注意,一口气学完初中数学。本视频耗时半年制作共计五百分钟。现在更新五一特辑第二期八架数学时长五十分钟时长,待场受烫起来慢慢看! 好,咱们来看八下数学第一章二次根式来看二次根式的概念,一般的我们把行入根号 a, 其中 a 大 于等零的式子叫做二次根式。 根号为二次根号,读作二次根号,那么这儿有个二,只不过他没有写而已。注意, a 可以 是数,也可以是式。二次根是必须具备的两个特征,第一个外貌特征必须有这个二次根号,第二个内部的 a 要是大于等于零的。好,他们继续看第二个 下列格式当中哪些是二次根,是哪些不是呢?首先,根号三十二没有问题,是六,不是因为它没有根号。根号负十二不对,因为这个里边这个数必须得大一点零。负十二不是大一点零的好四、负 m, 因为 m 小 于等于零,所以负 m 大 于一点零,所以这个是 好。 x y x y 是 一号,所以 x y 小 于零,所以这个不是。第六, a 方加一, a 方加一肯定是大于零的了。好六是好七是吗?不是,因为这是个三,咱们说根号,这是二好,所以咱们看一四六是,剩下就都不是。 咱们来看,说二次根是有益的条件,咱们来看这个二次根,是首先看一下 x 减一肯定是不能等于零的,所以 x 不 能等一。 另外的, x 加上三, x 加上三,必须是大于等于零,也就是 x 必须是大于等于负三的,所以是 x 大 于等于负三,且 x 不 等于一啊,也就是这个答案了。所以记住在二次根式的有意义的讨论过程当中,记住分母式不能等于零的。 好。继续归纳总结,单个二次根式,如根号 a, 它有意义的条件就是 a 大 于等于零。那多个二次根式,比如说根号 a 在 根号 b 一 直加的根号 e, 它要有意义的话,那 a、 b 以及到 n 都得大于等于零,它们的取且的条件就都得满足。第三个二次根式作为分式当中的分母给予 记作这个看它有意义的条件是,那根号 a, a 是 大于零,记住,这儿不是等于零,因为 a 是 不能等于零的。好看。第四个二次根是根号 a 加 b 分 之一的有意义的条件,那就是 a 大 于等于零,但是 b 不 等于零。 好,丹麦看二次根是双重非复性。双重非复性什么意思呢?就是咱们看一下根号 a 这个式子,除了 a 大 于等于零之外,那你根号 a 也得大于零, 也就是说它得外边大一等于零,那里边也得大于零,这就是二次根式的双重非负性,两层都是非负的。好。比如说咱们看这个题, 这个式子等于零,那求 a 减 b 假体的值。好,首先看一下绝对值是非负的,根号是非负的,平方是非负的。正好初中三大非负性都考到了,那等于零的话,那只能每一项都等于零,也就是说 a 等于五, b 等于二, c 等于一,那么 a 减 b 加 c, 五就能算出来是四了。 好,记住,非负数的和为零,那只能是每一个非负数都等于零。初中阶段所学的非负数主要有三个绝对值,偶、次幂。二次根式好特殊的,咱们看一下, y 等于根号 a 加上根号负 a 加 b 这种, 那如果想满足有 e 的 条件,那你看一下 a 是 不是大于等于零,负 a 也大于等于零,那他们两个其实想说明就是 a 只能等于零了,所以记住这一种特殊情况 好的麦卡二次根式的乘法法则和除法法则。咱们形如根号 a 乘以根号 b, 就 等于根号 a 乘 b, 其中记住条件是 a 大 于等于零, b 大 于等于零。好。另外根号 a 除以根号 b, 就 等于根号下 a 除以 b, 记住 a 大 于等于零,但是 b 是 大于零, b 是 不能等于零,因为 b 带分母 好。比如说咱们看下这个计算,根号六乘以根号二分之三,那咱们看把它合并,比如根号下六乘以三分之二,就等于根号四。哎,根号四,那就是二了。咱们学过,这叫算数平方根,算数平方根出来只能是正的,也就是二。 好。比如咱们看下第二个,根号六乘以根号三,再除以根号根号六乘以根号三,可以写成根号六乘以三。好,所以根号六乘以三,再除以二,那所以就是一消的话,就根号九了,那就等于三。所以二次根式的乘除还是比较简单的好。咱们接着往下走, 归纳总结说,多个二次根式相乘的法则也是同样使用的。比如根号 a 乘以 b 乘以 c, 把它框到一个根号里边儿, 其中记住 a、 b、 c 一 直到 n, 它都是大一顶零的好,那比如像这种 m, 根号 a 乘以 n, 根号 b, 那 咱们又合并,把 m 和 n 放在一起, 那把根号 a 乘以根号 b 放在一起,其中还是记住 a、 b 大 一顶零,这个填制调任是你一直要记住的,因为它就是咱们易错的一个点。好,接下来看二次根式的化简, 二之根是化简,它就相当于把乘除运分给它倒过去,也就是说咱们这两个是乘除运分,那化简的时候就要把它往回走,就根号 a、 b 写成根号 a, 乘以根号 b 分 之, a 写成根号 b, 分 之根号 a。 好, 那咱们看一下,比如像这样的它如何去化简呢?根号八十一,乘以根号六十四,那继续就等于根号八十一,其实就是九,根号六十四就是八,也就七十二了。好,再比如看这个 根号九分之五,其就是根号九分之根号五,那根号九就是三,那所以三分之根号五,这就是二次根式的化简。好,咱们来看 那二次根式,化简完之后,那你要确定它是不是最简的二次根式。那一般的把被开方数不含分母,也不含能开得进方的数或银式,这样的叫做最简二次根式。好,比如说咱们举个例子, 根号五十,他肯定不是对最假二次根式,因为五十还能开的出去方,这就是不是。那所以根号五十可以写成根号二十五乘以二, 那写成根号二十五,二十五是不可以写成五,也就是五倍根二,这种根号二二就开不出去了,所以根号下不能能开得进方的数,就这个意思。好,第二个说分母不能还有根号,比如说根号七分之二, 那根号七分之二,其实就是根号七分之根号二,那分母当中很明显有根号了,那它绝对不是二次根式啊,最假二次根式啊,所以你要让分母乘以个七,分子也乘以个七,那分母就变成了七,分子变成了根号十四,所以这种就叫最假二次根式。 这样选就讲明白了,对吧?好,接着往下走,合并最减二次根式。咱们说把最减二次二次根式这个化简之后呢,它会有一些被开方数相同的这种项,把被开方数相同项合并起来,这种就叫做合并最减二次根式。好,比如说咱们举个例子, a 说最减根式,它与根号三可以合并,那说明呢,三 m 减二 n, 它得是三, 要不然怎么合并呢?对吧?另外二 n 加一得等于二,所以这个时候当做二因子方程去解,就能解除 m 和 n, 那 这又去求根号 m n, 那 就是根号,把 m n 相乘,也就是三分之根六了。好,那接下来咱们你看 二次根式的加减运算。其实二次根式的加减运算就是把最减二次根式合并的一个过程。首先第一步要去化简,把二次根式化简成最减的。第二步要去判断,看它有没有根号下相同的项。 第三步合并,这就是二次根式的加减法则啊。比如咱们看一下根号八,加上根号十吧,等于根号八八可以写成四乘二,那四就能开出来个二,所以根号八就是二倍根二。 好,根号十八十八可以写成九乘以二,那九可以开出来个三,所以它是三倍根二,会发现根二根二,它就是相同的根号项,把它合并的就是二加三,根号二,也就是五倍根二,所以加减运算就是合并最减二四根式的。 嗯,这个过程好,比如再计算根号四十八加根二三,根号四十八可以写成十六乘以三。 好,十六乘以三的话,你十六是不能开出个四,所以就是四倍根三,含这个三绝对不能动了,所以就根号三,也就四倍根三加根号三,也就五倍根三了,对吧?好,咱们看第二个根号五。 好,这五分之一分母当中不能含有根号,所以分母乘以个五,分子也得乘一个五,所以就是二十五分之五,那看一下根号二十五,根号二十五,是不就是五,那,所以分母是五,分子是根号五, 那根号五减五分之根号五,那不就是五分之四倍根号五吗?对吧?这就是合并最减二次根式的运算过程。好,咱们继续往下走 二次根式的混合运算。好,咱们看一个第一混合运算,就是把二次根式进行加减乘除进行运算好。例一,根号八加根号三乘以根号六,而这个时候咱们经分配率让根号八去乘以根号六。好,这个时候你会发现 根号八乘以根号六,八可以写成二乘以四,对吧?六可以写成二乘以三。好,所以四可以开出来,二也可以开出来,所以就是四倍根三,再加上根号三乘以根号六,这有一个三, 然后六可以写成三乘二,所以三三可以开出来,也就是三倍根二。好,把这两个渐近合并,看。能合并吗?他是不能的,因为根号三和根号二不是同类。二次根式。好,也就这个倒倍。好,接下来咱们去反来走。 好的,我们看一下多项式乘以多项式这种二次根是怎么去计算呢?好,咱就按照一项一项拆就行了,比如说让根号二乘以根号二, 根号二乘以五,三乘以根二,三乘以五。好,也就是这个多项式了。好,最终再进行合并,也就是负十三减二倍根二,这就是二次根式的混合运算。记住先算乘除,再算加整,有括号的先算括号,它的计算和有理数的混合运算大体相同。 好,咱们来看,再讲二次根式的化简好,比如说化简这个式子,其中 a 等于三, b 等于二,让你看你能怎么做呢?怎么去计算呢?咱有两种方法。第一种方法,解法一,你把 a 等于三, b 等,二从一开始就带进去,然后进行计算, 会发现计算结果会翻,这样会比较复杂,对吧?正确的操作过程以及步骤这么写的。先把原式等于这个式的,然后把它经化简,然后让根号 a 分 之一,分别去乘根号 ab 啊,乘完之后,好,根号 a 分 之一或者 a 就 消掉了,所以就剩根号 b 了。那后边这个呢?根号 b, 根号 b 开出来就必被根号 a, 所以 把它化解成这个式子之后,然后把 a 等于三, b 等于二,代入代出式,然后就算出最终的结果了。所以记住要先化简,后代入不能通,一开始就直接代入,而 d 起开。第二张勾股定律,咱把这个图勾股定律的概念说开。这个图呢,这个图就形容的是 a 的 面积加 b 的 面积,会发现你算了算,发现它等于 c 的 面积, a 的 面积就是 a 的 平方,那 b 的 面积就是 b 的 平方, j 的 面积, c 的 平方,也就是 a 方加 b 方等于 c 方,这就是勾股定律,一个最原始的一个式子好,咱们去论证它为什么是成立的。 好,咱们说形,如 abc, 分 别表示直角、三角形的两个直角边和斜边,那么 a 方加 b 方就等于 c 方,它的数学表达式是,因为角 c 等于九十度,然后 abac 以及 bc, 那则 a 方加 b 方等于 c 方。好,这是它的一个数学的几何语言啊。咱们来看说已知角 a、 c、 b 等于九十度,好,这儿是垂直的, a、 c 等于三, b、 c 等于四,好,让你去求 c、 d 的 长,那你会发现 a、 c 等于三, b、 c 等于四,那所以 ab 数就等于五。有勾股定律得的。 可见来,根据三眼形的面积公式好, a、 b、 e 的 面积对应就等于二分之一, a、 c 乘以 b, c 还等于二分之一, a、 b 乘 cd 二分之一,二分之一消掉了。所以接下来把这三个线段的已知线段带进去,就能求出 c、 e 了。这个也就是有个名字叫嫌高公式,利用等级转换即可求嫌高公式。 好,接下来咱们看这勾股定律啊,有很多种正法,在网上有几百种正法,咱们挑几个标点性的,比如说有一种叫比达格拉斯正法,就比达格拉斯啊,他有一次去朋友家翻一个地砖,地砖长的大概就这个形状,会发现他就符合面积的一个勾股定律公式。比如说咱们看大正方形, 边长是 a 加 b, 所以 大正反面就 a 加 b 数平方好,你又发现它分成是有四个小的三角形。好,那每一个小三角形是二分之一, a 乘以 b, 一 共四个,就四乘以二分之 d, a 乘 b, 中间是一个正方形,边长是 c, 你 说 c 方,会发现第一个和第二个它相等的,它列成等式之后,再经化简,最终就化简成了 a 方加 b 方等于 c 方好,这是比达格拉斯对于勾固定的一个正法。