唐山二模初三数学函数压轴

唐山初三的家长们，二模刚考完，很多孩子发现题型跟一模不太一样，有的题甚至没见过。别慌，这恰恰是二模最大的价值。他提前帮您暴露了中考可能出现的新考法。今天教你一套二模复盘三步法， 专门针对题型变化。第一步，把新题型单独拎出来，别混在普通题型里。把所有没见过、没练过、跟平时套路不一样的题，用红笔圈出来，抄在一个本子上，然后问自己 这题考的是哪个知识点，他换了一种什么问法？第二步，找出新背后的不变。很多孩子被新题型吓住，是因为只看到包装变了， 没看到内核没变。比如数学，以前直接给你解析式，求最值新题型可能来个实际问题，让你先建模，但核心还是那个公式。复盘时一定要把这道题的股价扒出来写在旁边。第三步，找三到五道同类变形题 再练一遍。每练新题型，让孩子找几道类似的变形题练一下，连续做对三道，这个新题型就拿下了，还做不对，说明这个知识点本身就有漏洞，应该回头复习基础概念。 家长们中考不会考原题，但他考的一定是你学会的知识点。二模的新题型就是命题人提前给你的样卷，吃透了，上考场，再遇到新面孔，孩子的心里就有底了。

今天我们来讲一讲唐山市路北区二模的这道压轴题，这套试卷呢，这两天讲了很多遍啊，一直没有抽出时间来录视频，整体上来说呢，这套卷子的难度设置非常的合理， 另外呢，一些个题型啊，创新度也都比较符合我们新中考的要求，建议一些调研员比较示味素餐的县区的同学们可以来做一做这套路北区的二模试卷。 好，那么我们先来看题。在题型 a b c 搭中， a b 等于三， a 搭等于四， a b 等于三， a 搭等于四， a b 平行于 c 搭，角 b a 搭等于九十度过 b c 搭三点的圆，设圆 o 的 半径为 r。 呃，第一问，使规作图，咱们就略过啊。第二问，如图十四杠二，也就是这幅图，当圆 o 与边 a、 b 所在的直线相切时，求 r 的 值。那么读过了题，我们就要知道这道题干里边所给的关键点是什么，也就是题也在哪。首先， a b 三 a 搭四， b a 搭九十度啊，典型的一个勾股数，所以呢，我们第一时间就要把斜边连上，所以斜边 b 搭的长度三四五，勾股数 b 搭就等于五。那么第二个条件呢，圆 o 与边 a、 b 所在的直线相切时，键切线连接点连接 o b， 所以 o b 就 垂直于 a b。 好，那么下边我们再来看 o b 垂直于 a， b 搭 a 垂直于 a b， 所以 o b 就 平行于 a 搭。那么所以角 a 搭 b 就 等于角搭 b， o 这个角等于这个角， 角 a 搭 b 的 三角函数值是已知的，那么所以要求半径我们也要利用直角三角形来做，所以就是渐弦做，垂直做 o h 垂直于搭 b， 根据垂径定律， b h 就 等于二分之一， b 答，就等于二分之五，那么 cosine 角儿搭 b o 就 等于 cosine 角儿。 a 搭 b 就 等于五分之四，就等于 b h b 上 b o b h 我 们刚刚求出来了，是二分之五，那么就是二分之五， b 上 b o。 化简一下， b o 就 等于二，就等于八分之二十五。第二问解答完毕， 下面来看第三问。当角 b c 搭等于一百二十度时，求弧 b 搭的长， b c 搭三点共圆角 b c 搭等于一百二十度，这个角是圆周角，那么所以弧 b 搭所对的圆形角，那么就是二倍的圆周角就应该是二百四十度。 但是呢，我们在初中阶段，如果没有特别定义说要求优弧的长的话，我们都是求的是裂弧的长，所以呢，要求 弧 b 搭所对的圆心角就是三百六十度，减去二百四十度就是一百二十度。好，下面我们就在图里边看一下啊，这个角是一百二十度，连接 o b o 搭，所以呢，角搭 o b 这个圆心角也是一百二十度， 求的是弧 b 搭的长度。我们已知了弧 b 搭所对的圆心角是一百二十度，实际上我们最后要求的也就是这个圆的半径啊。好，已知圆心角一百二十度啊，已知弦长搭 b 是 五， 要求 r， 我 们也是要想到垂径定里，所以就做 o h 垂直于哒 b， 所以呢，角哒 o h 就 等于 b o h 就 等于二分之一角 b o 哒就等于六十度。好，有了三十六十度的直角三角形，我们就可以直接根据三角函数值来求 r 的 长度。 sine 角 b o h 就 等于二分之根三 就等于 b h 比上 r， b h 还是等于二分之一大 b， 那 么所以就是二分之五比上 r， 最后解得 r 就 等于三分之五倍的根三，那么所以弧 b c 的 长度就等于三百六十度，分之一百二十度再乘以二 pi r， 那 么就等于 九分之十倍的根三，再乘以 pi。 第三问也不难啊，其中这一问里边最关键的两点就是圆内的倒角，以 即通过垂径定里来求半径，已知圆周角，求反向的圆周角和见到弦做垂直，这些都是我们圆里边的基本操作啊，只要你把圆的基础知识学好，那么这一问应该是没有难度的。 下面我们再来看最后一问啊，直接写出点 b 与圆心 o 距离的最小值，给的信息比较少，那么我们要如何来分析这道题呢？分析这一问的关键就是要找到谁是动的，谁是定的。题干里边给了 a b c 搭等于四，然后呢，四边形 a b、 c 搭是一个梯形，然后角儿 搭 a， b 是 九十度，也就是说这条边儿搭 a 的 这条边儿， a b 的 这条边儿以及它们所夹的这个角儿是固定的。点 c 的 位置呢，是不固定的点 c 应该是有一条过搭点平行于 a b 的 直线 在搭的右侧，任何一个位置都可以是 c 的 位置，所以也就是圆 o 不是 固定的。那么因为 a b a 搭以及角儿搭 a、 b 是 固定的，那么所以搭 b 啊搭 b 这条线段也是固定的。 好，我们还是来看图，搭 b 也是固定的，它的长度呢？搭 b 永远是等于五，圆 o 是 不固定的，但是呢，圆 o 是 三角形搭 c b 的 外接圆， 所以这个不确定的圆 o 的 圆心与固定的线段搭 b 是 有三种位置关系。那么第一种 o 一 在三角形搭 c b 的 内部，也就是这个图。那么第二种圆 o 在 三角形搭 c b 的 边儿搭 b 上。第三种呢， o 三 在三角形搭 c b y， 我 们还是来逐个分析这三种情况。搭 b 是 固定的，求的是 b o 的 距离，也就是 还是求的是半径，所以我们继续啊，根据垂径定律作垂直 h e， 然后连接 o e b。 因为搭 b 等于五，那么所以 b h 永远是等于二分之五。因为角 o e h e b 等于九十度，所以 o e b 永远是大于 h 一 b 的。 看第二种情况，显而易见， o 二和 h 二是重合的，那么所以 o 二 b 就 等于 h 二 b 就 等于二分之五 啊。第三点同理啊，还是做 o 三， h 三垂直于大 b， 那 么连接 o 三 b， 所以呢， o 三 b 永远是大于 h 三 b 的， h b 是 固定的二分之五，那么只有是圆 o 二与 h 二重合的时候啊，此时的 b o 二是最小，也就是等于二分之五。所以呢，第四问的答案就是二分之五。 这一问呢，核心点就是要找到谁是动的，谁是定的。当你捋清这个关系之后，然后看动点和定线段的一个位置关系，很容易就能找到 b o 的 一个最小值。整体上来说呢，这道几何压轴题难度并不大， 相较于我们上一次一模各地的几盒压轴题来说，它的难度更趋于平缓，然后更贴近中考的难度。好，这道题就讲到这里，欢迎点赞关注牛哥，牛哥继续为你的初中学习保驾护航！

几何快代数，稳心定力，还能提智商。 hello， 各位同学们，大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家讲的是我们初三下人大负二模的这道模拟题啊，这道函数压轴题， 这道题目呢？同学们，做到这个第三问，是不是感觉特别特别烦，对吧？怎么这么多点呀？ b p 对 不对？然后又过它做 c q e f， 天呐， 太多信息了对不对？哎，同学们，这里肖老师要给大家一个认知啊，越是这种让你看起来好像有点烦，需要咱们自己画图的时候，同学们，我告诉你，这正是你弯道超车的好机会，因为大部分同学坐到这都烦， 谁看谁烦，我看我刚才都烦半天啊！但是同学们，如果你能做到，哎，我别人烦，我不烦，我刚才都烦半天啊！但是同学们，如果你能做到，哎，别的小屁孩做到这块，早就已经烦的不行了，对不对？肯定画图画错了， 只要你，哎，耐心阅读，一句一句的画，哎，一句一句的读，你会发现画图这事有啥难的呀，对不对？只要你不着急，包能画对的。 而且像这样的题，只要你画对了，我告诉大家，后面一定是坦途，一定非常简单。为啥？因为一道题难度是守恒的，他不可能画图也难，计算也难，然后题目还难，对不对？难上加难加难，那不可能， 对不对？所以一道题目难度是守恒的，哎！所以同学们，这道题，只要你给点，给自己点时间，耐心去画图，你会发现，哎，他其实还可以 啊。当然，这里也建立在这道题目呢，也建立在你对这种斜边的关系，应该怎么能转化成这种横平竖直更好算，能更好？表示你对这种转化工具非常熟悉啊，所以总结一下这道题，同学们，他主要考验你两个要点，第一个， 信息量这么大的时候，你能不能够耐心画图，别烦哎，能够清楚的准确的看到你的研究对象。 第二个就是，如果碰到这种斜边的式子的时候，我们应该怎么去给他列式子转化，能转化成好？列式子的形式能好算对不对哎，什么转化工具可以转化成转化斜边？哎，这两个问题肖老师都会给大家进行示范。 好的，那咱们来看一下这道题目啊。首先这个圈二的话就不用多说了啊，这个还是非常简单的，是一个确定的抛物线，然后咱直接令它外得十，然后去求解这个 x 一 x 二就可以写出 m n 的 长度了啊，这个非常简单，大家跟肖老师对对答案就可以。好，重点来看。第三问同学们， 哎，好，开始。首先呢，我们先画一下这个抛物线啊，只要画抛物线，我们就是开州店啊，不确定的确定的直接画上，不确定的咱们就先随便画一种情况是不是？比如说，以这个题为例，目前开口 向上，对吧？画一个开口向上的抛物线对称轴，哎，不确定在哪边是不是？没关系，先随便画一种呗，对不对？图不是为了立马做出来的，而是为了理解提议的好，与外轴交点，零豆一画上。所以向老师嘚儿画这个绿色的抛物线没问题吧？ 好，接着与外轴交于点 b 啊点 b。 这里零豆一啊，点 b 是 一个确定的点啊，零豆一，嗯， 好，过点 p m 逗 y p， 那 就随便个随便放一个屁呗，对不对？哎，过点 p m 逗 y p， 哎，去做一条什么在抛物线上，好，再给这个点上点一个。随便点一个。点哪都行啊，随便点一个好，没有线就随便点。 分别分别过点屁啊，过这个点，注意认真看啊，这就是你容易画错的点来了啊，分别过点屁，做 x 轴和直线 ab 的 垂线啊。 我猜这里肯定有不少同学凭着自己的做题惯性嘚就画了一条竖线，对吧，然后就标上这是 c， 这是 q， 是不是？有没有这样的同学，如果说中，你可以在弹幕上扣个一啊，嗯，是不是？哎，但这题不是，对吧，人家是过点 p 做 x 轴的垂线，对吧？做，哎，过点 p 做 x 轴的垂线，然后交于点 c 啊，做 ab 的 值垂线啊，做这个 ab， 这个线段的垂线交于点 q， 人是往这边做，这个点是点 q， 哎，好， ok， 然后接着 e 是 p q 上一点，并且满足 p q 是 四倍的 pe。 好， 先画图，再玩柿子。好，他说过点 e 啊，做 p q 的 啊， e 是 p q 上一点，那咱们就随便点个 e 啊，并且满足它的一个差不多四倍关系啊， p q 是 四倍的 pe， 哎，差不多就这样式儿，哎，好，这里出现了一个元素，同学们出现了一个边比， 而且这两条边 p q， p e 还是两条斜着的边笔。同学们，回想一下咱们初中几何学过的所有工具，斜着的边笔会让你想到什么？ 斜着的边笔画，你想到什么？哎，同学们非常聪明啊，在我们的坐标系当中，我们非常喜欢横平竖直的线，横平竖直，那多好表示啊，横着的线，对吧？横坐标右减左，竖着的线纵坐标上减下，那多简单呀，斜着的还得勾股大，带个大根号，多烦呀，对不对？ 所以在坐标系的世界当中，所有的斜着的边啊，我们都可以转化成横竖着的，那怎么转呢？哎，你给我笔直了，我可以用什么转？ 我见到笔直了，我可以用什么转？我可以用相似去转，对不对？而且往往就是最简单的 a 字八字啊，非常好构造，对不对？所以其实你看肖老师这个图已经看出来了吧，我就可以瞬间把 pe 比 p q 给它转化成 p f 比 f h， 是 不是也可以转化成 e f 比 q h？ 反正就是这个背后有相似嘛，对吧，对不对？哎，边笔背后肯定有相似 啊，好，接着看啊，一会用哪个相似，咱们一会再聊，接着看。过点 e 做 ef 平行 ab， ok， 做 ef 平行 ab 啊，这个做对了， 交 pc 啊，别交错了啊，这题真的很烦，所以你画的时候耐心点啊，交直线 pc 啊，交直线 pc 于 f， ok， 交这个点于 f， 嗯， 好。然后他给了一个 m 的 范围，让咱们研究对象是谁呢？哎呀，画了这么半天，终于画到，哎，研究对象是我们的 e f， 对 不对？研究对象是我们的 e f 啊，研究对象是咱们的 e f， 好， 那咱们就看看呗。哎，这个 e f 啊， 看看我们的 e f， ok， 研究对象是他，对不对？按照今天肖老师教大家的，画完第一图之后啊，如果能从图上看就看，如果不能从图上看，就开始表示字表一切了，对不对？这个 e f 难表示不，同学们， e f 难不难表示？ 难表示吧。哎， e f 难表示，那怎么办？一定有工具啊，有工具帮你变成好表示的。比如说，这有什么工具有这个相似？你让我研究 e f， 我 非得研究 e f 吗？ 我可以研究谁？因为你告你刚才告诉我了，它比它是一比四，对不对？那你 e f 比 这个 a 字音相似多明显呀，对不对？比这个 q h 是 不是也是一比四啊？对不对？这也是一比四的关系，这也是一比四的关系啊。所以你让我研究 e f， 你 不就等于在让我研究 q h 吗？对不对？那 q h 也难算呀？有同学说， 难道这个题只有这一个相似的工具吗？同学们， q h 在 哪根线上呢？ q h 在 ab 这根线上呢？你有没有意识到，同学们， ab 是 一根定直线，并且这根定直线它是 y 等于 x 加一的这根定直线。所以呢， 它的斜率多少度？倾斜角，它的角度是多少度？ y 等于 x 加一。各位同学， y 等于 x 加一，它 k 得一， k 得一呢？这个直线与 x 轴加角就应该是四十五度，对不对？那我们看在这个直角三角形当中，这个角如果是四十五度，那 这个角就也是四十五度，哎，同学们，所以看到了吗？你让我研究 e f， 我 可以研究 q h， 我 可以转化成研究， 哎， ph 到没到你的舒适区。同学们，再陌生的问题都能转化到咱们舒适区啊！这道题怎么转的？ 利用了直线背后的特殊角，四十五度，对不对？ k 得一，倾斜角是四十五度，哎，第二个，利用了这个相似的边比，对不对？我们就轻松的把一根 e f 这么恶心巴拉的线转化到我们的舒适区， 竖线竖线竖线竖线，到底舒适区了吧，同学们，哎，好，来，那接着咱们就快速看一下这个题了，具体的先剩下的步骤了啊。 首先刚才肖老师说的那些就是这里啊，根据这个相似，我们可以把 e f 写成它，是啊， q h 写成是四倍的 e f 是 不是？哎，再根据这个大的等腰值啊，这个三角形啊，这个 这个三角形啊，应该是这个什么？这个我标个 m 吧， m c h 啊，根据 m c h 是 个等腰值，哎，我们就可以写出来这个四十五度是不是？那这个 ph 也是我们的根号二倍的 q h 啊，所以你让我研究 e f， 我 就只需要研究四倍的四分之一的 q h， 那 q h 又可以写成 根号二分之一的 ph， 对 不对？所以这道题研究 ef 就 等于研究 ph 啊，研究 ef 的 增大就等于研究 q ph 的 增大。好，那咱们就接着式子表一切 去表示 ph 吧。哎， ph 这就没难度了，它的点 p 的 横坐标带进解析式啊，把 m 带到这个抛物线解析式，表示一下 y p， 再把 m 带到直线 ab 的 解析式，哎，表示一下 y h 是 不是啊？ ok， 然后就是它减它，哎，就出来了， 哎，得到一个新函数，得到新函数之后，立马对这个新函数进行具象化，哎，画出来的草图，哎，很简单，画出一个 w 图像，然后这个是零，这个是四，对吧，与 s 两个焦点，然后再把它给的范围，哎，它的研究范围 m 的 取之范围，它只研究从零 往右到 a 加二分之一，也就是说他只研究从零开始，一直动到 a 加二分之一，得满足增大而增大， 所以呢，所以非常简单，那不就是 a 加二分之一不能超过这个对称轴二吗？对不对？哎，咱们就只需要满足 a 加二分之一小于等于二，所以 a 小 于二分之三，哎， a 小 于等于二分之三， 好，所以最后综上就是 a 要大于零啊，注意前提，确认 a 要大于零，小于等于二分之三，好，后面都是大家的舒适区啊，主要是前面好。小结一下，同学们，通过肖老师给你讲完这道题，你有没有意识到， 如果今年的中考题他考了一个，也是信息量如此之大，一会 b， 一 会 p， 一 会 q， 一 会 e， 一 会 f 这么多个字母的时候。同学们， 这就是你考验你画图的耐心的时候了啊，他就在考你画图的耐心呢！而且这个时候我告诉大家，大部分同学都是容易画错的，所以只要你能画对，你就赢了啊！所以同学们，记住肖老师说的，只要画图，重音阅读啊，一定要画对了啊，并不难画。 其次，如果这个今年中考给你玩一个这种比较恶心的长相的，这种线段长，你不太会列式子了，同学们，找转化工具，一定有工具能把它转化成横平竖直的，转化到咱们的舒适区，横线竖线的好表示的。比如说这个题的两个转化工具，一个是我们的 斜边笔背后的这个相似，一个是我们这个直线，它的 k 得一， k 得一，意味着它的夹角是四十五度啊，这个特殊角，哎，这两个都是能够轻松帮咱们把斜着的边的问题转化成横着的，或者竖着好玩的这种边的问题的，嗯。

