26年西城二模数学新定义

我们北京初三的家长们，这份西城二模的题呢，昨天刚刚考完，难度呢体来说比一模要大，非常值得大家来做一做。题目呢，灵活，尤其是中等的解答题，框架不变，但增加了灵活度，让孩子吃透它， 能更清楚的了解中考的方向。咱们一起猜一猜它的重点。首先，选择题，基础题稳拿分，压轴题考察更加灵活。前七道题目整体的考点非常常规， 基础扎实的话，整体没有什么难度，争取全对。压轴题目比较灵活，考察了反比例与图形结合的问题，这是竖形结合的这个思想， 这是用代数式表示坐标，这也是我们平时反复重点强调的，孩子只能想到这里，思路还是很清晰的。 填空题，整体来说以基础为主，压轴题呢，很有难度。呃面几道以基础为主，数题呢，是重点结合，了解直角、三角形以及相似模型，稳稳当当就可以。压轴题的强度很大， 阅读量不小，在阅读这块设置了阻力。同时呢，综合性非常强，涉及到整数解问题，分类讨论，考试的时候可以先放一放这个题回来再做，但在平时的练习中，非常值得好好来深究一下。 解答题的前五道基础分必须拿满，保护好我们的基本盘，题型整体稳定，没有什么新的变化，这部分七部分千万不要丢分。十七题的实数计算注意符号和运算顺序。十八题，不等式组用竖轴表示，解集时需需要注意空心和实心。 十九题，分式化简的求值，代入数值，一定要务必注意代入数值的问题。二十题，四边形综合，这个题没有辅助线，正常解直角三角形就可以了。二十一题考察了二元一次方程组的实际应用，找对等量关系，列好方程，整体难度适中。 接下来咱们来聊一聊中间三道的中档解难题，但是增加了一些细节，在某些地方使了一些暗劲。 首先依次函数综合，依旧是考察直线的旋转，尤其注意旋转一圈的情况，但注意在取焦点这块，出现了参数正常，表示带入直线，求出临界位置，解个方程就好，结合图像分析焦点的位置，树形结合，这是关键。 接下来统计综合问题，整体重规重矩，还是考察了平均数和中位数，信息藏在表格和柱状图里，结论得结合数据来说，注意规则的递进关系。 圆综合核心是解直角三角形与相似，整体的架构不变，这是这是我们课上重点强调的，用到了平行的 a 字相似，但是今年的圆综合计算量明显增大。同时这道题解这道题解方程的时候用到了一元二次方程， 难度不大，但整体更加灵活，计算的时候千万不要着急，一步一步来。接下来说说最后三道的压轴题，是我们冲高分的关键，都是高频考点。 袋鼠综合考增减性结合绝对值的长度问题，还是要构造新函数，注意找临界的位置。今年呢，袋鼠综合注重增减性与对称性，这个比大小的结合。西城二模，这个题紧贴北京中考的风格，平时练过同类题目的话，上手不难。 几何综合，西乘二模考察了旋转，旋转，西乘二模考察了旋转等线段共端点可旋转，尤其是 c d 等于 c e。 还有这个二阿尔法是个非常明显的突破口，倒角是关键。这个题比西乘一模的几何的难度要更平和一些。 最后就是压轴的新定义，多动态轨迹问题，定义中有核。那九年北京中考的这个新定义，大家可以拿来看一看，很巧妙。第三问也很有特点，尤其是求坐标，要灵活运用几何的性质，能做到这的同学耐心拆解条件就能找到思路。 总的来说，西城二模这套试卷整体难度不小，要难于西城的一模，不是西城的考生，也非常值得大家拿出一百二十分钟当成考试来做一做。孩子考完可以好好分析一下，哪些题目是稳拿分的，哪些题目思路卡壳的，针对性的查漏补缺比刷新题更重要。 需要试卷和答案的家长瞧，西城二模我发给你，让孩子对着错题琢磨，一步一个脚印补漏洞，各位加油！

西城二妹的新定义有点意思，定义里面竟然带核，比划快，带出稳，新定义还能提智商！大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的西城二妹的新定义。 这道新定义有点意思，为啥呢？因为他的定义里面竟然带核。好在啊，老谢在二零一九年中考以后，专门为带核的新定义写了一句诗，叫定义带核找锤足 啊！如果你找垂足，你会发现这道题会非常简单了啊。另外呢，这道题第二个的时候一定要注意前提确认，以及全面细致有序动。还有就是线段如果遇上圆环必有坑，一定要全面细致有序动 啊。另外呢，以圆为背景的题目，其实找轨迹呢，有一个快捷方式，咱们第三个会讲啊，包括一定要全面细致有序动。好，首先呢，我们先看一下定义啊，各位， 咱们随便画了一个 ab 这个弧，他说等腰三角形，那咱们就以 a 为圆心是吧？画个圆，以 b 为圆心，画个圆，画两个蓝圆， 那么蓝圆上的这些点只要连一下 a， 他 就能组成一个。哎，等腰三角形当然还要注意别是三点共线啊，但是这道题基本上用不上啊。那么另外，怎么叫定一带弧找垂足呢？各位，因为他要求这个三角形要把整个裂弧全包上， 你啊，如果听了我的定一带弧找垂足，各位同学，你就直接让点 a 当垂足，啥概念呢？让点 a 当垂足，画一个切线。 各位啊，咱们先看看其中一个圆吧啊，这个圆别在这捣乱了，然后同理，你再让点 b 当垂足，画一个切线。 各位，你会发现，首先因为等腰三角形，所以点 p 一定得在这个蓝圆上，但是在蓝圆上都行吗？你比如，如果蓝圆上在这呢， 你会发现这样的话，连一下这个三角形，这个绿色三角形，哎，他就不能把整个裂弧 a b 全包在里边了。 嗯，所以大家看啊，这时候你会发现，我教给你的这两个垂足，让点 a 当垂足做两条切线就起作用了。什么作用呢？你会发现这个点就是个临界点， 哎，你会发现，如果它连一下点 a 点 b， 你 会发现当点 p， 在 这时候，这个三角形，这个裂弧 a b 正好在三角形 p a b 里边， 包括在这时候，你会发现也没问题，哎，各位看了吗？然后呢，在这的时候也没问题，但是如果在这，你会发现点 p， 如果在这，你会发现这段裂弧又包不进去了，又跑到三角形外边了。所以各位，你有没有发现， 因为等于三角形，我们马上画个圆，当然还有一个以 b 为圆心的圆啊。然后呢，再一个就是，如果你学会了老习的这个经验，定义带弧找垂足，你马上以 a 当垂足做个切线，以 b 当垂足做个切线，你会发现点 p 的 轨迹就是这对，哎，这个定义咱们就大概明白了 啊。 ok， 那 是所有的这个弦都有这一段吗？哎，我们看一个特殊情况，各位，如果，哎，这个弦这么长， 你做了这两个垂足以后，你会发现正好就这个点啊，有一种临界情况，你会发现，除了这个点，别的地方都不行 啊。你比如，如果在这这样的话，如果点屁啊，这是点 b， 如果点屁在这里，你会发现这一段又没有在三角形里边了，对不对？所以你会发现，哎，当这个时候这种情况下是一个什么情况呢？你会很容易发现这种情况，这个紫色的是一个等边三角形， 这是六十度，这是九十度，这就是一百二十度，所以当这个弦的圆心角是一百二十度的时候，正好有一个点 啊，如果它超过一百二十度，各位请看，你们可以暂停一下啊，你会发现啊，在这个圆上，在这个蓝圆上，你会发现没有一个点可以了 啊，也就是当这个弦超过一百二十度就不行了， ok， 这对定义的解读啊，然后呢，正好命题老师挺善良，他怕你看不出来一百二十度，他还提醒你啊，其实这道题最后也没怎么用上一百二十度啊，然后提醒你什么呢？你会发现 df， 这个它正好是一个圆心角一百二十度的 啊，所以 df 是 正好可以， e 就 不可以了啊。 ok， 这是第一问， 第二问呢，哎，也有点意思。各位，按照我刚才讲的，你们如果把一个根号二的弦随便画出来，各位，你看，咱们画的一个红色的这个啊，就是根号二的一个弦，然后你用我刚才的那个方法，然后呢， 把比如说，呃，这个点 a 画出来啊，然后点 b， 在 这里咱们随便点一个点啊，有人说，老师，这个弦 a b， 你 怎么画那么巧啊？各位啊，我想告诉大家，以圆为背景的轨迹， 其实从圆心往哪个方向看，都是正方向，你只需要画了一种情况。然后呢，你看啊，根据咱们刚才定义的解读，是不是就是以 a 为圆心的时候，就是这个等腰三角形以 a 为顶点的时候，你有没有发现这段弧 它就是可以是点 p 的 轨迹啊。那么同时呢，你会发现，在 a b 这个弦跟着转的时候， a b 这个弦可以不在这里，在跟着转的时候，你会发现这个紫色的圆也会跟着转，但是这个紫色的圆离圆心最近的距离， 各位你可以算一算啊，你会发现这个长度是一，因为这个 a b 的 啊，这个长度是根号二，所以这个以 a 为圆心这个半径啊，这个圆半径也是根号二，所以你会发现，哎，这正好是根号三， 所以它离圆心最近的距离是根号三。你算一算，你会发现这个最近的距离啊，最远的距离是根号五。所以当 ab 在 转的过程中，你会发现，这个点它到圆心的距离永远是根号三，而这个点到圆心的距离永远是根号五。所以各位你会发现，其实 如果让这个弦 a b 转一圈啊，各位，我换个颜色啊看看，哎，你会发现，就是这段弧啊，就是这段弧，这段弧它的轨迹就是这样一个圆环 啊。 ok， 轨迹明白了，咱们再看，这是一条什么线呢？首先必要大于零，其实这道题大于零啊，明天老师给你降低难度了，毕竟是第二问。另外它它的斜率是一，咱们让它全面吸了去动，但是请注意是线段 g h， 我 告诉大家啊，线段遇上圆环必有坑，你一定要全面吸了去动。 大家，哎，从上到下全面吸水运动，在这种情况下，各位你会发现就是一个临界情况，然后这个时候呢，因为这个绿圆，它的半径是根号五，所以这个点的动作标就是根号十，所以 b 是 小于等于根号十。 然后请注意，别以为小于等于根号十，大于零就行了啊。你再走走走，走到这的时候，你会发现，各位，咱们问的是线段啊，各位，人家问的是线段 g， 所以你会发现这是线段 g h， 你 在这个这个线再往下一点，请问这个线段 g h 和这个圆环还有交点吗？没有交点，这种情况下，哎，因为这个成色的圆，它的半径是根号三，所以大于等于根号三。各位，这就是第二问的答案啊，你可以再回顾回顾，我们接下来要讲第三问了，各位， 第三问。首先，第三问这句话可能有歧义，有的人说，尤且仅有两个弦 m n 的 关联点，这是两个弦 m n 还是两个关联点呢？有的同学可能在考场就会有歧义了，按照老谢啊，一个很重要的技术叫视角分析法， 哎，我们站在主角的视角，你看这道题，什么是主角呢？他说， m n 是 圆 o 的 一条弦，就是整个第三文。这个故事是站在 m n 先有个 m n， 人家说，哎，这道题啊，我跟你们说啊，有一个弦 m n， 它的长度是一，所以这个弦 m n 就是 某一条弦。 然后这个故事从 m n 的 视角开始的， m n 确定了，然后再看看这个时候，哎，这个 y 等于一条蓝线上有没有 m n 的 两个关联点，各位能理解吗？ 所以呢，是两个关联点，而不是两个弦啊。 ok， 按照我刚才对定义的解读，各位同学，你们能画出来这种情况吗？就是我们还是先随便画了一个这个红色的这个弦 m n 等于一， 并且我们发现特别巧，按照我刚才定义的解读，哎，各位，你会发现这个时候呢？哎，它的关联点就是这个橙色的弧和这个橙色的， 这个时候你会发现，哎，正好在外等一上，有这两个点，这种情况是可以的啊，这种情况是可以的， 然后呢，各位，我给你们画个动图啊，然后也就是说咱们干那种情况可以，然后在 m n 转的过程中，他对应的关联点，你看啊，就是这两个紫色的叉子，你就知道他什么情况，和这个红线 y 等于一， 有两个焦点，有两个焦点就符合 t。 各位啊，另外请注意，像暂停的这种情况下，有一个焦点也不行，所以一定要全面、细致、有序动。 ok， 各位，这是一种情况，我们知道他在转的过程中， 然后呢？哎，他是有复合题的，然后呢？但是转到正好过这一个点的时候，要排除这个点，咋回事呢？各位，你有没有发现这个粉色是一个菱形啊， 因为以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，它是个菱形，菱形。这个时候的点 k， 他正好是这个蓝色的啊，这个线段的中点，而这个点的纵坐标是一，这个点的纵坐标是零，所以中点的纵坐标就是二分之一，所以这二分之一要 pass 啊，然后最后转到这种情况，有时候老师，这种情况怎么一下子找到呢？各位还记得一开始的起始状态吗？一开始的起始状态，这个绿线 它就过 n 的 切线，过 n 的 切线，这个时候正好它和哎这个关联点的轨迹正好有俩交点，只不过我们转到绿线正好就变成 y 等一了，也就是点 n 正好是这个切点了。 各位，这个时候你可以算一算，很好算啊，因为这个时候 omn 是 一个等边三角形，所以呢，这个角是三十度 啊。各位，你会发现，或者说这个时候点 m， 它的纵坐标是二分之一，这个点是一个中位线，所以这个长度也是四分之一，所以 k 是 四分之三。所以这道题的答案就是 k 啊，大于等于咱们刚才一开始的答案。一个是四分之根号三啊， k 呢，大于等于四分之根号三，小于二分之一或啊，哎， k 大 于二分之一，小于等于四分之三。 对啊，这道题你体会体会看看。通过这道题跟老谢对心地一吐诗啊，我这个心地一吐诗可以解决所有的心地的题，通过这道题可以好好体会体会这四句诗怎么帮你解这道题了。

