毕节市三模数学试卷的题型有哪些？

今天我们来一起学习 二零二六年省实验中学中考三模数学试卷分析， 大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天我们再来分享一个啊，河南省实验中学的一个三模数学试卷的一个压轴题啊，这个试卷的话，其实呢，很多题都是非常类似的题啊，我只分享一道这个第十五题啊，那有需要这个试卷的朋友可以私信我把这个试卷分享大家啊。 好，第十五期比较有意思啊，但是如果说我们学会分析的话，其实这个题都变得非常简单了啊，很多题都是老题啊。好，话不多说，让我们再看这个第十五期啊， 这个期其实是一道隐形元的一道题啊，如图，在三角形， a、 b、 c 角 a、 c， b 等于九十度，角 b 等于三十度，这是一个三十度，六十度一个这样三线 a、 c 是 一个四的话，那么这边就是四的一个三，这边就是一个八了，对吧？ 好， e 是 a、 c 中点，这是一个定点。好定点啊，定点，其中很多点都是动点啊， d 的 d 是 动点， o 是 动点，然后呢， m 和 n 都是动点啊。好，他说现在以 c、 d 为直径做出来圆 o， 好， 记着啊，看见直径啊，那这个时候我们就要想到直径所对的圆周角是不是九十度呢？ 哎，非常好，那就说明了这边是一个九十度。又说无论什么呢？无论，无论这个点地用到什么地方，那么这个时候始终和地垂直，比如我可以再换一种情况，比如说点地用到这个地方，那这个时候的话，那就相当于是这边是不是一个垂直呢， 对不对？如果说点地用到这个地方的话，那这边我们再去拉一下，对吧？再去做个垂直，但能看出什么不呢？看出来了对不对？看出来了，直径对直角 对吧？也就是说 c e 这一段是固定不断的固定不变，那么他说对的直角对吧？说对的直角，说对直角。那这个时候我能不能说点 f 的 运动轨迹其实就是一个以 c e 为直径的一个圆上呢？这点非常关键啊， 这点非常关键对不对？当你能发现这一点的话，那么这个题就变得比较简单了啊，不会受其他的干扰。好， 我们继续读题啊，这个时候让我们求什么呢？ fm 加 m n， 嗯，好， fm 加 m n， 这个时候还要运用到将军以马的思想来，我们先把这个动点运动轨迹先画出来， f 的 运动轨迹就是一个这么一个在这个半圆上，但是它可能并不是一个半圆啊，但是，但是呢，一定是这个圆的一部分啊，但是并不影响我们求这个对值。 好，又是点 f 的 一种轨迹啊，直径对直角，那接下来我们如何求？比如说圆上一点，然后与这个边的一个夹角，与这个边上一点，还有这个边上一点，那这个怎么做呢？我们可以利用将军印码的一种思想啊，这边做出来一个对称，对吧？ 做出来一个对称啊，做出来对称，那就意味着这个角等于这个角，所以说我就可以把上面这个线段转换成这一段线段，对不对？你看其中要求的是这个蓝色线，再加这个蓝色线，那我就可以转换成是不？下面这个蓝色线呢，对不对？就这一段我再加这一段就可以了啊？ 好，那么画成最最本质的话，那是不是就我要找原上域点，然后呢再到这个下面蓝色线的一个距离呢？这个数其实就是一个线圆问题啊，线圆 线有问题的话，你就直接过这个圆心啊，做这个线的一条垂线啊，来，直接拉下来，直接做垂直啊，直接做垂直能看懂吗？直接做垂直啊，当我们做出垂直之后的话，那这个时候就确定了 f 就 来这个点，而 m 在 这个点， n 在 哪呢？ n 这个时候我们可以再往这边再去做垂直就可以了，能理解吧， 因为这个线段始终等于这个线段。好，接下来就是要求解，那接下来我要求的就是这部分长是不是就开人了？好，观察一下这个题中的要告诉我们的信息， a c 是 一个四啊，并且一是终点，那就是下面这个上面也是这段是一，这段也是一啊，于是现在这边是不是一个等边的样型呢？ 为什么呢？因为这个角是直角，这个角是三十度啊，那么这个角就是六十度，对零角这个角也是六十，再加上其中原来这个角也是六十，所以说现在这边这个三角形就是一个等边三角形啊，这个边是一个三，那么这个边也应该是三，或者这一段就是一个二，对不对？这一段成是一个二啊？ 好，接下来我们继续看啊，这个边是四，那么原来这个大这样的斜边就是一个八，那么斜边是八的话，这边是三，所以这一段是不是就要边斜边一半，那么这一段就是二分之五啊，所以这个答案 是不是有二分之五再加个二呢？对不对？所以答案就是二分之九啊，好，比较简单啊，有需要这个实验的朋友可以私信下我，这个实验我就分享这么多，如果说觉得分享你有所帮助的话，记得点点关注，点点爱心下来观看我们下个视频，不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。

本次三模试卷一出，整体的难度略大于中考，题量大，阅读量大，特别是压轴题比较难，整体的区分度比较高。 下面呢，我们快速的把选填题过一下。首先，选填题整体来看呢，是比较简单的，第一题，它的考点是绝对值得记忆。第二题的考点是俯视图的定义。第三题，考密的运用法则以及合并同类项。第四题，考根与系数的关系。第五题，考三角形外角性质。 第六题，没啥好说的啊。第七题考平行四边形角，平行线的性质。第八题考圆周角定律，平行线性质直径所对，圆周角是直角。 第九题，没啥好说的哎，第十题，需要重点讲一下。第十题考矩形旋转性质以及购物定律，还考了一线三等角，直角三角形啊，其中呢，这里面的角 a、 e、 b 是 九十度，是我们的一个突破口啊。那么需要注意的是，第十题我们平时是有训练过的，特别是一线三等角啊，训练的比较多。 好，那么接下来讲我们的填空题。填空题的十一题答案不唯一，根号二、 k 等等都可以，只要满足五位数的这样一个条件大于一就行。第十二题，考反比例函数中 k 的 几何意义。 第十三题，没啥可说的。十四题，考分式方程的求解，重点呢？考它的真根。那么第十四题虽然比较简单，但是我们要重点讲一下，像看到这种分式方程第一页，你要确定什么呀？确定它的定义域啊，当然，这是我们高中的知识啊，你要确定你的分母不能，为什么，也就是 x 不 能等于啊。然后呢，再去考虑我们的分子部分的情况， 这是我们的第十四题呢，考的我们动点菱形对称啊，以及将军引马，那么也说他考了我们一个动点问题的函数图像问题， 接着说一下我们的解答题，十六，十七、十八送分题，没啥可说的，直接做就完了，十九题也是一样的啊，那么二十题呢，可以讲一下。第二十题呢，是一个找规律的题目，试了二十题做下来之后呢，他本身并不难，但是我们会 联想到我们在小学阶段啊，如果说学了高师的同学应该还记得我们讲过的三阶换方啊，三阶换方，他和我们的那个三阶换方呢，是比较像的啊，但是呢，他呢会更简单一些啊，会更简单一些，同样的正常做就可以了。 那么我们的二十一题，他考的是圆的切线判定啊，平行线的判定，解直角三角形以及我们扇形面积的一个计算啊。本人这个题目呢，并不难，我们平时做题的时候其实也有做过啊，主要是考察大家的一个计算的一个能力啊。 那么二十二题呢，他主要是考二次函数的应用啊，建立二次函数模型，重点需要理解的是，这个最大的高度对应的是我们的抛物线的一个顶点。 二十二题分析完了之后，紧接着就来到了我们的压轴题部分，也就是我们的抛物线的一个顶点。二十二题分析完了之后，紧接着就来到了我们的老熟人了，折叠问题 第一小题和第二小题，我们平时练的比较多，所以说我们在做这一块题的时候是一定要把握住的，特别是第一小题啊，一定要拿满分啊，拿满分，那么第二小题考什么呢？考我们的折叠性质，等腰三角形、平角，三角、内角和啊去通过这些性质去推一个平行， 平行出来之后呢，还考了一个平行四边形的性质，那么也就是说我们的第二问，他的一个综合性是比较强的，符合压轴题本身的一个特性。那么来到了第三问啊，也就是我们这个题目的最难的一个板块啊，考二次折叠的一个性质， 我相信在座的同学平时训练的是非常少的，甚至很有可能都没见过啊，那么在这个题目讲完了之后呢，同学们需要去好好的去回顾一下，特别是需要去冲刺高分的同学，那么这个二次折点一定要好好的把握住。 二十四题，他的一个核心考点是用参数表示坐标，用坐标表示几何量，然后呢用方程去求解参数，他重点考察了我们几何转化代数计算的一个能力， 由于时间有限，所以说我们没有做一个具体的计算，所以说也就没有一个答案可以供大家参考。回顾整个试卷来看，整体的难度区分度，考点的分布和咱们的高考是保持一致的，唯一的一个问题就是压轴题偏难了一点， 如果说想去冲创新班的，那么他的最后一题的一小问是一定要掌握的。好了，试卷就分析完了，那么同学们你们都考的怎么样？评论区聊聊吧！

我们现在来讲一下最新省实验三班的第十五题，这个第十五题出的比较绝，它确实是融合了将军引马，融合了一箭穿心，融合了垂线段最短的这样一个最小值。首先我们看一下题目，这个题目上是说 角 a、 c、 b 等于九十度，然后呢，角 b 是 三十度， ac 等于四 好，这个 m n 是 m， n 是 ab 和 bc 上的动点，而的呢，也是 bc 上的动点，以 c 的 为直径，做了这个黑色的圆，然后 连接 f 的 交圆与 f， 连接 f， m 和 mn。 那我们看一下啊，从我 f n 的 角度来说，那么动点是在 a、 b 上 这样一个基本结构呢，我们就想到了将军印码，所以我们做点 n 关于 a、 b 的 对称点 n 撇，那么我们知道这个角度呢，也是三十度， 所以我们就把 f、 m、 n 撇顺次连接了起来。那么 f m 加上 m、 n 撇什么时候最小呢？就是当 f、 m、 n 撇三点共线的时候 最短，但是此时我们这个 f， 它也是一个动点，因为咱们点的是在动， 所以我们需要找到动点 f 的 运动轨迹。那么我们来看一下连接 c f 之后，因为 c 的是直径，直径对直角，那么咱们角 c、 f 的 等于九十度，那么咱们的角 c， f、 e， 这也是九十度， 所以我们动点 f 的 运动轨迹就是在紫色这个圆上，于是我们就向 n 撇 m， f， g 四点共线，那么此时咱们只需要求这个 g n 撇的长度 减去半径 g f 就 可以了。但是呢，我们这个 g n 撇也不太好求，它没有在 直角三角形中，那么于是我们就延长 n 撇儿 g 射线与 b 的 射线交于点 p， 那 么这个时候我们来看一下条件当中给了我们 a、 c 是 四， e 是 中点，那么也就是说咱们 e、 g 的 长度以及 g、 h 的 长度都是一根据三十度，这个也是三十度，那所以我们的角 p 就是 三十度， 三十度所对的角边等于斜边的一半，那么我们 p、 g 的 长度就是二， p g 的 长度是二， p、 h 的 长度就是根号三。因为我们 a、 c， 这个 c 和 h 重合了，这个 a、 c 是 四，那么咱们 bc 就是四倍的根号三。那么此时我们 b p 的 长度就等于四倍的根号三，加上根号三就是五倍的根号三，那么 b p 的 长度是五倍的根号三。 我们就可以求出 p n 撇的长度，它就等于五倍的根号三，乘以二分之根号三， 就等于二分之十五，那所以我们最小值 f m 加上 m n 撇，实际上就是 f n 撇的值。 f n 撇就等于 p n 撇减去 pg， 再减去 g f， 那 么就等于二分之十五。减去 p g 二减去 g f 一 就等于二分之九，又是它的最小值。

