福州数学必修二立体几何考试

三分钟速同一面直线及解决方法在同一个平面中，两直线分为互相平行以及相交。相交又分为互相垂直以及不垂直，这些统称为共面直线。 而在立体几何中，这两条直线出现在两个平面内，它们既不平行也不相交，我们称它们为一面直线， 尤其注意任何这两个字。也就是说，即使两条直线出现在两个平面中，也有可能共面。 假设这条直线和对角线平行，那么这两条实线就互相平行， 他们重新构成了一个新的平面，所以这不是意面直线。同样的两条直线，如果有交点，他也会构成一个新的平面，这也不叫意面直线。综合刚刚讲的两种情况， 判断意面的关键就是看他是否平行相交。只要出现平行或相交的情况，就一定不意面。把刚刚所有的重点整理成一个表格， 额外补充一点，一面直线是也有可能相互垂直的，例如正方体重的这条是垂直于底边，它就垂直于底边。所有的直线，它们只要不平行不相交，就是一面的，它可以垂直。 第一个选项很明显， g h 平行于 m n， 它们一定是共面的。 c 选项中连接 g m 和 h n， 虽然 g h 和 m n 不 直接平行，但是这两个线平行，因为它们俩都平行于这条棱，所以这四个点在同一个平面内，它们是共面直线。 同样方法，我们做题就可以秒出答案。第一个选项中照样的做 q r 的 平行线连接对角线。 ps， 因为是中点，所以 ps 就 平行于这条对角线， 那么 a 选项一定是共面的， b 选项连接这条虚线，也可以判断互相平行， c 选项以后面的这条能长为桥梁。最后一个选项中四个点不共面，因为你没有办法找到图形中有任何平行线，也找不到 ps 或 r q， 可以 相交。 通过 b 选项的另一种方法，我们来学一学洁面，先把这几个点连接起来，如果我们把 p q 直接连接起来，那么会发现左侧它是空出了一部分。 这里的洁面需要我们把补充完整，所以我们从最简单的平行线先思考。 r q 的 平行线是连接，这边是中点 找到 ps 的 平行线以及 sr 的 平行线，所以正方体的截面是一个正六边形。那么今天问题来了，这个多选题你能选出正确的答案 吗？评论区告诉老师，今天内容就到这里，我们下一期再见！

高考数学立体几何今天一节课，梳理清楚所有的核心考点，听懂了立体几何，没有所谓的不会断，来拿本记。首先你要有认知，我们高考数学当中立体几何的考察非常的套路和死板化，非常的简单。立体几何一共是五个重点，第一个重点， 常见几何体的概念和基本性质必须熟悉，包括圆柱、棱柱、圆锥、棱台、圆台和球，能够熟练的画出它们图形本身以及各种拼接和展开图， 那你的空间感自然而然就能够建立。高考数学这几年特别爱考察二零二二年新高考一卷跟追题有关的侧面展开图，面积问题，跟台题有关的体积问题，会画图，那你自然而然就能够拿到满分了。接下来第二个重点，六大外接球问题，两大内接球模型。 那第一个你要学习的重点题型叫做外接球，那外接球里面要求大家必须掌握六大外接球模型，那第一个叫做长方体模型，注意，并不是说只有长方体才能够用，往往锥体也能够用它，所以呢，关键在于识别条件，一共有三个。第二个 圆锥模型，还有圆柱模型，同样这些并不是说只有圆锥圆柱才能够用，那棱柱也能够用。我们的圆柱模型呀， 包括咱家神兽头大的扇子模型，切瓜模型，双距离单胶线，还有双半径单胶线模型，这些是我们必须掌握的利达模型。还有一个比较特殊的圆盘问题，这几年高考考的还是比较多的， 那么你把外切球掌握完之后，我们还要掌握第二个跟它相匹配的内切球模型，哎，你得知道我们这个柱体跟它内切是怎么切的呀？我们这个锥体相关的公式 r 等于三 v 除以 s， 你 要对这些非常的熟悉，这就是我们讲的第三个重点， 平行与垂直问题。那很多神兽总以为我没有空间想象能力，我这个是不是平行和垂直就做不了？我拿不下，非常负责任的告诉你，其实还真不是这样子， 只有极少数的立体几何的题目，它的选填压轴对于大家这个空间想象能力要求比较高之外，那对于大部分的题目，它的处理都是非常的套路和死板化。所以呢，在线授课几千个小时之后，带过上千名学生，你看他函数即使学的一塌糊涂， 却能够把立体几何学的游刃有余，不仅仅是因为这个空间能力想象比较好，还是因为他掌握了立体几何里面所有的核心题型和方法。 所以呢，重点来了，我们接下来先说平行。平行问题对应的第一个方法叫做尺子法，那平行四边形、三角形、中位线怎么处理，以及在考试过程当中考的非常多的问题叫做动点探索问题，是否存在一点使得，哎，谁和谁线线平行呀，面面平行呀，我们这里用到的方法就是谁不动平移谁， 你这些常见的方法掌握的足够明白，再配点历年的高考真题，那整个平行问题很快就能够拿下了。那接下来我们再来说第二个垂直问题，垂直问题是整个立体几何的核心，所有立体几何问题到最后都可以归结为我们的垂直问题， 垂直，比如说我们经常去证明线线垂直，要证明线线垂直的核心是什么？是拿一根线放到这个面内去证明这个线面垂直， 所以你重点要攻克的是我这根线我怎么选？我如何快速的把这根线选出来，每次做题的时候，我就去关注这根线我应该怎么去选择，最后发现这根线的选择它是 有套路的，你把这些通信通法总结出来，下次做题的时候，你一眼就能够看出来我该选哪根线了。好，我们还比如说我们的面面垂直问题吧，那我们面面垂直的核心是什么？它的核心是你要从这两个面当中选一个面， 从这个面当中去挑一根线，跟刚才的思路是一样的，我选哪个面，这个面当中的哪根线，我怎么去挑？这里面全都是有套路的。其实不管是线线垂直、线面垂直，还是我们的面面垂直，我们在考察的过程当中，他不会单一的去考察这个条件，会和所有要求的东西砸到一块，揉到一块去 垂直里面。你比如说我们大家必会的三垂线模型呀，真形模型呀、矩形模型呀，勾股模型呀，都是非常好用的方法，你学好这些模型才能够搞定我们的垂直关系吧。 好，对于这一块，我们后面学习夹角问题，也是在做一个铺垫，你搞好了，后面搞夹角间隙才能够游刃有余。第三关过完之后，我们再来说第四关，第四关就是所谓的夹角问题了，它是高考的重点，重中之重考大题。 那夹角里面可以分三个方向，第一个叫做线线夹角，线线夹角里面有三大方法，咱们一个个来说啊，主要是意念直线 之间的一个夹角问题，那第一个方法叫做平移，我通过平移把意面直线给它变成共面的去解这个三角形。第二个叫做空间选定力，注意它不是选定力，它是空间选定力。还有第三个叫向量法，很重要来第二个线面夹角，线面夹角问题，线和面的夹角不仅会考察大家大题，还会考察大家小题， 这个方法注意也是推荐大家三个方法，第一个方法叫做定义法很重要，你像高考这几年考察你们的时候考小题主要考察的就是定义法，所以你得知道什么是定义，当然有些题目你会发现我无法把定义用这个夹角把它找出来，所以呢我们还有第二个方法叫做 点到面的距离问题，我们转化成等体积需求高，以及最后的第三个保体方法，向量法，这是我们线面夹角， 我们再来说我们的面面夹角，哎，面面夹角，那面面夹角的方法也是比较多的，也是重点考察的，你必须得会给大家推荐。一样是三个方法，那第一个方法和线面夹角一样，就是我们的定义法，那 二念夹角定义非常重要，在我们这一个几年的高考当中，考小题考的是非常多的，那第二个方法就是当我这个定义角找不出来的时候怎么办？哎，我要去找个备胎呀，那我们这个方法在考试大题当中用的还是贼多的，叫做三垂线法，我们还有我们第三个方法，保底的方法就是我们的向量方法，所以夹角问题一共是刚刚给大家提到的九大方向， 是大家主要去攻克的一个难题，你只要能够掌握这些核心方法，那么你这一块的基本功就会非常的扎实。虽然呢，我们很多高三的孩子可能会说，老师我这一块只要有空间向量就够了呀，但是 空间向量的计算量非常的大，你考试一紧张，连算都算不出来，正确答案写都写不对，甚至连坐标都会写错。当别人在解析的时候，有的小题你不好解析，你也不会解析，所以说只有几何法才能够让你和别人拉开差距，尤其是高一的宝字，一定要在学立体几何的时候， 特意训练这些几何法，让自己的基本功跟别人拉开差距。好，最后一个重点问题，重点问题就什么呢？距离问题， 重点重视一下这个，我们以前在老高考当中经常考，大家这个点到这个面的距离问题属于必会题型，你看考体积吧。那问题这一块，这个距离问题，包括我们的这个新教材，新高考当中增加的知识，除了这个点面问题之外，还有意面、直线距离，你要好好去研究一下。 那么这个大家按照以上五个知识体系，一层层去梳理清楚，掌握以上五个核心考点，剩余的我们立体几何当中的结面问题，轨迹问题，这种综合问题学的不用特别难，常规的处理手段会就可以了。所以呢，不管你现在是正在高一，还是说马上高三要进行高考了，我不知道立体几何这一块怎么去学习，怎么去复习？按照以上五大知识体系，我们一个个去过。

好，大家首先先暂停键来看一下这道题，好，时间到啊！这道题很明显条件也很简单，正方体中 m 是 b， d 的 中点， n 是 d， e， b， e 的 中点，让我们求异面直线 a， e， m 和 b， n 的 夹角。 那么大家要首先明白的是我们求异面直线，异面直线夹角的步骤，我们的第一步一定是将它们平移到同一个平面内， 也说我们第一步一定是平移，而这个在平移的过程中，我们有两种思想，要么是平移，要么是转化，都可以啊， 好，那咱来看一下这个图。首先显然这两条直线是异面的，那么求异面直线的夹角我们平移一下，大家会发现这两条线我们都很好平移。哎，我们先试着平移一下 nb， 大家会发现这个 n 是 终点，这个 m 也是终点的话，我们连接 dm， 因为 d， e， n 和 mb 是 平行且相等的。哎，我们接下来就开始证明了， d， e， n 和 b， m 是 平行且相等的，那就代表这个是一个平行四边形，那这个既然是一个平行四边形的话，孩子们我就得到了 d， e， m 就 平行于 n b 的， 那么这个时候让我们求的是 a， e， m 和 b， n 的 夹角，我们就转化成了 a， e， m 于 d， e， m 的 夹角，那么我们通过平移将它们移到了同一平面内，这个时候我们就相当于求这个角或者这个角的补角，大家一定要注意这个细节。 好，那么这个正方体他没有告诉给我们边长是不是？那我们看来需要自己去求一下。好，首先啊，我们假设这个正方体的棱长是二，随便你是几都行，是吧？那大家会发现这段长度也是二，好，我们把 am 一 连接起来，那么这段长度就是根号啊， 面对角线的一半。好了，那么这样子的话，我们就把 am 给算出来了，固定是不是二平方，根号二平方哦， am 等于根号六， 同理大家会发现 d、 e、 f 是 不是也是根号六哦，我们算出来它也是根号六，那么这是一个等腰三角形， 那么这个等腰三角形我要去算这个角的余弦值，那我们是不是就可以有余弦定力了？那由此可以判断，在立体几何里面能够和前面知识点结合起来的就这个余弦定力哦。我们来看一下它让我们求的 cosine， 它为了保证它是正的，我们加个绝对值，就等于绝对值， 平方加平方，那就是六加六，减去四除以两倍的它的相乘，二乘六 o， 我 们就算出来了，对不对？那么底下是十二，上面是十二减四八，哎，我们一约分三分之二， 也就说我们去解决意面直线它们夹角问题的时候，咱们就只有一个宗旨，就是平移或者转化，把它们移到同一平面内，当我们把它移到同一平面内之后，那么这一道题就转化成了平面内来解决夹角问题。 注意这个夹角一定得是正的啊，因为我们不能使得意面直线的夹角是钝角啊，这是必然的啊，你听懂了吗？大家需要录播课的随时找我。

