立体几何初步高一人教a版手写教材

立体几何作为高中数学里头与其他板块知识点明显格格不入的部分，也许各位亲爱的同学的学校的老师会平静的和你说一声，多动脑，多思考。显然这是一句正确的废话。 所以今天咱们借助八个非常经典的立体模型，同时从这本大家熟悉的不能再熟悉，题目质量可以充分放心的高考必刷题中精选四个专题，十分钟时间一并搞定立体几何中的核心计算内容。 当然嘞，任何计算的前提一定得是看得懂几何体是个啥子样子。首先是这样一个正方体，咱们观察一下它的三 d 立体构造，转动、转动再转动， 但是在试卷上只呈现骨架结构，简单对比一下，不难的发现，哎，这红色的虚线是什么玩意？哦，原来是肉眼无法直接看见，但是真实存在的透视虚线。 接着的一个几何体叫做圆锥，相信屏幕前的你并不陌生，那么大家不妨思考一下，红蓝两条线谁更虚呀？显然是藏在圆锥屁股后边的红线。 当然，立方体和圆锥的理解难度并不算大，我们看一下必刷题的固机提升部分，也就是偏基础的，这本套装非常齐全，翻开来从目录中找到我们研究的立体几何专题， 你看，能住、能追，轮胎几乎每一次考试都跑不脱，就比如这个，能追，他可是结结实实有五条侧能在身上的。那么大家边观察边思考， a、 b、 c、 d 五个选项，哪一个是它正确的试卷平面上的画法呀？显然是这个 b 最外沿的黄色一圈， 咱们眼睛一定能看到，一定是实线，边缘一定没有虚线。那这条红色的又是咋回事嘞？ 哦，他是几何体面向我们靠近我们的这一边，可以直接看见的棱也用实线，而除此之外，一定都是透视虚线。并且无论什么时候，这样的结论他是一定成立的。咱们回到书中， 视线左移看，这个棱柱，确实也是长得不是那么美观。五条侧棱五棱柱， 好的， a、 b、 c、 d， 你 认为哪个是对的呀？聪明的你一定想到了操作方法是一模一样的，黄色边缘 b 为实线，肉眼可以直接看见。 而这三条红色的棱呢？在几何体表面靠近我们的这一边，肉眼可以直接看见，剩下的红色虚线就必须要通过透视权线了。 好的，接下来这个会稍微复杂一点，主要是能的条数会稍微多一点。好的，差不多时间请做出选择。这是一道思考题， 基础的讲义部分没啥问题了，我们就可以用对应的练习册来加以巩固。需要注意顺序是固基部分偏基础项的。 简单来说，分成了六十个小专题，写一页就能够掌握一个小型的知识点。在咱们基础题身上的效率方面，性价比是非常高的。翻开看到里头的体积计算 条件，暂不细看，咱们先在脑海中建立三 d 感知，看看这个镶嵌在正方体框架里边的三棱锥是个什么情况，然后再来求体积。 呃，既然要求体积，先得把公式摆上来，任何能追的体积公式都是三分之一底层高，但是这个底面却没有唯一的答案。 你说 b f、 c 一 可以当底面， b 一 c 一， 那也可以， b f 一 貌似也不错。 f 一 c 一 好像还可以。 那究竟哪个好嘞？首先呀，咱们肯定希望他不难算，那怎么才算不难算嘞？ 哦，就是好算，这个 bfc 一 他就挺好算的。为啥嘞？因为呀，他直接干净利索的贴在正方体前表面上了。这里大家注意观察蓝色与紫色平面， 如果突然告诉你这俩平面中间可以直接用等号连接，你是否同意嘞？ 这个的确是对的，它就好像两条直线只要重合就是同一条直线，两个平面只要重合就是同一个平面。咱们看到的蓝色紫色好像面积形状大小都不相同， 为啥呢？像这一切都只是因为我们在画图的时候截取了同一个平面的不同区域，相当于选择性表达，都不是把完整的平面给画了出来。平面本身的面积是无穷大的，就好像我们常说的直线无限长。 好的，回到题目中来，这个紫色三角底边平面面积非常好，求二分之一底乘高，底一高二全知道。 哎，那这个高 h 嘞，也就是能追顶点 e 到这个紫色平面的距离后表面的 e 到前表面的距离 等于零，长等于二，底面和高。