几何与图形教案冀教版六年级下册

首先我们来看一幅图，这是一幅公园的施工图。好，我们看一下图中的这个工人在刷漆。 好，这个工人在圆柱形的水池装水。好，那么这些工人需要知道哪些有关图形测量的数据呢？先来说一说，好，问，这件图的是圆柱的侧面积 好，还有没有看完？喷水是喷的，圆柱的体积需要求圆柱的体积好，谁来再说一说，那你看这个在干嘛？ 围篱笆对不对？那需要什么？需要知道它的周长长度对不对？好，那么这些工人在施工的时候，他需要测量的这些数据都跟我们今天复习的图形有关系。 好，那么在我们测量的时候，一般都要有有单位，第一个测量的是长度，第二个测量的需要面体单位好，第三个测量需要体单位好，第四个是我们的两角对不对？好，那为什么要统一的单位呢？ 谁来说一说单位为什么好？谢敏婷，单位不等于就计算不了。好，我们来看一下单位的产生。在生产与生活中，人们经常要量物体的长度，测量土地的面积， 计算物体的体积等，这些量不能直接数出来，我们除了数据还要单位对不对？ 必须要用一定的量做单位来计量长度，有长度的单位面积，有面积的单位面积，能不能用长度的单位？不能，他们是不同概念的。好，所以我们就会产生了长度，单位面积，单位体积单位角度单位等等。 好，我来继续来看一下相邻的长度，单位面积，单位体积，单位之间的净率，我们已经学习过了。好，昨天也布置大家去整理一下。好，那我们来找一找啊。好，郭康亮，你可以说一说，上来动作快一点啊，好，看一下郭康亮的整理，就你的整理跟大家说一说。 毫米的距离是一千米和分米的距离是十，分米和厘米的距离是十，后面还有一个是毫米的，毫米的距离也是厘米到毫米是十。好，第二个是面积单位来 平方千米和公顷的净率是一百，公顷和平方米的净率是一万，平方米和平方分米的净率是一百，平方分米和平方厘米的净率是一百。那到体积立方米和立方分米的净率是一千，立方分米和粒 立方厘米的净率是一千，升和毫升的净率是一千。好，掌声送给他，好，回到位置上去。好，我们接下来那么我们展示一下啊。 好，长度单位，面积单位，体积单位是我们今天要研究的比较重要的一个单位测量。好，那么接下来 你还记得这些平面图形的周长和面积公式吗？比如说第一个长方形，还记得不？长方形，我们当时是通过找一个一平方厘米大小的正方形的格子， 然后去铺在上面数小正方形的个数，想起来没有。好，那如果是小正方形的个数有多少个，就代表长方形的面积就会有多少平方厘米。好，所以在过程中我们观察到 每排的个数就是长方形的长排数就是宽。 好，所以我们得到长方形的面积，它就是等于长乘以宽。我们的正方形也是如此，通过一平方厘米的格子来平铺它，所以我们当时是有数格子的，还记得不？ 通过数格子来的也得到正方形的面积是边长乘以边长。好，那么接下去我们又学了平行四边形， 那它面积是怎么推打的？来？切割法是不是好？切割法，我们展示一下啊。切割法怎么切左 边，左边的三角形剪下来形成长方形，也就是说这个平行四边形的面积可以转换成一个长方形。好，那么长方形的长就是平行四边形的长， 长方形的长是平行四边形的底，长方形的框是平行四边形的高，那长方形的刚才面积是长乘以宽，所以我可以得到平行四边形的面积是 高。好，我们底喜欢用什么表示？底？ a 好 高，用 h 来表示，所以可以得到 s 等于 a 乘以 h。 好， 那么我们长方形它是等于长乘以宽，这个 a 表示长，这个 a 表示在平行四边形里面，表示底。好，正方形是 边长乘以边长，就可以写成 a 的 平方， a 的 平方。 ok， 好， 我展示了一个平行四边形的。啊，那接下来三角形我让其他同学来说好，谁来说一说三角形 面积又是怎么推打出来的？好，张莹，三角形的面积是由两个同样的三角形，然后把它拼成一个平行四边形，之后再把那个平行四边形转化为长方形，再用长方形的面积去除以二留出来的。也就是说， 平三角形的面积是通过把用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形， 是两个拼成一个平行四边形，那一个平行四边形的面积 s 等于 a， 那 一个三角形是多少？ s 等于除以二，除以二。 好，那我们来看一下刚才张颖所说的，我们用动画来展示一遍，两个完全一样的，这是我们的关键词啊，要完全一样。好，可以吗？ 可以，我们把知识回顾一遍啊。接下来梯形呢？好问，这些，我两个完全一样的梯形拼在一起就变成，又把梯形转化成平行四边形。好，你做这个方式跟我这个课间上所做的方式是一样的。我们来看一下动画， 用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是底乘以高，那这时候这个 平行四边形的底是原来梯形中的下底加上底，所以它就变成上底加下底乘以高。但是有几个梯形？ 两个，所以还有一个除以二。所以我们的梯形依然是通过两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形， 所以我们这两个的面积可以通过平行四边形得到。好， s 等于上底加下底乘以高，除以二， 除以二就是二分之一，可以接受吗？可以。好，刚才也找了一些同学的思维导图啊，我们来展示一下。陈青桐，来，你来说一说。好，你的当时做的时候你是怎么想的？这样的一个分支，首先是把它们分成每个图形，再把它们的面积还有周长 的公式列出来，我看到上面还有个母的意义，字母的意义，我们这个是已经公式化了，每一个字母 a 在 不同的图形中所代表的是不一样的。好，我还看到了他加上了图形分支。 好，这个是正方形，字可能比较小啊，这个正方形平行四边形，他加上了图形就显得更形象了。因为有些同学的这个思维导图依然都是以文字，纯文字的公式都很少，或者是文字太多了，那这样看起来的思维导图清晰不？ 不够清晰，我们做思维导图就是拎出关键的好。我们的平面图形除了前面所学的 东中段学所学的，我们到六年级的时候还加入了一个圆圆，它是一个曲线的图形。好，那谁还记得圆当时面积是怎么推导出来的嘞？ 想想相对来说还是一个难点。圆的面积，当时我们也是通过转化的思想转化成什么图形了？好，来牛掌中是把圆形转化为长方形，转化成再说的标准是径是长方形。是不是我们用到了一个 极限思想，用到了一个极限思想，也就说我们是近视，他是一个长方形，如果分到无限小的时候，把它分成无限小的时候，再拼起来，他就更接近一个长方形。好，但是有一个难度，当这个图形把它拼成一个长方形之后， 长方形的长、长方形的框分别代表什么？这是我们当时解决的一个难点，还记得吗？我们把每一块可以拼起来，拼的过程中不难。那现在拼完之后， 要通过长方形的面积公式推导出平圆的面积公式，那长方形的面积公式就是跟边长和宽有关系，那我得观察他的长和宽，还原到圆当中是哪些部分。长方形的长是 这句话有毛病，半圆的周长还是圆周长的一半，圆周长的一半。我们当时半圆的周长是包括直径，包括下面一条直径，所以应该是圆周长的一半。好，刘展聪，请坐 好，我们来看一下这一条长方形转化之后，长方形的长是圆的，周长的一半，要说清楚啊。好，那么长方形的宽呢？长方形的宽是圆的半径，可以吗？可以。 好，那这样子的话，通过长方形的面积，它是等于长乘以宽，那就是派二乘以二， 两个 r 相乘，我们可以改写成二的平方， pi r 平方，所以圆的面积公式是 s 等于 pi r 平方 r 是 它的半径。 好，那这样的一个过程可以接受不？可以。好，那我们复习到这的时候，把平面图形的面积讲完了，那我们看一下立体图形 从平面上升到例题，他们之间有没有联系和区别呢？首先，立体图形他绝对不止一个面，对不对？ 好，那立体图形他涉及到的不再是面积，他涉及到的应该是体积，是一个。还有呢？表面化，长方形的表面积应该计算哪些地方？他的六个面， 六个面的面积之合。好，那六个面面积之合可不可以求出来？ 可以。好，写一遍，打开单行本，六个面的面积之合，那就要把六个面面积分别求出来，写清楚。圆柱的表面积， 那圆柱的表面积包括哪些？表面和两个面，上下两个底面加中间一个是侧面，侧面是一个曲面，要怎么处理？展开展开，变成一个长方形，那就涉及到这个长方形的面积就是它的侧面积，那长方形的面积跟长有关，跟宽有关啊， 那它的长是底面周长？ ok， 那 它的长是它的高。好，继续接。好同学，请举手啊， c h。 没错，那 c h c 呢？ c 周长是等于什么？圆的周长？对，那你把它改的更细一点。好，写。好同学请举手！对的，如果有忘记的，可以互相沟通一下， 或者帮助一下同学，好的同学可以交换看一下，看找一找。我们这个公式表达过程中是不是有些是不够完美的？比如说数字和字母在一起的时候，比如说两个完成完全一样的字母相乘的时候，有没有更简洁的表达方式？ 我们已经复习了字母表示数啊， a 乘 a 乘六，怎么那么繁琐呢？六 a 平方不就搞定了，是不是？可不可以改写成六 a 平方好表面积。我们刚才看到了，大部分同学刚开始写的时候会有停顿，但是写完长方题后面就写的很顺， 是不是？所以这个还需要大家回去用思维导图去理一理，让自己的思维更清晰一点啊。好，我们刚才在看的过程中基本上都能够写的出来，但是又看到几个答案依然是如此的答案，大家一起看一下 好，比如说乘正方体的表面积， a 乘 a 乘六，你觉得哪个答案？嗯，这个答案够完美吗？就是这个，就是 a 的 平方，再乘以六，数字和字母相乘的时候，就可以写成六 a 平方， 那这就是正方体的表面积。好，正方体好，那么长方体的表面积公式是， a， b 加上 h， b 加上 b 乘，括号乘以二，为什么乘以二？ 上下面是一样的，前后面是一样的，左右面是一样的？好，那圆柱的表面积是 二派二连雪茄二派二平方是表示什么？两个底面是圆形，完全一样的圆，所以是二派二平方，再加上侧面， 侧面展开是一个长方形，好，侧面的面积等于二，二派二 h， 其中二派二是圆底面，圆的周长。好，那什么叫体积？我们立体图形才涉及到体积。 什么叫体积？物体所占空间的大小。好，这是一个立体图形，在这个空间里面，他所占的物质的大小就是他的体积。好，那这样子接，接下去写，把他们的体积公式都写出来。 体积，我们用字母什么来表示？ v， v 好， 谁来说说体积？三种图形，图形的体积长方形的体积等于 a， b， a 乘 b 乘 h， 好， 正方体的体积 a 的 一层， a 的 a 的 地方就是 a 乘 a 乘 a， a 的 地方好，长方体的体积是 abh， 好， 还有一个圆柱的体积太二平方， h， 好， 这三个 立体图形之间体积有没有个联系？都是可以表示成底面积乘高， a 乘 b 的 时候就是一个底面积， a 乘 a 的 时候有一个是底面积，再乘以高，因为它每一条棱长都一样。好，派，二平方就是我们的底面积，所以他们的公式都可以归结成 v 等于 s， h 好，刚才也寻找了一些同学的昨天晚上关于立体图形的一个思维导图的运行。啊，有几张图片非常漂亮，我们也来欣赏一下。好，这个是张宁同学的作品，给你们看起来感觉是简洁舒服。好，能不能看清楚？ 你看立体图形，他分成正方，正方体和长方体他放在一块，而且有句话，正方体是特殊的长方体，这个我们都复习过了啊。好，那么也说出他们之间的区别和图形的一个特征。

孩子们，准备好要上课了吗？准备好了，好来上课！敬礼！同学们好！老师好，请坐！ 好的孩子们，今天我们要来复习图形的运动。在课前啊，我们已经对这部分知识进行了梳理。老师了解到，我们班有三十九个孩子是这样来整理的， 他们把平移和旋转分为了一类，因为他们不改变图形的大小。 把放大缩小分为了一类，因为它们改变了图形的大小。 除此之外，还有十三个同学是这样整理的， 有疑问吗？ 我认为这后面一种，呃，梳理的方式，它是有画格子的，而这样我认为应该是可以更好地表现出它平移的一个距离跟旋转的一个角度。 孩子们，我们认真来看一看，两种处理的方式有什么不一样的地方吗？你有疑问吗？ 呃，第二种的话，它多了一个对称轴的。 呃，请问一下，这个对正轴的话，是将它和把平移和旋转分为一类还是放大缩小分一类？ 第二幅图的话，它画了格子，而且标注了相对应的数据，这样子可以让我们更直观的看出平移、轴对称、旋转、放大、缩小 等各种图形变化的特点。刚才有个同学说到了这里有轴对称，前面三十九个同学 有吗？你们对此没有疑问吗？大胆说，轴对称它到底算不算是图形的运动？ 跟他一样的，跟他一样的。我也是想问一下，呃，轴对称它到底是不是属于图形的运动这一类？ 是啊，我们有三十九位同学，你们没有整理出来有疑问？怎么不敢问呢？轴对称是图形的运动吗？ 为什么呢？觉得轴对称不是图形运动的请举手。大胆举 好认为是运动的举手。好来刚才认为轴对称不是运动的同学来说一说你的想法在哪里。 呃因为我认为这个轴对称的话它是没有运动的就是把它相对的给它对称过来我认为是没有运动的 我要反驳它因为我认为我们找出轴点寸是用点对点的方法来找然后呢和我们找平移的方法基本是一样的所以我认为它应该也算是一种呃图形的运动。 看来同学们还是有不同的想法。没关系来把你的想法在四人小组中交流一下最后达成你们小组的共识来汇报明白吗。开始 啊啊啊啊啊 一模一样大小的不过左右变上了所以我也是这么认为的。 嗯 然后呢 啊啊啊 啊 这是。 哎 呀 这个 哈哈 这边 讨论完了吗讨论完你就可以回到你的座位上啊。 好经过我们讨论来。现在认为轴对称不是图形运动的举手。 认为是的举手。 请问你不是也没有举手是也没有举手你认为。 呃我我认为轴对称不是图形的运动你认为不是大胆举手啊坚持自己的想法很棒来现在老师想起认为轴对称不是图形运动同学来说一说你的理由 来。 你需要画吗。嗯 呃我认为它是轴对轴对称我们小组的想法是我那个轴对称并不是图形的运动因为轴对称它只是将一个物体 靠一根那个靠一层靠一根对称轴然后画了一个另外一个跟他对称的物体他并没有将原来的这个物体移移动过去而是另外再画了一个这样的 物体和他对称的物体，所以他不是图形的运动。大家，大家还有什么疑问吗？ 首先的话，它这个它说是按一个图形以一个轴来进行来画出另一个图形，那么首先它在画的过程中它这个点是有进行相反，然后呢这边也有进行移动，所以呢，我们组是坚持认为它是 他这个对称轴，他算是一种运动。大家还有疑问和补充吗？ 他说完了，你，你觉得，呃，我，我听完他的想法，我还是坚持认为不是图形的运动，因为虽然说他这两个点那个移动了，但是他仍然是另外的划出一个， 画出一个图形， 这两个点的移动只是我们自己想出来的，而他仍然是呃依靠这个对称轴画出的另外一个物体。 我要反驳他吧，毕竟因为我们在学习他这个图形的运动的过程中，平移和旋转是我们先学的，然后轴对称是我们最后学的，为什么？因为我们在进行轴对称的过程中，我们是 我们要先把这个图形移到这边，然后呢？当时我们还是我们还用旋转的方法把他一个中心点给他旋转过来，给它弄成给他当成一个相反的。 我们组的话是认为其实这个轴对正就是平移和旋转的结合体吧，就先把这个图形 呃转动转成这个样子，然后再以平移的方式把这个图案移到这边位置而已，所以觉得是轴轴对正图形应该是运动的，有运动。 呃，我觉得他的这个观点是错误的，因为他说他是平平移和旋转的呃结合体，但是呢，我们通过实践证明来发现他压根就不可能 就是这个图形一，他，他不管怎么平移旋转，他都不可能得到图形二，所以说我觉得虽然他说的，但是他，虽然他的方法是错的，但是我觉得他是呃图形的运动，因为 他是说他们是借助这个对称轴来发现他这个图形二和图形一，而刚刚这个 同学他说的是，呃，他这个移到这边，而并不是借助这个来画出一个图形，其实他也是借助这个图形，然后画出他的镜像，也就是反着的图形，所以说我认为他也是有借助一号图形来画出二号图形就是图形的运动。 请问大家还有没有什么疑问和补充？还有没有人？你现在你的想法是，呃，好，呃，应该是运动。被说服了，有没有人还觉得不是的？ 你觉得不是，是吗？是吗？ 好，我有个观点就是赖成业一开始他说了，嗯，他是嗯图形的运动，他是从一开始一个地方到到另外一个地方，这叫图形的运动。可是，嗯， 图形这里的对称轴是，呃，依，依靠图图一，然后呃依靠对称轴从图一复制一个到图二，我觉得这不呃，这应该不属于运动，大家还有什么补充吗？ 来上。呃，我想反驳你的观点，因为呢，首先呢，你刚才说从复制一个到这边来，你再从图一到图二，你对这个时候数点的时候，你算不算在模拟它运动到这个位置，只不过你最后是在这重新画了一个图形而已， 你还有什么要反驳的吗？没了。所以来你说说你的观点，你的观点呢？我的观点就是，呃，他是图形的运动啊。有，就是我刚才说好的。好，先掌声，谢谢上面的同学。 好，刚才同学们都说了自己的想法，现在还有同学认为他不是图形的运动吗？都被说服了，是吗？ 你还不同意对吗？好，不着急。