立体几何见不了戏怎么做

立体书结构搭建如果你会做这个，会做这个，那你一定会做这个，也会做这个。如果你会做这个，会做这个，那你一定会做这个， 也会做这个。如果你会做这个，会做这个，那你一定会做这个， 也会做这个。如果你会做这个，会做这个，还会做这个， 那你一定会做这个，也会做这个。如果你会做这个，会做这个，那你一定会做这个，也会做这个。

这一期我们来到例题几何每年高考数学必考之际，来，我们来看到一个例题几何的大题啊，例题几何呢，是在每年的高考数学里面雷打不动的一个大题啊，这个分值呢，也是比较高，他是每年都会必考的一个题型。 第一问呢，一般都是让我们去求证，让我们去证明一个一个东西，对不对？第二问呢，很大概率会出一个二面角相关的知识，对不对？让我们去求这个二面角对不对？好，我们看这一题怎么去做来解。 第一问，那我们去求证，那我就证明如下，好，我们先把题目读一遍，然后再把题目已知的条件在这个图形上都标出来啊，来，三人台， a， b， c， a， e， b， c， e， 好， 我知道了，这个是个三人台对不对？那 a， a 一， 它等于二， a， a 一 是哪里啊？在这 a、 e、 b 呢，也等于二， b， e， b 呢也等于二， e、 c， e 呢，等于二，根号三点 m 是 a， e、 c， e 的 中点点， d 呢，是沿 ab 上靠近 b 的 一个四等分点，然后呢， b， e、 d 垂直 ab， b， e， d 垂直 ab， 那 它这里就是一个垂直的，对不对？ 好， b， c 垂直面 b， c 在 哪里？ b， c 在 这，它垂直面 a， b， b， a 就是 垂直后面那个面吧，对不对？好，我们看这里有一个垂直，然后它是个三棱台，所以我们能得到什么？ a， e、 b、 e， 它会平行 ab 吧，对不对？那就是由题可得， a， e、 b、 e， 它会平行 ab。 好， a 一 b 一 平行 ab， 然后呢， a 一 a， 他 又会等于 b 一 b 等于二，那通过他们两个我们得什么呢？是不是？ a 一 b 一 b a， 他 是一个等腰梯形啊？好，那等腰梯形我知道了，来，我先做 a 一 点的一个垂线，那就什么做 过 a 一 ab 的 垂线于点一。好，我过 a 一 去做 ab 的 垂线，是不是这一根，这里是垂直的，对不对？这里是个 e， 好， 我知道他的关系。来，我们看他是个等腰梯形， a 一 b 一 呢，他又又会平行 ab， 然后 d 为 ab 的 四等分点。好，他为四等分点，然后 a 一 b 一， 他又会平行 ab， 所以 这些上面的已知条件我们可以得到什么呢？ a 一 b 平行于 ab， 对 不对？然后呢，还有什么？ a 一， 它垂直 a， b， b， e、 d 也是垂直 a、 b 的。 通过这些我们是不是可以得到 a、 e、 b、 e， 它会等于 e、 d 等于二，对不对？ 好，这里是个二，然后它是四等分点，那我通过它们俩是可以得到什么呢？是不是 a、 e， 它会等于一 b、 d 也会等于一？好，我先把它标在图中，这里等于一，这里等于一。好，这些是我们目前已经知道的。来，我们看 b、 d， 它垂直 b、 d， 然后呢？ b、 e、 b， 它又会等于二， b、 d 呢？它等于一。好，我们可以得到什么呢？它们三个的一个已知条件。好，它是不是个直角三角形啊？直角三角形，它是斜边，对不对？那就是 b 一 d， 我 们可以算出来吧， b 一 d， 它会等于几？斜边的平方减去另外一条直角边的平方，那就是等于根号三，对不对？一眼也能看得出来。好， b 一 d， 我 知道等于根号三，好，我们再来看，这是个垂直，那我题目让我们去求 a、 b、 e， 那 我是不是可以先去把它长度算出来？它的长度我发现 a 是 不是跟它一样的道理啊？跟这上面一样的道理对不对？那就什么 a、 d 等于几？ a、 d 等于三， b， e、 d 等于根号三，然后呢？ b、 e、 d 又会垂直 a、 d， 那 我是不是通过它，我可以算出什么 a、 b、 e， 它会等于几啊？是用它的平方，就是用这个 b、 e、 d 的 平方再去加上 a、 d 的 平方嘛，再开个根号对不对？那就是根号几啊？ 三的平方等于九加三，那就十二，根号十二，那就是二，根号三，对不对？好，这里是二根号三。 ok， 我 这些边我都知道了。来， a、 b 一 等于二，根号三 b 一 b 等于二， a、 b 等于四。哎，我发现它的平方等于几啊？十二，它的平方呢？等于四，它的平方呢？等于十六，是不是刚好是勾股定律啊？那我们是不是可以知道 a、 b 是 斜边的，就是 a、 b 一， 它会垂直 b 一 b， 对 不对？好，这里我知道它垂直了。题目还告诉我们什么已知条件呢？来， b、 c。 来，题目还告诉我们什么已知条件呢？来， b、 c， 它要垂直，它会垂直面 a、 b 一 a 一 里面通过它我可以得到什么 b、 c， 它要垂直于 a、 b 一 吧，然后呢？哎，我发现 a、 b 垂直它， a、 b 又垂直它，然后呢？ b 一 b 交 b、 c 于点 b 来。通过这些我们是不是可以得到一个什么 a、 b 一， 它会垂直于面，哪一个面？ b、 b 还有个什么 b、 c 好。 来， b e， b、 b、 c 啊，这一个面，那我就是它会垂直于面 b、 e， b、 c， 对 不对？然后面 b、 e、 b、 c 呢？它又是包含在面 b、 e、 b、 c、 c 里面嘛？好题目了，我们去求 c c 一， 那 c、 c 一 在哪里啊？ c c、 e， 它是包含在面 b、 b， c， c、 e 里面。好，通过这些我是不是可以得出 a、 b、 e 它要垂直于 c、 c、 e 了？那是不是刚好是我们题目要求的求证的好，第一问解决了，其实这里的话，真正答题的时候呢，是可以省掉很多步骤的，像这里啊，以及这里啊 跟这里它都是可以做一个总和，它不用每一步都写出来啊，不用每一步都写出来，然后这里像，像这个 a、 e 已知条件啊，或者是 b、 b、 e、 d 的 已知条件。这里不是又有一个 b、 e、 d 吗？我可以把它挪到这里去，然后最后在这里打一个括号，它能省掉很多步骤啊，这一个也可以不用去写啊，这个在做题的当中呢，可以不用去写这么多步骤，这里只是我为了讲解，所以我写的比较细啊，那我们接下来看到第二题。

接上期视频，我们这期继续分享，如果你在考试中，你的大题做不出来，那我们怎么去骗阅卷老师的一个分数呢？那想要骗分呢？那首先肯定得要是证明题目对吧？因为如果是计算题目，那你算错了，应该是骗不了咱们阅卷老师的。 所以说我们这里就从立体几何为例，那立体几何第一问呢，通常就是需要我们去证明这样一个关系， 那如果你第一问实在你证明不出来，那你就直接去看第二问，那如果第一问和第二问他是相关的，就第一问的证明他可以在第二问中使用， 那你直接把第一问的结果当做是已知条件，把它带入到第二问里面去看看第二问他是不是能够直接就做出来，是不是需要做辅助线。那第一种情况，那就是如果他这样一个题目，他就直接可以做出来，他不需要任何的辅助线， 那你在证明第一问的时候，那你就可以顺着他的条件写，写一些你觉得他可能存在的一些垂直或者平行关系，然后就直接把它挣出来，然后就这样写，那你第一问挣出来，那你第二问就可以直接把它当做已知条件，把它带进去计算了。 那如果你运气比较好，语文老师通常阅卷也比较快啊，他看你第二问直接就算出来，那可能第一问他就不会这么仔细的去看，那可能就直接分数就给你了。 第二种情况呢，就是需要做辅助线的情况，但是你又不知道这个辅助线应该怎么做，那我们就把第二问题目中提到的一些点或者线的关系，我们就把它没有连接的就给他连接起来，连起来之后呢，我们就把第一问当做是已知的情况下，我们看能不能推出我们 这些我们新连接的这一些点，或者是线段的这一些关系。那如果能逆推出来呢？那我们就直接在证明过程中，我们就直接把这一个证明关系就给他写到第一问里面去。 我们以这道高考题为例，题目第一问要让我们证明线面平行，但是如果我们找不到方向，我们就把第二问中出现了角度，但是线段没有连接起来，那连接起来之后呢，那我们就可以发现 那 e 点是中点，所以 o 点边也是中点，所以说你在这样一个计算的过程中，那你就直接把 o 点当做中点去计算， 然后第一问就用逆推过去，你就推出 o 点是 b、 d 的 中点，那所以说呢，它就是中微线，所以说它就平行有这么一个线面平的关系，所以说那你第二问你就直接拿过来用， 那这样写了，那你第二问做出来了啊，如果你第二问做对了，那这样阅卷老师一看你自己题目中该连接的线也已经连接起来了，那基本上就是会有一些分数的。所以说碰到立体几何的证明问题，那如果第一问不会做，那我们千万就不要把它给就给放在那了， 我们尽量多写一写，因为你这样多写的话，肯定是能骗到咱们阅卷老师的一些分数的。

你们都觉得立体几何很难来看这个 线面，它们的空间位置关系清晰的不得了，从上往下看，从下往上看，从左往右看，不管哪个视角，想怎么看怎么看，立体几何还难吗？

我查 ai 查不到， ai 查不到，但是我给做出来了，我们要研究这么一个问题，如果这个正多面体啊，正多面体呢？能长知道的，能长知道了， 那么他的啊，外接球的半径啊，我们用二表示啊，内切球的半径，我们用小二表示，他的能切球的半径，我们用二二零表示， 怎么样用 a 表示出来呢？因为你的 a 的 长定了以后的时候，那么他的外接球的半径，他的内切球的半径，还有他棱切球的半径就固定了，就可以用这个棱长啊来计算出来了啊，那么这个公式怎么计算？ 我查了查这个，这个 ai 啊，这个结论是有，但是它没有证明的过程，没有推导的过程啊，包括元宝啊的 ai 啊，这是我都查过了， 你查不到，为什么查不到呢？因为啊，我们推导这些式子的时候需要画图，这个图是很复杂的，大家看看我做这个答案呢，是吧？你们看看这个图啊，这个图， 这个图就是正十二面体啊，正十二面体在这个平面上的示意图啊， 大家注意啊，我们在纸上绝对画不出来啊，这个三维图形画不出来，他差一维呢啊，差一维呢，我们只能画一个平的面的一个示意图，大家看这个图是很复杂的， 我们要通过这个福字这个图，我们去推到这个公式的时候，我们需要啊，很多知识啊， 做出来的呢，那就是我通过啊，我做的这个空间模型啊，这个这个三维这个模型，我找到了一个平面， 我这个平面的这个边呐，我都用红的表示，大家看这红的从 a 开始， a， b， c， d， e， f， 大家看是不是这么一个也算一个平面呢？大家看这个啊，这，这是正二正二十面体，我也找出一个平面来， a， b， c， d， e， f， 又回到 a 这了，就是一个完整的平面啊， 大家看这个正八面体，我也找出这个面来了啊，啊， ab 啊， b 在 这呢，然后 c 在 底下呢， d 回来了啊， 大家看见这个吗？找出这个，这个算，这个算这平面的，这个六也一样，大家看，从从 a 开始啊， a 从这开始，从 a 再到哪呢？ a， e， g， 啊， c， 大家看，这形成了一个完整的啊，这是正四面体，这个啊，这个面也找出来了， a， d， b， 或者说 abd 也行，大家看这个红线构成的这个面，那我为什么要找出这个面来呢？ 也就是说这正多面体，他的外接球半径 r 啊，大小的 r， 他的内切球半径小 r， 还有他内内切球的半径啊，大二零都在这个面上，都在这个面上，并且他的这个棱长啊，也在这个面上， 通过这个面，我很容易很直观，很快的就可以把他们的关心式子推倒出来了， 因为我有一个实物，有一个啊正多面体，他的三维的啊，真正的石图， 在这个图上，我就可以把这个重要的面，我就给他找出来，找出来以后，在这个面里头啊，在这个面里头，我就可以找出来啊， 这个边长啊，棱长和那个外斜球半径，内斜球半径，还有啊棱斜球半径，他们这这关系，很容易就找出来了这个答案啊，我给出的这个答案就是啊，这个血 啊，这个求做啊，求解的过程，所以我不仅仅是光推出来啊，这个三维啊模型，而且要有答案能解决啊，这多媒体啊，一些主要的问题啊。