都晓得了这一题选择第二项 b， 就 这会看来，好像是刷了几道题目，但是嘞，这套组建绝对不只是单纯的给大家刷题用的， 你看，固机部分给咱们配套了专门的视频课程，七十一节视频精讲，相当于每个不懂的知识点直接送一节网课。而且书中的六百八十四道题主题精讲， 想看视频讲解，但是又懒得问人的，想保持效率，扫个码就完事了。那么用完了固基部分，我们就可以拿对点上分，简单来说就是拔高部分，这个组合键翻开来找到对应的强化辨识， 还是要求这样一个正方体框架中嵌入的棱锥的体积，大致观察一下它的构造， 其中 e 是 棱中点， o 是 底面中心。求黄色棱锥体积。别的先不管，求体积就得摆公式。接着进入选底面环节， 一号、二号、三号、四号，哪个底面不难算呀？ 都不好算，但也都差不多，那都半斤八两。我们就进一步考虑哪一个底面他对应的高更好算，而且高和底一定是线面垂直的吧。 所以这会咱们就认真想一想，能不能在黄色棱锥里边找出一个线面垂直来， 垂直在哪里嘞？思考一下，哎，你看正方体的这个对角，蓝色结面，他是一个矩形，标注好个别数据，然后请重点盯住他。 我发现呀，这个对角矩形面彻底铺平之后，两条黄色线段的紫色夹角好像有点蹊跷，原来呀，他就是九十度角，这个原因不知道你晓不晓得？ 好的，还是盯住他，慢慢放回正方体的对角面位置。根据紫色的九十度符号，两条红线之间是相互垂直的。 但是嘞，我需要的高和底面线面垂直，得有两组线线垂直来加以证明。 a、 d、 e o 和 e o 是 一组， d、 e o 和 c o 会不会是另一组嘞？咱把洁面补全一下。 这个蓝色的洁面三角形，每一条边都是正方体的对角线，所以这是个等边三角形， 中间的红线， d、 e、 o 垂直，底边 c a 也就垂直， c o， 红色、绿色也相互垂直了。 现在就晓得了，红线 d e o 同时垂直于蓝色的 e o 和 c o， e o， c o 都是平面 ceo 中的线段，两条线还互不平行。 当然我们最好不要这样写，只要不平行就一定会有交点，我们写上 e o 交 c o 等于 o， 就 可以完美且标准的代替 e o 和 co 互相不平行这一串花了。 得出红线垂直蓝色底面，那么对于这个黄色三棱锥，红线做高蓝面当底。最后带回公式，三分之一底乘高选择 a 选项， 这本对点上分色，它也是同样的道理。全面配套视频讲解，不会说好像更难更拔高，就敷衍了事，只给一个文字讲解，这个并不会的视频是一节不会少的。 咱们还可以拿出这个巧学速记小本本，这里边就是给大家整理的答题技巧和奇思妙想了。 模块速记这里推荐大家在考前进行快速补充。再就是这个小册子的后半部分，全是重要技巧。比如咱们看这样一道题， 他给到一个四面体， s a， b， c 是 一个棱长都一样的正四面体， 说 e 和 f 分 别是 s、 c 和 ab 的 棱中点，求 e， f 和 s a 的 线线夹角。嘶，这两个， 首先它是一个正四面体，说明很正。其次，既然是求棱和棱的夹角，咱们看正四面体有六条棱，正六，想到啥了不？ 没错，正六面体，这里请认真观察。直接给正四面体塞进这个正六面体中， 凭啥嘞？哦，正四面体的每一条棱，他都是正六面体的每一个面的对角线。 没错，再以后，看到麻烦的正四面体，直接给他塞在正方体框架里边就没得问题了。这时候再看红黄两线的夹角，聪明的你会做了不？ e、 f 分 别是上下底面的对角线交点，所以数值的红线 e、 f 就 平行于任何一条数值的蓝色棱， 比如 st。 现在红蓝互相平行，红线和黄线的夹角就是蓝线和黄线的夹角，显然前边是一个等腰直角三角形 c， 它等于四十五度。 这个就是小册子里边的补习法，能够放在这个小本子里边的技巧还是相当有含金量的。 哎，这还一个小本子，一目了然。核心干货，整个高中三年的核心知识点，它分成十三个大章节，严格按照教科书来的，不管是以前学了容易忘记的三角函数，还是咱才学完但是结论一堆一堆的复述， 再包括我们这会正在学习的立体几何，以及咱以后会碰到的结论重灾区圆锥曲线， 这些浓缩的知识点，说实话太重要了。在视频的最后还是老样子，我们从巧学速记里边取同专题的第二个题目，大家可以思考一下。

