二次函数和一次函数交点角45

老师讲一下一线三垂直模型，还有四十五度角存在性问题吧。讲这道题，一个二次函数解析式给我们了，这是他的一般式，这是他的两点式。题目呢，我们读一下 炮线与坐标轴三个焦点， abc 的 坐标是可以求的，炮线上有一个动点屁屁，在运动过程中能否使角 pbc 等于四十五度？如果存在求出点屁的坐标。 审完题之后，你可能会有以下几点疑问。在读完题之后，你首先会想的一定是问题，而不是答案。 你可能会想到这样的一个问题，角 p b、 c 等于四十五度，它是什么意思？该怎么用？我该怎么利用这个条件呢？如果你是七十分的学生，你可能会接着往下想哦，那意思就是说在点 b 处做一个四十五度的角， 比方说这个角是四十五度，那这个角呢？与抛物线的交点是点 p， 那 么角 p b、 c 就是 四十五度，那么这个四十五度的角该怎么做呢？ 可能想到这里你就不知道该怎么办了。那如果你是一百分的学生， 你可能会想到做四十五度角的核心方法是构造等腰直角三角形，也就是以 bc 为直角三角形的一个边， 构造等腰直角三角形。那接下来构造的方式有哪些呢？是一种还是两种还是多种呢？接下来我们要考虑的就是这个等腰直角三角形有几种情况。 如果你有转化的思想，那这个题就可以转化为已知一边要构造一个等腰直角三角形，要讨论几种情况， 我们可以考虑到，我们可以用直角边和斜边为划分依据，为划分成两个情况，那么我们要使角 b 是 四十五度，就可以这样去讨论。 那么如果是 bc 是 直角边，角 b 是 四十五度，我们可以画这样一个直角三角形，那么这个边和抛物线所交的点就是点 p， 因为角 mbc 是 四十五度，所以角 pbc 也是四十五度，我们求出 p 的 坐标就可以了。它的第二种情况是在下边做一个直角三角形，等腰直角三角形 mb 和抛物线所交的点 p， 我们也可以简单的知道 pbc 是 四十五度，求出点 p 的 坐标即可。第二种情况， bc 是 斜边勾到的，是这个直角等腰三角形，点 p 呢？在这里。 第二种情况，这个等腰直角三角形在下方，因为 m b， c 这个角是四十五度，我们也可以延长 b m 交于点 p 角 p b， c 也是四十五度，我们分成直角边和斜边，这两种情况有 相同点和不同点，相同点，经过分析， mp 这个斜率它是一致的，那这在这个图里呢， mp 的 斜率 它也是一致的， p b 的 斜率相同，点 p 的 坐标是相同的，也就是说我们的结果是相同的。不同点呢，就是第一种情况，它的计算量更加的小。 第二种情况，计算量更加的复杂，因为计算量它体现在什么呢？点 m 的 坐标好不好？求 mp 这个直线好不好得到这道题，如果按照这种方式去做的话，点 m 的 坐标是比用下方这个方式，它点 m 的 坐标是好求的，所以它的不同点就是这个方法更加的简单。 那么接下来我们要做什么呢？我们知道了关键点呢，就是要把 bc 当做直角边来做这个等腰直角三角形。那么我们这两种情况 接下来该怎么办呢？如果没有思路的同学，那接下来就不知道该干什么。如果有思路的同学，他知道我们要求点 p 的 直线方程 与炮线进行连力进行求解即可。我们要想求直线方程，知道点 b 的 坐标，我们求出点 m 的 坐标就可以了。那怎么求呢？有思路的同学可能就卡在了这里， 那如果说既有思路又有方法的同学，他可以想到我们可以用一线三垂直模型来求点 m 的 坐标，那到底该怎么做呢？我们得到了这道题的解析思路，通过一线三垂直模型求出点 m 的 坐标， 进而求出 mb 的 直线方程，进而与抛物线连力求解解出点 p 的 坐标。所以说我们接下来过点 m 作 m， n 垂直于 y， 轴垂直于 n， 角二加角五等于九十度，角四加角五等于九十度，所以角二等于角四，这两个角是相等的，角一等于角三， mc 等于 bc， 这是我们做出来的，所以这两个三角形是全等的， a a s， 进而我们推出 m， n 等于 c， o 等于二， n， c 等于 o， b 等于四，进而我们能够得到 m 的 坐标是二六， m 的 坐标和 b 的 坐标都有，求出直线 m b 的 斜率，进而求出直线 m b 的 方程。将直线 m b 的 方程 和抛物线让它相等，求解得出 x 一 等于四， x 二等于五， 这就是直线和抛物线他们的交点的横坐标。点 b 的 坐标是四，所以点 p 的 坐标是五，点 p 的 坐标是五。 接下来该怎么办呢？我们刚才求出了 mb 的 直线方程和抛物线连立，这个计算过程就给大家省略了，求出两个值，一个 x， 一 是四， x 二是五， 接下来该怎么办？我们应该能够想到， x 一 等于四，他就是点 b 的 坐标，那么 x 二等于五呢？他就是点 p 的 坐标，那这个坐标我们能够取到吗？ 那这个地方又会有一些同学，他想不明白，他这个是五到底是什么意思？我们再回过头来，我们要的是过 bc 这个线段做一个四十五度的角， 这个四十五度的角和抛物线呢，交点应该是在这个范围，如果说他在点他的横坐标是五，那么点 p 是 不是就落在这里了？ 点 p 落在这里， pbc 它还是四十五度吗？它就不是四十五度了，它是对吧？一百三十五度，所以说 x 二等于五，它应该被我们舍掉，因为我们 bc 这样构造一个四十五度的角，那么他和抛物线的交点，这个点 p 的 范围应该是这一段是零到四之间，他在五处，他到这里了，那他就不是四十五度了。 这个地方要想清楚，接下来该怎么办呢？我们刚才算出了第一种情况，点 p 的 坐标横坐标是五， 由于五在下方，那么 pba 他 pbc 不是 四十五度，所以第一种情况，这个结果被我们舍掉了，接下来我们该怎么办呢？第二种情况，这个图 我们求接下来的思路，还是求 m 撇的坐标，求出 p b 直线方程连立，那么点 m 撇的坐标该怎么求呢？有两种思路，第一种思路，继续用一线三垂直模型， 那这个模型要求我们过点 m 往这条平行于 x 轴的平行线上做垂线， 这两个三角形是全等的，那由此呢，计算出 m 撇的坐标。如果你的思维更加的灵活，我们也可以用借助第一种情况，我们的点 m 的 坐标 把它画在同一个图上，这两个三角形应该是全等的，所以说点 c 是 mm 撇的中点，中点坐标公式写在这里， 我们在用的时候呢，我们进行一个思考， m m 撇横坐标相加除以二是点 c 的 坐标，那么点 m 撇的横坐标是什么呢？他的横坐标就是点 c 的 横坐标 的二倍减去点 m， 所以 说零的二倍减去二。点 m 片的横坐标是负二，它的纵坐标也是 c 的 纵坐标二倍除以减去 m 的 纵坐标， 所以说二乘以二减去六等于负二，所以 m 片的纵坐标是负二。这样呢， 对比一下这两种方法，其实第二种方法更加的简单，所以有的时候多想一步他解析步骤过程都会更加的简单。在求出了点 m 撇的坐标之后，接下来的解析思路是固定的， 根据这两个点的坐标求出斜率，然后用点斜式求出直线的方程，将方程直线方程与抛线方程连立，同时两边乘以六，再移项，可以得到这个式子。接下来我们可能我们可以有两种选择， 第一种选择用十字相乘法，左边呢只能配一和三，右边负二十。可以分成好几种情况，一和二十，二和十，四和五， 我们发现只有四和五，三四十二，他们呢可以得到七， 所以是负四和正五得到这样的一个式子，进而呢得到 x 一 等于四， x 二等于三分之五。第二种情况是用伟大定律方程，它的两个根之和是负一分之 b， 也就是三分之七。 我们已经知道这两个图形的交点，一个是点 p， 一个是点 b， x 二，它就是点 b 和点 p 的 坐标， 它俩相加是三分之七，所以点 p 的 坐标呢，就是三分之七，减去点 b 的 坐标，也就说减四等于负三分之五。 这里的这两个方法，其实韦达定力更加的简单。那通过这个呢，我们可以总结一下，如果说一个一二次方程，我们要进行求解，如果我们已知它其中的一个根，我们可以用韦达定力，因为这样计算更快一点。 接下来该怎么办呢？我们求出点 p 的 横坐标之后，接下来我们要做的就是求出点 p 的 纵坐标。我们也有两种思路，第一种带入直线方程，第二种思路是带入抛物线，它的方程很复杂， 很显然我们的第一种思路是更加简单的，我们代入直线方程，求出点 p 的 纵坐标是负九分之十七。最终呢，我们这个题就可以写答，存在点 p， 使得角 p b c 等于四十五度 p， 点的坐标为负三分之五，负九分之十七，那这个题就拿到满分了。做完一道题，不要着急，接着做新题，你要去总结，你要问自己从这道题中学到了哪些数学思维？ 那么这道题呢，可以学到什么？第一个问题导向，我们做题的过程就是不断的向自己提问，不断的进行回答，提问回答的这样的一个过程， 你要发现出这个题目存在的一些问题，然后进行解答，当这些问题全都回答完毕之后，这个整个做题的思路就很清晰了。 第二个，我们学到的是我们做题要从特殊到一般，做完题要进行总结复盘，从特殊的一道题中提炼出通用的解题方法。比如说我们这道题，我们可以提炼出 做四十五度角，它的核心是构造等腰直角、三角形，而且将我们的定直线作为直角边，它的计算量更加的简单。 第三个，我们学到的要谋定而后动，就是我们要先有一个做题的思路，然后再动笔先打草稿，确保我们方向是正确的。有三点好处， 谋定而后动的。第一个好处，我们思考的角度更加的全面，防止我们一头扎进计算中而忘了分类讨论，漏掉了情况，丢掉了该得的分数。第二个好处，如果遇到一题多解的情况，那我们可以把所有的方法都列出来，预估一下他们的计算量， 从而使用更加简单的方法提高自己的计算效率。 第三个好处，我们先分析解析思路，确保方向是正确的，计算是误，误的话一定能够算出答案， 这样的话我们可以建立对题目的掌控感，如果养成习惯，就可以建立我们自己的答题自信，有助于我们在考场上正常发挥，甚至超常发挥。如果你在学习初中数学的过程中有一些疑问，可以在评论区向我提问。

同学们大家好，今天我们来分享一道黄浦区二模二十四题的第二问啊，为什么今天要把这个题拿出来？因为往往我们二十四题二次函数考的都是一般式和顶点式，但是这个题恰恰用到了焦点式，所以说我们要拿出来讲一下，大家来看一下啊。 那么这个题目呢？它给了我们一个一次函数的一个式子啊，它说它交于了 x 轴， y 轴 a b 两点，那这个大家很好求的啊，当 y 为零， x 为零的时候能得到两个值， 把 ab 给它画出来，把一次函数画出来，这个时候他第二问，他说了，这个时候有一个 c 点在 x 轴上溢于 a 点，那这个时候 c 可以 在这，是不是也可以在这？如果 c 在 这 朝下的，如果 c 在 这，它是不可以朝上的啊？好了，他给了一个要求，他说的是 c 到 ab 的 距离相等，求抛物线的表达是大家想什么时候 c 会到 ab 的 距离相等，嗯，是不是必然要在它的中垂线上，这个时候我们来画一条中垂线啊， 这个点到两点距离相等，一定要往周垂线上来考虑啊。那这个时候大家就会发现 x 轴上的点是不是就在这？这个 c， 这个时候 c 点距离 b 点和 a 点的距离是相等的。那好了，这个时候大家想啊， c 在 x 轴上，我们是不是可以设它为 m 零，我们通过 a 点的坐标和 b 点的坐标，我们可以通过 c a 到 ab 的 距离相等。大家来看啊， ca 是 不是等于 cb 啊？大家， c a 等于 c b， 大家来看 c 和 a 的 距离比较好，做了正减负哦。三减 m 是 不是加上一个负的就是一个正数，等于这边 c b 的 距离，两点距离公式根号下 m 减它的平方 m 方，加上它减它的四的平方。好了，这个时候大家通过这个式子两边平方大家可以求出 m 的 值， m 我 们可以得到等于负的六分之七。 好了，这个时候你得到了 m 的 值，我问大家， c 点的坐标是不是就出来了？ m 这里负的六分之七零。好了，这个时候大家注意啊，我们的交点式可就要出现了，我们来复习一下交点式啊。 y 等于 a 倍的 x 减 x 一 和 x 减 x 二，那这里的 x 一 和 x 二代表的是不是就是这里的这个 x 轴上的一个坐标啊？那这个时候大家带进去 y 等于 a 倍的 x 减这个减负的六分之七就是加 六分之七， x 减三是直接减掉啊。好了，这个时候我想问一下，你们在二次函数抛物线上， a 点用到了， c 点用到了，焦点是 b 点是不是还没用把 b 点代入它里面，你们看零四， 零四，你们是不是就能求出 a 的 值啊？那么这个时候 a 我 们就可以求出来 y 等于负的七分之八， x 加六分之七和 x 减三。好了，这个时候它的抛物线就出来了，但是这个时候它并不能作为最后的结果来使用哦，我们一定要把它拆开，变成这个样子，一般式 才是我们最终答案，因为焦点是是让我们来做题的，而最终结果一定要用一般式来表达，大家学会了吗？

