河北中考所有尺规作图的作图步骤

我们先来看一下第十九题，如图 b、 d 是 矩形 a、 b、 c、 d 的 对角线，利用词归做三角形 b、 e、 d、 b、 d， 它是与三角形 b、 c、 d 关于直线 b、 d 呈轴对称的。 那第一项文此规作图，我们这里简单的提供两种思路来求作，其中一个是 b 力和 b、 c、 d 关于直线 b、 d 成轴对称，那么它们一定是全等的，那我们直接以点 d 为圆心， d、 c 长为半径画弧， 这一点 b 为圆心， b、 c 长为半径画弧，那两弧交于一点，这一点就是 e， 然后 b、 e、 d、 e 连接起来三角形 b、 e、 d 就是 我们要求做的三角形。那第二种思路呢？我们就是做点 c 关于 b、 d 的 一个对称点，然后再连接对称点和 b、 d 两点。那怎么做呢？以点 c 为 为圆心，我们直接这里直接不以适当长为半径，直接以 c、 d 长为半径画弧，那其中一点就是 d 点和 b 的 交点，其中一点是 d 点，另一点就大概在这个地方。 然后我们再分别以点 d 和这一点，假设这点为为 e 点， e 为圆心， c、 d 长为半径画弧，然后交于 e 点这个点。哎，这里不能是 e 点，我们因为 e 是 我们要用的，所以这里我们假设它是 f 点， 以点 d， f 为圆形， c、 d 长为半径，然后做弧，然后交于 e 点，这点就是我们要求哪 e 点，这时候 c 点和 e 点关于直线 b、 d 对 称，然后连接 b、 e 和 d e， 那 么 b、 e、 d 就是 我们要求做的三角形，这就是我们提供的两种作图思路。 好，接着大家再思考一下。第二问，我们求 a、 f 的 长，它为多少呢？

中考倒计时三十天，我发现有的孩子只会做图，还在丢分，这种题明明是套路题，掌握了方法，那五分完全可以全部拿到，你家孩子是不是也是这样呢？单独让画一个角平分线，画一个中垂线，都画的挺好，可以放到大题里，就不知道到底该做哪个了。今天呢，我就把中考必考的五种基本作图全讲一遍， 再教孩子一个倒推法，不知道怎么选的时候，咱们先画草图，倒着推就知道该做哪个了。最后咱们再说说面积相等这类复杂作图，怎么转化成基本作图。 第一步呢，就是五种基本作图，咱们必须闭着眼睛都能画，全国中考指挥作图，翻来覆去就这五种。那第一种呢，就是做一条线段等于已知线段。它的做法，第一步呢，就是画一条射线，然后第二步， 以已知线段长度为半径，在射线上截取。三呢，就是标记端点，然后截弄写线段 a、 b 即为所求。 然后第二个呢，就是做一个角等于一只角。做法呢，第一步，以一只角的顶点为圆心，画弧，交两边与两点。二、以目标位置顶点为圆心，相同半径画弧。三，以刚才两点距离定半径， 在第二条弧上截取，得到焦点。四呢，就是连线，它的核心用途就是做平行线，通过同位角相等可证。然后三呢，就是做一只角的平分线。 做法呢，是，一、以顶点为圆心，画弧，交两边与两点，然后分别与这两点为圆心大于两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点。然后第三步呢，就是连接顶点和这个交点，它的用途就是到角两边距离相等，常用于找内型。 然后第四个呢，就是做已知线段的垂直平分线，也就是中垂线。做法第一步，分别以线段的垂直平分线，也就是中垂线。做法第一步，分别以线段的两弧交于上下的 两个点，然后过这两点的连线就是。那用途呢，就是到两端点距离相等，通常用于找圆心，找对称点，然后解决 pa 等于 pb 的 问题。第五个呢，就是过一点做已知直线的垂线，也就是高线。这里咱们要分两种情况，第一种，点在线上，这时候 先以点为圆心画弧，交直线呢于两点。第二部分，分别以这两点为圆心，大于两点，距离一半为半径画弧，两弧交于一点。第三步呢，就是连接点和这个交点。 然后当点在线外的时候，首先呢，我们要以点为圆心，然后大于点到直线，距离为半径画弧，交直线于两点。然后再分别以这两点为圆心，大于两点，距离一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接这个点和焦点就可以了。它的用途呢，通常就是做三角形的高求点到直线的最短距离等。 注意每种作图完成后，必须保留痕迹，并且建议写上一句解弄，比如如图设限 oc 即为所求。虽然有些地区不强制写文字，但写上解弄能帮助孩子理清思路，也防止阅卷时因为没指出解弄而扣分。稳妥做法就是痕迹加一句话，解弄。第二步， 考试不知道选哪个，用倒推法教孩子一个方法，先画草图，再倒推。具体操作，第一步，先假设题目要求的图形已经画出来了，就咱们画个草图 二呢，就是看这个草图里的关键点有什么几何性质，是到角平分线，角两边距离相等，角平分线还是到两端点距离相等，中垂线还是某个角要等于已知角？做平行线还是需要做垂直做高线？ 三、由这个性质在反推，我应该做哪个基本作图？举个例子，题目说在直线 l 上找一点 p， 倒推就是 p a 等于 p b， 说明 p 在 p 到 ab 距离相等，那 p 一定在线段 ab 中垂线上，所以先做 ab 的 中垂线，然后与 l 的 交点就是 p。 第三步呢，就是复杂作图，咱们如何转化成基本作图？以面积相等为例，面积相等的核心原理呢？是同底等高，如果两个三角形同底， 要面积相等，那高必须相等，高相等意味着第三个顶点在一条平行于底边的直线上。怎么做这个平行线呢？做一个角等于一只角，利用同位角相等，两直线平行即可。咱们举一个具体的例子， 已知三角形 abc， 求做一条过点 a 的 直线，将三角形分成 a、 d， 中线呢，就分成两个三角形等底等高 等底同高面积相等，这里需要做中垂线，找到 bc 中点。所以第一步呢，就是做 bc 的 中垂线，找到中点 d， 再连接 a， d 完成。 再比如，求做 ab 边上一点 p 是 三角形 pbc 面积等于三角形 dbc 的 面积，那倒推，如果说 d 不是 ac 的 中点，那么 p 也不是 ab 中点，所以需要过点 d， 做一条平行于 bc 的 直线，这时候高相等，面积也相等，所以就需要做一个角等于一只角来构造平行线，那我们记住一句话，面积相等先想等高等高需要平行，平行需要做角。等于一只角，那如果说等高不平行， 等高不用平行，比如说中线，那么就用中垂线找中点。所以尺规作图呢，咱们先熟记五种基本作图的步骤，再用倒推法从结论反推该做什么，最后把面积相等这类复杂问题转化成 做平行线或者找终点。那冲刺阶段呢？让孩子把这套方法练熟，考场上五到八分就可以稳稳拿到手了。现在呢，我把中考持规作图真体会编以及模拟体会编放在视频的结。需要的呢，可以让孩子在考前过一遍这类套路题，咱们争取不丢分。我是博老师，祝孩子中考顺利，加油！

