高一数学必修二立体几何平行六面体

hello， 同学们大家好，来到了 b c o 二第八张立体几何，初步八点四点一平面，我们前面的三节课呢，除了我们的八点二，讲的是关于这个直观图的方法，是吧？然后呢，八点一和八点三都是学习我们的一些具体的一些立体图形， 什么是柱锥，台球以及呢他们分别的体积和表面积。那么现在呢，我们就来研究在这个空间当中基本元素之间的关系和定义，那么首先呢就是点线面啊，首先呢我们来定义平面，点和线我们当然知道，对吧？ 平面是什么东西呢？生活当中哈有一些物体呢，给我们平面的直观感觉，比方说黑板、 墙壁，平静的水面等等，那么在几何学当中呢，它的平面就是从这样的一些物体当中去抽象出来的，对吧？类似于我们的直线向两岸无限的延伸， 而我们的平面呢，是向四周无限延伸的，所以这个地方呢，有一个很重点的东西告诉大家，我们的平面是什么？是两边无限延伸的， 无穷无尽的，就好像我们的直线一样。那么第二个点呢，就是他是抽象出来的，当然我们在我前几节课就讲过，我们的点和线，他本身就是抽象的，对吧？我说像一根线， 我们生活当中所说到的线，它是跟我们在数学当中的线，这两个线是不一样的，数学的线是抽象出来的，只不过我们在小学刚开始学习点和线的时候，没有这么去讲，因为这样子呢，太抽象了，就真的是大家都理解不了，但现在当然大家能理解了，是吧？无论是点 线还有面，它都是没有厚度的，对吧？我们去抽象出来的这样的一个概念，平面的画法怎么来画？我们看到这个与画出直线的一部分来表示直线一样， 我们可以画出平面的一部分，当然我们知道它无穷无尽，无穷无尽，当然不可能说能够画的全，对吧？像直线我们画一个直线幺啊，它实际上它无限延伸的，我们不可能一直画下去，所以我们就拿一部分来表达这个直线， 那么我们常用矩形的直观图，也就说，哎，我们通常来说一个矩形，他的直观图，这个近深方向的变成四十五度，对吧？然后这个当然我们实际画的时候，他不一定四十五度啊，这个没什么关，没什么关系啊，我们常用矩形的直观图记一个平行四边形来表示这个平面，这是他一般的画法好不好？ 那么当平面水平放置的时候呢，就常把平行四边形的一条边画成是横向的，所以这个图呢，就是平面水平放置的画法。第二个呢，就是当平面竖直放置的时候，那么就常把这个平行四边形的一条边画成是竖向的， 好吧，这个好理解吧。然后呢，接着那么我们在画两个相交平面的时候，跟我们之前画立体图形是一样的，就是如果有其中一部分平面的这个一部分呢，被另外一个平面挡住，通常呢把被挡住的部分画成是虚线或者不画， 有两个方法，这样可以使得画出来的图形立体感更强一些，我们的立体图形也是这样子的，对吧？那么看这个地方，我们的平面啊，这个红色的平面这一部分是被挡住的，然后呢紫色的这个平面这一部分是被挡住的，所以呢，我们来看这两部分，我们就把它变成什么 虚线啊，这样就更会有立体感或者不画好吧，中间呢，这个呢是他他们的什么交线， 那么这个交线是不是一定要画呢？不一定啊，画出来会更有立体感一些，这是另外另外一回事哈。 接着来看我们说平面的名称，我们常用希腊字母这个阿法贝塔伽玛来表示平面，哎，有没有发现他跟我们的角好像会有冲突啊， 那么对吧，我们的角也是阿法贝塔伽马，可以用啊，当然角还可以用 c 塔，对吧？如平面阿法平面贝塔、平面平面伽马等等，并将它写在代表平面的这个平行四边形的一个角类啊，通常来说写在这个地方也可以用代表平面的这个平行四边形的四个顶点， 或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称 啊，对吧？我们说什么呢？比方说这个平面，因为我们标出了有四个角，如果我们并不是一个抽象的问题，这个东西其实在我们的八点一就跟大家讲过了，对吧？我们呢可以怎么去表达一个平面？就是 a、 b、 c、 d， 这是第一个，或者说 a、 b、 c 三个字母也行，然后或者说呢，它用对相对的两个顶点啊，我说不是特别好，要注意一个什么问题呢？如果我们使用相对的两个顶点来做命名的时候呢，一定要确定在上下文当中，该两个字母仅能表达一个平面， 什么意思呢？比方说我画一个，在呃这里画一个，比方说啊，我有一个正方体， 那我这个是 a， 这个是那个 b， 这个是 b 一 撇，哈，那如果说平面 b 一 撇，那假如说这道题目是这样子的， 对吧？这里 b c d， 这里是 d 一 撇，那么我说平面 a b 一 撇，我并不知道你要表达的是我的 a b b 撇， a a 撇，还是说 a b 撇 d 撇究竟是哪个图形，所以这个会有歧义，所以一定要注意啊，最好就写写全了啊，这个是我们要注意的东西。 然后呢，点线面当中从属关系的集合语言，因为我们说哈，直线和平面上都有无数个点， 它们都是点的集合，这个从我们必修一开始就跟大家这样讲了，对吧？我们的这个画面，它也是无数的点的集合，所以呢，直线和平面我们都看成是一个集合，而点呢，是一个单独的一个元素，所以我们就会有它们的语言。我们搞清楚， 首先呢，点和直线的关系，因为这是一个集合，这是一个元素，所以它们之间用什么符号？用属于的符号。如果点在线上，我们就写 a 属于这个直线 l， 那 么在线外呢，就不属于。同样的 平面，它也是一个集合，点是一个元素，同样的去使用，这个属于和不属于，点在面上和点不在面上，那么直线和平面呢？由于它们两个都是集合，它们用包含于，对吧？直线要包含于这个，呃，那个平面阿法就代表了 这个直线上的所有的元素，就构成这个直线的所有的点，它都位于平面 alpha 上，那如果说现在面外呢，就说明这个直线 l 不 属于，呃，不包含于平面 alpha， 好 吧，这个呢，就是它们相关的表达语言，这个很重要，很重要， 那么这个呢，是要在我们后续的做题过程当中就不断的熟悉它，然后呢，去用这个数学语言来表达它，也要看懂题目给到我们的相关语言它究竟是什么意思好吗？然后接着我们来看例音，请画出下列相对应的未知关系啊，这个我们就要看懂了， alpha 是 个平面 a 是 个点，那 点 a 呢？它在 alpha 上面，点 b 不 在 alpha 上面，对吧？那第二个呢？直线要在平面 alpha 上面， m 与 a 阿法相交于 a， 也就说直线有一个直线 a， m 呢，跟它相交于一个 a 点，而 a 呢，不属于 l 啊，所以呢，我们会画出这样子的一个图形，如果它没有这一个呢，那么就有可能是什么呢？有可能是 a 也在 l 上面，对吧？然后这一条直线 m， 而此时 a 确定它不属于这个直线 l， 所以呢，它是直线 l y 的 一点，但是这个直线那个点 a 会在这个平面内，所以是在这个平面内，而并不是在直线 l 上的一点。相交说明，两个集合相交，说明了这个直线与这个平面它的交点，所以这样的语言我们要能够理解相关的一个集合语言。 然后呢，我们来说一下关于平面的基本事实，也说也就说课本当中所认为的什么呢？公里， 我们关于平面的公里，在生活当中我们常常可以看到这样的现象，自行车，我们用一个脚架和两个车轮，就一个点，两个点，三个点我们就可以干嘛站稳了， 然后呢，一个相机的三脚架的三个角，对吧？我们是不是有三脚架，他不会用四脚架，而是会用三脚架，那么三点着地就可以支撑这个计算，那个照相机非常的稳的在那里拍照。那么由这些事实和类似的经验可以得到下面的这个基本事实。 基本事实一，就是公里一过不在一条直线上的三个点，尤其只有一个平面，这个就是我们所说的两点确定一条直线，三点确定一个平面啊，不在一条直线上，不贡献的三，三点，应该说不贡献的三点确定一个平面， 我们来看一下这个就他们的关系啊。然后呢，我们用数学语言来表达，就 a、 b、 c 三个点不共线，那么一定会存在唯一的这个平面阿法，使得这三个点都位于阿法上面去理解这样的语言，该结论常用于确定一个平面，三点确定一个面，这个就是基本事实一， 接着我们看基本事实二，讲的什么东西呢？就是在生活当中我们有这样的经验，如果一根直尺，它边缘上的任意的两个点，只要我们保证有两个点在桌面上，那么整一个直线的整一个边缘就会落在了桌面上， 就这是一个课桌，对吧？那么这是一把尺子，比方说这里一个点点 a， 这里一个点点 b， 我 们有没有办法在保证 a、 b 落在这个课桌面上的同时，这一条线不在这个课桌面呢？ 显然是不可能的。所以呢，我们上述的经验和类似的事实可以归纳为以下的基本事实，基本事实二，如果一条直线上的两个点在一个平面内， 就像这个图一样，如果直线 l， 它的 a 点、 b 点都在这个平面内，那么直线 l 就 会在这个平面内， 这个是它的数学语言，如果 a、 b 属于 l， 且 a、 b 两个点它也属于 r 法，那么我们就能推出来这个 l 包含于 r 法这样的语言，大家要去使用哈，因为到时候的例题几何题是会用到的，同学们 是会用到的，不然大家用自然语言是很难说得严谨，并且呢是会很融长的哈。我们要知道该结论呢，常用于判断 直线是否在平面内，或者我们去找一条在某平面上的直线啊，这个需求呢，就通常来说，在我们的下一本书的这个选 b 一 的这个立体，这个呃，空间向量上面， 我们做那样的题目，就会有这样的需求，比方说我们会知道平面上的两个点 a 和点 b 啊，那么我们希望找到一个直线，一条直线 a、 b 就 在上面啊，通常这样的一个啊用途。 然后基本事实三呢，就是我们在生活当中可以看到，当我们两个平面相交的时候，比方说相邻的墙面 在地面的墙角处啊，这是一个平面阿法，这是平面贝塔墙面 a， r 法和贝塔，那么它会相交在地面的墙角处，这里有个角，这个点有个公共点，这个点点 a， 那 么这两个墙面相交于过这个点的一条直线，它的相交是这条直线， 而这条直线幺是干嘛？是会经过这个点 a 的。 所以我们归纳以下的基本事实，基本事实三，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们尤其只有一条过该点的公共直线，这个告诉我们，两个不重合的平面相交 得到的一定是一个直线，那么而且这条直线啊，如果他会有一个公共点，他一定位于这个公共点上，尤其仅有这个直线，所以有这样的一个结论，好吧，所以我这是基本知识。点三，他们两个相交于一点，那么他会有一条相交的直线 啊，而且这个点在这个直线上，这个呢是它的符号圆点 p 属于 alpha 和贝塔，那么可以推出 alpha 交贝塔等于直线 l， 而且这个点 p 呢，也一定会在这个交线 l l 上面。 该结论呢，常用于寻找两个相交平面的这个相交线啊，我们通常来说去寻找这个相交线啊，未来我们也会有相关的一些题目，那我们会知道这个点，比方说啊，比方说，呃，我这个地方有一个正方题， 这也是刚刚结束的广一模的一道题目哈，广东第一次模拟的一道题目就是，其他就不说了，这里有个 a， 这里有个 a m， 有 个平面还过了这，这里有个点，那么我知道有这个平面跟这个平面 a d， d 撇 a 撇，它的交线会在这上面，因为点 a 在 这个平面上，点 a， m 也在这个两个平面的交线上，所以它们的交线一定是 a m 啊，用这样的一个用途，哈，这样的一个用途。接着我们三个基本的事实，我们就会有推论， 这里面呢，课本没有用到两个词语叫公理和定理，这个我其实跟同学们讲过好多次，但是我觉得几何呢，还是要跟同学们讲一下。课本的一个出发点呢，就是如果我们严谨的去用公理去学习这个几何的知识，那就太 没有必要吧。应该说啊，在我们的这个阶段没有必要，但是呢，他要表达这样的意思，所以他创造出来的这个叫基本事实和推论。什么意思呢？我们的公理啊，就是说 不用不，不用质疑的，比方说两个点确定一条直线，三个点确定一个平面，那谁来规定谁来去约束公里呢？怎么样去约束公里呢？我觉得公里是错的行不行？可以，所有人都可以认为公里是错的，只要你找到一个返利。 所以大家会认为宫里呢？基于什么呢？基于可证伪，也就说我没有办法去证明，我认为这个世界上所有的天鹅都是白色的，那我声称 世界上所有的天鹅都是白色的，但是我没有办法去证明。我就告诉你，你全世界六十八十一个一个人，只要有一个人告诉我抓着一只黑黑色的天鹅或其他颜色的，那我这个宫里就会被推翻，这个是宫里性的一个 一个道理。第二个呢，通过我们已知的公理，通过逻辑严谨的推到定理，也就说 逻辑三段论，在我们已知公理是成立的前提下，通过严谨的逻辑推论，定理必然正确，所以定理的正确性是基于公理的基础之上的。同学们要知知道这个点，就跟大家去说一下吧，其实这个东西是也是我觉得思维上很重要的一个理解点，理解不了 就这样子把它尝试去理解一下好不好？在这地方提一下，那么我们有基本事实一，我们刚才基本是一是什么过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面， 这个以及另外一个结论两点。确定一条直线，我们就会得到以下的推论。推论一，经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面，这个是我们的基本事实一，那么我们很容易的就是啊，这条直线我们就得到了推论，推论一，对吧？所以这个是比较容易得到的，也都是比较容易得到。 那推论二呢？就是由刚才的基本事实一和基本事实二，基本事实二呢，就是如果有一条直线上有两个点，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内，有这两个呢？我们会得到推论二， 经过两条相交的直线油且只有一个平面啊，一个相交的直线幺，然后呢和 a m 幺和 a m 相交，那么两个相交的直线它只有一个平面，因为我们必然能在两条相交的直线一个交点，比如说这个交点是 p， 这个 p 加上任意的一点 a， 任意的点 p， 只要这个 a 和 b 不 数，不，不等于 p 啊，在 l 上面找一点 a， 在 a m 上面找一点 b， 只要 a 和 b， 它不等于 p， 就 不跟 p 重合，那么就必然会有什么会有不共线的三个点就能确定一个平面。而我们的事实二会告诉大家，如果 p 和 a 在 这个被确定的平面安法上，那么此时 pa 的 连线的这个直线，它也位于这个平面。所以这个就是为什么从 基本事实我们的公里一和公里二我们能推导出来的一个原因。好吧，这个地方呢，分享一个日常的一个应用哈，也是课本给出来的一个日常应用。 我们有时候是不是桌子的四条腿啊？特别的这种，对吧？木桌有时候呢就是磨损了一点，它是否平整， 那我们可以用什么样的方法呢？我们不用一点点的锯一点，锯一点，然后去试啊，大家是不是这样子啊？或者塞一张那个厚的纸，对吧？在高的那个地方，是吧？那如果我们要去修理它，我们怎么样去看它的那个是否平整呢？怎么去判断它呢？ 桌子四条腿是否平整？我们可以用两根细绳沿着桌，桌子四条腿的对角拉直，什么意思？把它翻过来，对吧？我们把这个桌子翻过来，绑一根绳啊，这绳子一，再绑一根绳，这绳子二，我们要拉直了，对吧？拉直了，绷直了。那如果这两根细绳它相交， 它又不是一个高啊，一个低的，这样子错开的啊，它是相交的一点，那么说明桌子的四条腿的底端它在同一个平面内， 所以呢，我们是可以有这个方法的，我们会知道，如果我们要去修理一个这样的桌子，我们可以这么做，我相信很多可能在农村的同学可能会用的上 啊，比方说我们要去做修理，我要去锯它的时候，我们拿绳子呢，事实上是很难操作的，因为绳子它你锯掉一点，它就绷不直了，那我们可以用什么呢？比方说用橡皮筋，当然这个这么远的话，可能有点弹性呢，我切掉一点点，它也能绷得直，对吧？那此时呢，只要七七切到刚好，它能相交，那这个时候其实它就是 就是什么？就是在同一个平面内的，因为两条相交的直线唯一的确定一个平面，所以他就不会两边翘，对吧？咯咯咯，对，这样子，哎，这是一个非常常见的日常的应用。 平面的这个推论三，由推论一，我们经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面，我们可以得到以下的推论。 推论三，经过两条平行的直线，尤其只有一个平面，哈，两条平行的直线也能确定一个平面，两条相交的直线也能唯一确定一个平面啊，这个是我们的推论一告诉我们的，因为同样的，在两条平行的直线，我们能找到这个直线 l 和其中的一点 p， 而这个 p 一定不在腰上，对吧？因为它们是平行线，一定不在腰上，对吧？所以呢，我们由推论一得到推论三，这里有三个推论，同学们呢，就记忆一下，这里有基本事实一、二三，以及推论一二三，我们去理解它，去，这样去记忆它，好不好？ ok， 我 们来看一下。例二，已知 a、 b、 c、 d 五个点当中 a、 b、 c、 d、 e 共面，则 a、 b、 c、 d、 e 五点共面吗？为什么 这道题呢？其实会有一个大的陷阱，很多同学直接看他有三个共点，对吧？他共面，所以五个点共面就完了。但是这里呢，我们会有个陷阱，我们说三点共面是什么？ 不共线的三个点，所以我们要分类，如果他不共线，那么就刚才的那个逻辑就结束了，但是如果他共线呢？那么共线我们会知道 b、 c、 d 在 一条直线上，那么过一条直线有无数个平面呢？大家能想到什么样的生活例子？ 最简单的就是门，门是不是会有条轴啊？大家是不是可以转呢？如果一条直线能唯一确定一个平面，那么大家就不可能能够转动这个门， 能理解吧，因为它会有一条线，那么就是因为这条直线，它可以这样子有无数个平面，所以它才能这样做到什么？做到转动那个门？好吧，那么此时如果它是共线的，那么一定会有无数个平面能经过这个点。 bcd， 那此时呢？我们来分，如果 a 也在这一条直线上，那么五点一定公面，对吧？ b、 c、 d 本来在了， 那 a 也在上面，那此时呢？五点 b 公面，不论无论我的 e 在 这条直线上还是 y 啊，我们直线 y 的 一点，对吧？然后第二个呢？如果 a 不 在这个呢？那不一定哈，如果 a 不 在，有可能它没有办法 a、 b、 c、 d、 e 形成一个平面是不一定，我这里说不是一定，不 看清楚哦，他不一定，他也有可能是在同一个屏面，对吧？那有可能是不同一个平面，所以这个呢，就是我们的这节课的内容还没有太多的 ct， 主要就是我们去理解这个平面的一些相关的基本性质。这里的重点啊，在最后总结告诉一下大家， 一定要利用生活的例子空间感去理解，不要死背一条一条，不然考试用不上。好吧，这里关键是理解，关键是锻炼我们的空间思维能力。好吧，去理解相关的三个基本事实和三个定力。好吧，就这样子啊。这节课到这里结束，同学们拜拜。

哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二第八章立体几何初步八点六点三，平面与平面垂直。好，来到了我们的本章的最后的一节课哈，也是我们的这个垂直的最后的一节课哈，面面垂直的关系 好，我们通过呢。跟之前一样，我们说除了线面垂直是一个特例，他得单独定义之外，别的都是先定义角。我们这里看一下哈，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。同学们说，哎，没看懂什么意思？ 从一条直线出发两个半平面，什么叫半平面？我这个地方这条直线截了这一边，你就不要去延伸了，平面是往四周 无限延伸的，对吧？那这边不要延伸了，往这边延伸一半的平面叫半平面，这个东西哈，半平面和平面不要觉得它很复杂，我们只需要去类比半平面是什么射线， 那么平面呢？就是直线好不好？那么我们的这个另外一个呢？你看这边被塔这个整体所形成的图形，它就叫做二面角， 那么平面呢，会有两个角，也跟我们的直线是一样的，直线我们会有什么？平面角？它实质上是两条什么两条射线组成的角，它是有 零度到一百八十度的，对吧？那么另外一个呢？我们两边延伸，它又变成了什么？变成了直线，它的范围就是零到九十度，这个叫直线与直线所成角。所以其实我们的直线也有两个，我们就可以完全类比。 说很多时候哈，我们在画图的时候，我们都可以这样画啊，这个是非常重要的一个技巧好吧，比如说我们画这个角度的一个侧面，他就是什么，如果是平面，我们就画成什么，画成直线，如果是二面角就是半平面，我们就画成这个射线啊，就这样子。 好，这个叫二面角，那么这条直线呢？叫做二面角的棱，那两个半平面呢？叫做二面角的面哈，整体的整个东西叫做二面角。好，棱为 a、 b， 面，分别为阿法和贝塔。棱是什么？ a 和 b， 记作什么呢？记作阿法 a， b， b， 就是 说 我用这边的一个面，然后呢这个 a、 b 这条棱再加上另外一个面来做命名啊，这是一个命名的规则。那么有时为了方便，也可以在阿法和贝塔里面 棱以外的半平面的部分分别取点 p 和 q， 然后将这个二面角记作二面角 p， a， b， q， 那 同学们说为了方便它不方便呢？我，原来阿法 a、 b 那 个贝塔不挺好的，我还得找两个点，找两个点之后，这两个东西有啥区别吗？对吧？那么这里问题来了哈， 我们为什么要这么做呢？我们要有背景的，比方说我们看一下我们的正方体，那么比方说我们要去形容这个二面角，绿色的两个组成的一个二面角，好吧，那假如我们要使用平面的方式，我们就要写成这样子，对吧？ a， e， d， e， d， a， 一 杠 a， d， c， d， 然后呢，我们如果取点的话呢，就 a， e， a， d， b。 所以我们会发现什么问题啊？我们是要看上下文的，刚才我们要找这个点 p、 q， 我 们当然不去找了，对吧？对吧？而且刚才呢，我们有个面，这个阿法、贝塔现在没有嘛， 所以呢，当我们有这个点，然后这个面也没有做一个命名阿法、贝塔干嘛的时候，我们使用这样的方式是会方便简洁很多的，这个呢就是关于二面角的这个命名的法则的问题，对吧？ ok， 接着呢，我们来看刚才我们是定义了什么东西是二面角，我们还没有讲这个二面角多大，接下来我们看生活当中我们常说把门 开大一点，那这个是什么大呢？我们会知道哈，刚才定义了之后，会知道这个门跟我们的这个平面可以形成一个，比如说这里截住半平面，那这个就能形成什么？门面和墙面的一半就能形成一个二面角，那么这个二面角多大呢？就会涉及到这里的问题。我们来看一下 在二面角阿法 l 贝塔当中的棱上面任取一点，又哪任取一点，哪个都不重要， o 以点 o 为垂足，在半平面阿法和贝塔内分别做垂直于棱 l 的 这个射线 o a、 o b 好 垂直于这个垂直哈，不是 o a 跟 o b 垂直啊，这个不一定，我是 o a 和这个 l 垂直， o b 和这个 l 垂直啊，对吧？那么则射线 o a 和 o b 构成的这个角 a、 o b 就 叫做二面角的平面角，这个东西是不是就 跟我们的什么跟我们的这个平面角很像，呃，一样的，对吧？这样子二面角的大小呢？可以用它的平面角来做度量，好吧，所以呢，我们的这个平面角就是来量这个二面角的 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角，你看我们先花很长的时间来定义什么是面面所成角，然后呢九十度就是 直二面角呗，就这样子，二面角的平面角的取直范围是零到一百八十度，零可以取，就是他们闭起来啊，像嘴巴闭起来这样子，一百八十度像，像我说的，其实就跟我们的这个平面角一样的，如果我们从侧面图去看，就是一样的东西啊，对吧？好， 接着我们说平面与平面所成角，这个呢，课本在我们的下一本书选 b 一 那里才定义呢？很多同这很多老师，包括很多教材编辑教材的人都表示不理解，那我其实我就直接在这个地方讲了，因为其实关联度很大，我觉得没必要 平面阿法和贝塔相交，我们刚才是干嘛？半平面就这里是没有的，这里是没有的，那现在我们形成了四个二面角，如果是平面的就形成了四个二面角，我们把这四个二面角当中不大于九十度的二面角 称为平面阿法和平面贝塔的夹角，所以我们说干嘛用直线去类比就可以了，一模一样。那么这个地方呢，我就先做一个我们现在所接触到的所有所成角的定义， 因为呢，我们并不需要通过背这个角度的定义来记住以下五种，其实一共是六种，但是呢，我们的六种在我们的选 b 一 那里呢，我们做一个定义，因为还缺了一个。好吧，那么这个地方为什么在这个地方我们先讲一次，后面又总结一次呢？