高一数学必修二立体几何证明题求角

正在高一下饱受立体几何大题折磨的同学们快点看过来，如果说线面角你还不会用定义法去找二面角，搞不懂如何用三垂线法，只会去用搜题软件寻求帮助的话，你会发现那些答案全部都是一些坐标系、 间隙、空间向量的方法，而这种方法我们根本不会遇到，这种纯几何的问题我们几何法又搞不拎清的时候，别着急，我们认真看完这条视频，今天宋老师一条视频带你双考点通关，吃透定义法求线面角，掌握三垂线法求二面角， 两大必考几何法解决立体几何大题，一口气讲清楚，看完直接套用刷题，立体几何基础分，稳稳拿捏。首先我们开始第一个板块，叫做定义法求线面角，那么这是我们三大角里面的啊， 第二个，第一个其实应该是意面直线所成角啊，但那个在大体里面的话呢，考的比较少，我们在大体里面考的最多的就是线面角和 二面角，那什么叫做线面角呢？既然要用定义法，我们先把定义给它搞清楚啊，其实它的过程是这样的啊，这里是一个平面阿尔法，然后呢，有一条直线 l， 它和我们的阿尔法交于 a 点，紧接着我做了一条紫色的垂线，要注意啊，其实这个 p 点是很随意的， 就在这条直线上，除了 a 点的位置啊，随便选择一个点就是 p 点过 p 点做底下这个平面的垂线啊，也就这里的 p h 是 垂直于底面 r 法的，那么这个时候啊，垂直为 h， 我 再去把刚刚 p a， 也就是直线 l 啊，与 r 法的交点 a 点，还有我们的 h 点连接即可啊， 这个我们用黑色的线来表示，那么这条线就像一根影子一样，它也确实是影子，它被称之为叫做直线。 l 在 平面 r 法上的摄影， 那么教材上的概念就告诉了我们，此时的角 p a h 就是 我们的线，面角定义在右边啊，大家可以快速的浏览一下。紧接着啊，我把这个三角形给它拎出来之后， 想要在题目中求解出现面角这个 theta 的 所有信息，比如说什么余弦值啊， 正弦值啊啊，更有甚者啊，这个角就比较的特殊，或者说比较的好求，就是三十度或者六十度的话，那我就可以求这个角的大小，但一般啊，在高中为止啊，我们现在求题目的角度的时候啊，很多都只是用三角函数来代表了，对不对？所以我们可以求余弦值或者正弦值， 想求什么余弦值，我就只需要把 a h 的 长度给它搞出来，然后再把 a p 的 长度再求出来，是不是就直接用零边比斜边即可？ 那如果说求正弦值是不是也就是 p h 的 长度，也就是紫色线段的长度，再除以红色线段的长度即可？ 这些呢，其实都不是很困难，因为我们这个直角三角形，说实话，从初中开始一直到高中，已经玩的非常非常的明白了，我只要能在这三条边里面知其二就可以，但是核心是如何能把这个三角形 给它做出来。那我们来看一些题目啊，我都没有放题干，我就直接告诉各位啊，这是一个广东的月考题，他呢说这是一个正三楞柱啊，正三楞柱的意思就是 上下两个面都是正三角形，然后呢侧棱还都垂直于底面，这样的一个什么是不是直棱柱？那这样的棱柱里，它让我们求什么呢？啊？让我们求这条红色的线 b c 撇啊，或者 b c 一 和我们底下这个平面 a c c 一 a 一 的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的这个子线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e a c e a e 就是 垂直的， 这样的话呢，我们就可以把我们的摄影，也就是 c e 再给它连起来。根据刚刚我们的定义，其实 b c e 和 c e e 就是 我们的线本身，还有我们的线的摄影，那他们之间的夹角其实就应该是我们的。什么是线面角， 所以这种题目是比较简单的，我连题干都没有放，我就直接给大家稍微看一下这个图就可以了，因为他现在的这个垂线 b e 是 题目里面怎么样，在图里面就自带的， 所以我一眼就能看到，那它的投影呢，我也就可以顺势画出，那线面角呢，也就不再有难处啊。那紧接着云南这道题目有什么样的一个问题呢？ 云南这道题目的话，它是这样的，它告诉你的条件是 a b c 这个平面啊，这是一道高二的期末考试题，它说是 a b c 这个平面垂直于底面 b c 岛，然后让你去求的是这条红色线 a e 和底面 b c 岛的夹角有这个线面角问题， 你告诉了我， a b c 垂直于 b c 岛， b c 就是 这两个垂直平面的交线，而垂直平面的交线有一个非常特殊的性质，就是我们的第八个性质啊，叫做 面面垂直的性质定律。其实我们只需要把这里的我做辅助线的时候，只需要过 a 点做 b c 的 垂线，它就定然会和底下的 b c 岛应该是垂直的。 所以我现在把这个点如果标为 h 点的话， a h 就 可以充当起我们刚刚在定义里面模型中的那条紫色线段，它呢，应该就是 a 往底面做的垂线，自然而然 h 和 e 连在一块的这条线就可以被称之为我们刚刚的黑色线段，也就是 a e 这条红色线段在底面的投影。 所以现在的线与投影之间的夹角，也就是此时的 a e h 这个角就应该是我们的目标线面角啊，这个 c 塔，那这是云南的一道高二的期末题啊，其实难度也不是很高啊，都可以比较丝滑的或者很简单的做出这样的辅助线啊。 但紧接着呢，这是一个最近啊我的学生在问我的这样一个作业题啊，这道题其实最近在一次比较正式的考试里面也有出现过，是北京的一模考试啊，二六年的北京一模考试好像也考了这个类似的一个问题啊，这道题目 它让我们求的是啊，右边一个楞柱嘛，左边拼了一个楞锥啊，让我们求的是 b c e 在 a b 一 岛这个平面上的一个所谓的夹角，或者说它的线面角，那我就比较懵了啊，尤其是对于我们高一的孩子而言啊，那这个问题还是相对有一些难度的，因为现在的 c、 e、 b 上来就和刚刚的模型不一样， 它呢，和 a、 b 一 岛没有一个非常明确的焦点，对不对？所以我没有办法过另一个点啊，虽然另一点比较随意嘛， 但是刚刚这题都很明确，就另一个点就是 b 点啊，就是 a 点上面这个，广东的就是 b 点上面这个，云南就是 a 点，做底面的垂线即可。而这里呢， c 一 b 和平面 a、 b 一 岛都没有交点，另一个点更加不知道该从哪里去找了，对不对？题目变难的逻辑呢，就可以从这些角度来让它变难， 比如说啊，他可以搞来一些动点让你去研究，也可以让这里的线和我们的目标面，就目标线和目标面看起来八竿子打不着，那我们就需要通过一些以前学习过的内容啊，去进行一定的 转移。比如说啊，第一个比较丝滑的方式就是我们刚刚有微微提到一点点的意面直线所成角，意面直线所成角的问题就是所有的直线啊，其实我都可以通过平移把它挪到我想要去的位置， 当我把它挪到想要的位置的时候，我就可以通过我比较熟悉的形式去求线与线的夹角，那线面角也是一样啊，线面角里的线也可以去挪到，或者说平移到我们希望他在的位置，那就做平行线就好了，能够做出合理的平行线，我们就可以 像我们刚刚那样一样啊，去做这样的辅助线，并且把这种题目转换成跟刚刚那种啊，云南还有广东这样的题目啊，一样难度的这样一些题， 我们来讲两道可能稍微复杂一点点的题目啊，大家一起来感受一下。首先第一个在棱长均为二的正三棱柱， a b c a e b c e 中，这个正三棱柱啊，那我们简单画一下这个草图， 正三棱柱的长相也是相对比较规整的啊，所有的底面都是正三角形，然后呢，侧面也都是矩形了，然后侧棱也都垂直于底面。 m 的 话呢，是 a b 的 中点啊，我们标一下啊，比如说这里是 a， 这里是 b， 这是 c， 那 下方就是 a e b e c e 没有图，那我们就要自己画，所以这里是 a b 的 中点，我们把它标出来，这应该是我们的 m 点， n 点是侧面 a c c e a e 内任意一点， 这就是我刚刚讲的第一个逻辑，把题目变难的第一个定点，那么此时我们的 n 点在侧面乱动，问你 m n 与平面 a c c e， a e， 它的所乘角的取值范围是怎么样的？那么现在 n 点在边界还有这个平面外都有它所带的一个位置，那现在我们来看一下，如果说我们取出 a c 的 中点的话， 它会有一个点是不叫做 o 点，为什么这么来做呢？你仔细想一下，因为我们现在的 m n 随便画一个，比如说 n 点在这个位置，那么 m n 和这个面的夹角我应该要干嘛？应该是要去做所谓的 a c c e a e 的 垂线。再说呀， 因为你现在的 n 点不知道在哪，但好歹也是一个什么，是不是好歹也是一个我们这里和平面 a c c e a e 的 一个 交点，所以呢，可以为之一用啊。但是呢， m 点是一定是面外一点，所以我需要去过它做什么？ 就是做我们的这个平面的垂线。那么为什么选出了 o 点这个中点呢？我选完中点是要选四等分点的， 为什么这么选呢？因为作为正三棱柱而言，我如果把 a c 的 中点 o 点选出来，再把 a o 的 中点，比如说 h 点给它选出来的话，那么 m h 这条线可不简单， 它是垂直于 a c 的 上方的 a b c 这个平面，作为一个正三棱柱而言，它一定是垂直于 a e c e c a 的。 垂直于 a e c e c e 之后的话呢，我现在的 m h 又是我人为的去做的什么？是不是垂直于 a c 的 一条线？ a c 什么身份呀？ a c 啊，其实是我们的 abc 这个平面和那个平面 a e c e c a 的 一个交线， 所以现在面面垂直，我又做了它们两个交线的垂线，那得到的结果一定是我们的 m h。 怎么样，它待在我们的 a b c 里的一条直线，它就一定会垂直于 a e c e c a 是 不是这个平面？所以啊， 这个 h m 不是 别人呀，它是谁呀？它是老紫呀，刚刚那个模型里面的紫色线段呀，它是那个垂线，所以 h 点就是 m 点在这个平面上的投影，那么 h m 就是 老黑啊，就是我们刚刚所说的投影。所以 n m 是 我们的目标线啊。平面 a c a c e a e 是 我们的目标面，而目标线在目标面里的投影就是 h n， 所以 这个角我找到了，就是 m n h 这个 c 塔就应该是我们的线面角，那么如果说 m n h 是 我们的线面角的话，那我们现在的这个正弦值的取值范围应该 有了一个小小的眉目，为什么呢？因为所谓的 sine theta， 它应该是等于 m h， 对 边就是 m h 嘛，那么斜边就是 m n 啊， m h 其实是个定值哦，因为我们上方是一个人长均为二的三楞柱，所以上方是一个人长或者说边长为二的一个正三角形。 b o 就 应该是根号三，所以呢， m h 就 应该是二分之根号三，这上方是一个定值啊，就是二分之根号三。而下方的 m n 呢？ 开始乱动了啊， m n 是 真的不知道了， m n 是 一个会动的长度，所以我们现在想求 sin c 的 取值范围就已经非常明确了，我只需要把 m n 的 取值范围给它求出来就可以了。那 m n 等于多少呢？ m n 其实就应该等于根号下 m h 的 平方，再加上我们的 h n 的 平方， mh 的 平方，加上 h n 的 平方，里面的 m h 就 应该是一个定值，就是二分杠三，所以平方完就是四分之三，再加上 h n 的 平方， h n 最短最短应该是多少？ 最短最短最短其实应该是零哈，因为它现在这个 n 点确实可以跑到是不是 h 点的位置啊，所以最短应该是零，所以此时加上了这个 h n 的 范围呢？我们稍微的书写一下， h n 最小最小应该是零，最大最大呢？ 其实最大的时候啊，这个 n 点应该要跑到哪里？应该是跑到是不是我们的 c 一 点的时候，此时的 h n 可以 取到真正的最大值。 那么 h n 多长呢啊？这里的长度应该是二分之三，这边的长度这个棱应该是所谓的二，所以此时我们的 h c e， 也就是我们 h n 的 最大值，应该等于根号下二分之三的平方，再加上我们的二的平方， 所以得到的结果应该是四分之九，再加上四啊，也就根号下四分之九，再加四啊，这稍微算一下就是四分之二十五，所以开出来过以后就应该是二分之五。 所以这里的 h n 的 长度啊，最小最小应该是零，最大最大呢，应该是二分之五。 那这样求完之后啊，我们 h n 的 长度出来了，那么 m n 的 长度的范围应该是多少呢？那最小是不是也就是二分之二三啊？因为 h n 最小是零嘛，加四分之三的开根号就是二分之二三，那最长的话呢，应该是四分之三，再加上 h n 的 平方 就是四分之三，再加上四分之二十五，也就是四分之二十八，四分之二八，开出来应该是二分之二倍，根号七，也就是根号七哦，所以这样我们求出来的结果啊，就应该是 m 的 长度是在二分之，根号三 到根号七，于是把这个 m n 的 长度丢带到我们最开始的这个式子里面来，终于终于可以出结果了啊， m n 取最小值的时候，反而我们的算它应该取最大值，刚好就是一啊，这也顶天了啊。 确实，这个时候我们的 m n 就 应该和底面是垂直的，所以九十度的正弦值也就是一啊，所以算出来的结果就应该是十四分之，根号二十一，那答案 应该就已经出来了，应该是十四分之二一到一。实际上我们就还是通过定义法，把线面角找到，把线面角的正弦值给它，怎么样 凸显出来之后啊，我们再去明确这个取的范围到底是因为谁在动，我发现是由 m n 在 动，而 m n 的 长度呢，又是由 h n 来决定，所以我求出 h n 的 范围，一步一步的回推到我们的 m n 的 范围，那这个问题就已经解决掉了。 话不多说啊，我们直接来看一下这里的第二题，就是我刚刚啊放的那个图。这道题目是我这几周啊，刚好有个同学问我的一道题， 他作业帮一搜啊，小圆搜题一搜，搜出来嘛，就是间隙。这道题间隙确实还可以啊，但错就错在我是个高一下学期的学生，我还没有学过间隙，你给我来个间隙是不是害我们 啊？如果我偷个懒，抄个答案上去的话，老师一眼就知道我是不是在搜题了。所以我们现在还是要去学习这个几何法。 几何法永远是我们通往间隙或者通往立体几何大成之上的必不可少的一个步骤。好，我们来看一下这个。这个题目有个第一小题，我略讲一下，不是今天的重点，这里什么三棱柱啊， abc 又是正三角形， ab 呢，又是等于二啊， c c 一 垂直于平面， abc， c c 一 呢是根号三，捯是 c b 延长线上一点延长过去啊，而且捯 b 呢，又等于 bc， 就 延长了一倍啊。 他说，假设 a c 的 中点为 e， 让我们证明 c e e 平行于 a b e 岛。 好的，那么这个问题其实并不是非常的难啊，因为现在我只需要去把这边这个中点再点出来啊，然后连接连接 b e 啊，再连接，假设中点是 m， 我 把这个 m e c e b e 给它连出来之后啊，就完事了啊， 因为现在下面这个长度是延长一倍的，所以 m e 和倒 c 之间应该是中位线的关系，那就应该是长度等于 b c， 但是又平行于 b c， 总而言之啊， m e 就 会平行于 b e c e 啊，当然，其实平行等于 b e c e 啊， 从长度上来说，它等于下方的倒 c 一 半，那就等于 b c 用于三棱柱，它就会等于是不是上方的 b e c e。 所以 这里简讲一下，就是构造这样的一个平行四边形即可啊，我就可以证明出，此时 b e m 和我们的 c e e 是 平行的， b e m 和 c e e 平行就可以推出啊， c e e 应该是平行于 a b e 岛的。这是这样的第一小问，但是第二小问，不少学生啊，都比较痛苦，它这里应该是 b e c e 与平面 a b e 岛夹角的正弦值。来，我们来看一下啊， 各位，写完第一题不要忘记啊，写第二题的时候，往往可能还有点帮助的啊，或者说可能会突破啊，我们那些思维的定式，第一小题的这个结论可能也会得给我们一点提醒， b e c e 在 这个位置 与平面 a b e 倒的夹角，我该怎么办呢？其实这道题目啊，当时我在思考的过程里面是这样来想的，如果我直接去做垂线的话，我都不知道做哪去了， b e 确实在 a b e 倒上，那 c e 我 往这个面做垂线，我做哪去了？ 根本就搞不清楚啊，所以现在就非常的难受啊，但现在我可以干嘛？我是不是可以进行一个转化？就像刚刚我们所讲的一样啊，你既然已经说出了这里是一个什么， 是不是一个平行四边形，所以现在呢，我们的这里的 m 点，还有这里的 e 点 m e 是 不就平行于 b e c e， 所以 b e c e 和平面 a b e 倒的夹角，这就等价于 m e。 有 些人说 m e 还不够好，那非常非常好啊， m e 其实还是不够好啊， me 这个身份其实完全可以再换成谁，是不是换成左侧的蚯蚓？如果你换成了蚯蚓的话，那么这个问题就相对会变得比较简单了。 首先啊，我现在过 b 点往这个面去做，垂线就是目标线是蚯蚓，目标面是 a b e 蚯红线就是蚯蚓，那我现在子线就是垂线段啊，这里的 b h， 我 完全可以过 b 点直接去做这个 a b e 蚯蚓垂线， 虽然我有一点点不太清楚啊，你会垂到哪里去，但是呢，至少是垂在，是不是我现在目力所及这个面内的啊，比刚刚一定是要好不少。所以这就是我们简化题目的一个逻辑，我可以把这里的线 移移到我想要的位置，然后再去用我们定义里面交的那个模型去画图，你的算力，你的这个计算的难度以及成本一定会降低，所以我们过 b 点做这个垂线，会得到这个 h 点，那么接下来这个三角形 b d h 就是 我此生要去 钻研的，是不是这样的一个三角形？嗯， b d h 这个三角形呢？它其实应该是一个什么样的？应该说是直角三角形， 而 b d 的 长度我是知道的啊， b d 的 长度其实就应该也是几啊，是不是也就是二？因为 ab 是 二嘛， bc 也是二啊，这边也是二，你言传一倍，那 b d 是 不是也是二？ b d 是 二过以后，那 b h 呢？ b h 呢？ b h 不 清楚，但是我可以用等体积法，我用回忆起来一个非常重要的知识点啊，叫等体积法，其实 b h 就是 什么？是不就是 b 点到哪里啊？ 就是到我们的 a b 一 岛这个三角形的面积。当我这样写过以后啊，我会知道，第二小问的突破口已经出来了， 它就应该用等底积法 v b 杠 a b 一 岛这个体积来进行转化。因为 v b 杠 a b 一 岛啊，就应该等于三分之一倍的 s 三角形啊， a b e d 啊， 就应该等于三分之一倍的 s 三角形 a b e、 d， 再去乘上我们现在的目标是不就是 b h 三角形 a b、 e、 d 的 面积啊，我是可以去给它求出来的，这个我马上再说， b h 是 我想要的东西。 紧接着啊，这个三棱锥的体积除了可以这样写以外，是不还可以写成 v b 一 杠 a b 倒，那它的体积是不可以等于三分之一倍的 s 三角形 a b 倒啊， v b 一 杠 a b d， 这个三棱锥的体积是不还可以写成三分之一倍的 s 三角形 a b d， 然后再去乘上我们的 此时的高啊，那此时的高其实就是 b b 一 啊，这我也不啰嗦了啊，因为你 b 一 作为顶点的话，它往下做垂线不就是 b 一 b， 好 吧，所以这样的话呢，两者一划等号，我只需要去把这个，这个还有这个给它求出来，那 b、 h 的 长度是不也就直接啊， 出现了那么一个人来解决就好了呀？像 s 三角形 a、 b、 e 倒这种东西啊，有点难度啊，但是我今天也写的不会很详细了啊，我就直接把这些边稍微标一标，这里就应该是二，这里也是二，而这边应该是一百二十度啊，应该是一百二十度啊， 好，那我这里稍微擦一下啊，或者说我拿蓝色的笔啊，绿色的笔啊，稍微给大家标一下啊，这里是二，这里也是二，这边是一百二十度，所以 a、 d 长度应该是二倍根号三。那么 a、 b 一 的长度呢，应该是二 根号三，对吧？它说 c、 c 一 等于根号三啊，所以应该是二根号三的勾股数啊，应该是四加三开，根号应该是根号七，所以 a、 b 一 是根号七，而 b、 e、 d 呢， b、 e、 d 的 长度应该是多少呀？哎，这里是垂直，是根号三，这边也是二，所以这里也是根号七啊。这个三角形 a、 b、 e、 d 这个三角形， 它在我们的心中就已经很明确了，应该是两条边都是根号七，谁啊？ b、 e、 d 还有我们的 b、 e、 a 啊，都是根号七，然后呢， a、 d 之间是二倍 根号三，所以这个高呢，就应该是根号七减根号三啊，或者说根号七的平方，减根号三的平方，也就是开个根号，也就是二，所以它的面积啊，就应该是二分之一，再乘上二倍根号三，再乘上一个二，就应该是二倍根号三喽， 所以 s 三角形 a、 b、 d 的 面积就是二倍根号三，而 s 三角形 a、 b、 d 呢？ 这已经搞定了啊， b h 放一放啊， a b d 呢，很简单吧，应该是二二二倍根号三的一个等腰钝角三角形，所以它的面积的话呢，应该是 根号三啊，这个我就简讲了啊，大家都会求的啊，因为它的形状是二二二倍根号三啊，这样的一个等腰钝角， 那最后一个 b b 一， 我也是知道的啊，就应该是根号三，所以上式全部给它累下来，就应该是三分之一乘上二倍根号三，再乘上我们的 b h， 再去等于啥呢？等于下面这个二号式子，也就是三分之一再乘上 s 三角形 a b d 啊， a b d 的 话呢，就是根号三，所以再乘上一个 b b 一， 于是我就非常清楚了啊，此时的 b h 的 长度应该会等于多少，是不是等于 b b 一 的一半，也就是二分之根号三， 所以我刚刚说此生要去研究这个三角形啊，搞定了啊，这里是 d， 这里是 b， 这里是 h 啊， b h 的 长度是二分之根号三啊， 那么 b d 的 长度就是二的情况下，我们就可以正确的得到这个结果啊，它的正弦值就应该是二分之根号三，再除以二，就应该等于四分之 根号三啊，所以右边的一切全部都是在为什么我们这个所谓的 b h， 也就是这个直角三角形里面的啊，这个 b 点到底面或者说到目标面的距离 啊，就刚刚那个紫色线的长度在服务啊，所以这些过程等体积法就是这样来用的。好，那还有一道题目也可以快速的说一下啊，就是这个第三题，这其实是非常新的武汉三调啊，就是高三的武汉的 一道模考题啊，完三道的质量也是非常非常高的啊，这道题目前在网上吹的也很厉害，那么实际上我觉得他做的确实不错，他把解三角形还有我们所谓的立体几何啊，都放在了一起去考，但是我们今天只看一问，就是这里啊，这个第三小问， 这个第三小问是让我们求的就是限面积，如果说你在高三的时候学会了间隙，就疯狂在间隙的话，当然是可以的，你现在上网搜的很多答案应该都是在间隙，然后说就比较难，比较难点，也比较难算，对不对？但其实这道题目啊，如果你熟练掌握几何法的话，你会写的非常非常的顺利， 因为他现在在前面两问里面啊，尤其是第二问，他让你算了一个东西，叫做 p 杠 abc 的 体积。 好吧，那这里啊，我默认各位是会的。好吧，我就直接把这个体积的公式或者说体积的结果告诉你啊， v p 杠 abc 啊，就是四分之根号十五。那么问题来了，它现在的 p 杠 abc 的 体积是四分之根号十五，让我求的是 b c 到什么，是不是与平面 p a b 的 夹角。那么我们现在根据刚刚的定义的话，应该是过 c 点做什么？是去做这个平面的垂线，这是刚刚的垂线段，紫色线段，那么这个垂足即为 h 的 话， 紧接着我们的 h b 就 应该是我们刚刚的黑色线段，也就是 c b 这个线段在 p a b 目标线在目标面上的投影。所以说我们现在的线面角已经出来了，就是这个 c， 它 bc 长的已知啊，因为这里是直角，那现在想要求这个 c， 它的正弦值的话，斜边就是 bc， 而 bc 长的已知就是根号六。 所以这道题目在第三小问里只有一个问题，就是把谁求出来，就是把 c h 求出来啊，为什么？因为 sin theta 等于 c h 比上 bc， bc 等于根号六，所以只有一个东西不知道就是 c h， 那 么 c h 到底是多长呢？第二小问告诉了我 p 杠 abc 的 体积， p 杠 a p c 的 体积恰好又是什么？根据我对于三棱锥如此之深厚的了解，它就应该等于是不是 c 杠 p a b 啊？ v p 杠 a b c 就 等于 v c 杠 p a b， 而 v c 杠 p a b 就 等于三分之一倍的 s 三角形 p a b 再乘上我们的 c h c h 就是 c 到 p a b 的 距离，也就是以 p a b 为底面， c 为顶点时候，这个三棱锥的高。所以问题再一次的减化为去求什么？是求三角形 p a b 的 面积，那么紧接着我就只要求三角形 p a b 的 面积就可以了，它告诉我 p a 等于一，这题目说的， 然后呢？ ab 等于三啊，这也是题目说的，然后 p b 呢？等于二倍根号三，所以 p a b 这三角形是一三 二倍根号三啊，是这个样子啊，所以 p a b 这三角形是一三二倍根号三，是这样的一个形式啊，那我们再不记是不是也能把它的面积给它求出来，只需要稍微调用一点点我对于解三角形的了解即可。此时对于这个东西而言，我们假设这个角为 r 法 啊，假设这个角为 r 法，那么 cosine r 法就应该等于多少？ ok， 这地方稍微差一小嘴儿啊。我觉得这个 r 法我选的不好， 因为我发现啊，这三条边里面有一有三啊，有二倍根号三，所以我会选择这个角为 r 法啊，因为这是 a 嘛，这是 p 嘛，然后这边是 b 啊，我会选角 a， 或者说角 p a b 为 r 法。那么此时的 cosine r 法就会等于啊，一的平方加上三的平方，再减去二倍根号三的平方，也就是减去一个十二，再除以二乘以一乘以三啊。 上面是十减十二就是负二啊，下面就是六，所以 cosine r 法等于负的三分之一，那么 sine r 法其实就应该等于正的三分之 二倍根号二啊。这是利用 cosine 加 cosine 等于一即可。于是现在的 s 三角形 p a b， 利用减角形里面的三角形面积公式，就应该等于二分之一乘以一，再乘以三，再乘上三分之二倍根号二。所以这样得到的结果啊，应该就是，呃，削掉一个二， 再写了一个三，应该就是根号二，于是四分之根号十五啊。左边这两坨是一样的。第二小问告诉我，等于四分之根号十五，那就应该等于三分之一再乘以根号二，再乘上 c h， 所以 c h 的 话，应该等于 三倍根号十五，再除以四倍根号二，也就是八分之三倍根号三十。 我刚刚最开始说的 sine theta 等于多少？ sine theta 是 不是应该等于 c h， 再去比上我们的根号六， c h 是 八分之三倍根号三十啊。所以这样除上一个根号六过以后，这个 sine theta 就 应该是等于 八分之三倍根号，所以这道题目的答案一定是正确的啊，你可能间系得到结果也一定是匹配的。但是如果我去用的是几何法，就是我们高一下期刚学立体几何的这一套方法。用的是定义法的话，你会发现你的步骤会非常非常的少 啊，会在前三道大题里面为你节省下来非常多的时间啊，这是一件非常好的事情。 所以定义法求解我们的先面角，大家一定一定要学明白啊，或者说一定一定不可以去， 既希望于间隙解决所有的问题，而应该在这个阶段去把这个方法也学扎实，这是第一步，第二步，再去学间隙之后两条腿都学好了，你才能在立体几何的世界里面走得比较安稳，走得比较顺利啊。 好，那么接下来我们来看第二块啊，在大体里例题几个最喜欢考的三大角之三就是我们的二面角，那么今天我主要讲的方法叫做三垂线法， 他也有定义法啊，但定义法有些时候可能没有那么的好用了啊。三垂线法呢，我认为是非常好用的，还 有一些更快的方法，比如说投影面积法，那今天我们可能提不太到啊，如果需要的同学可以啊，联系我的后台，然后我们再去聊这个问题， 再去分享，共同探讨这样的问题就好。那三垂线法求二面角是什么呢？我们先把二面角了解一下啊，这个定义我觉得还是比较简单的，有笔记本电脑一样的啊，这样掀开过一个状态，其实就是一个线 l 啊，然后呢，向两边出发，是不是有两个半平面 r 法和贝塔，那么这个形状就叫做二面角啊，这个两半平面就叫做二面角的面啊，这个没有问题。紧接着我现在如果选择了啊，一个点 p， 就是棱上选个点 p， 然后以 p 为垂足，这样做，这样做啊，就全部是垂线做了 p a 还有 p b 啊，其实都是射线喽，那我们现在做了射线 p a 还有 p b 啊，它们之间夹这个角，叫做二面角的平面角 啊。其实到最后啊，大家说话都已经开始模棱两可了，或者说的没有那么严谨，其实我们最终在求二面角的时候啊，很多时候都是在求二面角的平面角，二面角这个三个字，其实只代表上方的那个图形，仅此而已 啊，他其实并没有那么那么重要啊，重要的大小其实是附托于或者说赋予我们的二面角的平面角。所以其实我们讲的定义法呀，或者说三垂线法，都是在两个平面中啊，去寻找我们的二面角的平面角。那什么叫三垂线法啊？这是今天的重点。三垂线法是这样的啊， 我们现在已经有了这样的两个平面，阿尔法还有贝塔啊，然后上面呢，却有着所谓的比较糟糕的 p 点和 q 点啊， 为什么这么说啊？因为如果说是比较好的 a 点和 b 点，它应该是这样的一个效果啊，就我选择了一个 o 点之后啊，做了一条垂线， ok， 就是 垂线，再做一条垂线，这边就是 b 点，那么这样的话， a o b 就是 二面角的平面角，这没有问题。 但实际上呢，我们现在的 p 点和 q 点，或者说大多数想把题目变得稍微难一点的题目，他都会去把这里的 p 点和 q 点给它错开。 也就是说，如果我过自己的 p 点啊，去做这个棱的垂线，哎，会垂到这里的 m 点，我过这里的 q 点去做这条棱的垂线，会垂到这里的 n 点。怎么说？错位了？ 那错位其实也有方法去解决啊，就比如说我可以去做平行线嘛，把 q n 平移到左边这个位置，是不是也行 啊？但这就比较麻烦嘛，我要画好多条线啊，但我可以用稍微简单一点的方法啊，或者说更加直接的方法去解决这个问题。怎么做的呢？是这样的啊，先过这里的屁点，直接一条擎天柱就立在下方的 背它上啊，就 r 放的屁，直接做一条垂线，垂直于背它。 r 放的屁做一条垂线， p h 垂直于背它。 h 为垂足的话，这是第一条垂线。三垂线，第一条垂线先 垂面，紧接着我过这个 h 点，再做一个 h o 垂直于谁？垂直于我们的交线，也就是我们的棱 l 啊， 做这个交线 l 的 垂线，这样垂完之后得到了 o 点之后再相连。连什么？连？最开始的 p 点和 o 点，那么现在的这个角就是我们的 p o h， 这个角就是一定是我们的二面角的平面角。 为什么这么说呢？因为我们的 p h 垂直于底面贝塔，而 l 呢，又在我们的贝塔里，所以 p h 包怎么样的包和我们的 l 是 垂直的，而我们的 h o 呢，又是我自己做的，垂直于 l， 这说明什么啊？当然还要补充一些啊，就是 p h o 相交于 h 点，并且我们的 p h 和 h o 呢啊，又都在我们的 p o h 这个平面里，所以我就可以证明 l 应该是垂直于平面， p o h 的 l 垂直于平面 p o h 之后的话，我们现在的啊， p o 和 o h 都在这个平面内啊， 那就可以说明我们现在的 p o h， 它应该是和我们的 l 垂直，之后就可以说明我们的 p o h， p o 和 o h 就是 都垂直于我们的。什么 是不是我们的这个公共线，或者说我们这个棱啊，公共棱，于是 p o h 啊，就应该是我们现在的这个二面角的平面角 好吧，所以我们现在就可以非常了解三垂线法的做法，它应该是这样的一个步骤，一垂面，二垂棱，三相连角 b 线啊，那么第一个就是我们的红线啊， 一垂面，第二个就是我们的绿线，就是二垂棱。垂完过以后啊，我们就会把最开始的 p 点和我们最终的这个垂足 o 点啊给它相连，那么角 p o h 就 应该是我们的什么二面角的这样的一个平面角啊。 那么学会了这个方法之后啊，我们来看一道题，这道题没记错的话，应该是宁波市啊，宁波九校这个非常著名的联盟的一道期末考试的题目啊，在三轮锥 p 杠 abc 里面， pa 等于 bc 啊，都等于一 ab 等于根号三 好数字标完了啊， p a 垂直底面， abc 平面， p a b 只垂直于 p b c， 那 么 m 是 pc 的 中点，求证 ab 垂直于 bc， 这个其实应该并不是很难啊，也不是我们今天的重点啊，我们就稍微说一下就好啊，其实我现在只需要去做这里的 a h 的 这样一条线就好，为什么？因为题目里面出现了 p a b 垂直于 p b c， 这是一个面面垂直，看到面面垂直，找交线去做交线垂线，这是一个雷打不动的切入点啊。当我把 a h 做出来之后，这条线一定会怎么样？根据面面垂直性质定律，它会垂直于 p b c， 那 么它垂直于 p b c 的 话， b c 这条线就会垂直于 a h 啊。 bc 垂直于 a h， 这是第一点，而 bc 还会垂直于谁？还会垂直于 pa？ 所以 简写就只要这样写就好了啊啊，让大家感受一下即可。 为什么还垂直于 pa？ 因为 pa 垂直于 abc， 所以 pa 还会垂直于 abc 的 所有的线，包括 bc， bc 垂直于 a h， bc 也垂直于 pa， 再结合它们俩相交，它们俩都在哪？是不是都在 pa 里？就可以推出我们现在的这个 bc 应该会垂直于左边这个平面，是不是 pa b， 那么 b c 垂直于 p a b， p b c 就 会垂直于 p a b 里面所有的线包括什么？是不是包括我们的 ab 啊？ 这不是今天重点啊，我们稍微说一下就行，就可以证明出 b c 垂直于 ab 啊，证明线线垂直，实际上是要证明线面垂直。 ok， 那 么接下来看一下今天的重点是这个。第二小问，让我们去求解的是 p a b 和 m a b 的 夹角，那如果说我要间隙的话，当然可以间啊，你去搜一下，你就会发现怎么去间隙的。那现在我们来看一下啊，如何去用三垂线法去解决。为什么要用三垂线法？因为你现在的 p a b， 如果你去过 p 点做这个公共弦的垂线，会垂到 a 点。如果你去过 m 点做这个公共弦的垂线，你会垂到 a b 的 啊，某一个位置啊，可能是中点，对吧？我没有详细的去探究啊，但归根结底，它和 p 点做的垂线，它不再交于同一个点，所以这个二面角的平面角没有那么那么的好找。那怎么办呢？那我们就可以开始使用三垂线法 来。我当然可以去使用 p 点，也可以使用 m 点，但如果我要过 p 点做 m a b 的 垂线的话，来一垂面嘛。 如果选择了 p 点，你就要往着另一个面，就是 m a b 去做垂线，你会垂到外面去。但是如果你过 m 点，你选 m a b 的 步桨去垂直于 p a b 的 话，很简单，你只需要去做 p b 的 垂线就可以了， 这个非常好做。因为第一小问证明了 bc 垂直于 a b p 这个平面， 所以现在其实你只需要去做 b c 的 平行线，就会得到 p a b 的 是不是垂线。 于是我会把这里的 p b 的 中点 o 点给它点出来，那么 m o 就 会垂直于 p a b 这个平面， m o 垂直于 p a b 这个平面， 这就是 e 垂面已经到位了。紧接着我只需要再去做这里的 a b 的 垂线， 谁会垂直于 a b 啊？ p a 不 就垂直于 a b 吗？所以现在 o 点是中点，我只要再把下面的这个 h 点，也就是 a b 的 中点再点出来，这条线是不是就会垂直于底下的 a b c？ 那 当然也会垂直于 a b 喽。所以一垂面是做出了 m o， 二垂棱是做出了 o h 三相连，就是连接这里的 m h。 于是现在的二面角的平面角被我找到了啊，就应该是这里的 m h o 这个平面啊， ok， 本来看不到线，应该用虚线来画啊，怕各位看不清，所以我画成了一个实线。那么这里就应该是我们的二面角的平面角，是不是 c 塔？ 于是你现在让我求这个夹角的大小啊，我就把这里的 m o 啊， o h 啊， m h 啊啊，反正三个里面搞清楚，两个不就行了吗？那他告诉我， bc 等于一啊， 那 bc 等于一的话，中位线 m o 的 长度是不是就应该等于二分之一来， o h 也是中位线啊，你告诉我 pa 也是一，所以 o h 它不就也应该是二分之一吗？而且这里还应该是垂直的，所以这个图画出来 我都画丑了，它应该是一个什么？是不是等腰直角三角形？也就是说，此时的 m h o 应该是一个二分之一，二分之一等腰直角三角形。那 c 塔在这个位置啊，不是四十五度，也得是四十五度了啊，所以这道题目的结果应该是四分 之派。所以这就是所谓的三垂线法啊，本来是 p 杠 a， b 杠 m， 那 p 点不好用，直接被我排除在外，我就用 m 点，一垂面，二垂棱，三相连，那我们的二面角的平面角就直接浮出水面。 好的，那么今天的视频到这里就结束了，数学想提分，关注宋老师，点赞收藏视频，高中三年，我将陪大家一起冲刺高中数学，记住哦，关注宋老师每个视频，送大家一个解题小妙招。

