南方新课堂八年级下册数学一次函数

好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。

大家好，我们这个视频来讲一下一次函数与方程而方程组不等式之间的联系。现在我们给 这个一次函数 y 等于二， x 减一， 现在我们知道它与 x 轴的交点坐标是零点五，还有零啊， 假设我把这个 y 变成零啊， y 变成零啊，也就是说它就变成了这样一个方程啊，本来是 y x 减一，现在我把 y 变成零，它就变成 x 减一等于零。 好，我把这个方程方程解出来，那 x 就 等于二分之一，你会发现当这个 y 等于零的时候，这个一元一次方程的解刚好是 这个一次函数和 x 轴交点的横坐标。我们再举个例子看一下， 我们再给一个啊，看这个啊，这个已知数是 y 等于 负二的实减四，现在它与 x 轴的交点坐标是负二零。 同样的，我们当我们把 y 变为零的时候，它就会变成负二， x 减四等于零，我们把这个一元一次方程解出来看一下， 那 x 刚好等于负二，你发现这个一元一次方程这个的解，刚好是这个一次函数 和 x 轴的交点横坐标。所以这样我们就得到一个结论啊， 什么结论呢？一次函数 y 等于 k， x 加 b 与 x 轴的交点横坐标 是一，是一元一次方程 k x 加 b 等于零的解啊，刚好是啊，对吧？ 你你你，这个，你这个的焦点横坐标是零点五，那刚好是二 x 减一等于零这个方程的的解。这个也是啊， 这条线与横坐标交点是负二零，这个横坐标刚好是负二个时间，是等于零的结。啊，有这样的规律啊。 啊，这个是一人一次方程与呃，一一次函数与方程的关系啊。不等式有什么关系呢？我们先把这个隐藏起来啊。 啊？不懂事，看看有什么样的关系啊？ 留这个啊。 呃，现在呢，我仍然把这个一次函数的解释改造一下啊。我把等于 y 改为 我把等于 y 我 改为二 x 减一大于零，看这个不等式它的解是什么？而 x 就 大于二分之一， 或者我改为二 x 减一小于零，我把这个一元一次不等式解出来啊， 移过来 x 就 小于二分之一，你会发现这两个不等式那个端点的值，这个解集的端点的值，它的端点就二分之一嘛。这个解集的端点二分之一，这个端点的值刚好和这个 奇函数和 x 轴交点横坐标是一样的。 也就是说我们其实根本就不用解这个不用解这个不等式就可以可以得到这个 这个不等式的解，那就是那就是。呃，这个不等式的解，这个不等式的解就是 x 大 于二分之一呀。 在右边这部分的图像，它它它都是大于零的。从这里开始，从这里开始，这一部分这一部分图像啊， 这一部分图像往右全部是 y 大 于零的啊，对吧？那往右其实就是 x 大 于二分之一，相反， 从 x 小 于 m g， 往左全部是这部分图像，全部是 y 是 小于零的，也就是这个解的解集啊。所以就可以通过函数图像 相应的函数图像可以得到这个不等式组的解集。 原来我们通过实际解得出结局，现在可以通过一次函数图像得出它的结局，这是另一种思考方式， 是吧？就相当刚才我们那个第一个一样，也是可以根据一元一次函数的， 以 x 轴的焦点横坐标得出一人一次方程的解啊，通过图像得出解。 好，那我们就可以得到第二个，刚才是第一个啊，得到第二个小结就一次函数 y 等于 k x 加 b 与 x 轴的交点横坐标 是一元一次不等式， k x 加 b 大 于零，或者 k x 加 b 小 于零解集的单点值，对吧？从这两个方面我们就可以 你通过一元一次呃，一次函数的图像直接得到相应一元一次方程的解，还有一元一次不等式的解集啊，是吧？ 啊，我们继续讨论它跟方程组又有什么样的关系？我们把先把隐藏起来方程组啊，现在我把另一个这两大家关注这两条，这两条直线有个交点啊， 这两条直线有个交点啊， 这个焦点的红坐标是负的零点七五，重坐标是负的二点二点五，那么这个点的坐标既符合第一个解析式，也符合第二个解析式。 大家再观察这个解析式，它是不是一个二元一次方程， 再观察另一个解析式，它也是一个二元一次方程，如果我把这两个解析式组合成 一个方程组行不行？如果行，它的解是不是刚好就是这个焦点的坐标，我们可以试一试啊，现在我们可以试一下啊。 呃， 一个是 y 等于二 x 减一，一个是 y 等于 负，二 x 减四啊，我们回忆一下啊，二元一次方程组的解是怎么样解的？用代入吧， 把一带入二是最容易的，会加减也可以啊，带入也也可以啊，我用带入吧。那那那就用 x 减一代替第二个方程的 y 了吧。然后得 二 x 减一等于二， x 减四，而负的移过来，二 x 加二， x 等于负四加一， 四 x 就 等于负三， x 就是 负的四分之三，那不是 负的零点七五吗？哎，对的了，你看 y 对 不对啊？谁带进一个方程，求 y 出来，二乘以负的零点七五减一，这个是负的一点五 减一就是负的二点五了。哎，刚好是， 那也就是说把两条直线的解析式啊， 组成一个二元一次方程组，对吧？你会发现这两条直线的焦点坐标刚好是两条直线解析式组成方程组，二元一次方程组的解。 那这个是另另一个发现啊，另一个发现啊， 另一个发现，对吧？两条直线的焦点坐标是由两条直线解析式组成二元一次方的角啊， 好，我们把这节课的小结展示出来，一共有三个方面啊， 第一个是一元一次函数 y 等于 k， x 加 b， 与 x 轴的交点坐标是一元一次方程 k x 加 b 等于零的解啊，也说 可以根据一次函数的图像得出相应一元一次方程的解。第二个一元一次函数 y 等于 x 加 b， 与 x 轴的交点作横坐标， 也是一元一次不等式， x 加 b 大 于零或者 x 加 b 小 于零，介级的断点值 也可以根据一次函数图像直接得出，得出相应不等式组的解。集 三是两条直线的焦点坐标是由两条直线解析式组成二元一次方程组的解。 也说可以根据两条直线的焦点坐标得出两条直线解。一次组成的二元一次方程的解。他们之间有这样的联系啊，谢谢大家。

一次函数与不等式是我们期末必考的题型，而上一条视频，我们讲了单条函数的不等关系，这一条视频呢，我们来讲两条函数的不等关系，求范围。今天我们也找了两道去年的期末的真题，特别是第二道题，是一个难点。我们先来看一下第一个题， 哎，他说这里有两条函数，一个是 l 一 啊，一个是 l 二，那么对应的解析式呢，也给到了，现在呢，焦点也给到了，我们是 m 得四，要求这个不等式的一个解析。 那我们首先第一步呢，依然是转换，但这个地方呢，因为有两个 y， 所以 对 y 呢，要进行标号， ok， 标为 y 一 和 y 二，那这里我们就转换成 y 一 小于等于 y 二。 好，然后呢，我们看啊，无论大还是小，我们第一步依然是找到相等的位置啊， y 一 等于 y 二，什么时候 y 一 等于 y 二呢？肯定是两条函数的交点，就是 a 点， 那从 a 点画一条竖线，这是我们的传统。接下来呢，这个竖线把整个图形分成了左边部分和右边部分，接下来我们要去找一找，哎，哪个图像是符合要求的？这里有个口诀，就是谁大， 随着图像就在上方，就随着 y 大， 随着图像就在上方。我们来看一下啊，先从左边这部分开始，左边这个部分呢，图像这里有一条，这是谁的呢？ l 二，也就是 y 二 的图像，很明显， y 二的图像呢，是在 y 一 的上方，那所以 y 二呢，是大于 y 一 的， 那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 是一样的，所以左边符合要求。那因为这里等号吗？也可以取上等号啊， 好，知道了图像所在的位置，那接下来我们就要看 x 在 哪个范围啊，依然是从这个 a 这个地方， m 开始往左边走，就是越来越小，所以 x 应该是小于 m 的， 但是这不是我们的答案， m 要求出来，怎么求呢？这个地方就是 a 点啊， 它既在这个，也在这个里面，所以我们可以带进任何一个函数里面，但肯定要带入 y 一 里面，因为它是已知的，所以这地方可以带进去啊，就是看到我们的 y 呢，就变成四，看到 x 呢，就变成 m， m 加上三， 所以我们可以到 m 等于一，那所以这个时候呢，我们就小于等于啊，要等号保持一致，小于等于一。这个题我们就选择怎么样呢？选择 d 答案 好。第二个题呢，就是我们的一个难点了啊，他这个地方难在哪里呢？就是他不像第一个左右两边都是完整的给出来的函数，这个呢，他把它融合在一起了 啊，我们来看一下啊，依然是有两个函数， y 等于负二， x 和 y 等于 k 加四。而当这个地方图形上啊，他并没有标注谁是呃，谁是谁的表达式，但我们可以很清晰的判断啊， 这个呢，很明显是怎么样呢？是这个正比例，所以过远点一定是这一条，我们可以标记一下自己， y 等于 four x， 我 们可以把它标为 y 一， 这是 y 二啊， y 一 好，剩余的这条肯定是 y 二的了啊， k， x 加上四，接下来呢， a 点，我们也标记一下这是 m， 这都三，好。 哎，这个时候呢，我们就要注意了，我们一定要先把它移一下向，把它变成像上面这个题一样，两个左右分别为一个 y 的 形式。那这个地方我们观察可以看到啊，这是 k 加四，这里面呢，也有一个 k 加四是完整的， 那另外一个呢？本来是负二 x， 这是加二 x， 我 们怎么办呢？可以移一下向就可以了，就可以把我们的 二 x 移到右边去，就变成负二 x 啦。你看，此时呢，左边就是我们的 y 二，右边呢就是我们的 y 一， 好，依然是转换之后，我们要去找相等的位置啊，就是 y 二等于 y 一 的时候，在交点这个位置画一条竖线。 好，接下来我们去判断左边部分和右边部分哪个符合要求，左边部分看齐，这一个呢，是 y 一 的，这个呢是 y 二的，那很明显， y 一 在上方，那也就意味着 y 一 是大于 y 二的，那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 不符合要求。 我们看右边这一条呢，是 y 二的，这一条呢是 y 一 的啊，很明显 y 二在上方，那所以 y 二大， y 二大于 y 一 啊，因为有等号嘛，我们也保持一致，大于等于。 那所以我们发现啊，右边这个部分符合要求，那么对应的 x 呢，他是从这里的 m 往右边跑的，就是越来越大，那 x 呢，肯定是大于 m 的 啊，求 m 呢，和上面一样可以带入啊，我们带到这里面来啊， 那就是三等于负的二 m， m 等于多少呢？负的二分之三，所以我们这个结论啊，但这要保持一致啊，有等号就要保持一致， x 大 于等于负的二分之三。哎，所以这个结果呢，哈，这个解集我们就写上了。

依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。

大家好，今天我们来学习一次函数与线段交点的问题，做这类题型呢，他的核心思路是通过竖形结合去找临界点，具体分为以下五步。第一步，通过一次函数的 解析，是我们可以确定这个函数图像的一个运动的规律，看他是否过一个定点，或者是一组斜率为定值的平行线，画出图像，找到这个临界点看。第三步， 想像这条直线绕着我们前面所找的那个横过的那个定点旋转，或者作为平行线组平移的话，观察这条直线与线段交点的一个变化过程。 第四步，找到这条直线恰好经过线段两个端点的一个情况，将两个端点的坐标分别带入直线的解析式，解出对应的参数值。第五步，根据题目的要求，有无焦点确定范围，拿一道例题来 具体的看一下，已知一次函数 y 等于 x 减二， k 加三， k 为常数，且 k 不 等零，已知 c 负一，零 d 零五。若干函数的图像与线段 c、 d 没有公共点，这里要注意了，是没有公共点，求 k 的 取值范围。 好，根据上面我们所说的数形结合找零界点，我现在已经把这个图大概的画在了图中。好，大家可以看一下 我们这个函数解析是 y 等于 k， x 减二， k 加三。可以通过分离参数法 y 等于 k 倍的括号， x 减二 加三减 y 等于零，从而令系数为零。 x 减二等于零，三减 y 也等于零，所以可以得到 x 等于二， y 等于三，也就是这个 y 等于 x 减二， k 加三，横过定点 二三，那横过定点二三。我们再来看一下 c、 d 这条线段 是负一、零和零五组成的，这条线段二三过横过定点二三，我们可以看一下，如果现在我随意画一条这样的图像， 好，图中可以看到他这时候是与我们的 c、 d 没有交点的。那随着我们这根直线按照 越来越往我们的 c 点靠近，也就相当于进行一个顺时针的一个旋转，会有一个临界的情况，是这个点和我们 c 点的一个连线， 从而这时候会跟它有一个交点，就是我们的 c 点。那此时呢？当直线 过 c 时，我们可以把 c 的 负一零的坐标带入 y 等于 x 减二， k 加三可以得到 负 k 减二， k 加三等于零，从而负三 k 等于负三， k 就 此时等于一。那我们看一下 k 等于一的时候，正好是这条直线经过 c 点， 那我们可以发现刚开始画的第一条和第二条这两条直线，他是跟我们线段没有交点的，而且这两条直线从图片上可以看出，他的斜率是要比我们经过 c 点的这条直线三要 大的，因为很抖嘛，抖的话斜率就会很大，所以我们是 k 大 于一的情况，它是没有这个交点的。那我们接下来再来看。 好，接下来再来看当我这条直线继续旋转，通过顺时针方向旋转，一直旋转到我们跟 d 有 连线的时候，也就是这一条直线的时候，他跟这条线段也是有一个交点的，是 d， 当直线 过 d 时，我们同时把 d 的 坐标带进去，就是零 负二， k 加三等于五，所以减下来 k 是 等于负一。那我们再来看一下老师现在继续进行我们的一个顺时针的旋转，像现在图片中画出这条， 它是比我们的一线段的斜率要怎么样？要怎么样？ 当这个斜率比我们负一要小的时候，也是没有公共点的，所以我们就是在负一到一的时候他有公共点，而在什么时候没有公共点呢？ k 大于一或者 k 小 于负一十，此时他是没有公共点的。好，今天的视频就录到这里，下期视频我们再见。

