七年级下册月考昌乐县是哪道题数学

七年级下学期第一次月考，想考高分各科到底该抓哪些考点呢？王老师呢，在考前把全科考点帮你们梳理好了，大家记得点赞收藏。那么首先呢，语文这一科，文言文最有可能考到的就是孙权劝学，那么我们说在文言文当中最重要的是诗词，那么诗词重点要复习这五个词， 致社稷，见往事即耕。那么句子重点要复习这四个句啊，担当社稷，见往事耳孤长读书，自以为大有所异，士别三日即耕，刮目相待，大兄何见事之晚乎？那么名著啊，这次不用想，一定靠骆驼祥子， 一个是骆驼祥子三起三落的人生经历，第二个是作品反映的主题，第三个就是里面涉及到的人物形象，像祥子、虎妞、小福子这几个人。 第二个学科呢，就是咱的学科之王数学了，那么第一个啊，平行线绝对是这次数学压轴题的重点中的重点， 尤其是咱们的平行线五大拐点模型，逢考必出啊，那么没有学会的大家也可以用蒋老师的数学好好去做一下复习。第二个呢，识数的概念、计算应用都会出现在技术题，那么计算啊，大概率就会考到识数的混合运算，计算如果没有过关呢，考前抓紧时间去练。 第三个，平面直角坐标系，这是咱们孩子以后初二初三学一次函数，二次函数的基础啊，概念多，而且容易混淆，那么这次月考肯定会考到最后一道大题。第三个学科就是咱的英语了，英语的话一般会考前两个单元的单词短语句型，大家该背的该默的，考前抓紧时间复习 语法啊，赶紧对照老师上课给孩子记的笔记，查漏补缺，每天练一练咱们的题型，月考前肯定能够掌握的更扎实。最后啊，在这考前的一周两周，非常非常适合去突击咱的小四门道法，一般会考第一个单元啊，像咱们青春期的生理变化，以及影响，还有情感的作用，这是必考的大题。 历史考前两个单元，隋唐大运河，科举制度，哎，这些啊，影响作用意义，一定要让孩子在考前好好记牢。 地理生物呢，一般会考前两张，那么重点呢，就是我们国家的地理位置，三十四个省级区域啊，人的由来，还有青春期的变化。把这条短视频收藏好，考前的话让孩子照着去复习，那么月考稳稳去提分。

我们来看一道填空题，三角形 abc 中 ad 呢是 bc 边上的高，现在告诉我们的两个角度，让我们求另外一个角，这个题呢，其实不难，但是呢，很多同学容易漏写答案，好，那我们今天就讲一下啊， 这边画一个 abc， 那 么 ad 呢，是 bc 边上的高， 有，这个是 d， 现在告诉我们了 abc 他 是三十度，然后呢， c、 a、 d 这块是二十度，让我们求 b、 a、 c 好 了，这个是九十，这个是二十，这个很简单，这个就是七十， 这个是七十，这个是三十，那整个顶角就是八十角， a 就是 八十，这是第一个。那么我们画的锐角是不是还有可能是钝角呢？我们来看， 那如果是个钝角，三角形 bc 边上的高在这，这个是 d 好还是一样？ a， b、 c 三十好，有可能是三十 c， a， d 二十， ok， 有 可能是二十。好了，那下面我们再求什么？求这个 b、 a、 c， 那 这个是二十，这个还是一样七十，这个七十是三角形 a、 b、 c 的 一个外角，那它就等于相不相邻的两个内角和， 那它就等于与它不相邻的两个内角和，这块是三十，这个就是四十度。好， ok， 所以 角 b、 a、 c 是 有两个值的，八十和四十度，那么很多同学容易漏填，一定要注意分类讨论。

要想学好实数这个章节呢，那咱们七年级上册这个有理数的基础，你必须打牢，而且呢，这道题呢，就用到我们上册的一个知识点，我们来看一下啊，如果根号下一减三 x 和它互为相反数，那么根号下 x、 y 的 平方根是多少？ 那么像这种题的话呢，你稍不注意呢，就很容易丢分，我们来看一下啊。呃，如果说两个数互为相反数，你比如说 a 与 b， 那 么互为相反数，那你告诉老师，这个 a 与 b， 那 么他们之间有什么关系？我们能得到什么？ 两个数互为相反数，你比如说三和负三，那么负二和二，那是不是它们相加都等于几呢？是不是都等于零啊？那所以如果两个数互为相反数，那么 a 加 b 一定等于零， 那么既然这样的话呢，我们就可以得到根号下一减三， x 加根号下外减二十七等于零， 那么你看到这个式子的话呢，你是不是两眼放光？为什么这么说呢？那你想啊，呃，这个呢，相当于是求一减三 x 的 算数平方根，那么这个呢，是外减二十七的算数平方根，我们知道一个数的算数平方根肯定是大于等于零的， 那这很明显，两个大于等于零的数相加等于零，典型的零零模型，那么意思就是说呢，他俩必须都得为零，如果有其中一个大于零，他俩相加就不可能等于零，知道吧？那所以非常简单啊，那我们就直接得到一减三 x 等于零， y 减二十七等于零，那所以我们可以得 x 等于三分之一，那么 y 等于二十七，到这里还没有完，那为什么呢？那么其实人家让我们求的是根号下 x y 的 平方根，那么你得先把根号下 x、 y 给它算出来， 那就是根号下三分之一乘二十七，那就等于根号九，那么这里老师问大家一个问题啊，这个根号九是等于正负三还是等于三，那么其实呢，他是求九的算数平方根，知道吧？他是等于 正三的，哎，如果是九的平方根，那就是正负根号九了，明白不？那人家只写一个根号九，就是求九的算数平方根，这个非常容易出错， 那么问的是谁呢？其实根号 x y 的 平方根，问的就是这个三的平方根是谁？那还不简单呀，三的平方根，正数的平方根有两个，而且互为相反数，就是正负根号三。 这道题你听懂了吗？那听懂之后呢，再把老师整理的这个实数的十大题型专题资料哈，每一道题都有详细的答案解析，拿去练习。