咱们很多同学做立体几何会说没有思路，实际上这个东西确实是一个事实，因为咱们立体几何图案摆在你的面前，你能入手的角度太多了，他有太多条件可以用，那我们到底怎么样才能知道这个题到底哪些条件才有利于怎么去做题？那么这个时候教你一个非常好用的方法，那就是倒退， 你看一下他让你证明的语句，你就看一下题目的要求，你在心里面这么想，我想证明这个东西我需要什么， 倒着去找原体里面你需要的条件，而不是说现在把整个条件摆在你的面前，你从里边看看到底有哪几个能推出我们要的结论，你这样就像无头苍蝇一样乱撞 问题吧，你是找不着方向的。所以说大家一定要倒推，大家小时候有没有玩过那种走迷宫的游戏？小时候都玩过，你如果从起点出发想要走到终点的话，那是不是很费劲？ 那反过来你从终点出发前往起点，大家想一想，那是不是反而变得格外简单？大家可以想想是吧？那因为终点只有一个，但是你从起点前往终点的过程中，是不是有很多岔路，他故意恶心你的， 那你从终点倒着出发往起点走，那就把这些岔路全部都规避掉了。我们利益几何也是一个道理，他有时候告诉你很多条件就是为了荣誉，就是为了恶心你的。所以说你通过原题让你证明的这个东西倒着去推，你看你需要什么，你再去原题里面找这些条件，那么这样可就是事半功倍了， 咱们今晚立马执行一个动作，是吧？掏出十道利益几何题，然后倒推。按照我们刚才说的，你想证明线面垂直，你得需要两个线线垂直 原题一般情况下会给你提供一个非常容易看出来的，另外一个都是通过线面垂直反过来证明，你就通过这个逻辑，对，慢慢的反过去找，看看我们到底需要哪些条件。你倒着推，你最终就发现这个题目它所需要所有东西，原题都告诉你了。

第三个呢，考的是角线面角二面角。，当然你可能会说，，哎呦，这个地方，哎，我不不太会几何法，我就会间隙。，你先学会间隙再说，，因为几何法毕竟高考考的相对来说比较少，你学完间隙之后，几何法你可以稍微再研究一下。，实在研究不明白，问题不太大啊。。 第四个就是距离问题，我们在前面发过视频，就是立体几何的各种距离的，怎么求？？可以去研究一下什么距离呢？？点到面的距离，这是最基础的，一个是点到线的距离，意面之线之间的距离，这点也是需要掌握的，所以立体几何的解答题太固定了，几乎就这么考了，包括让你求体积，也就是本质上是求距离，所以立体几何真的值得大家去学习。。 很多人说小题太难啊，小题太难，我我我不崩溃了吗？？小题太难，我跟你说一个感觉，这两年你可以去研究一下真题。。第一个问题，形形垂直问题，就是地理综合题，未源于你答特点，未影响你答措施，审题方向全偏了，抖音精选上的。。 地理博主用超长视频把自然地理和人文地理的答题框架全拆开，设文类型和对应答题模板，重点标注四 k 画质，连区域地图的经纬线都一清二楚。。合集自动联播，帮你逐个题型训练。。搜地理综合题高分答题模板，一键直达！！下载抖音精选 app， 让每道大题都答在点子上！！ 比较可厚，但是有使劲被攻势的地方，有相对来说比较套路的地方，比如正方体、长方体的外界球，比如直棱柱的外界球，比如正棱锥的外界球。。你为什么不学呢？？这些东西太简单。 太套路，球心太好找。你不用找都知道。。正方体的中心他不就球心吗？？长方体的中心不就球心吗？？然后正能锥他的球心不就是落在体高上吗？？所以球问题啊，学简单的需要注意，这个小题特别喜欢考二面角。。下面讲。 已经连续两年了，题目当中，小学当中会出现二面角，，只是现在二面角的考的非常简单，只要会二面角的定义，你就能。 能够做出二面角来。，小题考二面角，一般情况下我们不剪细，其他的你就学简单的就可以了。。比如这道题小题考到了二面角，你只要理解二面角的概念，从这两个面内分别做两条线，垂直交线，我们就说他是一个二面角，那。 就可以了吗？？所以就是例题几何，虽然小题考的时候特别难，你想想他都考十一题了，你想想你的目标只有一百分，你需要搞定十一题吗？？你不就搞个 a 选项就走人吗？？ 所以就是还是搞基础，把这些内容搞定，尤其是解答题，我觉得你的一百分目标还是比较容易实现的。好，如果喜欢响哥，大家一定要点个关注，我们下次继续给大家更新，这是我们今天给大家分享的立体几何，所以我希望各位同学都能够有信心的去学好它，信心。 是最重要的。。

为什么好多老师都不选择去讲这道题呢？一个是这道题的选项有争议，另一个呢是讲完这道题好多同学都理解不了，我之前呢讲了两次纸面手画的，但是还有好多同学不懂。我今天呢，用模型从最底层的建模开始给大家讲起。 首先我们要知道，模型横向的棱他都是平行的，其次最前方的是一个小雷方体，这个都没有意义吧。然后重点来了，竖向的棱他平行吗？题干给的透视图不明显，但是我们画一条红色的辅助线，他就是非常明显的，根本就不平行。 还有一个要点，模型最前方这个小立方体，我们看它横向竖向两条棱的夹角，很明显是要比这个后边的大模型 ab 和横向的夹角要大的多的。所以后边这个大模型，它仅仅是一个四棱柱，只不过底面横向是平行的。 那么好分析到这，这个模型最底层的几何逻辑已经全部清楚了。回归到模型俯视图，过 c 点做 ab 的 平行线的时候，根本就不会穿过前方的小立方体。我们下面看一下截面的演示，当截面经过 c 点的时候，恰好没有截到前方立方体， 因此得到了平行四边形。我记得评论区好多同学问老师，为什么截到的不是长方形或者正方形呢？前边给大家也有解释啊， 小立方体上底面棱与棱的夹角很明显是大于背后这个大模型的，所以后边这个大模型仅仅是一个四棱柱，它的上下底面并没有垂直的棱啊，它的上下底面仅仅是横向的，两条棱是平行的而已， 所以平行的两条棱斜切能得到什么呢？得到平行四边形。那么好，我们在明确这个结面肯定是平行四边形之后呢，又有问题了，选项有两个平行四边形， 我们到底选哪个呢？选长一点的呢还是选短一点的呢？那么这个呢，也是我开头所讲的，他有争议的点所在， 我个人认为呢，要按我自己的建模所捷德的比例来看呢，是选 c 选项。当然非常欢迎有不同意见的同学或同行老师们，我们一起来讨论一下。

去年吴老师压中例题，几何几乎圆题了，还不来看一下？今年吴老师预测，这种题型大部分同学做的少，综合性也很强，所以考的概率非常大。这道题如果出现在二零二六年高考当中，我相信很多同学都做不出来， 为什么这样说？因为这类题型我们碰到很少，对吧？高考考的就是很少的题型，所以今天吴老师来给大家分享一道好题。这道题是二零一八年的浙江卷，高考成绩浙江卷特别喜欢考这种题，这种题啊，考察我们的几何思维，好吧，我们看下题，他说四人追 的底面是正方形，然后侧棱均相等， e 是 ab， 上面的动点就相当于是。然后 se 与 bc 所成的角是 c 叉一， se 与平面 abcd 所成的角是 c 叉二，安面角 s 杠 ab 杠 c 是 c 叉三。 那其实这里就相当把线线角、线面角和二面角都考到了，所以这一题的综合能力很强。那在你考场上面，你怎么去做呢？我就更加推荐啊，如果你没有别的思路，你就用什么特殊指法， 我就把这个 e 当中边呗，然后我就把边窗都设出来呗，比如说我把底边对吧，设个二，对吧，然后这个我就设个四呗，然后我就渐细呗， 对吧？我去以这个中心去间隙，然后再去做，因为三个角度我都能用间隙的方法求，但是就是计算量会大一点。但是吴老师今天带来一种方法，就是我要讲的方法叫几何法， 就纯几何方法去做。首先我们先把这个角先画出来，嗯，先画一下线线角，线线角就是我要把它平移到这里来把 bc， 对吧？所以这个角是不是就 set 一， 然后线面角， ok， 让你要线面角的话，我是不是要这样做一个垂直下来？我用黑颜色笔啊， 假设这个有个中心 o， 好 吧，然后我连接的是它，对吧？哎，那我得到的这个角是不是应该就是就是我的 set 二， 同理还有一个二面角， s 杠 abc， ok， 那 s 杠 abc 在 哪里呢？是不是我要三垂线法，我要 这样做个垂直，然后这样做个垂直，对吧？所以就相对这个角就是 c 大 三，相信看到这里很多同学都知道了，其实他有另外一个方法，叫什么叫三余弦，三正弦定力， 他也叫什么角嘞？也叫最大角和最小角定力啊，好吧，三余弦就是最小角嘛，最小角定力，然后上面就是最大角定力， 你只要知道这两个定律，你其实这个我都不用算，我都能出来，好吧，但是我这里主要是讲几何法，那几何法我现在啊，哎，那我要把这个角都用边去表示出来呗，对吧？比如说我再把 s 点这样延长出来， 我过这个点啊，中点啊，好吧，这是个中点。然后贪婪的 c 塔一等于什么呢？是不是这个角就是个直角？ 呃，是 s f 比上 e f 啊，上面是，好吧，贪婪的 c 塔二，这里才是 o 点啊，就是 s o 比上 o e， 应该是这样子的啊，那贪婪的 c 打三呢？会等于什么呢？是不是就会等于 s o 比上这个点？我把它设成 m 点比上 om 出来了吧。那我是不是可以量量去比啊？然后我们就可以比了，一和二，我们发现分子分母都不一样，所以不好比，我们看一下一和三，一和三，我们知道 o m 和 e、 f 是相等的，所以我们只用比较谁，只用比较我的分子，那分子有 s f 一定大于等于 s o， 对 吧？ 如果那个点共线的时候就会取等嘛，所以就相当于什么 c t e 就 会大于 c t 三快吧。那还能怎么比呢？二和三可以比，分子相同，那这个 o e 一定会比较大，那是不是相当于 c t r 小于等于四的三都是带等于号的啊？就共线的时候就会相等啊，所以这个题目不就直接出来了？呃，一是大于等于三，二小于等于三，所以选什么？选 b 看吧。所以这道题啊，我觉得很好，因为全国卷里面算新题了，假如出现的话，所以去年吴老师押中了例题集合， 对吧？几乎一模一样。那个那道大题跟吴老师出的几乎一模一样。所以啊，你们一定要重视起来这类题，因为我特别喜欢研究高考题。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。

