初中数学全部画图题画法

十一题，哎，又是一分钟来，一分钟之后，我们来讲倒计时，一分钟时间到来，所有同学看黑板，我们来看一下这个题目应该怎么做。一分钟时间到了，对于第一个，请在你图中画一个射线 b， c 上画一个点 d， 使得我们角 d a， c 等于角 b a c。 哦， d a c 等于 b a c d a c 等于 b a c。 哎，这不就做对称吗？嗯， d 简不简单？第一小问，这个超级简单，在上面找一个射线，找一个 d， 在 射线 b、 c 上面找一个 d， 这个 d 在 哪里？哦， d， 它的对称点就这个点，这就是我们的点 d。 第一小问，炮灰啊， 所以使得这两个角相等来送分。第二个，在图二中点 p 呢，为线段 b、 c 上的一个点点 p 为线段 b、 c 上的一个点。 先画线段 a、 b 的 中点 a， b 中点，这个中点会不会画呢？哦，中点肯定是这个点嘛，这个中点是不是大家都能画出来？所以这个中点我们给他取名叫 o 点。题目说了好，那么他就是我们的 o 点。 好，紧接着他又干一件事情，再将线段 a、 b 沿着 bc 的 方向进行什么？进行平移，进行平移，平移至 m n， 是 不是好？平移至 m n， 使它成为菱形。那菱形， 菱形就是五呗，一二三四五，一二三四五。哎，在这，这是 m， 一 二三四五，这，这是 n 啊，这是一个 m， 这是个 n， 这个画图结束了吧？好，下面这是第二小问结束。第三小问， 在这个二的基础上，先画一个平行四边形， a b p g a b p g， 哦，要一个平行四边，你看平行四边形是不是 p g g 在 这里啊， g 很 轻松就能搞定，应该没有人画不了这个 g 吧啊？ a g， 这个用虚线画 a b p g， 哦，这个 g 在 这里，这就是我们的 g 点好平行四边形画出来， g 有 了之后，下面让你画什么哦？在 a b 上找一个 q， 使得 a q 等于 b q， a q 等于 b q， 你 看一下， a q 等于 b q 怎么画？ a q 在 哪上面找 哦？ a q 等于 b q， a q 等于 a q 等于 b q， 哦，使得这一段跟这一段相等，那其实就使得这一段跟这一段相等，那不就是一个三兄弟画图吗？你只要画这个角的平分线就可以了，对不对？ 是不画这个角的平行线，或者我们也可以怎么样了？你可以看一下，也就意味着我要画这个角的平行线也是一样的嘛。所以接下来我们怎么办？这个角的平行线很好画，它是个菱形，把它一画好，这个菱形一画啊，这个点给它对称过去哦，这就是我们要的 q 点。结束教小朋友们，你第一位画少了，我第一位画少了啊，第一位还要画什么 哦？在 a b 上找个点哦，还要画个点 e， 使得 c e 等于 c b。 哦， c e 等于 c b 啊，那这不送分吗？ c e 等于 c b 怎么画哦，那就是画直角三角形，你看看是不是？我要画这个边，相当于是要使得 c e 等于 c b， 是， 是使这条边是等于这条边吧。好，如果使这个跟这个相等，那其实只是要画什么？画一个直角就行了哦，我接下来这个注意怎么办？ 你看怎么画？我这边是要画一这条边等于这条边，而 c 是 中点，所以我这个角如果是个直角，这不就它跟它相等吗？所以画一个直角就行了。所以过点 d 做这条 a b 的 垂线，咱会画不？哎呀，超级简单，应该没有人。不会吧？把这个点一连连完了之后，这就是我们要的这个点，这个点就是 e 点，对吧？这就是 m。 看。