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。

西城二模今天的原宗考点其实挺标准的，为什么说够标准呢？因为它比较贴合中考的考点啊，必须明确这样说，但是你说它有难度吗？其实难度系数我觉得还没有达到中考的难度。我们接下来来看一下这道题，他说 ab 是 直径，还是要去做条件反射？看到直径想什么？我不多说了，然后告诉我们是过点 c 做直线 e、 f 分 别交 b、 d、 b a 延长线于点 e 和点 f， 且 e、 f 等于 b f， 那 因为 e、 f 等于 b f， 所以 对应两个底角等，这先给它表示出来， c b， e 等于的是四十五度，因为它是一个圆周角，所以我们说过，看到圆周角要看它所对的弧是谁？弧 c d， 那 弧 c、 d 有 没有它所对的圆心角呢？没有，所以构造连 o c 连 o d， 那 这个角就是九十。好，第一问让我们正切线很好，正因为我知道这是九十，又因为 o d 等于 o b， 所以 这两个底角也等，那它们两个等了之后就会出现平行，所以 o d 和 e、 f 平行，这就是九十。所以结束。第一问结束了，很快啊。 好，来看第二问。第二问说做 m n 做好了， m n 垂直于它，那，因为这是垂直，这也是垂直，所以相似，三角形就出来了。谁 f c o 和三角形 f m、 n 这两个三角形形成 a 字相似， 那因为题目当中给了我一个比例关系，所以我可以用设参的方式， a f 等于 a， 那 c、 f 就是 三 a， 那 因为又告诉我 ab 是 四， ab 是 直径，直径是四，所以半径是二，这是二，这也是二。这个直角三角形里面三边长就都有了，而 且是含有未知数 a 的， 那我就可以利用勾股定律求出 a， a 的 长等于二分之一，白求出来。求完了之后， a 的 长是二分之一，所以 m f 的 长就有了。因为 c， m， d， o 这个是一个什么形？正方形，所以 m f， 它的长就是二分之七， 这是二分之七，这是二分之三，所以两个相似三角形的比例关系就有了。所以 m n 的 长也能求出来，等于三分之十四。 m n 出来了，那 d n 就 出来了，等于的是三分之八。好，那 o， d 是 二，这是三分之八，所以 o， n 的 长就出来了。 o， n 等于三分之十，三分之十有了，减去 o b 的 长， o， b 等于的是半径，也就是二，所以它答案是三分之四。结束了， 到了吧，我们只需要识别出来一个 a 字相似，然后利用勾股定律，包括他对应的相似线段成比例就出来了。所以我觉得他考的还挺好的啊，比如说有勾股，有相似，如果你不用相似，你用三角函数也可以，但是他的难度我觉得没有达到。好，那我们就先说这么多，拜拜。

截止到今天，大部分地区的二模已经考完了，综合来看，西城区是最接近中考难度的，海淀区、粤南、朝阳区过于简单，我重点给大家解读一下海淀、西城、朝阳三个区的数学试卷。这三个区前一到二十五题都比较常规，除了西城区的填空压轴题，大部分的题的难度都和中考持平或略低于中考难度， 尤其是原宗这道题上都是低于中考难度的。因此前一到二十五题没有太多我们需要关注的重点，就会落到后三道题上。先来看二十六题，海淀的第二十六题带中还是很难的，它的考点是我们平时反复在讲的，考点就是画图、分类、讨论、对称性等等。 但是这道题它的分类情况特别多，而且里面涉及到了比较多的计算以及大量的易错点，尤其是等号的取舍， 所以这个题在考场上有限的时间范围内难度是比较大的。再加上海淀区今年整张卷子比较难，时间又非常紧张，所以这个题的难度进一步被加大了。 那么大家可以在自己训练的时候重点看一看，你能在多长时间范围内比较完整的把它给写完，这个很重要。好，再来说一下系统的带动是比较常规的，最接近二零二五年北京中考的原题，那大家可以对于这个水平比较中等的同学来说，拿这个题作为标杆，去对照 整个带动的掌握情况是比较合理的。再来说一下朝阳这个二模，这道带动啊难度很大，但是他和海淀区啊走了另外一个不同的方向，就是他并不是我们平时讲的比较多的那些常规考点加大了难度，而是出了一个比较偏的方向，偏向于理解， 偏向于新定义的理解。这个题不作为大家重点关注的题，因为我觉得确实出的有点太偏了。再来看二十七题，这个题的三区难度依然是海淀大于西城，大于朝阳。西城和中考的难度最接近。海淀的这道几宗题啊，一方面是它本身出的比较难， 还有一个方面，他重点考察了终点。而很多初三的同学现阶段练的特别多的都是旋转。因为二五年北京中考核心是旋转，所以很多同学对终点问题又有点忽略。我们在呃最后最后的冲刺课中，会重点提到终点问题，为什么？ 不仅是因为海淀二模考了，更重要的是从二二年开始，二三二四这三年几宗终点都是中考中绝对的重点， 所以它不能因为二五年啊，没有放在终点上就忽略它的重要性。当然，这道题其实是有多种做法的，每一种做法都会围绕终点作为核心。西城的这道几宗题呢，它确实就是以二五年中考作为重点参考的一种题型了。它核心考察的 这个旋转呢，我们一直在强调的就是七字口诀、旋转、线段、带圈等。除此之外呢，它还有一个难点，也是大部分几宗题容易设置的一个卡点，就是倒角问题。对于倒角不熟练的同学，重点要研究下这道题。 朝阳二模的几栋没啥可说的啊，就两个字，简单。二十八题，难度依然是海淀大于西城，大于朝阳。为什么这么说？因为对于大部分同学来说啊，新定义主要就是看前两问，第一问一般呢就是送分题，只要时间充裕，大部分同学都能做出来。核心是看第二小问，海淀二模的这道 题的第二小问难度跳跃就非常大，所以很难得到第二小问的这个分值，一下就把整体难度抬上去了。而西城二模的呢，他的梯度设置的就比较合理，所以也是最接近中考的。对于二模以前两问为目标分数的同学来说， 重点可以做下西城这道题，如果你是想奔着满分去的，或者九十五加的同学，你可以重点去挑战一下海淀区这道题。朝阳的这道二模题啊，我真是觉得有点这个，为啥这么说啊？因为这个过于简单了，而且不仅是第一小问过于简单， 第二小问呢，也过于简单，并且到了第二小问，他都和新定义的后半段没有关联。这种出题确实有点匪夷所思了，不知道为什么会出成这样的状态。所以也引出一句话啊，就是 在中考的最后阶段，大家肯定会大量的去刷二模题，但并不是每道二模题都适合你去重点对待，一定要选对合适的题。除了二模题以外呢，还有就是往年的中考题也很重要， 所以我们最后的冲刺啊，一定是既围绕合适的二模和一模题，又围绕往年经典的中考题，甚至是往年一些特别特别重要的一模二模题，选对题真的非常非常重要。

好，我们来看一下西城区初三二模的这个圆中核啊，好久没有讲圆中核了，对吧？我们说做圆中核一定要特别的丝滑，对吧？这个题我在 上周六周日，就是昨天和前天，对吧？给初三的给初三班的学生讲课的时候讲过这个题啊，这个题可以口算， 我觉得大家如果要是考试中能够看出来第二问的这个思路，这题可能是两分钟，但是如果你要是在考场没有看出来，就可能两种情况，第一个就是课上没有认真听，第二个可能听了，然后课下给忘了，在考场上就是没有想起来咱们讲过的东西啊。这题可以瞬秒的啊， 我先把它给连接起来，再把它给连接起来，这是第一问的思路啊，第二问他说的是过点。第一，做一个垂直， 过点 d， 做一个垂直，然后与什么呢？与 ab， 对 吧？往这个地方交于点 n， 这个地方是有一个 m， 呃，然后呢？我们直接开始看第二吧，它说的是 c f 等于三倍的 a f， 所以 说我假设 a f 是 x， 这是一个三 x， 我 们在课上是不是讲过这个二级结论， 对吧？还告诉你们在哪个地方讲的呢？大家来看一下啊，昨天的那个课，我瞅样啊，我把这个讲义给找出来， 就是担心学生在考场上用不到，知道吧，这就比较尴尬，是不是在在这个地方啊？ 初三的一模在这， 我们在课上是讲过这个东西的啊，这不在这快速出思路的是不等于它。所以说这个新城区的模考题的这个圆中，不就是一分钟两分钟吗？直接秒了，对吧？我们可以怎么写 x 乘以 ab 啊？不对， x 乘以 x 加 ab， ab 是 四等于什么？等于个九 x 方，所以 x 加四等于个九 x， 那 么 x 等于二分之一，它等于二分之一，这地方不就是二分之三吗？ 这个地方是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径是 b n， 求得是 b n， 因为这是有一个垂直，所以说我们只需要跳角，这个角一等于角二靠近角一等于个靠近角二靠近角一等于几？是不等于三比五等于二比上一个 o n o n 呢？等于个三分之十，所以 b n 等于个三分之十，减二等于个三分之四。 考场上大概大概就是需要两分钟就可以写出来啊。当然这个二级结论的话是告诉你们快速出思路，因为我们圆轴和是需要快速出思路的，然后你们写一下过程就行。怎么写过程是不连接一下就行了，连接完之后有一个三角形相似。啊，好，这个题我讲到这里。

一成二模新定义的极速版，各位啊，你们看看这道题的营养有这些，然后呢，你们可以看一看，我怎么分析这个定义呢？因为是等腰三角形，比如说 a 是 顶点的时候，以 a 为圆心， ab 为半径，画了一个蓝圆， 然后基于我二零一九年根据二零一九年中考题总结的定义，带弧找垂足，我们让 a 当垂足画了这样一条切线，让 b 当垂足，画了这样一条切线。哎，你会发现，当点 p 在 这里的时候，就能够保证让裂弧 ab 上所有的点在三角形 abp 内部 啊， ok， 并且呢，当这个裂弧哎，它的圆心角是一百二十度的时候，临界点超过一百二十度就没有了 啊。然后呢，这个第一位也很简单。第二位呢，各位，我们画出来其中一种情况，以圆为背景的轨迹啊，你往往只需要研究你的这个其中一种情况的轨迹到圆心的距离。各位，你比如说， 咱们按照对定义的解读，我们会发现，当 ab 是 这个红色的这个弦的时候，然后呢，它对应的关联点啊，其中一种情况，这是以 a 为顶点的啊，以 b 为顶点，其实一样，你会发现这个时候这个长度是根号三， 这个长度是根号五。所以呢，如果我们让 ab 这个根号二的弦转一圈，你会发现它划过的痕迹轨迹就是一个圆环， 对啊，就是一个圆环，你看一看，然后呢，你让 y 等于 x 加 b， 从上到下全面吸走去动，这是一个临界情况。答案是，这时候对应的是根号十，注意是线段和圆环，所以这种情况是第二个情况啊，这个时候的 b 是 根号三，所以是从根号三到根号十，因为人家 b 大 于零。 好，第三问呢，各位，你看一看，我根据这定义的解读，哎，我就画出来，就是我让 m n 点 m， 随便在一个情况，就在我最舒适的情况先画一个情况，这个时候发现正好有俩焦点， 所以它是符合提议的啊，然后呢，我让它转一转，各位看看啊，大概是这么转的，也就是说我们， 哎，你看他现在他的关联点，是不是有的时候和红线就有两交点，有的时候就没有啊？大家看，有的时候就一个，有的时候就没有，对不对？当然在转的过程中一定要全面、细致、有序动，哎，你会发现他有一个一个点的时候，这种情况也得排除， 所以呢，哎，我们就求出来，现在的 k 等于四分之根号三，让它往上转，转到这的时候，因为这个点的纵坐标是一，这个点的纵坐标是零，这是一个菱形，所以你会发现这时候 k 等于二分之一，这种情况要排除。 然后呢，当转到这种情况的时候，也就是正好点 n 当垂足，然后呢，你会发现这个时候可以等于四分之三，所以这道题的答案就是 k 小 于等于四分之三，大于等于四分之根号三，且 k 不 等于二分之一啊，你也可以分开写啊。 ok， 这就是这道题的答案啊。

