标准形化为规范形的详细步骤

本次学习二次行理论中的惯性定理， 前面我们介绍了通过正交替换法或配方法将二次型化为标准型的方法，但是需要指出的是有如下几个方面， 第一，对于同一个二字形，使用的方法不同，进而得到的标准型也可能会有不同。 下面我们来看一个简单的例子。考虑这样一个二次形，因为它本身就是一个标准形的形式，如果我们做下面的非退化 线形替换，那么圆二次形就化为了新的二次形。 显然，这个新的二次型也是原二次型的标准型，这也就表明同一个二次型对应的标准型并不是唯一的。 第二方面，通过观察还可以发现，虽然上述的二次型的标准型的形式是不同的，但系数为正的平方向的个数与系数为负的平方向的个数是不变的，事实上这并不是偶然的。 第三方面，如果利用正交替换法画二次行为标准型， 各平方向的系数恰好为二字型的矩阵的特征值，但是利用配方法画二次行为标准型时，所使用的非退化的线性替换对应的矩阵不一定是正焦矩阵 所得的二次型的平方向的系数不能保证是二次型矩阵的特征值，这也表明二次型的标准型并不是唯一的。基于此，下面我们引入规范型的概念， 下面给出规范形的定义。如果一个二次形经过非退化的线性替换得到了新的二次形，具有如下形式的话，那么我们就称这个形式为二 字型的规范标准型简称规范型。注意到，如果平方向存在的话，那么规范型他前面的系数或者是一，或者是负，一或者是零。 事实上，对于任意一个十二次形，他都可以经过不同的使可逆变换化成不同形式的标准形，所以标准形的形式并不为一。 但是我们会有如下的结果，第一，标准形中非零的平方向的个数，也就是他的痣是唯一的。 第二，标准型中正系数和负系数及零系数的个数是不变的，这就是二次行理论中 的惯性定理，他与所做的可逆变换是无关的。 有了规范型的定义，下面我们给出惯性定理的具体内容，也就是任意一个二字型都可以化为规范型，并且规范型的形式是唯一的。 因为二次型与对称矩阵是一对应关系，所以我们有如下的推论，也就是任意一个对称矩阵都合同于如下形式的对角矩阵。 这里一批一 q 分别为批接和 q 接单位矩阵，并且满足批加 q 等于矩阵 a 的制。在二次型的规范行中， 系数为正的平方向的个数 p 称为二次型的正惯性指数。系数为负的平方向的个数 q 称为负惯性指数，而正负惯性指数的差 p 减 q 称为二次型的符号差。 这里说明一下。由定理六点二可以知道。要确定二次型的惯性指数，需要将二次型化为规范型，之后统计系数为正负的平方向的个数。 但事实上，在非退化的线性替换作用下，二次型的惯性指数是保持不变的。于是只需要找到二次型的任意标准型，然后统计其系数为 正负的平方向的个数即可。因此计算二次型的惯性指数有两种常用的方法，也就是我们前面所说的正交替换法以及配方法来看一下。 首先，我们求出二次型的所有特征值，而正特征值的个数即为正惯性指数，负特征值的个数即为负惯性指数。 第二种方法就是利用配方法将二次性化为标准型。系数为正的平方向的个数即为正惯性指数，系数为负的平方向的个数即为负惯性指数。 下面来看几个小算例， 来看这样一个二字形，他对应矩阵， 特征值是二重特征之一和单特征值负一。事实上他是这样求出来的，先写出对应矩阵，然后给出他的特征行列式， 显然有二成特征之一和单特征之负一，所以他的正惯性指数是二，负惯性指数是一。 再来看这样一个二字形，他可以利用配方法得到的标准形是这样一个形式。 事实上，我们利用配方法来求解一下。也就是对于这样一个二字形，我们先看 x 一的平方向，根据 x 一的信 来进行配方，将其配成这样一种形式，然后再将含有 x 二的信息进行配方， 得到了这样一种形式。然后我们再令 y 一等于 x 一加 x 二， y 二等于 x 二，减去二倍的 x 三，而 y 三是等于 x 三的， 所以就配成了这样一个标准型。显然他的正惯性指数是二，副惯性指数是一。 再来看这样一个二次型，显然他已经是标准型，而正惯性指数是三，负惯性指数是零。再来看这样一个二次型，他的 正惯性指数是零，而副惯性指数是二。 下面对本节的内容进行小结。首先我们学习了二次性的标准型的定义，是这样一种形式，然后学习了利用正交替换法来画二次型为标准型的步骤， 水分这样五步。 然后我们又学习了利用配方法画二次行为标准型，有如下的步骤。 最后我们学习了二次型的规范型、惯性定理及惯性指数等概念。 下面是思考与练习来看第一题，二次行在正交变换下，标准型是否唯一，变换矩阵批是否唯一？ 对这样一个问题是有条件的，也就是在不考虑系数的次序时候，二次性的标准型是唯一的，但是征交变换的矩阵批不是唯一的。第二题， 将下面的二次形划为标准形， 这里我们采用两种方法来做。第一种方法是正交变换法。 首先我们需要将二次行所对应的矩阵写出来，也就是矩阵 a 是这样一个形式。然后矩阵对应的特征方程 容易发现，对于这样一个行列式，我们将所有的列都加到第一列的话，它会产生一个供音子，就是栏目的减六， 然后再根据情况进行化解，得到这样一个表达式。 所以矩阵 a 的特征值有二，重特征值六和单特征值负二。对于重特征值六，我们求解如下的现行方程组， 显然系数巨认的质是一，他有两个自由为质量，所以可以得到他的基础解析是这样一个形式。 注意到因为可 c 一和可 c 二都已经正交，所以可以将他们直接单位化，可以得到如下的 at 一和 at 二。 再来看单特征支付二， 通过求解如下的线性方程组，此时系数矩阵的质是二，他有一个自由为质量，可以求得他的技术解析。可 c 三是这样一个形式，然后再将他单位化， 这样一来便求出了单位项链。 at 一、 at 二、 at 三由他们作为列项链组成的矩阵就是变换的正交巨阵， 而对应的特征值就是平方向前面的系数，所以我们可以得到二次性的标准型，是这样一个形式。 再来看第二种方法，配方法注意到，由于二次行中含有变量 x 一的平方向，所以将含有 x 一的像规定起来来进行配方， 可以得到如下的形式，然后我们便可以另外一外二外三是这样一个形式，于是二字形的标准形便可以写为如下的形式。 通过本题，我们会看到用两种方法解决同意问题的时候效率是不一样的，但是不是说配方法就一定比正教替换法要简单呢？ 上是不一样的，我们要具体问题具体分析。 第三题，用配方法将下面的二字形划为标准形， 注意到此题中不含有平方向，所以我们需要先凑出平方向，然后再进行配方。 一起来看一下求解过程。由于二次行中不含变量的平方向，仅含有交叉的成绩像， 所以我们需要做如下的一个非退化线性替换，也就是凑出平方向， 另， x 一等于 y 一加 y 二， x 二等于 y 一减 y 二， x 三等于 y 三，然后将相应的替换 带入到二次行中，可以得到如下的一个形式，进而可以对上面的形式进行配方， 通过逐次的配方可以得到这样一个形式，然后我们再进行变换， 就可以得到二次性的标准型，是如下的形式， 同学们也可以尝试一下利用正交变换来求他的标准型。 本次学习结束。

好，同学们，大家好，来，我们先把题目看一下。题目说二次型的规范型，为什么？那我们求规范型，大家想一下， 那求规范型是不？我只要去看我们的正惯性指数和 p， 这个正惯性指数 p 和副惯性指数 q 的个数是不是就可以了？ 所以我们去把这个题目两个思路。首先第一个我们可以把我们的二次行举证写出来，求出我们二次行举证的这个特征值是不是啊？所以特征值为正的个数和特征值为负的个数是不是对比出来？那第二种方法，大家是不是可以直接对我们的二次行进行配方啊？ 好，所以两个思路，两种方法。法医咱们直接用我们的特征指 是不是啊？好了，所以你直接写出我们的二字经。举针 a 拉姆的意见， a 的行列是解除我们的三个特征值，那特征值为正的个数，你们就对应去找，特征只为负的个数，你们也对应去找。但是我们我不建议你用方法。一为什么？ 因为他只是让你求规范型这个举证 a 的特征值，他可能会不好求， 就是他求出来可能没有那么顺利。所以说你要花费的时间比较久。所以我建议大家直接用法二啊，我们直接用我们的配方法就可以了 啊。同样，因为咱们啊，配方法也好，我们的正交变换法也好，是不是我们求出来我们的系数为正的个数啊？标准型之后系数为正的跟系数为负的个数是一样的对不对？所以直接配方法就行了。 f 第一个是我把所有的 x 一都给我整进去，所以说 x 一加 x 二的完全平方。 好哎。然后那你看，剩下领先照抄两倍的 x 二的平方，加上四倍的 x 三的平方，这是个减是吗？啊？减去一个四倍的 x 二， x 三，咱刚才多加了一个 x 二的平方，是不是就给他减去？减去，直接把这个二变成一是不就可以了？ 好，接着第二步是我把所有 x 二给我整进去，这里 x 二。哎，这里 x 二 是不很显然是个什么？ x 二减去个两倍的 x 三的完全平方是吧？很明显，这个刚好是一个完全平方。公式给我凑过来。所以系数为正的个数是不是 有两个？所以我们的规范型 f 是不就是个 y 一方加上一个 y 二的平方啊？ ok， 系数为正的个数为两个，选择的是二 b 选项。好的，我需要强调的是一个什么问题呢？就是如果同学们这道题目是小题，你可以这样做就可以了。但是大题你一定要加一步。加一步什么呢？ 因为我们一定要保证咱们的这个变换是可逆的才可以。所以说，如果是大体的话，你就要另 y 一等于 x 一，加上个 x 二， y 二等于 x 二，减去个两倍的 x 三， y 三等于个 x 三啊。然后我们证明变化的这个举证行列是不等于零，是个可逆啊。再说，我们变成了标准性啊，我们变成了这个 会反省，听明白了吧？啊，小题的话，这样做完全没问题。因为按照这个思路来，他的变化举证一定是个可逆的，他是一个接替型的。但是大体的话啊，一定要这个说一下，我们的变换是可逆的啊。听明白了吧。

