陕西中考数学第24题圆怎么写

这是一道二零二三年陕西省中考数学倒数第三道解答题，呃，远综合这个题稍微有点难度，我们一块来看一下。在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 是 圆 o 的， 呃，内接三角形，其中角 b、 a、 c 是 四十五度， 呃，四十五度，这个角非常特殊，我们要重视一下。然后呢，过点 b 做 bc 的 垂线，这个角的度数啊，是直角，那么就来想， 直径所对的圆周角是九十度，那么九度的圆周角所对的弦，它肯定也是一个直径。那此时啊，我们可以直接就连接 c、 d 了，连接 c、 d 之后，那么肯定是这个 o、 d、 c 三点共线，这个在答题的过程要给他说一下。接下来我们继续做 b、 f 垂直于 a、 c、 b、 f 在 这， a、 c 是， 那这个角是九十度直角。然后第一问要证明 b、 d 等于 bc， b、 d 等于 bc， 那 也就说这是一个等腰直角三角形，那太简单了，因为 bc 是 这个弧啊，他所对了两个圆周角，第一个是这， 还有第二个是在这里，同弧所对的圆周角是相等的，所以这个角的度数就是四十五度，它是四十五度以后，那么这就是一个等腰直角三角形了，所以直接就搞定了。接下来我们来看一下第二个，若圆 o 的 半径 r 等于三， 半径是三，所以 c、 d 的 长度它是直径，它应该是等于六，然后 bc 是 等于 b、 d 的 话，那么就来思考，嗯，等腰直角三角形，它们的三边关系一比一，比根号二，那用三角函数我们就能算得出来， bc 的 长度就应该是拿六去除以根二， 六除以根号二，二应该是等于三倍的根号二的，这个要会。 bc 的 长度是三倍的根号二， b d 的 长度也依然是三倍的根号二。然后继续往下走， b e 等于六， b e 等于六，写下这个长度是六， 那它是六，它是三倍的根号二。立马我们是不是用勾股定律是能算出来 c e 的 长的，我们先放这算出 c e 的 长度， 让我们去求线段 b f， b f 不 简单， b f 不 简单的话，我们先把 c e 算出来试一下吧。 c e 它应该是就等于三倍的根号二的平方，再加上一个六的平方开根号就可以了，算出来的结果应该是三倍的根号六，我们写上啊，就是 c e 的 长度是三倍的根号六，这要会， 呃，接下来求 b f 的 长度。 b f， 首先我们就来想 b f 在 不在某一个直角三角形里边，此时它不在， 不在的话，如果去连接一下在不在，连接 cf 的 话，它也是不在的，我们可以尝试着连一下，试一下。连接 cf 的 话，它也是不在，不在的话，那接下来我们继续再想，能用相思吗？这个相思好像也用不成， 用成相似的话，那接下来我们第三个方法就叫分割线段了，能不能把这个 b f 分 割成两条线段的和，那么 b f 我 们可以分解成 b m， 再加上一个 m f 就 行了。那么 m f 我 们看能算出来不？这应该是个九十度直角， 这是四十五度，四十五度所对的弧是弧。 bc， 那 这样的话，这个角 f 啊，他也应该是四十五度，所以呢，接下来这就简单，他就是一个等腰直角三角形， 等腰直角三角形的话，那么 m f 的 长度就应该是等于 c m 的 长度，我们来看转化一下看行不行？它就等于 b m 再加上一个 c m， 那 么 b m 和 c m 它是不是一个直角三角形？是的， b m c， 它就是一个直角三角形，而且是 这个直角三角形的两个直角边。那我就知道了，我只要把这个直角三角形的两个直角边给它算出来一加，然后呢， b f 的 长度我们就算出来了。 好了，让你又落到了相似上，要求这两个边，那看有没有一个三角形和它是相似三角形呢？呃，这个很好看，就是哪个三角形？就是 bce 这个三角形， 这个三角形和这个小的三角形它是相似三角形比较简单，看大的三角形和这个小的三角形是相似三角形。 那在这一块呢，可以用相似，也可以用面积法，也可以做。呃，因为大的三角形呢？呃，这是直角边乘直角边，它等于斜边，从斜边上的高乘 b m 也能算得出来，因为这是六， 这是三倍根号二 c e 的 长度我们算出来了，应该是等于三倍的根号六，非常轻松的就把这个 b m 的 长度就给它算出来了，用相似也行，等面积也行。然后呢， b m 算出来 c m 的 长度也可以了，那我在这里写一下。嗯，三角形 b m c 就是 这个三角形， 这个三角形它是和大的三角形它是相似的，我们把这写对应就可以了。然后呢， b m 看第一个字母，第二个字母比成 e， b 看第一个字母，第二个字母等于 bc， 看 bc 比的是谁？比的是 ec， 然后呢， mc 比的是 bc。 完了之后，接下来代值就可以了，它一比等于多少？ 呃，三倍的根号二，比三倍的根号六。然后呢，接下来上面的这个也是一样的，看他们两个之间也是一样， m c 比上三倍的根号等于三倍根二比三倍高六，前两个一合并。然后呢，我们就把 b m 算出来等于二倍的高三，后面的一一综合，它就等 算出来 mc 的 长度就应该是等于根号六，那 mc 算出来等于根号六，所以 m f 也等于根号六，那这样的话， b f 的 长度就应该是二倍的根号三，再加上根号六。那么这一年的二零二三年陕西的中考真题这一块啊，预算量稍微大一些啊，稍微有点难度。把这个题好好进行收藏整理一下。

陕西中考数学第二十四题卡住的同学或者拿不下来的人，大家注意了这条视频，我把这些年来给孩子们上一对一积攒的一些方法，还有题还有原理，我都给你讲透，你就按照我这个去做，你必须一定百分之百能拿到结果。 当然有人会怀疑说，哎，那你把你挣钱的本事都交给别人了。呃，这我能信吗？我告诉你， 妙法只度有缘人，你以为我说了就会有人照着去做吗？假如说真的有人去做了的话，那人家用心了呀，是不是？而且呢，这个题本质上它其实不算是特别难的问题，你一定是可以拿下来的。我说三点， 第一个叫时间规划，呃，三加四加，嗯，三就是三分钟搞定。第一小问， 四就是四分钟搞定，第二小问，他是一个计时的动作，如果三分钟或者四分钟没有搞定，直接去看答案，别在那硬耗了，这不浪费时间吗？你初三时间多宝贵。然后呢，你就去看答案， 看答案不是看数据，是看原理，你把原理搞清楚了，那个嗯是什么意思呢？就是，嗯，分钟，你一定要把答案亲手算出来，能算出来那个题才真正属于你啊。其实你多做上几道题，就会发现你会那个，嗯，会越来越小。 来。第二点啊，我给你五十道题，带答案的都是电子版，十年陕西中考，然后还有二零二五年五大名校的四十道都是圆。其实你把这五十道题都刷一遍，你会发现 这怎么都一模一样啊。你看这我就讲到第三点了，讲到原理的部分了哈，你把这五十道题都刷完之后，你会发现他考的这个内容都是我课本上的一丁点超纲的内容都没有， 三角函数相似、勾股定律全等，就这么点东西来来回回的绕，只不过是你把他想象的太复杂了，他其实就这么几个东西，所以咱们闲言少叙，动起来吧。

