青岛版五年级数学改版前后对比

今天我们学习了图形的放大和缩小，你还记得放大和缩小的方法吗？让我们一起来回顾一下吧。 在学习比例尺时，我们是将足球场的长与宽同时扩大一千倍，才将我们的足球场从图纸上形状大小完全一样的搬到了现实之中。那如果老师只将足球场的长扩大而宽不变的话，那足球场的形状是不是就改变了？ 就像老师的这张照片一样，如果老师只将照片的长扩大而宽不变的话，你看老师是不是变得胖胖的了？那如果老师只将照片的宽扩大而长不变的话，老师又变得瘦瘦的了。 所以为了保证照片形状的完整性，我们需要将照片的长与宽等比例放大和缩小，这样才能保证照片的完整性。接下来我们就来学习一下如何将图形等比例的放大和缩小。 那这里有一个长方形，它的长为六厘米，宽为三厘米，让我们将这个图形放大，使放大后的图形与圆图形之间的长度比为二， 二比一。那通过这个二比一，我们能够得到放大后的图形占两份，而圆图形占一份。 通过他们所占的份数我们就能看出来放大后的图形是圆图形的两倍，也就是放大后图形的长与宽是圆图形长与宽的两倍。根据他们之间的倍数关系，我们可以求出放大后的长等于六乘二， 等于十二厘米，而放大后的宽是三乘二，等于六厘米。根据我们求出放大后的长与宽的长度，我们就可以在方格图上画出放大后的图形。那在画出放大后的图形时，我们要记住用直尺和铅笔作图， 画出图形后要标出相应的数据。通过观察放大后的图形，我们也能够发现，放大后的图形和圆图形相比，虽然大小改变了，但是形状不变。 那在遇到三角形的时候呢，我们就是将三角形的两条直角边进行等比例的放大和缩小，如果是平行四边形和梯形，我们也是选择他们的底边和高来进行等比例的放大和缩小。那放大的方法我们学会了，那缩小的方法呢？ 我们来看一下第二个问题呢，就是将这个长方形进行缩小，使缩小后的图形和圆图形之间的比为一比三。那通过这个一比三的关系，我们知道了缩小后的图形占一份，而圆图形占 三份，也就是圆图形是缩小后图形的三倍，那么我们也可以得到缩小后的图形的长与宽，是圆图形长与宽的三分之一。所以啊，我们可以直接用圆图形的长与宽分别去成三分之一， 得到缩小后图形的长与宽。那接下来我们就可以在方格图上画出这个长方形缩小后的图形了， 无论是放大还是缩小，我们都可以得到放大或缩小后的图形形状不变，大小改变。 当然了，老师还可以教大家一个小技巧，那就是比号就是除号，我们用二除以一得到二，然后用圆图形的长与宽去乘我们的比值就可以了， 那后面缩小也是一除以三等于三分之一，我们也是利用圆图形去乘我们的比值就可以了。那同学们关于图形放大和缩小的方法你学会了吗？给老师点亮小红心吧！

今年秋，五上数学全面改版，单元重组，小硕整合统计变简化可能性的难度也会降低。但是呢，加了探索与实践，全面对接。新课标。 新版把小硕除法、乘法四则混合运算合并成一个核心大单元，也是整个五年级的重难点。同时删减了繁琐的机械 计算题、复杂的可能性推理，更看重数学的思维解析能力和整合能力。审题能力不再是死记硬套公式，而是要求孩子读懂题、理清思路，灵活，解析审题细致。 那只有思维灵活细心的孩子呢，才能稳稳的拿高分。那这个暑假到底怎么衔接最高效？记住以下三点， 第一，夯实四年级小数计算和整数计算的基础。五上小数从三个单元整合为一个单元，更强化混合运算。衔接整数的四则混合运算更看重数感，重理解，算理不是硬邦法则， 所以这个暑假一定要把小数口算和减去一般法则。所以这个暑假一定要把小数口算和准确率，这是五上深度学习的根基。 第二，提前预习。五上前三单元，重点预习多边形、面积、公式的推导，理解割补、转化的数学思维。同步狠抓审题能力训练，养成圈化关键条件、理清题思路的好习惯， 不用刷复杂的难题，侧重锻炼逻辑思维和规范解析的能力。第三， 很抓审题能力训练。很多孩子丢分不是不会做，而是审题容易出错。日常做题呢，就要刻意养成圈画关键词、看清单位和问题，区分题干陷阱、统一单位在计算的习惯，从根源上杜绝看错 漏、看理解偏差的低级思维。最后提醒大家，新版教材减负，但是不降素养，不再考偏题怪题，但对孩子的数学思维、审题能力、综合理解能力要求更高了。 这个暑假呢，我们不搞题海战术，抓准新版的核心重点和审题功底，做好平稳衔接，开学就能轻松不掉队。

请问九月份五年级教材改版都改了什么？九月份五年级教材改版改动最大的就是人教版的语文，删了八课，新增八课，做了六个大单元的调整。所以四升五的暑假千万不能再借老课本预习了，新老教材差异太大了， 可以试试这套一本的预备五年级，它不仅完全同步最新改版教材，还把语数、英三科的知识点都给整理好了。像语文的字词必备古诗文，数学的有小数乘法、小数除法、轴对称，英语的单词、句子语法全都配套优质的录播视频， 每天学一学，练一练，帮助孩子打好基础。而且他还给做好了预习规划，每天学什么练什么都给安排好了，一共是六周，每天完成打卡，家长不用费心辅导，孩子也轻松，还能养成学习的好习惯。现在下单光赠品就这么多，赶紧准备起来吧！

咱来吐槽一下五年级速教版数学，最后这两个单元，真的是，我觉得真的改教材这件事情，我也不知道这些改教材编教材的人的脑子都都怎么想的， 对吧？我想应该现在处于这个阶段的五年级的家长都非常的焦虑，因为 本来孩子们是在六年级上市开始学习正方体，长方体，正方体的体积和表面积，长方体 这个表面积的问题，那他们从刚如果是六年级进去，他有一个学期的这样的一个长时间的消化时间，去把这一部分比较难理解的空间想象能力去培养出来。 但是现在改教材把六年级上的这个这一块内容放在了现在的呃，第六单元，五下的第六单元， 也就是已经还有一个月不到的时间，其实他们就知道期末考试了，但是在这一块中所有出现的难题都会出现，对孩子们来说，这一个接收知识并且巩固并且要加强思维的训练， 对他们来说是一个很难的一个过程。真的，我真的很想吐吐槽这些 随随便便改教材，就像初二的反比例函数，把它放到了初三上，初三要学反比例函数和二次函数两个函数， 对孩子们来说，你要去在初三如此高强度学习当中强化两个函数的很就是复杂的内容， 还要兼顾着初三准备高考的，呃，中考的内容，你说还能多可怜？真的编教材的人永远都不在为孩子考虑。