一起来看看这道寒假开学考试的重难点，他考察了平行线的判定定律，如果孩子对这方面的知识掌握不足，那么这样的题就会没有思路，认真看完这个视频，再配合相关的专项练习，轻松攻克这类难题。回复平行线分享给你。 那我们看在三角形 a、 b、 c 中点 e、 f， 分 别在 a、 b、 a、 c 上点 m、 n 呢？分别在 b、 c 上，对吧？连接 e、 n、 f、 m 交于点 o。 那 么已知角一加角二等于一百八十度，你看角一在这，角二在这， 角三还等于角 c， 那 么是说明这个 e、 f 和 bc 是 平行的，看着就平行，但是呢，咱们不能想当然是吧，我们判定两直线平行，无非有三大判定定律， 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，我们都可以得到两直线平行。我们来看看他给的已知条件有什么用，是吧？好，那么大家来看一下哈。首先他给了角一加角二等于一百八十度，那么你看这个角二呢，和这个角 m、 o、 n 是 不是是什么呢？角一加角二等于一百八十度，这个角二和角 m、 o、 n 是 一个平角呀组成，所以，那么这个角一好，我们的角 m o n 加角二也等于一百八十度。 那根据等量代换，我们可以得到什么呢？角一等于角 m、 o、 n 什么关系呢？角一和它很明显是同位角吗？同位角相等，我们得到两直线平行， e、 n 平行于 f、 c。 但是呢，这不是咱们的目标呀， 我们为什么要得到 e、 n 和 f、 c 平行呢？大家你想一想，我们有一个条件是角三等于角 c 啊，对不对？那么它俩平行，我们能得到这个角 c 是 不是等于这个角呀？那就是 m n o， 因为两直线平行，同一角相等，大家就可以得到它，而这个角 c 又等于角三，所以角 c 还等于角三。那么再次根据等量代换，我们可以得到角 m o n 等于角三。好，大家来看哈， 角 m o n 这个角 m n o n o， 这个角和角三很明显是内错角，内错角相等，两直线平行，所以直接得到 e f 平行于 bc 这条直线，是吧？当然了，考试的时候你不能这样去写步骤，这个呢，只是老师给你的一个分析的思路。考试的时候呢，我告诉你，咱们这种题是严格按照步骤给分了，对不对？你把步骤写在我们的评论区，老师会一一进行点评的。

七年级的孩子注意了哈，几何证明题是我们初中几何的第一道难关，必须把这个坎给它跨过去。我们来看一下， 如图四边形， f e b h f e b o 中 h 为 o f 上的一点，这是这个 c 为 b o 上的一点连接这个 b、 h 还有 c h。 若 h c o 等于 e b c， 我 们标一下， h c o 等于这个角等于 e， b c 等于这个角角 b、 h、 c 加角 b e、 f 等于一百八十度，那么角 b、 h、 c， 这个角加 b e、 f bef， 加上这个角，我给他画两条杠，他俩相加是一百八十度。求证， ef 平行于 bh， 那 么这两个角平行， 我们来看看。那么 ef 和 bh 是 平行的这个关系我们咋正那？其实我们正平行无非就是平行线的三个判定， 内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，都可以得到两直线平行啊。我们要想等 e、 f 平行于 b h， 那 么咱看我们已知的条件是什么呢？ b e 和 c h， 你 看这两个角相等，其实这两个小角是同位角的，我们能得到 b e 和 c h 是 平行的，对吧？那么关键是这两个角相加等于一百八十度是什么意思呢？大家来看一下。既然 这两个条边是平行的，我们能得到，那么两直线平行，内错角相等，我给你看一看这个角 e、 b、 h， 我 给它标成角一 角一和这个角 b、 h、 c 是 相等的，是不是？那也就是说你俩相加等于一百八十度，我只需要把这个 b、 h、 c 怎么样换成角一加角 b、 e、 f 是不是等于一百八十度啊？那么角一和这个角 b、 e、 f 是 什么角？很显然它俩是同旁内角，那么同旁内角互补，就可以得到两直线平行， 你学会了没有？而且我们第一问得到的这个结论还可以用到第二问，为什么呢？因为第一问，咱们并没有附加任何条件，我们是由大前提 得到的， e f 和谁？这个 b h 是 平行的。好，我们来看一下这个第二问，我们再来分析一下，这个我就先擦掉，是吧？若 b h 平分角， e b o， b h 是 e b o 的 角平行，这两个小角相等， e f 垂直于 o f， 这个是直角 角， h c o 是 六十四度， h c o 这个角是六十四度。好，让我们求 c h o 的 度数， h o 求这个角的度数 啊。其实这种求角问题咱们前面分析过好多了，咱们看看已知条件已经变上去了。好，第一问，咱们已经得到了这两条直线平行， e f 和 b h 平行， 那么它俩也平行，我们来看能得到什么？那你 e b o 那 么和 h c o 它俩是同位角，这个大角是六十四度，那么 它又是角平分线 b h， 所以 这个角是三十二度，这个角也是三十二度。没有思路不要紧，先把已知条件标在图形上，慢慢找思路，这就是咱们这种题的方法，没有说初学者一看就有思路的，一定要尝试。好， 你看一下啊，我们只要能求出什么就可以了。你这个角是九十度， e f 和 b h 又平行，所以这个大角也是九十度。 好， h c o 又是三角形， b c h 的 一个什么外角，外角是什么东西？一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和。那所以你看咱们这个角是不是就是六十四度减三十二度也是三十二度？好， b h o 是 九十度，所以咱们所求的这个角 c h o 是 不是？那就是直角减去三十二度， 那么直接一算是不是五十八度？老师为什么没有给大家写过程？因为咱们这个相交线和平线这个几何证明题是咱们初中第一次遇到的几何证明题， 考试的时候都是严格按步骤给分的。好，那么这个你听懂了老师的分析思路，你把这个几何证明的过程给我打在评论区，老师会一一点评。

今年第一次月考的试卷完整视频讲解，雷老师给你们录好了这套试卷哈，你们听一听。而剩下的 全部都是属于词汇题，只是说词汇啊，这是名词啊，这是动词。从单选到语法到玩形到阅读，我全部一题一题给你讲一遍。 这套试卷我跟你讲哈，质量真的是超级好，前两个单元的内容都考察到了，不管是阅读还是玩行。然后呢，质量非常高，难度也比较适中。马上要月考了哈，就算你没有月考，也要做一做，赶快 点我头像，把这个试卷给他拿走哈。点头像私信七，试卷听力还有我的视频讲解，我都给你们安排，趁着四月放春假的时候，让孩子好好练练，李老师可是精心给你们录制的。

