2022新高考二卷数学导数标准答案

没什么素质是数学提升不了的哈，我们来看这个全国二建的倒数压轴题啊，一起提升素质哈。在看这道题之前的话呢，我们要先 有一个基本素质积累哈，也就是说这两个导数的基本不等式啊，大家得熟知。好吧，我们经常使用啊，这道题的第一问的话呢，是 a 等于一讨论单调性啊，这个就不用说，你求他导就可以了啊，但是需要讲的是他有可能会对第二问第三问啊，造成一些影响，但这道题就没有啊， 那我们去看第二问第二问，他说 s 大于零的时候， f s 小于负一，求 a 的取值范围啊。那我们看到这的话呢，经常想到就是说，呃， 参变分离了，或者说你对他进行分类讨论了，分类讨论是比较麻烦的哈，就是他对于分类讨论这个字母范围的寻找哈，还有逻辑性要求非常高哈，所以我们一般情况下，如果说能参变分离还是参变分离啊，我们试一下能不能参变分离啊，那我们就是这样去写，大家看你写到这的话， 你看你要参免分，你要把 s 要弄过来吧，本来这个其实已经是巨麻烦的一个函数了，你再把 s 弄过来啊，简直是暗无天日哈，就看不到一一点点的这个曙光。对这道题我们说参免分里还是非常非常困难的啊，我们就没办法只能去分类讨论了啊，那分类讨论就求导呗啊 啊，求导之前我们要先先稍微说一下啊，就这个函数的话，他小于负一，有没有可能他过某个定点或者说 s 等于几？他等于负一啊，有没有这种可能性啊？这个你要去观察一下啊，因为很多题的话呢，都会考的这种巧合，好吧，所以当我们观察的时候，你会发现啊，就是 f 零居然等于这个负一， 这个的话呢，还是很有用的哈，因为这里刚好是负一嘛，你是 s 大零的时候，他证明他小于负一，那这个函数应该是个减函数了，最好了，对吧？那是不是减函数呢？当然肯定有其他例外，比如说他先减后增再减，哎，这样子那肯定也可以，只不过这个比较复杂啊，他是理论上存在，而事实上往往 这种是最多的啊，我们后面这个基本上是不太会存这种情况，他太复杂了啊。首先保证一点，当然他肯定不可能是增函数，或者说先增后减也是不行的。而这个的话呢，大家回想一下，你只要导入题做的有点多的话，你看，呃，很多都是 我们刚刚举举那些情况，好吧，这个的话，在其他地方也叫做这个端点效应啊，了解一下。接下来我们就求导哈，求完导的话呢，我们看到这个东西哈，我们说他肯定不能是增函数哈，所以比如说 a 的话呢，不能过大啊，你可以以什么为界呢？你看看到一点四四方，我们可以以 a 等于一为界哈，如果 a 等于一的时候，这头跟他就一样，对吧？ 那么我们说前面这个是 s 加一，那你这样一剪完之后，它是大于零的，所以它不行，那么 a 如果比一大就更不行啊，所以就是你可以先讨论一下， a 大于等于一，那么如果它大于等于一的话，这个东西肯定会大于，等于什么呢？大于等于 s 加一啊，对吧？乘以这个 e 的 s 次方啊，那它肯定会大于 e 的 s 次方，所以你可以 得到这个 fps 的话，会是一个大于零的，这样呢， fs 就是个增函数啊，刚才讲增函数是不是不行啊，对吧？你增函数的话，你 fs 就会大于什么呢？大于 f 零了， f 零是等于负一的，这个要设掉啊， 那么这个的话呢，是他太大的说法，如果说，呃，我们希望其实他是一个小于零的吗？对吧？减函数最好的，所以 a 有没有可能哪个地方是哎就减函数的呢？你可以判断一下哈，事实上来讲，这个地方如果说 a 是一个负数的时候啊，那这一坨肯定是小于一的，对吧？啊，然后的话，你前面这一坨的话，你看 又成了一个比一小的数，所以整个这题说小于一，而这个是大于一的呀，那不就小于零了吗？所以第二种情况的话呢，我们可以判断一下，如果说 a 小于 等于零的时候哈，你看这个时候的话，大家看你这个 as 加一的话呢啊，由于你前面这个东西肯定是小于零的嘛，所以你肯定会小于这个等于一啊，而我们这个一的 as 次方的话呢，也肯定会小于等于一， 本身就大于零嘛。所以的话，大家看你这个这两个数相乘哈，那么他肯定会怎么样啊？啊，肯定会小于一啊， 而这个一的 x 分为大于一，对吧？哎，那这样的话，大家看，我们得到 f p x 的话呢，就会是一个小于零的，那 f x 的话，就是一个减函数，在零到正无穷哈，减函数的话呢，那你 f x 就会小于谁的呢？小于 f 零， f 零等于负一，那这不就成立的吗？对吧？这就是我们 a 小一点的情况， 那么这两种情况实际上是我们结合这个端点啊，是，呃，负一吗？刚好是，那么他如果增肯定是不行的，减肯定是可以的哈。就我们把这两种相对简单一点的情况给大家去讨论一下，但实际上接下来最难的就是说 a 是零到一之间，这就比较难搞了哈。 呃，因为 a 零到一之间，你这个 as 肯定比他要小一点，那这个的话肯定比他小，但他乘的前面是个比大的数啊，所以这个到底比他小还是比他大？呃，可能我们说都有，对吧？那这样的话，你是一个先增后减，先减后增就 比较不好搞，不好讨论，这才是这道题讨论的真正的困难点啊。但是我们前面这两种简单的可以当帮助大家把这道题这脉络大致这个分析一下，把握一下，好吧，也是非常有用的啊。那我们说接下来怎么去讨论这个大于小于的时候呢？ 你没有办法，这个你是整不明白的啊，所以我们说一道复，呃，杂的一个，这个函数导数题，我们经常应该怎么搞呢？哎，经常会涉及到二阶档啊，所以你对他要进行再制球的啊，所以我们可以假设他是 g x， 对他二阶倒进行研究。好吧，好，这就是我们的二阶倒啊。二阶倒其实来讲还是非常复杂的啊，那怎么办呢？从哪去找突破口啊？这道题其实还是找这种端点啊，作为突破口。 什么端点呢？你比如说你草本上可以写一写啊，其实上来讲，我们除了这个 f 这个地方有个端点之外， g 的话呢，也会有个端点，比如说 g 零，你发现它刚好是零啊，这个有什么用呢？我们先这样啊，我们先取下 g 撇零，好吧，就这个二阶倒哈， g 撇零的话，我们带进去， 首先是二 a 减一啊，那我们这个二 a 减一大一点小一点是不清楚的啊，在这个情况下啊，呃，我们是通过这个二阶倒的一个正负来研究这个 g s 的一个增减性啊，所以它的这个正负的话呢，还是很关键的。 那没办法，必须要讨论了啊，所以我们还是先讨论简单情况啊，比如说的话呢，这个二 a 减一大于零时，也就是说的话呢，你看这个地方啊， a 大于二分之一小于一啊， 这个东西对我们原来这个 gh 有什么用呢？你一个点，这个大一点是没有用的，我们要一段，好吧，我们怎么怎么得到一段呢啊？就这个函数，它肯定是个连续的嘛，啊，所以我们在这个零的这个一个零域内，一个附近内哈，我们说肯定会存在一个 s 零的话呢，它大于零 使的话呢，对于什么呢？对于这个 s 属于零到 s 零的时候啊，大家看，哎，我们这个 g p s 怎么样一定会大于零，因此的话呢，我们说 g x 的话呢，就是 是一个增函数了，那么 gs 增函数的话，在这段范围内他就会，哎大于七零了呀，七零刚好又是零，哎，这就是刚才这个的一个应用，那这有什么用啊？哎，你 gs 不就是 fpx 吗？对吧，不就大于零了吗？哎，这样的话呢，所以我们就可以得到说 fx 再来个什么呀， 这一段呢，就是个增函数啊，而增函数不行啊，是增的写出来哈，所以这样你看 f x 就会大于 f 零，哎，等于这个负一，所以这种情况是不行的，要消掉，对吧？我们要小于负一嘛，接下来的话，我们再看一下啊，如果说他是一个小于零的啊，也就是说啊，这个 a 的话呢，是一个大于零，但是小于等于二分之一的时候， 你说在这个范围下啊，我们刚开始这个东西的话小于零，那小于零能不能得到这个东西永远就小于零呢啊，这个就得不到啊，你后面你看他还是变大的嘛，啊，所以这个东西得不到，或者像刚才这样，我们在某一小段内，他小于零，小于零减函数是可以的呀，但是万一后面增了呢啊，所以这个 不好分析哈，那怎么办呢？我们这个时候的话呢，这是这道题最难的一个地方啊，我们是直接分析这个，原来这个一阶档，好吧，怎么分析呢？我们借助于这个 a 的一个范围啊，然后把它 判断一下。这个符号啊，怎么判断的呢？这样写写不下去啊，所以我们怎么办呢？你看我们把这一坨哈啊，写成这个指数的形式，同时以一为底的啊，你可以写成是一的 lond ax 加一这样子，再乘以一的 ax 减去一的二次次方，然后到这一步哈，到这一步的话，接下就非常复杂哈，这接下来怎么搞呢？你看这个地方，哎，就要再利用一下放缩，这是比较难的一个地方啊，比较难的一个点，怎么放缩呢？你看这里，其实上这个这个次数它是一个增的函数啊， a 是一个大于零，小于二分之一的， 所以我们可以放缩成它小于谁呢？