八下数学最难的二十二道必考压轴题，全部练会，稳进班级前三！八下数学依次函数综合题二十二道第一 题答案第三题答案 第四题完整版分享！

好，再来看实际问题与一次函数，生活当中也是有很多一次函数类型的问题，那么我们做题应该按照什么顺序呢？你要先将实际问题抽象为一次函数的问题，再把这个一次函数的解析式求出来， 结合图像就可以分析并且解决问题了。来看到这个例题，它的某玉米种子的价格为每千克的种子，那么它的价格是不变的， 如果你一次性购买超过两千克的种子，那么超过的部分他的价格就给你打六折。 他的问题是这样的，写出付款金额，关于购买量的函数解析式，并且画出函数图像，这个呢，书上有答案，我们就直接来看，对吧？因为他是超过两千克价格，就会有另外一种算法，所以呢， 你看他的图像在二之前和二之后是不是长得不一样啊？对不对？好，那么怎么去画这个图像，怎么去算这个解析式呢？那么这个直接从实际问题出发， 前面的两千克对不对？每千克四十元，你现在把这个数量，咱们把它当做 x， 把它的价格当做 y， 对 吧？那么总价格就等于数量乘以单价就是四十乘上 x， 所以 在两千克之前就是 y 等于四十 x， 那写出来了，对吧？注意他的 x 取值范围必须是零到二之间，那么如果说超过两千克呢？怎么算呢？哎，前两千克你超过了两千克，那么前面的两千克你还是按四十块钱每千克去算的， 那超过的部分呢？我们把这个数量当做 x， 超过两千克的部分，你就用这个数量减去两千克，那么 x 减二就是超过两千克的部分，然后超过两千克的部分干嘛呢？单价打六折，四十块钱打六折多少钱呢？ 是不是二十四块钱，所以超过的部分按二十四块钱去算，那么他这个式子就可以写成， y 等于四十乘二，加上二十四乘上 x 减二，对不对？这个二十四怎么来的呢？我们这里写一下，二十四就是四十块钱打六折 等于二十四元，这个二十四元是这么算出来的，对吧？然后你再把这个解析式化简一下， y 等于四十乘上二，加上二十四，乘上 x 减二，那么 y 就 等于八十加上二十四， x 减去四十八，那么这个 y 就 等于二十四， x 加上八十减四十八等于三十二，跟我们书上写的是一样的， 那么你可以分类讨论，那么书上的话，他这里是分类讨论的，去写这两个解析式，那么我们也可以写成分段函数的形式。那么像这里你把这两个结果写在一块，这个就叫分段函数。 分哪两段呢？是 x 在 零到二之间和 x 大 于二的时候，分这两段去写，知道吗？可以写成这种形式，但是注意一定要把它的什么取值范围写清楚，然后第二问他说，如果一次性购买四千克的玉米种子需要付多少钱？ 那么四千克有没有超过两千克呀？超过了，超过了两千克呢？我们就选择第二种方案，那么第二种方案的话，你就把这个 y 带进去， 那么 x 换成四，那么就是等于二十四乘上四，加上三十二，等于一百二十八元，所以一次性买四千克种子就需要付一百二十八元，就是这个意思。 好了，那么他这里呢，其实还叫我们画图像呢，图像我们没算，对不对？他是直接给我们画出来了，那我们怎么办呢？我们就画这个图像的话，你就 把它当做 x 等于零的时候啊，和 x 怎么样？等于二的时候，这里正好是它的两个端点嘛，对不对？好，我们算一下，这里也写一下，好吧，我们把它计算写出来，好，这里我把它擦掉啊， 这个 y 等于四十 x， x 小 于等于二大于等于零的，对不对？我们这里当 x 等于零，那么这个 y 也等于零，所以就会过零零这个点，然后当这个 x 等于二的时候， y 就 等于四乘二等于八十，所以它就会过 这个二八十这个点。那你看一下，他这里画出来两个点，是不是？第一个点就是零零，第二个点就是二八十啊，对不对？好，那么在第二段的话，你要去画，那么就要画大于二的部分，那大于二的部分的话，那你就让 x 等于二和 x 等于啊， x 等于三和四， 那么就写这个等于二十四， x 加上三十二，那么当这个 x 等于三的时候，那么这个 y 呢？就等于二十四乘上三，就加上三十二，二十四乘三等于七十二，再多写一步啊， 就等于七十二，加上三十二，它就等于一百零四，所以它就会过三一百零四这个点，然后当这个 x 等于四的时候， 他这里给我们算了，对不对？当 x 等于四的时候，这个 y 是 等于一百二十八的，所以他就会过四一百二十八这个点，那么这里呢，他是没有给我们把点画出来的，我们可以自己写一下，比如说这个三往上，对对齐之后 画一下虚线啊， 好，那么我们画出来的这个点，它就是三，一百零四啊，一百零四，然后的话还有四，假如说这里有个四，咱们也是往它往上对， 它的焦点呢？是超过了书上画的这个图的，那么这个点的坐标就是四，一百二十八，对吧？你把这两个点连接起来， 和这个点正好有交点，那么就把图像画出来了，当然你也可以把它的临界点算出来，虽然它这里说 x 要大于二，但是你可以把 x 等于二的时候带进去算一下，知道吧？ 画图的话呢，书上就是没有给这个过程，我就把这个过程补了一下，好吧，其他的都是 ok 的 啊，大家可以自己整体看一下， 再来看练习。第一个，一个实验室在零点到两点之间要保持二十摄氏度的恒温， 在两点到四点要匀速升温，并且是每小时升高五摄氏度， 写出实验室温度 t 关于时间小 t 的 函数解析式，并且画出函数图像，那么根据实际情况来算一下它的解析式。 首先第一个是零点到两点之间温度要保持在二十摄氏度，它是不变的，知道吗？所以我们这里有题可知， 这个 x 小 于等于二大于等于零的时候，对不对？ 这里用 t 啊，这里用 t， 时间是小 t 啊，这个 t 在 大于等于零和小于等于二的时候，那么他要保持二十摄氏度的恒温，那么这个温度 t 温度大， t 就 要等于 二十不变，知道吗？啊？这里我们写当 t 大 于等于零，小于等于二的时候，这个 t 等于二十是不变的，那么下面一个时间段就是两小时到四小时之间，那么当 时间大于等于二，小于等于四的时候，因为前面我们取了等号，我们后面这个二我们就不取等号了， 前面这个二我们取了等号，后面这个二我们就不取等号了。好吧，那么原本就是二十摄氏度的恒温，然后每小时上升五摄氏度，时间是 t 对 不对？好，那我们就用这个时间 t， 它就是本来有二十摄氏度的，然后 每小时上升五摄氏度，但是你不要直接乘 t， 为什么呢？因为前两个小时它是不升温的，所以你要乘上 t 减二，然后再化减，这个 t 就 等于二十，加上五， t 减去十， 那么 t 就 会等于五， t 加上十。好了，那我们就可以把这个写成分段函数的形式， t 就 等于二十，这个 t 是 在 二到零之间的时候，然后呢，第二段是五， t 加上十，这个时候 t 是 小于等于四，大于二的就 ok 了。好，这就是写成分段函数的形式，然后并且画出图像吗？他叫我们画出图像，对不对？那我们就算一下， 当 t 等于几的时候，算一下，当一等于零的时候，这大 t 等于二十，在这里算吧。 当 t 等于零的时候，这个大 t 等于二十，然后当 t 等于二的时候，大 t 也等于二十，当这个 t 等于三的时候， 这个 t 就 用第二段了，就是五乘三加十等于二十五，然后当这个 t 等于四的时候，大 t 就 等于五乘四加十，就等于三十摄氏度，那么这里对应的就是过 零二十这个点，二二十这个点，然后三二十五这个点，四三十这个点。现在来画图像， x， 哦，不是 x， 哦，是小题，大题，小题单位是时间大题的问，这个单位是奢侈度啊，这里是零，我们就写四个小时， 一二三四，然后这里呢是二十摄氏度，这里是十摄氏度，二十摄氏度， 这里还有一个三十摄氏度，中间卡一个二十五就可以了。好了，我们瞄点，首先是零二十这个点就是零二十，再看二二十，那么二二十就在这个位置，然后三二十五， 四三十 四个点描起来了，再把它连起来， 到这儿往上走。好，完事了。那前面这一段就是 t 等于二十的时候，后面这一段就是 t 等于五， t 加十的时候，那图像就给我们画出来了，那么这道题就搞定了。 再看第二个，某市出租车的收费方式是路程不超过三千米的，收费九元，超过三千米的部分呢，它就每千米收两元，即乘客乘坐出租车的路程为 x， 这个 x 呢会大于三千米， 并且乘车费用设为 y 元，叫我们求 y。 关于 x 的 函数解析式，我们先看第一个，这里也是一个分段函数，对不对？分 x 在 三之前，一个是 x 在 三之后，对吧？我们就写，当 x 小 于等于三，大于等于零的时候，就是不超过三千米的时候，对吧？那么这个固定收九块钱， y 就 等于五九。然后第二个，当 x 大 于三的时候，它的收费 前九块钱是不变的，这个九块钱是稳收的。然后超过三千米的部分呢，怎么表示呢？超过三千米的部分，你就用 x 减去三千米，这个时候每千米收两块钱， 乘上二，咱们化解一下， y 就 等于九加二， x 减六， y 就 等于二 x 加三，所以我们再把它写成分段函数的形式， y 就 等于 九，然后二 x 加三。第一段取的范围是 x 小 于等于三，大于等于零。第二段 是 x 大 于三的时候。好了，分段函数解析式咱们就写出来了。第二个，他说若有一位乘客付了二十三块钱的乘车费，那么他的乘车路程是多少？那就反过来去求了，对不对？就是当这个费用是二十三元的时候， 这个解析是用哪个呀？那肯定用这一个，因为二十三块钱是不是大于九块钱的，对不对？好，因为 二十三块钱大于九块钱，所以采取第二段，就是 y 等于二 x 加三的这个式子，把这个 y 替换掉，替换成二十三等于二十三。负二 x 等于负二十 x 就 等于负二十，除以负二 x 就 等于十，所以它的乘车路程为十千米 就 ok 了。

带一个绝对值的一次函数图像的画法被我们轻松拿捏，含有两个绝对值的一次函数怎么画呢？通过这个视频轻松搞定。上一个视频呢，我们讲解了含有一个绝对值的一次函数的图像的画法，画出来的形状呢，是一个 v 字形，这个顶点的位置呢，其实就是分界点。 今天呢，我们还类比这个思路来讲解含有两个绝对值的一次函数的图像该如何画。这里给出的函数啊，是 y 等于绝对值的 x 减二加上 x 减三。对啊，那首先呢，我们还是要考虑去绝对值，去绝对值时，我们就要考虑啊， x 减二，还有 x 减三，究竟是正还是负，所以这里呢，我们还是要先求零点， 然后呢划分区间来去绝对值，我们令绝对值中的式子呢，等于零。好，好，这样呢，我们就得到了， x 等于二， x 等于三。好，我们把它画在数轴上呢，就可以看到啊，现在数轴对应着三段，二左边的呢，我们记为 x 小 于二，二和三之间的啊，记为 x 大 于 二，小于三。注意这里啊，我们把这个等号呢，都加在这个范围上面，也就是你这个等号如果是在 x 小 于等于二身上的话，那你下面不写，反正只能出现在一处。好，那第三段呢，就是三右侧的，那我们写成 x 大 于三，接下来呢，该干什么了？对啊，该去绝对值得到分段函数。 好，我们逐段来考虑，首先当 x 小 于二时，那我们看这时候 y 等于什么？ x 小 于二，那这一项就是负的，那负的话，去绝对值要写成相反，写相反的时候啊，减少错误，我们只变符号，不变顺序，所以负 x 加二，然后加上 x 减三呢，也是个负的， 所以这时候呢，就是负 x 加三好，整理一下，就是负 x 加上五好。第二段， 当 x 大 于等于二，小于等于三十， y 等于好，我们再重新判正负 x 大 于等于二，好，这一项呢，大于等于零，所以呢，拒绝对值，就是本身 x 减二，加上 x 小 于等于三十呢，这一项小于等于零，所以呢，那拒绝对值变相反，还是负 x 加三好，整理一下啊，结果就是一 好看。第三段，当 x 大 于三十，那可以看到啊，前后两个绝对值现在都是大于零的， 那我们呢，直接按本身来写就可以了。 y 等于 x 减二，加上 x 减三等于二， x 减五，这样呢，我们就把分段的结果写出来， y 等于好。第一段，负二 x 加五，对应的范围呢， x 小 于二。第二段，直接 y 就 等于一了，范围呢，是 x 大 于等于二，小于等于三。 第三段呢，就是二 x 减五，范围是 x 大 于三，这样呢，我们就把含有绝对值的一次函数拆分成成了分段函数，那很明显可以看到啊，这仍然是一次函数的形式，所以我们在画图的时候，依旧是两点确定一条直线，结合着上一个视频，我们说了啊，在选点的时候，那个分界点，我们把它选上，这样画出来的图呢，就会更加准确。 好，我们先来画 y 等于负二， x 加五的图像。好，这里呢，我们选的点啊，选一个二临界点，还有，那这时候对应的 y 就是 一，然后我们在啊，在小于二这个范围中再取一个，那这时候我们就取取零， x 等于零的时候， y 呢就等于五，好，我们先来找一下点，二，一 零五，好，这个点啊，好，注意，画图的时候啊，我们只取 x 小 于二的这一部分，我觉得可能有疑惑，这个 x 小 于二，这不是没有取等号吗？这个位置不应该画空心吗？有这个意识啊，非常好，那我们在这里呢，我们就先把它标成空心，等一会画完图的时候，我们会发现啊，其实这一点对这个画图来说影响不大， 那接下来我们就来画 y 等于一，不 x 取几，它的外值都是一。那就是啊，画出来之后是一条平行于 x 轴的一部分，所以呢，对应的图像就是这个。 那在这里呢，我们可以看到，当 x 等于二十，它的外值呢就是一。所以呢，原本这里啊，在画这个 x 小 于二的时候，这个空心的位置呢，就可以，这个空心呢，我们就可以擦掉了， 这个当 x 等于二的时候，它确实等于一，好，所以可以擦掉。那接下来呢，我们再来画啊， x 大 于三，这一段， y 等于二， x 减五，好，先选分界点，三对应的外值呢就是一。之后呢，我们在 x 大 于三里头选一个值啊，嗯，也不需要很大，选 x 等于四吧， s 等于四的话， y 的 值呢就是三。所以呢，我们把这两个点瞄一下来，三，一在这里四，三，这个点好。之后呢，我们把这两点连起来，它本身是一条直线，但是还是啊，直线上我们只要 x 大 于三的那一部分，所以我们只画啊三右侧的这一部分。 那我们就得到了含有两个绝对值的这个函数的图像一下啊，我们可以进行一个总结，就是含有一个绝对值的一次函数，它画出来这个图呢，你也可以把它看成一个 v 字，只不过呢是一个平底 v 形， 它呢是三段连续的折线，有的时候呢开口朝上，有的题呢画出来是口朝下，那最后呢，我们来进行一个简短的总结，不管是我们画含有一个绝对值，还是含有两个绝对值，首先确定零点一定要准确，否则那个范围就会分错。然后就是去绝对值的时候，要判断清楚得到的是本身还是相反数，对式子进行一个整理计算 好。最后呢就是啊瞄点画图，就画图的时候啊，一定要看清楚，就是我们要保留哪一部分的图像好，这个视频呢，我们就讲解到这里好。

