2026大理初三数学二模二次函数

hello 啊，大家好，今天我们来分享一下盘龙区二模的这道降次问题 啊，它是把降次和二次函数对折统一在一起来考，我们一起来看吧。首先它说函数会增大和缩小，那说明这里的话就是它的对称轴 x 对 它就等于负一，那么公式的负的二分之 b， a 已经知道了是一，那放进去这里就是二，所以 b 就 可以算出来等于二， 那第一问 b 的 值就等于二，这样题就做完了。就我们来看第二问，第二问，他说这个点在抛物线上，在抛物线上的话，就满足抛物线的方程，把抛物线的方程写一遍， y 是 等于 x 的 平方加上二， x 加上五后，它的对称轴负的二一分之 b， 再对一下，没有问题。 好，然后抛物线满足这个的式子的话，就是把点代入方程，那么就是 m 的 平方加上二， m 加上五，它应该等于三， m 加上七。 好，那这里就可以列出一个式子进行一下化解， m 的 平方减去 m 减去二等于零， 检查一下，别算错了。好的，没问题，那这就是一个已知，嗯，然后他说如果 x 大 于等于 t 小 于等于 t 加二的时候，它的最大值和最小值的差是这个，然后他告诉你这个式子 h 和 m 有 关系， 那大家来看，这是不是之前黑白卷也做过的啊？分子或者分母有一个的次方是独立的啊，就是 m 的 几次方，对吧？我们对它进行什么还记得吗？进行同除操作，那 h 就 等于 m 的 一次，就是同时除以同时除以 m 的 三次方减去 m 分 之一，这个是不是就出现了我们那个 x 加上 x 分 之一的那种形式就是倒代化，然后下面剩一个一整个式子，就是 m 减去 m 分 之二，然后接着我们对我们唯一的一个已知式，我们唯一的这个已知式在这里我们对它进行同除， 对它进行同除，同除，对它进行同除 m， 那 么同除 m， 剩 m 减去一，减去二，除以 m 等于零，那么这里 e 移向过来等于一，所以知道这个 h 等于一，所以它就告诉你，原来它最大值和最小值的差值其实就是六，这是嗯，做题的时候要想到的。 然后它说函数的最大最小值吗？函数会有会有最大最小值这个区间区间最值问题的话之前讲过，它考虑的是三个状态。我们来看一下这道题，它的 a 是 等于一大于零，开口的话就向上，对吧？开口向上，那它其实准确来说的话是会有 四种情况，哪四种情况呢？就是你看它的端点分为两个，一个是 t， 一个是 t 加二。第一种情况是它所给的区间都在对称轴的左侧，也就是它所取的区间在这里，那么这个点对，对下来的 x 值就是 t， 这个点对下来的 x 值就是 t 加二。 那么它整一个函数是一个下坡图， x 增大的时候， y 再减小，那它的最大值就是在 x 等于 t 的 时候取到最小值就是在 x 等于 t 加二的时候。渠道，嗯，这是第一种情况，第二种情况的话就是它的最大值在这边，最小值在这里。也就是你看它的两个端点值，一个是 t， 一个是 t 加二。第二种情况和第 第三种情况基本上是一样的，怎么一样呢？也就是它的这个区间，嗯，在对称轴的左右两侧，并且这个 t 更大，那么此时 t 这里 x 等于 t 这里就取到了最大值，然后最小值的话，只会在顶点处取到，也就是 x 等于负一。这里因为题目告诉过你，它负一，这里是，嗯，增大而减小，减小而增大，所以这个 顶点就是顶点的横坐标，就是 x 等于负一，所以它的最小值也就在 x 等于负一这里取到。那还有一种情况，嗯，它的这个 t， x 等于 t 的 这个值，其实离它的对称轴更近一些，那它的函数值就更小一些，反而这个，呃， t 加二这个值离它的这个对称轴更远一些，它的函数值就更大一些，那么最大值就在这里取的，最小值的话，还是 x 等于负一，这又是另外一种情况，这个的话其实可以被归为，呃，同一类，就叫第二类吧。 然后这里的话是第一类，就是它们都在对称轴的左侧，这样的话就会产生一个什么图，它会产生一个上坡图，也就是， 嗯，也就是 t 呢？啊，它是大于等于负一的，也就是这里是 t， 这里是 t 加二，它们都比对称轴，它们都在对称轴的右侧，这种情况的话是一个上坡图， x 增大的时候， y 再增大，那它最小值就在 m， 呃， x 等于 t 这里取到，最大值就在这里取到，这就是情。呃，四种情况，四种情况写出来以后算就完事了。嗯，我们来开始算喽。一种情况直接写，当 t 加二是小于等于小于吧，直接写小于小于 负一的，这是它对称轴嘛，那么 t 就 要小于负三，所以算出来的纸条是这种情况。然后接着把 x 等于 t 带进去，算出来 y 就 等于多少呢？ y 是 等于这里带进去。呃，看到没这。 嗯，平方，然后加二倍加五，那就是平方加二倍加五，然后接着下一个是 x 等于 t 加二，带进去，它的函数值是 t 加二，平方加二倍加五。我就是低着头在算，你们考试的时候应也应该是这样， 然后的话我们接着看，接着看谁是最大值。嗯，这里啊，他这个 x， x 等于 t 的 时候是最大值啊，这里就。那就说取取取的最大。我这里的话，因为一录制吗，主要讲快一点，我这就会减写啊，那这张两个式子一减就可以了，因为他说了吗， 最大值与最小值的差是六，你刚才已经分析完了，所以这就开始算它减它，它减它的话，这里括号是不是？我还是画一下吧。这是 t 方，然后它会出现个四倍，四倍，再加这里的两倍就是六倍的 t， 然后这里会出现一个常数，四四，再加这里的四，再加这里的五，两个 四四八八，再加十十十十十十十十十十十三。对，外面有车有点吵。 呃，然后接着算，它俩就开始减呗。这里就剩一个负四 t， 这是最大值，最小值没错吧？你看有图就是难题，你就画图，一画图答案就出来了。减八，它最后要等于它的叉值是六，那么负四 t 它就等于这个移过去是十四，所以 t 就 要等于 十四，除以四就等于负的二分之七，看一下有没有在它范围内。要比负三小。 负三是多少？负的二分之六要比负三小，当然了，负数大的值大的反而小，所以 t 的 第一个值就求出来了。他这道题要求什么？要求 t 的 值，那第一种情况就出来了，第二种情况就是两侧嘛，对吧？就是两侧。呃，那一个图，一个图来画这种情况的话，是不是？ 嗯，你可以看到什么？你可以看到它的 t 的 话是要大于负负，这个是小于。我说错了啊，就是你看图就能看出来， 你看它第二种情况就是，呃，这是对称轴在这个区间的两侧，对吧？并且要求谁更大一点，并且要求谁是最大值？要求 t 是 最大值，那你怎么去保证这个 t 是 最大值呢？ 呃，你保证这个 t 是 最大值的方法其实就是你看这个，这个轴，对吧？谁离？你看它是一个 拍这个向上的抛物线，谁？呃，首先抛物线是对称的，对吧？在这一水平线上的话，比如说他离他的距离是二，这里这里距离是二，那他俩离的离对称轴的距离是一样的话，他的函数值就是一样的，如果他再离得远一点的话，他的函数值就会更大，所以这里也是一样的，通过他们离对称轴的距离来判断，你和我离得越近，那么 你的值就会越大，一下就感觉出来了，画图一下就懂了。所以这里除了需要列这个范围区间把它卡住， 这里可以算出来是 t 还要大于负三，除了我列，呃。第一个小式子，嗯，第一个式子，第二个式子，还有这是解出来的式子，还需要列？你要告诉人家，我的 t 是 我 t 这里取的最大值，所以我的 t 减一，它的距离就要大于，嗯， t 加二减去负一，你懂不懂？懂不懂？ 就是它离函数值的距离，它离函数值的距离。这里我减错了。嗯，距求距离是大减小，应该用负一减去 t 啊，所以这里改一下。 这里用负一减去 t 啊，也就是，嗯， t 离对称轴越远，所以起到的函数值越大，这就是我要画的这种情况 啊。对，所以就是列不等式的时候，应该列出这三个，然后去算，算出来以后再呃排除。这是负一减去 t 大 于 t， 负负得正加三移过来是二 t， 然后移过来是负四，所以就是 t 要小于负二， t 要小于负二， t 要小于负三，小小， 这是 t。 咦，这没解错吧？啊，不对，我们再看一下 啊。 t 要小于负二，这里是 t 要大于负三。 对啊，这里是小一号，小小取小小小小的话 t 就 要小于负二且大于负三，这是这种情况， t 要满足条件，然后再开始求解，再开始求解的话就好算，你只要算一下 x 等于负一的时候， y 取了多少， x 等于负一的时候 y 取了多少，你看。呃，有点远哦，在这里，这里带进去， 然后是一，一再减二，一再减二是负一，负一再加五是四，没算错吧？如果算错的话，到时候评论区见吧。 四啊，再算一遍啊，一减去二，再加上五，没错。好，那这时候的话就是铁定的最小值，因为这是顶点，对吧？在这种情况的话就可以列的 t 是 最大值， t 的 话在这里算过了，他要减去。嗯，这个四吗？我算过，他减四的话，就是 t 方加上二， t 加上一 等于零，不是等于六，他的最大值减最小值是六嘛，对吧？所以说 t 加一的平方就等于六，所以 t 加一就等于正负根号六，所以 t 就 等于正负根号六减去一， 对吧？嗯，没错。然后接着他的范围要在这里面，在这里面的话差不多是不是负的二点几呀？对吧？负的二点几，所以这里的话，呃，刚好，刚好六，刚好六的话是卡在了 二和三之间，二和三之间再减一，嗯，对吧？你负的时候二和三再减一的话，它应该是负三到负四， 负三到负四，对吧？你看负根号六嘛，负根号六应该是大于负三小于负二的，因为你看它乘一个负数，它不等它变化吗？ 然后这个，嗯，证的时候的话更不用想证的时候减一减一，是不是都不会在这个范围内？所以这种情况就没纸舍去。然后大家再去做一下，另外两种情况也就做出来了，就是有一点计算量，但是，嗯，就是一个模板题，很有模模式的，你照着去做，算一算就可以算出来。

出生的孩子看过来，那是不是一道题目我们不会做就一定拿不到分数呢？其实并不是的，今天这个视频，我们通过这样一个兴趣二模的一个压轴题，来看一下如何在不会做的情况下拿到这个题目的分数。 如图，二次函数 y 等于 a， x 边加边加 c， 与 x 轴交于点 a 和 b。 第一问，让我们来求 ab 的 值，那我们只需要将这两个点代入方程组，就能求出 a 的 值是负一， b 的 值为二。好，我们主要来看下第二问，若一次函数 y 等于 x 加一与二次函数分别交于 ac 两个点， 若直线 ac 上方有一个点 p， 那 么来求 acp 的 面积的最大值，并求出此时点 p 的 红坐标。 那我们先首先来求一下 a 点和 c 点的坐标。因为由于 a 点和 c 点是一函数与二函数的交点，那我们只需要连律这两个方程， y 等于负， x 的 平方加上二， x 加三和 y 等于 x 加一，得到关于 x 的 这样一个 一元二次方程。然后呢，进行因式分解，我们就能得到 x 加一乘以 x 减二等于零，那显然点 a 的 红坐标是负一零，那么点 c 的 红坐标就是二零红坐标是二，它在这个直线上，所以它的纵坐标就是三。 那我们想要求这个面积的最大值，以及此时点 p 的 坐标。那我们记住关于二三数与一三数形成的这个共形，想要求这个面积的最大值，点 p 的 坐标，它的横坐标 b 去 a， c 的 中点。由于 a 点的横坐标是负一，点 c 的 横坐标是二， 所以点 p 是 负一和二的中点，所以它的横坐标就是二分之二减一，也就是二分之一，那点 p 的 横坐标等于二分之一，那点 p 的 纵坐标，我们就可以把这个二分之一代入到这个二函数集去，就可以求出点 p 的 纵坐标。 通过计算，点 p 的 纵坐标就为四分之十五，那我们想要求这个面积，我们就可以用弦垂法过点 c， 做 ab 的 一个垂线，交于点 d， 然后过点 p， 也做这个 x 轴的垂线，交 a、 c 于点 e。 这个三角形 a、 p、 c 的 面积就等于二分之一，乘以 a， d 乘以 p e， d 点坐标是二零， a 点坐标是负零，所以 a 点为三，然后 p 点的坐标为二分之一，四分之十五。因为 p 点和 e 点的横轴相同，所以点 e 的 横坐标也是二分之一，它就在这个直线上，所以它纵坐标就是二分之一，加一是二分之三。 然后我们就能求出 p e 的 乘等于四分之十五，减去二分之三，也就是四分之十五。减去四分之六，等于四分之九，那所以这个面积就等于二分之一乘三等于乘以四分之九，结果为八分之二十七， 这就是第二根的第一小根。我们来看一下这个，如图二，将原来的抛物线沿着 a、 c 的 方向进行平移，得到新的一个抛物线，与这样一个 直线 a、 c 交于 m n 两点。在平移的过程中，线段 m、 n 的 长度是不是发生变化？如果发生变化说明理由，如果不变， 然后求出此值变说明理由。那我们大概去猜测一下，一条线段会不会发生变化，大大概率是不会发生改变的，因为如果发生改变的话，并不好去说明它， 那如何来证明它并求出 m n 的 值呢？我们想想啊，如果它不发生改变，那它与原来 a c 这条线段的长度，这种特殊情况下应该是相同的，所以这个值我们就可以用 a c 来求。因为 根据 a 点 c 点的坐标，我们就可以利用连线距离公式或者勾股定律求出 a c 的 长度呢？它等于三倍的杠二， 所以如果它不发生改变，那 m n 的 长度应该也是三倍的杠二。那如何来证明它呢？原来这样一个二函数呢？我们可以通过配方得到一个顶点式，它可以写成 y 等于负的 x 减一的平方， 再加四。将这样一个二次函数沿着直线 a c 的 方向进行平移。那什么叫沿着直线 a c 的 方向平移？我们先画出来原来的图像，平移后得到新的图像， 这个时候我们能够发现这样一个平移，我们只要只需要利用顶点的平移就可以了，那原来的顶点平移到现在新的顶点，我们只需要相当于这个顶点往右平移 t 个单位，再往上拼一 t 个单位，就能得到新的这样一个抛物线的顶点了。所以新的 抛物线的解析式，我们就可以设为 y 等于负的 x 减一，向右平移 t 个单位，左加右减，所以可以写成 y 等于负的 x 减一，再减 t 的 平方加四，再往上平移，也就是向上也平移 t 的 答案，然后得到新的函数的解析式， 然后再连立 y 等于 x 加一，那 m n 就是 这样一个新的抛物线， y 等于 x 加一的 焦点，那我们只需要得到关于 x 的 这样一个零二乘整，那我们想要求 m n 的 值，这时候我们可以过点 m 做 x 轴平行线，过点 a 做 y 轴的平行线，得到这样一个三角形 m h n。 如果发现它一定是一个直角三角形，同时因为这个直线是 y 等于 x 加一，所以它与 x 的 正半轴的一个夹角为四十五度，所以这个角度也是四十五度。所以我们想要求 m n 值，我们只需要求出来这里的 m h 的 值或者 n h 的 值就可以了。那 m h 的 也就是 x， 就是 m 的 横坐标，也就是 n 的 横坐标减去 m 的 横坐标。那想要得到它，那我们就可以先利用这样一个 于二次方程，先得到 x m 乘以 x n 和 m x m 加上 x n， 那 我们可以利用伟大定律先得到 x m 乘以 x n， 它是等于 一分之 c， 也就是 p 方减 p 加二。同时我们可以得到 x m 乘以 x n， 也是得到负一分之 b， 就是 a p。 这个时候我们就可以用圆的边公式得到 x m 减去 x m 的 平方，它是等于九的，也就是它们横坐标的差 等于三。那又因为这个三角形 m h， n， 它是个等腰直角三角形，所以 m h 等于三，然后 n h 也等于三，所以 m n 的 长呢，它就等于三倍根号二，那这个定值它就是三倍根号二。

