2026北京数学二模几何

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继续东城区二模数学欣赏我们今天讲解答题的第十六到第十九题。 十六题是一个解三角形的问题，这一题很简单，基本上是顺分。 第十七题是一个立体几何问题。这一题也很简单啊，这一题证明线面垂直，实际上就证明线线垂直，线出的与面中两条不相交的直线。第二小题 根据选择的情况得到的答案不同，我们这里重略了题目，比较简单。好， 第十八题是一个概率统计的问题，也是很简单的。好，我们看他解答 啊，这是很简单的。第三是一个结论啊，也很容易。 第十九题难度可以提高，是解析题问题。第一题求椭圆的方程，当然也很简单。 第二题证明三点公式，实际上要求出三点的坐标，然后证明用向量式形，用这个斜列形都是可以的。 第一题，第二题的答案是分步来计算的，好，最终取对相的三点共线。我们看到和海淀区一样， 我们前面讲了南京奥园也是这样，常规题型，常规考，高考也是这样，新高考也是常规问题，常规考重点知识反复考， 弄懂课本是根本，掌握方法最重要。好，再见！

啊，继续海淀二模的赏析，我们今天讲第二讲， 哎，解答题是第十六、十七两题，十六题是解三角形的运用 啊，题目比较简单，比较常规，我们看看解答的构成。第一小题， 第二小题有两个选择，如果选择一，他的解答过程，选择二，他的解答过程都是基本的，公式的运用，基本方法的处理。第十七题是内奇结合 啊，这题第一小题是基本的证明很简单。第二个是坐标系，空间坐标系的运用。 好，第一小题的证明，我们回头请再看一下，好 证明最基本的。 第二题，先正后进，先正两两垂直，再建坐标系。建立坐标系之后，我们点有坐标，向量就有坐标， 点也做不了，象牙也做不了，使得面有法相量，利用法相量求得所需要的这个结果。啊，好，很容易的 通过这两个送分题的起来题当中，这两题属于基本的，是送分题。运用基本知识，基本方法啊，基本题型，当然过程当中可以灵活运用， 我们整个要注意会画图、识图和用途，边计算边推理啊，这是我们这两个基本题的特点。好，再见。

从本讲开始啊，我们来讲北京市海淀区的奥模数学题，我们仍然和南京奥模试卷一样进行赏析，而不去具体的讲解。 这一讲，我们讲赏析，一是个单元题和五个填空题，也就是一到第十五题。 好，前三题，第一题是简单的一个复数的几和一。第二题是向量的这个数量积。 第三题是一个基本不等式的转化运用，这是很简单的啊。第四题是两条直线之间的位置关系与距离公式。 第五题是等差数列的通向的运用。第六题是对数对数值的大小的转化，实际上既有运算又有大小比较。 第七题是三角函数式的一个转化。三角函数式我们讲，呃，它的转化实际上是有固定的模式的啊。 第八题是立体几何的一个反射运用。第九题是圆直线以及它的逻辑关系啊，充分性，必要性，重要性。 第十题是一个综合性的问题，一个分段函数以及这个 它们之间的关系啊，函数值相等的情况下，对于两个量， m 一 和 m 二的确定是小于三，那么 t 的 区间范围。这题是一个转化，不断的转化啊。 我们来看看答案，这填选择题的单选题的答案啊，在这里给大家分享一下填空题。 第十一题，双实线的渐近线。十二题，二项式定力的运用啊，定力当中通向公式的运用。第十三题是一个简单的应用题。 好，第十四题仍然是三角函数，不过这个里面是一个转化啊，正弦与弦之间的一个转化， 当然这里面有牵涉到两角和，这是背角公式和这个呃利和，这是呃三角同角，三角函数基本关系式的灵活运用。 十五题是一个综合性的问题啊。这题有模仿我们去年高考一卷对十那个压轴题的啊，这个影子有它的意思，好 进攻题的答案啊在这里，其中对十五题的对空是答案不唯一的 总关我们的单选题和多选题也叫基本的问题。这里边 呃按照 t t 状的啊。呃，从简单到复杂，从易到难。填空题也是这样的排布，从易到难的排布。 其实他是把我们书本上应知应会的知识点啊，重要的知识点都进行了考察，也就是遵循了重点知识，重视重点考啊。哎，主要这个内容反复考。 我们讲啊，人人要注意，课本是根本，结构是大纲，方法做桥梁，解体是思量，题干要互通， 图式分构详，直接间接用一般特殊帮好。

下班了，做套卷子放松一下。二零二六东城二末选择题 已知全集 u 为这些，然后 a 是 在 u 里面大于负一，所以它是这个，然后 a 的 补集，那就是负二，负一选 b。 第二题，负平面负数这个东西的共恶负数所对应的点，看选项，应该是相线，所以只判断正负，那我把它打开，所以是三减 二 i 分 之一，那上下同时乘一个三加二 i， 那 底下是正的，不用管它。然后对应对对共恶负数，所以应该是正负。正负的话应该是第四项线，所以选 d。 第三题， 已知 cosine alpha 求这个东西应该是负， sine alpha 有 导公式，然后看选项都带正负，所以开方不用管，所以我要把它处理出来。等于一减二倍的 sine alpha 的 平方等于负五分之三，所以挪过去是五分之八，除以二等于五分之四，开方等于正负， 所以选 c。 第四题，已知函数 x 方 x 方图像关于外周对称，关于外周对称的意思就是，呃 x 相反外相等，所以这两个划掉。 嗯，一个四的负一次方等于二的 a 次方，所以负二。第五题，平面只要坐标 x y 中抛物线 y 方等于四 x 画个图，开口向右，焦点是一零准线为负一 点 a 在 e 上， ok， 画个点 a 在 e 上， a， b 垂直 x 轴 ok， 垂足为 b。 如果 f b 等于二倍的 o f， 所以 这是二，这是一， 那这就是三，这是三的话带进去二倍杠三，所以选 b。 第六题，信息太多，看结果。直线 p q 的 方程 p q 的 话， p q 应该是在这里， p q 在 这里的话看选项。 嗯，因为他比较抖，所以我会把缓的删掉，因为他是负的，所以我会把正的删掉，所以选 a。 当然这里边我看到了一组勾股，所以是九四十四十一。那顺便提一嘴，那七七七四十九二四二五也可以，五五二十五，所以是十二十三也可以。嗯， 三的话三三得九，所以四五也可以。再往上走的话，其实还可以，比如说十一的平方，哦， sorry， 所以 十一的平方应该是一百二十一，所以应该是六十六十一也可以。我的意思是勾股数，嗯， 已知非零 x y 满足这个，那我会下意识的会把它设成 t， 那 么 x 就 应该以二为底， t 的 对数， y 就 等于以三为底， t 的 对数。那这样的话，我找 x 分 之一和 y 分 之一其实就是同底的了。 嗯，然后看 abcd 四个选项的话，只有 c 了。嗯，第八题 均为正实数，我会观察这个玩意儿和这个玩意儿它们是如何得到的，比如说我左边如何得到，右面的话，其实我平个方就可以，所以左面其实就是一个 a 方加上二 a， b 加 b 方大于右面的 c 方加上二 c， d 加上地方， 才会出现这种东西，那么我应该是比较这两个东西才能得到右面，而这两个东西目前来说是没办法比较的，所以这道题无论是左推右还是右推左，都是受这个控制，所以选 d。 第九题已知函数部分图像如图所示，而且是两个东西相乘，那这道题我会怎么做呢？我会考虑定域，值域，单调性，基有性，周期性，对称性。然后这道题定域是 r， 不 用考虑。然后 看选项，前面是二倍角公式，后面是一倍角，一倍角不是公式，那相乘的话，应该就是按照大的来，所以这是派，这也是派。 sorry， 划错了， 这是派，这是负派，然后它还是积函数，积函数的话，积乘以积等于 o， 乘以 o 也等于 o， 所以 排除 a d， 然后看剩下的区别。 那么因为是相乘的关系，所以我把这个拆开，塞 x 乘以 cos x， 然后再乘以它的话 cos 方，所以这是正的，然后这也是正的，所以整个一二象限应该是都是正的才对。所以 b 排除，选 c。 第十题，平面向量为不全相等的单位向量，并且满足这个东西。然后后续一会我再看，他说不全相等，那我看到这的话，我会想到两种情况，一个是真的不全相等，比如说一共三个向量，有两个相等， 还有一种情况就是全都不相等，那么我会分两类去想，如果它有两个相等，比如说一一向量等于一二向量的话，那后续的它点乘它的话应该是一， 嗯，如果两个相等，加角为零，所以它应该是一，如果这是一的话，那这也是一，这也是一。因为连等嘛，那这样的话，它的膜长是一，所以它的加角只能是零度， 还有可能是三百六，当然三百六不在向量的加角的取值范围内，所以我们假设错误了，这是用的反证法的逻辑，那就可能是，那就只能是全都不相等， 全都不相等的话还这么做，那就有可能是这种情况， 嗯，这是一一一二一三， 那这样的话，嗯，我们会拿到他说 a 乘以一， a 乘以二， a 乘以一三。这块的话，我就可以用投影去做， a 乘以一的话，就是 a 在 一一方向的投影，嗯， 所以这个 a 是 相同的， a 向量是相同的，那么我们可以看看，当 x 大 于 y 的 时候，也就是说在 i 一 一方向的投影，同一个向量在一一方向的投影大于在一二方向的投影，那这就是小于零的， 那这个应该是怎样的？在这边的投影大于在那边的投影，这是他的方向，这是他的方向，我完全可以在这边找，然后让自己大于零是有的， 对吧？这个的长度就大于这个长度，所以 a 是 错的。当 x 的 绝对值，注意它是绝对值，不是模，因为向量乘以向量点成像量的话，结果是数字， 也就是说这两个长度相等的时候， z 等于零，不一定吧。嗯， 所以在这其实就可以啊，它在这两个方向上的投影相等，这相等，所以它就不是零，所以 b 也是错的。 c 存在一个 a， 使得 x 等于 y 等于 z， 这个怎么想怎么不可能，除非他是零向量，否则的话， 对吧？他在三个上面的投影长都相等，嗯，想不到，所以 c 排除，所以这道题选 d。