立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。

立体几何二面角不会求？看完这篇秒懂，还在为立体几何二面角头疼吗？找不对平面角算不出角度，做题全靠蒙！别慌！高中数学二面角核心解题法， 一次性给你讲透！定义法棱上取点两面做棱的垂线，直接锁定平面角，基础题必用 三垂线法，找面的垂线，再做棱的垂线，一步定位平面角，高频考点秒杀！项量法间隙求法，项量公式直接算，不用找角， 难题直接通关！不管是定义法、三垂线法还是项量法，做题没思路，步骤一出错都是没掌握解析技巧， 别再盲目刷题死磕了！高中数学解析技法大权理整理了二面角全题型解析模板、易错点、避坑速算技巧，从基础到压轴题，一步步带你拆解思路， 手把手教你套用方法，再也不用怕立体几何！高中数学想提分，找对方法比盲目努力重要一百倍！需要完整版二面角解析记法的赶紧码住这份记法大权！链接就在下面！

好，同学们，咱们今天来看一道去年的例题，几何高考真题。这个题目我想给大家 讲的一个点就是如果大家在高一第二学期发现一些题目的第二问，第三问不好做的时候，大家其实可以去尝试间戏法， 那这个间隙虽然是在往后的课程中才会学的，但是原理其实也比较简单。我们以这个题为 d 来看一下。第一问，它让我们证明一个常规的面面垂直给我们给了 pa 垂直于底面， ab 垂直于 ad， 那 这个很简单， 我们知道 pa 垂直于底面，所以可以得到 pa 垂直于 ad， 又因为 ab 垂直于 ad， 所以 ad 就 会垂直于 pa b 这个面， a， d 又在 p a， d 这个面内，所以面面垂直。第一问很简单，那第二问，我们发现他给我们给了 p a， p b， b， c， a， d 的 长。第一小问让我们证明的是点 o 在 a， b， c， d 内， o 是 谁？ o 是 那个球的球心。那这个题怎么做？大家其实一眼想上去，没有思路，我们就可以尝试间隙。 所谓间隙，在立体几何中呢，就肯定不能去建平面直角坐标系，而要去构建的是一个空间直角坐标系。 所谓空间直角坐标系，它其实就是比平面直角坐标系多了一个轴，叫 z 轴，我们按照这样的顺序， x， y， z 哎，这个方向，它两两互相垂直，就构建这个系。 这个图中我们发现 pa 垂直于 ab， pa 也垂直于 ad， 所以 正好可以以 pa ab ad 去构造空间直角坐标系。 好，我们来写一下。首先我们要先说清楚它的 x、 y、 z 的 三个轴的正方向，所以我们说以 a 为坐标原点， ab 向量，这个是方向， ad 向量也是方向， ap 向量也是方向，建立 空间直角坐标系。那么这个题的第一问就变成了一个很简单的步骤，因为他要说的是 o， 如果要在 a、 b、 c、 d 面内，那其实就是要去解这个点， o， 他的数坐标就这个 z 坐标为零， 不管他是几度几度零，他必须得是零。那么这个题目就结束了，我们来看一下 b 点坐标，我们可以直接去写出来他的 坐标，因为他在 x 轴上，所以我 b 点坐标肯定是 y 坐标和 z 坐标都是零，他只有横坐标，横坐标是几？他说 ab 的 长是根号二，那所以就是根号二逗零逗零。 c 点坐标，我们观察这个 c 点，他是说 bc 的 长是二， 但这个方向的二是在沿着 y 轴方向，所以代表的是他的纵坐标为二。横坐标是沿着 x 轴方向，那么他应该和 ab 是 一样长， 所以它的横坐标也是根号二，纵坐标为二。竖坐标呢？它是指在这个相当于是 x、 o、 y 平面内，那所以它肯定是没有竖坐标的，它在数值方向上没有一个延展，所以应该是根号二逗二逗零。 然后我们可以继续去写地点，地点坐标，横坐标为零，竖坐标为零，它就只有纵坐标多长，一加根号三，还有个屁坐标，还有在 z 轴上的就零逗零逗 很好二。那么球心具有什么性质呢？那是不是球心这个点到这四个点的距离都相等，所以我们可以直接去写 o b 的 模等于 oc 的 模等于 o， d 的 模 等于 o p 的 两点之间距离公式，我们这个地方直接把它拓展成三维的，其实就是从二维是 x 一 减 x 二的平方，加 y 一 减 y 二的平方开根号啊，三维就是再给他多一个 z 一 减 z 二是一模一样的，设出来点 o 的 坐标为 a、 b、 c， 那 么就是 a 减根号二的平方，再加上 b 的 平方，再加上 c 的 平，这就是相当于是 o b 的 距离，那么它会等于 o c 的 距离。 o c 就是 a 减根号二 的平方，再加上 b 减二的平方，再加上 c 的 平方，那么这个式子中我们可以解出来这个 b， b， b 解出来应该是一，然后我们再去解剩下两个东西， o d 和 o p， o d 的 话，应该是 a 的 平方，再加 b 减一减根号三的平方， 再加 c 的 平方，等于 a 的 平方加 b 的 平方加 c 减根号二的，我们这个地方可以解出来 c， 因为 b 是 一，我们解出来 c 应该是零， 那需不需要减 a 呢？其实不需要减 a 了，因为我们只需要知道点 p 啊，这个点 o 的 竖坐标，这个 z 坐标，它是零，那就代表着它一定不会在 数值方向上有一个延展，那就代表着它只能落在这个 x o y 平面内，因为这个 z 坐标为零，所以 o 就 永远在 x o y 平面内， o 在 a、 b、 c、 d 内。这第一问就证明结束了，那么这个第二问他其实在我们高一现在也会有非常高频次的出现概率，所以我们现在要看一下，如果考试的过程中你找不到 a c 与 p o 这两个线，它怎么去夹的时候，我们就完全可以通过间隙去解决。好，那我们因为第二问要用点 o 的 坐标，所以我们根据第一问的东西继续把它解出来，点 o 坐标，再去连立一个式子，我们可以得到 点 o 的 坐标为零到一到零，那么第二问我们就只需要表示。大家注意一下第二问，它是有一个规定的步骤，我们只需要表示 ac 向量， ac 向量和 之前学的平面向量是一个做法，就只是多了一个 z 坐标而已。 a c 向量就应该是 c 减去 a 根号二减零，根号二零，二减零是二，零减零是零。还有一个 o p 向量 p o 向量，它是零到一到负根号二， 那么一样，我们要求的是假角的余弦值，我们要求的假角余弦值，那么这个 cosine theta 就 会等于数量级除以模之级， a， c 乘以 po， 再除以它们的模， a， c 的 模乘以 po 的 模， a， c 的 模是多少呢？那就还是一样，两点之间距离公式，根号二的平方加二的平方加零的平方开根号 就是根号六，再乘以 p o 的 模式一的平方加根号二的平方开根号，那么数量积这地方，大家只需要把它乘进去，它乘它加它乘它加它乘它，一模一样，所以我们最后它只有一个二，那么最后这个答案就三分之根号二。

大家好，今天呢，咱们来讲一讲立体几何来求线面角，二面角，还有一面直线角，讲的主要是纯几何的方法啊，那么咱们来说一说。 首先呢就是一面直线角，它方法非常简单，核心思路就是把一面直线 l 一 和 l 二 平移到哪？平移到相交的位置，这个平移的过程中可能用的是平行四边形，对边平行，也可能是用的什么，用的是中位线，比如说 l 一 原来在这呢，然后平移到 l 一 撇的位置，这个利用的就是中位线了，都有可能。 那么我们直接来做一道题，这道题的话是一个小题啊，选择题，他说的是， 呃，在棱长为一的正四面体中好了，然后 m 点还有 n 点都是中点，现在问的是 a m 和 c n 这两条线，它之间夹角的余弦值显然是 e 面值线吧，然后它这个夹角怎么就你得先把夹角给做出来，怎么做出来呢？ 显然，显然我们只需要把它平移到相交的位置就可以了吧，来我平移一下，首先连接一下 md， 连接完这个 md 之后的话，我在 md 上取一个终点吧，比如说这个终点就是 点 e， 这个可以了吧，我先写上辅助线的做法啊，连接 md， 然后呢， md 的 中点为点 e， 那 么此时根据中位线 n e 就是 平行于 am 的， 原来问的是 am 和四 n 的 夹角，现在已经平行到相交位置了。 然后咱们问的是谁，问的不就是 c n 角 c n e 吗？那怎么办？那继续连呗，那继续连接谁？连接 c e， 所以 我们只需要解三角形 c n e 就 可以了， 那么因为正四角形每个面哎，因为它这样一个正四面体吧，它的每个面都是正四角形，对不对？那所以咱们在这样一个三角形 c n e 中还是很好求的。首先请您告诉我 n e 等于多少？根据中位线，它等于二分之一的 am， am 的 话，比如说棱长为一，或者说边长为一的 a b c， 你 说这个 am， 它的高，或者说它的中线等于多少啊？那当然是二分之根号三，二分之一再乘二分之根号三，那就是多少，那就是四分之根号三。好了，一条边已经求出来了，那么我们继续了哈， 还有谁？还有，接下来就是 c e 了。 c e 的 话，我们可以直接借助勾股定律，用 m e 的 平方 再加上 mc 的 平方来求就行。因为三线合一嘛，此时我们的 dm 也是垂直于 b c 的 底面， b c d 也是一个正三角形， m 点是中点，那 dm 当然就是高了。 那好，还是根据这样一个勾股定律吧。那我就直接写吧，你告诉 m c 是 多少？二分之一，你说 m e 是 多长？哎，二分之根号三的一半，那不还是四分之根号三吗？所以它你要继续去算的话，就是根号下四分之根号三的平方，再加上二分之一的平方，这个我就不多说了哈， 那最终咱们用勾股定律算出来，就是四分之根号七，那还有谁？还有我看一下啊。啊，对，还有另外一条边，还有第三条边吧，那条边 也就是说 c n 这条边， c n 不 用多说了，它三线合一，在 a c d 这个正四角形里头，你说 c n 等于多长啊？ c n 当然是等于二分之根号三了。 行了，不用多说了，三边都知道，所以此时口算角 c， n， e， 它呢，根据余弦定理我们就可以得出来，它是等于 c n 的 平方加上 n e 的 平方，再减去 c， e 的 平方，这个我们都是知道的，二倍的 c n 的 长度，再乘 n e 的 长度，那最后算一下， 它的平方是四分之三，再加上十六分之多少。我看一下啊，十六分之 n， e 的 平方是吧？ n， e 的 平方的话，那就十六分之三，然后再减去谁，再减去 c e 的 平方，那就是十六分之七， 然后二乘二分之根号三，再乘四分之根号三，我们最后一计算，就可以算出来等于三分之二了。所以你说选什么？当然是选择 a 了，这个呢，就是意面直线角，我们只需要通过平移。这道题用什么来做的平移啊？用中位线做的平移， 把两条异面直线平行到相交位置，然后解三角形，这个解三角形用的是于弦定力，那么另外一个就是线面角，线面角其实也不麻烦啊，首先告诉你我们图中研究的是什么？ ap 就是 那条直线，空间中的直线 f 就是 空间中的一个平面。求直线 ap 和平面 f 的 夹角。套路是这样的啊，都是有套路的。首先我们把 ap 叫做斜线， 这条直线它跟平面 f 的 交点点 a， 这交点叫做斜足，我们随便过 ap 这个直线上随便找一个点，当然你不要跟点重合了啊。然后过这个点点 p 呢？做 f， 这个平面的垂线，垂足是点 q， 有 了斜足了，有了垂足了， 杨老师顺便给点 p 起了一个名字，它就叫斜点。那么这三个点 ap， q 是 不是形成了一个直角三角形？ 此时我们其实就是把线面角它的平面角做出来了，其实也就是截角 p a、 q 就 够了，剩下的话，你求出 c、 t， 然后它的三角函数值，比如说正弦值、域弦值就够了。原来是这么回事， 那行吧，现在咱们就来做一道题。这个第一问的话是相当容易的，我呢就来过快速的过一下啊，它是这么说， 首先底面是正方形，这样一个四棱锥，并且 p d 是 垂直于底面 a、 b、 c、 d 的 行，然后第一问怎么说的？ 第一问说的是证明一下平面 a、 e、 c， 然后垂直于平面啊， p d、 b 怎么证明？很好正看了啊。第一问，我写下过程，因为是正方形，谁啊？ a、 b、 c、 d 是 正方形呗，所以咱们可以得出来，对角线互相垂直，此时 a、 c 就是 垂直于 b、 d 的。 然后继续啊， a、 c 还垂直于谁啊？你看好了，因为 p、 d 垂直于整个底面 a、 b、 c、 d， 所以 说 p、 d 垂直于底面内所有的线吧，包括 a、 c 在 内。现在我相信圈一圈应该能告诉你了， a、 c 既垂直于谁 bd 又垂直于 p d， a、 c 垂直于平面里头两条相交直线啊。你要写的话，你当然可以写得更清楚一些，因为 p d 和 b、 d 相交，对不对？交于点 d， 并且 p d 和 b、 d 呢？它都是在什么里头？都是在 平面 p d、 b 里头， ac 垂直于平面里头两条相交直线，所以 ac 就 垂直于整个平面 p、 d、 b 了。 行了吧，线面垂直，最终我们就可以推出来谁垂直，就可以推出来面面垂直了，所以此时 a、 c 所在的谁过 a、 c 的 所有的平面，包括这个 a、 e、 c 在 内，就垂直于 平面 p、 d、 b。 没问题啊，这个很简单。那另外这个第二问的话，咱就要详细的来说一说，因为第二问涉及到一个什么，涉及到求这条直线 a、 e 和平面 p d、 b 所乘角的这样一个大小。 他要问角的大小的话，大概率就是特殊的角吗？什么一百，什么六十度啊，等等的九十度啊，或者四十五度、三十度等等一些特殊的角啊，来吧，看一下 a、 e 吧。 看好了，不过呢，这个需要你做一下辅助线啊，一会啊，需要你做一下辅助线，它的话，其实只需要你接下来连接一下点 e 和对角线的交点，比如说 a、 c 和 b d 交于点 o， 我 连接一下 e、 o， 就 这唯一一条辅助线连接它就够了，别的呢？都不需要。 那行吧，现在请你看好了啊，它给了数据了， p、 d 等于根号二， a、 b 是 等于一的，也就是底面 a、 b、 c、 d 这个正方形的边长等于一， 然后咱们这样来啊，咱们这样来，它告诉你是 p a、 c、 e， p a， c、 e 的 这样一个体积，看到了吧， a、 c、 e 这样一个体积，它是等于十二分之根号二。你这样来， 因为 p a、 c、 e 的 体积，它是等于 p a、 b、 c、 d 的 体积，再减去谁呢？再减去 p， a、 c、 d 的 底。呃，这样一个体积，然后再减去，用这样一个勾股法分成好几部分嘛。嗯，然后呢， 咱们继续来啊， a、 c、 e， 然后呢再减去这样一个 e abc， 对， 减去这一部分。那么接下来咱们假设点 e 到平面 abc 的 距离呢，是 等于 h 的， 这个 h 实际上就是谁，就是图中的 o、 e 的 这样一个长度。好了，现在我们用含有 h 的 式子带入谁带入圈一里头，圈一的话，左边咱们算一下啊，左边的话就是十二分之根号二呗，右边的话，它是等于 三分之一底面积，底面积就是一的平方嘛。 abcd， 然后高的话就是根号二，三分之根号二，咱们直接这样来写，然后再减去 p， a， c， d， 看一下啊。呃， p， a、 c、 d 的， 然后接下来是 p， a， c、 d 的 体积，它的话是三分之一乘二分之一一的平方，这就是 a、 c、 d 的 面积嘛，然后再乘这个高，高的话是 根号二，这个算出来是六分之根号二，然后再减去谁呢？ e， a， b， c， e， a， b， c 的 话，那继续，那就是三分之一 乘二分之一的这样一个底面积， a、 b、 c 的 底面积，然后再乘这个高，那么接下来很快就算出来，这个 h 是 等于二分之根号二了。就这么回事啊，算出来了。 好，算完这一部分之后的话，我们就可以得出来谁啊，实际上点 e 它就是谁， 点 e， 它就是 p、 b 的 终点呀。为什么？因为这种情况下，你已经知道了它这个 h， 也就是图中 o， e 的 长度，它是等于二分之一的 p， d 的 平且等于它的。 那此时根据平行线分析呢？乘比例，那你说点 e， 点 o 是 终点，点 e 是 不是也是终点？是的啊，咱们可以点得出来，点 e 是 终点。行了，现在不用多说什么了， a、 c 是 垂直于 平面， p， d， b 于点 o 的。 那既然如此的话，所以我们就可以得出来，你看 a、 e， 这就是这条斜线吧，点 e 就是 斜足，点 e 就是 什么斜线？斜点吧。然后呢， p b、 d 就是 那个平面，所以此时我们角哪个角？角 a e、 o， 它就是谁角 a e、 o 就是 我们要求的 线面角了，就是直线 a e 和 p d、 b 所成的角。那么接下来这个长度就非常好。算了啊，来吧， 底面是边长为一的正方形，那而且它是一个直角三角形，对不对？然后 a o 不 就是对角线的一半二分之根号二吗？ 然后呢， o， e 也是二分之根号二。哎，不用多说什么了吧，那此时我们就得出来了， tan 角 a e、 o 在 哪个？在直角三角形 a o， e 中，它是等于二分之根号二，再比上二分之根号二，它其实是等于一的，它等于一的话，不就是角 a， 嗯， a e、 o 它是等于多少？等于四十五度嘛？既然它等于四十五度，所以说接下来咱们就可以说明什么了。接下来咱们就可以说明所乘的角，那不就是四十五度不就可以了，你写全就行了。 行了，接下来最难的一条就是二面角。二面角是怎么定义的？两个半平面 alpha 和 beta 相交，交线就是 l， 那 么从 l 呢？ l 上面找一个点点 o， 分 别向 alpha 这个平面内和 beta 这个平面内做垂线，此时 ob 和 oa 分 别在 beta 和 alpha 这两个平面内，而且都跟交线 l 是 平行的，那此时 aob 就是什么？ a o， b 就是 二面角，它所对应的平面角。接下来解三角形 a o、 b 就 够了，清楚了吧？那行，接下来咱们还是来看这道题。 这道题仍然是第一问比较简单，它首先告诉你平面在四棱之中，平面 p、 a、 b、 c、 d 是 垂直于 a、 b、 c、 d 这个底面的，并且 a、 b、 c、 d 咱们先研究清楚啊，它给的大小都是完全确定的，是一个直角梯形，那咱们先把这个平面画出来，直角梯形啊， 好嘞，这个是 a、 b、 c、 d 等于二了，然后这是直角了， 然后 a、 b 和 b、 c 的 长度都是一行吧，这也是直角，那根据连接 a、 c， 如果连接 a、 c 之后的话，这不就一比一比根号二吗？是不是？然后四十五度，根据余弦定律等等等等，你也可以得出来哪个角啊？你或者说别的方法吗？这个是四十五度， 这个是一百三十五度，一百三十五度减四十五度。哎，那这不也是个直角吗？所以也能够得出来这是根号二的，没问题，这个就是非常特殊的一个 a、 b、 c、 d 直角题型，出题的时候经常见，那么继续了 又告诉你， p、 b 等于根号五，然后 p、 b、 ab 和 ap 其实都知道，咱们看一下这个直角三角形啊，首先 ap 的 长度 等于多少？等于二吧， ab 的 长度等于一吧， pb 长度等于根号五。哎，他等于根号五的话，那接下来根据勾股定律的逆定律，不就可以得出来一个直角三角形吗？所以第一问不就解决了呀。行吧，咱们来看第一问啊，第一问求的是 三棱锥 p、 a、 c、 e 这样一个注意啊，点一是终点，求它的体积，那这样来，因为 p b 的 平方等于 p a 的 平方，再加上 a、 b 的 平方，所以 p a 是 垂直于这个 a、 b 的， 然后 a、 b 它事实上是交线呀，也就是说因为平面 p a、 b， 它垂直于平面 abcd， 并且它的交线就是谁，它的交线就是 ab， 垂直于交线，则垂直于平面，等等等等，这个我不用想写了吧？所以此时的 pa 是 垂直于 平面 a、 b、 c、 d 的。 对啊，面面垂直，推出来线面垂直吗？那么现在我们就可以得出来它的高是什么？哎，它的高就这个四棱锥的高， 它是 pa 的 长度是等于二的，那么因为点 e 是 中点，嗯，因为点 e 为 p、 d 的 中点。所以说我这个三棱锥 e、 a、 c、 d， 它的高呢？是多少？它的高当然是刚才它的一半了，它的高就是等于一，没问题，这个高的话，我写成 h 撇吧，它等于一， 那于是我们这个体积就可以求了呀。本来你求的是 p、 a、 c、 e 的 体积，咱们换一下，换成 d， a、 c、 e 的 体积，因为你点 e 是 中点，这样换没有任何问题的。 那于是咱们再继续换，你以 a、 c、 e 为底不太好算，那你换底换成 a、 c、 d 为底就很好算了，对不对？那就是三分之一乘二分之一， 再乘二乘一，没问题啊，三分之一底乘高吧。高是多少？高是一啊，刚才就这个地方算出来了，所以最后咱们可以算出来它的体积是三分之一的就够了。这个第一问还是非常简单的，咱们主要是研究一下第二问。第二问，问的是谁的余弦值啊？ 问的是 e、 a、 c、 d 的 余弦值， e 在 哪？ e 在 这，交线 a、 c 在 这， d 在 这。哦，问的是这样一个，显然这样一个二面角，它是一个锐角吧。行了，咱们来求一求，我直接把图形给你画出来。咱们还是用纯几何的方法来做啊。那么做辅助线的话，主要是你得知道 怎么做。看好了，因为点 e 是 终点，所以咱们取的是 h 点 h 点，它也是终点，它是 a、 d 的 终点， 那么连完之后的话，此时根据中位线 e、 h 肯定垂直于 p， 平行于 pa 啊，然后 e、 h 的 长度呢？那肯定等于二分之一 pa 的 长度，中位线嘛，那它就等于一了。那么现在看，因为 pa 垂直于 平面 a、 b、 c、 d， 所以 什么？所以它的平行线 e、 h， 它也是平行于，也是垂直于平面 a、 b、 c、 d 的。 行，得出来这些信息，那么得完这些信息，其实你想做的是什么？继续做了啊，做辅助线。好，咱们继续取，因为你是终点嘛，取谁的终点呢？取 a、 c 的 中点是 f 点，然后我们顺便连接谁，连接 f h 和 e f， 那 很容易知道此时的 f h 它是平行于 c、 d 的 啊。我们在一开始我给你画这个 a、 b、 c、 d 的 平面图的时候，你就已经知道了谁，你其实就已经知道了这个 a、 c 是 垂直于 c、 d 的， 那么 c、 d 的 平行线，哎呀，所以不就得出来了吗？ f h 和它平行吧，那此时 f、 h 不 也垂直于 a、 c 吗？太好了， 这就是半平面上的交线吧，对不对？这是半平面交交线，你现在这个交线已经垂直于谁了？你这个 f、 h 已经垂直于交线了， 那么接下来就差一步了。差哪一步？哎，就差这个 ef 为什么也垂直 ac？ 实际上它有一个三垂线定律啊，但是三垂线定律教材上没有吧。那咱就直接呃，根据什么我写一下思路吧。 首先看 e、 h 垂直于平面，你说咱想得的是什么？想得的是 e h 垂直于平面里头所有的线，包括 a c 在 内。现在你仔细看一下圈一和圈 a c 垂直于 平面那两条相交直线，当然你应该写全啊。所以 a c 就 垂直于整个平面线面垂直吗？垂直于哪个平面？ 垂直于 e f h 啊？所以 a c 就 垂直于 e f h 里头所有的线，包括 e f 在 内。我想得的就是这两条啊。你 a c 垂直于谁？垂直于 f h 八，然后呢？ a c 还垂直于 e f 八，这样不就符合二面角的定义了吗？所以我们要求的是哪个角啊？我们求的是角 e f h， 行了吧，目标非常明确了，求的就是这样一个角。那剩下咱们就算一算，我标一下就行了，反正它是个直角三角形嘛。好。 呃，那现在 cd cd 刚才平面图画的时候是应该等于根号二吧？哎，那 f h 解三角形， f h 不 就等于二分之根号二吗？对， 那 e h 是 等于几？等于一对吧？算出来了，那么 f e 呢？ f e 你 勾股定律来算不就行了？一的平方再加上二分之根号二的平方，我算一下是多少啊？ 啊？二分之三根号加二分之三吧，那就是二分之根号六。哦，原来如此。所以此时余弦值口算角 e f h， 那 它就等于 f h 再比上斜边 fe， 那 于是就是二分之根号二，再比上二分之根号六。所以最后结果就是这道题的结果。所以这节课大家应该学会了三个角吧。一个是一面之线角，怎么解决？ 意面直线角，你得用平移到相交的位置，然后解三角形去解决，这是意面直线角，记住啊，它的范围是零到九十度之间， 垂直的时候是九十度，那么线面角怎么办？线面角的核心就是你得找出来垂足，斜足，还有那个斜点，解直角三角形 a q p 就 行了。 那么如果是二面角呢？如果你要用纯几何方法来做的话，你必须过交线上一个点做出来 alpha beta 平面内两个垂直的线，一个是 o a， 一个 ob， 然后解三角形 a o b， 剩下的就可以解决了。那么今天咱们就讲到这吧，分享课堂知识，感受世界之美。我是安范老师，下期课再见！