整个卷子我认为他的结构出的特别合理，就是非常适合大家中考之前的热身，这个二模完全起到了自己中考前热身的这个作用。 然后第二件事就是大家一定要注意看这几个题，二十四、二十五、二十六，还有二十八题，二十四题是什么？二十四题是圆，二十五题是函数图像操作，二十六题是什么？二十六题是代宗，二十八题是新定义。 如果这四道题，这个这些有孩子一分没得，那你一定要注意这个孩子两件事。第一个就是他中考前这一个月一定要总结方法了， 你不可能一分都不得，因为这四道题是极其具有高度高度总结的方法论的，你只要有方法，有套路，你不可能一分都不得，这是第一个，第二个，那如果是平时孩子还不错，但这次一分都没得，一定是心态出了问题， 所以心态很重要，很关键，所以大家一定要在考试的这如果家长不行，那就找老师帮他疏导，心态的疏导特别重要，如果这次有孩子这四道题一分没得，那就是心态的问题， 所以你一定要找老家长，不行就找老师帮助他疏导，这件事很关键，我就强调一遍啊，所以最后这个二模怎么说呢？嗯，大家认认真真的去好好做一做，别浪费，他出的真是不错。

这条视频给大家分享北京西城的按摩，然后刚刚下课呢，就赶紧要给大家来分享，因为今天的课程也是上到现在，那我们就先分享啊，这条视频，就先分享这个选择压轴和带棕，那么下条视频呢，我给大家分享一个专门的几棕，就是原棕再加这个几何综合啊，就二十七题。 那么我们首先来看这个第八题，我看了一下就是，呃，大家可能很少有老师去分享这个选择压轴，那么我就作为这个先例，给大家分享一下这个题目的一个做题方法，希望能够让大家在整个考试当中啊，第一能够快速的选出答案，第二能够去积累一下这个题目的一个做题方法。那首先我们来看这个题目啊， 这个题我就不读了，它是一个正六边形，它第一个问题问我们的是线段 o b o m 的 最大值是二，那这个题目我们来画画图，比如说在这， 在这你会发现在这的时候是不是 b 要在这的时候要大？好，那么继续往这走，是不是又开始变，又开始从这开始变小，然后到垂直的时候最小，再开始变大，是吧？到 a 的 时候最大，但他不可能到 a 最最大的就是什么？就是在点 b 的 时候就是二，所以你在考场之上判断出第一个之后，第二个一定错，你答案就已经锁定在百分之五十了，就是 a 和 b 一定有一个是对的。那么再看第三个，第四个，一般来讲出题的顺序是我们的 这个，呃，第三个都会比较简单，就是第一个最简单，第二个，第三个，然后第四个是这样的，那么第三个我们只需要判断一个点，它是一个不等式，所以我们只需要判断一个点就行了。什么呢？就是 k 一定不能等于零，那么我们就判断一下 k 能不能等于根号三，如果说 k 等于根号三，那么第三个错，第四个就对了，在考场上就能快速去做，那么我们来看一下能不能等，当然可以在这的时候， 是吧？我们能知道啊，他在这的时候就是等于根号三，没错吧？ m 在 点 b 的 时候是不是点 b， 坐标是不是一斗根三，所以 k 的 话是不是有一乘根三， 所以说这个是对的，所以根三是可取的，而并不是说不能取，所以你这个就一定错，答案就直接选择 b 选项，在考场上就直接走了啊，就这么做的，能理解吧。那么现在我们怎么去判断这个题目呢？我来给大家再做一个这个详细的分享，我希望大家能够去啊，真的去把知识点掌握的更清楚。好吧，那你看第二个， 第二个你怎么做呢？你看，我们知道的是，假如是这样的，他说做垂直，对吧？做垂直的话，我们就做垂直，那只能是这样的， ok， 好， 只能是这样子做垂直，对吧？呃，这是 m， 然后这是 m 片，因为你 ab 和 d e 是 平行的，所以说你，你这是垂直，那自然这也是垂直，没问题吧？那么你就知道了，这一定是垂直， 能理解吧。同学可能会说，老师，这个为什么是垂直？你看啊，这个是垂直，然后这个是六十度至三十度，没错吧？然后呢，我们还能知道的是，这是一，这是根三，所以这是三十度吧， 所以这就是九十度，能理解吧？就这么做的，所以这个面积就自然就出来了多少？呃，你知道的是，这是二，对吧？这是根三，所以整个就二倍根三至二，二倍根三乘以二，所以面积是根号三，就是当垂直的时候，这个面积是根号二，那个二二倍根三，对吧？ 面当垂直的时候，面积是二倍根三。那么，呃，如果不是垂直，我随便找一个点，比如说我在这，我找的最特殊，当然 m 不 可能在这，如果 m 在 这，那么我们就知道了，这是 m， 这是 m 撇，是吧？那么所以它的面积是多少， 我们就知道了。应该是，这是根三啊，不是，这是，呃，这是一，这是二倍根三，所以这个三角形面积多少？这三角面积就是根号三，所以他虽然不可能在这，但是你往这就是无限接近于这个， 让它的外值等于零，是不是它基本上是接近于根号三，或者比根号三那个就是相差不大的，对吧？所以这个垂直的时候并不是最小值，因为还有根号三的，所以这一定是错的，能理解吧？好，那么再看第四个，第四个怎么去判断呢？同学们， 很简单，我们直接来看，他说了 o m 等于 o n， 那 么只能是干什么？只能是让它在这里， 并且 n 在 上， m 在 下，对吧？然后你就知道了，如果 o m 等于 o n 好做，垂直一定是在这个垂直，这个，这个 o g 的 左右两侧，这个没有问题吧？所以我们就知道的是什么？就是这两个三角形一定是全等的，一定是全等的，所以你就知道这点是 ab 的 中点中点坐标公式， 那么点 a 是 二斗零，点 b 是 一斗根三，所以这个点 g 的 横坐标是不是点 n 的 横坐标加点 m 横坐标是不是就是三？没错吧，所以说这个也是对的啊， 好，这就是这道题，我就已经给大家详细讲完了啊，这是这个选择压轴啊，在考场上怎么做，在现在啊，你做完之后怎么去做，我都给你讲清楚了，我希望的是你能够真正的把这个题目在考场上的方法，以及包括考完之后的方法都能够掌握住，这样的话你能够在考场上做的更快一些。 那么接下来我们来看一下这个带宗啊，这个题目呢，我就给大家把这个呃，这个带宗也给大家讲一下。首先第一问没有任何问题，我跟大家说在做第一问的时候呢，应该是把这个直接都写完，什么呢？就是他有两个点，一个是点 a 是 多少，是 负一斗零，那点 b 的 话，在他的这个右边就是三 a 斗零，因为 a 大 于零，所以就就是这个点 b， 对 不对？那么你这样做的话，那第一问你就知道了， a 这个点 b 坐标是三斗零，所以 ab 就 应该是四。 第一问呢，一定是我们一个快速去得分的题目啊。那么第二问，呃，他说的是交抛物线于点 m， 那 我就知道了，可以把这个点的这个呃这个 m 点去写出来，对吧？ m 点多少是 t 到，这个是，呃， 直接写吧，就是 t 方加上一减三 a 乘以 t 再减三 a， 是 这样吧，我就不化简了，因为，呃，这样的话更快捷。那么你要求点 n 是 不是得求出 b 左边那点 d 呢？是不是零到负三 a？ 好，那么 b d 是 不是就可以求出解析式， y 等于 x 减三 a， 对 吧？那么你就知道点 n 坐标了，点 n 坐标是 t 到 t 减三 a， ok， 那 么这个时候你是不是就可以表示出来这个谁呢？这个 m n 的 距离应该是等于什么？最终化简完之后是 t 方减去三 a t， ok， 好 了，那接下来我们就是流水线的一个呃，操作是令它等于零，所以是 t 一 等于零， t 二等于三 a， ok， 那 这个图是不是就可以画出来了？ 是这样吧，好，这是零，这是三 a， 也就是说点 b 在 三 a 这儿，对吧？这点 b， 然后 呢，这对称轴是多少？二分之三 a， 好 了，那么我们再来看，它说 b e 的 长度逐渐增大，它从二开始，那这个它的长度要增大，但是这个 m n 的 距离要随它长度的增大，先变小再变大，是不是出的非常有意思？你不能挑出任何的毛病啊，你不能说跟你原来做的没关系，但是又不太一样， 对吧？所以我觉得他出的还是可以的。这道题非常不错，那么我们就知道了。那，呃，点这个二有没有可能在这？ 有没有可能在这二一定在零的右侧吧。那有没有可能在这？有可能吗？我们来看一看，如果是这样的话，他应该从哪运动？ 它应该是 b e 的 长度，你要知道永远都变大，所以它只能往左运动，对吧？那往左运动是不是 m n 先变小再变大？没毛病，是吧？所以就知道了，应该是二分之三 a 是 大于二的，能不能等于二？能，为啥？因为你等于二的时候，你这还没动呢，你 e 在 这，对吧？你还没动呢，你但凡 e 开始动，你只能往左动，因为它有增大嘛，所以只能往左动， 所以说就是符合 t e 的， 所以 a 是 大于等于三分之四的。那么你再看 a 那 个二有没有可能在这？ 二有没有可能在这？不可能。为什么？如果在这的话，它是先干嘛？先增大就是 m n 的 值，先增大再变小，那有没有可能在这？ 不可能。为什么？如果它在这的话，是不是？呃，虽然它在增大啊？虽然它在增大，你会发现这个 m n 只有增大，没有减小，所以这道题就只有这一个结果，是不是非常非常的这个简单，但是又一定会难倒一波人，所以说这道题咱们一定要认真总结。

c 乘二模的代数综合，从难度上来看呢，并不大，只需要分析参数与二之间的一个相对位置关系，这道题呢就解决掉了，是一个非常常规的增减型问题。 各位家长同学大家好，我们一起来看一下二零二六年 c 乘二模的代数综合啊。读到解析式，我们要有一个意识，这个以解析式呢，可以进行因式分解，进而我们可以得到点 a 是 负一斗零，点 b 是 三一斗零，这个呢比较基础，大家呢稍微注意一下 呃，然后告诉我们说与 y 轴交于点 d， 那 点 d 的 坐标呢，咱们也可以把它给求出来，零到五负三 a。 第一个告诉我们，当 a 等于一的时候，直接带入到这两个点，然后我们会发现 ab 等于四，这个对大家来说呢，是非常简单的，咱们在这里呢就不做过多的赘述了。 第二个我们来读一下这道题，看一看有哪些量是需要我们稍微注意的啊。他告诉我们过点 e 做 x 轴，垂线交抛物线于点 m， 所以 对于大家来说，这个 m 点的坐标应该是轻轻松松，老生常谈的问题， 直线 b、 d 与点 n， 我 们会发现呢，你读完题目之后并不知道 b、 d 的 解析式，但是在前期咱们已经解决掉了，点 b 的 坐标是三 a 斗零，点 d 的 坐标是零斗负三 a， 所以 b、 d 的 解析式应该是 x 减去三 a， 这样的话呢，点 n 的 坐标咱们也就出来了。 好，我们接下来呢，可以感受到，他在里面说的是 m 点与 n 点之间的距离，随着 b、 e 的 怎么着怎么着怎么着，对吧？所以我们要解决的是什么？ m n 的 这个长度问题，那这也是我们非常经典的，也是现在大家一直在练的问题，我们把这个式子呢放在一块加个绝对值，对吧？最后呢我们就能得到 m n 呢，它应该是 绝对值位，绝对值里的 t 方减去三 a t， 这一点呢，大家稍微注意一下啊。好，那接下来我们看一下，有哪一个点会让大家产生疑问呢？就是在这点， e 从二到零出发，沿 x 轴的某个方向， 沿 x 轴的某个方向，就相当于我们要进一步的去进行分类讨论，可以向左运动，可以向右运动，他只要满足其中之一就好了， 这个和西城一模的存在性问题啊，还是蛮像的啊，对吧？从二斗零，那么最大的问题是什么？就是这个二斗零，他到底在哪？对于很多学生来说是不清楚的，所以这道题的关键点就是解决二斗零，你只要把二斗零分析清楚了，那这道题咱们就解决了， 他说的是什么呢？嗯， m n 随着 b e 长度的增大，先变小后变大，求 a 的 绝对范围。好，那我们现在呢把这个 新函数图像呢也画出来了，画了三个图，点了三个位置，大家来看一下啊，因为点 e 呢是二到零，他一定在零的右侧，那零的右侧，我们关于终结性呢，会有三个位置， 第一个位置呢是这一段，第二个位置呢是这一段，第三个位置呢是这一段，那我们就把这个 e 放在这三个位置逐个分析就可以了。 在这里大家还需要注意一个地方啊，就是 e 呢，他是从 b， 他 是从这个二度零出发的，我们就假设一点，一出使的位置就是二度零，然后呢，让 e 去运动就好了，对吧？所以你看啊，如果点 e 在 三 a 的 右侧，他的出使， 那这个时候 e 从二度零向右运动，各位，你会发现他的图像是不是呃， m n 一 直随着这个 b e 长度的增大而增大？哎，有人说，老师， b 在 哪呢？哎，注意了啊， b 在 这，对吧？注意了， b 在 这，那你会发现，当 e 向这个方向运动的时候， m n 会随着他的增大而增大，对吧？ b e 在 增大， m n 呢，是不是也在增大的？所以他往这个方向运动绝对不行。 好，那我们现在来思考一下，当你在呃 b 的 外侧时，如果你向内部运动的话，当我们这个 e 往这个运动的话，你会发现这个 b e， 他 说的是 b 长度的增大，你会发现此时 b e 的 长度是不是先变小了，那说明这个时候他也不满足题目要求。第一种情况，直接 pass ok 吧。第二个情况，我们来看一下，来明确一下，点 b 是 三 a， 对 吧？点 b 是 三 a， 我 们来看看这第二种情况行不行。 点 e 在 这，那如果说点 e 往这个方向运动的话，哎，你会发现他俩之间的一个距离是不是在在这个地方，是不是在变小？所以说点 e 往这个方向运动是不是不行的？那如果点 e 往这个方向运动的话，好，点 e 如果往这个方向运动，那我们会发现 b e 的 长度确实在变大， 他满足第一个 b e 的 长度呢在变大，嗯， b e 的 长度呢在变大，感受一下 b e 的 长度在变大，但是我们会发现，此时 m n 呢，在这个从这个地方运动的时候，一开始这个地方也在变大，后来呢，在变小，他就是先变大 后变小，而我们题目中说的是先变小后变大，所以他不论是向右这个方向不行，向左这个方向他也不行，所以他不论是向右这个方向他也不行。所以第二种情况咱们也 pass 掉了，我们来看一下第三个， 第三个注意了，点 e 在 哪呢？点 e 在 这个位置，那这个时候我们已经知道了啊，他向左运动这个方向一定是不行的，因为他向左运动 b， e 在 减小，对吧？如果你向左运动的话，这个 b 的 长度是这样，哎，一开始这么长，然后来这么长，然后后来这么长，哎呀，后来这么 后来这么长啊，再后来这么再后来这么长，对吧？这个 b 在 变小，那他肯定不行，那我们就只能干嘛呢？我们就只能向右运动，感受一下。向右运动之后呢，我们会发现，哎，这个时候 b 是 不是在变大？你看 b 一 再往这， 再往这，再往这再变大，那一开始的时候我们会发现他是在变小的，后来呢？是不是在变大的？哎，先变小后变大，对吧？他是满足咱们的题目要求的， 所以在这里呢，我们会发现点 e 呀，他只要符合这样的一个要求就行了，就是 e 点在对称轴的左边，那也就是二分之三 a， 他 要大于我们所说的二 啊，二分之三 a 要大于我们所说的二，他说的是从点 e 啊，从这个地方开始运动，向左能不能去等呢？哎，我们会发现，此时呢，他也是可以去等号的， 对吧？那最后呢，我们就算出来 a 呢，应该是大于等于三分之四，那这样的话呢，这道题就结束了，所以说七乘二摩的代数综合呀，是非常简单的啊，也希望这个视频呢可以帮助大家更好的理解我们在后续做题的时候，一定要注意参 与数之间的分类讨论啊，这个东西才是我们代宗的最核心的内容，所以说这道题虽然不是很难，但是非常的好。

