湖南益阳八下数学教材是什么版本

家人们八年级数学下册是不是越学越头疼？二次根式勾股定律，平行四边形，知识点又多又散，上课没记全，复习抓不住重点，考试前翻书像无头苍蝇，别愁！二零二六人教版八年级下册数学全册知识点总结来了 整整二十页，把所有核心考点、易错点都梳理的清清楚楚，要电子版的随时看不懂找客服打印版，直接邮寄到家，到手就能用。左下方小黄车赶紧下单，部分地区不包邮，晚了就没了。帮孩子把数学成绩提上去！

教材不读，稀里糊涂！哈喽，可爱的熊孩子们，我们终于是来到了第九章的代数部分。英式分解。提到这个名词，大家可能比较陌生，但是我写几个数字看一看熟不熟悉。比如说， 二乘以七加上三乘以七，会等于什么呢？我可以提取公音式吧，把七提出来，再乘以括号二加三。好，这其实就是音式分解的全称了。接下来我用字母来替换刚才的数字， 用 a 替换二，用 b 替换七，用 c 替换三。好，这边的七还是 b 就 会等于什么呢？七就是字母 b 呗。乘以括号二就是 a 吧，三就是 c 吧， 也就是 a 乘以 b 加上 c 乘以 b 等于 b， 乘以 a 加 c。 那 我写到这里来， a， b 加上 c， b 等于 b 乘以 a 加 c。 其实这就是一个因式分解，从左边的多项式变成了右边两个式子的乘积，就叫因式分解。 其中 b 和 a 加 c 呢，就称之为这个式子当中的因式。 音就是因为的意思，因为 b 乘以 a 加 c， 可以 得到 a， b 加 c b， 所以呢，就把它称为音式。这么一看，其实音式分解还蛮简单的。没错，它的确不难，因为我刚才用了一个大招，瞬间帮你打通了人读二脉。这个大招叫什么呢？我们会经常用的叫从 特殊到一般数字。哎，你很熟悉，换成字母之后，你可能有点蒙了，怎么办呢？我先用数字帮你理解清楚了，再换成字母，你不就瞬间明白了吗？好，还有第二个大招叫做数形 结合，也就是代数和几何结合在一起的吧。 那么这三个小句型的面积分别是多少呀？ m a， 然后这边是 m b， 这边是 m， c 加在一起之后就是整个句型的面积， 那这个大的句型宽是 m 吧，长是 a 加 b 加 c， 也就是 m 乘以 a 加 b 加 c， 中间是一个等于号，因为面积是相等的呀，那从左边的过程到右边的过程，也是一个因式 分解的过程？好，通过数形结合的方式帮你去理解因式分解，那其中 m 和 a 加 b 加 c 就是 两个 因式了，那因式分解有什么用呢？这是我们学习任何知识之前应该搞明白的一点，它是后续学习分式、解方程等相关内容的基础。 举个例子， x 的 平方加三， x 加二等于零，现在要你求 x 会等于多少？嗯，瞬间把你整不会了吧？那怎么办呢？如果你学了英式分解之后，你就知道 把这个式子变成 x 加二，再乘以 x 加一，它会等于零，那 x 就 会等于多少？负二或者是 x 等于负一吧。 ok， 这个就是音式分解其中的一个小作用了，后面我们还会发现更多的音式分解它的宝藏作用。然后这个例子呢，同样的还是利用数形结合的方式，帮你建立起对音式分解的理解，大家可以自己尝试一下。 第二个例子，等我们完整的学完了因式分解之后，回过头来再证明，那我们正式开启大餐九点一因式分解的概念。先来看个问题，我们曾经学过数的整除问题，比如说七加七的平方能被八整除吗？ 你问我两个数的和能不能被八整除？不好意思，我也不知道，但是我可以先对它进行一个变形，变成七乘以一，加上七乘以七吧， 等于什么呢？提取共音式七乘以一加七等于七乘以八，哎，这个时候我就知道了，它能被八整除。同理，九十九加上九十九的平方，能被一百整除吗？ 我可以把它变成九十九乘以一加九十九等于九十九乘以一百，哎，也能被一百整除。那这个时候呢，我们就可以开启大招了，从特殊到一般用字母 a 表示九十九，可以吧，加上 a 的 平方吧，等于 九十九就是 a 嘛，那一百呢？是什么？ a 加一，左边的过程到右边的过程，就是因式分解的过程。那我们先把定义搞清楚， 一般的如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积，比如说多项式 a 加 a 的 平方可以表示成 a 乘以 a 加 e 的 话，那么其中的每一个整式都叫做这个多项式的因式，也就是 a 是 这个多项式的因式， a 加一呢，也是这个多项式的因式。比如说多项式 m a 加 mb， 怎么把它表示成正式的乘积形式呢？其实答案已经告诉你了，就是 m 乘以括号 a 加 b， 因为 m 乘以 a 加 b 啊，就会等于 m a 加 mb， 因此多项式 m a 加 mb 的 两个因式就是 m 和 a 加 b。 同理，多项式 x 的 平方加三， x 加二，它的整式乘积的形式呢，就是 x 加一乘以 x 加二，因为它就会等于 x 的 平方加三， x 加二，因此多项式 x 的 平方加三， x 加二，它的两个音式分别就是 x 加一和 x 加二。具体怎么把它分解到 x 加一和 x 加二的，我们后面会去学到。 我们的小哥哥也提出了这个过程啊，有点类似于质因子的分解，比如说二十一分解成三乘以七，就是变成乘积的形式吧。还有像十八变成了二乘以三，乘以三。 上述两组等式表达了不同的意义。第一组等式呢，表示了两个整式的乘法运算。第二组等式呢，是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式。 那我们总结一下，把一个多项式表示成几个整式的乘积形式。比如说我们刚才的第二组， x 的 平方加三， x 加二，把它分解成 x 加二，乘以 x 加一，这样的变形过程就叫做多项式的因式分解。 其中 x 加二和 x 加一就是这个多项式的两个因式。因式分解也可以称之为分解因式。讨论，判断下列从左到右的变形中，哪些是正式乘法，哪些是多项式的因式分解。第一个呢，很明显是正式 乘法。第二个呢，一个多项式变成了两个整式的乘积，是因式分解。其中五 x、 y 和三加五 y 都是这个多项式的因式吧。第三个，也是整式 乘法。好，这个呢，也是因式分解。不过呢，它的因式就一个了， a 加二 b。 看到例题部分，检验下列因式分解是否正确。第一个，那你就逆向运算一下呗， x 的 平方乘以 x 加上根号二，是否等于左边的多项式呀？哎，正确的。 第二个呢，也是同样的逆向运算一下，发现呢，不成立，所以是错误的。第三个，第四个，都是正确。