小于等于的话，这个是一的 long， 把那个 a 换成是二分之一 x， 再加一啊，再加这个 二分之一 x， 再减去一到 s 四方，哎，我们要证明的是他这个小一点入就好了哈，怎么小一点呢？你看这里是一到 x 方，这里能不能是 x 方呢？他俩相加就可以了，怎么让他俩相加把这个东西变成二分之一 x 啊，这个叫用到刚才我们讲的那个不等式的啊， 所以他的话呢，就会小一些呢，小于一的哈，这是二分之一 x 哈，这个取不到，等哈，因为 s 不能取到零变成这个，哎，这个结果的话，你看他刚好是等于零的， 这是我们这道题最难最难的一个地方了。好吧，到这的话呢，这盘就可以了啊，你就正出来啥了呢。哎，所以说我们 f x 小于零啊，那么我们这样的话可以得到 f x 的话呢，是一个减函数啊，减函数的话呢， f x 就会小于这个 f 零啊，然后等于负一，这就可以啊， 是吧，所以的话呢，我们其实综上哈，大家看一下啊，这个范围，他刚才不是 a 小于等于零可以吗？然后这个范围也可以，所以 a 的范围就小一点，二分 第一啊，这是一个极其复杂的讨论啊，以及包括这个放缩哈。呃，大家自己的话呢，一定要自己下去自己做一遍先啊， 然后发现自己的阻碍之后，然后你再去探索这些，结合老师给你讲这个东西啊，你才能得到这个素质的提升。好吧，接下来我们再看这个第三问哈，第三问实际上都没有第二问复杂哈，而且这种东西你看他怎么会莫名其妙突然来了个这种好像数列一样的，你看这么一个式子啊，肯定跟前面有关系啊，尤其是第二问， 是吧？所以你就去想啊，跟前面肯定有关系啊。呃，前面有什么样的关系呢？你前面写一写啊，前面他告诉我们的就是说这个 fs 永远会小于负一哈，在 a 小于等于二分之一的时候乘以啊， 啊，就这么一个情况啊，这么一个情况啊，这么个情况。你带着 a 肯定是不行的啊，待会我们就是要用到第三位跟这个联系啊，在用之前的话呢，其实我们不看第三位啊，在这的时候可以明确知道你带 a 肯定是不行的，所以的话呢， a 肯定要就 你，你不是有这个范围，这个范围随便带一个数都可以，那你会带谁，明白吧？这是非常重要的一个东西，你会带谁？你肯定带二分之一吧，是这样一个问题吧，就是你基本上只要有正常素质的同学啊，都会带这个二分之一啊，我们把二分之一带进去啊，我们假设 a 零二分之一是 h s 等于他好小于负一，好吧，在待待会的话备用啊，然后接下来我们要去看这个式子啊，这个式， 这个是的话，左边是一个这么一个情况啊，你看通向呃，求和弦是不太可能的啊，然后你列向你，你可以列列这个也列不出来 啊，求不了和，求不了和，他大于右边这个啊，这种题是要干嘛呢？那么一般情况是这么搞的啊，就是你看你左边求不了和吗？求不了和就化解不了，那右边的话呢，他大于右边，这只有一个式子，左边有 n 个，对吧？所以我们把怎么能把右边这个的话呢？哎，也换成 n 个， 然后的话呢？对应的是什么呢？比如说这个地方对应的是 a n， 右边的话，如果也换成 n 个，对应一个 b n， 你证明 a n 大于 b n， 这种想法知道吗？关键就是说这个这个边怎么找啊？就是这个地方怎么去给他拆，那我们就要看这个什么呢？ lone 的这个 n 加一，他是怎么来的嘛，对吧？你根据这个对数的运算的话，你可以你你看一下，想象一下，他是可以这么去弄啊，就是可以写成是 lone 的这个二除以一啊，然后的话呢，你看 乘以一个三，三除以这个二啊，然后的话呢，再接下来四除以三，一直到后面的话，你看 n 加一除以这个 n 啊，这样的话，你看我们就把它应该切分切成 n 个哈，然后你再根据这个对数的运算，你看给他写开哈。哎，这个时候的话，你会发现我们是不是找到我们的相当于 通向啊，就这么一个情况，相当于就是你把这个东西的话看成一个和的形式，拆成了这么一个情况啊，找到它的通向，那么接下来你看我们只需要证明的是什么呢？那左边通向呀，大于右边通向就可以了呀，啊，也就是这个式子啊，那这个式子的话，接下来你看你肯定要用它了，对吧？肯定要用它，那他俩怎么弄呢？ 你看一下怎么常联系啊？所以我们就看这个地方 s 带谁，对吧？能得到这些啊，那么应该带谁呢？你看应该带他吧，是吧？所以的话你写一写，你尝试一下，如果不行的话，你可以再换，对吧？ 好，我们带进去啊，然后的话呢，进行这个化解啊，比方这个地方其实就是 n 加 h n 嘛，这里的话呢，二分之一你给到这个地方来，对吧？二分之一给到这地方来啊，然后你可以写出来啊，这是对视横等式啊，然后这个时候去继续进行化解了啊，把这个地方移过去了，对吧？你看这里其实就是我们这个地方已经出来了，是吧？ 然后把这个地方移过去哈，移过去你看就得到这个这个这么一个结果，然后再把这个东西是不是乘过来就可以了，对吧？乘过来之后的话，大家看一下这两个相乘，把那个更换完预约哈，就是更换下的这个移除一个 文成很简易，好吧？哎，这个式子其实也就是什么，也就这个式子呗，对吧？哎，那这样就得证了。哎，这道题的话对他的这个综合要求非常高啊，武林高手可以尝试一下啊。

二零二二的高考已经远去，但是经典永远不会过时。高考的影子无时无刻不在提醒我们，只有吃透真题，才能吃透模拟卷。

有一个问题一直困扰了我很久，那就是高考数学中导数与数学结合的问题，为什么放眼全网还没有个老师能讲清楚，这明明是新高和格格下导数最重要的反馈啊！你是否疑惑过，为什么这类问题的第三文会用到第二文呢？不得是结论，可是有些问题却用不了第二文的结论， 然后题目中会说到一些换元，那这些又是怎么想到的呢？今天我教给大家一个处理这类问题的秒杀做法，你不用再管什么标准答案了，看完这个视频，我保证再难的导数与数列结合的问题，在你这里都会是通通秒杀， ok？ 哈喽，大家好，我是苏菲啊，欢迎到我们这个高考节的特别更新片啊，导数与数列结合这个专辑。很多同学在做这一类问题的时候都会发 发现一个非常难受的事情，题目让你证明一个这样与数量有关的不等式，但题目最后给你答案的时候，可能直接给你啊，就直接给个莫名其妙的不等式啊，就大于小于一个不等式。你说这个东西玩意我没学过呀，我也想不到怎么得到的呢？就经常有同学们收费啊，这玩意到底怎么来的？那么今天我来给大家来讲一个秒杀做法啊， 我们就通过我们的三步曲进行操作，所有的导数与数学题型都可以秒杀，那么至于像这个不等式它怎么来呢？我可以告诉大家，就是通过我们三步曲而来的。很多同学呢，搞不清楚这之间的先后顺序，那么今天我们来给大家讲一讲是怎么产生的，大家记住， 对于我们导数与数学题型啊，产生三步曲的第一步，就是根据题目中给出的不等式啊，写出 n 减一十式的。什么叫 n 减一十啊？大家注意，上面的十张就相当于说我们 n 为 n 的 这个结果，下面就是 n 变成了 n 减一时的结果。好吧，所以此时我们这个四指一，四指二，下面四指二呢，就是 n 减一时候，结果你把 n 变成了 n 减一，那么左边 n 加一就变成 n， 右边最后一下二， n 加一变成二， n 减一了。 好，那么这时候我们拿四值一呢减去四值二，这是我们的三部曲第二部得到，我们要证明这个不等式。那好，你要注意，大家要注意啊，我们上面四值一的时候，这是第 n 项的结果，这时候是 n 减一项，结果上面多了最后一项，是不是二 n 加一啊？所以说你拿四值一减去四值二的时候，右边就只剩了一个 n 加一分之一， 那么左边浪引根号 n 加一减去浪引根号 n 加一除以 n 等于根号，你可以移到浪引前面，变成二分之一的浪引 n 加一除以大于它。 好，现在设置我们的式子三，得到这样不等式三步曲的最后一步，你现在呢，需要令浪里面的这个数，就是这里 n 加一除以 n 为一个 x， 你 要进行换元，得出我们最后要证明的一个不等式。好，现在令 n 加一除以 n 等于 x 等于一加 n 分 之一。 那么很明显啊，因为 n 是 大于零的嘛，所以说 x 大 于一了，这时候呢，你看 x 减一是不是等于 n 减一分之一，最后呢，我们的式子三啊，你把这个 x 换元掉， 它是不等大于虚证二分之一浪沿 x 大 于一个，你看一 n 换成 x 减一分之一，就等于 x 减一，乘以加一，是不是要证明这样的一个不等式啊？你把二分之一乘到右边，它实际上是谁啊？不就是我们 x 大 于一时候飘带放松吗？就这个不等式，所以它显然成立了。那我现在告诉大家啊，就当你 进行一式减去二式，你得到四式，三式这个不等式啊，如果说这不等式三式成立的话，那么这个问题你就直接做出来了，就秒了好吧，绝大多数至少高考百分之九十五以上的题型啊，就是构成一批压轴题。