这道题主要是一个二十函数的一个多积分问题，我们来看一下这个题，首先他给我们一个图像嘛，然后问我们下一节问正确是什么？那我们先看这个图像，从这图像上我可以得到他的开口向下，所以 a 小 于零， 左同右异，所以右异嘛，所以 b 大 于零，然后它在 y 轴的正半轴，所以 c 也是大于零的。那我们再判断一下， a 是 负的， b 是 正的， c 也是正的，那就是两正一负，所以小于零，所以第一个选项是正确的。 第二个选项 m 为任意实数，则 a 加 b 大 于 a， m 方加 b m， 那 这个是第二个选项，我们给他的两边先一起加上个 c， 先给他补充一个完整的形式。 补完 c 之后呢？这个是 a 加 b 加 c， 那 就用特殊指法 x 等于一嘛，那 x 等于一，我们观察一下，是不是这个二次函数的顶点 x 等于一，是不是在顶点，那顶点大于等于这个 a m 平方加 b， m 加 c， 而且 m 是 任意实数，所以是没有问题的。 然后第三个二， a 加 b 等于零，那这个就是用对称轴来做嘛，那就负的二， a 分 之， b 就 等于一，然后 b 等于负二 a 嘛， b 等于负二 a 的 话，所以二 a 加 b 就 等于零了，所以第三个选项也是正确的。 第四个选项三， a 加 c 小 于零，那我们前面不是得到这个 b 等于负二 a 吗？我们把这个 b 等于负二 a 给它带进去，就带回二次函数里面去，那会得到 y 等于 a， s 方 减二 a， s 再加 c。 那 我们思考一下，我们这里要怎么样才能凑出这个三 a 加 c 呢？是不是当 x 等于多少等于负一时嘛？是不是？那它的 y 等于什么呢？是不等于 a 加二， a 再加 c 再加 c 啊？那 y 是 等于三， a 加 c， 那 y 等于三， a 加 c， 它 s 等于负一，是不是？那我们找它负一在哪？那根据我们二三的对称去，你看这个三到这个一的长度是二，是不是到对称的距离是二， 那对称过去的是不是就是负一？所以负一是不是应该在这个位置？那负一在这个位置的话，它找下来的这个 y 值你看是不是在这里？所以是不是小一点的？ 所以三 a 加 c 是 小于的，所以第四个选项也是正确的。然后再看一下第五个选项，那么第五个选项的话，它是这个 a 加 c 的 平方大于这个 b 的 平方，那这里怎么处理呢？ 嗯，我们来观察一下这个图像，它等于负一的时候，它的就是当 s 等于负一的时候，它的 y 是 不是小一点？那所以是不是意味着 a 减 b 加 c 是 小一点的？然后当 s 等于一的时候，它是得到 a 加 b 加 c 是 不是大？它的 y 是 大一点的吗？因为它的 s 等于又乘到顶点的位置吗？是不大一点的。那这里我是可以得到 a 加 c 是 小于 b 的， 然后 a 加 c 是 大于负 b 的， 那意味着什么呢？意味着负 b 就是 a 加 c 是 夹在负 b 跟 b 之间，那你既然它夹在负 b 跟 b 之间的话，说明这个 a 加 c 的 平方是不是 要小于这个 b 方？所以这个第五个选项就是错误的，所以答案一共有四个，所以选 c。

二次函数里常考的题行为你顶点与交点组成的三角形，判断其形状。常规解法，先算每条边长，再用勾股定律判断。 等你算完，学霸已经上高中了，今天教你一个学霸会用的判断方法。二次函数 y 等于 x 平方加 b， x 加 c 的 图像与 x 轴相交于点， a、 b 顶点是 c。 判断三角形 a、 b、 c 为直角三角形， 当戴尔塔等于十二三角形 a、 b、 c 为等边三角形，当达尔塔等于三分之四三角形 a、 b、 c 为角， a、 c、 b 为一百二十度的等腰三角形。 看一道真题，当二次函数的图像与 x 轴交于 a、 b， 两点零点为 c， 且戴尔塔等于十二，则角 a、 c、 b 的 度数为。这道题直接给了戴尔塔值， 那我们就得知三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，那么角 a、 c、 b 就 等于六十度。学会了做两道题巩固一下。

同学们大家好，今天学员想要给你们分享的是二次函数与一元二次不等式恒成立的问题。这张解好，做这种题目，首先技巧就是如果你题目里面问到怎么样让这个函数恒大于零，这个时候我们要自动判断恒大于零的情况下，就是开口向上，然后这个的塔是小于零的。为什么这么理解？你看如果它恒大于零， 这个的塔小于零的话，是不是没有没有任何交点，也就是离开这个离，离开这个 x 轴吗？那我们上一节课说到刁塔，刁塔就是 b 的 平方减四 a c 吗？这个时候如果它小于零，没有任何交点，那它是不是恒大于零，那和小于零也是一样的情况，和小于零开口向下，那也是一样的，是刁塔小于零的时候，他才不会碰到这个 x 轴吗？好， 也就是横小于零的情况下，开口向下得它也也是一样，小于零的，那它就是 b 的 平方减 c a c， 我 们一定要记得怎么去算好，如果定义域 r 情况下，就是如果任何时数都可以的情况下，我们第一步先判断它的开口向上还是向下，第二步再去算这个判别式。 好，我们来看一下第一道题目，不等式 x 平方减二， x 加 m 大 于零，对任意实数 x 横成立，我们求 m 的 取值范围。好，我们首先第一步是什么？优先判定开口是不是？那我这道题目很明显啊，这个 a 是 大于零的，就是二次项系数是大于零的，它是开口向上，我们判断完之后，其实图像就是长这样。 好，然后再算这个判别是 a 等于一， b 等于负二， c 等于 m， 然后的塔等于 b 的 平方减四， a c， 也就是最后算到结果是四减四 m， 这个结果好，然后这个的塔要怎么样？开口向下的时候的塔是小于零，是不是？那这个也是小于零，所以四减四， m 小 于零，最后 m 负四， m 就是 小于负四啊，我们这里重复要编号，这个记住了， 所以最后 m 大 于一。好，这个时候我们 m 的 取值范围就已经求出来了。好，我们来看下一道题目，不等式负 x 平方加 a， x 减一小于零，解集为凹，求 a 的 范围是多少。好，我们这道题目看见，首先第一步要干嘛？看不到开口的方向，那很明显现在这里是负数，是不是？所以这个题目我们这也是开口向下的。 好，开口向下也就是长这样，不，不会碰到这个 x 轴的。好，我们遇到这种情况下，我们依旧先找出 a， b， c， a 是 等于负一，我们 b 是 等于 a， c 是 等于负一。好，这样子，然后我们再把这个第二塔算出来， 我们依旧是负 a 的 平方减四，嗯，这里最后算到是 a 的 平方减四。好，然后我们再令这个雕塔小于零，雕塔小于零，嗯， a 的 平方减四小于零。这种情况我们就用到之前学的不懂事，大两边小中间，这也是小于嘛。我们先把这个是假设，它是等于零，算出来先， a 的 平方等于四，那 a 是 不是等于负二或者是二，负二或者是二，算出来了，这一就是小中间嘛。把那个负 a 放这边，把 a 放这边。好，所以我们答案就说的是负二到二 a 的 范围。好，我们接下来看下一道题目， 已知 m x 加四， x 加三大于等于零，对一切实数 x 横乘，以求 m 的 取值范围是多少？好，我们这种题目除了横乘以问题，我们还多了一个什么未知的系数，是不是？那这个题目上我们就要分类去讨论了，分成两种情况，第一个就是 m 等于零，第二个就是 m 不 等于零嘛，如果，如果这个 m 等于零的话，那这个不是二次函数，我们就没办法算。 这个时候我们就把这个第一种情况先写下来，如果 n 等于零的时候，怎么样？这个式也照写下来嘛？照写下来，那我们是不是算到 x 是 有范围的？这个时候我们是不是不可以对一切的实数 x 都恒成立啊？它必须是有这个限定条件的，所以这个怎么样是不符合条件的，我们可以直接这样子算出来，不符合不符合这个条件。 好，我们就看第二种情况，就是 m 不 等于零， m 不 等于零的时候，这个这个是，这个是，就是二次函数，因为它的二次项系数还在嘛？好，这个时候我们 a、 b、 c 都先找出来嘛， a 等于 m， b 等于四， c 等于三。好，我们依旧先用到那个 b 的 平方减四 ac， b 的 平方减四 ac， 这个算到最后是十六减十二 m， 好， 这个时候我们他说一切系数一切实数 x 横乘以，横乘以，也就是无论什么，无论什么 x 带进去，它都可以乘以，它是大于等于零的，那这个时候我们这里就可以写什么大于等于零， 因为我们这里是对一切实数的横乘立嘛，横乘立的话，我们这里也包括了等于零这种情况，所以我们这个的塔就不只是小于零，而是可以小于等于零。我们就要看看这个题目，如果它里面包含等于后，我们就可以这里加上等于后的。 好，我们这个题目最后算到这个 m 是 大于等于三分之四的。好，第一种情况不符合条件，第二种情况就符合条件，所以 m 的 取值范围是 m 大 于等于三分之四。好，今天学姐的分享就到这里，希望同学们有收获。