好，接着看一个活动，观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式。 谈谈英式分解与整式乘法有什么联系。来，看到这个句型，它的面积我就可以写成长乘以宽的形式吧，也就是 x 加二，乘以 x 加三。 同时呢，它又是由这四个小的句型构成的，也就是会等于 x 的 平方加上三， x 再加上这个二， x 再加上二，乘以三，等于六吧。来，左边到右边的过程就叫什么正式的 乘法，那右边到左边的过程呢，叫做因式分解。 所以啊，整式乘法和因式分解呢，就是一个互逆的过程。我们上面的例子有很多啦，对不对？ x 加二，乘以 x 加一，用整式的乘法就会等于 x 的 平方加三， x 加二吧。好，然后反过来呢，就是我们的因式分解， 探求写出整式 a 与 b， 使得 a 等于 b 乘以 a 加三，满足条件的整式 a， b 可以 写出多少个？ 那这不能写到天荒地老吗？无数个呀。比如说这个 b 我 取 a 吧，那这个呢，就会等于 a 的 平方加上三， a 好， 比如说这个 b 我 取 a 加一，那么左边的运算就会等于 a 的 平方加上四， a 加上三。 好，大家也可以自己尝试写几个来看。练习一，判断向量从左到右的变形中，哪些是因式分解， 反正最终因式分解的结果一定是整式的乘积形式吧。你想第一个这边有个加不对，第二个呢，是两个整式的乘积正确，第三个呢，是一个减不对，第四个呢，是加不对。 第二题，在下列式子的左边和右边的括号中各填入一个整式，是这个式子的左边与右边相等。好，那随便填一个，比如这边填 a 吧，那左边就是二 a 的 平方加上 a。 最后我们看到题型部分，第一，判断下列从左到右的变形中，哪些是因式分解来看，第一个肯定不是第二个，是的，第三个呢？也不是第四个，是的。第二题检验下列因式分解是否正确。 那我们就可以逆向运算一下呀，三 x 的 平方乘以四 x 减三就会等于十二 x 的 三次方减去九 x 的 平方，那么这个等号就不成立吧。好，同理可以验证一下，第二个应该是成立的，第三个第四个不成立，也就是只有二符合 第三题。已知多项式可以分解为 a 加二与 a 加四的乘积，求 k 的 值。那我们就可以把 a 加二乘以 a 加四，给他运算出来会等于 a 的 平方加上六， a 加上八吧，那么 k 就 会等于多少呀？八喽！ 最后一题，十九点三乘以九分之一能被二整除吗？这个题是也太明显了吧，直接提取公因式，九分之一乘以 十九点三加上十六点七，就会等于九分之一乘以三十六会等于四，那肯定能被二整除了。好，这节课的内容就到此结束，我们下节再见。

哈喽，大家好，我是徐老师。最近很多初二的家长和同学都在问我一个问题，八下快学完了，原来教材里的反比例函数这张没了。那么接下来到底该提前学反比例函数，还是把八下内容在系统巩固一遍？ 我的建议其实非常明确，县级段比起盲目抄前，更应该把新版八下真正吃透。因为这次浙江版教材改版，绝不是简单删掉一个单元，而是一次非常明显的中考导向调整。 反比例函数虽然后移到了九下，但与此同时，很多更核心、更影响中考得分的数学思想，已经提前下放到了八年级。 比如伟大定律由选学正式变成必修，以前跟与系数关系很多学校只是拓展，现在已经进入正式课时体系。它不仅会出现在八下期末，更会贯穿九年级综合题和中考代数压轴题。 这个知识点本质上是在提前做出高衔接，同学们一定不能再忽视。 第二个变化其实是这次改版释放出的一个非常强烈的信号，二次函数里的最值思想提前下放到了八年级。 新版教材在配方法章节中，新增了利用配方法求最值的例题，表面是在学方成，本质是在提前训练二次函数的核心思想。 浙江中考这些年越来越重视代数最值、配方变形和数学建模能力，所以初二阶段就必须把配方变形求最值这一整套思维练扎实。第三个重点是统计与数据分析模块明显加强，教材新增了离差、平方、 四分位数、相线图等内容，方差的推导过程也更加完整。这个变化非常符合浙江中考近几年统计题比重增加、阅读量增加的趋势。这些题往往难度不高，但特别容易因为概念不清而失分，属于典型的该拿却丢的分数。 第四个变化是教材更强调数学阅读与理解能力，比如二次公式部分新增了海伦公式等延伸阅读内容，说明现在的数学考试已经不仅仅考会不会算，更考能不能读懂材料、理解公式来源和逻辑。 八下的反比例函数删除，看起来内容是减少了，但实际上是把核心难点拆分，让学生有更多时间吃透一元、二次方程和平行四边形这些真正的中考核心模块。同时，几何部分把旋转整合镜中心对称，知识链条更连贯， 也更利于后续综合证明题的学习。最后给八下同学四个最实用的建议， 第一，重点突破配方法和最值问题，这是未来中考高频热点。第二，伟大定义和新增统计考点一定要练熟，属于高频基础分。第三，几何重点抓平行四边形与旋转对称，多做综合证明。 第四，重视课本例题和延伸阅读。现在中考越来越强调阅读理解和灵活迁移。 最后，评论区我会放上新版和旧版教材的核心变化对比图，大家可以保存下来，对照着看会更清晰。我是徐老师，一个教数学的爸爸，关注我，分享更多数学学习的干货！

大家好，我是肉哥，本期视频带大家梳理八年级下册这本书的核心知识点与考点。本册书的重点内容分为四大板块，它们分别是二次根式、勾股定律、平行四边形和一次函数。 教材全书虽然共划分了六到七个章节，但其余章节都是这四个章节的基础铺垫，所以在这我们就不再赘述了。接下来我们来看第一个知识点，二次根式。二次根式是七年级下册实数这个知识点的拓展。不过二次根式在初中和高中的考察都相对简单， 只需要掌握二次函数最基本的化简以及加减乘除计算即可。学有余力的同学可以去拓展多重根号的化简呀、共恶根式啊等二次根式相对而言延伸的知识， 但这部分的知识不会在中考，也基本不会在高考的考场上出现。所以可以说只要初一下学期的实数掌握扎实，那么二次根式这就不会碰到任何困难。 第二个知识点是勾股定律，它虽然属于几何板块，但本质却侧重代数计算。初中阶段的勾股定律难度较低，主要用于解直角三角形、三边关系。 常规的勾股定律考察都相对基础，但在中考中，勾股定律经常与原的综合题相结合，是原综合题目当中重要的解题工具。同时勾股定律偶尔也会出现在几何综合题以及新定义的题目中，所以对勾股定律有一个透彻的理解还是比较重要的。 第三个知识点为平行四边形。平行四边形是初中中较为特殊的几何知识，虽然平行四边形中有大量的全等三角形的考点，但全等三角形基础薄弱的同学，往往平行四边形也能学的还不错。 