十八的最后疑问， 那十九题应该是现在应该很少出这样的十九题，最后疑问不可能出那么简单，但是只要十八题最后疑问十八题，以前只要这么他敢这么出构成，你按照我这个步骤呢，一二三三步去不等式，一定是没问题的。 然后最后你书写过程是只需要从后往前写，那么本道题实际上就结束了。我给大家演示一下，什么叫做从后往前写啊？我们看我们最后要证明的不等式是不是它呀？ 所以说我们这时候呢，要另一个 far x 等于就不等式，就 long x 减去二倍的 x 减一，除以 x 加一嘛，我们希望 far x 大 于零，如果大于零的话，这个四十三就是不等式，不就结束了嘛。所以这句话你要对它求导，大家别忘了定域 x 大 于一呢，所以说 far x 呢，事实上是 等于一个啊， x 分 之一减去一个 x 加一的平方啊，分之四，那么这玩意你看共分啊， x 分 之 x， x 加一平方，这上面是 x 加一的平方啊，减去四 x， 哎，这其实就是 x 减一的完全平方嘛，所以说它呢，是上 是等于 x 减一的完全平方，除以 x 乘 x 加的平方，那么它呢，实际上是大于零的，所以导出大零也就意味什么？负 x 呢，在一到字母群处啊，是单调递增的，所以说负 x 大 于负一，负一的结果是多少？大家看浪一减去二倍，一减一， 左右两边都零呀，所以说负一结果就是零，那么负 x 大 于二倍的 x 减一除以 x 加一，此时 x 大 于一。好， 现在我们从后往前写，第一步你就不等式写出来了，然后第二步，你看你从往前写的时候，你这里还有下面一步啊，是不是令 n 加一等于个 x 啊，所以说你在重新从后往头写，就从后往前写的过程之中啊，你下一步呢，就令 x 等于一个 n 加 a 除以，在这一步，令 x 等于 n 加一除以 n， 因为你 n 加一除以 n， 它很明显是大于一的嘛，所以说你这个换元是完全没毛病的。那么这时候我们的不等式就变成了一个 long， n 加一除以 n。 当然了，大家你可以把这个二等给出到左边来啊，变成二分之一，但是不着急啊 啊，它呢是大于二倍的 n 加一除以 n 啊，再减一啊，分母呢，是 n 加一除以 n 啊，再加一，上下同时乘上一个 n 啊，这时候变成 n 加一减 n， 就 剩个一，下面 n 加一加 n 就是 二加一，可以说是二二， n 加一。好，那么这时候大家发现啊，我们左右同时除以一个二啊，它就等于 等于小于 n 的 根号的 n 加一除以 n 啊，然后它呢是大于个一除以二 n 加一的。 我同学发现了我们最后这四的三，要证明这最后这个与 n 有 关的不等式，咱们是不是变回来了？所以说 这个三部曲只要你能从头往后写写出来，那么你从往前写就通过不等式，然后换换元一步，换元一步之后得到四十二，这个不等式就得到，我们最后需要这个结果。那么大家发现我们不等式右边不是二 n 加一吗？所以说你把不等式右边这项得出来之后，你对他进行希格玛求和，问题就结束了，给大家演示一遍啊， 现在你不是把这个不等式得到了吗？所以来吧，就这一项。所以 x 个码 k 等于一到 n 啊，我们这个 line 的 根号 k 加一除以一个 k， 那 它是相当等于多少？是不等于 x 个码 k 等于一到 n， 这个 line 的 根号 k 加一，再再减去一个 long 的 根号 k， 然后右边呢是大于一个希格码的。但这里嘛，大家可以直接把它求和求出来啊，它是谁啊？我给大家写一遍啊，你可以写成这个第一项，第一项是不是 long 根号二减去浪一，对吧？下面一项是加浪一根号三， 减去了浪一根号二加这一项浪一根号四减浪一根号三，对吧？你一直手尾相交的话，你发现最后剩了个什么？ 它就你中间的每一项根号二，你看是不是消掉根号三，是不是消掉中间每一项都去掉，就保留了一个最小的负根号一和最大的 long 根号加一就叫保，什么叫保留首尾？ 像这种零项的结果，你这个求和一定是保留首尾的，所以它呢，实际上是等于 long 根号 n 加一啊，减去一个 long 根号一， long 根号一不是零吗？ 好，大家别忘了，现在希格玛求和完之后，右边这不是大于号吗？所以大于希格玛 k 等于一到 n 二二 k 加一分之一。来，大家看，希格玛 k 等于一到 n 二 k 加一是谁啊？ 不就是我们一开始不等式的右边吗？ k 等于一的时候三分之一，第二项五分之一，一直加加，加到最后一项二， n 加一分之一。所以说最后题目要我们去证明这个不等式啊，那么它呢， 市场就顺利的结束了，就完全了啊，就到了考试节过程的时候，你就从往前写对吧？你先把我们的不等式给写出来，然后换元之后希格玛求和问题结束 好吗？那我们先看一下这个具体在一些联考模拟题、高考题中，这个方法是怎么去操作的。同同学在写题目的时候，最关键就是那个不等式对吧？你最后要证明那个 log x 啥有关的不等式，你不知道它怎么来的， 对吧？有些老师在讲句的时候非常不负责任，他说啊，我由第一问，由第二问可知啊。哎呀，我说句实话，讲这种题吗？他敢这么讲，那老师啊，我就就垃圾，他就只能看答案去讲。 好吧，那现在我今天教大家的方法，我就可以明确告诉你啊，我讲的每一道题，每一个方法，不信你去各个搜集软件去搜，觉得和答案讲的都不一样，因为我用的不等式根本不是答案，用的不等式答案的话，它是没有谱式的。今天我教大家的方法，每一道题都是独自的做法。来，我们先看一下这个第一道题啊，来三部曲第一步， 这个第一我不让大家做了。 b n 乘上 t， n 分 子啊，是等于 n 除 n 加一乘 n 加一，就是 n 除 n 加一平方，那么这个式子实际上相当于一除以二的平方，加上个二除以三的平方，一直加加加，最后一项是 n 加一的平方。 n 啊，证明它呢是小于零 n 加一的。好，注意，这里面是什么？这里面是不是第 n 项的结果？现在所以说我们要写出 n 减一时候式子，那非常简单， n 减一时候式子就变。为什么？是不是变成了一个二的平方？分之一加二除以三的平方，最后一项，这有 n 变成 n 减一嘛，就变成 n 减一除以 n 的 平方来 n 减一除以 n 的 平方。右边呢，你要把 n 变为 n 减一啊，所以说右边浪以 n 加一就变成一个浪以 n 了。好，这一十乘以二十。大家注意哦，我们现在写的一就是草稿整的过程，你最后写在卷子上，从后往前写，所以在这一步，大家发现了 我们这过程啊，一十减二十，你会发现左边不是剩了一个 n 除 n 加一的平方吗？因为上面是 n 项，下面 n 减一项，对吧？下面都没了啊，前面都没了，就剩了 n 除 n 加一平方，一加二得到 n 除 n 加一的平方，它呢是小于 long 的 n 加一除以 n， 这一十减二十，得到我们最后证明的这个不等式， 来，各位同学，你看了，一四减二四，得到了现在你令浪里面这个数为一个 x 进行换元，所以说你我就告诉大家，你不用管任何其他东西。好吧，没有那么多的什么多余复杂技巧，就三步举，现在下一步令 n 加一除以它等于 x， 那么大家发现了，我们很明显 x 不是 大于一的吗？那同时这个 n 呢？它是不是等于 x 减一分之一？来这一步进行一个变换，你看这个不等式，它等加于谁？ n 等于 x 减一分之一， n 加平方，就是 x 减一分之一加一的平方， 上下同时乘上，但你这里可以把它通个分啊， x 减一加一， x 减一分下去，加上 x 减一好，就变成了 x 减一分之 x， 现在进行一个平方，那它就变成了一个，上面就变成 x 减一分母就是 x 平方，它就变成 x 分 之一，减去一个 x 方分之一。好，小于零 x， 我们再等一下，要证，证明，证明这一个不等式，这个不等式的 x 大 于一的，好吧，所以说最后一步你要得出要证明的这个不等式，那么你如果想去证明它的话，你世上要干嘛？去求导去证，好吧，另一个 far x 啊，另一个 far x 减去 x 分 离加 x 分 离，就它求的 好吧，你 far x 求导求出来啊，是不是等于 x 分 之一，然后呢？加上一个 x 方分之一之后减去二除以 x 三次方， 对吧？求个导，那你发现是不对， x 三方分之 x 方加上 x 就 会再减去二。那么大家注意啊，我们的 x 是 不是大于一的？所以说你的 x 方和 x 方那是不是大于一的？那你的 x 也大于一，所以你 x 方加 x 很 明显。干嘛？是不是大于二？所以你的分子是大于零的，又意味着你的 far x 啊，实际上在一到周角处是单调递增的。好，既然它单调递增的话，也就意味着什么，所以你的 far x 是 大于 far 一 是等于零呢？ 因为放一处函数等于零嘛，浪一减一加一啊，那如果就等于零啊，那减它大零，所以浪 x 大 于 x 分 之一，减去 x 方分之一。