啊，大家好，今天给大家带来一道嗯，旗下的第一次月考的一个小压轴题啊，我们看题目 啊，知道了 m n 等于二零二五的二零二五次方，以及后面这样两个分， 两个分数相加等于一，让我们求二零二五的 x 加 y 次方。好，要想求二零二五的 x 加 y 次方 啊，那从 m n 等于啊，二零二五的二零二五次方，很显然是得不到的啊， 那我们就只能从这样一个分式啊，两个分式相加的啊，这样一个条件出发了。好，那既然是分式，我们对它进行通分。好，一加 m 的 二零二五的 x 四方分之一加一加 n 倍的 二零二五的 y 减二零二四次方。分之一。啊，通分啊，分子分母来，一加 m 二零二五的 x 次方，一加 n 倍的 二零二五的 y 减二零二四方分之公分呢，就是一加 n 倍的二零二五 y 减二零二四次方，加一加 m 倍的 二零二五的 x 次方，它等于一啊，一个分是等于一，那说明它的分子和分母是相等的，那所以 就有一加 n 倍的二零二五的 y 减二零二次方，加一加 m 倍的二零二五的 x 次方，等于一加 m 倍的二零二五的 y 减二零二次次方。 好，那这样一来，我们把后面呢利用多项式乘多项式把它展开，前面啊，可以合并的长竖向把它合并掉，那这样一来就是二加上 n 倍的二零二五的 y 减二零二四次方，加上 m 倍的 二零二五的 x 方等于。好，后面多项式相乘，那就一乘以，一乘以啊它，然后呢， m 第二项乘以第一项，第二项乘以第二项，所以就得到一加上 n 倍的二零二五的 y 减二零二四次方，加上 m 倍的二零二五的 x 次方， 加上。好，第二项乘以第二项，那就是 m n 乘以二零二五的 y 减二零二四次方。 好，两边我们观察一下。哎，这一项和这一项可以消掉，这一项和这一项 可以消掉。好，一啊，和，它这边还剩个一啊，所以我们就得到了什么呢？得到 m n 倍的二零二五的 x 次方乘以二零二五的 y 减二零二四次方等于一。 好，这里出现了 m n 条件告诉我们， m n 呢，是等于二零二五的二零二五次方。好，我们把 m n 带入进来。然后呢，这里有一个同底数密相乘，同底数密相乘，底数不变，指数相加， 所以就有二零二五的二零二五次方乘以二零二四次方等于一。 好，这样一来，又是两个同底数密相乘啊，所以就有二零二五的 x 加 y 加二零二五减二零二四次方等于一。好，二零二五减二零二四，它等于一，所以就有二零二五的 x 加 y 次方，再加一是等于一的。 好，我们知道的是什么呢？啊？知道一个不为零的数啊，一个不为零的数，它的零次方啊，一定是等于一的 啊，所以一个数，如果它的密计算结果是等于一，那么它的指数就一定是等于零的啊。所以从这里我们可以得到 x 加 y 加一等于零， 所以就有 x 加 y 是 等于负一的。那这样一来， 我们就可以求出来，二零二五的 x 加 y 次方，是等于二零二五的负一次方啊，也就是二零二五分之。

想要孩子第一次月考就脱颖而出的家长注意了，这套七下数学押题卷一定要让孩子练一练！七年级下册第一次月考重点就两块，整数运算和平形线。主要考密的运算和完全平方公式，难点就是公式的变形，很多孩子都栽到符号和计算上。 几何核心平行线的性质和判断拐点，做辅助线反射折叠都是拉分题。整张试卷基础占六成，中档占三成，难题只占一成。想拿高分，计算别出错，几何绘画辅助线中档题稳稳拿住就赢了。想要完整版试卷的评论区回复北师，我马上安排！

七项数学第一次月考一定会考到的九大压轴题型，建议大家可以点赞保存，重点复习。那我也整理到了这份月考的押题卷，里面有需要七四九选择填空题，必考的是折叠问题、等级变换、 平行拐点、几何模型的综合运用。那大体必考的是平行线的性质和判定。拐点模型加双角平分线结合整体思想加拐点模型，方程思想加拐点模，行动线段问题加拐点模，行动小问题加拐点模型。这些题型常考大体的一个压轴题。 那以上的拓展内容我都整理到了我的拓展系统视频里面有题型的整理解析、思路梳理，并有立体和练习的配套巩固，帮助同学们减少摸索时间，学懂之后再去写题，可以提高学习效率，有需要可以留七级拓展。

刚刚开完会，确定了啊！七年级下册第一次月考时间就定在三月二十六号，二十七号这两天进行。七年级各科会考哪些题目，抓紧收藏起来！首先，语文就考前两个单元，第一个题肯定是基础知识， 这七个易错词一定要记牢了，深悟痛觉迭起，艳红卓越，契而不舍，教补，目不窥园。古诗默写，重点被逢入京史和李白的春夜落成文题木兰诗大概率会出阅读题。数学呢，只考一张，内容相交线与平行线， 月考题目基本都从这里出，难度不算大。把对顶角、同位角、内错角、同旁内角这几类角搞懂，做题就稳了。历史必考，唐朝贞观之治，开元盛世，必出大题。唐朝兴盛的原因，提前整理好答题模板。道法核心就一个重点，青春期 我们该如何正确对待青春期的生理变化这类题提前练熟上面这些考点呢？直接用这套同步测试卷练就行了， 七科都有完全同步。新版教材，学一个单元，练一个单元，题量不大，但次次都能精准猜中考点。里面有单元卷，月考卷、期中卷、期末卷，还有专项突破，一学期用这一套就够了。左下角呢，给孩子准备上，争取第一次月考直接开门红！

以下五大几何板块，西夏月考常考压轴题，期中期末考也会继续考察，建议想要冲高冲满的同学重点学习，都把相关的一个拓展压轴题都整理到了这份西夏月考的压轴题练习里面，有需要可以七四九。 第一，平行线的五大拐点几何模型，这里强调除了会考单个模型之外，还会有模型的拓展延伸，以及多个模型一起综合考察。比如铅笔模型，这里会细分为单个铅笔模型和多个铅笔模型。 再比如猪蹄模型，这里会细分成多个拐点的猪蹄模型和双猪蹄模型等。第二，几何模型加整体思想求角，这里会细分为单个未知数和双个未知数两种题型。 第三，几何模型加方程思想求角，这里也会细分成单个未知数和双个未知数的两种。解析的一个思路， 很多同学会搞混乱，整体思想求角和方程思想求角其实核心的区别是在于，整体思想求角是不存在等量关系的，而方程思想求角主要是根据等量关系去列方程和解方程。第四是动线段和平形线综合。第五，动角和平形线综合， 这里会细分为和动射线相关的以及和动角相关的。那以上内容我都整理到了这份七项数学的月考压轴专项练习里面，并有配套答案，建议基础扎实，想要冲高冲满同学可以考前重点练习，如果没有学过相关内容，可以借助我的拓展视频来系统捕漏。