我将啊具体分析一下高新区的三模数学卷，那么这里我会择取几道啊，相对来说难一点，容易错的题呢，去进行讲解。那么试卷的一个完整的答案我们会放在视频的最后，大家可以暂停 啊，去关去看一下这个答案，那当然也可以截屏去保存好。那么这个第四题呢，他其实是比较容易去出错的啊，就是选择还是有一点点技巧的。 那这里呢，他说他是一个正五边形，而且我们可以看得到他是有一个面就是完全正对着我们的，现在是让看他的左视图到底是什么样子呢？我们可以根据他上面的这个主视图去进行分析啊，就是 他的主示图应当是这样的一个正五边形，对吧？这样的一个正五边形，那我们可以算出来一个正五边形，他的一个内角是多少呢？是一百零八度， 它的一个内角是一百零八度，所以说这里呢，我们可以连一下，我们假设它是 abcd 吧， abcd， e 啊，五个点，那连接 b e， 这个 b e 一定是平行于 c d 的。 好，这个时候你可以过点 a 向 b e 做垂线，包括过点 c 向 b e 去做垂线。 那很显然呢，这里的角 a、 b e 是 多少度？三十六度，对吧？角 c、 b、 e 呢，是七十二度。好，于是我们就可以知道啊，这个是 a h， 这个是记号了，那这个 a h 的 长呢，它应该是等于 a b 乘以三印三十六度， 而这里的 c g 的 长呢，是等于 bc 乘以三印七十二度。 因为 ab 和 bc 是 相等的，它是正五边形，所以说这里的 a h 肯定是要比 c g 要短的，那因此我们测试图来看 啊，左边就答案肯定是在 a b 上面， a b 之间去排排反嘛，对吧？那么因为呢，你 a h 它就对应的就相当于是这里这条这条短一点的啊， c g 就是 这个长一点的。所以这道题啊，应该是选 a， 应该是选 a， 这道题如果说选错的话，可能大概率应该是会选在 b b 这个上面。好，那后面就是这个第七题吧。就是啊，我还是想讲一下这个题挺搞笑的啊，就虽然这么些年我化学也忘的差不多了，但是他前面交代的很清楚嘛，紫色的石蕊世纪 遇到酸性溶液会变红啊，碱性溶液会变蓝，这个讲的很清楚，对吧？酸变红，碱变蓝，那前面一个是盐酸，一个是硫酸，这个应该都是酸吧， 那后面讲的很清楚吗？氢氧化钠也好，氢氧化钙是吧？他这里都写了碱性吗？所以就是两种酸性溶液，两种碱性溶液，那现在是让你从里面随机的挑两种出来啊，一个是变红，一个是变蓝，也就是说你挑到一个 碱性和一个酸性的概率吗？我们把这个四个溶液分别给它标成 abcd 好 了。标成 abcd 啊， 那现在你所可以抽取的机会就这样子嘛，比如说我先从 a 去，因为这里他不分顺序啊，所以我如果说先抽到 a 的 话，那你可以再选择的机会就是 b、 c、 d 这样三种。 如果再抽 b 呢？因为我们前面 ab 已经算过了，这里就不再算 a 了，如果你再抽 b、 c、 b、 d 这样去搭配，对吧？如果你再去抽 c 呢，那就是 c、 d 这个样子。其实给我们的选择总共也就是啊，六种， 总共也就是六种，就是随便去抽两种出来的话，总共是六种，这个机会，那能够去一个红，一个蓝，就是一个酸，一个碱嘛，是吧？ a， c 也可可以， a， d 也可以，对吧？ bc 也可以啊， b， d 也可以，所以呢，是，呃，六分之四，也就是三分之二，所以应该是选 a。 好， 那么至于这个，呃，第八题呢，就是简单的去做一个 平行就可以了啊，四边形当中常考的一个考法，我们说做一个 f m 平行于 b c， 那 这样一来呢，你可以得到 eg 是 等于 g， m 就是 一个平，这里是一个平行的全等，对吧？这里 f fm 对 于三角形 e， b， c 呢，就相当于是中位线。好，所以可以得到 eg 等于 g， m 就 等于二分之一的 m， c 啊，那这里给到了记忆的长是二，所以说 c， g 呢，就是一个六了，那所以选 c。 呃，至于这个第九题和第十题，其实都比较简单啊，这里就不说了。第十题，呃，应该是选 b， 好 像是选 b 吧，这个后面换放答案好了。 嗯，还有就是这个哪个呢？这个第十三题，其实我们也讲一下吧。第十三题，它就是一个黄金分割比嘛，黄金三角形，你这里 a， d 等于 b， d， 是 吧？那呃， a， d 等于 b， d 等于 e， a b 等于 a c， a b 等于 a c 啊，它原先是一个等圆角形。对，那这里你看，你设一个角度的，比如说我们设它是阿尔法，它是阿尔法，那它就是多少，它就是阿尔法，是吧？ 好，至于这个第十三题呢，它就是一个考察一个黄金分割比黄金三角形，因为这里是以 b、 c 的 长为半径去画弧 啊，而且告诉你 a、 d 等于 b、 d， 所以 我们可以知道 a、 d 等于 b， d 等于 b c。 本身 a、 b、 c， 它又是一个等腰三角形啊，那这里我们可以求出来，它是一个三角形， b、 d、 c 是 相似于三角形 b、 c， 我们最终根据这个相似比啊，可以得到这个 bc 呢，比上 ac 就是 等于 cd， 比上 bc， 也就是房间分割比。二分之根号五减一啊，这个很简单，好，那么这个 cd 的 长呢？也就是等于 cd 乘以 啊，等于 b， d 等于 b， d 乘以二分 cd 啊，应该是等于 bc 乘以二分之根号五减一了，因为它是一，所以说 cd 的 长就是二分之根号五减一， 好。第十四题也比较简单啊，就是简单的一个新定义吧。呃，这里说 t 二减 t 一 的值啊，它说 t n 是 等于 y n 加一减 y n 好。 第一个比较简单， t 二减 t 一， 那 t 二减 t 一， 我们说 t 二等于什么呢？ t 二它是等于 y 二减去 y 一， 对吧？那 y 二 y 二就是等于 x 去二的时候，也就是四再加二， b 再加 c， 那 y 一 就是一加 b 再加 c， 就 这个我们可以得到，它是等于三加 b， 好， 那这个第十四题啊，就是简单的一个新定义的问题啊。 t n 把这个读清楚就行了。 t n 是 等于 y n 加一减去 y n， 而且是后面这个 x 呢，是依次取一二三， 取一二三，对应的就是 y 一 y 二， y 三好，那这里 t 二减 t 一， 显然我们要用到 y 一 y 二， y 三好，那 y 三等于什么呢？ y 三就等于 x 等于三的时候，也就是九加三， b 加 c， y 二呢，是等于四加二， b 加 c， y 一 就是一加 b 加 c， 所以 这样一来，我们可以得到 t 二是等于 y 三减去 y 二，那就是等于五加 b， t 一 呢，就是等于 y 二减 y 一， 也就是三加 b， 所以 自然而然 t 二减 t 一， 它就是等于二，等于二啊，这个空的答案是二。 那第二个说， b 如果等于一的时候，让我们求 t 一 直加到 t 一， 一直加到 t 一 百。 求这个也比较简单啊，我们他其实就是考察一个连加相消，这个在怠速的规律寻找当中也经常能够去用得到。我们这里 好，我们给他写一下啊， t 一 加 t 二加 t 三，一直加到 t 一 百，就等于呢？ y 二减 y 一 加上一个 y， 三减 y 二加上 y 三， 好一直加到是 y 一 百零一减去一个 y 一 百。 那我们对前面几个式子你观察就知道，比如说前两向一看，是不是 y 二和负二， y y 二就约掉了，那后面呢，就是 y 三和负 y 三约掉，所以说这样一直下去，我们就可以知道最终保留下来的是 y 幺零幺，还有就是一个负 y 一， 那 y 幺零幺等于什么呢？也就是一百零一的方， 因为 b 是 等于一了啊，那就直接是加上一个幺零幺 b， 也就是加上一个幺零幺，再加上一个 c， 好 减去后面就是嗯，一的平方加上一个一，再加上一个 c， 这样一来一减呢， 这就幺零幺的方，减去一个幺减去一方，是吧？幺零幺再减去一个一，就是一百， c 和 c 没了。那这里我们可以用一个平方差公式，就是幺零幺加一乘以啊，幺零幺减一，再加一百。 好，那前面也就是一千幺零二零零，再加一百，最终就是得到的是幺零三零零，所以这个答案是幺零三零零，幺零三零零。 ok， 这个后面这个都比较简单，就不说了啊，就不说了，这个都比较简单，比较简单。好，呃，这个第十九题的 后两问我们讲一下，好吧，十九题后两问就是他第二问，他说呢， 根据图像精准识别啊，根据图像识别精准度的测试，然后知道了假是高于一说。这两款机器人各生产四百台的时候，求假款机器人的图像识别精准度高于一款 啊，假的机器识别度高于一款的台数。那这里其实实际上就是用样本去估计整体，整体嘛， 那要门估计整体，我们就要去清楚这各自挑选的二十台当中呢，甲比乙要高的，这个有总共有几台？好，我们这里具体来统计一下啊，这个得一个个去数。 我们说就像这个题当中啊，这个图当中给到的总共编号是对应的，就是一号、二号以及到三二十号，是吧？一二三四、五六七八，我们这里指的是编号啊，九十，十一，十二十、三十、四十、五十六 十七十八、十九、二十。那我们在下面写下来的就是什么呢？是对应的就是谁跟谁的图像的这个识别度更高一些啊，分数更高一些。好，我们看到编号为一的这个两台去对比，就是这个实线表示的是甲，是吧？那甲更高一点，所以这我们写个甲， 呃，在二号的时候呢也是甲，三号的时候呢也是甲跟高一点，四号和五号一样，那一样我们就画个横横线啊，所以二号是甲跟高，三号也是甲跟高四五是相同 啊，包括这个六，他们的这个识别度都是相同的好，然后可以看得到，你看七号的时候是甲跟高一点，七号，甲跟高八号，九号的时候呢，是乙更高一些 好，七号是甲跟高八号，九号是乙，那么十号呢？就是还是甲跟高了，甲，十号、十一号都是甲跟高，十二号的时候又是一样好，就是十号是甲，十一号也是甲，十二号的时候呢，是一样， 十三的时候呢，还是甲跟高好，十四、十四、十五、十六都是一样的好。十三的号的时候就是甲跟高一些，十四、十五、十六都是一样的 好。再往后十七号的时候是甲跟高一些， 十八又是一样，十九是甲，二十的时候还是甲好， 那这样一来我们就有结果了，可以看啊，就是各自挑选二十台去对比的时候，对吧？甲比乙高的总共有几个情况？三个、四个、六个、十个啊，那这个 以比价高的有几种情况呢？以比价高的是不是只有两个两个啊？所以抵消一下，这里比如说抵消了两个吧，就是三个、五个、八个好，那就应该是二十分之八乘以一个四百， 也就是等于一百六十台啊。如果挑选四百台出来去比对的话，假的这个图像的识别识别评分啊，比已高的应该是有一百六十台 好。那么至于第三问，就是对这个数据统计的一个理解了，他这里说呢，如果假款的机器人啊， 针对评分不超过七分的机器人进行精准的训练，在第二轮测试的时候呢，这些机器人的测试评分平均提高两分， 原评分超过七分的，这个机器人的分数不变。与第一轮测试评分数据相比，第二轮的评分数据的中数将怎么样？ 那我们结合原先的这个图像可以看得到啊，假的，他的原先的评分的一个中数应该是在哪里？你看这里是有 七，编号为七八九十的，这几几台他的评分都是五分，对吗？是最多的啊，五分的时候是有四个数据，所以说他的原先的中这个中数就是五，那五是低于是小于七的。现在经过第二轮训练之后，就应该说五变成七了，对不对？五变成七 啊，所以说后来他的中数肯定就是变成七了，那因此这里他的中数应该是将增大， 而这个方差呢？很显然啊，因为你这个分数小于七的，整体往上抬个两分，是不是整体往上抬个两分？ 那就是说你大概给它画一下，反正很显然它整体的数据水平会更趋于集中，那它的这个方差自然就会变小，所以这里的方差呢，是变小、减小，中数呢，是增大。 好，这个二十题呢，也也比较简单，首先它给到你 b d 是 等于 d e， 那 么我们就知道这个 o d 一定是垂直于它的吧？ o d 一定是垂直于它垂直定点的一个推论，是吧？ 第一问，让我们去证明啊， b c 等于 b f， 那 b c 等于 b f， 显然你是要去说明这里的角 c 是 角 c 是 等于角 b f c 就 可以了。好，那角 c 等于角 b f c 又怎么去说明呢？ 呃，我们这里给它标注一下，这个是角一，好了，这个是角二。那显然 o、 a 等于 o d， o、 a 等于 o、 d， 我 们是不是可以知道这个角一等于角二，那现在你这个角一呢？是不是加上这个角 b、 f、 c， 它是等于九十度？ 好，因为 bc 是 切线，那这里的角 a、 b、 c 是 九十度，角 abc 是 九十度呢？所以角 c 加角 r 就是 九十度， 那我们就知道角一等于角二，所以角 b、 f、 c 就 等于角 c 啊。因此第一问， bc 等于 b、 f， 就 证明结束了。好，那第二问， o、 f 垂直于 a、 c， a、 f 等于三， o、 f 垂直于 a， c， a、 f 等于三，那 o 是 圆心，你这个垂直的话，是不是垂进分弦，所以就可以得到 a、 f 是 等于 f， d 是 等于三。 那又因为 ab 是 直径，直径对直角，所以你这里也是垂直的，也是垂直结合。第一问，我知道 b、 f 等于 bc， 它是个等腰，三线合一吧，所以这里的 a、 f 是 三， f、 d 是 三， c、 d 呢？它也是三 好角 abc 也是九十度，角 b、 d、 c 也是九十度。那这里我们很显然你只要去熟悉这个摄影定律， 是吧？摄影定律，我们可以知道这里有相似是三角形 c、 b、 d 呢？就相随三角形 c、 a、 b， 那 于是可以得到 b、 d 的 方式，等于 c、 d 乘以 a、 d， 也就是三乘以六， 等于十八，等于十八。