建筑力学杆件变形基本形式

各位同学好，这一讲我们开始学习第四章弯曲内例。首先呢我们来学习弯曲的概念及实力和受弯改进的简化。生活中关于弯曲变形的例子呢有很多，下面我们来看几个弯曲实例。 比如在跳绳比赛中的跳板，蹦床比赛中的蹦床， 体操比赛中的单杠撑，干掉比赛中的撑杆，都是弯曲变形。 再比如在中国古代战场上出现的弓箭投石器，也是利用了弯曲变形，达到他们的使用效果。工程中弯曲变形的例子呢 也很多，比如桥是起重机的大梁，火车的轮轴玩物建筑结构中的主梁， 桥梁结构中的主梁，这些结构的变形呢，都是弯曲变形。通过刚才弯曲变形实力，下面呢我们来看一下弯曲的概念。 y 曲呢，指的是感受垂直于轴线的外力或外力物的作用时，杆轴线变成曲线的 b h。 比如折钢杆 在垂直于轴线的外力和作用下，又发生了外力变形。再比如折根杆，在垂直于轴线的 外力作用下，也发生了 y、 g、 b， 那么这个呢，就是关于弯曲的概念。下面呢我们来看弯曲的构建， 那么工程中以 y g 变形为主的构建呢，我们称之为梁，那么在工程中哪些结构称之为梁呢？我们通过这个梁字啊，通过它的解说呢做一个说明。 梁字呢，在古代左部分是水，右部分呢是桥，那后来人们呢，加上一个木字，这样呢就构成了这个梁字，那可见呢，我们古代梁是由木头制作的， 通过这个字呢，我们可以了解，那么梁呢，主要出现在这种桥这种结构当中， 再比如说诗经大雅光明中也提到了，照周围梁雾写其光，那么这个地方的话呢，是通过船来去制造这个梁，那么这个地方的梁呢，实际上就是你的桥梁。 那么另外呢，在易经中呢，也提到啊，上古穴居而也处后是圣人以之以公事 上冻下雨，一避风雨。那说的是古代的人呢，以前住的是山洞啊，毕竟是在野外活动的，后来的这个皇帝啊，圣人就指的皇帝呢，那么 呃，改成了这个以房屋啊，这样来去记住，房屋的这个结构呢，是上面是洞啊，洞字呢，指的是这个梁下雨啊，下面雨的那个房屋啊，以遮蔽这个风雨。所以说呢，这个地方的 梁呢，实际上指的是房顶的那个人，呃，引申为栋梁之才啊。所以说关于梁的话呢，在古代是指的房屋顶上这个栋啊，栋梁。 那么杜甫有句诗句啊，大厦如青绕两栋，万女回首求三纵。大厦将青岛的时候呢，就需要这些栋梁之子啊，所以我们今天还在学习 这个粮食结构的时候啊，同时呢也是对我们的一个启迪啊，我通过这一段文字的说明，我们就大概了解了，在工程结构当中，那么呃，各种房屋顶上的那个粮，以及呢 桥梁，都是以两尾外界变形为主的构铁。 那么在工程实际中呢，常见的梁呢，横尖面呢，均有对称轴啊，比如说呢，这种叫 t 字型梁，公字型梁，巨型梁，还有这种圆形体面，那么这些梁的话呢，都有这个对称轴， 比如说我们这个 body， 它这个物理啊，那么它的 洁面呢，是一个巨型洁面，巨型洁面的话呢，就是有这个对称子，再比如这个 t 字型聊，那么他也有一个对称子， 那还有呢，我们这个钢结构当中的这种是公式型洁面类啊，那么这种公式型洁面梁呢，他也有对称，所以说呢，我们工程上啊遇到的这种梁呢，大部分呢他的痕迹面呢都有对称子， 那下面呢，我们来看弯曲的具体形式，那么我们讲的弯曲呢，称之为叫对称弯曲， 按照刚才的讲解呢，我们常用的量的话呢，它横截面上呢，都有一个对称轴， 对称轴啊跟轴线呢形成的这个面呢，我们称之为叫纵向对称面， 也就说梁呢有个对称面啊，这个面的话呢叫纵下对称面，是由梁的轴线跟截面上的对称轴堵塞这么一个界面。 那么我们所讲的弯曲呢，有这么一个特点，那么对应的和窄呢，是作用在这个洞下对上面上的 产生的这个变形啊，这个我们后面会学到叫脑曲线啊，是量变形以后的这个轴线，那么它呢也在纵向对上面时， 那么这种的话呢，我们就称之为叫对称弯曲，也就是说呢，赫仔 呢作用在纵向对称面，那么对应的这个变形呢，也在纵向对称面上，这种 v h 呢，我们叫对称 v h， 那么接下来我们所讲的 v h 呢，主要就是讲这种对称 v h， 那么它还有个名称呢，叫平面弯曲。为什么叫平面弯曲呢？就是赫载的作用面呢，跟电线的作用面呢，是共面了，就是在一个面上， 所以说呢，把这种在纵向对上平面内发生的这个弯曲呢，称之为叫平面弯曲， 这两个名称呢都是来解数啊，这种弯曲的变形形式的，那么我们接下来 讲的弯曲变形的都是讲的这种变形，那么实际当中的话呢，还有一定的叫非对侧弯曲，那比如说呢，梁没有坐下对侧面或者呢何窄呢？没有坐在坐下对侧面内，这种呢叫非对侧弯曲， 这种弯曲的话呢，它是一种组合变形啊，那么称之为叫斜弯曲，我们会在组合变形的场景呢，给大家做一个详细的介绍啊。 好，这个是关于弯曲的形式，我们现在的话呢，主要是讲的上面这种中加对称平面类的弯曲啊， 那么我们在研究这个 y g 变形的时候呢啊，说使用的这个图的话呢，都是一些简图， 那么下面的话呢，我们就重点来讲简图它的一个简化 boot。 首先呢来看一下这个购物界本身的简化，这儿呢我取了一个巨型洁面梁，在实际当中我们呃怎么去用一个简化的图来去描述这个梁呢？ 那么这个地方的话呢，我们通常是用梁的轴线来代替梁，也就说呢用梁的轴线来描述这个梁， 因此呢我们把这个轴线给出来，那么用这个轴线来代替刚才那个梁， 那么后续的话呢，大家看到的这个图呢，都是这种简图啊，那么其中的梁的话呢，就是一条线啊，这条线呢实际上就是梁的走线，我们 用这个梁的轴线来代替梁本身啊，下面一个呢，我们来看赫载的简化 课代解换以后呢，主要有三种形式，一种呢是集中力，一种呢是集中力， 还有一种呢叫分布荷窄，分布荷窄的话呢，有这种线性分布荷窄，还有均匀分布荷窄。