同学们好，这个视频开始我们来看如何求二面角，我们先来看一下它的基本知识点，以及一些求二面角的相应的方法，后面会有对应的例题，带着大家去进行求解。 我们先来看一下二面角和两个平面的夹角。二面角的定义是说从一条直线出发的两个半平面组成的图形就叫做二面角，那以这两个为例，其实它就是以 l 出发，一个是 alpha， 一个 beta。 那大家有没有想过一种情况，我这里给大家画一下啊，这是一个平面阿尔法。呃，我在这里再画一个平面， 这是 b 的， 那你说它的角是这个呢？还是说我这里要可以继续延伸过去一些？ 你想我延伸过去之后，这里不也可以又有一个吗？到底是角一还是角二呢？如果是两个平面的夹角，其实就是取那个锐角取小的，如果是二面角的话，我们要判断一下它到底是 阿尔法到贝勒，那肯定就是一，如果阿尔法到伽马，那就是二，所以二面角和面与面的夹角是不一样的。那二面角到底怎么去求的呢？其实啊，我们在这里还是再说一下，在阿尔法平面内做 l 的 一个垂线， 在贝的平面内做 l 的 一条垂线，然后这两个垂线有个交点。好，那他们这两条直线的夹角就是这个二面角啊，这是一个几何法的定义， 但是在未来真正求解过程中，我们基本上都是用到法向量，那大家应该还记得，只要学到平面与线的夹角，平面与面的夹角，我们大概率都选法向量去求法向量我们之前说过啊，就是和这个平面垂直的一个向量， 那这里我们来看一下，其实呢，对于这里的一也好，三也好，我们先看这两个，他们两个的法向量夹角分别在这里这里给大家画出来了哈，因为法向量可以是垂直于平面的吗？他可以向下，也可以向上，所以就可能有多种，那这两个其实啊，他俩 就是等于我们要求的面面夹角，这里的 c 他， 但是大家看一下二和四， 他们呢，其实他反映的假角等于他，他和面面假角相加在一起，二面角相加在一起的话，其实是等于派的，所以在求完之后， 最后求反向量的时候，我们是另一个 x 等于几吗？所以我不知道是这里的一二还是三四，那怎么办？所以你真正在解析过程中，要自己去看一下真正的例题结合中，它到底是锐角还是钝角啊，这个要通过自己的肉眼去观察一下才可以。好， 我们再来看一下求二面角的方法，那几何法呢？前面也说了，就是做二面角的平面角去求解，其实啊就是做交线的一个垂线啊， 交线垂线，交线垂线，然后他们得到了这个角度就可以了，就是转化成线与线之间的一个夹角。 向量法啊，这个绝对是重中之重，其实就是去求他的法向量，然后通过向量的夹角进行求解。需要注意一点的啊，二面角的曲轴范围可是零到派，所以需要我们去看一下，到底是向量的夹角，还是 他的一个补角，就是我们上面说的到底是相等还是他们之间相加等于派。这个需要大家根据题去自己去看，好，那这个视频咱们就到这里。

本期视频来看高一数学立体几何求平行六面体中一面直线夹角的问题。已知平行六面体里面呢是正方形，变成为二侧棱都是四，然后有两个角都是六十度。 现在我求异面直线 a c 和 d c 一， 也就是这两条蓝色虚线的夹角。首先求异面直线的夹角，想到平移给它变成平面角去求夹角，对吧？呃，好，我现在做哪条线的平行线最简单呢？我连接 ab 一， 那这个 a b 一 自然就是平行于 dc 一 的，对吧？所以那这个要求的 a c 与 dc 的 夹角就转化为了求 b e a 和 这个 a c 的 夹角，也就是求角 b e a c 啊，这个夹角的正弦值，看看怎么求呢？这两个六十度要用上，对吧？因为这个角 a e a d 等于六十度， 所以哪个角六十度呢？角 b 一 bc 是 六十度，对吧？因为角 a 一 ab 是 六十度，所以它的同旁内角 abb 一 是一百二十度啊， 那我要用两次余弦定理。首先在三角形 abb 一 中运用余弦定理，那这个 cosine 这个钝角角 b 一 b a 应该等于 ab 方加 b b 一 方减 ab 一 方，再除以二倍的 ab 乘 ab 一 带入已知。刚才说了角 b 一 b a 就是 一百八，减六十是一百二。 然后还有两条已知的边， ab 是 二， b b 一 就是 a， a 一 就是四。带进去以后可以得到一个只含有 ab 一 的一个方程，解出来 ab 一 的长是二倍，根号七。 然后下面再次运用余弦定律。这回在三角形 c b b 一 右侧面这个三角形中运用余弦定律。 刚才已经求出来角 b b c 是 六十度嘛，所以那 cosine 角 b b c 就 等于 b c 方加 b， b 一 方减 c， b 一 方除以二倍的 b， c 乘 b b 一 带入已知 b b、 c 六十度，再带入 b， c 等于二， b b 一 等于四， 得到一个关于 c b 一 的方程，解出 c b 一 是二倍根号三。现在咱们求出了 a b 一 和 c b 一， 最终要求的是角 b e、 a、 c 的 正弦值，对吧？那我想到先求余弦，再次运用余弦定理。这回在三角形 a c、 b e 中运用余弦定理 ac 比较简单，就是正方形对角线就是 cosine 角 b e， a， c 就 等于 a c 方加 a b 一 方减 c， b 一 方除以二倍的 a c 乘 a b 一 代入 a c 等于二倍根号二。 a b 一 等于二倍根号七。刚才都求出来了是吧？ c b 一 等于二倍根号三，得到 cosine 角 b e， a， c 等于这个根号是四分之三， 因为要求的是正弦。我没有画到最减啊，正弦就是一减， cosine 方再开个号，答案就是十。四分之根号七十。这道题就做完了。这道题一共运用了三次余弦定理才求得答案，大家理解了吗？

ok， 那 么我们今天一块去看一下二面角部分的题型总结。二面角部分呢，我们这块介绍四种方法，第一个方法就是利用定义法 求解二面角。首先我们得了解到什么是二面角，二面角顾名思义，我们是两个半平面的加角，那比如说我们在这做一个二面角出来， 此时呢，假设我这边有个平面阿尔法，这是这个平面贝塔，阿尔法交贝塔等于 l， 那 么什么叫做二面角的平面角的大小？首先得知道这二面角的平面角是什么， 那非常简单，我们只需要在两个半平面中去做交线的垂线，比如说在 beta 里面，我们找到一条线做交线 l 的 垂线，假设呢，此时这个线是 a 线，与这个交线交于点 o， 我 们过这个点 o， 再在 alpha 里面找到条线做交线的垂线，比如说是 b， 此时的话呢，我 a 跟 b 之间这个直线之间形成这个夹角，就叫做二面角的平面角啊。那么这个 c 塔二面角的曲值范围我们知道了，因为它是半平面的夹角，所以呢，二面角的范围为零到一百八十度之间。 但是呢，此时我们要注意的是，如果是两个平面的夹角，因为我们的平面是无限延伸的，他伸长下去，这边延展开，所以呢，两个平面的夹角，我们取的他们之间这个锐角。所以呢，这个大家在学的时候一定要注意区分啊，我们的平面的夹角为 多少？零到二分之派，那个这个这个零到二分之派的必选，这个要搞清楚。然后再一个呢，就是老师刚讲的这个二面角的平面角，大家一定要搞清楚，那么第一种类型的题目就是我们利用定义法直接去求解这二面角了，比如说我们在这个题中一块去看一下这类方法应该如何去求解，并且我们总结一下这类题目的一个常见的做题套路。 第一个呢，告诉我们， abcd 等于 a， a 等于 a， a 一 等于一个四，也就是说他的这个边长呢为四， 二面角 a 一 b、 d、 c、 e 的 余弦值等于多少？我们要求解一个二面角，首先呢，我要去第一步要干嘛？就要去找到二面角的交线，如果我们用定义法去做，我要去找到它的交线啊， 这个交线很简单，就是 b、 d。 然后呢，我分别要干嘛？要去在找到在两个平面中去找到垂直于交线的线就行。 此时我在这个 a、 e、 b、 d 中找到垂直交线线，你发现呢？ a、 e、 d 是 不是等于 a、 e、 b？ 它是个等腰三角，所以此时的话它的垂线我们只需要去找到 b、 d 的 中点，我们连接，假设这个点是 o 连接 a、 o， 那 我们知道了 a、 o 一定垂直 b、 d。 同理，我们在 c、 e、 b、 d 中，我们发现它也是个等腰三角形， 因为我们的 c、 b、 e 是 不是等于一个 c、 d， 它都是这个面的角线，四、四他们都是一个四倍根二，四倍根二完了之后，我们连接 ceo， 它也是垂直于这个交线的，那所以此时我是找到了这个二面角的平面角，这二面角的平面角我们确定出来，实际上就是我们的这个 a、 e、 o、 c、 e 了， 所以我们可以得到角 a、 e、 o、 c、 e 为这个二面角 a、 e、 b d 杠 c、 e 的平面角，知道它的平面角之后呢？第三步就是我们要去进行求解了，对吧？我们第三步要求解的时候，常常用到的就是我们的正余弦定理，要求一些边长， 或者我们的这个勾股定理都是比较常用的，所以在这你发现我们此时要算这个二面的平面角，我们只需要算它的边长是不是就可以了？在这建议给大家教一个方法，如果大家不太熟悉，我们可以干嘛把这个角给它画出来？画到平面中去算它的边长是不是比较好看？因为有的题目它确实比较麻烦，所以呢，画出来我们会得到 有的题目的图不太好看的情况，你把它画出来，你算 a、 e、 o， 你 算 a、 e、 o 和 c o， 发现我们知道了这个是四四四倍根二，所以它的一半是二倍根二，二倍根二， a、 e、 b 是 提掉线，是不是四倍根二？所以呢，是不是知道了 a、 e、 o 了， 如果还是觉得不太好看，我们也可以干嘛把这个 a、 e、 d、 b 呢？给它画出来，对吧？ a、 d、 b， 它画出来长这样，它是一个等腰的嘛？ a e、 d b a e b 等于 a e、 d 等于四倍的根二，这是一个四倍的根二。我们要算算的是不是就 a o， a o 很 简单，你知道这是二倍根二，你说 a、 e、 o 是 不是就很简单？你算出来 o 定律， a、 e、 o 呢，算出来是 一比根，三比二，那就是二倍的根六，那它呢，就是二倍的根六，那同理，我的 ceo 是 不是一个二倍的根六，那么 a、 e、 c 的 话是四倍的根二，所以啊，你要算它的余弦值，是不是用一个余弦定律，那就是说由余弦定律之那 cosine 角 a e o c e 就 等于一个 二倍根六的平方，再加上一个二倍根六的平方，再减去一个四倍根二的平方，比上一个二倍的，他们两个相乘二，乘以二倍根六，再乘一个二倍根六是不就可以了？ 算出来等于我们的三分之一，所以这个余弦值算出来就是三分之一，这个就是我们在用定义法去求解二面角时候的常用的方法呢，希望大家下去呢做好总结。在做到一个二面角的题目的时候，我们看能否直接使用定义，如果能用定义呢？我们就拿定义进行求解就可以了。 ok， 那 么第二个题目也是用定义的方法，那跟 这道题目给大家留做一个练习进行求解就可以了。接下来我们去看他第二种方法，就是利用三垂线法去求解二面角。那么什么是三垂线法？我们一块去看一下什么叫三垂线法，实际上我们只要学习了他的定义去求的话，后面的所有方法都是根据定义去拓展开来的一些方法，比如说我们这个三垂线法， 假设此时我们的阿尔法和贝塔，它的交线是一个 l， 那 么此时我要在平面内任选一点 a， 并且呢过这个点 a 做贝塔的垂线，比如说假设我们此时过点 a 呢做贝塔的垂线， 以贝塔平面交于点 b， 现在我只需要干嘛，我要在贝塔平面中过这个点 b， 做平面交线的垂线就可以了。 做交线的垂线，此时比如说做交线的垂线与交线交一点 o， 此时我们连接 a o， 这样我们就能找到它的平面角， 它的平面角就是我们的 aob， 就是 说我们的角 aob 为平面角。这三垂线法的做法什么原理？可以给大家证明一下。实际上我们刚说了，他都是往定义上去靠的，我要找到关于分别在两个面中找到交线的垂线，那这个的做法很简单，就是利用线面垂直去正道，那也就是说我们过 a 做 a b 垂直于 beta。 正理一下，我们发现我们的 l 是 不是包含于 beta 的， 所以呢，我们会得到 a b 是 垂直于 l 的， 并且此时我们也过了 b 做 l 的 垂线 b o 是 不是也垂直于 l 的？ 又因为 a b 交 b o 等于点的，所以呢，你发现我们的 l 实际上就垂直于这个面 a b o 了已经，那么 l 已经垂直于 a b o 之后呢，你发现 l 一定垂直于 a o， 所以 你直接连接 a o 这个角，就说明它是一个平面角，我们可以说这个 a o 它包含于这个面 a、 b、 o， 所以呢， l 垂直于 a o， 那 也就是说我们的 a o、 b 为二面角的平面角就可以了。那这个东西三垂线垂向，就是证明线面垂直得到了它的定义就可以了。那这个东西在题目中如何去使用？我们一块也去看一下。比如说这道题目告诉我们 v abc d 中底面 abc d 是 一个边长是二的正方形 n， 并且呢，其余侧面都是一个棱长为根五的等腰梯，等腰三角形，求二面角 v a、 d、 c 的 大小。 那我观察一下这道题目，它的描述实际上就是什么啊？我们这个棱锥实际上就是一个正四棱锥，也是让我们先去找到它的交线是 ab， 然后呢，我们过 v 做底面的垂线，因为它是正棱锥，所以呢，我们过 v 做底面的投影的话，实际上就是底面的中心，底面的中心 o， 我 们过 o 去做交线的垂线，那就是说找到 ab 的 中点，比如说是一个 e 连接 o e， 那我们 o e 一定是垂直 ab 的， 所以此时我们直接连接 ve， 所以呢，我们的 ve 即为所求了。根据我们单垂线法，我们的 ve 即为所求了，所以此时我们只需要算它的边长就可以了， 我们算它的大小，那我们也是一样把 v o e 给它画出来，那么这个是 v， 这个是 e， 这个是 o， e o 实际上它就等于一个二分之一倍的边长，因为它的边长是一个二，所以它 e o 就 等于一。 v e 的 长度我们也可以算，因为边长是二，这是一个一，这是一个根五， 因为它侧面都是等腰，所以呢，我们知道了 v e 等于一个二，那让我们算对 v e o 是 不是就可以直接去算了？因为 v o 是 一个直角，所以呢，我们知道了 cosine 角 v e o 就 等于一个零比斜，一比二等于二分之一，所以我们的角 v e o 就 等于六十度。三分之一， 那也就是说这个二面角的大小实际上就是一个六十度。怎么样，是不是用对这个方法之后做的非常简单了？那三垂线吧，老师这边再去讲一个题目，告诉我们，已知矩形 a、 b、 c、 d 的 两边分别是 a b 等于三， a d 等于四，就像我们知道 b d 等于个五 pa 垂直平面 p b， c， d， a， b c d， 并且 pa 等于个五分之四，让我们算二面角的正切值是多少？二面角 a， b d， p a， b d， p 找到它的交线，它的交线是一个 b， d。 过这个 p 点做底面的垂线是 a。 我， 那我现在已经找到了，因为它 p a 垂直底面，所以呢，先过 p 点做底面的垂线，实际上就是 p a 了。第二步，我要去做这个 a 点，过 a 点去做交线的垂线，交点 o 连接 p o， 此时我们这个 p o， a 角 p o， a 即为二面角的平面角，所以呢，我们把 p o， a 也给它拿出来，画到旁边垂直，这是 p， 这是 o， 这是 a， 反了，这是 p， 这是 o， 这是 a。 此时我们也是一样，只需要去算它的长度就可以了。我们知道了， pa 等于五分之四，我们只需要算出来 a o 的 长度不就可以了吗？ a o 的 长度呢？在哪算？就在底面，我们利用一个 等面积法，那也就是说，在这个三角形 abd 中，等面积法 s， 三角形 abd 就 等于一个 二分之一，乘以 ab， 乘以 ad， 还等于一个什么？我们的 b， d 乘以 a， o 乘以二分之一， 所以此时我们会得到三乘四，就等于一个 b， d 乘以一个 a o， b， d 是 一个五，那就是五乘以 a o， 所以呢，我们会得到 a o 就 等于五分之十二， a o 等于五分之十二，所以我们会得到贪婪的角 p o， a 为所求，这个角，它的角 p o， a 就 等于一个 p a 比上一个 a o， 那 就等于五分之四，比上一个五分之十二，就等于三分之一。所以呢，这个题的结果就是三分之一， ok， 我 们只要掌握了正确的方法，拿到对应的题目之后，我们将会直接进行我们的方法就可以了，再做起来就比较简单。 ok， 那 么希望各位同学呢，能够把老师所讲的方法呢，进行体会练习，并且进行掌握。 ok， 那 么我们今天的这个打卡就到这里，有问题的同学呢，下来及时跟老师沟通。

好的，那么我们今天一块去看一下线面夹角的一个求法，叫做等体积法。等体积法去求解线面夹角的问题，我们应该如何去操作呢？或者说它的原理是什么？那么老师通过这个视频给大家讲清楚。首先呢，我们先看 在上个视频中，我们知道了线面夹角它的定义，那就是说这个直线与直线在面内投影的一个夹角，比如说假设此时呢，我这有个面 r 法， 有一个 x l， 那 么 l 与阿尔法，那么这个直线呢？与阿尔法相交于点 o， 并且直线 l 在 阿尔法里面投影，比如说我们叫做 o a， 那 此时 l 上有一个点 p o p， 那 我们知道了这个角为 c t c t 在 零到九十度之间，那等体积法去求解它的原理是什么呢？就是说我们用等体积法呢去算出来点到面的距离， d 啊，求出来这个点，求出来这个 d 的 长度， 这个东西呢，如果求出来之后，我们是不是就可以算出来我们的 sine theta， 所以呢，我们的 sine theta 呢，就等于一个 对比线，那就是 d 比上 o p 的 长度。这个方法计算的优点就在于，有的题目里面，我们发现很难去求出来我这个直线在线在这个面里面的投影，它不是一个特殊的线，不能拿线面这么垂直去证明，或者比较难去证明的时候，我们干嘛？已知体积的情况下，我们可以算等体积法，算它的 d 点到面的距离，点到面的距离算出来之后，我们直接带入到这个三 c 的 内，对比斜边，把它的 o p 长度给它算出来，是不是也可以算出来三 c， 它那等体积法学上就是这样一个原理，那比如说我们现在呢结合题目呢，去看一下这种的问，结合题目呢，去看一下这种问题呢，这种方法应该如何去使用？比如说， 首先第一个题告诉我们算出 a p a， b， c， d 中呢 p c 垂直于平面， a， b， c， d 先垂于面，并且呢 p c 等于一 平面， abcd 是 一个矩形，横着是垂直，并且呢 ab 等于根二， ad 等于根三，发现长度都告诉我们。第一个让我们证明 ab 垂直平面 pcd， 那 这个比较好正，对吧？线垂直于面，我们只需要去正线垂直于面里面的两条相交直线就可以了。 因为 bc 垂直于面， abcd 呢包含于这个平面 abcd， 所以呢，我们会得到的是 abcd 垂直于 pc， 就因为呢 a， d 垂直于 c， d， 它是矩形啊。然后呢，我们就可以得到了 p c 交 c， d 等于 c， 并且呢 p c 和 c d 都包含于这个平面， p c， d 不 推一，所以我们推出来 a， d 垂直于这个面， p c， d 成功，这是它的第一问，比较简单，对吧？第一问我们要写证明啊，证明，那第二问主要我们看一下第二问，它的意思就是让我们证明 a c 与平面 a， p d 所成的夹角，那你找到 a c 在 这个地方，那我们的面 a， p d 在 这个地方， 那我们发现了 a c 在 底面的投影，它是比较不太好求的，对吧？不太好求的情况下呢，我们就可以用使用到我们刚才的这个登机记法去求它加你发现它的体积好求，这种什么情况使用？如果呢，这个体积呢，比较好求的情况下，我们可以去用它来快速的去解决，因为我们知道了这个 v p 杠 a， d， c 就 等于 v c 杠 a p d， 也就是说你要算 ac 在 与这个平面 a p d 的 夹角，所以呢，我们需要算出来 c 到这个面 a， p， d 的 距离， ac 的 长度，算出来，我们知道这是，这是，这是它的这个垂直的 距离吗？ ac 长度算出来之后，这是 c， 它那所以等于它的 d 比 ac 不 就是它的夹角的正弦值吗？所以利用这个原理的话呢，我们就可以直接去算它的体积了。那我们就说假设 我们过这个 c 作面 d， a， d 垂线交于点 m， 比如说交于点 m， 那 么交于点 m， 我 们就可以得到 假设，比如说我们做一个垂线交，它与点 m 连接垂直，所以呢 c， m 是 不是就是它的高？那我们只需要把 c m 这个高给它算出来是不是就可以了？这个就是它的加减啊 c， 它，所以我们就利用等体积法算很高， 那 v p 杠 a， d， c 就 等于三分之一乘以 s， 三角形 a， d， c 乘以高 pc， 因为 pc 其实里面等于三分之一 s， 三角形 a， d， p 再乘以我们的 cm， 那 此时 cm 就是 它的高了，此时的话呢，代值进去呢，就是三分之一乘以 s， 三角形 a， d， c， 你 知道这是一个根二，就是二分之一乘以根二，乘以根三乘以 p c， p， c 是 一个一 三分之一 s， 三角形 a， p， d， 我 们知道了 a， d 是 垂直这个面的，所以这是一个直角，也就是说它的面积就等于二分之一乘以 a， d， 再乘以 dp， a， d 三， dp 是 不是也是根三比根二比根三，应该知道三行，然后再乘以我们的 c m 的 长度，所以此时呢，我们就可以算出来， c m 的 长度约完就变成了根三分之根二，那就等于三分之根六， 所以呢，这个直线呢， a c 与面的夹角的正弦值，我们是不是可以直接去求了？六十三、减 c 等于 c m 比上 ac 到 c m 等于三分之根六，对吧？比上 ac， ac 的 长度呢，等于谁呢？那就等于 a d 平方加 c d 平方 为根五，这样我们算出来是三倍根五分之根六就等于十五分之根号三十，所以它的三以正弦值就等于十五分之根号三十。这个就是我们等体积法去解这类题目的一个原理，希望大家下去了一定要去认真的理解。 ok， 掌握了这个原理，老师呢带大家再去做一道题膜，希望大家要做好总结，什么时候使用这个方法，它是非常关键的。首先第一个我们知道正方体 a、 c， e 的 棱长是 a， 并且呢， o e 是 正方体 上顶上底面的中心， p 是 b e， b c 的 c e 的 中点，求 po 一 与平面 a e， b， c e 所成角的余弦值。然后我们知道它的棱长是一个 a， 所有的棱长是一个 a， 我 们要算的是 po 一 与我们这个面 a， e， c， e， b 夹角的余弦值。这题目眨眼一看，跟我们的等体积没有任何关系，但是我们要注意到这有个中点，中点是中位线，那所以 p o e 与它这个底面的夹角，那就相当于是我们要算的是 a e b， 因为 a、 b 刚好是平行于 o e p 的， 所以它们的夹角应该是相同的，那这个夹角就比较简单了，也就是跟等体积法，因为这个体积我们可以算 b e 到底面的距离。比如说我们可以去设啊，设出来这个距离，这个就是它的夹角，这个就是夹角，我们只需要算它的长度就行，用等体积法算它的长度就可以了。 ok， 那 相对来讲也比较简单，我们不妨去写一下过它的过程，也就是说我们去过 这个点， b e 作 b e m 垂直于平面 a e b c e， 并且呢垂足为 m 连接 a e m。 现在我们去证，因为呢， o 为中心， o e 为中上顶面的中心， p 为 b e c e 的 中点，所以呢，我们知道了 o e p 平行于 a e b e， 那所以呢， o e p 与这个面 a e b c e 的 夹角就等于呃，我们说的这个 a e b e 与面的夹角，所以此时我们用等体积法，我只要算出来 b m 是 不就可以了？所以呢，我们知道了 v b 一 杠 a 一 b c， 以就等于我们任何一个可以当做底面，对吧？搞到一个高可求的就行。比如说我们把 a 一 当底面， v a 一 杠 b b e c e， 所以 此时的话，我们可以算为 a 一 杠 b b e c e， 那 就等于三分之一 s 三角形 b b e c e 乘以它的高，它的高身上就是一个 a e b e， 然后这边呢是三分之一 s 三角形 a e b c e 乘以我们的高，它的高就是 b e m， 我 们把 b m 算出来是不是就行了啊？ s 三角形 a e b c e， 它是一个等边三角形，这个呢，就可以写成三分之一 b e b c 一 二分之一乘以 a， 乘以 a， 乘以 a 一 b 一 也是一个 a， 这边呢，三分之一乘以它边长是多少？我们知道这是 a， 这是 a， 这是一比一比根二根二 a 根二 a 的 等边三角形， 那它的面积等于二分之根三，乘以一个 a 方，再乘以 b、 e、 m， 所以呢，我们算出来 b、 e、 m 的 长度就等于一个 根三分之 a， 那 就是三分之根三尾的 a。 在 这个三角形中，我们是可以把，因为要算余弦值，要算 a、 e、 m， 所以 我们把这个三角形给它拎出来，那比如说，我们把这个三角形 拎出来，它长这样，这个三角形哪个三角形呢？这是 m， 这个是我们的 b 一， 这是我们的 a 一。 ok， 那 b， e、 m 等于三分之根三， a， a， b 等于 a， 所以呢， a、 e、 m 就 等于。我们在这算一下， a， e、 m 就 等于根号下 a 方 减去三分之根三， a 括号的平方就是一减三分之一，三分之二，三分之二呢？带根号 根三分之根二，三分之根六 a， 所以呢，我们算出来它的 cosine theta 是 不是就余弦值了？等于零比斜，那就是 a、 e、 m 再比上 a 就 等于三分之根六， a 比上 a 等于三分之根六，所以呢，它的余弦值算出来就是三分之根六就可以了。 这个就是等体积法，我们转换成等体积，就求转换成等体积去求解就可以了。第三个这样一个题，让我们算三角锥的体积和 m c 与平面 m a， e， b 所成角的正弦值。那这个跟刚才一样，但我要去证明的是 mc 与 m a， e、 b， 那 我们也用等底记法去求解，只需要算出来 c 到这个面 m a e b， 那 m a e b 这个面的距离，用等底法把这个距离给它算出来。比如老师假设给你画一个这样的图，假设呢？ c m 在 这个地方用 m c n， 在 这个地方连接 m n， 此时我们知道这个角就是它的加角，你只要算出来 c n， 利用等底记法把 c n 给它算出来。用 mc 是 比较好算的啊，利用勾股定律 mc 一 算，这样我们就可以算出来它加角的正弦值了。 ok， 那 么这个题目给大家留作作业，自己下去按照我们刚才讲的方法进行一个求解，看自己是否掌握了这个等底记法，我们可以把答案告诉大家，第一个算出来是三分之二倍根十四体积， 第二问算他的挣钱值是六分之根十四。 ok， 那 下去大家按照老师讲的方法进行练习就可以了。 ok， 那 么这个视频就到这里，有问题的同学们来继续跟老师沟通。

