哈尔滨八下一次函数练习题带答案

一次函数的坐标轴焦点问题是八下数学的必考题型，也是一次函数里面的经典考法，很多孩子呢，一做就错，那是因为他们不懂得利用解析式去求拮据。那今天呢，林老师就用最简单的办法，教你两步解决这类题， 学完之后，再把林老师给你整理了一次函数八大题型，拿去整理巩固一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分！好，我们来看题，如图， 直线 y 等于 k， x 减二， k 加三， k 小 于零与 x y 轴分别交于 ab 两点哈，分别交于 ab 两点，然后让你求 o a 分 之二加上 o b 分 之三的值。 那这道题的特点就是，它给的一次函数呢，是含参数的，然后最后要你求的是跟截距有关的一个表达式，所以这道题呢，我们要优先把截距给它求出来。那么你想想看，要求这个 o a 和 o b 呢，是不是相当要求 a 的 这个坐标呀？ 对不对啊？它的横坐标就是 o a 的 长度，然后呢， b 的 这个重坐标就是 o b 的 长度，所以这道题就变成了，我们需要去想办法求坐标啊。那么我们观察一下这个 a 点， 它是位于 x 轴上，那么如何求直线和 x 轴的交点呢？非常简单，我们只要令 y 等于零就行了，因为这个点呢，它的纵坐标是零，所以我们令 y 等于零，然后把这个零呢带进去，你就可以得到 零等于 k， x 减去二 k 加三。所以呢，我们一个项就可以得到 x， 是 等于这个二 k 加三移过去变成二 k 减三啊，然后再除以 k， 然后这个 x 呢，其实也就是 o a 的 长度， 对吧？好，同样道理，我们要求这个 b 点啊，这个 o b 的 长度就是去求这个 b 点的纵坐标，那么我们只需要令，因为在 b 点是 x 轴为零，那就是令 x 等于零，我们就可以得到。 此时的这个 y 等于什么呢？把零带进去，那就等于负二 k 加三，然后这个负二 k 加三呢？它其实也就是 o b。 好， 那我们有了 o a 跟 o b 的 表达式之后呢？再带到这里来，你看，我们就可以求了， 所以 o a 分 之二，加上 o b 分 之三，它会等于什么呢？你看 o a 在 这里是这个数，那我们就把它带进去，变成二 k 减三分之二 k， 然后呢，加上 o b 分 之三，那 o b 是 这个 负的二 k 加三分之三。好，那接下来我们只要化简这个式子就是答案了。好，我们来化简一下， 二 k 减三分之二 k， 然后呢，这里是负二 k 加三，我们只要把这个符号提取出来，变成减去 二 k 减三分之三。好，那这个时候分母已经一样了，我们就可以把它进行这个合并，二 k 减三，分子分母一样，所以最后答案是，一搞定，你学会了吗？

来，各位初二同学，一函数呢，是初二下半学期的一个难点，那我这里呢，整理了一函数的十个必考点，这些题目呢，很有可能就是你本次期末考试的原题。那第一个必考点就是函数的概念，第二个函数自变量的取值范围。 第三个一函数的定义，第四个一函数图像与系数的关系。第五个一函数的图像与坐标轴的焦点及面积问题。第六个一函数的平移。第七个一函数的增减性。第八个一函数的解析式。 第九个一函数的实际应用。第十个一函数的图像问题。那这些题目呢，全部都有详细的答案解析，有需要的家长在粉丝群回复一函数拿去练习。

我们说观谁谁不变，原点是不全相反啊。来我们看一下，先看第一个，说一次函数 y 等于负二， x 加三的图像，关于 x 轴对称图像的函数解析式为谁？ 好，那我们说关于谁谁不变，另一个变相反，那么关于 x 轴对称，所以 x 不 变， y 变相反，也就是负 y 等于负二， x 加三，那你把它整理一下， y 等于谁？ y 等于二， x 减三，对不对？ 所以是 y 等于二， x 减三，好，再看第二个一次函数 y 等于 f， x 加二图像，关于 y 轴对称的函数解析式 关谁谁不变，另一个变相反，关于 y 轴对称， y 不 变，那么 x 变相反，就是 x 加二。 好，这是第二个。再看第三个说一次函数 y 等于 x 减三的图像，关于原点对称的函数形式。 好，那我们说观谁谁不变，原点是不全相反啊，对吧？所以关于原点对称， x y 全变相反，那么就是负 y 等于负， x 减三，整理一下，就是 y 等于 x 加三， y 等于 x 加三，你看掌握技巧的话是不是很简单？好，那今天的这道题目大家听懂了吗？