这是因为平行四边形的题目解法灵活，你只要能从四种到五种解法中找出一种，便可以把平行四边形的题目解决。但平行四边形也会有一些知识上的难点， 第一个难点就是你要掌握清平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系。如果学习方法得当，那么你只要学会平行四边形的性质和概念，矩形、菱形和正方形便都能迎刃而解。 但如果学习方法不当，你就会把相似的内容记忆四遍，明显加重记忆负担。此外，平行四边形还和中位线有着非常紧密的联系，而中位线是中考几何压轴题的关键考点，有将近一半的中考几何压轴题考察点都和中位线有关， 所以把平行四边形有关的知识和中位线掌握牢固，能够给后续的学习节省大量的时间。 第四个知识点是依次函数。依次函数是函数体系中最为基础的内容，但是很多同学都会在第一次学函数时碰到不小的困难。 一方面是函数的知识形式在小学和初中的前半段从来没有接触过。另一方面就是部分的老师会高估学生的理解能力，在一些关键的节点讲课速度过快，导致很多同学理解不到位。 这会导致出现一种情况，就是很多同学会做题，但是解释不清题目背后的原因。最常见的问题就是出现在函数和方程与不等式的关系上。当然有部分同学能够经过一段时间的沉淀自行理解， 但也有不少同学最后就选择生搬硬套机械做题。我这里的建议是，在最开始学习一次函数时就把函数掌握扎实，一方面是因为后期还有二次函数和反比例函数要学， 第二是因为上了高中之后会有很多和函数很像的知识点，也会用初中函数的思路进行解决。如果初中函数的底子没有打扎实，那么上了高中之后一样会十分痛苦。 整体来看，八年级下册相对八年级上册难度有了比较明显的提升。虽然八年级下册的单个知识点都比不过八年级上册的全等三角形，但整体来看，八年级下册的难度和八年级上册相比还是有了较大提升的。 在考试当中，八年级下册的期中和期末考试更容易出现依次函数和平行四边形的动点问题，这种更灵活的出法结合上新定义更难的考点，会使得很多同学在八上的基础之上成绩有了进一步的波动。 所以初一上学期数学考到九十五到九十八，初一下学期九十五，初二下学期八十五到八十八分的这种分数的逐渐下滑的状态是比较常见的。 另一方面，八年级下学期也是各个学校进度差异最大的一个学期。进度较快的学校八年级下学期就已经把初中知识接近讲完了，很多学校会在九年级开学后一个月到两个月就把初中知识解课了， 而进度较慢的学校只会把八年级下册这本书讲完后，再开一张九年级上册的内容，这就会导致九年级上学期要讲一本半书到将近两本书的内容，压力是比较大的。 希望各位同学听完本期视频后，能对八年级下册这本书以及八年级下学期的学校进度和重难点情况有一个比较清晰的理解。 如果你喜欢本期视频，希望你能够点赞、关注、转发给有需要的人，你们的支持是我做下去的最大动力。同时如果大家有其他的数学问题，也可以留言或者私信我，我会选择其中有代表性的问题专门做视频进行讲解。我是肉哥，我们下期视频再见！

八年级下册数学是不是越学越头大？二次根式勾股定律平行四边形，知识点碎又乱，上课没跟上，复习找不到重点，做题总卡壳，别慌。二零二六版人教版全册知识点总结来了二十页，浓缩所有考点，一错点解析技巧一目了然。 有电子版随时看不懂下单问客服，打印版直接邮寄到家。左下方小黄车赶紧抢，部分地区不包邮，手慢无。

同学们，上节课我们已经学习了正比例函数的图像与性质，谁能说说正比例函数的解析式是什么？老师是 y 等于 k， x， k 不 等于零。我们还知道它的图像是一条经过圆点的直线。 同学们生活中处处藏着函数规律，购买矿泉水时，购买数量也可发生变化，总价外也随之变化。这正是我们熟悉的正比例函数。 同学如果需要包装，还要加收一元包装费哦，我明白了，总价变成了 y 等于二， x 加一，这和我们之前学的正比例函数不一样了。 y 等于二， x 加一不再是正比例函数，而是我们今天要学习的一次函数。它和正比例函数仅有一个长数项的区别， 图像却发生了平移变化，这其中藏着怎样的规律呢？今天我们就一起来解锁一次函数的图像与性质，大家准备好了吗？

好了啦，嗯，好，就是你能够用我们的白话文，用我们现在的普通话来描述一下它大致的意思吗？ 用自己的语言去概括一下。迷路吗？ 那个他要去学习，然后，然后他他的，呃，他去车站，然后他他的父亲就跟他千金一万嘱咐，嗯，然后那个学子很有信心的去，然后他的父亲就很有希望，嗯， 那我回去，是不是，是这意思吗？那么通过这种设定，其实我们应该感受到平时在我们的生活实际里面，父母对我们的爱是一种何尝的感， 朴实的是不是？所以我们孝敬父母是我们这一种中华民族一个传统的美德。所以请同学们一起来啊，看下面一句话，有爱的， 有爱的地方就有家，有家的地方就有幸福，非常好啊，我们要学会感恩。好，通过这次这道题目，通过这首诗里面，下面我们把它转化我们的数学问题，用外国用字母来表示父父亲和学子在行进中离家的距离， 横着 t 表示时间。那么下面大字相同吻合的图像选哪个？ c 选 c 好， 下面我们来看一下这个图像 是不是我们本章里面所学到的函数的图像呢？是是是，就说这里面是有两条，两个图像，应该是两个图像的合并的，是不是？好，那么我们先比如把这个拿掉去啊，这个拿掉去，所以这是我们本章里面所学到的函数的表示方法的其中一种方法。什么方法 对图像的好？那么在这道题目，在这道题目的时候呢，我们来复习一下。呃，在我们本章里面所提到的第一个函数的概念，老师跟你简单的说一下，就像我们刚才一样啊，一个路程，一个时间，有几个变量在里面，两个两个啊，一个是自变量，一个是 函数啊，也就是一面的是吧？一个字面，那么在这里面所提到的，呃，两个变量， x， y， 当 x 取一个确定的值的时候， y 都有唯一确定的值，与其对应，我们说 x 属于质变量， y 是 x 的 函数。好，那么请所有同学来看一下这道题目选哪一个 不是 y， 不是 x 的 函数的选哪一个？ b 啊， b 不 符合我们概念里面哪一哪一点？嗯， 当 x 取一个确定的值的时候呢？ y 都有几个值跟它对应的呢？那么在我们这个函数图像里面，你注意看下， x 取一个值，它有几个值？两个对，有两个值，所以在这里面我们要的是唯一确定的值，是不是。好， 所以这道题目选择了 b。 在 我们刚才的这个图像里面，我们知道函数表示，函数的表示方法啊，有几种呢？四、函数表示方法有几种呢？