还有没关系，我们先一起来回顾一下我们学习过的轴对称 三角形 a、 b、 c， 这是一条对称轴，想象一下轴对称之后它会到哪个位置，仔细看， 现在你觉得呢？轴对称是不是图形的运动？ 我觉得他是同图形的运动，因为他在这个过程中是照着上一个图形对他进行了呃，反，呃，一个反方向的给他平移到了轴对称图，呃，对称轴的另一端， 这个过程其实他是一个，就是根据刚才这个我发现了，其实也就是刚开始这个图形旋转半圈得得到的另外一个图形，也就是在这旋转的过程，他他他是有运动的，所以我认为 应该是图形的运动。大家现在看到了它运动的过程了吗？那刚有一个同学说到了一个词，什么翻转啊，其实这就是轴对称运动的过程，现在这个问题解决了吗？ 所以轴对称是图形的运动，那我们要把它归在哪一类啊？因为它也不改变图形的大小。 好，那这五种运动还有一个共同点，图形经过这样的运动之后，它们什么都是不变的。不变 好，解决了第一个问题，现在新的任务来了，看图形一到图形二，除了平移还可以怎样运动得到？ 图形三到图形四，除了旋转还可以怎样运动得到？ 好，有想法了，来可以在你的学习单上坏话，让别人看懂你的想法。学习单在你们的抽屉里， 来小组交流一下。 两个都是一个是这样翻转过来，然后再先以这条为对称轴翻转，四个轴对称，然后再以这样， 这个我右手，我右手翻转三角形，一三个角为 ab， 然后呢以 ab 为轴进行翻折，翻转为 ab 和 cd， 然后第二个它以一边为轴，短的为轴，然后 翻转，翻转成这样子之后他的长就要变圆圈，再人最喜欢转，那这个你就说这一长就要变圆圈，翻转要翻转 之后之后把把他的另一边支满这个角的位置，再以全能转的长方向就可以用小黄翼为定力，一般的话是一般般转，然后呢就是到 什么好，嗯，有问题吗？好了好了，回到位置上，好了就回到位置上。 好，哪个小组来汇报一下你们的方法。 首先我们来看图一如何到图二，我们可以演示一下，你看，首先我们知道图一是这样，是目前这个图形对吧？我们先把它翻转一次， 再翻转一次便可以得到图二， 大家有什么疑问吗？接着走。 呃，我想请问一下你们，呃，你你们，你们是翻转，你们是用翻转的方法还是利用轴对称的方法呢？ 我们只是把轴对称的方法说成了方那个翻转的方法，因为我们刚刚已经知道轴对称其实就是翻转，所以我们用一个比较符对对称轴要符合一点， 这边是一到把这个一到第一次旋转的地方， 然后再从第二个是这边，从这边到这边的地方，看懂了吗？看懂了，然后下一个下来， 下面一种我们也可以利用翻转的方法，首先我们先弄好，我，我弄一下，哎，不是，你们好，我我我画一下你这条。 首先我们在三和第一次翻转的这个地方设立我们的第一条对称轴，然后翻转一次，这边你还操作，然后呢？ 然后呢，我们再用翻转后的图形再来一次对称轴，然后翻到图形四，这样子我们也可以用刚刚的两次 轴对称得到从三得到图形四。请问大家还有什么疑问和补充吗？看懂他的方法了吗？看懂了，他的这两个方法可不可以？他是通过什么样的运动轴对称两次的轴对称。好，谢谢，你们还有吗？还有不同的是吗？ 我的方法第一个 是跟他们一样的，但第二个我发现由于这个图形，呃，他这 他这样，他是可以成这样一个画出这样一条线的。他所以说他其实有两种方法进行，可以进行翻转， 可以通过刚才两位同学的先翻到这里来，再翻，翻到下面来也可可以先以这条短的直角边进行翻转，再 啊用这条长边进行翻转，翻转到得得到图形。由此我们可以看出其实得到一种，呃，从一个图形，呃，通过翻转得到另一个图形的方法是多样的， 大家还有什么疑问或补充吗？还有不一样的是吗？ 这第一种方法它是不仅可以用轴对称的，图形也是可以用旋转的。咱们先以这条 这条为点 o 进行旋旋转一百八十度得到图形三，然后再以图形三用，再用点 o 二 进行旋转一，一百八十度也是可以得到图二的， 下面还可以这样的，这这条 下面我还有一个方法，就是这条斜对正斜对称轴，也可以把图三用这一条斜对称轴翻转到图四，比他们用两次方法还好。 呃，我认为他这个呃他第二个图形的这个翻转的方法是不对的，因为如果用图三以治疗斜对称轴来翻转的话，他应该是会变成这个样子。 那，那我们可以看见那我画的这个图形跟呃跟图形四是并不符合的。呃，所以他的这个方法是不成立的。大家还有什么疑问跟补充吗？ 虽然他这个图画的不是很好，但是他说了刚才这样的方法可以得到吗？想象一下不可以，对吗？好的 好，还有不同的方法对吗？好，我们有不同的方式可以让图形一运动到图形二，图形三运动到图形四，来回顾一下这个过程。 现在关于图形的运动你有什么新的发现吗？ 来和你的私人小组的伙伴说一说你的发现。 都说那个呃，把一个图形运用到另一个图形的方式是不一的。呃，也可以可以，可以单一的通过一种方式来得到，呃，各种也可以使用多种方式来得到。 然后呢，我们还更重要的知道就是无形的运动不止有一种方法，还有多种方法 翻转过来，再翻过去，再过去。 我认为图形的运动它不止一种，就像我们刚刚所做的两个任务，本来第一个是可以用平移的，而我们利用另外一种轴对称也可以做出这种运动， 而下面那一个我们本来是可以用旋转就可以得到，但我们也可以用轴对称再次得到这个图形。掌声， 我要补充一下刚才那位同学的，我们组刚才讨论到，不止可以用一种方法来得到另外一个图形，还要得用快速的方法来得到这个图形不是用复杂的方法来得到的。 呃，得到一种图形的时候不可以呃，不，不一定。呃。可以在呃变变移动到它的时候，只用一种方法，也可以同时运用多种方法，如可以同时运用旋转和平移， 也可以同时运用轴对称和平移，这样组合也可以得到一种，也也可以得到我们想要的图形。 是啊，孩子们，就像你们说的，刚才我们从图形一到图形二，可以用平移的运动，也可以像这样 进行两次轴对称，看来这样的两次轴对称可以实现一次平移。从图形三到图形四，我们可以进行旋转，也可以像这样 进行两次轴对称。看来这样的两次轴对称可以实现一次旋转。他们之间原来还有这样的联系。 下面让我们带着怜惜的眼光看一看这个美丽的图案是什么，认识吗？从这个四叶草中你能看到哪些图形的运动？ 好，为了方便描述，老师给这四片叶子标上 a、 b、 c、 d， 你 能不能像这样来说一说， b 片叶子可以由哪片叶子通过什么样的运动得到？ 边指边说。 哦，我们可以看到这个 b 片叶子其实是可以通过 a 片，可以由 a 片叶子通过旋转。呃，呃，就是平移的，加上旋转运动得到 a， 假如我们这个点 a， 然后它变到了这一边，然后 a 的 这一个点也可以变到这一边，这样子旋转过来就可以平移过来，就可以得到 b 片叶子。 好，接着来，像这样上来边指边说。男生， 呃，首先我们看他是不是说 b 片叶子可以有什么几片叶子，通过什么运动来得到？我们首先可以 这样用画个对正轴，我们发现 b 片 b 和 b 它们是对称的，是可以通过对称轴，然后 c 片叶子，人们 通过什么运动，通过对称对称轴方式来来翻过来，翻转过来变成 b， 所以 它是通过吸片叶子。怎么样？轴对称对吧？好的，还有什么补充和疑问吗？还有吗？快速 他 b 片叶子其实也不止不，不只是可以用 c 片叶子轴对称得到，也可以用地片叶子轴对称得到。我们用这条线，我们先把这边给忽略了，这边 这边第一片叶子通过轴对称对称到这边来，然后呢，也可以通过 a、 c、 d 叶子进行旋转，旋转到 b 片叶子，大家还有什么疑问和补充吗？掌声送给他，还有吗？男生， 通过通过刚才他这个翻转，我们可以知道他这四片叶子的大小是一样的，所以呢，我们还是可以通过 c 片叶子进行平移，然后平移到这边来，进行来得到 b 片叶子。 哎，你发现了吗？你想到这个运动了吗？通过吸片叶子平移可不可以呀？以前我们见到的平移都是， 哎，原来平移还可以好玩吗？你觉得哪里好玩？ 平移可以让我们发现更多的图形，就比如 b、 c， 他 们可以用平移平移到对方的那个地方，这让我们明白，其实平移不可以多样的。 呃，我们之前学的平移就跟老师所讲的只有上下左右这四个方向，但是经过我们这次学到，我们发现平移他不止只有上下左右，而是可以斜线平移的。 嗯，我认为我我的感受是我们我们这节课的话复习了我们曾经学习的徒行的运动，然后呢，我们就更加的牢牢固的进行巩固这些知识点，然后呢更好的进行记忆这些知识点，更好的运用。 我的感受是很奇妙，因为它不仅可以用从很多个角度进行呃，运动，而且还可以用不同的地方进行运动。 我发现轴对称并不只是单纯的将物体对称过去，而是也可以用来运动，使物体到达我们想要的位置。 好的孩子们，这节课我们有了有了很多新的收获，大家已经会用数学的眼光去看待问题，那就带着数学的眼光，我们到生活中继续去发现。今天这节课我们就上到这里来和台下的老师打一下招呼 来，起立向左转一二，谢，谢谢老师。

别人的视频平平无奇，博轩视频带你学习，今天博轩来给大家分享一道六下数学期末复习图形，允许和。首先咱们读题，一根铁丝可以围成一个半径是三厘米的半圆，这根铁丝有多长？ 它所围成的半径的面积有多大？首先咱们来画下关键词，第一个是三厘米， 很多同学做这种题都会出错，今天同学来呃给大家讲解一下，他们都会出错，呃，在求半圆的周长。 首先同学们，我们半圆，我们圆的周长是什么呢？是不是 r 配 r， 那 我们求半圆是不是配 r， 配 r 是 哪部分呢？配 r 就是 这到这同学们都会漏算这里的直径， 因为它是一个封闭图形，所以我们要把这个直径加上，然后我们来算一下这个呃面那个它周长是多少？周长， 呃，三点一四乘以三， 加上我们这里的直径，直径是直径，也就是三乘以二， 也就是十五点四二。 然后我们再求面积，面积的话他就没有那么弯弯绕绕的面积就是用我们呃圆的面积再除以二就可以了。圆的面积是什么呢？是不是派压方，也就是用派压方除以二。然后我们现在来求下面积， 面积是用三角一四乘以三个平方再除以二，就等于十四点一三 平方厘米。呃，所以这道题我们需要答一下，它的周长是十五点四二厘米，面积是十四点一三平方。呃，厘米，同学们，你们听懂了吗？

我们就可以用这种方法进行整理和复习。好，同一平面内两条直线又有怎样的位置关系，谁来说一下？ 好，请你说。平行或相交。哦，平行或相交，那老师在这个上面看到了一个互相垂直，这又是一种怎样的关系呢？谁来补充一下？好，请你说。 互相垂直是是相交的一个比较特殊的一个 情况。情况，嗯，他怎么特殊了？他的四个角的度数都是九十度，嗯，也就是两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直。好的，那我们知道有一个点， 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。哎，那小学阶段我们又认识了哪些角？你能不能按照从小到大的顺序给我们说一说？好，请你来。 我们学习了锐角，直角和钝角。哦，还有补充的吗？锐角，直角，钝角。好，请你来补充。 还有平角和周角，同意吗？好的，很完整了，这是我们在课前导学单上也整理过的知识。 嗯，我现在把他这个投屏上去的这个同学，他的这个作图啊，我们老师非常欣赏，他很规范，用到了铅笔和直尺作图，向这位同学学习。好， 看来啊，对于线和角这一部分的知识，同学们掌握的还是非常不错的。那么翁老师这里呢，有一套针对性的练习，我们先来看一下， 一共有五道题。好，我现在将它推送到大家的电子书包里面，请同学们完成。完成了以后迅速的提交好。准备好了吗？好的， 试一下。嗯，我看到已经有同学全部都完成并提交了。好，我们稍微的等一下， 看一下作答的情况。 在所有同学里面，我们发现八号同学提高提交的速度是最迅速的，八号同学，请举一下手试一下，老师你真厉害。好， 嗯，在这这个绿颜色呢，表示正确的，红颜色表示错误了。那我们来看一看这个第三题吧，整体的正确率还是非常高的。 经过一个点可以画多少条直线？谁来说一说你是怎么做的？你是怎么想的？好，请你说。嗯，经过一个点可以画五， 嗯，经过一个点可以画无数条直线，因为因为一个点他他这边可以可以经过无数条直线，划过去的话，他是， 他是没有，他是可以完成他的这个题目的要求的。哦，好的，请坐。大家同意他的意见吗？同意。好，我们来看一下这个 正确答案，确实是无数条。好，这个题如果做错，同学，请你下一次注意。好，那么通过刚才这个练习啊，我们可以看出，同学们正确率还是非常的高的，看来对于这个线和角的知识大家已经掌握的非常好了，那我们就赶紧进入下一个板块的学习，好吗？ 好，那我们知道点和线是构成图形的基本元素。那想一想，在我们小学阶段，我们一共学过哪几类图形？ 好，请你说， 我们学过平面图形和立体图形，也就是一共几大类？两大类，两大类。好的，平面图形和立体图形。 今天这节课呢，我们主要是对平面图形的相关知识进行复习和整理。好，那我们小学阶段又认识了哪些平面图形啊？好，来，请你说说。 我们学习了三角形，正方形、长方形、梯形、平行四边形和圆，还有扇形。哦，学习了这么多， 大家同意吗？同意，好的，我们在课前已经在导学单上用思维导图的方法将这些平面图形进行了分类，并且我们还在电子书包中提交了，还互相是不是互相点评了呀， 互相的点了赞。那到底哪一位同学他的人气最高呢？我们来看一看， 这是大家的这个思维导图的提交情况。好，我们来看一下哪一位同学人气最高， 哪一位？十五号，十五号同学坐在哪里？好，来，请你起立，我们来点开一下，看一看十五号同学的思维导图是怎样的。 好，这是这位同学整理的思维导图下面，嗯，吴老师，想请你到我们这个黑板上来。嗯，首先对着自己的思维导图，然后将这些平面图形分一分，再说一说自己是怎么想的，可以吗？好，请 我把这些平面图形分为了三大类，分别是四边形的一类， 三角形为一类，圆形和扇形为一类，我是按他们的边来分的类。哦，好，请三位。哎呀，看来这个同学他不仅是分的很好，得到了大部分同学的认可，而且呢，他表达也很清晰。好的，我们把它整理一下， 我们现在已经将平面图形分成了这样的三类，并且课前呀，每一位同学都在导学单上对这 几类图形进行了深入的整理。那么接下来老师给大家发布一项小组任务， 每个小组选择合适的方法，对这三类图形中其中的一类进行系统整理，明白了吗？好，现在开始 你们想选什么？行，好好行，讨论一下， 说一下怎么分工，想一想，你要三角形，两条边的长度是相等，这两条小长边的长度是相同的，你想一想，待会有什么？ 你是圆形是吧？好，待会指示哦，好， 好的，他的两组对边平行于相等，而且对角相等。他一把比你， 你们是哪个哪个形状？你们是准备整理哪一种形状？四边形还是什么形？继续吧， 我待会是他在服务我们，用 ppt 的 程序来做，帮我直接撑一点。 对啊，我就准备好了，一二三，开始一下。 说，对了，你整你完了， 你们已经准备好了是吧？ 都整理完了，整理完了，看来你们的课程准备真的是非常的充分啊。好，那接下来的这一块时间翁老师想教给你们。 嗯，我也来当一回学生，请你们来当小老师，我也坐在下面听一听好不好？好，好，那刚才哪些小组整理的是有关三角形的知识，哪个小组愿意汇报？好，来，请你们来吧。 师，我们小组想利用白板上的绘画工具来展示我们的汇报成果。嗯，很好，欢迎， 有点慢， 你们现在是要打开白板？好的，好的。嗯，好，不着急， 我们小组梳理的是有关三角形的知识， 三角形是由三个顶点，三条边围成的封闭图形。下面我们来看看三角形角的特点，像这样三个角都是锐角三角形，叫做锐 角三角形。 像这样一个角是钝角三角形，叫做钝角形，钝角三角形。 所以按照三角形角的特点，我们可以分为三类，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 我们来看看三角形边的性质， 这是一个任意三角形，它的三条边都不相等， 这是一个等腰三角形，它的两条对边相等，两个底角相等，两条边相等，对吧？ 这是一个等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是六十度， 所以按照三角形边的特点，我们可以把它分为两大类， 任意三角形与等腰三角形。等腰三角形中又有一又有一类特殊的三角形，等边三角形， 它也叫正三角形。老师，老师，我，我想打断一下可以吗？不好意思，请问一下这个，这个，这个小的圆是应该被包含在了这个大圆的里面，还是画到它的外面来？ 呃，这个圆是，呃包含在等腰三角形的类边里面的里面的。哦，好的，谢谢，谢谢。三角形还具有稳定性，生活中人们常常会利用三角形不易变形的特性，例如篮球架、桥梁建设方面等。 下面还有哪些同学想补充一下？梁启宇， 我想补充一下。我们还知道三角形的底和高，我们可以任意取三角形的一条边作为它的底，那么从这条边，从它对边的一个顶点上做下一条垂线段做的它的高，三角形有三个底和三条高。你说的非常好，谢谢。还有谁吗？ 