中考必考最全的六种指标，作图，让孩子好好看一看，跟着画一遍，中考能多得五分好！第一种，做一个角等于已知角。首先第一步我们需要做一个射线， 那这个射线我们跟它对应的来标，人家是 o、 b， 我 们就标为 o 片， b 片好，第一步。第二步是以 o 为圆心，以适当的长为半径做弧好， 交于与 o、 a 交于点 c， 与 o b 交于点 d， 不要改变长度，再以 o 撇为圆心，以刚刚的长度为半径画弧好，与这个 b 撇交于点 d、 d 撇跟它对应着来，然后再以 d 撇为圆心，以 c、 d 的 长好，我们用这个圆规量出 c、 d 的 长， 量出 c、 d 的 长好，然后以 d 片为圆心，以 c、 d 的 长为半径画弧，两个弧交一点，这个点就是 c 片，然后连接 o 片， c 片 好，那么这个就是我们所求的角好，这是详细的过程和它的原理，大家可以看一下。 好，再来看第二个啊，做一个角的角平分线好，做角 a、 o、 b 的 角平分线。那么第一步是以 o 为圆心，以适当的长为半径画弧啊，不要太长，也不要太短。 然后这个时候与 o、 a 交于点 c， 以 o、 b 交于点 d， 再分别以 c、 d 为半径画弧，因为如果小于二分之一， c、 d 为半径画弧，这个时候两弧就不会相交， 咱刚刚这个弧取得好的话，第二步就不需要改变半径，我直接划就行了。好，以四为圆心画一个弧，再以 d 为圆心，再画一个弧，然后两个弧的交点我们记作 m， 那 么这个时候只要连接 o、 m， 这个 o、 m 就是 所求的角平分线啊，我们把它连起来就可以了。 好，这个就角平分线，这是具体的步骤，这是原理。好，做一个角的角平分线。第三个做线段的垂直平分线。 好，那我们第一步是以分别以 ab 为圆心，以大于二分之一 ab 的 长为半径画弧，仍然要求大于二分之一 ab 的 长，不然的话两个弧就不会相交，我们还是取稍微长一点点。哎，这样就可以了，我们画弧从上面划一下， 下面滑一下，然后不用改变长度，再以 b 为圆心，上面滑一下，下面滑一下。哎，上面这个交点我们标为 m， 下面这个交点我们标为 n， 然后这个时候连接两个交点就可以了， 那么这个就是 ab 的 垂直平分线。好，这是过程，这是它的原理。 好，第三个垂直平分线做完了。第四个过直线上一点，做这个直线的垂线。好，这个直线这个点在 m， m 在 a、 b 上，那这个时候过 m 做 a、 b 的 垂线应该怎么做呢？好，第一步是以 m 为圆心啊，以适当的长为半径画弧。 哎，那这个时候先找到两个点，这两个点我们记作 c、 d、 c 点和 d 点。 好，这个时候我们就相当于再去做 c、 d 的 垂直平行线就可以了。好，那这个时候我们以 c、 d 为圆心，以适当的长为半径，不能再用刚刚的长为半径了，因为如果用刚刚的长为半径画弧的时候，这两弧就不会相交了，我们把它稍微放长一点。 好，那这个时候我们在一样的在上面划一个，在下面划一个，再以 d 为圆心， 上面划一个，下面划一个，这两个交点我们记作。这个交点呢，我们记作 p， 这个交点呢，我们记作 q， 然后这个时候连接 p q 就 就可以了， 那么这时候 p q 就是 过点 m 的 ab 的 垂线。好，这是具体的过程，这个是原理。 好。第四个，第五个，过直线外一点，做直线的垂线啊，这个，这个时候点 p 在 直线 ab 外边了，我们要做它的垂线，应该怎么做呢？第一步是以点 p 为圆心，以适当的场为半径画弧，这个时候这适当的场一定要比 p 到 ab 的 距离要大一些，不然的话就不会相交了。 好，那这个手我们稍微取大点。哎，那这个手，呃，再小一点。好，这个手我们，哎， 这个手这边划一下，这边划一下。哎，仍然是先找到这两个点，这两个点我们记作 c、 d。 好，那这个时候就跟之前一样了啊，我们以分别以 c、 d 为圆心，以大于二分之一 c、 d 的 长为半径画弧。 a 以大于二分之一 c、 d 的 长正面划一下， 这边也划一下，再以 d 为圆心，不改变半径，上面划一下，下面划一下。那么这个时候我们这两个记作 m 和 n 仍然是连接 m n 就 可以了 啊，那这个时候 m n 就是 过点 p 的 ab 的 垂线。好，这是详细的过程，这是原理，大家看一下。 好，最后一种是过直线外一点，做已知直线的平行线啊，这个直线我们记作 l， 直线外一点，我们记作点 p。 好，那么过点 p 做 l 的 平行线应该怎么做呢？第一步，先在 l 上取点，我们这个点记作点 a， 最好取在左边啊，取在点 p 的 左边，这个时候我们画锐角啊，好，第一步，在直线 l 上取点点 a 连接 a、 p 并延长至 q。 好， 我们把 a、 p 连起来并延长。 哎，这个时候我们这里标为 q。 这第一步，第二步，我们再以 a 为圆心，以适当的长为半径画弧。这么一划，这个时候我们这个与 a、 p 的 交点记作点 c 与 l 的 交点，我们记作点 d。 好，然后不要改变半径，再以点 p 为圆心，以刚刚的半径画弧。哎，这个时候画一个弧，这个时候与 p、 q 这个段交于点 e。 好， 那么接着我们以 e 为圆心，以 c、 d 的 长为半径画弧。我们要，我们要用这个圆规把这个 c、 d 给量出来啊。 好，量出来，量起来，量出来之后以 e 为圆心，以以这个 c、 d 的 长为半径划弧。哎，这么一划，这个时候这个弧跟刚刚那个弧交一点 f， 那 这个时候我们只要连接 e、 f 就 可以了， 那么这个就是就是 l 的 平行线啊。好，这是过程这个原理啊，我们本质上是构造的同一角相等得到两直线平行。好，大家一定要跟着划一划啊，自己划一遍，中考就会做了。

大家好，今天再分享一道尺规。注，图题如图，将矩形纸片 a、 b、 c、 d 折叠，使得点 b 落在对角线 b、 d 上，点 b 的 对应点即为点 e， 点 a 的 对应点即为 f。 折痕与边 a、 d、 b、 c 分 别交于 g、 h。 当折痕 g、 h 在 某一位置时，能使 c、 f 三点在同一直线上。请用无刻度的直尺和圆规在图中作出 折痕 g、 h 保留注图痕迹，不写做法。那首先我们把这个草图画出来，现在研究一下这个草图有什么性质。因为这个纸片呢，沿着 g、 f 翻折， 所以说根据折叠的性质啊，这个角 h e， c 等于角 h， e、 f 等于九十度，这是垂直的， g h 是 垂直平分比 e 的， 那既然 g、 h 垂直平分 b， 那 么这两个角就是相等的，我们记为角一和角二，那角二和这个角是互余的，记为角三， 角一和这个角角四也是互余的。等角的与角相等，那说明角三就等于角四了。 c、 e 就 等于 c、 d。 我们如果那这时候啊，我们就可以把一点确定了，怎么确定呢？就是以 c 为圆心， c、 d 成为半径，画圆跟 b、 d 的 焦点就是这个。一点一点确定了， 那么 b、 e 就是 确定的。 g、 h 是 垂直平分 b、 e 的， 那折痕 g、 h 我 们就可以做出来了。所以说第一步就是以 c 为圆心， cd 长为半径，画一个圆和，这时候和 b、 d 交于点 e， 然后我们做 b、 e 的 垂直平分线， 那这个 g、 h 我 们就做出来了。那这这道作图题就做出来了。 如果连接 h e， 然后再连接 c、 e， 并延长在 c、 e 的 延长线上，截取一点 e、 f 是 等于 a、 b 的 连接 g、 f， 这就是这个矩形纸片呐。翻折之后 b 点就落到这个 e 点， c、 e、 f 三点共线。