一个超好理解的方法，带你直接拿下理解几何压轴的二面角问题，当别人还在辛辛苦苦间隙计算的时候，你已经十秒钟把这个题拿下了。三号猫独家总结的办法，一、垂面，二垂直，三连接。核心就是这个一垂面， 直接找一个平面的垂面，在里面做垂直即可。因为二面角是有两个面的，我找一个平面的垂面，在这个垂面里面做一个垂直。好，直接看题，实操一下，保证让你轻轻松松拿下一体几何的二面角压轴体。 看第一题，哎，让求这个二面角 b 杠 f c 一 杠 c 的 余弦值观察一下里面两个平面 b f c 一 以及 f c c， 呃，这个 f c 一 在这是交线，另外两个顶点 b 和 c 分 别在这里。 好，一平面儿，我们先找其中一个平面儿的平面儿，那比如说第一个平面儿，呃，这个二面角的 f c b 它的平面儿，哎，能找到吗？ 不能呀，因为它是这个往后仰的，它这个平面儿不好找嘞。那另外一个是哪个平面呢？哦， f c c e 它的平面儿，哦，太好找了呀！因为题目告诉你了， c c e 是 一个定海神针，是一个垂线，它是不是垂直底面儿呀？ 哎，那这个平面蓝色的平面就和底面垂直了，那所以我就找底面这个垂面。好，第一步，垂面已经找到了，那咱刚刚说了，找一个平面的垂面在里面做垂直，那就在这个垂面 fcb 中做垂直。 过谁做垂直呀？过我的这个二面角的顶点 b 往谁呀？只能往 f c 做垂直了呀。因为 f c b 是 个等边三角形，所以做完垂直之后，哎，这个垂线段，它的垂足肯定落在 f c 的 终点 q 上，那 q b 就 来喽， 最关键的第一步已经完成了，二垂直三连接，意思就是二垂直呀！第二步，我只需要过这个 q 往交线，也就是二面角的这个交线做垂线啊，这么一做，好，假如落在这里，我记为一个 t 三连接连接这个 t b， 哎，漂亮！ 各位小小猫前方高能一句，我要告诉你，这个角 q tb 这个 c t 就是 我要求的二面角了，请把六六六扣在弹幕里。 好，这个截得到流程我也放在这里了，大家可以直接看。那最后我只要求这个 qtb 的 余限制就完事了， 因为 qb 啊，它垂直于 f c 了，我们做的，并且 qb 还垂直于 c c 一， 那么 qb 是 不是就垂直整个平面了？那所以其实这个红色的三角形是个直角三角形哎，角 tqb 是 直角，那么 cos 角 qtb 哎， 就是 q t 除以 q b 了。而根据平面几何的知识，咱很轻松的算出来，等边三角形 i q b 是 根号三，这边等腰直角三角形 q t 是 斜边，这个 f q 再除以根号二，那么就是二分之根，从而非常轻松的算出来。勾股定律，勾一下 i t b 就是 二分之根十四，那 q t 除以 q b， 我 家毛都会散，不就是根七分之一，七分之根七吗？请把 nice 扣在弹幕里！一，水面二垂直三连接，牢记 这个口诀啊，几乎可以把所有的几何法求二面角全部拿下！因为几何法求二面角也是今年高考的一个热点，所以各位同学们呀，不要再老老实实见戏了，赶紧想想几何法是不是也非常快呀， 能拿到满分的证明。过程我也写在这里了，好，拿下系统课，接着再用刚刚的方法来试几道题，因为三花猫说了，它是一个万能的方法，几乎这种二面角的几何法都能用。入座时看第二题，让求二面角 p 杠 b m 杠 d ok， 交线 bm， 两个平面分别是 pbm 和 dbm。 那 第一步找垂面，哎，你说哪个平面的垂面好找啊？很明显，是不是这个底面 dbm 的 垂面，它的垂面就是谁呀？就这个 abd 了，因为题目告诉你了，哎， abd 和 bcd 是 垂直的，第一步就完成了， 那接下来开始操作流程，咱只需要在平面这个 a b d 中做垂线，因为咱的顶点是 p， 所以 应该是过点 p 做垂线，哎，平面 a b d 只有一个 b d 啊，那就往这个 b d 做垂线呗。啊，这一坐舒服了， 好，先给他接一个 q 吧。接着二，垂直做交线的垂线，做 b m 的 垂线，过 q， 哎，那我就做一个 q 大 或者 q t， 哎，垂直 b m。 最后一步，三，连接连接 t p 好， 那么这个二面角很明显就是角 p t q 了。 那最后这一球 tan 的 角 p t q， 也就是 tan 的 c t， 它在这个直角三角形 p q t 中，它不就等于哎 p q 除以 t q 吗？ 那剩下你只要算这两个边上是不是就好了？这我家猫都会算的，自己用这个平面几何知识算一下哈。那最后算完之后，哎，上面是一个二分之根号三，这个 p q， 而 t q 呢，就是一个十四分之三倍根号十一， 那答案五就是三分之根号七。我嘞个骚杠嘞， nice， 请把六六六扣在 w 那既然是万能的，再看一道二零二一年全国卷的一个真题，重点翻一下这句话，二面角 e 杠 bc 杠 d 的 大小，能不能找出来呀？ 哎，刚刚我们说 e 垂面，先找垂面，交线是这个 bc， 那 么有两个面了，一个就是 ebc 啊， ebc 它的垂面不好找呀，这个面是斜的，另外一个是 dbc， 哎，这个面好找， dbc 是 下面这个面，哪个和它垂直呢？题目说了 a b d 和它垂直， 那 abd 和 bc 的 垂直 abd 就是 这个垂面的呀，第一步启动，找完了， ok， 核心在里面做垂直，在这个平面 abd 中，我做一个啊，因为顶点是 e， 那 只能做这个 eq 垂坠 bd 了。 接着二垂直，哎，我们是不是要做这个 q 与交线垂直了呀？所以做一个 qt 垂坠 bc 三连接，直接连接这个 t 和 e， nice， 小 子看好了，这一笔会很帅！连接 t e， 那 么这个二面角就是角 e t q， 题目说了是四十五度，所以这个就是四十五度了，那么这个 e q t 就是 一个等腰直了呀，一比一比根儿 nice！ 翻一晚了，那这个题就迎刃而解了，接下来这些东西都非常的好求，这道题呢，也输入在我的必修系统课中啊，这个方法呢？再比如题的方法以及这个二面角的绝招，都在必修系统课中讲过的。 藏猫讲数学，用最通俗易懂的语言，拿下最难的数学题，带你上大分！最后呢，这个二面角也给大家留了一个小作业，可以做一下，把答案扣在评论区， 需要更多练习题的，在我的 b c r 系统课中，以及更多的方法讲解整个 b、 c、 r 的 系统讲解。

本视频时长三十二分钟，带你搞定立体几何几何法求空间角综合训练，从题目出发，解决各种综合题型，讲透底层逻辑，回复立体几何，领取视频讲义。 第一道题告诉我们一个三能锥，然后说这个 a、 b 啊，是垂直底面的，然后告诉我们底面还是一个直角三角形就是 b、 d、 c 是 直角，然后 ab 等于根三。 然后接下来有两个比较模糊的条件，需要你精准的去处理和翻译一下。第一个说最长的棱是等于多少根号十三。 第二个说当这个棱锥体积最大的时候，最后要求 a、 c 和 b、 e 所成的角，所以你想求这两个意面直线所成的角。首先看一下这个根号十三在说谁，这是你要解决的第一个问题。第二个体积最大的时候代表着什么？ 那我相信大家思考过了，然后接下来我们一起带着你的思路，带着问题我们来感受一下。第一个问题 说最长的棱，根号十三，谁是根号十三，你分析完之后，整个题里边最长的那个棱说的是谁？这是咱们要搞清楚的第一个问题，这个问题你解决不了啊，你进行不下去，对 ac 是 吧？ 所以看的时候呢，在这道题里边啊，怎么看最长的？那你看我们整个三角形，因为这里是垂直，这里也是垂直，有很多直角三角形，那直角三角形中什么斜边是最大？你先看一下扮演斜边的， 这个扮演的是底面的斜边，这个扮演的是斜边，所以这三个首先都是斜边，另外两个不用考虑。接下来再看这三个斜边， 这个斜边在这个三角形中相对于他又扮演了什么啊？直角边，所以他也不用考虑，然后最后就剩下这两个扮演斜边，那这两所在的直角三角形，你发现有个公共边是根号三， 他俩谁大？看他俩，他对应的另外一个直角边是他，而他对应的另外一个直角边是他，谁对的另外一个直角边大，那很明显是这个边对应的另外一个直角边是底面的斜边，而他对应的另外一个直角边是底面的什么啊？直角边，所以这个相对大一点，最终最大的是谁啊？ ac， 好 了，所以第一个条件咱们就处理清楚了，原来在告诉 ac 等于根号十三，我们标上去。然后第二个问题， 他说当这个体积最大的时候，那这个体积最大，又在告诉我们什么体积最大，又在告诉我们什么样的特点，或者什么样的特殊性？其实这些呢，多少都是一些非常基础的概念性的问题，他只是把非常简单的问题串联在一块。对 底面积最大，那底面积最大的时候又告诉我们什么呢？好，那我们就一起来分析一下啊。来，从不到有 等腰直角没问题，你看整道棋啊，体积最大体积看什么？底面积和高，这条线垂直底面，他就是高，那这就是底面， 所以我们要求体积怎么样？最大，就是要求底面积最大。然后接下来你看一下底面积有什么特点，因为整个这里是一个 r t 三，这根号十三，这根号三，所以这根号十， 所以你发现底面是一个什么？斜边为根号十，然后对应的直角是直角，那我们说这个点 d 的 轨迹在哪里啊？这是我们初中学过的什么定边定角吗？这刚好相当于一个圆的什么直径，然后呢，这个点 d 就 相当于永远在这个圆上运动， 那它在圆上运动的时候啥时候面积最大呢？就是等幺 r t 的 时候。所以第二个问题就在说底面为等幺 r t 的 时候体积最大，说白了也就是在告诉我们 b、 d 等于 dc， 都等于根号五。 坐到这里，你看他题目在告诉你条件的时候告诉的相对来说都比较委婉。那我们对条件的翻译，第一个来自于什么？我们初中知识对这种边的理解。第二个，体积最大的时候，首先要知道体积最大到底是谁最大？是面积最大，面积又是怎样一个图形呢？定边定角的一个三角形， 你把这两个条件完全处理清楚，那接下来还有什么综合性完全确定的？一个三棱锥要求里边两条意面直线的什么所成的角，那它就变成 一个单一知识点，就是求意面直线所成角的问题来最后一步了啊，那么求哪一条呢？求这两条，我们说意面直线所成的角要用几何法求的，关键是什么？平移让他两相交。那么这道题你看到这个点就在这个线的面里边，而且是中点，直接做个中位线，那 就这就是我们要找的什么角了。这个角找到之后怎么求呢？第一个是通过做平行找角，第二个只要找到就放在一个三角形中，正弦定力解，三角形拿下，所以你去求长度就行了。 根据刚才这个是根号五，这个是多少？二分之根号五，这里是直角，根据勾股定律，那 b f 就 算出来了二分之五，这里是中点，这里是中点，这里有个根号十三，根据中位线二分之根号十三，然后接下来剩下这一个长度，它在哪里？ 他也在一个 rt 三角形中，而且他是斜边上的中线，那他就等于斜边一半，你只要知道斜边就行。两个直角边，根三和根五，斜边二倍根号二，斜边中线根号二结束了，所以在这个三角形中，三边长度都知道，根据余弦定律算一下， 算出来它好像是一个什么负的，但是因为两条线所成的角必须是小于等于九十度的，所以你取它的绝对值就 ok 了，所以这就是最后的答案。所以说这道题看似好像是一个小小的什么空间角的综合，其实它就涉及到了三个问题。 第一个啊，就是你要掌握清楚怎么去判断最大的棱，其实主要是根据直角三角形三边关系 逐步找到最大的，判断清楚。第二个体积的最大值，那本质上是看体积是怎么构成的，底面积和高转化到 s 最值之后，看这个三角形的特点， 变成一个什么初中知识，这就是它综合的两个你曾经学过的基本点，你搞明白之后，第三个才是真正这几天咱们学过知识点，就是意面线的两步找角， 然后求角就 ok 了。所以我们经常讲，在高中呀，很多综合题是怎么综合，就是把你学过的一个一个知识点在一道题里边叠加串起来，跟串糖葫芦一样，串成一个完整的题就 ok 了。 这道题把，这道题因为是个翻折问题，我带大家把图画一下，然后大家再看啊。这道题的话，先告诉我们个平行四边形，然后说 a、 d 等于三，对角线等于四，然后还告诉我们这个角是个什么啊？ 余弦值是个五分之三，那说明了这个三角形中一个条件，两个条件，三个条件，一个三角形有三个已知的条件 代表着什么呀？代表着这个三角形的所有条件都已知，对吧？所以通过正弦定力也好，余弦定力也好，最终你发现这个三角形是个直角三角形，而且它是一个三边为三四五的直角三角形，再根据是平四，那这边对应的也就是五和三，这里也是一个什么啊？直角。 然后接下来他说将这个三角形 d， a、 c 啊，你注意沿 a、 c 将它翻起来啊，翻起来，你看啊， 我翻的时候稍微挪了一下，这就是刚才的，我给你对应一下，你把图先对应上，这是这里的这个直角三角形，现在做底面，然后把这个货翻上来， d 就 变成了 p， 所以 它变成了一个三棱锥，所以最终要让我们处理的是 p a、 b、 d 这个三棱锥，你发现 p a 首先是垂直 a、 c 的 这个直角底面也是啊，所以接下来回到这个题当中，告诉我们 p b 还等于根号三十四，然后要求 a、 b 与 p b、 c 所成角的什么正弦值， 那这就是一个线面所成的角啊。这道题看到这一步的话呢，剩下的已经比较简单了，首先图是确定的，告诉你这个等于根号三十四，往往在告诉你一些垂直关系，你就看一下 有没有勾股定律，他在哪个三角形，他在这个三角形当中三的平方加五的平方刚好等于三十四，所以他在说这里也是垂直，那么这里也是垂直的话，说明这个线是垂直底面的。那么接下来要求的是啥呢？要求的是这个线和这个面所成的角。 那我们说线面所成的角用几何法核心操作是过这个线的端点，向这个面找垂线，找到垂足，连垂足和交点，找投影， 那么这个角就是我们要找的角，那么你看一下这个点， a 垂直，这个面垂直在哪里？你知道不？我放弃了，一眼看不到，我就默认为我能力不行， 所以我们说在线面角找不到的时候咋办来，找不到不是问题，找不到不代表问题解，找不到对等体积法， 因为我们说你随便向这个面做个垂线，这个除了找到这个角用几何法算之外呢？你随便画一个这个线，有一个啊，叫做 专业名词。其实点到面的距离可以看作是一个追起的什么高，那这看作高，这是个线。那三引阿尔法不就等于 h 比上 ab 吗？对吧？所以 ab 知道只要求 h 就 行了，求 h 非得知道垂足在哪里吗？不用 咱们上上周讲的几何量中的什么，但凡球点到面的等体积，那么接下来第一个表示体积，就是这个面和它上面的高。第二个要选择一个能求的，那选谁呢？正常的底面和正常的高， 所以我先表示出来两边的三分之一，我就不写了啊，反正都就约掉了。 p、 b、 c 的 面积乘以它所对应的高，等于 abc 的 面积乘以它所对应的高。咱带个直，先看这个，这里呢，也是个直角三角形，为啥呢？因为这个线它和它垂直， 也和这个垂直，所以它垂直侧面的面，这是直角，那它的面积就是三乘五除以二乘以 h， 那 这边 abc 呢？三乘四除以二，再乘以高是多少？三，二和二约掉了，三和三约掉了 h， 等于五分之十二， 拿下，对吧？带进去，这等于五，这等于五分之十二，非常简单，二十五分之十二。所以你理解透了，你走到每一步，你都知道 对应不同的现象，对吧？能找到怎么解，找不到怎么算，都能轻松拿捏。好了，那这个就结束了，接下来继续向下看。啊，还是个翻折的问题。这道题呢，又告诉个平行四边形，告诉我们这个是一，这个是根号二，这个四十五度，两个奇特别的像。那这不是又知道三个根据什么 正弦定理就得到，这也是个直角三角形，整个是个平四，这也是个直角三角形，对吧？然后他也把这个棋翻了一下，他咋翻？他沿着这个翻， 沿着这个翻，说明原来的底面 b、 d、 c 还是个等腰直角三角形。把另外一个等腰直角三角形翻上来，就是把 a 翻到这了，对吧？那把条件梳理一下，翻上来之后，这个是一，这个是一，这个或原来的它根号二。 b、 c 根号二，这个角就是原来这里的角直角，这个角，原来这里的角直角。这就是咱翻完的图啊，我给大家换一页，画大一点， 这是他翻完的图。翻完之后，这道题要求什么呢？他要求的呀？嗯，不止线面角，他先是给你条件的时候给了个二面角，他说翻到 p、 b、 d 和这个面所成的角， 要你自己去梳理，同时还要求一下此时这个 p、 d 和底面所成的角是多少。这道题呢？首先第一个，但凡咱们看到了空间角，你选定了小棋嘛，优先选择几何法。 你选定了几何法，你一定要把这个角找到，不管是已知的，就是它必须是平面角，最好放在一个三角形中，它才能用得上。你要求的这个角，它也必须是一个什么啊？你初中所学的这个角的样子， 然后放在三角形中，你要能够怎么样去算它？所以这是基本意识。那首先第一个看二面角，那么两个面所成的角咋表示呢？我们说先找到交线，交线是 b、 d 嘛？然后每一个面向交线做垂线， p 刚好 p、 b 垂直它， c 向它做垂线， c、 d 垂直它唯一不幸的就是没垂在一个地方。我们说当这两条线垂交线没垂在一个位置的话，二面角还是没出现， 那接下来只要怎么样平移就可以了。那接下来比如说我把 c、 d 过点 b 做他的平行线，那我一平移就平移这去了。 平移之后原来是个三角形面，因为这个线和这个线平行的，他们还是共面，所以整个底面呢，就变成了一个什么四边形的面。所以那我就找到了这个二面角，再说这里是四十五度，然后我把它放在三角形里边啊， p、 b、 c 撇这个三角形里边有个四十五度。 第一个条件找到了，接下来要找的是线面角，这个线和底面所成的角和底面所成的角，那也简单过，什么 过端点向面做垂线，所以点屁要向面做垂线来，垂足在哪里？知道不对，在 bc 上。为啥呢？你看啊，这条线是垂直这个面的吗？ 对吧？你要看到关注垂直嘛，这个垂直的话就是绿色的，面和底面是垂直的，这个面和底面垂直的。你屁要向底面做垂线，肯定在 b c 撇上， 所以做垂线连接 d h 这个小小的角就是我要求的角。好，找到了，接下来咱也放到三角形中了，就剩下算了嘛，要算关注长度来， 这个是一个直角三角形，这里有个一，有个四十五度，那这个 p h 是 二分之根号二，然后这个线本身就是二分之根号，假设这个是个 r 法，那这个 sin r 法就等于二分之根号二，除以根号二，就等于个二分之一， 所以这个角三十度轻松拿下。你看这个难度也在逐渐上升。前两道题呢，他是跟我们学过其他知识结合，但是只处理一个角，然后这是第一题和第二题、第三题的话条件， 嗯，一个角，一个二面角，对吧？然后要求的要是一个什么线面角，所以一个棋里边多个角出现的话，那都是咱们 这些知识在串联。那接下来咱看一个更多的线面角，线线角二面角都有，我们看一个多选题啊，哎，这个题啊，这个题还有一个平移的方式，忘了说了，就平移的时候大家方式可能不一样，比如说刚才找到 这两个都垂直，没垂在一个位置。在平移的时候，有些人一想垂直这来都不知道垂在哪，他可能不想再再 几何体外边去做，所以还可以怎么样？你就选个中点，都平移到什么中间也可以的啊，一模一样的。 然后你比如说在这选中点，他两个平行，他两个平行，那这个角就是我们要找的角。然后在这个图形中，只是你向下找垂线的时候，从这去做就行了啊。 f 向下做垂线一叠，在这里，两个跟刚才的是相似的，只是要求的三角形小一点， 所以这没啥区别啊。所以说你在平移的时候，平移到中间位置，两个都去平移一下也可以啊。好，接下来看我所说的这个多选题，那这道题先给大家看一下一个正三能柱，首先 那他上边下边都是正三角形，其次正能柱肯定是直能柱，所以侧能一定是垂直底面的啊。然后接下来说 e、 f 分 别是它上边的点，这两个点在哪？不知道啊，你可以认为是动点， 不是中点，也不是三等分点。然后接下来说 e f 与 a a e 所成的线面角为阿尔法， e f 与底面所成的线面角是贝塔。然后 f b c 这个面和底面所成的二面角为伽玛。 接下来要处理接下来这个四个选项，这道题我觉得出的非常好，值得大家下去反复把它通透几遍。你真的把这个题里边的这些点想明白了， 那你对于空间的这些角，在几何法的角度去找去算啊，就会有很大的进步啊。好了，第一个先齐到了三个角，一个一个找。首先 e f 与 a a e 它俩所成的角，那要怎么样平行相交，然后去找这个角， 那么过哪个点做平行线呢？一个是这个线，一个是这个线， e、 f， 对 吧？ 过哪个点做个平行线啊？对，肯定过 f， 因为 a、 e、 a 和 f 明显在一个平面，在一个平面内做平行线最简单，所以 f 向下做个什么平行线， 那他俩所夹的角就是这个，或就是阿尔法，把这个阿尔法放在三角形中。好了，那阿尔法有了。接下来看第二个角叫贝塔。 e、 f 与底面所成的角， 那么 e、 f 与底面所成的角，线与面所成的角。咋找？过点向面做垂线来？ f 点到底面的垂足在哪里？ 那不就是 f d 吗？那么这个投影和这个线所夹的角就是谁啊？线面角，所以这是贝塔， 当你贝塔画出来的时候，你就知道 a 选项，这个分拿到了，再难的多选区，往往有一两个选项，就是考你对概念或者说基本功有没有扎实的理解。可以了啊。好， 接下来我们接下来看第二个选项，贝塔与伽玛。伽玛是啥呢？那又得找第三个角，第三个角叫二面角，哪两个面呢？一个是 fbc， 一个是 abc， 二面角找交界，交界就是 bc， 那 他俩要分别向交界去做垂线 这个棋。咱们过哪个点做垂线呢？如果一个面内刚好有像另外一个面有垂线，你就过这个垂足直接做，然后根据三垂线定力，或者根据线垂面， 这个角直接就是什么二面角了。所以咱过点 d 啊，向它做个垂线，做完之后，因为你发现 bc 和谁啊？ d h 垂直， bc 和 df 也垂直，所以你连一下 f h， 它一定垂直。 bc， 那 这个角就是伽马了，所以伽马直接找到， 在这个棋里边呢，我们要的不管是线线所成的角，线面所成的角以及二面角都肉眼可见了，也都放到三角形当中了。但是这个 b 选项它要比较的是这两个角，但凡要比较两个角，那你就得看它俩对应的三角函数， 要看三角函数各自放在一个 rt 三角形中，贝塔在这个 f、 d、 e 当中，然后这个伽玛呢？在这个 f、 d、 h 当中来看这两个角的什么值，正弦余弦正切，看它的什么值会舒服一点。 你要看这两个三角形，要去比较，就要看一下这两个角有没有对应的一样的定量，因为在这两个三角形中，这个量是个定量，所以它俩对边都是定量的话，你看正切，那就是它俩相同的量，一个比 d e， 一个比 h， 如果你看正弦是相同的量，一个比 f e， 一个比 f h， 所以 表示出来去比较的时候，往往只看分母了，分子都不用看，因为分子是一样的， 所以要关注他俩的定量，或者叫做相等的量，要会选就是这种细节是很重要的。来接下来把他俩的正切值啊，贝塔对应的是 f d， 比上 d e， 然后伽马对上的是 f d， 比上 d h， 所以 你就看一下 d h 和 d e， 哎，都是从点 d 与 bc 上点连线，但是 d h 肯定最小，那 d e 肯定是大于等于谁啊？ d h 的， 那么这个分母大，说明他整个值小，或者什么等于，那正切值越大角越大，所以贝塔小于等于伽马也没有问题，所以 b 选项也选定了，所以前两问本质上还是在于谢谢角，谢面角，还有二面角，你能不能找的很， 怎么样很扎实？就是你对在空间中把他先找到，放在三角形里边，基本功扎实，那处理起来啊，也就轻松拿捏了啊。 好，那么接下来我们再看一下这个 c 和 d 选项，这个选项里边，首先啊，它要比较贝塔与四十五度的大小，还有阿尔法和伽马，但是都有个前提，再处理角，那它给一个这个边和这个边的大小， 那大家想一下这个到底是这个条件，到底是咋用？都在研究角给这两个长度跟角怎么能建立上关系，或者说这两个长度跟哪个角有关系。你就想 这两个边对应的角肯定是放在一个三角形中，就是这个角，所以告诉它俩的大小关系，从某种角度上是在告诉这个角的范围，因为这个边比这个边大，那贪定塔 c 塔就等于 a e a 比上谁啊？ a b 肯定是大于一的，说明摊定塔 c 塔是怎么样，说明 c 塔肯定是大于四十五度的。那么这些你看在咱们线线角、线面角二面角的基础上，它又给出了一个角，直接写成 c 塔，它等于谁啊？ a e a 比上 ab， 然后呢，他是大于多少一的，所以 c 塔大于四十五度。但是这道题比较的是谁啊？不是 c 塔与四十五度的关系，是贝塔与四十五度的关系。那你就看一下贝塔和 c 塔对应的正切值，哪里是相同的分子，他的分子 df 和这个 c 塔的分子 a e a a e a 和 d f 是 相同的，你就看这两个分母谁大。所以贝塔其实看似跟四十五度比较，其实是在和 c 塔比较，对吧？是不是 ab 更大，那么 ab 更大， 分母更大，角更小，所以 c 塔小于贝塔。第二 b 选项又知道贝塔小于等于伽马，又知道它大于四十五度， 所以贝塔肯定大于四十五度，这胡说八道呢。然后接下来他说还是这个条件，阿尔法是不是小于伽马的？那阿尔法是什么呢？阿尔法是九十减贝塔，贝塔比四十五大， 那阿尔法肯定比四十五小，阿尔法肯定小于伽马。结束我觉得这道棋出的还是非常的好，所以最终在一个棋里边陷陷角，陷面角，二面角，最终还出现了一个参考角，对吧？跟他们之间还要进行一个比较， 所以这道题你要研究透了，我相信你对空间角几何法的角度下啊，一定有比较不错的理解啊。好了啊，然后如果在清的过程中觉得，嗯，自己还是想不到，那你下去之后拿重新把甲乙打印出来， 然后扎扎实实的把这些题再就是重复个一两遍吧。每周每每个细节，关键点，为什么想到这里？为什么要做这样的选择？包括你看刚才 首先找角，然后选这些角的三角函数，选什么三角函数，为什么这个条件要朝角去思考，因为他比较的是角，对吧？那么朝哪个角去思考，你就看这两个边的比值跟哪个角有关，他就是跟这个角有关， 然后这个角有了对应的是正切值，看他的正切值和贝塔的正切值之间的关系，其实你会发现每一步还是比较丝滑的。 接下来我们要处理的后三道，这三道题有个公共的特点，就是一般情况下会给你一个两个半平面，然后在这两个半平面中有一个线段交线的啊，大概的模型就长成这个样子，告诉不同的已知条件，去求不同的东西，但是他们有相同的底层逻辑， 我们一起来感受一下啊。第一道题做一个例子，这道题告诉我们，二面角为一百三十度的两个半平面啊， b、 d 和 a、 c 分 别在两个平面内，它们都垂直它们的交线 l。 然后在这还告诉一些长度，说 ab 等于二， ac 等于二， b、 d 等于二倍根号二。最后要求一下 cd， 首先不管他给我们的什么条件，当你看到二面角来，只要一个题目中出现了二面角，这道题，你选择了几何法，这些题都可以用空间向量啊。 我说一遍，这接下来讲三道题，以前我讲的时候是几何法加空间向量啊，今天呢，我不讲想讲向量，我只想讲几何法，咱们就说几何法， 所以站在几何法角度上看到一百三十五度，这个一百三十五度必须怎么样？只要二面角出现，你只要用空间角，这个角必须还是那句话，呈现在某个三角形中，首先他是平面角，其次放在三角形中，所以找到公共的，他俩都垂直平移，你平移 a、 c 吧， 这样二面角一百三十五度就出现了，出现了来放在一个三角形中。所以说这个操作应该很简单，二面角 在哪？你但凡用几何角，只要提到这个角，要求这个角，你都要问自己在哪，你找到了，那这个问题解决了， 对吧？那找到之后能得到什么呢？那你在平移 b 撇 c 的 时候啊，你平移完之后，其实的这个肯定要放封闭图图形中，所以这个棋很重要，就是一定会联系一下 c、 c 撇，联完之后你就会发现 c、 c 撇始终是垂直这个面的，这两件事情干完之后结束了，所以通过找角， 只要构造出现垂面这组关系，要求啥都解决了，不管给的什么条件，走一遍吧。题目告诉我们这个是二倍根号二，题目告诉我们这个是二，这是一百三十五度， 你就可以求出这个是二倍根号五。具体咋求呢？你用鱼弦定里也行，你用你初中的玉特殊角做垂线也可以啊，在这做个垂线，然后呢，这是 d， 这是二，这是二倍根号，这也是二，这也是二，一个直角边二，一个直角边四，你也可以求出二倍根号五。 好，这是二倍根号五，这 c c 撇就是 ab， 是 二，这又是什么啊？直角嘛，线垂面做一个勾股定里，求个 c d 二倍根号六，直接就搞定。 所以棋本身很简单，但是你只要看到这里，你会发现，你要找到这个角，你必然平移，平移完找到这个角必然出现线垂面。 只要想明白这道棋里边要干的这两件事情，接下来随便他怎么考，都可以顺利的把它拿下啊。那最后梳理一下，所以我们接下来讲的这一类棋都说了，两个半平面，两个面里边都有两条线，对吧？有些时候垂直，有些时候不垂直， 在你最终一定要找到两个垂直的平移产生什么二面角，产生二面角的基础上，把它放在一个三角形中， 平移的这个端点连线一定和这个面是什么垂直的，有了这样的一个什么关系？这些题都可以轻松拿捏来练两道。这道题的话，一样的，告诉一个二面角为一百二的这两个半平面， 说 a 点到这个距离是一， b 点到这个距离是四，然后这回把 a b 告诉了二倍根号七。那他这次要求的是什么？他要求的呢？这次不是长度了，他要求这个公共的棱和这个 a b 所成的角是多少。好，老规矩，按照刚才的思路再来一遍，你会发现轻松拿捏第一个。但凡这种告诉你二面角还是那句话， 都有二面角，用几何法在哪呢？分别向他做垂线，有了平移嘛，比如说我平移了一下谁啊？ b c 平移到 b 撇 c， 然后这就是一百二十度啊，一百二十度在这里，然后接下来会产生平移后的这个线垂面，那你就在这里边去求，那你先找一下角在哪呢？ 本来是他俩所成的角，那这不就是我要求的角吗？那这个的话，我知道这里是二倍根号七，我要去求他求出 a 撇 b， 或者求出 b b 撇都行。那这道题知道啥呀？知道这里是一，知道这里是四，知道这是一百二十度，画出来求一下吧。这里是一百二十度， 这里是四啊，这里是一，那这是二分之一，这是二分之根三。哎呦，这个好难算啊，四分之三，这个二分之九，二分之九的话，一平方四分之八十一，四分之八十四等于二十一。好了啊，初中方法也能算根号二十一。 所以当你发现 ab 撇是根号二十一，那这个角的对边是根号二十一，斜边是二倍，根号七，所以这个角的正弦值二分之，根号三，那所以这个 c 它不就等于啊，它只求正弦值， 那我写完了，对吧？所以你发现跟刚才一模一样，只要看到这种，你首先要平移，找到什么二面角放一块， 第二个就一定会垂直，什么出现什么线垂面，从而问题就一定可以解决。这道比较简单啊，接下来最后一道还是稍微有点难度的，这道题也是两个半平面，也告诉 m a 等于三， a b 等于二， b n 等于一，然后接下来告诉这里是一百二十度，还有这个 n b a 啊，这里也是一百二十度， m n 还等于三倍，根号三，它最后要求的是异面直线 m a 和 b n 所成的角，那这道题唯一不一样的就是没有垂直了。看一下 你学完之后能不能灵活解决这道题的话。看到之后啊，二面角给了这么多，还是得平移。平移呗，你要求他俩所成的角叫做空间角，他必须出现，那你平移了就是求这个角，那求这个角就得放在这个三角形中， 放在这个三角形中数条件，我知道这个是三，我知道这个是一，没了，那没了肯定不够嘛，对吧？你只有两个条件，肯定求不出这个角。然后我们就想在这种一定要出现线垂面，但是这道题 有两个半平面，没有二面角怎么办？没有就自己做呗。所以没有就自己做。所以咱过 n 向他做个垂线，过 m 向他做个垂线。 做好垂线干什么呢？平移，所以你平移之后，这就是谁啊？二面角，然后把这个面做出来，这个线就会垂直这个面，那么对于这种两个半平面的，你始终要坚信 有两个半平面要做二面角，然后就会出现线垂面，然后要解决很多，就都可以迎刃而解。来看一下，我们知道哪些长度啊？因为这里是一百二十度，这是六十度，这里是一的话，这一段是二分之一， 然后这一段是个二，这里也是六十度。因为刚才告诉这一百二，这里是三的话，这是二分之三，二分之三，二二分之一，你就会发现整个这个长度等于多少？等于四， 整个这个长度等于四，其目又告诉这个长度等于三倍。根号三，根据勾股定律，二十七减去十六等于十一，所以 m n 撇等于根号十一。 好了，有了根号十一，我们说我真正要求的是这个角，我缺的长度是这个长度，我得求这个长度。这直角三角形这一段，这一段是二吗？和它相等，剩下也是二，这根号十一，这是二。直角三角形，根号十五，完了， 这里是三，这个是一，一三，根号十五。说要求这个角于弦定力，拿下搞定。所以说你看最终没有垂直，也得自己去找到垂直平移，垂直产生线，垂面顺利拿捏。