因为就真的太多同学在记这个东西了，这个鬼东西了， 永远选举所成角当中的叫小指，我今天提一个点哈，就无论你们学数学也好，学英语也好，你一定要相信别人是有规则的， 对吧？不要认为数学家闲着没事干，是不是他是正常人，而且科学家最喜欢偷懒啊。数学，科学，学科。直线与直线所成角范围是零到九十度，为什么呀？因为我们说一条直线，一条直线 会形成一个角，两个角，那我肯定是不要这个大的角，我贪麻烦吗？是吧？所以我要所成的角是小的，所以是零到九十度，这个不用记。 接着，如果，如果是向量与向量呢？向量是有这个点的，就是不是两边延伸的，他们的定义是拖到同一个起点，那此时是不是也可以这样子，所以他是可以零到一百八十度，那同样的，其实他也有一个大于一百八十度的，肯定不要大的，就这样子。 然后呢？直线与平面直线与平面，我们怎么定义的？我们的上一节课直线，我们的有一个摄影，对吧？投影，然后接着呢，这次也形成两个度，那我为什么，对吧？又是小的那个角度吗？简单的那个，然后就到了我们的这节课的半平面，对吧？半平面，我们说什么呢？我们就通过我们的平面角来做理解，对吧？ 射线，射线啊，这个是 o 啊，这个射线是一样的，这个就是半平面，而我们的平平面的整一个平面呢，就是直线啊，两个是可以完全对照的啊，这个地方呢，也是一个小的角，一个大的角， 平面一个小的角，一个大的角，所以这个东西呢，我从来一个都不可能背的哈，但我看到有些同学背的很辛苦啊，这个锁上角，这个锁上角背完之后呢，还会错啊，太夸张了，这个东西背来干什么呢？对吧？不，不要浪费这么多时间在这些东西上面所找到它的规律 啊，对吧？就是你们一定要知道，找不到规律是一定是你的问题。就像以前我们工作的时候就是在大公司，你如果觉得大公司的流程全都是很麻烦，很繁琐，都是有问题的，那一定是你的问题， 对吧？你一定要有这样的精神。很多同学看我的课，像我说的，如果我的课一百个人里面有五十个，有六十个没看懂，那么一定是我的问题。但如果有九十九个没看懂，有一个没看懂，那你就要知道，那一定是你的问题啊，对吧？这个是一个很简单的一个东西，我们一定要去理解对方啊，不要去这样死背， 所以这些东西节省很多的一些功夫，不要浪费时间在这些上面，这样子， ok， 我 们看一下利益。下列命题当中是真命题的，有两个相交平面组成的图形叫二面角呢，这个当然是错的， 一面直线 a、 b 分 别和一个二面角的两个半平面垂直，你看我们怎么画？这样的问题，我们要处理的时候怎么画两个半平面，还要去画平面，太难画了，对吧？太耗费时间了，用射线来表明就是这样子的，对吧？这个阿法， 这个贝塔，那我们会换另外一个颜色的笔，或者说画粗一点来表达，然后一面直线 a、 b 呢？分别跟它们垂直，这个是，哎，这个画细一点，对吧？这个是 b 啊，这个是直线，好吧，这个就清晰了，这个垂直，这个垂直则 a b 所成的角与这个二面角的平面角相等或者互补， 我们来看一下是不是的他们相等的相乘的角是这样子，这个，那这个是什么关系？互补，那有没有可能是那个什么？有没有可能是相等啊？有，比方说这个情况下小的，对吧？那这个时候，这个这个， 那这个时候呢？这个角和这个角就是相等的关系，所以我们怎么找他关系？怎么画，这样用剪图来画就可以了，明白吗？然后呢？所以这个是对的，这个是错的。 二面角的平面角呢？是从棱上的一点出发，分别在两个半平面内做射线所成角的 啊？半平面内所做射线，刚说做射线所成角的最小的角啊，那当然不是啊，这棱上出发干嘛要垂直，对吧？不是所成角的最小角是一定是垂直，那个是确定的，对不对？垂直，所以这个是错错的。二面角的大小与其平面角的顶点 在棱上的位置没有关系啊，这个是对的，对吧？我们说这个顶点是可以任意取的，哪里都可以，所以这题选二和四。然后接着呢，就是我们面面垂直的判定，那其实这个就是我们说的，我们定义了二面角，我们只要是九十度就可以了。那我们这个地方说一下有些什么样的情景呢？比方说 教室里面的墙面，墙面所在的这个平面与地面所在的平面相交，他们所成的这个二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上，那么一般的两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 啊，记作 r 法垂直于北塔，对吧？那么这个地方同学们说啊，半平面，半平面已经不重要了，因为它如果是垂直的状态呢，形成的两个半平面它都是九十度，对吧？那么画两个互相垂直的平面的时候呢？通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。我们来看一下 什么意思啊？画两个互相垂直的平面的时候，这个就会比较有立体感，对吧？这个是我们的画法。 ok， 然后接着我们看建筑工人呢，在砌墙的时候，常用铅锤来检测锁器的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的系绳紧贴墙面，什么意思啊？就说如果我们的这个，呃，木工师傅，我们要检测这个墙面 是否垂直于地面，他怎么做的？他垂下来一个这样子的，如果我们说右边的这个面，如果这条红色的绳子贴紧了这个墙， 那么我们就能认为这个墙面是什么是垂直的哈，这个方法我们说明了什么样的问题？因为我们刚才说我们定义了二面角，是啊，那个垂直是二面角，当二面角为九十度的时候，但是如果我每个场景都要去计算二面角等于九十度，就太麻烦了，所以我们有一个特别的判定方式， 那么这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，因为铅垂下来，这一个红色的线一定是垂线， 那么如果墙面经过他的垂线，如果他紧贴的时候，就说明他经过，那么墙面就可以判定与地面垂直，这个是这样子的一个应用，类似的结论呢，在长方体当中可以发现，比方说在右图的长方体当中， 我们的平面 a d、 d e、 a e 啊，也就是说我们左手边紫色的这个经过了平面下面的这个绿色的垂线 a a、 e， 对 吧？这个 a a、 e 是 底面的垂线，而左边的这个面经过了它，我们就已经可以判定它垂直啊这样子的东西。所以 一般的我们有下面判定两个平面互相垂直的定律，如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言表示为，对吧？这个就比较简单直接写出来。好，我们看。第二，在正方体当中求证 我们的平面 a 撇 b d a 撇 b d， 紫色的这个和平面绿色框的这个是垂直的关系，所以我们要很灵敏的看到哪些直线，我们是最好找的，应该能看到什么 b d， 我 们只需要去证明 b、 d 是垂直于什么？垂直于我的这个面 a c c 撇 a 撇的，而我的 b、 d 是 在这个平面 a 撇 b d 上的，那么这两个条件就足以让我去证明这两个平面是垂直的关系，所以这里其实只有两个，两个条件就能推反，而这个地方要五个，对吧？ 它垂直于两条相交的，而这个垂直这个 a a 一 撇呢？又垂直于它， a a 一 撇垂直于它呢？又要多一个步骤，我们要说明， a a 一 撇垂直于底面，它是底面的一圆，对吧？然后呢？这两条相交于点 a， 然后都属于这个平面，对吧？好，那这个地方在正方体当中， 然后呢，所以这个在正方体的对角线的关系， a、 c、 b、 d， 又因为 a、 a 撇和这个 a、 c 相交于 a， 而这两个呢，都在这个平面上五个条件，所以 b、 d 垂直于这个绿色的这个平面，而又因为又因 b、 d， 它在这个面 a 撇， b、 d 上面，所以这两个平面 垂直。看一下我们的表述哈，基本上这个表述是没有问题的，那么这个表述的语言它是精简的，怎么样去减少我们的书写？这个很关键，不要密密麻麻写一堆文章，然后还有一些点去是遗漏的，没有用的哈，数学不要嫌字多，一定要去精准、严谨、简洁就 ok 了，好吧， 然后看第三，如图，已知 p、 d 垂直于正方形 a、 b、 c、 d 所在的这个平面连接这些啊， p、 d 是 垂直的，它是一个 则一定垂互相垂直的平面。有几对？这里面就很考察我们有没有掌握到我们刚才的这个定律，我们怎么去找，我们怎么去找？我们一定要去有这个条理的去找。怎么样有条理去找呢？我们通过什么？因为 b、 d 垂直于这个里面，我们先通过线面，你看，我们通过线垂直于面， 然后呢，我们去找所有过 p、 d 的 平面来垂直于这个面， a、 b、 c、 d， 这样子我们就能做到不重不漏，对吧？过 p d 有 什么？有 p a， d， 有 p b d， 有 p c、 d， 所以 这个地方呢，我们找到了三个面的垂直关系，接着我们来看，同理 我们的 c、 d 和 ab， 它都会垂直于 p a、 d， 所以 那我们的 c、 d 和 a b， c、 d 和 a b 啊，这两条对吧？是平行的，它都会垂直于旁边的这个 p a、 d， 那 这里具体我们就不做证明了，对吧？这个也比较简单的证明，这个是直角，这个是直角，那么这个呢，我们就通过这组作为第二组 来找经过 c d 和 a、 b 的 都行，有什么有 p a、 b c， 有 a b、 c、 d 重复的，我们最后再排除掉它，我们最后再排除掉它。 第三组我们的什么呢？ a d 和 b c 啊， a d 和 b c 平行的两，这两个它会垂直于这个 p d、 c 的 这个面，那么这个时候呢，我们又找过 a d 和 b c 的 面，有三个，最后呢我们看 a c 垂直于 p d， b 啊，这个是很多同学可能会遗漏掉的啊，这个 p d、 b 和这个 a c， 那 么这个时候呢，过 a、 c 的 面会有两个，对吧？底面以及 p a c， 那 么所以这个地方怎么一共七对呢？三三三二，一共十一，那我们看一下重复的 p a， 这里出现了一个重复， 是吧？然后接着呢，这里出现了这三个都是重复的，然后我们来看一下还有什么啊？ pdc 啊，这个 pdc 和 a p d， 那 么和这个 p c、 d 这两个是重复的，所以 一二三四是重复的，所以十一减四等于七，我们就找出重复的部分就可以了。 所以这道题呢，关键要看我们是怎么样去把它分成四组的。如果我们要做穷举，我之前我说穷举也是有技巧的，同学们穷举也是有技巧的，所以我们要知道这个东西，我们在选 b 三就会特地的去讲这个点啊。 ok， 我 们的例四继续是课本的立体，如图， a b 呢是我们圆 o 的 直径， pa 呢？垂直于圆 o 所在的这个平面 啊？ pa 又是一个 pa， 是 垂直的 c 呢？是圆圆周上不同于 a b 的 任意一个点哈，随便的一个点，没有规则求证。我们的平面就是绿色的这个平面， 垂直于平面， b c p b c 啊，红色的这个平面，我们来想，当然，我们很容易能想到一定是跟什么相关，既然它任意，一定是跟我们初中所学的，我们直径所对的圆周角是九十度， 这个是相关的，对吧？那接着呢，肯定又跟 pa 平行于这个平面，那我们可以干嘛啊？ p 垂直于 pa， 垂直于这个平面，它就会垂直于 bc， 所以呢，我们就会知道这个是垂直的，就 bc， 它会垂直于 ac， 而 bc 呢，也会垂直于 pa， 那 这个地方呢？要去单独说明啊，在这个这个地方要有个证明，在这个地方，对吧？然后我们这两个相交 于点 a， 对 吧？然后这个和 pa 都在我们的 p a， c 上， 对吧？所有的这些，我们就能推动五个条件哈，这里两个哈，我们就能推出来 b c 垂直于这个面， p a c， 然后再加多一个什么，再加多一个 p c， 它包含于这个平面 p b c， 所以 得到 p a c， p b c。 平行 整个思维的脉络。你看，先这里拿整个思维导图，先从这里推出我们的这个这个结合这四个条件，我们得到了平行于平面，平行平面，再加多一个 b c， 得到了最终的，你看这个层级要很清晰，好吧，所以是这样子的一个东西，我们看一下， 直径所对圆珠角为直角，所以又因为，然后相交于 a， 所以 b c 垂直，平行垂直于这个平面 b b a c 又因为 p c 包含于这个面， p b c， 所以 这个很清晰很简洁的这个表达的过程，对吧？ 面面垂直的性质定律，面面垂直，我们来看它有什么样的性质定律。我们有以下平面与平面垂直的性质定律。第一， 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另外一个平面垂直，两个平面是垂直的关系。如果有一条直线 l 它垂直于谁？垂直于交线， 那么这条线呢，就会跟另外一个平面垂直。好吧，符号语言表达为这四个条件啊，同学们啊，再次提醒，不要被这些会发现，好多好多，是吧？我们说理解就可以了， ok， 面面垂直呢，还有以下的这个性质定律，我们去拓通一下。第一个呢，垂直于同一个直线的两个平面平行， 如果一条直线垂直于一个平面，那么其所有平行线也都垂直于这个平面。我们来看一下模型。首先我们来看一下第二个结论，如果一条直线垂直于个平面啊，这个是跟这个平面是垂直的关系，其所有的平行线，所有的平行线都垂直于这个平面， 好吧。第二个呢，是垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线，这个或者这个都一样，两个平面是平行的， 那么所以这两个结论呢，告诉我们很重要很重要的一个东西就是什么呢？这些性质，我们会发现一个一些一件事， 相对比线和面的平行关系，我这样也行，这样也行，这样也行，对吧？我的课桌我拿着一支笔，这样子也是平行，这样子也行，这样转都可以，所以没有办法，去干嘛呢？去锁定 啊，用了一个很通俗的词语，虽然一个平面的平行线和垂直线两者都是无数条的，但是垂直线的方向是确定的， 这个很多时候像我们玩的套圈圈，对，套圈圈啊，或者那些积木啊，对吧？一根棍子，然后套进去，我这根棍子我可以放在这里，可以放在这里，可以放在其他地方，但是只要是这样放它上面套的圈圈的这个方向就是 固定的，所以这个呢，我们有锁定的意义。这个给到后续我们解决平面的问题提供了重要的思路， 就是我们在后续的呃，那个选 b 一 的第一章，我们就会知道怎么去做平面的问题呢？我们要用法向量，就是不是用它平行的向量，而是用一条法向量，到时候就会讲这个问题，所以这些呢，都是我们一些理论的基础，好吧， 接着我们看例五，如图，已知平面 alpha 垂直于平面 beta， 直线 a 呢，也会垂直于 beta， 那 这个 a 呢，是不在平面 alpha 上的，判断 a 与 alpha 的 位置关系，当然我们从感官上面来说，从空间感来说，就知道它是平行的关系，那么我们怎么证明呢？我们来看一下，设 ar 加贝塔等于 m 啊，我们这个地方，因为在题目当中上面没有讲在阿法当中呢，做直线 b 垂直于 m 啊，我们做一个 b 垂直于 m， 那 此时因为阿法垂直于贝塔，而且呢 b 包含于阿法，我们哪里的结论就是前面我们说一个平面内垂直于它们相交的棱 的这条直线啊，它会垂直于另外一个平面呢？前提是两个平面垂直，所以我们就会得到 b 会跟 beta 垂直，而我们知道 a 跟 beta 也垂直。那前面又有结论，垂直于同一平面的两条直线相互平行， a 平行于 b， 然后接着我们就知道了 b 在 阿法里面，然后呢， a 不 在阿法里面，是吧？那么我们就能得到 a 会平行于阿法，简单的一个证明，对吧？我们会知道这个结论，然后是我们的例六，如图，已知 p a 呢，垂直于平面 abc， 底面 平面 a p a b， 就 绿色的这个面垂直于平面 p b c。 求证 b， c 垂直于平面 p a b。 当然我们这个条件，两个条件，这个条件应该一眼就知道 p a 垂直于 b， c 是 这样去使用这个条件的，那这个呢？我们要想一想。 那么从感官上来讲，我们是很希望能找到 a b 和 bc 垂直的，我们非常希望找这个，对吧？但事实上，我们没有条件能做到这样子的事情，我们就要用什么样的心智。我们就要过 a 做一条垂线， 那么这条垂线就会垂直于这个，能，这个时候我们就能运用这个条件，那么比方说这个是 d， 那 么 a， d 就 会垂直于这个平面 p b c， 那么进而 a d 就 会垂直于 bc， 那 么我们 bc 用哪两条直线来证明这个垂直的关系？用 a d 和 ap 啊，这两个相交的直线，对吧？我们要搞清楚。所以呢，过点 a 做 a， d 垂直于 p b， 垂足为 d 啊，这应该要加多一个垂足为 d， 对 吧？因为平面 p a b 加平面 p b c 等于 pp 啊，这是它们相交的一条能，然后呢？ a d 呢？又在这个平面 p a b 上面，所以 a d 呢？呃，会 垂直于我们的 p a p b c， p b c 啊，那接着呢？我们的 b c 在 这个里面，所以 ad 会垂直于它， 好吧，那这个就很好使用了。 pa 和 pc 的 关系，所以这里一个条件，两个条件，加多三个条件，三个条件，四个条件，五个条件，一共五个条件，我们就能证明，对吧？这个 b c 和这个平面的垂直关系。 好，这个就是我们的这节课，我们做一个总结，我们前面说了，我们的线线垂直，线面垂直，对吧？然后呢？面面垂直，两个平面所成角为直，二面角， 然后呢，如果一个平面过另外一个平面的垂线，这个是判定的方式，对吧？我们通过线面垂直来判定面面垂直，这本身 特殊，这本身也是一个判定方式，我们可以通过求得他们所称的角是指二面角，但这个东西呢，它更麻烦，比起这个要麻烦的多啊，对吧？所以我们一般用这个， 然后它的性质会有什么呢？线面垂直，两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，就他们的能，那么这条直线与另外一个平面垂直，我们会得到这个性质是关于什么？线面垂直，所以这是不是又有一个路径？ 我们想要知道线面垂直的时候不一定要通过线线垂直，我们这个路径他也走得通，对吧？像我们之前的立体，所以这个网络也是要慢慢去搭建，去搭建起来哈，这个就是我们的这节课，也是结束了我们的第八章的一个学习啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点三，简单几何体的表面积和体积。 这节课呢，其实也是算比较轻松的一节课吧，然后背背公式，然后没有什么太多的理论，因为很多的应该说全部的我们都基本上不具备推导的能力，我说其实不具备推导的能力是最开心的，因为不需要理解这个推导的过程。 首先呢，我们要对这个简单几何体来学习它的表面积和体积。首先我们的八点一学习了非常多的这个简单几何体，我们首先来做一个归纳和总结，因为这个呢，我们本节课呢，两个都要用到，当时呢有两个归类的方式，第一个呢就是分多面题和旋转题，我们 看一下立体图形，我们当时把它分为了多面体和旋转体和其他啊，只是我们在学习的这样去区分啊，还有很多很多别的，对吧？那多面体呢，我们第一个告诉大家的是什么？有五个 正多面体，尤其只有五个，但后面两个呢，我们不用管，但是我们要知道什么是正四面体，什么是正六面体，还有什么是正八面体，对吧？ ok， 然后这个是正多面体，接着多面体呢，我们分为棱柱、棱锥和棱台，对吧？ 然后呢棱柱里面呢，我们又分为直能柱和斜能柱，正能柱呢，又是特殊的直能柱， 然后里面呢，又会有一个平面六面体，而长方体呢，它长方体就是特殊的平面六面体，正方体又是特殊的长方体，这个是基本上我们接触过的所有的 这个立体图形，而正方体就是我们所说的什么东西啊？正六面体，对吧？然后棱锥，我们这个地方呢，也有特殊的正棱锥和正四面体啊，这里的第二个， 然后呢，正能排啊，对吧？这里的概念我们只是做个归纳啊，我们就不讲了，因为这个是八点一的内容，同学们觉得，哎，有些地方我还不是很清晰，那么先回到八点一里面，把这个基础给打实了，好吧。然后接着呢，还有一个分类方式呢，就是什么 a 能柱， 而这些的分类方式结合 a 能柱，它就会变成正三能柱，直三能柱啊，正四能锥等等啊这样的一些名字。接着旋转体呢，我们分为什么呢？有四个 圆柱、圆锥、圆台和球啊，圆圆的都是旋转出来的，对吧？然后接着呢，哎，这个地方就没有区分了，只有这里才会有正和那个直斜这样的概念， ok， 然后基础的概念呢，他们我们要掌握什么东西呢？我们要掌握多面体里面的有什么？ 底面、侧面、侧棱、顶点，我们得知道什么意思。然后呢，在台这个地方呢，我们会有上下底面的概念啊，当然能住和能追，我们也可以说上下底面，但是他们全等，对吧？ ok， 然后旋转底呢，就是底面侧面 母线，那我们得知道什么是母线，什么是旋转的那个轴，什么是顶点，球的球心半径，直径等等，我们脑海当中回忆一遍这样的东西啊，这是第一个分类方式。然后第二个分类方式呢，我们来看一下，助追台球 注追台，求助，就是能注圆注追、能追圆追台、能台、圆台和求。那么首先呢，我们学习的这个体积，我们用第二种，为什么用第二种呢？等一下看了大家就知道为什么我们按照第二种的脉络来梳理这个体积的问题。 首先我们在说到体积的时候呢，在体积的学习当中，我们按照柱、锥、台球的这个分类来归纳，我们知道体积一般都和高相关，所以首先我们要定义 柱锥台的高啊，我们现在先看柱锥台，等一下再看球，那么柱锥台的高怎么定义呢？好，对于柱和台 上底面之间的公垂线段，上下底面之间的公垂线段，对吧？知道什么是公垂线段？比方说我们初中就学了平行线，平行线之间呢，有一条直线，对吧？这条直线幺啊，比方说这个是 m 一， 这个是 m 二， 那么这个 l 垂直于 m 一， 又垂直于 m 二，这个就是公垂线段啊，对吧？公垂线段中间的这个 a、 b 之间的这个叫啊，这叫公垂线，中间的叫公垂线段，那么这个公垂线段的这个长度低，对吧？那么平面一样的，大家可以想象一下，对吧？就好像我们的 头顶的这个天花和地，地面之间的这个线段啊，就是柱和抬的高，我们其实很容易能理解，特别的直能柱的高就是侧能，直能柱、直能柱，我们说能柱，我们可以打斜，对吧？那么直能柱当中呢？侧能就是它的高，圆柱的高呢，就是它的母线， 所以我们也会知道，柱啊，这个能柱和圆柱的高，其实都有无数条，对吧？无数条母线啊，然后还有就是我们也可以做无数条的这个，但可以是侧能，也可以不是侧能啊，对吧？也都可以，所以它都有无数条， 然后呢棱台没有什么好说的哈，就这样子，两个面之间攻垂线的，那能不能不在这个 m 点呢？可以啊，在这里也可以，都一样啊，对吧？都是它的高圆台，对吧？没有固定，那么对于锥体来说呢，就没有上下底面这个顶点，到底面的这个垂线当的长度就是锥体的高，对吧？锥体的高， 那当然我们的八点一里面讲过特殊的，如果我们在我们的四面体当中， 我们当时是不是说对一个四面体谁是顶点，谁是这个底面，其实是有四种不一样的解读， 所以我们是可以有不一样的一个解读，谁是底面谁是高。其实这个东西就好像我们三角形一样，对吧？三角形这个是底，这个是高，这个是底，这个是高，这它是一个配套的，是吧？这个我们应该很好理解吧？就这样子，那么现在呢，我们 总结了他们的高是什么，然后我们就可以开始进入到体积的学习了，我们说按照这个规内来学习，对吧？首先我们来看以下是柱、锥台三者的体积公式， 我们用一个棱台来做例子，告诉大家，这里柱体的公式呢，就是底面积乘以高， 锥体呢？底面积乘以高，不是除以二，除以三台的面积呢？这个会复杂那么一丢丢，大家看一下， 那我为什么用台的面积来作为一个代表呢？我们来看一下同学们去研究一下这个东西，然后来回顾一下 在我们八点一的最后的部分，记不记得我们当时讲的有两种不一样的理解，就是说课本当中我们最开始我说啊，首先定义的是我们的那个住，对吧？ 然后定义了住之后定义什么？定义追？追是怎么来的？我们说记不记得那个定义把其中的一个底面汇聚成一个点，成为一个追， 然后接着呢？再到台，然后干嘛用一个平行于底面的平面去切，他变成了一个台。然后我们在最后归大的时候，我们说其实有第二种理解，就是我们首先住可以变成台，就说如果我的上底面本来跟下底面是全等的， 那现在呢？我的上底面当然或者下底面都行进行收缩，对吧？收缩，但是呢要保证什么呢？要保证相似相似的 收缩，它进行相似的收缩，收缩着收缩着变成了一个点，此时它就会变成了一个锥体。 