这是海丁奥莫的数学赏析，我们今天讲第三讲解答题的第十八、十九两题。 十八题是一个统计与概率的问题，这题它仍然是考统计的基本方法，基本类型、基本算法、统计。 呃，概率问题仍然是分布列的运用基本的 概率问题。嗯，好。第一，小题的答案五分之四。第二，小题 x 可能取值七点五，三十三，一百五十三百，对应的概率值不到分布列， 我们算出 e、 x 五十八点二，单位元啊。第三，根据题目我们说，请先使用新技术啊。 第十九题是一个介于几何题，人人以椭圆为一个计算平台， 我们仍然是考察这一节课的基本运算，基本方法。 好。嗯，我们看第一题，求椭圆的方程以及离心力，这当然是很简单的一个题。好。第二题，我们设 a、 d 的 方程，代入 椭圆方程，它到关于 x 的 方程一定有一个解是零等于零，这题目规定的，当然要知道另一个解。所以地点的横坐标就一定是一加三 k， 平方分之六 k， 那么重坐标也有了， g 点坐标有了，所以 e 点坐标也就有了， a， e 的 斜率有了， a， e 的 方程也就有了，这样 y 的 值 有了，这样我们就到 x， a， n 的 值有了， d， n 的 长度也就有了，这样我们的三角形 d， a， n 的 面积表达出来。 所以我们根据题目规定的条件，列出方程，解出开的值正负一。 当然我们可以用方法二啊。好，得到 a、 d 的 方程是说得到 m 的 坐标，得到 a、 e 的 长度，把 d、 n， e 的 面积表达出来，让人和第一个方法一一样，列出方程，解除 y 零就有了开的值。好， 这两题是一个中等类型的题目，也就说是我们考试当中解答题的中等题， 他能够拉开学生的距离，使得中等生或者是优等生能够得到满足的分数， 使得计算能力，转化能力，对题的认识能力有差异的。哎，平时学的基础不牢的学生，这两题就会出现偏差失误或者是丢分。 我们小结一下，概同有算理的，常用有公式统计，用通法概率求比值 截击考方程图形关系式算理是接近转化能力。托好。再见。

大家好，上一个视频讲到第三问的时候，会发现三个问题讲的视频接起来难度会比较大，所以我们又做了个视频，把这个第三问单独做了一下。那么 我们在做第二问的时候会发现 f 撇 x 是 sin x 加二的平方分之 sin x 加二，再减去 cosine x 乘一个 x 加 a， 然后我们当时设的 h x 是 等于三 x 加二，减去 cos x 倍的 x 加 a， 然后还能求出这个 h x， 它是比较特别的是三 x 乘以一个 x 加 a， 也就是说这个 h x 的 话，我们是相对好判断一下它的一个增减性的。 那么它这里面要问的问题是什么呢？是 f 二分之派到二分之派上，尤其仅有一个解， 让我们直接写出 a 的 最小值，那么我们有一个思路是可以把这个 fps 等于一，然后给他写出来，然后得到一个新的函数，再对这个新的函数进行一下分析。 但是这个里面这个三 x 和三 x 三角函数太多了，然后出现的函数的话呢和这个方程也都是超越方程，非常的难以求解。 然后如果我们去把这个负二分之派零和二分之派这几个特殊值给它带进去之后，会发现 f 撇负二， f 撇这个负的二分之派，它是等于一的，然后 f 撇零，它是等于的，是下面是四，然后上面 sin x 应该是一个二， 也就是一个四分之二减一，然后这个 f 撇这个二分之派呢，会发现它应该是下面是二加一的，平方是九，然后下面是呃一加二等于三，也就是个三分之一， 所以会发现实际上我们找的这几个特殊值，也就只有负的二分之派到 f 撇负二分之派等于一，那么如果 a 大 于二分之派小于等于二的时候，或者说实际上我们看这个 h 撇 x 时候，会发现我们这个二分之派它 用在哪呢？主要是让这个 x 加 a， 它要能够大于零，因为 x 是 在负二分之派到二分之派上，如果 x 它要是没有说 x 如果是大于零呢？我们这个 x 加 a， 它就始终是大于零了，因为这个 a 是 大于等于零的。那么也就是说这个当 a 大 于等于二分之派的时候，我们会发现这个 f 撇 x 就是 它的 上面这个部分的，就是 h x， 它的增减性都是固定的，也就是说呢，它是在零到 二分之派到零的时候都是一个减函数，然后零到二分之派的时候都是一个增函数。那我们上面这个部分是好理解的，那下面这个部分怎么理解呢？其实三 x 加二的平方的话，它比较像一个二次函数， 然后呃，这个 sin x， 它在负二分之派到二分之派上，其实也就是从负一到一，也就是 sin x 加二的话呢，应该是在 sin x 小 于负二的时候，它才会出现这种， 呃，就是减区间啊，那么这个三 x 加二的平方，它就是一个严格的增函数，就是随着 x 增大而增大的。然后当 x 等于负二分之 pi 的 时候，它等于一，然后当 x 等于零的时候，它等于四， 然后当 x 等于二分之 pi 的 时候，这个 pi x 加二，它等于的是九啊，就平方之后就是九啊。然后我们去画一下它的图像的话呢，就会发现这两个函数的话，呃，它这 h x 它的增长性它是远不如这个三 x 加二的平方的， 或者说我们去画去算一下，会发现这个 h x 它等于二分之 pi 的 时候，甚至还等于三分之一呢，不到一的时候，而 tx 是 直直接一直在增长的， 所以呢，是只要 a 大 于等于二分之派的时候，这 f 撇 x 等于一，它都是只有一个解的，这个解就是负二分之派。那么 a 小 于二分之派呢？那我们就很多同学应该已经猜出来， a 小 于二分之派的时候，肯定就应该会有两个解了。 那么 a 小 于二分之派的时候，为什么会出现一个两个解的一个情况呢？就是这个 f 撇 x 它的增减性会出现一个问题，它会变成一个先增后减，就 嗯，这个这个函数的可能会类似于这个样子一下，它会往上鼓一下，然后过去，这样的话，它就既然先增到它后面就肯定还会再经过一次 e。 那 为什么会出现增的情况呢？就是在 x 加 a 这个部分是 x 加 a 的 时候，是在 负的二分之派到负 a 之间，它会出现一个区间，它是增长的。 那么确定完这一点之后呢，基本上就可以确定 a 的 最小值应该是二分之派。然后如果还是非常较真的话，可以去再去分析一下 tx 和 f 撇，就是下面这个上面的 h x 和下面这个 tx 它的导数的一个变化情况， tx 就是 它的导数在 x 大 于负 a 之后，又会很快开始变成一个小于零的， 但是呢，它在 x 等于负的二分之 pi 的 时候，它很明显是一个大于零的数，而下面这个 t x 呢，虽然它始终是一个增函数，但是恰恰在 h x 等于负二分之 pi 的 时候，它的导数恰恰是零。因为这个地方有个 cosine x， 所以呢，就是在最开始这一小段的时候，肯定是这个上面这个散 x 加二，减去扣散 x 乘以 x 加一，它的增长幅度要稍微大一点点，也就是说它肯定会先比一大一点点，然后再落下来， 呃，然后在这个一起一落的过程中，它就会出现两个解，所以，呃，就是只要小于二分之派呢，那这个就应该会有两个解啊， 因为它这个是直接写出 a 的 最小值，我们分析到这一步就差不多可以了，如果要是再继续进一步分析的话，可能就得去分析函数的凹凸性了，这样的话时间就太长了。