一个视频带你搞定立体几何的线面角问题，五种方法一网打尽，尤其是高一的宝子们，你们还没有学空间向量，不能无脑间隙，那你一定要看完这个视频，详细讲解基本原理，教你怎样做辅助线，怎么写证明过程。 看完这个视频，你就是掌管线面角的神。好了，点击全屏观看，开始你的成神之路，来吧！先来研究一下定义，那什么叫做线面角呢？平面上的一条斜线。什么叫斜线啊？这个线与这个平面斜交，它不垂直，这条斜线和它在平面上的适应 当形成的这个角呢，就叫做线面角了。所以说我想把线面角做出来，必须干啥？是不必须做一条线面垂直啊，做一条腿线，好，这样我才能得到垂足啊。 垂足与斜足之间的这个线段长度就叫做射影。我们看一看这个直线与平面所成角的个曲折范围， 它是大于等于零度，小于等于九十度的，注意它和意面直线所成角这个范围的区别。好，那我们就应用这一个线面角的定义，来看看这一个最简单的入门级别的题目啊。先热热身，大家先看看这个题目，一个正方体当中， 这个直线 a、 b 与 a、 b、 c、 d 所形成角的大小是多少？那我先要找到这个角是谁。好， a、 b 在 这里， a、 b、 c、 d 是 这个底面，那我会发现，哎，这条线和这个面是不是有一个交点啊？但这个交点是什么？ 通过定义，我们会发现，这个焦点是不是就是斜阻？那我在 a、 e、 b 这条线上我又找到一个点，干啥玩意做这一个面？ a、 b、 c、 d 的 垂线，那么这不太简单了吗？当然是过 a、 e 点做这个 a、 b、 c、 d 的 垂线啊，它就是谁？ a、 e、 a 是 不是这条侧棱啊？好把它给找到了，那 a 是 不是就是垂足啊？ b 是 斜足，那说所以说摄影就是谁？ ab， 那 么 a、 e、 b 是 斜线，摄影是 ab， 那 么它们的夹角 a、 b、 a、 e 是 不是我们要找的角啊？那这个角 a、 b、 a、 e 是 多大小啊？ 我一下就发现了，那是不是应该是一个四十五度啊？来，快点看一看这第二个题目，先找到这个角是谁，然后再去确定它的大小。 a、 e、 b 和谁的夹角啊？和 a、 b、 c、 d、 e 的 夹角同样呢，是有一个交点，是谁呢？是不 b 点？ b 点？是不所谓的斜足啊？ 那我要在 a、 e、 b 上找一个点是不？干啥垂直于这一个面儿， a、 b、 c、 d、 e 这个是正方体， 它每一个面都是正方形，那正方形的对角线是什么样的？是不是互相垂直的？也就是说你能不能得到这个 a、 e、 o？ 它就是垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 垂足，就是 o 啊， b、 o 就是 矢量呢？斜线是 a、 e、 b， 那 么它假角应该是哪一个角？ 是不是这一个角 a、 e、 b、 o 啊？那我们具体看看怎么操作，我带大家具体写一下步骤好不好？就是怎么能发现用定义法的呢？这个东西是不大家非常关心的事啊，你怎么就知道我要做哪条线呢？辅助线咋做呢？好处啊，对吧？我们直接给他搞。第二问，他说这个 c、 e、 g 与这个平面 bc， c、 e、 b、 e 所形成的这个角的正弦值是多少？求这个正弦值。 好了，我们先要把这个角给做出来呗。你怎么知道该用定义法了呢？我们对于这种题啊，用定义法就一定有什么出现前提啊？大家把这个东西做做笔记好不好？如果不知道什么时候他就该用定义法，什么时候用等体积，什么时候用垂面。哎呀，这些东西我都会提前告诉大家我是怎么做到的， 那是不是成功就可以复制了？我能做出来，你们也肯定能做出来，那它有一个什么前提呢？我们先找这个平面啊，哪条线和哪一个平面的左乘角，先找平面，找到这个平面，那我一定要有一个平面，有一个平面 或者是一条线和这一个所求平面 和所求平面儿。对于这个题来说，所求平面儿就是谁呀？这不就是 b c c e b 呀，和这个所求平面儿要干什么呢？垂直，也就是说我要么有面面垂直，要么有线面垂直， 能懂不？如果你找不到已知啊，你是从已知当中，或者是从隐藏条件当中去找，而不是你做辅助线做出来的，听听明白没？这一个是已知条件给我们的，是已知条件给我们的，不是我们做辅助线做出来的。 当我发现有这么一个玩意出现，那么它大概率就可以用定义法。这个概率多大呢？百分之九十，所以几乎考试的时候你发现这种情况就可以直接想定义法了。那我这个定义法该怎么去用呢？该怎么去用？ 那一二三步咱开始啊，一看一二三步，第一步干什么呢？找焦点，找这一个斜线 与这一个所求平面儿。焦点 找这个焦点是干啥玩意儿？这个焦点是不就是斜足啊？对吧？对于这个题来说，焦点就是谁？ c e g 和这个面儿 b c c e b e， 你 就不看这个题，你是不是也能马上找到它就是 c e， 对 不对？ c e 就是 斜足， 那我们有很大的可能性就是过另外一个端点，这条斜线上的另外一个端点是点 g， 过这个点 g 做面的垂线呀，我们根据定义法是不要在这条斜线上找一个点垂直于这个面啊， 对不对？好，那么我们就有很大的概率是过另外一个端点，过这个斜线 另一端点的话，它也得是某一个特殊点，就比如说等分点， 为啥呢？因为我们把它给做出来，并不是说我只得到这个角就行了，我才要把这个角的余弦之后某一个三角函数直接给求出来，所以我就要能求这种边，对吧？那做出来的边没法求，那是我没有用啊。所以我一定是过这个斜线 它的另外一个端点，或者是说这个端点上的这条线段上的中点，或者是某一个等分点。什么过它去做面的垂线，过这个斜线的另外一个端点呢？做面的垂线， 但是呢，我们肯定要坐在这个面，这个面是不是用可，可能是用三角形去表示的，可能用细边形去表示的，那我这个面我坐在面上肯定好难受啊，我做不了啊，那我想干什么？垂直于某一条边就能得到线面，垂直行不行？ 好，就比如说这个面儿，它是不是用这个四边形去表示的？是这个面儿表示的是 b c c b， 是 不是一个四边形去表示的？那我想的是什么呢？我过这个特殊点做的这条垂线是不垂直于我，这条垂线是垂直于 b、 c、 c 一 b 一 的某一条边，从哪实现线面垂直的呢？这不一定是往它某一条边做垂线得到线面垂直，这就是这一个前提的重要性了。 因为我们有一个面或者有一条线垂直于这一个平面的，这不就可以先得到一个什么了？从这一个面面垂直或者线面垂直也好，我们最终的目的是不是得到线线垂直？ 大家说是不是这样？以这样这么一个线圈垂直，我再给它干出，另外我是不是做出另外一个线圈垂直？那你说我垂不垂于面啊？我能不能得到线面垂直了呢？对不对？ 好，这就是前提的重要性啊，为什么要有这个前提好，一定是垂直于某一条边啊？垂直于这个面上，因为这个面肯定用三角形或者四边形去表示的，我去垂直于这一个图形的某一条边，从而实现了线面垂直，从而实现线面垂直。 那么我们就可以直接去得到这个线面角是哪一个，明白不？就是用这种操作啊，得到线面角是哪一个？那我们看看这个题该咋整吧，好不好？ 现在读读题啊，他说是一个剩三楞柱来了，剩三楞柱提供了什么？提供了这个侧面是不与剩下两个底面是垂直关系？有没有线面垂直啊？朋友们， 这个出三棱柱是不是又隐藏了一个向量垂直给我们？然后他说所有棱长都是二 e、 f、 g， 分 别是这三条棱的中点，是谁的中点？我们直接看图就行了，这就不用读题了，那么直接看第二问， 现在我们找到了它的这个焦点，也就是说斜足是 c 一， 那么我们要过 g 点另外一个端点，是不是所谓的 g 点？我是不是要过 g 点做 b c c 一 b 一， 它某一条边，是吧？它总四条边，我从哪条边的垂线就可以实现线面垂直呢？ 大家看你坐哪一条边儿？我当然是坐 b、 c 这条边儿了，对不对？ b c 这条边儿，因为我要看这点在哪一个面儿上是不？这点可以是在 a、 b、 c 上，也可以是在 a e a b b 一 上，对不对？ 好，那很明显，它这一个 j 或这点想做 b b、 e 垂线是不是很难啊？ 是不是有点扯淡了？所以说我们就直接干什么过 g 点做 b、 c 的 垂线，好直接实现第二条啊，第二条是什么呢？过这个 g 点做这一个 g h 吧， g h 垂直于 b c， 好 吧， g h 垂直于 b c， 咱把它给画出来啊， j h 垂直于 bc， 然后我们马上的连接这一个 c、 e、 h， 好， 连起来，大家看看啊，我就想请问大家，这个 j、 h 是 不是垂直于这个面？ b c c e b e 的 是不是这个样子？它就是吧，一定是，为什么呢？因为是不是有一个线面垂直啦， 对吧？我面面垂直啊，我们得到这个面面垂直，那这个面面垂直，我也给大家记一个顺口溜好不好？就是我上学那会啊，因为我比较笨嘛，我就想了一些办法，怎么能弥补我和学霸之间的差距呢？我就记一些结论呢， 这就是一个什么比方呢？就比如说我们去加工一堆零件，哎呦，这一堆零件我要组合组成一个什么样的玩具， 是吧？就和我们拼乐高一样，我把它拼成一个什么样的玩具，那我如果从单一零件开始去拼，是不是很复杂，很难？但是如果我们把它拼成某一个一个又一个的小单元，我再去组装的时候是不是就会快的多？ 那我们现在去记这种结论，或者是记这个方法的过程当中是干了一件什么事，是不是提前做一个半成品出来？那我以后看见这一这一个结构，我就可以拿这个半成品出来用，是不是他就会很快，那我和学霸之间的差距就会越来越少，甚至他还没有我做的快。 那这就实现了，我打败了他。好，来吧，那咱看一看，该咋证明呢？朋友们，该咋证明？是不？我们再从已知条件当中搞一个线面垂直出来是不就可以了， 对不对？来了吗？顺口溜啊，大家记一记。顺口溜，对于垂直来说的，对于垂直来说好用啊。有面面， 有面面，有面面是啥意思啊？有面面的意思啊，就是面面垂直，有面面找交线做垂值得线面， 那有线得到这个线面，我有时候就到这就停，还有些时候干什么呢？我要从这个线面是个得线线。 好，这就是我们经常会用到的一个东西，你如果遇到面面垂直有很大的可能性，你就得用这句话，对吧？好，现在我们就看了它有一个什么事， 刚才有没有发现？好，我们看它从已知条件这个正三棱柱，我们得到了这一个 a、 b、 c 和这一个侧面 b、 e、 b、 c、 c、 e 是 不是互相垂直的？互相垂直，它们两个交线是不是 b、 c？ 那么这个 c、 e、 c 或者是 b、 e、 b 是 不都是垂直于这个 bc 的？ 都是垂直于交界的？所以我这个 c、 e、 c 是 不是垂直于底面 a、 b、 c 的？ 那垂直于这个底面 a、 b、 c， 我 们会得到什么有用的东西？ 会得到什么有用的东西？是不是这个 c、 e、 c 就是 垂直于 g、 h 的？ 当然有同学会说，老师，你这不，你你，你这么做，这不费劲吗？对对对对，是费劲，但是我想要给大家稍微解释一下啊，稍微解释一下 是费劲的啊，那，那我们如果直接用的话会是什么样？那我现在是不是干出一件什么事来了？我做了一个线线垂直，是吧？ 我做了一个线线垂直，就是做了 j、 h 垂直于 b、 c。 刚才不也说了吗？那算了，我写下来好不好？我写下来啊，把这个过程给大家写一写，那我从这一个正三楞柱 是不是垂直于这个面 b、 c、 c 一 b 的 呢？对吧？是垂直的，那这个线面垂直，我们刚说了有面面，呃，有面面垂直，有面面找胶线，那么它们的胶线是谁呢？我们发现它的胶线是不是 b、 c 啊？那我又干什么做垂线？做这一个胶线的垂线，我现在做没做，我做的这一次是不是垂直于 b、 c？ 那也就是说我们有了这一个谁呢？垂直于交线，那我这个 j h 垂直于 bc， 那 我们能不能得到一个什么东西啊？这个 j h 就是 干啥玩意的？就是垂直于这个面 bc、 cb 的， 有没有毛病？是不是可以给它搞定啊？对不对？是不是很开心的就解决到这个问题了？那我是不是得到线面垂直了？这一个面是不是所求的面是我们要求的这个面， 对不对？线面垂直有了，那你还不知道是哪个角吗？ h 是 不是就是垂足？ c e 是 斜足，那么顺呢？就是 c h， 它有这个斜线 c e j 的 夹角，那我这一个角 j c e h 是 不是我们要找的斜面角啊？ 是不是就搞定了？好，斜面角就搞定了，现在他想干什么？求做之前值做这个 c 角 j c e h 想去求它，是不就老鼻子简单了？为什么说陷面角比较简单呢？因为我做出这个陷面角来，必定伴随这一个直角三角形。那直角三角形的正弦怎么去求？ 是不？它太简单了，我都不用什么余弦定力啊，什么正弦定力？这这一坨东西是不直接出动知识搞定，那它就什么 g h 比上谁？ c e g c e g 就 斜边啊，斜线就是斜边。好吧，那我现在干啥玩意就行了，把 g h 给出出来，再把 c e g 给搞定，是不就完事大吉了？ 好，那么朋友们啊，这一个 jh 是 不太简单了，它说了是一个正三棱柱，那底面 a b c 就是 一个什么图形，咱把它给画一画呗。大家看一看啊， a b c 就是 什么玩意呢？是不是一个等边三角形啊？ a b c， 那 这个 j 是 不是它的终点啊？我做了这么一条垂线，大家看，这个 h 就 应该是什么是 b c 的， 什么，是不是四等分点啊？朋友们，如果你直接看不出来，我再给你画一条线，你能不能看出来呢？ 这一个 k 吧，这一个 k 是 不是 b c 的 终点？有没有毛病？没问题吧？那么现在你垂直，你也垂直，你说我这个 h 是 不是 b k 的 终点？是不是就是 b c 的 四等分点？那么这个小玩意简不简单呢？ 是吧？这就很简单。我为什么一定要强调 h 是 什么呢？因为我想还得把 c h 给求出来啊。为什么要求 c h？ 因为我要求 c j c e j c e j， 我 必须要勾股才能勾股出来，明白不？所以这么一环套一环啊， 很快的，我们就会得到一个比较好的事情了。这个 g h 你 能不能直接搞定啊？这个 a k， 因为它的边上都是二二， 所以 a k 是 个根三，那么 g h 是 不是二分之根三？中位线嘛，很容易搞定了。 c h 就是 什么？我们说 h 是 靠近 b 点的四分点，所以说 c h 就是 什么二分之三嘛，对不对？这不很快嘛？ 好，我们还知道测棱是啥呢，它每条棱长都是二啊，那也就是说这个测棱长 c e c 是 不也是二啊？你说 c e c 也知道了， c h 也知道了，我想求啥呀？我当然是想去去求 c e h 了，对不对？ c e h， 咱一勾股，咱勾股不了吗？ 它是斜边，对吧？那我这个二分之三，这个二就是多少，这个二是二分之四啊，那你说这个 c e h 就是 多少，是不是二分之五？你建勾股，你千万不要硬上，一定不要平方，不要直接平方，你要看看它们几个数之间有没有满足勾股数啊， 尤其是这种一个是整数，一个是分数的，你敢不敢把它通分一下，把整数变成分数，你看一看分子满不满足勾股数呢，对不对？做题不要硬上你，要不然你为什么做题慢呢？人一歪眼，能做出来的又快又对，你还在平方开平方 干啥呢？这是对不对？好，那么 c e h 有 了，我们再去整什么？这个 g h 也有了，那 c e g 我 还勾股不了是咋地，对不对？好， c e g 再给他勾股一下吧。 好，用。这一个数和这个数现在就完蛋了吗？是不是他一个根三，一个一个五，我是不是用不了了？完犊子了，用不了了，那这个 c e g 就 老老实实的平方去求吧，是吧，他应该是什么呢？根号下二分之根三的平方，然后再加上这个二分之五的平方等于几啊？ 这小数还挺好的嘞，什么根七啊？好了，那咱把它给搞上吧。它就应该等于什么？二分之根三比上根七应该等于什么？ 哎呀，不是什么好玩意啊，十四分之刚好二十一，搞定了没？这一题。唰，这个流程就出出现了，我们第一个题讲的慢，是为了给大家试用条件，什么时候用定义法，我定义法怎么做，然后具体一步一步，然后我带大家做了，做这个 怎么去求值啊？通过这个流程，我希望能带给大家的是什么呢？希望能带给大家的是做题的通法，解题，通法。那我们用这个通去做一做第二题，看看它好不好用。那我再做后面题目，我就不给大家详细求了好不好？我们就做辅助线，咔咔，做几个辅助线就行了，好不好？看看这个通数能不能用啊。 来，我撕掉了啊，需要截图就截图吧。好，不需要截图，那我们就继续搞了。好吧，搞第二个题啦。第二个题，刚才说什么呢？已知这个三角形 a、 b、 c 与这一个三角形 d、 b、 c 所在的这个平面呢？互相垂直，来吧， 面面垂直有没有啊？朋友们？面面垂直是我们想要的，我想要，然后再有了什么呢？ a、 b 等于 b、 c 等 b、 d。 哎呦，标一标 a、 b 等于 b、 c 等于 b、 d。 哦，这三条边相等，然后呢？这一个 说这个 a、 b。 呃，角儿 c、 b、 a、 c、 b、 a 是 这个小角儿啊，然后 d、 b、 c、 d， b、 c 是 这个角儿啊，都是六十度。哎呀，他整的这么费劲，我看见这两个条件，他是不是就想跟我们说，这个三角形 a、 b、 c 呀，和这一个三角形 b、 c、 d 啊，它是全等的， 两个正三角形是不就这么个意思，整了半天整了，这么玩意儿？好，第一问，咱也是不做，直接搞。第二问啊， a、 d 与这个 b、 c、 d 所成角的大小。那第一步干什么来着？第一步， 找焦点对不对？找焦点，这焦点是谁啊？ a、 d 和 b、 c、 d 的 焦点是不点 d？ 好， 第一步，找到点 d 了，它就是什么斜足， 你怕我痛苦不好用啊。然后第二步干啥？是，不过 a 点做什么？做 b、 c、 d 的 垂线，我现在 b、 c、 d 有 没有一个面和它垂直是不？有啊，有，怎么整？找胶线是不就行了？那紧胶线直接做胶线的垂线是不就线要垂直了？朋友们， 所以第二步干什么？有线有面面垂直的太香了。这种题就是送分的，直接连点都不要了，直接就送给我们分是吧？有面面找交线，交线是谁？咔就找到了。 bc 是 交线对吧？那我现在干什么？不就是过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，那我直接过 a 点做 bc 的 垂线不就行了吗？对不对？ 那我做 a、 e 垂直于 b、 c 是 不就行了？那我当然，我这个 e 点就是什么玩意啊？我这个 e 点是不就是 b、 c 的 终点？为啥？因为它是一个正三角形啊。 a、 b、 c 是 不是正三角形？我要利用三线合一嘛，有条件我不用，我大傻子对不对啊？这个 e 点 它就垂直的吧，我取 b、 c 的 中点，直接连接 a、 e 是 不就行了？你做辅助线有很多种描述方式，你爱咋描述咋描述，你自己用起来爽就行了好不好。 嗯，当然了，你一点是终点，你也得用三线合一，是不是正垂直？你这个垂直，你是不是反过来也得正？这个一点是终点，你反正你都得用，你怎么去做弧线，爱咋咋地呗。那我通过这一个线线垂直，那我得到了什么呢？我说就得到了，你这个 a、 e 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的， 我为什么同垂直于交线就垂直于面？是不必须有面面垂直在里头啊？我没有面面垂直，我直接得什么？一得一个错啊，是不是啊？我得到这一个垂直了，那这不就完事了吗？干啥玩意，一点是不就是垂足了对不对？一不就垂足吗？ 那我这个二面角，我呸，我这个线面角就是谁，我们把这一个 d、 e 给连起来吧。我都没画虚线啊，大家在做图的时候要画虚线好不好？我在店铺上我画虚线不好画啊，画出来歪歪扭扭的，比这个扭的更重，我怕大家看不清楚啊，所以没画虚线， 原谅我啊。啊，那我们现在就会得到了，摄影就是谁啊？斜线 a d 的 夹角是不就是我们要找的线面角？所以第三步直接得线面角就是谁交 a d e 就是线面角啊，你再去求的话，那我们去求这种，不管是你看，尤其是他让我们去求所乘角的大小，这个题是不是有点过分了？比较简单是吧？所乘角大小几角求百分之一万，他是个特殊角对吧？你一万你怎么整？ 你是求它角，我能画它，我能求出它是多少度来吗？是不一定是个特殊角，所以你不管是求它的成弦值也好，余弦值也好，是不都行，或者甚至正切值是不也行？你这个题我甚至都不用求，为啥呢？它两个是全等的正三角形，你说这个 d e 和 a e 这两条勾 是吧？因为一点是终点吗？是不是它是分别是这两个正三角形的高，那你说这两条高相不相等？全等了，它对应高能不相等吗？是不是 a e 等于 d e 等于直角三角形？你说多少度？我还算。算个屁，是不是直接四十五度搞定了 对不对？开心不是很简单啊，好用啊，随便找题啊，随便找题，通通好用。好这个第三个啊，再看这第三个，第三个巴拉巴拉，说这么多咱不做了，留给你们了啊，自己去看一看我说的好不好用。好吧，这一个题他倒是没给你啥，没给你面面垂直还是给你啥了？ 谢面垂直对不对？是不给我们谢面垂直了？那我再去做的话，哦，这个题我稍微说一说啊。稍微说一说， 大家可能从这个题当中得到什么隐藏条件？请问大家，请问一下大家，我有一个线面垂直，我这个 p a 是 垂直于底面的 a、 b， c 的， 而且我这个 a b， c 是 一个直角三角形，那你能得到啥玩意儿？朋友们， 通过这两条件啊？我划线的这两个条件，大家能得到什么有用的信息，好心里有数了吗？那我给大家说，如果你想的跟我想的不一样，那你做笔记以后，碰见这种东西，你就可以直接得这个结论，肯定好用，明白不好，我们就会得到这一个，是不是？它是一个三棱锥啊， 对不对？这一个三棱锥，三棱锥总共几个面？是不是四个面？好，太好了，四个面全是 二 t 三角形，那这对这个题来说非常有用啊，我全是二 t 三角形，那么你去求边长的时候也好，求你得到其他的线面垂直，也很简单，明白不好，那我们通过这个条件进一步的结论，还可以得到新的 线面垂直，不止一个，明白不？不止一个， 好，就是这些隐藏条件啊，那么第三题大家就能做了，尝试一下好不好？尝试一下啊，留给大家当练习去用了啊，练习好，我们翻页再继续看，要不要再做几个呀？ 这种要不要再做了？我感觉做两个差不多吧，再做一个好，第四个排着来了啊，第四个，看看它是个什么活， 一次能追 a 杠， b， c， d， e， 它又有一个面面垂直来，你看面 a， b， c 垂直于面上， b， c， d， e 啊， 现在又知道了这一个 c， d， e， 找到它， c， d， e 九十度，然后 b， e， d 九十度，哦，这是一个直角梯形对不对？这个底面 b， c， d， e 是 不是个直角梯形啊？ 现在知道了， a、 b 等于 c， d， a， b 等于 c， d 很 重要啊，等于二好， d e 这一个 d， e 等于 b， e 都等于一标上它 a、 c 呢？等于根二。好了，我们现在第一问也是不做了，直接做第二问，求这一个直线 a、 d 与这一个 a、 b、 c 所成角的正弦值。 好，来吧，第一步怎么办？第一步是找公共点，对不对？找公共点？哪个点？公共点 是吧？ a 点，那 a 就是 斜足了呗。第一步是不搞定了，那么第二步是我过要过 e 点做什么？做 a、 b、 c 的 垂线，我是不是要利用面面垂直啊？我怎么利用面面垂直？有面面找交线，交线是谁？ b、 c， 那 我赶快的过一点，做 b、 c 的 垂线是不是就搞定了？我说哎呦，这个玩意是不是又把 c、 d 去延长一下？这个破东西 还整的这么花花，对吧？把它给延长一下是，不过 e 点做这个 e、 f 吧，做 e、 f 啊，哎呦，写不好了， e、 f 垂直于这个 b、 c 是 不就行了？找到角线，我马上的过另外一个端点是不？ e、 f 垂直于 b、 c 与点 f 是 不就搞定了， 对不对？这不就完事了吗？垂直，那这个 e、 f 就 百分之一万是干啥呢？这个 e f， 我 这个 e、 f 是 不就肯定是垂直于这个面 a、 b、 c 的？ 为啥？是不又是通过这个面面垂直得到的？面面垂直，我又垂直于交线了，那你说我这个 e、 f 垂不垂直于这个 a、 b、 c 这个面啊， 对吧？垂直，现在垂直有了，那么现在干啥就行了。那我就需要把谁给连接起来了？朋友们是不把这个 a、 f 给连接起来就行了，对不对？ a f 给连接起来来了，快速的连接一下，那么我们知道这个 f 是 个啥玩意儿？是不是垂足 好，现在矢尾就是谁了？矢尾就是 a f， 那 斜线是 a e， 所以 我这个角是哪一个角找到了，是角 e， a f 就是 现在角 找到了。再求值是不就简单了？不，无非就是求三条边儿，当然不用非得求三条边儿，是不求，求出这个 e f， 求出 a e 来就行了。用个求值哦，正切值。天呐，嘴瓢啦，说得不对啊，正切值呢，就是 tangent 角 e a f， 它应该是谁呢？当然就是 e f 比上谁了，比上 af 了。那你把 ef 给求出来，把 af 给求出来是不就行了？那我怎么去求线的长度呢？之前是大家光看我操作了，那我怎么去求线段长度？给大家说一说啊？你不要用立体几何的思维，听见没？我去求线段长度，把它放在平面图形当中。 所以说大家要有一个非常重要的想法啊，我要把线所求的这条线放在平面中， 那哪个平面它运行起来简单，我放在哪个平面当中？我最好的平面是不就有直角的平面，对不对？我可以勾股定力啊，实在不行是不？我再去用什么余弦定力再去求，对吧？所以它想做出来是不也蛮简单的对不对？ 好，大家就可以自己求一求了好不好？自己求一求吧啊，还是比较简单的 好。呃，第五题，再做一个，再练，再练一个，看看通法好不好用啊？说，我从来就没用多余的东西啊，有没有用多余的东西？你有时候会质疑说，老师，你这个题是你找的，你肯定要找对你有利的呀。 我真没有啊，我这是瞎找的，来再看一看吧。啊，这一个第五个啊，那说如图，等腰直角三角形 a、 b、 d 这一个角 b、 a、 d 呢？是一个九十度哦，它是一个等腰直角三角形，这一个角 b、 a、 d 九十度。并且呢，这个等腰直角三角形 a、 b、 d 和这一底面底面，这个 c、 b、 d 是 吧？它还是一个等边三角形啊，互相垂直来，又有面面垂直了有没有？那我想去求界面角，我该不该直接用定义法就搞定了呢？这不肯定行啊， 好，这个 e 点说是 b、 c 的 中点，然后 a、 e 与面 b、 c、 d 做成角大小，来看看 a、 e 与 b、 c、 d 它们的这个假角。呸，它们公共，它们的公共点是哪个点？这不一下就找到了，是点 e， 是 不是这个 e 点，它是不是就是斜足了？ 那我赶快的干什么？什么？过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我要干啥啊？朋友们？我是不是？你好有面面垂直，我照交线。交线是谁呀？ b、 d 呀，你做 b、 d 的 垂线，能不能很迅速啊？ 你过 a 点做 b 的 垂线，我这个直接找 b、 d 的 中点就行了，我们让它点 f 吧。那我直接连接 a、 f， 这里垂不垂直是不？百分之百垂直啊，对不对？我直接过 a 点做这个 a、 f 垂直于 b、 d 什么就会得到什么呢？就会得到这个 a、 f 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的 线面垂直。搞定了，那么 f 是 不是垂足啊？ 咱赶快的把 e、 f 给连接起来，那么我们就会得到了。把 e、 f 给连接起来，那么 e 点斜足， f 点垂足是不摄影啊，就是 e f 啊，摄影与斜线 a e 的 夹角角， a e f 是 斜面角。 不知道你们有没有笑话，我就说老师你为什么每一次还得再判断一下你为什么这么慢。其实我能一眼看出来， 但是我真怕错，因为以前犯错真的就是挨揍的，你们现在肯定没有这个体验，是不是？这么痛并快乐的体验已经失去了我们那时候，哎，你找不对你会做，做不对那等着挨对上讲台挨揍啊。 现在能有这个想法不？你们肯定经历不经历不着，你可以问问自己比自己大多少岁的一些哥哥姐姐们啊，或者是自己的父母，看看有没有这种痛并快乐的体验。所以说现在你们的生活还缺少一点乐趣啊，是吧。 啊，这个线面角我找到了，找到了再去做的话是不又就去求这些长度啊，是不很简单呐？去求线的长度是不一定要把它放在面当中，各个面当中再去做才能简单起来对不对 啊？画辅助线是不是很容易理解很好做，所以数学很难吗？找到方法而已啊，是不？你现在缺少的是什么？一个人给你把这个方法给你总结下来，那我再去做题，我是不是瞪眼？瞪大眼珠子瞅就能瞅出来这就是所谓的学霸用瞪眼法，学渣跑断腿啊是不是？ 那我们怎么能成为学霸。复制我呀对不对？复制黏贴还不行吗？ 你再不记也能考过这个分啊。我说实话我我当时高考考一百四十多分，但是现在再让我去考现在的新高考我不行，我真不行，考一百四我也考不上。说实话我也考不上，除非他不考新定义了。除非他不考新定义，那我还有可能考上一百四。那我要不然就一百三十多分吧。 那对你们来说够不够？差不多够了是吧？那你复制我完全可以啊，我跟你说，我也是个大傻子呀， 我为什么后来也能可可能考这么好，甚至我现在都能当老师，我也可以把这个方法都给教给你们。你看我的思路好不好，是不是也很好啊？你们也可以的，千万不要否定自己啊，我们都很厉害。来，后边的题不做了，我们看下一种方法好不好？等体积 来吧。够等体积了。那等体积？他为啥我这个定义法这么好用？我不全都用定义法呢？他也有解决不了的问题啊，就比如说这个前提条件他实现不了，那我怎么用？你说呢？对不对？前提条件都用不？都没有，都满足不了，那我咋用？ 我神了，我用不了对不对？所以说它就衍生出了等体积。那我们说一说等体积法什么时候用？呃，这个前提满足不了了就是什么呢？你也是找这个面， a e f 这个面对吧？ a e f 有 没有一个面或者是有一条线垂直于 a e f 呢？ 就是从已知条件当中找啊，你找有没有吗？包括隐藏条件啊。已知条件包括隐藏条件，有没有能找到任何一条线或者一个面垂直于 a e f 能，是不是找不到？找不到怎么办？等体积，明白不？等体积就是为了弥补定义法而存在的。其实我说到这呢，有同学就会研究了，老师你你要讲五种方法呢？我们铁了这一个间隙还有两种缝缝呢， 你丁一凡和等体积都可以把这些事全都干完了。那你后面两种方法是干啥用的？当然是为了我们做题快了对不对？你方法有的是啊，我这两种方法虽然可以解决所有问题，但是 限定有局限性，他就慢呗。那我做选择填空，或者是说有一个题，哎，他给我了一些奇奇怪怪的一些结论，比如说角度问题，给了我很多角度。那我去求线段长度的时候很费劲。那你说我为什么要费劲巴拉的再去求线段长度？我干嘛不用三余弦 对不对？这就是三余弦它的价值。那除了三余弦之外还有一个纯面法，纯面法是对等体积的补充， 对等体积的补充一会说好不好，大家慢慢期待一下啊。哎呀，我这个人比较坏是吧，我讲着讲着就会把后边的一些东西跟大家说一说，是干啥呢？大家别走神啊，你上这么一节课，你不跟在学校里一样啊，你在学校里刷就交那么点学费就学了，你上我这你得不得交钱呀？ 你花这个钱你别花，冤枉了我们，花完这个钱我要学到东西啊，我马上。哎，这节课我收获挺多的。那这才是开心加愉快的事对不对？ 所以我希望大家每一堂课都有收获，所以别走神好不好？有疑问可以提出来啊，好不好？来， 我们还是拿第一个题打个样好不好？我就把它的步骤写一写，思路写一写，思路是啥呢？我们一定是干什么呢？前提条件不满足了，也就是说找不到一条线或一个面 为值于这个面， a、 e、 f 这个面 a、 e、 f 哪来的？是不就是问题啊？就让我们去求的这个面，求证的这个面。好，它就是求证的这个面我找不到，那马上先想等体积， 那什么时候如果你逮着一个等体积，你就会做，那么我们再把垂面法给搞定， 题目就会越做越简单。那这个题是不？我们通过刚才很容易就发现了，没有任何一条线或者是面与 a、 e、 f 垂直，那咋整呢？你说前面的过程也都是一样啊，我们第一步也是找焦点， 找焦点，焦点就是 b、 c 与这个面的焦点。完了没有啊？没有焦点怎么办？平移就是不平行。现在我们遇见了第一个大问题了，我天呐，它没有焦点怎么办？给它搞一个焦点出来，没焦点 做平行啊，做谁的平行啊？当然是做 b、 c 的 平行，接了看看 b、 c 平行于谁，马上地发现它平行于 a、 d， 对 不对？看看四边形， a、 b、 c、 d 是 个正方形嘛，对不对？对边平行， b、 c 平行于 a、 d。 现在告诉我有没有焦点了， a 是 不就是焦点？是不？马上找到了焦点就是 a 啦， a 是 不就是斜足啦？第一步搞定了，那么第二步干啥玩意？第二步是不？这一条斜线上面还有另外一点点 d？ 什么？我过点地做这个面 a、 e、 f 的 垂线？完犊子，为啥呢？因为这个地点，什么做这个 a、 e、 f 每一条边我都垂直不了，是不是就是因为它第一个条件满足不了？那所以说我一做，我能把这个垂足给搞到，但是我就不知道它具体位置在哪，你说呢？什么垂足的具体位置？我不知道在哪， 我就过这个点，这一做 a、 e、 f 的 垂线，是吧？那么我这一个点 d 做 a、 e、 f 的 垂线实际上是什么？是不是地点到 a、 e、 f 的 距离？也就是说我们现在既然， 既然我们找不到这一个线面垂直，是吧？我们要做这个线面垂直，我找不到垂足是不？我们现在面临第二个问题啦，我过地点做这一个 a、 e、 f 做这个面 a e、 f 的 垂线， 回族确定不了在哪儿， 不跟我们做线线垂直一样，我们能直接做出垂足来，那我做这一个过一个点，做一个面的垂线，完了，是不？我们具体画不出来啊，我又不是个机器，对不对？我不是个机器啊，我画不出具体位置啊，我确定不了具体位置，那我就转明白吧，就是第二步，我们就来一个转化， 来个转化，怎么转化？是我们就把这一个垂线就是谁呢？我们就转化成地点到面 a、 e、 f 的 距离。 所以说这第二步就是射距离，我们就是射这一个点 d 到 a、 e、 f 的 距离是啥玩意？是 h 好 不好？我们射它为 h 啊， 这就是第二步，射它的距离为 h。 那 么现在朋友们，我们得没得到一个 三棱锥，注意，我说的是三棱锥，一定是三棱锥，如果这一个面，就比如说 a、 e、 f 这个面，现在它是用三角形去表示的，万一它是用四边形去表示呢？我当然要取四边形的某一部分呢？取三个点是吧？取。正在举手是什么意思？有问题吗？是 你有问题就开麦问啊，反正也没多少个人，好吧。啊，我先继续说啊，我继续说，我把这个东西给补充完整啊，把它说完， 那我们现在一定要注意啊，我要得到一个三棱锥，一定要得到一个三棱锥啊，第三步是我们一定要得到的是一个三棱锥。为啥要得到的是三棱锥？因为它可以用等体积啊，三棱锥是个四面，我任何一个面都可以作为底面出现，对不对？你可以用等体积法去做， 所以这个 h 就 一定能求啊，你说呢？好，我们这个三菱锥啊，而且啊，而且我发现一个特点，朋友们，我发现一个特点不是很准确，不是很准确啊，但是这个特点大部分的题目都有， 如果你是用等体积，如果他是想让你用等体积去求，那么最终求的一定是一个减值，大家看这么减值 那就有见多少，你去求线面角的正弦值就有很大概率超过百分之五十了，也就是说概率是百分之六十多，百分之六十五到七十左右。我没有具体统计啊，我不可能每一个题我都研究研究，因为我现在已经过了这个阶段了哈，就是我，我重点大部分的用等体积法的题，他一定是 用一定不对啊，是大部分用求这个线面角的正弦值啊，我有点打乱同学们的思路了啊，不好意思啊， 呃，我们这个三棱锥一定是搞到一个三棱锥，对吧？就像我刚才说的，哎，我现在如果这个底面或者是所正的这个面 aef 它是一个四连线的面，干什么？我是取三个点啊，是不也要给它强行的搞出一个什么来？搞出一个三角形面来，明白不？那我就可以给它搞出一个三棱锥来了。那这三棱锥就是什么？ 闭眼看就行了，什么过地点，做这个 aef 的 垂线肯定是哪一个三棱锥地方。 aef 是不是 d 杠 a e f d 杠 a、 e、 f？ 那 么我们用等体积的目的是干什么？什么？求 h？ 求 h？ 所以 说等体积是不是现在变成了求体积问题？求这一个三棱锥 d 杠 a、 e、 f 体积问题， 把它变成体积问题了吧。来呗，我们肯定得用到的是哪一个呢？用到它的体积啊，是不是换一个颜色啊？那我肯定要求 v， 哎呦，没换成好，肯定 v， 第一个 a、 e、 f， 我 要给它换一个底面是比较好求的。这个底面那就是谁啦？朋友们，谁你换成谁？它简单。 f 杠什么玩意？ a， d、 e 对 不对？ f 杠 a、 d、 e 是 不就行了？好， f 杠 a、 d、 e。 现在我们就来求 h 了，求 h， 那 么表示一下，它是一个三棱锥对不对？我的公式能不能带？所以它就是三分之一这一个 a、 e、 f 的 面积，对吧？乘上什么？乘上 h 等于啥玩意？三分之一这一个三角形 a、 d、 e 的 面积乘上谁？这笔高是谁？朋友们，高是不是 ab 啊？ 这个等体积咱就不讲了吧。这不，我之前的课已经讲过了，咱就不讲了哈，它就是 ab， 那 么 ab 的 长度是多少？是不是二啊？把它拉掉了换成二。现在我们是不是就求三角形 a、 e、 f 的 面积和三角形 a、 d、 e 的 面积啊？来吧，求一。求 a、 d、 e 的 面积，该咋求呢？哎呦，这个 a、 d、 e 简不简单，好不好求啊？是不比较好求啊？哎呦，我天呐，真是开心啊！三角形 a d e 的 面积，因为它是什么？它是不是一个直角三角形啊？它是直角三角形，那它就应该是什么？ 这个三角形面积 a d e， 大家有没有发现 a d 是 多少？底面是不是一个正方形啊？也就是 a d 是 不是二啊？ 哦， e d 是 不是二啊？所以它的面积二分之一乘二乘二，对不对？等于二。好，这一个我把拉掉了，也是二，那么现在就换成了求这个三角形 a e f 的 面积了，它就难求了。 a e f 是 不是挺坏的？这个角，这个三角形，是吧？这个三角形挺坏的，再把它求一求吧。 那我们去求的话，哎呀，还还好吧，是不可以直接先得到 a e 是 多少？勾股是二根二， 我们是不是还可以得到这一个 a f 多少？勾股，对不对？当然了，我们用勾股的时候，是不是这个 f b 就是 一啊，这里是二，那么 a f 等于多少？是不是根五？好了，那么我们还会得到什么呢？ e f 啊，是不还缺个 e f 了？ e f 咋求呢？ e f， 大家看 e f 的 球，哼，它是不是一个直角三角形？朋友们，是不是，是不是一个直角三角形啊？ 呃，前面应该会用到啊，前面应该会用到，那我直接给大家这一个是一个直角三角形啊，那这个 e f 应该是什么？ 不是不是，呸，我说说的不对啊，不是说它是一个直角三角形，我们要得到的是谁呢？那你去去得，我，我给大家画一画啊。我的问题，我给大家画啊，那我现在把这个 b d 给连接起来好不好？ b d 啊，给连接起来。来吧，会有这么一个图形出现啊。 这一个，这个点是谁呢？ e， 这个点是 d， 这是 b， 这是 f。 来，现在有谱了没有？有没有谱？它是不是二？它是二，它是不是一？你去求它，能不能求？朋友们，能不能啊？不不不，它不是，它不是二，它是 b， d 是 不是应该是二跟二啊？ 啊？能不能求啊？朋友们，你看这个 e、 f， 我 往上做这么一条线，你看我们在求线段长度的时候，我是不是都是附着于平，把它给搞到平面里头了？ 我啥也去搞别的东西了吗？是吧？别的东西我没搞啊，我都是想去求线段长度，我去给他找平面，我最好找的就是有直角，对不对？找有直角的，因为某一条线他可能属于很多平面， 那这是我允许的吗？我当然不想了，对吧？我要给他找他所在的某一个平面，哎，这一个平面的图形是一个什么样？它就是图形，它里面有垂直风气，你因为直接有垂直，你要么三线合一有垂直，你要么菱形对角线会像垂直。说你。总而言之，你不直接告诉我，你也得间接告诉我， 对不对？好，这就是我们能得到的，它应该是多少？它是不是就二分二？二的根，二这一块长度是不是就一？所以你能不能勾股一下根号？下啥玩意？二根二平方加上一的平方。哎呀，太好了，这不得 里面是九啊，什么开根号？就是三， e、 f 也有了。那你看啊，我因为我们发现这个 a、 e、 f， 它不是特殊三角形的，它不是特殊三角形。那怎么办？你不是特殊三角形，你怎么去求面积？ 这用不用到我们前面学的解三角形的题，解三角形的思维，四条边都有了，朋友们，怎么去求面积？我当然先用余弦定力，将余弦值给求出来，再把余弦值换成正弦值。我可不可以用公式了？这不就可以了， 现在苦哈哈的又上线了，什么要求口算用余弦定力啊，这是我最不爱干的事。代数运算，我不行啊，我水平不够啊。 a e 的 平方加上 e f 的 平方，减去 a f 的 平方，比上啥玩意二倍的 a e 乘上 e f 吧，代数呗，好不好，代数我代数总该比我快吧， 八加九减五，对吧，比上什么呢？二乘二跟二再乘三，那么它应该等于多少？呦，这个数还挺好嘞哈，二分之二，哎呀，太好了，那我们就可以得到这个 c 音了，是吧？ c 音减 e f 就是 多少也是二分之二啊，速度嘛，人家对不对？好， 太开心了，我们搞到了，那它的面积能求了不？这一个面积是不就可以求了？二分之一的这一个 a e 呀，乘上 e f 啊，再乘上乘音加 a， e f 啊， 代数呗，它应该是多少？二分之一，哎呀，二分之一乘上二根二，再乘三，再乘谁呢？再乘这一个，二分之根二等于多少？算一算， 咔咔约掉了，然后二二约掉了，剩下个三了，对吧？面积是三，那现在代数吧，把它咔搞里头，它是三，那么现在能不能得 h 啊，通过这一个 h 是 不是就显身了？ h 等于多少啊？朋友们？ 嗯，三分之一，三分之一，咱先约角啊， h 是 不就三分之四？太好了， h 三分之四，那么现在比较劲爆的东西就来了啊，那求且值是谁？我这上面这个角就是 c 塔，我是这个角是 c 塔，那这一个色音 c 塔就应该等于什么呢？等不等于这个 h？ 这个 hr 比谁啊？比斜线，比这条斜线，斜线是谁？是不是 a d 啊？朋友们，是不是 a d？ 现在我们是不是只要知道 a d 是 多少，这活完成了好，是不是？知道的，一定要记住这个这个东西啊， 是不是你只要能把这个这个垂线给做出来，你说我这一个线段角的正弦值是不是 h？ 比斜线对不对？呸，我这个余弦值是不是点比斜线？ 我今天晚上嘴老不好用啊，大家听见错误帮我改一改啊。好什么，就这么一个玩意，代数率算得三分之四等于什么？二等于十三分之二，搞定， 学会呢，好了，整理一下啊，看这第二个啊，第二个题啊，还有这还是全国假卷的，呃，四棱锥 p 杠， a， b， c， d， 呃，趁这个话头啊，跟大家稍微说一说啊，我们这个立体几何，你甭管平常做的多么费劲，多么难，高考， 反正 b 题几何高考题没出现一次难题。哦，也不能这么说，都见过两三次啊，很难的题目出现过两三次，其他的题目都是很平常的题目，就和解三角形一样，它是一个常规题， 都是怎么做呢？很容易得分，第一问肯定正平行或者垂直，第二问干什么呢？去求角度三大角问题。但是一面直线所成角一般不求，一般是斜面角或者是二面角，考二面角角的角的可能性更大，或者是已知二面角是多少度。去求斜面角的这种题目，或者是出现动点的这种题目， 他可能考察的是这个样式，那但是这种题呢，你现在用几何法可能做起来费劲，但是我们慢慢的，如果有学到空间向量的朋友们呢，就会觉着，哎呀，不就是代数运算吗？ 所以说我们假期里讲的这个空间向量就是非常好的一个工具了。那高考的第二问，第三问可能都是间隙去做， 所以说大家现在几何法先好好学一学，我们把这种通法给学到，那么有一些比较复杂的题目，比如说重点问题，轨迹问题，我们就可以用空间向量去做了，所以大家不要害怕。好吧，不要害怕，我们高考肯定考的是常规题 你，当然你现在学的是立体几何，他当然会有很难的题目给我们做了，肯定会有很难的题目。 那这些东西我实在学不会怎么办？先放弃也不丢人嘛，那我们到后来学了更好的方法，再去回过头来再解决这个题，是不也行啊？反正能解决掉就可以，不要在乎是哪一个阶段我能学会。好吧，眼光放长远一点， 那我们就开始喽。这个第二问啊，全国假卷这个第二问啊，呃，四棱锥 p 杠 a b c d， p d 是 垂直于这个底面 a b c d 的， 然后有了一个什么玩意呢？ c d 是 平行于 ab， ab 等于 dc 等于 cd 等于一。哎呦，这是个啥玩意？朋友们，这是个什么东西啊？ ad 等于 cd 等于 cd， 然后它和 bc 是 这么一个关系。那我请问你们看我画波浪线的这个东西讲到的是什么？ 朋友们想到的是什么东西？等腰梯形，而且它们的上底线和腰之间的关系，满足一比一比二，那么它就是一个什么东西呢？百分之百会出现垂直关系， 这个东西百分之百会出现垂直，这就是我们的垂直模型里面有的东西，对不对？垂直模型有的，如果你看见这个已知条件，马上想不到这个事，那你做做起题来就费劲了。 那这一个东西呢？垂直模型可能有有新同学没没上过我的课，或者是说有些他没领过这个资料的，你可以看一看这一个，这个等腰梯形，它满足一个什么关系呢？你看 它们之间的关系，等腰梯形的话，它满足一比一比一比二，那我就一定会得到这一个玩意儿。 b d 是 垂直于 c b 的 是不是？为什么？自己去挣，能不能挣出来， 对吧？自己去挣一挣啊。好，如果你得不到这个东西，说明你这些常见的一些模型你心里做不到，心中有数，那咋办？你做题还能很快吗？隐藏条件你都找不到，你还做个屁，对不对？所以你就要干什么？停下来，反过头来去干，干这些线线垂直的常 见的，那么其他的都是用什么干呢？其他的在这里面没有的就是相似，他有些题目可以用相似去做。 好，你再回过来了啊。所以说大家看见这种条件一定马上想是什么样的结论啊？马上想结论，好吧，马上要想结论呐，来吧，再继续看啊，它让我们去求什么呢？这个 d p 和这个 p a b 所形成这个角的正弦值，来吧， 焊几个标志，一个标志是正弦是不？有可能是等体积。再有就是这一个 p a b 这个面有任何一个面和它垂直吗？有没有有线或者是面能与它垂直 的是不？不行啊，对不对？找不到已知条件当中有这种隐藏条件，找不到，那怎么办？ 等体积喽，对不对？等体积了啊？等体积，那我们第一步怎么搞？是不？找到谁焦点？什么焦点？就是 p 点， p 点就是斜足了呗。 好，第二步干啥？是不过地点做这个面的垂线，我当然就是设了，是吧？设这个 d 到 p a b 这个面啊，我没写面面 p a b 的 距离 是什么玩意儿？为 h 是 吧？下面儿第三步就是干什么了？等体积就上呗，那我肯定会得到。那从第二步就会得到 g 到这个面儿距离当然是哪一个面积啦， 哪一个的体积啦？ d 杠 p a b， 是 吧？然后等体积法就上，干啥玩意是不？我给它换呀，我看底面用谁比较合适？这不就很简单吗？观察一下就发现了， p 点是零点，底面是谁？ a b d？ 喏，完事了，朋友们，搞定了，是不是很简单？ 来吧，第三个题，第三个题目，看一看，他说这一个四棱锥 p 杠 a d c d a d c d 这个矩形呢？ p a 是 垂直于这个底面的。来又有啥了？ 看这两个条件，你得到的隐藏条件是什么？这一个某一条线垂直于了底面，我们之前在前面的时候说过，是吧？定义法的时候说过，一个线和一个面垂直，我这个面是个直角三角形，那我会得到的面，所有的面都是什么？都是直角三角形，那么对于这个来说，它底面是个矩形。哦， 那我得到的结论还能出现很多不一样，呵呵呵，是不？不会啊，它是不？我四个侧面全都是直角三角形对不对？四个侧面是不全都是直角三角形？ 好，这个条件就是什么呢？我通过那个定义法，那个第三题是吧？隐身出来的是不？它的这个四棱锥，它的四个侧面 均为二 t 三角形，那当然了，它也有很多线面垂直喽，对不对？ 然后 e 点是中点，他叭叭的说了这么多东西啊， e 点是中点，然后已知这个 ab 等于二，写上 ab 等于二， a d 等于二，根二 pa 也等于二。让我们去求这个线 a， e 和这个面 p c、 d 所成角的大小。我们看 p、 c、 d 有 哪一条线和 p c、 d 是 垂直的吗？没有吧，或者是面是不是也没有？有没有？有面有没有面？好像是有的哈，面是有的 哦，这个题还可以用别的方法去做，但是我们这题我们用等体积吧，好不好？我假设我没，没瞅见，我没发现，好吧，我是眼有点瘸，我，我有点没发现，那我就用等体积去做啊。那现在第一步干啥玩意儿？是不找焦点？焦点是谁？ a e 和这个 p c、 d 当然是一点喽，一点是不就斜足 下一步干啥？说过点 a， 设这个 a 到这一个 p c、 d 的 距离 v h， 对 吧？然后第三步，然后就是第三步喽，第三步干啥玩意儿啊？ 我现在，哎呀我天呐，我去找这一个面儿，那我跟这个是不？我要看这个第二步啊，你不用去干啥？不要去，你非得跟跟 e 扯上关系，不要这么头铁好不好， 不要非得这么刚啊，对吧？所以我们找的是谁啊？是不是这一个 a 杠 p c、 d 是 不是他一定要出现，那么要给他转换？那 a 杠 p、 c、 d， 那 你转换的话，你该不该连接 ac 啊？对不对？好，连接 ac， 那 就会出现啥玩意呢？朋友们， 好，就会出现了啊？屁，是顶点，那么底边就是 a、 c、 d， 简单了不就搞定了？有没有疑问说你这个对 e 都没有关系了，咋为啥跟 e 点都没有关系呢？你要看嘛，你这个 e 在 哪个面上啊？这不 p、 c、 d 面上你 a 到 p、 c、 d 的 距离， 你或者是说你 a 到 p、 c、 d 的 距离和 a 到 t、 e、 d 的 距离不是一回事吗？啊？过一个点到某一个面的距离还会出现两个？不可能吧？所以你干嘛要难为自己呢？你为什么要非得用上 e 点呢？对不对？我不用啊，那我就不能求了，也能搞定对不对？ 好，也能搞定啊，当然了，你最后要去求它正弦值的时候，你是不是又用到要去求 a 一 啊？是不是？你这时候再用一点就行了对不对？好，学会等体接吗？学没学会，朋友们，学会了我们再继续进行下一种方法了啊。 后面的题目我们就不做了，这些题目我留给大家自己做做研究一下吧，好不好？有题可做。老师，你这个方法到底同不通用呢？你是不是研究一下啊？ 说你老师你讲这标东西你都不好不通用，你给我讲它干啥？他不会的啊，我一定会让它通用的，所以大家试一试好吗？然后下一个就是垂面法了，朋友们，垂面法。但是垂面法是什么意思呢？ 这个垂面法我们之前我刚才说了，就是之前说过这个垂面法是个啥玩意？是不是对这一个等体积法的一个补充？我们为什么忘了等体积法？是不是尽是因为这个垂足我不知道在什么位置？那如果我知道垂足在什么位置了，一幕是不是又变得简单起来？ ok， 好， 那我们就看一看怎么去找垂足在什么位置。这就是所谓的垂面法了啊。找垂足在什么位置？来读读这个题啊，读一读这个题，当然了啊， 能以垂面法的全部可以用等体积，明白不？也就说垂面法要死活学不会，那你不用会，我用等体积能做好不好？它不是说多么漂亮的方法。对对，你就这个方法多牛，它不是， 那你学不会无所谓。好吧，等体积能学会就行，但是我建议大家尽量能学会这个垂面法，因为等体积运算量可能是有点大，对吧？ 所以呢，我们才衍生出了锤面法，就是有一些学霸，他说成了一个事，你这个方法太笨了，我有一个更好的方法，所以就出现了锤面法，这就是什么？原来没有路是吧？走着走着是不就有了？这就是后人走出来的路。锤面法， 你有没有发现有很多的方法，你在学校里没有学，没有听，其实并不一定是你老师不会，而是他觉着不用讲也行，他觉着不用所有人都会。 我，我觉着我不用把话说的特别明白，大家也能知道是这种什么状态，对吧？好，咱详细的把这个题做一做，那这个第一题我们也是当做例题去讲了好不好？ 四棱锥 p 杠 a b c d， 这个 p d 是 垂直于底面的， c d 和 a b 平行，然后又有这么一个东西呢？ 等腰梯形是吧？满足这么一个比例关系，而它和前面这题是不一样的，对不对？是一样的。好，那这个题用回面法该怎么做呢？ p d 我 们就不用等体积了，我直接用回面法是什么意思呢？我们垂足法是什么意思呢？我做出一面和 p a、 d 垂直。 好，我们就是过 p d 的 面儿，我们要做啊，肯定没有，是我们要做一个过 p d 的 面儿， 它同时垂直于 p a、 b， 我 要实现这么一步操作，就叫做垂面儿了，也就是说我要做所求至这个面儿的垂面儿， 能懂不？那我怎么去做这个水面呢？我当然得利用已知条件这个线面垂直了，对不对？我要借助线面垂直啊，也就是已知条件，他一定得给我线面垂直，他不给我线面垂直，我做不了啊， 能懂不？好？也就是说我以前我们研究的是面，现在我们研究的是线，这条线， b d 这条线啊， p d 这条线是垂直于哪个面了？是不是？它肯定得垂直于某一面？那我再去做线面垂直， 那么我去通过这个线上垂直，我去做这一个面面垂直，得到一个垂面。好，具体操作过程啊，我们现在过地点做 a、 b 的 垂线， 我来了哦，过地点做 a、 b 的 垂线，让它是点 h 好 不好？这一个就是垂直的啊，好，具体写一写过程，要不然大家到后来忘了怎么办呢？是吧？因为这一个方法在学校里可能很多的地方都不讲的， 我们做了这个 d h 垂直 ab， 我 就其他的字我就不写了，巴巴的叫 ab 与点 h， 这种话就不写了。好吧，那第一步操作为什么要这样操作呢？因为这个 p、 d 是 不垂直于这个面儿 a、 b、 c、 d 的。 大家这个过程写一写啊，因为你在网上找这个方法，你就用作业帮用所有的搜题软件，你搜出来的都不可能是这种方法，明白不？所以说大家这个题要上点心啊，你用搜题软件搜不到啊，其他的我们强调的可能能搜到 啊，可能因为它大部分可能也是用的间隙的方法去做的，所以说你一搜搜出来的是间隙是非常有可能的。那我给你们的方法步骤就很重要，对吧？ 你在网上搜不到啊，我这个 p、 d 垂直这个面 a、 b、 c、 d， 那 我能得到什么呢？这个 a、 b 是 不是属属于这一个 a、 b、 c、 d 这个面啊，对不对？所以我们能从通过它得到什么？是不是得到这个 dp？ 哎呦，写 dp， dp 垂直于 a、 b 啊， 对不对？所以说你看看嘛，我们做了一个线线推直啊，我们又得到了一个线线推直是不？从线面得线线，那我两个线线，我能通过这两个东西得到啥玩意呢？我能不能得到这一个 ab 是垂直于这个面谁的？我把这个 ph 给连起来啊？朋友们，连起来，那我们就会得到这个 a、 b 呢？是不是垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？是不是？朋友们，是吧？ 那我们还会发现一个事情，还会发现一个事情，是什么呢？这个 a、 b 呢？是属于这个面贴 a、 b 的，是吧？我们现在这么些垂直。哦呦，是不有这么多垂直？现在我能不能得到通过这个线面垂直我再得到， 得到啥呢？能不能得到这个面 p、 a、 b 是 垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？什么通过线面垂直直接得面面垂直？因为面什么？ a、 b 这个 p a、 b， 过这个面，过这条线，过 a、 b 这条线，对不对？ 是不是这样？那我得到我想要的垂面了，得没得到。所以说大家看，我们一定要有的条件是哪一个？做这种垂面法一定一定要有的条件是哪一个？是这个绿色的，这个绿色的条件 g、 d 垂直于这个面 a、 b、 c。 是不是？我通过线面垂直是不可以得到线线垂直两个线线是不得线面得线面是不通过线面得面面。搞定了，我想要的东西就有了。那你说我费劲巴拉的搞出这么一个东西是为了啥呀？我为啥就一定要做一个面面垂直呢？就是因为下边这句话啊。 下面这句话注意，那我用一个黑色，黑色的字体去写吧。哈，那就是什么？我，我现在写这个斜足，是不是点 p？ 我 该干什么？过这个地点，是不是做垂线，做这一个 p a、 b 的 垂线？所以说我过这一个地点做这一个面儿 p a、 b 的 垂线。 维族在这一个面儿 p a、 b， 我 就写的详细一点儿了啊。面儿 p a、 p a、 b 与这一个面儿 p d、 h 的 交线上，对不对？这是一个什么？是不是基本值对不对？你看我过地点做 p a、 b 的 垂线，过地点做 p a、 b 的 垂线，这个垂足 回路是不是既在 p a、 b 这个面上，也在 p d、 h 这个面上，对不对？是不是一定得是这样？那么它既然一定是这样的话，那它是不是在这两个面的交线上呢？朋友们， 是不是？所以说你就要记住了，如我为什么要做这个线面垂呃，面面垂直，是不是？我再去做垂线的话，我就知道垂足在什么地方了，对不对？垂足在什么地方？那我们这个垂足我让它是谁呢？是点 j 好 不好？ 我这 g 没有用啊，我这举重没有用，我就给大家演示一下。好吧，那我们既然知道它在 p h 上，我随便点一个点就是 h， 你 说我这 h 点它在哪？影响我线面角是谁吗？影不影响我线面角是谁？ 是不是影不影响我这个 g 点？你在 p h 上的哪个位置影响我的线面角是谁吗？是不永远不影响，因为我的线面角就是谁啊？ 就是这个 d p g 是 吧？ d p g 也就是谁呀？ d p h 是 不是就是角？ d p h 它和这个垂足有关系吗？是，我们就找到这条交线就行了呀， 是不是我做界面垂直，面面垂直想要找的是谁交线？那我这一个夹角就是谁呢？这个交线与斜线的夹角 对不对？交线与斜线也不能说是假角交啊，就是假角。交线与斜线的假角是不是交线与这个斜线的假角是不就是这一个线面角了？好，就是谁呢？交线与斜线 线面角 好，这种做法就一定会比什么快，就一定会比等面积等等体积法要快，对不对？就一定要快。为啥呢？你现在是不是直接求什么这个角的正弦值？那我写 步骤补充完整了啊？步骤补充完整了，那我先要看看我求的是谁？是我用正弦，对吧？他要求正弦值嘛？求求正弦值，正弦 c 角 dph 就 应该等于谁？就等于 p， 不 对不对。什么 d h， d h 比上 ph 是 不是？那我是不是只要把 d h 给求出来， ph 给求出来就行了， 对不对？那我看已知条件吧，从已知条件当中找 d p 是 不是等于根三？我知道了，那么 d h 呢？ d h 又是多少？朋友们具体看看应该等于多少？ 我很快就可以求出来。 d p 等于根三，这个 d h 我 简单算一下啊，它是二分之根三，那这个 p h 我 们用勾股定律就会得到，它应该是二分之多少？二分之九，然后应该是二分之根号十五啊， 得到了这些东西呢，要往里代数就行了，你看是不会比等体积要算的快一点。二分之根三比上二分之根号十五，那它就应该等于多少了呢？五分之根号五是吧。 你就用这种做法，比间隙做的也要快的，比间隙法做的也要快，懂了没？垂面法有没有看懂？有没有看懂啊朋友们， 看懂了不好，那我们再做一个吧。垂面法再做一个好不好？来，我们把。要截图吗？截图就往上截啊。 那我们看下边这个东西，下边这个东西呢？挺好的。这个题我为什么非常想讲一讲呢？因为我们在做立体几何的题目当中，是吧会遇到这种折叠问题啊，一个平面图形哎，我经过折叠 会得到哦，就做他不太好啊。这二面角咱还没讲哈。二面角还没讲，那这个题咱先保留着吧，好不好？先保留着啊，先保留着，等我们 呃，学完二面角大家再回来过头来用这个纯面法再做做好不好？但是这种题非常好啊，这种题真的非常好，折叠问题非常好，因为折叠问题我们一定要找不变量，对吧？一定要找不变量，在折叠的过程当中它永恒不变， 对不对？或者是说我们折完了之后还用折到哪个点？在折叠过程当中变成了哪个点呢？对不对？哪个点进行变化了？要知道，那这一个平面图形当中的平行关系， 呃，不能这么说，垂直关系会不会发生改变？它某两条线的垂直关系会不会发生改变呢？ 是吧？不会啊，不会发生改变啊。好，后边的题目咱就不做了，吹面法就讲这么一个就行了。讲的太完了， 大家把这个吹面法的过程步骤给整理了吗？整理了啊，如果，如果实在没有听明白吹面法是怎么个东西，那你就用等体积法去做就行了好不好？别难为自己啊，没有必要是不是， 它又不是多么优秀的个方法。三与弦，三与弦，这个方法我建议大家听一听行吗？我建议大家一定要听一听啊， 三与弦，三与弦定律呢？为方便我们去做题，它会提供很多帮助的啊。这个三与弦定律指的是一个什么事呢？我现在是吧，做了一个线面垂直得到了一个摄影，然后呢？我这个摄影所在这个面阿尔法还有这么一条线， 他过了这个斜足是吧？过了这个斜足和射影形成一个假角，那我们就会得到三种角了。第一种角是什么呢？线面角 o、 a、 b 这个线面角。那第二种角是谁呢？第二种角是这一个射影与射影所在平面 当中的某一条线形成的夹角，最后一个角是这条斜线与阿尔法平面当中这个线所形成的夹角，那么他们三个存在这么一个关系，我刚才叭叭这么说你有没有人敢说？哎呀，老师，这个东西真难记啊，我天呐，哪个角是哪个角，好乱呀， 那我给大家来一个节奏好不好？那我们以线定角，然后用这一个结构呢？去记公式，那我这个结构是什么呢？第一条线先写线啊，三条线定三个角，三条线分别是斜线， 就是说平面的这条斜线，这条斜线是不是对于这个图来说就是 o a 啊？对于这个图来说就是 o a， 那 这条斜线，然后嘞？第二条就是射影， 我写上啊， o a， 那 射影是不是就是 a b 啊？第三条线就是和射影在同一个平面并且过斜线的这条线 就是这条线，就是奇奇怪怪的一条线，我也不知道给他起个什么名。好吧，你自己用语言描述一下吧。啊？就是什么呢？和这个摄影所在的平面是同一个面，是不？然后呢？ 当然了，就是在哪个平面内，是不在阿尔法这个平面内啊，并且他过斜线。呃，过斜竹，过斜竹啊，过斜竹是不是与摄影形成夹角的这个这条线 啊？这条线对我们来说就是 a c， 对 吧？三条线写出来了，那么我们就可以斜角了啊，给大家画这两个之间的夹角就是 theta 一， 这个两个之间的夹角就是 theta 二，这两个之间的夹角就是 theta。 看像不像一个笑脸啊？它笑了吗？有没有笑？ 不光笑了，还吐舌头了呢，对吧？有画画天赋，还行，哈哈，能弄不用三条线定三个角，斜线是这样，然后阿尔法平面内的另外一条线， 那要过斜线，要过这个斜足啊，过斜足。那这 c 叉一就是什么？记住了，我这个 c 叉一呢？就是斜面角啊。 c 叉一就是斜面角，记住这个东西就行了。 陷面角，当然你不记也无所谓，这个斜线与射影的夹角你能不知道是陷面角吗？是吧？是我有问题还是你有问题？ 你肯定会知道的，对吧？所以肯定是我有问题了。那我们肯定是什么呢？这个最跨度最长的这一个 cosine theta 等于什么呢？等于这两个小人相乘， cosine theta 一， 乘上 cosine theta 二。看出这个结构了吗？通过这一个图，是不是这个结构我就出现了。看懂了，不？ 看懂了，那我们做这个第一个题啊。第一个题，我不让你用别的方法，就用三鱼弦啊，他用别的方法也能做，不是不能做，而且也挺快的，但是我就我就挺坏的，我非得让你用三鱼弦，我们尝试一下好不好？那么遇见题目不要慌什么，先写三条线，第一条线是什么？斜线着斜线说 ab， a， b， 然后找射影是吧？现在是一个这样四面体，他是不是已经帮我们把回族嘿，是不是已经帮我们把这个线面垂直给搞定了，对吧？线面垂直已经给搞定了，是吧？ ah， 垂直好，也就是说什么呢？我们知道了第二条线射影是什么？是不是 b h， b h， 然后第三条线就是和 b h 过斜轴，有，有这种角的这种， 那么我们用谁用谁都行啊。用 b c， b d 是 不都行啊？我用 b c 吧，好不好？随便啊，是随便，你用 b、 c 和 b、 d 都行，只要他给我协助和这个摄影是在同一条线上，满足这点条件就行，不用纠结是谁，懂不？不用纠结是谁，好，现在画笑脸了。 他两个之间是我要求的 c 塔一，他两个之间是 c 塔二，他两个之间是不 c 塔。然后我们去标这些角度好不好？ 但他既然想让我们去求线面角，我肯定肯定得不到 c 叉一了，对吧？然后我们看 c 叉二是多少？ c 叉二是 b、 h 与 bc 的 夹角。来吧，它是一个正四面体。 朋友们，什么叫做正四面体？什么所有长均相等的三棱锥，所有长均相等的三棱锥，对不对？就是正四面体，所以底面这个 b、 c、 d 是 不是等边三角形啊？那这个 b、 h 通过这个三线合一，咱可以得到。那这个角 c、 b、 d 是 多少度啊？ 说三十度啊，搞定一个。说他三十度，那我再看 c， 他 再看 c， 他 就是谁呢？ a、 b 与 b、 c 的 夹角对不对？ a、 b 与 b、 c 的 夹角，你说这个角是多少？那么 a、 b、 c 当然也是同边三角形了， 那你说 c， 它是多少？六十啊，对吧？那现在用公式，口塞音六十度等于口塞音 c 塔一，是不？这是我们要求的，再乘上口塞音三十度，你说口塞音 c 塔一能不能求？然后反过来求塞音 c 塔一，能不能得了？简不简单？ 当然了，你用定义法是不是也很简单呀，对吧？也很简单，没毛病吧，是不是？用啊，用这一个用定义法是不是也很简单？但是我，我不说了吗？我比较坏，我非得让你们用三鱼弦吗？那三鱼弦学会了没有？ 明白了吗？然后我们做一个浙江卷，好吧，浙江卷比较难啊，比较难。那我们看一看，也是看第二本啊， 这么一个三棱台，我要把它擦掉了啊，要截图的，赶快截好不好？要截图赶快截啊，我要干第二。问了第二题了啊，这个第二题我想给大家补充结论，所以必须你看大家，我必须要把它擦掉，因为地方不够，我要给大家记结论了啊 啊，朋友们，搞定了吗？好，擦掉啦，我们看第二个。呃，第二个题目在这个三棱台 a、 b、 c 杠 d， e、 f 当中，这个平面儿呢？呃， a， c， f d， a， c， f， d 是 垂直于底面 a、 b、 c 的， 然后告诉我，四十五度，四十五度谁呢？ a、 c、 d 标一标吧。 a， c、 d 是 这个角，四十五度，还有哪个角呢？ a， c、 d 这个角， 这个角也是四十五度。好，这两角看到了吗？我用点啦，我点点是不？这两个点点就是都是四十五度的啊。 d， c 等于二倍的 bc， d， c 等于二倍的 bc 啊， bc 呀，等于二倍的 bc。 注意看这个结论，这个条件有什么用啊？ bc， 划错，天呐，我这个眼珠子不好用呢，为什么呢？ d、 c 等于二倍的 bc 有 什么用？咱借助它第一问吧，好不好？咱第一问，它不正了啊，借助它的第一问 d， 呃，这个 e、 f 垂直于 d， b 垂直于 d， b， 那 么，那么 e、 f， 因为它是一个三棱台，对吧？那这个 e、 f 是 不是平行于 bc 的？ 那我们能不能得到这一个 bc 是 垂直于 db 的？ 那我再结合这一个条件，我能不能得到这一个三角形是一个什么样的直角三角形？ dbc， 这里是不是垂直的？是不是？它是二，它是一，它是不是跟三？这只是关系啊，并不是说它具体的值啊，只是说它的关系是不是这样的。多少度？有没有谱？ 六十度，三十度，这不有这么一个结论好。然后这个题不知道大家看见了这两四十五度的想法是什么？ 我不知道大家的想法是什么？看见了这一个 a、 c、 b 和 a、 c、 d 都是四十五度，哎，从一个点分出来的三条线对吧？ c、 d， c， a、 c、 b 两两就是相邻两个的，呸，也不能这么说，就是 a、 c 和 c、 d 的 夹角四十五度， a、 c 和 b、 c 的 夹角也是四十五度。你通过这个蓝色的东西，你能想到的结论是什么？你在心里有没有一个什么样的结论？如果没有，回去弄你的数学老师啊， 他不给你们记是不行的啊。我们有这么一个结论啊，点在平面内摄影的常见结论是什么？ 第一个自己看一看啊，我们用到的是第二个，第一个自己看不是说他没有用啊，你需要看好。那我们用到的结论是什么呢？经过一个角的顶点，引这个角在平面的斜线，如果这个斜线与这个角的两边 假角都相等，那么该斜线在平面内的射影是这一个角角平分线所在直线。你看看我们这个题满不满足这一条线 斜线与这个角两边的夹角相等，有没有？ a、 c 和这个 d c 四十五度， a， c 和 b c 四十五度。那我 a、 c 上有一点，我在 b、 c、 d 上的投影应不应该在这个角 b、 c、 d 的 角平分线上？应不应该， 是不是就应该了？那这一条好不好用？你在学校里老师给记了吗？ 那这会我为什么一定要问？你看见这种这两个等角，那 a、 c、 b， a、 c、 d？ 那 a、 c 什么？ a、 c 什么， 是吧？一定问你这个东西的原因，你如果知道这条，那这个题有很多缝线，如果你不知道，你老老实实地用定义法去用，用，用间隙法去做吧。间隙没有，我这个方法要简单啊， 啊，几何一般，比极限还要简单，一般只是说一般啊，那我们现在它不就是 d、 f 和这一个 d、 b、 c 所成的角吗？ d、 f 我 平不平行于 a、 c 啊？那我们看啊，这个 d、 f 这个标东西是不是平行于这个 a、 c 的？ 我强调这事干啥？我想做辅助线啦，朋友们，我现在咔过这个 d 点做，这个 d、 o 垂直于 a、 c 是 吧？它垂直于 a、 c， 哇，我现在做了这么一条线，那你说我这个 d、 f 与这一个面所形成的角等，不等于这个 c、 o 与这一个面形成的角呢？也就是说啊，我们实现了一步转化啊，是什么样的转化？这个 d、 f 与平面 d、 b、 c 所成角，就等于这个 c、 o 与这一个平面 d、 b、 c 缩成角，是吧？因为它平行。那么现在我们可不可以用这个第二条这个结论呢？那我这个 o 点，我 o 点在这个 d、 b、 c 这个面儿上的 垂线，呸，它的射影是谁呢？是谁在什么位置？ 是不？我们就一定会有这么一个东西出现啊，我们就一定会得到这一个点 o 在 面 d、 b、 c 在 这个面 d、 b、 c 的 摄影，呃，这个摄影，我们说是点 g 吧，好不好？摄影 g 就 一定在这一个角 d、 c、 b 的 角平分线上 就得到它了，明白不？就一定在这个角平分线上？ 好了，那在角平分线上咱把它画出来呗，是吧？搞出来，把角平线给做出来，那这个 g 点就一定在哪啊？ 随便给它来一个位置吧。好吧，我们就假设在这吧。现在，那我们能不能得到这个 o、 g 就是 垂直于这个面儿啊，是不是？我们是不是就可以得到了？噢， o g 呀，你这个标东西就是垂直于这个面儿 b、 c、 d 的， 对不对？好，我写成这个破玩意来，是为了干啥？是为了干啥呢？朋友们，三鱼弦再用一用呗，好不好？三鱼弦用一用啊，来 用线得角，第一条线是什么？斜线？斜线是谁？ c、 o？ 第二条线是谁？摄影啊，摄影是谁？斜足垂足是 j， 斜足是 c， 所以 说它是 c、 g。 第三条线是和过这一个过，这在这个 b、 c、 d 当中找一条线是，不过这个斜足啊，那当然可以是 b， c 是 不也可以是 d、 c 啊？那我们要它是谁，你爱是谁是谁，我就 d c 吧，好不好？ d、 c。 现在来找角，找角第一个是不？这就是线面角，我要求的我动不了，然后这个 c 它是不也能找？来吧，挨着找 c， 它二、 c、 t、 c、 g 和 dc 的 夹角 c、 g 和 dc 的 夹角。来吧，这个 dc， 这个 c、 g 是 什么？是不是减分线？这个角 d、 c、 b 是 多少度？注意看这里 d、 c、 b 多少度？六十度，它的减分线说明它是多少度？三十度， 对吧？好，然后再看 c、 t、 a， 也就是 co 和这个 dc 的 夹角 c、 o 和 dc 的 夹角，是不是？ c 和 dc 的 夹角多少度？四十五度， 能不能做了？简单不？你这个题，你说你用别的方法，你用什么方法能比这个快？我真不信。不服啊。 我是不服的。那我直接代数了。口塞音四十五度等于这个口塞音 c 塔一，乘上口塞音三十度，能不能得口塞音 c 塔一了？能不能得？能得口塞音 c 塔一？它现在要求正弦值塞音 c 塔一搞定了没？ 完事了朋友们，简单不？当然你会说，老师，我用等体积，我能不能做？我能做。我知道你能做不快呀，是吧。