呃，我们呃接触比较多的是前面这种均匀分布荷窄，就是他的每一处啊，荷窄是一样大的， 这个是关于赫载简化的这种结果，那么它具体是怎么简化的呢？比如我们来看一下这个集中力啊，集中力呢是这样来的，如果作用在梁上的赫载，它的这个作用的 范围呢远小于梁的长度啊，比如说大家看一下这个地方这个集中和在他的作用区域呢，对于整个梁来说呢，这个长度呢很小，那这个时候呢，我们就把这个简化为一个集中力了，那么如果梁上的六 它作用在一个微小的这个两端上，就是在一个微端上的作用的这么一对立啊，一对平行等大摆下的立呢，我们呢呃，把它的转化的一个集中力有的这么一种核载形式。 我第三种的话呢，如果梁缩的赫窄呢，是分布在某一个段啊，这个段跟这个梁的长度比较呢，他不是一个很小的 bug， 比如说这个地方这个区域上呢，都作用了这个赫窄，这个区域的话呢，对于整个梁来说呢，他 呃这个范围呢不是一个很小的范。那么这个时候呢，这一部分的作用的话呢，就简化为门部赫窄啊，如果说这个赫窄是均匀分布的，就是每个地方的受到的历史一样的，我们就给他简化为这种叫均部赫窄。 好，那么这个是关于梁上赫者的解化最多的话呢，就是由这三种情况发明 啊，下面呢我们来看制作的解法，一个约束的解法，那么这个制作的话呢，有三种，第一种的话叫固定角制作， 有这种形式啊，这个角度做的话呢，我们在理论力学已经学过，那么这个地方的话呢，我们主要是按照他的自由度啊来去定义这个制作，那么对于固定角度来说呢，他 限制了两个方向的线位啊，水边方向跟切水般的线位，所以说他有两个约束啊，饺子座这个地方是可以旋转的啊， 所以说这地方呢有一个自由度，对于这种啊，不能自由移动，但是可以旋转的呢，这种约束的话呢，我们就给他简化为固定角的做啊， 那么十一刀的话呢，桥梁下的这个固定制作，还有这个纸推滚珠轴承的，都是这种固定角的做。 第二种呢叫可动角的座，可动角的座相对于固定角度的来说呢啊，他只有一个约束啊，那么就限制了千锤方向这个位，所以说呢，这个方向是有一个约束啊，那么水平万元现在是 自由的啊，他可以水平移动啊，转动也是自由，所以说是有两个自由的，那么这样的话呢，嗯，这个地方的约束呢，我们就简化成这种可动角的坐，那么桥梁下的呃，另外一侧啊，一侧是固定制作，那么另外一侧的话呢，就是可动角的坐，也叫昆轴约束， 包括这个拱珠楼层啊，这些呢都是可动角制作。那么接下来的话，我们来看第三个呢，叫固定端制作， 固定端制作的话呢啊，他呢是三个元素，零个自由度，也就说这个地方如果说限制了移动啊，包括水平方向，包括切水方向，这两个方向他都不能动啊，转动的话呢，也限制了这个地方不能旋转， 所以说呢三个约束限制这个地方是没有自由度的啊，那么这种情况下呢，我们就给他简化成固定的约束 啊，实际当中，比如说游泳池那个跳水板制作，就那个跳台啊啊，包括我们建筑当中的悬挑阳台梁就那个阳台，那这个对应的呢，都是一个固定端这种元素啊， 那我们把这个约束讲完以后呢，下面呢在实际当中啊，我们怎么去简化这个制作呢啊？比如说啊，如果说这个支撑的地方呢，不能约束 梁，他的偏转就是不能限制他的转动，那么这个时候的我们就把这个支撑柱转化为这种饺子座，所以说这个饺子座你就看一下 他有没有在这个地方限制这个呃结构部件的这个转动啊，如果说没有限制转动的话呢，他就这个角度啊， 有时候呢这个梁的走线方向呢位移呢，我们一般呢是不限制的，主要是那个热胀冷缩啊，要保证他自由伸缩。呃，因此的话呢，一端呢设成固定角度，那么另外一端的话呢，一般简化为啊可动角度做这样的 啊，这个是我们讲话的过程啊，当然说如果支撑这个地方呢，他既不能有相对的移动啊，也不能有相对的转动， 移动和转动呢都不允许发声，那么这个时候这个支撑的约束呢，就简化为固定转约束。所以说我们在简化的时候呢，主要是看 看他限制了哪些位，有几个月是几个自由度啊，这样来去给那个制作，这个是关于这个制作的简化 啊，那么下面呢，我们来拿一些实际的模型举个例子，比如说呢，我们拿这个双手呢去掰这个 啊，手机啊，我们这个不高兴了，想报一个新手机啊，我们拿这个手指头去摆，那么我们首先把这个手机啊，可以当成一个那种薄薄的那种巨型给灭的啊，那他的剪头就应该是他的走个线，对吧？我把这个走个线画出来， 那么这个手指头给这个手机啊实现的作用的话呢，这是在一个很小的区域，而且是一对立左右，这个手指头有沙有虾，对吧？那么这样的话呢，在很小的 区域对面作用了一对立呢，我们就给他解化成怎么样？是不是那个集中力有啊？在集中力有作用下呢？如果假如说这个手机啊能够被掰弯的话呢，就是一部安全乐器。 好，那么这个又是一个简化的过程啊，这个地方我们首先讲了这个呃结构本分就是梁的简化是用走线，然后呢赫载的简化，是这个恒小区域内的这一类的简化的例，这个地方呢，我们体现出了这个构建的简化跟这个赫载的简化。 那下面呢，我们来看一下这个，呃房梁啊，在这个顶上这个房梁，这个房梁的讲话过程我们来看一下，首先的话是这个梁呢，用他的轴线来代替啊，那么用梁的轴线来代替了，这是第一 一个关于这个构建的简化。呃，那么接下来我们来看赫展的简化，那么这个梁上这个地方呢，对他有施加的这个赫展， 这个拓展，如果我们认为啊，这个宽度对整个梁来说的范围比较小，那我们就可以把这个拓展的简化为这种集中力了，对吧？ 呃，然后呢接下来也是这个约束了，对不对？在后台作用下这个梁会怎么样呢？会变形，对吧？我们把这个变形画出来，呃，这个地方呢，我画的稍微夸张一点啊，实际当中的话等于说你肉眼看到的这个地方已经是一个微弯状态， 就是肉眼是看不到这个曲线的。这个地方呢，我们为了能够大家看清楚，我画的比较夸张啊，你不要认为这个地方有这么大的变形啊。