咱们再看照赏玄图,这是中国非常非常著名的一个玄图好,咱们看是这么一个图, 时间,这个大正方形还有边长是 c, 所以 说大正为的面积是 c 方好。再看它也是由四个, 然后小三角形,每个小三角形的面积是二分之一, b 乘以 a, 所以 二分之一, a 乘以 b, 四个所以乘以四。再看中间那个小正方形,因为整个是 b 好, 这边是 a, 所以 这个正方形的边长就是 b 减 a, 所以 它的面积有 b 减 a 的 平方好,让第一个式子和第二次相等好,同样的进行化简之后,它也能得到 c 方等于 a 方。借 b 方好的来看第三个 美国东通证法好,这个就类似于咱们说的一线三垂之。首先看一下 a、 b、 c、 d, 它这个梯形 那二分之一上底加下底,然后再乘以高,这就是它的梯形面积,它分成了中间有一个小的三角形,是二分之一, c 方 好,它的面积还有两个小的三角形,全等的每一个人二分之一乘以 b, 所以 两个二乘以二分之一乘以 b。 经过化简之后,也是 a 方加 b 方等于 c 方好,就正出来了。 好,家人们再看勾股念逆定力,什么意思呢?就是如果一个三角形三边长分别是 a、 b、 c, 我 只要满足 a 方加 b 方等于 c 方,那么我这个三角形就必定是只要三角形,所以它的逆定力也是成立的。 嗯,好,咱们继续。谁叫勾股数?什么叫勾股数呢?说一个三角形啊,它三条边是 abc, 它如果满足 a 方加 b 方等于 c 方,那么这个三角形就只要三角形。记住,满足 a 方加 b 方,这个 abc 一定要是正整数,这个是非常非常非常关键的,一定要是正整数,只有这样的才是勾股数。 好,咱们看一下,比如说三四五、五十二十三、六八十七、二十四、二十五等等等等等,这些都要勾股数,但它有个特征,都是正整数,对不对? 你会发现,如果由一组勾股数把它扩大相同的 k 倍,那么所得到新的一组也是勾股数,比如说三四五分倍乘以三,就是九十二十五,上边这勾股数,他仍然只是勾股数啊,就是这个意思。好,咱们继续 下来。各组数中当中哪个是勾股数呢?好,比如 a 是 b 是 d 是 吧?看着好像都对,其实你算一下,七方加八方不等于九方,所以 b 不是。 好,这个 d 也是,不是要看这个,这个,其实零点三的平方加上零点四的平方就等于零点五的平方。那为什么不如勾股数呢?因为必须得满足是正整数,正整数,零点三不是整数,所以只能选 a。 好, 咱们继续 构建的应用。第一个应用就是这种类似于小蚂蚁,在 a 这个地方, a 他 要去爬,爬到 b 这个地方去吃一个东西,那怎么过去?表记呢?他肯定要这么扶着过去,是吧?这么沿着这个桶过去 好不?怎么过去呢?咱们需要把这个圆柱给它展开,展开之后。好,展开之后咱们看一下 那么黄的颜色展开之后,你会发现这个 a、 e 呢?它就在这个地方,而 b 刚好是在,因为在中间那个位置,是吧? b 在 中间,所以那肯定在这个图上,它是这么着过去的,那展开之后它就直线过去的,被这儿高是十二,被中间,它是中长的一半,也就是三派,所以勾五定,你算一下,就算出了 a、 b 的 距离。 好,这第一个应用也就是把立体图形进行展开之后,然后当成平面图形去计算,那第二个 还这个正方体或者长方体, a 在 这里, b 在 这里,我怎么过去呢?我怎么着过去就比较近呢?这个事也是一样的,你把它展开,把它展开,譬如说你把这个 给它展开,就把这段给截掉,展开之后就成这种,那么直接过去数对的,那这儿是 a 加 b, 这儿是 c, 那 你如果把这个上盖给掀开,是不就这种形式, 而他也是怎么过去呢?直接过去,这是 a, 这 b 加 c 啊,就是这个道理。把它展开之后,然后再进行计算,所以实际问题要经过展开或者建模变成数形问题去处理 好。接二等看第三张四边形。好,首先看一下多边形的相关概念,说用若干个不在同一条直线上的线段,首尾依次相连,这样子形成的封闭平面图形叫多边形的对角线。好,咱们算一下, 咱在初中范围内学的多边形七都是凸多边形,还有一种叫什么呀?叫凹多边形,还有一种竞赛叫折剁折四边形,还有个这种叫完全四边形啊,咱们初中只学凸四边出这个凸多边形。 好的,麦卡巧是牛刀,下面是多边形的是第一个肯定是了,第二个不是封闭,他没有封闭,第三个不是首尾依次相连,他没有首尾依次相连啊。第四个没有,问题是第五个不是没有封闭,第六个肯定有。不是首尾依次相连的线段,它指的曲线 好,大家来看,呵,好多边形,比如说四边形,它从一个顶点出发,可以引几条线呢?一条好可以分成几个三行呢?两个三行,而对点线条数几个呢?一个两个好一次。 那么五边形呢?它只有两条,六边形呢,它就有三条,七边形它就有四条等等。 n 边形它就 n 减三条。 好,这个比较简单,分割成三角形数。四边形是两个三角形,那五边形就是三个立半型,四个那 n 变气就 n 减二个,还带来对角线的条数,而这个也是二五九十四。最后得给我解释一下,数 n 边形是不是有 n 个顶点? 好,我让 n, 你 又发现,他本身这个顶点和两边零的这两个点,他肯定是构成对角线的,也就说 n 需要乘个 n 减三, 那两个点两个点会重复计算,所以说我需要出个二,所以 n 边形,它对角线条数就是二分之, n 乘以 n 减三。好的。来看平四边形的概念, 收两组对边分别平行的四边形叫做平四边形。好,几何语言就是 a、 b 平行于 cd, a、 d 平行于 bc 啊,所以 a、 b、 c、 d 就是 平四边形, 好记作啊,这个符号。好,咱们来看一下。那平四边形对角线啊,对边对角,这个咱们在之前都学过。好,咱们继续。下边是平四边形的第一个可以不是他等要梯形,对吧?好,第二个是 第五个是第五位,说是正方形是吧?或者矩形,记住正方形或矩形都叫特殊的平四边形,所以第五个也是 好的。麦看说平行四边形是中心对正图形。好的麦看一下,平行四边形经过一百八十度旋转之后,它能够完全重合的好,它这个对角形的焦点 o 刚好就是它的中心对正点,也就是你绕那个 o 进行一百八十度旋转,它是能够完全重合的,所以平行四边形是中心对正图形 好。平四边性质,首先来看边,对边是平行的,对边相等的,看角呢?对角相等的好,咱们看这对角线呢,就对角线是互相平分的,所以按照边角对角线去分析平四边的性质 好,那平四边形的面积,平四边形把这个对角线把它分成了四个三角形,这四个三角形的面积都是完全相等的啊,所以啊,记住他在进行面积计算的时候,你要记住这四个三角形的面积全是相等的,都等于平四边形面积的四分之一。 好,比如说咱们看一下,说 o, a 等于十二, o b 等于十九, o a 等于十二, o b 等于十九,还按计算, a、 c、 a、 c, 这也是个十二, n 就 二十四, b, d、 b、 d 二一颗十九, n 就 三十八,对角线互相平分,是吧? 好的,来看,这什么意思呢?就是 o 是 中心对称点,我只要过中心对称点,然后画一条直线,画完之后它所得到的这个 a、 e 和 c、 f 肯定是相等的。为什么呀?因为你看一下, 我这个刚好是一个八字模型,所以这两个扇形全等的,它如果说延长,延长之后也一样,它这边和这边它也是形成八字的一个结构态式,全等的 好,所以去所形成对应边后,对应角也都是相等的啊,继续它这么画呢,也是一样,也是一样,比如说形成的这个八字结构,它也是全等的, 也就是说你只要过这个中心对称点的所有的直线,能把平行四边形给平分掉,平分的面积相等,角相等,线段也相等。 好,咱们来看等腰梯形,底腰梯形比较简单,我们小学都学过,也就一个梯形当中上下两点平行,这两个底角相等,上面两个角也相等,这就角等于二梯形。 好,咱们看平四边形,判定就是什么样四边形,你要判定它绝对是平四边形呢?第一个,咱们先先看一下平四边定义是什么呀?是对边平行,这么的四边形叫平四边形,所以咱们全部围绕围绕这个正,比如两组对边相等的平行四边形, 四边形是拼四边形,几何以言 a、 b 等于 c、 d, a、 d 等于 b、 c, 那 么这种四边形就得拼四边形,如何去正呢?哎,这个比较简单,说 a、 b 等于 c、 d 好, a、 d 等于 b、 c, 你 再把这个连起来,会发现这两个塞应是不全等,这个角是不定这角, 然后呢,这个角是不定这个角,那两个内组要相等,所以 a、 d 和 bc 平行了,这两个角相等的话,那你 a、 b 和 c、 d 又平行了,所以它是平行四边形啊,是吧?好,那是第一个配音给你正完了。第二个, 他说由异组对边平行且相等,这样四边形也是平行四边形。几何语言就是因为 ab 等于 cd, ab 平行于 cd, 那 么四边形 ab cd 就是 平行四边形。好,这个看一下, ab 等于 cd, a、 b 还平行于 c、 d 平行完之后呢?这两个角是不是相等? a、 c 还等于 a、 c, 所以 这两个扇形是不全等全等完之后,但你这个角 d, a、 c 是 不和角 b c a 它就相等,相等完之后,那是不 a、 d 就 和 b、 c 平行,又形成了对边平行的一个四边形,所以它就平行四边形了。好的,我们来看第三个对角线弧线平分的四边形,绝对是平行四边形,这类比较好。正, 那数学几何语言就是 a o 等于 c o, b o 等于 d o, 那 么这个四边形就是平四边形。咱们来看一下,因为 a o 等于 c o, 然后 o d, e 等于 o b, 而这个对定角相等,所以这两个扇形是不全等好全等完之后所形成的,那这个角是不和这角相等,那所以 a、 d 和 bc 就 平行了。再来看,那你 这个角是不和这个角相等,那当然这个也还是平行,那所以 b、 c 和 a、 d 是 不既平行又相等,那异族对边平行相等,那么它这个四四边形就是个平四边形,我也就正完了。好,仔细看说也这么个题。 e、 f 分 别平行四边形最减三的点,然后满足 a, e 等于 c, f 占去证 b f d e 是 不是平行四边形?这个比较好证,是吧?你看一下,因为 o a 等于 o c 啊, a e 如果等于 c f 的 话,那女 o e 是 不等于 o f 呀?再加上 o、 b 是 不等于 o、 d 对 角线互相平分了,所以这个四边形是什么呀?平行四边形啊, c 系完全利用 a 探定定理器,正好咱们去访下,看平四边形之间距离,平线之间的距离,说两条平行 a 和 b, 然后呢, a 上有一个点 a 有 个点 b, 它分别向 b 做距离,这两个距离什么关系啊?相等 可以有无数个点,往这做距离它都是相等的,那这个相等的这种距离就做,就叫做平线之间的距离,简称两条平线间的距离,处处相等。 好,大家来看一下,平行直线距离和点到直线直线距离有成区别吗?那点到直线距离是不只有一条平行直线距离,那可是多了,它有无数条,它就这个区别。 我们往下看,说 a、 b、 e 平行于 b、 d 点 c 呢?在 b、 d 上, a、 e 等于五,有这一段它是五,然后呢, b、 d 等于八,哎,这一段它等于八。 好,他告诉你, a、 b、 d 的 面积十六, a、 b、 d 面积十六,那我是不能算出个高二分之一啊? b、 d 乘以 h, 那 我 h 是 不是就能算出来是四?这个 h 四之后,那你想一下,那 c 到这儿的距离是不也是四?那二分之一 a、 e 也是乘以这个高,我是不是就算出 a 非 e 的 面积了啊?这个是利用平线距离相等,处处相等来做的。好,再往下看,说 中位线,谁叫中位线呢?说连接三角形两边中点的线段,比如说 d 是 ab 的 中点, e 是 a, c 的 中点。好,这样看一下,那这种连线它就叫做中,就叫做中位线。