课程体系与市面上主流的老师课程体系都不太相同，那所以张宇的这个我要在这里特别补充说明一下。那好，以上就这些全部内容，希望对你有所帮助。

哈喽，学弟学妹们，二期考研用章宇一千题的一定要看过来，来了！没有刷题计划和指南，简直就是一盘散沙，刷完会很混乱。 上岸学长帮大家整理了时间表加号使用指南，一定能帮到你们！二期一千题三阶段使用时间表 完成书中的基础部分含盖高等数学、现行代数、概率论与数理统计的核心基础题目。建议完成时间，二零二六年五月底之前。 与三十六讲课程配套的强化题型进行知识巩固与能力提升。建议完成时间，二零二六年八月底之前 完成。完全按照考研大纲命制的四套综合模拟试卷，用于在强化过程中进行阶段性模考。建议完成时间，二零二六年九月份。建议在该月内完成。这四套试卷的练习与总结一定要看过来，来了一定能帮到你们！ 去年有一阵子，我被张宇一千题虐得心态崩了，就在我死磕一千题却进度缓慢时，为了解决计算易错和冷门考点覆盖不到的问题，我常设知能行，加上后面我会重点说说知能行是如何帮助我复习的。 最让我印象深刻的是，他不让你随便看答案。刚用的时候，每道题都得自己想办法，第一步怎么下手只能硬想，说实话挺痛苦的， 但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症。慢慢的看到题目自己能摸出思路来了。那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截。 知能型考研数学不会就直接看答案，绝对不行，一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批真正高效的方法拆分，然后发现知能型的拆分知识点功能简直就是神奇。 二期一千题三阶段使用时间表使用目标，完成书中的基础部分包含高等数学、现行代数、概率论与数理统计的核心基础题目。建议完成时间，二零二六年五月底之前 我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，而且看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点。 所以这时候真正高校刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后再刷下一道题。 那谁又会这么有空去一道题一道题拆呢？而且本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一章都不错了，所以基础阶段必须要打牢固。建议在二零二六年五月底之前完成基础部分的题目， 使用目标与三十六讲课程配套的强化习题，进行知识巩固与能力提升。建议完成时间，二零二六年八月底之前 使用目标，完成完全按照考研大纲命制的四套综合模拟试卷，用于在强化过程中进行阶段性模考。建议完成时间，二零二六年九月份。 建议在该月内完成这四套试卷的练习与总结。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课培养了自己的学习思维。 当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了，一定要在二零二六年九月份完成这四套试卷的练习与总结，这对于提升综合应试能力非常关键。 最让我印象深刻的是，他不让你随便看答案，刚用的时候，每道题都得自己想办法，第一步怎么下手只能硬想，说实话挺痛苦的， 但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症。慢慢的看到题目自己能摸出思路来了。那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截。 知能行考研数学不会就直接看答案，绝对不行。一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批。 如果我有一道题做错了，知能行会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分制逐一攻破。在他的帮助下，也不过于依赖答案与网课，培养了自己的学习思维。 看到题目以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点，逼自己去思考才是成长的关键。 真正高效的方法拆分，然后发现智能型的拆分知识点功能简直就是神奇。我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，而且看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点， 而知能行就能把一道题拆分得很清晰。把一道综合性很强的题目拆分成多个基础知识点，让你逐一排查，直到找到这道题中你的知识盲区，再对该知识点进行更细致的训练。 当你通过训练以后，逐层向上，依次击破知能行，既然可以帮你拆分加训练，不得不感叹当代人工智能算法的伟大。当你遇到不会做的综合题，他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。 但当你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目。哎，这题我会了，没错，就是这么神奇！ 知能行给我出了一道题，不会，他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。等到你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目。 哎，这题我会了！没错，就是这么神奇！然后我再去写六六零，正确率完全不一样了， 提高了好几倍。我还作死的去试了试其他没有使用过智能型的章节，依旧是没思路，计算乱错，真的特别神奇。 h h h h 感觉又生气又好笑。 真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后， 再刷下一道题。通过这样系统的训练，我在写六六零时的表现有了翻天覆地的变化。反观那些没有经过智能型训练的章节，依旧是没思路，计算乱错。这种通过拆分和训练达到的效果，真的能让人感叹人工智能算法的强大。 如果我有一道题做错了，智能型会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分至逐一攻破。当然，如果有一个知识点做错次数较多，智能型就会变换多样的题目形式，全方位帮我复习巩固该知识点。 题目形式并不仅限于我做错的题目，智能型会防止我为了做对而去专门记答。变换 n 种同类型题目，让你没办法偷懒。 那谁又会这么有空去一道题一道题拆呢？而且本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一张都不错了，还拆知识点，过于高估自己的水平了。 所以回头看，知能行竟然可以帮你拆分加训练。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课培养了自己的学习思维。变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。 当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级。等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。 智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，每个等级的题目数量也是不固定的，都是因人而异， 独家定制。因为你刷题量的多少，并不代表着你上考场时候的考试水平。有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二快满格。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习。 这种独家定制的模式，确保了每位同学都能得到最适合自己的训练。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习。不过也不用灰心，只要每天完成综测，按照智能型给你安排的时间，认真进行专题训练， 你的等级就会提升的快。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了。有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 等级一至四，并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，认真进行专题训练， 你的等级就会提升的快。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了。

我今天没有提到，因为这个题的主要是高等数学啊，因为大家大部分复习到的都是高等数学的这个知识。我简单说一下，代数概率啊，代数概率这几年的命题啊，呃，也是非常呃经典的啊，典型的这个问题，像新一代数，新一代数二零二六年的大题十二分是我一千题里的原题 啊，这一点我可以非常啊，这个明确的说明这一点，因为只有我的习记里有这道题，这道题，而且是我编的 原题啊。原题有的，我课上也讲了这个题啊，在我们的基础三十讲里面，大家现在在看基础三十讲也可以看得到啊，我用第二讲的知识跟第八讲的知识把它综合起来啊，就得到了二零二六年的最高十二分的大题啊。 代数。在我这看来，代数的考题近啊，就这么多年来，我们的大题全都能呃，这个预测的到，因为这个还是因为我的代数的内容呢？呃，稍微是有一些前瞻性的，这个不用这个过分谦虚，这个没什么好谦虚的。代数对我来说，我认为这个可能是最简单的一个部分了， 因为你除了这个十二分大题，其他的分数应该没有什么。呃，太难的地方啊，那小题目都比较简单了，根据统计呢。呃，这几年考试还是中规中矩的啊，你无论说他是大题啊，是考最大思量估计啊，还是说去考这个求分布函数啊，概率度等等啊。呃，都是常规考题， 大家在传统的这个复习当中啊，说了解的那些基本题型啊，基本上还是那些没有什么太复杂的地方，你只要把握住我们在基础三十讲，概率九讲里面讲到的基本题型，只要把握住这个基本题型啊，那么概率统计的题目也是跑不了的，跑不了的啊。呃，去年 是吧？哎，基础三十讲啊，我，我都不提到三十讲，基础三十讲，又是个原题是吧？又是个原题，这个，这个都不用吹啊，因为什么考完之后学生自己会说啊？学生自己会说，倒是在书跟概率里头啊，有原题啊， 这不叫吹牛啊，事实摆在面前啊，有原题啊，你要知道原题的分量是什么。你看我从来不吹啊，从来不吹牛啊，跟你们说一句，意思也很简单，你好好的看书的啊，书中自有黄金屋啊，是怎么说来着？ 书中自有颜如玉啊，是吧。啊，书中自有黄金屋啊，就是说，哈哈哈，你打开，记住三十讲啊，打开三十六讲啊，这我们的好题目跃然纸上啊。好，今天呢，我们就给大家就说说了这么多吧。