今天给高一的同学们讲一个学立体几何的方法，高一的同学现在应该都学到这个立体几何这章节了， 很多同学这个空间想象力比较差一些，有些题目怎么做特，特别是怎么做辅助线，经常这个想象不出来，那怎么办呢？我教大家的方法就是大家可以把这个立体的东西 把它转化为一个一个的平面的图形，就比如说我们要求某个结面的某一个角，那么我们就把这个这个结面，比如说结面是一个三角形吧，那我们就把它拿出来画成平面图形， 也就说在旁边画一个三角形，把它的每条边，每个对应的角都标上，把已知的角都标上，这样就看着更直观了。 把它转换成一个个的平面图形，它就转换成初初初中的平面几何知识了，这是我亲身验证。呃，挺好用的一个方法，大家可以试试。

很多同学立体几何学不好，第一反应就是自己的空间感不行，但是郑老师说句实话，高中的立体几何考察你的空间感少之又少，他重点考察的思想并不是空间感，考察的更多的是同学们的推理能力。今天郑老师利用五分钟的时间， 重塑你立体几何的学习思路。关于立体几何的视频，赵老师已经给同学们准备了十七节的一个资料评论六六六，抓紧拿回去下载打印，相信你的立体几何绝对能够学明白。立体几何到底怎么学。第一部分一定是和初中有关系的一些内容，但这个内容只局限于什么呢？认识几何图形 不用考虑太多，我初中不会，怎么办？没关系，不影响，所以第一部分啊，就是认识图形。第二部分我们会写空间一些图形的什么的体积表面积公式，所以我们会学到表面积啊，体积的一些公式， 尤其是像球呀，设棱台啊，像这样没学过的一些内容，他的一些体积表面积公式我们需要单独学一下，其他以前学过的照用就可以了。第三个哈，是什么呢？ 强调同学们的一个画图能力，我们会画一些简单的一些几何图形，像圆柱啊，圆锥啊，棱锥啊，棱锥啊，像这样的图形球啊，我们都要会画，哎，这是非常重要的一点， 那这些的话，整体上就可以认为是什么呢？就是认识一些几何图形与初中有关系，或者说作为一个简单的了解就行。 像这个体积表面积公式里边可能比较难的一点就是什么呢？我们的内切球以及外接球问题，像这个是一个最难的一个点啊，那除了认识几何图形第一部分以外，第二个部分就是我们立体几何高中最重要的一个环节了，就是空间里的点线面的位置关系， 其中包含什么呢？比如说平行关系，然后呢？第三种垂直关系，像这个平行的话，比如说线和线的平行，线和面的平行以及面和面的平行。像这些线线线面面面，他们的一些什么呢？性质定力、判定定力都是我们需要掌握的一些重点， 好，包括垂直，垂直也是包括线线垂直，线面垂直包括面和面的垂直，所以同学们会学一些全新的证明的一些定力，包括性质定力和判定定力，这两点都会学。 那除了这样平行垂直语言进行的下一个内容就是夹角问题，但是这个夹角问题的话，包含的比如说线与线的一个夹角，线与面的一个夹角，两个面的一个夹角这三个问题， 间线先变以及二变这三个问题的话，在高二上学期的时候，我们会学到间线的方法去解决，但是对于高一的学生，反而这一块的话难度比较大，只能用 纯纯的几何法去证明。那历低几何这地方哈，周老师说他考察的并不是空间感，而是同学们的推理能力。为什么这样说？比如说我们看一下这两个证明题， 重点哈就是平行垂直的证明，这是我们高一的学生最需要学会的一些东西。那推理思路讲的是什么？比如说拿线面垂直的证明来说，我们需要用到线面垂直的性质定力，也就是说一个线如果和一个面垂直， 然后呢？ m 呢？恰巧在这个面里，那么我们这个线就会和这个线垂直，那根据定力的话同一位思考一下问题，我们想要解决这个线下垂直，我们就得需要用到线面，那我什么东西能整为线面呢？我们去想我们就需要找线面垂直的判定力理， 而线面垂直的判定定律呢，就是 l 必须要垂直于这个面里的两条相交直线，也就是说你必须要找到 l 垂直 b 就 行，而它俩垂直又变成了线线，再去找它们成立的原因， 也就说推背要体会，慢慢哈。想要证明一个东西，我们需要用到怎么去推理，把它给推出来，而不是看出来。至于例例题和的推理能力怎么去计算，下节课我们结合具体的例子，然后一起来提升一下你的推理水平。关注我，带你看更多更好方法！