好，大家看一下。呃， 这个梁在喝的中间下这个地方有变形，大家看一下这个端木是不是有个旋转呀？对不对？你不学它怎么会发生这个变形呢？ 所以说呢，由于它有个旋转的过程，因此在这个端铺的话呢，支撑处的话呢，是不限制转动的。 那么这个时候大家想一下这个地方应该简化到一个什么之作呢？不限制转动的话呢，应该一个饺子作，对吧？所以说呢，我们给他简化成饺子作，这边简化成饺子作，这边呢也简化成饺子作，这个地方主要是因为他的端部呢不限制转动 啊，所以说我们这个简图啊，大家呢不要去拿这个实际的图去猜啊，要去猜他是一个什么约束啊？是 按照他的呃这个约束有几个自由的，有几这样买去给出这个制作来。另外呢这个梁一般我们呃要求他是能够自由伸缩的啊，如果说梁不能自由伸缩，会产生这个温度阴历啊，温度热胀冷缩，这个我们在第二章学过， 所以说我们在设计的时候呢，这个梁的话呢，一般都是可以自由收缩的，在端末的话有微小的空隙啊，这个自由收缩大家注意啊，他是一个小毕业写就是呃，不是特别长，就这个距离很短的，所以说我们会留有一定的空隙呢，保证他有那么一个自由收缩的空间啊， 那么既然说他能自由收缩，是不是说明这个地方水平方向是自由的呢？所以说呢，这个地方是不是要调整，你看你这个 制作的话呢，水平方向不能自由伸缩，对吧？所以说呢，进一步要调整成这种可动角的啊，这个就是我们这个约束的这么一个简化波子，大家看一下，从这个 构业的简化，到赫展的简化，到这个制度的简化，我们这个地方呢都给大家介绍完了啊啊，那我们呢后面的话呢，大家是直接拿这个简图来去做进一步的分析啊， 说这句话呢，我们对于初学者来说呢，希望大家呃能够通过这种实体结构呢啊，到这个力学模型的建立呢，他们认识 啊。当然说这个地方的话，如果我们认为啊这个长度呢，对整个梁来说这个长度呢，不是很小的范围，我们也可以剪完它不断，形式 真的是平稳不和的，这都可以啊，好，下面呢我们再来一个例子，这个飞机的这个翅膀金翼， 那么首先的话呢，这个飞翼的翅膀对飞机来说他跟鸟类不一样，鸟类是要通过煽动这样来飞行，对吧？飞翼的这个翅膀的话呢，那当然有的飞机也能扇动，是吧？大部分飞机的话这是个固定机， 固定机的话呢，在这个端部是不是就不能转动呀？不能转动，再一个这个飞机的机可能不能来回来回移动，对吧？所以说这个地方是不是约束的话在固定端？好，那么我们首先把这个机呢， 呃，简化的一个就是一种他的轴线来代替他，对吧？然后这个约束的话呢，这个电话是一个固定点，那受到的喝载的话呢，有重力啊， 这个根部的这个重力要大，还有这个空气给他的这个福利，对吧？这样的话是一些分布力呢，我们给他加上去啊，当然这个大小不相等的这种分布合成啊，那么这个是关于啊这种力学模型的一个简化过程。 呃，下面呢我们来看一下梁的分类，就是实际当中梁有哪哪几种？首先呢第一种呢叫静定，静定梁我们前面学过静电跟超音令，对吧？静定梁的话呢，是通过静力学的平衡方程， 对吧？就可以求出全部位置量，这个量呢叫静电。那么静电量有哪些呢？我们下面来看一下。第一个呢叫减值量啊，它的两端啊，一一部分呢是固定角度做啊，那么另外一端呢是， 呃可动角度，那这种的话呢，我们称之为叫减脂量。那么大家以后看到这三个字的话呢啊，他的量的形式就这么一种形式啊， 把这个拓展呢是任意的，我这样呢用一个理由自己来描述一下，这个拓展是没有要求的啊，是说这个约束啊，有限制要求。第二个是悬臂梁，悬臂梁的话是一端固定的，一端自由的，这种梁呢叫悬臂梁。 第三种呢叫外生粮，外生粮是在这个减质量的技术上做了调整，把这个支柱呢往中间挪了一下，这十一张的话呢，是为了提高这个弯曲的强度，有时候呢需要把 这个制作呢往中间挪，挪到中间的这种伸出来的这一块，嗯，就是叫外伸量，你伸出来这一步叫外伸量。 好，那么对于外甥呢来说呢，这个段呢叫剪子段啊，就是这叫剪子段，剪子段加上这个自由段，这两个不合起来是一个外甥。 那么有单侧外升梁，还有呢双侧外升的，那么呃，这些呢都是鉴定梁，我们接下来学习的重点呢，实际上就是这三种梁啊，简直梁，雪碧梁，外升梁，这是我们接触最多的这三种梁。 当然这个鉴定量呢，我们还有一种啊叫组合量，这个地方呢是由两根杆啊，中间加了一个角，这样构成一个组合量啊， 这个组合量呢也是一个净定量，也就说他的这个呃约束率呢，通过列基地平方呢也能求解，这个也是一个净定的调整 组合量啊，那么除了禁令量以外呢，还有这种叫超禁令量啊，有禁令学的平衡方式，不能求出或者不能全部确定的这种未知力，那么这种量呢，就叫超禁令量啊，比如说呢，我们那种桥梁中间的桥洞特别多啊， 那么那个就是一个超级能力好关于量的分类呢，就这么多啊，我下面的话呢，我们把前面啊说啊看过的这些功能是用的量呢啊，看一下他对的是哪一类的这种，比如说第一个这种 啊，起重机的大量，对吧？起重机的大量，他在受到重力以后呢，他的变形是这个样子的，跟刚才那个房顶上那个木梁是一样的，也就是端 布的话呢，是可以旋转的那种，那么这种然后我们在设计的时候呢，就是这种减脂量啊，那么砖布可以自由转动的话呢，是不限次转动的话，这是一个角制作 啊，那么这个量的话呢，水平方向一般是自由的，所以说呢一端是固定角度做，一端呢是可动角度，这种的话就是个简直量。 那第二个这个火车的轮轴啊，大家可以看出来这个地方也生出来这个自由段，那么中间这个地方是简直的啊，那后面这个可能看不到这块跟他一样， 那么这种简化以后呢，就是这种叫外生梁啊，所以说这个火车轮轴简化以后，对呢是我们的外生梁这种，呃，那么像这种啊，就是遮雨棚这种啊， 那么对应的这一种的话，它应该是悬臂结，那么画下来的解剖的话呢，应该是一个悬臂点 啊，那么这个是就是关于啊这种简化的一个过程以及简化结果，对应的这种怎么去分类说明？这个是呃关于这部分内容的介绍啊，那么关于啊这个弯曲的概念实力 以及这个收完感应的简化这波内容呢，我就给大家讲那么多啊啊，希望大家在生活当中呢积极观察啊，能够发现呢。呃， 我们所学的力学知识啊，跟实际的这种关联啊。好，那么这一讲就说到这啊，谢谢大家。