哈喽，学弟学妹们，二十七考研用章宇一千题的一定要看过来了，没有刷题计划和指南，简直就是一盘散沙，刷完会很混乱。 上岸学长帮大家整理了时间表加号使用指南，一定能帮到你们。二十七、一千题三阶段使用时间表第一阶段，基础篇 a 组题 使用目标，完成。书中的基础部分含盖高等数学、现行代数、概率论与数理统计的核心基础题目。建议完成时间，二零二六年五月底之前 去年有一阵子，我被章宇一千题虐得心态崩了，面对一千题中复杂的真题逻辑和效率低下的困境，我偶然间发现了知能行。后面我会重点说说知能行是如何帮助我复习的。 最让我印象深刻的是，他不让你随便看答案，刚用的时候，每道题都得自己想办法，第一步怎么下手只能硬想，说实话挺痛苦的。 第二阶段强化篇 b 组题使用目标与三十六讲高数，十八讲现代，九讲概率论，九讲课程配套的强化习题，进行知识巩固与能力提升。建议完成时间，二零二六年八月底之前 第三阶段综合篇 c 组题使用目标完成。完全按照考研大纲命制的四套综合模拟试卷，用于在强化过程中进行阶段性模考。建议完成时间，二零二六年九月份。建议在该月内完成这四套试卷的练习与总结。 但正是这种想不出来也得想的状态，帮我戒掉了答案依赖症，慢慢的看到题目自己能摸出思路来了。那段时间我才真正明白，有时候逼自己一把，确实能往前走一大截，一开始找突破口时不让看答案，当时真的难受的一批。 真正高效的方法拆分，然后发现智能型的拆分知识点功能简直就是神奇。我一开始对高数题目的理解就是没有框架性，而且看到一个题以后，根本不知道这个题都考察了哪些基础的知识点， 而知能行就能把一道题拆分的很清晰。把一道综合性很强的题目拆分成多个基础知识点，让你逐一排查，直到找到这道题中你的知识盲区，再对该知识点进行更细致的训练。 当你通过训练以后，逐层向上依次击破，你再反过来去重新做综合题目，就会发现问题迎刃而解了。 经常就出现这种情况，智能型给我出了一道题，不会他就开始出简单题，抓你的知识点漏洞，各种难受。等到你练习完了该题目下的所有知识点，再去看这道题目。哎，这题我会了，没错， 就是这么神奇！然后我再去写六六零，正确率完全不一样了，提高了好几倍。我还作死的去试了试其他没有使用过智能型的章节，依旧是没思路，计算乱错，真的特别神奇 h h h h 感觉又生气又好笑。 彻底搞懂每个知识点真正高效刷数学题，是要把每一道数学题都拆分成小知识点，抓住自己不会的知识点，完全搞懂，彻底击破以后，再刷下一道题。 那谁又会这么有空去一道题一道题拆呢？而且本身自己的水平看到一道题能把它定位到某一张都不错了。所以回头看，知能行竟然可以帮你拆分加训练， 不得不感叹当代人工智能算法的伟大。在他的帮助下，为我的考研之路省了很多时间，也不过于依赖答案与网课，培养了自己的学习思维。 如果我有一道题做错了，智能型会带我训练这个题目下面的小知识点，将知识点一次拆分制，逐一攻破。当然，如果有一个知识点做错次数较多，智能型就会变换多样的题目形式，全方位帮我复习巩固该知识点。 题目形式并不仅限于我做错的题目，智能型会防止我为了做对而去专门记答，变换 n 种同类型题目，让我没办法偷懒。 当我完成了该专题的第一次测试以后，智能型会为我定义该专题的等级。等级一至四并不代表着我做题的量的多少，而是代表着我上考场上那天的做题水平。 智能型考研数学每个专题是没有固定的题目数量的，每个等级的题目数量也是不固定的，都是因人而异， 独家定制。因为你刷题量的多少，并不代表着你上考场时候的考试水平。有很多人在刷完汤一千八百题以后，做综合题目还是没有思路，做了很多本练习册，刷了好几千道题，最后也只是感动自己而已。 如果你是高数大佬，你可能会发现，完成第一次测试以后，可能会直接就跳到了等级二快满格。如果你的数学基础并没有那么牢固，可能第一次训练完就会从等级一开始慢慢练习，不过也不多灰心，只要每天完成综测， 按照智能型给你安排的时间，认真进行专题训练，你的等级就会提升的很快。当然，我对于数学的自信心也就这样慢慢培养起来了，每次刷着刷着就上瘾了。

一个月星星代数概率统计学的完吗？一个月学不完的，你这个不要想一个月学不完的基础花时间是要多的，因为你要背的东西多，像星星代数里面行列式的计算，矩阵的运算就这两款，你要花很长时间。然后呢？向量组之间的关系 是吧？你这个还得倒腾半天，方程组，含参数的方程组求解，你还得折腾。然后呢？就到了什么？到了特征值，特征向量这里面特征值怎么出题？特征向量怎么出题？然后呢？还有二次型化，标准型，这里的东西多你一个月，你是在书概率看完，这是不可能的啊。

给大家先看一下我们二轮复习考研数学题源必刷的一千道题，这道题的话是跟我们考试的一些真题原题题型难度系数差不多的，由张宇老师主编的，咱们可以通过这一千道的题把我们数一、数二、数三所有的核心要点通通一网打尽哈。 题的话，上册是题本，下册的答案解析，解析非常详细，题也是有难度系数的。首先是 a 类的题，我带大家去看一下我们的目录章节哈， a 类的题叫基础题，我们想同学限期段的，我已经看过书了，你可以刷一些基础的题去扼食我们的所学内容。 后面的拔高题，拔高题呢，会难一点点。最后面的是我们的综合训练啊，相当于一套答题卷去考，大家题是从易到难，符合我们县级段到我们考前的一个整体的一个刷题的一个轨道哈， 这个是整个的一个题测，题型非常丰富。我们的答案解析也是单独成册的，解析的话主要讲的就是我们的解 析方法，帮助咱们的话去扩展我们的解析思维和我们的一个， 这是盲区哈，这个是关于我们的一个解决方法的一个关键扣点，他会给大家去一一呈现。买这个经典真题一千道的话，他没有配套的章鱼老师的视频课程哈，给大家去讲他有文字解 析，你们买视频课程的话，他主要是基础三十讲，他有配套配套的视频课程哈。

很多人都说章鱼老师的现代讲的不好一坨，但是作为一个二六年刚考完研并且现行代数只看了章鱼老师的基础课，最后现在拿了满分的我告诉你，根本就不是课的原因，而是你学习方法的原因。 首先限性代数它是一个体系，你必须要把它一鼓作气的给学下来，这门科目你越往后学越会感到通顺，并且一定不要着急去做细提测，因为它是一个整体，你一定要先把它的骨架给搭起来。 第二就是你无论是跟章鱼老师，李永乐老师还是咋子哥，你一定要把他的基础和强化连贯起来学，直接打通他的任督二脉。最后，请大家不要再去喷章鱼老师的现代课程了，他的现代课程如果你全程跟下来的话，是没有任何问题的。

来，同学们，今天我们来看一道非常实用的经典的概率题，第 n 次是谁投，对吧？那么我们用一招来地推了解这个题目，这是一个标准的马尔克夫列的题目，在这个考研数学中啊，呃，也有很大的应用在这个统计学啊，包括咱们的这个四三二统计学啊，高考数学中 以及考研数学的概率论中都有可能会考到。那我今天呢，我想到了一个这个用信息代数解决的方法，这些考研数学的同学们也可以过来听一听这个。这个题。好，来，我们 先写个几哈，来，我们看下题目。甲乙轮流制骰子，甲先投，每当某人投资出一点时，则交由对方投资，否则呢，此人继续投资。 求第 n 次甲投资的概率和第 n 次乙投资的概率是多少？那你拿到这个题是不是感觉就是束手无策啊？甲先投，中间的过程是什么样的，对吧？你甲先投，对吧？你可能投出一点，也可能投出其他，对吧？那中间你是给乙了，给甲了，中间过程我们都不知道，那这个题我们怎么来解呢？ 瞄准一招哈，大家就是你在第 n 减一次，他用我们求第 n 次的概率，其实就是要用第 n 减一次去推就行了，其实我们只要找准第 n 减一次就可以解决这个题。来，我们看一下哈，如果第 n 减一次 轮到假投，对吧？那么你可以投出一点，也可以投出其他。如果轮到己投，他也可以投出一点，也可以投出其他， 对吧？如果你投出一点，你是不是给乙投了？如果你投出其他，你是不是还是假投，对吧？对于乙来说，你投出一点是不是给假投？投出其他是不是还是乙投？那么记这个第 n 减一次，我们记它为 p n 减一，对吧？那这个就叫 p n 减一假，对不对？这叫 p n 减一乙。 好，那么现在可以写出递推公式了。为什么？你看啊？ d p， 如果说第 n 次甲投资的概率是什么？是不是你 d n 减一次甲，他投资出了其他，他就可以继续是甲，对不对？那就是 p n 减一甲，那你投资其他的概率是多少呢？是不是六分之五， 对吧？因为你以为你投资出其他才是你自己投嘛，对吧？你投资一点就是乙头嘛，对不对？好，那如果说 d n 是 乙头呢？ p n 减一乙嘛，对吧？ 投资 e， 那 他最后要给假投，你只能说投资出 e 点，对吧？那你投资出 e 点该是不是六分之一啊？没错吧？那你是不是建立起了一个这样的递推式，对吧？这是你的第一个递推式。好，那么第二个递推式呢？那 p n 减 e， 那乙的话，如果第一次是假投，你只能投出一点才可以得到乙，对不对？那就是六分之一 p n 减一乙，对吧？好，如果说你第 n 减一次是乙的话，那你是不是投出其他就可以是乙，那不是 p n 减一次，乙乘以六分之五啊，对吧？ 这就是我们建立了两个梯队式，那细心的同学发现了，或者说学过限性代数的同学发现了，这是不就是两个限性方程吗？对吧？那就是 p n 假 看着一个向量， p n 以看着一个向量，它是不是等于这个向量？它是不是等于这个向量组？六分之五，六分之一，六分之一，六分之五乘以 p n 减一，加 p n 减一，一样，对不对？是吧？那你就可以按照这个东西递推啊，只要它前后只差一项，中间就成一个矩阵，对不对？那么同理我们可以知道啊， p n 假如果说我们把它递推到第一项呢？它会是一个什么样的情况？是不是这个矩阵啊？这个矩阵乘以 n 减一次方， 按减一侧方去乘以 p e 甲 p e 乙的状态，对不对？而 p e p e 甲，我们知道的呀，对吧？因为你说的是甲先投，不是乙先投，所以甲投第一第一次甲投的概率是不是百分之百，也就是乙，那乙投资的概率是不是就零啊？所以这个这个东西它不就是乙零吗？对不对？ 是吧？那我们就把这个问题转化成了一个矩阵的问题，对不对？而这个我们就是要求这个矩阵的 n 减一次方，求 n 减一次方，大家学过现代代数，对不对？你完完全全知道这个求 n 减一次方，不就是把它特征向量找出来，然后去做那个什么 q 逆 啊， a q 等于对角正嘛，对吧？然后 a 就 等于这个什么 q 转至啊， q 的 转至嘛，对吧？对角正的转至，这样你可以求出 a 嘛，那 n 次方不就是它加 n 次方嘛，对不对？因为你这个 q 是 可逆的嘛， q 是 正角矩阵嘛，对不对？好，那其实你想到用这种方法，对吧？他还有个问题，就是他是不是三个矩阵相乘， 只要是矩阵相乘，是不是很容易出错？那我们在考研或者说向量数的课程中，我们是不推荐去做 矩阵相乘的，其实除非是你没有办法，因为你一算就是一个三行的三乘三，这样三乘三这样算，那就很容易出错，对不对？哎，那我就不想算，怎么办呢？那这个 a 它是不是有两个特征值啊？ number 它一和 number 二，对不对？它有两个特征，向量可拆一，可拆二， 由于这个特量值它是不相等的，不相等，对吧？也就导致说你这个可塞一和可塞二它是线圈无关的，线圈无关，对吧？那我们看到这个 a 啊， a 就是 这个矩阵哈，这矩阵它是不是说它有可塞一，可塞二这两个线圈无关的向量，那线圈无关向量，是不是它就叫一个向量组啊，或者说叫向量机啊？ 它可以表示二为平面中所有的向量，对不对？那么你觉得这个一零它能不能表示呢？当然可以表示，那么可以把这个 k 呢？ k 一 呢？我们记 k 一 啊，等于这个一零是不可以分解为这个可塞一和可塞二的 线性组合，对吧？那这么做有什么好处呢？当你把这个 k 一 分解之后，哎，你会发现，哎，这个是 n 减一次方 乘以乘以什么？ n 减一次方乘以这个 c 一 可赛一，加上 c 二可赛二，哎，你发现这个它就是 a 的 这个特征向量，对不对？哎，你把 a 一 作用进去，哎，他就变成哦 number， 对 不对？他就 number n 减一次方可赛一，加上 c 二 number 二， n 减一次方可赛二，你就完完全全避免了这个矩阵相乘，对吧？你直接只要算这个数字相乘就行了，就不用算矩阵相乘，对吧？你知道这个方法？好，那我们来现在来实践一下，实践一下，我们当时啊，还是记这个矩阵 等于这个东西啊，六分之五，六分之一，对吧？六分之一，六分之五，好，因为他这里是六分之一很多吧，你把六分之一提出来，对吧？把六分之一提出来，他变五一一五吗？我们记后面这个十的矩阵为 b， 五一一五，对吧？记住后面这个十的矩阵为 b， 来，我们看一下啊。那么求 b 的 特点是，那么的一减 b 等于什么东西？ 那不就是拿木塔减五，拿木塔减五，一负一负一嘛，对不对？好，来，你求他的这个行列式，那不就是拿木塔减五的平方再减去一嘛，对吧？就是拿木塔平方减十倍，拿木塔加二十四 等于零吗？对吧？那你就解这个方程，那么它，那么它它就负四负六吗？应是分解，也就是那么它减四，那么它减六等于零，对不对？没错吧？那么解出，那么它，那么它一等于四，那么它二等于六，对不对？没问题哈，那么它一等于四，那么它二等于六，那么我们来看一看这个，当，那么它 一等于四十，那么这个矩阵也就是化成啊，负一负一，负一，负一，做出的行变换一一零零，对不对？可在一我们都找到了，他是负负一一对吧？当南盘等于六十， 那这个我们再带进去啊。六，那就是一负一负一一对吧？做行变换一负一零零。可赛尔，那是不是等于 看一下这个东西啊？那不就是他一一对吧？没错，我们找到了可塞一和可塞二两个基础解析啊，也就是叫特征向量，我们就是要用可塞一和可塞二去表示他，对吧？现在我们这个目前的情况就是用可塞一、可塞二去表示，那么你看一下这个可塞一可塞二如何表示个一零呢？因为你是一零嘛，对吧？