各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师。这条视频呢，我们一起来分析一下糖稀二模的二十五题，二次函数的综合。来，我们一起来看一下这道题。 二次函数小 a 和小 b 呢，没有告诉我们，小 c 呢，告诉我们是负二，小 c 决定的是跟 y 轴交点的坐标，所以立马能标上跟 x 轴交点的两个坐标告诉我们了，这边呢是负二，负零， 这边呢，是啊，一斗零。我们要求抛物线的解析式，给的是一般式，你想求的快一点，其实我们设一个焦点式更快，所以这道题呢，我写这吧。过程 我可以设一下它的解析式，变成 a 倍的 x 减第一个的横坐标，减负二，所以变成加二减第二个焦点的横坐标这个，然后把 c 零到负二干什么？代入就可以了， 带进去以后我立马就可以得到负二呢，等于零加二，那不就二吗？零减一不就负一吗？二乘负一负二，所以这边是负二， a， a 呢，立马就等于一嘛， a 是 一以后我们的解析式就变成 x 加二，乘 x 减一，然后括号去掉就行，变成 x 方加 x 减二，搞定。 第一问搞定以后，我们再来看第二问，第二问呢，要算这个四边形面积的最大，而这个四边形呢， 其实它可以分成两个三角形面积的和 一个呢，是三角形 abc 这个三角形，而上面 abc 这个三角形的面积呢，能算出来了。 底边呢，就是 ab 是 个三，高呢就是 o， c 是 个二，所以它的面积是固定的，所以我们这个地方四边形 ap， cb 的 面积，我们给它变成三角形 abc， 加上一个三角形 a、 p、 c 的 面积就可以了，也就是它变成二分之一乘三乘二，加上三角形 a、 p、 c 的 面积就行了。这边是个三，这边是三角形 a、 p、 c 搞定。 所以我们立马就可以简单的去书写这句话了。当它的面积最大的面积就会怎么样？最大吗？ 那接下来你专心的去求三角形 a、 p、 c 的 面积最大时就可以了。而这个三角形它的面积的算法呢？我们专门有一个方法，就是解决它的牵垂法，过点 p 作 x 轴的垂线 跟它有一个交点，比如说我们叫 f， 从这个地方呢，我们就可以把这个三角形分成左边的 a、 p、 f 和右边的 c、 p、 f 两个了。 我简单一些啊， a、 p、 c 的 面积变成三角形 a、 p、 f 的 面积加上一个三角形 c、 p、 f 的 面积就可以了。减除法，它立马就可以等成二分之一 p f， 右边的横坐标减左边横坐标搞定。 而这两个横坐标的差呢，正好的就是零减掉负二变成了二，二分之一乘二没了，所以 p f， 所以它的面积就等于 p f， p f 最大的时候，三角形的面积就是最大的。那 p、 f 的 长度怎么算呢？ 它竖直线段的长等于上面纵坐标减下面纵坐标嘛，所以我们得知道坐标，知道坐标设一下就可以了，它的横坐标是 m， 纵坐标带到解析式里面就可以， 他的横坐标一定也是个 m。 要知道纵坐标得知道 a c 这条直线的解析式，一个是负二斗零，一个是零斗负二下降的两边交的一样，那一个定是负 x 减二嘛，所以他的纵坐标叫负 m 减二， 那接下来我们表示一下 p f 这条线就可以了，所以 p f 的 长上面纵坐标负 m 减二，减下面的注意编号就可以，所以变成减 m 方减 m 加 二，这就可以了，立马变成负 m 方，减掉两个 m， 减二和加二就没了，接下来求它的最大值，简单的配个方就可以了，负的括号 m， 然后加一的平方再加个一，这就可以了。这个地方说明我们的小 a 呢，是什么小于零呐，开口向下对称轴的地方是不是取到最大值？所以 m 等于 对称轴里面等于零， m 的 值就是对称轴等于负一时，我们 p f 可以 去取到最大值。 p f 的 最大值是谁呢？就是这个东西 等于一，当然他没有问这个面积的最大， p f 的 最大，我们也可以不用求，我们只要知道 p 的 坐标就可以了，也就是只要知道 m 的 值就可以了。 m 是 负一，也就是 p 的 横坐标是负一，纵坐标往这一带就可以了， 负一的平方，这就一一减一减二，那这个就是负二呗，所以屁的坐标我们就轻松的搞定了。接下来呢，我们再看一眼他的第三小问，第三小问呢， m 是 抛物线上的一个动点 x， 轴上有一个点呢，是点 q， 最终这四个点要形成平行四边形， 让你直接写出点 q 的 坐标。对于这种题呢，我们最好的做法呢，就是不要画图了，直接利用钟点坐标公式去书写就可以。而利用钟点坐标公式去书写的前面呢，先做一个铺垫的工作， 先把四个点的坐标给他写好， a 呢是负二逗零， c 呢是零逗负二， m 的 坐标不知道设未知数就可以了。前面设过 m 了，不要再设了，不然就重复了。好吧，所以这个时候呢，我们换一个数字就可以，比如说小 a 吧， a 到 a 方加 a 减二 点， q 呢，对吧？它不是在 x 轴上吗？横坐标设个未知数，纵坐标一定是个零。四个坐标设好以后，接下来怎么办？ 平行四边形有一个非常重要的特点，叫对角线互相平分。 你比如说 a 在 这， c 在 这，我随便写啊， m 在 这点， q 在 这，肯定是一种情况嘛，它的对角线互相平分。哎，这条线画歪了， 就这个点既是 a， c 的 中点，这根两相等，也是 q 和 m 的 中点，所以这两也相等，所以我们就可以算这个点的坐标嘛。 终点利用终点坐标公式算就可以了，知道两边的坐标就能算，而两边的坐标，我们上面铺垫的这四个不就是吗？ ok 吧。那这个题呢，还有一个就是我们讨论的地方，就怎么样能把所有的情况都讨论全呢？ 固定一个点，看他对面的是谁，就这个地方是谁，一共四个点，如果我把点 a 固定到这，那对面呢？就有三种情况， c， m 或者点 q。 所以 这样讨论的时候，他就是三种情况。 这是第一种吧， a， c 是 对角线。好吧，这个时候我们列中点坐标公式就可以了。 a 和 c 的 横坐标负二加零加起来除以二，是不是就这个点的横坐标，然后点 q 和 m 的 横坐标 加起来除以二，是不是也是这个点的横坐标？同一个点的横坐标肯定一样，两边都除了个二，其实这个二你写的没有任何的意义，所以我们一般写的时候就会怎么去写？ 横加横等于另外的负二，那不就是负二吗？等于另外的纵加纵， a 方加 a 减二加到后面这个零，那就不用写了吧，这就可以了，剩下的你需要谁，你就盯谁就可以了，如果能立马解出来，你就写出来就行。我们要解小 b， 但是这个题里面好像你必须得把小 a 解出来才可以， 那我们就从这个里面解一下不就可以了？这个减二移过来跟这边的就抵消掉了。 a 方加 a 等于零，因式分解也就能看出来， a 一 肯定是零，我们的 a 二呢，肯定是个呃， ab 的 a 加一是零，肯定是负一，这个零呢，肯定要舍掉了。 为什么？当 a 是 零的时候，你看这个坐标是不是叫零都负二，那这边呢，是不是也会变成零都负二？两个点重合了，四个点变三个点，所以不行，那我们负一，这个可以留下，他是负一，对应的，算出 a 等于负一时候的 b 就 可以了。往上面这个里面带嘛， a 是 负一的时候， b 一定也是个负一，所以这个时候我们点 q 的 坐标呢，叫负一。逗零搞定。 第一种情况完了以后呢，我们就到了第二种情况，对吧？我就不画平行四边形了， a 在 这个地方，那谁可以在他对面的这个地方呢？ c 有 了，那 m 是 不是有可能会出现？ 那剩下的两个呢？一连肯定也是个对角线吗？就点 c 和点 q， 那 这个时候呢，我们只要再写中点坐标，那就负二加 a， c 和 q 的 横坐标零加 b， 那 就还是个小 b 了。 a 和 m 的 纵坐标，那不就是 a 方加 a 减二吗？ c 和 q 的 纵坐标就负二加零，还是个负二， 我们要求的还是小 b， 但是好像还是得先把小 a 算出来，但是这个式子跟上面好像一样， 这个减二移过来，这边也是零了， a 方加 a 是 零，所以 a 一 肯定是零。同样的道理，舍掉 a 二呢？还是谁啊？负一，从它里面对应的算出谁啊？小 b 就 可以。往这看， a 是 负一的时候，小 b 一定是谁啊？负三嘛。所以这种情况下，点 q 的 坐标叫负三斗柄。好，接下来呢，第三种情况呢，就是 a 在 这个地方剩下谁了，点 q 没有出现在这个地方， 那这边呢，就只能是 c 和 m 了呗。同样的，再去列终点坐标公式就可以了。 a 和 q 的 横坐标加起来，也就是负二加 b， 等于 c 和 m 的 横坐标加起来，负二加 a。 哎，零加 a 啊，看成纵坐标了，零和 a 加起来就可以，然后纵坐标 a 和 q 的 纵坐标加起来零，零加零，那就还是个零呗。 然后呢， c 和 m 的 纵坐标加起来， a 方加 a 减二，再加负二，那就减四个就可以了。从这个地方我们同样的算出小 a 是 不就可以了？ 好，这个地方算的时候，好像没办法十字相乘，那没办法十字相乘的，那我们只能干什么了？我就公式发一下吧，得它吧， b 方，那就是一减四， a c 四四十六十七。所以我们第一个 a 呢，那就是二分之 呃，二， a 分 之负 b， 那 就负一加根号下时期。第二个 a 呢，就是二分之负 b， 那 就负一减根号下时期，所以我们 a 呢，这个地方算出来两个，一个是负一加根号时期除以二，这边我就擦掉吧。 一个呢是负一减根号是七，怎么样？除以二，同样的对应的把谁算出来，小 b 算出来就可，这个里面的小 b 算出来就行，你看这个我们要算小 b， 对 吧？ 算小 b 的 话，我们把这个负二移到这边来，是不是变成加二，也就给 a 加二就行，二是不就二分之四，所以我们给这个和后面这个二分之四分母不变分子相加，分子上加个四就可以了， 它就变成加四，那就是三加根号时期，这个对应的小 b 的 值加四呢就是三减根号时期 除以二，所以这个里面呢，我们算出来点 q 的 坐标呢？有两个， 一个呢是三加根号十七除以二逗零，另外一个呢是三减根号十七除以二逗零，这就可以了。 好，这是二次函数这道压轴题的三小问。第三小问呢，一定要能掌握他是我们什么做菱形也好，矩形也好 的基础，这种方法并且是通用的，基本上所有的都能做。当然有时候呢，那个未知数你好像还不太行，那那个时候就要通过画图的方法去做了。 好，这道题我们就到这，我们下一期呢讲一下最后一道题，同样的，如果你等着看的话，先关注一下，发了以后你立马就能看到了。

