张一立体几何
本视频时长三十四分钟，带你搞定立体几何基础洁面问题，从原理出发，结合题型带你通透底层逻辑，掌握剪题思路，回复立体几何，领取视频讲义。 我们今天要处理的就是去把一个洁面给它扩充补全完整。我们经常会遇到的题，就是比如说像这道题过 a 点、 f 点、 e 点做一个这个正方形的洁面，但你发现这三点连完之后做出来这个洁面没有完全做出来，不通透。 所以在这种情况下，我们就得去扩平面，把它最终这个完整的 a、 f、 g、 e、 h 这个五边形围成的这个结面给它扩出来。所以我们今天要做的事叫做扩平面。那扩平面呢？主要有两个不同的角度，一个是通过平行去扩平面， 这个就跟咱们讲到锐角三角形背景下去求一些最直的时候，你用角的角度去处理，属于你们比较擅长的。 那么接下来还有另外一个就是相交扩平面，这个就是你们好多人相对会比较弱的。所以今天我们在做很多棋的话，咱不追求说你把它光做出来，咱们叫做要追求平衡，平行扩平面，咱要会相交扩平面咱也要熟练，所以今天我们就是以这些棋为载棋，带大家 从原理上去感受一下，为什么平行可以扩平面，为什么香蕉也可以扩平面。然后第二个就是从它具体的操作上一定要非常熟练，因为各自有各自的优势。有些棋它用平行去扩非常简单，用香蕉去扩就有一点麻烦了，但是有些棋它用平行扩不了， 或者说要扩，你得把力立即几何这个图再给他先扩大再去扩，那你如果还要用平行的话，有些时候可能就会出问题，所以那在那种其中啊，很多情况下相交就比较好处理，这是这两个方法各自的优势。 然后接下来我们先说一下原理，功力一和它的三个推论的本质就是在说相交可以确定一个平面，平行可以确定一个平面，所以当我们平常去看到这种结面比较小，那大致看起来就像它用一个三角形来表示了一个平面，那我想把它去扩大， 那我哎过其中一个点做另外对应的这个边的什么一个平行线就行了。比如说我做到点 d 平行定平面，那 a、 b 和 c、 d 肯定还是同一个平面，你再连接一下 b、 d， 你 就会发现啊， 从一个用三角形表示的面，现在变成了用四边形表示的面，所以通过做平行，你会把它扩大，而且它们依然共面。那么接下来到你们比较软肋的，那比如还是这个或怎么用相交去扩呢？ 相交呢？往往也是看作一个点和一个边，你把这个边延长一下，那你延长一下，你想这个肯定还在这个面里边，然后你 把 c 和你延长到这个点，第一点从一个小的三角形面扩大到了一个大的三角形表示面，所以从面积的角度是把它扩大了，所以说 两个都能实现。对原来小小的一个面进行再扩一扩，扩一扩，那变大一点，从我们这个样子上来看，其实说白了就是面积变大了，就算扩大了，虽然说面其实是无限延伸的，对吧？好，那么本质上他用的就是咱们宫里，也就是基本事实中的相交 确定平面和平行确定平面。那么接下来这个这么说，说完之后你说你在其中能不能做出其其实是做不出来的。香蕉扩平面，真正在其中要去做的时候， 其实我们是要经历五步才能够把它扩出来。所以接下来我就把你们软肋的相对薄弱的这个点拿出来，咱们细细的看一下，我们真的用香蕉把它扩大的过程中走哪五步啊？ 接下来把这个理解清楚，掌握扎实。第一个我们说刚才说了，你把这个三角形表示面还是要看作一个点和一个线，那么看作一个点一个线的话，你延长，你延长到哪去呢？你说，哎，有人延长到这，有人延长到这，有人延长，是不是都行呢？ 那放在具体其中肯定就不行了，所以真正在具体题当中呢，找到对应的点和线了，把它俩各自放在一个平面里边。比如说我把这个线放在了阿尔法平面里边，其实在图中往往这个线本身就在一个平面里边，然后我把这个点放在贝塔平面中， 真正在其中去做的时候，就是你要看这个点在哪个面里边，这个线在哪个面里边。好，然后接下来那我说我把他延长一下，再过他做一个，最终这两个要相交， 你要对他们焦点在哪里要有个预判，焦点在哪里，这是这里的精髓和关键啊。我把这个线在这个面里边，要做个线跟他要相交，交点在哪里？这个焦点肯定 在这条线上，交点在这个线上，交点也在这个线上，交点一定在对交线上，对吧？啊？所以说你要 找到真正他们的交点，那个交点不是随便延伸的，这就是为啥你要把一个放在阿尔法，一个放贝塔内，是要找到这个线所在的面和这个点所在面的两个面的交线。 你找到这个交线，你只要把这个线延长到根交线，找到一个点，然后接下来你把这个点和这个交点一连，肯定还是这个平面，而且扩大了，这才是真正我们在棋木中通过相交扩平面的原理和本质方法。好了，总结一下， 所以说刚才说五步，你想第一个就是你记住看到的这个小三角形面呢，看作一个点与一个什么一个线啊，你首先把这个面看作一个点和一个面啊，在真正的棋里边各放一个面， 各放一个面。之后第三步是找什么？找交线，找两个面的交线，你一定要先找到这个交线， 然后第四步你的线延长一下，与什么交线？找焦点，然后最后第五步就会实现啊，扩平面了，你把你原有的点与这个焦点一连就 ok， 所以 你不用说把这个死背下来，你就通过刚才我们思考的原理脑海中过一下，看你 消化了，通过相交扩平面整个这个思路和原理。整明白原理了，咱来看题啊，来看第一道题，第一道题呢，告诉我们一个棱长为六的正方体，然后说点 e 是 c， e， d， e 的 中点 f 点在线段这个霍上， 他说这一段等于四，那这一段等于二，说白了他就是个谁啊，三等分点啊，离 b 一 近，然后说过这三个点截正方起截面的这个面积， 要求这个截面截得正方起这个截面的面积，那说白了你就是要把这个截面给他补完整，找到，看他是个什么图形，求出他的面积。我们说虽然咱们会的比较多啊，又会相交又会平行， 但经验告诉我们，但凡一道题能用平行的时候，往往平行会比用香蕉扩平面简单一点， 那除非他用不了平行，你硬要用的时候，那就难了，对吧？我先说一下，我先选择的方法是平行扩平面，为啥呢？因为只有这一条线在几何棋的表面，其他的都在内部，所以我看表面的这个线，然后再关注这个点，那么我就看过这个点能不能做这个点 线的。什么平行线，能的话不就平行可以扩平面了？那我就关注他俩各自所在的面来，线在的面刚好在正面这个面里边点在的面刚好可以在反面，这个面点和线所在的面是平行的，那就一定可以做出平行 线，对吧？你想嘛，假如一个点在我手上，拿这个讲义上，那要做地面上任何一个线的平行线，他都能做出来，因为两个面是平行的， 所以在这的话呢，我就过这个点 e 做一个跟它平行的线，那么做出来，你看它与这个侧能有一个交点，假设 h 那 a h 再一连的话，那这个线不就是在侧面里边的交线吗？所以这半边我做好了，我发现这个线还在内部，还要扩出来。那接下来的话，我你们看一下，我如果还要做平行过哪个点还可以做平行，就 我继续选择平行，一平行到底啊，这个是棋木告诉的，棋木告诉所有能长都等于六啊，所有能长正方体嘛。然后他又告诉这个 b f 等于四的话，那这是二，这就三等分 点对过 f， 你 发现这个线在这个侧面里边，哎，这个点在这个侧面里边，两个面平行过，它是不是就可以做它的？再做出来，再一点，那整个这个五边形就做出来了， 这个是用啥呀？就是他能用平行，你快速的用平行画起来会非常的快，然后画出来之后这个或就是个五边形， 这就是他整个洁面。来看一下第一个方法用平行扩平面，讲明白了吗？然后接下来老赵也不是那种选择简单方法的人，咱也没苦硬吃，用香蕉的也做一下。好了，那接下来先把这道题做完吧，人家要的是洁面面积， 来一起求一下，因为在做平行的时候还要注意一点，你做了这个平行呢？这个焦点在哪里，对吧？那么这个在处理的时候呢？因为这里往往会有对应相似的三角形啊，这是个直角三角形，他会和他对应面上的这个直角三角形，两个是什么啊？ 相似关系，这是六比四，对吧？六比四，说白三比二，然后这里是中点的话，这是三，这个点就是多少二，所以这个 h 呢，其实也刚好在 d d 一 的三等分点处， 然后接下来你知道这个长度了，那这就是四，这就是六，根据勾股定律，这个测能也就求出来了啊，所以求完之后呢，这个和这个一样的四六对应的这个长度是二倍，根号十三。然后接下来 f 点和 h 点 在同样的位置，所以这条线和对角线一样长，也就是六倍根号二。然后这个呢，我们说这里是二，这里是三，这里是中点嘛，这是三等分点，这就是根号十三，这是根号十三，这是三，这三倍根号二。所以 整个这个结面的所有长度，你要去求就求出来了。但是这道题要的是结面的什么啊？面积，面积的话，出现这种图了，我们一般会用割补。首先我连了 h f 之后，下边就是一个什么啊等腰三角形， 那么这个上边呢，本身是一个梯形，你按梯形做好像也不太好做，所以再延伸一下，也把它延伸成一个三角形， 然后你会发现这两个点，哎，刚好也是这个边的什么啊中点，然后上边延伸出来的这个三角形和下边这个三角形的面积是相等的，我假设下边是 s 撇，那上边这个七行占三份，上边这个小的占一份，根据什么？根据相似， 所以上边这个梯形就是四分之三 s 撇，所以整个大 s 就 等于四分之七 s 撇。然后你只要求出下边这个等腰三角形的什么面积就行了。 简单的这画一下啊，这都变成了初中指示二倍根号十三，然后你在这做个高，他就是三倍根号二，你就能求出这个是根号三十四，所以高和底都知道，底乘高除以二，这个面积也就求出来了，所以这个面积呢，最后不难，二分之二十一倍的根号十七啊。好了， 这是计算的过程，包括确定点位置的方式。接下来我们说同样一个方式，咱不以把它解出来为目的，咱们以总共给了大家两个方向，我一道题能不能通过不同的方向去感受一下， 那么在这道题能不能通过相交扩平面呢？刚才大家给的答案都说自己选择是相交，那我们就一起去感受一下，比如说这次我还是选择把它看作线，把它看作点，那这次 我要把他们分别放在第二步，是不是要分别放在一个面里边？那这个现在的面肯定就在这个面里边， 那么这个点现在你必须把它看作在哪个面里边？如果用香蕉扩平面的话，此时这个点必须看作他在 上下左右前后哪个面里边。对，你要虽然说他这个点既在上边这个面，也在后边这个面里边，但是我们用香蕉扩平面的话， 线所在的面确定之后，这个点必须在跟他相交的面里边，是不是才能继续去相交扩平面？所以你现在只能看作他在上平面里边。 好了。点在上平面线在正面两个面的交线是谁啊？这条线，然后你把线延长一下，跟他交于一点，找到这个交点之后，那这个交点呢？跟点 e 也在一个平面里边，连一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点， 然后根据相似算出这个在哪里就行了。那这里咋算呢？其实也很简单，因为这里是谁啊？三等分点， 所以这里是两份，这是一比二，直接可以得到，这里是三啊，直接最简单的方式应该在这个相似里边。好，这里三，这里六，这里是多少？一比二，这里得到，这里是三的话，因为这个也是三，所以在这里根据这两相似你看就确定了，你最终要确定的就是 他与这个边界交点的位置啊，所以我们就确定了这个点，这在这里，这里是中点啊。那这样的话，我们就找到了这边上边面里边扩出的这部分，然后这两个一叠，那我们这边你看从刚才的三角形面就扩到了四边形面，但是你这边还没扩出来，对吧？ 这边还没扩出来的话，那比如说我现在把这个看作线，把这个看作点，朝着就往这边去扩，那线所在的面在哪里？在上边， 那这个点呢？它可以在侧面，它也可以在下面，它可以在正面，对吧？它因为是一个端点，它同时在三个面里边，你要跟它相交，扩平面，反正你要看做跟它相交的一个面里边， 比如说我就看作哎，在这个面里边，在这个面两个交线就是这个线，然后我把这个线延伸，先跟他怎么样相交，然后接下来这两个一连接，哎，你会发现你也就找到了在这个里边的什么，这一段交线，你也就把它括出来了。所以当我们找到这一段，这两个再一连 整个就 ok 了。所以说这就是用相交，那你看平行我们做了，相交也做了，在这道能用平行的问题中，你发现用相交的话，你走过的过程， 包括它的细节肯定是要比平行复杂一些。所以说香蕉与平行在能用平行的时候，往往平行会作为我们的优选，因为简单。这也是为啥我说大家在平行这块会更熟一些， 因为它更简单，更容易学会，香蕉这块的话更复杂啊。然后接下来的话，第一个我们说我们用香蕉和用平行都把它处理过了，然后接下来我们看第二个， 接下来这些棋，两个方法具体的其中都展示过了。所以说你以后看到一个平面，它是一个什么 不完整的结面，需要你去把它哎扩充一下。在这个过程中，首先你要想到第一个，我有两种方法，我可以通过平行去扩，我也可以通过香蕉去扩， 那么优先看平行，因为平行确实会更简单一些，但是平行用不了的时候，咱们再去选择香蕉，然后香蕉一定要按照香蕉的流程去做啊。好了，接下来我们看第二题， 还是个正方体，然后这回它告诉我们的是 e 点呢？是 ab 的 中点， f 点呢？是 b、 c 的 中点能长还是六？然后说过三点 d、 e、 f 把这个正方体切成了什么两块，要求这个结面的 周长。来这个你扩一下试试看。首先说一下还是结面问题，一看啊，你看这个 d、 e、 e 还在整个几何体内部， d、 e、 f 也在内部，这种面就是没切透啊，你得把它补出来。那么你脑海中就得想啊，我有两个方法，第一个平行，平行不行了我再用香蕉，那么要平行的话选线，你只能选面上的线，选谁呢？ e、 f 是 这道题里边唯一在面上的线， 那你要就要过点 d 做 e、 f 的 平行线，但是你发现你过点 e 做出来的平行线在不在现有的这个几何体里边？不在，你想用它把它做出来怎么做？你下去可以试一下啊，再把它扩大一下， 现在给你是一个小的正方体，你把这个正方体再给他复制个一二三四，扩成一个大的长方体，然后你再去做，一样可以做出来。只是说在现有的途中你要做个平行，好像画不出来， ok， 不 听明白。用平行其实可以，但是需要把这个几何体再去给他扩大扩大， 但是在这种情况下我们就觉得没必要。那么接下来用相交的话，那我还是把它看作线，我把它看作点，那我们说用相交就是把线所在的面确定出来在底面， 那这个点现在你要让它在哪个面呢？它同时在这个面，在上边面，在后边面，因为它是个顶点，肯定同时在三个面。但不管怎么样，你必须放在和线所在的面的什么 相交平面，你选这个也可以，选后边这个也可以，比如说我就选的是后边这个。那么选好之后，第三步最关键找两个面的交界，就是它延长，然后让 e f 先与它相交好了，交于假设这个点是个点 p， 然后接下来再连接这个点与他，那这样的话，你看这个点所在背面里边，这个平面里边的线就扩出来了，就是绿色的部分，然后你只要找到这个点一连，那这一部分啊，你看从三角形的这里边的一个面，现在我就把它扩成了一个什么四边形的面，那一样。 写到这一步的话，你说你把它完全解出来了吗？没有，那这边还没漏出来，所以呢这个点呢，我也可以把它看到这个面里边， 那这样的话，线所在的面和点所在面的交线是 a d， 那 我再连接 ef 与它交于一个点，然后再连一下它，那它在这个面里边的交线也就找出来了。假设这个点 g 你 一连，这就是我们整个找出来的这个结面， 也就是个五边形，看一下能过了四啊。这就是这道题，用相交就是以这个为点，然后看这个点，在这个面和在这个面两边都去扩一下，最终把整个图扩出来了，它就是个五边形， 那求周长的时候，还是得去看具体的比例。刚才说这里是中点的话，这两个小三角形就是什么关系啊？它就是全等的吗？边长为三，这里也就是三，对吧？ 这里是三的话，那我们这个小三角形和这个大三角形的相似比就是多少。这个相似比的话，你看这里是三，这里是九， 就是一比三吗？那在这个情况下，那我们看这个，或者说看这个小的，每次看这相似的时候，你知道了这里是三之后，也可以看这里这个八字相似，三六一比二， 那这两个也是什么一比二长度就知道了。所以我们在这标一下，这里就是二，这里就是四，从下到底啊，这一模一样，这里是二，这里是四， 所以这里是三，那你求这个长度，这个长度根号十三，然后接下来你求这个长度，这是四六二倍，根号十三，对应的这边是一样的，然后这三，这三，这三倍根号二，你把五个边 加起来就行了啊。所以说这是这种情况下，找出来之后，要确定这个与边界交点的位置，位置的话一般都是靠这八字相似啊，你看上下是一个初中学过的八字相似，把这个比例整出来就行了。好了，那这个咱也就结束了啊。这是这道题， 你会发现如果他给的你这个图形中没有直接的平行，那你没有办法，你要再用平行去做可能要做的事，比这更复杂，那此时相交扩平面的优势就出现了。你看咱们从学这学期学几何以来，平面、向量， 我们学个数量积，给大家讲间隙、基底、投影、极化很等式啊，四种方法你每个都要学会，因为各有各的优势，对吧？然后我们学到解三角形的时候，很多题又给大家，比如说一个比例线出来了， 那他又有哪些方式可以用向量的方式，可以用倍长的方式，可以用找关系的方式。我们学到了解三角形的时候也是一样，不同的题型下，有些可以用角，有些可以用边，所以他各自有各自肯定，更高效、更简洁的题型中有他的体现。所以学的时候一定 不要光注重啊。这类题我会不会做？我这道题有没有做出结果，而是对于这类题，他用不同的角度去思考，他有哪些角度去思考，要整明白。 好了，接下来我们再列第三个啊，这道题再补充一句，刚才我们比如说先相交扩平面，扩到这边之后呢？比如说你扩成这个样子了，也不是说我今天用相交扩平面，我就要相交到底， 因为咱啥都会，你发现你扩了一边之后，哎，你发现可能又可以用平行了，为啥呢？因为这还有个面上的点，哎，过点地可以做他的什么平行线， 所以在有些时候背面有一个线在正面过点 e 也可以做他的平行线，做完之后这两一连啊，整个面也就出现了。所以说在这种情况，你发现第一下你平行做不了，你就相交去扩一部分， 扩出来之后，你当这个面变得大一些的时候，又可以用平行了，所以相交结合平行两个方法一起用，也可以把它解决，也不用一条道走到黑，关键是你把两个方法都学透，学明白了， 好吧，那么因为大家相对擅长的是平行，所以我今天选的前几道棋就是引导着大家朝相交去做，为啥呢？比如说在立方棋或者长方棋里边，有太多的对面都是什么平行的， 所以你做平行也比较好做。但是这种结面问题如果出现在三棱柱呀，甚至有些时候可能出现在三棱锥里边，或者说在一些台棋里边， 你要去扩平面的话，就没有平行就很不好做了。因为没有那么多对应平行的面，所以那大部分题就只能用香蕉，所以咱好好练一下香蕉。那看这道题，这道题告诉我们所有棱长都是二，那就说明上边是一个什么 边长为二的正三角形，下边也是高线，也是二这样的一个棱柱，然后说过这个棱的中点，还有这个棱的中点以及 a 点这三个点结这个三棱柱，那么接下来要求这个结面周长。如果三个点的连线都不在表面上 的本质，你要想清楚，是三个点都在内部，或者说大部分点，好像是所有点都得在内部，大部分点的内部也可以所有线不在啊，就你有一个点，比如说你有一个点在外部，其他点都还在这个几何体的内部，所以你画出的线都不在表面上，那不都都不在表面上， 只要延长，因为这些点都还在内部，比如说在这里，在这里你先要把这两个线延长， 把这两个点也先延长，你延长完之后再去看。所以当这些线没有在表面上的时候更简单。那这道题你会，你会发现你要过平行。做平面，你首先得关注什么在表面上的线， 这个线在表面上，你说你过这个点，要做这个线的平行线，那这个点所在的平面要先和这个线所在的面平行，有吗？没找着对吧？ 行不通。那同样道理，换一个过这个线，那过这个点要做他的，你做出来也不在这个几何体内部，所以在这种情况下，特别是三棱柱的话， 平行你要做又得去把几何体扩大、扩大、再扩大，那没必要。在这种情况下，当我们知道咱们的做法又不是指一个，咱们还会相交，所以接下来这道题我们依然选择相交。扩平面， 香蕉阔平面，你就定一个线，我让他扮演线，我让他扮演点，先点线分离，接下来确定各自所在的面，线所在的面只能在这个面里边，点所在的面只要和线所在的面相交就行了，那你会发在这个面，这个面也行，在这个面也行 啊，随便选一个，我就选这个点在这个面里边。好了，选好之后找两个面的交线，就是他们延长来延长一下，让这个线先和交线交于一点，然后接下来你把这个点在他的面里边连交线就行了， 那你很明显就扩除了这个面里边的这一一连，找到了这个面就是我们通过相交扩出来的。那 这里的话完了之后，你也要去算一下，那这个点的位置在哪里啊？咱们会画了，这个点是终点，这个点是终点，这个点是终点。这道题你扩出来之后要想算值，最关键就是这个点在哪里？来大家看一下这个点在这个线的什么位置， 我们说算这个点的位置主要是根据相似吗？你看这里是中点，所以这里的话这两段是一样的，因为这个你坐上去之后，就相当于这是一比二的两部分，对吧？所以这个长度是二吗？那么这个长度是二了，然后接下来你要算的是 这两个永远关注这个八字相似，在这个点在这延长，这是个八字相，这是二，这个长度是一，一比二，所以这一比二点，这是靠近 b 一 的三等分点， 三等分整个是二的话，那两份三分之四，对吧？一份的三分之二，然后这里是一勾股定律，就可以算出它，然后这里的话勾股定律二，一根号五，这里一二根号五，就剩下这个了。这个长度咋算呢？也非常的简单，这里的话 长度是一，这个长度是三分之四。两个边知道了，要求对边看这个夹角，因为上面是个等边三角形，你用余弦定，你就可以求出 f g 啊， 值稍微冲下一点，三分之根号十三，然后呢都知道了，加起来就是咱们对应的这个结面的周长。刚才有朋友又问他，比如说找的是另外一个的，其实就是你看作一个线， 我刚才说我在看这个点的时候，我把这个点看作在背面这个面，对吧？线一定在这个面，但是这个点的话，他不一定，他还可以在什么上边这个面啊？可以在上边这个面，只要他所在的面和线所在的面是相交的就行了， 所以你发现它上面这个面的话也是相交的，只不过交线是谁啊？ a 一 b 一， 你只要这个线跟它能相交，然后这个点连一下，交点你一样找出来。是，所以刚才有个朋友问，这么做行不行？ 你学明白了就直接画出来，画出来肯定行啊。好，当然到这里的话，我们说为什么要反复练相交？你看在这种三棱柱，包括以后的台体，包括以后的甚至一些锥体当中，你真正去做的时候没有那么多相对平行的面，所以平行就 很难操作，所以相教学扎实之后，相对万能，平行式的能做的时候相对简单，所以你两个方式都要掌握扎实。好了，接下来练一些啊，不一样的来看下边这道题，这道题的话告诉我们的又是正方题了，能长为二，然后点 e、 f 呢？是这两个的什么啊？ 中点，然后过 b、 e、 f 啊？过这三个点，做个结面，结面面积是多少？这道题拿出来，那你还是要选一选， 你看这道题面上的线有他有他，我过这个做这个，这个点所在的面和线所在面都不平行，不好做。然后我接下来以这个线看做一个线，以他看做个点，这个线在的面在这里，这个点在，哎，这个点可以在这个面，两个面平行，肯定可以做平行， 所以一平行来一连一连结束。所以说你看这个用平行它就很简单，所以当咱方法多了，也不要照着一个方法拿起来就用，对吧？可以选择一下，选择那个最优级，这是咱们的追求，对吧？好了， 那你要求洁面面积，这个也就很简单了，首先它整个就是个梯形，上底下底，这腰都知道，你要扩一下去球也没有问题，看做一个三角形，然后接下来梯形占四分之三，也会非常简单啊。好了，当然了，香蕉也给大家说一下啊， 我们要用香蕉去做的话，一样的，你先定一个线，比如说我就定这个线，他在底面里边，那我就要看这个点在哪里，这个点所在的面在这个面也在这个面，不管这两个面哪一个面，反正都跟他是相交的，随便选一个都行。比如说我选背面 点所在的面啊，是这个线所在的面，是下两个交线是什么？两个交线是 c d， 你 把 c d 延长一下，线先跟它交于一点，然后你让你的 f 再跟它一连，刚好是过 c e 啊，所以最后就找到在这个面里边线也是它，你再一连也就 出来了。所以说相交是相对万能的方式，那能用平行的时候，平行会简单很多啊。好了，这个也过了， 接下来的话，我们再看例五这道题的话，他还有点不一样，他说这个点，这个点，这个点啊，这个叫做你熟悉的话一笔就画出来了。那么今天呢，我们就认真的说一下，他为什么是个正六边形啊？你就用咱们今天所讲的相交也好、平行也好合适的方法把它括出来。 这道题就是按理来说学到例题几何，大家在学学校应该都见过，这他就是把对应的这几个棱上的中点点起来，连完之后整个图形刚好截出了一个什么正六边形，这在正面，这个线在底面，这个线在侧面，这个线在背面， 所以他截完之后刚好是这个熟练的话，你就一把画出来了。但是没关系，我们今天把它放在这里，就一起去感受一下，我也要去扩它，我到底用怎样的方法去扩？ 那首先你看表面上的面，我把它看作一个线，那这个点所在的面都不平行，平行不好处理。我把它看作一个线，这个点所在的面跟他也不平行，也不好处理，所以平行不处理，不好处理的时候咱就怎么样，咱就可以用胶线， 我把这个线看做一个线，它所在面是上底面，我肯定要把它看做一个点，这个点所在的面在哪里呢？它可以在正面跟它是相交的，它也可以在侧面跟上面也是相交的，所以随便选一个，比如说我就选到了侧面，那它俩的交线就是 b 一、 c 一 延长一下，首先线交交线与一个 点肯定是确定的。然后接下来把这个定点和这个点再一叠，你整个延伸，因为这里的话这两个是什么全等的，所以这两也是全等的，这是终点嘛， 所以这也就是终点。这样的话，我们把它在这个结面里边的线就找出来了。找完之后呢，你看这一个，这一个从刚才的三边形把它变成了四边形，那你变到这一步的时候，接下来咋做呢？我们说咱们会的方法比较多，刚才是没办法用平行， 那我用香蕉扩了之后，接下来看能不能用平行。你发现过这个点，这回可以做他的平行线了，做一个。过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。 过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。所以说当你两个方法都学熟练的时候呢，你就相交平行结合着用，对吧？因为有些时候他不能用平行，也就把它串起来了， 这样的话用平行效率会更高一些。用香蕉的话，毕竟他还是做，虽然他通用，但是做起来会更慢一些啊。这应该是在正方棋的结面中会经常见到的一个结面啊。 这道棋跟刚才有点不一样了啊，他不再是阔平面了，就是我们说平行啊，香蕉有些时候除了阔平面，就是过点座椅之面的平行平面或者垂直平面。 那这道题告诉我们个什么呢？说一个棱长为三的正方体，当中点 e 为 a、 e、 d， e 上靠近它的三等分别一比二，过点 e 做垂直于这个线的 平面。其实你要去过一个点，记住啊，我们讲了过点做平行平面，你要过点去做垂直平面，其实非常难的，所以过点做垂直平面啊，记住，点做垂直平面 要转化成什么点？做平行平面，那咋转化呢？往往就是基于这个图，你就看一下 b、 e、 d 有 没有和它已知的垂直的面。如果你在题目中能找到和 b、 e、 d 已经是垂直的面，那我只要过点 e 做这个面的什么平行平面？你想你做平行平面，现在对你来说是不是非常的简单？但是做垂直平面不会的时候转成平行平面， 所以这道题主要是要找到一个和其对角线怎么样垂直的，那这个就很简单了，在这个途中，我们说有两个等边三角形和其对角线一定是垂直的，一个是 a e b c， 一个是谁啊？ d e a c 这两个面呢，都和体对角线垂直，而且它两个与体对角线的交点刚好吧，体对角线分成了什么？三等分。那么所以这就是以后你可能还会遇到的一类奇，就是做垂直平面啊，不要吓到， 本质上还是做平行平面，关键是已知的线，先找一个他一定垂直的面。那这道题就随便，我只要过点 e 做这个紫色面的什么平行平面就行了， 所以说垂直的就是转化成平行的，这是这道题唯一一个咱们不会的点啊。你知道了，做这个题就很简单快速过了啊，就是做平行呗，你过点 e 首先能做谁啊？你发现，哎，我能做 a 一 c 一 的平行， 然后做完之后还能做谁的呢？你发现你过这个点呢，你还可以做谁啊？这个因为它的背面你一定可以做这个起对角线的什么平行， 然后你过这个点呢，就一定可以不是起对角线啊，面对角线，你过这个点呢，一定就可以做这个面对角线的平行线随便做。有了这个点又可以做谁啊？ a e b 的 平行线，所以啊，最终连一下， 他画出来之后呢，是个五边形啊。那到这里呢？那咱们今天不管是平行还是相交扩平面是咱们今天要讲的，最重要的 还是基于咱们所讲的公里一二三四的基础下，结面为什么可以通过平行去扩？本质上就是平行定平面，平面为什么可以通过什么相交去扩？一样的本质上还是相交定平面， 对吧？所以接下来最重要的就是在扩的时候他的细节操作是什么？明白了原理，每次能操作清楚就搞定了。第二个就是有以后你除了扩平面还会去做平行平面或者去做垂直平面， 你记住本质上都是做平行平面，垂直的话就是你找到已知的垂直平面，然后做他的平行平面就行了啊。