三种好 表示的方法，在我们本章里面我们学到几种啊？ 哪几种？我们来一起来回顾一下，刚才我们第一种就是刚才图像法还有吗？列列表法还有吗？解析，对，那就有几种啊？三种。首先第一，第一个，这个是属于解析式的，这个是属于 列表法，在我们刚才的那个图里边是属于列表法，所以我们的函数的表达方法有几种呢？三种解析算法，列表法和图像， 嗯，非常不错啊，好，那么下面呢，我们来看一下我们平时在解析的过程当中啊，这个小兵同学呢，我们一起来看一下他做的到这样的题目，我们来做一个小老师来进行纠正一下，看他有误吗？ 谁来举手？回答一下，他有污吗？他是你认为他好了没有？嗯，好，举手，我们大胆举手啊，没关系的，反正我们这里好，今天好，大家在在这里大胆举手， 他对不对？错，错，哪里错？在 k 不 能等于零， k 不 能等于零，也就是我们的减三减三，也就是我们在所前面我们这单里面所学的一次函数， 它的一般形式里面是 y 等于 x 加 b， 当中的这个 k 是 不等于零，而这里面把 m 等于正负三，正负三的时候，那么 m 等于几个数等于零呢？三，所以这个应该是错的，是不是 对，我们同学，我们在平时做题的时候呀，就说我们要看一下这个数字符不符合，属于一次函数，必须从几个方面，从哪几点去找？他 从哪几个位置去找？首先 ok， 还有吗？对，必须是几次一次，然后他的比例系数 k 必须为零，不为零啊，必须不为零， 那么也就是这里面的得知了这个指数为一，但是他同时还要保证他的系数为零。好，那么通过这道题目呢？所以我们知道啊，我们也这道题目复习到了我们的这张里面的正比例函数和一次函数。我们知道一次函数它的一般形式是 y 等于 x， x 加 b， 那么这里面的 y 等于 x 属于是什么呢？正数好，所以正比函数 k 属于叫做比例系数，叫做比例系数。那么形容 y 等于 x 加 b 的 函数叫做一次函数，叫做一次函数。好，那么当 b 等于零的时候， y 等于 x 加 b， 那 么这个 b 等于零了，就变成了一个 y 等于 x， 这是一个什么函数呢？正比，所以正比函数它是一种特殊的一次函数，它是一种特殊的一次函数。 啊，好，这是我们这张里面的知识点，这是我们这张里面的，所以我们要这里面可以注明一下，就是说 k 不 等于零，但是 k 不 等于 b， 可以 等于零吗？好，那么下面我们再看一下，再来复习一下这道题目。下面说到这道题目， y 等于 x 与直线 y 等于 x， 且 a 在 同一重要的大字图相似，你会是哪一个呢？ y x 要个是吧？谁来分析一下？ 好，你来分析一下 b， 选啊，不会要选你的意思，因为题目可知百二等于 ax 减 a， 一 般这个减的话就是就是在在这个平位，就是平行于另一条直线，且在另一条直线的下方，然后根据这个图像， a、 b、 c、 d 四个图像，只有 b 符合这个条件，是这样吗？好，有什么东西吗？ 啊，又不等一下了，那应该选 c 啊，选 d 是 因为 y 等于 a x c， 它是经过二次相切，所以 a 应该是负数。好， a 应该是负数， y 二等于 a， x 减 a， a 是 负数，所以它就是在， 也就是说这个是正数，那么这个应该是经过一一二四四项线，一二四项线，这里有没有？有同时同时符合两个的，同时符合两个的又经过，这里是，你是说是小于零对不对？小于零同时经过 二次相切，又同时经过幺次相切的，这里面 c 有 没有？有，那选择的是 c？ 好， 非常好啊，好，那么这里面你向 d 选项， d 选项，这个 可以选吗？不可以。为什么？ y 等于 ax 和 y 等于 ax 减 a， 这两条直线应该是属于什么位置关系？ t， 因为他们的 k 下， k 下的。 那么通过这道题目呢？我们来看一下啊，就是在我们本单里面我们所学到的好像 k 和 b 的 这个所经过的象限以及 kb 的 啊取得范围，我们同学好好，可以再复习一下，下面请所有同学看到我们的选案。完成第一个表格，快速完成第一个表格， 这是对我们这家里面一次函数和正例函数图像和性质进行一个简单的复 习。 你站起来，来，上来跟大家讲一下，没关系，再跟大家讲一下下面的这这两个，跟大家说一下。 第一个图像可以看出直线它经过一二三象限，然后经过一二三象限，它先把它还原成 y， k， x， 它就经过一三象限，所以 k 就 大于零，然后它的 k x 加 b， 它是经过一二三象限，然后所以它 b 就 大于零。 第二第二个图，它的直线它是经过一三四象限， 然后因为经过一三四象限，所以 b 小 于。 因为经过一二次相间，所以，所以必带一点。 看完以后，请来哪个同学来说一下它的大致意思是什么？ 看完了吧。嗯，好，就是能够用我们的白话，我用我们现在的普通话来描述一下它大致的意思吗？用自己的语言去概括一下。 迷路吗？嗯，他要去学习，然后，然后他他的，呃，他要去车站，然后他他的父亲就跟他千金一万嘱咐，嗯，然后那个学子很有信心的去，嗯，然后他的父亲就很有希望，嗯， 然后回去，嗯，是不是？是这意思吗？那么通过这种设计，其实我们应该感受到平时在我们的生活实际里面，父母对我们的爱是一种责任感， 朴实的，是不是？所以我们孝敬父母是我们这一种中华民族一个传统的美德，所以请朋友们一起来啊，看下面一句话，用爱的语气， 有爱的地方就有家，有家的地方就有幸福。对，非常好啊，我们要学会感恩。好，通过这次这道题目，通过这首诗里面，下面我们把它转化我们的数学问题，用外祖，用祖祖来表示父父亲和学子在行进中离家的距离， 横着 t 表示时间。那么下面大字相同吻合的图像选哪个？ c 选 c 好， 下面我们来看一下这个图像 是不是我们本章里面所学到的函数的图像呢？是是就是，这里面是有两条两个图像，应该是两个图像的合并的，是不是？好，那么我们先比如把这个拿掉去啊，这个拿掉去，所以这是我们本章里面所学到的函数的表示方法的其中一种方法，图像对图像的 好。那么在这道题目，在这道题目的时候呢，我们来复习一下，呃，在我们本章里面所提到的第一个函数的概念，老师给你简单的说一下，就像我们刚才一样啊，一个路程，一个时间，有几个变量在里面，两个两个啊，一个是自变量，一个是 函数啊，也就是应变了，是吧？一个自变。那么在这里面所提到的，呃，两个变量， x y， 当 x 取一个确定的值的时候， y 都有唯一确定的值与其对应，我们说 x 属于自变量， y 是 x 的 函数。