请坐，那今天我们把空间中线跟面这些垂直的问题我们再理理，但首先是 垂直，线跟线垂直，怎么判断线跟线垂直啊？你可以根据定义是吧？假小九十度，对吧？也可以，怎么样 深格考虑什么线和面垂直？那这个面我们往往去找的是什么面？ 空间中两条线要垂直，那要把意面的垂直转化为雾面的垂直，怎么转化为雾面垂直啊？把一条摄影到另外一个所在平面吧， 那实质上我们就证明线跟这个面垂直，这个办法叫做三垂线，是不是三垂线定律，所以线线垂直我们常见呢？这两招，那我怎么来判定线跟面垂直啊？ 根面里面任一条是地狱，但是好操作呢？ 每一条理都要去验证一遍，所以我们采取的办法是啊， 我们用两条线来代表这整个平面，所以他必须是这个平面的什么机机理， 所以通过线线垂直可以得到什么呀？线面垂直，那这个就是他的判定力，判定力。哎，那两个面垂直呢？ 什么叫两个面垂直啊？二面角，二面角，二面角是直的二面角，所以我们可以用定义来判断，我们去计算到二面角九十度，所以它们就垂直了。 或者呢判定定律，那就是线面垂直得到什么呀？面面垂直，一个面或另外一个面的 垂线，一个面过另外一个面去，那么这两个面就垂死了，所以我们要判断一下，直观判断，哪个面的垂线都好找，要找出来 啊。那么也可以由面面垂矢得到什么线面垂矢，所以可以用面面垂矢的。面面垂矢的怎么样性质定律来判断线和面垂矢 啊？当然，那面面垂直，他的判定定律是什么？垂直，对啊，那就一个面过另外一个面的垂线判定定，对吧？ 那当然这就是垂直。那我们还可以有用垂直来证明什么呀？平行，用垂直来证明平行怎么证啊？ 垂直一平面的两直线是平行的。垂直一直线的两平面呢？啊，也是平行的，对吧？所以由垂直来证明平行关系，这说明垂直跟平行之间有内在的联系。 好，大家，对吧？那我们先来看一下第一个问题，图图，这是一个三棱锥， 这两个面垂直，还告诉我们这一刻是垂直的， a 和 a b 是 垂直的。有这样线线垂直 来，弟兄们怎么选？ 也就你的车链是过屁座。这个啊，我们具体的车轮呢？车链上面 要线线垂直啊？线面垂直，哪个线？哪个面？到底是 a c 垂直， a b 锁在平面还是 ab 垂直？ a c 锁在平面，为什么是 ab？ 因为这一条要我们挣的，是吧？这条是已经有了，那你如果 都跟他垂直的，那叫 ab， 就 会跟谁垂直啊？啊？跟哪个平面？ p a 跟 o c 所在平面吧，那就是谁 p a c， 对 吧？所以你刚才你说的是什么？ 由面面垂直是吧？正面找一条跟 a b 垂直的吧。怎么找一条跟 a b 垂直的啊？过平做 a c 的 垂线，垂出记为 n， 那面面垂直可以得到什么啊？线面垂直，它就 p n 垂直于一面， a b c， 那 这样子 p n 就 会垂直谁啊？ a d， 所以，所以 a b 就 会垂直谁？ b a c， 所以 线线就平行了。好，所以两线垂直，把一条线分隔为一个面，分隔一个面，这个面往往找的是投影面， 但是，但是，各位，哎，我们这 a p 怎么样？跟 a b 是 已经共面了，我们找同一面，经常是把异面的变成共面，他已经是共面了吧？他已经是共面了，所以我们目标很明确，就是证明这对应的这个平面啊。嘴巴线伸折为面。 来，继续来看一下，底乘四轮锥，它的底是一个直角梯形，这两个角是直角。再来三段， c、 d 是 一个单位的话，那其他呢？ a b， b c， p， b c 都是两个单位 啊，把条件可设外，对吧？标起来啊。再来，这里还有两个面垂直，标注一下，那 pa 跟 b d 是 否垂直？请证明你的结论。 来来，我们承载了你 意面随形是吧？这两个是意面之间，那怎么办？ 摄影是吧，那这个把谁摄影啊？是 b d 摄影是在啊， pa 水上平面还是 pa 摄影呢？怎么做摄影啊？做 p 点去做垂线。垂线在哪里做啊？ 垂线在垂面里面，做交线的垂线。那我这里数有面面垂线，所以怎么做？ a b、 c 是 什么概念？ 等腰，所以我们取 b c 的 中点 m， 然后这坐下来以后， pm 是 垂的底面，所以 pa 在 底面摄影是谁啊？ am， 所以 我们目标，目标去证明谁 来目标证明 b d 垂直平面， a m 是 吧？朋友们， 那我只需 b d 跟谁垂直？ a m 这样 b d 跟 a m 垂直怎么测啊？那这个直观读不好看，我们把它的平面图还原出来，这个是 b d， 这个是 a m， 这看起来像九十度哈，怎么整？哎，别扔像，对吗？可以，还有什么办法？可以什么计算？计算哪个量？哎？正切哪个角？正切值？ 哎， b 啊， b a m 等于几？哎， 二分之一是吧？这个角正切出来二分之一，然后呢？再去算哪个角？正切这个角好算吗？ 不好算，不好算。这个角算哪个角啊？算哪个角？ d b c d， b c 也等于几，说明啥？ 说明这两个角是相等的，这两个角相等搞定了没啊？所以这个角跟他九十，那这两个角加起来垂直。垂线吗？搞定了，或者呢 两条线垂直，什么？项链？是不是项链啊？你说这样系行吗？ 总之可以利用几何三四全等，也可以用什么计算？计算什么？三角的或者呢项链的是不都行？请做。 那我个人比较偏好计算它的正确值，不是直角算一定。哎，这不很多直角吧，正确如何算？ 那么你如果算这个正切时呢？ a b d 呢？那应该他的正切跟他的正切相乘要等于几？ 以相乘等于一，是不是就赋予了把三角改为面？什么面 射影，射影面？对，把这个图影面，那其实就是叫做三垂线定力。是不是三垂线定力？ 好，接下来我们来看一下。面面垂直，那你要面面垂直，那就价格考虑。什么？线跟面垂直，那就一个平面要过另外一个平面的 啊？垂线就一个面过另外一个面的垂线。好，我们省题，这是一个四人柱 自然做那个底边是四边形哈，并斜差是正方形，圈出来第二个 a e a b d 和 a e b d 是 相等呢？角相等。求证，这两个面是垂直的。来思考一下。 uhh， 各位，我们的逻辑线条要面面垂直，那就面跟面垂直，而要线跟面垂直 啊，所以它最终的核心是线跟线的垂直，那我们要评估一下这两个平面谁的垂线好找？ a， b d a b d a， b d 往往是体对角线，是吧？ 这里好像不是那么好正的，是吧？还有那一个平面啊， a， e， a， c， c， 这是一个对角面，是一个对角面，好像它是站着的啊，好像它是不是站着的？ 那哪一条是它的垂线？一次是 b、 d， 对 吧？几何直观上面和线外一次是 b d， b、 d 有 垂矢的吗？啊？ b、 d 垂心， a、 c 的 一条还不够，对吧？那线段哪个条件粗啊？这个角你也可以怎么解读？ a， e， a 相对底面来讲叫它的什么线？ 斜线？哎，这个斜线的话，我们在上一次做了好多心投影，是什么心的问题，对吧？ 那今天这个斜线有什么特性？斜线跟面里面两条线所成角相等，与面中两条线所成角相等。 那有什么结论呢？则他在里面的摄影是什么啊？摄影是角平分线是吧？摄影是角平分线， 哎，怎么证明他摄影是角平分线？那这个角放在哪个三角形里面研究？ 而前面的是个 a， e， a、 d， 然后左边的是谁啊？ a e， a， d 这两个三角形 相等，那这两个数还相等完以后呢？啊，这两段是不是相等的啊？所以由这个相等可以得到的是 a， e， d 等于谁？ a， e， d， 对 吧？ 啊？利用群的得到这两个相等，这两个相等有什么用啊？啊？三线合一，那我们的 o 是 b、 d 的 中点，所以呢， a、 e、 o 垂直于 b、 d， 对 吧？ a， e， o 垂直于 b、 d 以后怎么样？ 那我这个臂力是不跟正面就垂直了，臂力跟正面的垂直了，所以呢，所以这束中线也是高，因此是他的绳线 来。三线和一是也是角边线，角边线，对吧？那好，那我 b d 跟正面里面是不是有两条线都垂直了，所以 b d 是 不是垂直？正面了， 所以得到 b d 垂直于平面， a c d， 对 吧？然后你一个面过另外面的垂线，所以面面就垂直了。 好，那这里面有三角形，我们是不是利用三角形来？如果没有三角形，咱们咱们怎么办啊？ 那就去过 a 一 哎，做正面的垂线是吧？ a h， 然后呢， 然后过 a e， 再做 ab 的 垂线和 ab 的 垂线，我们垂足即为 e f， 那 么 a e a e a e f 出全等呢？所以 a e 就 会等于谁？ a f 做 a e 等于 a f， 或者 a e 等于 a f， 那 a e 跟 a f 是 不是两条斜线？ 两条斜线相的折什么也相等，这也相等，所以 h e 等于谁？ h e 等于谁？ h f。 而 h e f f 是 不跟两边相垂直的， 所以这两段就叫做这个点到两边呢，距离，距离，如果相等到两边，距离相等，所以平行在它的什么线上？角平分线上，角平分线上， 所以它在角平分线上，所以勾上，勾上三角形来啊，勾上三角， 所以面面垂直，这样可考虑线面垂直，核心是线线垂直，而要线线垂直，又是线面垂直，是这种啊，循环的逻辑上面来啊， 第一次如果引入动点呢？那我们要去探讨跟垂直关系的动点问题，那怎么来想啊？好，我们看题，这是一个正的三楞柱， 底是正下弦没有歪掉，是直的楞柱，那叫正三楞柱。再来 a e a 四个单位， a b 两个单位， m 是 中点， m 是 a b 的 中点，证明两个面垂直 一周喽。看完图形，谁的垂线好找哎， 是 b m c e 的 好找，还是 a b e 的 好找呢？ ab e 的 ab e 是 我们前面的面，那它的垂线去哪里找啊？ 那找一个面的垂线，要得到线跟这面垂直，去他的啊，垂面，这前面，这个面跟哪个面是垂直的？已经垂直的 上里面，什么上里面就垂直了，所以他的垂线就是 再算里面根交线垂直的，那就是谁啊？ c e m c e m 垂直于平面， a b e 搞定对吧就好了啊，那这正三柱 底是一个正三角形，这个证明垂直线面垂直是不是好正？搞定了，所以面面垂直，那就有价格考虑。怎么样线面垂直，而线面垂直呢？ 又深，更考虑什么面面垂直，把这不好证的面转化为好证的这个面里面去转化的曲线啊。看第二个 b b 上面有没一点 q， 使得 a e q 跟 b m c e 垂直，如果有，把这个比值算出来， 哈哈哈哈 哈哈哈哈。 哎，王思凯，你怎么想 要找面的垂线？只要在垂面里面找 交线的垂线，而我 neq 竖在了垂面里面，所以要垂直，我只要找交线 bm 的 垂线，那请问 q 点在什么位置，我会有垂直呢？ 哎，跟刚才一样的，那就去算这个角的什么值，它的正确值是等于 q b 比去谁二？说 q b 比去二，这是 q a b 的 正确值。 来，这个角多少钱？我们去取这个角，那这两个角应该要干嘛？相等？相等，那这个角的正确等于几啊？ 啊？这个角的正弦 m b d e 是 四分之一啊，那你要相等，那就不要等了，那这样等的话， q b 就 等于几？ q b 等于二分之， q b 等于二分之一，那 b e q 跟它的比值呢？上面就二分之几，所以它的比值为几？ 一直为七啊，那我们写的上应该怎么写？当哎， b e q 除以勾 b 等于几的上七的时候， a q 就 会垂直于里面 b c e m， 然后呢，证明 如下是吧？先证什么？先证？这两个证先相等，所以呢，所以角角 q a b 是 吧？加上角加上角 m b， a 等于几度 九十，所以，所以 a q 垂直于 mb， 对 吧？ 为什么谁他这个线就谁的面？又因为两个面垂直出第一步已经正了 面，面垂直，然后再加个什么在面内，是吧？然后垂直交线，所以这边强调一下， a q 在 平面 a e b 里面，所以呢，截得出来没？ 所以我要线面垂直，我就去他的垂面里面找交线的垂线就行了。这垂面已经第一步证明完了，那我就用第一步的结论，马上就正第二步。 好，我们继续来看一下这个动点的问题。这是一个几何体长什么样呢？ e a 跟底面是垂直的，然后 e a 跟 dc 是 平行的， 那这个平行等于告诉我们什么？ dc 也跟底面怎么样垂直的？再来， ab 跟 ac 是 垂直的，所以这是一个什么模型？哦，这边是一个墙角， 这边是一个墙角，再来长度 d c 一个单位，那 e a 呢？两个单位， ab 两个单位， ac 两个单位。原来这个墙角也可以看作是 正方，而正方体的一部分，是吧？也可以看作是指三棱柱是切削下来的正方体切下来的部分。 好，那搞清楚几何体的结构以后， m 是 它上面的什么呀？中点，因为当 m 是 终点的时候，要这 bc 跟这个减面是垂直的，当 m 是 b d 的 终点时，求证 bc 跟这面是垂直的。 it's just it's just。 各位，这个面 e a m 长的有什么特点啊？ 不完整啊？有什么不完整？什么局部的？局部的什么？ 把这洁面给补齐了是吧？怎么补？不不不，不，做垂直，我们一般做中间做垂直不好做。你看几点连线是吧？几成点？ d c 的 终点 n， 然后连起来则 m a 跟 d c 平行，所以 m n 跟 e a， 所以 这四点是共面的，所以我的整个结面都长这样， 整个结面长这样，而且这个结面又长了什么特点？是站着的，是不是站着的跟底面是垂直的，然后我必须要跟他面垂直的，然后我必须要跟他面垂直。 那我只要去他的全面里面找交线，全面是吧？我的全面是谁啊？就你是谁呀？啊？ 我的前面说 a b c 啊，只要在 a b c 里面掉线是谁啊？ a n b c 跟 a n 垂直就行了。 b c 跟 a n 会垂直吗？所以 b c 垂直 a n， 而 e a 垂直谁？ b c， 所以 b c 会不会垂直？整个平面 搞定，这是一问，这局部不好看怎么办？延展对吧？对于几何体来讲，延展一下就看的好太多了。 哎，朋友们，继续看。第二问，现在问的是是否有点 m m 是 动呢？ 这不是终点吧，使得 e a m 和和 e b d 怎么样垂直？ e a m 跟 e b d 垂直。 如果有，把这个 m 点的位置找出来是吧？ 我要面面俱至，我只需 线和面垂直，只需线和面垂直，谁的垂线好走，谁的垂线好走？第一个 a m 是 这样子的 图，它的垂线如何走？ 但只需在底面里面跟谁垂直就好了 啊？就是 m 点现在动了啊，那我这个 n 撇吧， n 撇是不是也动了？那我只需在平面里面跟谁垂直？ a m 撇垂直，那行，那我就这条跟 a m 撇垂直吧。那跟你这边数一个焦点，我把这个焦点记做 f 吧， 我们只要找到 cf 跟 a n 点，随时搞定了，对吧？但很可惜 cf 在 不在 ebd 里面？不在什么 哦，要移到面里面去是吧？那就是要把 cf 移到上。怎么移上去？把 c 点移到谁 d 点，那把 f 点往上往上移到 g 点来就行了吧。那现在呢？要能移上去，刚好移到里面去，所以 g f 跟 d c 要什么相等？也是一个单位，所以我这个 g 点是什么点？ g 点是终点， 从下反推回来，你要能移回去，所以 g 点必须是什么点？终点，那 f 点呢？终点，那 f 点是终点？ f c 要跟 a 与 n 垂直，那 a 你 的位置确定了没？ 好，那我们把它平面图形还原出来，是吧？这两个单位这边中点，这不一个单位一个单位，然后连起来啊，然后呢？ f c 要跟谁垂直？ a n a n 是 不是垂直？ n 撇时候跑到这里来？这里要垂直， 怎么来？算？ n 点的位置正确啊？正确，是吧？正确，那应该是这个角的正确。跟谁啊？ 跟这个脚是要负来这个脚，跟这个脚要本来就得负于的，是不是啊？这个负于，那这个这个脚呢？ 啊？这个角跟这个角应该要干嘛相等，所以它应该是二比一，这个是不是二比一的？哎，那怎么算？我们做一个高下来吧。 那这个这个角跟这角是不是二比一的？所以我设这段为 x， 那 这段呢？二 s， 那 这段是二 s， 这段呢？啊，这段数也是二 s， 所以呢，整个就出来， x 三 x 三， x 等于二，所以 x 等于几？三分之二啊？ s 等于三分之二，那这边就等于三分之四，所以这点是什么点？三等分点，所以说 n 点也是几等分点？ 三等分，那 m 点呢？三等分点，用 b m 比 b m 去比啊，啊， 当这个上，那我们证明的，那怎么这样？当 dm 等于 b m 的 比为二的时候，然后我们取 m 点，使得这也是比值为二，所以是不是延展下来，是不是？ 然后啊，然后我们去证明这条线跟谁跟 f c 是 垂直的，所以 f c 垂直，这个面，对吧？ 右它是终点，所以取终点。这段跟这段平行，所以 f c 平行，谁 g d 啊？所以 g d 数也垂直面，所以面面就垂直了， 所以我们要线面垂直，那就线跟面垂直啊，在全面里面找交线的垂线，如果能一步到位，当然就好了，如果一步到不了位，那我们就两步，先把垂线找出来，然后再 平移，再平移进去。啊，这是动点，能这么来看究啊，这么来看究，去找它的充分条件。好，那同学们再把它跟方折结合在一起。 已知梯形中 a b 跟 p c 图形，这是底，再来 pa 等于 a， b 等于 bc， 然后 pc 是 pa 的 两倍， p c 是 pa 的 两倍啊，这一份这段呢？两份 a b 一 份 b c 一 份，这是一个什么图形？等腰梯形下底是上底的两倍， 然后 d 是 终点， d 是 终点，那么连起来呢 啊？这边是什么原因？等边？那这边是什么菱形？这菱形长的什么特点？六十度的菱形，是不是六十度的这个菱形？ 所以你先把这个平面图形的系数根据这些条件是不足够推出来了，所以因为这些条件你抄一遍，所以呢，三角形 a、 d 为等边呢？ 然后呢？ a、 b、 c、 d 为菱形，这菱形还有什么特点？且叫 b、 a、 d 等于这平面的问题，直接下结论。 好，那现在呢，我们把 p、 a、 d 翻起来， a、 d 是 不是它的轴？ a、 b 是 它的轴，在轴的轴的同侧，这图形有没有改变？翻起来以后构成四轮锥，所以翻起来的 p、 a、 b 是 什么图形？ 还是等边？ a、 b、 c、 d 呢？还是菱形？有没有改变？没有，但是 p 点到 b、 c 的 距离改变了，没？翻起来就改变了。那我们继续来往下看，使得它体积最大。求证 b、 g 跟 b， a、 d 求次， 体积最大啥意思？点 p 要跑到最高点去是吧？ 点 p 什么时候会跑到最高点去啊？他应该是值得，就值得 n 米小，所以他要体积最大则会怎么样啊？ 里面 p、 a、 d， p、 a、 d 垂直，谁？里面 a、 b、 c、 d 是 不是啊？他情绪上就告诉我们，这个面，这底面是垂直的，弯道垂直，弯道垂直，第一步既是终点。求证 b、 g 跟 p、 a、 d 垂直，那这个 b、 g 跟 a d 垂直， 那就 b、 g 跟 a、 d 垂直，那就 b、 g 跟 a d 垂直。 你怎么来说 b 七跟 a、 d 垂直啊？那你刚才说你是六十度，是什么菱形？所以呢？三角形 a、 b、 d 是 而等边三角形，所以呢？ b 七垂直，谁？ a、 d 因为体积最大，两个面垂直，所以在面对垂直交线则有线跟面垂直，所以第一步是不证明好了。 第二， e 是 bc 的 终点，在 p c 上是否有一点 f， 使得使得 d， e， f， p， f 和 a、 b， c、 d 垂直呢？ 钥匙的面面垂直充分线横， 谁的垂线好找啊？说 a、 b、 c、 d 的 垂线好找， a、 b、 c、 d 的 垂线在哪里啊？来一条啊。 那就去找 a、 b、 c、 d 全面里面找交线的垂线吧。它的全面是谁啊？它的垂线是谁啊？啊？ p g 是 吧？ 很遗憾 p g 不 在你那个面里面啊，平移过来是不是要找它？平移线 要过一条线跟正面平行，过线做面找用什么来投影这条线？所以我们把谁连起来？连起来， 连起来这点是什么点？中点？那你这个 f o 要跟 b 线平行，所以 f 点？是 啊，我们是不是已经来了？首先最终结论， f 点四啊， f 点四终点的时候是不是可以做得到了？ 那我们可以用平底把这一条 p 气换成谁，换成 f o， 而 f o 数在这平面里面呢？搞定。 所以我们判刑的时候还是按照找他的充分条件啊，把线把面面垂直问题这样个考虑线面垂直，而要线面垂直又深个考虑面面垂直， 然后我们就可以找到这条我们相应的线了啊，那今天就到这帅哥吗？

立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。

好，那今天我们来计算二面角的大小，我们通过第二面角， 然后呢，平面角是九十度，就叫做十二面角，两个平面就垂直，这跟初中定义两个直线垂直是对立的， 那这一局我们的任务就是来求这个二面角的大小。那首先我们回顾一下什么是二面角？一条能出发的两个半平面构成的图形出二面角， 那怎么来度量它的大小呢？它需要用平面角来度量，是吧？ 那哪一个角是它平面角能上去一点，分别处垂线所形成的图形，比如说我们的图中是一个钝角，这是它平面角， 为什么这个脚可以来衡量贝塔香奈儿法的位置呢？ 别人就不行呢？啊？最大？什么最大？什么角度最大？如果我做 b 点不垂直的呢？ 那这条线 b o 撇跟 r 所成角在哪里啊？ 哎，我们刚才是钝钝的二面角，是吧？所以它的射影是谁啊？ 我们把这点记做 h 好 不好啊？那 bo 跟 bo 撇所成的角是谁啊？ 这两条线跟二把所成角是谁啊？一个是 b o h， 一个谁？ b o 撇 h 谁更大？因为对边带一样长一样长，而 o 撇 h 比 o h 来的长，所以这个角度应该来的大， 所以我们用的是用的是什么角？是面里面的线和另外一个平面所成角里面最大的角，最大的角，这就确定呢？这是唯一的来定义， 来定义贝塔相对二法的情节程度，对吧？那比如说在这里，那应该在这个陷面角的什么角？五角，如果钝角的时候是最大的陷面角的五角，最大的陷面角是什么呀？五角，如果他是内二倍角呢？ 那就是我们的什么最大的陷面角，最大的陷面角啊， 好，那第一个是大小的度量来看题，这是一个三轮锥， v c 根号三，其他都是二， 其他全是二。请问 b a b c 大 小谁是零？ ab 两个半平面， v a b 跟 c a b， 那 我怎么做它呢？你们讲我们注意到 v a、 b 是 什么原因？ 等边， c a d 也是等边能上取一点，分别引垂线，那就取什么点，那就去取谁的终点。 a b 终点，我们把它记作 m 吧。然后呢，连接 m v 跟 m c 兄弟连起来，连起来。然后呢，则怎么样？则 v a v m 垂直于 ab， v m 垂直于 ab， v c 呢？ m c 呢？垂直于 ab， 所以呢， a 角 c v m c 为 二面角的平面角。六，这三段都知道，所以这个角度几度？六十六十，然后下结论。所以二面角的大小多少？ 其实是三步骤是吧？第一步是干嘛呢？对吧？第一步，我们在做的是什么？什么活来度，把这个角度做出来。 第二步，我叙出了一堆来证明这个角数是二面角的一面角。 然后第三步，去去什么取，把这角给取出来，所以有三步骤。那我们把这种求二面角的方法叫什么法来，第一个方法叫什么法？定义法是吧？ 特别的构成这两个半平面是有特点的，是不是那两个都是全等的？等边塞，那我 v m 若垂直连接 cmcm 度也一定垂直啊，这两个是全等啊。 来，接着我们拆开第二二面角六十度， 那我们画一个四域图，二面角六十度，等于是 l a、 b 在 a、 b 分 别在二百根贝塔内，到它的距离是二根四，这是两个单位，这是四个单位距离，距离是垂直的。 然后再来这条长度为十，长度为十， 求 ab 跟 l 所成角正弦值是多少？ 呃，事实我都看明了，是吧？在哪个东西没看到？没看懂啊。六十度在哪里啊？ 能上几点？分别引垂线？哎，我虽然是引了垂线，但是几个点 两个点，说明啥意思啊？说明我 a、 c 跟 b、 d 这两个异面直线所加的几度。 我真的那意念直接转下六十度那意念了怎么办？共灭。怎么变成共灭呢？你已知之爱。 其次，我要求线 a、 b 跟 l 所成角，我也得去什么啊，所以也得去平移。所以怎么做过 c 做 b b 的 平行线，然后再过 b 做 c， b 的， 这全部都搬过来了。 哎，当完以后这个 a、 c、 e 这个平面长的什么特点？ 这个平面跟人什么关系啊？哦，你们人是不是垂直的？这个 c、 e、 b、 e 有 什么特点？ c、 d， b 是 什么？什么形啊？什么矩形啊？ 那我所乘角在哪里？ a、 b 跟 l 所乘角在哪里？哪个角？ a b a b a b 换哪里？研究 ab， a、 b， e 是 什么原因？因为 b、 e 跟正面什么关系？所以说什么原因？ 我的六十度在哪里？ a c， a、 c、 e， 这是根据什么来的啊？还是刚才那个问题出定义法？上局一定有分别是以权限六十，这等于二，这等于四，这 道等于几十，所以这条是什么？十 正弦值等于谁啊？就等于两倍的根号差除以几啊，对了没？所以刚才这个二面角我们怎么处理呢？第一把你有锤子吧，横上取一点，分别引全线， 如果是一点引全线，一步到位都是两点的半移在一起就变成一点了吧。你过来啊，你过来啊！第三题， 已知三人追踪， s a b 九十， s a c 九十，还有 abc 也九十，知道吗？ s a 跟 ab 相等， s b 跟 bc 相等， 那信息我都给它可塑化了，在图上给它标识出来了，清晰可见，对吧？ 这是啥东西啊？哦，原来是编码的模型，编码的模型对吧？第一步，这名 s b， c 跟 s a、 b 垂直，判定定命 运垂直，通过评估一下谁的权限好走，是 s a， b 好 还是 s b c 好？ s b c y 似的是不是？ 而 s a、 b 是 绿色的，它又是边到的模型，所以它的垂线是谁啊？啊？ b c b c 垂直于平面 s a b， 然后我 s b， c 过 b c 垂直了没？ 二，求二面角 a s c b 来思考一遍。 uhh， 那这个编码的模型所有的长度，这个关系度都清楚了。所，所以我们设 a b 为 a， 但是都可以标注出来的 啊，那构成这个二面小的两个半平面， a s c 角三角 形，斜边为几？哎，斜边为二 a， 所以 这两边直角边 a 跟二三 a， 另外一个呢？ s c， b 呢？啊？ s c， b 是 等腰直角三角形 能上去一点分别引垂线好做吗？是吧？不好做，这招怎么办呢？ 我们的目标是不是做能 l 的 垂线， 那如果要线线垂直，那什么呢？我们线线转换什么？空间里面线线转换成什么？是不是成了固面的线？线垂直也就转换什么线，找一条线在另外一个面呢？啊，是说射影所成的角 摄影垂直是斜线垂直吧，你看我们这是 s c， 这里面一个 a， 这里面是一个 b。 来，那你要用摄影三垂线来找摄影，所以我过 a 列记住 s， b， c 的 垂线， 这步 a 点在这边的摄影做出来了。那如果我这里做垂直呢？我做摄影垂直，则一定有什么斜线做垂直， 或者我斜线如果垂直，那摄影呢？而且这是一个什么原理？所以我们第二招用三垂线法来做 三垂线啊。三垂线， 因为这两个半平面同一点做不好做，因为两个半平面不是相等的，对吧？咱们也没什么确定不好做，所以我们去构建会知道在哪。 那怎么样？那现在到底是 b 去做 s， a， c 的 垂线好做，还是 a 去做 s， b， c 的 垂线好做？ b 比较好做是不是？ 然后过 b 点做 s、 c 的 垂线，那就只要做谁的垂线就行了啊，是不是？兄弟，那这条线我就去做 b e 吧。 b e 谁是 a c？ 那 b e 会不会谁是背面？这是 a， 根号 a， 根号三 a， 谁这条长度 二， a 除谁根号三 b 去做正面的垂线垂足，我记住 e 这条长度是几？二， a 除根号三。接着呢？ 先生，你过 b 点去做人的垂线可以，你过 e 点去做人的垂线，可不可以效果一样一样。 那到底是 b 点好做还是 b 点？为什么 b 点好做？那取它什么点？取中点连起来，这个 b o 是 不是全是 n c？ 而 bo 在 s a， c 的 射影是谁啊？ o e， 哦， bo 跟 s c， 谁是谁？ o e 呢？谁是谁？这个角就是 二面角呢？一面角，而且这个三角形是什么意思？ 那 o b 多长嘞啊？ o b 是 a 这么长，是不是？所以这个角的什么值可以搞定了？正弦值，所以正弦值？是啊， 二除以 c 搞定了没？不有可能是二啊，根化二大于一，根化二除以根化三搞定了。 因为我要做人的垂线嘛，是不是叫做人的垂线？ 所以，所以我要斜线跟你垂直，我摄影跟你垂直就行了吧？摄影跟斜线不也垂直啦？所以我们勾线，勾线，线面垂直来勾线这个二面的弧面的。 大哥们，那刚才我们做出来的这个面跟人什么关系啊？垂直的什么跟人垂直啊？所以我要找二面角和平面角，其实就是找一个面跟人怎么样垂直， 所以找一个面跟人垂直，所以我们这种话就叫做垂楞管。啊，垂楞管， 那既然跟人垂直，所以我做的这个面跟阿尔法贝塔什么关系啊？做也垂直了，第一次，那就是垂面法， 我如果做一个面跟阿尔瓦贝塔都垂直呢？我做一个面跟你阿尔瓦贝塔都垂直呢？那我跟你的交线什么关系？垂直的，那就 l 是 垂直我这个面，那 l 是 垂直我这两条线，所以这个角是二面角，平面角， 那其实都是一回事的，就是做一条，做一个面跟人怎么样？做一面跟人垂直就行。那要做一个面跟人垂直，就是做一个面跟阿卡贝塔都垂直，是做面的曲面。 好，接下来我们来看一下，已知平面被塔内有一条直线，是 a c a c 跟二百三十度， a c 跟 b d 四十五度，请问这个二面角的大小多大？ 哎，三十度这条线在哪里啊？过 a 点做这面的怎么样？垂线，这垂足为 a 型，然后呢？ 所以这个角度几度？三十度，这个角度三十度， a c h 三十度，我 h 跟里面谁知道把脚面都摆上要求的平面角在哪里啊？ 这二面角的平面角在哪里啊？啊？三垂线法是吧？有线面垂直的，我只要做交叉垂线就行了嘛，所以过过 h 点也行，过 a 点呢也行。过 a 做 b d 的 垂线垂足为 o， 然后连接 o h， 所以 这个呢？而且 a h o 什么概念？不知道这样的哎，搞定了没？ 哎，那现在我这个二面角大小都减减，直角大于谁啊？啊？ a o h 是 吧，都减下 a o h 设了，它为 a， 那 c o 呢？ ac 呢？ ac 更换为三十度，谁搞定了？ a h， a h 是 二倍的根化二，二倍二是它一半，二分之根化二 a 一 半呢？三十度 这个数只要占一半一半 a， 那 a o s 数两边知道了， 一边是他这个角的什么值？左边对边，一边是边边，所以这角的什么值可以取出来啊。所以正弦等于几啊？二分之根号二，所以大小四十九。好的， 那刚才我们是用这一定是吧。用三垂线法，三垂线， 斜线，垂直的摄影角，所以得到的是二面角的平面角，用三垂线法来做来。那继续我们再看。 已知 abcd 是 一个正方形， pa 跟底下垂直，并且 pa 的 长度跟 ab 一 样长。 九 p a b 跟 p c d 所成二面角的大小。 哎，这个模型叫什么？羊马是吧？ 现在这个二面角长的什么特点呢？各位 能能没刨出来是不是？但能是不存在的。我们这两个半明明是有交界的吧，有姑娘对一条交界这种的话，我们把它叫做无能二，命小啊。 第一种结话，零人怎么办？五人法是不是 怎么补这两人？这两人长得什么样？那不就是球 p c d 跟 p a b 的 交线了？ 你都知道他是养马了，那补一下，这是谁啊？从宋康里的一条人啊。为什么 我们说 p a b 交 p c d 于 l l 有 什么特点呢？ l l 是 跟谁平行，为什么 l 跟 ab 平行呢？那个点， 为什么 l 跟 ab 平行呢？过线这面找标线什么前提？所以这线是平行呢？因为 ab 平行 c 力，所以 ab 会不会平行平面 pcb， 然后呢？过线过线又 ab 再平面 pcb 中过线 做了一个面，找到谁交线，结论， a b 平行，谁来了？右 pa 垂直于底面，所以 pa 垂直谁 a b 所以 pa 垂直，谁来了， pa 又垂直来了， 那 pd 会不会垂直 l 啊？也会是吧？选 pd 也垂直 l。 所以 二面角的平面角是谁啊？啊？ a p d 什么 a p d？ 这不就是我们二角平面角， 那这个角度为几度？四十，所以这个二内角大小为补，能把能给补出来，但是大家你们发现我们补来补去补来的寂寞， 哎，你们都不要把二段就行了哈。为什么不要把二段也行啊？你要做二面小的比面小，事实上是 做一个面，做一个面跟谁谁吃，跟 l 谁吃，是吧？要做一个面，跟他交界谁吃。就是要做一个面跟这两个面都垂直， 都要做一个面，跟这两个半明面都谁吃啊？所以刚才我们有一个方法，几方法是叫什么法啊？水念法是吧？来，我们具体怎么实施， 先证谁先证平面 p a d 垂直平面 b a b， 然后平面 p a d 垂直于平面 b c d 这两个平面交于 l 则怎么样？ 这两个平面都跟他垂直，他的交界跟我这平面有什么关系？你看地板平面比，这个地板平面跟你左边的墙面，他们的交界跟我这平面有什么关系？所以我 l 跟跟谁 p a d 是 垂直的， 所以呢？ pa 会不会垂直 l p d 会不会垂直 l？ 所以呢？咱们下结论说三个角平面角对不对 啊？在这个角度是不是四十五度？搞定了没？所以五个人二面讲两招，一定要把它补出来，是不是 一定要把它补出来？第二招呢？第二招，我们找他的面的水面或者人的水面 啊，那这是我们今天啊讲的内容就是侧面讲我们常见的招数啊，第一招是地面法，第二招是全面法 啊，第三招是三权现法，对吧？第三招是三权现法。第四招呢？ 就冷的水面跟什么啊？根面的水面对吧？把它吹起来叫做什么啊？常见的是这三招，常见的是这三招。 好，那今天第二个任务，上一周大家做的一些题目，我们来点评一下吧，对了， 难受的地方在于什么？ 如果没有根号五，咱们彩笔的招数是将军一号啊，将军一号拉直的是不是折线度拉直的？ 但是这屏幕的特点是，这是一个直角三，这条边为一，这条边为谁？你看数据太吉利了。根号五根一啥意思？破 m 做他的什么线？ 你说 m 撇吧，那我这是不肯定大于等于根号五倍的谁 啊？根号五倍的 m n 撇是不是谁啊？你这不根号五比一嘛，所以根号五倍的 m n 撇就是谁啊？就是 a m 撇是不是 另外一条呢？ m a， m a 是 斜线段最小，什么叫最小？垂直的上最小，那就 m n 撇吧。 那现在就变成 a m 撇加上 m n 撇吧。 a m 加上 m n 撇等于谁啊？这恰好是不是等于 ab 的 长度啊？因为我们这边是一个什么形，所以它就是 abd 的 长度，是不是就等于杠五？ 所以呢，当然以后我们学完语言以后，根号五倍啊，经常会去找他的叫做还原点啊。还原点，因为我们语言可以看作是到两定点距离之比，是一个 定值，对吧？所以根原上点根号五倍就等于另外一段。这有一个系数的问题，我们记得以后也经常会用到这一招啊，这一招啊，当然今天我们就这样。另外一个呢？ 另外一个角度，一个根号五跟 pm 存在一起有点像。什么面面积？总面积除以二分之根号五，这面积可以分成几块？ a， b， e， m 跟谁啊？ b e， m c 是 吧？ 那这面积数等于二分之根五乘以 p m 再乘以什么高高，你把 p m 变成什么？又高来？ p m 是 大于 二分之一乘以 m a， 再乘以这个角度 r， 好 吧，除以 m n 跟 b c 的 夹角处 r， 这是贝塔吧，对吧？上面是阿尔瓦这个贝塔，阿尔瓦贝塔有戒吧，所以给他放松一下，所以起来练习。 二分之一根号是谁？这边呢？二分之一左边呢？好了吗？两边都乘以二，是不是根号就出来了？所以第二个你要想到这里面是面积，所以可以面积把它记住 啊。再来再来，一四七面一十五皮， 打一个正方形的纸片。那你翻折的问题，我们首先 把它的平面图画一下咯， 我现在要把 a b， e 绕着 a e 处翻起来， 直角三角形，绕着斜边翻起来是什么？这样是不是旋转体了？是不是旋转体了 啊？刚给同学提到出两个圆锥，那旋转体的问题要注意啥？轴的什么线？垂线？那就过 b 做 a 的 垂线 是不是垂直过来，刚好是它什么点？终点，这是二，这是一随这段为二除根号，整条根号随这段为三除根号。那你这是二根号。这边出一个三等分点 啊， f o 的 三的分点数，这个，这个 b e 是 吧？呃，这有 b b 撇啊，我就 b e 啊，看见没？那你就翻起来呢？翻起来长得怎么样？ 这是 o 是 吧？所以这翻起来以后是一个啥？是一个圆圈的底啊？那翻到背面去，是不是这边的三角形？这里啊？ 翻到底下来是不是这个？所以点 b 撇的轨迹是什么？是一个圆，并且 b 撇 b o、 m 这四个点呢？共面是不是共面的？ 因为你这边要垂直吧，延长过去下一个终点啊，所以这个 f 啊， b 啊， o 啊， b 就 空空面了。再来， b 撇在里面摄影是谁啊？ 你这个 b o b b o， b 撇这个面的里面都垂直了，所以 b 撇在底下摄影出这条线上的某个点，摄影出在线上某个点， 没毛病吧？来，这 a b c d 哪个选项需要解释一下？ 比如 c 选项好不好？ c l 会零点吗？ f 点，然后 b 撇 f 跟底面所乘角， 线面所乘角就是谁了？ b 撇 f， 谁 用 b 撇 f， 而这这些是共面呢？共面呢？我看不懂，我把平面图画出来，这是 b 啊，这是 o， 对 不对？这是 b， 这里还有一个三分之一，这点是 f 点，你是长这样子的， 然后这个连起来什么社会最大？切切的话连起来是九十度，最大的一记，二除根号最大的一记， 单独跟好友，谁的挣钱是最大啊？不是这么多事情想恨着，明白吗？要再比如说，谁知道问题呢？ b 撇 b 会跟 a e 谁生呢？那 b 撇 b 的 投影是谁啊？ b f， 那 b f 跟 a e 会谁生？那是不是斜线这里也垂直的啊？斜线都可以做出来对吧？是旋转的问题。 再来，若两条异面所成角七十度，或空前一点，跟它们都成七十度，这样直线有多少度？ 所成角？那我们是不是都可以移到一起来啊？可以吗？ 那如果我过点 p 做一条直线，跟它所成角如果相等，这条直线长的什么特点？ 这个角跟这角相等啊？那我这上面找一点 q 做正面的射影，做 o， 然后过这做垂直过来， 比如说 q e 垂直啊，这个真 q 是 吧？这是 o 啊， q e 垂直 a q e， 如果垂直 a， 那 o e 呢？垂直 a， 那 q f 垂直于 b， 那 o o f 呢？ 这两个脚相等刚才这只直角，所以左右两侧的两个三有什么关系？全等，这两段是不是相等？ 这两段对于底面来讲叫什么？叫斜线？那斜线如何相等呢？投影是不相等， 这两段相等是啥意思啊？到角的两边距离相等，所以这个点在哪里？ 所以我们现在解决了一个问题，如果过点 p， 要做一条线，跟 a b 所成角相等，那这个这条直线 l 在 这底面射影，一定是谁啊？是角平分线， 所以你看我们这个是七十度是吧？那七十度这个区域里面是不是这个叫做角平分面啊？从上到下还有呢？还有是不从下到上 只有两个区域，上面可以做，做一条，底下能做一条。还有两个平面是谁啊？钝角一百三十，一百一十度，这边是不也有啊？ 看见没？看见没？这个角度，这个最小是几度啊？三是三十五，所以跟 a、 b 三十五这样子有几条？ 是不是？有，且只有在这个面上的这条，然后四十度有几条？ 这一边是可以做一条四十度的，底下能不能穿上来一条？可以。而在这个区域里面，你是一百一甚至几度？五十五最小几度， 最小是五十五。那你要做四十度，能做的来吗？做不来对吧？做不来， 因为我们刚才为什么这个是最小的？为什么三十度最小？三十度是什么？躺着的都躺着的， 所以我这个斜的一定比躺着的来着什么大，所以最小是几度啊？三十五是最小是三十五。来回到本题， 他说要做七十度的，是不是？那你这里最小几度？三十五，所以在这个区七十可以做几条？两条这边是几度？最小几度？五十五也可以做几条。什么时候是三 条？那七十度改到几五十五，那这样子线可以做几条？什么时候两条 三十五到五十五之间是多两条三十五度的叫几条？三十度？没有，没有是吧？搞定了吗？ 因为所成角是可以进行平移的，所以你都移到一起来，变成过一点的线。

哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二第八章立体几何初步八点六点三，平面与平面垂直。好，来到了我们的本章的最后的一节课哈，也是我们的这个垂直的最后的一节课哈，面面垂直的关系 好，我们通过呢。跟之前一样，我们说除了线面垂直是一个特例，他得单独定义之外，别的都是先定义角。我们这里看一下哈，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。同学们说，哎，没看懂什么意思？ 从一条直线出发两个半平面，什么叫半平面？我这个地方这条直线截了这一边，你就不要去延伸了，平面是往四周 无限延伸的，对吧？那这边不要延伸了，往这边延伸一半的平面叫半平面，这个东西哈，半平面和平面不要觉得它很复杂，我们只需要去类比半平面是什么射线， 那么平面呢？就是直线好不好？那么我们的这个另外一个呢？你看这边被塔这个整体所形成的图形，它就叫做二面角， 那么平面呢，会有两个角，也跟我们的直线是一样的，直线我们会有什么？平面角？它实质上是两条什么两条射线组成的角，它是有 零度到一百八十度的，对吧？那么另外一个呢？我们两边延伸，它又变成了什么？变成了直线，它的范围就是零到九十度，这个叫直线与直线所成角。所以其实我们的直线也有两个，我们就可以完全类比。 说很多时候哈，我们在画图的时候，我们都可以这样画啊，这个是非常重要的一个技巧好吧，比如说我们画这个角度的一个侧面，他就是什么，如果是平面，我们就画成什么，画成直线，如果是二面角就是半平面，我们就画成这个射线啊，就这样子。 好，这个叫二面角，那么这条直线呢？叫做二面角的棱，那两个半平面呢？叫做二面角的面哈，整体的整个东西叫做二面角。好，棱为 a、 b， 面，分别为阿法和贝塔。棱是什么？ a 和 b， 记作什么呢？记作阿法 a， b， b， 就是 说 我用这边的一个面，然后呢这个 a、 b 这条棱再加上另外一个面来做命名啊，这是一个命名的规则。那么有时为了方便，也可以在阿法和贝塔里面 棱以外的半平面的部分分别取点 p 和 q， 然后将这个二面角记作二面角 p， a， b， q， 那 同学们说为了方便它不方便呢？我，原来阿法 a、 b 那 个贝塔不挺好的，我还得找两个点，找两个点之后，这两个东西有啥区别吗？对吧？那么这里问题来了哈， 我们为什么要这么做呢？我们要有背景的，比方说我们看一下我们的正方体，那么比方说我们要去形容这个二面角，绿色的两个组成的一个二面角，好吧，那假如我们要使用平面的方式，我们就要写成这样子，对吧？ a， e， d， e， d， a， 一 杠 a， d， c， d， 然后呢，我们如果取点的话呢，就 a， e， a， d， b。 所以我们会发现什么问题啊？我们是要看上下文的，刚才我们要找这个点 p、 q， 我 们当然不去找了，对吧？对吧？而且刚才呢，我们有个面，这个阿法、贝塔现在没有嘛， 所以呢，当我们有这个点，然后这个面也没有做一个命名阿法、贝塔干嘛的时候，我们使用这样的方式是会方便简洁很多的，这个呢就是关于二面角的这个命名的法则的问题，对吧？ ok， 接着呢，我们来看刚才我们是定义了什么东西是二面角，我们还没有讲这个二面角多大，接下来我们看生活当中我们常说把门 开大一点，那这个是什么大呢？我们会知道哈，刚才定义了之后，会知道这个门跟我们的这个平面可以形成一个，比如说这里截住半平面，那这个就能形成什么？门面和墙面的一半就能形成一个二面角，那么这个二面角多大呢？就会涉及到这里的问题。我们来看一下 在二面角阿法 l 贝塔当中的棱上面任取一点，又哪任取一点，哪个都不重要， o 以点 o 为垂足，在半平面阿法和贝塔内分别做垂直于棱 l 的 这个射线 o a、 o b 好 垂直于这个垂直哈，不是 o a 跟 o b 垂直啊，这个不一定，我是 o a 和这个 l 垂直， o b 和这个 l 垂直啊，对吧？那么则射线 o a 和 o b 构成的这个角 a、 o b 就 叫做二面角的平面角，这个东西是不是就 跟我们的什么跟我们的这个平面角很像，呃，一样的，对吧？这样子二面角的大小呢？可以用它的平面角来做度量，好吧，所以呢，我们的这个平面角就是来量这个二面角的 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角，你看我们先花很长的时间来定义什么是面面所成角，然后呢九十度就是 直二面角呗，就这样子，二面角的平面角的取直范围是零到一百八十度，零可以取，就是他们闭起来啊，像嘴巴闭起来这样子，一百八十度像，像我说的，其实就跟我们的这个平面角一样的，如果我们从侧面图去看，就是一样的东西啊，对吧？好， 接着我们说平面与平面所成角，这个呢，课本在我们的下一本书选 b 一 那里才定义呢？很多同这很多老师，包括很多教材编辑教材的人都表示不理解，那我其实我就直接在这个地方讲了，因为其实关联度很大，我觉得没必要 平面阿法和贝塔相交，我们刚才是干嘛？半平面就这里是没有的，这里是没有的，那现在我们形成了四个二面角，如果是平面的就形成了四个二面角，我们把这四个二面角当中不大于九十度的二面角 称为平面阿法和平面贝塔的夹角，所以我们说干嘛用直线去类比就可以了，一模一样。那么这个地方呢，我就先做一个我们现在所接触到的所有所成角的定义， 因为呢，我们并不需要通过背这个角度的定义来记住以下五种，其实一共是六种，但是呢，我们的六种在我们的选 b 一 那里呢，我们做一个定义，因为还缺了一个。好吧，那么这个地方为什么在这个地方我们先讲一次，后面又总结一次呢？因为就真的太多同学在记这个东西了，这个鬼东西了， 永远选举所成角当中的叫小指，我今天提一个点哈，就无论你们学数学也好，学英语也好，你一定要相信别人是有规则的， 对吧？不要认为数学家闲着没事干，是不是他是正常人，而且科学家最喜欢偷懒啊。数学，科学，学科。直线与直线所成角范围是零到九十度，为什么呀？因为我们说一条直线，一条直线 会形成一个角，两个角，那我肯定是不要这个大的角，我贪麻烦吗？是吧？所以我要所成的角是小的，所以是零到九十度，这个不用记。 接着，如果，如果是向量与向量呢？向量是有这个点的，就是不是两边延伸的，他们的定义是拖到同一个起点，那此时是不是也可以这样子，所以他是可以零到一百八十度，那同样的，其实他也有一个大于一百八十度的，肯定不要大的，就这样子。 然后呢？直线与平面直线与平面，我们怎么定义的？我们的上一节课直线，我们的有一个摄影，对吧？投影，然后接着呢，这次也形成两个度，那我为什么，对吧？又是小的那个角度吗？简单的那个，然后就到了我们的这节课的半平面，对吧？半平面，我们说什么呢？我们就通过我们的平面角来做理解，对吧？ 射线，射线啊，这个是 o 啊，这个射线是一样的，这个就是半平面，而我们的平平面的整一个平面呢，就是直线啊，两个是可以完全对照的啊，这个地方呢，也是一个小的角，一个大的角， 平面一个小的角，一个大的角，所以这个东西呢，我从来一个都不可能背的哈，但我看到有些同学背的很辛苦啊，这个锁上角，这个锁上角背完之后呢，还会错啊，太夸张了，这个东西背来干什么呢？对吧？不，不要浪费这么多时间在这些东西上面所找到它的规律 啊，对吧？就是你们一定要知道，找不到规律是一定是你的问题。就像以前我们工作的时候就是在大公司，你如果觉得大公司的流程全都是很麻烦，很繁琐，都是有问题的，那一定是你的问题， 对吧？你一定要有这样的精神。很多同学看我的课，像我说的，如果我的课一百个人里面有五十个，有六十个没看懂，那么一定是我的问题。但如果有九十九个没看懂，有一个没看懂，那你就要知道，那一定是你的问题啊，对吧？这个是一个很简单的一个东西，我们一定要去理解对方啊，不要去这样死背， 所以这些东西节省很多的一些功夫，不要浪费时间在这些上面，这样子， ok， 我 们看一下利益。下列命题当中是真命题的，有两个相交平面组成的图形叫二面角呢，这个当然是错的， 一面直线 a、 b 分 别和一个二面角的两个半平面垂直，你看我们怎么画？这样的问题，我们要处理的时候怎么画两个半平面，还要去画平面，太难画了，对吧？太耗费时间了，用射线来表明就是这样子的，对吧？这个阿法， 这个贝塔，那我们会换另外一个颜色的笔，或者说画粗一点来表达，然后一面直线 a、 b 呢？分别跟它们垂直，这个是，哎，这个画细一点，对吧？这个是 b 啊，这个是直线，好吧，这个就清晰了，这个垂直，这个垂直则 a b 所成的角与这个二面角的平面角相等或者互补， 我们来看一下是不是的他们相等的相乘的角是这样子，这个，那这个是什么关系？互补，那有没有可能是那个什么？有没有可能是相等啊？有，比方说这个情况下小的，对吧？那这个时候，这个这个， 那这个时候呢？这个角和这个角就是相等的关系，所以我们怎么找他关系？怎么画，这样用剪图来画就可以了，明白吗？然后呢？所以这个是对的，这个是错的。 二面角的平面角呢？是从棱上的一点出发，分别在两个半平面内做射线所成角的 啊？半平面内所做射线，刚说做射线所成角的最小的角啊，那当然不是啊，这棱上出发干嘛要垂直，对吧？不是所成角的最小角是一定是垂直，那个是确定的，对不对？垂直，所以这个是错错的。二面角的大小与其平面角的顶点 在棱上的位置没有关系啊，这个是对的，对吧？我们说这个顶点是可以任意取的，哪里都可以，所以这题选二和四。然后接着呢，就是我们面面垂直的判定，那其实这个就是我们说的，我们定义了二面角，我们只要是九十度就可以了。那我们这个地方说一下有些什么样的情景呢？比方说 教室里面的墙面，墙面所在的这个平面与地面所在的平面相交，他们所成的这个二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上，那么一般的两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 啊，记作 r 法垂直于北塔，对吧？那么这个地方同学们说啊，半平面，半平面已经不重要了，因为它如果是垂直的状态呢，形成的两个半平面它都是九十度，对吧？那么画两个互相垂直的平面的时候呢？通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。我们来看一下 什么意思啊？画两个互相垂直的平面的时候，这个就会比较有立体感，对吧？这个是我们的画法。 ok， 然后接着我们看建筑工人呢，在砌墙的时候，常用铅锤来检测锁器的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的系绳紧贴墙面，什么意思啊？就说如果我们的这个，呃，木工师傅，我们要检测这个墙面 是否垂直于地面，他怎么做的？他垂下来一个这样子的，如果我们说右边的这个面，如果这条红色的绳子贴紧了这个墙， 那么我们就能认为这个墙面是什么是垂直的哈，这个方法我们说明了什么样的问题？因为我们刚才说我们定义了二面角，是啊，那个垂直是二面角，当二面角为九十度的时候，但是如果我每个场景都要去计算二面角等于九十度，就太麻烦了，所以我们有一个特别的判定方式， 那么这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，因为铅垂下来，这一个红色的线一定是垂线， 那么如果墙面经过他的垂线，如果他紧贴的时候，就说明他经过，那么墙面就可以判定与地面垂直，这个是这样子的一个应用，类似的结论呢，在长方体当中可以发现，比方说在右图的长方体当中， 我们的平面 a d、 d e、 a e 啊，也就是说我们左手边紫色的这个经过了平面下面的这个绿色的垂线 a a、 e， 对 吧？这个 a a、 e 是 底面的垂线，而左边的这个面经过了它，我们就已经可以判定它垂直啊这样子的东西。所以 一般的我们有下面判定两个平面互相垂直的定律，如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言表示为，对吧？这个就比较简单直接写出来。好，我们看。第二，在正方体当中求证 我们的平面 a 撇 b d a 撇 b d， 紫色的这个和平面绿色框的这个是垂直的关系，所以我们要很灵敏的看到哪些直线，我们是最好找的，应该能看到什么 b d， 我 们只需要去证明 b、 d 是垂直于什么？垂直于我的这个面 a c c 撇 a 撇的，而我的 b、 d 是 在这个平面 a 撇 b d 上的，那么这两个条件就足以让我去证明这两个平面是垂直的关系，所以这里其实只有两个，两个条件就能推反，而这个地方要五个，对吧？ 它垂直于两条相交的，而这个垂直这个 a a 一 撇呢？又垂直于它， a a 一 撇垂直于它呢？又要多一个步骤，我们要说明， a a 一 撇垂直于底面，它是底面的一圆，对吧？然后呢？这两条相交于点 a， 然后都属于这个平面，对吧？好，那这个地方在正方体当中， 然后呢，所以这个在正方体的对角线的关系， a、 c、 b、 d， 又因为 a、 a 撇和这个 a、 c 相交于 a， 而这两个呢，都在这个平面上五个条件，所以 b、 d 垂直于这个绿色的这个平面，而又因为又因 b、 d， 它在这个面 a 撇， b、 d 上面，所以这两个平面 垂直。看一下我们的表述哈，基本上这个表述是没有问题的，那么这个表述的语言它是精简的，怎么样去减少我们的书写？这个很关键，不要密密麻麻写一堆文章，然后还有一些点去是遗漏的，没有用的哈，数学不要嫌字多，一定要去精准、严谨、简洁就 ok 了，好吧， 然后看第三，如图，已知 p、 d 垂直于正方形 a、 b、 c、 d 所在的这个平面连接这些啊， p、 d 是 垂直的，它是一个 则一定垂互相垂直的平面。有几对？这里面就很考察我们有没有掌握到我们刚才的这个定律，我们怎么去找，我们怎么去找？我们一定要去有这个条理的去找。怎么样有条理去找呢？我们通过什么？因为 b、 d 垂直于这个里面，我们先通过线面，你看，我们通过线垂直于面， 然后呢，我们去找所有过 p、 d 的 平面来垂直于这个面， a、 b、 c、 d， 这样子我们就能做到不重不漏，对吧？过 p d 有 什么？有 p a， d， 有 p b d， 有 p c、 d， 所以 这个地方呢，我们找到了三个面的垂直关系，接着我们来看，同理 我们的 c、 d 和 ab， 它都会垂直于 p a、 d， 所以 那我们的 c、 d 和 a b， c、 d 和 a b 啊，这两条对吧？是平行的，它都会垂直于旁边的这个 p a、 d， 那 这里具体我们就不做证明了，对吧？这个也比较简单的证明，这个是直角，这个是直角，那么这个呢，我们就通过这组作为第二组 来找经过 c d 和 a、 b 的 都行，有什么有 p a、 b c， 有 a b、 c、 d 重复的，我们最后再排除掉它，我们最后再排除掉它。 第三组我们的什么呢？ a d 和 b c 啊， a d 和 b c 平行的两，这两个它会垂直于这个 p d、 c 的 这个面，那么这个时候呢，我们又找过 a d 和 b c 的 面，有三个，最后呢我们看 a c 垂直于 p d， b 啊，这个是很多同学可能会遗漏掉的啊，这个 p d、 b 和这个 a c， 那 么这个时候呢，过 a、 c 的 面会有两个，对吧？底面以及 p a c， 那 么所以这个地方怎么一共七对呢？三三三二，一共十一，那我们看一下重复的 p a， 这里出现了一个重复， 是吧？然后接着呢，这里出现了这三个都是重复的，然后我们来看一下还有什么啊？ pdc 啊，这个 pdc 和 a p d， 那 么和这个 p c、 d 这两个是重复的，所以 一二三四是重复的，所以十一减四等于七，我们就找出重复的部分就可以了。 所以这道题呢，关键要看我们是怎么样去把它分成四组的。如果我们要做穷举，我之前我说穷举也是有技巧的，同学们穷举也是有技巧的，所以我们要知道这个东西，我们在选 b 三就会特地的去讲这个点啊。 ok， 我 们的例四继续是课本的立体，如图， a b 呢是我们圆 o 的 直径， pa 呢？垂直于圆 o 所在的这个平面 啊？ pa 又是一个 pa， 是 垂直的 c 呢？是圆圆周上不同于 a b 的 任意一个点哈，随便的一个点，没有规则求证。我们的平面就是绿色的这个平面， 垂直于平面， b c p b c 啊，红色的这个平面，我们来想，当然，我们很容易能想到一定是跟什么相关，既然它任意，一定是跟我们初中所学的，我们直径所对的圆周角是九十度， 这个是相关的，对吧？那接着呢，肯定又跟 pa 平行于这个平面，那我们可以干嘛啊？ p 垂直于 pa， 垂直于这个平面，它就会垂直于 bc， 所以呢，我们就会知道这个是垂直的，就 bc， 它会垂直于 ac， 而 bc 呢，也会垂直于 pa， 那 这个地方呢？要去单独说明啊，在这个这个地方要有个证明，在这个地方，对吧？然后我们这两个相交 于点 a， 对 吧？然后这个和 pa 都在我们的 p a， c 上， 对吧？所有的这些，我们就能推动五个条件哈，这里两个哈，我们就能推出来 b c 垂直于这个面， p a c， 然后再加多一个什么，再加多一个 p c， 它包含于这个平面 p b c， 所以 得到 p a c， p b c。 平行 整个思维的脉络。你看，先这里拿整个思维导图，先从这里推出我们的这个这个结合这四个条件，我们得到了平行于平面，平行平面，再加多一个 b c， 得到了最终的，你看这个层级要很清晰，好吧，所以是这样子的一个东西，我们看一下， 直径所对圆珠角为直角，所以又因为，然后相交于 a， 所以 b c 垂直，平行垂直于这个平面 b b a c 又因为 p c 包含于这个面， p b c， 所以 这个很清晰很简洁的这个表达的过程，对吧？ 面面垂直的性质定律，面面垂直，我们来看它有什么样的性质定律。我们有以下平面与平面垂直的性质定律。第一， 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另外一个平面垂直，两个平面是垂直的关系。如果有一条直线 l 它垂直于谁？垂直于交线， 那么这条线呢，就会跟另外一个平面垂直。好吧，符号语言表达为这四个条件啊，同学们啊，再次提醒，不要被这些会发现，好多好多，是吧？我们说理解就可以了， ok， 面面垂直呢，还有以下的这个性质定律，我们去拓通一下。第一个呢，垂直于同一个直线的两个平面平行， 如果一条直线垂直于一个平面，那么其所有平行线也都垂直于这个平面。我们来看一下模型。首先我们来看一下第二个结论，如果一条直线垂直于个平面啊，这个是跟这个平面是垂直的关系，其所有的平行线，所有的平行线都垂直于这个平面， 好吧。第二个呢，是垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线，这个或者这个都一样，两个平面是平行的， 那么所以这两个结论呢，告诉我们很重要很重要的一个东西就是什么呢？这些性质，我们会发现一个一些一件事， 相对比线和面的平行关系，我这样也行，这样也行，这样也行，对吧？我的课桌我拿着一支笔，这样子也是平行，这样子也行，这样转都可以，所以没有办法，去干嘛呢？去锁定 啊，用了一个很通俗的词语，虽然一个平面的平行线和垂直线两者都是无数条的，但是垂直线的方向是确定的， 这个很多时候像我们玩的套圈圈，对，套圈圈啊，或者那些积木啊，对吧？一根棍子，然后套进去，我这根棍子我可以放在这里，可以放在这里，可以放在其他地方，但是只要是这样放它上面套的圈圈的这个方向就是 固定的，所以这个呢，我们有锁定的意义。这个给到后续我们解决平面的问题提供了重要的思路， 就是我们在后续的呃，那个选 b 一 的第一章，我们就会知道怎么去做平面的问题呢？我们要用法向量，就是不是用它平行的向量，而是用一条法向量，到时候就会讲这个问题，所以这些呢，都是我们一些理论的基础，好吧， 接着我们看例五，如图，已知平面 alpha 垂直于平面 beta， 直线 a 呢，也会垂直于 beta， 那 这个 a 呢，是不在平面 alpha 上的，判断 a 与 alpha 的 位置关系，当然我们从感官上面来说，从空间感来说，就知道它是平行的关系，那么我们怎么证明呢？我们来看一下，设 ar 加贝塔等于 m 啊，我们这个地方，因为在题目当中上面没有讲在阿法当中呢，做直线 b 垂直于 m 啊，我们做一个 b 垂直于 m， 那 此时因为阿法垂直于贝塔，而且呢 b 包含于阿法，我们哪里的结论就是前面我们说一个平面内垂直于它们相交的棱 的这条直线啊，它会垂直于另外一个平面呢？前提是两个平面垂直，所以我们就会得到 b 会跟 beta 垂直，而我们知道 a 跟 beta 也垂直。那前面又有结论，垂直于同一平面的两条直线相互平行， a 平行于 b， 然后接着我们就知道了 b 在 阿法里面，然后呢， a 不 在阿法里面，是吧？那么我们就能得到 a 会平行于阿法，简单的一个证明，对吧？我们会知道这个结论，然后是我们的例六，如图，已知 p a 呢，垂直于平面 abc， 底面 平面 a p a b， 就 绿色的这个面垂直于平面 p b c。 求证 b， c 垂直于平面 p a b。 当然我们这个条件，两个条件，这个条件应该一眼就知道 p a 垂直于 b， c 是 这样去使用这个条件的，那这个呢？我们要想一想。 那么从感官上来讲，我们是很希望能找到 a b 和 bc 垂直的，我们非常希望找这个，对吧？但事实上，我们没有条件能做到这样子的事情，我们就要用什么样的心智。我们就要过 a 做一条垂线， 那么这条垂线就会垂直于这个，能，这个时候我们就能运用这个条件，那么比方说这个是 d， 那 么 a， d 就 会垂直于这个平面 p b c， 那么进而 a d 就 会垂直于 bc， 那 么我们 bc 用哪两条直线来证明这个垂直的关系？用 a d 和 ap 啊，这两个相交的直线，对吧？我们要搞清楚。所以呢，过点 a 做 a， d 垂直于 p b， 垂足为 d 啊，这应该要加多一个垂足为 d， 对 吧？因为平面 p a b 加平面 p b c 等于 pp 啊，这是它们相交的一条能，然后呢？ a d 呢？又在这个平面 p a b 上面，所以 a d 呢？呃，会 垂直于我们的 p a p b c， p b c 啊，那接着呢？我们的 b c 在 这个里面，所以 ad 会垂直于它， 好吧，那这个就很好使用了。 pa 和 pc 的 关系，所以这里一个条件，两个条件，加多三个条件，三个条件，四个条件，五个条件，一共五个条件，我们就能证明，对吧？这个 b c 和这个平面的垂直关系。 好，这个就是我们的这节课，我们做一个总结，我们前面说了，我们的线线垂直，线面垂直，对吧？然后呢？面面垂直，两个平面所成角为直，二面角， 然后呢，如果一个平面过另外一个平面的垂线，这个是判定的方式，对吧？我们通过线面垂直来判定面面垂直，这本身 特殊，这本身也是一个判定方式，我们可以通过求得他们所称的角是指二面角，但这个东西呢，它更麻烦，比起这个要麻烦的多啊，对吧？所以我们一般用这个， 然后它的性质会有什么呢？线面垂直，两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，就他们的能，那么这条直线与另外一个平面垂直，我们会得到这个性质是关于什么？线面垂直，所以这是不是又有一个路径？ 我们想要知道线面垂直的时候不一定要通过线线垂直，我们这个路径他也走得通，对吧？像我们之前的立体，所以这个网络也是要慢慢去搭建，去搭建起来哈，这个就是我们的这节课，也是结束了我们的第八章的一个学习啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