有时候最后我们要证明这个不等式，它呢就是成立的。 好吧，那么就从往前写，你看一二三步都结束了，你只要你的不等式能挣出来来，还是我那句话，你这道题目就结束了。你写过程的时候，只需要从后往前写，那么一切的一切都 ok 了。那么现在我给大家演示一下我们的过程怎么去写出来 好吗？就再难的题我告诉大家了，后面会讲高的，讲到二零二二年新高二卷那一年啊，可以说到他是竖列这个导数题之中啊，非常难做的一道题，也是无穷核心， 这种导数与向量结合，我给大家到时候看看怎么去做来。首先你从我往前写的时候，你把这个不等式，对吧？你这个 far x 给它拎出来浪 x 减 x 乘以加乘以 f 乘以，把 f x 拎出来。求导，大于零，单增大于一，函数等于零，所以不等式是不出来了。 好吧，你错完写不等式，写出来之后，现在换元。另，你看，你就是另 n 加一等于 x 吗？所以这里另 x 等于 n 加一除以 n， 对 吧？你怎么换元呢？怎么写回去 让 n 加一除以 n 大 于，这里面你看换过去啊， x 减一， x 换成 n 加一除以 n， 分 母也换过去，它这个是上下同乘上 n 的 平方，就是 n 除以 n 加一的平方。好了，各位同学，你看一下 n 除以 n 加一的平方，他是谁啊？他不就是一除一个 b， n 乘上七 n 吗？ 对不对？所以你把这个式得出来之后，依旧下一步紧西格玛求和，把所有的 n 啊换成 k， 所以 西格玛 k 除以 k 加一平方，它等于而是不是小于 long 呢？ k 加一除以 k 啊，展开求和，这里面依旧是什么？它是不是零项呀？所以零项在求和的时候保留首尾啊，尾项是 long n 加一手向前浪一，那么它就等于 long n 加一 好了。大家看，这个问题不就是我们一看上证明的不懂事，所以到此问题结束好吗？那我们看下第二道题啊，第二道题是一个高三上河北沧州的一个期中考试题，那么这类问题的话，就会在我们的问题中啊，稍微复杂一点， 因为他是把这种无求和的一个数列与导数结合的题啊，参杂这个三角函数。好吧，那现在我告诉各位同学啊，如果说你在考试中碰到一个这样的三角函数题啊，我直接告诉你，你就是利用三角函数的基本放松式去放松，加强我们的命题，然后去做题就可以了。那像这类问题他是一样去处理的啊， 我们这里要注意的是不是与 sin x， 然后右边是小于号，所以说我们用的肯定是鱼竿有关。这个 sin x 的 放缩式啊，是谁呢？是不是 sin x 小 于一个 x， 所以 我们看这个题目的加强命题啊，是谁啊？ 来，我往下写啊，看这个命题加强命题啊， sin x 小 于 x 小 于 x， 好 吧，所以说你看这里面 n 除以 n 加一乘上 sin 的 n 分 之一，它是小于 n 分 之一，是不是小于 n 分 之一好消掉， 这就剩了一个 n 加一分之一了，是不是？所以说我们现在证明这个秘诀的时候，我们怎么加强？给你左边，左边小于，你看第一项三一是不是小于二分之小于二分之一乘一。第二项三分之二乘二分之一，因为三一二分之一小于二分之一嘛，第二项 三三分之二乘二分之一，就三分之一，对吧？他就三分之一，然后第三项四分之三乘了三分之一四分之一，对吧？这个小于号一直在这里写着，这会像什么？是 n 加一分之一， 好吧，你左边小于这个式子吗？是用三角放松式去做的，然后你右边呢，是小于个 long， n 加一它不变，对吧？但是这个地方呢，我们就把它正一下。 如果说沟通，先想个问题啊，我们左边是利用三角函数得到了一个 a， 是 小于一个 b 的， 但是我们现在想要证明的是什么？是不是想要去证明 a 小 于 c 啊？ c 就是 我们的 l n 加 a， 但是大家看了，我们 a 小 于 b， 现在相当于说已知了，对吧？因为三角式咱们三角函数式是已知的，就相当于横成立。然后现在呢，我们如果说能正出来，大家注意啊，你想证明 a 小 于 c， 大家看了若有 b 小 于 c， 大家想个问题啊，是不一定会有 a 小 于 b 是 小于 c 的， 因为 a 小 于 b 是 已知的，然后又有 b 小 于 c 了，那么是一定会有 a 小 于 b 小 于 c 啊，那么就一定可以得到 a 是 小于 c。 好 吧，这个关系大家要搞清楚，这叫加强命题，我可以给他写一下这个逻辑啊，就是你看了我们已有 a 小 于 b， 你 现在呢？我们是想要去证明啊， a 呢是小于 c 的， 那么我们在这个问题中啊，我们可以给它加强一下，去证 b 是 小于 c 的， 如果 b 小 于 c， 它这个玩意能挣出来的话，那么是不是一定会有 a？ 首先小于 b， 然后 b 小 于 c， 这个玩意已经挣出来了，那你就会得到 a 是 小于 c 的， 这个就加强命题的逻辑。好吧，那这里为什么要加强命题呢？原因非常简单，因为三角函数它不好做啊，所以我们把它放成一个 n 分 之一，塞 n 分 之，放到 n 分 之，这样就好做了，把它变成一个简单的面积函数结构，它就很轻松。所以大家看现在我们的问题，等价于说是什么？是不是想要去证明一个二分之一加三分之一加四分之一加到 n 加一分之一，证明它是小于 n 加一的来，根据题目中给出的不等式，我们加强面积得到它，现在这个是式子一， 对吧？你写出 n 减一项来， n 减一项是二分之一加三分之一，一直加一加它，最后项就变成 n 分 之一了，你要证明小于等于，这是二十，好，一十呢？减去二十，那你会得到什么？右边是不是剩了一个 n 加一分之一啊？ 要证明它小于等于 n 加一，再除以。好，最后一步，令浪里面这个数为 x， 所以 令 n 加一除以 n 等于 x， 大家看这个不等式变成什么了？ 左边一除以令 n 来，大家注意，令 n 加一除以 n 等于 x， 那 横面 x 大 于一的，其中 n 是 等于 x 减一分之一，那么在这一步的时候， 这个 n 就 要换成 x 减一分之一再加一，那么它等于一上面 x 减乘过去，这是一加上 x 减一，等于 x 分 之 x， 那 么它是不是等于一减去 x 分 之一啊， 那么这一步的话，就要小于一个浪 x， 大家注意啊，就我们这个不等式是不是横乘以啊？当然是横乘以的，因为我们熟知一个不等式啊，浪 x 小 等于 x 减一，在这式中，令 x 为 x 分 之一，大家发现会变成什么？会变成浪 x 分 之一小于等于 x 分 之一减一啊，那你就会发现， 左边浪 x， 那 不是负的浪 x 吗？左右同城的符号就会得到浪 x 大 于等于一减 x 分 之一， 那不就是我们这个不等式吗？对吧？那么一减 x 分 之一小于等于零 x 这地方取等的时候不在 x 等于虚等吗？现在我们这个 x 大 于等于了，所以取等不了，这个不等式又顺利的能挣出来了，所以不等式能挣出来， 那么我们的问题啊，从后往前写，它又是可以轻松的解决好吗？所以大家看一下我们这期过程怎么去写啊， 大家记住啊，再难的一个这个我们导数啊，与数列结合，这种无穷的问题啊，你只要按照我的方法来啊，三步往后写，就能轻松解决， ok， 数学啊，它其实没有那么的复杂，对吧？很多同学觉得这个数学复杂，其实说的直白点，你没有找到合适的方法。 ok， 来，先看我们过值怎么写啊？来，从往下写。最后你要证明的不等式是一点， x 分 之小于浪 x， 所以 令 f x 等于浪 x 加 x 等于减一， x 大 于一，求求导，证明导数大于零，作为单增 f， x 大 于 f 等于零。 ok， 不 等式证出来来怎么换元呢？是不是令 n 加一等于 x 啊？所以现在令 x 等于 n 加一小于 x 换元换进去， 你发现了浪以 n 加一除以 n 加一， x 换成一个 n 加一除以 n 加一了，等于 n 加一分之一。 那么这时候大家发现了，哎，我们右边这个不等式是不是 n 加一分之一啊？那你想他怎么来呢？他是不是利用我们这个 n 加一分之乘上 sin 的 n 分 之一，对吧？你利用这放缩式，这不利用他来的呀，小于 n 分 之一， 对吧？你把这个放缩式你得出来之后啊，你也是这一步写的时候要过程，过程呢，要注意一下它变成这个结果， 对吧？就你看，这不是 n 加一分之一吗？所以说你写的时候你还再加一步，对吧？因为这个 n 除以 n 加一乘以分之二，它是不是小于这个东西啊，对吧？小于 n 加一分之一，然后 n 加一乘以 n， 所以 这时候西格码求和时候，你左边这一线，左边这些这一项是什么？是不是它呀？ 然后这时候等于小于西格码，浪以 k 加一等于浪以 n 加一， 所以发现这个不等式它很复杂的结果，咱们是不是就直接给做出来，所以大家记住啊，像这种无穷数列啊，它与导数结合的问题啊， 就怎么去做三部曲啊，根据题目中给出的不等式，写出 n 减一，结果一四减二四得出证明不等式令到里面数 v x 进行换元之后，问题就结束了。