那么通过这样子的一个理解，其实我们的柱和锥都可以理解为台的极端情况。 就说我的台它不断的相似，无限的接近于全等的时候，它就变成了一个柱子，如果无限的小，无限的小，它乃至于我们把它看成一个点，它就可以就是一个锥，所以这个时候其实柱和锥都可以理解为一个特殊的台，所以其实我们会发现 这两个公式，其实这个公式是可以包括这两个公式的。同学们看一下，你比方说追的时候呢？是我属于什么？我的上底面汇聚到一个点，那是不是我这上底面的 s 一 撇等于零，那这个时候呢？相当于一个特例，那这里是零，这个是零，这个是零，哎，是不是就是三分之一 s h 啊？ 那另外一个呢？就是当我的上底面跟下底面全等，也就是说 s 一 撇等于 s 的 时候啊，这个等于 s， 这个等于 s， 哎，那这个时候 s 的 平方开根，这个又是 s， 三 s 除以三又是 s， 所以 s h， 所以呢，我会发现一公式和二公式都可以是三公式的特例 啊。这个是第一加深，同学们在我们的这个八点一，我的这个讲最后的这个规范的这个理解，这个理解很重要。第二个呢，对，这个公式啊，对吧？我们的一个加深的理解和联动记忆。我经常我在数学里面说背公式不要一条一条， 不然很痛苦的。很多背书很厉害的文科生背公式，就是因为你们没有联动啊，联动的一个记忆都是一条一条的，就像这样子的，我就算 背错一点点，或者说我觉得，嗯，我不是很确定的时候，我是可以去验证的，对吧？我是可以去验证的，互相之间 大家能理解这个点吗？我可以去验证的，所以我背了这个东西，万一我一开始不是很熟悉，大家可以去带入一下，看一下能不能去到这两个地方。所以这个呢，是我们要形成的一个脉络啊，这样的一个脉络， ok， 不 用推导，不用推导啊，都超纲了，好吧，都超纲了，但这个呢，顾明以前学过， 对吧？以前学过追，小学和这个初中有没学过我忘记了，但初中肯定学过，对吧？我们的长方体，正方体都是 s h 啊，对吧？只不过长成宽成高，它只是个特例，对吧？边长的立方它也是个特例，对吧？就这样子， ok， 然后呢，我们来总结一下，下面就能住、能追能抬， 圆柱、圆锥、圆台的这个体积示意图，大家看一下就可以了啊，我们在可以在这里做，在这里做啊，或者换一条也可以啊，这个就只有一条啊，这个就只有一条。高台呢，也是可以做很多条啊，无数条的，对吧？ 然后第二个呢，就是圆柱、圆锥、圆台，好吧，大家理解一下就可以了，然后套这个公式，主要是这个公式，对吧？这两个应该都比较轻松，能够记得。 ok， 然后看一下我们的利益，三棱锥 p a、 b， c， p a 等于 p b 等于 p， c 等于 e， p a 呢是三棱锥的高啊，这个是高 a， b 呢，垂直于 a、 c， 那 么它的体积我们简单的上手三角形 abc， 就是 一乘一除以二等于二分之一啊，对吧？然后呢，整一个体积 v 呢，就等于这个底面积二分之一乘以高， 再乘以三分之一，所以它等于六分之一啊，这个很简单吧，很简单的去熟悉一下我们的公式啊，就很熟很简单的去熟悉一下我们的公式，就这样子，第二课本的一道例题，如图，一个漏斗的上半部分是一个长方形，下面部分是一个四棱锥， 两部分的高呢都是零点五米，零点五米公共面 a、 b、 c、 d 是 边长一米的正方形。那么这个漏斗的容积是多少立方米算什么？算体积 精确到零点零一立方米，计算时不考虑漏斗的厚度，把它给理想化，对吧？ ok， 底面呢是一个什么？一米的正方形，所以呢，它们的底面无论是正方体还是这个锥体啊，它的底面都是一个 s， 都是等于一立方米，对吧？啊？一平方米， 然后接着呢，我们的这个长方体乘以高零点五吗？立方米，那么这个 v、 j 呢？ 这个锥体呢？锥体就是一乘以高也是零点五，但是他得除以三啊，对吧？那么就是得到六分之一， 六分之一，他要精确到这个呢，就零点零一，那就是零点零，零点一六六一七，对吧？零点一七，那么这个时候呢，加起来就是零点六七，好吧，零点六七 有没有问题？就这样啊。然后例三，如图，在多面体 a、 b、 c、 d、 e、 f 当中，已知四边形 a、 b、 c、 d 是 边长为一的正方形，一一一且 a、 d、 e， 然后 b、 c、 f 左边和右边两个都是正三角形 e、 f 呢？它平行于 ab 啊，这个跟 ab 平行， e、 f 呢？等于二，求该多面体的体积。这一道题呢，我放出来呢，也是要想锻炼一下同学们的这个呃，这个空间思维能力的， 因为其实我们后面几节课呢，你要很严谨的证明啊，比方说我们等一等一会啊，把它给啊，用切割法，然后哪个是哪个的高，那这个我们可以严谨的证明，但是我这里就反过来，我不要大家严谨的证明，我要大家凭着自己的空间思维去想象出这个图形，来 感受这个垂直，还有平行等等的一些东西啊。我们来看一下，分别过点 a、 b 向 e、 f 做垂线 垂足，分别为 gh， 然后连接 d 这两个 d， g、 c、 h 连接完之后呢，我们这样子我们就能把它切成三个部分， 对吧？分别是左右两边蓝色的部分以及中间的部分。那这里呢？第一个问题就是同学们，我说了两边是一个等边三角形，大家能不能想象到这个一点是位于这个是中点呢？这个大家要首先想到它这个位置 啊，它像一个晾衣杆一样，这个很多同学可能一看过去就觉得 e、 f 在 a、 b 的 正上方，但事实上它是在中点，在中点的正上方，在这条线的正上方，首先我们要想到这个点，第二个我们要想到的点就是蓝色独立的两个部分，它是一个圆形，它是一个锥体 啊，蓝色的部分它是一个锥体，中间没有涂颜色的部分呢？它是一个柱体， 它们两个都有一个公共的底面，就是 a、 g、 d 啊，当然也可以是 b、 h、 c 啊，都一样，那这个时候呢，这个是一一啊，对吧？然后呢，因为它是正三角形啊，是不是一还是二一啊？好， 然后这是一，这是一，一， f 是 二。然后此时 ef 平行于 a、 b 平，你们的感觉这两个呢？同高度，这个也是一，这个是零点五，这个平分零点五，这个零点五，这个零点五，这个一。好吧，那既然我的三角形 a、 g、 d 是 它们三个部分的底面，那这个时候呢，我们重点就要算它的一个面积，对吧？那它的面积呢？ a、 d 我是 知道的，二分之一乘以 a、 d， 那 我不知道这个的高， 是吧？这个的高呢？我是不知道的。那这个时候我们可以通过什么样的方式来求？我们会看到这个地方，这里是直角，是吧？因为我们是做一个这个垂线过去的，那这个时候呢，在三角形 a、 e、 g 当中，是不是可以用这个什么？用这个勾股定律算出 a g 等于二分之 根号三，然后这个呢，我们又画一个三角形，比方说这一个点用 a m 吧，在 a m g 当中，它又是一个直角三角形，我们又可以用勾股定力，那这个的平方四分之三，减去这个的平方二分之一的平方四分之一，然后呢 开根，对吧？二分之一，开根二分之根号二，所以我们就算出来这个高是二分之根号二，进而我们就可以求得这个 g m 就等于二分之一，乘以 a d 是 一，乘以二分之根号二，就会等于四分之根号二，那么这个底面我们知道了，那中间的柱体的体积就好求了，这个底面乘以高 高就是一，对吧？那么这个就是四分之根号二。两边呢的这个锥体呢有两个，所以它等于二，乘以底面的是四分之根号二的这个面积乘以高高是二分之一两个，所以它等于啊，还乘个三分之一， 所以它等于十二分之根号二。最后呢，我们就把这个十二分之根号二和我们算得的什么呢？这个四分之根号二啊，这个四分之根号二，把这两个进行相加，对吧？十二分之三，十二分之四，三分之根号二，是吧？所以这道题的一个核心我们先看一下， 首先呢，我们算出 e g 这个二分之一，这个二分之一，对吧？然后 a g 呢，我们又算出来这个通过直角三角形算出来二分之根号三， 接着呢，我们就算出这个底，对吧？对， a g d 和 b c h 它两个都是底的那个面积，然后呢分成三三部分进行计算啊，对吧？然后呢就把它相加起来， 这个地方我就说第一个整一个变化的过程，我们能不能去培养自己的空间思维能力，能想到大概是什么回事。第二个像这种东西，以目前比方说全国一卷能考出来的一些考大家的，尤其是出现在哪个地方呢？多选题当中， 多选择题目前的趋势，出现这种类型的，他要求大家的空间思维能力是这种是非常小儿科的，所以这种呢，一定要不断的去锻炼自己，能够看得出来，快速的看出来，不是看得出来他是个锥体，然后这里是他的高， 对吧？这些我们都能够要能够看得出来，好，是这样子的。然后接着呢，我们最后加上求的体积公式，求的体积公式和表面积公式，完全不用，连理解都不用，直接背就好了。课本给了我们一个简单的一个理解，我觉得没必要用那个东西，要用到微积分，你们简单理解其实意义不大，直接背 三分之四拍 r 的 立方背就好了，我们推导不了的， ok， 然后呢，如图，圆柱的底面直径和高都等于求的直径，求求和圆柱的体积之比，这个就是我们直接设 是 r， 然后呢，求是多少？求，刚才我们说三分之四拍 r 的 立方，直接用这个公式，对吧？这是 v 求的。 接着呢，如果是这个柱呢？圆柱呢，底面积是多少？那么底面积是拍 r 的 平方乘以高，高是这个直径，所以是乘以二， r 就 会等于两倍的拍 r 的 立方，所以求比上圆柱一比就会等于三分之二。 也都是这些题目啊，这道题也是课本的一道例题，都是简单的去考察大家是否有记住这个公式，会不会用这个公式就 ok 了。 然后呢，接着我们就看表面积，我们先看多面体的表面积啊，我们现在表面积呢，我们又换一种方式，我们通过这个多面体，我们的第一种的这个分类方式，多面体和旋转体的方式进行了解。首先我们看多面体， 多面体呢，其实这个基本上不用讲，因为对于多面体而言，无论是能住、能追或者能抬，我们只需要把各个面的面积相加就可以了，对吧？表面积嘛就相加啊，没有没有任何的技巧，首先看能住能住呢，这个地方不是拆开会有很多个 小的那个长方形吗？那顶上的那个该怎么算？就是用我们平面的方法，高中没有给我们新增平面哈，初中的平面几何已经很牛了啊，高中没有任何东西增加的啊，几乎没有任，应该是没有东西增加，我们不说解析几何，说纯 啊，这个合成几何的一个内容啊，基本上高中都不会考初中那么难。所以呢，同学们说啊，这个正六面体，呃，正六边形，或者说这个不一定是正啊，六边形怎么算？实际情况该怎么算就怎么算啊，这里没有什么特别的技巧，所以它就是侧面积加两个底面积，就这样子， 那侧面几呢？当然它有有一点那个技巧，就是因为它的这个高是固定的，对吧？那么既然它的高是固定的，那么它这个底面积，这底面的周长啊，这个底面的周长，把它全部相加乘以，我就不需要说一乘以 h， 二 乘以 h， 三乘以 h， 我 可以一加二加三加四加五加六，一起加乘以 h， 就 简单的一个技巧而已，所以，嗯，其实像这样的公式我我是不背的，不会去背它的，我完全就没有什么特别的。那锥体呢？ 锥体也是锥体，旁边是一个三角形，对吧？那三角形同样的该怎么算就怎么算啊，就这样子，所以呢，就是底面积加侧面，这没有什么好讲的啊。棱台，棱台旁边就是一个这样子的一个梯形吗？啊，是这样的一个梯形，同样的该怎么算怎么算 还是一样的，所以他是上底加下底，因为能抬，对于抬的话，上底和下底的面积不一样，再加上侧面，所以这样的东西来标出来，我不建议同学们作为公式啊。等一下要背的东西我给给同学们去讲一下，比方说我们的球，对吧？两个死背 对不对？然后台的那个体积十倍是不是？那这些东西表面积，关于我们的棱说为什么要这样分类？关于棱柱、棱锥和棱台，我不认为有任何一个公式啊，没有公式啊，没有公式。好吧，这是第一个，我们来看一下，如图，四面体， p， a， b， c 各棱长均为 a， 要敏感哦，一个四面体，他的个人长均为 a， 他 是不是就是一个正四面体，对吧？是一个正四面体，正四面体呢，他都又是一个特殊的正三能追啊。这些我们的关系我们要很敏感的知道，这种关系求他的表面积， 那四个三角形都相同，那，那就干嘛？那我就直接算其中的一个就可以了吧，对吧？一个正三角形，这是 a， 然后呢？ 这是二分之 a， 这是多少？这是二分之根号三 a， 然后呢，这个底是 a 底乘以高 除以二，等于四分之根号三 a 的 平方啊，对吧？然后呢，乘以四个，那么就是根号三 a 的 平方。如果这个要问的话，还没有听懂的话，这个就 没什么好说了啊。然后一个边长为 a 的 正三角形，面积为这个，然后就四个相加，那么就是根号三 a 的 平方，这个也是课本的一道例题，也是这样简单的上手。好吧，理解。然后呢，接着我们来看刚才我们学习了什么？这个多面体的这个表面积，接着呢，我们看一下旋转体， 旋转体，旋转体呢，就会有什么呢？我们要去想象的到，或者说这个其实我是很推荐，很要求。同学们去干嘛呢？折出来啊，真的折纸， 去感受一下。有这样的道具或上网淘宝几块钱十几块钱买回来，真的自己去折一下 啊，去感受一下它的这个侧面，主要是侧面，因为底面都是圆底面，没有什么好处拍 r 的 平方，那么关键是侧面每一个的侧面究竟是什么图形？我们记着那个图形，然后用过往的平面，过往的，像我刚才说因为高中没有新增的，都是过往的好不好？ ok， 圆柱， 圆柱展开，能不能想象的到？圆柱展开，这个用什么卷纸？你去你上厕所的那个卷纸 打开，是不是一个正方形，对不对？这个好理解吧，这个用卷纸就可以了，这个不需要道具。那问题是我打开了之后，这个的高，或者说长和宽，把这个长方形，这个是多少？这个不就是这个的高吗？对不对？那这个卷出来的这部分，这个是不是底面的周长呀？ 所以就是这样子，圆柱侧面展开是一个长方形，这个长方形的高就是我们圆柱的母线，而这个圆，哎，这个长方形的这个长啊，这个底就是这个底面的这个周长，这个 啊，理解这个图啊，这个是最简单的一个，所以呢，它同样也是两个底面加侧面，其实记这个你不用记，理解这个部分也可以，那两个底面呢，就是 pi r 的 平方乘以二嘛，对吧？ pi r 的 平方侧面呢？我们说这个高是 h， 这个底呢，是这个底面的周长就二 pi r， 对吧？我为什么很不建议同学们去死背呢？等一下，包括说我们看到有那个圆台的时候，有这个啊，那个啊，大家一背会乱的，一对一背就会乱，理解就可以了好不好？下一个圆锥，能不能想象一下？圆锥其实它的是什么图形， 能想象的到吗？是一个什么图形？是一个扇形，圆锥的展开是一个扇形，扇形的公式我们在哪里有总总结，在我们的 b 修一的第五章五点一点一弧度制， 对吧？弧度值的那个地方啊，五点一点二弧度值，五点一点一任意角，是吧？我们的那个弧度值里面，我们是不是有扇形的面积？ 我们顺便来复习一下，如果我们已知一个角度，比如说这个角度是 c t， 如果这个角度 c t 是 弧度值，那么就是二 pi 分 之 theta 占比嘛，再乘以 pi r 的 平方，那如果这个 theta 是 一个角度值，那么就三百六十度分之 theta 乘以 pi r 平方，这是已知角度的情况下，那么如果我已知弧长的情况下呢，就是我已知这个弧为，呃，这这个是 r， 这个是 l 呢？我们可以把它想象为， 当然它不是这样推导的，不严谨哈，但是我们可以这样快速的记忆，把它想象为一个什么三角形，这三角形的底，这三角形的高，那这个是二分之底乘以高啊，这个是一个 简变的记忆方式，不是一个严谨的推导方式啊。我跟同学们去讲这个事情，所以呢，这个时候呢，这个 l 就是 母线，这个圆锥的母线，而这个 我的这个是什么？这个是不是又是底面的这个周长？这底面的周长是二拍啊，所以我们会用什么？当然它又是底面加侧面，底面不用讲是个圆，那侧面呢？它是一个这样的弧长，弧长是底面的周长乘以这个母线的长度， 对吧？那底面的周长呢？是二拍，二跟这个二二消掉就得到这个东西，它也可以变形成这个同样的啊，这里把它给罗列出来，不用记，不要记，尝试自己去去理解，这样去去记它啊。好吧，不要去死记圆台，我们来想象一下，能不能想象到圆台是什么？ 圆台呢？我们说是圆锥结出来的，对吧？所以圆锥是一个扇形，但是它少了一个部分，所以呢，它是吃掉了这一部分，所以这个部分是什么？是个圆环，对吧？是个圆环，应该是一个扇环吧。啊，我也不知道，它的命名是叫扇环，扇形的环形，对吧？圆环的一部分，我不知道有没有这个名字， 那么这个呢，这个面积怎么推倒呢？同学们有兴趣也很容易能够推倒，这个应该不难吧，因为这一段的弧长我们知道，这一段弧长我们知道，那关键是这一个和这一个，那这个不知道 x 我 们用什么用相似，对不对？比方说我的 r 比上 r 撇会等于这个幺加 x 比上 x， 这个是什么相似？三角形的知识， 我们通过这个式子，我们是不是就可以用 r， r 一 撇和这个 l 来表达这个 x， 进而我们这个半径，这个半径都知道，然后大的扇形减去小小的扇形，我们可以做个推导。当然呢，这个地方其实也没啥关系，就是说什么呢？ 这里这个东西关于我们的侧面，上底和下底就不用讲了，这个加这个，那关键是这个部分， 嗯，同学们把它想象成一个什么？刚才我们是不是说把扇扇形想象成一个那个啊？啊？三角形，这个想象成什么？想象成 t 形啊？想象成 t 形，那 t 形的面积是什么？上底 加下底乘以高，这个高是这个母线，原台的母线除以二二消掉，是不是就变成了这个东西？ 所以呢，我说的是一种再次提醒大家，不是一个严谨的证明方式，但是呢，是一个记忆方式，把扇形理解成一个三角形，把这个环 理解成一个梯形就可以了。那这个情况下这些公式也都不用背，是吧？那去了解它就可以了。最后一个呢是什么呢？我们的旋转体的最后一个是球球死背四拍 r 的 平方。如果说，如果说在已知这一个球的周长公式的情况下， 我还可以用一些，就是比较在课本当中啊，因为我们的那个球的体积公式是怎么推出来，我们把它想象成非常多个非常细微的这个柱体 啊，这个，这个，这周锥体啊，锥体，然后呢就可以去加起来这个微积分的一个入门，但这个用到的积分的知识呢，就相对比较深一点点 啊，所以呢这个是更加更加没有办法，所以同样的死背就可以了。当然呢，死背也有死背的一个方法，你比方说我们会发现，在我们已知这个四拍 r 的 情况下，你看我们刚才背的那个球的体积公式是三分之四拍 r 的 立方，当然我们这体积是立方，然后这个呢是平方，这个 对吧？我这个体积，那个那个，呃，表面积面积是不可能出现立方的，体积是不可能出现平方的，这是第一个，那这个数字会发现这个是四，这个是多少？这个四变成了三分之四，哎，这个三分之哎，又跟刚才的很像，是不是我们会发现，哎，我们只要变成这一种呢，他就是都会变成一个三分之， 所以这样呢，也有记忆的方式，就这样子把它公式背了就可以了。如图某种浮标有两个半球和一个圆柱粘合粘合而成，半球的直径为零点三米，圆柱的高为零点六米，这个是不是就是我们的什么呀？我们八点一最后讲的这个叫什么？简单的组合体， 对吧？简单的组合体，如果在在浮标表面涂一层防水漆啊，这样绿色的防水漆， 那每平方米呢需要用到零点五 k g 的 涂料，那么给一千个这样的浮标涂防水漆需要多少的涂料？拍取三点一四，所以这道题呢要用到计算机，好吧？所以呢最后要用到计算机，那这个呢？当然我们知道外面涂涂料，我们就会涉及到表面积，说这节课其实真的是用到我们很浅层的知识，对吧？我们要理解 装水，那么就是体积，那外面涂一层就表表面几，那表面几呢？我们想象上球和下球，当然我们可以单独算，我们也可以把它拼成一个完整的球，对吧？那完整的球就四拍 r r 这里是多少？ 呃，这个直径是零点三米，所以这个乘以，对吧？零点一五的这个零点一五的这个平方，再加上什么呢？再加上这个圆柱就不是圆柱的那个 全部了，因为它没有上下两个圆，它只有侧面，对吧？侧面的高是零点六，然后呢它底面的周长是二拍二，二拍，二拍二拍，乘以那个直径就零点三的那个，啊啊？那个拍， 那这个时候呢？这个就是它的什么？这个算出来它表面积我们看一下，呃，零点一五就是二十二十分之三，平方四百分之九四，一百分之九，零点零九 pi 加上零点一八 pi 就 会等于零点二七 pi。 好，先带一个 pi， 然后带了个 pi 之后呢？我们干嘛？呃，每平方米这是多少？这是每平方米，我们带个单位啊，比平方米，那平方米的时候呢？每平方米需要用到零点五 kg， 零点五 kg 每平方米 啊，对吧？零点零点五再乘以零点二七 pi， 平方米我们就等于零点一三五，对吧？ pi k g 需要这么多每个， 那么乘以一千个呢？那么就是一百三十五 pi k g 嘛，那最后把三点一四给算进去，对吧？中间的部分二， pi r h 就 这一个上下求的半部分把它拼起来，对吧？然后加起来， 然后呢，每平米我们要用到零点五，然后最后要用到这么多，每个那么一千个呢？乘以一千就这么多，就约等于这个我的这道题最后的答案跟课本会有一点点差别，因为课本是从一开始就带入这个派，我是算到最后带入派啊，所以这个无伤大雅，这没什么所谓。 例七，如图，从底面半径为二 a 高为根号三 a 的 圆柱当中挖去一个底面半径为 a， 然后呢，且与圆柱等高的圆锥啊，这样的一个形状，能不能想象得到？中间挖了一个这样的东西，求圆圆柱的这个表面积 s 一 和挖去圆锥之后的几何体的表面积 s 二， 那第一个 s 一 应该就好了吧，应该。第二，我们我们就直接上下底二 a 的 平方啊， pi r 的 平方， r 的 平方就四 a 的 平方，那么就是乘以二八 pi 的 平方，对吧？加上这一边呢？二，这个周长是多少？周长是那个 pi 四 pi a， 四派 a 乘以这个高根号三 a 四倍的根号三派四倍的根号三派 a 的 平方。所以呢，提取出来我们就得到了那个啊， 八派加四根号三派 a 的 平方，好，然后 s 二呢，我挖去了之后，我们可以理解什么呢？就是它原来的这个基础之上，首先它少了这个部分，所以在这个基础这样减一个多少？拍 r 的 平方， 对吧？然后呢，拍 r 的 平方啊，当然这个其实也可以继续提取出来，好看一点。拍 a 的 平方减去一个拍 a 的 平方，但是少了这个呢？我们多了什么呢？多了这部分，这多了这部分是多少呢？就是底面的周长二分之，底面的周长是二派 a 的 二派 a 乘以这个母，这个是多长？这个就要用到什么呀？这个就要用到这个一段是 a， 这一段是根号三 a， 那 这一个，这一个关于这个圆锥的这个母先长，就是 a 的 平方加根号三 a 的 平方呢，对吧？那就等于二，所以呢，它等乘以多少？乘以二 a， 那 这个时候呢，就是消掉这个是多少？两个的拍 a 的 平方减去一个，加上两个，所以九个九加四，根号三， 好吧， s、 e， 或者说呢，这里写了另外一个方式，我把追的算出来，就不管它怎么加减，那这个原来的和追的都算出来相加，但相加之后呢，会重复了两个，这个东西它是没有的，对不对？我算了两次这个，但是这个一个都没有，我们要减去这两个 也都是可以的两个方法，对吧？这个就是简单的什么？这两道题都是简单的组合体，对吧？组合体好。然后第八题，正三能追 a、 b、 c、 d， 内接于求 o， 且底面边长为根号，三 测能长为二。问这个球的表面积，那表面积，我们知道球只有一个参数，就是 r， 对 吧？所以呢，我们要知道，就是我们求 r 就 可以了，那这个地方呢，我们要知道，哎，我们在初中学习平面几何的时候，我们的那个三角形的外心，内心、 中心、垂心，是不是一个重点和难点啊？这里首先第一个事情啊，大家要会读懂啊， 就如果说我们还没有这个图啊，或者说有些填空题、选择题没有这个图，对吧？好，正三能追，内接迂，内接迂，内接迂啊，谁包含谁啊？就好像我们都包含迂，对吧？ a 包含迂， b 和 b 包含 a， 所以 这个求 o， 它不是内接求 哈，他是一个外接球。首先这个我们得知道啊，这个是很重要的，要读懂。然后呢，我们知道外接球有什么，外接球到所有的，其实我们的那个外心，内心跟这个外接球内接球很相似， 我们的那个什么，呃呃，内接球也一样到四个面的距离相等，然后呢，我们的外接球呢，也是到四个顶点的距离相等，对吧？那这里呢，我们就可以利用这个属性来做文章，射三能追的，他的外接球的半径为 r， 对 吧？我们最终的目的要求这个 三角形 b、 c、 d 的 中心为 am 啊，这个就是等边三角形的几何中心。我们之前提过的一个东西啊，初中的重难点连接 am， dm 和 d o 啊，应该我们这样连接起来，应该有的同学就应该有感觉了吧，应该怎么做？这是 r， 这是 r， 肯定在这里设立方程来求出 r， 那 这个呢？是二，这个呢是根号三， 根号三，也就是说通过我们的这个呢是根号三。我们八点一，我们说过， 对于一个正三能追，我们得知道它做垂线下来，这个是它的几何中心，我们首先得知道这个事情。第二我们从平面的角度知道这个是可以求的，可求这个可以求，那么通过二和这个是不是就能求到 a m？ 像 a m， 那 么这个 a m 减去 r， 那 这里就可以通过 o m d 这个三角形来构建勾股定律来解除这个 r， 对 吧？那这里我们看一下，首先 我说的要记得怎么求哈，如果忘记的话，要回到初中的内容去复习哦，这里根号三，对吧？这里有个相当重要的二级结论，怎么推的我就不说了哈，就是关于等边三角形的这个几何中心， 他的中心呢？这个这个比，这个是二比一啊，有这个东西啊，这个二级结论，那么大家计算就会快很多啊，你看这个二根号三， 然后勾股定你这个三，这个四分之三减去四分之九，开根二分之三哈，这里加起来二分之三之后呢？这个二比一，我立刻就知道这个是一，这个是二分之一，那至于为什么这个二比一啊，同学们可以去 回去去看一下他怎么算出来的好不好？二分之三啊，这里是一，这里是 d， 这里是 a m 啊，这个这里的 d m 不要搞反了，所以呢，我们就会知道这个是二，这个是一啊，这个是一。 好，所以我们现在就知道这个是一，这个呢是二，那么 a m 呢？根号三，这个我们设定为 r， 这个是 r， 哎，那这个时候是不是这个 o m 就 能表达出来是根号三减 r， 那 在这个当中是不是就就可以干嘛用勾股定律， 平方加一的平方等于啊的平方，这个平方三加啊的平方跟这个抵消了，减去两倍的根号三啊加一等于零，那么接着呢，这个过去四，根号三啊等于二，是吧？啊，就会等于 三分之二，根号三，那此时我们要知道表面积，那么我直接四拍啊的平方就可以了吧？乘以三分之四，所以等于三分之十六 pi， 对 吧？这个模型这里计算最后一步就很简单了，关键是我们说的第一要读懂内接于球，它是个外接球，第二我们要知道外接球有什么样的一个属性，对吧？到它四个顶点都干嘛？它的距离相等， 对吧？这是第二个点，第三个我们要利用这个东西啊，我们要会利用这个方程来进行解决，当然还有第四点很重要的，我们得知道我们八点一所讲的正三能追，这里做垂线，这里透过这个这个球心，这个地方是他的几何中心，这个是正三能追，或者说是正 n 能追的属性， 正 a 能追，正四能追，五能追，也都是啊，往下做垂线，这个顶点往下做垂线是我们底下的这个几何中心，那这个是我们的基础知识所，为什么说八点一的知识是后续所有的整个大板块的一个基础的根本啊，对吧？所以基础得加扎实。 我们算出根据正三角形中心的属性，这里不多说了，好吧，这是一，然后呢？这里二，这里算出根号三，然后呢？在这个三角形当中用波五顶点列方程解到这个， 这个就是我们的这节课好背好公式，不需要推导啊，背好公式相关的公式，能不背的我要求不背的就不要背，我要求背的话，那一定要背好，就这样子啊，就这样可以了，下节课再见，同学们，拜拜。