十三题，我们看看已知某个角 ar 呢，是直线外一点， p 是 直线外一点，在直线 a b 上求找到一个 c， 使得角 p c b， 哦， p c b 这个角要等于 ar， 对 吧？ 这个题目呢，其实啊，没没有太大的难度啊，你看，如果你要做这两个角相等，当然你千万不要有同学做这个老师，这两个平行的，这两个在一条直线上的。题目并没有说，你并没有说这两条线在一条直线上，有人上来就直接，哎，这个做一条跟这条线平行的就 ok 了。这个没有说啊，没有说他俩平行，所以不能那么干。那我们怎么办呢？ 其实很简单啊，你想你过一个点做一条平行线，这个会不会，这个皮做平行会不会用尺规做图？做平行会不会？哎，这个其实很简单，来，我教大家如何用尺规做图做啊，因为我这边没有圆规，没法给你操作，但是我大概的告诉你，其实就是做角相等嘛，我随便取一个点，比如说在 a b 上随便任意取个点啊，用，我用虚线， 我随便取个点，这个点是谁啊？不重要啊，那他题目出的是 c 是 吧，那我就换个字母，我就用 d 吧，这字母都无所谓啊，我取了一个这个 d， 把它连起来，任意取一个点 d 啊，那这时候我干一件什么事情呢？哎，我看一下这个角，这个角，比如说叫角一，我能不能此时在这个地方做一个这个角跟角一相等啊， 应该好简单吗？这个怎么样？做一个这个角做两个角相等，我们会不会做？哎，这个很简单，以 d 为圆，比如叫一点和 f 点，没错吧。 然后同样以 d 为，以 p 为圆心，以相同的长为半径做弧，交于这个点，是 g， 看得懂吗？然后以 g 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，又做弧交于它与点 h。 那 这个时候我们把 ph 连起来，这两个角是不是自然就相等了呀？朋友们，再看一下，我说我再说一遍啊。第一步， 呃，随便取个点 d 把它连起来，连完之后呢？我现在的目标就是做两个角相等，我现在讲的方法就是如何做角相等啊？以 d 为圆心，以任意长为半径做弧，比如说交于 e 和 f 这两点。 好，现在以 p 为圆心，以相同长度。注意，这个步是相同长度。你刚才这个这个弧长是你这个半径，这段长是多少？我这个这段长也是相同长度啊，一定是相同长度为半径做弧交，这个 p d 于点 g， 然后以 g 为圆心，以 e、 f 的 这条长为半径，又做一个弧交于点 h， 那 这时候我把 p h 一 连，这个角是不是就是我们想要的这个角 e 啊？这两个角是不是必然相等啊？哦， p h 画出来了，那么这条线，你看 p h 这条线，我把它画出来。 你看清楚，我们 ph 这条线是不是一定和我们的 ab 是 平行的呀？因为我刚才的目标是不是就画了这个角，使得角二跟角一相等啊？所以这个 ph 一定跟这个平行吧？啊，这个，这个，第一步平行搞定，那第二步要画角相等，这不是手到擒来的事情吗？你想，如果我们要画这边一个角，这个角 pcb， 这是 c， 这个角要等于 r 法， 那其实不就这个角也等于。因为两直线平行，内侧角相当，所以我这边只要做一个这个角等于 r 法就可以了。那么接下来，哦，同样的道理又很简单，这个我标一个字母，这叫 e 吧，瞎标了一个字母啊，字母就随便你了。那同样的以什么呢？哦，以这个点为圆心，以任意长为半径做弧，与它交于，比如说交于这个 f g 两点，没毛病吗？ 啊？同样，我以 p 为圆心，以任意，不是以刚才那个一样的长，跟这个一样的长，这个长是多少？又做了一条弧，没毛病吧？哦，做弧这个叫 m 点。 好，接下来以 m 为圆心，以这个 f g 为半径做弧，哦，周他于一点，这一点叫 n 点，此时我把这个 p n 一 点与 a b 交于点 c 结束。看得懂吗？我此时做的这个角是不是就跟这个角相等了？ 能不能看懂？当然，如果跟着直播课学习的同学，我可以给大家分享一下，为什么这两个角相等，他其实用的就是什么？他用的就是边边边全等。你看我们学过全等了这条边，你看这条边，这条边，这条边跟这条边是不是都相等？对应相等这条边。我刚刚做胡的时候，是不是这两条胡是相等？这两个三角形边边边全等，全等之后，我们瞬间就有这个角是等于这个角的了，对不对？ 我们如果没有学全等这个原理不好解释，但是学完全等这个原理就很好解释了啊。一旦知道这个角跟阿法相等，所以这个 c 是 不是出来了呀？啊，所以我们这个 c 好 简单，这就是 c， 那 我们画的这个角阿法，那么这个角就是阿法。其实全程啊，只干了一件事情，做相等的角。 哎，这就是我们中考十四大作图中的其中一个必须掌握的作图方法。做相等的角就中考我们指挥作图或者指挥作图一共有十四种做法。 这个十四种做法呢？坐向的人脚只是其中一种，必须每个人都会啊，就是如何做一根两个脚向的。这个每个人都会，如果不会听视频，然后反复的训练一下，要不然中考考到了你一定会扣分啊。