数学课上老师给出矩形卡片， a、 b、 c， d， a， b 等于二， b、 c 的 长度是大于四的，在让同学们在纸条中做出一个三十度的角，假同学利用折叠的方法把它折的对折， a、 d 等于 b， a， d， b、 c 重合，然后展开，由 m， n 就是 m， n 点就是 a， b 中点， n 就是 c， d 中点， 然后使点再对折一次，使点 a 落在点 e 处，然后在 m、 n 上求 b、 e 的 长度， b、 e 的 长度，这点是二，他是折过来的，所以这点也是二， 这是，这是二终点，所以这是一，这是二，这，这是三十度。求角 b、 e、 m 的 长度，而角度这是三十度。 然后如果连接 c、 e， 如果 b， c 等于二分之五倍的二角三，求 c、 e 角 b， c、 e。 你 既然是求 c、 e 的， 你肯定得构造一个直角三角形啊，我过折就垂直， 那这节是不是就等于这节？那这就是个一呗。这是个一，这是个二，因为它和它相等，那是不是就可以假设这是 f 吧？ b、 f 的 长度是不是就可以求出来了？ b、 f 是 不是 等于根号三？那么 f、 c 是 不是等于二分之五倍的根号三就等于二分之三倍的根号三， 那他等于一，他等于二分之三百根号的那个 b 是 不是就可以求出 c、 e 就 可以求出来了？ c、 e 是 不是等于根号下一的平方加上 二分之三的根号三括起来的平方等于根号下一，加上四分之二十七，等于四分之三十一。四分之三的一开平方是不是等于二分之根号三十一？ 然后他说 c 角 b， c、 e 吗？ c 等于对边比斜边吗？那一比上二分之根号三十一，就等于三十一倍的三十一分之二倍的根号三十一， 所以这个角 c 这个角就等于三十一，这个就等于这个值了。以，同学呢，是利用尺规作图的，他说根据圆周角这个题， 题目你就顺题，你不会做，你就顺着题目往下找就行了。人家说了，根据的是什么呀？圆周角等于数他所对应的弧的圆心角的一半，来得到三十度。 在这个图当中，人家分别以 a 和 b 的 圆心，以 ab 的 长为半径，画了个圆弧，相交于点 o 连接 o a o b， 那 这个是不是个等边三角形？也就是说这就是个六十度呗。那这是个六十度，那要找三十度，那我就以 o 为圆心，以 ab 的 长度为半径画个圆，那这个，这，这就是个圆心角啊。那我圆周角上的任意一点， 任意一点一连接，这不就妥了吗？他就有对 k， 所以 可以做出无数个，嗯，他说 k 点是在圆内了吗？ 那在 a、 b、 c、 d 中中，你，你最好是不要画在这个边上，就画在这个这个这个弧上，就利用的是圆心角等于圆，圆周角等于所对应的圆心角的一半，所对应弧的圆周角一半， 然后这个的括号三也也也算出来。这道题其实非常容易啊。他说甲组同学连接，嗯，这个中的 a e 连接这个 a e， 我 也，我我我是不是掉了一个啊？我没有掉啊，我，我算出来的是这个角等于三十度，是吧？人家说的就是 b e m b e， 这个就是，这就是。如果他是三十度了，那这两个边是不是平行，那这个是不是也是三十度？他是三十度了，他俩相等，这个一共是九十度，所以这就是三十度。三十度，三十度，那这个就是六十度，这是个六十度。 这两个边相等，所以这是个等等等边三角形啊。所以 a、 b、 e 是 个等边三角，我把它放到这边了啊。 他说把这个 a、 b、 e 减下来，这是个等边三角形。都是二，都是二，都是二。然后 呃， g 是 在 a b 上，然后 a 是 是在 a e 上，然后将 a b e a b e 沿着这个折过来，是 a 撇呢？ a 落在 a 撇上，那既然是折过来的，这个是不是就等于他？他是不是就等于他？哎呀，我这画的有点不懂是吧？ 啊？就就就就按那相等吧，我也不咋往上瞄了。就是 a h 就 等于 a 撇 h， a j 就 等于 a 撇 j。 然后他说，嗯， p 和 q 是 这个 b e 上的，且 p q p q 等于两倍的，两倍的 p b 等于两倍的 q e， 那 也就是说这是一，这是二，这是一，也就是说这是四分之，这是二分之一，这是一，这是二分之一，因为一共是二嘛。 然后点 a 撇呢？落在 p q 上，落在 p q 上，然后包括端点，这句话就是很好的一个体式啊。他说包括端点，那就是考虑两个端点的时候的情况就行了吗？ 若 a 撇 a 撇 b 等于 m 倍的 a 撇 e， 它再加上 a 撇 e， 是 不是就等于二了呀？ a 撇 b 加上 a 撇 e， 是 不是等于二啊？那所以就是 m 加一倍的 a 撇 e 就 等于二，所以 a 撇 e 是 不是等于二？比上 m 加一啊？ 二比上 m 加一，这是 a 撇 e， a 撇 e， 那 a 撇 b 等于什么呀？那是不是它乘以 m 啊？就是 r m 比上 m 加 e， 我们先把这两个写到这了啊，他说让你直接写出 a g 比上 a h， a g 比上 n h 是 不是就等于 a 撇 a 撇 g 比上 a 撇 h， 然后我们知道这是翻折的，它等于六十度，因为原来这是等的。这是什么？它等于六十度，它等于六十度，它等于六十度，它翻转过来它也等于六十度，它要是等于六十度，那换个比啊，这个角 加上这个角，是不是加上这个角是不是等于六十了吗？它俩相加是不是等于一百二？刚才说错了， 就是这个角加上这个角等于一百二。完了以后，因为他等于六十，这个角加上这个角是不是也等于一百二？我们看，嗯嗯，就是这边吧。如果这画了一个直角 啊，他他是直角，我们说他加他等于九十，你一眼就能看出来。但是这个是等于六十的时候，他六十，他六十，你就知道他加他等于六十，他加他也等于六十，那所以这个角是不是就等于这个角， 然后这个是六十，这个是六十。所以这两个三角形 a 撇 a 撇 j b 和 a 撇 a 撇 a 撇 a 撇 h e， 是 不是相，呃，相似，我为什么停顿呢？我，我就抱着它是对应的，要不然的话就会被大家挑毛病，所以三角形 a 撇这 b 相似于三角形， 嗯， a 撇是这个是哪个角啊？ a 撇这个角。哎呦，我还真是写错了，刚才给大家说错了， 等于 a 撇，你你你你，你是这个角对应的，你就找这 h， 然后这这个边对应的 j h e 是 这样的，然后对应边乘比例是什么呀？那就是 a 撇 a 撇 j 比上 a 撇，这是这个角对的，那你就是这个角对的呗？就是 a 撇 j 比上 a 撇 h 就 等于什么呀？我们加上这个角对应的吧。等于 b 撇 j 比上 a 撇 e， 还等于谁呀？还等于是不是 a 撇 b 比上 h e， 那 我现在知道他和他相等，那 b 撇 b 撇 j 是 什么呀？是不是就等于二减去 a 撇 j， 我 们把这个划一下啊？就是 a 撇 j 比上 a 撇 h， 就 等于 b j， 我 就用它来二减去啊。 a 撇 j 来表示 a 撇 j 来表示 二减去 a 撇 j。 我 这个可能有点乏，但是我就讲这个思路了，除以 a 撇 e， a 撇 e， 我 直接用这个来代替吧。 二比上 m 加一，然后等于 a 撇 b， a 用这个来代替 m 加一分之二 m， h， e、 h e 是 什么呀？就二减去 a h， 就 二减去 a 撇 h， 然后我们来根据这个关系来画，然后它俩相乘是不是就等于它俩相乘？所以 a 撇 j 乘以 m 加一分之二，是不是等于二倍的 a 撇它俩相乘？二倍的 a 撇 h 减去 a 撇 j， 乘以 a 撇 h， 它俩相乘是不是也相等？别别不能，它俩相乘是 j 俩相乘， 就是它乘以它等于它乘以它是 a 撇 j 乘以二，变成了二倍的 a 撇 j， 然后减去 a 撇 j 乘以 a 撇 h， 等于它俩相乘，就是 a 撇 h 乘以二 m 加上 m 加一，然后这边有这个东西，这边也有这个东西，我可以处理一下，你暂停一下中吗？ 我把这个化简一下啊，化成这个形式上的好看一点。柿子到这了以后，我把它换换位置啊， 他这不是二倍的。 a 撇 h 减去 a 撇 j， 乘以 a 撇 h 等于 a j a 撇 j， 然后乘以 m 加一分之二吗？我把这个写到这，二倍的。嗯。 a 撇 j 减去 a 撇 j 乘以 a 撇 h 等于 a 撇 h 乘以一个 m 加一分之二 m， 然后他们一减一减，不就把这俩给削了吗？这 不就成了二倍的 a 撇 h 减去二倍的 a 撇 j 等于 a 撇 j 乘以 m 加一分之二 m， 那我们把它挪过去，给它挪过来，变成了一个二倍的 a 撇 h 加上一个 a 撇 h 乘以一个 m 加一分之二 m， 然后等于挪过来，又变成二倍的 a 撇 j 加上一个 a 撇 j 乘以 m 加一分之二。我们都提出来一个 a 撇 h 变成二，加上一个 m 加一分之二 m， 然后这时提出来的 a 撇 g 变成了一个二，加上 m 加一分之二。求的是 a 撇 g 比上 a 撇 h 是 不是就等于嗯， 二加上 m 加一分之二 m 比上二加上 m 加一分之二。 然后把它化解一下，是不是变成一个 m 加一分之二 m 加二再加二 m， 这是 m 加一分之二， m 加二再加二。它俩约了 挪这了啊，是变成了一个四 m 加二比上一个二， m 加四都同时除以二吧，就变成了二 m 加一除以一个 m 加二，然后它俩的比值就等于这个玩意， 然后他说并直接写出 m 的 取值范围。你， 哎呀我，我的图去哪了？哈哈哈，图都没有啊。这。嗯它，它的几键。它不是说这个 a 点可以落在 p 和 q 上吗？当它落在 p 上的时候， 那 a 撇 b 是 不是就等于二分之一？ a 撇 e 是 不是就等于二分之三？那现在 m 等于什么呀？ m m 不 就等于一个 a 撇 e 比上 a 撇 a 撇 b， 对 吗？不对 啊， m 就 等于 a 撇 b， 比上 a 撇 e， 那 a 撇 b 是 多少？二分之一比上二分之三，然后等于三分之一，然后当它落在 q 的 时候，就是在 p 点的时候， 来 q 点的时候， a 撇 b 是 不是就等于就等于二分之三了呀？然后 a 撇 e 就 等于二分之一了，他俩的比等于三，所以 m 的 值是大于等于三分之一，小于等于三。 所以就人家说直接写的吗？直接写，你就这个，这个不是直接上面直接写，就把这过程写一下， 因为他一共是二，然后他是四分之一，他是二分之一，他是四分之一，所以这个数就很容易就出来了。这个题不是很难，你应该是很多人都做过，作为一个二模的题，就是给大家找信心的。好吧？就这样吧。