同学们好，从今天开始啊，我们一起来学习先心单数的最后一项，那就是二次性。 二次行是先行代数的重要组成部分，在研究生入学考试的试题中，每年都会出现一到两题，有时候啊，他是以大分题的形式出现，有时候呢，他是以选择题或者填空题的形式出现， 但是无论他怎样出题，这一内容的掌握势在必行了。二字型的考研题型主要包含以下三个内容，第一，二字型的标准型和规范型。第二，正顶二字型和 镇定矩阵。第三，合同二字型和合同矩阵。对此啊，我们提出以下四点学习要求， 第一，理解二字型的标准型、规范型、镇定合同等概念。第二，掌握用正教变换和配方法化二字型为标准型的方法。 第三，掌握正顶二次型、正顶矩阵的判别方法。第四，掌握合同二次型、合同矩阵的判别方法。 那么今天呢，我们首先从二字型的标准型和规范型开始。那么到底什么样的二字型我们可以称为标准型呢？或者规范型呢？我们说只含有平 方向的二字型称为标准型，那么具体的展开形式就是这样的一个表达式，那么在这个表达式里面，真符号呢，已经分开了，其中的 d、 i、 a 都是大于零的，当 d、 i、 a 全为一的时候， 那么这个二次型就变成了这样的一个简单的形式，那么这个形式我们成为二次型的规范型。因此我们说规范型是标准型的什么特殊情形？ 其中 p 长数 p 啊，我们就成为正关心指数，长数 q 成为负关心指数， p 加 q 等于二，我们成为二次形的质也是对应句称 h。 好了，那么 对一个二十星来说，我们关心的是如何将一个二十星化为标准星，为我们的应用呢提供服务。对此啊，我们有两个重要的结论。 第一个结论呢，就是给了一个二次形，他说一定可以找得到一个正交变换，或者说一定可以找得到一个正交矩阵 q 可以将这个二次形化，为什么化为这样一个什么标准型？ 那么在这个标准性里面有两点需要给大家指出来。第一，变量已经换了，原来是关于 x 的一个表达式，那么现在是关于什么 y 的一个表达式，而且只含 y 的什么 平方向？第二，这个平方向前面的系数 number 一， number 二到 land in， 不 是其他的数，恰恰是矩阵 a 的什么所有的特征值。所以这两点在这样的正交变换下的这个标准型里面体现的非常彻底。 这第一个结论，第二个结论呢，就是给了一个二次性，我们也可以通过什么配方法将一个二次性化，为什么化为标准性？那么这个标准性里面也有两点，第一， 这个变量也都换了啊，变成了什么子涵娃平方向的一个表达式，但是他前面的系数没有刚才 绝对理里面那么明确的指向啊，但是第一道 dn， 他们也是可正可负的，那么这里所做的一个线性变化，我们记住 x 等于 c， y 这个 c 只是可逆的，但是没有要求是正交的，所以这两个结论他是有差异的。那么今天呢，我们主要就来探讨一下， 给了一个二次形，我们怎样通过正教变换花二次形为标准形？对此啊，我们提出以下六个步骤，第一步，求出二次形的矩阵 a， 第二步求出 a 这个矩阵的全部特征值。第三，求出 a 的属于这些特征值相应的特征相量。 第四，将这些特征相量正交化，单位化。这样我们得到一株正交的单位相量处，然后有这些正交的单位相量处，勾成一个正交矩阵，那么 写上也有对应的什么增交变化。最后呢，我们就可以把这个二次形直接写成这样一个标准的形式，那么在这个标准的形式里面，这个平方向前面的系数就是什么是对应的特征值。 好了，下面呢，我们就在这个基础上来看两个例子。首先请大家看立体，一， 立体是一个常规题，他说用一个正交变换画这样的二字型为标准型， 那么我们就把刚才的六个步骤，一步一步的和大家一起做一个体验。首先第一步我们要写出这个二次形的什么矩阵，那么这二次形的矩阵怎么写呢？大家记住一点，主对角线上的元素都 x x， 平方向前面的系数按照一二三的排列，依次主对角线上的元素也把它排列起来，所以这里的二五五就是主对角线上的元素的排列。首先把它确定下来， 然后看 x 一和 x 二这两个相乘，这两个相乘相当于矩阵里面的第一行第二列， 那么他这个前面的系数是四，我们放到矩阵里面去的时候，记住是折半，所以呢，我们就要写成二，然后根据对称型，那么这 第二行第一列也写这个二，同样 x 一三呢是第一行第三列的元数，前面的系数是负四，折半以后呢，那就是负二，那么根据对称型，这里也写负二，还有就是 x 二三，那就是第二行第三列的元数， 那么他的前面的系数是负八，值班以后呢就负四，这样我们就把这个二十型的矩阵就写出来了， 大家不要小看这一步，你写错了，后面的工作白做了，所以这一步一定要细心，细心最细心，不要写错了， 有了这步以后，我们第二步什么求这个矩阵的特征值，为此我们来看一下他的特征 多项式，这个特征多项式就是这样个行列式，对吧？那么对于这种行列式的计算对大家来说已经耳熟能详了， 所以这里呢，杨老师就简单的过一下啊，尽可能啊把某一行的呃两个元素变成零，另外一个元素不为零，然后通过第三行展开，这样变成一个二角行内饰，然后把二 建行列式求一下，最后我们得到这个特征多相似的这样一个表达式，然后呢，特征多相似等于零，我们马上得到什么他所有的特征值， 所以在这里面有一个特征者，一是他的二重根啊二重根，第二步我们也就完成了，第二步完成以后，第三步我们求这些特征值对应的什么特征项量，为此我们来看一下 number 等于一的情况， 难得等于一的时候，我们把它的特征方正写错了，那么这个特征方正我们要对它进行什么？出等行变换，我们想办法把它变成行最近行居正， 然后在到了行最前行矩阵以后，对应的方阵组。我们一直强调，看到这样一个矩阵，我们要想到一个对 定的什么几次限行方程组，那么这个几次限行方程组我们也很容易写错了，写错了以后呢，我们发现这里有两个自由未知量， x 二 x 三可以作为两个自由未知量，显然这个去基础解析就比较简单了，对吧？这个大家都有经验， 两个自由位置量，一个取一，另外一个取零，对吧？然后换个位置，这样我们得到两个线性无关的特征项量。二分一，二分二 好， number 等于一，它的两个线性无关的特征项量，我们找到了，下面我们来看一下。 number 等于十的时候， number 等于十的时候，它的特征方正，我们也把它写出来，写出来以后同样对它进行出等什么行变化，把它变为行 最接型矩阵，那就是这样一个导航最接型矩阵以后他对应的几次限行方式组我们也可以写出来了，写出来以后 我们可以求他的解，对吧？那么这里面自由位置量只有一个，为了避免分数的麻烦，我们把 x 一作为一个自由位置量，零， x 一等于一， 这个时候 x 三等于负二， x 二等于什么二，这样我们得得到特征项量二，负三也就清楚了， 这样所有的特征者对应的特征项量我们都找到了，这是第三步。第四步，我们需要对这些特征项量进行什么正交化，单位化。那么显然对于 number 等于十，他只有一个项量，我们只需要对他什么单位化就行了，但是 number 等 一，他有两个线性无关的什么特征项链，所以我们首先要对他进行什么正交化，为此根据史密特正交化过程，我们领贝塔一等于二分一，然后贝塔二呢？根据史密特增交化的这个公式， 我们也很容易得到他的一个像样的表达式。好，北塔一，北塔二我们都找到了，找到了以后，这集合阿尔法三把这三个项链再进行什么单位化。单位化以后，我们得到一组正交的单位项量，伽马一，伽马二，伽马三， 以这三个正交的单位相量，按照一定的次序排列勾成的矩阵 q 就是我们要找的正交矩阵，那么与他对应的对角矩阵就是这样的对 角矩阵，这里面的次序大家要注意啊，这里面对角矩阵里面一一是排在前面的，十是排在后面，因此对应的特征向量一一的特征向量排在前两列，那么十的特征向量就排在最后一列。 好了，这样的正教变换我们也就产生了 x 就是什么 q y， 然后呢？标准型呢？ 那就是什么？