ok， 这个视频跟着红姐我们一起来看一下二六年咱们西城二模的这道集中题。这道题目的难度不是很大，辅助线思路也非常的明显，那接下来我们就一问一问的来看。 先来看第一问，告诉我们 a、 b 等于 a、 c 等腰三角形，角 b 是 r 法。那很显然角 a、 c、 b 这个角也是 r 法，等边对等角，对吧？那接下来 d 是 b、 a 延长线上的一点连接 c、 d 将 c、 d 照着点 c 逆时针旋转二 r 法得到 c、 e， 所以 c、 d、 e 又是一个等腰三角形， 他说一点呢，是在 a、 b 上。第一问，让我们证明 a 是 b、 d 的 中点。那第一问，一般情况下，我们首先先不要想着去做辅助线，我们先进行倒角，倒边看看，试一试。那接下来我们就把能表示的角都表示出来。 那首先，根据三角形 a、 b、 c 是 个等腰三角形，两个底角是二 r 法的话，那当然顶角肯定就是一百八，减去二 r 法，当然这个角就是二 r 法了。其次，三角形 c、 d、 e 是 个等腰三角形，我们也要充分利用它的角度。顶角是二 r 法，两个底角是不是也可求啊？比如说角 d 是 多少呀？ 对，九十度减去 r 法。嗯，那这个时候你就要有一种充分的感知哈，当二 r 法和九十度减 r 法在同一个三角形的时候，这个三角形肯定是等腰三角形了。 哪个三角形？ a、 c、 d。 你 可以利用三角形内角和去求一下这个角 a、 c、 d， 它也是九十度减去 r 法，因为这两个角都表出来了，那很显然它就表示出来了。 好，那现在我们就证明出来了哈，通过倒角是能够证明出来 a、 c、 d 是 个等腰三角形，并且 a、 d 是 等于 a、 c 的， 那 a、 c 又等于 ab 呀？所以我们就正反了。第一问，我们就是通过等腰三角形充分的倒角得到了 a、 d 等于 a、 c， 那 进而等于 ab 了，那 ad 等于 ab 呢？肯定 a 就是 b、 d 的 终点了。这是我们的第一问，接下来我们来看第二问。第二问的核心条件没有发生变化， abc 依然是等腰三角形，所以该标的角依然还存在， c、 d 还是转到了 c、 e 的 位置， d， c、 e 还是二倍的 r 法，只是这个时候 e 点他跑到了 b、 c 的 下方，然后接下来他说 f 在 ab 上， b f、 e 这个角是二 r 法， 让我们用等式表示 a、 c、 b、 d 和 e、 f 之间的数量关系。那很显然，这个题目三条线段离得比较远，我们肯定是需要做辅助线的。怎么样做辅助线呢？当然要从已知条件出发，发现应该哪些题眼，去做什么样的辅助线，你发现了什么样的题眼呀？ 对，我们课上讲过，这里面有一个非常显著的体验，就是绊脚模型它的特征。绊脚模型的特征在红姐的课上讲过，是由共端点的等线段看，以 c 为顶点， cd 是 不是等于 c、 e， 还有共顶点的背半角。从 c 点出发，是不是有一个半角关系？有角， a， c、 b 等于二分之一角， d， c、 e 在 图中都是 r 法。 那有了绊脚模型的特征之后，我们要知道，这个题目的辅助线思路就已经非常明确了，就是绕着顶点转一转，两腰重合关系线。什么意思呢？我们以 c、 e 为边的三角形转到以 c、 d 为边的三角形位置， 或者说是只要以 c、 d 为边的三角形，逆时针转到以 c、 e 为边的三角形位置，这个题目两种转法都是可以的，那不妨我们将就将以 c、 e 为边的三角形转到以 c、 d 为边的三角形，是不是只能是 c、 e、 f 呀？在途中， 好，那我们就是将三角形 c、 e、 f 绕着点 c、 d 加上 g 的 位置吧， 好，转到 c、 d、 g 这个位置。那转完之后，我们首先要想这个 a、 d、 g 共线嘛， 这也是在半角模型出现在四边形中我们常考的一个点呀。那你就看题目中有没有对角互补呀。因为你将这个三角转到这个位置，那就说明角 e 和这个角对应相等啊。那角 e 如果和这个角是互补的，那么它俩肯定就是共线了，对不对？ ok， 那 这个二 r 法就用上了哈，这个条件就用上了。因为这个角都是二 r 法，所以它的邻补角这个角是不是一百八减去二 r 法？哎， 在四边形 d、 c、 e、 f 中，这个 d、 c、 e 是 二 r 法， d、 f、 e 是 一百八减二 r 法，它们俩是不是互补呀？那所以说这个角 a、 d、 c 我们记作角 e， 它这个角 e 以及角三角 a、 d、 c 这个角 e 和角 e 是 不是就是对角？所以在这个四边形四边形 d、 c、 e、 f 中， 我们的两组对角都是互补的，对不对？ d、 c、 e、 f 中，我们得到了角 e 加上角 e， 它是等于角 d、 f、 e 加上角 d、 c、 e 的， 都等于一百八十度。所以说这个题目呢，很显然 a、 d、 g 就是 共线的了。那因此这个题的辅助线做法呀，我们除了去描述成将这个三角形 c、 e、 f 绕着点 c 顺时针旋转到 c d g 的 位置之外呢，我们还可以有另外一种表述方式，就是利用截长补短的表述， 也是我们常用的表述哈。所以这个题目我用截长不等的表述就是延长 a d 到点 g， 使 d g 等于 f 一， 所以我们的辅助线就是延长 d g 到，呃，延长 a d 哈， sorry， 延长 a d 到点 g， 使 d g 等于 e f。 当然这个时候再连上 c g 和 c f， 连 c g 和 c f， 那 我们必然可以得到三角形 c、 e、 f 是 全等于三角形 c、 d g 的 判定，定里肯定是 s s， 我 们来找一找哈。首先第一个就是因为角移和角 e 是 互补的，那我们必然可以得到什么呀？ 角移和角三也是互补的呀，所以我们是可以推出来角 e 和角三是对应相等的， 所以这个角 e 和角三对应上的一组对应角相等了，对不对？然后 c d 等于 c e， 这是一组对应边了，再加上我们辅助线做出来的这个，所以这两个三角形全等，那这两个三角形全等，我们必然可以得到第三条边对应相等和另外两组角也是对应相等的，对不对？好，那第三条边是谁呀？ 第三条边是不是就是 c g 和 c f 是 对应相等的哎，是不是出等腰了？ c f g 是 个等腰哎，这个时候你看一看，它是不是就像我们的第一问了， c f g 等腰。来，我们来观察一下，是不是很像啊？ c d、 e 等腰，这里还有个等腰很像第一问，所以它就回归到第一问了，相当于。好，那我们继续来看哈， 那它是等腰的话，接下来这两个角也是对应相等的，这个角和这个角是对应相等的，我们标上哈，那当然，我们因为 c f 等于 c j， 所以 这个角是不是也是叉叉呀？那因此我们是可以判断出来两个叉叉是多少度呀？ 因为 a f 是 a f e 是 一百八减二 r 法，所以一个叉叉，那就是九十度减 r 法， 这个也是九十度减 r 法，没问题不？嗯，它既然回归到第一问了，同学们，那这个角是多少度？在第一问，这个角是不是二 r 法？是三角形 a b c 的 顶角的外角，那再利用三角形 a c g， 它内角和我们是不是也可以快速求出来这个角多少度？哎，这个角也是叉叉，也是九十度减 r 法， 那所以三角形 a c g， 它就是一个等腰三角形，所以我们正完全等之后，接下来就是进行一波导角，这一波导角我们可以得到什么呢？角 g 等于角， a f c 等于角， b f c 还等于啊，这个当然等于九十度减去 r 法，对不对？可以写成二分之一哈， 稍微减，粗略写一下过程，二分之一角 a f、 e 就 等于九十度减去 r 法。然后再利用三角形 a c g 的 内角和， 我们可以求出来角 a c g 也等于九十度减 r 法。好，那现在我们就证明出来什么呢？证明出来我们的 a c 是 等于 a g 的， 那当然也等于 ab 了， 那在这个题目中，还有 e f 是 等于 d j 的， 所以接下来我们就把相等的边在图中标一标，然后帮助我们去找关系好不好？好，我就用绿色来标一标了哈。 来相等的边是谁啊？这个 e、 f， 那 我假设设为是 a 吧，那所以这个 d、 j 就是 a， 那 接下来我如果是 b， a， a、 c 和 a、 g 都是 b， 因为它们三个相等嘛， a， c 也是 b， a， b 也是 b， ok， 那 接下来我们来看看我们要表出的三个线段分别怎么样用 a 和 b 来表出来。首先 a、 c 是 什么？ a， c 就是 b， d， b， d 是 不是就是 b， g 减去 d， g 就是 二 b 减去 a， e、 f 呢？ e， f 就是 a？ ok， 那这个时候我们就得到结论了，也就是 b、 d 应该等于两倍的 a， c 减去 e、 f， 对 不对？ 你看 b， d 等于二， b 减 a 来写一下哈， b， d 等于二， b 减 ab 是 谁？ b 就是 ac 嘛，减去 a， a 是 谁？ a 就是 e、 f， 所以 我们这个结论，或者你写成 b、 d， b、 d 加上 e、 f 等于两倍的 a、 c 也可以。这样我们就把这个题目证明出来了。你看，我们再回过头来想一下这个题目的思路是什么？ 发现绊脚模型的特征，直接利用绊脚模型的常用辅助线做法去帮助我们去解析去。当然里面有一个非常核心的条件，就是这个对角互补的条件，帮助我们去把图形构造出来。接下来就变成我们第一问了。 好在开始的时候红姐也说过，我们也可以向下旋转，当然你也可以尝试将三角形 c、 d， a 旋转到 c、 e 什么的位置，看看能不能解决这个题目呢？也是可以的，那你自己去思考一下吧。