中考不想失去指挥作图的三到五分，一分钟帮你搞定全部指挥作图！我们第一类是做一条线段等于已知线段。第一步，我们是做一条直线，在上面取一个点 a， 以点 a 为圆心， a 为半径，画圆交于一个点 b， 那 么 ab 就是 我们的所做的等线段。 第二类，做已知角的角平分线。我们第一步是以顶点 a 为圆心，任意长为半径，画圆交角的两边与 p、 q 两点。第二步，我们分别以 p、 q 为圆心，大于二分之一， p、 q 长为半径，做圆交于点 m。 那 么第三步，我们连起来， an 就是 射线， an 就是 我们的角 b、 a、 c 的 角平分线。第三类，我们是做已知线段的垂直平分线。 第一步，分别以 a、 b 为圆心，大于二分之一的 a、 b 长为半径，作圆交于 p、 q 两点。第二步，我们连接 p q， 那 么 p q 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。第四类，我们是做一个角等于已知角。 第一步，我们是做一条直线，在线上取一个点 o 撇。第二步，分别以已知角的顶点和 o 撇为圆心相同的半径，画一个圆，以已知角交于 n、 n 两点，以直线交于 n 撇点。 第三步，我们就以 n 撇点为圆心， n、 n 的 长为半径，画圆交于 n 撇，连接 o 撇， n 撇构成的角就是我们的已知角相等的角。 第五类，过直线外一点，做已知直线的垂线。我们第一步以点 c 为圆心做弧交， a、 b 于点 e、 f。 第二步，分别以 e、 f 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，做弧交于点 g。 第三步，连接 c、 g， 那 么就是 ab 的 垂线。 第六类，已知三边做三角形。我们第一步做一条直线，在上面取一个点 a 撇，以它为圆心， a 的 长度为半径，做弧交直线于点 c 撇。 第二步分别以点 a 撇和 c 撇为圆心，剩下的 b 和 c 的 长为半径，做弧交于点 b 撇。第三步连接这三个点，那么就是我们所要求做的三角形。

一把指尺，一个圆规，凭什么能画出整个几何世界？因为尺规作图本质是用最简单的工具还原整个几何的逻辑底层。但是尺规作图对于很多初中生来说，看似简单却经常做错，实则是没有掌握尺规作图的原理。 那么这本尺规作图去谈，把尺规去图讲的非常清楚。作者先是从尺规作图的历史讲起，然后介绍了多种尺规作图的方法， 比如诡计交接法、败诉解析法、几何变换法等，同时结合大量立体，让读者进一步体会作图的精要，并且每道题都给出的思路分析及做法步骤，让读者体会吃亏做图的原理及方法是怎样来的。最后给大家总结一些吃亏做图的可能性问题。 总之，这本书不仅让读者能明白吃亏做图的方法，同时也能培养逻辑思维和空间想象能力，非常实用的一本书，强烈推荐！

初中数学中考有一类题型，孩子是分还是蛮多的，最近看了一下，是哪类问题呢？就是尺规作图，尺规作图考察了孩子的实际动手能力，那么以及对敬意敬礼的深刻认识。而尺规作图常用的五种 必须具备啊，像做已知线段，做一个等角，做一个角的平分线，做线段的垂直平分线，以及过一点做已知线段的垂线，这五个基本作图必须吃透，了解明白，那么才能对接下来的实物作图进行 合理的分析。那么什么做图的解析，主要的这个思路和步骤就是逆向思考，按照已知条件先画出草图，那么根据草图去分析如何才能达成 他的要求，然后再通过已经学到的精益敬礼功力进行这个操作的，那万变不利。其中他主要还是来自刚才讲的五个基本要点。那么目前中考比较常考的有做这个二倍角、三倍角的作图，以及 做面积等分，而面积等分这近来模考属于高频这个热点考察啊，他的主要的思路就是这个 平行之间，平行线之间距离处处相等，也就是我们俗称的拉窗帘这个原理。那么通过线的转化， 再把面积转化后，其实还是落实到中点啊，中点三角形的中位线可以平分三角形的面积，这个主要的这个企业还是不离这个我们学习到的最基本的知识点啊。那还有做切线，切线也是近年来考的比较多的， 做切线也是用的垂直平分线定律啊，所以这个只顾作图，要想把分拿全，那么平时就要多练，多练是一个非常重要的，再一个你要学会逆向思考。 那么第三个一些新颖的这个骑行要进行这个练习下，那么找样他初期的内在命棋这个要求 也就说你掌握几层？第五、五个的基本操作，然后加上你已经学到的几何知识啊，近一近的去推演，然后进行分析，就能快速在考场上把这个分数拿到。

哈喽，各位同学大家好，今天呢给大家讲一个有点失传的知识点，因为我们宁夏呢，已经很多年没有考过这个知识点了，学校从初一到初三在尺规作图的时候也都没有涉及到这个知识点， 就是我们通过尺规作图需要将一个线段三等份，三等份的方法学会以后，其实任意的几等份你都可以会画同一个方法，因为现在呢，大家会画的呢，应该就是啊，两等份做垂直平分线，找到中点， 对吧？我们将一个线段三等份的时候，他的画法呢是这个样子，先用你的直尺 在这个线段的一端，然后呢任意的请斜的角度，就这个角度呢，可以随便任意的请斜的角度去画一条射线，这条射线的长短呢，随便任意画一条就可以了。 接下来呢我们要干什么呢？我们把这个线段画成三个相等的，不太好画，但是我们在这条射线上面取三个相等的线段，那可太容易了，我们的圆规不就干这个事情的吗？ 所以这个时候呢，大家拿出自己的圆规，你把圆规扎到这个点 a 的 地方，然后它张开的大小随便 啊，你想张开多大就多大，你比如说我就张开这么大行不行？可以啊，这个时候呢，你在这条射线上去截取三段相等的线段， 这就可以了，截取完以后，你把这三个相等的线段的关系想办法挪到我们这条线段上面来就可以了。利用哪个知识去挪呢？相似构造相似三角形就可以了。 那我要构造相似三角形，我这个时候你用你的直尺把最后的这个点和点 b 连起来，是不立马就会形成一个三角形，我用红色的表示一下吧，这个时候我只要通过这个点 和这个点做我们刚刚连接的这条线，它的平行线这个时候立马是不是就出现三相似三角形了？