好，再来看到实际问题当中依次函数与不等式的结合。 guess 二当中是这样说的，某学校计划在总费用不超过两千三百元的情况下，租用客车送两百三十四名学生和六名教师集体外出活动， 每辆客车上至少要有一名教师。现在有甲乙两种大客车，他们的载客量和租金如表所示。下面有个表啊，写了，甲客车 载客量是四十五人，租金是四百元。乙客车载客量是三十人，租金是两百八十元。 他第一问问我们共需要多少辆客车，第二问让我们给出最节省费用的租车方案，那么说明这里不止一种方案吗？对不对？好，我们先来看一下一共有多少人？ 学生两百三十四名，教师有六人，对吧？所以一共呢，就有两百三十四，加上六等于两百四十名， 对不对？所以有两百四十个人，那么他说问我们需要租多少辆客车，那我们分析一下，如果说全部做已车，那么是不是用两百四除以三十等于八辆， 但能不能租八辆呢？肯定不行，为什么呢？因为老师只有六个，他这里要求一辆客车上至少要有一名老师，对不对？那么如果说你租八辆的话， 那么六辆有六辆车是有老师的，那剩下的两辆车是不是就没老师？那么就不能满足题名要求吧，所以肯定不能是八辆， 对不对？那可不可以是六辆呢？那六辆是可以的，那六辆的话，你就不能租用乙车了，你就要租用甲车，你看一下两百四十人除以这个四十五，对吧？他的结果是不超过六的，对不对？那当然也不小于五啊，我们可以算一下， 这个两百四除以四十五人，他是约等于五点三三的啊，五点三三的，所以他如果全部租假车的话，需要六辆，那这可不可以满足题目要求呢？可以，因为正好是六辆车， 每辆车一名教师，对不对？那是可以满足题目要求的。这里我写了一下分析，因为这个假车比乙车的载容量是要多的啊，这个是多字啊， 多。那么全部租假车的话，可以使这个租车数量尽可能的少。 两百四除以四十五是约等于五点三三辆的。那，那由于五辆车最多也就可以坐四十五乘上五等于二百二十五人，对不对？够不够两百四？不够两百四对不对？小于总人数两百四，所以 他的这个客车总数是不能小于六辆的，所以不能小于六辆，知道吧？然后呢，因为总共就只有六个老师，所以你的这个车的数量也不能超过六，所以我们通过这两两个分析就可以知道一共需要六辆车。 这个是第一问， 路上呢，他也给了一个分析过程，对不对？你看，一要保证两百四十名师生乘车都有位置，所以根据第一个条件，我们可以知道客车总数是不能小于六辆的，对吧？不能小于六辆。 然后再根据这个第二个条件，就是要使每辆客车上都至少有一名教师，而总共就只有六名教师，对吧？所以客车总数是不能大于六辆的， 又不能小于六辆，又不能大于六辆，那么综合起来来看，那就只能为六辆，对吧？好，那第一问咱们这个就答完了， 第二问，这里叫我们给出最节省费用的租车方案，那么我们要先看一下假租几辆对不对？那我们就设一下。好，这个是第一问， 现在来写第二问，那我们就要设一下这个费用，租车费用是 y 元，设租车费用 为 y 元，然后呢这个假车就是 x 量， 那乙车呢？乙车就是六减 x 量， 看到没有？因为我们前面已经分析出来了，一共六辆客车对不对？那假车有 x 辆，那乙车就是六减 x 辆就可以了。那么除了这个费用之外，还涉及到一个问题，就是位置，我们这里假设这个位置，座位啊，车的座位，这个座位， 咱们就写 w 个，好吧，有 w 个位置，我们要让这个位置大于等于两百四，而且要让这个费用 y 呢， 不超过两千三就小于等于三，知道吧？好，那么根据这个表格我们就可以开始算了，来看一下 啊，来看一下，那么首先是这个费用表示，费用表示的话，假车是四百元，乙车是两百八十元，所以我们列出来的就是 y 等于这个四百 x 加上二百八十乘上六减 x， 那用他的这个数量乘上他的单价，数量乘单价加起来就是这个租车的费用，然后你再看这个座位， w 个座位呢，就等于 x 辆假车，这个一辆假车四十五个座位，所以就是四十五 x， 然后呢乙车呢？一辆车是三十个座位，就用三十乘上六减 x， 好， 那我们根据这两个条件，他说的是什么？ 他说的是费用不超过两千三，人数要大于等于，也就是座位要大于等于两百四，所以我们就可以通过题目条件得到什么呢？得到这个 y 要小于等于两千三， 而这个座位 w 呢？要大于等于两百四，然后我们再根据这两个式子去化解。好，这里写上一二，这是一四，这是二四，那么一四算一下， 让这个要小于等于两千三，对吧？那就是四百 x 加上两百八十乘上六减 x 要小于等于两千三，把这个不等式算出来好，那么就是四百 x 加上六乘两百八 是一千六百八十，再减去两百八十 x 小 于等于两千三，然后再移项就变成了四百 x 减去两百八十 x 小 于等于两千三，减去一千六百八十。 那么这里的话呢，就减完之后就还剩六百二十，前面减完是一百二十 x， 然后再把一百二十 x 移过去除，所以 x 小 于等于六百二十，除以一百二十。那么往旁边写一点啊，这里挡住了， 那么这个 x 呢，就小于等于一百二十分之六百二十，所以 x 咱们再化减一下，就变小于等于五又六分之一就可以了。好， 再来看第二个不等式，第二个不等式是四十五 x 加上三十乘上六减 x 要大于等于两百四 四十五 x 加上这个三六十八，就是一百八减去三十 x 大 于等于两百四四十五 x 减三十 x 等于十五 x， 两百四减一百八， 那么十五 x 就 大于等于六十 x 就 大于等于六十除以十五 x 就 大于等于四。所以我们中上来看，这里算出来的结果就是 x 小 于等于五又六分之一，大于等于四就可以了。那么这种情况下我们可以得到的是什么？我们可以得到这个 x 的 整数解，因为车它肯定是整数，对不对啊？因为 这个 x 都是大于等于零的啊， x 是 大于等于零的，并且呢， x 为正整数， x 为整数啊，所以呢，这个 x 可以 等于四 或者是五，在这个范围之内， x 可以 等于四，然后不超过五有六分之一，那就可以等于五吧，对不对？所以有两种方案，第一种方案就是假车四辆，第二种方案就是假车五辆， 对吧？一个是假车四辆，一个是假车五辆，然后我们再分情况去算它的什么，它的费用，那我们再去算它的费用来看方案一，方案一，第一种方案就是假车有四辆， 乙车呢，就是六减二啊，六减四等于两辆， 那么它的费用呢？就是四乘四百，加上二乘二百八，对不对？好，我们这种情况下算出来的。好，这个写 y 啊，应该这样写， 应该，第一种情况就是 x 等于四， 这里我们把实际情况也写一下，第一种情况就是就是 x 等于四的时候，那 y 就 等于 四百乘上四，加上两百八乘上二，算出来的结果就是两千一百六十元。好，再看第二种情况，第二种情况其实就是假车五辆， 乙车呢？一辆，这个时候是 x 等于五的时候，这个费用 y， 它就会等于这个 四百乘上五，加上二百八十乘上一， 等于两千两百八十元。然后最后总结一下，因为这个两千一百六十小于两千两百八十，所以呢，是什么时候最省费？正水最省钱呢？就是甲适量 以两辆 最省钱， 可以了啊，就可以了，那么这个就是这道题的过程啊，大家可以暂停看一下，然后下面呢，它有填空让你填，对吧？好，我们把这个算一下，这里呢，它是用这个 a 去表示了我们一开始确定的六辆车，所以这个 a 是 等于六的， 然后呢，它这个费用呢，这个 y 费用就是用这个式子去表示，它就等于四百 x 加上两百八乘上六减 x 啊，不过呢，它这里可以化简出来，化简出来的话呢，就可以得到是 一百二十 x 加上一千六百八十，然后通过我们这里不等式的这两组不等式的计算，哎，你会发现这个 x 呢，它是不能小于 适量的，然后为了使注册费用也不超过两千三，那么这个 x 呢，就不能超过六，所以综合起来， x 的 取值就是四 或者是五，当然你这里写具体的五又六分之一也是可以的，知道吗？这里我们算出来的不超过这个费用不超过两千三的，这个费用是小于五又六分六分之一的，所以他这里就不能超过六， ok 吧。好， 那么在考虑上述问题的基础之上，你还能得到几种不同的注册方案，为了节省应用，选择哪种方案说明理由，那么我们在这里的计算就是说明了方案的费用，并且这个费用少的就是最省钱的，对不对？好，我们这里已经说清楚了，好吧， 再来看到这个归纳，解决含有多个变量问题的时候，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个，选取一个取值能够影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数， 以此作为解决问题的数学模型。那么在这道题当中呢，我们这个假车的数量是可以影响这个座位的，也是可以影响费用的，所以我们就把假车的数量设为 x 了，就是这个意思 啊。然后呢，像这种用函数去表示，用函数去表示的，我们也可以通过图像，只不过这里位置太小了，我就没画图像。那大家想要看这个用函数图像怎么做这道题，你可以翻一下之前的视频去看一下，好吧，好，再来整体看一下就 ok 了， 再看练习。某文具店购进 a、 b 两种型号的计算器进行销售， 其进价与售价如下表所示， a 型号的计算器进价二十二元，售价三十二元，那么说明他卖一台 a 型计算器是不是可以赚十块钱，对不对？我们顺便把它的利润也给它，算出来 的利润就是三十二，减去二十二等于十元，他卖一台赚十元。然后 b 型计算器呢，是进价十九元，售价二十五元，对吧？那我们就用二十五 减十九，所以他卖一台卖一台这个 b 型计算器可以赚六块钱。 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过两千元的资金采购这两种计算器，一共一百台，那采购的话，你就按进价算知道吧， 若采购的计算器能够全部售出，那售出之后给出利润最大的进货方案，那么我们想要算利润，那么你就要用这个去算知道吧， 并求出最大利润是多少。好，那么这里已经告诉我们一共是一百台了，对不对？那我们就设这个 a 型 a 型号 x 台， b 型号不要设 y 台啊，因为它们是一共一百台，你把它设为一百减 x 台， 然后利润呢？这个利润我们设为 w， 写总利润 为 w 元啊，然后呢进价，总进价 为 y 元就可以了。好吧，因为这里要和这个 采购资金作比较的，可以把总进价和总利润都表示出来，总进价就是 y， 对 吧？好， y 等于什么呢？这个 a 型的是 x 代， b 型的是一百减 x 代，如果你算进价的话，你就用进价乘上它们的数量，再加起来，它就等于二十二 x 加上十九，乘上一百减 x， 对 吧？好，并且这个 x 肯定要大于等于零， 小于等于一百，并且还是整数，对不对？好，我们算一下，把它化解一下， y 就 等于二十二 x 加上一千九百减去十九 x， 这个 y 就 等于二十二 x 减十九 x， 三 x 加一九零零。好，这个是什么？ 这个是总进价，我们要让这个总进价怎么样？不超过两千元，所以这个总进价就是三 x 加上一千九，要小于等于两千啊，所以三 x 就 小于等于两千减一千九就小于一百，所以 x 就 小于等于一百除以三， 那 x 就 小于等于三十三又三分之一，就可以了啊。然后再来看第二个就是利润，利润呢？要最大，对不对？ 那我们就把它表示为 w， 利润呢？按十和六去算， x 抬 a， 那 么就是十 x， 它的利润就是十 x 加上六乘一百减 x， 那 么这个利润就等于一百。这个十 x 加上六百减六 x， 那 么 w 就 等于什么？就等于十 x 减去六 x 等于四， x 加上六百。 好，你看一下这个是什么函数？这个是依次函数，对不对？好，这里的 x 取的范围也是要小于的，一百大于等于零，并且是整数的啊， 它是一次函数，而这里呢，它只给了一个 x 要小于等于三十三又三分之一的一个范围，其他的范围没有，对吧？那我们总不可能把从一从零到三十三全写出来吧？那肯定写不下，所以我们就分析一下，这个一次函数，它是一次函数，它的这个四也就对应的这个 k 值， k 值是不是正数，对不对？好，我们这里写一下，因为这里的 k 是 等于四的， 所以 k 大 于零。在依次函数当中，如果它的 k 值是大于零的，说明这个函数是不是随着 x 的 增大而增大呀？对不对？它的 k 是 大于零的，所以这个 w 总利润就随 x 的 增大而增大。 所以你想要利润最大，那么你就要让这个 x 最大，所以 x 当取 x 的 最大值的时候，最大值 即可得到 利润 w 的 最大值， 而这个 x 的 最大值在这个取值范围之内，是不是只能是最多就是十三十三，对不对？所以因为 x 的 最大值等于三十三啊，这里应该写一下， 因为这个 x 要小于等于三十三又三分之一，所以 x 的 最大值等于三十三，所以这个利润的最大值，它就等于四乘三十三加上六百，所以这个利润的最大值把它算出来， 就等于七百三十二元。好，所以最大利润是七百三十二元，那这个时候 x 是 等于三十三，说明 a 型机器这个计算器就是三十三台， 那么它的这个方案是多少呢？那方案最佳方案，我们就说这个，当 a 型 三十三台， b 型就是一百减三十三，一百减三十三的话写出来吧，就等于六十七台， b 型六十七台的时候有 最大利润 为七百三十二元就可以了。啊，这样的话呢，我们就既回答了他的进货方案对不对？也回答了最大利润就可以了，好吧，再整体看一下。