好，这个有学生给我发了两道题，然后说让我讲一讲，呃，研究了一天，就把这两道题来讲一讲，然后呢，分别是，呃，二五年啊，四十三中的 这个数学二摸啊，数学二摸的这个二十三题和二十四题就是最后两道大题，那么今天呢，我们讲的是二十三题，明天呢，我们讲的是二十四题，应该说这这两道题还都是挺有难度的啊。然后既然他问了，所以我就讲讲吧。 啊，好，我们先来看二十三题，他说在平面直角坐标系中，抛物线 y 等于 x 方加 b， x 加 c 与 x 轴分别交于负三，零于与一零， 已知点 p 是 该抛物线上一点，然后呢，这个点不与点 b 重合。好，第一问，让咱们求抛物线的解析式和顶点坐标。来吧，这个 b 和 c 最简单的方法呢，就是直接交点式，然后 y 等于 x 加三， 乘以 x 减一，然后最后呢，它就等于 x 的 平方加上二， x 减三，就直接就这么出来了解析式，因为他也没有问你这个 b 是 谁， b 是 谁？ c 是 谁吗？对吧？把解析式求出来就行了。然后呢，这个呃，点点坐标，那我们得先找对数轴，对吧？那么对数轴是什么呢？是负的二 a 分之 b， 那 是什么呀？那是负一，对吧？然后呢，把带入 x 等于一，那么 y 等于什么呢？ y 就 等于负四，所以说顶点坐标呢，是负一负四。哎，好，那么第一问呢，就解决了。这个第一问还是挺简单的啊。好，第二问， 他说将抛物线上 b p 两点之间的部分，包括端点记作图像 w， 然后呢，将图像上这个 w 上的最高点与最低点的总坐标的差是五十，求点 p 的 坐标，那很明显了，我们要分两个，对吧？我，我们要分这个，呃，两个，这个，这个，这个 情况，一个情况是什么？一个情况是这个点 p 是 在点 b 的 右边，那么如果点 p 在 点 b 的 右边的话，这个 w 就是 在右边这条线上，哎，找了一个点 p， 然后这个时候他俩的纵坐标之差是五， 这是我们要找的第一个点，然后第二个点呢？第二个点有可能这个点 p 在 点 b 的 左边，对吧？因为我们知道什么，我们知道顶点坐标是 负一负四，那么点 b 和这个点点坐标，如果我们管它叫做呃，点 c 的 话，那么这个点 c 呢？和这个点 b 纵坐标的差是四了，对吧？所以说点 b 不是 我们想要的那个点，那么点 p 呢？哎，还可以出现就在这里了，对吧？哎， 那么这个时候呢，他与 c 啊，纵坐标是五的话，他与 x 轴的纵坐标，他，他与 x x 的 这个距离啊，就是一，所以这就是咱们要求的这两个点，一个是在右边，一个在左边，那么如果我们把右边的这个点叫做 p 一， 把左边的这个点叫做 p 二的话，好，那么我们今天，那么我，我们就应该什么呀？呃，先求 p 一， 先求 p 二，都可以啊，先求 p 一， 先求 p 二，都可以。好，那么首先第一个若 这个 p 在 呃 b 右边啊右侧， 然后呢，这个 y p 呢？它就只能等于五了呗，对吧？那么就直接让五等于 x 的 平方加上二， x 减去三，那么这个时候的 x 呢？ 你最后就算着吧，反正它到最后呢，应该是等于二，它等于一个二，等于一个负四，当然呢，它肯定不能等于负四，对吧？所以它只能等于二，那么咱们的这个 p 一 呢，它就是二五。好，若 p 在 b 左侧的话，那么这个时候的 y p 呢，它应该是等于一的，对吧？所以咱们就让一等于 x 的 平方加上二 x 减去三，那么这个时候的 x 呢，是等于负一减根号五，它还有一个负一加根号五 啊，负一加根号五肯定也不对了，我们想要的是在点 p 左边的点，点 b 左边的吗？对吧？呃，负一加根号五是一点多啊，是一点多，那肯定是比这个点 b 是， 是在点 b 右边的啊。好， 那么这个时候呢，咱们的这个 p 二就是负一减根号五，然后呢，负一，那么 p 一 p 二，咱们两个点就都找到了，对吧？好。第三个， 他问说，这个若点 p 的 横坐标啊，是 n， 然后呢，在坐标系中呢，还有一个动点 q， 它的坐标是负三 n 和 n， 也就是说呢，这个动点 q， 它实际上是有轨迹的，它的轨迹在什么？它的轨迹是在 y 等于负三分之一 x 上，这是它的轨迹啊，也就是说，这个点 q， 它只会在这样的一条直线上， 它只会在这样的一条直线上去移动。如图，那么在坐标系中构建一个与 个边与这个坐标轴均垂直的矩形啊，使这个使 p q 成为这个矩形的对角线。当抛物线在矩形内部的部分，对应的函数是外随 x 的 增大而增大。这个东西到了高中啊，其实就是三个字，单调增， 也就是说在这个区间里面啊，这个函数它是一个单调增的状态，然后呢，让咱们直接写出点 n 的 取值范围。好，那我们现在呢要先去研究这么一个事，就是说，呃，什么情况下啊？什么情况下它是一个单调增的状态。 好，那我们先来看这个图，我们先来看左上角的这个图啊，那么左上角的这个图呢？如果说我的这个点 p 啊，如果说我，我的这个点 p， 它没有过这个对称轴，它没有过这个对称轴，那么如果它在这，只要我的这个点 p 呢？在 n 的 左边，只要我的这个点点 p 在 这个外周的左边，那么它的 n 就 一定小于零，那么这个时候呢，点 q 就 一定是会在右边的啊，所以说这个不用怕 p q， 这个时候，哎，哪怕说就是这么细的一个长方形，我在这个里面，我的对称轴是不是都大于零啊？哦，这，这个里面是不是都是这个单调增的？都是 y， x 是 增大而增大的，对吧？好，那如果说我的这个 p 呢？ 要大于零啊，如果说我，我的这个 p 突然大于零了，比如说我的这个点 p， 我 点 p 在 这，那么呢这个 q， 它一般来讲呢？如果我们把这个 y 等于负三 x， 如果画出来，那么这个点 q， 它大概率就会在这，然后如果我以 p q 哎去做这个 矩形的话，你会发现什么呢？矩形里面是不是就没有图像了呀？对吧？矩形里面就没有图像了，所以说咱们的这个 n 他 必须要保证什么呀？他得小于零，我们必须要保证这个 n 小 于零。 呃，那么当然了，如果你说，呃，你这个足够大啊，你足够大，你足够大的话呢？比如说你，你这这个点 p 在 这，你点 p 在 这，那么这个点 q 呢？他有可能会在他，他有可能会，会，会在这，对吧？然后呢？哎， 就这么说吧，比如说这个点 p 在 这，点 q 在 这，嗯，这画的不太标准，就是说确实这个点 p 还是得画高一点，然后呢，你的这个点 q 呢？它有可能是会在这个 这个位置啊，有可能是会在这个位置，然后呢？哎，这么就画，你会发现他就是他会有一边这个单调减，一边单调增的，对吧？哎，他会有一边单调减，一边单调增的，所以说这个这个大鱼鳞呢是不太可取的啊。大鱼鳞是不太可取的。 好，那我们现在就去看看。什么呢？我们现在就去看看小鱼鳞，对吧？那么小鱼鳞我们就这样想到什么地方去？ 比如说如果说我过了这个盾头，我的这个点 p 在 这，我点 p 在 这，然后呢？我点 q 呢？他有可能会在这，对吧？那如果说我的点 q， 我， 我的点 p 在 这，我的点 q 在 这，然后呢？呃，或或或者说这个样子好， 那么这个时候他做出来的这个矩形，哎，你会发现没有，左边是不挨着的，左边是不接触的，只有右边这个地方，对吧？只有右边这个地方，那么这个时候呢？还是单调增，哎，还是单调增，那么到底到了什么时候他就不单调增了呢？ 到了什么时候他就不难再做了，那我就让这个 p 点和 q 点的这个纵作和这个，呃，纵作标相等，我让 p 点和 q 点的纵作标是相等，那么这个时候呢？ 比如说就是在这个位置吧啊？比如说就是在这个位置啊，那这是点 p， 这是点 q， 那 么这个时候它构成矩形了吗？它没有构成矩形，对吧？好，那么这个时候呢，我让我的点 p 再往上抬一点点，我让我的点 p 再往上抬一点点，比如说我的点 p 在 这，那么这个时候呢，这个点 q， 它有可能就会在这，对吧？哎，反正就是让 p 在 q 上面，哎，那么这个上面，你会发现，他做出来的这个矩形 就有在，就有这个单调增的，他可能也有什么，他可能也有这个 y x 增大而减小 a 就是 单调减的这个状态，对吧？哎，所以说我们要找的那个临界状态是什么呢？我们要找的临界状态就是 p 和 q 在 同一条直线上啊，就是 p 和 q 在 同一条直线上， 不是在同一条直线上，就是 p 和 q， 它所在的那个直线，它与 x 轴绕平行，那么也就是咱们这个 y 点的这，这个 p 点的纵坐标要等于 q 点的纵坐标， p 点的纵坐标等于 q 点的纵坐标，那么 p 点的纵坐标它是什么呀？ p 点的纵坐标是 n， p 点的纵坐标呢？ p 点的纵坐标就是这个 n 方加上二， n 减去三，你就得让他俩相等，对吧？好，那么 n 方加上 n 减去三，是不是就等于零了，对吧？然后这个时候算出来的这个 n 呢？ 他应该是等于二分之负一减去 n 二十三，好，那么这个 这个 n 呢？他是 p 点的横坐标，对吧？那么说，比如说这个位置他俩刚好就等了，对吧？那如果说我让这个 n 小 于的话，那么点 p 是 不是就跑到这了？点 q 他 是不是有可能就跑到这了，对吧？哎，这就 违反了我们，这这这，这就不是我们想要的了，所以说我们不能让 n 小 于这个数，我们得让 n 大 于这个数，所以说我们要取的这个 n 要大于 二分之负一减去根二十三，那么他又不能超过谁呢？他又不能超过零，所以说这道题的最终答案就是，嗯，大于二分之负一减十三，然后呢小于零， 哎，这个题就做出来了。呃，这个题的前两问我觉得还是挺简单的，只有这个第三问，这个第三问你可能需要去画画图啊，因为我在第一次做这个题的时候，我就天真的以为这个屁是不能过这个对顺轴的啊。然后呢？这个过了对顺轴的之后的这个情况呢？我也没有多想， 但是我突然，但是呢，我突然发现它过了对称轴之后呢，它依旧是这个矩形，里面会出现一个单调中的区间，那么我们就要继续再往后去寻找它的这个临界点啊。

路南基本持平，路北相对难一些。路南基本持平，路北相对难一些。路南相对简单一些，路北相对难一些。 路南基本持平，路北相对难一些。路北相对简单一些。路南路北相对简单一些。路南路北难度基本持平，稍微有一点难度。