我们蚌埠市的教材，二零二六年的秋季五年级、六年级的教材全部都改版了。那我来说一下我们私教版的数学五上改了哪些？五上我们是改了四个单元，那我们说一下改版以后的数学跟老板的数学， 他有哎哪些区别？我主要从四个方面来说。那第一个方面是改版以后的数学的底层逻辑，老板的数学的 底层逻辑，它主要是算法重复，大量的计算，你像小数、小数的乘法，小数的什么乘除法、加减法，它里面的 算特别多，机械特别机械，重复的计算特别多，但改版以后，他把这些机械的重复的这些计算全部给删掉了，以理解为主，变成了算理，这是第一个方面。那第二个方面是单元衔接更加的紧凑。那老版本的时候，比如说他图形的 认识是放在后面的，但是针对图形的计算，他是放在前面的。现在是新改版以后，能把图形的运动什么的都放在前面，你先认识图形，然后再去计算，还要涉及到了图形里面的割补法，还有平移法，这些是我们初中几何里面所要遇到的。 还有第三个是贴合了实际，他把里面的一些生活实际像那个绿色出行，他也给变掉了，变了以后，里面的题目更加符合我们现实生活中的一些场景了。第四个他很好的做到了小出衔接 啊。新版本以改版以后的数学，他的逻辑思维更加紧凑，那就是一个单元套着一个单元，单元之间的联系非常的密切，里面也渗透到了我们初中的知识点。你像我刚才说的歌谱法、拼一法，这些都是初中里面，几何里面 就是求面积所用到的，他现在你小学里面可能也会涉及到你做好了小学和初中的衔接更加的紧凑，他没有像以前断层那么严重。如果把小学学的好呢？将来可能你初中学的也都还可以。因为我们 护科版的数学前年不才改掉吗？所以说才改两年。那紧接着今年我们小学的苏教版就改掉了，衔接就更加的紧凑了。也不是说特别难，改版还是有还是有优势的， 更注重衔接性，而且更注重了我们的逻辑推理能力。还是不说不说，特别难的，大家都可以学的。会的，只要你认真学。好吧，大家一起加油。

好，各位家长啊，同学们好啊，那么最近这个书教版啊，书教版的小学这个五六年级啊，这个教材都在改革，那么有很多同行都在啊，这个分析这个改革的教材， 那我们今天啊，对这个教材的话，这个不与个人主观上的评价，那么我们来说一下这个五年级升六年级，这个整个教材改革中啊，他的不合理的地方。那么首先我们来看一下啊， 这个五年级以前老版教材的话，他学的是什么东西？大家看一看，请给个特写啊。 那么大家看一看最后两个单元我们学的是什么内容呢？最后两个单元学的是圆和解决问题的策略。那么这个解决问题的策略的话啊，还是主要是圆的一些题目啊，主要是圆的题目，也就是主要我们学的是圆啊， 然后我们再看一下现在五下学的什么内容，也就是说他把语言和解决问题的策略给删掉了，现在变成了什么呢？变成以前六上的那种长方体和正方体和分数乘法啊，和分数乘法。 那么接下来我就说一下这个，呃，目前的这个新教材改革出现的啊，一个问题啊，就是不合理性啊，对于我们现在五生六的孩子的话，其实是一个痛啊，其实是一个痛啊， 什么意思呢？我们来看一看新版的教材，大家看一看新版的教材六年级上册。六年级上册的话，他第一个单元学的是小数乘法和除法， 但是这个小数乘法和除法我们在首先第一个小数乘法和除法我们在五年级其实已经学过了， 大家可以看一下，我们在五年级上册的时候已经学过小数乘除法了，而且当时学的还比较难一些啊，当时的这个学霸呀，还亮晶给力大事件题目还是比较难，他搞了一个小数乘除法啊， 小数乘除法我们单且不说已经学过了，而且他这个教材上面干了一个什么事情呢？嗯？一个什么事情呢？就这里的话，小数乘除法还比较简单啊，大家都会。 那么到了小数除法啊，没有，大家请看这个地方，零点六除以零点三等于十分之六，除以十分三倒过来等于乘以三分之十。请问五年级的同学有没有学过分数除法？我们最近几年根本就没有学过分数除法， 那么他直接用分数手法，他默认我们学过分数手法了。那所以说这是一个问题啊，很多同学根本就没有学过分数手法，我们在以前的时候应该是分数手法是一个 啊，重点的单元去专门去学的，而且是稍微有一些难度的。好，这是这是一个问题啊，我们再来吐槽一下第二单元啊，我们再来吐槽一下第二单元， 那么第二单元的话，大家看他搞了一个混合运算，混合运算里面还是分数除法，那么以前分数除法就根本就没有学过 啊，目前的五年级学生根本就没有学过，他还搞了一些这个。呃，这个叫叫什么？叫叫简明计算，简明计算啊，还有一些这个和小数点混在一起的一些题目。好 ok 啊，这就是我们的六年级啊，那么其他的单元的话，我们不做评价啊，不做评价，首先第一个他增加了一些这个，呃呃，生活中的一些东西啊，那也就是说现在的学习更加灵活一点，灵活了一些啊，比如说生活中的分段计费， 比如说二进字的秘密啊，对于我们编程来说是很重要的啊。那也就说另外他把这个笔和比例啊， 和放大与缩小啊，以前是我们六下的内容啊，圆的话是我们以前五下的内容放到了这里来啊。那么这些的安排啊，我们不做评价，但是这个 这个这个这个分数除法我们是没有学过的，没有学过的，所以说这个教材的话还是有一定的不合理性啊，不合理性。

同学们大家好，这节微课我们学习一分母分数大小的比较。 在生活中，对垃圾进行分类是我们保护环境、节约资源的重要途径。下图是某市在实施垃圾分类过程中，对生活垃圾种类进行的统计，大家阅读情景图，找出其中的数学信息。 那对于这些数学信息，我们可以提出怎样的数学问题呢？ 我们可以提出这样的问题，生活垃圾中塑料和菜叶果皮哪类多？对于这个问题你会解决吗？ 其实这个问题我们只需要比较八分之一和五分之二的大小就可以， 但是八分之一和五分之二的分母不同，我们该怎样比较它们的大小呢？ 在这里我们介绍几种方法。第一，我们可以画成小数来比较， 八分之一等于零点一二五，五分之二等于零点四。因为零点一二五小于零点四，所以八分之一小于五分之二， 我们还可以画图来进行比较，八分之一我们将单位一平均分成八份，取其中一份五份。 通过看图我们可以很清楚的发现，八分之一小六分叉， 我们还可以将这两个分数化成分母相同的分数来比较。 在前面我们学习了分数的基本性质，因此在这里我们利用分数的基本性质，分别将这两个分数化成了分母相同的分数， 那这样的话，这两个分数的大小就非常容易比较， 所以八分之一小于五分上。 在这里我们把异分母分数分别化成了与原来相等的同分母分数，这个过程我们叫做通分， 通分时相同的分母叫做这几个分数的公分母。 在这里我们说一下，我们将八分之一和五分之二的分母都化成了四十，因此四十就叫做八分之一和五分之二的公分母。 接下来我们学习如何通分，大家看。 我们将四分之三和六分之五分别，分子和分母乘以六，分子和分母乘以四，化成了二十。四分之十八和二十四分之二十， 把他们两个变成了分母。相同的分数，这一过程就叫做冲分。那在这里我们将他们的分母都变成了二十四， 将四分之三和六分之五分子分母同时乘以三，同时乘以二，变成十二分之九和十二分之十，这样的话他们的分母都变成了十二，这样也完成了。 有的同学不仅会问，那这样的话，这两个都是通分吗？ 我们来看这两个通分， 这两次通分都将两个不同的分母化成了相同的分母，因此这两个过程都叫做通分。但是一个将分母变成了二十四，一个将分母变成了十二。 将分母变成十二要更简单一些， 通常在通分时，我们用最小公倍数作为公分母比较简单。 好，下面我们做几道题，把下面的各组分数通分 好。同学们，你学会通分了吗？ 这节微课到此结束，谢谢！

五年级语数英教材全改了，语文新增走遍天下书为侣、诺曼底号遇难记、彩色的翅膀等七篇课文，文章顺序也有大调整，数学英语整体根救，课本出入也很大。 暑假预习一定要准备秋季新版课堂笔记，内容同步，教材有原文有批注，预习可以直接当课本用。五月份新印刷语文课文注示，数学解析思路，英语汉语翻译比用课本预习详细很多，整套拍更划算。