你要等于 c 一 倍的这个负一，一加上 c 二倍的一一，对吧？那么很明显它这里是零，你的第二行是不是要凑出零来？那你就 c 一 加 c 二，是不是应该是等于零呢？没错吧？ 然后你第一行是要凑出一来，那就是负的 c 一 加上这个 c 二，是不是应该是等于一的？好，我们解一下这个方程哈，那这个就是。呃，首先第一行是解出 c 一 等于负 c 二，对吧？那 c 一 等于负 c 二，那底下就两位 c 二等于一嘛，对吧？两位 c 二等于一，那 c 二不就等于二分之一嘛？ c 一 就等于负 c 二的负的二分之一嘛，对吧？我们解出这个方程了， 求出方程呢？那这个 c 一 它不就是我刚刚看算啊，负二分之一，对吧？然后这个 c 二呢？它就是二分之一，没毛病吧？好，你既然知道这个了，它不就被分解了吗？被分解了， 我们来看一下啊，我们记这个 p n 啊，这个是不是应该等于这个 a 的 n 减一侧方去乘以 k 一 k 一， 就这个这个一零啊？ 好，来，我们看啊， n 减一次方乘以 k 一， 它是不是可以化为负二分之一可赛一，加上二分之一可赛二呀，对不对？好，那你就 a a 一 进去，它全部就变成拿破它了，对不对？那不就是 二分之一？ a 的 n 减一次方可赛，加上二分之一 a 的 n 减一次方可赛二，有矩阵这个性质啊，我们的 a 可赛等于拿破可赛，对吧？你 a 的 n 次方不也等于拿破 n 次方吗？不，二分之一 纳木塔 n 减一次方可赛一，对吧？纳木塔一，二分之一纳木塔 n 减一次方可赛二纳木塔，对吧？这个纳木塔一是多少？这纳木塔一是多少？我们算啊，这因为这个纳木塔它是 b 的 纳木塔，对不对？你看，这里是 b 的 纳木塔，而 a 的 纳木塔跟 b 的 纳木塔只差一个什么？六分之一的系数，对不对？它只差一个六分之一的系数，那这里纳木塔一是多少呢？六分之四， 对吧？六分之四的 n 减一次方，乘以可赛一，可赛一是谁啊？可赛一是不是负一一啊？对吧？可赛一，我们自己算的是负一，一，对不对？那就是负一，一再加上谁呢？加二分之一， number 二是谁啊？ number 二是不是六分之六啊？对吧？ number 二，这里它是不是，这个，对不对？六分之六， 六分之六 n 减一次方，乘以可三二可三是谁？一一对不对没问题吧？好，来，我们看啊，这我们算出个什么东西啊？这个，这个是负的二分之一乘以三分之二倍的 n 减一次方， 这个，对吧？我算出一个这样的东西，嗯，再加上呢？这后面是一嘛？因为这个东西是一嘛？呃，就是二分之一，这个呢，也就是二分之一乘以负的二分之二，三分之二的 n 减一次方，再加上二分之一，对吗？ 没问题吧？那么这个东西不就是我们要求的嘛？这个 p n 不 就是我们的 p n 假 p n 一 嘛， 对吧？那我们一步到位了，对吧？这个 p n 假，他的概率不就是二分之一乘以三分之二的 n 减一次方加二分之一，他就是假，第 n 次假投资的概率是他， 而第 n 次已投资概率不就是后面这个。那么这个题目，我我我感觉到的就是你可以把这概率和现金贷术尝试去做一个综合，因为它本身是一个概率题目，对不对？然后我们用现金贷术的这个方式去把它完成了，所以这是我们今天分享这个题目，希望有帮助到大家。

你这个提高不了自己的解题能力，为什么说基础阶段我不建议大家，也不会让大家太在意这个，你是怎么去刷题的？刷题绝对不是硬着头皮就是这么干，刷哪一个题会了我就赶紧写完。计算题、 常规题不会抓耳挠腮的，就是这样，看着答案把它像应付一样，就把它就刷完了。你这个就提高不了自己的解题能力。你后面你会知道，一道题目拿过来，尤其是综合题，我不会做题，我先要定位，你不说吗？高等数学先行代数概率统计，一共五十五大考点，那么我只要定位到这五十五大考点当中的某一个， 定位到这，各位，你的知识就来了，你的知识的准确性就把握住了。你掰着手指头数，你都能数到数出用到哪一个知识点， 这个是很重要的事情。你比如说你数到定积分的性质了，定积分性质就有积分的可拆性，很多人觉得太简单了，而二六年的最难的一道题，数一的证明题，他这样就用了定积分的可拆性。你把 a 到 b 上的定积分拆成了 a 到 c 上的定积分，再加上 c 到 b 上的定积分， 如此简单的一个性质，却决定了一道题能不能做对，就把它拆开是吧？一个大面积等于两个小面积的盒，听起来大家道理都懂的，但是你做题的时候，你锁定不了它的位置， 你定不下来，他考的是定积分性质，你就想不到定积分的可拆性，你只要想不到定积分的可拆性，这个题目就无从谈起。

那么接下来我们就来聊聊我们现行代数啊，在这个整个大纲过程当中的一个重点的要求。那么其实从二一年的话，这个大纲更改了之后啊，我们这个现行代数，哎，变成这样的一个形式的考点，那么总共而言，在这里面当中，我们考上三十二分， 里面当中啊，变成了三道选择题，然后是一道填空题，然后再加上一道解答题，十二分，这个内容跟我们二一年之前的那个大纲是不一样的， 以前呢，我们会出两道这个限行带出大题，哎，从二一年之后，我们的这个新考纲只有一道大题，哎，剩下的话，你发现都是这个选填题，那考多少内容呢？从这个内容角度上没有怎么改变， 对吧？第一张是我们的行列式，第二张是我们的这个趋真，第三张是我们的向量，然后是方程组，然后是特等值，然后是二次型。呃，在这块当中啊， 我有几点说明，这个限性代数，包括这个国内外的教材，包括的话有些辅导从书他的切入口是不一样的。你看有些教材他的第一章在这里面当中啊，讲的是句真，有些教材第一章当中讲的是这个方程组，为什么呢？等你把前四章学完了之后，你就知道， 其实你会发现这个限性代数他就是个圆。什么意思呢？能够从一个知识点的话，你发现能把所有的东西进行去串起来，这是我们在三门课程当中非常具有特色的一门 课程内容。但在这块当中，呃，我们就按照这个考纲的要求来讲，因为的话毕竟是考研的同学，我们就按照这个考纲的要求进行安排，那么从第一章我们进行去讲这个行列式，所以说在这块当中啊，你发现有些的话，这个市面当中吧，当然的话有很多狗王，对吧？ 说什么呢？说啊，这个线现代数就应该从哪开始讲，线现代数就应该从哪开始学，我觉得无所谓，对吧？你只要找到一个精准点，最终而言达到一个完整的一个要求，就是我把内容学会了就行了，对吧？像从哪开始切入，这都是数的问题，你的终结点呢？就是把这个东西啊，你给学会清楚。

好的，那么这期视频呢，就补充十个重点啊，以及遗漏的点，好吧，同样第一个就是 矩阵行列式的性质，有三个啊，有三个矩阵行列式的转制啊，比如说这个矩阵他转制之后啊， 再把它化为行列式啊，就等于他没转之之前的行列式啊，结果不变啊，他们行列式最后的结果是不变的啊。第二点，倍数在里面的话， 一定倍数在里面，一定把倍数提出来，然后 n 次方，这个 n 是 什么？这个 n 就是 方正的结数啊，方正的结数啊，矩阵啊，方正也是矩阵的一种啊，方正就是规规矩矩的三乘三，四乘四，二乘二之类的， ok， 然后这个就相当于结数 啊，这个 n 就是 结数后面要用的。然后同样 a 乘 b 的矩阵的行列式等于 a 矩阵的行列式，乘以 b 矩阵的行列式。好吧，啊，但是一定要啊，基于方正啊，基于方正，好吧， 同样第二个知识点，逆矩阵的性质啊， 矩阵立了一次再立一次等于本身啊，同样的 倍数带着矩阵啊，变为立矩阵的话，同样倍数要变成它的导数，再乘以它的逆矩阵 c， a 乘 b， 好， a 矩阵乘 b 矩阵的逆矩阵啊，进行逆矩阵， 得到的是 b 的 逆矩阵，去乘以 a 的 逆矩阵啊，然后 d 逆矩阵的行列式等于 a 矩阵的行列式。分之一啊，都要啊，这两条一定要记住啊，划重点啊， 重点啊，这两个都是重点啊。第三点，逆矩阵可逆的重要条件。第一个就是它的最高分粒子是不能等于零好吧。第二点就是 它的值要等于它的结数啊，它的值要等于它的结数。第三点， a x 等于零，这是什么？这是我们之前说的其次方程对不对啊？要保证其次方程有零解啊，其次方程只有零解啊，这三个了解一下就行啊，这三个了解一下就行啊。 好，我们来看一下这个立体题目当中是不给出了。 a 矩阵的行列式等于二分之一，他求什么求？是不是三 a 矩阵的逆矩阵减去二 a 的 什么？还记不记得？对，伴随矩阵好，这个知道之后呢？我们是不是通常的多量 转单量对不对？我们把 很多量去转化为一个量，是不方便计算。好，我们已知的公式，有什么是不已知的公式？有一矩阵等于 是不？有这个公式，还记不记得啊？有这个公式我们先带进去看一下对不对？ 把二分之一带进去是不是等于多少？是不？两倍的 a 的 伴随对不对？那我们就可以怎么办？是不？第一步是不可以进行化简对不对？有没有想到刚才公式这里公式有没有对不对？ 三分之一的 a 的 逆矩阵对不对啊？ a 的 逆矩阵是不是减去二分二倍的 a 的 伴随对不对？那这样进行以后呢？ 我们这两个是不是等价的？他和他是不是相等的？那怎么办？是不是可以？三分之一 a 的 逆矩阵怎么样？减去 a 的 逆矩阵对不对？ 好？得到这个之后是不是等于负的三分之二的 a 的 逆时针对不对？做到这一步之后啊，给他打上这个啊，好了，然后再看到这个公式 看到没？再看看这个公式看到没啊？把这两个公式拿过来用 对不对？把这两个公式拿过来用嘛？怎么用？我们是不是先进行这一步， 把我们的倍数拿出来重复三分之二倍的 几节啊？题目当中给了啊，题目当中给了三节啊，题目当中给出来三节，那么就是三次方，对不对？哎，等你 对不对？同样再用这一步，多少？是不是负三分之二倍或者三次方乘以分，对不对？那我们有了这个他我们知不知道 啊？他我们知不知道？题目当中是不是给了数等于二，那就是负的三分之二次方，三分之二的负三分之二的三次方就乘以二。 最后的一个结果呢？就是二十七分之十六啊，二十七分之十六啊。这里再留一个问题，大家下去做三 a 的 力减去啊，条件不变，求这个 啊，有新的可以去求一下。好吧， 这里是一个补充立体啊这里一个补充立体， 也是之前说过的，矩阵的数值需要作用在每一个元素上啊。好吧，这一点就带过了。好。第四点，矩阵的转置公式 背下来啊，背下来 帮大家理解一下， a 的 转制的转制等于 a， 是 不相当于把行换成列之后再换成行，有没有区别？没区别，对不对？好，第二个， 两个矩阵相加的转制等于前一个的转制加后一个的转制啊。三个 常数倍乘以矩阵的转制等于常数倍乘以矩阵的转制啊，没有区别，没有任何区别，常数你就拿出来就行了啊，常数不动啊，常倍数不动啊。 d a 乘 b 转制等于 b 转制乘 a 转制啊。这个重点啊，这个重点，然后接下来啊， 好，第一个，我们前面有立体啊，如果忘了的啊，可以回看一下前面的几期视频。好，第五个知识点，关于逆矩阵的两个要素啊，两个要点呢，可以稍微的记一下 最小矩阵，先看一下长什么样子 啊，有一句话说就是除主对角线以外，其余的元素都是零的，就是我们所谓的对角矩阵。那他的逆矩阵呢？啊，长这个样子。好吧， 对，也就是我们这里的第二点，什么对角线上的元素多为原来的导数。好，这两点就过了哈，这两点就过了。好。第六个横最减 的矩阵啊，前面我们讲过了啊，就是各非零行的首位元素是一啊，除非零行的首位元素以外，其余的都是零 啊，如果忘记了，去看一下前几期的视频啊，都有详细的讲解。好吧，但是这里要记住，只做行变换啊，只做行变换，我们的矩阵只做行变换。好， 第七个，矩阵的质指的是 阶梯形式的非零行的个数。阶梯形。什么是阶梯形矩阵啊，前面我们也有讲到啊， 忘记了的去回看一下我们前几期的视频啊，同样最关键的非零行的个数，那所谓的非零行就是那一行全都是零啊，那一行全都是零。 好，第八个重要的就是我们的闹五条啊，就是我们闹五条啊，打重点啊，打重点，多打重点。好吧，好。第九个向量组的信息相关是 两项量对应分量成比例。什么意思呢？ 哦，什么意思呢？就拿阿尔法向量等于 a 一 a 二 a 三 a n， 贝塔向量等于 b 一 b 二 b 三 b n 对 应分量乘比例就相等于 a 一 比上 b 一， 等于 a 二比上 b 二等于 a 三比上 b 三，等于 a， n 比上 b， n 等于 k 啊，但是切记用于两两相等啊。 如果是三个几以上的，我们还是老老实实的用定义去做啊。什么是定义呢？好，最后一个 矩阵的值需要与向量个数才相关啊，这个就是我们要用的性质啊，这个我们就是性质好吧？ 这个这个与月亮相亮啊。如果三个 g 以上，我们老老实实用第十条做，好吧。

