新高考二卷立体几何大题

正在高一下饱受立体几何大题折磨的同学们快点看过来，如果说线面角你还不会用定义法去找二面角，搞不懂如何用三垂线法，只会去用搜题软件寻求帮助的话，你会发现那些答案全部都是一些坐标系、 间隙、空间向量的方法，而这种方法我们根本不会遇到，这种纯几何的问题我们几何法又搞不拎清的时候，别着急，我们认真看完这条视频，今天宋老师一条视频带你双考点通关，吃透定义法求线面角，掌握三垂线法求二面角， 两大必考几何法解决立体几何大题，一口气讲清楚，看完直接套用刷题，立体几何基础分，稳稳拿捏。首先我们开始第一个板块，叫做定义法求线面角，那么这是我们三大角里面的啊， 第二个，第一个其实应该是意面直线所成角啊，但那个在大体里面的话呢，考的比较少，我们在大体里面考的最多的就是线面角和 二面角，那什么叫做线面角呢？既然要用定义法，我们先把定义给它搞清楚啊，其实它的过程是这样的啊，这里是一个平面阿尔法，然后呢，有一条直线 l， 它和我们的阿尔法交于 a 点，紧接着我做了一条紫色的垂线，要注意啊，其实这个 p 点是很随意的， 就在这条直线上，除了 a 点的位置啊，随便选择一个点就是 p 点过 p 点做底下这个平面的垂线啊，也就这里的 p h 是 垂直于底面 r 法的，那么这个时候啊，垂直为 h， 我 再去把刚刚 p a， 也就是直线 l 啊，与 r 法的交点 a 点，还有我们的 h 点连接即可啊， 这个我们用黑色的线来表示，那么这条线就像一根影子一样，它也确实是影子，它被称之为叫做直线。 l 在 平面 r 法上的摄影， 那么教材上的概念就告诉了我们，此时的角 p a h 就是 我们的线，面角定义在右边啊，大家可以快速的浏览一下。紧接着啊，我把这个三角形给它拎出来之后， 想要在题目中求解出现面角这个 theta 的 所有信息，比如说什么余弦值啊， 正弦值啊啊，更有甚者啊，这个角就比较的特殊，或者说比较的好求，就是三十度或者六十度的话，那我就可以求这个角的大小，但一般啊，在高中为止啊，我们现在求题目的角度的时候啊，很多都只是用三角函数来代表了，对不对？所以我们可以求余弦值或者正弦值， 想求什么余弦值，我就只需要把 a h 的 长度给它搞出来，然后再把 a p 的 长度再求出来，是不是就直接用零边比斜边即可？ 那如果说求正弦值是不是也就是 p h 的 长度，也就是紫色线段的长度，再除以红色线段的长度即可？ 这些呢，其实都不是很困难，因为我们这个直角三角形，说实话，从初中开始一直到高中，已经玩的非常非常的明白了，我只要能在这三条边里面知其二就可以，但是核心是如何能把这个三角形 给它做出来。那我们来看一些题目啊，我都没有放题干，我就直接告诉各位啊，这是一个广东的月考题，他呢说这是一个正三楞柱啊，正三楞柱的意思就是 上下两个面都是正三角形，然后呢侧棱还都垂直于底面，这样的一个什么是不是直棱柱？那这样的棱柱里，它让我们求什么呢？啊？让我们求这条红色的线 b c 撇啊，或者 b c 一 和我们底下这个平面 a c c 一 a 一 的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的这个子线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e a c e a e 就是 垂直的， 这样的话呢，我们就可以把我们的摄影，也就是 c e 再给它连起来。根据刚刚我们的定义，其实 b c e 和 c e e 就是 我们的线本身，还有我们的线的摄影，那他们之间的夹角其实就应该是我们的。什么是线面角， 所以这种题目是比较简单的，我连题干都没有放，我就直接给大家稍微看一下这个图就可以了，因为他现在的这个垂线 b e 是 题目里面怎么样，在图里面就自带的， 所以我一眼就能看到，那它的投影呢，我也就可以顺势画出，那线面角呢，也就不再有难处啊。那紧接着云南这道题目有什么样的一个问题呢？ 云南这道题目的话，它是这样的，它告诉你的条件是 a b c 这个平面啊，这是一道高二的期末考试题，它说是 a b c 这个平面垂直于底面 b c 岛，然后让你去求的是这条红色线 a e 和底面 b c 岛的夹角有这个线面角问题， 你告诉了我， a b c 垂直于 b c 岛， b c 就是 这两个垂直平面的交线，而垂直平面的交线有一个非常特殊的性质，就是我们的第八个性质啊，叫做 面面垂直的性质定律。其实我们只需要把这里的我做辅助线的时候，只需要过 a 点做 b c 的 垂线，它就定然会和底下的 b c 岛应该是垂直的。 所以我现在把这个点如果标为 h 点的话， a h 就 可以充当起我们刚刚在定义里面模型中的那条紫色线段，它呢，应该就是 a 往底面做的垂线，自然而然 h 和 e 连在一块的这条线就可以被称之为我们刚刚的黑色线段，也就是 a e 这条红色线段在底面的投影。 所以现在的线与投影之间的夹角，也就是此时的 a e h 这个角就应该是我们的目标线面角啊，这个 c 塔，那这是云南的一道高二的期末题啊，其实难度也不是很高啊，都可以比较丝滑的或者很简单的做出这样的辅助线啊。 但紧接着呢，这是一个最近啊我的学生在问我的这样一个作业题啊，这道题其实最近在一次比较正式的考试里面也有出现过，是北京的一模考试啊，二六年的北京一模考试好像也考了这个类似的一个问题啊，这道题目 它让我们求的是啊，右边一个楞柱嘛，左边拼了一个楞锥啊，让我们求的是 b c e 在 a b 一 岛这个平面上的一个所谓的夹角，或者说它的线面角，那我就比较懵了啊，尤其是对于我们高一的孩子而言啊，那这个问题还是相对有一些难度的，因为现在的 c、 e、 b 上来就和刚刚的模型不一样， 它呢，和 a、 b 一 岛没有一个非常明确的焦点，对不对？所以我没有办法过另一个点啊，虽然另一点比较随意嘛， 但是刚刚这题都很明确，就另一个点就是 b 点啊，就是 a 点上面这个，广东的就是 b 点上面这个，云南就是 a 点，做底面的垂线即可。而这里呢， c 一 b 和平面 a、 b 一 岛都没有交点，另一个点更加不知道该从哪里去找了，对不对？题目变难的逻辑呢，就可以从这些角度来让它变难， 比如说啊，他可以搞来一些动点让你去研究，也可以让这里的线和我们的目标面，就目标线和目标面看起来八竿子打不着，那我们就需要通过一些以前学习过的内容啊，去进行一定的 转移。比如说啊，第一个比较丝滑的方式就是我们刚刚有微微提到一点点的意面直线所成角，意面直线所成角的问题就是所有的直线啊，其实我都可以通过平移把它挪到我想要去的位置， 当我把它挪到想要的位置的时候，我就可以通过我比较熟悉的形式去求线与线的夹角，那线面角也是一样啊，线面角里的线也可以去挪到，或者说平移到我们希望他在的位置，那就做平行线就好了，能够做出合理的平行线，我们就可以 像我们刚刚那样一样啊，去做这样的辅助线，并且把这种题目转换成跟刚刚那种啊，云南还有广东这样的题目啊，一样难度的这样一些题， 我们来讲两道可能稍微复杂一点点的题目啊，大家一起来感受一下。首先第一个在棱长均为二的正三棱柱， a b c a e b c e 中，这个正三棱柱啊，那我们简单画一下这个草图， 正三棱柱的长相也是相对比较规整的啊，所有的底面都是正三角形，然后呢，侧面也都是矩形了，然后侧棱也都垂直于底面。 m 的 话呢，是 a b 的 中点啊，我们标一下啊，比如说这里是 a， 这里是 b， 这是 c， 那 下方就是 a e b e c e 没有图，那我们就要自己画，所以这里是 a b 的 中点，我们把它标出来，这应该是我们的 m 点， n 点是侧面 a c c e a e 内任意一点， 这就是我刚刚讲的第一个逻辑，把题目变难的第一个定点，那么此时我们的 n 点在侧面乱动，问你 m n 与平面 a c c e， a e， 它的所乘角的取值范围是怎么样的？那么现在 n 点在边界还有这个平面外都有它所带的一个位置，那现在我们来看一下，如果说我们取出 a c 的 中点的话， 它会有一个点是不叫做 o 点，为什么这么来做呢？你仔细想一下，因为我们现在的 m n 随便画一个，比如说 n 点在这个位置，那么 m n 和这个面的夹角我应该要干嘛？应该是要去做所谓的 a c c e a e 的 垂线。再说呀， 因为你现在的 n 点不知道在哪，但好歹也是一个什么，是不是好歹也是一个我们这里和平面 a c c e a e 的 一个 交点，所以呢，可以为之一用啊。但是呢， m 点是一定是面外一点，所以我需要去过它做什么？ 就是做我们的这个平面的垂线。那么为什么选出了 o 点这个中点呢？我选完中点是要选四等分点的， 为什么这么选呢？因为作为正三棱柱而言，我如果把 a c 的 中点 o 点选出来，再把 a o 的 中点，比如说 h 点给它选出来的话，那么 m h 这条线可不简单， 它是垂直于 a c 的 上方的 a b c 这个平面，作为一个正三棱柱而言，它一定是垂直于 a e c e c a 的。 垂直于 a e c e c e 之后的话呢，我现在的 m h 又是我人为的去做的什么？是不是垂直于 a c 的 一条线？ a c 什么身份呀？ a c 啊，其实是我们的 abc 这个平面和那个平面 a e c e c a 的 一个交线， 所以现在面面垂直，我又做了它们两个交线的垂线，那得到的结果一定是我们的 m h。 怎么样，它待在我们的 a b c 里的一条直线，它就一定会垂直于 a e c e c a 是 不是这个平面？所以啊， 这个 h m 不是 别人呀，它是谁呀？它是老紫呀，刚刚那个模型里面的紫色线段呀，它是那个垂线，所以 h 点就是 m 点在这个平面上的投影，那么 h m 就是 老黑啊，就是我们刚刚所说的投影。所以 n m 是 我们的目标线啊。平面 a c a c e a e 是 我们的目标面，而目标线在目标面里的投影就是 h n， 所以 这个角我找到了，就是 m n h 这个 c 塔就应该是我们的线面角，那么如果说 m n h 是 我们的线面角的话，那我们现在的这个正弦值的取值范围应该 有了一个小小的眉目，为什么呢？因为所谓的 sine theta， 它应该是等于 m h， 对 边就是 m h 嘛，那么斜边就是 m n 啊， m h 其实是个定值哦，因为我们上方是一个人长均为二的三楞柱，所以上方是一个人长或者说边长为二的一个正三角形。 b o 就 应该是根号三，所以呢， m h 就 应该是二分之根号三，这上方是一个定值啊，就是二分之根号三。而下方的 m n 呢？ 开始乱动了啊， m n 是 真的不知道了， m n 是 一个会动的长度，所以我们现在想求 sin c 的 取值范围就已经非常明确了，我只需要把 m n 的 取值范围给它求出来就可以了。那 m n 等于多少呢？ m n 其实就应该等于根号下 m h 的 平方，再加上我们的 h n 的 平方， mh 的 平方，加上 h n 的 平方，里面的 m h 就 应该是一个定值，就是二分杠三，所以平方完就是四分之三，再加上 h n 的 平方， h n 最短最短应该是多少？ 最短最短最短其实应该是零哈，因为它现在这个 n 点确实可以跑到是不是 h 点的位置啊，所以最短应该是零，所以此时加上了这个 h n 的 范围呢？我们稍微的书写一下， h n 最小最小应该是零，最大最大呢？ 其实最大的时候啊，这个 n 点应该要跑到哪里？应该是跑到是不是我们的 c 一 点的时候，此时的 h n 可以 取到真正的最大值。 那么 h n 多长呢啊？这里的长度应该是二分之三，这边的长度这个棱应该是所谓的二，所以此时我们的 h c e， 也就是我们 h n 的 最大值，应该等于根号下二分之三的平方，再加上我们的二的平方， 所以得到的结果应该是四分之九，再加上四啊，也就根号下四分之九，再加四啊，这稍微算一下就是四分之二十五，所以开出来过以后就应该是二分之五。 所以这里的 h n 的 长度啊，最小最小应该是零，最大最大呢，应该是二分之五。 那这样求完之后啊，我们 h n 的 长度出来了，那么 m n 的 长度的范围应该是多少呢？那最小是不是也就是二分之二三啊？因为 h n 最小是零嘛，加四分之三的开根号就是二分之二三，那最长的话呢，应该是四分之三，再加上 h n 的 平方 就是四分之三，再加上四分之二十五，也就是四分之二十八，四分之二八，开出来应该是二分之二倍，根号七，也就是根号七哦，所以这样我们求出来的结果啊，就应该是 m 的 长度是在二分之，根号三 到根号七，于是把这个 m n 的 长度丢带到我们最开始的这个式子里面来，终于终于可以出结果了啊， m n 取最小值的时候，反而我们的算它应该取最大值，刚好就是一啊，这也顶天了啊。 确实，这个时候我们的 m n 就 应该和底面是垂直的，所以九十度的正弦值也就是一啊，所以算出来的结果就应该是十四分之，根号二十一，那答案 应该就已经出来了，应该是十四分之二一到一。实际上我们就还是通过定义法，把线面角找到，把线面角的正弦值给它，怎么样 凸显出来之后啊，我们再去明确这个取的范围到底是因为谁在动，我发现是由 m n 在 动，而 m n 的 长度呢，又是由 h n 来决定，所以我求出 h n 的 范围，一步一步的回推到我们的 m n 的 范围，那这个问题就已经解决掉了。 话不多说啊，我们直接来看一下这里的第二题，就是我刚刚啊放的那个图。这道题目是我这几周啊，刚好有个同学问我的一道题， 他作业帮一搜啊，小圆搜题一搜，搜出来嘛，就是间隙。这道题间隙确实还可以啊，但错就错在我是个高一下学期的学生，我还没有学过间隙，你给我来个间隙是不是害我们 啊？如果我偷个懒，抄个答案上去的话，老师一眼就知道我是不是在搜题了。所以我们现在还是要去学习这个几何法。 几何法永远是我们通往间隙或者通往立体几何大成之上的必不可少的一个步骤。好，我们来看一下这个。这个题目有个第一小题，我略讲一下，不是今天的重点，这里什么三棱柱啊， abc 又是正三角形， ab 呢，又是等于二啊， c c 一 垂直于平面， abc， c c 一 呢是根号三，捯是 c b 延长线上一点延长过去啊，而且捯 b 呢，又等于 bc， 就 延长了一倍啊。 他说，假设 a c 的 中点为 e， 让我们证明 c e e 平行于 a b e 岛。 好的，那么这个问题其实并不是非常的难啊，因为现在我只需要去把这边这个中点再点出来啊，然后连接连接 b e 啊，再连接，假设中点是 m， 我 把这个 m e c e b e 给它连出来之后啊，就完事了啊， 因为现在下面这个长度是延长一倍的，所以 m e 和倒 c 之间应该是中位线的关系，那就应该是长度等于 b c， 但是又平行于 b c， 总而言之啊， m e 就 会平行于 b e c e 啊，当然，其实平行等于 b e c e 啊， 从长度上来说，它等于下方的倒 c 一 半，那就等于 b c 用于三棱柱，它就会等于是不是上方的 b e c e。 所以 这里简讲一下，就是构造这样的一个平行四边形即可啊，我就可以证明出，此时 b e m 和我们的 c e e 是 平行的， b e m 和 c e e 平行就可以推出啊， c e e 应该是平行于 a b e 岛的。这是这样的第一小问，但是第二小问，不少学生啊，都比较痛苦，它这里应该是 b e c e 与平面 a b e 岛夹角的正弦值。来，我们来看一下啊， 各位，写完第一题不要忘记啊，写第二题的时候，往往可能还有点帮助的啊，或者说可能会突破啊，我们那些思维的定式，第一小题的这个结论可能也会得给我们一点提醒， b e c e 在 这个位置 与平面 a b e 倒的夹角，我该怎么办呢？其实这道题目啊，当时我在思考的过程里面是这样来想的，如果我直接去做垂线的话，我都不知道做哪去了， b e 确实在 a b e 倒上，那 c e 我 往这个面做垂线，我做哪去了？ 根本就搞不清楚啊，所以现在就非常的难受啊，但现在我可以干嘛？我是不是可以进行一个转化？就像刚刚我们所讲的一样啊，你既然已经说出了这里是一个什么， 是不是一个平行四边形，所以现在呢，我们的这里的 m 点，还有这里的 e 点 m e 是 不就平行于 b e c e， 所以 b e c e 和平面 a b e 倒的夹角，这就等价于 m e。 有 些人说 m e 还不够好，那非常非常好啊， m e 其实还是不够好啊， me 这个身份其实完全可以再换成谁，是不是换成左侧的蚯蚓？如果你换成了蚯蚓的话，那么这个问题就相对会变得比较简单了。 首先啊，我现在过 b 点往这个面去做，垂线就是目标线是蚯蚓，目标面是 a b e 蚯红线就是蚯蚓，那我现在子线就是垂线段啊，这里的 b h， 我 完全可以过 b 点直接去做这个 a b e 蚯蚓垂线， 虽然我有一点点不太清楚啊，你会垂到哪里去，但是呢，至少是垂在，是不是我现在目力所及这个面内的啊，比刚刚一定是要好不少。所以这就是我们简化题目的一个逻辑，我可以把这里的线 移移到我想要的位置，然后再去用我们定义里面交的那个模型去画图，你的算力，你的这个计算的难度以及成本一定会降低，所以我们过 b 点做这个垂线，会得到这个 h 点，那么接下来这个三角形 b d h 就是 我此生要去 钻研的，是不是这样的一个三角形？