本期视频来看高一数学立体几何求平行六面体中一面直线夹角的问题。已知平行六面体里面呢是正方形，变成为二侧棱都是四，然后有两个角都是六十度。 现在我求异面直线 a c 和 d c 一， 也就是这两条蓝色虚线的夹角。首先求异面直线的夹角，想到平移给它变成平面角去求夹角，对吧？呃，好，我现在做哪条线的平行线最简单呢？我连接 ab 一， 那这个 a b 一 自然就是平行于 dc 一 的，对吧？所以那这个要求的 a c 与 dc 的 夹角就转化为了求 b e a 和 这个 a c 的 夹角，也就是求角 b e a c 啊，这个夹角的正弦值，看看怎么求呢？这两个六十度要用上，对吧？因为这个角 a e a d 等于六十度， 所以哪个角六十度呢？角 b 一 bc 是 六十度，对吧？因为角 a 一 ab 是 六十度，所以它的同旁内角 abb 一 是一百二十度啊， 那我要用两次余弦定理。首先在三角形 abb 一 中运用余弦定理，那这个 cosine 这个钝角角 b 一 b a 应该等于 ab 方加 b b 一 方减 ab 一 方，再除以二倍的 ab 乘 ab 一 带入已知。刚才说了角 b 一 b a 就是 一百八，减六十是一百二。 然后还有两条已知的边， ab 是 二， b b 一 就是 a， a 一 就是四。带进去以后可以得到一个只含有 ab 一 的一个方程，解出来 ab 一 的长是二倍，根号七。 然后下面再次运用余弦定律。这回在三角形 c b b 一 右侧面这个三角形中运用余弦定律。 刚才已经求出来角 b b c 是 六十度嘛，所以那 cosine 角 b b c 就 等于 b c 方加 b， b 一 方减 c， b 一 方除以二倍的 b， c 乘 b b 一 带入已知 b b、 c 六十度，再带入 b， c 等于二， b b 一 等于四， 得到一个关于 c b 一 的方程，解出 c b 一 是二倍根号三。现在咱们求出了 a b 一 和 c b 一， 最终要求的是角 b e、 a、 c 的 正弦值，对吧？那我想到先求余弦，再次运用余弦定理。这回在三角形 a c、 b e 中运用余弦定理 ac 比较简单，就是正方形对角线就是 cosine 角 b e， a， c 就 等于 a c 方加 a b 一 方减 c， b 一 方除以二倍的 a c 乘 a b 一 代入 a c 等于二倍根号二。 a b 一 等于二倍根号七。刚才都求出来了是吧？ c b 一 等于二倍根号三，得到 cosine 角 b e， a， c 等于这个根号是四分之三， 因为要求的是正弦。我没有画到最减啊，正弦就是一减， cosine 方再开个号，答案就是十。四分之根号七十。这道题就做完了。这道题一共运用了三次余弦定理才求得答案，大家理解了吗？

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点五点一，直线与直线平行，那么来到了我们的八点五啊，最后的两个小节，八点五和八点六。首先呢，给大家一个大纲啊，大家要知道我们按怎样的一个脉络来学习。 我们说我们要研究空间当中点线面的位置关系，那无非就是五种，对吧？点线 点面啊，点和点就不用研究了吧？对啊，点点没有什么任何研究的价值，对吧？点和线，点面线线线面面关系， 那么点线和点面呢？包括说点在不在线上，在不在面上，然后呢，三点共线，四点共面等等的这些问题，它是在我们的选 b 一 啊下一本书的第一章要研究的，那不在这里研究，那么我们剩下的线线线面和面面呢？而且是未知关系。首先未知关系无非就两个， 平行和垂直，所以它们分别就是我们这两个小节里面的六节课哈，线线平行，线面平行，面面平行，然后垂直，对吧？那么首先我们的这节课， 八点五点一，线线平行，那同同学们说线线平行，那这个对吧？就是加了一丢丢的这个在空间当中的一个东西，我们来讲一下，这个很熟悉了，对吧？在同一平面内，两条不相交的直线是平行。直线，这个不讲了吧，平行线的基本是十， 在一个长方形的房间当中，我们去观察三条墙的交线哈，这里呢有两面墙啊，这个地方呢，我们有，呃，三个交线，他当然还包括了这里面画出来的墙啊，对吧？然后一共呢，这里有三个交线， 同学们一定是身处在一个房间当中，无论是你们在卧室当中，还是在哪个地方，还是在课室来看听我的课，对吧？那么这个时候呢，我们会看到哈，我们墙与墙的交交线处啊，就 a， a 一 撇， b， b 一 撇， c， c p 一 撇，它们都是平行的，对吧？那么此时我们也会看到 a， a 一 撇也会平行于 c， c 一 撇，所以我们会发现哈，空间当中平行线也有类似于平面当中，我们说平面当中我们的什么，我们的平行线是可以干嘛有传递性的？ 在平面当中 a 平行于 b， b 平行于 c， 那 么可以推出 a 平行于 c， 好， 这个传递性在空间当中也适用， 就这样子啊，就告诉大家，也 ok 哦，在空间当中就行了，所以这个是基本事实。四，所以这个是以公里的逻辑告诉大家的，就我们发现大家可以去干嘛？可以去正轨，对吧？如果没有人能正轨，他就是对的。平行于同一条直线的两条直线平行，这个就是基本事实。四， 好，这个就是它的数学模型，对吧？ l 平行于 m， n 平行于 n， 那 么 l 也平行于 n， 那 么这个呢？我们会看到，哎，这个就是在我们的一个长方体里面出出现出来的，对吧？在两个长方形当中，我们都会知道 l m 平行，然后呢？ m， n 也平行，然后这两条也是平行的，所以这个就是我们的平行线在空间当中传递性的一个，嗯，这个体系， 然后看例如图，已知在棱长为 a 的 长，呃，正方体当中 m n 呢？分别是中点，这个是中点，这个是中点啊，对吧？然后呢，求证四边形 m n a c m n a c 啊，是一个梯形， 我们梯形就说它有一组对边平行，有一组对边不平行，所以我们的首先的定一个点肯定是要证明啊，一条边一组对边是平行的，那当然我们会知道，你看看到这个平行的，对吧？我们怎么证明？不难证明吧，在这个地方画一条辅助线， 那么这里呢，因为它是中位线， m n 是 这个三角形 a 撇 c 撇 d 撇的中位线，所以呢，平行，那么这里面呢，这里面是一个矩形，它也是就平行四边形嘛， 对吧？那这个怎么证明，对吧？这个平行于这个，而且平行且相等，所以它是一个平行四边形，所以这个 a 撇 c 撇也会平行于 a c， 所以呢，就通过传递性我们就会知道 a c 平行于 m n 啊，对吧？所以呢，连接 a 撇 c 撇，然后 m n 呢是它的中位线，所以呢就是平行，所以呢啊，在这个地方因为比较简单，我们就直接忽略了这个 a 撇 c 撇和 a c 的 一个证明啊，对吧？三个都是平行的。 接着呢，我们说梯形，那么要么就证明我们的另外的一组对边不平行，要么就是我们的这两个它是不相等的，两个都行啊，我们其实更快的就是因为中位线嘛，我们可以证明什么，因为 a c 它的长度是等于 a 撇 c 撇的， 那 a 撇 c 撇呢，是等于两倍的 m n 的 中位线，所以呢，它们之间长度不等，我们就不需要管另外一组对边的问题了啊，不需要去单独去证明它们两个不平平行，那么这这个时候呢，它们平行一组对边平行，且它们不相等，我们就能知道它是梯形。 好吧，简单的题目，第二课本的立体如图，空间四边形。好，这里有个概念哈，空间四边形， 什么叫空间四边形？就是这个图形 a、 b、 c、 d， 哦，它不是在同一个平面内的，但是它不是立体图形，同学们要注意 这个地方啊，课本没有单独去进行定义，但这个东西应该也不难理解，对吧？不要把它看成是一个密闭的 a、 c 连起来变成一个三棱锥，不是的，它就是一个折起来，然后呢，放在空空间当中，它就是一个空间的平面图形。 空间四边形，那么这个时候呢， a、 b、 c， d， e， f， g、 h， 它全都是中点。那么第一个问题呢，求证，这个是一个平行四边形，那么我们中点当然又想到了中位线，对吧？这个平行于这个，且是它的一半， 那个 f、 g 呢？也是 b、 d 的 那个中位线啊，也是 b、 c、 d 三角形的中位线，所以也是平行，且是一半，所以它们两个平行且相等，对吧？这是简单的一个应用， 都是中规线，所以平行，然后也会有这这个东西，然后，所以呢，平行会有传递性，而且它们长度相等。好吧，那么所以呢，它就是平行四边形。那么如果在此基础之上增加一个 a、 c 等于 b、 d， a， c 等于 b、 d， 那 么我们会知道 e、 h 和 f、 g 这组对这这组对边，它是 b、 d 的 一半， 那么这个我们的邻边 h、 g， 它也会是 a、 c 的 一半， 而 a、 c 等于 b、 d， 所以 就是邻边相等，所以它是个菱形啊，对吧？所以呢，它是个菱形。 接着我们看例三，在空间当中， a b 平行于 a 撇， b 撇， a c 平行于 a 撇 c 撇，请证明它们这两个角要么相等，要么互补。首先我们画出这个东西，画出这个东西 有没有两个情况，同学们去思考一下，为什么会有两个情况，对吧？首先第一种情况呢，我们这个应该会比较好想到，对吧？它们两个都是平行的， a b a 撇 b 撇平行， a c a 撇 c 撇平行，那么此时我们可以怎么去证明呢啊？我们看一下，分别在这两个角上截取四段线段，而且它们得是相等的，好截取它们相等的线段， a， d， a d 撇 a e， a 撇 e， 那 么使得它们是相等的， 我们呢？有时候呢需要一点，其实我们无论是在做初中的几何题，还是高中的几何题，其实我们会知道一个事情，就是很多时候感觉我们的空间感觉是很重要的，我们从可能说从第六感出发，我们认定了一个东西，然后我们再去做严谨的证明，比方说这个这个地方我们一连接起来， 我们就能感受到这两个三角形一定是全等，对不对？一定是全等的，而且我们可以干嘛？我们可以从结果推过程，因为我们的结果这两个是相等的，此时相等的情况下呢？ s， a， s 呢？他们一定是全等的，所以我们把它做一个连接 来看一下，那么此时我们已经有了两个 s， 对 吧？ s， s 已经有了，那么我们能不能证明这个等于这个我们也是感觉出发，我们会告诉能告诉自己一 d d 撇一撇，它是个平行四边形，那么这个时候呢，我们可以往这个方向去做证明， 因为我们是干嘛我们截取了这个 a、 d 等于 a、 d 撇，而且这两个不仅相等，而且平行，所以我们就能证明 a 撇 a d、 d 撇是个平行四边形。同理，我们也可以证明 a 撇 a 一 一撇是个平行四边形，那么我们就会有 这个等于且平行于一一一撇，那么这个时候呢，就会有一一撇 干嘛等于且平行于我们的 d、 d 一 撇，那这个时候我们就能证明到一 d d 撇一撇是一个平行四边形，进而我们就能在平行四边形当中知道一 d 等于一撇 d 撇，那么这个时候就凑齐了 s s s 他 们全等，我们就能证明这两个角相等了。我们看一下这个证明的过程，好吧， 同理证明两个啊，我们只需要写一个步骤，如果另外一个证明过程完全相同，我们直接同理就可以了，那么所以通过这个平行的传递性啊相等啊，然后呢就能证明他是一个平行四边形，最后呢 得到了这两个相等，那么结合刚才的两个信息，也是我们去设定的截取的，那么可得他们两个三角形全等，然后通过全等来证明这两个相等， 那情况二呢，就是他是往另外一边按，这个也是平行的情况，那这个其实证明就比较简单了，因为我们可以在射线就是另外一个方向延长，继续干一个同样的事情，就是我们的证明过程跟刚才情况一模一样，我们最后证明到这个角 等于这个角，而此时我的什么 c 撇、 a 撇 b 撇不再是在这边，而是在 c 撇在这边，那么这个角角一等于角二，那么角三这个互补，我们这个关系就出来了，好吧，所以这个证明也很简单，只要在反方向延长，然后做相同的部分就可以了，所以我们就能证明出来。 好吧，那这个呢？是角等角定律，非常重要。那这个东西同学们也不陌生了吧，在初中里面也会有，对吧？所以这节课有没有发现 我们就是在说啊？我们的平行线，在空间当中的平行线可以传递他有等角定律，而这两个东西跟我们的平面是一模一样的，平平面能用，空间也能用，就这样子啊，对吧？所以说如果空间当中两个角的两条边分别对应相等， 不对应平行，那么这两个角相等或者互补，两种情况，对吧？都很简单啊，对吧？都是可以从平面迁移过来的，好吧，这个就是我们的这节课啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

假期在预习高一下就是 b 修二这本书的时候，你只需要预习两张就可以了，就是第六张和第八张，因为第七张、第九张、第十张这三张内容和高一其他章节比来说，就是一加一等于二，根本就不值得你花太多时间。首先说第六张向量这一张，它在高考当中一般是出一道小题，这个大题是在正余弦定理，这在 在以前六道大题的时候，他是必考的，一般就是第一题或者第二题，现在六千五有可能去掉了，也就说按照我们原来高考的习惯，这个第六张自己就占了一道大题，一道小题就是十八分打底。那第八张立体几何的一道大题，一道小题，而且这道大题大概是不会去掉的，因为六道大题当中他算比较特别的一个，所以说这一张自己也至少占了十八分， 这两张加起来在高考当中占了三十六分，你说重不重要？第七张复数这个东西，上学你就跟着听一遍就行了，这道题就一道小题五分，不是第一题就第二题一体生成得到，所以根本不需要专门花时间预习。第 九章和第十章往往不单独命题，他是跟高二的统计联合这么命题的，所以他占的篇幅是很小，所以这两张到后面学的时候，你就跟着学校学一遍就差不多了。 重点一定是放在第六章第八章上。那第六章难点就有两个地方，一个是向量的数量机，这向量数量机这图形多方法多运算又比较困难，所以很多人到这块就卡住了，但是这是一个重难点，你一定要花大量时间去突破，再 就是正弦定律的大题要是出的话，他算是几道大题当中最简单的一个，所以比较好拿下。你一定要把大题写的非常熟练，但是因为他结合的知识点比较多，比方说高一上学期的很多三角的公式基本不等式，你要尽可能在假期的时候把这个正弦定律的大题 归类，包括方法给他提取明白了，还有立体几何，考大题的时候，这个几何法非常非常重要，每一次都一定要强调，你不能光等着高二上学。空间向量只会间隙 立体几何这道大题，他一般第一问是证明，第二问是求值，就是求角度或者距离，第二问的这个求值是用空间向量比较简单，但是往往第一问的话就是几何法正比较简单，你几何法几步就出来了，有的人间隙证明的话，他就非常麻烦。 所以在假期时间不太充分的时候，你预习高一下学期只是三个地方比较重要，一个是向量的数量积，一个是正弦定律大题，还有就是立体几何大题， 你把这三个如果假期拿的差不多，下学期学就比较轻松，而且高一下学期这个必修二这本书算是五本书上最简单的一本书，因为真正有难度的只有这么两张内容，所以它属于占的分多，但是难点和重点又比较少，是比较好把握的。

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点五点二，直线与平面平行。好，来到了我们的第二个平行的课程，线面平行。 首先呢，我们对平行做一个简单的定义，因为呢，我们没有正式的去啊，很严格的去定义，他课本也没有写，因为这个东西他比较简单，就是说无论我们的线线还是线面还是面面的平行，只要是平行，他就是四个关键字，没有交点。 好吧，没有焦点，或者说永不相交啊，意思都一样，这个是他的核心逻辑，当然在线线平行的关系当中，他还会有一个限定，就是在同一个平面，但这个才是核心的逻辑，对吧？所以就这样子没有焦点。 如图一道例题，用我们上节课的知识，幺呢在平面 r 法上，然后呢？幺直线呢？平行于这个直线 m， m 呢？不在平面 r 法上，我们去证明 m 平行于 r 法这个地方，同学们说，哎，还没有给任何的知识，对的， 我们来从我们最数学底层的角度来说看一下，我们说平行就是什么，它的核心点就是没有焦点。 然后呢，我们上一节课就教了同学们去思考，我们在什么情况下会想到使用反正法，因为我们说什么正 无的难度永远都是比正有要大的，对吧？我们生活当中，我们的推理当中都是那么没有焦点，在一条 两边无限延长的直线 a m 和四周无限延长的平面 r 法上，怎么证明它永远都没有焦点呢？这个是很难的一件事情，对吧？很难的一件事情， 所以这个时候呢，我们就想到使用反证法，说，不是说我们，哎，我看答案的时候，反证法啊，我就知道，但我怎么想到反证法就给同学们这样的一个思路，所以这个时候呢，我们用反证法，假设 它不平行，那么假设它不平行，就是它们有焦点，它们就长这个样子，对吧？那么有焦点，那么假设这个焦点为 a， 而题目给了幺平行于 a m， 那 么很显然，这个 a 点是干嘛？不属于这个 直线幺的，对吧？不属于这个直线幺，那这个点不属于这个直线幺。那此时会不会想到我们上一节课的一个结论 啊？我们上节课结束的时候，我们有一个结论，就是直线与平面相交于一个点，那么该直线与所有的 在平面上，这个平面上的，而不过这个点 a 的 所有的直线都是异面的关系，对吧？他得到了一个关系就是异面，而他会跟谁矛盾呢？ 跟它平行矛盾，平行就是共面的，所以呢，这个意面的结论就会跟它平行的结论矛盾，总得到一个矛盾的结论，所以假设不成立，所以这个时候呢，这个直线是会平行于平面。阿法的。 好，这个呢，其实就是我们的判定定律，我们如何去判定线面的平行？如果平面外的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 符号语言表达如下啊，这个地方停一下，同学们自己先写。好，我再次再次。最后很婆妈的提醒啊，在我们必修二，整个高中阶段，最简单的必修二的九，第八章，第九章，第十章。 哎，这这里面一定最后的机会在简单的地方去锻炼我们的符号语言， ok 吗？因为进入到了我们的选 b 一， 后面会出现连续出现五道全是大题， 我们前面的，我们前面的这个两本必修书只有一个解三角形是会出现在大题上，后面五道大题到了难的部分，解析几何的部分，导数的部分， 竖列的部分，大家还看不懂，看的很辛苦，很痛苦，满满密密麻麻的文字，那这个就很很痛苦了，所以趁着简单最后的机会，一定要去锻炼，跳出舒适圈， ok 好 不好？ 所以呢，语言要去使用啊， language， ok。 然后呢，我们来看，如果平面 y 平面是谁啊？ alpha， alpha， y 不 包含于 alpha 一 条直线，我们讲的是谁啊？我们说的是啊，这里说的是 l， 对 吧？这里说的是 l， 那 么平面 y 的 一条直线 l l 不包含于 alpha， 对 吧？我们知道它们都是属于集合点的集合，所以用不包含于于此平面内的平面也是 alpha 平面内的一条直线，是谁啊？ m m 包含于 alpha 平行，谁跟谁平行啊？ l 平行于 m， 好， 三个条件 来推导出谁啊？这条直线指的是 l 和这个平面阿法平行，好吧，所以我们会有一个条件，两个条件，三个条件。而刚才我的写法呢，就是未来关于空间几何的证明题，我们建议通过以下方式来进行书写，会更加清晰。 假如说因为我们之后呢，会有一个就是，呃，空间向量啊，基本上百分之九十五以上的情况下都会使用空间向量哈。但是我们如果使用到合成几何，那么我们建议用这样子的书写方式，因为改卷老师将会具体按照推断的所需条件 逐一审查，听着哈。如果说我这个地方有三个条件，但是我们没有去写 r， 不 包含于啊，不在这个平面 r 法上啊，我只写了两个条件， 这个推论是错的，不要觉得这个严严格啊，这个是很严谨的一个东西，对吧？那你说我们三个人去开家公司啊，我有，我有团队，你有资金，是不是？然后呢？你过来了之后，你说啊，我没有资金，我一分钱都没有，那这是很离谱的一件事情， 能理解吗？或者说我过来了之后我没有人，我就两个人啊，开一家呃，大很大很大的公司，对不对？那所以大家理解到这个点没有一个条件他是不完备的，没有这个条件他有可能在面上他就是一个思维的什么严谨性啊？在数学里面这是很重要的一件事情，你没有想清楚就是没有想清楚， 但这个地方呢，我不是让让同学们像背古诗一样去背，包括后面的什么面面平行啊，面面垂直、线面垂直等等啊，我就这里三个条件，那里五个条件不是这样背，就像正常的理解，正常的，像我刚才说的用符号语言说话，这样去说出来哈，去理解一下这个点。然后呢？我们来看例二， 求证。空间四边形，相邻的两边啊，我们画出来，对吧？相邻的两边，比如随便找两边他的中点的连线平行于经过另外两边啊，这里是一边两边，另外两边的面，这是课本的一道例题好不好？ 我们来看一下，当然我们会想到中位线，中位线跟他平行的关系啊，对不对？平行的关系，然后我们要走那个流程，是不是要记得，首先 e、 f 是 三角形 a、 b、 d 的 这个中位线，所以它平行， ok 了，那此时所以三个条件来推断出我们的这个 e、 f 平行于这个平面， b、 c、 d。 