四十五种本部啊，本次二模的这道函数压轴题啊，也就是我们最后一题，是不是二十三题啊？好，先读一下题啊，给了一个二次函数是吧， a x 方加 b， x 减四啊，好，第一个问他是什么情况，是 a 等于一的时候啊，看清楚啊，所以 y 呢，实际上就等于 x 方啊， 加 b， x 减四，是不是他问这个点呢？在这个函数图像上啊，那这种题你说你能不拿分吗？是吧，所以呢，每次说了啊， 最后一个题，倒数第二个题的第一个问和第二个问，有的时候都是送分啊，都是送分，你一定要有时间去写啊，去看。好，所以这个点呢，你把负二和二 b 带进去啊，所以呢，当 x 等于二十， y 等于多少？好，这个是四吧，减二 b 再减四，是不是等于负二 b 啊， 是吧，打 x 等于负二，是 y 等于负二 b。 对， 这个点确实在函数图像上啊，没有问题啊，没有问题，是不是好看一下。第二个问他说 a 点 b 和点 c 啊，在二次函数的图像上求 k 的 值。哎，有的同学一看到点在函数图像上不问啊，不管三七二十八啊，四七三十九的，是不是 他赶紧就把这个点带在函数函数解析式里面去算啊，去算，有的时候呢，这种方法呢，太笨拙了是吧，他计算量太大了，不是说你做不出来，可能会花很多时间啊。那就观察观察好不好，你观察一下这两点的特点， 他们两个动作标是相同的，是不是当两个点纵轴标相同的时候，他实际上是关于 s 是 个对称轴对称的，所以他的对称轴可以写成呢，两个点横坐标相加呀， 除以个二啊，实际上就是四加 b， 二分之四加 b， 但是我们又知道这个函数的对中轴又可以写成负的二分之 b 吧。这里呢，负的二分之 a 是 一，就是负的二分之 b， 是 不是？ 好，你给解加 b 等于多少？ b 是 不是等于负二啊？ b 等于负二。好，那个函数减一式就出来了， y 等于 x 方减二， x 减四，是不是啊？ y 等于 x 方减二， x 减四，这就是我们这个函数减一式。好，现在二和 ok 在 上面带进去啊，当 x 等于二时候， k 等于等于多少啊？四减四等于负四吧。在第二个问题，你说， 我可以说，是吧，这次一模的难度呢？这次二模的难度呢？哎，至少从前面几个问来看，真的就是加特搜搜啊。所以呢，四十五中本部这次卷子不难啊。不难，是这个是一个特别容易出高分的一套卷子啊，你考一百四十分，我感觉呢是 完全可以的啊，完全可以的啊。来，接下来我们看第二个问啊。看第二个问好，第二个问呢，他给了一个什么东西啊？给了个 x 等于 t 是 吧？对准轴啊， t 的 二到四之间。那我们知道呀，他这个问你不能， a 就 不能等于一了是吧？他没有这个条件，那是小题干的条件啊。好，所以呢，负的二 a 分 之 b 啊， 是大于二小时四的啊，这个你要知道，对称轴不就这么表示吗？负的二分之 b 吗？好，负一和 m 和 m 三在这抛物线上，那这个时候你就把它点带进去了吧，是不是？那你没办法了啊，你只能带了啊，只能带了啊，因为这两个点没有什么特点。好，那带进去啊，我们把这一个 m 等于什么？负一带进去， m 就 等于 m， 就 等于 a 减 b， a 减 b 减四，是不是好？ n 等于什么？ n 就 等于什么三，带进去啊，三的话，九， a 加三， b 减四，是吧？九， a 加三， b 减四。好，那这时候 m 减 n 等于八，是不是 m 减 n 等于八，我们利用这个条件啊， m 减 n， m 减 n 等于什么？是负八， a 减四， b 吧，等于八。好，所以咱们同时出一个四的话，就是负二， a 减 b 等于二，是吧？好，可以找出 a 和 b 之间的关系啊， b 等于什么？ b 等于负二， a 减二。哎， 那这个式子呢，就可以给我们消圆用了啊， a 来表示 b， 是 不是？ a 来表示 e， 我 们就可以消圆了啊，就可以消圆了，是不是？好，那这个式子我们接下来怎么处理呢？这样求的是 a 减 b 的 范围， a 减 b 的 范围，那么 a 减 b， 你 减一下 a 减 b， 它等于什么？上，就把这个 b 换成这个 for a 减二吧。好，也就是 a 加二， a 加二等于三， a 加二，是不是三？ a 加二？好，那这个 a 的 范围如果出来，那这个题目是不是就出来了？那 a 的 范围我们当然可以通过这个式子来解出来吧。好，那这个式子是很方便，因为 a 是 大于零，那题目已经讲过了啊，这个条件在这里， 所以呢，我们就继续消元啊，这上消解个不等式，求 a 的 范围呗。好，那我们把这个 b 等于这个解带到这里来啊，带到这个这里来啊，这个 b 前面有个符号是吧？就是二， a 加二， 除一个二 a， 他 应该是大于二，小于四吧。好，二 a 啊，是大于零的，所以咱们同时乘一个二 a 就是 四， a 小 于二 a 加二，是吧？小于八 a， 这个时候解下 a 啊， a 是 小于一的，然后呢？ 啊，六二小于六 a， a 要大于三分之一，是吧？这个连等式你要会解啊，当然，如果你不会解，你把它拆看成两个啊，拆看成一个不等式组，是不是 啊？不等式组解结果也是一样的啊，考试的时候你这么解肯定是没有问题的啊，在考场上完成啊，然后把这个结果给我写上去就 ok 了。好， a 的 范围出来以后呢？那这个题呢，是不是结果就结束了？所以 a 减 b 啊，当 a 等于三分之一的时候，他是等于五的吧，所以 a 减 b 的 范围是不是这个 三到五之间啊？所以你说这个问他难吗？就考一个知识点，叫销源啊。销源同学 啊，你把 a 来表示 b 啊，利用题目给的这个条件啊，这个题呢，他就是一个。嗯，他没有什么太多，像我们以前遇到函数这个二次函数这个思维量的这个问题，是不是啊？你没有什么思维想不通的，你就是从头往后写啊，所以他的难度呢？整体来说，这套卷子难度不大。 嗯，如果你这道卷子没有考特别好的话，那需要反思一下你这个基础了。好，那这个题我们就讲啊，讲到这里。

你和派代数吻心力还能提智商？大家好，我是新一位老师啊，今天我们一起来看一下哎，密云部分学校而摸这道函数压轴题，那这道题首先呢，这个括号一，它说当点 a 一到负一在抛线上求 a 的 值，再往里一带，就能算出来 a 得一，对吧？这个时候抛线就是确定的解一式 y 等于 x 方减二 x 啊，咱把它画出来，对吧？对，轴是一过零零过二零，对不对？是不是长这样开始向上， 他说呢，过点 p 零逗 t， 哎，这是不是 y 轴上一点呀，对不对？这是 y 轴上随便一点 p， 对 吧？然后呢，且与 y 轴垂直的直线，那是不就对吧，这是与 y 轴垂直的直线， 他说和抛线交于 e f 两点啊，且点 e 是 p f 的 终点。那同学们，大家有没有发现，我随便这么画了一个点 p 之后，你看它 和这交于点 e 和这交于点 f， 假如说，对吧，那这个点 e 不 可能是 p f 的 终点，不管这个是这是点 e 还是这是点 e， 对 不对？这都不可能，对吧？哎，那这对吧，这俩一个在 p 的 左边，一个在 p 的 右边，怎么可能能是它们的终点呢？ 所以我们对它来一次权威，系统去动，你会发现，动到哪的时候符合 t e 呢，对吧？哎，只有动到这的时候符合 t e， 大家看，大概在这个位置看，是不是？同学们， 对吧？哎，这个是外周焦点，那一点 p， 对 吧？然后呢，哎，这个焦点是那个 f， 对 不对？这个焦点是那个 e， 这个时候 e 有 可能是 p f 的 终点，是不是， 对吧？他让我求 t 的 值，那这个时候 t 的 值咋求呢？哎，那你看，因为点 p 是 吧？它 e 是 p f 的 值，咋求呢？哎，那你看因为点 p 是 吧？它 e 是 p f 的 值，咋求呢？哎，那你看，因为三个的横坐标之间是有关系的，对吧？ 比如说 x e 怎么样？它应该是等于零，加上 x f 除以二的，是不是， 对吧？也就是它是等于二分之 x f 的， 对吧？哎，而点 e 和点 f 又在抛物线上，它又是抛物线上的对称点，对不对？所以 x e 加上 x f 对 吧？相加应该是二倍的对称轴，应该是二，对吧？ 哎，那这样的话，你把它一替换，也就是说二分之 x f 加上 x f 应该是得二的，对不对？对吧？那是不是意味着就是二分之三倍的 x f 就 应该得二，那 x f 应该就等于这个什么呀？ 三分之四是不是？那么 t 是 几啊？我们把三分之四往这个解析式里一带是不行的，对吧？这个 t 是 不是等于三分之四的平方减去二乘以三分之四，对不对？ 算完应该是负的九分之八，哎，对吧？这个括号括号一的圈咱们就算完了啊。 哎，这个还是比较简单的，大家呢，只要画出第一图，对不对？你把他符合题的这个图画出来，围绕着他的坐标去列式子就可以了啊。

哈喽，大家好，今天这道题目是福田区二模的压轴题，这套考完很多人普遍反馈说二十题没有看懂，那希望大家相信函数应用题的话，题干越长，其实题目是越简单的， 那今天我们就一起来看一下这道压轴题究竟让大家卡在哪里？然后题目条件拆解完之后，这道题到底会有多么简单？话不多说，我们一起来看题。 好，来看一下问题背景，就是我们是用这个抛物线，也就用这个东西来模拟这个尖比蛙跳远的这个过程， 然后他这个地方我们来看一下这个信息哈，他这个四十五度倾斜角起跳，实际上在这里是没有什么很大作用的，我们重点去关注一下这个他的，因为我们要去看他的运动轨迹，他的运动路线可以近似的用 y 等于哎出来了， 也就是说他的这个运动轨迹的话，我们就可以用一个二次函数表示出来， y 等于负的 v 零方分之十 x 平方 加上 x 去表示出来，然后这个 v 零呢？在这里它是一个变量，就是会变的，然后根据这个 y 的 这个起跳的速度不同，然后我们这个 v 零可以说去带不同的值，大概就是这样的一个题目模型，其实还挺简单，对不对？然后来看一下第一小问， 他说，哎，当这个 v 零等于根号十的时候，是不是你就可以直接把这个 v 零等于根号十带进去啊？ 那我们这个二次函数其实就变成确定的了， y 就 等于负的这个根号十的平方是不就是十，负的十分之十嘛？负的十分之十 x 平方加 x， 是 不是就是 y 等于负 x 平方加上 x。 好，然后他说这个跳远距离 o a 等于多少米？那这个其实就非常简单了吧？是不是就是二次函数求这个和 s 轴的交点啊？咱们直接令 y 等于零就可以了。 好，令 y 等于零，也就是说负 x 平方加上 x 等于零。我们提一下公式，就是 x 比上一个负 x 加一等于零， 然后解的有两个解，第一个解是 x 一 等于零，第二个解是 x 二等于一个一。好，我们看一下总共这个函数的话，它和 x 轴是有两个交点，一个是我们的 o 点，另外一个是我们的 a 点，那这个横坐标是零的，很明显就是我们的 o 点，所以的话我们要取的是这个 x 等于一这个点， 所以的话 a 点的横坐标是一，然后纵坐标的话很明显是零，所以这个 o a 的 长度呢？就是一个一。然后我们来看一下他说在这个过程中尖笔挖离地的最大高度，那是不是其实就是去求这个 二次函数这个最值问题啊？这个地方大家用配方也可以，或者直接去套公式都可以哈。那我们用配方的话，就是负的 x 平方减 x， 然后在里边配完全平方 减 x， 是 不是配一个加四分之一，然后这里减了四分之一，我们后边给它加一个四分之一，那么原式又等于负的 x 减二分之一的平方加上一个四分之一，那非常明显，当 x 等于二分之一的时候， 这个 y 是 能够取到最大值，结果是一个四分之一，所以的话它的这个最大高度的话就是一个四分之一，那么第一小问的话，完完全全就是考察我们对基础的一个掌握好，然后来看一下第二小问，第二小问现在这个 v 零没有给我们负值了，我们把这个 y 放在这里，它等于负的 v 零方分之十， x 平方加上 x， 然后我们说这个 v 零现在不是一个具体的数值了，然后我们从起跳到落地的过程中，第一问求它离地的最大高度是多少，那其实还是一个抽象的这个二次函数求最值的问题吗？那这个地方的话，大家选择用配方也可以，然后选择用这个 顶点式直接去套进去，就是一般式的 abc 来求这个最大值也可以，那么这里的话我们选择用这个 abc 来求，大家还记得吗？对于一个一般式来说， y 等于 ax 平方加上 b， x 加 c， 它是有一个顶点的，顶点是负的二， a 分 之 b， 然后四 a 分 之四， a， c 减 b 方， 哎，你只要满足，当 x 等于负的二 a 分 之 b 的 时候，你的 y 自然就会等于四 a 分 之四， a c 减 b 方。由于这个题它的这个二次项系数比较复杂，所以的话，如果你想简化运算，我觉得大家最好可以用这个方法直接来套，如果说你记得住的话， 那么第一位我们简单来算一下，那就是对于这个一般式 y 等于负的微零方分之十， s 平方加上 x， 对 这个式子来说，它的二次项系数 a 就 等于负的微零方分之十， 然后一次项系数的话就等于一个一，然后常数项的话等于一个零，因为后边没有跟着常数了吗？所以的话直接就是当 x 等于负的二 a 分 之 b 的 时候，它其实甚至都没有让你去求，那其实我们就不太用去管这个负的二 a 分 之 b 哈，此时 y 的 最大值应该是四 a 分 之四 a， c 减 b 方 应该等于来我们把这个 abc 分 别代进来，四 a 分 之，也就是四乘以这个负的微零方分之十， 然后这里我们套一个括号，然后上面的话是四 a c， 来大家看一下，这个 c 刚好是零，所以的话四 a c 乘起来，其实结果也是零，减掉 b 的 平方，也就减掉一一的平方，那其实这个数的话，其实非常好算的哈，上面是一个负一， 底下是一个负的四十分之微零方，然后这个符号和符号我们抵消掉了，然后把这个 v 零方乘上来，应该是四十分之微零方， 也就是它这个最大高度的话，其实用 v 零含 v 零的数字去表示，就是一个四十分之 v 零方，然后第二小问他说记记这个最大高度为 h， 那 也就是说刚才我们算出来这个最大高度呢？我们就用 h 来表示，它就是一个四十分之 v 零方。 然后再来看一下 g o a 等于 l， 哎，那这个 o a 怎么算的话，是不是还是令这个 y 等于零，直接去解这个方程就可以啊？哎，那就是令 y 等于零，那这个方程就变成了负的微零方分之十 x 平方加上 x 等于零， 那我们这里的话选择两边同时其实提公式就可以，提一个公式的话，就是 x 乘以负的 v 零方分之十 x， 然后加上一个一等于零，解得的话，一个是 x 一 等于零，另外一个 x 二等于，那也就是说这个东西负的 v 零方分之十 x， 我 们一项嘛，它加一等于零，也说明它等于负一， 然后的话两边同时除以一个负一，然后两边再同时乘以一个倒数，两边同时乘以十分之 v 零方， 也就是变成了这个样子。所以第二个值的话， x 二应该是等于一个十分之 v 零方，然后这样的话，我们 o a 的 长度是不是直接就是这个 a 点的这个坐标啊？ 哎，把 a 点坐标表示出来就是一个横坐标，十分之 v 零方，纵坐标的话就是一个十，所以 o a 的 长度还有等于 l 等于个十分之 v 零方，那大家看一下， h 的 话是等于一个四十分之 v 零方， 然后 l 的 话是等于一个十分之为零方，很明显是一个四倍的关系，对不对？所以 l 的 话就等于一个四倍的 h， 好， 这是第二小问，其实真的没有什么很大的难度哈。然后我们再来看一下第三小问，第三小问的话，我们稍微看一下他这个图哈，他是连着跳了两次，但是他这两次可能跳的这个幅度不是完全一样的，他只是说第一次的话符合这个表达式， 然后的话，他的这个你的第二问，他这个 v 领就是你起跳完事之后，他第二次起跳这个 v 领可能是会变的，所以他其实是一个变量。好，那相当于这样连续跳两次，我们把这个大概的图像给大家画一下哈，画在这个位置，就大概第一次和第二次不一定是一样高的， 嗯，然后这边的这个最大值的话应该是一个 c 的， 然后第二次的这个最大值的话应该是一个 e f， 好， 然后呢上面有一条观测线 m n， 好， ok， 然后再来看一下这个 m n 的 高度的话是一个一点二五，然后这个两次起跳一直跳到，我看是哪个点啊？一直跳到这个 b 点， 跳到 b 点的时候它的这个横坐标是八，纵坐标是一个零，大概就是这样。 好，然后他说这个射两次离地的最大高度分别是 c 得和 e f。 第一小问，让我们直接填空 c 得加 e f 等于多少？ 这个因为这个填空哈，所以大家其实有一个简易的方法，就是你直接第一，第一步的话，你直接让这个让这个点 a， 因为 b 点的横做幺五是八吗？你这里可以直接取个特殊值，比方说你取 a 是 这个四的话，说明你的两段这个抛物线是一样的，你就直接去套公式算就可以了。 那如果说我们不用这个减面做法，我们直接去算的话也可以哈，我们就直接设嘛，我们就直接设第一次的这个距离 o a 的 长度为 l e， 然后这个 c d 呢？它就是一个 h e 就是 分别是它们的这个水平长度和这个数值长度。然后呢设这个第二次的这个路路长，也就是 ab， 设它的长是一个 l 二，然后设这个 e f 的 高度的话是 h 二，然后我们来看一下满足什么关系没有？ l 一 加 l 二的话，因为我不知道 l 一 和 l 二分别是多少，但是我知道它们两个相加一定是等于八。 然后的话，第二问，你是不是刚证了一个结论呀？你刚证了一个 l 和 h 的 结论，然后直接由二得， 哎，你的 h 一 是不一定是等于一个四分之一倍的 l 一， 你的 h 二是不一定是等于一个四分之一倍的 l 二，哎，所以的话，你的 h 二加上 h 一 的话，应该是等于一个四分之一倍的 l 一， 加上 l 二， 也就等于四分之一乘以八，他，哎，他是一个定值就是二，这个你带特就是因为他不管你 l 去几的话，其实这个值都是一样的。所以这个地方填空题的话，你如果实在想不到这个思路，你最好是去取一个特殊值，这样会快一点。 好，这个是第一小问，然后第二小问，我们说设第一次起调速度是 v 零，然后让我们求 v 零的角度好，还是看这个第一个小空给我们的这个 提示哈，我们从第一小问知道， c 的 加上 e f 的 话，它其实是一个定值二，然后的话我们看两次都没有触碰到 m n， 是 不是说明两次分别的这个最大高度都比这个一点二五米要小啊？ 哎，所以的话，其实我能够得到这个 c 的 呢，它本身是要小于一个一点二五的，然后这个 e f 呢，它作为一个二减 c 的， 实际上也要小于一个一点二五，这样的话我们是不是能够得到关于 c 的 一个不等式， 我们来看一下好， c 的 高度呢，它是要小于一点二五，然后这个二减 c 的 呢，它也是要小于一个一点二五，所以的话我们能轻松得到 c 的， 它的这个范围的话不能用等于哈 c 的 范围的话，我们算出来应该是一个解一下这个不等式组，非常的简单，也应该是一个大于零点七五，然后小于一个一点二五。 好， ok， 然后再来看一下这个 c 的是什么？这个 c 的是我们第一次起跳，第一次起跳的话咱们是不是还是有公式啊？第一次起跳 c 的 的话，是不是就是这个 h， 这个 h 等于什么？这个 h 等于一个四十分之 v 零方，也就是说我们直接由二得 c 的 的话，就是等于一个四十分之 v 零方，然后这样的话我们的整个含 v 零的式子就是四十分之 v 零方，他呢是要大一个零点七五，小一个一点二五的。那我是不是可以两边同时乘一个四十， 乘完四十之后 v 零方零点七五乘四十，结果是三十，一点二五乘四十，结果是一个五十，然后我们两边同时开个根号就可以了。这里的话不需要去考虑负数的问题啊，因为你速度一定是正的， 所以的话两边开根号，根号三十最减，根式消不了。根号五十的话可以提一个五出来，然后括号里面留一个根号二，所以最后的范围的话，为零的范围是大于三十，小于个五倍的根号二。这个地方说如果能够刚好触碰到 m n 的 话，大家这个地方就可以改成一个等于号，但是这里没有的话，我们就直接用小于就可以了。 好，就是这个题的这三问，其实这个题的话真的没有很难的地方，其实全部都是套路化解法，只要你对函数的这个基本功够扎实，然后能够读懂题，有这个耐心的话，其实这道题对你来说应该是能够拿到满分的。

