初中关于圆几何定理归纳大全

哇，辅助圆的题都被你刷到了，那你这数学真是要越学越好了呀。那首先呢，讲一讲什么是辅助圆啊？就是这个题里面的本身没有一个圆， 但是呢，你通过发现一些有圆的特性的东西，哎，把这个没有的圆给他画出来了，这个影圆显形了，但这就是辅助圆。 好，那么所谓的辅助圆呢，最常见的考法有两个，一个叫做定点定长，一个叫做定弦定角。那我们先来说一下定点定长， 定点定长呢，就是用到了圆的定义，哎，到一个点的距离相等的点，对吧，都在同一个圆上，那这个定点定长呢，往往会在翻折或者是旋转当中出现，或者呢，题目中非常明确的告诉你，某几条线段相等，哎，往往呢，它的识别标志很简单， 而这个定弦定角呢，就没有那么简单了。那定弦定角呢？这个定角啊，分成锐角、直角和钝角。那我们首先先来看直角直角的最简单假设呢，这条边的长度是个固定的十， 然后呢，它所对的这个角是一个固定的九十度，那我们就可以知道这个点呢，它就是在圆上动的， 为什么呢？因为我们把这条线看作是圆中最长的那根弦直径，那么直径所对的圆周角呢，始终都是九十度。 所以啊，出现了这样的情况的话呢，如果这个点是个动点的话，那他就在圆上运动，我们把它所对应的圆给他画出来。好的，那无论是在这还是在这，还在这，对吧，那么这个角呢，始终都是九十度，然后他所对的边呢，始终都是 十。那这样一个圆给它做出来之后呢，我们就可以利用圆当中的圆周角定里以及它的推论来进行倒角。好的，那么接下来呢，我们来看一下锐角的情况，那这个锐角的情况呢，处理起来就要稍微的复杂一些了。但是呢，首先我们先确认一下， 这个四十五度角对应的这个顶点呢，它假设是个动点，然后呢，它所对的有一条线段啊，是一个固定的长度，那这时候呢，就符合定弦定角， 这个十呢，就是圆当中的某一个弦，这个点呢也是圆上的某一个点，哎，然后这个角呢是一个圆周角，也就是说啊，那么此时这个圆周角是四十五度，那我的问题来了， 这个圆周角对应的圆心角是多少度呢？哎，没错，这个圆心角呢是九十度的，所以我们把这个圆心角给它画出来， 当然这个圆心角首先是九十度，其次呢，因为这两个点也是圆上的点，对吧？它是圆上的弦吗？所以这个两个点是在圆上的，所以呢，这个长度跟这个长度相等， 因此我们在这以它为边向上做了一个等腰直角三角形。好的，那么此时我们把这个 点所在的那个圆给他画出来。请问这个角如果是一个固定的四十五度角，并且在这个线段的上方的话，那这个点所对应的轨迹是一整个圆吗？哎，不是吧， 它是什么？是这条弦所对的这个 u 弧的部分，因为如果你这个点到了列弧的部分的话呢，那么此时这个圆周角是一百三十五度了，所以呢，这个动点所对应的轨迹其实是这一段。 好的，那么再强调一下，如果这种情况下，这个角始终是在这条线的上侧的话，那么他对应的轨迹呢，只有上半部分。 ok， 好 的，那么直角跟锐角这两种情况呢，相较而言还比较简单啊，接下来我们来看一个最难的 钝角的情况。好的，接下来呢，我们来看钝角这种情况啊，那首先呢，这里有一个动点，以它为顶点的角呢，是一百二十度的一个钝角，然后呢这个角所对的有一条线段是一个固定的长度十，那么你就确定了这是定弦定角， 哎，这个弦呢是圆当中的任意两点的连线，对吧？然后这个角呢是圆当中的圆周角，这三点共圆，哎，那我们先把这个圆啊给它画出来，感受一下，画出这个圆，你就能 get 到 这个动点，如果在这一根定线段的上方的话，那么这时候动点的轨迹仅仅是裂弧这一段吧，那如果这个点跑到 u 弧上来了，那此时这个圆周角是多少度？哎，那么此时呢， 这个四边形是圆的，内接四边形，所以呢对角互补，那因此对面的时候圆周角是一个固定的六十度了。好的，那么抓住这个一百二十度呢，没有办法找圆心角了，但是抓住这个六十度呢，我可以把圆心角给他找到，那么这时候圆心角是什么？ 圆心角是多少度？圆心角是一百二十度吧，就是这个六十度的两倍，是个一百二十度，所以说呢，那么此时我就可以根据这个圆心，然后呢这个是半径把这个圆给它 做出来了。好的，钝角这种情况呢比较麻烦，所以呢我们一起把这个圆给它撤掉，我们来梳理一下步骤， 也就是说呢，如果我们有了一个一百二十度的钝角的话，那么这时候呢，我们要先找到他的对面的那个圆周角，也就是他的补角六十度的那个圆周角， 然后接下来呢利用这个六十度乘上二，找到他所对应的圆心角，从而呢就找到了圆心角的度数， 于是乎呢，我们以十这个长度为底边往下边这个方向构造一个一百二十度的等腰三角形，然后就有了圆心，有了半径， 然后接下来呢我们再把这个圆给他做出来。还有一个问题，那请问这个洞点所对应的轨迹在哪里？哎，在这一段裂弧上吧。好的，以上呢就是直角，锐角和钝角的所有的辅助圆了，你有没有都学会呢？

中考常考的圆十大定力，你掌握了几个？来看一下吧！第一个圆周角定力，它是说同弧或等弧所对的圆周角相等，并且圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。此图中我们可以得到角 c 等于角 d 等于二分之一角 a o b。 第二个垂径定律，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。此中我们可以得到 a e 等于 b e。 弧 a d 等于弧 b d。 弧 a c 等于弧 bc。 第三个切线长定如图，点 p 是 圆外一点 过点 p 做圆的两条切线 pa 和 pb， 此时我们可以得到 pa 等于 pb。 第四个相交弦定律，圆中两条弦相交于点 e， 我 们可以得到 a e 乘 b， e 等于 c， e 乘 d e。 第五个，割线定律， pa、 pc 分 别是圆的两条割线，与圆相交于点 b 和点 d， 我 们可以得到 pa 乘 pb 等于 pc 乘 pd。 第六个切割线定律， p a 是 圆的切线， p c 是 圆的割线，我们可以得到 p a。 方等于 p c 乘 p d。 第七个弦，切角定律， p c 是 圆的切线 a b a p b p 是 圆中的弦，我们可以得到角一等于角 a。 第八个，圆心角定律，它是指在同圆或等圆中圆心角相等。它所提到弧前前心距也相等，这是有关圆心角、弧前前心距四者关系的定律。图中我们可以得到角一等于角二、弧 a， b 等于弧 c d。 弦 a， b 等于弦 c d。 弦心距 o， e 等于 o f。 可做到之一。推三第九个最大张角顶点，若点 a， 点 b 为 o n 上的动顶点 p 为 o m 上的动顶点， 当其紧当三角形 a、 b、 p 的 外接圆与 o、 m 相切时，角 a、 p、 b 最大。 最后一个陀罗密定律，四边形 a、 b、 c、 d 中，若 a、 b、 c、 d 四点共圆，我们可以得到 a， c 乘 b， d 等于 a， b 乘 c， d 加 a， d 乘 b， c。 这十个定律你掌握了几个？赶快收藏学习起来吧！