然后我们看下这个第三道题啊，二零二年新高考卷第二十二题，作为二零二年新高考卷中整张试卷中最难的一道题， 我们来看看他的这个压轴等长时间，最后一问是怎么去做的？来，现在让我们去证明一个这样的不等式，它是成立的。来，大家注意啊，我们其实想做的时候也比较简单， 我们发现这是不是第 n 项的结果来，根据题目中给出不等式，写出 n 减一时候的结果。那么这前面一，那么这条最我可以给他写，这个简单讲是一除以根号 n 乘 n 加一嘛，因为 n 方加 n 加一，我们写成这样式的，方便大家看，对吧？一方加一加加加，那最后一项呢？ n 变成 n 减一嘛，就相当于最后一项式 n 减一的平方加上 n 减一啊，它呢是大于一个浪， n 加一变成 n 变成一个 n 减一。只会讲 n 加一就变成一个 n， 好 吧，来一样呢，依旧是一十减去二十啊，一减二，你发现前面这些都消掉了，都没了，他就剩左边剩个什么，是不是一除以根号的 n 方加 n 呀？他是谁呀？是不对一除以根号的 n 乘 n 加一，来，这时候他大于右边的 n 乘 n 加一。来吧，各位同学也来注意一下我们现在细节啊， 我们此词是不是要证明这个不等式，对吧？因为相减嘛，得到了证明的不等式嘛。但是你这不等式不知道怎么证，所以说你令 n 加一除 n 等它为 x， 你 发现 x 很 明显是大于一，对吧？然后你这个 x 等于一加 n 分 之一嘛。所以说你的 n 呢，事实上是等于 x 减一分之一 啊。这时候把 n 等于 x 减一分之一带到这个式中，你看我们这就要证明是是多少啊。来，首先左边一除以根号下 n 换成 x 减一分之一啊，乘上 x 减一分之一，再加一。好吧，来，这个地方是多少？来大家看一下啊。 x 减一分成 x， ok， 来，乘出来 x 减一分成 x， 两个 x 减一相乘，是不是 x 减一的平方呀？所以说分母它这个式还挺简单的，就是一除以 根号下的 x 除以 x 减去平方。好吧，你把这个根号移到分子上，它就变成根号 x 减一的平方除以根号 x， 那 它是多少？它不就是一个 x 减一吗？ 对不对？好，这是我们试试的这个左边，那你可以再给它化解一下这边的根号 x 减去根号 x 分 之一，右边是谁呢？是不是大于浪 x？ 现在我们等价说要证明这个不等式，结果是成立的，那么构成。现在简单想一个问题啊， 我们能不能令这个把这右边这个浪 x 给它改变一下，浪 x 是 谁啊？是不是等于二倍的浪的根号 x 呀？ 对不对？因为根号 x x 二分之一次方，你可以把这个二给提到前面去，让它四中所有根号 x 原都相同。所以说你令根号 x 等于一个 t， 对 吧？那你看我们现在要称明的不等式是什么？ t 减 t 分 之一，要注意啊，这里面依旧根号 x x 大 于一的嘛，所以 t 也是大于一的， 这个不等式就等价于 t 减 t 分 之一呢，大于二倍浪 t 了。好了，各位同学们，你看，我们从头画到尾啊，这三步曲从头走到尾啊，令浪引里面是 v x， 再进行这个换元 不等式它了， t 减 t 分 之大于二倍浪 t， 好， 我左右同乘上个二，同时把这个二给除掉。浪 t 小 于一个二分之一的 t 减 t 分 之一， 这玩意是啥呀？不就是我们一开始讲的这个在 t 大 于一的时候的一个飘带放缩吗？好吧，所以既然这个飘带放缩是成立的，那么最后这个问题，从头到尾，毫无疑问他也就是成立的 好吧，就这这道二零二二年最难的高考数学这道导数与数列结合的题目来，各位同学，我就给你们两分钟时间，你是不是就能从头到尾把它给全部秒掉了，没有任何复杂技巧啊，有些老师跟你们说啊，就第二问结论这道题，你用第二问结论是很难想到的， 但是我告诉你，今天你跟着苏菲，好吧，跟着我把这个思路搞清楚，你的不等式要挣出来，你最后呢，只需要从后往前写，那这个问题就结束了，来，我再给大家演示一遍啊，这道题呢，我们怎么从后往前写？来给大家演示一遍， 看好了，来，过程也给大家写好了， 首先，对吧，我们用的不等式是不是小于 t 小 于二分之一 t 减去分歧啊，所以把它给罚 x 给弄清楚，对吧？求导证明罚 x 小 于罚一等于零，所以说这个不等式罚 x 小 于二分之一， x 减 x， 分 歧来，这时候别忘了我们这是不是换元的意思啊？令根号 x 等于 t 了吧？ 那我们这里面你看了我们要令什么？令 x 为一个根号 x 把它给换掉就知道。浪引根号 x 等于二分之一，浪引 x 小 于二分之一的根号 x 减根号 x 分 之一，来吧，左右二分之一给它去掉，那么它变成什么？是变成浪引 x 小 于根号 x 减根号 x 分 之一。好，这个是能写出来之后， 大家看啊，它是不是我们这里需要证明的不等式来，你看了你最初始的幻念是谁？是不是令 n 加一除以 n 等于一个 x， 所以 这也不一样，令 x 等于 n 加一除以 n， 那 么左边令 n 加一除以小于根号 n 加一除以 n 减去根号 n 除以 n 加一，给它通个分啊。分母是它，分子呢？就变成根号 n 加一，平方减根号的平方，是不是 n 加一减 n 呀？分子是不是单独剩一个一啊？ 你分母根号 n 乘 n 加一，就是根号 n 方加 n。 好 了，大家看最后的题目要我们证明的结果，这不能是最后，是的，是不出来了。来，现在 对它写出来根号 n 加一，求把你这个不等号给变一下，你把右边一刀，左边，左边一刀，右边变成它，方便我们的题目一开始方向结构，那么你看对它进行希格曼求和，对吧？希格曼 k 等于根号 k 方加 k 分 之一， 它是大于 x 等于一到 n， 浪与 k 加 a 除以 k 零相相消，对吧？它等于浪与根，浪与的 n 加一减浪一保留首尾，最后等于浪与 n 加一， 那么这道对吧？二零二年最难的数列题对吧？这岂不是数列条导数与数列结合的题目咱们就顺利结束了啊，不知道各位同学，你们通过这视频学到很多，好吧，以后你碰到导数与数列结合的题目，不要再去畏惧它了，你放心大胆去写啊，只要出现这种浪与结构，你就可以直接轻松的秒杀！

大家好，我是王老师，今天和大家分享一道有难度的亚洲题，请看题 二十二、已知函数 fx 第一问，当 a 的一是讨论 fx 单调性，第一问非常简单，当 a 的一是 fx 可以写成 求单调性。我们第一步要进行求导， 化解之后得到的是 s 乘上 e 的 x me， 我们要根据导函数的 正副符号来决定原函数的单调性。尾搭 s 大于零时倒函数，很显然他是大于零的。 原函数为单调 dn 啊，记住写文字，当 s 小于零时，那它的导航数为小于零 fs 单调 dgn。 第一问我们就解答完了，我们再看第二问。第二问，当 x 大于零时， fx 小于负一折 a 的取字范围是多少？那么我们先把 fx 小于负一，构造成 一个新的函数为 gs， 那只需证明 gs 小于零即可。我们把 gs 表示一下， 依然是秋刀， 我们可以推出 gp 零等于零，我们观察一下 gps， 看不出来他的政府符号，所以我们再构造一个新的函数来查一次， 那么求出 spx， 我们整理得出。 我们另 x 等于零，这个刀 ra 减一。这是我们进行分类讨论。第一个，当 xp 零 大于零时，几 a 是大于二分之一的，我们由导数的定义可以推出 hpa 零等于 limit i 从正方向去距离零等于 g p s 减去 g p 零比上 s 减零。根据上面所求的 g p 零等于零，所以它是等于。由于 hp 零，它是大于零的，所以能推出 gpx 是大于零的， 那么说明 gx 为单调一张， 因为 x 大于零，所以 gx 大于 g， 零 大于于已知条件推出矛盾，所以这种情况舍。我们再看一下 x 变零，假设它小于等于零 指的情况。 当 hpa 零小于等于零时，呃，即 a 是小于等于二分之一的，那么 gpax 给他变一下形， 它可以画成 b 的 n， e 加 x 对数字命和后面的合并一下。 由于 a 是小于等于二分之一的，我们进行一下放射。 我们学过一个二级结论，赖 s 小于等于 s 减一。 当你用这个二级结论的时候，记住在旁边证明一下。我们在这里就直接用了，把它放手一下。所以相当于一打四米减，一打四米等于零， 那导函数是小于等于零的，说明原函数为单调低减， 因为 s 大于零，所以即 s 他就小于计零。推出一只小， 所以 a 小于等二分之一是最后的结果。 我们来看一下第三问色。小恩属于大恩兴，证明啊，该是指成立。我们先观察一下呃前面恩象和的第恩象， 把它变成型， 然后进行化解。 我们领前面这项为 t， 所以该试试就可以写成 t 减七分之一。 我们由第二本可以得出 a 的二分之一的时候，他是满足爱法自小于负一的。 我们力六等于一等二分之一 x 等于，这上是可以写成， 我们整理一下， 那也就可以推出梯间梯分之一大于二倍的来踢，进一步推出他是大 大于二倍的来。括号下 n 加一比较分，那么左侧 可以写成大于烂根号下二比一，加上烂根号下三比二， 一直夹到来很好。下 n 加一比 n 的对数。 根据对数之和的运算，我们可以把它化解成在分号 n 加一的对数 根号 n 加一，它可以写成 n 加一的二分之一词。米啊，二分之一提到前面还有等于烂 n 加一等对数，所以第三分整合了。