离体集合大题还不能满分？过程书写总有遗漏，一个视频教会你轻松拿满分！ 为什么你的立体几何大题永远拿不到满分啊？经常看到后台有同学私信我，想让我梳理一下立体几何这一节的书写规范问题。 那么今天距离高考还有最后十四天左右的时间，我将带领着大家从零到一，将立体几何大题常见的一些考法，最后再梳理一遍，助力同学们在高考考场上遇到立体几何不再慌。 有一道例题是二五年的高考真题，那么为什么选它呢？因为啊，它不仅涉及到了平行与垂直的判定啊，没有垂直，只有平行，它还涉及到了一个角度的求法，除此之外，还有一个折叠，我们通过这道题还可以学会折叠的一些性质。 好，我们先看第一问，他让我们证明 a 撇 b 平行于这个平面， cd 撇 f， 那 么就是什么线面平行吧。同学们，你拿到一道题，让你证明线面平行，你要先想，你可以从哪些方向去证明，是不是有两个呀？ 一个是什么线线平行吗？我们可以通过线线平行来证明线面平行，还可以通过面面平行来证明线面平行。如果是线线平行的话，你要说 a 平行于 b 两条线它是平行的，并且 a 它不在这个平面内， b 它在这个平面内，所以你就可以说明 a 这条线它是平行于 ar 这个平面的。好，这是我们拿线线平行来证明线面平行。那如果你想要拿面面平行呢？ 面面平行的话，你得先强调这两个面它是平行的，并且你要证明的是线面平行，所以我们要说一条线，它是在这个面内 ar 的， 它是在 ar 这个面内的， 那我们就可以得到这个 a 啊，他就会平行另外一个平面贝塔。那为什么呢？因为同学们想一下，我既然两个面是平行的，不就会有其中一个平面的任意一条直线都会平行于另外一个平面吗？ 那么我们竟然讲了这个线面平行啊。把平行梳理完之后，我们再强调一下，垂直、垂直、 垂直。同样的，我们是不是也会有两种思路去证明这个线面垂直啊？第一种是什么？是不是线线垂直啊？如果同学们想拿线线垂直去证明线面垂直的话，我们要说的是 一条直线 l， 它会垂直于这个 m 和 n， 也就是一条直线，它会垂直于一个面内的两条相交直线。好，什么叫做面内呢？那你要强调 m， 它在这个平面阿尔法内， n， 它也在这个平面阿尔法内。什么叫做一条直线垂直于 一个平面内的两条相交直线呢？所以你要强调一下相交 m 交 n 会等一个 p， p 是 它的焦点。然后你再强调一下 l， 它会垂直于这个线 m， l， 它会垂直这个线 n， 那 么我们五步就可以把这个线面垂直给它梳理完。 好，那么我们是不是是不是也可以通过面面垂直来证明这个线面垂直啊？ 如果你想拿面面垂直来证明的话，是不是会有先强调一下面面垂直阿尔法，他会垂直于这个贝塔两个平面，两个平面是垂直的，然后阿尔法交贝塔等于 a， 你 两个平面的交线是这个 a 啊，那么我们其中一条线 l 它是属于其中一个平面的， l 它在这个平面 r 法内，那么那么你还要再强调一下， l 它会垂直于这条交线，那你就可以得到 l 它是垂直于另外一个平面的。 好同学们，我们基本上啊，这四个判定定理，如果你都能够很熟练的掌握的话，高考的第一问，我相信你不会再被扣分了。那么我们学会了判定定理，是不是得看一下具体的题目呀？接下来我们就看一下第一题怎么写 啊，让我们证明 a 撇 b 会平行于这个平面， c， d 撇 f， 哎，这是不是一个很明显的线面平行啊？ 如果你想要证明线面平行，我们刚刚是不是说了，你可以通过线线或者面面去推导啊，我们观察一下线线行不行，线线的话，你想要证明出 a 撇 b 平行于后面这一个平面的一条线，光看这个图好像不那么好找吧， 那我们线线这条路先搁置在一边，观察下面面平行，面面平行的话，好像就比较明显了呀，这一个平面，对吧？ a 撇 e， b 和 d 撇 f c 这个平面，他是不是一看他很像是平行的呀？ 很像是平行，我们得正出来才可以，怎么正呢？你要正的话，大概的思路应该就是，我要证明 e b， 它会平行于这个 f c， 然后就可以得到 e， b 会平行于后面这个平面， a 撇 e， 它要平行于 d 撇 f， 所以 a 撇 e 就 要平行于后面这个平面，所以我们面面平行就出来了。那我们看一下能不能挣出来这两条边，这两条边它们是平行的，我们观察一下这个题干 给了我们 ab 平行于 cd， 这一条和这条是平行的，又有了这个 ef 平行于 ab， 这一条和这条也是平行的。那我们不就可以得到这个四边形，它是平行四边形的吗？又有角 a、 b 啊，它是九十度啊，这个是九十度，所以我们就可以得到这是一个矩形，然后这个图形它怎么来的呢？ 这个图形啊，它是我们的四边形， e、 f、 d、 a 沿着 e、 f 翻折得到的，那不就是这个四边形沿着这个 e、 f 往上面翻吗？ 所以底下这个四边形所具有的性质，我上面同样具有。那么讲到这里，相信同学们的思路已经有了，我们来看一下具体过程要怎么规范。 第一步啊，我们先梳理一下折叠前后的基础条件，因为在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 平行于 cd， 那 是题目给的，且 ef 平行于 ad， 所以 这是一个平行四边形。 又因为角 d、 a、 b 等于九十度啊，这个九十度，所以有一个直角的平行四边形，它就会是矩形。那么写完之后，我们第二步来，你先证明一个先面平行， 因为啊，我折叠后，这个矩形，它的性质是不变的，所以我原来 a、 e 是 不是平行于 d、 f， 折叠后就会有 a 撇 e， 它平行于 d 撇 f， 然后利用一下刚刚讲过的线线平行，怎么推出线面平行？ 线在面内，线不在面内，所以线平行于面，这是第一个啊， a 撇 e 平行于后面这个平面，那思路是一样的吧。 eb 来 e、 b 平行于 f、 c， 所以 e、 b 它不在后面这个平面， f、 c 它在后面这个平面，所以可以得到 e b 平行于后面这个平面。两个线面平行是不就可以得到面面平行了呀？我们就可以得到，因为啊， a 撇 e 和 e b， 它相交于点 e 的， 然后 a 撇一和 e b 呢，它都在前面这个平面内，所以前面这个平面就会平行于后面这个平面。又因为啊， a 撇 b， 它是在前面这个平面内的，所以 a 撇 b， 它就会平行于后面这个平面。那我们第一问就很快的得到了。 如果说你按照这个步骤去书写啊，我相信查卷老师他不可能会扣你过的步骤分。好，接着我们来看下一步，我们讲完了这个平行和垂直的问题，是不是要考虑角度的求法了呀？ 角度啊，我们同影像量，因为现在距离高考还有最后的十四天的时间，我们不讲过于复杂的几何法，我们只讲投影向量。好，先强调一下意面直线所成的角，我们取的都是什么角啊？ 都是锐角啊，锐角，呃，这里不书写啊，都是锐角。好，来看， 我们如果想让你求 e 面直线所成的角，你就要想啊，把两个 e 面直线的方向向量给它表示出来，然后利用你在向量那一节学到的向量的数量积公式进行一个变形，是不是就可以得到口算 c 的 会等于这一串呀， 对吧？同学们，因为我刚刚强调了，你 e 面直线所成的角，我们取的都是锐角，所以你要加上一个绝对值， 绝对值啊，绝对值。好，那我们接着来看线，线角。讲完之后我们要讲什么？ 是不是线面角啊？线面角，它指的是直线与平面所成的角啊，那我们同样你要在这个平面内找出它的法向量。我们算线面角的话，是算线面角的正弦值会等于这个 直线直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦值。那同理啊，这个余弦值要取一个绝对值绝对值，那方法呢？方法的话，同样你是利用你在向量那一节学到的公式吗？对不对？ 好，线面角讲完之后我们要讲什么呢？那这里啊，这里有一个易错点，就是同学们要知道你线面角所 我们利用这个方向向量与法向量所求得的这个余弦值啊，是等于我们线面角他的正弦值。好吧，具体为什么呢？在我的八十五天冲刺系列课里面，这个立体几何这一节有讲到的啊，有讲到的 好，接着我们要看什么面面角了吧，那面面角通常是指二面角，也就是两个半平面所形成的假角。我们来看一下，核心是我们要在这两个半平面 找出它的法向量 m 和 n， 然后啊，然后计算这两个法向量他们所成假角的余弦值。 算出来之后呢，要注意，我们算出来的是加绝对值的啊，算出来的值是加绝对值的，那具体我这个二面角它的余弦值是多少？你要回归图形，我们观察一下你的几何，直观来判断你到底是锐角还是钝角， 如果是锐角的话，口算 c 塔肯定结果不变。如果是钝角，你要在你求得的值他的前面再添上一个符号。 好，那么我们角度的求法就讲到了这里，我们就选取这一道具体的题目进行一个讲解，来，我们看，他让我们求这个平面 b， c， d 撇和这个平面 e， f， d 撇， a 撇他们所成的二面角的正弦值。那我们按照思路是不是要求这两个平面各自的法向量呀？ 求出发向量后，我们利用法向量的乘积，再除掉他们各自魔长的乘积，是不就得到这个二面角的余弦值的绝对值啊， 再利用 sine 方加 cosine 方等于一，从而得到这个正弦值吧。好，我们来看，第一步是要间隙怎么建呢？因为我们通过第一问得到了这个角度啊，这里是垂直的吧，所以我们可以以 f 为坐标原点， f， e 它是 x 轴， f， c 它是 y 轴，然后啊，再过这个 f 点做 z 轴，它垂直于这个底面就可以了。 行，我们来看一下第一步，因为他这个题目啊，没有给我们具体的每一条边的长度，他只给了我们比值关系吧，所以我们看 ab 等于三倍的 ad， 我 们可以假设 ad 为一，用一位 cd 等于两倍的 ad， 然后 f 点它是中点，所以啊，这个 d， f 会等于 c， f 都是一，那因为我们第一问得到这是一个矩形吧，所以 a， e 是 不是也是一啊？那 e， b 就 只能是二了吧。好，我们得到这些条件，来观察一下 你要的这个平面 b， c， d 撇是不是坐标都可以写 b 点坐标很容易了，它是不是 x 走上距离应该是一啊， y 走上距离是二吧，然后 z 走上为零，然后 c 这个点的坐标呢，也是很容易的吧，应该是零一零吧。那 d 撇呢？同学们，这一道题重点就是这个 d 撇要怎么求了？ d 撇我们看一下，你不知道这个 d 撇 f 这一段长呀，它是由 d、 f 翻折上去的，所以 d、 f 是 不是为一， 对吧？同学们， d 撇 f 为一，然后这个二面角来看一下 e、 f， d 撇 a， 找一下 e、 f， d 撇 a 这个平面和下面这个平面 e、 f、 c、 b， 也就是说这个平面和这个平面，他们的二面角是六十度，我们观察这一条边是不是垂直于这个交线的， 这一条 cf 是 不是也垂垂这个交线？所以我们的 d 撇 fc 这个平面角，它是不是就是这两个平面所形成的二面角呀？对吧？所以我们 d 撇 fc， 它是等于六十度的啊。 d 撇 fc 六十度， d 撇 f 为一，所以 d 撇 它的横坐标啊，它的啊，不是横坐标，它的 y 轴上的距离是不就是 d 撇 f 乘以 o 三影六十度啊？它的 z 轴距离是不就是 d 撇 f 乘以三影六十度啊？所以我们可以把 d 撇的坐标也算出来，那所有的点坐标都有了向量，坐标是不就出来了？ 我们看一下你想要求得这个法向量，是不是假设先设这个 b、 c、 d 撇，它的法向量为 n、 x， y、 z， 然后啊，我们看到上面这一块，是不是可以写出这个 c、 b 向量乘以法向量等于零， c、 d 撇乘它也等于零。然后你把具体的坐标带进去， 再来，你带进去之后，你要先赋值，我们赋其中一个为根号三，令这个 y 等于根号三，所以这一整串为零的话，它就等于一了，然后 y 等于根号三，你的 x 是 不也得等于根号三呀？ 所以法向量 n 就 出来了，那同理，这个平面法，这个平面 e、 f、 d 撇 a 撇，它的法向量跟上面这一个的算法的格式是一样的，我就不细讲了，那过程就在这里。接着你有了两个法向量坐标，是不是就可以算他们的假角了呀？ 假假就是口算 c 两的绝对值会等于这个法向量的乘积的绝对值，再除掉它们各自抹长的乘积，然后算一下。其实我们这个分子啊，这个分子它应该是绝对值，然后负三再加 一。好分子应该是这一个啊，应该是这一个，然后算出来的话，结果还是不变的。你算出来余弦值之后，我们的正弦值是不是也可以直接利用这个三一方加口三一方，等于一来给它表示出来呀？ 那么我们这道题的第二问是不是就求出来了？因为它是求二面角啊，所以我们算到这里就可以结束，那么我们今天的课就讲到这里。

立体几何大题一做就蒙，三棱锥加线面垂直总丢分！今天这道题，我把高考通用模板拆给你，学会这一道同类题，直接拿满分！ 第一问，线面垂直隐藏福利，看到 pa 垂直于平面 amn， 别慌，这不是难点，是命题人给你的隐藏福利！ 线面垂直直接给你两个直角三角形，把立体问题降为成平面三角形，计算用余弦定理算角度，再求边长 m n 的 长，一步到位。第二问，体积秒杀技巧，求三棱锥体积，别死磕，找高了！教你个偷懒技巧，用面积比例法 直接把复杂的 v p 杠 a， b c 变成三倍的 v p 杠 a m n 不 用找高计算量直接减半，考场省时间。 第三问，线面角万能模板线面角怎么求？间隙间隙间隙！找三条两两垂直的线间隙写出坐标，求方向向量和法，向量套公式直接出结果，这就是高考通用的万能模板，再也不用对着图瞎想了。 这道题的三步解法就是整个立体几何大题的通用框架，线面垂直转直角，体积用比例法，线面角用间隙。建议收藏保存，考前再看一遍，下次遇到同类型题直接套用。关注我，下期继续拆解立体几何秒杀技巧！