同学们好，今天继续给大家分享一道二次函数的压轴题，中考题里边最后的压轴题。同学们啊，一个大的解答题，已知二次函数 y 等于它 m 为实数， 哎，第一问求的比较简单，我已经删掉了。朋友们啊，我们直接讲后边两位，当 x 大 于等于它小于等于它的时候， y 的 最大值是四，根据这个条件区间最值。问题的朋友们啊，求 m 的 值是多少？ 在这个区间的时候， y 会起到最大值是四。二次函数解析式是未知的，一次项系数 a 大 于零，这个是知道的。这个二二次项系数 a 大 于零是是知道的。一次项系数和常数项里边都含有字母 m， 那么给了我们一个自变量 x 的 取值范围，知道在这个取值范围里， y 的 最大值为四。那么涉及到函数的最值问题的人，或者是取值范围的问题，我们的第一反应一定要是先去求二次函数的对称轴， 那咱们看一看对称轴是多少？用含 m 的 代数式表示就行，因为它的取值范围也是用含 m 的 代数式表示的，所以说不要害怕这个字母 m。 未知，我怎么找取值范围，我怎么找对称轴啊，就用含 m 的 代数式表示就可以给你们啊。 咱先看二次函数的对称轴， x 等于负的二 a 分 之 b 去分母，哎，那个约分，那这个结果就等于二 m 了。显然这个抛物线的对称轴是二 m， 那 再来观察这个自变量 x 的 垂直范围里面，显然它是在对称轴二 m 的 基础上做的变化呀， 这个是在对称轴减了一个三，这个是给对称轴加了一个一，也是顶点的横坐标，一个加一，一个减三。那么这就是在告诉我们，二 m 减三这个点， x 取这个值的时候，他离着对称轴是三个单位长度，在对称轴左边三个单位长度的地方，而他呢，在对称轴右边一个单位长度的地方，你只要比出来远近，我们就能找最大值，最小值啊。 那接下来咱们画一个草图。同学们啊，无论这个 m 是 正的还是负的，这个抛物线都是开口向上的，都是开口向上的， 那么这里是直线， x 等于二 m 了，那显然二 m 减三，离着对称轴有三个单位长度，同学们离着对称轴有三个单位长度，假设说这里就是二 m 减三，它离着对称轴这样远， 这个二 m 加一呢，显然是从对称轴向右数一个格，咱们就给他又数一个，大体上就当这个样子去，这是二 m 加一。 那同学们看一看，只要比出了离着对称轴的远近，那么他对应的那个值也就啊出现了。显然这个很明显，显然是 x 取二 m 减三的时候，他有最大值。四。 取二 m 减一的时候是这个值，取顶点的横坐标的时候，这里是最小值，这里是最大值，这个是不大不小的那个数值 结合图像一目了然。 x 取二 m 减三的时候， y 的 最大值，是啊，四。所以说这就是在告诉我们这个二次函数经过的一个点，那就是二 m 减三四了。 哎，二 m 减三四了，那我们把这个二 m 减三四代入这个抛物线解析式就可以了，那就是二 m 减三的平方减四 m 倍的二 m 减三，再加上一个二 m 加一，它就等于四。了 解这个一元二次方程，就能求出 m 的 数值了。同学们，解这个一元二次方程也非常简单啊，咱展开整理一下啊。这是四 m 方减十二 m 加九，这里是减八 m 方加十二 m 加二 m 啊，这个四我移过来就变成减三了。同学们啊，正一减四，那就是负三了，合并同类项，那就是负四 m 方，这个负十二 m 跟正十二 m 就 没有了，加上一个二 m 九减三是六等于零， 左右两边除以负二。同学们，左右两边除以负二，那么这就变成二 m 方减 m， 再减三等于零了。那解这个方程同学们，用什么方法算？ 那么在中考题里面，同学们啊，解一二次方程的时候，基本上都是十字相乘法，所以说这个题也依然可以用十字相乘法。那你如果不会十字相乘，那你只能用公式法了，你也不要去配方，对吧？因为这个配方一次性，记住配方的话， 你在那个二次性还得化成一，那更麻烦，还不如直接套用公式呢。那套用公式得记住这个求根公式， x 等于二， a 分 之负 b 加减根号下代法 配方吧。咱们看一个怎么做的。同学们啊，二 m 方拆成二 m 乘以 m， 负三拆成负三乘以一， 这个都是试一试。同学们啊，那么它俩乘起来是二 m， 它俩乘起来是负三 m， 那 二 m 和负三 m 相加，正好是中间的这个负 m， 这就说明我们拆对了。 那么拆开了之后横过来写，那就是二 m 减三，乘上一个 m 加一括起来，它就等于零了， 然后二 m 减三等于零， m 就 等于二分之三了， m 加一等于零，这个 m 就 等于负一了，所以 m 一个二分之三，一个负一就 ok 了。这是十字相乘法，等于掌握了十字相乘法，非常的简单啊，比用公式法要简单的多。这是第一位 借助图图像，显然二 m 减三在对称轴左侧三个单位长度处，而二 m 加一在对称轴的右侧一个单位长度处。如果你不看图像的话，你如果知道这个东，知道这个知识点，也可以。开口向上的时候，谁离着对称轴远，谁对应的 y 的 值就大， 谁离着对称轴近，谁对应的那个 y 的 值就大。 就是你如果理解抛物线的这个呃，增减性的话，直接用就可以，直接一看就知道二 f 减三的时候，它的最大值是四，那么如果不会不理解的话，就画图像，用图像来解决。同学们啊，再来看第二位， 也就是压轴题的第三位了。同学们啊，第一位我已经删掉了，点 o 零点 a 一 零说这个抛物线与线段 o a 不含端点，不经过 o， 不 经过 a， 恰有一个焦点，就根据这个只有线段 o a 只有一个焦点。让我们求一下 m 的 曲值范围，求一下 m 的 曲值范围，那显然求 m 的 曲值范围。同学们， 要借助于这两个点的坐标啊，借助于这两个点的坐标啊，那咱们再来画一下这个草图。同学们，那么无论这个抛物线是这个对折轴 m 二 m， 它是正还是负，但是它始终是开口向上的。同学们啊，开口向上的，咱先找到 o a 这个线段，这是 o， 这是 a， 那么他说这个抛物线始终与这个线段 o a 只有一个交点，咱们来分析一下，看一看。同学们啊，对于一个交点，那现在我画的这个就只有一个交点，是吧？那么这个时候，咱们看一看， x 取零的时候，对应的那个 y 显然是负的，同学们，对不对啊？ 那这个 x 取一的时候呢？咱们再往上看， x 取一的时候，显然对应的那个 y 是 正的呀。在这里呢， x 取一的时候，也就是说 x 取零和 x 取一的时候，他俩这两个 y 肯定是一正啊，一负， 那有的就是你这样画，我要这样画呢，这样画也是一样的道理啊，这样画也是可以的，这个样子也是，那显然这个取零的时候，他这个 y 是 正的，而取一的时候，他那个 y 就 变成负的了， 能看不看在图像上，哎，如果画成这个样子，那显然 x 取零的时候，那个 y 是 负的，是正的， 取一的时候，那个对应的 y 又成了负的了。也就是无论这个抛物线是在偏左一点还是偏右一点，它只要与 o a 有 一个交点，那 x 取零和一的时候，对应的 y 总是啊，异号的。同学们啊，总是异号的。那接下来咱们就根据这个来解决这个问题，来解决这个问题。 来秀山看一看， x 等于零的时候，对应的那个 y 等于的是二 m 加一，那 x 等于一的时候，再来看， x 等于一的时候，他对应的那个 y 又等于的是一减四 m 加二 m 再加一合并同类项， y 等于的就是二减二 m。 也就是说， x 等于零的时候， y 是 它， x 等于一的时候， y 是 它，它俩总是一正一负，对此，我们就可以来解列不等式组了。同学们， 那如果二 m 加一要大于零的话，那肯定二减二 m 就 小于零了。那如果二 m 加一要是小于零的话，那二减二 m 肯定就大于零。了解这两个不等式组，我们就能找到最终 m 的 曲值范围。同学们， 每个不等式子的剪辑都合适啊，这个不等式子的剪辑是一个范围，这个不等式子的剪辑又是一个范围，这两个范围都可以的啊。实际上这个问题非常的简单，就借助于图像我们就能发现， 如果抛物线与这个线段只有一个交点的话，那就是 x 等于零的时候，一个 y 的 值， x 等于一的时候一个 y 的 值，那两个 y 的 值恰恰是一正一负，组成两个不等式组，求 m 的 取值范围就 ok 了。希望这个题目能够帮到大家。

一次函数的坐标轴焦点问题是八下数学的必考题型，也是一次函数里面的经典考法，很多孩子呢，一做就错，那是因为他们不懂得利用解析式去求拮据。那今天呢，林老师就用最简单的办法，教你两步解决这类题， 学完之后，再把林老师给你整理了一次函数八大题型，拿去整理巩固一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分！好，我们来看题，如图， 直线 y 等于 k， x 减二， k 加三， k 小 于零与 x y 轴分别交于 ab 两点哈，分别交于 ab 两点，然后让你求 o a 分 之二加上 o b 分 之三的值。 那这道题的特点就是，它给的一次函数呢，是含参数的，然后最后要你求的是跟截距有关的一个表达式，所以这道题呢，我们要优先把截距给它求出来。那么你想想看，要求这个 o a 和 o b 呢，是不是相当要求 a 的 这个坐标呀？ 对不对啊？它的横坐标就是 o a 的 长度，然后呢， b 的 这个重坐标就是 o b 的 长度，所以这道题就变成了，我们需要去想办法求坐标啊。那么我们观察一下这个 a 点， 它是位于 x 轴上，那么如何求直线和 x 轴的交点呢？非常简单，我们只要令 y 等于零就行了，因为这个点呢，它的纵坐标是零，所以我们令 y 等于零，然后把这个零呢带进去，你就可以得到 零等于 k， x 减去二 k 加三。所以呢，我们一个项就可以得到 x， 是 等于这个二 k 加三移过去变成二 k 减三啊，然后再除以 k， 然后这个 x 呢，其实也就是 o a 的 长度， 对吧？好，同样道理，我们要求这个 b 点啊，这个 o b 的 长度就是去求这个 b 点的纵坐标，那么我们只需要令，因为在 b 点是 x 轴为零，那就是令 x 等于零，我们就可以得到。 此时的这个 y 等于什么呢？把零带进去，那就等于负二 k 加三，然后这个负二 k 加三呢？它其实也就是 o b。 好， 那我们有了 o a 跟 o b 的 表达式之后呢？再带到这里来，你看，我们就可以求了， 所以 o a 分 之二，加上 o b 分 之三，它会等于什么呢？你看 o a 在 这里是这个数，那我们就把它带进去，变成二 k 减三分之二 k， 然后呢，加上 o b 分 之三，那 o b 是 这个 负的二 k 加三分之三。好，那接下来我们只要化简这个式子就是答案了。好，我们来化简一下， 二 k 减三分之二 k， 然后呢，这里是负二 k 加三，我们只要把这个符号提取出来，变成减去 二 k 减三分之三。好，那这个时候分母已经一样了，我们就可以把它进行这个合并，二 k 减三，分子分母一样，所以最后答案是，一搞定，你学会了吗？

哇，会做这道题，你已经可以秒杀大部分初创生了！给出一个二次函数图像，点 p 是 抛物线的一个动点，当这两个角相等的时候，让我们去求点 p 坐标。这是一道非常典型的二次函数与角度相等结合的中考 y 主体，这里其的核心解题思路为角相等，那么它们的正切值也相等。 点 p 坐标如何进行计算呢？因为抛物线解析式已知，我可以求出 a、 b、 c、 d 四个点坐标，又因为点 a、 点 b、 点 d 是 定点，那么我可以先计算贪吃的角 a、 b、 d， 那 么我们只需要过点 d 做 x 处，垂线垂足为点 e， 点 e 坐标轻松可求出为一零。那么在直角三角形 b、 d、 e 中，贪吃的角 a、 b、 d、 e 等于它的对边 d、 e 比差零，边 d、 e 也就是四比二等于二， 也就是弹球的角 b、 c、 p 等于二。这样我们就完成了第一步，求出来这个角的正切值。接下来我们需要进行的是第二步， 把角 b、 c、 p 放到一个三角形里面，那么这三角形应该如何去做呢？大家注意以下两点，第一点，找已知点。第二点，做自垂。那么已知点点 p 和点 b 这两个点中，点 b 坐标已知是三零，而点 p 是 一个动点。所以啊，这里的已知点应该是咱们要找的 点 b 压一个注意点，找到已知点之后，需要把这个已知点当成垂足，那么也就是我需要过点 b 做 bc 的 垂线，同时延长 cp 相交于点 m。 好， 这样的话，咱们的直角三角形已经构造完成。 在直角三角 b、 c、 m 中，摊直的角 b、 c、 p 等于它的对边 b、 m 比邻边 bc 等于二。 那我接下来大家注意观察到这里有两个直角，咱们很容易可以想到去构造一线三垂直，接下来过点 m 做 l 轴垂线，这样画一左一右出现了两个三角形，我们可以非常简单的利用两角对应相等，正出这两个三角形相似。 好，既然相似，那你的对应边就成比例。刚才已经提到 b m 比 b c 等于二，也就是 b c 比 b， m 为一比二，那么 o c 比 n b o b b c 比 m， b 都是一比二。再结合顶 b 点 c 坐标，我们可以求出 b， n， m， n 都等于六。最终我们求出来此题的一个关键点，点 m 坐标为九六。接下来问题啊就非常简单了， 点 c 坐标一致，点 m 坐标一致，点 p 是 直线 c m 与抛物线的交点，所以接下来我只需要去求 c m 解析式只有三分之一， s 加三。最后一步，将直线与抛物线解析式连立， 我们可以求出两个答案， x 一 为三分五， x 二是零，这个零呢，就是点 c 的 坐标，我们需要把它给舍去，也就是点 p 横坐标为三分六五。最后我们把点 p 坐标为三分六五，九分的三十二搞定，收工， so easy！