好，那么请所有同学来看一下这道题目选哪一个 不是 y， 不是 x 的 函数的选哪一个？ b 啊？ b 不 符合我们概念里面哪一哪一点？嗯， 当 x 取一个确定的值的时候呢？ y 都有几个值跟它对应的呢？那么在我们这个函数图像里面，你注意看 x 取一个值，它有几个值？两个对，有两个值，所以在这里面我们要的是唯一确定的值是不是好， 所以这道题目选择了 b。 在 我们刚才的这个图像里面，我们知道函数表示函数的表示方法啊，有几种呢？四、函数表示方法有几种啊？三种好 表示方法。在我们本章里面我们学到几种啊？ 哪几种？我们来一起来回顾一下。刚才我们第一种就是，刚才图像法还有吗？列，列表法还有吗？解析，对，那就有几种啊？三种。首先第一，第一个，这个是属于解析式的，这个是属于 列表法，在我们刚才的那个图里边是属于列表法，所以我们的函数的表达方法有几种啊？三种解析算法，列表法和图像。 嗯，非常不错啊。好，那么下面呢，我们来看一下我们平时在解析的过程当中啊，这个小兵同学呢，我们一起来看一下他做的到这样的题目，我们来做一个小老师来进行纠正一下，看他有误吗？ 谁来举手？回答一下，他有污吗？他是你认为他好了没有？嗯，好，举手，我们大家举手啊，没关系的，反正我们这里好，今天好，大家在这里，大家举手， 他对不对？错，他错哪里错？在 k 不 能等于零， k 不 能等于零，也就是我们的减三、减四，减三，也就是我们在所前面我们这单里面所学的一次函数， 它的一般形式里面是 y 等于 x 加 b， 当中的这个 k 是 不等于零，而这里面把 m 等于正负三，正负三的时候，那么 m 等于几个数，它等于零呢？三，所以这个应该是错的，是不是 对，我们同学，我们在平时做题的时候呀，就说我们要看一下这个数字符不符合，属于一次函数，必须从几个方面，从哪几点去找？他 从哪几个位置去找？首先 ok， 还有吗？对数必须是几次几次，然后他的比例系数 k 必须为零，不为零啊，必须不为零， 那么也就是这里面的得知了这个指数为一，但是他同时还要保证他的系数为零。好，那么通过这道题目呢？所以我们知道啊，我们也这道题目复习到了我们的这张里面的正比例函数和一次函数，我们知道一次函数它的一般形式是 y 等于 x， x 加 b， 那么这里面的 y 等于 x 属于是什么呢？正数，好，所以正比函数 x 属于叫做比例系数，叫做比例系数。那么形容 y 等于 x 加 b 的 函数叫做一次函数，叫做一次函数。好，那么当 b 等于零的时候， y 等于 x 加 b， 那 么这个 b 等于零了，就变成了一个 y 等于 x， 这是一个什么函数呢？正比，所以正比函数它是一种特殊的一次函数，它是一种特殊的一次函数 啊，好，这是我们这张里面的知识点啊，这是我们这张里面的，所以我们要这里面可以注明一下，就是说 k 不 等于零，但是 k 不 等于 b， 可以 等于零吗？好，那么下面我们再看一下，再来复习一下这道题目。下面说到这道题目， y 等于 x 与直线 y 等于 x， 且 a 在 同一重要的大字图像上，你用的是哪一个呢？ y x 要个是吗？谁来分析一下？ 好，你来分析一下。 b 选啊，不对，要选你的意思，因为有题目可知，百二等于 ax 减 a， 一 般这个减的话就是就在在这个平位，就是平行于另一条直线，且在另一条直线的下方，然后根据所有图像， a、 b、 c、 d 四个图像，只有 b 符合这个条件，是这样吗？好，有什么意见吗？ 啊？又不同意解答，那应该选 c 啊。选 d 是 因为 y 等于 a x c， 它是经过二次相切，所以 a 应该是负数。好， a 应该是负数， y 二等于 a， x 减 a， a 是 负数，所以它就是在， 比如说这个是正数，那么这个应该是经过一一二四，经过什么？一二四四象限，一二四象限，这里有没有有同时同时符合两个的，就是同时符合两个的又经过，这里是，你是说是小于零，对不对？小于零同时经过 二次下线，又同时经过幺次下线的，这里面 c 有 没有？有，那选择的是 c？ 好， 非常好。好，那么这里面你向 d 选项， d 选项，这个 可以选吗？不可以。为什么 y 等于 ax 和 y 等于 ax 减 a， 这两条直线应该是属于什么位置关系？ t， 因为他们的 k 下， k 下的。 那么通过这道题目呢？我们来看一下啊，就是在我们本章里面我们所学到的好像 k 和 b 的 这个所经过的象限以及 kb 的 啊取得范围，我们同学好好可以再复习一下，下面请所有同学看到我们的选案。完成第一个表格，快速完成第一个表格， 这是对我们这家里面一次函数和正例函数图像和性质进行一个简单的复习。 你站起来，来，上来跟大家讲一下，没关系，来跟大家讲一下下面的这这两个，跟大家说一下。 第一个图像可以看出，直线它经过一二三象限，然后经过一二三象限，它先把它还原成 y 等于 k， s， 它就经过一三象限，所以 k 就 大于零。然后它的 k x 加 b， 它是经过了一二三象限，然后所以它 b 就 大于零了。第二第二个图，它的直线它是 经过一三四象限还原成外等于 k x， 则直线是经过一三象限，所以 k 大 于零，然后因为经过一三四象限，所以 b 小 于零。 第三幅图，直线它经过一二四象限还原成外等于 k x， 直线是经过二四象限，所以 k 是 小于零的，然后因为经过二四象，因为经过一二四象限，所以所以 b 大 于零。

新版八下数学最后一张把高中的分位数和大学的相像图加进来了，使得原本非常简单的一张就变得比较难了，这样一来，八下就没有容易的章节了，都很难。所以八下的同学们要加油！