斜修立体几何夹角到底有多强？他能让你把这种高考真题瞬间变成小学口算题？ 那这节课听完，你会发现你以前学的夹角全白学了，因为以前费老大劲要去画辅助线，还要去平移，然后你发现还平移不到一块去。那么今天这节课 跳过所有的空间想象能力，不管图形多么复杂，基础弱，照样跟老胡拿满分，信不信？信信！我们来讲，今天我们要讲的是空间余弦定律，它主要解决什么问题？ 意面直线夹角的问题，意面直线 夹角的问题，上节课不是讲了吗？对吧？说平移平移不到一起去怎么办？保守方法就是它。那么空间余弦这里是什么？我们来先说一下，教一下你记忆方式，好吧，我们再来说证明，再来说题目，一点一点来啊。首先意面直线，你看，我给你两个意面直线， 任何两根意面直线，你把它们这端点彼此互连都能连成一个锥体。 拿着你的笔在本子上画一下，是不是任何两根把端点彼此之间一连都可以连上锥体？所以我要求这个意面直线的夹角，我就可以在这个锥体当中去求解，没问题吧？没有好， 这是二级结论给你总结出来的公式，直接用都不用平移的。我要求的是 a、 c 和 b、 d 的 夹角，这个就代表 a、 c 和 b、 d 夹角的余弦值，没问题吧？没有，等于谁呢？ 二倍的你俩求你俩就是你俩。那楼上这是啥呀？感觉好像记不住呀，来，我给你拆解，瞬间记住，看这里。首先我们要求的是 a、 c 对 吧？这是 b、 d， 你 没发现这个锥体底下有三条边，侧楞有三条边，那么 a、 c 是 底边， b、 d 是 侧棱。底边每一个底边都对了一个侧棱，每一个侧棱都对了一个底边，我们把它们叫对棱。你看所求解，这两个东西是不是对棱？是的，对吧？对棱。哎，你看它有几组对棱呢？除了是 a、 c、 b、 d 之外，它还有一组是 ab， ab 的 对棱是谁？告诉我 dc， ab 和 cd 是 不是对棱？ ok， 还有呢？ ab 找到对棱了，还有一个 bc， bc 有 对棱吗？有， bc 的 对棱是谁？ a， d， a， d。 对 了，我要求解的是这个 来发现 a、 b， c， d， a， b， c， d， b， c， d， b， c， a、 d。 发现了吗？ 发现吗？一共是三组对棱，意念直线是不是其为其中一组对棱？对他的加角等于另外两组对棱的平方和作差， 谁在前谁在后都无所谓，因为这里有绝对值符号，对吧？对，你俩平方和，减去你俩平方和，或者说你俩减，你俩是不是瞬间记住了？ ok， 来，需不需要我去做证明啊？需要，到底正不正？正？那我来证一下证明。如何去证明？ 求两个异面的夹角除了平移之外还有什么思路？想一想。我们现在不用平移啊，用平移都不至于给他搞锥体了，对不对？除了平移还有什么思路？回想一下啊，两个直线的夹角哪里有两个直线的夹角？ 哪里有？向量里面有对吗？对，向量里面是不是有它俩的加角问题？所以我可以借助向量去解决。什么意思？本题让我求的是 a、 c 向量点乘以 b、 d 向量。我就求你俩的加角呗， 是不这里面有加角嘞？摸摸不就有考赛吗？我求你俩点乘是多少来，它俩点乘等于。可是 a c 和 b d 这八个字打不着一撇呀，也不知道加减在哪里啊。所以向量的本质就是要向量转化嘛，对吧？转化成你会的。那怎么转化呢？告诉胡老师， a c 向量点成一看 b d， 咱俩连 公共接口的地方都没有，咋找咋找。所以我可以把 b d 转化。转化成谁？你俩？你俩不就跟 a 有 关系吗？可不可以做什么法？等于 a 啥减 a 啥？穿黑吧。 a 啥减 a 啥？ a d 减 a b a d 向量减去 ab 向量起点消失后之前没问题吧？没有打开来，不要着急啊，我给你打， 我直接写摸摸烤散可以吧？打开之后是不是就是摸摸烤散了？是的。好嘞，我直接写了 ac 的 膜， ad 的 膜乘以加角是多少？告诉我 ac 和 ad ac ad 是 不？这个加角叫做角 d a c 减去继续重进来 ac 的 膜来。加角是烤散多少？ ac 和 ab， 这是 a c， 这是 ab 是 不？这个夹角是角 b a c 角 b a c 我 们现在证明了这个东西和这个东西是不是可以再次被替换，替换成跟边长有关的。我要的就是边长吗？对不对？来吧，它等于谁？ a c 的 魔长我写一下 a d 的 魔长掏散 d a c d a c d a c 黄角是放放在这个三大三角形里面去给他上什么 余弦定里对吧？三个棱吗？就转化成三个棱有关的吗？对，是不是上余弦定里啊？是来开始它余弦定里等于谁？跟我写一下上面是谁的方。 a d 向量的平方就是魔长的平方吗？一样的吗？加上 a c 向量，魔长的平方减去 c， d， dc 向量模长的平方除以二倍的二倍的 ac 向量的模长， ad 向量的模长。别瞎麻烦嘛，来，继续跟上节奏啊，看谁在那打盹，来 照抄没什么难度嘛，对不对就照抄呢。 ac 向量 ab 向量来，这个 bc， b， a， c 是 不是就放在这个三角形里面去跟我带一下，等于谁 ab 向量的平方加上 ac 向量的平方，然后嘞，减去 bc 向量的平方除以谁 二倍的谁？换个颜色，二倍的 ac 向量魔长， ab 向量魔长，我先跟这边重合了，给你换个颜色，看的清晰一点是吧？全是魔长的计算，你不会算吗？盯准了啊， acad 没了吧？没了没，没了。 a c a b a， c， a， b 是 不全没了？是来，现在我看谁不会计算啊，二分之，这是不是都是二了？ 对，是吧，来定准啊，看哪些能算。 a， d 方有吗？能，有，能跟他干掉的没？没有。那我就写了啊， a， d 方， a， d 向量的平方来继续 a， c 加，这不讲减吗？减，是不是？这是一个加， ac， 这是加，这前面是减吗？是不是就干没了？对，来，继续。这啥 减？ d， c 是 方是吧？还有呢？减去一个 d， c 的 方，我抄一下减去一个 ab 向量的平方，还有呢？加上一个 bc 向量的平方， 发现没？我要的是不是加加？看两个一加是不是中间带减的。对，是往那个结构上去凑呀，是二分之来继续，剩谁了？ a 啥 a 啥？ a， d 加 b， c， 可以 啊可以啊，是不等于你俩一加？写了啊， a， d 向量的平方 加上 b， c 向量的平方，括号减去是不等于你俩一加呀？对，叫做 ab 向量的 平方加上一个 c， d 向量的平方，是不是这个结构就出现了？是的，你就是他吗？是不是？你就是他吗？对吧？那有人说胡老师，这跟他做的不一样呀。 这跟他做的不一样。我要的是啥？你要的是这两个向量的什么夹角？它这两个向量等于谁啊？ ac 向量模， b d 向量模是不是乘以 cosine theta？ 你 是不是要的是你俩的夹角呀？是不是你就是他？有问题吗？ 没有，两个限量点乘完是不是就是摸摸。考三这一大坨是不是就等于他？是的，我要的是谁？我要的是加角，所以加角就等于这一大坨，把这两个是不是除过来？是的，能能，能看出来吗？可以除过来看，这一大坨不就是他吗？把这除过来就除到底下来了吗？不就完了吗？ 看看出来了吗？考三 c 了，就这一大坨。蓝色的就是他吗？这不是就等于他吗？对不对？对，我要求的是夹角吗？把这除下来不就完了？不就那个式子吗？对吧？对，那你现在郁闷的地方在哪里？ 你郁闷的地方在于没有绝对值啊。你挣完的东西是不是没有绝对值？对，那怎么我给的有绝对值呢？问题出在哪？ 问题出在你求的是向量。我问你啊，两个向量是不是由直线挂个箭头来的吗？ 对不对？两个向量的夹角可能是哪个角？比如说你求出来这个角是三分之一，那么如果这个箭头又换方向，是不可以跑，跑到这边来有可能还是这个角呢？两角互补的话，这个角是多少？负的三分之一 对不对？所以你要求他们向量的夹角有可能求出来的是就两根直线对的向量吗？有可能是这个夹角，有可能这个夹角 对吧？你求出来可能是正值，可能是负值，但是我们两个现在要的是直线，直线的夹角上一节课都讲过了，永远是一个锐角，不可能是钝角吗？所以你求的是向量夹角有可能是这个值。我们现在要的是直线。那你取那个小的不就是直线的夹角吗？ 取小的值是不是对应的直线的夹角？所以你不管是求出来正的还是负的，给他带个绝对值，他就变成那个小的夹角了。能不能理解这意思？对，你拿项链做的，但是我最后求的是直线的夹角，我解释明白了吗？明白了，完了，证明完毕。 证明很简单，就是用了一波项链转化了一下，只是计算过程看起来复杂，其实还好。来做题吧。 你会证明做题就很简单，我刚刚给大家总结过了，找三组对棱吗？要求的这一组对棱等于另外两组平方做差呗， 出个二是不是这意思是二倍的？他们来看，这里看题，全国就要真题。认真看题啊，说在正三棱柱当中，然后 ab 的 长度是一，看谁没有看题， 然后 a a 一 的长度是二分之根，二就是测棱嘛，对吧？对，意面直线的夹角就是黄线和这个虚线的夹角，怎么求法一？什么？讲过了， 意面直线叫法一，叫平移，法二就是平移之后发现出题了，我是不是可以补行平移？对，尝试一下法三。我都不想这么干，我想无脑操作，闭着眼睛操作就叫空间余弦定力 怎么用？我都讲过了，我说任何两个意面直线彼此连接，他们的顶点是不可以组成一个锥体？对，先找到他对应的那个锥体，能理解不？能怎么找？看这个点和这个点能不能连， 连一下，这个点和他这个点能不能连？我连完了。还有呢？彼此之间是不都能连一下？我跟你连一下吧，你看这个锥体你不就很快找出来了吗？把他的端点。哎呦呦， 彼此之间互连吗？这不是我连了吗？还有哪个没连，是不？这两个没连，我连了，你能不能看出来他是一个椎体？可不可以理解为以 a 为顶点，以这个面为底面的一个椎体，你能看出来吗？你看不出来，把这椎体翻正，翻正，正面的字母一标就可以了， 是吧？是彼此之间互联。来吧，见证奇迹的时刻到了。我先要求的是 a b 一， 盯准了 a b 一， 它的对棱是谁？ a b 一， 这是相当于那个侧棱了，对不对？对应底面的是谁？告诉我 b c。 嗯， a b 一 对的是谁？他对的是不是应该是 b c 一， 这是我要求解的对吗？ a b 一。 好，这个侧棱有了。哎，这个侧棱 ab ab 和底面，找找他的对棱， ab 的 对棱是谁？ a b 的 对棱能不能找到？它是 b 一 c 一， 来下一个一共三个侧棱吗？还有一个是谁？ a c 一， 给每个侧棱配一个对棱吗？对不对？ a c 一， 它的对棱是谁？ 能看来吧， b b 一， 有的人看不来，如果你看不来，就把这个图形画正，把字母重新标一下，画成这种的是不是看着就很明显了？是。接下来把一二三四五六这六个的长度算出来，代公式是不是就结束了？是，来一个一个算 ab 一 的长度是多少？ ab 一 是不是就在这个直角三角形里面去算？对，一的平方加上 他的平方吗？对，是吧？一加二分之一，二分之三，所以他是根号下二分之三没问题吧？来第二个看 bc 一。 bc 一 是不是也是在这个直角三角形里面去？是不是你的平方加上一的平方？是不是跟刚才一样的根号下二分之 三没问题吧？来 abab 的 长度，这个是一，没问题吧？没有。来 b 一 c 一 b 一 c 一， 他的长度是几？ 你是一吧，因为它是一个等边三角形。好，这个 a c 一， 这个呢？ 这个是不是和红线其实是一样的吗？等于你的一的平方加上二分之根号二的平方，所以它是根号下二分之三。来 bb 一， bb 一 是二分之根二。 直接开始代公式就好了。我来考三 c， 它等于注意 二倍的求谁的夹角是不二倍的。谁谁求的谁的夹角？ a b 一， 这乘乘以谁？根号下二分之三，根号下二分之三，没问题吧？ 楼上是你俩的平方和减去你俩平方和，是不是？来，你俩的平方和一的平方加上一的平方，减去括号，你的平方加你的平方，是吧？这多少 根号下平方码二分之三加上四分之二，对吧？对，带一个绝对值，这是几？ 这不是四分之六吗？四分之八吗？这几二，这一大坨是二，这几二二减二等于零。 c， 它等于多少度？告诉我。 九十度，九十度，两个直线的夹角顶天的就九十度吗？最多的二分之派，九十度没问题吧？没有空间余弦定力牛不牛？牛，是不是不需要很强的空间想象能力，我通过代数计算我就瞬间能把它算出来，但是 空间余弦定力再牛，也只是我们给大家讲的夹角问题的十一分之一的题型， 高中立体几何三大家角。我们给大家总结的是十一大的杀手锏，也全都是高大考特别爱考的。然后每一个方法胡老师都给大家配套了专项训练 啊，全部都覆盖，而且不绕弯学透它，那么不管是线线角线面角和面面角，考试中给你就是送分题，所以说大家可以抓紧时间打印下来，跟着胡老师的节奏去训练起来，考试咱们这块拿满分好不好？好下课！