那就是瓦一的平方加上瓦一二的平方，加上十倍的瓦一三的平方，也就是他前面的系数，你只需要把特征值拿来就行，对吧？这样立体一，我们就说完整的求解完成了啊，就把六个步骤进行了彻底的企业。 下面我们来看一下研究生入学考试，他具体又是怎样出题的呢？我们来看 一个例题，二一二年的一个研究生考试题，他题目是这么说的，他说已知一个矩阵，那么这个矩阵是四行三立 已制一个二次形，这个二次形请大家注意看啊，他的矩阵怎么样？是 a 的转制成长一个 a， 而不是单独一个 a， 所以这个跟前面立体给定的这个矩阵形式上有一点不一样，对吧？他说这个二次形的字等于二，现在呢， 要你求，第一把这个矩阵里面的带定场数 a 求出来，写着 a 不求出来的话，后面的工作也不好做，所以这是首先要解决的第一个问题。 第二个问题就是要你求一个正交变换，将二次形化为标准形，所以第二个问题跟立体里面的 要求是完全一样的。所以下面呢，我们首先把 a 这个长数确定一下，要解决 a 这个长数的问题，我们需要从条件里面去寻找相关的等式条件怎么说的条件，他说二次性的质等于二， 那么这个二字型的矩阵，当然矩阵 a 告诉我们，以后他 a 的转制成了 a， 我们可以求出来，求出来以后他是一个三界的矩阵，三界矩阵是等于二，那么他的行列式肯定什么？肯定等于零，有行列式等于零，我们也很容易求出什么 a 这个常数的值，所以这是一种做法，但是我们在这里还会有一种更简单的做法，怎么呢？ a 的转折承让 a， 他的字与矩阵 a 的字，我们有 有一个性质，他们是相等的。既然 a 的质也是二，那么我们求质的方法，我们是对这个矩阵进行什么初等航变换，所以我们只需要对 a 矩阵进行初等航航变换，把它化为什么航最接型矩阵 就是这样一个表达式，那么这个做法大家都会，这个时候矩阵 a 的字和这个行最接心矩阵的字是相等的，所以这个行最新型矩阵之字也应该等于二，现在他左上角有一个二减分离指示，所以一加一必须等于零， 否则他的字就等于三了，对吧？所以从中我们得到 a 等于什么？负一，这个 a 就求出来了，那么这种计算方法根据比刚才我说的求错， a 的转制成了 a， 这一求他的行列是 等于零，去寻找，这个方法简单多了，那么那个方法同学们课后啊，自己可以试一下。好，第一文我们已经解决了，那么第二文的解决是让做法跟什么跟立体意思一样的， 只不过这个时候矩阵的寻找不是从这个二尺形的表达式里面去寻找，而是求他的什么求他的。呃，两个矩阵相乘，就是 a 的转制乘上 a， 那么由于 a 等于负一，已经知道了，所以 a 的转子乘上 a， 我们马上就出来了，就是这样一个表达式， 对吧？那么显然他也是一个什么十对称矩阵，所以矩阵写出来以后，我们第二步就是什么？就他的特征值，对吧？特征值就是求一个特征多项式，然后你这个特征多项式等于零，是吧？所以这个特征多项式的计算， 同学们啊，方法各有千秋啊，细心一点就行，这样我们最后得到什么他的表达设施，难得乘上难得减二，乘上难得减六，然后领他等于零，我们得到所有的特征者是零，二六， 好了，三界的矩阵得到了三个特征项量，这个情况非常好，下面我们逐个来求他的什么特征项量 number 等于零的特征项量，我们通过什么 特征方阵啊，对这个特征方阵进行触动行变换，那么这里呢，我就不把他的什么这个对应的几次先行方阵组写出来了，我们直接通过这个矩阵行缀进行矩阵，我们可以想到对应的什么。 其次限行方程组，显然这里 x 三是什么自由未知量，我们取它等于，那么 x 一 x 二 就是两个负一，所以我们得到一个特征项量二负一同样 number 等于二的时候，我们通过他的特征方正进行促动行变换，我们同样可以得到他的特征项量二负二， 还有什么 number 等六啊，也得到一个特征项量二十三，这样三个特征值对应三个特征项量。 由于所以不懂特征者的特征项量都是什么两两正交的，因此我们要寻找一个正交变换，也就是要找一个正交竞争 q， 我们只需要把这三个特征项量怎么样单位化就行，所以单位化以后， 我们就得到三个正交的单位限量港码一，港码二，港码三，以这三个正交的单位限量作为立限量构成的这个矩阵。 q 就是我们要找的，是吧正教矩阵，这样对应的正教变换也就清楚了，那么在这个正教变换下，年内的二字形我们很快就把它化为这样的一个标准性， 那么在这个标准型里面，变量换成了 y， 只含有 y 的平方向，前面的系数就是特征值， 这样这个题目就算完整的剪完了。所以通过例题例题二的讲解，我们把啊用正交变换画二次性为标准性的六个步骤进行了详细的什么详细的解读？ 希望同学们课后啊这个回去消化一下，特别是立体二这种研究生出题的方式，我们要细细的体会一下。 然后呢，去完成下面三个轴一题，其中第三个也是一个研究生入学考试题。对啊，他的核心仍然是需要寻找一个政教变换，但是前面同样需要寻找什么？两个带定的常数。好了，今天的课我们就讲到这，谢谢。

给了二字形，让你求正交变换，画上标准型，对吧？正交变换你得求到这个 q， 标准型，你直接这么写。其实我们在求完举证特征值的时候就已经可以得到标准型，对吧？但是呢，你需要求 q， 现在开始第一步跟上你来写二经举证，第一个 a 等于几？怎么说呢，主对角线元素写在 写什么？写平方向前的系数叫一二负二来，然后这个位置叫一三，一三位置取一半分。在一三就是第一行第三列以及第三行第一列就这两个位置各取一半，取啥？取二，所以这是二， 这是二，其余位置都是零。好了，这是个什么对什么阵？这叫，这叫一个对称阵，十对称阵再来第一步结束，第二步求特征指以特征项链。怎么求第二步啊？求特征指以特征项链。怎么求？是不是上来给我写一个那么大杯的意见？ 哎，想起来了没？这个要不要我给你再分解一遍？不用了吧，直接是写啊，南么的背的一步就是南么的，南么的，南么的对角线三个南么的，对不对？然后你剪他，你想是不是叫南么的减一，南么的减二和南么的加二，剩下位置是不是添负号， 可以跟上吗？叫那么的减一零，负二零，那么的减二零，这叫负二 零，那么的加二。然后干嘛计算？他计算这个行列式，让他得零解出那么的的三个值， 那这个行列式呢？你看，这叫讲到我们刚才讲的展开定理，你有没有发现第二行除了中间这个位置以外，其余两个位置都是零？如果我把这个行列式按照第二行展开，如果把它按照第二行展开啊，朋友们看看啊，按照第二行展开，他会得到什么？他就会得到零 倍的 a 集结。 a 二一，加上那么的减二倍的多少？ a 二二，再加上零倍的 a 二三，这是今天讲的展开定理吧，按到某一行展开，那么这两个都是零，咱是不管了，是不是只剩一个他了？ 那 a 二二是啥东西啊？ a 二二就是负一倍的二，加二 m 二二 m 二二叫 鱼子式， a 二二叫代数鱼子式，对吧？鱼子式的话叫除去第二行，除去第二列余下的子式，那就是多少？负一的四次方是个正的。哎，所以呢，就是 那么的减二，多少去其第二行，去其第二列，那就是那么的减一，负二负二，那么的减二。好吧，这是最后一道题了，讲完就下课，你算他就相当于把他算一下，哎，这个就是二级，二级最好算 把它主对角线一乘减去负责有线吧，来看着啊，那就等于那么的减二，主对角线是那么的减一，再乘以那么的加二，再减四。来，我们化减化减，这叫那么的方减那么的加二，那么的减二再减四， 这是减六。哎，减二再减四，减二再减四，等于减六，对吧？叫那么的方加那么的减六，呃，减六，那是一个三， 一个二，到底谁是负的呢？那，那，那，那这个是负的，对吧？那就是那么的减二，那么的加三，所以呢，他就变成了那么的减二的平方，然后呢，那么的加三得零。为什么要按第二项第二行展开？因为第二行只有一个位置，你可以按第二列展开都行，因为我想计算这个行列是让他简单， 你考试也就写到这一步了，你别急吗？你还可以再写一步。写成什么？推出那么的一等于那么的二等于二，那么的三等于负三，这能写吗？这不特征值出来了吗？特征，特征，特征项链，哎，哎，特征值出来了对不对？ 怎么就得三分？这道题必须拿满分，接下来干什么？接下来求特征项链。来，我带你。求啊，特征项链怎么办？对，你今天必须得把这个题目给我抄一遍，回去给我抄一遍，跟着我抄。展开，没有任何条件，你想怎么展就怎么展来。对于那么的一等于那么的二， 注意了，这叫什么？根？重根，重根，要注意什么重根？你要注意，在计算的过程中要干嘛？要正交化对不对？有什么？是不是把这个二，把这个特征值带哪去？带到我们的这个叫二倍的一减 a 等以谁 x 得力，咱是不是算这个方程组有没有印象？哎？这个球特征项链的会不会不会再回到这看一遍？再回到这看一遍哪去了？这呢？是不是对于他的时候，把这个人等于零，往哪带？往这带往哪带？往这带，零倍的一减 a 乘 x 得令，求出这个 x 就是他的特征项链，对吧？来，是不是？所以你要求他的减，是不是把他的系数矩阵给我列出来画成行最减，有印象吗？