这种长方体结面怎么画？一般就两种方法，延长线法和做平行线法，并且不用过分纠结什么模型，只要记住，核心就在于如果长方体的对面有截痕，截痕是平行的就行，这其实就是平行面的性质。 以图九为例，经过两个对立面的截痕一定是平行的，比如上面和下面，前面和后面，左侧面和右侧面。 当然需要注意的点是对面不一定有结痕，比如图八，它在下面有结痕，但是上面没有结痕，这个时候呢，就需要用到延长线法。 好，我们先来看第一个例题，如图，求第一 e、 f 这三个点所组成的结面。从图中我们可以看出，第一它是一个上顶点，所以这三个点组成的结面一定是和下底面有结痕，所以它就不存在一个对立面。 这个题目呢，我们就需要用到延长线的方法，那延长哪两条线呢？这个时候我们要找到在同一个面内的两个点，也就是 e、 f， 所以 我们要将 e、 f 连接并且延长。 延长到哪里呢？和 d a 的 延长线和 d、 c 的 延长线交于点 m、 n， 这个时候我们再连接 d、 m 和 d n 相交于的点是 g 点和 h 点， 这个面就是我们要求的结面。接着来看第二道例题，过 d、 e、 b、 e 三个点的结面该怎么画？ 从图中我们可以很明显地看出，这个结面和左侧面是有截痕的，截痕呢是 d、 e， 这个时候发挥一下我们的空间想象能力，这个结面它和右侧面应该也是有截痕的，那这个截痕该怎么找呢？ 刚刚我们说过了，如果一组对立面有截痕的话，那这两条截痕一定是平行的，所以我们只需要在 c， c， e 上找一个点，使得 b e， h 和 d e 平行就可以，这个点呢，很好找， 平行之后，这边我们用虚线表示 b h 点， e 和 d h 应该也是平行的。有了前两题的基础，我们来一起看一下第三题求过 o， e， f 三点组成的结面。从图中我们可以看出，这个结面和长方体的前面和后面都是有结痕的， 所以我们要先利用延长线法找到它和前面长方形的结痕， 那么此时 f n 就是 它和前面长方形的截痕，那它和后面长方形的截痕呢？肯定平行于 f n， 在 c， e， d 上找一点 q， 使得 p q 平行于 f n 即可， 而这就是我们要找的截面。

