2026年无为初三二模数学怎么样

中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。

刷到这条的初三家长一定要清醒，千万别再信二、模考完成绩就定型这种话。中考前只要孩子调整好状态，抓紧查漏补缺，针对性的刷题，家长做好陪伴，多鼓励，少焦虑。中考成绩完全可以逆袭 几分持几分是常态，逆袭几十分的孩子，每年大有人在。记住一句话，所有的模考都只是彩排，他的意义不是定分数，而是暴露问题，补题短板。模考成绩代表不了中考，也决定不了中考， 距离中考只剩最后的冲刺期，愿所有的初三家庭、家校同心，全力以赴！最后祝所有考生旗开得胜，金榜题名！

二零二六年日照二模即将接近尾声，今天也考完了我们的数学，那本次数学二模试卷的难度是什么样子的呢？本次二模考试的难度是中等偏上的，比港中一模的时候的题要难，比北中要简单一点， 与新颖跟田家炳当时的一模的难度其实是相仿的，那题目出的也很规范，也很标准。整套题目里边，相对来讲，有一些难度的题目是填空题最后一道啊，逆等线模型，还有就是最后一道大题旋转问题， 很多孩子可能会觉得比较难，那二模也出现了一件非常难平的事情啊，想必很多人都已经知道了，就是数学试卷当中啊，第十七题一模的时候， 好几个学校已经考过了，几乎是原题。那第十九题去年新迎一模的原题应该很多孩子也做过了，所以说这次考试按理说你从难度上来讲，一百零八分以上应该算是高分段了吧，但是又出现过考出现了这种考过的原题， 那很多孩子都已经做过了，那我就不知道该怎么评价了。从年份上来对比了，今年的二模要比去年的要难一些啊，所以会不会也暗示着今年的中考数学可能不会像我们去年那么简单？今年虽然说是省统一命题省统考， 但因为今年也是偶数年，所以要有数学会有难度的这种心理准备啊各位。但是不管怎样啊，不管是哪个学段的 啊，孩子目前最重要的就是稳下心态来，稳住心态啊，稳下来，不要浮躁，能学多少算多少，同时尽可能的把自己会的都得到分就做过的题，你得真的会呀，下次考你得还你得，会不会再出错，你肯定能赢。

好，我们来版岳阳二零二六年中考二模压轴，这个题和去年的那个省命题的中考压轴有点相像啊， 他说给到了两个抛物线，你看这个抛物线 l 一 和 l 二两个抛物线，它们俩交于这个点 a 啊，这个点 a 是 一个顶点，可以求出来吧。顶点的话是一，一十分自然。 m 和 n 呢，是 x 轴的两个动点啊，两个动点，并且范围已经告诉你了啊， m 是 零到一，也就是说在 a 点的 左边， n 呢是大于的，在 a 点的右边，这样子约束了一个范围就可以知道了，谁在上方，谁在下方，知道吧。所以我们要求线段长的话，你看一下，就是用上方的动作标减去下方的动作表，它已经是数值的一个高度了嘛。是不是 这里是关于 m 的， 这里做垂直，这里做垂直，那么 r， s 横坐标都是和这个点的横坐标一样的，就是 n， 这里的横坐标都是 m， 所以 我可以用 m 来表示这里的动作标，表示这里的动作标，用 n 表示 r 的 动作标 和 s 的 动作标，然后动作标相减，就是数值高度，这就是这英文的一个思维。是不是先表示 p 点， q 点， r 点， s 点， 是不是自然？好，我们先把这个解析式化解一下，就是 y 等于负 x 平方加二， x 再减一，再加一，就是什么负 x 平方加二 x q 点在这上面 先写出来， m 负三， m 平方加二， m 加二，十分自然。 p 点 m 在 这个负 m 平方加二， m 十分自然，然后二点 也在这个上面， n 负 n 平方加二， n s 点， n 负三， n 平方加上二， n 加二， p q 上方减下方，是吧？它减它，那么就是负二 m 平方，它减它没有了，加十分自然。 二 s 等于二减 s， 它减它负的 n 平方加上三 n 平方就是二 n 平方，十分自然，它减它没有了，所以是减二，然后再用它加它， 是不是？所以就是 p q 加上二 s 就 等于负二 m 平方 加上二 n 平方，正负二抵消了十分自然的。我们 是不是可以把 n 化成 m， m 代入 n 也可以啊？好，那么 n 就 可以等于二减 m 来替换掉负二 m 平方加上二倍的二减 m 的 平方，就是四减四 m 加上 m 平方，十分自然。 整理一下，你看这个和这个没有了，是不是？所以就是八减八 m， 他的目标是让你判断他小不小于八，小不小于八就可以了，就是他的最大值是多少，是不是？你看这个 m 要大于零的，所以八减去一个正数，那肯定小于八了，是吧？ so easy！ 好， 最后一问，这个图怎么样啊？眼花缭不缭乱吧？就问你现在改了啊， n 和 m 的 关系是 n 减 m 等于一，你看又是有关联的，所以也就是说，这里其实只有一个洞点，对不对？ g， s， e 的 面积等于 o t r 啊，这个 t 怎么来的呢？这个 t 是 连接 o， a， 连接 p， r 相交于 t 啊，这个 t 是 这么来的， o， t， r 的 面积是 s， e， s， r 是 o t， n 的 面积 s， 三是 a t， n 的 面积。我发现了，这三个面积都和梯点的位置有关系，你看是不是都和梯点的位置有关系？又告诉你，他们三者的面积的比等于十九分之二十五，也就是说，我用一个未知数 表示出这三个的面积，得到一个方程，解出这个 m， 思路很清晰，就是要先要表示这三个面积。这三个面积首先是和 t 有 关的，所以先求 t 点坐标， 是不是 t 点在 o a 上面， o a 是 什么？ a 点坐标是一一，也就是一个， 这是一个等腰直角三角形，这里是不是？所以 t 点的坐标应该是横纵坐标相等的两个点 横纵坐标相等的好不好求，他是由于这一块和这一块相交而来的，所以我先求出这个点的直线解析式，再用这里的直线解析式相交，得到 t 点坐标。 这个直线解其实好说是 y 等于 x， 看到没有？因为一一嘛，正比方说 y 等于 k， x 把一一带进去，就等于 y 等于 x， o a 的 直线解，其实这是我们首先要搞定的一个，然后我要表示出它的解，其实这里 p 和 r 一个是用 m 表示，一个用 n 表示，这里 m 和 n 是 有关联的，所以还是一个未知数，也就是说用含有一个未知数表示梯点坐标，在于含有一个未知数表示它的面积，表示它的面积，表示它的面积。 是不是啊？计算量非常的浩大，但是对于一个资深的数学教练来说，这里计算量不在话下啊。来看我表演了，首先我要设这里的直线减去是 y 等于 k， x 加 b， 十分自然， 带入 p 点和 r 点，对不对？好，这里的 p 点是 m， 这里是 n， 所以 我要用统一未知数，是吧？用一个同一个未知数来表示。 我把 n 等于 m 加一吧，你看这个负 n 平方加上二 n 就 等于负的 m 加一的平方加上二倍的 m 加一，十分自然 等于负 m 平方减去二 m 减一，十分自然，加上二 m 加二，十分自然。所以就等于什么负 m 平方加一， 也就是说二点的坐标是 m 加一，横坐标是吧？ n m 加一，然后纵坐标是负 m 平方加一。准备工作好， 搞定这个我们就开干了。把 p 点和二点带入这个直线斜斜式，求出它的 k 和 b， 再连立 y 等于 x， 这是我接下来要操作的，可能需要两分钟左右，但是你可能需要五分钟 来不再挂下。负 m 平方加上二 m 等于 mk 加 b， 在这个，也就是说，负 m 平方加一，等于 m 倍的 m 加一倍的 k 加 b， 十分自然。用它减它就剩下了 k， 看到没有，这是 mk， 这是 mk， 这是 bb， 没有了就是 k， 所以 用它减它就行了。哎，它减它没有了，所以就是一减二 m 十分自然。哦， 再把 k 等于一减二 m 带入任意一个带入这个吧。所以也就是说，负 m 平方加二 m 减去 一减二 m 乘以 m 就 等于 b， 是 不是把这个移过去，你看这个 k 用一减二 m 来代替，这里有带有了，带有了一个 m 移过去，负的十分自然。那么负 m 平方加上二 m 减一 m， 是 吧？减一 m 加上二 m 平方等于 b， 所以 b 等于 m 平方加 m， b 等于 m 平方加 m， 那 么这个直线解析式就是， y 等于 一减二 m 倍的 x 加上 m 平方加 m， 就这个连立 y 等于 x， 也就是说把 y 看作是 x 去减这个 t 点的横坐标，是这么个意思。