陕西中考员的亚洲题，想拿满分看过来，八分其实很香的哦，他有秘诀，学会倒角，学会相似，学会三角函数。今天给大家讲一道非常经典的题，你们可以先看一下这道题啊。 这道题里面告诉了 a、 c、 b 是 九十度，之前说过了啊，出题人是会把给你解析的信息放在题目中的，那 a、 c、 b 是 九十度，说明啥？ ab 是 不是直径呀？然后 切线是 c、 d 有 切线怎么要连接 o 和 c 就是 能得到直角，对不对？然后有效条件是 d e 等于 dc， d e 等于 dc 等腰三角形有什么性质？ 等腰三角形两底角相等，对吧？这个是我们题目中的有效信息，解读完毕，第二第一个问，求证 c、 f 平分角 a、 c、 b a、 c、 b 刚才说的是直角平分了之后就能得到四十五度，对不对？那怎么证明他两个是平被平分了呢？这两个角相等，我们先看 等腰三角形的性质，他两个角相等之后，这个角是不等于一加三这个角，这个角是不等于二加四，是不是很容易得到角三等于角四？利用切线的性质证明连接 o、 c， 大家证明一下吧，连接 o、 c 的 话，就可以得到这个角等于这个角，对吧？然后这个角加 o、 c、 b 是 九十度，然后同样的切线的性质，角四加这个 o、 c、 b 也是九十度，那么是不是可以得到 角三等于这个角也等于角四呢？这个就证明完毕了。那角三等于角四之后，是不是我们刚才说的等腰三角形的性质里面，这个外角 等于角一加角三，然后这个角等于角二加角四，角三和角四都相等，那角一和角二相等吗？最终得到四十五度， 然后第二问的话，弧 a c 等于二倍的 bc， 弧 a c 等于二倍的 bc， 要明锐的捕捉到弧，这个分了三分之二的弧，这个分了三分之一的弧，那这个角就是六十度，这个角就是三十度，对吧？同理，这个角是三十度，这个角是一百二十度， 那这个角也就是三十度，那这是个等腰三角形喽。这是你看到信息就要解读出来的，解读出来之后，利用四十五度三角函数和三十度三角函数求这个 c f 的 长。

同学们好，今天给大家分享一道圆的综合性的题目，里边的第一问，同学们啊，正切线 为什么拿着它来分享呢？因为它这个正切线的方法跟以往的方法有点不一样，实际上依然是转化角度正切线的。你们啊，只不过它转化的方式，这个有一些同学是想不到的啊， 这是几年前的一个中考题了啊，几年前的一个中考题。那么这个观察已知条件里面，一个 rt 三角形 abc， 一个 rt 三角形 abc ac 以 ac 的 边为直径画了一个圆， 这个圆呢，与斜边产生了一个交点 e， 与斜边产生了一个交点 e， 然后他取了一个 b c 边的中点 f， 然后他把 e f 连起来了，就让我们来证明 e f 是 这个圆 o 的 切线， e f 是 这个圆 o 的 切线。 当然还有第二根腿吗？第二根很简单，我已经删了他求一个阴影部分的面。其实很简单啊，就是这个切线的正反，你看一看能不能找到思路。跟咱们以往的切线的正反不一样啊，那个 ab 是 直径，这个角是九十度， ab 是 直径， 孩子的一个中点，孩子的一个中点。我们知道出中点的时候我们经常想什么东西吗？中点啊，要想中点，构造拳头八字形，多个中点出现。要想中位线， 呃，和面积结合，要向中线平分面积，直角三角形里出中点，要向斜中线里直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形里边出中点，我们要想三线合一，这是出中点我们经常要想的思维方式。同学们啊，那么这里这个 f， 它是 bc 边的一个中点， 这里出了一个直径，一个 r t 三角形，一个中点。同学们，有效的已知条件就这三个有效的已知条件就这三个。一出直径，我们要想什么？同学们，一出直径，我们很显然要想到直径所对的圆周角，是啊，直角啊， 哎，这里必然你就要想到连接这里，而且连接这里之后，你有没有发现三角形 b e、 c e 也变成了一个直角啊？三角形，而这个 f 恰恰是这个直角三角形斜边的中点。 好多同学遇到这个题的时候，他就想不到这个 f 这个中点在这里有什么用，其实这就是典型的斜中定律啊，对吗？ 哎，你连接 c、 e 有 直径了，你不想直角吗？有了直角，这边也是直角啊，而且这个 c e、 b 的 中点 f 就是 这个产生的新的直角三角形 c e b 斜边的中线，斜边的中线等于斜边的一半啊！ 直角三角，斜边的中线等于斜边的一半，那显然这个角跟这个角就相当了，角一跟角二就相当了， 他让我们证明的是什么呢？出这个终点，你就首先要想到这些同学们啊，首先，当然这个角跟这个角也是相等的，他离着我们正切线，你看有用与没用啊？ 求证！ e f 为圆 o 的 切线，那么这就是有切点的，有切点的就是连半径啊，正垂直啊。哎，我们需要证明的就是，这个角一加上这个角三等于九十度呀！ 那很显然，角一我们就可以等量调换成角二了。再来看角三又可以等量调换成谁的同学， 角三 o e 等于 o c， 所以 角三又等于角四，哎，把角一等量调换成角二，角三等量调换成角四，而角二加角四正好是啊，九十度，所以角三加角一，是啊，九十度，所以这个切线就出来了。 关键就是这个中线有时候想不到在圆里边出直角三角形了，出终点了。你只要出直角三角形的里边涉及到的终点问题里面，你就要想斜中定律啊。好多同学就是想不到这个斜中定律，往往忽略的这个角一和角二相等，所以说他怎么转化角度也转化不出来， 就是因为他忽略了这个 f 是 中点，他其实就是这个直角三角形斜边上的中线。其实就证明了什么呀，他和他加，等他和他加，等他加他九十，所以他加他等于九十，这个牵线就 ok 了。希望这个题目能够帮到大家。