你得明确咱们会遇到哪些角的问题，其实函数几何综合题比咱们纯粹的几何题角的考法要有限的多，主要就会出现三种角，第一种就是直角，第二种呢，就是已知三角函数的角，或者说 咱们之前的特殊角，四十五度、三十度这种都算作已知三角函数的角。那么在最后一个呢，就是角关系，比如说他给了你图中的几个角，角一加角二等于四十五度，或者角三等于角四，给你这样的角关系，主要就是考这三类问题啊， 咱们今天呢，把他们一个一个都说一下。咱们先说第一个直角，当你在坐标系中看到一个直角的时候，你会想到干什么？注意啊，我说的肯定不是那种最简单的直角啊，你告诉我说在这有个这样的垂直，问你怎么用，那没有意思啊， 我问的呢是坐标系种那种两边都是斜线的直角，这类直角一般怎么处理？其实主要的思路有两种啊，主要的思路有两种，一种是可以用斜率相乘等于负一，但是这个方法呢， 初中实际上没学过啊，是高中的内容，那么有的地区呢，允许用超纲的知识点，那有的地区不让用，所以呢，这个公式 我今天就不讲了。那么咱们讲另外一个比较通用的思路，就是构造三垂直相似。那么在构造三垂直相似的过程上，我们看个例子吧，比如说以这个直角为例，告诉你 a、 c、 b 是 直角 啊，还知道直角边的比，正好是一比二，你看到这样的直角的时候，你就可以构造三垂直相似。 但是具体怎么构呢？要有一个小原则，就是尽量用横竖线段来构造横竖，我用拼音首字母代替了啊， h s 横竖线。因为咱们讲过啊，函数题中什么样的线段是最好算的呢？横平竖直的线段，横平竖直的线段是最好算的，那你构造完三垂直以后，你肯定要用这些线段的关系， 所以呢，那我们就一步到位的用横竖线来构造三垂直，直接得横竖线关系，题目就会变简单，所以看到直角勾，三垂直，用横竖线勾， 具体到这个图里啊，怎么勾呢？通常我们会先过直角顶点做个竖线或者横线啊，你就看这个三角形怎么摆的，你过直角顶点做个横竖线，再往这条线上做垂直， 那么这时候你就会发现，这两个红色阴影的三角形就相似了，我一定可以得到它上面边之间的比例关系啊，比如说这两节蓝线是对应边成比例，这两节绿线 也是对应边乘比例，而且它们都是横竖线。那么这里我们再去品一下为什么要过到三垂值。你会发现，在原本的这个直角三角形里，我们拥有的其实是两段斜线的比例关系。 你的 a、 c 是 斜线，你的 bc 是 斜线，那么这个斜线的比例你用起来就很不方便。你说你表示它的长度， 那么表示出来是带根号的啊，得用两点间距离公式，那这个长度就不好表示。但是呢，你构造完三垂直以后，你会发现，哎，你就把原本原本斜着的一比二变成啥了， 是变成蓝线比蓝线一比二，绿线比绿线一比二，它们都是横竖线，横竖线就会简单， 所以这个直角构造三垂直，本质上其实就是一种化，写为直，是让一个计算复杂的图形变成简单的横竖线图形再去处理的思路。关于怎么构造就说完了啊，用横竖线去构造三垂直， 那构造完了以后，接下来的计算大家要注意啊，就构造完三垂直以后呢，你会发现，这个图形中往往会有点坐标，会有横竖线段的关系，那这时候我怎么去计算呢？ 思路也很简单，你就记住进行两种量的相互转化就行了。哪两种量的我有点坐标，我有横竖线段，那有了点坐标，我就可以表示出横竖线段的长度，反过来，横竖线段有了以后，我也就能得到更多的点坐标了。所以 有了三锤式，就是有点表示线，有线表示点，你把图里面的线和点都搞出来了，等量关系通常也就出现了。具体到这个图 你会发现，因为 a c 的 坐标知道了，那所以 a、 c 之间的横竖线段长，你就能算了。比如说这根横线 a g 其实就是 c 点横坐标和 a 点横坐标的差啊，所以呢，它的长度是 t 减三， 然后同时呢，这个 j c 就是 a、 c 之间的竖线段，就是两个点的纵坐标差，所以呢，就是纵坐标八减去纵坐标， t 方减 t， 这个整理一下呢，就是八减 t 方，再加个 t， 这叫做有点表示线有了两个点了，他俩之间的横竖线段长就能表示出来。而这两条线段有了以后，借助相似比是一比二啊，中间 a 二 a 相似比一比二，所以呢，这个是二， t 减六就有了， 这个呢是十六减二 t 方加二 t 也就有了乘二嘛。相似比，我就表示出了更多线段，而各位，当有了更多线段以后，我又可以干什么？你会发现我又可以表示出新的点坐标了，点 b 坐标就能弄出来了。 怎么弄的？很简单啊，你就用平移的思路去弄就行了。其实 b 点就相当于是点 c 向下平移这么多个单位，再向左平移这么多个单位，向下平移，再向左平移，那平移量就是这个式子嘛， 那坐标肯定就能算出来了，比如说向下平移，是不是纵坐标减去平移量啊？所以呢，你的 y b 就 能表示出来， y b 就是 这个 t 方减 t 减去这个向下的平移量， 那么整理一下就出来了，整理一下就是 t 方减三 t， 再加上一个六，这是 b 点的纵坐标，然后呢，横坐标呢，就是 c 点向左平移，向左平移呢，就是横坐标减去这一坨啊。所以 x b 就是 啥呀？横坐标 t 减去这个式子， 十六减二 t 方加二 t， 然后这个整理一下呢，就是负十六加上二 t 方 减去一个 t。 总之，通过平移的方式，点 b 的 坐标就可以表示出来。这里这个表示计算细节啊，不用太纠结，主要是感受这个思路。有了三垂直以后，我们就是有点 表示横竖线，有了更多的横竖线，有了更多的横竖线，我就能继续表示出新的点坐标。当你把图中的点和线都表示好了以后， 接下来一定有办法找到等量，列出方程，这就是函数中直角的一个完整处理思路了。先勾出三垂直，接 下来进行点和线的转化。构造三垂直的时候，过 c 做个横线应该也可以吧？可以的，过 c 做横线的话，就会变成构造内三垂直跟外三垂直本质是相同的， 但是内三垂直有一个缺点，大家可以瞅一眼，就如果你在里面去构造三垂直的话，得的是这个白阴影，和下面这个白阴影相似。那你会发现这两个三角形呢，经常会跟 a c b 这个直角三角形的斜边有重叠， 所以导致这个图看起来会比较乱。所以我一般不建议构内三啊，除非你很熟了对这个东西。好了，关于直角的思路就说到这啊， 最后注意看到斜的直角勾三垂直，用横竖线勾，然后勾完了就进行点和横竖线的相互转化啊。那注意，如果点不够用，比如说你已知的点太少了，那你肯定要怎么办？那你肯定要设点，就像刚刚这个点 c 啊，就相当于是我提前帮你设好了。好了， 下来咱们来看个具体的题你就知道了，这个题我带大家一块读一下啊。已知了，白色的抛物线过抛物线上的 b， c 有 个直线，那这个直线的表达式其实顺手也帮大家 求出来了，这个直线就是 y 等于负 x 加四，然后接下来呢，告诉对称轴跟 x 轴交于一个点 e 啊，点 e 的 坐标也就知道了。 他说呢，在一象线有一个点 p， 一 象线抛物线上有个点 p， 然后在四象线的这个蓝色直线上有一个点 q， 四象线的蓝色直线上有个点 q， 满足啥呢？满足 p e， q 是 个直角， 同时满足啥呢？满足 e q p 的 正切值，这个角的正切值是一个二分之一，给了这样的一个直角三角形，告诉这个角的正切值是二分之一，其实就是已知了这两条边的比例是一比二， 就跟刚刚一样，有直角已知了一比二，让你求屁的横坐标，咱们一起来看啊，条件就是这么个条件啊，给了这个角的正切值是一比二，那我相当于知道了这里的直角边的比例关系， 现在呢，要根据这些条件求出点屁的坐标啊，求点屁的坐标，那你发现这时候核心的条件显然就是这个直角三角形了， 那直角怎么用呢啊？我们说看到坐标系中的直角，你就想着去构造三垂直，注意用横竖线去构造啊，所以这里怎么构呢？是不是它的直角顶点已经在对称轴这个竖线上了？那你就直接往对称轴上做垂直过顶点 p 和顶点 q 分 别做垂线， 我就得到这两个三角形相似。这就是咱们说的，看到直角用横竖线构造三垂直 构造完了以后，你会发现，其实就是把斜着的一比二转化成了什么的比例啊，斜着的一比二是不是就变成了小蓝线段和这个小蓝线段一比二，这个红色线段和这个红色线段，它俩是一比二。当然了，这里呢，图不是特别准， 大家注意这种题子图多半就是示意图，你自己画的啊，看个大概就行了，只要别出现什么一比二长 这种比较逆天的场景就 ok 了。当你把这些线段的关系找到以后呢，那你会发现，接下来呢，我们肯定要进行谁和谁的转化了，你只要有了三垂直，就是一堆横竖线的关系。所以接下来呢，肯定是进行点和线的相互转化， 有点表示线，有线表示点，但是你会发现，现在呢，任何一个红蓝线段你都表示不出来，为啥呢？因为点坐标缺的太多了，你只有一个点， e 是 已知的， p 和 q， 都不知道你表示谁啊，谁都表示不了。 所以这时候需要什么呢？需要更多的点坐标怎么办？我们就去设点那题目，让你求 p 的 横坐标，那我就设点 p 的 坐标呗，对不对？很好，设横坐标，设个 m， 带到表达式里，纵坐标就出来了， p 点坐标一设， 那有了屁点，接下来就好玩就好操作了。屁点有一点有，屁点有一点有。哎，那这时候他俩之间的横竖线段就能算了吗？是不是小 m 减一，横坐标差，这就是 m 减一，然后呢，屁一之间的竖线，小红竖线就是纵坐标的差， 纵坐标的差，这纵坐标直接减零啊，就是负的二分之一， m 的 平方加 m， 再加上一个四，这个是利用点去表示线，那有了这两条线段以后，相似，比一比二能让你得到谁的场？这两个一比二， 那它有了，乘个二， n q 长度就有了嘛。所以呢，乘起来，它就变成了负 m 方加二， m 再加上一个八来。同样的道理，这个是 m 减一，乘个二，下面这个线段 二， m 减二，我也就表示出来了，这就是有点表示线有 p， e 表示出了上面的小红小蓝， 那下面的大红大蓝也就得到了。好了，得到这些线段以后，接下来有了更多的横竖线，你又可以表示什么了？有了更多的横竖线，咱都说了，你就点线相互转化，你就把三垂这里面的所有点坐标都搞一搞嘛。 所以这时候你会发现，我就可以尝试去搞一搞点 q 了。怎么搞呢？就用平移的方式搞就行了。平移的方式搞，那你会发现，从 e 到 q， 相当于是往下平移，二 m 减二，往右平移。这个式子好，那点 q 的 坐标就很容易得了。横坐标就是一加上这一坨， 一加上这一坨，直接就是负 m 方加二， m 加八，再加一加九，纵坐标呢，就是零向平移，二 m 减二，零减二， m 减二，是不是就是二减二 m？ 所以点 q 坐标我就表示出来了。为什么不加绝对值？因为在这个图中， p 和 e 的 上下关系，左右关系是确定的，你要画出满足提议的这个一比二的直角， p 点一定会划到 e 点的右上方去，那这时候 pm 左右关系定横坐标叉，你相当于直接顺手把绝对值去掉了。竖线表示长度的时候，因为 p 一定在上， e 一定在下，所以上减下相当于这个线段的长度，也就直接去绝对值了。因为这里知道上下关系，所以就没带绝对值 这块。其实就是已知了点坐标以后，横坐标差就得到两点间的横线长，纵坐标差就得到两点间的竖线长度。利用相似 把下面的两条线段也表示出来。表示出来以后呢，其实就是已知了这两条横竖线和点 e 的 坐标。 怎么去得点 q 坐标？那你会发现，就相当于是点 e， 横坐标是 e， 它往右平移了这么个红线的长度嘛， e 点是不是往下移这么多，往右移这么多， 那横坐标是不是要加下面这个红线的长度啊？一加上这个式子，就得到了 q 点，横坐标零减去二， m 减二，往下平移这个式子， 那么就得到了这边的坐标啊，这边的正坐标。当你得到这些坐标以后，最后方程就很简单了，各位看一下怎么列最后的方程。我们是不是看到点 q， 人家告诉你是在依次函数的图像上的， 所以怎么办？代入嘛，我把这个点 q 代入到依次函数的表达式中就好了呀。所以啊， 代入 y 等于负 x 加四就得到一个方程二减二 m 等于负的负 m， 平方加二， m 加九， 再加一个四啊，通过渐点代入就得了关于 m 的 方程。那最后你去解这个方程， 问题就解决了啊，我就不解了，最后解出来 m 的 值呢？有两个，一个是正根号七，另外一个呢？直接舍掉了，因为另外一个答案应该是个负值。我记得啊，负值解出来不在 题目要求的 p 点范围里面，题目要求 p 点必须在一项线的抛物线上。好了，这就是这个题的思路啊。 总结一下，以后看到坐标系中的直角，你就构造三垂直，注意，用横竖线构造完三垂直以后，我就需要他这里面的点和线，那么如果缺点的话，那你就把点一设啊，把点一设， 有了点以后，有点表示线，得到更多的线以后，反过来用线再表示出更多的点坐标，那这里我们最后就相当于表示出点 q， 那 点 q 通常是有条件的，你给他带入对应的表达式，就能解放成了。好的，那么刚刚呢，咱们就讲了直角的基本处理思路，那么这里要注意， 直角的处理思路其实是接下来一系列方法的前置技能，所以接下来讲的过程中，不要忘了，这个直角可以勾三垂直。那么下来第二个， 我们讲一讲三角函数。首先呢，你要明确三角函数的基本用法，咱们初中阶段看到三角函数，要考虑把它放到什么里面， 你得放到直角三角形才能用起来。初中阶段，三角函数肯定要放直角三角形才有用，那么如果没在直角三角形怎么办呢？那我们通常需要自己去做垂直，构造直角三角形，所以三角函数做垂直，这是基本意识。 那么具体在做题的时候呢，我们会遇到不同样子的三角函数啊，我举个例子，比如说有的时候呢，你会看到这有个竖线，告诉你这有一个角 p a b， 比方说 tangent a 等于三分之一，那么这里呢，它的 ab 边是平行于 y 轴的啊，这种三角函数过谁做垂线，你后面你肯定过 b 做垂线， 为什么呢？因为过 b 做完垂线出直角三角形的同时，直角三角形的直角边都是横竖线，那么你忽然这个正切值三分之一直接就变成了横竖线的比， ph 比 a h， ph 比 a h， 那 这两个的比值到了一比三知道了，那么你就有计算的思路了。横竖线吗？总是能表示的，这是最简单的三角函数， 有一边是横竖线，你就往横竖线上面做垂直，直接就能用了。这第一种啊，然后呢，再接下来，再接下来第二种啊，有的时候呢，你还会看到这样的三角函数， 我就继续用这个三分之一吧，同样是一个正切值等于三分之一的角，但是呢，你会发现它的两边都是斜线， 那你要用上这个三角函数咋办？怎么去用它？首先啊，别的都不用管，首先一定百分之百的先得把它放到什么三角形，先得 做垂直，放到直角三角形，这个是必然的，那比如说这里呢，如果点 d 是 个已知点啊，随便给大家举个例子啊，比如说题目中点 d 是 已知点，那这时候呢，我们就可以过点 d 去做个垂线， 哎，做出一个直角三角形，那我就相当于得到了这两条边的比是一比三，而有了这两个一比三以后，各位接下来就变成什么问题了， 你看着这个直角三角形，有没有一点眼熟？刚刚才见过斜着的直角三角形，我是不是就可以去构造三垂直了？ 构造三垂直了，那接下来利用这两个相似就可以解决这个题了，这是斜着的三角函数的用法，先做垂直，出直角三角形，再接下来呢，构造三垂直， 把斜着的一比三变成横竖线的一比三，方便你下来继续计算。然后这里面一个是做垂线，一个是勾三垂直，每一步的目的是不一样的啊，我们去品一下，一开始过地做垂线，放直角三角形是为啥呢？ 是为了让三角函数一个角的条件变成什么的条件，角的条件变成了一比三，变成了边的条件。三角函数做垂直是为了把角变成边的关系，变成边的关系以后呢？那我又构造三垂直，为啥呢？ 因为坐标系里斜着的边不好用，所以我构造三垂直，把斜着的边又转化成了横竖边的关系， 简化了计算。这是两个辅助线的构造的底层逻辑，一个是为了用起来角，一个是为了让斜线变好用。当然了，这个三垂直的构造过程中呢，有一些小细节要注意，一会儿题目中再给大家说啊，就是怎么算会更简单， 有个注意事项，咱们题目中再说。但总之，以后看到三角函数，你就想着去做垂直，给他放直角，三角形角有横竖边，那你就往横竖边上直接做垂直，做完就能用。 如果脚的两边都是斜线，那你就做完垂直以后，构造三垂直，构造三垂直，再去计算。这个理解了，咱们来看个题啊，一块来看一下啊。这道题已知抛物线，已知了顶点是 d， 说 p 是 x 轴上的动点， 满足 p d o 的 正切值等于二分之一，求 p 的 坐标。首先啊，你会发现，这个题 没有给你把屁点画出来，那大概率意味着这个题要干啥呢？大概率意味着这个题要分类讨论。 这个跟咱们上一道题还不太一样，上一道题呢，给了很多限制，什么屁在一象限， q 在 四象限，把那个图的位置给卡死了。但这道题呢，人家说整个 x 轴上都能动，那这时候你就得考虑考虑有没有不同的情况。 那右边我能画一个矢图，那你会发现，跑到左边的时候，同样可以得到一个角，让他的正切值等于二分之一。所以这个题上来 打眼画一下矢图，就知道应该有左右两种情况，然后两种情况有了以后呢，接下来呢，我就一个一个去算，那么算的时候，其实我就会觉得右边这个情况呢，有点微妙，感觉好像可能正好是垂足， 但是这就是猜一下啊，其实这里有更明确的标志，什么标志呢？你会发现题目给你的地点坐标是个二负四，我们要正切值一比二，那你会发现二负四，这里本身就存在一比二的关系， 地点的横坐标、纵坐标的比是一比二，这意味着啥呀？意味着你过地做个垂线，这对应的线段就是二，这对应的线段就是四， 他的坐标本身存在一比二的关系。那你就得看一看这个坐标带来的直角三角形，是不是正好满足咱们的题了。要有这样的意识啊，就看到相关的比例，你看一看是不是出题老师的仁慈，送你分呢。 那一看，果然是，这时候这个角的正切值就是一个二分之一，也就是说，当 p 点正好走到 h 点处的时候，这就是一个答案，所以他送了一个二零的答案。接下来主要的任务就是求一下左边的这个答案了。左边的这个答案， 左边这个答案呢？因为这个图的特殊性啊，所以呢，做法会比较多。但这里呢，我主要想讲一讲三角函数做垂线的思路啊。有别的做法可以做，比如说这里其实是个角分线啊，角分线的话呢，你也可以角分线，构造全等也能做啊。 但是这里我想给大家讲一下三垂直的思路。现在呢，我们相当于是已知了这个角的正切值，需要你去求点 p 的 坐标，那么点 p 的 坐标怎么求呢？你会发现，其实点 p 呢，就相当于角的一边跟 x 轴的啥呀， 它相当于是 dp 和 x 轴的交点。大家求焦点有什么思路？求焦点有一个想法，是不是可以求出 dp 的 表达式，而求 dp 的 表达式 d 点坐标已经有了，那我就需要它直线上的另外一个点， 那当然了，这个点必然不会是点屁了，屁是所求。所以呢，接下来需要这个直线上的另外一个点，这是大前提。需要这条直线上的另外一个点，这是大前提。那这个点肯定由什么条件得到呢？就是题目给你的三角函数了，三角函数我就想到了 做垂直，那这里我们过哪个点做呢？那有的小伙伴说，那我就选择过屁做垂线啊，往哪做呢？你往他的这条边上做， 但你会发现，你做完了以后，你的屁点不知道，你的垂足坐标也不知道，你要说算的话，能往下算，但是呢，就比较费劲了，相对会麻烦一点。所以这里面注意，做垂线的时候第一个原则啊，我肯定希望已知点越多越好， 所以呢，我们可以选择过已知的点 o 点来做个垂直，那做完了以后呢，这是 h， 那 你会发现 o、 d 两个点都知道，那这个直角三角形呢？我就可以构造三垂直去算了。但是各位，这样做垂直呢，依然不是最简单的， 因为这样做垂直，你再去构造三垂直的时候，会遇到一个小问题。遇到一个什么小问题呢？ 你说三垂直是不是就是为了用这里的横竖线段去解题，但是你有没有发现，这里的横竖线段是全都不知道的，你这个 h 点没有横竖线段就都表示不了，想一想，是不是 h 点没有横竖线段就都表示不了？ 那当然了，我是可以射出 h 点再去表示那些线段，能射也能算下去。但是那我们就想了， 如果我能让垂足直接是个已知点，那不就更简单了吗？那各位我还可以怎么去做这个垂直呢？教大家一个小技巧，这个技巧叫做过已知点， 做他所在边的垂线，过已知点，做他所在边的垂线。 哎，你看啊，我过 o 做了 o d 的 垂线，得到一个 o q， 那首先我是不是依然得到直角，三角形依然得到了正切值一比二，这有一个 a 二 a 的 比例，我的做垂线的任务是完成了的，而与此同时呢，我同样可以构造三垂直， 他过地，这已经做好一个垂线了，那我过 q 在 这再做一个垂线，三垂直就出来了。 这个三垂直有个啥好处呢？就你会发现，因为 o d 之道， o 作为三垂直相似的连接点， o 之道， d 之道，那么右边的线段都直接能算，而左边的线段呢，相似比一比二，一和二也就直接出了，二除以二是一，四除以二十二， 二和一直接处，那你会发现，你的点 q 坐标是不是直接就口算负二负一了，是不是就非常好算了？所以这里啊，注意整个思路想法啊。第一，看到三角函数，看到三角函数，我们可以想到去 做垂直，那做垂直的时候，为了后续计算简单，要注意小技巧。我们通常希望已知点越多越好，所以要过已知点去做。然后呢，做的时候呢，我又希望三垂直相似的，这个 相似三角形连接点是已知的，所以呢，我就得让这个已知点当垂足，相当于是过已知点做他自己所在线的垂线，我们把这个叫做垂自己啊，这是自己起的名字啊，你去品这个感觉， 过已知点做他自己所在边的垂线，把这个已知的三角函数放进去，过已知点垂自己。你这样做完垂直这个相似的线段一定是最容易得的。于是呢，点 q 坐标就得到了。 各位，点 q 坐标得到了，那求点 p 是 不是就随便来了？你只要把 d q 的 表达式到 q 点式表达式一求， 那么屁点的坐标我也就求出来了啊。好了，这是这个求解的思路啊，他的整体逻辑就是看到三角函数想到了做垂直，做垂直完了以后，通过三垂直就完成计算了。那么重要的细节是为了计算能简单， 有一个做垂线的小技巧，叫做过已知点垂自己。来，我给大家再画一个例子啊，比如说这个角的三角函数，你要放直角三角形，这是个已知点，我随便写。比如说二五， 我要过已知点垂，自己要怎么做呢？你就过已知点 a 啊，过角的边上的已知点 a， 去做他自己所在边的垂线， 做他自己所在边的垂线，那么你一定能得到直角三角形，同时直角三角形的直角顶点是一致的，你后续构造三垂直的时候，线段就更容易表示。来看最后一块角关系，今天的内容呢，基本上是一步一步往上叠的啊，你发现 处理三角函数要用到直角的用法，那么各位接下来处理角关系，你就要用到三角函数的用法了。什么是角关系呢？我举个例子啊，比如说 有的题目中呢，他告诉你角一等于角二，这是最基本的角关系，然后呢，这两个角呢，可能八竿子打不着，比如说这有一个 y 等于负的四分之三 x 再加三， 他告诉你呢，这个角是角一，然后接下来呢，在离的二百里远的地方， 他告诉你这有一个角 a、 b、 c， 这是角二，告诉你角一等于角二， 这种叫做给了角关系。那么这个角关系的题呢，他有两种主要的思路。先说我不准备讲的那种啊，一种呢，就是要通过题目给的条件呢，想尽办法去倒角，然后呢，让这两个角相等，或者是角的别的关系变得更好用。 但这个方法呢，就是要见题拆题，他不同的题中有不同的处理思路。然后呢，还有一种方法呢，叫做给你两个角的关系，就意味着给了你两个角的 三角函数关系。所以还有一种思路呢，就是我直接用三角函数去处理这个等角，咱们今天主要讲这个，因为这个是一个更朴实的方法， 就比如说在这道题目中，你已知了角一等于角二，角二呢，在一个未知点比较多的三角形里，但是你的角一，你会发现它所在的三角形边长是直接可以得的， 也就意味着啥呀，也就意味着角一的三角函数值你是能求出来的啊。这里面你会发现 tangent 角一，它就是一个三分之四，三角函数是能求的，那你说其中一个三角函数求出来了，它俩相等， 三角函数什么关系？角相等三角函数肯定也是相等的嘛。所以呢，我是不是就直接相当于得到了 tangent， 角二就等于三分之四？ 来，各位，那你说接下来这个问题跟刚刚上一道题是不是变得一样了？角一三角函数推出了角二三角函数，角二三角函数知道，那如果这个点 a 又是一个已知点的话， 点 a 又是一个已知点的话，那这不就又变成刚刚说的那种了吗？你就过已知点做垂直构造，三垂直就 ok 了。所以啊，以后看到角关系，你先看看这里面角的三角函数能不能求 一个角的三角函数，只要搞定了，另一个角也就出来了。那接下来我们就可以用这样的思路去解决问题。比如说接下来这道题啊，这道题呢，给了抛物线，给了直线 bc， 给了对称轴上的焦点 f， 现在呢，它告诉我们说，在一项线的图像上有一个点 p， 然后这个点 p 要满足 p f b 等于 b c a 啊，给了一组角相等，我先帮大家把视域图画出来啊，有个 p p f b， 这个蓝角等于 b c， a 等于左边这个蓝角啊，两个蓝角相等，让我们球屁的横坐标来，咱们来看这道题啊，这道题呢，我准备讲两种思路，第一种思路呢，就是比较好想的， 相当于是通过三角函数来硬算。第二种方式呢，就算是见招拆招了啊，叫做通过倒角 来找到更简单的角关系啊，就化简角关系，让这个难用的角变简单。然后咱们先说第一种啊，第一种呢，就是三角函数硬算，你看到两个角相等，那么自然要想到两个角的三角函数也相等， 所以如果我能搞定其中的一个角，也不用其中一个了，屁事所求，那这个角肯定是弄不出来的嘛，这都有未知点呢， 我只要搞定左边这个角，那么右边这个角的三角函数也就知道了，对吧？所以第一种思路就是搞三角函数啊，你把不含未知点的那个角想办法求出来就行了。 那左边这个角 c 想求三角函数，咋求呢？那我们要求一个角的三角函数，那肯定要看清楚它在哪个三角形里嘛， 我会发现我的角 c 呢，就在这样的一个黄三角形里，它的对边等于四， 然后呢，它的邻边啊，这个呢，等于根号十，另一条邻边 bc 能不能求呢？也能求，等于三倍根号二， 而且你会发现这个三角形还蛮特别的，里面还有一个四十五度角。好了，那这时候我想求这个蓝角角 c 的 三角函数，怎么求呢？ 用完这个就很好求了，这有四十五度，这是我的所求角，我肯定是过第三点，往这做个垂线，既能用上四十五度，又能把所求角放直角三角形，所以肯定是过 a 做。 而过 a 做的话，你看一下这个图，你会发现，好像也不用做我直接连谁就行了。因为 b a 是 对称的， f 在 对称轴上嘛，所以呢，你把 a f 一 连这四十五度，这四十五度，这直角就直接出了啊。所以呢，你这块要做这个直角，其实非常的好做， 直接连一个 a f 就 ok 了。为啥做直角呢？就是为了求这个角的三角函数值嘛？做完这个直角以后，你会发现就很开心了，随便标这 bfa， 这是一个等腰直角三角形，斜边是四，那直角边就是二，为根号二。 然后呢，我知道 bc 全长是三倍根二，这是二倍根二，那所以这条边就是根二，于是我的这个蓝角，它的三角函数呢，就变成了对边比邻边。在 r t 三角形 a c f 中， a c f 中我的 tan 角 acf， 它就等于了对边比邻边等于一个二倍根二，比根二算出来等于根二，相当于通过解三角形，我们求出了左边这个蓝角的三角函数值。也就是说咱们通过连接 a f 做垂线，已经求出了角 c 的 三角函数了。 那接下来我是不是就相当于已知了角 p f b 的 三角函数也是二角 p f b 的 三角函数也是二，我把它写在这啊， 相当于 tangent 角 p f b 等于二。好了，怎么去用上这个三角函数？那你看你要用这个三角函数，那它是不是就得放到直角三角形里？ 怎么做呢？刚刚说的过什么点？怎么做这个角，它的两边一个是 f b， 一个是 f p， 我 们说要过已知点垂自己，谁是已知点啊？两边上谁是已知点？是不是这边 点 b 是 已知点，过已知点 b 做它所在边自己的垂线，所以做出来是不是长这样，那这时候你会发现延长 f p， 延长 f p 就 能得到一个点 q， 那 这时候我就做出了一个直角顶点，是已知点的直角三角形，而且正切值是二比一的话，那你会发现这个是二倍根二，这个是四倍根二， 我就给它表示出来了。而接下来呢，我要求我的 p 点坐标，我只要知道什么就行了。 p 点是不是就相当于是啥呀？ 相当于是 f q 和 p 的 交点， f q 和 p 的 交点，我是不是只要搞定这个直线 f q 的 表达式就可以了？ 表达式怎么搞定？ q 点坐标求一下呗。那直角有了，怎么求 q 呀？构造三垂直嘛，你往下一坐，三垂直一够，那你会发现左边的长度呢？这知道是二，这知道是二， 那三垂直相似一比二，那右边这就是四，这就是四，于是点 q 坐标就出来了。点 q 坐标是啥呀？点 q 坐标是不就相当于是 b 往右走四个，往上走四个，所以呢，它就是一个七逗号四。好了，点 q 坐标有了 f q 表达式，你就能求出来。 f q 表达式有了，那么 p 点你连立一下也就解出来了啊。好了，这就是整个处理思路啊。是这啊，我们 带大家一起快速的串一遍，来，一起串一遍，怎么想的？首先呢，我看到了两个角相等，有一种思路就是看三角函数能不能求， 那这里面要求的话，肯定是看已知点构成的这个角 a c b， 那 我们会发现 a、 c b 这个角呢，它旁边知道四十五度， 我要求它的三角函数要做垂线，那我肯定是过 a 做个垂线，那过 a 做垂线的时候呢，注意到 a b 是 关于对称轴对称的，所以连了个 a f， 直接由它是四十五度得到，它是四十五度，这儿直角就出来了。 直角出来以后，很容易就求出了这个三角函数值，就是对边比邻边是一个二，这个是怎么求的呢？在 r t 三角形 a c f 中求的得到了正切值，二， 左边的正切值有了以后，那这时候右边这个角的正切值，右边这个角的正切值也就出来了，他俩相等正切值也等于二。 好了，那现在就变成了已知正切值怎么用这个角的问题。而这个角怎么用呢？就是咱们刚刚讲过的了一个三角函数，已知，我要做垂线勾三垂直， 注意怎么勾过已知点，做他自己的垂线过已知点，垂自己过已知点垂自己完了以后，哎，我就得到了这样的一个 一比二的直角三角形，这个直角三角形就可以帮我去构造三垂直。那么这时候因为左边的线段你都能算出来是二二相似，比一比二四四，有了点 q， 坐标就有了， 于是 f q 表达式一求，问题就结束了。最后呢就是 f p 和我的抛物线去连立就行了。 最后连力球屁，你在刚刚这个推导的过程中，你会发现你的每一步想法，刚刚的每一步想法是不是都是非常自然的？那你说角相等，是不是看一看三角函数，有一个知道的，另一个就知道了， 那这个看出来了呢？这边角是不也就知道了？那你说这个角都知道了，他是不是就变成了你之前熟悉的另一个问题了？你已知了这个角的三角函数，他变成了你之前做过的熟悉的问题了，那我是不是就可以继续利用之前的思路， 过已知点垂，自己构造三垂直来计算？当然你说这个过程中有没有别的想法也能解出这个题肯定是有的， 但是我把它变成了一个我之前做过的熟悉的问题，那接下来后续的思路不就相当于已经直接打通了吗？那我就把它执行下去就好了呀。实际上整个过程干的就是第一想办法去求角 a、 c、 b 的 三角函数，然后接下来 去用角 p、 f、 b 的 三角函数。啊，这个 p、 f、 b 的 三角函数咋用的呢？就是咱们之前说的过已知点垂自己，然后呢就构造出了三垂直， 当你构造完三垂直以后，你的 q 点坐标就肯定能算出来了。 q 点坐标都算出来了，那你把 f p 表达式一求啊， f p 与抛物线连立就行了。刚刚这种思路咱们先说到这， 接下来再给大家讲一种思路，咱们刚刚呢，相当于是看到了三角函数相等，想着去把三角函数求出来，我就能硬算了啊，这是一种想法， 这个想法呢，在计算的过程中通常不是最省事的，但是呢，它是一个没有很复杂，但一定能执行下去的方案，就相当于是比较通用的一个思路。所以注意，刚刚三角函数这个方法的好处是比较通用， 你熟悉了整个操作流程以后拿到的这种题，你用这个方式就可以直接动手开杠，但是呢，你说有没有更简单方法，肯定有下来呢，我们来说一种啊， 接下来的简单方法呢，全部都是基于倒角的，其实倒角这个方向也很容易想到，因为题目给了你角相等， 角相等结合图中的已知角条件，那你会发现可以得到更多的角的关系，比如说在这道题中你会看到啥呢？因为 o c 等于 o b， 这是直角， 所以你忽然这里是直接会有两个四十五度的。然后我现在要导这两个蓝角相等，我看到蓝角的一部分是四十五度了，那我是不是就可以把蓝角表示为 alpha 加四十五度？也就是说我的已知的等角里面已经有 a、 c b， 它等于一个 alpha 加四十五度，它是 alpha 加四十五度，那就意味着右边这个或肯定也是这个值， 那他是这个值的话呢？那这时候你发现他既然是 f 和四十五度角的和，那它里面肯定也可以分出来一个四十五吗？那我们就想怎么就能分出来四十五了，怎么就能在右边的这个角里面分出一个四十五度呢？因为下面这有个四十五， 你在这想分出个四十五，你做个啥线就行了。哎，你会发现我在这只要做个横线，下面这个角内错角相等一定是四十五度， 因为这个蓝角也等于阿尔法加四十五，所以上面这个小角是阿尔法，我就退出来了。也就是说，我通过倒这个四十五度角，我让原本的两个大蓝角箱的都去掉了一部分四十五度， 剩下了阿尔法等于阿尔法。那这两个阿尔法有个啥好处呢？左边的阿尔法，他直接在一个有横竖边的直角三角形里，这边是一和三，相当于正切值，直接知道攀正阿尔法等于三分之一， 那是不是意味着右边这个 alpha 的 三角函数也直接知道了啊？也是三分之一。而这个 alpha 呢？它的边是啥呀？边是横平竖直的线，那我要用上这个三角函数怎么用呢？ 那我就直接做数值的垂线。做数值的垂线，那我就直接得到了右边的贪婪，他 r 法，它就等于 p h 比上 f h 等于三分之一，我相当于把两个不好用的角 通过倒角的方式变成了更简单的有横竖边的 alpha 相等，那这个 alpha 三角还是直接得的，那所以这边做垂线，我就直接把 角变成了横竖边的比例关系下来，你用这个去计算就行了，这个明显的比上一个要好算的多。 但是啊，这个就需要你有一定做这类型题的经验，然后呢，有倒角的意识，然后呢，这里还需要你自己想着去构造出四十五度角，相对而言比那个方法要更难想，所以我说三角函数直接相等是更通用的，更好想的思路。 然后这种倒角的题呢，你就得见招拆招，毕竟不是每道题都会直接给你四十五度，让你用算就简单了啊。你要去算的时候呢，那你会发现，因为我现在得到的是一组横竖线的比例关系， 那我现在是不是只要表示出这组横竖线段就能列方程了？来，那我就问你，你要表示这两条线段，你需要谁？ 你发现这两条线呢，是不是都跟屁有关？所以我需要点屁的坐标吗？那咋办呢？我就设屁的坐标，设了屁的坐标以后来 你看 f 坐标，知道屁坐标，知道 f p 的 长度就都能表示了。那这里面 f h 的 长度呢？就是横坐标的叉是 m 减一， 然后 p h 的 长度呢，就是纵坐标的差，就这一坨减去二，所以呢，就是负 m 方加二， m 加三减二就是加一， 所以带进来呢，就得到一个方程，是负 m 方加二， m 加一，比上 m 减一就等于三分之一，那么这个方程整理一下，就是负三， m 方加六， m 加三等于 m 减一。 你去解这个关于 m 的 一元二次方程就行了。解完了，最后答案长这样啊，把负值舍掉，因为 p 在 异项线来。各位啊，这题还有一种思路啊，也是通过倒角来解决的，总之倒角的方式呢，整体就会比较灵活。 你看啊，在这道题目中，我们知道这里两个大角相等，我用个背它吧， 我知道这两个大角相等，然后呢，大角相等呢？你后面直接算用三角函数，有小伙伴嫌烦，所以这时候要倒角。那么倒角呢，有两个方向啊， 刚刚一种方向呢，是倒角的过程中，我去关注了已知角，去关注已知角和这个等角的关系。 是不是刚刚看了四十五度一只脚，然后还有一种思路呢，就是我想办法让两个脚，想办法让两个脚产生联系，怎么就产生联系呢？想办法把俩脚 放一起，把两个角放一起啊。来，那这里我们来看一看，怎么就能让两个被他放到一起呢？你会发现这个 p f b 他 是朝右边的，我想让两个被他放一起。有一种思路，是不是让右边这个角往左挪，各位想一想，怎么就能挪过左边来， 怎么就能让右边的贝塔跟左边贝塔跑一起去呢？那你会发现这里呢，我们可以尝试去反向延长一下 f p， 延长的目的是啥呢？是为了构造出贝塔的对顶角，而你构造出贝塔的对顶角以后来各位你发现得了个啥？ 贝塔，贝塔在同一个三角形了，我相当于是得了一个等腰三角形，得到了。这里面假设这个点是点 q， 我是不是相当于得到了一个 q c 等于 q f， 这个点 q 是 在直线 a c 上的。好，那你得到这个点 q 以后来我们想一想啊，我想求 p 点坐标， p 点相当于是 p q 和抛物线的交点嘛。 来，那你说你只要求出谁就行了，那你是不是只要能求出点 q 坐标就可以了？因为 f 坐标已经知道了嘛， q 点只要知道了直线表达式，有了 p 点坐标就搞定了。而 q 点怎么求呢？你这都有等腰了，它俩相等，你就直接列方程解就行了嘛。那这里呢，需要表示 q c q f 的 长度，所以呢，你需要把 q 点坐标设一下， 那 q 点坐标咋来呢？ q 点呢？在直线 a c 上， a c 的 表达式能求吗？ a c 的 表达式就是三 x 加三嘛，所以点 q 坐标就可以得到是 t 三 t 加三，然后你把这两条线段直接用公式一算，方程一列就解出来了。这个的整体倒角的大方向就是两个等角放同一块放啊，我们可以继续看啊。 刚刚这种方式呢，我让右边的脚跑到左边去了吗？让右边的贝塔转化到了左侧的三角形里，这是转化右边的脚。 那我同样的，其实也可以想办法让左边的贝塔往右边跑，左边的贝塔往右边跑，怎么跑呢？你就想你能够挪脚的方式有什么吗？刚刚是对顶脚挪了个脚，那咱们还有什么方式能挪脚呢？ 是不是还有平行线内错角可以挪角，看这是 a c 对 不对？然后我要挪 a c 边上的这个贝塔，角咋挪呢？我过 b 做个 a c 的 平行线，做一个 a c 的 平行线，于是内错角相等，贝塔就跑到这了。 那贝塔跑到这以后呢？那这两个角是不是显然就可以往一个三角形里凑了？所以呢，可以得到这样的一个三角形，比如说这是 b j 吧。得到这样的一个三角形，那你忽然这同样是一个等腰三角形，我同样知道 p 点是一个交点， 所以呢，我只要能够求出这点的坐标表达式，有了 p 点，坐标就能求出来。好，那现在问题就是这次这两条线段相等，好像这点的坐标不是直接能设的。那怎么搞呢？也很简单啊，你自己做的平行对不对？平行意味着什么？平行意味着 这里面 a c 的 k 值和 b、 g 的 k 值是相等的， a c 的 k 值是三，所以 b g 的 k 值也是三， b g 的 k 值也是三 k 知道有已知点，所以 y 等于三 x 加 b 把三零带进来，所以呢， b 等于负九就减出来了啊。所以我们可以得到 b j 表达式是 y 等于三 x 减九点， j 的 坐标 t， 三 t 减九就设出来了。 然后下来你再去表示这两条线段长度。也可以啊，但这种就属于是我觉得明显不如前几种方法，然后你能想到了，可以啊，但是想不到也没啥。各位，咱们来总结一下今天讲的是什么函数中的角来。现在回想一下， 关于角，我们讲了几类问题，函数中的角有几类？第一类呢？直角？第二类呢？已知三角函数的角。第三类呢？给你一个角的关系，这是三种类型的问题啊。 然后呢，直角是怎么处理的？有直角，我们直接想到构造三垂直啊，构造三垂直，注意细节是什么？要用横竖线去做啊。然后呢，再接下来第二个啊，三角函数，三角函数其实就多一步，三角函数要注意先做什么呀？ 先做垂直，做完垂直你就可以接上第一个方法，构造三垂直了。然后同样注意的细节是什么？ 为了让题目好，算，注意的细节是什么？是不是有一个过已知点捶自己的小细节，这是三角函数的基本思路啊。然后呢，再接下来第三个角关系。角关系呢，我们说了两种方式啊，第一种就是硬来，直接 想到去求角的三角函数值，求出一个角，另一个角三角函数也就能推出来了啊，所以第一个方式求三角函数值，第二个方式呢，就会比较灵活，你要通过导角 大方向是啥呢？通过导角来简化题目给你的角关系，我们品一下怎么简化的呢？题目告诉你，这个红角 和这个红角相等。一开始第一种思路怎么转换的，我去关注了图中的已知角，关注已知角，发现呢，哎，这个大红角呢，它就变成了已知角和阿尔法角的和。所以呢，我们去把这个角拆一下， 下面拆出一个四十五度，那么上面这个角是阿尔法，我就把斜着的等角变成了有横竖边的等角了，这是一种 通过倒角简化角关系。然后呢，还有一种呢，还有一种就是你想办法把两个角往一块放，你等角放到同一个三角形，就容易得到关系。所以呢，还有一种思路，就是你把这个边反向延长， 那你换这个红角和这个红角相等，相当于得了一个等腰，具体细节看刚刚讲的题目。然后呢，总之你要去抓住一个大方向，你要倒角到底是为了什么？ 你不能说是原来的角向的，你越倒越复杂了，那没意义。我们的核心目标是通过倒角，让原本计算量大的角关系 尽量变得好用，变得简单，那变成横竖边的角就会简单。然后呢，放到一个三角形，变成一个等腰的问题，也会让它变简单 来，这是主线的三个方法。主线说完了以后，各位有什么细节，就主线之外需要你注意的点。我举个例子啊，比如说每次构造完三垂直以后，我们需要进行谁和谁的转换呀？ 有了三垂直以后，我是不是有点就去表示线，反过来，有线你就去表示点啊，有线去表示点，进行点和线的相互转换，这是一个。除此之外呢，勾三垂直，用横竖线过已知垂自己，这些其实也属于是细节啊，但这就不坠数了。 然后刚刚呢，在扩展方法的过程中啊，我们还通过等角放三角形 得了等腰，然后各位等腰的问题是怎么去处理的？你直接用坐标表示线段列方程就行了，对吧？这叫细节啊，就是你解题过程中，你不能说光想脚，脚推到那了，出了个等腰，不会的，那也不行，虽然他不是今天的核心，但是你要会好 那类似的，刚刚最后还举了个例子，得到平行线要注意得啥？得到平行线你注意得 k 相等。好的，各位，今天就聊到这啊。