各位高三的宝贝们大家好，欢迎来到高考冲刺收官实讲。今天呢，我们讲立体几何，立体几何是高考最稳的满分大题，没有之一，只要你步骤规范，避开固定坑，掌握两套模板，这道大题必须拿满分。本节课不讲废话，概念全程三件事， 第一，阅卷老师最爱扣的分，问一百一十一必保的分值。第二，所有高考立体几何万能满分模板。第三，真题实战冲一百三压轴角度距离存在性难题。首先是第一板块，我总结了所有立体几何的致命扣分点， 百分之九十的同学会因为这几个步骤而扣分。首先第一个是证明题条件写不全。比如说我们在证明线和面平行的时候， 很多孩子呢，只说 l 平行于 m， 所以 l 平行于 alpha 了，没有写什么呢？一定要写上 l 不 属于 alpha， 且 m 呢，它是属于 alpha 的， 要写上这个。 而证明线面垂直的时候，很多孩子呢，只说 l 垂直于 m 一， l 垂直于 m 二，所以 l 就 垂于 r 法了，别忽略了，要写 m 一 m 二呢，是相交直线相交于某个点，这些都是老师最容易关注的一个扣分点哈。 好，接下来第二个是间隙的时候，我们不证明三条线两垂直，就开始写坐标，这也是不行的。第三个扣分点是各类角度不会转化 这一块哈，各类角度的一个转化，比如说对于线线角来说，他们求出来的，我们用向量求出来的，是向量的夹角。那跟线线角有什么关系呢？咱们线线的夹角哈，规定是一个零到二分之派。 c 它是规定属于零到二分之派，而我们向量的夹角求出来，要么是这个夹角本身，要么是这个夹角的补角，所以说需要转化成 q 线 c， 它等于 q 线两个向量夹角的余弦值的绝对值。 还有一个是线面角，线面角呢，因为存在一个互余的关系。不过我们首先也是要清楚的是，线面角规定也是属于零到二分之派， 因为我们求出来的是线和法向量的夹角，要么是这个角，要么是这个角的一个补角，对不对？而我们实际的线面角呢，指的是这个角 c 塔和阿尔法它是互余的关系，因此有三，阿尔法等于 cosine 阿尔法， cosine 阿尔法就等于向量的夹角的余弦值再加绝对值，因为有时候我们可能会求出来补角。还有一个呢，是二面角 的平面角，不过这个二面角，平面角哈，还有平面与平面所成的角，大家一定要注意区分。如果说是二面角的 平面角的话， c 塔范围是属于零到派，而平面与平面所成的夹角是零到二分之派。平面与平面所成的夹角，可以直接说扣线 c 塔等于扣线两个反向量夹角与线值的绝对值。而二面角呢，需要我们结合扣分点四一块去理解 二面角的平面角，它其实范围呢，是零到派，就像我们翻书似的，翻到这种程度是不是一个钝角， 翻到这种程度是不是一个锐角，对不对？如果说翻到这种程度还是一个直角呢，对不对？我们需要结合我们对立体几何的感知，先找到九十度作为我们的一个临界点， 开口比九十度大就是钝角，开口比九十度小就是锐角，这个时候我们判断了锐钝之后，再去答二面角的一个角度的一个大小。如果说我们目测之后发现它是一个锐角，那我们就可以说 cosine c 塔等于绝对值。 cosine 法向量加角 的那个余弦值。而如果说是一个钝角的话，我们无论求出来的是正的还是负的，先加个绝对值，最后在前面再加上一个符号，这样就不容易出错了哈。 第二模块呢，是我们总结的两套答题模板，第一类题型呢，是证明题，可以用空间向量方法去解决。第二类呢，是假角求正余弦值的一个问题。对于证明题来说哈， 无论是无论是证明平行还是垂直，我们第一件事都应该先写出所有关键点的坐标，写出目标向量。对于平面的话呢，我们需要求解他的法向量。 好，如果是证明题，假如说我们要证明线线平行，那说明他们两个所对应的向量是不是也是一个平行，所以向量呢，是一个拉他倍的关系， 而让我们证明线面垂直，线线垂直是不是向量点成为零就行。让我们证明线面平行，那就说明线与面的法向量是不是应该是一个垂直关系？ a 点乘 n 等于一个零， 让我们证明线面垂直，那线和面的法向量是不是应该是一个倍数关系？而让我们证明面面垂直，说明二者的法向量是不是也是垂直点成为零。让我们证明面面平行，那两面都求出法向量， 法向量是不是一个倍数关系？ m 等于拉姆塔倍的 n。 好， 接下来第二个呢是假角求正于弦值。假角求正于弦值。前面我们已经说过了，注意线面角 我们求出来是一个比较特殊的东西，线面角是最特殊的，它是三 c 塔等于 cosine 线和面的法向量夹角于线值的绝对值。另外两个呢，都比较常规，线线都是扣线就等于扣线，对不对？只需要加一个绝对值就行了， 扣线就等于扣线，线和线夹角于线值的绝对值。而如果是平面与平面所成的夹角的于线值，是不是扣线 c 塔就等于扣线面的法向量， 合法向量所求假角余弦值的绝对值。但是注意哈，这个平面与平面有时候他会以谁杠谁杠谁的形式出现，那就二面角阿尔法杠 l 杠贝塔。这个时候我们得需要区分锐钝，锐角的话呢，他的余弦值就达一个正值， 而如果是钝角的话呢，余弦值就达一个负值。注意，这个平面与平面还是二面角，他的一个说辞哈。 第三板块呢，是咱们的高考重难点压轴，一个是距离问题，还有一个是动点存在性的问题。首先我们来看一下第一类距离问题，距离的话呢，我们会考察两个方向，一个是点面距， 还有一个呢是点线距，其他的都可以转化成这两类。好，首先我们来看一下点到平面的距离， 比如说我们现在要求 p 到 a、 b、 c、 d 的 一个距离，那么也就是 p 往这个面上做垂线，那这个推导结果是一个多少呢？先求解一下该点和面内任何一个点连线的一个向量，再乘以面的法向量，除以法向量的模，再加绝对值。 好，那我们不画图直接说 g 到 d， e、 f 的 一个距离应该怎么求？该点和面内任何一个点连线，先有一个向量， 再乘以面的法向量除以法向量的模，距离不能有负的，所以加绝对值对不对？比如说 m 到 c， e， f 的 距离，是不是就选 m c m e m f 是 不是都行？乘以法向量，再除以法向量的模，整体加绝对值对不对？ 好，接下来是点到线的距离，比如说我们现在要求点 b 到 a、 c 的 一个距离，其实这个东西啊，我们需要记一下它的推导过程，方便咱们对这个公式记得更加精准一点。点到线的距离呢，我们需要给它构造一个三角形，先连接一下 b a 向量， 接下来我们再连接一下这个 a、 c 向量，或者说 a b， a， c 都行。哈，好，那这个时候我们可以怎么样求这一段距离呢？利用一个勾股定律，它是不是就等于根号下 ab 向量的平方减去这一段的长度， 而这一段长度能不能认为就是 ab 在 ac 向量上的投影的长度？那就是 ab 点乘 ac， 再除一个 ac 的 膜 在括号平方是不就行了？所以其实 b 到我们 a、 c 的 距离，这是 b 到 a、 c 的 距离，是不是首先我们会得到一个 b， a 也行， ab 也行，对不对？先求出一个 b a 或者 ab 当斜边，然后再求 b， a 在 后者 a c 上的投影向量的平方， ok， 那 比如说我们举一反三，要求 g 到 m n 的 距离，首先斜边是不可以认为是 g m 向量的平方，然后再减去 g m 在 m n 上的投影向量 的平方是不就行了？比如说现在让我们求 a 到 c f 的 距离，那斜边是不是就是 ac 向量了？ a c 的 平方再减去 a c 在 cf 上的一个投影向量的平方， 其实说白了就是一个勾股定律。好，这是我们的第一类距离问题。第二类呢，是动点存在性问题。我们在设动点的时候呢，需要引入拉姆塔，如果是线段上的一个动点，假如说 p 点是，我们画一个图哈， p 点是 a c 线段上的一个动点， 那我们拉姆塔范围就是大于等于零，小于等于一。如果是线段上的一个动点，但是他括号里面说了异于端点，就是说不可能和左右端点重合，对不对？ 那么拉姆塔就大于零小一，而如果他说是直线上的一个点，那拉姆塔范围就属于是一个 r 了哈，好，我们以 p 点在 ac 线段上运动，或者说在棱 ac 上运动为例， p 在 棱或者是 p 在 线段 ac 上运动，那是不是就可以用小向量 ap 等于大向量 ac 的 拉姆塔倍去设哈 设 ac 等于拉姆塔倍的 ac， 因为我们知道 ap 向量的由来是末点减，起点等于拉姆塔倍的 ac， 所以 说 p 点坐标是不是就等于拉姆塔倍的 ac， 再加上我们的起点是不就行了？ 所以比如说下次我们再遇到这个 g 点是 d e 上的一个动点的时候，咱们就设 d g 向量等于拉姆塔倍的 d e。 在 草纸上分析一下， g 减 g 减 d 等于拉姆塔倍的 d e， 所以 说 g 点就等于拉姆塔倍的 d e， 再加上一个 d 点， 是不就能出来这个动点的一个坐标了，有了动点的坐标呢？然后再按照我们正常思路去表示线面垂直，线线平行，面面平行，或者是表示一些夹角，把这个拉姆塔范围给求解出来。 如果说我们题干已经说了是线段上的一个动点，求出来拉姆塔必须得是大于等于零，小于等于一才是有意义的。其他的呢，都是无效解，都需要舍去，如果是无解的话，或者说求出来不在范围之内的有效解，那么都是不存在的。 咱们先一块来看一下这道二五年的全国一卷的立体几何题，这道题的难度系数其实并不低，但是它很具有代表性。我们先看第一问哈，让我们证明的是两个平面与平面垂直。 好，首先我们回顾一下易错点，第一个易错点呢，是我们不给他证明三条两垂直的线就开始间隙， 但是其实背后还有一个东西，咱们间隙的话，最起码是得知道每一个线段的长度。可是我们在证明第一问的时候，结合体感当中的条件，有没有告诉你每一条线段的长度呢？ 并没有说明第一问，我们只能用几何法去证明，不能用向量间隙的方法去证明哈。 好，要证明面面垂直，咱们来看一下哈，一个平面是 p a b， 还有一个平面呢，是 p a d， 要证明面面垂直，是不是需要正面内的其中一条直线垂直于另外一个面即可，对不对？好，我们来看一下题干有没有条件能证出线面垂直。 首先第一个条件， p a 垂直于底面 abcd， 那 是不就意味着 p a 垂直于底面当中这些所有的线 好，又知道 a、 b 呢和 a、 d 垂直哎，我们发现 a、 b 是 不是和 a、 d 垂直，而这个 a、 b 是 不是刚还提到了和 pa 垂直呢？所以这样的话， a、 b 是 不是就垂直于平面？ p a、 d 了？再只需要多说一句，因为 a、 b 属于 p a、 b、 d， 一 问是不是就轻轻松松挣出来了？ 好，先说因为 pa 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 我 们要的是 pa 和 ab 垂直，所以只需要说 ab 属于平面 abcd 是 不是就行了？所以说呢， pa 就 垂直于 ab， 又因为 a、 d 也和 ab 是 一个垂直关系，这是题干给的好，那么我们现在发现两条线都和 ab 垂直，一个是 pa， 一个是 ad， 别忘了说他俩是相交直线，不然扣分哈！他俩是相交直线，并且他俩都 都属于平面，是谁都属于平面？ p a、 d， 因此 ab 是 不是就垂直于他俩所在的平面，也就垂直于平面 p a、 d 了？好，最后再只需要多说一嘴，又因为 ab 属于平面， p a、 b 线面垂直，线又属于第二个平面，则第二个平面和第一个平面是不是就垂直了？所以平面 p a、 b 垂直于平面 p a、 d。 有 些孩子上来可能第一问就间隙，哎，发现写完步骤之后没有坐标，那就完蛋了哈。好，第二问给了我们的一些长度， p a 的 长度等于根号二， ab 的 长度等于根号二， bc 呢？等于一个二， a、 d 等于一，加上根号三。好，现在给了这些长度，我们能不能间隙了呢？先看看有没有三条两垂直的线。 p a 因为垂直于底面，所以 p a 是 就垂直于 ab 和 ad， 而 a、 b 和 a、 d 本身又垂直，所以有现成的三条两两垂直的线，我们直接给它间隙就行了。间隙的时候我们就说以 a 为坐标原点，以 a、 p、 a、 d， a、 p 分 别为 x、 y、 z 轴建立空间，直角坐标系是不就行了？好，这个是 x 轴，这个 a、 d 呢，是一个 y 轴， a、 p 呢是一个 z 轴。好，第二问的第一小问呢，让我们求解的是点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内，这个 o 是 一个什么点呢？咱们先来看一下题干。说这个 o 呢，它指的是 p、 b、 c、 d 这个外接球的一个球心。好，其实我们现在发现 p、 b、 c、 d， 它什么模型，也不是直柱直锥模型，也不是漏斗模型，对不对？那怎么办呢？ 我们只好采用最原始的方法，因为咱们知道球心，球心这个点肯定到球面上，每一个点的距离是不是都相等，都是半径，所以我们就射出球心的坐标，满足球心到 p 的 距离，到 b 的 距离，到 c 到 d 的 距离，是不是都相等就行了？ 好，那我们给他设一下球心的坐标，就设 o 点，坐标为 x、 y、 z， 可以 吧？好，那么我们现在先求解一下 o、 p 的 一个长度，再求解一下 o、 b 的 长度，再求解一下 oc 和 o、 d 的 长度，让它们的长度呢都相等，是不是都等于一个 外接球的半径？ r 是 不是就行了？好，我们先看 o、 p 的 长度，该怎么求呢？先把他们所有点坐标都写出来哈， a 点坐标呢是零零零， b 点坐标是根号二，零零 c 点是根号二， 二都是零， d 点是一个零，一加根号三都是零。好， p 点呢是零零根号二。 好， o 点我们也已经设出来了，先求 o p 的 长度哈。 o p 的 长度就等于 p 点的一个坐标，减去 o 点的坐标向量各自平方，再开根号是不就行了？所以是 x 的 平方加上一个 y 的 平方，加上 z 减根号二的平方，好，它是等于个 r 的。 接下来 o b 的 长度，它等于根号下 x 减根号二的平方加上一个 y 方，加上一个 z 方，它也等于一个 r， 还有 o c 的 一个长度 o c 的 长度呢？是 x 减根号二的平方加上一个 y 减二的平方，再加上一个 z 方，也等于一个 r。 还有一个是 o d 的 o d 的 长度呢？等于根号下 x 方加上一个 y 减一，减根号三的平方再加上一个 z 方，等于一个 r， 好。 这几个东西我们看起来是不是特别难解，其实两两之间我们给他做一下叉就能解出来了哈。 比如说像这个 o b 和 o c 这两个式子，我们就可以给他平方之后再做差平方之后是不是就是 x 减根号二的平方加上外方加 z 方，等于一个 r 方，而下面呢，是 x 减根号二的平方加上一个外减二的平方，加上一个 z 方，等于一个。 都是 r 方哈，这些是不是都消了？只能说明 y 方等于 y 减二的平方，说明 y 要么等于 y 减二， y 要么等于二减 y。 是 不是这种情况很明显，零等于负二无解，所以根据这个我们就能 get 到二 y 等于二， y 等于一了， 所以解得 x 先不知道 y 等于一好，再怎么解 x 和 z 的 值呢？现在我们可以也找两个值给它连累一下，看看哪些会比较好连累？ 嗯，比如说我就拿这个 o p 和 o d 这两个长度 y 的 值，不已经知道了吗？所以先可以给他带进去。那就是第一个平方就是 x 方加上一加上 z 减根号二的平方，是不是等于一个 r 方？ 第四个式子呢？是 x 方加上这个是一减一负根二三的平方是不是三，再加上一个 z 方呢？就等于一个 r 方好？这两个式子这些是不是都消了？说明一加上 z 减根号二的平方就等于一个三加 z 方， 一加上 z 方减二倍的根号二， z 加上一个二就等于三加 z 方 好，这个 z 方和 z 方消了，一加二和三消了，所以 z 解出来呢，就是一个零。接下来我们再代入，再代入哪个式子就能把 x 的 值给解出来呢？比如说我们就代入，让这两个式子相等，可以吧？ 那就是 x 减根号二的平方加上一减二的平方就是一加上一个 z 的 平方就是零，等于一个 r 方，而这个是 x 方，加上根号三的平方是三，再加上 z 方是一个零，是不是又等于 r 方？所以 x 减根号二的平方加一，就等于 x 方加上一个三， x 方减二加三， x 方加三都消了，所以解出来 x 呢，等于一个零。因此 o 点坐标是一个零，一零零一零，很明显在不在这个平面内，所以一只 o 是 在平面 a、 b、 c、 d 内的，其实只要他的纵坐标 z 等于一个零，是不是就说明他是在平面当中的，对不对？好，接下来我们再来看一下第二问的第二小问哈。其实这个第一小问有时候我们可能想到了有思路，但是不太敢去写。 好第二小问，让我们求解直线 a c 与 po 所成角与弦值。这个就比较常规了。这个题的难点在于第一小问，哈， 好，来看第二个要求这两个线段的夹角，先求出它们所在的向量夹角 a c 向量等于多少呢？就等于 c 点的坐标根号二，二逗零。还有一个是 po 向量，刚刚我们求出来， 算了，重重新求解一下吧。哈，这是 p， 这是一个 o， 所以 p o 向量是 o 减 p， 那 就是一个零。一负。根号二，要求线和线所成角的余弦值。我们先假设 a c 与 p o 所成的角为 c， 它，那么我们现在是不是就可以说空线 c， 它就等于向量夹角余弦值的绝对值？ ok， 上边是二者的点乘，下面是二者的摩乘， 点乘的一个结果等于多少呢？点乘的一个结果是不是就是零加上一个二，再加上一个零，魔成了一个结果？ a c 的 一个膜是根号下它方加它方，所以是根号六。 而 p o 的 膜呢，是根号三，所以下面是三倍的根号二分之二分母，有理化一下，是不就是三分之根号二了？最后别忘了答答案，所有夹脚题都得答，答案，不答，答案扣分。所以直线 a c 于 p o 所乘角的一个余弦值是三分之根号二。这道题就解决了。 下面我们再来看一道二五年天津卷的高考真题。第一问呢，让我们求证 g f 垂直于平面，要求证线和面垂直，只需要保证线和面的法向量是一个倍数关系是不就行了？ 好，这个是一个正方体，所以特别好间隙，我们直接以 d 为坐标原点，以 d、 a、 dc 以及 d、 d、 e 分 别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系。好，第一问的话呢，我们就能将所有点的坐标都给它写出来。 但是其实我们为了节省时间的话，可以只写咱们所想要的一些点坐标呢，我建议把第二问、第三问的坐标也都给它写出来。 好，先写第一问的坐标哈，这一点的坐标是一个多少？这一点它是 c， g 等于三倍的 g， c， e， 说明这是一个四等分点。又知道呢，棱长是一个四， e 和 f 都是中点哈，好，大概扫一眼，那么这点的坐标是不就是一个零四三了？ f 的 坐标呢？ f 是 在 b， e， c， e 的 中点的位置，横坐标 x 呢，就是一个一半二， y 坐标就是一个四， z 坐标也是一个四。 好，再来一个是 b 点和 e 点， b 点坐标是一个四四零。还有一个是 e 点坐标， e 点坐标是二零四。下面还涉及到谁了呢？ e， b 都涉及到了， g 也有了第三问，还涉及到了一个 d 点坐标，所以我们把 d 点坐标也写出来， d 点坐标是一个零零零。好，先来证明，第一问，先求 g， f 向量， g， f 末减出，所以是二零一。 来求解一下，平面 f， b， e 的 法向量， f， b， e 的 法向量。那我们就设平面 f， b， e 的 法向量 为 n 等于 x， y、 z。 先提前准备好两个向量，比如说，一个是 f b 向量，一个是 f e 向量， f b 向量呢，是 b 减 f， 所以 是二零负四。再来求解一下，嗯， be 向量吧， be 向量等于一个多少呢？ b e， 所以 就是负二负四。四。好，那么满足，首先是 f、 b 向量点乘法向量等于个零，其次是 b、 e 向量点乘法向量呢，也等于个零。代入一下，这是二 x 减四， z 等于个零，这是负二 x 减四， y 加上一个四， z 等于一个零。首先根据第一个式子，我们可以设 x 等于一个二，则 z 是 就等于一个一了。再代入下面这个式子啊，那就是负四减四， y 再加上一个四等于零，解除 y 呢，等于一个零。所以说我们的法向量 n 就 等于先写 x， 再写 y， 再写一个 z， 他的法向量的坐标呢，就是二零一，这就是我们的法向量了。 只要满足线面垂直，也就是线和面的法向量是倍数关系是不就行了？是倍数关系吗？发现 g、 f 和 n 它俩是不是一个一倍的关系？ 因为 g、 f 等于 n 向量，所以说 g、 f 是 不是就平行于法向量 n 向量，所以说 g、 f 是 不是就垂直于平面？ f、 b、 e 好， 用空间向量的方法咱们就正出来了。接下来我们再看第二问，让我们求平面与平面所成的夹夹角。好，这一块我们先回顾回顾两个 e 混小点， 第一个 e 混小点是什么呢？是谁杠谁杠谁，比如说 a 杠 bc 杠 d 好， 这个的话就是有锐有钝，锐钝都有可能， 对不对？润润钝均有可能。接下来如果他说的是平面 a、 b、 c 与平面 b、 c、 d 所成的夹角，那肯定是一个锐角，因为平面可以无限延展，对不对？行，那么我们现在开始求两个平面的法向量 f、 b、 e 的 法向量呢？在上，因为我们已经求解出来了，现在只需要在单独求解下 e b g 的 一个法向量就行了，那我们就设这个平面， e b g 的 法向量为 n， n 就 等于 x 一 y 一 z 一， 可以吧？哦， n 已经用过了，我们是一个 m 等于 x 一 y 一 z 一， 再求出我们的 b e 向量，再求一个 b g 向量，可以吧？ b e 向量，其实我们在上一文已经知道了，所以再单独求解一下 b g 向量吧。 b g 向量 b 和 g 的 好，也就是 g， g 减 b， 所以 是一个零减四是一个负四，四减四是一个零，三减零是一个三。 好，接下来我们就能满足 b g 向量点乘 m 向量等于零，同时这个 b e 向量呢，点乘反向量 m 是 也等于零。好，代入一下哈。 b g 点乘它就是负四， x 加三， z 等于零， b e 乘以它就是负二， x 减四， y 加上一个四， z 等于零，根据上面都是角标，都要加上一哈。根据上面那个式子，我们可以先设 x 一 等于个三，这样我们就能求出 z 一 呢，就等于个四。 再代入下面这个式子，那就是负六减四外一，再加上四，四十六是不等于零，所以也就是负四外一加上一个十等于零，外一，求出来等于一个二分之五， 外一就等于一个二分之五，所以我们的反向量 m 就 等于一个多少呢？反向量 m 是 不是就等于三，二分之五 都是一个四？好，这就是我们的反向量。但有些孩子说，我这个反向量感觉负值有分数，感觉特别麻烦，所以还可以怎么办呢？还可以同比例的放大多少倍，放大二倍是不是就没有分数了？那这个就是五了，所以最后反向量也可以写成六五 八，那这个时候我们要是改的话，都要给他改成六五八哈，好，这就是我们的法向量 m 了，要求平面与平面所成角的余弦值，因为肯定是一个锐角，所以我们就先设这个夹角为 c 塔，可以吧？ 先设平面与平面所成夹角为 c 塔，直接扣在 c 塔，就等于绝对值。两个反向量的余弦值，因为肯定是一个锐角，上面是二指的点乘，下面呢是二指的一个魔乘，再加绝对值。好，我们圈出来这两个向量哈， 一个向量是 n 向量，还有一个是 m 向量，好，先是进行一个点乘点乘，结果二加上一个零，加上一八得八。 两个的膜上面 m 的 膜呢？是一个 n 的 膜，是一个根号五， m 的 膜是一个根号下三十六加二十五，加上一个六十四，所以这是一百二十五， 根号下一百二十五。 ok， 上边是一个二十，这个是不可以写成根号五，再乘一个根号五，再乘一个根号二十五，分别开出来是五和五， 所以是二十五分之二十，也就是一个五分之四，所以我们的余弦值是不算出来了，别忘了所有夹角都得答答案，所以平面与平面所成夹角的余弦值是不是就是一个五分之四了？接 下来我们看第三问，让我们求的是三棱锥 d、 f、 b、 e 的 体积。首先 d 点呢，是坐标原点，我们用荧光笔给它圈出来，让我们求其的是 d、 f、 b、 e， 好， 这样的一个三棱锥，我们给他连起来之后，嗯，看看他是不是一个好求底，好求高的一个三棱锥呢？ f、 b、 e， 按照他的说法，想让 f b， e 做底，想让 d 呢？当顶点，也就是 d 往平面内的垂线当高。按理说三棱锥我们求体积是会有一个等体积法， 可是这个等体积法能不能行得通呢？我们可以试一试，如果换，如果换这个 e 当顶点底面，就是它得求 e 到它的距离，不好求高。要换成这个得求 f 到这个平面，距离，不好求高，要换成这个，得求 d 到它的距离，每一个都不好求高。所以我们就还是按照原始的 d 当顶点， f b， e 当底面，可以吧？那么三棱锥的体积就等于多少呢？ v d f， b， e 是 不是就等于三分之一？ s 三角形 f b， e 再乘一个高 h， h 指的就是 d 到这个平面的一个距离。好，咱们先把 h 给准备好， h 就 等于是 d 到它的距离。那点到平面距离怎么求呢？还记得公式吗？这个是一个嗯白高的一个模板， 点到平面距离，先让该点和平面内的任何一个点连起来，形成一个向量，再乘以 f， b， e 的 反向量，用的是 m， 用的是 n 向量表示的，再除以一个反向量模，整体再加绝对值是不就行了？好，那我们需要提前准备好这个 df 向量。 d， f 向量，我们的点和 f 点坐标都已经写好了哈，在这在这写一下， d， f 向量是不是就是 f 点坐标，所以是一个二四四好， d， f 已经知道了哈， d f 是 二四四 好，反向量我们又知道是一个二零一，所以代入哈二的点乘，那就是四，加上一个零，再加上一个四，只需要除以法向量的模就行了，除以个根号五， 所以就等于根号五分之八，也就是五分之八倍。根号五这个点到平面距离高是已经求解出来了，接下来我们要致力于求三角形 s， 三角形 f、 b、 e 的 一个面积。 f、 b、 e 这三边的边长分别是多少呢？首先 ef 的 长度直接就是棱长， b f 的 长度直接用勾股定律，这个是一，呃，这个是一个二，这个是一个四，所以它是一个二倍的根号五。 再求解一下 b e 的 长度， b e 直接用两点锯就行了，或者是用 b e 的 模，它是就直接根号下它方加它方加它方，根号下四加十六，加上一个十六， 加上一个十六，这是三十六，所以这个长度呢，就是一个六，并且其实我们还注意到他满不满足共五定律呢，四四十六加上一个二十，就刚好等于一个三十六。好，先写好每个边的一个长度哈， e f 等于一个四， b f 长度等于一个二倍的根号五。还有一个是我们的 b e 的 长度是等于一个六， b e 的 长度呢，等于一个六，都是用勾股定律或者用向量的膜去求解出来的，发现满足 e f 方加上 b f 方是不等于一个 b e 方，因此这个 e f 呢，就垂直于 b f， 说明这个角是一个直角。既然直角三角形面积是不就等于二分之一 乘以这个 e f 的 长度，再乘以这个 b f 的 长度，所以就等于二分之一乘四乘二倍的根号五，最后结果呢，就等于四倍的根号五。行所有东西都准备好之后，直接代入三分之一乘一个底，面积再乘一个高 五分之八倍的根号五行，两个根号五，一乘和五恰好就能消了，所以最后的体积呢，就是三分之三十二。 好，有时候求体积哈，咱们需要往两个方向去想，第一个就是等体积法，如果好求高，直接用等体积法换一个顶点做尖就行， 如果不好求的话，咱们只能乖乖的用点面具，用一个空间向量的方法点面具去求高。然后三边的边长呢，都用勾股定律，或者都用向量的模的，向量的球模的方法把长度求解出来， 看看是不是一个特殊的三角形。如果说是特殊的三角形，直接就用二分之一底乘高，比如说是个直角三角形或者等边等腰什么的。如果是非特殊的三角形，咱们得用鱼线令里先求 cos 值，再求 cos 值，再用二分之一 ab 三 c 它的方法去解决。