大家好啊，那今天看一下二六年朝阳二模的椭圆压轴的题目啊。这里面首先是求椭圆的方程，给的两个条件，一个是长轴与短轴长之和为六，就是二， a 加二， b 等于六，然后 a 加 b 等于三。 另外一个是焦距等于二倍，根号三就相当于是 c 等于根号三。我们用一下 a 方减 b 方等于 c 方，嗯，把 b 用 a 来表示一下把，就可以把 a 求下，等于二等于一。 最后求出来这个椭圆的方程是 x 方，除以四加上 y 的 平方等于一。 接着来看它的第二位，设 o 为圆点，点 a x 一 y 和点 b x 二 y 分 别为这个椭圆第一象限和第二象限内的点。而且 a 点的横坐标是 b 点纵坐标的二倍。 当点 m 满足向量 o m 等于二分之一， o a 加上二分之根号三的 o b 的 时候， 正一下点 m 在 椭圆 e 上面，这个 a 点和 b 点的坐标我们都是清楚的，这个 o m， o a 和 o b 就 相当于其实就是 m 点 a 点和 b 点的坐标，也就是 m 点，可以用 x 一 x 二和 y 一 y 给它表示出来。 那我们先写一下 m 的 坐标，那很容易可以写出来， m 的 坐标就是这个条件，其实指的就是 m 是 二分之 x 二分之一倍的 x 加上二分之根号三倍的 x 二。 呃，然后纵坐标是二分之一 y 一 加上二分之根号三倍的 y 二。那么这道题有一个特点，就是他没有直线方程了，我们也不需要去设直线，然后用伟大定律呃，要正一下这个点在椭圆上，其实就我们把这两个横纵坐标平方加起来，呃， 椭圆方程是 x 方除以四，加上 y 方等于一，那我们也可以用这个 x 方除以四加上 y 方，看看是它是不是等于一，或者去证一下， x 方加四， y 方等于四，这样就没有这个分母。 那剩下问题是，它一共有 x 一、 x 二和 y 一 y 二四个字母，但实际上呢，因为 ab 都是在椭圆上的，所以这个 y 一 可以用 x 一 表示， y 二也可以用 x 二来表示，然后它给了这个 a 和 b 的 相线，那么就省掉了一个分类讨论的一个情况。 那么又有另外一个条件，就是 x 一 等于二， y 二。这样呢，我们实际上最后应该是可以把它转化成只有两个字母的一个式子。 转化成只有一个字母呢？比如说所有的字母都可以用 y 二来表示啊，因为 x 二可以用 y 二表示，然后 x 一 可以用 y 二表示，那么 y 一 呢？可以用 x 一 表示。那比如说，我们最后可以转化成比如说都用 y 二来表示的一个式子，然后去把这个 y 二的这个式子进行一下化解。 接着呢，因为它是在椭圆的上面，所以我们可以把我们可以列出的所有等式都列一下，看一下怎么进行消圆，然后得到我们最后的一个式子。 那么条件分别是 a 在 椭圆上， b 在 椭圆上，还有 x 一 等于二， y 二，我们把它进行一下简单的呃 b 之后，会发现它会得到一个式子，是四万二的平方加四万一的平方等于四， 那么这个式子，呃，很显然它算是比较整洁的，因为这个能够说明 x 一 x 二，呃，还有 y 一 y 二，它们如果组成一个坐标的话，都在一个圆上面， 然后我们也可以把 x 一 的平方加 x 二的平方当成一个字母，就比如说我们最后能凑出一个 x 一 的平方加 x 二的平方，那我们就可以不用把它都强行换成某一个字母了。 那接着我们就需要去算一下 m 这个式子，看看这个 m 这个式子怎么能进行化简。比如说变成 y 一 的平方加 y 二的平方，或者是 x 一 的平方加 x 二的平方，如果不能呢，我们就需要再进行一下，比如说用 x 一 再表示 x 二之类的， 那么 m 这个式子里面有 x 一 x 二也有 y 一 y 二啊，那我们最好还是要给他进行一下处理。比如说如果我们想要凑的话呢，可能会比较想要凑 y 一 的平方加 y 二的平方，因为如果 x 一 的平方和 x 二的平方，感觉上应该会有比较多的一个分数， 我们需要替换的就是 x 一 和 x 二，只保留 y 一 和 y 二，看能不能凑一个 y 一 的平方加 y 二的平方。那么这里面呢，我们就需要去看一下 这个是二分之一倍的 x 一 加二分之根号三倍的 x 二。然后我们在这里面， 比如说我们这个把 x 一 替换成 y 二，或者是把这个四 y 二的平方，或者把四 y 二的平方替换成 x 一 的平方之后，会发现一个比较巧一点的事，这个四 y 一 的平方，它应该等于 y 二的平方， 那么也就是说 y 一 和 y 二也是可以互相表示出来的，我们就不需要再转一手了。那我们就接着就用这个把 x 一 换成二百二，然后 y 一 应该是要换成负二倍的 x 二， 那进一步化简之后呢？呃，我们可以用 x 一 的平方加四外一的平方等于四和 x 二的平方，加 x 一 的平方等于四，可以得到这个 x 二的平方，它应该等于四外一的平方。 然后因为 x 二是小于零的， y 一 是大于零的， b 在 二项线， a 在 一项线，所以我们最后可以把 x 二换成负的二外一。 这样呢，我们就也没有分类讨论的一个情况了，因为我们正常互换应该是带根号的，那么这个 m 我 们最后就可以把它换成只有 y 二和 y 一 的。那接着我们就需要把这个 m 这个点带到椭圆的方程里面，看看能不能正好凑出 y 一 的平方加 y 二的平方。 如果可以的，我们 y 一 和 y 二就可以不用互换了，那接着我们代入一下，求出最后结果就可以。 那么把这个 x 二和 x 一 都替换完之后，然后再代入这个四分之 x 方加 y 方，会发现最后化简完的式子正好就是 y 一 的平方加 y 二的平方，那这样我们就可以直接证明这个 m 就 在椭圆 e 上。