好，我们看这个题啊，方程组有无穷多解，这是关于方程组解的一个问题，好，不管是啊，其次的还是非其次的啊，这些情况都给它搞清楚了啊，这个题考的是非其次，现方程组有无穷多解的情况， 既然有无穷多解，那么系数矩阵的质就得等于增广矩阵的质，是吧，就得小于 n， n 是 什么呢？就是系数矩阵的一个列数，也是未知数的一个个数，这个题就是一个三，对吧？好， 那这里啊，我给大家说一下啊，系数矩阵，哎，系数矩阵是不是一个方阵呀？如果是方阵，我们可以借助行列式解题，它有好处。首先第一点好处的话，我们行列式从第一章就开始学了，同学们比较熟悉。好第二点的话， 对于好你系数矩阵的参数是吧？带参数的啊，我们用行列式啊，是比较方便的。如果啊借助质的话，有一些题目啊，他参数比较多，你去哎，进行出等行变换是吧？参数在里面哎，乘以多少加多，加到第二行啊，是吧，第一行乘多少，加到第二行，第一行乘多少， 哎，加到第三行，你操作这个参数啊，有时候会计算量会增大，哎，后续我们做这些题，你就慢慢就体会到了啊。好，就是两点，两点好处啊。 好，那你看，对于这样的啊，非奇线发生组，他可能，嗯说的是有无穷多解，有可能说的是有唯一解吗？那这个题就是有无穷多解，那么既然有无穷多解的话，我们就知道了它这种情况是吧？好，那 既然这个 a 矩阵的一个质是小于三的，对，这个题是吧？小于三，也就是说你是一个降质矩阵，对应的行列式，那肯定就是等于零的， 对不对？那这里我们要提醒大家，好，你算完之后记得验证 a。 为什么要验证 a 呢？也就是说通常我们会求出来两个，两个答案，一般是啊，好要舍去一个答案，为什么要验证呢？ 因为行列是等于零，你是推不出来，你看这是一个啊，这个叉嘛，推不出来有无穷多解，因为它有可能是无解的情况，你看， 哎，行列式完全可能是等于零呀，是不是系数行列式完全可以是等于零的？他有可能不等于增广矩阵，比如说这个题啊，这个系数矩阵的值完全可能等于个一好，那么增广矩阵的值等于二 好，仍然这个系数矩阵的质。系数矩阵，它对应的行列式是不是等于零的呀？好，这个时候就是无解的情况啊，你不能够说行列式等于零，能推出来有无穷多解，而我们可以说有无穷多解，一定可以推出来行列式，系数行列式一定是等于零的。所以我们最后算完之后啊，一定要去验证 a， 因为你是通过 这个，嗯，用这个行列式去解题吗？是吧？你是用行列式等于零去解出来的， a 并不一定能推出来，有无穷多解吗？你再去验证一下吗？好，那如果题目出的是有唯一减呢？ 那有唯一也不是这种情况吗？好，对，这个题就是一个 n， 就是 一个三，是吧？好，唯一减。你看系数矩阵是一个满置的一个矩阵嘛？满置矩阵啊，对应的行列式，系数行列式不等于零的话， 哎，系数行列是不等于零，这个系数矩阵就是一个满置局针，对不对？你再加上一列嘛，再加上一列就是增广矩阵，它也是，它跟这个系数矩阵的质肯定是相等的，是不是 他他们就想等了啊，这是可以退出来啊，有唯一解的，这个是可以过来的，对，自己琢磨琢磨啊，记一记。好，那我们就从行列式的角度去解题，当然你也可以直接啊操作这个矩阵，可以吧？好，那我们写一下啊，借助行列式带参数的啊，还是比较建议的啊。借助 行列式。好，那待会我们也可以啊，来用一下这个矩阵的一个思想。嗯，这个系数矩阵 a 给它斜过来啊，这是一个小 a 一 一是吧？哎，零，哎，不是零哈，是一小 a， 一， 对不对？好，一一 a， 这就是系数矩阵啊，好，对应的一个行列式啊， 我们去，哎，使得这个行列式等于零，去解一下这个 a， 对 吧？ 这个行列式的话，我们就会发现，哎，你不要太着急，我们算的时候你会发现啊，这是 a 一 一，你看第二行，其实它也是这个元素都是 a 一 嘛，行和相等的，咱们说过吧， 这样的，这样的行列式你得会化解啊。行和相等的，那就是把第二第三行都加到第一行呗，对不对？都加过来啊，第二第三行都往第一行进行加，那不就是 a 加上一个二吗？这也是 a 加上一个二， a 加上一个二，对吧？第二第三行就不动啊， 行和相等的啊，好，我们就可以把第一行啊这个 a 加二给它提出来了，是吧？提出来就变成一一一了嘛，一 a 一， 好，一一 a， 这怎么回事？好，那我们现在可以以第一行为基础，是吧？请操作第二第三行。 好，第一行的负一倍加到第二行，第一行的负一倍加到第三行， 是这样的吧。好，我们想让啊，这个行列式是等于零的吗？这个行列式是现在可以算出来了吧，就是一个 a 加上一个二， a 减一换一个上三角了嘛，平方啊，我们让它等于零啊，让它等于零。好，所以可以得出来， a 是 等于负二，或者呢， a 是 等于一的。 好，一般来说要舍掉一个。你有这个想法啊，那我们就找随便找一个验证，哎，一个舍掉另一个，那就肯定就是就是答案了，你总不能一个都写不出来，是吧，那提出的没意思啊，比如说我们看 a 等于一的时候， 当 a 等于一的时候，为什么说 a 等于一，先去验证它呢？比较好好看出来呀，你看， a 等于一就是 a 矩阵，它就是一个质一矩阵，是不是 a 矩阵是一个至一矩阵啊，这时候啊，你会发现啊，增广矩阵的至呢，它是等于二的。好，你可以把这个啊，把这个，把这一列啊一一二拿过来，或者呢，你这样看啊，他会出现啊，这个矛盾的一个方程组了，你看啊，这个是一一一，这是系数矩阵吧，是吧， 再加上啊，自己列一一负二，哎，你看，你看，前两前两个啊，这个方程，这个方程组不相当于 x 一， 哎，这是 x y 啊， x 加 y 加 z 等于一，是吧，这跟这都是表示的啊，是 x y 加 z 等于一，你看，这出现矛盾的方程了啊， x 加 y 加 z 是 等于负二，是不是？哎，你怎么加完之后又等于一又等于负二呢，这是，哎，矛盾的啊，两个方程组是矛盾的，所以通过这里就可以看出来啊，这个方程组是无解的，当 a 等于一的时候是无解的，或者我们刚刚说了啊，你把正方矩阵啊 给它写出来，然后去看一下增光矩阵的值是等于二的，这就这就不用看了吧，是吧，通过这就比较容易看出来啊，有矛盾的一个方程啊，存在了，所以，哎，这个 a 等于一，舍去啊， 那这个就没有必要再验证了啊，作为一个填空题，肯定要填一个答案的，是不是？你想验证的话，你可以去再验证一下，我就不验证了，验证一下就是 r a 等于 r a 一 八小于三，是不是？好，这借助行列式啊，我们也可以从矩阵的一个角度去出发。 好，就是矩阵，矩阵质的一个角度嘛，矩阵质的一个角度， 这代餐的一个问题啊，好像也是，有时候可能更方便一些啊，不容易出错。只是说啊，矩阵质的一个角度，那就是，哎， r a 等于 r a e 八啊。好，我们就把这个 a e 八拿过来是吧？ a e e， 这个是一，嗯，一 a 一。 好，这是一个一一一 a， 这个负二是吧，你带参数啊，进出等行变换的时候就是乘东西加过来，有，有时候啊，会 计算量变大啊，我们看一看。嗯，这个要想操作的话，这第二行友谊是吧？第三行友谊，那我们有以第二行为基础，可以吧？以第二行为基础，那我们把第二行跟第一行去换换一下可以吧。 e a 第二行跟第一行先换一下啊，或者是 第一第二行换到第一行，第三行呢？换到第二行，第一行换到，哎，第三行咱们反正是要它的质嘛，是吧？所以这个换行没有问题的啊，好，换一换，那我们现在就以第一行为基础去操作一下啊，第二行第一行负一倍加到第二行，这是不是零了呀？ 是不是这样的？负一倍，这就是一个负三，好，现在把这个 a 给它变成零，第一行的负 a 倍加到第三行负 a 倍， 负 a 倍一减 a 了，是吧？负 a 倍一减 a。 好， 你看这，这有这个参数是吧？你必须得认真了啊，我们继续。 那我们这个时候是不是想把它给变成零啊？是不是想把它给变成零的话，我们看一下啊？其实这个时候你眼睛比较尖锐的话，这个时候你可以看出来 a， 哎，等于一的时候是比较特殊的了，是吧？ a 等于一的时候，你可以看出来啊，这一行都是一，哎，这两行都是等于零了，对不对？这两行都等于零了，那么系数矩阵的值，那就是一个一，增广矩阵的值我们可以看出来是一个二，这个时候就是无解的一个情况， 对不对？好，那咱先不说了啊，就当我们没看见，没看见的话我们继续继续化呀，化减呀，把它变成零的话，那就是第二行乘一个多少加到第三行，使得等于零，因为有时候我们可能看不出来是不是这个啊？这个一减 a 方其实是可以化一下吗？啊？ a 一 减 a， 一 加 a 嘛， 对，好，那，那很显然，其实这个时候我们把它给它画成这个样子的话，我们就知道第二行乘以的是负一负 a， 对不对？乘一个它嘛，就像你乘以它的一个相反数啊，再加到这个第三行，不就变成了零吗？这里对不对？所以我们第二行乘以的是它，好，写过来啊，一 a 一， 这是一个一零一减 a， a 减一负三。 好，这是零，这是一个这个上面的啊，是一加 a， 添个括号，再加上下面的一减 a， 我 们看这等于多少了。 这是一加 a， 就是 一个 a 加一嘛，所以这是 a 减 a 的 平方减一嘛，添个符号啊，就是一减 a 方，一减 a 方加个一减去个 a， 就 变成了负， a 方减 a 加上一个二，是吧？ 那我们也可以给它化简一下吧，把符号提出来啊， a 方加加 a 减去一个二，是不是？这可以分解音，是吧？一一得一，一二得二，是负。 哎，是一个负的在这，对呗，所以是 a 减一，乘一个 a 加上一个二，好，前面有个符号，符号可以作用于这里吧。对，写成一减去一个 a， a 加上一个二啊，这个搞清楚了啊，你看，这就有点啊，容易出错的一个意思了。 这是一个一减去一个 a， a 加上一个二，是吧？ a 加上一个二，好，当然了，继续啊，这还有一个负三呢。好，这里啊，也搞一下负三乘。以 我们刚刚说的啊，要乘一个负，一负负一减 a 嘛，也就是 a 加一添个符号，就乘一个它啊，乘一个负的它嘛，再加上底下的一减 a， 好， 这就是三 a 加上一个三加一减 a， 是 不是二 a 加上一个四啊？ 这里啊，二 a 加上一个四，好，现在啊，给它划为这个阶梯形的一个矩阵了，我们就可以讨论了。我们得是使得啊，他俩的一个质是相等得小于 n 吗？是不是？好，这个时候你可以看出来啊，就这里吗，就 a 等于一和 a 等于负二比较特殊，是不是？当 a 等于一的时候， a 等于一，很显然啊，我们已经说过了啊，就是前面的啊，这三个数是等于一了，这些都是等于零的，是不是？那这个时候我们就知道系数矩阵的值是等于一的，对吧？而增广矩阵的值呢， 这，这都是零了啊，但这是一个负三吗？增广矩阵的值，那很显然就是等于二的，对吧？是等于二的啊， 你把数一带啊，这个很好看出来的啊，所以它们两个啊，质是不相等的，所以这种情况啊，是无解的情况啊， 对吧，那我们再看一下 a 等于负二的时候，对不对？你这个角啊，看这个角， a 等于负二的话，那很显然啊， 这块我们可以看出来，有二阶子式是不等于零的，那么 a 矩阵的一个值，西数角的值是等于二的，那增广矩阵的值也是等于二，是吧？你看 a 等于负二，这里啊，这是等于零了呀，这第三行都是等于零了，所以他们两个啊， 质是相等的，并且小于三，所以这个时候就是无穷多解，就是满足题的， a 等于负二就行了，你会发现啊，这个我觉得啊，带参数的啊，进行出等行变化，有时候啊，可能会复杂一点点，还是用行列式可以学一学。好吧，用行列式解题啊，细数几针，如果是方阵的话。好，这个题讲到这了， 好，我们看第二题，三维的列向量组，阿尔法一二三，射线无关， kl 是 非零常数 beta 一 二三给了好 b 矩阵就是 beta 一 二三啊，组成的。其次，限性方程组有非零解的充分必要条件，我们知道。其次， 腺性方程组 u 非零结。哎，它的充分必要条件是啥呀？也就是 b 矩阵它的质是小于这个 n 的 啊，小于它的列数是三吧。 b 矩阵是谁呀？是 beta 一， beta 二， beta 三。好 bet 一 二三是有 alpha 一 二三限性组合的呀，这一类的题我们见过多次了，一定要给它写成两个矩阵相乘 是不是？好，后边这个矩阵怎么去写呢？大家很清楚呀，已经做过多次了，看 alpha 一 二三前面的系数呀。好，这是 k， 这是 l 零，看这个呢，是 l 零 k 是 不是呀？ 拆成两个矩阵相乘之后，我们发现 r f 一 二三题里面有信息啊，现象无关，那么你这个矩阵就是满置矩阵，满置矩阵你肯定满足的是列满置，行也满置，我们这个就用列满置去做题就行了。 好，为什么呀？前面也见过好几次了，这个质点大家还清楚不？好，左成一个列满质的矩阵，又成一个行满质的矩阵，是不改变这个矩阵的质的，我们令他为 c 矩阵。好，你是不是左成了一个列满质的矩阵呀？ 好，那么你 c 矩阵的质就等于你们两个相乘的质。