同学你好，今天我们来学习第五课时分数与小数的互化，同学们看一看这几个填空题。第一小题，零点七表示 多少个十分之一，也就是多少分之多少。那么这个呢？首先看一看零点七，它是一位小数，所以就相当于把整数一平均分成十份，每一份就是十分之一，也就是零点一。 零点七里面有七个零点一，所以零点七表示七个十分之一，也就是十分之七。第二题，零点二、三表示多少个百分之一。零点二、三。两位小数表示把一个整数一平均分成了一百份，每一份就是一百分之一， 也就是零点零一。零点二三当中有二十三个零点零一，所以这里面填二十三个一百分之一，也就是一百分之二十三。 第三题，零点三、七、五表示这是三位小数，表示把整数一平均分成一千份，每一份就是一千分之一，也就是零点零零一。零点三七五当中有三百七十五个零点零零一，所以这个空填三百七十五，也就是一千分之三百七十五。 小数的意义，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几，以此类推 连一连。下面我们看一看，这里面实际上是把分数转化成除法，那么同学们一定要清楚， 分数的分子就相当于除法里面的被除数，分数线相当于除号，分母，就相当于除法里面的除数。 下面我们看一看，六分之五，那就是五除以六，所以和他连线二分之七就是七，除以二，和他连线七分之二就是二除以七，和他连线三十六，分之二十四就是二十四，除以三十六，这样一连线就可以了。 分数与除法的关系，被除数，除以除数就等于除数，分之被除数，当然除数不能为零。 我们一起看一看。这位小朋友说，我从家到学校需要零点一五小时，这位小朋友说，我到校要走四分之一小时，那么谁先到学校呢？只需要比较这两个数的大小就可以了。 同学们，把零点一五转化成分数，再与四分之一比较大小，或者把四分之一化成小数，再与零点一五比较大小，就知道谁先到。 同学们，你知道小数和分数如何互相转化吗？下面我们一起探讨一下。把下面的小数化成分数，零点八、零点一二、零点零五和一点五。首先看零点八， 零点八他是一位小数，所以我们这个分数的分母就是十分子，就是把这个小数点去掉，分子就是八，所以就是十分之八，进行约分，就是五分之四。 一位小数表示十分之几，化成分数后能化减的要化减。接下来看一看，零点一二，这是两位小数，所以分母就是一百， 实际上就是一后面跟着两个零。因为呢是两位小数，所以实际上就是一后面跟两个零，那么是一位小数的，实际上分母就是一后面跟着一个零 分子，就是把小数点去掉十二，进行约分，分子分母同时除以四，就是二十五，分之三，这是两位小数，表示的是百分之几，化成分数后能化减的要化减。 接下来我们看一看。零点零五，这是两位小数，分母就是一后面跟着两个零分子，就是把这个小数点去掉五，然后呢约分分子分母同时除以五，等于二十分之一。 接下来我们再看一看，一点五，一点五，整数部分的一，他就是代分数中整数的部分，小数部分是零点五，那这样呢，就把零点五转化成分数，就是十分之五，所以约分就是一又二分之一。 想一想，怎样将小数化成分数呢？零点八等于十分之八，约分成五分之四， 这是一位小数，所以在一的后面加一个零作为分母。分子就是把零点八的小数点去掉，作为分子，然后约分 零点零五，这是两位小数。分母就是一后面加两个零作为分母。分子就是把这个小数点去掉，然后约分二十分之一， 把小数化成分数。原来是几位小数，就在一后面写几个零做分母，把原来的小数去掉，小数点作为分子。要记住这里面有个注意事项， 小数化成分数时，能约分的要约成最减分数。把下面的分数化成小数， 我们看一看这些分数，十分之三，一百分之九、十七，二十分之七，三十分之十九，四分之九。 那这些分数的分母，我们发现前面两个是整十整百的，这样的分数可以直接转化成小数，那就是十分之三就等于零点三，就相当于把三的小数点向左移动了一位。 而一百分之九十七呢，就相当于把九十七他的小数点向左移动两位，那就是零点九七。 那对于这样的分数，我们可以总结一下，就是分母是十一百一千的分数，可以直接写成小数了， 那对于我们下面二十分之七、三十分之十九，四分之九，他们分母不是整十整百的，又应该如何转化呢？我们一起来探讨一下。 我们可以根据分数与除法的关系，用分子去除以分母，比如说二十分之七，那么这个七它就是分子，就相当于除法里面的被除数， 分数线就相当于那个除号，分母二十就相当于除数，所以我们可以把它写成七除以二十，我们经过计算等于零点三五，下面三十分之十九也是一样的，用十九除以三十，那么这是个循环，小数我们就可以约等于零点六三三， 用九除以四，那么就等于二点二五，这就是四分之九，把它转换成小数了。那现在我们就知道了，如果分母不是整十整百、整千的，我们就可以用分子除以分母，把它转化成小数。同学们你学会了吗？ 想一想怎样将分数化成小数呢？一、分母是十一百一千，像这样的分数化小数的时候，可以直接去掉分母，看分母一后面有几个零，就从分子的右边向左数出几位点上小数点， 位数不够的时候用零补足。二分母不是十一百一千，像这样的分数，画小数的时候，可以用分子除以分母来计算，除不尽的要根据需要四舍五入法保留三位小数。 下面我们看一看课堂练习第一题，分别用分数和小数表示图中的图色部分。首先看第一幅图，把整体一平均分成十份，图色的部分占三份，所以用分数表示就是十分之三， 用小数表示呢？把十分之三换成小数非常简单，这个之前已经画过了，就是把十分母去掉，因为一后面有一个零，所以把分子的三的小数点从右边起，向左数出一位点上，小数点就是零点三。 下面看第二幅图，这是一个整体，一平均分成一百份，图册的部分占七十份，所以用分数一百分之七十来表示， 把这个分数化成小数，那同样的道理，分母一百去掉，然后因为一后面有两个零，所以我们把七十的小数点从右边起，向左数出两位点上，这里就是零点七零。 下面看第二题，在方框里填上适当的分数或小数零点零五，我们把它化成分数。因为这是两位小数，所以分母是一百分子，就是把这个小数点去掉，就是五。一百分之五，约分二十分之一。 零点二五呢两位小数，分母是一百分子，就是二十五，一百分之二十五，用二十五约分四分之一。零点四。一位小数，分母是十分子，就是四十分之四，用二约分就是五分之二，二分之一。把它换成小数，就是用分子除以分母一除以二等于零点五 四分之三，分子三除以四等于零点七五八分之七。用分子的七除以分母八等于零点八七五。这样我们把问题就解决了。下面看第三题， 把下面的分数化成小数，除不尽的要保留三位小数。那我们首先看一看，五分之一，分子除以分母，就是零点二， 三分之二，分子二除以三，这样他是一个循环，小数零点六六六，循环用四舍五入法保留三位小数，这是五入，所以约等于零点六六七。 接下来看一下，七分之二二除以七，那么这个呢，也是无限小数，所以保留三位小数，约等于零点二八六。下面我们再往下看， 五分之七七除以五等于一点四二十分之九九除以二十等于零点四五八分之十一，十一除以八等于一点三七五，这样把这些分数就都化成小数了。 下面看一下第四题，把下面的数按照从大到小的顺序排列起来，同学们想一想，这里面既有分数，还有小数，那究竟是把分数化成小数，还是把小数化成分数呢？非常棒，这里面要把分数化成小数，这样比较起来更加简变。 如果要把小数化成分数，分子、分母若不同，我们还得通分，这样更加麻烦，所以同学们要掌握解析技巧。首先看一看，十五分之四 四除以十五，约等于零点二六七，那零点三五就不用转化了，本身就是小数。一百分之二十七，分子除以分母，那就等于零点二七 七分之十八，十八除以七，约等于二点五七一。现在把这些小数我们比一比， 二点五七一大于一点四大于零点三五大于零点二七大于零点二六七。同学们一定要记住，我们是把这些数按照从小到大排列，所以我们在写的时候一定要用原题中的数，而不能用转化后的数， 这一点希望同学们注意。二点五七一，这就是七分之十八，一点四就是一点四，零点三五是零点三五，零点二七在原题中是一百分之二十七，然后大于十五分之四，这样把问题解决了， 第五题不计算，你能判断哪些分数能化成有限小数吗？那同学们应该掌握的就是什么样的情况下分数能化成有限小数呢？我们这个一定要清楚，也就是在一个最简分数当中， 如果分母中除了二和五以外，不含有其他质因子，这样的分数都能化成有限小数，那言外之意就是除了二和五以外，还有其他的质因子就不能化成有限小数。 所以我们现在呢，去找一找，哪些分数的分母能够只有质因子二和五呢？现在我们通过观察发现，六十四分之十一，分母六十四，这个只有质因子二， 分母是二十的这个分数，它的分母里面只有质因子二和五十六，它只有质因子二 三十二，这个分母也只有知因数二，所以这几个分数他都能化成有限小数，剩余的那些就都不能化成了。所以同学们要掌握什么样的分数能够化成有限小数，这个很重要。 同学们，我们来总结一下今天所学习的内容，这节课你有什么收获？小数化成分数，原来有几位小数，就在一的后面写几个零做分母，把原来的小数点去掉，做分子，能约分的要约分， 分数化小数要用分子除以分母除不尽时，可以根据需要按四舍五入方法保留三位小数。这就是本节课的所有内容，同学们，你学会了吗？