那在而 t 三角形 a、 b、 d 当中，我们可以得到 a、 b 的 平方是等于 a、 d 方加 b、 d 方，也就是六的平方加 啊，这个十八，那就是等于五十四，三十六加十八、五十四。所以 ab 是 等于六、九、五十四，就三倍根号六啊。那么因此这个半径呢，就是二分之三倍根号六。 好，二分之三倍根号六。呃，这个第二十二题啊，第二十二题， 将 d、 f 绕点 d 逆时针旋转九十度，得到 d g， 那 因为本身框架又是正方形嘛，这里又旋转 d， f， 旋转到 d g， 是 吧？所以说，很显然考一个什么手拉手全蹲， 手拉手全蹲，那这里我们自然呢，能够得到，这里的三角形是 d， a、 f 是 全等于 d、 c、 g 一个边角边就可以了，是吧？所以第一问就结束了。 那么第二问，他说当 f 为 a、 e 的 终点的时候，让我们去求 eg 的 长。 呃，那这里呢？你既然是终点，我们的边长也给到了 a、 b 是 四，那 b、 e、 e 是 b， c 的 终点 b， e 是 二， ab 是 四， 所以说可以得到 a， e 是 二倍根号五，那这里 af 的 长呢？ af 的 长就是根号五，是吧？根号五。你现在要去求 e、 g 的 长，那很显然我们得用到一个啊，勾股定律。好，这里 我们过点 g 呢，是延长 bc， 然后过点 g， 分 别向两边去做垂线。好，我们说这个是点 p， 这个是点 q。 好 了，这里呢，我们再选择过点 f， 是 向 a、 d 做个垂线， 我们说这个是点 m， 那这里的角 e、 a、 d， 它是等于角 a、 e、 b 的， 等于角 a、 e、 b 的，是吧？所以说我们也可以知道这个，这两个三角形呢？ 这里两个三角形就相似，你说你相似也好，或者用三角函数都可以，在这里就可以知道，三边之比是一比，二比，根号五啊。于是我们不难得到 am 的 长就是 e、 f、 m 的 长就是二。 好，因为你本身三角形，三角形 a、 f、 d 是 全等于三角形 c、 g、 d 的， 所以两个三角形全等，对应边上的高啊，对应对应的这个线段长度也都是相等的，那 am 是 一，所以我们就可以知道 cp 它也是一啊，也就是等于这里的 g q 也是一， f m 呢，是等于二，所以说也就等于这里的 pg 是 等于 c q 就是 等于二，那当然这里的 ec 也是二。好，于是就可以了啊，所以就可以知道这个 eg 的 长呢，是等于一的方加四的方，再开方，也就是根号十七。好，这个第二根就可以了， 那至于这个第三问呢，让我们去求啊，求 e f 比上 c g， 它这里说呢，若 d a 等于 d f， 那 d a 等于 d f， 很 显然这个是等边了啊，这个两个边相等，就等幺嘛，那等幺，我们只能让它想到什么一个三线合一 啊，之所以你用它呢，你还是说要用到这个这里的三点函数，我们说这个角是阿尔法吧，那这里这个就可以给它标上是阿尔法，对吧？这个，呃，很容易去推导出来。好，所以说我们可以知道呢，这个三亚法是等于五分之根号五 口三压法呢，就是等于五分之二比根号五，那这里 a d 的 长是四，所以说我们可以得到，我们说这个是点，是点 n 吧，点 n， 好， 那这里就可以得到 a n 呢，是等于 a d 乘以三压法， 也就是等于啊，五分之四倍，根号五。好，那也就是等于这个 fn， 因为三项合一，嗯，那么这个 d n 呢？很显然是 a n 的 两倍，所以，所以就是五分之八倍，根号五，五分之八倍，根号五。 呃，那么这里这个 a e 的 长呢？我们根据主干主题干的条件就可以知道它是二倍根号五来的。好，所以说，自然我们就得出 e、 f 的 长是二倍根号五，减去两倍的 a、 n 啊，也就是五分之二倍根号五了。 好，那这样一来， e、 f 的 长就等于谁啊？ c g 的 长就是 af， 对 吧？ c g 就是 af， 也就是两倍 a， n 就是 五分之八倍根号五。所以说 e、 f 比上 c、 g 呢，就是等于五分之二倍根号五，比上五分之八倍根号五， 那么就是等于一比四，一比四。好，这个是最后第二十三题啊，我说它的题干有问题在哪里呢？是第二问的圈一，它的题干是矛盾的。好，我们接下来一个个去分析一下。 首先第一问啊，先先看这个题干啊，那它是简单的一个心定一问题啊，其实也比较简单。他说呢，如果 p 为抛物线上一点 p q 平行于 x 轴，那我们可以先随便画一个啊，就是你抛物线是开口是 u 形或者是倒 u 形。好，我们先画一个抛物线出来， 它是 p 为抛物线上一点 p q 平行于 x 轴，那我随便画一个点，比如表示点 p， p q 平行于 x 轴，那就是水平线嘛，对不对？水平线 啊，他说这个是 q 啊， p q 的 长称之为点 p。 关于抛物线的开口宽，既为 lp 啊，也就是点 p 和点 q， 显然是关于对称轴对称嘛，是吧，也就是你任意一条水平线与抛物线相交所截得的线段的长度， 那这里就是用了一个新定义， lp 去表示好。第一问，他说抛物线啊， c 抛物线 c e 与 y 轴交于点 c， 那这个 c 显然就是零三喽，零三喽，虽然这个 a 我 们不知道是多少啊，但是啊，我们由这个对通轴公式，对通轴我们这里先写啊，对通轴，那它是等于负二 a 分 之 b， 这里也就是等于一了，等于一了。好，与 y 轴交于 点 c， 那 由这个对称性我们就可以知道 c 关于对称轴的另外一个对称点，是不是应该就是二三啊？因此这个 l、 c 就是 多少呢？就是二，因为点 c 到对称轴的距离也就是一。 好，那第二个第二题，他说抛物线 c 一 的顶点啊，为 d。 好，这里我们来给它去配配，配个方啊，就是它可以写的是 a， 括号 x 减一的方，加上一个三，再减去一个 a， 好， 因此 d 的 坐标呢，就是一的和三减 a 说与 x 轴交于 a、 b 两点啊，你看第一问啊，它说三角形 a、 b、 d 为等腰直角三角形，那又是开口向上的，我们可以大概画出这个图像， 因为它的对称轴是直线 x 等于一，它又与 y 轴呢，交于零的和三。所以说它的图像是不是只能是大概是这个样子？好，大概这个样子，那现在他说的啊，是三角形 a、 b、 d 与 x 交于 ab、 abd、 d 呢，是顶点坐标，那三角形 a、 b、 d 为等腰直角三角形，那你这里肯定就是角 a、 d、 b 是 九十度嘛，是不是你角 a、 d、 b 是 九十度，我们说这里啊，对等轴与这里交于点 e 吧。 啊，后面有 e， 那 么换一个，换个坐标啊，就是，嗯，我们说交于点 h 好 了，好吧，交于点 h， 那 根据它的这个要求，你是等腰直角三角形，你是不是一定会有 a， h 是 等于 b， h 是 等于 h、 d， 那 你这个 l a 是 等于一，我们由对称性是吧？对称轴是直线 x 等于一， 其实也就是推出来这个三个线的长度是不都应该是二分之一？那这样一来，你点 a 的 坐标就点，点 a 的 坐标就多少，点 a 的 坐标就应该是二分之一逗号零吧。好，你把二分之一逗号零带进去，你把二分之一零逗号带进去啊，就是得到一个， 呃，我们带进去啊，加一个三减 a 等于零，好，那么 m、 d 减一负就就是四分之一 a 加三减 a 等于零，负四分之三， a 等于负三， 是不是得到 a 等于一个四？好，那 a 等于一个四的时候，这个时候你会发现点 d 的 坐标是多少？请问点 d 的 坐标是多少？点 d 的 坐标是不就是一逗号负一，那你 d h 是 不是就等于负一了？你 d h 等于负一，是不是与这个，与我们的这个前提这里是不是矛盾？ 是不是啊？但这里你也可以说，呃，由 d 的 坐标，我们说 d 的 坐标是一，逗号负二分之一，就按照这个要求吧，等腰直角三角形的要求去推， 你这样去带进去算，也不对啊，所以它它这两个条件是矛盾的。就在于这里啊，它这两个条件是矛盾的，你要么说三角形 a， b、 d 是 等腰直角三角形，你要么就是说 l a 是 一，但是它俩不能一起给。 好吧，所以说我说这道题是错的，那大概率老师在改卷子的时候呢，只要你写啊，应该来说，只要你按其中一个方式去写，写出来他都应该会给你算对的。好，我们主要是看最后一问。 呃，那原先的抛物线 c e 还是写一下 c， e 也是，就是 a， 括号 x 减去 e 的 方，加三减 a。 好， d 的 坐标是 e， 符号三减 a 向右平移 m 的 单位，再向下平 n 的 单位，得到 c r， ok， 那 c r 的 坐标 c r 的 解析式就是 左加右减啊，左加右减，上加下减。好，就这样子，他说他的顶点坐标为 e， ok， 那 他的顶点坐标，我们写一下，顶点坐标是 e， 也就是 e 加 m。 逗号 讲这个东西，那又告诉我们呢，其啊， cr 始终经过点 d， cr 始终经过点 d， 也就是点 d 在 cr 上，那我们给它带进去啊，就是把这个点 d 呢带到这个 cr 里面来啊，于是就可以得到 其顶点为 e， 对 e 始终是经过点 d， ok， 把一逗号三减 a 带进来。 呃，那么就是得到是 am 的 方，加上一个三减 a， 再减 n， 是 等于三减 a 好， 于是就得到 am 方是等于 n 啊， 那我说过很多遍像这种问题，你函数的一个偏代数中和是吧？主要就是一个消餐，主要就是一个消餐，参数一多呢，就麻烦。那你想办法去消，这里又引入一个 m 和 n， 刚好根据这个条件，它就是为了给你消餐的。所以说我这个 y 二，我这个 y， 我 这个 c 二，就可以写成是 y 等于这个东西了。 我，我们把这里的这个 n 给它替换掉啊，替换掉，就这样的一个东西。好，然后他又告诉我们，他说对称轴呢，就是 cr 的 对称轴是交 c 一 于点 f， cr 的 对称交 c 一 于点 f。 好， 这里我们先把这个图画一下吧，画个大概的一个图像出来啊，就是首先这个 c 一， 这个 c 一 是这个样子，完了经过它平移，又经过它的顶点，是吧？就是说大概是这样子好，比如这个是 c r， 这个是 c 一 呢？这个是 c r， 那么这个就是点 d， 这个就是点 e， 它的对称轴交这个 c 与 f， 哈，比如说这个就是 f， 就是 f 的 坐标呢？我们也可以求出来 f 的 坐标，就是 把这个再把 e 加 m 怎么样？带到这个 c 一 里面是吧？ e 加 m 带到 c 一 里面好，就是 e 加 m 都好， am 方 加上一个三减 a， ok， 这个 e 的 坐标我们给它换一下 e 的 坐标，就是三减 a， 再减出个 am 方好，那其这个我解决的问题也是一样，解决方法也是一样了，它这里说这个三角形， 它这里说三角形呢？ d f 为等腰直角三角形， 那同样的道理，我们这个图像你简单一画过之后就可以知道，这里肯定是角 e d f 是 直角，是吧？好，那这里我们也是做个垂线， 我们说这个点为点垂，主为点 p， 好 了，那这里同样的道理，是不是应该是 p d 等于 p， f 等于 pe， 因为它是等腰直角三角形 啊，那这个点 p 和点 d 的 重坐标就应该相等，是吧？好，我们可以先算一下啊，这个 e f 的 坐标都知道，那么我们根据中点这个这个坐标中点公式，我们可以推导出来，就由 e f u e f 的 坐标我们可知可知道这个点 p 的 坐标呢？就是一加 啊，这里这个写错了，就这个一加 m 好， 一加 m 逗号，呃，重的标相加再除以二 好，那也就是也就是一加 m 逗号，三加三减 a 啊，那么与点 d 去对比是完全契合的，是吧？它的这个纵轴标完全是相同的。好，这一点已经符合了。 那同时呢，这个 p 的 坐标知道， d 的 坐标知道，我们就可以知道 p p d 的 长就是多少了，就是一加 m 再减一也就是 m 了，对不对？那所以说 e f 呢，就应该是等于两倍的 p d 就 应该是等于 r m 等于 r m。 好， 那后面又告诉我们了，说这个三角形的面积是 r， 所以 说呢，面积就等于二分之一乘以 e f， 再乘以 p d， 也就是二分之一乘以 r m， 再乘以 m， 就 等于二， m 方等于二，所以说这个 m 应该等于多少？ m 应该是等于这个正负根号二。那因为 m 是 大于零的，对吧？所以就是根号二了。复制舍去， ok， 复制舍去 m， 就 啊，等于根号二就可以了。好， 那 m 等于 cos 之后，你说我这个出来了，我这个啊，要求的是 a 呢，小 a 还没求出来是吧？小 a， ok 啊，我的，我们的 e f 不是 说等于 r m 吗？那 e f 还可以怎么表示啊？是不是用这个 f 的 动作表减去 e 的 动作表，就 e f 等于 y f 减去 y e。 好，那也就是这两个一减呢？我们可以看得到啊，它就是等于什么？等于这两倍的 am 的 方好，也就是等于几呢？ 呃，等于 r m， 那 ef 等于 r m， 也就是 r 倍根号二了，也就是 r 倍根号二。好，那 m 我 们已经是根号二了，所以这个左边就是四， a 等于 r 倍根号二，那于是就可以得到 a 是 等于多少？ a 是 等于二分之根号二。好，最终答案就是 a 等于二分之根号二。那这套卷子整体来说就是，呃，还是难度还是比较适中的。然后前面的一些，呃，选择题当中啊，这个包括填填空题，是吧？也是有一些设计，还行还行，主要是在这后面这里的一个 这个第二第二小问吧？圈圈一啊，就是这里这个题干出错，不应该啊？好，那就是这个样子。