同学们大家好，今天学员想要给你们分享的章节是二次函数与一元二次方程的关系，这章节通常在考试里占三到五分，有可能会出现在选择题、解答题或者说填空题里面，都有可能出现属，属于是一个比较全面的一个题型，所以同学们一定要去重视 好。首先就是我们同学们耳熟能详的一个第二塔，第二塔等于 b 的 平方减四 a c， 其中这个 b 的 平方减四 a c 是 和式子，你可以直接把它记住就可以了，它是大于零，大于零的时候呢，方程就有两个不相等的实数根，同时呢，它这个图像有两个交点 好，然后这个德塔等于零的时候呢，是有两个相等的实数根的，然后只有一个交点，这个一定要记住了对应好。然后当德塔小于零的时候呢，图像是没有，就是没有实数根，也没有交点的， 也就是这个方程是没有解的好。还有一个非常非常重点的一个定律，我们一定要牢记住，因为考试的时候经常有同学会忘记或者说用错颠倒了。 好，首先这个尾答定律的话就是，若方程两根为 x 一 x 二好，如果它们两个相加就是负二， a 分 之 b， 负 a 分 之 b， 我 们不要跟那个对称轴就是搞捆了哦，同学就是会把这两个搞捆了，这个 x 等于负二， a 分 之 b， 我 们不要把这两个搞捆了。 x 一 加 x 二，这个尾答定律， 两个根加在一起是负 a 分 之 b， 但是对称轴是负二， a 分 之 b， 我 们一定要把它搞清楚，然后他们两个相乘的话，就是 a 分 之 c， 好， 我们一定要记住，如果同学们有需要可以截个图，我们后续也可以讲到相关的题目。 好，我们来看一下第一道题目，判断抛物线 y 等于 x， 平方减二， x 减三，与 s 总有多少个交点？好，我们这种求交点的题目我们怎么样？首先是不要求求这个的塔。好，我们首先先把这个 a、 b、 c 找出来，我们这个应该同学们一一眼就能看出来了。好， b 的 平方减四， a、 c， 我 们一个的一个带进去， 分到的是四加十二等于十六，所以这个逗号塔是大于零的，大于零的时候我们怎么样？有两个焦点，是不是？你看我们要对应上这个东西有两个焦点，所以我们第一道题目有两个焦点，同学们答的时候可以答完整一点。 好，我们来看下一道题目，已知抛物线 y 等于 x， 平方减二， x 加 m 与 x 轴只有一个交点，求 m 的 值。好，我们这里怎么样？他已经告诉我们有一个交点了，那什么情况下有一个交点？同学们看上面这里的塔等于零的时候，是不是有一个交点？好，这个时候我们就还是先把这个 a， b， a， b， c 找出来， a 等于一，是不是？ b 等于负二， c 等于 m， 好， 这个时候的塔等于 b 的 平方减四， ac 好， b 的 平方就是四，减去这里是四 m， 好，这个时候我们说只有一个焦点证明这个的塔怎么样？等于零，是不是的塔等于零，那我们四减四减等于零，那 m 等于多少？ m 等于一，是不是？那我们 m 的 值是不是已经求出来了？你看这前面叫你求焦点，我们算的塔，要给出焦点，我们就可以反推他，是的，塔等于零嘛，这个时候我们要举一反三的去做 好，我们来看下一道题目，已知抛物线 y 等于 x 平方减四， x 加二于 x 轴交于两点。好，这已经给出一个关键来，交于两点，好，设对应方程，两个为 x 一 x 二。好，我们伟大定律的就用上了哦。这个时候我们怎么样？先把 a、 b、 c 交出来， 好，这个 a、 b、 c 已经找出来，那 x 一 加 x 二等于多少？学姐，前面说到了负 a 分 之 b， 是 不是那 x 一 x 二就是 a 分 之 c？ 好， 我们再把这些通通带进去。 好，这个就是口算就可以得到，这个是四，好，这个是二，同学们可以自己后过去算一下这个，这个相对来说比较简单，但考试一般不会这么直接去问，我们一定要学会灵活去运用， 尤其是注意到上面说的是交遇什么点，或者说有多少个焦点，我们一定要把它认真看清楚哦，而且这个式子不要跟这个对称轴，这个这个式子给搞混了。好，我们今天的课程就到这里，希望同学们有帮助哦。

今天一起来给大家分享一个二次函数行仓的必考题，我们一起来看一下。如果抛物线 y 等于 x 的 平方加 b， x 加 c 于 x 轴只有一个公共点，且过点 a， m 多少 n， b m 减八多少 n， 问我们 n 的 值为多少？ 关于二次函数含差的题，有很多同学他是没有思路的，所以在这里啊，我们要记住，做这种题型第一步我们要先去分析这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，我们一起来看一下。 因为 y 等于 x 的 平方加 b， x 加 c， 所以 我们知道他开口方向一定向上，那么对称轴我们能不能在这个题目找到来呢？ 可以啊，因为 a 和 b 它的外值都是 n， 对 称轴它是找两个外值相同的点的横坐标相加除以二，所以在这里我们知道对称轴它是等于二分子 m 加上 m 减八，那么我们把它算出来是等于 m 减四。 既然对称轴是 m 减四，它跟 x 轴只有一个交点，所以呢，我们可以把这个二次函数用交点四去给它表示出来。怎么表示呢？它对称轴是 m 减四，跟 x 轴只有一个交点，所以它的顶点坐标是一定是 m 减四，逗号零。 这个时候啊，我们就可以把这个二次函数给它表达成一个顶点式， y 等于 x 减去 m 加四括号的平方， 那么把 a 点带入，我们能得到什么？就是 n 等于 m 减 m 加四的平方，是不是直接算出来等于十六，所以这里算出来啊， n 就 等于十六，看起来没有失落的一个题啊，大家一定要学会去抓住这个题目里的题眼，抓住它的关键信息来帮助我们解题。

同学们好，今天继续给大家分享一道中考压轴题，二次函数的最值问题，那么这个问题呢，就是我把第一位已经给他 解出来了，也就是第一位就是让我来求二次函数的解析式，告诉了一些点的坐标。求二次函数解析式，还有求 bc 的 解析式，这些呢都比较简单，我已经提前把这些解析式写好了，咱们主要来研究它这个最值的问题。同学们啊， 这里这个一个抛物线解析式已经知道了，直线 bc 的 解析式也知道了，然后与 x 轴的两个焦点，一个 a， 一个 c， 知道点 b 的 坐标，知道点 c 的 坐标， 那么知道这两个点的坐标就是为了求 bc 的 解析这一面啊，我已经提前求出来了。然后 f 是 bc 上的一个动点，过点 f 做 y 轴的平行线，和抛物线产生一个交点 p， 再过点 p 向这个直线 bc 做垂直，垂足是 e， 就让我们来求一下三角形 p， e， f 的 周长的最小值，周长的最小值那么出现在了抛物线里边。同学们，这个三角形周长的最小值，显然这就不是将你一码的问题，这是构建函数关系式找最值的问题。 那么你就观察一下，既然 f 是 动，点 f 在 动，那屁肯定也在动，那么在抛物线或者是一次函数里边出动点的问题的时候，我们往往都是先先把这个动点的坐 标是 m， f 在 bc 上动，那么点 f 的 横坐标是 m， 那 它的纵坐标就是 m， 加一了。 那点 p， p 和 f， 它是平行于 y 轴的，所以它们俩的横坐标是相同的， p 的 横坐标也是 m， 那 它的纵坐标就是 m 方加六， m 加五了， 那么接下来咱们就求一下这个 p f 的 长度。 f p 的 长度， 那么竖着的铅垂的线段，它的长度就是用上边的那个点呢？纵坐标 m 加一，减去下边这个点吧。纵坐标减 m 方减六， m 再减五， 合并同类项， p f 的 长度就等于负 m 方减五， m 再减四，哎，这就是铅垂长度的最大值。实际上在现在我们已经可以求了， 求 p f 的 最大值显然是一个开口向下的二次函数，那咱求一下 p f 的 最大值，看一看是什么平方啊？那显然就是 m 等于负的二 a 分 之 b， 也就是等于负的二分之五的时候，这个时候 p f 会有啊，最大值，哎， p f 的 最大值是多少？把负二分之五带进去就可以了，负二分之五带这来，这就是负的四分之二十五，加上一个二分之二十五再减四， 这就是四分之五。十四分之二十五再减掉一个四，那就是四分之十六，二十五减十六就是四分之九了，所以 p f 的 最大值是四分之九， 那么这是涉及到动点问题的朋友们，咱们通常情况下要把这个动点的坐标给他设出来，然后去表示，用同一个字母去表示这个铅垂线段的长度。那如果这个题让咱们来求 p f 的 最大值，那其实这个时候 p f 在 就是这样来求就可以了。 那么他们求的不是 p f 的 最大值，而是三角形 p f 的 周长的最大值，那这个最大值怎么来求？那我求这个 p f 的 最大值里面，其实就是为了来求这个周长的最大值， 那接下来实际上求周长的最大值的问题里面，其实就是让我们来求 p f 的 最大值啊，就是转化了一下而已，你只要找到 p f 的 最大值了，这个周长的最大值就找到了， 实际上求周长的最大值就是求 p f 的 最大值，而 p f 的 最大值怎么求？构建函数关系式设动点的坐标，把 p f 和横坐标 m 的 解析式找出来， p f 的 最大值就来了。 那么接下来咱们来看这个 p f 的 最大值有了怎么求这个周长的最大值。同学们啊，那接下来咱们看一看点 b 的 坐标，同学们他给我们提供的是 做垂直点 b 的 横坐标，这里是负四，而点 c 的 横坐标是负一，显然这个线段的长度它是三了， 而点 b 的 纵坐标是负三，点 b 的 纵坐标是负三，所以这段长度也是啊，三了。显然这个三角形这里形成的是一个等腰直角啊。三角形， 四十五度，四十五度，其实光看这里面咱们也应该知道它是四十五度。 y 等于 x 加一， y 等于 x， 实际上就是一三象限的角，平分线加一呢，就是向上平移了一个单位长度，这里是一， 所以说这些都是四十五度的啊。那么看这里，咱们也能判断这是一个大母腰直角三角形，既然这是四十五度的角，那显然他们这里是平行的，对吗？这是平行的，所以这个角也是啊，四十五度， 但是四十五度这里垂直，这里也是四十五度。所以说三角形 p e f 实际上就是一个小的等腰直角三角形，那么这个等腰直角三角形，我让他斜边最大的，那他的直角边也肯定会最大呀， 斜边最大是四分之九，那根据勾股定律，我们就可以去求 e p 和 e f 的 最大值了， e p 等于一个 e f 就 等于四分之九，除以一个根号二。用三角函数求的这个东西啊，你也可以勾定点，设它是 x， 它也是 x， x 方加 x 方就等于四分之九的平方开出来，那就是 e f 和 e p 的 最大值了， 因为他最大了吗？斜边最大，那肯定直角边就最大，那么找到了这个斜边和直角边的最大值，那么加起来就是他这个周长的最大值了。那么这个题里面实质上他考察的依然是一个铅垂高度的最大值的问题， 那么铅垂高度的这种线段怎么来找它的最大值？首先就是设出两个动点的坐标，用这两个动点的坐标去表示铅垂线段的长度。构建新的二次函数啊，关系式，借助于二次函数关系式找最值就 ok 了。 哎，这就是怎么求这个三角形的周长的最大值的问题，实际上就是求一个斜边 p f 的 最大值， 那么把斜边最大值求出来，除以根号二，就是直角边的最大值，然后加起来就是周长的最大值了，把这个数整理一下就可以，也可以固定的去求，希望这个题目能够帮到大家。