好，那么不就是 c 矩阵的质就等于 b 矩阵的质吗？ 所以 c 矩阵的质就等于 b 矩阵的质是小于三的。好，你小于三好说呀，那么 c 矩阵的行列是你就得等于零呀，就利用它去把 k l 哎这个关系定出来呀。 c 矩阵行列式我们写一下啊， k 零 l l k 零好，零 l k 哎，这是行跟列的和都是相等的是吧？每行啊，和是相等的，我们就可以啊， 把后两行都加到第一行呀，这样的话是可以提共音式的，在第一章已经做过多次了。好， l k 零零 l k。 那 现在是不是可以把 k 加 l 提出来呀？ 好，这都是小的套路是吧，这一类型的行列也是要会解啊，幺幺幺 l k 零。好，零 l k。 现在，哎，进行 出等行变换呀，哎，都清楚啊，都是基础知识了。第一行的负 l 倍加过来。好，这是负 l 零 l k 你 就别动了啊，我们现在按着第一列进行展开就可以解出来了呀。好，记着加号啊，怎么回事？ 第一列啊，进行展开好，他的二阶行列。是，是不是就是这块呀？我们直接写了啊。好，就是 k 乘以 k 减 l 减去一个负 l 平方，那就是加上 l 的 一个平方， 再去化简一下，这是 k 加 l。 好， 后边的话我们看啊，是 k 的 平方减去 k l 加上 l 的 平方，是他吧， 你俩乘完的结果得是个零呀。好，这是一个二次方程，我们可以简单给它配个方呀， k 的 平方减去 kl 加上 l 的 平方，哎，这很配方，也很简单，你用得数算也可以啊。 好，它的平方，这是四分之一 l 的 平方，这就是四分之三 l 的 平方，是吧？那肯定啊，这是大于零的呀，是不是 kl 都是非零的一个常数啊？注意，非零常数，所以你是大于零的，你这一块是大于零的，那你呢，只能等于零呀， 不然你怎么结果是零呢？好，那不就得出来结果了吗？ b 选项呀， k 加 l 等于零是不是？好，那这个题目就讲到这里了。 好，我们看第三题啊， a 是 m 行 n 列的矩阵， b 是 n 行 m 列的矩阵啊，这个让判定的是 m 与 n 的 关系怎么样的时候？好，这个 a 乘以 b 的 行列是 a 乘以 b 这个新的一个矩阵，哎，是不是可逆矩阵？这方阵阻是尤为易理解质， 其实我们关注的是不是就是质的问题啊？哎，如果 a 乘以 b 这个矩阵的一个质是满质的话，那一定就可逆，如果不满质的话，那降质，那行列式就等于零，是吧？哎，这个质的一个问题啊。好，那我们就去哎，关注这个质的问题啊， a 乘以 b 的 质的问题， 这个 a 矩阵呢，它是 m 行 n 列， b 矩阵呢？是 n 行 m 列，你如果看着 m n 不 喜欢，那你可以举具体的例子，是吧？二带一，哎，二带一，你可以举例子啊。好， 关于质的话，同学们要知道啊，矩阵质的话是越乘越小的啊， 什么意思呢？你看两个矩阵一乘的话，好，新的一个矩阵的质就会小于等于，哎， 这个 a 的 质也小于等于 b 的 质，就是你这个矩阵越多啊，你这个质就会越小的意思啊，乘的矩阵越多，质就会越小啊，写一下吧。好吧，这个后续也会经常见到这样的题啊，矩阵越乘，那么质就会越小。 好，这你也可以写小于等于这个 r b 是 不是其实就相当于小于等于他们两个最小的值，是吧？哎，比如说这个值是等于二，这个值是等于三，要小于等于二，要小于等于三，所以小于等于他们两个中最小的啊。那个数 我们看一下啊，这个 a 矩阵，它是 m 行 n 列的吗？是吧，我们看它其实就够了啊， a 矩阵是 m 行 n 列的一个矩阵，那么它的一个质的话，肯定是小于等于行的一个数，也小于等于列的一个数，那其实就是小于等于它们两个最小的，是吧？最小的那一个啊， 这个没问题吧？这也是需要大家记住的，是吧？比如说你是两行三列的啊，这一个 a 矩阵，两行三列的一个矩阵的话，这个质的话，肯定是小于等于二的，对不对？它质肯定是小于等于二的啊，小于它们两个中最小的那个数，没问题吧？ 而我们这个时候其实就可以看选项了啊，你看他俩比大小呢啊，这个当 a 跟 b 选项我们可以看出来 m 是 大于 n 的 嘛，那既然 m 是 大于 n 的 话， m 大 于 n， 那 最小的这个时候是不是 n 呀？对不对？如果看 a 跟 b 选项的话啊，看 a 跟 b 选项的话，好，这个取最小的，取最小的就是一个 n 嘛， 是不是？这个时候我们再去看一下啊，再看一下 a 跟 b 相乘完之后，它这个新的一个矩阵啊，是多少行多少列的，是不是 m 行 m 列的呀？它是一个 m 阶矩阵哦， 新的一个矩阵是 m j 的 一个矩阵，是一个方阵，对吧？好，这一个新的一个矩阵啊，它是方阵的话，那它的质肯定也是同样的啊，小于等于行数，小于等于列数，那就其实就是小于等于 m 嘛，对不对？所以啊，就是小于等于 m 的， 而我们的大前提是 n 就是 小于 m， 所以 就没有等于这个说法了，是不是？所以我们现在可以啊，分析出来这样的一个关系式，你这里啊，当然了，你这里写成它也是一样的，因为 b 的 话，它是 n 乘一个 m， 是 吧？ n 行 m 列的，也是小于等于啊，对吧？它俩中最小的，所以这个就不需要来了啊，这就够用了啊， 看一下这个时候啊，我们这个 a 乘以 b 这个矩阵的一个质，他是，哎，质是小于 m 的 吗？这是 m 阶的一个矩阵。好，质小于 m， 那 肯定我们可以知道这个新的一个矩阵是降质矩阵，对吧？降质 不是智商的智啊，是这个智是吧？他的智不是满的啊，如果满的话，就直接就等于 m 等于 m 的 话，那行列式就等于零。现在不是不是满置矩阵，是降置矩阵呀，是不是降置矩阵，那对应的一个行列式就是等于零，那 a 就 对了呀， 是不是降置矩阵的行列式就是对应的行列式就是等于零的？那你看 b 啊，那 m 大 于 n， 就 就这种情况吗？是不是可逆？可逆啥呀，你是个降置矩阵，那就是不可逆的 满置矩阵，哎，才是可逆的是吧？好，这个就错了呀，那考试其实到这我们就结束了啊，不用再看 cd 了，现在没有考试吗？我们可以分析一下啊， c 选项就是 n 大 于 m 啊， n 大 于 m， 同样还是这这一块啊，我们还要给他写过来啊， 这个，这一串是吧，你注意啊，这个新的一个矩阵是 m 行 m 列的啊，同样它还是小于这个，是吧？哎， 那因为我们现在看的是 c d 啊，你看 c d 的 话，是 n 大 于 m， n 是 大于 m， 那 么取它俩中最小的最小的是不是它呀？是等于 m 了啊， 就等于 m， 那 这个时候我们可以看出来啊，这个新的矩阵的一个质的话，是小于等于 m， 对 不对？以这个矩阵我们可以记为 c 的 话啊，是小于等于 m 的 啊，这个 c 矩阵呢，是 m 接的一个矩阵。好，那我们就知道了啊，你这个 c 矩阵有可能质是满的，是吧？质是满的就等于 m， 也可能是 不满的，就是降至距，这样，是吧？完全可以是小于 m， 也可以等于 m， 所以 它有两种情况，那你这个 d 首先可以看出来是错的，是吧？我们已经说了，这个 c 距针的质是小于等于的吗？你不能直接说小于啊，有可能等于啊，是不是？而你这个 c 说的啊，这一个 a 乘以 b 乘以 x， 这个，嗯，其其其次性方阵组有唯一的零解，你是啥意思啊？有唯一的零解，就是说你说这个 a 乘以 b 是 一个满置矩阵，是吧？它完全有可能是降置矩阵，对不对？所以都不对啊，都不对， 这 c 跟 d 读错了，或者你举例子啊，你可以举例子啊，对，二带一，一带二，举个具体的例子也可以，不过还是啊，同学们要掌握这个质的一个关系啊， 矩阵越乘质越小。好， a 矩阵是 m 行 n 列的，那这个矩阵的质肯定是小于等于它俩行和行数和行的这个个数和列的个数的一个最小值，对吧？好，那这个题就梳理一下，讲到这了。 好，我们看第四题， a 是 n 结方阵， a 星的质是等于一好，阿尔法一二是非其次线圈组成的两个不同结。那么求一下非其次方程组的通结结构。大家都知道好，它就等于其次的通结， 加上非其次的特解。好，非其次的特解题里面已经给了呀，他们两个你随便取一个都可以。好，现在主要研究一下其次通解。好， 那么我们就要看一下基础解析里面有几个现行无关的一个解向量，然后再看一下这个向量都是谁啊？解向量都是谁， 是吧？好，那你研究个数就要立刻想到这样的一个式子，是吧？你出现 a 星星，脑子里立刻把这个啊，三三段话想到。好，你这样 a 星的一个质伴随矩阵的质等于一的话， r a 质就得出来了。 好， r a 的 至 n 减一啊，那就是 n 减一。现在人家都说了啊，非其次，线型方程组是有解的啊，它是两个不同的解，那就是有解的意思，既然有解的话，好，系数矩阵就应该等于增广矩阵。 是这个意思啊，你有解也就推出来你们两个的质相等，并且都等于 n 减一。好，你是小于 n 的， 小于列数，所以就是有无穷多解，对吧？有无穷多解的意思啊， 我们已经刚刚讲了，要研究出来。其次形形方程组基础解析里面有几个解向量。好，那这又用到了这一系列的知识是吧？好，它基础解析中有多少个形形无关的解向量呀？应该是有 n 减 r a 个。 好， r a 是 等于谁呀？是 n 减一呀。好，那你不就是一个吗？我们现在就找一下这一个 解向量，把这一个解向量找到就行了呀。好，我们知道 if 一 和 if 二，他都是非其次的解，那么他们两个相减是不是就是其次的解啊？这个结论大家都清楚了啊。好，你们两个相减就是为 好他的解呀，其次的一个解，这个解也不是等于零吧，哎，是不同的两个解，是吧？好，这就可以了，一个啊，这个，这一个解是谁呢？是他呀， 好，找到就行了，所以我们就可以写出来了， r 法一，减去 r 法二。好，你的 k 倍啊，再加上一个非奇次的特解，加个谁都行。好，我们也可以再整理一下，把 r 法一前面的系数 放到一起，那就是 k 加一倍的 r 法一。好，减去 k 倍的 r 法二，看一下这里有没有结果。有啊，就是 d 选项吧。 好，那这个题呢，考的还是基础知识这一块的，还有这一块的，是吧？哎，考来考去就这点东西啊。好，这个题目就讲到这里了。 好，我们看这个题啊，四个列向量构成了矩阵 a， 好， 解，非奇次性方程组吗？通解 非奇通等于奇通加非奇特，这个非奇特非常容易看出来，你去看 f 一 二三四前面的系数就行了，对不对？因为 a 局证就是 f 一 二三四构成的嘛，你看，我们写一下啊，这 a 局证 f 一 f 二 f 三 f 四 乘以啊。好，我们说非奇字方组的一个特解，直接看系数就行了， f 一 前面的系数是零啊， f 二前面的系数， f 三前面的系数， f 四前面的系数，你看这一乘 零。哎，加上一倍的 f 二，加上零倍的 f 三，加上三倍的 f 四。那肯定是的呀，我就看着你去写了，这个非奇特已经写出来了啊，零一零三了， 现在是不是把奇通找到就行了，奇通怎么去，去做呀？好，我们再回顾一下基础知识啊，其次，线方程组的通解怎么去，哎，写啊，就是我们要把 其次线方程组的一个基础解析找到，基础解析找到之后，基础解析中现行无关的解向量的。哎，现行组合就是通解是吧？就是其次通解吗？ 又转化到，哎，去找其次线方程组的一个基础解析是不为一的啊，找一个就行了。 好，基础解析又是什么呢？记住这句话，好，基础解析就是方程组全部解的极大现行无关组啊，全部解的一个极大现行无关组，同样其他现行无关组也是不唯一的，找一个就可以了。找一个其他现行无关组就是可以作为好这个其次幸运方程组的一个基础解析了。 那基础解析里面有多少个现行无关的解向量呢？有这么多个，所以又回归到去求 a 的 质，是不是 a 的 质有了，那基础解析里面有多少个现行无关的解向量你就知道了。好，比如说一个，比如说两个，那你就开始去求解不就行了吗？是不是求解怎么求啊？解方程组吗？化学平行矩阵开始求吗？好，我们现在啊，把 a 矩阵拿过来就行了， 也就是五。这个不就是 a 矩阵吗？四一二一一负一，负二，零四七二负三。 好，等一下都会画吧，我可以把第二行挪到第一行，看着舒服点吧。把一都挪上去了啊。四一负二，七，好，二负一，四负三， 第一行就按兵不动，第一行的负四倍加到第二行，负四加一，负三，负二，负八，加七，负一，第一行的负二倍加到第三行，这就是零负二，负一，负三，好，四 负四，负五，三负七是吧？你第二行我都可以乘个负一吧，接下来呢，第二行再加到第三行，我给大家先详细点啊，基础阶段， 零三二一，第二行加过来，零六负六。那这我都除一个六呗。除一个六，除一个六。好，我继续，我可以化为最减矩阵，因为待会我们也得去减这个方阵组的嘛，所以尽量化减一些啊。 好，三二一我再给他写过来，你看下怎么去画啊？这一行的负二倍，你看可以加到第二行是吧？