hello， 宝宝，睡不着吗？来听课吧。今天我们要讲的是芜湖市第十一中学三模的几何压轴。 我们先来读一下题，它说如图，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，点 e 是 对角线， a、 c 上一点连接 b， e 过一点去做 e、 f 垂直于 b， e。 好， 角 b， e、 f 是 一个直角，我们在图当中把它表示出来啊，交于点 f， 连接 b f， 交 a、 c 于点 g， 将三角形 e、 g、 f 沿着 e、 f 翻折至三角形 e、 h， f 点 h 与点 g 关于 e、 f 对 称，好，那根据这个题干，很像我们昨天讲的那道去年的 压轴真题，它也是一个正方形的一个情境，加上我们一个折叠的 问题啊，二折一个结合，嗯，第一次我们是让我们去求证，角 b、 e、 c 等于角 abg。 啊，它让我们去，嗯，求证角 b、 e、 c 等于角 abg。 好，可能我们拿到第一手觉得这两个角相等，那可不可能找到两个三角形，好像是全等的，然后，好像啊，好像，但我们分析一下，好像不，又不是这样的。我们再结合这个题目当中，角 b、 f 是 这个直角的话，那么一下子就想到 一个四五，就是倒角，因为角 b、 f 是 直角，而 abc 也是直角，所以如果我可以导出来角 c、 d、 f 等于角 c、 e、 f 的 话，那我是不是就得正了 啊？所以我是根据题目当中给的已知条件， e、 f 垂直 b e 这个等于九十度。然后我想到倒角去转化啊，转化去证明另外两个角相等，那去证明另外两个角相等的话， 我想要去正这两角相等， ok， 那 么我们很自然而然的就可以看出来，很自然而然的可以看出来这两角应该是相等的，因为双直角模型 b、 e、 f、 c 四点，它们是共圆的，那共圆的话，相同的弦所对的圆周角是一样的， ok 啊，于是我们得到角 c、 b、 f 等于角 c、 e、 f， 那 么等角的与角是相等的，可以得到角 b、 c 等于角 a、 b、 g。 这我们应用的条件是定力是等角的与角相等， 这个定力啊，它的一个知识的考点是我们的四点共圆，是一个双垂直的 啊，模型，双垂直的模型啊，这是我们整体的一个思路。 ok， 那 具体的这个过程啊，由大家自己去完成，我们主要是把这个题目当中的一些基本的思路怎么样去构思的，去帮大家给梳理清楚。好，第二小问，若 a、 e 等于二十， c、 g 等于二十一，求 c、 f 的 长， ok， 好， 那么我们还是第一小问，我们证明，这样证明说明了这个四点共圆，那看肯定是有用的啊，肯定是有用的，那如果四点共圆的话，这个是直角， 我想要去求 c、 f 的 长，这时候我会发现，发现什么呢？我的角 a、 c、 d 啊，它其实是 什么呢？四十五度，那我自然得到这个也是四十五度，所以我发现 b、 e、 f， 它是一个等腰直角三角形，而我们非常关键的一个信息就是我们得到角 e、 b、 f 是 等于四十五度， 那在结合他是一个正方形当中啊，我们立马就想到了他应该属于我们的哪一种考点，叫绊脚模型的考点。那对于只要是涉及到绊脚模型这个考点的话， 我们无脑去做一件事情，旋转，手拉手旋转啊，叫做手拉手旋转 全的无脑去做这样一件事情啊，刚们分析出来就四十五度，我们将三角形 a、 b、 e 以点 b 为旋转中心去旋转九十度，得到三角形 b 一 撇 c， 好， 得到三角形 b 一 撇 c。 以后我们这比较 重要的一个目的是在于得到得到转化啊，一个转化得到一个直角三角形啊，转化，因为题目给的是 a、 e 和 c、 g， 我 要把这两用上， 通过这个手拉手旋转全能，我把 a、 e 转化成 c、 e 一 撇，那这个 a、 e 就是 二十， c， g 是 二十一了，那我这个角是四十五度，这个角也是五度，所以九十，那我把 g 一 撇一连接， 哎，我就得到了一个直角三角形。所以题目为什么要给 a、 e 等于二十， c， g 等于二十一，我需要把它们俩建立起一个联系，而建立起联系的基础就是通过十二求全，等得到这么一个 c、 g、 e 一 撇是一个直角三角形 啊，而这个前提，现在你分析出角 e、 b、 f 是 四十五度，它属于半角模型的，这个啊，题型 对吧？ ok， 好， 所以我这也是可以求出我们这个记一一撇的这个长度的。 ok， 好， 那么得到这个记一撇的长度有什么用？记一撇，我们先把它算出来，根号下二十一的平方，加上二十平方就等于根号下， 嗯，二十一乘以二十一，一二得二，一二得二得四啊，四四一加四百 等于根号下八四一，那八四一的话，这个一我们开应该是二十九，二十九乘以二十九，八一二九十八，二十六，二九一十八，二二六四五一八四一，所以是二十九 啊，那我们可以得到是，嗯，记一撇，记一撇的这个长度是二十九，好， 那么得到它的长度有什么用呢？哎，因为它里面还有个全等，就是我们的这个啊，三角形啊， g b e 撇和我们的三角形 e b g 这两个三角形应该是怎么样的？全等的对不对啊？四十五度啊，边 边这样上去完全是全等，边角边是全等啊，所以可以得到这个 e c 啊，啊，它也是等于我们的 g e 一 撇的，等于这个二十九，好， 这是我们根据分析出来这半角模型，我们这是我们之前分析半角模型当中常用的一个手把手旋转全等，还有一个这个全等把，这样全等一用，它有什么用呢？是我们得到了这个 a c 的 长，应该是 a e 是 二十，加上二十九，加上二十一，它七十 啊，我们得到 a c 的 长有什么用呢？ a c 的 长有用，当然有用，因为我们可以这样子正好得到 ab 的 长，就正方形的边长七十除以根号二，就是三十五倍的根号二。 好，为什么想要得到这个三十五倍的根号二呢？这个正方形的边长， 因为我们说过这个正方形经常结合我们全等和这个相似去考察，这也很明显，求 cf 的 长，你有一个八字模型在这里面吗？就我三角形 a b g 和我们的这个 g f c a b g 相似于三角形，借 c g f 的 啊， c f g 啊， c g 这样三角形是相似的呀， 八字形相似嘛，那这样相似的话，不就可以得到 c f 比上这个 a b 三十五倍的根号二，等于我们的这个 c g 啊，是二十一，比上我们的 a c， 比上我们的 a g， 哦，应该是二十，加上二十九就四十九，所以可以得到 c f 应该等于我们的三十五倍的根号二乘以二十一，除以四十九，那四十九可以拆成七乘以七，这约掉一个七， 就剩五至预要期是三十五倍的根号二啊，所以我们就可以得到这个 c f 的 场是等于十五倍的 根号二的。 ok 啊，得到它是个十五倍的根号二。很好啊，这面就是一个手拉手拳的，所以我们第二小问它就属于一个半角模型啊，半角模型，正方形当中的这个半角模型，正方形当中的 中的半角模型 啊。然后考察是我们的手拉手旋转全等，加上我们的这个八字形相似， 好，考察是这两个东西结合在一起，就是这题，所以需要我们对这个半角模型，正方形，半角模型当中有非常灵敏的感知能力， 因为我们之前讲过正方形一般如果你去考察的话，一个是我们这属于半角模型，一个就是我们的这个等边去转换嘛？ 等边转换，那我们待会这第三小问就会涉及到这个等边转换的思想。 ok， 好， 我们来看第三小问，这个第三小问的话， 它说当 f 是 这个 cd 的 终点的时候，好，当 f 是 cd 终点， f 是 c g 终点时，连接我们 d h， 连接我们的 d h。 求证 c g 是 两倍的 d h， ok 啊，很完美啊， c g 是 两倍的 d h 的 话，那我们看到 c g 是 在这个属于三角形 b c g 中， 而 d h 是 在三角形 d h f 中，又因为 f 是 c d 中点，而我 c d 是 等于我们的 bc， 那 我立马就考虑，我，正啊，我思路分析得 要正，三角形 d f h 相似于三角形 b c g 啊，我们去正，这样三角形相似。好，那这样三角形相似，如何去正啊？如何去正？ ok， 好， 那我们来看，首先我们应当是可以得到一个角啊，一个角相等的，因为我们在前面的 两小问当中也证明出来，这个角 e f b 是 四十五度，那因为折叠，所以角 h f e 也是四十五度，那么这个角 b f h 是 九度，所以 d f h 加上 角 d f h 加上角 b f c 等于九十度。又因为这个角 c b g 加角 b f c 等于九十度，于是 我可以推出来角 d f h 是 等于角 c b g 的。 好，好，这一个角相等，那我想要去证明出来，这个 d f h 和 b c f， 呃，不， b c g 这两三角形相似，我们要么再导出一个角，要么 啊，或者再导出一条边。因为我已经知道了，这个 b c 啊，比 d f 已经是等于二，所以我只需要再证明出来一个，它要导 c g 等于二倍的 d h， 所以 我只要去再导出来这个什么再证 啊？ b g 等于两倍的 f h 即可 啊，我只要再去证明出来，我这个 b g 是 等于我们两倍的 g f 的 话，就可以了啊，好， b g 等于两倍的 g f。 啊，两倍的 f h。 哦，我要证明 b g 点用两倍的 f h 即可。那很简单啊，我是不是要用等边转换？因为折叠 f g 和 f h 是 相等，所以我只需要正，只需，只需正 b g 等于两倍的 g f 即可啊，我又转化成 b g 等于两倍的 g f。 好， 那你看啊，当我要乘 b g 等于两倍的 g f， 我 立马转化为 八字形相似，或者说 x 形相似，是吧？我三角形 a b g 是 不是相似于三角形 c f g 这两三角形是相似的，因为 ab 啊，哎，因为 ab 比 cf 是 二，所以我的 bg 比 cf 是 不等于二 啊， bg 比 cf 是 二，那么也就意味着 g b g 比 f h 等于二，就 b g 等于两倍的 b g 比 f h 等于二，所以边角边三角形 d f h 和三角形 b c g 这样三角形是相似的，那么相似，我是不是得到这个 c g 等于两倍的 d h， 我 就可以得证了， ok 啊，这就是我们去证明的这个一个思路和过程啊。思路和过程，那其实我们就是一个啊，我们这个思路的分析是一个反向推导的过程，那我们正常的在做的时候啊，你就完全 可以，嗯，先啊，由 ab 和 c f 是 平行的，对吧？你去 ab 平行于 c f， 你 推出三角形 abg 是 相似于三角形，这个啊， cfg 的，是 吧？这这一组相似，然后你可以得到这个啊，啊， bg 啊，比上一个 gf 啊，等于我们的二 啊，等于我们 b g 比上一个 h f 啊，再结合我们的 b c 比上啊， d f 等于二的，然后再去再去证明我们这个角 d f h 等于角 c b g 等于四啊，这两个角是相等的，于是我可以得到三角形 a d f h 将是三角形 b c g， 是吧？然后我就可以推出这 c g 是 等于两倍的 d h 了啊，就是这样的一个过程 啊，我们正常的，这是我们简单的一个思路过程啊，具体的详细的过程我们大家自己去完善就行了。好，我重要的是把这个思路去分析清楚怎么去证明的。所以呢，我们这里第三项呢，它也是考察的 这一点，是连环相似的问题啊，连环的相似问题啊，连环相似，这要占两次相似啊。这两次相似过程当中，我们依旧要使用到正方形的这个等边 转换的思想啊，我们正方形当中的等边转换思想是非常重要的。 ok， 好， 那我们今天的视频到这里就结束了，大家晚安，拜拜。