好 吧，那么前提呢，是它是空间四边形，所以它为什么 e、 f 不 包含于这个平面？就是因为什么？就是因为啊，如果它在这个平面上的话呢，那么就不不是空间四边形了，对吧？不是空间四边形， ok， 然后呢，我们来看，刚才是判定啊，现在来看性质，就假如我们已知线面平行有什么性质呢？如果直线与平面平行，那么会有什么样的性质呢？我们想到呢以下的生活场景，那这个呢？就什么呢？很生活的场景啊，门， 那对吧？没有同学没开过门吧，无论这个贫富如何，对吧？门是一个长方形，其对边平行，普通的门，那不说特殊的，所以呢，我们在转动门的时候啊，一扇门，门把手的一边， 门把手的一边， a a 一 撇，永远平行于转动轴啊，这个是转动轴 b b 一 撇，所以此时根据线面平行判定定你，我们就会知道这个 a a 一 撇啊，就是代表门把手的一边永远都会平行于门在关闭时所在的平面呢？阿法，对吧？ 那么抽象出出来这个模型，我们就能得到以下的结论，一条直线与一个平面平行。我们来看一下抽象出来的 好一条直线，这个 a a 一 撇与一个平面平行。阿法，平行，那么此时如果过这条直线的平面， a a 撇 b 撇 b， 是 不是过这个平面？呃，直线的平面 与这个平面相交于点 b b 撇，那么该直线与交线平行，我们就会得到了这样子的一个结论，我们来看一下。好，这个地方，我们来看 l 呢，我们已知这个跟这个平面阿尔法是平行的，而这个 l 呢，属于这包含于这个平面 beta 好 不好？包含于这个平面 beta， 那 么所以就是说我们所说的什么叫做什么？过直线的平面？过直线的平面是不是我们的 natural language？ 我 们的自然语言有好多种表达，是不是啊？我们都是属于逻辑是统一的， 包含于这个平面，那么此时我们说，呃，这两个平面它相交于一条直线 a m， 那 此时干嘛呢？这个交线就会跟这条线是平行的关系。好吧，这个呢，就是我们知道线面平行之后的一个性质， ok， 那 么我们可以去严谨的去证明它，我们自己去证明它，因为刚才我们的整个不是一个严谨的推理过程，我们是从生活的这个模型出发去抽象出来，来归纳出来，但是不是严谨的。 同样的，我们说要证明它平行，有什么要证？没有交点，我们又继续地使用反证法。 如果直线 l 不 平行于直线 m 不 平行，那么假设 l m 相交于点 a， 那 么由于 a 呢？ 它既属于 m 啊， m 呢又属于 alpha， 因为 m 呢，是整一个都包含于 alpha。 好， 之后我们在讲这个的时候，哈，语言不重要，因为我们写的时候反正都是这个意思好吗？所以有时候呢，就是没有关系啊这个东西。然后呢写不是没有关系，我就说没有什么关系呀，然后呢，我们说这个 m， 它是在这个平面 alpha 上的，那么这个点 a 呢，又是属于 m 的， 那么当然这个 a 就 当然就属于这个平面 alpha， 那 这个时候呢，我们就会知道，我们就能推理出这个 l 会跟这个 alpha 相交于点 a， 对 吧？那显然就是跟什么，跟原来给的条件 l 平行于 alpha 没有交点是矛盾的，所以假设不成立，好吧，假设不成立， 所以呢，这些地方呢，同样的，包括我们的反证法也是的，在这么简单的问题当中，同学们一定要使用，不然在难的问题，我们就不会使用反证法了。 我们在很多地方都有可能要用到反证法来进行证明的，包括说我们的数列的，证明函数的，都有可能会用到啊，不只是在我们的几何题当中啊，都是一个很重要的证明方法。好吧，接着我们看例四啊，这是课本的一道例题， 这是一道就是很生活实际的一道立体哈，就是木工哎。首先跟同学们讲一个点，同学们知不知道木工这个东西啊， 工资是很高的，我们的很多的一个工种当中啊，我们并不是说在干工地的，或者说干装修的啊，我们的水滴工什么的都差不多干苦力活，因为木工他既是苦力活，他也要有一定的， 他不是说很多都没读过书啊，但是他有一定的技能和技巧，怎么样锯的好是很重要的。同学们，所以这个地方呢，就说一个题外话，木工的工资是很高的啊，每天的一个收入，他是个实心的木料，他看不到中间， 那么这个能 b c 呢？平行于这个平面， a 撇 b 撇这个平面，那么我们第一个呢，叫经过这个 a 撇 c 撇里面的某一个点，我们要把木料均匀的锯开，对吧？我们要往这边去锯， 那么在木木料的表面应该怎么画线？我们来思考一下这个实际的问题，什么意思啊？就是如果我们切斜了一点，他最后发现，哎，就切不准了，对不对？那么我们要干嘛？我们要画线才能切得准，那么怎么画线呢？对不对？哎，这个就是我们呃的这个问题， 那我们会想到哈，就是什么呢？在这个平面内过点 p 做一个直线，等一下我们再来看它为什么是这样子过点 p 做直线， ef 平行， 然后呢？相交于两条能于 e、 f， 然后连接，那么这个平面就是我们一切过去 切到的平面，而这个平面当然是看不到的，但是这个橙色的线是能画出来的，因为它是表面，也就说比如说我拿着一个锯子锯的时候，我就盯着这根线和这两根线啊，盯着它锯就一定会锯到这个地方 啊，同学们可以想一下为什么会这样子，好吧，所以这个就是它印画的线，那么很显然我们的什么，我们的这个 b、 e 和 c f 啊，因为他说所画的线这里有三根线嘛，那么 b、 e 和 c、 f 就 不用说，这肯定相交，所以我们关键要看的就是这个 e、 f 这条线， 我们这条线呢，我们会很简单的知道，就是因为 b、 c 题目给的嘛， b、 c 平行于这个平面上面的这个平面，那么我们的平面 b、 c、 c 撇，呃， b 撇是经过这一条直线的，所以经过这条直线跟它相交，然后呢 b 撇 c 撇就会平行于 b c， 然后呢我们做出来，人为的做出来平行的时候，就会使得 b c 和这个 e、 f 是 平行的关系， 对吧？啊？这里是我们的走的另外的一个流程，对吧？刚才我们说的流程，三个条件，一个条件，两个条件，三个条件。所以啊，这里我们又给出了另外一个写法，刚才我们给出了这个写法，现在呢给出另外一个写法， 就是右音，因为这个地方呢，我们说一共三个条件，而这个地方是第一个条件，第第二个条件，三个条件。所以啊，这是另外一种写法，前面已经有了，或者说比方说我们后面有五个条件的啊，我这个地方正了第一个条件，这里正的右音一、二、三。那这个地方呢，也要写清晰，间隔清晰啊，对吧？ 三个条件来证明，所以平行，唯一一组平行线，唯一的确定一个平面，这个就是我们在非常生活的应用啊，看不到他怎么去画出来？这个就是我们几何的一个，呃，简单的一个应用哈，简单的一个应用，好，然后接着呢，给大家做一个 思维导图啊，为什么做一个思维导图呢？因为会出现一个问题，我们来看一下哈。上节课首先我们来说平行线，对吧？ 然后线线平行，我们是什么东西呢？平行于同一直线的两直线，平行啊，我们通过这样的方式是它其中的一个判定方式，然后我们知道呢，那个平行线之后呢，就会有等角定律，它推出来的，但这个东西呢，没什么好讲，但是它的判定也有 平行，两条平行线就成千上万种，只是罗列出了其中的一种啊，对吧？ ok， 这是线线平行，接着呢，我们线面平行， 线面平行，它的定义是没有交点，然后是怎么做判定的？如果平面外的一条直线，对吧？外面的一条直线跟平面内的其中一条直线平行，那么就平行，然后 接着呢，它的性质呢？能推出现线平行，就我们说过一条它的平行线的这个平面跟它相交，这两条交线交线平行。所以呢，关键是什么呢？我们会得到这个东西， 这里感受的不是很深，但后面的很多大家就能越来越感受到深了。就是说我如果要证明线面平行啊，比方说这个东西， 我们到时候呢就会发现，哎，我们在这里面想来想去都想不到线线平行的方法，或者说不不太好证。我们有可能就要用面面平行先来证明面面平行，再通过面面平行的性质来推导这个 啊，这个思维导图，同学们在下一节课呢，可能陆续的会感受到会更深一点哈，我们在下一节课面面平行再完善，继续完善我们的这个思维导图哈，这个就是我们的本节课哈，我们下节课再见，同学们，拜拜。

哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二，第八张立体几何初步八点五点三，平面与平面的平行来到了我们的平行的第三个，对吧？面面平行，好，我们来看一下。首先同样的第一道立体，如图，我们会看到 直线 l 和直线 m， 它们都平行于平面贝塔，而 l 和 m 呢，是属于这个平面阿法的，而 l 和 m 呢，它相交于一个点 a， 这两条直线它是相交的关系，然后呢，去证明平面阿法平行于平面贝塔。 同样的，我们上节课开头的时候就跟大家讲了，我们说平行，对吧？我们第一次接触平面与平面平行的这个概念，但是只要是平行，它的核心就是什么没有焦点， 那么没有焦点正无的问题，我们用反正法假设它不平行，那么我们尝试一下，会得到什么样的结论呢？我的平面阿法跟平面贝塔不平行的啊，比方说平面阿法这样子啊， 那么我们就会知道哈，阿法和贝塔它会相交，假设这条交线为 n， 那 么我们上节课的线面平行，告诉我们什么东西啊？ 这条直线幺，它位于阿法上面，而直线 n 呢，位于贝塔上面，是它们两个平面的交线，对吧？那这个时候呢，由这三个条件我们就能得到什么过 平行于平面的这条直线的这个平面和这个的交线跟这个平面，是啊，跟这条线是平行的关系，是吧？跟这条直线是平行的关系，所以呢，我们通过这样子的方式呢，就能得到这条直线幺和 n 是 平行的，那么后面呢，我们同理 m 和 n 也是可以证明平行的，同样的，相同的道理，我们过 m 的 这个平面和贝塔相交，那么这两条线也都是平行的，那根据平行线的传递性，那么就会有 l 平行于 m， 对 吧？那么 l 就 会跟 m 平行， 那 l 跟 m 平行，很明显就跟这个条件，就是它们是一个相交的直线，是矛盾的， 是矛盾的，所以与这个矛盾，所以假设不成立。所以呢，这里五个条件，这个就是我们面面平行的判定定律。如果一个平面内的两条相交的直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行符号表达语言表达如下， 来试一下，我们看一下，如果一个平面内，那现在这个平面是谁？阿法，那两条相交的直线谁啊？幺和 m， 那 么 ok， 这个是阿法上的两条直线，那幺包含于阿法， m 包含于 阿法，好与啊相交直线。第三个条件啊， a o 和 a， m 呢？是相交的，相交于谁啊？点 a 与另外一个平面平行，谁跟谁平行啊？直线，两条直线分别，所以 a o 呢，也平行于贝塔， m 呢也平行于贝塔，哈，把它写出来。所以这个地方有多少个条件来证明出这个面面平行？五个条件哈，所以有五个条件证明出来，判定出两个平面是平行的关系。那么这个地方呢，给一个应用实力，继续我们的木工师傅， 木工师傅呢？把水平仪，首先这个水平仪啊，他只能去证明一个方向上他是水平的，那么怎怎么证明这个桌面上他是水平的呢？他往一个方向坐， 另外一个方向也做，哎，不重要，具体什么方向不重要，关键是他们不能是平行的，他们得是相交的，对吧？他们相交的，那么只要是相交的方向不同的，两个不同的角度，那么两个都平行，那么就说明整个桌面他就是水平的，这个是一个，也是一个非常日常的常规的应用。 ok， 然后呢，我们来看一下课本的一道例题，如图，已知正方体，然后呢，求证这两个平面平行，那么我们会知道呢，我们要去证明两条直线跟某一个平面，嗯，比方说我们找其中的一个吧，比方说我们去证明 绿色的这个平面上面有两条直线，我们来看一下，比方说 dc 一 撇，因为都行哈，三条线都很好证明，比方说 dc 一 撇， 我们很容易能想到他跟谁平行，他跟 a b 一 撇平行，对吧？我们通过证明这个东西，那这个东西又怎么证明的呀？我们通过什么呀？ b 撇 c 撇 b 撇 c 撇， 跟 a、 d 跟 a、 d 干嘛？平行且相等，对吧？能够证明出来平行四边形， b 撇 c 撇 d、 a， 是 吧？那么根据平行四边形，我们再来证明出这个东西，证明出了，然后呢，通过三个条件结合另外两个条件，对吧？然后就能推出我们的这个什么 d、 c 一 撇是平行于这个平面， a、 d 撇 b 撇的，那么走两次这样的方式啊，这里是我们证明了 d、 c 一 撇，大家也可以去证明 b、 c 一 撇 去平行于这个平面， b、 c、 b 撇这条边就跟谁啊？跟我们的 a、 d 一 撇， b、 d 呢？跟我们的 b、 d 一 撇啊，是吧？通过线线平行，通过线线平行，你看我们的思路哈，线线平行来证明出我们的什么线面平行， 再通过我们的线面平行进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们的线面平行，进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们后续所学的这个 啊，那个线面垂直，面面垂直接新的概念，它其实最核心最基础的都是，首先回归到我们最熟悉的线线垂直和线线平行，它都是一个基础，它都是一个基础，从从一个到第二个到第三个，你们发现这样的规律，所以我们来看一下， 在正方体当中，我们这个地方用了什么呢？首先我们第一条用的是 a、 b、 a、 b 平行于 c、 d 啊，我们用的是 a、 b、 c 撇 d 撇的这个，我们去证明这个是一个平行四边形，进一步呢，我们证明出 这两条边是平行的，那么又因为啊，我们走程序，对吧？我们又因为一个条件，两个条件， 三个条件啊，我们千叮嘱万叮嘱的这三个条件，五个条件，那一定一个都不能漏，对吧？又因为这里集合集齐了三个条件，然后接着呢，我们才能证明 a、 d 撇平行于这个平面，对吧？啊？然后接着呢，我们有了这个 东西之后呢，我们再正下一条边啊，同理，因为它的逻辑是相同的，同理我们可以证明这一个平行于这个。看在这个答案当中，就反过来，我们在红色的里面找找两条线啊，去跟绿色的这个面平行啊，都是一样，对吧？找了这条边和这条边 跟它平行，然后最后呢再加三个条件，你看右音，你看一个条件，两个条件，是吧？然后呢，这里可以是三四个条件， 因为逗号隔开了两个表并列，逗号表并列，然后呢，相当于说 a d 一 撇属于啊，那个包含于这个平面， b 撇 c 呃， d 撇呢，也包含于这个平面，然后呢，所以这里算两个条件。这个地方五 同学们考试呢，就最好不要这么写啊，考试最好不要这么写好不好？然后呢，这个地方可以分开来写，两个条件会清晰一点，一二三四五个条件，所以我们证明出两个平面是平行的关系，严格的去按照这种严谨的逻辑思路去进行证明，然后我们来看它的性质， 面面平行之后，他有什么样的性质呢？第一个呢，就是跟直线平行的传递性是一样的，平面平行也有传递性质，对吧？就是说如果阿法平行于贝塔，而伽马又平行于贝塔，那么他可以传递过去，阿法就会平行于伽马。好，除了传递性呢，我们还有另外两个性质， 性质，一两个平面平行还在这个地方，阿法平行于贝塔，如果一条直线在其中的一个平面上啊，这里画出了一条直线幺，他在这个平面阿法上，那么该直线与另外一个平面平行， 这一条直线就会平行于另外那个平面啊，对吧？我们会得到这样子的一个结论，这个其实也很好证明， 因为直线幺我们说平面是没有交点的，那当然我们的 alpha 和贝塔都没有交点的，而这个直线幺是在 alpha 上面的，它当然是没有交点的，对吧？所以呢，这个是很好去理解的一个点。 那么第二个性质呢，就是如果两平面平行，同样的 alpha 平行于贝塔，那么分别属于两个平面的两条直线必然没有交点，对吧？我们会知道，因为 分别分别属于两个平面的两条直线 l 和 m， 它一定没有交点，因为它是分别属于两个平面，两个平面平行，它没有交点，对吧？那么没有交点，我们说有两种情况，是不是 要么平行像这种情况，要么就是像这种情况是意面的，对吧？它一没有交点，其实有两种情况， 那么当直线平行的时候呢？我们说如果一面直线不能确定一个平面，但是如果两条平行的直线能够唯一的确定一个不与该两平面平行的平面，没问题吧？伽马。那么所以呢，我们就猜想如下的结论，什么结论呢？两个平面平行啊，阿法平行于贝塔， 如果另外一个平面就是伽马，就是另外一个平面与这两个平面都相交啊，伽马交阿法会等于 l， 伽马交上悲惨会等于 m， 那 么这两条交线就会平行，那么三个条件就能推出 l 平行于 m， 理解它，然后说出来，对吧？这个符号语言，那么这个时候呢，我们去证明一下这个结论。我们来看一下 两个平面平行，如果它相交，那么两条交线平行，我们来看这个就比较简单了，因为我们直接我们都不用反证法了，因为我们说两 个平面平行没有交点，而分属于两个平面的两条线一定没有交点，而如果他们是在同一个平面上的，没有交点就没有交点，他分两种情况嘛？第一种情况就是不属同一个平面，那么就是异面，对吧？ 那么属于同一个平面，又没有交点，那么就是平行，那么他都说有第三个平面跟他们相交，那么就说明 l 和 m 是 干嘛？是共面的， 就相当于说共面的没有交点的这个直线直接我们顺着推，我们就能推得出来，他们两个相交一定是没有交点的共面啊，因为他们没有交点， 且你看我们有没有说专门给我们的两直线平行说这个符号语言呢？没有吧？没有说 l 和 a m 平行，是 l 和 a m 相交等于空，然后呢？干嘛？ 然后呢？就是他们两个不属于，呃呃，要属于同一个平面，有没有？ l， 呃，那个和 am 它都属于同一个平面，对吧？这里其实是三个，三个条件，对吧？三个条件推一个。我们有没有在当时直线与直线的八点五点一单独说这个东西？没有，所以说我们的这个东西是整理不进的。这个就再一次提醒同学们不要去背， 不要去背啊，像我们说要锻炼自己的符号语言的这种表达能力，对吧？我们想到什么就说什么就可以了。所以这两个条件说明了他们相交，且他们没有交点，且在同一个平面内，所以他是什么？所以他是平行的。好，这个就是我们的性质。二，刚才有三个性质，对吧？第一个 平面的平行是可以具备传递性的啊，好吧？比如说我们的一楼的天花跟二楼的天花和五楼的天花，对吧？一楼的天花平行于二楼的天花，二楼的天花平行于五楼的天花，那么就传递性，对吧？一层一层的楼板， 同样的道理啊，对吧？然后呢，另外的两个性质啊，第一个性质就是我们啊这个，然后还有刚才的那个性质一和性质二，好吧，这两个归类一下有多少个性质？ 然后呢，我们继续来完善这个思维导图。我们上节课呢就说，哎，我们第一节课八点五点一线线平行，八点五点二线面平行，我们这节课呢讲的是面面平行，对吧？面面平行呢？平面与平面没有交点，好吧， 那么我们通过什么样去证明面面平行呢？通过线线平行，对吧？你们发现我们都是从哪里啊？你看线面平行怎么判定线线平行啊？平行线者不用讲。然后呢，线线平行去判定面面平行，所有的基点都是来源于线线平行， 为什么在每一句结论的时候呢，都给大家一个这样子的一个标题啊，对吧？那么他呢？有两个结论，我们不说那个传递性哈， 第一个呢，就是两个平面平行，如果另外一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行，所以呢，他的第一个性质是推出谁啊？我们先看清楚他推出了线线平行，第二个推出了什么？两个平面平行，如果一条直线在其中一个平面上，那么该直线与另外一个平面平行，他推出了一个线面平行， 然后我们来看一下他的关系，线面平行是不是能推断出什么呀？看到没有，我们如果想要推断线面平行，当大家的脑袋永远都想着啊，线面平行，我要证明啊，什么东西？这根这条直线跟平面上的一条直线平行，那他不一定在现实的条件当中他好去证，那么我们就会有另外的一条道路， 是吧？有另外的一条道路，大家能理解吗？这个就是整理的原因啊，这个是面面平行的关，同样的，谢谢。平行哎，这个也是证明平行线的一种方式，所以我们会看到一个点哈，比方说这道题目，我们来看一下 正方形 a， b c d， a b c， d 是 个正方形和正方形 a b e f a b e f 侧面的也是个正方形，所在的平面呢？相交于 ab， 那么在 a e， b， d 当上面呢？会有一点 p 和有一点 q， 是 吧？两点且 a p 等于 d q。 同学们先好好想一下这道题目哈，去求证 b q 呢？平行于里面的这个 b， e， c， 我们想一下，然后停下来想一下，我们来思考一下，我们想到线面平行，我们说什么？我们去证明什么？通常来说它的最核心，最简单、最基础的一个判定定律就是这条直线平行于上边的一条直线，对吧？ 那么这条直线它不好找，大家会发现大家会发现它不好找啊，那么这个情况下，我们就说我们怎么样去证明呢？我们怎么样去证明呢？同学们先看一下这个方向有没有办法能够找到， 那没有办法找到的话，我们是不是叫思考有没有可能是另外一条路径，这条路径，这条路径就是我们干嘛呢？我们先证明一个平面平行， 对吧？我们来看一下这个路径，先从面面平行一直证明正到他的一个先面平行，那么这个路径我们看一下怎么找找哈。首先他过点 p 做 pm 平行于 e b 啊，我做一个这样的平行过来的，然后呢，连接 m a m q， 哈，连接 m q 这个表述同学们一定要说清楚，千万千万不要说我做一个 p m 平行于 e b， 然后做一个 q m 平行于什么 b c 啊？这是不对的哈，你怎么知道做了两个平行线，它会相交于一点呢？所以不能这么讲啊，我是做了一条平行线，当然也可以从 q m 做过来，然后连接啊，对吧？我们这个地方只是做连接，所以要搞清楚，在我们的设定当中， p m 是 平行于这个 e b 的， 但是 m q 没有说平行于 bc， 哈，我们要看清楚这个点，然后呢，连接完之后呢，我们很容易证明说什么我们的 a e 等于 d b， 这个就不用说了吧，一个相同边长的正方形的对角线相等，就 a e 和 d b 相等，这个不用讲了吧？那这个时候呢，我们会有什么样的结论呢？首先第一个 a p m 的 三角形，因为它是平行于底边的，会和这个三角形 a e b， 它是干嘛相似的？那么它们相似呢？当然我们就能得到三边成比例，对吧？ 那么我们究竟要干一件什么样的事情呢？我们想，如果我们也能证明这个 m q 平行于 a d a d 平行于 b c， 那 么我们这个两个平面的平行问题就能得正了。 那这个时候，如果他们是，哎，像我说的，用题目嘛，用结论来推过程，对吧？这个不是搞科研题目，用结论可以推过程，因为他们这两个平面一定是平行的，那么所以这个平行于这个也一定会平行于 m q， 那 么所以我们会知道什么？ 我们用这个 d p 等于 d q 来做一个媒界看一下哈。我们首先 am 比上 ab 等于 ap 比上 a e， 这一部分是我们的相似三角形的结论，对吧？而后面的一部分呢，就不是哈，我们要看清楚这个式子啊，这一个部分呢，好， 我的 part 一， 这个是 part two， 那 么第二个部分呢？这个部分呢，是 a p 比上 a e 会等于 d q 比上 d b， 这是题目给的条件。首先 a p 等于 d q， 所以 这个等于这个 a e 和 d b 的 a e 和 d b， 刚才我们说了，它是正方形的， 呃，相等边长的正方形的一个对角线，它们相等，所以这个会等于这个，所以我们以这个作为一个什么？作为一个媒界， 以这个作为媒界，调节起了这两个的比值，那么有了这两个的比值呢，我们就会知道什么东西呢，就会知道它们是 相似的，就是我们的 b m q 和 b a d 两个三角形是相似的，再加上它们有一个公共的一个角嘛，对吧？那这个时候呢，我们就能证明了， m q 平行于 a d 又平行于 bc， 那 这个时候是不是就是，哎，五个条件，对吧？五个条件， p m 又平行于，呃，下面啊，我们要，还要，还得先证明啊，线面啊。对，我们还得先证明线面啊。又，因为 m q 呢，不属于不，不包含于这个面 b e c b e c 底面，而 b c 呢，是底面 b e c 上面的一条线，所以三个条件哈，这个地方一个条件， 两个条件，三个条件，所以 m q 平行于底面。同样的，我们相同的推理过程，是不是就能干嘛就能同理了？同学们一定要去多使用这样的，不然到时候呢，我们做题的时候就要写很多很多，对吧？因为它们的相同步骤，我们就没必要再写一次了，对吧？啊？