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点五点一，直线与直线平行，那么来到了我们的八点五啊，最后的两个小节，八点五和八点六。首先呢，给大家一个大纲啊，大家要知道我们按怎样的一个脉络来学习。 我们说我们要研究空间当中点线面的位置关系，那无非就是五种，对吧？点线 点面啊，点和点就不用研究了吧？对啊，点点没有什么任何研究的价值，对吧？点和线，点面线线线面面关系， 那么点线和点面呢？包括说点在不在线上，在不在面上，然后呢，三点共线，四点共面等等的这些问题，它是在我们的选 b 一 啊下一本书的第一章要研究的，那不在这里研究，那么我们剩下的线线线面和面面呢？而且是未知关系。首先未知关系无非就两个， 平行和垂直，所以它们分别就是我们这两个小节里面的六节课哈，线线平行，线面平行，面面平行，然后垂直，对吧？那么首先我们的这节课， 八点五点一，线线平行，那同同学们说线线平行，那这个对吧？就是加了一丢丢的这个在空间当中的一个东西，我们来讲一下，这个很熟悉了，对吧？在同一平面内，两条不相交的直线是平行。直线，这个不讲了吧，平行线的基本是十， 在一个长方形的房间当中，我们去观察三条墙的交线哈，这里呢有两面墙啊，这个地方呢，我们有，呃，三个交线，他当然还包括了这里面画出来的墙啊，对吧？然后一共呢，这里有三个交线， 同学们一定是身处在一个房间当中，无论是你们在卧室当中，还是在哪个地方，还是在课室来看听我的课，对吧？那么这个时候呢，我们会看到哈，我们墙与墙的交交线处啊，就 a， a 一 撇， b， b 一 撇， c， c p 一 撇，它们都是平行的，对吧？那么此时我们也会看到 a， a 一 撇也会平行于 c， c 一 撇，所以我们会发现哈，空间当中平行线也有类似于平面当中，我们说平面当中我们的什么，我们的平行线是可以干嘛有传递性的？ 在平面当中 a 平行于 b， b 平行于 c， 那 么可以推出 a 平行于 c， 好， 这个传递性在空间当中也适用， 就这样子啊，就告诉大家，也 ok 哦，在空间当中就行了，所以这个是基本事实。四，所以这个是以公里的逻辑告诉大家的，就我们发现大家可以去干嘛？可以去正轨，对吧？如果没有人能正轨，他就是对的。平行于同一条直线的两条直线平行，这个就是基本事实。四， 好，这个就是它的数学模型，对吧？ l 平行于 m， n 平行于 n， 那 么 l 也平行于 n， 那 么这个呢？我们会看到，哎，这个就是在我们的一个长方体里面出出现出来的，对吧？在两个长方形当中，我们都会知道 l m 平行，然后呢？ m， n 也平行，然后这两条也是平行的，所以这个就是我们的平行线在空间当中传递性的一个，嗯，这个体系， 然后看例如图，已知在棱长为 a 的 长，呃，正方体当中 m n 呢？分别是中点，这个是中点，这个是中点啊，对吧？然后呢，求证四边形 m n a c m n a c 啊，是一个梯形， 我们梯形就说它有一组对边平行，有一组对边不平行，所以我们的首先的定一个点肯定是要证明啊，一条边一组对边是平行的，那当然我们会知道，你看看到这个平行的，对吧？我们怎么证明？不难证明吧，在这个地方画一条辅助线， 那么这里呢，因为它是中位线， m n 是 这个三角形 a 撇 c 撇 d 撇的中位线，所以呢，平行，那么这里面呢，这里面是一个矩形，它也是就平行四边形嘛， 对吧？