好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型，两锤一圆模型。好同学们，看这道题，平面内有两个固定点， a 和 b 连起来是一条线段， 我们要找第三个点 c， 使三角形 a、 b、 c 成为直角。三角形直角可能落在哪个顶点呢？答案有三种情况。先来第一种，如果直角在顶点 a， 那 c 在 哪里？ c 一定在过点 a 垂直于 ab 的 内条直线上。 你看，只要 c 落在这条青色竖线上角， a 就 自动是九十度垂直嘛，对吧？ 第二种情况，直角在顶点 b， 道理一模一样， c 就 在过点 b 垂直于 a、 b 的 那条橙色竖线上，道理一模一样， c 落在 b 处的橙色竖线，直角就在 b， 这两条垂线就是两垂的意思。 第三种最精彩，如果直角在 c 本身，那 c 的 轨迹是一个圆，就是以 a、 b 为直径画出来的这个圆。 为什么？因为直径所对的圆周角是九十度， c 在 这个圆上任意位置角 c 永远都是九十度。 注意啊， a 和 b 两点虽然在圆上，但 c 不 能和它们重合，不然就不成三角形了，圆上要去掉这两个点。好，现在把三种情况放在一起，青色和橙色的两条垂线加上金色的圆，合起来就叫两垂一圆。 记住这个口诀啊，两定一动找直角，两锤一圆可参考。遇到找直角三角形顶点的题，立刻想到这个图，这就是两锤一圆模型，两条垂线加一个圆，三种情况一网打尽，把它收进你的脑子里，考试用得上！

一分钟教你学会初中有关元的重点知识，垂静定力。

中考数学常考的圆的八大定力，圆心角定力、圆周角定垂径定力、切线长定弦、切角定力、切割线定力、割线定力、香蕉弦定力，赶快收藏学习起来吧！

大家好，我们一起看一下这样一道非常经典的中考真题，若 a、 b 等于 a， c， a、 d 等于二， b， d 乘以 c， d 就是 b， d 乘以 c， d 等于两倍，根号三求 a， b 等于多少。 很多同学经常会有卡点，最根本的原因就是知识点学成了碎片，没有办法系统的运用所学的知识，为此我把初中数学三年所有的知识点系统的给大家梳理成了四十八页知识系统思维导图， 有兴趣的家长可以六六六。那么给定的这是一个等腰三角形 a、 b 等于 a， c， a， d， 这是等于二，那么 b、 d 这一段乘以 d， c 等于两倍，根号三让求 a、 b 是 等于多少？ 那么这道题其实命题人考察的是我们初三学到的圆的当中一个非常重要的概念，叫相交弦的概念，给大家一起回顾一下。那么这道题其实考察的是我们圆当中的一个非常重要的概念，叫相交弦的概念。那么我们说这圆里头的两条相交的弦，看看它有什么样的性质。 我们把这个 a、 b、 c、 d， 我 们连接这个 a、 c， 再连接 d、 b， 把这个作为 e 的 话，那我们看看，根据圆的性质，同弧所对的这个圆周角应该相等，也就说这个角角 a 是 等于角 d 的 这两个角是属于对顶角相等，那么这两个三角形，那么就有三角形 a、 e、 c 相似于三角形，我们的 d、 e、 b 这两个三角形 a、 e、 c 和三角形 d、 e、 b 就 相似，那么根据三角形相似它对应的边，我们说 a、 e 比上 d， e 就 等于 c， e 比上 e、 b 直接乘出来，所以就有什么 a， e 乘以 e， b 是 等于 d， e 乘以这个 c、 e 的， 这就是相交旋定律。那么根据这样一个概念，我们其实就可以构造一个辅助圆，将这个条件给它转化， 将这个条件和我们要求的 ab 联系起来。由于题目给的条件 ab 等于 ac， 我 们就可以以 a 为圆心， ab 为半径，构造一个辅助圆。那么借助于相交旋定律，将题目给定的条件和我们要求的目标 ab 之间建立联系， 那我们做这个辅助圆的话，我们把这个 d， a 给它延长，和这个圆相交，这个点为 e 点，这个为 f 点。那我们看看，根据相交弦定律，那么是不是就有 b， d 乘以 d、 c， 它是等于 e， d 乘以这个 d， f， b， d 和 d， c 是 已知的 b， d 和这个 c， d 已知等于两倍根号三， 那么再看 e、 d 等于多少？ e、 d 是 不是这个半径就是 a， e 加上 a、 d， 那 如果我们要求的这个 a、 b 我 们设为 x， 那 么 e、 d 是 不是就是 x 加二，那么 d， f 是 多少？是不是就这个 a、 f 减去 a、 d， 也就是 x 减， 所以右边是一个平方，它公式就是 x 平方减四，等于两倍根号三，那我们要求的 x 的 平方是不是就等于四加二倍根号， 那么要求的 x 由于是半径，它就等于根号四加二倍根号三，它有个负的根，直接舍掉，因为半径不可能为负，那么这个 x 就是 我们要求的 ab， 那 么剩下的其实就是一个双重二次根式化简的问题了。将里面配成一个完全平方式，根号三加一，括号的平方再开放， 所以我们要求的目标式的值记为号三加一，那么这个题其实解析完它的模型就是考察我们的相交弦定律，知道这个定律，这个题可以快速的求解。只在这个三角形当中，如果去构造相似三角形来做会非常复杂， 同学们可以试着去做一下，也是可以的。如果去构造两个三角形相似，来将 a b 这个目标值和已知条件 a d 和 b d， c d 联系起来也是可以做的。好，这个题给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