大家好，那今天来看一下二六年的西城高三二模的椭圆的题目啊。 嗯，那这里面首先要求椭圆的方程给了两个条件，一个是左焦点为负一零，还有一个是椭圆的点坐标负一豆三分之二倍，根号三。 那么求椭圆方程有两个思路，一个是 m f 到 m 到左焦点和右焦点之合应该等于二倍的 a。 另外一个呢，是可以把这个 a 方来用 b 方加一来表示，然后这个负一三分之二被根号三带进去之后，留一下 a 方和 b 方的值。 那么这道题里面这个 f 是 负一零， m 是 负一三分之二倍，根号三，所以这个 m f 它是很好算的，这个 a 它应该也是一个比较整的数，所以 m 到另外一个一到零的，它的长度应该也比较好算，所以我们就用 m 到两个交点的距离等于二 a 算一下就可以了。 那最后我们求一下这个方程的话，会发现二 a 是 二倍根号三， b 等于根号二， 然后方程是 x 方除以三，加上 y 方除以二等于一。然后第二问是过点 n 负三到零的直线与椭圆交于 a 和 b 两个点，然后我们过点 a 做这个 a p 垂直于这个 m f， 也就是 x 等于负一， 然后交 m f 于点 p。 我 们要呃证明的是这个三角形 b p n 就是 这边这个三角形 和这个三角形 b p f 就是 这个三角形，它们两个的面积是相同的。那这里面过的是负三零的直线，会想要设这个 y 等于 k， x 加 b， 然后因为是负三零，可以设它为 x 等于 t， y 减三。 这样的话我们会得到一个 x 一 和 x 二的一个关键式，也就是说我们最后如果要解方程的时候，我们想要把这个 t 求出来，最好呢，这个 x 一 和 x 二都要出现，这样我们才能凑 x 一 加 x 二和 x 一 乘以 x 二， 那么它这个要求证的面积呢？三角形 bpn 和 bpf， 我 们正常是没有三角形面积的一个对应的解析几何公式的， 那么这个地方它有非常明显的一个点，就是这两个三角形都带着 b p， 那 么这两个三角形都带 b p 的， 那么就应该是 b p 为底， n 到 b p 的 距离和 f 到 b p 的 距离应该相等， 那么呃，我们就可以把这四个关键点都看一下， n 是 负三零，那这个肯定是可以用的。呃，然后 b 呢？我们应该是 x 二 y 二，呃，然后 f 呢，是负一零，然后我们这个 p 就 最好要带上，至少要带上 x 一 或者是 y 一， 那 p 的 它是有点 a 做垂过去的，所以它的横坐标肯定是负一，纵坐标应该是 y 一， 这样的话，我们这个呃， n、 b p、 f、 x 一 和 y 一 还有 x 二就都 x 一， y 一 和 y 二出现了这样三个字母， 所以我们去求的时候就可以看一下， n 点和 f 点到 b p 的 距离应该是相等的，那这个 b p 的 话呢，我们就得用 y 一 减 y 二，再除以一个负一减 x 二做这个斜率，然后得到一个既有 y 一 y 二又有 x 二的一个式子， 然后把它转化成一般式之后，这个负三到零和负一到零到它的距离应该相等， 因为负三斗零，这个和负一斗零都比较简单。呃，这三个字母应该也不是特别复杂，所以这个 b p 他的解析式应该也比较好求，所以我们就可以用这个方式去求一下。那我们评估完他这一个计算的难度和这个思路之后，我们就可以把这个过程先来试着写一下。 首先来算一下呃，这个 a 和 b， 这个 y 一 加 y 一 乘 y 二，给它算出来。 那么解完之后， y 一 加 y 二是二， t 方加三分之十二 t y 乘 y 二是二， t 方加三分之十二，然后这个 t 应该是有范围的，所以我们就写一个，当 delta 大 于零的时候， 这个 delta 应该是不太需要算的，因为我们最后不需要求 t 的 取值范围，所以就不需要去算这个 delta 了，但需要写一下这个 delta 要大于零。 然后，呃，我们就是设的是 x 等于 t， y 减三，这样的话呢， y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，会发现 y 一 乘 y 乘以 t 就 等于 y 一 加 y 二了。如果是设的是 y 等于 k 倍的 x 加三的话呢？呃， 这个 x 一 和 x 二，还有 x 一 加 x 二的转化关系应该会比较复杂一点。接着我们需要去求一下 b p 这条直线，然后再去分别算一下 n 到 b p 的 距离和 f 到 b p 的 距离，证明一下它们相等。那我们先算一下 b p 这条直线啊， 那接着我们把这个 b 和 p 给它带入之后，可以去求出 b p 的 一个格式，然后我们要用点到距离的公式，然后把它画成一般式， 多少 x 加上多少 y， 再加上多少常数，所以我们把它打开的时候都注意一下，要给它啊的共音式啊，乘以 x 乘以 y 的 这些给它分开，那最后画完应该是 y 一 减 y 二倍的 x 加上 x 二加一倍的 y 减去 x 二， y 再减 y 等于零。 然后我们把这个 n 和 f 分 别去求一下它到 b p 的 距离，下面这个根号下 a 方加 b 方，这个就可以不用考虑，因为它直接就被抵消掉了，就只需要看上面这个分子相同，那么分子呢？我们需要再进一步的化简 啊，他们两个都带绝对值，那可以先给他打开，然后我们需要去证的就是这两个距离是相等的，因为他们的底都是 b p， 然后去打开之后呢，会发现这个只有一个 x 二是需要带入的， 那么带入之后呢？呃，就会发现一个是二， y 二减去 t 倍的 y 一 y 二，一个是二 y 一 减去 t 倍的 y 一 y 二，呃，然后 y 一 和 y 二，还有这个 y 一 乘 y 二，我们刚才做的时候就发现了， 就是 y 一 乘 y 二，再乘个 t 就是 y 一 加 y 二，所以这个再把这个直接换成 y 一 加 y 二，之后就会变成一个是 y 二减 y 一 的绝对值，一个是 y 一 减 y 二的绝对值，那么就直接是相等的，那么最后我们就可以证明这两个三角形的面积是相等的。

中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。

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hello， 各位同学，大家好，我是数学吴老师，带你三分钟解析北塔填空的亚洲题。 给出一个三角形 a、 b、 c， 告诉我们角 a 呢是九十度，这条直角边的长是六，这条直角边的长呢是八，那我们利用勾股定律可以求得斜边的长呢？是十 点 p 是 斜边上的一个动点，过点 p 向两直角边分别做垂线。 做完垂线，我们会立马发现这个四边形里面有三个内角是九十度，那么他一定是矩形。矩形有一个非常重要的限制，对角线的长度相等，所以 ap 的 长度和 ef 的 长度一定会相等。 最后呢，我们要求的是什么呢？ pm 的 最小值，而 m 呢，他又告诉你是 ef 的 中点， 那你看，我得到是矩形，这个角一定是九十度，所以我们三角形 e、 p、 f 一定是一个直角三角形。 你告诉我直角三角形斜边上的中点，那他一定会考斜边中线等于斜边的一半，所以我们立马会得到 pm 的 长度等于二分之一倍的 e、 f 的 长度， 而 e f 和 a p 相等，所以它又可以等于二分之一倍的 a p， 那 你要算 pm 的 最小值等于在求 a p 的 最小值。 a p 的 最小值怎么去算？点 a 和点 p 做一个连接， 点 a 呢是一个固定的点，点 p 呢是 b、 c 上的一个动点，那它的最小值相当于我们再去求一个点到一条线怎么样去最短。 那一个点到一条线怎么样最短呢？我们知道点到线的距离，是啊，垂线段最短，所以竖直向下，我们点 p 跑到这个位置的时候， a p 的 长度，是啊，最短的， 这个时候你正好是 bc 上面的高，那高怎么去算面积？面积等面积法就可以了。三角形 abc 的 面积可以用六乘八乘二分之一，两直角边相乘乘二分之一来算，也可以斜边乘斜边上的高乘二分之一来算。 所以我们可以求得 ap 撇呢，正好是四点八，而我们 pm 呢，是二分之一倍的 ap 撇，所以就变成了二点四，所以 pm 的 最小值填二点四 即可。这道题呢，其实跟我们课本上的原题呢，是特别像的一道题。我们课本上的原题长这个样子， 你看两个题呢，几乎呢是没有区别的，这个地方是九十度，两边做垂线，形成的是矩形。 我们现在呢，求的是 e、 f 的 最小值，还是要转换成 a p 的 最小值去做。而这道题呢，只不过我们多加了一个知识点，直角三角形斜边中线等于斜边一半而已。好，这道题听懂了没有？

好，我们今天来看朝阳二模的第十二题，这是一道直线和圆的题目，有的人一拿到就，哦，怎么做呢？直线和圆好有焦点，我用连力，那如果你选择了连力的方法，那么你到考试下课都不一定做出来。 因为在咱们北京的考试当中，所有的直线和圆，在小题当中，它的考点一定是 距离公式，所以一定要往距离公式上面去找方法。好，我们接下来看这道题怎么到底怎么做？题目给的一个直线，给的一个圆，那首先你得会认识直线和圆， 直线就是一个经过定点的直线，叫做一逗零，而这里的圆 c， 它是一个怎样的圆呢？它是一个圆心为二，逗零半径为一的圆，所以这个时候聪明的你就可以开始画图像来思考这件事了。 画出图像，这是一个圆心在二逗零，半径是一的圆，同时有一个直线，直线是经过一逗零的过这个位置和圆相交于 a b。 啊，那我们就先随便画一个 a 交于 ab， 然后它的要求是 a、 b， c 需要 a c， b 需要是一个锐角，那很明显此时是钝角，那我们这个直线画的太陡了，那怎样画呢？那我们就画 陡一点，刚刚那个太平了，画陡一点，那这时候 a 就是 b， 那 就是 c， 对 吧？好，那到这里，如果你刚好看到了锐角，同时你能够想到这道题太简单了， 如果刚好在它正上方 b 点，那么不就是直角吗？如果比更平一点，就是钝角，所以我们这个直线不能够太平了，它可以更陡一点，那就 直接看出来了，这是一，这是二，这又是个一，那它就是一个四十五度的直线，所以此时的 k 就 应该等于一，而我们要的是锐角，那只要比一更大一点，更陡一点就可以了。那也就是说 k 只要大于一， 如果在下面，那 k 就 应该是小于负一，就是锐角，轻松搞定。那最后题目说啊，请你写出一个答案，那就随便写一个大于一或者小于负一的数，比如说二呀，三呀，四呀，负二负三负四都可以， 所以这道题你只要画出图就能轻松搞定。好的，那我们再看标准的思路，其实有一点复杂，因为我们说核心考具体公式，但是聪明的你刚刚一画图，直接就秒杀了，都没用到具体公式， 那我们用标准的思路讲一讲，如果你有兴趣，可以顺着这个思路往后做，看能不能够求出来。最后答案 还是这个圆还是直线，那想要是锐角，那就意味着三条边之间要满足我们的余弦定力，这叫 a， 这叫 b， 这叫 c， 也就是说 c 方它得要小于 a 方加 b 方， a 方 b 方都是半径是一， 而 c 就是 我们的弦长，弦长就和距离有关，做垂直，所以用点到直线的距离公式，然后再加上半径，就可以求出弦长， 而弦长就等于 c， 最后我们结合不等式，同样的也能够求出来，对应的 k 就 要大于一或者小于负一。好的，我们最后总结一下，那你在做这道题的时候呢？你是采用的连逆得 a b， 还是直接用距离公式 画图像把它轻松搞定的？那告诉我，我们看看有多少人走了弯路，有多少人是直接秒杀。关注我，我是在北京教数学。陈老师，我们每天会讲一个数学知识点。