那中位线有什么性质呢?咱们看一下。首先, 哎,中位线,中位线是平行于底边,便等于底边的一半啊,这种怎么去算呢?咱们看一下,我可以把这个 d、 e 进行倍长,叫倍长中线,对吧?好,倍长之后到 e、 f, 你 会发现倍长之后,你所构造的这个三角形 a, d, e 和三角形 c、 f 叉数就全等了,全等完之后,你这个 c、 f 是 不又等于 c、 d 了,而且而平行于 c、 d, 所以 c, f 是 不和, b、 d 也是平顶且相等啊。那你这个四边形是什么?四边形 异度对边平行且相等,那它就是平行四边形了。那你 b、 c 很 简单,它是不是就等于 d f 呀?那你 d、 f 是 不等于二倍的 d, e 啊?那所以我正出来底边是中位线的两倍啊,并且它还平行了,所以我就正完了。 好,咱们继续。好。来看一下那几何以研究什么呀?说,因为 a、 d, e 是 abc 的 重围线,所以那么 d e 就 平行于 bc, 并且 d e 等于二分之一 bc, 或者写成,或者写成 d, e 平行,或者等于二分之一的 bc, 这样表示也是可以的。好,咱们再往下好,同样来看二十五、菱形的概念, 说,再看一下,在拼四边形当中,如果你截取这么个让四个边都相等的这种图形呢?叫做的就叫做菱形。好,咱们看,但菱形说是它定义什么呀?就是说有一组菱边相等的拼四边形,正确的菱形,这是它的概念。好,锯换去看, 说菱形是特殊的平四边形,而它具有平四边形的一切的性质。另外它还有自己独特的性质,有哪些呢?首先对称性,菱形是轴对称图形,但是平四边形不是平四边,只是轴心对称图形。好,边菱形四个边都像的,但平平四边形只有对边平行且相等好,对角线 平四边形,对角线互相平分。但是呢,菱形除了互相平分之外,它还有一个叫互相垂直。好,你怎么看?说菱形的判定, 首先有一组菱边相等,平四边形是菱形,因此定义非域的片判定定米一好,数学一言,就是因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平四边形 a、 b 等于 a、 d 有 菱边相等,所以四边形 a、 b、 c、 d 就是 菱形了。 那第二个,那对角线互相垂直的拼四边形是菱形,可这里也没问题,这也是通过性质给它倒过去的, 因为对角线互相垂直,它是菱形的一个特性,所以说它倒过来也是成立的几何语言。就是在拼四边形 a、 b、 c、 d、 n 当中,如果 a、 c 垂直 abd, 那 么四边形 a、 b、 c、 d 就是 菱形了。 好,这个也比较好证说菱形是一组邻边相等的平行边形,咱们看一下,如果它互相垂直的话,你垂直,垂直完之后,你看一下。哎,这个 o、 b 是 不等于 o、 d, 那 你想一下,它还垂直,那你这个 a、 o 是 不就是三线合一的一条线?那 a、 o、 b 和 a、 o、 d 是 不全等,全等完之后, ab 是 不等于 ab, 所以 菱边距相等的平行边形,那就是菱形了。好,咱们来看下一个说, 那四边形 a、 b、 c、 d 是 平四边形,那对角线 a、 c 和 b、 d, 哎,它是互相垂直的,让你去正,它是菱形,这就是刚我说的一个完美过程,大家可以看一下。好,咱们接着往下走。 好说菱形的面积,说,咱们看一下菱形的面积,平四边形面积是底乘以高,对吧?也就是 ab 乘以 h, 那还有什么呢?还有就是菱形的面积有个二分之一对角线相乘,哎,这个怎么解释呢?为什么是二分之一对角线相乘呢?你可以看一下。首先二分之一 o a 乘以 o b, 也就二分之一的 o a, a 乘以 o b, 它是不是这个三心的面积?这个三心面积的话,咱们说这四个面积是不是相等?相等的话也就是乘以个四,乘以个四的话,是不就是二倍的 o a 乘以 o b, 二倍的 o a 是 不就是 a c o b o b 是 不就二分之一的 b d? 所以 二分之一 a c 乘以 b d, 那 就是它的菱形的面积了。所以记住菱形的面也拥有两个 好的来看下。一个是矩形的概念,有一个角是直角的平四边形,正角矩形,这是它的定义,或者叫长方形,也就说平四边形,只要保留有一个角是直角,那么直接演变为矩形 好,矩形呢?也是特殊的平四边形,所以平四边形当然不一定是矩形。那咱们在研究它的性质的时候,你会发现,矩形除了具有平四边形的所有性质外,它还具有自己独特的几个性质,比如说四个角就是直角,还有就是矩 形 abcd 中那对角线 a c 和 b e 交与 o, 那 么这四个角都是直角。另外 a c 和 b d 相等,对角线相等 好。大家看矩形的性质,首先它是轴对称图形,它的对称轴是不是刚好就是,假如说这是一个矩形对称轴是不是就刚好把它平分掉,这么两个就它的角是四个直角 好,对角线呢?相等。而记住,就平四边形到对角线是相等,也有矩形的对角线是平分且相等,它只有两个。好,咱们看下一个戳。 有矩形可以衍生出来一个非常重要的理论,就只要散心的斜边中线理论,你会发现它这个矩形分成两个,一个是 a、 b、 c, 一个是 a、 c、 d。 好 比如说把 a、 c、 d 切掉,就剩下它了。那你想一下,这个 o、 b 就 o、 b, 它本来是不是这边还有个 o、 d 呢? 也就说 b、 d 是 不等于 b d? 诶?是不等于 a、 c, 那 b、 d 是 呀, b、 d 是 不二倍的, o、 b 是 不等于 a、 c。 所以只要三项,你会发现 o、 b 是 不是它的斜边的中线?也有斜边中线是不是等于其背的一半,也就 a c 一 半,那 c 我 就正完了。所以只要三项,斜边中线理论就是这样来的。好,咱们继续 说。能有直角三角形,西边中线理论可以挤入几个常见的模型,如第一个烫直角三角形给中线,那么 c、 d 就 等于 ab 的 一半,这第一种。第二个两个直角三角形,那你要学会连 c e, 还要连 d e, 你 犯这两个是不是相等的?因为 c e 和 d e 都等于 ab 的 一半,所以一旦连起来,这就是个等腰三角形。 好,再来,那你这个是不? c、 e 中线可以背长,叫背长中线,背长中线所构造这个图形是什么呢?这个图形它就是一个矩形。 好,再看,这也是一样的。那你这儿垂直,这儿垂直,那你要学会把 d f 和 e、 f 连起来,由这首 d f 就 等于 e、 f 了,它也能够到一个等腰三角形。这里就利用斜边柱线理论来作体。好,咱们来看下一个矩形的判定,一 对角线相等的平四边形是矩形,这也是不是刚好利用它的对角线的一个特殊的性质去推?好,咱们看一下,那怎么去正呢? 为什么?几何一言当中说平四边 a、 b、 c、 d 当中,一旦 a、 c 等于 b、 d, 那 么平四边形 a、 b、 c、 d 绝对是个矩形呢。好, come on, 好, 那,那咱们继续来看说。那么对角线相等的平四边形为什么就是矩形呢?咱们看这个题说,首先你这个 a、 b、 a、 b 是 不和 c、 d 相等, 然后呢, bc 又等于 c、 b, bc 又等于 c、 b。 好, 接下来再看 a、 c、 a、 c 是 不是等于 d、 b, 所以 你所形成的这两个三角形是不是全等?全等完之后,你所形成的这个 a、 b、 c 这个角和 d、 c、 b 这两个角是不是相等?这两个角相加是一百八,它要相等,所以每个角是不是九十度?怎么说一个角是九十度的这种平四根引数就是矩形啊,刚好正错胎定义 好。接下来第二正方说有三个角,直角的这个四边形可以用矩形,那肯定啊,有三个角直角,那么第四个角肯定也是直角了,所以几何以啊,就是角 a 角 b 角 c 九十度,那么这个四边形 a、 b、 c、 d 就是 矩形了。 好,这是矩形的判定。好,咱们看一下正方形,正方形它就更特殊了,正方形是特殊的平四边形,同时正方形也是特殊的矩形,也是特殊的菱形,那么它的对角线 不但互相平分,而对角线还垂直,对角线还相等,是吧?所以这就是对角线它的所有的性质。另外角四个直角都四个角都是直角了。另外对称型它既是中心对称,又是轴对称了,而且有四条对称轴,对吧?那边四个边都相等 啊,而且四个边都对边,都互相平行且相等啊,这是正方形,正方形都非常完美的图形,好友们看总结一下 说,那我如何证明一个四边形是正方形呢?首先我这个四边形,先证明它是个平行四边形,正完之后,你拼四边形可以直接证它是一个矩形。 然后呢啊,比如说一个角是直角的,拼四边就是矩形了,就是矩形。那么矩形它对角线是不相等,但它互互相平分,所以你只需要让对角线垂直,对它垂直,那么它就变成了正方形。同样的,你平四边形,它怎么变成菱形呢?让对角线互相垂直就变成菱形, 把这样对角线相等,它又变成了正方形,所以就全部利用矩形和菱形,它对角线的特殊性或者角的特殊性直接来整好,咱们记起来看第四章函数 函数的概念说,一般如果在一个变化过程当中,有两个变量 x 和 y, 并且对于变量 x, 每一个指变量 y 都有唯一以它对应的,那么 y 就是 x 函数啊。记住,在函数 x 和 y 当中,它们都是一一对应的关系,比如一个 x 只能对应一个 y。 另外注意,函数不是数,它只是某一种变化当中两个变之间的关系而已,函数不是数。 好,比如说,咱们看一下下列各层当中, x 自变量 y 是 x 的 函数吗?比如说,第一个是,为什么?因为一个 x 是 不对应一个 y, 一个 x 是 不对应一个 y, 对 吧?第二个它又不是,为什么?因为一个 x 是 不对应两个数,两个 y 是 吧?这在高中当中,这叫什么呀? 啊?高中这叫双曲线,所以,但是它不是函数啊,记住 x 和 y 是 一对应的。再看 下列变量中, x 和 y 关系是 a, 是 函数关系式的是。比如第一个是因为它是一次函数,第二个呢,也是它二次函数,你可以画一下,你说一个 x 只能对应一个 y, 第三个呢?它就不是,为什么呢?那么第三个也是,也是一个 x 对 应一个 y, 比如 x 是 一,那 y 就是 二,就 x 是 唯一的, y 也是唯一的。好,第四个, 第四个呢?它就不是,为什么?因为你发现一个 y 是 不对应的两个,也就是一个一个 x 对 应的两个 y, 也比如说 x 是 二,那你是正负根二,所以一个 x 只能对应一个 y, 如果对应两个的话,它就不是 好看。第五个,第五个也是一样,那你外方是不等于三 x 加二十,那你一个 x, 比如说 x 是 一, x 要等于一的话, y 是 什么? y 是 不可以等于正负跟十三, 所以一个一个 s 对 应两个 y, 所以 这就不是啊。记住,判断它是不是函数关系是一个 s 一定要对应一个 y, 对 应两个就不行。好,咱们来看 说函数的表示方法,首先一种叫图像法,另外一种叫列表法,第三种叫关系式法。那见了咱们一会会一一介绍。比如说看图像法,就你在平面直角坐标系当中,可以把这个函数关系式给画出来,进行列表描点连线,画完之后,那所以这叫图像法好。第二种, 谁要列表法呢?就根据一个 x 或一个 n 对 应个 y, 把它进行列表的方式给我表示出来,那这叫列表法好。第三个,什么叫关系式法呢?就是通过他的一段描述,能把字变量和音变量给我写出来,写成个关系式的这种形式,那这就第三种叫关系式法 好。三十七、函数值什么叫函数值呢?说,对于自变量在可取值范围内的一个确定的值, a 函数有唯一的一个对应值,那这个值呢?就叫做函数的值。比如说, 如果 y 是 x 函数,当 x 等于 a 的 时候, y 是 不是只能等于 b, 它是唯一的,是吧?那么这个 b 就 叫做 x 等于 a 的 那个函数值。 哎,就这个意思。