之前学习过的整式和分式是大数式这一庞大阵营中的两大派系，而分式更是以他们顶足而立的第三大派系， 他们三者就像是位数无三国，三分天下，各有各的特点，各有各的知识体系，但是又不是完全各类开的，而是常常互通有无，彼此相连。 今天咱们就走进根式，谁做一下根式中最简单的解释，也就是二次根式，如下，这是我们本节课的学习目标。那根据昨天的前置任务呢？我发现有部分同学是没有完成的啊， 记住，之后呢要及时完成我们的作业。好在预习完我们的二次根式以及复习了平方根之后， 我们知道一个正数有两个平方根，题中正的平方根绕出五个平方根，零呢？没有一个平方根，你有 一个平方根，并且我们规定您的算数平方根为零。负数呢？没有平方根，负数是没有平方根的。好，根据以上的复习，我们来观察下面三个一等会请一位同学来告诉我，你的一题的作答过程是为什么？ 有没有哪位同学告诉我你的第一题的答案？为什么？你怎么得出来的？恩子阳根号三，根号三，过程是什么呀？圆的面积是 pi， r 的 平方， pi， r 的 平方等于三， pi 等于三。 pi， 那 好，我们 r 的 平方等于三，往后 r 就 等于根号三， r 等于根号三。当我们本身等于三的数有哪一些啊？根数是 正负九吗？正负根号三，但由于我们这里是实际情况，所以而只能等于等于根号三。我想问一下，我们的根号三是三的什么呀？ 算数平方根应该是属于三的算数平方根很好，坐下来，那我们来看走下个题答案，根号 s， 好， 坐下来，那最后一个呢？记得根号 s 很好， 那我们对于这三个数观察一下，他们分别代表什么样的含义，分别表示什么样的含义呢？表示一个数的平方平方根， 我们来看一下，比如我们的根三根，在这里强调没，它是三的对算数平方根，那往后 s， s 是 我们根号 s 的 平方根，以及最后一个谁的算数平方根，它们分别是我们三 s 还有五分之 h 的 算数平方根，它们有什么样的共同特征呢？都带有共同特征，这是第一个特点，都带有根号。还有呢，根号里面不能为负数，也就是我们的被开方数 都是等于等于零的数。那我们之前所学的算数平方根就是本节课所要学的二次根式， 它的定义为，一般的我们把零如根号 a 的 a 大 于等于零的式叫做二次根式。其中我们这个符号叫做二次根号，你读两遍你。 一般的我们把形如根号 a， a 大 于等于零的式子叫做二次根式。奇根号称为二次根号。 一般的我们把形如根号 a， a 大 于等于零的式子叫做二次根式。奇欧根号称为二次根号。祝朋友们 呃，看一下我们有没有一个数的平方等于 a， 那 我们这个 a 一定是什么情况等于数，或者也就是我们的 a 大 于等于零，所以我们就说我们的一个数的平方是不存在等于一个负数的。 那接下来我们来认识一下关于根号 a 它的各个组成部分。首先他不做什么呀？根号 a， 他 平做根号 a， 那我们上面的号叫做二号，应该是叫二号，那我们可以打起编号的左上角，我们的 a 左有没有条条 a， 我 们已经认识到了二四了， 他的是饭团，饭团 baby no 啊！ amazing！ amazing！ amazing！ amazing！ amazing！ amazing！ amazing！ amazing！ 好， 看一下我们萧杰瑞呢，是不是全部答对，还有加油的啊？来，萧杰瑞来告诉我们，你在做这个题的时候是怎么判断我们其中三个式子不是二次根式的那个？第二个的，他的上面是反， 他是开了三次，三次他不是开二次。第三个式子下面的背靠分数五减 m 减五的话，不能等于零 就大于等于零， m 就 大于等于零，所以 m 就 等于五，所以第三个就错了，是负数，如果 m 一 号的话， 那个对方是负数，听懂没？听懂了吗？好，我给你啊，在视频的答案上你要完成。那对于这一个题我们讲完了之后，接下来第二， 当 x 取和值时，向量根式在平方范围内有意义。我们需要知道一个问题啊，要想根式在平方范围内有意义，我们结合定律，应该要求被开方数大于等于零。康老师想问一下， 第一个他的被开方数应该是为什么呀？ f 二好， x 减二，他的被开方数，老师问的是第二个呢？ 第二第三个呢？好，那我们来看老师做一下我们的第一，各位同学都来看一下我们的反出第一个，抬头看一下过程以及步骤是非常重要的，我们是要求被开方数大于等于等于，所以是 因为 x 减二大于等于零，所以大于等于二。 所以后面一个步骤是，当 x 大 于等于二十，我们根号下，我们根号 x 点二在人数范围内，我们是这样的，我们也要这样去记啊。那好，对于第二个题， 我们点名的形式啊，来几位同学在黑板上来完成，其余的同学完成倒数啊。两个题，刚刚肖杰瑞已经上来了，好，接下来，然后我们其余的同学在我们， 在我们这个上，在我们的导数二上完成。按照我们这个题，你是怎么做的？其实呢，我们的答案的过程呢？今天我们学的主要是二次根，是吧？我们是要求被开方数， 他的 x 减二分之一应该是要等于等于零，这是我们本身今天学的二次根是能来的吗？ 但是由于我们是分式，所以他的要求中应该是 x x 点二不等于零，所以我们的第一步应该是因为 x 点二分之一等于零，且 x 点二不等于零， 所以我们才能得到 x 点二大于零，所以答案。但是他的后面，前面啊，比如我们条件你可以开始的时候你知道的。那我们的第三题呢？有没有哪位同学来告诉我，你的答案是 我们的女孩听懂没听懂。但是呢，我们在这里强调一下，关于我们对一个被开方数，它是为一个平方数，那平方数一定是正数吗？非负数，所以我们就能够得到 它大于等平的，满足我们二次根式被开方数的条件，所以我们在这里来数为任意数数， 自己掌握的题目怎么样了？可以的话我们就来看下面这个题，在这里请同学们在我们的平板上完成啊。 关于第一个题呢，我们说当 m 取螺值时，灯泡 m 加二或时速放的又有意义，我们本身就要求备胎方说干嘛呀？ 非开发，这是什么情况？非部署 n 加，那我们是选择的哪个选项呢？选错了的自己看一下， 我们下一个题还可以，有错误的同学可以下课的时候再找到评论。我们在任务中就已经布置了啊，现在下小球，以小组为单位，寻找周组小兵上边一下啊。哎，我们小组取消了啊， 来给大家，有一组提交了，到五组提交了，还有两组呢，来我们来看一下，这是我们刘文英这一组的，往后看一下啊，我们平时来看一下这个题， 我们只要求有哪两个处过程，哪两个过程在这里都把，你这不可以的啊， 那我们就找一组的来填一下。我想问他都是二次根式吗？这里的这个不一定， 因为我们比如说来看他的第二个根号 x x， 我 们能直接看到他是二次根式吗？不能，我们要写什么呀？等于等于零的时候才可以对不对？ 所以请同学们接下来任务就是将自己构造出来的啊，构造出来的是不同的二分式。好，嗯，对，我们的二分式在这个了解的来看一下宝宝比 例要求是独立思考两分钟，然后我们的小班就完成 第一题，第一题是任意使出加第二题是五条，第三题是任意使出第四题的。有没有哪位小组 哪个小组告诉我第一个面积题的，还有一个听懂没？听懂了，我们的这里到 说 a 减二的平方大于等于零，所以我们的负负号 a 减二，它的平方小于等于零都不能为负数，只能为等于零的时候，也就得到 a 等于二。 第二个呢？来，我给你， a 等于 a 的 平方减二， a 加二等于。 哎，听懂这一个题没？听懂了，他主要是在这里骗的方，对不对？