今天下午刚考完的西城二摩的这道几宗题，依然保持着超高的水准，他的第二小问难度比较大，两步走，第一步是我们一直在讲的旋转口诀，第二步是几宗中的难点倒角。接下来我们详细解读一下这道题。第一小问中啊， 他需要用到的是证明角度相等，因为我们很容易可以看到题目中已给了等腰，又让我们证明点 a 是 中点，那自然只要证明 a、 d 等于 a、 c 即可，所以我们的目标就会聚焦到证明三角形 a、 d、 c 是 个等腰三角形，在这个位置，他已经在向我们暗示第二小问了。 我们经常会讲一句话，没有无缘无故的低小问，在己东这道题中，这句话是非常重要的，那我们不去详细解读低小问的具体过程，我们只在讲，当你做完题之后，你要把这道题目中用到的核心给他提炼出来，一、找 a、 c 等于 a、 d， 找等腰。二、倒角 后面我们在做第二小问的时候，会用到它进入第二小问。第二小问呢，读完题之后，我们知道它给了一个 a、 c 和 c、 e 之间旋转了二阿法这么一个旋转关系，这两个线段不仅是旋转，而且旋转的是一个不确定的角度， 非常符合我们经常讲讲的旋转口诀，也就是旋转线段带全等。什么意思？就是我不仅要让这两个线转，我还要让这两个线带着三角形转，比如，比如啊，我找到了 a、 c 这条线带着的一个三角形 a、 c、 d， 我 让他转过来，转过来之后他就会转成这样， 那这就是其中给我们的一种尝试性的辅助线思路，他靠谱吗？看完之后他并不太靠谱。为什么？因为在旋转线段带全等这个思路下，不止一种可能性， 现在我转的是其中一种可能性，我还可能转别的三角形。那我尝试了某一个旋转，我怎么知道它靠谱还是不靠谱呢？要和题目中的已知和所求相结合。比如这道题明确求的是小 a、 小 b 和小 c 这三条线段的关系。 那你看，我们转完之后，小 a 跑在这个位置，小 b 跑在这个位置，小 c 跑在这个位置。这三条线啊，完全没有关联上，和我们的所求没有任何关联， 而和我们的已知关联度只和旋转有关系。那他不是我们的 u 型选项。那怎么办？我刚刚提示了，不止旋转一个三角形啊，我们再去看还有没有可能带其他的三角形旋转呢？哎，连接 c f， 那 c、 e、 f 不 就变成了一个可以跟着 c e 旋转的三角形吗？我们给它延长， 大家转到这个位置来。当我这么一转的时候，我观察一下我们要找的那三条线产生了什么样的变化。 第一个小 a 所在的位置在这个位置，第二个小 b， 第三个小 c， 很 明显他回到了什么状态呢？我们的第一条纹的状态就是小 a 中已经有一部分是等于小 c 的 了，我们只需证明这是一个等腰三角形即可。 好，思路一下就通了。那么接下来我们要做的是什么呢？先不要着急，要把这个旋转线段带全等这个思路转换成比较标准的写法，就是旋转三角形在我们的这个解题中是不能够直接这么表述的，我们往往采用的是延长啊正全等的方式， 所以本题的表达应该是延长 a d g 使得 d g 等于 e、 f。 接下来我们就要去证明这两个三角形全等。 观察可得，已经有两组条件是明确的，一个是 c d 等于 c e， 一个是我们延长的 d、 g 等于 e、 f。 这两条线相等，中间唯独缺一个东西，就是他们的夹角相等，也就是角 f、 e、 c 等于角 gdc。 我 们还缺这个。分析到这个位置，就进入了本题的第一个难点，导角。本题有两个难的导角，这只是其中之一，我们来看看是怎么推导的。我想证明这两个角相等，会发现其中一个角是四边形的内角，而另外一个角是四边形的外角。角 gdc 加上角 fdc 是 等于一百八十度，我只需要证明角 fdc 加上角 f、 d、 c 也等于一百八十度即可。 f、 e、 c 和 f d、 c 同时转换到了四边形内部这两个角，发现不太容易证明它俩相等，那我就会切换到另外一个视角，看另外一组对角是不是相加等于一百八十度呢？观察可得， 角 d、 f、 e 加上角 d、 c、 e 是 等于一百八十度 a， 为什么这两个相加是一百八十度？因为角 d、 f、 e 加上它的补角是 bfe， 而这个 bfe 呢，是本题所给的一个关键条件。二、阿法这个条件我们不用上，肯定是证明不出来本题的，所以这样一来，我们就推导出了 如何去证明这两个角相等。观察和推理的思路是这样一步一步逆着来的，所以写的时候是从下往上写的，本题的第一个难点突破了之后，全等就得以证明，所以三角形 cdf 那第二个点就到哪了呢？就到了，我们如何去证明这个位置是一个大等腰？回顾本题，我们已经得出，哎，这一部分和 这一部分相等了，只要再证明这一部分和这一部分相等，就可以得出 a 加 b 等于二 c 了。所以到这个角 到这个三角形就变成了一个关键了。那我们接下来先看在这个三角形中有什么已知条件呢？哎，看旁边的这个图可以看到这个位置啊，是有一个二倍的阿尔法的，千万不要忽略了它，因为最开始就告诉了我们底边是一个等腰三角形，所以第一步 角 d、 a、 c 等于二倍的 r 法。如果它是个等号三角形，我只要能够证明这两个底角中任何一个等于九十度减 r 法，那另外一个也一定等于九十度减 r 法。所以我要去观察找哪个角去证明它是九十度减 r 法。刚刚的全等就可以帮我们发挥作用， 因为这个全等是一个旋转全等旋转全等意味着什么呢？意味着手拉手模型的出现。 所以本题是两个等腰三角形的旋转啊。一个等腰三角形是这个小的，它的顶角是二倍的阿法。另一个等腰三角形是这个大的，它的顶角也一定是二倍的阿法。所以由此我们可以得出这个角是二倍的阿法。 那这样一来，我就可以得出上面的这个底角是九十度减法。所以他还充分利用了手拉手模型的逆向使用这个关键结论，所以角 f c g 等于二倍打法，角 c g， a 等于九十度减法，把一和二他俩一结合，可以得出 a c 等于 a g， 所以 综上所述，我们就可以得出小 a 加小 b 等于二倍的小 c， 也就是本题的结论就出来了，也就是 b d 加 e f 等于二倍的 a c。 非常好的一道题，值得大家把它认真的记在笔记本上。

西城二模几何的是半角模型，所有准备了手拉手和中点模型的同学，你是不是忽视了这个考点呢？我们今天用一个视频来给大家去说一说，关于西城二模的这个半角模型，我们有什么样的多解思路。首先我们来先读题，他说在三角形 abc 当中， ab 等于 ac 角 b 等于 ar 法，那么就标呗， ab 等于 ac ar 法， ar 法，所以这就是二 ar 法。先都给他标好，然后告诉我们连接 cd， 并且将 cd 绕点 c 逆时针旋转，二 ar 法得到 c e， 这就是二阿尔法，没问题。好，那得到的是谁？是 c e， 所以 你看我这图一里面标好了所有的角，我能知道的啊。然后以及我能得到的线段，第一问让我们去求证点 a 是 b， d 的 终点，那我们会发现看这个图，而且让我证的是点 a 是 终点，是不是也就意味着我可以去证明一下什么 斜边中线这个东西，对吧？好，所以那我接下来怎么用？这是二阿尔法。在一个等腰三角形当中，顶角是阿尔法，所以底角就是九十度减阿尔法，这是阿尔法，所以他们俩相加是九十，那这就是直角，这如果是直角的话，这是阿尔法，这就是九十减阿尔法。所以那我们接下来就可以知道 a， c 等于 a， d 又等于 ab， 所以 点 a 是 中点。结束 能明白，这是我们的第一问，比较简单啊，但是第一问一般情况下来说都会给我们，第二问的话会比较好做。我们来看照这个图， 这个图第二遍说的是什么？告诉我们角 bfe 等于二阿尔法， bfe， 这是二阿尔法，其他条件都不变，然后让我们去证明三条线段之间的关系，分别是 a cef 和 b d， 看起来毫不相关的对不对？那我们能够想到的是什么？证明三条线段关系能够想到的其实就是截长补短的方式， 所以我会想到的是，呃， b d， 对 吧？ e f 和 a c， b d 明显是最长的，但是它又不等于这两条线段相加，肉眼可见，所以呢，这个时候就从我们的猜测结论来说是不符合提议的，没办法去做的。那这个时候我们可以从哪入手？从条件入手，因为我们知道这个角是二阿尔法， 然后这个角是阿尔法，所以他就得到这个角和这个角相加等于阿尔法，看到了吗？所以呢，我能够想到的就是半角模型的思路。半角模型思路是什么？说把它旋转过去好，那这个时候就会出现两个疑问，第一个疑问就是如果这两个角相加等于阿尔法的话，我到底是把下面这个三角形给它旋转上去，还是我把上面的三角形给它旋转下来 好？所以你这个时候就会发现我用的法一就是把上面这个三角形旋转下来的好，那这个时候我还是那个思路啊，我可以把它旋转下来，那他就会变成我法一的位置，我还可以怎么样利用我第一问的思路？第一问思路是找点 a 是 终点，构造一个直角三角形，所以那这个时候我能够想到的就是我把它延长出去， 然后做一个 cp， 让这也是九十度的直角。那接下来就会有一个问题，什么问题呢？我知道辅助线如果借助第一问的条件来说是这样做，但是做完之后我们会发现这个三角形很明显跟这个三角形不全等，所以我要去找构造全等的方式。那怎么找呢？看这个图， c e 等于 cd， 这是二阿尔法， 所以我是不是这个地方也能够找到一个二阿尔法？那我就去连接了 c f。 连接 c f 之后，我要去证明的就是这个三角形和这个三角形全等，如果能够证明，那是不是就会出现这样的结论？好，那现在我讲清楚了所有的方法对不对？好，那我们接下来来看一下条件有哪些？第一个，一条边等于另外一条边，这是一条边等。 其次，第二个，我们可以通过倒角来，怎么倒角这个二阿尔法还没有用呢？这是阿尔法，这是二阿尔法，所以这个角就是一百八减三阿尔法，那这边就也是一百八减三阿尔法。如果我设为这个角是 beta， 那 这就是三阿尔法减 beta。 好， 那接下来我要去看的是这个角，这个角怎么来的？这个角它是不是就应该等于外角，也就是这 和阿尔法相加得来的，那这是多少呢？这是二阿尔法减贝塔，那再加一个阿尔法，所以这就是三阿尔法减贝塔倒角的能力啊。好，那现在一个角等一条边等，如果我想证明全等，最好用的方式是什么？ 给它构造一条边出来，能理解怎么构造？你看我是不是现在就缺一个 e f 等于 d p， 那 我就让 e f 等于 d p， 所以 我辅助线说的是延长 b d 到点 p， 使 dp 等于 e f。 好， 那这样的话，边角边是不是两个手，两个三角形就形成全等了？手拉手，对吧？两个三角形一旦全等了之后，我就连接一下 cp， 我 接下来只需要证明这是九十就好了。好，那怎么去证呢？我们会发现，当我这样做完之后，因为他们两个全等，所以 cf 等于 cp， 这个是没问题的啊。 cf 等于 cp， 好， 那接下来我又可以知道的是这个角的度数，对吧？那这个角的度数可以怎么去表示出来？那这个角也比较好表示，为什么呢？ cf 等于 cp， 所以 两个底角等， 那这两个底角等，我们又因为全等知道 c fe 等于角屁，所以这三个角都对应相等，那这个大角是一百八减二阿尔法，被平分之后，就是九十度减阿尔法，所以这就是九十减阿尔法，看到了吧？这是九十减阿尔法，这是阿尔法，这不就九十度出来了吗？能理解了啊。好，那接下来我们这了有了一个九十度之后，我们就会发现 b p 是 不是就等于我们的 b d 加上 e f， 它等于二倍的 a c？ 为什么？因为点 a 是 中点就出来了，就延续了第一问的过程，所以呢，我们就会出现 b p， 也就是所谓的 b d 加 e f 等于二倍 a c。 结束了。 好，那刚刚我还说了一个什么半角模型，另外一种旋转方式，那我们去把这种方式也讲一讲啊，这种方式是什么样子的？就是我把这个三角形给它旋转过来，那因为旋转过来，所以这个角就被转移到这来了， 那整个大角二阿尔法就会得到这个角是二阿尔法，那因为上面是阿尔法，所以下面就也是阿尔法。好，这是我第一步倒角。好，那倒完角之后，接下来我要找的是什么？我找他们三个之间的关系，对不对？那这个时候其实比较邪修啊，这个方法为什么这样去说？我们会发现的是，你可以怎么做这个辅助线？ 这个辅助线很多同学可能会选择的方式是，我把 f e 延长到点 p， 是 e p 等于 a d。 好， 那现在一条边等一条边等，一条边等一条边等，我怎么去找角，对吧？我怎么去找它对应的这个角和这个角是对应相等的。 好，我现在找这个二 r r f 有 用吗？其实没有用，对吧？因为边边角不能正全等，所以你要去做倒角啊，这是第一种。第二种你会发现我用的是平行的思路，我过点 c 做了一个 c p 平行于他，那因为这是二 r r f， 所以 这两个角就对应相等了。好，那这是第一个对应相等的。 再来第二个是什么？我们是不是可以根据这样的一个条件得到这条边等于这条边？这题目当中给的已知，对吧？现在一个角一个边了，所以我要么再去证明一下谁 cp 等于 ac， 要么再去找一个角相等就好了。但是我很明显会发现，我没办法用 cp 等于 ac， 因为这是我的结论。对，我只是做做了一个平行。好，所以呢？我最好用的方式是什么？找角， 那怎么去找角？因为我做的是平行呀，所以这如果是二阿尔法的话，这是阿尔法，所以这是不是就也是阿尔法？ 能理解吗？好，这如果是二阿尔法，他加他等于阿尔法，因为他加他等于阿尔法，所以这两个角对应相等。等了，再换一下。好，那现在一个角一条边，一个二阿尔法，一个角一条边，一个二阿尔法，所以这两个三角形角角边形成全等，全等之后就会出现 a d 等于 e p。 好，那接下来因为它们平行，对吧？平行之后这是 r r 发，这也是 r r 发，所以它就是一个等腰梯形。为什么说？很邪修，对吧？我们是不是很久没在几何体当中遇到过等腰梯形了？等腰梯形就说明腰相等，所以 f p 等于 ac 好， 那 f p 又等于谁呢？等于 e f 加 e p 好， 那现在是不是 e f 边我就找到它的关系了，它和 a、 c 的 关系了，对吧？就是 a c 减去 e p 就 等于 e f， 那 e p 又等于谁？等于 ad， 所以 a c 减 ad 等于 ef， b d 呢？ b d 等于 a， b 加 a d， 所以 我们得到的是 b d 等于 a c 加 a d， e f 等于 a c 减 a d。 因为我要保留的是 b d， e f 和 a c 的 关系，不要 a d， 所以 我这两个怎么样？相加？ 相加之后 a、 d 就 消掉了，所以 b d 加 e f 等于二倍， a c 也能做好，但这个证明过程你要给它写清楚啊。好，那这是我们所说的半角模型的思路。除此之外，在证明它的时候，有同学可能会说，老说倒角，倒不明白怎么办？倒不明白怎么办的话，你如果能够知道它们是二倍关系，还有另外一种思路是什么？找终点呀，我让 a 是 终点， c 也是终点，然后我去进行 构造中位线，能理解吧？好，那在我去找完它是终点，它是终点，它们俩是不是平行关系？所以这是阿尔法，这是阿尔法，那是不是 b、 p 和 p、 q 就是 相等的？这是不是等腰三角形？ b p 当中是不是有 b、 d？ 它又等于，它又等于二倍的 a、 c？ 是 不是这个道理？所以我要去证明的就是 d、 p 等于 e、 f 就 好了。那这个时候我再去构造这两个三角形，全等就可以了。那它的证明方式其实和它的证明方式是不太一样的，能理解吧？那这个方法我不讲了啊，因为这个方法可能就是你真的实在没有思路，证不出来的时候，你往我们学过的终点模式当中去靠的这样一个思路。好，那我就先给大家去说这么多。