再来看已知函数, y 等于 x, 加一分之四, x 减二,当 x 等于二,三负三时,函数的值,那你会发现,把 x 等于二还等于三,分别代入率函数对应的那个 y 是 不是都是唯一的一个值,那就叫函数值了。 好,继续。第三十八、什么要依次函数的概念?叔,咱们看一下这两个函数有什么区别呢?你又发现,若两个自变量 x, 两个变列 x, y 之间的关系满足,称 y 等于 k, x 加 b, 记住 kb 都是常数, k 是 肯定能等于零的,应 k 等于零, x 就 没有意义了,对吧? 那么就称 y 是 x 一 次函数,其中 x 的 自变量 y 是 一变量, b 等于零的时候,特出 y 是 x 的 正比例函数。所以记住,只要符合 y 等于 k, x 加 b 这种形式的,都叫做一次函数, 一次函数,因为 x 次数是一嘛,对吧?好,咱们看一下下列关系式中,哪些是一次函数,哪是正比例函数?首先,第一个没问题,一次函数。 第二个呢?第二个是二次函数,因为这是二次的,所以它不对。第三个呢?第三个是正比例函数,对吧?因后边得压个 b, 这个 b 等于零没了,所以第三个是正比例函数。第四个呢?第四个也是正比例函数。第五个呢?第五个不是 咱们这个 x 出现在的分母,所以第五个不是。第五个叫什么叫反比函数?第六个呢?不是,因为第六个自变量是二次,所以它叫二次的,它不是一次的。 好,咱们继续说正比例函数的画法怎么画?比如说,你能画出 y 等于 r 二 x 图像吗?咱们看一下三部列表,瞄点连线。第一步,列掉列表什么意思呢?列表就把 x 每一个值对应的 y 的 值给我们米给我列出来,比如列出五个点,然后呢, 把这五个点第二步,描点,描点,把它描到平面直角坐标系当中。第三步,用连线把这五个点连起来,又发现它是一条平滑的直线,那这种锯造度啊, 以此函数画法好,画一下 y 等负二 x 是 被这么画,就斜着这么画,所以通过画 y 等 r, 二 x 和 y 等于负二 x, 你 又发现, 哎,咱们能总结出来说, y 等二 x, 是 不是 k, k 值大于零了呀?大于零的话,它是经过一三象限,一三象限,哎,比如咱们看一下,是不这是一三象限,如果呢, k 小 于零,它是不经过什么呀?二四象限? 好,那咱们就总结出来了,并且 k 大 于零, y、 c x 增大而增大而减小。记住,正比例函数全部是经过原点的一条直线, 因为它是一条直线,所以咱们在算它截式的时候会发现只需要两个点就行了,因为两点确定一条直线。好, 那接下来咱们看一下,你通过画正比例函数,你会发现个趋势, y, k 等于三, k 等于一, k 等于三分之一,它的倾斜程度是不一样,越大是不是越倾斜? 同样的,你负三 x, 负 x 以及负三分之一 x, 是 不发现还是它那 k 的 绝对值? k 的 绝对值越大是不越陡,所以就总结出来了,当 k 的 绝值越大时,图像越靠近 y 乘,也就是说图像越陡, 那当 k 相等时,那图像肯定关于欸,坐标左对称。好,咱们注意看说已知正比的函数, y 等于它,它图像经过几个象限? 好,第几项链?那函数可以看一下,它首项是个正比例函数,说你首先发现它,那 m 方肯定得用一了,因为得是一次嘛, m 方等于一呢? m 是 什么? m 是 不是正负一?但是 m 不 能等于负一,因为等于负一, m 加一等于零了, zm 只能等一, 那所以这个函数既不是,不就能写成它就是二 x, 一, 看它经过什么,它经过一三项链呢? 好,咱们看一下依次函数的吞杨性质,那么依次是 y 等于 k 加 b 啊,还是通过列表瞄点连线,你能画出来依次函数?大概就这么一个图像。 好,那这个点零逗 b 什么意思?就是当 x 等于零的时候,你代入可翻验。哎, y 等于 b, 同样,当 y 等于零的时候,你又翻验 x 等于负的 k 分 之 b。 这两个点是非常特殊的,一个是跟 x 轴交点,一个是跟 y 轴交点,把它这个坐标给记死了。好,我们看一下, 那通过列表瞄点连线难画下,你能画出 y 等于 x 加二,还得是还能画出 y 等于 k, x 减二,你会发现这两个因为它的 k 值是一样的,所以它是不就平行的呀? 或者是它一个图像肯定是另外一个图像,怎么样平移得到的?平移得到的,所以记住, k 值一样的,两个一次函数它肯定是平行的。 好,咱们再看说,那你再加个 y 等于 x, y 点 yes 也是一样的呀,是吧?那你 y 等于 x, 它是不通过平移能够平移成一个 y 等于 x, 二通过,当这边平移,它是不能平移出来一个 y 等于 x 减二,所以 k 值一样的,这个一次函数都能通过平移来得到另外的一个函数。 好,咱看一下异参人 y 点 k, i 加 b, 记住 k 不 能等于零,怕图像经过零。逗, b 是, 它是可以由正比的,还是 y 等于 k x 的 图像平移 k 一个平移平移 b 绝对值个单位得到。刚,咱们也看一下,如果 b 大 于零,它是不向上平移, b 小 赢,它是向下平移。 好,所以这个加 b 是 通过平移来得到的,也就是刚刚,你看这一个词叫上加也, b 大 于零嘛,叫上加往上平移下减, b 小 于零往下,所以上加下减就是这么来的。 好,咱们看一下,当 y 等于 k, k x 加 b 过程当中,当 k 大 于零时,你会发现 y 是 不是随着 x 增大而增大?当 k 小 于零,是 y c x 的 那儿减小,这个跟正比例函数它的性质是一样的。 好,咱们看下例题,说 p 一 p 二是依次函数,它图像了两点啊,下背正确的是,你会发现这个 k 值是不是等于负的零点五,也就 k 是 不是小于零呢?小于零呢?它是不是这么去画了一个图像,它随着 x 增大是不是而减小? 好,那 x 增大而减小就是 x, 正确的是 a 呢?赞 k 啊,直接看 d 呢? x 一 小于 x 二,因为是减的减函数,所以说,那你 y 一 是绝对大于 y 二啊。 卡尼对应的,那你 x 一 是不在这个位置, x 二是在这个位置,因为 x 一, 嗯, x 二是不在这个位置,这个位置好, x 一 小于 x 二,但对应的那个值, x 对 应了 x 最值,是不是比 x 一 对应的值要大要小一点,所以说 and d 是 对的。 咱们看一下,说下列图像当中, a k b 正负,并说明直线的象限。所以咱们看一下, k 大 于零, b 大 于零,它就这么画。 k 要大于零, b 等于零,那它那么它是经过一三的正比例函数。 k 大 于零, b 小 于零,它也是这么这么亲切着画。但是 b 小 于零,是不是这个点?所以在外的负半轴 k 小 于零,首先是这么去画的, b 大 于零,那它就在外的正半轴。 k 小 零,首页也这么画。 b 等于零的话,那不就是正比例函数了? k 小 于零,首页也这么画, 那 b 小 于零,就决定了它的欧倍 y 的 负半轴。好,这就是一层函数的图像,快速然后看出来。好,接下来总结。 y 等于 k i d b, k 和 b 是 不对图像有个很很大影响,显然, k 大 于零,直线向左右这种方向, 然后随着 x 增大而增大,那么 b 大 于零,它就在一二三,那 b 小 于零,它就指一、三、四, b 和 b 的 大小。零,它就决定交在外的正半轴还是负半轴。同样的 k 小 于零,它就是经过它是这么画的,一个下降的 y, cx 的 增大而减小, 那么 b 也是决定了它跟 i y 的 正半轴和负半轴并相交,然后经过的哪几个相线好。大家来看,比如说 y 一 等于 x 加 b 和 y 二等于 b, x 加 a, 它们在同一个作白器当中,图像可能是好看一下。比如 c, 你 会发现 c 什么呢?就是 y 一 y 一, 要这么画的话,那它是不是 a 就 大于零了?那 b 在 这个位置是不是 b 小 于零? 可你看下 y 二 y 二这么画的话,你想想 y 二是不是这个使能哥 k, 那 这个 b 是 不要小于零,然后 a 呢?在这个 y 的 正半中,所以 a 是 不大于零,所以这两个是完全统一的,所以就选 c 了。好,这是经常考的一种题型, 好看。第六章数据的分析正,主要是概念问题,比如种数的概念。什么有种数概念呢?说在一组数一当中, a 出现次数最多的处,记住种数不止一个,比如说这一系列数,你会发现出现次数最多的是哪个呢?就八得九,八点九。 对啊,出家两次那种数就是八点九了,但只有他一个吗?把你仔细看一下。哎,如果不是的话,那就再找一个,比如说八点六,八点九了,但只有他一个吗?所以种数不只有一个,出现最多位数,如果一样的话,两个就都是种数。 好,再看第二个算数,平行数。算出平行数什么呢?就是把一系的数全部加起来,然后除以它的次序个数就行了。比如说 x 一 到 x, n 全部加起来除以 n, 那 这就至平均数的个表示方式, x 上面的横高。 什么叫加减平均数呢?也就是它每一个数据有权重,你让这个每个数据乘以它的权重全部乘,最后把权重全部加起来。 好,有的时候呢,那个权重加起来之后,刚好是一个 n。 比如说,但马上会举到个例子,说某个班,十三岁八人,十四岁,十六人,十五岁二十四人,十六岁二人,也就十三岁,是不全重加了八十四岁,权重加了十六。好,那你就十三乘八十四乘十六,一直乘到最后。 那翻译它的权重八十六、二十四。二,是不是正正好就一个班的总人数,所以有除以都有总人数,所以平数就约等于十四岁了。所以这就是加权平均数的概念。看某一个数据,每一个数据它的权重是多大就可以了。好,接下来看第四个方差和标准差。什么叫方差呢? 方差就是就平均数和每一个数据之差,然后平方,然后平方,然后 n 个全部加起来,这样之后再除以 n, 这又叫方差。 标准差什么呀?就是方差的一个,算入平方根。好,那方差在干什么呀?方差其实是在衡量一组数据的波动情况,比如说,如果方差大的话,他就这么波动,如果方差小的话,他可能就这么波动。好,所以记住,方差是用来考察这组数据稳内不稳定,越小越稳定。 好,比如说说 g 由甲乙两组小麦长势,然后从中甲儿当中抽出十株,乙抽出十株。好,这些,那你会发现哪个长势整齐呢?也就是哪个方差更小一点呢?更小才有长势,整齐就稳定呗。好,这样咱们算,首先都是先算平均数 好 s 甲的平数算完之后,让每个数和平数做差,然后平方再除以十,最后算出来。算甲的方差是二点零九, 乙的也一样,乙算先做,而平移数十四,然后让每个数和十四做差的平方除以十,最终算是二十。二点八。好,比较二点八和二点零九,会发现二点零九更小,所以说甲的长势更好,因为甲方差更小。 好,再看中位数的概念。什么叫中位数呢?说一组数,中数据当中,你从小到大排完之后,中间那个数,比如说三个,三个,中间那个是六,所以六就中位数,有的时候是刚好偶数,比如这边有四个,这边四个,那中间那个数什么呀?就这两个数加起来,然后出一个二,这就是中间那个中位数。 好,比如说被异度数记十十 x 八,它的中位数与平行数相等。好,那怎么办呢?那就先算平行数呗,是吧?然后把这四个全部加起来,除以四和中位数,中位数的话就是十十,然后 x 八也有十,加 x 除以二呗。 除以二之后,然后这九中位数,这九平行数相等之后呢? x 等于八,所以把 k 等八代入之后,会发现中位数就等于九了。
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家人们八年级数学下册是不是越学越头疼?二次根式勾股定律,平行四边形,知识点又多又散,上课没记全,复习抓不住重点,考试前翻书像无头苍蝇,别愁!二零二六人教版八年级下册数学全册知识点总结来了 整整二十页,把所有核心考点、易错点都梳理的清清楚楚,要电子版的随时看不懂找客服打印版,直接邮寄到家,到手就能用。左下方小黄车赶紧下单,部分地区不包邮,晚了就没了。帮孩子把数学成绩提上去!