继续北京奥摩的海淀区的数学试卷的分析，我们今天讲第四讲。呃，最后一讲第二十、二十一题的赏析。 这两题是压缩题，难度较大的题。第二十题是导数的运用， 这题分三小题，第一题考几何意义，第二题考导数的基本应用，第三题是转化构造。好第一题的单 有三条曲线，标题基本应用求导构造一个新的函数 g x， 然后列表分析它的变化状态。 我们知道 f x 小 于等于 f of 的 pi， 那么就知道答案啊。第三个 a 的 最小值二分之八 a， 而这题是综合性的问题，着重在考察推理 啊，分析去考察我们数学素养的一个综合题，这题出的很漂亮的啊。 那么第一小题解答很简单。第二题分类讨论实际上也是一种广义上的反刃法啊。好！第三个，我们对它要从指数到一般的进行推理， 重在转化运算。好，我们 第三题，我们有第二题就可以知道， t 等于一， n 就是 一， t 等于二， a， k 等于二，等等啊。 中上 m 大 于等于二的时候， m 杠一元数角的个数是 m， 加二个。小结一下， 我们纵观整个海淀区的奥模数学圈，看到课本的姿势仍然是根本， 所有的题目不离开我们高中数学课本，所以知识基础是根本，方法技巧作桥梁，解题能力最核心，数学素养最刚强。好！

哈喽，各位同学大家好，我是数学吴老师，今天给大家带来的是北塔二摩的二十四体圆的综合，我们一起来看一下。这道题给了一个三角形 abc， 告诉我们角 a、 c、 b 呢，是九十度， 又给了一个角的角平分线，角平分线，立马得到两个角的大小相等，画了一个圆，这个圆呢，经过点 b 和点 d， 两个点原先落在了 a、 b 上面。第一小问，让你去正圆的切线。 正圆的切线，我们首先要搞清楚线和圆有没有交点，因为有交点，我连半径正垂直就可以了，如果没有交点，没有交点，我需要做垂直正半径， 他是两个类型的。那这道题圆和线有没有交点呢？有， 这个地方清楚的告诉我们，圆经过了点地，而点地呢，又在 a、 c 上面，所以点地呢，是这条线 a、 c 和圆的交点，那有交点，我们要去正切线， 需要连半径，所以我们把 d、 o 做一个连接，连完 d、 o 以后，它是半径，它也是半径，所以我们得到 b、 o、 d 这个三角形呢，就是一个等腰三角形，那这个角呢，和这个角相等，都是一个底， 立马得到这个角和这个角呢也相等，而这两个角呢，正好是啊，内错角， 内错角相等，两直线平行，平行以后，我把这个地方的九十度就可以挪到这个地方了， 所以我们立马得到 a、 c 和半径 d、 o 是 垂直的，垂直一定会相切，剩下的就是你把这个思路完完整整的写出来就可以了。 如果你还不会写切线的证明过程，你联系我，或者说写完有没有问题，你发给我，我给你看。接下来我们再看第二问。第二问呢，这个地方给了这样的一个条件， 这个条件我们在做题的时候，首先你要把它转移成比的关系。 为什么要转移成比的关系呢？因为我们在初三的这个地方，我们学完相似以后，谁是谁的几倍，其实就是谁和谁的比值是多少， 那涉及到比值的东西，考的就跟相似会挂钩了，所以我写成比的形式，方便我去找相似三角形对应边乘比例的比值。 第一问的辅助线我们划到旁边这个干净的图上来，两个垂直也挪过来， 那你看我现在呢，得到他和下面这条边的比值呢，是根号三，那我就看他们所在的三角形相似还是不相似就可以了。 第一问呢，我们已经得到了这两个角相等，而对顶角相等我可以直接用，所以我们立马得到这个三角形和旁边这个三角形两角对应相等，两三角形就会啊相似。 那接下来我们看一看，立马得到。我就简单写了，三角形 b、 e、 c 相似于三角形 d、 e、 o， 所以 我们现在知道的是 c， e 和 o， e 的 比值是根号三，那其他的对应边的比值呢，也是根号三，所以 bc 和 d、 o 的 比值是根号三，我们 b， e 和 d， e 的 比值呢，也是根号三。 至于要用后面这两个的哪一个，你等一下看求的东西哪个方便你去用哪个就可以了。我们现在要求的是这个角的正弦值，也就是这个角， 那你求正弦值，首先放到直角三角形，它现在在两个直角三角形大的三角形 a、 c、 b 里面，如果能知道这条边和这条边的长度，两个比一下就可以了， 也在小的直角三角形 a、 d、 o 里面知道它和它的长度，做一个比值也可以。但是这道题没有数据， 只有比值，说明你要设未知数。设未知数的时候我们也是有技巧的，小学或者一上初一的时候就会告诉大家，设小不设大， 设加，不设减，设成不设除，所以我们挑小的边去设， 挑小的边去射的时候去尝试看看怎么样好算这道题我们射 a、 o 的 长度会特别好算， 为什么会特别好算呢？我们第一问得到这条线和它是怎么样平行的，所以我们立马是不是也能得到这个小的直角三角形和我们大的直角三角形也会怎么样相似？ 那对应边是不是也成比例？它比值是多少呢？这条直角边和这条直角边是不是对应边？ 长的比短的是不是根号三？所以我们的斜边长的比短的也是根号三，就是它是它的根号三倍。所以我设 a o， 如果是 x， 那 我们的 ab 的 长度一定是啊，根号三个 x， 那剩下 b、 o 的 长度我就能表示出来。 b o 的 长度我就可以表示成根号三 x 减掉 x， 那 b o 是 半径，我们 d o 呢？是不是也是半径？所以 d o 的 长度也可以用根号三 x 减 x 来表示。那这样的话，你看我们这个角的正弦值 就等于所对直角边比斜边，我换成这根两的比值就可以了。 上面用根号三 x 减 x 代替，下面是谁呢？ x 上下同时把 x 除掉，前面除完以后剩 a， 根号三，后面剩个一，所以它的正弦值就是根号三减一， 剩下的把这个思路转换成完整的过程就可以了。好，这道题呢，我们就讲到这，拜拜。

来看第二题，第二题能不能看出来他考的是个什么？相似，八字相似，哎，捅八字，捅哪个点？统一点，非常好，这里面的关键词是哪个？关键词是这个？ a d 平行于 bc， 兄弟们， a d 平行于 bc， 你 有平行， 是不是就应该想 a 字八字，这没问题吧？有评价，你是不是应该想 a 八，然后他告诉我们这条线段是六，这条线段是八，那相当于，我知道 ab 就是 十吗？这是直角吗？这 ab 就是 十吗？十减六呢？这条线段是四吗？ 对不对？好，我拿到了这条线段是四以后，我拿到这条线段是四以后，最后人家要求这个点 df 这段距离， d f 这段距离，我现在要直接求，显然没法求。那怎么办呢？你还要看到平行线间夹了一个比例关系，四比六，这是不是平行夹比例？这我给你画到这，你这么看，你就更能看得清楚一些。平行线，然后呢？这是一个 四比六啊，然后呢？这你看这四比六怎么用？你是不是显然就把这个捅出来？把这个捅出来是不是造成一个二比三的相似？这就是平行加比例造相似，平行加比例造八字， 对吧？好了，那我就把一点捅出去，一点捅出去，哎，那你会发现这两个三角形就构成一组八字相似。 相似比是多少呢？啊？你可以看自基比，他的自基比是六和六，他的自基比就是四和四，所以这条线段就是四。那么接下来这是第一步，第一步，我造个相似，造个八字相似，得到了 a g 的 长来。第二步，我要求 df， 我 要求 df。 你 观察一下，我们刚才造完以后，除了得到这组相似以外， 是不是还得到了一个以 f 为交叉点的八字，就是这个八字，而这个八字现在什么知道？我们知道相似比是二比一，你会发现这是六，这是十二，那么相似比是不是就二比一？所以第二，我们再用一个以 f 为交叉点， f 为焦点的八字。 相似比是多少？相似比就是一比二吗？相似比是一比二，那你会发现，那我设这段线段是 x， 这 d f 就是 二 x， 那 么 x 加二 x 三 x 就 等于六，所以二 x 就 等于四，所以就等于 df， 所以 做个答案， df 就是 四，结束。 哎，这就是干什么？就是首先你有平行，你得想 a 八，然后呢，你再观察一下平行线间夹比例关系，你把它捅出去就造八字。注意，捅出去以后，一般来说你造的可能都不止一个，为什么都不止一个呢？平行线间有几个交叉点，就最少有几个八字， 你现在有两个交叉点，平行线间有两个交叉点，最少有两个八字，这个八字有相似比，先用，用完以后再用个 f 结束，这就是平行加比例造八字，这就是感受一下平行线带来的八字构造。