嗯， b d h 这个三角形呢？它其实应该是一个什么样的？应该说是直角三角形， 而 b d 的 长度我是知道的啊， b d 的 长度其实就应该也是几啊，是不是也就是二？因为 ab 是 二嘛， bc 也是二啊，这边也是二，你言传一倍，那 b d 是 不是也是二？ b d 是 二过以后，那 b h 呢？ b h 呢？ b h 不 清楚，但是我可以用等体积法，我用回忆起来一个非常重要的知识点啊，叫等体积法，其实 b h 就是 什么？是不就是 b 点到哪里啊？ 就是到我们的 a b 一 岛这个三角形的面积。当我这样写过以后啊，我会知道，第二小问的突破口已经出来了， 它就应该用等底积法 v b 杠 a b 一 岛这个体积来进行转化。因为 v b 杠 a b 一 岛啊，就应该等于三分之一倍的 s 三角形啊， a b e d 啊， 就应该等于三分之一倍的 s 三角形 a b e、 d， 再去乘上我们现在的目标是不就是 b h 三角形 a b、 e、 d 的 面积啊，我是可以去给它求出来的，这个我马上再说， b h 是 我想要的东西。 紧接着啊，这个三棱锥的体积除了可以这样写以外，是不还可以写成 v b 一 杠 a b 倒，那它的体积是不可以等于三分之一倍的 s 三角形 a b 倒啊， v b 一 杠 a b d， 这个三棱锥的体积是不还可以写成三分之一倍的 s 三角形 a b d， 然后再去乘上我们的 此时的高啊，那此时的高其实就是 b b 一 啊，这我也不啰嗦了啊，因为你 b 一 作为顶点的话，它往下做垂线不就是 b 一 b， 好 吧，所以这样的话呢，两者一划等号，我只需要去把这个，这个还有这个给它求出来，那 b、 h 的 长度是不也就直接啊， 出现了那么一个人来解决就好了呀？像 s 三角形 a、 b、 e 倒这种东西啊，有点难度啊，但是我今天也写的不会很详细了啊，我就直接把这些边稍微标一标，这里就应该是二，这里也是二，而这边应该是一百二十度啊，应该是一百二十度啊， 好，那我这里稍微擦一下啊，或者说我拿蓝色的笔啊，绿色的笔啊，稍微给大家标一下啊，这里是二，这里也是二，这边是一百二十度，所以 a、 d 长度应该是二倍根号三。那么 a、 b 一 的长度呢，应该是二 根号三，对吧？它说 c、 c 一 等于根号三啊，所以应该是二根号三的勾股数啊，应该是四加三开，根号应该是根号七，所以 a、 b 一 是根号七，而 b、 e、 d 呢， b、 e、 d 的 长度应该是多少呀？哎，这里是垂直，是根号三，这边也是二，所以这里也是根号七啊。这个三角形 a、 b、 e、 d 这个三角形， 它在我们的心中就已经很明确了，应该是两条边都是根号七，谁啊？ b、 e、 d 还有我们的 b、 e、 a 啊，都是根号七，然后呢， a、 d 之间是二倍 根号三，所以这个高呢，就应该是根号七减根号三啊，或者说根号七的平方，减根号三的平方，也就是开个根号，也就是二，所以它的面积啊，就应该是二分之一，再乘上二倍根号三，再乘上一个二，就应该是二倍根号三喽， 所以 s 三角形 a、 b、 d 的 面积就是二倍根号三，而 s 三角形 a、 b、 d 呢？ 这已经搞定了啊， b h 放一放啊， a b d 呢，很简单吧，应该是二二二倍根号三的一个等腰钝角三角形，所以它的面积的话呢，应该是 根号三啊，这个我就简讲了啊，大家都会求的啊，因为它的形状是二二二倍根号三啊，这样的一个等腰钝角， 那最后一个 b b 一， 我也是知道的啊，就应该是根号三，所以上式全部给它累下来，就应该是三分之一乘上二倍根号三，再乘上我们的 b h， 再去等于啥呢？等于下面这个二号式子，也就是三分之一再乘上 s 三角形 a b d 啊， a b d 的 话呢，就是根号三，所以再乘上一个 b b 一， 于是我就非常清楚了啊，此时的 b h 的 长度应该会等于多少，是不是等于 b b 一 的一半，也就是二分之根号三， 所以我刚刚说此生要去研究这个三角形啊，搞定了啊，这里是 d， 这里是 b， 这里是 h 啊， b h 的 长度是二分之根号三啊， 那么 b d 的 长度就是二的情况下，我们就可以正确的得到这个结果啊，它的正弦值就应该是二分之根号三，再除以二，就应该等于四分之 根号三啊，所以右边的一切全部都是在为什么我们这个所谓的 b h， 也就是这个直角三角形里面的啊，这个 b 点到底面或者说到目标面的距离 啊，就刚刚那个紫色线的长度在服务啊，所以这些过程等体积法就是这样来用的。好，那还有一道题目也可以快速的说一下啊，就是这个第三题，这其实是非常新的武汉三调啊，就是高三的武汉的 一道模考题啊，完三道的质量也是非常非常高的啊，这道题目前在网上吹的也很厉害，那么实际上我觉得他做的确实不错，他把解三角形还有我们所谓的立体几何啊，都放在了一起去考，但是我们今天只看一问，就是这里啊，这个第三小问， 这个第三小问是让我们求的就是限面积，如果说你在高三的时候学会了间隙，就疯狂在间隙的话，当然是可以的，你现在上网搜的很多答案应该都是在间隙，然后说就比较难，比较难点，也比较难算，对不对？但其实这道题目啊，如果你熟练掌握几何法的话，你会写的非常非常的顺利， 因为他现在在前面两问里面啊，尤其是第二问，他让你算了一个东西，叫做 p 杠 abc 的 体积。 好吧，那这里啊，我默认各位是会的。好吧，我就直接把这个体积的公式或者说体积的结果告诉你啊， v p 杠 abc 啊，就是四分之根号十五。那么问题来了，它现在的 p 杠 abc 的 体积是四分之根号十五，让我求的是 b c 到什么，是不是与平面 p a b 的 夹角。那么我们现在根据刚刚的定义的话，应该是过 c 点做什么？是去做这个平面的垂线，这是刚刚的垂线段，紫色线段，那么这个垂足即为 h 的 话， 紧接着我们的 h b 就 应该是我们刚刚的黑色线段，也就是 c b 这个线段在 p a b 目标线在目标面上的投影。所以说我们现在的线面角已经出来了，就是这个 c， 它 bc 长的已知啊，因为这里是直角，那现在想要求这个 c， 它的正弦值的话，斜边就是 bc， 而 bc 长的已知就是根号六。 所以这道题目在第三小问里只有一个问题，就是把谁求出来，就是把 c h 求出来啊，为什么？因为 sin theta 等于 c h 比上 bc， bc 等于根号六，所以只有一个东西不知道就是 c h， 那 么 c h 到底是多长呢？第二小问告诉了我 p 杠 abc 的 体积， p 杠 a p c 的 体积恰好又是什么？根据我对于三棱锥如此之深厚的了解，它就应该等于是不是 c 杠 p a b 啊？ v p 杠 a b c 就 等于 v c 杠 p a b， 而 v c 杠 p a b 就 等于三分之一倍的 s 三角形 p a b 再乘上我们的 c h c h 就是 c 到 p a b 的 距离，也就是以 p a b 为底面， c 为顶点时候，这个三棱锥的高。所以问题再一次的减化为去求什么？是求三角形 p a b 的 面积，那么紧接着我就只要求三角形 p a b 的 面积就可以了，它告诉我 p a 等于一，这题目说的， 然后呢？ ab 等于三啊，这也是题目说的，然后 p b 呢？等于二倍根号三，所以 p a b 这三角形是一三 二倍根号三啊，是这个样子啊，所以 p a b 这三角形是一三二倍根号三，是这样的一个形式啊，那我们再不记是不是也能把它的面积给它求出来，只需要稍微调用一点点我对于解三角形的了解即可。此时对于这个东西而言，我们假设这个角为 r 法 啊，假设这个角为 r 法，那么 cosine r 法就应该等于多少？ ok， 这地方稍微差一小嘴儿啊。我觉得这个 r 法我选的不好， 因为我发现啊，这三条边里面有一有三啊，有二倍根号三，所以我会选择这个角为 r 法啊，因为这是 a 嘛，这是 p 嘛，然后这边是 b 啊，我会选角 a， 或者说角 p a b 为 r 法。那么此时的 cosine r 法就会等于啊，一的平方加上三的平方，再减去二倍根号三的平方，也就是减去一个十二，再除以二乘以一乘以三啊。 上面是十减十二就是负二啊，下面就是六，所以 cosine r 法等于负的三分之一，那么 sine r 法其实就应该等于正的三分之 二倍根号二啊。这是利用 cosine 加 cosine 等于一即可。于是现在的 s 三角形 p a b， 利用减角形里面的三角形面积公式，就应该等于二分之一乘以一，再乘以三，再乘上三分之二倍根号二。所以这样得到的结果啊，应该就是，呃，削掉一个二， 再写了一个三，应该就是根号二，于是四分之根号十五啊。左边这两坨是一样的。第二小问告诉我，等于四分之根号十五，那就应该等于三分之一再乘以根号二，再乘上 c h， 所以 c h 的 话，应该等于 三倍根号十五，再除以四倍根号二，也就是八分之三倍根号三十。 我刚刚最开始说的 sine theta 等于多少？ sine theta 是 不是应该等于 c h， 再去比上我们的根号六， c h 是 八分之三倍根号三十啊。所以这样除上一个根号六过以后，这个 sine theta 就 应该是等于 八分之三倍根号，所以这道题目的答案一定是正确的啊，你可能间系得到结果也一定是匹配的。但是如果我去用的是几何法，就是我们高一下期刚学立体几何的这一套方法。用的是定义法的话，你会发现你的步骤会非常非常的少 啊，会在前三道大题里面为你节省下来非常多的时间啊，这是一件非常好的事情。 所以定义法求解我们的先面角，大家一定一定要学明白啊，或者说一定一定不可以去， 既希望于间隙解决所有的问题，而应该在这个阶段去把这个方法也学扎实，这是第一步，第二步，再去学间隙之后两条腿都学好了，你才能在立体几何的世界里面走得比较安稳，走得比较顺利啊。 好，那么接下来我们来看第二块啊，在大体里例题几个最喜欢考的三大角之三就是我们的二面角，那么今天我主要讲的方法叫做三垂线法， 他也有定义法啊，但定义法有些时候可能没有那么的好用了啊。三垂线法呢，我认为是非常好用的，还 有一些更快的方法，比如说投影面积法，那今天我们可能提不太到啊，如果需要的同学可以啊，联系我的后台，然后我们再去聊这个问题， 再去分享，共同探讨这样的问题就好。那三垂线法求二面角是什么呢？我们先把二面角了解一下啊，这个定义我觉得还是比较简单的，有笔记本电脑一样的啊，这样掀开过一个状态，其实就是一个线 l 啊，然后呢，向两边出发，是不是有两个半平面 r 法和贝塔，那么这个形状就叫做二面角啊，这个两半平面就叫做二面角的面啊，这个没有问题。紧接着我现在如果选择了啊，一个点 p， 就是棱上选个点 p， 然后以 p 为垂足，这样做，这样做啊，就全部是垂线做了 p a 还有 p b 啊，其实都是射线喽，那我们现在做了射线 p a 还有 p b 啊，它们之间夹这个角，叫做二面角的平面角 啊。其实到最后啊，大家说话都已经开始模棱两可了，或者说的没有那么严谨，其实我们最终在求二面角的时候啊，很多时候都是在求二面角的平面角，二面角这个三个字，其实只代表上方的那个图形，仅此而已 啊，他其实并没有那么那么重要啊，重要的大小其实是附托于或者说赋予我们的二面角的平面角。所以其实我们讲的定义法呀，或者说三垂线法，都是在两个平面中啊，去寻找我们的二面角的平面角。那什么叫三垂线法啊？这是今天的重点。三垂线法是这样的啊， 我们现在已经有了这样的两个平面，阿尔法还有贝塔啊，然后上面呢，却有着所谓的比较糟糕的 p 点和 q 点啊， 为什么这么说啊？因为如果说是比较好的 a 点和 b 点，它应该是这样的一个效果啊，就我选择了一个 o 点之后啊，做了一条垂线， ok， 就是 垂线，再做一条垂线，这边就是 b 点，那么这样的话， a o b 就是 二面角的平面角，这没有问题。 但实际上呢，我们现在的 p 点和 q 点，或者说大多数想把题目变得稍微难一点的题目，他都会去把这里的 p 点和 q 点给它错开。 也就是说，如果我过自己的 p 点啊，去做这个棱的垂线，哎，会垂到这里的 m 点，我过这里的 q 点去做这条棱的垂线，会垂到这里的 n 点。怎么说？错位了？ 那错位其实也有方法去解决啊，就比如说我可以去做平行线嘛，把 q n 平移到左边这个位置，是不是也行 啊？但这就比较麻烦嘛，我要画好多条线啊，但我可以用稍微简单一点的方法啊，或者说更加直接的方法去解决这个问题。怎么做的呢？是这样的啊，先过这里的屁点，直接一条擎天柱就立在下方的 背它上啊，就 r 放的屁，直接做一条垂线，垂直于背它。 r 放的屁做一条垂线， p h 垂直于背它。 h 为垂足的话，这是第一条垂线。三垂线，第一条垂线先 垂面，紧接着我过这个 h 点，再做一个 h o 垂直于谁？垂直于我们的交线，也就是我们的棱 l 啊， 做这个交线 l 的 垂线，这样垂完之后得到了 o 点之后再相连。连什么？连？最开始的 p 点和 o 点，那么现在的这个角就是我们的 p o h， 这个角就是一定是我们的二面角的平面角。 为什么这么说呢？因为我们的 p h 垂直于底面贝塔，而 l 呢，又在我们的贝塔里，所以 p h 包怎么样的包和我们的 l 是 垂直的，而我们的 h o 呢，又是我自己做的，垂直于 l， 这说明什么啊？当然还要补充一些啊，就是 p h o 相交于 h 点，并且我们的 p h 和 h o 呢啊，又都在我们的 p o h 这个平面里，所以我就可以证明 l 应该是垂直于平面， p o h 的 l 垂直于平面 p o h 之后的话，我们现在的啊， p o 和 o h 都在这个平面内啊， 那就可以说明我们现在的 p o h， 它应该是和我们的 l 垂直，之后就可以说明我们的 p o h， p o 和 o h 就是 都垂直于我们的。什么 是不是我们的这个公共线，或者说我们这个棱啊，公共棱，于是 p o h 啊，就应该是我们现在的这个二面角的平面角 好吧，所以我们现在就可以非常了解三垂线法的做法，它应该是这样的一个步骤，一垂面，二垂棱，三相连角 b 线啊，那么第一个就是我们的红线啊， 一垂面，第二个就是我们的绿线，就是二垂棱。垂完过以后啊，我们就会把最开始的 p 点和我们最终的这个垂足 o 点啊给它相连，那么角 p o h 就 应该是我们的什么二面角的这样的一个平面角啊。 那么学会了这个方法之后啊，我们来看一道题，这道题没记错的话，应该是宁波市啊，宁波九校这个非常著名的联盟的一道期末考试的题目啊，在三轮锥 p 杠 abc 里面， pa 等于 bc 啊，都等于一 ab 等于根号三 好数字标完了啊， p a 垂直底面， abc 平面， p a b 只垂直于 p b c， 那 么 m 是 pc 的 中点，求证 ab 垂直于 bc， 这个其实应该并不是很难啊，也不是我们今天的重点啊，我们就稍微说一下就好啊，其实我现在只需要去做这里的 a h 的 这样一条线就好，为什么？因为题目里面出现了 p a b 垂直于 p b c， 这是一个面面垂直，看到面面垂直，找交线去做交线垂线，这是一个雷打不动的切入点啊。当我把 a h 做出来之后，这条线一定会怎么样？根据面面垂直性质定律，它会垂直于 p b c， 那 么它垂直于 p b c 的 话， b c 这条线就会垂直于 a h 啊。 bc 垂直于 a h， 这是第一点，而 bc 还会垂直于谁？还会垂直于 pa？ 所以 简写就只要这样写就好了啊啊，让大家感受一下即可。 为什么还垂直于 pa？ 因为 pa 垂直于 abc， 所以 pa 还会垂直于 abc 的 所有的线，包括 bc， bc 垂直于 a h， bc 也垂直于 pa， 再结合它们俩相交，它们俩都在哪？是不是都在 pa 里？就可以推出我们现在的这个 bc 应该会垂直于左边这个平面，是不是 pa b， 那么 b c 垂直于 p a b， p b c 就 会垂直于 p a b 里面所有的线包括什么？是不是包括我们的 ab 啊？ 这不是今天重点啊，我们稍微说一下就行，就可以证明出 b c 垂直于 ab 啊，证明线线垂直，实际上是要证明线面垂直。 ok， 那 么接下来看一下今天的重点是这个。第二小问，让我们去求解的是 p a b 和 m a b 的 夹角，那如果说我要间隙的话，当然可以间啊，你去搜一下，你就会发现怎么去间隙的。那现在我们来看一下啊，如何去用三垂线法去解决。为什么要用三垂线法？因为你现在的 p a b， 如果你去过 p 点做这个公共弦的垂线，会垂到 a 点。如果你去过 m 点做这个公共弦的垂线，你会垂到 a b 的 啊，某一个位置啊，可能是中点，对吧？我没有详细的去探究啊，但归根结底，它和 p 点做的垂线，它不再交于同一个点，所以这个二面角的平面角没有那么那么的好找。那怎么办呢？那我们就可以开始使用三垂线法 来。我当然可以去使用 p 点，也可以使用 m 点，但如果我要过 p 点做 m a b 的 垂线的话，来一垂面嘛。 如果选择了 p 点，你就要往着另一个面，就是 m a b 去做垂线，你会垂到外面去。但是如果你过 m 点，你选 m a b 的 步桨去垂直于 p a b 的 话，很简单，你只需要去做 p b 的 垂线就可以了， 这个非常好做。因为第一小问证明了 bc 垂直于 a b p 这个平面， 所以现在其实你只需要去做 b c 的 平行线，就会得到 p a b 的 是不是垂线。 于是我会把这里的 p b 的 中点 o 点给它点出来，那么 m o 就 会垂直于 p a b 这个平面， m o 垂直于 p a b 这个平面， 这就是 e 垂面已经到位了。紧接着我只需要再去做这里的 a b 的 垂线， 谁会垂直于 a b 啊？ p a 不 就垂直于 a b 吗？所以现在 o 点是中点，我只要再把下面的这个 h 点，也就是 a b 的 中点再点出来，这条线是不是就会垂直于底下的 a b c？ 那 当然也会垂直于 a b 喽。所以一垂面是做出了 m o， 二垂棱是做出了 o h 三相连，就是连接这里的 m h。 于是现在的二面角的平面角被我找到了啊，就应该是这里的 m h o 这个平面啊， ok， 本来看不到线，应该用虚线来画啊，怕各位看不清，所以我画成了一个实线。那么这里就应该是我们的二面角的平面角，是不是 c 塔？ 于是你现在让我求这个夹角的大小啊，我就把这里的 m o 啊， o h 啊， m h 啊啊，反正三个里面搞清楚，两个不就行了吗？那他告诉我， bc 等于一啊， 那 bc 等于一的话，中位线 m o 的 长度是不是就应该等于二分之一来， o h 也是中位线啊，你告诉我 pa 也是一，所以 o h 它不就也应该是二分之一吗？而且这里还应该是垂直的，所以这个图画出来 我都画丑了，它应该是一个什么？是不是等腰直角三角形？也就是说，此时的 m h o 应该是一个二分之一，二分之一等腰直角三角形。那 c 塔在这个位置啊，不是四十五度，也得是四十五度了啊，所以这道题目的结果应该是四分 之派。所以这就是所谓的三垂线法啊，本来是 p 杠 a， b 杠 m， 那 p 点不好用，直接被我排除在外，我就用 m 点，一垂面，二垂棱，三相连，那我们的二面角的平面角就直接浮出水面。 好的，那么今天的视频到这里就结束了，数学想提分，关注宋老师，点赞收藏视频，高中三年，我将陪大家一起冲刺高中数学，记住哦，关注宋老师每个视频，送大家一个解题小妙招。