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14:10查看AI文稿AI文稿立体几何的线面关系证明已经不能叫做高频考点了，它是纯粹的必考内容，年年高考，张张试卷，几乎无一幸免。但是大家在第一次学习的时候，可能连线面垂直是个啥意思都不一定知道， 所以今天咱们从纯零基础视角一起来拆解线面关系到底是个啥？ 首先呀，是线面垂直，说直线垂直平面啥意思？大家在生活中有没有见过相关的例子呀？哦，电线杆笔直的插入平坦地面， 咱们引入实物来进行观察，当我们把视角放平、放平再放平的时候，最终平面又被压缩成了一条地平线， 而 l 一 正好垂直于它，这个就是线面垂直的本质。好的了解了基本定义，这时候如果在平面内随便放两条直线，你认为红黄两线之间会是什么关系呢？ 就比如这个 l 一 和 l 二，既然 l 二在平面内，那么当平面也被压缩成地平线的时候， l 二就和地平线重合，红线垂直平面， 红线就垂直平面内的线，而且并非个例。像这样一个更没有特点的 l 三，它也和 l 一 垂直吗？ 还是一样的步骤，在我们的视角给平面不断压缩，直到成为一条地平线，红线垂直平面就垂直平面里边的线。 任何平面中的线压缩后都一定和这个压缩线重合，被红线 l 一 垂直贯穿。 那么简单总结就是，只要红线垂直黄色平面，红线就垂直平面内的任何一条线。当然一定要交代黄线包含于黄色平面，这是已知线面垂直可以推的玩意，记作定里一 接着，如果这个定律反过来说，红线同时垂直于两条黄线 l 二和 l 三，并且两条黄线同属于黄色平面，您认为是否一定能够推出红线垂直黄色平面呢？ 还是老规矩，咱们引入实物平面，先看这种红线只垂直于一条平面内黄线的情况。那么不妨认真思考一下红线和平面之间的角度，它定死了吗？ 显然，在 l 一 和 l 二垂直的情况下，平面完全可以以 l 二为转轴 随意转动，并且这对 l 一 和 l 二的相互垂直不造成任何影响。换个视角看也是同样的道理，平面绕轴转动不影响黄色轴线和红线的相互垂直， 所以这个平面他不是固定的，和 l 一 不必然形成九十度的垂直角度。但是呀，如果我再引入一条 l 三也在平面阿尔法内和红线垂直了，咱们仔细观察一下， l 二和 l 三卡在一块，同时包含他俩的平面，是不是有且仅有这唯一的一个呀？他这下就真的转动不了了， l 一 必然像电线杆一样，从完全竖直的方向狠狠插入这个唯一的平面 l 一 垂直平面阿尔法。 呃，但是，如果 l 二和 l 三不相交，两个是平行关系呢？上边还一定能够推出下边吗？思考一下。 首先，平移是完全不改变几何关系的，而当我们将 l 二和 l 三平移到重合位置时，同时垂直 l 二、 l 三 仅仅相当于垂直平面里边的一条直线，而红线只垂直于平面里边的一条直线，根本推不出红线垂直平面。这是咱们前边最开始就推理过的，平行不行， l 二 l 三就得互不平行。但是试卷上更规范的表达是， l 二交 l 三等于 p， 有焦点就是不平行，直接给他替换掉。那么整个推导过程简单来说就是红线同时垂直于两条黄线，两条黄线互不平行，有焦点 属于同一平面，那么红线就一定垂直于这个平面。以后凡是碰到线面垂直，都需要这样的步骤才能把分数拿全。 就比如这样一道二三年的高考真题，要证明红线垂直黄色平面。根据刚刚的经验，只需要在黄色平面里边找出两条不平行的黄线，被红线垂直，黄色平面也就被红线垂直。 但是这两条黄线分别取谁？好嘞， p a a b 还是 p b？ 咱们先标数据 提杆，右手 pa 垂直，底面 abc 线垂直于平面，就垂直于平面内的所有线。比如面内的 b、 c 就 被 pa 垂直， ac 也被垂直， ab 还被垂直。 哎，这个 pa 和 bc 是 不是刚好就是咱们所需要的红色黄色垂直？对啊，哎，已经找到了一组垂直了。 接着咱们看棱锥的蓝色背面直角三角形底边长度根号二。 再看棱锥底面等腰直角三角形直角边 bc 垂直 b a 又得到了一个红黄垂直对。 接着就是标准的书写流程了，红色 bc 同时垂直于黄色的 pa 和 b a、 pa 互不平行，交于点 a， 而 pa、 ba 又都包含于平面 pa b， 所以 红线 bc 就 垂直于平面 pa b。 再看这样一道二三年的全国二卷实体，要证明红线 bc 垂直于黄线 da， 这线线垂直不应该初中就会了吗？ 但是呀，这俩是异面直线。咱们研究一下红色 l 一， 黄色 l 二，要证明红线垂直黄线，咱们是不是可以引入一个平面阿尔法， 黄线 l 二包含其中？只要我能证明红线垂直面内的黄线呀， 简单过一遍，要证明线线垂直，就得给黄线找个面，红线垂直，这个面红线就垂直黄线。 以上是意面直线的垂直证明方法，大家可以借助这道全国二卷的证明题来应用练习。 再比如，大家碰到这种更坏事了，要证明平面和平面面面垂直，好像又是一个新的知识点，红色平面阿尔法，黄色平面贝塔。如果说这两面相互垂直， 会是啥情况呀？咱们引入实物图一探究竟。凡是涉及平面的几何关系，方法非常明确，把平面都旋转到压缩成线的视角， 压缩线之间的关系就是平面之间的关系。好的，了解了面面垂直的本质之后，咱们得想个办法证明它。比如咱们引入一条 l 一 包含于平面阿尔法， 同时垂直平面贝特，就这两条，能推理出平面阿尔法垂直平面贝特吗？思考一下， 咱们还是引入实物图来加以研究。首先，红线 l 一 垂直这个平面 l 一， 就一定垂直这个平面的压缩线， 这是线面垂直的本质。现在说 l 一 包含于平面阿尔法，比如长这个样子。 这里请大家认真思考。当我以 l e 为转轴去转动这两个平面镶嵌而成的组合体时，不管这个平面阿尔法有多大，他也总有被压缩成线的那一天。 此时的红线 l 一 正好和平面阿尔法的压缩线重合，俩平面的压缩线相互垂直，就等效为面面垂直。 好的整体简单梳理一遍，只要红线 l 一 垂直，平面贝塔 l 一 就一定垂直。平面贝塔的压缩线 l 一 又是平面阿尔法里边的线， 整体以 l 一 为转轴，就百分之一万能够转到这个两个平面都被压缩成线的时刻，而平面阿尔法最终被压缩到和转轴共线，他的压缩线也和贝塔的压缩线相互垂直， 而压缩线相互垂直正是面面垂直的本质。大家同样可以借助一道经典例题来强化理解。 再接着进入第二部分，一条红线 l 一， 一个平面阿尔法。但这一次我说红线 l 一 平行于平面阿尔法，你能想到它的本质是啥不？ 咱们引入实物图，根据前面的经验，只要有平面，就得给他压缩成线，线平行于面，线就平行于面的压缩线，这是线面平行的本质。 那么在更多的考场环境下，如果需要证明线面平行，应该怎么做呀？ 比如在黄色平面内放置一条黄色直线 l 二，通过红线平行黄线来证明红线平行黄色平面，你认为这合理吗？ 当然一定要交代 l 二包含于平面阿尔法，思考一下好，还是引入实物图，凡是有平面，又要找几何关系，第一时间给它压缩成线。 红黄两线相互平行，而黄线又在平面阿尔法内，所以平面阿尔法被压缩成线之后，必然和 l 二位置重合，和 l 一 相互平行， 而线和面的压缩线平行，就是线面平行的本质。综合来讲，定律的大概流程就是，红线平行于黄线，而黄线又在这个面内，红线就一定平行于这个面， 这是线面平行的判，好像还有点瑕疵。这个 l 一 平行于 l 二，好像从来没说过 l 一 不能在 l 二这个平面内吧， 所以他当然是错的。一个平面内的线不可能平行于这个面本身，所以为了简单粗暴的切断这种可能性，我们直接在条件中加一句红线 l e 不 可以包含于平面阿尔法， 这样就百分百隔绝了。而线面平行这样一个判定定律，大家同样可以用一道高考真题来加以巩固。
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12:38查看AI文稿AI文稿立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。
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42:25查看AI文稿AI文稿老师好，请坐好，那今天我们来看一下空间几何体的外接球跟内接球的问题， 那么第一类像这种怎么办？在三人追中， s， a 跟 abc 垂直， ab 跟 bc 垂直， 我们重新画一下 s， a 跟 abc 垂直，然后 a、 e 跟 b、 c 垂直，现在这三段的长度知道，请问外接球， 各位这是什么模型啊？啊？变老模型，哪里来的长方体来了？那长方体的外锥球跟这个三轮球外锥球一样吗？一样，所以我们第一种 第一种类型的问题就是把几何体给它组成什么长方体或者正方体这种 补完了以后我们就去学长八里正八里的外接球啊，那这一补的话是一个长八里 外接球的直径是啥东西？长八里外接球直径 底的对角线，所以我们这个二二会等于根号，说 a 方加 b 方加 c 方，所以它等于二根号二的平方再加二平方再加二平方，这边是十六， 随便记搞定，对吧？所以第一章就是补体啊，第一章就用补体的方法来，那我们再看这个几，已知这个四面体怎么样？ p a， b c 等于 等于根号十， p a 跟 b、 c 相等，等于根号十。 好了， p b 跟 a、 c 是 相等的，还有呢， p c 跟 ab 是 相等的， 这有垂直吗？没有啊，它特殊在哪里啊？对人相等对吧？那对人相等它有多特殊啊？哎， 对人相等，他是长方体的对角面的对角线围起来的，所以如果碰到这种，那咋办？补一下是一个长方底，补一下是长方底。 那长方里的外切球跟这的外切球是同一个球吗？是同一个球 啊，所以我这个 p a， 那 我这十二，这三边数 abc， abc， 那 我们这三条 面的对角线那面的对，那对应的不就 a 方加 b 方等于十，然后呢？ b 方加 c 方等于十二，然后 c 方加 a 方等于十四，你看这条是不是？然后我们几这条线是什么？ 哎，平方相加，那怎么得到平方相加？全部都加起来数两倍的几对角线的平方， 对吧？等于这三个相加，这边是等于三十六，三十六，所以，所以十八 k 二就三个二， 所以他的直性是不等于几秒就等于三倍的，三倍的话，那这块地球搞定了，所以对人相对没有这样子的信心， 那咱们那如果这个三人对人垂直呢？又有什么表现？对人垂直，哎，地面垂直怎么办？转化为共面怎么转化？ 异面垂直，转化为共面的垂直常用的是哪一张？各位是摄影，那你斜线跟它垂直折什么呀？摄影要不要跟它垂直？ 所以这个 a o 是 垂直， b c， 那 同样呢？ c o 呢？垂直谁 ab， 那 这个摄影是什么心啊？ 高的焦点是不垂心啊，高的焦点就垂心了啊，所以这个结尾的结构大家很清楚啊。三人追，三人追好，那如果不好补体，那我们又用什么办法来呢？比如说柱体，它的外追求问题怎么处理？ 已知已知值三人柱顶点均在球上，侧人二根号三 底的话，有一个角度三十度， b c 是 一，请问该求的表面怎么求？ 那对球来讲，如果用一个面去截球呢？那得到的是一个圆，是一个圆，那如果他没有过球心，那这样就是小圆了。 那小圆的圆心跟球心是与这个面什么关系啊？哎，谁吃的是谁吃的， 所以我们反过来呢，我要找球心的位置，那我就把小圆圆心找出来，那球心是在他的上方，就在他的垂线上 过小圆圆心的垂线上面，我们就用这一招反过来取。大家们，那我们这个这个图形是不是长这样子的？ a b c 有 没有个小圆啊？那球心跟弦连起来，跟这面是垂直的，那 o o 二呢？是跟上里面是垂直的，而上下底面是平行呢，可见这三点什么关系？ 哎，这三点是共线的，三点是共线的，并且根据对称性，那我的球心在哪里？哎，这个助理呢？中间，所以我这个高是等于二分之 h， 球心到面的距离是等于二分之 h， 那 我二是什么？二是到这点的距离是不是二？ 可见我 o a o e， 这是一个什么原因？直线而言，那我只要把小二求出来，问题就解决了。 小二是啥东西？底的外接圆的半径，外接圆半径，想到哪个定律？正弦，所以我二 r 除以 a b 去三， 那这里的 a 数等于一，上 a 数等于二分之几，所以这等于几？所以我的小二就等于一了，那我的高呢？高数等于高三，所以大二就等于几啊，啊，大二就等于二，所以表面积四 pi 平方搞定啊， 所以我们就可以这样来赌。那边呢，那如果我是是一个这样的三轮锥呢？不是编到的三轮锥呢？那怎么办？我是这样的三轮锥怎么办？ 这三轮锥的外接球跟这铸的一样不一样哎，那么古人铸，那他的外接球跟你铸的外接球一样不一样。 所以如果车轮跟底下里面是垂直的，那这样的三轮锥我们就可以把它补成。什么呀？补成 啊，这个直的能柱是不直的能柱，把这种就补成直能柱。那用直能柱的话，就用这办法，大小啊，二分之 h 构成直角三角形，那我们就可以解决啊。 好，那刚才讲，如果侧棱跟底下垂直的这种锥是这样子的，那如果是不垂直的，那怎么办呢？ 如同在三棱锥 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 跟 b、 c、 d 都是边长为根号三的等边三角形， 那这个图形我就可以看作是把 b、 c、 d 掀起来，是吧？绕着 b、 c 翻起来的，如果翻到二面角刚好是九十度，则这一刻的外接球表面积是多少？ 这好补体吗？哎，不好补，成长方体，正方体这种是吧？那怎么办？关键就是球心的位置是吧？怎么找球心？ 把两个面的小圆圆心都给他找出来，他们的焦点是不是你的球心啊？ 那么 b、 c、 d 是 等边呢？是一个小圆圆心，是 o、 e， abc， abc 小 圆圆心，我给他记做 o 二， 那球心呢？哎，球心连起来，则 o、 o、 e 就 会垂直。谁 啊？垂直于平面 b、 c、 d、 o、 o 二呢？垂直于平面，哎，垂直于平面， a、 b、 c， 对 吧？都垂直，都垂直，那怎么样？ 这两个面都垂直，那我把这面给。哎，我们把这个平面 o、 o 一、 o 二给它延展一下，会怎么样呢？哎， 延展一下跟个 b、 c 什么关系？哎， 跟 bc 是 不是就要垂直了？因为因为你 l 是 不是垂直 o 一 o 后一也垂直 o 二，所以这个 l bc 是 不是跟这个面是不是，是不是就垂直了？ 那垂直的话，所以这一点应该是 bc 的 什么点？那这都垂直的垂，这个角是什么角？ 这个角就是在二面角的平面角，这个角就是二面角的平面角，那么它是先成几度， 而且 a、 o、 r、 e， 你 是等边的，这三点应该是空隙，这三点呢？也是空隙，对吧？ 所以这三点都是空隙的。因此我们的球心的位置是在这样一个三角形 a、 e、 d 里面，而且 a、 e、 d 是 直角，三角 看见没？那哪一个是半径啊？到 a 点，到 b 点，到 c， 点数都是啊，那么这个点是中心，那你边长是根号三，二分之，根号三乘以高三，所以高是几？ 然后是二分之三，所以上面那段是，这段是一，这段是二分之一，这段是二分之一，那这个 e、 c 就 等于几？ e c 是 等于二分之根号三，那你 o c 怎么求？所以 o c 的 话是求的半径， o c 就 等于谁 啊？那就是 c e 的 平方加谁啊？ e o e 的 平方，这是 c o e 的 平方，那 c o e 呢？再加谁？ o e o 的 平方是不是零 c 了？ 那相当于这边是一个编码的模型啊，这里就有一个编码的模型。所以我们把这三段平方一下，二分之二，二分之一是不是一再加这段是多少？二分之一，所以应该是一加四分之一，所以二方等于四分之， 所以它的表面积就等于五块了啊，五块了。 所以如果是一些啊，普通的三轮锥，那我们关键就是球形位置，球形位置搞定了，那这个就可以找出来了来。刚才是弯成九十度，是吧？现在我弯弯成这样子的 平面四边形， a、 b、 bc 还有 a、 c 是 相等的， a b bc 也就它这个等边呢？等边呢？边长是二，边长是二的等边， 然后还有一个是 c， a d 角 a 六十度，再来 a b 跟 b c 是 垂直的，那现在呢？沿着 a c 把它翻起来， 翻起来翻到什么程度？翻到它的外切球半径刚好是二，请问你这个翻的多大啊？这个二面角是正弦值是多少呢？ 关键就是要把球星给定位出来，是吧？怎么找球星？ 小圆圆心？把它给找出来，是不是小圆？两个小圆圆心这样子对对接起来，是不是球心就找出来了？ b c a c b 是 直角三角形 小月月星，这是 o， 是 a c 的 终点，所以球心是不是在那个垂线上面？再来， abc 是 一个等边等边呢？所以我后移是不是连起来 只有 o o 二？ o 一 是连起来，那因为它是等边的，所以 b o 一 o 二三点是共线呢？啊，三点是共线的啊。 大家们，现在我这个外接球的半径是二，哪个东西是二零点，距离是二，那它是二，这条边是几一， 而我 o o 二是其的底面呢？所以这条就等于几啊？ o o 二就等于几？根号三，根号三， o o 二等于根号三，那 o 一 o 二等于几啊？啊？ o 一 o 二是等于高的三分之一， 高是不等于根号三，谁最大等于几？三分之根号三，那这里有没有一个角度二百， 所以，所以我的口三二百就等于几？就等于 o 一 o 二除以谁？ o 五 o 二，那就等于三分之一。口三二百是不是等于三分之一？哎，那这口三二百跟我二根角什么关系啊？ 人上去一点，分别引垂线，对吧？这里数已经是垂丝的，那我就过 o 二去做一条 o 一 跟他垂丝，所以这整个数二面角，平面角，对吧？ 啊？那这二面角跟我 r 什么关系？说这边数还要再加一部分，而 o o 二数跟底面弦加了几十度，加了九十度，所以我这个二面角，那就等于 r 加几 九十就二百加九十，那我的正弦值呢？啊？那我的正弦值是不等于三二百加九十，那就等于谁啊？可三二百，那可三二百零几三分之，所以他的正弦值是三分之对，三分之 好，所以，所以你折腾什么程度？那关键是我们连起来把 o o 一 o 二这面延展完以后，跟你的折痕什么关系啊？垂直的，那你这个面一切进去，刚好是二面角和平面角， 也就是我们是用垂棱法来做这二面角，平面角，对吧？做一个面跟你的棱垂直，那得到的交线，得到的就是二面角的平面角，我们就放在这个三角形里面来取线 啊，这是这一题。在台底的外接球怎么写呢？已知圆台的上下比半径是一样，体积是这么多，请问该圆台的外接球表面写 球心在哪里啊？圆台球心在哪里？ 上下圆心跟球心三点共线，三点共线， 那么我的球心可能在这角你的外面，你这个台体比较扁一点的下垂在外面啊，那也可能是他两个面之间啊，那总之这三点一定是什么呀？共线啊， 那我上下底的半径是一二，这个到前面的距离数都是二，所以关键就是要把谁给的位高高，那体积跟高什么关系 啊？底级是等一个三分之一的高，再乘以谁上底，再加下底，再加上下底的等比中下已知它等于三分之四十八，所以 h 点几来？ h 是 等于二方程，方程根号 r 方减一是不是 o e o 再加谁？根号 r 方减四是不 o o 二，所以它加起来等于几？加二点二，对吧？那你如果在外面减一样不一样， 不管是加还是减，是都是减。加方程都是同解的方程啊，移过去平方根都是同解的方程啊，所以不管是加还是减，也就是 o 点在外面，这里面是都是这个方程啊，都是这个方程。哎，那这个有两个根号的怎么办？ 把一边给他移的过来，然后再给他移一个过来平方，那按平方就可以解出来了。所以这是抬体的时候，我们啊跟柱体一样的球心位置定出来就行了。 第五课的话是内切球，内切球，那常见几何体的，我们要明白正四面体的那个们， 哎，正四面体的 我要求那些求的半径，我用什么来求那些求半径啊？经常是利用等几级来算，对比一下，在初中我们六七元的半径是等面积，所以这里是等几级。 那我这里总共几个面？四个面，所以我是可以割成几个三棱锥。四个三棱锥，每个三棱锥面积是不等于 s 乘以二， 加在一起加一等于谁啊？哎，等于三分之的 s 乘以，所以我的二呢？ 我的二是零几，是不是四分之一 h 啊？所以球心就在这里的，对吧？所以这个二是四分之一的高，那射四分之三是谁啊？ 那你是四分之一 h 是 外接球是多少？是不是四分之二 h？ 四分之二 h 啊，那 h 又等于谁啊？再等于 a， 这段是多少啊？ 二分之根号三 a 的 三分之啊，三分之二谁知道？应该三分之根号三 a 一 减三分之一，所以高等于几啊？三分之二开根号三分之根号六， 三分之二的四分之一是不是四分之二 a 是 不是它的高啊？内切啊，外切球，内切球，应该是啊，再乘以四分之一，是不是十二分之根号六 a 啊？所以这个大家很清楚的话，它是它的三倍， 那外切圆的半径是内切圆的几倍？来？ 外星人逆行逆行，人啊，两倍，这里几倍，三倍啊，那边是两倍，这边三倍，对吧？啊，那我们再来看一下，逆行正是人追，各条人肠都为二。 请问他的内切球的表面积是多少？ 那第一种当然是等几级来，是吧？等几级， 所以他应该是三分之一的内切球半径乘以谁表面积？表面积，其中有四个是， 四个是等边三角形，对吧？还有呢？还有一个是正方形啊，正方形是不是？ 而体积又怎么算？三分之一底面积再乘以高，这高怎么写 那么高？我们是可以放在三角形 p e c 里面，而 e c 是 底下外接圆的半径， 外外接圆半径，所以这条是等于根号二，然后这里二，所以高点几根号二，高点根号二，那这样二是不可以取出来了，所以内些圆半径，那应该是二分之根号六件根号二， 当然我们第二种也可以直接来。大圆在哪里啊？哎，那跟这些同心，大圆肯定是在高高上面，那个底面的缺点是谁啊？是底的中心， 那个圈面的缺点在哪里？是等边的中心，所以它大圆在哪里？ 是不是在沿着高中间切进来的？是不是这个图形？所以我的，我的内切球的大圆是不是就是这个圆？ 这三边是几？这等于二，这条根号三，根号三啊，那不就是这个等腰三角形的内切圆的问题吗？啊，所以我们去找大圆的位置啊，大圆的位置 好，这是内切球，那一般来讲，我们都用整体球会居多一些。第六人切球的问题怎么来考虑？ 如果一个正三轮锥里面的边长是二根号三啊，侧轮长是二根号二，如果一个球跟这个 轮锥呢？所有的人都相切，所有的人都相切，则这个球的表面上是多的。 let's do it， let's go to the。 关键是什么？关键是缺点的位置以及球心的位置。 那如果它跟 b、 c 边有一个缺点是 a， 那 跟 a、 b 有 一个缺点， a、 c 是 不是有一个缺点？这三个缺点构成什么 啊？这三个斜点构成的是一个小圆，是一个小圆，对吧？然后呢，跟 p a、 p b、 p c 是 不是也有三个斜点？ 那这三个斜点的位置呢？然后对应的是不是也有一个小圆啊？ 而且这个小圆刚好是不是它的外接圆啊？是不是这三个点的外接圆， 然后呢，这 m 点 n 点呢？你是正三菱形，那我球心在哪里啊？哎，那球心的位置跟这个三点应该是在一个啊，这个界面上 是不是这里相切的？这边过来是不是这样？大概是这样子的，对吧。各位 来，那我求外的一点，引流求的切切呢？ 从圆外一点与圆的切线切线长什么关系？相等，那我求外一点呢？哎，那我球心跟它连起来，是不是跟这切线应该是什么？垂直的？那这垂直的 ph 是 公共呢？所以这三条切线长应该是相等的， 所以我说这三段都为 a， 那 这三段是不是都为 a 了？那一样呢？我 a 点出发呢，你是不是跟我这三个人是不是都相切了？所以我这三段都为谁啊？都为 b 对 不对？都为 b， 大哥们，那你这个 pa 跟 pb 是 不是相等呢？那你前面 a 去掉的谁？这底下这段也是谁？ b？ 那 如果这段等于 b， 那 这三段都等于几？都等于 b， 那 其他的是不是也都等于 b 啊？ 对吧？可见 b 就 等于根号三， b 是 不是等于根号三？ 那 b 零根号三， a 等于几啊？二根号二减去根号三，对吧？ 那如果不是这三人追这种，我们是不是就得到一个方程组？你有几条人长，我就得到方程组。那一般来讲就是啊，这个对人这边的两段，他们之间长度是有关系的啊。对人的两段长度是有关系的， 所以我们只要你摸清楚了，那接下来我们就要去什么呀？求解。是不是用什么来求解呢？用什么来求解呢？ 是不是找方程啊？找方程？那你这边是小圆，所以，所以球心跟它连起来，跟中心连起来，这应该是中心嘛，说跟这底面是垂直的，可是 p h o 三点就要 啊， ph 二三点是要贡献我这个能切球的球心跟底面中心连起来是跟底面垂直的，而 p 点跟底面中心是不是也跟这个底面垂直的贡献？ 那我这个里面的边长是二，根号三，所以里面的高是零三啊，里面的高零三，所以 a o 是 不是等于二？ o n 呢？ o n 等于一， 然后，然后这 h 到 a 里的距离是不是能切出半径是二？ h a h m 呢？数也是能切，求半径，数也是二， 那利用什么来列方者搞出来？那我 p h 等于谁啊？ p h 等于谁？根号二方加谁？ a 方是不是二方加 a 方？ a 方二根号二键根号三的平方， 这是 p h， 那 h o 等于谁啊？ h 加球形啊， h o 等于谁啊？根号二平方减去这两个加起来是什么？是不是整条高？ 那这个是二根二数，整个高点几数，整个高数点二，这个方程能把二取出来啊，那我们这二就可以取出来了。 那你回过头把之前做的人切球那个屏幕再去研究一下看啊，之前是给过的人切球的问题， 所以人切球的问题，关键你就抓住这个取决于外的点做球的切线，切线长一定是相等的，切线长一定是相等的啊，所以每个顶点出发的三条跟切点的连线长都是相等的， 所以这个我们就是计算一下。 第七，跟这些有关的坠石问题怎么来处理呢？来让我们看一下第九题。已知求 o 的 半径是一 轮锥的顶点刚好是 o， 轮锥的顶点刚好是 o 里面那四个点。在求 o 上求 o 的 球面上，则该四人锥体积最大的时候，它的高是多少？ let's do it， let's do it。 有没有想是什么？是能追？没有没有，但是我们自己可以创造条件是吧？应该是什么时候他最大？正四能追，正四能追，所以我们就按照正四能追什么叫体积最大来数是吧？ 正四能追，什么叫体积最大？那如果底是正的是能追，那怎么样？我们高跟底的神秘有关系？ 哎。高跟底的小圆是不是有关系？用小圆是不是有关系？那我们先如果高确定呢？高确定，那这个小圆半径定了没？ 小圆半径高什么关系？那就 r 方加 h 方等于， r 方加 h 方等于一。对于每一个确定的高，那它的体积是什么？ 哎，体积的最大值是什么？那就三分之一高再乘以。谁说底面积最大？对于每个 h 大 底面积最大，它都最大了，请问这底面积怎么求啊？ 里面这四边形的面积怎么求啊？哎，里面四边形 abcd， 我们是不是可以靠直线来说它是正方形的最大？为什么？ 这四边形我们可以用什么办法来？就用正角线来，是不是面积的二等于谁？嗯，二等于 a、 c 乘 b、 d 再乘以角角的啊？正弦值是不是它面积啊？ 对吧？四边形的面积，如果两条棱是啊，两个对角形垂直的，那不就两个乘起来吗？那如果不垂直，如果加了一个角度，塞阿法， 塞阿法来塞阿法，取多少下才最大？ e 最大，而你这 a、 c 跟 b、 d 取到什么的下角最大，是不是直径的下数最大？ 所以它在零二二乘二，二乘一，那就等于二。什么二呢？所以它的面积啊，体积最大，那应该是这个整数最大， 然后，然后这 h 在 变化，这 h 在 变化里面这最大的有没有最大的？这个最大的是不是所有的体积里面最大的那一个？ 那双变量怎么办？哎，那三分之一 h 乘以谁二，二二就等于谁 二，二就等于二，哎，减二 h 平方，所以它等于三分之二 h， 然后呢？一减 h 平方，哎，这怎么求这值啊？哎， g 是 和是定值，只有最大值，但是这两个加在一起会是定值吗？它有平方，它没平方咋办？ 平方一下，所以这个量的平方它就等于九分之四 h 平方，然后这边写成一选 h 平方，然后呢？一选 h 平方，但是这三个加起来是定值吗？啊？要一个二，那这里一个二，它前面就设计九分之二 a， b， c， a， b， c 和为定值极就有最大值。什么叫取得 啊？那三个数相等的时候，所以单写平方 h 平方等于几的时候，三分之一的时候就取得，所以它的高低点几？三分之六乘三，对吧？ 我们是三次函数的，我们可以用最棒的啊，都在笔试定式啊，那这是高考题啊，这是高考题， 所以你看起来很简单，跟平常训练的也差不多，但是它新的地方在哪里？它不是外界，外界球，而是什么球形，杠是什么零点，但是内容是不是都是一样的？ 关键就是我的前面小圆圆心跟他连起来是垂直的，然后构造构造这个，哎，直来求解决问题啊，那我们今天要讲的是这些。
94汤老师