第四节就是我们研究的是变形了，变形与应变，那么构建在外力作用下产生的内力和变形啊，硬力反布什么，什么反应分布，内力形成程度， 这东西啊，不需要去记，比如说大家应该看看过一些慢镜头吧，对不对？哎？哪个人被打了一拳，或者说拿这个， 拿这个棒子去打这个装满水的气球，大家应该有看过这种视频吧，对不对？在慢镜头下，我们可以清楚的看到， 如果有外力作用的情况下，我们物体是可以发生明显的一个变形的啊，这个这个就是形变的概念好不好？这个这个是形变的概念，咱们不讲那么深奥的东西啊，那什么叫形变呢？就是沿着 x 方向 产生的相对伸长或缩短，它是由正一零起的，也就是沿轴向方向产生的一个变形，它是一个无量缸。啥叫无量缸？没单位 啊？没有单位就是无梁杠，所以说应变他是没有单位的。那什么叫迁应变呢？迁应变就是我们拿一个立方体来举例，他就是啊，比如说伽马， 我们把还是念一个名字吧，我们把这个字母哈成为一不西诺，叫做正应变。那这个有点像 y 这个字母的哈，把它称为伽马， 我们看有两个角标，对不对？ x y， 也就是说我们在 x y 方向产生的应变量，我们就把它称为伽马。 x y 好， 也就是 x 和 y 加角的改变量。哎，比如说刚开始是吧？九十度， 后来往里缩了，那往里缩了这个角度，比如说我们刚开始九十度，我们往里缩之后， 哎，往里缩之后，它的角度变成多少度啊？变成三十度，举个例子，变成三十度了，那我们伽马改变量等于几啊？哎，也就是说伽马等于九十度，减去三十度，我们改变的量就是六十度， 它算的是个改变量啊，改变量。举个例子啊，图是矩形截面啊，受均布力 p 的 作用，然后长为 l， 看到没有？ 给的长度是不是毫米啊？对不对？毫米是不是我们要算什么硬币啊之类的？我们假如说这里要算硬币啊，我们就要用米来去计算，然后再去做相应的单位替换。他说沿受力方向 x 方向均匀伸长了这这么多， 然后问 a 点沿 x 方向的一个正应变啊，也就是轴向的一个应变值，对不对？那咱们就用什么啊？ 伸长量比上圆长就可以了，伸长量比上圆长 e， 不是 呢？等于第二条 l 比 l 这个公式，我们在后面的这个轴上来呀，这一个章节中会做详细的讲解，也就是我们用改变之后改变的量改变了多少，比上圆长的量 就成了一个应变量。根据这个公式呢，我们就可以直接去计算，会发现最后他是没有单位的，对不对？因为 毫米和毫米一除就约掉了，就没有了，所以没有单位啊，我们看他怎么解释的，哎，说矩形截面 x 方向受均匀分布的力，哎，所以说我们可以认为 x 方向具有引力，这都是和一些废话哈。 所以说平均应变也就是 a 点 x 方向的正应变啊，这没什么好讲的啊，这个就是根据前面所讲的一些定律，它就原封不动的就放上去了。好，我们只要把这个公式给记住就行了啊，就是我们的应变哈，正应变 等于长度改变，量比上原长就可以了。好，我们就以这个题目就简单介绍一下哈，应变他是什么个概念就可以了。关于这个公式呢，我们后面会再提及的，所以说这里大家简单的去进行一些了解就可以了啊，也就是说我们一定要知道最后单位是不要去留的。 我们接下来到第五节啊，杆件的变形的基本形式，也就说这几个，行，这几个变形哈，是贯穿着整个咱们材料学上册的所有内容了，拉伸，拉伸和压缩，他其实都是在沿着一个方向进行的，只不过说是往外或往内吗？对不对？然后是剪切、 扭转、弯曲啊，这几几大基本变形大家要知道哈，哎，拉伸，给大家举个例子，拉伸， 大家吃过拉面吧，对吧？吃过拉面面团，你把它拉长，那不就拉伸吗？你把它往往里捏，它不就压缩吗？对不对？这很简单，剪切、剪切，拿剪刀剪东西， 沿着中间这个面给他一个相对搓动的力，中间不就被切开了吗？是不是？剪切扭转，刚刚已经举过例子了，拧毛巾或者骑电动车拧这个车的把手对不对？就是扭转那弯曲对吧？折筷子， 折筷子，把中间就折断了对不对？好，挤到基本变形。好，我们接下去往下走啊，拉伸压缩，哎，外力的作用线，他是通过轴线的啊，这叫做轴向拉压， 也就是咱们下一章会讲到的内容啊，轴向拉压、剪切，外力是垂直于轴线的，并且他们距离是很近的，很近的。那如果一旦离远的话呢？会怎么样？ 一旦离得比较远的话，他就不再是什么呀？哎，就不再是剪切了，他就产生了一个什么，产生了一个转动了，哎，就不是剪切变形了，所以说一定要靠的很近才可以。好，我们接下来继续往下就是扭转和弯曲， 那扭转的话，例如呢，他的最后面是垂直于轴线的啊，或者说呢？呃，或者说呢，我们是沿着 平面哈这个切面去进行转动的，弯曲呢，就是垂直于我们这个前面，假如说这样他就变成下面这种形式了 啊，变成弯曲了，我们看他是怎么解释的，我们刚刚解释的比较浅显哈，我看他看他这个专业是怎么解释的哈？专业的术语叫做立偶的矢量方向，通过轴线和立偶矢量方向垂直于轴线。好，那是这啥意思呢？假如说 把他的这个立偶的或者叫这个叫立举吧，啊，讲这个立偶，现在大家可能还不太明白啊，叫立举立举的话呢，我们用右手啊，用右手四个手指给他握一下，我们四个手指沿着这个转动的方向来试一试，大家可以试试 沿着转的方向去握持一下，那么我们右手大拇指，他的指向是我们力矩的矢量方向，或者力偶的矢量方向，他是通过这个轴线的，我们就把它转为扭转，那假如说 就是弯曲，对不对？那肯他肯定这个会产生转动，所以说他的两端会有一个力偶啊，会有一个力矩， 那此时我们再用四个手指去比划一下，我们会发现此时他的轴线原本是在这个位置的，对不对？我们大拇指的方向，右手大拇指的方向是不是会跟这个轴线相垂直啊？对不对？大家可以比划一下，那相垂直的话，那就是弯曲了。这个判断方法其实也是可以的。哎，他更专业一点， 我们只是讲的跟前线一点，刚刚讲的好，那么组合变形呢？就是多个基本变形的组合叠加，他和他组合，他和他组合，他和他组合，或者说多个组合都可以。这个是我们后面章节比较靠后的一个章节的话叫组合变形，这一章会用到。