在我们中考数学的这个圆的综合题中啊，本质上他的难度不是很大，我们要重点记住几个，呃，概念、公式、定律 老师都能记住，这么大年纪了，你们作为十五岁的孩子，这这这很容易记啊，对不对？你记住了直直接用嘛。比如说第一个，我们同弧所对的圆周角相等 对吧？没有问题啊，或者是同弧所对的圆心角，那当然也是相等的了。那第二个呢？我们直径所对的圆周角是不是九十度的角啊？那么如果我们圆周角是九十度的角的话，那么他所对的弦一定是直径， 对吧？那这几个重要的还有呢，我们在一个这个圆的题目中，很多时候会让我们求一条切线，是否是切线，求证我们是否相切。那遇到这种题目，我们一定是要连半径啊， 是吧？我们连半径之后再证明他垂直于那一条线，不就是切线了吗？那这些简单的定力公式我们记住了，套用 完事了呗。啊，还有我们的圆周角定里啊，啊，我们的呃，相在同同圆或等圆中啊，我们相同的或者相等的圆周角，他所对应的弦 以及他的弧分别相等，那这些我们记住了，到时候就找吗？找哪一些是对应相等的不就完事了吗？那关键不会做题，你，你连最基本的这个 要需要记得知识点都没有记住，那这个就没法说了啊。希望大家先记住一些最基本的再去做题。好，加油！

各位，一道中考真题啊，非常的有意思啊，他说球圆的面积啊，就一个球，这是圆球圆的面积啊，就说有个球往墙角这一放， 然后他有个条件，就是这个距离是十，你看这个距离给出来是十，对吧？这个这一小段距离呢，是五啊，就知道他是五，他是十啊，就这些个小东西啊，不知道什么东西，可能是个砖头吧，往这一放，五十没了。 求这个求的面积，这怎么求啊？各位啊，肯定做辅助线，怎么做辅助线，做辅助线，大胆的做啊，求圆的面积就求半径吗？半径知道了，判二平方对不对？把半径求出来，行，怎么求？先把半径画出来，半径怎么画？你看这个切点， 咱假设这个切点在这啊，这个圆心肯定在切线上，这还有个切点， 把这个切线也给他画出来，我管他来，大胆一点啊，那这个焦点是不是圆心啊？我画的不太标准啊，是不是圆心啊？各位，差不多啊，就说这是垂直的，这是垂直的两个切点，这肯定这就是半径啊， 对不对？这也是半径，那怎么求这个半径呢？跟这个有什么关系？都给他连起来啊，管他那么多呢，先连起来行不行？再说。这个距离是不是也是半径啊？各位好，那下一步怎么办？你看这一小段是多少？ 这个距离不是十吗？那这个，这一段是不是半径减十？就说这也是半径吧。各位，这么长是不是也是半径？你看 那这一段小段是不是半径减十？ r 减十呀？老爷，这一段是 r 减十，那我把这个也连起来，行不行啊？也就说这一段是不是就是 r 跟他一样 r 减十，然后呢？ 这一小段是五，各位，那这一小段呢？哎呀，这不就出来了吗？你看这一小段是五，那这一段呢？这一段是不是半径 r 减五，这不就形成 r 勾股定律了吗？这个是 r 减五，这个 半径减五，这个呢是半径减十，对不对？这个是半径，这不是勾股定律。列个方程啊，咱试一下啊，他的平方加他的平方等于他的平方啊。他的平方是 r 减五，破起来的平方加上 r 减十，对不对？ r 减十扩展的平方等于谁？等于这个平方啊？这能不能把 r 给算出来来试一下啊？全部给他展开，它展开是 r 平方，减十倍的 r 对 不对？ 再加二十五等于他是多少？他展开 r 平方减二十倍的 r 对 不对？再加他的平方是一百，对不对？ 等于多少？等于 r 平方？好，这不，一个 r 平方，这边这样，这削掉了，削掉一个 r 平方，那左边不就是 r 平方， 这是减十倍的 r 减二十，减三十倍的 r， 对 不对？然后常数相多少？加一百，二十五等于零，对不对？有没有问题啊？做挑认真啊，把 r 给算出来，这怎么算？各位啊，这怎么算？ 这是这个用求根公式吗？还是用啥？咱用十字相乘法试一下啊。 一一，这十字枪的它拆成多少？不好拆啊，这怎么办？求根公式硬算啊，这个 l 肯定等于多少呢？求根公式啊！二、 a 分 之负 b 就是 三十加减根号下 b 平方就是它的平方。九百减四 ac 减四倍的 ac 就是 减四倍的，它四倍的它是多少？四五是不是五百啊？五百， 那根号下不就四百吗？根号下四百开出来是不是二十呀？也就说这个 r 等于二分之三十加减二十。那这是两个答案啊，二分之五十或者是二分之 啊。十呀，二分之十不就五吗？二分之五是不是二十五吗？要么是五，要么是二十五。什么拉菲比啊？是五还是二十五？不可能是五吧，这半径不可能只有五吧？这么短是不是二十五呀？啊？对不对呀？ 啊？对不对？方法就是学会就行了，这个具体算的到底对不对？回头大家再试一下，各位。

咱们陕西中考这个二十四题的这个圆呢，我给大家说一下，这个圆呢是我们中考的倒数第三题，有一定的难度，但是他考的这个是非常固定的啊。呃，那么我们一定得要这个掌握里面的这个技巧和方法。 圆这个形的第一问啊，第一问的话一定是疯狂倒角，疯狂倒角，那么要么利用我们这个 a 怎么行，八怎么行等等啊，一般的话就在这个三五步就能出来啊，那么疯狂倒角啊，倒角，那么这个就能出来。一般的话，比如说我们要去正一个切线啊，或者正这个哪个角等于哪个角， 那么啊我们一般的话就会用到这个什么圆周角定力啊，垂径定力这些啊等等等二三角形啊，勾股定力这些，那么很快第一问就能出来。第一问你不要想复杂啊，第一问的这个这个设计他一定是非常简单的，那么第二问的话，我们要解决这个一定要往相似上面去靠， 第二问的这个解决办法就是相似就是相似，那么他有的时候可能会结合这个三个函数，三个函数的话，那么一般就是求一个边长啊，那么 他的作用是这，那么最终我们要去解决的话，就一定是利用相似，他给你哪个别的长度啊，哪个角的度数，那么你就往这个三角形当中去靠啊，只要能找到这个对应的相似，第二个题，这个一般都能解决 啊，所以他这个里面有这个套路和方法啊，你只要往这上面去找，这个第二问就一定能解决。