02:54查看AI文稿AI文稿距离高考还有两个多月，如果说选择题的立体几何想不丢分，这个视频必须要看完，我们来看这个高三的模考题啊。桌面上以下四种几何体，然后的话点 p 是 表面上任何一点任意的转动，几何体均与桌面接触，那么这个时候的话，它的点 p 到桌面距离的 最大，那么它的几何体是谁？我们来看这四个图形啊，第一个的话棱长为一的正方形，那么棱长为一的正方形，我在这里边要取一个最长的线段，相当于谁？ 相当于是他的体对角线，这是一根号二，所以在这里边体对角线取的是根号三。那么讲到这的话，给大家稍微拓展一点，正方体里边有三种球， 第一种叫内部切个球，第一种的话叫内部切个球，第二种叫外接球，第三种的话还有叫棱切球啊，这是选项 a。 来，接下来我们来看选项 b， 选项 b 说表面积，表面积， 球的表面积对的是四拍 r 方，所以在这里边相当于谁？相当于告诉你这个球半径，那我们说球面上的任何的点到桌面的距离相当于谁？相当于是球直径啊，它是球直径四拍 r 方球出来 r 是 一，然后的话它取的是二， 然后第三个轴结面，轴结面为正方形的圆柱，轴结面为正方形，那么说明这一部分他是个什么正方形？边长为一，所以在这里边要拉一个最长的线段，相当于什么？ 哎，相当于是一比一，比根号二，这个是根号二，目前来说它最大，因为它取的是二啊。然后第四 d 选项，体积为二分之派，且轴结面是直角三角形的圆锥，体积为二分之派，那我们说圆锥的体积对的是谁？ 三分之一的 s， h， 那 么在这里边 s 取的谁？底面的面积？底面对的是 pi， r 的 方乘上这里边的 h， 那 么这个长度是 h， 在 这里边的话体积为二分之 pi。 好， 然后呢？轴结面是什么？是直角三角形，轴结面是直角三角形，那说明它是谁？ 一比一比根号二，所以的话三，三分之一倍的 pi r 方乘上一个 h 对 应的是谁？ 二分之八，那么这样的话，我们可以求出来他的二，那么在这个圆锥里边最长的我们可以考虑谁？我可以考虑这个母线，我还可以考虑考虑谁，我也考虑体面的周长， 所以在这里边把这个圆锥给他倒过来，底面周长就是他的最大距离。这是四个题啊，所以在圆锥在这个立体几何高考卷里边的选择题，选择题的话从哪下手？一定从图形去下手，这个题绝大多数同学错，很容易选这个 b 选项， 四 d 选项。在大家的潜意识里边，这个锥指的是正的锥也可以倒呀，是吧？容器横放斜放，体积不变。好，这是这道题，我们就讲解到这里。
321张老师讲数学思维
01:42查看AI文稿AI文稿今天我们来看一道立体几何的证明大题，如图，四棱锥 p 杠 a、 b， c、 d 中 ab 平行于 bc， e 是 ab 上靠近点 a 的 四等分点， f 是 pc 上靠近点 p 的 四等分点，证明 ef 平行于平面 p a、 d。 那么要证明线面平行，首先得知道线面平行的判定定力。判定定力为线在平面外，且 平行于平面内。这道题呢，不太好从我们的平面 p、 a、 d 中找到与 e、 f 平行的直线，所以得利用到我们的面面平行的性质去推导到我们的线面平行。 所以接下来我们就构造我们的面面平行来以此达到我们正的线面平行。那么题目中说到了两个四等分点，那么肯定是要用到我们所证明线线平行的 平行线分线段成比例，所以取 d、 c 中靠近地点的四等分点为 g， 然后连接 e， g， f、 g。 根据我们的 f 点， g 点和 e 点分别为我们的四等分点，那么根据比例就可以证明出我们的 f、 g 平行于 pd， eg 平行于 ad。 那 么就可以得到我们的平面 e， f、 g 和平面 p a、 d。 它是平行的，那么既然面面平行，那我们就可以推断到我们的线面平行 ef 平行于平面 p a、 d。
41一昂老师🧑🏫
07:19查看AI文稿AI文稿hello， everybody， 我是 神奇小猪。今天我们来研究一下如何用空间向量解决距离类的问题。咱们这立体几何无非就是研究点线面之间的关系，那由这三个小东西能演示出多少种距离类问题嘞？那可太多了，比如说点点之间的距离，点到线的距离， 点到面的距离，线到面的距离，面到面的距离以及两个异面直线之间的距离，那一共其实就这六种情况呗。那在我们教材当中明确给出公式的就是前三种，也是大家重点必须要会的，那就是两点之间距离，点到线的距离以及点到面的距离。那第一个太简单，不用说，咱是不是有两点间距离公式啊？ 再把两点坐标一求，第二个是 x 二 y z 二吧，代入公式里面直接有了根号下对映相减再平方哈。呃，这个不要太简单，所以今天我们重点学大家可能还不太会的点到线的距离以及点到面的距离。 那在研究距离之前，我们先研究一个跟距离没关系的东西啊，就这投影，因为我们在一会求距离的时候，可能会用到投影的一些知识啊。举个例子啊，现在有个向量是 ap， 求这向量 ap 在 直线 l 上的一个投影长度。 啥叫投影？哎，那我不就是过这俩端点往这 l 上做垂线吗？那 a 点已经在 l 上的话，那我直接过 p 点做个垂线，比如说我记为 g， 我 们要求的投影长度其实就是这么长，就大家想象一下，哎，上面有个太阳光，太阳光往下这么一照，哦，那你这个 a p， 那 我的影子长，那可不就这么长吗？ 在这个直角三角形当中，咱想求这 ag 这边长，太简单了，初中生就应该会啊。我如果说 ap 跟直线 l g 的 夹角，它非它的话， ag 是 直角边， a p 是 斜边。在三角形当中，我用三角函数来表示啊， cos and theta 等于邻边 a g 比上斜边 a p， 这公式讲的肯定是不难的。我想求 a g 呢，其实我只要把这个 a p 求出来，把 cos and theta 求出来就行了。 a p 用你求吗？ a p 是 题目中直接给我的两点间距离，我是一定能求 a p 的 啊，它是固定值，关键你得把这个假角求出来。假角在哪里？有假角啊？是不？数量基里面有啊。 我取直线 l 这个方向上取一个单位向量，我记为小 u， 注意，单位向量长度必然是一哈。我求它俩假角啊， a p 跟 u 我 进行个数量积，我看一下， a p 向量点乘小 u， 它等于魔长，魔长乘假角于线值，也就向量 a p 的 长度乘以 u， 单位向量长度是一，我不写了对不对？我直接乘 cosine theta 它就好了， 奇迹马上发生，你 a p 乘 cosine theta， 它谁呀？ a p 乘 cosine theta 不 就正好是 a g e 吗？爽！ 所以你看着这过程好像挺复杂，但实际上你最后的那个结论非常简单， ap 在 l 上的投影 ag， ag 是 啥呀？就是 ap 点乘那条直线方向的那单位向量点乘完那个值就是我的投影长度。 再写一遍，加深印象。我的投影长度啊，长度是一个值，它的大小就等于 ap 点乘直线上的单位向量。 咱数量机算完不也是一个值吗？那有一点需要大家注意啊，我这投影长度，长度你肯定得是一个正值对不对？不能是一个负数，但是我们这个数量机，我知道数量机受它假假的影响，有可能是正的，有可能是负的。所以最后啊，为了保证它俩是相等的，我一定要在这公式的地方加上绝对值，保证你算完的数是一个正值。 这公式是不是挺简单的啊？当然我提醒大家一下啊，这里面这个单位向量是不是我直接给大家的呀？但是考试题目当中，那肯定是需要咱自己来求的某一条直线，某一个方向上的那单位向量咋求啊？这其实应该是高一的知识啊， 我们在这条直线 l 上任意取两点，随便取，那两点之间肯定能形成个向量吧，这个向量就能表示这直线的方向。但是问题是，哎，你这长度不一定是一对不对，咱为了保证这个长度，它给它变成一，很简单，你这长度如果是二，我就二除，二就是一，你这长度如果是一百，我就一百，除以一百就是一。所以换句话说，我只需要 把任何一个向量 ab 除以它的长度，也就是它的模长，哎，除完就是咱想要的单位向量，所以想求投影的长度，第一步，先求单位向量是多少。第二步，哎，把你要求那个向量，再点成单位向量结束。 ok， 那 我们刚才一直在研究的是投影的这个长度是多少，那如果人家换一个问法，如果人家问投影向量本身也就是这里面的 a g 向量， 咱怎么表示？咱刚才算这玩意是这个向量的大小，它的长度是多少？咱如果想表示这项量本身的话，其实很简单。我们假设啊，如果现在它的单位向量跟 ag， 它的方向是一致的话，那我只需要把单位向量乘以它的长度是不就可以了？你 ag 长度如果是二，我就把单位向量 拉长为圆的两倍，不就是 ag 吗？你 ag 长度如果是一百，我就把单位向量拉长为一百倍，就是 ag， 所以 我可以表示成单位向量拉长到投影 ag 的 长度。 呃， a g 是 啥玩意来着？咱刚修完的是吧？把它带进来，我写成 a p， 第二成 u， 这数量记呢，是一个数字，我用这个数字再乘以单位向量，这就是我最后投影向量的表示方法。那 有同学心里可能要打小问号了，哎，你这是绝对值，这为啥不加上绝对值呢？因为我刚才有个假设，我刚才假设的是，我单位向量跟 a g 的 方向是一样的。那有没有可能你算完这个方向不一样啊？是有可能的， 所以这里面我就需要分它是同向的还是反向的两种情况讨论我们这个公式，两种情况都能包含在内，不信你看。 如果是同向的，意味着呢？我数量积乘完一定是一个正值，我正值乘以同向的单位向量啊，那就是代表的 a g 的 方向。那如果反过来，如果它是反向的，它一反向，我数量积你这个一百八十度扣在一百八，我数量积本身是一个负值， 但是没关系啊，我乘以这单位向量之后，原本反向那个东西，我再乘个负号，就又变成 a g， 那 方向对不对啊？这个部分呢，推导大家如果能理解是最好的，如果不能理解没关系，你就把这公式给我记住。咱 想求一个目标向量，它的投影长度，把目标向量乘以单位向量加以对置。如果想求的是投影向量本身是谁，咱把目标向量乘以单位向量之后再乘单位向量。 来吧，咱直接扭刀小试一下。二零二三年临沂期模特给我俩向量，一个是 a， 一个是 b， 问我 a 在 b 上投影像量的坐标是多少，我先画俩图啊，方便我理解。一个是 a， 一个是 b， 这里面我直接就画在了共起点的位置，因为我知道向量是可以来回平移的，我放在共起点，我好看啊，那这一套问的是我那个投影像量是多少？哎，忘了公式了，咱们再回头看一看 投影像量啊，看的是第二个公式。最后咱得算出来一个向量，对吧？你不能算出来个数，咱需要把目标向量点乘单位向量，这数量积作为一个数字之后，再乘以单位向量。来吧，目标向量 a 点乘 b 上的单位向量 啊， b 乘单位向量，我还没求呢，一会我也求一下，咱求出来一个数字，再乘单位向量。所以第一步啊，单位向量很好求啊，就是这个直线上向量再除以它的长度， b 除以 b， b 的 模长实在太好算了。你看啊， b 的 模长是它方加它方加它方，开杠就根号三呗。所以相当于是你把 b 向量这每个值都除以根号三， 三分之根号三，三分之根号三，负三分之根号三，然后求数量积 a 点 u， 咱就把这俩向量对应，相相乘再相加啊， x 乘 x 加上 y 乘 y 加上 z 乘 z 也是负三分之二倍高三 啊，这这这太好算了，该约的全都约掉啊，其实就是一个三分之根号三，我最后别忘了再乘以这个单位向量本身啊，所以意思就说，哎，把这仨数作为一个坐标，每一个值再乘以三分之根号三啊，它俩相乘的话，那应该是三分之一， 这相乘三分之一，再乘一下负三分之一，麻不麻烦？哎，我说实话有点麻烦，但是呢，我非常建议大家把这俩公式你得先背下来，因为一会我们在求各种距离的时候，真的要用一句话，想求目标向量在某条直线上的投影，就把这目标向量再乘以直线上的方向向量。
16:26查看AI文稿AI文稿好，同学们，立体几何不用愁，题型套路全知透，这个视频我们要学习的是空间中的垂直关系，作为立体几何的重中之重，拉分核心，高考几乎必考，后续空间角度、距离的计算都离不开的一个视频带你梳理通透，让我们开始吧。同学们，今天呢，我们来接着去讲 在立体几何当中啊，比较重要的一些定力，我们今天主要来讲呢，平行涉及到的，呃，这个判定定力以及他对应的性质定力。首先我们还是一样分为三大模块，线线垂直，线面垂直，还有面面垂直。那首先呢，我们先来看线面垂直， 首先看线线哈，好，那线线垂直呢，也是一样啊，如果说他并没有单独做一问小问考察，那我们可能比如说用我们之前初中所学的一些相关内容，我们就可以去解决了。那我们说 在初中当中学到的这个证明垂直我们可能主要是两种，一种呢是利用平面几何的关系，还有一种呢，我们是利用计算，计算呢，可能相对来说比较熟悉啊，计算的话我们主要的就是这个，呃 呃，这个，哎，啊，勾股定律啊，对，计算的话呢，我们主要就是勾股定律。然后如果说是我们对应的这个平面几何啊，平面几何的话，那我们就常见的利用几何图形去理解，比如说啊，像我们比较典型的矩形或者菱形， 或者还有一个最典型的是涉及到我们的等腰三角形，菱形对应的是什么垂直呢？菱形对应的就是我们的对角线互相垂直，对吧，且平分，那等腰三角形利用就三线合一，那除此之外，在我们这学期学完之后啊，其实我们对于计算去证明线线垂直呢，其实 还有一种方法，利用什么呢？利用我们的向量去证，因为我们在学了向量之后，我们知道如果两向量垂直，它对应的数量积必然等于零，对不对？所以我们也可以利用平面间隙啊，也就是向量数量积为零去证明，也就是 a 向量乘点乘 b 向量等于零等于零啊，就可以了。 这是我们说线线垂直，但当然如果他单独做疑问去考察，这个时候我们就肯定不是用这些方法了，我们当然会来讲，还是利用性直定理。那接下来我们来看线面垂直， 那我们对于线面垂直呢，就是我们有比较规范的啊，这个判定定理以及性质定理了，比如说我们来看一下啊，首先来看一下它的判定定理。 判定定理怎么去证呢？那我们来想一下，如果说我想证明线垂直于面，我们先来看比较基础，按照我们前面的证明平行逻辑，我们也知道证明线面，按道理来讲，我应该去找什么？找线线对不对？好，那现在来讲一下啊， 我如果想去证明一个线和一个面垂直，我要去找几组线线，那我们先思考一组线线行不行？比如说我，哎，我证明这条线垂直于面内一条直线，则线一定垂直于面，那这个时候你就要注意，我们是有一种临界情况，什么临界情况？ 这个线在这，但是呢，我这平面内的线在这，但是我的这个与它垂直的直线是这样斜着穿过来的， 那这个时候我能不能满足它垂直？这条线可以，但它显然不垂直面，对不对？所以一组线线并不能解决问题。所以我们这要求啊，必须是两组，而且我们对这个线也是一样有特殊要求，必须是相交的直线。 所以这是 l 啊，这是阿法。那此时它的判定定理就是 l 必须要垂直于 a， l 也必须要垂直于 b， 且同时 a 在 阿法内， b 也在阿法内，以及 a 和 b 必须有交点才可以，那这个时候就可以推出线是垂直呃，垂直于面的啊。 所以也就是说我们的判定定理需要用到什么？需要去用到我们对应的一组线线垂直， 这是我们对于线面啊，怎么去证明好？那他对应的性质定理由是什么呢？我按照我们还是一样按照平行的逻辑来，我们说对于线面，你要去正，我得找线线，那我已知线面可以推什么？也可以反过来去推线线，对不对？那这个地方其实比较相对来说会比较好理解。你就想 我线垂直于面，那我这线和面内的任意一条直线是什么关系啊？显然都是垂直的，对不对？所以这个时候描述的时候就是已知 l 垂直于阿法， 且 a 属于阿法则，我一定可以推出 l 是 垂直于 a 的 啊。那这个就是我们刚刚前面讲的，我们对应的线面垂直是可以去推线线垂直的， 而这个就是我们对于线线垂直另一种正法。也就是如果说你发现有一道题，他单独的去问了你线面垂直怎么正，他一般来说都是在考性质定力啊，你般用性质定呃，性质定力就可以了，然后接下来最后一种面面垂直， 那面面垂直，按照逻辑来，这个时候就应该利用线面垂直去正了，对不对？那现在我们就来想啊，我需要用到几组线面垂直，那这个时候我们说对应的一组就够了，这个怎么去理解？我们来画个图啊，去辅助我们理解一下。 比如说我现在呢，这里是有一个面，然后呢现在垂直于这个面的啊，有一条直线，那我们就想啊， 过这条线我可以做无数个面，对不对？那我会发现，只要过这条线，我对应的是不是每一个面？比如说我就以这条线为一个轴，我绕着这个轴这个面开始旋转，不管怎么旋转，它是不是一定都会和底面垂直？所以也就是说我们证明那面垂直，其实一组线面垂直就够了啊，所以这个时候描述的时候，这是 l， 这是 alpha， 过该线的有一个平面，比如说这是 beta 啊，所以这个时候只要满足 l 是 垂直 alpha 的， l 是 属于 beta 的， 此时我就一定能说明 alpha 是 垂直于 beta 的。 所以也就是说啊，我们对应你要去正面面垂直，需要用的是一组线面啊，我刚上面写写反了，应该是两组线线啊， 这地方应该是二哈，因为我们刚这一想了嘛， l 垂直于 a， l 垂直于 b 啊，应该是两组线线。好，这面面垂直的判定定理，然后对应的还有它性质定理。性质定理的话呢，我们主要找，呃，讲这个最常见的，最常考的， 也就是我已知两个面垂直，那我可以推什么呢？按照我们前面所学啊，已知两面垂直，我其实是可以去推对应的线面垂直的， 那这个时候你要注意，他并不是任意一条线都会垂直另一个平面，他必须满足特殊条件，比如说你看我这一条线会垂直于这个杯塔面吗？显然不垂直，对不对？所以只有什么情况呢？只有我这条线垂直于两平面交线的时候才可以啊，所以这个时候我们对这条线是有特殊要求的，他必须垂直于交线。 假如说交线标为 l， 然后呢？这个是，哎，这个是标 l， 这个是 m 啊，那这个时候描述的话，就是已知阿法垂直于贝塔，且 m 属于阿法，阿法交贝塔于这个 l， 然后呢，这个时候 m 又垂直于 l， 所以 接下来我就可以推了， m 一定是垂直于贝塔的，所以就相当于它是可以去倒推线面垂直的。 这个是我们相对来说啊，比较喜欢去考的一个，或者说我们还会涉及到面面垂直的一个应用呢，就是我们涉及到三个平面，就涉及到这个墙角问题的时候啊，比如说我这个是一个墙角模型， 我这改一下吧，改成序号，这样看起来呢，更直观一点啊，给它改一下， 这个地方也一起来改成序号哈。好，那这个时候这里是三个平面啊，相互垂直， alpha 垂直于伽玛，然后 alpha 垂直于伽。呃，这个贝塔啊，然后还有贝塔垂直于伽玛， 反正就三个面互相垂直，那这个时候你就要注意，它也有一个性质，任意两平面的交线一定会垂直于另一个平面，比如说像这里这个是 l， 也就是 alpha 交伽玛 于 l， 那 这个时候我一定可以推出 l 一定是垂直于贝塔的啊，但这个定律我们相对可能用的不是特别多。好，接下来我们来看例题， 如图， pa 垂直以 ab 为直径的圆所在平面， c 为圆上溢于 ab 的 任意点 a e 垂直于 pc， 垂足为 e 啊，这个地方 a e 垂直于 pc， 这个地方是垂直 e f 呢，为 p b 上对应的一个点。则下来判断不正确的是我们来看出来 a 选项 b， c 呢，是垂直于平面， p a c。 好， 那这个时候我们要去正线面垂直，线面垂直，按照我们判定定来找，需要找什么呢？我们说需要去找线线对不对？而且我们说要找几组线线啊，对应的应该是两组线线，那我们来看一下啊， bc 垂直于 p a c， 我 只需要证明 bc 垂直于 p a c 面内的两条直线即可。那首先先怎么去找呢？那你就要注意了， 由于题目已知 ab 是 直径，我们知道直径所对的角是什么，一定是直角对不对？所以首先我能先确定一个条件，也就是 a c 是 垂直于 bc 的， 这个是我们按照刚才讲直径所对，圆周角为值九十度。 好，那接下来还能得到什么呢？那你就要注意了， p a 还垂直于底面，那我们已知线面垂直是可以去推线线垂直的啊，所以这个地方首先要根据 p a 垂直面 abc， 那 我们说线垂直面，则线垂直面内任意一条直线，所以我可以推出 p a 垂直于 bc， 那 你就会发现，哎，两组线线我有了， 有了对不对？而且同时要注意，我们说线线垂直的时候，这两组线必须要满足相交，所以这个手应该还要再写一个条件，也就是 a c 交 pa 应该是等于 a 点，那接下来我就可以推出我对你的 b c 垂直面 p a c 了，所以 a 选项正确哈， b 选项 a e 垂直于 e f。 好， 那我们说线线垂直，我们要么是直接通过计算勾股定律或平面向量， 或者说呢，我们利用几何关系，对吧？还有一个就是我们说比较写答题，比较想喜欢考证明的利用性质定例。那我们说你要去证明线线垂直的话，我们说想到应该用线面去证，对不对？那我们就想了， a e 垂直 e f。 那 除非我可以证什么 a e 垂直于面 p b c 或者说你反过来证明 ef 垂直于面 p a c 也是可以的。好，那这个时候我们怎么去证？比如说我们先来看能不能去证 a e 垂直于面 p b c。 那 这个时候我们已知的有什么？ a e 是 不是垂直于 p c， 这是一个条件啊， a e 垂直于 p c 的， b c 垂直于面，则 b c 垂直于面内任意一条直线，所以根据 a 选项，我是可以推出 bc 是 垂直于 a e 的。 好，那这个时候你就会发现 a 两组线线且 pc 交 bc 于 c 点，所以我可以推什么？我可以推 a e 垂直面 pbc。 那 你就想了， a e 垂直面 pbc 呢？ a e 一定垂直面内任意一条直线，所以它显然会垂直面内的 e f b 也是对的。再来看 c 选项， a c 垂直于 pb ac 垂直于 p p 的 话，那也是一样的道理，我们就要去想，我是不是可以利用性质定理，对不对？那你就想了，我们刚才 b 选项证了什么？ bc 是 垂直于面 p a c 的， 我们刚才前面推的话，是不是啊？我们前面刚才是不是推了一个 ac 垂直于 bc， 对 吧？这个是已知的。那你就想啊， 我现在有一个线同同时垂直于面内，如果说我们假如从这个 c 上如果成立的角度来看，如果它成立，是不是线垂直于面内两条相交直线？所以按道理来讲，这个时候是不是应该能推出 a c 垂直于面 p b c， 那 这个时候你会发现，如果线面垂直，那我是不是又能推出来 a c 垂直于面内一条直线 p c， 但你发现 a c 和 p c 有 没有可能垂直？显然不可能，对不对？所以它不成立也就意味着它不可能成立， 而它不成立，也就意味着你这个条件肯定是不成立的，因为它是必须满足的，所以只能是第一个条件出了问题，所以 c 是 错的哈，所以这 c 选错误。再来看 d 选项， b 选项平面 aef 和平面 pbc 垂直。好，那你就回忆一下，我们前面讲说，证明面面垂直需要知道什么？需要找一组线面垂直对不对？那你就想了，我们刚才前面证了这么多和 pbc、 aef 有 关的，我们已知 b 选项，是不是？呃，已知这个， 我们已知 b 选项， b 选项我们刚是不是正出来了？ a e 垂直于面 p b c。 那 这个时候你只需要再说明 a e 属于面 a e f， 那 你接下来立马就可以把这个 d 选项正出来了啊， 所以 d 选项正确，那你选 c。 好。 然后接下来我们再来看第三题，如图，在三棱柱当中， c、 b 是 垂直于底面的哈，这里有个线面垂直且平面侧面 a a， a a e c， e c 和底面和这个侧面 b、 b， e， c， e、 c 啊，它们是垂直的。第一问，让我们去证明线线垂直，那这首先啊，就是想到我们前面讲的说，如果线线垂直或线线平行，单独作为一问去考这道题，一定不是常规做法， 我们一定是要利用什么性质定理，对不对？好，那我们想一下，线线垂直，我们说性质定涉及到的只有一个线面，那我们就想了，我要证明 a、 c 垂直于 b， b、 e， 那 我可以找哪一组线面垂直， 那我们就结合图来分析，我是证明啊，这个 a、 c 垂直于 b b 一 所在直线呢？还是去证我对应的 b、 b 一 垂直于 a、 c 所在的这个面。 好，那这个时候我们就要结合具体问题来分析啊，你看，首先 c、 e、 b， 我 可以确定它是不是一定是垂直于底面的，是，这样吧。好，同时， 那这个时候我们说线面垂直，我就一定可以推线线垂直于 a、 c 的， 我们先把这个条件往我们需要找 a c 和 b b 一 上去凑，然后再来根据平面， a a， e c， e c 垂直于 b b， e c， e c 啊，面面垂直我们又能推什么？我们说面面垂直的话，我们是不是想到，哎，我好像可以去推线面垂直，那线面垂直怎么去推呢？我们说必须要满足的应该是线要垂直于两平面的交线。好，那这个时候这两个平面交线是谁？是 c c 一， 那我能不能在这个面内找到和这个 c、 c 一 啊？垂直的，呃，垂直的这条线 直接来找的话，好不好找？显然是不好找，对不对？所以我们就要想办法我给他做出来，因为不管怎么样，这面面垂直条件我一定要是要用起来的，所以我们不妨过 b 点去做一个垂直。这个垂足在哪我不确定，但是我知道一定有这么一条直线，所以这个时候我们可以首先做 b、 e 垂直， c、 c 一 于一点，那接下来我是不是就可以正了，对不对？只需要去说明。因为面 a a 一 c 一 c 垂直面 b b 一 c 一 c 同时啊，用满足两平面，我这个地方就减写了啊，两平面交于 c c 一， 你真正在写的时候，其实最好的是用那个呃，这里改成交集，然后等于 b c、 c e 啊，这个是最好啊，那这个时候说，呃，又因为你前面 b、 b、 e 是 垂直于 c 一 一呃 c、 c 一 的啊，所以接下来我就可以说明， b e 呢是垂直于面另一个平面，也就是 a a e c e c。 当然这个地方其实你还是要再说一句啊， b、 e 是 属于面 b b、 e、 c 的 好，那接下来我是不是，哎，又挣出来一个线面垂直，那又挣出来一个线面垂直，我又可以得，又可以得线线垂直了，所以这个时候我又可以得出 b、 e 是 垂直于 a、 c 的， 你就会发现，哎， c e b 垂直于 a， c， b e 也垂直于 a、 c 两组线线垂直，且有一个公共的线是 a、 c， 所以 我接下来就可以写，因为 c、 e、 b 交上 b、 e 应该等于 b 点，它俩相交，又同时垂直于同一条线，所以我就可以推 a、 c 是 垂直于面过 c e b 和 b e 的 面，所以也就是 b b e c e c 那 接下来我就可以推出线线垂直 a c 是 垂直于 b b e 的， 所以第一问我们就解决了啊。所以这个时候我们说结合具体的一个证明题，我们去体会一下。就做这种题，你一定要首先先想到我到底应该是用什么定力逐步的去倒推，我应该找什么条件，你接下来证明的思路就会很顺畅。