好，我们来看下一个问题，如图四边形 a、 b、 c、 d 与 a b、 e、 f 呢，都是直角梯形，这里这两个字母我标反了，现在呢，我已经标注出来了，这个是 e 啊，这个是 f， 并且平面 a、 b、 c、 d 垂直于平面 a、 b、 e、 f。 当我们阅读一个题目的时候，读到这个位置，你就要发现这是一个非常非常关键的题目信息，你要敏锐的捕捉到这个题目呀，他在考我们面面垂直的性质，那么我们第一步一定要先找到这两个平面的交线， 现在这个交线呀，他就是 ab， 那 么哪条线垂直于 ab 就是 我们接下来要找的关键信息。 接下来他说 abcd 与 ef 是 互相平行的， cd 的 长度呢是一， ef 的 长度也是一， ab 是 二， ab 是 二， af 呢也是二。 b， a d 与 b a、 f 这两个角都是直角。好，读到这样的时候我们就发现了哦，这里边的 a、 f 以及 ad， 它们两个都垂直于交线 ab， 那 就说明 a、 f 垂直于下表面， ad 呢垂直于内表面。 第一问让我们去证明 bce 垂直于 af， 那 这就非常的简单了，因为 af 呀，它已经垂直于线表面了，它自然呢就垂直于啊 bc， 所以 第一问非常的容易。我们再来看第二问， 让我们去求平面 acf 与 bce 夹角的正弦值， 那么这是一个求二面角的问题，我们要先建立空间直角坐标系，那这个题解析就非常非常的简单， 直接，以 a 点为坐标原点，这个为 x 轴，这个为 y 轴，这个为 z 轴。那么我们把坐标写一写， a 点呢，自然就是零零零， c 点呢？ 二一零 f 点零零二， b 点零二零 e 点零一 二，这样的话呢，你只需要写 a， c， f 以及 b， c， e， 把法向量都给它写出来，然后呢，去求正弦值就可以了。注意啊，是要求正弦值这个题目呀，我们着重要讲的呢，是它的这个第三问， 这个第三问呢，勉强呀，也算是一个新的问法吧，就是说它把向量的这个考法更加具体化了。 第三问，他说如果空间当中存在着一个点 q， 并且呢，他满足 d q 向量等于喇么的倍的 d f 向量，再加上一个六倍的 b b 向量， 喇么的与六呢，都是属于 r 的， 并且呀， a q 它是垂直于平面 b c， e 的， 让我们去求这个 a q 的 长度。 由于第二问之中啊，我们已经建立了空间直角坐标系，那我要想求 a q 的 长度，有一个最简单的方案，就是我要是知道 q 点的坐标， 由于 a 点它是坐标原点，那么 a q 的 长度自然等于 x 方加 y 方加 c 方，再开根号就可以了。所以说，我们关键呀，是要把这个 q 点的坐标呢，它满足的合金， 它满足的核心条件就是 d q 向量等于喇么的 d f 加上 m 倍的 d b。 那 刚才我们写了 d 点的坐标呢，它是二零零，所以说这个 d q 向量 就等于 x 减二 y z， 而这个 d f 向量 等于负二零二，而 d b 向量呢，负二二零。那我们知道 d q 等于喇么的 d f 加上缪倍的 d b， 也就是 x 减二 y z， 它等于喇么的乘以一个 d f， 也就是负二喇么的，然后呢，再加上一个缪倍的 d b， 也就是负二缪 二缪零。于是乎呀，我们可以得到这样一个方程，就是 x 减二，它就等于负二栏的减二缪， y 呢，它就等于二缪，而 z 呢，就等于二栏的。 从现在我们得到的这个方程来看，我们是没有办法把这里边的阿拉伯和缪呢给它求出来的，因为啊，这里还有一个条件，就是 a q 向量垂直于平面 b， c、 e， 这就说明呢， a q 向量是平行于 b， c， e 的 反向量的，这个 a q 向量呢，它就是 x y， z， 而这个 b、 c， e 的 反向量，我们在第二问当中呢，是可以把它算出来的，它就是 一二一。于是乎呀，我们还可以得到这样一个方程，那就是 x 等于 y 比上一个二，然后呢，再等于 z， 那么我们去解这几个方程就会得到呢，喇么的是等于四分之一，而缪呢，是等于二分之一的。然后我们再把这里的喇么的和缪啊给它 带回去，我们就可以得到每一个点的坐标，这里的这个 z 呢，它就等于二分之一，而 y 呢，它就等于一，那 x 呢，它就等于 二分之一。有了这三个坐标，我们再求 a q， 那 就非常非常的容易了。那这个题目呀，其实呢，它的本质还是比较简单的。 再来看下一个问题，把一副三角板按照如图所示的方式呢进行拼接， 告诉我们， ab 的 长度呀，是二倍根号六 ac 的 长度呢，也是二倍根号六角 bc， 这个呢是九十度角， bcd 呢也是九十度， 这个角呢是三十度。然后呢，把这个三角形 abc 沿着这个 abc 的 这个位置，并且呢让这个二面角呀为直二面角， 也就是说这两个平面呢，现在处于互相垂直的状态，我们又一次得到了这个互相垂直这样一个信息，那既然还是互相垂直的，那么我们还是要搞定交线呀，就是 bc， 谁垂直于 bc， 这是非常非常重要的一个信息。 左边这个图当中呀，我们可以分析到就是这个三角形 bc， 它是一个等腰直角三角形， 既然他是等腰直角三角形，那么我们很容易想到，我可以找到他的这个中点，假设这个中点为 o， 那 反映到右边这个图上，他就是这样的这个点呢，就是 o， 很 明显这个 p o 呢，他就垂直于 bc， 那 p o 垂直于 bc， 他 自然就垂直于平面 b、 c、 d， 它垂直于平面 b、 c、 d 自然垂直于 b、 c、 d 之内的所有线。第一小问，让我们证明 p b 垂直于 p c、 d， 现在我们知道的是 c、 d 是 垂直于 b c 的， 而这个 c、 d 呢，还垂直于刚才我们找到的这个 p o。 把这两个信息放在一起， c、 d 呀，它就垂直于这个平面 pbc， 那 它垂直于平面 pbc， 它就一定垂直于 pb。 而由于这个三角形 pbc 啊，它是一个等腰直角三角形，所以这个 pb 呢，还垂直于 pc， 那 我们把这两个信息放在一起， pb 既垂直于 cd， 又垂直于 pc， 它自然呢就垂直于平面 pcd， 这是一个非常容易证明的问题。 第二问，让我们去求这个点 c 到平面 p b d 的 距离， 这个题目呢，我们还是可以用两种方法加以解决。第一种方法当然就是建立空间直角坐标系，这种计算方式还是比较简单的，我们以 o 点为坐标原点，然后呢， o、 b 作为 x 轴，然后啊 做 c、 d 的 这个平行线，这个东西作为 y 轴，那这个东西啊，作为 z 轴，然后把 c、 p、 b、 d， 它的坐标都给它写出来。那这个 c 点，它的坐标呢，我们可以到左边的这个图当中进行计算， 这里这个 bc 的 长度呢，它是四倍的根号三。所以说这个 c 点的坐标呢，就是负二倍根号三， 零零 d 点的坐标 c、 d 的 长度呢，它是等于四的，所以说呀，它就是负二倍根号三，四零 b 点的坐标二倍根号三，零零 p 点的坐标呢，那自然就是零零 二倍根号三。那接下来啊，就是找什么法，向量之类的，用点面距距离公式进行计算就可以了。 方法二，还是使用等体积转化法。我们先来算这个 p、 b、 c、 d 的 体积，那它的这个体积啊，可以用三分之一 s， 三角形 b、 c、 d， 然后再乘以一个 p o 进行计算。 同时呢，它的这个体积啊，也可以用三分之一 s， 三角形 p、 b、 d 乘以我们要求的那个距离 h， 这个 p、 b、 d， 它的面积还是非常容易求解的，因为这个 p b 的 长度呢，是 二倍根号六，这个 b、 d 的 长度呢八。而 p d 的 长度呢，也非常容易算。在这个三角形 p、 c、 d 当中，使用勾股定律就可以算出， p d 的 长度呢，是二倍，根号十。 那么我们写出来之后就发现，哎，这三个长度呀，它正好是符合勾股定律的，所以它这个长度呢，就可以写成二分之一 p b 乘以一个 p d， 于是乎呢，用等面积法，它等于它就可以把这个 h 给它求出来，这是第二种方法，也是比较简单的。接下来呢，我们来看它的这个第三问问， 在这个线段 p d 上是否存在着一个点 e， 使得呀，这两个二面角所成的这个余弦值为二十八分之，根号十四。如果存在的话，让我们去求这个 p e 比上 p d 的 值， 那这又是一个探索型的问题。其实这种问题它非常非常的简单，它唯一的难点就在于这个计算量稍微有那么一点点大上，我们直接设这个 pe 向量是等于喇么的倍的 pd 向量的，然后呢点 p 的 坐标，刚才我们已经写过了，是零零二倍根号三，这个点 d 的 坐标 负二 b 根号三四零。我们先假设这个 e 点呢，它是 x y 以及 z， 于是乎这个 p e 向量自然就是 x y， z 减去 二倍根号三，它等于喇么的倍的 p d 向量，也就是负二倍根号三四，负二倍根号三，那么 x 呢，就等于负二倍根号三，喇么的 y 呢就等于四喇么的，而这个 z 呢，就等于负二倍根号三，喇么的再加上一个二倍根号三。这样的话呢，我们就找到了这个一点的坐标， 接下来你只需要用这个一点的坐标去写它这个法向量，然后呢就可以完成。对于这个问题的运算还是很简单的，只要耐心细致的去算，很容易知道答案的。那本题的最后答案是栏目的等于七分之一，同学们可以自行计算一下。 接下来呢，我们来看一个以圆台为考察背景的一个问题，如图，圆台的上下底面圆，心分别为 o 一 和 o 四边形 abcd 为下底面圆，它的内接正方形，并且呢， ab 等于 o 一， o 二是等于二的， e 和 m 呢，是上底面 o 一 和 o 二上的两个点，这里有一个 m 点，这里有一个 e 点， f 呢是 bc 的 中点，并且满足条件， abe 垂直于平面 abcd。 那 这又是一个面面垂直的问题，我们一定要找到交线，那交线显然就是 ab 了。 从我们目前知道的条件，我们知道底面它是一个正方形，那就是说 ad 垂直于交线， bc 也垂直于交线，所以 ad 和 bc 它们分别垂直于平面 abg。 而这个题他又告诉我， e a 跟 e b 是 相等的， e a 和 e b 相等，就说明三角形 e a b 它是一个等腰三角形，那等腰三角形又出现了三线合一的问题，我肯定是先想法找到这个 a b 的 中点， 我找到这个 a b 的 中点，向下一连，假设这个中点为 h 吧，那这个 e h 自然呢，也垂直于 a b， 它就垂直于下表面。 第一问，让我们证明 a f 是 垂直于 d e 的 这一问呀，它的核心考法其实呢，就是三垂线定义 一条斜线，他想要垂直于平面内的一条线，就需要平面内的这条线垂直于他的投影线。 刚才啊，我们过 e 点向下表面做的这个 e h 就 已经找到了 e 点在下表面的投影。那接下来呢，我们把这个 d h 呀给他连接起来，现在呢，我们把这个底面图形呀给他画出来。 这种证明垂直的方式呢，我们称之为交叉垂直，他用的原理呢，也是非常非常的简单的，并且呀，非常非常多的次数出现于各种形式的考试题目之中， 那么我们把这个底面图形呀先给他画出来，这个点呢是 h 点，这个点呢是 f 点， 我们怎么去证明 a f 和 d h 是 互相垂直的呢？这个方案非常非常的简单，我们只需要去证明这个角的正切值与这个角的正切值是互为倒数的即可。 我们已经知道下表面是一个边长为二的正方形，那就说明这个边等于二， a h 这个长度呢是等于一的，所以说这个弹性的角 a d h， 它就等于对边比邻边，也就是一比二，而这个弹性的角 d a f， 我们这样给他连接一条辅助线，当然呢，你也可以去求这个角，因为他俩是相等的，那么他的正切值等于对边比上邻边，自然呢是等于二比一的，一个是一比二，一个是二比一， 他们两个互为倒数，所以说这个角与这个角是互余的，那么这个角就一定是九十度， 于是乎呀，这个垂直就非常非常的容易了。我们已经知道 e h 是 垂直于下表面 abcd 的， 那么 e h 就 一定垂直于 af， 而我们又知道 d h 也垂直于 a f， 那 就说明 a f 呢，它是垂直于平面 e h d 的， 那么它就一定垂直于 d e， 这样的话呢，我们就完成了对第一问的证明，第二问，第二问，让我们去求圆台的体积，那这个还是非常的简单的，因为呢，我们是有圆台的体公式的， 我们只需要把下表面的半径以及上表面的半径呢都给它求出来就可以了。那下表面的半径很简单 o a 啊，它就是等于根号二的，那上表面的这个半径呢？它其实呀，就等于这个 h o 这个长度，那 h o 这个长度是等于一的，所以说上表面的这个半径 r 一 等于一，那 r 二呢，是等于根号二的，我们直接带到体积公式里头， v 就 等于三分之一派 乘以一个 r 一 的平方，加上 r 二的平方，再加上 r 一， 乘以一个 r 二，然后呢乘以它的这个高 h， 也就是这个 e h， 而这个 e h 呢，它正好是等于 o o 一 的，也就是等于二往里边代入，就可以得到它的这个体积。 接下来我们来看这个第三问，如果直线 f m 与平面 a d e 所成的这个角的正弦值为十分之三倍的根号十，让我们求点面距。 嗯，这一问呢，其实它的融合程度还是非常非常的高的，它属于呢，就是把平面解析几何和立体几何呀，给它融合到一起进行的一个综合考察。 呃，很多同学在解决这个问题的时候呢，因为我前面证明的这个过程啊，引入了一个 e h 这样一条直线，很多同学就会思索，哎，我能不能在 h 这个点去建立空间直角坐标系呢？ 因为这里上表面的这个点 m 呀，他并没有一个固定的这个位置，如果我们用 h e 去当坐标轴 z 的 话，就不太容易引入这个 m 点的这个参数值。所以啊，我们在解决这个问题的时候呢，还是要按照我们一般性质的处理原态问题的基本思路，那就是拿着这个 o o e 去当这个 z 轴，而 x 轴和 y 轴的选择呢，方法呢有两种，一种方法呀，是这样，我把 a c 和 b d 这两条线给他连上，因为呀他们两个都是正方形的对角线自动呢，就是垂直的，我就可以以这个当 x 轴，以这个当 y 轴，这是一种间隙方案，还有一种间隙方案也是比较容易想到的，那就是我这样去选择 x 轴，这样呢去选择 y 轴，这两种方案都是可以的，但是呢，还是以这个 o o 一 当 z 轴啊，这种方法是比较容易的， 因为刚才我说了这个题目他最大的难点就是把平面解析几何和这个空间向量进行了一个融合性的考察，我们关键呢要搞定这个 m 点的这个坐标，那 m 点的这个坐标我怎么搞定他呢？现在呢，我们就观察这个上表面， 它是一个半径为一的单位圆，这个 m 点呀，它就是单位圆上的一个动点。那么由平面解析几何的知识知道单位圆吗？我们在引入它参数的时候，只需要让它的横坐标为 cosine， 纵坐标为 cosine 即可，由于它的高度呢是二，所以它的竖坐标呢就是等于二的。这里我们之所以没用 x y 二这样的这个坐标形式进行运算，是因为你用了这个形式之后呀，最后还是需要用 x 方加 y 方等于一这个圆的方程，然后呢去解方程，那都是解方程，三角方程，他肯定要比 普通的那种方程要容易解一些，所以呢，我们把这个 m 点的坐标呀这样进行设是相对而言比较容易的。那现在呢，我们有了这个 m 点的坐标，我们再把其他点的坐标给他写出来，此时这个 a 点的坐标呢就是一 负一零，这个 d 点的坐标呢是一一零，而这个 e 点的坐标呢是零负一二， f 点的坐标呢是负一零零。把这些点的坐标都给他写完了之后呀，然后我们去搞定这个 a、 b、 e 这个平面的法向量，我呢就不去进行具体的运算了，它的法向量算完了之后呢，是二零一。好，那现在呀，就是 f m 向量，我们也给它写出来， 等于 cosine 加一 cosine 二 f m 向量与这个法向量的这个夹角呢，正弦值算阿了法， 那当然就等于向量与向量之间夹角的这个余弦值了。横乘横，纵乘纵，竖乘竖。上面啊就是二 cosine 加上一个四，下面呢是模，一个是根号五， 另一个呢就是 cosine 加一它的平方，加上 cosine 的 平方，然后再加上一个四，这个位置整理完了之后呢，就是六，加上一个二 cosine 右边呢是十分之三倍的 记号十。我们去解这个三角方程，解完了之后呀，他就是四 cosine 它的平方加上一个七， cosine 减十一等于零。再去解这个方程呢， cosine 它不是等于一的，它就是等于负的四分之十一的，那这个数肯定是不合理，我们直接给他舍掉， 那 cos 它，它是等于一的，那 cos 它自然是等于零的，那这样的话，这个 m 点啊，它就变成了一个固定点一零二，那我再去算 m 点到 a、 b、 e 的 这个距离，直接使用点面距距离公式就能给它算出来，最后这个距离呢是五分之二倍的 点五。这个题啊，只要在间隙的时候选择 o 一 o 二当 z 轴都是比较容易进行计算的下一个问题，这个题目呢是一道高考原题， 之所以把这个题目选出来，是因为呀，这个题目他在第一问的证明过程之中 非常非常的曲折，需要我们抽丝剥茧，层层递进的去分析每一个条件，只有你把每一个条件都分析到位了之后呢，他的这个证明才是一个水到渠成的过程。这和我们前面做的有些题目啊， 就大伤径庭，因为有些个题目我们用眼睛一看，大体上就能够明白他的思路，但这个题不然，他需要我们认真的去分析，把每一个条件都要分析到位。 首先呢一点，他是圆锥的顶点，这个条件看似简单，但是呢他的作用非常非常的大，因为顶点他在里面的投影正好是里面圆的这个中心， 同时它也意味着 b o 这条直线呢，它是垂直于整个这个圆面的， o 是 底面圆心， a e 呢是直径，并且呀 a e 跟 ab 的 长度是相等的， 底面直径与母线的长度相等。这就说明如果我们从侧面去观察这个圆锥的话，我们会发现这个圆锥的这个结面呢，它本质啊是一个等边三角形， 这三个位置的长度呢，都是相等的，并且呢这个角呀是等于六十度的三角形， abc 呢是底面圆的内接正三角形，那么我们把这个底面图形给他画出来，这里呢有一个内接的正三角形 abc， p 呢是 d o 上一个点，并且呢有这样一个非常古怪的信息， p o 等于六分之根号六倍的 d o， 这个条件它很关键， 而且呢，我们一眼看过去，并不知道这个条件它到底是怎么用的。第一问，让我们去证明 p a 是 垂直于平面 p b c 的， 我要证明线面垂直，我一定要能够证明 p a 呢，是垂直于平面 p b c 之中的两条相交直线的。 然而我们从目前分析的这些条件来看啊，没有得到任何一条跟垂直有关的信息。所以啊，我们要对这些条件呢进行一个重新的梳理。 a e 啊，它是底面的这个直径， 那就意味着 a e 这条线与 bc 这条线呢，他一定是互相垂直的，这是由垂径定律的性质知道的，这个位置是一个直角。现在我们来分析 bc 啊，它垂直于 a e， 而 bc 呢，还垂直于 d o， 既垂直于 a e， 又垂直于 d o。 把这两个条件给它放到一起，我们就可以得到。 bc 呢，它是垂直于平面 ape 的， 那么 bc 自然就垂直于 ape 之内的所有线，它垂直于 ap。 这样的话呢，我们就得到了一个非常重要的垂直关系， ap 呢，他至少已经垂直于 pbc 中的一条线了，那么我们需要他再垂直另外一条线，那我另外这条垂线上哪去找呢？ 通常来讲，如果我们在做题的时候，这种几何性质的垂直呢，我们用完了，那接下来的垂直啊，通常来讲都是跟长度有关的。 这种垂直呢，我一般称之为勾股垂直，因为我要用长度去正垂直，那无外乎就是找直角三角形，那这个条件呢，它就会显得尤为的重要，这个 p o 等于六分之根号六 d o， 也就是说这个 d o 呢，它是等于根号六倍的 p o。 现在我们观察这个结面式图，这个 b o， 它的长度呢，是 p o 这个长度的根号六倍。现在呀，我们不妨假设 a o， 也就是底面的这个半径是等于一的，那反映到这个结面式图里边，就是这个 o a 这个长度呢，是等于一的，那 d a 这个长度呢，自然就等于二。 所以说这个 d o 这个长度呢，它就等于根号三。反映到这边来，那么 p o 这个长度呀，它就等于二分之根号二。 也就是说这个位置呢，它是二分之根号二。那么在三角形 p o a 之中， 使用勾股定律， p a 的 长度呢，就等于二分之六， 而 p c， p b， p a 这三条线啊，它的长度是相等的，为啥呢？因为这个点 p 啊，它是来自于这个轴上的这么一个点，那么你过点 p， 向着底面的这个圆去做三条线，那这三条线的长度肯定是相等的，所以说这个 pc 的 长度呢，它也等于 二分之根号六。我们再观察底面圆的这个矢图，这个位置是 o， 如果这个位置是一的话，那么我们去做这个垂线去，很显然这个位置是二分之根号三呀，那么就说明 a c 的 长度呢，它是根号三。 现在我们观察三角形 p a c 这里边 p c 的 长度二分之根号六。 p a 的 长度二分之根号六，而 a c 的 长度呢，是根号三的 这个的平方，加上这个的平方，正好等于这个的平方，也就是说 ap， 它是垂直于 p c 的 三角形。 p a c 呢，它是一个等腰直角三角形，所以说 p c 也是垂直于 pa 的， 那结合刚才我们得到的 bc 也垂直于 pa， 所以 说 pa 这条线它就垂直于平面 pbc， 那 有了这个第一问作为支撑，我们再来看它的第二问啊，就要容易的多，让我们去求这个二面角 bpc 一 的余弦值，那就是搞定这几个点的坐标就可以了。 所以说呢，我们只要选择合理的方式去建立这个空间直角坐标系就 ok 了。那么这个位置呀，那肯定是当仁不让的这个 z 轴了，那我 x 轴和 y 轴怎么去搞定它呢？哎，我们可以用这里的 o e 当这个 x 轴，然后呢过 o 点去做这个 b c 的 平行线，用这个线去当这个 y 轴就可以了。剩下的呢，我们就是写这个坐标，这个坐标还是比较容易写的，我们写一下这个点 b， 自然就是负二分之一， 二分之根号三零点 p 零零，二分之根号二 点 c 呢，他跟点 b 啊，是对称关系，负二分之一，负的二分之根号三零，这个点 e 呢是负一零零。把这四个点的坐标写出来，剩下所有的认为啊，都变得非常的简单了。 最后呢，我们再来看一个以三棱台为命题背景的立体几何问题，如图，在这个三棱台之中， ab 呢，是垂直于 bc 的 这个图呀，他看起来非常非常的别扭，因为呢，他这个直角呀，放在这个位置， 这个位置啊，从我们的这个视觉直觉之中呢，总是感觉他不是很垂直，所以说对于这种非常别扭的这种题啊，我们要注意提防这种阴险的角度， ab 等于二 a 撇， b 撇等于四，下面的棱长呢是四，这个棱长呢是二， bc 呢是四倍的根号二 m 和 n 分 别是 a、 c 和 bc 的 中点，并且呢， an 垂直于 b 撇 n。 第一问，让我们去证明 a 撇 m 平行于 ab 撇 n。 对于这种线面平行的证明呢，我们第一选择肯定是在平面之内寻找一条线，然后让这条线去跟 a 撇 m 平行。那么我们观察这个仕图最容易想到的线呢，其实就是这条线。 我们假设这个为 p， 这个为 q， 现在呢，我们只要能够证明 a 撇 m 是 平行于 p q 的 即可。 我们先观察这个点 p， 因为这个几何体啊，它是一个三棱台， 三棱台呢，就意味着 ab 一定是平行于 a 撇 b 撇的。并且乞丐之中明确告诉我们， ab 比上 a 撇 b 撇呢，是等于 二比一的，那这就说明这个 p 点它一定是一个三等分点，也就是说 ap 比上 p b 片一定是等于二比一的。 同时呀，由于 m 和 n 分 别是 a、 c 和 b c 的 中点，那就意味着 m n 平行且等于 ab 的 一半。 m n 它是一个中位线，那就意味着 ab 比上 m n 等于二比一。那么我们就能够知道 q 点呀，它也是一个三等分点，所以说这个 a q 比上这个 q n 也是等于 二比一的。于是乎，我们就可以知道这里的这个 p q 呀，它一定是平行于 b 撇 n 的。 又由于 m n 平行且等于 ab 的 一半，那就说明 m n 平行且等于 a 撇 b 撇。 那么这个四边形 m n b 撇 a 撇呢，它是一个平行四边形 p q 平行于 b 撇 n， 那 么 p q， 它就一定平行于 a 撇 m， 所以 说 a 撇 m 呢，就平行于平面内的一条线，那么这个平行呢，就正完了。 当然了，这个题目呢，我们还有第二种证明方案，就是我们可以通过构造面面平行来证明线面平行。怎么构造呢？我们找到这个 n c 的 终点，假设这个终点呢，是点 p， 再找到这个 b 片 c 片它的中点 q， 然后我们顺次连接，把这个 p q 给它连上，然后呢，再连接这个 a q。 现在呢，我们观察这两个平面 m p 啊，它是 a n 的 中位线，所以呢，它是平行于 a n 的， 而这个 p q 呢，它又平行于 b 片 n。 同时呀，由于这个 p q 与 mp 呢是相交状态， a n 与 b 撇 n 也是相交状态，那就说明一个平面之内的两条相交直线，平行于另一个平面之内的两条相交直线，那么这两个平面自然就是平行的，那两个平面都平行了，那 a 撇 m 作为一个平面指定的一条线，它自然呢就平行于另外一个平面，这是第二种正法。接下来呢，我们来看它的第二问，让我们证明 ab 撇 n 是 垂直于 a 撇 b m 的， 那既然是证明面面垂直，我就需要在一个平面之内呀，找一条线，让他去垂直于另外一个平面。显然呢，这里呀，有这个垂直信息 和这样的这个长度信息，他是可以辅助我们完成对于这种问题的证明的。但是呢，这个垂直信息我们看着呀， 他还是很直接的。如果在第一问的证明过程之中，我们连接了这个 p q 这条辅助线的话，那么我们就知道这里的 a n 是 垂直于 p q 的， 这是一个非常重要的垂直关系，但是只依靠这一个垂直关系，我们没有办法完成后续的证明。 对于这种问题，通过前面几个问题啊，我们已经形成了一个比较良好的解决他的这个思路，就是当我对某一个问题看的十分不清楚的时候，我们一定要把他的这个底面给他画成一个平面图形，仔细研究这个平面图形的特点。 他这个平面图形刚才我说了，他非常非常的别扭，他故意把这个直角放在这个位置，我们从直观视觉上是没有办法直接看出特定的垂直关系的。没关系，我们给他画成一个平面图形 abc， 这里的 m n 啊，它是中点，那么我们把这个 a n 这条线给它连上，这个呢是四 b n， 这条线呢，它是二倍的根号二， 然后呢，我们再把这个 b m 给它连上。现在我们研究一下这个角它的正切值，我们不妨记这个角为角一盘前的角一， 由于 m n， 它是中位线，所以这个位置是直角，它自然就等于 m n 比上 b n， 也就是二比上二 b 的 根号二，这个东西呢，等于一比根号二，我们就不去化简了。接下来呢，我们再来研究这个角， 也就是这个角 b n a 弹它角 b n a 这个正确值呀，它正好等于 ab 比上 b n， 也就是四比上二 b 的 根号二。算完了之后呢，我们发现它正好等于根号二， 那这就说明这两个角的正切值是互为倒数的，它们相乘等于一，那这两个角一定就是互余的。也就是说这里的 b m 和 a n 呀，在这个位置它是垂直的，那么 a n 同时还要垂直这个 bm， 我 们把这两个垂直信息给它放到一起，就很容易得到。 a n 是 垂直于平面 b p q 的， 而这个平面 b p q 呢，它恰好就是平面 b m a 撇，而 a n 这条线，它又恰好在平面 a b 撇 n 之中，所以说这两个平面呀，就是互相垂直的。 这一问其实还是非常非常的难想的。他要求呀，我们有良好的解析习惯，一旦我们研究某一个问题啊，觉得他走到了一个死胡同的时候呢，一定要把他这个底面画成平面图形，仔细去对他进行研究。接下来我们来看他的第三问， b 撇 b 等于 c 撇 c 等于根号六，让我们去求 a b 撇 n 与 abc 所夹角的正弦值。 那这个题目做到这的时候呀，你可以发现就是这个三龙台，它其实是一个非常非常奇怪的三龙台，那这个奇怪的三龙台，我们想要通过建立空间直角坐标系的方式去确定一些点的坐标值呀，这本身其实是非常非常的困难的。 这个题目呀，我们就不能从空间直角坐标系的这个角度再继续向下思考了。 在第二问之中，我们证明了一个非常非常关键的信息，就是这两个面互相垂直，而且呢这条辅助线是非常非常之重要的一个辅助线。那么 第三问，让我们去求这两个平面所夹角的余弦值，而这两个平面他们的交线恰好就是 a n 这条线。 从二面角的平面角的定义出发，如果我们能够在两个平面的交线上 找到一个点，过这个点，向着这个平面去做一条线，过这个点向这个平面去做一条线，这两条线都跟这条已知的线是垂直的，这个位置是直角，这个位置是直角，那么我们就找到了这个二面角的平面角。 而在第二问的证明过程之中，我们已经证明了这样一个事实，那就是 p、 q， 它是垂直于 a、 n 的， b、 q 呢，它也是垂直于 a、 n 的， p、 q， 它恰好在平面 a、 n、 b 撇之中， b q 恰好在下表面 abc 之中。所以说，我们要找的二面角的平面角，要么就是这个角 p、 q、 b， 要么呢就是它的补角。当然了，我们要先集中完成对于这个角的运算上来。 题干告诉我们，这个 c、 c 撇的长度呢，是根号六，那就说明啊，这个 b 撇 n 的 长度呢，也是根号六。这个前面我们已经分析过了，它是一个平行四边形， 而 a、 n 的 长度呢，是等于二倍的根号六的。于是乎，由勾股定律我们就可以得到，这个 a、 b 撇的长度呢，是等于根号三十的。 现在呢，我们分析左面的这个平面，也就是这个 a、 b、 b 撇 a 撇，我们把它单画出来， a、 b 的 长度是等于四的， b、 b 片的长度是等于根号六的， a 片 b 片的长， a 片 b 片，它的长度呀是等于二的。 而现在我们又知道了，这个 a、 b 片的长度是根号三十。那么我们就可以啊，用余弦定比，把这个角的余弦值给它算出来， 这个余弦值 cosine 角 a、 b、 b 撇就等于十六加六减三十，比上二乘以四，再乘以一个根号六，也就是负的六分之根号六。 于是乎我们就可以知道，当我们把这个位置给他连接起来的时候，这个角的余弦值呀，他一定是等于六分之根号六的。 我们假设 a 撇 b， 这个长度是 x， 那 么六分之根号六，就应该等于四加六减 x 的 平方比上一个二乘二，再乘以根号六。 通过这个方程，我们可以得到 a 撇 b， 他的长度就等于编号六。而在第一问之中，我们已经确定了，这个位置与这个位置的长度之比呢，他是二比一，于是乎我们可以得到 b p， 它的长度就等于三分之二倍的根号六。现在我们观察这个三角形 b p q， 在 这个三角形之中，我们已经搞定了这个 b p 的 长度， 这个 p q 的 长度也很容易知道，它是等于三分之二的一撇 n 的， 也就是三分之二倍的根号六， b p 呢？还是三分之二倍的根号六，那么我们只缺这个 b q 的 长度，而 b q 这条线呀，它是来自于底面的。我们再回到我们最开始画的这个底面图形之中， abc m n， 把这个位置给它连接起来，这个点呢，它就是 q 这里边呀， b q 的 长度除以这个 q m 的 长度呢，还是等于二比一的。而这个 b m 的 长度 很容易计算，因为 b n 的 长度呢，它是二 b 的 根号二，而这个位置呢，它是二。所以说这个 b m 的 长度呢，它是二 b 的 根号三， 于是乎这个 b q 的 长度就等于三分之四倍的根号三。那么我们要求的这个二面角的平面角，它的余弦值 cos 角 b q p， 它自然就等于 b q 的 平方，加上 p q 的 平方，减去 b p 的 平方比上二乘以 b q， 再乘以这个 p q， 把我们计算得到的所有的长度呀，都给它带入其中，这个值呢最后就等于二分之根号二， 那么我们要求他这个正弦值，因为余弦值啊，我们还需要去确定他到底是锐角或者是钝角，但正弦值就不需要了，他一定呢就等于二分之根号。