大家好，今天我们给大家带来的是二零二六年唐山路南区二模的第十二题啊， 这个昨天上午啊，昨天这个唐山路南区进行的这个二模啊，是我们省内比较早进行二模的一个区域啊。 啊，那我们来看一下这道第十二题，也就是选择题的压轴题。首先来看题，如图，在矩形 a、 b、 c、 d 当中， a、 d 等于五。哎，注意一边读题，一边标注 a、 b 等于三倍的根号三，这不好标，我们标到上面 d、 c， 这啊，它等于三倍的根号三。矩形的话，四个内角都是直角，我们一般可以先标两个啊。然后点 e 在 a、 b 上， 且 a e 比 b， e 等于一比二，点 e 在 这， a， e 比 b， e 等于一比二，你知道什么呢？点 e 是 ab 上的一个三等分点，那 ab 的 长度是知道的，等于三倍根号三啊。那么所以 a、 e 呢，我们就可以求出来，它是等于根号三啊， b， e 呢，它就是二倍的根号三。 好，背景图形分析完毕，然后我来看说，在矩形内找一点 p， 使得角 bpe 等于六十度， 哎，这个角始终是六十度，那这个点 p 在 哪呢？不知道啊，要找一点，那这个点有多少呢？嗯，有很多，对吧？所以这个点 p 其实是一个动点啊，点 p 是 一个动点，这会让求的是线段 p d 的 最小值，让求的是线段 p d 的 最小值。 那结束目标，我们说对质问题处理基本思路分析，定点，动点点屁是动点，点 d 是 定点，然后去找动点在运动过程当中的不变特征。动点点屁在运动过程当中有什么不变特征呢？这个题目当中只有一个，就是要想使， 呃，要使这个角 bpe 等于六十度，也就是说点 p 在 运动过程当中的不变特征，就是始终保证了一个角等于六十度啊，是一个定角，哪个角呢？就是角 bpe， 那 这个角除了点 p 是 一个动点之外，点 b 和点 e 是 两个定点， 哎，所以现在很明显了，对吧？这就是一个定弦对定角问题啊，定弦 b e 对 着定角角 b p e 六十度啊，定弦对定角问题，我们之前也给大家讲过，我们上一条视频呢，也给大家分享过，对吧？但定弦对定角问题，它其实有两类啊， 我们大致可以分为两类，一类是定角是九十度的，就是我们上一条视频啊，海港区一模的那道题啊，那么我们今天遇到的这个问题呢，它属于啊另外一类啊，在上一个上一类当中去进行这个拓点，它不是九十度了，不是九十度的时候，那么 我们如何去通过这个定弦所在的这个轨迹，这个浮动圆呢？ 这个里边我们前面在这个啊，我们这个线上直播课，他们也给大家讲过啊，是怎么整呢？就是我首先我们要根据 啊圆当中这个角度的关系，我们所所说的这个定角，他是一个圆周角啊，圆周角这个点在圆上吗？所以他是一个圆周角，那我要想去，我们要想去找到这个圆，我选首先要找圆心，对吧？找圆心啊，找圆心找半径， 所以那必必不可少的就是我们一定要去找到这个圆心角啊，要圆心角，那我们根据在圆当中啊，同弧所对，圆周角是圆心角的一半啊，那么在这个弦的同一侧啊，在这个定弦啊，定弦 他他同一侧的时候，我们这个圆心角是圆周角的二倍，对吧？所以我们就可以去找这样的一个二倍的这样一个角啊， 那我们刚才那个是六十度，对吧？所以我们这个里面就可以找一百二十度，但是只找度数也是没有用的，我们需要去考虑，他既然是圆心角，那么这个顶点啊，这个圆心角的顶点他就必须得是圆心。 圆心的话，那么我们说动点，还有这两个定点都在圆上，所以我们连接哎这个圆心还有另外的两个定点的时候，我们就可以得到它是其实是一个顶角，是这个定角二倍的这样的一个等腰三角形，对吧？哎，等腰三角形啊， 所以那我们就其实也就清楚了，我们在这道题当中，要想去根据这个定弦对定角去找这个辅助圆啊，动点 p 所在的这个圆，我们首先要找的就是这个圆心 o， 圆心 o 怎么找？我们刚才也说了，就是去首先去做一个等腰三角形，而且这个等腰三角形以 b e 为底，以点 o 为顶点， 而且这个角 b o e 必须要等于二倍的角 b p e 在 这个题目当中也就是等于一百二十度，也就说我们这个题需要以 b e 为底去做一个顶角，是一百二十度的这样一个等腰三角形啊，这个三角形是比较特殊的一个三角形，所以好做出来，对吧？做出来之后呢， 我们可以知道这个是一百二十度的啊，一百二十度这样的三角形我们是熟悉的，对吧？那是一个一比一比根号三的这样一个三角形，那么我们刚才分析了， b e 是 等于二倍的根号三的，所以那么我们这个里边就可以直接求得半径 o b 和 o e 啊，当然了， o p 也是啊，那就等于多少等于 二啊，等于二。好，那么现在呢，我们就以点 o 为圆心，以二为半径，做这样的一个圆就可以啊，以二为圆心，以 o 为圆心，以二为半径做这样的一个圆，把这个圆做出来，点 e， 点 b， 还有点 p， 都在这个圆上 啊，好了，做开这个圆之后啊，这个点屁就在这个圆上运动，当然了，具体到这个题目当中呢，它是圆上的啊，这矩形内部的这一部分，这个圆弧啊， 呃，这个需要有一个简单的一个认识啊。好，那么现在呢，我们需要去在这一段圆弧上去找到点 p， 找一个点 p 的 位置，使得线段 p d p d 的 最小值啊，取最小怎么找呢？一箭穿心，对吧？连接 o d 啊，这个线段 o d 和圆 o 交于 点 p 啊，此时啊，这个 p d 就是 有最小值的。好了，那么找到了最小值的位置，下面就是需要去进行求解， 要想去求 p d， 我 们正常来讲，一般都是先求 o d 两个定点之间的这个线段啊，然后再减去半径 po， 半径是二，所以我们剩下为要求的就是这个 o d。 要求 o d， 怎么求呢？ 我们说首先需要关注这个图形的基本因素，对吧？点 o 是 圆的圆心，那这个圆怎么来的呢？我们是以 b e 啊 这个为基础来做出来的， b e 是 这个圆当中的一个弦，所以要想去求这个 o p 的 o d 的 话，我们也需要去做一些辅助线，首先就是我们可以先 啊跟这个过点 o 去做 o h 垂直 b e 与点 h 啊，利用这个垂线定律啊，利用垂线定律，我们可以到点 h 是 b e 的 中点，也就是 e h 和 b h 都等于根号三啊，都等于根号三。 好，那么要想去求 o d 的 话，我们需要考虑 o d 所在三角形，所以我们现在呢需要去做一个，再做一条辅助线，把 o d 放到三角形当中，我们可以过点 o 啊，做 o f 垂直 a d 与点 f， 这样的话就把 o d 放到了一个直角三角形 o d f 当中，那么这个直角三角形呢？ 嗯，我们要求的是斜边，所以我们先找两个直角边啊，先看 o f， o f 的 话，因为我们这个是做的垂直啊，角 a， 这也是直角，然后 o h 这角也是直角，所以四边形 o f a h 是 一个矩形 of 就 等于 a h， 那 a h 呢，就等于 a e 加 e h， 也就是根号三加根号三，它等于二倍的根号三啊， o f 是 二倍的根号三， 然后另外一条直角边 dfdf 等于什么呢？那 df 它就等于 d a 减 afda 是 五 af 的 话啊，根据同样是根据矩形，它是等于 o h 的 o h 呢啊，我们可以根据勾股定律求解出来，对吧？或者说直接用特殊直角三角形三边关系一比根号三比二，可以求出来 o h 是 等于一的啊， o h 等于一的，所以 af 也就等于，那么 df 呢，就等于四啊， df 等于四。 好了，两个直角边知道了我们要求的这个 o d 啊，就可以用勾股定律进行解 o d， 它就等于二倍根号，三个平方加上四的平方，然后再开根号。啊，根号里边注意一下，二倍根号三个平方，二二得四三四十二啊，然后四个平方是十六， 所以里边呢就是十二加十六，就是二十八，二十八，四七二十八，所以它就等于二倍的根号七。 对啊，我们求的是 o d， o d， 我 们要求的是 p d， 对 吧？所以那么这个 p d 呢，还需要用 o d， 也就是二倍的根号七减去 o p， o p 是 半径，半径始终是等于二的啊，所以 p d 的 最小值就是等于二倍的根号七减二。 好，那么这道题呢，是我们这个去年咱们河北省中考最后一道题，考那个定弦对定角的一个延伸。啊，我们上一条视频也是啊， 是区别于前两道题，我们刚才提到两道题啊，前两道题左右的定角都是九十度，那么我们这个题呢，变成了一个非九十度的这样一个角，涉及到如何去找到这个辅助圆啊，找圆心，找半径啊，就是去找这个，呃，等腰三角形，具体呢，我们可以看一看这个视频。啊， 好，那么我们这道题就先讲到这。