好，再来看依次函数与方程组和不等式的复习巩固。先看第一个利用函数的图像去解方程，二分之三， x 减六等于零，对吧？那么这里既然要求了让我们用函数图像，那我们就先把图像画出来，好吧， 来看一下，那么我们想要画出来的话呢，就先把它写成函数形式，令 y 等于二分之三， x 减六，对吧？那么你现在当 x 等于零的时候，求出 y 值， 当 x 等于零， y 就 等于二分之三，乘上零减六， y 就 等于负六，所以它就会过零负六这个点，对吧？那么这个点在哪里呢？就在 y 轴上，然后你想求在 x 轴上的点，就当 y 等于零， 那么零就等于二分之三， x 减六，移项六就等于二分之三 x， 那 么这个六除以 二分之三等于 x， 六就乘上三分之二等于 x， 所以 四等于 x， x 等于四，所以它就会过四零这个点，那么咱们再把图像画出来， x， y 与这里的交点是四，零与 y 轴负半轴的交点是零负六，把这两个点画出来 连起来就是依次函数的图像，这个就是 y 等于二分之三， x 减六啊，那我们要通过这个图像看出它的减，就是让 y 等于零的时候，那么 y 等于零的时候，那就是这个点 啊，就是这个点啊，就这个点，所以 x 就 等于四，对吧？所以我们就可以通过图像看出来， 在这个点的时候，它的 y 值等于零，它的 x 值等于四，正好对应了这个 y 换成零，那么这个 x 对 应的呢？就是四，所以我们由图 由这个点四零得出 啊。二分之三， x 减六等于零的减 为 x 减四啊， x 减四，那么有些人可能会说，我在这里都已经算出 x 等于四了，我为什么还要通过画图呢？对不对啊？是不是多此一举啊？那么这个题目它其实是为了让你更好地去理解这个图的意思， 然后这个图像呢，他也可能觉得你自己手里有这个画函数的这个软件，你直接可以通过软件去画，因为前面他也讲了如何用碗软件画图像，对吧？啊？像我们自己这样直接手搓一个图像出来，那肯定是要算出这个 x 等于四的，对不对？好， 再看第二个，利用函数图像解不等式，五 x 减十大于零和负二， x 减四小于零，那么咱们这里呢，也要把它当做函数的形式，那我们就令 y 一 等于五， x 减十， y 二就等于负二 x 减四，那我们要画图吗？画图的话，你就令 x 和 y 等于零，对吧？当 x 等于零的时候，这个 y 一 就等于五乘零减去十等于负十，说明它过零负十这个点。好，这个呢，我们等会再算，不然弄混了。然后当 y 一 等于零的时候， 就零等于五， x 减十啊，把五 x 移过来，负五 x 等于负十， x 就 等于负十，除以负五， x 就 等于二，所以它就会过二零这个点。好，再算这个，再算 y 二， 这里也写个零，好算。当 x 等于零的时候， y 二等于负二乘上零减四，负二乘零就是零，零减四等于负四，所以就是负四，那么就过零负四这个点。然后当 y 二等于零的时候， 这个零就等于这个负二 x 减四，把负二 x 移过来，二 x 等于负四， x 就 等于负二，对吧？所以它就会过这个负二零这个点。好，我们在图像上把它画出来，先画这个图，先画这上面的图， 一个过零复十，一个过二零二零的话大概就在这个位置，零复十，我们就画在这个位置，两个点一连 就是函数解析式，就是函数解析式的图像了，这个直线就是 y 一 等于五 x 减十，好了，他说要这个五 x 减十大于零，对不对？大于零在哪里啊？ 大于零在上方看到没有？大于零，零在这个位置，零在这个点上，那比零大，那么就在他的上方，所以上面这段图像就是 五 x 减十大于零的地方，对吧？啊？五 x 减十大于零，那么又意味着 y 一 大于零，而 y 一 大于零就是在 x 轴上方的图像，而这个图像上对应的所有的横坐标都比这个点的横坐标要大吧，对不对？它继续往后延， 它这里的横坐标往下一一对应，都是比二大的啊，所以这个 x 怎么样就大于二，当然了，你说，哎，我不能直接算吗？我直接算就可以了，对吧？ 好， x 大 于二就可以了，那这里呢？是为了让你理解这个不等式和图像的关系，知道吧？咱们再画第二个图， 一个是零负四，一个是负二零零负四，我们就画在这个位置， 负二零，咱们画这个位置连一下。 好，这条直线的话，就是 y 二等于负二 x 减四，知道吧？那么你看一下它要它小于零，对不对？小于零， 那么零就是在这个位置，这个点的纵坐标就是零，对吧？比零要小，那就在它的下方， 那么就在它的下方，在下方上面的点对应的横坐标是不是都比这个负二要大呀？所以 x 就 大于负二，知道吧？好，所以我们写一下，因为 负二 x 减四要小于零，那意味着 y 二小于零，而 y 二小于零的话，就是对应的是这一段图像，这段图像对应的所有横坐标都是比负二大的，所以 x 大 于负二，就是这个不等式的。解了。 再看第三题，也是叫我们利用函数的图像去解这个方程组，那这里有两个方程对不对？都是带 y 的， 所以我们要先把这两个转换成什么？转换成函数形式。怎么转换呢？第一个是三， x 加上二， y 等于五， 那么角先把 x 移过去，二， y 就 等于负三， x 加五，然后两边同时除以二， y 就 等于负二分之三， x 加上二分之五，这是第一个。 那么第二个函数呢？就是二 x 减 y 等于八，移过去啊，就把二 x 移过去，负 y 就 等于负二， x 加八，两边同时除以一个负一，那么 y 就 等于二 x 减八，对吧？那么现在呢，我们就要画图了， 我们画图的话，一般都是令 x 等于零和 y 等于零嘛，对不对？这是 y 一， 这是 y 二，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之三，乘上零加上二分之五等于二分之五，所以它就会过零二分之五这个点。然后当 y 一 等于零的时候， 那么零就等于负二分之三， x 加上二分之五。好，移项二分之三， x 等于二分之五，同时乘上二三， x 等于五， x 就 等于五，除以三等于三分之五。啊，是三分之五了。好，那么我们就可以通过 这个 x 等于三分之五，判断出它过三分之五零这个点，这个时候 y 是 等于零的，所以重坐标是零，对吧？好，这里也是一样的，当 x 等于零的时候， y 二等于二乘零减八，就等于负八，所以它就会过零负八这个点。然后当 y 二等于零的时候， 就变成了零等于二， x 减八，移向负二， x 等于负八， x 就 等于负八，除以负二，它就等于这个四，所以它就会过四零这个点。 好，再把这两个点画在图像当中，我们来画一下， 这个是零二分之五，那我们在这里就画二分之五零二分之五，然后呢这个点呢？是三分之五零，那我们就画这个位置，三分之五，大概在这个位置， 这条直线的话呢，连起来这条直线就是 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，有点写不下了。 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，就是 y 一 这条直线。 y 二这条直线的话呢，四零，然后另外一个零负八，那么零负八的话，我们就画下面一点， 这可能就比较远了，假设这个点就是零负八吧，这个是零负八，然后这个点的话，就当做是四零，然后把这两个点连起来 延长过来，好，这条直线就是 y 二等于二， x 减八。 好，图像画好了，那么你会发现，你把这两个当做方程组的时候，它的解就是它的焦点， 而这个焦点呢？说实话啊，我没画出来，对不对？我们不知道它的焦点是多少，所以呢，我们要试一下，对吧？因为你不能去算，你不能把它当做去算，所以你要去试一下，你看这个是几啊？这个是 这个三分之五，这个是四，那么比三分之五大一点是几啊？就是二，三对不对？二肯定对不上，二肯定对不上，那么你就找三，所以我们就分别试一下，当他们俩都等于三的时候好不好？好，当这个等于三的时候，当这 y 一， 当 x 等于三的时候，这个 y 一 就会等于负二分之三乘上三加上二分之五，它就等于负二分之九 加上二分之五等于负的二分之四等于负二，所以它就会过三负二这个点。 然后呢，你在当 x 等于三的时候，你再算这个 y 二 y 二就等于二乘三减八等于六减八也等于负二，它也过三负二这个点，发现没有，它们经过同一个点，所以 三负二就是它们的焦点啊。所以我们就看得出来， y 一 与 y 二的焦点 为三负二，所以 x 等于三， y 等于负二，就是这个方程的解，为这个方程 三 x 加二， y 等于五和二， x 减 y 等于八的解就可以了。 如果呢，有些题目呢，他直接画了图，并且告诉我们焦点，那我们这些画图的过程就都可以省略。 再看综合运用第四题，甲乙两个工程队分别同时开挖两段合渠，所挖合渠的长度为 y 单位是米与挖掘的时间， x 单位是小时之间的关系。如图所示，那 红色这一段是假的，然后绿色这一段是乙的，叫我们分别求出假。对在零到六，就是 x 大 于等于六大于等于零小于等于六的时间之内和乙对在 x 大 于等于二小于等于六的这个时间内， y 关于 x 的 函数解析式，那么求解析式的话呢？你可以看得出来，假的话经过哪两个点？ 第一个是圆点，对不对？第二个就是六六十，经过这两个点，我们就可以带入一次函数当中，对吧？好，那么乙呢？他只教我们求二到六这段时间之内，那么你看二到六这段时间，他也经过两个点，一个点是二三十， 另外一个是六五十，对不对？好，我们就把这两对点带入一次函数当中，我们这里就写一下，好吧，先求 设假对，在 x 大 于等于小于等于六大于等于零的时段内，解析式，函数解析式 为 y 假，对吧？等于 k 一， x 加上 b 一， 为什么要这样去写呢？因为你乙对也要去设呀，对不对？它们俩的 k 值和 b 值不一定相等啊， 对吧？所以我们就复制一个出来，改一下数据设，再设一下乙，对，不过可以等会来算，我们把里面改一下，甲对换掉， 然后时间段换掉解析式，这个换掉。好，那我们就写设乙对，在 x 小 于等于六大于等于零的时间内，函数解析式为 y 甲 y 乙 等于 k 二， x 加上 b 二，对吧？好，设一下。那么现在呢，我们就知道甲经过零零，甲经过的点是零零这个点以及六六十这个点。好，我们就将 零零这个点与六六十带入到 y 角当中，那么你就可以得到方程组，对吧？这个方程组呢？等一下啊， 这个方程组呢，就是把这个解析式里面的零和 y 都换成零，那么就是零等于 k 一 乘上零，再加上 b 一。 然后第二个呢，就是六十等于 k 一 乘上六，再加上 b， 那 么这里的话，我们化简一下，就可以得到 b 一 是等于零的，对吧？这个是零，这里也是零， b 一 就等于零，然后你再把零带进去， 对吧？好，那么就是六十等于六， k 一 加上零啊，因为 b 一 等于零，写一下吧，还是写 b 一 吧。好，这两个式子，这是一式，这是二式，你将第一个式子带入到第二个式当中，将 b 一 等于零 带入到二式当中，那么零六十就等于六 k 一， k 一 就等于十，那么我们就可以得到 k 一 等于十， b 一 等于零，所以这个假的解析式就等于十 x 啊，就等于十 x， 同时你再把它的取值范围写上 x 小 于等于六，大于等于零的时候，是这样的。 好，再来求第二个一样的操作啊，也是将这两个点，这两个点我们直接在图上写出来，一个是二三十，一个是六五十，对吧？我们将这两个点带进去， 将二三十与六五十带入到 y e 当中，好，那么我们算一下， 把三十带进去，二三十带进去，是三十等于 k 二乘上二，加上 b 二，把六五十带进去，就是五十等于 k 二乘上六，加上 b 二。两个式子，你拿两个式子一减啊，拿二四减一四，那这里五十减三十等于二十， 这里是六 k 减二， k 减掉了啊，所以我们这里就是负四， k 二 等于负二十， k 二就等于负二十除以负四，那么 k 二它就等于五，然后你再把五带入到其中一个解析式当中，将 k 二等于五 带入到一式当中，那么就三十等于 k 二， k 二已经知道了，就是五乘二，再加上 b 二，那么三十就等于十加 b 二，那 b 二呢？