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25:05查看AI文稿AI文稿hello， everybody， 我是 神奇小猪。很多同学觉得立体几何全都是套路问题，间隙就好了，但是今天咱给大家讲一讲立体几何当中的一些难题，它怎么考？ 他，有可能这个图形长得特别难看，你不好间隙，或者，哎，你即便见完了，系因为这图形歪七扭八的，某些点支出去了，斜出去了啊，那个坐标他不好求。所以，基于以上两个不同的层面，咱今天跟大家一起刷一些立体几何的难题。首先来看第一个模块，不好间隙类。 咱间隙，那就是找 x 轴、 y 轴、 z 轴，说白了就是找三对两两垂直的线段。那有些题目简单，那是因为这垂直条件是直接给我的。有些题目，那垂直需要咱们先证明你正出来垂直了，你才能间隙，或者啊，通过一些简单计算，你算出来垂直也是可以的。比如说，举个例子，二零二一年浙江高考 啊，他说有个四棱锥， p， a、 b、 c、 d， 底面是平行四边形，具体啥形状往后看，说 a、 b、 c 是 一百二十度哦，呃，这是一百二，然后 a、 b、 b、 c 两条边长，一个是一，一个四。哎，我觉得这个图形应该单独拎出来画吧，它长得太奇怪了啊， a、 b、 c、 d， a、 b 短一点是一， bc 长一点啊，是四，然后还是一百二十度的，老师真难看呢，这题出的太损了啊，边长一四，一百二十度哎，你这是一百二，那我这个角度 a 和 c， 那 就六十呗。 好，那这里面具体有什么隐含条件，我目前还没看出来啊。继续往后看，又给我了一个值，叫 pa 的 长度是根号十五哦，所以这个上顶点 p 怎么定义的呢？它跟定义了一个根 a 点的一个距离，根号十五。 但是我心里知道，你在一个三维空间内跟一个点距离是根号十五的，一个 p 点应该有无数个才对，对不对？你光靠这一个条件是确定不了 p 点位置的，我看看后面还有没有有关 p 的 一些条件哈。 他先说了， m、 n 分 别是 b、 c， p c 的 终点，这是终点，这也终点，这终点条件好像没啥用。往后看， p 点又来了，他说 p d 垂直于 d， c， 这俩是垂直的。然后又说 p m 垂直于 md， p m 垂直 md， 那很显然，这俩垂直条件再加上一个 p a 是 根号十五这条件，那我觉得大概率，那 p 点是不是人家就可以确定了呀？但现在我面临的问题是，啥呢？这俩垂直条件咋用？ 这图形长得太难看了，咱先仔细来分析分析，两个垂直是在干嘛啊？首先呢，这个，呃，下底面有一个点， m 还没点呢，别着急， m 在 这，你中点，那就把整个四的边长分为了二和二。我先把底面研究明白了，你再去研究空间三维立体当中的这几个垂直条件啊。我发现，哎， dc 是 一，你 cm 还是二，这还是多少？这还六十度啊，好家伙，题目还帮我连好了，把 dm 连起来了，都不需要你自己去想这一比二的六十度三角形，这角啥角？是不是直角？ 所以我研究底面的时候，我发现题目当中隐藏了一个没告诉我的一个直角，这直角必然有用。那现在我再捋一遍题目当中这几个垂直条件啊。首先 他说 p d 垂直于 dc， 这蓝色，垂直于这个黄色，哎， dc 好 像挺熟的呀。我继续来看这个这个平面图形。 dc， 刚才我刚知道， 看人家跟 dm 也垂直，对不对啊？ dc 这黄的跟 dm 也垂直。好家伙，你这同一个黄线，题目中说既跟这个蓝的垂直，我刚才又发现跟这个蓝的也垂直，那这个黄线是一定跟这俩蓝线所形成的蓝面是线面垂直的？线面垂直有啥用？ 它就跟这面上另外一条线 p m 是 不是也垂直了呀？所以我们经常会用到一个结论，就是，说啥呢？在三维空间内，如果你一条线跟一个三角形的两条边都垂直，那它一定跟三角形第三边也垂直，因为它一定就是线面垂直的了。好，那我先把思路捋在这啊， d c， 呃，既跟 p d 垂直， d c 还跟 d m 垂直， 那它就线面垂直，它就跟第三条边 pm 也垂直。太厉害了。所以你发现没，我光由题目当中这一个垂直条件，我居然推出来了这么多，所以大家也是一样，你别上来，因为题目当中垂直条件太多了，你就乱了，你慢慢一个一个推，不着急啊。我现在推完一个，我再往后看，他又给了第二个说 pm 跟 md 垂直， m d 是 这个，他说这蓝的跟这个线又垂直了。哎，那我刚才刚退完的是谁啊？我刚退完， pm 跟 d c 垂直，你现在又告诉我 pm 跟 dm 垂直，你这同一个蓝线跟两条黄线都垂直，就跟黄线所形成的黄面就垂直了呗。 开心开心啊，我再写下来，我怕一会忘了。由我推出来的，加上题目中给我的 pm， 题目说 pm 垂直于 mb， 哎，那我就能推得 pm 跟那两条线所形成的面。哎，这面是哪个面？那不就 abcd 这个底面吗？ 我推到这出现线面垂直了，我先看看。第一问，他问我什么？他让我证明啊，你这个 ab 跟 pm 垂直不啊？呵。呃， pm 是 这条线，你 ab 是 底面垂直了，那可不跟底面上任何一条线都垂直吗？ 啊？第一问直接能推的出来？我不写过程了啊，我来看。第二问，他问我了一个，哎呦，一个线面角了，他问我线面角，那我开始我就得看能不能间隙了呀。 我，间隙我要找啊，三个相互垂直的一条线，呃，那我怎么找？咱能以 a 点间隙不？你说啊，以 a b 间隙和 a d， a b a d， 这不是直角，人家这是六十度对不对？你即便强行以 a 点间隙，呃，那你也得这样间在逆时针当中呢。呃，就是就是就是这样的， 然后再以 a 点支出去一个 z 轴，这值，这看起来太麻烦了对不对？咱想间隙得找垂直条件聚集的那个点，哪个点垂直条件最多呀？傻了，咱费尽千辛万苦都挣出来一个线面垂直了，我肯定以 pm 当 z 轴，这毋庸置疑， 你选别的都不好做，我这周选完了。那我就在这个平面上啊，也就是以点 m 做俩垂直的 x 轴和 y 轴就行了，对不对？那你看例图形不好看，我看平面图形好看呀。啊，你过点 m 做俩垂直线，你说咋做？ 咱不能特随意的。你说啊，这，这做一个，然后这我再做一个垂直的。你，你这线啥线呢？不知道对不对，过点 m 垂直条件比较多的。哎，那我就选这个 dm 好 了，对不对？ 我把它当成一个轴，然后再以跟这个方向垂直的另外一个方向，哎，比如说以这个，这个是什么方向？这个是跟 a、 b 跟 d、 c 平行的方向呗。这我再做一个轴出来，这系咱就建好了， 我把它放在立体图形当中，首先过点 m， 做一个跟 ab 平行的线，然后再以 dm 为一个轴，那这里面谁是 x 轴，谁是 y 轴？要注意哦，咱建的是右手膝大拇指朝这，然后这么一扫的话，先扫到这是 x， 这个是 y 啊，这还不会的，你赶紧去看那个间隙的第一节课啊。 ok， 系建好了，那接下来那就简单了，那就变成，呃，一个求点坐标，然后把直线向量跟平面的法向量求出来，最后求一个角度的一个非常套路的问题了 来，那我把其中涉及的一些线呢，我先标出来啊，它涉及到了 a n， 所以 显然 a 点坐标， n 点坐标，我要先求出来。那你想求 n 的 话，因为 n 是 终点，我得先求一下点 p 跟点 c， 是 吧？好，那来吧，我先求点 a 啊， 哈哈，这个好求，因为它在一个底面上，但大家别看错了，点 a 对 应的 x 轴的坐标啊，是这个点，它是多少？它是一个负值，这是一，这是二呢？ d m 就是 根号三，下面跟它对称的就应该是负根号三。求着点坐标还挺恶心的啊。 然后它对应 y 轴，坐标在这里，这又是几啊？这长度是一啊，相当于呢这段长度，这段长度都是一， 那我要想求整个 y 坐标的话，我把这一段求出来。这段啥呀？这三角形跟这三角形是不是全等的呀？一一二二刚好，三刚好三，对不对？所以 y 轴坐标应该是一加一等于二。没跟上的宝贝自己画个图好好看一看。全都是初中知识啊。我先把 a 点坐标写上，免得一会忘了 x y 零。 ok， 那 我该写 p 点了。哎， p 点这个几何体的这个高 pm 是 不是没给我好生奇怪。哎，我还得先把这高算出来，这高怎么求呢？他给我的是这个绿色长度，这个这个 pa 是 根号十五，我如果想求这个高的话，那我立即几何 d 接口，就知道我得是不是得连出来这个 am 来做一做呀。 我把它放在这个绿色的直角三角形当中。为啥是直角？你这 pm 跟整个底面都垂直吗？对不对？所以想求这个直角边。我先把 am 求出来。 am 在 哪啊？我又转化成平面度，将 am 在 这。 想求 am 我 还是一样的呀，怎么求？我都放在平面直角坐标系里面了。你这刚才刚求完是根号三长度哈，这个长度呢，是二，所以二，根号三。 am 的 长度勾股定力应该是根号下四加三是根号七，对吧？ 当然有的宝贝呢，你也可以怎么做啊？你用上 a， b 是 一， b m 是 二，然后这角度题目中给我的是一百二十度，我在这三角形当中两边都知道了，想求第三边，我列余弦定律是不是 三边一角，这 a m 不 就也能求吗？是吧啊，当然，你这个是稍微复杂了一点，咱细都建好了， a m 是 直接能求的， 所以根号十五，根号下十五减七就是根号八，根号八就是二倍，根号二， p 点坐标零零二倍根号二。 ok， 我 还要求什么来着？我要求 n 对 吧？求 n 的 话，你 p 点要知道 c 点也得知道 c 点我还没求呢。 c 点在 x 轴上的这个坐标应该是根号三。在 y 轴上，这个坐标注意哦，指 y 的 负半轴是负一， 根号三负一零。嘿嘿，那两点的中点，它加它除以二， y 加 y 除以二， z 加 z 除以二， n 点坐标二分之，根号三。呃，负二分之一 啊，他俩现在除以二是根号二。哦，完又一一啊，没地儿了，根号二写不下了。 ok， 那 a n 坐标都有了，那 a n 所形成的这个线段，这向量我用中点坐标减起点坐标 a， n 就是 他减他二分之三倍，等于三负二分之一，减二是负二分之五，根号二减零是根号二。 ok， 马上就要大功告成了。我接下来再算一下这个 pdm 这个面的法向量。哪个面啊？ p d m 在 这呢，你 p 点在 z 轴上， m 点是圆点啊，你 d 还在 x 轴上，所以你这面相当于它就是 x o z x o z 这面对不对？ 你这面的发现量甭求了，这面发现量跟它垂直的不就 y 轴吗？所以我直接在 y 轴上找一个零一零，就是发现量不要太简单， 所以两个向量都有了。我直接你甭管他问我什么，我先求一下这俩向量所形成的加角余弦值啊，你问我别的我也不会求啊。公式默背一遍，分子是数量，积分母是俩。魔长等于 我开求 x 乘 x 加上 y 乘 y 加 z 乘 z。 哦，你这是俩零。所以呢，我最后乘完之后，就应该就等于负二分之五， 然后魔长再求一下 n 的 魔长，我列个大根号出来告诉一下，塌方，再塌方，再塌方 四分之二十七加上四分之二十五再加上二。哦，简单偷偷算一下，分母是四二十七加二十五，五十二再加上八，哦，四分之六十，四分之六十就是十五吧。哦，所以下面其实就是一个分母是根号下十五二倍，根号十五再分之。我。我先不化简啊，一会再化。 他问我什么？他问我的是线面角的正弦值。那如果大家知道我们之前讲过结论，你就直接写了所乘角，我设为 r f 值 sin r f 九式线面角必然为正。我先加绝对值，然后第二步求线面角前后函数名是要变的，他让我求赛，我这里面后面反而要写 cosine 是 cosine a n 和 n 的 夹角，然后我发现，哎呀，我刚才求的正好是 cosine a n 和 n。 哦，那把这值刚才有个符号是吧，忘写了，加上个绝对值放进来就行了。化简完是正的，六分之根号下十五。 ok， 但是有的同学这个结论他不太熟练，怎么办呢？你就脑中想个图，或者你纸上画一画图也行。你看啊，这是一个面儿， 这是这个线，我要求的那个线面角是这个角，但是我刚才求的这假角是哪个角？这假角是，呃，这个线所形成的向量跟这个平面的法向量所形成假角。 哎，所以理论上是哪个角呢？是这个角对不对啊？是这个角，那这个角呢？对，顶角过来也就是它。所以你发现没，我最后要求的这个角跟我刚才刚刚求完的假角之间啊，应该正好是互余的是吧？相加等于九十度嘛。这我只是在这个草图里面分析哈。 所以两个互余的角，我想求 sine 二法，我反而利用诱导公式的话，应该求的是它的 cosine 值，所以 sine 二法等于 cosine， 它加绝对值保证是正的，没问题。 ok， 这是今天的第一道开胃小菜，大家觉得怎么样？难度其实还好，最难的点在于哪呢？在于它给我那垂直条件。有两个有点乱， 咱得先找到啊，那个 d， c 跟 dm 垂直这隐藏的垂直条件，然后一步一步去推，发现哦，你这个 pm 是 垂直于底面的一条线，咱就可以以 pm 为 c 轴，然后过点 m 做两垂直的，分别为 x 轴， y 轴就可以了。 间隙有点难度，至于求这些点的坐标啊，稍微可能就墨迹一点对不对？但是呢，难度并不大，这就是咱今天讲的不好间隙类 啊，不爽不爽，哎，再来一题，这二零二二年的新考一卷，可能有的同学已经做过了，它也是属于非常不好间隙的那一类 啊。今天我必须再讲一遍，那你图看着好像是方方正正，对不对？但是呢，他没有直接给我垂直条件，他先给了我一个条件，角直，三棱柱。啥叫直啊？直的意思就是说这个侧棱跟底面啊，他应该是一个线面垂直的关系， 这后续肯定是要用上的，对不对？他说整个直三棱柱，他的体积，他是四，哎，所以这个，呃，底面积乘以这个高，那不就体积吗？是四，然后又给了一个面积，挺奇怪的啊，是 abc 的 面积， 这三角形。啥三角形咱知道吗？哎，你看着，哎，这感觉好像是直角，但是人家题目说没人没说啊。所以接下来他给了我这个面积是二倍杠二，我得先确定这三角形是什么样的形状，这是我接下来一定要解决的问题啊。那第一问也啥也没问我，他问了我一个点到面的距离， 哪个点呢？是 a 点到刚才这个 a， e， b， c 这面的距离。呃，是这个距离，呵呵。哎，我这直三棱柱啥形状我不知道，你这三角形啥形状我也不知道，这么多不确定因素，他让我求一个点到线的距离，我肯定不可能把这个垂足找到的啊。不可能， 所以不能找到垂足，他还让你算，那你说你用啥方法呀？是不是用等体积法来算？因为我这底面的面积不是知道了吗？对不对？所以相当于呢？我这 a， e， a， b， c 三棱锥， 他的高对不对？哦，所以我开列三棱锥体积是三分之一，底面积人家已经给我二倍根号二了，再乘以我想求的点到面的距离。 哎，他这个体积等于什么呢？人给我的，啥人给的？我是整个三棱柱的体积，对不对？我这三棱柱的体积跟三棱锥的体积有啥区别？是不正好差三倍啊？因为三棱柱是直接底面积乘以这个高，三棱锥呢，是三分之一倍的底面积乘以侧棱的高 啊。你这侧棱不是跟底面垂直吗？不直的吗？所以正好差三倍。那我整体的大的体积是四的话，那我这一点点这三棱锥体积应该是三分之四，所以爽。这个点到直线的距离就让我求出来了几何方程直接有了，应该是根号二。 第一问用了一个等体积法，那我来接下来看一看下面他问我什么，他说 d 呢？是整个的一个终点啊，这没啥的。然后有个条件叫 a a e 等于 ab 哦，这俩相等哦。好家伙，你这这个侧棱不是跟底面垂直的吗？这本身已经有垂直的情况下呢。 那这三角形啊，就是等腰直角三角形，或者说这个四边形就是一个正方形了，对不对？好， 那有什么用呢？目前来说还没啥用，因为我这个 ab a a e ab 长度每一个都不知道哈，继续往后看吧，他不给我条件，我用不了啊。啊，给了我一个非常关键的条件，叫面面垂直， 你先甭管他给的是哪两面，你得先知道面面垂直。咱咋讲的，你要干嘛呀？题目中有面面垂直条件，想都不用想，你肯定是要找那两面上跟交线垂直的线的， 我只要垂直于这个交线，那么这条线就跟另外一个面线面垂直，线面一旦垂直了，这线就跟那面上另外的任何一条线，嘿嘿，是线线垂直。这个面面垂直条件经常用来推线线垂直。 你一定会这么用啊，任何一道题都是这么用的。那来吧，你试一试，看一看这是哪两面啊？一个是 a e b c 还是一直这个斜的这个面？ 这 a b b a 是 谁？ a e a b b a 是 这个侧面，当然我也可以缩小成一半啊，缩小成这个绿面，所以现在告诉我了，这个绿面跟黄面面面垂直，这交线太显然了，我姥姥都能看出来是 a e b， 那 我现在要干嘛呢？我肯定是要在绿面上 或者在黄面上找到跟这个交线 a b 垂直的线的。那现在给大家三秒钟思考时间，你是在绿面找跟 a b 垂直的线，还是在黄面上找跟 a、 b 垂直的线？三 二一，有没有选黄面的同学？哎，你黄面你知道是啥形状吗？你是不是不知道？你都不知道人家是啥形状，你咋找垂线呀？你找不到，但是绿面不一样。我绿面是不是已经知道他是啥图形了？他是等腰直角三角形 出现。等腰经常要干嘛来着？还记不记得呀？垂直小妙招再次用上。出现等腰，我们一般想的是三线合一，找这个线线垂直，所以这里面我一定要点的是什么呢？点的是 a、 e、 b 的 中点。呃，起个名叫点 g。 好 了 来了， ag 在 这个等腰三角形当中，一定是三线合一， ag 一定跟底面垂直的线了，那这条线就一定跟另外一个面 ag 跟整个黄面线面垂直。我先记下来， 那线面垂直有用吗？一点用没有，你最后一定要找的是线跟面上某条线线垂直，线线垂直才有用啊。所以这个 ag 啊，它肯定跟这个黄面上的 ab 不 用说了，肯定是跟 a、 c 线线垂直。这 ag 呢？还跟 bc 线线垂直。 我刚才说了，目标是要找到这三角形是啥形状，对不对？刚才也大致判断好像这个挺像直角的，因此这里面 b、 c 跟哪条线垂直，我要非常非常敏感才对。现在我知道了啊， b、 c 已经跟 a、 g 是 线线垂直的了，画出来吧，这个黑线跟蓝线线线垂直。 哎，那你光有这一对线线垂直，说实话没用啊，咱线线垂直至少要找到两对才有用。那题目当中，他给这了一个面积，给了一个体积，给了一个相等。这这这没有垂直条件啊，唯一的垂直条件在哪？在这在直。 啥叫指是不侧棱跟整个底面线面垂直，它一线面垂直，那侧棱就跟底面上任何一条线，包含这个黑线是不线线垂直啊，所以这个 b、 c 不 一般呐，它是交际花，它既跟刚才我发现的这个 a、 g， 哎，是垂直的，由这个面面垂直推出来的， 它居然还跟这个侧棱 a、 a 一 垂直，这不就强行找到由 b、 c 为核心的两对儿线线垂直了吗？而且这两条线还是相交的，哎，两对儿线线垂直，这 b、 c 就 跟整个蓝面儿是不是线面垂直啊？记下来， 线面垂直有用吗？没用，你最后还是得推线线垂直。这个 b、 c 跟蓝面儿上任何一条线，包括什么 a、 a、 e 啦、 a、 b 啦，都是垂直关系，所以这里面推到这之后啥就都有了。 bc 跟 ab 是 垂直的，所以底面呢，应该是一个直角三角形， bc 呢，跟 aeb 也是垂直关系，这也是直角三角形，所以这些形状我就全都能用到了。那我接下来我要算这个棱长是多少了，要不然我没法间隙，没法算这个正弦值啊。我定睛一看，哪条边的长度给我了呀，给了我一个体积。 哎呦，没给我边长，给了我个面积，也没给我边长，我为算的是哪啊？哎，咱算的是点 a 到 aebc 的 距离，是不是 啊？刚才说这长度是根号二，哎，点到面的距离，面是这个面，点是这个点，点到这面的距离，其实在这个新的图形当中是谁？这题太难了，考试的时候很多同学都没想到， 咱点到面的距离就是过 a 点找到跟这个面垂直的是不是？那题目中第一开始给我垂的条件是不是面面垂直了呀？哈？你两面都垂直的情况下，我过 a 点做另外面的垂线是不就可以了？交线？垂线是谁？那不就是 a g 吗？ 反反复复都是利用这个面面垂直条件，你永远要找交线的垂线。我 a 点垂直于交线，就一定垂直于那个面，那你 a g 都垂直于那个面了，你可不 a g 就是 点到这面的距离吗？这距离就等于根号二。 为啥有同学想不到？因为他不知道他要干嘛。咱最后想求这二面角肯定是要间隙的，咱想间隙肯定得把你这个侧棱的底面这边长求出来。想求边长人的题目，有边长吗？体积没有边长，面积没有边长哪有长度啊？唯一的就是这点到面距离的面具。啥东西？第二问追加了一个条件，叫面面垂直，面面垂直了，所以 ag 就是 点到面距离 这侧面是等腰直角三角形啊。所以它是根号二，它是根号二。一比一比二，这个长度就是二， a a 一 是二， ab 呢也是二，那我的 a、 e、 b 就是 谁呢？二比二它就是二倍根号二了。 那题目又说，哎，你这这这个 a、 e、 b、 c 面积是二倍根号二，我还知道这是直角，那你说这个 b、 c 长度是多少啊？就只能委屈它等于二，因为二分之一它俩相乘才是二倍根号二吧。 所以从头到尾这面面垂直是最有用的，它既能帮助我求出来 a g 这条线段的长度，还能告诉我这个黑线呢，跟俩绿线都是垂直的，它把每一个三角形，它的形状全都确定了 啊，那你底面这都是直角了，咱侧棱还跟底面垂直，那间隙好不好间呀？这不就可以间了吗？ b、 a、 b、 c， b、 b、 e。 咱讲了这么半天，推来推去的垂直啊，点到面的距离，最后才发现以 b 点是可以间隙的。 咱讲这么久，这戏才刚刚建好。所以大家可以想想，当时高考的时候考这道题，那些不会几何法，只会解析的同学们咋做题啊？你得先用几何法把这些垂直条件找到，你才能解析。 好了，那接下来就是一个问二面角的套路类问题了。他问我二面角，那我无非呢，就是把 a、 b、 d、 c 四个点坐标都求出来呗。 a 零二零呃， b 呃，零零零， c 二零零，呃，想求这个 d， 哎，我想求 d， d 是 终点，我先求 a 一， a 的 x 轴坐标肯定是零， y 轴坐标是二， z 轴坐标也是二，所以 d 点坐标零加二除以二，二加零除以二，二加零除以二。哎呦，一一一。 每点坐标有了，那这个这个，我就能求任何一个面的法向量呢，比如说 a、 b、 d， 咱在这面上先找两个小向量，比如说 b、 a 跟 b、 d 吧，那 b 是 圆点，那我直接把它的坐标抄一下就行了。 b、 a、 b、 d 求法向量两个方法，你可以用传统的方法去做，咱也有速算技巧是吧？咱求 a、 b、 d 的 时候用传统方法，求 b、 d、 c 的 时候，咱再用速算小妙招哈。我先设 a、 b、 d 法向量是一个 n、 e、 n、 e 多大呢？不知道啊，是吧？没关系，我设 x、 y、 z。 啥是发现了？发现了跟这两个平面上的线段应该都是垂直关系啊，所以咱肯定得有 n 一， 跟它俩的数量积都得是零。这一步在答题卡上必须得体现。那么它乘它加它乘它加它乘它等于零哦，这省完就剩一个二 y 了哦。所以 y 一定是零喽。那接下来， x 加上它乘它， y 加它乘它 z， x 加 y 加 z 也得是零。所以 y 已经是零的情况下，我只要保证 x 加 z 是 零， x 加 z 呢，是相反数就可以了。所以我就随便取了啊。我取如果 x 是 一的话， x 是 一， y 是 零， z 呢，就得是负一，太完美了。那考试的时候，你求完一个向量，另外一个向量你直接同理就可以了啊。这个 b， d， e， c， 嗯，向量我设为 n 二，是吧？你用相同的这过程去做没问题。 那今天咱们再用一个速算小妙招来算啊。咱先呢，在这个 bdc 上选两个向量，一个是 bd， 一个是 bc 啊，也就是一一跟二。零零一共分三步，第一步，叫每个向量写两遍，复制一下。 第二步，掐头去尾留中间，第一列不要，第二列也不要，保留中间的，然后交叉相乘，再相减它乘它减去它乘它零，减零就是零。把结果记下来， 再来一次，它乘它减它乘它，它乘它是二，它乘它是零啊。所以呢，二减零就是二，没跟上。再来一遍，它乘它减它乘它，它乘它是零，它乘它是二。零减二是负二，算出来的这三个数就正正好好是咱法向量的坐标， 你不用问为什么，这是大学知识，专门帮助大家求法向量的哈。那考试你只能直接这么写不，不能，你只能考试说用这个方法把这个答案算出来，你对一对，看看跟这个传统方法算完的答案一不一样。 那我在卷子上怎么写呢？我直接同理了哈，我懒得再写一遍了， n 二我也会算，那写的时候呢？你可以写零二负二，没问题对不对？但是我知道你这项量呢，向量是可以来回伸缩的，你零二负二是跟它完全相同方向的啊， 一个面的法向量可以有无数个，你怎么简单怎么写呗。 ok， 那 么两个法向量都知道了，那么它俩所形成的两角于相值我就有了。 cosine 值是分子数量积它乘它加它乘它加它乘它等于一 分母是魔长，这魔长刚好它方它方，它方应该是根号二，这个魔长根号下，它方加它方也是根号二。嚯好简单，它是二分之一哈，那他问我这个二面角，比如我设成 r， 那 么 sine r 法就是。 注意喽，正弦值肯定得是正的。那里面这个我写 sine 还是 cosine 呢？变不变名呢？注意，只有线面角变名，求线线角啊。还有二面角外边是 sine， 里面也是 sine 函数名不变啊， 我要求 sine n 和 n 二的夹角。呵，你 cosine n 二是二分之一，那你说 sine 是 多少？那不就二分之三吗？平方根得是一啊。这题咱就做完了， 以上两道题都是从头到尾给大家非常认认真真的讲的啊，都是不好间隙类的题目。最后问了一个线面角，然后呢，又问了一个二面角，几乎就能包含所有角度类的问题了。因为咱解答题一般来说线线角考的非常非常少。
152一数儿的课(高二)
29:56查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，高中学习阶段重点来了，跟着我轻松拿下立体几何，认准口号，立体几何不用愁，解题套路全治透，今天我们来讲空间中常见的几何题。哈喽同学们，马上我们就要步入新的一个章节的学习当中了，也是我们高中 这段非常非常重要的一章啊，你像我们高中的话经常就讲，哎，这个三句头，我说咱们解答题必考的肯定会有圆锥曲线导数，还有就是立体几何，对吧？比如说立体几何可能会和我们高二下会在学的这个空间向量啊，会结合起来。 目前呢，我们先从了解最基础的一些空间几何体开始。那这里首先我们要来讲一下，对于空间几何体而言呢，我们是可以给他去做一个分类，我们可以分成多面体和旋转体两大类，那多面体 主要的就是棱柱、棱锥、棱台，而我们旋转体对应的就是圆柱、圆锥、圆台还有球体。好，那我们接下来逐个来看一下，每一类几何体他要满足什么样的特性，要满足什么样条件 好。首先我们先来看棱柱，棱柱它的一个特点就是，首先上下底面一定是全等且平行的啊，全等的多边形且对应边互相平行 好。然后它的侧面呢，都是平行四边形，以及它的侧棱是平行且相等的好，这是我们对于这个棱柱而言啊，它简单的一个基础要符合的这个结构特征 好，然后接下来我们对于它做一个分类，首先最基础的分类就是看什么呢？看它侧棱的条数，比如说你像这里啊，对应的是一二三四五六六条侧棱，那我就可以说它是一个六棱柱 啊。那如果说我们还有对应的是，比如说像直棱柱、斜棱柱，还有我们对应的正棱柱，那这些又怎么去区分呢？首先，直棱柱和斜棱柱它俩的区别 仅仅就只在于侧棱与底面到底是否垂直，如果侧棱与底面垂直，他就直棱柱，如果不垂直就是斜棱柱，那正棱柱指的又是什么呢？这个正棱柱我没有。呃，打上来，我们简单来说，呃，写一下，正棱柱对应的，他只需要满足底面为正多边形。 同时啊，要注意了，正棱柱一定会是直棱柱，所以他是底面为正多边形的直棱柱， 所以这个概念啊，要注意给它区分一下。就是比如说啊，现在有一个判断题，判断一句话，说我的底面是上下底面均为正方形，那它是不是一个正棱柱 啊？或者说正四棱柱，那这时候你要注意它并不是，为什么它没有强调它是直棱柱，有可能我的这个侧棱和底面并不垂直，那这种情况下我就不能称之为叫正棱柱啊，这概念上的一个区分。 好，然后接下来我们再来看啊，在棱柱里面呢，我们可能还会涉及到题干当中，可能会涉及到一些常见这个棱柱的一个区分，比如说啊，四棱柱，平行六面体、直六哦，平行六面体，长方体，正四棱柱，正方体，那这些对应的有什么区别呢？首先我们最常考的 是平行六面体的概念，什么叫平行六面体？你就记住一个结论，如果他说了是平行六面体，首先他只有六个面，其次每个面都是平行四边形，这个时候我就称之为叫平行六面体，那这也对应的包含关系啊，你给他去记一下就可以了。 那我们说最主要的就是平行六面体和直平行六面体，它最主要区别就是侧棱与底面垂直。好，然后接下来直平行六面体和长方体的区别又在于什么呢？底面为矩形啊，这个是要记清楚的。还有就是正方体和正四棱柱这两个东西要注意区分，它并不是一个东西， 正方体是各个侧棱均相等，但是正四棱柱只要满足底面上下底面的个别相等即可，也就是说明他的侧棱啊，他就相当于可以对正方体进行一个压缩或者说拉伸啊，就相当于是这么一个区别啊。然后接下来我们再来看一个具体的例题， 所以呢，我们概啊概念的辨析题目，说下列命题为假命题的是，好，那首先我们先来看 a 选项，长方体是四棱柱值，四棱柱是长方体。好，那我们来思考一下，首先长方体它能不能说是一个四棱柱， 那我们说长方顶就可以看成什么？你可以看成任意一个面都可以是上下底面，因为它每一个面都平行四边形，那这个时候我就可以说它上下底面都是平行四边形，它侧棱相当于几条？是不是相当有四条侧棱，所以对应的是四棱柱没问题。好，那接下来直四棱柱一定是长方体对不对？ 好，那这个地方就有一个误区了，直四棱柱我们只要求满足什么侧棱垂直于底面对不对？但是长方体还有什么要求？他的上下底面必须是矩形，所以这个时候他并不严谨，他要在前面的基础上加上一个， 呃，这个底面为矩形，他才能说是啊，这个长方体。所以 a 选项啊，前半句话是对的，后半句话是错的。再来看 b 选项，两面平行，其余各面均是平行四边形的几何体叫棱柱。 好，那这个时候啊，可能会想，哎，那这不就是我棱柱的概念吗？对吧？上下两个面是平行的，其他的面都是平行四边形。好，这个地方要注意了，他有可能是一个什么形式呢？他有可能是组合体， 什么叫做组合体？他就是由我们常见的几何体去进行拼接得到的，比如说我上面，哎，有一个这个方向的，比如说四棱柱啊，就以四棱柱为例。好，然后底下呢，我相同的四棱柱给他拼接起来，只不过说我换一个方向扭，往这个方向扭。 好，那先来思考一下，对于这个组合体，我能不能满足上底面和下底面平行，而且他，呃，按照我这个画法，他应该也是全等的。好，然后其余各面是不是也能满足都是平行四边形， 那这个时候他是不是棱柱呢？他显然不是棱柱，所以这个地方 b 选项也是错的，这是一道多选哈。好，所以这个地方就一定要明确，我们在做题的时候一定要记住，哎，我们在几何体当中还有组合体这么一个概念。 好，再来看 c 选项，两个侧面是矩形的四棱柱，一定是直四棱柱，那这个是不是一定对呢？好，那这个地方就考察我们对一些常见几何体熟不熟了？首先我们假如说我先画一个直四棱柱， 那这个时候我知道他的侧面一定都是矩形，对不对？他现在最主要问题就是如果只有两个侧面是矩形，他能不能还构成一个直四棱柱？