这是哪位粉丝在评论区发图给我们问，等边三角形 a、 b、 c 以点 d 为旋转中心啊，这是一个点 d 旋转中心，把三角形 a、 b、 c 按顺时针啊，也就这个方向 旋转六十步，画出旋转之后的图形。那么如果你的手头 有圆规，有两角器，你可以拿圆规和两角器去做这个图的旋转。那如果没有圆规和两角器，今天教大家用一支笔就可以在考试的时候遇到这种题如何去做啊？为什么我们可以不用 连圆规圆两角器都不用？是因为这道题出的比较特殊，因为他给出了这是个等边三角形，而又让我们旋转六十度，那等边三角形如果沿着 d 还旋转六十度的话，会出现什么情况？ 就会出现平行的效果，是不是因为它本身大家要清楚啊，为什么可以不用两角器就知道，因为它是六十度，六十度， 六十度，这是根据题目已知条件等边三角形告诉我们的，所以待会呢，我们做图的时候，连 两角器都不用都可以画出来。看清楚了，假设我手中这就是一支笔啊，比较长一点的笔，或者一根小木棍都行。考试的时候没有木棍，那你只能拿拿着一支笔， 试卷上的图也没有那么大，一支笔的长度，一支铅笔的长度足够用了，对吧？或者你拿一根筷子都够用。那么今天我们就借助于这支笔来展示下如何把旋转的图形画出来啊。首先我们可以 左边卡住点是吧，右边也卡住点，虽然我的这个笔呢，比这一条 b、 c 这条边长，那我要做个标记， 做的 d 点的标记，然后这是 c 点的标记，看到没有？然后这头跟它是对齐的，这是 c， 这是 d 点。好，接下来呢，我就按着这里开始旋转啊，旋转六十度，那哪里才是六十度呢？那肯定这里就是六十度， 好，跟 a、 c 平行的时候就是六十度，那么这个点我就把它点出来，这个点就是 c 的 对应点，这个点呢就是 b 的 对应点。 好，把这个点记住， c 旋转六十度就到这里来了，我叫 c 平， b 旋转六十度就跑到这里来了啊，这叫 b 平， 那为什么平行呢？你想想，既然是旋转，从这里旋转六十度，对吧？那这个夹角是不是也是六十度？那这个是六十度的话，你看他跟他是不是内错角的感觉？ 两直线平行，内错角相等，你要想是六十度，你也可以倒过来说话吗？内错角相等，两直线是平行关系， 所以我为什么不用两角器，就是因为我提前知道 a、 c 和 b 撇 c， 它旋转完之后一定是平行的两条直线，也就是 a、 c 平行， b 撇 c 撇这条直线， 那我接下来就可以把这两个点连起来了，而且他俩的连线一定会穿过这个对称中心啊， d 点， 好，这样就出来了。好，那接下来两个点确定了，还有一个 a 旋转，不知道怎么办呢？那我继续知道啊， b、 c 是 跟着旋转啊，你看，刚才跟着跟着旋转，那么 a 点其实因为它是个完整的整体的三角形图形， 所以它一定也是跟着旋转，那它旋转到哪里呢？你看，当我们把 c 点从这里跑到这里的时候， b 点从这里跑到这里，对吧？那 a 点跑到哪里是不是也得那样跑，对吧？所以你无论是从这跑还是从这跑都可以啊，其实我们应该是画的 差不多了啊，那这里呢？我们知道他是六十度，是不是啊？接下来呢？ 啊？接下来呢，也很重要，是那么一个点，两个点，确定了，确定第三个点就可以把图形直接全部连起了。那第三个点请问他旋转到哪里了呢？你得想象一下啊，他从这跑到这，然后呢？ a 点是不是继续往右旋转？ 那旋转的时候，你现在也没有圆规，也没有两角七，咋办？我只有一支笔啊，怎么办？或者只有一把尺子怎么办？很简单，还是根据他本身等边三角形的特殊性。 是不是因为他是等边三角形，他每一个角是六十度，六十度，六十度，那他旋转完之后，他每一个角仍然跟原来的角全都是大小相等，跟原来的边长也都是长度相等，所以我就知道第三个点也很容易出来。怎么出来？ 它一定是和 b、 c 平行的啊？它仍然还是和 b、 c 平行的，而且是等于 b、 c， 因为等边三角每一条边都 是啊，都是相等的，所以我从这里推推推推推推推推好平移到这里，然后呢，摁紧了，把这个点一条线画出来 啊，这个手呢，要保证尺子或者这支笔不要来回乱动，好，画到这里结束。这边就是 a 撇， 然后我就可以把 a 撇和 c 撇连起来了， 大家看一下图形，是不是大概是这个图形啊？我拿着这个圆图形，嗯，六十度啊，它是不是跑从这跑到这？ 那我为什么知道这个 a 撇 b 撇也是平行 b c 的 呢？老规矩还是因为等边三角形的特殊性和平行线的性质？因为你看这个角是不是跟原来的内角六十度肯定是相等，对吧？那它和这个角之间， 这个角是不是也是六十？为什么？因为这里是六十，那他的对角是不是也是六十？肯定是六十嘛，那这个六十和他都是六十，那这又是不是又是内错角相等？ 他俩必须相等啊，对吧？那既然相等，内错角都相等，两直线不就平行了吗？所以你看，我不用两角器，但是我根据 等边三角形的度数的关系和平行线的关系，我就推出来了啊。我画第一条线，我是旋转六十度直接旋转的，我画第二条线的时候是平行画出来的一，而且第一条线画的时候旋转之后，我怎么知道它旋转到这里了？因为我根据了六十度，六十度， 所以内错角相等，两直线平行，所以第一次的平行就是 b 撇 c 撇和 a c 的 平行。而第二次又用了一次内错角相等，也就是这个六十度和这个六十度，对吧？那它又出现了平行线，也就是 bc 和 b 撇， a 撇也是平行线， 当它们都是平行线的时候，每条边的长度又和原来的边长度相等， 所以我仅凭一支笔，一把尺子就可以把这个等边三角形绕 d 点旋转。六十度是顺时针旋转啊，顺时针就是往这边旋转，那逆时针呢？另外的方向啊，跟这个不一样。 有的这个粉丝还担心说这个旋转图图形呢，要是没给用，告诉我哪个点旋转，那我怎么办？放心，这种题只要是旋转的题，不管是一个点的旋转，还是一条线的旋转，还是一个图形的旋转， 所有涉及到旋转的题目，他一定会给你旋转点，因为旋转旋转就是围绕着定点的旋转呀，如果没有固定点，没有旋转中心，也就是这个点，那怎么旋转？你随便是吧，那就没法预测，没法去旋转了。 所以所有旋转的题一定会告诉你那个点，也就是旋转中心围绕着那个固定点，围绕着那个定点，也就是不会动的点围绕他也叫旋转中心，围绕这个旋转中心， 接下来还一定要告诉你是顺时针还是逆时针，这就叫旋转的方向。第三点，他也必须告诉你旋转的度数，要不然请问我旋到什么时候为止呢？对不对？我是怎么旋呢？对吧？这些事情，这三件事情一定要交代清楚，我们才能做通。