哈喽，各位同学大家好，我是数学吴老师，今天给大家带来的题目是北塔二模的二十五题，二次函数的综合考察，我们一起来分析一下。这道题 给了抛物线的解析式，小 b， 小 c 不知道跟 x 轴两个交点，点 a 的 坐标一斗零，给了我们 点 c 的 坐标零到负三，给了我们。第一问，求的是他的解析式，先做一个简单的说明，这个地方我主要给大家解决思路的问题过程，如果你还有一点点问题，写完以后跟标准的答案做一个对比， 把那一点点的小细节解决掉。如果说实在还是不会写，你下来找我，我来一步一步的再给你重新的去教。先看第一小问，求解析式， 小 c 决定的是抛物线跟 y 轴相交的位置，小 c 是 多少交到多少，那现在呢？他跟 y 轴交到了负三，所以我们的小 c 一定是负三。第一步，轻松的得到小 c 是 个负三，所以解析式立马变个样， 变成 x 方加 b， x 减 c， 只有小 b 不知道了，经过了 a 点一斗零，那我将 a 一 斗零代入就可以了，立马得到零，等于一，加小 b 减三，所以小 b 一定等于二，所以解析式， y 等于 x 方加二， x 减三。搞定好，接下来呢，我们再来看一眼。第二小问，对称轴上找一个点屁，要让它的值怎么样最大？求点屁的坐标，一步一步来， 首先这个点屁出现在什么地方呢？对称轴上，所以我先把对称轴搞定。抛物线的对称轴公式叫负的二 a 分 之 b， a 呢是一，二 a 就是 二，小 b 是 二，所以对称轴是负一， 让它的差值最大，这个呢就是一种典型的什么将军骂问题， 典型的将军野马问题，将军野马。如果看符号的连接方式，我可以分为加号连接和减号连接，加号连接我们往往求的是什么？ 最小？减号连接我们往往求的是最大的值。加号连接的我们需要转换成 e 测去做， 减号连接的我们需要转换成同侧去做。上面利用的知识原理两句话，第一句，两点之间线段最短，第二句，点到线的距离垂线段最短，不同的题考的不同， 下面转换成同侧问题考察的是三角形的三边质知识， 两边之差小于第三边，如果三点共线形不成三角形，那两边之差等于第三边此时最大。我们到这道题目里面具体的来看一眼， 现在呢，点 p 呢？是抛物线 x 等于负一上面的一个点，如比如说点 p 在 这个地方我随便点 p， b 在 这个对称轴的左边， pc 呢？在什么 右边？左右各一个，这叫什么问题啊？异侧的问题，但是他问的是什么？减号连接的最大要转移成什么同侧，怎么转移同同侧呢？对称 对称，要么你把点 b 对 称到对称轴的右边来，要么你把点 c 对 称到对称轴的 左边去。二选一，谁好做，肯定对称谁。这个地方 b 的 对称点天然的就是谁啊，就是点 a， 天然的就是点 a。 因为二次函数具有什么对称性嘛，所以我们把点 p 对 称过来以后变成了谁啊？ pa 变成了 pa， 那 这个地方我们就可以简单的这样做一个转换，你求的是什么呢？ 你求的是 pb 减掉 pc 的 值，但是我对称以后，我们 pb 的 值和 pa 的 值一定会怎么样相等，所以它就变成了 pa 减掉 pc 的 值， 而 pa 去减 pc 的 值。我把这个 a 和 c 做一个连接， 连接完以后，大家看我们这个地方会形成一个什么形？三角形，三角形。我们知道两边之差一定会小于第三边， 也就是 p a 减 pc 的 差一定会小于第三边 a、 c 的 值。 那我们想求最大值，看看有没有可能等于 a、 c 的 值不就行了吗？有没有可能呢？有，因为我们的点屁是对称轴上面的一个什么点， 动点它可以动，所以我让它向下运动。动到什么地方呢？ 动到屁撇的这个位置来。如果你的点屁动到屁撇的这个位置，你看三点共线形，不成三角形，这个时候我们的 pa 是 它， 我们的 pc 是 它，两个的差值正好是谁啊？ ac 嘛。所以当我们的 a c p 共线时， 如果贡献此时呢，我们会得到我们的 p a 减掉 p c 就 等于谁啊？等于 a c 此时呢是干什么？最大差值最大， 此时差值最大，所以我们的 p 呢？此时 p 在 p 撇的位置， 它求的是此时点 p 的 坐标，其实就是求的 p 撇的坐标嘛。那 p 撇不就是这条 a c 所在的这条直线跟对称轴的交点的坐标？横坐标呢？已经知道了负一，剩下的纵坐标，我们只要知道 a、 c 的 解析式不就可以了吗？ a 的 坐标呢？ 一斗零， c 的 坐标呢？零斗负三。由这两个东西我立马能够得到 a、 c 这条直线的解析式， 这个地方是负三，所以他的小臂呢，一定是负三。前面的是什么？ k x 减三了呗，他又要交到一到零一带进去以后正好是 k， k 减三得等于零，所以我们的 k 就是 减 三，所以我立马得到这条直线的解析式就是三 x 减三 搞定了。现在你想求屁撇的坐标，所以我们屁撇的坐标也能知道了。横坐标一定是负一。纵坐标带到解析式里面算一下就可以。 三乘负一得到呢是负三，负三减三得到呢是负六， 所以我们这个地方轻轻的写上负六就可以了，也就是 pb 减 pc 的 值最大的时候，点 p 的 坐标是负一到负六。接下来呢，我们再看一眼第三小步， d 呢，是 y 轴上的一个点直线 b， d 和 bc 的 夹角呢？是多少？十五度， bc 的 夹角是十五度。那我先旁边这个图里面把 bc 连起来， 你要形成十五度的夹角，我能不能算出来现在的这个夹角是多少度呢？ 如果你想算这个假角，你就得知道谁啊？ b 的 坐标， c 的 坐标是零到负三，看看 b 的 坐标有没有什么特殊性。第三小问 求 b 的 坐标，我们只要让第一小问的解析是 x 方加二， x 减三等于零，去求一下 x 就 可以了。那第一个 x 呢，肯定是一 a 的 横坐标嘛，那第二个呢？扫一眼 我就知道它是负三，所以从这个地方我们能得到 b 的 坐标呢，是负三。逗谁啊零？ 那这样的话，你看 b 的 坐标负三到零，所以这个长是几啊三，这个长也是几啊三，那我这个地方就会形成一个等腰直角三角形，所以现在呢，形成的这个度数是啊，四十五度， 他是四十五度，我想再来一个十五度。这个十五度呢，我们需要做一个什么考虑？什么考虑呢？ 你这个十五度是这个样子的十五度？ b、 c 的 下方的十五度，还是说你的这个十五度是这个样子的十五度？ b、 c 的 上方的十五度到底是哪一种呢？ 不确定，不确定的话两种情况都得怎么样？算一遍。 来吧，一个一个来，先算上方的这种，这个地方呢，我来个第一吧，下方的这种我来个第二吧。那他算的 cd 的 长度就是上面这个长度， 或者说下面这个长度呗。一个一个算，先算上面的整个大小呢？我们得到的是多少？四十五度，这个小的呢？是多少？十五度，所以我们这边剩的这个是多少？三十度呗。 又在直角三角形，那无非考的就是三边关系呗。直角三角形里面，三十度角所对的直角边是最短的长，直角边是他的根号三倍。这条长的直角边 我们知道是个三，所以短的呢？一定是谁啊？根号三倍，所以我们此时的这个 点 c 到点 d 的 长度，也就是我们的 cd 一 整个长度是它纵坐标的绝对值。三上方是啊，根号三， 两个做个差值，剩下的就是 cd 的 长度，也就是此时 cd 一 的长度。再来看第二种情况，这个角呢是多少？ 他是十五度，那我们刚刚整个大角呢，是四十五度再加十五度，所以我这个大角变成了多少？六十度呗， 那他是六十度，那这个小角就是多少，他不就是三十呗？ 三十度角所对直角边最短，所以上面三的这条直角边是最短的，那旁边竖着的这个点， o 到第二的这条直角边就是啊，长直角边是他的根号三倍， 所以整个 o、 d 二这一条线段的长是三倍根号三，上方 o 到 c 的 长度呢？是三，所以我们下方的这一段， 下方的这一段 c 到我们 d 二的这一段，我们得到 c， d 二整个是三倍根号三， 上方是三，减掉就是它的长度了。那你问的 cd 的 长度分类讨论，最后综上所述就可以了。综上所述， cd 的 长度是三减根号三或 三倍根号三减三，这样就可以了。这是这道题的解析思路。好，这道题呢，我们就分析到这。