张文勋，我想补充一下三角形的对称轴，三角形有普通三角形，普通三角形有没有对称轴，还有等腰三角形，等腰三角形有一条对称轴，还有等边三角形，等边三角形有三条对称轴。 你的补充非常有价值，谢谢。我们的汇报结束。好，谢谢你们，非常感谢 刚才这个小组，他们用的是学科工具，然后画维恩图的方法对三角形的相关知识进行了整理。维恩图也是一种非常好的进行整理的方法。好，那还有哪些小组选的是有关四边形的知识进行整理的 哦，有这几个小组。好，那我想请你们小组来汇报。 老师，我们想通过思维导图的方法来进行梳理。好的，请 这个需要吗？好， 我们这个小组来研究四边形，我们是通过表格和文图的方式来进行梳理的。 四边形分为平行四边形、长方形、正方形和梯形。正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。 平行四边形的对边平行且相等，对角度数相等，内角和为三百六十度，它没有对称轴。 长方形的对边分别相等且平行，四角都是九十度。内角和是三百六十度，有两条对称轴。 正方形四条边都相等，四角均为九十度，内角和为三百六十度，它是轴对称图形，有四条对称轴。 梯形只有一组对边平行，它的内角和是三百六十度。梯形分为三类，一般梯形、直角梯形和等腰梯形。 直角梯形有两个直角，它没有对称轴。等腰梯形有两条腰相等，它有一条对称轴。 我们的汇报完毕，有哪些同学可以补充一下？ 呃，圣子贤，平行四边形中有一种特殊的平行四边形，它叫菱形，菱形的对角线就是它的对称轴，它有两条对称轴。谢谢你的补充， 我们的汇报完毕，谢谢大家。嗯，非常棒。好，请回位。好，翁老师来吧。 好，我感觉刚才这个这个小组的汇报特别的完整， 那么他们又是使用的什么呢？他们使用了表格和文图是吧？呃，是结合了这两种整理方法， 那么这种多种整理方法的结合，可以让我们对知识点整理的更加的细致，更加的完整。好，那关于圆形的知识又是哪些小组进行整理的呀？刚才 好，哪个小组愿意汇报，都想来。好，请你们来。我我，我想先采访一下， 你们想用什么方式给大家汇报啊？我们小组在课前预习的时候提交了一份 ppt， 我 们想用这种方式来汇报我们的学习成果。哦，你们那个 ppt 我 看了，做的非常的精美，好，请吧，需要这个吗？好的， 我主要汇报的是圆的概念，圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆心决定圆的位置，圆的半径决定圆的大小。早在战国时期，墨子就为圆下了一个定义，圆一中同长也。 我主要汇报的是圆的半径和直径， 如图，连接圆心和圆上任意一点的距离叫半径，一般用字母 r 表示，半径的长度就是圆规两角之间的距离。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母 d 表示。 两倍半径的长度就等于一个直径的长度，在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 我主要汇报的是圆周率，古人发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母派表示， 它是一个无限不循环小数。世界上第一个把圆周率精确到七位小数的数学家，是我国的祖冲之，在实际应用中常常取它的近似值 pi 约等于三点一四。 我主要汇报的是圆的对称轴，我们把圆沿着任意一条直径对折，两边可以完全中和，说明圆是轴对称图形， 这就是我们小组的实验成果，直径所在的直线就是圆的对称轴，也有无数条对称轴。我们的汇报完毕，哪些同学还想要补充一下的？张一泽，你来 呃，我来汇报一下我们，我们在六年级还学过扇形，扇形是圆的一部分，圆心角的角度取决于了扇形的大小，你的补充非常有价值，课后我们会把它做进我们的 ppt 的， 我们的汇报完毕，谢谢大家。哎，老师老师，我想提问 可以吗？可以，我想问问这个圆形和其他的这些平面图形之间有什么不同啊？ 圆形是由一条曲线围成的封闭图形，他没有角，但是其他的图形都是由呃，几个线段围成的封闭图形，他们有角。哦。大家同意他们的说法吗？同意，好，谢谢你们好，谢谢大家，谢谢大家好，请站位好！ 感谢刚才这三个组的同学的精彩汇报，通过我们大家的共同努力，现在啊，我们已经对平面图形的知识进行了非常全面的归纳和整理。 那么接下来呢，翁老师这里还给大家准备了一套平时我们在练习中出现的易错题，请大家先把题看一看啊，一共有五道题，哎呀，同学们都迫不及待的拿出了电子书，包好现在准备答题。 嗯，有些同学的动作非常的快。好的，现在好像大部分同学都已经完成了任务，我们来看一看。 嗯，正确率相当的高。看一下这个第二题吧！有一个同学答错了，圆心角是九十度的，扇形是与它半径相等的圆的面积的四分之一，谁来说一说你是怎么判断？是怎么想？ 好，来，请你说。这道题是正确的，因为圆的圆心角是三百六十度，这个扇形的圆心角是九十度。扇形圆心角的大小取决于这个扇形的大小， 决定了扇形的大小，用九十度除以三百六十度可以得出四分之一，所以这个圆心角是九十度的扇形是与它半径相等的圆的面积的四分之一，大家同意吗？同意，好，我们来看一下正确的答案 是正确的，非常好，而且解答的很清晰。这个题有两个同学做错了，看一下，任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形，这句话正确吗？好，谁来说一说你是怎么想的？ 好，请你说一下。我认为这一题是错误的，嗯，因为就算它等底等高，如果一个是直角梯形，一个是一般梯形，它们也不能拼成一个平行四边形。那是怎样的 两个梯形才能拼成一个平行四边形呢？两个完全一样的，完全一样或者完全相同的，同意吗？同意，非常棒，请坐 看一下解析，任何两个完全相同的梯形都能拼成一个平行四边形。好， 这些题啊，都是平时我们作业中的易错题，那通过我们今天的整理和复习，我们明显的感受到正确率提高了，看来啊，同学们对于这个平面图形的知识已经掌握的相当好了。好的，好，请大家先作证。 我们刚才是对平面图形的知识进行了整理，那么现在大家看这里平面图形和立体图形之间到底有怎样的关系呢？好，有同学已经有想法了，我们先看一段小视频 感受一下。 嗯， 好，你这个同学，你刚才有想说的是吗？好，你来说一下你觉得他们之间有什么样的关系？ 就是立体图形是由许多平面图行为成的，嗯，为成的是他们构成的，对不对？好，请坐。其实通过刚才的对比和演示，我们发现平面图形经过平移、叠加或者是 旋转，都可以构成一个立体图形。关于立体图形的知识，我们会在后面的复习课中对它进行整理。好，刚才同学们一直都在动脑筋，下面我们来动动手吧。好，请看 谁来读一读这个题目的要求。好，请这个女同学你来读一读。 做两个一样的平行四边形纸片，把它们重合在一起，将上面的平行四边形绕它的一个顶点旋转一百八十度，再通过平移使它与下面的平行四边形重合。 观察两个平行四边形的各条边与各个角，你有什么发现？声音真好听，读的非常好，大家现在明确了这个题的提议了吗？ 好，那现在请以两个人为一个小组，先坐一坐，再说一说你有什么发现？准备好了没有？好的开始。 先摆在上面摆好，先重合。先摆在上面摆好，先重合。注意看一下顺序，按照那个步骤可以摆在桌上，你和他一起做 试验一下。先重合，按照顺序试一下，试一下，然后再想想，再互相说一下。就是他这个脚。 角一和角三，这两个是相同的 r r 红色的角。 怎么样，你们发现了吗？我们发现了，对不对？好， 我们四位新人 怎么样，你们发现了吗？我们发现了，对不对？我们发现了，对不对？好，已经发现了这个里面的规律了吗？那谁愿意来说一说？ 好，请后面那个男生，嗯，我发现他把上那个，把其中一个平行四边形旋转，叫一个顶点旋转一百八十度，再重合后发现他们两个图形，嗯，完全重合，而且他们的脚那个都是一样的。 好的，这是他们的发现。有没有哪个同学想补充一下？好，请你来。对边相等，对角也相等，什么形状啊？ 平行四边形，平行四边形的对边相等，对角也相等，大家同意吗？同意。 好，那我们刚才通过旋转和平移再次的验证了平行四边形，对边相等，对角也相等。好，老师，这里有一个小动画，我们一起来感受一下这个过程， 而且刚才那个同学用到的一个词特别好，完全重合，我们以后还会认识更多的平面图形，我们可以把这样的方法运用到这些图形中去，发现它们的特征。 好，同学们，我们知道我们的数学知识啊，其实都是来自于生活的对不对？那么他也会运用到生活中去。下面我们去一起去看一个生活中的数学问题。 这有一个储蓄罐，想一想如何判断一枚圆形硬币是否能放进下面的储蓄罐中？ 请结合今天复习的知识说一说。注意储蓄罐的开口是一个长三厘米，宽零点四厘米的长方形。好，有想法了吗？哎，好，你先说 啊，我们要先求出这这枚硬币的。呃，他直径，如果直径大小于存钱罐的长， 那么就可以放进去，等于也可以放进去，但是很困难。呃，而且还要求他的厚度，如果厚度也是小于这个长方形的宽度的话，他是完全可以放进去的。嗯，一定要小于吗？ 呃，等于很难小于或等于，对吧？好的，请坐。大家同意他的意见吗？好，那还有没有哪个用自己的话来说一下？怎么样判断好？请。

这些平面图形啊，他的公式的推导是怎样推导出来的？他的公式你们都记得吧？记得。好，那我们来去说他的公式呢， 长方形面积的公式怎么算的？长乘宽，长乘宽用字母表示， a 乘 b， s 等于一好， s 等于一正方形呢？ a 的 平方平行四边形， h 这个三角形，二分之一 梯形，还有一个是 s 等于排 r 的 平方。同学们，这些公式呢？大家因为我们经常在用，所以大家对这个公式还是记得比较牢的，对不对？那么至于这些公式它是怎样推导出来的， 还记得吗？有的同学已经忘了，好几个同学在摇头，这样啊，我们四个人为一小组，我们在大家讨论一下，是不是 可能有的同学他会记得啊，这些公式是怎样推导出来的？几何式？开始通过刚才我们短时间的讨论啊， 有没有想起来了，这些平面图形它的面积公式是怎样推导？我们分别来说说长方形，谁来说长方形好？ 引出长方形是把长方形的，先把长方形切割成若干个小正方形， 再数一数长，上面的小正方形有几个宽，有几个宽，里面有几个长？宽长成宽，长成宽，长里面的个数乘宽里面的个数等于小正方形一共的个数吧，是不是啊，一共的个数就是小正方形一共的 可以知道小正方形一共的面积，那么知道了小正方形一共面积，我们就知道了长方形的面积，所以长方形面积可以用啊，长成宽来正方形的手感，小正方形他说也可以把它分成若干个小正方形，还要这样吗？ 要，本身就是一个，不用了。好，有同学就高一点，方形直直接可以用，因为他本来就是个长方形。 正方形他应该是一个特殊的长方形，只不过是长方形的长和宽相等，长方形可以长成块，正方形呢？他也可以长成块呀，对不对？ 不过这个宽和长是相等的，所以我们得到了正方形的面积计算，就是 a 乘 a， 对 不对？ s 等于 a 乘 a， s 等于 a 的 平方来。正方形是一个特殊的长方形。好， 平行四边形怎样说？平行四边形他是怎样推到？推到他的中指，他把一个角给切掉，然后平移到另一个角上，他就给你一个长方形， 变成一个长方形。把这个平行四边形啊，沿着他的高切掉，剪下一个长。一个一个。什么三角形怎么样？拼成了一个什么？ 变成了一个长方形，这个长方形公式我们知道的，对不对？长方形公式怎样算的？长成宽对不对？那么这里边的长就是平行四边形的底，这里的宽就是平行四边形的高， 所以我们得到了平行四边形的面积就等于底乘高，对不对？因为平行四边形的面积是相等的了， 这样我们就得到了平行式对称的面积的公式，他是怎样推导的啊？那个一高，他是通过减，再怎么样平移拼成了一个长方形，我们推导出来 长方形、四边形的面积公式。好，平行四边形，三角形呢？三角形怎么样的？同学笑，三角形，我们是怎样推到三角形的？面积计算一下， 把平行四边形，把三角形，三角形好。笔号栏，把三角形沿着他的高切掉，再平行分成一个正方形，能行吗？不行。好，小雨欣。 是这个还是长方形为基础？把两个三角形就拼成了一个长方形，一定能拼成长方形吗？两个就把等底等高的那个， 他们两个等底等高的长方形和正方形，他们的完全是。哦，这个有点乱啊， 谁来说好？高与静三角形，他就是一个与他等级等高的这个三角形就是与他等级等高的平行四边形的一半。 那么你现在给你一个三角形，怎样推到他的面积再找一个完全相同的？不能说啊，等级等高不一定形状完全相同， 对不对？是吧？一定要是两个完全相同的三角形，可以怎么样拼成一个平行四边形？怎么拼？ 这样拼一拼能行？倒过来，倒过来叫什么？旋转，先要旋转， 这样就可以拼成一个平行四边形。共同用的平行四边形和三角形有什么关系？好， 你说圆形的面积是三角形的，是三角形面积的两倍，两倍，是吧？平行四边形面积是其中一个三角形面积的两倍。同学们再看看这个平行四边形，这个三角形他们的底相当高，怎么样？相当高，对不对啊？ 由此我们得到了三角形面积应该是平和它等底等高的平行四边形面积的一半，所以三角形面积应该 s 等于二分之一。 a h 就是 平行四平行面积吧，和它等级等高的平行四边形面积一半。好， 这样的话我们就得到了三角形面积的。是把它转化成什么平行四边形？平行四边形把它转化成什么？ 是不是有联系的？姿势之间又怎么样？有联系？ t 形呢？好， t 形跟三角形有点相似，就是就是 t 形也是要拿一个和它完全相同的 畸形来平，但不过是 t 形，它是用反向，用长，用上顶加下顶，也是要把它拼旋转，旋转以后 拼成一个平行四边形。平行四边形拼成这个平行四边形，它的面积和梯形面积有什么关系？梯形是平行四边形的二分之一，梯形面积是平行四边形面积的二分之一。一半，总归要，对吧？好，再继续看。这个七， 这个长，这个平行四边，它的底，哎，是梯形的，上底加下底高呢？都是相等的吧。那么 这个平行四角的面积就是用上底加下底的和去成高，对不对？那么梯形面积呢？再除以二，所以就出来了吧。上底加下底的和 是平行四边形的底，再乘高是平行四边形面积吧，再乘二分之一就是梯形面积。你看我们在推到梯形面积公式的时候，是把它转化成了平行平行，是不是支持自己吧，也类似 圆的圆面积，想想怎么推的。 同学还有动脑筋啊？小杜啊，你在动脑筋吗？ 陈一飞想起来了吗？他的眼神告诉我，还没想起来啊。好，你看甜。沿着沿着直径切成若干个类似小三角形，把它们拼成一个平行四边形或者长方形。 好，把这个圆啊，入该等分对不对？入该等分，我们现在是十六等分，十六分， 将他们拼成一个平行四边形。为什么是平行四边形？它这个边还是歪的吧，不是直的对不对？ 那么怎样把它变成直呢？再切切，再怎么切，再细分，也就是把这一小块再细分，嗯， 对不对？嗯。这条边会怎么样？越来越越来越，那么我们就要无限等分下去，这条边就越来越直，无限等分下去，这就是一条直边，这条边呢？那肯定是跟这条边要垂直了吧？嗯， 这样的话，只要把这个圆无限等分下去，我们就可以将它拼成一个长方形，对不对？好， 那么拼成了长方形和这个圆面积有什么关系呢？什么叫差不多啊？面积，面积怎么样？相等。面积肯定相等的吧。好，那么再看看这个长方形，它的长和圆有什么关系？它的宽和圆又有什么关系？ 它的它的圆的半径乘以圆周率，它的长长方形的长长应该是周长的一半，长方形的宽呢？应该是半径。那么长方形你是怎么算的？ 周长的一半乘半径吧，对不对？周长的一半就是拍二，拍二就是拍二吧，周长的一半就是拍二，再乘半径呢？ 再乘一个啊，所以拍成二的平方。好，同学们，我们在推到远面积的时候是把这个圆怎么样？接近以后中间把它平，对不对？平成一个近视的长方形吧。所以这个圆面积的 推倒的时候是跟什么有关？跟前面学过的平面有哪个有关？长方形有关，是不是知识之间都要联系啊？嗯，对不对？我们每学一个新的平面图形， 我们在推导他的面积的时候，一定可以找到一个已经学过的平面图形，对不对？借助这个已经学过的平面图形的面积计算，我们可以推导出一个新的平面图形的面积计算， 这充分说明了知识之间是有相互的联系。好了， 同学们，刚才啊，我们通过梳理这几个平面图形啊，他的面积公式的推导过程，我们进行了梳理的，体会到了知识之间是存在着密切的联系， 现在我要大家做一个工作，你看啊，现在我们把这些平面图形啊，都是这样，按照刚才同学们说的我们学的秩序，把它看好了吧。那么根据知识之间的相互联系， 这些图形怎样把他们相互联系的这种关系通过重新摆放把它呈现出来呢？你这样看似乎没什么联系，对不对？通过刚才我们 梳理了这些平面图形的业绩公式的推导以后，我们发现是直接是有相互联系的吧，对不对？最终这里边 怎样把这种相互联系的这种关系，通过把这些平面图形重新摆放，比如说哪个有联系的，我们摆放在一起，对不对？得出一个新的结构图，把这些关系就一目了来了。比如说我知道这个三角形呢，它的面积跟谁有关？ 跟平行四边形有关，对不对？平行四边形面积跟谁有关？长方形有关？圆面积跟谁有关？长方形有关？ 形笔记跟谁有关？行行行，能不能把它重新摆放以后，得出一个新的结构图？我们看这个结构图一看，原来图形是跟谁有关的，这个图形是跟谁直接有关的， 可以吧，可能有一点难度，可能有难度怎么放？哎呀，你就知道了吧，这个结构图脑子里面有水了吗？好，来，谁来把它重新摆一摆。这个结构图啊， 就像一个什么一棵大树一样，这个主干是谁？谁这个分支怎么分？分支里面还有没有分支了？有，脑子里面有没有初步的一个这样一个图了？先来摆一摆，把这个图摆出来。 这个是应该有一定难度的啊，怎么没能再尝试啊？出也不要紧的。好，过来，进来。你说你可能够不着，等一下公式，等一下，你先把图先放好，这样一看得出，看得出来，现在看得清楚吗？ 有些同学好像有点看法，你什么想法看的清？你这样看得出根吗？能看得出根字吗？可以啊，你说看看，看不太出。 那怎么有什么办法能跟他把他看的很清楚。用粉笔把那些字牙给画出来。哦，他说用粉笔把那些字牙给画出来，你们觉得行吗？行，这是 这符合他他的意图了吧？这样把资源画出来，你们觉得这个清楚了吗？把这个关系说说看呢？正方形、平行四边形、圆形， 根据长方形这个关系可以演变的。陈宇，长方形他先演变成了正方形，平行四边形的圆形。好，你的意思就说由长方形的面积计算，可以推导出正方形的面积计算， 平行四边形的面积计算和圆的面积计算，是这样吗？好的，继续平行四边形面积，就可以推导出三角形和平行四边形的和梯形的面积，是这样吗？ 这个清楚吗？我们反过来看，反过来看。我们学习正方形面积，是不是把它 转化成长方形，平行四边形呢，也是把它转化成长方形，圆呢，也是把它转化成长方形。再同样的道理，我们学习三角形，平行是把两个完全相同三角形拼成一个 平行四边形，是不是转换成平行四边形啊？这样一摆，通过这个线把它一连，这个结构图就怎么样了，非常清楚，对不对？当然我们还可以这样放 这个正方形，平行四边形圆，对不对？平行四边形就可以分出三角形和， 是不是这个结构图啊？清清楚楚。同学们，从这个图上我们是不是清楚的看出了知识之间那种密切的联系，对不对？ 所以啊，我们温故以后，你看知心，我们知道了一个新的知识是什么，可以像这些平面图形啊，用这个结构图来表示他们的关系。