今天我们继续讲解长方体和正方体这个单元里边的一个重难点易错题，当长方体或正方体的高变化时，它的表面积怎么变化？那这类题它的核心难点就是当高或者长增加时，它的表面积到底增加了哪里？增加了几个面？我们先结合这个图片来看一下， 给我们一个长方体 a 下边的这个，那在他的基础上把高延长一部分，也就是在他上边叠加了一个小长方体 b， 那这时候和原来长方体 a 的 表面积相比，它增加了哪里？原来这个长方体 a 是 不是有一个上面，但是它叠加了一部分，那这个上面就会移上去，这两个面是相对的，一上一下是相互抵消的，上下底面并没有新增面积。那真正多出来的部分是不是就是这个小长方体 b 的 什么 前后左右四个侧面的面积？那这个核心点理解之后，我们再看具体的题目。一题，一个正方体如果高增加三分米，那么表面积就增加六十平方分米。圆正方体的表面积是多少？ 那我们刚刚演示了，如果高增加，他是不是就相当于增加了一个小长方体，那他增加四个侧面，也就是这个小长方体的四个侧面， 又加上它原来是正方体，那就相当于这个小长方体的长和宽是相等的，那我们就能知道这四个侧面是完全相等的。那表面积增加六十平方分米，那一个侧面的面积也就是六十除以四等于十五平方分米。 一个侧面是不是就是一个长方形的样子？我把它单独画出来，那一个侧面的面积是十五平方分米， 高增加了三分米，也就是这个长方形的宽是三分米，这一段是三分米，那他的长是多少？也就是十五除以三等于五分米， 那这个五分米对应的也就是正方体的棱长。那他让我们求原来正方体的表面积，那正方体的表面积公式，也就是棱长乘棱长，他有六个面，再乘六。第一题的答案就是一百五十平方分米。 接下来我们看下第二题。如图，一根长方体木料和一根正方体木料刚好可以拼成一根新的长方体木料，这根新木料的表面积比原来长方体木料的表面积增加了八十平方厘米，求正方体木料的表面积。 道题和上面一题高增加的思路是一致的，我们可以理解为上一题是高增加，这一题只不过是把原来长方体木料的长进行增加。增加了一个正方体， 那增加了一个正方体，他增加了哪几部分？比如说这里是正方体 a， 那 他是不是增加这个正方体 a 的 前后 上下四个面，正方体的右面和原来这个长方体的右面，他们两个是相对的，是抵消掉的，和上一题一样，四个面的面积都相等。 第二题和第四题的解析思路和一题是一样的。稍后我会截图放评论区，包括答案也会放评论区，大家自主练习。我们重点来讲解第三题。 一个长方体的高是三厘米，长是宽的两倍，如果高增加两厘米，那么表面积就增加四十八平方厘米。求这个长方体的表面积，我们可以先画个长方体，画出来 图片我已经给大家画出来了。他说高增加两厘米，也就是蓝色这一部分是两厘米，原来的高是三厘米，下边红色这一部分是三厘米。 他说表面积增加四十八平方厘米，那增加的是不是还是比如说上边增加了一个小长方体 a， 还是增加这个小长方体 a 的 什么？左右前后四个侧面， 那四个侧面我们先怎么算？这时候他说长是宽的两倍，长和宽不相等，那我们就设一个未知数，长是宽的两倍，宽小设小不设大。我们设宽为 x 厘米，则长为二 x 厘米，那它表面积增加了四十八平方厘米，我们就可以把它的前后左右四个面 给写出来，那它前面是不是就是前面这个长方形？紫色部分？这个长方形它的面积就等于什么二 x 乘二，但是它有几个面，它是不是有两个面？再乘二，这里指的就是什么 前后增加的前后两个面，那它左右两个面怎么算？那是不是 x 乘二，也就是加上二 x， 那 它有两个面再乘二，它们加起来等于四十八平方厘米。那我们就解方程了。二 x 乘二乘二，也就是八 x， 二 x 乘二是四 x 等于四十八，也就是十二 x 等于四十八，那 x 就 等于四，那宽就为四厘米，长就是什么二乘四等于八厘米。那现在求这个长方体的表面积，会不会求 长八厘米、宽四厘米、高三厘米都有了？我们带入长方体的表面积公式，长乘宽加上长乘高，加上宽乘高再乘二，计算出来是一百三十六平方厘米，这道题目就也完成。了解这类题的关键，一定要搞清楚它到底增加了哪些面， 还要分清楚这四个面的面积相不相等，相等直接增加的面积除以四，算出单个面的面积。如果不相同的话，我们就可以设长是多少，宽是多少，再去计算长和宽分别为多少。