当然你用平行线分线段成比例的知识呢，做起来可能会更快一些。 那我怎么样去做平行线呢？这个时候它又就考到了做一个角等于已知的角，我只要呢在这个地方， 在这个地方和这个地方做这个角和这个角跟我这边的这个角相等，那这样的话它是不是就平行了？ 所以我们可以用我们的尺规去做一个角等于已知的角，如果一个角等于已知的角，你不会，那这个时候你就要好好听看看怎么去做。拿出我们的圆规，然后呢扎到这个地方， 这个时候它的长度呢？哎，还是任意的，你想拉多大就多大，在它上面画，然后挪到这个地方来扎下去， 再画挪到这个地方来扎上，然后呢再画， 这个时候呢，我们再把它挪到最后面这个地方来，扎到这边有两个焦点，你看这边有一个焦点，这边有一个焦点，随便选一个焦点扎上去，你比如说我选这个焦点，我扎到这，然后另外一边干什么？挪到的 这个地方，这个时候呢相当于我们用我们的圆规两个角呢量了一下这个角张开的有多大， 保留一下作图痕迹，哎，这就可以了，这个时候你把这个角张开的大小呢，再挪到我们这边来就可以了，来跟他有一个交点，放到这个地方， ok 吧？这个时候呢，你再给他保留一下作图痕迹就可以了。 ok， 我 这个上面呢不是很好画，我们画的时候其实不用保留这么长，我这个上面不太好画，这样我就放到这， 我重新量一下这个大小，我把它转个方向，不然他的痕迹太长了。好， 这个时候我扎到这就可以了，大小不要变。哎，是不是刚好有一个焦点，然后呢再扎到这个地方再画，哎，是不是刚好也有一个焦点， ok 吧？我们把这两个稍微有点短的这个线呢， 我就手动的稍微往出延一点点，稍微延一点点，这个时候你干什么？用你的直尺去连线就可以了，用你的直尺 把这个点和这个点连起来并延长，跟 a、 b 有 一个交点，然后呢再用你的直尺把这个点和这个点连长连接，跟 a、 b 也有一个交点，这两个点正好就是它的三等分点。 为什么是三等分点呢？平行线分线段成比例嘛？因为一二三这三条线是不是 平行的，那分出来的线段是不成比例的，怎么成比例？他比他比，他一比一比一，那他比他比，他是不是也是一比一比一啊？ 这样的话我就把线段 a、 b 呢三等分了，如果这个地方呢，我们去考四等分，怎么画呢？那这个时候我只要在这个射线上面是不是画四个相等的线段就可以了，五等分画五下，六等分画六下是不是就可以？ 好，这个呢是我们把一个线段三等分的一个方法，来，大家可以认真的去听，去学一下，因为这个知识点呢，已经很多年没有考过了， 现在呢？中考改革不就是想考一些大家不会的新奇百怪的知识点吗？预防一下，今年小心考到了哦。好，拜拜。

尺规做图是中考的必考题型，特别是我们徐州中考每年都要考，而且的分值还不低，那很多孩子拿到这个做图很容易蒙，不知道从哪下手。首先他们要知道，所有的尺规做图在中学阶段其实就是五种基本的类型。 第一种就是做一条线段等于已知线段。第二个做一个角等于已知角。第三个做已知线段的垂直平行线。第四个做一个角的角平行线。第五个过一点做已知直线的垂线。这个点呢，可能在这条这个直线上，也可能在直线外， 就这五种基本类型没有了。所有的中考尺规做图题，不管多复杂，都是由这五个基本操作组合过来的， 他就像一个什么很复杂的机器，但你拆开之后，你会发现他其实就这几个螺丝和几个螺母。所以第一步你们一定要把这五种作图法练到肌肉记忆，不用想就能画出来。题目当然不会考这么简单，题目是怎么考？是把这五种基本的做题法给他组合在一起。 所以说孩子们你不是不会画，而是不知道从哪开里开始画，画哪一条，画哪个线段，还是画哪个角。先把这个图假设给他画出来， 你不知道这个图的精确，怎么画，但是我可以画一个大概的模糊的样子，把这个图形大概的样子给他画出来之后，然后再去反过来，再逆向去推。哎，我想把这个图画出来，我需要画哪个线段，我需要画哪个角，平线我是画哪个角， 这就逆向推力。给大家举个例子，比如说我们在一个等边三角形里面画一个正方形，这个正方形的四个顶点都要在这个 三角形的边上，那么先大概画出来，它大概应该这个样子，我们不难够发现这个四边形的四个点，其中这两个点一定是和这个中间的这个对称轴是对称的， 对吧？然后呢会自己观察，哎，这个角等于六十度，然后呢这个边和这个边相等， 所以说我们发现这最后啊来总结，发现这个是六十度，这是九十度，这是一百五十度，所以这个角和这个角，这个边和这个边也相等，因为它是个等边三角形，所以这个边等于这个边，这个边也等于这个边，所以这个三角形它是一个等腰三角形，等腰三角形之后，那这个就是十五度， 哎，我发现这个角是六十度，六十度到画一个十五度就可以了，所以我只要把这个角做出一个十五度的角连在一起，那这个点 就出来了，这个顶点就找出来了。所以说我现在就开始把这个题变成什么，就变成哎，先去把这个角给他平分，画一条角平分线，得出一个三十度的角，然后再把这个三十度角再给他进行一次平分，得出一个十五度角，这个 正方形就画出来了。所以尺规作图这个逆向思维很，就是说我们不要先去想那个过程，你先把那个结果画出来，把那个目标图形先画在你的脑子里，或者用铅笔画个草图，然后问自己这个目标图形和已知条件之间差了什么， 对吧？然后根据我们的目标去找他的已知条件，找出来之后你会发现这些关系无非就是平行、垂直、等距，而平行、垂直、等距这些就是你前面练的那五种基本的作图法能够解决的。 所以说整个思路就是说假设画出来，然后去找关系，再用基本的作图法实现这些关系，这个就是逆向拆解。好，加油吧。

二模考试之后，我的后台炸了，问的最多的并不是什么选择填空亚洲题，也不是什么二次函数题，他居然是画图题，为什么我家孩子每次做画图题，他就是一做就错，说了无数遍了，他还是错，这是为什么呢？ 那你刷到这条视频，你真的是太有福气了，不管你是哪个省的，哪个地区的，只要你家里边有七年级、八年级、九年级的孩子，考试的时候有画图的题，那赶紧把这条视频看完，后面的动画讲解真的是一下子就刻到他脑子里，我就不信他还能再错， 耽误你不到一分钟的时间，赶紧分享给你身边有需要的人。这个画图的讲解真的是太全了，有需要的赶紧安排上。