体积的测量是看来测量的活动在我们的生活中经常进行， 今天我们就从平行测量的角度对长度、面积和体积再认识，相信你们一定会有新的收获。 那古代的人们呀，他们在生活中也有测量长度的需要，他们会怎样测量长度呢？ 聪明的古代人会借助身体上的一些器官，比方说大拇指与中指称为这一段距离，称为一丈，用这样的身体器官进行测量， 请大家用手比划比划，看你的桌面长约为几掌？ 老师看到大手掌和小手掌都在忙碌的比划着， 来玩的同学请举手！老师想请同学分享一下，这位男生，你量出来桌面约为几盏？四盏，四盏，你呢？我是三盏半，五盏半。老师想问问，为什么我们量出来这数据是不同的呀？ 今天来说，听懂了吗？听懂了范丞丞回答吗？范丞丞，那老师还想问一问，这两张桌面的长度合起来会是几窄呢？八， 不约而同不说八张。你的回答，最先请你来说说你的想法，因为我们一个桌子才是八张，呸，四张啊，两个桌子就是四，加四就是八张，你量出来一张桌面约为四， 四张，那两张桌面就为八。老师还想问问你们两啊，为什么不是三四张加三张半呀？ 为什么会吹巴掌呢？谁来解答这个疑问？请你来。 因为一张桌子的长度是一样的，所以两张桌子加起来就是巴掌，一张四掌，另一张也是四掌，可是它量出来是三百万呀，它不是四掌呀， 请你来，因为他们的手的大小不一样，手的大小不一样，所以一掌所代表的长度是不是也不一样？是我们在量两张桌面时需不需要统一长度单位？ 需要。如果以三掌半同学的这个手手去量的话，两张桌面的长约为几大几大？如果以四掌同学的手掌去量两张桌面的长呢？八、 看来测量长度与这个长度单位有很大的关系呢。时间来到了现代， 我们的数学研究当中出现了一些统一的长度单位，常用的有哪些？ 请你来说。常用的程度大家会有，以你跟你，你如果让大家还是来测量这张桌面的程度，你们会选择用什么工具？ 你来，我会选择用尺子，用尺子，指尺，对吧？和老师一块去了。 这把尺子每一大格所表示的是一厘米，一尺还是一厘米？一厘米，您与时间来到了现在， 那这是一一把十五厘米的尺子，用这把尺子接续测量 四次，我们可以量出这一张桌面的长度是有六十六十米，那这个六十里面有几个？一厘米有九个，我觉得反应很快，刚刚录屏的时候太短了，我们来了四次，有没有更快的方法？ 你来，要卷尺，要长那个，嘿嘿，这个好，这个想法怎么样？好，很好呀。卷尺很长，老师不是用的卷尺，老师用的是 泥尺。在这个泥尺当中，一大格所表示的是十十厘米，还可以表示一分米，对，还可以表示一分米。那桌面长包含了几个一分米呢？六个， 看来测量物体的长度，如果选对的工具，确定好了长度单位是不是，是不是可以达到事半功倍的作用？ 是我们测量长度的过程，实际上也就是看它包含了多少个这样的长度单位。 接下来我们仍然以熟悉的桌面为我们研究过一下，想一想，量一量，算一算，请大家拿出学习任务单，完成任务一。 大家今天是没有带测量的工具来对不对？对，你看一下老师的各个课，桌面和同学们是一样的，你可以看一看 啊。 i， 好，大家完成的差不多了，老师想请两位同学来分享一下。请这个女生分享一下。 我以分米为单位测量我的桌面长度是六分米，我和同桌的桌面长度是十二分米，我所在的小组桌面的长度和是二十四分米。 好，告诉你。蔡老师发现了一个很奇怪的现象，这明明是一个测量活动，没有一个同学在测量，都在列算式计算，只有经验，可以分享一下吗？ 你的经验是什么？如果，如果要求多个人的桌子长度和就用一个人的桌子长度乘以多少的人数，就等于这几个人的桌子长度等于多少。 大家听懂了没有？听懂了吗？老师还想请同学也来表达一下你的想法。好，请这个女生 就用有几个桌子，就用几个桌子的数量去乘一个桌子的的长度，合出来的就是那几个桌子的桌面长度。 这些桌面的长度都有什么特点？一样一样，都是多少？六十，可以以厘米为单位，那就是六十厘米，还可以以厘米为单位。那老师还有一个疑问， 如果全班有五十个人，那五十个人的桌面的长度和是多少呢？能快速的告诉我，请你来 等于三千厘米，怎么来的呀？我一个人桌子是六十厘米，那你可以拿六十乘以五十元，就等于三千厘米，有几个六十厘米？五十个五十个六十厘米，听懂了吗？你还有别的想法吗？ 请你来。是 三百分米，三百分米怎么来的呢？用五十乘六分米等于三十三百米，这两个方法都很好，只不过他们选择的难度也不一样。 那我们在测量长度的过程当中，你有什么好方法可以和同桌分享分享吧， 分享一下。 好多完了吗？好多完了，我请一个小组的同学来分享一下，请你来。 我在测量长度的时候有这样一个好方法，就是我们要选单位的时候，要选一个适中的单位，既不能太大，也不能太小。你的同桌有什么好方法？ 长度单位适量，长度单位适量，不要太大，也不要太小。你和同桌小朋友一块去了，他们的经验值不值得我们学习？值得我们再给他们一点掌声吧。 进行卫生大扫除时，我们需不需要搬动课桌？需要一动课桌。桌面的长度会发生变化吗？会， 我们把这一种物体的长度不会随着它的位置而改变的特性称为运动不变形。 无论是平移到后面，平移到前面，还是转动它的角度，长度都有一点点大概长度的。再认识的过程中，我们知道了在测量长度时，我们要选择 合适的最常用的长度单位有哪些？厘米跟米米。好，我们还知道了可以将测量出来的数据。六十厘米，我们全班有多少个人？ 五十一个五十一个，那就是全班的桌面长度是多少个？五十一，多少个？六十五十一个六十，五十一个六十。 我们只是用乘法的这种方式表示了五十一个六十累加起来，六十厘米累加起来，或五十一个六分米 可以加起来。最后这个问题我们还知道了长度具有什么样的性，性质运动有弹性。 这个界面大家熟悉吗？五十二十二，这是一个经典的益智类游戏文字方块。老师，图中选择了五组比较有特点的形状， 接下来我们就以这五组图形作研究对象，从中选择三个你喜欢的，利用它格尺测量出它们的面积， 将你的想法记录在学习任务单第二版的第二节的位置。好，开始行动， 给大家两分钟的时间，两分钟够吗？够够是吧？ hi hi， 还有三十五秒钟 啊啊啊，完成，同学请举手！两分钟还是很充足的是吧？老师，想请一个小组的四个成员上来汇报一下，每个同学就选一个图形来进行讲解，可以吗？ 每个小组可以上来，好，这个小组，这个小组的四个同学上去尽量不要选到重复的 好。第一个男生开始了对照乘积板说出你选择的是几号图形，我选择的是二号图形，它的面积是六平方厘米， 这就是你的方法吗？我用方格尺，我，我用的方格尺有一格十厘米，所以我量出有六六平方厘米。 一个方格的面积是一平方厘米，他占了几个格子啊？你是数的格子。这个同学继续， 它的面积是六平方厘米，你用的方法是？ 我选择的是第四个图形，我用的，我发现它的面积是六米，我用的是 一号图形，它的面积是六平方平， 你用的方法是三米乘乘，用它的格数乘以它的单位。要不你截个这个图给大家讲解一下？ 我是根据三个纸上它有几个格子，然后乘每个格子乘一厘米，又乘一， 哪个格子的面积是一平方厘米，占了六格，所以是六乘一对吗？请回！这四个同学用的一种方法就是使格子有明显的方法吗？ 还有没有别的方法好，还没有想到别的方法是吧？请把你所选择出来的弧形以及面积在我们小组中交流一下。 hmm。 哈哈 啊， 大多数同学都选择了取折的方法，老师选取了一位同学，请大家看一看。大比例上 他的图其实画的非常规范，我们应该用铅笔和尺子来画图，对吧？他的思路大家能够 理解吗？一点一点选择的是几号图形？四号，他用什么方法 计算？直接计算吗？测两，测两后再计算。请这位同学你自己来说出你是怎么想的？我是想把它分为两个部分， 我们的第一个长号级，第一个长号级的有多少平方级，第二个长号级有多少平方级？再把它们的长号级的加起来， 听清楚了吗？听清楚了，要给他一点。对这些不规则的图形， 我们可以除了用尺子的方法外，还可以利用转化的方法，把它们转化成 简单的熟悉的规则图形吧。对对，很好。同学们会发现这六个图形形状一样吗？不一样，但是它们的面积呢？一样，为什么它们的面积都相等？ 好，现在这个男生，他就是他的职业，图形的形状变了，但是他们内位的小方格并没有变多或变少，说的有没有道理，有条有理的，我们应该给点掌声吧。 这六个图集的共同点都是由 六个一平方厘米的小方格组成的，虽然形状变了，但是面积也不见。 那在在我们再认识面积的过程中，同学们，你们能像刚刚认识长度那样，对我们新掌握的知识再梳理一下吗？ 哎，有挑战，我们从魔法开始，将我们的新知识、旧知识迁移起来。 请你来抬头，面积和长度一样，也有常见的长，也有常见的单位，比如平方厘米、平方分米、平方厘米。表扬这个勇敢的孩子，还有谁想出发， 请你来！面积其实也是面积单位的加，大家同意吗？ 同意吗？哦，我还有点没想明白，你想想看我们这几个图形，它的组成是什么？一平方厘米，六个一平方厘米的内加吧，很好，还有吗？请你来。 面积也像场控一样，必须有运动和练习。何何出此言？怎么有这样的观点呢？因为就是这个东西，它的面积已经固定住了，它不管是什么样子，都是那个面积。请做，还有什么想补充吗？ 暂时没有了是吧？我们对面积的在认识过程中，通过同学们的发言，发现面积是不是也有这样的特点？是，我们来齐声读一读。 面积是面积单位的累加，常见的面积单位有平方厘米、 方分米、平方米。电梯具有垒加性。运动无变形，这个运动无变形后面的等级变形只是一个例子就读出来了。 接下来老师要给大家表演一个魔术，请大家先闭上眼睛， 睁开眼睛看，刚刚我们测量的这些图形其实是什么呀？一个一个一个来，请代表来请你来。其实一个正方形摆出来的平面就是 一个边长能长为几厘米的小正方体，能长为一厘米的小正方体的展开图，那我们求出来的六平方厘米实际上就是这个小正方体的 什么面的面积？表面积吧，我们六年级上学期学了表面积吗？ 为什么大家还如此陌生呢？这个词叫做正方体的表面积，非常为一厘米的小正方体的表面积。 接下来我们就利用这些小正方体来玩一个积木的数学游戏，请组长们把那些小正方形拿出来，原本熟悉一下游戏规则。 第一个要求，请大家跟随自己的心，选择你想用的小洞洞里的个数， 给大家三分钟时间，够吗？够够够，开始 啊 这是 这是 第二个要求，三个 可以啊， 九个，九个。 组长是谁？好请大家。 哎呀， 三三三 好，老师选择了一位同学，他的一个学习用品单，请你来汇报一下，你们小组的小组成员都送来拿好小圣诞礼物， 汇报一下你们的想法。 我们是使用四个小立方体来摆的，然后呢？摆完之后这个取好，这个立体图就是四立方体， 能把你们小组最喜欢的立体图形展示给大家看一下吗？ 那第四个要求，第三个要求，这个对它的体积是多少？那你能对它进行变形吗？变形给我们展示一下， 稍微举高一点，这是第一种变形。第几种变形了？有，还有吗？还有，还有吗？第三种了， 这就是第四种了，可以变出很多规则的或是不规则的形状，老师想你们有没有问题想问他们，哎，你来问。 经过测量后，我发现每个小正方形的边长是三，而根据面积公式的话，那么这个小正方形体，它的体积是二十七一高等于零，但是他们求出的体积明显小于这个数。 哎，这是一个有探索精神的孩子，在这个小方是老师啊，没有讲明白这个小方小正方形的棱，在这里的研究中，我们把它当做棱长为一厘米的小正方形，但是老师要表扬你有这种探索的精神。 那你有没有问题要问，怎么问？来，请你来。他变形后体型变了吗？没有。为什么没有变？一起装逼，因为他很不好的。他一路去表白，直接说， 因为他所用的小小正方形是用的是东四个，只是摆的形状不一样，所以他的体积并没有变化。 你听懂了吗？大家同不同意这种说法？同意，这个立方体无论怎么变形，他的体积变不变，不变，不变。好，感谢这四位同学。 那老师想问问其他组的同学，你们对所摆出的立方体变形之后，他的体积改变了没有？改变了。那我们在认识体积的过程中，你们对体积又有了什么新的认识？请你来。 体积也是体积单位的一家，在这里体积单位是什么？是 一平方厘米，有没有人说一方厘米等于另一方厘米，还有吗？请你来。 这个表达怎么样？他说如果再增加一个进来，那就是体积 也不增加，一定要努力。那增加十个呢？十加一等于零，以及具有本家性。还有吗？请你来。 以及具有运动敏捷性。假如我把四个增强体换一种方法， 他的主题是实验组。因为我们班同学越来越会数学表达了，既有观点还会说道理，还会举例子来说明道理。我们要把掌声送给你们自己。 同学们的梳理啊，比老师梳理的更细致一些。 今天我们从测量的角度对长度、面积和体积进行了泰认识。 其实这些内容都还只是我们数学中关于图形与几何板块当中的一部分知识，还有图形的认识， 还有图形的运动以及图形的位置。请大家来观看这个视频，看这个视频中有没有回顾起有关别的板块的知识， 你们看到了些什么？小不点，你看到了什么？我看到了平移， 平移，他们属于平行的，平行的运动，你看到了什么？ 警服是什么运动？ 这就叫补习，请坐。 no， no， 我 看到了旋转，旋转也属于步行的。