那这个怎么证明，对吧？这个平行于这个，而且平行且相等，所以它是一个平行四边形，所以这个 a 撇 c 撇也会平行于 a c， 所以呢，就通过传递性我们就会知道 a c 平行于 m n 啊，对吧？所以呢，连接 a 撇 c 撇，然后 m n 呢是它的中位线，所以呢就是平行，所以呢啊，在这个地方因为比较简单，我们就直接忽略了这个 a 撇 c 撇和 a c 的 一个证明啊，对吧？三个都是平行的。 接着呢，我们说梯形，那么要么就证明我们的另外的一组对边不平行，要么就是我们的这两个它是不相等的，两个都行啊，我们其实更快的就是因为中位线嘛，我们可以证明什么，因为 a c 它的长度是等于 a 撇 c 撇的， 那 a 撇 c 撇呢，是等于两倍的 m n 的 中位线，所以呢，它们之间长度不等，我们就不需要管另外一组对边的问题了啊，不需要去单独去证明它们两个不平平行，那么这这个时候呢，它们平行一组对边平行，且它们不相等，我们就能知道它是梯形。 好吧，简单的题目，第二课本的立体如图，空间四边形。好，这里有个概念哈，空间四边形， 什么叫空间四边形？就是这个图形 a、 b、 c、 d， 哦，它不是在同一个平面内的，但是它不是立体图形，同学们要注意 这个地方啊，课本没有单独去进行定义，但这个东西应该也不难理解，对吧？不要把它看成是一个密闭的 a、 c 连起来变成一个三棱锥，不是的，它就是一个折起来，然后呢，放在空空间当中，它就是一个空间的平面图形。 空间四边形，那么这个时候呢， a、 b、 c， d， e， f， g、 h， 它全都是中点。那么第一个问题呢，求证，这个是一个平行四边形，那么我们中点当然又想到了中位线，对吧？这个平行于这个，且是它的一半， 那个 f、 g 呢？也是 b、 d 的 那个中位线啊，也是 b、 c、 d 三角形的中位线，所以也是平行，且是一半，所以它们两个平行且相等，对吧？这是简单的一个应用， 都是中规线，所以平行，然后也会有这这个东西，然后，所以呢，平行会有传递性，而且它们长度相等。好吧，那么所以呢，它就是平行四边形。那么如果在此基础之上增加一个 a、 c 等于 b、 d， a， c 等于 b、 d， 那 么我们会知道 e、 h 和 f、 g 这组对这这组对边，它是 b、 d 的 一半， 那么这个我们的邻边 h、 g， 它也会是 a、 c 的 一半， 而 a、 c 等于 b、 d， 所以 就是邻边相等，所以它是个菱形啊，对吧？所以呢，它是个菱形。 接着我们看例三，在空间当中， a b 平行于 a 撇， b 撇， a c 平行于 a 撇 c 撇，请证明它们这两个角要么相等，要么互补。首先我们画出这个东西，画出这个东西 有没有两个情况，同学们去思考一下，为什么会有两个情况，对吧？首先第一种情况呢，我们这个应该会比较好想到，对吧？它们两个都是平行的， a b a 撇 b 撇平行， a c a 撇 c 撇平行，那么此时我们可以怎么去证明呢啊？我们看一下，分别在这两个角上截取四段线段，而且它们得是相等的，好截取它们相等的线段， a， d， a d 撇 a e， a 撇 e， 那 么使得它们是相等的， 我们呢？有时候呢需要一点，其实我们无论是在做初中的几何题，还是高中的几何题，其实我们会知道一个事情，就是很多时候感觉我们的空间感觉是很重要的，我们从可能说从第六感出发，我们认定了一个东西，然后我们再去做严谨的证明，比方说这个这个地方我们一连接起来， 我们就能感受到这两个三角形一定是全等，对不对？一定是全等的，而且我们可以干嘛？我们可以从结果推过程，因为我们的结果这两个是相等的，此时相等的情况下呢？ s， a， s 呢？