八下数学最难的二十二道必考压轴题，全部练会，稳进班级前三！八下数学依次函数综合题二十二道第一 题答案第三题答案 第四题完整版分享！

依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。

ok， 同学们，今天我们来讲解一道一次函数关于直线对称的问题来，首先来看这样的一道题目，直线 y 等于二分之一， x 加上二分之一，关于直线 x 等于一对称，让我们去求它直线的解析式是什么？ 那通常做这种题，刘老师的建议呢？还是采用画图的方法，这也因为咱数学毕竟讲究的是数形结合，并且呢，这也是最不容易出错的一种方法哈，好，首先我先把原来的这条函数给画出来， 这一条呢，就是 y 等于二分之一， x 加上二分之一，既然它是关于直线 x 等于一，那我们首先是不是你得把 x 等于这条直线给找出来呀？好，此时这条红色的线就是我们直线 x 等于一。 好，在这里哈，注意了，他既然是关于这条直线对称，那么我们思考一下，咱七年级的时候去，其实就已经学过对称了，对不对？我们是不是可以先把这条直线你给他画出来呢？好，现在问题又来了，那到底应该怎么去画这条直线？ 好，很显然哈，既然他是关于他对称，那么此时我们就把他看成是一个镜子， 镜子左边和右边他一定是可以折叠重合的，是不是？关于对称对称不就是这个意思吗？能够完全重合呀，所以说你看镜子的这一边是往这画的，那所以说镜子另一边他就是这样画，同理，镜子这一边是这样画的，那镜子这一边他就是这样画， 所以说，很显然你会发现我们就画出来了他对称之后的这个图形了，这条直线就是我们所要求的这个直线哈，好，现在问题来了，求直线的解析式，我们应该怎么求来着？需要几个点呀？两点确定一条直线。 所以说现在我们既然求直线，问题就转化成了去找两个点了，只要我找到这两个点，是不是这个直线的结束，我基本上就已经确定了呀。好，现在我们来看看，到底去找哪两个点呢？ 很显然，来直线 y 等于二分之一 x， 它是不是经过了直线 x 等于这个点，对不对？那这个点它既在原来的函数上，也在新的函数上，所以说这个点就是我确定的第一个点了。那这个点的坐标是什么？ 一多少几啊？很简单，你把一带入到原来的这个解析式中，求得 y 是 不就可以了？来，一二分之一加上二分之一，一都一，对不对？好，这是第一个点。那第二个点我们应该怎么找呢？你只要找到这一个点，你确定了另一个点非常简单了哈，你找谁都可以 来，咱通常找的是什么呢？找的是圆函数与 x 轴，或者是说 y 轴的交点。 来，举个例子，就比如说我先找与 y 轴的交点吧，与 y 轴的交点，你发现这个点我其实也知道它坐标，它不就是零度二分之一吗？零度 b 啊，对不对？那关于直线 x 等于一对称什么意思啊？也就是这一块的距离和这一块的距离，它俩是相等的呀， 这块距离是一，那这块距离也是一，所以你会发现这个点我也已经知道了，不就是二一二二，逗号二分之一吗？那你看，这就是我们已经找过的第二个点。当然你，你说找其他的点行不行？也是可以的呀，只不过我们通常去找 这两个点的对称更简单，就比如说你看找这个点吧，这一块的距离和这一块的。嗯，这一块的距离和这一块的距离是不是也是一样的？那很显然这个点你也是可以找到的哈。那综上所述，咱直线咱只需要找两个点就可以了哈。那么我找的呢，是一个是焦点， 另外一个是这个对称点，所以说咱通过这两个点，然后舍 y 等于 k， x 加 b， 当然其中 k 不 为零，将这两个点代入求解它的解析式就可以了哈。好，所以说这道题我们就求解完毕了哈，选择的是 double 选项。

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八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？

八下数学最难的一次函数压轴题全部吃透，考试直接稳了！八下数学一次函数十五道压轴题，数形结合一，面积问题 二，平行转换三等线段问题 四，全等与一次函数五平行转换与千锤法解决面积问题一， 平行转换与千锤法解决面积问题二，一次函数与全等相结合。完整版分享！