上课上课，说什么好，老师好，好孩子们，课前呢，我们已经回顾了六个平面图形的面积推导过程， 也根据六个平面图形面积推导过程间的关系，将这六幅图用一副关系图表示出来了。现在请你们拿出学习单一 四人小组交流一下你们的想法，开始吧， 已经同城统一的意见啦，老师也带来几幅图观察这些关系图，你觉得它合理吗？ 有自己的想法了吗？四人小组交流一下， 你们这个小组讨论了吗？呃，我们觉得三讨论了吗？讨论了，那你为什么没有举手？我们就是不太确定，也就是有想法，对，呃，我们觉得呢， 我们觉得三号可能还漏了一个，三号可能还漏漏了一个圆形没有写出来。长方形还可以推导出圆形的公式， 然后把它，我可以把它们拼成一个类近似的长方形， 然后呢，我们就可以把这一这一条当做是 呃，圆形的这个半径也就是二，然后这一条我们可以看出来是圆形的一半的周长，也就是 pi r， 然后用这个又可以推导出圆形的面积公式，应该是 pi r 的 平方， 你们有补充和意见吗？尹浩森，就是我们关于圆形的推导公式，不止就是仅仅把它拼成一个径是长方形的图形，还有一种办法， 简单的来说，我们把一个圆形切成八份，取其中一份， 我们把它看做一个近似三角形，三角形它的高就是我们半径，也就是二，那底呢？我们知道圆的周长是二 pi 二，接着它的底也就是八分之一 pi 二，也就是说四分之一 pi 二， 接着呢，我们用四分之一 pi r 乘以 r 就 得到一块，其中八分之一圆的面积是四分之一 pi r 方， 然后呢一共有八块，那我们就八再乘以四分之一 pi r 方，然后再除以二，因为我们刚露了一步，这个三角形的面积是底乘高除以二，那我们消消乐八根四， 把这把它消掉，剩一个四，这个继续消掉，那我们就只剩派尔方，因此我们推导出圆的面积是派尔方。大家还有什么补充？周世成， 我先来讲讲第一幅图，第一幅图的话，大家看第一上面的第一幅图，他，他把所有的，他把所有图形的面积推导公式都写出来了，但是，但是我们看一下他题目上的要求， 他题目的要求是用一副关系图表示出来，而他并没，而在第一幅图中，他并没有将这六个图形的关系表示出来。所以呢，这个这个图如果从推导公式来看是合理，但是如果放在这里的话，是有一些不合理的。那我们再来看第二个图，第二个图的话，他他不仅写出了每一个推导公式， 而且而且比如圆，他还写写了他推导成正方形，长方形径是长方形，然后写的派啊，乘啊。 所以呢，我认为第二个图其实也是合理的。那第三第三个图的话，不知道大家有没有想到，他其实还漏了一个三角形，三角，三角形，他三角形的话有两种推导方法， 我们先把这个，我们我们先把三角形乘以二复制一个出来，然后呢变成变成一个这个东西，那他就可以用平行四边形的公式来推导了。但是还有一种推导方式就是长方形，你把你把这一小块移到这里来， 他其实就变成了一个长方形。作者在哪里？作者呢？他刚才说你露了一个三角形，你们同意吗？同意。在哪？那这个孩子他说露了一个圆形，同意吗？同意，是这意思。掌声送给两位 一个会说，而且还会表达的孩子，孩子们，其实刚才在你们的表述过程当中，我发现在整理的时候要做到不重复，不遗漏，而且还要注意到他们之间的联系。请看这一个图，他在讲述的是谁跟谁的联系，梯形跟梯形，四边形，这个是 这幅图关注到的是听到一个词，个个什么意思啊？不仅有图形跟图形之间联系，是六个图形都有联系。孩子们，你们的想法是这样吗？ 是这个意思，看明白了吗？什么意思？谁能够结合着结合着这六幅图边摆边说说。 呃 呃，我们先看这个正方形，正方形呢？它，呃，它它，它的推导方法是我们以前是用来数小方格的方式来推导的，呃，就是假如这个边长是三， 那我们就是数三，三块小方格，然后这边也是三，那也是有一共有三层， 那么我们就是得出三乘三得九，呃，九个小方格，一个小方格是面积是一，呃平方米，那一平方厘米，那么正方形它面积推导公式就是边长乘边长。那我们 看一下这个长方形，他的推导方式跟正方形是一样的，只不过是他，他的推导方式。呃，他的这个边长呢？是两个是不一样的，这边是五，这边是三，那么所以说他们的是呃方式，推导的方式是呃一样的。 然后我们看这个平行四边形，平行四边形呢？呃，他就放这上面吧。呃他的推导方式其实就是要把它变成一个长方形，因为长方形我们是懂的。然后那么三角形呢？变成三角形放在这， 他是变成平，他要变成平行四边形了，他就可以推导出这个公式，那个这个梯形呢？也是 看下面，梯形呢也是呃，两个梯形放在一起也是变成一个平行四边形，而圆形我们是把它分开，然后让它分的越多近越近，似于一个长方形。大家还有什么疑问和补充吗？ 为什么说正方形和长方形的推导面积公式是一样的呢？因为我们在学习正方形和长方形的面积中，老师有跟我们讲到过，正方形是特殊的长方形，说明正方形也可以算是长方形中的一种，所以他们俩的推导方式是一样的。正方形的面积推导方式实际上还有一种，我们可以将一个正方形 变为两个，就也就是拼成一个长方形，那一边是三，两边都，这边总共就是六，那么这边是三，那么我们知道长方形的面积推导公式是长乘与宽，那 正方形的我们两个正方形长乘宽，那么我们知道我们现在这个长方形是由两个正方形推导而成的，所以由此可以证明正方形的面积推导公式和长方形的面积推导公式相同。大家还有什么疑问或补充吗？ 掌声已经说明了一切，是吗？刚才这两个孩子在表述的过程中发现了正方形跟长方形的推导过程实际上是一样的，可以这样子表示吗？对的，孩子们，那观察这幅关系图，你有什么发现？ 呃，首先大家看到这上图，我们发现这个三角形和梯形是先转发转化到这个平行四边形，而平行四边形和正方形还有圆形它是转化成了这个长方形，那由此我们可以得出，长方形它可以通过互相的转化，然后得出多个几何图形的面积公式。 呃，大家还有什么疑问或补充吗？ 啊？我认为不仅是长方形可以转化为不同的图形，其实每个图形都可以互相转换。我们从推导圆形的面积公式我们就可以发现，我们从圆形分割成多个小块之后，我们不仅可以拼成平行四边形，还可以给他拼成三角形，拼成梯形，同样可以推导出圆形的面积公式啊，所以我认为， 呃，每个图形都是可以互相转换的，也就是大家其实都关注到一点，那就是谁呀？长方形？还记得长方形的面积推导过程吗？长方形宽，为什么它会等于长乘宽呢？ 你说就是比如嘛，然后呢，这边是 这边可以给他弄成三厘米，然后呢，假设为这边为五厘米 厘米，这边注意了哈，这边不管多大大小，每一个每一个间隔，就算是一毫米、一纳米、一微米都不能放过，所以三要乘以五，这样子就可以做到密 这个密度，然后呢，它是毫无空隙，然后呢，这样子它的面积它就它的面积，然后这就这一整块，然后呢它就可以给它三乘以五，然后呢最后就等于十五平方厘米。 好，大家还有什么疑问或补充吗？你说。 呃，就是呃，我们可以假设他这个把它分成五格，然后呢？然后再把，然后他他，他每一条他都是三厘米，然后然后他一共就五条， 然后他可以分成很多个，呃，宽是一厘米，长是三厘米的，长是三厘米的长方形，然后他一共有五条，所以说他这边加起呃，乘起来就是三厘米， 然后然后一共有五条，所以呃五个，所以要再乘以五，就等于十五。他的意思是这样子的，对吗？他数的是， 也就是长城光，实际上在算的是每行的个数乘以函数，那这个图形可以，那你觉得右边这些图形可不可以也用每行的个数乘以函数呢？讲道理， 呃，其实它们是都可以的，只不过原型是要经过转化，其他图形我们都可以利用分割或者移补的方式， 三角形也可以用填补的方式， 然后平行四边形我们用切割单纯就可以了。但是我们圆形是不可以直接推导的，因为我们刚刚讲过，圆形是要根据长方形的面积公式来推导的，要转换，大家还有什么补充吗？ 所以孩子们，你们发现了没有，这六个平面图形实际上都可以用通过数方格，也就是在数什么， 听到了再数，然后再算一共有几个面积单位，也就是你们口中的小方格。你看 简单的这样的一副关系图，我们可以读出这么多的信息。老师班上有一个孩子，他也在整理复习，他提了一个问题， 是否全部的图形都可以由一个平面图形推倒而来？ 通过他的整理和复习，他发现用梯形的面积公式可以计算出所有平面图形的面积。思考一下你觉得他说的有道理吗？ 是呢小组可以讨论一下。 你说长长加宽上底加可以吗？可以上底加上底加下底，然后再乘以高乘以二。 我觉得他有理他强求我。对啊， 我们长方形可以啊，来大家看啊切掉他那种 可以吗？ 有想法了吗？有认为可以的请举手。认为不可以的请举手。 这是一个梯形，注意看平行四边形。 你认为平行四边形可以直接用梯形的面积公式吗？ 认为可以的请举手。嗯 可以了，因为呢我发现就是它七型，它其实它是上底加下底乘高再除以二。那所以就比如说像刚才的那个平行四边形它上底加下底，然后再这样乘到最后再除以二，其实它还是跟它原本的面积是一样的。 那可能有些人可能会觉得就是像三角形就可能求不出来，不过其实他上面那个点就相当于没有，所以他上底加下底还是原来那一个还是求得出来的。有什么补充吗？ 你刚刚说错了，是嗯就是漏了个点是上底加下底的和谢谢他的补充。那这两个呢 行吗？他实际上就是特殊的平行四边形。那现在问题最大的是谁啊？圆 形也可以， 其实圆形也是可以的，首先就是我们 那那我就直接这样，首先圆形可以把它切成若干块，接着咱们就可以把每一块当做一个三角形，每一块就是。 嗯一个三角形，接着我们把这些我们平均分完的三角形同时拼凑成一个梯形，我们会发现梯形的上底加下底就是圆的周长，也就是派 d。 而我们梯形它的高则是圆的半径，也就是派 d 乘 r， 最后再除以一个二，简化后就等于派 r 方。 他想说的实际上是， 你想到了吗？真的没有料到他可以用这种方式，值不值得？掌声，其实老师告诉你们个小秘密，如果圆沿着它的半径展开，你可以通过想象， 他可能会变成一个什么图形，如果有兴趣的同学，课下可以去研究一下好吗？好了，孩子们，现在请你们重新观察这两幅思维导图，你现在对这两幅图有没有什么新的想法？ 同桌讨论一下。 就是一开始我们是正方形画中间点，现在估计平行四边画中间点也行，圆形画中间点也行，因为圆形都可以转换成正方形，就是他们是可以互相转换，而且并没有固定的那个什么需要。 呃，我想说的是三角形的面积公式可不可以转化为其他的图形呢？ 谁听懂了？他说三角形的公式能不能推出？ 可以吗？可以可以有这样的思路。那你觉得如果我把这个换成平行，是平行正方形， 甚至换成圆形，你们觉得可不可能？但是孩子们，不管你们怎么变，始终有两个不变，那就是图形跟图形之间的关系，还有他们之间的联系，对吗？ 还是这个小朋友，他在学习完平面图形的面积之后，他画了一幅图案，要想计算阴影部分图形的面积，你认为至少要测量几条线段的长度， 认为是四条的请举手。三条、两条，一条，三条在哪里？ 呃，我认为有三条，第一条就是这一条，第二条是这一条，第三条是这一条，然后呢，这样的话我们可以先算出梯形的面积，而呃这个半圆的面积呢？它 这一条其实也就等于它的半径，所以也能算出半圆的面积。还有什么补充？呃，正极面 我认为只需要两条，因为它这个大圆的直径除以二就是 bc， 这一条半径的长度。还有什么要补充的呢？先看 e， 先看 e， 我认为只需要一条，我们只需要测量这个圆形的这个半圆就可以得到这个，呃，这个这个就可以得到了， 这个我们也可以得到。然后这边我们这样画，他是一个等，因为这边是四十五度，这边是九十度，那我们就可以变他是一个等腰的。呃，等腰直角三角形，那么等腰直角三角形，我们就可以知道，这边就只需要这边就相当于这个 也是一模一样的，那么我们只要测量到这一条，就可以求出其他的他们前面说需要的数据，就可以求出这个阴影部分。大家还有什么疑问补充吗？哦，我认为只需要量 b、 c， 而不是量弧，因为量弧的话， 因为如果要量弧的话，你还要先计量，出弧之后还要先计算这条直径，那还要再算这个半径，那我只需要量， 我如果只量我只量 bc 的 话，我就可以知道这一条，然后也同时可以知道这一条，那这这个体面上告诉我们了，这个 这个角它是四十五度，而我们知道这个四十五度，那这个一定也是四十五度，对吧？那既然两个角是四十五度的话，那这么这么一个三角形，它一定是一个什么等腰的这个直角的三角形，那我们知道等腰直角三角形，它两条腰肯定是一样的，所以说这一条就是 bc 的 长度， 那我们既然知道 bc 的 长度的话，这个直径圆的直径是半径的两倍，所以说这个就是二 bc， 进而我们就可以求出阴影部面。呃，部分的面积，大家还有什么补充的？ 我觉得他的方法比我简易，也是一条，但是他的方法是比我先进一点的。其实这两个孩子都很了不起，对吗？孩子们平面图形面积的学习，不仅要关注到图形跟图形之间的联系，其实这个图形当中各部分的 元素，比如说线段跟线段之间也会存在着联系。看来我们至少测量几条，一条还是还是一条线段的长度，现在需要你们想象一下，如果这一条线段的长度是四厘米， 现在教你想象一个组合图形，只要用这一条线段的长度 就可以计算出这个组合图形的面积。想好了吗？拿出学习单。二，请你们试着设计一个组合图形， 画的差不多了，没有， 大家可以四代小祖师不相比一比。 好，请看大屏幕欣赏一下我们班上几个孩子的作品， 看到没？ 他画的是方类圆，想到方类圆，你还想到了圆类方。好了，孩子们，老师今天也带来了一个 方类圆，就这这幅图形，你再想象一下，他在一个圆正方形当中剪出一个最大的圆，如果不是一个圆，还可能是几个圆？ 四个，嗯，十二个，四个，呃，可能是九个， 你觉得这三幅图阴影部分的面积一样吗？一样，为什么 啊？因为它们的直径都一样。先看这一条， 假设这条是六吧，然后这边把六分成了二，一个就是三，然后这边又把六分成了三，除了三，然后这边呢一点二，二二， 然后呢这边二加二等于六，这边三加三等于六，直径都一样，直径一样，那就证明半径也一样，半径一样，就证明这每个空白部分的面积一样，然后同样的纸减去同样的面积，就能得到同样的阴影，大家还有什么疑问吗？ 啊？我认为呢，我们其实可以不需要设这个具体的数据， 我们我们设半径吧，我们做一个半径，它是我们管这个叫大二吧。然后呢我们看这里一个方形里面被分成了两个圆，所以说这里的 r 是 二分之一， 而这里的二呢？因为他被翻成三个圆，所以说这里的二是三分之一，二，对吧？那我们要想先计算每个方中圆的那个面积，那我们先算这个应该就是 pi 大 二方，对吧？而这里的每个圆的面积是二分之一，二分之一的 pi 二平方， 这里就是三分之一的拍二平方，那这个这个方我们可以带过来，就变成了四分之一的拍二，九分之一的拍二。 然后呢我们在这里，我们在这里看到这里是四分之一，而这里面有四个圆，所以说我们再乘上四之后，这总共的圆的数量，呃，面积就是啊，应该这里都带方，然后呢派二平方， 那这里是九个圆，所以说应该也是派二的平方。大家还有什么补充？说成 刚刚受雨讲的方法其实挺好的，但是我，但是我想补充一下，就就说像刚刚他列他列的那个算式一样，他自己都显些，用分数列的话，他自己都显些列错，所以呢？我，所以呢如果要设半径的话，其实我们可以，我们可以三个，三个图的半径都设一个等数， 就就比如说这三，这三条半径，我们把这一条设为 r， 那， 那那么这那我们如果把这条设为二 r， 那 么那这一条就是，那这边就是三 r， 那 么同，那么同理的话这边就是 六 r， 那 现那现在的话我们就可以根据根据刚数学同学方法直接直接去算 pi r 方，就是六六 r 的 平方乘以 pi， 也就是 这个是整体平方，也就是三十六 r 三十六倍的派 r 方，然后呢，那这里的话就是三 r 的 三 r 区，整体乘乘以十一，一模一样。 那好，可以了，孩子们，你们应该听懂了吗？听懂了是不是还有其他想法是吗？好的，孩子们，我们可以课下的时候四人小组或者同桌之间交流一下，可以吗？是的，孩子们，其实啊这个里面可以画几个圆， 只要是平方都平方几个圆，无数个圆。孩子们数学的学习不仅要关注到，比如说这个组合图形看似需要一个很多很多的数据，但是我们可以找到他们之间的关联，用最少的数据就可以求出他们之间的关系。 今天我们这堂课通过整理联系以及应用，在整理过程当中我们要注意不重复，不遗漏，在我们的知识的联系当中，我们要抓关联、循述理， 最后在知识的应用当中，我们要会拓展能解决，今后在遇到立体图形的整理和复习的时候，我们也可以通过这样子的三种方式进行整理和复习。好了，孩子们，希望你们通过今天这堂课的学习，正如我们校标里面所说的，能够成为更好的自己，好下课。