hello 同学们，今天给大家讲一道上午刚刚考完的二零二六山西中考太原市二模的二十二题二次函数的实际应用。下面我们来看一下这道题目。 随着旅游热度上涨，来山西的游客日渐增多，且客房入住数量也随之增加。某古镇特色酒店有客房一百二十间，酒店经理计划调整房价，已获取最大利润。经过前期调研，获得了下表信息， 建立模型，酒店经理发现入住房间数、营收金额都随每日房价的变化而变化。设每日房价为 x 元， 客房入住数为 y， 日营收金额为 z， 其中 x、 y、 z 均为正整数，且 x 大 于等于一百六，小于等于二百四，然后注意日营收金额等于房价乘客房入住数。 接下来我们来看一下第一问，客房入住数外间是房价 x 元每间的什么函数？也就是 y 是 x 什么函数？咱们来观察一下， x 一 百六， 一百七，一百八，一百九，二百。也就是说房价是越来越多的，是十元。 然后客房的入住数由最初的一百二十间，然后开始减少到一百一十四间，减少六间，然后又减少到了一百零八间，又减少六间，然后又减少六间，变成一百零二，又减少六间，变成了九十六。 所以我们会发现 x 每增加几， y 就 对应的是减少几，所以它满足的是一次函数。 然后接下来我们求一下这个一次函数的关系式， y 等于的是，那我们刚才发现房价每涨十元，那么对应的客房入住数就减少的是六间，所以我们很容易求出 k 就 等于的是负的。 根据 x 一 减 x 二分之， y 一 减二，可以求出 k 是 负的，五分之三是负的，十分之六约分就是负的五分之三，然后 x 再加 b， 那么这个时候我们把第一天的房间数以及房价带进去，就可以得到一百二十，就等于负的五分之三乘一百六，再加 b 五和一百六，约分，剩下三十二，三十二乘三就是九十六，就得到了一百二，就等于负的九十六加 b 了，所以可以求出 b 等于的是一百二加九十六，也就是二百一十六。 所以我们就可以求出 y 与 x 之间的函数关系式，即为 y 等于负的五分之三， x 再加上二百一十六。好，这是第一小问， 那么接下来我们来看第二小问，当该酒店客房日营收金额 z 元最大时，求这一天客房的房价，也就是求 x 等于的是多少。那我们通过刚才的关系式，就是日 营收金额等于房价和客房入住数，所以日营收金额 z 就 等于的是房价。我们刚才已经知道了，它表示的是 x， 然后乘客房入住数，也就是我们刚才求出来的 y， 所以 乘起来呢，就是 x 乘上一次函数表达是负的五分之三， x 加二百一十六， 所以我们就可以化简求得是负的五分之三， x 的 平方加二百一十六， x 通过观察就得到了 z 是 关于 x 的 一个二次函数，而 a 等于的是负的五分之三，它又是小于零的，所以抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值， 所以来我们计算 x 就 行了。那 x 等于的是负的二 a 分 之 b， 那 就等于负的二乘负五分之三， b 是 二百一十六， 负负得正，二乘五分之三是五分之六，也就是二百一十六，除以五分之六乘六分之五，约分剩下一和三十六乘六分之五，约分剩下一和三十六乘五，那就等于的是一百八十。 好，这样我们就求出了那么对应的这一天的客房的房价在对称轴处取得最大值是一百八。但是这个时候我们要注意， 题目当中给了我们房价的取值范围是大于等于一百六，小于等于二百四，所以我们观察到这个时候对称轴在这个范围内，所以在对称轴处取得最大值是符合题目要求的，所以这一空的答案 x 等于的是一百八。 好，这是第二小问。那么接下来我们继续来看第三小问。为吸引顾客，酒店决定入住客房赠送当地的特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品的成本价为 m 元，并且告诉我们这个成本价是要小于等于二十。 已知每间入住客房的固定成本含保洁、水电等为三十元，这是每间的，这是每份礼品的成本。若酒店希望在房价不超过两百元时，也就是 x 小 于等于二百的时候， 日毛利润仍能够随着房价的增大而增大，也就是直接写出礼品 成本 m 的 一个去值范围。大家注意注意的事项，日毛利润等于的是日营收金额。日营收金额咱们来可以看一下前面我们求过的日营收金额是什么？日营收金额就是我们刚刚所求出来的这个 z， 也就是这个二次函数的表达式。 好，咱们来写下 z， 然后减去固定总成本，固定成本的话，咱们来看每间客房的固定成本是三十元，而现在我们对应的是有 y 间客房，那就是说明是三十 y 啊，减去三十 y， 然后礼品的总成本，每份礼品的成本是 m 元，所以外间客房那么每间客房赠送一份，那么就是 m y 了。 好，这个时候我们可以去设一下，这个日毛利润是 w 元，对，设它，从而我们就可以得到一个关于日毛利润的一个关系式， 咱们来一起算一下，那就是 w 等于的是 z， 我 们刚刚算出来是负的五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后减去三十 y， 我 们刚刚也求出来了，是负的五分之三 x 加二百一十六， 所以负的三十乘上负的五分之三 x， 加上二百一十六，然后再减去 m， 乘上负的五分之三 x， 加二百一十六。好，这个时候咱们先来把关于 w 的 这个关系式先化解一下，负的五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后负负得正，那就是加他俩约分，剩下六人就是十八 x， 然后再减去二百一十六，乘上一个三十，这个最后结果算出来的是六千四百八十。 好，这个化解完，然后化解最后一个负负得正，那就是加五分之三 m x， 然后减去二百一十六。 好，我们进行合并二次项负的五分之三 x 平方一次项是这三项，我们合并完二百一十六，加十八 x， 那 就是二百三十四， 然后再加上五分之三 m 获注 x， 然后减去六千四百八十，再减去二百一十六 l 观察我们会发现日毛利润 w， 它是关于我们的房价 x 的 一个二次函数， 所以要想这个二次函数随着房价的增大而增大，那这个时候我们观察到这个二次函数的抛物线开口是向下的，这是对称轴 x 等于多少，咱们暂时间不知道。要想 w 随 x 的 增大而增大，那这个时候我们的对应的房价必须应该在对称轴的左侧， 也就是要小于对称轴。而通过题目我们分析， x 小 于等于二百，而前面给了我们 x 的 取值范围是大于等于一百六十，小于等于二百四十，所以结合这两个的 x 的 范围，也就是房价的范围，我们可以得到 x 是 大于等于一百六， 小于等于二百的，也就是说这个曲值范围要在我们对称轴的左边的时候就能够满足 w 随 x 的 增大而增大，所以这个时候我们只需要求一下这个抛物线的对称轴即可了。那 x 就 等于的是负的二 a 分 之 b， 我们来计算一下，负的二乘 a 是 负的五分之三， b 的 话就是我们刚才算出来的二百三十四加上五分之三 m。 好，负负得正化简，那就是二百三十四加上五分之三 m， 握住横上一个六分之五即可，然后我们分配二百三十四乘六分之五，然后再加上五分之三 m 乘六分之五， 好继续化解。二百三十四乘上六分之五，这个可以约分咔，约掉一个十一，这个是一个三十九，三十九乘五，又是一个一百九十五， 然后后面的话约分就得到了，是一个加二分之一 m。 好， 我们就求出来这个抛物线的对称轴就是一百九十五加上二分之一 m， 所以我们只要让这个范围在这个对称轴的左侧，也就是说对称轴一百九十五加上二分之一 m 要大于等于这个范围的最大值，也就是大于等于二百即可。满足日毛利润随房价的增大而增， 来解下这个不等式，二分之一 m 就 大于等于一项等于五，然后 m 就 大于等于的是十了。 但是这个时候大家不要轻易的把这个 m 的 取值范围写上，因为题目当中还有一个限制条件，这 m 是 小于等于二十的，所以综上所述，我们就得到了 m 的 范围是大于等于十，小于等于二十。好，这就是这个题的最后答案。 那么其实这个题的话，整体的思路的话也不是太难啊，尤其是前两万基本上就是送分题。 第二问也没有让大家去求这个日营收金额的最大值，所以这个计算量也不只是求一下对称轴即可。而最后一问的话，相当于还是我们的老问题了，构造一个新的二次函数，有关新二次函数的一些最值了，或者是一些范围的问题， 所以这个题大家应该是解起来比较容易就行了。呃，注意计算细心点即可。好，以上就是我们这个题目的讲解，大家可以把它积累起来。