同学你好，今天我们来学习第二课时分数的基本性质，同学们看一看，填一填，说一说。根据二十四除以六等于四来填空。 我们看一看第一个算式，二十四除以三，这是把被除数除以三，然后除数除以几，商才能不变呢？对，除数也要除以三，所以这里边添三。接下来我们看下面二十四，被除数乘二，那么除数也要乘二，这样商才能保持不变。 下面这道题，我们观察。除数六除以二，那被除数也要除以二，这样商才能够保持不变，所以二至四要除以二。 下面这道题，我们观察除数是怎样变化呢？六是除数，它乘五，那么被除数也要乘五，这样我们才能够使所得的商不变。同学们说说你是怎么想的？ 有的同学说，在除法中，被除数和除数同时乘或除以相同的数，零除外，商的大小不变，这就是非常重要的商不变性质。 下面我们看一看这样的图片，我们再看一看这样的图片，还有这样的图片， 根据这些图片，你能够得到哪些数学信息呢？根据这些数学信息，你又能提出什么问题？ 我们一起来探讨一下。每块展板的图片部分各占整个版面的几分之几，这三个分数之间有怎样的关系？我们要看他的版面的图片部分。第一幅图，这里面呢是一个整体，把它平均分成两份，这里面图片占其中的一份。 第二幅图，把它平均分成四份，图片在这里面占了其中的两份。第三幅图，把这样的一个整个展板平均分成八份，图片部分占一、二三、四， 每块展板看作单位一，图片部分分别占整个展板的二分之一，就是这个，这个占四分之二，这个占八分之四， 二分之一，四分之二，八分之四之间有什么关系呢？我们一起来分析一下。矢图分析如下， 二分之一，我们就可以把一个整个的这样的一个图形看成整体，平均分成两份，那么取其中的一份，这就是二分之一。四分之二，还是把一个相同的单位一 平均分成四份，我们要取其中的两份。八分之四，把同样的一个单位一平均分成八份，然后我们取其中的四份，那就是这些同学们观察一下我们这些阴影部分大小相同，这就说明什么呢？ 你有什么发现？对，我们发现这些分数，它们的大小是相等的，也就是二分之一等于四分之二，等于八分之四。 同学们，我们一起去看一看，说这些分数的分子和分母究竟是发生了怎样的变化，分数的大小不变呢？我们一起进一步的探讨。 二分之一，四分之二，八分之四，分子，我们观察这是一到这里是二，就相当于乘二分母二乘二就等于四，二乘二等于四， 四乘二等于八，我们发现分子乘二，分母也乘二。接下来我们看一看二分之一到八分之四是怎样的变化呢？是一 乘几才能等于四呢？一乘四，那分母二乘几才能等于八呢？也是乘四。所以我们就知道分子乘四，分母也乘四 分数的分子和分母同时乘一个数，分数的大小不变。那下面我们再去探讨一下。反过来，八分之四等于四分之二也等于二分之一，那反过来，分子由四 到二这个过程是四除以二，分母八到四这个过程也是除以二。 我们再看二除以二等于一，四除以二等于二，那分子除以二，分母也除以二。 我们接下来看一看，由四到一这个过程就是除以四，八到二这个过程就是除以四，所以分子除以四，分母也除以四。我们可以总结出来，分数的分子和分母同时除以一个数，分数的大小不变， 我们猜想这是个规律，那你要说它是规律，我们一定要经过验证。接下来我们来一起验证一下， 我们看一下，五分之一和十五分之三，分子由一到三，这是乘三，分母由五到十五也乘三，反过来呢？由三到一，除以三， 由十五到五，除以三，究竟是否相等，我们可以去计算一下。五分之一我们把它化成小数就是一。除以五等于零点二， 十五分之三就等于三，除以十五等于零点二。我发现零点二跟零点二相等，这就说明五分之一等于十五分之三。我们再举一个例子，四分之三和十六分之十二，三乘四等于十二，分母三四乘四等于十六。 接下来反着来十二到三，那就是除以四，十六到四要除以四。这样我们去验证一下，四分之三等于三，除以四等于零点七五，十六分之十二就等于十二，除以十六等于零点七五。 我们发现都是零点七五，就说明这两个分数相等，那也就是说我们的验证是没有问题的。那下面同学们再想一想，分数的分子和分母能不能同时乘或除以零呢？我们去试一试。比如说二分之一， 我们把分子乘零就等于零，分母乘零等于零，分母不能为零，所以呢，这个就没有意义。那除法呢？二分之一，分子除以零， 分母除以零，零不能做除数，所以这个也是没有意义的。因此我们去总结出一个分数基本性质，就是分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，零除外， 分数的大小不变，这就是非常重要的分数的基本性质，这个基本性质应用特别广泛，同学们一定要把它记好。 那接下来我们去想一想，分数的基本性质和商不变的性质有什么联系？我们下面列一个表格，一起分析一下。除法算是和分数之间的关系，被除数就是分数的分子，除数就是分数的分母，除号相当于分数的分数线， 商不变的性质就是这样说的。在除法中，被除数和除数同时乘或除以相同的数，零除外， 商的大小是不改变的。那分数基本性质呢？分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，零除外，分数大小不变。 同学们观察一下被除数和分数的分子，然后呢，除数和分数的分母，这里面呢还有零除外，然后呢，商大小不变，这是分数的大小不变。那么通过这个分析，我们会知道，分数的基本性质与商不变的性质实质是一样的， 只是在不同情况下的两种描述，这个一定要清楚，他们本质是一致的。下面我们要根据分数的基本性质，你能写出几个相等的分数吗？我们试一试， 比如说三分之二，那么和三分之二相等的分数有很多很多，比如说我们分数的分子乘四，分数的分母也要同时乘四，那就是十二分之八，那这个十二分之八和三分之二呢，就相等。还可以呢，写成分子分母同时乘五， 那分子乘五就是十分，母乘五就是十五，所以三分之二也等于十五分之十。那还可以呢，分子分母同时乘六，可不可以呢？可以的，所以我们计算完之后就是十八分之十二，因此我们这种分数可以写出无数个， 那就三分之二等于十二分之八等于十五分之十等于十八分之十二。 接下来我们根据分数基本性质，你能写出几个相等的分数？现在呢，我们还可以呢，进行一个除法，就是六十四分之四十八，分子分母同时除以四，那四十八除以四十二，六十四除以四等于十六，所以 这两个分数就相等。那接下来呢，我们还可以去除以几呢？除以八，那就是四十八除以八等于六，六十四除以八等于八，所以八分之六和六十四分之四十八也相等。那还可以，分子分母同时除以十六， 这个除以十六呢，等于三，六十四除以十六等于四，所以六十四分之四十八等于四十八等于十六分之十二等于八分之六等于四分之三。 把三分之二和五十四分之十二化成大小相乘，分母是九的分数，我们一起试一试吧。就要利用分数的基本性质，首先我们看看三分之二，三分之二，这个三，你要想变成九，必须得乘三， 那么分子也应该乘三，这样分数大小才能不变，所以这里面要乘三，二三得六，九分之六和三分之二相等，五十四分之十二。要想把五十四变成九，就要分母除以六，那分子也要除以六，那就是十二除以六 等于二，九分之二和五十四分之十二相等，这样我们就把分母都变成是九的分数，这就符合题意了。 利用分数的基本性质，可以把分母不同的分数化成分母相同且大小不变的分数，也可以把一个分数化成指定分母的分数，还可以写出若干个相等的分数， 也就是说分数基本性质，它的应用特别广泛。那接下来我们就要用这样的性质看一看，课后练习，练习填一填，四分之一等于八分之几。我们同学们首先看分母四变成八，这是乘二，那么分子一也要乘二，一二得二。 我们再看下面这个，下面这个同学们一定要注意，我们可以从后往前看，这个是四十八，然后呢变成四，这就双根零用四十八，弧以十二，所以分母六十也要除以十二，六十除以十二等于五，所以这就是五分之四， 四十九分之三十五。看分子三十五到五，这里面是除以七，分母四十九也要除以七，那就等于七，七分之五。 看下一题，八分之六等于十六分之多少呢？分母由八到十六乘二，分子六也要乘二二六十二， 然后再往下看，十二到三，这是除以四。那分母十六也要除以四十六。除以四等于四，四分之三，再往下看，四到十二，这是呢，乘三，分子三也要乘三，三三得九， 看下一题，三十分之二十四等于多少分之八，那么看分子二十四到八，这是除以三分母三十也要除以三，那就是十十分之八十到五，这是呢，除以二分子八也要除以二八，除以二等于四五分之四， 四到十六，那就是乘四分母五也要乘四四五二十。这样我们看一看第二题，图一图比一比。 首先三分之一同学们会涂色吗？把整个单位一平均分成三份，我们涂其中的一份就 涂成这样，下面看看六分之二，那把整个这个单位一平均分成六份，然后呢，涂其中的两份，我涂一涂，同学们有没有发现比较一下，这个是一个图形的面积和这个图形的面积怎么样？大小相同，这就说明这两个分数就相等。 下面我们看一看，十八分之六，把整个这个图形平均分成十八份，我们图六份的阴影六分之二，把这个整个的这个图形看成一，平均分成六份，我们图其中的两份，我们发现这两份的阴影大小相同，这就说明这两个分数就相等了。 那接下来我们再看一看第三题，下面哪些分数在直线上能用同一个点表示，把他们的在直线上表示出来， 那要想是用同一个点表示，这两个分数大小一定相等。那首先我们看一看这些分数，哪些分数能相等呢？那十二分之六分子分母同时除以二，那就是六分之三，有没有六分之三有在这呢？所以这两个同时除以二呢？分数大小不变，所以它们是相等的。 那八分之十分子分母同时除以二，那就是四分之五，所以这两个分数相等。十二分之三，分子分母同时除以三，等于四分之一，所以这两个分数相等。 那么同学们看一看这个六分之三，我们实际上分子分母还能除以三，那这个分数呢就是二分之一，接下来我们看一看分母，这是二，这是四，这是四， 所以我们就把从零到一之间平均分成四份，那平均分成四份，我们要看一看其中的一份就是四分之一，所以这四分之一他的位置就在这，那接下来呢，我们看一看，十二分之三，他也在这个位置。 接下来我们看一看二分之一，这个位置在哪里呢？就是把一个从零到一平均分成两份，那么取其中一份就在这，所以我们这二分之一在这， 那对应二分之一，六分之三也是二分之一，所以六分之三也在这里，十二分之六依然在这里，所以呢我们把这些分数呢，可以用同样的这个点把它表示出来。 那下面四分之五在哪里呢？我们知道四分之五表示把一个整体单位平均分成四份，那这就是从零到一就分成四份，然后取五份，那五份应该在这呢，是不是？哎取到这才是五份，所以呢这一点就四分之五，同时他也是 八分之十啊，八分之十呢，就相当于把这个整个单位平均分成八份了，然后我们取其中的十份，那也就是要把这里面呢每一个这里面中间呢再去具体的分一分，那么我们就能知道就是这一点， 所以说呢，这里面呢，就把我们这些分数在直线上用同一点把它表示出来了。同学们，这节课你有什么收获？分数的基本性质的意义，分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数，零除外。分数的大小不变。 分数的基本性质的应用，把分数化成分母不同而大小相等的分数或指定分母的分数。同学们，本节课就讲了这些内容，你学会了吗？