二零二五新高考二卷必考压轴圆柱双球最值百分之九十同学都做错！今天 大白话拆透所有逻辑，听完考场直接拿满分！里面半径四厘米，高九厘米的封闭圆柱，里面放两个大小完全相等的铁球球，铁球半径最大能是多少？绝大多数同学必踩天坑， 一上来就默认两个球数值上下对齐叠放，直接用四倍半径等于圆柱高度算。答案，完全忽略圆柱左右宽度限制，算出来的球根本塞不进圆柱里，一步错全错！正确答案应分三类讨论。第一类， 两球上下比值对齐叠放，球心在同一条数值线上，四个球半径加起来等于圆柱高度，算出来半径太大超出圆柱宽度限制直接作废。第二类， 上下球分别顶住圆柱上下底面，依旧数值对其摆放四倍半径等于圆柱总高，算出半径依旧不满足圆柱内壁限制，还是不符合体意。第三类， 两个球斜向错位摆放，上下分别贴紧上下底面外侧同时贴紧沿住侧壁，球心在长方形对角线两侧用勾股定律列式计算，舍去超大无效解，最终得到正确最大值。圆柱多球最值。万能套路一、 先每举所有合规摆放方式按数值对齐斜向错位全部分类讨论。二、化轴结面转化为平面圆问题，找球心水平数值距离。三、用勾股定里列方程舍距不符合圆柱长宽限制的。答案四， 所有情况对比，最终取出半径最大值。我是阿洛老师，每天进步一点，记得关注点赞哦！

同学们好，我是教中职数学的曾老师，这个视频呢，我来讲一下二零二三年的这个立体几何的大题来，我们看到题目已知四棱锥啊， p a， b， c， d 这个图在这下面啊，四边形 a， b， c， d 为这个矩形啊， 这矩形的话，那么它四个角都是直角，而且呢，它还会是一个平行四边形嘛，啊，还有对边平行且相等啊，然后呢， e 呢？为这个 pa 的 中点啊，那么 pe 呢，就会等于这个 a e 了啊。第一问，那你证明这个直线 p c 平行于这个平面呢？ e， b， d， 那么你要证明这个线面平行啊，我们的思路是转换到这个线线平行上去吗？啊，根据这个直线与平面平行的这个判定定律啊，我们要找到平面 e， b， d 上一条直线与 p c 啊平行， 那么看到这个位置哈，看到这两个啊， p c 呢？在这里， e， b， d 在 这里啊，我们来看一下啊，怎么找到这个平面上的直线与这个 p c 平行， 这里这三个边啊啊， b， e 和这个 e d 还有这个 b， d 呢，明显不可能跟我们 p c 这个平行了吗？啊，那么这时候呢，我们肯定要构造这个啊，辅助线了 啊，那么这个辅助线怎么去找啊，你看到这个点 e 是 不是中点啊，那么这里面我们应该要再找到一个中点， 那么想要这里啊， b， e 呢？还有这个 e d 是 不可能的嘛，你找他们终点，你连接的话，怎么可能啊，与这个 pc 平行啊，那么这里只能找到这个 b d 的 终点了，假设是 f， 那 么就连接这个 e f 啊，这个 e f 会不会跟那个 pc 平行呢啊，这里我们来看一下，哎，再连接这个 a c 啊，这个 a c 肯定也会经过这个 f 嘛，啊， 看到在这个三角形啊 p a c 中，你看 p a 的 中点是不是这个点 e a c 的 中点呢，是这个 f， 那 么我们可以由这个啊中位线定律呢去证明这个啊， p c 呢会平行 e f 啊，那么这个 e f 呢，就是我们这个目标了嘛，那么第一问就已经啊分析差不多了，我们来写一下啊，第一问呢啊，证明 啊，这里我们构造了辅助线啊，这时候呢，我们把这些点还有连接线啊，先说明一下啊，这个啊，连接这个 a c 啊，这个中点 f 就 在这里嘛，啊，是 a c 与 b d 的 中点啊，取这个 a c 与 b d 的 中点 啊，为 f 连接这个啊， e f， 那 么这里啊，辅助线就构造好了啊，那么这里用中位线定理啊，在这个三角形 p a c 中呢点 e 和 f 呢，分别为 pa 和 a c 的 中点，由这个中位线定里得呢， 这个 p c 呢，就会平行这个 e f 啊，那么这时候呢，哎，我们找到这直线了是吧，那么就要用这个线面平行的这个判定定律啊，我们呢啊，因为这个 e f 呢，在这个平面 e b d 上，而我们这个 p c 啊，不在这个平面 e b d 上，所以呢， p c 啊，会平行这个平面 e b d 啊，第一位呢，就是这样子啊，这里我们要学习一下怎么找这个这个辅助线啊， 这里呢，如果我们无法在这个平面上一眼看到这个平行线的话，我们这个辅助线呢，就需要去盯着这个中点啊，中点，你这个中点的位置很重要啊， 假如你找到另外一个中点，那么此时中位线定力是我们常考的一个啊，一个方法啊，找这个平行线吗？啊，那么这道题呢，就迎刃而解了哈， 接着我们看到第二位，我们把这个图呢这边擦一下，看到这个第二位呢，若这个 pa 呢，是垂直啊，整个这个底面 a， b， c， d 的 啊， 那么这个 pa 就 会垂直这个平面上任意一条直线了嘛，且呢 pa 等于两倍的 ab， 那 题杠上呢，我们已经说了，这个点 e 是 中点嘛，那么 pe 等于这个 a， e 是 吧，现在又是这个 pa 等于两倍的 ab， 那 么这三条边啊， 加上这个 ab， 这三个边啊，都是相等的了，让你求这个二面角啊一一，然后是 b、 c， d 啊，那么是这两个啊，半平面的一个二面角，要求一下啊，那么我们要在这两个啊半平面内呢找各找到一个直线啊，与这个 b、 c 垂直，而且呢，他们要相交于同一个点啊啊， 既然底面是一个矩形，那么这个 d、 d 啊，是不是会垂直这个 bc 啊？ d d 垂直这个 bc， 那么这个 c、 d 呢，就是下面这个半平面的吗？这是找到一个啊，那么上面这个半平面啊， e， b， c 这里面呢，怎么找到这个直线呢，与这个 b、 c 垂直啊。看到，既然我题目给了这个 pa 是 垂直整个底面的， 那么我 pa 是 不是啊，会垂直这个 bc 啊，加上这个 a、 b 是 不是也会垂直 bc， a， b 也会垂直 bc， 那 么根据这两个点呢，我们可以证明啊， bc 是 垂直这个平面啊， p、 a、 b 的 嘛，这里面，哎，有没有一条直线，你看到没有，这个 b e 是 不是就是上面这个半平面上一条直线 啊，那么这里可以进一步证明啊，那么这样子我们就找到了啊，一个是 b e， 一个是 c d 啊，但是呢，你看到啊，这两个啊，它们与这个 bc 的 交点呢？在这啊，一个是这 啊，一个是这啊，不是一个啊，不是一个公共点的啊，那么这时候呢，我们就要把这个平移一下嘛，啊，你这里呢啊，平移这个 c d 更合适嘛啊？把这个 c d 呢，你看到是矩形的话，那么这个 c d 是 不是会平行这个 ab 啊？ 啊？ cd 平行 ab， 那 么啊，此时呢，哎，他们不就在一个这个公共点上了吗？ b e 在 这，那么这个二面角的一个平面角呢，就是这个叫 abe 了吗？好了，第二问就分析好了吗？接着我们来写一下啊，把这个这上面的擦一下啊，我们看一下，写一下第二问，怎么写这个过程。 第二问呢，我们可以先证明这个 bc 呢，垂直这个 b e 啊，这里我们写一下啊，因为这个 pa 呢，垂直平面 abcd 啊，又这个 bc 在 这个平面上， 那么 pa 就 会垂直这个 bc 嘛，然后因为这个四边形呢， abcd 啊，是矩形 啊，那么这里我们可以提两个，因为下一个这个半平面呢，我们要提到这个 c d 也垂直 bc 嘛，还有这个 ab 是 不是这里面 ab 我 们本来就要提的啊，那么 ab 呢，就会垂直 bc， 还有一个是 c d 也会垂直 bc 啊，这两个提一下，然后呢，因为这个 pa 还有这个 ab 啊，都是这个平面 pa 上的嘛，点呢，它们是相交直线啊， 相加一点 a， 所以 这里面证明了这个 b c 垂直这个啊，平面这个 p a b 啊，然后这里再提一个啊，我们要证明这个 b e 嘛，啊，然后呢，因为这个 b e 啊，就在我们这个平面上，在这个平面 p a b 上， 所以呢，这里面呢啊， bc 就 会垂直这个 b e 了，接着呢，我们要把这个下面这个半平面啊，这个 c d 不是 垂直这个啊， bc 啊，相交于点 c 吗？啊，我们要把它平移过来啊，啊，这里平移到这个平行线呢，是 ab 啊，然后写一下已知呢， 这个 ab 是 平行且等于这个 cd 的 嘛，所以这里我们可以说这个 ab 是 平行且等于这个 cd 的 嘛，所以呢，角 a b e 呢？是这个二面角 e， b c d 的 啊，这个一个平面角，那么这个二面角的大小到底是多少呢？我们一开始也说过啊，这个三个线段嘛啊， p e 还有这个 a e， 还有这个 ab， 是 不是三个都是啊，相等的嘛，那么这里 a e 是 等于这个 ab 的 嘛啊， 而且呢 pa 不是 垂直整个底面吗？那不也会垂直这个 ab 吗？啊，所以呢，这里面一个直角加上啊两个直角边是相等的， 那么哎，这个角 a b e 那 就只能等于四十五度了吗？那么接下来写一下啊，我把这里啊擦掉，我们来写一下。接下来怎么写啊？ 其实我们在前面证明这个 pa 垂直这个 bc 的 时候呢啊，我们可以顺带证明这个垂直 ab 啊，嗯，但是呢，你你写的时候如果说来不及这个返回去你也想不到的话，那么就在这下面继续写啊，这里也可以写啊， e 正， 你可以很简单的证明到嘛一阵这里面呢啊， p a 呢，也指这个啊， a b 即呢角这个啊 b a e 等于九十度嘛。 又这个 p a 等于二 a b， 且呢点 e 为这个啊， p a 的 中点。所以啊，这里面我们可以得到啊， a e 是 等于 ab 的 嘛。最后呢，我们就可以下结论了嘛，所以呢角这个 a b e 啊，就等于这个四十五度了。

同学们，我们先来看一下这个二五年全国二卷的这个立体几何的问题。嗯，首先我们先不读题，我们看第一问，证明线面平行，对吧？给大家梳理几个三个知识点，这是最常用的啊。嗯，首先 我们用线线平行，可以推出线面平行，这是怎么用呢？就是平面外， 这是一个平面，是属于阿尔法，平面外有一条直线 l 与平面内的一条直线 a， 他 俩平行。平面外的一条直线 l 与平面内的一条直线平行，那我们就可以说 这个线和这个面平行，就是说如果 l 是 平面外的一条直线，平行于平面内的一条直线 a， 并且呢， l 是 不属于这个 r 法的， a 呢，是在这个 r 法里的，那我们就能推出呢，这个线与这个面是平行的，这是由线线平行推算出现面平行。第二个呢，由线面平行，我们可以推断出面面平行，就是说一个 平面内它的有两条相交的直线，可以是 a， 可以 是 b， 这两条相交必须是相交，相交于点 p， 平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那我们就可以说明这两个面是平行的。记住，一定是平面内两条相交的直线，也就是说 a 交 b 等于 p， 还是这是 r 法，这是北特， a 呢是平行于北特， b 呢也平行于北特， 嗯，这个平面内两条相交直线，对吧？都平行于北特，然后 a 呢是属于 r 法， b 呢属于 r 法。这个时候呢，我们能推断出两个平面是平行的， 这个判定定里的就是平面外外的两条相交直线与另一个平面平行，那么这个两条平面平行，这个上学时老师应该能讲过，嗯，第三，第三个呢？就是，呃，证明面面平行，能推断出线面平行，就是说这两个平面 他是平行的阿尔法，贝特，阿尔法是平行于贝特的，然后这个平面内呢？ 一个平面内的一条直线，那就是平行于另一个平面的 a 呢，属于 r 法，那我们就能证明 这个平面两个平面平行，这个平面内的任意一条直线呢，都与另一个平面平行，这就是三个。这个判定定力也是我们这道题用到的。这回我们来看一下这个题目，在四边形 a、 b、 c、 d 中告诉了我们 ab 平行于 cd， 对 吧？然后角 d、 b 就是 等于九十度 f 的 中点， 呃， e 在 b 上，然后 ef 他 也平行于 a、 d， 那 ef 平行于 a、 d， 然后 ab 呢？又平行于 c、 d， 那 就是他俩也平行，对吧？他俩平行，他俩呢？还平行，这还是九十度，那是不是能证明这个他是这个正方形啊？这是我们能提干中可以 得到的，对吧？然后给了我这个三个边的一个关系，然后说将四边形呢？嗯，这个四边形折叠到这里来了，对吧？那说明它们对应角是相等的，就是它是九十度，那么 d 撇 a 撇 e， 这也是九十度，它也是一个正方形，对吧？因为是折叠过来的吗？然后告诉我们使得面 它俩所称的，嗯，二面角为六十度。第一问就让我们证明线面平行，那正线面平行，我们是不可以先正这个面面平行，那正面面平行，我们是不可以正线面平行，那正这个线面平行呢？我们就是用到这个线线平行，所以说呢，这道题让我们证明 a 撇 b 平行于 这个面，那我们是不是能证明 a 撇 b 所在的面是这个 a 撇 b、 e 啊？这个所在的面，这条线所在的面和它平行，那么是不是两个面平行？平面，任意一条直线都与它平行了，对吧？那怎么正面面平行？是不是能借用两条相平面面，两条相交直线与另一个平面平行啊？ 那我们这道题我们可以看一下，呃，它已经给了，呃， ab 平行于 cd， 对 吧？那 ab 平行于这条面的一条直线，是不是 ab 就是， 它是不是肯定平行于这个面了？然后又给了我们它是正方形了，对吧？我们推断出来了，它折叠之后它也是正方形，它是正方形，那是不是 a 撇 e 也平行于 d 撇 f 呀？所以 a 撇 e 也平行于这个面，那这两条相交的直线都与这个平面平行，是不是这个面就与这条面、这个面平行了？那 a 撇 b 我 们是不是就能挣出来了？然后我们写下过程，嗯，因为 a、 b 它是平行于 c、 d 的， 对吧？那我们是不是能够证明，那肯定是 a、 e 和 ab 是 一条直线吗？那 a、 e 是 平行于 df 的， 对吧？ a、 e 平行于 df， 然后又给了我们 ef 平行于， 又因为 ef 是 平行 ad 的， 那也就是 e、 f 平行于 a， d， d、 f 呢？又平行于 a、 e， 对 吧？又因为 e、 f 平行于 d， 然后又给了我们角 d a、 b 等于九十度，所以四边形 d f e a 为正方形，因为这个翻折嘛，对吧？所以 a 撇 d 撇 f、 e 是 不是也为正方形？我们能证明这个两个都是正方形的，对吧？嗯，因为 ab 呢，它平行于 c、 d， 所以 这个 b e 是 不是平行于 c f 呀？ b e 平行于 c f， 又因为 c、 f， 它属于 面 c d p f， 嗯， b e 呢，是不属于面 c p d f 我 们是不是用到第一个了？用线线平行就能推出线面平行，对吧？所以我们能得到 b、 e， 它就与平行于面 c 撇 d f， 然后我们再证明 a 撇 e， 因为上面我们定出来的，对吧？ a a 撇 d 撇 f， e 为正方形， 所以 a 撇 e 是 不是就平行于 d 撇 f 呀？然后又因为呢 d 撇 f 是 在面 c 撇 d f 属于 c 撇 d f 中，对吧？这个 a 撇 e 呢，它不在面 c 撇 d f， 那 我们是不是又能根据这个线线平行推断出这个线面平行了？那所以呢，就是 a 撇 e 呢，它平行于面 c 撇 d f， 对 吧？因为 a 撇 e 平行于面 c d f， a 撇 e 和 b e， 它俩都平行于面 c、 d、 f， 它俩还是相交的，所以说能根据两条 平面外的两条相交直线平行于另一个平面，所以这两个平面平行，对吧？