陕西中考圆的综合题，考来考去，就这十种倒角的类型，一定要把这十种倒角类型搞清楚、搞明白，脑子里形成条件反射才行。第一个，同弧所对圆周角相等。 第二个，同弧所对圆心角是圆周角的两倍。第三个，直径所对圆周角为九十度。第四个，平行线倒角同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。第五个， 等腰三角形，两底角相等，两底角所对的外角也相等。第六个，补角，刀角邻补角之合，是一百八十度。第七个，与角刀角互于两角之合，是九十度。第八个，外角刀角 三角形外角等于不相邻的两个内角之合。第九个，切线性质，刀角连接圆心和切点得九十度。第十个，相似刀角相似，三角形对应角相等。 这个不仅是你第一问倒角的工具，也是你做辅助线的依据。

今天把西工大初三六模语言的综合这个知识点讲一下，离中考还有不到四十天的时间，大家会发现就是越到中考，模考题其实出的是越简单，包括这道语言的综合也不例外，我们来一起看一看。我是在西安高新讲解数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。 今天的这道星空大六模的题目难度就和咱们中考真题的题目难度差不多的，所以大家一定要听到。最后把圆的综合的细节拿到位 好说。如图， ab 是 圆 o 的 直径， cd 为弦， ab 是 垂直于 cd 的。 那么通过直径弦以及直径垂直于弦，我们就要想到垂径定力、垂径定力 垂直于弦的直径平分这条弦，所以我们就可以得到 c、 e 其实是等于 d、 e 的， 而这个角 a、 e、 d 是 等于九十度， 其实就可以证明两个三角形全等得到 bc 也是等于 b、 d 的， 这是比较简单的两个信息。好继续点 f 为圆外一点，然后连接这些线段说，角 d、 b、 f、 d、 b、 f 等于角 c。 第一问，求证 b、 f 为圆 o 的 切线。切线的正法我已经讲了很多次，在这个题里面，点 b 是 在圆上，所以我们要正的是九十度，角 a、 b、 f 等于九十度，那怎么去正呢？我们已知条件中已经得到了角 d、 b、 f 是 等于角 c 的， 而我的 bc 等于 b、 d、 c 也是等于角 c 的， 所以最终角 b、 d、 c 是 等于角 b、 b、 f 的。 那么就是这两个角一和角二相等， 内错角相等，两直线平行，所以我可以得到 c、 d 平行于 b、 f， 而平行之后同为角是相等的，所以角 a、 e、 d 是 等于角 abf 都等于九十度的，所以最终 b、 f 就是 这个圆 o 的 切线。第一问也就比较简单，一定要记住在圆上的点正九十度，不在圆上的点，证明它是半径垂直好。第二问已知 c、 d 等于 b、 f， 又因为咱们第一问已经得到了 c、 d 是 平行于 b、 f 的， 所以一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，所以 c、 b、 f、 d 这个四边形是平行四边形，而平行四边形对边相等， 对角也相等，所以 d、 f 是 等于 c， b 等于五，所以都是等于五的，而角 f 是 等于角 c 的， 因为是对角， 所以 c 影 f 也等于 c， 影 c 好， 都等于五分之三， c 影 c 是 等于谁？ e b 比上 c、 b 的， 而 c、 b 等于五， 所以 e、 b 其实就等于三， e b 知道等于三， c、 b 知道等于五，所以我的 c、 e 就 能算出来等于四、三、四五个五数。最终我要求的是 a、 e 的 长度， a、 e 是 由一个半径加一个 o e 得到的，那么 o、 e 怎么算呢？ 其实根据垂径定律，我们就知道一定要连接的是 co， 因为 co 的 平方是等于 o， e 的 平方， 加上 c、 e 的 平方的 c、 o 是 我们这个圆的半径，所以是 r 的 平方就等于 o， e 是 半径减 b， e 也就是 r 减三，加上 c e 也就是四的方，最终我们的半径就能算出来等于六分之二十五。 那么最后 a、 e 的 长度就是 ab 减去 b e， ab 是 我们的直径，所以是六分之二十五乘以二， 再减去 b， e 等于三，所以最后的答案等于三分之十六。这就是我们这道兴隆大六模的圆的综合的题， 其实题目的难度并不大，就像咱们陕西中考一样，每年的题目难度其实都比较简单，更多的是对于每一个知识点的灵活运用。好今天的知识点就讲到这里，希望大家能够继续多多关注，多多点赞，把有用的知识分享给身边的每一个人。

中考数学圆的题型分值超高，但很多同学容易一遇到直接放弃。今天一个视频带你讲解圆的所有核心考点以及解题思路。首先，圆的核心考点直径与九十度相关，切线与半径与垂直相关，那么垂径定与加勾股。 最后是圆心角与圆中角的关系，其中垂径定力尤为重要，垂直线一定有平分线，平分线一定有垂直线。最后再给你一个考场秒杀技巧， 第一步，先找圆心半径以及直径。第二步，找相等角、直角以及切线。第三步，运用勾股相似以及弧长公式进行秒杀。我是数学思维刘老师，关注我，下期带你整理圆的全部基本公式。

陕西中考生看过来，你不管是今年中考还是你明年中考，你想要得到一百一十分以上，你必须要搞圆的综合题，不管是险行圆还是隐形圆，你都要去搞，因为圆是你在中考中决胜的关键，知道吧？ 那圆呢？首先分为险行圆，险行圆你优先，就要去倒角，知道吧？ 倒完角之后，你才有机会去去用相似三角函数去求线断长，得到最后结论。那我们今天就讲两个点，第一，倒角。二、隐形元。第一个倒角的时候 用什么倒角？平行线的性质，三线八角去倒，用等腰三角形的两底角相等，两外角相等去倒。用同弧所对圆周角去倒。用同弧所对圆心角等于圆周角的二倍去倒，用这个直径所对的圆周角是九十度去倒，用切线的性质直接连切点为九十度去倒， 用这个弦切角去倒。他这个弦跟切线的夹角，等于这个弦内对的圆周角去倒。这个可以证明直接用切线性质和直径的所对的圆周角为九十度证明倒角。然后用垂径定力去倒，直接得到等腰三角形，且得到外角关系。倒角倒完之后，我们去看 压轴体会出的隐形圆的类型。很多学生学隐形圆的时候，一知半解，囫囵吞枣学了一点点，就认为自己会了。