如果你可以熟练掌握圆的基本性质，那这道题你用时不会超过三十秒，不信吗？那就一起来试试！首先，你肯定知道翻折后的圆与原来的是等圆。 再看条件，由于 p 是 弧， a、 d 的 中点由同弧或等弧所对的圆周角相等。我们知道这四个蓝角都相等，由于是等圆，所以这两条线段也相等。 因为它们有个共同的圆周角，就是这个红角，所以绿角相等。又因为直径所对的圆周角是直角，所以红加绿等于九十度。而作为外角绿角又等于一红加两蓝，所以红加蓝是四十五度， 所以 pc 所对的圆心角就是九十度，也就是说 pc 是 半径的根号二倍。最后，在这个橙色三角形中，利用三边关系，你就搞定了。

离初中的决赛还剩五十来天，我建议后进生们把时间精力放在容易突破分值较高的地方。比如几何大题的前两问，他们难度不算大，并且有固定套路。 最常出现的其实就两个圆和四边形。拿圆来说，第一问常出现的是切线，证明就只有两个动作，不是连圆心就是做垂线。 第二问，会有五个常考的类型，前面两个的对应方法是找半径和圆心，后面三个的对应答题方法则需要结合三角形， 这道题是正切线和扇形面积。前面说了想正切线固定方法之一就是连圆心，所以连接 o、 c。 题目给了角 b、 a、 c， 那 我们就从它入手。 它和角 b、 o、 c 是 同弧所对的周角和新角的关系，所以角 b、 o、 c 等于九十度，而 b、 d 和 c、 e 平行，所以有同旁内角互补得到角 o、 c、 e 也等于九十度。第一问，四分拿下，知道固定方法是不是很简单？ 第二问，求阴影面积，一眼就可以看出阴影部分不规则，所以不能直接求满，就要用割补法转换成梯形面积，减扇形面积。 关于阴影面积怎么求，我在前几期中做了专题，可以去那边再学习强化。回到这道题前面，我们已经知道扇形 b、 o、 c 的 半径和圆心角，接下来就要找到梯形的面积。 梯形面积公式没有忘吧，是不是关键就是这个？下底还不知道，所以目标就出来了，来看看怎么计算。因为平行，所以有同位角，相等 角，一的正切值就等于二，那遇到三角函数，前面在固定套路里面就说了需要结合直角三角形，所以辅助线也就有了过点 b 做 b， f 垂直于 e c。 在直角三角形 e f b 中， b f 等于 r 等于二。再利用正切值得到 e f 的 长度，把线段长和角度带入公式计算。第二问六分拿下。同样是固定方法，在指引解析思路 好，我们从这道题跳出来，是不是它两个问的入手点都是前面总结的那张图？所以家长们需要注意，题目千变万化，但解决方法不会变， 不要让孩子盲目刷题，而是去总结一类题的方法，再用专题训练去强化记忆，形成习惯，哪怕是后进生，也能做到让数学不再拖后腿。

托勒密定律学校不教，但是你必须要学会的定理，学完就能拿高分。好，同学们，接下来我们看一下到底什么是托勒密定律，它的内容是这样说的，在这样的一个圆内接四边形当中啊，这个四边形的两组对边的乘积之合，等于这个对角线的乘积，就是这样的一个结论。 那么如果我们想要去证明一下的话，首先这是一个乘积的形式，线段乘积的形式，那么我们首先应该能够想到的应该是相似， 那我接下来呢，在这个图形当中看一下有没有相似三角形，根据相似三角形判定两个角对应，相等的两个三角形相似。 弧 a、 d， 它所对的一个圆周角应该是这个角 a、 b、 d， 我 们设它是点角，那么弧 a、 d， 它所对的另外一个圆周角应该是角 a、 c、 d， 咱们也给它设成是点角，所以这两个点角应该是相等的。那么再来弧 a、 b， 它所对的圆周角应该是角 a、 d、 b， 我 们给它设成叉角，所以这个角是叉角。 弧 a、 b， 他 所对的另外一个圆周角应该是角 a、 c、 b， 我 们也给他设成叉角，所以这两个叉角相等，这两个点角相等。那么在这个图形当中，我们发现其实还是没有相似的，那接下来呢，我就想着去构造一组相似，那同学们想想，我们应该怎么样去构造一组相似呢？ 就是这个图形当中，我们要构造一组相似。好，那我们看这个图吧，接下来呢，我就是在这个 b、 d 上去取一点 m， 然后呢，根据刚刚的咱们这个弧 a、 d 啊，它所对的圆周角相等，然后以及弧 a、 b 它所对的圆周角相等，我们看一下能不能去找到这里边的相似三角形 啊？首先我们是做两个角相等，咱们设这个角，就是它设角一，这个角呢，咱们给它设为角二，所以呢我做角一等于角二，也就说咱们的角一应该等于角二， 接下来呢，弧 a、 d 所对的圆周角就是这个角，我们可以给它设成的是角三，那么弧 a、 d 所对的圆周角这个角，咱们给它设成角四，所以这时候我们发现就会出现相似三角形， ok， 那 么角三等于角四，角一等于角二，角三等于角四，所以第一组相似就出来了，朋友们是不是应该是三角形 abm， 它应该相似于，注意是 abm 这个三角形 acd， 那么根据相似三角形对应边乘比例，我们来写一下它的比例关系式，所以应该是 ab 这个线段比上 ac 这个线段，然后等于 am 线段比上 ad 这个线段，然后应该等于咱们的 bm 这个线段比上 cd 这个线段。 ok， 那 么它的比例关系式咱们就写完了。 接下来呢，我们看一下，在这个结论当中啊， ab 乘 cd， 我 们把它乘一块，这个交叉相乘，好，咱们就出现这样的一个式子，接下来呢，我们再来看一下它是不是应该等于 a c 乘 b m， 那 这时候我们发现我们还做不出来，我们看这里边还有没有相似， 那么刚刚啊，这是角一、角二、角三、角四，我们可以设这个角，朋友们咱们给它设成角五，就是这个角啊，它是角五，那你发现一加五等于二加五，所以是不是应该有这个大角，它就和这个大角它俩应该是相等的。 那么再根据弧 a、 b 它所对的圆周角看一下，弧 a、 b 它所对这个圆周角，咱们设它是角六，那么弧 a、 b 它所对的这个圆周角，咱们可以给它设成角七，所以同学们，这时我们发现角六等于角七，然后这两个大角是相等的关系，那么这里面是不是又出现一组相似三角形， 我们看啊，这个角，这个大角 b a、 c 这个大角，也就是说咱们的角 b a、 c， 它应该和谁相等呢？朋友们注意啊，是 b a、 c 这个大角和 m a d 这个大角相等，等于角 m a、 d 这两个角相等，然后格外再加上我们的角六等于角七，所以我们就可以得出另外一组相似，那么也就是说三角形 abc 这个三角形 a m、 d 这个三角形 ok， 那 么另外一组相似应该是 三角形 abc， 它相似于三角形 amd。 那 么根据相似三角形对应边乘比例，所以我们能够去写出它的比例关系式，应该是 ab 这个线段比上 am 这个线段，然后呢，等于谁呢？等于 ac 这个线段比上 ad 这个线段。 注意同学们， ab 比上 am 等于 ac 比上 ad， 那 么还应该等于谁呀？等于 bc 这个线段比上 md 这个线段。 我们看一下这个结论当中它有 a d 去乘上 bc， 我 们这里边有没有有交叉相乘， a d 乘 bc， 所以 我能得出来， a d 乘上一个 bc， 它应该等于什么呢？它是不应该等于 a c 乘上 m d？ 好， 那么我们把第一个式子咱们给它记作一式，然后第二个式子记作二式，这时候我们来观察一下，如果我们把这两个式子加一块，就是一加二，你看 a b 乘 cd， a d 乘 bc， 是 不是就是上面这个式子， ab 乘 cd， a d 乘 bc， 那 么它的右侧如果我们加在一块的话，同学们，它是 ac 乘上 b m 加上 ac 乘 md， 那 么在这个图形当中，我们看一下 这个 b d 这个线，就是 md 这个线段，加上 md 这个线段，所以正好就是咱们的 b d， 那 么它的题干当中给的就是 ac 乘 md， 所以 我们只需要把一加二就可以得出结论，把这两个加一块啊，所以就得到了是 ab 乘上一个 cd， 然后呢？加上一个 a d 乘 b c， 然后等于的是 a c 乘 b d， 好， 同学们，那我们就做完了，你看你学会了吗？记得点赞关注哦！