毕节市的高三家长注意了！毕节市三模分数线已经出炉，物理组本科线三百六十五分，特控线四百七十分。历史组本科线四百三十九分，特控线五百一十七分。 这份成绩能直观的看出孩子当前的一个真实水平。不少家长拿到分数后，不清楚等效分如何去换，拿不准孩子的分数能报哪些院校和专业。大家可以把孩子的选科和考试分数留在评论区，王老师帮大家分析推荐合适的报考方向。

这道题夯爆了，足足有四个动点，你敢相信这个是今年省实验三模卷的压轴题。第十五题， m n 是 动点， d 也是一个动点， 然后以 c d 为直径作圆， o， e d 交圆， o 于点， f f 也是一个动点，所以一二三四足足有四个动点，关键他要求最小值。来，接下来我们一起把这道题看一看。 一级结论， a c， b 是 九十度角， b 等于三十度， a， c 等于四，所以这个直角三角形四四倍的根号三啊八。这是一级结论，就比较简单了，易学 ac 的 终点。读完题之后，四个洞点给你交代的清清楚楚，要求的是 f m 加 m n 的 最小值。 常规来讲，这种题是不要用将军印马的转换思想，就是化折为直。但是这道题一个洞点，两个洞点，三个洞点，四个洞点，让你无处下手， 那如何突破呢？听我给你娓娓道来。其实 m n 这两个洞点比较好处理啊，因为这个角是三十度，所以我直接过点 b 这里做一条三十度的角，也就是说让点 n 所在的这条直线 bc 和红色的这条线 b q 吧，它俩关于 a b 对 称，所以点 n 的 长啊，都等于这个 m n 撇的长， 对不对？这个就是利用了将军夜马的转换思想，化折为值。所以有了这个转换之后，那我们再求最小值就比较好思考了。怎么求最小值呢？我们只要过点 f 向 b q 这条直线做垂线， 那这个垂线段就是最小值。但问题难点就来了，难点在于什么呢？在于 f， 它也是一个动点，所以这个动点你要如何处理，就是最大的问题。你如何找到过点 f 到 b q 最短的距离呢？ 需要用到另外一个东西，叫做什么？隐形圆。所以你看这道题的综合性非常非常的强啊，哪里有隐形圆呢？我们看一下，因为点 d 它是会动的，所以 c d 这个圆，它是 虽然是个圆，但是这个圆的直径在变 f 在 这个圆上面不假，但是你要找到的是 f 的 运行轨迹。怎么找？连接一下 cf， 你会发现，因为 c d 是 直径，所以 c f d 一定是直角。那么再往这边看啊，因为点 e 是 a c 的 中点，所以 a e 等于 c， e 等于二，那 e f d 三点共线，这里也一定是九十度，所以点 f 的 运行轨迹一定是在以点以 c e 为直径这个圆上面 啊。所以这个隐形圆用出来之后，那这题就迎刃而解了。好，那我们这个 圆呢？点 f 的 运行轨迹已经画出来了，但是我们还是要找 f m 加 m n 的 最小值，也就是圆上的某一个点 f 到 b q 距离最短，所以这个怎么找？其实比较简单，你就画一条平行于 b q 的 线啊， 然后呢，我们让这条线往上平移，当他平移跟圆相切的时候，一定就是 到 b q 距离最近的点 f 的 位置，那只要求这段的距离就可以了。所以很明显，这个切点 f 到 b q 的 距离就是我们所要求的 f 加 m n 的 最小值。那这个切点那要求的距离怎么求？ 直接连接圆心啊，连接圆心定为点 p 吧啊，我们过点 p 做一条垂直于 b q 的 线，一定经过点 f 这段的长，就是我们所要求的最小值。 好，接下来就开始求这个边长了，嗯，因为这里是三十度，这里是距离最垂直，所以这个就是六十度，那这个角也是六十度，这个角 a 本来就是六十度，所以三角形 apm 为等边三角形 啊，那所以 pe 的 长，因为是 c e 的 中点点， p 是 c e 的 中点，所以 pe 等于一， a e 等于二，那 ap 就 等于三，所以 pm 也等于三， 然后 am 也等于三，那么 bm 呢？就等于八，减去一个三等于五，所以在直角三角形 bm n 撇中吧， b m n 撇中，那三十度角所对角边 m n 撇就等于斜边 b m 的 一半，所以 b m n 撇就等于二分之五， 那 m n 撇有了之后，那这个时候的最短距离的 m f 就 等于三，减去一个圆 p 的 半径，所以 m f 就 等于三，减去一个半径一等于二，那它俩一加就是最终答案二分之九拿下。这道题真的是 行爆了啊，以前见过一个洞点，两个洞点，三个洞点的啊，四个洞点的，真的是还是比较少见的，所以这道题用到的知识点又非常的多，隐形元将军印马， 所以这道题非常不错，给大家分享一下，大家有更好的解法也可以评论区里面分享留言。

满杠三模刚刚结束，我们一起来看一下啊，本次三模有哪些题型的变化？首先第六题，分式方程，原本咱们是求分式方程的解，那这一次呢，只需要两边同乘以 x 减一看哪个选项符合。第七题，图形找规律 第八题，中位线推平行推相似推边之比，面积之比第九题，尺规作图第十题，动态函数图像十七题，新定义问题，和坐标系相关二十题，几何多结论， 这里边也有最直的问题出现，那么像我们近期大家比较关注的画图题，本次南钢二模的画图题难度比其他区低一些，画角分线画四十五度都是以前咱们练过的。二十四题，也不是几何新定义的问题啊，是以前咱们常规的二十四题小几何的题型。二十五题， 第二问有变化，这里边出现了求利润的最大值，和其他几个区出题的方式是相似的。二十六题，这道题整体来讲难度是低于中考难度的。这里边我们主要进行一个导角，可以导出 c d 等于 c， m 等于四， 然后我们可以利用 e h 垂直于 c g， a g 垂直于 c g 平行线分线段成比例来找出边值比， 再结合摄影形就可以解出 x 的 值，从而推出这里边的线段长。那么我们推出 f g 和 a f 的 长以后，就可以知道弹进的阿尔法等于三分之四，所以说弹进的阿尔法就应该等于二分之一， 从而就可以解三角形 c d n 推出 c n 等于二，用 c f 减 c n 求出 f n 的 值，所以说这里边的计算量啊不大。二十七题，抛物线的问题，这道题的第三问呢？其实计算量是低于中考的计算量的，但是这里边有几个够行的问题，看大家能否发现。第一个， 你能不能通过 b 和 c 的 坐标想到这是正方形的半角旋转，可以推出两个结论，一个是角 d b e 等于四十五度，一会呢咱们可以设参倒角用。还有一个结论就是 o e 加 dm 等于 d e， 那 我们可以设参列勾股方程，解出 x 的 值，从而推出 o e 等于二， 那么马上就能够发现弹进的角 e b o 等于三分之一。所以说老师设角 e b o 为比特，那么就可以想到弹进的比特如果等于三分之一，那么弹进的四十五度减，比特就等于二分之一， 那么这里边儿我们可以进行设参导角，那我们可以把角 f h o 拆分成阿尔法加四十五度减为它，那么这样就可以利用 f h 等于 o p 去造全等。然后我们再解三角形 h k o， 发现角 h k o 等于四十五度， 那么这儿就涉及到第二大难点了，你能否发现这个是力导全等的倒推？如果 h k 垂直于 f k， 然后角 h k o 等于四十五度，我们只需要延长 f k 交 x 轴与点 q， 那 么利用 k o 平分角 h k q 两边作垂造全等，可以推出三角形 h o f 为四十五度，也就是老师说的叫力导全等的倒推， 那么这样我们就可以推出角 h f o 为四十五度。所以可以通过导角知道 alpha 是 等于 beta 的， 那么因此弹进的 alpha 也等于三分之一。设 p q 为 t， o q 为三 t 代入解集式 写出 t 的 值，从而推出 p 点的坐标。所以这道题其实只有最后一步的计算量稍大一些，前面的计算量并不大。那么以上呢，就是咱们南岗区三模考试的试卷分析，如果大家有需要空白卷子以及答案的同学，可以后台私信领取一下。

毕节市五月份三模本科划线已经出来了出来了！物理组本科线三百六十五分，特供线四百七十九点五分。 历史组本科线四百三十九分，特供线五百一十七分。在评论区打出选科和分数，我来帮你推荐专业和学校划。