初中数学的分水岭就是从一次函数开始的，很多同学到初三发现自己二次函数反比例函数学不动根，全在这了，一次函数的基础没打牢。今天凡哥两节课带你从定义图像到解析式和焦点问题，一 步步带你填坑，每个知识点都会给大家带例题讲解，需要电子版讲义可以免费分享给大家。那我们今天来看一下我们一次函数基础这块内容啊。 我们可以看到一次函数基础这其实分为三个部分，那么每一部分对于我们的要求就是所掌握的内容它也是不一样。 那么首先第一部分就是我们要清楚一次函数它的一个定义，那么这块要求我们什么要求？我们在学完这里之后，哎，我们看到一个东西我们能够认识，哎，它到底是不是一次函数，也就是我们要需要辨别啊，有一个辨别 这个东西，它是不是依次函数的一个能力，并且呢这里我们还有一个就是我们要通过依次函数它的一个定义能够解决相应的一些参数问题 啊，那么这块就是我们在这里会经常考到的一个内容。那么第二部分呢，就是我们要研究一个函数，那么它的图像 肯定是非常重要的一个内容，那么这块需要要求我们什么？就是我们当了解了知道一个函数它的解析式之后，我们能够画出这个解析式它对应的函数图像，并且呢能够清楚这个图像它所具有的一些特点， 那么同样告诉我们一个图像和这个图像所具有的特点，哎，我们能够通过它能反推出来我们这个函数，它相应的解析式，那么并且呢在这里常考的就是，哎，在解析式里面给我们设置一些参数，哎，那这里是不是也会涉及到一些参数问题啊？ 那么第三个呢，就是我们要有求解析式的能力，并且呢给我们两个直线，哎，告诉他们的一个 解析式，我们要能够求出它的一个焦点坐标，那么当然这块的话属于是我们下一节课的内容，那我们这一节课主要内容就是我们要清楚它的一个定义，那么以及依次函数图像， ok， 那 么这是我们这节课它的一个学习目标。那我们来想一下函数这个东西它描述的是啥？ 它其实就是描述的是两个变量它俩之间的某种关系，我们就称这样的东西它是一个函数， 那你想，那我们研究所有东西都是肯定有它存在的必要的，对吧？那比如说我们现在研究一次函数，那么一次函数在我们现实生活中它是具体能怎么用？那比如说我现在举一个例子， 假如说我现在兜里有五块钱，对吧？然后我每过一天，哎，我都要去攒两块钱，那你想我现在想要描述我兜里的钱跟天数，他俩之间的一个关系，那我可以怎么办？我是不是就可以给他俩描述出来，对吧？列出来，那比如说我现在告诉你，哎，我的钱这个东西 他是一个变量，对吧？那你想他是根据谁的变化而变化的？我口袋里的钱他是根据谁变化而变化，是不就是根据过去的一个天数， 对吧？哎，我是根据过去了几天，哎，我的钱根据过去的天数，是不是他会产生变化？那你想，那现在有了他俩之后，哎，两个变量清楚了，那我们现在是不是就可以去研究哎，列一个表去研究他俩的关系了？那比如说我现在过去一天，那你想一下我口袋里现在有多少钱？ 我看我每天攒两块钱，那现在过去一天，那我是不是就二乘一？那么再加上我最开始口袋里面的五块钱，我是不是就一共有七块钱， 对吧？那同样，那假如现在过去两天呢？那过去两天的话，我每天攒两块，我攒了两天，再加上我刚开始口袋里的五块钱，我是不是一共有九块钱？那同样过去三天，是不还是一样每天攒两块？我攒三天，哎，再加上我最开始的五块，是不一共就有十一块钱， 对吧？那我们是不是可以通过列表的方式来将我们这里的两个变量他俩的关系能够清楚的展现出来？那这就是我们列表法他的一个优势。 那你想那列表法我们就根据目前我们画出来这东西，你能展现出来他的一个局限性是啥？那你想他的局限性无非就是他不能够展现出来我们所有的天数和所有钱他俩之间的一个关系， 那就比如说我现在让你求哎，那第一百天，那第一百天难道你要把所有的前一百天，所有的都列出来吗？是不是肯定列不出来？所以我们列表法它的一个局限性就是 它不能够完整的展现出来我们两个变量之间的关系，所以我们用列表法去表示两个变量的时候，这里就势必会出现，哎，点点点这样的情况，对吧？那你想一下，那我通过什么样的方法？哎，能够改善这里不完整的情况？ 想一下我可以通过什么来改善这里列表法它的一个局限性，那我现在是不是就可以设，哎？我设假如说天数，现在假如是 x 天，那你想，那现在假如说过去 x 天的话，那你想那他的钱是多少？那钱的话，我是不是就可以设？哎，他是 y， 那 么此时 y 这个前数跟我们天这个 x 它俩之间的关系是啥？ 是不就是 y 就 等于还是一样？我们看过去了 x 添，我每天攒两块钱，是不是就是二 x 这么多钱， 再加上我最开始口袋里的五块钱，那么这个东西是不是就描述出来了 x 跟我们 y 它俩之间的关系？而且呢，通过这个式子， 我们可以表现出 x 所有的 x 跟所有的 y 它俩之间的关系，就不像我们刚才列表法这里，哎，我们只能局部的去展示他们的关系，对吧？那你想一下，那除了这个以外，难道它就没有别的用处了吗？ 对吧？那肯定有别的用处，那你想一下，那我现在哎就知道了，已经知道了 x 和 y 它俩之间是满足这样的关系式了，那你想它能够解决什么样的问题？ 那最开始你想我们为什么去设这个 y？ 是 不就是当我们 x 过去的天数足够大的时候，这个时候列表法它就，哎不能够全部展现出来，所以这个时候我们当取一个非常大的天数，哎，我比如说过去了三十天， 那我是不是就可以通过这个式子来表现出来，我经过三十天之后，我到底口袋里有多少钱，对吧？那现在来看一下，现在过去了三十天，我就可以设谁是三十？我现在过去了三十天，我想要求啥？我想再求几块钱，那外表示的啥？外是不是表示的是钱？ 那 x 是 不是表示的是天数？那所以我现在是不是就可以令 x 等于几？ x 是 不是等于三十？那 x 等于三十，我代入到上面这个表达式当中，我是不是就可以求出来， y 是 等于二乘以三十加五，哎，就是六十五块钱， 对不对？那你看通过这个式子，我是不是就可以求出来任意一个 x 的 时候，就是过去任意一天的时候，我口袋里有多少钱？那同样，那还能解决什么问题？那假如说我现在告诉你，哎，我口袋里有多少钱？让你去求到底过了几天，那是不是也可以同样解决这个问题，对吧？那比如说我现在告诉你，我口袋里现在有十九块钱， 哎，我现在问你到底过去了几天？我攒了十九块钱，那这个时候我们是不是就可以令谁？是不是令 y 等于十九？ 那此时另外等于十九的话，那我们是不是同样带到上面这个表达式当中，那我们是不是还可以求出来，哎？十九它是等于二 x 加五的，那也就是说我们解出来 x 就 等于几？ 是等于七，那就表示说，哎，过去了七天的时候，那么这个时候，哎，我的钱它是十九块钱，对吧？那你看这个表达式，它是不就解决了我们两类这样的问题？那你想一下，我们刚才 一直在说天和钱，对吧？一直在说天和钱，那你来看一下这里谁他是自己变化的，谁又是因为别人变化而产生变化的？ 来想一下，这里我们哪一个变量？到底是天是自己变化的，还是钱是自己变化的？是不是天他是自己变化的？所以这个时候，哎，我们称这种自己变化的量，自己变化的量，我们就给他取一个名字叫做自变量。那你想 那钱是因为天的变化而产生变化的，他是不是因为你变，所以我变？所以这个时候我们就给 y 取一个名字，叫做啥？叫做因变量。那我们来看一下，现在我们给 x 和 y 这两个变量取完名字之后，那么来观察一下，那么像类似于像这样的式子，就是 音变量随着自变量的变化而变化的这样的形式，我们就称 y 是 关于 x 的 一次函数，那么当然这块我们来看一下，那为啥说是一次函数呢？是因为我们在这里去表示的时候，哎，这里的 x 也就是自变量，它的一个 最高次数就只能是一次，所以我们这块就称哎， y 是 关于 x 的 一个一次函数。那我们来想一个问题啊，那你想，那我们既然要描述这样的式子，那你想一下，那我们这个式子它的右边就必须得是一个什么形式？ 它是必须得是一个整式，对吧？它必须得是一个整式，那你想，那假如此时我给你描述 y 和 x， 哎，是这样的关系， 那你想它是不是一个一次函数？是不是就不是？因为啥？因为此时 x 分 之一，这东西是不是一个分式？那么它不是整式，所以它就不是一次函数， 对不对？那再举一个例子，那 y 现在等于根号 x 加一这个东西，哎，你看着它好像跟它挺像的，对吧？但是我们看这里出现了啥？这里是不是出现了根式？ 那么出现了根式，同样这个东西他是不是也不是一次函数？所以我们一定要清楚什么样的函数是一次函数，就是说我我们这里表达是他的右边，他得是一个整式的形式，哎，这个时候他才是一次函数， ok， 那 么清楚了这个之后，我们继续再来看， 我们刚才是不是已经给 y 和 x 这两个变量，哎，分别给他俩取了名字了，那你想，那这里的二和五我们是不是还撂在这里没有管， 对不对？没有管的话，那我们把他俩也看一下，好吧？把他俩也看一下，那此时五的话，我们发现他就是一个孤零零的长数，那我们就令这样的长数，哎，我们就给他起一个名字叫做长数项，那么这个二是啥？ 二，是不是我们这个 x 就是 这个依次向它的系数？哎，那么顾名思义，那所以我们就称这个二，它就是依次向系数。那么确定了这个之后，那你想一下，我们为了哎满足一些普遍性的要求，对吧？对吧？当然我们知道所有的函数它不可能都是二和五嘛，对吧？我们就称这个依次函数，它 我们给他要求就是他可以等于 k， 那 么这个长数项呢？我们就令他是 b。 那 你想现在我们设了这个一次项系数和长数项之后，那你来看一下我们现在依次函数他的一个表达式，哎，我们是不是就可以确定了他就是 y 等于 k， x 加 b， ok， 那 么当然我们知道这块 它的右边是必须得是一个啥？是必须得是一个整式，那除此之外，来看一下我们对于这两个常数 k 和 b 有 没有什么要求？ 来想一下我们要保证它是一个依次函数的话，对于这个 k 和 b， 我 们有没有什么要求？那么此时这个 k， 我 们想我们要保证这个依次向它要存在的话，那这个 k 它是不是一定不能等于零呀？对吧？那如果 k 等于零的话，那你想此时式子就会变成啥？ 是不就会变成 y 等于 b 了？那 b 我 们知道它是一个常数，那你看现在整个式子中是不是就只有一个变量？自变量都不见了？所以我们知道这块要保证它是一个一次函数，那这里的 k 就 一定不能等于零，那你想那 k 不 等于零了，那这里的 b 它能不能等于零？ 来想一下 k 我 们说了不能等于零，那 b 能不能等于零，那还是一样的嘛。那我们就假设 b 等于零，看一下呗，对不对？我们假设 b 等于零的话，那你看一下此时是不是就变成了 y 等于 k， x， 对 吧？那 y 等于 k， x 来看一下这是个啥东西？那如果我现在令 x 不 能等于零的话，我把它写成 y 比 x 等于 k， 你 看一下此时这两个变量满足什么关系？它俩是不是就满足正比例关系啊？ 对不对？哎，他俩是不是就满足正比例关系？那你想正比例关系的话，我们要求两个变量之间的啥，是不是他俩之间的商或者是比值，哎，得是一个定值， 那我们就称这两个变量他俩的关系是正比例关系，那我们来举一个例子，好吧，举一个例子，那假设说，我现在告诉你，哎，有一个小汽车，对吧？他在跑，那跑的时候他的速度啊，是一个定值， 也就是他匀速跑，那么他匀速跑的话，那你想他跑过去的路程，哎，跟他跑过去的时间，他俩之间的关系是不是就是这个 v， 哎，这个定值， 对吧？那我们就称 s 和 t， 此时是不是满足我们的正比例关系？那我们看把这个 t 给他乘过去，那我们这个时候是不是得到 s 等于什么？ t 乘 v 吗？对吧？当然这个 v 我 们知道它是一个常数， ok， 那 么 类似形于这样的式子，哎，我们就称它是一个啥？它是一个正比例函数，那么它的形式就是 y 等于 k x， 当然这里要确保它是函数，那么这个 x 是 不是必须得存在，所以要求 k， 哎，同样也不等于零， 那其实我们这里能够发现啊，那正比例函数它其实是啥？