教材不读,稀里糊涂!哈喽,可爱的熊孩子们,我们终于是来到了第九章的代数部分。英式分解。提到这个名词,大家可能比较陌生,但是我写几个数字看一看熟不熟悉。比如说, 二乘以七加上三乘以七,会等于什么呢?我可以提取公音式吧,把七提出来,再乘以括号二加三。好,这其实就是音式分解的全称了。接下来我用字母来替换刚才的数字, 用 a 替换二,用 b 替换七,用 c 替换三。好,这边的七还是 b 就 会等于什么呢?七就是字母 b 呗。乘以括号二就是 a 吧,三就是 c 吧, 也就是 a 乘以 b 加上 c 乘以 b 等于 b, 乘以 a 加 c。 那 我写到这里来, a, b 加上 c, b 等于 b 乘以 a 加 c。 其实这就是一个因式分解,从左边的多项式变成了右边两个式子的乘积,就叫因式分解。 其中 b 和 a 加 c 呢,就称之为这个式子当中的因式。 音就是因为的意思,因为 b 乘以 a 加 c, 可以 得到 a, b 加 c b, 所以呢,就把它称为音式。这么一看,其实音式分解还蛮简单的。没错,它的确不难,因为我刚才用了一个大招,瞬间帮你打通了人读二脉。这个大招叫什么呢?我们会经常用的叫从 特殊到一般数字。哎,你很熟悉,换成字母之后,你可能有点蒙了,怎么办呢?我先用数字帮你理解清楚了,再换成字母,你不就瞬间明白了吗?好,还有第二个大招叫做数形 结合,也就是代数和几何结合在一起的吧。 那么这三个小句型的面积分别是多少呀? m a, 然后这边是 m b, 这边是 m, c 加在一起之后就是整个句型的面积, 那这个大的句型宽是 m 吧,长是 a 加 b 加 c, 也就是 m 乘以 a 加 b 加 c, 中间是一个等于号,因为面积是相等的呀,那从左边的过程到右边的过程,也是一个因式 分解的过程?好,通过数形结合的方式帮你去理解因式分解,那其中 m 和 a 加 b 加 c 就是 两个 因式了,那因式分解有什么用呢?这是我们学习任何知识之前应该搞明白的一点,它是后续学习分式、解方程等相关内容的基础。 举个例子, x 的 平方加三, x 加二等于零,现在要你求 x 会等于多少?嗯,瞬间把你整不会了吧?那怎么办呢?如果你学了英式分解之后,你就知道 把这个式子变成 x 加二,再乘以 x 加一,它会等于零,那 x 就 会等于多少?负二或者是 x 等于负一吧。 ok, 这个就是音式分解其中的一个小作用了,后面我们还会发现更多的音式分解它的宝藏作用。然后这个例子呢,同样的还是利用数形结合的方式,帮你建立起对音式分解的理解,大家可以自己尝试一下。 第二个例子,等我们完整的学完了因式分解之后,回过头来再证明,那我们正式开启大餐九点一因式分解的概念。先来看个问题,我们曾经学过数的整除问题,比如说七加七的平方能被八整除吗? 你问我两个数的和能不能被八整除?不好意思,我也不知道,但是我可以先对它进行一个变形,变成七乘以一,加上七乘以七吧, 等于什么呢?提取共音式七乘以一加七等于七乘以八,哎,这个时候我就知道了,它能被八整除。同理,九十九加上九十九的平方,能被一百整除吗? 我可以把它变成九十九乘以一加九十九等于九十九乘以一百,哎,也能被一百整除。那这个时候呢,我们就可以开启大招了,从特殊到一般用字母 a 表示九十九,可以吧,加上 a 的 平方吧,等于 九十九就是 a 嘛,那一百呢?是什么? a 加一,左边的过程到右边的过程,就是因式分解的过程。那我们先把定义搞清楚, 一般的如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积,比如说多项式 a 加 a 的 平方可以表示成 a 乘以 a 加 e 的 话,那么其中的每一个整式都叫做这个多项式的因式,也就是 a 是 这个多项式的因式, a 加一呢,也是这个多项式的因式。比如说多项式 m a 加 mb, 怎么把它表示成正式的乘积形式呢?其实答案已经告诉你了,就是 m 乘以括号 a 加 b, 因为 m 乘以 a 加 b 啊,就会等于 m a 加 mb, 因此多项式 m a 加 mb 的 两个因式就是 m 和 a 加 b。 同理,多项式 x 的 平方加三, x 加二,它的整式乘积的形式呢,就是 x 加一乘以 x 加二,因为它就会等于 x 的 平方加三, x 加二,因此多项式 x 的 平方加三, x 加二,它的两个音式分别就是 x 加一和 x 加二。具体怎么把它分解到 x 加一和 x 加二的,我们后面会去学到。 我们的小哥哥也提出了这个过程啊,有点类似于质因子的分解,比如说二十一分解成三乘以七,就是变成乘积的形式吧。还有像十八变成了二乘以三,乘以三。 上述两组等式表达了不同的意义。第一组等式呢,表示了两个整式的乘法运算。第二组等式呢,是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式。 那我们总结一下,把一个多项式表示成几个整式的乘积形式。比如说我们刚才的第二组, x 的 平方加三, x 加二,把它分解成 x 加二,乘以 x 加一,这样的变形过程就叫做多项式的因式分解。 其中 x 加二和 x 加一就是这个多项式的两个因式。因式分解也可以称之为分解因式。讨论,判断下列从左到右的变形中,哪些是正式乘法,哪些是多项式的因式分解。第一个呢,很明显是正式 乘法。第二个呢,一个多项式变成了两个整式的乘积,是因式分解。其中五 x、 y 和三加五 y 都是这个多项式的因式吧。第三个,也是整式 乘法。好,这个呢,也是因式分解。不过呢,它的因式就一个了, a 加二 b。 看到例题部分,检验下列因式分解是否正确。第一个,那你就逆向运算一下呗, x 的 平方乘以 x 加上根号二,是否等于左边的多项式呀?哎,正确的。 第二个呢,也是同样的逆向运算一下,发现呢,不成立,所以是错误的。第三个,第四个,都是正确。好,接着看一个活动,观察下面图形的剪拼过程,写出相应的等式。 谈谈英式分解与整式乘法有什么联系。来,看到这个句型,它的面积我就可以写成长乘以宽的形式吧,也就是 x 加二,乘以 x 加三。 同时呢,它又是由这四个小的句型构成的,也就是会等于 x 的 平方加上三, x 再加上这个二, x 再加上二,乘以三,等于六吧。来,左边到右边的过程就叫什么正式的 乘法,那右边到左边的过程呢,叫做因式分解。 所以啊,整式乘法和因式分解呢,就是一个互逆的过程。我们上面的例子有很多啦,对不对? x 加二,乘以 x 加一,用整式的乘法就会等于 x 的 平方加三, x 加二吧。好,然后反过来呢,就是我们的因式分解, 探求写出整式 a 与 b, 使得 a 等于 b 乘以 a 加三,满足条件的整式 a, b 可以 写出多少个? 那这不能写到天荒地老吗?无数个呀。比如说这个 b 我 取 a 吧,那这个呢,就会等于 a 的 平方加上三, a 好, 比如说这个 b 我 取 a 加一,那么左边的运算就会等于 a 的 平方加上四, a 加上三。 好,大家也可以自己尝试写几个来看。练习一,判断向量从左到右的变形中,哪些是因式分解, 反正最终因式分解的结果一定是整式的乘积形式吧。你想第一个这边有个加不对,第二个呢,是两个整式的乘积正确,第三个呢,是一个减不对,第四个呢,是加不对。 第二题,在下列式子的左边和右边的括号中各填入一个整式,是这个式子的左边与右边相等。好,那随便填一个,比如这边填 a 吧,那左边就是二 a 的 平方加上 a。 最后我们看到题型部分,第一,判断下列从左到右的变形中,哪些是因式分解来看,第一个肯定不是第二个,是的,第三个呢?也不是第四个,是的。第二题检验下列因式分解是否正确。 那我们就可以逆向运算一下呀,三 x 的 平方乘以四 x 减三就会等于十二 x 的 三次方减去九 x 的 平方,那么这个等号就不成立吧。好,同理可以验证一下,第二个应该是成立的,第三个第四个不成立,也就是只有二符合 第三题。已知多项式可以分解为 a 加二与 a 加四的乘积,求 k 的 值。那我们就可以把 a 加二乘以 a 加四,给他运算出来会等于 a 的 平方加上六, a 加上八吧,那么 k 就 会等于多少呀?八喽! 最后一题,十九点三乘以九分之一能被二整除吗?这个题是也太明显了吧,直接提取公因式,九分之一乘以 十九点三加上十六点七,就会等于九分之一乘以三十六会等于四,那肯定能被二整除了。好,这节课的内容就到此结束,我们下节再见。

哈喽,大家好,我是徐老师。最近很多初二的家长和同学都在问我一个问题,八下快学完了,原来教材里的反比例函数这张没了。那么接下来到底该提前学反比例函数,还是把八下内容在系统巩固一遍? 我的建议其实非常明确,县级段比起盲目抄前,更应该把新版八下真正吃透。因为这次浙江版教材改版,绝不是简单删掉一个单元,而是一次非常明显的中考导向调整。 反比例函数虽然后移到了九下,但与此同时,很多更核心、更影响中考得分的数学思想,已经提前下放到了八年级。 比如伟大定律由选学正式变成必修,以前跟与系数关系很多学校只是拓展,现在已经进入正式课时体系。它不仅会出现在八下期末,更会贯穿九年级综合题和中考代数压轴题。 这个知识点本质上是在提前做出高衔接,同学们一定不能再忽视。 第二个变化其实是这次改版释放出的一个非常强烈的信号,二次函数里的最值思想提前下放到了八年级。 新版教材在配方法章节中,新增了利用配方法求最值的例题,表面是在学方成,本质是在提前训练二次函数的核心思想。 浙江中考这些年越来越重视代数最值、配方变形和数学建模能力,所以初二阶段就必须把配方变形求最值这一整套思维练扎实。第三个重点是统计与数据分析模块明显加强,教材新增了离差、平方、 四分位数、相线图等内容,方差的推导过程也更加完整。这个变化非常符合浙江中考近几年统计题比重增加、阅读量增加的趋势。这些题往往难度不高,但特别容易因为概念不清而失分,属于典型的该拿却丢的分数。 第四个变化是教材更强调数学阅读与理解能力,比如二次公式部分新增了海伦公式等延伸阅读内容,说明现在的数学考试已经不仅仅考会不会算,更考能不能读懂材料、理解公式来源和逻辑。 八下的反比例函数删除,看起来内容是减少了,但实际上是把核心难点拆分,让学生有更多时间吃透一元、二次方程和平行四边形这些真正的中考核心模块。同时,几何部分把旋转整合镜中心对称,知识链条更连贯, 也更利于后续综合证明题的学习。最后给八下同学四个最实用的建议, 第一,重点突破配方法和最值问题,这是未来中考高频热点。第二,伟大定义和新增统计考点一定要练熟,属于高频基础分。第三,几何重点抓平行四边形与旋转对称,多做综合证明。 第四,重视课本例题和延伸阅读。现在中考越来越强调阅读理解和灵活迁移。 最后,评论区我会放上新版和旧版教材的核心变化对比图,大家可以保存下来,对照着看会更清晰。我是徐老师,一个教数学的爸爸,关注我,分享更多数学学习的干货!

大家好,我是肉哥,本期视频带大家梳理八年级下册这本书的核心知识点与考点。本册书的重点内容分为四大板块,它们分别是二次根式、勾股定律、平行四边形和一次函数。 教材全书虽然共划分了六到七个章节,但其余章节都是这四个章节的基础铺垫,所以在这我们就不再赘述了。接下来我们来看第一个知识点,二次根式。二次根式是七年级下册实数这个知识点的拓展。不过二次根式在初中和高中的考察都相对简单, 只需要掌握二次函数最基本的化简以及加减乘除计算即可。学有余力的同学可以去拓展多重根号的化简呀、共恶根式啊等二次根式相对而言延伸的知识, 但这部分的知识不会在中考,也基本不会在高考的考场上出现。所以可以说只要初一下学期的实数掌握扎实,那么二次根式这就不会碰到任何困难。 第二个知识点是勾股定律,它虽然属于几何板块,但本质却侧重代数计算。初中阶段的勾股定律难度较低,主要用于解直角三角形、三边关系。 常规的勾股定律考察都相对基础,但在中考中,勾股定律经常与原的综合题相结合,是原综合题目当中重要的解题工具。同时勾股定律偶尔也会出现在几何综合题以及新定义的题目中,所以对勾股定律有一个透彻的理解还是比较重要的。 第三个知识点为平行四边形。平行四边形是初中中较为特殊的几何知识,虽然平行四边形中有大量的全等三角形的考点,但全等三角形基础薄弱的同学,往往平行四边形也能学的还不错。 这是因为平行四边形的题目解法灵活,你只要能从四种到五种解法中找出一种,便可以把平行四边形的题目解决。但平行四边形也会有一些知识上的难点, 第一个难点就是你要掌握清平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系。如果学习方法得当,那么你只要学会平行四边形的性质和概念,矩形、菱形和正方形便都能迎刃而解。 但如果学习方法不当,你就会把相似的内容记忆四遍,明显加重记忆负担。此外,平行四边形还和中位线有着非常紧密的联系,而中位线是中考几何压轴题的关键考点,有将近一半的中考几何压轴题考察点都和中位线有关, 所以把平行四边形有关的知识和中位线掌握牢固,能够给后续的学习节省大量的时间。 第四个知识点是依次函数。依次函数是函数体系中最为基础的内容,但是很多同学都会在第一次学函数时碰到不小的困难。 一方面是函数的知识形式在小学和初中的前半段从来没有接触过。另一方面就是部分的老师会高估学生的理解能力,在一些关键的节点讲课速度过快,导致很多同学理解不到位。 这会导致出现一种情况,就是很多同学会做题,但是解释不清题目背后的原因。最常见的问题就是出现在函数和方程与不等式的关系上。当然有部分同学能够经过一段时间的沉淀自行理解, 但也有不少同学最后就选择生搬硬套机械做题。我这里的建议是,在最开始学习一次函数时就把函数掌握扎实,一方面是因为后期还有二次函数和反比例函数要学, 第二是因为上了高中之后会有很多和函数很像的知识点,也会用初中函数的思路进行解决。如果初中函数的底子没有打扎实,那么上了高中之后一样会十分痛苦。 整体来看,八年级下册相对八年级上册难度有了比较明显的提升。虽然八年级下册的单个知识点都比不过八年级上册的全等三角形,但整体来看,八年级下册的难度和八年级上册相比还是有了较大提升的。 在考试当中,八年级下册的期中和期末考试更容易出现依次函数和平行四边形的动点问题,这种更灵活的出法结合上新定义更难的考点,会使得很多同学在八上的基础之上成绩有了进一步的波动。 所以初一上学期数学考到九十五到九十八,初一下学期九十五,初二下学期八十五到八十八分的这种分数的逐渐下滑的状态是比较常见的。 另一方面,八年级下学期也是各个学校进度差异最大的一个学期。进度较快的学校八年级下学期就已经把初中知识接近讲完了,很多学校会在九年级开学后一个月到两个月就把初中知识解课了, 而进度较慢的学校只会把八年级下册这本书讲完后,再开一张九年级上册的内容,这就会导致九年级上学期要讲一本半书到将近两本书的内容,压力是比较大的。 希望各位同学听完本期视频后,能对八年级下册这本书以及八年级下学期的学校进度和重难点情况有一个比较清晰的理解。 如果你喜欢本期视频,希望你能够点赞、关注、转发给有需要的人,你们的支持是我做下去的最大动力。同时如果大家有其他的数学问题,也可以留言或者私信我,我会选择其中有代表性的问题专门做视频进行讲解。我是肉哥,我们下期视频再见!