大礼，初三的同学们，明天你们就要迎来中考的二模了，很多同学现在都还在纠结一个问题，二模到底重不重要？ 我直接跟大家说，分数不重要，千万不要相信二模成绩就定性这种话。二模的本质是中考前最后一次的全真彩排，核心的目的是帮你暴露问题和解决问题。当然了，这也是我们考前最后一次查缺补漏的机会， 考完千万不要为分数过度的内耗比起纠结你考了多少分更重要的呀，是你要找准接下来的方向，明白接下来的这一段时间你应该怎么去提升，你的提升方向到底在哪里。 接下来的这一段干货你一定要给他听完，不管你中考的二模处在什么样子的水平，都能找到你接下来专属的提升方向。 首先你一定要记住，中考题目的易中难的比例基本是稳定在七比二比一。接下来我们的目标很明确，就是守住基础期，稳住中档。二，冲刺难题。一，做到这三点呀，重点高中绝对是有机会的， 基础不错的同学全力攻克那百分之十的难题，压轴题、综合创新题，多刷题，多复盘，总结答题思路和答题技巧。 重点高中的重点班完全是有希望的，成绩中等的同学想实现逆袭提分，务必要把百分之七十的基础题做到滴水不漏，牢牢的守住他，再稳住百分之二十的中档题。 中档题啊，其实真的没有你们想象中的那么难，结合历年的中考真题专项训练，一遍不会，做两遍两遍不会，我们多做几遍，熟练的掌握答题方法 和摸索出一定的解析技巧。普通高中的重点班完全可冲，基础稍微薄弱一点的同学呀，你要先死死的守住那百分之七十的基础分，全力去冲刺普通高中。 如果现在基础题基础概念和记忆性的知识点还总是丢分，那要立刻回归课本，吃透概念例题和必备的知识点，从查漏补缺做到基础题不丢分。 基础分恰恰是中考中最好提分的板块，提分的秘诀就是两个字，坚持！总而言之，不管二模的结果好坏，别被分数影响你的心态，解决问题才是最后冲刺阶段的关键。 最后还不到一个月的时间，全力以赴备战中考，少年们加油吧！评论区打出必胜，我们一起为中考加油打气！

今天我们来看一下二次函数里面的水平，宽铅垂高，铅垂高，这是最重要的，它是简化的关键，也就是把这个二次函数题做一个简化处理，这是最关键的环节，那么我们来看这道具体的题目。 抛物线 y 等于负四分之一， x 方加 m， x 加 n， 与 x 轴交于 b， c 两点， 点 b 的 点， c 的 左边与 y 轴交于点 a， a， c 的 解析式告诉你了， y 等于二分之一， x 加二， a， c 的 解析式，那因此 a、 c 两点坐标马上就可以求出来， s 等于零，求出来 a 的 坐标零到二， 然后让 y 等于零， c 的 坐标四到零，那这两个坐标我们迅速的就可以求出来，这个地方就是二，这个地方就是四。 接下来我们要求这个抛物线的解析式，所以直接把 ac 两点带入， ac 两点带入之后，这个过程我们就不写了，直接求出来它的解析式， m， n 求出来，所以负四分之一， x 方加上二分之一， x 加二。 那么你记住你自己在做二次函数题的时候，只要见到了解析式，你可以做两个处理，第一个你可以把它进行配方，你配完方之后，那么他的对称轴啊，还有这个，呃，这个，这个顶点坐标，那就都知道了， 所以说他的对圈轴，这个相对来说比较简单，我们就直接利用 x 等于负的二， a 分 之 b 把它求出来就行了，所以这个地方很明显对圈轴，这就是一啊，这个，这个不一定是啊， 那么接下来根据对圈轴我们就知道了 c 点，所以说利用中点坐标公式，这个地方是一，假设这个地方是一啊，那么你利用中点坐标公式就可以把 b 的 坐标求出来，这就是负二。 当然这个地方是我做的一个垂线啊，他并不一定是一。好，现在继续往下看，在直线 a c 上方的抛物线上有一点 m， 求四边形 abcm 面积的最大值。 只要是二次函数面积，那么一定会用到点餐法，记住点餐，那么这节课我们要说的就是点餐还要加什么铅锤， 所谓的铅垂，我们物理上学过，其实就是一个竖直的垂线，其实就相当于和这个水平面啊垂直的一个垂线而已。 那么我们来看这个四边形 a b c m， 一 看这就是一个不规则的图形，那因此只能用什么割补法 把它切割开，那么已经有 ac 把它切割开了，一看应该是这个三角形的面积加上上面这个三角形的面积，对不对？那么这两个三角形面积下面这个面积的长，一看四，减去负二就是六，那么这个高就是二，那因此四，六啊，二，四 啊，这是六啊，六，二六十二十二呢，除以二六，那因此三角形 abc 的 面积，我们就知道是六啊，这个地方就是六。接下来我们要求这个 acm 的 面积。 好，这就到我们今天的重点了，你看我过点 m 来做 mp， 垂直于 x 轴，交 ac 于点 n， 在 这里有一个交点 n， 那 么交完之后我就可以进行设点了，这一步叫什么来着？点餐，也就是用函数解析式来表示两个点， 那 m 的 坐标，我设他的横坐标是 m， 那 假设这个地方那是不是就是 m 呀？我做的垂线吗？那这个地方就是 m， 那 所以说他的纵坐标就是 二次函数的解析式。负四分之一 m 方加上二分之一 m 加二，那同理，这个点 n 在 a c 上，它也在 x 等于 m 的 这条直线上，所以说点 n 的 坐标就是 m 到负二分之一 m 加二，用一次函数的解析式来表示， 那么他们两个我们表示完了。那对于 m n 这个线段的长度，你来看 m n 这个线段的长度，这是不就应该是上减下，也就是用上面 m 的 坐标减去下面这个 n 的 坐标， 为什么要用它减它？你要注意，这道题里面上面有一个条件，直线 a c 上方的抛物线上有一点 m， 这个条件直观重要，重要在哪呢？这是其一。还有一个重要的地方在后面，我们来看， 既然他说在上房呢， m 一定在 n 的 上方，所以我就用上减下，不需要带绝对值了。这时候啊，我直接用上面的这个解析式 y， 也就是二次函数的解析式，减去一次函数的解析式，经过整理，得到负四分之一 m 方加 m， 是不是一个新的二次函数解析式？你可以求这个 m n 的 最值，那么一看， a 等于负四分之一小于零，那他这个线段一定有一个最大值， 对不对？所以只要求求二次函数的相关最值，肯定用点餐构成新的二次函数。 那么接下来我们继续看这个面积，所以这个面积就应该等于两个三角形面积和第一个面积，我们知道等于六，第二个面积三角形 amc， 你 看我这里这个 m n 对 于 amc 而言，是不是把它恰好分成了两个三角形？ 这有一个三角形，这有一个三角形，那么这两个三角形 m n 就是 什么？这就是一个公共底，所以我这里这个 m n 就 变成了一个公共底了， 那有了公共底，你是不找高就可以。所以对于 m n 而言，左边这个三角形，他的高在哪？那其实就是这块，我称他为 h 一， 那另一个高呢？那就是过点 c 向 m n 的 延长线来做一个垂线，恰好就是这个点，对不对？也就这个长度，这个长度就是这个小三角形的高，我称他为 h 二， 那因此这两个三角形的面积是合，是不就应该是 a m c 的 面积是二分之一， m n 乘以 h 一 加 h 二， 也就是乘法分配率，所以你会发现 h 一 h 二，你把 h 一 向下一平移， a 正好，那就是 c 点的横坐标，减去 a 点的横坐标， 那么减完之后，长度是谁？就是 o c， 所以 它的面积就简化成了二分之一 m n 乘以 o c， 那么 o c 又等于几？就是 c 点的横坐标的绝对值，那因此就是四，最终化简完就是二 m n 把 m n 的 解析式再带进来，所以 s 三角形 a m c， 它的面积就等于负二分之一， m 方加二 m， 再把它进行配方，记住，一定要配方，配方完的结果就是负二分之一 m 减二，括号外的平方加二，一看 m 等于二十二，就是新的这个二次函数的解析式。 那么对于这个解析式而言，你要注意重点来了， m 到底能不能取到二？这就是我刚刚说的 a c 上方的抛物线上有一点 m， 既然在 a c 的 上方，也就证明是在这一段，那么这一段你对应的 x 曲值是不就是 a 和 c 的 两点之间呀？ 所以 m 的 取值，也就是刚才这个上方告诉你的就是什么 m 的 取值范围。既然 m 在 零到四之间不能取等，所以二在不在这个区间内啊？属于这个区间，那自然 m 等于二的时候，它就有最大值， 所以三角形 a， m、 c 的 最大值就是二，把它再带到这里来，我们直接就可以得出这个四边形面积最大值就应该是八， 他又让你求点 m 的 坐标，注意，这个时候你把这个 m 等于二，一定要带回到哪里去啊？带回到原二次函数里面，你要带到这个里面，你让 m 等于二，把它带回到这个里面来，这时候解出的外值才是你要求的这个大 m 这个点的坐标，所以带入后，我们最终解出来 m 的 坐标是二得二， 这就是二次函数里面的点餐加千锤。只要是二次函数，你就记住我这句话，只要是二次函数，你一定要想点餐，一定要想千锤，你就奔着这个思路去试，百分之八十的概率都可以解出来。 那么最后我们做一个总结，你看我们对于水平宽和铅垂高，我刚刚一直在说铅垂高，那水平宽，水平宽到底什么意思啊？你看对于这个图而言，还是刚才这个图， 现在这条直线，它的解析式是 y 等于二分之一， x 加二，所谓水平宽是不得水平做平行线呀，就平行于 x 轴，我这样做一条平行线与 a、 c 有 一个交点 n， 那 么这个时候注意水平宽，我们通常设的谁，我们是设纵坐标， 我们把纵坐标设出来，那你要把纵坐标设出来，那你看，我这块已经写出来了，假设它的纵坐标就是谁，就是这个 b， 那 所以说其实就相当于负的二分之一 x 加二等于 b， 你 把 x 解出来，那 x 等于什么呀？ x 就 等于 呃，把它挪过去，那就是二分之一 x 等于二减 b， 所以 说就应该是四减去二 b， 那 s 就是 四减二 b， 所以 点 n 的 坐标就出来了，点 n 的 坐标就应该什么？既然我纵坐标设的是 b 嘛，那所以说横坐标就是 四减去二比。哎，这种设法有的时候也有一个好处，好在哪呢？很多时候你能够出整数，也就是可以出整数的时候，可以考虑水平宽的问题。因此水平宽我们一般用于什么？一次函数，还有反比例函数都可以用水平宽， 当然也可以用前垂高啊，可能有的时候会比较麻烦，但是对于二次函数而言，我们肯定用的是 牵垂，因为你要是用水平宽的话，你会发现，你看，对于这个二次函数解析式，你把这个 y 设出来，假设它等于 b 的 话，你要去解 x， 你 是不是能够解出两个值了呀？而且你还要解一二的方程，是比较麻烦的。 所以说我们一般二次函数都用的是铅垂高，而一次函数和反比例函数呢，我们除了铅垂高，也可以用水平宽。好，这就是我们函数里面最重要的点参法，也就是水平宽和铅垂高的问题。