同学们好，最近有很多同学说，看了我的第一期视频之后，觉得简单的题我是有思路的，但是稍微难一点的题呢，他还是不知道该怎么做， 尤其是碰到什么垂直的问题，因为平行的问题相对来说比较容易解决，而垂直的题呢，多半牵扯的东西会很多。那么老师今天在这里呢，给大家介绍五种 啊，咱们常用的违界在垂直当中，首先第一个是遇中点做中垂线，是不是如果碰到等腰或者等边三角形啊？然后他的中点连接他的顶点是不肯定是垂直的。 然后第二个就是我们正垂直经常用到的勾股定律。然后第三个呢，就是我们的线面垂直的性质定律对不对？这个经常会考察到， 它的应用呢，也非常的广泛。然后其次就是我们的矩形菱边和菱形对角线， 矩形菱边和菱形对角线是不都是互相垂直的？这都是它们的性质对吧？好，那么还有一个就是直棱入它的侧棱是不是垂直于底面呢？好，那么有了这五个常见的谜解，我们一起来看稍微复杂一点的题目， 那么好，同学们，我们一起来看这道题，他说在四棱锥 p a、 b、 c、 d 中底面 a、 b、 c、 d 为正方形，且 p d 垂直于平面， a、 b、 c、 d， p d 等于 a、 d， m、 n 分 别为 a、 b、 p、 c 的 中点。我们第一问要证明什么？ m、 n 平行于 p a、 d， 这个同学没有什么思路吗？ m、 n 分 别为 ab 和 pc 的 中点。首先我们在平行当中遇到中点是做什么？对，中位线，那么我们找到 m 和 n 这两个点，大家看哪个点比较好做好？那么我是不是过 n 过 n 做一个什么？比如说 o 点了，然后我过 n 做一个中位线， 那么这个时候 o n 是 不是就平行且相等于二分之一的得 c？ 然后因为 abc 呢？是不是一个正方形啊？ o n 平行且等于二分之一的得 c， 那 么 o n 是 不是就平行且相等于二分之一的 ab？ 然后 m 是 不是也是终点？所以 o n 是 不是平行且相等于 am？ 那 我们再把这个 o a 给它连一下， 大家会发现这个 n o a m 是 什么？对，平行四边形，平行四边形的性质是什么？是不是对边平行且相等于我们的 a m？ 是 不是就可以推出我的什么 m n 平行且相等于 o a 对不对？那接下来我们的 m n 是 不是我们要正的这条直线？然后我的 o a 是 不是包含于我要正的这个平面？ pa 哥，所以第一问是不是得正了？ 好，我们来看第二个，他说的 n 垂直于什么平面？ p b c 是 不是这个侧面？ p b c 这个侧面？那是不是老师上节课教过什么？我们先列出来对不对？如果我的的 n 要垂直于面 p b c， 那 我们是不是依然可以写出三个结论，第一个结论是 d n 垂直于 pc， 第二个是 d n 垂直于 p b， 对吧？如果这个事情是真的啊，那我们是不是这些条件都是对的？好，那我们是不是还是找三条当中的两条？这是根据我们的什么来的？对判定定义好？那么首先我们来看第一个的垂直于 pc d n p c 刚刚老师讲过什么？是不是他题目里给了 p 得等于 a 得， p 得等于 a 得，然后 abcd 又是一个什么正方形，所以 a 的 是不是就等于我的 d c， 那 我的 p 的 是不是也就跟我的 d、 c 相等了？那我的三角形什么 p， d、 c 是 一个什么对等高三角形，然后 n 是 什么？ n 是 不是 pc 的 中点啊？那么我们等腰三角形当中三线合一，所以的 n 是 不是就垂直于 pc 了？第一个是通过什么得证呢？是不是 我们的等腰三角形 三线合一，是不是这个得证了？好，我们来看第二和 b、 c 是 不是一面之线的关系？ 好的 n 和 p b 是 不是也是一面之线的关系？是不是都不好挣？那这个时候媒界的思想就非常重要，如果我要我的的 n 垂直于 bc， 是不是无非是我的的 n 垂直于 b c 所在的平面？或者是我的 b、 c 垂直于什么？对的 n 所在的平面？这样是不是就可以用我们刚刚讲到的美学的思想去解决这个问题？好，那 b、 c 是 不是属于面 p b c 也就是我们要正的面？另外一个是不是 abc 是 不是都不好正？那我们只能换一个方向， 那就是 bc 垂直得恩所在平面得恩所在平面是不是有平面 p 得 c？ 好， 这里老师给大家写一下思考的过程啊。那么我要我的 bc 垂直于面 p 得 c， 也就是我得恩所在的平面，是不是就可以得证？这个对不对？所以我们现在的目标变成了证明这个， 他在中间就起到了一个媒界的作用。那 bc 如何垂直于 p 得 c 呢？ 我们是不是一样可以写出三个结论，第一个是什么？是我的 bc 垂直于 p c 垂直于 pc 和 bc 垂直于得 c。 好， 我是不是要正 bc 垂直于面 p 得 c？ 我 只需要证明这三个当中的两个是不是也就是相当于解决了我本道题的难题啊？好，那我们来看 bc 垂直于得 c， 哎，他这个底面是不是一个对正方形？ 所以我是不是可以通过正方形得证啊？好，一个条件到了，那 bc 垂直于 p c， bc 和 pc 好 像找不到什么关系，因为它没有给边的长度。 那我们再来看最后一个， bc 垂直于 p d， bc 和 p d 又是一面之线，但是老师刚刚读题的时候是不是读到了一个 p d 垂直于底面 abc 得， 那 bc 是 不是又是底面当中的一条直线，对不对？所以我的 p 得是不是就可以垂直于 bc？ 这是不是性质定律啊？ 所以我证明了这个东西是不是就可以推出来我的的 n 是 垂直于 bc 的？ 所以此题是不是得正了？那么我们再来讲一个比较好玩的题，他说在三轮锥 p a b c 中， ab 等于 bc 等于二倍，根号二 pa 等于 p， b 等于 pc 等于 ac 等于四，他是不是给了我们长长度？ 同学们要敏感，给到长度或者比例关系，尤其是要正垂直，我们就不由自主的要想到勾股定底这个枚键，那么 o 为 a c 的 中点，中点是不是我又可以再找一个枚键，它证明什么？ p o 垂直于面 abc， 那 是不是？首先我们还是？如果我的 p o 垂直于面 abc， 我 们是不是依然可以列三个？ 是不是？ p o 垂直于 a c， p o 垂直于 ab， p o 垂直于 bc， 是 不是这三个呀？ 好，那我们首先来看 p o 垂直 ac， 如果我的 pa 等于 pc， 它是不是一个等腰三角形？ 为什么？我刚是不是画了这个中点？中点，我们是不是又想到了中垂线？ 那么如果我的 pa 等于 pc， 是 不是 po 就 肯定垂直于 ac 啊？因为 o 为什么 ac 的 中点，这是不是三线合一？那我们看题目里有没有给这个条件，是不是 pa 等于 pc， 他 是不是给了？ ok， 那 我们这个是不是得证了？然后第二个是什么？ po 垂直 ab？ p o 垂直 ab 一 面直线，我们先看下一条， p o 垂直 bc， p o 垂直 bc 又是一面直线，那么如果我的 p o 和 ab， 或者是我的 p o 和 bc 我 都挣不了，我能不能构造一条新的直线？ 好，我们现在来连接 o b， 因为题目当中给了我们什么，是不是 a b 等于 bc 啊？它是不是也是一个等腰三角形？ o 是 不是 ac 的 中点啊？ 所以我的 b o 是 不是肯定也是垂直于我们的 ac？ 好， 我们连接完 o b 之后，我们发现 o b 是 不是也属于这个面 abc 啊？ 那么此时我是不是也可以正？ p o 垂直于我们的 b o 是 不是也是可以的？有句话是怎么说的，对，山不向我走来，我便向山走去。 那么我们的 p o 垂直 b o 能不能正呢？因为 p o 是 不是垂直于 a c 的？ 所以我的三角形 poa 是 不是一个直角三角形？那直角三角形，如果我知道其中两个边是不是至二求一？好，那么我们的 pa 知不知道 pa 是 不是等于四？ 然后我的 o a 呢？ o a 我 知不知道？ o a 我 不知道，但是我知道什么 a c， a c 是 不是也等于四啊？然后 o 是 不是中点啊？所以 a o 就 等于几二，对不对？然后这个边等于四，这个边等于二。我们是不是可以用勾勾定义 p a 方就等于个 a o 方，加上我们的 o p 方，是不是我们通过这个式子可以把 o p 求出来？好，那么同理， 同理，我们的 o b 是 不是也在等腰三角形 abc 中，我的 b o 是 不是也垂直于 a c？ 所以 我的三角形 b o a 是 不是也是一个直角三角形？ 所以我们的 bc 方等于我的 o b 方加上一个 o c 方？ 好，我们要求的是 o b， 那 bc 我 们知不知道 bc 是 不是等于二倍根号二？ oc， 我 们知不知道 oc 是 不是等于 o a 等于二？ 是不是又是至二求一？那我的 p a 方是不是四的？平方是十六，就等于 a o 方是不是四？加上一个什么 o p 方，那 o p 方是不是等于十二？ o p 等于几？二倍根号三？ 好，第二个 bc 是 不是二倍根号二，它的平方是几对八，所以八就等于 o b 方 加上个四，所以我的 o b 就 等于二了吧？好，那么我已知 p o o b 和什么 p b 是 不是三边的长度？我是不是可以用勾股定力去验证它是不是？如果我要证 我的 o b 垂直于 po， 我 只证我的 po 方加上 o b 方 等于 p b 方，那我们把值往里带 p o 方， p o 是 不是我们解出来是二倍方三，它是不是平方等于十二，加上 o b 求出来是不是二？它平方等于四，等不等于我的 p b 是 四的，平方是十六， 我们发现是相等的，所以我的 p b 是 不是有 勾股定力求得了？那这道题我们是不是解决了？那么在类似的题型当中呢？同学们一定要掌握我们常用的一些关键词，以及这种思想。 什么思想呢？就是我已知这个条件是不是要满足一二三对不对？那么我占其中的两个就行，如果这一二三当中一般第一个都很好找， 那二三我发现我一个都认不了。这种时候同学们也一定要切记，遇到终点要做中垂线对不对？这时候我们就构造了一个新的直线，是不是刚刚说的山不向我走来，我便向山走去。