朝阳二模第十三题，三角函数题干就只有一句话，但是题目的条件，它包装起来非常吓人，叫做对于任意的一个三角函数来说，它其实都有 fa 小 于等于 f x 小 于等于 f b， 那 你以为呢？需要分类讨论，那它其实啊，这道题的考点就只有一个，叫做求最值。好的，那我们一起来看题。 题目是说有一个三角函数满足这样一个要求，问 a 减 b 的 最小值绝对值是多少？ 怎么去做？所有的三角函数都有同一个原则，就是你需要把它转化为 a 倍的 sin omega x 加上 five， 那 像这道题，题目写的是 cosine omega x 加上 five 也是一样的，只要变成了这种形式，它都是能做的。我们变成标准形式之后有什么好处？所有的三角函数，如果它是一个正弦，那么它就应该是从原点开始上去下来，上去下来的一个波浪线， 那如果是余弦，像这道题，它就是一个以 y 轴为对称轴，上去下来上去下来的波浪线。而今年朝阳这道题是送分题，因为它已经给你化简好了，所以它就是一个波浪线。 而且这道题是对于任意的一个 x 而言，那也就是说 x 如果属于 r， 那 同样还是属于 r， 所以我们整个波浪线从头到尾都是可以取到，那既然都能取到，那最大就应该是一，最小就应该是负一，并且最大值和最小值之间刚好就应该相差二分之一个周期。二分之 t， 那这道题的周期是多少呢？因为题目告诉的欧米伽等于 pi， 所以 周期就等于二。 pi 除以欧米伽就等于二，那既然周期是二，那半个周期就应该是一， 所以最大值和最小值之间最短的距离， a 减 b， 对 吧？那两个人 b 是 最大的时候， a 是 最短的时候，那两个人之间的差就是我们的半个周期，所以最小值为 一。好的，那屏幕前的同学，你在做这道题的时候，第一反应是把它变成不等式去求值，还是你就看出来了，我们要翻译条件， 把它变成一个标准的三角函数，然后题目给的这两个任意 f， a 小 于函数小于 b， 其实就是在告诉你，它是最小值，这是最大值。 如果你学会了翻译，那么这道题就直接秒了。好了，那我是北京，在北京教数学的陈老师，如果你关于数学有不会的可以关注我，我们每天会讲一个数学知识点。

哈喽，我是北京数学陈老师，海淀刚出炉的二模试卷，你还在一个一个的慢慢算吗？算了半个小时，选择填空还没有算完。那今天没有废话，就三件事， 第一，基础题快速秒杀，第二，中档题想思路给答案。第三，压轴题咱们展开讲，讲透来，咱们直接看第一题。第一题就是北京常考的叫负数的问题，问 z i 在 对应的点是多少？负数也就是 a 加 b i， 那 我们就算一下呗， 负数是 a 加 b i， 因为在第三项线，所以 a 小 于零， b 也小于零， 那 z i 那 就是 a i 加 b i 方 i 方等于负一，所以那就变成了负 b 加 ai， 那 因为 b 是 小于零的，所以这个为正数，那这个为负数。 一正一负在第几项线？毫无疑问第四项线，所以答案选择 d 选项。接下来我们看第二题。第二题其实就是一个向量数量积的公式， 向量 a 乘以向量， b 等于 a 摩乘 b 摩乘以加角的余弦。因为题目明确告诉的是单位向量，所以就等于一乘以一乘以 三分之二派的余弦值，也就是二分之一，负二分之一，所以最后答案就是负二分之一。选择 b 选项。第三题一眼就能看出来考的是什么基本不等式的配凑法，给他配上一个加一减一， 前面的整个部分大于等于二倍根号四，再减去一秒选三。接下来第四题，题目是说两直线平行，平行就要干嘛，平行就要对应成比例， 所以二比 a 就 要等于负一比一，那此时就可以解出来， a 等于负二，所以第二个直线叫做负二。 x 加 y 减二等于零。接下来题目问题问的是距离，距离的公式就是 c 减 c， 除以 a 方加 b 方开根号。那需要注意的是，我们要保证两个直线的 ab 需要相同，而此时两个人刚好相反，所以给它化简一下， 得到的是二。 x 减 y 加二等于零， c 减 c， 也就是二减一，所以分子就是一 分母呢，那就是二方加一方开根号，根号五。答案就是五分之根号五。选择 a 选项。第五题看起来好像有点麻烦，其实它的核心就是在考计算 等差竖列，如果不会做，所有东西都变成 a 一 和 d 的 形式，前面的算式可以变成 a 一 加上二， n 减一倍的 d， 后面的算式可以变成二倍的括号 a 一 加上 n 减一个 d。 将这个式子展开化简，我们就可以得到 a 一 等于 d。 当你知道 a 一 等于 d 的 时候，那就可以根据 a 三求 a 一 和 d 了，也就是 a 一 加 d 加 d 等于六， 两个相等，那就可以得到 a 一 等于 d， 分 别都等于二。最后题目问的是第二零二六项，那就是 a 一 加上二零二五个 d。 最后答案选择 d 选项。第六题，如果你对函数不是很熟悉，那它确实有一点难 考的是函数的大小比较。指数含对数函数，对数函数，还有对数函数。三个对数函数比较大小，如果底数相同，我们利用单调性。 如果底数不相同，我们比较常用的方法叫做借值法，通过零和一来进行比较。这个式子根据对数的计算化简可以得到，它是一个 log 三二点五，而前面的是 log 三 e， 因为 log 三 x 是 一个单调递增的函数， e 约等于二点七，大于二点五，所以就可以得到 a 是 大于 b 的。 接下来我们就可以用介值法来解决这道题了，画一个图像， log 三 s 图像就是在变大的，这个地方是 e， 因为我们取的是一个 e 二点五左右，所以这个数它肯定是小于 log 三三， 所以可以得到的是两个人分别都应该在零和一中间。那接下来我们来看一下 c 是 多大，也是一样，根据对数的计算， c 它就等于零三，零三在哪？因为三是大于一的，所以这个数就会大于一，因此我们就可以到 c 是 最大的，所以 c 大 于 a 大 于 b。 答案，选择 a 选项。第七题，三角函数 三角函数告诉了值域，三角函数我们首先要知道它的一个标准形式叫做 a 倍的 sin omega x 加上斐，你只有将三角函数化成这种标准形式，你才能够求值域，所以我们需要将它进行展开化。简俗话说的好，叫做破后而易 有括号，这两个式子没办法放在一块进行计算，所以先打开括号，得到的是 sin x 加上 q q 三三 cos 三 x cos 三 y， 再加减去 cos 是 多少？那这里的 cos 其实就是一个常数，所以我们将未知数两个 cos 可以 尝试放到一块， 那就会提出一个 cos 三 x， 得到的是一减 cos， 乘以 cos cos 三 y。 很多人做到这一步，其实就有点不太会了，确实到这里稍微有一点不太好想，因为看起来有点复杂， 其实它就是我们的一个标准形式，这个为 a， 这个为 b， 典型的辅助角公式。提出 a 方加 b 方 k 根号，就可以将它直接化简。 所以我们提出这样一个式子啊，叫做一减 sine sine 的 平方，再加上 cosine sine 的 平方开根号， 然后再就可以直接得到一个辅助角。公式 x 加上贝塔前面的括号，将它打开就是平方，平方减两倍，那就是二倍角。公式两个平方又可以凑一化简完，得到的是二减 sine， 二 sine 开根号 乘以 sine x 加上贝塔。