第三行的负二倍加到第二行这个位置就等于零了吗？再再画减一点，这个负二倍就是二，二加一就是一个三， 对不对？那这个时候我可以第二行都出一个三吧，不影响解方程组啊。好，你看我这个时候又可以啊，化解第二行的负一倍加到第一行，这就是一个零了。负一倍。好，二减一是一个一了吗？哎，这就比较简化了是吧，这一看就看出来了， a 矩阵的质是等于三的呀。 那基础解析里面有四减三等于一个线圈无关的解向量，那所以我们去解这个奇次项方程组的话啊，哎，找一个解向量就行了，就可以作为其次方程组的一个基础解析。是不是 怎么找呀？我们令这个 x 四等于个一不就行了吗？那 x 三就等于一，是不是 x 二的话呢？就等于负一， x 一 的话呢？负一 这个也很好写出来吧。通解方程组会写吧，你看就是 x 一 加上 x 四是等于零的吗？ x 二加上 x 四是等于零的。 x 三减 x 四是等于零的吗？好， 它有一个自由变量是吧？ x 四我可以定为一，当然你也可以定为负一，这是负一的时候，那这是加个一吗？ x 三， x 三也是一个负一，是吧？好，那你这这是负一的话，这就是一个一了， 这是负一，前面这里也是个一，是不是？他是负一，就是差一个符号的问题吗？你写谁都行啊。好，那他就可以作为 其四线方程组的一个基础解析。好，基础解析有了好 k 倍的，是吧？就是通七通了啊，所以这个通解的话就是 k 倍的，写哪个都行啊，负一负一，一一七通，加上非奇特，非奇特，我们一开始就写完了啊，零一零三。 好，这个 k 呢？会任意乘除。 好，这个也是基础知识吧。好，那这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，我把知识点先拿过来，因为要用到啊。好，我们看 a 是 n 阶方程，大于等于二。哦， 那 a 星呢？是伴随，咱们都知道若对任意的，哎，我任取一个 n 维的列向量，阿尔法都有 a 星乘以阿尔法等于零零向量，是不是？你看这个阿尔法是任意的， 任给一个阿尔法过来啊，我在 n 维空间里面任找一个阿尔法过来，那么这个矩阵跟它相乘完之后，都得是零矩零向量啊。零向量， 那任任意来一个，再来一个，再来一个啊，都得满足它，那是不是说明了这个 a 星就是一个零矩阵呀？ 你是一个零矩阵的话，你不管跟谁相乘，乘完肯定是等于这个零向量的，对不对？那有同学觉得这个字眼还是不好理解的话，我通过咱们的哎这个方程组这一块的一个角度给大家解释一下啊。你看， 对于这个七四线方程组的话，我现在让你去解他，解他的话，你得找技术解析，是不是？技术解析是什么呀？技术解析就是全部解的一个极大限行无关组，对不对？全部解好，全部解的一个极大限行无关组。极大限行无关组又是什么呀？就是说你在他解里面 最多能找到多少个异性无关的这个向量，是不是你最多能找到几个啊？最多能找到几个异性无关的解向量？ 那么这个几个，这个几个啊？这几个形形无关的解向量，哎，就可以作为他的解的一个极大形形无关组，也就是基础解析吧，是不是？那我们去看一下啊，你能够找到最多能找到多少个形形无关的解向量呢？你就找到了好 基础解析了，是不是你就找到一个基础解析了啊？好，那你能最多能找到多少个心无关的解向量？你说是 n 为空间吗？那最多能找到 n 个呀，是不是我最多能够找到 n 个心心无关的解向量？这也是很容易啊，你可以找到的。你比如说啊，第一个解向量我找到就是，就是你 第一个位置是一，剩下的都是零，是吧？这是不是满足？哎，这个这个方程呀，好，我再找一个，就是第二个位置是一个一，剩下的又都是零， 哎，以此以此类推，是不是？我是不是可以找到这个 n 个这个信信无关的结项链？你们这肯定是信信无关的吗？因为你们一差一，一差一是不是都差一个？所以啊，你们这些这有 n 个吗？ 你们这 n 个解向量是现行无关的，那我最多就能找到 n 个吗？因为你是 n 位空间，最多找到 n 个，你是三位空间的话，最多能找到三个现行无关的解向量，那这三个现行无关的解向量就可以作为好这个奇次性方程组的一个技术解析，是不是？而我们知道啊，这有个结论吗？技术解析里面就有这么多个现行无关的解向量呀，有这么多个， 这么多。我们已经说了，我们最多就找到 n 个，这 n 个就可以作为奇数线方程组的一个技术解析了，是吧？也就是说技术解析里面有 n 个，有 n 个，这是我们找到的，而这个结论呢？是 n 减 n 减 r， a 嘛，我们现在 a 星啊，好，这么多个就等于我们找到这个 n 个，你看这个 a 星 的质是不是，哎，就是等于零吗？好，这个哎，可以理解，是吧？通过质点的解解释啊，好，质等于零了，你这个矩阵一定是一个零矩阵啊，只有零矩阵的质才是啊。哎，这个零吗？好，那这个知道了之后， 好，痣等于零吗？那我们立刻能够得到 a 的 痣，是吧？这块啊，也是经常考的啊，所以 a 的 痣是小于 n 减一的，你看这这一系列的知识点就来了啊， a 的 痣一定小于 n 减一，那 a 呢？我们说你是一个 n 阶的一个方阵，那你的痣，哎， 最少是个零吗？是吧？你可能，你也可能是一个零，取证吗？你的质啊，大于等于零，小于 n 减一。好，我们现在看看啊，让让，求什么？这个奇次线方程组的技术解析里面所含的线圈无关的解向量的个数。我们说技术解析里面含有多少个线圈无关的解向量啊？有这么多个吗？是吧？有这么多个， 这么多个。好，我们说这个个数呢？它现在另外一个 k 了吗？好，我们把 r a 搞出来不就行了吗？ r a 就 等于 n 减 k， 为什么把 r a 搞出来呢？ r a 有 这个不等关系啊，你可以用了吧。好，这个 r a 呢，就得小于一个 n， 减一就得大于等于一个零，是吧？你把 k 解出来不就完事了？ 你先看这边吧，我把 k 移到右边呢，就是 k 大 于它，这个负一呢，移到左边，是吧？就是 k 大 于一嘛。好，然后再看这这一半， 这一半的话就是 k 移到左边， k 呢，就是小于等于 n， 是 不是？这很好解的啊？ k 小 于等于 n， 所以 这就是 k 的 一个范围，这就是 k 大 于一小于等于 n。 哎，就可以了， 你考来考去还是这些技术知识啊。什么是技术解析？就一句话，全部解的一个极大性无关组。极大性无关组又是什么？就是你在解向量里面最多能找到多少个线圈无关的解向量。 好，那这几个幸运五万的解向量就可以作为好这个奇次性发生组的一个基础解析，是吧？来来回回的啊。好，把这些知识点梳理清楚，记住啊。好，这个题就讲到这了。 好，我们看第五题，已知非其次，限行方程组有三个限行无关的解。好，既，该方程组的一个系数矩阵是 a， 求 ab 的 值，求方程组的通解，然后求一下其次方程组的通解。好，我们写一下解答过程。第一问， 这里其实有个结论啊，给大家写一下啊。好，我们可以记 b 一 表示的是这一块啊，一个向量对吧？列向量啊，负一负一一。好， 非其次线型方程组，它不是有三个无关的解吗？我们令它的解啊，为 e t 一， e t 二， e t 三。好，那么可塞一等于 e t 一， 减去 e t 二，可塞二等于 e t 一， 减去 e t 三。 为其次线圈组的两个无关的 解。这个啊，以后我们遇到好，非其次有三个无关的解，那么就可以得到非其次三个的解向量啊，两个相减之后形成的两个向量就是其次的方程组的两个无关的解。 也就说我们以后呀，不用去写这个证明，这里可以直接写则易证这两个字就可以了，因为我们有些同学是第一次遇到，是吧，我们就给大家证一下，让大家知道这样的一个结论，以后这种题啊，直接写上易证用就行了好不好？ 好证明一下就用定义呗，我们看啊， a 乘以可赛一就等于 a 乘以一，他一减去一他二好等于零。这个是说明一下。好，你们两个是其次线方程的组的一个解，然后再证明他们是无关的。好， a 倍的 科三一减去啊，一打一减去，一打三等于零。好，现在说了啊，他们两个是其次的解，然后再去证明一下他是其次的 现行无关的解。那么就用定义设，我们存在一组一组数好， k 一 k 二，使得 k 一 克塞一加上 k 二克塞二等于零。成立，证明出来 k 一 等于 k 二等于零即可了。好， 那么我们把克塞一，克塞二给它带进去啊，就是一塔一减去一塔二，加上 k 二倍的一塔一减去一塔三， 这是等于零的。我们把一塔一前面的系数整到一起，不就是 k 一 加上 k 二吗？把一塔二前面的系数整到一起，就是 k 一 啊，减去 k 一， 后面这个是减去 k 二倍的一塔三。好，这是等于零的。 我们知道一塔一二三是线圈无关的呀，所以我们可以得到这里写一下吧。啊， 因为一他啊，一他一，一他二，一他三是无关的，所以这些系数你都得给我等于零，这就是无关的定义啊， k 一 加 k 二等于零吧。好， k 一 等于零， k 二等于零，那你这个 就证明出来了是吧？我们说了啊，用定义就证明出来，它们两个系数都等于零，则可塞一可塞二，是现行无关的呀。 好，写完整一点就是限性无关，写不完整的呢，就是无关。我们还是写严谨一点啊，写成限性无关，包括这些啊，加上限性两个字。好 说了啊，以后不用去证明了，直接写上易证两个字，用这个结论就可以了哟，那么我们就可以得到 a x 等于零，他的 基础解析中至少有两个线圈无关的解了，因为我们都证明出来了呀， 好，至少有两个了。我们知道啊，前面已经多次说了，其次，线圈方程组它的基础解析的一个个数啊，基础解析中线圈无关的解的个数是不是这么多个呀？好，那就是等于 n， 这个题是四呀，好，减去 r a 至少有两个了哟，好，那就是大于等于二。 我们再看一下这个系数矩阵啊，这是一一一一四三五负，一 a 一 三 b。 好，一看就有一个二阶的一个子式，它的一个行列是不等于零，所以那么 a 矩阵的质你得是大于等于二。好，这个我们推出来了，是 a 矩阵的质是小于等于二的，那么又因为 a 矩阵的质又大于等于二，那你怎么办呀？你只能等于二呀，是不是？ 这里也就告诉我们了，如果你这里再写一个可塞三好，另一个还有谁没有写相减的呀？也就是一他二减去一他三好，你们三个向量就是相形相关的了，是不是啊？哎， 因为 a 矩阵的质是等于二呀，所以啊，这个可塞三，可塞三，可塞二，可塞一，它们就是线形相关的了，那么线形无关的，哎，就是两个，你任取两个都可以啊，但它三个放到一起，那就是 现象相关了，千万不要理解为他减他，他减他，他再减他，他们三个是现象无关的呦，只有两个啊，是现象无关的，我们去把增广矩阵啊，给他进行出等行变换。为什么写增广矩阵呢？ 因为第二问啊，让我们求这是非其次限成风，非其次限性方程组的通解啊，所以我们，哎，这个一开始的时候就直接啊全部给他写完了，然后这样的话，第二问可以附用第一问的这个我们写的这个 除等号变换，不用再写一遍了啊，好，给他写一下啊，这是负一负一一， 这个大家都会啊，一一一一，我直接写这个了啊。第一行的负四倍加过来，负四倍加过来，这就是一个负一。 好，这个负四倍加过来，这是一个一负四倍加过来，这是负五。好，负四倍的话是四四减一三， 那么第一行的负 a 倍加过来，负 a 倍加过来，负 a 倍加过来，负 a 倍加过来，继续负 a 倍加过来，那这就是一个 a 加一。 继续啊。好，第一行你别动，幺幺幺幺，按兵不动。好，你是零负一，一负五，三，你也别动。好，现在看一下第二行多少倍加到第三行，把你给整成零呀？ 第二行的一减 a 倍加到第三行，是吧？好，那你就是零了。好，你的一减 a 倍就是他加上一个三减 a， 那 就是四减去二 a。 好， 写一下啊，四减二 a。 好， 这个呢，就是负五负五的一减 a 倍加过来。 好，我们去看一下啊，四 a 加上 b 减五，是吧？好，我们往这里再写一下啊，写不下了，四 a 加上一个 b 减去一个五。好，这个三啊，三的一减 a 倍加过来。 好，这就是三减去三， a 加 a 加一，那就是负的二 a 加上一个四，也就是四减二 a， 那么既然你想 a 的 行列是等于零，我们就可以知道，四减去二 a 是 不是得等于零呀？ 好，再加上四 a 加上 b 减去五也得等于零。好，我们就得出来了啊，这 a 不是 等于二吗？好，八减去五等于三， b 就 等于负三呀。好，第一问就求完了，我们看第二问，求该方程组的通解。我们说了啊，是非其次，线圈方程组的通解 直接。哎，由第一问，我们把增广矩阵再写一下呀，现在 可以把 a b 带进去了，是吧？一一一，一，好，负一零负一，一负五，三，主要第三好吗？你带进去都是零呀。好， 继续给他化简成啊，行最简矩阵。这个目的呢？是因为啊，我们写这个通解的时候非常方便。好看一下啊，第二行不动。 