哎，进阶的同学们，我们来看一下这个题目哦，这个做图题简不简单呢？第一个，请你用无刻度的指示，注意，不能用圆规， 不要说亲爱的宝宝们，上来就把圆规找出来了，有些宝宝们真的是可可可开心了，老师，这题谁不会啊，圆规一拿就开始画，那注意人，题目说了不能用圆规，那现在过点必画 ac 的 垂线，我们知道菱形 他的对角线相互垂直，所以我们要过 a， 他 做他的垂线，所以直接是这样一下就可以了，这就是过他做垂线，这就是垂足结束。好，第二个注意啊，前面的这个要辅助线用虚线，后面的垂线是要用实线来画的啊， 下面我们看点 e 是 ab 边上的一点，那么在上面画一个 f， 注意，对于我们这种无规作图，注意，无规作图里面有一个技巧，大家注意一下。首先只要是没有圆规的，第一步，先画对称轴，画对称中心，对称 中心，对称中心或对称轴是吧？第二步，干嘛？就是将我们中心对称图形边上的点，关于中心对称点的对称点画出来，是不是啊？那这这个题目又是松分题啊，虚线虚线，虚线作图， 虚线作图啊，这个给他一年，哎，这不就是我们要的另外一个点 f 吗？你就说简不简单吗？这不是炮炮灰题吗？送分吗？好，第三个，让你画一个 b f 等于 b e， 这个绘画不一样的。首先第一步是所有的你抖，首先你把它的对称中心画出来， 对称中心画出来，当你把对称中心画出来之后，来先把这个 f 点给咱找到了哦， f 点给咱找到了，他要的啊？他要的不是这个。那整错了，他要的是下面哪个。那我就先画下面这个，哦，我把这个一连，这个点一连连完了之后，把它一连连完了之后，哦，这就是我们要的 f 结束。

尺规作图与无刻度尺尺作图，同学们，今天咱们来学习尺规作图。尺规作图就是只用圆规和没有刻度的尺尺来画图，而且要了解作图原理，保留作图痕迹，但不用写具体做法， 下面我一个一个给大家讲。首先是做一个角等于已知角和做一个角的平分线。做一个角等于已知角，就好比我们要复制一个角，用圆规和直尺能精准的把这个角复制出来。 做角平分线呢，就是把一个角平均分成两半，就像把一块蛋糕从中间切开一样。 接着是做一条线段的垂直平分线和过一点做已知直线的垂线。做线段垂直平分线就是找到一条线，他既能把线段分成相等的两段，还和线段是垂直的，就像给线段找了个中垂线保镖。 过一点做已知直线的垂线，就是从这个点出发，画一条线和已知直线垂直，就像给直线立了个标杆。然后是过直线外一点做这条直线的平行线，这就好像在一条路旁边再修一条和它平行的路，用圆规和直尺就能实现。 再来说做三角形，已知三边，两边及其夹角，两角及其夹边都能做出三角形。比如已知三边， 就像我们有三根不同长度的小棒，把它们首尾相连，就能拼成一个三角形。已知底边及底边上的高线。做等腰三角形，就像先确定房子的底边和高度，然后就能搭出等腰三角形形状的屋顶。 已知一直角边和斜边做直角三角形，就像知道了梯子的长度和它靠在墙上的高度，就能确定直角三角形的形状，还有做圆相关的过不在同一直线上的三点做圆，就像给三个不在一条线上的点找一个共同的加圆 做三角形的外接圆，就是给三角形找一个能把它包起来的圆做内切圆，就是在三角形里面找一个最大的圆 做圆的内接正方形和内接正六边形，就是在圆里面画出正方形和正六边形，让它们的顶点都在圆上。最后是过圆外一点做圆的切线， 这就像从圆外一个点出发画一条线，刚好和圆碰到但不穿过，就像给圆贴了一条线。

分数应用提高题，一班五十六人，女生走了三分之一，男生走了四分之一，还剩四十人，男女生各有多少人呢？这是一道非常典型的分数应用题， 那我们在解决分数应用题的时候，一定要抓住单位一，我们看这里边女生走了三分之一，走的是女生的，是女生的四分之一， 男生呢是单位一，这里边我们发现男生和女生单位一是不统一的，而且呢我们也不知道男生和女生各有多少人，那么怎么解决这个问题呢？有点困难，我们先通过画图的方法来理一下吧。 我们看女生走了三分之一，走的是女生的三分之一，所以相当于把女生平均分成了三份，取其中的一份，我们先用三个小方块来代表女生 好。男生走了四分之一，走了是男生的四分之一，相当于把男生平均分成了四份，取其中的一份，我们用三角来表示，男生四个三角， 那么女生走的是女生的三分之一，就是一个小方块，那么男生走的是男生的四分之一，就是一个小三角，我们发现他们走的是这么多 好，这个时候呢，我们还剩下了四十人，那么这些呢是四十人，大家发现那么总共这个班级呢，一共是五十六人，那么还剩下四十人，那你知道 走了多少人呢？我们应该用五十六减四十，等于十六人，就说明女生中的一份和男生中的一份一共是十六人。 一个方块和一个三角是十六人，这个也是一个方块和一个三角，又一个十六人，又一个方块和一个三角又是一个十六人，这个时候我们发现还剩下 一个三角，我们发现三个十六加一个三角是五十六人，那你能求出三角所代表的人数吗？当然可以的， 我们用五十六减去十六乘三等于八人，那说明三角呢？就是八人，也就是说男生中的一份应该是 八人。好男生一共是几份呢？一二三四，一共是四份，那么一份是八人，四乘八等于三十二人，这个时候我们知道男生 应该有三十二人，那么总人数是五十六人，我们用五十六减三十二等于二十四人，说明女生呢是二十四人。