二零二六钱塘区三模数学，很多同学卡在二十四题，一个视频带你速通三模难题，见证高中数学的降维打击。坐稳了，我们开始发车了。 这一题主要用上一二三四五模型。一二三四五模型什么意思呢？他的意思是这样子的，如果有一个角阿尔法，他的对边比邻边是一比三，一个角北塔 对他，他的对边比邻边是一比二，那么我们可以得到这两个角相加等于四十五度，所以这道题直接就能读出来答案了，当然你也可以选择去量，去猜，去凑。那一二三四模模型呢？我提供两种证明啊。第一种证明，我们用出众的思路来证明， 我们做两个直角三角形，让它共边 a、 b、 c 到加上这里是垂直，这个是一比三，这个是一比二，那我们去计算一下啊，这边就是根号十，这个就是根号五，那这个记为阿尔法，这个记为北塔，那我们可以延长，然后再做一条垂线， 垂线这就是我们的阿尔法加上北塔了。现在只要尝试把这条边或者这条边给求出来就可以了。 那我们看这两个边中怎么去求呢？可以勾股定律嘛，这个边是五，那在这个三角形当中，阿尔法的阿尔法的三边之比已经知道了，那么在这个三角形当中，阿尔法的三边之比也是知道的，一比三比上根号五 比上根号十，所以我们在这三角当中去使用比例关系， a 到对应的是五份，所以就是五除以根号十，我们的 a、 h 对 应的是三份，再乘以三， 再减去根号十，就等于我们的 bh 了， bh 算出来应该是二分之根号十，那么这个角我们用三角函数去理解，它的零边比上斜边是一，比根号二，所以它就是四十五度。初中做法，我们再讲高中做法， 高中做法呢？它主要用到了一个三角函数的一个公式，我们叫正切的两角和公式， 这个希望你们能提前知道啊，对你们很有帮助。它等于 tangent 阿尔法，加上 tangent 贝塔，再除以 一减去 tangent 阿尔法，乘上我们 tangent 的 贝塔，你把它用二分之一和三分之一带进去，你会得到一个结果，他们就会等于一，那在初中范围内，谁的角等于一，正确等于一呢？四十五度就会等于一，所以你也能求出来啊。好，这是我们的第九题，第十题， 列式题，这是，这是一个出的实际问题啊，考察我们的个运用能力，通过实际的图形去找到关键的信息，帮我们求解半径，好，那我们看。呃，这里是 c 道，是一根弦，那我们很容易想到过这边做一个垂线，我们可以在这边比较恰当的方式呢，是可以在弧 c 道当中取一个到，取一个 e 点 一点，然后再连接 o e， 根据垂进定律十二推三， e 为弧中点， o 为圆心，他一连就会垂直平分我们的弦到 c， 我 们把自己记为 f 点，然后再连接我们的 o c， 所以 我们可以考虑在三角形 f o c 当中去求，那我们先看这个 f c， 整个的到 c 长为十二，所以 f c 一 半就等于六， 接着我们可以把 o c 半径设为 r， 那 你看这个长度求出来，那么半径不就知道了吗？那现在问题在于这个长度好不好去求它呢？其实是好求的， 我们可以用相似比去求，比如说在这个三点当中使用相似，因为你看它是平行的嘛，所以这一边比这一边它应该等于这条边比这条边，我们可以把它分为四份，所以这是三份，这个是四份， 所以相似比是三比上四，这个长度为三为四，所以这个长度就为三，就求出来了三，那加上它这边就是七 o c 勾五定，就可以算出来答案选择 c 十五题，十五题其实是高中题的一个下放啊。嗯，那这里关键是要理解概率是什么，求概率的原理是什么？原理很简单，比如说我们说扔一颗骰子，我们计算的原理是什么？原理很简单，比如说我们说扔一颗骰子，偶数面朝上的概率是多少呢？ 对吧？那如果说我同时扔两面色子，扔，扔是两面色子，我说这一面朝上是激素，这一面朝上也是激素，那这种事情同时发生概率是多少呢？ 好，跟前面其实类似，你要把这两个的组合所有情况给他找出来，假设所有情况为 n 种，然后你再把符合两个都是激素的情况给他找出来，用符合的情况的数量除以总数，就是我们的概率。这个题思路是一样的， 他装有一个黑球，两个白球，那第一次随机摸一个球不放回，第二次再从盒子里面随机摸出一个球，两次摸到球都是白球的概率是多少？那你不放回吗？那你考虑一下，我们把黑球记为 a， 两个白球记为 b 一 和 b 二，这样可以简化处理， 所以你第一次摸他不放回，那可以有三种情况， a、 b 一 和我们的 b 二，那第二次假设第一次摸的是 a， 那 现在只有两个球了，那就只剩下 b 一 和 b 二了。梳状图就可以了嘛，剩下 a 和 b 二，剩下 a 和 b 一。 他问的是两次都摸到是白球，两次都摸到是白球，说明你要考虑两次的组合。两次的组合总共有几种呢？一二三四五六六种。 那同时符合两个都是白球的有几种呢？那这边有一种，有两种，所以是六分之二就等于三分之一。十六题，十六题，这个题比较简单一点啊，这里没有图，它的思路很简单，就是四个圆， 四个圆的半径是一样的圆形角差加是三百六，就等于圆的周长就是二倍。 然后这个题比较特别，很多同学可能第二问不太会，他说让我们求面积之比为四比四，那面积比为四比九，那么这里我们可以考虑两个思路，比较容易想到的是相似，但是也有可能不是相似，虽然概率比较低，那我们优先从相似考虑去考虑一下，如果是相似，那他的相似比就是二比上三。 而且你是要在 ab 和 ac 上各取各取两个点，那我们就容易想到取 ab 的 三等分点和 ac 的 三等分点，当然要取两份，就像图上这样来画的，那我们不可能凭空标呀，那怎么办呢？ 其实像这类问题啊，如果你做多了，你会发现一个重要的规律，我们可以通过相似去找到我们的点。比如你看在这个图当中，他的上下底边之笔是二比上一，所以这两边之笔也是二比上一，于是这个点不就三等分点了吗？ 就是这么个思路来求他。所以刚才已经画出一种情况了，我们直接一连， 直接一连，那我们看到这个点就把它给三等分了，那上面正好是我们要取它两份，所以那我们右边其实是同理的，同理的，比如我们可以这样子来，这样子来求， 这样来求二比上一嘛，所以是二比上一，两个点一连就可以了，然后按照题目的要求去作图就可以了。 倒数第二题，我重点讲第三问，当这种题其实考的非常的常规，我只讲它处理思路，该二次函数的图像经过 a b 两点，那么这是个很经典的题，根据 y 的 大小去求 k 的 范围。所以这个题有两个思路，第一就是竖形结合来做， y 的 大小取决于这两个数和对称轴之间的距离距离这第一种。第二种硬带不等式，把 s t 用我们的 k 带进去， 得到两个不等式解不等式就可以了，只不过这里他可能会变成一元二次不等式。一元二次不等式的核心解法就是利用焦点式， 比方说 x 减一， x 减二，他怎么去求呢？很多同学应该已经知道的哈，我们可以把它看成二次函数，两个焦点分别是一和二，你想要它大于零，那就找到这个两段开外的就可以了，那对应的 s 的 范围是小于一，或者是大于二 大于二，所以这也是建议两个思路都要去掌握。那这里我就重点不再去讲解了，然后注意利用这个点去消掉一个字母， 我们重点讲解这一问啊，这一问， ab 是 直径，弦 c 道是垂直的， 是 a c 上的一个点。第一问，我也不再去说明了，看第二问，如果弧 g c 等于弧 bc， 那 我们注意这里有个垂径定律，垂径定律的话呢，那弧 bc 跟弧 b 道是相等的，你又说弧 g c 想跟他们相等，说明这三段弧都相等，这是一个很有特点的一个情况。 好，第一问，如果 a g 等于 c 到弦， a g 等于弦 c 到 a， 那 我们要注意，在圆的问题当中，我们由弦要想到弧，想到圆形角，想到圆周角， 他们是一体的。所以告诉你，两个弦相等，那不就容易想到我们的弧相等了吗？把这三个弧看成一个单位，所以 a g 这个弧弧 a g 就是 二，那这也是一，这也是一，说明弧 a g 跟这两个弧相等啊，那 g 点不就是它的终点了吗？ 中点，中点，那不就九十度的弧了吗？好，那如果这个题你图你看的不顺眼，自己画一幅图就好了，我直接这幅图来教你怎么去处理，那你看，嗯， ok， 好。 他又说如果 a g 等于 c 到啊，对这个题，然后他说 a g 的 平方等于它，这不就是一个很像母子形相似的一个结论吗？那你看 a g 的 平方，你说 a g 平方要不要换成 c 道呢？暂时不用管，你看后面嘛， g f 乘上我们的 g 道，那不就相当于直接在这个三点当中是我们的拇指形相似吗？那我们证明看看是不是相似呢？这是一个公共角，这个角是四十五度，因为这个弧 g b 跟弧 ga 都是相等的， 简单的，所以这个角也是四十五度，那标记一下，四十五度和这个角四十五度，那不就是木子形相似了吗？结论就很轻易能证出来了。好，我们来看第二文。 那我们去求 af 加上到 f 比上 ab 的 最大时，那么这个题呢，它也是参考去年中考的最后一题，最后一问，去求最值的问题。那么这道题我提供两种讲法，第一种讲法是初中的讲法，第二种是学懂高中的知识。那提前学过高中知识同学呢，可以去感受一下我们为什么能这样解决问题。我先讲初中的讲法， a、 f 加上到 f， 我 们会考虑能不能把它凑成一体呢？凑成一体呢？这是一个方向。那我的加法是这样子的啊， a f 本身就在 ab 上， 本身就在 ab 上，那么你既然是要比，那我就把你 a、 f 给它代换一下，我就把它换成 a b， 分 之 a b， 再减去我们的 b f， 再加上到 f 除开来就等于一加上换个位置，上面写成到 f， 再减去 b f。 所以我们现在只要求求到 f 减 b f 就 可以了。那现在在做之前，我们先把一些关键的数据给它标一下，我们连接 b 到再连接 b c。 那 我们注意看，刚才是根据第二个条件，这三段弧是相等的，所以 他们两个对的圆周角都是相等的。那在这个三角形当中看到了吗？垂线角、平分线，二线合一，所以他能反推等腰三角形， 等于这是一个等腰三角形，然后在圆当中还有相交弦定力，相交弦定力，那么三角形 a、 g、 f 和三角形 b、 f 道它是相相似的，所以这也是一个等腰三角形，那谁跟谁相等呢？找角度嘛，它等于它，它圆周角等于它，所以 ag 等于 af， e 等于 f， 那 我们同样可以考虑把 a c 给它连接起来，那么我们可以把相等的角都给它标记出来，这个其实不太难啊。好，那回到这道题，我们来看 来看，那为了简化简化计算，我这边我把我们把这个半径设成一，所以 a b 的 长度就是二， 你在计算的时候，你记得设成 a 啊。那么下一步，那么现在已经是到了 a b， 我 们想让整个最大，整个最大，那就需要分子最大就可以了。分子最大，那你看你要的是到 f， 再减去我们的 b f 啊 f， 那 问题就来了，我们怎么去构造到 f 减去 bf 呢？那这里用到一个思路，我就直接在这里面截取一段长度等于 bf， 我 要想截取它等于 bf， 那 我就想象构建一个等腰三角形，那我这里把那个二法给它擦掉了。 也就是说这里假设咱们取一个 p 点，再连接我们的 p b， 也就是说 f p 是 等于我们的 f b 的， 这样一来我们就可以得到 p 到的长度，就是我们要的那个叉值，只要这个叉值最大就可以了。现在想办法把这个叉值给它表示出来。 表示出来，那我们看，想表示这个 p 到这个叉值，我们就要需要去设一些东西，这个最值肯定是由某些变量引起的，那是哪个变量呢？那我们这里解面期间，我把我这个 e f 和这个 e b 设为 x， e f 等于 e b 等于 x， 这两个是 x。 好， 那所以根据等幺，我们各的等幺，这个就是二 x。 那现在我们看这个 p 道该如何去求减 p 道？那 p 道呢？它是在我们的这个 f 道这条边上的。呃，另外一方面， f 道其实根据等腰不又等于 b 道嘛，对吧？等于 b 道，而 b 道我们注意它是在一个直角三角形里面的，直角三角形里面有摄影定律。摄影定律还记得吧？ 正因定律，它的平方等于 b， e 乘上 ab。 这里可以去复习一下什么叫正因定律，它的平方等于 b， e 乘上我们的 ab， 而我们的 ab 已知， e， b 也已知，那 b 道不就表示出来了吗？ 所以我们想要的那个道 f 就 会等于我们的 b 道，就会等于根号 x， 再乘上二，就等于根号二 x。 所以 定义直接向上开根号就可以了。那 b 道已知，那么现在我们的 p 道不就解出来了吗？ 所以 p 到等于到 f， 再减去我们的 p f， 也就是根号二 x， 再减去二 x。 好，那么我们现在把上面这个式子记为 a， 记为一个大 m 式子好了啊，所以我们大 m 的 式子就会等于一，再加上加上二分之根号二 x， 再减去二 x。 那现在怎么处理它呢？好，我们注意看看根号 x 和 x， 根号 x 和 x 的 关系呢？正好是一个平方的关系。那为了方便理解，我们可以换元，把根号 x 设成 t t， 所以 它就会等于一，加上二分之根号二 t， 再减去我们的提方提方。于是我们会发现这个大 m 这个式子，它是 t 的 一个二次函数，二次函数求最大值不就完事了吗？ 注意 x 的 曲折范围啊， x x 这两个 x 相加，呃，它有没有可能比这个一要大呢？好像是有可能的啊，如果你往下划，好像是有可能的，那我们这边不再去探讨了，影响不大。 我们研究一下这个，这个 t 当 t 等于多少的时候，当 t 等于负的二 a 分 之 b 的 时候， 化简一下，那就会等于四分之根号二，此时 m 应该等于一，加上二分之根号二，乘上四分之根号二，再减去四分之根号二的平方，这个约掉等于四分之一。右边是十六分之二就是八分之一，四分之一减八分之一呢，那就是八分之一，所以最值就是八分之九了。 那这是我们的第一种方法，第一种方法，第二种方法，第一种方法，第一种方法。再再讲一下，刚才这里我们是要求最大值，如果不是求最大值的话呢？这个可能是负的，就是这里这个两倍可能比 f 道还要长， 还要长，所以如果不求最大，那肯定要分离讨论，那既然是求最大，那我们肯定希望它是一个正数，是这么个情况啊，好，那下一个问题，下一个我们讲高中做法。为什么讲高中做法？大家看一下 af， 我 们把这个拆解一下，拆成 af 比上 ab， af 比上 ab。 刚才我们说了 af 是 等于 ag 的， 还记得吧？ af 跟它是相似的，所以不就变成了 ag 吗？那 af 比 ab 就 变成了 ag 比上我们的 ab， 那 现在我们把这幅图给它擦了， 把辅助线做下来， af 跟 ag 是 相等的，所以 af 比上 ab 就 变成了 ag 比上我们 ab， 而 ab 它们两个正好在一个直角三角形当中呀，所以我们一连接， 那 ag 比上 ab 就 变成了这个角的余弦，那我们把角度标一下， 聊一下。所以我们可以得到 a f 比上 a b， 它等于 cosine 奥尔法。 同样道 f 比上 a， b 道， f 就是 我们的 b 道，那 b 道比上 a b 又是一个直角三角形，那么它应该等于这个角的余弦，这个角是 alpha 的 余角，所以它应该等于 cosine 角 a b 道 等于 b 到比上我们的 ab， 这样写不太合适啊。就是到 f 比上 ab， 它等于 b， 到再比上我们的 ab， 也就等于过上一角 a b 到 cosine 九十度再减去阿尔法，那这个写九十度呢？在高中呢，我们记为二分之 pi 再减阿尔法。那现在这两个相加我们这个，所以大 m 就 会等于， 所以大 m 就 等于 cosine 二阿尔法加上 cosine 二分之 pi 再减阿尔法。 那现在我们看这两个是可以统一为一个变量的，我们需要用到被加公式。高中当中可上引阿尔法等于可上引阿尔法方，减去上引阿尔法方， 就等于把上面替换成一减，就可以变成一减两倍的上引 r 法方。然后我们这个利用高一的诱导公式，它又可以变成上引 r 法，所以我们就可以替换成一减两倍的上引 r 法方，再加上上引 r 法，这样一来它就可以统一为同一个变量的一个函数。问题了， 所以我们干脆换元换一下，我们令上引 r 法等于 t 就 会变成 负二 t 方，再加上 t 再加上一，所以那当 t 等于负的二 a 分 之 b， 也就是四分之一的时候，那我们的 m 应该二次函数嘛，有最大值，最大值应该带进去，那就负二，再乘上 十六分之一，加上四分之一再加一，这个是负八分之一，那同样负八分之一，四分之一减八分之一呢？八分之一就是八分之九， 如果提前学习过高一知识的同学，那这一块应该是比较熟练的。那为什么？我好最后总结一下，为什么这个题用这方法来做呢？ 首先它的特征是可以变为角度的一个问题，然后在我们三角形当中啊，三角函数是一个解决能力非常强的一个知识点，我们而且这里我们叫三角函数的一个等加变形， 他是可以进行处理，变成统一变量。这么个问题涉及到他的一些技巧问题，当然对咱们同学要求是比较高的啊。好，那我们大部分同学就以第一种做法为主。好了，那这边如果有别的做法，也欢迎去讲解一下。