北京中考数学的选择压轴题很看重技巧，因为从二零二三年开始，这道题型就改成了从一系列结论中选出正确结论序号的这种形式，这种形式就有很强的推理技巧存在。 出题老师在出题的过程中也会考虑到学生可以使用技巧，因此有些选项故意设置的比较难，而我们可以绕开它。如果你没有使用技巧，很容易产生浪费时间的现象。以西城二模的这道选择压轴题为例，我们看一看。首先第一个 结论是比较容易判断的，我们通过观察 m 点，从 a 点运动到 b 点，再运动到这个外轴上交点，这个过程中间这条线 o b 最长，也就是 m 和 b 重合，此时比较容易算出来它是长度为二，因此第一个结论正确。此时我们要结合选项了，这是我们讲的常用技巧， e 优先结合选项。因为通过观察选项，我们发现一和三、一和四是搭配的，没有和二进行搭配， 二不用看就知道 b 错，然后三和四不要着急，从三开始，我们经常讲你要去选那个比较容易下手的选项开始观察可得。三是反比例函数问题。大部分同学对于反比例函数，它的熟悉度不如纯几何，因此我们可以优先从四 入手观察四这个选项。第一个 d 大 于 b， 说明啊 m 点不可能在这一段，否则它的坐标就比 n 高好，那因此 o m 和 o n 都只能在 a b 上， o m 又等于 o n， 说明什么？找到对称轴，一个是 o n， 一个是 o m， 他 俩必然对称，只有这样才能够满足他俩相等。由此我们就可以得出这两个点他俩的纵坐标相加 等于中间的这个点 p 的 纵坐标二倍，他俩的横坐标相加等于中间这个点 p 的 横坐标的二倍，而这个 p 点的坐标很容易判断， 它的横坐标是二分之三，因此 m 和 n 的 横坐标之合就是三四是对的。由此我们快速选出本题答案为 b。 这就是我们常讲的常用技巧，一是优先选择易判断的结论，二是结合选项进行判断。 类似的技巧在我们的元东带东、几东新定义中都大量出现，大家只有把这些技巧掌握了，在考试中才能更好更快的做出这些题。

大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂搞会，今天我们来看的是二零二六年这个最新的奥尔摩、昌平和西城的题目，这两道题都是关于函数性质的题目啊，它都是让你先判断基数性，然后再判断增减性。 对于这类题，它其实套路也很固定啊。判断奇偶性，我们前面讲过，只需要掌握它关键的一点，那就是首先一定域对称， 如果他让我们判断的话，一般来说他肯定都对称的，不然他就非极非偶了。第二点，如果说我是不是都把负 x 带进去，如果它等于 f x， 那 它就是偶函数，如果它等于负的 f x， 它就是奇函数。 就是这两点，你只要把这两点掌握了，任何题目你只要把它带进去，你都可以判别出来。我们可以 判别一下，首先认为这个 f x 一， 对吧，那就是 f 负 x， 应该等于一减去一的负 x， 再加上一加上一的负 x， 哎，这是我怎么判断呢？我知道，对于指数函数来说，它是不是一减去一 x 分 之一啊？对于这个来说，它就是一加上一的 x 分 之一。 好，我分子分母同时乘以一 x， 我 是不是就可以变化了？一 x 减一，这里是一 x 加一。 哎，这不是，我原先的函数，是一减一 x， 下面是一加 x 分， 分母不变，分子变成了负的，对吧？那我是不是就变成了， 哎，一的 x 加一，一减去一的 x， 让我发现这不就是我的原函数吗？ f x， 因此我就可以直接等于负的 f x， 我 是不是就得出来这是 g 函数呀？好，对于 这个细长的题目， f x 二，它的 f 负 x 应该等于啥呀？它的 f 负 x， 它这都没有用啊。那这就是 g x， g 负 x 应该等于 f x 减去 f 负 x。 哎，这是不是很简单？都不需要我进行变换了，它不就直接等于负的 f 负 x 减去 f x 吗？此时这个东西变成了我的原函数 f x， 呃， g x 是 吧？所以它就等于负的 g x， 因此它也是 g 函数。那我是不是就把这个 a c、 b、 d 都排除了，是吧？ 好，下一步判断增减性判断增减性有哪些方法呢？我们可以稍微总结来一下。第一个定义法，我是不是任取 x 一小于 x 二，则若 g x 一 小于 g x 二，那它是不是单调递增啊？若 g x 一 大于 g x 二，它就是单调递减，对吧？第二个， 那就是我们的导数法，我们学了导数，那是不就是 g p x 大 于零就单增， g p x 小 于零，我就单减，对吧？第三个，我是不是还有可以 运算法？运算是什么样呢？我可以记下，增一个增函数，加上一个增函数，那么他一定还是增函数，一个减函数加减函数，减函数， 一个减函数。如果减去一个增函数，其实也就是把这个增变成减了，对吧？所以他还是减函数。一个增， 减去一个减函数，那相当于这个减负负得正，对吧？减，那就变成了增函数。减去一个减，那就变成了增，对吧？增就变成了，其实就变成增加增， 这就是我们判断这个增减性基本的一个逻辑。我们来看一下，对于第五题来说， f x 唱第一。第一个第五题啊，这俩都是第五题， f x， 我 是不是可以对它进行一些变形啊？ f x 等于一减一 x， 一 加一 x， 它可以等于啥呀？我是不是尽可能的要把这个 e 的 x 给先提出来一下？ e 加上，我不想让分子分母都有 e x， 不 想让它都有自变量，我就可以把它换一下， 这就变成负一减去 e x， 那 我这成了负一，我要想和这个等式能够成立，我是不是就得再加上二把它补齐啊，这样他才能够成为我的等式，不然的话，你这从左到右不就等于不了了？为什么要这样变呢？我们可以看一下，是不是，哎，这一点 就直接变成了我的一个常数了呀，是不是就变成负一了，再加上一加上一的 x 分 之二，好，哎，我的柿子是不是又变成了这个样子？ 负一加上一加一 x 分 之二，那这个 e 的 x， 它是个增函数，但是由于它在分母上，所以整体这是不是一个减函数啊？所以，尤由于这是一个常数，它不影响单角底单调性，最终结果就是减函数。 这道题也可以用导数做，但是，嗯，不要一下子就给他上来，直接去求导去也能做，但是要尽可能的提高我们的做题效率， 因此这道题就选四 d。 那 我们看下面这道题，下面这道题它是一个抽象函数啊，对，这个抽象函数怎么办呢？我们发现这里是 g x， 应该等于 f 负 x 减去 f x， 哎，他是不是告诉我们一个条件啊，因为 f x 在 r 上，它是一个单调递增的函数，那么 f x 是 咋样啊？ f 负 x， 它会与 f x 是 不就关于 y 轴对正的呀，因此 f 负 x 它是一个减函数，那就利用到了我们的这个性质了，对吧？减，减去一个增函数，其实你也可以再得一步减，负的增，那就是负的，对吧？ 它其实就可以是减加减函数，所以最终还是减函数，对吧？所以我们把 a 排除掉，题选 c。

好，我们来看西城二模的这道带宗啊，它还是有一些创新的，我们一起来看一下 在平面直角坐标系中抛物线啊，这个抛物线，哎，但是在这里面要注意的是， a 大 于零，哎，抛物线开口是向上的， 它与 x 轴交于点 a 和点 b， 并且又给了一个限制，点 a 是 在点 b 的 左边， 那么一会我们在画图的时候，一定要分清 ab 啊，与 y 轴交于点 d， 好， 那么括号一，当 a 等于一的时候，求 ab 的 长， 因为 a 等于一，所以我把 a 等于一带入这个抛物线啊，那么抛物线就变成了这个，对不对？哎，那么我想去求 ab 的 长，我就把点 a 和点 b 的 横坐标我们给表示出来呗，因为 ab 是 一条横着的线段，所以我用大的 横的坐标减去小的这个 a 点的横坐标就得我们 ab 的 线段长就等于四啊，但还是非常的轻松的。 但是我做到这里的时候，我还是会把我们的原本的抛物线进行一个因式分解，给它整理一下啊， 用十字相乘法把它整理成这样，那么我就可以得出，哎，我这个抛物线与 x 轴的交点，第一个是 x 等于负一，第二个是 x 等于三 a， 并且因为 a 是 大于零的，所以三 a 一定是在负一的右边好吗？哎，我们做到有备无患啊！好，接下来我们来看第二问， 过点 e， t 到零做 x 轴的垂线交抛物线于点 m， 在 做第二问的时候啊，你的图一定是要画出来了，我们要看清楚，我们要研究谁，好吧，一句话一句话的去画 好，那么因为点 e 不知道在哪，所以我随便的找了一个点 e， 它的坐标是 t 豆零。然后我做一条垂线，交抛物线与点 m， 我 已经看到点 m 了，对吧？ 交直线 b d， 说明我的点 b 和点 d 是 要连接起来的，哎，于点 n， 好，那么既然已经提到我们的直线 b d 了，一会呢，我们还要研究这个线段的长，所以我首先先把 b d 的 表达式先给求出来，因为它是一条直线，所以我设直线 b d 的 表达式是， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零。 然后将点 b 的 坐标也就是三 a 逗零和点 d 的 坐标零逗三 a 代入之后，那么我们的这条直线的解析式啊，就求出来了，是 y 等于 x 减三 啊。那好，我的刚才的这条垂线呢，与我的直线交于点 n， 这个点是点 n， 我 又看到点 n 了， 好，接下来，当点 e， 呃，从点二到零出发，沿 x 的 某个方向运动时，若 b e 的 长度逐渐增大，且点 m 与点 n 的 距离随 b e 长度的增大，先变小后变大，求 a 的 取值范围。我的天呐，太乱了是吧？ 没事啊，太乱的时候一句一句去翻译，当点 e 从点二到零出发，沿 x 轴的某个方向， 这就是我们这道题与平时的题不一样的地方，这是创新对不对？好点 e 啊，现在我在途中，我把点 e 标在了这里啊，那他向某 x 轴的某个方向运动， 要么就是往左，要么就是往右呗，是不是这个意思啊？现在我已经知道了，方向只有两个，左和右。好 b， e 的 长度逐渐的是增大的。那我们来看啊，点 b 是 谁呀？ 点 b， 这不正是我抛物线与 x 轴的一个交点吗？对吧？点 e 的 横坐标是三 a， 好， 那我们的 b e 想逐渐的去增大，那是不是 a 也是在告诉我们，要么你向左走，要么你向右走， 那么到底向哪走呢？我们继续看一下啊，点 m 和点 n 的 增大，先变小后变大。 好，这里面你要提炼出两个东西，第一个就是我 b e 的 长度要持续的增大 啊，接下来点 m 和点 n 的 距离要发生，哎，两次变化，先变小后变大，看到了吗？所以我要满足这两点呢。那好，那说白了，到现在为止， 我是不是还得把我的 m n 的 距离去表示出来啊，对不对？那表示 m n 的 距离，那不是我经常练的吗？对吧？那也就是用点 m 的 呃，纵坐标减去点 n 的 纵坐标，因为不知道谁上谁下啊。在这里面还要注意下 我的点 m 和点 n 在 上吗？也未必啊，你让他走一走，你会发现，哎，点 m 会上的， 所以因为不知谁上谁下，我需要加一个绝对值。好，那么我们需要把点 m 和点 n 的 纵坐标都表示出来，最后就得到了 m n 的 长度应该等于 t 方减三 a t 的 绝对值啊，好， 那么接下来我的点 m n 我 已经表示出来了，我已经知道了啊，这个解析式就是关于 m n 长的线段长的新的函数，对吧？那就画新函数的图像呗，对吧？首先它的开口也是向上的， 并且呢，它与 x 轴的这个交点，一个是零，一个是三 a， 三 a 大 于零嘛，所以三 a 一定是在零的右边的， 并且我心抛物线 a， 它的对称轴 t 是 等于二分之三的，而且我找到了我的点 b， 我 的点 b 的 坐标红坐标不就是三 a 吗？正好就在这里，对不对？点 b 的 位置我是确定的，接下来我再去看点 e 啊，点 e 是 怎么回事呢？他是从二斗零开始出发的，要么向左走，要么向右走，也就是我点 e 的 这个横坐标二到底是在哪里呢？ 他是不是可以在这里啊？那有的人说，老师，他可以在这里吗？当然不行了，这是零啊，你怎么能在零的左边呢？所以，首先你的点 e 一定是啊，他是在零的右边，那在零的右边一共分成了三段区域， 这是对称轴。零到对称轴，这是第一段区域，对称轴到三 a， 这是第二段区域。然 然后三 a 的 右边，这是第三段区域。那我就进行一个分类讨论呗，对不对？哎，好，当我的点 e 就 在这的时候，我们看看符不符合。首先先看 b e 啊，它 b e 的 长度不是要增加吗？ 好，我们来看一下点 b， 你 是知道的，点 e 现在在这，那往左走，我的 b e 是 增加还是向右走？我的 b e 是 增加的呀， 如果我向右走的话，那 b e 是 不是离得越来越近呢？所以我知道了啊，我向左走就可以了。哎，那我的这个 e 点就可以向左走了。 那好，我们来看看。首先我确定了点 e 要向左走，我再去关注一下 m n 之间的距离是否是先变小再变大。好，来，我们看往左走，是不是 m n 先变小，然后再变大呀？符不符合要求啊？ 这是不是符合的呀？对不对？哎，那说明这一段是符合的，那也就能得出来，在这一段里， 我的点 e 的 横坐标二是要小于等于二分之三 a 的， 对吧？要小于等于对称轴的，那么得出来，我的第一个 a 就是 大于等于三分之四的啊，这是符合的。 好，接下来我们让点 e 来到我们的第二个区间啊，来到第二个区间，哎， 稍等片刻，好让他来到第二个区间好了，那么接下来再去先分析 b e， 再分析 m n 啊，要做到有序的分析，我们看这个 e 要往哪走？这条子线是往左走还是往右走，它能 一直是增大的呀，是不是还是要往左走呀，对不对？哎，想啊，他是要往左走，那好，分析完 b e 之后，再去分析 m n 是 否先变小再变大。 我们来看 e 在 移动的时候， m n 是 不是先增大呀，然后再减小再增大呀，对不对？不符合提议啊，不成立，所以第二段区域，哎，他就是不成。 好，那么当我的这个点 e 啊，来到区域三之后，我们先确定 b e 的 运动方向向左走还是向右走才能一直增大啊？假设他现在向左走，他是不是要 先减小再增大呀，对不对？不符合。那么向右走呢？哎， b e 确实是一直增大了，然后，哎，确定 b e 的 方向之后，向右走之后，我们再看 m n 是 否先变小再增大。我发现，哎，不行啊，一直增大，一直增大， 也就是我的 m n 一 直在呃，这条上升的这条线上，所以是不符合的，那么他也是不成立。所以，综上所述，只有第一种情况是成立的，那么 a 就是 大于等于三分之四。