七年级下册最重要的两个章节，学会了八年级直接起飞，大家点赞收藏加关注！ 在初一的数学学习中，有两个章节堪称咱们初一阶段的分水岭，有不少学生在这两处栽了跟头，直接影响了后续的数学学习的节奏。那么其一便是相交线与平行线， 那么这是咱们初中几何的基础题目，大多围绕角度展开求解， 各种隐含的条件也开始在这一张显现出来了。那么大家千万别觉得平行线的知识点简单，其实他真正考起来的时候呢，难度直线上升， 在不少的月考中的压轴题都出自于此。比起几何，要抓住两个核心位置关系和数量关系， 位置关系必然对应着数量关系个例子，比如两条直线平行，我们要快速的反映出有同位角相等，内错角相等，还有同旁内角互补， 我们结合题目呢，给出的数量条件，通过等量代换角度推导的方式就能找到解析的突破口。而这类题的难点往往就在于分类讨论的情况， 那么这更考察了学生们的思维的灵活性还有严谨性。其二是平面直角坐标系， 这里了衔接了上侧的动点问题，并且在坐标系中与三角形的结合，求面积的问题变成了这一章节的难点，并且计算量的增加会让不少的学生啊感到头疼， 分类讨论的情况也会频繁的出现，把分类讨论思想呢是重点也是难点，没有这样的思维，数学学习真的会寸步难行，那么基础打得牢，咱们到了八年级才能稳步前行。

七年级下册相交线和平形线，它绝对是我们初中几何的第一道坎，为什么这么说？因为从这里开始呢，孩子要做俯线，还有呢，我们要接触几何证明题，那么这两大难点孩子一般都会遇到问题， 那么于是老师给同学们整理了咱们平行线的十大题型，那么这里的每一道题都有详细的答案解析，让孩子去练一下，不会的再去看答案。那我点头像加主页粉丝群拿去练习。

开学一个月了，有很多学校已经第一次月考结束，有很多家长私信我啊，说七年级下册孩子断崖式下滑，那么今天就咱们就聊一聊这个问题。 初一下学期的数学是整个初中数学的第一道生死线，约百分之三十到四十的学生的数学成绩会大幅下降，原因有下面几个因因素。第一，从现在开始，咱们正式进入了几何的逻辑推理题， 这类题目是初中数学的最难的题型之一，很多学生在代数部分呢，就成绩下滑的很厉害。 以我们内蒙古人教版数学为例，七年级下册第一章是咱们平行线的判定和性质，很多同学真的是一塌糊涂，那么习老师对于这块给大家几点建议。 第一个，咱们要用代数守住下线，用几何突破上限，那具体要怎么办呢？有三点，第一个，重点抓书上的性质和定理都没弄明白，那咋能记牢？ 都没记住，那怎么来做题对不对？第二个，牢记计算功底，咱们第二张是实数，里面的话是平方根、立方根的基本运算，这是必得分题啊， 不但考察孩子们计算能力，还考察咱们的认真程度。这部分是中考的必考题，也是必得分题， 咱们这个必须要把它拿下。第三个，训练这种角度推导，比如说利用导角啊，利用等量代换呢，来训练咱们孩子们的逻辑推理能力， 你要但是要循序渐进啊，初期不要用再做太多的太难的几个题，先练两道熟题，再简单的进行推导证明题和角度推导题， 就说倒角啊，等量代换的运用啊，对不对？这部分是咱们初中几何的灵魂，那如果说你没把七年级逻辑推理能力练出来，那等到初二初三几何，那就越学越费劲了对不对？那么再给大家总结一下子，一定要记住了，用代数部分，也就是计算部分稳住分数的下限， 用几何部分，三角形的图形推倒啊，平行线的判定啊，性质啊，来突破咱们的上线，打好这两个基础，才能让后续的几何学习不会崩盘。 我现在整理的七年级上册第一单元的和第二单元的所有的知识点和几何最基础的简单模型，有需要的家长可以私信我。

一下次户口本的距离到，这是新版啊，首先呢，里面咱们大地卡给你配好了咱们的讲解答案啊，一本答案呢，非常详细，还有咱们的这个专项突破，这个相当于周测卷，你看看体量非常棒。好，我们来看整体的大卷啊，你看整体的大卷， 安徽第一卷的卷子难度啊，比咱们的平常的期中考试月考量要周测呢，稍微难一点点。你看各种新考法，选择题啊，都是非常经典的题目， 你看这边的最后三题，大题的压轴题，整体还是有难度的吗？你看这个选的是合肥市四十中，七中的，四十五中的题目，非常有代表性。咱们现在考试呢，回归课本，教材多少题改编题，教材多少题改编题， 因为我们安徽人中考呢，其实呢，有些题目啊，也是教材的改编题目，符合咱们现在的新考法。

期下第一次月考，百分之九十九会考到的内容，清明吃透，稳进班级前三。假如从四月二号开始努力，各科至少提高三十分。快来跟老师划重点，一道法就被这四十五个青春期生理与 心理变化的必考简答题，主观题直接套用。二、历史吃透科举制的创立与完善，这三个核心考点，考试多拿二十分。三、地理，掌握亚洲这十二个地形与气候分布地图，读图题 轻松拿。四、生物会成考消化系统的组成与功能过程图，做到实图速记。以上均有完整电子版。