立体图形，说吧，圆锥，圆柱，嗯，圆柱，圆锥，还有长方形，正方形，这些都是我们学过的立体图形， 刚才这女小女孩说了，立体图形， 请坐后面，这个小女孩说了平面图形，事实上平面图形还有一些。先来补充，你说平行四边形，嗯，圆形，嗯，还有三角形，哎，三角形，那亲爱的孩子们，今天呀，我们就从图形家族中请来了两个老朋友， 认识他们吗？认识，他们是圆柱和圆锥，是哪个家族的立里图形。真好， 那亲爱的孩子们，从立体图形圆柱和圆锥的身上，你们看到或者想到了什么平面图形呢？ 谁来说？你说，呃，圆形，哎，从哪看到的？或者想到的？圆的底，哎，圆柱和圆锥的底面都是一个圆形，真棒，这孩子是看到的， 你说三角形，嗯，怎样得到的？圆锥，它下面的三角形，哦，在观察物体的时候，我们看到了圆锥的正视图，它是一个三角形，真棒， 找到了， 这两个孩子都非常了不起，他们找到了立体图形，圆柱和圆锥和平面图形圆三角形之间的联系， 那这两个立体图形还和哪些平面图形之间有联系呢？他们有着怎样的联系？ 接下来我们就这样的一个两个问题，先独立思考，然后呢，就我们的思考成果，两人学习小组交流 之后呢，我们再一起汇报，好吗？好，开始先思考，再交流 啊， 好了，现在两个小朋友开始交流，来，开始吧。 啊， 好了，哪个小组来汇报你们的成果， 来，后面的男生，你们说。首先我们讲到我们从圆柱他的正视图方面，有可能是个长方形，也有可能是个正方形，你的意思是圆柱的正视图，正视图。对，从正面看到，他能看到一个长方形正视图，你看， 非常棒。还有吗？然后从，然后圆锥如果说把它的侧面给展开，就是一个扇形，嗯，他想到了圆锥的侧面展开，不过展开的时候，我们要 哎，直直的剪，来见证奇迹，看看是不是一个扇形呢？我们让它展开展开，看看是不是扇形。是，哎，果然是一个扇形， 了不起的孩子，他想到了展开， 请坐，还有吗？来，你还，还有。圆柱展开斜着切，它是一个平行四边形。如果把圆柱斜着切，它能切出一个平行四边形，你们是否同意？同意，真棒。 那如果不斜着切呢？直直的切呢？是一个长方形，或者是有一个正方形？哎，是一个长方形或正方形。我们来看看，我把它展开展开。别急啊， 看看见证奇迹的时刻是不是一个长方形呢？是，那此时这个长方形就相当于圆柱的侧面侧面的面积。那这个侧面积你们会算吗？会。会。谁来说？ 你说周长高，也就是底面的那个圆的周长乘以高，嗯，侧面积的算法 等于底面周长乘高。那这个整个这个圆柱的表面积呢？又该怎么算？你说女孩要用那个侧面积加上上下两个那个圆形的面积，嗯，用侧面积 加两个底面积。 这个孩子从他的外面展开的角度来找到了立体图形和平面图形之间的联系。谁能从不同的角度来继续研究这个问题？ 你说我想到了直角三角形，哎，怎么想到的呢？就是说直角三角形啊。嗯，旋转一周就得到了一个圆锥，你们是否同意？同意，来，我们一起看一看。 谢老师，这里就有一个直角三角形，我们以他的一条直角边为轴旋转一周。 等等，等等，什么来了呀？圆锥，圆锥来了，那谢老师，这里就有一个直角三角形，他的底是六厘米，高是三厘米。 下面请同学们以这个直角三角形的一条直角边为轴旋转一周来。开始闭上眼睛，在我们的脑海中旋转 好了，有这个圆锥的样子了吗？有。来描述你脑海中的那个圆锥，你说，呃，这是一个高为三，它的底面半径为六的圆锥，底面半径为六， 高是三厘米的圆锥，你看，高为三，里面半径为六，看看是不是它 里面半径是几？六，高是三。请坐，谁脑海中还有和这个不一样的圆锥吗？ 哎，男生，你说如果他围着他另一条那个斜着的边转的话，他下面会多出一点，他不是个圆锥。 哦，你是以斜边旋转是吧？那就不是圆锥了，是吧？我，我的问题是不同的圆锥，你说他是一个高为六，半径半径为 三的一个圆锥，你的意思是以几厘米为轴，以六厘米为轴，对吧？那以 三厘米为底面半径，那么这一个其实就是它，对吗？六厘米为轴，三厘米为底面半径。那孩子们， 我们用同一个直角三角形旋转出了两个不同的圆锥，为了表达方便，这个叫一号，这个叫二号。你们想这两个圆锥的体积之间会有怎样的关系呢？ 你觉得会怎么样？他的同底同高，这两个圆锥之间的关系。 猜一猜，谁可能会大一些？二号，哎，你觉得二号会大一些你呢？嗯我也觉得是二号哎你也觉得是二号有没有不同的意见。 你觉得呢。我觉得是一号因为它的半径比二号大一点。哦你觉得是一号对吧？好了有一号的有二号的 还有吗有人认为它相等吗？有哦，你是你说我认为它们相等。嗯原因是同一个直角三角形这认出来的是吧。这就好了有一号大的有二号大的有相等的。那怎么验证呢。 来来嗨你说算一算是吧。对然后嗯不对你的意思啊不要算结果只要比一比就知道了。嗯说吧那一号怎么算？ 一号一号圆锥的体积有点看不清楚。高是三里面半截是六。 首先用底面半径。嗯乘乘乘以乘以底面半径。哦圆周率乘半径半径的平方对吧。乘底面半径的平方再乘 再乘高是吧。乘三很好，请坐二号。谁来来这个男生 你呢。哎对，要要三点一四乘三的平方三点一四乘三的平方再乘以六再乘六。孩子们同不同意这两种方法。同意哎。这是两个圆锥。 什么哎忘记成三分之一了。意思是圆柱和圆锥之间的体积还有三分之一的关系对吗？对好，我们把这个三分之一都补上。 在什么情况下他们会有三分之一的关系来你说。哎如果在圆柱和圆锥等底等高的时候就像他们现在是底面积相等高也相等那他们的体积就会有三分之一。谁是一倍 圆柱它呢三分之一对把它看成一它就是三分之一如果反过来把圆锥看成一呢它就是三对吧。了不起的孩子请坐。来，我来。记住， 圆锥的体积会等于圆柱体积的三分之一，当然前提是它们存在同同底等高。 好了，接下来我们就要来算了。要算吗？你们觉得算了什么？不用算，对，算都不算就可以吗？对，来，谁说个说，看。为什么不算？也可以。 女生，因为你直接把那个三点一四看成派，哎，他就是派对， 然后三分之一乘三，第一个三乘三分之一就直接抵消了。哦，这个三和三分之一抵消了，这个三分之一。这里有个三乘三分之一就不用看，都有个圆周率，派也不用看，是吧？然后呢？六六，三十六就是三十六派。嗯，这里是三十六派，这边呢？这边就是 三十八派。那谁的体积更大一号，也就是以较长的边为轴，还是以较短的边为轴？ 较短的边为轴，较长的边为半径。里面半径的时候， 它旋转出来的体积会更大更大一些，对不对？对，真好，请坐，来，我们讲了。哎，你还有补充是吧？我发现他们之间的倍数关系有两倍关系，对吗？因为那个高和那个半径他们也是两倍关系。 嗯嗯，挺好的，请坐。刚才我们从旋转的角度来找到了平面图形直角三角形和圆柱之间的联系，接下来继续，直角三角形可以旋转出圆圆锥， 你说长方形旋转可以变成一个圆柱，哎，会想象的孩子，那么长方形可以旋转出一个圆柱。好了， 谢老师，这里就有一个长方形，这个长方形的长等于六厘米，宽等于三厘米，此刻以他的一条直角一条边为轴， 旋转一周，闭上眼睛在脑海中有这个圆柱的样子了吗？有了，来，接下来继续描述你脑海中的那个圆柱。 后面的男生，你说，呃，我脑袋中的圆柱就是他的，以他的长为为，以他的长为高，以他的就是他的宽，就是为底面半径。那旋转出来的就是一个底面的半径为三，高为六的圆柱。嗯， 底面半径为三，高为六的圆柱。请坐，来， 这位男生，还有还有补充，这是围绕他的宽，能把他的宽度轴去旋转，然后得到是一个高为三厘米，然后呢，半径为六厘米的长方形，哎，看看是不是这两个。第一个，这是以几厘米为轴， 六厘米为半径。再来看， 这个是以三厘米为轴，六厘米为底的半径。那现在你们觉得这两个圆柱的体积谁会大一些呢？ 来，你说，我觉得第二个会大一些。哎，为什么呢？ 呃，因为，因为我们可以先先列出他们的计算公式，对，就是从刚刚的学习中得到经验，对吧？刚才我们已经研究过的这样的问题，会学习的孩子了不起，掌声送给他。好了，请坐。 孩子们，看，来，描述一个圆柱的大小，我们只需要几个数据就可以了。 两个，对，只需要两个数据就可以了。那么接下来谢老师给你两个数据 看，这是一个圆柱，它的底面半径是二点八厘米，高是十六厘米。 那接下来孩子们，我们先比划出这个物体的大小，然后再想一想，他可能是我们生活中你见过的什么物体呢？ 先来比划。谁告诉我，你觉得想要比画出这个圆珠的大小，先要比划什么呢？你说，先要比画出它的半径和它的高，哎，半径和高，你觉得个半径好刻画大小还是 还是直径更好刻画它的底面直径是不是那半径二点八厘米，直径呢？五点六。来，伸出右手的双手食指比划一下，五点六厘米， 哎，我们有同学的五厘米，六厘米有这么长呢，五点六厘米有了吧。第一个动作，第二个动作就要比划它的 高十六厘米多，高十六厘米。然后第三个动作，它是一个圆，一个什么呀？圆柱。来，三个动作一起来一遍，一气呵成，开始第一个动作， 第二个动作高，第三个动作，这是一个圆度。闭上眼睛想一想，这可能是你生活中见过的什么物体呢？ 你说。有点像那个大的水杯哎，像谢老师喝水的那个杯子哦，我看淡了，也没有，真的是哦，不过这个好像高，好像高一点，比这个还矮一点的水杯，是不是很好 喝水的杯子。你说我们生活中商场里卖的那种薯罐装薯片的盒子，哎，吃货，一看就是吃货。 饮料哎，这个薯片的盒子对不对？请坐，你说就是呢，有，就是呢，有一段时间，我就是我发现一种圆形的圆柱体的那种笔盒，一种笔盒子，猜猜贺礼。 同学们的猜测都很合理，并且接近我们的数据，你们想知道谢老师是从什么身上得到的数据吗？ 哎，这是我的知音易拉罐，对，易拉罐，这是一罐我们非常熟悉的饮料，我还把他请来我们的现场了呢，看看在这里了。那孩子们， 就这一瓶饮料，你能提出什么数学问题呢？来，就他提问题， 你说他的体积和表面积是多少？哎，关注他的体积以及他的表面表面积，也就是说做这个和这个罐子的时候用了多少的铁皮对不对？真棒， 来，你还如果不算上罐子厚度的话，这个罐子里面的饮料有多少毫升？哎，关注里面装了多少吃的是吧？和谢老师一样小吃货，我果然也很关心他。你们看看 我们提了这么多数学问题，知道净含量的意思吗？知道，知道，来谁来解释一下净含量 来，男生今天你表现真棒，最重要的是一个物品或者食品在除去他的包装以外他自己的净重， 你们同意吗？同意同意，大概是这个意思，就是像这里简单说就是里面装的水，装的水对装的饮料的体积的大小对吧？很好，请坐。那孩子们， 这个饮料三百三十毫升，他到底靠不靠谱呢？商家有没有在这里面有什么猫腻呢？想不想研究他？想。那怎么研究呢？ 你说说看。就把它的体积算出来，和原来金含量有对比就知道了。厉害，同不同意？同意。那好吧，下面我们就开始计算，这一次呀，就要请到我们的老朋友计算机来帮忙好不好？你们的你们都有个计算器，现在开始。 哎 呀 啊啊 啊， 是不是这样开始坐定，真好。来，计算器收的抽屉 哪个小组来汇报。来你们组，我们小组算出这个这瓶饮料的体积是三三百九十三点八八一六。哎，能说说怎么算的吗？ 就是先算出这个这个这个饮料的体积，嗯，三点一四 乘以二点八，再乘以二点八等于二十四点六一七六，然后再乘它的高十六，对吧？对，结果是三百九十三点八八一六， 单位是一高厘米，也就是毫升，对吧？对，很好，那保留整数是 三十九点八九，保留整数三百三百九十四毫升。 好了，下面请用数学的眼光去对比这两组数据。此刻你想说点什么来？你说男孩，哎，你觉得有毛驴是吧？很好，这是他的想法，你说， 呃，这个商家不是亏本吗？他多给了这么多，多给了吗？没有没有，他现在这个三百三十是他的，他的饮料是吧？请坐来。你说 我觉得这双面的铁皮可能做的有点太多了。嗯，你觉得应该是铁皮有厚度是吧？对，你，那你意思是我这个数据要计算它的容积，就是从里面那从里面量的，那你怎么知道我这是从外面量的？ 什么？你不能往里面量？对，我这里量都是完整无缺的，是吧？我从里面量的，所以在这种情况下 他的体机会他大于他的容身养很好，用数学的眼光去解释生活。你说我觉得话，他这样的话，我觉得是商家，他是不想让他溢的太满，然后一打开的时候就溢出来了，就是空这么一点点。 哎，听听有没有空隙？有，有，如果不留空隙的话，一打开就会喷，并且 在夏天的时候爆炸。对，你说，你说夏天的时候可能会，它会爆开，里面的饮料由于太多了，然后夏天里面呢，它这个整个的又会膨胀，所以的话呢，这个罐子就会爆炸。 物理知识真棒，课外知识真丰富，会热胀冷缩了，对不对？夏天的时候他说 不，那就可危险了，所以呢留了空。因此这么说来，这组数据现在看来靠谱了吗？靠谱了，孩子们，来，接下来让我们比划，继续想象，继续 看第二组数据，看看这是个什么图形？圆锥，圆锥，他的底面周长是二点五六米。 来，根据刚才的经验，第一个动作要比划他的什么？底面直径，什么？你说几个人连起来，为什么呀？一两米？一米啊，没得两米，应该是一米多是吧？ 而他的底面直径有十米，哎，是底面直径有十二米吗？底面周长十二点五六米。那底面底面直径是几米啊？ 四四米除以三点一四等于四米。是的，那底面直径四米，能比划吗？那有没有办法呢？我们一个人，一个人，一个人，哎，聪明的孩子，四个人一起来可能就多了，三个人应该差不多，是不是三个人拉起来 还有别的办法吗？还有，哎，你说就是把它比例尺就是假，就是那个一厘米，嗯，就它的比例就变成一米，那比例把它缩小，是吧？但是你比划的还是原来物体的大小吗？不是不是了，但是我要比划原物体呢，请做原物体比来。你说 他这一一个桌子的长度差不多就是一米。掌声，借助其他标准，桌子的长度是一米，那四张桌子是不是就是四米了？不是差不多，不是完全啊，差不多就四米了。是的，很精准。那其实呢，黑板的 长也差不多十四米，对不对？那接下来脑海中有第一个动作了吗？它的直径相当于几张桌子的长度？四张，四张是吧？四张桌子的长度。第一个动作有了吗？有了，闭上眼睛有了吗？有。第二个动作 要比划他的高高一点，五米高就有，哎。哎，来吧，拿开，站起来让大家当个标尺看看，我是一米五一，哎，那谁唱还差不多，一米五的还。

这里有一些三角形，这些三角形都是你们之前画在你们作业单上的三角形，我把它弄上去了。那么三角形是我们之前学习过的一个非常重要的图形，今天我们要来进行三角形知识的整理与复习， 请你观察一下这些三角形，你发现它们有什么共同的特征吗？ 你说。嗯，他们都有三条边，三个顶点和三个角。是的，这些都是三角形非常直观的特征。那他们有什么不一样的地方吗？ 你说他们每个角的角度可能不一样哦，角度不一样，你说还有他们的大小，边的长度大小也不一样，边也不一样，还有没有？ 高也不一样。还有吗？它们的形状相同吗？不相同。这些三角形，它们的形状和大小都各不相同。那想一想，三角形的形状和大小你们觉得有什么决定？ 边长，你说有可能跟它们的边长有关系？嗯，边长决定三角形形状和大小。还有吗？除，除 啊，我觉得高也会有影响。哦。高有影响，你说我觉得角度也有影响，角度也有影响，也就是说影响三角形形状和大小的因素，可能有角的大小，还可能有 边边的长度。那，那现在请你们拿出你们的三角板，拿出和这个形状一样的三角板。 嗯，我看到蛋蛋已经举高了，非常好。那请你们观察一下你们的这个三角板和我的这个三角板，你有什么发现？ 你说他们两个大小不一样哦，大小不一样。还有吗？你说他们两个边长也不一样，边长也不一样。你说他们两个都是直角三角形，都是直角三角形，等腰三角形，还有吗？ 你说他们的高不一样？高不一样。你说他们每个角的角度一样，每个角度角度一样，你们发现没有？来，拿起你的三角板，和我的三角板对比一下，和这个角角度相等的角，请你指一指 九十度，和这个角角度相等的角在哪里？和这个角角度相等的角呢？也就说明你们的小三角板和我的大三角板每个角的角度都 一样，一样对应相等对不对？那这两个三角板大小一样吗？不一样，也不一样。那他们的形状呢？ 一样，形状一样吗？一样，也就说明两个三角板角度对应相等的三角形，他们的什么可以一样，什么不一样？ 他的大小不一样，形状一样，大小不一样。形状一样，也就说明我们角度只能决定三角形的什么形状，不能决定三角形的大小。非常好， 角度只能决定三角形的形状，不能决定三角形的大小。那老师，这里有两组小棒， 这两组小棒它们都是对应相等的，看到没有？红色和红色相等，蓝色和蓝色相等，绿色和绿色相等。谁能用这一组小棒来拼一个三角形？ 来？拼了，粘在黑板的那边， 这是小猴拼出来的三角形。那这个谁能用这一组跟他一样的三，这三个小棒再拼出一个三角形来？来，你来也拼了，站在那个地方， 这一样吗？有没有谁想验证一下这两个三角形是否一样？ 对比之后你发现了什么？嗯，薛思聪，呃，他们两个重合了，重合了说明什么？小孙，说明他们两个 周长相等，周长相等还有吗？你说说明这两个三角形它们的面积也相等，面积也相等，也就说明这两个三角形重合之后，他们俩是完全相等的。那能不能拼一个不一样的三角形出来， 来试一试能不能拼出一个跟他不一样的三角形？先来给大家展示一下 啊，他拼了之后，他说他感觉是一样的，那有没有人能拼出不一样的？没有，没有。说明了什么？通过刚才的操作，你发现了什么？ 小雨，呃，我发现了他们，他们呃的边长相等，我还发现了，就是三角形具有稳定性， 他已经给我们完全总结出来了。我们以前学习过三角形具有稳定性，但是很多同学只知道三角形的稳定性是指压，他不会变形，对吧？ 其实三角形的稳定性还体现在另一个方面，当他的三条边确定了，三角形的形状还会发生改变吗？不会。大小还会发生改变吗？不会，也就是说边的长度确定了，可以确定三角形的 大小、大小和形状，三角形的边长确定了，三角形的形状和大小也就都确定了，这其实也是三角形的一个稳定性。 那么接下来我们来看大家完成的作业单的第一题，你们是不是画了一个三角形，这个三角形它的三条边确定了之后，是不是形状就会再发生改变了？同时我们来看 三角形的顶点和它的边有什么关系呢？三角形的顶点和边有什么关系？ 你说我这是一个顶点连接了两条边，嗯，一个顶点连接了两条边，还有吗？你说在顶点和他的对边做一条垂直的线，就等就是三角形，他的高 从一个顶点向这个顶点的对边做一条垂线看，做出来的是三角形的什么高，所以这就是三角形顶点和边的关系。 三角形有几条高？三条高，来看一看你们在作业单上完成的第二题， 以 ab 为底，画出高为两分米的三角形，想一想这样的三角形能画几个？那我也把你们的一些作品放在了上面，这是第一位同学画的，现在来给我们分析一下他画的三角形是否符合要求？ 是符合上去边指边说，为什么符合要求？爽爽， 这个同学的三角形符合要求。第一个三角形是这样子的，然后他的高就是这一条，然后作业带上一个一个格子是 一分米，然后这条这个三角形他的这条高是两两分米，然后中间这个也是一样的，他已经把这个高画出来了，然后他的这条高也是两分米，然后还有一个三角形，他和 他和前面两个三角形一样，他的高也是两分米。发现了吗？