好，第一行跟第二行相加一下，也就是第二行加到第一行啊，因为行最减嘛，这必须得是零啊，这是一个二了，那这是一个负四，这是二。好，现在的话，我们把第二行啊，你这个负一是吧？我们想要的是一啊，所以都乘一个负一， 都乘一个负一， ok 了，这就是行最减矩阵。好，现在就直接可以写他的通解了啊， 所以通解为当写到这的时候，要有立刻把通解写出来的这个本事，这个能力啊，你看一下你有没有没有的话啊，这个讲过之后，下一次碰到就必须要有这个能力了啊，我们直接就可以写出来，你看啊，二负三零零， 好， t 加上 k 一 倍的负二一一零 t 好， 加上 k 二倍的四负五零幺。哎，你怎么写这么快啊？有同学他不知道是吧？不知道，同学啊，这一块专注听一下啊， 我们就从哎最基础的去讲了啊，这个第一行我们是不是可以给它写成，一乘一个 x 一， 加上零乘一个 x 二。哎，你这不是方程组吗？二乘一个 x 三，减去四倍的 x 四，是不是得等于二呀？好，第二行，那就是零乘以 x 一 加上一乘一个 x 二减去 一乘以 x 三，好，加上五乘一个 x 四，是等于负三的。好，你看啊，这边这只有两个方程组，剩下的啊。第三第四行，这个就是属于自由的了，也就是 x 三跟 x 四啊，是自由变量了，我们就是可以取自由变量 都等于零呀，就是作为特解的时候啊，这个 x 三跟 x 四是可以取自由变量的。 哎，我们取最简单的自由变量，那就是等于零啊，你是自由变量，我随便取，我就取最简单的，取零零，不可以吗？可以啊，好，好， 那这样的话你看一下啊， x 一 哎，加上零零，那就是等于一个二了，是吧？好，再看一下第二行，那就是 x 二，哎，就等于负三。好， x 三 x 四是我们取的 两个零，所以这个特解是不是就是这一列的呀？你看二负三，另外两个我们补两个零就可以了，这就是特解，非其次的特解，因为非其次的通解就等于非其次的特解。我们找一个就行了呀，找最简单的呀。啊，这两个去零， 再加上其次的通解，是吧？其次的通解我们就找到啊，其次线圈无关的解啊，进行组合就行了呀，是吧？ 这个时候，哎，我们是解的是其次的问题了，你这就变成零了。解其次的问题啊，解出来两个线圈无关的向量啊，我们线圈组合这个，是啊，这个定义对吧？ 好，你现在 x 三 x 四作为自由变量，你就不能都取零了呀，是吧？你 x 三取一个一， x 四取零，这样组合着呀，或者 x 三取零， x 四取一， 是不是这个得会啊，是不是这很基础的东西啊？你现在，哎，你画的这个阶梯形矩阵很明显啊，这个系数矩阵的值是等于二，所以其次，限性方程组里面，这个解向量就得由 n 减去。 r 个 n 不是 等于四吗？四减去 系数决定的质，我们知道是二呀，已经画出来了，所以你减小量的一个数啊，这得有两个呀，所以你自由向自由变量，我们去取值，就取一零和零一，是吧？好，这样的话， 当是这种情况。好， x 三等于一， x 四等于零的时候，那就是 x 二减去一个，一是等于零的，所以 x 二是等于一。 好，那我们这个的话，就是 x 一 啊， x 三不是等于二啊，等于一吗？好，再就是加上一个二好是等于零的，那么可以推出来 x 一 是等于负二的。好，你看是不是你的一个相反数啊？哎，你的一个相反数是不是负二？一是是二和负一的一个相反数呀？所以我们以后就直接把负二 啊一往这一放，哎，你们两个的相反数往这一写，然后这种情况下啊，自由变量是一和零是吧？是一和零啊， 那么另一种就是零和一，我们相应的，哎，可以解出来， x 一 就是四， x 二就是负五，也就是你的相反数和你的相反数呀，四和负五，哎，把这两个自由变量往这一放，是吧？ 再总结一下，就是非其次方程的特解的话，两个自由啊变量我们令成零，而其次方程组啊，一定要注意这个，我们去求解两个先行无关解的时候，这个自由变量啊，你是两个的话，那么我们就令成一个一零，一个零一的一个形式， 如果只有一个自由变量呢？我们是不是就另那一个自由变量等于一就可以了呀？好，以后啊，大家要有有写通解的这个本事，也就是这个化为行最简之后， 无论是写其次信息方程组通解的形式，还是写非其次信息方程组通解的形式，大家以后都要会了，只要化成行最简，你都得会写了，要写快一点，准确一点。第三问 其次向量方程组的通解哦，这里直接可以利用结论，不用去证明啊，这是可以去直接利用的啊，因为 a t a x 与 a x 啊，它们等于零啊。其次，向量方成为同解的方程组， 考试的时候我们是可以啊，直接直接就说他们是同解方程组，你解你就是解你。我们真题已经考过了啊，可以这样写， 你要真的觉得啊，这个写的写的太少的话，你再去证明一下他们是同解方程组，那就简单的证明一下也可以啊，同解方程组怎么证啊？你的解是你的解，你的解就行了，是不是？那我们也可以啊，给大家再去复习一下这块知识，这块就可写，可不写。好吧， 好，你的解是你的解的话，是很好证的吧。 a x 等于零，你看是不是 这个成立的话，一定能推出来这个成立啊， ax 不 等于零吗？你看 ax 等于零向量，是不是？这个是一个矩阵吧，矩阵乘个零向量，那一定是零向量吗？所以，好，你的解一定是你的解了。那再看一下啊， 这个 a t a x 等于零的话，哎，它那个解为什么可以推出来？为什么可以推出来？ ax 等于零，是不是你的解就是你的解了啊？怎么推呢？ 这个地方我们回顾一个向量的一个知识点，还需要用的啊？好，我设阿尔法。好，这是一个列向量啊，一个列向量的话，我就设为这个，这个 a 一 a 二， a 三。好，那阿尔法这个转制呢？就变成行向量了， a 一 a 二 a 三， 那阿尔法转至乘以阿尔法是不是求内积的意思啊？自己与自己求内积，会不会求啊？那不就是 a 一 方加上 a 二方 加上 a 三方嘛。如果我能说说明出来啊，这个向量自己与自己求内积等于零的话，那么就一定能够推出来。什么？这个向量就是零向量的，你看 这一块等于零的话，这些都是数吗？是不是数的平方加到一起等于零，这些数一定是等于零的呀，对不对？这我一定能推出来啊，这个这些数 a 一 a 二 a 三 就一定等于零啊，那 a 二 a 三不就是我们说的这个 r 向量吗？所以就推出来了 r 这个向量是，哎，等于零向量的，我们现在去证明，你看他就看成个 r 向量吗？就证明这个向量等于零，所以我们只需要去证明好这个向量的转至 跟自己相乘。就是就是，求内积嘛，是不是求内积等于零就能整出来了啊？好，那求内积的话怎么求啊？也就是 转至，哎，乘以它是不是，这就求内积的意思嘛？好，能不能说明出来它呢？说明出来它就说明出来了吗？好，当然可以，你看这是谁呢？你可以写一下啊，这就是 x 转至 a t， 然后 a 乘以 x 等于零，是不是这俩是相等的？这俩是相等的，是吧？那你看从左边能不能推出来这呢？当然可以了， a t a x 等于零向量，是吧？你看这里啊，这是一个零向量。前面这个呢？这是一个行向量， 是吧？这是一个行向量啊，乘一个这个零向量是个列向量。好，等于个零，对不对？这个是实数零了啊，总之这个行向量，哎，乘一个列向量， 零向量是零吗？那乘出来的就是一个零，是吧？这是一个零实数，这边呢，是一个啊，零向量。好，总之从从你就到你了，就到你了，好，就到你了，这不是正反了吗？ 是吧，这个方程组的解就是这个方程组的解，好，我说清楚了没有？说清楚了以后咱们啊，可以直接去写啊，那你也想去写下步骤，就这样去写下就行了。 好，那既然解你就是解你，那这是奇次线方程组通解，哎，通解的话，其实在第二问，你看，在这个地方就求过了，是不是？第二问的话是求非奇通吗？非奇通等于奇通加非奇特，奇通就是我们现在想想要的吗？所以 这个 a t a x 等于零的通解，哎，写一下就行了，为 k e 倍的 加上 k 二倍的好， k 一 k 二啊，为任意常数就行了啊， 我得记一记了啊，知道的意思，好，这个题啊，同学们梳理梳理梳理啊，这这这这一块啊，直接给它记一记。后面我们有时候在这个选择题里面啊，选择题里面会见到啊，可以可以，记一记是不是？好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， a 呢，进行裂分块是不是，哎，都是由列向量构成的，经过若干次出等行变换好，变成了 b， 也是，哎，这裂分块的啊，那么 a 与 b 怎么样？好，就是选它， 那这个同学们先记住。好，待会给大家去解释一下啊，就 a 与 b 呢，对应的任何的部分的列向量， 不管是部分的，还是说所有的链向量，那么他与 a 的 所有的链向量啊，他们都是具有相同的线性相关性的。好，那同理啊，如果 a 经过 若干次出等列变换化为了 b， 那 a 与 b 有 对应的任何的部分的横向量组，好，具有相同的形相关性。我给大家去写一下啊，得记住啊，经过的是出等 行变换好就化为了 b 啊， 那么不改变的是列向量组的向量相关性，是吧？列，列啊，这是，这是行，利用个别的笔吧。 列向量组啊，写明白了呢，向量组的向量相关性， 这个得记住啊，还得知道为什么。同理音，如果这边是一个哎列变化 y 的 b， 那 就不改变的是行向量组的心心相关性。 我先好放在这里，我给大家举个具体的例子啊，去解释，这样看的更清晰一些。先不看它啊，我们就看这一部分。这这这列先不看啊，这列先不看 好，这个看成一个 a 矩阵的话，看一下通过一系列的出等行变换啊，好，先化为他，然后化为他，这最后就是这个 b 矩阵了吗？ 为什么他们的列向量组具有相同的现象相关性呢？好，同学们可以看一下我们出等行变换的一个步骤，比如说从这到这的话怎么操作的呀？ 第一行不动，第一行的负一倍加到第二行这个位置就等于零了，你看它要乘一个负一加过来，它要乘一个负一加过来，它要乘一个负一加过来，对不对？那你看一下我们的一个操作啊，是不是对列进行相同的操作啊？你看对列 进行了相同的操作， 第一行的负一倍加到第二行，也就是说你看这三列啊，这三列的 这些位置。好，现在都给我乘一个负一，往第二上，第二行上面去加，也就是说，你看我们是对第一列，第二列，第三列， 你看，只是说是第一个分量而已，是不是第一个分量啊，好，进行相同的一个操作，你其其他的，你这个操作行为也是也是一样的，都是对列，是不是？你比如说我再再进行一一个这个出等行变换，从这到这的话， 好，那我可以是第二行加到第三行，那第二行的话，那这个位置和这个位置，这个位置的话，这些元素是不是对应的？ 第一列、第二列、第三列的，哎，这个第二个分量呀，对不对？第一、第二、第三列的第二个分量，那不就是对列在进行相同的操作吗？你们啊，哎，进行相同的操作都往第三行上面去加， 所以我们啊，出等行变换是对列进行相同的一个操作，那当然你经过啊，一系列的这些操作，好，那我们的列向量组的这个线形相关性就没有发生变化。 同理就是我们要是经过的是除等列变换，那么就不改变的是横向两组的线形相关性，是不是？好， 那我们去看一下 d 选项啊，他说的是 a x 等于 b 和 b x 等于 b 是 同解方程组，这是错的，我们就拿这个例子了啊，好，这就是 a 矩阵，这就是小 b 啊，这列是小 b， 你 看啊，这个 a x 等于 b， 我 们把增广矩阵写过来的话， 好，是不是这个样子的？就这个啊，通过一系列的啊，这个出等行变换的话，你看啊，这个 a 是 化为 b 了，这个 b 啊，现在它不再是一零一，不再是这个小 b 了，变成它了，是不是它变成 b 一 撇了？ 所以啊，你和你，那就不是同解方程组，那应该怎么去改呢？应该改成 a x 等于零和 b x 等于零是同解方程组， 也就说当这个 b 啊取零的时候是其次，向量组的时候它们是同解的，为什么呀？你看其次的话，我们说这一列都是零嘛，是不是这一列都是零啊？ 你就说你无论进行怎样的出等行变换这些位置啊，这这三个零的位置不可能发生变化呀，对不对？你比如说第一行往第二行行上面去加啊，第一行乘一个二，不管是哪一种操作，行行向量的这个操作都不可能把这个零零零进行变化，是不是最后他还是零零零， 所以啊，哎，这个起子线方程组，对不对？关于这个同解方程组啊，同学们也得这个得勾 深刻的去理解它。我们回顾一下，咱们中学的时候，其实就已经为我们的现代啊进行做了 一定的一个奠定基础了。你看啊，比如说我们中学的时候是不是做过这样的题， x 一 加两倍的 x 二好等于个三吧， x 一 呢啊，五倍的 x 一 吧，加上 六倍的 x 二好等于个二十一吧，那让我们去解 x 一 x 二，你自己想一想，你是怎么去解的呢？ 是不是这这两个式子，哎，加加减减，如果出现再来一个 x 三的话，也是三个式子进行，哎，进行加加减减，那其实我们在进行加加减减的这一个过程，那就是就是这些， 哎，这个系数指数，哎，进行助等号变幻，是不是就化为啊？