里面常见的有一个词汇作图，就是作等角，比如说作角 b、 a、 c 等于角 b、 b 片 a 片 c 片。这个具体做法怎么做呢？就说给你一个已知角 b、 a、 c， 然后画出一个角 b 片 a 片 c 片和这个角相等，他这个考的时候一定会给你一个边，假如他给了你这个 a 片和 c 片这个线段，让你做这个已知角。首先呢，我们以点 a， 点 a 为圆心，任意长为半径，分别交 b、 a、 b、 c 于点 d 和 e。 然后呢，我们以点 a 片为圆心，相同的叫 a、 d 的 长为半径做弧，分别叫 a 片，是一片，交这个点为 e 片， 然后我们以点 e 为圆心，找到 d、 e 的 长，然后我们以 e 为圆心 做弧，教刚才做这弧一点 d 片，然后连接 d 片 a 片，我们就可以得到 相等的角。这道题，我们看这道题，这道题就是中考里面的征题。让做角 a、 c、 m 等于角 a， 也就是让让做 等角。我们先找到角 a。 具体做法，以角，以这个点 a 为圆心，任意长住半径， 这两个半径是一样的。然后我们以这个角 c， 以这个点 c 为圆心，相同的长，相同的长住圆。 然后我们以这个点为圆心，这个长为半径，找到这个点为圆心，这个长为半径。 然后它两个弧有个交点，我们连接它就可以得到得出等角。然后根据题目来说，这个是角 e、 c、 m， 然后两个点与这个 e、 b 相交于点 f。

大家好，今天再分享一道尺规做图题，求出圆 o， 使圆 o 经过点 a 和点 b， 并且与直线 m a， n 相切。 那首先我们把这个圆呐，先把它画出来，然后分析一下这个图形有什么样的性质。圆 o 与直线 m a， n 相切于点 q， 那首先我们把 a b 连起来，并延长交 m a， 点 p， 要画这个圆 o 啊，只要确定这个圆心 o 所在的位置就行了，那圆心 o 一定是在这个线段 a b 的 垂直平分线上，也就 o c 垂直平分 ab 的 这个圆 o 与 m a 相切于点 q， 那 连接 o q， 那 么 o q 一定是垂直 m a 的。 然后我们根据切割线定义啊，会得到 p q 的 平方等于 p b 乘以 p a。 哎，这个式子就是我们作图的切入点，像这样的式子，在什么样的图形中会出现这样的式子啊？ 那显然是在相似中。那如果我们能各造一条线段的长等于 p b 乘以 p a， 因为这个 a 点 b 点 p 点都是一个确定的点，然后我们再用圆规就可以做出 q 点，所以说我们要做这个圆 o 啊， 要确定这个圆心的位置，只要确定这个 q 点的位置就行了。 那如何确定这 q 点的位置啊？我们就根据这个式子，那这个式子呢，我们怎么用呢？ 有这个式子，我们会想到这样的图形，射影形，就是在直角三角形 abc 中，如果 c d 垂直 ab 的， 那么三角形 a c d 啊，和三角形 a b c 它就相似了。相似三角形对应边乘比例，可以得到 a c 的 平方等于 a d 乘以 ab， 那 同理 b c 的 平方也等于 b d 乘以 b a。 如果，如果啊，我们能构造一个三角形，直角三角形，让 a b 这条线段呢， 这条边所对的角是直角，然后过这个 b 点做垂线就可以了。那如何构造呢？我们由这个圆在圆中啊，直径所对的这个圆周角是 直角，也叫直径对直角啊，我们构造出这样的收敛型，下面我们把多余的线把它去掉， 利用直径对直角和收敛定力来构造一条线段等于 p q。 那首先第一步呢，就是以 a p 这条线段为直径啊，画一个圆，然后再过 b 点做 a p 的 垂线与这个圆交点，即为 c 点 连接 a c p c。 根据直径对直角，那么这个角 a c p 就是 九十度， 这个角 c b p 也是九十度 c b 垂直 ap 的。 那么这个这几条蓝色的线呢？所构成的图形就是射影形， p c 的 平方就等于 p b 乘以 pa 呢， 而 p q 的 平方等于 p b 乘以 pa， 那 说明 p c 和 p q 是 相等的。 如果我们以点 p 为圆心， p c 长为半径，画圆 q 点，一定是在这个圆 p 上，也就是 q 点，是这个圆 p 与直线 m n 的 交点。 下面我们来来做一下这个圆 o， 那第一步是连接 a b， 并延长与这个直线 m n 交于点 p。 第二步，以 a p 为直径做一个圆。 第三步，过 b 点做 ap 的 垂线与这个圆 o 交于点 c 连接 c p， 那 c p 的 平方就等于 p b 乘以 pa， 然后以 p 为圆心， p c 长为半径，画圆与 m n 就 有一个交点 q 点，那么 p q 的 平方就等于 p b 乘以 pa 啊， q 点就找到了。再过这个 q 点呢？做 m n 的 垂线与 ab 的 垂直平分线交于点就是 o 点，然后以 o o q 长为半径画圆，这个圆就做出来 这个点圆 p 与 m n 有 两个交点， q 点 q p 点， 那这个我们再以 q 撇为呃过这个 q 撇，这个点呢？做 m 呢？垂线与这个 ab 的 垂直平分也有一个交点， 然后以 o 撇点为圆心， o 撇 q 撇为半径，画一个圆，这个圆也是满足条件的，也就是说有两个这样的圆，我们只要画出一个就可以了。 下面我们再介绍两种方法。这两种方法是不太好想，我们大概的说一下这个底部啊，还是做 a b 的 垂直平分线， 然后这个焦点呢？与 a b 的 焦点是 c 点，那这时候我们看 pa 乘以 p b 就等于这个 p c 加上 a c 乘以 p c 减去 b c 啊， a c 跟 b c 相等， b c 等于 a c， 那 它就等于 c p 的 平方减去 a c 的 平方 啊， c p 的 平方减 a c 的 平方啊。这时候我们可以构造一个直角三角形，怎么构造呢？这个直角三角形斜边是等于 c b 的 长，它直角边是等于 a c 可以以 c 为圆心， c p 的 长为半径画一个圆，然后过 a 点做 a b 的 垂线交这个圆， c 与点 d 连接 a d。 你 看，我们这样构造了这样的一个直角三角形， c d 的 长就等于 p c 的 长，那么也就是说 a、 d 的 长就等于 c p c 呃， c d 的 平方减去 a c 的 平方，也就等于 pa 乘以 p b 呢，也就是说 a d 的 长啊，就等于 p q 的 长。那割造这个直角三角形之后啊， 我们在这上面找一个点与找一个点 q 点与这个 p 点的距离就是等于 a c 的 长，所以说然后以 p 为圆心， a d 的 长为半径，画一个圆。那这时候这个圆与 m n 有 两个交，有，有个交点就是 q 点， 也就是这时候满足 p q 的 平方等于 p b 乘以 p a， 那 我们过着 q 点做 m n 的 垂线，交这个 ab 的 垂直平分于点 o 点， 然后以 o 为圆心， o q 长为半径画圆。这就是我们所要得到的圆。 那这个 q 点，这个圆 p 与 m a 还有个交点 q 撇点过这个点做它的垂线，它以这个 o 撇为圆心， o 撇 q 撇成为半径，也有一个圆， 也可以画两个，我们画出一个就可以了。这种方法就是构造一个直角三角形，让这个直角三角形一条边，就是等于 p q 的 长。 下面我们再介绍第三种方法，是利用 v 四三角形， 或者是利用微四的性质来做出这个圆 o。 那 第一步呢？还是做 a b 的 垂直平分线，然后交 m a 一 点 c 点连接 a c 跟 b c。 第二步是在 c d 上扔取一个点 p 做 p h 垂直于 m， 然后以 p 为圆心， p h 长为半径，画一个圆， 交 a b， a c， b c 于两点， e f 两点零，然后连接 p e， p f， e f。 下面我们再以过这个 a 点啊做 a o 平行 p e 连结 o b， 那 么三角形这个 p e， f 与三角形 o， a， b 就是 为四了，指为四。 然后我们以 o 为圆心， o a 成为半径画圆，这个圆与 直线 m n 相切于点 q， 那 这样我们也可以画出一个圆。 这个第三种方法是不容易想到的，还是有一定的难度的。