又因为我们给它判断定律，这个所有的公式里写出来， a 撇 e 交 b e 于点 e， 然后 a 撇 e， 还平行于 c 撇 d f b e 呢，也平行于 c 撇 d f， 然后 a 撇 e 呢，是在属于面 a 撇 e， b e 呢，也包含面 a 撇 e b， 所以呢，我们就是不是能证明这个 a 撇 b， 它所在的这个面啊，就是 a 撇 be， 它是平行于面， 它的 c、 d、 p、 f 的， 所以说两条面平行，那我们是不是用的用的第三个了？面面平行，推出线面平行，对吧？两条两个平面平行，那一个平面中的任意一条直线都与另一个平面平行，对吧？又因为 a 撇 b 包含在面 a 撇 b、 e 中，所以我们是不是就能证明出 a 撇 b 平行于面 c、 d 撇 f 了？第一道题呢，我们就整完了，用到了三个判定定律，根据线线平行呢，推这个线面平行，就是平面外的一条直 线平行，那么这个这个直线就平行于这条直线所在的面，然后线面平行推面面平行呢， 就是一个平面内必须是两条相交的直线与另一个平面平行，那么这两条相交直线所在的这个面就是与它平行的，然后又根据面面平行推到这个线面平行，我们就是用到了三个这个判定定律。第一问呢，我们就计算出来了，一定要把这个三个判定定律给他熟练的掌握。 那我们再来看一下第二个，第二个呢，让我们求这两个面的正弦值，嗯，求这两面正弦值呢，他有一个固定的步骤，因为求正弦值赛吗？我们先给他求出口赛，用两个向量机，我们用到的公式就是口塞 两个向量积，它等于 m 向量乘以 n 向量的绝对值，比上 m 向量的膜乘以 n 向量的膜。那 m 向量和 n 向量是什么呢？ m 向量呢，是属于 这个面的法向量，就是两个面的法向量。 m、 m 向量呢，是面 b、 c、 d 撇的法向量， n 向量呢，是面 e、 f、 d 撇 a 的 法向量。 所以说这道题呢，这个步骤呢，第一步呢，我们就是要给他建立直角坐标系。所有的我们看到求二面角的正弦值的时候，我们都这么做啊。第一问，第一步，建立直角坐标系，第二步写出面的法向量， m 向量， n 向量。第三步呢？然后我们求这两个项向量积，然后再根据塞 方加口塞方等于一，那口塞这两个向量求出来，那塞是不是就能求出来了？这就是我们以这道题的步骤，所有的碰到这个球正弦值的话，都是这四步走。然后我们 来看一下这个第二问，第二问，在第一问的时候，我们是不是都证明出来了， a， d， f， e， 它是正方形， 然后给它翻折之后，这个 a 撇， d 撇， f， e， 它也是正方形，对吧？那 a 撇， d 撇， e 撇，它翻过来之后呢？它也是正方形， 那因为它正方形吗？这也是九十度，对吧？这九十度给它翻过来，咱这个需要想象一下，那它呢？也是九十度，因为它它是九十度吗？所以它也是九十度，那它也是九十度。我们就能以它为 x 轴，因为这九十度吗？它为 y 轴，然后这块呢？为 z 轴建立这个直角坐标系。太乱了，我给它蹭掉蹭下，我们已经建立了这个直角坐标系，对吧？ 要给了我们面 e， f， d， p， a 就是 这个翻折过来之后的这个，对吧？与面 e、 f 与这个底面是角为六十度，那是不是就是，呃， d， p、 f， c， 它是这个六十度啊， 对吧？它是六十度。然后我们来写一下 e、 f 为圆点， f， e， f、 c 以及垂直于底面，就是 b， e、 c， f 的 直线 v， x， y、 z 轴建立直角坐标系，已经建立完直角坐标系了，对吧？然后第二步我们写出它们的法向量，那求这个法向量的时候，是不是得把这些点的向量写出来啊？这向量写出来，它题干给了我们这一个式子，那我们是不是可以设呀？ 可以设这个 a、 d 是 等于一的，所以我们能知道 ab 等于三， cd 呢，等于二。然后又因为 f 为 cd 中点， 所以 d、 f 是 不是等于 c， f 就 等于一啊？然后我们可以写一下这些的点坐标，那 f 点，所以 f 点是圆点吗？零零零，那 e 点呢？ e、 f 和这个 d、 f 是 不相等，因为它是正方形吗？所以这是一吗？所以 e 点呢？就是一零零，嗯， b 点呢？ ab 等于三， a、 d， 对 吧？ ab 等于三， a、 d、 a、 d 呢？这是一，所以说 ab 呢是三，那这块就是二呗，对吧？所以 b 点坐标就是一二零。 那 c 点呢？是在 y 轴上，就是零一零。然后再写一个 d 撇点， 这是六十度，这是三十度，对吧？三十度角所对的这个边是这斜边的一半，这斜边呢是一，所以说这块呢是二分之一，那这二分之一，这是一个五定力，他是不是二分之二刚好三呢？所以说 d 撇点就是零二分之一，二分之刚好三。然后我们接下来求法向量，嗯，所以说看 求一个面的法向量，就是这一个面上用两点，两点，用两个向量给他表示出来。我们先写出来 bc 向量， 是不是就等于这个 c 向量减去 b 向量，它等于负一负一零。然后 c、 d 撇向量呢？等于零，负二分之一，二分之根号三。 f、 e 向量呢？它等于一零零 f、 d 撇向量呢，它是等于零二分之一，二分之根号三。 我们求一个面的法向量，就是由这个面的两个向量给它表示出来。所以我们先可以先设一下面 b、 c、 d 撇的法向量， m 项链是 x、 y、 z， 然后我们求一个法项链怎么做呢？就是这个面中的有一个项链，是不是 b、 c 是 这个面中的项链啊？让 b、 c 项链呢？乘以这个法项链， m 项链等于零，然后再让这个面中的另一个这个项链呢？ 比如说像 c、 d 撇，对吧？它也在这样，像 b、 c、 c、 d 撇，或者是你求 b、 d 撇都可以，只是这个面中的任意两个向量和这个法向量相乘，等于零都可以，对吧？所以说这两个向量相乘， b、 c 向量和它向量相乘，那是不是就是横坐标 乘以红坐标加上纵坐标乘以纵坐标加上这个，呃，第三个坐标乘以第三坐标啊？那负一乘 x， 就是 负 x 减 y 等于零，然后 c、 d 撇向量乘 m 向量呢？也是，那就是负二分之一 x， 负二分之一 y， 对 吧？这是零乘 x， 负二分之一乘 y， 加上二分之根号三， z 等于零。给它解一下，我们可以令 y 呢等于根号三，因为这样的话不是好求吗？因为 y 等于根号三，它是负二分之根号三了，加上一个正二分之根号三，所以说 z 就 等于一了呗。 z 等于一 x 呢？然后给 y 的 根号三的时候， x 等于 负的根号三，就是这块令的时候，令谁都可以，但是你一定要令一个，嗯，简单好算的数，这个时候就需要咱们观察了，因为这个就是不是老师教的了得，是需要咱们观察。根据这个做题的经验，因为不是所有的题都是一样的，咱就找一个好计算的就可以， 然后另一个数，那我们就能求出另外两个点坐标了，所以说这个呃法向量 m 向量，我们的就求出来了，是负根号三，根号三一，这个法向量求出来了，我们另一个法向量也是同样的道理，设面 e、 f， d， p a 撇的法向量为 a 为 n 向量就是 x 一 y 一 z， 然后也是在这个面随便找两个向量，都与这个向量相乘，等于零，然后也另一个数就能求出另外两个坐标，就是求法向量的方法，那我们随便找，我们刚才写出来写了 e、 f， 对 吧？ 和这个 f， d、 p， 那 我们就用这两个和这个向量相乘等于零，那就是 x 乘一加上 y 乘零，这一乘零，那就是剩一个 x 一 了，对吧？ x 一 等于零，然后这个呢？零乘 x 一 等于零了，那就是二分之一 y 一 加上二分之根号三 z 一 等于零，那这个我们都不用算了，这 x 一 就等于零了，对吧？那我们只要另一个 y 一 或 z 一 就行了。另 y 一 等于根号三，那 z 一 就是等于负一了，对吧？ x 一 呢？等于零，所以这个面的法向量 n 向量是不是就能求出来了？零，根号三负一，对吧？那第二步我们写出了面的法向量，然后我们让我们求它的向量积，那所以 cos m 向量乘以 n 向量，我们就给它代入公式， 就等于 m 向量乘以 n 向量的绝对值，比上 m 向量的模乘以 n 向量的模， m 向量乘以 n 向量，就是它俩相乘，被红坐标乘红坐标加上纵坐标乘以纵坐标，加上这个坐标乘以这个坐标，对吧？ s、 y、 z 的 坐标分别相乘，那零乘负二三是零，二三乘二三是不是等于三呢？ 一乘负一是不是等于负一？然后比上 m 向量的膜就是一个向量 x、 y、 z， 它的膜是不是等于根号线 s 方加 y 方加上 z 方啊？那它就是等于根号线负高三平方，三加三加一，对吧？乘以根号线还是它方加它方 加他方，那就是根号零加三加一，对吧？那他就等于三减一乘二，对吧？他是根号七乘以根号四，根号四呢？就是二约没了，所以他就等于根号七分之一。 口三等于根号七分之一，所以说三呢？因为三方加口三方等于一嘛，所以三这两个向量，它正弦值是不是一减去口三，它平方啊，它平方是不是就是七分之一啊？它方等于它方减它方嘛，对吧？等于七分之六，所以说 平面这两个面， b、 c、 d 撇这个面，对吧？等于七分之六，所以说平面这两个面， b、 c、 d 撇， a 撇 夹角的正弦值。给他开根号啊，是不是根号七分之，根号六啊，那就是七分之根号四十二， 所以说他的正弦值就是为七分之根号四十二。这道题我们就做完了，所有的让我们求二面角的正弦值都是一样的步骤，都是先建立直角坐标系，然后写出这些点的坐标，然后从这个面中选去几个点，这个面中选去几个点，然后他组成两个坐标， 分别与他们的法向量相乘，然后另一个数求出发向量，求出发向量，之后求 cosine 它的向量积，然后再求根据这个公式再求 sine。 所有的题都是一样的步骤。

hello， everybody 我是 神奇小猪。比如二零二三年新高考二卷，既是不能直接见的，你要先正， 再见。三棱锥， d， a， d， b， d， c 相等，嗯，歪着的。然后 b、 d 垂直于 c、 d。 啊，你俩垂直，哎，你既相等又垂直，那底面这个三角形就是一个等腰直角三角形。太好了，就到这，是不是出现等腰三角形了？等腰三角形有可能要考什么呢？题目又说了易是终点，这些大概率啊，你这 d 是 不是连起来 这三线合一，你一记中点，这应该也是垂直有可能要用的，这是我在读题过程当中发现的。然后呢，继续往后看，他说俩角相等， a、 d、 b 等于 a， d、 c 停， 哎，就这模型，高考已经出现好几回，不下三回。底面两条边相等，然后你支出来一条线，然后使得这条线跟这个俩边的夹角也相等。哎，就这模型，我们经常找全等三角形， a、 c、 d 那 个面三角形跟着大面 a、 d， b 三角形边边相等啊，还共用一条边。然后啊，假角也相等，那是不是就形成了 s a s s a s 初中几何啊？全等了，全等意味着 a、 c 跟 a、 b 也相等，那不就又有新的等腰三角形又有垂直小妙招了？等腰三角形三线合一。 所以我刚把题目读完，你会发现，辅助线我已经帮大家连好了，垂直小妙招太关键了，这 b、 c 既跟这条线垂直，也跟这条线垂直，那就跟这两条线所形成的面儿线面垂直。哎，你线面一垂直，线跟面上任何一个线，包括 a、 d 就 垂直。第一问正完了呀， 然后看第二本，他说 e、 f 这向量跟 d a 向量是相等，哎，你向量相等，那形成的这个东西本身就是一个平行四边形，对吧？然后让我求一个角度，那我这是求角度，那我在这道题里面我要间系呀，不间系的话，很多同学都更不会了。那系在哪？ 整个图形啊，它有个名字叫鳄鱼小嘴模型，你看这两条边相等，这两边也相等，像一个小鳄鱼张开了它的小嘴。那具体这张嘴张了多少度，题目当中肯定没有直接告诉我。 你不能说是现在直接就一点间隙了啊，你这么见，你这的确是九十度，但是谁说 e a 一定垂直于底面了？叔没说呢，你得正啊，题目当中有哪个条件还没用上呢？这这这都用上了，这六十度，这个度数本身还没用， 它是六十度，意味着，哎，题目说你底下不是这俩相等吗？那六十度的等腰三角形，那就是等边三角形，那另外那个边啊，这个 a c、 d 也是等边三角形，然后底面呢？还是一个等腰直角三角形。那如果我设 我设什么呢？我设边长不设一，我设二啊，因为这里面涉及到终点了，设二的话你就没有分数了。一比一比根号二， bc 长度就是二倍，根号二，那 bc 的 一半，这一点点就是根号二。 d 长度等于斜边一半也是根号二。给我六十度，就是让我来计算的，有些垂直是可以算出来的。继续 ab 啊，这是不等边吗？不二吗？那么在这个直角三角形当中，根号二二， 呃，这条边也是根号二，勾股定里，然后我发现，哎，你 a d 按照我设的，它也是二啊。那么我算完的根号二，根号二二正正好好也能形成一个直角三角形。我通过一切的证明和计算才可以解析。 现在 a、 e 跟 d， e 垂直， a， e 还和 b、 c 垂直，那 a、 e 就 跟整个底面是线面垂直的。由此开见 x 轴， y 轴、 z 轴开始写坐标 d 根号二零零 a 零零，根号二 b， 呃，零，根号二零， 这里面就差谁了呢？就差这个 f 点坐标。你求二面角的话，你这 f 是 是必须要求的。那怎么求呢？那停住了， e、 f 向量和这个 d、 a 向量是相等的，那 e 本身就是圆点了，所以 e、 f 向量它就是 f 点坐标。所以想知道 f 点坐标，我直接用 d、 a 向量来表示就好了。 d、 a 向量中点减起点 负根号二零，根号二。那接下来就有老生常谈的问题啦， d、 a、 b 选俩项量，我选 d a 和 d b 坐标，分别求出来罚限量一算，直接口算找零啊，这是零，它俩比例关系是负一比一，所以放到这来，我就写一比一， 具体中间是多少？负根号二，加根号 y， 加零等于零， y 就是 一相同过程。再求一遍 a、 b、 f 面上俩向量一写法向量一，求向量夹角一列式分子，它乘它，它乘它，它乘它二分母，这根号三，这根号二，算完三分之根号六， 让我求什么呢？求二面角正弦值。我如果设它是而法，那么这个三而法二面角不变明，那二面角正弦有好处，无论你是锐角、钝角， sin 值永远是正的。 所以 cosine 是 三分之高六，那我 cosine 就是 根号下一减九分之六，算完就是三分之根号三，轻松又愉快。 这是一道高考题，需要你先证明啊，先计算一下哎，才可以解析。咱们再来道模拟题。长得很像的哈色棱锥， a， b， a， d 相等， c， d， c， b 相等哦，底面是一个风筝型，然后 a、 c 整个长度还是。哎， 一比二比根号三，这这这这。直角三角形三十六是九十的，所以底面图形非常非常特殊，上面三十六是九十一个，下面三十六是九十，又一个，非常对称。然后他给我了一个面面垂直，是 eac， 这一面跟整个底面，呃，面面垂直。出现面面垂直，就想那么一件事，做交线的垂线。 所以这题不管他问我什么，我一定是过这个 e， 哎，做交线垂线垂足，随便随便写一个啊，比如说是 o， 那 e， o 跟整个底面线面是垂直的。我先来看他，问我什么，他，如果现在两面交线是 l， a， b， e 还有 c， d， e， 哦，这交线他，他没给我画出来是吧？那我问他，你能不能画出来？ of course 哦，我把 dc 还有 ab 都都延长呗，你 l 图形里面不好看，我在平面图形来做这 e 延长，比如这是一个 h 点吧， 那这蓝面 e， a、 b 就 沿着 a、 b 延展成为 e a， h 了。小绿面 e， d， c 沿着 d， c 就 变成 e d， h 了， 所以交线出现了啊，就就是 e h 嘛。所以我想证明 e、 b 跟它平行不平行，你 m 是 终点，那 b 只要也是终点，那就是中位线，那 b 是 中点不？呃，我这头画的不准啊，这九十度啊，这三十，三十，这六十，那意味着这个角也是三十度， 那在 a、 c， h， g 三角形当中，两角相等，它就是等腰三角形，那这个 c、 b 还垂直于底边， b 就是 中点，三线合一吗？所以这道题最简单的一个正法，我直接把这个交线 l 找到了。 那直接我们来看第二本，他说 a、 c、 e 六十度，哎，这是在做什么？还告诉我 c、 e 常用的是一，你这一这二，这六十度，那这又是啥？三角形？是不是还是三十、六十九十的一比二比根号三的三角形？ 所以说白了啊，这立起来的三角形跟这三角形和这三角形是同一个三角形，是是全等关系。那他问我这个线面角，我先不管问什么，你是不是要间隙？你间隙以谁为圆点来间隙哈，你总不能以地点你，你这么间隙吧， 要利用上题目当中的这个对称星。刚才说面面不垂直了吗？哎，你线还跟交线垂直，那你线面就垂直，我以 o 点见最简单， 这肯定是 z 轴了。呃，那关键是 x、 y 轴在哪？这 o 点是个什么点呀？呃，我就在这个小三角形里面给大家看哈。这六十度，这是一，意味着 o、 c 长度应该是二分之一， 如果在平面里面把 b、 d 连接的话，这是不同一个小三角形，这六十度，这一，这也是二分之一，所以实际上这个 o 点就是 b、 d 的 连线，所以 c 好 见了，这垂直的 x 轴， y 中， z 中。宝贝们，每一个点的坐标都相当好，求对不对？在他最后问我什么线面角变成套路题了，最后答案自己来算，七分之根号七。