好，这个地方，哎，要记住了，他不一定。为什么我只需要把这个， 对于这个长方体啊，我只需要哎给一个 d， 把它往斜面啊，给它从侧面给它推一下，它就可以变成，首先上下底面还是矩形 好，然后呢，这个面由于我推的时候我是没有改变这个面的形状的啊，所以这个时候对于这两个面而言， 这个面和这个面它还是一个矩形，但是对于我们前后的面来讲，它就变成了一个平行四边形，那这个时候它就不是一个直四棱柱，所以 c 选项也是错误的 啊，那其实到这你已经判断出来它应该选 a、 b、 c， 我 们一般是很少说出现四个选项都要选的，那我们来看一下 d 选项，正四棱柱是平行六面体，那显而易见了，对不对？ 既然你是一个正四棱柱，那这个时候代表上下底面是正方形，正方形是平行四边形，而你其他的侧面也一定是平行四边形，符合平行六边体的概念啊，所以答案选 abc 好， 这是我们一个，呃，提到这个概念变息好，然后接下来我们来接着看概念，接下来我们来学习的是棱锥，棱锥，其实我们说就是由棱柱把其中的一个面哎给它浓缩成一个底， 其实就是变成了我们对应的叫棱锥，那棱锥呢？也是一样，首先啊，底面呢是只有一个面了，这个时候它相当于一个顶点，一个底面。然后底面呢，是一个多边形，它的侧面都是什么呢？侧面都是 有公共顶点的三角形，而这个有公共顶点也就意味着什么？要求它的侧棱必须要相交于一点。好，这是我们棱锥的结构特征。然后接下来我们设计到对它的分类也是一样，侧棱有几条，它就是几棱锥，比如说你像我们以这里为例，相当于这里是四条侧棱，它就四棱锥， 或者说你以底面的这个多边形的条啊，这个边数啊去判断也是一样的。好，这个是我们对于几棱锥的一个判断。然后桌子之外呢，它还会有正棱锥的一个区分， 那什么叫正棱锥呢？正棱锥啊，只需要去满足，满足底面是正多边形即可啊，这是我们正棱锥的概念。而正棱锥这个时候它还有一个比较特别的点， 那你就要注意了，只要是正楞锥上顶点和我底面的中心连线，一定是和底面垂直的啊，也就比如说你像这个是 s， 底面的中心是 o， 那 此时我一定可以得到 s， o 是 垂直于底面的， 这个是我们对于正楞锥啊比较有特别的一个特性。而且如果他只要是一个正楞锥，底面是正多边形，侧面一定是等腰三角形，因为他对应的正多边形的话，这 你结合，哎，这两个啊，轴结面的三角形全等你是能正出来的，他的这个侧棱必须都相等。然后侧面呢，就是等腰三角形，同时 他的啊，我们刚刚说过了啊，就有侧棱相等啊，这是我们正棱锥的概念。然后啊，在这个地方还有一个比较重要，就是涉及到正三棱锥和正四面体概念的一个区分。正四面体指的是什么？首先他只有四个面，四个面，我们去想象一下，他其实就是一个什么，就是一个三棱锥， 那为什么他们俩用不一样的写法呢？那你就要注意了，我们刚说正四棱锥，我只要求底面是正多边形即可，但是正四面体不一样，正四面体必须是所有的面都是等边三角形，所以这是一个概念上的区别啊，要记清楚。好，然后接下来我们再来看棱台，棱台是怎么来的？就是我们用 在棱锥当中，以一个平行于底面的面去切割出来的，也就相当于我本来完整的是这么一个棱锥，但是呢，我现在有一个面去切它剩下的这半部分，我就称之为叫棱台。好，那也是一样，首先我们先看它结构特征，上下底面 平行且相似啊，这个时候就不是全等了，而是对应编程比例切，也就是相似。然后对应的侧面呢，都是梯形， 然后各个侧棱必须要延长交一点，一定要记住，它一定要延长交一点。为什么要强调这句话？因为我们说它是从棱锥 切割而来的，棱锥的侧棱会交于一点，那我棱台的侧棱就是要延长交于一点啊，这要记清楚。好，然后对于它的分类呢，我们只考虑正棱台就可以了，那正棱台也是一样，只要满足上下底面均是正多边形即可。 同样啊，它还有一个特性，就是上下底面的中心连线，比如说这也是 o， 这也是 o 一 撇，它一定是和 上下底面都垂直的，也就是这个地方是垂直，这地方也是垂直啊，这要去记清楚。同时你的侧面都是什么线，侧面都是等腰梯形，就意味着侧棱都是相等的啊，这是我们对正棱台的一个概念。好，那接下来我们一样来看一下概念变西。 好，首先来看一下啊，这个圈一用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和洁面之间部分是棱台好，看到这种平面就一定要注意，他一定要有一个前缀，是什么平行底面啊，没有这个前缀，他就一定不是棱台，平行于底面。 好，然后呢，接下来我们再来看圈二，两面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。好，这个地方我们刚才前面吃过一次亏了，我们说，哎，概念看起来就是对的，但是要注意了，有可能是什么组合体，那还是组合体， 比如说还是一样，我们来画两个棱台，就我只要再找一个这个棱台，我给他 反过来这样一拼接，那我同样是不是也能满足上底面下底面平行。好，对对，我稍微给浓缩一下就相似了，对不对？并且相似，且你的个面确实都是梯形，但这个时候它不是棱台，它是一个组合体啊，所以这个 b 选项，啊，呀，不，这个圈二是错的，圈一是对的。 哎，哎，不对圈也是错的啊。好，然后再来看圈三，两平面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的，六面体是棱台。好，那这个时候要注意了，他强调了什么？ 两个面平行，那其余四个面都是等腰梯形，然后啊，他就相当于强调他一定只是一个六面体，也就相当于他首先如果是棱台，反正他一定是四棱。好，那这个时候他是不是一定能够成棱台呢？ 两个面互相平行，四个面都是等腰梯形。好，那这个时候你就要注意了，有一种可能，比如说我来画一下， 好，这个时候啊，我们对应的给它稍微补全一下，好，这个时候呢，我也是一个符合上下底面是相似的，且平行侧面呢，都是等腰梯形，好，但是这个时候，哎，我把这个两四条侧棱给它延长一下，你就会发现 这两条侧轮交于这一点，而这两条侧轮会交于这一点，他们四条没有交于同一点，那这个时候他一定不是轮胎， 所以这个我们比较特别的一些特例一定要去搞清楚。而这个圈三就和你的圈四正好对应起来了。圈四我们说轮胎侧轮必须延长交一点，他一定是对的，因为这时候我们说轮胎必须要满满足的条件，所以圈四是对，所以你综合看一下，哎，我只有一个是对的啊，所以单选 boy， 好，然后接下来我们来看啊，这三题涉及到我们是棱台当中的一个计算，已知如图的正棱台下底面的边长为十二。好，我们首先看到正三棱台就要注意了，它上下底面都是正三角形啊，好，然后接下来上下上底面边长和 侧棱长均为六。好，这是六，这也是六，然后则棱台的高。好，那这个时候我们怎么去找棱台呢？ 这个地方它在结合我们前面讲的一个特性，首先它是一个正三棱台，那么就说上下底面的中心连线一定会和上下底面均垂直，而这个时候你想想我和上下底面均垂直其实就是什么？就是我要找的棱台的高，所以这个时候我们要找上下底面的中心 好，连接之后这是 o， 这是 o 一 撇，其实我也就是要去求 o 一 撇，那我怎么去剪呢？这个时候我们借助棱来借啊，借助这个轴结面啊，比如说我们以 o o 一 撇为轴的话，那这个时候我只要去找一个过该轴的结面，比如说我连接 o b 一 和 o e 撇 b， 给它单独拎出来，我们得到的啊，这个是 o b 一， 这个是 o e 撇 b。 好，那 o b 一 和 o 一 撇 b， 你 要知道它能不能算出 b b 一 撇是一致的。好， o b 一 和 o 一 撇 b 怎么算呢？这个时候你结合上下底面都是一个等边三角形，那这个地方就像于是中心到个顶点的连线，那我们说对于等边三角形而言，四星 是重合的，那这个时候你要算这个长，其实你就可以结合我们说，呃，这个等，呃，这个中线啊，中线的二比一的关系我们去算，比如说像 以边长为六为例啊，那这个时候呢，对应的这一段是三，这一段是三倍根号三，对吧？那这个时候以二比一去进行一个区分的话呢，它就应该是二倍根号三比根号三，而这里对应的就是二倍根号三，那同样的道理，底下的话相当于对上面除以二，所以是四倍根号三。然后呢 o e 撇怎么算？ 那这个时候我直接来好像不太好，我可以把它去做一个平移，我给他平移到这个位置就可以了，对不对？这个时候我知道这一段长是二倍根号三，这是六，那这一段能不能算？显然是可以的，勾股定律即可，对不对？所以他应该是三十六再减去。 呃，十二看根号啊，所以是根号二十四，对应的也就是二倍根号六，所以答案选 c 我 们就解决了。所以对于这种正楞台，包括像正楞，这也是一样的，都是去找这个对应的洁面。 好，然后接下来我们来看旋转体。旋转体的话呢，首先我们先来看圆柱，思考一下圆柱由什么旋转而来，我们说对应的是矩形，对吧？我可以是由矩形沿着一条边旋转 一三百六十度得到，或者你也可以是由矩形啊中心的这个对称轴旋转一百八十度得到啊，都是可以的。 好，然后这个时候我们是啊，它旋转怎么旋转而来？那接下来我们来讲它特性对于圆柱而言，上下底面平行且全等，而它的侧面，这个时候我们不知道侧面是什么图形，我们讲的是侧面展开图，那我们知道对于圆柱而言，侧面展开图，它其实是一个 矩形，对吧？这个时候我们要去记得好，然后他对应的侧棱，这个时候呢，由于他不是一个多面体了，所以他不存在侧棱一说。我们这里有一个新的专用名词叫母线，那母线是怎么来的呢？对应的就是你上下底面 各找一组相对应的点连线，我们即称之为母线。那母线一定要注意它一定会满足什么条件，比如说母线用小写 l 就 表示啊， l 一定要满足垂直上下底面同时满足，而且我的母线是有无数条的， 而这无数条都满足相互平行且相等，那这个是我们母线啊，对应的要满足的条件。 好，那这个时候我们就会有一种概念变细体，上底面圆周上一点和下底面圆周上一点连线即为母线。对还是错？那这个时候你一定要注意它是错的，为什么我们说必须要一一对应才行啊？不是说你随便找两点就可以了。好，然后在这里呢，我们顺带啊，要来说一下我们对于这种 圆柱体啊，对应它的体积和表面积计算公式啊，刚才前面我们的那个 多面体我们忘说了，没事，我们等会反过头来说一下，那我们说对于圆柱而言，他的体积怎么去计算呢？这个时候他对应的直接就底乘高就可以，因为他是均，他就相当于是拿一个纸片，哎，我均匀的往上去进行一个叠加啊，所以就直接是底面积乘以高啊，所以这个时候他对应的体积 等于底面积乘以高哈，比如说我高标为 h 啊，底面的半径标为 x， 那 这个时候代入其实也就是 pi r 方乘上 h 好， 除了我们对应体积还有什么？还有表面积也是我们喜欢去考的表面积乘以最简单一定上下底面两个圆，所以是二 pi r 方 好，然后这个时候还要加上侧面积，那这个侧面积怎么算呢？侧面积我们说它展开图是一个矩形，我算矩形面积即可，高度，这也是 h， 而这个周长是多少？它对应的其实就是底面的圆周长，所以对应的是二派二， 所以侧面积啊，就等于二派二乘上 h。 好， 这个是我们圆柱啊对应的表面积公式。好，然后接下来我们来看圆锥，圆锥啊，这个地方应该是圆锥啊，字打错了。 好，我们说圆锥的话呢，也是一样的，就相当于把圆柱的上底面 a 给它浓缩成了一个点，那这个时候首先底面是一个圆， 然后他的上顶点和底面圆心连线啊，一定会满足，和底面是垂直关系啊包。然后呢，他对应的顶点和底面圆周上一点连线，我们称之为叫圆周，而他的侧面展开图，什么侧面展开图是一个扇形啊，这个要注意了，他侧面图 展开图示善行啊，刚忘了说他是由什么旋转得来的了。我们补充一下，他有可能是以直角三角形沿着一条直角边，一定要注意是沿直角边，不能沿斜边哈，沿直角边旋转三百六十度得到，或者也可以是由等腰三角形沿着中间的这个对称轴旋转一百八十度得到啊。 好，然后接下来我们还是要基础性质讲完了，那接下来我们重呃，最重要的还是还讲体积和表面结计算公式，它体积公式，这个时候它是和棱柱其实是可以结合在一起去算的。棱锥啊，这个棱 啊，说岔屁了，应该是棱锥啊，就圆锥和棱锥，它俩本质上计算公式是一模一样，都是三分之一底程高，这个记住这个结论即可啊，三分之一底程高， 只不过说你在棱柱呃，棱锥里面底面积可能是一个多边形，对吧？那我们在圆锥里面，它对你底面是一个圆还是一样？我们标一下，如果底面的半径呢，是小 r 高，是 h， 所以 这个时候它的体积就是三分之一 pi r 方乘上 h。 好，那它的表面积怎么去算呢？这个时候它的表面积对应的啊，就像有这个侧面，包括还有底面，底面的话比较简单，就是派压方，最主要的还是侧面，侧面的话它这个时候是一个扇形，扇形我们求面积的话，你可以考虑怎么做呢？我们只要知道它的半径以及它的弧长即可。 比如说像这里啊，它的弧长 l 我 可以表示为根号下 h 方加小 r 方，然后它对应的弧长其实也就底面圆周长，所以是二派小 r。 那 这个时候它的面积扇形的公式是要记得说二分之一弧长乘以半径，或者说二分之一圆周啊，这个圆心角乘以半径的平方。那像这的话，假如说你觉得容易搞混，最简单的办法，我们说扇形可以径次给它看成是一个等腰三角形， 那这个时候你把半径看成是高即可，因为你半径不是可以这样做个找个中间点过来吗？对吧？那我就相当于以这一段弧为这个底边啊。然后呢，以半径为高，所以它对应就是二分之一底乘高就出来了，也是一样的。 好，所以这个时候侧面积对应的就是 pi r l， 那 这个时候 l 的 话，你再带成刚好在 h 方加 r 方啊即可。 好，这是我们的圆锥啊。然后接下来呢，我们再来看圆台，圆台也是一样的，它是由圆锥沿一个平行于底面的面去截出来的，同样上下底面平行且相似。侧面展开图，要注意，这个时候它展开图是一个上环啊，这个是 不一样的地方。然后呢，他对应的母线也是一样啊，上下底面对应的点连线，我们称之为叫母线，所有的母线长度相等，且一定会延长交于一点啊，这个是呃，圆台当中母线的一个概念，然后上下底面对应的圆形连线一定会和上下底面垂直，而这一些基础的概念， 同样圆台可以由什么旋转得来呢？我可以由直角梯形旋转，沿着直角边啊旋转三百六十度，或者也可以沿等腰梯形沿着中心的对称轴旋转一百八十度啊，都是可以的。 好，那这个时候我们接下来还是一样体积表面积，它对应的体积公式啊，和我们棱锥里面是通用的上分啊，这个三分之一啊， 三分之一的上底加下底再乘以高啊，但当然啊，中啊，中间漏了一个，应该是上底面积加下底面积，还要再加上他俩的乘积开根号， 这个相对来说可能会比较难记一点，但是呢，他考的还蛮多的，所以还是要去记好，这是他对应体积，然后接下来我们算他的表面积。 表面积，那这个时候我们就对应的是还是一样上下底面和对应的侧面展开图就是一个上环。比如说我这里标一下，这是 r 一， 这是 r 二，这个是 h。 好， 所以对应的是 pi r 一 方加 pi r 二方。我们先把上下底面加上，再加上侧面的展开图，侧面展开图是一个上环。好，我们刚才说扇形，我可以理解成是一个等腰三角形，那我上环就可以理解成什么？ 可以近次看成是一个等腰梯形，对吧？所以也是一样，二分之一上底加下底乘以高，只不过说这个时候高，我们近似用母线去做一个表示，好，那这个手上底边是二 pi， 也就上底面的圆周好，然后下边啊，这个下底边对应的就是下啊，这个下底面的圆周，而二 pi r 二 好，然后这一段，这一段怎么表示呢？你可以去给它做一个垂直下来，那这个时候这一段对应的是 r 二减 r 一， 这一段是 h， 所以 你可以把弧长表示出来，而只不过说，我这也就不再 过多去写了。这个时候我们直接套式子，所以是 pi r 一 加 r 二乘上 l， 那 这 l 怎么算？它等于根号下 h 方加上 r 减 r 一 的平方， 对于体积而言，就是我们多面体和这个旋转体是不作区分的，所以是通用的。好，然后接下来我们来看例题， 下列说法正确的是 a 选项用平面去截圆台好，还是这个问题啊？涉及到怎么得到圆台，一定要注意，这个平面不能随便取，它一定是平行于底面的平面，所以 a 选项错误， b 选项圆台上下底面圆周各取一点，则连线 即为圆台的母线。那我们前面讲了，母线要注意，它的点不能随便取，必须是对应的点， 而且所有的母线应该延长交于点，所以不能随便取这个点啊。好，然后再来看 c 选项，圆台任意两条母线延长后相交于同一点，这个没问题， 因为它其实就是从圆锥截出来的，所以 c 选项正确。好，然后圆锥的母线可能平行，大错特错，为什么我们说了圆锥的母线必须交于一点，所以道德错的，所以第二题答案就选 c 啊。 好，然后我们还有两题，再来看第五题，圆台上下底面半径三厘米，八厘米，圆心连线长为十二厘米。好，我们画一个草图， 比如说啊，这个上底面，然后呢，这里有一个下底面，上底面的半径为三耶，要写叉 p 了，这是三，然后下底面的半径呢，对应的是八，然后两圆心连线啊，是十二，让我们算是母线长，那我们就说这典型的什么， 这就是放到直角梯形里面去解就可以了，因为这个时候这个点和这个点就是上下底面圆轴上对应的点，连线就是母线，所以放到直角梯形当中，我们把这个十二向左边给他平移，平移到这个位置即可。 好，那就变成这一是十二，这一段是五，那就是我们典型的五十二，十三啊，所以这个母线长对应的就是十三，答案选 c 啊，就解决了。好，然后我们再来看第六题 啊，啊，然后接下来还有个球啊，我们还有个球，忘说球体的话，这个时候还是一样，它也是一个旋转体，我可以看成是由一个半圆沿着这个呃，直径旋转三百六十度，或者也可以看成是由一个圆沿着 直径旋转一百八啊，都是可以得到我们对应的球体。好，那我们对于球体要符合什么条件呢？首先啊，他对应的圆心啊，啊，不，这个时候不能叫圆心，球心到我球面上任意一点的连线均称之为叫半径。然后我们在球里面呢，会有两个说法， 过直径的这个圆面，我们称之为叫大圆面，也就比如说这个蓝色笔画的叫大圆面， 那我只要不过这个直径的面啊，我们就称之为叫小圆面。然后对于小圆面呢，我们有比较喜欢去常考的一个性质，我们稍微说一下， 比如说这个地方呢，我有个小圆面。好，那这个时候小圆面它一定会有一个圆心，对吧？比如说标为 o 一， 好，连接 o o 一， 然后和 o 和这个圆这个小圆面上任意点。 好，那这个时候你就要注意了，假如说这个是 a 点，此时 o a 对 应的就是半径，对吧？球心到球面上，任意点连线 o o e o e， 这个什么是球心到 结面的距离，然后这个手 o e a 对 应的是这个小圆面的半径，标为小二，在这个手结合勾股定律，它一定会满足地方等地方加小二方，等于大方，一定会等于这么一个式子， 这个是我们相对来说比较喜欢去考的一个内容。然后除此之外呢，我们对于球体还有必须要会的，就是涉及到球的体积和表面积公式啊，这个是必须要背下来的， 我们说对于球而言，体积公式是三分之四派 r 三方，也就是这个是我们球的半径。好，然后对于表面积表面积的话是四派 r 方啊，对于一些常见的公式啊，记清楚就可以了。好，然后接下来我们来看最后一道例题， 湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，留下一个面直径为二十厘米，深为五厘米的空穴。好，那这个时候他就相当于假如说我这里有一个冰面，哎，然后我现在， 哎他留了一个坑，这个坑是不一定是半球啊，半球形的，不一定啊，他可能只是，呃，比如说三分之一个球啊，类似的。好，这个时候已知直径这一段是二十，然后深为五十啊，为五， 然后这个手让我们求半径，好，那这个手怎么办呢？他其实就相当于这个平面，他是一个小圆面，那接下来我们一定要去找球心，比如说我假设球心在这个位置，那这个手连接这个点对应的这一段长度是大， 这一段对应的也是大，要注意我是连到了这个点哈，那这个时候这一小段我就可以怎么去表示，他对应的就是大减五，对吧？然后这一段对应的是十，而这一段对应的又是半径，那这个时候我们就可以结合我们刚才讲非常典型的勾股定你这个三角形啊，去列式子即可， 所以是 r 减五的平方加上十的平方等于大方，整理一下就是负十， r 加上二十五加一百 等于零啊，所以我们就可以得出 r 的 话呢，对应的应该是十二点五，答案就解出来了，所以最后呢，答案也是选 c。 好， 我们就结合这个视频我们梳理一些常见结构底，最主要就是一定要做到概念上的一个区分，包括他性质上的一个区分，尤其是正能追、正能台啊，类似于像这些， 因为这个时候，呃，像这种正能追正能台上都是我们考试相对来讲比较喜欢去考的，所以概念一定要记清楚，特性性质也要记清楚。
140张张讲数学
13:09查看AI文稿AI文稿警告高中数学，球与多面体的洁面问题绝对是例题几何里最容易丢分的压轴小题。今天宋老师一条视频把球与多面体的洁面问题一次性讲透，听完这套方法，遇到洁面题直接稳稳拿分！ 数学想提分关注宋老师，高中数学难题我带你们全部攻破！言归正传，我们来看题目 前面的视频都在为新阶段的高一学生在服务，那么高三正在备考同学也对力敌几何部分有这么一丝的疑惑，其中比较经典的一个问题，或者说比较大众的一个问题，就是这个球与多面体的洁面问题。 当然洁面问题其实也是一个大类，它其实也有平面与多面体的洁面问题，但球与多面体的洁面会更挑战我们的这样的一个空间想象能力，所以对于大家来说难度也会更高一点。那么今天宋老师就带大家一起来理解一下球与多面体 会如何去产生洁面以及洁出来的东西，它那个胶线的长度，我们该怎么样去求解。 接着往下来看一看我们今天的正式内容。首先我希望各位能够去回忆一下的，应该是我们在初中就学过的一个定律，叫做垂进定律， 当时我们学习的是一个平面图形圆和一条直线相交，那么它很自然就会产生 ab 两个交点，而 ab 的 一个弦，那这个弦的长度怎么来求？我们当时的做法是把 o 点，也就是我们的圆心去连接到我们的其中一个端点，比如说 b 点， 再去过 o 点做垂直于我们的弦，希望我们这边比如说是 h 点，那实际上我现在阴影部分所描述出来的就是一个非常朴素的直角三角形，而这个直角三角形呢？三边分别是什么？分别应该是我们圆的半径，还有我们圆心到直线的距离，以及我们的弦长的 一半。哦，一定要注意，是一半，所以我现在写出来勾股定的式子是弦长的一半的这个平方啊，应该会等于斜边的平方，再减去我们的距离的平方，也就是我们的耳方，再减去我们的地方。 所以这样我只要知道了半径，再知道了我们的圆心到直线的距离，我就可以求出我们的弦的一半，那乘二就是我们的弦长。所以当时我们在平面图形里面去求解相交弦的弦长，就只需要这样来做就行。 而他到了三维的世界里面，圆变成了球，而我们的直线变成了平面，再去相交，产生的就不再是形，而是相交的一个平面，就是截面。 那一个西瓜拿刀怎么切？切出来，其实它的姐妹都是个圆，对不对？像圆锥，圆锥，我斜着切，横着切，或者说我竖着切，切出来可能是椭圆抛物线，或者说双曲线，可能不一定，但如果是一个完整完美的球体的话，你不管在什么位置，只要你切到了这个球，切出来一定是圆，那么这个圆， 它的半径就是它最重要的特征是多少呢？其实只需要在右侧的图中，我们稍微看一下，球出本来的球心到不再是线了，应该是到这个平面的距离，以及我们球的半径大耳。接下来上面的这个 o a 其实就应该是我们洁面的半径小耳， 而他们之间依然也会满足一个非常完美的勾股定律，就应该是我们的小耳的平方，就是洁面的这个圆的半径的平方，应该就会等于我们的大耳方，再减去小 d 的 平方。 所以说如果这个平面是我们在一个理想的平面，就是一个可以无限延展的平面，那么此时这个平面 与这个球产生的结面必然是一个完整的圆。注意是完整的圆，那这个完整的圆，只要我知道了这个半径，它的周长也好，它的面积也好，它的什么什么无所谓都好，我都能求得出来。 但很多高中的题目，尤其到了高考的时候，他会非常的恶心，他不再是一个平面和球的结，而是拿一个多面体。 什么叫多面体？多面体的每个面其实是很受限的，有没有看见？比如我现在提出了最朴素的两个，一个就是长方或者说正方， 另外一个就是这样的一个，其实是个墙角模型，就是三轮锥，一个简单三轮锥做了一个这样的动图给大家稍微来观看一下，我现在左边这个，左边这个最简单。我现在这个正方体有什么特色？它其实是一个六面体，讲白了，其实它有六个表或者六个这样的 平面，侧面都会和这个球有可能相交。那我现在画这个球呢，微微的小了一点，它只和左侧的阿尔法，后侧的贝塔以及下侧的伽玛是不是产生了 啊？交面，而这个时候阿尔法贝塔伽玛，我们必须要说它不是一个完整的平面，它应该是一个局部的平面，平面的一部分，所以它和这个球截出来的，比如说贝塔和这个球截出来的图形也不再是一个完整的 这样的一个圆了，对不对？你现在过的就是球心，我们假设到过球心只是举个例子，那这个 d 就是 零，那你截出来的截面的半径也就应该是本身这个球的半径就应该是大 r， 但是现在我发现它真正能在上面展示出来的只有九十度的一个圆形角，有四分之一的圆，所以你想让我求，比如说胶带的弧线的这个长度，那也是圆的整个周长的四分之一， 我没说错吧？所以这个环节相对而言就会多那么一步。我们并不是一个完整的平面和一个球的结面了，而是平面 的一个局部和球去产生结面，那会有什么影响？来我们看一下右边，右边这是一个墙角模型，它的平面也是比较局部的，每个平面其实都已经不再是完整平面，而是一个一个小三角形。 那教出来会怎么样？我们一起来动态的感受一下。各位观看一下这个视频，这是我拿鼠标稍微先拖动了一下，立体的感觉，让大家稍微建立一下，这个球的大小会变好。你看它变小的过程里面，它和 a 导 c， a 导 b， 还有我们的下方的 bc 导，其实都是有 交线的，对不对？而这个交线呢？因为我去把球形放的比较简单，就放在了我们这个正中间，就放在了我们这个顶点导上，所以你此时交出来的也就是应该是半径为这个球的半径的 球体，注意啊，就相当于此时这个半径，也就是我们此时这里应该就是什么，是不是就是球的半径？球的半径也就是这个黄色的点点到导点这个位置就应该是球的半径，就应该是不变的，没问题。紧接着如果它再去转动，再去变大，来注意看 它现在怎么样和前面的 a、 b、 c 那 个斜置的平面是不是也产生了相交的地方？一开始我太小了，还没有够到这个 a、 b、 c 是 这个平面， 现在我终于粘到了 a、 b、 c 这个平面了。那么现在怎么样？我就可以把我们的问题变得更加复杂了，让你去求它和 a、 b、 c 交出来的交线的长度，那这个问题就比较难了。首先我们要求出导点是不是到 a、 b、 c 这个平面的距离， 这是刚刚的 d 小 d， 上一页 ppt 里面是不是小 d 求半径我是知道的，那么整个结面就交出来这个平面的半径是可以用勾股定律把它求出来， 当我把勾股定律给它求出来之后，是不是这个完整的圆就是我们的交线的周长呢？或者这个完整圆都在呢？不是。你看此时此刻，其实我这个圆只有三段，就在上面黄色的点点在最前面的时候，黄色的点点是不是有三段在上面？来，我们再放大一点，你看 甚至都会没了，再变小，再变小，小小小小小，它就会浮现在这个位置的时候，差不多这个位置的时候，就是 a、 c、 a、 b 还有 bc 这三条棱上面那个边上的那个黄点点重合的时候，那个时候才是什么？ 才是刚刚刚刚好，是我们的什么？是不是一个完整的圆都在上方？刚刚好好都是一个完整的圆，是不是都在上方？那么这个时候的话呢？这个完整的圆才能够全部算。但如果说我这个球还比较大的时候，比如说像这样的一个状态的时候， 那其实在 a、 b、 c 上的交线其实也只有什么？是不是只有三段弧？乃至现在你比如说你把你的目光盯向 a、 d、 c 这个平面， a、 d、 c 这个平面和这个球体产生的交线，其实也只有两段 圆弧，也只有两个圆弧，并非是完整的一个扇形的弧长， ok 吗？所以它可能会有这样的一些考量，你就需要去考虑我这个圆，这个结的圆到底在这个局部的平面上究竟呈现了几成，或者呈现了几分之几，然后再去求它的面积，再去求它的什么周长，是这样一个做法。 那么相对的，这样向南的题目我们放在群里的配套练习之中，如果各位可以的话，到群里面找我来要电子版就可以了。好，那接下来的话，我们来看一道非常经典的高考题，这道题目是清高考一卷，还有一道高考真题， 它是这样说的，是直四棱柱，直四棱柱， a、 b， c 倒 a 一 b 一 c 倒，一能成均为二。开始画图，这个图其实并不难画，然后呢角 b、 a 倒呢？又是六十度，其实就是一个什么？ 是不就是一个菱形，这里是 b， 这里是 a， 然后这里是 c， 这里是倒嘛？然后直四人柱，所以这样坐下来，坐下来人长均为二。这画的也不要太夸张，应该各个面其实都是 正方形，除了上下底面是菱形以外，侧面呢均为正方形，这样的情况，他说以倒一点来，倒一点，在这个位置以倒一为球心，根号五为半径，然后与谁的交线长是与后面这个平面 b c、 c e、 b e 的 这样一个交线的长度。那么现在我们来思考一个问题， 我要去做这个交线，要把这个结面做出来，刚刚讲的关键量是哪些？还记得吗？第一个应该是球心到平面的距离 来，我们俯视图里面底面是一个菱形哦，相当于是一个呃，六十度，非常标准的二二二二，然后假角是六十度一百二十度是这样的一个菱形，这里是 a 一 点，这是 b 一 点，这是 c 一 点，这是倒一点。倒一点是我们的球心 b 一 c 一， 就是我俯视图里面的 b 一 c 一 c 一 c 这个平面的一个 攀缩后的一条线，对不对？所以我现在倒一点，这个球心到我们 b 一 c 一 的距离应该是根号三， 也就是说刚刚那个公式里面的小 d 应该是等于根号三的球的半径，其实里面直接给了就这里应该是画出来一个球，球的半径应该是根号五。所以把这些标准量、基本量要写出来，那就意味着如果这个平面 b c、 c 一 b 一 是一个完整的平面的话， 它和我们这个球产生的结面的半径一定等于多少呀？是一定等于根号呗。再开个根号，其实就是根号二喽， 所以小耳应该是等于根号二，小耳如果等于根号二的话，按道理说，我现在应该是画一个根号二为半径的圆，然后周长每每一算二 pi 耳不就是二倍根号二 pi 吗？ 就完事了，对不对？但实际上这道题不是的，这里的这个球做出来过以后，在这边的结面的圆心应该在 b、 e、 c 的 中点，也就是我们刚刚做这个垂线，这个 h 点，这个 h 点，这结面也长这样。 紧接着呢，我们画出来的应该是一个半径为根号二的原理，不要忘记 b、 c 一 整个的长度。来，我们把这个面给它拎出来，这是一个，其实是一个正方形，这里是 b 一， 这是 c 一， 然后这里是 b， 这是 c， 中间这个点应该是 h 点，整个 b、 c 的 长度其实只有二哦， 然后你现在却要画一个半径为根号二的圆，那按道理说，你画画画画应该画这么大，但是我现在的洁面只有 b、 e、 c、 e、 c、 b 这么大，所以真正能在这个图上面体现出来的，应该是我绿色的笔记所描出来的这段 圆弧的长度，也就是从这里的 p 点到这个 q 点弧， p q 才是我真正的结果。而 hp 和 h q 就是 我们刚刚求的小耳，就应该是根号二，这边呢，应该是一，因为 h 点是 b、 c 的 中点，所以 h 点的两边应该是一和一， 那这里也是根号二喽，所以这边也是一喽一喽，很基本这样的几何量，那么此时这里就也是四十五度，所以一目了然。中间的 p、 h、 q 这个圆心角就应该是九十度， 所以你现在这个 p、 q 这个弧，就是题目里面要的这个交线的长度。而这个交线的长度呢，其实就应该是一个根号二为半径的圆的周长的四分之一，所以应该等于四分之一再乘上二派小耳， 二派小耳呢，其实就应该是二倍根号二派，再乘上一个四分之一，其应该是二分之根号二派，所以这道题的交线长度就应该是二分之 考二倍牌，所以这道题目非常非常的经典，非常的经典。但距离今年的高考其实也有一定的年头了，在平时的高一下的期末考试，期末考试，我相信如果有高一同学在听的话，也一定会看到过 啊，一定有一部分同学看到过，做到过。这样的题目对于高一的孩子来说，难度还是有一点高的，但对于高三的孩子来说，你们的立体几何空间想象能力已经培养了，少说两年有余了吧， 对吧？所以想这些问题可能会稍微简单一点，但是呢，多想想准没坏处。现在新高考卷对于我们的立体几何的要求也在逐步的提升，只会单纯的间系这种暴算的方法可能不够了， 去年的外接球问题，可能看准经典建系统的方法，你有没有用透啊？可能也没有吧，所以，路漫漫其修远兮。各位，虽然距离高考的时间并不长了，但是能进步一点，总能进步一些， ok 吧？好了，关注宋老师，每个视频，送你一招，解决一个小问题。好，那今天的内容我们就讲到这，拜拜各位！