不是的， 你要搞清楚这个隐形元是如何画出来的，有些题你画出隐形元这个题已经解了百分之六十了，剩下的只是简单的相似勾股定律、三角函数的计算而已，所以你画不出来，你分析不出来，你要看清楚啊， 定点定长引形元的前提是有一个定点， o o a 等于 o b 等于 oc， 它是一个等于半径的长度，但是它一般不是直接这样出，它是用旋转的方式，比如说 o a， 这条线线段旋转一定的角度能得到 o b， 然后 再旋转能得到 o b 撇 o 所有的 o b 都等于 o a， 那 这是不就定点定成隐形圆了？它可以是直角三角形、斜边中线等于斜边一半的方式去构造，比如说这里有个墙，这个杆子一直往下滑，往下滑，往下滑，那这个杆子滑的终点的轨迹是不是隐形圆？因为它的 斜边中线永远等于斜边一半，斜边一半不管怎么滑，斜边是始终相等的。然后我们的折叠问题，直接把这个三角形折过去，然后得到了这个 ab 撇始终等于 ab， 叫不叫定点定长， 我们的继续定弦，定角必须 ab 是 定弦，这个是定角。哦，有时候 ab 不是 定弦，很多学生把它当成定弦了。然后特殊情况是我们九十度的时候， ab 直接是直径 对角互补，这个对角互补对角可以是九十度，可以不是，但是他的和一定要是一百八十度，知道吧？然后我们的定定角定高引形圆，定角定高引形圆，他是个动圆，当他是等腰三角形的时候，先底边最短。

我们今天接着来看另一道题，它也是可以用托勒密定律解决的，它的题目呢，是说圆 o 呢，是这个三角形 a b c 的 外接圆，然后呢， a b 是 直径很明显这个角的九十度，对吧？然后呢，它说 d 呢是弧 bc 的 终点，那自然就会有 c d 等于 b d 了，对吧？然后他说 d 一 呢是垂直于 a c 的， 这是 a c 延长之后， d 做一个垂直，这里做一个点 e。 然后呢，前面要问的比较简单的，直接跳过，他说探求二倍的 c d 的 平方与 ab 的 平方减去 ab 乘以 ac 的 大小。我们来看看这道题目能不能 用通透密定力解决，所以你看这是个圆的内接四边形，那很明显是可以的，对吧？那这里首先应该会有这样的关系式， a、 d 依然是对角相乘， a d 乘以 b c， 它应该是等于 对折，对折的相乘， a b 乘以 c d， 再加上依然是对折， a c 乘以 b d。 在 这个式子里面呢，我们有 c d 是 等于 b d 的 嘛？所以这里可以和写一下，写成 c d 括号 a b 加 a c， 那这样一个式子，那我们上来看它探九呢，是 ab 的 平方减去 ab 乘以 a c。 对 这个式子很明显可以提出 ab 出来了，提个 ab 出来，里面变成了 ab 减 a c。 那 我们看这两个式子， 一边是 ab 加 a c， 一 边是 ab 减 a c， 好 像不是特别有关系的，但是你想他们两个是相乘之类的，怎么又得到了平方差公式吗？那我们来试一下， a b 乘以 a b 减 a c， 我 们可以把它用呃变成 a b 的 平方减去 a c 的 平方除以 a b 加 a c， 对 吧？那么 a、 b 加 a c 呢，又可以从这个式子里面得到它应该是等于 它应该是等于这里的 a、 b 的 平方减去 a、 c 的 平方，就会得到 b， c 的 平方，对吧？下面是 a， b 加 a c， a， b 加 a c 呢，可以从这个式子里面代换，就是 a、 d 乘以 b， c 除以 c， d 嘛，然后它又再分母，那么所以 c、 d 是 不应该在上面，下面应该是 a、 d 乘以 b， c， 这里 b， c 跟 b， c 可以 约掉一个，就可以得到 a， b 乘以 b， c 乘以 c， d 除以 a、 d。 题目呢，是要探讨它跟两倍的 c、 d 的 平方之间的关系吗？那我们来看一下这个式子可以 到这一步呢，其实也不是特别好看，抓它们之间的关系，那我们只能回去给他这个图里面找一下角落的关系 啊。首先 d 呢？ c 呢，是这个圆弧上一个动点， d 呢，是伴随着 c 在 动的一个动点，因为 d 呢，是剩下这一段弧的中点嘛，对吧？啊，它是中点，那所以说这个角 e， a、 d 跟这个角 d， a、 b 是 不是应该相等？这两个角应该相等。然后呢啊，它们对的是同一段弧， 这个角这一段弧 b、 d 是 不是同时对的？这个角 d， a、 b 跟这个角 d， c、 d， 所以 说这两个角是不是也应该相等？ 然后这时候呢，你连接 o、 d 是 不是应该会得到这个角九十度啊？因为 d、 b 是 弧 bc 的 中点嘛，那我们就可以得到啊，设这个角的 c， 它角的话就可以得到 bc， 是 不是应该会等于两倍的 cd 乘以口上 c 塔，这其实是在这个三角形，然后这个角的 h、 c、 d， h 里面做操作，这个角是 c， 它角，那么 c h 就 应该会等于口上 c 乘以 c d 嘛，那所以说 bc 就 应该是两倍的 c， d 乘以口上 c 塔， 然后再看 ab 跟 ad 之间的关系， ab 是 这一段， ad 是 这一段， ab 是 不是直接就应该等于 ab 乘以口上 c 塔？我们看看这个式子，带进去就会得到 ab 乘以两倍的 cd 的 平方。口上 c 塔分母呢，是 ad， 它是等于 ab 乘以口算 c， 它一元分，它就等于两倍的 c d 的 平方。所以这题就这样子解完了。但是呢，这个拖到约定里，有些情况下呢，可能 不太会给分。我们来看一下有没有常规一点的方法。常规一点方法其实也很快就是在这个三角形 c d h 里面做文章啊，我们注意一下它的那个有什么哪些关系呢？比方说 这个 c h 呢，是不是应该等于二分之一啊？把这个三角形 c、 d h 拿出来， c d h， c h 呢，是应该等于 二分之一 b c， 对 吧？它是二分之一 b c d h 呢？暂时还不知道，我们看一下，如果我们是半径为小 r 的 话，那么 d h 是 不是应该是 r 减去 o h 啊？ o h 是 什么呢？肯定这九十度，九十度它是终点，所以说 o d 是 应该是， o h 是 应该是中位线的，中位线的话，那 o h 的 长度应该等于二分之 a c， 对 吧？所以说它这里应该是半径减去二分之 a c。 那我们来看一下，在这个三角形里面， b c 呢，是可以写成 ab 的 平方减去 c a 的 平方再开根号嘛，但是题目它最终要比较二 cd 的 平方，那我们就暂时可以这样子表， cd 的 平方呢，是等于 c h 的 平方，是四分之一 bc 的 平方，加上这里括号 r 减去二分之一 a， c 的 平方四分之一。再换一下 bc 的 平方呢，是等于 ab 的 平方，减去 ac 的 平方，这应该是 四 r 的 平方，减去 ac 的 平方， 再加上这边，就应该是 r 的 平方。减 r 乘以 a， c， 加上四分之一 a， c 的 平方， 这就得到 r 的 平方，这边呢，就减去四分之一 a、 c 的 平方。后面呢，是加 r 的 平方，减去 r 乘以 a、 c， 再加上四分之一 a， c 的 平方， 这里四分之一 a、 c 平方。约掉之后，两个 r 的 平方再得到二 r 的 平方，减去 a， c 乘以 r， 然后二 c， d 的 平方就会等于四倍的 r 的 平方。减去二 a， c 乘以 r， r 就是 ab 嘛，就得到了。