杆件刚度与梁的位宜计算结构杆件在规定的核载作用下，虽有足够的强度，但其变形也不能过大，如果变形超过了允许的范围，会影响正常的使用限制。过大变形的要求即为刚度要求，或称为正常使用下的极限状态要求。 梁的变形主要是弯曲引起的，叫做弯曲变形。剪力所引起的变形很小，可以忽略不计。 影响梁的竖向位宜变形因素除核载外，还有材料的性能与材料的弹性模量成反比，材料的结面与结面的惯性距成反比，构建的跨度与跨度的四侧方成正比，此因素影响最大。 混凝土结构的裂缝控制裂缝控制主要是针对受弯构建，如混凝土梁及受拉构建。裂缝控制分为三个等级，一、构建不出现拉引力。二构建虽有拉引力，但不超过混凝土的抗拉强度。 三、允许出现裂缝，但裂缝宽度不超过允许值。对一、二等级的混凝土构建，一般只有预受力构建才能够达到结构工程的耐久性要求。 结构的耐久性是指结构在规定的工作环境中，在预期的使用年限内，在正常维护条件下，不需要进行大修就能够完成预定功能的能力。 建筑结构中，混凝土结构耐久性是一个复杂的多因素综合问题。我国规范增加了混凝土结构耐久性设计的基本原则和有关规定。在不同环境中，混凝土的裂化与损伤的速度是不一样的，因此针对不同环境提出不同的要求。 结构所处环境按其对钢筋和混凝土材料的腐蚀机理可以分为五类，一类环境，一般环境裂化的机理，正常大气作用下引起钢筋锈蚀。二类环境，冻融环境， 反复动容导致混凝土损伤。三类环境，海洋绿化物环境绿盐侵入引起钢筋锈蚀。四类环境，除冰盐等其他绿化物环境绿盐侵入引起钢筋锈蚀。五类环境，化学腐蚀环境，硫酸盐等化学物质对混凝土的腐蚀。

第三章扭转三点一、扭转的概念扭转是指指杆在外立藕的作用下，且立藕的作用面呢，它是与指杆的轴线是垂直的，然后呢杆件发生了变形，就会扭转变形。看一下这个杆件， 杆件的轴线呢是在这里的，然后呢六它是在这的，所以呢，六的作用面是这个面，它的作用面呢是与直杆的轴线是垂直的，然后呢这种变形就是扭转变形。再看一下这个，这呢这个范呢，称之为是一个扭转角，就是这里 从这个原始的，然后呢经过这个六，然后呢，它的线移动到了这里， 这个角度呢就是一个范，这个范呢就是称为扭转角，是两端面相对转过的角度，是扭转角。再看一下嘎嘛嘎嘛呢是剪切角， 剪切角呢也称之为是一个切应变。剪切角是指的这里原本呢，它是一条直线，然后呢经过一个扭扭转的一个作用六的作用，然后呢它的一个轴线呢跑到了这里，它这表面的一条横线跑到了这里， 然后呢，这个角度是一个伽马，就是一个剪切角，也称作是一个切应变 扭矩是指圆杆扭转红结面的内力合成结果呢是一个和六，然后呢和六的六矩称为结面的一个扭矩，用 t 来表示， 然后呢扭矩的正负号他如何判断呢？需要用右手螺旋法子来判定，这个非常重要，即右手要握住杆的轴线，然后呢卷曲四指来表示扭扭矩的一个转向，然后呢，拇指沿着截面的外法线指向呢，他就是会正的，如果指向的内法线就是负的， 比如现在看这个，现在呢，它的一个左端作用于一个这个方向的一个，然后它呢是这个方向，但是呢咱们取左侧进行分析，把这个一一剪面剪开，取左侧进行分析，它的一个利用锯呢是这里， 然后呢这个界面是不是一个反作用呢？也就是这个方向，那你四指方向指向这个方向，大拇指方向指向的是不是这里？指向的是一个外发线，就是指向外侧，这个呢就会正直，如果指向内侧呢，它是一个负的， 如果它是这个方向呢？是不是大拇指方向指向的是左侧，也就是指向物体内部就是内发线，所以呢，它就是一个负值。 然后呢扭矩的大小呢，它是由平衡方程得到的，比如现在看这 c 个码 m x 等于零。看这个图， 如果取右侧，右侧是为正值，那现在看一下这个扭矩 t， 这是它的一个反作用，反作用的话，它的大拇指方向指向的是 x 轴的正方向，所以呢这是一个正值。再看下这个，这个，这个扭矩呢是一个小 m 小 m 的 四指方向，这里，那大拇指方向指向的是不是一个外层， 所以呢，也就是 x 轴和负方向，它是一个负值，所以呢是大体减去。什么是等于零？那算出来咱们的一个这个界面上的一个扭曲 t， 是 不是等于的是一个 m， 对 吧？再看一下三点二扭曲图， 各界面的扭曲呢，随载和变化是界面坐标的函数，表示，各界面扭曲的图像呢，称之为是一个扭曲图。这个扭曲图非常重要，必须要求的话，这是一个基础。 然后呢，扭矩图的画法呢，是和咱们之前学的轴力图是基本相同的，然后看一下扭矩图的画法步骤，第一步呢就是 画一条与杆的轴线呢，是平行且与杆等长的直线，做基线是不是和咱们做轴力图的时候是相同的，画的这条线呢要和它是等长度的。 然后呢第二步就是将杆分段，凡是集中六呢，他的一个作用点呢，就取作是咱们的一个分段点，也是和咱们轴力图是相同的。 然后第三步就是用洁面法通过平衡方程，然后取出每段杆的一个扭矩，然后画受力图时呢，洁面的扭矩一定要按照正确的一个规定来画。 