大家看一下这个题，周末有的家长问，那个时候我比较忙啊，然后脑脑袋瓜子也不转，然后呢，半天没算出来 啊，脑袋轰轰的，我就问老杨怎么做？老杨因为周末也比较忙，然后呢，他周一呢，他他就录了一个视频，而且呢，还说这个题目有两种方法，来听一听吧。 第十四题是来自于我们一位学员的提问，这道类似的题目呢，我们之前有讲过，但是有孩子说用我们之前讲的方法呢，这个题目好像做不对，做的跟参考答案不一样， 那今天我就用两种方法来把这个题目讲一讲。参考答案的方法，我也来讲一讲，以及我们之前讲的方法，也来给大家讲讲，你正好来验证一下之前你你自己做的过程中，哪个地方出现的问题，所以导致答案不一样的啊，不管方法有几种，但是最终的答案不可能不一样的啊。来，我们看题目， 已知关于 x 的 不等式，它有解啊有解，那么对于我们而言，第一小问，他说若不等式组的解集与这个解集相同哦，这两个解集相同，求 m 加 n。 这个题目第一小问完全是属于送分炮灰题吧，那我们简单的快速写一下。第一小问，我就不重点讲了， 有第一个式子，有第一个不等式，我们来解解，看解出来的结果是什么？这个解出来是 x 大 于 m， 这个解出来是 x 小 于等于 n， 所以 x 大 于 m 减一， x 小 于等于 n 加一，所以这时候我们得到这个不等式解式小于等于 n 加一 而大于 m 减一。而对于这个我们也可以解一下，这个解出来是二 x 要大于负四，所以 x 要大于负二，这个解出来是 三 x 减一要小于小于八，所以三 x 小 于九， x 是 小于等于三。从而我们就知道了，原来这个不等式组的减 x 小 于等于三而大于负二，而他说这两个不等式的解集一样，说明这个负二和 m 加一减一相等，而这个三呢，和 n 加一相等，从而我们就能得到 第一个式子是 m 减一是等于负二，第二个式子是 n 加一是等于三，从而咱就能算出来这个 m 等于几 m 等于负一，这个 n 等于几？ n 等于负二。所以咱要求的 m 加 n 不是 瞬间出答案吗？第一小问送分，那么第二小问，若不等式组恰好有四个整数解，那么第二小问的第一题，他说 m 等于负一，如果 m 等于负一，那 x 是 不是小于等于 n 加一而大于负一减一就是负二吧。 那么他说这个式子有四个整数解，来，我们画个竖轴，这个还是比较容易的。呃，负二来，我们从负二开始画起负二哦，负二，然后是负一，然后是零四个吗？呃，这是一有几个了？有三个了，然后是二， 然后是三。从我们发现这个不等式的整数解是从负二到 m 加一的，你看， m 加一总共要保证这个里面有四个，一个、两个、三个、四个。所以 m 加一必须是在二到三之间吗？所以我很快就能写出 n 加一是小于三大于二。那么这个地方有一个易错点，你一定要注意一下， 能不能取等号，你要看清楚，因为这个式子它有什么？它有两个解哦，有四个整数解，那么这是一个实心点，那假如这个实心点在二的地方，你看看是不是相当于这样的？这个是实心点，你看影不影响它有四个解， 一二三四吧，这是个空心点，肯定不算整数解，所以整数解四个等于负二，等于二的时候是满足的，所以这个地方可以取等号，那你看等于三。假如说是等于三的话，那么此时此刻，你看在这个范围之内面有几个整数解，一个两个、三个、四个、五个，所以不满足，所以这里面不能取等号，这个地方可以取等号， 从而我们很快就能得到 n 的 范围是小于二而大于等于一 a， 这小问也是相当于比较送分的题目吧。好了，那么重点难点来了，那就是第二小问。 我们看一下，如果题目告诉我们 n 等于二 m 这个题目，我将会用两种方法给大家解一解，此时的 x 是 不是小于二， m 加一而大于 m 减一啊？是不是这样的一个式子啊？他说这个式子它有四个整数解哦，要求此时此刻 m 的 值范围。 那么对于这个题目，我们怎么去处理呢？先讲第一种方法，我们曾经讲过的方法啊，它既然有四个整数解，我可不可以假设四个整数解？设四个整数解，四个整数解为 为什么呢？为 k 减一，然后 k， 然后是 k 加一，然后是 k 加二。你想想，我设的这个整数解是不是一定是连续的呀？你不可能说我有四个整数解，一个是负一，一个是九十九，一个是一百，中间这个都不算， 那不可能的，所以它四个整数解一定是连续的，所以我们一定要设出来，设的是四个连续的整数，写下来， k 为整数， k 为整数，我们把它写出来好了，那么在这个前提之下，那么同学们通过观察我们发现来咱们写一写，这边我把它的四个整数解在数轴上划出来， k 减 k 减二， k 减一 k， 然后这是 k 加二，这是 k 加三，那咱们的四个整数解是不是中间这四个我们是知道的， 那么从而我们就能够得到这个是取值范围，是不是相当于是这样一个范围，它必须一个端点是在 k 减二和 k 减一之间，还有另外一个端点是 k 加二和 k 加三之间吧。那么注意啊，这边我应该少抄了一个等于号，哪个等于号丢了啊？这边有个等于号的，对吧？这边有个等于，我把它写上 好了，那么在这个数字当中，我们很快能够发现，此时此刻我们的范围是不是只能是长这个样子的一个范围啊？同学们看，哎呀，这个没画好， 是不是长这个样子的一个范围把它写出来哦，也就是说一个实心点，一个空心点，从而我们就能得到哦。第一个我们 m 减一是不是应该小于 k 减一而大于 k 减二啊？那能不能 取到等号？你看，如果这个空心点在这边取，等于这边取等号，你会发现，哎，此时此刻的整数点变成一二三，变成三个了，没有四个， 所以这个地方千万不能取等号，这里面不能取等号，那这个能不能取等号？如果你这个取等号，你看看它是不是满足四个整数减一二三四，没有改变整数减的个数，所以这个地方可以取等号，从而我们就能知道 m 减一这个端点的范围应该是 k 减二和 k 减一之间的。 好，那另外一个端点，另外一个端点就是我们二 m 加一吧。哦，这个地方我写下来，这个叫 m 减一，这个叫二， m 加一，二， m 加一应该在哪两个数之间？是不是应该在 k 加三和 k 加二之间了？那能不能取等号呢？你看，如果这个地方取等号，你观察一下，在这个范围之内变成几个整数解，一个两个三个四个五个了，多了一个，所以不能取，这边绝对不能取等号，那这边能不能取等号？如果这个取等号，你看影不影响他四个整数解啊？一个两个三个四个，哎，不影响，所以这边可以取等号。