好，这里移过去就变成了二 m 减一 倍的 x 加 x， 移过去就变号嘛，是吧。所以提取一个 x 就是 二 m 减一，这里提取公式还有一个，一看到没有？你看这里是二 m 减一， x 加上 x， 右边是 m， 平方加 m， 那 么这里就是二 m 了，所以除以二 m， 那 么 x 就 等于这里提取一个 m 先是吧，十分自然，那么就是二分之。你看这个 m 和这个 m 去约掉了，就是二分之 m 加一，看懂没有啊， 十分的丝滑。既然横坐标是这个，那么纵坐标也是这个啊，所以梯点坐标是二分之 m 加一，二分之 m 加一， m 加一，不就是 n 吗？所以就等于什么二分之 n， 这里又看得出来不？ 二分之 n 哦，二分之 n， o n 是 n， 这里是横，纵坐标是二分之 n。 什么意思？来，我从这里做个垂线下去，你就看得明白了，其实这是一个什么形啊？等腰 三角形，是不是？这里的横坐标是二分之 n， 所以 这里是二分之 n 做垂直，你看 角公共边全等，这两个三角全等，所以它是一个等腰的 o t 等于 t n， 由于这里是一个四十五度，所以它是一个 等腰直角三角形，非常的漂亮。山重水复疑无路，柳暗花明又一层。哇，这个是直角啊， 对数据要非常的敏感啊，对数据要非常的敏感，先表示 o t n， 这里是 n 高，是二分之 n， 所以 再除以二，就是四分之 n 的 平方。看到没有？ n 乘以二分之一，再乘以二分之 n， 梯点都被刚才求出来了，是二分之 n 到二分之 n， 是 不是？所以这是什么面积啊？这是 t o n s 二啊， s 二是最最容易表达的，就是四分之 n 的 平方， so easy， 再看 atn 这个面积好不好？求 atn。 那 我是不是要用这里 乘以这里除以二也可以用整个，你看到没有哎，我用整个减去它也可以吧，整个好不好求呢？因为 a 点的坐标是知道了的，所以就是底乘以高除以二，你看高是一 是吧？底是 n， 所以 二分之 n 就 可以了。 s 三角形 a o n 就是 二分之一乘以底是 n， 高是一是吧，所以就是它分之一，那么 s 三十分自然的 用整个减去它就是二分之一 n 减去四分之一 n 的 平方 逐个击破，十分自然。接下来 s 一 o t r o t r a， 这不是一个直角了吧，没有直角了，没有直角了，难道用底乘以这里的做高过去吗？ 那做高就有点困难了，是不是水平宽乘以千最高除以二，是不是平时的练习中就应该学过啊？如果，哎，我没学过这个东西啊，那你就不用做了啊，这个压轴题接下来也不用去学了啊，这个压轴题跟你没有关系的，你到这个时候你还不知道 啊，不规则的一个放置的一个三角形的面积的一个算法啊。求二次函数的压轴题的关于面积的是做不了的， 那么也就是说用这里的水平的宽度就是 n 乘以这里千垂高度就是这里。看到没有，我刚才做了一个垂直，就是这里啊，表示为 t， 什么鬼哟， tf 吧，好，就是 tf 的 长。 由于刚才这里是一个中点，是吧，这里为 h 吧，这里是一个中点的位置。 中位线是不是可以表达，你看，所以这个就是这个的一半， 同不同意啊。中位线啊，很综合的这些小知识啊，平时那些学过的小知识都综合在一起了。所以这里是什么？二二点多边就是这个，你看负 n 平方加 n， 那 么这个 f h， f h 就是 二分之一的它，所以是负二分之一 n 平方加 n， 这是 f h， 那 么我们可以用整个减去它，就是它了，这就是铅垂钩，这个三角形的铅垂钩，也就是 tf， tf 等于刚才求出来是二分之 n， 是 吧？这里是二分之 n 啊，起点坐标纵坐标二分之 n 减去它，再减它就是二分之一 n 平方，它变成正的了。二分之一 n 减去一倍的，那就是减去二分之一 n， 这就铅垂高，水平宽呢？水平宽是 n， 所以 s 一 就等于二分之一的乘以 n， 再乘以这个。 这梯子高吗？是不是等于也可以放在这里啊？放在这里就放在这里。哎，不行啊，这里要减去 s， 所以 是要怎么样把它四分之一 n 的 三次方。哎呀我去，减去四分之一 n 的 平方啊， 这是 s 一， 用 s 二减去 s 一， 再说 s 二减去 s 一 就等于四分之一 n 平方，减去它就是变成了正的，是吧？正的二分之一 n 平方，四分之一加四分之一吗？ 再减去这个负四分之一 n 的 三次方，吓死个人是吧，吓死宝宝了啊。但是不要紧，这里一个比例会给它降降次的啊，你看除以 s 三除以这个长得像不像啊？提取一个 n 就是 它了，看到没有？ 提取一个 n， 二分之一 n 减去四分之一 n 平方。哎呀我去，你说这个题复杂吗？它的数据啊，设置的非常巧妙，看到没有？ 所以说 s 二比上 s 啊，减 s 一 比上 s 三，就等于这一块 n 倍的二分之一 n 减去四分之一的 n 的 平方，除以二分之一 n 减去四分之一 n 的 平方等于 n。 哎呀我去，等于十九分之二十五，十九分之二十五等于什么？你要求 m 等于 m 加一，所以 m 就 等于十九分之二十五，减掉一个一等于十九分之六十分，自然 轻松拿捏，一气呵成，行云流水。你学会了吗？牛逼牛逼。

初三的二模结束了，各科的题出的真的是很有水平，尤其是道法的第一道选择题啊，真的有点深度，大家看一看。儿子考完回来跟我说，班里同学做完题都在调侃题里，这孩子成绩也不行，恋爱也没好好谈成，怕不是应该回去重读一遍初中吧。 大家也别笑啊，这道题真的是一针见血，戳中了初中的孩子最真实的两件事情。第一件就是学业的问题， 三年的时间过去了，学业上的成绩不能支持自己，在未来的路上有选择的主动权，还必须纠结走哪条路。第二件呢，就是青春期懵懂的好感，心里有了在意的人，不知道该怎么去表达，也不知道该怎么去处理，最后把自己陷在情绪里，影响太大。 这两件事情啊，学校很少讲，家长也很少聊，却是孩子每天都在纠结内耗的一个难题。出题人把这些最难开口的心事，光明正大的放在卷子上，其实就是在告诉我们，孩子怎么面对未来，怎么接纳自己的情绪，才是初中最该上好的人生必修课。 不过，我真心觉得这道题更应该放在初一。初一啊，孩子们刚刚上中学，一下子就长大了，想法也多了，好多孩子突然沉迷游戏，跟同学疯玩，不知道学习的重要性，心思全飘在学业外面。 结果呢，一两年一晃就过去了，到了初三啊，才发现，未来可选择的路太窄了，可是最重要的时间已经错过了。还有些孩子青春期懵懂，心里有了喜欢的人，整个人都被情绪牵着走，自己也控制不住，但身边却没有人告诉他该怎么去面对， 有很多初三的孩子到现在了还有这样的想法，他们说初中三年如果不谈一次恋爱的话，真的是不完整的初衷。 看孩子们都这么想也不是他们的错，真的是需要有人告诉他们，中学的完整不是靠谈没谈过恋爱来决定的。喜欢一个人最好的方式是让自己值得被喜欢。 回头想一想，如果初一就有这么一道题，给孩子们去提个醒，让他知道这两件事是每个人都会遇到的，不用怕，要正视，要把握好自己。孩子们会不会变得不一样呢？ 今天是冲刺中考最后的三十四天了，初中生活马上就要结束，未来还有更美好的高中生活在等着孩子们，希望他们都能看清这两个问题，轻装上阵，去拥有更精彩的中学生活，拥有更精彩的青春，大家加油！