然后第四步就是按照大小比例以及正负号，将各段杆的一个扭矩图画在基线的两侧，并在图上呢写出数值，还有正负号， 看一下立体三杠二杠一画图示杆的一个扭矩图，然后咱们看这个杆件上，这个杆件上的一个扭矩呢，这也就是这个界面上作用着一个扭矩是两千牛米的，他俩的方向要注意一下， 然后呢这个方向呢不对，在 a 洁面呢，是这个方向的一个扭矩是三千扭米，然后咱们画扭矩图，第一步是不是画这个极限，他的一个长度要给它对齐，对齐之后呢，咱们要分分开来判断 他是一个集中集中的一个扭矩，然后呢三部分，所以呢咱们是不是可以分成两部分来画，这取这一个洁面来画就行，咱们要给它分对，也就是 然后呢先看一一洁面，一一洁面揭开之后呢，它的一个集中的一个扭矩呢是 a 洁面，也就是这个方向上呢是三千扭米，然后呢 那咱们这个洁面上呢，这个洁面上是不是和它的方向相反，大小相等，也就是这个方向上呢是和它相反的，然后咱们看这个方向上的一个正负号来判断是不是取出右手来判断，取出右手之后呢，咱们的大拇指方向是这个方向，然后呢 啊四指方向这个方向，然后大拇指方向指向的是不是一个外发线？外发线的话是不是就是一个正直，然后呢咱们写上去他的一个数值大小是三千牛米，然后呢这个画完了再取二二洁面，二洁面给它解开之后呢，在 b 洁面处作用着一个集中的扭矩是两千牛米， 这呢是两千牛米，然后呢咱这个界面呢是不是是一个相反的，他呢四指方向朝这个方向，所以呢咱这相反，也就是这个方向，他指向的是不是一个内发线方向？大拇指方向，所以呢这是一个负的两千牛米。好，这就画完了这个扭矩图， 看下一个外力有锯的换算，然后扭矩呢是根据外力有锯式来计算的，然后对于转动轴呢，外力有锯，它是可以通过传递功率和转速来进行换算， 然后若传递轴的一个传递功率呢为 p， 然后呢每分钟的一个转速呢为 n， 然后这个 p 呢它的 p 这个单位呢是千瓦，然后转速 n 呢是转每分钟，然后咱们用的就是这个，用的最多的就是这个，它这个 这个例句呢， m m 是 指的例句，然后咱们通常写 m e 都行，然后这个 m e 呢是等于九五四九，这是一个系数，一定要记对，因为有些书本上呢是九五四九，咱们就用九五四九这个系数， 然后乘上功率 p p 呢是千瓦，然后除上一个转速，这个转速呢是转每分钟，这个单位一定要给它写对，然后呢这个 六 g 呢，他的单位呢是牛米，所以这三个单位一定要记住，在算这个六 g 的 时候呢，可以通过转动轴的一个功率平衡或者是六 g 平衡来进行计算。咱们这些后边的来看，这是两种的一个两种计算方法， 比如看这个立体三杠二杠二，已知呢一个转动轴的转速呢，他的一个 n 是 三百，你看这是一个转每分钟，然后主动轮的一个输入轴，输入的一个功率呢， p 一 是五百千瓦，转每分钟是不是都对上了，然后呢从动轮的输出功率呢， p 二是一百五十千瓦， 然后 p 三是一百五千瓦， p 四呢是两百千瓦。咱们看一下第一个 m 一 呢，也就是咱们输入功率 p 一， 这就一个输入输入的一个扭矩， 前面系数是不是九五四九乘上一个输入功率 p 一， 除上它的一个转动轴的转速 n， 然后这就是九五四九乘上五百千瓦，除以三百转每分钟，得出来呢是十五点九二千牛米。 再看一下从动轮的输出输出的一个扭矩呢，是不是 m 二是等于 m 三呢？因为这个功率相同，转速相同，是不是可以求出来给它代入就行。代入之后呢是九五四九乘上一百五十千瓦，除以上三百转每分钟，最后得出来呢是四点七八千牛米， 然后这两个得完之后呢，咱们看一下这个是不是用的是扭矩，对吧？算的是扭矩，然后呢这实际上用的是一个功率平衡， 因为这呢是五百千瓦，这是一百五十，这是一百五十，这两百他们加起来是不是五百千瓦？那咱们计算这个 m 四的时候，是不是就是直接用的是功率平衡，用的是功率带功率来算，那咱们还可以怎么算呢？是不是可以用扭矩平衡， 也就用十五点九二减去二乘上四点七八，也是等于六点三七的，这个呢是就是一个扭矩平衡， 然后呢现在导出来 m 四呢是六点三七千牛米，所以现在这些是不是都导出来了？ m 一、 m 二、 m 三和 m 四都已经导出来了，然后就可以开始做扭曲图，先看一下 m 一， 这个 m m 一 呢是在这是这个方向，然后呢这些都是输出的，输出的是不是和输入的方向相反，对吧？那咱们可以分段是不是分成这三段来计算。先看这个界面， 这个结面的话，咱们去右侧进行分析，这个一个输出的一个扭矩是这个方向，那这个结面上他是不是和方向相反， 对吧？也就是这个方向，那咱们四指方向指向这个方向，大拇指方向指向的是不是外发线？外发线是不是正值？所以这个值呢是不是等于 m 四，所以呢是正等六点三七千牛米， 然后呢咱们再取这个中间这个界面上进行分析，这呢是输入的，这是输出的 m 一 呢是等于十五点九二， m 四呢是等于六点三七，那这个面呢，这个面上是不是咱们肯定是这个方向了，对吧？他得让，他得让他扭曲平衡了， 那这个方向四指方向，在这个方向，大拇指方向指向的是不是内法线，它是一个负值，然后看一下大小，大小的话，是不是就是 m 一 减去 m 四，对吧？是这个数值，然后倒出来呢是九点五六千九米，是一个负的。 然后呢再看第三段，第三段咱们肯定要去左侧进行分析，因为左侧只有一个扭矩吗？然后他的一个扭矩方向，这个方向让他整体平衡的话，是不是是这个方向？四指方向，这个方向，那咱们大拇指方向呢？指向的是不是内发线方向？用右手，千万要记得用右手， 所以大拇指方向指向的内发线大小呢，是不是和 m 二相等，所以呢是一个负的四点七八千牛米， 然后再看一下最大的扭矩是多少，根据扭矩图呢，可以得出来，最大的扭矩是不是等于九点五六千牛米，所以呢 bc 段，因为这个是在作用于 bc 段， bc 段呢是为危险界面的。 