好，同学们，大家好，这节微课我们学习智慧广场的内容。 首先大家看情景图，在图当中有四名同学，小丽、小军、小杰、小姚， 要选出两人代表学校参加儿童戏曲大赛。有多少种不同的组合方法呢？我们一起来看。 我们可以这样去选， 将所有的可能组合都写出来，一共有六种组合方法，但这样比较杂乱无章。 下面我们用一种有顺序的方法去选择，我们可以先选出小丽，然后再从小军、小杰、小杨当中选一人，这样一共有三种方法。 我们还可以先选出小军，然后再从小杰和小杨当中选一人，这样有两种方法。在这个地方就不能再选小丽了，因为和之前的重复。 最后我们可以先选出小节，这样最后从小羊当中再选一个，一共有一种，这样总共有六种方法。 好，我们再来看一种方法。我们用 a、 b、 c、 d 分 别代表四名同学， 从 a 出发可以和 b、 c、 d 相连，从 b 出发可以和 c、 d 相连，从 c 出发可以和 d 相连， 这样一共也有六种方法。 我们比较一下这三种方法， 他们都采用了连线的方法，其中第二种和第三种方法通过有序思考，既不重复又不遗漏，找到答案。第三种方法还采用了符号表示的方法，简洁明了， 因此我们在以后解决问题当中应多用第四、第三种方法。 好，我们来解决一个问题，爸爸要给小芳买玩具，让他从中选两种，他有多少种选择呢？那么利用刚才的方法，我们可以 利用食物去连线，得到六种方法。 我们还可以用 a、 b、 c、 d 分 别代表这四个玩具，利用连线的方法也得到六种选择 好，关于这种连线的方法，你学会了吗？ 下面我们再来看一个问题，如果我们从五名同学中选两人代表学校参加少儿戏曲大赛，有多少种不同的组队方法呢？ 我们可以这样来解决，用 a、 b、 c、 d、 e 分 别代表五名同学，采用连线的方法，一共得到十种不同的组合方法。 我们还可以用 a、 b、 c、 d、 e 代表五名同学，利用这一种连线的方法同样也得到十种不同的组合方法。 如果我们用点来表示学生人数，用两点之间的线段表示一种组对方法完成下表， 大家观察你能发现什么规律呢？ 如果学生人数有 n 个，那么组队方案就有一加二加三，一直加到 n 减一，对吗？ 我们来做一个练习题。 好，这就是我们这节课所学习的内容，你学会了吗？ 好，这个微课到此结束。