所以是不是直接来写出来啊？这个系数举阵怎么看？ 是不是把这个二一减 a 往哪带？这不二一减 a 吗？就带到这里面去，你看吧，二减一是多少？二减一是一，一零负二零负二，二加二是四，所以呢，就是一零负二零零零 负二零四，得到这个，其实你应该知道他是两个根呐，两个根一定对应的是这个方程的质，一定是一， 为啥一定是一？因为他得解出两个解来，没问题吧？所以呢，他一定得是啥你都不用看，其实你看一下也行，他直接画一下不就是成比例的吗？直接约掉了好不好？这不一零负二，根负二零四不成比例吗？那直接操作一下肯定能把它变成零吗？没问题吧？嗯， 好了，写到这里你要干嘛？你要给我找到两个解？朋友们，这刚才咱们说的啊，你要在求解的过程中要避免他是不正交的。 所以咱们刚才怎么说？我们说的是你现在先思考一个问题再回来啊，再回到这来。我当时怎么写的？这么写你是不是乘以 x 一，乘以 x 二， 乘以 x 三，要得到的是零零零，我再讲第二遍听好，在这怎么算，对吧？我要解除这个东西，怎么解？首先这两行咱不看了，因为这一行乘以这一列得到的是这个零， 这一行乘以这一列得到是这个零，咱就看这个零怎么来的。这个零的得法是这一行乘以这一列得到的这个零。咱们就想， 我首先得保证先求出一个解，让他们两个的点击是零。那你怎么样才能最好呢？是不是这取零，这取零，这取个一， 有没有问题？零零一对不对？所以你是不是有一个阿尔法一，能看出来叫什么？叫零一零？再来，你再找一个，你再找一个人，那这个一的位置，你给他写个零，为什么你给他固定成零， 这样的话他和他点成一定是零，能懂吗？他和他点成一定是零，剩下就这两个位置满足他们不就行了吗？没有是啥意思？没看懂是吧？就他乘以他加他乘以他加他乘以他得等于零， 所以这个地方是个一，你写二也行，你写三也行，你写几都行，对吧？你再来，你再找一个，就是首先让他为零，首先让他为零。为什么让他为零？你得保证你求出来这个 f 二得跟他是垂直的，对不对？ 所以你得是零，因为一乘以零才能是零，这两个地方零去点成这两个位置都无所谓，懂吧？所以现在这个地方是零，你先只需要研究他们就行，对吧？一乘谁乘个二负二乘个谁乘个一零，所以你是不是有一，第二个叫做尔法。二 等于啥？等于二零？哎，写错了，是二零一，二零一对二零一。独立项链的个数，最简单的理解就是这个方程里这个举针里独立项链的个数。怎么判断垂直啊？ 怎么判断垂直？两个项链怎么垂直？内机为零就垂直。比方说给你举最简单的例子，这个叫直角坐标系 x 叫幺零，这个项链 外叫零幺，他俩为什么垂直？这不垂直吗？为什么垂直？因为他俩内机为零。什么叫内机？就对应的位置这个零啊，得乘以他加上这个一乘以零加一块的盒，这叫内机，懂不懂？好了吧。所以 f 一 f 二结束来再 看，你猜一下。对于那么的三，他是负三的时候，我的姐，我是不是可以直接看出来？ 为什么我要求三个人垂直，第三个人一定是他叫幺零，负二，对不对？不信你看把这个负三往这带，是不是？把这个系数举证给我写出来，把负三带到哪去？带到这来？负三， 那这个地方是负三，对吧？负三的话就是负四喽，零负二负五喽，对吧？负二零负三加二是负一喽， 对吧？他俩肯定可以约掉喽，所以一定会留到这个这个程度，对吧？好，开始啊，负四零负二，负四零，负二， 负五，负二零负一， ok， 搞定。通过初等变换，我一定可以把第一行写成什么负二零负一， 这个地方写个一，这个地方写个零零零，有没有问题？这不初等变换吗？你猜幺零负二，对吧？猜对了，是不是猜幺零负二？你想，你要求，你要求想让既跟他垂直又跟他垂直，那不就是他，你不信你算吗？ 对吧？不信你这个地方写一个啥幺零负二，你看看能不能解决。首先这一行和这一列相称，得到的是中间这个零，没问题， 这一行和这个列相乘，负二乘以一是多少？负二乘以这个一幺零负二吗？是负二一，负一乘以负二，不知二， 这俩加一块就是零，对不对？哎，所以你直接可以大胆写出来，那么的三啊，阿尔法三就是幺零负二。来，告诉我，写到这里，这这两个项链是不是叫以正交？是不是不用再正交化了？ 而我们的三个人都垂直，能同意吗？以正交啊。所以你是不是发现刚才没懂，你再做一遍这个题，你好像懂了一些了， 懂了一些，回去这个题要好好抄一遍，完了之后再翻回去把刚才那个题再做一遍。现在你得到的这个步骤是不是已经是正教完的了？我们只需要单位化就行。单位化多简单呢，除以自己的膜，长这个膜就是一，不用除。这个膜是根号五，这个膜也根号五，对不对？所以来吧。怎么办？ 开始啊，算了，直接给你把这一页水平改成垂直，这样不就行了，对吧？继续啊，那直接 干嘛呢？来令 p 等于 rf 一， fr 二， f 三，他是谁？ 他是零幺零二，零幺幺零负二，这三个人给我干什么？做单位化对不对？单位化画成谁？零幺零除以自己的魔肠。魔肠会除吗？ 膜吗？二的平方加零的平方加一的平方开根号根号五吧，零根号五分之一， 然后呢？根号五分之一，领部的根号五分之二。结束，这个人谁叫 q？ 第三步完成了，直接给我写第四步来。第四步怎么抄来着？叫 f 在 x 等于 q y 条件下写成那么的一外一方那么的二百，二方那么的三百三方那么的一，谁那么的一在哪？这呢？一和二都是 二啊，所以拿来写 f 在正交变换下 f 四等于 qy 等于谁？叫二倍 y 一的平方加二倍 y 二的平方再加上减去啊，减去三倍的 y， 三的平方就结束了。 p 的举证叫什么名字？叫可逆举证。什么时候施密特？ 这辈子尽量都别施密特了。好了，我讲完了，朋友们，你们的任务是？这道题目，回去赶快趁热打铁，在球赛开始之前再写一遍。然后呢？转而回来给我把这道题再写一遍。 第四题赶快回去写，你要不写一会你看完球马上忘，马上就忘，懂吗？没来的，来晚的给我抄一遍。跟着我抄一遍。

好，我们现在呢拿一个具体的二次行，这是一个二次行，他现在是非标准行，他说你给我找一个镇交变换， 把这个标准型，把这个非标准的二字型变成标准型。 那么我说了这道题的核心任务实际上就是前面我们讲的十对称句阵的对角化问题，找正交变换，把这个十对称阵 对讲话，那么我们就来啊，一步一步的来做。首先把这个二次行的矩阵写出来，二次行就是行向亮成方阵，再成列向亮，那么二次行 的矩阵显然就是对角线是二二二，那么交叉相要除二，第一行第二列二除以二， 一一第一行第三列二除以二，一一第二行第三列二除以二，一一。好了，我们就把这个矩阵勾造出来了，剩下来我们就来求找一个正交矩阵 q， 把这个句正哎相似对讲话，那前面呢，我们啊专门讲过例题，那这我们相当于呢，再来复习一遍。 第一步，求拒正 a 的所有特征值，那我们就得到了他的特征值有三个。第二步，求所有这些特征值对应的特征 项链，那那个特征项链我们前面想说一定是两两垂直的，而且是单位的，那么我们现在啊， 先求当那么的一等于那么的二等于一时，先求他二重根，这里头一定要找到两个线性无关的，所以我把这个一带着这个方神组， 哎，就得到了这样一个行注减刑，他对应的方程就是 x 一加 x 二加 x 三等于零，三个位置速一个约束条件啊，三减一等于二，有两个可以自由变化量选 x 二和 x 三，那么 我们就由 p 一就等于幺零，负一就是 x 二取一， x 三取零， 那么 x 一就是负一，那么 p 二我们前面写了，不写了啊，不写那个 p 二了。这个时候呢，我们用前面教的方法， 要镇交化的法啊，叫系数待定法，我们写个 p 二， p 二写什么呢？构造一个跟他垂直的，构造一个跟他垂直的项链，哎， a b 就跟他垂直。因为你是正一和负一，所以我这两个 a 一样，底下再写一个 b， b 乘零还是零，所以显然 p 一和 p 二是垂直的。紧接着我把它带着这个方程， 把它带到这个方程里，确定 a 和 b 的关系，那么带进去就得到了 a 加 a 加 b 等于零，那么 a 加 a 加 b 等于零就是二， a 等于复 b， 那我选一个 整数，整数级，那我觉得了 p 二就等于 b， 我如果选二的话，那么 a 就是一，就是负一， b 选二， a 选负一，哎，刚好就是这个方程组的键。同时 p 一和 p 二也是垂直的，所以我就得到了这个方程组两个线性无关的减项量。当然他俩的特点是相互垂直的， 下一步就要把它变成单位性单位化。 p 一除上一个他的长度，就得到了 q 一。 q 一就等于 for 一方加正一方是个根号二，所以根号二分之负一，根号二分之正一和零，然后再来写 q 二。 q 二 就等于负一的方加负一的方，加二的方是根号六是根号六分之负一，根号六分之负一和根号六分之二。 q 一和 q 二是矩阵 a， 所以一的 相互垂直的单位特征项链。好，我们再来看当拉姆达等于四时，我们求对应的防尘组得到的解项链啊， p 三就是幺幺幺，把它单位换以后， q 三 就变成了根号三分之一，根号三分之一，根号三分之一。