而在这一道题目当中， x 的 范围是任意的，所以它的范围就是负一到一。一个负一到一的数乘上某个常数还是负一到一，那就说明前面这个东西它就应该等于正一， 那也就得到了二减三引二斐开根号等于一解方程，可以得到三引斐等于二分之一，那由此斐就可能是 六，可能是六分之派，当然也可能是六分之派加上二 k 派，或者六分之五派加上二 k 派。那这一道题的选项呢？就只有一个符合要求，所以我们选择 a 选项。接下来我们看第八题一个关于逆题几何体积计算的问题。 题目是将三角形折上来，三角形折上来，折上来之后，要使得这个图形是一个等边三角形， a e 和 b e 本身就相等，那如果要等于折上来的 a 一 撇 b 一 撇，那其实就意味着 a 一 撇， b 一 撇就应该是等于这条线段的一半。那题目又告诉了它是平行的，那其实不就应该是相当于中位线吗？ 所以 a 一 撇 b 一 撇和底下的 g、 f 的 长度应该是一样，平行且相等，那想要保证这种情况，毫无疑问，它肯定是在它的正上方折到刚好垂直的时候， 那折到刚好垂直的时候，底下又是一个正方形，又竖起来，那这个时候也许聪明的你就可能会想到， 这不就是一个正方体吗？我们将图形补全，所以题目要求的这个体积，那就是正方体的体积减去左边的三层 柱和右边的左边三等锥和右边的三等锥，那正方体的体积呢？就是题目告诉我们一些长度了， a、 c 的 长度为二，根据中点，那所以就是一就是一，就是一就是一，那正方体的体积就是一乘一乘一，那减去三能 锥，两个三的锥的体积呢？是二分之一。二倍的三分之一乘以底面积和高，那底面积就是二分之一乘一乘以高也是一 啊。成在一块做减法就可以得到，是一个一减三分之一等于三分之二。答案，选 c 看起来很难，其实如果你对这些几何模型它的构造很熟悉，其实能够一眼看出来。接下来我们看第九题。第九题同样其实还是在考的一个基础概念，考的是椭圆。 看到椭圆和圆相关的式子，我们首先需要给它化减，那椭圆化减得到的是 x 减 a 括起来方，加上 y 加 b 括起来方，等于 a 方加 b 方开根号， 所以这一个圆，它的圆心就是 a 到负 b， 它的半径就是根号， a 方加 b 方。 那题目的问题是，前面能不能得到后面，后面能不得到前面 a 和 b 相等，其实个是非常好解决的问题，关键就是在后半句。 圆想要和直线相切，满足的条件就是距离公式，圆心到直线的距离，它的长度刚好等于半径，那我们就可以根据这个来列方程，看能够化简得到什么。 圆心在这直线化成一般式， x 减 y 等于零。你用距离公式可以得到的是，距离等于 a 减负 b， a 加 b 除，绝对值除以一方加一方开根号根号二，它要等于半径等于根号， a 方加 b 方 化减展开，最后可以得到，是因为有绝对值和根号化减的方法，两边同时平方，最后可以得到的是 a 减， b 的 平方等于零。那毫无疑问啊，相切就是在告诉你 a 等于 b， 那 再看一看前面这句话，前面是 a 的 模， a 的 长等于 b 的 长， a 和 b 的 绝对值大小，那其实就 a 等于 b 或者 a 等于 b。 根据口诀，小充分，大必要，前面的范围更大一些，所以它是大范围，大必要，那我们就选择必要不充分。最后我们一起来看一看今年北京选择题的最后一个压轴题， 这是一个分段函数的题目。分段函数怎么做？分段函数壁画图像，所以画出它的图像 题目是由两个函数组成，一个是二次函数，一个是指数函数。二次函数开口向上对称，轴尾一 啊，那我们就随便先画一个，然后呢？只要小于二的部分，所以我们只取到二这个位置。 指数函数它是一个二， x 本来应该向上给它加了个符号，向下给它减了个 t， 可能向上可能向下移，也就是说图像应该是这个样子，再往下进行移动，或者往上进行移动，看 t 是 多少。 那假设我们现在就画在这，对吧？那思考一下此时是否符合要求，题目其实并不是很难，它的重点是在于能不能读懂题目的意思，题目的要求是有一个 m 对 应两个 x， 然后呢，存在这样的 m 啊，使得 m 之间的对于任意的 m 来说， m 肯定都是差，都是小于三的。那重点在前半句，这样的 m 是 什么东西？ 它其实就是一个 y 对 应两个 x。 那 我们现在这个图像上有没有类似的点呢？是有的，在这 你就会发现 m 为这个数的时候，那就会有 x 一 和 x 二，那这样的 m 有 多少呢？从这到这都可以，因为只要有两个焦点，它其实就是有符合要求的 m， 那 这样的 m 它在这个范围内，它的值会不会是小于三的呢？刚好这个图像它可以顶点，就是一把一带进去，可以求出顶点的坐标，叫做一逗 t 减一，然后根据对称性，左边右边刚好是关于一对称的，所以两岸分别就是二斗 t 或者零斗 t， 也就是说最低点是一个 t 减一，最高点是一个 t， m 在 这个范围内去进行运动， 那所有的 m 相差肯定是在三个差三个单位以内的，因为这里只有一个单位啊，所以这是符合要求的。那这是什么情况呢？ 那这就是我们的这一个指数的函数，它虽然受 t 的 影响，但是它不能够到上面，到下面，它应该在下面的时候，所以其实我们会发现，只要我们的指数不参与，其实都是符合要求的，那指数稍微参与的时候，到这的时候符合吗？ 同样也是符合的，你会发现此时的 m 还是在这个范围内，有对应的 x 一 和 x 二，只是可能 x 一 x 二是在这三个点里面任选，但是 y 之间的差是不可能超过一的，所以仍然符合，那也就是我们的指数，它只要不超过这个之前都是可以的。那指数的端点算出来，把二带进去，叫做 二到负四减 t， 由此我们就可以得到的是，只要负四减 t 是 一个小于等于 t 的 数都是可以，那我们可以算出来，此时的 t 就 应该是大于等于负二 啊，刚好 c 选项，对吧？那这就做错了啊，没这么简单压轴题吗？啊，如果你觉得太简单了，那就不要选 c 啊，反正 b d 错了，那我们就选择 a 选项， 那 a 选项这里有个负三，怎么来的怎么来的，就是还是将指数我们继续往上移，当移到这的时候，你就会发现这是 x 一， 这是 x 二，但是 y 的 叉就不在一个单位以内了，所以我们要保证这个叉的值，它必须要小于三，所以我们一样的做减法啊，我们可以用 啊，负四 t 在 这，那最小的值想要对应两个 y 就 在这，那也是它们之间的差，就应该是在三个单位以内，那也就是负四 t 减 t 啊，我们这个数啊，它和最底下这个 t 减一，减去括号 t 减一，它们之间的差要小于等于三，好进行计算，可以得到是负四减 t 加一小于等于三，也是负二 t 减三小于等于三啊，化解一下， t 就 大于等于负三 a 选项。所以在北京的选择题，如果你足够熟练，对我们的所有公式技巧掌握的都还可以， 十多分钟啊，北京的选择题就可以搞定！以上呢，就是咱们十道选择题的通关方法，海淀二模的这套试卷出的非常的好。现在呢，我们距离高考呢，还有二十多天的时间啊，陈老师在这里特别提醒大家，一定一定要回归教材 复习那些被你认为好像你会了，但是其实并不是特别熟悉的公式，那陈老师也会陪你最后的这二十多天，每天刷刷题，巩固基础。如果你对这一套题目的选择填空还有什么疑问的话，可以在评论区留言，我会挑典型的题再单独讲一讲。