同理， 异正 p m 又平行于这个底面，那这个时候呢？一个条件，两个条件，我们是不是又因三个条件，一个两条件，两个条件，三个条件，一二三总共五个条件，它们两个属于包含于这个平面，然后呢相交，对吧？于点 m 啊，一共三个条件，一共五个条件， 然后呢去证明出两个面平行，然后我们知道 p q 是 这个面上的其中的一条线， 所以 p q 看到没有？如果同学们没有刚才我们做的这个什么东西啊？那个思维导图，同学们就会出现一个问题，就是疯狂的在没有这个的时候，疯狂的在底面找一条线，会找得很辛苦 啊，会找得很辛苦，而这条线呢，它会变，关键是这条线它是会变，它不是一个固定的线。有没有发现，你比方说我的 q 在 这个位置对下来，我先不管，大大概是这样子的吧， 那我的 q 如果在这个位置，因为他给了 a p 等于 d q 嘛，他有可能长这个样子， q 有 可能在这里啊， d q 比较长呢， a p 也会比较长，那这此时对下来是这样子的， 那么我们当然就会发现，这两条线是不是是不一样的两条线，因为 b p q 也在变，这个的角度也在变，我们是很难证明的，除非我们要用动线啊，这个现在来说应该是解决不了的这个问题， 对吧？那所以呢，我们怎么办呢？这个东西我们就通过另外的一条路径，先证明他过这条线的其中一个平面，那这个就是我们刚才的思维导图， 当我们在大脑当中的时候，我们就会在这个图里面去搜寻有什么样的方法，我们想到有没有可能先证明一个平面平行于另外一个平面，不然你们就会干想没有其他的办法，所以呢，这个就是我们大脑当中要有一个清晰的思维导图的重要性。好， 接着我们来看一下例五，继续是课本的一道例题，夹在两个平行平面之间的平行线段哈，这两个平行线段阿法和贝塔呢，是平行的 两条直线呢，它是平行的，那么夹在中间的这个线段 a、 b 和 c、 d， 我 们要证明它相等，我相信这个应该也不难想到吧，很容易能够想到，它们连起来呢，这个是一个平行四边形，那么它的对边就会相等， 那么现在呢，我们来看一下怎么证明。首先 a、 b 平行于 c、 d 是 题目给的条件啊，已经有一个了，那么我们能不能证明 a、 c 也平行于 b、 d 啊？这个也很简单吧，最基础的我们的一个平面平面， a、 b、 d、 c 啊，这个平面是吧？那这个平面它会哎，首先我们要确定它是一个平面，对吧？为什么它是一个平面？因为 a、 b 平行于 c、 d， 所以 两条平行线唯一确定一个平面，所以这个是一个什么？这是一个平面。 我们如果要严谨的去证明，要先说明一下这件事啊，它是一个平面，不然 a、 b、 c、 d， 它不一定是一个平面啊，如果严谨的证明，那么这个平面跟两个平面阿法和贝塔相交于线， a、 c 和 b、 d， 它就会干嘛？ 就会平行，那么我们就会得到两组对边平行，就能证明到 a、 b、 d、 c 是 一个平行四边形，进而就能证明，所以这个不难证明哈，来看一下， 这个并不是很难证明，通过证明平行四边形，好吧，好，那么这个呢，就是我们的下一个结论。面面平行之间的线段长度，我们会知道它们是相等的。阿法，如果两个平面呢，是平行的，而 a、 c 在 阿法上面， b、 d 在 贝塔上面， 那么此时我们就能这两个条件说明它是一个线段，说明这个和这个是一个夹在中间的线段，而此时 ab 平行于 cd 啊，四个条件，我们就能说明夹在两个平行平面来看，两个平行平面 夹在线段是这两个平行线，这个四个条件我们就能推断出 a、 b 等于 c、 d， 对 吧？这个就是我们的这个性质新增的一个性质来看。第六，如图，已知 e、 f 是 正方体的棱的中点， e、 f 是终点，求证这个 b、 e、 d 撇 f 是 平行四边形啊，对吧？我们来看一下，那这个呢，我们可以怎么去证呢？我们可以啊，通过通过这个，比如说这个拉过来， 这个平行于这个且相等，对吧？相等长度就很好说明了，这个勾股定律就能证明了，是吧？ 平行我们要证明什么？拉过来之后，这个跟这个平行且向下且相等，我们就能证明这个打斜的 e、 b、 c， 比方说这是 m， 这是一个平行四边形，那么我们就能证明这个和这个平行且相等，进而这个 m、 c 和 d、 p、 f 平行且相等啊，这个不难证吧？所以我们这样子取这个中点 g， 然后我们这样连接， 然后证明 e、 g、 c、 b 是 个平行四边形，然后呢我们就能证明平行的传递性， 而且呢这个长度相等，对吧？我就简化了，因为这个很简单，考试也不会出这么简单的，我们就捋清一下思路，所以它是平行四边形。好，这个地方呢，同学们可能就想， 不用这么复杂，对吧？我直接干嘛？我直接这个平面 e、 b、 f、 d， 他 跟我们的左右两边和前后两边的两个平面相交，那么这个对边平行，这个平行不就得了吗？所以这里呢，就给同学们一个经典的一个错解， 也是刚才我们一直在提的一个点，我们在做任何一道空间题目，如果有四个点，务必要确定他是否共面。 像在这道题目当中，你如果用这样的方法，那有一个前提，你得先证明 e、 b、 f、 d 撇这四个点是共面的。我们题目的条件有说这个东西吗？没有说这个东西，你得先证明它是共面的，然后接着走这套流程， 那这个才是正确的。同学们一定要在以后做所有的空间几何的题目当中，都要注重注意 四点，他是否共灭的问题啊，是否共灭的一个问题，这个很重要哈，这个是非常的关键。好吧，那这个呢，就是我们的这节课的内容。好，我们下节课再见，同学们，拜拜。

哈喽，同学们大家好，来到了第八张立体几何初步八点一，基本立体图形。好，本节课开始呢，我们这一张进入到了一个新的板块，叫立体几何。立体几何由多少个章节组成呢？第一个呢，就是我们本章，再加上我们的下一本书选 b 一的呃，第一章，从这里开始我们的板块就不是很连续了，因为在过去当中我们会知道我们的必修一就基本上讲函数，然后呢，我们的必修一第必修二的第六章讲这个平面向量减三角形， 那其实减三角形呢，也是我们的一个三角横等变换的一个延续，然后呢，第七章是我们的复数，但是从立体几何初步开始呢，它就是打乱了， 对吧？所以我们要知道成板块的学习是怎样去学习的这两张，然后呢，我们的高考当中，立体几何基本上是百分百会出一道大题，所以很重要， 而这道大题最终端的知识会用到这一张的内容。但是我们的这个第八张，它是基础，我们从平面进入到了立体几何，我们新认识的面和各种形状的一个物体，然后我们有一个定义和概念，我们说出来的时候，大家知道它是什么意思， 对吧？并且呢，怎么去画它，并且呢包括后面我们点线面的位置关系啊，这都是我们本章提供的基础。另外就是本章它也会单独出题啊，所以同学们不要说，哎，本章是不是我们只是作为后面的那个选 b e 的 基础，并不是的，它会单独出题，有两个考点哈，第一个是表面积和体积， 还有一个呢，就是呃，本章他的一些就是空间思维的一些能力哈，所以呢，我们说第一个本节课的任务，很多同学会乱啊，要干嘛？认识不懂几何题的名字和相关概念啊，就是一个文科的课程， 没有太多的题目，但是内容非常的多，这节课就很多的名字，关键是很多的概念，大家要知道，从而在后续的我们的立体几何的题目当中，这节课就是我们的八点。一，要让我们能够辨认出题目所提及的概念，比方说四能柱啊， 正三能追啊，棱啊，母线等等啊，在题目出现的时候什么意思呢？你要知道其背后的意思和蕴藏的条件，比方说这里说的正三能追的正，他 蕴藏了什么样的条件啊？这个就是本节课要讲的。然后呢，认识这节课要先用到一个还没有严谨背严谨定义，但是呢，从我们生活日常出发，不难理解的概念就是线面垂直，因为线面垂直是后几节课的内容，但是本节课就会出现，因为这个很简单呐，他没有说很严谨的东西， 就是我们从生活常识，比方说我们看我们的房子的柱子和地面天花的这个关系，他就对吧，竖起来的这个就是一条线跟一个面垂直的关系，我觉得这个应该我们从常识出发就可以去理解就可以了。 然后呢，就是我刚才提到的目前高考改革的趋势，对空间思维能力的要求极高， 这个从我最近几次去看很多地方的模拟卷，也看出了这个趋势，所以这个思维啊，他是隐藏在我们的这个知识背后的东西，很多老师是没有讲到这个点的，所以大家一定要注意啊，就是不要说只记得他的结论， 你要去不断的去锻炼他，因为学到这里，如果按顺序的同学就只是高一的下学期，你们还有两年多的时间，所以呢，要务必不断的提升和锻炼自己的这种空间思维的能力，不然会有一些题目很难想象的哈，就是尤其是一些啊，我们的多选择题啊，出现在前面的部分啊，不是后面的那道大题， 好吧，那么在我们周围呢？首先什么是立体几何图形？存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他的因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。第一个概念，空间几何体， 我们的学习以前从点线我们增加到了面面组成的体，然后呢，比方说，举个例子，我们经常接触到的球，对吧？足球，篮球，他们都是真实的物体，而如果只考虑他们的形状和大小，他们属于球体。 然后还有其他的几何体，比方说长方体，正方体等等，他们都是一个被抽象的概念。那同学们说，哎，我以前学点线的时候没有这么复杂呀，什么抽象的概念？那事实上没有题而已，大家要知道，点线它就是一个不真实的被数学抽象的概念。那同学说，不是啊，线不是啊，线真实不存在吗？不存在 啊，比方说我们一条头发，头发一根线，他不是一根线，我们生活当中所说的线跟数学的线是不一样的，数学的线是被抽象的，他没有厚度的，我们就算薄到一根头发丝，对吧？头发， 那么这个头发他也是有厚度的，只是他可以测量的，只是很薄很薄，对不对？他的一个直径很小很小，但是不是没有，但是线他就是没有， 然后生活当中的一颗尘埃，他很小，但是他也有空间，但是点他没有空间，对吧？包括后面我们说到的面，在数学当中的面是也是没有厚薄的，同学们要知道这个点，从我们小学一开始学到这个东西，他就是一个抽象的概念，但以前小学不会讲这东西，根本压根听不懂啊，对不对？所以我们要知道这个点。 首先呢第二个概念，我们来看什么叫多面体，一般的由若干个平面多边形围成的这个几何体，你看这个东西 还能看得到吗？我们的这个虚线的部分就是被遮挡的部分，我们画成虚线，对吧？然后这个多面体呢，它是由多个面来组成的，有棱有角的，这个叫多面体。然后这里呢还有几个概念，多面体的面，比如说 a、 b、 c 的 这个面， 这个叫多面体的面，围成多面体的各个多边形，叫做多面体的面，对吧？嗯，像这个面。第二个呢，多面体的棱，两个面的公共边叫做棱，比方说这个 b、 d 多面体的顶点，比方说这个 a 就是 它的一个顶点，它一共有四个顶点，所以我们看在如图的这个多面体当中，它有四个面，然后呢有六条棱，有四个顶点。 我们来看一下面是我们新增的，因为棱就是直线，顶点就是一个点。我们来看一下面的表达方式，看到，哎，这里的面刚才怎么表达的面 a b c， 面 a c d。 但实际上呢，我们表达平面所用的字母不一定是三个， 但一定是大于等于三个，因为我们知道至少至少有三个点才能确定一个平面。比方说右图当中紫色的这个平面，可以表达为 a、 b b 一 撇， 也可以表达为 a、 b b 一 撇， a 一 撇，对吧？都可以。但是当然呢，在某些场景当中，也会有很多人把它表达成 a b 一 撇，因为虽然 a、 b 一 撇这两个点并不能确定，并不能唯一的确定这个平面，但是在 这一道题的这一个图像当中， a b 一 撇，我们只能想象到就是这个面，所以也会有很多的一些，包括题目，包括有一些这么表达，但是不建议哈，不严谨。 然后呢首字母我们可以从任意的点开始，比如说 a b b 撇 a 撇，也可以 a a 一 撇 b， 但是呢，我们的顺序可以逆时针可以，顺时针可以任何一个点开始，但是不要不按顺序，比方说 a b 一 撇， a b 一 撇 b 啊， 这样串着来不好，很难看清楚好不好。这个就是点那个面的一个呃，命名的方式，表达的方式，知识理解的多面体由平面、多边形围成，这里的多面边形包括它内部的平面部分，但不包括里面。 第二多面体至少有四个面，大家去想一下，三个面是不可能围成一个多面体的。刚才我们看到的那个，等一下我们会详细介绍，它的名字叫三棱锥，这个是最少的面，这个地球上 四个面啊，应该说是欧式几何当中，欧式几何当中最少四个面能组成一个平面啊，组成一个多面体好不好？ 那么各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，各个面都是正多边形，比方说我们的正三角形就是等边三角形，对吧？那么这个多面体叫做正多面体， 正多面体，全世界全宇宙的正多面体，有且只有五种，那为什么怎么推导出只有五种？这个不是我们这里能够解决的，知识，我们要了解就可以了。第一，正四面体、 正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，我们有且只有五个，那么在这五个当中，我们要掌握 前面的三个。首先我们看第一个正四面体是由什么？它有四个面，这个不叫做用四边形来组成哈，它有四个面，它是由三角形组成，正六面体就是我们的正方体了，对吧？用正正方形来组成，正八面体呢，它又是三角形来组成的。哦， 那正十十二面体呢？五边形组成，正二十面体又是三角形组成。哎，我们会发现我们的这个正多面体当中有三个都是三角形来组成的，那这两个呢？是不会考到大家的，这两个是不会考到大家，但前面的三个呢？我们得知道就是题目直接告诉我们正八面体， 正八面体是个啥玩意，对吧？正八面体是个什么东西？那这个时候题目啥都不给，图也不给，那怎么办？我们得知道正六面体，说出来正面六面体是什么东西啊？就是正方体，正四面体，应该这个呢是考频是最高最高最高的， 我们得知道这个正四面体，包括等一下在学习棱锥的时候也会介绍它的性质。好吧，那么接着呢，我们学习什么呢？这个组别叫做棱柱，棱锥和棱台，它们都属于我们的多面体。刚才介绍的多面体，首先什么是棱柱呢？看着它的定义哈， 一般的有两个面互相平行，其余的个面都是四边形，并且相邻的两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，大家可以好好的去读多两三遍这个定义，并去理解它。我们来思考一下这个东西， 大家思考一下，按照定义这个东西算不算能住大家思考一下，大家一定要不断的去锻炼刚才我说的，哎，一个是图像的能力，第二个呢要锻炼自己阅读定义的能力。不是，我作为老师，我告诉你们这个算还是不算？这个定义里面你们觉得算不算 有两个面互相平行。好，这个当然有两个面互相平行，有两个面互相平行，平行吗？平行，其余的其他面是不是四边形？是的， 两个面互相平行，是的，并且相邻的两个四边形的公共边，公共边，公共边，公共边都互相平行，是吗？是的，所以按照这个定义，这个多面体叫不叫棱柱，叫的这两个都叫棱柱。 好搞清楚，所以呢，我们在学习这些时候呢，我们第一，我们要我一直讲的那个词叫顾名思义对不对？我们从零名字出发，我们生活当中的柱子 啊，我们觉得柱子的东西就是直的对不对？但是我们在这个地方除了顾名思义去理解，我们也要知道数学当中的严谨定义，或者说在高中数学当中棱柱包括了这个东西，看清楚哈，然后我们来看一下棱柱这个地方呢，有什么样的概念。上下这个粉红色的呢？它叫什么？叫做底面？好注意， 上和下都叫底面啊，好不好？底不一定叫，这个才叫底面，上下都叫底面啊，他们是全等的，对于棱柱来讲，不管是刚才的那个斜的还是这个正的两个底面全等的，这个叫侧面， 侧边的面啊，对吧？顾名思义他们一定是平行四边形，他说了定义里面就告诉大家是平行四边形侧棱啊，对吧？他会有这个也叫棱，侧边的棱，对吧？他们相互平行， 然后呢，这个就测棱哈，这边随便一条，然后呢顶点，嗯，这个叫什么？叫顶点？侧面与底面的公共顶点，这是相关的概念，底面，侧面，侧棱，顶点， 棱柱呢？怎么表达呢？用表示底面的各个顶点的字母来表示，比方说这个就是 a、 b、 c、 d， e、 f， 然后 a 撇， b， c， d， e 撇， e， f， e 撇，中间用一条杠表示，就这样子很简单吧。 ok， 然后呢，棱柱有什么样的分类呢？ 第一个分类方式就是根据底边的多边形的边数来分类，分为三楞柱，有没有二楞柱啊？ 没有吧，最小的那个平面图形就是三角形，对吧？四楞柱、五楞柱，一直到 n 楞柱，这个不难分吧，对不对？底面是 n 边形，那么它就是 n 楞柱，对不对？底边是 n 边形， 那么就说明它是 n 能柱，这个没问题吧？啊？然后接着呢，我们来看一下特别的一个特别的底面，是平行四边形的四棱柱，四棱柱的底面不一定是平行四边形啊，同学们要搞清楚啊，我一个不规则的，我随便 啊，这样子，我一个柱子，这我就是说俯看图啊，俯视图是这样子的图形，我也可以成一个柱子啊，好吧，所以呢， 四能柱不一定是平行四边形，那如果底面是平行四边形呢？它也叫也叫平行六面体，又是一个新的概念哦，考试里面出现平行六面体，不要说话，平行六面体是个啥玩意？不难理解。由于其六个面都是平行四边形，那么问题来了， 那么哪两个面是底面，哪四个面是侧面，其实是有不一样的理解的。比方说我们在看这个图，我们认为红色的，红色的和底下的，好吧，这两个上面的和下面的都是底面，那么我是不是也可以认为这一边的和对着那一边的是底面呢？是不是也可以认为这个和这个是底面呢？ 对吧？我们认为谁是底是有可能因为摆放的不一样的区别的，这个就是我说的什么叫做在这个过程当中，不要觉得我要快点，我要接触更多的东西，而是要不断去感受和去干嘛和去思考， 去想下去培养我们的这个空间能力，因为这个呢，确实就是能力的东西，等到了高三、高二、高三的时候，那其他是很好去提升的，到时候就晚了，知道吧？ ok， 那 么第二个分类是什么呢？刚才说分类一，那第二个分类呢？就是根据侧棱，我们的侧棱跟底面的位置关系来分类，我们以四棱柱为例哈， 如果是长这个样子，就是我们刚才讲的什么东西，就是我们的柱子，生活当中的柱子就一根上去的，对吧？这个柱子呢，把它想象成一根线，它是垂直于这个地面的，对不对啊？一个柱子垂直地面的，但是我们刚才说什么东西啊？ 我这个东西它也叫注子啊，也叫能注啊，对吧？那么这个注呢？叫邪能注，对吧？所以呢，这个叫正能注，那四能注它只是我这里的举例，所以呢，比方说它是五能注，那么就是值五能注，邪五能注啊，对吧？所以叫值四能注，邪四能注， 明白吗？啊？这两个一个是直，一个是斜，又多了两个概念哦，又多了两个概念哈，要注意，一般的我们把侧能垂直于底面的这个能柱叫做直能柱，这个就是我说的，我们还没有完全讲这个线与面垂直的概念，但是这个应该大家不难理解，对吧？ 侧能呢？不垂直于底面呢，叫做斜能柱当中呢？如果我们特别的在直四能柱当中，底面又多增加多一个条件， 就是底面是正多边形，那么它的一个只能柱，这里两个条件呢叫正能柱，这个概念非常的重要，这个在考试当中也出现的非常的多，就说比方说这个直四能柱，首先它是直的，也就是说这个侧能垂直于底面，并且它是四能柱，所以如果考试里面出现了这四个字叫正 四能柱，那么我们阅读到什么样的信息？它的底面是个正方形，对吧？正四边形是不是就正方形？ 好？这个东西在考试当中哈，不会再再跟你说一次哈，我们有正四能柱，什么什么什么东西，它的底面是正方形，没有这么啰嗦，所以我们得吸收到它相关的一个信息，明白吗？所以呢，我们说哈， 我们刚才说分类一 a 能柱和分类二直斜正，它组成了不同能柱的名字，比方说正四能柱、直六能柱、三能柱等等啊，不标注，其实斜这个字啊，很少出现啊，就告诉你三能柱，那 那么三楞柱就告诉你它有可能是斜的，有可能是正的，大家知道，当然我们也都要知道这个概念。那么比比方说，我们以正四楞柱为例， 如果在题目当中出现哈，如图，在正四楞柱 a、 b、 c、 d、 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇当中，怎么什么什么好这四个字，我们刚才说我们要捕捉到有两个信息，第一，它这个是垂直的，第二里面是正方形，它有两个信息，这两个信息不会再跟你说，好吧，这是基础，所以搞清楚这样的概念。 反之，如果说是直思能助，不要说，哎，他题目说是直思能助，所以底边是正方形，那这个就是 错以为的一个新的一个，就是给他编造了一个条件，对吧？所以呢，这些概念就不要模糊不清，一定要清楚，这样的概念，明白吗？然后呢，第二个呢，就是我们讲完能助，就讲能追，把一个能助的其中一个底面汇聚成一个点，就变成了能追，看一下，这是个能助，对吧？ 好，这是一个棱柱，然后把其中的一个底面，比如说这个一个底面吧，把它汇聚成一个点，它就变成了棱锥，对吧？棱锥 啊，接着我们来看一下棱锥的相关的一些术语啊，首先它的定义是，一般的有一个面是多边形，还有一个面是多边形，其余的各个面都是由一个有一个公共顶点，公共顶点的三角形，其余的面都是三角形。刚才的面都是 平行四边形啊，都四边形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥啊，对吧？一个面是多边形，另一边呢，汇聚到一个顶点，共同的公共顶点哈，然后这些面都是什么？都是三角形这个东西，它叫棱锥， 这个叫底面，这个是命名一样的，对不对？ ok， 然后接着呢，侧面，那这些就叫侧面，侧棱，这些应该都好理解吧，顶点好不好，这叫顶点 好吧，一般能追，用顶点底面的这个格式来书写，我们用一个顶点 s， 然后一杠 a， b， c， d， e， f。 啊，这个也好说吧，如果底面是个三角形， a， b， c 呢，那就 s， 一 杠 a、 b， c， 嗯，就这样子，它的命名规律都是有一定的规律的，然后看一下能追的分类，也分两种，第一，根据底边多边形啊，一样三能追，四能追，五能追， n 能追，对吧？ 哎，这个就不用多讲了吧，跟刚才是一模一样的好。然后特别的三能锥呢，它又叫四面体，有一个特殊的，刚才我们说有一个特殊的，就是平行六面体，对吧？平行六面体是特殊的， 然后呢，三能锥呢？它的名啊，它也叫做四面体，因为它有四个面，所以呢，同样的考试给到你，四面体是什么来的？四面体就是三能锥哈，不难理解，由于其四个面都是三角形， 那又来了，哪个面是底面，对应哪个是顶点？这个是顶点还是这个是顶点还是这个是顶点？哪三个面是侧面，哪个面是底面？是有不同的理解的。比方说我们红色的是底面啊，现在这个是底面， 接着呢，这个是底面哈，这一边的右边的是底面，接着呢，那一边我们看不到的那一边是底面，还有呢？左边是底面，哎，他是不是有一共有四个，就四面体，四个面我们都可以认为是底面，如果认为这个是底面，这个就是他的顶点，后面是底面，这个就是顶点，对吧？这个是底面，这个就是顶点，下面是底面，上面就顶点， 对吧？所以顶点和底面是相对的，这个特别的在四面体当中也会出现我们的一个基本理解， 这个分类呢，就是同样的，刚才我们说底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥，对吧？底面是正多边形，然后呢且顶点，这个顶点 跟什么呢？啊？比方说我们在这个当中底面的 abc 是 等边三角形，那等边三角形它的底集合中心为 m。 有 没有同学在这个地方说什么是集合中心的？有没有同学说这个什么集合中心 等边三角形的四心合一，对吧？它的重心啊？各方面垂心都是一样的，这个是初中的重点内容，它不是高中内容。那么正方形呢？ 它的相交的这个东西啊，这个中心，对吧？然后呢就是这样子的，这个叫几何中心，那么接着呢，这个顶点在几何中心上面， 对吧？连线，这个连线它垂直于底面，又是刚才我们说的我们还没出现的这个概念，线面垂直，对吧？这个是这样子垂直的，那么这个时候呢，我们就说它是正能追， 说这个时候呢，同学们，我问大家一个问题，正三能追这个对吧？正三能追侧面是不是一定是正三角形啊？是不是一定是正三角形？按照这个定义，底面是正多边形，比如说底面是正三角形，这个没有问题。然后呢顶点与底面的中心的这个连线垂直于底面， 是不是他可以很高很高很高，他只要为为位于这条垂线上面就可以了，这个顶点，所以这里是不一定是什么，他不一定是那个啊？