天津中考数学也太简单了，十八题拿尺规作图，有手就行。 哈哈，刚开始这个视频啊，我找豆包生成了，就是很多人调侃 说这个天津中考十八题这么难，对吧？不就是个画图题吗？为什么这么难？嗯，首先还是无刻度尺作图对吧？圆规还有这个像做垂直啊什么的，咱是做不了的，就直接是做不了的。 还有就是他这道题呢，他确实思维度比较高。对对，你的这个比较耗时的一道题吧，尤其是第二个， 可能二十分钟也想不出来一个特别好的一个接法，嗯，而且还只值两分，所以说性价比比较低。但是其实难度我觉得如果说给足了时间，还是可以挑战一下的，尤其是咱的模考题，距离中考难度还是差一点的， 咱来分析一下吧，看看今天准备两道题，第一道题是这个，我记要记得没错，应该是河西区的，然后第二道题是河北区的。咱先看一下这道题，说点 a 在 隔点上，点 b 在 隔线上， 然后这种题呢，第一问他都会很简单，他说 a d 是 角平分线，然后对吧？他说一个角，也就是这角 b， a d 是 十九度，那整个角就是二倍三十八度。第一问他都会把这个分送给你，然后第二问就开始让你 造火箭了。先看一下吧，说圆上有一点屁连接， c p 交 a， d 于点 e， 恰好使得 d e 等于 d b。 做这种题，咱们先把这个它的大概的一个假想图给画出来， 画出来之后咱们要干什么呢？咱们为了是推一些性质好搞明白咱们要做怎样的线，来满足他题目中的要求，对吧？ 他题目中大概是不是这个意思，就是说这圆上有一点屁啊，你连接了 cp 之后，交这个 a、 d 与点 e， 然后正好啊这个 e， 它就能使得 b d， b、 d 等于 b e、 d e， 而且这个 ab 是 条直径，对吧？所以说这是九十度这个角 d， 那 么角 d 既然是九十度的话，这就是个等腰直角三角形，对不对？角 b 三角形 b、 e、 d， 那 么咱就分析下性质啊，我是从它的角度入手的， 咱们有了等腰直角三角形，自然而然有了四十五度，然后咱们可以延长一下 b e， 啊，对吧？咱们在圆内倒角最常用的就是弧嘛， 比如说这是 f， 那 么弧 f、 d 所对的圆周角就是四十五度，那么咱找个圆心， 圆心是 o， 哎，连接 o、 d， 再连接一下 o、 f， 那他们弧 d、 f 所对的圆周角是四十五度，那圆心角自然而然就是九十度二倍，对吧？ 那咱们就有思路了，对不对？咱们在刻这个做图，甭管是圆圆规，还是说拿什么刻度尺做图，你像垂直平行，对吧？包括极等分点，怎么按比例分，这都是咱们可以做的图形，所以说有垂直咱们就有思路了。 也就说 o、 d 找到圆心之后，连接 o、 d， 再做一条垂线， o、 d 的 垂线交源于一点 f， 对 吧？再把这个 f 连接 b f， 交这个 a、 d 于点 e， 然后连接 c e， 再延出去，咱们点 p 就 找到了， 好吧，那咱就要想想了，咱目的就是要咱只要做出来这个 o、 d 的 垂线就可以，对吧？那咱先找到 o 在 哪，对吧？也就说圆心在哪？ 圆心呢？其实有好几种找法，其实咱们做这些模考题，主要是来掌握这些基本的方法，对吧？嗯， ab 的 话，它是直径，那直径的终点是不就是圆心啊？所以说咱可以直接找终点，终点怎么找呢？它这有直角三角形， 这也是网格的一个基本思路。这个 ab 在 这个直角三角形里头，那咱们找到中位线是不是就可以？那你看上面是二，哎，这下面也是二，那直接取这个点，对不对？取这个格点，然后它底边是 平行的一条水平格线，那咱再做一条平行，哎，根据相似，那这个点肯定就是中点，对吧？也就是说这个 ab， 他和这个网格的这个焦点就是点 o， 就是 圆心，哎，这是圆心的一种找法，但是还有好多种找法， 你比如说咱原上的格点就很有用，原上的格点是 a， 然后咱们可以，哎，往左找，找找，沿着格线啊，往左找到一点，哎，往下找，找找，找，找到一点，哎，那咱们再把这俩点一连， 哎，发现也过的是这个隔线上这一点。 o， 那 这是什么道理呢？这其实是因为咱是往左找，往下找，正好形成一个直角， 形成直角之后，咱把它俩一连，这个弦就是直径，那两条直径所对的弦，呃，两条直径相交的就是圆心，对吧？当然了，如果说没有说，比如说这个隔线特别不好找，怎么办？咱也可以，比如说我往三分之一这边，或者说我往 我往三分之一这边，对吧？这边延出去，然后这个我也往三分之一这延，对吧？胶原一两点再一连， 对吧？这也是一种做法，我不往左不往右找，哎，我构造一个直角出来行不行？可以啊，看到没？这有一线三等角，所以说这肯定是直角，对吧？这也是一种找法。还有那种找法呀，比如说 我现在有一条圆的切线， 哎，我有一条圆的切线，告诉你个切于这个点，对吧？那咱想方设法的做出来它的垂线， 哎，是不是也是一条直径啊？对吧？当然这个肯定画的不准。嗯，所以说圆心有很多种找法，根据题目来看就可以。然后找到圆心之后呢，咱们回回这道题，咱们连接一下 o d， 咱要做一条 o d 这样的垂线，对吧？垂过来交这个点，那咱想想垂线怎么做呢？ 垂线怎么做？咱试着延长一下，咱还有一个角，平分线没用了，对不对？ 怎么还延长过来？发现这里有直角， 这里有直角，这里有直角，为什么呢？因为这是直径所的圆周角，对吧？然后这里有等等角，这里还有一个公共边，那所以说左边这个三角形 a、 b、 d 和右边，咱们构造出来这个蓝色虚线三角形，它是全等的，那自然而然再假设这一点是 f 吧， 那 b、 d 就 等于 df， 因为全等，对吧？那 d 就是 中点，哎，那 o d 就是 一条中位线，对吧？那么所以说这个 o d 它是平行于 a、 c 的， 这个结论很重要，为啥呢？这样的话，咱们可以方便回来咱们传递这个垂直， 咱现在连接 o d 之后，咱们 因为他 o d， 咱刚知道还是平行于 a、 c 的， 那么咱为什么连接 bc 呢？因为 ab 是 直径，这就是直角，那平行过来，这不也是直角吗？咱们想做的 o d 的 垂线就有了，对不对？那么但是位置不太对，对不对？咱想要的是 a 在 这的一条垂线， 但是现在还在下面，那咱怎么想？咱是不是做平行把它做上去？做平行呢？咱们可以怎么做呢？