同学们，今天我们一起来复习中考数学力，分值高，套路固定，只要掌握方法就能稳稳拿分的几何重点内容，人的基础已切线判定。在开始今天的内容之前， 我先跟大家说清楚这一张在中考里的位置。它是几何模块的必考核心，几乎年年都会出现在解答题里，分值一般在六到十分，常常和勾股定例相似，三角形结合在一起考察，虽然看起来图形复杂，但它的解析思路非常清晰， 可以说是中考几何例只要学会方法就能拿满分的题型。所以今天这节课，我带着大家把核心定例、 解析技巧、答题规范全部梳理一遍，让你再遇到圆的题目，不再害怕，不再卡壳，思路一目了然。首先，我们先来搭建整个圆的知识框架，其实内容并不多，就四块，第一，圆的基本概念。第二，两个最重要的定力， 垂径定力和圆周角定力。第三，直线和圆的位置关系，重点就是切线的判定和性质。第四， 弧长扇形面积的计算公式。我们先来看两个核心定律，可以说是解决圆的计算题的两把钥匙。第一个是垂径定律，简单说就是垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的弧。但在考试里，我们不用死记这句话，只要记住一个操作，连半径做垂线，构造直角三角形，这三条线段天然构成直角三角形， 直接用勾股定力就能求边长。只要题目里出现弦直径垂直这几个词，第一时间想到垂径定力 以构造直角三角形，答案基本就出来了。第二个是圆周角定力，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。它最有用的推论是直径所对的圆周角是九十度，反过来 九十度的圆周角所对的弦是直径。这个结论在圆的证明和计算力用的特别多，经常用来推垂直转化角度。接下来我们进入本章最重要、分值最高的部分，切线的判定与性质。 这也是中考解答题的必考考点，我直接给大家总结成两套万能思路，记牢这两个，所有切线证明题都会做。第一种情况，题目已经告诉我们直线和圆有公共点， 也就是切点。已知方法就是连半径正垂直。先把沿心和这个公共点连起来，得到一条半径，然后只要证明这条半径和直线垂直，就能判定是切线。第二种情况，题目没说直线和圆有没有交点，切点不明确。 方法就是做垂直正半径过沿心向这条直线做一条垂线段，然后证明这条垂线段的长度等于半径，就能判定是切线。我再给大家一句解题口诀 见，切线连半径得垂直，只要看到切线两个字，先把半径连出来，垂直关系就有了，这是最关键的辅助线。然后是大家必须被熟的公式， 弧长和扇形面积，这部分常在选择填充体力出现弧长公式， l 等于 m pi 二除以一百八十。扇形面积有两个，一个是 m pi 二，二次方除以三百六十，另一个是二分之一 l 二。做题时记住两个关键点， 第一找准半径二，第二找准圆心角。嗯，千万别把圆周角直接带进去，不然一定错。为了让大家更清楚怎么用， 我带大家简单走两道真题思路。第一道，已知直径和弦，求弦长的一部分，思路非常固定，先求半径，再求弦心距，构造直角三角形， 勾股定力一算，结果就出来了。第二道，证明切线，按照我们刚才说的，先连半径，再用角度转化平行或者全等推出半径和直线垂直， 直接下结论，步骤规范，逻辑清晰，满分就能拿到手。最后，我把这一张最容易丢分的地方提醒大家，第一，垂径定律不会构造直角三角形。第二，切线证明只连半径不正，垂直步骤不完整。 第三，混淆圆周角和圆心角。第四，公式记混，带入错误。第五，几何证明跳不皱，不写依据，被扣过程分。这些都是看似小却最容易丢分的地方， 只要我们细心一点，规范一点，完全可以避开同学们，圆这一张看起来图形复杂，其实考点非常集中，垂镜定里够直角，圆周角度巧，转化切线证明两思路，公式记牢不出错。他考的不是难题，而是基础是否扎实， 思路是否清晰，步骤是否规范。只要大家把今天讲的内容掌握好，多练两道典型题，中考考场上遇到圆的大题，你一定能从容应对，稳稳拿分。希望这节课之后，大家都能攻克圆这个考点，在中考里发挥出色，取得自己满意的成绩。

初中几何考来考去，无非就这六十个模型把它们都吃透了，初中三年的数学就不用愁了，初一八个模型，初二三十三个模型，初三十九个模型，就用这本初中几何模型图描解，包含了初中三年数学常考的所有几何模型，像手拉手模型、将军一马模型、胡不归模型等等。 孩子遇到不会的题，只要能判断出是什么模型，就能像查字典一样找到所属模型，直接套用模型，每一个模型的条件和结论是什么，怎么证明的，怎么画辅助线都梳理的清清楚楚。 不会的还可以看视频讲解，孩子跟着轻松学。再搭配一本几何专项练习，精选各地考试专题，学完一个模型就及时做一页练习，每天三十分钟吃透一个几何模型！家里有初中生的，快给孩子准备一套！