中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。

哈喽，各位同学大家好，我是数学吴老师，今天给大家带来的题目是北塔二模的二十五题，二次函数的综合考察，我们一起来分析一下。这道题 给了抛物线的解析式，小 b， 小 c 不知道跟 x 轴两个交点，点 a 的 坐标一斗零，给了我们 点 c 的 坐标零到负三，给了我们。第一问，求的是他的解析式，先做一个简单的说明，这个地方我主要给大家解决思路的问题过程，如果你还有一点点问题，写完以后跟标准的答案做一个对比， 把那一点点的小细节解决掉。如果说实在还是不会写，你下来找我，我来一步一步的再给你重新的去教。先看第一小问，求解析式， 小 c 决定的是抛物线跟 y 轴相交的位置，小 c 是 多少交到多少，那现在呢？他跟 y 轴交到了负三，所以我们的小 c 一定是负三。第一步，轻松的得到小 c 是 个负三，所以解析式立马变个样， 变成 x 方加 b， x 减 c， 只有小 b 不知道了，经过了 a 点一斗零，那我将 a 一 斗零代入就可以了，立马得到零，等于一，加小 b 减三，所以小 b 一定等于二，所以解析式， y 等于 x 方加二， x 减三。搞定好，接下来呢，我们再来看一眼。第二小问，对称轴上找一个点屁，要让它的值怎么样最大？求点屁的坐标，一步一步来， 首先这个点屁出现在什么地方呢？对称轴上，所以我先把对称轴搞定。抛物线的对称轴公式叫负的二 a 分 之 b， a 呢是一，二 a 就是 二，小 b 是 二，所以对称轴是负一， 让它的差值最大，这个呢就是一种典型的什么将军骂问题， 典型的将军野马问题，将军野马。如果看符号的连接方式，我可以分为加号连接和减号连接，加号连接我们往往求的是什么？ 最小？减号连接我们往往求的是最大的值。加号连接的我们需要转换成 e 测去做， 减号连接的我们需要转换成同侧去做。上面利用的知识原理两句话，第一句，两点之间线段最短，第二句，点到线的距离垂线段最短，不同的题考的不同， 下面转换成同侧问题考察的是三角形的三边质知识， 两边之差小于第三边，如果三点共线形不成三角形，那两边之差等于第三边此时最大。我们到这道题目里面具体的来看一眼， 现在呢，点 p 呢？是抛物线 x 等于负一上面的一个点，如比如说点 p 在 这个地方我随便点 p， b 在 这个对称轴的左边， pc 呢？在什么 右边？左右各一个，这叫什么问题啊？异侧的问题，但是他问的是什么？减号连接的最大要转移成什么同侧，怎么转移同同侧呢？对称 对称，要么你把点 b 对 称到对称轴的右边来，要么你把点 c 对 称到对称轴的 左边去。二选一，谁好做，肯定对称谁。这个地方 b 的 对称点天然的就是谁啊，就是点 a， 天然的就是点 a。 因为二次函数具有什么对称性嘛，所以我们把点 p 对 称过来以后变成了谁啊？ pa 变成了 pa， 那 这个地方我们就可以简单的这样做一个转换，你求的是什么呢？ 你求的是 pb 减掉 pc 的 值，但是我对称以后，我们 pb 的 值和 pa 的 值一定会怎么样相等，所以它就变成了 pa 减掉 pc 的 值， 而 pa 去减 pc 的 值。我把这个 a 和 c 做一个连接， 连接完以后，大家看我们这个地方会形成一个什么形？三角形，三角形。我们知道两边之差一定会小于第三边， 也就是 p a 减 pc 的 差一定会小于第三边 a、 c 的 值。 那我们想求最大值，看看有没有可能等于 a、 c 的 值不就行了吗？有没有可能呢？有，因为我们的点屁是对称轴上面的一个什么点， 动点它可以动，所以我让它向下运动。动到什么地方呢？ 动到屁撇的这个位置来。如果你的点屁动到屁撇的这个位置，你看三点共线形，不成三角形，这个时候我们的 pa 是 它， 我们的 pc 是 它，两个的差值正好是谁啊？ ac 嘛。所以当我们的 a c p 共线时， 如果贡献此时呢，我们会得到我们的 p a 减掉 p c 就 等于谁啊？等于 a c 此时呢是干什么？最大差值最大， 此时差值最大，所以我们的 p 呢？此时 p 在 p 撇的位置， 它求的是此时点 p 的 坐标，其实就是求的 p 撇的坐标嘛。那 p 撇不就是这条 a c 所在的这条直线跟对称轴的交点的坐标？横坐标呢？已经知道了负一，剩下的纵坐标，我们只要知道 a、 c 的 解析式不就可以了吗？ a 的 坐标呢？ 一斗零， c 的 坐标呢？零斗负三。由这两个东西我立马能够得到 a、 c 这条直线的解析式， 这个地方是负三，所以他的小臂呢，一定是负三。前面的是什么？ k x 减三了呗，他又要交到一到零一带进去以后正好是 k， k 减三得等于零，所以我们的 k 就是 减 三，所以我立马得到这条直线的解析式就是三 x 减三 搞定了。现在你想求屁撇的坐标，所以我们屁撇的坐标也能知道了。横坐标一定是负一。纵坐标带到解析式里面算一下就可以。 三乘负一得到呢是负三，负三减三得到呢是负六， 所以我们这个地方轻轻的写上负六就可以了，也就是 pb 减 pc 的 值最大的时候，点 p 的 坐标是负一到负六。接下来呢，我们再看一眼第三小步， d 呢，是 y 轴上的一个点直线 b， d 和 bc 的 夹角呢？是多少？十五度， bc 的 夹角是十五度。那我先旁边这个图里面把 bc 连起来， 你要形成十五度的夹角，我能不能算出来现在的这个夹角是多少度呢？ 如果你想算这个假角，你就得知道谁啊？ b 的 坐标， c 的 坐标是零到负三，看看 b 的 坐标有没有什么特殊性。第三小问 求 b 的 坐标，我们只要让第一小问的解析是 x 方加二， x 减三等于零，去求一下 x 就 可以了。那第一个 x 呢，肯定是一 a 的 横坐标嘛，那第二个呢？扫一眼 我就知道它是负三，所以从这个地方我们能得到 b 的 坐标呢，是负三。逗谁啊零？ 那这样的话，你看 b 的 坐标负三到零，所以这个长是几啊三，这个长也是几啊三，那我这个地方就会形成一个等腰直角三角形，所以现在呢，形成的这个度数是啊，四十五度， 他是四十五度，我想再来一个十五度。这个十五度呢，我们需要做一个什么考虑？什么考虑呢？ 你这个十五度是这个样子的十五度？ b、 c 的 下方的十五度，还是说你的这个十五度是这个样子的十五度？ b、 c 的 上方的十五度到底是哪一种呢？ 不确定，不确定的话两种情况都得怎么样？算一遍。 来吧，一个一个来，先算上方的这种，这个地方呢，我来个第一吧，下方的这种我来个第二吧。那他算的 cd 的 长度就是上面这个长度， 或者说下面这个长度呗。一个一个算，先算上面的整个大小呢？我们得到的是多少？四十五度，这个小的呢？是多少？十五度，所以我们这边剩的这个是多少？三十度呗。 又在直角三角形，那无非考的就是三边关系呗。直角三角形里面，三十度角所对的直角边是最短的长，直角边是他的根号三倍。这条长的直角边 我们知道是个三，所以短的呢？一定是谁啊？根号三倍，所以我们此时的这个 点 c 到点 d 的 长度，也就是我们的 cd 一 整个长度是它纵坐标的绝对值。三上方是啊，根号三， 两个做个差值，剩下的就是 cd 的 长度，也就是此时 cd 一 的长度。再来看第二种情况，这个角呢是多少？ 他是十五度，那我们刚刚整个大角呢，是四十五度再加十五度，所以我这个大角变成了多少？六十度呗， 那他是六十度，那这个小角就是多少，他不就是三十呗？ 三十度角所对直角边最短，所以上面三的这条直角边是最短的，那旁边竖着的这个点， o 到第二的这条直角边就是啊，长直角边是他的根号三倍， 所以整个 o、 d 二这一条线段的长是三倍根号三，上方 o 到 c 的 长度呢？是三，所以我们下方的这一段， 下方的这一段 c 到我们 d 二的这一段，我们得到 c， d 二整个是三倍根号三， 上方是三，减掉就是它的长度了。那你问的 cd 的 长度分类讨论，最后综上所述就可以了。综上所述， cd 的 长度是三减根号三或 三倍根号三减三，这样就可以了。这是这道题的解析思路。好，这道题呢，我们就分析到这。

二次函数的知识点非常多，但是其实根本就不用背就可以记住，你看，我来这样讲， 首先我们来看二次函数的解析式与图像，它的这几个解析式注意啊，第一种，它的一般是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 它记住只是一个一元二次方程，其实就是个一元二次方程，无非就是前面把它换成了一个 y， 然后这里面要特别注意的是， a 不 等于零， abc 注意啊， bc 可以 为任意的值都可以，只要 a 不 等于零，你只要保证这个二次项系数在就行了，也就是让它存在就可以了，这就是二次函数。 那么第二种，顶点式，这个顶点式非常重要啊，我们基本上所有的解析都需要用到顶点式， 他给出的解析式注意， y 等于 a 倍的 x 减 h， 括号外的平方加 k， 里边特别记住这个符号必须是减号，后边必须是加号， 有人说他加了，他减了怎么办？举个例子，所谓的这个东西， y 等于四倍的 x 加三，括号外的平方减八， 假设这个东西它其实是什么？其实就是 x 减去负三，括号外的平方，然后再加上一个负八， 因此它的顶点坐标就变成了什么了，那 h 就 等于负三， k 就 等于负八，这就是它的顶点。所以我们一定要记住，你找到了这个点，一定要记住它中间是减号，那就是减去一个负的， 这个符号一定要牢牢的把握住，所以它的顶点坐标就是 h 和 k， 你 要不注意这个，最后很容易把它给写错了。那么第三焦点是 y 等于 a 倍的 x 减 x 一 乘以 x 减 x 二， 这个的本质是什么？就是二次函数与 x 轴的交点，其实说白了就是什么 y 等于零解二次方程。一元二次方程 你写出来两个点，也就是这两个点 x 一 和 x 二。所以说这个其实就是我们所说的什么十字相乘吗？这个不就是一元二次方程里面的十字相乘，你把它乘出来，也就知道了这个 x 一 和 x 二是什么了，对不对？ 最后一个对称式，这个倒是不多。这个倒是不多啊，但是他还是有用的，也就是说你会发现他和这个焦点式不同，就不同在这个地方，那本质就是啥？就是焦点式怎么样？上下平移，就是把焦点式进行了一个上下平移， 你上一 k 的 绝对值个单位，或者下一 k 的 绝对值个单位，那也就出来了。 所以这个它主要用于你。比如说这里有一个点，我这块有一个对称轴，如果我要是知道了这个对称轴是 x 等于 m 的 话，那这个点和这个点它的坐标我又知道了。哎，这个点的坐标我又知道了，那我就可以求它相对应的这边对称的。 所以我们知道我们二次函数这个图像一定是对称存在的，所以说他这上面的每一个点，图像上的每一个点都是对称。关于对称轴对称的， 另外特别注意中间这部分有没有啊？没有二次函数的图像，注意他只是一个什么曲线，或者我们称他为抛物线， 一定记住这是线，这是线啊，中间这些部分全都不是，只有这个线线上的点构成的一个集合，所以说这是二次函数的解析式与图像，那么接下来我们来看他图像的性质， 这个是我们经常见到的，无论是各种参考书还是老师讲课，都可能把这个图标给你画出来，其实这密密麻麻的一大堆 都没有用，你都不用去看他，记他，你只要记住什么就可以呢？我们来看只要记住这个抛物线和中间这个对称轴， 剩下的你把这些概念你得知道，你别跟我说你连啥叫开口，啥叫对称轴，顶点之类的，你什么都不知道，那谁也不教不了你。 所以说第一个开口开口是谁，那就是 a， 所以 说 a 大 于零，也就是这个向上，开口向上 a 要小于零呢？那开口就要向下，这是第一个，那么第二个知识点呢？他的这个 a 的 绝对值，注意啊， a 的 绝对值大，那么他的开口就怎么样小， 怎么理解呢？你想一下，你在这个图像上任意有一点，你比如说你这里取一个 x 值， 他对应的外值在这，此时的 a 如果要是二的话，假设他的外值在这，那你 a 要变四的话，他是不是会明显的扩大呀？那这个外值就跑到这了，那你看这个图像是不是一下子就要缩小了， 哎，所以说他的绝对值越大，他的开口要越小，这个知识点是应该掌握的啊，因为有一些题里面可能出现什么呢？你比如说给出你一个二次函数来，然后他说这里面有一个线段， 这个二次函数与这个线段的交点什么时候只有一个，那也就是涉及到谁 a 了。但一个是平移的问题啊，除了平移，就是看你这个开口大小，也就是 a 的 变化， 所以说对于 a 的 这种性质也要掌握，那么接下来这是第一个，那么第二个对称轴这一块呢？对称轴是谁啊？就是 x 等于负的二 a 分 之 b， 那 么对于这个对称轴，也就是我这里给出这两个竖线。我们说二次函数的图像一定是关于对称轴对称的， 所以 x 等于负的二 a 分 之 b， 把它找出来，找完之后它可以根据 ab 的 符号来判断。对于对称轴，我们经常提的第一个就是左同右异， 左同右异，那么这个左同右异左右指的是什么呢？左右指的是 y 轴， y 轴的左边还是右边，那么这个同和异呢？同异指的是什么？指的是 ab 的 符号， 同意指 ab 的 这两个系数，二次项和一次项系数的符号是相同啊还是相异啊？ 所以你观察一下，当对称轴在左边的时候，你看这是在左边，那此时 a 是 开口向上的， a 是 大于零，那么 b 就 一定怎么样大于零，这就叫做左同， 那么右 e 呢？你看这个对称轴跑这边了，这就是右 e 右 e， 很 明显这个 a 是 怎么样小于零的，那么这个 b 呢？它一定是大于零的，这时候你才能够保证它的 ab， 也就是负的二 a 分 之 b 才能够取正值。 你看 b 大 于零， a 小 于零，它是一个负负值，再加上一个符号，它就变正了，这就是对称轴里面的左同右异的问题。 对称轴一定要注意他通常和什么相结合呀？也就是和这个中点坐标公式相结合，因为你对于图像上任意一个点，要找到他的另一个对称点，那么一定要根据这个负的二 a 分 之 b 来解决， 这是第二点，那么第三点顶点，顶点是哪？这就是顶点，那么对于这个顶点注意啊，他就是二次函数的最值的所在位置。当然这个顶点我们还取决于你这个四变量 x 的 取值范围， 所以顶点在 i a 大 于零时有最大值，也就是说 a 如果大于零，那么 y 有 最大值 max， 如果 a 要小于零，那么 y 有 最小值， 这是对于顶点的问题。那么对称轴和顶点这两个通常要结合在一起，其实也就是我们所说的这个 顶点是，所以说它的顶点应该是 h 和 k， 那 你说 h 和 k 是 什么呀？ h 对 应的就是我们所点到的啊，用这个系数来表示，就是负的二 a 分 之 b， 那 么纵坐标 k 呢？就是四 a 分 之 四 a c 减 b 方，前面那个好记，后面那个你如果要记不住的话，你直接把它带入到解析式里，你也能够把它求出来。 好，这是顶点。那么接下来最值最值，也就是前面所说的这个最大值，还有最小值的问题， 那么这个最大值、最小值我们都要结合什么呀？也就是说三和四这两个最值也好。还有后面这个我先不说最值了啊，后面增减性，什么叫增减性？也就是增函数，减函数， 你看对于 a 大 于零的时候，在这个地方这个范围内，这是什么？随着 x 向右边越来越大，而 y 的 取值却越来越小，这就是减函数。那么这边呢？正好相反， x 越来越大， y 也跟着它越来越大，那这边就是一个增函数， 也就是说我们对于二次函数而言，他的增减性是取决于什么？是取决于对称轴，除了对称轴，我刚刚说了跟最值一样，这两个一定是和什么相结合的？结合对称轴 与自变量的取值范围，他不是绝对的结合对称轴与自变量取值范围，你会发现你这个最值，你说永远是顶点这部分的最值吗？ 永远是这个被最值吗？不是的，因为你观察图，你看如果四变量他要是处于这个范围内的话，假设 x 的 取值在这个范围内，你看看他的最值在哪？ 你这样下来的话，你看他的最值是不就在这个位置啊？这个地方是最大值，但如果你这个取值范围要是跑到这来呢？你看看，哎，这个范围内是你的这个 x 的 取值范围的话，那这时候最大值在哪？最大值又跑这来了， 是这吗？不是这，你这是 x 位，范围是最大的，对吧？但是对于最值在哪？是在对称轴这个位置，所以说我们对于最值和增减性一定要结合什么来考虑？结合对称轴和自变量的取值范围， 这个我们到了高一，特别是集合和不等式。前两章主要涉及到什么？就是动区间与定轴。啥叫动区间呀？动区间就是你这个 x 自变量的取式范围是动的， 那么区间是动的，也就是轴呢？也就是对称轴是固定的，另外还有定区间，你区间是定的，但是这个轴怎么样？哎，他在动就涉及到这个参数的取值范围的问题了，当然这个我们初中阶段很少会涉及到，涉及到的也都是比较简单的内容。 好，这是二次函数的图像与性质。那么最后我们来看，对于二次函数而言，它还有三个方面。第一个重要点，什么叫重要点？重要的这几个点，第一 x 轴交点与 x 轴的交点， 那么第二它的顶点，第三与外轴的交点， 这三个点非常重要，你看他与外轴的交点，这个点对应的是什么？这个其实就是 c， 哎，也就是与外轴的这个交点，就是我们常数向 c， 那 么与 x 轴的交点呢？就是我们所说的这个交点式，也就是 y 等于零的时候，顶点，也就是涉及到对称轴这个位置，就跟对称轴是相对应的。 那么除了这几个点之外，我们还要记住的是后面这个与系数相关的，他们几个其实都有几个重要的点。 在这个系数里面，除了我们说的 x 等于负的二， a 分 之 b， 你 可以得出来 ab 间的系数关系，他们之间的数量关系。另外呢，我们还可以有注意，这个很重要， x 等于正负一的时候， 也就是说当 x 等于正负一的时候，那 y 等于什么呀？ y 是 不是就等于等正一的时候？那就是 a 加 b 加 c， 等负一的时候呢？就是 a 减 b 加 c， 那 你想 x 要等于正负二呢？ 如果他要等于正负二，那对应的外值外值，那是不是就相当于把他直接带入到这个一般式里面啊？带入到一般式里面，你会发现外就等于前面就应该是， 呃，四 a 加上二 b， 再加上 c， 那 么这个呢，就应该是四 a 减二， b 加 c。 也就是说对于二次函数图像与性质这一部分，有一些时候它会考你这个 abc 系数间的这种关系， 他们对应的哪些题？所以说这几个特殊的点，你一定要把它牢牢的记住，除了正负一，正负二最多也就到正负三，一般来说就是这样啊，这是对于这些系数的问题， 要注意， ab 决定对称轴和 a 决定开口， ab 联合决定对称轴，接下来 c 决定的是与外轴的交点问题，这个地方是 c 呢？这个地方也是 c， 所以说你只要知道了这个顶点和这个 c 的 关系， c 的 位置，然后再知了 a 的 大小，也就说它的这个大于零，小于零的问题，你就可以大概的把这个二次函数给它划出来了。 最后一个不等式，不等式是什么意思？不等式里面我们常见的啊，我们常见的就是让你判断 x 一 与 x 二的关系 对应什么？ y 的 关系对应 y 一 与 y 二，其实就是根据什么来判断增减性，记住啊，就是根据增减性来判断。 我在上面图举一个简单的例子，如果我给出了一个这个地方是 x 一， 那这个地方对应的是 x 二， 然后它们对应的外值，你看看这块是不是就是一个外一啊？这个地方就是外一，那这个地方就是 y 二。 所以说当 x 一 小于 x 二时，那么 x 一 小于 x 二， 那么这时候我们注意他对应的外一是什么？外一与外二之间的关系。也就是说在这种题一般都在选择或者是有个别的时候，大题他会用一个简单的疑问来考你，那这时候外一也是小于外二的。 对于二次函数与不等式相结合的这类题呢？呃，可能会比较复杂，我们后面会结合一些具体的例题来给大家再详细的讲这个二次函数与不等式的结合。 好，我们下个视频呢，会讲这个二次函数里面图像的平移与对称，这个是这两年中考压轴的热点，大家一定要关注。