第三问蟹酱，第二问是 连红和白的迷你脸，教你就可以。

hello， 大家好呀，我是你们的小伟老师。那今天咱们还是用最通俗易懂的语言解决刚刚出炉的这道西城二门的代数压轴。好，我们一起来看题啊！他说抛物线 y 等于 x 方，加上一减三 a 倍的 x 减三 a， 那 当我拿到这个抛物线的时候，我也发现，哎， 依次项系数一减三 a， 长数项是负三 a， 显然是不是可以十字相乘啊，那我就把 x 方的系数变成一一，然后长数项负三 a， 然后这边是一， 所以这样交叉相乘，再相加，就能够出现一减三 a， 也就中间的这个一次项的系数了。 好，那么我就把抛物线能够写成 y 等于 x 减去三 a， 再乘上 x 加一的这种形式。 那如果说大家拿到这道题之后，没太能反应出来它是能够十字相乘的，那在接下来的这段时间，我建议大家可以重点的去练习这种含餐的十字相乘。 好，那我们继续来看啊，他说与 x 轴交于点 a 和 b， a 点在 b 点的左边，那咱都给他写成这种十字相乘的形式了。那么很显然，这个 a 点的坐标就应该是负一斗零， b 点的坐标呢，就应该是三 a 斗零，因为他说了 a 点在 b 点的左边， a 是 大于零的。好，那他说与 y 轴交于点 d， 那 d 点的坐标把 x 等于零带进去，他就应该零斗负三 a， 也非常的简单。 好，那么到此为止，咱们就已经把 a 点、 b 点和 d 点的坐标表示完了。好，那咱来看第一问啊，他说当 a 等于一的时候，求 ab 的 长。好，那我现在只需要画一个 x 轴就 ok 了啊，因为 a 点和 b 点全都在 x 轴上， 那 a 点的坐标，哎，还是负一斗零，那当 a 等于一的时候，那 b 点这个三 a 斗零，它就是三斗零了，这就是 b 点。 那大家来看 ab 的 长是多少啊？那是不是有手就行， ab 的 长显然就是四嘛。那第一问，轻松加愉快，咱就给它解决了。好，那么咱们的重点啊，放在这个第二问上， 他说过点 e， t 都零做 x 轴的垂线，将该抛物线与点 m。 好， 那我们来看后边的题，是不是他问的还是 m 与点 n 的 距离啊？怎么怎么样？ 所以咱还是按照这个老三样啊。第一样，是不是咱们先把这个 m n 的 坐标用这个含 t 的 代数式，咱给它表示出来？那第二步呢？是不是咱们去表示 m n 的 距离？第三步，咱们画图像，然后最后咱们分析这个图像就 ok 了。 好，那因为它是过 t 斗零的垂线，所以 m 的 横坐标当然就是 t 啦，那纵坐标呢，咱只需要把这个横坐标 t 带到抛物线里就 ok 了，所以就是 t 方加上一个一减三 a 倍的 t， 然后再减去三 a。 好， 那接下来咱们接着往后读啊，它说交直线 b d 于点 n d， 点坐标是零斗负三 a。 那大家如果说想用笨一点的方法呢？咱就可以直接把这个 b d 的 解义式设出来， y 等于 k， x 加 b， 然后呢，把这两个点分别往这里带，把 kb 求出来，再回带到这个直线里边，就是这个直线的方程了。 但是如果说咱们聪明一点的话，可以怎么做啊？这里边老师教一下，大家好好听。咱先画一个平面直角坐标系，那在这个平面直角坐标系当中，咱们标一下 b 点和 d 点的坐标， b 点是这个三 a 斗零， 然后第一点呢是这个零度负三 a。 好， 那咱把这条直线简单的画出来啊，大概是一条这样的直线，那我们会发现，哎，这个距离是三 a， 这个距离也是三 a， 所以 这个三角形它实际上是一个等腰直角三角形。 那等腰直角三角形有啥特点？ a 是 不是咱就能知道这个角是四十五度了，那这个角是四十五度，当然这个角就是四十五度了。 好，那你说老师这四十五度有啥用呢？那咱们记一个小规律，就是当这条直线啊，与 x 轴的加角是四十五度的时候，那么它对应的直线的 k 就 应该是一 啊。那还有一种情况其实是这样的，就是当这种情况下，那这个角如果是四十五度的时候，那么这条直线的 k 就 应该是负一啊。那这个小规律希望大家记住， 所以咱们通过几何的方法推出来了，这条直线与 x 轴加角时四十五度，咱就知道 b d 的 k 就 应该是一了。好，那其实咱们就可以口算出这条直线了，那直线 b d， 它就应该是 y 等于 x， 怎么样，对吧？好，那咱们再把这个 d 点的坐标零都负三 a 往里一带，咱就会发现后边的这个参数应该是负三 a 就 搞定了。好，那么咱们顺势就能写出来 n 点的坐标，那它就当然是 t 都 t 减三 a 了。 好，那么第一步咱就搞定了，把 m 点和 n 点的坐标咱们表示完了，然后接下来呢，我们干嘛？他说当点 e 从二到零出发啊，若 b e 的 长度逐渐增大， m 点和 n 点的距离，哎，其实还是距离嘛，那咱们还得表示那 m n 的 距离咋表示来着？是不是就是 m 点和 n 点的纵坐标，咱们作差加绝对值就行了？那也就说咱们用它减去它， 那它减它，咱们会发现，哎，这个一乘上这个 t 和这个 t， 咱就减没了，这个负三 a 和这个负三 a 也减没了。所以其实这个题它减完之后，反而变得更容易了，它就应该是 t 方再减去三 a t 的 绝对值。 好，那到这我们会发现，哎，还能提出来一个 t 啊，所以它就等于 t 乘上 t 减三 a。 好，那接下来我们干嘛还是去画这个 m n 的 图像，那画 m n 的 图像啊，大家注意，在这个平面直角坐标系当中， 那这个横坐标啊，大家注意，它的横坐标就应该是 t 了，因为这个 m n， 它的横坐标就都是 t， 然后表示的这个图像呢，也是这个 m n 和 t 的 关系。图像好，那纵坐标实际上就应该是 m n 的 长度。 好，那这个图像显然因为咱给它写成了 t 乘 t 减三 a 的 这种形式嘛，所以说它肯定过圆点，还会过三 a 逗零这个点 啊，比如说这就是三 a 逗零。好，那咱们画出图像就应该大概长这个样子，但是呢，因为它加了这个绝对值号，所以咱们简单画一个草图啊， 我们看一下草图，他就应该是这样下来，然后呢翻上来的这部分，然后最后 又上升的这部分啊，草图就应该大概长这个样子，然后咱们来看题啊，他说 e 二到零， 它出发沿 x 轴的某个方向运动，它若 b e 的 长度逐渐增大，哎，那我们会发现 b 点的坐标，哎，也是三 a 勾零，对吧？哎，那乎我们会发现 b 点它就在这个位置， 那于是乎是不是这道题它就有两种情况了，就是我这个 e 点它这个二勾零，它到底是在 b 点的左边还是右边？ 如果说他是在 b 点的左边的话，比如说这是这个二斗零，那他说沿 x 轴某个方向运动的时候，若 b 的 长度逐渐增大，那这个 e 点是不是他就只能往这个 x 轴的负半轴走？ 因为他如果总往 x 轴的正半轴走，那他们的距离是不是先慢慢的变小，再慢慢的变大，他就不符合提议了。 所以如果说 e 点他是在 b 点的左侧的时候，哎，他就应该是往左走，如果 e 点在 b 点的右右侧的话，他就应该往右走啊，他其实这道题就说的是一件这个事。 好，那所以咱刚才分析完这道题，我就知道应该怎么讨论了呀，是不是就分为两种情况？那第一种情况呢，就是当这个 e 点他在 b 点的左侧 啊，咱现在指的是这个出式位置。好，那这种情况咱需要先给他做一个限定嘛，那 e 点的坐标是二 b 点坐标是三 a， 也就说当二小于三 a 的 时候，那二小于三 a， 是 不是就是 a 大 于三分之二的时候？ 好，那么这就是这个 e 点了啊，那 e 点需要往 x 轴的负半轴运动。 好，那么咱们来看啊，他精彩的来了，他说 m 点与 n 点的距离， m 点与 n 点的距离是啥呀？是不是就是这个图像上这个点的纵坐标啊？就是这个图像上点的纵坐标，他说随 b、 e 长度的增大，先变小再增大。 哎，那我们现在不妨开始移一下，因为大家可能看到这个题干啊，有点懵，啥叫随 b、 e 长度的增大，先变小再增大呢？来，比如说咱 e 点在这个位置，那对应图像是不是就在这？那么你们看，当这个 e 点它向左运动的时候，哎，我这个 b， 这个 m、 n 的 距离，它是不是就再增大呀？所以它是先增大了，那它就不满足先变小后增大了。 哦，那我就知道了，我怎么样才能满足他的这个纵坐标先变小再增大呢？咱就得让他这个 e 点从这开始动。 如果说过了这个顶点从这一个位置开始动的话，哎，他这个距离是不是就先下降再上升，就满足先变小后增大了？哎，所以咱就能给这个 a 做一个限定，也就是说，咱得需要让这个 e 点啊，他得在这个对称轴的左侧， 从这个位置开始运动，是不是就 ok 了？好，那么咱们就能写出来一个大致的范围，就应该是这个二小于对称轴。那这道题的对称轴是什么？ 哎，它过圆点还过三， a 到零，所以这两个点它相加再除以二，是不是就是对称轴了？那这个对称轴咱也给它标一下吧。这个对称轴就应该是直线 x 等于二分之三 a， 所以我要保证这个一点，是不是他得从对称轴的左侧开始运动，先减小后增大，所以二就应该小于这个对称轴，他就应该在对称轴的左侧。 好，当我们写完了一个不等式之后，我们马上判断他能不能去等，那怎么判断呢？咱还是带进去检验。比如说啊，我这个一点，他就从顶点开始运动，那当然也是先减小再增大了，他就不会在不能在顶点的右侧就行了，因为在顶点的右侧，他就先增大再减小 再等等啊，他就不符合题了，所以从顶点位置也是 ok 的， 那也就说这个位置是可以取等的。那咱们简单的算一下啊，是不是他对应的就应该是 a 大 于等于三分之四， 检查一下在不在咱的大前提里，发现他在这个 a 大 于三分之二里没有问题，这个范围是完全 ok 的。 好，那紧接着咱来看第二种情况了啊。第二种情况就是当 e 在 b 的 右侧 好，那 e 在 b 的 右侧的时候，也也就是说这个 e 点他开始得在这，那所以咱开始需要对他做一个限定，是不是？也就是说当二要大于三 a， 那 也就是说 a 应该小于三分之二的时候？ 好，那因为它说随着 b e 长度的增大嘛，那 e 点在 b 点的右侧，咱只能往右动，这个 b e 才能长度逐渐增大。那咱们会发现，当这个运动的时候，哎， 是不是从这个点开始，我这个图像它都是 y 随 x 增大而增大的，也就是它一直在增大，那它可能先变小再增大吗？孩子们是不是一定不可能了？所以这种情况咱们是不成立的。 好，再说一遍啊，咱们看，当 e 点从 b 点的右边开始运动的时候，随着 b e 的 增大，是不是 m 点和 n 点的距离它是一直在增大的，所以不满足题，那最后咱们做一个小小的总结啊，综上所述， 那么 a 的 取值是不是就只有一个范围，就是 a 大 于等于三分之四，这道题就搞定了。 那如果觉得这一期视频呢？对大家有帮助的话，那感谢大家可以对视频点赞关注，那下期视频再见。