他们一定是全等的，所以我们把它做一个连接 来看一下，那么此时我们已经有了两个 s， 对 吧？ s， s 已经有了，那么我们能不能证明这个等于这个我们也是感觉出发，我们会告诉能告诉自己一 d d 撇一撇，它是个平行四边形，那么这个时候呢，我们可以往这个方向去做证明， 因为我们是干嘛我们截取了这个 a、 d 等于 a、 d 撇，而且这两个不仅相等，而且平行，所以我们就能证明 a 撇 a d、 d 撇是个平行四边形。同理，我们也可以证明 a 撇 a 一 一撇是个平行四边形，那么我们就会有 这个等于且平行于一一一撇，那么这个时候呢，就会有一一撇 干嘛等于且平行于我们的 d、 d 一 撇，那这个时候我们就能证明到一 d d 撇一撇是一个平行四边形，进而我们就能在平行四边形当中知道一 d 等于一撇 d 撇，那么这个时候就凑齐了 s s s 他 们全等，我们就能证明这两个角相等了。我们看一下这个证明的过程，好吧， 同理证明两个啊，我们只需要写一个步骤，如果另外一个证明过程完全相同，我们直接同理就可以了，那么所以通过这个平行的传递性啊相等啊，然后呢就能证明他是一个平行四边形，最后呢 得到了这两个相等，那么结合刚才的两个信息，也是我们去设定的截取的，那么可得他们两个三角形全等，然后通过全等来证明这两个相等， 那情况二呢，就是他是往另外一边按，这个也是平行的情况，那这个其实证明就比较简单了，因为我们可以在射线就是另外一个方向延长，继续干一个同样的事情，就是我们的证明过程跟刚才情况一模一样，我们最后证明到这个角 等于这个角，而此时我的什么 c 撇、 a 撇 b 撇不再是在这边，而是在 c 撇在这边，那么这个角角一等于角二，那么角三这个互补，我们这个关系就出来了，好吧，所以这个证明也很简单，只要在反方向延长，然后做相同的部分就可以了，所以我们就能证明出来。 好吧，那这个呢？是角等角定律，非常重要。那这个东西同学们也不陌生了吧，在初中里面也会有，对吧？所以这节课有没有发现 我们就是在说啊？我们的平行线，在空间当中的平行线可以传递他有等角定律，而这两个东西跟我们的平面是一模一样的，平平面能用，空间也能用，就这样子啊，对吧？所以说如果空间当中两个角的两条边分别对应相等， 不对应平行，那么这两个角相等或者互补，两种情况，对吧？都很简单啊，对吧？都是可以从平面迁移过来的，好吧，这个就是我们的这节课啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。

上一次给大家录了有两道题啊，然后今天的话我们再录一个题，我们先讲三个题，然后后面，然后再录大概一到两个，给大家来验证一下。我们看这道题当中哈， c p 等于二倍，那 p 在 这个地方是一点二的关系啊，然后 m 是 c、 e、 d 的 中点， m 在 这， n 是 a、 d 的 中点。好， 这个地方， 这个地方我全部用实线哈，按道理要划虚线被挡住的，为了因为这里的话， 这个设施哈，大家看得明白，我就只用实线。现在我们扩大面就是延长或者过一个点，做这个平面内其他边的平线，对不对？我们上次讲了，那在这里我们要延长的时候，你先找到这根线在哪个面内，比如说我延长 mp， 那 mp 应该在什么地方啊？他是在后面，是不是？你们现在不知道我讲的什么？前面、后面、左边、右边、上面、下面。你去看我前面的视频啊，我这是直接省了他在后面。那我延长的过程当中， 那我应该延长到什么地方啊？我们来看看。因为这个地方其实他们构成了一个相似三角形啊，我把这个图形单独给大家画一个出来， 单独画一个出来，你看 m、 c、 p、 c 假如是个 h 单独画一个出来， 我们这一段比上这一段是一比二，那这一段比上这一段也应该是一比二，所以说我会得到我的四 h 和大 c 是 一样长，和 d、 e、 c 啊，是一样长的啊，在这个位置 好了，那延长到这里以后，我们的这个延长的过程当中就发生。