几何快代数，稳心定力，还能提智商。 hello， 各位同学们，大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家讲的是我们初三下人大负二模的这道模拟题啊，这道函数压轴题， 这道题目呢？同学们，做到这个第三问，是不是感觉特别特别烦，对吧？怎么这么多点呀？ b p 对 不对？然后又过它做 c q e f， 天呐， 太多信息了对不对？哎，同学们，这里肖老师要给大家一个认知啊，越是这种让你看起来好像有点烦，需要咱们自己画图的时候，同学们，我告诉你，这正是你弯道超车的好机会，因为大部分同学坐到这都烦， 谁看谁烦，我看我刚才都烦半天啊！但是同学们，如果你能做到，哎，我别人烦，我不烦，我刚才都烦半天啊！但是同学们，如果你能做到，哎，别的小屁孩做到这块，早就已经烦的不行了，对不对？肯定画图画错了， 只要你，哎，耐心阅读，一句一句的画，哎，一句一句的读，你会发现画图这事有啥难的呀，对不对？只要你不着急，包能画对的。 而且像这样的题，只要你画对了，我告诉大家，后面一定是坦途，一定非常简单。为啥？因为一道题难度是守恒的，他不可能画图也难，计算也难，然后题目还难，对不对？难上加难加难，那不可能， 对不对？所以一道题目难度是守恒的，哎！所以同学们，这道题，只要你给点，给自己点时间，耐心去画图，你会发现，哎，他其实还可以 啊。当然，这里也建立在这道题目呢，也建立在你对这种斜边的关系，应该怎么能转化成这种横平竖直更好算，能更好？表示你对这种转化工具非常熟悉啊，所以总结一下这道题，同学们，他主要考验你两个要点，第一个， 信息量这么大的时候，你能不能够耐心画图，别烦哎，能够清楚的准确的看到你的研究对象。 第二个就是，如果碰到这种斜边的式子的时候，我们应该怎么去给他列式子转化，能转化成好？列式子的形式能好算对不对哎，什么转化工具可以转化成转化斜边？哎，这两个问题肖老师都会给大家进行示范。 好的，那咱们来看一下这道题目啊。首先这个圈二的话就不用多说了啊，这个还是非常简单的，是一个确定的抛物线，然后咱直接令它外得十，然后去求解这个 x 一 x 二就可以写出 m n 的 长度了啊，这个非常简单，大家跟肖老师对对答案就可以。好，重点来看。第三问同学们， 哎，好，开始。首先呢，我们先画一下这个抛物线啊，只要画抛物线，我们就是开州店啊，不确定的确定的直接画上，不确定的咱们就先随便画一种情况是不是？比如说，以这个题为例，目前开口 向上，对吧？画一个开口向上的抛物线对称轴，哎，不确定在哪边是不是？没关系，先随便画一种呗，对不对？图不是为了立马做出来的，而是为了理解提议的好，与外轴交点，零豆一画上。所以向老师嘚儿画这个绿色的抛物线没问题吧？ 好，接着与外轴交于点 b 啊点 b。 这里零豆一啊，点 b 是 一个确定的点啊，零豆一，嗯， 好，过点 p m 逗 y p， 那 就随便个随便放一个屁呗，对不对？哎，过点 p m 逗 y p， 哎，去做一条什么在抛物线上，好，再给这个点上点一个。随便点一个。点哪都行啊，随便点一个好，没有线就随便点。 分别分别过点屁啊，过这个点，注意认真看啊，这就是你容易画错的点来了啊，分别过点屁，做 x 轴和直线 ab 的 垂线啊。 我猜这里肯定有不少同学凭着自己的做题惯性嘚就画了一条竖线，对吧，然后就标上这是 c， 这是 q， 是不是？有没有这样的同学，如果说中，你可以在弹幕上扣个一啊，嗯，是不是？哎，但这题不是，对吧，人家是过点 p 做 x 轴的垂线，对吧？做，哎，过点 p 做 x 轴的垂线，然后交于点 c 啊，做 ab 的 值垂线啊，做这个 ab， 这个线段的垂线交于点 q， 人是往这边做，这个点是点 q， 哎，好， ok， 然后接着 e 是 p q 上一点，并且满足 p q 是 四倍的 pe。 好， 先画图，再玩柿子。好，他说过点 e 啊，做 p q 的 啊， e 是 p q 上一点，那咱们就随便点个 e 啊，并且满足它的一个差不多四倍关系啊， p q 是 四倍的 pe， 哎，差不多就这样式儿，哎，好，这里出现了一个元素，同学们出现了一个边比， 而且这两条边 p q， p e 还是两条斜着的边笔。同学们，回想一下咱们初中几何学过的所有工具，斜着的边笔会让你想到什么？ 斜着的边笔画，你想到什么？哎，同学们非常聪明啊，在我们的坐标系当中，我们非常喜欢横平竖直的线，横平竖直，那多好表示啊，横着的线，对吧？横坐标右减左，竖着的线纵坐标上减下，那多简单呀，斜着的还得勾股大，带个大根号，多烦呀，对不对？ 所以在坐标系的世界当中，所有的斜着的边啊，我们都可以转化成横竖着的，那怎么转呢？哎，你给我笔直了，我可以用什么转？ 我见到笔直了，我可以用什么转？我可以用相似去转，对不对？而且往往就是最简单的 a 字八字啊，非常好构造，对不对？所以其实你看肖老师这个图已经看出来了吧，我就可以瞬间把 pe 比 p q 给它转化成 p f 比 f h， 是 不是也可以转化成 e f 比 q h？ 反正就是这个背后有相似嘛，对吧，对不对？哎，边笔背后肯定有相似 啊，好，接着看啊，一会用哪个相似，咱们一会再聊，接着看。过点， e 做 e f 平行 ab， ok， 做 e f 平行 ab 啊，这个做对了， 交 pc 啊，别交错了啊，这题真的很烦，所以你画的时候耐心点啊，交直线 pc 啊，交直线 pc 于 f， ok， 交这个点于 f。 嗯， 好。然后他给了一个 m 的 范围，让咱们研究对象是谁呢？哎呀，画了这么半天，终于画到，哎，研究对象是我们的 e f， 对 不对？研究对象是我们的 e f 啊，研究对象是咱们的 e f， 好， 那咱们就看看呗。哎，这个 e f 啊， 看看我们的 e f， ok， 研究对象是他，对不对？按照今天肖老师教大家的，画完第一图之后啊，如果能从图上看就看，如果不能从图上看，就开始表示字表一切了，对不对？这个 e f 难表示不？同学们， e f 难不难表示？ 难表示吧。哎， e f 难表示，那怎么办？一定有工具啊，有工具帮你变成好表示的。比如说，这有什么工具有这个相似？你让我研究 e f， 我 非得研究 e f 吗？ 我可以研究谁？因为你告你刚才告诉我了，它比它是一比四，对不对？那你 e f 比 这个 a 字音相似多明显呀，对不对？比这个 q h 是 不是也是一比四啊？对不对？这也是一比四的关系，这也是一比四的关系啊。所以你让我研究 e f， 你 不就等于在让我研究 q h 吗？对不对？那 q h 也难算呀？有同学说， 难道这个题只有这一个相似的工具吗？同学们， q h 在 哪根线上呢？ q h 在 ab 这根线上呢？你有没有意识到，同学们， ab 是 一根定直线，并且这根定直线它是 y 等于 x 加一的这根定直线。所以呢， 它的斜率多少度？倾斜角，它的角度是多少度？ y 等于 x 加一。各位同学， y 等于 x 加一，它 k 得一， k 得一呢？这个直线与 x 轴加角就应该是四十五度，对不对？那我们看在这个直角三角形当中，这个角如果是四十五度，那 这个角就也是四十五度，哎，同学们，所以看到了吗？你让我研究 e f， 我 可以研究 q h， 我 可以转化成研究， 哎， ph 到没到你的舒适区，同学们，再陌生的问题都能转化到咱们舒适区啊！这道题怎么转的？ 利用了直线背后的特殊角，四十五度对不对？ k 得一，倾斜角是四十五度，哎，第二个，利用了这个相似的边比，对不对？我们就轻松的把一根 e f 这么恶心巴拉的线转化到我们的舒适区， 竖线竖线竖线竖线，到底舒适区了吧，同学们，哎，好，来，那接着咱们就快速看一下这个题了，具体的先剩下的步骤了啊。 首先刚才肖老师说的那些就是这里啊，根据这个相似，我们可以把 e f 写成它，是啊， q h 写成是四倍的 e f 是 不是？哎，再根据这个大的等腰值啊，这个三角形啊，这个 这个三角形啊，应该是这个什么？这个我标个 m 吧， m c h 啊，根据 m c h 是 个等腰值，哎，我们就可以写出来这个四十五度是不是？那这个 p h 也是我们的根号二倍的 q h 啊。所以你让我研究 e f， 我 就只需要研究四倍的四分之一的 q h， 那 q h 又可以写成 根号二分之一的 ph， 对 不对？所以这道题研究 ef 就 等于研究 ph 啊，研究 ef 的 增大就等于研究 q ph 的 增大。好，那咱们就接着试字表一切 去表示 ph 吧。哎， ph 这就没难度了。它的点 p 的 横坐标带进解析式啊，把 m 带到这个抛物线，解析式，表示一下 y p， 再把 m 带到直线 ab 的 解析式，哎，表示一下 y h 是 不是啊？ ok， 然后就是它减它，哎，就出来了， 哎，得到一个新函数，得到新函数之后，立马对这个新函数进行具象化，哎，画出来的草图，哎，很简单，画出一个 w 图像，然后这个是零，这个是四，对吧？与 s 两个焦点，然后再把它给的范围，哎，它的研究范围 m 的 取之范围，它只研究从零 往右到 a 加二分之一，也就是说他只研究从零开始，一直动到 a 加二分之一，得满足增大而增大， 所以呢，所以非常简单，那不就是 a 加二分之一不能超过这个对称轴二吗？对不对？哎，咱们就只需要满足 a 加二分之一小于等于二，所以 a 小 于二分之三，哎， a 小 于等于二分之三， 好，所以最后综上就是 a 要大于零啊，注意前提，确认 a 要大于零，小于等于二分之三，好，后面都是大家的舒适区啊，主要是前面好。小结一下，同学们，通过肖老师给你讲完这道题，你有没有意识到， 如果今年的中考题他考了一个，也是信息量如此之大，一会 b， 一 会 p， 一 会 q， 一 会 e， 一 会 f 这么多个字母的时候。同学们， 这就是你考验你画图的耐心的时候了啊，他就在考你画图的耐心呢！而且这个时候我告诉大家，大部分同学都是容易画错的，所以只要你能画对，你就赢了啊！所以同学们，记住肖老师说的，只要画图，重音阅读啊，一定要画对了啊，并不难画。 其次，如果这个今年中考给你玩一个这种比较恶心的长相的，这种线段长，你不太会列式子了，同学们，找转化工具，一定有工具能把它转化成横平竖直的，转化到咱们的舒适区，横线竖线的好表示的。比如说这个题的两个转化工具，一个是我们的 斜边笔背后的这个相似，一个是我们这个直线，它的 k 得一， k 得一，意味着它的夹角是四十五度啊，这个特殊角，哎，这两个都是能够轻松帮咱们把斜着的边的问题转化成横着的，或者竖着好玩的这种边的问题的，嗯。