八年级下册数学是不是越学越头大?二次根式勾股定律平行四边形,知识点碎又乱,上课没跟上,复习找不到重点,做题总卡壳,别慌。二零二六版人教版全册知识点总结来了二十页,浓缩所有考点,一错点解析技巧一目了然。 有电子版随时看不懂下单问客服,打印版直接邮寄到家。左下方小黄车赶紧抢,部分地区不包邮,手慢无。

同学们,上节课我们已经学习了正比例函数的图像与性质,谁能说说正比例函数的解析式是什么?老师是 y 等于 k, x, k 不 等于零。我们还知道它的图像是一条经过圆点的直线。 同学们生活中处处藏着函数规律,购买矿泉水时,购买数量也可发生变化,总价外也随之变化。这正是我们熟悉的正比例函数。 同学如果需要包装,还要加收一元包装费哦,我明白了,总价变成了 y 等于二, x 加一,这和我们之前学的正比例函数不一样了。 y 等于二, x 加一不再是正比例函数,而是我们今天要学习的一次函数。它和正比例函数仅有一个长数项的区别, 图像却发生了平移变化,这其中藏着怎样的规律呢?今天我们就一起来解锁一次函数的图像与性质,大家准备好了吗?

好了啦,嗯,好,就是你能够用我们的白话文,用我们现在的普通话来描述一下它大致的意思吗? 用自己的语言去概括一下。迷路吗? 那个他要去学习,然后,然后他他的,呃,他去车站,然后他他的父亲就跟他千金一万嘱咐,嗯,然后那个学子很有信心的去,然后他的父亲就很有希望,嗯, 那我回去,是不是,是这意思吗?那么通过这种设定,其实我们应该感受到平时在我们的生活实际里面,父母对我们的爱是一种何尝的感, 朴实的是不是?所以我们孝敬父母是我们这一种中华民族一个传统的美德。所以请同学们一起来啊,看下面一句话,有爱的, 有爱的地方就有家,有家的地方就有幸福,非常好啊,我们要学会感恩。好,通过这次这道题目,通过这首诗里面,下面我们把它转化我们的数学问题,用外国用字母来表示父父亲和学子在行进中离家的距离, 横着 t 表示时间。那么下面大字相同吻合的图像选哪个? c 选 c 好, 下面我们来看一下这个图像 是不是我们本章里面所学到的函数的图像呢?是是是,就说这里面是有两条,两个图像,应该是两个图像的合并的,是不是?好,那么我们先比如把这个拿掉去啊,这个拿掉去,所以这是我们本章里面所学到的函数的表示方法的其中一种方法。什么方法 对图像的好?那么在这道题目,在这道题目的时候呢,我们来复习一下。呃,在我们本章里面所提到的第一个函数的概念,老师跟你简单的说一下,就像我们刚才一样啊,一个路程,一个时间,有几个变量在里面,两个两个啊,一个是自变量,一个是 函数啊,也就是一面的是吧?一个字面,那么在这里面所提到的,呃,两个变量, x, y, 当 x 取一个确定的值的时候, y 都有唯一确定的值,与其对应,我们说 x 属于质变量, y 是 x 的 函数。好,那么请所有同学来看一下这道题目选哪一个 不是 y, 不是 x 的 函数的选哪一个? b 啊, b 不 符合我们概念里面哪一哪一点?嗯, 当 x 取一个确定的值的时候呢? y 都有几个值跟它对应的呢?那么在我们这个函数图像里面,你注意看下, x 取一个值,它有几个值?两个对,有两个值,所以在这里面我们要的是唯一确定的值,是不是。好, 所以这道题目选择了 b。 在 我们刚才的这个图像里面,我们知道函数表示,函数的表示方法啊,有几种呢?四、函数表示方法有几种呢?三种好 表示的方法,在我们本章里面我们学到几种啊? 哪几种?我们来一起来回顾一下,刚才我们第一种就是刚才图像法还有吗?列列表法还有吗?解析,对,那就有几种啊?三种。首先第一,第一个,这个是属于解析式的,这个是属于 列表法,在我们刚才的那个图里边是属于列表法,所以我们的函数的表达方法有几种呢?三种解析算法,列表法和图像, 嗯,非常不错啊,好,那么下面呢,我们来看一下我们平时在解析的过程当中啊,这个小兵同学呢,我们一起来看一下他做的到这样的题目,我们来做一个小老师来进行纠正一下,看他有误吗? 谁来举手?回答一下,他有污吗?他是你认为他好了没有?嗯,好,举手,我们大胆举手啊,没关系的,反正我们这里好,今天好,大家在在这里大胆举手, 他对不对?错,错,哪里错?在 k 不 能等于零, k 不 能等于零,也就是我们的减三减三,也就是我们在所前面我们这单里面所学的一次函数, 它的一般形式里面是 y 等于 x 加 b, 当中的这个 k 是 不等于零,而这里面把 m 等于正负三,正负三的时候,那么 m 等于几个数等于零呢?三,所以这个应该是错的,是不是 对,我们同学,我们在平时做题的时候呀,就说我们要看一下这个数字符不符合,属于一次函数,必须从几个方面,从哪几点去找?他 从哪几个位置去找?首先 ok, 还有吗?对,必须是几次一次,然后他的比例系数 k 必须为零,不为零啊,必须不为零, 那么也就是这里面的得知了这个指数为一,但是他同时还要保证他的系数为零。好,那么通过这道题目呢?所以我们知道啊,我们也这道题目复习到了我们的这张里面的正比例函数和一次函数。我们知道一次函数它的一般形式是 y 等于 x, x 加 b, 那么这里面的 y 等于 x 属于是什么呢?正数好,所以正比函数 k 属于叫做比例系数,叫做比例系数。那么形容 y 等于 x 加 b 的 函数叫做一次函数,叫做一次函数。好,那么当 b 等于零的时候, y 等于 x 加 b, 那 么这个 b 等于零了,就变成了一个 y 等于 x, 这是一个什么函数呢?正比,所以正比函数它是一种特殊的一次函数,它是一种特殊的一次函数。 啊,好,这是我们这张里面的知识点,这是我们这张里面的,所以我们要这里面可以注明一下,就是说 k 不 等于零,但是 k 不 等于 b, 可以 等于零吗?好,那么下面我们再看一下,再来复习一下这道题目。下面说到这道题目, y 等于 x 与直线 y 等于 x, 且 a 在 同一重要的大字图相似,你会是哪一个呢? y x 要个是吧?谁来分析一下? 好,你来分析一下 b, 选啊,不会要选你的意思,因为题目可知百二等于 ax 减 a, 一 般这个减的话就是就是在在这个平位,就是平行于另一条直线,且在另一条直线的下方,然后根据这个图像, a、 b、 c、 d 四个图像,只有 b 符合这个条件,是这样吗?好,有什么东西吗? 啊,又不等一下了,那应该选 c 啊,选 d 是 因为 y 等于 a x c, 它是经过二次相切,所以 a 应该是负数。好, a 应该是负数, y 二等于 a, x 减 a, a 是 负数,所以它就是在, 也就是说这个是正数,那么这个应该是经过一一二四四项线,一二四项线,这里有没有?有同时同时符合两个的,同时符合两个的又经过,这里是,你是说是小于零对不对?小于零同时经过 二次相切,又同时经过幺次相切的,这里面 c 有 没有?有,那选择的是 c? 好, 非常好啊,好,那么这里面你向 d 选项, d 选项,这个 可以选吗?不可以。为什么? y 等于 ax 和 y 等于 ax 减 a, 这两条直线应该是属于什么位置关系? t, 因为他们的 k 下, k 下的。 那么通过这道题目呢?我们来看一下啊,就是在我们本单里面我们所学到的好像 k 和 b 的 这个所经过的象限以及 kb 的 啊取得范围,我们同学好好,可以再复习一下,下面请所有同学看到我们的选案。完成第一个表格,快速完成第一个表格, 这是对我们这家里面一次函数和正例函数图像和性质进行一个简单的复 习。 你站起来,来,上来跟大家讲一下,没关系,再跟大家讲一下下面的这这两个,跟大家说一下。 第一个图像可以看出直线它经过一二三象限,然后经过一二三象限,它先把它还原成 y, k, x, 它就经过一三象限,所以 k 就 大于零,然后它的 k x 加 b, 它是经过一二三象限,然后所以它 b 就 大于零。 第二第二个图,它的直线它是经过一三四象限, 然后因为经过一三四象限,所以 b 小 于。 因为经过一二次相间,所以,所以必带一点。 看完以后,请来哪个同学来说一下它的大致意思是什么? 看完了吧。嗯,好,就是能够用我们的白话,我用我们现在的普通话来描述一下它大致的意思吗?用自己的语言去概括一下。 迷路吗?嗯,他要去学习,然后,然后他他的,呃,他要去车站,然后他他的父亲就跟他千金一万嘱咐,嗯,然后那个学子很有信心的去,嗯,然后他的父亲就很有希望,嗯, 然后回去,嗯,是不是?是这意思吗?那么通过这种设计,其实我们应该感受到平时在我们的生活实际里面,父母对我们的爱是一种责任感, 朴实的,是不是?所以我们孝敬父母是我们这一种中华民族一个传统的美德,所以请朋友们一起来啊,看下面一句话,用爱的语气, 有爱的地方就有家,有家的地方就有幸福。对,非常好啊,我们要学会感恩。好,通过这次这道题目,通过这首诗里面,下面我们把它转化我们的数学问题,用外祖,用祖祖来表示父父亲和学子在行进中离家的距离, 横着 t 表示时间。那么下面大字相同吻合的图像选哪个? c 选 c 好, 下面我们来看一下这个图像 是不是我们本章里面所学到的函数的图像呢?是是就是,这里面是有两条两个图像,应该是两个图像的合并的,是不是?好,那么我们先比如把这个拿掉去啊,这个拿掉去,所以这是我们本章里面所学到的函数的表示方法的其中一种方法,图像对图像的 好。那么在这道题目,在这道题目的时候呢,我们来复习一下,呃,在我们本章里面所提到的第一个函数的概念,老师给你简单的说一下,就像我们刚才一样啊,一个路程,一个时间,有几个变量在里面,两个两个啊,一个是自变量,一个是 函数啊,也就是应变了,是吧?一个自变。那么在这里面所提到的,呃,两个变量, x y, 当 x 取一个确定的值的时候, y 都有唯一确定的值与其对应,我们说 x 属于自变量, y 是 x 的 函数。好,那么请所有同学来看一下这道题目选哪一个 不是 y, 不是 x 的 函数的选哪一个? b 啊? b 不 符合我们概念里面哪一哪一点?嗯, 当 x 取一个确定的值的时候呢? y 都有几个值跟它对应的呢?那么在我们这个函数图像里面,你注意看 x 取一个值,它有几个值?两个对,有两个值,所以在这里面我们要的是唯一确定的值是不是好, 所以这道题目选择了 b。 在 我们刚才的这个图像里面,我们知道函数表示函数的表示方法啊,有几种呢?四、函数表示方法有几种啊?三种好 表示方法。在我们本章里面我们学到几种啊? 哪几种?我们来一起来回顾一下。刚才我们第一种就是,刚才图像法还有吗?列,列表法还有吗?解析,对,那就有几种啊?三种。首先第一,第一个,这个是属于解析式的,这个是属于 列表法,在我们刚才的那个图里边是属于列表法,所以我们的函数的表达方法有几种啊?三种解析算法,列表法和图像。 嗯,非常不错啊。好,那么下面呢,我们来看一下我们平时在解析的过程当中啊,这个小兵同学呢,我们一起来看一下他做的到这样的题目,我们来做一个小老师来进行纠正一下,看他有误吗? 谁来举手?回答一下,他有污吗?他是你认为他好了没有?嗯,好,举手,我们大家举手啊,没关系的,反正我们这里好,今天好,大家在这里,大家举手, 他对不对?错,他错哪里错?在 k 不 能等于零, k 不 能等于零,也就是我们的减三、减四,减三,也就是我们在所前面我们这单里面所学的一次函数, 它的一般形式里面是 y 等于 x 加 b, 当中的这个 k 是 不等于零,而这里面把 m 等于正负三,正负三的时候,那么 m 等于几个数,它等于零呢?三,所以这个应该是错的,是不是 对,我们同学,我们在平时做题的时候呀,就说我们要看一下这个数字符不符合,属于一次函数,必须从几个方面,从哪几点去找?他 从哪几个位置去找?首先 ok, 还有吗?对数必须是几次几次,然后他的比例系数 k 必须为零,不为零啊,必须不为零, 那么也就是这里面的得知了这个指数为一,但是他同时还要保证他的系数为零。