那我们以后遇到这一类型的题，记住啊，要求取我们这一个范围，一般遇到了这样的情况都是要进行配方的。 好，非常好，接下来对于第三个了，来，你再去 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于二啊， a 减二不等于零，所以 a 不 等于二，所以 a 大 于二。这里它是我们念了一个不等式组啊。 好，最终的答案是 a 大 于二，过关的，我们在这里的学习中提示之前就有捷径到了啊，我们算出平方根，它有什么样的性质啊？算出平方根就有什么样的性质啊，这应该是包容非对称。 那我们的二次根式呢？他说也是这样双重补起的二次根式，他的双重体现在哪里啊？他的双重体现在哪里？被开方数要大于等于零，并且呢， a 要求我们自己本身根号 a， 他 也是大于等于零的，可不可以得到？可以得到啊，他的双手已经在这两点我们初中阶段学习过的分不清的式子有哪一些？绝对直啊，绝对直平方，还有以及我们今天所学的二次根。 好，我们老师出这样一个题，根号 a 加我们 a 的 绝对值，加上根号 b 加上 c 的 平方，要是它等于零的话，请问我们有什么样的计算？ a、 b、 c 都等于零， a 等于零， b 等于零， c 也等于零。好，那接下来看这样一道题，能不能快速给出第一个题的答案。可以第一个来，这样这样 a 等于三啊，最终的答案呢？ 很好，接下来我们看一下反出在这最终的答案为三。好，下一个题请同学们自己思考，肯定有同学出答案了啊， 二零一九，对吧？所以答案是二零九。好，接下来我们在今天的学习中，有没有哪位同学能告诉我，你学到了哪些 知识点？我们所学的一是定义，二是他的性质，对不对？请做特别好。我们来把我们的二次根式能不能与我们的平方根以及算数平方根相结合。首先，我们如何从平方根到算数平方根？ 他应该是我们什么情况下是算数平方根啊？根是根的吗？非数数呢？对，是在非数的情况下就能得到我们的算数平方根。那我们的算数平方根到我们今天所学的二次根式，其实是一个数到式的过程啊，也就是到我们一般的一个过程。 阿克森，是呢，他主要学习了他的一个双重背负性，利用到的是分类整体转化的思想，其实都是一步一步得来的。同学们，我们记住，山再高呢，往上攀总能登顶，路再长，走下去定能到达。

生活中有很多有趣的变化现象，就像这辆匀速行驶的小汽车，它的路程和时间藏着我们学过的数学规律。我们知道，路程 s 等于速度 b 乘时间 t， 当速度不变时，时间越长，路程越远，这就是正比例函数的变化规律。 可如果两辆小汽车的行驶速度不同，其路程随时间的变化率也存在差异，仅通过文字描述与公式推导，难以直观呈现这种差异。 在数学领域中，有一个实用的格式化工具，可将这种抽象的变化规律转化为直观图形及函数的图像。本节课我们将共同探索正比例函数的图像与性质，熟练掌握这一格式化工具，深入理解正比例函数的变化规律。

当中有很多的量是固定不变的，比如说我们的课桌高度，我们教室里面的面积啊，我们书本的长度宽，但是也有很多是变化的，比如说我们的身高、体重， 我们的气温，那么这些变化的量，他们会有着什么样的关系？这就是我们第四招，所以也就的一个内容。首先我们看一下这几个学习目标。第一个我们要能够理性生活，实际通过具体的情景领悟函数的概念， 了解什么叫常量级。第一个从图中可以看出，我们凌晨四点的气温是多少， 我们一起了啊，元素的气温是多少？十度数，十四时的气温是二十度，那么在这个问题里面变化的量是什么？时间和温度的时间和气温 好。第二个问题，当正方形的边长取不同的值的时候，它的面积分别是多少？ 第一个到变成为一，面积为一，变成为二，面积为四、九、十六、二十五、三十六、四九。那么在这个里面变化的量是什么？变变长的面积， 那么如果用 x， 在 这三个问题里面啊，比如说我们加一个 x， 如果这个 x 取一个具体的值，比如说我们去加油，对吧？我加三十升，那么对应的这个费用是不是就是一个具体的数， 这是一个具体的数值，比如他，你这是一个确定的数值，对不对？那么怎么样呢？我看多少书到 x 取一个具体的值，那么看了多少页， 就是是不是这个算出一个具体的数字啊？当然这个也是一样的，如果这个边上确定，那么我们的面积会有一个值跟他确定吧。所以这三个问题啊，就是我们这边要取一个值的时候，这个 阴变量会有一个确定的值差，所以这一个叫做唯一确定，就是唯一确定， 所以我们再给出一个函数的概念来。那什么叫函数呢？好，这三个，这是一个函数关系啊，我们的函数就是我们的变量是另外一个变量的变化，并且对于质变量的值， 这个音标会有一个唯一确定的值与它所对应，那么我就称这个 y x 函数，我就得到对应的概念。 好，我们去看一下啊，一个变量 y 是 我们的音标嘛？随变量 x 的 变化而变化，并且对于 x 的 每一个值， y 都会有唯一的值与它对应，那么称 y x 函数。 记住，这个方法我们没见过的啊。反对 f， 所以 特别注意这个 f， 它不是 f 乘以 x， 那 你一悟，很多同学会悟到 f 乘以 x， 那 不是一样的，这个 f 表示的是一种对应关系， 那为什么用 f 表示呢？因为我们的变量它是不同的呀，对吧？我们我们气温从时间的变化有变化，你的变化变化，这个变化的规律是不一样的，对不对？我们很多变量和变量之间的关系， 他是不同的关系，知道吧？啊？所以比如说我们啊，你像我们的这个电话费，选择你的通话时间的增加，那么你的电话费也不增加啊，刚刚讲的，比如说你家里用水，你用的用水量的分数， 是吧？一增加，那么你所需要的水费也不增加，那么当他们之间肯定不是一样的关系吧。 啊？单价不一样是吧？就是收费不一样啊，就算这个电话费他也会有不同的收费方式，有的是包月，像我的啊，一百六十九块钱包月，对吧？一个月不管你打多少分钟电话，反正就是一百六十九块钱 啊。第二个有的是没有包月，就是你打好的电话就收好的钱，所以他是有不同的变化规律的，所以具体是哪一种我不知道，是吧？我就知道他是函数关系，那么对应的不同的函数就有不同的关系 啊。我们初中阶段，比如说要学一次函数，要学反面函数，要学二次函数，那么它们之间的 y 与 x 对 应关系不一样啊，所以我们现在只能用一个 f 来表示这种对应关系，具体怎样，那我们就要看具体的函数是一样的，所以大家这里要特别注意。