能不能看出来？ 好，当我们取到整号之后来解解看，解出来之后我们很快发现了哦， m 是 小于 k， 而大于等于 在不等号两边同时加一，能看出来，把，我这个地方速度稍微快一点了，加一啊，这边加一就变成 k 减一， ok， 减一写下来，那么对于第二个不等式，同样两边减一减一，就变成了 k 加一，小于等于二， m 小于等于 k 加二，两边同时除以二，就变成了二分之 k 加二分之一，小于等于 m 小， 这不是小于，不能等于小于二分之 k 加一，所以很快就知道 m 是 小于二分之 k 加一，而大于等于二分之 k 加上二分之一，咱们能得到这样的一个 m 的 取之范围吧。 好了，下面这个地方是特别重要的内容，来观察一下，比如说我们现在 m 既在这个范围，又在这个范围，说明而题目满足条件的 m 肯定是存在的，所以这两个范围必须要有公共键吧。 既然有公共解，那这句话再听一遍，就是我们这个题目中肯定有满足条件的 m 使这个方程有四个整数解，所以这个 m 肯定是有解，你如果无解的话，这个题目肯定就就不成立了，这个题目本身就有问题了，所以这个 m 有 公共解，有解的话，既然有解，这两个是不是一定有公共部分啊？那我们先把其中一个画出来， 其中一个是 k 减一，来看一下 k 减一，还有一个是 k 吧，是不是这样的一个范围，另外一个是什么？另外一个我们也画一下来，我们尝试的画一下，一个是空心点，一个是实心点，这个是二分之 k 加上二分之一，这个是二分之 k 在 加上一，那么所以这两个部分它是有公共部分的。既然有公共部分，你看看这个东西，如果在这有没有公共部分，很明显没有啊，所以要保证二分之 k 加一要大于谁？大于 k 减一吧， 能不能看懂？也就是说我现在能够移动的这个右端点，一定要在不能移动的这个左端，这个 k 减一的右侧，那么同样你不能太右，太右，你到这又没有公共部分，没有公共部分又不行，所以二分之 k 加二分之一还必须比 k 小， 从而我们就能得到一个方程。关于 k 的 一个方程，什么方程呢？ 哦，我们能得到的是二分之一 k 加一一定要大于 k 减一，也就是说什么意思？来看一下，也就是说我们这个 二分之 k 加一这个端点必须在 k 减一这个端点的右边，但是你又不能太右，你太右之后又不行了，所以还要保证二分之 k 加上二分之一必须在 k 的 左侧， 还有一个是二分之 k 加上二分之一又必须小于 k， 那 么下面你要注意能不能取等号，你看能不能取到。如果取等号，一个空心，一个实心，有公共点吗？ 很明显没有公共点，所以他不能取等号，那么这边能不能取等号？同样一个空心和一个实心重合的，有没有公共点，也没有公共点，所以都不能取等号，从而我们就能得到 k 的 一个范围 来解不等式解解。看，这个解出来应该是 k 要小于四，这个解出来是 k 二分之， k 是 大于二分之一， k 要大于一，所以从而我们就有 k 是 小于四而大于一，而我们知道 k 是 整数吧。哦，因为 k 是 整数， k 是 整数，所以我们很快就能得到 k 要么就等于二， k 要么就等于三。有两种情况吧。那么首先我们看第一种情况，如果 k 当 k 等于二的时候，那么我们看此时的 m 的 范围是怎么样的呢？把它带进去， k 等于二，带到这个里面去就可以了， k 等于二带进去，这是二减一就是一，这是二好，所以 m 是 小于二而大于等于一，同样再带到下面这个，其实只要带下面一个就可以了，你知道为什么吗？ 当然你如果不确定，你就可以两个都带啊，我一会告诉你，为什么只要带下面，不用带上面啊，你看下面这个，我同样带进去， a， k 等于二带进去，这是二分之二加上二分之一等于二分之三，所以二分之三小于等于 m 而小于多少，这是二分之二加上一，那就是二吧， 能看出来吧？所以最终我们很快就能够得到 m 的 公共范围是小于二而大于等于二分之三。这是第一种情况，可以等于二的时候。那么刚刚同学们看一下，为什么老师说只要带下面这个，上面这个不用带呢？原因很简单，你感受一下， 因为我们知道这个式子，你看左端点和右端点相差几？相差一，也就意味着这条线段的长度是一，而这条线段左端点和右端点相差多少？相差二分之一，那就意味着这段长度是二分之一。你想想，你只要满足这个小的部分哦，满足了，那大的肯定满足啊，你小的肯定在大的内部啊， 好理解吧。所以为什么我说要带第二个？如果实在理解不了，为什么要带第二个，你就两个都带，因为他们是同时成立，我们就能得到 m 的 第一个范围。好了，这是第一种情况，那么第二种情况，当 k 等于三的时候， k 等于三的时候，那么此时此刻我们得到的 m 的 范围是怎么样呢？把 k 等于三带进去，这是二 是吧？这边是三，所以 m 是 小于三而大于等于二。当然你也知道，你清楚的话，你其实也只要只要带下面一个，但是我怕有些同学理解不了，为什么只要带下面一个，那我干脆两个都带给你看啊。好，上面这个是二带三，二分之三加二分之一就二分之四，就是二， 小于等于这边是二分之三加一就是二分之五。 m 小 于二分之五，所以从而就能得到 m 是 小于二分之五，找到他们的公共部分大于等于二。同学们看一下能不能看明白？ 也就是说这个和这个取公共部分，他的公共部分是不是这一块？如果有人看不出来，你还可以再画一个图，比如说对于上面这个图，你看一下他是一到二，哦，一在这 二到这，然后是二分之三到二，就是二分之三到二，所以他的一个相当于这个范围和这个范围的公共部分是不是只有二分之三到二啊？所以这个上面是二分之三到二，那下面这个也是一样的，你也可以画一个数轴出来，看不出来一定要去画数轴啊，是二到三，二到三， 三是个空心点，画个圆圈。还有一个是二分之五，是个空心点，二分之五，这是三，那大家看一下这两个的公共部分是不是就是这个部分，所以是二到二分之五，所以两种情况哦，当这个这个时候 m 这样，当这个时候 m 这样。注意。最后还有一个易错点要注意一下，这两个是取公共部分吗？ 肯定不是啊，它是分两种情况，第一种情况是这样，第二种情况是这样，所以最终我们取的是他们所有的，加起来就是 m 是 这样的， 或者 m 是 这样的，是两种情况吧？能不能看懂？那么我们看一下这两种情况，我们来画出头，取出最终的所有的总和，既然是或者吗？对吧？