大家好，今天我们要分享的是圆的知识点，垂进定律。什么叫垂进定律呢？当一个圆里面有一条弦 a、 b 被 被直径 c 大 所垂直的时候，那我们就说这个东西是为进定律，你看嘛，顾名思义，垂直为 直径径，垂径定里，谁来垂直于径来着？弦垂直于径，简称垂径定里。然，那垂径定的结论是什么呢？就是两个字就搞定了。平分 谁被平分，非常简单，垂径弦垂径，所以弦被平分，弦弧被平分，弦 a、 b 被平分成 a h 和 b h 两段相等的线段。 弧 a、 b 被平分成弧 a 大 和弧 b 大 两段相等的弧。那当弧相等的时候，我们又可以联想到弧、弦、角三者之间的关系。当弧先相等，那我们就可以得到弦相等。比如图上的弦 a 大 和弦 b 大 相等， 那图上是没有这两条线段的。那我们应该怎么做呢？辅助线对了， 而一做辅助线吧，就得做两条。根据我们的辅助线原则，能做零条就不做一条，能做一条不做两条，而这需要两条。所以我们暂且可以把它搁置一下，如果你需要，你就把它拎出来，如果不需要就不管它， 继续下一个。哎，弦过了之后，就是我们的角，角有圆心角和圆周角两种角。 好，这里呢，圆心角是看我们的弧 a 大， 所遇对应的圆心角，就应该把弧的两个端点 a 点和大点和圆心连接起来，得到一个圆心角 a o 大。 同理可得，还有一个圆心角 b、 o 大， 它们会相等 n。 这里是需要做到两条辅助线，那我们也把它给放在脑子里面。接下来就是我们的圆周角，圆心角，圆周角两种角都要考虑到。 好，那这里的圆周角呢，就是应该把弧的两个端点和圆上任意一个点，比如这道题有一个 c 点给它连接起来，那我们就可以得到圆周角 a c 大 和圆周角 bc 大 相等。 同样的道理，它也需要用到辅助线。 好，那这个时候呢，我们就这三条辅助线全部都给他放在脑子里面，只要大家知道啊，弧弦角我们可以得到很多相关的东西啊，只不过提到辅助线呢，把它放在脑子里面就可以了。接下来是我们的第二个重点，第二个知识点是我们的， 当我们的，当我们的 a h 等于 b h 的 时候，我们就可以得到一个新的勾股定律，勾股定律对我们的线段求长度是非常有帮助的，一定要把它给用上 好，勾股定律呢，需要直角三角形，而直角三图上是没有直角三角形的，那这条辅助线 o b 我们是一定要连的，因为它对于我们求长度是非常非常有帮助的。当我们连接了 o b 之后，就可以得到一个完整的直角三角形 o b h。 这个直角三角形非常的特殊，特殊在哪里呢？特殊在 它的 o b 是 等于，它的 o b 是 等于半径的，而它的 b h 是 刚刚我们垂进地里面被弦被平分的那条弦。所以呢，题上会告诉你，它是等于三，它是等于四，它是等于八的。 题目会告诉你，那只剩最后一条边 o h 了， o h 呢？我们是题上会告诉你，哎，我们比如说上边这条它等于下边这条等于二，那么这条边我们就可以用 r 表 r 减二来表示，也就是说它是利用含有 r 的 代数式来表示的， 那我们就可以利用勾股定律列方程求出圆的半径，所以我说它非常的重要啊，它可以拿来干嘛？拿来求半径。 好，接下来我们今天要讲的重点就是这个求半径，接下来我们就一起来看一下，这里有五个例题。好，首先第一个，当我们读到 a b 是 圆 o 的 直径的时候，跟之前一样的想法，看看有没有直径所对的圆周角呢？没有就不管它， 哎。第二句话读到弦 c 大 垂直于 a b， 这不就是我们刚才讲的弦垂进吗？那么就一定会得到平分，图上谁被平分了？ c 大 被平分， c 大 被平分成 c e 和大 e 两条相等的线段， 然后弧 bc 也和弧 b 大 相等。好，接下来我们再看下一句话，有什么呢？告诉我们 b e 的 长度是两厘米，那你看，很自然而然的，我们这里可以联想到和它相关的 o e， o e 和 b e 能够形成一条半径 o b， 那么反过来说，我们的 o e 是 不就可以用 r 减二来表示？好，下一句话， c 大 等于八厘米，看看已知来了吧。 c 大 被平分成了两个四，一个是 c e 等于四，一个是大， e 等于四。 好，那么这个时候我们就可以给它标注起来，这个地方是四，这个地方是 r 减二，而这一条是 r。 看看是不是刚才老师说的勾股定律就出现了 r 题。三角形 o c e 里面就会有 r 减二的完全平方，加上四个平方等于 r 的 平方，然后解方程，完全平方一定要记住 a 方 b 方二， a b 两边都有 r， 可以 给它抵消掉，然后把四 r 移到等式的左边右边，那就可以解出 r 等于五，那么第一小题半径等于五，我们就可以做出来这道题选 c 搞定。 那我们今天的题就分享到这里，知识点也分享到这儿，大家就根据知识点和例题一起来感受一下什么叫做垂进定力。

所以，勤奋、重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。

你好，这段视频把初中阶段原理最常见的八大定律，按从圆心到圆外、从角到线的顺序，用一张图一句话帮你串起来。 第一，圆心角定律在同缘或等原理，两个圆心角相等，当且仅当所对的弧相等，所对的弦相等，并且弦心距也相等。把四个量连成一串，等夹关系就是右边这一行式子。 第二，圆周角定里，同一段弧所对的圆周角彼此相等，而且都等于这段弧所对圆心角的一半。图中角 c、 角 d 都对着弧 a、 b， 所以 它们相等，并且各是圆心角 a、 o、 b 的 一半。 第三，弦切角定里，过切点的弦与切线所成的角叫做弦切角，它等于这条弦所对的圆周角，也就是另一侧弓形里的角。 第四，垂径定里，如果一条直径与一条弦垂直相交，那么直径平分，这条弦同时平分，弦所对的两条弧，也就是 u 弧和列弧各被分成相等的两段。第五，接线长定里，从圆外一点作圆的两条接线，接线长相等，也就是 p a 等于 p b。 第六，将交弦定里，两条弦在圆内相交交点，把每条弦分成两段，一段成另一段，对两条弦算出来相等。 第七，割线定里，从圆外一点做圆的两条割线同一条上整段成外面那段，两条割线算出来相等。 第八，切割线定里，从圆外一点做一条切线和一条割线，切线长的平方等于割线整段乘以外面的部分，也就是 p a 的 平方等于 p c 乘 p d， 即定里时，先看点的位置在圆内，圆上还是圆外，再选对应的 m 或角的关系就不容易混了。