南宁初三二模已经考完了，那试卷我也已经整理完毕，下边我们来看一下这份卷子的整体的一个情况。选择题一到九题的话，它是零难度送分题，覆盖有理数的一个运算，包括三式图，整式化解，还有对称图形统计的一个基础，分式的一个基础等必考的基础点。 这些题型他都是比较常规的，计算也比较简单，那么基础扎实的孩子，他基本上他都能够拿到这个满分，几乎是无失误的，这个空间主要考察的是课本的一个核心概念的掌握度。那么第十题他是经典的跨学科的这个题型，打破了传统的这个数学出题的这个模式， 题目的话，他计算难度不大，但是呢，对信息的一个解读，还有包括学科的这个融合的应用能力是要求的比较高的。 第十一题主打的是细节的一个陷阱，更侧重的是对概念的一个辨析，容易因为粗心而丢分。那么第十二题的话，是函数与综合的这个题型，它数形结合，它是拉开分叉的一个核心题。填空题十三到十五题，它是常规的考点， 题型是比较固定的，公式是通用的，只要基础这方面是无漏洞，可以轻松拿到这个分数。十六题解析的核心在于确定动点的这个运动轨迹，是本次试卷最大的一个涨分的一个分水岭。十七到二十题，计算题解答，包括统计的一个应用题，简单的几何证明 步骤固定，得分点是比较清晰的，只要书写比较规范，计算他不失误，那么得分率的话是极高的，是所有孩子必须牢牢守住的这个基础的这个分子决定整体的这个分数底线。 第二十一题的话，是结合生活实际的一个场景，难度不大，但是呢，考验审题的一个能力，信息的一个能力，包括文字转化成数学公式的一个能力，是新课标里边重点考察的一个题型。 第二十二题的话，是我们的一个词汇作图跟多边形证明计算这两者深度的一个绑定，前一问的这个作图的这个结果是下一问计算与证明的这个核心的已知条件。那么这道题的话，他提醒我们，如果我们只是单纯的去背这个作图的这个步骤，我们是不行的， 一定得有理解应用的这个能力。二十三题二次函数第一问和第二问主要考察的是平移的，这个理解的计算 基础的话是可以拿分的。第三问的话，它的难度是陡增的，仅限尖子生能够完整的去解答冲刺 a 加高分段的一个核心的拉分点，那么这份卷子的话，整体的难度它是中等偏上的， 基础题占到了百分之七十，中档百分之二十，难题是百分之十，它是比较贴合中考的这个真实的这个难度，容错率是比较低的，细节决定基础分，思维决定高分，需要这套卷子的扣二模去给孩子练一练。

二零二六宜昌中考今天要分享给大家，是襄阳地区刚考完的按摩，整套试卷质量极高啊，没做过的同学一定要做一遍！需要试卷的家长评论区，中考加油！它的题型设计啊和难度配比与我们目前湖北新中考高度 匹配。接下来我们具体看一下整套试卷它到底好在哪里。选择题部分，第八题，容易丢分，理解反比例函数图像与性质是它解析的关键。填空题部分，第十五题，考察动点图像问题， 熟练将图像信息转换成几何条件，然后利用相似来求值。第一个空肯定是比较简单，第二个空有一定难度，但是会用间隙法的同学可以直接秒。前面的解答题都还比较常规啊，要注意审题格式规范，别丢细节分。需要特别重视的是 我们的第二十题，他是对近位置的考察，这是我们今年数学中考实验与探索的一个热门考点，近位置的转换及运算法则 一定要搞懂。最后看到两道压轴题啊。二十三题，几何压轴，他的第二问，你要能找到矩形中的八字形，相似是关键。最后一问，考察同学们的作图能力。分类讨论，做出图形面积不难求。二十四题，二次函数压轴线段笔转成相似比千锤线段 表示的分类讨论。最后一问，解析核心就是能做出分段函数的图像，数形结合即可。整体来说，襄阳二模啊，它是一套质量很高的图像塑形结合即可。整体来说，方老师后续会出详细的视频讲解。

哈喽，大家好，我是在沈阳教了十五年初中数学的王老师，今天呢是我们沈阳市二模，这个中考二模这个已经考完了，那个卷纸拿到手了，看了一下 整体，我觉得各位孩子应该考的还都不错，因为二模的这个难度还是循规蹈矩的，要比一模要简单。 这个二模他的第十五题，可以说非常简单的一道题，他是结合了的等腰，直角梯形、八字形相似、勾股定律、 平分、平行等腰这样的一个共存的这样的一些关系，包括一些基本算法，这个题就可以做出来，基本上是没有什么太大的阻力。 二十二题和二十三题，二十二题呢，它是一个函数，常规的我们会把函数放到二十三题，它这个互换的一个位置，但是在本质上这个无所谓，反正二十三数这个题我早晚都得答，对吧？先答后答其实没有多大的影响。 这个函数这一块也非常简单基本的考法，函数的这个解析式图像的平移，包括要找那个焦点 f 它的这个范围，进而讨论出来它平移之后的抛物线，它的对称轴的一个曲线范围。 二十三题，解数综合题，这题呢，可以说也是很简单的，在我们沈阳本地的这个模型经常会被称之为叫胖瘦模型，其实呢就是一个四边形 对角互补，有一种连线的，我们进行旋转来得到我们想要的一些东西。纵观整个这套卷纸，我觉得和二四年还有二五年 咱们辽宁中考的真题还是非常相像的。其实呢，也给我们释放了一个信息，大家呢一定要回归教材，要抓住这个基础和重大题，不会太难。最后比的是谁食物少，谁更注重细节，加油！

二零二六年湖南四大名校之附中集团初三二模加轴这个题最后一问，很多同学反映，一看完题直接丢灰弃甲，赶紧跑路了啊！ 好，我们以倒数第二问走手开始讲。如图一，这个图 a、 b 是 圆 o 的 直径， a 在 圆上，要不要连接 a、 c， 你 觉得呢？是不是角 d， a， b 等于九十度，然后 d， a 等于 d、 c。 怎么用圆外一点引圆的两条线， 一条是切线，另外一条线和它相等，什么定律？切线长定律的逆定律，知道吧？所以要不要连接 o、 c， 你 自己看着办。 若 b、 c 等于二倍， c、 d， 这里两份，这里是一份，这里也是一份，是吧？我不妨设这里为二 a， 如果填空题的话，我直接设它为二了，这里是 a， 这是 a， 是 吧？连接 a、 c 直径所在的圆周角是九十度，这就是我为什么要连接 a、 c， 我为什么要连接 o、 c 切线长定律，因为它和它相等，是吧？只要你把那些定律非常熟练的掌握了，这些都是很自然的啊。 求弹性角臂的平方，这个角的正切值的平方得值。 好，我们来看一下，由于它和它相等，这里肯定也是垂直的，怎么正连接 d、 o？ 因为这是半径，它和它相等，连接 d、 o 的 话，公共边，所以这两个三角形全等，对吧？这也是九十度，毋庸置疑。 那么我连接 d、 o 的 话，会得到什么结论呢？这是一个等腰三角形，刚才我正全等的时候，角一是等于角二的，所以这里也是垂直的。 等腰三角形，三线合一，十分自然，这里垂直，这里垂直，说明这两条线怎么样？哎，平行了，平行了有什么用呢？它是中点 是不是？你看这是两分的关系，我可以转过来，那么这里为 h 吧， o h 也是 a， 他 比他一比二，是不是？他比他也是一比二，这里是 a， 这里也是 a， 做完没有？ 这是双垂直模型，是不是但凡你犹豫一下，你都是没掌握的熟练啊？双垂直模型非常非常重要啊，非常非常重要， 这里垂直，这里垂直，双垂直，所以这里三个三角形两两相似，可以用射影定律求出任何一边，或者是等面积吧。勾股定律也可以，你看它的平方等于它乘以整个是吧？它的平方等于它乘以整个。这射影定律的一个， 你可以说由于它垂直，它垂直，由射影定律可知，它的平方等于它乘以它直接这么自然的就可以过渡啊。那么我为什么要求出这个呢？你看这个角 b 等于这个角， 它加它九十，它加它九十，是吧？这个为角三，那么这个角角三等于角四啊， 等于角 b， 我 只要求出这个来了，凭什么？老师你凭什么来仔细给你拆解啊，它为什么设置一个平方，看到没有，这里三个角都是相等的，那么这个角的正切的平方，你看 可以用 dh 比上 h 是 吧？也可以等于 a， h 比上 h o 是不是？那么这个的平方有点意思吧， 把一个看作它，一个看作它，它们俩相乘抵消了啊，约掉了，其实就是什么 d h 比上 h o 十分自然，嘿嘿。 h o 是 a， 所以 我只要求出 d h 给毛刚才说了，由射影定律 a 方等于我设这里为 x 吧，让你们好看一点啊。 x 乘以一个 x 加 a， 十分自然，那么 x 平方是一个一元一二次方程。要把 a 看成已知数你才可以去解啊， 很多人这里又不适应了啊，说计算了很久，不知道怎么办。公式法呀， x 等于二， a 分 之负 b 呀， 加减根号减肯定不行，是负的，我直接用加 b 方减四 a， c 就是 a 方，加四 a 方就是五， a 方就是根号五 a， a 是 正的啊， 十分自然，就是这个，那么用它去除以 h、 o， 约掉 a 就 可以了，所以这个东西的平方就等于根号五减一除以二。这什么东西？ 黄金分割比，这个也不能忽视啊。好，我们来看一下最后一问。好，最后一问。如图二，角 a， b， c 等于角 c， d， b 等于九十度。 在我的很多视频里就讲过，如果出现两个九十度的话，那需要倒角了，是不是他加他，哎，互余，他与他互余，嗯，就会有隐藏的角之间的关系。还有 a、 b， c， e 是 在圆上 角， a， b、 c 是 什么角？回答我，圆珠角，圆珠角所对的弦是直径吧，所以连接 a、 c， a、 c 就是 直径，哦， 对不对？还有圆的内接四边形，怎么样？对角互补，这个角是九十度，那么这里是不是九十度啊，你挖掘出来了？