侧面不一定是等边三角形的，但是他是不是一定是等腰三角形的？同学们想想 是不是一定是等幺三角形，他一定是等幺三角形啊？这样的东西都是要靠同学们去阅读了这个定义，然后去理解，基本的理解啊，课本当中不会每一个事情都跟大家去讲的那么透彻好吗？不是每个东西都像背书那样背下来，好好去理解他好不好？然后呢接着楞台，我们说学完了筑学追学台， 对吧？然后这里呢，我们从棱柱到棱锥到棱台，我们看一下这个变化哈，两个棱柱，然后呢如果其中一个棱柱把它汇聚到一个点，这个时候就是我们所说的棱锥，然后呢这个棱锥我们再来看一下，我们再拿出一个棱锥干嘛呢？切一刀， 这个就变成了棱台，好吧，所以呢棱台就是什么呢？一般的用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，我们把底面和界面的那个部分这个东西叫做棱台， 那么这个呢？底面这个时候就不一样了，由于我们跟那个棱柱不一样的，是底面和上底面和下底面不一样，所以我们要做区分，对吧？ 棱柱不用做区分，是因为上底面和下底面它是全等的，那现在不一样，我们叫做区分，对吧？上底面、下底面、侧面，其余的各个面呢？叫做侧面啊，对吧？比如说这个叫侧面、侧棱，这些都一样哈，对吧？顶点都一样 啊，就是我们的底面会有一点区别。接着我们来看一下这个棱台的命名，跟其实跟刚才一样哈，跟刚跟刚才的这个棱柱一样，也都是这样子去命名一个杠，对吧？上下底面把它连起来，所以其实从棱柱到我棱锥到棱台，会发现他们的命名规律其实是一致的。 棱台的分类呢？同样就是三棱台、四棱台、五棱台、 a 棱台，对吧？然后呢，平行于底面的这个平面，截取正能锥所得的棱台叫正能台，对吧？就是我，如果我本来是个正能锥， 背结这个东西叫正能台。不难理解，正能台的上下底面都是正多边形，为什么呀？因为我如果是正能锥，底面是个正多边形，而且我们的上下底面的几何中心的连线，比方说在这个地方上下底面都是正方形，正方形的中心连线它是垂直的， 好吧？是垂直的，好吧，理解吧。然后我们来看一下我们的例一啊，如图所示，下列关于这个几何体的说法正确的有哪些？第一个呢，就是这是一个六面体啊，这个就最简单的直接数出来就行了，如果这个数不出六个面，那就没办法了，那第二个呢？这是一个四棱台， 这个呢，应该很多同学会搞错啊，同学们说这不是四棱台吗？是我们要抛开我们感性的这种感觉，它很像台，我们要干嘛？回到那个定义本身，定义怎么说的？棱台是由棱，什么棱锥结出来的， 所以如果大家认为它是个棱台，那么它理应汇聚到一点，看一下，它汇聚不到同一点，所以它不是棱台。这个地方好好想一下它的定义。第三个呢，这是一个四棱柱， 这个也很容易错，很多同学说，不是，这不是柱子，对吧？这不是柱，他不满足四棱柱的那个定义啊，对吧？但是，但是我们一定要把这个想象成底面吗？我们来想象一下我这一个， 这个直角直角梯形，它是底面，这两个是底面，这个是侧棱，它是不是就是一个棱柱的？是的呀，所以这是对的，所以我们要干嘛？它塌下来了，换一个角度，我们要看的看得到，明白这个意思吧？然后第四个呢，就是此几何体可以由三棱柱截去一个三棱柱得到， 这怎么来的？想一想，我们这里画出来了补全的这个图形，它就是一个三棱柱，对吧？同样的，它是趴着，不是往上的那个柱子，对吧？那么截去紫色的这个部分，那么就是三棱柱，截去一个三棱柱， 此几何体可以由这个那个四棱柱截去一个三棱柱，能不能想象得到？把这里补全了，截去蓝色的部分， 就是啊，好好想象一下，所以我这个就是我们说的现在高考的改革对空间思维的要求很高，我们如果空间几何体摆放角度和方式不同，我们也要去识别，不能说一个柱子我打打横放了，我就看不看不到了，也不能说我的棱台我区分不了，哎，这个就是我们所要讲的东西。 第二，这是课本的一道例题，将下列各类几何体之间的关系用 v n 图表达出来，多面体、长方体、能柱、能锥、能抬直能柱四面体和平行六面体。好，同学们还记不记得 v n 图啊？回忆一下，这个太重要了哈。首先集合里面用到你们即将学完这一张， 你们去学第九张，第十张，概率就要用到 v n 图，一直到选 b 三的概率的问题都要用到大量的 v n 图是来解决啊，所以概率的问题的理解跟集合是一样的啊。想起 v n 图就是画图，多面体包括了他们的所有， 然后里面呢，区分了能助、能追、能抬，对吧？它不是占有所有，助友，它不是只有这三个，它还有很多不规则的，对吧？这三个是很多规则的。 那么我们看一下这里的四面体，四面体它属于能锥，四面体，它就是三能锥，对吧？然后能柱呢？这里有直能柱，有平行六面体，对吧？平行六面体。 所以呢，我们来看六是平行六面体，也可以是则能柱，对吧？平行六个面都是平行四边形，它也可以是直的，然后直的时候呢，它可以是如果长方体，它必须是直能柱， 他也必须是平行六面体。然后这个地方呢，我相信就会有一些同学没有想明白，他们相交不止，如果一个平行六面体，他是个直楞柱，他打直了都不一定是个长方体吗？你要想想，可不可以是底面，是一个平行四边形，然后直着上来，可不可以？ 所以不一定是长方体啊，所以长方体也只是他们相交的其中一部分，理解吧？理解这个点哈。 然后呢，下一个部分呢？我们讲我们的圆柱、圆锥和圆台，继续是柱锥台，那现在呢？我们说是叫旋转体，刚才叫多面体，一条平面的曲线，包括直线都好，绕着它所在平面内的一条定直线旋转，所形成的这个曲面叫做旋转体。 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体的轴，这里好几个概念，大家去看一下。 常见的旋转体有什么呢？首先第一个呢，我们是一个长方形，这个就是我们所说的平面曲线，直线也算哦，什么都算了，包括平面图形也算。绕着一条线转转一圈，我这里就没有办法做出那个效果。转一圈是不是得到了一个这个东西，这个就是圆柱，然后接着一个直角三角形 绕着转一圈，对不对？我们就得到了一个棱锥，然后呢，这个直角梯形绕着这个直角边转一圈，得到了圆台，接着呢一个半圆绕着这个转一圈得到了一个球，所以它们圆柱、圆锥、圆台和球这种跟圆相关的都是旋转体 旋转而来的。首先圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余的三边旋转一周形成的面围成的旋转体叫圆柱，对吧？旋转一周 轴，我们说这个叫轴，旋转的叫轴底面，同样的有上底面，下底面他们是全等的，所以底面在这个地方只有一个，对吧？侧面啊，我们的 周围的这一圈整一圈他，哎，我们要知道这里有个区别，我们刚才的棱柱的侧面是有多个侧面的，而圆柱的侧面他是一个整体， 他跟我们的多面体的多个侧面是不一样的，他只有一个侧面，说他侧面就只整一个一圈，就像你们用的那个卷纸，对吧？你们用的那个卷纸， 卷纸的那个一圈一圈啊，所以这个那个侧面就是指一个整体母线，什么叫母线呢？外面的任何一条，所以能不能理解母线？一个圆柱的母线有多少条？是不是有无数条？它有无数条母线能理解吧？ 任何的上面下来平行于轴，平行于轴的这个边都叫做，哈，在外面的这个，好吧，然后呢，我们用上下底面的这个圆形 o 来表示， ok， 圆柱的侧面，我们来看一下，如果我们用平行于底面的平面来截圆柱，我们会得到这个叫什么叫横截面，圆柱的横截面呢？是一个圆， 用过轴的平面截圆柱得到轴截面，圆柱的轴截面是一个长方形。同样的，这里继续锻炼我们的这个思维能力啊，对吧？但同时我们过两节课，八点三就开始出现很多 表面积啊，体积啊，相关的一些问题啊，也会用到这些，我们的基本理解，那用一个不平行于底面的平面结圆柱得到这个斜截面，那么这个斜截面是一个椭圆，椭圆的概念呢？就是我们的那个下一本书第三章去讲的东西，但我们生活当中我们也理解椭圆像个鸡蛋一样的，对吧？这样子的个形状， ok， 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，我们刚说了直角三角形，但是注意哦，不是斜边的，不能斜边，一定要是直角边，这一条也可以，这一条也可以，对吧？那旋转这个叫圆锥，这条轴旋转，对吧？然后呢，底面， 侧面，同样的侧面也是一个什么，也是一个整体好不好？它也是一个整体。 接着呢，母线，母线同样的就是我们的顶点跟任意的下面的一个连线都是它的母线，所以所以它的母线同样的也有无数条，对吧？也有无数条母线，它的命名方式，顶点加底面的这个好不好？这样来说明 圆锥的结面，我们这个地方呢，我就打算不不详细去说，因为这个东西圆锥曲线，我们的椭圆抛物线和双曲线，在我们的下一本书会详细的去讲。为什么是圆锥曲线？哈，我们这里要关注就是轴， 这样子是等腰三角形，这样子他也是等腰三角形，我们得知道，接着呢，如果用平行于底面，这是一个圆，这个好理解，不平行这是一个椭圆，所以这个地方呢，我们进一步我们如何截到抛物线和双曲线，我这个地方就不讲了好不好？到时候同学们再看一下， ok， 然后圆台，因为之前我们做了很多的铺垫了，这地方直接给同学们看了上底面，同样的是个整体，也同样的轴， 看一下这样的概念就可以了。所以我们看到柱锥台，我们的楞柱、楞锥楞台，圆柱、圆锥圆台，它们的命名是有规律的，千万不要死记硬背，它是有规律的，对不对？ ok， 然后呢，一般圆台用上下底面圆的圆形来表示，也命名也是有规律的好不好？不要死记硬背。那么我们一样的跟刚才一样，从变化的角度来看，圆柱到圆锥到圆台，对不对？汇聚成一个点，然后呢？ 截他截的一个面就是圆台好不好？然后呢，当然我们还可以有另外一种理解，刚才呢是汇聚一个点的理解，另外一种理解呢，就是我们刚才所说的旋转得来的，绕一条直角边旋转一周所围成的这个所围成的这个 立体图形，对吧？我们说，然后接着呢，我们做一个总结，能助、能追、能抬，一个呢，就是有棱有柱的，所以我们为什么说有棱有角？是不是有个词语叫这个人有棱有角的，就是有锋芒的这个人，对不对？有棱有角他不中庸， 对，有棱有角有脾气，对，有棱有角就是棱柱，所以这个就是棱啊，我一定要跟这些相关的词语跟我们中文的理解去联系在一起，我们就好理解，这个呢，就很圆滑的，对吧？圆柱、圆锥、圆台，它都是，对吧？它上面全部变成了圆，就变成这个东西， 同样呢，我他也可以有这样子的一个变化过程，对吧？我们说把它退缩成一个点，刚才我们是干嘛？我们是先从这个变成这个，然后去截他，我们是不是也可以理解用这个去收缩，但是收缩的过程当中呢，得保证什么这两个字叫什么？相似，他得保证上下底面的相似， 保证相似的前提下去开始收缩，然后慢慢收缩成一个点，就变成了能追，所以会发现有好几种不一样的理解， 有好几种不一样的理解都可以去理解哈，去思考一下他，我们第三种理解了哈，第三种慢慢的缩小，缩小到一个点，对吧？ 先变成点去接他，第三个呢？啊？这个没有旋转，这个第三个就是旋转的概念，三个去理解他，然后最后呢就是我们的球，一般的半圆去旋转，对吧？我们就得到了球，是吧？那外面呢叫球面，中间呢叫球心，半径，直径，对不对？ 然后呢和圆一样，我们只需要用这个球心来表达这些都比较简单的一个概念，对吧？然后呢我们最后讲一个就是叫简单的组合体，我们刚才讲了什么东西？好，我们先做个汇总，我们首先介绍了什么叫多面体， 对吧？然后接着多面体呢？这里有什么？棱柱，是吧？棱锥，大家可以跟着我一起来做一个这个思维导图啊，好不好？这样大家就会更清晰一点。然后呢旋转体， 然后这里呢圆柱、圆锥、 圆台，对吧？它们呢？柱锥台其实还有另外一个分类，就是我说的柱分为一类，锥分为一类，台分为一类。这里我们说另外一个柱，它包含了圆柱、圆锥、圆 台、锥啊，柱包含了这个圆柱啊，圆锥和棱锥台包含了圆台和棱台。 这种分类方式呢，在我们八点三的那个地方会比较重要，因为柱锥台的这个面积公式是这样去分类的啊，体积公式， 体积公式是这样去分类的，第一类，第二类，第三类的，所以会有两个分分类，再加上球，球是一个独立的，球是一个独立的， ok， 好吧，所以我们这里要做好一个分类，什么叫多面体？什么叫旋转体？什么叫求圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱台相关的概念非常多，几十个概念，对吧？但是它是有规律的，不是随便来的，它的中文的那个字取字也不是随便来的，为什么叫棱，对吧？好，就这样子。 然后呢，除了刚才我们很规则的集合体，它还可以干嘛呢？组合对不对？叫简单的组合体，然后比方说，比方说一个四棱柱结合一个三棱柱，对不对？ 拼起来这个组合体就是像一个房屋一样，对吧？然后接着呢，四棱柱，又是一个四棱柱，我们挖取它，因为组合或挖取挖取它，是不是像课桌里面的这个抽抽屉一样，对不对？就这样子，这又是一个组合体。所以呢，我们来看一下例三，以直角梯形 a、 b、 c、 d 的 下底，哎，注意哦， 我们刚才我们的圆台是按照这条直角边，现在不是他按照底作为轴，然后其余三边旋转一周，我来想想一下，嗯，想象一下他会变成什么？他说变成这样子的一个东西啊，像那些存放谷物的那些谷仓一样，对不对？像谷仓 啊，像这样子的一个东西，然后他的结构是什么？底下是一个圆柱，上面是个圆锥，我们也可以这么理解，把这里切一刀，下面的一个长方形旋转出来，圆柱上面的这个直角三角形旋转出来圆锥好不好？所以呢，是这样子，所以这个几何体呢？就这样子去形成的好不好？ 好，这个就是我们的这节课，而我们的例题不是很多，但是呢，很多的概念哦，像我说的，大家要就是有有规律的去记忆它，不要死记硬背去了解每一个东西，千万不要有歧义啊，一定要搞清楚它的概念，这个就是我们的这节课。好，我们下节课再见，同学们。拜拜。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点四点二，空间点，直线平面之间的位置关系。那么这节课呢，是后续我们研究整个空间问题的一个理论的很重要的基础， 就是说我们的整一个空间当中，最基本的就是有点线面来组成的，那么他们之间有什么样的位置关系，就是我们这节课要总结的。首先第一点呢，就是我们上节课已经总结过的就是关于他们的从属关系， 我们会知道呢，我们在空间当中点是最基本的单位，它就是一个元素，而我们的直线和平面都是 无数的点的集合，所以他们呢，其实是一个集合，所以这个时候呢，他们的符号语言，其实我们只要想通了这个逻辑关系，我们这些东西是不用记的哈，就是给大家告诉大家去做个罗列 说，哎，我们的这个是一个元素，所以呢，元素与集合之间我们使用的是什么符号用的是属于，然后呢，这个直线与平面是集合与集合的关系，所以用的是包含于，就这样子， 所以呢，我们以后是不再需要啊，这个点 a 在 直线上，点 a 不 在直线上，所以我们的那个，呃，我们的文字在解答题当中是不用写这么多废话的哈，直接点在直线上， a 属于 l， 非常的清晰啊，全世界都能看懂，不管你说的是中文还是英文，所以这个就是符号语言的简洁、精准和通用性的这种魅力哈，我们来看一下。接着呢，我们来看 空间当中，首先看线线，直线与直线的位置关系，首先呢，我们说如果两条直线 l、 m 共面，共面我们就很熟悉了吧，我们从小学就很熟悉了哈，就是两条直线共面的情况，那么我们知道它们有三种位置关系，分别是相交、平行与重合。 而我们相交当中呢，我们又区分了一个特殊的一个 special 的， 就是垂直，对吧？重合呢？这个地方呢，这个符号是课本没有讲的，大家直接写重合吧，重合的情况其实也很少哈，直接写就好了。然后呢， 这个地方呢，首先我们先关注到这里哈，此外，我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做一面直线，关注这个定义哈，不在任何一个平面内。打个比方说哈，比方说我画一个什么，我画一个长方体哈， 比方说这个是 a、 b， 这个是 c 撇 d 撇。好，那 a、 b 和 c 撇 d 撇，我们看到它不同在哪里啊？不同在 a、 b、 b 撇 a 撇的这个平面内，那么我们能说它们是异面直线吗？不能，因为它们同在这个平面内啊，对吧？ 就是 a、 b、 c 撇 d 撇的这个平面，打斜的这个平面。所以我们一定要搞清楚什么是异面直线，不同在任何的一个平面内，也就说 当我们在这个世界上，我们找不到任何一个平面，能够包包容掉他们两个直线，包含了他们两个直线都在里面， 那么这个我们才叫做意面直线啊，我们一定要搞清楚这个概念。接着我们来看到，呃，平行线的概念， 在空间当中，在同一个平面内，永不相交的两条直线叫平行线。那么这句话的定义在我们的小学、初中当中呢，有不同的教材有不同的表述，首先基本上都这样表述，那这句话呢，有的教材就严谨一点，有写出来，有的教材呢，就觉得写出来还省的就是要跟大家去做解释，对吧？ 所以呢，我们现在知道永不相交的两条直线是平行线吗？我们知道意面直线它也是永不相交的，所以它一定是 一比一，一方面他得是共面，在共面的情况下，永不相交才叫做平行。那所以现在呢，我们要严谨的去表达是不是平行，对吧？然后呢，为了区别相交直线和意面直线的作图通常要用一个平面啊，一个平面 来衬托，就什么呢？我们看到这个东西，我们觉得，哎，这个意面和这个相交直线完全不同，他的两个意面直线， 我们要知道我们看到的屏幕纸张，试卷他都是平面的，对吧？那如果没有这个平面阿法，那这个直接划过来，那么就会发现，哎，其实意面直线和相交直线没有区别， 所以我们会知道我们是怎么画的，我们说你可以不画，被平面遮挡的这个部分我们可以不画，或者画成虚线都可以，这样子就会显得有立体感，所以呢，是要这样子去做的，好吧，接着我们来看直线与平面的位置关系有三种，分别是相交、 平行，还有直线在面内。当然从大的分就是，首先是直线在面内和直线在面外。首先我们来看，如果直线与平面有无数个公共点， 那么称直线在平面内。同样的，我们来看一下这个直线在平面内的定义，有无数个公共点，或者我们应该说直线上的任意的一个点，所有的点都会在这个平面上，才叫做直线在平面内，所以我们要知道不是说，哎，这种情况，平行啊，他不在平面内啊，这种呢？他在啊，不是的， 这个所有都统称是在面外，无论是他有零个焦点，还是有一个焦点，都是在面外，所以这个是有一个焦点，对吧？一个焦点，零个焦点，那么这个呢？他的焦点的个数是无穷啊，对吧？有无限个，这个才是指现在面内好不好。 那么当直线与平面相交或者平行的时候，直线不在平面内，也称为直线在平面外，好吧，在面内面外，不在平面内哈，相关的一些这样的一些表述。那么平行，我们知道平行，直线、线面平行和线面垂直，我们先通过一个非常感性 啊，课本也用了这个词，非常感性，我之前跟大家说，是吧？我们既要有非常严谨的，我们后面的六节课 就要非常严谨的去证明，那么我们也要有感性的这种空间思维，对吧？我们说了空间思维非常的重要，也是现在考察的点，所以呢，我先罗列出来，也是给大家干嘛呢？还没有做严谨定义的时候， 我们其实就能去理解了，像比如说像垂直这样的东西，我们其实生活当中很常见，像我们的旗杆插在这个地面上等等，对吧？所以呢，我们先了解，先做个初步的了解，后续的课程会严格的去定义它，好吧，去定义它，并且要看如何去做判定性质等等的一些研究。 接着呢就是平面与平面之间的位置关系有两种相交和平形，同样的相交当中特殊的是垂直，对吧？平行这样子的，像我们的天花板 和我们的地面之之间这样的关系，是吧？然后呢，我们的垂直就好像我们的墙面和我们的天花或者说地面这样的关系啊，对吧？那么这个呢，就是相关的关系，我们首先要关注的点是哦，我们要知道他们有这样的位置关系。第二个，哎，我们来看一下他的语言表述好不好，嗯，就这样子， ok， 我 们来看第一道例题，已知长方体这个当中判断下列直线之间的位置关系， e b 和 h c， 嗯，这两个是不是平行的？ a b 和 f c， f c 是 不是感觉它是一面的，对吧？嗨，我们这个地方不需要严格证明，只需要大家凭感觉去做就可以了，严格证明是后面的事情，好吧， h d 和 h c， h d 和 h c 啊，这个典型是相交嘛，是吧？ a b 和 f c， a b 和 f c， 哎，我们是不是也看到它也是异面的，它也是异面的， ok， 那 第二道题，若平面阿法外有两个点， a 和 b， 它们到平面的距离都是 a， 则直线 ab 和平面阿法的关系式。这道题目呢，就是没有同学们停下来想一想，想清楚一点啊，它的答案应该是什么？ 我们其实有两种情况哈，第一种呢，基本上很多同学都能想到，对吧？哎，他不就是平行的吗？对吧？有两个点，他们到这个平面的距离他都是 a， 对 吧？连起来他都就是平行的，但是我们要知道，他其实有另外一种情况，在这个平面上方和下方， 或者说我们说两侧，因为它不一定是打平的平面，对吧？我们说是在两侧，那么在两侧的情况下，它也是满足，此时它是相交的直线，所以它是什么？它是平行或相交。 第三课本的一道例题，用符号表示下列图形中直线平面之间的位置关系，我们来看一下。首先这个地方呢，就比较少元素面和面之间的位置关系，我们来看一下。首先这个地方呢，就比较少元素平面之间的位置关系，我们来看一下。首先这个地方呢，就比较少元素是干嘛相交的？ 那么相交它最终相交的结果，两个平面相交出一条直线，是哪条直线？这条直线幺，所以 a 加阿法加贝塔等于幺。然后呢，我们来看直线与平面直线，它标注出了什么？ 标注出了幺和 a 幺呢，它属于平面阿法，它也属于平面贝塔。那然后呢，这个 a 呢？哦，这条 a 的 直线是跟平面阿法相交于 点 a， 它跟平面贝塔相交于点 b， 所以 是这样子的，相关的一些位置关系好不好？ 那这个地方呢，我们来看阿法和贝塔，它相交于点啊，那个直线 l 跟刚才是一样的，跟这个是一样的。然后我们来看直线与平面，直线与平面之间呢？是什么呢？就是我们的 a， 它会属于阿法。嗯，好吧，直线 a 与平面贝塔会相交于点 p， 然后呢， b 会属于贝塔， b 呢，跟阿法呢，又会相交于点 p， 对 吧？那这是线面的关系，然后呢， l 当然也一样， l 呢，也是属于这个平面阿法和平面贝塔，对吧？然后接着呢，就是他们的线线关系，线线关系， a 交 b 等于 p， a 交 l 也等于 p， b 交 l 也等于 p， 对 吧？三个都是相交的关系好不好？相关的一些关系，我们的例式如图， a， b 交阿法为 b 点，然后呢？ a 不 属于阿法，哎，你看同学们就要慢慢的去熟悉，看这样的语言， 在试卷当中就不会再跟大家讲点 a 不 在平面阿法上，不会讲这么啰嗦的话了， a 不 属于阿法，嗯， a 不 在阿法上， 然后呢？直线 a， 它包含于阿法，就是直线 a 是 在阿法面内的，然后点 b 呢？不属于 a 啊，是直线 a y 的 一点，那么直线 a b 与 a 具有怎样的位置关系？为什么呢？ 好，这道题，首先我们从啊感性的空间思维的感觉，是不是觉得它应该是意面的，对不对？它应该是意面的， 那么现在我们就要去证明他，我们要知道一个点哈，就是我们后续包括前面也是反正法，我们前面也已经是了，对吧？反正法使用的非常的多，反正法是一个非常重要的一个东西，它用来什么东西呢？我们要知道，呃，正无，很多时候啊，正 无是会比证有要难很多的啊，这个在我们的法律层面啊，我们的一些，呃，嗯，推理悬疑上面我们也会知道。这个点，就是我那天晚上我去了那家酒吧， 那这个时候我要证明我去了，那简单很多，我要找到相关见过的人给我作证，我要看监控，对吧？我证明没有去，这就很难了，对吧？我在家里没人见过我， 我怎么证明我没有区呢？所以正无在绝大部分情情况下都难度要远远大于正有，所以我们要知道，就是说，哎，我们要知道它意面，就说那个直线，这个这条直线跟这个直线 a 啊，这个 a b 和这个直线 a 没有交点， 怎么证明它没有焦点呢？这个是很难的一件事情，所以我们通常来说这个呢，就是用反证法。我们来看一下，假设直线 ab 与直线 a 不是 异面直线，我们假设它不是，那么不是异面呢？就是共面喽，对吧？那是共面的话，则它们相交或者平行， 对吧？它们要是共面的直线呢？要么就相交，要么平行，我们不用管相交里面有特立垂直，因为这里我们看焦点不影响，对吧？ 此时我们两条相交的直线，或者说平行的直线，能够唯一确定一个平面，那这个是我们上节课的结论，对吧？设该确定的平面为 b 塔，我们画不出来。我们假设有这样的一个平面，因为它们唯一确定了，那此时 这些元素直线 a b、 点 a、 点 b， 还有直线 a 全部都属于这个平面 b 塔，因为它是唯一确定的嘛。那么我们又知道这个 b 点它不属于这个直线 a， 那么我们是不是知道经过点 b 与直线 a 有 且只有一个平面阿法，就说它三者，这个直线 a 和点 b， 它能够唯一确定一个平面阿法，那此时它又确定了一个贝塔，所以阿法它只能等于贝塔， 那只能等于贝塔的时候呢，我们就能推出。那既然是这样子的话，那整一条直线 a、 b 也都在上面， a 也会属于在上面，那很显然 题目的条件 a 就 不属于这个算法，大家能理解这个逻辑条件吧？就是我们从一个基点出发去进行推理，推理出一个矛盾的一个结果，对吧？这与 a 不 属于算法矛盾，所以直线 ab 与 a 是 一面。直线 反证法呢？我一直都在讲，它很关键，并且几乎没有人不可能在你们的这个年龄是没有用过反证法。不可能的哈，我觉得是不可能的，我之前我就讲过，只要你在你的生命当中讲过一句话，就是照理这么说或者相关的意思，对吧？ 照你这么说，那么你就用过反证法，对吧？我说哈，我跟你们讲啊，无论你有钱没钱，无论你怎么样，其他全都不用看，只要一个人身体健康，他一定非常开心，只要其他全都不用管， 呃，照你这么说我们的，呃，所有的流浪汉，对吧？只要他身体健康的，家破人亡在路边，对吧？也没有钱，他也很幸福，是吗？对吧？照你这么讲，按你这么说是不是 每个人都用过啊？就是说他干嘛呢？就是在数学当中，我们在反正法假设了之后，我们要用一个后续的一个证明过程，对吧？但是我们要知道反正法本身它是一个极度基础的，甚至基础到不需要去刻意去学习的一个东西 啊，就是这样子的东西。但大家不知不觉当中也不知道哦，我原来使用的这个东西，它就是叫反正法就这样子的东西。然后这道题呢，告诉我们一个很重要的事情，就是 告诉我们一种判断意面直线的方法，所以课本的例题哈，其实真的是非常，就是它是有很有目的性的啊，我们在这个地方会得到一个结论，与一个平面相交的直线 啊，我们这里的直线 ab 和这个直线啊，那个平面阿法相交于点 b， 那 么这条直线和这个平面内不经过交点的直线全都是意面直线，这个结论相当的重要， 好，同学们要看清楚，这个结论相当的重要，这个会帮助我们未来判断这个意面直线的，我们要形成这种空间的感觉。好吧，他跟这个直线这个平面相交于这个点，那么在这个平面内，只要这条直线有两个点，第一 他在这个平面内，第二他不经过这个点，那么一定是跟这条直线是意面的，我们也要记得这个模型来判断这个意面直线啊，这个就是我们的课本的这道例题要告诉我们的这个点。好，那么这节课呢？就到这里，那么下节课再见，同学们，拜。拜拜。