上一个视频我聊了一下数学应该怎么学，然后有一些朋友又在问我这个关于知识点的整理以及储备到底该怎么做？ 那么我就以圆来作为一个例子，大家可以听一听，那么圆在中考里面是很重要的一部分，基本上压轴题都出在圆这一部分，还有二次函数。那么首先我们在这个视频里面对圆的核心知识点，它的本质以及推导过程来做一个梳理。 那么我们对知识点进行整理和储备的时候呢？首先第一个你这个整体的知识体系一定要有，也就是咱们所说的思维导图， 你像对于语文而言，这个简单的思维导图，你可以看到这个大的框架来对应着自己把里面这些细节把它填充出来，或者自己看着它就可以在脑子中把它一遍一遍的来过这个知识点。 首先我们说圆的基本性质，你看第一个弧弦、圆心角，他们的概念必须要明白。然后圆周角同弧上圆周角的关系，圆的对称性和垂径定比这些东西你都看着这个大的框架，能够把它自己把它想象出来就可以了，就非常好了。 那么接下来我们来具体看一下，首先第一个最基本的啊，什么弧了弦了，这些基本概念我们就不说了。首先第一个重要的垂径定底，那这里面要注意垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦所对的两条弧， 他的逆定理一定要注意，我们在学的很多定理他都是可以逆过来的，但是对于垂径定理要注意，平分的弦是直径的时候，这个逆定理是不成立的，所以说一定要注意有一些特殊条件。 那么第一个垂径定律它的应用，首先这个证明我们就不说了，我们课本上都有，也就是说提供你的思路，只要见到了弦，那么我们首先要考虑把这个圆心向弦来做一个垂线，那么就构成了垂径定律。 那么接下来我们说圆周角定理，这些都是课本上的知识，我们就不细说了啊。圆周角，首先明白什么叫圆周角，那么他的定理内容以及这个圆周角定理的推论，注意这个圆周角定理的推论，这个是重点。 当然圆周角定理也非常重要，基本上你去倒角的时候都要用到圆周角定理。 接下来圆内接多边形，这也是一个重点，就像我们河北省中考最愿意考证六边形，那有时候也会有正五边形，那这个时候他的内接圆，他的内切圆以及他的外接圆对应的特点， 那么对于圆内接多边形，这里面注意啊，圆内接多边形的对角互补，然后内接多边形的每一个外角都等于它的内对角，这是什么意思啊？外角也就是这个地方，这就是外角，等于它的内对角。 我一直强调你对于这些概念或者定律的记忆的时候，尽量多从字面去想一下。所谓内对角，这就是内，然后和他相对的，那就是这个角，也就是说这两个角一定是相等的， 证明起来也非常简单呀，因为这个角和这个点角他相加，是对角互补一百八，这就是一个平角，所以自然同角的补角相等。 好，这是第第三个知识点。那么接下来平行线夹弧定里，这是一个重点，一定一定要把它记录掌握住。 圆的两条平行弦所夹的弧相等，怎么证明呢？非常简单，你过圆心来做一条直径，注意这个直径你一定要是垂直于这个 ab 或者垂直于 cd， 那么既然做完这个之后，他是直径，那自然平分这个圆。所以说这里面这个弧到这个地方这个弧， 比如说这是一个点 e 的 话，那么弧 a e 一 啊弧 c e 一定等于这边这个弧弧 d e， 接下来你中间这又有一个 a e 和 b， 这也是相等的。然后我们利用线段和差的知识把它一减，是不是就得出来一个弧 a、 c 这一段等于弧 b、 d， 这就是一个简单的推理。然后接下来他们所对的各种圆心角啦，圆周角啦，以及他们所对的 a、 c、 b、 d 这个弦啦，就都是相等的啦。 那么这个思路注意他给我们提供一种解析思路，也就是说我们在圆里面出现平行线的时候，圆中如果出现了平行线，那么你就可以做什么？做垂线，你做完垂线就可以正出弧相等， 正出等弧，如果要是等弧有了，那么他们对应的各种弦了，还有角了，就都可以了。 也就是说我在整理这些知识点的时候，除了知识点，我还会去想他的证明过程，是不是能够为我以后的解析提供一种思路，这是我们一定要特别关注的。也就是说任何一个定律也好，你对应的一些公式也好，他的这个证明过程 基本上都为我们提供了什么解析思路，你别光去记这个定律，或者说这个公式，他给你提供的这种解析思路，你比如说人家在证明的时候是怎样来做辅助线的，他是利用什么知识点来进行证明的，这是我们以后真正在做题的时候要用的。 那么接下来切线的判定，基本上涉及到圆，都会有一个切线的判定，你这个判定的方式我们在课本上也经常出现，我们在这里就不细说了。那么下面切线长定力，切线长定力，这是最重要的一个定力， 我们在里面只要圆中设涉及到切线切线长，一定要记住这个定力，这是两个垂直， 当然这个是点 b 证明，也就证明这两个三角形全等。你证明完这两个三角形全等之后，首先平分这两个切线的夹角， 也就是说外面这个点和圆心的连线平分夹角，这两个切线长是相等的，以及它们相对应的，你就可以得出来这种弧啦，或者其他角的相等了，所以切线长的定律一定要记住。 那么接下来这种线角关系的推论，你看这个里面啊，我前面已经说了，对于刚才那个平行弦所夹的弧相等，也就是我们这里面所说的两个圆心角， 两条弧，两条弦，两弦的弦心距有一组量相等，那么其余各组量都相等。 你对这个给出的这个 a、 b、 c、 d， 这是一个八字，他对应的这个黄色部分是弦心距，以及他们对应的各种弦 a、 b、 c、 d， 还有这个弧 a、 b、 c、 d。 如果你要是换过来，你把那个弦放在这边，假设这是一个点 e 的 话，那么弧 c、 e 和 c、 d 相等，那因此他所对应的这些弦心距这个红色的和这个黄色的以及他们所对应的这些角也都是相等的。 这个在我们的做题在倒角的时候非常的常用。最后一个后面这个弦切角定理，注意这个是我们课本没有的， 我们课本上没有弦切角定理，所以你一定要把它掌握。为什么选填，或者说很多跟圆相关的，利用弦切角定理可以直接出出答案， 如果大题你也可以正一下，那怎么证明呢？我们先说什么叫弦切角，还是我刚才说那句话，从字面来理解，有弦有切，他们两个构成的角，所以你看这是一个切线 里边这是一条弦，那么这个弦和他所夹的这个角，这就是弦切角，这就是我们说的弦切角。弦切角等于他所夹的弧所对的圆周角， 他夹的弧是哪段弧是这段弧，那么这段弧所对的圆周角在哪？在这，所以说这两个角是相当的 证明呢？你看我这写了六个字，先切心。什么叫先切心啊？把圆心和切线你来做一个连线，并且把它延长，注意一定要延长，会在对面弧这有一个交点，这里面标出的是点 q， 再连弦，你找哪个弦斜角，你就去连哪个弦，你把这个交点 q 和这个点 c 所在的这个啊，这个 pc 弦，对呢，这个点 c 做一个连线，连完之后，你既然这是直径对不对？