来高考百日百科的试卷好题精讲系列啊，咱们今天继续讲讲这个哈，三中三模 这个第十八题啊，出的非常好，也是我平时上课啊，总跟大家强调的这种间隙困难的几何题啊，应该怎么办？万一间隙不好算咋办呢， 是吧？当然，如果大家还有哪道题想让我讲一讲的话啊，可以在评论区留言啊，也希望大家多多点赞关注啊。当然，我也加入了抖音精选高考应援联盟，里面有很多的高考内容，大家可以去抖音精选搜索高考应援联盟，追更我的高考百日百课 来，废话不多说，开整来，咱们先读题啊，在一个斜的三棱柱啊，他就告诉你了啊，这个本身的三棱柱是斜的，也就是说侧棱啊，跟底面不垂直，对吧？他说 a b 啊，等于二，然后 a c 呢，也等于二 角 b a c 等于九十度，也就说底面啊，这个，哎呦，我这个直角啊，画的也是非常够意思啊，但是呢啊，咱们就凑合看吧，是吧，他说 a a 一 侧棱啊，等于三 啊，然后呢，这个 a e a b 啊，这个角啊，是六十度啊，这是告诉你了的。然后呢， a e a c 啊，也就是说另外一个测棱啊，它这两个测棱之间的夹角是六啊，是谁的啊？不知道 啊，当然第一问呢，他告诉你，当谁的等于六十度的时候啊，他让你证明这个 a a e 点出发的三条棱两两之间的角度， 对吧，也就是说 a b 与 a c 的 夹角，我知道是直角 a e a 啊，与这个 a b 的 夹角我知道是六十度，然后呢， a e a 啊，与这个 a c 的 夹角也知道也是六十度，比如说这个点出发的三条棱两两之间的夹角，我全知道，只不过呢，有不是九十度的， 那么这种题我们呢？又如果要是想用间隙的话，那么我们就不知道，就比如说你想数值间隙，那么这个 z 轴与 a a 一 的夹角多少度啊？你不知道 a a 一 跑到哪去了你也不知道，所以说这种题啊，不适合间隙，那么间隙啊，实际上是一种特殊形式， 什么特殊形式呢？你必须得是 x 轴， y 轴 z 轴两两之间夹角必须得是九十度，对吧？但是我们如果能够用空间向量的模的运算的话，那不需要九十度啊，你两两现在夹角爱多少度多少度，我只要知道你具体的角度，我都可以算。 所以说解决这种啊，邪不愣登的啊，几何体的相关问题的时候，我们的法宝是什么啊？就两点，第一点就是空间向量的模的计算啊，我不用坐标计算不就完了吗？第二个就是三余弦定律啊，对于这道题来说，这两个法宝全都能用，派上用场，而且非常非常好用， 对吧？来，咱们看一看。那么这道题啊，他想让我证明 a a e 垂直于 bc， 我 看 我们要直接用模的运算呗，也就说这道题他想让我证明的是啥？ a a 一 与 b c 向量的乘积等于零啊，就这意思， ok， 那 就 开整，对吧？第一问啊， a a 一 向量乘以 b c 的 向量，那么我们怎么去求呢？因为我们都知道 a 点出发的三条零两两这个角度， 所以说我们一定要把 b c 往这个 a b 与 a c 还有 a a 一 上转化，那么很明显， b c 向量是否可以等于 a c 减 a b 啊？哎，这样的话，我们就直接啊，然后呢，乘的还是 a a 一， 就是这三条棱了，那就解决了吗？就这么简单点事，对不对？所以说啊，它等于 啊， a a 一 啊，向量乘以 a c 减 a b 呗，对不对？那么乘以 a c 减 a b 打开，那就是 a a 一 向量，乘以 a c 向量，再减去 a a 一 向量，乘以 ab 向量啊，就等于这个。那么 彼此啊，每条棱棱长知道不知道，假角知道不知道，那就模棱计算开整，对吧？那 a a 一， 那就是三，对吧？乘以 a c 二 啊，乘以它们之间夹角多少度啊？六十度啊，口算六十度，再减去 a a 一 三， a b 二，乘以它们之间夹角也是六十度，那你说能不等于零吗？一定等于零， 马上就挣完了，你看多简单呐，对不对？ ok， 那 么既然我们能够证明 a a e 是 垂直于 bc 的， 那么也就是说明 a e a 啊， a e 这个点呐，到底面的投影，也就是说，这个点 o， 它一定是在这个 b a c 的 角平分线上。 而对于这道题来说啊， b a c 这个三角形，它是一个等腰直角三角形啊，虽然说画的非常离谱啊，这是直角， 因此它你就可以取 b、 c 的 中点啊，就假设啊，哎，我们连接 a， 对， 也就是说 a、 e 的 投影啊，一定是在 a 对 上的 啊，一定是在 a 对 上的，也就是说，其实这个 a 点，虽然说它不是数值的，它是偏的，但是它偏，也并没有偏离这个三角形啊。 a b c 的 这个中轴线， a 对， 并没有偏离这个 a d 上，也就是说，它并没有以 a、 d 为中心，往左偏或者往右偏，它都没有往左偏往右偏，它就一直都在 a、 d 上啊， 那我们再来看这个第二本呢，他说啥？他说过 a e 啊，做这个 a、 e、 o 啊，垂直于底面，相交底面于 o o 点呢，一定是在 b a、 c 的 内部。 然后呢， a o 向量与 a b 和 a c 向量， a o 的 向量与 a b 与 a c 的 向量分别啊？假角分别是一个，是 r 法呢，这是 r 法，这是贝特啊，我画一下 换个色哈，那就相当于是这个是 a o 是 吧？哎，然后呢，这个角是 r 法角啊，这个角呢？是贝特角啊，这两个角分别是 r 法跟贝特。那么我们称 啊， int 的 r 法和 int 的 被它相减比上，它们俩相加的绝对值是它的投影偏差率。其实你看，跟我说的这个刚才说的这个意思是一样的，也就是它俩是其实是没有偏差的，它一投影点一直在啊，这个 b、 c 的 就是在三角形 a b、 c 的 这个 这个中轴线上，他一直在这条线上，所以说他俩肯定 r 法角跟 b 角是相等的啊，这俩角一定是相等的，那么怎么做呢？哎，那你看这俩角那相当于啥呀？这不就是三余弦定里吗？就是三余弦定里啊，那好多同学都都忘了啊，啥叫三余弦定里啊？哎，那咱们简单说一说啊， 比如说这是一个平面啊，然后呢，有一条线啊，这是直线 l 啊，那么相这个直线呢，跟这个平面呢，相交于点 a 啊， ok， 那 什么叫线面角啊？是不我得在这个直线上啊，找一个点 b 做这个平面的这个投影啊，我管这个投影叫 b 撇，那么我连接 a b 撇，是不？这个假角，我管它叫角 c， 那 这个角是不是有线面角啊？ ok， 那 么假如说平面上呢，还有一点点 c 啊，在这个平面里，然后呢，我管这个 b 撇 a c 的 假角呢，叫做角 b 它， 然后呢，我再把这个直线 l 与这个 a c 的 夹角叫做角蛤蟆，那么这三个角啊，就有三余弦定律，也就是说 cosine 蛤蟆一定是等于 cosine theta 啊，乘以 cosine b theta 的， 一定有这个，这就是三余弦镜比，也就是说，从这个角度来看，这个大角一定，那余弦值一定是等于这两个小角的余弦值，其中一个小角就是线面角，另外一个小角就是这个。这个线啊，其中一个点到底面的投影的一条线和任意一条线所 加了这个夹角叫夹北的啊，他们一定有这个，那么我们看这道题啊，看到这道题，那你看这个 a e、 a o 啊，就这个角啊， a e a o 这个角是不是就线面角？那你看这是线面角，然后呢，它这个角是角 r 法，就是 a o 与 ab 的 夹角是角 r 法。 而整个这个夹角我们还知道，也就是说 a e a b 这个夹角，我们还知道它是六十度，这不就正好构成了三余弦的三个角吗？ 那么另一边也一样啊，这是角贝特，然后呢， a e、 a o 呢，是线面角啊，这个线面角和角贝特这两个角都是分别是小角，而 a e a c 这个角是大角。这个角啊，在第一问的时候，他也是六十度还是六十度， 所以说这个三鱼弦呢，在大题当中也可以直接用的啊，没有问题啊，所以说这道题太简单了。第二问，如果你大家想到了三鱼弦啊，那这道题就纯纯白给，对不对啊？第二问的第一小问啊， ok， 根据啊，咱们先设一下这个线面角，比如说设啊，这个角 a e a o 啊，我管它叫这是阿法，别的谁的都有了，那叫角蛤蟆啊，我管这个线面角叫角蛤蟆啊，然后怎么的，根据三鱼弦定律， 那么就有啥呀，哎，有两个对吧？第一个就是什么？就是 cosine 角 a e a b 啊， a e a b 就是 这个大角啊，它一定等于啥呀？一定等于 cosine gamma 啊，也就是线边角再乘以 cosine alpha 啊，这提的给我的这个 alpha， 它等于多少啊？因为这个角等于六十度嘛，所以说它等于二分之一， 对不对？然后我还能列出来一个，就是 cosine theta 啊，对于数学题来说，这 cosine theta 不 就还是大角吗？它也应该等于 cosine gamma 乘以啊， cosine beta， 因为这个第一位第一小问里边 theta 等于六六十度，所以说它还是等于二分之一，因此我们能发现怎么的？ 因为虽然说我不知道 cosine gamma 多少，但是这干么都能约掉啊，所以说 cosine 算法跟 cosine beta 一定是相等的， 所以说 cosine alpha 一定是等于 cosine beta 的， 你看用三域协定一下就挣出来了，对不对？而且又因为 alpha 加 beta 等于九十度，所以说 alpha 等于 beta 就 等于四分之二， 对不对？因为它俩相等，只能 alpha 等于 beta， 因为这两个角都是这个锐角，对吧？那么 alpha beta 等于四分之一，那我们是不也能把 cosine 算出来啊，也就是线面角，也就是说这个 a e a o 的 角，那 cosine 角有多少啊？大到任何一个式子里边都行，因此 cosine 角啊， 应该等于二分之一，再除以 cosine， 那 相当于乘以一个根号二呗，是不是 cosine 等于四十五度嘛？二分之根号二，那相当于乘以根号二，因此它也等于二分之根号二。也就是说，线面角，也就是说 a e a 啊，与底面的夹角，实际上是四十五度 啊，也就是说 a e a o 啊，这个角啊，它这个夹角是四十五度， ok， 那 么知道这个了，那我们就其实啊，先算它有用啊，后边有用，是吧？来，咱们继续，我们就先算它的这个投影偏差滤得呗，是吧？因此啊，得 啊的应该等于绝对值啊，弹进的 alpha 减去弹进的比特啊，那它俩都等于四十五度，还是得相等，那就肯定等于零了，对吧？弹进的比特啊，写一下啊，它等于零，完事了， ok， 然后呢，接下来他还让我求什么呀？求啊，此时平面 a e b c 啊，平面 a e b c 啊，这个平面啊，与，这是 a e b c 与底面的夹角， ok， 那 你告诉我，你现在能不能知道？当然这道题啊，其实间隙也行啊，但是我觉得间隙太麻烦，因为这两个角很明显就能看出来。首先， a e b 和 a e c 他 俩这两条线一定是相等的，为什么相等？因为在这个三角形 a e a b 里边，这是三，这是二，这是六十度。 所以说 a e b 不 管多长和在这个三角形当中，就是在 a e a c 里边，这也是二，这也是三，这也是六十度啊。所以说 a e a c 跟那 a e c 和 a e b 它俩一定相等， 那么既然相等，那如果我连接 bc 的 终点得，哎，我连接 a 一 得，那 a 一 得一定垂直于交线，对吧？然后呢，又因为底面是个等腰直角三角形，因此 a 一 得也一定垂直于 bc， 因此啊，这个夹角就是这两个平面的夹角， 对吧？当然，这个角如果他是钝角的话，那么这个角的补角就是这两个平面的夹角啊，因此，我们很容易就能把这两个面的夹角做出来，那我们就求他就行了，那求他的话，我们知道这是二，这是多长啊？因为底面啊，是一个等腰直角三角形，所以说这是根号二吗？ 所以说就差这了，那这个长怎么求呢？这个角我知道，刚求的线面角，这个角是四十五度啊，啊，所以说这是四十五度，因此我可以这不两边一个角吗？于先定底，直接求 a 一 对就完了， 那么 a， e， d 求完，我再求这个夹角，这题就完事了，对吧？所以说这题非常简单。当然，我们首先呢，得一定得先连接一下 a， e， b， 是 吧？然后呢，连接这个，这个点就叫点 d 啊， bc 的 中点。然后呢，我再连接 a， e、 d， 那么这个角啊，就是这两个平面的假角啊，就是 a 一 对 a， 是 吧？然后再连接一下 a， c， a， e， c， ok， 那 这是一个等腰三角形啊，对吧？刚才我说的这个东西都得正啊，都得正一下，是吧？ ok， 那 么咱们写呗，那么再三角形 留着啊，在三角形谁呀？ a 对 a 一 种啊，在三角形 a 对 a 一 种啊， a 对 a 一 种？对啊，根据余弦定律， 我可以先求这个 a 一 对的长度啊，那么可以得到啥呀？啊？ a 一 对啊，它就应该等于啊，根号下啥呀啊，根号二的平方，那么二加上三的平方九，减去二乘以根号二 乘以三，再乘以个它们之间的夹角线边角啊，二分之根号二，啊，二分之根号二，对吧？这一乘完之后，这是啊，十一减六，根号五， 因此 a 一 的等于根号五。那么所以说，我们要假设啊，我们要求的这个二面角，我说角的这个都射没了呀，是吧？ 那我就射这个角的角 k， 是 吧？所以说 q 三 k 啊，哎，他就应该等于，哎，绝对值。 q 三 a 一 的 a， 对 吧？ a 一 的 a 这个角就是这两个平面夹角啊，他应该等于 算一下，那就加绝对值啊，分子加就行了。那么应该是等于根号二的平方，加上根号五的平方，再减三的平方， 然后呢，这底下是二乘以根号二乘以根号五，对不对？所以说应该等于就是上面二二约掉了十分之根号十呗，对不？ 哎，因此啊，它等于十分之二十，所以说这个第二问里边，这个第一小问就算完了。然后我们再看这个最后一个小问，最后一小问，他说呀，这个的是关于角谁特的一个函数解析式， 那角谁特，那现在的这个角是角阿法跟角贝特的，所以说这道题你想变成贝特，找到阿法贝特与谁特之间的关系啊，你得找到阿法贝特与谁特之间的关系， 若存在两个不同的锐角，谁的一，谁的二，使得它俩相等，证明口算谁的一，乘以口算谁的二，等于四分之一。 ok， 那 么首先不管咋地，你得先找到阿法比特与塞特之间的关系，从而把这个的这个表达式 的里边的阿法跟比特全都换成塞特，就这点事，那么根据第二问啊，我们知道了这个， 知道这个，对吧？我还知道他，我知道这两个，那我们知道这两个的话，我们就可以直接看出来啊，对吧？虽然说现在这个角谁他啊不等于二分之一了，但是我可以通过这个啊，能够判断出来 cohen beit 啊，哎啊，先算他吧，先算他 是不？ cosine 比特应该等于 cosine 比特除以 cosine 算法啊，那个嘎嘛啊，是吧，换个色啊，这个第二个小问啊，根据 啊，这个一中可得啊，对吧？三余弦呐，我们可以得到啥呀？ cosine 比特是等于啊， cosine 比特比上 cosine 嘎嘛的就在这嘛，对吧？ 这虽然说他现在不知道不不等于二分之一了，因为这个等于二分之一六十度呢，是第一小问里面告诉我们现在第二小问没有这个条件了啊， ok， 我 们还知道啥？根据他，因为这个角是一直等于六十度的啊，这是可以用的，对不对？所以说通过这个里边我可以把这个 cos 阿法表达出来，对吧？我还能知道 cos 阿法，对吧？它等于啥？等于啊，二倍的 cos 伽玛分之一， ok， 那 cosine 赶上没有用，所以说我们怎么两式相除就可以了啊，则 cosine beta 比上 cosine alpha， 它就应该等于这一除完之后就等于二倍的 cosine theta 啊，对吧？等于二倍的 cosine theta。 而又因为 alpha 加 beta 等于九十度啊，这是 alpha， 这是 beta， 它整个是直角啊， 所以说又因为 alpha 跟 beta 是 九十度，所以说 cosine 等于啥呀？是不等于 c in alpha 啊，它就等于 c in alpha， 所以 说 就可以写成啊，它又等于 c in alpha， 比上 cosine alpha， 哎，那所以说它正好等于贪心的 alpha 至此。哎，这个原来的这个的这个式子里边的弹进的阿法，我就可以用二倍的口算谁的来表达了。又因为阿法跟比特他俩是互余的，所以说弹进的比特就等于弹进的阿法分之一，所以说我就全可以换了。 因此，那这道题我是不是首先我就可以表达出来这个的谁他了啊的谁他，哎，他等于啥呢？ 先把原式抄下来啊，原式是看一眼，弹进的 r 减弹进的比特比上他俩相加 啊，弹进的 r 减去弹进的比特，那就相当于减去弹进的 r 分 之一是吧，然后比上弹进的 r 加上啊弹进的 r 分 之一，这样的话，先把这个比特整没，然后呢， r 弹进的 r 跟口在谁的关系？在这往里套啊，那就等于 这是二倍的 cosine theta 减去啊二倍的 cosine theta 分 之一。其实这道题啊，跟这个式子跟这个立体图形也没有关系了，变成纯函数的问题了， 对吧？减去啊，加上二倍的 cosine theta 分 之一就得这个，那么这个式子分子分母还都有分式，所以说肯定得先同乘一个分子分母同时乘以一个二倍的 cosine theta， 是 吧，然后就变成了， 这是四倍的 q 方 c 减一啊，然后比上这是四倍的 q 方 c 加一，那四倍的 q 方 c 加一，它肯定是正的，所以说这个绝对值啊，只有分值有 啊，只有分子有。那么他说呀，这个式子啊，存在着两个不同的锐角啊，锐角 c 特一和 c 特二，然后呢，使得的 c 特一就这个式子相等啊，这两个式子有两个式子相等，那么怎么能让这俩式子相等呢？那就肯定是一正一负嘛， 对吧？这才能相等。所以说这个题就很简单，当然写这口在 c 特一， 然后呢，再令 t 二呢，等于口方 c 二，因此啊，这个式子一定有啥呀，分子一定是一个取正，一个取负，也就是说啊，则 这个四倍的 t 一 减一，比上四倍的 t 一 加一，就应该等于一减四倍的 t 二，比上四倍的 t 二加一， 那就交叉相乘呗，对吧？那就是十六倍的 t 一 t 二减去左上乘右下啊，减去四倍的 t 二，加上四倍的 t 一， 再减一，就应该等于 四倍的 t 一， 减去十六倍的啊， t 一 t 二，再加一个一，再减一个四倍的 t 二。约分啊，不不，那个和平同乐像这都约掉了， 没有了，那就剩啥了？那就剩三十二倍的 t 一， t 二就应该等于二，所以说， t 一 乘以 t 二，应该等于十六分之一，而 t 一 乘以 t 二等于啥呀，在这呢，对吧？所以说，换回来，那也就是说， cos 方 c 特一乘以 cos 方 c 特二啊，应该等于十六分之一。又因为这个，这两个角啊，都是锐角啊，都是锐角，所以说它一定都是正的，所以说，开根呢，就是正的。 所以说，哎，我挣完了，扣三 c 的 一乘以扣三 c 的 二确实等于四分之一，你看这道题有啥难的，对吧？所以说，我们在做这种邪不愣登的图解析困难的题的时候啊，记住两大法宝， 第一个就是这个三鱼弦定律，第二就是我们可以用空间向量的模的运算，有了向量的拆分并不一定非得间隙啊不要，可这一棵树上吊死啊，对不对啊？所以说这道题总体来讲， 如果大家能够掌握三文先定礼和这个模拟算，那么这种题啊，还是白给 ok 啊，如果想让我再更什么哪道题，可以这个评论区告诉我啊，拜拜朋友们。