好同学们，来看这道题啊！初中的函数画图老师教你一招怎样画。二是函数口朝上， 好，看见符号口朝下。 整体加数向上移， 整体减数呢？向下移， x 加数向左移， x 减数呢？向右移。 好，整体乘数呢要变瘦， 整体除以数呢要变胖。

应一位家长的要求啊，给大家说说中考数学做图题，我会用最贴近中考实战的方式，把各地的主流考法题型、形式、解析的关键，结合一些中考真题，一次性给大家讲清楚。 全国各地中考做图题有三大类考法，分别是尺规做图、格点做图、无刻度尺做图。 我要说的是在我多年的教学初中数学的过程中总结出来的适合各类做图题的方法是， 先按照题目的要求，在草稿纸或是备用图上面把题目要求做的大致图形给画出来， 然后再去分析思考如何做才能得到这样的图形。最关键的还是要熟练掌握几何图形的性质和判定方法。下面就具体给大家说一说这三类考法。第一，尺规作图 主要的考法形式，第一啊，直接做图，做角的平分线啊，线段垂直平分线，过一点做垂线，平行线做全等三角形，做特殊三角形，包括等腰三角形啊，等边三角形，直角三角形 做圆的，切线做三角形的外接圆和内切圆等等。第二，先计算或证明，再作图。 给出图形的边长、角度等条件，先求出一些相关的数据或是推理过程，再用尺规画出图形。 三、作图和计算证明相结合，用尺规按要求画出图形后，求线段的长度、图形的面积以及图形的相似和全等，还有相关的梳理证明。尺规作图的解析关键在于 第一点，必须保留作图痕迹，这是得分点，如果擦掉了就会扣分，甚至不得分。 二、严格按尺规作图的要求，用圆规和无刻度尺作图，不能量线段长度和角的度数。三、熟记五种基本作图， 并能熟练的画出来。你记住，不管多么复杂的尺规作图体都是他们的组合。 四、要求写出作图过程的语言要规范。即使没有要求，写出作图过程，也一定要写出结论性的语言，也就是如图，就是题目所要求的图形。 第二，格点作图常考的形式有，平移、旋转、轴对称、中心对称、相似三角形、面积固定的图形 找特殊点啊，比如直角、顶点、线段的中点等，腰三角形的顶点角平分线上的点等等。 格点作图的关键点是大家要熟悉图形的特征，巧妙的应用格点的特征和图形的特点进行作图。 比如找格点中线段的中点，就需要借助矩形对角线互相平分的性质，利用相关性质做平行、垂直旋转以及求面积等等。 第三，无刻度支持作图。这是这三类作图题中相对来说难一点，建立在格点作图的基础之上， 常考察的形式只给一把无刻度的直尺，在特殊四边形和圆中做中点，做平行线，做垂线，找角的平行线，做圆的圆形和切线等。 用平行四边形的对角线找中点，矩形、菱形的对角线找中点做垂直 等。腰三角形三线合一可以做角形边线、三角形的高线，也就是做垂直，还有线段的中点，在圆当中利用直径所对的圆周角可以做直角，利用圆的性质找圆心等等。 比较起来啊，尺规作图相对简单，属于基础题，送分题。格点作图属于中档题，需要对相关图形的性质和判定熟练掌握。最难的 是用无刻度的直尺做图，对灵活运用几何知识的要求更高。最后叮嘱大家一句，你要想中考做图题拿满分，除了平时把几何图形学的非常熟练，还要去更多的练习，在平时练习中找方法， 不要所有的题目都等老师给你方法，要在平时的练习中自己总结方法，做到见多识广，熟能生巧。

好，又给我出难题啊，二分之一加四分之一，加加加加。来，这道题不会啊，不会，来仔细听啊，这道题呢，采用抒情结合的思维啊，做法呢当然很多。我们首先来考虑一个东西，什么叫做几分之一？也就是说分数的本质是什么？哎，分数的本质叫三个字，叫平均分都忘了。 那么你看啊，二分之一就是把一个东西分成两份，他占了一份，四分之一呢，分成四份占了一份，所以你发现规律了没有？这都是倍数，发现了没？好来，那我找二分之一，这是一个长方形，或者说正方形都行啊。好，二分之一就是他的一半， 这就是二分之一。那四分之一呢？四分之一就是把二分之一再给他分一半，我这里就是四分之一。八分之一呢？八分之一我把它再分一半，对不对？这是四分之一吗？ 哎，再给他分一半，这就是八分之一，对不对？好，十六分之一呢？十六分之一就是八分之一，再给他分成一半， 那这就是十六分之一。所以后面的你们能不能自己做了？能不能自己做了三十二分之一呢？把十六分之一再分一半，这就是三十二分之一。那么六十四分之一呢？六十四分之一再分一半，这就是六十四分之一。所以剩下来这个角角里面是多大？ 这个角角？对，这个角角就是最后一项吗？对不对？六十四分之一吗？对不对？这个也是六十四分之一，但是这个是我不要的啊，我只要白色的，那么这个总量是多少？这个总量就是单位一减去这个不要的六十四分之一。好了，剩下的答案你们自己来做吧。