就等于 三十减十， b 二就等于二十，那我们就可以得到这里的 k 二等于五， b 二等于二十这个解析式， 你就会等于五 x 加二十，并且取之范围是 x 大 于等于二，小于等于六，对不对？好，那么这个就算完了。再来看， 那这里说当 x 为和值的时候，甲乙两个对在施工过程当中所挖合取的长度是相等的，那么你就看它们的焦点，这里是有一个焦点的对不对？那这个焦点是多少呢？哎，我们不知道，我们就可以把这两个 函数当做一个方程组啊，去算 x 等于几就可以了，知道吧，因为它们在这里有焦点的时候，意味着在同一时间内，它们挖的长度也相等，所以就是找焦点。 第二问就是找焦点，所以我们列方程组， y 等于十， x 和 y 等于五 x 加二十那两个式子， 那么呢，我们就把一次当中的 y 等于十 x 带入到第二个式子当中去，那你就可以得到十 x 等于五 x 加二十一项，十 x 减五 x 等于二十， 五 x 就 等于二十， x 就 等于二十，除以五 x 就 等于四，所以那么当 x 等于四的时候，他们所挖的渠道是相同的，知道吗？好，那么这里我们同时也把 y 算出来， 那么 y 就 等于十，除乘上四， y 就 等于四十，所以这里算出来的是 x 等于四， y 等于四十，对吧？好，我们最后再答一下啊，当 x 等于四的时候，加以两对。 施工 的时候，施工过程中，施工中挖的和渠长度 相等都为四十，单位是米就可以了。 再来看拓广探索第五题，在同一平面直角坐标系当中，画出函数 y 一 等于负二分之一， x 加上二与 y 二等于三， x 加九的图像，并且结合图像比较这两个函数值大小的关系。 那咱们就先画图，先看 y 一， 这个 y 一 呢，等于负二分之一， x 加二还是一样的令， x 等于零和 y 等于零，对吧？好，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之一乘上零加二就等于二，所以我们就知道它会过零二这个点，对吧？你其实算多了，你就知道，当 x 等于零的时候，它就一定会等于二，对吧？等于它这个 b 值。然后当 y 等于零的时候， 那么零就会等于负二分之一， x 加上二一项二分之一， x 加上等于二， 那么 x 呢，就等于四，所以它就会过四零这个点。好。再看 y 二， y 二等于三， x 加九一样的，当 x 等于零的时候， 这个 y 就 等于三，乘零加九就等于九，所以它就会过零九这个点。然后再当 y 等于零的时候， 那么这就会得到零等于三， x 加九，一下负三， x 等于九， x 就 等于九，除以负三， x 就 等于负三，所以它就会过负三零这个点。好，咱们再把这两个图像画到什么？画到同一个坐标系当中， 我们这里就画大概啊，就不画那么精确了，因为画太精确了，我会画 y。 然后呢，找到，先画这个 y 一， 找到零二和四零，那零二 大概在这个位置零二四零呢？咱们就画这个位置四零两个点一连 这条直线呢，就是 y 一， 再画这个，这个是零九和负三零，那负三零的话，大概就画这个位置负三零，然后呢？还有一个画九零九的话，九应该很高了吧， 对吧？往上挪一点， 我就在这里画九零九，那实际上可能不止这么高啊，我们这里画个大概 好，这条直线就是 y 二，对不对？好了，那么现在你会发现它会有焦点吗？而这个焦点是多少呢？我们不知道，那我们就把它列成一个方程组，把它的焦点算出来， 因为你要比较大小嘛，对不对？你看在这个焦点的左边是不是 y 一 大， y 二小，而在这个焦点的右边，是不是 y 二大， y 一 小啊？对不对？好，所以呢，我们就把它列成一个方程组， y 一 等于负二分之一， x 加上二， y 二等于三， x 加上九，列一个方程组，那么因为他们的 y 都是相等的，所以就是得到三， x 加九等于负二， x 加二移项，三 x 加上二分之一， x 等于二减九，那么这里算出来的话， 就可以得到是二分之七， x 等于负七， x 就 等于负七。除以二分之七就等于七。乘上七分之二， x 就 等于负二，所以它的横坐标是负二，再把这个负二带进去， y 就 等于三乘负二再加九， y 就 等于负六加九，所以 y 就 等于三。所以他们的这个解就是， x 等于负二， y 等于三，所以我们就可以知道他们的焦点是负二三。好，这个焦点是负二三， 我们写上来负二三，这里对照的横坐标就是负二，这里对照的重坐标就是三。好了，图像画完了，那怎么去做比较呢？其实这个图的话，它画标准了，反而不好比较，我们这里画一个缩略图，好比较一点，那这里 我画一个缩略图，那就简单画一下，看到没有？就这样简单画一下。 好，这个是 y 一， 然后这里有一个焦点是二，它的横坐标是不是二，看到没有？好，我们就以二为分界点，在这个二的左边，你看这个二的左边，负二的左边，是不是？ y 一 在上面， y 二在下面，对不对？好，在它的左边， y 一 在上面， y 二在下面，所以左边对应的就是什么？ y 一 大于 y 二， 而这个左边对应的是 y 一 大于 y 二的时候，你看它们的横坐标对应的是不是都比负二小，对不对？好，所以就可以得到，当 y 一 大于 y 二的时候，它的 x 是 小于负二的，这是第一种情况，看到了吗？好，现在我们再看，在它的右边的时候，你把它延伸过去，这个 y 一 延伸过来，哎，反过来了，现在 y 一 在下面， y 二延伸过去，反而变成了 y 二在上面，这个对应的是它的右边，它的右边对应的是 y 二在上面， y 一 在下面。这个表示的就是当 y 第二种情况，就是当 y 一 小于 y 二的时候，看到没有？ y 一 在 y 二的下面，表示 y 一 小于 y 二，而这个时候，你看这个图像所对的横坐标是不是都比负二大，对不对？它都比负二大，所以这个时候 x 就 大于负二，看到了吗？这是第二种情况，那什么时候呢？它们会相等呢？就是在焦点的时候，所以这个时候我们就写第三种情况， 当它们相等的时候，当 y 一 等于 y 二的时候，这个 x 就 等于负二，那么它们的大小关系三种情况都写出来了。 他们的大小关系一个是大于他，一个是 y 一， 大于 y 二，一个是 y 一， 小于小于 y 二，一个是 y 一 等于 y 二。这三种情况的结果我们都写出来了，都是通过图像去看的，知道吧？这个图像是标准图像啊，标准一点啊，因为我画的也不是特别标准，这个是他的缩略图， 我们通过缩略图就好比较，因为这样的话，这个这个 y 一 在上面， y 二在下面，这个是不对，看过去不是很好比较，这里是 y 二在上面， y 一 在下面啊，其实是一样的，只是这样看的话会比较好看一点，那么我们就是分左右就可以了。

好，再来看依次函数，前面我们学了函数，现在我们学的具体一点，学依次函数，那么依次函数当中最关键的一个词就是均匀变化， 其中一个量随另外一个量均匀变化的现象在现实世界当中大量存在，那我们将学习刻画一个变量随着另一个变量均匀变化这类现象的函数，我们管它叫依次数，那具体看到问题，咱们先学它的概念， 咱们先看它的总结，再来看这个问题，你可能会更好理解一点，那它这里是这样说的，一般的形如 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 是 常数， k 不 等于零，这样的函数呢？ 咱们叫做依次函数啊，其中 x 是 自变量，特别的，当这个 b 等于零的时候，那么 y 等于 k， x 加 b 就 变成了 y 等于 k， x， 那形容 y 等于 k x， k 是 常数， k 不 等零的函数，这种叫做正比例函数，而其中 k 叫做比例系数。哎，为什么这个叫正比例函数呢？我们如果反着推会怎么样？好，我在前面把这个笔记写一下啊。我们先来看正比例函数， 正比例函数是 y 等于 k， x 的 k 不 等于零， 它是怎么来的呢？哎，我们知道正比例是商一定，那这个六年级就学过了，对不对？正比例是商一定，反比例是 g 一定。不过反比例函数呢？我们要到九年级才学，正比例是商一定， 也可以理解为是比值一定。我们现在拿两个常数，比如说拿两个变量 y 比 x， 它的比值对吧？就是比例系数 k 等于比例系数 k， 你 看他后面说了， c 叫做比例系数，对吧？好，所以我们就把这个比例系数当做 k， 那 么这个比号的计算是不是就相当于是除号的计算？所以我们就是 y 除以 x 就 等于 k， 对 不对？你除以 x 移过去，那是不是就变成了 y 等于 k 乘以 x？ 好 了，那么这个就是正比例函数的一般式，那它就写出来了，看到了没有啊？所以这就是为什么正比例函数是这样写的，而正比例函数 如果加上一个 b 值，就变成了一次函数，那 一次函数它的一般式是 y 等于 k， x 加 b 不 等于零，而且 k 值和 b 值都为常数， 举个例子大家就知道了，那这个 b 值你可以理解为是什么呢？你可以理解为是一个固定的附加的值啊，比如说你去商店啊，去超市买苹果，对不对？哎，五元一斤， 五元一斤，对吧？然后呢，你要拿一个袋子，现在塑料袋不是要收费的吗？对不对？比如说一个袋子零点五元， 对吧？好，那么你买的苹果，比如说你买 x 金，你买 x 金，对吧？好，你这里买了 x 金，那么你要付多少钱呢？需，我们这里写一共 需要 y 元，好吧，那么这个关系式应该怎么写呢？那么你看一下费用怎么算啊？五元一斤，买 x 斤就是五 x， 对 吧？再加一个袋子零点五元，那么就加上零点五 o 不 ok， 那 么所以它这里的解析式就是 y 等于零点五 x， 啊，不对， y 等于五 x 加上零点五，那这个零点五就是附加的一个固定的值啊，就是你买苹果，对吧？啊？你不可能说啊，用手捧着出去吧，对不对？所以你要拿个袋子，对吧？所以这个零点五你就可以理解为是一个附加的袋子， 而你把这个去掉，他就是一个正比例函数，看到没有？为什么正比例呢？你看，你买一斤就是五块，买两斤就十块，买三斤是十五，买四斤就是二十，你看一个增大，另外一个是不是也是跟着增大，对不对？这个不就正比例吗？ 按照比例增长，那不就正比例关系吗？是不是？然后再加一个零点五元的袋子，那就变成了一次函数。所以你记住，正比例函数是特殊的一次函数，那正比例函数也是一次函数啊，正比例函数也是一次函数，知道吧？啊？正比例 函数是特殊的 一次函数， 好，这个要记住啊。 再来看到书上的问题，某登山队大本营所在地的气温为五摄氏度， 海拔每升高一千米，气温就下降六摄氏度。登山队大由大本营向上登高 x 千米的时候，它们所在位置的气温为 y 摄氏度，那么用函数解析是 y 表示 y 与 x 的 关系，并且求出当登山队向上登高两千米的时候，他们所在位置的气温，对吧？那目前为止已经是 五摄氏度了，对不对？他每上升一千米就下降六摄氏度，那么所以他就有原本的气温怎么样？减掉他会下降的气温 对不对？你上升一千米，下降六度，上升两千米就下降十二度，上升三千米就下降十八度，对不对啊？就去减。所以 y 随 x 的 变化规律是向上， 从大本营向上，每当海拔增加 x 千米的时候，这个气温就会从五摄氏度减少六乘 x 摄氏度。因此 y 关于 x 的 函数解析式 就是拿原本的五摄氏度减去下降的温度六 x 就 可以了。他说向上登高两千米的时候，那么就是 x 等于二的时候，你再把 x 等于二怎么样带进去算？把这个这个 x 换成二，就可以算出 这个向上登高两千米的时候，他们所在位置的气温是负七摄氏度就 ok 了啊。那么呢，我们一般呢会把它写成什么形式呢？会把它写成依次函数的一般式，要把它写成一般式。所以这就是为什么要把带 x 的 写在前面，你看 它对应的就是什么呢？就是 y 等于 k， x 加 b， 你 从这个式子里面对应上可以看到 k 是 等于负六的，这里的 k 就是 等于负六的啊，这个 b 就 等于五的， b 就是 等于五的。依次函数当中 k 和 b 确定了，那么它的函数解析式也就确定了，知道吗？ 再来看思考下列问题当中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式，这些函数解析式有哪些共同特征？先看第一个， 铁的密度为七点九克每立方厘米，铁块的质量 m 随它的体积 v 的 变化而变化啊，这里铁块质量单位是克，体积单位是立方厘米。我们先把它们三者之间的关系写出来啊， 你要知道密度等于什么密度，它是等于质量除以体积的， 它是等于质量除以体积的，然后这个密度呢，是七点九克每立方厘米，对不对？然后质量呢是 m， 体积呢是 v， 你 两边同时乘上 v 啊，这里是七点九啊， 两边同时乘上 v， 你 这个式子就变成了七点九 v 等于质量 m， 所以 m 就 等于七点九 v 啊，那么这样的话，我们就把它的函数解析式算出来了，它是不是函数解析式呢？ 是不是函数呢？是的，主要是这句话我们写的太多了，对吧？对于这个 v 的 每一个确定的值，对吧？ m 都有唯一的值与之对应吗？是不是这句话我们写太多了啊？我们再写一遍， 对于这个 v， 每一个确定的值，它这个 m 都有唯一确定的值与之对应，所以四函数啊，所以四函数，这就是函数的判定标准，对不对？我们是可以直接通过它的关系式判断出来的，对吧？好，那再看第二个， 每个练习本的厚度为零点五厘米，一些练习本落在一起的总厚度为 h， 单位是厘米，随练习本的个数 n 的 变化而变化，对不对？好， 那么这个的话我们可以直接写出来，对吧？一本练习本零点五厘米，那两本呢？