好，我们看第三题，第三题，像我们这种第二问题波段，主要看第三位如何处理我们的 c d 与平面 a c m 成角的角的余弦值，那什么呢？它是我们的线面角的夹角，我们又可以比如说画一个平面出来，假如这是我们的平面，阿尔法上一条直线， 假如只取线段啊，我们只取线段交点，它交点为交于 m， 它交于 n 的 话，那么它是假角与线段是什么？我们是不是可以过点 n 做阿尔法的垂线？那这时候我们的 所成角度是不是我们的 c 塔，那它的正弦则是什么？假设这个点为 p， 是 不是三 c 塔？是不是就等于我们的 n p 比上 m n 有 什么？我们的线段长 分我是我们线段长分着什么？我们线段另一个端点到我们平面的高，对吗？我们的 h n 比上我们的 m n 距离，对吧？就把它转这个形式了，有什么什么我们就要去比高和线段之比，那到我们这题的话，我们 cd 是 不是这个位置？我们 acm 是 这个面，那我们要求的什么？是不点 d 到 acm 的 距离除以我们的 cd 长，对吧？就要求它，那好， 那求他的话，我们有什么东西？我们是不是要求主要是求我们的 h d 和我们的 a c m 的 场面积，对吧？那我们 h d a c m， 它不是构成了三轮锥 amd c， 对 吧？那么微变求这种我们要求高的话，我们一般怎么处理？是不是？我们体积法无非换一点我们对于我们的理解，我们的微 d a m c 是 不是等于我们的 v m a c d？ 我 们为什么要换到 m 上？因为你发现首先有一点，我们点 m 在 顶点的时候，我们的 a、 c、 d 它底面是不是很好求？而且我们的 m 是 不是我们的 p d 中点，我们的 p a 垂直我们的底面 a c d， 那 我们的点 m 到 a c、 d 的 高是不是其实就等于我们的 二分之一的 pa 场，对吧？这就可以把我们的点 m 的 a、 c、 d 的 高也给求出来，那我们的 a、 c、 d 面积还好求，那无非就要求什么处理我们的 amc 这个面积了。那我们首先注意一点什么？我们 d 用我们已知的什么？我们用我们的 a d 垂直我们的 c d， 对 吧？这条边和这条边垂直，以我们的 pa 也垂直我们的 c d， 对 吧？那么 c d 是 不是垂直我们侧面 p a d， 那 么是不是又可以得到什么？我们是不是 c d 垂直？ p a d 的 话，我们有 c d 垂直我们的 am， 对 吧？用全这样得来的同时，有什么？我们 c d 垂直 p d， 我 们叫什么？ p c d 等于九十度， 那这时我们可以当什么？ c d 垂直我们的 am， 对 吧？ c d 垂直 am， 又因为我们的 ap 等于 adm 为我们的 pd 中点，我们是不是可以求出我们什么 am？ 是 不是垂直平分我们的 pd， 那 么 am 垂直 pd a m 垂直 c d， 我 们 a m 是 不是垂直平面？ c a c d 所以 我们有什么？我们是不是有我们的 a m 垂直我们的 mc？ 我 们角 a m c 是 不是一个角三角形？那 a m 长度很好求了， a m 是 斜边中点一半，是的，我们 a m 就 等于二分之一的 p d 等于我们的二分之根号。我们非要求 m c m c， 那 么求我们是可以把这个三角形画出来， 这是我们的 c d， p m， 那 我们的 p d 等于四倍根号，这个很好瞧吧？因为我们的 a p 等于 a d 才知道，那我们的 p d 四倍根号，那我们的 m d 是 不是二倍根号？二， c d 就 等于我们的二，那我们 c m 是 不是就我们的 二倍根号？三，那么 i 三角形 a， m， c 就 很好求出来，那把它带入我们的体积变换模式中，那么的 h d 乘以我们的 i 三角形 a， m， c 是 不等于我们的 h m 乘以 i 三角形 a， d， c， 那 把带的时候把它除过去， 我们的 h d 就 出来，对吧？这是难点，主要难点，第一点就是我们的如何转点，第二方面就是求我们的高对应的三角形的面积。

立体几何千万别看老师遇到这种像洞点探索的问题，很多同学脑子直接卡壳，好不容易我咬着牙把答案看懂了，下次换道题，是不是还是不会做？是辅助线不会画吗？ 为什么？因为你在瞎找线。所以今天胡老师给大家讲的这招降维打击，就让你一眼能看出辅助线怎么画 别人可能题还没有看完，你就拿分走人了。期待不期待？期待好，我们来先看一下什么叫做动点探索的问题。读题，你看是否存在 p c 上的动点？ f 是 问你是否存在一个点，使得线和面平行，对吧？对，来这里棱上的一点是谁不知道，问他是否使得线面平行， 这叫做动点探索，使得它平行，可以探索，使得它垂直，是不是也可以探索？是的，哎，使得夹角是多少线？线角线面角面面角都可以考你。咱一个一个来说，先说平行的问题好吗？好，好。那么对于这种平行的问题，我们的方法几个字， 核心思路叫做谁不动？注意哈，谁不动，这是大方向啊，咱们就平移谁，就这， 你比如说像这道题目，你看，这是问你线面平行，大家也要注意一个点，线面平行的题目。探索问题，我们都是从后往前读题，不要从前往后读，就从后往前读，缺谁咱们就找条件吗？对吧？ 使得 pa 就 这根红线是否和这个蓝色的面平行，谁是动点？这个 f 点是动点，那意味着这个面就是移动的，对不对？那我们的核心是谁不动，平移谁？你告诉胡老师，本道题平移的是线还是平移的是面 平移线还是平移面？线谁不动？平移谁？对啊，谁不动，平移谁。 p 和 a 是 不是固定的？是的， f 运动导致这个面是不就运动的，所以谁不动嘛。就是这个线是不动的，所以我平移的是线。我为什么要平移线呢？ 因为你要证明线面平行。我们的原理是，你看这里啊，我给你画一个面，这是阿尔法面，这是 l， 如何证明线和面平行？ 线是不是只要和面中的一根线平行就可以了？对，如果能证明 l 平行于 m， 因为 m 来自于这个面，所以 l 就 和这个 alpha 面平行了，没问题吧？没有。所以线面平行的核心就是只要证明线和面中的某一根线 平行就可以了，没问题吧？没有。那么我平移线的目的就是为了找到这个面中的哪根线跟他平行，这是目的，能理解不？可以。那怎么去平移呢？ 我们平移的方法就是拿着你的尺子注意。哎哎哎呦，我的天呐，拿着你的尺子对着这个 pa， 把这根线推到面内去， 那这个线显然是比较长的，比较大的，你推到这个面内去，线会变小，会变短，对吗？对对，我们推的时候要让这个线尽可能的给他完全放到面内去， 一旦放进去，线就会变短。哎，这是第一个你要认知到的，第二个短就短呗。那怎么推进去呢？推的原则一般是保证线的某一个顶点和面的某一个顶点重合。那你告诉老胡屁点和谁重合？ 噔噔噔噔，推推推推推推。你看平行移动吗？这是你的卷子。来，拿着你的尺子移移移移移移，是 p， 推到 f 这来了，对吧？平行，你就画一根跟他平行的线，那么 a 是 不是就移到这来了？是，我们给他起个名叫做 m， 你 找到了，你只要证明这个红线跟他平行，是不是线就和面平行了？对，对吧？这根线我们就找到了， 接下来就是你刚才是强行平移找到的，但是你写题的时候，你总不能给人家说我把它往前推吧？不是这样，这是你脑海里面的思路，我们写题过程不这么写，我待会教你们过程怎么写，好不好？好好，那接下来你倒是找到这根线了， 你得给到严密的逻辑推理与证明，怎么正？告诉我怎么称正。 当你把线推进去之后，注意这根线的长度改变没有？改变了，线的长度发生改变，我们证明的方法叫做三中。什么叫三中？ 三角形？中位线，你看，比如说我让你证明这两根线平行，咋证啊？三中哪个三角形呢？边边一连，边边一连，这是 a， 这是 b， 这是 c， 就 这个 abc 的 三角形， 是不是这个三角形就找到了？对，对啊，所以啊，那你告诉我要把他俩放到一个三角形里面去。把他俩放到哪个三角形里面去？你来告诉我， 放到三角是不是也是一样的？边边一连，对不对？这个三角形辅助线你不就会做了吗？一连，然后呢？把这个边边是不给他连起来？对，看到没有？边边把这两边边一连。 对啊，然后延长，延长，延长，直到跟另外一个是不是有交点到 c 这了，所以在哪个三角形里面去正呢？在 p a c 红色三角形面去正就好了， 对吧？然后呢，平行线分线段对应成比例，看这个点是你的几等分点，那么 f 点就是 pc 的 几等分点，那么这个 f 点不就找到了吗？对，关键是先看这个 m 是 几等分点，自己看能看出来吗？ 对啊， m 点是几等分点呢？ m 点在哎呦，对角线上，对角线的什么位置？ 对啊， m 在 这看，这是对角线吗？这个是，你可以把它理解为半对角线。哦，这是中点。看题， e 为 a， d 的 中点，这个是中点，所以这个 m 是 几等分点。 拿什么去看相似？哦，聪明，点个赞。相似在立体几何里面用的非常多，是吧？这个三角形 是不是和大三角形，这个三角形是不是应该是相似的？一比二吧，所以呢？这段一比二，所以这是二 x， 这一段应该是 x， 是 不是应该是二比一，所以这一段应该是 二，比如说二 y， 这是 y， 是 不应该是二比一就完了。所以人家题目问你说在 pc 上是否存在动点 f， 你 上来给人家写啥？第一，第一句，上来给大家说什么？上来先给人家说存在， 存在吧，存在。然后立马你找到这个 f 点是不应该是二比三的关系，或者说二比一存在。你说此时 cf 比上一个 cp 等于二比三，就你找到这样的 f 了。对对，你就直接找到它的比例关系了。对，然后你带着这个比例关系去证明线面平行是这样写的， 能理解不？可以，你写的过程你不能说，哎呀，把这个线往进推，这是你心里的行为和操作，正儿八经写，就是存在，然后这个点是几等分点，直接表明，然后现在开始证明如下，就是你已经知道是几等分点了，对吧？然后再说这个是几等分点，平行分线的对应成比例吗？ 当然，在证明之前，你要把该连的线全给人家连了。这个思路能听懂吗？可以，我就不写过程了，因为黑板确实写不下。带大家分析一下思路没问题吧？没有，没问题， ok， 这就是我们的平行的探索。 那这样一做，大家觉得题目还难不难了？不难了，是不是辅助线就很好好找了？对，好，我们再来一道题目，看看你能不能找出来辅助线。然后这是我们在考试的过程中，以及你们参考资料里面出现频率极高的动点探索的小题来看题， 他是不是也是说，哎，一点是棱上的一个点，没说是哪一个点，然后说，哎，使得红线与这个蓝面平行， 没说是哪一个点，我们把它也理解为动点的探索吧，就让你探索这个点是几等分点，能理解不？可以。好，那你现在告诉胡老师，现在是谁不动平移谁，我们要平移谁？ 嗯，平移线，平移线，因为第一和 b 就是 正方体的顶点吗？固定的吗？这个一点是不确定的，把它理解为动点，动点，谁不动平移谁？拿着你的尺子把这个线往面内去推， 推的过程中，长度变了还是没变，长度变了还是没变？变了，长度变了，所以我们应该用的也还是三中，没问题吧？没问题，这是你心里的大方向。来，在推的过程中， d 一 和 e 重合吧。对，请问这个 b 点和谁重合？自己看 b 点和谁重合。你是不是认为 b 点应该到 c， 这 很多同学决定到 c， 这是吧？不是。那是不是这根线就变成这个线了？不是 是吧？如果是这根线，我问大家行不行？不行啊，他俩平行不平行我再说一遍，你肉眼看出来平行更好，但是如果你肉眼看出来不平行，不代表人家真的不平行，你得去用理性去证明能理解不？ 所以说，如果按照绝绝大多数，有的同学刚才觉得应该是这根线，如果是这根线，你看能不能把它们放到一个三角形里面去，如果能就 ok， 如果不能，说明这个点便宜到账是不成立的。忒矛盾了，能理解不？那他们能放到一个三角形里面去吗？ 思考一下，连吧，你这一连噔噔噔，这是不是有个一条线啊？对，这边一连噔噔噔噔，这有一条线，请问是不是就放到哎这个三角形里面去啊？ 是还是不是？不是。为什么？不是，因为这两条线不在面，不在一个面类。你们还挺聪明的哈。有的时候胡老师，这不就交于一个点了吗？这是你人为交的。 其实这根线是在上面的面上，这根线是在底下的这个面上，这两个面是平行的，永远不相交，你觉得面中的线能相交吗？ 不可能吧，所以你把 b 移到 c， 这是不成立的。我解释明白了吧？明白了，好，那不在 c 这在哪？ 连接 bc 不 在 c 这。你想一下，他肯定跑这个棱上来了嘛，对不对？对，比如说在棱上这个位置我也不知道在哪，随便给个位置有可能平移过来之后噔噔噔噔到这了，我随便拉了一个。那以后说，胡老师你画的这也不平行啊。 好像看着不平行，但是你得正啊，这图目标准呗，是不是来正吧，肯定是在这个线的某一个位置了。那在哪一个位置呢？不知道是哪个位置，跟刚才的做法是一模一样的，干嘛？看他能不能放到一个平面的三角形里面去，我把你的脸 是吧？来吧，我再把你俩看。从这到这一连吗？是不？刚才那个思路，这个辅助线不就会画了吗？噔噔噔噔，连完交到这来，能放到一个三角形里面去吗？ 能不能？可以？可以啊，这个点是已经有一点了，这个点是 f 点，请问 f 点是什么点？ f 点是不是得在这条红线上来？我刚才连的 f 点还得在这个蓝线上，你告诉胡老师这个 f 点是什么点？中点， f 点是侧面正方形对角线的焦点，所以它是中点。完了， 这不找到了吗？找到了，所以当你技术比较高的时候，其实你一眼就能够看出来，往这一平，一啪一拉，左上下一连，这个三角形就找到了。 所以不是说看答案，答案跟你说，把这些一连，把这些一连，你顺着答案去看，你觉得答案说的好有道理，但是你发现你自己下次连不出来。所以这个线是怎么连的？我刚刚都教会你们了，把两个线的端点，两个线的端点延伸出来一个三角形，这个三角形是 ok 的 吧？ ok， 对 吧？所以我要证明的话，我是不是就在这个 d 一、 bc 一 这个三角形中去证明吧？是，那你这个 f 点是终点，我得保证两根这个线平行，这个得跟这个平行。你告诉我这个一点是什么点？中点， 中点。对，终点一点只能是终点，这事不就结束了吗？是的，当我知道一点是终点之后，你让我求 c e 的 长度，这是 d 一， 这是 c e 背面那个面啊，这是 d， 这是 c， 你 让我求 c e， 是 不是求的是它？是的， 这是直角三角形啊，二分之一，边长为一，这是一，这是二分之一。根据勾股定律，一加四分之一，四分之五，二分之根五小小探索问题，直接拿下，有问题吗？没有，这叫做什么的探索，平行的探索， 这只是平行探索的入门啊。今天的动点问题，这个面你是没有延展的，稍微难一点的题目就是这个正方体已经不能够满足你了，需要把这个某一个面给他，把这个体给他延展出来，需要拓展，这个题 就现出题了，就是升级难度的题目，没有问题吧？没有，所以这是第一个我们的平行探索，你知道他怎么去考你，难题怎么去考你？有了平行，前面讲过了，还有什么垂直，还有什么？还有夹角，这是一系列的探索问题，你都得会。 今天我们讲的是谁不动平移，谁平移的是谁线，是不是已经觉得很爽了？是的，但是动点探索里面更坑的是平移谁面面面还可以，平移的思路一换，难度又翻倍了。所以百分之九十的学生同学们，大家会栽在这种平移面上。 所以说，不管是平移线还是平移面，还是说平行垂直夹角的整个探索问题，胡老师把这种类型的题目全部给大家放到了立体几何二十五大的必考题型专项训练里面了，里面全都是你们在画辅助线的过程中特别容易出错的那种辨识题， 你把这二十五大题型能够整明白，那么你立体几何这块的分就拿的死死的了，所以大家赶紧下载打印，跟着胡老师训练起来吧，好不好？好好下课。