那么一个是二分之三，十个实心点到二，二十个空心点， 二是个空心点，那么另外一个是二又变成实心点到二分之五，二分之五是个空心点，是二分之五。所以大家看一下，或者的关系是 m 在 这个范围或者这个范围，最终我们就能知道 m 的 范围是不是总范围是这个范围呀，所以从而就有 m 是 小于二分之五，而大于等于二分之三， 这是不是就是我们之前讲过的方法呀？好理解吧。好了，那我们再把我们参考答案上的方法再给大家讲一遍。对于我们这个题目， 参考答案方法也可以啊，只不过参考答案的方法要也是，其实这个题目本身就比较难，都没有那么简单，也是比较麻烦的。来，我们看一看，我重点只讲第二小问，这个一我就不去讲了啊，没有必要再去讲了。 那么同样第二小问来看清楚，他告诉我们 x 是 小于等于二， m 加一，是吧？没错吧？而大于 m 减一。那么对于我们而言，参考答案的方法是什么样的？来仔细看。 对于我们而言，一个不等式组，它有四个整数结，这个四个整数结可能是哪些呢？我不知道，那我就随便写，比如说我就随便这是零啊，一啊，二啊，三啊，四啊，五啊啊，这就六啊，就，我就随便写几个，多写几个数吧，六，再写一个， 往这边再来一点，往这边来一点，比如说六啊啊，这个子， 再比如说这个七呀，对吧？随便写几个无所谓啊。那么他说这个整数解他有几个？他有四个整数解，既然你有四个整数解，那什么意思呢？他的言外之意是什么？那么比如说我画一根木棒，这个木棒的长度，也就是说如果对于我们而言，这个两个端点，一个端点是什么？ 嗯，还是太粗了一点啊？比如说我们画一下他的两个端点，一个是 m， 这个是 m 减一，这个是什么？ 这个是二 m 加一。那么对于我们而言，这个两个端点啊，这两个端点你看看在我们的整个上面要覆盖几个整数点，是不是覆盖四个整数点啊？那也就是这根木棒它的长度最少最少你要覆盖四个整数点呢？它的长度能不能太短？肯定不能啊，你比如说我现代化的长度，它能覆盖最多只能覆盖三个整数点，能理解吗？ 哦，所以我们要保证的是什么？他要覆盖四个整数点，那么这个长度木根长度到底至少至少是多少来？同学们是不是至少要满足是四个呀？比如说我们把这个图给大家延长一下，这个木棒 要满足四个整数点，大概是是不是这样的？我假设啊，是这样的，那我们看一下他这个端点，这个端点我需要换一下位置了，这个端点到跑到这来了，对吧？那这是一个 整数点。来，同学们，你再观察一下，如果在这种情况下，他要覆覆盖四个整数点，你看四个一二三四，满足吧？这是满足四个吧。但是同学们，你想一下，是不是我只要满足这个长度大于四，大家看一下这个木奔的长度是必须不是大于四啊？大于三吧？大家看一下， 此时此刻他是不是覆盖了四个整数点？来，我们往这边来一点点，你看他是不是覆盖四个整数点？一个、两个、三个、四个，是不是四个整数点？但是他的长度是不是至少是三个？但是是不是只要满足是三个，他就能覆盖四个整数点呢？其实不是的啊，不一定。比如说我们举个例子来给大家感受一下 这个图可能，哎，来，你看啊，如果他是不是只要满足他的长度大于三，就能覆盖四个呢？你看，我们能够从图中发现，也就是说你的长度只要大于三，他肯他是能够覆盖四个的，但是是不是一定能覆盖四个呢？那不一定，比如说你看 大于三的这条长度，在此时此刻他只覆盖了三个整数点吧。所以这个相当于我只能说哦，你只要能够什么让你的长度大于三，就可以使我覆盖的整数点是四个，但不能保证一定是四个。这句话能不能听懂？所以这就是为我们后期的有一个验证，要 一定要有个验证，如果你没有验证，你得到答案，一定是扩大了，放大了的一个过程，放大的一个范围，而不是准确的范围。所以同学们再看一眼，也就是说我如果要保证这条线段覆盖的是四个整数点，也就是它的长度至少是三， 但是你即使是三了，也不能保证你能覆盖四个整数点，只能说你能够可能是它覆盖四个整数点，你看，比如说这个长，在这种情况下，它就只覆盖了四五六三个整数点吧， 所以不太好理解啊。再说一遍，这个地方很多同学理解不了，你想想你如果要覆盖四个整数点，是不是你至少是三，但你是三了，就一定能保证覆盖这三四个整数点吗？并不是。你看，比如说在这种情况下，根本就没有覆盖四个整数点吧？所以这个地方我们就要弄清楚了。首先它的长度 二， m 加一，减去 m 减一，这是它的长度等于几？等于 m 加二，这个 m 加二一定要大于三， m 加二大于三，只有大于三的时候才有可能让你覆盖至四个整数点。注意啊，不是保证覆盖，只说有可能覆盖四个整数点。 下面同样的道理，你看看这条线段的长度能不能无限长呢？因为他只要覆盖四个点，如果无限长上，是不是可能会覆盖五个点、六个点、七个点、八个点？那我们看看他最长最长最长是多少？你看，如果说我这边他无限靠近点这个七，但是呢，又不不会等于七的情况。你看我给他无限拉长， 我把这条线拉长，看看他能治多长？你看我把这个端点给他拉，拉到什么？比如说他最终要保证四个点，是不是 这边是一个点，两个点、六五四三四个点的，是吧？他这个地方就不能够得到等，不能取，可以到二，因为他是个空心点，但他不能再长了，是不是？所以也就是他的最长长度是多少？你看一二三四五，所以他这个最长的长度是五格吧， 从而我们就知道这条线段五是最长，是五格，也就是说 m 加二要小于五吧， m 加二必须小于五，对吧？ 从而我们就能得到 m 的 范围， m 加二是小于五，大于三。如果你做到这，你就觉得你完成了，那不好意思，这个题你一定是拿不到分的。 我说了，你算出这个范围，只是说你 m 在 三，一在这个范围之内，可以使他有四个整数减，但不能保证一定有四个整数减，刚才这个底层逻辑我们重点解释过的，对不对？他不能保证一定有四个整数减，只能说 m 在 这个范围之内，他有可以有四个整数减， 所以此时此刻你还得去验证下面这个验证才是最重要的一个步骤。好，那我们看一下对于我们而言， m 的 大致的范围，你现在只能说 m 的 一个大致范围，这不是 m 的 准确范围。哦， m 的 大致范围之内是这样的，那么此时此刻他这一个端点，比如说我们 m 减一， m 减一，是个什么样的范围呢？因为 m 在 一到三，所以 m 减一，是不是应该是零到二这个范围啊？哦，零到二这个范围，那此时你看到底在零到一还是一到二之间，这个是不是又产生了一点小矛盾啊？ 看，为什么这是零，这是一，这是二。