这也是一项基本功，咱可以用构造平行四边形的思想，对不对？其实也是构造八字全等的相思想， 嗯，咱们比如说咱们在这取一个隔点，取一个与隔线交点，这个咱叫做 f， 然后连接 o f， 哎，咱做的目的咱是要构造一个平行四边形，那么 o f 是 一条对角线，咱们都知道对平行四边形的有一个性质，叫做对角线互相平分，对吧？所以说 咱们要找到 o f 的 中点，然后这就是它对角线的那个焦点，然后再连接 b 和对角线交点，再延出去，就能找到 他平四边形的另一条边，对吧？怎么找到这个终点呢？找终点也是一项基本功， 你像他这个隔线跨度是一，咱没法直接找，对不对？所以说咱们来构造一个终点的连线，那两条两个点才能确定一条直线，咱就找到两个点， 哎，这个就不标点了，然后两条点一出来，一连延长过来， 哎，大概就交这个，咱们刚这个点，比如说一点 g， 对 吧？然后呢对角线一焦点有了，咱再连接这个点，然后再连接这个对角线焦点，对吧？延出去，那延多少呢？ 延多少？咱要做的是倍长，对不对？再来看看。假如说咱把这都连上，哎，是不是有八字圈的，那么你看这个是一点五，那咱是不是也要延一点五？也就说延到这条格线来，对不对？ 然后呢就有八字全，等咱的目的就达到了，嗯，然后呢，咱这会有八字全，等，之后咱再一连，然后并延长，对吧？ 然后比如说交于圆于一点爱吧。当然这道题有个巧合，就是咱们言出来之后和这个爱点好像重合了，但这并不影响，对吧？ 然后那这会的话，因为是平行嘛，所以说 o i 也是 o d 的 一条垂线，这就是垂直，咱们做的垂直就有那么 i d 弧 i d 所对的圆心角就九十度。然后咱们 把这个按照咱的想法来，把 id 一 连，哎，比较重合下来，然后交这个 a d 与点 e， 对 吧？为啥呢？还是那个现在这个 e b d 角 e b d 就 等于二分之一角， i o d 就 等于四十五度了， 然后就满足咱的构造了一个等腰直角三角形，对吧？就满足他提议了。然后这会再做点 p， 点 p 就 很好做了呀，连接这个 c e 并延长 焦点，就是点 p， 对 吧？其实这道题用了什么呢？有哪些基本功呢？找圆心 对吧？还有什么呢？咱们还用了，嗯，平行四边形做平行线吧，就这样平行线，然后找中点， 对吧？啊？做垂直也算吧， 在圆内做垂直，咱们大部分用的就是这个直径的所对圆珠角这一性质。 ok， 这道题就到这，然后看河北区这道题。河北区这道题应该相对来说比较简单一点点。 第一问还是很简单，他说 b 是 格点， c 是 格点，问 bc 之间的距离啊， b 在 这， c 在 这过到个直角三角形，对吧？一个边四，一个边是一根号十七。然后看第二问， 用无刻度的尺尺在网格中在弧 a n 上画出点 q， 使得 a q 等于 pm， a q， 假如说 q 在 这，让这个弧 a q 等于 pm， 构造等弧啊，这里就非常的容易想到做平行，为什么呢？我做一条平行， 咱们来看一下就知道了。 我现在做 p q 平行于 am， 也就是说做了一条水平线，对吧？因为 am 它就是水平的。 那么你看，咱们的要做的是弧， pm 等于弧 a q， 那 既然弧相等，他们所对圆周角是不是也相等？那你看有平行内侧角相等，哎，正好是这两个弧的圆周角， 哎，那你做出来平行，他这俩弧不就相等了吗？对吧？这是一个思路。那我用的思路是什么呢？因为我发现这做一条水平隔线，哎，好像不太现实，对吧？反正不是那么容易想，我用的是圆的对称性， 哎，你看，哎，首先咱把圆心找一下吧，圆心点 a 是 隔点，往左找到，找到点 m， 往下找到点 n， 一 连接 m， n 肯定是一条直径， 他题目里说了， a d 又是一条直径，那它俩直径的交点肯定是圆心。然后咱们现在发现 a m 它是 a 水平的一条线，对吧？ 然后圆，它是一个轴对称图形，而且它对称轴有无限个。假如说咱们能找到一条垂直于 am 的 对称轴， 也就是说让 am 让点 a 点 m， 关于这条轴对称，对吧？因为这垂直嘛，而且垂径定律也相等，它俩肯定对称。那你看这个对称轴和这个 ap 有 一个交点， 哎，咱连接这个 m 和这个焦点，哎，这么延过来，哎，是不是就做出来这个 a q 了，对吧？这就是咱的思想，做对称嘛，对称完之后，对应点一连肯定也对称，对吧？ ok， 咱就来想想怎么做出来这条对称轴。 首先找到圆心， 然后呢，咱刚说了，咱要做 am 的 垂线，对吧？ am 是 一条弦， 我把这 a m 标出来，它是一条弦，咱要做它的垂直，在圆里头垂直弦一下，想到垂钉钉里，对不对？咱只需要找到 a m 的 中点就行，那 a m 中点怎么找呢？ 这里就又有一个找终点的一个方法，就是构造一条，呃，构造一个中位线，把它放到一个三角形里头，然后画出这个三角形的中位线，自然而然经过 a m a m 的 终点就找到了。具体怎么操作呢？我先画一下， 哎，构造出来一个，比如说这里是点 f 吧， 然后这里是点 e 三角形 a e f， 对 吧？构造出来这样一个三角形，然后呢，怎么着？取中点？取它两边的中点， 这个取中点呢？和咱上一道题的方法一样，可以看一看啊。这上下跨一个格，这上下跨一个格，总共跨俩格，对吧？八字全等，这里呢？上面一条线，下面一条线，哎，这也是八字全等，这就不多说了。然后连接连接这俩 中点，构造一条中位线，对吧？然后交这个 am 与点这个 n， 那 么 n 肯定是 m a 的 中点，为啥呢？你看这个大的三角形，它的中位线是这个，那么咱把它放到一个小的三角形里头看， 有一个中点，然后因为本来还是就是中位线的，对不对？咱画这条中位线，肯定平行于 e f， 那 这肯定也平行于 e m， 那 有中点加平行，是不是也是一条中位线呀？所以说这个 n 肯定是 am 的 中点，有中点之后呢？咱啊，这圆心没标出来， 咱连接圆心和这个中点， 这么不听话呢？ 然后肯定交这个 a p 于一点，对吧？ 这然后咱再跟咱想的一样，连接 b j 沿过来交圆于点 q， 这个 q 就是 咱们想要的，这是一个什么呢？这道题用了找圆心， 然后是用了找中点，还有用了做对称， 其实你看，如果说掌握了这些基本功，哎，再对这些几何图形有一定的敏感， 想到我们要做一条怎样的线，其实这道题也不是那么难解决，对吧？