高考数学题分必会二五年一卷十七题例题，几何第一视角讲解第一视角沉浸式带你完整拆解高考真题！ 粉丝宝宝想听主播讲什么题型，直接私信可以加粉丝群讨论数学题，有想线上一 v 一 的宝宝私信主播，如果觉得主播讲的还可以的，点个关注不迷路，动动考高分的小手点两下屏幕，你们的支持是主播更新的动力！ 主播祝大家考上理想的大学，成功上岸！哈喽，宝宝们大家好，今天为大家带来二零二五年全国一卷的第十七题，这是一道呢立体几何题，我们先看第一问，他说如图所示的四棱锥 p a， b， c， d 中 p a。 垂直面 a， b， c， d 而且 b c 平行 a d， a， b 垂直 a， d。 第一问，他让咱们证面 p a， b 垂直面 p a， d 那我们根据面面垂直，首先呢，我们得找出来一个线面垂直，看看是 p a、 b 面的一条直线垂直平面 p a、 d 还是平面 p a、 d 的 一条直线垂直平面 p a、 b。 那 我们根据已知看一下， 由于 pa 垂直平面 a、 b， c、 d， 这个 a、 d 又在平面 a， b， c、 d 内，则 pa 我 们可以得到 pa 垂直，我们可以得到 pa 垂直 a、 d。 同时 a、 b 又垂直 a、 d， 那 我们我们就可以找到 a、 d 垂直了。 平面 p a、 b。 平面 p a、 b 内的两条直线写出来呢，就是由于 p a。 垂直面 a， b， c， d， a、 d 包含于面 a， b， c， d， 则呢， a、 d 垂直 p a。 同时我们还有这个 ab 垂直了 ab， 那 就有呢， 由于 pa 包含于面 pa， b， a、 b 包含于面 pa b， 且 pa 交 ab 有 公共点，等于点 a， 则呢，我们就有 a、 d 垂直面 p a、 b。 那 现在根据面面平行的定理，由于 a、 d 包含于面 p a、 d， 则就有面 p a、 d 垂直面 p a、 b。 这个是我们的第一问，接下来呢，我们看第二问，第二问，它的第一小问说，若 p a 等于 a、 b 等于等于根号二， a、 d 等于根号三加一， b， c 等于二点 p、 b、 c、 d 在 同一个球面上设这个球面的球心为 o， 正第一问，他说证明 o 在 平面 abcd 上， 那这个 o 在 平面 abcd 上，首先的话，那就是我们要想怎么证明呢？那我们就可以利用这个 球心的性质，球心到 p、 b、 c、 d 四个点的距离相等，因为都是半径， 那根据这个性质，我们去间隙。然后呢，算出来这个 o， 看看他的，看看这个 o 的 性质，看看这个 o 的 坐标是不是在平面 abcd 内。由于我们知道这个 pa 垂直面 abcd， 同时呢， ab 还垂直 abd， 那 我们就可以进 借以 ab 这条直线为 x 轴 ad， 这条线为 y 轴 ad， 这条线为 z 轴，就有呢，以 a 为圆点。第二题的第一问， 以 a 为圆点， 建立空间直角坐标系， 那咱们因为要求的这个 o 具体的坐标是多少，我们不知道，是要带求的，所以呢，我们设 设 o、 x、 y、 z， 那 现在我们算一下 p、 b、 c、 d 的 它们的坐标都是多少？首先呢， p 就是 因为它在 z 轴上就是零零，根号二， b 呢，就是根号二，因为它在 x 轴上根号二零零， c 呢，就是是根号二 二零， d 呢，它在 y 轴上零，根号三加一零，则呢则有这个 o、 p 等 o、 p 的 长等于 o b 的 长，等于 o c 的 长等于 o d 的 长， 那根据两点间坐标公式就有根号下，根号下这个 x 方，再加 y 方，加上再减根号二的平方等于 根号下什么什么？那我们就直接可以给他平方就是呢？ o p 的 平方等于 o b 的 平方等于 o c 的 平方等于 o d 的 平方 g 呢？我们先看 o p 的 平方是多少，就是 x 方加 y 方， 加上 z 减根号二的平方等于 o b 的 平方就是 x 减根号二的平方。加 y 方加 z 方 等于 o c 的 平方就是 x 减根号二的平方，加 y 减二的平方，加 z 方等于 o d 的 平方就是 x 方加 y 减根号三加一的 平方，再加上 z 方，这个式子两两相等， 那接下来我们就要去连利，然后那接下来我们就要去连利，求得 x、 y、 z 究竟是多少？那我们可以先让这个前。嗯， 那我们可以先让前两个式子连立，我们给它编个号吧，一二三四，一二连立一下 就有，因为一二共同有 y 方，所以说那 y 方就约掉了，就有 x 方加上 z 方减去二倍根号二， z 加二等于 x 方减二倍根号二， x 加 z 方，那这里呢？我们 x 方和 z 方都约掉了， 这有呢？还有二二也都约掉了，就有负二倍根号二， z 等于负二倍根号二， x 得出来 x 等于 z 就是 一二连立， 那我们再连立一下二三呢？因为二三这里面都有 x 减根号二的平方和 z 方，那我们就直接得到 y 方等于 y 方减四， z 再加上四，得呢啊，不是等于我们就得到这个 y 方等于 y 方减四， y 加四就得到零等于负四， y 加四，我们得出来 y 等于一， 那接下来我们再来再另再连立一下，三四 三四连立呦，因为这里面我们都共同的含有 z 方，所以呢， z 方就可以约掉了。 我们代入 x 三呢，就是 x 方减二倍，根号二， x 加二，再加上 y 等于一，我们代入代入，这里边就是一减二的平方，还是一等于 x 方，再加上 y 等于一，代入一，减去根号三加一，就是根号三的平方就是三，我们就能得到 x 方加三减二倍，根号二， x 等于 x 方加三，则呢，负二倍，根号 x 等于零， x 等于零， 所以呢，同理我们也能得出来，因为 x 等于 z， 则呢， z 等于零，所以说 o 的 坐标就是 零一零。所以呢，我们知道看一下这个图，我们看零一零，他在 y 轴上，那这个，而且，但是这个同时呢， a d 的 长是根号三加一，肯定是把这个一给他包含在内了。所以呢，这一问，我们证明了 求出来了球弦的坐标，它确实是在平面 a、 b、 c， d 上。那第二问，求直线 a c 与直线 p o 所成角的余弦值。我们知道意面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦的绝对值。 那我们先求出来这个向量 a c 和向量 p o 都是多少？向量 a 呢，是零零零，不是 a 点 a 呢，是零零零，则向量 a c 就是 根号二二零， 向量 p o 呢，就是用 o 的 坐标零一零，再减去 p 的 坐标就是零一负根号二 则呢，我我们计算一下这个 cosine c， 它就等于 向量 a c 乘上向量 p o 的 绝对值，比上 a c 的 膜，乘上 p o 的 膜就等于 根号二乘零，再加上二乘一，再加上零乘负，根号二分子呢就是二。然后分母呢是根号下，根号二的平方就是二，再加二的平方四乘上 根号下一的平方一，再加上根号二，加二的平方就是二，等于二。比上 分母是根号六乘上根号三就是根号十八。根号十八呢是三倍，根号二等于六分之二倍，根号二就等于三分之根号二。那这道题呢，我们就算到这里，感谢大家收看，我们下期再见。