从这个视频开始，我们来看二次函数的实战，注意，首先点餐加千锤是二次函数的精髓，只要是二次函数题，基本上都离不开点餐和千锤，那什么叫点餐，什么叫千锤呢？我们来看这道题。 首先给出来直线 y 等于 k， x 加 b， 分 别与 x 轴、外轴交于点 a 和 b， 那 么既然给出了这个条件， a 和 b 两个点，那么你就直接把它带入这个一次函数， 然后你就可以把第一问解决。这个过程我们就不写了，最终求出来是 y 等于四分之三， x 加三。然后接下来抛物线与 y 轴交于点 c， 那 也就是说 c 点坐标，我们就知道是一到零，这是 c 点的坐标。 那么接下来若点 p 是 抛物线上的任意一点，注意点 p， x， y 是 抛物线上的任意一点，这个时候我们就要有点餐了，点餐是什么呢？我们前面说到过点餐就是用函数解析式来表示这个点， 所以说你看我在这边，我过点 p， 只要有这个函数图像上的任意一点， 你只需要过这个点来做 x 轴或者外轴的平行线，我们通常做的是外轴的平行线，或者说垂直于 x 轴。那这个时候你看我分别交于点 m， 点 n， 那 么这两个点 m 点的坐标，你看 x 到四分之三， x 加三， 什么叫这个东西啊？你看就在这，因为它在一次函数 y 等于 k， x 加 b 上，所以说 mpn 它们三个点的横坐标都是一样的，因为我做的是 mn 垂直于 x 轴， 所以说既然横坐标都一样，那我就把横坐标代入函数解析式，所以得出它的纵坐标也就是四分之三， x 加三，同理点 p 的 坐标，我们就得出来， x 到负 x 方加二， x 加一， 那么同样 n 的 坐标，因为它在 x 轴上，所以 x 到零，那么这三点得出来之后，我们接下来就该什么了？就该牵锤了。你看这个牵锤是啥意思啊？ 其实就是利用数值方向两点之间的距离公式，用上面的点的纵坐标减去下面点的纵坐标，所以说 pm 的 长度就等于 y， m 减去 y， p， 也就用 m 的 纵坐标四分之三， x 加三，减去 p 点的纵坐标。那么最终我们整理可以得出一个新的二次函数的表达式， 这也就是说我把 pm 这段线段的长度，我用坐标相减，得出一个新的二次函数表达式。 那么接下来你看他让你求的是点 p 到直线的距离为 d， 点到直线的距离。我们讲一次函数的时候讲过一个公式，这个距离公式如果在填空或者选择里面，你是可以直接用的，因为我们在初中阶段没有。 所以说对于 y 等于 k， x 加 b， 它点到直线的距离公式就是根号下一加 k 方分之。其实就相当于你把这个 p 点的坐标把它带入到这个依次函数， y 等于 k， x 加 b， 那 也就是 k x 加上 b， 然后再减去一个 y 就 可以了，也就是把 p 点的坐标给它直接带入，然后再一减过来就行了。 所以说这个公式你直接代入，把这个点 p 的 坐标，把点 p 的 坐标也就是这个坐标，你把它带入到 y 等于 k， x 加 b 里面，然后再带入这个公式，我就可以得出 d 来了。但是这种方法是很麻烦的， 填空选择有具体数值你可以用，没有具体数值有很多未知数参数，就尽量不要用了。那么这个时候你看求 d 关于 x 的 函数解析式，并求 d 取最小值时点 p 的 坐标， 那这个时候我们就把它画出来呗。你看这个地方我已经提前画出来了点 p， 我 过点 p 做一个 p q 垂直于这个一次函数 ab， 然后接下来你看这里面我们出现这一个直角三角形，对不对？也就是三角形 p q m 这个直角三角形，所以说三角形 a o， b 和它相似，为什么相似呢？你看这个角 和这个角是不是相等的？因为你现在找的是垂直，你做的垂直，所以说 m n 和外轴是平行的，所以这两个角相等，再加一个直角，那这两个三角形就相似。它们相似完之后，你看这个相似比 p q 比上 a o 就 等于 pm 比上 ab， 那 么这里面 p q 是 我要求的，而 a o 的 长度我知道了，它是四，然后 pm 我 这边已经用新的二次函数表达式把它表达出来了， 最后 ab 的 长度是五，那么最后我们整理完再进行一个配方，注意我说过，只要是二次函数，你肯定要进行配方，所以说这个时候我得出的就是 呃 d 关于 x 的 函数解析式，那么这一问我们解决了，那么 d 取最小值，什么时候最小值啊？很明显，我一看 x 等于八分之五十， x 等于八分之五十，然后这个 d 的 最小值就应该是后边这个给出的八十分之一百零三， 这就是它的最小值。那么人家让你求的是 p 点坐标，所以你把这个 x 等于八分之五，再怎么样，再带回到 y 等于负， x 方加二， x 加一，里面解出来它的外值就可以了。 哎，这个我们具体的解值我就不解了，这是第二问，那么第三问若点意在抛物线的对称轴上移动，注意点意是在这个对称轴上，那对称轴是啥呀？对称轴就是 我们一会儿可以把它求出来，你看这里面很快呀， x 等于负的二， a 分 之 b， 那 出来就应该 x 等于一呗。这是它对称轴，那么点 f 在 直线 ab 上移动， f 又在 ab 上，让你求的是 c e 加 e f 的 最小值。好，我们来换一幅图来看一下。 好，我们来看这里面，那么在这里面只要出现两个线段和的最小值，我们通常都会想到什么呀？将军印马， 所以说这些常规的思路是你一定要积累，一定要形成条件反射的，那我就看将军印马。是不是 这时候我从这上面找出来，这是点 c， 那 么这是我任意取一点 e， 然后再找一点 f， 把这三个点找出来，连完之后，你会发现两条线段之合，很明显。关于对称轴对称点 c， 那 我就先做它对称点，也就是这个 c 撇， 我把 c 撇找出来，你说说它对应的 c e 是 不是就转移到 c 撇 e 撇上了，所以说它其实就转化成什么了？ c 撇 e 撇加上一个 e 撇 f， 那 就是这样一个距离了，那这时候 e 撇 f 怎么样？那很明显应该是怎么样 c 撇 e 撇 f 共线， 并且人家让你求的是距离最小值，那么这个距离很明显， e f 什么时候最小啊？那当然是垂直点到直线，当然是垂直的时候最小，所以说你看这条绿色的线，也就是 c f 撇，其实我们最终求出的就等于 c 撇 f 撇， 也就是让求 c p s 撇这个线段的最小值。怎么办？肯定很多人马上就会去又是找这个什么三角形啦，或者是相似啦，或者全等啦去计算。你不要忘了， 我反复强调，对于压轴题，每一问之间它都是有联系的，你第一问求出来的，它对应的都是第三问的条件， 你解出来的东西，只要他没有什么，若，如果这些特殊情况，那么你所得出的结论他全部是第三份新的已知条件，那因此你看我这个地方是不是已经找出这个最小值的表达式了？ 这已经是最小值的表达式，那你只需要直接怎么样把 c 撇的坐标带进去就行了呗。 c 撇的坐标和 c 点的对称点，利用中点坐标公式我就可以得出来应该是二斗一，这个过程我就不说了， 那既然是二都一，那很明显也就是在 c 撇这个位置，也就是他藤坐标是二的时候呗。所以说 d 这个最小值啊，这里面我们不能说 d 的 最小值， 我现在把它变成这个，我现在最终说的是 c 撇 f 撇，所以 c 撇 f 撇的最小值，那就应该等于直接带入五分之四倍的二，减去八分之五 括号外的平方，然后你再加上一个八十分之一百零三， 最终我们得出它的结果就应该是五分之十四啊。这个具体的计算我们就不说了，所以说对于二次函数，一定要记住点餐和铅锤。另一个还要注意的是， 我们回到最开始，我说点餐铅锤是二次函数的精髓，那么除此之外，你要记住我铅锤还要搭配一个什么相似三角形， 也就是说你会发现你学过的一些很多定律以及三角函数，它的本质就是 相似，也就是说我点参加相似，这是真正二次函数的精髓，你大部分二次函数题，你就奔着这个方向去努力。好，今天我们就讲到这。

大连二模的数学刚刚考完，我也马上做了一下，来跟朋友们分享三件事。第一个，整体的难度预算量到底怎么样？第二个呢，总结一下这后两道压轴有哪些点命题命的特别好 啊。第三个，还是看一下最后阶段咱们孩子该怎么冲刺啊。首先，难度预算量上，我觉得中规中矩， 从几何题的辅助线分类，到他的方程构造，以及二函数里的分类，包括二函数里最后那两个临界点啊，逻辑深度都不是特别深啊，但是不是特别好算，他植入了复杂运算和函数运算，并且在两个问里边都有比较巧妙的变形， 对大家的准度和速度有一定的要求啊，会拉开差距啊。这个具体来看后两个压轴吧，因为前二十一题真的是比较友好，没有任何难点前置，大家踏踏实实做和复习就行了。 后两道大题，首先几盒编的比较好的几个地方，第一个，这个二级条件就特别好，大家审完题有没有发现这个斜中， 如果你审完题第一反应就看到了学生二级条件挖掘的行，审阅能力还可以啊。第二个，考的好的地方，我们的几何终于，终于植入了什么分类讨论， 这个圆都不是亮点，因为圆没有难度啊，但是他终于考了分类啊，这是之前沈阳在动态几何特别爱考的， 我们大连经常考的都是静态的几何啊，有分类讨论特别好，虽然分类不难，但一定会增加它的运算量和书写量，答的慢的同学仍然会吃亏，准度不够的同学更会吃亏啊。 那在分类的时候，分类之后，这里的辅助线逻辑和思路都是基于什么解三角形，大家看到双比例了吗？ 所以这整体编的特别好的地方就是在思路层仍然用双比例去架构等量关系，基于解三角形提供什么方程，用方程思想解决最后的什么线段长度， 还是那套命题逻辑。辽宁一直都不怎么变啊，挺有本地特色的啊。双比例又出现了，一比一比刚好二和什么，一比三比刚好十，跟我给大家预测的比例基本都一样吧啊，还有一比二比刚好，五和三比四比五仍然可以加进去啊，所以今年中考谨防双比例，谨防啊！ 二函数这块我觉得第一问就出的非常好，会让很多同学稍微愣一下啊，吓人，但不咬人，把胆小的给骗走了是不是？我们第一问第一反应就是把这点带进去，带进去你会得到一个三元二次方程组 啊，吓着了。首先只要思路清晰，你要求的是 m， 那 就削 ab 呗，两式一减， m 的 值就出来了。第一个我觉得第一问编的也很好啊，第三问圈，第二问这个圈二，我觉得是编的最好的地方。 求两根线段的比值，虽然给的是临界面积，虽然给的是一个有铅垂线的三角形啊，但是他要的那两根线段比刚好就是啥？ 那 p e 和 p f 不 刚好就是两根千锤线吗？所以这里做了一个巧妙的含参运算，这是啥？ 它直接就能整体求出比值，不用设它俩的坐标，不用上边减下边求解一式 去设这个，呃，千锤线只要那么做的都绕了很远，所以你看它编题编的非常好，这度就够了啊，这度就够了啊，非常好的中考逻辑， 然后圈三圈三命题，呃，难度不高，这个分类啊，大家只要找到这两个临界位置就行了，对不对？上边一个下边一个，因为他就是一个长度固定的铅垂线段平移的事， 把端点卡在线段和抛线上就 ok 了啊。难度不大，有一定的运算量，因为它的解析式都是分数。第二个呢，我觉得植入了运动分类和待机综合这件事很重要，这是特别好的命题点，我觉得也是今年二六年辽宁中考的热点啊，值得一做， 质量非非常高啊，其他城市的同学都可以算一算。然后我们最后看看自己的冲刺，给大家两个建议吧。第一个，从多项提示来看，复杂运算和韩餐抽象运算一定要做专项的训练， 一定会重视，中考一定会重视啊。第二件事，大家不要揪着某个热点题型去练， 从沈阳九区的区模到市二模，到我们大连的一模、二模，到各地的考试，你都能看出来，考察是很全面的。 函数图像运动有分这个分段，函数有函数，焦点有参数，不等式有参数范围，最大值、最小值，待几综合全都有。所以最后这几十天，大家在冲刺的时候，记住，一定要做题型、方法、逻辑的全面训练，而不是揪着某个点使劲去练。 大家不用想那些热点，什么所谓的这个精准方向啊，或某一个小道消息都不靠谱。中考一定是新体，一定是活体啊，一定是有一定难度的啊。如果你最后阶段说老师我这个复杂预算不会练， 或者你不知道这些压轴该怎么做全面的复习和覆盖，或者你想跟着何老师一起把二函数和几何的瓶颈突破。好，你找我，我告诉你怎么整啊，私信我或者是在评论区直接扣一个一，我告诉你怎么干啊，一起加油，最后冲刺开始了。

我们来看苏州相城二模的第八题关于新定义的考题。 本题是定义了一个叫做勾股二次函数。定义是这样子讲的，若二次函数的图像以坐标轴有三个公共点，三个公共点， x 中的两个焦点， y 中的一个焦点，这三个点 为顶点的三角形是一个直角三角形，那么我们把这个二次函数称为勾股二次函数。他记了一个例子，如果 二次函数是勾股二次函数，以 x 轴交于 a b 两点， a 在 轴，以 y 轴交于 c， 那 么 abc 就是 一个死角三角形。好，下面问四个结论中正确的是？ 我们先看第一个结论，凹 c 方等于凹 a 乘凹 b 是 否正确？那么这个题目显然我们有勾股二次函数， abc 是 直角三角形。 这里我们注意到 c o 跟 ab 垂直，同学能够想到摄影定律，这个结论一下子就出来， o c 方等于 o a 乘 o b。 如果不知道摄影定律，我们想到这个成绩是 可以通过相似三角形来证明这个三角形 o a c 跟 o c b， 我 们可以证明这两个三角形相似，然后得到条直角边，对应成比例化解就得到这个数字。 但是摄影定律的结果希望同学们能够记牢，所以第一小题我们可以秒断它是正确的。好，下面我们分析二， a c 等于一，那么这个结论是否准确？我们想到 a c 是 二次函数的系数， 我们可以把它跟对应的一元二次方程相联系，所以说 a c 又是对应的一元二次方程的系数，所以我们二应该想到根与系数的关系。 我们假设方程的对应两根为 x x 二，那么我们就得到根与系数关系的两个对应次值。 那么这里我们就要注意到， x 一 x 二是跟 o a o b 有 关的两个量。 我们在第一个式子式之上， o c 方等于 o a 乘 o b， 我 们就要知道， o c 就是 x 等于零时， y 等于 c， 所以 o c 的 长度就等于 c， 而 o a 应该等于 方程根 x 一 的相反数，而 o b 等于 x 二，我们代入就得到这么一个结论， 所以 x 乘一乘 x 二，正好代入这里，所以 最后得到结果。我们要记一个 c， 因为 c 不 等于零，最后得到 a， c 等于负一，所以这个二是不符合要求的， 不是等于一，而是等于负一。实际上这个题目 a 小 以内， c 大 以内，所以 a 乘 c 不 可能等于正一，要么等于负一，所以二不符合要求。下面看三 这三，它给出的是 a b 跟 o a 的 关系。我们说 a b o a， 我 们转变一下变成 b， o 跟 o a 的 关系。我们在这里为了方便是 o a 等于 m， o b 长度就三 m， 那 么对应的 a 的 坐标和 b 的 坐标就可以表达，实际上对应的方程的两个根就是负 m 三 m， 那 么由此我们就可以写错，对应的一元二次方程的根就是负 m 三，那么由此我们就可以写错，对应的一元二次方程的根与系数关系。 好，这个是指我们化解一下，第一个化解成二， m 等于负的 a 分 之 b， 第二个化解成这个好，我们消去 m， 要得到的是 b， 那 么我们消去 m， 怎么写？我们一式平方，然后这两个式子相除，化解一下。我们注意到 a 乘 c， 在 第二小题它等于负一，对落，我们就得到 b 方等于三分之四，所以这个三是正确的。 下面再看四四，我们有对称轴是设 x 等于一，所以我们把它 对称轴用负的二 a 分 之 b 来表示，那么负的二 a 分 之 b 就 等于一。化简就 b 等于负二 a。 我 们看要讨论的是 b， c 等于多少，我们这个是指两边乘个 c， 那么就得到 b， c 等于负二 s。 我 们在第二题当中， a， c 是 等于负一的，那么代入就得到 b 等于二，所以四是正确的。 综合得到一三、四正确的。本题选 b， 同学你掌握了吗？好，本题就讲到这里，再见。