我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。

几何快，代数稳心定，还能提智商。哈喽，各位同学们大家好，我是讲韩式的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师啊，精讲的是我们初三下双提二模的这道函数压轴题啊， 这道题目呢，可以说是非常综合一道题目了啊，这一道题真的可以顶好几道题，它既考验了咱们同学们，首先从能力上，你具不具备我们的定一动，一种有序动 哎，以及就是你具不具备构造新函数这种式子表一切的能力，包括函数题要想做的快，最重要的就是你能不能够挖确定啊，在不确定当中挖出确定， 哎，这几项能力，各位同学其实就等于中考会考察到的全部的带宗的解析能力了啊，再加上这个题的考点，同学们这种公共点问题的处理方法，这种哎，增减性问题最值问题的处理方法，各位同学，哎，这两个考点你是不是掌全面掌控， 所以这道题真的能很好的检验咱们同学们在带宗这块的一个基本功的扎实程度啊。好，如果这道题做的不好，同学来认真听，向老师给你们讲一讲啊，我手把手再教教大家都是怎么操作的。 好，首先来看一下啊，这个呢，首先过二斗夫三 a 啊，这个对称轴还是非常好算的是吧，往里一带能算出这个对称轴是一啊。并且同学们像这种解析式，因为他的 a、 b、 c 都含有同一个字母 a， 那 这个式子我能看出来它是可以因式分解的，是不是你可以另一个 a a 变成 x 方 减二， x 减三，然后在这里就可以进行一个十字相乘，是吧？变成 x 加一乘， x 减三，所以能很轻松地看出它与 x 轴的交点应该是负一零和三零 啊。并且这个其实就是肖老师给大家总结过的我们的跳绳模型，是不是因为它的与 x 轴交点是确定的，然后它的顶点是不确定的，那说白了就是它可以啊，让顶点沿着这个对称轴从上往下跳，对不对？比如说它可能会长成 这样，也可能会长成这样，是不是？哎，这种跳绳结构啊，跳绳模型好， ok， 等会如果需要有序动这个抛物线的时候，同学们就可以去看看这个就可以用跳绳模型啊。 接着来看第二问，已知点 a n 逗四啊，我们永远要善于只关注确定的 n 逗四，这个是 n 加六逗四，哎，纵坐标确定。所以说白了，这个 ab 两个点呀，它就是 在外等于四这根线上动，是不是？哎，在外等于四这根线上动，小老师画一下啊，大概这个意思，是不是在外等四根线上动？嗯， 好。并且呢，他们两个人虽然横坐标是不确定的，但是他们俩的横坐标的宽度是定的，是不是就是六个格？所以他其实说白了就是一个宽度为六的一条横线，有毛病吗？同学们， 哎，就是宽度为六的一条横线，然后在这个 y 等于四上，然后这个点就是咱的点 a 点 b， 然后从左往右动呢，是不是？同学们，是吧？哎，这就是点 a 点 b， 然后他再从左往右这样式， 再咚咚咚咚咚咚咚咚咚，哎，咚咚咚，是吧？ ok， 好， 他说，若使得，若存在 n 啊，若存在 n， 使得抛物线和线段 a b 有 两个不同的焦点，注意，他找的是两个焦点，让咱们直接写出 a 的 范围。 好，这道题我们来看一看啊！同学们，来，这种公共点问题啊！同学们基本就都是动图啊，因为咱们知道，肖老师给大家讲过， 做函数题第一步是画出第一图，一定要先把图给画出来，画完图之后，要么可能是玩图，要么可能是玩士子。那大家记住，这种公共点问题，这种焦点问题， 我们都是干嘛都是玩图啊，就是对这个图进行有序动。 好， ok， 那 咱们就开始干。那怎么动呢？有同学说，老师，这个抛物线也动，这个线段也动，太烦了， 定一动一啊，对不对？抛物线也动，线段也动，那当然没法做了，所以咱可以先把抛物线给定住，对不对？哎，定住这个抛物线，你就动这根线段不就行了吗？是不是？那你就跟肖老师动啊，比如说，同学们，如果这个线段长这， 请告诉我，这个抛物线和线段有两个公共点吗？ no， no， no， 继续动动动动动，哎，有了吗？没有，还是只有一个，是不是？继续动动动动动动动，直到动到泪 b， 干嘛从右边出去，对不对？现在才满足存在，两个两个两个两个两个两个，对不对？哎，现在我们就看懂了啊，长成这个造型就是存在， 是不是？哎，明白了吧，这种就是，你看，继续往右动，又没有，没有又不行，不行不行不行不行不行，是吧？是哎，只有长成这个造型才是存在，是不是？好，那这个时候你就再看看他，那他长成这个造型就一直存在吗？各位同学， 那你这个时候可以动动抛物线呀，是不是？同学们，比如说肖老师把这个抛物线画小一点， 哎，我把这个抛物线画小一点，哎，你会发现这个时候行不行呀？这个时候也是行的，是不是？哎，那如果向老师再把这个抛物线整大一点呢？同学们， 哎，哎，这个时候呢？哎，这个时候你会发现也刚刚好是行的，是不是？那如果我再整大一点呢？ 你会发现这个时候是不是就不存在了，对吧？你不管这个 a b 动到哪，它都不存在了，有发现吗？ 你动动动，你甭管这个 a b 动到哪，它都跟这个绿色的不可能有两个公点了，是不是因为这个绿的太胖了，所以临界，大家看见了吗？临界就是黄色，这个是不是？临界就是黄色这个情况？因为这个是最极限的胖， 对吧？这个是最极限的胖，如果再胖，你甭管他动到哪，他都不行了，所以绿色黄色这个是最极限的胖， 是不是？哎，所以同学们，我们就把握住了这个临界情况，就是长成这根，那咱们就算呗，因为这个宽度总共是六，然后这个对称轴是一，所以左边是三个格，所以这个此时他的横坐标就是负二， 对不对？也对吧？横坐标就是负二，也就是他过负二斗四的时候，哎，那我们就把负二斗四带到抛物线，就可以算出来，此刻 a 等于五分之四，然后咱们再进行让范围确认，哎，对吧？开口得变大变小能行啊？同学们，这个是最临界的胖了，所以开口得变 小，对不对？得变成紫色这样才行吧，对不对？得变成紫色这种情况才行啊， ok， 对 吧？这样的话才能才能存在，对吧？所以这开口变小，那就是 a 变大，所以 a 大 于等于五分之四啊，就是开口向上， 好，那咱们再看开口向下。各位同学，开口向下呢？咱们先画画啊，首先他既然得满足有两个造型。同学们，咱们先画画啊，首先他既然得满足这个造型，同学们，能行吗？ 那肯定不能行，对不对？至少他俩得先挨着，对不对？得先挨着，哎，那再确认一下，哎，那我先画一个挨着的啊，是不是？至少他也先长成这样，哎，那再跨，只要挨着都行吗？那我再有序动一下这个抛物线啊，只要挨着都行吗？各位同学，来，肖老师画一下粉色，这个行不？ 肯定是存在的，大家有没有发现因为什么？因为此刻这个抛物线呀，他在这个位置才宽四个格，他这儿肯定特瘦，能懂不？他这儿肯定特瘦，所以你拿一个 y 等于那个宽度为六的一个线去跟他 肯定有两交点，肯定存在有两交点，大家能理解这个道理吧，对不对？你拿一个宽为六的去跟这种开口向下的抛物线进行找找，两个公共点指定有 对不对？指定是有的，因为他这这才宽四个格，对不对？你上面要拿一个宽六个格的，肯定肯定是嘎一下穿过去的，是不是？哎？所以这个开口向下，只要他能跟 ab 这条横线啊，能跟这条横线过去，对不对？只要他能长成这个造型，对吧？只要能，他能有俩焦点，他就一定能符合题，是不是？好？所以说白了就是我们只需要满足一对的这个外值，一对的这个外值要大于等于四 就行，是不是就能穿过去了？哎，有俩就有公共撵就行啊。所以咱们就把 x 等于一带到抛物线解一式算出来是大于四啊， ok， 就 能解出 a 小 于负一了。所以综上这个题答案就这两个答案，好吧，哎，这就是我们的第二问， 来，那我们再看一下第三问啊，各位同学，第三问呢，又是我们非常熟悉的这种新函数问题了是不是？那同学们首先画出第一幅图 哎，然后他让咱们去研究谁呢？研究 m n 的 距离，那咱们就视字表一切去表示 m n， 是 不是 m n 表示完这个啊？然后第三步， 只要表示完新函数，那咱们就画出新函数图像，就长这德行是不是？第四步，把它的范围标在图上，注意提醒同学们，只要标范围，同学们一定要 看清这个等号，等号的情况，所以你会发现他左边是可以取等的，右边是不取等的哦，所以六啊，这个六肯定讲价啊，他是个空心。那咱们就看 a 加一讲哪吧！同学们， 哎，有同学是不是分了好几种情况啊？这个题最易错的点，最麻烦的点来了啊，有同学是不是分 a 加一讲价， a 加一讲价，一个一个看的呀？ no no no no no， 麻烦了，同学们，如果你真的非常善于关注精读，非常善于去挖确定，各位同学，只要你善于挖确定，你就能比别人做得快，别人讨论四种，你一种拿下 怎么说？首先各位同学，肖老师反复给大家讲过，强调过，只要看到这种范围当中带字母的同学们一定要注意什么？只要看到范围当中带字母的，要有前提确认，也就是 a 加一得小于六啊。 a 小 于五 好，再加上同学们，这些地儿真的都需要咱讨论吗？嘎，家人们，大家想想，如果你真的精读了它，要满足始终都得满足大于等于五 a 是 吧？不小于五 a 不 就是大于等于五 a 吗？ 它的距离始终都得大于等于五 a， 同学们，始终处处。所以你琢磨琢磨，如果这个线长这儿， 他在这个范围上还真的能满足处处大于五 a 吗？那不是瞎说八道吗？因为这个地已经是零了 对不对？所以不可能满足，包括他在这，如果动到这，各位同学，也不行吧，对不对？ a 加一如果动到这是不是也不行呀？他在这块也不能满足处处吧，也是包含零的呀，对不对？所以这就意味着家人们 a 加一必须大于四， 他只能在这一块才有可能满足始始终大于五 a， 家人们，大于等于五 a 是 不是最必须 a 加一得大于 四啊？也就是说 a 得大于三才有才有的商量啊。 ok， 那 接着他要满足处处都大于五 a 大 于等于五 a， 那 是不是就找这个最低最低的？ 只要最低的大于等于五 a 就 都大于了？所以咱们就把 a 加一带到这个抛物线解析式啊，那这个时候，因为它肯定是个正的，所以咱们不用加绝对值也行了，把一加一带到解析式，让它大于等于五 a 啊，然后把这个解一下方程，就能解出这个 a 的 取值范围啊，再结合咱们的前提确认， 我们就可以把这个负二给灭了啊，就是 a 大 于等于四，哎，所以最终答案就是 a 大 于等于四小于五啊，这个前提确认 好。第三问，同学们有没有发现肖老师做的 so easy， 为什么？因为我太善于精读，太善于挖确定了，所以同学们一定要看清他给的这个，只要看到范围当中带字母，一定要做前提确认啊，始终， 哎，始终，那就意味着你需要满足，处处都怎么怎么着，那你就会发现这些都不可能啊。排除掉那些情况，会发现只有一种情况，根本就不用分类讨论，那就嘎嘎一顿算就好了。 好吧，哎，刚才肖老师说了，这道题呢，难度还是有的啊，并且综合性还是挺强的，非常值得同学们在中考之前再反复刷两遍。把肖老师刚才说的这种精读呀，范围确认呀，包括这种有序动啊，包括这种跳绳模型呀，哎， 这种一定一动有序分析啊，这种能，这种能力和意识一定要再强化一下啊，这些都是我们中考必考的一些能力。

二模和一模相比啊，哪个更难呀？啊，是这样的啊，其实这个试卷呢，我们无论是中考题还是模拟题，基础题部分，他都有一个很大的重复率。大家可能关注的这个压轴题部分啊， 我们啊，面积在一模的时候，他其实是有一个对标的，对标的呢，就是上一年的一个中考题，我们通过分析今年二六年各个区，北京各个区的一模的数学试卷，我们就可以发现 啊，这个抛物线的这二字函数的综合题，在往年啊，二五年以前大部分考的这个 y 一 y 二 y 三啊，这种数的一个对比，但是我二五年中考考了一个抛物线和直线啊，他们之间距离的一个关系，今年马上就体现到我们一模试卷当中啊，很多区都是这么考的。 同样呢，二二十七题的这个几何题目，二五年真题考了一个二旋转二 r r 的 这样的一个手拉手模型， 我们可以发现啊，今年也是各个区啊，考了一个有旋转二阿尔法的，有旋转一百八十度减二阿尔法的， 可以看出这就是一个啊，一个参对标啊，这样的一个考试，等到我二模的时候呢，这命题组啊，他就有了一个更大的发挥空间，我不可能再啊，还模仿，还延续这个上一年的一个中考， 那我可能在这个结合综合题当中，我就需要啊，考察上次没有考的以外的，比如说背长中线了，接长补短了啊， 这还是比较常规的。那有的呢，像比如去年海淀啊，在这个二十七题的时候呢，就考到了一个引援，很多人都会说啊，我这些模型我都很懂啊，老师接长补短我也会啊啊，背长中线也会旋转也会手拉手这种，但是我不会用 这类问题，其实考察的我们的灵活性，这就要求我们呢在做题目之后啊， 多思多想想一想啊，哪些条件让我们来应用这个定力这个知识，这样的话呢，我们会啊，有更充分的把握去迎接我们的考试。

得数学者得天下，路北二模，语文难度大于一模，物理难度略大于一模，化学难度略大于一模，数学难度 大于一模，政治难度约等于一模，历史难度和一模基本持平，相对简单一点，英语略微有一点点难度，七科。我这么说是不是大家都能明白了？数学 确实难，路北每年二模都比一模难，就是你们家长们听的那个二模比一模简单，是有个别缺陷。我跟你们说啊，你们一定要记住得数学者得天下这个事， 你先把数学和英语搞上去，你可能就是第一梯队的小学霸，你在学霸中再拔出来，你就得看你的英语和语文的这个成绩了。但是你数学如果不好的话，不是我打击咱们直播间的家长们，你们孩子很难总成绩，或者是 他的整体的一个学习能力达到学霸的这个行列，我希望在座的所有的家长看我直播的，你们的重心规划都要放在数学上，数学好了，我们再往下去培养去塑造， 你会发现他的一个底层逻辑，他做什么事，他的底层逻辑在他，也许我们就能形成一个能长长出大树的种子。