尖子生本都在悄悄用的一次函数大招，居然这么好用，不用列方程，只用瞪眼法，就能直接写出一次函数的表达式来。今天林老师就教会你这五种一次函数的常用解析式，只要你学会了，轻松成为一次函数的高手， 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高练习，拿去给孩子巩固一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。依次函数一共有五种表达方法，而我们的课本里呢，只有第一种， 其他四种隐藏款课本里面没有出现。那么今天呢，一个视频给你讲明白。先来看第一种，第一种呢，是我们课本里面的， 如果知道了斜率 k 和截距 b， 那 么它的表达式我们就可以写成 y 等于 k， x 加 b。 举个例子，例如说斜率 k 等于二，而截距 b 等于三，那么它的表达式呢，就会变成 y 等于二， x 加三。 那么这种方法呢，因为你有了斜率，也有了截距，所以它有一个名字叫做斜截式。第二，如果我们知道了一个点的坐标加上斜率 k， 那 么如何直接写出它的表达式呢？ 这个时候啊，林老师要教会你一个公式，叫做 k 的 几何意义。那么我们在函数里面， k 呢，可以写成 delta y， 比上 delta x 这个公式任何时候都能用，那是什么意思呢？它指的就是这个 delta y 呢，指的是 y 的 差，所以你可以把它写成我们的表达式里面的 y， 减去这个第一个点的坐标 y 一， 然后呢，去除于这个 x， 减去这个 a 点的坐标 x 一 好，然后就写完了，把头和尾我们把它连在一起，把这个 x 减 x 一 移过来，就直接写出来，它表达是 y 减去 y 一， 等于 k 倍的 x 减 x 一。 好，我们来举个例子，例如说 k 等于二，然后这个 x 呢，它等于一，这个 y 它等于二，那么结果会怎么样呢？你看，我们带进去直接变成了 y 减去二，等于 k 是 二，那就是二倍的 x 减一，然后化解就直接得到解析式啦。这种方法呢，由于我们是知道了一个点加上斜率，所以它有个专门的名字叫做点斜式。好，那这是第二种，第三种情况，如果你知道的是两点坐标，该如何写它的表达式呢？ 我们课本里的方法是待定系数法，但是呢，你需要去解方程，那今天林老师教给你的方法是直接套的，具体怎么做呢？你看好了啊，首先我们的依据还是这个 k 等于 delta y， 比上 delta x 这个 k 的 几何意义？记住，这个公式任何时候都能用好，接下来我们来构造它， 你看 delta y 就是 指 y 的 差，所以呢，我们可以写出 y 减 y 一 啊，然后呢， delta x 是 指 x 的 差，我们可以写出 x 减 x 一 出来。 然后呢，再看到我们的已知条件里面，我们知道的是两个点，所以我也可以直接用两个点来写出 y 出来啊，所以我们直接写出 y 一 减 y 二，然后呢， delta x， 我 们就用 x 一 减 x 二就搞定了。 好，接下来我们做点小小的变形，我们把这个 y 一 减 y 二，因为它是常数，和这个 x 减 x 一 呢，我们交换一下位置，就可以得到一个全新的表达式了， 就变成了 y 减 y 一 除以，把这个 y 一 减 y 二放下来， y 一 减 y 二等于 x 减 x 一 除以 x 一 减 x 二。 搞定好。来举个例子，例如说 a 点的坐标 x 是 二， y 是 四，然后呢，这个 b 的 坐标呢？ x 是 负一，然后 y 呢是负二？好，我们直接套这个公式，看能得到什么结果。直接写出， y 减去 y 一， 那就是四咯啊。 y 减四除以 y 一 减 y 二，那就是四减去负二，那就是四加二好，然后呢， x 减 x 一， 那就是 x 减二。米上 x 一 减 x 二，那就是二减去负一啊，那就二加一 好，然后去化简，就直接出答案了。这种知道两个点直接写出解析式的方法呢，也有一个专门的名词，叫做两点式。 第四种情况，如果给你两个截距，就像这个直线一样，给你一个 x 轴的截距 a 和 y 轴的截距 b， 那 么我们可以直接套公式， x 除以 a， 加上 y 除以 b 等于一， 这个公式就是鼎鼎大名的截距式。给你举个例子，例如说 a 是 二， b 是 负三，那么我们代进去，可以直接得到 x 除以二，加上 y 除以负三，等于一。 搞定。这些公式虽然好用，但是有注意事项，那就是当分母出现参数的时候呢，我们一定要记得这些分母是不能为零的，就像这个结句式， a 和 b 不 能为零。还有前面咱们的两点是， y 一 减 y 二作为分母， x 一 减 x 二作为分母，都不能为零。那有没有一个六边形的公式没有这些限制的呢？ 有，还真有啊！所以我们今天的终极 boss 就是 这个通用表达式，那么一切的一次函数到最后都能化成这个式子？ a x 加 b， y 加 c 等于零， 这个式子没有任何限制，堪称六边形战士请膜拜！好，我们总结一下，如果知道斜率 k 和截距 b， 那 么可以写成 y 等于 k， 我 们可以写成这个点斜式。 如果知道两个点的坐标，我们可以写成这个两点式。如果知道两个截距，我们可以写成截距式，但是要注意这里呢，你分母不能为零。最后六边形占是 a x 加 b， y 加 c 等于零，这个就是我们依次函数的全部表达式，你都学会了吗？