好，同学们，咱们今天来讲二零二六广州中考一模数学的第二十五题。好，我们来看一下这个题，他跟我们说如图十五，好，就这个图， 他说在平行四边形 a、 b、 c、 d 中角 d， a、 b 是 等于四十五度， d， e 呢？是垂直于 ab 的。 好，我们看一下 d、 e 垂直于 ab。 好，那接着他还告诉我们说 d 一 是等于二倍根号二，所以的话，我们这个地方就可以把它标一下，它是等于二倍根号二。 好，后面还可告诉我们一个信息，他说 a 一 是等于两倍的一 p 的 行。那么第一题的话，他说让我们填空，让我们求一下 a 一 这条线段和 a 一 这条线段的长度等于多少？ 那其实当我们刚才读完这些信息之后，其实应该可以很明显得到，这个是一个等腰直角三角形啊，四十五度垂直，所以 等腰直角三角形的话，那第一是等于二倍根号二，说明 a 一 肯定也跟他是相等的，是二倍根号二。 并且我们要记住，等腰直角三角形当中，它的三条边之比是一比一，比根号二，说明这条斜边 a、 d 的 话，一定要在直角边的基础上再乘一个根号二，所以的话二倍根号二，乘根号二的话，它的结果算出来的话是等于四， 好，那么第一题很简单，对吧？那我们来看一下第二题。第二题的话，他说已知点 f 是 线段 a、 d 上的动点好，是线段 a、 d 上的一个动点，他不会跟 a、 d 重合 好连接 e、 f 将三角形 a、 f 一 绕着点 a 顺时针旋转去得到一个三角形 a， f 撇一撇，那这个一撇和 f 撇的对应点肯定跟一和 f 是 一对应的 好，他说满足一个条件，他说满足 e、 f 撇，还有这个 e 撇三点是在同一直线上，那么记此时的一个旋转角为 alpha， 好， 那么 alpha 的 度数的范围它是有限制的，就是四十五度到一百八十度之间。 好，那像这种题目的话，其实同学们一定会遇到一个问题，就是他其实下面这两个图他是并没有帮你画出旋转后的那个图的， 所以其实同学们一定要学会自己去选择一个角度去把它对应的那个图形画出来，你才能去解决以下的题目，对吧？好，那么还是一样，老师拿上我自己的放大镜啊， 又给大家把图放大了，放大了之后，我们就拿下面这个图来给大家做一个演示，就是如果我们我我自己想画的一个度数是一百二十度，所以的话我们就演示一下。 好，而且其实大家要注意到一个问题，这个旋转的话，其实主角其实是那个，他说三角形 a、 f、 e 要绕着点 a 去顺时针旋转，其实这里面旋转的主角应该是 a 一 啊，为什么呢？因为 a 一 的话是那一条定长啊，因为它是固定的长度，所以你让它去旋转一定的度数之后，它到的位置是固定的 啊，所以我们可以选择去以 a 一 为主角，我们先旋转一百二十度，好，拿上我们的那个量表器，好，接着我们开始去找一找那个一百二十度的 标记啊，我们找一下一百二十度的标记，在这个位置好，找到这个标记之后呢，我们接着再连接 a 和这个标记， 连接 a 和这个标记，我们可以稍微就是画成一条射线啊，画成一条射线， 画成一条射线之后呢，接着我们就要用圆规啊，就用到我们的圆规以 a 为圆心啊，然后 a 一 为半径去画一段弧啊，画一段弧， 行，那么我们画了这一段弧啊，可能有点浅啊，但是我这里把那个焦点标出来这个点，那这个点就是我旋转一百二十度之后的一个一撇啊，一撇好，然后我再把多余的那个线段可以去涂掉啊， 那么我们得到这个一撇之后啊，我们得到这个一撇之后，他题目里面你们刚才读题的时候是不是有注意到他有一个条件是要满足一 f 撇跟一撇这三个点是三点在同一直线上，那么我刚才说主角是 a 一 的意思就是当你把这个 a 一 撇画出来之后，那么因为他们这三个点是在同一直线上的，所以其实我们是不是可以先把一和一撇这两个点先连起来， 对吧？我们先把它连起来，因为这样连起来，你就相当于说已经确定确定了这个这条线啊，就是这三个点所在的这条线应该在这条线上。 好，那么同样的道理，我们知道我们刚才自己画的是一百二十度之后，是不是相应的这边这上面是不是 f 点在这条 a d 上， 那我们虽然不知道他在哪里，但我们可以以这个 a d 为啊零度线，然后我们去画一个一百二十度的角，还是同样的需要用到我们的量角器好，一样，我们还是去画出一个一百二十度的角， 以 a d 为零度线，好，然后我们这边找到一百二十度的那个标记， ok， 找到这个标记之后，我们再连接这个，这个标记跟 a 点好，连接这个标记再 跟这个标好连接之后，它其实跟这个一一撇是不是就有一个交点，就是我们要找到的啊 f 撇啊 f 撇， 所以其实当你画完这个之后，你才能去确定出 f 的 位置的啊，所以我们现在还是用啊圆规，以 a 为圆心啊 f af 撇为半径， 这样我们重新往回去，找到那个我们要的 f 点，好，找到了 f 点在这里找到 f 点在这。好，所以的话我们找到这个 f 点，在这时候我们就可以把这个 f 一 去连起来了， 所以大家一定要记注意这个顺序哈。其实我们是要先旋转 a 一， 然后旋转完 a 之后连接一和一撇， 接着我们才能够去把这个啊 a、 d 这条线作为零度去选旋转一定的角度，好，跟这个一撇形成一个焦点，这个焦点就是我们要找到的 f 撇点， 并且我们要找到这个点之后，以它为半径往回去找 af， 好， 这个顺序大家一定要明。