你们见过剪纸吗？我见过，我家窗户上就贴了这样的剪纸。还有的同学说，我看到有几位同学正在做剪纸呢，我们一起看一看， 我们把它剪成边长是整厘米的正方形吧。这张纸长二十四厘米，宽十八厘米，要想剪完后没有剩余，正方形的边长可以是几厘米呢？ 我们从图中能够得到哪些数学信息呢？我们会知道，纸长二十四厘米，宽十八厘米，剪成边长是整厘米的正方形。所说的整厘米就是指非零的自延数，比如说一、三、五等等， 剪完后没有剩余，就说明剪到最后正好剪完。那下面我们再思考一下，你还能提出什么问题？ 我们去提出这样一个问题，正方形的边长可以是几厘米，最长是几厘米， 我们的边长还有最长分别用边长是一厘米、二厘米、三厘米这样的正方形纸片摆一摆。 下面我们把探索活动的要求我们一起来说一说。第一步，小组合作，分别用边长为一、二、三、四、五、六、七厘米的正方形纸片，在长方形纸上摆一摆， 看看能不能摆满，把摆的情况记录在下表中。第二，不用摆，通过计算可以推断出能否摆满吗？ 下面我们看一看，用边长一厘米的正方形这样来摆一摆，这就是这样的一个二十四厘米长十八厘米宽的一个纸，我们用边长为一厘米的这样的小正方形去摆一摆吧。朋友们看一看，这个正好摆满 二十四除以一等于二十四个，也就说这一行里面摆了二十四个这样的小正方形。那接下来我们看一看，这一列里面呢十八，这也正好摆满， 十八除以等于十八个，所以用边长是一厘米的正方形纸片摆正好摆满。下面我们用边长是二厘米的正方形的纸片来摆一摆，朋友们看一看，长二十四厘米，有几个这样的二厘米呢？我们发现 二十四除以二等于十二个，十八厘米里面有几个二呢？十八除以二等于九个，这样也可以呢，正好摆满。用边长是二厘米的正方形纸片摆正好摆满。 那接下来我们去看一看，用边长四厘米的正方形来摆，能不能摆满呢？我们试一试，四厘米，二十四厘米里面有六个四厘米，这样可以正好摆满。我们看一看宽度十八厘米里面有几个四呢？ 我们摆一摆，最后我们发现这里面还剩一部分，剩余二厘米不能再摆了，所以用边长四厘米的正方形不能摆满。用边长三厘米的正方形来摆， 不用摆，算一算就知道了。二十四除以三等于八，也就是长，这里面能有八个三厘米，宽十八厘米里面有六个三。用边长三厘米的正方形纸片摆正好可以摆满，没有剩余。 我们现在去来验证一下，这是三厘米，二十四厘米里面有八个三厘米， 十八厘米里面有六个三厘米，这样用边长为三厘米的正方形正好能够摆满。 根据上面的规律，不用摆，直接算，可以知道边长是五六七厘米的正方形纸片能不能摆满呢？那我们可以去计算一下， 边长是五厘米，那就是二十四除以五等于四于四，十八除以五等于三于三不能摆满，就说有余数就不能够摆满。 边长是六厘米，二十四除以六等于四，十八除以六等于三能摆满。边长是七厘米，二十四除以七等于三于三厘米，十八除以七等于二于四不能摆满。 用边长一厘米、二厘米、三厘米、六厘米的正方形纸片摆都正好摆满，没有剩余。用边长四厘米、五厘米、七厘米这样的正方形纸片来摆有剩余。 同学们，正方形的边长可以是一厘米、二厘米、六厘米，最长就是六厘米。 同学们，一二三六与二十四和十八有着怎样的关系呢？我们现在呢可以去列出这样一个表格计算一下。 同学们观察一下，这个是长，那也就是我们这一张纸的长是二十四厘米。然后二十四除以一等于二十四，二十四除以二等于十二，二十四除以三等于八，二十四除以六等于四。 同学们要知道，在整数除法运算中，如果商是整数，没有余数，我们就说出数和商都是被除数的因素，所以一二三六四、八十二、二十四都是二十四的因素。 同样的道理，我们看一看，这张纸的宽度是十八厘米，十八除以一等于十八，十八除以二等于九，十八除以三等于六，十八除以六等于三。所以一二三六他们都是十八的因数。那现在呢？我们同学们就通过刚才的表格，我们能够知道， 一二三六他们既是二十四的因素，也是十八的因素。二十四的因素有哪些呢？同学们在找因素的时候，我们的方法不是唯一的，我们可以用乘法来找，也可以用除法来找，如果用乘法找，就去找哪些非零的自然数。相乘能等于二十四， 那最简单的一个就是一和，它本身就是一乘二十四等于二十四，二乘十二等于二十四， 三乘八等于二十四，四乘六等于二十四。我刚才说的这些都是他的因素，我们写一写有一、二、三、四、六八、十二、二十四。所以咱们在找因素的时候呢，成对的找，这样呢，不容易丢，也不容易漏。 那现在我们同样找一找十八的因素，那就是一和十八，一和十八，然后二九、十八、三六十八，你看这样找才能够把他的因素呢都找全。 那现在我们就观察一下，在这两个椭圆的集合当中，我们看一看有哪些是你有的因素，我也有呢，我们把它标上红色就是这些，这些就是他们的公共的因素，我们可以用集合的方式表示一下。 那同学们在这里面中间的这一部分就是二十四和十八共有的因素。 一二三六既是二十四的因数，也是十八的因数，它们是二十四和十八的公因数，其中六是最大的，是二十四和十八的最大公因数。也就是说在两个数的公因数当中，最大的那个因数就是这两个数的最大公因数。 那现在我们怎样去找十二和十八的共因数和最大共因数呢？我们的方法不是唯一的，首先用方法一列局法先分别找出十二和十八的因数。十二的因数有哪些呢？一乘十二就是十二、 二乘六、十二、三乘四、十二、十八、十八的因数。一乘十八等于十八、二九、十八、三六、十八。接下来我们去找一找十二和十八的共因数，就是你有的因数，我也有，我们把它圈起来，一 二、三、六，就这些把它写到这里，那么最大的是哪一个呢？对，就是这个六，所以我们就找到了十八和十二的最大共因数，就是六。 接下来我们看一看方法二，筛选法，筛选法，我们要首先要找出其中一个数的因数， 那首先找出十二的因素，我们再从十二的因素中去找出十八的因素。接下来我们看一看十二的因素，一、二、三、四、六十二。然后看这些因素当中有哪些是十八的因素呢？我们去找一找，一是二是不是，是 三是四不是，六是十二不是。所以一二、三六就是十二和十八的公共的因素，那他们的最大共因素就在共因素当中找最大的，所以就是六。 还有其他的方法吗？当然有方法三，我们可以用短除法。首先我们要知道 十二和十八这就是一个被除数，那么这里面我们把这个除法的一个数式呢？倒着写，要理解这个就是相当于除法数式中的被除数，这个就相当于除号， 这个二就用公因数二去除，所以这个二就相当于除数。然后呢，十二除以二等于六，十八除以二等于九，这个六和九在这里面就相当于商。 接下来六和九还能继续除，用三去除，六除以三等于二，九除以三等于三，除到什么时候为止呢？就除到这两个商是互质数为止，只有公因子一， 那现在我们就已经除到了这样的一个时候，那我们怎样去找他们的最大公因子呢？ 就把这些除数乘起来就可以了，所以十二和十八的最大公约数是二乘三等于六。我们回顾小结，求两个数的最大公约数的方法，有 列局法、筛选法、短除法，那么这两种方法只适合于较小的数，如果数比较大，我们还是要用到一个短除法，是能够去解决这样的问题的， 接下来我们用这样的方法来去解决课后的练习。第一题，找一找十五的因数有哪些呢？用乘法来解就是一和十五，然后三五十五，所以一三五、十五是十五的因数。 四十的因素有哪些呢？同样一乘四、十二乘二，十四乘十五乘八，这样我们这些都是它的因素。十五和四十的共因素有哪些？就在这里面去找一找一和五，然后最大共因素就是五。 我们看一下第二题，填一填第一小题，十六的因数，我们看一看，一二四、八，十六， 一二四七，十四、二十八，这是二十八的因数，那中间的这个一二四就是十六和二十八的共因数。十六和二十八的最大共因数，在这里面找一找，那就是四。 我们这种方法叫做集合法，用集合法呢来表示两个数的共因数，我们通过这种方法也能够找到呢它的最大共因数。 下面我们看一看填一填的第二题，三十六的因数，一二三六，还有四、九，十二，十八，三十六，四十二的因数有一二三六， 还有七十四、二十一、四十二，那这样中间的这些就是他们的共因数。然后我们想找最大共因数，在这里面找最大的那一个就是六 三，用短除法。求下列每组数的最大共因数。首先看第一组三十六和五十四， 三十六、五十四，我们列个短除号，然后用九去除，一除三十六除以九等于四， 五十四除以九等于六，四和六。还能用二去除四除以二等于二，六除以二等于三， 二和三除了一之外，再没有其他共因数了。所以呢，除到这时为止，那三十六和五十四的最大共因数就是这两个除数的乘积， 那也就是九和二相乘等于十八。下面看第二组六十十八。然后我们用三去除六十除以三等于二，十八除以三等于六， 二十和六继续去除，用二十除以二等于十，六除以二等于三，十和三除了一之外，再没有其他共乘数了，到此为止。那这这样我们就能够找到了， 所以六十和十八的最大共因数就是二和三相乘等于六。我们来总结一下今天所学习的内容，这节课你有什么收获？ 求两个数的最大共因数，它的方法有列据法、筛选法和短除法，最常用的是短除法，最大共因数等于短除法中所有除数的积。这就是本节课的所有内容，同学们，你学会了吗？