来看这道二十二年全国二震的压轴，一般来讲，第一问第二问正常，会成为第三问的提示都多余了，今天主播带你不借助提示直接速通第三问。 先观察式子左边为分散的各个象，这里我们选择对右式下手。最理想的情况就是将右边这个收敛的象拆成各个象，与左象一一对应。 这里我们看到对数，那么一定要联想到磊成的思想，于是我们先对里面的柿子进行处理。对于 n 加一，你要很容易联想到，可以替换成磊成的形式。 这里我们注意到 n 加一可以写成一分之二乘二分之三，一直到 n 分 之 n 加一。你看这样前一项分子与下面一项的分母是不是刚好消掉，最后是不是刚好剩下了第一项的分母一与最后一项的分子 n 加一。这里我们对两边取对数。回到题目所给的形式， 根据对数的运算法则，我们是不是可以把右边拆成一项又一项？这时候我们已经处理完了嘞！ n 加一回到原式， 右式我们是不是成功拆解了，这样我们就成功将右式与左式拆成一一对应的形式。这时候你看我们是不是只需要证明左式每一项大于右式对应的项， 所以我们只需证明根号 n 平方加 n 分 之一大于令 n 分 之 n 加一。 ok， 这时候这题就变得简单多了， 但是到这一步，一定不要把 n 当做未知数，直接构造函数求导，毕竟形式目前还是较为复杂，碰到复杂的函数一定要先观察直接暴力求导式大忌来，这时候你对左式上下通出 n， 这时候再看，你发现了没有，原本复杂的函数，现在却现出了原形，我们直接另根号下 n 分 之 n 加一等于 x 来，你看分子是不是等于 x 平方减一， 再看右式对数里面是不是刚好等于 x 的 平方，那么我们将式子进行最终简化，是不是只需要证明 x 平方减一减二 x 了？ next 大 于零。对于任何函数，一定不要忘记了定义域。回到题目来看， 你看左边的像是从一开始的连续自然数，也就意味着我们 n 必然大于一。 回到我们整理出来的函数，我们 x 等于根号下 n 分 之 n 加一，由于 n 大 于一，所以 x 等于根号下 n 分 之 n 加一，是不是必然大于一？这一步我们就确定了我们函数自变量 x 的 取值范围及 x 大 于一， 令 g x x 平方减二， x l n x 减一，求导得到 g 导 x 等于二， x 减 l， n x 减一，这时候我们依然判断不了正负，不能确定单调性。记住，遇事不决先求导，继续构造函数 x 减 l， n x 减一，继续求导， 这时候结果已经显然，我们前面已经确定 x 大 于一，那么 si 导 x 大 于零， six 单调递增，也就是导函数 g x 单调递增，那么 x 大 于一， g x 大 于 g 等于零，也就是 g 导 x 大 于零， 那么我们就证明了 g x 单调递增， 所以 g x 必然大于 g 一 等于零，也就是 g x 大 于零， 那么我们就证明完了 x 平方负二， x l n x 减一大于零，所有问题解决即完成了证明。

哈喽，朋友们，今天我们讲一下二零二二年新高考二卷的导数压轴题，那么这道导数压轴题是一个综合性极强的压轴题，那么除了第一小问之外啊，那么第二小问和第三小问，他都考到了哪些内容呢？好，那么邵哥给大家理一下，看一看你哪些是知道的？好，请把你知道的部分打到公屏上。首先第一个就是我们的端点效应， 那么第二个切线收缩，第三个参变转换，第四个竖列，你和， 那么第一小问，因为比较简单啊，我们就不讲了，我们主要来讲一下第二首，好，那么第二小问，他说，当 x 大 于零时， f x 小 于负一。好，我们 f x 来写一下 x 乘以一的 a x 减 e x 负一挪过来加一小于零，那也就是要让你证明这一坨函数，那么这一坨函数我们设成 g x， 那 我们就要求这个 g x 的 最大值要小于零。 ok， 好，那么接下来按照正常程序啊，我们就要进行求导好，那么求完导之后，得到 e 的 a x 密，加上 ab 的 x 乘 e 的 a x 密减 e x。 好， 那么求完导之后，那么接下来我们想要利用端点效应啊，那我们就要带一下他特殊的端点值，也就是这一零撇， 那么这一零撇我们扔进去之后发现，哎，刚好等于零好，因为我们本来想计划要的效果是啥呢？就是 他如果横小于零，那么在端点零处这一一部分啊，他应该是一个 d 减的，那 d 减的那导函数应该是小于零的，但是我们现在搞出来这个导函数刚好等于零啊，那意味着我们要干啥是不记需求的好，他就变成 a 倍的 e 的 a x 加上 a 倍的 e 的 a x 加上 a 方 x 乘以的 a x 减 e x， 好， 那这个时候我们再来看 g 乘以的 x 减 e x， 好， 那这个时候我们得到就是二 a 减一。哎，那我们就要让他是不是小于等于零，所以我们得到这个 a 是 不是小于等于二分之一的？ ok， 那 么现在我们得出来的 a 小 于等于二分之一是他成立的什么条件呢？是不是必要条件？好，那么接下来我们就要证明， 当 a 小 于等于二分之一时， x 在 零到正无穷上，这个 j x 要小于零横成里 b 的 充分性。好，那么要证明它的充分性啊，我们肯定是反向去证明啊，那反向去证明的话，那我们就要考虑一下我们的 j x 两片啊，它这个函数结构， 那我们想一下 g x 两撇，我们把它整理一下啊，就会得到 a 方 x e a 方 x 加上二 a 的 括号， e 的 a x 幂减 e 的 x 幂。好，那你想一下，我们要研究是 a 小 于等于二分之一的时候，那意味着我们可以把 a 看成啥变量， 把 x 是 不是看成差量，那这个差量是零到中无穷，那如果差量是零到无穷，那我们就可以得到这一坨， 他肯定是大于零的。好，那么这一坨是不是也大于零？那我们整体就可以把它看成一个关于 a 的 二函数，那么关于 a 的 二函数，我们看一下这个二函数啊，有什么特点？那么我们开口向上求一个对称轴，那么这个对称轴他等于负的 x 分 之一，因为 x 是 大于零的，负的 x 分 之一不就小于零吗？ a 他 是小于零的， 所以如果是它是小于零，我们想一想啊，二分之一是不是在这，对吧？那我们就会发现，它是不是有一段是减的，有一段是增的，所以你放缩的时候你就没法用啊？所以我们在讨论的时候一定要注意，你要分两段进行讨论，我们会发现这一段是不是递减的，所以我们通过放缩就可以得到 j x 两撇，它肯定是小于 g 零两撇，那么 g 零两撇我们可以直接带进去啊，那就可以可以得到，它等于前面就是零吗？负的 e x 米，那负的 e x 米肯定是小于零的，所以我们就会得到。哎，这个 g x 两撇，它是一个横小于零的，那意味着 g x 撇是不是 d 减了？那 g x 撇 d 减，我们就会得到这个 g x 撇， 它是不是小于 g 零撇？那 g 零撇我们刚才已经试了，它是不是等于零，所以我们就会得到 g x 撇，它是不是小于零的？ 那如果 g x 撇小于零，那我们就得到 g x 是 不是递减，那 g x 递减有 g x 是 不是小于 g 零， 那 j 零又等于零啊，所以我们就得到 j x 小 于零。好，所以它这个逻辑关系啊，我们一定要搞清楚啊。我们是通过 j x 两撇小于零， 得到了 j x 撇是递减的，那 j x 撇递减，我们又得到 j x 撇小于 j 一 零撇，然后我们再从 j 零撇， j x 撇小于零， 得到 j x 递减，那 j x 递减，又因为 j x 小 于 j 零啊，所以 j x 就 小于零。好，这是第一段。那么同理，我们来搞一下第二段，当 a 大 于零小于等于二分之一时， 好，那我们就会得到 j x 两撇，他是不是因为在零到二分之一的时候，我们刚才说是增的，所以他是小于 j 二分之一两撇？那 j 二分之一两撇我们给他带进去啊，看他长什么样子。他等于四分之一 x 加一乘以 e 的 二分之一 x 密，然后减去 e 的 x 密。好，接下来我们可以稍微给他操作一下啊，提一个 e 的 二分之一 x 密出来，它就等于四分之一 x 加一减去 e 的 二分之一 x。 