没有啊， 你看，这里是直角，这里是直角，它们对的是 a、 c， 这叫直径， 是不是啊？那么也就是会得到 a、 b 的 平方加 b， c 的 平方等于 a 一 的平方加上 e、 c 的 平窗哦， 是不是？而且这里告诉你边际的关联哦，是不是？所以我们等下又用到什么？所以你觉得难是因为你对已知条件不敏感啊，不知道往哪方面走，但是我们看到已知条件都应该产生这样的联想， 如果没有怎么办？没有，那你就不用做了啊，不要把时间浪费在无用功上面。好，紧接着它告诉你了面积之间的关系。 a、 b、 d， 这个面积和这个面积之间的一个 m 倍的关系，这个 a、 d、 e 的 面积和这个的之间的一个关系。 难道是考你底层高除以二吗？是不是啊？刚才我说了，如果出现好多直角的话又怎么样？要倒角，倒角会怎么样？ 就会有隐藏的角相等，有隐藏的角相等会怎么样？哎，会相似，会相似和面积之间的关联是不是出来了？相似比的平方等于面积之比呀， 这些不就是面积之比吗？它比它就是 m 啊。看到没有，它只是没有写成一个比例式，它是一个倍速关系，所以来吧，倒角，这个角 加他九十，他加他九十，所以我把它标为角一啊，不然很乱。嗯，你看这两个角相等，再来， 他加他九十，他加他九十，所以这两个角相等，这个角和这个角相等，这个角和这个角相等。 它们之间的面积之比。 a、 b、 d。 先不管，那我是不是要构造出一个直角就可以有相似了， 所以怎么办？一箭双雕的辅助线的做法，我往这里做一个垂线，那么这个三角形和这个三角形就会相似了，从而这个三角形和这个三角形也是一样的，是吧？ 要不要做辅助线？这个辅助线不做，你还等什么呢？是吧？过点 a 做 b、 e 的 垂线，垂足为 h， 自然而然的会得到这个三角形和这个三角形相似，这个三角形和这个三角形相似，你看有一对角，又有一个直角，看到没有，所以就会相似了啊。那么也就是三角形 a、 b、 h 相似于三角形 b、 c、 d。 三角形 a、 e、 h 相似于三角形 c、 e、 d 十分自然。好，那么就是相似比，我要用什么边去比呢？这里要告诉一个诀窍，使用最多的边，越平凡的边就给它用上。 比如 a、 h、 c、 d 是 不是又用上了？是不是你看这个边就会比这个边？ a、 h 比上，对应的是 b、 d， 这个 c、 d 又用上，那就是 b、 h 比 c、 d 十分自然。这里是不是也用 a、 h？ 是 不是 a、 h 比 d， e 看到没有？ a、 h 比 d、 e。 刚才我是不是写写错了啊？ a、 e、 h 应该是这样放的是吧？所以应该是什么？ e、 c、 d 是 吧？ e、 c、 d 啊，是 e、 c、 d 放错了，我写香字笔的时候才发现，是吧？你看应该是 a、 h 比上什么？这是 d、 e 的， 是不是？你看 a、 h 比上 d、 e 的 啊？ a、 h 比上 d、 e 就 等于 h， e 比上 d、 c 都是直角边的笔，是不是好？为了得到相同的东西，你看一下，看到没有？ a、 h 乘以 c、 d 看到没有？这里 a、 h 乘以 c、 d。 你 看使用越频繁的，用了之后你会发现，哎， 这里交叉相乘之后，会有两个相相同的东西，所以我把它写出来， a、 h 乘以 c、 d 就 等于 b， d 乘以 b、 h， 是 吧？等于什么？等于 e， d 乘以 h 漂亮，以它作为桥梁，得到这两组关系， b、 d 乘以 b h， b， d 乘以 b h， e， d 乘以 e h， b、 h 用了 d， e 用了，但是这里用的是这一段，这里用的是这一段。这一段和这一段， 这个刚才用了，只有这里是公共的地方，我能不能把它拆开看一下，有什么逻辑关系？这是这个里面这道题里面最难的一个点啊，你不知道如何操作，可能要想很久，你试探了很多次之后，你才会回到这个想法上面来。我也是试探了很久 来，我把 b、 d 拆成 b h 加 h d， 是 吧？这里的 h e 拆成 d， h 乘以 d e， 看有什么效果对不对？好的， 那么就是 b h 加上 h， d 乘以 b h 就 等于 e h 拆成 h， d 加上 d e， 也就是 d e 加上 h， d 再乘以 e， d， 这个是 e h 啊，拆开来的，再乘以 e， d。 展开之后来看一下 d h 平方加上 d h 乘以 h， d 等于 d， e 的 平方加上 e， d， d， e 乘以 h d。 这个东西啊，这么多字母，我该怎么操作啊？我去，你看一下啊， 这里把它移过来就是一个平方差是不是？好，再看这一块啊，形式一样的东西，它们有一个公共的 h d， 把它移过来，这里就变成了 b h 减去 e， d。 哦， 提取一个 h， d 是 b h 减去一 d， 而这里一个平方，它我是不是可以化成 a 加 b， a 乘以 a 减 b， 是 不是就会有一个公因式，而全部移到左边来的话，右边是等于零的，就会有一个分解因式，之后某数乘以某数等于零的一个结果， 就会有一个隐藏的线段相等。是不是 bh 平方减去 d 一 的平方加上。你看这里直接移过来啊，你看 我提取一个 h， d 等于啊，乘以 b h 减去 e， d 好， 等于零，接下来把它也用平方差公式给它分解一下，就是 b h 减去 d h 啊， d e 乘以 b h 加上 d e， 是 不是再加上 h d b h 减去一 d， 接下来我要干嘛？那就是提取公英式对不对？它这里 和这里是一样的，所以提取 b h 减去 d e， 那 么 b h 加上 d e， 括号等于零， 十分自然。由于这一块是不可能等于零的，都是正的，所以要使得整个式子等于零，那么只有 b h 等于 d e 漂亮。关键的一个条件， b h 等于 d e 难不难啊？就问你难不难？这题很刁钻啊，这一块等于这一块，由于刚才我们用的是这个三角形， 和这个三角形相似，是不是？而我们给到的面积之比是什么？它不是这个哟， 它是这个，但是有了这个东西之后，哎，心想事成了。 它等于它，那么 b d 就 会等于 h e， 是 不是？这是公共的地方，它加它，那不就等于它加它吗？是不是 b d 等于 h e 啊？ b d 等于 h e， 这样带来什么好处呢？你看这个三角形的面积是以这里为底这个高，这个三角形的面积呢？是以这里为底还是这个高？所以这个的面积哇， 转化成了 a h e 的 面积，它等于 s 三角形 a h e 啊， 这不有了吗？也就是说这个三角形现在和这个三角形是有一个面积的比例关系，但而且我们刚才是证明了它们相似的，那么我们马上转化成什么？相似？比的平方等于 m， 同样的这个也是一样的，是不是？你看这个的面积和这个的面积的比，就可以转换成这个的面积和这个的面积的比？为什么？因为这里的底跑到这里来了。高，这个三角形的高还是 a、 h？ 我慢一点啊，你看这个三角形的面积是以低一为底，高是 a、 h， 这个三角形的面积是以 b、 h 为底，高还是 a、 h？ 由于它们两个是相等的，所以这里的面积就转化成了 s 三角形 a、 b、 h 的 面积， 它们两之间的面积的比例关系。相似比的平方 看到没有啊？我就把这里推导过程全部拆掉啊，换成相似比的平方，也就是说这个的面积比上它就等于 m， s 三角形 a、 b、 d 的 面积比上 s 三角形 d， c、 e 的 面积等于 m， 等于什么？相似比的平方用谁注意到我们这里还没有出来，这个东西还没有用，而且刚开始的时候 这里是直角，是不是啊？我现在连接 a、 c 你 就知道了啊，我要用谁啊？我应该是用到 b、 c， 用到 c、 e 啊，给涂掉了，用到 c、 e 是 吧？这些线段去比参与相似比，是不是引入这个条件 对不对？还有我们刚才说的是吧，他的平方加他的平方等于 a、 c 的 平方啊，他的平方加他的平方也等于 a、 c 的 平方啊。也有一个，又有一个条件，会把两个关系式合到一起来，就会得到 m 和 n 之间的一个关联。好，接下来我们叫做操作了啊，他比他 用谁？就是用 a、 e 的 平方比上 e、 c 的 平方，是不是 a、 e 的 平方比上 a、 e、 c 的 平方，我要参与把 e、 c 给参与进来嘛。 这个三角形 a、 a、 b、 d 的 面积啊，就是 a、 h、 e 的 面积啊，就是 a、 h、 e 的 面积。