这道题是我认为考察几率更大的一道题，因为关于线面角和二面角的曲直范围，它的难度要比球定直要上一个台阶，并且关于点在平面内移动的这个问题，就会难倒很多同学。呃，我们这道题呢，依然是我用红笔给大家标一下主要的解析思路，然后呢，再通过黑色的笔给大家把完整的解析过程给大家写一下。 呃，如图，在三棱锥 a、 b、 c、 d 中，三角形 a、 b、 d 和 b、 c、 d 是 边长为二的等边三角形，并且平面 a、 b、 d 和 b、 c、 d 垂直。第一问，求证 a、 c 垂直于 b、 d。 关于证明线线垂直，我们比较常用的做法是通过线面垂直，也就是通过这一个线垂直于另外一个线所在的平面，从而得出线线垂直。呃，还有一种办法呢，就是勾股定律了。呃， 接下来我们看第一问，求证 a、 c 垂直于 b、 d。 我 们第一步先做辅助线。 做辅助线目的目的是什么呢？证明线面垂直， 现在我们取 b、 d 的 终点 g， 然后连接 a、 g 和 c、 g。 取 b、 d 的 终点 g， 然后连接 a、 g、 c、 g。 有 同学说了，呃，这个 g 不是 已经是终点了吗？你还要取它终点吗？同学们，记得啊，在你没做第二问的时候，第二问给了已知条件，在第一问里是不能使用的，所以我们一定要把这句话要给它写出来，你是取的 b、 d 的 终点，然后连接之后，因为三角形 a、 b、 d 和三角形 b、 c、 d 是 等边三角形，所以 我们可以得到 a、 g 垂直于 b、 d， c、 g 也垂直于 b、 d。 又因为 a、 g 交 c、 g 于 g 点， a、 g、 c、 g 属于平面 a、 c、 g， 所以 b、 d 垂直于平面 a、 c、 g 然后是第二步，我们现在已经得到了线面垂直。第二步就是通过线面垂直 的性质，什么性质呢？就是一条直线如果垂直一个平面的话，那它就垂直于这个平面内所有的直线的线线垂直。 又因为 a、 c 属于平面 a、 c、 g 所以 我们得出第一问的结论， a、 c 垂直于 b、 d。 这第一问是考察的相对比较基础，平常基础不太好的同学一定要把答题的第一问给它搞定。呃，第二问第一步， 第二问我们先看一下啊，设设为 b、 d 的 中点 h 为侧面 a、 c、 d 上的动点，并且 h g c g h 平行于平面 a、 c、 d。 求直线 g h 和平面 a、 c、 d 所成角的直角范围。 现在同学们大家可以记住这个逻辑，如果这个点无论他是在线上移动还是在面上移动，我们一般都遵循一个逻辑，他必然是要有一个设定条件的，比如这道题给的条件就是这个动点一定满足这个条件，那么也就是说我们把面上的动点先给他转化到线上的动点。那么这个我们来具体的过程，第一步我们做辅助线， 第二步呢？第一步做辅助线。做辅助线的目的呢，就是用来判断这个 h 点的轨迹， 取 a、 d 的 中点， e、 c、 d 的 中点 f 连接 g， e， g f 和 e、 f 来我们做一下这个弧线 a、 d 的 中点和 c、 d 的 中点，也就这里实线 连接 g、 e 和 g、 f。 我 们换个颜色。有同学说了，你怎么判断出这个 h 点的这个轨迹的呢？因为 g、 h 要平行于这个平面 abc。 现在我们知道要证明一个线和一个面它已经平行了，那么我们要判断这个 h 点的这个轨迹啊，这个 g、 h 一定是在一条一个面内 移动的，并且这个面呢，和已知面 a、 b、 c 一定是平行的，所以我们就取 e、 f 平行于 a、 c， 因为各取了两个终点，它一定是平行于 a、 c 的 那一条直线 e、 f 平行于 a、 c 了，并且已知 g、 h 也平行于 a、 b、 c 这个平面，所以 g、 h 和 e、 f 又相交于 h 点，所以这个两个平面就平行了。于是我们判断出 h 点的轨迹就是在 e、 f 这个点这个直线上移动的这个 h 点 来。我们继续连接完了之后，则 ef 平行于 ac， 又因为 ac 不 属于平面记 ef， 并且 ac 交 bc 于 c 点， ac 和 bc 属于平面 abc， 所以我们可以得到平面 a、 b、 c 平行于平面 g、 e、 f。 所以 点 h 在 线段 e、 f 上运动。然后是下一步要建立空间直角坐标系了， 并且写出相关点。相关点的坐标 我们由 e 之 a、 g 垂直于 b、 d， c， g 垂直于 b、 d， 又因为两个平面垂直，又因为 a、 b、 d 垂直于平面 b、 c、 d。 它们的交线平面 a、 b、 d 交平面 b、 c、 d 于 b、 d。 这条直线也就是两个垂直平面的交线 a、 g 属于平面 abd， 所以故 a、 g 垂直于平面 b、 c、 d 垂直于两个垂直的平面的交线。其中一个平面的一条直线啊，垂直交线的话，那它一定垂直于另外一个平面，这是面面垂直的性质。 然后因为 g、 c 属于平面 b、 c、 d， 所以 a、 g 垂直于 c、 g， 于是我们得出结论，故 g、 c， g、 d， g、 a 两两垂直，这也是我们选择的坐标系的三个轴。 然后我们以圆点，以 g 为圆点， 以 g、 c， g， d， g、 a 所在的直线为 x、 y 内轴建立空间。直角坐标系 则 x、 y、 z。 接下来就是相关点的坐标， g 点为零零零。这个坐标都不难找，因为这个是两个全等三角形，两个等边三角形。 c 点是根号三零零， d 点零一零， a 点零零，根号三 e 点零二分之一二分之根号三 f 点二分之根号三二分之一零。接下来我们到第三步， 现在我们已经知道了各点的坐标。然后第三步，我们利用这个向量，我们继续把这个图补上， e、 f， x 轴， y 轴内轴。第三步，我们利用 e、 h 这个向量等于 lamb 的 乘以 e， f 这个向量。这个也是这道题解决的关键，在这个时候，因为你引入了 lamb 的 这个值，所以一定要规定好它的取值范围，它的取值范围最大值是 e、 f 的 长度，然后最小值是零，那也就是 lamb 的 大于等于零，小于等于一。并且要写出 g、 h 的 假设向量的坐标， 我们继续设向量 e， h 等于 lamb 的 乘以向量 e、 f。 其中 lamb 的 大于等于零，小于等于一，则 g、 h 向量为。 这接下来就是通过因为已知这些各个点的坐标，然后我们通过向量的计算得出它的坐标是二分之根号三 l 的 二分之一和二分之根号三减二分之根号三 l 的。 得到了坐标之后，我们进入第四步，求出平面 a、 c、 d 的 一个法，向量 a、 c 等于根号三零，负根号三 a、 d 是 c、 d 负根号三一零设平面 a、 c、 d 的 一个法向量，它的法向量为 n、 x、 y、 z， 则 n 乘以 a， c 等于零， n 乘以 c、 d 等于零，即代数根号三 x 减去根号三 z 等于零，负根号三 x 加 y 等于零，然后令 x 等于一，则 y 等于根号三 z 等于一，所以 a、 c、 d 的 一个反向量 为 n 等于一根号三。一、接下来第五步， 我们将线面角的正弦值表示为浪的一个函数，也就是通过公式间的一个等式含有浪的，并求出范围。 我们设直线 g h 与平面 a、 c、 d 所成角为 c， e， d， 则 sin c， e， 它等于 g， h， 向量乘以 n， 比上 g， h 的 模，乘以 n 的 模，然后的绝对值代数等于根号五，乘以根号下二分之三，那么的平方减去二分之三，那么的加一分之根号三，其中 二分之三，那么的平方减二分之一的平方，再加上八分之五。这个计算过程在草稿纸上写的，直接给大家说一下计算时间。 得出这个了之后，我们发现这一个等式，它是属于八分之五到一，也就是它的最大值和最小值通过这个地方可以得到，所以我们可以得到得把这个最大值最小值带入到这个等式，然后我们就可以得到 sine theta 的 极值范围是属于五分之根号下十五到五分之二倍的根号六，两边都可以包括，所以最后点题，所以直线 g、 h 与平面 a、 c、 d 的 夹角的正弦值取值范围 为五分之根号十五到五分之二倍的根号六。这样的话，这道题就搞定了。所以这个题的解题关键啊，就是由这个 d 问取得 a d 的 中点，并且呢 c d 的 中点，然后呢，再由这个两个平面，也就是平面 g， e， f 平行于平面 a， b， c， 我 们从而得到点 h 在 这个线段 e， f 上运动的这个结论，这个也是这个题的起点。然后紧接着我们就利用线面角的空间向量求解方法和二次函数的性质，从而求出范围。好了，同学们，今天这道题就这样，拜拜。

同学们大家好，欢迎来到蒋老师的微课堂，这一期我来讲解一道高考题，就是二零二五年新高考二卷的十四题，也就是填空题的最后一题。好，这道题其实难度不大，主要就是很难想象，因为它是一个立体几何的梯形。 好，它在这里的话有一个底面半径为四厘米，高为九厘米的封闭圆柱形容器。好，这是一个封闭的圆 圆柱形的容器，然后容器的 b q 可以 忽略不计啊，然后里面放置两个半径， 两个半径什么呢？相等的铁球。好，这里两个铁球，红的红色的铁球，他要求这个铁球的半径最大值为多少？好，这里的话呢，主要就涉及到一个什么呢？就是铁球在什么样的位置，什么样去摆放，它可以使这个半径是最大的。好， 我们可以看一下，因为这个铁球摆放的时候肯定是属于相切位置的时候，应该是最大的，也就是这这，这个图的话就是他的一个轴结面，好好 算一个轴结面，我们知道这个圆柱的话，他的结面的话应该是什么呢？就是一个矩形的，然后他的宽就是八，高就是九。看一下啊，好，然后我这里有两个浅球，看一下 真的放置。好，那这个关键是个球心他是怎么去运动的呢？好，运动到这个位置的时候应该是最大了。好，这个位置怎么怎么确定呢？我们可以看一下，因为他这个相切，所以说这两个球心应该是在这两条对角线， 这两个就是这个对角的角平分线上。看到没有？你看这个球心。好， 在这个位置的时候，相切的时候，你看这个位置应该是半径最大的情况。好，那我们来观察一下啊，用旋转矢度看一下，看一下，就是在分别在这两个位置的时候，看靠近。好，相切的时候，你看看 这个位置的时候，应该是半径最大的时候。好，那这个时候怎么去求解呢？很简单，我们只要做出这样一个直角三角形， 然后我们设它的半径为 l， 这样的话就很容易就可以。我们知道了，这条直角边就是九减二 l， 横着这条直角边就是八减二 l， 然后这两个球心的位置刚好就是二 l。 好， 然后用勾股定力就很容易解出来了。 好，也就说说这道题其实难是难的答案，难是难在怎么去找这个最大值的位置啊？ 好，而且这是一个立体几何的体型，很多题可能就是不好找啊，他是这样斜着放的啊，看到没有？ 他斜着放的，而不是竖着放的啊。好的，本期视频到此结束，下期再见。

这里是一百套高考数学讲解系列，今天我们讲二零二三年全国高考数学新课标二卷，看看你能坚持到第几题。零废话直接发车！直接来看第一题，在负平面内，一加三 i 乘以三减 i 对 应的点位于第几项线， 直接对其括号展开整理，得到六加八 i。 根据复数的几何意义所求复数对应的点为六八，位于第一项线， 所以答案选 a。 我 们来看第二题，题目给出两个集合，并且集合 a 包含于集合 b， 求 a 的 值。 a 包含于 b， 也就是集合 a 中的每一个元素都必须是集合 b 的 元素。集合 a 中的元素零，要么等于集合 b 中的 a 减二。若零等于 a 减二，解得 a 等于二，此时集合 a 并不包含于集合 b。 若零等于二， a 减二，解得 a 等于一， 此时的集合 a 为零负一，集合 b 为一负一零，满足提议，所以答案选 b。 第三题，某学校未了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法做抽样调查。 你从初中部和高中部两层共抽取六十名学生，已知该校初中部和高中部分别有四百名和二百名学生，则不同的抽样结果共有多少种？总人数一共六百人，初中部占比为四百比六百，高中部占比为二百比六百。 根据分层抽样的定义可知，初中部共抽取四十人，高中部共抽取二十人。根据组合公式和分布技术原理则不同的抽样结果共有 c 四百四十乘以 c 二百二十， 其中 c 四百四十就是四百个初中生抽取四十名学生的组合数 c 二百二十，就是从二百名高中生抽取二十名学生的组合数，所以答案选 d。 来看第四题给出一个函数，并且是偶函数，求 a 的 值。因为 f x 为偶函数， 所以 f 一 等于 f 负一，代入解得 a 等于零，带回 f x。 是 这样的，根据对数性质，这里必须大于零，也就是分子分母同号转化为解得 x 大 于二分之一，小于负二分之一，再验证 f 负 x， 计算可得是等于 f x 的， 所以 a 等于零，满足题，答案选 b。 我 们来看第五题。已知椭圆的左右焦点分别为 f 一、 f 二，直线与 c 交于 ab 两点，并且 f 一、 ab 的 面积是 f 二、 ab 的 两倍，求 m 的 值。题目说直线与椭圆交于两点，我们可以先连立一下，消去外整理一下。 因为直线与椭圆交于 a、 b 两点，所以判别式大于零。解得 m 大 于负二小于二，设 f 一 点到 a、 b 的 距离为第一， f 二点到 a、 b 的 距离为第二，容易算得 f 一 和 f 二的坐标，用点到直线的距离公式求得第一和第二。 又因为题目说三角形 f 一、 a、 b 的 面积是 f 二、 a、 b 的 面积两倍，并且它们的底边相等，所以第一比第二等于二，也就是解得 m 等于负三分之根号二或负三倍根号二。因为负三根号二不在范围内，所以舍弃，所以答案选 c。 来看第六题，题目给出一个函数，并且在区间一到二单调递增，求 a 的 最小值。函数在区间一到二单调递增，也就是说它的导函数在区间一到二一定是大于等于零的。 我们列一下，不难发现 a 一定大于零。一项整理得到 x 乘以 e 的 x 次方大于等于 a 分 之一。 我们将左边看成一个函数，设为 g x， 对 g x 求导是大于零的，所以 g x 在 一到二单调递增， g x 大 于 g 等于 e， 所以 a 分 之一小于等于 e， 即 a 大 于等于一分之一，所以 a 的 最小值为 e 的 负一次方。答案选 c。 我们来看第七题，已知阿尔法为锐角，口塞阿尔法等于四分之一，加根号五，求塞盈二分之阿尔法。根据二倍角公式，口塞阿尔法等于一减二倍，塞盈二分之阿尔法的平方等于题目所给的四分之一，加根号五。通过这个式子，并且阿尔法为锐角， 我们列一下可以算得塞赢二分之阿尔法等于四分之根号五减一。选 d 来看最后一道单选择题，既 s n 为等比数，列 a n 的 前 n 相和。若 s 四等于负五， s 六等于二十一倍， s 二求 s 八。 设等比数，列 a n 的 公比为 q， 首项为 a 一， 如果 q 等于一，那么 s 六就等于六， a 一 s 二等于二， a 一 并不满足题中所说 s 六等于二十一倍的 s 二，所以 q 不 等于一。既然 q 不 等于一，我们就可以对题中条件用求和公式展开。 由 s 四等于负五可得，由 s 六等于二十一， s 二可得，由二式可得。一加 q 方，加 q 的 四次方等于二十一，解得 q 方等于四， 即 q 的 四次方等于十六。把 s 八列出来，其中一减 q 的 八次方就是一减 q 的 四次方，乘以括号一加 q 的 四次方。前面这部分就是 s 四等于负五，将 q 四代入后面这部分计算可得，等于负八十五，所以答案选 c 来看第九题已知圆锥的顶点为 p， 底面圆心为 o， a、 b 为直径，角 a、 p、 b 为一百二十度， p a 等于二 点， c 在 底面圆周上，且二面角 p a、 c、 o 为四十五度。题目说角 a、 p、 b 为一百二十度，而 a、 p、 b 又是等幺三角形，所以角 p、 a、 b 等于三十度。连接 po， 所以 po 等于一， a、 o 等于 ob， 等于根号三。圆锥的体积为三分之一，乘以底面积乘以高，这里的高就是 o， p 等于一，计算可得面积等于 pi， 所以 a 正确。圆锥的侧面积为 pi r、 l 这里的母线 l 就是 a， p 等于二，计算可得，等于二。根号三。派 b 选项错误，设地为 a、 c 中点连接 o， d， p， d 则有 a、 c 垂直 o， d， a， c 垂直 p d， 所以 角 p、 d、 o 即为二面角 p a、 c、 o 的 平面角等于四十五度，所以 o、 p 等于 o， d 等于一， a、 d 等于 c， d 等于根号下 c、 o 方减 o， d 方等于根号二，所以 a、 c 等于二倍根号二，所以 c 正确。 p、 d 等于根号二，所以三角形 p、 a、 c 的 面积等于二分之一， a、 c 乘以 p， d 等于二 d。 错误。 第十题设 o 为坐标原点，直线过抛物线 c 的 交点，且与 c 交于 m、 n 两点， l 为 c 的 准线， 直线 y 等于负根号三， x 减一过 x， 轴点一零。题目又说直线过抛物线焦点，所以抛物线的焦点 f 坐标就是一零，可得二分之， p 等于一，解得 p 等于二。 a 选项正确， 我们可以设直线与抛物线交于 m、 n 的 坐标，将直线与抛物线连立，消去 y 并化简解得 x 一 等于三， x 二等于三分之一 线段 m n 的 长度等于 m f 加 n， f 的 长度， m 点作垂线垂直， l 垂足为 m 撇， n 点作垂线垂直， l 垂足为 n 撇。由抛线的性质我们知道， m f 等于 m n 撇， n f 等于 n， n 撇等于 x 一 加 x 二加 p 等于三分之十六，所以 b 选项错误。