外国语最新的三部试卷很爆了，我们来锐评下这个试卷啊！先说整体的难度，这个整体难度是偏高一点点，但质量极高，建议所有同学都要认真的做，按时按点来做好。 第一道好题出现在第八题，这道题是概率的题，但这道概率考的很新颖，非常新颖啊，好好看一看！第九题，是一个菱形性质的题目，是一个中档题啊，菱形和这个等边三角形的性质。 第十题，好中之好，非常好。这个题是，呃，这个四边形动点轨迹跟函数的结合。这道题的新颖的点和难点在于 动点的轨迹并不清晰，并不是人家告诉你在哪条线上运动，没有，需要自己去分析，很考验基本功。好题好！第十三题，这个题是一个规律探索的题，但是如果你找不到规律，可以通过复制的方法，两种方法都可以啊，好题 啊！第十四题，是个常规的题啊！第十五题，好题啊，手拉手模型的应用好，非常好啊，接下来我们要看的是，嗯啊，十九题是一个常规的题啊，这个考的是一个摄影定律，或者说是一个字幕模型的相似啊。这道题不难， 然后二十一体侧高，把侧高跟圆的位置互换了啊，这个侧高会偏南一些，这里大家要注意啊，就是当我们看到镜面反射的时候，就自带入射角，等于出射角啊，自带等角，自带相似啊，很很常见啊，很常见。 二十二体应用型二次函数的天花板啊，好好看一看啊，极有代表性。 二十三题，背长中线背长中线，我们在上次的一模二模统考中已经考过一次了，背长中线非常重要的一个几何模型， 好好看一下啊！像这种名校最后的模拟卷、押题卷，我们都会在群内无偿的分享，大家点击视频下方或者点击我个人主页进群免费领取啊！

毕节市五月份什么成绩出来了？出来了！拿到分数的家长呢？在评论区打出选科和分数，我帮你推荐专业和学校。

毕节地区高三的同学们注意了，五月十六号，咱们的第三次高考适应性考试就要来了， 这是一次重要的实战演练，帮你摸清知识短板，调整答题节奏。遇到难题呢，别慌，先易后难，稳住心态，简单题也别大意，注意仔细审题，不丢分。 这次三诊是检验复习成果的好机会，不是最终的定论，但也要认真对待每一道题，把它当成高考前的一次重要彩排就好。 祝大家能够发挥稳定，找到自己的节奏，为接下来的冲刺攒足信心！加油，未来可期！

同学们大家好，我们现在来看一下扬帆中学三模的第十六题，相信同学们在前两道题的基础上，这道题做的会非常的得心应手。来十六题已知正六边形 a、 b、 c、 d、 e、 f 从点 a 引出三条对角线，把它分成四个三角形，那熟悉正六边形的同学们都知道，这四个三角形其实都是特殊的三角形， 比如说三角形 aef 和三角形 abc 都是顶角，为一百二十度的等腰。三角形三边长，三边比分别为一比一，比根号三，中间这两个三角形都是三十、六、十、九十的直角三角形三边比一比二比根号三 点 f 到对角线 a、 e 的 距离是一。在这里它告诉我们这个正六边形的边长为二， 三角形 a、 e、 d 的 外心为 o。 三角形 a、 e、 d 本身是一个直角三角形，直角三角形的外心在三角形斜边中点上，所以这个 o 就是 在 a、 d 的 中点。三角形 a、 d、 c 的 内心为 i 内心。我们刚刚说了三角形内切圆半径该如何，求问 o， i 等于多少？ o， i 求线段长度，那求线段长度？我们的第一想法，求线段长度，放到直角三角形中看勾股定律相的呃，三角函数等等行不行？不行的话再看看有没有其他的方法。 但是在这里 o、 i 它其实没有在直角三角形中，但是我们可以利用直角三角形去构造出一个来。那怎么构造呢？我们可以直接 为了方便做题，我们把这个三角形 a、 c、 d 这个图给它摘出来。那这样的话，直角三角形我们直接分别过点 o， 竖着往下做，垂过点 i 水平，这样做就可以构造出一个三角形 o i e， 那 求 o i 的 长度，我们直接利用勾股定律，只要我们知道 o e 和 ei 是 多少就可以了。那怎么求 o e 和 ei 呢？ 我们刚刚说了，这个 i 是 三角形内切圆，呃，三角形的内心也就是这个内切圆的圆心，那我们不妨把这个三角形的内切圆半径求出来。 前面知道这个 c d 长为二， a c 长一比二比根号三呢，就是二倍，根号三， a d 长就是四，那这个三角形内切圆半径 r 就 等于二分之 a 加 b 减 c， 也就是二分之二加二倍，根号三减四， 化简一下，二分之二倍，根号三减二，继续化简，根号三减一，所以这个直角三角形内切圆半径就是根号三减一。那我们知道这个了，有什么用？ 我们还知道 o 是 a d 的 中点呀，那如果说我 o 往下做垂，垂到 d c 边上，那这是不是一半，所以这个长度就是一，那这个总长是不是也就是一，所以 e i 的 长度也就是一减，括号，根号三减一， 所以 e i 的 长度就是一减去括号，根号三减一，化简一下，等于二减，根号三 一个。知道了，那是还是 o e， 那 o e 怎么求呢？跟刚才是一样的，如果说我过点 o 做垂也是垂到 c d 上，那总的这个长度是也等于 a c 的 一半，因为 o 是 中点啊，所以做出来一个中位线，所以 a c 是 二倍，根号三，所以 o 到这边垂线的距离应该是根号三。 总共根号三，下边是根号三减一，所以 o e 的 长度应该是根号三减括号，根号三减一， 所以 o e 的 长度等于根号三减去括号，根号三减一。整理一下就是一作为一个直角三角形，两个直角边都知道了，在斜边 o i 直接就是根号下二减根号三。括起来的平方加上一的平方开根号 就等于化简一下，里面就是八减四倍根号三。再开根号是不是很熟悉了？就是我们上个视频讲的，它最终结果就是根号六减根号二，所以 o i 的 长度就是根号六减根号二。