直径呢？这就是什么直角？ 那么他如果是直角，那么这个叉角加上这个叉角是不是就等于九十度啊？他们两个相加等于九十度，那这个叉角加这个弦切角是不是也是九十度？所以说我们利用的是同角的与角相等， 你利用完同角的与角，再利用一个什么，这个叉角和这个角是不是同弧所对的圆周角啊？ 同弧对圆周角，那么就利用这两个，我就可以正出来这个弦切角来了。也就是说你在做大题的时候，你就直接利用这个证明过程，把它正出来，然后结论就可以使用了， 这是非常重要的一个定律啊，一定要记住。那么接下来弧长和扇形面积公式， 这个我们不细讲，因为它是一个具体的公式，那么这个公式是怎么来的呢？你就记住所谓的弧长，也就是圆的周长的一部分，所谓的扇形，也就是圆的面积的一部分，它占几分之几， 那么这个几分之几又从哪来呀？当然对应的是圆心角了，那么圆心角占三百六十度的几分之几。所以你看弧长一百八十分之 n 派 r， 也其实就相当于三百六十度，分之 n 就 代表这个圆心角，二派 r 就是 圆的周长。 同理，下面这个面积是一样的，三百六十分之恩派二方派二方就是圆的面积，三百六十分之恩就是这个扇形的圆心角所占的三百六十度的几分之几。 同理，我们还可以把它推导成这个公式，二分之一 l 乘以 r， 也就是弧长乘以半径。为什么？因为三百六十分之 n pi r 方，我可以把它进行一个拆分，一百八十分之 n pi r 再乘以一个二分之 r， 所以 它们两个的乘积，前面这部分是谁就是 l， 后面这个是谁？就是二分之一 r， 这个过程自己一定要理解。接下来正多边形与圆这一部分我们要特别注意的是什么？第一，最常见的正六，还有正五 这两种正多边形，一定要死死的记住他们对应的各种线角， 他们之间的数量以及位置关系数量，也就是说这些正六边形，正五边形的边长和他们里面对应的一些顶点的连线了，还有做的一些垂线了， 还有这个呃，中心啊，到这个边长的这种边心距这些东西一定要记住数量、位置关系， 就是对于正五边形和正六边形这几个公式啊。当然他这里面给出的正三角形和正方形，也就所谓的正四边形，这几个都是属于他自己计算出来的。你对于正六边形、正五边形，你也应该模仿他自己进行一些计算，这个我们就不细计算了啊。 那么接下来我们重点放在这个位置上，也就是说对于三角形而言，它涉及到四个心，这四个心前两个心，一个是内心， 内心是什么？叫做内切圆，注意啊，这个不是内接，是内切圆的圆心， 内切圆的圆心是什么？三条内角平分线的焦点，为什么你把它这个圆心和切点来做一个连线，那自然了，它都是半径，他们两个当然就相等了，他们两个相等，然后这又是切线长定里，这两个也相等， 对吧？这些线他都是相等的，然后接下来他为什么这个这块啊，这个角平分线，为什么这俩就可以相等啊？因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，所以同理你在这边这个切点 把他找一连，连完之后，这三条线段是不是都相等？他们三个都相等，那因此一个 定点，咱们说这个洞点吧。啊，我们说这个洞点平面内一个洞点到定点距离等于定长，那么他的所有的点的集合就是什么？就是圆， 所以他三条内角平分线的焦点是内心，那么外心呢？也就是外接圆的圆心，这是三边中垂线的焦点。 我们在考试中经常会考到做图体，让你自己给出一段弧，让你找出这个弧所在圆的圆心，那么这个时候你只要在这个弧上找到三个点， 依次把他们三个点连成两个线段，然后做两条线段的垂直平分线就可以了。原理是一样的，就是利用中垂线段笔 中垂线上线段，中垂线上任意一点到线段两个端点的距离相等，所以说你只要找到了中垂线，那么你这个焦点和三个顶点的连线分 别都是和这个这个到两个端点距离相等。所以说这里面 o a、 o b、 o c 三条线的都相等，又是利用了圆的一个基础定义好，这是内心和外心。我要重点强调的是这个东西 三角形的重心，重心是什么呢？它是三条中线的焦点， 我们在三角形里面经常出现中点，那自然也就有中线了。那么这个三条中线的焦点是三角形的重心。 重心的两个性质要特别注意。第一，你看，对于旁边这个三角形而言， g 是 重心，你如果知道两条中线的焦点了，那么把这个焦点和另一个顶点一连再延长，就构成了第三条中线， 特点就是这个重心到顶点的距离，等等于他到对边终点距离的二倍，也就是说这个重心其实是什么？中线的三等分点， 这个数量关系一定要一定要记住，因为这个东西就可以直接给你提供一些线段之间的比例关系，你根据比例关系就可以求解一些线段了。 那么对于重心这个证明也是一样，一定要注意一个证明的解析思路，他给你提供了一个非常好的思路，其实是在干什么？你看过 f 做 f h 平行于 b， d 交 a d 于点， h 做的是这样一个 f h， 这是什么东西啊？其实就是在干什么？构造中位线，也就是说你在三角形或者在圆里面，你出现了这种重心，或者说有了终点，你一定要考虑到什么？我们要构造一个中位线， 当你构造完中位线之后，你会发现它等于这个底的一半，也就是等于这个底 b、 d 的 一个交换，是不是就转移到这两个八字三角形上了？ 有一个对顶角，他们两个中位线平行，所以又有一个内错角，所以这两个三角形相似，那因此这个比例关系就出来了，也就可以导出来这个重心就是三等分点。 所以注意这个思路，他给你提供的这种解析思路，我反复强调，你要积累的除了知识点之外，还要积累的就是这种思路，每一种已知条件对应什么解析思路？ 那么接下来我们再来看最后一个心，三条高线的焦点，三条高线的焦点就是三角形的垂心， 当然这个心呢，我们在初中阶段用的并不多，但是的确三角形里面经常会出现高，我们可以参考 有一条高，我就可以再做另一啊，另一边上的高，然后他们的焦点就是这个垂心，垂心的这个性质，任意顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的二倍，也就是 a h 等于二倍的 o、 d， 也就说这里面这条线段 a、 h、 h 是 三条高线的焦点，这是垂心，然后 o 是 外接圆的圆心，那么它就等于这个 o、 d 的 二倍，这个数量关系我们把它记住就可以了。 具体的过程我们在大体里面肯定是不会出现的，我们在选择填空里面如果要出现这种这种类似的线段的话，我就知道这种比例关系了。 好，上面就是我们今天所讲的这些圆的一些基础知识点，下面我们会讲这个圆的一些重要定律，这些定律在课本上是没有的，但是非常重要，我们在选择填空里面可以秒杀大题，也可以通过他这些定律的一个证明， 以及他所解析的这种过程，可以提供一些非常重要的思路。好，今天我们就先讲到这。