沈阳今年的二模题的，嗯，二函数压轴啊，倒数第二道答题来，我们看啊，第一个问号啊，他求着二函数的解析式，我们只要把 a 和 c 的 值求出来，再反带到解析式当中，就能求出二函数的表达式啊。那么有已知条件，我们知道 c 点坐标是零度啊，这块少个符号，负二分之三，所以啊， c 点坐标应该是负二分之三， 零度负二分之三啊，所以 c 的 值就应该是负二分之三啊，那么 a 的 值怎么求呢啊，我们知道 a 点坐标是负一斗零，再代入到解析上中，我们能求出 a 的 值应该等于的是二分之一，所以这个解析式应该是 y 等于二分之一， x 平方减去 x 减二分之三。好，那么第一个问号就过了。 看第二个问号啊，他说呢，这个 e 点呢，是在对称轴上啊， e 是 d p 的 中点，那么这个题我们可以用中点坐标公式来做。如果是填空题的话啊，我讲下，如果这个用负二分之 b 能解出来对称轴， x 应该等于的是一 啊，那么的点的坐标是多少呢？因为他说的是关于和 b， 关于 y 轴对称，那么我们把 y 啊，令 y 等于零，我们等解除 a 点坐标是负一斗零， b 点坐标是三斗零，那 b 关于 y 轴对称，所以的点坐标应该是负三斗零。 好，那么我们设 p 点坐标为 x， 那 么用中点坐标公式，二分之 x 一 加 x 二应该等于中点坐标一，那么我们就能求出 p 点的横坐标应该是六。好，那么这个是填空啊，那么如果大题这个题该怎么做呢？ 我们应该过 p 点啊，做 p h 啊，垂直于 x 轴啊，那么我们知道 e 是 d p 的 中点，用平行线分线段成比例定，或者用相似，我们都可以啊，正出 d e， 这个 d e 比上 d p 应该等于的是 o d 比上 d h 应该等于是一比上二好，那么 o d 的 长度应该是一减去负三啊，一加三应该是四 d h 的 长度，然后我们设的 p 点横坐标 v x 等于 x 减去负一，那么它也等于的是一比上二好，那么交叉相乘啊，那么是八，应该等于是 x， 那么就是啊，八等于啊，这块是三。哎，这怎么不对，得一的长度得一比上得 p 等于得 o， 一 减去一，减去三，四 啊，这个减去三呢？减去三，因为得点的横坐标是负三啊，那么应该是，呃， x 加上三啊， x 加上三， x 加上三应该等于的是， 呃，是把 x 应该等于的是五啊，那把五往抛物线里头带啊，来，我带一下啊。就是 y 等于啊，二分之一啊，乘以二十五，再减去五，再减去二分之三，那么我们就得出来啊， y 应该等于六，所以啊，这个 p 点的坐标应该是五到六。好，那么第二个问号就讲到这里来，我们看第三个问号啊，我来查一下， 看第三个问号啊，第三个问号它告诉我们要平移，那往哪平移呢啊？跟着这个直线呢， bc 的 这个线段的轨迹上平移，那么不管怎么平移啊，它这个对称轴一定是 x 等于 m 啊， 它是告诉我们这 x 等于 m 好， 那么还告诉我们啊， a 三角形 a， f c 啊，它的面积应该是二分之三，那么它让你求 m 的 曲值范围啊，那么二分之三，什么？它是一个临界状态的面积，求出来啊，相应的 m 值就是它临界的值。好，那么我们看啊，那么这个 a 点的坐标呢？是负一斗零啊，那么 f 点的坐标我们就设为 x 斗零啊，那么 af 的 长度就是 x 加上一， 那么 oc 的 长度就是二分之三，那么 s 三角形啊， acf 就 应该等于二四分之三，再乘以 x 加上一，这是它的面积啊，那么它的面积要小于二分之三，也就四分之三， x 加上一，应该小于二分之三的瞬间是多少呢？那我们就能求出 x 值，此时他应该等于的是一啊， x 等于的是一。 好，那么我们原来这个抛线的解析式，它的作由第一个问号我们知道啊，它是 x 二分之一， x 平方减 x， 再减二分之三，我们把它画成顶点式。那么为什么要画成顶点式呢？因为画成顶点式呢，有助于平移啊，因为它是按照正切值是二分之一这个路线平移的。 好，那么怎么平移啊？你看啊，摊进它角来，摊进它角， a o a f o 啊， a f o a f c， 他 应该等的是啊， o c 啊，比上 o f o f， 他 应该等于的是二分之一啊，所以啊，他向左平移两个单位，就要向下平移一个单位，这是这道题的精髓啊，那么这个相应的这个顶点抛线的顶点坐标也是向左平移啊，向左平移两个，向下平移 这个啊，一个单位啊，左两个，下一个。好，那么啊，我们就要知道啊，这个 a 这个 顶点原来是一，现在是 m， 那 么他就顶点的横坐标就平移了，一减 m 单位，那么下，是啊， 二分之一减去 m， 好， 那么也就是把这个原来这个二函数啊，向左平移啊，一减 m， 那 么左加右减，所以二分之 x 减一，再加上一，再减 m 啊，那么 上加下减，我们再减去二分之一减 m， 好， 那么我们就整理出来啊，那么 y 就 等于二分之一，括号 x 减 m 的 平方，再加上二分之 m 减去五啊，这是平移后 它的解析式，那平移后 f 点是在平移后的这个线段，这个抛线上，那么这个 x 是 等于一的，我们把 x 等于一往这里头带啊，就能求出这个 a 三角形 a， c， f 等于二分之三临界时 m 所对应的值来往里带一下子啊，来，我算一下， 算一下啊，把这往里头带， x 等于一，那么两边同时乘以二啊，那么就是零等于，嗯，一减去 m 括号的平方啊，再加上 m 减去五，好，那么零就等于一加上 减去 m 啊，再加上四等于零，那么 m 就 等于二 a 分 之负 b 啊，负 b 啊，加减啊， b 方减去 c c， 所以啊， m 的 值应该等于二分之一，加上加减根号时期，那么一减根号时期是要舍去的，所以啊，在这写 m 应该啊，所以啊， m 应该是啊， m 应该是小于啊，二分之一加上根号时期，那么小于多少呢？来，小于在这边啊，在这边了，那么也就是说 这个 a c， f 等于二分之三所对应的值，那么也就是 a 点的坐标是负一，那么就是负一减去 m 啊， 负一减去 x 啊，那么这是 a f a f 撇的长度啊，这是 f 撇啊，那么再乘以 o c 啊，乘以 o c 是 二分之三，再乘以二分之一，他竟然等于的是二分之三， 此时我们解出 x 应该等于的是负三，把四负三往这里头带啊，往这个解析式里带，能解出 x， 他 应该 m 应该等于的是二分之负七，加减刚下三十三，那么二分之负七 加上刚好三十三，应该是舍去的，所以最后 m 应该是 m 应该是大于啊，二分之这个负七啊，减去刚好三十三，小于二分之一，加上刚好十七。然后呢，它告诉我们 f 点与 a 点不能重合， 所以我们要把 f 和 a 点重合，这一点扣去，那 a 点的坐标呢？是负一，也就是把负一啊往这个解析式里头带啊，负一把负一往这解析式里头带，那么就能解出 m 所对应的值， m 所对应的值应该是等于负四。所以最后答案是， m 大 于二分之二，负七减去刚好三十三，小于二分之一，加上刚好是七切 啊， m 不 等于负四，好，如果认为啊，我讲的这道压轴二函数体对你的孩子刚好是七切啊， m 不 等于负四，好，如果认为啊，我讲的这道啊压轴二函数体对你的孩子啊以及家长有帮助，请点上小关小注。

太原市二模数学考完了啊，整体来看，二模数学难度有所提升，尤其是我们的二十一题和二十三题的第二问和第三问，整体来看难度不小，比我们的一模和省调研的数学题都要上一个档次。 看来啊，整体上强度了，也不知道，今天下午的文中难度也不会太小。 好了，今晚八点，欢迎家长们走进我们直播间，我们一起来解读一下二模数学和文综试卷的考试情况。好了，晚上八点，我们直播间不见不散！

每天练一题，中考肯定没问题，今天我们要来讲二零二六年莆田市二次卷卷选择题的最后一道题，这道题考察的是二次函数，那同样的，我们来看一下它的关系式有哪些特征。 c 等于零， c 等于零，那么意味着它会过圆点，对吧？然后 a 是 等于负一，那我们就可以求出它的对称轴 x 等于 负二， a 分 之 b 啊，对称轴是二分之 b， 开口向下，所以这时候你可以把它的大致图像画出来了，开口向下，然后对称轴是二分之 b， 那么这时候他问的是 b 不 可能是多少，我们看一下选项，全部都是大于零的，那意味着二分之 b 这一条对称轴是在 y 轴的右侧，对吧？哦，是在 y 轴的右侧，那么这边可能是 y 轴。好，接下来再来看一下 这个两个点，一个是 m 到 y 一， 一个是负一到 y 二。当 m 大 于等于一小于等于三的时候，总有 y 一 大于 y 二，那这时候我们会发现， y 一 永远比 y 二来得大，也就意味着它对应的 x， 也就是 m 到二分之 b 的 距离跟负一到二分之的距离哪一个更近？ a 是 m 减去二分之 b 跟负一减去二分之 b， 这时候是距离加上绝对值， 他更近，他更近，那就小于等于，对吧？好，那再看一下 m 的 曲子范围是负一到三， ok， 我 们自己画一条，这个假设是负一负一零，然后这边是二分之 b， 最后才是三。所以三的话，他是在对称轴的，有可能是在对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，那么因为他的 y 一 对应的这个 m 到这边的距离是更小，那我取 m 的 最大值带进去其实就可以了，比如说三，当 m 取最大的时候，它对应的到这边的距离还要比它来得小哦，那才会满足。 y 一 小大于等于 y 二，所以三减二分之 b 的 绝对值要小于等于 负一减去二分之 b 的 绝对值，那么去掉绝对值，就两边同时平方啊平方的话，就可以得到三减二分之 b 括号的，呃，括号的平方小于等于负一减去二分之 b 括号的平方，然后拆开，拆开之后是九减三 b 加上四分之 b， 括号的平方小于等于一加 b， 然后再加四分之 b， 你 会发现这时候的四分之 b 平方跟四分之 b 平方可以约掉，然后一向 那就可以得到八是小于等于四 b 的， 所以直接得出 b 大 于等于二，那么答案就出来了。所以做这一个题目的话，你一定要先去观察解析式给的什么内容，根据这一个内容可不可以画出大致的图像，然后考察到这个对应的 x， x 对 应的 y， y 的 比大小，比大小，那肯定是比大小， 那你就要考虑到对称轴的距离啊， 所以可以往这个方向去看。关注我，带你解更多的中考题。

雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，继续来看一下二六年 陕西二模的二十二题，这道小题怎么样？同学们，简单哎， 模仿咱们的土豆问题啊，这个题，同样的套路，同样的操作题的话呢，老师就不给大家多读了，这个题目就很常规的操作， 呃，紧接着第一题对吧？问，你是几次函数，求求关系式。第二小题呢，哎，二次函数配配方。第三小题呢，直接写答案，引入一个参数，很常规很常规的题目，我们一起来欣赏一下啊！ let's go！ 这个题的话呢，首先第一题， 客房入住数，你注意啊，在题上，老师有个习惯，我一定把它标成我的 x 和 y， 就是 你要把一个信息对它进行数学化。同志们，这个真的很重要啊，是房价 x 标上什么函数呢？ 一次反比例还是二次？怎么看？同学们，注意一次函数啊，那就是一百七，我升到了一百八， x 增加了十， y 就 减少了六，你看是不是均匀变化的，我们再找一组数据，一百九升到了二百， 加了十，哎，那这个 y 呢，就减少了六，两组数据足够让你有一个定心丸了。同学们，没毛病啊，这就是一次函数，并且我们还知道单位变化率呢， x 每增加十， y 就 减少六，这单位变化率就是一个十，负的十分之六，也就是负的五分之三， 好负五分之三 x 再加上一个什么样的数呢？就需要大家，如果是正儿八经的话，同学们，你要写过程，就需要大家把一组数据带进去，如果是老师，我会把 x 等于二百， y 等于九十六这组比较简单的数据带进去，那最终可以算出来 啊，这就应该是二百一十六，你可以再带一组数据验证一下，这是我们做题时候的好方法。同学们啊，比如你再把一百六逗一百二带进去，确保咱做的是对的。 第二小题，一日营业额最大的时候，那这个 z 等于什么呢？ z 就 等于 x 乘上一个 y， 所以 化简之后，负五分之三， x 平方加二百一十六 x， 接下来呢，他问 z 最大，那很明显，同学们就需要进行一个配方的处理，负五分之，负五分之三提出来，括号里就是 x 平方减多少， 嗯，减去一个二百一十六乘以三分之五。你口算也行，手算也不差，同学们，中考不会因为你口算就给你多加两分的 啊。二百一十六除以三七十二，七十二乘以五呢，是个三百六减三百六十， x 配得配个多少？得配一百八十的平方，那就得再减一个一百八十的平方，这就是配方的原则啊，不能让式子的大小发生变化。 好，接下来就是负的五分之三， x 减一百八，括起来的平方。注意，外面还有一串数据呢，是加上一百八十 呃的平方乘上一个五分之三，也就是结果等于负的五分之三， x 减一百八十的平方，再加上一个多少呢？你可以算一下，应该是一万九千四百四十。 那继续呢？接下来过程得仔细啊，因为负五分之三小于零，得把这个情况说清楚，证明二次函数抛物线的开口向下是有最大值的 啊，解释清楚，所以当 x 等于一百八十的时候，营业额 z 有 最大值。说到这就可以了，题上问的只有 x， 不是 营业值是多少啊？同学们，到了第三小题这里呢，把题读完，你就明白这个题是啥意思了。好，公式已经给我们了， p 代表日毛利润等于营业额 z 减去什么固定的总成本？礼品总成本。大家读完题之后，一定要明白，这个礼品是跟什么绑定的，跟房间数， 这个什么固定成本也是跟房间数绑定的。所以我们可以这样去理解，你每开一间房，固定的支出成本就有一个三十加 m， 然后再去乘上一个 y。 好同志们，很多同学会感觉有点难，我们一起来看一看啊！ z 是 负五分之三， x 的 平方加上二百一十六， x 再减去 三十加 m 倍的，这个 y 是 个多少呢？ y 是 一个负的五分之三， x 加上二百一十六。接下来大家注意，你要去读题， 他说在房价不超过二百的时候，就说 x 小 于等于二百的时候，我希望 i hope that 啊，我希望什么嘞？毛利润能够随着房价的增大而增大。同学们，这个二次函数啊，开口一定是向下的， 那么我希望你的对称轴怎么样？同学们，你的对称轴能比二百小吗？我问问大家。不行啊，你必须保证你的对称轴至少至少都得有二百 啊！你的对称轴可以是二百零一，可以是二百零二，对吧？但绝对不能比二百小。你比二百小，你还能怎么保证？我在这个比如说啊，咱不说零到 二百了，一百六十到二百的环节当中，你怎么保证我外随 x 增大而增大呢？其实就是这个意思啊，对称轴是要大于等于二百的， 同学们，因此整个小题只和对称轴有关，那也就是说，负二 a 分 之 b 只和一个二次函数里面的 a 和 b 有 关。 所以这个题啊，你不用理他太多啊，负五分之三 x 方二次项系数先搞定，那么一次项系数都有谁呢？你稍微整理一下，加上一个二百一十六。好，你看啊，把系数乘起来，负的三十乘以负的五分之三是正十八， 负的 m 乘以负的五分之三是加上一个五分之三 m 背的 x。 够了够了，这个题直接写答案，不要往后算了， 负二 a 分 之 b。 同志们，咱们对号入座，结果就是负的啊，来最前面来个负的啊，二 a 负的五分之六分之 b， 那 是二百三十四，加上五分之三 m， 最终要求他干嘛呢？大于等于二百。同志们，这个地方老师跟他说一下怎么算。 首先，负号和负号呢，抵消了，咱不说了，接下来注意哦，我是要对左边的分数进行一个分数基本性质的运用，分子分母同时乘上一个五，一千一百七十，加上三 m， 比上一个 比上一个六啊，大于等于两百，最终算出来，三 m 大 于等于三十， m 大 于等于十。结合题上所说这个范围，同学们，你发现这个题有意思啊， m 是 小于等于二十的， 所以你说 m 的 最终范围大于等于十，小于等于二十，这个题就搞定了吗？拜了个拜，下个视频不见不散！

今天带大家刷一下二零二六西宁市初三二模数学试卷来，同学们，今天咱们看一下西宁市二零二六年初三二模试卷，好吧，这个试卷整体它是没有任何难度的。来，第一个， 足球的质量超过即为正，不足即为负。那他说最接近标准质量的是就是最接近一的，好吧，那第一题选不会选项，第二题结果是负数的是，那这个一定是正数，这个一定是正数，这个里面看到平方一定是正数。 来选 c 选项，整体难度没有特别难。第三个，他说甲乙丙丁四名同学射击成绩如图所示， 在比赛中成绩又好又稳定的是来看他给了平，平均成绩，成绩又好的那八点五咱们一定排除了，然后这个方差剩了一个 ab， 方差越小越稳定。好吧，这个是咱们的口诀， a 选项直接写上。第四个， 图形变换，包括平移、旋转、对称轴相似。下列图形中过程可用平移现象解释的是，那平移现象解释的，咱们不就是 a 吗？很简单啊，很简单。来。第五个， x 加 y 的 平方根。来，这个很明显就是零加零模型，咱们初一学过的，咱们初一学过的，好吧，来，我给大家演示一下 啊。 x 加二 y 等于二十九，好，这是第一个式子。第二个式子二 x 加 y 等于三十一，好，这俩式子来组合成三 y， x 加三 y 就 等于六十，好，我得到了什么？ x y 不 就等于二十吗？ x y 等于二十。平方根下来之后选不为选项，好吧，不为选项 不会算的，下去之后自己算。第六题，正方形边长是二，这个正方形中结论错误的是，那你看它的中心角，不就是 n 等于三百六十分之六，就等于六十度，好吧。 正确来，内角是部位选项，内角是一百二十度，对吧？那咱们可以简单画一个，可以简单画一个， 你看整体七百二十度，内角分个除以一个六，对吧？下来就是一百二十度，没问题啊，没问题。第三个边心距，那看边心距，他是什么？从他的距离是这个啊， 他的边长是二的话，那这个距离是一。来，我单独画出一个图像，这个是一，对吧？这个是六十度，这个是九十度。三十度左对边是斜边的一半，所以他的斜边就是二。 那你看他的变心句就是根号三，可以吗？来，变心句，根号三。 c 选项错误，半径是二，正确。好吧，半径是二正确。 来关注小李老师下期讲一下七八以及填空题。好吧，整体这套卷子是没有任何难度的散会。