立体几何是不是把你给愁坏了？洁面问题真让人头疼啊。别慌，两种办法搞定它。我们来思考这样一个问题，过三个点，怎样做一个洁面呢？嗯，其实就像切蛋糕一样， 一刀下去，把它分成两部分，新形成的这个面呢，就是洁面。 那么该从哪里下刀呢？当然要选择它其中的一个表面了哦。好了，我们来看第一种方法，平行线法。第一步，连接同一个表面上的两个点，得到直线 l， 这就是下刀的位置哦。第二步， 找到阿尔法平面的平行平面北塔，它上面有第三个点，那我们过第三个点做直线 l 的 平行线，它与棱的交点就是新的节点。第三步，将新得到的节点与已知的节点首尾相连，然后进行判断。 如果所有的连线均在这个几何体的表面上，那么我们就得到结面了。但是呢，有的连线在几何体内部，那我们就需要重复一二步。 还是这个题，我们用第二种方法，延长交界法，我们还是要找到在同一个表面上的两个点连接并延长。 然后呢，把与它位于同一个表面上的这条棱 d 撇、 c 撇也延长一下，相交于同一个点。第二步，连接点 p 与第三个点， 它与棱 d 撇、 c 撇会有一个新的节点。第三步，将新得到的节点与已知的节点首尾连接。 如果所有的连线均在几何体的表面上，那我们就得到结面了哦，如果不是，我们就要重复一二步。留了两个练习，你来试一下吧。