好，最后呢，我把 q 一 q 二扣三写在正焦矩阵 q 中， 就得到了根号二分之负一，根号二分之一，零负的根号六分之一，负的根号六分之一， 朕的根号六分之二。最后是根号三分之一，根号三分之一，根号三分之一啊，我们可以啊，验算一下他们是不是 长度唯一的项链，再来看一看他是不是两两相互垂直，显然他是一个啊，正焦矩阵。那这个时候呢，我们就可以最后写出，那么你 x 跟 y 的关系就是这样一个关系啊，这个叫 q 啊，叫 q， x 和 y 的关系就是 x 项量等于 q 成 y， 那么我把这个关系 带上这个二次行李，那么我们就有 x 啊。 f 就等于 q， y 的转至成 a， 再呈上一个 q， y 突破号就得了。 y 转至 q， 转至 a， 再乘 q， 再乘 y， 我这再错，我括不括号？前面我们将专门讲过一个十对称正对角化的问题，那么这他一定 是一个对矫正。有同学说，哎呀，不对呀，我们上一堂课前面一直讲的是 a 的逆居啊， q 的逆居居然成了 a 等于 q 啊，你现在是转至啊，是不一样的呀。 哎，是不是我们同学又把这个镇交居镇特点化，镇交居镇特点就是 q 的逆就等于 q 的转制 啊。换句话说，为什么我们前面要对十对称证进行 对角化呢？或者为什么要用一个正焦阵来对十对称对角画呢？实际上就是为了这里啊，本来是一个逆，逆刚好是转至，那在这里刚好可以用，也就是说这个时候就等于崴转至成上一个对角正成上一个，哎，那这个对角正 就是我们前面讲的三个特征值构成的幺幺四，拿最后一步就写错，幺幺四， 一倍歪一方，加一倍歪二方，加上四倍歪三方，哎，这就是最后，这就是最后二次弦，标准的二次弦，你找到的镇交 去镇就是这个 q， 这就是那个镇交变换。这道题就讲到这里。

我们来看第十八题，第十八题是一个二次行的题，二次行的题呢，实际上的核心呢，还是我们这个 求特征值和特征相量的一个题，他说要找一个正交变换，把它变成一个标准型 正交变换。啥意思？要变换就是你本来啊，有一个 x， 你要找出 x 和 y 的一个关系，这就是一个正交变换， 就是找这样一个关系， xxxxxxx 列项量，完事另外一组列项量啊，完一，完二，完三 啊，那么他俩之间呢，是一个正交变换，屁呢，一定是个正交矩阵，那这个时候呢，我们就来找屁， 首先把 f 写成矩阵的形式，就是 x 一 x 二 x 三， 那这边就是啊，这是这边就是二一二零零，把这个负四拆成一半，你一半，我一半零零，那就是 x 一 x 二 x 三， 这乘出来。我们来看一下第前面这个矩阵啊，只有一行一行乘三列，这是三行乘三列，这是三行乘一列，这俩一乘就变成了一乘三的，这俩再一乘，哎，这是啊，这是 这三乘一啊，这俩一乘就变成一乘一了啊，你二字琴就是一个一乘一的啊，所以说没有错。那么这个时候呢， 我们就要对这样一个矩阵，我们把它称为 a 啊，我们下一步就说 f 啊，就等于 x 转至乘 a 乘 x， x 是啥？ x 就是我们说的 一个列项量， x 一 x 二 x 三啊，就是这样有关系，现在剩下的就是对 a 矩阵， a 用我们前面学的知识把它变成对角矩阵，所以我们先来求他的特征值， 这是球 a 的特征值的特征，方程组对角线减那么大。 好，那么这个呢？嗯，零比较多，所以说呢，我们很快能求出那么的一等于零，那么的二等于一，那么的三等于四。哎，这个过程呢，我们又省略了， 这个很快的能够求出来三个特征值，分别是零一四是不像相互不同的，那这个时候我们分别来求，当那么的一等于零时，那就是解这个方程组， 那解这个方程组，那就是他的细数矩阵就是二零负二零一，零负二零二， 第一行把第三行削成零了，同时第一行再除一个二出来，就变成幺零负一零幺零零零零。哎，那么这个方程组的 限行无关的解项量可以找到一个，那就是 x 三，要取一的话， x 一必须取一， x 二指的是六，那这就是他的一个项链。我们继续来看，当那么的二等于一时，那我们就要写 a 减一， x 的解对方式，组队要向前一，那么他的系数区分就是一零负二零零零负二零一， 第一行就是幺零负二，车上 二加进来就变成零了，变成零了，乘上一个正二加进来，那这个地方呢，就变成了 负十，负三除以负三变成一一六，把这个二变成零，所以最后的结果是幺零零零零幺。哎，那么这样一个 方程组好的同学就又不会了啊。这个方程组实际上呢，没有对 x 二任何要求，但是 x 一不能胡乱变，必须等于零， x 三也必须得，那 x 二取几呢？最简单，取一不要取零，取零是零限量就不对了。最后一个， 当那么的三等于四的时候，要解释， a 减四亿等于零，组对角线减四就是负二零负二， 组对角线减四是零负三，零负二，零负二。 好，那么我们一化解，你变成幺零幺零幺零，那么他对应的限行无关的，仅限量 x 三，如果取一的话， x 一取负一， x 二只能取。这个时候呢，我们三个练相量 就写出来了，下一步就来构造振焦矩阵，振焦矩阵要求这三列是单位响亮，所以我们一说 p 就等于 单位换，他的长度是二，那就是根号了，根号二，根号二分之一，零，根号二分之一， 他的长度，哎，刚好是他的长度依然是根号二，根号二分之负一零根号二分之正义啊，这三个项链显然是两两垂直的，那我的屁就找出来了， p 着出来以后呢，我们就可以啊，带到这个等式里。 f 你不是等于 x 转至乘 a 乘 x 吗？你又知道 x 啊？ x 就等于 p 乘 yx 和 y 的关系就是一个正交变换的关系。把这个 x 带进去，那我们得到 f 就等于 p y 的转至乘 a， 再乘上一个 p y， 我们把它啊括号展开，就是 y 转至乘上一个 p 转至乘 为陈皮陈白。我把这当成一个整体，就是我们啊，前一张啊，就前一个知识点学的特征值，特征项量的真教化问题， 他的转痣就是他的力，因为他是个正焦阵，那这的结果刚好是个对角阵。哎，刚好是个对角阵，对角阵的特征值啊，对角阵元素是多少呢？就是我们刚刚求的三个特征值，零幺四啊，零幺四，所以他最后的结果就是 零倍的为一方，加一倍的为二方，再加上四倍的为三啊。哎，这道题就讲到这里。

同学们好，我们现在来学习用配方法画二次型为标准型的问题。 我们前面学习了镇交变换， 今天我们来学习配方法。配方法实际上是中学的一个知识点 啊，非常简单，但是呢，呃，写的过程呢，比较多，所以我先写出来，为了节约时间。 第一个例题说，这是一个非标准的二字形，请你把它变成标准的二字形，当然你是要找到一个可立可立正，就我们原来是一定要找正交举正， 现在你要找一个可逆针就可以了。那采取的方法就是，首先在二字形里头找有 x 一的像，这是 x 一的，再找啊，这是 x 一的，再没有了，所以把这两个像单独的用括号括起来，然后来琢磨， 琢磨什么呢？这一定是关于 x 一的。什么样的平方才能得到这两项呢？显然 x 一加 x 二，看 x 一加 x 二的平方就这两项，但是多了一个 x 方，所以我后面把这个 x 方剪掉就行， 这个等式还是沉好，那这个时候呢，就把 x 一就成功的扫掉了，就相当于我们是打扫卫生，我们先把 x 一解决了。好，现在来看，后边像里头关于 x 二， 我把所有关于 x 二的放在括号里啊，后头再没有 x 二这个事，我再来想，这又是一个什么的平方向呢？显然是 x 二加二倍 x 三的平方， 那这里头会多了一个什么呢？多了一个四 x 三的方，那我再减上一个四 x 三的方式，后头是加五 x 三的方，所以我们最后就得到了 x 一加 x 二的方， x 二加上二倍 x 三的方针，漏漏方形上方，然后再加上 x 三，那这时候不就是变成了标准型了吗？那当然，你还要再说， 我让第一项叫歪一，让第二项叫歪二，让第三项叫歪三，人家要求那个肯定去认了。啥去认？就是这个 x 和 y 的这个去认。 你现在写的是用 x 来表示 y， 那很快的，我可以把它翻过来，用 y 来表示 x， 左边是 x 列项链， 右边是歪裂响亮，他俩之间的关系显然是这一行哎，一个歪一减，一个歪二加二倍个歪三是不等于 s 一，所以最后你算出来，人家要求的肯定矩阵就是这个矩阵啊，把它叫 c 也好，屁也好啊， c 就是这个矩阵。 那标准的二次行是什么呢？当然是啊，最后的标准二次行就是完一方加完二方加完三，这就是完一，这就是完二，这是完三。好，第一个例题就讲到这里，我们来看第二个例题。 第二个例题稍微复杂一些，他的方法是一致的，还是找关于 x 一的项。 x 一， x， 哎，只有 x， 哎，只有 x。 好，把这三项呢放在一个口号里来研究，他一定是谁的平方 得到的。想，显然是，你看有 x 一吗？肯定有 x 一的方， x 一在里头吗？这有个一和二，所以我一定有 x 二。你是四倍关系，所以我是二 x 二，你这是负的 x 三，所以我有个 x 三。显然这样一个 平方就可以得到 x 一的方，可以得到二倍的二二得四啊。