看到没有？这里转换成它了啊， 先用它比它啊，然后把它又转换成它去和它比，得到一个相对比的平方，十分自然。也就是说 a 一 的平方等于 m 倍的 a， e c 平方。同样的，是不是 这个比这个 s 三角形 a， d， e 比上 s 三角形 b， d， c 等于 n 等于什么？等于用它的平方比上它的平方，是吧？对应边的比的平方，那就是 ab 的 平方 比上 bc 的 平方。哎呀我去，是不是有点热啊？那么同样的得到 ab 的 平方等于 n 倍的 bc 的 平方， 十分自然。那么 m 和 n 怎么建立关系式呢？ ab 的 平方加 bc 的 平方等于 a 一 的平方加 ec 的 平方，是吧？把这些都带进去，就会得到一个关系式 好。 ab 的 平方加上 bc 的 平方，很快了啊， a 一 的平方见证奇迹的时刻要到了。 ab 的 平方换成它自然而然，是吧。 n 倍的 bc 的 平方加上 bc 的 平方，等于把 a 的 平方换成它就是 m 倍的 ec 的 平方加上 ec 的 平方。这里把 n 加一 提出来。啊，等于 bc 的 平方，是不是啊？把 bc 的 平方提出来等于这个，这里呢？把 e、 c 的 平方提出来，乘以 m 加 e， 由于它们俩是这样的一个关系，所以 bc 的 平方就等于四倍的，对吧？四倍的 bc 平方，这里是四倍的 bc 平方。 啊，不是，这里这里。搞错搞错搞错，它的平方等于四倍的 e c 平方。四倍的 e， c 的 平方。把 e， c 的 平方给它砍掉，得到四倍的 n， 四倍的 n 加四 等于 m 加一。哎呀我去，是吧，所以 m 就 等于四， n 加三。行云流水，一气呵成，十分的自然。拜拜，牛逼牛逼！

二零二六年南阳二模考试终于结束了，那今天上午我们也进行了我们的数学考试，刘老师第一时间也拿到了这套试卷，详细的看了一下，接下来我们火速给大家评讲一下这套试卷。首先我想强调的是，这次数学的分数应该就和你中考的成绩差不了太多了， 因为这套试卷几乎就和我们中考的一个难度系数来讲是相同的，题型设置来讲也是非常合理的。另外在知识点的分布上都是无可挑剔的，体现了开放性，综合性， 拒绝偏题，怪题，跨学科，还有分类讨论，数形结合这样中考必考的一些思想，这套试卷全部都猜中了，所以它的价值是非常大的。好，接下来我们详细给大家分析一下这套试卷。第一题是一个常规题平方根 我们八年级的内容，第二题是我们的科学七算法，但是它是一个复制数好。第三题考到了我们的七年级的平行线，它是一个角的模型，好。第四题是一个整式运算， 好。第五题依附着中华传统经典为材料，设置了一个平面展开图，是一个经典的一四一型。 第六题是我们一元二次方程单他判别式的一个考察。第七题呢，是关于我们方差的 一个考察，那在这个方差的题型设置来讲，题目当中给到了我们公式，很显然他是想让我们知道这个公式当中的每一个量到底代表什么样的含义，而且在整个答案的设置来讲，几乎就把方差给它考透了。 本七题都是我们中考的必考题来。第八题考察到了平面坐标正方形的性质以及勾股定律的相关问题。 好，这也是一个常规的一个题型。这个第九题，刘老师想着重说一下，这个题他出现在我们八上第十二章的阅读材料当中，虽然是我们的一个拓展知识，但是他在引导我们去了解我们的数学时， 也增加了我们整个教材的趣味性。这个题的出现很显然是让我们回归到我们的教材，这也符合我们二零二二年新课标的一个课程要求，所以我们教材当中的定义、定理和功理以及 材料，我们都要给他吃透，能够做到活学活用。当然如果对于洋灰三角你非常熟悉的话，这个题基本上就可以秒了，如果你不知道的话，你还要去找到它的系数之间的规律。好，第十题，这个题也是出的非常的经典， 这两年的跨学科一定会出现在我们的试卷当中，这道题它融合了我们的梳理化三块知识，进行了一个跨学科的考察。 很多同学对于这些图像和材料其实看到就有点怵，我想说的是，他既然给到了这样的一个材料和背景，你只需要去做分析， 有一点耐心，其实还是很容易能够给他做出来的，其实他的难度是没有前几年一道题的难度大的啊。第十一题考察到了一个五位数的估值，第十二题考察到了解不等式。第十三题，依然是一个跨学科的考察，通过金属元素来考我们的概率问题，和我们 这次二模考试化学的第十四题进行了呼应。第十四题是让我们是一个数学的排列组合的问题， 你看我们的第三题，考察到了光的反射问题，然后第十题梳理化的一个融合。第十三题是数学和化学的一个融合，所以很明显 我们现在的一个导向都是偏向于应用和融合，那要提醒我们大家的就是关于某一个知识点，你真的是要能够融会贯通。第十四题，如果我们同学能够发现应用部分的面积是一个定值的话，那么我们找到一个特殊的点是直接可以把这个题秒了。 第十五题作为填空题的一个压轴，考察的内容还是非常丰富的，关于句型，关于对称，关于解直角、三角形还有垂直的性质，都考到了， 还是非常综合的。这道题出的其实也是比较好的题干，虽然很简单，但是给我们孩子的思考空间还是很大的。好，第十六题的计算和话没有什么可讲的。第十七题也是一个常规的， 这个条形统计图和扇形统计图相互呼应，然后信息做了一个补充，求圆心角的一个计算。然后第四问也是符合我们大纲现在的一个要求， 给到了一个开放性的考察。好。第十八题，一次函数和反比例函数几乎和我们二模考试题完全一样，然后在第三问呢，考察到了一个三角形三边关系，而且仅当点共线的时候，两条线段的差值最大。 好。第十九题是一个常规的应用题，考察到了分尺方程以及一次函数的最值问题。 好。第二十题，这个题也是出的非常好的，本身材料就比较新，让我们进行几何建模，从而考察了减直角三角形和一减三垂直的问题。 好，第二十一题，关于圆这个部分也是考察的非常常规，这个题其实没有给到我们太大的一个难度，只要我们图做的非常清晰的话，直角三角形构造出来还是很容易就能够解答出来的。 好，第二十二题，这个题是我们二次函数的一个强应用问题，第一问和第二问呢，还是比较简单的，关键是我们第三问，第三问，其实也就是两个特殊的底反向带入， 然后我们就可以求出 x 一 和 x 二，当然我们每一个代入都会有两个值，我们是要舍掉一个的，有很多同学可能在舍去的时候稍微有点犹豫 啊。好，第二十三题，其实是我们解析检测上面的一个原题，那这个题如果当时我们做到的话，那考试考到这个题的时候，信息应该是非常足的。这种题 既然是一个综合的应用和探索发现，那他一定会给到一个新的定义，新的材料让我们去分析。当然虽然是新的材料下的新的定义，但是依然还是运用到了我们老的知识，我们等腰三角形，我们的相似，我们的解直角三角形 以及分类讨论。第三问是有三种情况是有一定难度的，是稍微有点耗时，但是第一问第二问几乎就是送分。好，这就是我们这套试卷，总体来讲，刘老师，我觉得可以，一百分的话，能够给这个试卷达到九十五分 啊。那如果这次我们考出来的话，那么我希望你对于你自己在数学上的一个备考要给足信心，因为这套试卷它的品质还是非常足的。好，今天就为大家分析到这里，关注刘老师，中考必胜！