每天一道好题，为高考加油！今天这个题目是二零二六年四月唐山二模的第十九题，这是一个导数压轴题， 这个题目是一个考察函数零点的经典的好题。嗯，这个题目啊，应该说比较俗套了，因为前几年高考或者说模拟考中考的比较频繁， 而且尤其是去年的新高考二卷，就是二零二五年的新高考二卷，他就考了一个这种比大小问题，所以在二零二六年的高考中，我觉得考这种题型的可能性不会太大。 但是对于二零二七年的高考考生，也就是现在的高二学生学习这个题目是很有帮助的，因为他真正的考察你对韩对导数的认识，对函数这个分析的呃，是应该说是很有帮助的。好了，我们来讲解一下这个题目。 函数 f x 有 两个极值点， x 一 x 二 x 一 小于 x 二，求 a 的 取值范围。有两个极值点，那就是导函数有两个变号零点啊，下面我们看导 e 的 x 次方，这应该是减去二 a x 减 e， 它等于零，应该有两个时根，有两个不等时根，那你这个有两个不等时根往下你怎么求 a 的 取值方位呢？往下的思考角度应该有两种，一种就是分离函数， 一种就是直接分析这个函数，看这个函数图像 y x 时候，什么时候会有两个交点。 由于下边第二问，尤其是下边的一些问题里边，既涉及到极致点，又涉及到零点，我觉着分离函数的话，将来会。嗯，对讨论零点或者极致点应该说是有点影响，所以我们考虑的方法就是直接对他求导，分析这个 导函数的导函数，也就是二阶导函数，来研究一阶导函数图像，我觉得这样比较好，所以呢，这个题啊，这里边应该是有两个零点， 有两根吧，那么下面呢，我们就是对这个一阶导函数再求导，我们记作二阶导，这个 e x 次方减去二 a， 那 么我要研究二阶导函数，显然这个二阶导函数是一个单调递增的，大家应该能看懂是吧？ e 的 x 次方是个增函数， 那么这时候二解导函数，它的正负呢？与 a 的 取值有关。第一种情况，如果这个 a 要小于等于零，显然这个二解导函数应该是一个恒大于零的，那么就是说一解导函数在整个实数范围内应该是单调递增的， 他要单调递增，那么他的零点至多有一个，不可能会有两根，所以这时候是不可能符合题的，所以至多有一个零点，所以这时是不合题的，不合题， 那么 a 大 于 a 小 于等于零，不行。那么下面第二种情况，我们就考虑 a 大 于零的时候， 如果 a 要大于零，那么这个二阶导函数又是个单调递增的，那你想一想， x 趋向于正无穷，它是趋向于正无穷的， x 趋向于负无穷呢？它也是，它不趋向于负无穷，应该是趋向于负二 a 的， 所以这时候大家应该是有零点的， 对不对？所以这种情况下，我们另一个二节导函数让他打零，那我们就可以知道， e、 d x 四方等于二 a， 也就是 x 应该等于 long 二 a， 这个导函数等于零，是有零点的，这样的话，我们就可以想象一下， 当 x 小 于浪二 a 的 话，这个一节啊，这个二节导函数应该是小于零， x 大 于浪二 a， 二节导函数应该是大于零，所以这个一节导函数，它在负无穷到浪二 a 应该是单调递减的， 在绕二 a 到正无穷这个区间上，应该是单调递增的。好，我们要研究的是一节导函数有两个零点啊，有两个零点，那么一节导函数又是先减后增，你可以想象一下， 那么他要与 x 有 两交点是不是？你看，就这个就是这种画图的方法啊，所以我们可以考虑机械的方法。你看，当 x 要趋向于负无穷的话，我们看这个 e 极导函数，在这里 x 趋向于负无穷，这是趋向于零的。这个东西呢？ a 要大于零，这个东西是趋向于正无穷的，所以整个函数值是趋向于正无穷的。 嗯，然后 x 要趋向于正无穷的话，我们再往右看整个这个指数函数，它是起主要作用，它是趋向于正无穷大，而且趋向于正无穷大的速度很快，所以整个导函数是趋向于正无穷的。 好了，我们就可以知道，要想 f 撇 x 有 两个零点，导函数等于零有两个，那么 只需要什么呢？只需要这个导函数的基值点 f 撇 l 二 a， 它是一个小于零的就可以，对不对？ f 撇 l 二 a， 我 们就可以把它带进去，把 l 二 a 带入 x 的 位置，那这个就是 l a， 所以 我们把它写出来，这就是 l a 减去 l a 倍的 l 二 a， 再减 e， 这个东西就一定有小于零才行。 所以我们下面要求 a 的 范围，只需要这个东西是小于零的，这个东西要小于零，求 a 的 取值范围。怎么考虑呢？ 我们只需要把它再看成一个函数，研究一下它的图像，因为这个 a 是 正实数，任何题都能满足题，对吧？但是我们得保证这个时候小于零啊，所以我把它重新设成一个函数， 比方说设成 g a 吧，就等于二 a 减去二 a 倍的 l n r a， 再减 e， 这个 a 呢，是个大于零的， 研究它的话，对它求导呗。哎， g 撇 a 啊，这就是二减去这个里边这个二倍的。我先提出来 a 倍的 l n r a， 它是一个乘以 l n r a， 然后加上 a 乘以 l n r a 的 导数， l n r a 是 个复合函数， 那么绕二 a， 导数是二 a 分 之一，再乘以二 a 的 导数是二，导函数是这样的，然后后边 e 的 导数是零，在这不写了， 这样的话，这里边 e 等于这个呢？ a 小 于 a 小 于 a 小 于 a 就 成个 e， 那 么减二和这个二有效掉，所以这个结果就等于负的。二倍的绕 n a， 那么这个导函数是他的话，我们可以看这个导函数的正负了吧。那么当这个二 a， 嗯，第一种情况，嗯，就是二 a 要大于零，小于，也就是 a 大 于零，小于二分之一的话， 这个 g 撇老 g 撇 a 吧，他应该是一个大于零的。当 a 大 于二分之一的话， 这个 g 撇 a 呢，应该是一个小于零的，对吗？所以我们就可以知道 g a 这个函数，它在零到二分之一是单调递增的，二分之一到正无穷呢，它是单调递减的， 那么 g a 先增后减，特殊的地方就在二分之一。我们看一下这个二分之一 a 要等于二分之一的话，把它加进去，也就是二 a 得一，二 a 得一的话，这就变成了 e， 这个变成 e 浪一得零， e 减 e， 它还得零，所以这个 g 二分之一它正好得零， 说明什么？我们要求的是 g a 它得小于零，然后这个 a 这个关于 a 的 代数式呢，它又是一个先增后减的 g a 的 时候，而 g 二分之一的时候又得零， 所以你只要保证 a 不 等于二分之一，那么在 a 大 于零不等于二分之一的情况下， g a 是 不是小于零？ 所以我们就可以知道，这个 a 的 取值范围就是零到二分之一，并上二分之一到正无穷就可以，这样的话， g a 就 一定小于零。然后呢，函数就有两个极值点。 好了，第一问我们就分析完了，这个呢，当然分析起来很麻烦，但是呢，对于我们第二问呢，第三问有帮助，所以我们是用这个直接讨论正负来研究的。好了，我们来看一下这个第二小问， 当 x 二大于零时，即 x 三为 f x 的 最大零点。第一小问还有两小问啊，证明 f x 有 两个零点， 这个从哪下手呢？这时候是研究 f x 了，研究它了。好了，我们根据刚才讲的 f x 这个函数啊，应该是一个 有两个极值点，导函数是这个样子的，这个有个 x 一， 这有个 x 二，这边正，这边负，这边正，所以 f x 肯定是先增再减再增的。 那么根据题中条件，前面已经用完了，只给了一个 x 二大于零， x 三是最大零点，你怎么证明他有两个零点呢？ 这个条件乍一看没啥用处啊，实际上这个就是一个数学的思考之美吧。条件没法用，那我们就得找一些特殊的，因为这个条件没有在用的地方了，怎么特殊呢？你要仔细观察的话，会发现这个 f 零， 嗯，正好这 e 的 零次方是 e， 这两个都是零了，一减一正好得零， f 零正好是零，是个零点，而这个 f 撇零呢？你观察这个它也得零， 那 f 撇零得零，说明这个零就是 f x 极值点， f 零得零，说明零就是 f x 的 零点， 所以这就是一个隐藏的哎，天生的极致点和零点，你这个都能看得出来。所以我们根据刚才咱们分析的，你想想，函数 f x 是 先增后减的，我们来往下看， 函数 f x 是 先增后减的，那么这个极值点有一个 x e 有 个 x 二，而且这个极值点有一个是零，你看到了吗？有一个是零，这个 x 二还大于零，嗯，说明这个 x e 就是 零， 对不对？所以我们从这就可以发现，这个 x e 正好是一个极值点，而且这个极值点极值又是零，所以这个 f x 图像它很有特点，就这样的，对不对？这个就是极值点，也是零点啊，所以我们就可以知道第二问啊，第二问， 我们注意到这个 f 撇零，它是得零的，然后 x 二它又大于零啊， x e 又小于 x 二， 对不对？所以我们就知道这个 x e 就是 零啊， x e 就是 零，所以这个 f x 它就在负无穷到零，是单调递增的，零到 x 二单调递减， x 二到正无穷，它又单调递增， 而且我们又发现这个 f 零它还得零，这个图像就是这样的，看到了吧，所以你就想想，它是不是就应该有两个零点呢？应该有两个零点，那怎么说这个声呢？ 那只需要证明它在，哎，这这个点就是 x 二了啊，这就是 x 二，这块横坐标就是 x 二，只需要证明 x 在 大于 x 二这部分，它函数值有正的就行了， 对不对？因为我们可以知道这个 f x 二肯定是小于 f 零的啊，这个 f 零正好得零，所以只需要在大于 x 二的那部分函数值是正的就可以。这样的话，你要严谨的说，你可以卡根，就是选一个特殊的值，使这个函数值是一个正的， 你要是不愿意卡根，省时间，在考场上，你就可以利用极限 x 趋向于正无穷。 f x 呢，肯定趋向于正无穷， 所以肯定存在一个 x 三，它就属于 x 二到正无穷，使 f x 三等于零，这是零点分散性定律。所以我们就可以知道 f x 有 两个零点啊，一个就是零， 嗯，一个是零，一个是 x 三，明白了吗？所以第二问的第一小问我们就解决了，就结合图像 好了，我们再看这个第四第二问的，哎，不对，这这个问出还太多了。第二问的第一问的第二小问，证明 x 二大于二减 a 分 之一，这又是怎么个事呢？ x 二是极值点呐，极值点怎么会大于它呢？这怎么倒 好，我们看一下这个 x 二啊，在这里，这是 x 二，这是 x 三啊，这个就应该是那个 x e， 那么这个 x 二怎么大于 a 几 a 什么呢？嗯嗯，什么呢？把 x 二大于二减 a 分 之一呢？ 这个呀，我们不可能找出 x 二的值来，用什么来解决呢？我们呢，这里面就是构造一个不等关系， 这里面 x 二的一个函数值是已知的，因为 x 二的点的值不知道， x 二的函数值是知道的。 x 二是啥呢？是一个极小值点呢？所以这个 x， 嗯， 第二问的第二些都不会编号了。第二小问吧，这个 f x 二他肯定是一个负的，我们把它带一下啊。嗯，我把这个， 哎，我弄下来，弄下来，我摘下来啊，要不题目看不到了， 总往上去找。这个 f x 二是什么呢？就是 e 的 x 二次方减去 a 倍的 x 二的平方，减 x 二减 e， 它应该是一个小于零的。 那么我们别忘了，这个 x 二还是一个极致点，它以导函数的零点，对不对？导函数的零点，也就是 e 的 x 二次方减去二倍的 a 乘 x 二减 e， 它应该得零。 我们要找出这个 x 二和 a 的 一个大小关系，是不是利用这个不等式再加上一个等式就行了？ 因为这里面有个指数性的式子，我们要利用这个不等式解出 x 二和 a 大 小关系是没法解的，所以我们利用这个等式把这个 e x 二次方给它消掉，好，我们给它代入。 那这个 e 的 x 二次方呢？就是二 a 倍的 x 二加 e， 它减去 a， x 二的平方减去 x 二再减 e， 它这个应是小于零的，我们可以看到 e 就 消掉了，那也就是二 a x 二减去 a 倍的 x 二的平方，减 x 二小于零。 由于 x 二是正数，每一项都含有 x 二，我又可以消掉，那么就是二 a， 嗯，这个 x 二是大于零的，我先写上， 就是减去 a 倍的 x 二减一，应该是小于零的，这样的话我们下面就可以解了。那么这个 a x 二就大于二， a 减一，所以这个 x 二就大于 a 分 之八，除过去就是 a 分 之二， a 减一就是二减 a 分 之一，这就出来了，也就正出来这个结果了， 看明白了吧？所以第二问的第二小问，啊，不，不对，这个号我都不会变了。第二问的第一小问的第二小问，我们也争出来了，就是 x 二大于二，减 a 分 之一。 像这种大小关系的问题，实际上就是一个什么呢？不等式和等式的一个文字游戏啊，你给它消元写成一个不等关系就可以了。 好了，我们再看这个第二问的第二小问啊，这个就是最后一问了，比较二 x 二与 x 三的大小， 这又是个什么事呢？这个呀，就是仿照着去年新高考二卷的第十八题的最后一问出的，实际上这种题也不是一个新颖的题，在一个新去年新高高考之前，已经有很多这种题型了啊，在以前的时候，天津卷里边就已经考过。 好，我们来看一下这个 x 二和 x 三，根据刚才这个图， x 二在这， x 三在这，你要比较这俩的大小关系，显然你是不可能算出来的 啊。你虽说第二小问的第二小问这个东西，我找出来个 x 二和 a 的 关系，但是 x 三呢，你这个是看不出来的呀，所以不可能是利用上面的起式来做，用什么来做呢？这时候我们可以考虑这个图像，因为这个 x 二和 x 三都是位于在这样一个对称线上， 在这样一个正区间上，你要比较这个二 x 二和 x 三的大小，那二 x 二要么在左面，要么在一位吧。 那你看二 x 二，要在 x 三的左边，你就可以考虑这个函数值。你看 f 二 x 二，它就比 f x 三小。 如果二 x 二大于 x 三， f 二 x 二就大于 f x 三，所以我们要比较这个大小关系。实际上是考啥呢？考函数的单调性， 这是第二问的第几小，问了这个，这个我都不会编号了。第二个小问吧，我要比较 f， 这这个二 x 二和 x 三，只需要算这个二 f 二 x 二与 f x 三的关系，而这个 f x 三我们放心去带，因为它正好得零， 所以只需要看 f 二 x 二是大于零还是小于零就可以。好，我们把它带进去试试，看看能不能做的出来。那么 e 的 二 x 二次放减去 ax 二的平方，减去二 x 二减 e， 这就是 f 二 x 二，那这个 f 二 x 二怎么看它的正负呢？这里边既有 a 又有 x 二啊， 这样的话，我们还是根据刚才这个思想，这个 a 和 x 二之间是满足这样一个等式的，我们是不是是给他消圆一下呢？ 啊？这这个方法啊，实际上题不一样，方法都不唯一啊，这就是数学之美，不同的问题，他的思考角度都不一样，这个题我们这个就是利用它来代换来消圆就可以。 我们消谁呢？上一步解这个 x 二和 a 的 大小关系的时候，是消的指数式，你这个呢？我们不能消指数式，因为你这个 a 和 x 二它里边两个变量，我们不好确定整个代数式的正负，所以这里边我们是消这个 a 啊，从这里面把 a 给解出来带进去。好，这个就是 e 的 二 x 二次放，减去四 a 乘四 x 二放吧，我们算这个 a 呢？ 这个 a 应该是等于二 x 二分之一的 x 二次方减 e 就是 从这里边解出来，因为你把它移过去，这不是二 a x 二吗？把 x 二再除回来，就是 e x 二次方减 e， 就 这个东西。 好，后边这个再减二 x 二减 e。 我 们看先整理一下这里面这个二 x 二是不是可以消掉一个，所以这上面还剩个二 x 二。好，写一下， e 的 二 x 二次方减去二 x 二倍的 e 的 x 二减 e x 二次方减 e， 减二 x 二再减 e。 我 们整理一下这个减二 x 二减负， e 正好变加，这个跟它正好消掉。所以这个式子带进去以后好像还挺减的。 e 的 二 x 二次方减去二 x 二乘以 e 的 x 二次方，后边应该是减个 e 就 没了。 下边这个任务我们就是看他的正负，那是大于零还是小于零，那么我们这个你一定能判断出来吗？ 这个实际上都是一个探索过程，没有说哪个方法一定能行的。这个我们实际上这种探索正好正确，对吗？为啥正确？我们下边倒一下就行了。 比方说我令这个 h x 就 等于 e 的 二 x 次方减去二 x 乘以 e 的 x 次方，减 e x 等于零啊。我导一下这个导函数，就是二倍的 e 的 二 x 次方，后边的导函数，我可以先把二提出来， x 一 导数乘一点 x 次方，就是一点 x 次方，前导加上前不导后导，嗯，然后减去 e 的 导数，没了，不用写了。这时候我们发现每项都有 e 的 x 次方，而且还都有个二，我把二乘以 e 的 x 次方提出去呢， 提完以后，这剩个 e 的 x 次方，这剩啥呢？这剩个 e， 这乘个 x， 所以 里面就剩下个 e 的 x 次方。减 x 减 e， 写到这里，大家会发现它有一个非常经典的代数式，这个大家应该都熟悉，这个就是我们常见的这个放缩不等式嘛，是吧？ e x 四方是大于等于 x 加 e 的， 这个想必大家都知道，这个啊，我就在这里就不给出证明了，所以这个东西，由于这个 x 有 大于零，所以这个是一个等于零的 啊。这几边我就不写过程了，所以我们就可以知道这个 h x 在 零到正无穷上一定是一个单调递增。 单调递增的话，我们就知道找找这个零点呗，以及这些特殊的这个端点。那 h 零呢？ h 零是啥？ h 零它正好得零，你看到了吗？ e 的 零次方零次方零， 这部分是零了。 e 的 零次方程是 e 一 减一，正好也得零，所以正好这个 h 零得零，那也就意味着这个 h x 一定永远大于 h 零是大于零的。 h x 大 于零，也就是 f 二 x 啊，不对， f 二 x 二一定大于零，这个零正好是 f x 三啊。由于 f x 啊，是在 x 二到正无穷是单调递增的。 f x 它在 x 二到正无穷单调递增，刚才咱们正了，你看哎，头在这了， x 二到正无穷在这个地方，它是单调递增的，对不对？它是个单调增函数，所以我们就可以知道这个二 x 二肯定是 大于 x 三，这就正确啊。好了，这就是唐山二模的第十九题，表面上呢，看着无从下手，实际上你思考一下，这个题是很简单的，今天就讲到这里。