四倍的 x 一， x 二可以得到富的二倍 x e x 三多了些啥呢？是不是多了一个他的平方，最后把他的平方减掉。 是不是多了一个他的平方，我把他的平方减掉，还多了一个这两项的乘积，这两项的乘积还要乘个二，所以多了一个负的四倍 xrx 三，所以我再给他加上一个啊，加上一个四倍的 xrx 三，那么剩下这三项就把它抄下来就行了。好， 关于 x 一我就扫清楚了，没有 x 一了，后边再来扫 x 二，把关于 x 二的像或在口号里再来研究他，他是谁的平方，当然是 x 二减上二倍 x 三的方， 那这个时候就多了一个四倍 x 三的方，这刚好是这个四倍 x 三，再减上个四倍就没有了。减完了，减完了怎么办？没有关系，这就叫玩一啊，就把第一项叫玩一，第二项就叫玩二。那玩三 在哪里呢？歪三，你如果不写的话，这样一个矩阵呀，他的变换呀，不是一个方阵，当然就不是一个可逆变换。你要找到可逆变换，所以你再加上一个歪三，就等于 s 三。好了，我把它可以写成用歪来表示， x 一乘来一加负二乘来二加负三乘来三，算出来你就是 x 一啊，以此类推。这就是找到的那个可逆居的 c 啊，这就是这个 c。 显然他是一个 上三角矩阵组，对角线不是零，所以他的行列是不等于零。行列是不等于零，他一定是可逆的，你是要走可逆矩阵。那标准型是什么呢？标准型答案就是 y 一的方加上 y 二方， y 三没有了 y 三，前面的系数等于零。可以这样理解。好，我们来看 最后一个例子。最后一个例子呢，就稍微有点奇怪，奇怪在哪里没有平方向， 没有平方向呢？我把这两个拿在一起呢，没法，没法配方了，所以他有个新的方法。什么方法？当你没有平方向的时候，我让这个 x 一就等于 y 一加 y 二， 我让这个 x 二就等于玩一减为二，你看这俩一乘就有平方向，当然 x 三就等于白三啊。有这样一个方法，就是你没有平方向，我给你变成了有平方向的情况。 我把这个 x 一 x 二 x 三带进去，就变成了 y 一 l y 三的一个二字形，那么这个二字形一化减，我们用和立一立二相同的方法，和 y 一有关的给它拿出来，就说这两个，显然我可以配成 y 一 减二倍 y 三的方。多了个啥？多了一个四倍 y 三方，我把它再减掉，把后边照抄再化减，我们把啊 x 一啊 y 一啊 y 一就扫清楚了。现在我们再来把 y 二相关的像拿到这里头来，显然他是 y 二加三倍 y 三的方， 那最后呢？把 y 三再给化解，就得到了这个项的平方，第二项的平方再加上个五倍 y 三方，于是我让他等于 z， 让他等于 z 二，让 y 三等于 z 三，这写的是 y 到 z 的关系，那很容易的就可以换算存 z 到 y 的关系，那这是啥？这是 y 到 s 关系。哎，这就是对应的这个举证，那么这就对应的这样的举证。你最后写出来的是 z， 看，这是你的 z 方， 这是个 z 二房，这是 z 三房，所以你要找到 z 和你原来这个 x 的。这就是我们最后的要求，得到了那个居镇 c， 这就是那个居镇 c， 这个居镇 c， 他依然是一个肯定居镇，我们可以验算，因为这是个肯定居镇，这也是个肯定居镇，当然这也是个肯定居镇， 那么最后的标准型是什么呢啊？最后的标准型，这就是 z， 就是 z 一方减上一个 z 二方再加上一个五倍的 z 三方，哎，这就是最后的标准线 扫寻找到那个可逆变幻，就是这样一个可逆矩阵。 那么关于配方法，画二字形为标准型的方法，通过这三个例子做了一个简单的介绍，谢谢大家。

哈喽，大家好，这里是长颈鹿数学，我是长颈鹿国歌，我们今天继续来进行线性弹术当中的二次型内容学习。首先来看题目，用配方法化减二次型 fx 一 x 二 x 三，等于这样一个式子的标准型，我们要注意的是如果用配方法化解的话，尽可能去找二次相和一次相啊。呃，平方向和二次相这个关系啊，一起来看。 f x 一 x 二， x 三等于 x 一方加 x 二二倍的 x 一， x 二加四倍的 x 一， x 三减去四倍的 x 二， x 三加三倍的 x 二方， 我们对于他进行处理，那么首先第一个我们把这三项哪三项 前三项去进行一个合并， x 一方加上二倍的 x 一加 x 二，加上四倍的 x 一， x 三减去四倍的 x 二， x 三加三倍的 x 二方。我们首先先讨论这个问题， 那这样的话，我如果构成平方向的话，我如果构成平方向，我怎么样去做呢？首先 x 一加 x 二，这可以进行一个完全平方，对吧？ 你要注意的是他们俩如果进行完全平方，是不是差一个 x 二，对吧？ x 二的一个平方，那么后面这还有一个 x 一和 x 三，那么我们去进行化检和处理的时候进行增补项，那你可以知道这应该是 x 一加 x 二加上二倍的 x 三，那么多了，多了一个 x 二，那么我们就要进行一些处理，怎么处处理呢？加上二倍的 x 二平方，减去八倍的 x 二， x 三 减去四倍的 x 三方，是这样的一个情况，原本是 是三个，我们原我们现在用了一个，那么我们把其余的放进去，是这样的一个情况，进行一个合并的一个过程，一个三向的一个平方向还是一样， 也符合我们这个完全平方式的一个情况，我们进行填补，增添一个处理过程就可以了，那么做到这里呢，再看看最后的这部分内容，我们能不 for 去进行合并，进行配方，然后 x 一加 x 二，加上二倍的 x 三方，加上剩余的应该是怎么去配呢？这两项我们可以去进行一个提取供应，是二，对吧？二倍的 x 二方减去四 x 二， x 三，再加上 四倍的 x 三的平方，后面呢，应该是减十二倍的 x 三方，对吧？是这样的一个情况，最终的化解结果是， x 一加 x 二加二倍的 x 三方加上 二倍的 x 二减二倍的 x 三平方减去十二倍的 x 三方，这个整体都是用到了完全平方式，三项的完全平方式和两项的完全平方式是相同的，要注意这个问题，如果大家不是 很懂，希望大家动手去做。听完这个题视频以后动手去做啊，我们接下来怎么去做呢？第一部分的平方我们另为另 x 一加 x 二加二倍的 x 三等于 y 一，那第二部分 这个地方我们另为 y 二，什么呢？ x 二减二倍的 x 三等于 y 二，然后 x 三 等于 y 三。要注意的是我们平方向前面的系数不用管它，那么我们对于它进行化减处理，我们要求一下 x e x r x 三的值， x 三呢和 y 三相等，我们把 x 三等于 y 三带入到上面这个式子当中，我们求解 x 二，那么得到的结果是啊， y 二加二倍的 x 三，那么 x 二 x 三都有了，我们两个两者都带在 y 一的这个式子当中，第一个式子当中应该知道 x 一的一个表达是应该是 y 一减 y 二减四倍的 y 三，对吧？是这样的一个情况， x e x r x 三用被 y 去表示了以后，那么二字型的标准型 你应该知道了吧？怎么样去表示呢？ f 等于 y 一方加上二倍的 y 二方减去十二倍的 y 三方，是这样的一个表达形式， 我们用配方法去化解。二次型作为标准形式，若二次相当中如果有平方向的话，要用配方化成二次行为，几个完全平方的和 或者是插的形式。这道题目就是连续去用这个形式，然后再进一步进行变换，这是这道题目的核心。好了，我是山西路博哥，我们下段视频再见。拜拜。

好的同学们，大家好，今天是距离二零二一年十月份自学考试还剩两天的时间啊，也是我们最后一次分享 零四幺八四现行代数这一门课程的知识点了。我们今天来分享的是第六章十二次行的一个非常常规以及高频出题的大题啊，叫做利用 正交变换法化二次行为标准型的这种例题。 ok， 那么今天我们首先来先回顾一下这个解题的步骤啊，我们先来看第一个， 首先作为这种大题啊，给出一个二次行，我们毫不犹豫的要把他的二次行的矩阵写出来。好，那么这里老师问下大家，二次行矩阵他是一个什么矩阵啊？你不能说他是个方正啊，他当然是个方正二次行矩阵，他是一个 十对称矩阵啊。好，那么十对称矩阵一出来，他的正焦相似标准型不就有了相同的概念了吗？所以我们做的变换可以记借助这个正焦变换化二次行为标准型啊。好，第一步画出这个矩阵， 第二步，我们要去把这个十对称矩阵的特征值以及特征值对应的这个特征项链啊，要找到，因为特征值 他就是拼标准型的系数的原料啊，特征值与特征相量，而且对于一个十对称居证来说， 他是不是必然可以相似对角画的，大家想一下是不是？所以呢，我们一定能够去求特征值，特征销量，使得他得到一个对角证啊。好，这是 第二点，第三点，这里我们要找的是正焦变换啊，所以这个屁矩证他是一个什么证？他是一个正焦正啊，正焦正啊，比可逆正他的要求更高啊，正焦正，他要求的是 无论是行还是列的项量组，他必然是正交的，对不对？所以他的项量必然要求是正交化的，两两正交 好，除了这个之外呢，每一个项链他必然是标准的正胶项链啊，也就说他的长度必须要是一，所以我们这里面要去对这个球出来的特征项链要进行两个问题，一个叫做正胶画 对不对？