它其实是不是一类特殊的一次函数， 对吧？它其实是一类特殊的一次函数，那我们再去研究的话，那是不是还是一样的，对吧？那它特殊，我们是不是得先去研究它？那当然这块我们先去研究它之前，我们先来把前面这块我们学习过的定义，我们来做几道题，来一起感受一下。好吧，那我们一块来看一下 他现在问啥？他问我们下列函数中是一次函数的是，那我们是不是就根据定义去判断一下就行了？那首先第一个来观察一下，这里是不是 x， 它的次数是二，那这明显不是一次函数吗？那这是啥？二次函数 对不对？哎，给他 pass 掉。那第二个呢？ y 等于三， x 加一，那这是不是就是我们刚才说的一次函数的形式，对吧？哎，有自变量，有阴变量，同时自变量，它的系数是不是还不为零？ ok， 那 它是没问题。那三是不是 三的话，你观察一下他的右边是个啥？他右边是不是一个根式？那我们知道要是依次函数的话，他的等式右边必须是个啥？是，必须是一个整式，那所以三是不是也不对？那来看一下四， 哎，四。有些同学看到这里，他发现，哎，那我等式右边是 x 比派，那这出现两个字母，那出现两个字母，那这东西是不是分式？ 来想一下，你告诉我派分之 x 这个东西是不是分式？兄弟们，他就不是分式吗？对不对？他是啥？他是一个整式，为啥？因为我们知道这里的派他是个啥东西？他是不是一个常数？那常数的话，所以我们这里的 k 是 不是应该等于派分之一？那他其实描述的是个啥？他描述的是不是一个正比例函数的 样子，对吧？就是 y 等于 k， x 这样的形式，所以我们看这块四是不是也是正确的答案，是不是应该是二和四？ 再来看一下第二题，他就问下面是正比例函数的式，来看一下正比例函数是啥？那么此时我们知道正比例函数是不是要求我们这个一次函数，这个表达式中的这个 b 他 得怎么样？他是不得等于零，那你来看，首先第一个 他是负一次，那肯定不是，那 b 呢？ b 他 负 x 加二，那这个时候 b 是 不等于零，那所以 b 是 不是也不是？ b 是 啥？ b 是 不是一次函数？ 那 c 呢？ c 是 y 等于二分之三 x， 那 这里那他肯定就是满足嘛，对吧？哎，他是对的，那 d 呢？ d 这里 x， 他的次数是不是出现了二？那所以 d 是 不是也不对？所以这块正确答案是不是应该选 c？ ok， 好， 那么再来看一下这道题啊，是一个关于参数的题目，好吧，他现在告诉我们一个函数，哎，他长这个样子， 他说他是关于 x 的 一次函数，这句话说完以后，你告诉我啥就确定了？他说这个函数是关于 x 一 次函数，也就是说这个式子中 x 它的这个次数 是不就等于一？所以我们这个数是不是得到一个这样的式子？ x 的 平方减三等于一，我们是不是得到 x 等于什么？ x 平方等于四，所以 x 是 不是等于正负二？哎，有些同学在这里说 m 就是 正负二，那你想，那坐到这里之后完了没有？ 是不是肯定没有结束？那你想这块 m 它等于正负二，但是你想这块 m 是 不是同样出现在我们 x 的 系数当中？ 那你想要保证它是一个一次函数，这里我们 x 它的系数是不还能怎么样？是不还不能等于零？所以这里 m 减二不等于零的话，那我们 m 是 不是还不能等于二？那这个时候 m 不 等于二， m 又等于正负二，所以我们这块正确答案是不是应该是 m 等于多少？ 是不等于负二？ ok， 所以 这块一定要去注意啊，一定要去注意。在我们去做函数这块关于概念这块的含餐题目的时候，我们一定要去注意两个点，第一个点是啥？ y 等于 k， x 加 b， 首先要保证它是一次函数，那么这里的 k 是不是一定不能等于零？那这就是挖坑的第一个地方，那第二个地方是啥？第二个地方就是我们说这个一次项啊，它的次数是不是只能是一次？所以关于这两个东西，我们是不是得到了这里的两个方程？那么求解之后，这两个方程， 哎，同时满足的答案，哎，才是我们最终 m 的 值。 ok， 那 么清楚了这块之后，我们是不是还引入了什么？是不是正比例函数？ 那么一次函数是长 y 等于 k， x 加 b 这样的形式。当然我们知道 k 是 不是不能等于零，那么正比例函数是不是也是同样 y 等于 k， x 这个时候 b 等于零，但是 k 是 不是同样也不等于零？ 那我们想一下，我们刚才是不是表示了什么？哎，谁是谁的函数对吧？来想一下，那此时我们知道，哎， y 是 x 的 函数对吧？ y 是 x 的 函数，那为啥是这样的形式？那你想，那如果我现在把 x 哎放在这边，那 y 跑到另外一边，那行不行？想一下这个问题行不行？那去我们再去看谁是谁的函数的时候，要去注意找什么， 还记不记得我们刚才给 y， k、 x、 b 他 们分别取的名字？那这里的 x 是 啥？ x 它是自变量， y 是 什么东西？ y 它是不是音变量？所以我们这块再去描述函数的时候，应该是啥音变量是自变量的函数。 ok， 这块音变量是自变量的函数。好，那我们清楚这个定义这块的东西之后，那么接下来就去搞一下我们依次函数它的一个图像， 对吧？那搞这个图像的话，我们刚说了正比例函数它是特殊的依次函数，所以我们这块，哎，先去看一下正比例函数它一个图像。那我们来看现在有个这样的问题， 他说现在让我们画出一个正比例函数 y 等于二 x 他的一个函数图像，那可能有些同学在这块已经学过关于我们依次函数图像的相关内容，对吧？但是我们现在先抛开那个东西，我们先不管，那我想我们再去研究任意一个函数图像的时候，我们都需要经过哪几步？ 那比如说，哎，我们再去研究 y 等于 x 平方，或者是 y 等于 x 三次方，就类似于像这种我们没有学习过的函数的时候，我们要去研究它的图像应该经过哪几步。那首先第一步我们看这里出现了两个变量，我们是不是得知道两个变量它俩之间存在某一样的关系， 那这样的关系我们是不是就可以通过列表的方式？哎，我找到一堆 x， 再找到这堆 x， 它所对应的 y， 对吧？那找完之后，那你想一下，此时我们在列表中是不就会形成一堆的有序数？对，那么这些有序数对，如果表现在我们函数就是在我们这个坐标系当中， 这些有序数对就会成为什么。比如说我现在啊，就告诉你这个东西，对吧？我现在是 x 和 y， 我 令 x 等于一啊，那 y 是 几？ y 是 不就是二？那么这个一和二是不就是一个有序数？对，那我现在要把它表示在我们的坐标系当中，你想一下这是啥东西？ 这是不就相当于是我们坐标系中的点吗？对不对？告诉我们这个有序树，对，它其实表现在坐标系中，是不就是点？那所以我们列完表之后，得到这堆有序树，对，我们是不是就可以利用这些树？对，哎，去在坐标系中描出来点了， 那描完点之后，我们最终研究的是啥？研究的是它的图像，所以我们是不是肯定要用平滑的曲线去将这些点连起来，看一下最终这个图像长什么样子？ ok， 所以 我们看一下这块。我们研究任何一个函数图像的话，都要经历这三步，就是首先列完表之后，哎，去把我们的有序数。对，在我们的坐标系中啊，把它点给它描出来，描完之后通过 平滑的曲线，哎，将它们连起来，最后去看它的图像长什么样？ ok， 那 么首先还是一样第一步，对吧？我们先把这个表格给它列出来另外一个表之后，那你想，那我现在是不是就可以取任意对 x， 根据这个关系式找到 x， 它所对应 y 的 一个数值， 那我现在令 x 等于负二，那你想一下，那负二带到这个式子中，我是不是可以得到？ y 是 等于负二的， 那我们是不是还可以带？哎， x 是 零，那 y 是 零， x 是 一， y 是 二，那么 x 是 二的话， y 是 不是就是四？那你看一下，我们现在得到了这五个有序数，对，那把它表现在我们的坐标系当中，是不是就相当于我们现在知道了这样的五个点， 对吧？那么知道了这样的五个点之后，那第三步，那我们是不是肯定要用平滑的曲线，哎？把它们连起来，连起来之后我们发现它其实是个啥？ 他其实是一条直线吗？对不对？那你观察一下这条直线有什么特点？你可能，哎，现在发现，哎，这个直线我好像看不出来啥特点，那我们想一下，那我假如说我把这个正比例函数，我给你现在写成 y 等于六 x， 或者是 y 等于七 x， 那 你告诉我这两个函数跟这个函数， 他们的图像必然会经过哪一个点？是必然会经过我们原点零零这个点呀？那你想，虽然这个时候我们知道 k 它的曲值发生变化，就会导致我们 x 变的话，那 y 会得到不一样的值，但是此时我们如果令 x 等于零的话， 我们要令 x 等于零，你看这里所有的函数，它是必然都会得到，哎， y 也是等于零的，那这里的 y 是 不是同样也等于零？所以我们知道正比例函数它的图像是一条直线，并且呢，这条直线还怎么样？是不是一定通过我们的原点， 对吧？他一定是一条过远点的直线，那你想一下，我们现在已经清楚了，哎，他的图像是一个直线，那我们想要确定一个直线，我们需要确定几个点的坐标，我们要确定一条直线，我们只需要确定几个点就可以了， 是不是两个点确定一条直线，对不对？两个点确定一条直线，那你想我们现在已经清楚正比例函数他是一定通过远点的， 那所以我们现在要想去画一个正比例函数他的图像，我们只需要再找几个点就可以了。兄弟们， 两点确定一条直线，我们现在已经确定他一定是通过原点的，所以我们现在是不是只需要再找一个点，我们就可以确定一个正比例函数他的图像了？ ok， 那 么在之后我们再去画正比例函数图像的时候，哎，我们就不需要 找一堆点了，那这个时候找到另外一个点是不就可以了？来我们一块练一下，那比如说我们现在要去画 y 等于 x 这个函数的图像，我们知道他一定是通过原点的，那这个时候我们再找到另外一个点是不就可以了？那另外一个点我令 x 等于一， 那 y 等于啥？ y 是 不是也等于一？那此时这个函数他过一一这个点，那么此时画出来的这条直线是不就是 y 等于 x 他的函数图像， 那同样，那 y 等于负二分之一， x 呢？那我现在是不是可以令 x 等于多少？ x 是 不是等于负二？那么此时 y 就 等于几？ y 是 不是就等于一？那么它通过这个点的话，哎，我现在连接这两个点，那画出来的这条绿线是不是就是它的函数图像？那同样 y 等于负三， x 呢？ 那我是不是就可以令 x 等于几？ x 是 不是等于负一？那么此时 y 带进去之后，是不是可以得到？ y 是 等于三呢？那么这个函数它通过这个点，哎，我连接这两个之后，那我此时是不是也能够得到？哎，这个函数它的图像，那我来看一下。那现在我们清楚了函数图像之后， 那你来观察一下，我们发现，哎，不同函数它的图像好像长的样子也不一样，那你来告诉我，那具体决定它们图像长的样子是根据谁来决定的，是不？我们会发现，哎，这几个函数它的 k 值 是不一样，那不一样的话，导致我们最后函数它的图像呈现出来的结果也是不一样的，所以我们这个时候是不是要去研究一下，哎，那这个 k， 它这个东西，它到底是怎么样去影响我们函数图像， 对吧？哎，我们要去看一下这个过程是为什么？那还是一样，我们分成两幅图，对吧？那你来看一下这两幅图出现的函数有什么区别？首先左边的话，我们观察到这两个函数它的 k 值是怎么样？是不是大于零的，对吧？右边这两个函数它的 k 值是怎么样？ 是不是小于零的？那你来观察一下 k 大 于零和 k 小 于零影响什么？它是不是 k 的 正负其实决定了我们这个函数图像它的一个什么走势嘛？对吧？我们看当 k 大 于零的时候，我们发现啥？ x 和 y 它是同增同减的，对不对？所以这个时候我们看这个时候它是不是走势是向上走？ 那 k 小 于零呢？那 k 小 于零就是 x 增大， y 减小，那这个时候它的走势是不是就是向下走？