今天我们来一起学习 二零二六年南阳市中考二模数学试卷压轴题。大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天啊，我们将来分享一个今天上午刚考的啊，南阳市啊，中考二模的一个数学试卷的压轴题啊。 嗯，今年的话，基本上就说每一个地市啊，然后呢，出现这个模拟试卷的话，我们都会做一个压轴题的一个分享啊，希望对大家来说有所帮助啊。当然有需要这个试卷的朋友可以私信我把这个试卷分享大家啊。 呃，仍然老规矩啊，这个试卷其实比较简单啊，我们仍然只分享两道题，第十五题，还有这个第二十三题啊，都是老题，都是这个往年的一个 这个真奇啊，第十五期是黑龙江这边的一个这个，呃，一个一个真奇。然后呢，第二十三期是广东这边的真奇啊，好，话不多说啊，第十五期我们图完通过读期，所以我们能发现它是一个什么呢？它是一个垂直类的，一个全反射性啊，好，我把它归在这个，我整理这个亚洲铁斯林灰边里面的。 好，我们直接在这个压轴车分会里面讲啊，好吧，嗯，我把它整理在我整理这个压轴车分会边里面垂直啊，这个条件存在性里面啊，来我们一块看一下啊，好，在这个地方啊， 如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 等于六啊， a、 d 等于六角， c， a、 d 等于六十度啊，这个角六十度，那这个时候我们说这个邻边的话，就是六倍杠三，对不对啊？六倍杠三写上去啊，当然这个 a、 c 就是 一个十二了，对不对？也写上去吧， 好点， e 是 c d 边的一个中点，那就是啊，三倍跟三，还有三倍跟三啊，写上去吧， 然后呢点 f 是 对腰线， a c 上一个动点，点 f 在 a c 上动啊，然后呢过点 c 做 e f 的 一个对称点， 就是过点，就是做点 c 关于 e f 的 对称点，那这个时候对称我们能发现，是不是我们可以先画一下类似的情况，是不是就会出现相等的线段，共同的端点，对不对？好，我们可以画一下啊，比如说入图所示的一种情况，那这个时候我们发现，其实就是将左边这个 啊，将右边这个三角形，现在啊对称过来变成了左边这个三角形啊，大家能看出来吧？哎，那这个时候我们做出来之后，你会发现，其实呢点 c， 它的对应点的一个什么呢？屁屁的归集，大家就能确定是不是一个圆呢， 对不对？因为这个边是一个三倍跟三啊，所以说对称过来之后，那么这个边也应该是三倍跟三啊，所以说这就是引圆啊，所以说点屁的轨迹我们可以先画出来啊，那就是一个以右为圆心啊，三倍跟三为半径的一个圆上啊，当然这个圆的话啊，这个时候就会过什么呢？就会过这个点啊， 好，这是一个圆的归集啊，这是一个圆的归集，当然我们把这个圆啊，再完整的画一下，画一画，好吧 啊，当然这边的话，下面这一部分也也有一有一部分，当然它并不是一整个圆啊，为什么呢？等一下我们可以再具体去找一下，它到底是哪一，这个圆的哪一部分啊？ 它取决于这个圆的哪一部分，取决于什么呢？取决于这个 f 的 一个位置啊，因为 f 的 起点是 a 啊， f 的 起点 a， 那 这个时候我们可以直接做出来这个对称过来之后，我们能发现啊，粗略做一下，大约就是到了这边这个位置啊，大约到了这边这个位置，对不对？大约到了这边这个位置好，这边这个位置吧，好吧， 所以说它的起点就在这个位置，然后呢，随着这个 f 不 断运动， f 不 断运动，那这个位置吧，好吧，所以它这圆的轨迹的话，是这一部分啊，是这一部分 好，但是这个题并不影响我们去做这个 p e 垂直于 a c。 好， 我们观察一下， p 在 这个圆上运动， e 是 一个定点，而 p e 垂直 a c， 那 这个时候我们直接就过这个点 e 来做 a c 的 一条垂线，可以吧？ 过点 e 直接来做 a c 直线啊，呃，交原上于两点，那就是确定了 p 的 两个位置啊，那么这个点就是 p 一， 好吧，这点就是 p 一， 也是 p c。 关于啊，这个 e f 对 称到这个位置的时候啊，还有下面这种情况也是啊，另外一种情况，这是一个 p 二，我好，我们先看这个 p 一 p 一 画，这个时候我们完善一下，它就相当于是将这个线段啊，对称啊，对称到这个位置，然后我们可以把中间的对称轴给它画出来，对称轴大家应该能够看出来，应该就是近似的，是满足体重要求体重这个图形的一个图形，对不对？所以说啊，对称过来， 大家能看出来吧，就是将啊，右边这个三角形，现在对称啊，变成了左边这个三角形啊，好，遇见这种问题，接下来让我们求 c f 的 长啊，那我们就找一找其中的线段长，还有一些角度啊，来线段长， 当其中告诉我们他是一个六啊，我们得到这边是三倍跟三啊，那么这边也是三倍跟三啊，并且这边是一个垂直关系啊，对吧？垂直要把它利用上啊，这个角是三十度，那么这个角就是六十度啊，这个角是六十的话，那就意味着啊，那意味着，那意味着什么呢？那意味着这个角是不是也是六十啊？对不对？这个角也是六十啊， 好，这个角是六十了，这个时候我们观察一下，那这个时候啊，对称过来，对不对？对称过来的一个情况啊，我们观察一下啊，直接将这边对称，这边是一个垂直啊。嗯， 好，这个角三十的话，那能得到这边也是三十，那就得到这边是不是也是一个垂直关系，对不对？三十六十，那么这边垂直，所以说我能发现这个线他就是一个垂直的啊，垂直的， 垂直的一个线啊，所以说，呃，并且这个角也等于这个角，并且这俩角度是多少度呢？这俩角的话，是不是就等于原来这个这个其中告诉我们的角度是个六十度啊，所以说各是三十度啊？ 好，当我们知道这个角三十度之后，问题就变得比较简单了，于是他就变成了一个三十度的一个等幺等幺三角形，对不对？底角是三十度的一个等幺三角形啊，所以说一比一比根三，所以说第一个答案 c f 就 应该等于九，对吧？ 三倍根三，三倍根三，那么就是个九啊。 c f 的 长度好，第二种情况我们刚已经也画出来了啊，撇在这个地方，也就是说现在我将这个蓝色线段怎么了啊？翻折变成了这个，变成这个线段，那这个时候我们说 e f 的 话，就是这个角的一个对角线， 而我们现在知道这个角是个六十度啊，所以说我们画出来角平分线对不对？角平分线，那么这个 f 就 在这个点， f 就 在这个点。 好，角平分线，那么这个角是三十，那么这个角原来是六十，所以角平分线就这俩角是相等的，所以这个角也应该是三十，于是就出现了第二个。第二个什么呢？第二个这个三角形啊，就是三十度，三十度一百二十度的一个等三角形，而底边是一个几呢， 底边是一个三百跟三啊，所以说两个幺的话是不是就是三呢？一比一比跟三啊，所以这个答案就是三啊，就是九或者三啊。 其，其实很简单啊，我们要学会去找动点运动轨迹啊，找到动点规，找到，找到这个动点运动轨迹的话，能够辅助我们去帮助我们去找到满足的形容要求的一个图形或者点的位置啊。好，这个题基本上就是这样。好，接下来我们看这个试卷的一个最后一题啊， 试卷的最后一题啊，他，嗯，也是一个什么呢啊，也是仿照我们河南省中考真题去找到的一道题啊，他并不是怎么了出的一道题啊，而是确实是一道去年啊，深圳那边的一道真题，二零二五年的啊，好，话不多说啊。 呃，用两个大小不同的等腰这一个三角形拼成了一个四边形啊，对吧？好，他以这个四边形引入一个新的定义啊，这个新的定义是一个双等四边形啊，还有这个伴随三角形啊，我们看一下啊，既有四边形，又有三，又有这个三角形啊， 他说以等腰三角形的一腰啊，向外做等腰三角形的两个腰，那就是如图所示啊，然后又向外做什么呢？做出来一个等腰三角形是 是该边所对的角，就是这个角，这个角应该等谁呢？这个角等于圆，等腰三角形的顶角等于这个角，这俩角应该相等的啊。好，那这就是满足要求图形了，对不对？满足要求图形，当然除了这种做法之外，其实我还有其他的做法啊，我还有其他做法，对不对？ 好，就是如图所示啊。好，我们看一下图二啊，图二的话给了我们一个，让我们去熟悉这个模型啊，然后呢，以这个等腰三角形 的腰向外做出来一个等腰三角形，再做一个新的等腰三角形，并且这个腰所对的这个角等于原来这个等腰三角形的顶角，对不对？角 d 等于角 b、 a、 c 啊，那所以说这俩三角形构成的四边形就叫做双等四边形啊，构成的这个三角形，原来这个三角形就叫做伴随三角形啊，对不对？ 好，概念，基本上搞清楚了，我们看第一问啊，如图三啊，在四边形 a、 b、 c 中啊，现在 a b 等于 a c 认识这个条件，并且还告诉我们了什么呢？ a d 等于 这个边， a d 等于 cd， a d 等于 cd， 并且这个角等于这个角，那它是不是就是满足了其中要求？图形呢？ 对不对？好，其中说了 a d 和 b。 第一问啊，第一问， a、 d 与 b c 的 位置关系， a d 和 b c， 大家能看出来吧，是不是一个平行的呢？平行，为什么平行呢？因为等腰三角形的两个，这两个等腰三角形的底角是不是相等的呢？哎，非常顶角相等，那么这两个等腰三角形底角相等，底角相等的话，那就与内侧角相等，所以两之间平行啊。 好，第二问， a c 平方和 a d 啊，比例中项啊，对吧？比例中项，那这个数，这俩三，这俩三角形，这个三角形和这个三角形是不是相似的呢？我们来写一下啊，有三角形 abc 啊，那就应该相似于三角形啊， d， a c， 对 吧？ d， a c 啊，哎，就是这俩等腰三角形啊，顶角相等，底角相等，对吧？