准备好，请坐。那今天我们要讲一些立体几何部分的难题，动点的问题 以及动点形成的轨迹的问题，鞋面的问题， 概括重点运动形形相关的问题。来看一下这道题有没有思考一下？ haha。 来星星，嗯，就是因为它直线与平面无重叠，然后就把它 这个直线和你构成的平面照出来，也就是说这一些线跟那没有公共的线都在哪里啊？ 在这个平行的平面上，也就是动点成线，动线成面， 而你都要过 d、 c 点，对吧？这个是定的点，相当于你要过定点去做一个平面，这条线数都在我这个平行的平面里面 右，这个点右在哪里里面？所以我要去找他们的什么呀？交线，交线就是你点的什么呀？对，你知道啊？对，现在问题我们就转化为过第一做正面的 来过第一做正面的人呢？平行，那要做线跟啊做面，这样平行落实为做线平行。大家们怎么做这条线？那我们应该在平面里面做平行线，是吧？ 第一个我在哪个平面里面做它平行好做啊？ a、 e、 t 这个平面里面是吧？那它是中点，所以我这条就是面呢？对角线啊。呃，一条了，然后呢？ 在哪个面里面去做后面后面 后面，那后面要过，第一做一条跟他平行，只要过。哎，因为这两个平面是很平行的，所以我只要做一 b 的 什么线，所以取他的中点， 但是我这个平面跟底面的交线在哪里啊？不能延长啊，所以我们要把平面进行延展，那要延展平面就是延长线，所以把第一跟这一点连起来，连起来，那么这连起来以后这一点呢？ 哎，这两段就什么关系相等，然后交线出来了，没？连起，连起，连起。所以这点什么点？中点，这点是中点，所以这个点 p 的 轨迹处角 啊，这条线段，这条线段的长度正好正好 啊，所以我们抓住这一点，你这条是过定点的直线，他运动成一个什么平面，那这个平面跟他就没有公共点啊，所以就是过。第一，做正面的菱形平面。那怎么做平行平面呢？ 那就做线的平行线，那我们确定平面再做平行，是吧？先确定在哪个平面里面做平行线啊？ 来进行我们这一类的问题。这是一个直的三棱柱，比上角 a 还是直角， 那这是什么模型的直三棱柱？全角的模型可以补成啊。长方体再看 c h 等于 h c， 也就是 h 点是它的终点，终点，那么在 a、 b 上是否有一点 k 使得呢？ h k， h k 和 a e， b c 平行？ 哈哈哈哈， s c， s c， 谁想这个问题就想到 s c s 什么动线层面？就是去过定点 s 做 平面的平行平面。所以要做平线还是做谁做谁的平线好，做自己的。哎， 你要做 a、 b、 c 的 平行平面，那是不是做这些人的平行线就行了？ 哪个好做？哎，先确定平面再来做平行线，对吧？你要过 h 点，那应该是 a、 e、 c 中最好做的，找什么点？中点， 这一条竖跟这平面是平行的，接着呢，终点你都已经决定了，现在换换谁谁做定点， 就上面这个点啊，说细点。然后呢？这谁的平行就哪一条的好做 啊？ b c， 那 要说 b c， 那 就在哪哪个面里面做平行，把 b c 移到那来，以谁取它什么点中点？ 那这两条，那这个面跟它会平行的吗？会的话，那这个截面跟 a 一 b 一 的焦点就是 k 啊， k 就 它什么点中点，所以我们就看出来了，是吧？ 所以要使得它平行，是吧？那结论中使它的平行，那就当什么呀？ a 一 k 比去 a 一 b 一 等于 一比二十，怎么样？ h k 跟正面就平行，然后要给它证明一下了，是吧？证明一下来，各位怎么证明？怎么证明？ k h 跟正面平行，用什么法证明？ 我们刚开始在面里面找线，做好找，找完以后怎么正好正线面平行，一种三格考虑面面平行，还有线格考虑线线平行来， 那这样子考虑，那我要确定平面找交界啊？怎么确定平面啊？是中心投影好投影还是平行投影啊？投影平行，为什么平行投影啊？ h 处在 c c 以上， c c 跟上面一个焦点是谁？ c， 所以我过 k 点去做谁的平线， c c e 的 平线，那就做谁的平线， b b 的 平线，那就这样写，取它的中点为 e， 然后呢？连接这个是吧？ 则它将 a b 于 f 点， f 是 它的什么点？中点， f 是 它的中点， 然后，所以呢？ k f 就 菱形且等于谁？二分之一的，对不对？ 对不对？然后呢？又 h c 呢？菱形且等于谁？二分之一， 所以出平行线相等。 k f 平行线等于 h c， 所以 这个四边形是，而四边形是平行四边形，所以，所以 k f u 平行谁 啊？啊？要不要这个啊？要。好，那就 k f 跟谁平行，所以 k k h 哈，跟谁平行？ f c 平行，所以见个面 平行，然后中间要加一个什么啊，再跟，这就完蛋了。 那看来烫焦的时候通过什么来烫焦会比较好？烫焦啊啊，先把线运动成面，在面里面找平行呢？是不是好找 来，那继续再看一下。 ahh， that is a。 怎么证明线面平行？过线做面找交线，也就这样个考虑线线平行或者啊，深刻考虑面面平行 来，那过线做面找下面怎么找？这条线用什么投影来找？平行？平行投影，那也就过 c 点做哪一条？ 你 c 在 这里要切进去找标线，对吧？过 c 点有哪条线啊？已经有哪条线了，哎， c b 了，已经有 c b 了，所以我现在要过 e 点做 c b 啊。 c e 的 什么？ c b 的 什么线？平行线，那就只需做斜的平行线就行了。 a d 的 平行线，为什么做 a d 平行线就行了？线面平行，然后所以得到什么啊？线 b c 跟谁平行？ ad 平行，这边加什么条件？ 线面平行，过线做面找标线，那就 b c 在 平面 abcd 里面，对吧？然后呢，平面 abcd， 交平面 abcd 和 abcd， 所以 能不能让它们平行 线面平行，折线线平行，再面对找交线是平行的，所以这底是一个梯形，那梯形的话， a d 是 不是他们的啊？中间的环节我们通过 a d 过渡一下，只要找这个边就好了。 然后呢，那做平行线就是找比例的这点吧，那我在 pa 上取一个点，这点是几等分点？三等分点，哎，我们把这点记作 f 吧。 f， 那 就哎， 在 pa 上取点 f， 使得什么 p f 比去 fa 等于，哎，一比二， 对吧？取点，然后我们连线连接 c f e 连接 f e， 则则具有 f e 平行且等于几？三分之一的 a、 d， 对 吧？ 那你这边呢？哎，你 b、 c 数也平行，且等于三分之一的 a d， b， c 等于三分之一的 a、 d， 所以呢？所以 f、 e 就 平行于谁？ b、 c 且相等，所以它是一个菱形四边形，所以我们的目标 b f 平行于谁？ c 过线桌面找交线，交线就平行了。我们用的是什么平行啊？什么投影 中心投影机吗？这条线 c 在 怎么个中心投影啊？地点上的人场徐徐泽龙。怎么中心投影？ 谁个中心啊？地点在谁上面？ p d， 所以 我只要把 d c 给它延长， d， c 给它延长，那颗 a b 有 没有个焦点？有，那这是把 c、 e 投影到这个面来了， 所以以它为中心投影过来了。其实就是过 c、 e 做面找的怎么样交线，再利用 平行线分现在成比例的逆时针比例出平行了啊，然后在这里面出搞定了，或者呢，或者升格为面，那就过一点，要做正面的平行线，只需做斜的平行线 p a p a， p a 是 在背面边，这边能不能做一圈，然后，然后呢？把这再给他连起来，说明他们是平行的，所以我们这两个面，就 那面里面线数跟他数都平行了啊，是否成在线段上点的 a 使的什么？使的 c， d 上的任意点 m 都有 m n 跟正面平行动线成面，面 是不是在这上面取一点？你得做一个面跟已知平面怎么样？因为你这条动的直线都形成一个平面 啊，这个点在上面，那我就要去做这条线就跟他平行，会平行吗？对不对？所以那就相当于 因为我 m 点运动成这条线嘛，相当于过这条线做正面的，怎么样平行的搞定了没？就一步到位了。 当然那你写的是要先把它怎么样找出来几等分点，三等分点，然后我们证明这一个线跟正面怎么样平行。那现在用什么来做？连起来要用什么来做？ 我要不要面面平行？所以线要面平行，不用了，我就用什么把 m、 a 投影到这里面，用什么办法来投影？平行？投影过 m 点做 e、 f 的， 哎，过这个做做 e、 f 的 什么线？平行线则这一条平行也跟它相等，所以侧平点选侧的，这会平行。对，搞定了没？ 这是跟平行有关的问题。来，那我们接下来来看一下第四节弯曲重点绕着一条线旋转这种弯曲的问题。 三角形 o、 c、 d 是 边长为四的等边三角形 o、 c、 d 是 边长为四的等边三角形，且 ab 是 中点，那这条路中位线， 然后把它绕着 ab 旋转起来，到达点 p 的 位置，得到这个四棱锥， 来到这个四棱锥，设意为四棱锥上的三等分点。求证 a、 p 跟 b、 c、 e 是 平行的， 然后求面积的体积的比，来思考一下。 hahaha， hahaha， yes， 来来，各位怎么想这问题？你要把这个结的结构是摸清， 那关键就是我们这一块直观图不好看啊，所以我们把直观图还原一下， 把平面图画出来是吧？平面图是 o、 c、 d 是 边长为四的，等边的是不是 边三是等边的，然后是不是中卫线拉起来撞起来啊？那是谁来旋转 ab， ab 就是 旋转轴是吧？ ab 是 不是就旋转轴？ 那么这翻起来以后再折同侧的面有没有改变啊？ o、 a、 b 的 形状有没有改变？所以 p、 a、 b 是 全长为二，边长为二的等边三角形是吧？ 然后底呢？底是一个什么形？ t 形，说 t 形上底是下底的一半，一半是不是？ 那你转起来以后就得到一个，所以这个三轮的结构我们知道有一个面是等边，底下是一个等腰一行就这样旋转起来的。看下第一位，线跟面平行，要正线面平行， 线线平行，哪条线在哪里？过线做面找交线。怎么做？面 中心投影还是平投影？谁个中心？因为 e、 p、 e、 p 是 c 出到 c 点了，所以我们就把斜连起来， ac 连起来，交它于 f 吧， 对吧？交它 f， 那 这是不是 e、 f 就 它投影呢？会平行吗？会成比例吗？是平行的， 所以线跟线平行，所以线跟面就平行于第二个关起来以后体积之比 这两个，这两个底底呢？底什么关系？ b、 c、 d， a， b、 c、 d 是 底数，共面的 顶是共面了，那好高，就是 p 点到正面的距离是吧？ p 点到正面的距离跟一点到正面距离什么关系？三米二米二，我们设它为高为 h 一， 再高为 h 二，则 h 一 比 h 二 啊，高出三比二，那还有什么什么之比？比面积？四边形 a、 b、 c、 d 的 面积比去谁？ b、 c、 d， 哎，他们什么关系啊？ 这比是什么呀？一比二高一样不一样谁？这两块面积比就是 来一比二，所以整个是几问三问他几问三比二，所以他们几级比为九比四，有九比四。好的， 请问点 p 的 轨迹是什么？ 请问点 p 在 哪里的时候，这个 p、 a、 b、 c 力的体积最大，那我是不是要把这个动点 p 的 轨迹给搞定？ 你绕着谁来转动？这一条是轴，谁是轴？ a b 是 轴， 那么我们就想到我们刚学地理学的时候，企业的机构如果有行政轴，关键找什么啊？ 要旋转轴的话，你转起来是旋转体的话，关键就是找他什么线，从轴的垂线， 所以他从等边上绕着这来旋转，因此这个把中点连起来，中点都到了这里出垂直的，所以点 o 的 轨迹是 以 b 为圆心，以 o b 为半径的一个圆弧，是不是这个圆弧？ 那什么叫体积最大？那圆弧应该在最高点，最高点是跟这个底面是垂直的，垂直的。那此时我们发现，哎，这这个几何体是什么？ o a o p、 b 是 一个什么结合体啊？旋转的时候， o 啊， a、 o、 k、 b 是 一个什么结合体啊？转起来是一个圆锥的一部分，只有两个圆锥的组合体啊， 哎，你把这连起来吧，你看这些都是什么线？哎，母线是不是母线？所以你跟轴垂直，那就得到什么呀？圆锥是不是得到圆锥？ 所以点 b 在 运动过程中，它是一个圆啊，它是一个圆，理解了吗？所以旋转往往跟旋转体是相关呢？跟旋转体是相关的。 好，那如果动点到定点的距离是定长呢？ 那这空间里面就是什么球？这空间里面是不是球啦？来，那昨天我们这道题目没做完，我们继续来一起看一下，回忆一下这个，这是一个什么真理？ e f c e f 技术三个钟啊，终点， 然后呢？ d h 等于 e 是 啥东西啊？ d h 等于 e， 动点 h 到地点的距离为一，那他就是一个球球， 然后这个点既在球上又在什么面上？什么意思？那就这点是球被面截下来的，截下来的这个曲线上面是不是？ 所以我们要做的就是啊？球面面积得到是啥东西？小圆是不是？小圆？ 但是 e、 f、 g 整个洁面这个局部啊，所以我们要把它给延展。延展，那怎么做洁面呢？平行是不利用平行，利用平面的性质来做， 那 f g， 所以 我前面取它的中点这一条是跟背面这条平行的，接下来呢，把 f g 给延长。这边有没有交点？有，这个点既在前面也在 底面啊，底面这里是不是还有一个点？所以前面的底面的交线出来了没？那就取它的什么点？中点，那左右边的出来，左边呢？平行，所以取它什么点？ 这是一个什么东西？正六边，这六，这个正六边形跟 a、 e、 b、 c、 e 什么关系？ 这个，这六边形跟 a、 b、 c、 e 什么关系？平行的，所以这六边形也跟谁是垂直的？跟体椎腰线都垂直的，那体椎腰线跟它的交点在哪里啊？是相对于一切的终点啊， 那这个点就是我们这几何体的中心，是不是啊？ d、 o、 d、 o 跟正面是什么关系呢？垂直的，垂直的，那这段是不是他的高了？ 那这是点 d 到正面呢？是距离是几对角线的一半一半二分之根？号线 啊，球被一个面结得到的是一个小圆，球心到小圆的面积啊，高距离为几？二分之二三，球的半径为一，所以小圆半径问题解决了没？ 水到定点是定啥？它就是一个球，你又在某个结面里面，那就球被面结结出来的图形。 好，这是我们昨天做的哈，我们再回顾一下。哎，那空间几何体的截面，空间几何体的截面， 那特别呢？如果是球截啊，球被面截，那就人长为四的正四面， e、 f、 n 是 终点， 则正四面体的外接球被这个三角形所在平面截得的截面面积是多少？ 我们怎么研究正四面体的外界球半径？第一招是什么？ 正四面体，我们可以从规更规则的图形里面去找啊。正四面体的外接球跟正方体的一样不一样，一样 是不一样呢，所以，所以正方体的外接球是一样的，所以这个它的直径二 r 就 会等于谁来，你这是 a， 你这是 a， 是 正方形的边长是几？二分之根号 a 是 底角，对角线是二分之根号六，谁二等于谁？四分之根号六， 对吧？这是第一招。利用什么来做补体？补体来做第二招呢？直接，直接，直接法的话，我们是要去找球星的位置，是吧？ 球心在哪里啊？里面的重球心是不是这个前面的上方随 o h 跟正面是垂直的，而 a、 h 呢？也垂直，所以 a、 o、 h 上面共线， 那 o、 b 是 不是就是二了？ o a 呢？也是二，所以这段是 h 减二，是不是 h 减二？这恰好是不是三角形 a、 b、 c 外切圆的半径啊？所以我们说 r 方会等于谁？ r 方会等于 h 减 r 的 平方，再来加上小 r 平方， h 跟小 r 给它算出来，按能不减出来，这第二个数直接拿来做。我们的 h 是 多少啊？小 r 是 几啊？ 边长为 a， 所以 小 r 二分之根号三， a 的 三分之一开根号 a， 对 吧？ 哎，谁高是几啊？三分之二开根号，那就三分之根号六 a， 根号六 a， 可见二是等于多少的 h。 四分之三乘四分之三的 h。 哎，第三，内切球的半径呢？用什么办法来形容？内切球的半径？高等体积吧， 这个体积等于三分之底面积，再乘谁高？那么你有四个面，所以可以割成几个三棱锥？四个四个三棱锥，每个三棱锥的体积是多少啊？ 每个三分之一的三分之一底跟这底要不要要高就是我的什么，这些球的半径怎么样？ 所以这个那些球的半径等于谁啊？四分之一的可见怎么样？ 外些球，内些球半径之比为几？三十三比一，你看那边，我们讲过了考试又考，结果我们还有人错啊？还有人错， 三比一吧，三比一。所以每个问题用什么办法来解释？最优的？你要去比较一下，你这几种都要掌握，对吧？比一下哪个是最优？比如说壳补铁，那我们就给他补铁一下。来球外径球半径是比较好做的， 对吧？那些球一般来讲我们用什么会更更快一些啊？等一起是吧？等一起更快。好，那回到原地来，那这个被截面所截，那就是球被面截。关键是什么？要找出来 球形大小圆的什么呀？距离是吧？哎，请问咱们的距离是几啊？好意思啊，是多少的高？四分之一的高，是不是四分之一的高？ 四分之一的高，所以对斜的多少啊？那我们的这个这个外弦曲的半径是多少的高啊？四分之三的高，所以，所以呢？这个小 r 是 几啊？ 把四分高拿出来，是三一，所以等于二分之根号二 h， 而 h 是 三分之二，可根号 a， 三分之根号六，再乘以 a， 那 我这里 a 等于几？四？ a 零四，所以他应该是三分之四根号，有三十根号三，就把它放进去，搞定了没？ 所以球被他截最关键的就是要发现球心的位置啊，这个小圆圆心的位置在哪里？因为小圆圆心的球心连起来跟这截面是垂直的 来看，还是这个界面的问题？大家看一下，已知 h 是 在直径上，然后是直径的三等分点， a b 跟二法垂直，垂直于直径都截进去了，那么前面所截的的面积为派，这截下来的半径为几？ 哎，这小圆的半径为几？一小圆半径是等于几？哎，我们继续再往下看， m 为二把上的二把这平面内的一点，然后呢， m h 是 等于四分之二 破 m 点做球的结面，请问什么是二这个结面面积最大呢？破破圆形大圆是不是最大了？再再听听， 请问觉得面积最小的这个圆是几呢？ 所以过一点的前面最大最小的问题研究方法是什么呢？你们过圆一点，圆内一点做 啊？过球那一点做球的怎么样？前面什么时候会最小啊？ 那就是球心到他的距离要最最长的时候是什么时候会最长？把 o 点跟 m 点连起来，跟着前面是垂直的时候做最长，否则 不谁吃呢？又要过 m 和不谁吃呢？那连起来以后这个过程呢？直角三角形对不对？这是 o， m 是 他的神殿，神殿， 所以所以就垂直上弦心距离最长，圆的时候在弦心，弦心距离最长，所以弦长是最短，那在空间里面呢？ 就是球心跟这点这个中心连起来垂直的时候是最长，这个时候前面的半径最大，面积最小吧？ 啊？老铁们，那这个时候 o m 垂直的面是吧？那 o m 多长啊？ o m 垂多长啊？ 这是一比二，所以这段是几？这段是二分之二，这段是几？ 一比二，三，一比二。那这个应该是三分之二二，这段是三分之四二，这段等于等于一，怎么来求二？ 耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶。一方会等于三分之二二，乘以谁？三分之四二，那二能不能求出来？ 二柱可以求出来，那这段距离能不能求出来？对，可以，然后这等于四分之二过五。谷地里能不能把这个求出来？可以地求出来二，知道搞定了没？ 这是过熊那一点最大最小的解面问题啊。最大最小解面问题。好，那今天我们要讲的是这些 c 了吗？

圆形的判定及性质这块是相当关键了。直线与平面平行判定。啥叫判定？就是咋正他， 哎，怎么如何去正他呢啊？那平面外一条直线是咋体现的？是 a 不 在二环内，这叫平面外一条直线 b 在 二环内。 平行是咋体现的？ a 平行 b。 所以 说一共是三个条件，能推出来线面平行，这三个条件缺一不可， 这线面平行，哎，接下来性质，啥叫性质呢？就是一条直线一个平行，这叫前提，就你得先平行，咱才能谈性质啊。哎，要直线平行，就 a 平行于阿勒法，文字用符号形式表示 过该直线的平面， a 在 北的里边， a 在 北的里边，就说明北的过他， 这不过开鞋平面就背他吗？过他吗？他在他不就过他吗？与此平安相交，相交就是阿勒把交背他，等于 b， 这平面的平面相相交。这阿勒菲的香蕉，这简直嘎嘎细致，嘎嘎能听明白 完了之后那末咋的？该直线就是这条直线 a， 该直线就是这条直线 a 与交线就是 b， 哎， a 就 平行 b 了，这线边平行的性质， 那你看，一个是前提，这俩是条件，最终得出的是结论， 这是性质。就你这条线和这面平行了好，或这条线任何一平面与此面相交了，那么这个交线和这条直线平行了，这是相平行的。接下来面面平行的 一个平面内，平面内两条相交直线就是 a 在 这一块都是在 点，是属于啊，那这个在相交 a 交 b 等于 p， 是 相交与另一面平行，那就是 a 平行于阿勒法， b 平行于阿勒法， 这是和这平面平行，那么两平面就平行了，五个条件缺一不可。哪五个？一二三四， 这五神缺一不可。这是判定性质是啥呢？就是俩平面平行，这前提阿拉法平行北上了， 另一个平面是蛤蟆，另一个平面相相交了，那就阿拉法交啥了？蛤蟆等于这不直线 a 吗？垂的交线吗？也平行了， 这是一个性质。还有一个啥性质呢？就是你阿拉法和北的平行之后了，这不两面平行了吗？他里边任何一条线和这个面都平行，就你咋画线和这面都平行？

拉绳演变几何模型十二、平行六面体，它是四棱柱的一种特殊形式。知识要点，一，它是由六个平行四边形组成的立体图形。 二、三组对面分别平行，且每组对面的平行四边形全等。 三、长方体、正方体都是特殊的平行六面体。下面拉绳演变， 它是由八个顶点、十二条棱、六个面组成的相对的棱平行且相等。 几何公式，表面积等于二乘括号，一个底面积加一个正面积加一个侧面积括回公式 s 表等于二倍的括号 a b 加 a h 加 b d b h。 扩回体积等于底面积乘高公式 v 等于 s d h。