我们刚才在描述走势的时候，其实已经说明了 k 大 于零和 k 小 于零时， y 和 x 它俩之间的关系，我们来看一下。那这个时候当 k 大 于零时，那我们 y 是 随 x 它的增大而怎么样呢？是不是而增大的呀？对吧？你来观察一下，你看这个时候我们 x 它是不是在 x 轴上它这样跑，它在增大的同时，我们看它对应的每一个 y， 每一个 y， 每一个 y， 它是不是也同样在增大呀？对吧？所以这个时候看走势向上走时，我们 y 是 随 x 的 增大而增大的， 那同样研究方法，那我们来看一下，那此时当走势向下时，我们当 x 在 增大的时候来看 x 增大， x 增大， x 增大，它的 y 值会怎么样？来看一下它对应的纵坐标是不是不停的在减小，所以此时我们 y 是 不是随 我们 x 的 增大而减小的，对吧？那么清楚了这个之后，我们又知道正比例函数 他是一定通过啥的，是不是一定通过原点的？所以我们是不是可以通过他的走势大致判断出来这里的正比例函数他的一个位置状况，对吧？那就比如说我现在知道 a k 大 于零的话，那你告诉我这个正比例函数他就一定经过哪两个象限，是不是经过一 和三这两个象限，对吧？所以此时他的位置是不是一定经过一三象限？那么同样当他的走势向下，也就是当 k 小 于零的时候，那么此时这个正比例函数他的位置我们是不是同样也能够确定， 哎？那他就是通过第二和第四象限，对吧？是不是通过第二和第四象限？那么现在我们看 k 的 正负，哎，我们发现他其实是影响的是我们这个函数他的一个走势，那你看，那现在我们就算当 k 大 于零时，哎，我们发现这两个函数图像，他是不还是不一样， 对吧？还是不一样？那你看他俩具体啥不一样，是不是他俩的倾斜程度是不一样的吗？对不对？我们来看这里，假如我画两个斜坡， 那明显这个坡比这个坡是不是更陡一点，对吧？那这个坡相较于这个坡是不是更缓一点？ 那怎么样区分缓和陡呢？陡就是说他更贴近于谁，他是不是更贴近于数值方向，而我们缓呢？ 缓是不是就相当于是这条线更倾向于我们的水平方向？ ok， 那 我们来看一下，那这块我们清楚了，抖缓之后，那你来观察此时我们 y 等于二 x 这个红色的函数图像，它是不是明显比这条黄线更抖呀？那你来看一下它俩的抖缓是跟谁有关系？ 是不是跟我们 k 值的大小有关系？我们看这里二大于一，所以这里的红线它是比这条黄线更倾斜的，对吧？那我们看抱着这样的理论，那我们想，哎，总结出来之后，那我们再来看一下这块，好吧，再来看一下这块图像，那这个图像的话，你观察 这块是负二分之一，这块是负三，那我们知道负二分之一它是大于负三的，那为什么在这里我们负三，它所对应的这个函数图像，它比我们 y 等于负二分之一 x 更陡呢？ 来想一下，这块其实影响我们函数图像，它倾斜大小与否，应该跟谁有关系？是不应该跟我们的 k 的 绝对值有关系，对吧？那我们看这个时候绝对值负三，它是大于绝对值负二分之一的， 所以我们看负三 x 这条函数，它所对应的图像是不是比我们负二分之一 x 这条函数图像更陡，对吧？那陡和缓，它其实说的是啥？我们直接在图像里面来观察一下， 那陡和缓其实就是看我们 y 随 x 变化而变化的那个程度是否更剧烈，对不对？我们来看一下现在还是一样这两条线，我们看 当 x 等于一的时候，它所对应的外值一个点在这，另外一个点是不是在这？那你看 x 如果增大一个单位，那你来观察一下，此时我们 y 等于 x 这条函数 对应的点是不是在这个位置，对吧？那么 y 等于二 x 这个函数，它对应的点是不是在这？那你观察一下 y 等于二 x 这个函数，它所增长的量是不是应该是 这部分，对吧？而我们 y 等于 x， 它所增长的量是多少？是不是 这部分？那明显我们二 x 比 x 它增长的就更多嘛，对不对？那来看一下这块，我们是不是还清楚了，其实 k 它的一个绝对值，它影响的是啥？影响的是我们函数图像的倾斜程度，那么既然它影响的是我们函数图像的倾斜程度，那我们看这块，我们知道在之前我们学习正比例关系的时候，我们称这个 k 是 啥？ 是正比例系数，对吧？那我们之后就可以称这个 k 它其实可以表示啥？它其实可以表示我们这个函数它的一个斜率，对吧？就是倾斜的 这个程度嘛，对吧？就是倾斜程度就可以来去表示我们 k 它的一个值，那我们来稍稍的总结一下，好吧？稍稍的总结一下，我们来看正比例函数，它的样子是不是等于 y 等于 k x， 对 吧？那我们知道影响它函数图像的其实是谁？ 是不是 k？ 当然我们知道这个函数图像它是一个啥？它是一条过圆点的直线， 那么具体影响这条直线它的位置是不是就跟我们的 k 有 关系？当我们 k 大 于零时，我们知道此时这个函数它的图像是不是向上走的，也就是它经过一三象限， 对吧？那你想，那此时当 k 小 于零的时候，它是不是就是向下走的？它经过二四象限，对吧？并且呢，我们还知道 k 的 绝对值，它其实影响的是啥？影响的是我们这条直线它的一个倾斜程度，对吧？我们就写个斜。 那所以我们来看一下，假设这条直线它是 y 等于二 x 的 话，我们来讲一下，那此时 y 等于六 x， 这个函数它的图像应该长什么样子？它所表示的函数图像是不是一定比我们这个函数它的图像更怎么样？是不是更陡？ 更陡的话就是更贴近于我们 y 轴方向，所以此时 y 等于六 x， 这个函数图像是不是应该大致长这个样子， 对不对？那你来想一下，那我们现在假设这条直线啊，它的函数图像是 y 等于负 x 吧？好吧， y 等于负 x， 那 你想一下，我现在假如说让你画出 y 等于负二分之一 x 啊，这个函数的图像， 那这个函数图像应该长什么样子？那你看负一和负二它俩的绝对值谁大？是不是它大？那也就是说这个函数图像是不是应该比它更怎么样？是不是更缓？那更缓的话就说明它更贴近于我们水平方向，那此时这个函数它是不是应该长这个样子 图像？那我们现在清楚了这个之后，哎，接下来我们就一起练习一下啊，我就是画一下正比例函数的草图，那么草图是啥意思？就是他不一定完全正确，但是他能表现出啥？表现出，哎，这个函数图像他的一个特点就行了， 哎，他只要能表示出特点就行了。那你来看一下现在呢，我们先画一下 y 等于 x 和 y 等于负 x 这两个函数的图像。那你想一下，我们要画它的话，我们是不是只需要再确定一个点就行了？ 那我们令 x 等于一，那 y 是 不是就等于一？那此时这个函数图像过这个点，那这条直线是不是就长？哎，这个样子 对吧？那看 y 等于负 x 呢？我令 x 等于一，那 y 是 不是就等于负一？那这个函数它是不是过这个点？哎，那我看现在画出它函数图像是不是就长这个样子，对吧？ 那画完之后来看一下为啥要去画这两个东西？那你想一下我们画出来之后，这两个东西它是啥？ y 等于 x， 它是不是一三象限的角分线？ y 等于负 x， 它是不是二四象限的角分线？那有了这个东西之后，我们就相当于有了啥？是不是有了参考了？那这两个东西如果作为参考的话，哎，我们现在去研究一下这几个函数， y 等于二 x， y 等于二分之一 x， y 等于负三， x 和 y 等于负三分之一 x， 哎，我们来研究一下这几个函数它的图像应该长什么样子？来想一下， 我们现在有了他俩做参考之后，那你看 y 等于二 x， 这个二是不是比我们这里的一要大？那所以这个函数它的图像是不是应该比我们 y 等于 x 这条图像应该怎么样？是不是更陡一点？那更陡一点，那你看 y 等于二 x， 它是不是应该长？哎，这个样子大致 啊，草图啊，记住是草图，就是能表现出来它特点就可以了，对吧？那这就是 y 等于二 x， 那 你来看一下，那 y 等于二分之一 x 呢？那是不是明显要比这个直线要怎么样？是不是更缓一点？那更缓的话，那我们看，那这个时候 y 等于二分之一 x， 我 们就来画一下， 它是不是就大致长这个样子？ ok， 好， 那画完之后，那再来看一下，那底下这两个呢？底下 y 等于负三 x， 那 你看一下，那此时这个 k， 它的绝对值是不是应该是最大的？ 所以它的函数图像是不是应该比我们 y 等于二 x 这个函数图像还要怎么样？是不是还要抖一点？那所以它要更贴近于我们 y 轴方向，那所以它是不是应该长这个样子？ 好，这是 y 等于负三 x， 那 你来看一下，那最后这个来， y 等于负三分之一 x， 那 负三分之一它的绝对值是不是这里面最小的？所以它是不是应该表示的函数图像应该是最跟我们 x 轴贴近的那条直线，对不对？那这个时候来咱画一个更缓的，哎，那就这样缓， 好吧，那这样一画，那这样一画之后，他是不是就是 y 等于负三分之一 x， ok， 那 我们看一下这块其实就是要要求我们什么 要求我们知道一个函数它的解析式，哎，我们要能够大致的画出来这个函数图像，它所能够呈现在我们坐标系中的一个特点， 那么它的特点是啥？首先就是它的一个位置，它到底是通过一三象限还是通过二四象限，是不是根据我们 k 值它的一个正负决定的，对吧？那其次它的倾斜程度与否，是不是就跟我们的 k 绝对值是有关系的？所以之后我们再拿到一个函数之后，哎，我们就可以 大致的在我们图中哎去画出它的一个位置，那么当然这块的话，我们是不是需要 y 等于负 x 和 y 等于 x 这两条线作为一个参考去画，那么来练习一下，好吧？比如说我现在给你画一个坐标系， 这是圆点，这是 x 轴，这是 y 轴，我现在让你画 y 等于六 x 这条直线它的一个函数图像，你想一想这个时候应该怎么画？那首先我们要想一下，那我们哎先去把 一三象限就是 y 等于 x 这条参考线，哎，给他画出来，画出来之后我们知道六是大于一的，所以这条直线是不一定比我们这条红线要更，怎么样？是不更陡一点？那更陡一点的话，哎，他是不是就大致出现这样的样子，那这是不是就是 y 等于六 x？ 那 现在我们假如说需要画 y 等于负六 x 呢？那你看此时我们发现这两个 k 值怎么样？ 他俩的绝对值是相同的，那也就是说这两个函数他俩的图像应该怎么样？是不是斜率是相同的？倾斜程度是一样的，只不过唯一的区别是啥？一个是正，一个是负，那么这个正走势是向上的， 这个负，哎，走势是向下的，所以此时我们画 y 等于负六 x 他的函数图像时，我们是不是就可以？哎，给他对称过来，他就大致长 这个样子，对吧？那这就是 y 等于负六 x， ok， 那 我们接下来还是一样啊，做几个题型，来一块感受一下，好吧，首先第一个题，它告诉我们说，函数啊，这个东西 是一个正比例函数，来告诉我这句话它说明的意思是啥？这个函数它如果是正比例函数的话，是不一定要求，哎，我们这个 x， 它的次数五减 m 方，它就一定得等于一，而且呢，我们 m 加一 作为我们一次项的系数，它是不还不能等于零？哎，这是第一句话，他说啥？他说这个图像经过第二和第四项线， 那这个东西它说明啥？哎，一个函数正比例函数，它的图像经过二四象限，那么也就意味着它的 k 值是不是一定是小于零的，对吧？那么这个东西它是不是要求了？哎，我们这里的 m 加一不仅不等于零， 而且还怎么样？是不是还小于零？那来看一下，那这个时候我们就能得到啥？第一个式子，我们能够得到 m 方，它是等于四，那 m 是 等于正负二的，对吧？那 m 加一不等于零，那也就是说 m 是 不等于负一的，同时呢， m 加一小于零，那是不是 m 还要小于负一？ 那通过这几个我们是不是就知道此时 m 的 值，它就是负二，对吧？那再来看一下第二个， 第二个它告诉我们说，若正比例函数 y 等于 k x， 它的函数图像经过一负三这个点，那则这个函数的图像必然经过。