这次的二十四题的这个二三数考了一个非常新颖的新定义的题目，可以发现新定义的问题它其实不会特别的难，往往呢其实你只要把它题目读懂，运用它里面的一些这个结论就可以， 那么它还结合了一个平行四边形的一个考点，那么在第二问就有所体现，那其实如果你能够把平行四边形的这个原理想通，那这道题就比较简单。那么在这个第三问中呢，也是呃结合了一些我们的这个说 角度的一个范围问题，那么这个范围问题呢，可能大家做的比较少，我们碰到的情况也不多，但是呢我们可以去总结，往往说给你一个这种角度的时候， 通常题目会给你一种这种我们所说的隐含的条件，也就是说比如说固定的 y 等于 x， 会产生四十五度这样的角度问题， 那么大家就可以去找到另一个角，可能就是三十五度，对不对？因为七十五减四十，四十五等于三十。好，那如果大家需要二模的今年的这些卷子，包括说一个往年的亚洲体的一个分类，包括是其他题型的一个分类， 你也可以点击视频下方的链接。哦，好，那我们话不多说，来一起看一下这个普通二十四题的这个二次函数。这个二次函数 他给了一个定义，我们一定要把定义读懂，他说一个二次函数的图像与一次函数图像相交于坐标轴的两个点，那么称此这个函数二次函数为这个含一次函数的冠轴抛物线。他这句话最关键的其实就这两个点， 就是这句话，二次函数的图像与一次函数图像的图像相交于坐标轴的两点，那啥意思？也就说明是不是你一次函数图像上与坐标轴的交点，那么所以第一问就很常规， 我们就可以找到第一问， y 等于负 x 加三，比如说一个点是与 x 走的交点，那么就应该是多少括号三，逗零，那么还有一个交点是不是零？逗号三，那么意味着这两个点是不是也是在 y 等于 x 平方加上 b， x 加 c 上呢？对不对？你只要把这个读懂，那么第一问就很简单了，那么你只要代入，就得到 y 等于 x 平方 加上 b， x 加上三，对不对？因为一样，它也是与 y 九的交点，再带入三零好，那么得到零等于九加上三， b 加上三，解得 b 应该等于负四，所以 y 是 不是应该等于 x 平方减四， x 再加三？ 好，这就是我们的这个的一个值。好，那么大家有些同学其实做惯了常规的第一问，碰到这种第一问，有些同学就不太适应，那我建议大家可以针对 这类题型专门去做个训练，我也说了，你也可以去找往年的新定义的问题去进行一个训练。我们看这个调文，他说依次函数 y 等于负 x 加 n 的 图像与 x 轴 y 轴分别交于点 a 和点 c， 那 么他的一条贯轴抛物线 y 等于 x 平方啊，负 x 平方加 m， x 加 n 与 x 轴的另一个焦点为 b 顶点 d 呢？在第一象限，如果 x y 轴上存在点 e， 使得 b c 倒 e 呢？是个平四边形。那拿到这道题呢？首先我就去关注一件事情，第一个 与坐标轴的交点，那么我们先大概写一下他的 a 点，那么很明显他的 a 点坐标是与 x 轴的交点，那么就是 n 逗号零，对吧？然后再去写他的 c 点， c 点就是零，逗号 n， 你 即使说不会做，你也按照他题目的信息，你把这些先写出来，说不定也是有分数的。大家能不能理解我的意思？然后接下来他说 它的一条贯通抛物线，说明这两个点是不是也在 y 等于负 x 平方加 mx 加 n 上，对不对？所以你其实只需要干嘛做一件事情，对不对？代入是不是 a 点？代入 a 点，那么是不是会得到一个式子零就等于多少？负 n 方加上 m， n 加上 n， 好， 那么你去化简一下，是不是可以提个 n 出来，得到 m 减 n 加一，所以是不是得到一个式子， m 减 n 等于多少？等于负一？ 好，所以你这个式子是不是可以改写成 y 等于负 x 平方，干嘛把这个 m 换掉，加上 n 减一，括号 x， 再加上 n。 同学们，写到这里，你发现这个很眼熟对不对？ 是不是意味着你可以把它写成什么？对，是不是可以把它写成我们的 交点式，也就是你会发现它正好能够干嘛？因式分解，同学们，你把这个后面的加 n 是 不是拆成 n 乘一？好，同学们，看一下，这里是 x， 那 么现在是不是得到这个式子，所以是不是正好？一个是 x 等于 n 正好，还有一个是 x 等于负一，那么这个 x 等于负一，是不是另外一个与 x 轴的交点，对不对？那么也就是是不是我们的 b 点是不是负一等号零 就找到了？好，然后接下来我们再说，他说 b、 c 导引是平行四边形，那 b 点我找到了对不对？那么我大概画一下我的 b 点找到了，接下来我再去看看顶点 d 我 能不能找到，大概在哪里？顶点 d， 顶点 d？ 同学们，想一个问题，我是不是可以通过这个式子写出来带 n 的 表示啊？因为我可以知道什么对称轴对不对？是不是负二 a 分 之 b 算出来应该是二分之 n 减一，那么他的纵坐标我先不表示出来，对吧？因为这是我地点，可以写出来，即使表示我是不是带进去就可以了。式子有点长，我先不表示出来。 接下来 c 点坐标我们前面也求过，是不是零逗号 n， 是 不是零逗号 n， 因为 n 大 于零，所以 c 点是不是在上面的 d 点呢？ c 点在哪个位置？同学们，其实你在想，你确定 d 点的位置之前， 哎，是不是要去想一件事情，先想这个图形大概长什么样子？首先他已经规定了顺序对不对？是 b， c， d， e 对 不对？ e 点在 y 轴上的话，这时候其实隐含了一个信息。同学们，是不是隐含了一个信息，你的顶点 d 在 第一象限？同学们， 所以说我现在随便，比如说我现在瞄个蓝点 d 点在这里，第一象限对不对？顶点 d， 如果在第一象限，你的 e 点是不是只能是在 y 轴的负半轴，对不对？是不是这个道理好，那么与此同时 是不是也说明你的 e 是 不是在 y 轴负半轴上，对不对？好，那么因为他们是什么平行四边形，所以我知道 d 点的这个横坐标对不对？那么你想一件事情， b d 是 对角线， b d 的 中点是不是应该在 y 轴上？这句话很重要，你就想是不是因为对角线是互相平分对不对？那么他们会交于一个中点对不对？所以说明 b d 的 中点是在 y 轴上，那么你是不是可以得到式子二分之 n 减一， 加上 b 点的纵坐标是不是负一再除以二是不应该等于零？好，那么解得是不是应该是 n 减一 应该要等于二，所以 n 是 不等于三？其实是很简单的一个道理，你要先把这个图形大概确定长什么样，再去进一步的去分析好，然后我们再看这个。第三问，他说一个二次函数既是一次函数，又是这个一 一次函数的冠轴抛物线，也就是说他是这两个的冠轴抛物线，且次函数图像分别与 x 轴交于 p、 q 两点， p 在 q 的 一个左边，与 y 轴交汇点 m， 它现在你看固定了一个角度， p m n 等于七十五度，来让你判断 k 的 一个曲值范围，把这个之前的先擦掉。好，那么同学们，我们可以怎么去思考呢？首先一样，我们先去找他们以坐标轴的焦点对不对？那比如说我们读一下这个题， 这个二次图像与 x 轴分别交于 p、 q 两点对不对？那么其实我们就可以写他们两个一次函数与 x、 o 的 交点对不对？那比如说这边这个就是 p 点了，如果这个是 p 点，就表示出来应该是 二 k 加一逗号零好，那么你的 y 二的这个应该是什么？ y 二这个点应该是 负一，逗号零，好，那么同学们，因为 k 是 不是大于零，所以是不是二 k 加一是不是大于负一的？因为屁点在 q 点的左边，所以其实我就说是不是要改一下顺序，应该是屁点是负一零，那么 q 点是不是应该是二 k 加一，逗号零， 好，那我去标一标屁点，这里是负一， q 点应该是二 k 加一，逗号零，那我标在这里，这是二 k 加一，好，这个我确认好了。 那么接下来与 y 轴交于点 m， 那 么这个 m 点是不是就表示出来是零？逗号二 k 加一，好，那么下面这个你会发现它也是零。逗号二 k 加一，对不对？大概我也去把 m 点画一画 好，那么我现在找到了与 y 轴的交点，也找到了 p 点和 q 点。同学们，很明显，这应该是一个是不是开口向下的抛物线， 你把所有的点去连一连好，大概就是这样的一个图像，他说二次图像上是否找到点 n， 使得 p m n 等于七十五度？同学们， n 还在第四象限，对不对？那么你就大概去找一找这个点 n 好， 比如说在这里，那么我现在把这个角连接起来 p m n， 好， 现在是不是已知你这个 p m n 是 七十五啊？七十五度，好，那么同学们，这时候我们就要去关注一个问题了， 做这种题往往会给你些启示，什么启示？你看看你现在哪一条直线是我们所说的 y 一， 我们蓝笔把它连出来，是不是 m q 是 我的 y 一， 好，那么我的这个 y 二，其实就是我的这个 mp。 同学们，我们去思考一件事情，当我的这个 q 点，也就说当我的 n 点， n 点 在 q 点的时候，比如说这时候正好是七十五度，对不对？正好是七十五度，你看我的这个角 m q p 是 不是四十五度？因为它的斜率是负一，对不对？你可以看到 这边等于这边的，所以这个角其实是四十五度，所以对应的这个角是不是三十度？好，那么意味着这个角是不是三十度，所以你的这个角 p m o 等于三十度。同学们，我们就可以去思考一个 道理，什么道理？你看 q 点，这时候是不是在你的二次函数图像上，你的 q 现在是不是越往下走？你自己看，往下走就 n 点， n 点一直往下走，你的脚是不是在越来越小的，对不对？是不是越来越小的？所以说明 是不是只要我们怎么样，我们的这个角 p m o 是不是要大于三十度，就能找到这样的点 n 对 不对？因为我们现在知道角 p m o 就是 三十度，是不是最小值？那么随着我这个 n 点一直往下走，是不是我 这个角 p m o 反而要再增大的？所以是不是角 p m o 要大于三十度？我们是不是最后要通过这个 k 来求我们是不是可以用三角笔表示？那么是不是 tina 三十度是不是等于这个？哦，我们就说 tina 角 p m o 是 不是等于 p o 比上 m o 好？ p o 比上 m o 的 比值，大家可以看一下应该是多少，是不是正好应该是二 k 加一分之一，对不对？你要比三十度要大，那么是不是要大于 三分之根号三，对不对？好，那么这样解一解，是不是 k 要小于二分之根号三减一，好，那么注意它能是负的吗？ 他不能是负的对不对？题目里写了他要大于零，所以最后答案是零小于 k 小 于二分之根号三减一。那么这我们也是采用了一个竖形结合的一个想法，因为大家去想你的 n 点在你的 q 点的时候， 这时候是不是你的角 pmo 的 一个最小值是不是三十度？你 q 点，也就说在 q 点这个位置，你一直往下走，你这个角 m， 这个角 o m 是 不是越来越小？那你的这个角 p m o 满足要等于七十度，你是不是得越来越大， 对不对？好，那么这道题就讲到这里，如果大家还没有理解的地方，可以留在评论区或者在后台私信我，大家如果需要练习可以去找这个视频下方的链接。那感谢点大家的这个点赞关注和支持，那我们下期再见。