呃， h 是 哪条线上的点？它是跟大 c 相交，而大 c 是 下底面和后面的交线， 那所以说 h 既是后面上的点，又是下底面上的点，那下底面上已经有一个 n 点了，然后又有个 h， 那 我们就把 n h 给连接起来啊。这道题的话，对你们来说，证明当中稍微要难一点点， 那你看，我在延长当中和这个 b c 这里又产生了一个点 o 点，那我再把 p o 连接起来，这就是右车面上的右车面上，那现在关键就是你要知道这个 o 是 在什么位置哈， 那根据这个面上的这个，你看，我把这个面单独单独画一个出来哈，你这样子瞬间就明白是什么东西了， 这就是 h， 这是 c， 这是大好，这是 o， 这是 n 啊，你单独画一个出来，刚才我们得到了这一段和这一段相等的，这一段是一比一，那反过来， c o 和我们的这个 n d 是 一比几啊？ 一比二的关系。比如说 c o 是 n d 的 一半，那反过来 c o 就 应该是 b c 的 多少？四分之一，假如这是个中点，这又取了一半，说它应该在四分之一的位置哈，我们把这个地方给记住。好，我们接着又看， 接着又看，那我右边的找到了以后，那我现在我们看看 左边啊，能不能找到跟左边的结合，那要想跟左边的结合，还缺一个点啊，现在只有 n 点，那我能不能过 n 做这一个 p？ 这里刚才没标啊，能不能做一个 po 的 平行线？ 我们说要做平行线的时候， n 点和 po 要么在同一个面内，要么 n 点所在的平面和 po 所在的平面是平行的，管 这样子才好做。我们发现 n 点它既是下底面，又是左侧面， o 点既是下底面，又是右侧面，所以说我们发现 n 点所在的左侧面和我们的这个什么 o p 所在的右侧面，它是平行的，那我只要在左侧面画一个跟它平行的关系就行了。那这里该怎么去画它这个地方的平行呢？ 哎，其实你也可以把 pm 反向延长，因为你这里直接画不好，画它这一点不是很特殊啊。跟你绕歪了，那我就延长 pm。 大家想想，我刚才说了，你延长它是不是要看它在哪个面内， pm 是 不是在后面？那 pm 在 延长的时候往上画，它会和大一大的延长线交于一个点， 是不是交的这个点讲的是个 h 点，对不对？那它交的这个地方应该在什么位置呢？ 啊？该在什么位置？因为这段长度肯定和这段长度应该是相等的，你看我重新再这样子画一个，哈，这样子你都明白了啊。 然后这是 m， 这是 h， 这是大一，这是 c 一， 这是 p， 你 看 m 是 终点，这两段是一样的。然后这又是直角，这又是对顶角，说这两个三角形是全等，说 c e p 和 h d e 相等。 而刚才我们的条件得到了 c e p 啊，是一比二的关系，说这一段也应该是分成的是一比二关系，对不对？他也应该是分成的是一比二关系。那这个时候我们再把这个 h 跟 n 连接起来，这就是左侧面的焦点， 因为 h 是 大大一上的线啊，上的点大大一是左侧面和后面的交线，所以说这个 h 点既在左侧面上，又在后面。好，它在这里延长的时候会和这个这地方产生一个点，加这个点是个 g 点，产生个 g 点， 那这个就是 a 一 d 一 上的点， g 和 m 连接起来， 那我们所有的截痕就找到了。那只是你要证明这个 g 大 概在 a 一 大一的什么位置， a 大 一什么位置？可以通过这个相似比可以得到哈。我把这个地方散，再画一个，比如说我画一个这样子， 这个是 d， 这是 n 啊，这是我们的 h， 这是 d 一， 这是什么 g？ 是 不是？刚才我们得到 h、 d 一 是等于 p、 c 的 多少 一半， h d 一 等于 pc 一 半，那 pc 跟 d、 e、 d 又是什么关系啊？ 相当于我整个这个 c、 c、 e 是 分成了多少份？三份啊，是分成了三份对不对？