中考数学最难的圆密定律全部吃透，考试稳进前三、圆密定律一，香蕉弦定律三割线定律 证明过程一，香蕉弦定律二，切割线定律三割线定律 斜切脚定力斜切脚的概念立体完整版分享！

同学们大家好，今天我们讲一下圆里面的一个小的知识点，垂进定里啊，非常重要的一个知识点。首先呢，我们来回忆一下垂进定里，怎么说的呢？我们讲叫垂直于弦的直径，平分弦 即弦所对的两个弧。 好呢，呃，老师和资料呢，都会把这个垂进定理把它拆开来啊，拆成这个二推三 这种。嗯，记忆模式，我觉得尽量的还是我们用，我们书上的这个定理是没有的，也是不可以用的啊， 这里面特别容易错的一个地方，或者说一句话啊，他是算逆定力，怎么说呢啊？易错点， 平分弦的直径，垂直弦， 这句话对不对啊？这句话其实是不对的，那这个平分弦的直径，如果说我们来画一个图的话，比如说我给你举个反例， 那这边呢是一个圆，如果说 平分弦的直径，我这有一个弦，然后呢被这个直径平分了，那能不能得到他们之间是垂直的呢？ 那这个地方可以啊，这是可以得到他们之间是互相垂直的，那比较容易的，我们可以用三线合一就可以挣出来，对吧？那如果说那这个弦比较特殊，特殊成什么样子呢？ 特殊成它这个弦也是一个直径的时候， 这个弦就是一个直径，我们再画一个直径，那你说两个直径之间是不是应该是平分的，互相平分对不对？那能不能得到垂直呢？是不是不可以？所以我们用这句话平分弦，对吧？一定要说这条弦一定要是非直径。 好，我们就回忆到这里， 我们来说一个例题，他说在平面直角坐标系中啊，以圆点 o 为圆心，啊的圆过 a 点五零，那说明这个圆的半径等于五，那圆心就是圆点，那直线 y 等于 k， x 减二， k 加三，其中 k 不 等于零，那与圆 o 呢？交于 b、 c 两点。问弦 b、 c 长的最小值， 那你得知道这个弦 b、 c 怎么去表示出来，对不对？那弦 b、 c 怎么表出来？那我们跟弦相关，已知弦或者求弦，我们最常用的一个方法是什么呢？就是垂进定力， 那我们过原点往这条弦做一个垂线，假设这个垂直的地方为 d， 那这时我们再连接 o、 b， 那 根据垂径定理呢？是不是应该 b、 c 等于两个 b d， b、 d 越小， b、 c 是 不是就是越小？那如果说我们的 b、 d 取得最小值，是不是 b、 c 就是 最小的？ 那我们现在就把这个问题转化成了求 b、 d 的 最小值，那这个 b、 d 又等于谁呢？那 b、 d 在 r t 三角形 b、 o、 d 中， b、 d 的 方等于 bo 的 方减 o、 d 的 方。然后这时候我们再来看一下，那我们要使得 b、 d 最小，而这个 bo 是 个什么？ bo 是 个定值，它是五，它是半径，那反过来，你要使得 b、 d 最小， 是不是就应该使得 o、 d 应该是最大，那这个 o、 d 什么时候最大？ o d 是 个什么呢？ o d 表示的是圆心， 或者说它是圆点，对吧？到直线的距离， 那这个圆心到这条直线的距离什么时候最大呢？对不对？我们要求呃， b、 o、 d 的 最小值啊，不是要求 b、 d 的 最小值，是不是就相当于要求 o、 d 的 最大值？ 那我 o、 d 什么时候最大呢？那这时候我们还是要来分析一下什么？分析一下这个直线有什么特征， 那这个直线呢？是一个含有一个参数的一个直线，那这个参数 或者这个直线我们能得到什么呢？那还有一个参数的直线啊，我们通常可以通过整理呢，算出这个直线过一个定点，那其实这个定点肯定就是跟 k m 有 关系，对吧？我们怎么能让 算出来这个跟 k 没有关系？那就是我们把 k 提出来，跟 k 相乘的那个次等于零就可以了， 那这时我们就提出一个 k， 然后呢，我们只要使到 x 减二等于零，这时候这个直线就跟 k 没有关系了，对吧？那就是 x 等于二的时候，它的 y 等于几？是不是等于三，我们就能指到这个直线过定点二三， 那我们这时候重新来画一个。呃，简单的直角坐标系， 我们来说一下，那过二三大概在哪里呢？ 过二三呢？我们随便画一个图 啊，这就是这条直线，那这个定点，那我们过圆心或者说圆点 o， 对 吧？往这条直线做一个垂线， 那这时候这个 d 在 这，我们假设这个定点呢是 e， 那 我们把 o e 连起来，那你说这个 o d 什么时候最大呀？ o d 在， 如果说在在这个直角三角形 o d， e 中， o d 是 不是作为直角边？是不是应该是小于 o e 的？ 小于斜边，对不对？那 o d 和 o e 能不能重合？也就是 d e 能不能重合，是不是可以的？这时候直角三角形不存在了，当 d e 重合的时候， 这时候 o d 是 不是取得最大值？ 那 o d 的 最大值是不是其实就是 o 点原点到二三的距离 是不是等于根号下二的方？加三的方等于根号设三，那这时候 b、 d 是 不是它的最小值就算出来了？ 等于根号下二十五是五的平方减十三，那等于二根号三，那 b、 d 的 最小值是二根号三，那么这个弦长 b、 c 的 最小值是不是 b、 d 的 两倍？那就是四根号三。 那好了，我们这边来做一个总结。第一个是书上的性质定律，判定定律一定要熟悉，要理解， 那特别是垂筋定律，我们用的非常多。第二个呢是含参直线， 它是过定点的啊，含有一个参数的直线啊，这个过的定点你得会确定。第三个呢，我觉得是转化 啊，这里面转化了两段，第一段呢就是它要求的这个 b、 c， 我 们转化成求 b、 d 的 最值， 那 bc 的 最小值转化成了求 b、 d 的 最小值，那第二个呢，是把 b、 d 的 最小值又转化成求 o、 d 的 最大值，对不对？那希望大家能够总结一下，再见。