看一下例题，三杠二杠三画出所示杆件的一个扭矩图，这个杆件是不是一个阶梯轴，那阶梯轴咱画扭矩图，那咱们不用多考虑， 只分一下，对就行。现在这有一个集中的一个扭矩，四个集中的扭矩，对吧？所以呢分成三对，咱们呢比如先分成这一对， 在这个界面上分开，然后呢取右侧进行分析，因为右侧呢，这个集中的一个扭矩呢是这个方向，所以呢咱们把这个截开之后呢，它的方向是不是指向这个方向？四指方向，在这个方向，大拇指方向呢，指向的是一个外发线，并且呢大小是不是和这个相等？ 大小和这个方向说也是正的六点六千牛。然后现在再看一下第二个界面，第二个界面呢在这里，然后呢咱们取右侧或者左侧进行分析都行。那咱们现在取右侧进行分析， 一个集中的一个扭曲呢，是这个方向，另一个呢这个方向再看一下它大小，一个是八，一个六，所以呢咱们这个让它平衡的话，是不是肯定是这个方向？在这个方向的话，看一下它的正负号，大拇四指方向是这个方向，大拇指方向呢直线的是内法线，所以呢这是一个 负的，看一下大小，大小的话是不是八减六等于负二的，所以呢这个是一个负二千九米，这是一个负的。 然后再看第三段，第三段的话这个洁面给它解开，去左侧进行分析，这有个集中的一个扭曲是这个方向，那咱们把这个洁面解开，让它平衡，是不是就是 这个方向？这个方向的话，大拇指方向指向的是不是右侧是外发线方向，所以呢是一个正直，大小呢是和这个集中的扭曲相等，所以呢是四千牛米，这个扭头就做完了。

如图所示的两个圆杆，它是交接的，受力是如图所示的， ab 的 直径是第一， ac 的 直径是为第二，那么弹性模量等于的是二百记帕在 a 这个位置处受到了一个力 f 的 作用，那让我们来求 a 点的竖向位移。好，那我先给大家多说两句， 那么你会发现啊，你会发现一个什么问题呢？就很多学校的话，它大纲里面说它不考能量法 好，但是我们这个题目的话，要用功能原理去做，其实它也属于能量法。那么有的同学一看大纲里面没有说考能量法，那功能原理的话就不看了， 那所以这个题目的话，他到时候就不会做了，所以呢，那我们应该怎么去处理呢？那我们的这个正确的处理方式的话，就是你不考能量法，但是我们在这一张里面我给你讲的轴向拉压应变能功能原理，那么你也都是要去掌握的啊。 好，那我们看一下啊，这个题目我们要用功能原理去做，为什么我们这个题目的话要用这个功能原理去做呢？因为你看我们这个结构的话，它其实是有一点奇怪的。 那我们不用功能原理去做的题目，直接去画这个节点位移图去求位移的题目是什么样子的呢？一般来说就是左右两边的这个杆件和轴线之间的夹角是相等的，和它去进行对比。 好，这里有一个向下的这个 p 好， 那如果是这种类型的这个结构的话，那我们一般就是通过画这个节点位移图的方式来对它进行求解。而如果这两个杆件和竖直线之间的夹角不相等了， 而且我们所求位移的方向又和 y 和 f 的 方向是一致的，你看我们这个题目求解的是 a 点的竖向位移。 好，那你既然我们求解的这个位移的话，是 a 点的这个竖向位移，那么这个方向的话就是跟 f 的 方向是一致的，那这种情况的话，我们就利用这个功能原理去做啊。好，那明确了这一点之后，再来继续往下看啊， 我在这边给大家写一下吧，不然我觉得大家容易忘啊。 好，那第一个啊，第一个就是如果杆件 如果两边杆件和竖直 线夹角不相等，对不对？夹角是不相等的，如果两边感件和数直线之间的夹角的话是不相等的，且所求为宜， 和 f 方向一致，就用功能原理求解为宜。 好，这个就是我们最重要的这个特点，那么你用功能原理求解为宜的情况，你记住了，那剩下的情况的话，就都是化解点为宜图的了呗，对不对？好，那再说一遍啊，如果如果我们左右两边的杆件和轴线的夹角是不相等的，而且所求为 宜的方向和 f 的 方向是一致的，那么就用功能原理的话来进行求解。 好，那明说了这点之后，那我们接着来往下看下面的这个题目啊。两端交接，这个两个圆杆是交接的，受力的话是如下的， a b 这个杆件的直径是第一， a c 的 这个杆件的直径是为第二，给了弹性模量求 a 点的竖向位移， 那 a、 b 和 a、 c 和数直线之间的夹角分别是六十度和三十度，那不一样，而且所求谓移是 a 点的数项谓移，那这个数项和 f 的 方向是一致的，所以就符合我们上面所说的用功能原理求谓移的这个条件。 好，那明确了这点之后，那我们接下来的话，是不就直接往下写这个功能原理了？那么用功能原理去求解的话，就是外力功等于的是应变能。 好，那么外力功的话就是二分之一乘以 f 乘以 a 点的这个数项为一，这是外力功，那么应变能的话，是不就直接是 f 一 的平方乘以 l 一， 除以的是两倍的 e a 一， 再加上的是 f 二的平方乘以 l 二，再除以两倍的这个 e a 二。啊？ 好，那那么接下来的话，我们是不是就去把这个 u 给它去表示出来？好，把 u 表示出来的话，就是要去求解这两个杆件的轴力。好，那么求解两个杆件的轴力的话，就是行架，行架求轴力，我们就直接把 a 这个节点给它拿出来就可以了。 好，是不是处处都是我们之前讲过的？那我说，呃，行价去求轴力拿节点进行分析，是不是我们在理论力学回顾里面讲到的？ 好，那 ab 的 这个杆件的轴力，我们就设它是为 f 一， ac 这个杆件的轴力的话，就设它是为 f 二。好，那么我们现在问，我先问大家一个问题，那我现在需要利用水平方向上力的平衡，数值方向上力的平衡两个方程连力去求解 f 一 和 f 二吗？ 要吗？