同学们好，我是乐学工艺课堂的严老师，今天呢，咱们来看一道关于高一立体几何中斜二策划法的一道题型啊，一道题型，咱们来看一下这种题应该怎么来做。首先咱们来进行一个读题，题目中说如图所示啊， 是一个四边形，用斜二侧画法得到的直观图。然后呢，它是一个底角为四十五度，腰和上底都是四的等腰梯形，问圆四边形的周长是谁？那像这种题啊，咱们必须得从他这个 原来的这个斜二侧画法入手，然后把它的实际实际平面图给它画出来，然后才进行计算，对吧？题目中说这个斜二侧画法，这个直观图的，它的现在长的是一个什么等腰梯形，对吧？那好了，咱们画一个什么 平面图啊？平面图平面直角坐标是，对吧？咱们把它进行一个复原，他说 b 撇 c 撇是四啊，然后上底幺和上底都是四， 对吧？那咱们简单来看一下，咱们之前知道啊，在这个斜二测里面，咱们一般知道口诀，对吧？水平平行于 x 轴的，它的 d 长度不变啊，长度不变，平行于 y 轴呢，它的长度减半减半。那咱们看一下 b 撇 c 撇， 它的长度是四，对吧？那它对应到这个平面图上，它的长度就应该是几， 是两倍，对吧？所以它应该翻两倍啊，应该是八。来，咱们翻一下这个啊，然后这个 c 点，这个是 b 点，好了，那是平行于 x 轴的不变，那 cd 的 长度咱们是不知道的，那是不可以计算一下， 那咱们由这个平面图，平面图这个直观图啊去计算一下，咱们来看一下，上底下里头是四，那现在咱们怎么来算这个 cd 长度呢？咱们底下简单的做一个垂线，对吧？做一个垂线啊， 这个角 b、 a、 d， b 撇 a、 c 撇 d 撇是一个什么三角形？它应该是个等腰直角三角形，对吧？所以 b 撇 c 撇是四，所以对应的角这个点是 h 啊，这个点咱们坐下来是一个 g 啊，所以 c 撇 h 就 等于什么？直接用四除以根号二就行了，这个非常简单，咱就不说了，应该是个二倍根号二，对吧？那对应的这个 g、 d 撇应该也是一个二倍根号二，而 h、 g 呢，它应该等于四， 所以咱们 c、 d 就 应该等于多少？ c 撇 d 撇等于个四倍根号二加四，那对应的 c、 d 就 等于什么？也是四倍根号二加四，对吧？ 所以咱们简单把这个 c、 d 换一下啊，换一下好了，那你看咱们的 c、 c 点找到了啊， c 点找到了， a 点有， b 点有， d 点也有，咱们只差哪个点了？只差 a 点了，对吧？而 a 点也就是 a、 b， a 撇 b 撇，它平行于咱们的 x 轴，所以它的长度是不变啊，不变的，所以简单咱们把 a 点找一下就可以了 啊，找一下由 b 点水平做一个长度为四的线段，就是四啊，就是这就是 a 点啊， a 点好了，那咱们把这个 a、 d 连一下就可以了啊，连一下就可以了。好了，那这个图形就是咱们的这个 四边形的一个平面图，那咱们简单的算它周长就可以，对吧？ ab 的 长度是四， bc 的 长度是八，而 cd 的 长度咱们刚才算了是四倍根号二加上一个四，现在只差 a、 d 的 长度怎么计算了？那这个很简单，直接 a 点往下做垂线就可以了 啊，做垂线咱们又得到这个长度，角点是 h 啊， h 已经用过，咱们用一个别的啊，用个 a 点啊， a 点， 那 a 是 一个多少是一个八啊，而 d i 的 长度是多少？ c i 是 一个四，刚才它的总长是四倍，根号二加四，所以 d i 是 一个四倍根号二。那咱们由这个等勾股定律是不是可以直接算出 a 的 长度，那 a d 方就等于什么？那直接写啊， a、 d 就 等于个什么？ 根号下八的平方是六十四，四倍根号二的平方应该是三十二啊，三十二应该是根号九十六，而九十六是十六乘以六，所以 a、 d 应该等于一个四倍的根号六。好了，咱们把四条边都加起来啊，四，四条边都加起来， 所以应该是十六加上四倍根号二，再加上一个四倍根号六。所以答案选择 d 选项， d 选项。有的同学刚开始碰见这种斜二测画法的题型啊，它是不太熟练的，所以呢，这种题就应该刚开始 多练多练，主要十二色画法这块他难度也不是太难啊，但是有时候还是会考到的，所以这个必须要经过那个练习之后啊，把他这个里面非必要踩的坑全部给它避免掉，这种题就一定能拿分。好了，这个题咱们就讲到这里。

好，同学们，咱们今天来看下一种类型题，也就是意面直线所成的角。但是我们今天要学习的东西其实是向量法，那么向量法在做这种题目的时候，其实也相对会比较简单。首先我们先要找到这个题目中，它告诉我们的 a、 b、 c 和 b b、 e 这三条边的长度都知道，那么我们就不妨设 b a 项链，它就是 a 项链。再说 b、 c 项链是 b 项链，再设 b b 一 项链是 c 项链。因为方便一点， 那么我们观察一下，我们只需要用我们的这三个向量去表示出来我们的 ab 一 向量，再表示出来我们的 b、 c 一 向量，我们就可以去算他们三个向量的数量积。原因是因为 ab 向量的模知道， bc 的 膜也知道， b、 b 一 的膜也知道，而且这三个向量的夹角，两两之间的夹角我们都知道， 所以我们就可以利用这种方法去做它。我们首先来看一下表示 ab 一 向量， ab 一 向量可以表示为 ab 向量，再加 b b 一 向量，那也就是 c 向量减 a 向量。 b c 一 向量，我们可以表示为 bc 向量，再加 c c 一 向量，那也就是 b 向量加 c 向量。 好了，然后我们要算的余弦值，我们知道了两个角的假角的余弦值，肯定要先算他们的数量积，他就是 c 向量减 a 向量，乘以 b 向量加 c 向量。我们把这个式子化简，变成这个样子。 前面的东西我们可以直接代公式，它就是 a 向量的模，再乘以 b 向量的模，再乘以 cosine c， 它减去 a 向量的模，乘以 c 向量的模，再乘以我们的 cosine r， 再加上 b 向量的模，乘以 c 向量的模乘以 cosine a， 最后再加一个 c 向量的模的平方。好，我们这个时候要观察 a 向量和 b 向量其实是 ab 和 bc 的 夹角，这个夹角是一百二十度，但是我们后边的 a 与 c， b 与 c， 它们夹角都是九十度，所以其实这个地方的 cosine 值其实是零，那么这两坨东西它都是零， 所以我们在做这种题的时候，直接把它省去，变成负 a 项的模式二，再乘以 b 项的模式一，再乘以 cos 一 百二十度，是负二分之一，再加上零，再加上 c 向量的模的平方是一，我算出来这地方应该是二， 他们的数量积为二，那我们要求他的这个余弦值，那就还得知道两个数量两个向量的模啊。 a， b， e 的 模，我们直接套进去，那就是 c 向量减 a 向量的等于根号下 c 魔方 加 a 魔方，然后他因为他们的角角余弦值是零，所以这地方就不加了，加一个零等于根号五。同理我们要算的是 bc 一 的模， bc 的 模应该是根号下 b 向量加 c 向量的平方，根号同理，这地方得出来是 根号二。好了，那现在我们要算的 cosine 值就是二，除以根号二，乘以根号五，也就是五分之根号十。所以这个题目选到 c 选项。

来看一下这个二四年全国甲醛的这个立体几何的问题。如图， ab 平行于 cd， cd 呢？平行于 e f， ab 等于根号二 d， e 的 根号 e f 的 根号二 c f 呢？也的根号二， cd 呢，它等于四，然后 m 是 终点，那这是二，这是二，对吧？然后给了 a d 的 bc 等于高，是 d 了。让我们证明 e m 平行于 b c f， 那 就是这条线平行于这个面，对吧？那我们证明线面平行，是不是可以证明线线平行，主要两条线平行， 那这条线是不是平行于这个线所在的这个面啊？那我们中线线平行就可以了。那我们看一下那题干告诉我们 e f 平行于 c d， 对 吧？那 e f 就是 平行于 这个 m c 的， 对吧？然后 e f 呢？还给了我们等于二，对吧？这是二， e f 等二，然后这给的是四，这是终点，这也是二，那他俩 有 g 平行相等，所以说它是平行四边形，平行四边形，那 em 平行于 c f， 那 em 就 平行这个面了，对吧？第一个我们就挣出来，然后我们写一下过程， 因为那是把它的变量太乱了，因为 e f 呢，平行于 c d， 对 吧？这是题干给了我们的，然后 c d 和 c m 它俩是一条直线嘛？所以 e f 呢，平行于 m c， 又因为 m 呢为 cd 的 中点，对吧？所以那二 c m 是 不是就等于 cd 啊？ 又因为题干给了我们 cd 等于四， e f 呢，等于二，所以二倍得 e f 呢，它就等于 cd， 那 二 e f 的 cd 二 c m 的 cd， 所以 e f 呢？等于 cm， 对 吧？ e f 等 cm， e f 平行于 cm， 所以 四边形 e f c m 为平行四边形， 那平行四边形，所以这个 e m 是 不是就平行于这个 c f 了？又因为 c f 包含于面 b， c f e m 呢？又不包含于面 bcf， 这是线线平行推到线面平行的判定定律，对吧？所以 em 呢？就平行于面 bcf。 我 们看一下第二问，第二问呢，让我们求 d m 到 a， d e 的 距离，这个呢，我们可以用这个，呃，相应的这个面积公式，体积公式可以求一下。我们可以取 d m 的 中点 为 o， 然后连接 o a 和 o e， 因为 ab 它是平行于 cd 的， 对吧？那 ab 就是 平行于 mc 嘛？ 题干又告诉我们 ab 等于二，然后 cd 呢？等于四，那那 mc 呢？也等于二，对吧？这会我们求出来了，那 ab 平行 mc 切 ab 等于 mc， 所以 四边形 abcm 为平行四边形，对吧？那它是平行四边形， 那我是不是能得到这个 am？ 它是平行四边形， am 就 等于 bc， 对 吧？题干给了等于根号十，然后又因为题干给了 ad 等于根号十，那 ad 的 根号十 am 呢？也等于根号十，所以三角形 adm 为等腰三角形，对吧？题干给了我们 d e 等于二， dm 呢？ dm 是 不是 c d 的是 dm 也等于二，又因为 d e 等于 dm 等于二，所以三角形 e， d m 是 不是也为等腰三角形？他俩都为等腰三角形， o， 那 还是他们的中点，那是不是所以能得到 o a 是 垂直于 dm 的， 对吧？因为等腰三角形呢， 它的中点可以说明它是垂直的，所以 o a 垂直于 dm， 那 在这个三角形 e d m 中也能得到 o e 垂直于 dm， 对 吧？那我们看一下 o a 这块是二，对吧？那这是一，然后这给了我们根号十，那我们是不是根据勾股定律能求出 o a 呀？ o a 等于根号下，是不是 a， d 方 减去 d o 的 平方啊？那等于三，对吧？然后 o e 呢？这是一，这是垂直，这是二，对吧？ o e 呢，等于根号下 d， e 的 平方减去 o， d 的 平方，等于根号三，给了 a， e 等于二倍根号三，对吧？ 又因为 a， e 呢，它等于二倍。根号三，所以 o a 方加上 o e 方等于 a 一 方，这是 o o a 方加 o e 方等于 a 一 方，所以 那 o e， a 是 直角三角形，所以 o a 呢，就垂直于 o e 了， 那 o a 垂直于 o e， 我 们证明，对吧？本身呢， o 在 在这个等腰三角形 o， a 还垂直于 dm， 对 吧？又因为 o a 垂直于 dm， o e 呢？交 dm 于点 o o e， dm 还包含于平面 e， dm， 对 吧？所以说平面外的一条直线 o a 与平面内的两条相交直线 o e 和 d m 垂直，所以说这条线与这个面垂直，对吧？平面外的一条直线与平面内的两条相交直线垂直，所以说我们能推断出 o a 垂直于面 e， d， m 三角形 d， e， m 的 面积是不是二分之一乘以底，把 dm 作为底乘以高 o e， 对 吧？这是垂直。那么一位 o， e 等于根号三，所以说 dm 的 面积等于根号三，那在三角形 a， d， e 中呢？ 我们求 cosine 角 d， e， a 也用于弦定里 d， e， a 是 不是能去 d 一 方加上 a 一 方，减去 a 一 方，比上二倍的 d， e 比上 a， e 啊？就是余弦定律公式， cosine 等于 b 方加 c 方减 a 方 比上二 b， c， 对 吧？那口算角 d， e， a 呢？就等于 d e 的 平方加上 a， e 的 平方减去 a， d 的 平方比上二倍的 d， e 乘以 e， 对 吧？那 d， e 呢？ d， e 我 们是不是知道它等于二啊？ 题干给了，对吧？ d， e 的 二，所以 d， e 方等于四，再加上 a， e 呢，也给了我们的二倍，根号三，对吧？所以它的平方等于十二，减去 a， d 的 平方， a， d 呢？等于根号十，也给了我们，对吧？它平方就是十，比上二倍的 d， e 是 二乘以 a， e 是 二倍。根号三，那他的余弦值我们是不能求出来，他等于四分之根号三，那根据三角 d， a 是 不是我们能求出来根号下一减口三角 d， a 的 平方啊？ 他就等于四分之根号十三，对吧？那我们为什么求三角呢？因为我们想求面积， d， a 三 s 型 d， a 的 面积等于二分之一， b 乘三 c， 对 吧？ 那就是二分之一 d， e 乘以 a， e 乘以三角 d， e， a， 那 等于二分之一乘以 d， e 等于二 a， e 呢？二分之根号三乘以四分之根号十三，所以说三角形 d， e， a 的 面等于二分之根号三十九。因为同一个三棱锥，它们的体积是相等的，对吧？那 e、 m 为顶点，以 a， d， e 为面的三楞锥，是不是与 a 为以 a 为顶点，以 edm 为面的三楞锥，它们的体积是相等的呀？因为同一个三楞锥，只不过换了一个顶点，它们的体积都是相等的。然后让我们我们设 m 到 a， d， e 距离为 d， 那 我们根据这两个体积相等三棱锥的体积公式，是不是二分之一乘以底，面积乘以高啊？高，是不是 m 到 a， d， e 的 距离呀？就是二分之一乘以以它为面，所以就是它的面积 乘以高，对吧？ d 等于三分之一，是三分之一底面积，三分之一乘底，面积乘高，它等于三分之一乘以 edm， 这个面，对吧？乘以高，高是啥？ aedm， aedm 它是垂直的，对吧？ aedm， 它的高是 oa， 乘以 oa， 那 我们给它代入 是不就是三分之一乘以 a， d， e 的 面积等于二分之根号三十九。乘以 d 等于三分之一乘以 e， d， m 的 面积等于根号三。乘以 o， a， o， a 等于三， 所以六分之根号三十九， d 等于根号三，那 d 呢？我们能求出来，等于十三分之 六倍的短号十三，所以说这个距离我们就求出来了。这个我们用到的是什么呢？第二个呢？我们也可以用向量法，也可以用这个几何法，都可以。向量法呢，就是建立直角坐标系，那这个呢？我们要求 m， 因为我们要求 m 到这个 a， d， e 的 距离，我们用的是这个三棱锥 m， a， d， e 与 a， d， e， m 就是 换个顶点，对吧？他们三棱锥他们的体积是相等的，体积呢，等于三分之一底面积乘高， 那我们把这两个面积公式给它求出来，因为 d， e， m 呢？直接有底有高，它的面积我们能直接求，但是三角形 d， e， a 呢？底和高我们不好求，所以说我们用到的是三角形面积公式，二分之一 乘以两个邻边，对吧？乘以角 sin 的 值，我们的求出面积，所以这道题我们就做完了。