好,那么通过这道题目呢?所以我们知道啊,我们也这道题目复习到了我们的这张里面的正比例函数和一次函数,我们知道一次函数它的一般形式是 y 等于 x, x 加 b, 那么这里面的 y 等于 x 属于是什么呢?正数,好,所以正比函数 x 属于叫做比例系数,叫做比例系数。那么形容 y 等于 x 加 b 的 函数叫做一次函数,叫做一次函数。好,那么当 b 等于零的时候, y 等于 x 加 b, 那 么这个 b 等于零了,就变成了一个 y 等于 x, 这是一个什么函数呢?正比,所以正比函数它是一种特殊的一次函数,它是一种特殊的一次函数 啊,好,这是我们这张里面的知识点啊,这是我们这张里面的,所以我们要这里面可以注明一下,就是说 k 不 等于零,但是 k 不 等于 b, 可以 等于零吗?好,那么下面我们再看一下,再来复习一下这道题目。下面说到这道题目, y 等于 x 与直线 y 等于 x, 且 a 在 同一重要的大字图像上,你用的是哪一个呢? y x 要个是吗?谁来分析一下? 好,你来分析一下。 b 选啊,不对,要选你的意思,因为有题目可知,百二等于 ax 减 a, 一 般这个减的话就是就在在这个平位,就是平行于另一条直线,且在另一条直线的下方,然后根据所有图像, a、 b、 c、 d 四个图像,只有 b 符合这个条件,是这样吗?好,有什么意见吗? 啊?又不同意解答,那应该选 c 啊。选 d 是 因为 y 等于 a x c, 它是经过二次相切,所以 a 应该是负数。好, a 应该是负数, y 二等于 a, x 减 a, a 是 负数,所以它就是在, 比如说这个是正数,那么这个应该是经过一一二四,经过什么?一二四四象限,一二四象限,这里有没有有同时同时符合两个的,就是同时符合两个的又经过,这里是,你是说是小于零,对不对?小于零同时经过 二次下线,又同时经过幺次下线的,这里面 c 有 没有?有,那选择的是 c? 好, 非常好。好,那么这里面你向 d 选项, d 选项,这个 可以选吗?不可以。为什么 y 等于 ax 和 y 等于 ax 减 a, 这两条直线应该是属于什么位置关系? t, 因为他们的 k 下, k 下的。 那么通过这道题目呢?我们来看一下啊,就是在我们本章里面我们所学到的好像 k 和 b 的 这个所经过的象限以及 kb 的 啊取得范围,我们同学好好可以再复习一下,下面请所有同学看到我们的选案。完成第一个表格,快速完成第一个表格, 这是对我们这家里面一次函数和正例函数图像和性质进行一个简单的复习。 你站起来,来,上来跟大家讲一下,没关系,来跟大家讲一下下面的这这两个,跟大家说一下。 第一个图像可以看出,直线它经过一二三象限,然后经过一二三象限,它先把它还原成 y 等于 k, s, 它就经过一三象限,所以 k 就 大于零。然后它的 k x 加 b, 它是经过了一二三象限,然后所以它 b 就 大于零了。第二第二个图,它的直线它是 经过一三四象限还原成外等于 k x, 则直线是经过一三象限,所以 k 大 于零,然后因为经过一三四象限,所以 b 小 于零。 第三幅图,直线它经过一二四象限还原成外等于 k x, 直线是经过二四象限,所以 k 是 小于零的,然后因为经过二四象,因为经过一二四象限,所以所以 b 大 于零。

新版八下数学最后一张把高中的分位数和大学的相像图加进来了,使得原本非常简单的一张就变得比较难了,这样一来,八下就没有容易的章节了,都很难。所以八下的同学们要加油!

之前学习过的整式和分式是大数式这一庞大阵营中的两大派系,而分式更是以他们顶足而立的第三大派系, 他们三者就像是位数无三国,三分天下,各有各的特点,各有各的知识体系,但是又不是完全各类开的,而是常常互通有无,彼此相连。 今天咱们就走进根式,谁做一下根式中最简单的解释,也就是二次根式,如下,这是我们本节课的学习目标。那根据昨天的前置任务呢?我发现有部分同学是没有完成的啊, 记住,之后呢要及时完成我们的作业。好在预习完我们的二次根式以及复习了平方根之后, 我们知道一个正数有两个平方根,题中正的平方根绕出五个平方根,零呢?没有一个平方根,你有 一个平方根,并且我们规定您的算数平方根为零。负数呢?没有平方根,负数是没有平方根的。好,根据以上的复习,我们来观察下面三个一等会请一位同学来告诉我,你的一题的作答过程是为什么? 有没有哪位同学告诉我你的第一题的答案?为什么?你怎么得出来的?恩子阳根号三,根号三,过程是什么呀?圆的面积是 pi, r 的 平方, pi, r 的 平方等于三, pi 等于三。 pi, 那 好,我们 r 的 平方等于三,往后 r 就 等于根号三, r 等于根号三。当我们本身等于三的数有哪一些啊?根数是 正负九吗?正负根号三,但由于我们这里是实际情况,所以而只能等于等于根号三。我想问一下,我们的根号三是三的什么呀? 算数平方根应该是属于三的算数平方根很好,坐下来,那我们来看走下个题答案,根号 s, 好, 坐下来,那最后一个呢?记得根号 s 很好, 那我们对于这三个数观察一下,他们分别代表什么样的含义,分别表示什么样的含义呢?表示一个数的平方平方根, 我们来看一下,比如我们的根三根,在这里强调没,它是三的对算数平方根,那往后 s, s 是 我们根号 s 的 平方根,以及最后一个谁的算数平方根,它们分别是我们三 s 还有五分之 h 的 算数平方根,它们有什么样的共同特征呢?都带有共同特征,这是第一个特点,都带有根号。还有呢,根号里面不能为负数,也就是我们的被开方数 都是等于等于零的数。那我们之前所学的算数平方根就是本节课所要学的二次根式, 它的定义为,一般的我们把零如根号 a 的 a 大 于等于零的式叫做二次根式。其中我们这个符号叫做二次根号,你读两遍你。 一般的我们把形如根号 a, a 大 于等于零的式子叫做二次根式。奇根号称为二次根号。 一般的我们把形如根号 a, a 大 于等于零的式子叫做二次根式。奇欧根号称为二次根号。祝朋友们 呃,看一下我们有没有一个数的平方等于 a, 那 我们这个 a 一定是什么情况等于数,或者也就是我们的 a 大 于等于零,所以我们就说我们的一个数的平方是不存在等于一个负数的。 那接下来我们来认识一下关于根号 a 它的各个组成部分。首先他不做什么呀?根号 a, 他 平做根号 a, 那我们上面的号叫做二号,应该是叫二号,那我们可以打起编号的左上角,我们的 a 左有没有条条 a, 我 们已经认识到了二四了, 他的是饭团,饭团 baby no 啊! amazing! amazing! amazing! amazing! amazing! amazing! amazing! amazing! 好, 看一下我们萧杰瑞呢,是不是全部答对,还有加油的啊?来,萧杰瑞来告诉我们,你在做这个题的时候是怎么判断我们其中三个式子不是二次根式的那个?第二个的,他的上面是反, 他是开了三次,三次他不是开二次。第三个式子下面的背靠分数五减 m 减五的话,不能等于零 就大于等于零, m 就 大于等于零,所以 m 就 等于五,所以第三个就错了,是负数,如果 m 一 号的话, 那个对方是负数,听懂没?听懂了吗?好,我给你啊,在视频的答案上你要完成。那对于这一个题我们讲完了之后,接下来第二, 当 x 取和值时,向量根式在平方范围内有意义。我们需要知道一个问题啊,要想根式在平方范围内有意义,我们结合定律,应该要求被开方数大于等于零。康老师想问一下, 第一个他的被开方数应该是为什么呀? f 二好, x 减二,他的被开方数,老师问的是第二个呢? 第二第三个呢?好,那我们来看老师做一下我们的第一,各位同学都来看一下我们的反出第一个,抬头看一下过程以及步骤是非常重要的,我们是要求被开方数大于等于等于,所以是 因为 x 减二大于等于零,所以大于等于二。 所以后面一个步骤是,当 x 大 于等于二十,我们根号下,我们根号 x 点二在人数范围内,我们是这样的,我们也要这样去记啊。那好,对于第二个题, 我们点名的形式啊,来几位同学在黑板上来完成,其余的同学完成倒数啊。两个题,刚刚肖杰瑞已经上来了,好,接下来,然后我们其余的同学在我们, 在我们这个上,在我们的导数二上完成。按照我们这个题,你是怎么做的?其实呢,我们的答案的过程呢?今天我们学的主要是二次根,是吧?我们是要求被开方数, 他的 x 减二分之一应该是要等于等于零,这是我们本身今天学的二次根是能来的吗? 但是由于我们是分式,所以他的要求中应该是 x x 点二不等于零,所以我们的第一步应该是因为 x 点二分之一等于零,且 x 点二不等于零, 所以我们才能得到 x 点二大于零,所以答案。但是他的后面,前面啊,比如我们条件你可以开始的时候你知道的。那我们的第三题呢?有没有哪位同学来告诉我,你的答案是 我们的女孩听懂没听懂。但是呢,我们在这里强调一下,关于我们对一个被开方数,它是为一个平方数,那平方数一定是正数吗?非负数,所以我们就能够得到 它大于等平的,满足我们二次根式被开方数的条件,所以我们在这里来数为任意数数, 自己掌握的题目怎么样了?可以的话我们就来看下面这个题,在这里请同学们在我们的平板上完成啊。 关于第一个题呢,我们说当 m 取螺值时,灯泡 m 加二或时速放的又有意义,我们本身就要求备胎方说干嘛呀? 非开发,这是什么情况?非部署 n 加,那我们是选择的哪个选项呢?选错了的自己看一下, 我们下一个题还可以,有错误的同学可以下课的时候再找到评论。我们在任务中就已经布置了啊,现在下小球,以小组为单位,寻找周组小兵上边一下啊。哎,我们小组取消了啊, 来给大家,有一组提交了,到五组提交了,还有两组呢,来我们来看一下,这是我们刘文英这一组的,往后看一下啊,我们平时来看一下这个题, 我们只要求有哪两个处过程,哪两个过程在这里都把,你这不可以的啊, 那我们就找一组的来填一下。我想问他都是二次根式吗?这里的这个不一定, 因为我们比如说来看他的第二个根号 x x, 我 们能直接看到他是二次根式吗?不能,我们要写什么呀?等于等于零的时候才可以对不对? 所以请同学们接下来任务就是将自己构造出来的啊,构造出来的是不同的二分式。好,嗯,对,我们的二分式在这个了解的来看一下宝宝比 例要求是独立思考两分钟,然后我们的小班就完成 第一题,第一题是任意使出加第二题是五条,第三题是任意使出第四题的。有没有哪位小组 哪个小组告诉我第一个面积题的,还有一个听懂没?听懂了,我们的这里到 说 a 减二的平方大于等于零,所以我们的负负号 a 减二,它的平方小于等于零都不能为负数,只能为等于零的时候,也就得到 a 等于二。 第二个呢?来,我给你, a 等于 a 的 平方减二, a 加二等于。 哎,听懂这一个题没?听懂了,他主要是在这里骗的方,对不对?那我们以后遇到这一类型的题,记住啊,要求取我们这一个范围,一般遇到了这样的情况都是要进行配方的。 好,非常好,接下来对于第三个了,来,你再去 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于 a 等于二啊, a 减二不等于零,所以 a 不 等于二,所以 a 大 于二。这里它是我们念了一个不等式组啊。 好,最终的答案是 a 大 于二,过关的,我们在这里的学习中提示之前就有捷径到了啊,我们算出平方根,它有什么样的性质啊?算出平方根就有什么样的性质啊,这应该是包容非对称。 那我们的二次根式呢?他说也是这样双重补起的二次根式,他的双重体现在哪里啊?他的双重体现在哪里?被开方数要大于等于零,并且呢, a 要求我们自己本身根号 a, 他 也是大于等于零的,可不可以得到?可以得到啊,他的双手已经在这两点我们初中阶段学习过的分不清的式子有哪一些?绝对直啊,绝对直平方,还有以及我们今天所学的二次根。 好,我们老师出这样一个题,根号 a 加我们 a 的 绝对值,加上根号 b 加上 c 的 平方,要是它等于零的话,请问我们有什么样的计算? a、 b、 c 都等于零, a 等于零, b 等于零, c 也等于零。好,那接下来看这样一道题,能不能快速给出第一个题的答案。可以第一个来,这样这样 a 等于三啊,最终的答案呢? 很好,接下来我们看一下反出在这最终的答案为三。好,下一个题请同学们自己思考,肯定有同学出答案了啊, 二零一九,对吧?所以答案是二零九。好,接下来我们在今天的学习中,有没有哪位同学能告诉我,你学到了哪些 知识点?我们所学的一是定义,二是他的性质,对不对?请做特别好。我们来把我们的二次根式能不能与我们的平方根以及算数平方根相结合。首先,我们如何从平方根到算数平方根? 他应该是我们什么情况下是算数平方根啊?根是根的吗?非数数呢?对,是在非数的情况下就能得到我们的算数平方根。那我们的算数平方根到我们今天所学的二次根式,其实是一个数到式的过程啊,也就是到我们一般的一个过程。 阿克森,是呢,他主要学习了他的一个双重背负性,利用到的是分类整体转化的思想,其实都是一步一步得来的。同学们,我们记住,山再高呢,往上攀总能登顶,路再长,走下去定能到达。