所以说这俩等腰三角形是相似，相似完之后，我们是不是就能出现这个结论， 先去靠拢一下，所以说 a c 哎， a c 这样去两个外向写出来，然后我们把 b、 c 写这，好吧，把 a、 d 写这，那，这样的话，其实就证明三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 c 相似就可以啊，很明显就是相似的。好，第一问，其实比较简单啊，就让我们熟悉这个结论了啊。 好，我们接下来看第二问啊，第二问啊，他这个题给了我们六个图啊，其实比较少见啊。好，我们看第二问啊，如图四啊，在三角形 a、 b、 c 中， a c 等于 b c 啊，如图四， a c 等于 b c 啊，这是一个两个幺，对吧？这是一个顶角， 我们画一下，行啊，这个幺等于这个幺将三角形 a、 b、 c 绕着点 a 逆时针旋转到 a、 d、 e 位置啊，那这个时候旋转完之后，又得到一个新的一个等腰，并且还有新，还有这个还有什么呢？行，我们把这个边画一下，那就意味着这个红边啊， 是不也等于这个红边，对吧？这四条红边是相等的啊，并且还有啊，还有，还有什么呢？还有这个边 a、 b 是 不也等于 a、 d 呢？ 哎，非常好，因为原来就是 a、 d 就是 由 a、 b 生成得到的啊。好，这样我们证明四边形 a、 b、 d、 e 是 双等四边形啊，那我们按照其中的要求的意思的话，好， a、 b、 d、 e 啊，对吧？就是这这个三角形和这个和这个三角形是不是相似的呢？哎，肯定是相似的啊，为什么呢？ 我问大家，因为这个几角，因为这个几角当然也等于这个几角也等于这个几角，对吧？所以这俩等下三角形是相似 啊。等腰三角形相似完之后的话，我们就目的是要得到什么呢？目的是要得到顶角啊，就是这个顶角就等于这边这个顶角，对不对啊？得到这个顶角之后的话，是不是就满足求幺角图形呢？以原来这个蓝色等腰三角形的一个腰啊，向外再构造出来一个等腰三角形， 并且是这个新构造式等腰三角形这个边啊， a、 d 这个边所对的角和原来等腰三角形的顶角相等，那就说明它就是一个双等四边形啊，其实比较简单啊。好，重点来讲一下第三问啊，第三问啊，这个其中啊，其实呢，分类讨论啊， 入图五，入图五，在等腰三角形 a b c 中， a c 等于 b c 啊， a c 等于 b c， 这是两个腰， a c 等于 b c， 且 q 三 b 等于三比五，并且 ab 是 一个 五，这个边是五，对不对？这个时候我们可以在这边做一条垂线吧，对吧？好，那扣三屁是三比五，那是零比斜啊，那所以这个边就是三，这个边就是一个四啊，三四五，对不对？当然啊，除了这种做法，我们还可以去这么来构造，也可以，对吧？过点 c 做了个三线合一啊，也可以，当然等一下需要用到这个阶段啊， 大家都是一样的啊，好在平面内啊，这个时候他是一个三啊，当然，我们是不是接下来就可以利用什么呢？利用双球法，把这个 这个什么呢？把这个边给它求出来啊，就是 a c 求出来，可以吧？啊，我现在先不求也行啊，求下也行啊，来，我们把这个 a c 边和 bc 边，因为这两个幺，等下需要用到啊，把这两个边给它求出来 a c 和 bc， 那 么怎么去求呢？ 这个时候还是借助于这，可能借助于这个等幺三也行，对吧？那么这一半啊，那就是一个多少呢？这一半是不就是一个二分之五，对不对？当然这个边的话，仍然满足的一个什么呢？仍然满足的 q 三比五啊，那我们用二分之五直接来乘一个啊， 哎，三分之五，是不是就求出来这个 bc 呢？哎，非常好，我们求一下，所以答案就是一个多少呢？六分之二十五，让我再用六分之二十五来减个三，用六分六，用六分之二十五，当然这个边我现在先写出来六分之二十五，对吧？ 那么这个边用六分之二十五来减三啊，来减三，那就是减个六分之十八，那就是六分之七啊，这个数是不是这个三角形满足了一个什么呢？七比二十四比二十五，六分之七，六分之二十四，六分之二十五，对不对？非常特殊啊，好，我这是我们对这个背景图做一个研究啊，好，继续看题啊， 是四边形 a、 b、 c、 d， 以 a、 b、 c 为伴随三角形的一个双等四边形啊，是四边形 a、 b、 c、 d， a、 b、 c、 d 啊，啊， a、 b、 c、 d 啊，对吧？ a、 b、 c、 d， 那 就是我接下来要找一个什么呢？是以，是以什么呢？嗯， 好，是以三角形 a、 b、 c 为伴随啊，三角形啊，对吧？那我们就来按照原来这个其中要求去做就可以了啊。我们先在这边图画，那么第一种的话，我是不是就可以直接以 a、 c、 a、 c 啊？ 就是以 a、 c 为一个等腰三角形的一个一个边来做一个什么呢？来做一个啊，来做一个，是这个角，等于啊， a、 c 是 对的一个角，那这个时候我们可以以 a、 c 为底，以 a、 c 为腰，这就两种情况。好，我们先说以 a、 c 为腰吧， a、 c 为腰， 如果是 a、 c 为幺的话，那这个时候又分成两种情况， a、 c 为幺的话，那就是 a， 为什么呢？ a、 c 为幺， a 为顶点，可以吧， a 为顶点， a 为顶点来， a 为顶点来，画出来一个图吧，好吧， a 为顶点，大家能看出来吧，那么这个点我们就说是一个点记啊， a 为顶点，那这个时候 a、 c 就 应该等于 ad 啊， a、 c 等于 ad， 可以 吧， ad 等于 ad 啊， 那第二种情况我们是以什么呢？ c 为一个顶点，对吧？ c 为顶点，我们写一下，以 a 为顶点的话呢，就是 ac 等于 ad， 那 么以 c 为顶点的话，那就是 ca 等于 cd 啊。我们先看第一种情况， ac 等于 ad， 我 们观察一下，这时候让我们求什么呢？让我们求 cd cd， 并且现在这个角是等于这个角的啊，就是，那，那是不是也等于这个角呢？哎，非常好，也等于这个角 也等于这个角。好，接下来我们要求 cd 怎么做呢？要求 cd 啊，这个时候啊，我们可以啊。 呃，因为我现在知道了，你看这个边的话，我已经知道这个 a c 的 一个长，那就是一个六分之二十五，对不对？六分之二十五啊，并且这个角是也是一只的啊，满足了一个什么呢？满足了一个六，就是七比二十四比五关系啊，所以说我们可以考虑在这边做一个三三线合一啊， 三线合一啊，因为这俩角，我能不能说这边这个三角形和这边这个三角形就是全等的呢？哎，非常，其实就是一个全等关系啊，可能我图形画的不是很标准啊， 为什么呢？因为脚垂直，垂直啊，对吧？我再加上中间的空位边斜直啊，就是脚脚脚边，所以这样才选的。那这个时候我们能得到这个边的话，是一个六分之七，对不对？那这个边是不是也是六分之七啊？那所以说六分之七，六分之七，所以第一个答案是不是就是六分之十四？六分之十四，那就是三分之七啊？所以第一个答案就是三分之七。我先写到这个地方，好吧， 有这个边六分之七，这个边也六分之七啊，这成高，那就三分之七啊。好，这是第一种情况，第一种情况的话，我先把这个图先擦一下啊，这种情况呢，就是以 c 位顶点来做这个图啊，来，以 c 位顶点， 以 c 位顶点，以 c 位，以 c 位一个顶点来做一个什么呢？啊？来做一个等腰三角形啊，并且啊，来 c 位顶点拼接做出来这个，这个角是等于，那这个时候就对称过去了，对不对？ 离 c 有 一点点啊，那这个时候我们就不用去求解，不用去作图了啊，因为因为什么呢？我们要求 cd， cd 又等 c， c 等于多少呢？ c 是 我们刚才求的是一个六分之二十五，所以这个答案就是一个六分之二十五啊，六分之二十五能理解吧？ 好，比较简单啊。然后我们再来看第三种情况，我们刚说以 a c 为幺，对不对？我们还可以以 a 什么呢？以 a c 为底，对不对？以 a c 为底，我们来看一下以 a c 为底，再做这个平方三角形，那么 a c 为底的话，那么这个点，那么这个点 d 就 在哪呢？点 d 就 应该在线段 a c 的 一个垂直平分线上啊， 就在 a c 的 一个垂直平分线上啊， a c 的 平分线上，那我们近似的画出满足要求这个图形吧。好吧， 好，那么这个点起来就是一个点记，并且这个角应该等于谁呢？应该等于这边这个角应该等于这个角， 那么这个角的角平分线，我们刚刚已经在这边做出来了，这个角的角平分线是不是就构成了一个三四五的一个直角三角形，因为这个因为，因为什么呢？