当然不要，这是不就是如果你真的以水平方向上立的平衡，数值方向上立的平衡列两个方程去求 f 一 和 f 二，那么你这个方程里面每个方程里面都是既有 f 一 又有 f 二的，那就是偶合的， 偶合是我们最不愿意看到的一种情况，我们最希望看到的一种情况就是解偶，就是我这个方程里面，我要不就只有 f 一， 要么我就只有 f 二。 好，这是我们最愿意看到的。好，那解偶的话，那我们是不是就可以沿着这个杆件的轴线方向去取 x， 所以 我现在可以列这个方向是为 x， 我 列这个方向是为 y， 刚好 f 一 和 f 二是垂直的。 好，那么 f 呢？根据对顶角相等，那这个角度是三十度，所以呢， f 的 话，它会有一个 沿着 y 轴负方向的分力，有一个沿着 x 轴正方向的这个分力。好，那么接下来我们就来列一下 x 方向上力的平衡，那么 f 乘以的是三点三十度，这个是 f 在 x 方向上的分力，接着再减掉的是 f 一， 就直接等于的是零， 再来列一下 y 方向上的平衡， f 二，减掉的是 f， 乘以的是 cosine， 这个三十度等于零。好，那利用这个式子，我们是不就可以把 f 一 和 f 二求解出来了，那么计算出来的 f 一 等于的是 f 乘以 cosine 三十度， cosine 三十度就是二分之一，那么计算出 f 二，就是 f 乘以 cosine 三十度，就是二分之根号三 f。 好，那我们之前跟大家，我之前还跟大家说过一个技巧，就是你不要进，或者我现在给大家去强调，你不要尽早的去把这个数值带进去。 好，那 f 虽然是三十千牛，你现在可以直接往里边带了，但是我告诉大家，尤其是现在不让你用计算器了，你不要很早的就把这个数值，你在前面的话用字母去表示。 好。为什么有的学校他材料历学考出来分数特别高，有的学校考出来材料历学分数非常低，那这是为什么？因为有的学校他不让你用计算器，所有题目都给你字母， 那你这样的话，你自然计算就简单，我好得高分，那么有的学校他就不给你字母，就是让你去硬算，那你自然分数的话就下降下来了。 那这个的话也会给我们一个启发，就是我们尽可能的用字母去表示，我尽可能的后去代入这个数值，我在前面的话，我就尽量的话用字母去进行表示好，这个是非常非常重要的一个这个技巧。 好，那明确了这一点之后，那么接下来我们再继续往下看，还包括也是这样子的，我们可以设 a c 这个杆的长度的话，是不是就直接设为二 l 了？ 好，那现在我们就可以直接再往里面去进行这个代入了，所以呢， u 的 话就直接等于的是 l 一， l 一 的话就是为二 l， 那 这里除以的是两倍的这个 e a 一 乘以的是 f 一 的平方， f 一 的平方就是四分之 f 的 这个平方， 那么接着再去加 l 二除以的是两倍的这个 e a 二。好，那么 l 二 l 二的话就直接数为 l， 那 这里除以两倍的这个 e a 二乘以的是谁呢？乘以 f 二的这个平方， f 二的平方的话就是四分之三 f 的 这个平方。 好，那我直接把这个 u 的 表达式我们就直接给它落下来好，那么 u 等于谁呢？ u 的 话，它直接等于的是 w w 就是 二分之 f 乘以的是 delta a y。 好， 那现在你看出这个好处了吧？那我们进行大量的约分。 好，那么进行大量的这个约分，那最左边的二比二就可以直接约掉了， 这样先不把二比二约掉啊。好，那我们先这个先约掉一个 f， 每一项里边都有这个 f， 那 么这个 f 约掉了，那左边的话，就所有 f 的 平方都变成了这个 f。 好， 接着呢，我们左右两边都去乘一个二。 好，等号右边乘一个这个二的话，就直接变成了得它 a y 的 表达式是不就已经出来了？所以得它 a y 的 这一个值，它就直接变成了这个二和这个二约掉， 所以变成了 fl 除以的是两倍的这个 e a 一， 那么接着再加加上的是三倍的 fl， 除以的是四倍的这个 e a 二。啊。好，那所以接下来我们是不是就可以往里面去进行这个代入了？好，那么接下来往里面去进行代入的话， 那 f f 是 三十乘以十的三次方牛， l 的 话是两米，就直接视为两千毫米， 除以的是两倍的 e， e 的 话，就直接是二百乘以十的三次方兆帕 a 一 的话就是四分之帕乘以二十的平方，接着再加上的是三倍的， 接着再加上的是三倍的 f， 就是 三十乘以十的三次方牛，再乘以的是这个 l l 的 话，就直接是两千，那么接着呢，再除以的是四倍的这个 e a 二四的话，直接写 e 的 话，就是二百 乘以十的三次方 a 二的话就是四分之派乘以四十的平方。好，那这里我给大家详细的去讲计算，讲计算的话，那首先的话，这个十的三次方和十的三次方的话，就直接约掉了。好，那么他们约掉了之后的话，那先把这个 数都算一下啊。三十乘以两千除以二除以二百乘以四除以二十的平方，那么得到的这一个结果就是二分之三乘以一比派。 好，那接着再来继续看后面，后面的话就是三乘以三十乘以的是这个，这个一千和一千也约掉了，那么三乘以三十乘以的是两千除以的是四除以二百乘以四除以四十的平方， 那么这里的话就直接是十六分之九派，好，那我们可以把最终的这个结果用带派的符号来表示，就是三除以二加九上九除以十六， 那么也就是三十三除以十六倍的这个 pi， 那 么对应的单位的话就是毫米，那你可以这样去表示结果，如果说你不放心的话，那我们就自己再去进行一下这个计算 好，那么计算的话，你就直接就得硬算了啊。三十三除以十六，再除以 pi， 我是 觉得他不让用计算器，结果用带 pi 的 去表示的话，是没有什么太大的问题的啊，那这里的话就是零点六六毫米了。