148宋你一招解数学
18:03查看AI文稿AI文稿hello， everybody， 我是 神奇小猪。有的题目是不好解析的，有的题目是你即便会解析了某些点的坐标，你不好求。 所以接下来我们来看第二类题目不好求坐标的难题。我们举两道题目，一道题呢是二零一九年浙江高考，他最后问了一个线面角。一道是二零一五年的浙江高考题，问的是一个二面角。今天讲的浙江高考题真的好多呀。 他最后问什么其实并不重要，你关键是你把细建出来，然后把一些关键的点坐标求出来，剩余的都是套路问题，就给大家留作业了啊。所以接下来我的任务是帮助大家间隙帮助大家找点坐标 来看。第一题说现在有个三棱柱，那很显然，这不是直的，这斜的三棱柱哈。然后给了我一个面面垂直。又出现了今天第二道题了，面面垂直的线 线线垂直线，面就垂直线，面一垂直线跟面上另外一条线，最后就线线垂直啊，那我来看看标一标是哪两个面嘞？一个是它 a a c c， 一个是 abc 是 这个。嗯，那交线显然那就是 abc 了。我一会看看谁跟 abc 是 垂直的哈。咱继续往后先看一看， abc， 九十度，爽，哎，给了我一个直角是吧？ abc 是 三十度 abc， 哎，这是三十度，爽，相当于底面是一个三十九十的一比二比根号三的三角形。 又过一些条件，哎呦，这三个棱长都相等谁呀？这是 a a e 哎，然后 a e c， 然后 a c。 好 家伙，你这啥玩意？你这不就是三角形的三条边吗？那这意味着它是一个等边三角形。等边三角形垂直小妙招又来了，出现等腰或者等边，干嘛？ 三线合一。所以他下面说了啊， e、 f 啊，都是终点，他即便不给我终点，我也得自己点出来，然后连接 a、 e、 e， 这是我必干的一件事情， 因为有了它，咱线线就垂直了。哪条线呀？哈？你这个跟底面一直，底面是交线，底面一旦是交线，不是找到根交线垂直线了吗？ a、 e 就 跟底面整个线面垂直， a、 e 就 跟底面上任何一个线 a b b c、 a c 都垂直。所以后续我一定会用上 这个线面垂直的条件呢，可能利用它进行一个间隙啊，也有可能利用它呢，去证明一些东西。比如说，第一问，我看他问我什么啊？我还没看嘞，他问我，这个 e、 f 是 不是垂直于 bc 的， 谁呀？我再画个图，大家看着可能更清晰一点， e f 是 这个， bc 是 这个。哎，这个线线垂不垂直？说实话，这斜着线我不太好看啊。那让我正线线垂直，没办法，硬着头皮正啊。我先来看看这里面谁是垂直条件比较多的？肯定是 bc， 因为 bc 呢，在底面上 bc 跟谁垂直啊？首先，题目人家给了一个垂直 bc 第一步，人家跟 a、 b 是 垂直的，这我想一会可能是不是要用得上啊？ 然后 bc 还跟谁垂直啊？刚讲的那 a、 e、 e 是 垂直于交线的线，那么 a、 e、 e 就 跟整个底面垂直，整个整个底面垂直，它就跟底面上任何一条线，包括 bc 是 垂直的， 嘿嘿。所以 b c 啊，还跟 a、 e、 e 这条线垂直，那其实那不就有了吗？怎么通过两条绿线的垂直条件过度到这个蓝线呢？ 小笨蛋，你底下这个 a、 e、 b 这个绿线是不是能平移到 a、 e b e 上去啊？那不同一条线吗？对不对？所以，哎，这一个粉线太厉害了，跟这个绿的垂直，跟这个绿的也垂直啊，跟这俩绿的都垂直，就跟绿的所形成的面垂直了线面一垂直，它就跟面上任何一条线，包括 e、 f。 是 不是垂直的 全都是套路，你只要掌握了垂直小妙招，没有你不会做的垂直题目。好了，那第一问，做完之后是不是该见细了？你甭管他问我，哎，是哪条线跟哪个面细 咋见？咱得先在这个底面上是不是找到某一个点它的垂直条件最多的地方。说实话，有两种方法，你可以一点见，以一点见的好处。这个 z 轴直接就是 e a 一 没问题，但是 x y 你 怎么选呀？ 底面是一个 a、 b、 c 的 直角，呃，三十、六十、九十的三角形，你意识中点，你咋在这平面上选 x 轴跟 y 轴呢？哎，你如果这个其中一条线贴着这个 a、 c 长度啊，你无论是 e a 也好还是 e c 也好，其实都行啊。 比如说你贴着 e a 键，这是 x 轴，那 y 轴可不是跟 c b 垂直的， y 轴得跟 x 轴垂直，你得这样键这么做不是不能做？可以啊啊，这个 z 轴是好算的，但是你那个 b 点坐标好像没有那么好表示啊，你得通过平面图形一点一点去推它在 x 轴 y 轴上，这这个截距是多少？ 那我换一个思路，我是不是也可以以 b 点间隙啊，对不对啊？ b 点，这不也有垂直吗？啊，一个 x 轴一个 y 轴也是可以做的呀，两种方法的难度，哎，没有差太多啊。哎，那我看这个 b 比较舒服，我今天就以 b 间隙了 啊。以 b 点，那肯定是，这是一个轴，这是一个轴，那 z 轴？是啊， z 轴是过 b 点跟整个底面垂直的线。垂直线？谁啊？其实应该是 a， e， e， 对 不对？所以那我怎么办呢？我就过 b 点，做一个跟 a、 e、 e 平行的一条线。 哦，两条线平行的，我已经剪好了，这是 x， 这个是 y， 这是 c。 我 这么精细的好处在哪？在于这个点 a 啊，点 c 啊，都在坐标轴上，对不对？好，那今天我要讲个什么呢？他让我求这个线面角，我这得把 e、 f 这项量表出来，把这平面的法向量也表出来啊。 那我一点一点来啊。首先 a 点， c 点坐标都好求，这题目里面没有给我任何的边长条件，对不对？没关系啊，我也不设 a 了，我就设呢， bc 长度是一， ab 长度是根号三， ac 长度是二，好不好？设一法，所以 c 点坐标一零零， a 点坐标零，根号三零。 那注意，这 a 一 点我怎么求？它是由一点往上平移了。这么长，是吧？啊？多长呢？整个长度？这个它是一个等边三角形，等边三角边长，这是二，是吧？啊，所以这个长度就是一，它这个长度应该是根号三 往上平移。根号三这么长，好，那我就先找到一点，然后找到 a 一 点就可以了。一点好求啊，一点是 a、 c 的 中点，它俩相加除以二，它俩相加除以二，它俩相加除以二。所以 a 一 点的横纵坐标应该分别是二分之一，它俩相加除以二，应该是二分之。根号三，纵坐标是由零往上平移，根号三这么长， a 一 点并不难求， a、 e 点有了，其实谁就有了呢？这面你看啊，这面是由 a、 e、 b、 c 构成的啊，你 b 点是圆点啊， c 有 了， a、 e 也有了，所以理论上这面的法向量我是可以求的，这不用我再求一遍了吧？所以整个问题我是能做出来还是不能做出来，我就看这个 e f， 哎，这线段的向量我能不能求喽？ e f 在 这里，那对于某些同学来说，最终的问题变成什么了？变成，哎呦，你 e 点坐标，咱刚才其实是能求的 f 点坐标，你怎么求啊？ 这个点它太淘气了，它织出去了，这个点并不在任何的 x o z 或者 y o z 的 平面上，它织出去了，这 f 点作为一个终点，你想求的话， a 点已知，你一定得求织出去的那个 b 一 点 能不能求？说实话，可以求，求点 f 的 方法非常非常多，今天我给大家介绍两种方法，大家自己来对比，你喜欢哪种方法？ 法一应求 f 点坐标，那我就求 b 一 呗，对不对？哎， b 一 怎么求？ b 咋定义？它是三棱柱的一个底面，对不对？那三棱柱上下是不是应该是全 等图形呢？我 a e b 的 这个方向跟 a b 的 方向理论上应该是大小相等的同一个方向，对吧？换句话说，我 b a 向量跟 b e a e 向量应该是同一个向量， 嘿嘿。哎，那我 b a 向量已经有了呀， b a 向量，那不就是零杠三零吗？那意味着，哎，我 b e a 一 的这个向量也是它。哎，那我还已经把 a 一 点坐标求出来了，刚才不是说了吗，是二分之一，二分之杠三杠三， 哎，也就是说，这项量的中点我已经知道了，你整个向量知道，你中点坐标也知道，那起点坐标其实也应该知道吧？啊，所以我硬求的话，那就这样求，我设 b 点是 x、 y、 z， 我 不知道嘛，我就设终点坐标，我已知是二分之一二分之杠三杠三。 那末这个向量我用中点减 t 点，它应该是二分之一减 x， 二分之杠三减 y， 根号三减 z。 嘿，这坐标跟这个零根号三零应该是完完全全相等的坐标，所以二分之一 x 等于零， x 就是 二分之一。二分之杠三减 y 是 等于杠三，所以 y 呢，应该是负。二分之杠三 杠三减 z， 应该正好等于零，所以 z 呢，等于杠三。这里面 x、 y、 z 这坐标咱就有了哦， b 一 点坐标有了， a 一 点坐标也有了，那我继续中点坐标公式，点 f 坐标是不是理论上可以求？没问题哈，你应求 f 坐标能算呢？但是今天我必须要给大家介绍另外一个思路。法。二， 哎呀，这 f 点织出来了，他太淘气了，哎，但是我为啥要求 f 点坐标来着？我为了要求 e、 f 这项量的坐标，对不对？他不是让我求先变角吗？那我可不要把中点起点这么一减，把这项量求出来吗？但是我们转而一想， 既然我们最终目标是要求 e、 f 这个线的这个向量，我求 f 点坐标只不过是中间的一步，我可不可以略过，绕过求点 f 这一步，我直接把 e、 f 表示出来呢？可不可以？这就是我们今天的第二个方法，我不求 f， 我 直接一步到位，我直接把 e f 求出来， 那可不就没有刚才那么一大堆运算了吗？哈？那问题来了， e f。 你 打球向量第一节课，想用 e 点走到 f 点，可不一定是走这条直线，我也可以先由 e 点走到 a 一， 再由 a 一 走到 f， 对 不对？ 所以我们运用向量的向量的向量，它等于 e a 一 向量加上 a e f 向量，谁是 e a 一 啊？我知道啊， e a 一 不就是呃跟 z 轴垂直的往上平移根号三长度的这个向量吗？所以 e a 一 我是可以求的啊，就是零 零根号三。哎，我只要把 a e f 这个向量求出来， a e f 啥？ a e f 是 二分之一的 a e b e 我 先记下来，我怕忘了啊。二分之一 a e b e， 那 不终点嘛。那 a e b e 又是谁？ a e b， 你 在看着上面，看着你看着支出去了，但是我把它平移到下面来， a b 我会求啊，它就是二分之一倍的 ab， 那 ab 是 多少来着？那你 b a 是 零，根号三零，你 ab 就是 零，负根号三零呗。所以 ef 向量太好求了，零加上二分之一零。逗号，零加上二分之一倍的负根号三。 继续，这轴是根号三，加上二分之一倍的零，就是根号三。爽，下次再遇见某些点，特别淘气支出去了，你一定非得求这点坐标吗？ 咱可以绕开点的坐标，直接求向量坐标，用向量的限行运算，咱把它放到一个新的路径上去，你选一个路径好求的是吧？这里面因为有个垂直，所以我就选 e a e f 这新路径了。 但有些题目啊，抛开这道题，有可能绕得更远。比如说，我想要 e 点走到 f 点，我可以绕着楞走，比如说我由 e 点，先求 e a， 再求 a a e 一， 最后再加上 a e f， 也是可以的。 所以今天给大家讲了两个方法，对吧？大家自己去看哪个方法适合自己哦，那我 e f 求出来了，我这个面的发现了也有了，所以呢，线面角我今天可就不给大家再算一遍喽，我直接公布答案了，这道题的答案是五分之三，这是大家今天的小作业 啊，那光举一道题还不够啊，我觉得再给大家举一个比较淘气的小题目啊，二零一五年浙江高考，呃，还是一个三楞柱， b a c j 是 九十度， 这看这个也不像九十度啊，你别管人家画的怎么样，人家说九十，那就是九十啊。然后又告诉了一些条件，角 a、 b a、 c 都是二，这是二，这居然也是二，那不就等腰直角三角形吗？对不对？所以一会这道题我还没开始做呢，我底面分析出来了，他是等腰直角，那么这道题如果连辅助线的话，你说连啥？ 这是等腰三角形，我是不是一定要取 b、 c 的 中点，然后三线合一？这有垂直啊，用不用得上？我一会看，他又告诉了一个条件，叫 a a e， 哦，这个斜出来的这个侧棱长度是四的，然后 a e 啊，在底面的摄影，正好是 b、 c 的 中点。啥叫投影点？投影点就是我过 a 点做一个线面垂直啊，垂直点，他说正好是谁，正好是 b c 中点。好家伙，不用我写了，他直接给我了 b c 中点，比如说我设成 o 好 了， 那这题的意思就是说，哦，我 a e o 连起来这个投影点，这条线正好跟底面是线面垂直的。哎呦，这都有线面垂直了，同学们，你说咋间隙啊？我肯定过 o 点列一个数值的线面垂直这个 z 轴出来， z 轴已经有了。那问题是 x 轴 y 轴你怎么找？ 咱过底面这个 o 点找垂直太好找了，我是不是连接 o a 呀？这就是我要的 x 轴跟 y 轴喽。 这第一问，我做我都不想做了啊，所以，哎，我直接上来，我其实我想象了啊，就可以直接间系了。这是 x 轴，这是 y 轴，这个是 z 轴。 反复利用咱们的这个垂直小妙招出现，等腰三角形还真的就去连 a、 o 了，哼。哎，你不连还不行哈，多损呢。 来，那我来看看他问我什么？第一问，他让我证明 a、 e、 d 跟平面 a、 e、 b、 c 线面它垂直不垂直没劲，你线面垂直就一个方法，你就是在这个面上找到两条线都跟这条绿色的线垂直就可以了啊。 那我 a、 d 跟这个一二三谁垂直啊？这 a、 d 在 上顶面上，你好像不好看，我是不是可以把它平移一下呀？我刚才不是已经把这个 a、 o 连起来了吗？ 我把这条绿线移到下边来去看，那可好看多了哦。这条线已经跟谁垂直？已经跟 b、 c 是 不是已经垂直了？有一对线线垂直了啊？那接下来我再找一个，我随便找。比如说，我再证明一下，这个绿线也跟 a、 e、 c 垂不垂直啊？这线线垂直咋证明？ 呵，这俩都不在一个面上，这是一面直线，发生不了关系，所以我想发生关系我得连起来。哎，你看我把这这两点我连起来啊，这是连起来强行有关系才行。 你看我这个绿线，它现在已经跟这个 bc 这条蓝线三线合一，是垂直的了。然后呢，刚才题目又告诉我， a 一 点在底面上，这个投影底，啥叫底面投影？底面投影就是这线跟底面垂直，线跟底面上任何一条线啊，包括这个 a o 是 不是线线垂直？ 所以 a o 作为交际花太厉害啦，它跟 c o 垂直，它跟 a e o 又垂直，那它就跟香蕉的两条蓝线所形成的蓝面线面垂直，所以多好挣啊，你只要按照垂直小妙招这么来做，垂直问题全部解决，绿线往上平移一下，就是 aed， 所以 证明完毕， aed 垂直于 aebc 这个面。 哦，第一问简单啊，那关键今天咱要讲的其实是第二问，他问了我一个二面角，那我肯定把这个面跟另外一个面的法向量求出来，对不对？我先来看一下 a e、 b， d 是 谁？他是 a e、 b d。 哎，说实话，这 b 点呀， a 点都在坐标轴上，这个肯定是好求的。这个地点说实话，好像没有那么好求，是吧？他支出去了，他很淘气。然后呢，我继续来看另外一个面是谁，是 b d b e 又跑这来了， 你按照求点坐标的方法，哎呦，你这个蓝面啊， d 点 b 一 点，那坐标也得求，哎，硬求能不能求？就像刚才说的，硬求是可以求的， 其实两道题是一道题，上下俩底面是不是都是全等三角形啊？这上下的棱啊，这方向都是一样的，你可以利用向量去做，去慢慢算。当然，我也可以绕过点的坐标，我直接求向量的坐标， 比如说回过来啊，你看，先拿这绿面来说，你说你求哪两个线了？好求，这 a 一 和 b， 我 的坐标肯定是能知道的。 a 一 b 肯定是好求的啊，我直接来求， 这是二，那么 o b 呢？应该是根号二， b 点坐标零，根号二零，那 a 点坐标这个高是多少呢？我目前好像没有办法题目中直接给我，但是他告诉我了，斜边是四，哎，斜边是四这个边，哎，这个边是根号二，是吧？ a o 长度嘛。所以我可以利用一个勾股定律把 a、 e、 o 求出来，应该是根号下十六减二。哎呦，根号十四，够恶心的，零零，根号十四，那么 a、 e、 b 这面上其中有一个向量，我就有了，终点减起点零，根号二，负根号十四， 那接下来大家必不可少的哎，你这个一个向量有了另外的一个向量，你是选 a、 e、 d 呀，还是选 b、 d 呀？好像你看着哎，都跟地点有关系，好像你需要把地点求出来，但是你如果不求地点，你绕过去，你直接求 a、 d， 能不能求啊？ a d， 那 不就是 a o 吗？ 你 a、 e、 d 不好求，我下面 a o 还不好求吗？人，这俩是相等的呀，咱 o a 应该是根号二零零，那么 a o 就是 负根号二零零，所以，哎，俩向量都有了，我直接这法向量是可以求的了，大家自己做作业自己来求。 接下来我来看另外一个面是谁啊？ b d b 想求这面的法向量，先选这面上的两个向量啊。选项量的时候，你一定把 d 点坐标求出来吗？不一定，我可以直接求向量，比如说 b b 一 好不好求，我不求 b 点坐标，我也知道这个向量可以转移到 a a 一 上，简直不要太轻松。 a a 点。刚才说了是根号二零零是吧？所以 a a 一 是。呃，负根号二零，根号是四。 接下来这一边用完了，你就用另外两条边，你说这两条边用哪个好用啊？我肯定用 db 一 好算。 db 一 是啥？ db 不 就是底面的 o b 多好啊。 o b 是 零，根号二零，上下两个向量，再求一次另外的一个发行量。 法向量一有二面角，也就有了 n 一。 你算完是零，根号七一，但是法向量是有无数个的，大家只要保证自己算完，这个是它的倍数关系就可以了。另外的这个 n 二化简完，应该是根号七零一。 好了，以上就是今天的全部内容再给大家讲了，有些题目的图形太难看了，不好见细。比如说第一题或者题目中给的那个条件特别刁钻，你需要先证明出来垂直条件，然后才能见细，挺难的啊。 第二类问题，他有可能在第一类问题的基础上，哎，你光费劲巴拉见好细还没用，某些点他太淘气了，他支出去了。那我怎么求线面角或者面面角啊？ 两个方法哎，你自己水平高，你可以硬求点坐标，只要这图形确定了，坐标肯定是可以求的。 或者咱可以动动脑子，咱绕过点的坐标，直接求向量坐标咋求向量坐标咱利用向量算什么？平移啦，或者由一点走到 f 点，我选一个新路径啦，都是可以应用的。哎，把一个立低几何的问题转化成一个向量的问题来做。 好了，今天介绍这几道题，难度啊，都不算低。那希望大家学完之后有所收获。环节撒化 啊啊。
189一数儿的课(高二)
10:49查看AI文稿AI文稿你们是不是觉得空间想象能力不好，我立体几何就学不明白？你们的练习册中的很多模拟题，为了追求难度，给你把题目出的很偏，让大家误以为，哎，立体几何就是选学， 但其实真相是，在真正的高考当中，立体几何这个模块考察是非常套路化的。 胡老师教高中数学已经十三年了，我带的学生里面有很多函数真的学的一塌糊涂，但是他立体几何能考到一百三十分以上去， 关键就在于他们掌握了高考的二十五大核心题型的阶梯框架。今天呢，胡老师就把这些方法全部都给大家教给你，所以你认真听，立体几何也能够成为你们的强势模块，行不行？行，好， 那么我们要学好立体几何，咱们必须得过这五大关来。第一关叫什么？七大几何体，你要非常熟悉七大几何体，也就是说你要和我先写下来啊，圆柱， 圆锥还有呢？圆台好，圆台还有啥球球很好，还有棱柱还有啥能台？能锥 还有啥能台？哎呀，能台还有什么球球？对这些人做好朋友呀， 他们怎么画？他们的侧面展开图怎么画？他们拼接到一块基本的图形怎么画，你得清楚，这是空间感的第一步。你像这几年高考特别爱考的圆锥侧面展开图，让你求跟他有关的面积问题， 包括棱台有关的体积问题，是不是要非常熟练？是的好，你把第一关过了，那么基础分咱们稳稳拿下。 答案是，基础分拿下并不代表你能拿高分。所以这就到了我们今天要讲的第二个关，很多同学百分之九十的同学都会进入的同一个拉分陷阱，叫什么 球？哎呀，聪明啊，叫做球的问题，球里面要掌握哪些方法呢？ 大家要掌握的是对的，从两个方向下手，第一个是六大对的外接球的问题，第二个是常见的一些内切球，三大内切球的解法， 六大外接球，大家能不能想起来都有哪些方法？这个我没有讲过长方，比如说什么长方体模型，还有呢？圆锥，对了，圆锥模型并不是说只有圆锥可以用，是不是棱锥也可以用啊，是要注意它的识别条件，还有什么模型， 还有圆柱，还有什么模型？扇子，还有呢？两个终极大沙洲，一考就考你亚洲叫什么？ 双半径，哎，对了，双半径单交线，还有一个是双距离单交线的问题，都会啊， 会这六大模型，你做外接球的问题就是直接秒杀你不会，不好意思，你可能做五分钟你都出不来答案。 好吧，来看第二个内切球的问题，内切球，特别是常见的一些多面体的锥体问题，比如说对应的公式，我们给大家总结过，而等于三 v 除以 s 也很熟练，必须熟练于心，没问题吧？没有， 这些对应在咱们二十五大题型的第十三到三十七题，所以大家把模型吃透，你球类的问题就不在话下了。那么搞定了球之后，很多同学最怕的坎来了， 总觉得，哎呀，我没有空间想象能力，我这个类型结构就学不好，核心在于不会。第三个点叫什么？ 对了，平行垂直的证明问题，这是立体几何最本质的，最底层的东西就是你这个东西学不好，你整个立体几何的这个楼就塌了，明白没有？ 这也是我们二十五大题型里面的重头戏了，足足占了六大题型。来，先说第一个叫平行问题，平行问题需要掌握什么？ 常见的要让你证明吗？对了，让你证明我们给大家讲的是什么法？尺子法去证明，然后还有一些特别爱考的叫动点问题，是不是叫动点有关的探索问题？ 那你是不得我们讲的口诀还有人有印象没有，叫做谁不动平移谁，对了，这是诀窍。好，接下来下一个叫什么问题？垂直问题， 你记住哈，所有立体几何的核心都是垂直的问题，你垂直学不好，你立体几何底层楼是摇晃的，垂直里面一共分为三大需要大家掌握的。第一个叫什么？垂直线线，第一个叫做线线垂直 线线垂直的核心是什么？嗯，我这样写，横着写 线线垂直，核心是找一根线，把这个线放到面对去，那这根线应该怎么去找？是有套路的。除此以外，线面垂直这个好正。还有一个叫面面垂直，那面面垂直的核心是什么？ 先挑一个面，从面中挑一根线，对，这个面怎么挑，面中的线又怎么挑，是不全是有方法的？那可不是你看答案随便去找的哟，所以大家一定要去总结，不断的去用它， 然后考试中更多的是把这些杂揉在一块，综合去考你。然后我们就衍生出来了很多方法，比如说三垂线模型，对吧？矩形模型、勾股模型，你会了这些方法证明是又快又准的。 当然大家要注意哈，我们费了这么大劲搞平行和垂直，不是说只是为了让你做题挣着玩的，所有的工作都是为了给第几关做补点。 第四关叫做夹角问题，高考的大题以及我们平时月考、期中考，只要考到例题，几何大题的第二问非常重要，必考内容重中之重。二十五大题型里面，六道最拉分的题全都在这。 所以说这里一共是三大方向，哪三个方向？来告诉我夹角问题。什么角？ 谁和谁的夹角？线和线的夹角，线和线的夹角有哪些方法？第一个我，我们说的是意面之线，明白没有？我是不是可以通过平移把意面变成共面的？ ok， 我 们还给大家讲了一个大招， 叫空间余弦定力。注意，不是余弦定力，是空间余弦定力，如果你剩两个，你发现你都搞不定，还有个万能的方法，叫什么叫做向量法，可以通过间隙去解决问题。 ok， 三个方法除了线线之外，还有什么？线面线面对大体主要就是考后两个叫线面和面面啊。线面第一个方法拿什么去做？ 对了，所有的就是，哎，我先用定义找到线面对用的夹角。嗯，那如果我定义找不出来那个夹角怎么办呢？向量，我们还有个备胎的方法，忘了吗？ 叫做等微等高啊，求正弦，非常好用，规避了你不会找夹角的问题， 再实在不行，有了一个保底的方法叫向量法，这是核心你要掌握的。 那下面搞定之后，还有一个爱考的叫什么叫做面面夹角的问题，好，面面夹角，哎，对二面角的问题，哪些方法？嗯， 定义方法，第一个特别特别爱考，这几年不管在高考中还是在你平时考试中，而且经常考小题，这两个一旦考小题，其实更多的用的是从定义的角度，你得会 ok 吗？ ok， 好。 还有大题中爱考的是什么方法？ 三锤宪法，我说的是都是高频爱考的啊，你是你必会的，实在前两个搞不定也是一样的。叫什么法？项量法， 很多高三的孩子最后说，胡老师，既然你说项量法比较重要，我就只学项量法，项量法，项量法 只靠空间向量去做题，结果考试一紧张，坐标写错，或者有的题目你发现那个细根本就见不出来。所以，尤其咱们现在高一的孩子，现在在学立体几何，真正能让你跟别人拉开差距的。前面的这些几何的方法，我们要一开始把它学透， 一开始就要去刻意训练，这些结合方法没有问题吧？没有好，前四个关过完，那很多同学觉得，哎呀，理论结合学完这些就没问题了，往往在最后的关头，你发现你们会丢分，因为你忽略了最隐蔽的第五关叫什么。 哎！对了，还有一个问题叫做距离问题，距离在我们老高考中经常考点面具，点面具吗？是吧？点面具说白了其实就是体积的问题吗？转化成体积的问题，我们新高考中还增加了什么 意面？直线的距离，这是最容易被大家忽略掉的，必须重视。 所以呢类题结合就是以上五个大关，考来考去，翻来覆去，永远都是总结完二十五大题型，你把整套体系攻克掉，你的成绩一定是突飞猛进的。 所以大家不管是高一、高二还是高三，现在攻克都完全来得及，那么这二十五大题型每一个类我们怎么快速拿下对应的方法， 胡老师每一个全给你们配套了。同类型的辨识训练，从基础到重点到难，全部都总结好了。你想快速搞定立体几何的，你可以留 立体几何，胡老师全都给你安排，抓紧时间打印起来，跟着胡老师拿下立体几何没有问题吧？没有好下课！