同学们好，我们接下来看一下第二十六题，这道题呢，是一个齿轮作图题，那他考的还是蛮全的哦，你看，第一问是齿轮是网格作图， 第二问是齿轮作图，第三问是一个方案设计，对吧？基本上都涉及到了。好，那我们把这道题好好看一下。第一个网格作图，那么大家看一下啊，它是仅用无刻度的支持，不要用圆规啊，用圆规就错了。那么在图一当中做出一个 c 点， 也是隔点，使得角 abc 是 一个四十五度啊，把它擦掉啊，使得 abc 是 一个四十五度， ab 有 了，要要保证 c 点是个隔点，同时呢，这角还是一个四十五度。 好，那怎么画呢？那我们想如何确保它是四十五度？嗯，那我们可以想一下，把它放在直角三角形里面，放一个等腰直角三角形里面， 如果我们能构造一个等腰直角三角形，使得这个角是四十五度，不就行了吗？好，那如果 a、 b、 c 是 四十五度，它是底角，那顶角是不？它，那它就是要构造一个九十度，对不对？这个角 a 得是一个直角啊，构造九十度，我们做一个 ab 的 垂线，在网格里面做个垂线还是比较容易的，对吧？ 我们找到这个是不是，是不是垂直于它？而且，而且你有没有发现这条边还跟这条边相等，是不是？我们垂直于它，是不是就是一个等腰直，对吧？既相等又垂直，等腰直角三角形连接一下就是我们要找的 c 点， 对吧？连接一下啊，这边大家连标准一点啊，所以这个点 c 就是 我们要找的，你看这样的，这个 a、 b 等于 a、 c 是 相等的，然后这又是一个直角等腰直角三角形，这个角四十五度，对吧？ 好，那么在图二当中线段 a、 b 上取一点一点，使得角 b、 e、 d 是 一个四十五度，那怎么办？那这个 b、 e、 d 它本身又不是一个等腰直角三角形， 那我们能不能通过构造？比如说我构造一个 abc， 是 一个等腰直角，然后呢？我再过 d 点做一个平行线，是不是就有四十五度了，对吧？好，那你想我们现在要构造等腰直角， 那如果它是腰，那我们我们如果想要这样做，做平行线的话， 做平行线的话，也就说我这个角要平行于他，平行于这边，是不是这个角四十五度，也就是这个角要是四十五度，那他二四十五度，嗯，那我们 ab 就是 底边了，对吧？那我们的顶角是不是就在对面？所以我们要找到一个，呃，两条腰，对不对？好，那以 ab 为底， ab 为底的等腰直角三角形，那它的这条斜边应该这条角边，我们算一下，这是二，这是四，这是根号二十，那根号二十的这个腰应该是根号十，对不对？根号十，根号十，根号二十，那它的腰是直角边，是根号十， 根号十，怎么画？是不一，在勾股钉里面，一三根号十，那我们找到一和三的，是不是这个 对不对？这条边是不是刚好十一、三，刚好十嘛？对吧？好，那同时我们也找到它， 哎，这个边是，这个是不是一个等腰直角三角形了？那这个角是四十五度，此时我们可以过地点做这条边的一个平行线，是不就可以了？好，做个平行线，做平行线我们要跟它一样啊，也是对角线， 也是一乘三的等腰线。好，那么交点就是我们要找的一点，是不是？好，再来看一下任务二啊，尺规作图，那这个尺规作图看一下， 这个是个直角坐标系 a 点在 x 轴上， b 点在第一象限，用尺规作图，在第一象限内做一个点 c， 使得三角形 a b， c 是 以 a b 为腰的等腰直角三角形。如果 a b 是 腰， 大家想一下，他是腰，那我们的直角边我们是不是得在这边？是不是垂直于这个 b， 对 吧？垂直于 ab， 垂直于 ab， 如果 ab 是 腰的话，是不是 ab 是 底的话，那我们就是以 ab 为直径做圆了，对吧？那我们现在是以 ab 为腰的直角等腰直角三角形，那是不是过 ab 做垂线，对不对？ 做完垂线之后，那我们要使得 ab 是 幺，我们是不是截取这个长，对吧？使得它等于它，那这个三角形是不是就是一个等腰直角三角形了啊？也可以垂直于这边，但是垂直于这边，你发现跟它截取一样的长，你看这个 c 点是不是跑到了第二象限了？ 只要同时满足的话，是不是就只要做这边一个垂线，做 ab 的 垂线就行了？好，那么怎么做过 b 点做 ab 的 垂线，这是垂位作图最基本的，对吧？过点做直线的垂线，嗯，这样，然后适当长为半径。 好，然后我们截取 bc 的 长， bc 的 长要等于 ab， 对 吧？在这样用圆规 以 b 点为圆心， a b 也长为半径，截去一下，好，然后找到一个 c 点，此时连接一下。 那我们这个三角形 abc 是 不是就是等腰，以 ab 为直角边的一个，为腰的一个什么等腰直角三角形？好，任务三，任务三是用尺规做直角三角形这个方案啊，那么线段 m a， n 呢？在这啊，那我们要做一个直角三角形 abc 啊，把这个先擦了角上 a、 b、 c， 然后使得角 c 是 九十度， bc 还要大于 a c， 嗯，那这个 c 点应该在大概在这边，对不对？ bc 要大于 a c， a 点应该在这。好，那么斜边的长为 n， 我 先大概的画一下啊， 我们要使得斜边的长为 n， 也就 ab 的 长，要截取这个，对吧？ 要截取这个 a， 然后两直角边的 x 为 m， 两直角边一个直角边是它，还有个直角边，它 x 要是 m， 人家说 b、 d 已经是 m 了，对不对？好，如果说这个 x 要是他俩的 x 要是 m， 也就是说 b、 c 减去 ac 要等于 b、 d， 那 就说明 c、 d 是 不是要等于 ac， cd 等于 ac， 是 不是？其实就是要使得 这个三角形是一个四十五度等腰直角三角形，对吧？这叫直角吗？而直角它是个等腰直角三角形， 这样的话，我 a、 c 是 不是等于 cd， 而这两个长两个直角边的叉是不是就等于这个 m 啊？是不是？好，大概的这个图你思考一下，然后我们再把它擦掉之后再做标准的这个图，对不对？好，那想一下怎么做，怎么做出这个出来。首先我们 要做这个角平分线，那要做这个四十五度的角的话，我们得先做个直角，所以先过 d 点做 b、 d 的 垂线，做完垂线之后做个角平分线做，做个四十五度出来。然后呢，我们再以 b 点为圆心，截取这个 a 的 长为半径，然后在这个 角平分线的上面截取一个 a 点，是不是 ab 的 这个斜边长有了，然后我们我们过 a 点做这个直线 l 的 垂线，然后做完垂线之后，我这个 abc 就 有了，是不是？好，大概思路有了，我们来做个图啊， 过 d 点做垂线，过垂线是这样做没问题，对吧？ 比如说是 m a， 好， 然后呢？我们做这个 m， d， c 这条边上的一个什么角平分线， 角平分线。好，角平分线做好了之后，我们再以 b 点为圆心，然后 n 长为半径，在这截取一下，对不对？截取一个 a 的 长， 以 b 点为圆心啊，截取一下啊，那这个这个角就是什么？这个就是 a 点 a 点，此时这个 ab， 这 ab 就是 我们的斜边，对吧？斜边等于 n 了，好，这时候我们再过 a 点做 b b 所在直线的垂线啊，适当长为半径。 好，做完垂线之后，这个垂直的这个角，这个点就是 c 点。 好，大家看一下，你看这时候我 a c 的 长是不是等于 dc 的 长？那这个 a c 这条直角边和 bc 这条直角边的差，是不是刚好是这个 m， 对 不对？好，然后斜边的长是 n， 好， 是不是就都满足了啊？好，大概写一下作图的一个步骤啊，我们今天讲到这边，同学们再见。