全网应该只有我做了这件事哈，我把咱们人教版五年级下册数学的七十二道必考的一错题整理了一份完整的清单，并且呢啊，每一道题目呢，我都给他整理了一份错题，查漏补缺的通关表，目的帮助孩子怎么样举一反三对吧，能够把这个漏洞全部补上去。 七十二道题通关之后，考试哪一个高分就比较容易了啊，给大家浏览一下啊，这些题目呢，都是常考的题型，大家也能看出来是吧， 而且呢，都是容易出错的啊，基本上覆盖了我们这个考试的重点题型啊，那么这个通关表到底是怎么来的啊，到底怎么用啊？我给大家浏览一下啊，举个例子啊，比如说，我们拿这个解决问题啊，解决问题，我们举个例子啊，比如说 啊，第啊，这个六十五题吧啊，家具厂订购五百根木方木啊，每根方木的横截面积是二十五平方分米长是三点八米啊，这些木料的体积是多少立方米对吧？哎，这是常考的题型，孩子呢，这道题不会做，发给我之后呢，我也没给他，直接给他讲， 而是拆成了这样的一份啊，通关表啊，查漏补缺的一个通关表，那么这个通关表孩子呢，直接打印出来对吧，按照我给他指示，过一关打一个勾就行了啊，过一关打一个勾， 学完之后，他自己就开窍了哈，自己就就学明白了，他自己学会的，比我们给他讲个三遍五遍都要有用，对不对？哎，比如说这个通关表，第一步啊，第一关是什么呢？我会给他做个诊断，让孩子明确自己为什么出错了 啊，他的错音是什么？第二关，开窍钥匙，哎，给他安排学习任务哎，让孩子把这几个任务学会之后，自己就会做这道题了，哎，所以咱们这通关表是以任务驱动的。第三关，知识地图，让孩子明确这一道题所需要的具体知识点， 对吧？同时呢，让让孩子从一个更大的角度，对吧？更宏观的一个视野搞清楚，你比如说他的核心知识点是什么，对应的题型是什么，以及和他有关的旧知识点是什么，对吧？都要让孩子搞清楚。 第四关啊，这个，这道题的一个思路引导，其实这道题的思路引导，也就是这一类题的思路引导，对吧？哎，让孩子掌握住这个题目的分析框架啊，这是第四关，一般老师分析到这就结束了，对吧？但是我们这还远远没有结束，下面才是核心， 孩子为什么不会做这道题呢？因为他在学习这个知识点的时候就没有深刻理解啊，就不会融会贯通。 所以第五关，我会引导孩子去自主学习啊，给他三步引导啊。第一步，对每一个任务做一个大白话的翻译，就是用孩子能够听懂的话，结合他的经验能够理解的角度，对不对？让他理解这个问题是什么？第二步， 课本定位，让孩子翻开人教版五年级下册第三单元的第三十一页，原文的内容也告诉他了，对吧？然后呢，最后呢，再让孩子采取一些行动啊，采取行动 啊，啊，所有的问题我们都是这么来引导的，当孩子完成这个啊，这个点对点学习之后，大概率他把这个知识漏洞是不是就补上去了？好，这个时候呢，我们趁热打铁，第六关，再给他一个 知识卡片，让孩子再次理清这部这部分的核心知识点，对吧？比如说新知识是什么？旧基础是什么，以及这个知识点的用法是什么，对吧？前面这六关就是一个完整的输入的过程， 输入的时候大家记住一句话啊，输入的时候，孩子们下的功夫越多，输出的时候他越轻松，能理解吧？啊，这就是我们的一个核心。好，后面两关是输出的第六关啊，这第七关错题重做。哎，让孩子把这个，把这个题目重新做一遍， 为什么可以做了？哎，因为他通过这么一个过程，该分析的思路会了，该掌握的知识点会了，该掌握的方法也补上来了，是不是他就会做了？会做以后，大家想象一下， 哎，他会有非常大的成就感，你看，老师没给他讲，家长没给他讲，对吧？他也没有搜答案是吧？通过自主学习就搞定了。哎，所以他又有自主感，又有胜任感，又有成就感。哎，所以长期坚持下去，他不仅掌握了知识点，同时学会了自主学习。这个呢，是对孩子有更大意义，更大价值的一个点，能理解吧？ 好，最后一关，这个费曼讲题，让孩子用自己的话把这道题给你讲清楚，讲的时候咱们也是有结构的啊，这道题涉及的知识点是什么？没有做对的原因是什么？如果讲给你的同学，你会怎么给他讲，对吧？哎，思路非常清晰啊。好，那么后面呢，我还会给孩子做一个一句话的鼓励啊和参考答案 啊，如果大家想要体验咱们这种方法的话啊，可以直接把错题发给我，我来帮你拆解啊，我提供这样的服务。呃，另外呢，想要这套资料的话啊，也可以打出孩子的年级啊啊，可以通过置顶作品直接找到我。

今天我们学习了扇形统计图，知道了扇形统计图总在描述部分和整体之间的关系，它也是我们小学阶段要学习的最后一种统计方式，接下来让我们一起来回顾一下。 那老师这里啊，有一张我们国家获得金牌数量的统计表，从统计表中我们能看出每种项目获得的金牌数量，但是如果我们想要更直观形象的看出 哪一种获得的金牌数量最多，哪一种最少，我们可以使用我们的条形统计图。那同学们，我们来看，在条形统计图中，我们是不是能够更直观形象的看出哪一种项目获得的金牌数量更多，哪一种项目获得的金牌数量更少呢？ 这也是我们条形统计图的优点。那如果我们想要描述某一个项目和金牌总数量之间的关系，我们可以选择什么样的统计方式呢？那肯定就是我们的扇形统计图了， 这就是一幅扇形统计图。那扇形统计图呢，是用一个完整的圆来表示总数，用圆内大小不同的扇形来表示部分和整体之间的关系。 比如说在这幅扇形统计图中，我们就是用这个完整的圆看成一个整体，单内一把它看作我们获得金牌数量的总数。 园内大小不同的扇形表示的就是每一个项目所获得的金牌数量占金牌总数量的百分比。 比如球类的百分之二十三点七，它表示的就是球类项目获得的金牌数量占金牌总数量的百分之二十三点七，它是不是就描述了球类项目获得的金牌数量和金牌总数量之间的关系啊， 再比如水上项目获得的金牌数量占金牌总数量的百分之三十一点六， 那扇形统计图的优点就是描述部分与整体之间的百分比的关系。他常考的题型就是给了我们总量和部分所占总量的百分比，让我们求 部分的实际数量。还有一种就是给了我们部分和整体的实际数量，让我们求出部分所占总量的百分比， 我们求出来以后，把它写到我们的扇形统计图之中就可以了。当然了，题型会有很多种，只要大家抓住扇形统计图的优点，它主要表示的是部分和整体之间的关系，就能轻松解决此类问题。而且我们扇形统计图还有一个很有趣的名字，就叫做 饼图，那从饼图之中我们能形象直观的看出部分和整体之间的关系。那同学们，这就是今天关于扇形统计图的知识，你学会了吗？给老师点亮小红心吧！

今天丁老师和大家分享这两道填空题，在考试的过程中，孩子们容易会咬。一、分母是九的所有最减真分数的和是多少？二、分母是九的所有最减真分数有哪些？ 我们先来去写出分母是九的真分数有九分之一，九分之二，九分之三，九分之四，九分之五，九分之六，九分之七，九分之八。那这一些里面中哪一些不是最简的呢？那么我们就把它拿走， 九分之三拿走，九分之六拿走，这样只剩下这六个。因为分母相同，所以分子进行相加，一、加二、加四、加五、加七、加八等于二十七，用分子除以分母，最后结果等于三。 第二题，他所说的是分母是九的所有最减正分数，那么就是这六个，把它写下来就可以了。 我们进行方法总结。一，把分母式九的所有真分数列出来，再在其中挑出最简真分数二，看清楚是问的和还是需要列出来，你学会了吗？