同学们好，那么应粉丝要求呢，我们继续讲立体几何初步中的一个长角问题，线面长角问题。 首先呢，我们先来复习回顾一下意面直线所成的角的定义， 那么回顾完这个定义以后呢，我们还要回顾一下，在解决一面直线所成角的这个问题中，我们使用的思路，或者说是方法是什么？ 也就是说是将立体几何的问题呢，转化为了平面问题，也就是左边这个是立体， 右边这个是平面，转换成了一个平面问题。 ok， 那 这个思路呢，非常重要啊，那么下面我们来看如何定义线面成角呢？ 同样我们立体中呢是线面成角问题，我们延续上面的思路，还是要把它转化为一个平面问题，也就是转化成一个线线成角问题我们才能够解决。 我们首要的任务是选择什么直线呢？我觉得有一条直线肯定得选，也就是 l 零这条直线必须得有，对吧？那另外一条直线在哪去选择呢？应该肯定得是在平面二方的选， 并且呢我们期望他与 l 零相交，这样有很多这样的线在这些线里去选就可以了。 那么好，我们继续思考啊，那要求也就是说在平面二分内还要跟直线 l 零相交的直线，大家看可以画出无数多条， 那这无数多条我们该选哪一条，或者说怎么去选呢？ 这就是面临的一个新的问题了，对吧？好，首先呢，我们应该说有一个直观的感觉啊，还是用直观的感觉， 而零上除去 p 点的任何一个点，我选了一个 m 点做这个平面 alpha 的 一个垂线和这个平面垂直， 垂足为 n， 那 么角 m p n， 我 们感觉直观，感觉这个角已成为线面乘角的一个位置。好， 那大家看啊，这个感觉还是可以的，是不？那么我们先来把这个感觉呢严格化或者定义化，按相关的概念， 那 pa 和平面相交，这条直线，也就是 pa 这条直线呢，叫做斜线， 那么 a 点就是斜足， a 点是斜足啊， 那过斜线上的一点呢？向平面引垂线，引垂线，这个 p o 就是 我们引的那条垂线，那垂足是 o， 那 斜足 a 和垂足 o 之间的这条连线，我们就叫做斜线。在这条平面上的 摄影，这有三条线，那么好线面成角的定义呢？就是斜线 pa 和它在这个平面上的摄影 a o 所成的锐角，也就是 pa 这个角， 那么可以称为 p 直线 pa 和这个平面的所成角。 那按照这样的定义，所剩点的范围是什么呢？当直线垂直于这个平面的时候，我们认为它是直角，当直线和这个平面平行，或者说呢，在这个平面内的时候，我们认为它是一个零度角， 那因此它的范围就应该是零度到九十度。这样的定义给出来以后，我想同学们还是有疑问，行不行呢？这个定义， 那也就是说为什么这么选举而不选举其他的线呢？首先我们给大家一个定律啊， a 为平面阿尔法上的一点， a 为平面二分之一点啊。然后呢， a o 是 斜线，摄影是 ab， ac 是 另外一条线。那我们看啊， c 它 c 它一， c 它二，分别是什么？ c 它一是 o， a 与摄影的夹角， c 它二呢？是 ab， 也叫射影与另外一条直线 ac 的 夹角，大 c 的 呢，是斜线 o a 和 oc 的 夹角。 那么如图，我们看过这个 b 点啊，做 bc 垂直 ac， 那由于 o b 和 o c， o b 和 a c 是 垂直的， b c 和 a c 也垂直，而且它俩是啊，这俩是相交的， 对吧？所以 a c 呢，就垂直于 o b c， 也就垂直这个平面，从而 a c 也和 o c 垂直，又是一个直角三角形，相当于这里有一个 rt 三角形 o a b rt 三角形 b a c rt 三角形 o a c， 这有三个三角形。那我们来看啊， cos c， 它就应该等于 a c 比 o a， cos c 的 一呢，就应该等于 ab 比 o a， cos c 的 二呢，就应该等于 a c 比 ab。 那我们把这三个式子乘在一起，那是不是应该得到它了？那大家看啊，由于 cosine theta 二肯定是要小于等于一的，那所以 cosine theta 呢，一定会小于 cosine theta 一， 那也就是说 theta 肯定会大于 theta 一， 什么意思？也就是斜斜线和 a c 的 夹角为 theta， 斜线和摄影的夹角为 theta 一， 那 theta 一 呢，应该是斜线与平面内任意直线中所呈的角中最小的。 讲这个定律干什么使呢？大家来看啊，这个问题就触及了几何定义背后的一个合理性，也就说，之所以用斜线和射影的夹角来度量，最核心的原因就是这个夹角是最小的那一个 啊，咱们再进一步的解释一下啊。首先呢，最小的角保证了定义的唯一性，一条直线呢，与平面的无数条直线会形成无数个不同的角， 那如果用其中随便一个挑呢？那标准是不就混乱了？因此我们找那个最小的，最小的，那他就是唯一的就好确定第二个呢？定义抓住了这个概念的核心， 与摄影的成长，能剔除其他各种无关因素，只与这条直线的方向有关。 哎，具体解释这两条以后，我们发现这个定义就合理了，那反过来呢，我们再讲一下啊，什么叫几何定义的理性，那这个定义的方式是否自然唯一自洽，并且能准确的描述我们想度量的几何属性。 那么基于上面的原因，我们觉得斜线和摄影的夹角就可以用来度量线面乘角， ok， 好， 那以上就是线面乘角的定义，我们再来复习一遍啊，再来复习一遍，也就是 斜线和摄影的乘角， ok， 没问题了。那我们看今天的例题， 问的是哪条直线呢？ a b 和这个蓝色的面所夹的角所成的角啊？那我们来看怎么怎么处理这道题？ 首先呢，我们连接 bc 和 bc 交于了 o 点，随后又连接了 a、 e o， 那设正方体的棱长为 a， 我 们很显然能知道 a 一 比一，也就是这条边和这边这个面是垂直的，所以呢， a 一 b 一 就和哪条线呢？和 bc 一 是垂直的，又因为这边是一个正方形，所以 bc 一 和 bc， 其实这块也是也是垂直的， 这块也是垂直的啊，这个角也是直角，所以呢，这块应该还有啊 b， 你 看啊， b、 c 和它垂直， b， c、 e 和这个垂直，而且它们相交于 b、 e 点，所以 b、 c、 e 就 应该和哪个面垂直呢？ 和 a、 e， d， c， b 这个面垂直，那它和这个面垂直完了以后呢？大家想一想，大家想一想啊，垂直了吧，那这叫垂线，这个是不就叫做 垂线？那谁是摄影呢？谁是摄影？那这条边就是摄影，因此角 b a、 e、 o 就是 直线 a、 e、 b 于平面所成的角。 到这大家回顾一下，是不是跟我们之前学的一样，我们在干嘛呢？在定位，一定要先定位，定位好以后，我们来计算 一只 a b 呢，是根号二 a， b o 是 二分之根号二 a， 这都很简单，所以呢， b o 相当于这个直角边是斜边的一半， 那这个角就应该是三十度，所以线面乘角为三十度。那做完这道题，大家看第二步是不就是计算？跟我们之前讲的思路还是一样的，也要先定位，再计算。 整个这道题做完以后，大家有什么感觉，能够找到线面乘角的所在的关键步骤是什么？ 我觉得关键步骤是找到这条面的垂线，也就是 b o 或者说这里的 b c、 e， 因为你只要找到垂线，你才能定好射影在哪里。 ok， 下面我们来看第二道题， dc， 这呢，这条是 dc 与 pbc 这个面的夹角，我们来看怎么处理啊？过 d 点做 d e 和 pc 垂直， 由于 p d 是 垂直下底面的，所以 p d 和 bc 是 垂直的。继续 bc 呢，就因为它是正方形，所以 bc 呢和 dc 是 垂直的。 由于 bc 和 dc 相交于地点，对吧？相交于地点，所以呢， bc 和 pdc 这个平面是垂直的， 因为呢，刚才说了 bc 和这个 pdc 是 垂直的，所以呢，只能得到 什么呢？ d e 和 bc 垂直，刚才我们又做的 d， e 和 pc 是 垂直的，那他们又交于了 c 点，所以呢， d e 就 什么叫垂直于啊？ p b， c， 那 又因为 d e 垂直了 p b， c， 所以呢， d c 和这个 p b， c 所成的角，那我们来看是不就是 e， c， d 了， 咱们再看一看啊，那这个叫什么？这个叫斜线，这个叫垂线，那这个是不就是那个 摄影，对吧？ ok， 那 下面我们再去计算就简单了，因为 p d 和 a d 相等了，所以在这个三角形中呢域 cd， 这是一个等腰直角三角形，就是四十五度。 ok， 那 再反思这道题，能找到角的关键是什么？我们说还是找到面的垂线， ok， 那 么我们看下一道题，稍微有点小变化了啊，大家来看一看。你看，我现在求了一下什么呢？我求了一下， 我把它连上，我求了一下三角形 dcb 的 面积，由于这个 cdb 是 个直角，可求吧，那我们标一标啊， cd 是 一， pd 是 一， b， d 是 二，这个是一个直角。 ok， p d 是 垂直下底面的，因此我们可以求出三棱锥 p 杠 b， c， d 的 体积。到这同学们会觉得，哎， 求体积干什么事？我们继续看啊，再继续算一算，这个直角三角形中，我们可以求出 p b， 然后呢，在 p d， c 这个三角形里呢，我们可以求出 p c。 在 d， c， b 这个三角形里，我们可以求出 b， c 三条边都有了，那这个三角形的面积也是可求的，我们不具体说了啊，可以有什么呢？有海伦公式，当然你如果不用呢，你可以先求出一个角， 然后用 ab 三 c 的 那个公式也可以。这个我们就不说了啊，因为这道题的关键点在后面，大家继续看。 哎，我出了一个 d， e， d， e 呢？是什么？大家看啊， d e 是 什么？ d e 是 d 到平面 p b， c 的 距离，我们测它的长度为 h， 但貌似我们好像没找到它的具体位置。 没找到具体位置没有关系，那大家看啊，咱们设 dc 与 p b， c 的 夹角为 c 的， 干嘛使呢？你看这 d p、 b， c 这个三棱锥的体积实实际上就是 p d， c， b 这个三棱锥的体积，两个体积是一样的，这块我稍微具体写一下啊，那体积也就是三分之一，大家算过了，它还可以等于三分之一，乘以谁呢？ 乘以 s 三角形， p b， c 再乘以一个 h， 对 吧？这是三分之一二，这也是三分之一，所以相当于 h， 我 们算出来了。 什么意思？虽然没有找到，但是我们算出来了。那 sin theta 是 什么呢？ sin theta 就是 h 比 cd， 那 很显然这有一个直角三角形，对吧？ 那也是 h， h 就是 d e 的 长度比 d c 的 长度得三分之二。那这个方法叫做什么方法呢？叫做等体积转换法。 无中生有，必失就绪。这是一种什么情况呢？就是我实在是找不到他的高的时候，或者说找不到面的垂线的时候，我们还有这样的一个方法。 ok， 以上就是本节课的内容，谢谢大家收看。