再来看 c 选项，以 m n 为直径的圆，与 l 相切，设 m n 中点为 a 及 a 到直线 l 的 距离为 m n 的 一半， 所以 m、 n 为直径的圆，与直线 l 相切。 c 选项正确。我们计算出 x 一 和 x 二之后，分别代入直线方程，可以算得 y 一 和 y 二， 也就是 m n 的 坐标，我们就算出来了。由两点间距离公式，我们可以计算出 o m 的 长度等于根号二十一， o， n 等于三分之根号十三。再结合 m n 的 长度，所以三角形 o， m， n 不是 等腰三角形 d 错误。 来看，第十一题给出一个含参函数，并且该函数既有极大值，也有极小值，求下列关于 a、 b、 c 的 关系。正确的有，不难发现函数的定义域为零到正无穷。 对函数求导，因为函数既有极大值，也有极小值，也就是说它的导函数在零到正无穷上有两个变号零点。并且题目说 a 是 不等于零的，所以这里的分子 x 方减 b， x 减二， c 等于零，有两个不等的正根， 于是我们就可以得到该二次函数的判别式，大于零，两根之合大于零，两根之积大于零，由这里得到 a、 b 相乘大于零，这里可以得到 a， c 相乘小于零，我们进一步得到 b、 c 小 于零。 a 错误， b、 c、 d 选项都正确。 我们来看最后一道多选择题。在信道内传输零一信号，信号的传输相互独立。发送零时，收到一的概率为阿尔法， 收到零的概率为一减。阿尔法发送一时，收到零的概率为 beta， 收到一概率为一减 beta。 读到这里，我们可以先列一下，考虑两种传输方案，单次传输和三次传输。 单次传输是指每个信号只发送一次，三次传输是指每个信号重复发送三次。收到的信号需要一码一码。三次传输时，收到的信号中出现次数多为一码， 就像这里的易出现的次数比零多，所以一码为一。先看选项 a。 单次传输时，依次发送一零一，求一次收到一零一的概率， 依次发送一零一，依次接收一零一这个事件是发送易接收一，发送零、接收零、发送易接收一的。三个事件的基相互独立，分别把它们的概率写出来，相乘就是所求概率，所以 a 正确 来看选项 b。 三次传输，若发送一，则依次收到一零一的概率是什么？三次传输发送一相当于依次发送一，一依次收到一零一的事件概率。发送一，接收一概率为一减贝塔，发送一，接收零概率为贝塔。最后这里也是一减贝塔， 相乘就是事件的概率，所以必正确来看 c 选项采用三次传输，若发送一，则一码为一的概率是多少？三次传输发送一则一码为一的事件有这四种， 其中前三种的概率为 c 三二乘以贝塔乘以括号一减贝塔的平方。 c 三二指的是三次接收中选两次接收为一，贝塔指的是接收零的概率。一减贝塔的平方指的是两次接收为一的概率相乘三次接收都是一的概率，自然就是一减贝塔的立方， 它们相加就是我们要求的概率等于一减贝塔的平方，乘以括号一加二。贝塔与 c 描述的答案不符，所以 c 错误。 当阿尔法大于零小于零点五时，若发送零，则采用三次传输方案，一码为零的概率大于单次传输方案一码为零的概率。由 c 选项的结论，根据对称性，我们可以得到三次传输发送零，一码为零的概率是一减阿尔法的平方乘以括号一加二。阿尔法 单次传输发送零，一码为零的概率为一减阿尔法，两个概率相减。因为阿尔法大于零小于零点五，所以这里都是大于零的，所以总体大于零。所以若发送零，则采用三次传输方案，一码为零的概率大于单次传输方案一码为零的概率 d。 正确 来看，第十三题已知向量 a、 向量 b 满足向量 a 减，向量 b 的 模长等于根号三，并且这两个复合向量的模长相等，求向量 b 的 模长。既然这两个模长相等，两边平方也相等， 展开整理得到向量 a 的 平方减二，向量 a 点乘向量 b 等于零，再对向量 a 减，向量 b 的 魔长等于根号三，两边平方展开，因为这部分等于零，所以向量 b 的 平方等于三，即向量 b 的 魔长等于根号三。 来看第十四题底面边长为四的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为二，高为三的正四棱锥，所得棱台体积是多少？截去四棱锥的底面边长为二，二比四等于二分之一。 截去的正四棱锥的高为三，所以圆正四棱锥的高为六，所以圆正四棱锥体积等于三分之一，乘以底面积乘以高等于三十二。截去的正四棱锥的体积等于三分之一，乘以底面积乘以高等于四棱台的体积，即为圆四棱锥的体积。减截去的四棱锥的体积等于三十二，减四等于二十八。 第十五题已知直线与圆 c 交于 a、 b、 c 面积为五分之八的 m 的 一个值， 设圆心 c 到直线 ab 距离为 d， 半径为二，由勾股定律再乘以二倍就可以得到弦长 ab。 abc 的 面积等于五分之八，解得 d 等于五分之四倍，根号五或者 d 等于五分之二倍，根号五 点 c 的 坐标为一，零有点到直线的距离公式可得 d 等于根号下一加 m 方分之二是等于五分之四倍，根号五或者等于五分之二倍，根号五的 解得 m 等于正负二或正负二分之一。这四个只任意一个都算答案。第十六题题目给出一个正弦函数，并且 ab 是 直线 y 等于二分之一，与曲线 y 等于 f、 x 的 两个交点。若线段 ab 等于六，则 f、 pi 等于多少？ 设 a、 b 点坐标，由 a、 b 长度为六分之派可以得到它们的横坐标之差即为六分之派。正弦函数中塞因 x 等于二分之一时， x 是 等于六分之派。加二 k pi 或者六分之五 pi 加二 k pi 的 z 属于整数， 把这里当成整体。有图可知， b 点横坐标比 a 点大，所以 b 点对应六分之五 pi 加二 k pi， a 点对应六分之 pi 加二 k， pi 相减等于三分之二 pi， 即 omega 乘以括号 x 二减 x 一 等于三分之二 pi 结合 x 二减 x 一 等于六分之 pi 解得 omega 等于四，观察图像可得 f 三分之八 pi 加 five 等于零，代入函数可得塞。因三分之八 pi 加 five 等于零， 所以三分之八 pi 加 pi 等于 k pi 一 项 k 属于整数。把 omega 和 pi 带入函数，所以 f、 x 要么等于四， x 减三分之二 pi 或者等于负塞盈四 x 减三分之二 pi， 我 们把零分别带入，再观察图像， f 零是小于零的，所以 f、 x 等于塞盈四 x 减三分之二 pi 把 pi 带入，结果等于负二分之根号三，所以答案就是负二分之根号三。 第十七题，即三角形的内角 a、 b、 c 的 对边分别为 a、 b、 c 已知面积为根号三， d 为 b、 c 中点，且 a、 d 等于一。第一小问， 若角 a、 d、 c 等于三分之派，求 tangent b 等于多少？在三角形中，因为 d 是 a、 b 中点角 a、 d、 c 等于六十度， a、 d 等于一， 所以三角形 a、 d、 c 的 面积等于二分之 a 的， 所以结果等于八分之根号三 a。 而 a、 d、 c 面积是等于 a、 b、 c 面积的一半的，所以等于二分之根号三。解得 a 等于四。再来看三角形 a、 d、 b 角 a、 d、 b 等于三分之二派，由余弦定理， 其中 b、 d 等于二， a、 d 等于一，解得 c 方等于七，所以 c 等于根号七。现在在 a、 d、 b 三角形中 已知三边，再利用余弦定理，我们列一下，可解得口塞 b 等于十四分之五倍，根号七可得塞盈 b 等于十四分之，根号二十一，所以 tangent b 等于五分之根号三。来看第二小问， 若 b 方加 c 方等于八，求 b、 c 在 三角形 a、 b、 d 中由余弦定里可得。在三角形 a、 c、 d 中由余弦定里可得。右边相加等于二分之， a 方加二，等于左边相加 b 方加 c 方。题目说 b 方加 c 方等于八，所以解得 a 等于二，根号三。 三角形 a、 d、 c 的 面积等于二分之一，乘以根号三乘以塞引角 a、 d、 c 等于二分之根号三解得塞引角 a、 d、 c 等于一，而 a、 d、 c 大 于零，小于派，所以角 a、 d、 c 等于二分之派，所以 b 等于 c 等于二。 第十八题， a、 n 是 等差数列，而 b、 n 是 一个分段数列， s、 n 和 t， n 分 别是 a、 n 和 b， n 的 前 n 相和 s 四等于三十二， t 三等于十六。第一小问，求 a、 n 的 通项公式，可以设等差数列， a、 n 的 公差为 d。 当 n 等于二， k 减一时， b， n 等于 a， n 减六。 当 n 等于二 k 时， b、 n 等于二 n， 那 么我们就可以把 b 一、 b 二、 b 三列出来，相加就是 t， 三等于十六，而等差竖列 a 二等于 a， 一 加 d， a 三就是 a 一 加二 d， a 四等于 a， 一 加三 d 前四项相加就是 s， 四等于三十二解的 a 一 等于五， d 等于二，所以 a、 n 等于二， n 加三。 再来看第二问，证明，当 n 大 于五十， t， n 大 于 s， n。 由第一问算出的 a、 n 通项公式，我们可以算的 s、 n。 将 a、 n 的 通项公式代入 b， n。 当 n 为偶数时，将 b、 n 减一加 b， n 等于六， n 加一， 将 b 一 加 b， n 看成首项，将 b n 减一加 b， n 看成末项。项数一共有二分之 n 项，首项就是十三，末项等于六。 n 加一等于二分之 n， 方加二分之七 n。 当 n 大 于五时， t n 减 s， n 等于二分 n 乘以括号 n 减一大于零，因此此时 t n 大 于 s n。 当 n 为基数时， t n 等于 t， n 加一，减 b， n 加一， 此时的 n 加一为偶数。适合这里的求和公式。将 n 加一代入 b， n 加一就是这里的通向公式。最后结果等于二分之三 n， 方加二分之五 n 减五，当 n 大 于五时， t n 减 s n， 而 n 大 于五， 所以这里大于零，所以整体大于零，因此 t n 大 于 sn。 综上，当 n 大 于五十， t n 大 于 sn 来看。第十九题某研究小组经过研究发现，某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异。经过大量调查， 得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布值。方图，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c。 将该指标大于 c 的 人判定为阳性，小于或等于 c 的 人判定为阴性。 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，即为 p c。 误诊率是将为患病者判定为阳性的概率，即为 q c。 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率。第一小问，当漏诊率 p c 等于百分之零点五时，求临界值 c 和误诊率 q c。 漏诊率是指将患病者判定为阴性的概率，小于等于 c 的 人判定为阴性。我们来看患病者，这里最左边，这里的矩形面积为五乘以零点零零二，大于题所给的百分之零点五的漏诊率， 所以 c 就 在九十五到一百之间。 c 减九十五乘以零点零零二，等于百分之零点五，解得 c 等于九十七点五。 误诊率是指将未患病判定为阳性，也就是大于 c 来看未患者，这里此时的 c 等于九十七点五，计算一下这里大于 c 的 矩形面积，即可计算可得 q， c 等于百分之三点五，即误诊率等于百分之三点五。来看第二小问 函数 f c 等于 p c 加 q c。 当 c 属于九十五到一百零五时，求 f c 的 解析式，并求 f c 在 区间九十五到一百零五的最小值。 当 c 属于九十五到一百时， f c 的 解析式是这样的，其中 c 减九十五乘以零点零零二就是漏诊率。 p c 后面的一百减 c 乘以零点零一，加五乘以零点零零二，就是误诊率， 计算可得，等于负零点零零八。 c 加零点八二，结合 c 的 取值范围可得大于等于零点零二。当 c 属于一百到一百零五时， f c 是 这样的， 前面这里是漏减率，后面这里是误整率，计算可得等于零点零幺。 c 减零点九八大于零点二，整理可得 f c 的 解析式，所以 f c 的 最小值为零点零二。 来看第二式题，题目给出一个三棱锥，并且 d a 等于 d c， b d 垂直 c d 角 a， d b 等于角 a， d c 等于六十度异为 bc 中点。第一小问证明 bc 垂直 d a 连接 a e， d e。 因为异是 bc 中点， db 等于 dc， 所以 d e 垂直 bc， 因为 d， a 等于 db 等于 dc 角 a， d、 b 等于角 a， d、 c 等于六十度， 所以三角形 a、 c、 d 和三角形 a、 b、 d 均为等边三角形，所以 a、 c 等于 ab。 从而 a、 e 垂直 bc 由 e 二 a、 e 交 d， e 于点 e， a、 e 又属于平面 a， d、 e。 所以 b、 c 垂直平面 a、 d、 e 而 a、 d 属于平面 a， d、 e。 所以 b、 c 垂直 d、 a 来看第二小问点 f 满足向量 e、 f 等于向量 d、 e。 所以 b、 c 垂直 d、 a 来看第二小问。点 f 满足向量 e、 f 等于向量 d、 e 求二面角 d， a、 b、 f 的 正弦值。 不妨设 d， a 等于 d， b 等于 d， c 等于二。因为 b、 d 垂直 c、 d， 所以 b、 c 等于二根号二 d， e 等于 a， e 等于根号二， 计算 a、 e 方加 d， e 方等于四，是等于 a、 d 方的，所以 a、 e 垂直 d、 e 又因为 a、 e 垂直 b， c、 d、 e 交 b、 c 于点 e， d、 e 和 b、 c 都属于平面 b、 c、 d。 所以 a、 e 垂直平面 b、 c、 d 以 e 为圆点 e， d、 e、 b、 e、 a 所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系。 如图所示，有了这里的线段长度和 e 为圆点后，我们就可以得出 d、 a、 b 的 坐标。设平面 d、 a、 b 和平面 a、 b、 f 的 法向量分别是 n 一、 n 二 二面角 d， a、 b、 f 的 平面角为 c 塔有 a、 b 两点坐标，可以得到向量 a， b 有 d， a 两点坐标，可得向量 d a。 题目说向量 d， a 等于向量 e、 f， 所以 f 点坐标为负根号二，零根号二。再结合 a 点坐标，可算出向量 a、 f。 接下来把步骤写到右上角这里。在三角形 d、 a、 b 中向量 d a 和向量 ab 垂直法向量 n 一， 所以向量 d a 点乘向量 n 一 等于零，向量 ab 点乘向量 n 一 等于零。取 x 一 等于一，解得 n 一 等于一，一同理可得 n 二向量，所以口塞 c 塔等于三分之根号六，从而塞盈 c 塔等于三分之根号三，所以二面角 d a、 b、 f 的 正弦值等于三分之根号三 来看第二十一题，已知双曲线 c 的 中心为坐标原点，左焦点为负二，根号五零，离心率为根号五。第一小问求 c 的 方程，先把双曲线设出来，由题目所给的左焦点坐标可得 c 等于二，根号五。 离心率 e 等于 a 分 之， c 等于根号五解得 a 等于二，所以 b 等于根号下 c 方减 a 方等于四，所以双曲线方程为四分之 x 方减十六分之外方等于一。来看第二小问 既左右顶点分别为 a 一、 a 二过点负四零的直线与 c 交于 m n 两点 m 在 第二项线直线 m a 一 与 m a 二交于点 p， 证明 p 在 定直线上。 由双曲线方程我们可以知道， a 一 和 a 二点坐标设 m n 点坐标，显然直线斜率不为零，并且过定点负四零， 所以设 m n。 直线方程为 x 等于 m y 减四，与双曲线连立。维达定律计算， y 一 加 y 二， y 一 乘以 y 二。因为 m n 两点的纵坐标一号，所以这里小于零，也就是四 m 的 平方减一小于零解得 m 的 范围 有 m a 一 点坐标可得 m a 一 直线方程，同理可得直线 n a 二方程 连立两条直线方程可得。将 x 一 带入这里的方程等于 m y 一 减四， x 二等于 m， y 二减四分子，这里多减去二 y 一， 后面加回来，凑出 y 一 加 y 二，将上面的 y 一 加 y 二和 y 一 乘以 y 二带入化简，可得等于负三分之一，所以 x 减二分之， x 加二等于负三分之一。解得 x 等于负一，所以点 p 再定直线 x 等于负一。上运动 来看最后一道压轴题，第一问，证明这个不等式在区间零到一横成立。先证明右边部分构建函数 f x 等于 x 减赛赢 x， 对 f x 求导是大于零的，对任意 x 属于零到一横成立， 所以原函数 f x 在 零到一上单调递增，可得 f x 大 于 f， 零等于零，所以 x 减赛赢 x 大 于零一项，可得 x 大 于赛赢 x。 再来证明左边部分同样构造一个函数对其求导，再构造一个 g x， 函数等于 g 撇 x， 求导是横大于零的，在零到以上，所以 g x 在 零到一单调递增，可得 g x 大 于 g， 零等于零，也就是 g 撇 x 大 于零，在零到以上， 所以 g x 在 零到一单调递增，可得 g x 大 于季零等于零。