284老胡模型数学思维提升
09:09查看AI文稿AI文稿咱们高一的同学家长们啊，咱们现在学到立体几何了，这里头呢，张老师给你们把咱们立体几何这一块东西，这个章节我们要学会哪些东西，要给大家总结一下的核心要点有哪些啊？这个不光是咱们现在啊，包括高考 咱们之后的这个要考察东西，我们把这个东西掌握了，也都够用了啊。然后呢，有一些乱七八糟的东西，咱们不需要去掌握的，张老师一会也会告诉大家啊， 来咱们听一下啊，主要能有哪些啊？首先咱们立体几何这一块，第一块啊，就是说小计算啥东西，几何体的表面积体积这块东西啊，是吧？ 这块全是一堆公式，是不是啊？追逐台，主要就是追逐台的表面积体积，是不是啊？然后这一块呢，就是一堆公式， 然后咱们学的时候大家就注意点啊，大家学的时候别背公式，因为这些东西我们追溯台，首先表面这个体积，那个公式好推，他也不难推，大家去推一下，就是我首先知道我这个追溯台展开之后，尤其是原锥，原住原台，他展开之后侧面就是什么东西，是不是啊？ 我可以是一个啥呀？我一个是矩形，一个是什么？一个是扇形，一个是扇环，是不是啊？把这些东西搞清楚之后，然后咱们再算那个面积，其实挺好算的，是吧？把这个东西推一遍，这样子的话，你看他跟母线呢，和半径啊，他们是什么关系， 就大家脑子就清楚了，然后再去背公式去知道吧？就是先推一遍，然后再来一个公式，这样子的话，他出题怎么出他都不怕啊，而且这块小计算特别容易出啊。然后第二个呢？这里头有第二个，就这个计算里边的第二个是什么东西呢？ 就是外接内切球这一块，是咱们大家很烦的一个点，就是外接内切球这块，这块张老师给大家说一声啊，就是外接球和内切球这块，我们研究的时候不去研究那些不规则的， 我们去研究这些规则的一些标准的几何体，比如说我正三棱锥、正四棱锥，然后你包括圆锥、圆锥、圆台这些玩意，我们现在去研究这些东西包括什么？我们等腰的底，底面有特殊形状的，比如等腰直角、三角形这种直棱锥，我们去研究这些东西去，因为它们的性质相对， 干啥简单，因为核心是啥？他们的问题是在哪啊？他们处理问题一定要在哪？我们那个大球所在的那个轴界面上是不是我们在那个界面上啊？就是界面上处理问题啊？ 也就是所谓的就是引出了咱们立体几何里边最核心的处理方式。第一个立体几何计算里边最核心的处理方式叫啥？高维化，低维 就啥，我要把空，我把空间处理，一个空间的问题转移到什么呀？就是空间上对应的那些参数是不是什么高了，什么半径，乱七八糟的，我转移到一个平面上去处理 啊？明白了吧？然后这是计算哈，然后第一块计算，然后第二块是哪块？就是咱们所谓的证明了是不是 我线面垂直平行的这些证明题，是不是啊？核心是啥？我线面平行是不是？一是线面平行，第二个是什么？最重要的一个是啥？线面垂直的证明 是吧？因为这块东西线面垂直的证明，我要后边还有什么涉及到什么？我正我找出来线面，找出来垂线之后，我既做线面角，还有一个啥？线面距，点面距离是不是啊？点面距离 是吧？点面距离的计算，当然点面距离计算我们还有一个其他的方法，就是所谓的什么东西？等体积法，但是这个等体积法核心是啥呀？我要把体积找出来，那找体积的时候我们算体积，其实还是得我们要找到好算的。那个线面垂直的就是那个 点面距离，然后再转化是吧？核心其实还是要做这个点线面距离，然后线面距离的这种证明咱们怎么做？我说了这个东西包括什么东西？你面面垂直哈，这都在写上哈，面面垂直 这个东西，我这个证明核心是啥？考逻辑思维哈，几何法，所谓的几何法这块记住了五星重要，这是咱们立即几何的核心的考察的东西 啊。己合法，逻辑思维就纯用我怎么样子去把我，你要让我证明那个东西，你让我证明东西一定是对的，那我把这个东西当成条件和已知条件去结合，我要推出来啥？我要证明我这个结论的这些条件到底有哪些呗？反推吗？对吧？ 我判定定例反着用回去是吧？我用成性质定例是不是？然后我找到我需要的条件再反再用回来是吧？然后我当我一个条件拿不着的时候， 低维条件找不到，比如说我线线吹只有俩，我只找到一个，此时干啥？找条件的时候记着啥低维转高维，干啥上高维上找条件去高维条件更多，然后再画回的， 明白了吧？这是证明题的思路，就是我线，我线线垂直不好正行，那我先正线面垂直，然后线面垂直的性质里边不有线线垂直吗？对不对？ 就是这么个逻辑思维，然后具体的做法的时候，大家去看张老师主页试听课里面讲了，是不是啊？我们立体几何里边我们线面垂直的证明，包括线面角的计算，是吧？都有啊， 然后再弄明白，来找张老师来我们系统的去学习。张老师，我想系统的就把这些东西学一下，可以跟张老师的课走。张老师，咱们高一线高一的课啊，有的，咱们看张老师的课最近都没买，是吧？因为啥？哎？张老师，你这立体几何部分怎么老不给我们更，我这两天就给你们更进去啊，这两天就给你们更进去 啊，然后可以可以下单了哈，大家都可以下单了啊，然后剩下的我说这面面垂直是啥呀？ 面面垂直的判定力实际上核心还是啥呀？我要找线面垂，线面垂直，然后面面这里头我们其实一个核心的是啥？哦？二面，面面关系这块都有一个二面角的平面角是吧？ 平面角这块东西，有人说老师这块东西不都是拿我们，我们大家都听过这个这个东西的话，都是拿什么空间向量做好做是不是？但是这个东西张老师要跟大家说一下啊，现在我们的考察方向， 这个东西需要大家尽量是需要大家去做，因为做这个二面角的平面角需要的逻辑要相对更复杂一些，他的考察的东西更多， 他考察的东西更多，逻辑考的更细，然后考察知识点，考察的更全面，你想想这那这个点知识点他就是好知识点啊，对不对？他能考察出大家的能力的， 对吧？然后二面角，平面角，那就无非就是干啥呀？我要定交线，是不是因为二面角的平面角一定在什么上？我两个面的交线的垂面上，是不是定交线，然后找交线的什么呀？垂面，然后干啥？做，做出 干啥？平面角，是不是，对吧？然后干啥？这就是我做出平面角之后，这不就又变成干啥了这了吗？高维画低维，然后干啥？解三角形计算去，是不是啊？ 然后这块中你看我们求点面距离，求这个二面角的平面角，求线面角，这些是属于计算，是不是啊？然后咱们点面距离的计算，这里头有等体积法，但是等体积法我们可能还是你等体积法，我得先把体积搞定啊。体积搞定就是啥？我用一个面， 我我用好算的一个面和距离，底和高，去把面体积算出来，然后再转化后回去是不是转化？然后你让我求一个特别我做不出来 这个点面距离的，就我找不到他投影在哪，是不是那种，是吧？那怎么办？那我找好做的，然后等体积法转换啊，这是一种什么空间的转换思想啊？ 就这些东西，咱们立体几何，其实你要说东西多吧，其实还好，这看着写的是不少，是吧？其实也还好，没有太多东西。还行，这块不属于咱们高中的一个难点， 但是呢，就是用的东西其实也挺多了，因为你说平面向量的东西，你包括解三角形的东西，那肯定是要熟练应用的，是吧？我，我这里计算的时候，我这里我计算三面角，计算二面角的时候，是吧？我这里头都是需要的， 是吧？我都是包括算什么这个距离的时候，我要算某一个长度的时候，都是需要什么？我们解，对，解三角形，你高为画低为，把那个平面做出来之后都是要啥解三角形去搞定的，是不是啊？对吧，这些基本功一定要扎实哈。 就这些东西啊，把这些东西学明白了立即集合就差不多了。搞不定的来找张老师来啊，跟着课走，我这几天就把课都给你们，更差不多了啊，听明白了吧啊？
213张兵老师高中数学
28:24查看AI文稿AI文稿本视频时长二十八分钟，带你搞定立体几何基础，求几何量，通过等体积法解决点到面距离问题。从原理出发，讲透底层逻辑，回复立体几何，领取视频讲义。 继续咱们立体几何的基础。上一个视频，咱们聊到了求体积中啥时候用公式法，什么时候去割，什么时候补哪些，老赵带大家感受了很多， 那么最后呢，我们也围绕一些复杂的多面起，可能多角度，多维度把这三个方法都要用上去解决它们，也带大家练了一些如果有这块的问题，你看上一节回放在这个视频要讲啥呢？讲等体积法去解决点到面的距离问题。 那么这道题这个知识点本身很简单，但是唯一的考点就是有些时候没有明确的题道要求点到面的距离，你也要能发现他是这类问题。 那具体的咱们来感受一些题来看。第一个引力，首先引力，咱就用最简单的模型告诉大家这是一个什么墙角， 两两垂直嘛，它们都垂直，然后对应的三个直角楞幺幺二长度就知道了。然后接下来要求什么呢？你看它要求点 d 到这个面 abc 的 什么距离， 这就是以后直接用等体积的标志。那么为啥能用等体积呢？因为你发现这个整体刚好可以看作一个以 d 为顶点，以 abc 为底面的什么高， 那你高知道了三分之一底面积乘高就能列出这个式子，如果你再知道它的体积，那这个不就求出来了吗？ 所以说只要求点到面的距离，往往都可以用等体积去求解。好了，那接下来我们看这边表示出是为了表示出这个目标，那体积咋求呢？我们选一个比较简单的，比如说，哎，这道题以底面 为底面，对吧？你看底面面积，直角三角形很好求高高好是谁呀？ b、 d， 所以 以 b 为底点，以 a、 d、 c 为底面。然后你写的时候两边都是三棱锥嘛，三分之一就不写了，底面积乘高等于底，面积乘高，代值就完了。来，先看这边， s、 a、 d、 c 两个一乘二乘以二分之一是一， b、 d 呢，刚好是一，所以说明体积是一，然后你要求 s、 abc， 哎呦，这 abc 啥都不知道。当你去求一个三角形面积，在咱们例题集合中关注，首先看边都能不能求出来，能求出来了就一定可以解， 比如说啊，这里一二，根号五，这里一二，这也根号五，根号五一一，这就是根号二，所以它三个长度都知道，三个长度都知道的话，还是个等腰三角形。要求面积也简单了，直接做什么？三线合一， 这二分之根号二，然后勾股定律，五减二分之一，二分之九开根号二分之三倍根号二，所以这个高二分之三倍根号面积也就很简单，二分之一乘以底是根号二乘以高是二分之三倍，根号二 乘以 h。 刚才我们说起筋是多少一根二乘根二是二，和这个约掉了，所以二分之三 h 等于一， h 等于多少三分之二。这就是咱们所说的什么 等体积求点到面的距离，不管是他的原理还是他为啥可以求，就这么简单。那么这个知识呢？接下来我们要明确他有哪些用法。第一个，有些时候求的并不是点到面的距离，可能求的高， 那本质上还是在求这个东西。有些时候呢，咱们在用几何法要求空间角的时候也能用得到，所以你总之你知道求点到面的距离等体积法都可以求，要学活。 好了，接下来我们看例题，这道题呢，你看它就告诉我们有个三棱柱， a b c a e b e c e 就是 由这两个为底面的三棱柱横着放，告诉我们底面是个菱形，然后这里 底面的中心是 o a o 连线，他刚好和底面是怎么样垂直的关系，还告诉我们这里是一个什么直角三角形啊， c a b e 是 垂直的，然后还告诉底面是一个有六十度边长为一的这个菱形 要求啥呢？他要求的是三楞柱的高，我们一看啊，三楞柱的高不是追棋的高，不是追棋的高，好像不能等奇迹，那你注意啊，你这道棋要是想成三楞柱的高，你可能就走远了。 三楞柱的高本质上是这两个面之间的距离，我们说两个面之间的距离，在他们平行的时候一定就会转化成谁啊？点到面的距离，那么点到面的距离的话，那不就是 等起记法可以求吗？所以接下来关键是我要看作是哪个点到哪个面的，那不能说随便看，哎，我就一 a 一 到这个面的距离，然后你画完之后，你发现，哎呦，没有条件不好处理，对吧？所以在这要用等起记法的时候，一定要找到合适的点和合适面。 关注什么？关注已知条件，哪里已知条件最多？这都是已知条件，这个面里边这两个面所对应的已知条件最多，这里是个等边，这里是个等腰直角。那你告诉我，我们要看作哪个锥体？是不是看作以这四个点 构成的锥体，那对应的点不就是 b 一 到这个面的距离，要选择好几何体， 那在这咱就选择到这个蓝色的几何体 b 一 点到它的距离。那么接下来就要写成两组起级，第一个肯定是以 b 一 为顶点，以它为底面的锥起。第二个， 那要能求几？以谁啊？你发现在这道题里边， a、 o 是 高，所以以 b、 b、 c、 b、 e 为底面的是不是比较好求？ 底面是个正三角形，这个高是 a、 o， 所以 要选一个好球的，所以写出来一个是肯定是以 b、 e 为顶点，另外一个就是以 a 为顶点。好了，写完之后，一个一个来表示先看好球的这个底面积呢？正三角形边长为一，那 四分之根号三， a 方面积就是四分之根号三。再看高，因为是等边三角形，这是一，这又是一个什么啊？等腰直角，为啥是等腰直角呢？ o 是 底面的中心，说明这个线呀，他既是高，也是什么中线，所以他就是等腰的，这是一，那斜边上的中线二分之一，所以高是二分。 至于这边的底面积和高都知道。好，接下来要求这边的高，你就得知道这个底面积，这是这道题里边唯一要计算的。我说看到这个三角形只有一个边，知道咋求它的底面积呢？尽可能的利用勾股定律，咱们去把它的边长都求出来，比如说这个，哎， 刚才说它是等腰三角形，斜边是一直角边，就是多少二分之根号二，你看两个边知道。然后接下来我要再能求出 a、 b 的 话，不就搞定了吗？那关键是你得看一下 a b 放在哪里去求解， 我们说尽可能的放在什么啊？直角三角形，那这个直角三角形是什么？你发现 a o 是 垂直底面的，对吧？所以你连接一下 b、 o 的 话，这里也是一个直角三角形，然后这个斜边 a o 刚说过斜边的，呃，就是中线，它是二分之一， 然后这个是底面正三角形，什么三线合一，它是二分之根三，直角三角形，这二分之一，这二分之根号三，这是多少一？ 所以你发现 abc 这个三角形啊，是以 b 为顶点，以 a、 c 为两底角的，什么等腰三角形，这都是一， 然后这个长度是二分之根号二，所以你要去求它的表面积也就简单了，等腰三角形嘛，做个高，这个是四分之根号二，那这个是四分之根号二，这个是一，它的平方十六分之二是十六分之十四， 根号根号分之多少？四分之根号十四。所以你底知道了底是二分之根号二， 高是多少？四分之根号十四，上边一乘二倍，根号七，下边一乘十六，所以八分之根号七。 这样我们就知道谁啊？咱这 abc 所对应的面积是八分之根号七啊。所以说你看你明白方法了，在做的时候，有些时候第一个是转化，第二个就是这种计算的细节，永远不要忽视细节。 好了，那这个底面积和高，知道了这要求的，就说明它两相乘，等于这两相乘八分之根三， 八和八一约 h 等于根七分之根三，也就是七分之根号二十一拿下，对吧？所以说这就是整个细节。 好了，最后简单复盘一下，就是真正考的时候，并不是说每次都考点到面的距离，有些时候考什么台体的高呀，有些时候考柱体的高呀。你不好求的时候，你记住， 但凡在例题几何中，本质上求的是个距离，有些时候是点到点，有些时候是点到线，有些时候是面到面，有些时候是点到面。总之，当它整体是个距离的时候，都看能不能转化成谁啊，点到面啊， 只要能转化到点到面，那它本质上都可以用什么等起击法去处理，然后等起击法，第一个起击肯定就是你这个点和那个三角形面构成的，另外一个就看怎么好球，用一个好球的方式把它的起击表示出来就行了。 然后在所有的计算细节中啊，你转换完了。最后就是计算细节，你就记住你算面积的时候算不出来，要关注这个三角形，就是关注它每一个边的什么长度， 那么每一个长度怎么算呢？把每一个长度都放在一个 r t 三角形中，你就要关注垂直，比如说这个 ab 放哪里呢？你没有，你要关注已有的 a o 式垂直，放在已有的 r t 三角形。 所以这种细节往往才是你决定你最终能不能得分的关键，永远不要光注意一个什么大方向。哎，我知道登喜记法什么时候用呢？点到面的时候，然后一算，算的一塌糊涂， 学数学要全面啊。好了，继续练，接下来看这道题，这道题又告诉我们一个什么三楞柱， 然后说测棱呢，都是垂直底面的，然后底面又是个直角三角形，还是等腰的高，也是，测棱也是二。然后说点 m 呀，现在是这个棱 a b 上的一个点，问这个点到这个面的距离 是不是一个定值？但凡问点到面，你就看点所在的什么轨迹，点在哪里啊？点在 ab 上，那你就看它的轨迹和这个面是什么关系啊？你发现 ab 和这个面很显然是怎么样的平行的， 那么它所在的轨迹和这个面平行，不管它在这个线上的哪一个点，它到面的距离都是怎么样相等的，那所以这个距离肯定是个定值。好了，这个好回答， 那关键是人家说啊，让你求出定值，那求出定值不就是求点 m 到这个面的距离吗？所以走到这里我们就说，哎，点的 m 到面的距离也简单，等体积。那么接下来一个 v m a 一 b 一 c， 那 另外一个是奇基是谁呢？你如果盯着现在的图，你发现我不管以哪一个面为底面，我都求不出来，所以既然它在这个上边的每一点对应的奇基都是定值，或者说这个距离都是定值，那你就不要用任意点， 一定要用什么特殊点。所以当 m 在 哪里的时候好算呢？你发现要么放在 b 点这个端点，要么放在 a 点这种端点肯定是 最特殊的位置，最特殊的位置肯定往往最好算。比如说我把 m 放在 a 点，那你看我现在第一个要求就是谁啊？ v m a 一 b 一 c 一， 我就是求它，对吧？那么然后接下来我要有一个已知的奇值， 有一个已知的体积，我们还是要横竖面做侧面看一下以谁做底面会好求呢？哎，你发现这个里边 a c a e 这个面是不是竖面垂直底面的？ 然后它对应的点是 b e b e 到这个面的距离是谁啊？不就是 b c e 吗？底知道高知道，所以就是 b e a e a c， 这就非常的什么简单，所以把它放在啊特殊的位置，然后再选择合适的面就写出来了。那这是已知的答，先求来这二，这二底面积是多少二嘛？二乘二乘二分之一 高呢？刚说过了， bc 等于多少二，所以这边都知道了。然后这边我们要先求面积，那要先求面积就要看它的边长二二，这二倍根号二二二，这二倍根号二 二二，这二倍根号，你发现它是个什么？等边三角形，等边三角形的面积就是四分之根号三乘以边长的平方，那就是二倍根号三呗。所以它的面积二倍根号三乘以 h 等于上边两个相乘 h 等于多少根？三分之二，也就是三分之二倍根号三，直接拿下， 所以说也会非常的怎么样简单。所以关键是首先你遇到这种看点到他的距离是否为定值，看的是诡计和面的关系，这是特别喜欢考的平行线上的点到面的距离怎么样相等好， 当接下来让你去求值的时候，看似是对任意点，那他们都相等的肯定要选什么特殊点啊？ m 一定要放在最特殊的位置， 然后接下来你要去解一切都会什么，会非常的丝滑。好了，这第二个咱也就结束了，接下来咱再练两道啊，接下来这两道他是完整的题，第一问也有，第二问也有，正平行也有，可能正垂直也有，然后再求一个几何量，我们一起感受一下。 比如说这个题告诉我们个台体，第一问啊，说这是一个四棱台下，底面是个菱形了，其实就是两个等边三角形构成的。 然后呢， ab 等于二 a 一 a 二等于啊，那就是这里是多少？如果这里是二 x， 这是 x， 这是 x， 再告诉我们他们的关系， 还告诉我们 a、 e、 a 是 垂直什么底面的，最喜欢这种线垂面。然后第一问要证啥呀？他要让我们证明这两个线是垂直的，那我们说看线垂线看两点，第一个共面不共面，如果共面，看一下用 平面内能不能证明，如果不共面，一定要转化成谁啊？线垂面，那到底是哪个线垂直一些面呢？看这两个线谁有明显的垂直，那我们发现底面是菱形， b、 d 很 明显是垂直，谁啊？ a、 e、 c 的， 这是它垂直的第一条线。 题目还告诉我们 a、 e、 a 也垂直底面，那也和它垂直，这是它垂直第二条线，它垂直这两条线，它肯定垂直它们所在的平面。好了，它们所在的平面就是 a、 e、 a、 c、 c、 e， 结束，对吧？这个第一问呢，非常的简单，直接就送分了。然后接下来看第二问。 第二问是先告诉我们四棱台的起基，然后接下来要求谁啊？点 a 到这个面的距离，看到点到面的距离，马上就想到了等起基，但是等起基的话，你对这道题里面的一些长度首先要知道， 那这道题告诉我们的是啥呀？这里是一比一比二的关系，结合这个起基，我们是不是先得把 a 求出来啊？那么这个咋求呢？我们说棱台求起基有他自己的公式，三分之一 h 括号里边什么面积加面积，加根号加面积啊，反正这个公式还挺复杂，我一般情况下也可以选择另外一个方式啊，我把它补成一个什么能追？那么在这道题，你看这里的相似比是一比二， 所以这里一份啊，这里也是 a， 所以 你只要求出整个大的锥体，然后怎么样减去小的，你发现这个小的锥体和大的锥体的能长比是多少？能长比，或者说高之比和底面积之比都是一比二， 所以上边小的其实占整个体积的八分之一，所以我只要求出整个锥体的体积乘以八分之七，就是这个什么 抬起的奇迹。所以说你要是习惯公式，套公式一模一样，你要是习惯割补法，像我一样割补一下，补成个锥起，咱就用锥起的方法好了。那么首先我先算底面积，这是二 a， 这是二 a， 这是多少？这是六十度， 所以底面的面积应该是两个正三角形，四分之根号三乘以正三角形边长的平方就是四 a 方，因为有两个，再乘以二， 所以它就等于二倍根。三 a 方啊。好，所以体积就是三分之一乘以底面积是二倍根号三 a 方，再乘以高。高的话，我们说相似比是一比二的话是二 a， 再乘以八分之七，就是这个抬起， 所以我把它列在这里，你看三分之一，三分之一乘以底面积乘以高，乘以八分之七，等于它三分之一，三分之一约一下， 然后这里的话呢，四七二十八倍根号三。好了，二十八倍根号三和这七都约了，所以就是 a 地方除以八等于一， a 地方等于八， a 等于二。所以到这道题他告诉这么多，其实就是让你根据奇极公式先知道这个题目中对应的这些什么 长度好了，那上下都是菱形，就知道上边是边长为二的菱形，下边是边长为四的菱形，然后这里等于多少， 这里等于二。那这道题最后要让我们求的是啥呀？他要求的是点到这个面的距离，你兴冲冲的啊，那就是等起级来求一下这个追起。等起级是对任意追起都可以吗？你发现是不可以的，你看做这个是底面，这个是高，接下来你随便一个底面都没法看了。 所以咱们等起级是针对什么三能追，任意面都可以做底面， 你这四棱锥，它的底面是唯一确定的，你就没办法写成什么啊，不同的底面产生的两个等体积公式。所以接下来啊，那我们还要把它改成三棱锥， 改成三棱锥的话也简单啊，那我给这取一半，对吧？啊，画一下。所以我就相当于要求的是地点到这个半个面的什么距离， 对应的就是以 a 一 为顶点，它为底面的这个锥体的高。那么转化到这里终于可以用等体积了。第一个就是 v a， 然后对应的底面是 c， d， d， e， 然后关键是第二个啊，咱看一下， 咱接下来要求体积的话，以哪个呢？我们说横竖面定底面，往往关键是看高，这道题 a a 一 是高的话，那说明 你以原来的底面 a、 c、 d 为底面，第一到它的距离和 a、 a、 e 到它的距离是怎么样的？肯定是一样的嘛，就是高是确定的是二，所以就很简单好了，所以写成以第一为顶点的这个锥起和以咱们这个。然后这个的话，先求底面， 底面积是个正三角形，对吧？那么底面积就是四倍根号三，高呢？就是 a a 一 等于个二。然后介这边的话，重点要看这个面积，这个面积咋求呢？在这里要去求这个面积的话，首先 我们要知道这个图是个梯形，对吧？你对于这个梯形，你知道上底是二，下底是四，然后接下来你要求高，你就得知道两个腰的什么长度，那我们分别来求一下，你看你在这里做一个垂线， 做 a、 e、 a 的 垂线做下来之后，那这里就是多少二，这里也是二，这就是二倍根号二。然后你要求这里的话，你在这里过 c 一， 在这再做一个，因为下边的这个长度呢，也是个四， 然后上边这是二，这是二，所以你会发现这也是二，这也是二倍根号。所以这个面刚好是一个什么等腰七型，所以我们单独把它画出来，它是个等腰七型。那第一到底面的这个距离向下一坐，这一段是二，这俩一样的，这是一，这是一， 这二倍根号二，这一，这就是多少根号七。所以你看又到了咱们初衷方法求高度，你要把它做成一个平面的图形， 算在这这个三角形对应的高是根号七，这个长是多少四。所以你要求它面积也很简单，二倍根号七，它乘以 h 等于这两相乘 八倍，根号三，那 h 等于多少呢？根七分之四倍，根号三，七分之四倍的多少？二，根号二十一，也就结束了。所以这是这道题整个的转化过程啊。我们说这道题在处理的时候，唯一的考点看似点到面，但是你真的去求的时候，一定要知道， 等体积的使用条件是三棱锥，但是遇到的是什么？四棱锥也不要怂，四棱锥一切就切成三棱锥了，切成三棱锥之后，点到面的还是点到面，所以只要把底面缩小成三棱锥就 ok 了， 这是这道题给我们的一些有用的东西。好了，那这个也就结束了，接下来我们再看一道球最值的，我们先看这道题，告诉我们啥？这道题告诉我们呀，说这是一个四轮锥，点 p 为顶点， a d 和谁啊？ bc， 他 俩是平行的，底面就是个七型，这是一个 放倒的四棱锥。还告诉咱啥呀， a b 和 a p 这两线是相等的，然后说平面 p a b 啊，就是底面和这个侧面是垂直的，然后还告诉我们 p c、 d 和这个侧面也是垂直的， 哎呦，这两个都是垂直的，面面垂直。老赵告诉大家，它往往是一道题的什么题眼，你把它没用好，你解不了题，你把它一用，题往往迎刃而解。具体来看一下， 第一题告诉我们点 e 是 终点，然后让我们证明一下， a e 是 平行这个面的啊，给的都是垂直，现在要正平行，那咋正呢？我们说看到面面垂直，你把它当废物， 因为你直接盯着它没用，必须转化到什么线垂面那线垂面得找胶线呀，所以我们就看一下 pbc 和底面的胶线是谁啊？胶线是 p b。 如果一个平面内有一条线垂直于胶线，那么它垂直这个平面。你看第一问告诉我们这两个线是 相等的点， e 是 终点，那所以这三线合一，它肯定垂直谁啊？ p b， 而 p b 又是两个面的交界， 所以我就得到了 a e 垂直平面谁啊？ p b c 嘛，因为垂直交界，所以垂直这个面。好了，你看第一个面面垂直就处理完了。 那第二个面面垂直对应的交线是谁呢？一个是 pdc， 一个是 pbc， 交线不就是谁啊？ pc 吗？那交线是 pc， 还是得有线去垂直 pc， 那 咱过点 d， 只要做一条垂线就行了。因为两个面只要垂直， 只要找到了交线，点 d 肯定能做出它的垂线，管它垂在哪里。你在夹页上只要写，你在卷子上只要写过点 d 做 df， 垂直谁啊？ pc 与 f 点就 ok 了，因为他们在一个平面内肯定能做出来。好，那么做完之后， d f 垂直交界， d f 肯定也垂直平面谁啊？ p b c， 那 么两个平面内垂直同一个平面的两个线是什么？平行的，所以你最终就能知道 a e 和 d f 是 平行的，一个在 平面外，一个在平面内，所以线平面就处理完了。所以这道题比较好的就是告诉你一堆面垂面，你就记住告诉面垂面，只要你没转化到线垂面这个条件等于对你来说还没用， 但你只要把它转化到线垂面了，往往这道题也已经就解决了，所以他既是废物条件也是什么。一道题解决的关键核心就是看你有没有废物在利用， 对吧？好了，那这个就过了，然后第二个呢？这两个相等，他还告诉我们两个都是二倍根号二，然后也告诉我们 b， c 等于二倍根号二，还告诉这里一个角等于多少？一百三十五度。然后最后他要求啥？他要求 c， b， d， p， 这个追起的起积的什么啊？最大值。 哎，这道题也不用等起积了，他要求起积，那么要求起积。我们前面学过，横竖面定底面，一个三能追，那这道题里边有没有哪一个面 和底面是垂直的？或者说这个面有没有底面？横面呢？你发现横面就是 a， b， p 没有，但是题目告诉我们这个面和底面是什么垂直的， 所以这就叫做竖面。那这道题我们就可以以 d 为顶点，以 p， b， c 为什么底面？那这样的话，你竖面确定了高，就很好确定， d 点到这个面的距离就是高。 又因为 ad 是 平行于这个面的嘛，因为 ad 平行于 bc， 所以 ad 到这个面的距离就是它的什么高，所以这道题最后就是 a， e 是 高三分之一， a， e 乘以 s 三角形 pbc 就 行了。 所以这就是咱们上一周讲到的里边的最关键的一个点，横竖面定底面，你把这个定清楚了，那这个题就很简单了啊，我们表示出来之后呢，写成了，它要求的是 vc， 我 们写成以 d 为顶点， pbc 为底面， 不要受它影响，对吧？然后 p、 b、 c 这个底面呢？我们要求的话，我们知道这个是二倍根号二，还知道加角，那我们就要把这个边长设出来，因为它分成两段，设的时候设最小段为 x， 再看整个是多少二 x 好 了，那底面面积就很好表示，二分之一乘以二 x 乘以二倍根号二，对吧？ 啊，这是二 x 啊，再乘以二倍根号二，底面积等于二分之一乘以两边乘以夹角正弦值二分之根号二，这俩一或一乘没了啊，这一乘刚好是二 x， 所，所以底面是二 x， 高呢？根据勾股定律， 这是八，这是 x 方，根号下八减 x 方，所以高是根号下八减 x 方，面积是二 x， 两个一乘，再乘以三分之一，咱写完就是它，写完是它，你把里边就可以看作一个什么二次函数，你可以令 x 方等于 t， 这里就相当于是三分之二根号下 负 t 方加八 t， 那 么这个是开口朝下的对称轴是多少？负二 a 分 之 b 就是 四， 所以在 t 等于多少等于四的时候取得最大值，那我们带进去负十六加上三十二开根号，那这是多少？十六嘛？十六开根号四，所以它在整个 t 等于四，也就是 x 等于二的时候取得最大值是八， 那很明显， x 等于二，取出来之后它是有意义的，对吧？这个是四，刚好这里是直角三角形的时候，满足其意，能取到就结束了。好吧，那么这个视频呢，主要就是带大家 把咱们最后一个跟几何量有关的点到面的距离，这个原理和他常考的这种棋形带大家过一下。最后呢，也带大家过了几个完整的棋，把球体积也好，还有转换球距离也好，都过一下，练一练，练一下大家的熟练度， 因为他作为高考中也比较重要，也比较热点的一个知识点，我们要学就要学的非常扎实和熟练啊，当然了也都属于基础内容，大家一定要非常的熟练，好了就到这里，拜拜了。