嗯，他做出来的三个三角形高都是两分米，是否符合题目的要求？那底呢？底都是三厘米，底是不是都是两厘米？ 三底都是题目的要求，底是什么？ a b， 为底是什么？ a b， 他的底是不是都是 ab？ 对， 那看一看他做出来的三角形，如果按角的分 类，给这些三角形进行分类，它是属于什么三角形？锐角、锐角、锐角三角形。什么样的三角形叫锐角？三角形小于九十九是俊星他们的那个角，角度小于九十度，角度小于九十度不完整， 你说啊，应该是三个角中角度最大的那个，小于九十度，角度小于九十度。你说 三个角都是锐角的三角形，全部一起三个角预备起三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形。这是锐角三角形。那我们来看这位同学画的 符不符合要求？先说符符合，先来指一指它的高在哪里？底在哪里？是否符合要求？雅欣， 它的高是这一条，然后呢？是两分米，是符合要求的底，也是以 ab 为底。 然后呢，另一个三角形也高，也是两分米，然后也是以 ab 为底，所以它的两个三角形都是符合要求的。非常好，说的很清楚。那同样，如果给这两个三角形进行分类，它们属于什么三角形？什么叫佩奇 他，他们属于直角三角形。什么样的三角形是直角三角形？阿远，有一个直角的三角形，叫直角三角形， 折叠一起，有一个角是直角，预备起有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形。那除了这两位同学画的，还有没有其他种方法？ 壮壮，来，上来画一画。我们以 a b 为底，还可以从这里连到这里， 然后从它的顶点向它的底边对向它的对边做一条直线， 将 a b 垂线，将 a b 线延伸，然后做出它的高。 看清楚他画的了吗？画的怎么样？怎么样？还可以，我觉得值得一点。掌声， 先来分析一下他画的三角形是不是符合要求的。菲菲， 呃，他，他画的三角形是符合要求的，因为上面写着是以 ab 为底，他画的三角形也是以 ab 为底， 而上面还写的要画高为两分米，然后，嗯，他画的也是高为两分米，所以我觉得他画的是正确的，非常好，符合要求。那如果按角的分类，给按角的 按脚来给这个三角形进行分类，它属于哪一类？刘洋，它属于钝角三角形。什么样的三角形？是钝角三角 形？有一个钝角的三角形，叫做钝角三角形。那像这样的三角形，我们可以画锐角三角形、直角三角形。同样，我也画了一个钝角三角形。 看这样的三角形，你能画出几个来？数几个，无数个，可以画出无数个。那这些三角形他们有什么共同点和不同点吗？ 刻画共同点是他们的，呃，他们的底就是下面那一条边，都都是，都是 ab、 ab 边，然后他们的高都一样，底和高都分别相等。像这样的三角形，我们把它叫做等底等高的三角形。等底等高的三角形，它的形状 你说，嗯，等底等高的三角形，它的形状不一定相等，但是它的，呃，面积一定相等。哇，你们还知道它的面积相等？是的，这其实是我们之后要学习的知识。等底等高，它的面积就会相等， 但是它的形状是不同的。那三角形除了顶点和边有关系之外，三角形的三条边也有非常重要的关系，叫做三角形的三边关系。什么是三角形的三边关系？ 全班一起三角形，预备起三角形，任意两边之合大于第三边。这三角形的三边关系。 那我们的作业单里面也有一道和三角形三边关系有关的题目。李明月读题， 当三角形的两条边分别为四厘米和六厘米，另一条边的长度可能是多少？除以厘米数？谁来给我们分享一下你是如何做的？ 好奇。呃，因为三角形的任意两边之和大于第三边，所以呢， 如果就用四厘米加六厘米是他们两边的之和，就是十厘米，所以呢，他的可能最大的话就是九厘米， 然后三角形的任意两边之差小于第三边，然后就是用六厘米减四厘米等于两厘米，所以就证明他最大。所以他这个另外一条边的长度可能是到三厘米到九厘米之间，非常好， 所以如果要满足条件，他最小只能是三厘米，最大只能是九厘米，因为题目要求要取整厘米数。好，我们来看一看。十厘米为什么不符合要求？两米为什么不符合要求？ 你说。因为我们刚刚得出了一个结论，三角形的任意两边之合一定要是大于第三边的， 然后十厘米的话，四厘米加六厘米是十厘米，十厘米和十厘米相等，然后十厘米就不行了，哦，就相等了，而不是大于了，对吧？那二厘米为什么不行？竖一排？ 因为三角形任意两边之差小于第三条边，六减四是二，所以，呃，二等于二，所以二厘米不行。我们来看一看第一个，如果第三条边是二厘米，会发生什么情况？ 哈哈哈，发生了什么情况？无法连接，连接无法首尾相接，对不对？我们知道只有首尾相接才能形成一个三角形，那第，同样的，如果第三条边是十厘米， 看也是一样的，因为为了展示给你们啊，所以这个往上了一点。但其实你看这两条边加 十厘米的话，是不是同样他们也会重合成一条线？对，他就重合在一起了，形成一条线段，哦，不能形成三角形了，所以必须大于两厘米，小于十厘米，那他就可能是 三厘米、四厘米、五厘米、六厘米、七厘米、八厘米、九厘米，这是所有的整数的情况来看， 上面的两条边分别是四厘米和六厘米。第三条边三、四、五、六七八九。在整个过程当中你发现发生了什么变化？ 大多大方形的底面是长方形，呃，不对，三角形的底，呃。最下面的那条边开始延长高，变得越来越矮了，嗯，他发现了第三条边延长了高，变矮了，还有吗？ 肚里，然后，然后他的底变长了，底变长了，还有吗？你说花园，他从一个锐角三角形逐渐变成了一个钝角三角形，哦，他发现三角形的状是不是发生了改变？那哪一个角在变化呢？到底是 哪一个角从锐角变成了钝角？处处是最上面的那个角从锐角变成了钝角。也就是说这个变化的过程当中，底边越来越长，他所对的 顶点，他所对的上面的这个顶角越来越 越来越大。大再来一遍，底边越来越长，他所对的这个角越来越大，那这其实也是三角形的一个规律，他的每一条边都有一个和他相对的角，一条边对一个角， 一条边对一个角，当边逐渐增长的时候，和它相对的角也就逐渐增大，这就是三角形当中长边对大角的关系。来，再来看三角形，观察它的角度和边长，你能发现什么？ 蛋蛋，他们三个角的角度之合是一百八十度哦，三个角度之合是一百八十度，还有吗？ 观察边和角的关系，你会发现什么？小杜就是假，我们就假如说这个九厘米的边，然后因为他是比较长的，所以他所对的角就是更大的。 发现没有谁最长九厘米，他所对的角是哪个角最大的？一百四十度对谁最短 四厘米？核桃所对的角十五是最小的，所以长边对大。再来一遍，所以长边对大角， 那反过来，短边呢？对小角，长边对大角， 那越来越长的边，他所对的角就越大，短的边，他所对的角就小。拿出你们的三角板，有一个六十度、九十度、三十度的角三角板，观察一下这个三角板是否有这样的规律， 是不是九十度所对的边？找到，找找，找着没有？找到了，他最长三十度所对的边，他最短。那想一想，长边对大角，如果两条边相等的话怎么办？ 两个脚脚脚怎么办？两个脚就相等，长边对大脚，那等边就对等脚。当两条边相等的时候，这个三角形变成了什么三角形？这边， 当有两条边相等的时候，这个三角形变成什么三角形？你说 当两条，当三角形的两条边相等时，他就是一个等腰三角形。等腰三角形有什么特征？你说他的两腰相等，两腰长度相等，两条边相等，还有吗？ 你说，嗯，他的角度是固定的，最长的那条边所对的角是九十度，剩余两条边对的是四十五度。 嗯，我们说的是什么？三角形？等等腰，他说的是什么？三角形？等等直角等，他说的是什么？既是等腰，还得是直角，是不是才满足这个条件？但我们只说等腰三角形啊。等腰三角形除了两条腰相等，还有， 你说还有他们的两个底角也相等，两个底角也相等。我们的作业单里面也有一道跟等腰三角形相关的题目， 来， 一个等腰三角形，其中一个角是二十度，另外两个角分别是多少度？谁找到了这个出来了，来分享一下 点心。呃，我是先用它的内角和一百八十度减掉二十度，算成一百六十度，再除以二。我是把这个二十度看成他的顶角，然后呢，两个底角分别就是八十度。 嗯，那为什么用一百八十度来剪呢？你说，因为三角形，它三个角的三角形，它三个角的内角和是一百八十度，三角形三个角的度数 合起来是一百八十度，所以我们可以说三角形的内角和是一百八十度。 好，那除了这一个，看，还有一位同学，他是这样子的， 对不对？对。你说他的做法对不对啊？我认为他的做法是对的，他把这个二十度当成了其中的一个直角， 然后有两个底角是相等的，所以用二十度乘二，再用内角和一百八十度减掉两个底角，就是顶角的度数，那么顶角是一百四十度，另外一个底角也是二十度。 也就说题目告诉你了一个角是二十度，有没有告诉你这个角是哪个角？没有，那这个角他就有可能是等腰三角形的任意一个角，可能是其中一个 顶角，也可能是其中一个底角，对吧？所以其实这个题是存在两种情况的，那么两种情况都要把它作答出来啊。好，这是等腰三角形。那等腰三角形 两边相等的话，它变成了一个什么三角形？等边三角形又有什么特征？ 陈子豪，等边三角形的三条边长度是相同的，然后角度也是相同的。嗯，这是等边三角形的特征。而且等边三角形有一个非常重要的特征，他的三个角的度数是 六度，都是确定的，是相等的，对不对？都是几度？六，六十度，那是怎么算出来的？六十度？ 史俊星，他用一百八十除以三啊，也跟我们等边三角形内角和是一百度有关，对吧？用一百八十度除以三。好，这是等边三角形的特征。等边三角形和等腰三角形有什么关系吗？ 你说等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。哇，总结的真好，所以我们可以用一句话来说，就是等边三角形是 特殊的等腰三角形。这跟我们以前学过的图形哪两个的关系有点像？正方形。你说正方形和长方形？是的，跟正方形和长方形的关系有一点像啊。那我们除了 研究三角等腰三角形的角，我们还要研究等腰三角形的边。来看一看。这里有一个 跟等腰三角形边有关的题目，我先请同学来读一读题。小孙， 李大伯家有有一块等腰三角形的菜地，他用长是十八厘米的泥巴刚好围了一圈，其中一条边长四米，你知道另外两条边分别 多少米呢？好，弄清楚题目之后，现在开始在你作业单的背面将这道题解答出来。 好，是不是谁能来上面边写边给我们讲解一下你是如何做的？来，稍稍直接写，直接写就行了。 我，我算的第一种是用十八减四的叉除以二， 这个，这是这一个算是。我是把四米，四米当做他的腰，然后腰，呃，不是四米当做他的底，然后他的我们现在就是在算他的两条腰就是七米。 然后第二种是用十八减四乘二，这里的四乘二是把四当做了他的腰来算，然后就算出他的那个底底 b 长十米，听明白他的做法了吗？现在呢？再来分析一下他是如何计算的。 许康成，他第一种算法十八减四，他是把那条四米的泥巴当成这个等腰三角形的底，然后除以二，算出他这个等腰三角形的两条等边，其中一边的长度就是七米， 然后所以第一种方法他就是一边是四，然后米两边就是七米。第二种方法他是把四米当成这两条等边就乘二等于八，十八减八就是十米， 十米就是那条底。也就是说题目告诉你了一条边是哪条边没有，那这条四米的边就有可能是等腰三角形的一条底 底，也可能是等腰三角一条腰，对不对？那也要分两种情况来分析，是这样吗？是，所以最后回答。答，一共另外两条边长可能是七米、四米、四米，也可能是 七米、四米、四米，对吧？完了， 是不是这样子？对对。有同学有疑问了。哎，哎，你说，我觉得，我觉得现在是在两边之隔大于第三边，然后那个四加四等于八八九，先发现，哎，他发现了什么？ 四加四等于八，他发现了什么？你说，呃，就是发现了他的第二个方法的三角形，他的边不符合三边关系， 谁听明白了再来说一说。史俊星和刘洋都发现了非常重要的信息。王楚涵，这是这第二个方法做出来的三角形，他的两条边小于第三边。 看这个答案，四米，四米，十米，他除了符合两条边相等之外，他是一个三角形吗？不是。 他是一个三角形吗？不是。他能围成一个三角形吗？不能。因为我们在解决问题的时候，除了考虑等腰三角形的特征之外，还要考虑符合三角形三边关系，才能围成一个三角形。所以第一种情况他是 错误的啊，他是不符合要求的。所以虽然一样的等腰三角形的题目，但是这个题他就只有一种情况，只有这一种情况是符合要求的。那刚才我们已经学习了三角形的分类， 已经复习了三角形的分类。三角形可以按角分，也可以按边分，按角分可以分为 你说小鱼三角形。按角分可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 如果按边分，可以分为，你说等腰三角形和等边三角形，这是三角形的分类。那其实我们以前也学习过如何用尾恩图表示几种事物之间的关系，那现在呢？请你们拿到作业单，翻到第二面， 请你在你的作业单的背面画出如何用尾 n 图表示三角形。按角分类三个三种三角形之间的关系，再画出三角形，按边分类三种三角形之间的关系。开始 我们一般用什么形状来画尾 n 图？圆形 已经很多同学画完了，现在私人小组交流讨论一下。开始 交流完的同学作证作证。谁能来分享一下你是怎么做的？小杜，嗯，上学。 我的圆可能有点不太标准，就是这这这里是角，这是按角分，然后我是这种发的然后这一块就是直角三角形， 这一块是锐角三角形， 然后这一块是钝角三角形，这是按角分的对不对？嗯好，然后按边分。我是这样的 然后这里是等腰三角形，然后因为等边三角形是等等腰三角形的一种，所以等边三角形要包含在等腰三角形的这个大圈里。 同不同意他的画法？同意。那有没有什么问题想问的？都没有。 你说小雨我觉得应该把这两个图然后在外面再画一个大圈，写着写的是三角形。 哦他说外面应该再画一个大圈写三角形对不对？但是这两个是按同样的标准进行分类的吗？不是不是，所以他们应该是分开独立的两个图形啊。那有的同学第一个图他是这样画的，我想问一问对不对？ 外面是钝角三角形，直角三角形、锐角三角形，这样对不对？ 想一想对不对？为什么？许康成，我觉得这样不对？因为他这种图案他一般表示的是两个有关系的， 但是直角三角形、钝角三角形和锐角三角形都是三个独立的种类，所以不能用这样的表示方法。说的非常好。他们三个是有联系的吗？ 没有，而是分别独立的存在，所以他不能有这样的包含关系对不对？对那还有的同学他是这样的 这样的锐角直角钝角三角形对吗？他这个地方是不是有交叉？那交叉的地方指的是什么呢？相点？相点，但 可能既是直角三角形又是锐角三角形吗？不可能。那他可能既是直角三角形又是钝角三角形吗？对，所以这样的方法表示方法是正确的吗？错的也是错误的啊，他是不可能交叉存在的，正确的方法就是这个。那我们想一想这个大圆应该表示的是什么？ 三角形非常好，而且所有的三角形如果按角分，他是不是都只能分成三类？这三类已经包含了所有的三角形在里面，所以外面的大圆表示三角形里面就是分成了三部分，这三部分就是所有的三角形了。 那按边分呢？还有一个不同的分法。同意同意同意。这个图表示了什么意思？ 小雨，呃，这个图表示的意思就是等腰三角形里面包含着等边三角形，因为等边三角形是特殊的，等腰三角形非常好， 也就说明等边三角形是不是等腰三角形的一种？是，那这个就是用尾 n 图来表示三角形按角分和按边分分类之后的一个 他们之间的关系。那么今天我们对三角形单元的知识进行了整理与复习，你有什么收获吗？ 雅欣，我知道了，三角形要长边对大角。哦，知道了，长边对大角，还有没有？你说。我知道了，三角形的那个内角和是一百八十度，内角和是一百八十度，还有没有？ 蛋蛋，我知道了三角形的三边关系啊，你说啊，我知道了，三角形的这些知识大多围绕角和边。 哦，三角形的知识都跟三角形的顶点角和边有关系对不对？那三角形的顶点和边的关系？顶点和边有什么样的关系？ 一个顶点对一个点点连接他的对边，就形成了三角形的高。那三角形的角当中，我们研究了三角形的内角和还知道三角形角度的大小，只能确定三角形的 形状，而三角形的边既可以确定三角形的形状，又可以确定三角形的大小，这其实是三角形的角。 按角分类可以分成三角、对角、对角三角形、直角三角形和钝角三角形。而角和边是不是也有关系？是 长边对大角等相等的边所对的角也就相等。那同样边的关系边当中，我们知道三角形的 三边关系，任意两边之合大于第三边。还知道三角形可以有等等底等高的三角形，而且等底等高的三角形还 形状不相同。如果按边分类，三角形可以分成等腰三角形和等边三角形，而且等腰三角形和等边三角形也是有关系的。那么今天的这节课我们进行了三角形知识的整理与复习， 希望大家今后能够将知识运用到生活当中去。今天的课起立快读书，同学们休息！