一个叫中焦化，一个叫做单位化啊，这样 两件事情必须要去考虑好，那么我们首先来看单位化的啊，正焦化的问题啊，正焦化并不一定要做， 这个地方有的时候特征项链他是正焦的啊，就算出来这个特征项链他天然正焦，那么这个时候正焦化就不需要去做， 如果这个特征现在还不正焦的话，我们如何正焦化呢？这也是大家思考的问题啊，也是我们教材上的一个非常重要的问题，叫做利用施密特正焦化法啊，利用施密特 施密特正焦化法，把一个项链以及对应的这些其他的项链给他正焦化啊。好，那么这是两个问题。好，除此之外，我们还要做单位化啊，单位化很简单，除 你自己的长度就可以了啊，等会我们用立体来进行演示，那么完成这两件事情之后，我们就能得到一个矩阵，他就是一个正焦矩阵啊，所以我们就可以得到这个 x 等于屁外的正焦关系，把它化二字形为标准形啊，标准形就找到了。 好，那么这个地方来看啊，我们说标准型他没有交叉向啊，只有平方向，那么这个平方向的系数就是由谁来拼成的 特征值去拼这个平方向的系数啊，所以这是一个非常完整的一个求正焦变换化二次性为标准型的四个基本步骤啊。那么我们等会通过这个例题来看一下啊，好的，题目很简单，题目 就非常的明确啊， xc p y 将二字形化为标准型啊，这道题他给出来最终的标准型的结果，他想告诉我们什么？ 这是大家要想一个问题啊，我们刚刚是不是说过了啊，这里面的这些系数啊，他并不是一些随便写的这三个系数啊，他就是我们这个二次行矩证的什么特征值， 所以这道题啊，他有一个福利，什么福利呢？你不需要通过拉姆的一减一的行列式等于零去算这个特征值了，他已经告诉你特征值了啊， 而且这道题他的对应的这个矩阵的那么的一减 a 啊，他算特等值会非常的麻烦，所有同学没有发现这一点啊，当时在考这道题的时候就说算不出来这个特等值是多少啊，题 会做，但是他不知道的是，题目给的这个标准型的结果就提醒你了，不需要去计算，对吧？所以我们直接可以得到他的特征值， ok， 那么我们接下来一起来看一下啊。首先把他的矩阵要写出来，这个很简单 啊，主对角线是平方向啊，把交叉交叉向的这个系数平分到对应的序数序号的位置啊，比如说一二放到第一行第二列，把这个复式一拆变成两个负二，对吧？ 同样的，这个负负四拆到第二行第三列和第三行第二列养也是两个负二啊，所以得到二十行的矩阵， 那么刚刚说了特征值是不是也是已知的，那么的一等于负一那么大，二等于二，那么等于三等于五啊，所以这个特征值不需要求了。好，特征值知道我们接下来去求特征项链之前，大家想一个问题啊，这个二次性矩阵刚刚说是不是一个十 对称矩阵啊？我们说过时对称矩阵，他如果有不同的特征值啊，这里我们看到三个特征值不相同，我是非常高兴的啊，因为不同特征值他对应的特征像量必然是天然正焦的，也就是说 只要是满足这个十对身居证，你求出来特征值不相同他的特征，这样一定中交，如果不中交就说明你算错了啊， 所以这里我们完全可以避开我非常讨厌的施密特正焦化啊，不需要做正焦化了，题目已经天然正焦，是不是？所以我们只需要去求特征项链以及把他们单位化就可以了啊？好，我们一个来看。 好，那么一般来说啊，求这个特能项链，我们要先把这个拉姆的一减 a 啊，抄在我们的草稿纸上啊，这个方便我们在里面进行演算。好，第一个拉 一等于负一的时候，我们解其次方能组啊，对吧？那么这里系数据证把负一带入对出等对这个系数据证做出等变化啊，化成你觉得能够快速得到这个结果的都可以啊，没有说一定要像我这样子化成他的这个行最简啊，当然画行最简没有错啊，我们一起来看一下 这里第一行的负一倍往第二行加好，那么这时候零负一二和零二负四是不是成比例了，所以可以把第三行给划掉，然后第二行的一倍往第一行加，得到这个行最减型矩阵，那么还原成同解方程组自由变量是 x 三，那么算出来这个结果是不是应该是 二二幺啊？二二幺，所以记他为阿法一，我们把它单位化就可以得到 pe 啊，单位化我们就是除以自己的长度吗？对不对啊？那么阿尔法一的长度 怎么求呢？很简单，是不是应该是每一个分量的平方，每一个分量的平方，二的平方 加上二的平方，加上一的平方等于一啊，平方他的和相加开根号，所以这里是四加四加一等于九，九开根号等于三， 所以我们的单位化的结果是除以自己的长度，所以是二二幺除以长度三啊，等于三分之一倍的，你也可以把三分之一盛进去啊，这个没关系。好，那么这是第一个结果啊，同理第二个结果，那么答案等于二的时候，同样的去做 出导航变换，化成一个这样的相对比较简单的方程组的洗漱，我们可以还原了，这里我们 就已经可以得到一个比较简单了啊，因为这个第二列，这个 x 二，他都是二倍的系数，所以此时我们就可以把它还原成同解方能组令。 x 二等于一的时候，可以算出来他的特长限量是负二一二啊， 那么同样的单位化，这里他只是改变了这个正负号和这个顺序啊，一平方相加还是等于九，是不是 所以他的长度还是等于三的，那么除以三三分之一倍的他啊，就得到是 p 二的结果，同理，我们求 p 三， 当那么的三等于五的时候，同样的对这个系数据证做出等行变化啊，化成相对比较简单的时候，然后接下来我们进一步的把这个还原成同解方程组，令 x 三等于一，我们就能得到什么呢？一起来看一下啊。如果我们这道题令 x 三等于一的话， 我们是不是能够得到的是 x 一等于几？二分之一， x 二等于几等于负一，这样并不好，这样子求出来特征上才有分数啊，所以我们这里的负值要有一定技巧啊，我这里就不会选择令 x 三等于一了，我会令 x 三等于几啊，大家想， 令 x 三肯定等于二比较好啊，因为你令 x 三等于二的时候，那么这个时候 x 一算出来是应该等于正一啊， 然后 xr 等于负二吧，所以这样子的系数啊，就没有带了，带了分数是吧，所以就更加好算他的长度了。所以我们令 x 三等于二，就可以同样的求出来对应的这个 特征项链，一负二二啊，同样的除以长度等于三分之一倍的一负二。 好的，那么求出来这个三个特征项链，并且单位化之后啊，其实我们这里可以检查一下，好，这里阿法三是一负二二吧，对不对？那我们上面的看一下刚刚写出来的啊，这个阿法二是个负二，一二 等于负二一二，还有阿法一呢， 阿法医，我们再来看一下啊，阿法医是不是应该是二幺，对不对？好，那么这里阿法医啊，等于二二幺， 你可以发现没有，属于三个不同特征值的特征限量是不是必然两两增加，这就是十对称矩阵的一个魅力啊，你随便内积都等于零，可以自己检查一下对不对，所以这样子就 说明我们一定是没有算错的啊。 ok， 那么算出来阿法一，阿法二，阿法三啊，把它单位化好，最后拼这个正焦矩阵， p 的时候，把三个按顺序拼出来，可以得到这个结果啊。好，然后最后把这个正焦变化描述一下啊， x 等于 p， y， x 是三个分量， p 是这个正焦矩阵， y 是三个分量，把它写出来， 所以做这个正交变换，我们就可以把这个原有的二次形啊，含有交叉相的二次形化成一个不含交叉相的标准型，所以做正交变换可以化二次行为标准型。 那么这就是一个非常典型的第六章这个十二字型的出题的角度啊，有的时候会出二阶，有的时候会出三阶啊，有的时候简单，有的时候会稍微计算量会大一点啊，这个都是呃在考纲内允许的，所以大家要做好这个 计算的准备啊，细心耐心的把这道题给好好做出来，难度倒并没有多少啊，按标准去做就可以了。 好的，那么最后的话也祝愿大家啊，在二零二一年的自学考试，十月份的下半年的考试啊，取得优异的成绩啊，也希望大家能够一直保持逢考必过的状态，同学们，再见！

对于我们最后的这一个大题，十二分，这个大题他考察的一个点就是我们的二次性画标准型，这是很简单的，也是很典型的题。对于这个题他没有给大家去设置更多的坑，为什么？因为你在求特征值的时候，这个行列是 是特别容易算的，只需要利用一个展开性质就能够把特征值求出来，把特征值求出来。对于我们求特征相量的时候，计算过程也不难，因为只需要一步，我们就可以写出他的同解方程组，此时我们要去找合适的特征相量， 然后对于这两个有重根的情况下，我们去求特征相量的时候，他会发现这个特征相量我们可以取成直接 正焦的情况下，就避免了我们后面的正焦化过程。最后只需要进行单位化，我们得到正焦矩阵， q 调到正焦矩阵开始，通过这个正焦矩阵我们就可以将它进行标准化。标准化对于这个题来说，它的难点可能会在第二个，有很多同学没有见到过这种类型的题，那么这个题其实就要和我们的第一个题结合起来，我们直接用这个 原来的二字形是不容易做的，那么我们需要将它进行对角画之后，对角画之后 也就说我们给他标准化成这种样子。这个式子很显然你就知道外一方、外二方、外三方，他这个整体一定是大于二倍的外一方，外二方加外三方的，他 一定是小于四倍的外一方加外二方加外三方的。那么通过这个式子，我们把原来的要求的，通过他的这个正焦变化依次给他进行地推， 就可以求出我们的这个二了，这就是我们这个数学三整体的线形带柱部分的东西，他本身并不难，主要对我们的基础知识的应用。