生活中有很多有趣的变化现象,就像这辆匀速行驶的小汽车,它的路程和时间藏着我们学过的数学规律。我们知道,路程 s 等于速度 b 乘时间 t, 当速度不变时,时间越长,路程越远,这就是正比例函数的变化规律。 可如果两辆小汽车的行驶速度不同,其路程随时间的变化率也存在差异,仅通过文字描述与公式推导,难以直观呈现这种差异。 在数学领域中,有一个实用的格式化工具,可将这种抽象的变化规律转化为直观图形及函数的图像。本节课我们将共同探索正比例函数的图像与性质,熟练掌握这一格式化工具,深入理解正比例函数的变化规律。

当中有很多的量是固定不变的,比如说我们的课桌高度,我们教室里面的面积啊,我们书本的长度宽,但是也有很多是变化的,比如说我们的身高、体重, 我们的气温,那么这些变化的量,他们会有着什么样的关系?这就是我们第四招,所以也就的一个内容。首先我们看一下这几个学习目标。第一个我们要能够理性生活,实际通过具体的情景领悟函数的概念, 了解什么叫常量级。第一个从图中可以看出,我们凌晨四点的气温是多少, 我们一起了啊,元素的气温是多少?十度数,十四时的气温是二十度,那么在这个问题里面变化的量是什么?时间和温度的时间和气温 好。第二个问题,当正方形的边长取不同的值的时候,它的面积分别是多少? 第一个到变成为一,面积为一,变成为二,面积为四、九、十六、二十五、三十六、四九。那么在这个里面变化的量是什么?变变长的面积, 那么如果用 x, 在 这三个问题里面啊,比如说我们加一个 x, 如果这个 x 取一个具体的值,比如说我们去加油,对吧?我加三十升,那么对应的这个费用是不是就是一个具体的数, 这是一个具体的数值,比如他,你这是一个确定的数值,对不对?那么怎么样呢?我看多少书到 x 取一个具体的值,那么看了多少页, 就是是不是这个算出一个具体的数字啊?当然这个也是一样的,如果这个边上确定,那么我们的面积会有一个值跟他确定吧。所以这三个问题啊,就是我们这边要取一个值的时候,这个 阴变量会有一个确定的值差,所以这一个叫做唯一确定,就是唯一确定, 所以我们再给出一个函数的概念来。那什么叫函数呢?好,这三个,这是一个函数关系啊,我们的函数就是我们的变量是另外一个变量的变化,并且对于质变量的值, 这个音标会有一个唯一确定的值与它所对应,那么我就称这个 y x 函数,我就得到对应的概念。 好,我们去看一下啊,一个变量 y 是 我们的音标嘛?随变量 x 的 变化而变化,并且对于 x 的 每一个值, y 都会有唯一的值与它对应,那么称 y x 函数。 记住,这个方法我们没见过的啊。反对 f, 所以 特别注意这个 f, 它不是 f 乘以 x, 那 你一悟,很多同学会悟到 f 乘以 x, 那 不是一样的,这个 f 表示的是一种对应关系, 那为什么用 f 表示呢?因为我们的变量它是不同的呀,对吧?我们我们气温从时间的变化有变化,你的变化变化,这个变化的规律是不一样的,对不对?我们很多变量和变量之间的关系, 他是不同的关系,知道吧?啊?所以比如说我们啊,你像我们的这个电话费,选择你的通话时间的增加,那么你的电话费也不增加啊,刚刚讲的,比如说你家里用水,你用的用水量的分数, 是吧?一增加,那么你所需要的水费也不增加,那么当他们之间肯定不是一样的关系吧。 啊?单价不一样是吧?就是收费不一样啊,就算这个电话费他也会有不同的收费方式,有的是包月,像我的啊,一百六十九块钱包月,对吧?一个月不管你打多少分钟电话,反正就是一百六十九块钱 啊。第二个有的是没有包月,就是你打好的电话就收好的钱,所以他是有不同的变化规律的,所以具体是哪一种我不知道,是吧?我就知道他是函数关系,那么对应的不同的函数就有不同的关系 啊。我们初中阶段,比如说要学一次函数,要学反面函数,要学二次函数,那么它们之间的 y 与 x 对 应关系不一样啊,所以我们现在只能用一个 f 来表示这种对应关系,具体怎样,那我们就要看具体的函数是一样的,所以大家这里要特别注意。就是啊, 我这个函数它并不是数啊,不是我们的什么有理数啊,无理数啊,实数啊,它不是数,它是一种对应关系, 至于是什么样的关系,那我们碰到具体的函数,我们就知道有几种什么样的关系啊。当然对于质量,就是每个指数 a 乘以音标对应的函数值,我们就记住 f a, 那 么这个 f a 也不是 f 乘以 a 啊,具体怎么算,我们就看这个函数是长什么样子的。 好的,这里特别特别重要的就是这个 y 必须要往 a 对 应,这个 a 对 应什么意思?就是一个 x 可以 一个 x 对 应一个 y, 也可以有多个 x 去对应一个 y, 什么意思呢? y 等于 x 的 平方, 那么 x 等于二,等于负十, x 等于负二完成这个是呢?这个是完成 x。 函数是两个 x 跟一个 y 吧,但是不能让一个 y 等于两个 x, 比如说 y 的 比根值等于 x, 那 么 x 等于一个 x 等于 x, 那 么两个 y 等于一个 x, 这个就不行了,这不能是完成 x 的 函数啊,你只当一节 对应的关系。更准确的说法是,在一个变化轮中,如果有两个变量 y, 并且对于 x 的 每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与其对应。那么我们就说 x 是 四变量, y 是 x 的 函数。 如果当 x 等于 a 时, y 的 b, 那 么 b 叫做将四变量的值为 a 时的函数值。 每个字我都认识,怎么连起来,我就不明白说的是啥了。别慌,小场面。你们不理解这个定义,是因为你们还没有理解唯一确定和方面的含义,因为是一道牌, 唯一可确定。这个就是我们这节课的重中之重,大家竖起耳朵认真听啊!简单来说,就是每一个 x 值只能用一个 y 值与之对应, 比如 y 等于二 x 加一幺 x 等于一十, y 等于三幺 x 等于二十 y 五,以此类推。我们发现,不管 x 取什么值,就以 y 是 x 的 函数吗? 好,我问你一下, y, x 再加是吗?是是是是是是是吧?是 是。两个 x a 一个 y 是 可以的吧? r 是 a, 我 们给它一个值,会发现只有一个 y 值与之对应,所以 y 是 x 的 函数。现在函数的函数关系也应该会了吧。 但是同学们要注意,不是所有函数关系都能用这样的式子表示,例如 n 会随着时间变化而变化, 一个时间对应这个温度,说明温度是关于时间的,但是他们之间的关系啊,却很难用尺子表示出来,所以像这样不能用尺子表示了,爱的关系大家也要能判断, 知道了什么是唯一确定,我们再来看,这样就容易多了。如果说 i 值是随着 x 的 变化而变化的,那么起主导作用的 x, 所以 x 就是 自导变量, 就像圆的面积随着半径的变化而变化,那半径就会变亮,温度随着时间的变化而变化,那瞬间就少变亮。 你们现在对这个概念的理解啊,最重要的就是这个唯一确定,那这个函数的概念它本身也是经过很多很多年这个数学家不断的去探索,当然以后我们到高中,到大学可能对这个函数概念也会有一定要我们等一下到最后的时候再跟大家分享。 好,我们对这个小的特别有幸来普及一下刚才我学的函数的概念。第二个公式, x 等于四三的时候,那么这个公式没有意义,这个公式没意义,那么就是说它的自变量值不大于 x, 不 等于三呗, s 不 等于负三,但是他满不满足。把 s 变化的变化我们直接看,第一个是两个变化 s, 第二个一个变化是另外一个变化的变化的变化, 满足吧。第三个为确定,就当 s 取一个值时候, y 是 不是有为的值,你能对应满足吧?满足满足,所以第二个是的,是的,所以好第二个和第一个,第二个是,而且第三个是因为第三个不满足,这个为确定 啊。这个图是遗忘曲线图,遗忘曲线图就是我们所学的知识,经过一段时间以后,它会慢慢的减少啊,所以我们要合理的安排我们的复习只有重复,有规定的重复记忆 啊,重复计才是最有效的计天才是重复事实最多的人,所以我们要给我们的一个遗忘,做斗争的话就及时的去复习,为什么我们学员要反复的去默契,是吧?为什么课代表的学员背首背,背,你就是为了我们的遗忘做斗争,否则你过了很长时间再去背,再去努力, 人就忘的差不多了,是吧?这点也没有困难,如果你及时的去复习,他马上就升上去了,对吧?你不升上去 啊?再跟大家思考一个问题,根据我们刚刚所学的知识,你能不能举出一些生活当中函数的例子,对吧?呃,七七哥写的时间变化啊,八十度 啊,速递用的前数随着一次的那个走的路程而变化。对,你像我们,你就比如说我们一样,我们吃的是 六块吧,起步价是六块,在两公里以内就是六块钱,在两公里以外,每超过一公里是不是加上两块? 那么这个函数 y 是 怎样怎样的知道的吧?比如说我们的费用是 y, 我 们的路程是 x, y 等于什么?至少是六块是吧?再加上 x, x 减。

八年级下册的五星学霸人教版测评来了,还有很多家长让我测评 北师版和护教版。关注我啊,我发现很多点赞我和收藏的没有关注我,关注我,后面都会更新北师和妇科还有护教。我们先说八下八年级下册五星学霸啊。首先我觉得八下的这个书呢,就比七下要好很多, 因为七下我觉得题目没有那么多难的题,但是八下其实数学就已经很难了。废话不多说,直接来划重点,第一个板块二次根式我只推荐专题七。第二个板块勾股定力,我推荐专题五六七九,章末检测的推荐二十二十一,二十二,主要强调勾股定力的应用。 然后重点来了啊,我们知道八年级下册最难的是四边形的几何和函数,所以我非常喜欢这个八年级下册人教版,他在呃第 二十一点三,特殊的平行四边形,我推荐他所有的章节,从专题十到专题二十五,矩形的折叠问题,一直到正方形的动点问题,这个专题划分的非常的详细,而且我觉得是很有必要。然后就来到了函数章节, 依次喊到前面的部分是相对比较基础的,我觉得没什么好说的后,我特别推荐他在章末检测这个板块推出的专题,我也推荐他所有的专题, 从章末检测专题十一到专题二十五。我们知道整个八年级他的难点,八年级下册数学的难点就在于四边形的几何和一次函数对不对?而我觉得这个五星斜杠,他在特殊的平行四边形专题十到专题二十五,以及函数的二十三张 章末检测专题,十一到二十五这两个板块都总结的非常的细和非常的好。所以说如果你用这两本书,你就重点,如果你要用五星学霸八年级下册,你就重点做我说的 平行四边形章节的大专题和函数的章末检测大专题。注意啊,含函数前面四个简单的章节我是不推荐的,你只做后面章末检测的大专题。好吧,这是我对八下五星学霸的一个测评,整体上其实我还是非常推荐这本教辅,还是很不错的。