好， 那么接下来我们就要用到我们的极限放松，那么极限放松里面，当 x 大 于零时，有 e 的 x 密，它是大于 x 加 e， 所以 我们就会得到 e 的 二分之一 x 密。是不是大于二分之一 x 密加 e， 那我们想一下，这一坨他就咋了，哎，他是不是小于零，所以我们就会得到 g x 两撇，他是小于零，那么 g x 两撇小于零啊，那后面的这一坨是不就一模一样的啊，我们给他抄一下 啊，复制粘贴，对吧？写法一模一样啊，给他搞一遍。好，那么综上啊，我们就可以得，哎，综上可得。 当 a 小 于等于二分之一，是，是 x 在 零到正无穷上 g x 小 于零的 充分必要条件就充要条件啊，这个就证明完成了。那有些同学不放心的话啊，不放心就你也得，你也把这个 a 大 于二分之一的，你也可以再写一下啊，其实这个正完已经 ok 了。好，接下来我们看一下第三小题，那么第三小题它设 n 属于正整数， 然后证明后面这一坨，后面这一坨你会发现他从第一项是不是到第 n 项的一个求和大于这个事情，那如果说前面我们直接可以求和的话， 那咱就求和了。但是这个题的话，你就会发现，前面这个我们就没学过这种数列求和。所以这个时候要考虑啥呢？就是我们把这个 lin n 加一也转换成一个求和的形式，那么他可以把写成 lin 括号 一分之二乘以二分之三，再乘以三分之四，乘以省略号 n 分 之 n 加一。 那么这样的话，你会发现，哎，刚好就是一个求和，而且的话，我们可以把它分开写啊，那写成 lin 二除以一，加上 lin 三除以二，加上 lin 四除以三，加上省略号 lin n 分 之 n 加一。 好，那现在的问题咱是不是就变得简单了？我们只需要证明分号下 n 方加 n 分 之一，它只要大于零， n 分 之 n 加一是不是可以了？ 好，那有些朋友想了，那我能不能移过去啊？移过去我变成一个函数，你这个时候，然后求导分析。嗯，理论上是可以的啊，但是这种难度太高了啊，所以就我的想法，啥呢？就是我们可以利用一下第二个条件，啥呢？就是 f x 小 于负一， 因为我们刚才研究的这个范围是 a 小 于等于二分之一，那我如果说 a 等于二分之一的时候，这个设置是不是也是成立的？所以我就考虑，我直接啊给他转换一下，把这个 f 直接给他写，当 a 等于二分之一时， 那此时 f x 就 等于 x 乘以一的二分之一 x 米减去一的 x 米。好，那写成这之后了咋弄啊？就是我们可以试一下啊，就是另 x 等于零，括号 n 分 之 n 加一。那为什么这样写呢？因为这样的话，就是 我们把这个 x 如果换成 lin n 分 之 n 加一的话，那这个函数的表达式我们是可以搞出来的啊。转换一下，也就是 f x 就 等于 lin n 分 之 n 加一。括号 e 的 二分之一， lin n 分 之 n 加一，减去 e 的 lin， n 分 之 n 加一。 ok， 那 我们接下来写啊，就是 lin， n 分 之 n 加一。 ok， 那 我们接下来写啊，就是 lin， n 分 之 n 加一 这一坨啊，我们往上面一带啊，就是根号下 n 分 之 n 加一。好，我们把二分之一挪上去啊，好，再减去一减 n 分 之一小于负一啊，我们操作一下。好，那它小于零，然后我们给它整理一下， n 分 之 n 加一就小于 n 分 之一啊，我们 n 分 之一给它除以根号下 n 分 之 n 加一。好，整理一下，就是 n 分 之一。也可以写成根号下 n 方分之一 乘以 n 加一分之 n。 哎，我们再去整理，就是根号下 n 加一乘以 n 分 之一。哎，那你会发现这坨是不是我们想要正的结果？牛逼，牛逼。

二零二二年上海的一个高考数学真题，若函数 f x 等于它为奇函数，则参数 a 的 值，那跟刚才题差不多一样的，对吧？奇函数， 奇函数，就是什么 f 负 x 等于负的 f x， 对吧？好，那这个我们可以怎么办？还跟刚才方法一样啊，我就用 f 负一等于负的 f 一， 对吧？好，然后 f 负一， f 负一，我们来看一下，那就是 横坐标小于零，就要用上面这个表达式算分段函数啊。分段函数负一带进去，那就是负 a 方减一等于负的 f 一 f 一 一是在下面这个表达式中求，那就负的括号一加 a， 对 吧？好，我们来算一下，就是负 a 方减一等于负一减 a， 那 就负一没了， 那就是负 a 方等于负 a， 负 a 方等于负 a， 我 们把它移过去，就是 a 方减 a 等于零。你不要约分了啊，不要约分了啊，然后这里 a 就 会解出来有两个子， a 等于零，或者 a 等于一 两个值，带回去验证。那里啊，这个时候，这个时候就遇到问题了，我们要带回去验证哪一个才是奇函数？很容易发现。 a 等于零不是奇函数啊。 a 等于零的话，你这个地方是零，上面是，它是一个长函数的，看到没有？ x 等于它是一条 射线呢，对吧？横函数值横等于负一水平的射线，但是你这个呢？ a 等于零的时候，它是一条斜线， 他就不给你关于原点对称呐，对不对？因为 g 函数他要关于原点对称的图像，要关于原原点对称。那换句话说，你这个大于零的大于零的斜率，斜率是一，小于零的斜率必须是负一， 那不。呃， g 函数啊，大于零的斜率是一，小于零的斜率也必须是一 极函数。关于圆的对称就是直线旋转一百八十度斜率不变，对吧？你这个斜率是一，那那上面这个斜率也应该是一，所以最后的 a a 就 只能等于一了。所以这个答案是 a 等于一， 填一就可以了啊。填一，因为它们的 a 的 值为就是一。

二零二二年浙江的一个高考数学专题，已知函数 f x 等于这样一个分段函数。哦，这个地方，这个空打掉了啊， 这个地方有个空， f 括号 f 二分之一等于多少？这第一个空，第二个空，若当 x 属于 a 到 b 这个 b 区间时， f x 大 于等于一，小于等于三，则 b 减 a 的 最大值是多少？ 那第一个空应该非常简单的，对吧？先把里面的算出来， f 二分之一， f 二分之一，那么你这个质变量小于二分之一，就要用上面这个表达式，那就是负的二分之一的平方加二， 那就会等于负的四分之一，加二就会等于四分之多少 四分之七，对吧？好，然后再算， f 括号 f 二分之一， 就会等于 f 四分之七， f 四分之七，那就是四分之七，加上七分之四，减一， 通分二十八，我天，怎么四十九加上十六减一个二十八，二十八分之，看一下。四十九加十六，六十五，六十五减二十八， 三十七。欠套函数， 这哪来的嵌套函数？这没有嵌套函数啊， 那第一个空是直接求函数值，第二个空，那很明显我们需要怎么样做图出来，对吧？把这个原来的这个分段函数把它做出来就可以了啊。分段函数， 那么做这个分段函数，我们来看。先画一个坐标轴了，坐标系 x 轴， y 轴。 好，注意观察一下， x 小 于等于一十， x 小 于等于一十啊。假设这个地方是一， x 小 于等于一十，这个地方应该是一个开口向下的抛物线，然后开口向下的抛物线，它和 y 轴的公共点啊。 x 等于零时，它应该是二，因为它的对称轴是 y 轴，对吧？对称轴 y 轴，所以它应该是二，这个地方 二，这里啊，这个一画短一点啊，再经过这个点，然后呢？ y 等于零时， x 等于正负根号二，正负根号二。那就，那我们继续看一下 x 等于一的时候啊， x 等于一的时候，它刚好是一，然后这边是个负一，所以它就应该是开口向下的图啊， 这个地方是负的根号二，就是它左边的图形长这样啊， 好，然后再看一下另外一边啊，另外一边 x 大 于一的图像， x 大 于一的图像怎么画啊？ x 大 于一的图像， x 大 于一的图像，好像可以直接画，因为 x 加上 x 分 之一，我们都知道它是什么函数， 我们有一个称呼就是 y 等于 x 加上 x 分 之一，它是什么函数？它是双勾函数， 对勾函数对，嗯，两个对勾，一个一个朝上的，一个朝下的，对吧？当然呢，它其实也是双曲线的，嗯，它是旋转之后的双曲线， 然后我们知道这个双勾函数，你现在是大于一，大于一，这个函数是个单调递增的，那知道吧？就是双勾函数的图像， 三个横的图像该长这样，这个地方是一，就是 y 等于 x 加 x 分 之一的图像，这个地方的顶点它是一啊，这个地方是负一，关于圆的对称的一个图一，因为你这个是一，到这种情况下，它单调递增呢， 对吧？所以他长什么样不用管了，他反正单调递增，对不对？单调递增，那我们就要把这个端点算算一下，这个一一带进去，一加一，一加一，二二减一还是一一，刚好是这个地方单调递增，就这样换一个真的就可以了， 对吧？