324老赵高中数学
13:06查看AI文稿AI文稿一口气讲完逆题结合洁面问题，一共三大题型，从做洁面的两种方式，到求洁面面积和周长，带你完胜逆题结合压轴小题。 其实很多高一高三的同学都在问我，唐老师如何做洁面，他要是出的话就会出单选或者多选的压轴题， 那我们来看哈，他总共是有两种方式的，第一个呢是相交法去做洁面，第二个呢是平行线法，我一般都是两个结合着来用哈。 首先呢，我们来看相交法，为什么叫做相交法来，就是因为我们现在这个结面呢，很单零的，孤零零的在这个内部，对不对？ 那么此时我们就要使得它的延长线和其他平面的展开面，延长面我们要形成交点，那这时候的话，我们连接这个交点和这里的顶点，我们就会得到节点了哈，你看，我们现在已知了 e f 这条边，对不对？我们就延长出来，延长出来， 延长出来之后你会发现啊，好，我交右边这个面，你看右边这个面我也会延长，对不对？我就延伸右边这个面， 我就交右边这一个面于这一个点了，这一个点呢，就是咱们交的一个点嘛，所以此时我们再来连接咱们的 c 一 和咱们这一个焦点，就会得到跟右边这个平面的节点，就是在这的哈，这是节点了。 ok， 此时我们连接这个节点和这个顶点，我们就会得到这两条接线了，对不对？好，我们继续来做左边我们延伸延伸。哎，你会发现我跟上面这个平面的延伸面，我是不是交于这一个点呢？ 这个点就是咱们的焦点，那么我们继续去连接咱们的焦点和这一个顶点哈，我们就会得到这有一个节点，所以说我们就去连接这个节点和咱们这一个焦点哈，连起来，哎，你会发现我们又得到了这一条结线， 所以总共我们最后得到的结面是一个什么？是一个五边形的，然后我们再来看到平行线法做结面哈，这是我的 e、 f， 是 不是已知的，对不对？所以说我们现在就去寻找另外一条平行线，它是过其他的顶点的哈，那它肯定就是一个平面的， 那么此时呢，你看我肯定是只能去过咱们的 c、 e 做 e、 f 的 平行线，所以呢咱们就做出来哈，做出来，做出来是这个样子的， 然后你就会发现咱们交下面这个平面，你看我交下面这个平面的延伸出来这个平面交于这个交点，对不对？这个交点呢，咱们再连接下面这个 f 点，是不是我就得到了跟下底面的节点，对不对？就得到这个节点， 所以说咱们就可以连接这一条线，它就是两条截线就在这了。然后同理我们上面是不是会得到跟左边平面的一个交点， 那么跟左边平面这个焦点得到了之后呢，咱们再连接一和这个焦点，此时呢我们就会得到他跟咱们的上面这个平面的节点，在这对不对？在这，然后此时呢我们就可以去连接咱们的这个点和这一点，所以最后呢我们得到的仍然是一个结面的五边形， 所以我们现在来看到我们的三个题型，第一个题型来比较简单，就是不全结面，如图，在一个棱长为二的正方体当中， m n 嘞是两个中点， 然后在图中呢画出过底面 abcd 的 点， o 这个中心点，而且与这个 amn 平行的平面，在正方体中的结面。那你想哈， 我现在要去画跟这一个平面平行的平面，那么我只需要使得两组相交的直线平行，我们两个平面就平行了，对不对？ 那你来看我们的 n m， 它肯定是平行于 b、 d 的， 为嘛嘞？因为咱们只要去连接 b、 e、 d， e， 那 么我两个中点中位线，则 m n， 它是平行于 b、 d， 所以 就会有咱们的 m n， 它是平行于 b、 d 的。 现在我们只需要去找到另外一个平行线就可以了，找谁嘞？其实你只需要去看哈， 咱们的 a n， 它可以平行于谁？是不是可以平行于 b， 然后我在这我再去取一个中点，再取一个中点，比方说咱们的一个 g 点吧，所以我去连接了一个 b g 之后，你就会发现，哎呀我去， 我们这一条边，它是不是平行于这条边的，对不对？然后呢，我这一条边它也是平行于这一条边的，对不对？所以我们就得到了两组对边，它都是相互平行的，所以说咱们包含的这一个平面它肯定是平行的。 那么我们再接着来说，我们要过咱们这三个点的一个结面到底是什么样的嘞？你来看哈，我们就用平行线法去做哈，我们 b d 在 这， 我现在来要去找平行于 b、 d 的 线，而且呢，它是过咱们另外一个顶点的，那你直接去取另外一边的中点不就可以了吗？对吧？我再去取个 h 点，我连接起来，那么此时咱们的 h g 它是不是就平行于咱们 b d 啊？对不对？所以此时我们就得到了另外一个节点了， 所以我们再去研究 d h 的 时候，你就会发现，哎，确实我每一条截线它都是直接截这个平面的，所以你看我们最后就得到了这一个截面，它是一个四边形， 后来他就问这个结面多边形的周长我们就不用去算了，我们直接在第二道题里面带大家去算一下，那么我们来看到第二道题型哈，求结面的周长。在一个正方题当中呢，咱们的 ab 是 等于四的，咱们的 e 呢，是为一个中点，也是二二的，而咱们的 f 呢，是一个四等分点靠近第一的哈，所以这里为一，这里为三的。那 那么此时我要过 aef 去做一个结面，你们观察一下啊， aef 中咱们的 ae 和 af 它已经是结线了，结线就是说跟这个正方体表面所结的线段哈，那我们来看其他的几个结线到底在哪里嘞？哈， 我们先来用一下平行线法哈，我们先看我们要去找 a、 e 的 平行线怎么找嘞？其实就是去看，呃，在咱们的上平面怎么找到这个平行线哈，你会观察发现 这里是不是一个四比二的一个关系，对不对？那么我们如果说在这找到一个点哈，假设是咱们的 m 点，那么呢它也是满足一个四比二的关系，四比二就是二比一嘛，所以这如果 m 点我们取的是中点，那么他们俩绝对就是平行的， 但是这个平行咱们要怎么去证明呢？同学们其实也非常的好证明，你们知道为什么吗？因为我不妨哈，我在上面，这，我在左边这我再去取一个中点，假设说哈，我们取的是一个什么点呢？取的是一个 h 点， 那么我们去连接一个 c、 e、 h 的 哈，我们连接了 c、 e、 h 之后呢，你会发现咱们的这一个 f 和 m 肯定是咱们的 d e h 和 d e c e， 它的终点，对不对？所以说咱们的 f、 m， 它肯定是咱们这个三角形的中位线的，所以呢，它肯定是平行于它的。而咱们这一条为什么平行于这一条嘞？因为你看我连接起来，我连接起来之后，你就会发现我这一条边是等于这条边的， 而我这一条边是等于这条边的，它绝对是平行于这条，所以同理，这里肯定是平行于这里的， 就我们就会得到了第一个平行线哈，我们得到了平行线。然后呢，我们继续来看一下，我们接下来还可以怎么去找哈，因为右边还是没找出来的， 我们继续来找平行线，哎，这里有一个多少是不是三比四的？那我们来看，我们在这一个右侧可不可以找到一个三比四的比例哈，这里为二，那么我要找到三比四的话，假设这个高度为 x， 三比四，也就是说二 以上 x， 它应该要比等于三比四，所以算出来了 x， 它是等于三分之八的哈，所以呢，在这的高度应该是为三分之八。我们再去取一个点，比方说 n 点的，那我我们再连接一下 e、 n， 它， 它就是平行于咱们的 a、 f 这一条线的哈，那么它是怎么证明的呢？其实跟刚才的证明方式是一样的哈，我在这取一个点时的这一条边为三，那么我在连接这一条边哈，那么此时呢，我这一条边和这一条边是平行的，而我这一个四边形，它又是一个平行四边形， 所以此时嘞，我们就会得到这条边平行于这一条边哈，然后你又会得到这条边又是平行于这条边的，所以你就会得到这条边平行于这条边的哈，所以它是同样的证明的方式， 那我们再去连接一下， ok， 我 们现在就会得到这个结面的五边形。我们来算一下周长哈，我们先来算一下咱们的 a e 是 等于多少？是不是根号下四方加二方的？而咱们的 a f 嘞，是等于根号下，这里是四三方加四方的。而咱们的 一 n 呢，它是等于根号下二方加上三分之八的平方。而咱们 m n 呢，它是等于根号下，这里，是啊，四减三分之八，也就是三分之四的 三分之四的平方，再加上一个，这里是二的，二的平方的。我们再来看最后一个，咱们的 h m 呢，它是等于根号下一方加二方的，所以最后把它们加总在一块， 所以答案就出来了哈。我们再来看到第三个题型，就是求结面的面积，哎，已知一个正四棱柱，他指的是说我的上下底面都是正四边形，而且是一个直角柱，我并不是说我正四棱柱，我的高和我的长宽是相等的哈，你要理解。 然后呢，咱们的 b e 等于二， b e 等于二哈，所以这是二的，而 b b 一 是等于四分之一乘过去等于八的哈， b b 一 是等于八的，也就是说这段为六，这一整段就是为八的。 然后此时呢，四倍 a b 等于三倍 a a 一， a a 一， a a 一 在这，它是为八的，那么三倍 a a 一 就是二十四的，那么 ab 就是 等于六的哈， ab 等于六， ok， 这是六的，那么底面是一个正方形，就是六六六的。 这时候我们继续来看，则该四棱柱过，咱们的 a 一 a 一 在哪？在这，然后呢？ c 在 哪？在这，然后呢？过一这三个点，它的平面所截的了截面的面积。 那你来观察一下喽，我现在只要去做两组平行线就可以了，你看这组平行线是不是平行于后面这一个，我在这也相应的去取， 这是二，这是六，对不对？我就去取。所以说这一条和这一条它也是平行的，哎，这一条和这一条它也是平行的，所以我们直接就把这个结面给它取出来了，我们不妨看拿出来看一下哈， 它不一定是一个长方形，它可能是一个平行四边形哈，所以呢，我们先画出来看一下，则此时咱们的 e、 c 是 等于多少啊？它是不是等于根号下二方加六方就等于二倍根号十的， ok， 然后呢，咱们的 a、 e、 f， 它也是一样的二倍根号十。然后我们再来看 a、 e， 它是等于多少？六六，也就是六倍根号二的六倍根号二的。 那么此时我们要怎么去算这个平面所截得的截面面角？那么我们肯定是说，呃，把它看成是两个一模一样的三角形去计算的，但关键是咱们的 a、 e、 c 怎么去计算嘞？ a、 e、 c， 你 会发现至这个长方体的 t 对 角线， 那么体对角形怎么算呢？根号下长宽高的平方加在一块哈，也就是为这么多。然后呢，计算出来之后，它是等于二倍根号三十四的。 ok 了，那么接下来我是不是要先在一个三角形里面，我去用一下余弦定理啊，对不对？我就可以把这个角给它算出来。 所以说，由于弦定里咱们的 cos 也角 e， 它是等于六倍根号二的平方，加上二倍根号十的平方，再减去二倍根号三十四的平方，除上二乘六倍根号二，乘上二倍根号十的，解得嘞，它是等于负十分之根号五的。 现在咱们的三也 e 也已经出来了，等于根号下一减这一坨的平方的有等于十分之根号九十五的。 最后呢，咱们的这个面积是不等于二倍，这个小三角形 a、 e、 e、 c 的 面积，你入二倍二分之一，乘上六倍根号二，乘上二倍根号十，再乘上撒盐角一，也是十分之根号九十五的。 算出来结果非常简单，十二倍根号十九。所以只要你听完我这节课，掌握了做结面的两种方式，你就会发现，这些题你全部会做 视频的。最后我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大，借题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的评论区置顶蓝色链接，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序，我是北大堂，我们下期再见。
13:36查看AI文稿AI文稿斜修立体几何到底有多强？他能让立体几何的大题瞬间变成小学计算口算题啊？ 那很多同学听完胡老师讲立体几何的垂直，都说以前所有的垂直问题都白学了，那么今天胡老师给大家讲透垂直问题，听完之后我们再也不丢分好不好？好，期不期待？期待所有的垂直问题一共分为几大方向？我们来先来看一下，第一个叫什么？ 让你证明了什么？垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢？线面垂直很好，让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊，还有一个面面叫做面面垂直，咱一个一个来说，我们先来说线线垂直， 只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？常见的第一个叫做三垂线， 也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个，这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个，对，叫巨型模型，还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定律，大家对对于这个定律熟悉吗？熟悉，第一个叫做三垂线定律，这个定律主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它。嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 l 垂直于 m？ 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定的是什么？画个图。首先比如说这是阿尔法面， 然后呢？阿尔法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l。 然后呢，阿尔法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有。 所以三垂线定里说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线。 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是它在面上的投影。对摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于它的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l， l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明。 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大体里面的过程， 你大体要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路来。 m 垂直于 l， 一 撇垂直于它，为什么能够证明垂直于 l 呢？ 线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了，因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面。 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 l， l l 是 你中的线吗？我写的是思路， 对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？因为 pm 垂直面，对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于它，因为 m 小， m 是 你中的线，所以它垂直，对不对？对，因为因为它，所以它又因为你俩推出它 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言。又因为 l 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜臂垂设？比如说 m 垂直于 l， 是 不又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面， p n m 思路是一样的吗？对，嗯，又因为 线在面内，哎， l 一 撇是你面内的线吗？所以 m 垂直于 l 一 撇， 两个理由是一样的。会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考大家题目的？来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题 说下列正方体当中 o 全都是正方形的中点，这 p 都是什么点？ 他的楼上的终点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p， 就是 两个蓝线垂直的，是问哪一个满足是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个，哎呦，是不是翘起来的线啊？对不对？我们锤折，锤射必锤斜，锤斜必锤射，说的是给翘起来的这根线，说找他对应的投 影，摄影，摄影，谁翘起来找谁的摄影，是不是？是。所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？对，相当于在正方体的那个外面的表面上，我肯定不管 m n 吗？ ok， 相当于就是翘起来的线吗？对，是不是找他对应的摄影是不是就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给给谁找摄影？找。看 你是不是要证明的是这两个意面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面对不对？上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来，对，是不是往下面打比较容易啊？垂射臂垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移，来，我们把 m n 往这一移。我都不用找投影的。你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系吗？所以我也能把 a 排除掉，是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 l 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个充当了这根红线来？哪一根线 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了， m n 明明在面内啊。哦， m a 是 不是在面内啊？是，对啊，这个 o p 是 不是穿这个是不是跟侧面是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么？摄影打垂线对不对？对，来，过 o 点给他打投影，打到了怎么打过 o 点，是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足。一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影。是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直，这是终点吧？对，对吧？这是终点吗？ m n 跟谁是垂直的？ m n 跟他是垂直的， 你不是中位线吗？对，你俩是不是平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直。 m n 垂射必垂斜，这就是斜线。 图像相对翻了一下，能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意念吗？一个是 l， 一个是 m， 哪个相当于我这里翘起来的 l 来哪一个？ o p？ o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的，在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不相当于这个吗？ 是不跟这个平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧，给面打垂线是不跟刚才一样的。噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是，是垂直吗？嗯，这个也垂直，为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧，也是终点。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的啊？是的，你是不是对角线相当于一半吗？看到没有对中位线吗？所以他是垂直关系 没问题吧？没有没有问题，来下一个，哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为艾蒙在背面的面上来。对，也可以认为在前面的面上是不都可以。是的，艾蒙也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线，那么你跟我面的交点是屁，是不？就这个点屁，对，对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？把这个关系要捋清楚啊。 过这个点往面上打垂线，过藕点，往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点，给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的啊，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞，相当于这个 p 点相当于这里哪个点， o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉， 这叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六。那么剩余的其他的模型对应的题型你要练习的非常透彻，所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。 那么今天因为时间原因我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来。我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。
1547老胡模型数学
04:08查看AI文稿AI文稿我们讲个立体集合的好题点面距和立体集合最值的题法，大家看，这是个圆柱，它的轴结面是个正方形，正方形的边长十四，当 体积 d， a、 d， e 的 体积最大时，求 c 点到 b， d、 e 的 距离。好，我们先把体积公式写上，三分之一底面积层高， 三分之一底面积层高，对吧？我们这样，我们不妨把 a、 e 设个 m， b， e 设个 n， 于是它的底面积就是底层。告诉二，因为它是直径对九十度圆周角， a、 b、 e 是 个直角三角形，对吧？然后很高就是四，然后幺二，体积最大就是 m， n 最大。好， m， n 最大的，我们知道它是直角三角形，直径对九十度圆周角，所以 m 方加 n 方等于四方。这样就跟我们出来个等腰最直。 我们说一下啊，余弦定力就是个五定力，余弦的最值就是等腰最值，前向等于后向啊，直接写的就 m 等于 n 就 行了， m 等于 n 以后它是等腰。直角三角形的性质是乘除根号二，我们要除以根号二啊，那乘根号二是求斜边，除以根号二是求直角边，所以除以根号。 如果你要是忘了，老师把这个过程一写下，这是基本不等式，然后展开。然后呢？把我们平二和余十六负值了，就算出 m 的 最小值是四，于是前项等于后项取最值啊，自己看一下 好，然后再再剩下。我们要求这个 c 到这个 b、 d， e 的 距离，对吧？我们知道点面具有几种求法了，我们做个总结。 一种求法是转点线距，利用线面垂直转成点线距来求。第二个就用三棱锥的等体积法， 第三个方法就空间向量间隙来求，那这个题呢，用前两个方法都可以做啊，那老师为啥不用第三个呢？因为这个不是答题，是选择题，我们不需要第三个，所以我们呢就选择前两个方法做。呃，首先我给大家先说一下等体积法， 等体积法我们知道 c 到 b、 d、 e 的 距离就可以看成 e 到 b， c、 d 的 距离，我们看看啊，我们看看 c 到 b、 d， e 就 e 到 b、 c、 d 的 距离。为什么？因为 e 到 b、 c、 d 的 距离的这个高非常好做，只要取终点连接就可以了， 我辅助线只要取中间连接，这就是他的高。然后我们就套到等体积法里面，一会就算出来了，答案是三分之四为高三，这个方法呢，也挺好的。然后我来给大家讲一下第一种方法，转点面具看着啊。首先我们发现 b、 e 是 垂直于 a、 e 的， b、 e 垂直于 a、 e， 然后 a、 d 是 垂直于下面这个面的，大家记得吗？已知线面垂直要交换，斜正垂直要一定要交换过来啊。然后两垂直线面垂直，线面垂直。以后呢，我们就上辅助线， 在这个面内做个垂线，这就是 a 到 a， 点到 b、 d、 e 的 距离，所以我们就面内做个垂线，面内做垂线， af 垂直于 d、 e， 又因为 af 垂直于 b、 e 的 时候， af 垂直于 b、 d、 e。 然后呢，我们把 af 的 长度算一下，我们先用勾股把 d、 e 的 这个算出来， 二倍根号六，再用我们等三直角三角形等积法， ab 等于 c、 h 就 算出 af 的 长度了，这时候 af 的 长度，呃，就是 a 到它的距离和 c 到它的距离是一样的，为什么呢？因为它是正方形，我们把对连起来 o 四中点，然后我们把它延长， 延长， 画错了啊， o 四中点，我们知道 a 到它的距离和 c 到它的距离是一样，因为 o 四中点，所以答案也是三分之四的根号三， 一个相似三角形就搞定了啊，这个画长了啊，这个画长了，大家看一下不就搞定了吗？这就是，呃，转点面锯，转点线锯法，如果呢？大家觉得这个方法理解不了的，建议你就用三棱锥的整体锯法做，也挺快的。
39数理化教员
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