好，同学们，我们今天来看一道二五年啊，陕西数学中考真题的第二十四题， 也是一道压轴题的难度。好，首先我们来读题，点 o 在 三角形 a、 b、 c 的 边， a、 c 上啊，点 o 呢？在 a、 c 上， o、 c 是 半径啊，以 o、 c 为半径的这个圆啊， 相切于地点，与 a、 b 相切于地点，那么我们很自然地想到连接这个 o、 d， 对 吧？这个是九十度，这是切点的定义。 o、 d 切相切于 d 点之后，与 b、 c 呢，这个啊，相交于 e 点，这是交的 e 点啊，然后 e、 f 是 直径啊，你也过了圆心嘛，它是直径。嗯， e、 f 是 直径，没问题。然后 f、 d 于 a、 c 相交于这点， f、 d 与 a c， f 跟 d 与 a c 相交于这点啊，也没问题。这个角角 f 啊，是四十五度。现在让我证明 a、 c 这条弦跟 ab 这两节 o 弦相等。好，有点乱，我们重新作图，连接 o、 d， 由于地点是切点，所以角 o、 d、 c、 o、 d、 b 说错了， o、 d、 b 是 九十度。嗯，然后题目又已知了，这个角呢，是四十五度啊， 好让我们证 a、 c 和 ab 相等啊，那我要证 a、 c 跟 ab 相等。 嗯，首先长度相等，我们可以一一一个一式通过求，比如说我求出来 a、 c 等于五了， ab 也等于五，可以证明它俩相等 啊。但是呢，题目上已知条件并没有给出关于长度有关的 啊。已知条件，所以我们这条路呢，是行不通的啊。然后呢，我们就想着去，哎，那我去试着证明这个角一啊，跟上这个角二相等，那 a、 c 跟 ab 不 就相等了吗？对吧？俩底角啊相等，它的这个腰是相等的， 所以我们就把证明这个转化成，我要正角一要等于角二，对不对 啊？角一跟角二相等了之后它俩就相等，那我要正角一跟角二相等， o o c 跟 o e 是 相等的，这没毛病，就是它都是半径，那么角一呢？跟角三就相等，对不对？那角一呢？也等于角三， 那那我们我们写到这里，角一等于角三，那我们想证角一等于角二，我们现在知道角一等于角三，再来一个什么条件，我们就能推出角一等于角二了。来了， 那再来一个角二也等于角三，我们是不是就能推出角一跟角二相等了？ 那角二要等于角三，我们怎么怎么证啊？你似乎是，呃，不好意思，我的那个手机它响了。你要证明角二跟角三相等，我们再往后退，我们就要证明啥 o e 要平行于 d b， 也就是说我要正这点和这是平行的，那角二就跟角三想的，那我要想正这两条线是平行的，我现在知道这是九十度了，我再知道个啥，这两条线就能平行？我是不是在知道这个角如果等于九十度的话， a 同旁那角互补，它，它就平行了？好，那我们再往下接着写，我们就是要证明角 e o d 等于九十度，那我要怎么样才能证明这个角等于九十度了？继续，你又想， a， 我 怎么证明它等于九十度？ 我如果知道这个角是九十度的话，那他自然就是九十度了，对吧？ 啊？我，我如果角 f o d 等于九十度的话，那他自然就是九十度，那我咋证明这个 f o d 这个是九十度呢？题目给了这四十五度，那这 因为 o f 根号 o d 相等，那所以这边也是四十五度，对吧？这个也是四十五度，那所以他就是九十度呀，对不对？那，那我那如果他是九十度的话，那他也是九十度呀， 因为 e f 是 直径嘛，啊，这是一个平角一百八十度，这是九十度，那这也是就是九十度，那如果这个角 角 e o d 是 九十度，再加上题目的已知条件，这个角九十至九十度，我们可以知道 e f 平行于 ab， 那 e f 跟 ab 平行的话，是不是角二和角三相等？那又因为 角这个 o c 跟 o e 相等，对不对？角角那个角一跟角三相等啊，然后 角三又跟角二相等，所以角一跟角二相等，所以 a c 等于 ab。 是 这这么个思路啊，所以大家要培养自己逆着逆着去思考的这个个过程，我们从论证的结果 啊，结合着我们的一些已知条件，充分的去啊，逆着去思考，这样子解题呢，会更加的顺畅。好，那第一第一问我们就求完了。好，然后我这里把没用的信息擦掉， 接下来我们来看第二问，第二问呢，是给了一个角号 c a 等于三比五， 就是这个 c a， 哦，我们知道这是九十度，那 c o a 的 话，那就是 o d 比上 o a， 那 我们知道啥？我们先写呗，写出来嘛，对吧？ c a 等于 o d 对 比上斜等于三比五，然后还给了 ab 是 八啊，我们标着 ab 是 八啊，好，让我们求啥？求 d j 的 长，我把这个 要求的给咱画成红色的，醒目一些，要求 dj 的 长，那么这是一个求长度的问题。求长度？我们初中学过，什么勾股定律是一个对不对？可以算长度， 还有啥相似，是不是也可以通过一些相似的这个笔啊？三角形相似啊，三角形相似来求的，对吧？啊，目前呢，就是 啊，这两个方向，但是，呃，你看这 d g 我 们怎么构造直角三角形啊？好像我不知道这个角是多少度啊？ 角，阿方，这是多少度？我也不知道这个角是多少度，我知道这个角的话，那这个角我知道四十五度，那我这就能求出来，但我这个角我不知道啊，所以呢，我们第一种思路就是放弃我们，我们考虑相似，一般初中的这个大体呢，他这个， 呃，历年来都是以以通过相似来解的。好，所以我们就想，呃，从相似着手那从相似着手，那我 dj 啊，在，在这个三角形里面，也在这个三角形里面， 那，那我先看一下我应该，嗯，怎么去求啊？