所以塞因 x 大 于 x 减 x 方中上所述来看第二问，给出一个 f x 函数，若 x 等于零是 f x 的 极大指点，求 a 的 取值范围， 函数是带对数部分的，所以这里大于零，所以函数的定义域是负一到一，若 a 等于零， f x 等于，因为 y 等于负，另一 u 在 定义域内单调递减， y 等于一减 x 方再负一到零，单调递增，在零到一单调递减， 所以 f x 再负一到零，单调递减。在零到一单调递增。此时的 x 等于零是 f x 的 极小值点，不合提意，所以 a 不 等于零。 当 a 不 等于零时， f x 是 这样的。根据余弦函数偶函数的性质，所以口塞 a x 等于口塞 a 的 绝对值， x 令 a 的 绝对值等于 b， 所以 就有此时的 f x 是 这样的，我们将负 x 代入，发现是等于 f x 的， 所以函数 f x 在 定义域内是偶函数。对 f x 求导。我们再来看回第一问，我们证明的不等式。塞因 t 是 小于 t 的， 当 t 属于零到一时，而要是这里的塞因 b x 可以 使用这里的不等式，则要 b x 大 于零小于一， 我们取 m 等于 b 分 之一合一的最小值。当 x 属于零到 m 时， b x 是 属于零到一的。为什么呢？ 因为当 b 分 之一大于一时，这时 m 取的最小值就是一， x 属于零到一， b 分 之一大于一，则必小于一，所以两个小于一的数相乘必定小于一。当然了，这里 x 和 b 都是大于零的。 反过来，如果一大于 b 分 之一，所以此时 m 取最小值。 b 分 之一， x 属于零到 b 分 之一时， b 和 x 相乘必定小于一。因为 b 乘以 b 分 之一等于一，而 x 小 于 b 分 之一。 搞清楚这里之后，我们就可以对这里的赛盈 b x 使用上述不等式有一可得。注意，这里是负号，所以不等式方向改变 整理可得。当 b 方小于等于二时，整体是大于零的。所以此时 f x 的 导函数大于零，即当 x 属于零到 m 时， f x 单调递增。又因为 f x 是 偶函数，根据偶函数的对称性， f x 在 负 m 到零单调递减， 此时 x 等于零，是 f x 的 极小值，不合提意。再来看 b 方大于二的时候，取 x 属于零到 b 分 之一， 此时的 b x 一定属于零到一。由于左边部分的不等式，可得整理得到对括号里面这部分构造一个新函数，等于这里对其求导。 这里的二次函数开口向下把零和 b 分 之一分别代入，发现都是大于零的，所以祈祷函数大于零。对任意 x 属于零到 b 分 之一。横成立可知， h x 在 区间零到 b 分 之一单调递增， h 小 于零， h b 分 之一大于零， 所以 h x 在 零到 b 分 之一存在为一零点 n。 当 x 属于零到 n 时， h x 小 于零，并且这里的 x 和一减 x 方均大于零， 所以此时的 f 撇 x 小 于零，即当 x 属于零到 n 时，则 f x 在 零到 n 单调递减。结合偶函数对称性， f x 在 负 n 到零单调递增， 所以 x 等于零是 f x 的 极大值，符合提议中上所述 b 方大于二，即 a 方大于二。解得 a 大 于根号二或小于负根号二。

这一期我们来到例题几何每年高考数学必考之际，来，我们来看到一个例题几何的大题啊，例题几何呢，是在每年的高考数学里面雷打不动的一个大题啊，这个分值呢，也是比较高，他是每年都会必考的一个题型。 第一问呢，一般都是让我们去求证，让我们去证明一个一个东西，对不对？第二问呢，很大概率会出一个二面角相关的知识，对不对？让我们去求这个二面角对不对？好，我们看这一题怎么去做来解。 第一问，那我们去求证，那我就证明如下，好，我们先把题目读一遍，然后再把题目已知的条件在这个图形上都标出来啊，来，三人台， a， b， c， a， e， b， c， e， 好， 我知道了，这个是个三人台对不对？那 a， a 一， 它等于二， a， a 一 是哪里啊？在这 a、 e、 b 呢，也等于二， b， e， b 呢也等于二， e、 c， e 呢，等于二，根号三点 m 是 a， e、 c， e 的 中点点， d 呢，是沿 ab 上靠近 b 的 一个四等分点，然后呢， b， e、 d 垂直 ab， b， e， d 垂直 ab， 那 它这里就是一个垂直的，对不对？ 好， b， c 垂直面 b， c 在 哪里？ b， c 在 这，它垂直面 a， b， b， a 就是 垂直后面那个面吧，对不对？好，我们看这里有一个垂直，然后它是个三棱台，所以我们能得到什么？ a， e、 b、 e， 它会平行 ab 吧，对不对？那就是由题可得， a， e、 b、 e， 它会平行 ab。 好， a 一 b 一 平行 ab， 然后呢， a 一 a， 他 又会等于 b 一 b 等于二，那通过他们两个我们得什么呢？是不是？ a 一 b 一 b a， 他 是一个等腰梯形啊？好，那等腰梯形我知道了，来，我先做 a 一 点的一个垂线，那就什么做 过 a 一 ab 的 垂线于点一。好，我过 a 一 去做 ab 的 垂线，是不是这一根，这里是垂直的，对不对？这里是个 e， 好， 我知道他的关系。来，我们看他是个等腰梯形， a 一 b 一 呢，他又又会平行 ab， 然后 d 为 ab 的 四等分点。好，他为四等分点，然后 a 一 b 一， 他又会平行 ab， 所以 这些上面的已知条件我们可以得到什么呢？ a 一 b 平行于 ab， 对 不对？然后呢，还有什么？ a 一， 它垂直 a， b， b， e、 d 也是垂直 a、 b 的。 通过这些我们是不是可以得到 a、 e、 b、 e， 它会等于 e、 d 等于二，对不对？ 好，这里是个二，然后它是四等分点，那我通过它们俩是可以得到什么呢？是不是 a、 e， 它会等于一 b、 d 也会等于一？好，我先把它标在图中，这里等于一，这里等于一。好，这些是我们目前已经知道的。来，我们看 b、 d， 它垂直 b、 d， 然后呢？ b、 e、 b， 它又会等于二， b、 d 呢？它等于一。好，我们可以得到什么呢？它们三个的一个已知条件。好，它是不是个直角三角形啊？直角三角形，它是斜边，对不对？那就是 b 一 d， 我 们可以算出来吧， b 一 d， 它会等于几？斜边的平方减去另外一条直角边的平方，那就是等于根号三，对不对？一眼也能看得出来。好， b 一 d， 我 知道等于根号三，好，我们再来看，这是个垂直，那我题目让我们去求 a、 b、 e， 那 我是不是可以先去把它长度算出来？它的长度我发现 a 是 不是跟它一样的道理啊？跟这上面一样的道理对不对？那就什么 a、 d 等于几？ a、 d 等于三， b， e、 d 等于根号三，然后呢？ b、 e、 d 又会垂直 a、 d， 那 我是不是通过它，我可以算出什么 a、 b、 e， 它会等于几啊？是用它的平方，就是用这个 b、 e、 d 的 平方再去加上 a、 d 的 平方嘛，再开个根号对不对？那就是根号几啊？ 三的平方等于九加三，那就十二，根号十二，那就是二，根号三，对不对？好，这里是二根号三。 ok， 我 这些边我都知道了。来， a、 b 一 等于二，根号三 b 一 b 等于二， a、 b 等于四。哎，我发现它的平方等于几啊？十二，它的平方呢？等于四，它的平方呢？等于十六，是不是刚好是勾股定律啊？那我们是不是可以知道 a、 b 是 斜边的，就是 a、 b 一， 它会垂直 b 一 b， 对 不对？好，这里我知道它垂直了。题目还告诉我们什么已知条件呢？来， b、 c。 来，题目还告诉我们什么已知条件呢？来， b、 c， 它要垂直，它会垂直面 a、 b 一 a 一 里面通过它我可以得到什么 b、 c， 它要垂直于 a、 b 一 吧，然后呢？哎，我发现 a、 b 垂直它， a、 b 又垂直它，然后呢？ b 一 b 交 b、 c 于点 b 来。通过这些我们是不是可以得到一个什么 a、 b 一， 它会垂直于面，哪一个面？ b、 b 还有个什么 b、 c 好。 来， b e， b、 b、 c 啊，这一个面，那我就是它会垂直于面 b、 e， b、 c， 对 不对？然后面 b、 e、 b、 c 呢？它又是包含在面 b、 e、 b、 c、 c 里面嘛？好题目了，我们去求 c c 一， 那 c、 c 一 在哪里啊？ c c、 e， 它是包含在面 b、 b， c， c、 e 里面。好，通过这些我是不是可以得出 a、 b、 e 它要垂直于 c、 c、 e 了？那是不是刚好是我们题目要求的求证的好，第一问解决了，其实这里的话，真正答题的时候呢，是可以省掉很多步骤的，像这里啊，以及这里啊 跟这里它都是可以做一个总和，它不用每一步都写出来啊，不用每一步都写出来，然后这里像，像这个 a、 e 已知条件啊，或者是 b、 b、 e、 d 的 已知条件。这里不是又有一个 b、 e、 d 吗？我可以把它挪到这里去，然后最后在这里打一个括号，它能省掉很多步骤啊，这一个也可以不用去写啊，这个在做题的当中呢，可以不用去写这么多步骤，这里只是我为了讲解，所以我写的比较细啊，那我们接下来看到第二题。

hello 宝宝们，大家好，今天呢，为大家带来一道二零二五年全国二卷的第十七题，这个呢是一道例题几何，我个人认为呢，呃，是比较难的，那我们先来看一下这道题， 如图，四边形 a、 b， c、 d 中 a、 b 平行 c、 d 角 d， a、 b 等于九十度 f 为 c， d 中点 e 在 a、 b 上 ef 平行 a， d， a、 d 等于三倍的 a， d， c、 d 等于二倍的 a、 d。 将四边形 e、 f、 d、 a 沿 e、 f 翻折至四边形 e、 f、 d 撇 a 撇，使得面 e、 f、 d、 a 撇与面 e、 f、 c、 b 所成的角为所成二面角为六十度。第一问 证明 a 撇 b 平行平面 c、 d 撇 f。 那 我们先看第一问呢，他要正的是一个线面平行，他说要咱们正的是呢， a 撇 b 平行于面 c、 d 撇 f。 那 我们这个 a 撇 b 要怎么找到这个在 c、 d 撇 f 面那一条直线呢？去使得这个 平面内这条直线和 a 撇 b 去平行呢？那我们这么一看的话，好像不太好找，而且呢，就是就是这样，我们假设有这么一条直线，他们两个平行的话，但是这点呢，我们不知道它是不是特殊的点， 所以说单纯的简单的线面平行呢，就这么直接去正应该是行不通的。那我们想想能不能用 面面平行去正呢？我们首先想到面面平行的性质，面面平行的性质之一呢，就是如果两个面平行，那么其中一条，那么其中一个面的直线就平行于另外一个平面。那我们想呢，我们的思路就是 去正面面平行，然后利用它的性质。 那我们顺着顺着这个思路想一下，那既然肯定是我们要找 cd cd 撇 f 和哪个面平行呢？和跟 a 撇 b 有 关的一个平面平行， 只要证明这个 a 撇 b 所在的这个平面和 cd 撇 f 它们两个平行了，那么这个 a 撇 b 就 自然平行于 cd 撇 f 了。 那我们可以找到看，观察一下 a 撇 b 所在的这个平面和这个 c、 d 撇和 c d 撇 f 能不能平行呢？我们试着去证明一下。咱们看， 那么这个因为呢，咱们看题干给的信息， ab 平行 cd， ab 平行 cd 的 话，那是不是就是这个 be 平行 c f 了？这是一个 be 平行 c f， 那 么 be 就 顺理成章成章的平行 c、 d 撇 f 了， 这个我们可以用线面平行去认得，而且呢，将这个四边形 e f d a 沿 e f d 撇 a 撇， 那么这个 a e a 撇 e 是 不是平行也是平行 d 撇 f 的？ 因为原来 ab 就 平行 c、 d， 只不过呢，现在给它翻折了一下，那我们能就能得到 a 撇 e 呢？也平行 平行面 c、 d 撇 f， 那 这样呢，我们就可以用利用面面平行的这个判定定律得到了。 呃，这个面 a 撇 e， b 平行于 d 撇，呃，是 c 撇 cd 撇 f， 我 们写一下呢，就是由于 ab 平行 cd， 则呢 b e 平行 c、 f 由于 be 不 包含于面 c d 撇 f， c f 包含于面 c、 d 撇 f， 则呢 be 就 平行面 c、 d 撇 f， 这是 b e 平行 c、 d 撇 f。 接下来我们看，由于由于翻折 折呢，这个 a 撇 e 看，那就是平行 d 撇 f 的。 接下来我们再证明一下，这个线面平行，由于 a 撇 e 不 包含于面 cd 撇 f， d 撇 f 包含于面 cd 撇 f， 则呢 a 撇 e 平行面 c、 d 撇 f 那 这我们两个线面平行证完了，接下来呢，我们我们要去证明面面平行，由于 a 撇 e 包含于面 a 撇 e， b， b， e 包含于面 a 撇 e、 b， 且呢 a 撇 e 交 b、 e， 它们两个还有公共点等于 e， 又同时 a 撇 e 平行面 c， d 撇 f b， e 平行面 c， d 撇 f， 则面 a 撇 e b 就 平行于面 c、 d 撇 f。 那 么我们现在得到面面面平行则呢？利用面面平行性 质，由于 a 撇 b 包含于面 a 撇 e、 b， 则呢，咱们就可以得到 a 撇 b 平行于面 c、 d 撇 f。 这个呢，就是第一问， 接下来呢，我们看第二问，他说求面 b c、 d 撇面 b c、 d 撇是在这与面 e、 f、 e f、 d 撇 a 撇所成二面角的正弦值，那这个呢，我们就要建立空间直角坐标系，那我们要怎么去建立空间直角坐标系呢？ 我们分析一下题干，题干他说呢，是这个面 e、 f、 d 撇 a 撇与面 e、 f、 c、 b 所成二面角为六十度。这个二面角呢，我们需要找一下平面角，因为 a 撇 e 垂直 e、 f 因为翻折过来吗？ 同时同时这个 b、 e 也垂直 ef， 因为角 d a、 b 等于九十度，同时呢， a、 d 还平行 ef， 所以呢，这个就是咱们得到了 b、 e 也垂直 ef。 那 么根据二面角这个平面角的定义，所以呢，角 a 撇 e、 b 就是 这个这两个面所成的二面角，它呢为六十度。那我们可以过点 a 撇呢，去做垂线垂足呢，我们既为 o 过点 a 撇做 a 撇 o 垂直 b， e 于点 o， 那 接下来我们就要去建立直角坐标系，空间直角坐标系，因为呢， a 撇 o 肯定是这个垂直 b e 的 哎，垂直 ab 这条 垂直 ab 这条直线，那我们想以它为 z 轴，它为 y 轴，那么呢，我们就还得再找一条 x 轴，那 x 轴我们应该怎么找呢？ 我们看到了这个 ef 垂直 a 撇 e 了，而且 ef 还垂直 e b， 那 我们就可以通过线面垂直证明 ef 垂直面 a 撇 e b， 那 么呢，而且同，那我们就可以证明，利用下面垂直的性质去证明 e f 垂直于 a p o， 同时呢，那我们就证明了，那我们可以再找一条做一条平行 e f 的 与 e f 相平行的直线， 这个呢，我们就作为 x 轴减一下，就是由于 ef 垂直 a 撇 e， ef 垂直 b e， 同时呢，且这个 a 撇 e 交 b e 等于 e， 则 e f 垂直面 a 撇 b e， 由于 a 撇 o 包含于面 a 撇 e b a 撇 b e 或者 a 撇 e b 都可以，则呢，就有 e f 垂直 a 撇 o 过点 o 做 e f 的 平行线 o m， 则呢，我们就得到了 o m 垂直 a 撇 o， 而且呢， o m 垂直 o b， 因为因为这个 e f 垂直 a， 因为 e f 垂直 o b o m 是 平行 e f 的， 还有 o b 也垂直 a 撇 o， 则呢，建立如图所示的坐标系， 那现在我们要去求它，要求面 b c d 撇与 e f d 撇 a 撇所成二面角的正弦值。那么我们要 根据题干中的条件， ab 等于三倍的 ad， 而且 cd 等于二倍的 ad， f 为 cd 的 中点，那么呢，我们不妨射， 不妨设 a d 等于一，则呢，我们找一下 b c d 撇面 b c d 撇中各个顶点的这个坐标 b 呢，就应该是 我们看一下这个，那首先我们要知道这段的距离，我们知道 d f 等于一， c f 也等于一，那这段距离是多少呢？ d f 等于 a， e 等于 c， f 都等于一。那接下来我们要知道 o e 的 这段长度， o e 的 这段长度，因为呢，这个二面角角， a a 撇 e、 b 就是 二面角，是六十度，而且这又是垂直，所以说这是三十度。 我们还知道这个 a 撇 e 是 由 a、 e 翻折过来的，那它也是一，所以呢， o e 的 值应该是二分之一， o e 是 二分之一， ab 等于三倍的 ad 整体是三，那 b 呢，就应该是三，减去一，再减去二分之一，就是零二分之三。零 c 呢，我们看一下 c、 c 应该是 负一的，它的横坐标是负一，呃，它的 x x 轴坐标是是负一，然后它的这个 y、 y 轴坐标呢，就应该是 负的二分之一，因为这个 m、 f 也是二分之一，它整体呢，还剩了一个二分之一，就是负一，负二分之一，那这正的二分之一， 正的二分之一。