所以说我这个相当于是三 a、 k 四，整个是三份，它其中占了几份一份？说上面这个地方是个多少 x 啊？这一段是三 x， 这个是 x， 大家能明白吗？我把这个设成三 x， 那 这就是 x， 这是几个？两个。刚才得到了这一小段，你看这是 x， 那 这段是多少？是不是 x， 所以 把这个标 x， 而这个整个是三 x 和 d d， e 也是一样，所以我们就可以得到了。 g， d， e 和 n d 的 比值，我们就找到了。所以最后啊，我用红色的描下它所得的结痕哈，咱们的上底面的结痕， 左侧面的结痕，下底面的结痕，右侧面的结痕啊，右侧面的结痕，然后这个地方画成虚线，画成虚线。好，这又是在这个面内 红色的最后它的结痕就是这样上下左右啊，我们就找到了。呃，后面也找到了。那有人说，老师你前面还没有啊， 我们还差一个前面是不是？那差一个前面的话，我们把这一根线再延长一下，你看它延长会在什么位置啊？ 嗯，这一条线的延长线它在左侧面，那它延长的话会在这个地方 延长在这里，然后这个 n o 啊，它延长的时候会产生在这边来了， 所以说我们发现我们前面已经超出来了。看懂我的意思没有？你看我的这个就是 h n 这条线是不是在左侧面上？ 那他在左侧面上，我在延长的时候他应该在左侧面上画，那他画的时候应该和 a、 a、 e 交于这个点，是不是和 a、 e 交于这个点？好，那我们又看看我们的 n o 是 在下底面， n o 在 下里面延长的时候，它会和 a、 b 的 延长线交汇这个点，那你就发现这两个点其实已经远离前面了，是不是，对不对？所以说它已经远离这个前面了，所以说在这个前面这上的结合啊就有限的这个范围内是没有的。

不少高一和高二的小伙伴，数学课本上的例题看不懂，课后题不会做。 对于这种情况，我们专门把高中数学人教 a 版五本书，包括高一必修的必修一、必修二两本书和高二选修的选修一、选修二、选修三三本书 录成了视频课，目的就是帮助小伙伴打牢基础。如果你用的课本不是人教一版，你只需要按照章节去学习就可以，不用纠结版本是否一致， 我给大家说一下怎么下单。默认数量为一，那么可以获得高一必修两本书的所有课程。如果你选择数量为二，那么可以获得高一必修和高二选修五本书的所有视频课。 如果你想下定决心打牢基础，夯实基础，为培优拔高做准备，那么这个视频课程一定要去学习。

同学们大家好，现在我们开始上课，今天老师呢给大家讲这个，喜提八点一的练习。我们来看到第一题，他说在长方体 abcdabcd 中指出经过点地的人和面人对不对？你看人的话， 输入 dadcdd 对不对？然后面呢，也有三个对不对？面 db 面，第 c 面第 a 对不对？是不是这几个面 好。然后呢？呃，下列几何题为人做的事。你看第一个是三人做对不对？第二个不是的，他他侧面不是个平四面形，对不对？好。第三个是的，对吧？好。呃，第四个 不是，他是呃圆柱的对不对？第五个是的是吧？他侧面都是平时变形。第六个呢，是台体对不对？第七个呢，是椎体，不是的。所以一上午 好。第三题七层那一台可以由下列某个图形绕轴旋转而成。这个图形是哪个？你看这个轮胎有厚度吧，对吧？有厚度的。所以是不是选这个比对吧，选比，你旋转一圈，他就是有有厚度的一个圆。 好。然后呢，看第四个，判断下来几何题是不是抬题，并说明为什么。你看第一个不是的，对不对？他这个对应点没有相交于一点是吧？ 第二个呢，也不是的，你看他虽然相交于点了，但是这个不平行，对不对？他上下里面不平行，嗯。第三个呢，也是相较于一点，但是他上下里面这个平面也 不平行，对不对？所以一二三都不是对不对？好。第五题说出图中的两个几合体的结构特征。你看第一个呢，是不是圆锥和圆台，对不对？第二个呢，是不是人锥和人柱对不对？就是平行。六面题嘛， 成分题好啊。呃，这个呢，就是复习巩固。呃，然后呢，老师讲到这里，谢谢大家。