尺规作图趣谈这本书不只是教你怎么用指使和圆规画图，它是把尺规作图的历史方法和思维训练结合在一起。系统泥讲解了尺规作图的关键技巧，比如诡计交接法、代数解析法、几何变幻法等等。 从古稀那三大作图难题讲起，带你了解吃亏作图的发展轨迹，感受数学时尚的经典谜题。既覆盖了中考常考的基础作图题，比如作角平分线、垂直平分线，也有不少拓展性的作图问题。

啊，大家好，首先祝大家新年快乐。然后这个昨天在评论区里边有一位同学说他自己不会画辅助线，然后让我教一下他这个辅助线怎么画。 首先呢，这个在初中的八年级，然后用到辅助线主要有呃五种，然后我们看第一种， 第一种看见角平分线就往两边做垂直，然后这是一条这一条角平分线，然后你就往两边做垂直，然后这个一般是在那个基础的选择题或者填空题里面出现的， 第二个是在大题里面出现的，呃，第二个是两元一线，呃，然后呢就是 在那个倒数第二题里面出现，这是一条一次函数，然后让你找这两个点为边的等腰三角形，以这个点 这个长为半径做圆，这个点这个长为半径做圆，然后再做一个重申线，这样呃，如果说他要让你求 x 轴上点的话，这样你就呃，你就去那个 呃，你就去这个呃，就是给他求一下他的就是坐标就可以了。 第三个是手拉手里边的，呃，一个辅助线，就说他是他的原本的形状是 就是这样一个圈围起来的，中间一条横，他如果告诉你这里是四十五度，这里四十五度，你就可以分别在这里做垂直，然后和在这里做垂直，这样就得到了一个手拉手，然后这两个 这两个三角形全等，然后看你在求什么，就可以再给他求一下，然后这里垂直的原因是拉手线的加角等于等于零角， 之后是将军一马，然后最小值问题，这是在画图里，画图题里边第三问经常会出现这种，呃，然后 这是假如说一条直线，然后这一个点 a， 这一个点 b， 然后求这个在这个点 p 是 在这条线上动点， 然后求 p a 到 p b 的 最小值，以及此时它点 p， 这样你就把 b 给对称过来，然后再连 a 和 b 撇与这条线的交点，就是 p 点， 之后是刮动原理，这个刮动原理呢，就是说呃两个动点，他与一个定点有关系，他这个 这个角与定点的连线和这个点对定点连线，他的夹角是呃定值。 就比如说这个题目是呃连接 pa， 以 pa 为斜边做等腰直角三角形，这个就是这里是点 q， 这是点 p， 然后它的运动轨，然后点 q 的 运动轨迹和点 p 的 运动轨迹一样是直线， 然后根据刮度原理的一个内容是，呃，就是这个主动点的轨迹和从动点轨迹的夹角，等于这个与呃与定点的这个连线的夹角， 然后比如说这一点 q， 我 们可以再画出一条特殊情况，就是就是当他在这个地方时候，然后就是点 q， 呃，刚好在这个 刚好在这个 o 点的时候，然后这时候呢点 q 连接点 o 就 得到他的轨迹，然后他一般是让你求谁和谁的最小值， 然后比如说这个时候他再给你一个这样一个点，然后你呃向他的轨迹做垂线，这样垂线的最短，这样你就把他做出来了。

谁能想到啊，我们做计算题向来都是埋头死算，一步步硬算，而今天这道 等比数列题偏偏就能用画图题去解决，真正把这个数形结合结合用到了极致。那今天咱们就通过画图题来解决的等比数列求和问题。这个是我画好的图，我把这个 正方形平均分成了几份，这个正方形就可以看作单位一，首先呢，它是二分之一，我们说这个是不是就相当于二分之一啊？我把这个二分之一涂色又是二分之一，四分之一，是不是这块 把这个四分之一涂色八分之一，八分之一，是不是这块再加上十六分之一，十六分之一，是不是这块又是八分之一，十六分之一，这一块是不是三十二分之一啊？ 把它涂色六十四分之一，是不是就是这块二分之一加四分之一加八分之一加十六分之一加三十二分之一加六十四分之一，是不是正好对应的是阴影部分的面积？ 阴影部分的面积是不是就等于整体的这个大的正方形减去这个小的空白的正方形，那空白的正方形是不是就是六十四分之一呀？所以它最后的结果是不是就是一减六十四分之一呀？好的，那么我们就可以直接出结果了， 这题就等于一减六十四分之一，等于多少呢？等于六十四分之六十三，是不是秒除结果呀？ 大家以后遇到类似这种等比数列，我们就可以用画图的思路，直接用单位一去，减去后边这个分数，就能得到结果了。 大家还有什么别的解题的好方法可以打到评论区，咱们一块交流学习。