这个哎，减，对减的，或者是阶梯形的一个矩阵嘛，那你去减这个未知数，不就好减了吗？对不对？你看我们怎么去减吧， 也就是第一行我可以乘个二，乘以三吧，乘以三，这不变成六倍了吗？对不对？我乘一个三，那不就相当于得出了行变换的一种行为吗？乘一个三的话，就三 x 一 加上二三得六， x 二三三得九。好，那接下来呢？我这个第三个式子可以去减第二个式子，对不对？ 也就是可以理解为这个第二个式子的负一倍加到第三个十字上面，你的负一倍的话加过来，这不就这一块就消掉了吗？你的负一倍就是负三，加上一个五，加上一个五就变成了一个二吗？ 对不对？好，你的这个负一倍就是负九，负九加上一个，哎，这个二十一，你看这 x 一 解出来了，是不是？我们就是在往这个这个过程上去操作吗？ 对不对？这个行为就是我们出等行变换的一个行为嘛？给它化简一点这个式子呢？给它搞简单一点，是不是？加加减减乘乘的，那就变成了，哎，这种简单的一个式子。好，我们就可以把 x 一、 x 二、 x 三解出来了嘛，你看我们出等行变换也是来进行一系列操作，这不，这不就是 x 一 吗？ 好， x 一 就是等于个零，是不是？这就是 x 二，它对应的这个方程嘛，就是 x 二加 x 三等于个一，你看你就化就化减了，这就很好给它做出来了，对不对？所以说啊， 这个七次线方程组的话，那一定就是同解的吗？是不是一定是同解方程组？因为你这个行为就是啊，解原本的，解原本的这一个啊，哎，这个方程是不是解你就是去解你，对不对？好懂这意思啊， 非其次的不行啊，非其次的他就不是同节了，你我们进行出等行变换，你这些元素也在同步的进行变换啊，是不，变化完之后他会发生变化，所以这里你那些 b 一 撇才行啊。 有同学搁这扣字眼啊，这个任何的部分的，好，我们已经说了，你经过出等行变换的话，就是不改变列向量组的形相关性。你们原本的啊，这三个 r 向量经过一系列的出等行变换后变成了啊，比特 啊，白色的这个三个列向量，你们这个心影相关性是没有发生变化的，那你部分的也是没有发生变化的吗？是不是你们两个什么样的关系，这边还是什么样的关系，你们三个什么样的关系，这边都是对应上的啊，不管是部分还是全体都是一样的，都是没有改变心影相关性的。 我们要看一下 a 和 c 啊， a 的 话说行向量组有相同的形形相关性是错的，如果题目啊改成进行列变换，那么就不改变行向量组的形形相关性，对不对？你就对应着去记啊，这个出等行变换操作的是列，出等列变换操作的是行，你看还看这个例子就行了， 你比如说看这两横向量经过一系列的触动行变换化为了这两行呢？是不是原本的这两行的向量是现行无关的吧，对不对？现行无关的，这很好看出来吧。好，那你看这两行向量呢，这很显然息息相关了呀，对，有零向量了，跟谁放到一起都是息息相关的， 对吧？好，所以这肯定是错的啊，这个 c 一 在说什么呢？对应的任何的 k j 的 指示 同时为零或者同时不为零，这更是瞎说呀，哪有这回事啊，你还看这个吧， 好，任意的 k j 指示，我找这个二阶指示好，再看对应的这边的这个二阶指示的话，是不是非零的都是一减零。是一个一吗？非零的啊，那这一块呢？哎，这是，这是零，你说同时为零了吗？没有同时为零是吧，也没有说同时不为零。好，这些都是乱说的啊， 知道知道，这两句话啊，深刻去理解一下啊。好，那这个题就讲到这了， a 是 三阶非零矩阵， a 平方等于零非。其次，向量方程组有解，那么向量的个数为多少？那不就是去求的是基础解析里面解的一个个数吗？ 这个结论大家已经很清楚了吧，前面强调多次了啊，其次的方程组基础解析里面有 n 减 r 个啊，解向量，那么非其次的方程组里面基础解析里面有 n 减 r 加一个线圈无关的解向量。好，那这个题考的是非其次， 所以它的个数就应该为 n 减去 r a 好 加上一个是吧，我们重点就是去求 r a 呀， n， 我 们知道呀，三阶非零矩阵，所以你就是三呀，三减去 r a 加上一个一好，也就是四减去 r a 个 好去求 r a 呀，怎么去求啊？你看到，哎，零向量出现了，两个矩阵相乘等于零向量，立刻想到，哪个知识点呀，我们已经做过多次了，很多次了，是不是一定要想到啊，那么就用这个， 它里面啊，含有质的一个相关知识点呀，我们去写一下啊，因为 a 的 平方等于零矩阵，所以 a 的 值加上 a 的 值，是吧，你得小于等于 n， n 是 谁呀？你看啊， n 在 这呢啊，我们是三阶的，那这个 n 就是 三呀，小于等于三，好，那就是二倍的 a 的 值小于等于三，那 a 的 值是不是小于等于一点五呀？ 再加上题里面说的啊， a 是 三阶非零矩阵，那你的质至少得是大于等于一，大于等于一，小于等于一点五，你只能等于一啊，我们不可能取半个吧，是吧，所以啊， a 矩阵的质就是等于一，好，那就求出来了呀。哦，四减去一好等于三，没问题吧。哎，就是两个很基础的知识点来回的。考好这个题目就讲到这里了， 已知向量型方程组有解，哎，又是方程组有解的一个问题是吧，哎，这是非奇次解方程组啊。有解，但它没有说是有唯一解，还是有无穷多解，所以我们只能得到的是 r a 等于 r a e 八，是吧，至于等于 n 还是小于 n， 不 用管啊。哎，能得到这个信息 啊，好，这是 a 矩阵三阶的啊，哎，这是两个列向量则啊，这个是则 好， k 等于多少，那就是用这个信息是吧，我们去做题就行了啊。好，这个能够知道的是 r a 等于个 r a e 八， 对吧？有提议的啊，有提议可以得出来。好，我们就把这个增广矩阵给拿过来啊，进出的好变换吗？使得它们两个的质相等啊，看一下啊，这个 k 是 等于多少的好， a 一 八， a 一 八就是 a 一 矩阵，在添上 再添上一个它，是吧，哎，是它哟， k beta 一 加上一个 beta 二， 这个应该没问题啊， a 句正写过来抄，不能抄错啊。好， 这里也会算吧， k 乘以 beta 一 啊，这都成一个 k 嘛，那就是二 k k 三 k 再加一个 beta 二加个一是吧，加个三减个一嘛，拿过来啊。 k 加三，三 k 减一。好，那接下来就是初等行变换了。认真就行了呀，没什么技术含量的问题啊。二 k 加一， 第一行加到第二行是吧？二负二加一，负一加过来加过来，三 k 加上一个四吧。 再看一下，第一行的负一倍加到第三行啊，这是一个零，这是负二了吧？负一倍啊，一减一是一个零，负一倍负二可以负一加三 k 减一 k 减去一个二，是吧？继续啊，继续。 第一行不用动吧，二 k 加一，第二行第二行的话，我们可以把负一给它换为一，或者不换也行啊。换了吧，就乘一个负一嘛。负三 k 负四，好，或者不换啊，不换了，直接这样啊，不换了， 直接操作啊，再方便一点。那第二行乘一个负二是吧，加到第三行吗？就是乘负二就是二吗？减去一个二，好，这就属于零，这也是零了。这里乘这里还是一个零啊。这是一个 三 k 加四乘一个负二是吧？再加上一个 k 减二，我们看是负六 k 减去一个八吗？加 k 减二就是负五 k 减去一个十，负五 k 减去一个十，好，现在啊，可以看啊，我们的条件， 系数矩阵的一个值得等于增广矩阵的一个值。系数矩阵的值很显然可以看出来是等于二的，是吧？你们可以看出来啊，它是等于二，你增广矩阵的值必须得等于二才满足提议嘛。那你增广矩阵的值等于二的话，这一块必须得等于零，是吧？这一行不得等于零吗？好，这个得等于零啊，因为你们得相等啊， 所以负五 k 减十 k 等于负二， 选个定，这个好像没有什么难度吧？这个做错的，你好好反思一下自己喽。好，那这个题讲到这了。

高速，那么你还是先把基础打好，然后呢到信用代数的基础啊，然后呢到概率统计，但数学二没有这个啊，数学二没有这个数一数三有啊，我们学习的顺序呢，一般是这样的，高速基础，现在基础概率统计基础，然后这个呢就做一定的一个总结了 啊，做一定的总结了，然后在总结之后我们再开始高速的强化啊，然后信用代数的强化， 然后概率统计的强化。呃，初二没有概率统计的强化，是吧？然后呢我们再做一定的总结，然后就开始做做这个卷子了 啊，做试卷了，这个试卷呢就包括了一个是真题，一个是模考卷，比如说八加四，这里头我要强调一下，这个总结东西不一样的啊，我们在这个阶段里头呢，总结的是什么呢？总结的是知识 啊，这个知识呢包括我们的基本概念定义啊，基本定义啊、基本公式啊、基本结论啊，还有这基本的题型，基础题型 啊，这个是我们在第一个阶段要做的工作，而强化阶段这个是基础啊，而强化阶段总结的东西呢是解析方法，是解析方法，这个是不一样的啊，你这个阶段总结的东西呢？这个重在这个做题。

亲爱的学员们，大家好，好久不见，欢迎来到新的一场量解析考研数学，那么今天我们就来看这么一道很有意思一道线段代数题啊，我们来去求啊，这个 a 这个矩阵的行列式，那我们针对于这个 a 这个矩阵的行列式的话，它里面的元素啊，它呢是跟这样的一种啊东西有关系， 那么它所表示的是什么意思呢？首先来看这个 i 等于 z 的 时候，其实也就是说这个主对角线上面啊，都是什么呢？都是我们的 r， 然后的话呢，哎，说 i 不 等于坠，并且长到 i 或者坠等于一的时候，那其实也就是说，哎，第一行啊，第一行基本上长的基本上都是一，那第一列的话呢，他同样啊也都是什么呢？也也基本上都是一啊，也就这个样子， 那么其余的部分的话呢，都是零，那么 ok， 这个呢就是我们的 a 这个矩阵，好，我们可以把这个 a 这个矩阵呢，把它写成这个样子啊，就是二啊， u 的 转至啊， u 的 转至啊，然后 u 然后两边的 i n 减一啊，可以把它写成这个样子，那么这个样子它所表达的含义呢？首也就是啊，我们把这个矩阵啊，把它写成这样一种方块矩阵的这样一种形式啊， 那其中的话呢，这个 u 它也就等于一，一点点点一到一啊，然后转至，然后呢它是属于这个 n 减一个啊， n 减一个，那其中的这个 i 的 话呢，它代表的是我们的单位矩阵啊，单位矩阵。好，那么 x 的 话呢， ok 啊，我们将把 a 矩阵化成我们单位矩阵的话呢，我们去求它的行列式啊，那其实也就是这个 两边的 i n 减一，它的行列式，我们用它的这个行列式啊去乘以啊，这个呃 r 减去 u 的 转制，然后两倍的 i n 减一，它的一个例啊，然后呢 u 啊，我们来去，这，我们啊就可以把这个 a 这个行列式变成这两个行列式的一个乘积了啊，就是这个样子。 好，那我们首先来看二倍的 i n 减一，他的这个行列式我们来看应该等于多少？这个的话呢，还是蛮简单的啊，这个这个话还蛮简单的啊，他的话呢，也就是两倍的这个 n 减一次方啊，主要就是把这个二停这个这个挪到外面去就行了啊，那么最后最后剩下来的这个 i n 减一，他这个单位正，那肯定就是等于一了吗？对不对？ 这蛮简单。好，那然后的话呢，我们来去看一看，关于这个他的二倍的 i n 减一，我们拿去看看他的这个力啊应该等于多少？那这个东西很小，就是二分之一倍的叫 i n 减一，对不对啊？ 这个比较简单，那么呃将使的话呢？ ok， 我 们这个地方 u 的 转至就乘以二两倍的 n 减一的力，然后 u 我 们针对于它的话呢，我们就可以写成 u 的 转至，然后呢二分之一 i n 减一，然后呢 u 就 可以变成这个样子，对不对？那其实就等于二分之一啊，二分之一这个 u u 的 转至乘以 u， 那 这个东西很想是等于多少呢？很想它是等于这个 n n 减一啊，这前面还有个二分之一啊，二分之一倍的 n 减一啊，因为这个 u 的 话呢，它是它是什么呢？它是在这个里面啊，就是 n 减一个啊， 好，那么呃加时的话呢？ ok 啊，我们真正啊，真正我们想去求解的这个 a 的 行列式，它的话呢也可以把它变成这个两倍的 n 减一次方，然后呢啊这里面就是二减去二减去这个 二分之 n 减一啊，就可以把它变成这个样子了。好，那么呃，加家长的加，就说把它变成了这个样子之后， ok， 我 们来去计算它，那可以说就非常非常简单了，那就等于这个两倍的 n 减二，然后呢五减 n 啊，也就可以把它画成这个样子， 但是这样的一种情况下呢，我们要注意一下它是什么？它是针对这个 n 大 于等于二的时候啊， n 大 n 这个大于等于二的时候，我们才这么说，但如果说，如果说啊，如果说 n 啊，它就等于一的话呢， n 等于 n， 如果说就等于，那么这个 a 这个矩阵，它其实讲它其实就是个二，因此的话它它它其实讲它其实就是等于二的，那这一点的话呢，也非常非常的重要。