设计一个海豚图标，其中重点是图标的规范化知识的介绍，难点是钢笔工具以及路径查找器的操作。使用素材和原文件可以在视频的右侧点击黄色按钮下载好。我们开始本节课的案例制作。首先新建一个画布，这里的尺寸为一零八零乘六六零像素， 拖入海豚的实物图片，在接下来的图标制作过程中，就以这个海豚为参考，进行抽象画的图标设计。本节课要讲到图标的规范化，很多历史比较悠久的大牌 logo 或是图标都是利用指挥作图做出来的。最开始电脑不发达，后来指挥作图成为一个衡量标准，在电脑发达的今天，我们还是可以尽量利用规范化的方法来制作。 为了让图标最后的呈现更加的规范以及美观，我们在绘制的过程当中可以利用正圆的弧度，也可以通过圆与圆之间相切的来让图标更加规范和美观。我们在制作过程中一定要观察左侧真实海豚的结构，以实物为基础进行设计。先用椭圆工具按住 shift 键画出一个正圆，按住 ot 键拖动复制出一个 框，选直行路径插手器中的剪去顶层，剪掉多余的部分，这样一个海豚的主干身体就得到了。接下来制作海豚的肚子部分，先画一个圆，让圆形与之前做好的主干部分相交，下方的区域就可以当做海豚的肚子部分。在香蕉处用钢笔工具点击添加上毛点， 然后用直接选择工具选中不需要的猫点以内的键删除，切换到钢笔工具，继续绘制出肚子与身体的衔接，切换到椭圆工具画一个圆，用圆的外轮和弧度作为参考。 继续补充， 用直接选的工具中下方的毛点删除，还是用钢笔工具在香蕉的地方添加上毛点，连接两个毛点，直接用选择工具拖动控制点，把尖角改为圆角。微调细节 还是以圆形为标准。画出鱼鳍，选中正圆， ctrl 加 c， 复制 ctrl 加 f， 针对出一个，按住 shift 加 ctrl 加右转括号，把圆形置于顶层，按住 shift 的键加圆形和鱼鳍。执行路径拍照器中的减去顶层。接下来在圆形与其他线条的相交处添加毛点， 删掉多余的部分。 接下来用钢笔图形画出海豚的尾巴， 再画出海豚的背棋。 现在一个假发后的海豚图形就做好了。框选所有路径，把描边关闭，右键编组。先用实时上色工具临时填充几个颜色来区分色块， 执行对象中的扩展并取消编组。选中两个图形执行路径，查找其中的合并形状。 用钢笔工具添加毛点，做出海豚的嘴巴， 身体的背部也利用路径缠绕器中减去顶层的原理做出缺口。 现在为海豚添加上颜色，色调主要以白蓝为主，可以适当的增加一些临近色，比如紫色，这样 可以统一色料，又能起到丰富的作用。 为图标添加上一个深色的背景，这样整个图标 基本上是利用圆形的标准弧度绘制的，为了追求更标准，最后尾巴缺口弧度也可以利用圆形参考完善一下。 如果所有图标需要向客户提案的话，可以把我们在绘制过程中利用的圆形参考线添加上严谨之图，可以告诉需求方，我们是按照一定的美学基础做的。

ok， 二字型给到你了。说经过正交变化圈出来 正焦变化。那刚刚咱们的例题是不是？说 刚刚咱们的例题你是不是？说明的是什么用配方法？那这个题目是让你用什么正交变换？所以题目如果让你用配方法，你只能用配方法，如果让你用正交变换，你只能用正交变换，你用其他变化就不对了啊。 好，经过正交变换， x 等于 py， 我能够化成标准性，写出小一点。 所以说你一定要用正焦变化，而且很明显，妥妥的。我们知道标准型，我们前面的系数就是我的特征值，对吧？ ok， 那也就说明我通过正交变换能够化成标准型，那我的系数就是我的特征值。那我我一共是 x 一二三，我应该是有三个系数的，那 y 一前面的系数是个一 y 二前面的系数是个四 y 三前面没有系数，没有系数说明是个零。 好。因此我们知道对于这个二次型矩阵而言，我们的特征值是一四零。 所以我们对于他而言是我只要求出特征直来。我们知道题目是不是就做完了，对不对？来反移求特征直 已经看好了，我们正教变好完了之后，我们的系数就是我的特征纸。但是配方法变好完了之后，我的系数他不一定是我的特征纸啊。一、写出二字型矩阵 a 主对角线分别是一三一好 x 一 x 二在我 a 一二和 a 二一的位置评分五二 a 哎。 a a x 一 x 三在 a 一三和 a 三一的位置评分这个系数二哎一一，剩下也评分一一。 求特征之外，拉姆的 e 减 a 的行列式，拉姆的减一负 a 负一哎。负 a 拉么的减三负一负一负一拉么的减一哎。去观察一下 这种题目有没有能够做的，能不能简单一点去花钱的啊。这道题目你们就会发现花钱他不是特别简单。 这里有负一和负一倒是能，但是感觉你们去发现做完了之后他并不简单，因为你们找不到一个呃把它变成零了之后这一列另外两个你们发现他们不是这个倍数关系，所以不太好做。 而且如果你硬算的话，这道题还单着， a 也不太好做。所以方法一不是不可以，只是太麻烦则不用反。二 怎么刚刚是不是已经求出来了我们的标准形式的标准形式他所以特征只有了零一和四呀。 所以你再去想有没有什么性质啊？ 有没有什么性质。 ok， 你看主对角线咱们出来两个性质吗？主对角线的元素的盒 就是我们的 g， 就等于我特征值的加和。那主对角线元素没问题啊，因为这个题太主对角线没有 a。 那第二个是什么行列是等于特征值的成绩。因为这个题特殊，在我正好有一个零，他就算没有零也没关系。因为我里边啊，这个决定当中只有一个， 只有一个位置变量，而我的行列式已经确定知道了，所以直接用我们的性质第二个行列式就等于我特征值得成绩 好了，往外一坐，一 a 一 a 三一一一一。 好。这个简单了啊，直接给他剪吧。啊，第一列直接剪我们的第三列零 a 减一零哎 a 三一一一一。 然后按照我们的第一列进行展开定理，出来的结果是负的， a 减一的平方等于个零，很显然 a 等于个一。所以说这里啊，不要说我们固执的只用一种想法， 且很多东西求特征纸他是不太好做的。就包含后面我会讲那些题目会说我们可以用配方法啊，因为配方法你是肯定能配出来的， 但求特征只有的时候会很麻烦，求出来的数不好去解。而且有的啊，他不是单独给你出正教变化的，这样的题目你是没办法用正这个转向化点法的啊，一行一列的变化，没办法是用的。

正五边形的内角为一百零八度，与常用三角板本身的角度不符，因此不能按前述方法直接画出。作图时需要用辅助方法才能完成正五边形的尺规作图过程。 作图步骤如下，首先，依然需要一个已知圆来确定正五边形的大小，并画出该圆的中心线，得到中心线与圆的焦点 a 和 b。 第一步，用三角板度量获用分归，找到该圆半径上的分钟点劈方法前面张杰以介绍。 第二步，以 p 点为圆心， p、 b 为半径，画弧，与中心线产生焦点 h， 这样 b 点到 h 点的距离即为五边形的边长。第三步，以 b、 h 为半径， b 点为圆心，画圆 虎语言相交，产生 c 点和低点 c、 b、 d 三点为正五边形的三个角点。第四步，以 b、 h 为半径，分别以 c 点和低点为圆心，画出语言相交的一点和 f 点。一点和 f 点即为正五边形的另外两个角点。 第五步，用直线按顺序连接圆周上的 b、 c 点、 c 一点、 e、 f 点、 f、 d 点和 d b 点。至此，这五边形就绘制完了。

什么是标准化的制图？绝对不是把国家标准规范原封不动的搬到我们制动系统里边，他的终极奥义应该是，无论你曾经干了多长时间，你是什么学历，经过一套标准化的系统，大家最终呈现的结果应该都是一样的。 为此呢，我们把 cd 三 d 进行二次深化。首先我们先说 cd 的部分， cd 我们做了自己的样板，一打开就是这个样子的， 在布局里边，将普通家装必须要出的十二张平面图图框加到上面，每个呢都标好了相应的名称，打开 l a 的图层，里面所有的图层都是我们自己命好的名， 当然这些大部分公司啊，都能做到，比他们稍微强一点的就是我们做了自己的小圆卡，里面集成了常用的图圆，你只要轻轻的往里面这么一拖就可以了，最过分的是他可以随意的改变拉伸大小，当然这还不是最重要的，我们在里面加上了一些插件，不信你看看这个图圆可以随便的改变图层，改变颜色， 真的画过图的人都知道，这其实是一个非常实用的功能，还有一个非常屌聊天的功能，对于做家装的同学简直就是一个解放。 这是一个做预算的插件，只要我们输一下快捷键，他就很方便的算完面点，结果就这个样子了，我们会把数据直接粘贴到 excel 表格或者 vip 系统的就可以了。我会把这个插件还有我们的一套 ce 图纸放在我们的素材交流分享群里边， 这个真的是我们一起进行素材交流分享的地方，我们欢迎一切志同道合的小伙伴们加入我们，下期我给大家讲一讲，对于三弟我们做了哪些标准化的改进。