好，同学们，咱们今天继续来看空间角的第二种类型，也就是线面角。那么咱们要清楚线面角 的余弦值是怎么求，就得先知道线面角是哪个角。线面角必须要求的是直线与它的投影所成的角，那么以这个题为例，它告诉我们让我们求的是 c、 d 与 a、 c、 m 的 线面角，那么我们就必须得找到 c、 d 这个边在 a、 c、 m 这个平面内的投影。也就是说，我必须要知道点 d 坐下来垂直以后，会坐在 a、 c、 m 这个面的哪一个点，那么我们就要根据题目的信息去拆解一下。题目中说这是一个四棱锥，底面是一个长方形， 而且 pa 垂直于 a、 b、 c、 d， 然后告诉我们了几条边的长度，告诉我们点 m 是 中点，那么我们要看一看。根据这些信息，我们要找到点 d 的 投影点在 a、 c、 m 的 什么位置，怎么找？首先 pa 是 垂直于底面的，所以我一定可以得到 p a 是 垂直于 c、 d 的， 因为我们可以通过线面垂直推出来。线线垂直又因为底面是个矩形，那我是不是依然可以推出来 a、 d 也是垂直于 cd 的？ 那么通过这两个条线，我们又知道了 pa 和 ad 是 有交线的，是交在点 a 的， 所以是不可以推出来我们的 cd 这个线一定垂直于面 pad， 那 么如果 cd 垂直于 pad， cd 是 不是就一定会垂直于面内的一条线，也就是 am？ 好 了，然后我们继续来看， 既然 c、 d 垂直 am， 点 m 又是 p、 d 的 中点，这个地方又是一个等压直角三角形，那么是不是可以得到 am 一定垂直于 p d， 那 么我们根据这两个信息，是不是就可以得到新的一个线？面垂直，也就是我们的 am 会垂直于面 p c d 然后我们要观察一下，题目中让我们求的 am 其实已经出现了，它就在 a c m 内，那既然 a m 垂直于面 p c d a c m 内又包含了这个面的垂线，那是不是代表着我们的这两个面就会垂直？好了， 快到最后一步的时候，大家一定要找到面面垂直。我们要推出来线面垂直的话，就必须得找到交线 p c d 与 a c m 的 交线是不是正好是我们的 c m？ 那 么所以我要去找点 d 在 acm 面上的投影点，我只需要过 d 做 d q 垂直于 c m 就 可以得到 d q， 这条线一定垂直于面 acm， 那 所以点 q 就是 它的投影点，这是为什么呢？因为这是我们利用了面面垂直的一个性质，若面垂直面，则 在一个面内找一个点垂直于交线，那么它就会这条线就会垂直于另一个平面。我们继续这个题目，到 d q 垂直于面 a c m 后，我们只需要求的东西其实就变成了抛散角 d c m 的 余弦值，那这个角的余弦值，我们两种思路，你可以去求这个 d q， 也可以直接去用我们的 d m 和 c m， 因为这个 d dmc， 它一定也是一个直角三角形。我们在第一步就证明了 cd 是 垂直于面 p a d 的， 所以 cd 一定会垂直于 md， 那 这就是个直角。所以我们为了简单，我们直接用 cd 比 cm， cd 的 长度是一 cm 的 长度就是 cd 的 方加 md 的 方， cd 的 方是一的平方，再加上 md， md 的 长度是根号二，那就是根号二的平方，再开根号，那就是三分之刚好三。 所以这个题目选到 b 选项，大家在做这种线面角的余弦值的时候一定要注意，我们要先根据已知条件先推出来一条线，这条斜线在平面内的投影才能去求线面角的余弦值。

二零二零年的高考模拟越来越侧重于立体几何的几何法，尤其是像这二面角很多的间隙，现在越来越不好建了。那几何法解决二面角往往是同学哈，尤其是高一学生期末考试里面最大的一个揪分点。 今天郑老师通过三分钟的视频，带同学们理解一下力的几何的二面角几何法的求解的常见的三个方法。学会了这三个方法，所有的力的几何二面角问题，你都将有思路去求解。第一个方法就是我们的定义法，那定义说的很简单，两个面的夹角怎么办呢？只要两个面是不是有一条交线， 在左边这个面里找一条线垂直于交线，在北塔里边找一条线垂直于交线，这两条线 m 和 n 的 夹角，哎，就是这两个面的夹角，那根据定义的话，我们需要怎么做呢？我们先看这两面的交线，那找到两面交线之后，在左边这个面里做一条交线的垂线， 在这个面里找一条交线的垂线，然后呢，这两条线的夹角就是那解决这个问题的话，常见的有这么几个难点， 一个难点，你做的这个垂线和在这个面里做的这个垂线，这两条垂线的垂足不一定是同一个，所以这里边还牵扯着一个小知识点。什么呢？我们做了一个 m， 在 这上做了一个 n， 然后呢，他俩如果不相交，我还要做 n 的 平行线， n 撇，让 n 撇和 m 相交形成 c 塔，要说可能会用到平移问题。 第二个问题是什么呢？就是说使用这个方法的话，我们在两个面里分别做胶线的垂线也可能很好做，那做完之后，第二个问题是我们要求解这个夹角，那如何去求解呢？想要解决角度问题，一定是放在一个什么呢？一个平面里， 也就是说我们把它平移完之后，哎，也相交了，形成一个面，那想要解决这个三角形的一个角，我们是不得需要这三个边，这三个边往往 m 这个边在左边这个面里的话，通过单独把这个面摘取出来，然后这个线往往长度是可以求的。 同样道理，这个 n 的 这个长度啊，在这个面北塔里边，我们把北塔这个面摘出来，也往往是能够求的，那唯一不好求的就是这个长度。 这个长度求解的这个难易程度决定了方法一的难易程度。比如说方法一的话，局限于这个长度该怎么求？如果说这个长度很好求的话，哎，方法一这个定义法就变得非常简单，如果说这个长度不好求，那方法一的话，这个方法就抓紧把它 pass 掉。考虑第二个方法， 那第二个方法的话，是我们常见的最重要的一种方法啊，找垂线法，那找垂线什么意思？先说一下他的逻辑，在 r 法中找过一个点，做另一个面的垂线，假设这是 p 啊，这是 o， 第二步过 o 做交线的垂线， 那做完交线垂线之后呢？连接 pm， 那 这个 pm o， 哎，就是这个夹角， 那这个题呢？他的这个难点在什么地方呢？这个地方他的难点就是做 p o， 这是最难的一个问题，怎么做 p o， 对 吧？就是说做这个面的垂线怎么去做？那为什么说这个很难的，做垂线不感觉挺简单的吗？但实际上不是的，这是一个空间里的垂直，同学们一定要理解。这是一个空间里的垂直，他不是一个平面里的垂直。 那你平面里，哎，你做这个胶线的垂线，在平面里做他是非常简单的，但是在空间里你做的这个线很有可能会做歪了， 你很容易做歪，那怎么做才一定是对的？那使用这个方法的前提条件是什么？记住这个北踏这个面，他的要求必须要有什么呢？有垂线或者是垂面， 什么意思呢？白塔这个面，比如说在这上有一条垂线 l， 那 我们只要过屁点做 l 的 平行线，这个线和这个线平行，那这个线就和这个面垂直，那这个 p o 就 好做了。 所以像这种理论哈，这个白塔这个面，你看有没有一条垂线，如果白塔这个面有垂线的话，你就使用方法二，绝对好做。那没有垂线，他有垂面啊，他有一个垂面，哎，在这个地方假如有个嘎巴面， 这擀面呢？黑白他这两面是垂直的，那咱根据两面垂直的一个推论，两面哎，有一条交界线，这里边有条线，哎，这里有条线，哎呀， 和这个交线垂直，这个 n 就 和下边的面垂直。所以这个北塔如果有一个面，伽马垂直于北塔的话，我们只要在伽马中这个面中找一条北塔的垂线就可以了，这个线垂直于交线，所以这个线是非常好找的，找到它之后，再过屁点做 n 的 平行线，就能把屁股做出来了 啊。做平线，这样话你就能找到 p u， 找到 p u 后边做他和他，哎，这是比较简单的，所以方法二他的难点或者使用前提条件就是另一个面哈。其中阿尔法贝塔也罢，必须这个面有一个垂线或者有一个垂面， 那只要是这个贝塔这个面有一个垂线或者有垂面，你就使用方法二做，准能做出来。 那这个第二个方法还是我们绝大多数做这种二边角问题使用的一个常见几何法啊，最最重要也是最最常见的方法，朋友们一定要通过这个图像理解好怎么去做的， 不要局限于上来就过屁点做垂线，上来就过屁点做垂线，往往你做的都是错的啊，你做不直的哈，做的这个线并不是一个垂线。那第三个方法的话，就是我们的公式法， 也是我们的什么呢？叫向量法。那使用向量法的它的逻辑是什么呢？两个面，两个面哈， 在这个 r 法中和贝塔中分别找交线的垂线，这个和方法一是一样的，在 r 法中找一条交线的垂线，比如说就是这个线，假设是 ab， 然后呢，在贝塔中找一条交线的垂线，假设是 c、 d， 哎， c d 和 bc 垂直，假设这是个垂直，哎，这地方是个垂直。 那好了，那账号我们根据向量内容， b a 向量和 c d 向量的夹角就是这两面的夹角。因为向量不 论是在平面也罢，在空间也罢，它自带平移效果，所以不需要用方法一定义法，然后把它俩平移到一块。不需要，那不需要的话怎么去求呢？我现在已经知道了，它的夹角就是这两面夹角，怎么去求呢？连起 a d， 那么我们就会得到根据空间向量或者平面向量知识啊， a、 d 向量完全可以从 a 出发，先想到 b， 再从 b 呢走到 c， 再从 c 呢走到 d， 就是 我们即使平面向量，我们也学过多边形法则，对吧？空间多边形法则依然是适用的，所以这个式子依然成立。 那有了哈之后，我为了得到 b、 a 号，我把 a、 b 写成负 b， a 后边的都不动哈，后边都不动好了，想要出现两个夹角，是不得需要用到他两个的乘法，那他两个的乘法的话，将这个数字左右两边同时平方就可以，那我们就得到了 a、 d 相等的平方， b， a 方， bc 方 加上 c， d 方，加上二 b 的 它两个乘，加上二 b 的 它两个乘，然后呢，再加上二 b 的 这两个点乘啊点乘， 那这里边的话哈，我们看 b， a 和 b、 c 是 垂直的，所以 b、 a 和 b、 c 点乘的话，是不是应该是等于零啊？ b、 c 和 c、 d 也是垂直的，所以点乘也是一个零，所以想要解决它的的夹角，我们看哈，我们得需要知道 a、 d， b， a， b， c， c， d， 也就是说我们需要知道这个长度，这个长度，这个长度，这长度， 也就是说使用这个公式法的话，你只要知道这几个这四个边的边长，套入咱的公式，就能算出 b、 a 和 c、 d 的 夹角来。 那这样好，我们就用相当的方法推出来了这个二面角的公式法，带入四个边长，哎，这个答案立马就出来了，这就是解决二面角问题的公式法， 关于二面角的求奖方法以及立体几何其他题型的常见求法。向平行垂直的推理思路，向内接球，外接球问题在咱的视频课里边都有所体现，有需要的同学评论六六六，拿回去下载打印，争取期末考试能上一百二十分。