零 d 撇，我们看一下 d 撇，因为 应该是他们两个，因为 a 撇 d 撇，他们是由 a、 d， 这个是由原来 a、 d 的 边翻折过来的，所以呢，他们 a 撇、 d 撇应该是在同一条水平线上的，也就是说呢，他的坐标应该是 负一，零二分之根号三。接下来我们再看一下 e、 f d 撇， a 撇各个顶点的各个顶点的坐标， e 的 坐标应该是 零，负二分之一，零 f 的 坐标应该是负一， 负二分之一。零 d 撇，我们已经写完了，接下来我们写 a 撇， a 撇就应该是零零二分之根号三。那现在呢？我们现在， 现在呢，我们去求它的两个这个这两个面的法向量向量 b、 c 等于负一，负一零 向量 b、 d 撇等于 负一，负二分之三，二分之根号三。设面 b、 c、 d 撇的法向量 向量 n 一 等于 x 一， y 一 z 一， 则有 负 x 一 减 y 一 等于零，负 x 一 减二分之三， y 一 加二分之根号三， z 一 等于零。我们呢，可以令 x 一 等于一， x 一 等于一，则 y 一 呢，就等于负一。那咱们代入一下第二个式子，负一，再加二分之三等于 二分之一，再加二分之根号三，这一等于零，那这一就是负的根号三分之一，也就是说负的三分之根号三，这个是向量按一。 接下来呢，我们求这个面 e、 f、 d 撇 a 撇的发向量向量 e、 f 等于负一，零零向量 e、 a 撇等于零二分之一，二分之二三。 设面 e、 f、 d 撇 a 撇的发向量 向量 n 二等于 x 二， y 二 z 二，则有 负 x 二等于零二分之一， y 二，再加二分之根号三， z 二等于零，则那向量 n 二，咱们可以令 x 二直接就等于零， y 二呢，等于 一， z 二呢，等于负的高三分之一，就是负的三分之高三。 所以呢，则二面角 二面角的余弦值， 则 cosine c 的 绝对值等于 向量 n 一 乘向量 n 二的绝对值，比上向量 n 一 的绝对值， 等于向量 n 一 点乘向量 n 二，比上向量 n 一 的膜，乘上向量 n 二的膜，它们整体的绝对值。记住，大家要注意一下，这块一定是正的，因为咱们是带绝对值的，等于呢， 向量 n 一 点成向量 n 二就等于负一，再加上 三分之根号三，加上三分之根号三的平方就加上三分之一。比上向量 n 的 模是根号下二，再加三分之一，乘上根号下一，再加三分之一。我们算一下，这个就等于呢 开，呃，因为带了绝对值，我们可以把绝对值给它打开，就是三分之二，比上根号下根号下，这是三分之七，乘上三分之四就是根号下九分之二十八，就等于 三分之二，比上三分之二倍的根号七。 因为呢，我们最后要求的是这个二面角的正弦值，则 sin c， 它就等于根号下一减 cosine c 方等于根号下一减去 七分之一。呃，一减去对，七分之一就等于 根号七分之，根号六就等于七分之根号四十二。 这个呢，我，这那这个这道题我们就完整的做出来了。这道题呢，平心而论还是比较难的，大家可以多练几遍，多想想他的思路是为什么这么做， 他的关键呢？主要就是第一问就是利用面面平行的性质，第二问如何间隙是关键，也是难点。 好了，那我们今天的分享就到这里了，如果对大家有帮助的话，请帮我点赞关注，那我们下期再见，也祝大家考上理想的大学，成功上岸，拜拜！

我们来讲解一下我预测的这一道立体几何的大题，这道题主要考察线面垂直、面面垂直、二面角的预先值以及空间向量的应用。还有就是外界球的一些基本性质。 在三菱锥 a、 b、 c、 d 中，其外界球的球心为 b、 d 的 中点 o 平面 a、 b、 d 垂直于平面 b、 c、 d。 已知 a、 c 等于根号二， b、 c 等于根号三， b、 d 等于二。先看第一问求证平面 a、 o、 c 垂直于平面 b、 c、 d。 我 们先看一下这个第一问要求的面面垂直，我们一般就会把它转化成线面垂直， 也就是在 aoc 或者是 bcd 里边找出来一条线，让它垂直于另外一个面。而线面垂直呢，我们一般会把它通过线垂直于线交线 来证明。也就是说现在我们要在平面里边找出来一条线，其中一个平面里找来一条线垂直于另外一个平面里面两条相交的直线，这样的话，我们的第一问的证明也就搞定了。我们来看图，现在已知 o 是 这个外接球的球心，那么我们可以得到如下的已知条件，第一问， 我们先来把我整个思路的三个大的步骤给大家写下。第一步，利用勾股定律 证明 a、 o 垂直于 o、 c。 具体的是由其可知， 三棱锥 a、 b、 c、 d 的 外接球 球心为 b、 d 的 中点，所以三角形 a、 b、 d 还有三角形 b、 c、 d 均为直角三角形。 并且 a、 o 等于 o、 c 等于二分之一的 b、 d 都是这个外接球的半径，它应该是等于一的，因为 b、 d 等于二，所以它的一半就是等于一。又因为 ac 等于根号二，所以利用勾股定律 a o 的 平方加上 c o 的 平方等于 a c 的 平方，则 a o 就 垂直于 oc。 然后接下来第二步，这个标红呢，是我给大家提示一下这个解析的思路，在解析的时候这些黑色字的就可以了，我们再利用还有一个已知条件，利用面面垂直。 现在我们已经有这个我们要证的线里面的其中一个了，还要少另外一个，还有一个已知条件，面面垂直。我们利用面面垂直与线面垂直 来证明我们接下来该做辅助线了，现在缺少一条垂直的线，我也用红笔来标下辅助线。我们过 c 点做 c p 垂直于 b d， 然后连接 a p， 那 么我们要证的就是 c p 垂直于 a o。 来我们继续做过点 c 作 c p 垂直于 b d， 则 c p 属于平面 c、 b、 d。 因为平面 abd 垂直于平面 c、 b、 d， 并且平面 abd 交平面 c b、 d 于 b d。 这条线也就是两个垂直的平面，它们的交线过其中一个平面内垂直于这个交线的直线垂直于另外一个面，这也是一个性质，面面垂直的性质在这里可以直接用，所以 c p 垂直于平面 a、 b、 d。 又因为 a o 是 属于平面 a、 b、 d 的， 所以我们可以得到 c p 垂直于 a o。 接下来我们就要用到第三步，要利用线面 垂直来判定结论，又因为 a o 垂直于 oc， oc 交 c p 于 c 点 oc 和 c p 属于平面 c、 b、 d， 所以 a o 垂直于平面 c o、 c。 因为 a o 属于平面 a o、 c， 所以 得出结论，平面 a o、 c 垂直于平面 b、 c、 d。 然后第一问我们就搞定了，然后接下来我们来看第二问 第二问的解法，呃，至少有两种，一种是通过几何法，也就是只有我们把这个二面角的平面角给它找出来，然后呢具体求出具体的值。另外一种呢，就是比较常用的间隙，我们现在已经知道了 a、 o 是 垂直于底面的了，而且这样的话 b、 d 和 a、 o 就是 垂直的，那么我们现在还缺一条直线，呃，紧接着我们就自己来做一条 和 b、 d 垂直的直线，刚才有朋友会说，那你过 c 点做这个就可以了，但是这样的话，我们一定要让这个两两相交的直线要有一个共同的焦点，也就是圆点，我们要找到现在我们来过点 o 做 ok， ok， 名字很好啊，垂直于 b、 d， 并且交 bc 于 k。 然后接下来就是我们的正的过程，这样的话我们就可以以这三个为轴来做这个第二问了，我们来写下它的解决过程。依然是按照第问的逻辑，我们先把这个大的步骤写一下间隙，正垂直，也就是正两两垂直，然后求出点的坐标， 我们来写下过点 o 做 ok， 垂直于 b， d， o 交 b、 c 于 k。 我 们由第一问由已知 a、 o 垂直于平面 b、 c、 d， 又因为 ok o、 d 属于平面 b、 c、 d， 则 a、 o 垂直于 ok， a、 o 垂直于 o、 d， 所以 这句话一定要有 ok o、 d， o、 a 两两垂直。 然后我们以 o 为圆点， ok 所在直线 为 x 轴， o d 所在直线为 y 轴， o a 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 所以我们可以求出来这几个点的坐标分别是， c 为二分之根号三，二分之一零。 b 的 坐标为零，负一零， a 的 坐标为零零一， d 的 坐标为零一零。唯一需要提示的一点什么？ c 的 坐标怎么来的？因为这个 b、 c、 d 它是一个直角，这样的话，这几条边的长度都知道，这个长度也知道，最后求出来这个是一个等边三角形，所以这个长度也就是 c 点到 b、 d， 也就是到外周的长度 就都可以求出来了，也就是 c 点的这个坐标。那我们继续第二步，现在已知坐标了，我们就要求这两个面的法向量，求 a、 b、 c 与 a、 c、 d 的 法向量。 其实我标红呢，也是关于求二面角的一个比较通用的一个解决步骤。设平面 abc 的 法向量为， n 一 等于 x 一 y 一 z 一 又 ab 等于零，负一负一，这个用到的就是向量的一个运基础运算法则。 c、 b 等于负二分之根号三，负二分之三和零，则 n 一 乘以 ab 等于零， n 一 乘以 c， b 等于零，即 负 y 一 减 z 一 等于零，负二分之根号三 x 一 减二分之三， y 一 等于零。然后我们令 x 一 等于根号三，我们可以解得 y 一 等于负一， z 一 等于一。所以平面 abc 的 一个法向量 为 n、 e， 根号三负一 e。 接下来第二个继续，我们设平面 a、 c、 d。 跟上面的求 abc 的 方向量的过程一样， a、 c、 d 的 法向量为 n 二 x 二 y 二 z 二， 则 a、 c 等于二分之根号三，二分之一负一， ad 为零一负一，则 n 二乘以 a、 c 等于零， n 二乘以 ad 等于零， g 二分之根号三 x 二，加上二分之一， y 二减 z 二等于零。还有一个是 y 二，减 z 二等于零，我们令 y 二等于根号三，解得 z 二等于根号三， x 二等于一。所以平面 a、 c、 d 的 一个法向量为 n 二，一，根号三，根号三。接下来就是第三步，利用空间夹角公式求出结果，也就是第三步， 设平面 abc 与平面 a、 c、 d 的 夹角为 sine， sine 等于 n 一 乘以 n 二的绝对值，比上 n 一， 乘以 n 二的模，比上 n 一 的模乘以 n 二的模等于根号三，除以根号五乘以根号七。结论是三十五分之根号下一百零五数比较大，但是呢，就是这个结果。 g 平面 a、 b、 c 与平面 a、 c、 d 的 夹角于弦值 为三十五分之，根号下一百零五。好，同学们，今天的这道题写的解体过程是比较完整的，同学们如果觉得太长了，可以自己慢慢的来看。这里面会有一个误解啊，就是容易走错的地方。就在第一问，有的同学容易把这个地方理解为垂直，因为什么呢？你知道这三个都，这四个直，写的这个线段都相等了，那么这就应该是一个垂直。这个恰恰是这道题最容易让人产生误解的一点，也就是最容易犯错的点。 好了，同学们，今天这个预测的第一道题就这样，接下来这个一共是十天的时间，我会给大家分享十道题，分别是五道大题的两个大题，有两道题，每个类型啊，呃，算是我自己的一个个人预测，仅供同学们参考，每个大题我会选择两道题。好了，同学们，今天就这样，拜拜。

开始啊，咱们来讲一下立体几何的相关大题，然后今天咱们解决这道呢，是第一道题，它包含了面面垂直的证明。二、面角计算是高考立体几何的高明考点，然后咱们来一步步拆解。 首先咱们来看一下题目，他说在四棱锥 p a， b， c， d 中， p a 呢，怎么垂直于这个平面？ p a 垂直于这个平面 a， b， c， d， 然后呢， p a 是 等于这个角等于一百二十度， 然后还告诉咱们什么 a c 垂直于 b 的， 就是这个是垂直的，对吧？然后呢，还有条件就是三角形 b， c 的是个什么三角形？是个等边三角形，就是这个三角形 b c 的。 那第一问，第一问的话，你想咱们要证明两个面垂直合一方法是不是证明一个面内的一条直线垂直另一平面，也就是找什么线面垂直，对吧？那这道题咱们来简单写下步骤，首先写个紧，然后证明 因为什么，根据已知条件咱们要找什么，找垂直吧，对吧？所以题目告诉我们 pa 垂直平面 pa 怎么的？垂直于平面 a， b， c 的， 对吧？然后 c 的 是不是也在这个平面内啊？ 在平面什么 a， b， c 的 之内，所以说怎么的 pa 是 不是就垂直于 c 的 呀？对吧？然后呢，又告诉咱们 a、 c 垂直于 b 的， 是不是写因为 a c 垂直于 b 的， 然后还因为什么呀？还因为这个三角形 bc 的 呀？它是个什么等腰三角形，咱们为什么要这么写？咱们要找什么导角度？ 那所以说是不是 a b 等于 a 的， 且什么角 b 的 c 是 不是六十度啊？那你说角 b 的 c 是 六十度，你说角 b a 的是多少度？ b a 的 还是怎么的？它又是一百二十度， 是不是？所以说怎么的？是不是角 a 的 b 是 不是等于角 a b 的 等于一百二十二十三十度？是不是因为顶角是一百二十度的一个等腰三角形？所以说咱们能推出角 a 的 c 是 不是等于九十度？也就是 说明 c 的是怎么的垂直于 a 的， 然后 pa 啊，你看啊， pa 是 不是在平面？怎么的？咱们现在已经正完了什么？ 已经马上要证出来什么？是不是证明出现面垂直，对吧？所以说咱们写 pa 属于平，在平面 pa 得上， a 得呢？也在平面 pa 得上，然后 pa 呢？交 a 得还等于 a， 所以 说 c 得这条线是不是就垂直于平面 p a 的 呀？然后咱们要正这两个面垂直，对吧？所以说因为什么呢？ c 的 在这个平面 p c 的 上，所以说这个平面啊， p a 的 是不是就垂直于平面 p c 的 呀？这第一问咱们解决了，第二问，第二问，让他们求二面角的正弦值， 对吧？二面角正弦值的话，咱们要空间向量法解决，对吧？首先咱们来找一个合适的圆点，间距要细，题目里给咱们的 a c 垂直于 b 的， 那咱们把这个点它的焦点设为什么设为 o， 那咱们以向量 o b 方向为正方向啊，为什么 x 轴正方向以 o c？ 为什么 y 轴的正方向再怎么呢？平行于怎么呢？ p a 向上键这个 y 轴 z 轴， 对吧？咱们一般是键右手系，所以说咱们键完了。然后接下来计算作表， a b 是 不是等于 a 的 等于二角 b， a 的 还等于多少？等于一百二十度，所以说什么呢？ b 的 是不是等于二倍刚好三呢？那 o b 是 不是就等于 o 的 等于刚好三呢？那等边三角形 bc 的 中，你想高， o c 等于三，又因为什么？ a o 是 等腰三角形 ab 的 底面的高？所以说怎么的 o a o 等于一，哎，等下这个 o c 啊， o 看啊， o c 是 等于什么？ o c 应该等于三倍杠三，对吧？ a o 等于一， o c 等于什么？三倍杠三对不对？所以说个人坐标咱们现在就能找出来 b 点是杠三都零都零， c 是 零都四都零， 个是负杠三斗零斗零， p 的 话，是不是零斗负一斗二啊？对吧？然后咱们接下来就要找反向量了，找反向量，首先你要找 p、 c 向量，是不是给它算出来是零斗四斗负二， p b 向量呢？是不是杠三？逗一逗负二？那这一块步骤其实可以简单点写，如果写过程的话，那我就直接跳过前面那些步骤就是，但是你们写的时候要写，所以说咱们正常接下来步骤就是设法向量，对吧？设法向量， n 向量是不是等于 x y， z 呀？然后所以说咱们能列什么？是不是 n 向量乘上 p， c 向量等于零， n 向量乘 p， b 向量等于零，然后咱们代入，代入之后呢，咱们要怎么的？ 是不是得到一个式子，是不是二 y 减二四， y 减二， z 等于零，杠二三， x 加 y 减二， z 等于零，那咱们是不得负值啊？咱们另 y 等于一，接着什么？ 是不是 z 等于二， x 等于杠二三？所以 n 限量是不是就是杠二三到一到啊？到二，对吧？那接下来还得找什么？找另一个平面 p 到 c 的 一个反向量， 那 p 到 c 的 反向量咱们也是一样的步骤我就不写了。那最后咱们能解得这个它的反向量是多少？是不是负？高三到一到二， 然后你看啊，咱们是不得先咱们要求什么？正弦值？正弦值的话在零到派内是不是都是正的？咱们不需要考虑它正负的问题。 那所以说咱们先来算一下它的余弦值，余弦值的话是不是等于它俩点的夹角对不对？是不是就等于多少？是不是二比上二倍，根号二乘二倍，根号二等于四分之一吧。 然后跟接下来求正弦值，就利用什么同角三角函数平方关系，就是塞 n， n 向量 m 向量夹角等于什么？根号下一减 cos 方，这个 对不对？是不是就等于根号下一减去四分之一的平方就等于多少？四分之根号十五吧。 然后这里要注意二面角的大小要反映在内角可能是怎么相等或互补的，但正弦值是不是都是相同的？就像我刚才说的，是不是他们在零到派上的话，你看正弦的图像，他都是正的，对吧？而且是关于什么？关于二分之派是对称的，但是余弦的话他他怎么的？零到派他是有正有负的这个分解点，二分之派， 那所以说你就要考虑这二米角的正负了，但正弦值就不需要考虑。那今天这道题咱们就讲今天这个第一问啊，咱们讲的一个是什么？是不是通过正面面垂直？咱们要想到什么？正线面垂直，线面垂直之后 再来正面面垂直，对吧？线面垂直怎么找？线面就是在这两个平面中找一条线，你看哪个线和另一个平面好，正垂直你就用哪个，然后你就基本上没有什么问题。那今天咱们讲到这。