就是一厘米，四本呢？就两厘米，对不对？你乘过去就可以了，所以我们可以直接通过它这个式子就可以 判断出来了，那么这个厚度 h， 它就会等于零点五厘米，乘上它的练习本的数量 n 就 可以了，对吧？好，那么还是那句话，哪句话呢？还是这句话啊？ 因为我们要判断它是不是函数，知道吗？我们就说写上面 对一个，对于这里的，对于 n 的 每一个确定的值，对吧？这个高度，这个厚度 h 都有唯一对应的值与值对应，所以呢，咱们就写十函数。 再看第三个，一种计算成年人标准体重 m 的 方法是以厘米为单位量出身高 h 再减去常数一点，这个啊，标准体重啊， 再减去常数一百零五，所得的叉是 m， 所得的叉是 m 的 值， m 随 h 的 变化而变化，对不对？好，我们可以直接把它关系式给它写出来，对不对？它都直接说了，是不是？这个 m 就 等于什么？ 就等于 h 减去零点五，这个很好，就可以写出来了。这个 m 就等于 h 减去零一点一百零五，还是这句话，你可以通过这个式子可以判断出来，对不对。对于每一个这个 h， 对 于 h， 每一个确定的值，这个 m 都有唯一确定的值，与之对应。所以第三个也是函数， 那也是函数啊。然后最后一个，把一个长十厘米，宽五厘米的矩形 的长减少 x 厘米宽不变，矩形的面积 y 随 x 的 变化而变化，对不对？那么它减少了，是不是？那么一个什么东西？一个长方形啊，一个矩形，对吧？ 啊？他本来呢，长是十的，宽呢？宽是五的，然后他的长减少了 x 厘米，假如说这个是 x 厘米， 那么他的长就从原来的十变成了十减 x 吧，对不对？那么矩形的面积 y 现在变成什么？就变成了十减 x 乘上五吧，对不对？长方形面积都等于长乘宽吗？所以 y 就 等于长 乘上宽，所以 y 就 等于五十。减去五 x， 我 们再把它写成一次函数的形式，就是负五 x 加五十，那这里没有叫我们求 x 的 取之范围，我们先不写，好吧，然后呢？那这个是不是函数呢？也是啊，你把这句话再写过来， 这就什么？对于 x， 每一个确定的值，这个面积 y 都有唯一确定的值，与之对应，你把一个 x 带进去，算出来的 y 一定有一个结果，知道吧？所以它也是函数，因为它这里叫我们判断是不是函数， 所以我们这里每一个都要写一次啊，都要写一次，好，所以它是函数，那解析式也写出来了，对不对？好，下面就研究一下这些函数解析式有哪些共同的特征。就是前面我们最开始讲过的啊。好，那 他这里就把我刚才写的这些啊，全部都写过来了，这个，这个，这个，还有这个，那这四个就全部写过来了，看到了没有啊？上面这些常数的解析式都是常数 k 与自变量的 g， 再加上与常数 b 和的形式，那么就是 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？你可能说，哎，这两个不是啊，这样没有 b 值啊。这两个其实你就相当于是加了个零，这里的 b 就 等于零 啊，这里的 b 就 等于零，知道吗？叫做依次函数。注意，为什么叫依次函数呢？因为它这里的什么，它这里 x 的 指数是依次。 对于这个依次函数呢，我再详细讲一下。首先这里的依次函数它必须是整式。依次函数的解析是， 它是整数，它必须是整数，并且还要满足两个条件。什么条件呢？首先就是这个 x 的 指数必须是一，满足的第一个条件就是自变量 x， 自变量 x 的 次数 也就是它的指数 为一。当然了啊，这个一可以省略不写一呢，这里的一可以省略不写，哎，挡住了一，省略 不写好，这是第一个要求。第二个要求是什么呢？第二个要满足的要求就是自变量的系数不为零，自变量 x 的 系数 为零，实际上就是什么呢？就这个前面的 k 不 能等于零啊， k 不 能等于零，所以呢，这个呢，就是它这里都已经写了，对吧？ k 是 不等于零的，对不对？然后 x 就是 表示 x 的 一次方啊， 这个 y 等于 k， x 呢，就是它的一般式啊。然后我们判断是不是一次函数的时候呢？要怎么样呢？要先化简，再进行判断。判断 一次函数的时候 需要怎么样呢？需要先化碱，化碱成这个样子再去判断，需先化碱 再判断 啊。后面就是我们前面讲的，当这个 b 等于零的时候，对吧？这个 y 等于 k， x 加 b 就 可以写成 y 等于 k x， 而这种的呢，就叫正比例函数啊。当然了， k 肯定也不能等于零，那这里再强调一下，因为我们前面也说了，对不对 啊？正比例函数是特殊的依次函数，也就是说，你可以理解为所有的正比例函数都是依次函数。我们写一下，所有的正比例函数 都是依次函数， 但是呢，并非所有的，但并非 所有的一次函数 都是正比例函数。 只有什么时候可以呢？仅 b 等于零的时候 是正比例函数。你现在看这个呢，还是有点，这个怎么说呢，有点吃力的啊，等后面你用多了，你自然而然就熟悉了，就不会觉得那么陌生，那么吃力了。 再看立体，一个弹簧不挂物体的时候，它的长为十二厘米，在弹簧的弹性限度内， 每挂一千克的物体，这个弹簧就会伸长两厘米啊。第一个教我们求弹簧的长度 y， 关于所挂物体质量 x 的 函数解析式第二个，当挂了五千克物体的时候，他的弹簧的长度是多少？如果你考试的时候遇到这种题目 啊，你第一问，如果实在不会写，你可以直接算第二问，对吧？挂一千克伸长两厘米，那挂五千克不就伸长十厘米吗？对不对？已经有十二厘米了， 再伸长十厘米，那不就是二十二厘米吗？对不对？哪怕你不会写第一问，你第二问也是可以做出来的，知道吧？好，当然了，我们这里先求第一问，好吧，你看他本来就有十二厘米，对不对？每挂一千克就伸长这个两厘米，现在挂的物体质量是 x 千克， 那么就是 x， 就是 x 乘二，就是会伸长二 x 厘米，那么就在这个十二的基础之上去加上这个二 x， 那 么就等于这个弹簧的长度 y。 所以呢，书上就这么写的啊，书上它就这么写的。你看， 挂一千克的物体伸长两厘米，那挂 x 物体的时候，他就伸长二 x 厘米，因此 y 关于 x 的 函数解析式就是 y 等于十二，加上二 x 就 ok 了，对吧？你再把这个五千克怎么样？带入这个 解析式里面，把它换掉，把这个 x 换成五，那么 y 就 等于二乘五，加上十二就等于二十二厘米。直接答就行了啊。 这种写出来的就是正比例函数，你看，它这里就写的是 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？ k 对 应的就是二， b 对 应的就是十二，如果这里是减十二的话，那么这个 b 对 应的就是负十二就可以了。好吧， 再来看练习第一个下列函数当中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数呢？哎，我们分开作答。好吧， 首先你要知道，一次函数，它的一般式是， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，对吧？正比例函数呢，是 y 等于 k， x， k 不 等于零，对不对？好，其实直接看的话，你就可以看出一三是正比例了，对吧？但是我们还是要有评判标准的，对不对？好，首先它的这个次数等于一， x 的 次数为一。 不管怎么样，无论是一次函数还是正比例函数， x 的 次数为一。并且呢，这个解析式必须是整式，不能是分式。 好，再去判断它是正比例还是一次函数，知道吧？好，那么先看这个，这个 k 是 不是等于八呀？ 这 k 是 等于啊，负八， k 等于负八，对不对？然后 x 的 指数这里是依次吧，是不是？所以呢，它就是正比例函数，它也是依次函数，而且这两个条件都满足，对不对？所以我们就写是依次函数， 然后呢，也是正比例函数。 好，那么接下来我就复制一下了啊。 好，再看第二个，第二个，它是不是整式啊？它不是整式吧，对不对？它不是整式。 如果你非得化简，那我们就把这个负五提到最前面，然后 x 分 之一。注意，我们这里单独写一下， x 分 之一，它是等于 x 的 负一次方的，就上学期咱们是学过的，对不对？所以负五乘上 x 的 负一次方， 它的次数是一吗？是不是负一啊？对不对？所以它既不是 有点小斜角，把它往前挪一点， 它这个既 不是一次函数，也不是 正比例函数啊。再看第三个，第三个呢，它这里的 r 是 一次的，对不对？ r 是 一次的，这个二派呢，就是等于它不等于零， 这个 k 是 等于二 pi 的，是个固定的值，那 r 是 依次的，所以呢，它是正比例函数，因为它没有尾巴嘛，它没有加上一个常数，对不对？所以它是依次函数，也是正比例函数。 再看第四个，第四个是 x 的 二次方，它是整数，但是这里是 x 的 二次方， 但是 x 的 二次方，它不是一次方，它并不等于 x 的 一次方，对不对？所以呢，它不是一次函数，也不是正比例函数。 都不是，那它是什么函数呢？它是我们九年级要学到的二次函数，这里提前写一下，它是一个二次函数。 好，最后一个，咱们要先把它化简出来，先化简二， x 减八，对不对？这里对应的就是 k 是 等于二的，那这个 b 就是 等于负八的，所以它是一次函数，但不是正比例函数。是一次函数，但不是正比例函数就 ok 了，就判断完了。 再看第二题。用函数解析式表示下列问题当中 y 与 x 的 关系。那叫我们写函数解析式。先看第一个， 某人一年内的平均收入为 x 元，他这一年十二个月的总数为 y 元，对吧？那么这个关系呢？是什么呢？我们可以把它关系写出来。首先，他的总额度等于他的平均月收入，乘上十二个月，对不对？好，他的总额度 等于月平均收入， 乘上它的月数，一年呢，它是有十二个月的，所以它的总数入 y 就 等于 x， 对 吧？乘上十二，那么 y 就 等于十二 x 就 可以。它是一个什么函数啊？是一个正比例函数，对吧？ 好，再看第二个，某水池有水二十立方米，现在打开进水管开始进水，进水的速度是每小时三立方米，然后 x 小 时之后水池里面就有 y 毫米的水。 好，那么我们这里可以理解为它的总水量等于原来的水量加上净水量，对不对？等于原油水量加上净水量， 那么它的进水速度呢？是一个小时三立方米，那一小时就进三立方米， 那么 x 小 时它就进三 h 立方米，对吧？好，总水量现在是 y， 原油水量是二十，加上净水量，不对，是三 x 啊，不是三 h， 写错了， 三 x。 好， 那么就加上三 x， 所以 y 就 等于三 x 加二十，我们要把它写成一般式的形式，就是 y 等于 k， x 加 b 的 形式。把这个写前面知道吧？好，就可以了。

好，咱们再来看到依次函数的题型，先看它的复习巩固。第一题，一列货车以九十千米每小时的速度匀速前进，叫我们求它的行驶路程 s， 关于行驶时间 t 的 函数解析式， 这个 s 的 单位是千米，这个时间 t 的 单位呢是小时，并且求出函数解析式，对吧？那我们要知道路程速度和时间的关系，路程等于什么呀？路程等于速度乘上时间，对不对？我们把这个关系式写一下，路程 等于速度乘上时间，然后再把对应的字母写上去就可以了。路程对应的是字母 s 对 不对？好写 s， 速度呢，对应的是九十千米每小时就是九十，这个时间呢，对应的是字母 t， 对 吧？单位是小时，换成 t， 所以 化解一下 s 就 等于九十 t 就 ok 了。那我们要知道时间他不可能 是负数，那不然的话就怎么样就回到过去了，对不对啊？我们肯定是往后的时间肯定是正数，所以我们要写上它的取值范围， t 大 于等于零就可以了。那么接下来你要画图，要先取点， 我们就画个表格，第一行写时间 t， 第二行写路程 s。 我们一般取值的话呢，取的比较多的就是零和一，对吧，当然你写着二三四也可以看你自己喜欢，然后的话，零乘九十它就等于零，就一乘九十它就等于九十，所以它会过零零这个点 和一九十这个点。咱们再把直角坐标系画出来，横的是时间 t， 竖的是路乘 s 这个焦点是圆点啊，这里是一，然后这里的话我画五十和一百，那么九十大概就在这个位置，对不对啊？一九十 就是这个点，然后零零呢？就这个点，两点确定一条直线，所以这条直线就是什么呀？就是 s 等于九十， t 就 ok 了，对吧？函数解析式写出来了，图像也画出来了，就 ok 了。 再来看第二题，这里问我们函数 y 等于负五， x 的 图像经过哪些象限，对吧？并且经过点零几与点一几， y 随 x 的 增大会怎么样？所以呢，这种题目既然函数解析式已经给了，如果你不记得它的性质的话，你可以先画图，对不对？你可以先画图，它这里给了两个点的横坐标，一个是零，一个是一，我们直接带进去算就可以了，对吧？当 x 等于零的时候， 它的 y 会等于负五，乘上零等于零，所以会过零零这个点。 然后呢，当这个 x 等于一的时候，那这里给了一嘛，对不对？当 x 等于一的时候， y 就 等于负五，乘上一等于负五，所以它会过一负五这个点，那这里就可以填上去了，是不是？好，咱们再把它的图像画出来，你就知道经过第几项线了。 好，这个是 y 轴， 这个是 x 轴，假如说这个是一，这里是零，然后还有一个负五，对不对？假如说负五在这个位置好，那么零零在这里，一负五，咱们对齐， 就在这个位置，你把这两个点连起来，它就是直线。 y 等于负五， x 的 函数图像对不对？好，那么你看一下它经过第几项线？这第一项线，第二项线，第三项线，第四项线，所以它会经过二四项线， 对吧？并且呢，它是斜向下划的，对不对？方向是向下的，随着 x 的 增加，它的纵坐标是不是不断地减小啊？