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点五点二，直线与平面平行。好，来到了我们的第二个平行的课程，线面平行。 首先呢，我们对平行做一个简单的定义，因为呢，我们没有正式的去啊，很严格的去定义，他课本也没有写，因为这个东西他比较简单，就是说无论我们的线线还是线面还是面面的平行，只要是平行，他就是四个关键字，没有交点。 好吧，没有焦点，或者说永不相交啊，意思都一样，这个是他的核心逻辑，当然在线线平行的关系当中，他还会有一个限定，就是在同一个平面，但这个才是核心的逻辑，对吧？所以就这样子没有焦点。 如图一道例题，用我们上节课的知识，幺呢在平面 r 法上，然后呢？幺直线呢？平行于这个直线 m， m 呢？不在平面 r 法上，我们去证明 m 平行于 r 法这个地方，同学们说，哎，还没有给任何的知识，对的， 我们来从我们最数学底层的角度来说看一下，我们说平行就是什么，它的核心点就是没有焦点。 然后呢，我们上一节课就教了同学们去思考，我们在什么情况下会想到使用反正法，因为我们说什么正 无的难度永远都是比正有要大的，对吧？我们生活当中，我们的推理当中都是那么没有焦点，在一条 两边无限延长的直线 a m 和四周无限延长的平面 r 法上，怎么证明它永远都没有焦点呢？这个是很难的一件事情，对吧？很难的一件事情， 所以这个时候呢，我们就想到使用反证法，说，不是说我们，哎，我看答案的时候，反证法啊，我就知道，但我怎么想到反证法就给同学们这样的一个思路，所以这个时候呢，我们用反证法，假设 它不平行，那么假设它不平行，就是它们有焦点，它们就长这个样子，对吧？那么有焦点，那么假设这个焦点为 a， 而题目给了幺平行于 a m， 那 么很显然，这个 a 点是干嘛？不属于这个 直线幺的，对吧？不属于这个直线幺，那这个点不属于这个直线幺。那此时会不会想到我们上一节课的一个结论 啊？我们上节课结束的时候，我们有一个结论，就是直线与平面相交于一个点，那么该直线与所有的 在平面上，这个平面上的，而不过这个点 a 的 所有的直线都是异面的关系，对吧？他得到了一个关系就是异面，而他会跟谁矛盾呢？ 跟它平行矛盾，平行就是共面的，所以呢，这个意面的结论就会跟它平行的结论矛盾，总得到一个矛盾的结论，所以假设不成立，所以这个时候呢，这个直线是会平行于平面。阿法的。 好，这个呢，其实就是我们的判定定律，我们如何去判定线面的平行？如果平面外的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 符号语言表达如下啊，这个地方停一下，同学们自己先写。好，我再次再次。最后很婆妈的提醒啊，在我们必修二，整个高中阶段，最简单的必修二的九，第八章，第九章，第十章。 哎，这这里面一定最后的机会在简单的地方去锻炼我们的符号语言， ok 吗？因为进入到了我们的选 b 一， 后面会出现连续出现五道全是大题， 我们前面的，我们前面的这个两本必修书只有一个解三角形是会出现在大题上，后面五道大题到了难的部分，解析几何的部分，导数的部分， 竖列的部分，大家还看不懂，看的很辛苦，很痛苦，满满密密麻麻的文字，那这个就很很痛苦了，所以趁着简单最后的机会，一定要去锻炼，跳出舒适圈， ok 好 不好？ 所以呢，语言要去使用啊， language， ok。 然后呢，我们来看，如果平面 y 平面是谁啊？ alpha， alpha， y 不 包含于 alpha 一 条直线，我们讲的是谁啊？我们说的是啊，这里说的是 l， 对 吧？这里说的是 l， 那 么平面 y 的 一条直线 l l 不包含于 alpha， 对 吧？我们知道它们都是属于集合点的集合，所以用不包含于于此平面内的平面也是 alpha 平面内的一条直线，是谁啊？ m m 包含于 alpha 平行，谁跟谁平行啊？ l 平行于 m， 好， 三个条件 来推导出谁啊？这条直线指的是 l 和这个平面阿法平行，好吧，所以我们会有一个条件，两个条件，三个条件。而刚才我的写法呢，就是未来关于空间几何的证明题，我们建议通过以下方式来进行书写，会更加清晰。 假如说因为我们之后呢，会有一个就是，呃，空间向量啊，基本上百分之九十五以上的情况下都会使用空间向量哈。但是我们如果使用到合成几何，那么我们建议用这样子的书写方式，因为改卷老师将会具体按照推断的所需条件 逐一审查，听着哈。如果说我这个地方有三个条件，但是我们没有去写 r， 不 包含于啊，不在这个平面 r 法上啊，我只写了两个条件， 这个推论是错的，不要觉得这个严严格啊，这个是很严谨的一个东西，对吧？那你说我们三个人去开家公司啊，我有，我有团队，你有资金，是不是？然后呢？你过来了之后，你说啊，我没有资金，我一分钱都没有，那这是很离谱的一件事情， 能理解吗？或者说我过来了之后我没有人，我就两个人啊，开一家呃，大很大很大的公司，对不对？那所以大家理解到这个点没有一个条件他是不完备的，没有这个条件他有可能在面上他就是一个思维的什么严谨性啊？在数学里面这是很重要的一件事情，你没有想清楚就是没有想清楚， 但这个地方呢，我不是让让同学们像背古诗一样去背，包括后面的什么面面平行啊，面面垂直、线面垂直等等啊，我就这里三个条件，那里五个条件不是这样背，就像正常的理解，正常的，像我刚才说的用符号语言说话，这样去说出来哈，去理解一下这个点。然后呢？我们来看例二， 求证。空间四边形，相邻的两边啊，我们画出来，对吧？相邻的两边，比如随便找两边他的中点的连线平行于经过另外两边啊，这里是一边两边，另外两边的面，这是课本的一道例题好不好？ 我们来看一下，当然我们会想到中位线，中位线跟他平行的关系啊，对不对？平行的关系，然后我们要走那个流程，是不是要记得，首先 e、 f 是 三角形 a、 b、 d 的 这个中位线，所以它平行， ok 了，那此时所以三个条件来推断出我们的这个 e、 f 平行于这个平面， b、 c、 d。 好 吧，那么前提呢，是它是空间四边形，所以它为什么 e、 f 不 包含于这个平面？就是因为什么？就是因为啊，如果它在这个平面上的话呢，那么就不不是空间四边形了，对吧？不是空间四边形， ok， 然后呢，我们来看，刚才是判定啊，现在来看性质，就假如我们已知线面平行有什么性质呢？如果直线与平面平行，那么会有什么样的性质呢？我们想到呢以下的生活场景，那这个呢？就什么呢？很生活的场景啊，门， 那对吧？没有同学没开过门吧，无论这个贫富如何，对吧？门是一个长方形，其对边平行，普通的门，那不说特殊的，所以呢，我们在转动门的时候啊，一扇门，门把手的一边， 门把手的一边， a a 一 撇，永远平行于转动轴啊，这个是转动轴 b b 一 撇，所以此时根据线面平行判定定你，我们就会知道这个 a a 一 撇啊，就是代表门把手的一边永远都会平行于门在关闭时所在的平面呢？阿法，对吧？ 那么抽象出出来这个模型，我们就能得到以下的结论，一条直线与一个平面平行。我们来看一下抽象出来的 好一条直线，这个 a a 一 撇与一个平面平行。阿法，平行，那么此时如果过这条直线的平面， a a 撇 b 撇 b， 是 不是过这个平面？呃，直线的平面 与这个平面相交于点 b b 撇，那么该直线与交线平行，我们就会得到了这样子的一个结论，我们来看一下。好，这个地方，我们来看 l 呢，我们已知这个跟这个平面阿尔法是平行的，而这个 l 呢，属于这包含于这个平面 beta 好 不好？包含于这个平面 beta， 那 么所以就是说我们所说的什么叫做什么？过直线的平面？过直线的平面是不是我们的 natural language？ 我 们的自然语言有好多种表达，是不是啊？我们都是属于逻辑是统一的， 包含于这个平面，那么此时我们说，呃，这两个平面它相交于一条直线 a m， 那 此时干嘛呢？这个交线就会跟这条线是平行的关系。好吧，这个呢，就是我们知道线面平行之后的一个性质， ok， 那 么我们可以去严谨的去证明它，我们自己去证明它，因为刚才我们的整个不是一个严谨的推理过程，我们是从生活的这个模型出发去抽象出来，来归纳出来，但是不是严谨的。 同样的，我们说要证明它平行，有什么要证？没有交点，我们又继续地使用反证法。 如果直线 l 不 平行于直线 m 不 平行，那么假设 l m 相交于点 a， 那 么由于 a 呢？ 它既属于 m 啊， m 呢又属于 alpha， 因为 m 呢，是整一个都包含于 alpha。 好， 之后我们在讲这个的时候，哈，语言不重要，因为我们写的时候反正都是这个意思好吗？所以有时候呢，就是没有关系啊这个东西。然后呢写不是没有关系，我就说没有什么关系呀，然后呢，我们说这个 m， 它是在这个平面 alpha 上的，那么这个点 a 呢，又是属于 m 的， 那么当然这个 a 就 当然就属于这个平面 alpha， 那 这个时候呢，我们就会知道，我们就能推理出这个 l 会跟这个 alpha 相交于点 a， 对 吧？那显然就是跟什么，跟原来给的条件 l 平行于 alpha 没有交点是矛盾的，所以假设不成立，好吧，假设不成立， 所以呢，这些地方呢，同样的，包括我们的反证法也是的，在这么简单的问题当中，同学们一定要使用，不然在难的问题，我们就不会使用反证法了。 我们在很多地方都有可能要用到反证法来进行证明的，包括说我们的数列的，证明函数的，都有可能会用到啊，不只是在我们的几何题当中啊，都是一个很重要的证明方法。好吧，接着我们看例四啊，这是课本的一道例题， 这是一道就是很生活实际的一道立体哈，就是木工哎。首先跟同学们讲一个点，同学们知不知道木工这个东西啊， 工资是很高的，我们的很多的一个工种当中啊，我们并不是说在干工地的，或者说干装修的啊，我们的水滴工什么的都差不多干苦力活，因为木工他既是苦力活，他也要有一定的， 他不是说很多都没读过书啊，但是他有一定的技能和技巧，怎么样锯的好是很重要的。同学们，所以这个地方呢，就说一个题外话，木工的工资是很高的啊，每天的一个收入，他是个实心的木料，他看不到中间， 那么这个能 b c 呢？平行于这个平面， a 撇 b 撇这个平面，那么我们第一个呢，叫经过这个 a 撇 c 撇里面的某一个点，我们要把木料均匀的锯开，对吧？我们要往这边去锯， 那么在木木料的表面应该怎么画线？我们来思考一下这个实际的问题，什么意思啊？就是如果我们切斜了一点，他最后发现，哎，就切不准了，对不对？那么我们要干嘛？我们要画线才能切得准，那么怎么画线呢？对不对？哎，这个就是我们呃的这个问题， 那我们会想到哈，就是什么呢？在这个平面内过点 p 做一个直线，等一下我们再来看它为什么是这样子过点 p 做直线， ef 平行， 然后呢？相交于两条能于 e、 f， 然后连接，那么这个平面就是我们一切过去 切到的平面，而这个平面当然是看不到的，但是这个橙色的线是能画出来的，因为它是表面，也就说比如说我拿着一个锯子锯的时候，我就盯着这根线和这两根线啊，盯着它锯就一定会锯到这个地方 啊，同学们可以想一下为什么会这样子，好吧，所以这个就是它印画的线，那么很显然我们的什么，我们的这个 b、 e 和 c f 啊，因为他说所画的线这里有三根线嘛，那么 b、 e 和 c、 f 就 不用说，这肯定相交，所以我们关键要看的就是这个 e、 f 这条线， 我们这条线呢，我们会很简单的知道，就是因为 b、 c 题目给的嘛， b、 c 平行于这个平面上面的这个平面，那么我们的平面 b、 c、 c 撇，呃， b 撇是经过这一条直线的，所以经过这条直线跟它相交，然后呢 b 撇 c 撇就会平行于 b c， 然后呢我们做出来，人为的做出来平行的时候，就会使得 b c 和这个 e、 f 是 平行的关系， 对吧？啊？这里是我们的走的另外的一个流程，对吧？刚才我们说的流程，三个条件，一个条件，两个条件，三个条件。所以啊，这里我们又给出了另外一个写法，刚才我们给出了这个写法，现在呢给出另外一个写法， 就是右音，因为这个地方呢，我们说一共三个条件，而这个地方是第一个条件，第第二个条件，三个条件。所以啊，这是另外一种写法，前面已经有了，或者说比方说我们后面有五个条件的啊，我这个地方正了第一个条件，这里正的右音一、二、三。那这个地方呢，也要写清晰，间隔清晰啊，对吧？ 三个条件来证明，所以平行，唯一一组平行线，唯一的确定一个平面，这个就是我们在非常生活的应用啊，看不到他怎么去画出来？这个就是我们几何的一个，呃，简单的一个应用哈，简单的一个应用，好，然后接着呢，给大家做一个 思维导图啊，为什么做一个思维导图呢？因为会出现一个问题，我们来看一下哈。上节课首先我们来说平行线，对吧？ 然后线线平行，我们是什么东西呢？平行于同一直线的两直线，平行啊，我们通过这样的方式是它其中的一个判定方式，然后我们知道呢，那个平行线之后呢，就会有等角定律，它推出来的，但这个东西呢，没什么好讲，但是它的判定也有 平行，两条平行线就成千上万种，只是罗列出了其中的一种啊，对吧？ ok， 这是线线平行，接着呢，我们线面平行， 线面平行，它的定义是没有交点，然后是怎么做判定的？如果平面外的一条直线，对吧？外面的一条直线跟平面内的其中一条直线平行，那么就平行，然后 接着呢，它的性质呢？能推出现线平行，就我们说过一条它的平行线的这个平面跟它相交，这两条交线交线平行。所以呢，关键是什么呢？我们会得到这个东西， 这里感受的不是很深，但后面的很多大家就能越来越感受到深了。就是说我如果要证明线面平行啊，比方说这个东西， 我们到时候呢就会发现，哎，我们在这里面想来想去都想不到线线平行的方法，或者说不不太好证。我们有可能就要用面面平行先来证明面面平行，再通过面面平行的性质来推导这个 啊，这个思维导图，同学们在下一节课呢，可能陆续的会感受到会更深一点哈，我们在下一节课面面平行再完善，继续完善我们的这个思维导图哈，这个就是我们的本节课哈，我们下节课再见，同学们，拜拜。

警告高中数学，球与多面体的洁面问题绝对是例题几何里最容易丢分的压轴小题。今天宋老师一条视频把球与多面体的洁面问题一次性讲透，听完这套方法，遇到洁面题直接稳稳拿分！ 数学想提分关注宋老师，高中数学难题我带你们全部攻破！言归正传，我们来看题目 前面的视频都在为新阶段的高一学生在服务，那么高三正在备考同学也对力敌几何部分有这么一丝的疑惑，其中比较经典的一个问题，或者说比较大众的一个问题，就是这个球与多面体的洁面问题。 当然洁面问题其实也是一个大类，它其实也有平面与多面体的洁面问题，但球与多面体的洁面会更挑战我们的这样的一个空间想象能力，所以对于大家来说难度也会更高一点。那么今天宋老师就带大家一起来理解一下球与多面体 会如何去产生洁面以及洁出来的东西，它那个胶线的长度，我们该怎么样去求解。 接着往下来看一看我们今天的正式内容。首先我希望各位能够去回忆一下的，应该是我们在初中就学过的一个定律，叫做垂进定律， 当时我们学习的是一个平面图形圆和一条直线相交，那么它很自然就会产生 ab 两个交点，而 ab 的 一个弦，那这个弦的长度怎么来求？我们当时的做法是把 o 点，也就是我们的圆心去连接到我们的其中一个端点，比如说 b 点， 再去过 o 点做垂直于我们的弦，希望我们这边比如说是 h 点，那实际上我现在阴影部分所描述出来的就是一个非常朴素的直角三角形，而这个直角三角形呢？三边分别是什么？分别应该是我们圆的半径，还有我们圆心到直线的距离，以及我们的弦长的 一半。哦，一定要注意，是一半，所以我现在写出来勾股定的式子是弦长的一半的这个平方啊，应该会等于斜边的平方，再减去我们的距离的平方，也就是我们的耳方，再减去我们的地方。 所以这样我只要知道了半径，再知道了我们的圆心到直线的距离，我就可以求出我们的弦的一半，那乘二就是我们的弦长。所以当时我们在平面图形里面去求解相交弦的弦长，就只需要这样来做就行。 而他到了三维的世界里面，圆变成了球，而我们的直线变成了平面，再去相交，产生的就不再是形，而是相交的一个平面，就是截面。 那一个西瓜拿刀怎么切？切出来，其实它的姐妹都是个圆，对不对？像圆锥，圆锥，我斜着切，横着切，或者说我竖着切，切出来可能是椭圆抛物线，或者说双曲线，可能不一定，但如果是一个完整完美的球体的话，你不管在什么位置，只要你切到了这个球，切出来一定是圆，那么这个圆， 它的半径就是它最重要的特征是多少呢？其实只需要在右侧的图中，我们稍微看一下，球出本来的球心到不再是线了，应该是到这个平面的距离，以及我们球的半径大耳。接下来上面的这个 o a 其实就应该是我们洁面的半径小耳， 而他们之间依然也会满足一个非常完美的勾股定律，就应该是我们的小耳的平方，就是洁面的这个圆的半径的平方，应该就会等于我们的大耳方，再减去小 d 的 平方。 所以说如果这个平面是我们在一个理想的平面，就是一个可以无限延展的平面，那么此时这个平面 与这个球产生的结面必然是一个完整的圆。注意是完整的圆，那这个完整的圆，只要我知道了这个半径，它的周长也好，它的面积也好，它的什么什么无所谓都好，我都能求得出来。 但很多高中的题目，尤其到了高考的时候，他会非常的恶心，他不再是一个平面和球的结，而是拿一个多面体。 什么叫多面体？多面体的每个面其实是很受限的，有没有看见？比如我现在提出了最朴素的两个，一个就是长方或者说正方， 另外一个就是这样的一个，其实是个墙角模型，就是三轮锥，一个简单三轮锥做了一个这样的动图给大家稍微来观看一下，我现在左边这个，左边这个最简单。我现在这个正方体有什么特色？它其实是一个六面体，讲白了，其实它有六个表或者六个这样的 平面，侧面都会和这个球有可能相交。那我现在画这个球呢，微微的小了一点，它只和左侧的阿尔法，后侧的贝塔以及下侧的伽玛是不是产生了 啊？交面，而这个时候阿尔法贝塔伽玛，我们必须要说它不是一个完整的平面，它应该是一个局部的平面，平面的一部分，所以它和这个球截出来的，比如说贝塔和这个球截出来的图形也不再是一个完整的 这样的一个圆了，对不对？你现在过的就是球心，我们假设到过球心只是举个例子，那这个 d 就是 零，那你截出来的截面的半径也就应该是本身这个球的半径就应该是大 r， 但是现在我发现它真正能在上面展示出来的只有九十度的一个圆形角，有四分之一的圆，所以你想让我求，比如说胶带的弧线的这个长度，那也是圆的整个周长的四分之一， 我没说错吧？所以这个环节相对而言就会多那么一步。我们并不是一个完整的平面和一个球的结面了，而是平面 的一个局部和球去产生结面，那会有什么影响？来我们看一下右边，右边这是一个墙角模型，它的平面也是比较局部的，每个平面其实都已经不再是完整平面，而是一个一个小三角形。 那教出来会怎么样？我们一起来动态的感受一下。各位观看一下这个视频，这是我拿鼠标稍微先拖动了一下，立体的感觉，让大家稍微建立一下，这个球的大小会变好。你看它变小的过程里面，它和 a 导 c， a 导 b， 还有我们的下方的 bc 导，其实都是有 交线的，对不对？而这个交线呢？因为我去把球形放的比较简单，就放在了我们这个正中间，就放在了我们这个顶点导上，所以你此时交出来的也就是应该是半径为这个球的半径的 球体，注意啊，就相当于此时这个半径，也就是我们此时这里应该就是什么，是不是就是球的半径？球的半径也就是这个黄色的点点到导点这个位置就应该是球的半径，就应该是不变的，没问题。紧接着如果它再去转动，再去变大，来注意看 它现在怎么样和前面的 a、 b、 c 那 个斜置的平面是不是也产生了相交的地方？一开始我太小了，还没有够到这个 a、 b、 c 是 这个平面， 现在我终于粘到了 a、 b、 c 这个平面了。那么现在怎么样？我就可以把我们的问题变得更加复杂了，让你去求它和 a、 b、 c 交出来的交线的长度，那这个问题就比较难了。首先我们要求出导点是不是到 a、 b、 c 这个平面的距离， 这是刚刚的 d 小 d， 上一页 ppt 里面是不是小 d 求半径我是知道的，那么整个结面就交出来这个平面的半径是可以用勾股定律把它求出来， 当我把勾股定律给它求出来之后，是不是这个完整的圆就是我们的交线的周长呢？或者这个完整圆都在呢？不是。你看此时此刻，其实我这个圆只有三段，就在上面黄色的点点在最前面的时候，黄色的点点是不是有三段在上面？来，我们再放大一点，你看 甚至都会没了，再变小，再变小，小小小小小，它就会浮现在这个位置的时候，差不多这个位置的时候，就是 a、 c、 a、 b 还有 bc 这三条棱上面那个边上的那个黄点点重合的时候，那个时候才是什么？ 才是刚刚刚刚好，是我们的什么？是不是一个完整的圆都在上方？刚刚好好都是一个完整的圆，是不是都在上方？那么这个时候的话呢？这个完整的圆才能够全部算。但如果说我这个球还比较大的时候，比如说像这样的一个状态的时候， 那其实在 a、 b、 c 上的交线其实也只有什么？是不是只有三段弧？乃至现在你比如说你把你的目光盯向 a、 d、 c 这个平面， a、 d、 c 这个平面和这个球体产生的交线，其实也只有两段 圆弧，也只有两个圆弧，并非是完整的一个扇形的弧长， ok 吗？所以它可能会有这样的一些考量，你就需要去考虑我这个圆，这个结的圆到底在这个局部的平面上究竟呈现了几成，或者呈现了几分之几，然后再去求它的面积，再去求它的什么周长，是这样一个做法。 那么相对的，这样向南的题目我们放在群里的配套练习之中，如果各位可以的话，到群里面找我来要电子版就可以了。好，那接下来的话，我们来看一道非常经典的高考题，这道题目是清高考一卷，还有一道高考真题， 它是这样说的，是直四棱柱，直四棱柱， a、 b， c 倒 a 一 b 一 c 倒，一能成均为二。开始画图，这个图其实并不难画，然后呢角 b、 a 倒呢？又是六十度，其实就是一个什么？ 是不就是一个菱形，这里是 b， 这里是 a， 然后这里是 c， 这里是倒嘛？然后直四人柱，所以这样坐下来，坐下来人长均为二。这画的也不要太夸张，应该各个面其实都是 正方形，除了上下底面是菱形以外，侧面呢均为正方形，这样的情况，他说以倒一点来，倒一点，在这个位置以倒一为球心，根号五为半径，然后与谁的交线长是与后面这个平面 b c、 c e、 b e 的 这样一个交线的长度。那么现在我们来思考一个问题， 我要去做这个交线，要把这个结面做出来，刚刚讲的关键量是哪些？还记得吗？第一个应该是球心到平面的距离 来，我们俯视图里面底面是一个菱形哦，相当于是一个呃，六十度，非常标准的二二二二，然后假角是六十度一百二十度是这样的一个菱形，这里是 a 一 点，这是 b 一 点，这是 c 一 点，这是倒一点。倒一点是我们的球心 b 一 c 一， 就是我俯视图里面的 b 一 c 一 c 一 c 这个平面的一个 攀缩后的一条线，对不对？所以我现在倒一点，这个球心到我们 b 一 c 一 的距离应该是根号三， 也就是说刚刚那个公式里面的小 d 应该是等于根号三的球的半径，其实里面直接给了就这里应该是画出来一个球，球的半径应该是根号五。所以把这些标准量、基本量要写出来，那就意味着如果这个平面 b c、 c 一 b 一 是一个完整的平面的话， 它和我们这个球产生的结面的半径一定等于多少呀？是一定等于根号呗。再开个根号，其实就是根号二喽， 所以小耳应该是等于根号二，小耳如果等于根号二的话，按道理说，我现在应该是画一个根号二为半径的圆，然后周长每每一算二 pi 耳不就是二倍根号二 pi 吗？ 就完事了，对不对？但实际上这道题不是的，这里的这个球做出来过以后，在这边的结面的圆心应该在 b、 e、 c 的 中点，也就是我们刚刚做这个垂线，这个 h 点，这个 h 点，这结面也长这样。 紧接着呢，我们画出来的应该是一个半径为根号二的原理，不要忘记 b、 c 一 整个的长度。来，我们把这个面给它拎出来，这是一个，其实是一个正方形，这里是 b 一， 这是 c 一， 然后这里是 b， 这是 c， 中间这个点应该是 h 点，整个 b、 c 的 长度其实只有二哦， 然后你现在却要画一个半径为根号二的圆，那按道理说，你画画画画应该画这么大，但是我现在的洁面只有 b、 e、 c、 e、 c、 b 这么大，所以真正能在这个图上面体现出来的，应该是我绿色的笔记所描出来的这段 圆弧的长度，也就是从这里的 p 点到这个 q 点弧， p q 才是我真正的结果。而 hp 和 h q 就是 我们刚刚求的小耳，就应该是根号二，这边呢，应该是一，因为 h 点是 b、 c 的 中点，所以 h 点的两边应该是一和一， 那这里也是根号二喽，所以这边也是一喽一喽，很基本这样的几何量，那么此时这里就也是四十五度，所以一目了然。中间的 p、 h、 q 这个圆心角就应该是九十度， 所以你现在这个 p、 q 这个弧，就是题目里面要的这个交线的长度。而这个交线的长度呢，其实就应该是一个根号二为半径的圆的周长的四分之一，所以应该等于四分之一再乘上二派小耳， 二派小耳呢，其实就应该是二倍根号二派，再乘上一个四分之一，其应该是二分之根号二派，所以这道题的交线长度就应该是二分之 考二倍牌，所以这道题目非常非常的经典，非常的经典。但距离今年的高考其实也有一定的年头了，在平时的高一下的期末考试，期末考试，我相信如果有高一同学在听的话，也一定会看到过 啊，一定有一部分同学看到过，做到过。这样的题目对于高一的孩子来说，难度还是有一点高的，但对于高三的孩子来说，你们的立体几何空间想象能力已经培养了，少说两年有余了吧， 对吧？所以想这些问题可能会稍微简单一点，但是呢，多想想准没坏处。现在新高考卷对于我们的立体几何的要求也在逐步的提升，只会单纯的间系这种暴算的方法可能不够了， 去年的外接球问题，可能看准经典建系统的方法，你有没有用透啊？可能也没有吧，所以，路漫漫其修远兮。各位，虽然距离高考的时间并不长了，但是能进步一点，总能进步一些， ok 吧？好了，关注宋老师，每个视频，送你一招，解决一个小问题。好，那今天的内容我们就讲到这，拜拜各位！

哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二，第八张立体几何初步八点五点三，平面与平面的平行来到了我们的平行的第三个，对吧？面面平行，好，我们来看一下。首先同样的第一道立体，如图，我们会看到 直线 l 和直线 m， 它们都平行于平面贝塔，而 l 和 m 呢，是属于这个平面阿法的，而 l 和 m 呢，它相交于一个点 a， 这两条直线它是相交的关系，然后呢，去证明平面阿法平行于平面贝塔。 同样的，我们上节课开头的时候就跟大家讲了，我们说平行，对吧？我们第一次接触平面与平面平行的这个概念，但是只要是平行，它的核心就是什么没有焦点， 那么没有焦点正无的问题，我们用反正法假设它不平行，那么我们尝试一下，会得到什么样的结论呢？我的平面阿法跟平面贝塔不平行的啊，比方说平面阿法这样子啊， 那么我们就会知道哈，阿法和贝塔它会相交，假设这条交线为 n， 那 么我们上节课的线面平行，告诉我们什么东西啊？ 这条直线幺，它位于阿法上面，而直线 n 呢，位于贝塔上面，是它们两个平面的交线，对吧？那这个时候呢，由这三个条件我们就能得到什么过 平行于平面的这条直线的这个平面和这个的交线跟这个平面，是啊，跟这条线是平行的关系，是吧？跟这条直线是平行的关系，所以呢，我们通过这样子的方式呢，就能得到这条直线幺和 n 是 平行的，那么后面呢，我们同理 m 和 n 也是可以证明平行的，同样的，相同的道理，我们过 m 的 这个平面和贝塔相交，那么这两条线也都是平行的，那根据平行线的传递性，那么就会有 l 平行于 m， 对 吧？那么 l 就 会跟 m 平行， 那 l 跟 m 平行，很明显就跟这个条件，就是它们是一个相交的直线，是矛盾的， 是矛盾的，所以与这个矛盾，所以假设不成立。所以呢，这里五个条件，这个就是我们面面平行的判定定律。如果一个平面内的两条相交的直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行符号表达语言表达如下， 来试一下，我们看一下，如果一个平面内，那现在这个平面是谁？阿法，那两条相交的直线谁啊？幺和 m， 那 么 ok， 这个是阿法上的两条直线，那幺包含于阿法， m 包含于 阿法，好与啊相交直线。第三个条件啊， a o 和 a， m 呢？是相交的，相交于谁啊？点 a 与另外一个平面平行，谁跟谁平行啊？直线，两条直线分别，所以 a o 呢，也平行于贝塔， m 呢也平行于贝塔，哈，把它写出来。所以这个地方有多少个条件来证明出这个面面平行？五个条件哈，所以有五个条件证明出来，判定出两个平面是平行的关系。那么这个地方呢，给一个应用实力，继续我们的木工师傅， 木工师傅呢？把水平仪，首先这个水平仪啊，他只能去证明一个方向上他是水平的，那么怎怎么证明这个桌面上他是水平的呢？他往一个方向坐， 另外一个方向也做，哎，不重要，具体什么方向不重要，关键是他们不能是平行的，他们得是相交的，对吧？他们相交的，那么只要是相交的方向不同的，两个不同的角度，那么两个都平行，那么就说明整个桌面他就是水平的，这个是一个，也是一个非常日常的常规的应用。 ok， 然后呢，我们来看一下课本的一道例题，如图，已知正方体，然后呢，求证这两个平面平行，那么我们会知道呢，我们要去证明两条直线跟某一个平面，嗯，比方说我们找其中的一个吧，比方说我们去证明 绿色的这个平面上面有两条直线，我们来看一下，比方说 dc 一 撇，因为都行哈，三条线都很好证明，比方说 dc 一 撇， 我们很容易能想到他跟谁平行，他跟 a b 一 撇平行，对吧？我们通过证明这个东西，那这个东西又怎么证明的呀？我们通过什么呀？ b 撇 c 撇 b 撇 c 撇， 跟 a、 d 跟 a、 d 干嘛？平行且相等，对吧？能够证明出来平行四边形， b 撇 c 撇 d、 a， 是 吧？那么根据平行四边形，我们再来证明出这个东西，证明出了，然后呢，通过三个条件结合另外两个条件，对吧？然后就能推出我们的这个什么 d、 c 一 撇是平行于这个平面， a、 d 撇 b 撇的，那么走两次这样的方式啊，这里是我们证明了 d、 c 一 撇，大家也可以去证明 b、 c 一 撇 去平行于这个平面， b、 c、 b 撇这条边就跟谁啊？跟我们的 a、 d 一 撇， b、 d 呢？跟我们的 b、 d 一 撇啊，是吧？通过线线平行，通过线线平行，你看我们的思路哈，线线平行来证明出我们的什么线面平行， 再通过我们的线面平行进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们的线面平行，进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们后续所学的这个 啊，那个线面垂直，面面垂直接新的概念，它其实最核心最基础的都是，首先回归到我们最熟悉的线线垂直和线线平行，它都是一个基础，它都是一个基础，从从一个到第二个到第三个，你们发现这样的规律，所以我们来看一下， 在正方体当中，我们这个地方用了什么呢？首先我们第一条用的是 a、 b、 a、 b 平行于 c、 d 啊，我们用的是 a、 b、 c 撇 d 撇的这个，我们去证明这个是一个平行四边形，进一步呢，我们证明出 这两条边是平行的，那么又因为啊，我们走程序，对吧？我们又因为一个条件，两个条件， 三个条件啊，我们千叮嘱万叮嘱的这三个条件，五个条件，那一定一个都不能漏，对吧？又因为这里集合集齐了三个条件，然后接着呢，我们才能证明 a、 d 撇平行于这个平面，对吧？啊？然后接着呢，我们有了这个 东西之后呢，我们再正下一条边啊，同理，因为它的逻辑是相同的，同理我们可以证明这一个平行于这个。看在这个答案当中，就反过来，我们在红色的里面找找两条线啊，去跟绿色的这个面平行啊，都是一样，对吧？找了这条边和这条边 跟它平行，然后最后呢再加三个条件，你看右音，你看一个条件，两个条件，是吧？然后呢，这里可以是三四个条件， 因为逗号隔开了两个表并列，逗号表并列，然后呢，相当于说 a d 一 撇属于啊，那个包含于这个平面， b 撇 c 呃， d 撇呢，也包含于这个平面，然后呢，所以这里算两个条件。这个地方五 同学们考试呢，就最好不要这么写啊，考试最好不要这么写好不好？然后呢，这个地方可以分开来写，两个条件会清晰一点，一二三四五个条件，所以我们证明出两个平面是平行的关系，严格的去按照这种严谨的逻辑思路去进行证明，然后我们来看它的性质， 面面平行之后，他有什么样的性质呢？第一个呢，就是跟直线平行的传递性是一样的，平面平行也有传递性质，对吧？就是说如果阿法平行于贝塔，而伽马又平行于贝塔，那么他可以传递过去，阿法就会平行于伽马。好，除了传递性呢，我们还有另外两个性质， 性质，一两个平面平行还在这个地方，阿法平行于贝塔，如果一条直线在其中的一个平面上啊，这里画出了一条直线幺，他在这个平面阿法上，那么该直线与另外一个平面平行， 这一条直线就会平行于另外那个平面啊，对吧？我们会得到这样子的一个结论，这个其实也很好证明， 因为直线幺我们说平面是没有交点的，那当然我们的 alpha 和贝塔都没有交点的，而这个直线幺是在 alpha 上面的，它当然是没有交点的，对吧？所以呢，这个是很好去理解的一个点。 那么第二个性质呢，就是如果两平面平行，同样的 alpha 平行于贝塔，那么分别属于两个平面的两条直线必然没有交点，对吧？我们会知道，因为 分别分别属于两个平面的两条直线 l 和 m， 它一定没有交点，因为它是分别属于两个平面，两个平面平行，它没有交点，对吧？那么没有交点，我们说有两种情况，是不是 要么平行像这种情况，要么就是像这种情况是意面的，对吧？它一没有交点，其实有两种情况， 那么当直线平行的时候呢？我们说如果一面直线不能确定一个平面，但是如果两条平行的直线能够唯一的确定一个不与该两平面平行的平面，没问题吧？伽马。那么所以呢，我们就猜想如下的结论，什么结论呢？两个平面平行啊，阿法平行于贝塔， 如果另外一个平面就是伽马，就是另外一个平面与这两个平面都相交啊，伽马交阿法会等于 l， 伽马交上悲惨会等于 m， 那 么这两条交线就会平行，那么三个条件就能推出 l 平行于 m， 理解它，然后说出来，对吧？这个符号语言，那么这个时候呢，我们去证明一下这个结论。我们来看一下 两个平面平行，如果它相交，那么两条交线平行，我们来看这个就比较简单了，因为我们直接我们都不用反证法了，因为我们说两 个平面平行没有交点，而分属于两个平面的两条线一定没有交点，而如果他们是在同一个平面上的，没有交点就没有交点，他分两种情况嘛？第一种情况就是不属同一个平面，那么就是异面，对吧？ 那么属于同一个平面，又没有交点，那么就是平行，那么他都说有第三个平面跟他们相交，那么就说明 l 和 m 是 干嘛？是共面的， 就相当于说共面的没有交点的这个直线直接我们顺着推，我们就能推得出来，他们两个相交一定是没有交点的共面啊，因为他们没有交点， 且你看我们有没有说专门给我们的两直线平行说这个符号语言呢？没有吧？没有说 l 和 a m 平行，是 l 和 a m 相交等于空，然后呢？干嘛？ 然后呢？就是他们两个不属于，呃呃，要属于同一个平面，有没有？ l， 呃，那个和 am 它都属于同一个平面，对吧？这里其实是三个，三个条件，对吧？三个条件推一个。我们有没有在当时直线与直线的八点五点一单独说这个东西？没有，所以说我们的这个东西是整理不进的。这个就再一次提醒同学们不要去背， 不要去背啊，像我们说要锻炼自己的符号语言的这种表达能力，对吧？我们想到什么就说什么就可以了。所以这两个条件说明了他们相交，且他们没有交点，且在同一个平面内，所以他是什么？所以他是平行的。好，这个就是我们的性质。二，刚才有三个性质，对吧？第一个 平面的平行是可以具备传递性的啊，好吧？比如说我们的一楼的天花跟二楼的天花和五楼的天花，对吧？一楼的天花平行于二楼的天花，二楼的天花平行于五楼的天花，那么就传递性，对吧？一层一层的楼板， 同样的道理啊，对吧？然后呢，另外的两个性质啊，第一个性质就是我们啊这个，然后还有刚才的那个性质一和性质二，好吧，这两个归类一下有多少个性质？ 然后呢，我们继续来完善这个思维导图。我们上节课呢就说，哎，我们第一节课八点五点一线线平行，八点五点二线面平行，我们这节课呢讲的是面面平行，对吧？面面平行呢？平面与平面没有交点，好吧， 那么我们通过什么样去证明面面平行呢？通过线线平行，对吧？你们发现我们都是从哪里啊？你看线面平行怎么判定线线平行啊？平行线者不用讲。然后呢，线线平行去判定面面平行，所有的基点都是来源于线线平行， 为什么在每一句结论的时候呢，都给大家一个这样子的一个标题啊，对吧？那么他呢？有两个结论，我们不说那个传递性哈， 第一个呢，就是两个平面平行，如果另外一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行，所以呢，他的第一个性质是推出谁啊？我们先看清楚他推出了线线平行，第二个推出了什么？两个平面平行，如果一条直线在其中一个平面上，那么该直线与另外一个平面平行，他推出了一个线面平行， 然后我们来看一下他的关系，线面平行是不是能推断出什么呀？看到没有，我们如果想要推断线面平行，当大家的脑袋永远都想着啊，线面平行，我要证明啊，什么东西？这根这条直线跟平面上的一条直线平行，那他不一定在现实的条件当中他好去证，那么我们就会有另外的一条道路， 是吧？有另外的一条道路，大家能理解吗？这个就是整理的原因啊，这个是面面平行的关，同样的，谢谢。平行哎，这个也是证明平行线的一种方式，所以我们会看到一个点哈，比方说这道题目，我们来看一下 正方形 a， b c d， a b c， d 是 个正方形和正方形 a b e f a b e f 侧面的也是个正方形，所在的平面呢？相交于 ab， 那么在 a e， b， d 当上面呢？会有一点 p 和有一点 q， 是 吧？两点且 a p 等于 d q。 同学们先好好想一下这道题目哈，去求证 b q 呢？平行于里面的这个 b， e， c， 我们想一下，然后停下来想一下，我们来思考一下，我们想到线面平行，我们说什么？我们去证明什么？通常来说它的最核心，最简单、最基础的一个判定定律就是这条直线平行于上边的一条直线，对吧？ 那么这条直线它不好找，大家会发现大家会发现它不好找啊，那么这个情况下，我们就说我们怎么样去证明呢？我们怎么样去证明呢？同学们先看一下这个方向有没有办法能够找到， 那没有办法找到的话，我们是不是叫思考有没有可能是另外一条路径，这条路径，这条路径就是我们干嘛呢？我们先证明一个平面平行， 对吧？我们来看一下这个路径，先从面面平行一直证明正到他的一个先面平行，那么这个路径我们看一下怎么找找哈。首先他过点 p 做 pm 平行于 e b 啊，我做一个这样的平行过来的，然后呢，连接 m a m q， 哈，连接 m q 这个表述同学们一定要说清楚，千万千万不要说我做一个 p m 平行于 e b， 然后做一个 q m 平行于什么 b c 啊？这是不对的哈，你怎么知道做了两个平行线，它会相交于一点呢？所以不能这么讲啊，我是做了一条平行线，当然也可以从 q m 做过来，然后连接啊，对吧？我们这个地方只是做连接，所以要搞清楚，在我们的设定当中， p m 是 平行于这个 e b 的， 但是 m q 没有说平行于 bc， 哈，我们要看清楚这个点，然后呢，连接完之后呢，我们很容易证明说什么我们的 a e 等于 d b， 这个就不用说了吧，一个相同边长的正方形的对角线相等，就 a e 和 d b 相等，这个不用讲了吧？那这个时候呢，我们会有什么样的结论呢？首先第一个 a p m 的 三角形，因为它是平行于底边的，会和这个三角形 a e b， 它是干嘛相似的？那么它们相似呢？当然我们就能得到三边成比例，对吧？ 那么我们究竟要干一件什么样的事情呢？我们想，如果我们也能证明这个 m q 平行于 a d a d 平行于 b c， 那 么我们这个两个平面的平行问题就能得正了。 那这个时候，如果他们是，哎，像我说的，用题目嘛，用结论来推过程，对吧？这个不是搞科研题目，用结论可以推过程，因为他们这两个平面一定是平行的，那么所以这个平行于这个也一定会平行于 m q， 那 么所以我们会知道什么？ 我们用这个 d p 等于 d q 来做一个媒界看一下哈。我们首先 am 比上 ab 等于 ap 比上 a e， 这一部分是我们的相似三角形的结论，对吧？而后面的一部分呢，就不是哈，我们要看清楚这个式子啊，这一个部分呢，好， 我的 part 一， 这个是 part two， 那 么第二个部分呢？这个部分呢，是 a p 比上 a e 会等于 d q 比上 d b， 这是题目给的条件。首先 a p 等于 d q， 所以 这个等于这个 a e 和 d b 的 a e 和 d b， 刚才我们说了，它是正方形的， 呃，相等边长的正方形的一个对角线，它们相等，所以这个会等于这个，所以我们以这个作为一个什么？作为一个媒界， 以这个作为媒界，调节起了这两个的比值，那么有了这两个的比值呢，我们就会知道什么东西呢，就会知道它们是 相似的，就是我们的 b m q 和 b a d 两个三角形是相似的，再加上它们有一个公共的一个角嘛，对吧？那这个时候呢，我们就能证明了， m q 平行于 a d 又平行于 bc， 那 这个时候是不是就是，哎，五个条件，对吧？五个条件， p m 又平行于，呃，下面啊，我们要，还要，还得先证明啊，线面啊。对，我们还得先证明线面啊。又，因为 m q 呢，不属于不，不包含于这个面 b e c b e c 底面，而 b c 呢，是底面 b e c 上面的一条线，所以三个条件哈，这个地方一个条件， 两个条件，三个条件，所以 m q 平行于底面。同样的，我们相同的推理过程，是不是就能干嘛就能同理了？同学们一定要去多使用这样的，不然到时候呢，我们做题的时候就要写很多很多，对吧？因为它们的相同步骤，我们就没必要再写一次了，对吧？啊？同理， 异正 p m 又平行于这个底面，那这个时候呢？一个条件，两个条件，我们是不是又因三个条件，一个两条件，两个条件，三个条件，一二三总共五个条件，它们两个属于包含于这个平面，然后呢相交，对吧？于点 m 啊，一共三个条件，一共五个条件， 然后呢去证明出两个面平行，然后我们知道 p q 是 这个面上的其中的一条线， 所以 p q 看到没有？如果同学们没有刚才我们做的这个什么东西啊？那个思维导图，同学们就会出现一个问题，就是疯狂的在没有这个的时候，疯狂的在底面找一条线，会找得很辛苦 啊，会找得很辛苦，而这条线呢，它会变，关键是这条线它是会变，它不是一个固定的线。有没有发现，你比方说我的 q 在 这个位置对下来，我先不管，大大概是这样子的吧， 那我的 q 如果在这个位置，因为他给了 a p 等于 d q 嘛，他有可能长这个样子， q 有 可能在这里啊， d q 比较长呢， a p 也会比较长，那这此时对下来是这样子的， 那么我们当然就会发现，这两条线是不是是不一样的两条线，因为 b p q 也在变，这个的角度也在变，我们是很难证明的，除非我们要用动线啊，这个现在来说应该是解决不了的这个问题， 对吧？那所以呢，我们怎么办呢？这个东西我们就通过另外的一条路径，先证明他过这条线的其中一个平面，那这个就是我们刚才的思维导图， 当我们在大脑当中的时候，我们就会在这个图里面去搜寻有什么样的方法，我们想到有没有可能先证明一个平面平行于另外一个平面，不然你们就会干想没有其他的办法，所以呢，这个就是我们大脑当中要有一个清晰的思维导图的重要性。好， 接着我们来看一下例五，继续是课本的一道例题，夹在两个平行平面之间的平行线段哈，这两个平行线段阿法和贝塔呢，是平行的 两条直线呢，它是平行的，那么夹在中间的这个线段 a、 b 和 c、 d， 我 们要证明它相等，我相信这个应该也不难想到吧，很容易能够想到，它们连起来呢，这个是一个平行四边形，那么它的对边就会相等， 那么现在呢，我们来看一下怎么证明。首先 a、 b 平行于 c、 d 是 题目给的条件啊，已经有一个了，那么我们能不能证明 a、 c 也平行于 b、 d 啊？这个也很简单吧，最基础的我们的一个平面平面， a、 b、 d、 c 啊，这个平面是吧？那这个平面它会哎，首先我们要确定它是一个平面，对吧？为什么它是一个平面？因为 a、 b 平行于 c、 d， 所以 两条平行线唯一确定一个平面，所以这个是一个什么？这是一个平面。 我们如果要严谨的去证明，要先说明一下这件事啊，它是一个平面，不然 a、 b、 c、 d， 它不一定是一个平面啊，如果严谨的证明，那么这个平面跟两个平面阿法和贝塔相交于线， a、 c 和 b、 d， 它就会干嘛？ 就会平行，那么我们就会得到两组对边平行，就能证明到 a、 b、 d、 c 是 一个平行四边形，进而就能证明，所以这个不难证明哈，来看一下， 这个并不是很难证明，通过证明平行四边形，好吧，好，那么这个呢，就是我们的下一个结论。面面平行之间的线段长度，我们会知道它们是相等的。阿法，如果两个平面呢，是平行的，而 a、 c 在 阿法上面， b、 d 在 贝塔上面， 那么此时我们就能这两个条件说明它是一个线段，说明这个和这个是一个夹在中间的线段，而此时 ab 平行于 cd 啊，四个条件，我们就能说明夹在两个平行平面来看，两个平行平面 夹在线段是这两个平行线，这个四个条件我们就能推断出 a、 b 等于 c、 d， 对 吧？这个就是我们的这个性质新增的一个性质来看。第六，如图，已知 e、 f 是 正方体的棱的中点， e、 f 是终点，求证这个 b、 e、 d 撇 f 是 平行四边形啊，对吧？我们来看一下，那这个呢，我们可以怎么去证呢？我们可以啊，通过通过这个，比如说这个拉过来， 这个平行于这个且相等，对吧？相等长度就很好说明了，这个勾股定律就能证明了，是吧？ 平行我们要证明什么？拉过来之后，这个跟这个平行且向下且相等，我们就能证明这个打斜的 e、 b、 c， 比方说这是 m， 这是一个平行四边形，那么我们就能证明这个和这个平行且相等，进而这个 m、 c 和 d、 p、 f 平行且相等啊，这个不难证吧？所以我们这样子取这个中点 g， 然后我们这样连接， 然后证明 e、 g、 c、 b 是 个平行四边形，然后呢我们就能证明平行的传递性， 而且呢这个长度相等，对吧？我就简化了，因为这个很简单，考试也不会出这么简单的，我们就捋清一下思路，所以它是平行四边形。好，这个地方呢，同学们可能就想， 不用这么复杂，对吧？我直接干嘛？我直接这个平面 e、 b、 f、 d， 他 跟我们的左右两边和前后两边的两个平面相交，那么这个对边平行，这个平行不就得了吗？所以这里呢，就给同学们一个经典的一个错解， 也是刚才我们一直在提的一个点，我们在做任何一道空间题目，如果有四个点，务必要确定他是否共面。 像在这道题目当中，你如果用这样的方法，那有一个前提，你得先证明 e、 b、 f、 d 撇这四个点是共面的。我们题目的条件有说这个东西吗？没有说这个东西，你得先证明它是共面的，然后接着走这套流程， 那这个才是正确的。同学们一定要在以后做所有的空间几何的题目当中，都要注重注意 四点，他是否共灭的问题啊，是否共灭的一个问题，这个很重要哈，这个是非常的关键。好吧，那这个呢，就是我们的这节课的内容。好，我们下节课再见，同学们，拜拜。

高一逆题几和必考题解便是平行，怎么证线线平行？今天用线面平行的性质定律一步给你讲透。那我们首先要先明确呃线两条线的位置关系呢？它只有三种啊，平行 香蕉还有一个阴影。那接下来呢？我写过程的时候会逐步把另外两个排除掉。那我们先看题啊，四面体 a、 b、 c、 d 被一个平面所截，截面 e、 f、 h 锥是平行四边形，求证 c、 d 平行锥 h 这道题核心是线面平行的性质，地理也是立体几何。你证明线线平行的万能钥匙。 我们先回忆一下定律啊，如果一条直线平行于一个平面，那么经过这条直线的平面与和这个平面相交，那么这条线和交线平行啊，说人话，说人话是什么？就是 我们只要能证明这个平行这一个面，然后再找第二个面这边有个交线，那这两条线呢？他就会平行啊，这就是人话啊，当然定律的话，他肯定是要严谨一点，所以同学们一定要转成自己的语言去描述。那我们先看这道题啊，因为他是 e、 f、 h 最是平行，所以 e f 平行 h。 大家跟上节奏啊， e f 平行做 h 啊，我这边写关键步骤就行了啊。然后我们可以看到 e、 f 是 在平面 a、 b、 c， a、 b、 d 里面，而且它平行做 h， e、 f 不 在平面 b、 c、 d 里面，然后做 h 在 b、 c、 d 里面，所以我们可以得到 e、 f 平行 b、 c、 d。 好，当然大家写的时候记得要写那个不包含包含，相信有看这个视频的大家肯定是学到了这个阶段啊，格式问题肯定是要把握清楚的，那我们现在得到 e、 f 平行 b， c、 d， e， f 又在 a、 c、 d 里面，同学们有没有问题啊？ e、 f 它又在 a、 c、 d 里面 啊？我忘记做一件事情， e、 f 平行 b， c、 d。 那 e、 f 跟 b、 c、 d 里面的线就不可能相相交，所以 e、 f 不 可能跟 c、 d 相交。 那 e、 f 包含平面 a、 c、 d 啊，平面 a， c、 d 跟平面 a、 c、 d 是 不是交于 c、 d 啊？那说明 e、 f 跟 c、 d 它就在同一个面，它们都在平面 a、 c、 d 里面嘛。 e、 f 跟 c、 d 都在平面 a、 c、 d 里面，那他们就不可能异面，所以我们只剩最后一种情况， e、 f 它会平行 c， d， 那 e、 f 又平行锥 h， 对 吧？所以锥 h 它会平行 c、 d 啊，这道题得正，当然大家格式的话自己要去写清楚。然后最后呢，给大家总结一下这类题的万能步骤。一、从平行四边形梯形里面找一组线，线平行。 二、线面平行的判定定律证明其中一条线平行于目标平面。三、找到包含这条线的平面和目标平面的交线。四、利用线面平行的性质定律证明这条线和交线平行。五、通过平行公里传递平行关系得出结论，这道题是立体几何的基础模型。 呃，性质定律其实大家在高一下这个单元都掌握的不是很好，所以收藏起来，下次遇到直接套用。