那现在到这儿的话，我们就，呃 先把这个已知条件利用一下，我们看看我们能得到什么啊，然后我现在开始写，我把这个擦掉。好，好， 下面我们接着讲，我们现在是从这个相似的这个方向出发去求 dj 的 长度啊。 好，那因为第一问呢，我们这边是知道这个角是四十五度的 啊， a b 和 a c 呢？相等啊，第一问已经正过了，那题目给的 a b 是 八，那所以这边是八， ac 也是八，我就写着 ac 也是八 啊，然后他又给了 c a 这个角等于三比五，也就是 o d， o d 对 比斜比 o a， 那 o d b， o a 等于三比五等于啥？ o d 是 半径 r， 那 就是等于二， o a 呢？ o a 是 不是等于八减 r a c 总长是八， o a 是 二，八减二等于 o a 的 长，八减二。 好，我们这个把这个 o d 和 o a 都用一个函数，这一个未知数来表示，那在这个方程里面，我们能解的半径 等于多少？握耳等于二十四十四相乘减三耳，然后八耳等于二十四耳就等于三啊。半径是三，那就半径是三的话， 那我就直接写上了，这里是三，那这是八减二，对吧？ o a 等于八减二，它是多少？它是等于五的，那这是直角三角形，三五立马能想到这段是四三四五 六八十五十二十三，这三对勾股数给我刻在脑子里边，这是非常喜欢考的，必须看见三四就反应五啊。那 a 镜是四的话， 那 woof 也是半径对吧？半径是三，它是三。好，那我，我现在想的是，我证明哪两个三角形劝等了，求 dj 的 场呀。 呃，地地问的已知信息，你看还没有挖掘完呢。这两条直线是平行的， e f 跟 a b 平行，那这四十五度，这也是四十五度，对吧？我用同一个颜色标记，这个角是四十五度，内错角相等，这个角也是四十五度， 这两个角对顶角相等吧，这两个角内错角相等吧。角，角角，我证明了。 s 三角形 o f g 相似， 相似于三角形 a d 制， 这两个三角形是相似的，相似的之后，那我们 d j 它对应的这个 边呢？是 f g， 怎么看呢？ d j 对 应的角是这个角，这个角和这个角是相等的，蓝色的，那这个角对应的边是 f g？ 好， 我们是这样找的， f g 呢？就跟 d j 这个对应的比，那 o f 跟上 a d 的 比，我们是知道三比四呗，那 f g 比上 g d 也是三比四，那我们知道了，这个我写一下， f g 比上 g d 也等于三比四的话 啊，等于这个 o f 比上 a d 嘛。那我要求 d g 有 两种方式。第一种方式，我把 f g 求出来啊，我把这个 f g 求出来之后， 那就，那你只看这边，那，那那 d g 我 不就求出来了吗？对不对？只剩它一个未知量了吗？但是 a g 好 像不好求，不好求，那我还有什么方式呢？ 我，我求 f d 不 行吗？我转换一下 f d 在 这个直角三角形里面呀。第一问，正过的，这这这个，这两条直线平行，这是切点九十度，这个角也是九十度， 这是九十度。那，那我把 df 总长求出来。我又知道你占三份啊，啊，你呢？是占四份的，我用总长除以七算出来一份的长，然后我除以一个四， 呃，算出来一份儿的长，我再乘以一个四还，就是吗？啊，那所以现在我就转换成我求 d f 的 长了，求出 d f 嗯，长，然后用 df 的 长除以，总共是七份儿，我们再乘以上一个 d， 任意它占了三份儿嘛。啊，四份儿乘以四就是了，那 df 的 长怎么求 df 的 长？ 这是三，半径都是三，那它是多少？ 勾股定律呗。 d f 就 等于根号下三的平方加三的平方 十八倍十八。根号下十八等于三倍的根号二， d f 是 三倍根号二，那它其实 d g 就 等于三倍的根号二除以七乘以四，对吧？所以第二问的这个答案呢，是是 十二倍的根号二比七啊。所以这道题我觉得他这个也比较难啊。第二问，他突破的点就在于， 首先你得很快速的知道 c a 等于这个比这个，那你知道这个能用 r 表示，那这个呢？就是总长是八，净是 r， 八减二， 这两边都用 r， 还有一个未知量， r 的 表示了它等于这个题目给了三比五，我迅速的就把 r 解出来， r 解出来，这个长度有了，这个八减二，长度是不是也有了？ r 已经解出来了， 这个长度也有了，算出来这是三，这是四。啊，这是五，八减三等于，那迅速的知道这是九十度，这就是四，因为这边是九十度，所以这个 id 就是 四，那这个是四，这个是三。哎， 我，我的天，这是对顶角，这内错角，这内错角，角角角，这两个三比一，相似，相似比也知道了，三比四，相似比。知道之后 我是不是知道这个，他让我求的 g d 的 这个边儿在在另一个三角锥映的就是 f g， f g 跟 g d 的 笔。我知道了，那我总长度，我知道，这不好，我这不是 就能求出 d g 的 长了？你看这个式子，看这个式子，我先要求 g d 的 长，对吧？我是不是求出 f g， 我 就找 g d 的 长，但 f g 很 明显不在直角三角形里面，求不出来， 那我把换，换个思路，我求总长，总长知道了，你，你们一共是七份，除以七，算出来一份乘以四，就是 d g 的 长。啊，这个也是比较难的一个，我们要刻意的去找直角三角形， 好的计算其线段的长度。好的，这道题就分享到这里。

同学们好，今天继续给大家分享中考题里边圆的一个填空题啊，综合性也非常的强，里边涉及到了相似三角形， 求的是一个线段的比值的问题。虽然是线段的比值涉及到了相似三角形，但是我们求它的比值却跟这个相似没有关系的题目啊，咱们看一看怎么来构造相似三角形，怎么去找这个比值。 已知， ab 为半圆的直径， ab 为半圆的直径，一出直径，我们就要想直径对的圆中角，是啊，直角 c 为半圆弧的中点， c 是 这个半圆弧的中点，你们那也就是说弧 ac 和弧 bc 是 啊相等的， 那么这两段弧相等，那么这两段弧所对的弦也就啊相等了，也就是 a c 和 b c， 它是啊相等的，所以三角形 abc， 这就成了一个等腰直角三角形了，这是一个等腰直角三角形。那出等腰直角三角形呢？这四十五度，这也是啊，四十五度。 他还说角 e a b， 这个小角 e a b 等于三分之一的角 c a b， 那么这个角是四十五度，他等于他的三分之一，所以这个角就是十五度了呗。