所以 y 随 x 增大而怎么样而减小 就可以了。如果你记不住这个函数的性质，你就画图，好吧， 第三题叫我们分别画出下列函数的图像，这里有四个函数，咱们全部把它画在同一个直角坐标系当中。好吧，那么既然都要画，我们就要先取点，那么怎么取点呢？我们就让 x 等于零或者是一啊，去取两个点就够了，好吧， 好。第一个是 y 等于四 x， 那 么就写 x 等于零的时候，还是对应写格式吧。当 x 等于零的时候，它这个 y 就 等于四乘零等于零，所以会过原点零零，因为它的 x 和 y 是 不是都等于零呢？就过零零，对吧？好。然后当 x 等于一的时候， 他这个 y 就 等于四乘一等于四，所以他就会过一四这个点。好了，那么这两个点就够画了，再画第二个，再算第二个。第二个是 y 等于四， x 加一，对吧？好， 那么当 x 等于零的时候，这个 y 就 等于四乘零，加一就等于一，所以它会过零一这个点。然后当 x 等于一的时候，这个 y 就 等于四乘一，再加一， 它就等于五，所以它会过一五这个点。然后再看第三个。第三个是 y 等于负四， x 加上一，那么咱们也算出来，当 x 等于零的时候，它这个 y 等于负四乘上零，再加一等于一，所以会过零一这个点。 当 x 等于一的时候，这个 y 就 等于负四乘一，再加一，它就等于负三，会过一负三这个点。好了，那么最后呢？还有这个，这个我们也单独算一下。第四个，当 x 等于零的时候， 它的 y 会等于负四乘上零减一，等于零负一，所以它会过零负一这个点。 当 x 等于一的时候，这个 y 就 等于负四乘一，再减一，它就等于负五，所以会过这个一负五这个点。好，那么现在我们再把直角坐标系画出来， 最大的是正负五，对不对？最长的地方是正负五，那这里我们就写个五四二三一零 负五，负四，负二，负三，负一。好，一，我把它标在这里，一标在这里。好了，现在就秒点了，那么四个，我用四种不同的线去画一下，好吧？第一个过零零这个点，然后还过一四这个点，一四在这里， 好，把这两个点连起来， 好，就得到了这条直线，就是 y 等于四 x， 好， 再画第二个， y 等于四 x 加一，那么会过零一这个点和一五零一在这里，一五在这里。把它们两个连起来， 这条直线呢，就是 y 等于四 x 加一。 好，再看。第三个是负四 x 加一，它会过零一和一负三，零一在这个位置，一负三在这个位置连接一下， 那么这条直线就是 y 等于负四 x 加上一。最后一个是 y 等于负四 x 减一，它在哪里呢？啊？它在下面这个位置，零负一在这里，然后一负五在这个位置，对不对？好， 一负五在这个位置啊，咱们再把它连起来， 这条直线就是 y 等于负四 x 减一，那这里呢？只叫我们画图像，并没有叫我们去分析，不过我们可以借助这四个图像去分析一下它们之间有什么关系，好不好？好，咱们这里总结一下，你看 这两个 k 相等对不对？ y 等于四， x 与 y 等于四 x 加一，怎么样？是平行的？ k 都等于四， k 相等， 都等于四，所以它俩是平行的，发现吗？并且呢， y 等于四 x 向上平移一个单位， 平移一个单位长度，它就变成了什么，它就可以变成 y 等于四 x 加一， 这是它俩之间的关系，看得出来吗？你看这条直线，这条直线和这条直线，这条直线是 y 等于四 x 加一，这条直线是 y 等于四 x， k 相等，这两条线平行，这里加了个一，就相当于是把它向上平移了一个单位。啊。好，再看第二个规律， 你再看，你有没有发现这两个啊？一个是这一条，一个是这条，你看它们的 b 值是不是都相等，但 k 是 不是互为相反数，对不对？ k 互为相反数，你发现没有？它们两个是关于 y 轴对称的， 看到了吗？你把这条线关于 y 轴对称，这边对称到这来，这边对称到这里来，所以你会发现 y 等于四 x 加一，与 y 等于负，四 x 加一，关于 y 轴对称。 所以我们这里以后，你可以总结出来，如果依次函数关于 y 轴对称，那么 k 会变成相反数，并且 b 不 变啊，我们写一下依次函数啊， 关于 y 轴对称， 则 k 互为相反数， 一直不变。好，这是这个，你再看这个，这个也是平行，对不对？并且也是平移，从加一变成了负一，是不是减了一个二啊？对不对？所以我们可以得到的是什么呢？我们可以得到的是 y 等于负四， x 加上一与 y 等于负四 x 减去一，是平行的 k 相等， 对不对？好，并且呢， y 等于负四， x 加一，向下平移两个单位长度 就可以得到 y 等于负四， x 减一，那么其实就是在这个加一后面再减一个，对不对？加一减二是不是变成了负一啊，就可以了，这个就是它们之间的关系。好吧，啊，咱们这里总结一下， 再看第四题，如图，求图中直线所对应的函数解析式是什么？这个是一条直线， 函数图像是一条直线，是不就说明它是一个依次函数啊，对不对？并且你会发现它经过的点有哪两个？一个是与 x 轴的交点，这里是负三，零与 y 轴交点， 这里是六，说明这个交点是零六，对吧？所以我们可以直接写，因为这个函数图像函数图像是零六，对吧？所以我们可以直接写，因为这个函数图像函数图像是零 六，对吧？所以我们可以直接写，因为这个函数图像是直线， 所以我们就设该函数，该函数解析式是依次函数，该函数解析式 为 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零啊，这是一个依次函数，对吧？啊，然后呢？由图可知，由图 可知它经过的两个点，直线经过负三、零和零六两个点， 我们再将这两个点带进去，将负三、零与零六带入解析式。 y 等于 k， x 加 b 当中，你就可以得到 这个零换掉 y， 负三换掉 x， 它就是零等于 k 乘负三，再加上 b， 把这个零六往里面带，就是六等于 k 乘零，再加 b， 咱们化解一下，就变成了负三， k 加 b 等于零， b 就 等于六啊，这个是六啊，好了，你接下来再把这个六带进上面去算就可以了。将 b 等于六带入到一式当中，就会得到负三， k 加上六等于零，所以负三 k 等于负六， k 等于负六除以负三，所以 k 就 等于二，最后我们就算出来了， c 等于二， b 等于负六，那么这个解析式就是 y 等于二， x 减六啊，不对，加六加六，正六啊，正六写错了，这等于六，所以 y 就 等于二， x 加上六啊，这个就是它的解析式。 再看第五题，这里告诉我们依次函数的图像经过这两个点，这两个点的坐标已经告诉我们了。第一问叫我们求这个依次函数的解析式，那这个很简单，把这两个点往一般式里面去代解出来就可以了，对吧？好，我们写一下计算过程。 将这两个点，一个点是负四，九与这个六四 带入到一次函数解析式。 y 等于 k， x 加 b 当中，那么我们带进去的话，把这个负四换掉 x， 让这个九换掉 y， 那 么就会得到九等于 k 乘负四，再加 b 啊。 六和四带进去，这个 y 换成四， x 换成六，那么就是四等于 k 乘六加 b， 然后咱们再整理一下，就会得到负四， k 加 b 等于九和六， k 加 b 等于四，这是一四，这是二四。咱们拿这两个式子相减，那一四减二四，那么负四 k 加上 b 减去六 k 加 b 就 等于九减四，那么负四 k 加 b 减六， k 减 b 就 等于五加 b 减 b 减 b 就 抵消掉了负四 k 减六 k， 它就等于负十 k 等于五 k 就 等于五除以负十，那么这个 k 就 等于负二分之一，对吧？好， k 等于负二分之一，再把这个 k 带入到其中一个就可以了。将 k 等于负二分之一带入到一式当中，那么负四乘上负二分之一， 再加上 b 等于九，那么这两个一乘等于二，加 b 等于九， b 就 等于九减二， b 就 等于七，所以最后算出来， k 等于负二分之一， b 等于七，这个解析式就是 y 等于负二分之一， x 加上七。好了， 那么第一问就搞定了，对吧？啊？计，计算步骤稍微写多了一点，再看第二问，第二问叫我们画图像，那我们因为这个数据呢？有分数，对不对啊？你如果带入什么，你如果带入零和一的话，你带入零还好啊，这个 y 就 等于七，你带入一的话，这里 y 算出来它是一个 六又二分之一，对吧？那不好画，所以我们这里就直接这样去令我们，当这个 x 等于零的时候，它的 y 就 会等于七，所以它很肯定会过零七这个点，然后再当 y 等于零， 那么就是零等于负二分之一， x 加上七，二分之一， x 就 等于七， x 就 等于七，除以二分之一， x 就 等于十四，所以它就会过十四。零这个点。好了，那么你知道这两个点，那就好话多了，对不对？好，那么这个是 y 轴， 这个是 x 轴，咱们这里就画七，这里画十四，这里画个七。好了，点够了啊，这里是零，然后过零七这个点和十四零这个点，把这两个点一连好，这条解析式就画出来了。 好，这是第二问，第三问，它让我们判断这个 x， 这个二五这个点是否在依次函数的图像上，并且说明理由，我们就把 x 等于二带进去，看看它的 y 值会不会等于五就行了。如果这个点在依次函数图像上，那它一定会满足这个解析式的， 它一定会满足这个解析式的啊，那我们就代入算一下啊。这第三问写上面吧。当 x 等于二的时候， 这个 y 就 会等于负二分之一乘上二加上七， y 就 等于负一加七， y 就 等于六，六和五相等嘛，对不对啊？不相等它不等于五，对不对？所以我们就说这个 y 就是 y 等于负二分之一， x 加上七，怎么样？过过二六这个点，则 二五这个点就不在函数图像上，不再依次函数图像上就可以了。

好，亲爱的同学们，每天我们不辞辛苦来学校读书学习，我们每个人都树立了远大的目标和理想，来，一起喊出我们的理想， 为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。 好，非常好，亲爱的同学们，我们一定要努力学习，为中华民族伟大复兴贡献自己微薄的力量。好，请坐好，快速的浏览本节课的教学目标，重，难点。 好，进入今天的第一环节，室友之间交流合作，将这道题的答案写在练习本上， 五 y 等于负六 x 加五， y 等于负，六 x 加五，对不对？对，好，非常好，请坐 在黑板上呢，有四道题，大家看一下这个变量之间是否是函数关系，如果是函数关系，写出它们的解析式，并观察解析式之间有什么共同特征。好，开始。 嗯， t， t 要大于等于二十，小于等于二十五度。 哦，你的意思是学友做错了是吧？啊，因为答案应该是 c 等于七， t 减三十度，这个 t 有 没有取值范围啊？有，他是不是前面说在二十摄氏度到二十五摄氏度之间，对不对？所以说 t 应该有个取值范围， 大于等于二十小于等于二十五。好，非常好，请坐，来第二题，来，这一次对， j 等于 h 减一百零五， j 等于 h 减去一百零五，对不对？对，非常好，请坐啊，好，来看一下第三第四，来快速的得出结论。 嗯， 第三题， y 等于零点一， x 加二十二，然后 x 应该大于等于零， x 大 于等于零， y 等于零点一 x 零点一， x 加上二十二， x 有 取式范围，对不对？对，是不是？对不对？对，对，非常好，请坐啊，来，第四题，第四题，哎，你们这个 y 等于负 x 加五十五 x 小 于零小于零 x， y 等于多少？再说一遍，等于。

好，我们再来看一下如何用待定系数法去算依次函数的解析式。那么什么叫待定系数法呢？我们来看一下这个例题四，你就知道了，它这里告诉我们已知一个依次函数的图像，它经过点二负四和点负三十一， 那因为这个依次函数的图像怎么样啊？它是一条直线， 而两点就可以确定一条直线，所以他告诉你两个点了，那你就可以把一次函数的图像画出来， 那如果说他叫你求解析式呢？那么你就把这两个点怎么样带入一次函数的一般式里面， 一次函数的一般式就是 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？它既然在这个函数图像上，那么把这两个点带入解析式，是一定可以满足等式的关系的，对不对啊？你把它带进去，比如说二负四， 你带入带入到哪里呢？带入到 y 等于 k， x 加 b 当中，那么你就会得到把这里的负四换成 y， 把这个二换成 x， 那 么你就会得到负四等于二 k 加 b， 因为 k x 就是 k 乘二， k 乘二等于二 k， 对 不对？然后你再把另外一个点负三十一 带入到 y 等于 k， x 加 b 当中，你就会得到用十一换掉 y， 用负三换掉这个 x， 那 么就是十一等于负三 k 加 b， 对 吧？好，那么你看一下 这两个方程当中是不是有两个未知数，因为这里的 k b 是 相等的，所以你可以把它连立在一起，那么它就是一个二元一次方程组， 二元一次方程组的话，是可以求出两个未知数的，对不对？所以我们现在只需要把这两个怎么样算一下就可以了，看到没有？ 那刚才我们把这两个点带进去了，整理出来之后发现是这两个方程，把这两个方程重新写一遍，把这二 k 加 b 写左边，复式写右边， 负三 k 加 b 写左边，十一写右边啊，连立方成组，然后把 k b 算出来。那么这里呢？我们把它当做一式和二式，书上没有写步骤，没有写计算过程，我把这个过程补一下，你拿这两个四字相减一，四减二四，对不对？左边减左边，二 k 加 b 减去负三 k 加 b 等于负四减十一，对吧？左边减左边，右边减右边，那么就会得到二 k 加 b 减负三等于加三啊，然后减 b 减四，这个负四减十一等于负十五，然后把它加起来，五 k 加 b 减 b 抵消掉了，所以五 k 等于负十五， k 就 等于负十五，怎么样？