就是啊， 我这个函数它并不是数啊，不是我们的什么有理数啊，无理数啊，实数啊，它不是数，它是一种对应关系， 至于是什么样的关系，那我们碰到具体的函数，我们就知道有几种什么样的关系啊。当然对于质量，就是每个指数 a 乘以音标对应的函数值，我们就记住 f a， 那 么这个 f a 也不是 f 乘以 a 啊，具体怎么算，我们就看这个函数是长什么样子的。 好的，这里特别特别重要的就是这个 y 必须要往 a 对 应，这个 a 对 应什么意思？就是一个 x 可以 一个 x 对 应一个 y， 也可以有多个 x 去对应一个 y， 什么意思呢？ y 等于 x 的 平方， 那么 x 等于二，等于负十， x 等于负二完成这个是呢？这个是完成 x。 函数是两个 x 跟一个 y 吧，但是不能让一个 y 等于两个 x， 比如说 y 的 比根值等于 x， 那 么 x 等于一个 x 等于 x， 那 么两个 y 等于一个 x， 这个就不行了，这不能是完成 x 的 函数啊，你只当一节 对应的关系。更准确的说法是，在一个变化轮中，如果有两个变量 y， 并且对于 x 的 每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应。那么我们就说 x 是 四变量， y 是 x 的 函数。 如果当 x 等于 a 时， y 的 b， 那 么 b 叫做将四变量的值为 a 时的函数值。 每个字我都认识，怎么连起来，我就不明白说的是啥了。别慌，小场面。你们不理解这个定义，是因为你们还没有理解唯一确定和方面的含义，因为是一道牌， 唯一可确定。这个就是我们这节课的重中之重，大家竖起耳朵认真听啊！简单来说，就是每一个 x 值只能用一个 y 值与之对应， 比如 y 等于二 x 加一幺 x 等于一十， y 等于三幺 x 等于二十 y 五，以此类推。我们发现，不管 x 取什么值，就以 y 是 x 的 函数吗？ 好，我问你一下， y， x 再加是吗？是是是是是是是吧？是 是。两个 x a 一个 y 是 可以的吧？ r 是 a， 我 们给它一个值，会发现只有一个 y 值与之对应，所以 y 是 x 的 函数。现在函数的函数关系也应该会了吧。 但是同学们要注意，不是所有函数关系都能用这样的式子表示，例如 n 会随着时间变化而变化， 一个时间对应这个温度，说明温度是关于时间的，但是他们之间的关系啊，却很难用尺子表示出来，所以像这样不能用尺子表示了，爱的关系大家也要能判断， 知道了什么是唯一确定，我们再来看，这样就容易多了。如果说 i 值是随着 x 的 变化而变化的，那么起主导作用的 x， 所以 x 就是 自导变量， 就像圆的面积随着半径的变化而变化，那半径就会变亮，温度随着时间的变化而变化，那瞬间就少变亮。 你们现在对这个概念的理解啊，最重要的就是这个唯一确定，那这个函数的概念它本身也是经过很多很多年这个数学家不断的去探索，当然以后我们到高中，到大学可能对这个函数概念也会有一定要我们等一下到最后的时候再跟大家分享。 好，我们对这个小的特别有幸来普及一下刚才我学的函数的概念。第二个公式， x 等于四三的时候，那么这个公式没有意义，这个公式没意义，那么就是说它的自变量值不大于 x， 不 等于三呗， s 不 等于负三，但是他满不满足。把 s 变化的变化我们直接看，第一个是两个变化 s， 第二个一个变化是另外一个变化的变化的变化， 满足吧。第三个为确定，就当 s 取一个值时候， y 是 不是有为的值，你能对应满足吧？满足满足，所以第二个是的，是的，所以好第二个和第一个，第二个是，而且第三个是因为第三个不满足，这个为确定 啊。这个图是遗忘曲线图，遗忘曲线图就是我们所学的知识，经过一段时间以后，它会慢慢的减少啊，所以我们要合理的安排我们的复习只有重复，有规定的重复记忆 啊，重复计才是最有效的计天才是重复事实最多的人，所以我们要给我们的一个遗忘，做斗争的话就及时的去复习，为什么我们学员要反复的去默契，是吧？为什么课代表的学员背首背，背，你就是为了我们的遗忘做斗争，否则你过了很长时间再去背，再去努力， 人就忘的差不多了，是吧？这点也没有困难，如果你及时的去复习，他马上就升上去了，对吧？你不升上去 啊？再跟大家思考一个问题，根据我们刚刚所学的知识，你能不能举出一些生活当中函数的例子，对吧？呃，七七哥写的时间变化啊，八十度 啊，速递用的前数随着一次的那个走的路程而变化。对，你像我们，你就比如说我们一样，我们吃的是 六块吧，起步价是六块，在两公里以内就是六块钱，在两公里以外，每超过一公里是不是加上两块？ 那么这个函数 y 是 怎样怎样的知道的吧？比如说我们的费用是 y， 我 们的路程是 x， y 等于什么？至少是六块是吧？再加上 x， x 减。

八年级下册的五星学霸人教版测评来了，还有很多家长让我测评 北师版和护教版。关注我啊，我发现很多点赞我和收藏的没有关注我，关注我，后面都会更新北师和妇科还有护教。我们先说八下八年级下册五星学霸啊。首先我觉得八下的这个书呢，就比七下要好很多， 因为七下我觉得题目没有那么多难的题，但是八下其实数学就已经很难了。废话不多说，直接来划重点，第一个板块二次根式我只推荐专题七。第二个板块勾股定力，我推荐专题五六七九，章末检测的推荐二十二十一，二十二，主要强调勾股定力的应用。 然后重点来了啊，我们知道八年级下册最难的是四边形的几何和函数，所以我非常喜欢这个八年级下册人教版，他在呃第 二十一点三，特殊的平行四边形，我推荐他所有的章节，从专题十到专题二十五，矩形的折叠问题，一直到正方形的动点问题，这个专题划分的非常的详细，而且我觉得是很有必要。然后就来到了函数章节， 依次喊到前面的部分是相对比较基础的，我觉得没什么好说的后，我特别推荐他在章末检测这个板块推出的专题，我也推荐他所有的专题， 从章末检测专题十一到专题二十五。我们知道整个八年级他的难点，八年级下册数学的难点就在于四边形的几何和一次函数对不对？而我觉得这个五星斜杠，他在特殊的平行四边形专题十到专题二十五，以及函数的二十三张 章末检测专题，十一到二十五这两个板块都总结的非常的细和非常的好。所以说如果你用这两本书，你就重点，如果你要用五星学霸八年级下册，你就重点做我说的 平行四边形章节的大专题和函数的章末检测大专题。注意啊，含函数前面四个简单的章节我是不推荐的，你只做后面章末检测的大专题。好吧，这是我对八下五星学霸的一个测评，整体上其实我还是非常推荐这本教辅，还是很不错的。