好，请坐。今天这节课，我们一起来复习平面图形的面积。那你是怎样理解课题中平面图形的？能举例说说吗？ 来，这个男孩，请你说。老师，我认为的平面图形就是在纸上画出来的，能举个例子说说吗？就比如说，嗯，三角形长方形和平形四边形。好，这是他的理解。谁还想再来说一说？ 来，后边的男孩，你来说。老师，我 来后边援助一下。话筒。老师，那你就声音大一点。老师，我认为平面图形，平面图形是一个纸上面，纸上，呃，纸上的一个封闭的图形。 哦，看来呀，大家都对平面图形有不同的理解。刚才这个男孩说像三角形是平面图形，三角形还有三条边和三个角，那角是不是平面图形？是的， 像这样线角这些规则和不规则的图形都是我们学习过的平面图形。那这些平面图形都有面积吗？ 有，说说自己的想法。女孩，你说。老师这个认，这个问题，我是这样认为的。嗯，并不是所有的平面图形都是有面积的。嗯，只有那种完全封闭的平面图形，它才是有面积的。他提到了一个词，叫什么封闭， 像这样封闭的平面图形的大小就是它们的面积。刚才课前通过视频，同学们一起欣赏了王老师的校园，瞧，这是王老师学校的文化墙。我们学校附近呀，也有一个湖叫九里湖，想知道它们的面积怎么办？ 来，这一排最后的男孩，请你来说， 你提到了可以把它分成很多块。哎，咱们以第三个图形为例，是这样想的吗？那其实这样你说的很多很多块，很多很多的小方格，其实就是我们的 面积单位，那我们学习过哪些面积单位？ 来，这个女孩，请你说，平方厘米，平方分米，还有平方米、平方千米，平方公顷，呃，公顷，可能有点紧张，是吧？好，请坐。九里湖是一个很大的人工湖，想要测量它的面积，用什么样的面积单位比较合适？ 一起说公顷，想象一下，如果这个不规则的图形是咱们校园里的一块草坪呢？ 平方米，看来测量平面图形面积的大小，咱们还得选择合适的面积单位。那像这两个图形，除了用面积单位来测量，有没有什么更便捷的方法？ 这一排后边呢？还是请你说，可以使用。嗯，可以使用面积公式。那在用面积公式之前，我们还需要测量，比如说长方形需要测量 黄河穿那圆呢？半径还可以测量直径还能测量周长， 测量出这些关键线段的长度，我们就可以利用面积公式进行计算。那长方形的面积公式是什么？ 长方形。来，这个女孩，请你说。呃，长方形的面积公式是长乘宽，用字母表示是，呃，是 a 乘 b。 那 圆的面积公式呢？ 可以接着说。呃，圆的面积公式是 pi 乘半径的平方，字母表示是 pi 二的平方， pi r 的 平方。好，请坐。那我们还学习过哪些平面图形的面积公式 来，女孩，还学过梯形，别着急，先到前面来，到前面来。这样，你来说，我来摆图形，你来摆公式，好吗？好，你来说。平行四边形。谢谢大家，我们还学过平行四边形，嗯， 平行四边形的公式是 a 乘 h。 嗯，还学过梯形，梯形的公式是？梯形的公式是 a 加 d， 括号乘以高，再除以二，有疑问吗？没有 a 加 b 的 和，然后再乘，大家一定要认真听啊！ 我们还学过三角形，三角形的面积是 a 乘 h， 然后再除以二。 还学过正方形，正方形的面积公式是 a 乘 a， 也就是 a 的 平方， 他说的对不对？对，好，掌声送给他！同学们仔细看一看黑板上的面积公式，在这些公式里，你认为哪一个图形的面积公式是最重要的？ 你来说说你的想法。我认为我认为长方形的面积公式是最重要的，这是你的想法。谁还想来说一说你，你觉得呢？ 我也觉得长方形的面积最重要，女孩，你觉得呢？老师，我觉得长方形的面积也是最重要的，因为每个图形的 最终的，嗯，就是转化，最终还是能转化成长方形。看来呀，都是由转长方形来推测的， 请坐。看来呀，同学们都认为长方形的面积公式是最重要的，光认为还不行，咱们还得充分说明理由。老师特意为每个小组准备了一套学具，快手拿出来 听清，要求，以三人为一小组，在白板上画一画，摆一摆，说明你们小组认为长方形面积公式最重要的。理由明确了吗？明确了，开始活动， 同学们，音乐已经停了，有些小组非常的高效，很早就完成了任务。老师也收集了一些小组的作品，我们一起来看一看 这是哪一小组的？派个代表来说一说来，老师到前面一边指一边来说。 老 师，我们小组摆的是就是学习的顺序，然后我们先学习的是长长方形，最后依次学的正方形，平行四边形、三角形、梯形，圆形。所以你们小组认为 长方形是最重要的，他们小组是通过学习的顺序来说明长方形的面积公式是对的，大家同意吗？同意，那就掌声通过。 这是哪一小组的来，你们也派个代表来说一说， 也站到那面向大家来介绍一下。嗯， 我用的是我们小组运用的是推导公式。嗯，因为长方形的面积可以推导出圆的面积，平行四边形的面积和正方形的面积，而平行四边形又可以推导出三角形的面积和梯形的面积，所以我们小组认为长方形的面积公式最重要，他们小组是通过 推倒的角度从而证明长方形的面积更是最重要。也说得非常的好啊，这是哪一个小组的？来，快走两步。 我们组织用运用的转化的面向大家解释我们组织用的转化的方法 确定出长方体。长方形是最重要的，因为圆可以转化成一个近似的长方形，平行四边形可以转化成一个长方形，而正方形是一个特殊的长方形，三角形又可以转化成平行四边形，平行四边形转化成长方形，梯形也可以转化成平行四边形，平行四边形 可以转换成正方形，所以我们认为长方形是最重要的，它们是从转化的角度来说明长方形呢？转化是一种特别重要的数学思想， 那这些图形是怎样转化进而推导出面积公式的呢？老师的学具里还暗藏玄机，来，谁能来具体的说一说， 来，男孩，请你来。老师，长方形的面积公式是这样推导的，哎，我们说的是转化，转，谁可以转化成谁？你要先说一说，平行四边形可以转换成长方形，因为可以沿着平行四边形， 可以沿着平行四边形的任意一条高，然后呢，把他这一边的三角形平移到这一边，然后就可以。是想这样剪下来吗？嗯，对，好，你来，你来，平移平移到这里， 这样就可以转换成一个长方形了。梯形，把机会留给别人一点长方形，它通过转化平行四边形，通过转化可以转化成长方形。那其他图形谁再来说一说？有它做开头，后面都开始举手了。来，最后一个男孩， t 型， t 型可以呃，把它复制一个跟它呃，一模一样的 t 型。好，给你复制一个。 拼接，拼成一个，嗯，拼成一个平行四边形，嗯，平行四边形的平行四边形的底就等于梯形的高和它的下底拼。仔细听他说的对不对？对，给他纠正一下。 来，你说啊，你的话筒被拿走了。来，我认为平行四边形的底应该是两个梯形的上底加下底。 哎，好像还有点问题。后边女孩，你再来说。老师，我认为梯形平行四平行四边形的底是由梯形的上底加下底 呃的和组成的，你同意他的观点吗？我同意，刚才是不是恐怖了？好，那你接着说。平行四边形的高就等于梯形的高。嗯，所以梯形的面积公式就等于。呃，平行四边形的上底加上下底的和，再乘以他的，然后再乘以高。 然后因为是因为我们是用两个梯形拼成了一个平行四边形，所以我们最终还得除以二，所以梯形的面积公式就是上底加上下底的和乘以高，然后再除以二， 因为是两个 t 完全相同，那梯形拼的，所以还要再除以二。好，来感谢这个男孩，有点紧张啊，那谁还想来接着说一说来。新男孩，来， 首先将一个，你先说，你要说谁？我要说这个三角形，嗯，首先复制一个完全一样的三角形到 放到这里，此时的三，此时的三角形的高就是平行四边形的高啊，三角形的底就是平行四边形的底啊，所以因为平行四边形的面积公式是底乘以高，所以而此时的平行四边形又是两个两个三角形组成的，所以， 所以三角形的面积公式是以乘高除以二。说的非常的流利。来，掌声送给他，还有谁想来说一说来。这一排的最后一个男孩， 我选择的是圆，咱把它换一下位置，放到这边，大家看的更清楚，圆沿着圆的半径平均分成若干份，就可以得到径四的三角形，然后把它们拼拼在一起，也就能得到一个径四的 长方形，是这样的长方形吗？对，那随着它平均分的分数越来越多，越来越多，这个 t 形的图形就越来越接近长方形，然后因为这个长方近似长的，长方形的 长等于平行那圆形的周长的一半，而高又等于圆形的半径，所以因为长方形的面积公式是长乘方，所以我们得出圆形的面积公式应该是 pi r 方，说的也非常的清晰。来，掌声送给他， 还有一个正方形，咱们一起来说吧。正方形是一个正方形的长方形，当长和宽相等的时候，就变成了边长，所以它的面积公式是边长，从边长。通过咱们刚才具体的转化，三角形可以 转化成平行四边形，梯形呢？梯形转化成平行四边形，那长方形、正方形、平行四边形和圆又可以转化成长方形， 咱们再从左往右来看，正方形，可以，哎，这个词儿特别好，推导出正方形、平行四边形、圆形、平行四边形的面积公式，又可以推导出三角形、梯形。 那这样的连线和箭头就把所有的平面图形之间建立起了连线， 形成了一个结构图，从而更充分地说明，长方形的面积公式是最重要的。那长方形的面积公式又是怎么推导出来的呢？哎，这排的第四个女孩，听你来说， 呃，这道题我是这样想的，可以，呃，可以在长方形里摆上面积单位为一的正方形，呃，通过摆一摆，数一数，可以得知，每排摆的个数就是长方形的长摆的排数就是长方形的宽。呃， 长方形的面积就是用它摆的个数乘以排数，所以我们可以得知长方形的面积公式是长乘宽。你是这样想的吗？嗯，是的，好，请坐。那谁能再来具体说一说，这里长方形的长表示什么宽呢？长表示的是 一起说每排个数个数，也就是说每排单位的个数。那这里的宽呢？排数，排数， 那每排面积单位的个数乘排数算的就是长方形的面积，也就是长方形里 这小正方形是什么？也就是长方形里面积单位的个数。 那为什么这些图形都要转化成长方形？这些箭头背后又隐藏着什么样的秘密呢？咱们接下来继续研究， 咱们和长方形对应着，来找一找这些图形里的关键线段。先来说正方形，长方形的长就相当于正方形的边长，长方形的宽相当于正方形的边长， 所以正方形的面积就是边长，从边长平行四边形呢？谁能也这样对对应着长方形来说一说。女孩， 我们可以把这个平行四边形沿着它的一条高剪开，然后我们可以把这一部分剪开的这一部分，然后通过向右平移转化为一个长方形， 然后这个平行四边形的这个底就相当于是长方形的这个长，然后平行四边形的底就是长方形的长， 然后它的平行四边形的高就相当于是长方形的宽。嗯，然后我们知道，因为我们知道长方形的面积公式是长乘宽，所以我们也可以知道平行四边形的面积公式就是它的底乘高。好，说的很好，但是接下来同学可以只说 对应量好来，请回女孩来这边倒数第二个，男孩，你来试试。 我们可以，我们可以把圆平均分成若干份，拼成一个近四的长方形， 长方形的长就相当于圆周长的一半就是就等于 pi r， 哎，知道这个 pi r 怎么来的吗？知道为什么是 pi r？ pi d， 一个周一个圆，周一个圆的，一个圆的周长公式是 pi 乘以 d， 嗯， 派乘以 d 除以二就等于派 r， 嗯，所以圆周长的一半就等于派 r， 派 r 就 等于长方，这个径似长方形的长，嗯，宽就等于半径。 所以我们得出圆的面积公式是 pi r 乘 r 等于 pi r 方。哦，说得非常的完整，来，掌声送给他。平行四边形和圆都通过化斜为值，化取为值，转化成了长方形。 那三角形和梯形能不能直接转化成长方形？能，别这么轻易下结论，能不能咱们得试一试。老师提前给你准备了学习单，在方格纸上画一画，拼一拼，看能不能转化成长方形。 那你得得有一个转化的过程，你这突然变得个长方形，对吧？谁能看出来你这个想法很好听，这话很不错，这个想法 友情提示，在转化的过程中，面积可不能变，你这个变了吗？ 来，同学们看这里，我邀请了一个男孩过来。为什么邀请他？因为他是咱们班第一个完成这项转化学习任务的。来，请你借助黑板上的学具给大家演示一下。 呃，我是通过将这一块的角切下来，分成两半，这一半贴到这一块，这一块贴到这一块，将整将这个三角形转化成了一个长方形。那你切的时候要注意点什么吗？呃， 这这一块的这一块的长度要和这一块一样哦，是这样切的吗？对，好，咱们一起转化一下，然后将 现在三角形就转化成了长方形。那这里长方形的长对应的是三 角形的底，长方形的宽是是上三角形高的一半还是高吗？高的一半可以用字母 二分之一 s， 二分之一 s 或者是 h 除以二。那这时三角形的面积就是 顶成高的一半。那梯形 梯形也是把上面这一块切掉，切成两半，一半是切在切在左边，一半是贴在右边，也会转化成一个长方形，注意的量也说一说。呃，这个切的高也要和下面另一半高一样，嗯， 然后，然后长方形的长就是梯形，哎，是梯形的什么？看看 李家下，你可以用字母 a 加 b 来表示，然后长方形的这个宽就是这个是什么？梯形宽，高的一半，高的一半， 所以梯形的面积就等于括号 a 减加 b 乘 h 除以二上底下底的和成高的一半。来。感谢这个男孩分享了这么好的方法。 其实我们今天的发现在古代就有所研究，我们一起来看一看。两千多年前，我国的数学名著九章算术中记载了各种图形的面积计算方法， 比如三角形面积的计算方法是半广，已成正宗。著名数学家刘辉用生动形象的图对这一方法进行了证明，他还进一步说明，还可以用半纵已成正广来计算三角形的面积。 当然对于梯形这样的方法也同样适用。 刚才咱们在黑板上演示的都是把图形往下翻转，也可以往上翻转，转化成长方形。那现在所有的图形都可以直接转化成长方形了。来，再把目光聚集到这里的计算公式。 有人说决定平面图形面积大小的是两条关键线段的长度， 你理解这句话吗？可以和同组同学讨论一下，看看关键现在。嗯嗯，对对对，那你看看这些这些公式最后几样的公式。 嗯嗯， 哎，说的很好，这说的就表达的非常好。 来，谁来说说你的想法？ 来，这个男孩，请你说，左边的左，左边的左边的那些数字都是将都是将它们划算成长方形的长，右边的都是划算成长方形的宽。哎，谁听懂他的意思？再说一说， 来，旁边的女孩请你说， 嗯，那你的意思是这条关键线段指向的都是 长方形，也就是每排那这条关键线段指向的都是那长乘宽，算的就是 面积单位的个数。其实求平面图形的面积就是在求这个图形里包含面积单位的个数。 为了让同学们对这句话有更深刻的体会，咱们来做个练习，在平行线里画出面积相等但形状不同的平行四边形、三角形和梯形。注意，根据你的学习单的要求，只画一个图形，计时一分钟，看谁画的又多又好，开始 越多越好。嗯， 好，时间到了，来，快速交流一下你的发现。 好了，来，谁带着学习单来给大家说一说你的发现。 来，你来， 行，可以来， 我量了一下，这每一这每一个小线段，它都是一厘米。嗯，然后先画一个底是一厘米的平行四边形，再画一个和它相反的平行四边形。知道这一个线段是一厘米，就知道这半个线段是零点五厘米，然后 两个零点五厘米组成的就是一厘米。所以也可以把这个平行四边形画在这两个线段的中间。 总结一下你的画法，你找到什么是什么？嗯，它们的底和高是相等的，所以它们的面积就相等相等。好，听回，下边的同学回答一句话来总结你的发现，直接说，女孩，你说， 我发现它们相等的图形都是等底等高的，你也画的是，我画的是三角形。哦，那三角形的关键线段是底和高相等，就决定了三角形呢？谁来说梯形？你说 老师，老师，我发现梯形的高都是一样的，那它的高一样就只需要求出它的上底加下底的和不变就行了。平行线内的高是相等的，所以只要关注它上下底的和。 难怪说决定平面图形大小的是两条关键线段的长度。这两条关键线段的位置关系还很特别，一条是横向的，一条是它们是 大声相互垂直的。这两条关键线段本质上就指向的是长方形的长宽直边。直角的图形更方便用 小正方形是面积单位来测量这个图形的面积。能直接求吗？ 没有公式怎么办？来，你来说。我们可以把这个六边形，然后就是分成若干个三角形，求三角形的面积公式再乘以一。嗯，一共三角形的个数就是你想分成几个三角形？ 六个六个，是这样想的吗？对，好，请坐，谁还有办法来？最后一个男孩请你说。 我也觉得可以分成三角形。嗯，但是呢，是一个角连着另外一个角，就是，是这样想的吗？呃，是的，好，其实方法还有很多， 那归根结底都是把这个没有办法直接用公式来求出面积的图形转化成我们学习过的图形 图形。还有这样这样，这些图形的面积公式我们还需要再学吗？不需要。为什么不需要了？ 你好，你说。因为我们已经把几个最重要的图形面积给学完了，我们只需要在其他异形图形的基础上把它转化成我们学过的图形就可以了。 大家是不是也是这样想的？是的，老师悄悄告诉你们，多边形的面积公式我们就学到这了，以后都不学了，大家知道原因了吧？知道，那通过今天这节课的复习，你有哪些新的体会和收获？接下来说一说 来，那个女孩你来说，我们知道了可以呃，就是呃呃呃，算出多边形它们图形的面积，我们可以呃通过转化的方式去呃，可以求出多边形它们的面积，对转化的方法有了更深刻的理解，谁还想说 来？后边男孩我们知道了平面图形，平面图形的面积最重要的是长方形， 平面图形中最重要的面积公式就是长方形，他把这些所有的图形之间建立起来联系，而且我们还知道了面积的本质就是变单位的个数， 学习就要找联系，抓本质，这才是我们学习的正确打开方式。好，这节课我们就上到这下课。