向上面弯说它图像长这个样子啊，好长这个样子。之后，我们最后啊，这个我们画的这个图像就是 f x， 它现在说 f x 在 一到三之间， f x 在 一到三之间， 一到三之间一，一，一，这个这个地方本身是一啊，那这里有个一啊，对不对？这这个地方是一，所以这个地方有个一，这个地方是负一， 所以相当于是什么？那就我们还要找三呢？三，那这个地方有个三，那这里有个三， 三所对的这个坐标，我们就要把它找出来，所以我们就要让什么 x 加上 x 分 之一减一，它要等于三， 那就会得到 x 加上 x 分 之一减去四等于零，把它的这个去分啊，去分母减四， x 加上一等于零。 好，我们用求根公式求啊，当然可以，配方求，这是我配方求吧？ x 减四， x 加上一个四，等于一个三，对吧？ x 减二的平方等于三， 它这样是在这边，在这边，所以 x 减二，那肯定要是个正数啊，对吧？你，你，你负的话，它跑到那边去了，所以它就会等于负根号三，所以它就是二加根号三， 所以你这个地方它等于三的这个横坐标对的是二加根号三，你这个地方等于一的时候，对的横坐标是负一， 然后他说的是 x 在 a 到 b 这个区间时啊，纵坐标在一到三之间，所以你会发现 b 减 a， b 减 a 的 最大值相当于是这个区间最长的时候， 对吧？ b 减 a 最大就是这个区间最长区间什么时候最长？ 刚好是这两个端点的时候啊，对不对？你要是你要是那那那个 b， b 跑到负一的左边去，它的它的值就会比一小， a 要是跑到二加根二三的右边去，它的值就会出现比三大的值，所以它只有刚好在这两个端点的时候，它就取最大值，所以 b 减 a 的 最大值 就应该是二加根号三减去负一，就等于三加根号三， 对吧？这个做法啊，应该说不难啊，就是把图像一做，然后找他的临界情况，要理解他就是相当于是找这个区间长度的最大值，就是区间最长多长。有这样一个问题，关键是做图啊，做图 就你在你自己的大脑中应该应该就是有这样的图，你比如说我刚才画这个抛物线的时候啊， 对吧？就是我我我这边没画，原因是因为我们对这种图形比较熟，开口向下的抛物线呢？就画抛物线怎么画？ 对称轴在哪里啊？顶点在哪里啊？与 x 轴的公共点在哪里？与 y 轴的公共点在哪里，对吧？就是与坐标轴的公共点对称轴是啥？顶点是啥？把这些东西搞清楚，这个图就很容易画的啊。 那么画图我们争取是一次成功啊，就是你平常就要训练你的做画图的速度啊， 对吧？因为还有我们就是画这个下面这个图的时候，你要能够一眼看出来它这个单调递增的，它这个单调递增的这个 x 加 x 分 之一是一个双勾函数，它的顶点是一，所以你在大于一的时候单调递增，单单调递增就完了，就直接一画就行了。

好，同学们，今天我们来看一下这个二五年全国二卷的高考真题，关于函数与导数的问题。已知函数 f x 给了我们，然后给了 k 的 取值范围。第一问，让我们证明 f x 在 零到正无穷存在唯一的极值点 和唯一的零点，唯一的极值点就证明它有只有一个最大值或者是最小值，那我们只需要证明这个函数 先是增的，再是减的，或者是先是减的再是增的，那那肯定证明他有只有一个极值点。唯一的极值点，那证明他是零点呢？证明他是零点的话，是和 x 轴只有一个角点，这样的话只有一个数 能使 f s 的 零，所以说它有唯一的零点。那这种题呢，只要我们求极致点和零点，我们肯定都是先求导数的，对吧？然后看它导数是大于零还是小于零。 导数大于零呢？它是增函数，导数小于零呢？它是减函数，然后我们根据这个来判断它的基数点，那我们写一下。第一问，看 f x 的 导数，那就是 f p x 等于绕，求导是绕 x 的 导数 是不是 x 分 之一啊？如果说这个 x， 比如说是一个函数，是 f x， 然后那是不是 f x 的 导分之一再乘以 f 撇 x 的 导数，所以说它的导数就等于 一加 x 分 之一，然后是不是还得乘以这里边的一加 x 导数？一加 s 导数正好是一，所以说我们不用写了。然后负 x 的 导数是不是负一，那就是减一，加上它的导数就是 二分之一乘以二 x， 对 吧？那就变成了 x， 嗯，最后这个就变成了三 k x 的 平方， 那我们给他通一下分，把它分母都换成 x 加一， 第一项就是一，然后第二个就是减去一加 x， 对 吧？就给它通分，这应该都会是初中的。然后加上 s 倍的一加 x 减去三 k x 方程，一加 x， 嗯，它就等于 x 加一分之。把括号去掉，一减一减 x 加 x 加 x 方减去三 k x 方减三 k x 的 立方 等于 等于 x 加一 分值，然后一减一，是不是没了？ x 减加 s 这块都没了，对吧？这块都没了，那就剩它了，剩它。我们能提出一个 x 方，那里边就剩一减三 k 减去三 k x， 对 吧？定义域是在零到正无穷，对吧？ 因为它让我们求零到中无穷的这个极值点和零点，哎去，是不是求在区间 x 是 属于零到中无穷啊？ 那所以 x 加一与 x 方是不是都是大于零？它是大于零的，它是大于零的，那我们看这个导数，它是大于零，小于零，我们只需要看这个一减三 k 减去三 k x 就 可以了，对不对？所以说当 一减三 k 减三 k， x 大 于零时， 那是不是这个导数就大于零了？因为 s 加一本身是大于零的， x 方也是大于零的，那只要让一减三 k 减去三 k， x 大 于零，那这个导数它就是大于零的，这个时候它就是 f， x 为增函数的， 那它大于零。此时那三 k x 是 不是就是小于一减三 k 啊？ 因为 k 是 零到三分之一的嘛，是正数嘛，对吧？所以说 x 呢，就小于三 k， 就是 s 小 于一减三 k 比上三 k， 对 吧？就是三 k 分 之一减一 x 是 小于它的，对吧？又因为 k 它是不是大于零，小于三分之一呀？那三 k 那 是不是就大于零小于一呀？ 那三 k 分 之一呢？是不是就是大于一？它大于零小于一，那它的倒数它就是大于一吗？它大于一的话，我们是不是能求出三 k 分 之一减一是不是就大于零了？ 三 k 分 之一减一是一个大于零的数，所以说 x 小 于一个大于零的数，而且它让我们在求零到中无穷内，所以说 x 在 零到三 k 分 之一减一，它这个区间上 f p x 是 大于零的，所以 f x 是 增函数，对吧？ 就是 f x 这个函数，在零到三 k 分 之一减一的时候，它是增函数。 那我们再看，当一减三 k 减去三 k， x 小 于零时，那是不是 f x 就 小于零了？那此时 f x 是 不是就为减函数啊？ 那我们看，此时它小于零，那是不是就是三 k x 大 于一减去三 k 呀？那 x 呢？就大于三 k 分 之一减一， 对吧？所以说 x 在 属于三 k 分 之一减一到正无穷时， f p x 小 于零， f x 是 减函数， 那你看它，让我们看这个零到正无穷，对吧？那 x 在 零到三 k， 在 零到三 k 分 之一减一上是增函数，是增函数，这是， 这是三 k 分 之一减一，然后在三 k 分 之一减一到正无穷以后呢？它是这个减函数，所以说它是不是存在唯一的极值点啊？这个图不用画，那根据根据以上，我们是不是能求出 f x 在 区间零到正无穷存在为一的极值点？ 那极值点呢？我们就做完了，我们再看一下零点，那因为它从零到三 k 分 之一减一是增函数，对吧？然后到三 k 分 之一减一呢？ 一到钟无求呢？他是减函数，所以说他这个图像肯定是这样的，对吧？那如果说这个图像是这样的话，他还证明有唯一的零点，那他不可能是这样，因为这样的话，他没有零点了，所以说这个图像， 所以说这个图像他肯定是这样的，对吧？那这样的话和这个和这个区别，那是什么？是不是这个顶点呢？ 这个顶点是三 k 分 之一减一，让他是大于零的时候，他肯定在上边，他才有经过唯一的零点，对吧？如果说他在下边，这图像是，如果说三 k 分 之一减一，这个位置小于零的时候，他图像是这样的，对吧？图像这样他没有唯一的零点了，所以说我们只需要让 f 三 k 分 之一减一，他小于零就可以了，就有这个唯一的零点了，对吧？那我们可以看一下，因为 嗯， f 零呢？我们能求出来 f 零就等于零，一就等于零，然后从零到三 k 分 之一减一呢？ 三 k 分 之一减一还是大于零的，而且零到它上它是增函数，那增函数的话，那 f 三 k 分 之一减一是不是就大于 f 零啊？ f 零是等于零的， 所以那 f 三 k 三 k 分 之一减一大于零，是这个图像是不是就这样了？这样的话，它是不是肯定有这个 v 一 的零点了？所以 f x 在 零到整无穷 存在 v 一 的零点 第一步我们就算完了。