四十五度乘以三分之一，这是十五度，所以这个角就是三十度了，哎，这是我们非常愿意看到的角，那么这就出三十度角直角三角形了。 还知道 b d 垂直于 ab， 那 这个角是四十五度，同学们，这里又垂直，很显然这个角也是四十五度， 那这个角是三十度，同学们，这里是直角，很显然这个角就是六十度，这个角是六十度，那这个角肯定也是啊，六十度，所以说这个小三角形里边有六十度，有四十啊，五度，那么这就是我们顺藤摸瓜看到已知条件我们要想到的。同学们啊， 看见半径和看见直径像直角，看见 c 为半圆弧的中点，像两段弧相等，两段弧相等，那么这两段弧对的弦就相等，从而这个三角形是等腰直角啊，三角形，等腰直角，三角形有了，那这个角四十五，这个角也四十五， 而这个小角是这个四十五度角的三分之一，所以他是乘十五度，那么他就出三十了，这里有三十，这里有直角，这里就六十，这里六十，这里也六十，这边四十五，这里垂直，所以这个角也是啊，四十五度，这就是顺藤摸瓜看见已知小角，我们要想什么？你们啊， 接下来咱们就来看一看 c e 和 d e 的 长度，怎么去求，怎么求，他们俩之比。对啊，那么像这样填空选择题，对吧？咱们解决问题的时候，设线段的长度时候，可以用数字来代替， 因为这是填空选择题，不写解析过程，解答题就不能这样设了啊，我就开始设这个三十度角，这不有三十度角吗？我设三十度角，对的，这条直角边是一， 哎，我从三十度角这个最短的直角边开始设计，对吗？如果是解答题，你就得设他是 a 呀，或者是 x 啊，他是 a 呀，他是 x 啊，那么他就是二 a 或者是二 x 啊。那我在填空选择题，我就直接可以用数字代替，对吗？我设他是一，那他就是二。显然 ac 勾股定律，那就是根号三了， ac 是 根，根号三，那 bc 肯定也是啊，根号三了，它俩相等，这是一个等腰直角三角形。哎， ac 等于 bc 都等于啊，根号三了，那这个它是根号三， c e 又等于一，所以 b e 这就出来了， b e 就 等于啊，根号三减一了， 那么 c e 咱们现在有了，对吗？ c e 等于一。那接下来咱们就要去求啊， d e， 把 d e 的 长度求出来，他俩之比也就出来了，怎么求？ d e 就 在这个小三角形里面做文章，虽然他长得非常的小，但是他是这个题里面的最关键的零件，对吗？最关键的一个零件就在这里， d e 等于根号三减一。那刚才咱们已经分析出来了，同学们，这个角是六十度，当六十度角，咱们画一下吧。 当那个六十度角和这个四十五度角同时出现的时候，那我们要想什么呀？当这个四十五度角和六十度角同时出现的时候，哎，这个角四十五度，这个角是六十度，那么这里我就画了一 b 了。朋友们啊，这是一 b， 我把 e b 挪到这来了啊，我把这个小，这是 d 啊，这是 d， 我 把 d e b 挪到这来了。那么这个 e b 他 等于的是根号三减一，这个角是六十度，这个角四十五度。显然我们要想到做垂直啊，哎，这里我们做垂直就 ok 了， 这里做垂直，做 dm 垂直于他。哎，我这里也是做 dm 垂直于他就可以了。那显然这个时候就出三十度角，四十五度角等于二角三就可以了，那显然这个时候就出三十度角，四十五度角就可以了。我再试这一小点点，是啊， x 吧，我设这一点是 x， 那 这一段就是根号三减一，再减 x 了，朋友们，对吧？这个整个现在是根号三减一啊，这就是根号三减一再减 x， 那 么这边又是一个等腰直角三角形，所以这一段也是根号三减一再减 x， 哎，根号三减一再减 x， 它是 x， 那 么在这个直角三角形里边看着，对吗？这是 x， 那 就是二 x 了。选完这个线段的长度，那就是根号三 x 了。 长直角边是短直角边的根三倍，这是二 x， 这是 x， 这就是根号三 x， 那 么根号三 x 等于的就是根号三减一再减 x 了。他们表达的是同一条线段， 一向同学们，根号三 x 加 x 就 等于根号三减一了，所以这就是根号三加一。括起来的 x 就 等于根号三减一了，所以 x 就 等于根号三减一。再除以一个根号三加一， 分子分母都乘上一个根号三减一，分子分母都乘了一个根号三减一，分母上的根号要想消失，因为像这样的式子，我们要给他构造平方差，那么我把它写到上面来， x 等于的就是 分母上就是根号三的平方，减一的平方，那就是二了。上面是根号三减一的平方，根号三减一的平方展开就是四减二倍的根号三了，等于啊， 根号三减一的平方。根号三减根，根号三减一乘以根号三减一，就是根号三减一的平方，那么我给他展开就是四减二倍的根号三。一月份就是二减根号三了，二减根号三了。而我们要求的那个 d e 是 几个 x 呢？ d e 是 两个 x， 这里的 d e 是 二 x， 那么 d 一 的长度，那就等于二倍的二减根号三了。一啊，就是四减二倍的根号三，然后 c 一 等于是一， d 一 等于是这一串，所以答案就是一除以四减二倍的根号三， 继续给他分母啊。有理化，分子分母都乘上一个四加二倍的根号三，分子分母都乘上一个四加二倍的根号三，下面又成了平方差了，哎，四加二倍的根号三， 那四的平方是十六，二倍的根号三的平方是二，得四三四一十二，也就是四分之四加二倍根号三了。约分，那就是二分之二加根号三了。这就是最后的答，它来的比值等于这一串。 这里你要注意的是什么啊？分母上带根号出现和差位这个形式的形式，这个形式的样子，要么和的形式，要么差的形式，你要给它构造平方差，给它分母啊，由理化为了啊。这里的关键点就是要把这里的这个小三角形里面的六十度角，四十五度角给它转换成这个第一的长度来。 我设这一小点点是 x， 那 这个就是二 x， 这就是根三 x， 那 这个就是根号三减一，再减 x 了，这是一，这是 x， 整个的，他是根号三，他是根号三减一再减 x， 所以 他也是根号三减一再减 x， 这是一个小的等腰直角三角形， 然后借助于这个方程啊，根号三 x 就 等于根号三减一减 x， 解这个方程求 x 就 ok 了。哎，这个题他新颖就新颖在在这个这个角度的转化上去了啊，三十度十五度，六十度，六十度，四十五度， 出六十度角四十五度了，或者出三十度角四十五度了，你肯定也想着做垂直构造特殊角的直角啊，三角形，希望这个题目能够帮到大家。