因为这个角等于这个角，其实它就等于这个角也等于这个角，对不对？ 好，所以说他就在满足三比四比五关系啊，而现在我们知道这个边是一个六分之二十五，那么他的一半就是一个多少呢？就是一个啊 啊？乘二分之一，对不对？乘二分之一啊，我们要求什么呢？我们要求 c d 啊，那就是六分之二十五，首先再乘一个他的一半，一半是多少呢？一半是二分之一啊，对吧？这时候再乘以多少呢？再乘一个 啊，就是相当于是告告诉我们了这个边，让我们求这个边啊，所以说我们乘以这个角的 cos， 除以它的 cos 值啊，除以 cos 值， cos 值的话是一个三分之五，对不对？所以直接乘个三分之五是不是就可以求出答案了， 对不对啊？所以说这个答案是个多少呢？这个答案是一个十二分之啊，一百二十 啊，十分的一百二十五，对不对？十分的一百二十五。好，这个试卷的话啊，这个试卷的话整体来说其实是比较简单的啊，对不对？这个试卷整体来说其实比较简单的啊。然后呢？呃，这其实都是老题啊，都是老题啊，我刚在这个开头已经说了啊，其实这些题的话都是我们河南省啊。 啊，这个啊，是个六啊，六六三十六啊，我去，求错了，是个三十六分的一百二十五啊，对吧？因为是六乘六啊，好，千万不要计算错误啊，所以这个题有三个答案。三分之七还有 呃，多少呢？六分之二十五，还有这个什么呢？三十六分的一百二十五啊，好，这个这些题的话都是往年的一个这个，嗯，比较这个，先比较这个一二线城市的一些这个真题啊，所以说大家一定要往这个一二线城市去靠拢啊。我，因为我们怎么说呢？就是河南省的这个教育资源确实比较落后啊。 嗯，所以说大家的话不要固步自封啊。好，这个试卷我们就分享这么多啊，如果说觉得我的分享对你有所帮助的话，记得点点关注点点心啊。谢谢关注，我们下个视频不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。

最近被合肥初三家长问的最多的啊，就是二零二六合肥中考数学压轴题到底会考什么？前两天啊，庐阳区中考教研会刚刚结束，数学教研组啊，直接敲定了今年中考数学命题的大方向！今天这条纯干货压轴题压题视频，建议家长和孩子赶紧点赞收藏！ 话不多说，直接上！核心结论，今年安徽合肥数学亚洲大概率是结合伟大定律的代数推理综合题型。往年的中考出题规律呢？数学压轴题大多是二次函数搭配几何综合题型， 而这次调研会明确提出整体几何证明难度全面下调，不再侧重复杂几何解体思路，重心全面转向代数推导题。这也就意味着，今年压轴题会彻底转变出题模式，变成二次函数结合代数推理 在融合伟大定律综合考察题型变化非常明显，正好包河区按摩试卷数学第二十二题 啊，就是最接近今年出题方向的经典母题！出题思路、考点布局、难易程度完全对标中考真题！ 距离中考只剩最后二十多天，不要再盲目再刷各类偏题怪题来针对训练！伟大地理核心考点专攻代数推理题型，我已经把伟大地理专题压轴训练以及完整答案解析已经全部整理好了，想要的家长直接在评论区打上中考数学私信我领一下！

这是二六年南昌初三二模刚刚结束的试卷，这是二五年的，很多家长都有疑问呢，这二六年和二五年到底谁难谁简单？今天我们找两位数学老师把这两张卷子全部写一下，胡老师，你写二六年的，邓老师，你就写二五年的，给两位老师一个小时可以吧， ok 吗？没问题，好， 时间很紧啊，用了大概一个小时，把这两张卷子全部写完了。接下来的话，我们让两位老师啊，交换着把这个卷子改一下，二六年的老师呢，改二五年的，而二五年的老师呢，改的就是二六年的。改下喽，各位王老师， 好了啊，这两张卷子呢，两位老师呢，都已经改完了啊。然后我们的涂老师呢，考了一百一十七分，而我们的邓老师呢，考了一百一十八分。好了，我们先从这个二五年的卷子开始讲讲。哎，你觉得二五年卷子怎么样？ 整体还是一个常规的按摩，一个难度，但是比之前会稍微难一点，因为他的题目呢，有些比较难的题，比如说他的画图题，还有最后这几个题目都难的，但是对于高手来说，应该是很好拿分的，因为他的难题都比较常规，没有什么很新颖的，就是 一个比较熟悉的套路，一种解法。 ok， ok， 那 个涂老师，一百一十七分，算本题画图吧。哎呀，画图题你做的太快了， 感觉这张卷子怎么样？呃，感觉这张卷子就是难的地方，他会比较难。可能对于你平时九十分左右同学，你可能会觉得比之前要简单一点， 但是假如你是平时就能考一百一以上同学啊，你这次可能得分会比之前要低，因为他最后两道大题都是比较新的，然后一个是计算非常复杂， 还有一个就是你可能是很难想到这个辅助性要怎么去做的，他跟我们平时熟悉的题型都不太一样，就是那种想到了就会想不到，怎么做都做不出来，做都做不出来。一个小时时间有点紧，我感觉到了，然后马上就要中考了， 想给中考生有什么建议吗？还是基础打牢，常规的题型一定要做对，会做的题一定要拿到分满。还有呢，你看杜老师要好好把控时间吧，不要觉得最后一题可能比较重要，你就一直在想一直在想。但其实基础题， 包括中等偏上的题才是分值最大的。好了，两张试卷呢，已经全部测评结束了，不过我有一个问题啊，二模的，你家孩子数学考多少分呢？评论区打出来。

这是二零二六年合肥舒城区按摩第二十二题，这道题我们就讲最后一个问，今天我就用这个题来讲一讲证明几何题一些常用的方法和技巧。第一呢，我们要根据已知条件，挖掘着更多的内容，为正题创造更多条件。 就拿这题来说，我们知道 a、 b、 c 是 个等腰直角三角形， e、 c 也是个直角三角形， d 是 斜边 b、 c 的 中点。根据这些条件我们就能知道，令 cd 等于 m， 那 b、 d 也是 m， d， e 也是 m， d、 c、 e 是 个等腰三角形， d、 e、 b 也是个等腰三角形，所以 b、 c 等于二 m， 所以 ab 也等于二 m。 我 们再看看直角三角形 a、 b、 d 这条直角边， b、 d 等于 m， 这个直角边 ab 等于二 m， 所以 我们知道这个 r 法，它的弹力的值是二分之一。当然对于三角形 abd 来说， 他的任意一个角，任意三角函数，我们都能够求出来了，因为 a、 d 边我们可以用根号五 m 来表达。 好，这就是我们挖掘出来的条件。那现在呢？我们再来看看要我们证什么？要我们证明 f 比 c， d、 c、 d， 我 们用 m 表达，那现在我们只要能把 f 用含 m 的 代数式表达出来，那这个题就有解了。 那现在呢，我先讲一个我们常用的方法，过重要节点作平行线。如要求 f 线段长，所以 f 是 个重要节点。 我现在过 f 点作 f h 平行于 b、 c， 那 么我们很容易证明 f、 h、 e 是 个等腰三角形。因为 d、 c、 e 是 个等腰三角形，所以这个很好证明。过后我们可以设 f、 h 这个线段长为 a、 e， 那 h、 e 也等于 a e， 就 因为这个 r， 它的 r 是 等于二分之一 f， h 等于 a e， 所以 h 就 等于二 a， e， 那 么呢， h 呢？就等于根号五 a， e， 这我们都知道了，那现在呢，我们就要把 a， e 和 m 建立联系，我们一看看 a， d 这条线段， a， d 这条线段我们既可以表达为根号五 m， 也可以表达为这个。 大家看一看这个式，大家一看就懂，然后我们就能求出来 a， n 和 m 之间的关系，就是这样的关系，然后 f 等于二， a， c， d 等于 m， 带进去就很方便求出来了， 这是一种方法，现在我们再讲讲第二个方法。我们在做题的时候呢，首先观察一下整个图，我们通过观察我们知道 a， f， e 这个三角形跟 a， e， b 这个三角形很有可能相似， 我们这样确定以后，如果相似，我们就是根据相似推出这个式子。 a， e 我 们知道，就把 a， d 这个线段减掉 d， e 这个线段， a， d 是 跟上五 m， d， e 是 m， 所以 a， e 的 长就等于 就能搞。我们再根据这个比例式，我们能求出来 f 等于 a 一 的平方比， a， b 很 容易求出来这个值，然后 f， b， c， d 也就很容易做出来了。 这两个方法呢，都是比较技巧的，也是常用的，计算量也不大。通过这个题的讲解，大家再琢磨琢磨，我们呢把这个方法在以后的正题中呢加以运用，那就能变成自己的解题方法了，讲解完毕。