那你想一下，它都已经告诉我们这个函数中的一个点了，那它还通过原点，那你想我们现在是不是就可以画出它的函数图像了？ 一负三在哪？它是不是大致在这个位置，对吧？它大致在这个位置，那此时这个函数图像是不是就长这个样子， 过原点和这个点，那你看一下他现在过谁？是不是就第二和第四象限，所以是不是选 b？ 哎，问题结束， ok， 好， 那我们来再看一下下面这道题目，他现在告诉我们说，正比例函数 y 等于 m 的 图像经过这个点，啥意思？ 一个函数的图像经过某一个点，那就说明这个点在函数图像上，那其实这里的函数表达式，它其实是不就表示的这个点，它横纵坐标之间的关系， 所以我们之后看到点在直线上，哎，我们就可以直接干嘛见点就给他代入，那代入之后我们是不是可以得到？哎，负四是等于多少？是负 m 方的，得到 m 方等于四，那么 m 就 等于啥？正负二， 对吧？然后他现在又说啥？他说 y 是 随 x 的 增大而减小的，那其实说明我们这个函数它的走势应该什么样子？ 是不是应该是向下的，对吧？哎， x 它在增大的时候， y 在 减小，所以这个时候函数图像是不是长这个样子？那也就是说我们的 k 值是不是应该是小于零的？那 k 值小于零来看一下 m 应该等于几？ m 是 不是就等于负二， 对吧？那来继续底下这个，他告诉我们说这个点，哎，在第一和第三象限的坐标系的夹角平分线上， 这啥意思？那一三象限的角平分线是谁？是不就是 y 等于 x， 对 吧？他说这个点 a 在 这个直线上，那我们怎么办？还是一样见点就给它代入就行了，对不对？我们是不是可以得到三？ m 减一就等于二， m 加三， 那我们解这个方程是不是可以得到 m 是 等于四的，对吧？这两个题目还是比较简单。第一， ok， 那 来最后看一下这道题目吧，他现在告诉我们说，哎，在这个坐标系中，对吧？告诉了我们四个正比例函数它的图像，现在问我们这些系数 a、 b、 c、 d 这四个字母它的大小，那我们首先来观察一下这两个函数， y 等于 c， x 和 y 等于 d， x 它的走势是啥？是不是向上走的？所以我们是不是肯定能够得到 c 和 d， 它俩是大于零的， 对不对？那你看 b 和 a 嘞， b 和 a， 它的走势向下走，所以 b 和 a 是 不是一定是小于零的，对吧？哎，这个大小关系，我们看 y 等于 cx， 它比 y 等于 d， x 这条函数图像怎么样？ 是不是更陡一点？那更陡的话，是不是说明我们 c 的 绝对值要大于 d 的 绝对值？那他俩是正数，我们是不是可以得到 c 是 大于 d， 哎，同时大于零呢？ 那继续来看，那这里呢？这里呢？ b x 它所表示的函数图像比 ax， 它的图像要怎么样更陡？所以这个时候我们知道，哎，绝对值 b 是 大于绝对值 a 的， 但是我们想一下，此时 a， b 是 啥？是负数，所以绝对值大的反而怎么样？是不是反而小？那这个时候我们是不是可以确定 b 和 a 是 这样的关系？那这俩关系一结合，我们是不是就可以确定最终是啥？ c 大 于 d 大 于零，大于 a， a 它又大于 b， 所以最后我们的答案应该是啥？是不是应该选择 d 项？ ok， 那 来看一下这道题。哎，其实还有一个非常非常好玩的解法，那我们来想一下，我们现在来观察一下这四个函数。好吧， 那你想一下，我们现在要研究的是 a、 b， c、 d 之间的大小关系，那我们可以通过怎么样？哎，就可以在这里面得到 a， b， c， d 的 大小？ 下一下，那这个时候我是不是只要令 x 等于一的话，那此时这个 y 是 不是就是 a， 这个 y 就是 b， 哎，这个 y 就是 c， 这个 y 就是 d， 那 其实说的是啥？也就是说这四条函数图像，它们跟我们 x 等于一，这条直线， 他们的焦点其实表示的就是这四个字母，那你看此时跟我们 y 等于 c， x 他 俩的焦点，那这个点他的纵坐标是不就是 c， 那 么这个点是不就是 d， 那 这块呢？是不就是 a， 那 这里就是 b 吗？那这样的话，你观察一下，那这里他们的大小关系是不是一目了然？ b 最小， a 次值，然后 d， 然后再 c， 所以 最后就是这个 b， a， d， c， 哎，也是 d， ok， 那 我们来看一下吧，今天我们是不是哎，把我们正比例函数它的图像我们已经会掌握了，对不对？来看一下，那这里其实它的走势是跟谁有关系的？ 它的走势向下，哎，还是向上，是不是取决于我们 k 值，它的一个正负，对吧？我们这儿再多说两句啊， k 大 于零，那它就往上走，对吧？那么 k 要是小于零， 它就往下走， ok， 那 么它们的平缓程度或者是倾斜程度是不是跟我们的 k 绝对值有关系？ k 的 绝对值越大，哎，那么我们的函数图像就越陡，那么它越小的话，是不是函数图像就越缓？ ok， 那 么清楚了这个之后，我们来看一下我们这节课学习目标都完成了啥？首先我们 是不是掌握了一次函数它的一个定义，哎， y 等于 k， x 加 b 是 不是它的一般形式？那么当然这里我们要要求它是一个一次函数，是不是这里的 k 是 必须不等于零的？ 同样它的一个特殊形式是不是就是我们的 y 等于 k， x 这是啥？是不是一个正比例函数？那么同样这里的 k 是 不是也是不等于零的？那么清楚了它们的定义之后，哎，我们这里再去研究函数图像的时候，我们是不是首先研究了这个特殊的正比例函数它的图像，那么它函数图像的一些特点 总结起来就是啥？就是一个过圆点的直线，并且呢跟谁有关系？是不是跟我们的 k 值，它的大小正负有关系， ok， 那 么这就是我们这节课的内容，兄弟们。

每天一道压轴题，今天我们要讲的是二次函数角度问题中四十五度角的一个处理。好，我们来看这么一道题， t 是 第一象限抛物线上的一点， c， b， g 等于七十五度，求记点的坐标好，我们可以看到这个二次函数 y 等于负二分之一， x 平方加二分之五， x 加三。 看到这个二次函数，我们首先想到的是要把一些交点给它求出来啊，那我们发现 b 点的坐标呢，是零三， c 点的坐标是六零，这个就不让大家去求了，我们直接得到。 好，现在 g 呢，它是一个动点啊，但是这个满足 c， d， g 等于四十五度角。好，我们把这个类型呢叫做定点定角问题。 好，可以看到这个角都是固定的，另外它这个角呢，所在的顶点也是一个定点，所以叫定点定角好。处于这种问题，我们的思路是什么呢？就是依靠三垂直， 我们知道在学几何模型的时候，有一线三垂直全等和一线三垂直相似。好，我们现在处理四十五度角用到的也是这个模型，因为四十五度角它只有放在直角三角形里面，它才能派上用场，所以现在我们要做的呢，就是去构建直角三角形， 那到底是在哪里构建呢？是过 g 点去构建直角三角形还是过 c 点呢？啊？我们的答案呢，一定是要过定点去做怎样直角三角形啊？因为这个 g 点它是一个动点，所以我们要过的是 c 点啊，那到底是这样做 还是说这样做呢？啊？答案是我要过 c 点做垂直于 bc 的 直线啊，然后我再延长 b， c 这样交于点 h 应该是这样来画出的，然后你就会发现，我过 h 做一条垂线，垂直于 x 的 垂足，假设是这个一点， 那现在你就会发现这个 b、 a、 c 这个直角扇形跟谁相等呢？哎，对的，跟 c、 e、 h 相等。好，我们看一下它们的一个线段长度， a、 c 是 不是也是六啊？ 好，然后 b、 a 是 三，那 c、 e 是 不是也是三？如此我就可以得到 h 点的坐标啊， h 点坐标应该是横坐标为六，加三是九啊，中坐标是不是六啊？ h 点坐标是九六。好，那 h 点坐标求出来了， 依靠的就是这个一线相，垂直相等全等，然后我们就可以得到。什么啊？这个 b、 h 的 一个解析式，是不是啊？我们算出来应该是 y 等于二分之一， x 加三 得到 bh， 表示我目的是求基点坐标，我们看到基点，它是 bh 这条直线与二次函数的一个交点，所以接下来我们只需要连力啊，这个 bh 的 解析式与二次函数的解析式就可以了。 好，连力得到解除。这个方程我们就不讲了，大家记住这个思路啊，我们利用的是一线三垂直 啊，去构造等腰直角三角形啊，你看这个 b、 c、 h 是 不是一个等腰直角三角形啊？好了，今天的压轴题就讲到这里，我们明天继续。

作为名校的压轴，我觉得出卷老师是非常仁慈的，这道题目同学们是完全可以拿到满分的。首先在第一问上，第一问上直接带 你看这个是不是给你个送分呐？那同学们看到这个问题的时候，我觉得第一问是完全不能拉开差距的， 第二问的时候呢，有那么一点点小差距，为什么他总有傻子，他会往里面带？他不知道是被谁蛊惑的啊。我再跟大家说一下，你遇到这个问题的时候，下次再往里面带的时候，我要打你屁股了啊，就 直接应该是这个样子，这个样子。他是 k， 他 是 k， 他 是二，他是二。加 b， 我 们说过很多次，只要是一样起的，只要是一样起的把，麻烦你把他们俩加在一起就是对称轴，看清楚了吗？好， 你看不清楚，戴个高倍望远镜，使劲看啊，看清楚啊，考试之前认真看都是来得及的。二 a 分 之 b， 所以 应该是长这样，所以 b 呢？也就等于负二，对吧？你看我这就傻瓜式的操作，你说你们不会，怎么可能， 也就是 x 平方减去二， x 减去四，好了，你再把二带进去，也就得到了这个 k 就 等于负四。结束收工，到手了，到手了，别嘚瑟啊，最后一问最后一问。最后一问也很简单，超级简单，来，我们一起来 往这边写写啊。下次再遇到这个问题的时候，你要有个大局观，就是你在打仗的时候，你一定要把自己当做一个将军，你要会布局，你看他问的是什么？问的是什么？问的 曲直范围跟谁来的？跟他来的从上到下。麻烦你阅读理解阅读一下，啥叫阅读啊？ 阅读跟这个改卷老师沟通一下。出题老师沟通一下。人家想告诉你什么？想告诉你范围的就是他。那我这些都是等量关系，等量关系，等量关系，等量关系，四个等量关系，四个等量关系啊，那我在 初一的时候，咱们在初一的时候就说过这个问题， t 等于一个负的 r 分 之 b， 等量关系全部用连立符号连立起来，对吧？我们要对齐颗粒度。 m 等于什么？ a 减 b 减四， n 等于什么？ 九 a 九 a 加上一个三， b 减去一个四， m 减 n， 它是等于八的。好了，一共有几个位置数？一个，两个，三个， 四个，五个，五个位置数。四个方程一定解不出来，所以他让我求范围，那么我可以用 a b 去表示，用谁表示？用 t 表示。麻烦同学们帮我算一下 a 减 b 等于多少？直接 带呀，带完了之后的话，它是等于一个这个样子的式子啊，就是 t 减一，一加上一个二 t， 那 么这个地方的处理它是有一点小小的技巧的，就是分子分母里面都有的时候，我们一定要把它分离掉。分离怎么分呢？就是把这个 分子里面配的有一个跟他一模一样，这个处理的话，我相信对大家来讲应该说是非常简单的，但是我出于对大家负责任，我必须要把饭喂到你的嘴里，所以他就应该是七减三，有了这样的话，那就结束了。七减一的范围是什么？ 大于一，小于三，所以七减一分之一应该是大于啊，三啊。上面的分子是三，所以应该大于一。小于几，小于几少？小于三对不对？小于三对吧？嗯，那就没了，彻底结束了。没有了，真的没有了。 你再加上一个二呗，也就是三到五， a 减 b 大 于三，小于五，没了， 彻底结束了。你说这个题目你这么分析下来，洋洋洒洒的写下来不帅吗？我觉得是非常帅的，你就是那个考场里面最帅的一匹小马，对吧？又希望同学们真的新的一年马到成功。也不算新的一年了， 就是新的一年中考马到成功。反正我是一个数学老师，说错话也没关系啊，只要咱们的题目收拾的很漂亮，合合逻辑就行了。好了，今天我们就到这里了，同学们散会，给大哥点点关注。