你看，如果说对于这个 x 不 等式，它的左端点在零到，在这个范围之内，它是不是包含一这个整数解？如果在这个范围之内，它就不包含一这个整数解，是不是对整数是会有一定的影响的？ 所以这时候我就要分几种情况呢？分两种情况，就是这个 m 减一，到底是在零到一还是一到二这个范围之内，是这个道理吧，所以要分两种情况。紧接着下面当 m 减一，就在零到一的时候，零到一这个范围的时候，那我们可以这个地方取个一，这地方有个细节啊，因为零到一，他到底是零跟二，肯定是不能取的，但是一他是可以取，这个一到底取在这边还是是取在下面这个，这地方有一个小小的说法， m 减一是小于二而大于一，那么这个是取短号还是这个取短号呢？你要看清楚，这个地方非常重要，因为因为你是个空心点，你是个空心点，对不对？如果你是个空心点，你这个地方你这个空心点取到一的情况下，假如说你再取到一的话，那这时候是不是你还是一取不到啊？ 这就是你又得分类。假如说取到一和你不在一，在这，在零到一之间，或者在一的时候，你的能否取到一的，这个是不是又不一了？ 能，能不能看懂？也就是说，如果你的左端点，左端点是个空心点吗？大家看一下左端点，他的左端点是不是一个空心点， 左端点是个空心点，那么如果你把这个一啊放在左端点，你会发现在零到一之间，一是取不到的，但是你这个正好在等一的时候，你这个一又取不到了。你比如说在零到一之间，一是可以取到的，在这边 取到一的时候，他一又取不到了，所以这个地方不能写等于，而等于要分到下面那个。如果你非要放在这边，你还得分类，你还得再分一次，是不是特别麻烦？所以这个地方要特别注意，这边不要写等于啊，另外一个写等于。那么在这种情况下，此时此刻 m 是 怎样的？ m 是 小于二，大于零的， 小于大于大于一，小于二的，是吧？写下来，那么这种情况下，这个 m 写出来 m 是 小于三而大于等于一的，也就是说分这两种情况，分这两种情况，这个极 两种情况，那么第一种情况来看，在这种情况下，那么 m 真正的范围才能够让你看出来。来，我们画个数轴，它的左端点在哪里？它的左端点在零到一之间，我们来画一下，这是零，这是一，这是二， 这是三，这是四，这是五，是吧？左端点在零到一之间是个空心点，那右端点他必须在哪里？你看他是不是相当于有四个整数点，所以很明显，他的右端点是不是相当于就是这是多少？二 m 加一吧， 二 m 加一就必须在四到五之间，而且可以等于四，但不能等于五吧。你看左端点在零到一之间，那右端点是不是只能在四到五之间？你看一个、两个、三个、四个，要保证四个整数点，那么四个整数点它能不能等于四？你看清楚能不能等哦？等于四的时候，是不是还是四个整数点？因为它是实心点，可以， 但等于五的时候就变成五个整数点，它是实心点，所以它不能等于五，从而就能得到。此时此刻，二 m 加一必须小于五而大于等于四。所以第一种情况，我们算出来的 m 的 范围是这样的，算一下， 二 m 小 于四，要大于等于三，所以 m 是 小于二而大于等于二分之三吧。注意它有个前提是这个哦，看一下 这两个范围是不是要在这个前提之下满足他，所以要去他们俩的公共部分。那么如果你看不出来公共部分什么，你还得去画一个图，如果看出来就不用画图了啊，有人看不出来的，那你看，这是一，这是二 啊，还有个，这是二分之三，是个实心点，所以你看看这个零到二的空公共部分和二分之三到二的公共部分，是不是就是这个？所以最终 m 的 范围是，他能看出来吗？所以最终 m 的 范围是他这个，那么这第一种情况，那么第二种情况，同样的道理，在这种情况下，我们也要去画个图， 画图，此时他的左端点在一到二之间，所以我们这个零可以不用画了。一二三四 五六是这样的吧？他在一到二之间，所以左端点是 m 减一，这是左端点 m 减。右标上这个是右端点。在哪里？你看，要保证四个整数减， m 加二，二 m 加一啊，二 m 加一是不是必须在五到六之间啊？同学们，看一眼，能不能看明白？ 因为你的左端点在这里，你要保证四个整数减一二三四，所以二三四五是他四个整数减，所以此时二 m 加一就必须 二， m 加一就必须小于六而大于五。能不能等于五？能不能等于六？肯定可以等于五，你看再验证一遍，如果你等于五，是不是四个整数减？哦？二三四五还是的，但你如果等于六，就变成五个整数减了，所以你不能等于六，所以这个地方可以去等号。所以接下来我们解一下。 m 是 小于二分之五而大于等于二，所以你看一下，同样在这个范围和这个范围，要找他的公共部分。如果一眼看出来，就不用画图，如果看不出来，你还得画个图来，我怕有同学看不出来，所以我再画一下，给你们看一下公共部分，一个是负，这个一到三， 还有个是二，二是个实心点，二是个，写错了啊，二，那这个就是二， 二是个实心点，那这个地方就是二，一个是二到三，还有一个是二到二分之五，二分之五是个空心点，所以很明显，你看看两个公共部分是不是这一块 哦？是这一块，所以最终能得到这个法。那么两种情况下，一个 m 是 这个，一个 m 是 这个，是不是跟刚刚那个一样的哦？两种情况下得到的结果是不是最终我们要取总共的部分，而不是取公共部分啊？ 你看也就是或者 m， 或者在这里 m， 或者是在年龄，这两种都可能吧。两种情况，当这个时候是 m， 是 这样的，当这个时候 m 这样的，并不是要取他们的公共部分，所以这个地方易错，特别容易错。当你明白这一点之后，我们找到他们的公共部分，公共部分就是二分之三，然后这个是二， 这是第一个，第二个是二，二是什么？二到二又变成实心点了，到二分之五，二分之五，所以你看看这两个 部分全部或者的关系，取出来 m 最终的范围是不是就是二分之三到二分之五之间了？从而就有 m 小 于二分之五，大于等于二分之三。 同学们看一下这个两种方法，其实答案最终的答案是一模一样的，不可能说方法不同，结果不同的啊。无论什么方法，你主要是你看哪种方法你更能理解，你就用哪种方法。这种方法呢，可能涉及到线段长度的一个覆盖问题，所以他最难理解的就是这个刚才我重点强调的那个部分。为什么他线段是三的时候 只是说有可能保证他是四个整数解，但并不能一定保证他是四个整数解，所以千万不要你做到这。就觉得啊，这题好简单，我做出来了，那你就大错特错了啊。后面的验证才是这个题目的重难点部分。