最后一道题做好的同学，飘六，看清楚他这个题目，不要再拿出圆规了啊，再拿出圆规看自己了啊，把这句话圈出来，只用无可厚非的指使啊。这么多人飘六了，我都没来得及数，已经有十四位，十五位，最后三十秒，十六位， 十七十八，哎呀，太快了，十九二十。好了，不等了，来看一把。第一题，就是个妥妥的送分来，我们画一个平行四边，让它的面积是四，我相信这个没有人不会吧， 画一个平行四边形，使它的面积等于四。第二个要画一个菱形，注意我讲一下它的菱形的话，你要想菱形各边相等，那么这条边已经是根号五了，那么下面一条边是不是也得是根号五？那根号五有几种呢？一种在这，如果在这，还有一种在这，还有一种在这， 那么这三种呢？我们先看第一种，哎，发现这个不合适，它不是面积，不是四，再看第二种。第二种来看一下，假如说在这个位置的话，你发现，哎，这个是个正方形，但是它的面积是四，所以这个答案就是它，所以瞬间就能画出来。第二个也是轻轻松松， 这个换句话说是什么意思？有没有发现这个到这个，这个图形到这个图形，你看他是个什么形？是平行四边形，那这是不是菱形也是平行四边形啊？他其实就是把这条边怎么样，通过拉窗帘的形式，从这边咔咔一拉，给他拉到这边来了，能不能看明白？给他拉过来，拉到这里来 是吧？他的面积始终保持不变，这个平行四边面积跟这个菱形的面积始终不变吧？那只是把这条边从这里给他拉过来了。那么同样这个地方是什么？要画一个面积为四的一个矩形？面积为四的矩形，我是不是要只要把这条边往这边拉一拉就可以啊？ 是吧？那这个这条边往这边拉一拉怎么拉来？我同学们画一个面积往这边拉一拉，但它是矩形，矩形的边要垂直，所以此时此刻我只要画一个垂线。 画一个垂线啊，所以我们要的不就是这个 m 和 n 吗？所以四边形这个矩形 a、 b、 m、 n， 它不就是我们要的正长方形吗？矩形吗？而且它的面积是四吗？ 对不对？这个面积肯定跟平行四边形的面积相同啊，对不对？我只要把这条线给他拉窗帘一样给他拉过来，或者把这条平行线延长一点，那么要菱形，你就找一个边相等的啊，运动到这里的时候是菱形，面积是四，你要找一个面矩形，那只要运动到这个垂直的时候，它的面积就是矩形， 是吧？面积还保持不变吗？都是四，是不是大家都是四面积保持不变？用拉窗帘的形式去解决问题吧，用那个我们小学学过的拉窗帘那个基础思想来解决好。

你知道为啥又出这个题吗？不知道，这是昨天晚上加完作业。是不是我放学之前给你们讲了一遍，家庭作业留了一遍，我检查的时候发现还有一堆错，其中就有你一个 还在这。不知道呢，我今天再给大家讲一遍啊，咱们认真听啊，期中考试一定会考这个题的好不好？那认真打，打起精神来，好好听啊，咱把这个题先读一下。他说一箱苹果如果每人分五个则多四个，每人分六个则少三个，问这箱苹果有多少个？你看，还有交头接耳的认真听啊， 你看这个题啊，我们说盈亏问题是一定要画图解决的，不要背公式，不要死记硬背啊，怎么画呢？比如说，如果他每人分五个， 有多少人我知不知道？不知道不知道。认真听了啊，听好啊，不知道有多少人，我们就中间画省略号，反正我知道有很多很多人每人都分五个，分完之后怎么样？ 每人五个多四个。哎，多出来四个。好，这是第一次分，接下是要每人六个了。哎，我先问问你们啊，不管是每人五个还是每人六个，他总量变不变？不变，那我为什么能在每人五个的基础上去又给每人分六个呢？ 就在这，他多出来四个，你想啊，我从每人五个到每人六个，相当每个人加了几个？写着呢，加了几个？一个，那每人多一个会怎么样？活到九十九，医生远离。我。看这一说，这没用的，就多来劲了。 他如果每人多了一个在这呢，往这看，他则少三个。所以你想他这个分的过程啊，你看一共多了四个对不对？那我要给每人再分一个让每个人是六个是不是这意思？ 一共多四个啊？我给他分一个，然后呢他能不能分？能。他能不能分？能。他能不能分？能有几个人能得到六个苹果？四个四个，哎，也就是四人对不对？他为什么会少三个？ 不够了，也不够了，剩下的人想要没有了对不对？我们刚才说从五个到六个每人要分一个，可是他少了三个说明有几个人没被分到 三。哎，非常好啊，来这的三人是每辈分到的。这有四人。这有三人。一共有多少人？七人你们一起说个算。是吧，我感觉你们好像会了。来四加三等于七人。这题做没做完？做完了。 做完了吗？问的是啥？这箱苹果共有多少个？哎，得问这个。这怎么求我提问一下。来欢欢你来说一下。怎么求。 忘了忘了，我引导引导你啊。来别着急啊。如果每人五个则多四个，一共是有七人哦。每人五个 一共七人。每人五个，这个怎么算？五乘七五乘七。好，那但是呢他还多了四个怎么办？再加四，哎。这是多少个？ 三十三十五加四三十九个，有没有别的方法？有没有你看下一个。哎，对，非常好。心语说的好。每人六个。那这怎么算呢？ 五七乘六，注意人家小阿周人说对了啊。你看啊人家说的是如果每人六个则少三个，这一共是七人。每人六个怎么算？ 六乘起啊，是不是这样的？嗯，他少三个得怎么样？减三减等于多少人 等于多少个苹果？被你们带带带错了，三十九个苹果。是不是这两种方法都可以啊？那么以后再做盈亏问题的时候，先画图，再列算式。这回真会了吗？赶紧把你们作业本打开，赶紧写一下吧。