除以五 k 就 等于负三，然后你再把这个 k 等于负三带回到其中一个式子里面， k 等于负三，带入到一式当中，那么这个二乘负三 加上 b 就 等于负四，所以就是负六加 b 等于负四， b 就 等于负四加六， b 就 等于二，那么你就会算出 k 等于负三， b 等于二，然后把它写在这个位置就可以了。好了，那么这个 k b 都算出来了，你再把 k 和 b 还原到它的一般式里面，还原到 y 等于 k， x 加 b 当中，你把这个 k 换成负三，把 b 换成二，你就会得到它的解析式。 y 等于负三， x 加 b， 这个方法就叫做待定系数。法 面意识上理解，就是把这个 k 值和 b 值把它当做不知道的数值，就是待定嘛，对不对？好，这就是待定系数法， 那么由于这个一次函数 y 等于 k， x 加 b， 当中 k 和 b 两个待定系数，所以用待定系数法的时候，一定要根据两个条件列出二元一次方程组。如果你只能带入一个点的话，那么这个是算不出来 k 和 b 的， 知道吗？必须要有两个点才可以啊。然后把这个 方程解出来，就可以求出一次函数的解析式了。而前面的例题三和例题四，那说明两个方面。 首先如果你知道解析式了，那么你就可以通过解析式去取点，得到两个点之后，你把这个两个点连起来， 你是不是就可以画出依次函数的图像，这条直线对不对？那如果呢？你只知道图像怎么办呢？你如果只知道图像，那么你就在图像上选两个点出来，然后通过这两个点带入到 依次函数的解析式当中，列一个二元式方程组，就可以把 k 值和 b 值算出来，那么就可以反过来求出依次函数的解析式，所以它们两个是可以相互的，知道吗？知道解析式可以画出图像，也可以知道图像画出算出解析式啊，这个是互通的。 再看立体五，一位记者乘坐汽车负三百六十千米外的乡村去采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路，那么在高速路上肯定跑得快一点，对不对？ 普通公路就会慢一点。汽车在高速公路上和普通公路上分别以某一速度匀速行驶， 汽车行驶的路程 y 与时间 x 之间的关系如图所示，那么你看他两小时之前是不是比较抖，对不对？说明跑的比较快，两小时之后是不是比较缓，这条直线是不是比较平，对吧？好，所以他就比较跑，跑的就比较慢。 第一问，这里叫我们求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的 函数解析式，那么这里你要分两段去求，你光是一段的话是不行的，知道吧？啊？ 第一段呢，就让它怎么样？大于等于零，小于等于二，第二段的话，咱们就让它大于二就可以了，分两段去打。 好，那么你第一段就是求 o a 这条函数解析式，对吧？那么你就可以通过这个图形怎么样看出 a b 两点的坐标。首先 o 点的坐标不用多说，对吧？啊，咱们这里可以由图可以看出， 这个 o 点的坐标是零零啊， a 点的坐标呢，是二一百八， b 点的坐标是三点五二百七。好，那我们要求 o a 这条直线的解析式，那你就把 o 和 a 带入这个 一般式 y 等于 k， x 加 b 当中，对吧？好，那么将 o 点 将这个 o 点零零与 a 点二一百八，带入到解析式这一段，我们就求 o a 等于 k， x 加 b 当中。那有些同学说，哎，这不是正比例函数吗？是的，是正比例函数，但是有些同学看不出来的话，你就直接用一般式去证，最后算出来正比例函数 b 就 会等于零，知道吧？好，那我们就带入正常带入就可以了，你就会得到两个， 你把零带进去，零带进去， k 乘零，加上 b 会等于零，那么就是 k 乘上零再加 b 会等于 y， 就 等于零。 再把这个二和一百八带进去， y 换成一百八，二换成 x， 所以 就是 k 乘上二加上 b 会等于一百八。好，化简一下，你就会得到 b 乘零得零，对不对？好， k 乘二就是二， k 加 b 等于一百八，那么由于这个 b 是 等于零的，所以这个式子可以接着算一下，它就算成了二， k 加零等于一百八就等于一百八，所以这个 k 就 等于九十。所以第一段 o a 这条线段，它的解析式就是，哎，九十啊，不是九十度 就等于九十 x， 并且 x 取值范围小于等于二大于等于零，对吧？这第一段再求 ab 这条直线，那 ab 这条直线，那么你就要把 ab 这两个点带进去了，对吧？好，将 a 点二一百八和 b 点三点五二百七 带入到 a b 这条解析式当中，那就是 k x 加 b 当中啊。这里的话，我们可以因为一个题目里面它不能有两种啊，不能用这个 k 同一个字母表示两个不同的未知数，所以我们就把它设为一一，这里都写上一， 好吧。那么下面呢，我们这里的 k 呢，就把它全部换成 k 二和 b 二， 这样表示这两个 k b 值是不相等的，好吧？然后带进去，那么你把这个 a 点带入这里面，那么你就会得到是 k 二乘上二， 再加上 b 值会等于 y 值一百八。第二个你是这里是 b 二啊，再把三点五换掉这个 x， 把这二百七换掉 y 加上 b 二等于二百七。好，咱们再化简一步，就会得到二 k 二加上 b 二等于一百八，然后这个是三点五， k 二 加上 b 二等于二百七，这是第一个式子，这第二个式子，我们拿第二个式子减去第一个式子，那么你就会得到啊，这里我就不写的那么详细了啊，直接就去减了 b 二减 b 二抵消掉了三点五， k 二减二， k 减二， k 二还剩一点五 k 二， 然后这个二百七减去一百八等于九十，所以这个 k 二就等于九十啊。写九十总是习惯性的写上度， k 二就等于九十除以一点五，那么九十除以一点五的话，这个 k 二就等于六十，然后你再把 k 二等于六十带入到一式当中，将啊，这个 k 二等于六十带入到一式当中，将啊，这个 k 二等于六十带入到一式当中。将 带入一式当中，那么就会得到二乘六十，加上 b 二等于一百八，所以这个 b 二就等于一百八。减去一百二，所以这个 b 二就等于六十。那我们算出来的结果就是 k 二等于六十，缩小一点啊， c 二等于六十， b 二也等于六十，所以它的这个第二段 a b 的 解析式，它就是什么呢？它就是六十 x 加上六十，它的取值范围是 x 大 于二的。好了，那么这两段咱们就都求出来了， 再看他的第二问，记者出发之后多长时间可以到达这个采访地，那么他要到多少多远呢？ 三百六十千米外，对不对？所以他也等于三百六十千米，那你就让第二段你看，从从图像上来看，你就看出他这个三百六一定是在第二段的，所以我们就带入这个设置里面去，对不对？好，当 y 等于三百六的时候，那么这个 a b 等于六十， y 等于 ab， y ab 等于六十， x 加上六十，就可以写成三百六十等于 六十 x 加六十，移项负六十 x 等于六十减三百六，所以负六十 x 就 等于负三百 x 就 等于负三百，除以负六十 x， 它就等于五， 所以过多少时间呢？过五个小时就可以到了，对吧？所以我们就说啊，出发五小时后 到达 采访地就 ok 了。当然了，这道题的话，下面它也是有答案的，书上也写了完整的过程啊，只是它把计算过程省略掉了。我在上面呢，就是把计算过程给大家补齐了，好吧，大家可以自己看一下。 再来看到练习第一个一个依次函数，当自变量 x 等于一的时候，函数值 y 等于五， 当 x 等于负一的时候，函数值 y 等于一。叫我们求这个一次函数的解析式。首先我们把一次函数的一般式写出来， y 等于 k， x 加 b， 然后一对应往里面去套，知道吧？他说当 x 等于一的时候， y 等于五，那我们就可以推出这个式子里面的 x 和 y 分 别换成一和五，那么就是五等于 k 加 b 啊。然后第二个条件，当 x 等于负一的时候， 它的 y 等于一，我们就可以得到这个 x 换成负一，这个 y 呢？换成一，那么就是一等于负， k 加 b。 好， 我们整理一下这两个式子， k 加 b 等于五， 负 k 加 b 等于一，一式和二式，你拿两个式子，一加一式加二式，你可以把这个 k 抵消掉，对不对？你就会得到二 b 等于六，因为五加一，它就等于六，对吧？好，所以这个二 b 呢，就等于六， b 就 会等于六，除以二， b 就 等于三。好， b 就 算出来了。那如何求 k 呢？那你就两个式子相减，对吧？一式减二式。好，因为这里的计算不是很多，我这里写完整一点一式，左边减，左边 k 加 b 减去负 k 加 b， 右边减，右边 就是五减一，那么 k 加 b， 加上减负 k 就是 加 k， 再减 b 等于四， b 就 被抵消掉了。二 k 就 等于四，那么 k 就 等于二，所以最后算出来是 k 等于二， b 等于三，所以这个解析式 y 就 等于二， x 加三就可以了。啊，这个就是它的解析式。 再看第二题，一个一次函数的图像经过点九零和二十四，二十叫我们求这个一次函数的解析式。咱们要求一次函数的解析式，可以用待定系数法把这两个点带入一般式当中，对吧？好，一次函数的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 我 们就将这两个点带进去，将九零和二四二十 带入到 y 等于 k， x 加 b 当中。好，那么这样的话呢，咱们就可以得到两个式子，你把九换成 x， 零换掉 y， 那 么就得到了零等于 k 乘九， 再加 b， 然后把这个带进去，那么 y 换成二十，那么就会得到二十等于 k 乘二十四加 b。 好， 整理一下就会得到九， k 加 b 等于零，二十四 k 加 b 等于二十。 好，我们拿这两个式子一减，你就会得到 b 被抵消掉了，对不对？二四减一四二十四 k 加上 b 减去九， k 加 b 等于二十减零。好，拆开括号， 加 b 减 b 就 抵消掉了。那么二十四 k 减九， k 等于十五 k， 十五 k 等于二十 k 就 等于二十。除以十五，这个 k 就 等于三分之四， 咱们再把这个 k 等于三分之四，三分之四带入到一式当中，那么这个九乘三分之四加上 b 等于零，就会得到九和三，约掉还剩三三四十二，十二加 b 等于零， b 就 等于负十二， 那么咱们就可以得到 k 等于三分之四， b 等于负十二，那么这个解析式就是 y 等于三分之四， x 减十二啊，加上负十二就减十二嘛。这个这样的话，咱们就把它的解析式求出来了。 第三题，一位旅客乘坐某航空公司飞机的时候，购买了经济舱的机票， 他所托运的行李费用为 y 元，与行李的质量 x 的 关系如图所示，那么这位旅客可以免费托运的行李最大的质量是多少千克？你看如果是二十五千克的话，那他就要花九十块钱， 如果是三十千克的话，他就要花一百八十元，你看这里有一段红色的线，看到没有？也就是说他到这里的时候，哎，他所有的钱都是零元，是不要钱的，知道吗？好，所以他问我们的其实就是问这个点是多少， 你把这个点求出来，那么他的这个质量就在这个点之前就是免费的，知道吧？好，那我们这里写一下。首先我们从这里可以看出有两个点，一个点是二十九、二十五、九十， 然后这个呢是三十、一百八十，那么你会发现它是一条直线吗？所以我们严格来讲，我们就设一下，设这个函数 的解析式为一次函数， 那就是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，对吧？好，现在我们把这两个点带进去，将 二十五、九十和三十一百八这两个点带入，你就会得到 它的横坐标 x 可以 换掉 x， 它的重坐标九十就可以换掉 y， 所以呢，我们就可以把它写成九十等于 k 乘二十五再加 b， 然后第二个你把这个带进去， x 换成三十， y 换成几一百八，所以它就是一百八十等于 k 乘三十，再加 b。 再整理一下，把它的 k 和 b 都写左边，那就是二十五 k 加 b 等于九十三十， k 加 b 等于一百八，那么这两个式子里面都有一个 b， 两式一减，就可以把 b 抵消掉，二式减一式，那么就是三十 k 加上 b 减去二十五， k 加上 b 等于一百八十减九十三十 k 加 b 减去二十五， k 减 b 等于九十，加 b 减 b 抵消掉三十， k 减二十五， k 等于五 k， 五 k 就 等于九十， k 就 等于九十除以五，九十除以五等于十八，所以 k 就 等于十八，对不对？咱们再将 k 等于十八带入到其中一个式子， k 等于十八 带入到一式当中，那就是二十五乘十八加上 b 等于九十，对吧？ 算出来等于四百五十，加上 b 等于九十， b 就 等于九十，减去四百五，那么 b 就 等于负三百六啊，那么 k b 就 都算出来了， k 等于十八， b 等于负三百六，就 ok 了。那么这个解析式呢，就是 y 等于十八， x 减三百六，那么我们要求这个点对不对？与 x 轴的交点，那么你就令 这个 y 等于零，因为在 x 轴上的点，所有的点，它的纵坐标都是零，所以你就让 y 等于零，则零等于十八， x 减三百六，咱们把十八移过来，负十八， x 等于负三百六，所以 x 等于负三百六除以负十八，那然后呢？这个算出来就是 x 就 等于二十，所以这个与 x 轴的交点 就是二十零，那么也就是说在二十之前它都是不用给钱的，对不对？所以它这里可以免费托运的行李最大的质量就是二十千克啊，二十千克，所以我们就写 可以免费托运的行李最大的质量为二十千克就可以了。