湘教版高一必修二数学立体几何

本期视频来看高一数学立体几何求正三棱柱棱弦球的问题。已知正三棱柱体积告诉了 e 和 f 分 别为两条棱的中点，若求与三棱柱各棱均相切， 求求 o 的 这个表面积，也就是求棱切球的表面积吧啊！首先咱们设这个正三棱柱上下底面正三角形，棱长均为 a， 设高 a， a 一 为 h， 然后设上表面的中心为 o 一，下，表面的中心为 o 二，那这个 o 一 o 二连接一定是垂直于上下底面的， 而且这个棱切球的球心 o 一定是位于 o 一 o 二连线的中点吧，所以这个 o o 二就等于二分之一 h。 然后下面我再连接 a e， 这个 a e 一定是过 o 二的，再连 o f o e。 由于这个棱切球啊是与各棱中点相切的，所以这个 o f 和这个 o e 是 相等的，都是棱切球半径设为 r， 那么这个 o f 就 等于这个 o 二 a。 根据平面几何知识，这个 a o 二就是三分之二倍的 a， e 就是 三分之二三 a。 然后 o e 呢？怎么表示呢？在直角三角形 o o 二 e 中，利用勾股定律表示， 他最后化解完，就根号下四分之 h 方加十二分之 a 方， o e 是 等于 o f 的 吗？他俩相等，两边同时平方，最后得到 a a 就 等于 h。 好， 下面咱们再利用这个体积这个条件去求 正三棱柱体积，就是底面积乘以高，带入这里的 a 等于 h 以后 解出来 a 就是 二倍，根号二，那么这个棱切球半径 r 就是 o f， 带入三分之根号三 a， 解出来半径是三分之二倍，根号六。最后再求表面积四 pi r 方，答案是三分之三十二 pi， 大家理解了吗？

好，同学们，咱们今天来看下一种类型题，也就是意面直线所成的角。但是我们今天要学习的东西其实是向量法，那么向量法在做这种题目的时候，其实也相对会比较简单。首先我们先要找到这个题目中，它告诉我们的 a、 b、 c 和 b b、 e 这三条边的长度都知道，那么我们就不妨设 b a 项链，它就是 a 项链。再说 b、 c 项链是 b 项链，再设 b b 一 项链是 c 项链。因为方便一点， 那么我们观察一下，我们只需要用我们的这三个向量去表示出来我们的 ab 一 向量，再表示出来我们的 b、 c 一 向量，我们就可以去算他们三个向量的数量积。原因是因为 ab 向量的模知道， bc 的 膜也知道， b、 b 一 的膜也知道，而且这三个向量的夹角，两两之间的夹角我们都知道， 所以我们就可以利用这种方法去做它。我们首先来看一下表示 ab 一 向量， ab 一 向量可以表示为 ab 向量，再加 b b 一 向量，那也就是 c 向量减 a 向量。 b c 一 向量，我们可以表示为 bc 向量，再加 c c 一 向量，那也就是 b 向量加 c 向量。 好了，然后我们要算的余弦值，我们知道了两个角的假角的余弦值，肯定要先算他们的数量积，他就是 c 向量减 a 向量，乘以 b 向量加 c 向量。我们把这个式子化简，变成这个样子。 前面的东西我们可以直接代公式，它就是 a 向量的模，再乘以 b 向量的模，再乘以 cosine c， 它减去 a 向量的模，乘以 c 向量的模，再乘以我们的 cosine r， 再加上 b 向量的模，乘以 c 向量的模乘以 cosine a， 最后再加一个 c 向量的模的平方。好，我们这个时候要观察 a 向量和 b 向量其实是 ab 和 bc 的 夹角，这个夹角是一百二十度，但是我们后边的 a 与 c， b 与 c， 它们夹角都是九十度，所以其实这个地方的 cosine 值其实是零，那么这两坨东西它都是零， 所以我们在做这种题的时候，直接把它省去，变成负 a 项的模式二，再乘以 b 项的模式一，再乘以 cos 一 百二十度，是负二分之一，再加上零，再加上 c 向量的模的平方是一，我算出来这地方应该是二， 他们的数量积为二，那我们要求他的这个余弦值，那就还得知道两个数量两个向量的模啊。 a， b， e 的 模，我们直接套进去，那就是 c 向量减 a 向量的等于根号下 c 魔方 加 a 魔方，然后他因为他们的角角余弦值是零，所以这地方就不加了，加一个零等于根号五。同理我们要算的是 bc 一 的模， bc 的 模应该是根号下 b 向量加 c 向量的平方，根号同理，这地方得出来是 根号二。好了，那现在我们要算的 cosine 值就是二，除以根号二，乘以根号五，也就是五分之根号十。所以这个题目选到 c 选项。

准备好，请坐。那今天我们要讲一些立体几何部分的难题，动点的问题 以及动点形成的轨迹的问题，鞋面的问题， 概括重点运动形形相关的问题。来看一下这道题有没有思考一下？ haha。 来星星，嗯，就是因为它直线与平面无重叠，然后就把它 这个直线和你构成的平面照出来，也就是说这一些线跟那没有公共的线都在哪里啊？ 在这个平行的平面上，也就是动点成线，动线成面， 而你都要过 d、 c 点，对吧？这个是定的点，相当于你要过定点去做一个平面，这条线数都在我这个平行的平面里面 右，这个点右在哪里里面？所以我要去找他们的什么呀？交线，交线就是你点的什么呀？对，你知道啊？对，现在问题我们就转化为过第一做正面的 来过第一做正面的人呢？平行，那要做线跟啊做面，这样平行落实为做线平行。大家们怎么做这条线？那我们应该在平面里面做平行线，是吧？ 第一个我在哪个平面里面做它平行好做啊？ a、 e、 t 这个平面里面是吧？那它是中点，所以我这条就是面呢？对角线啊。呃，一条了，然后呢？ 在哪个面里面去做后面后面 后面，那后面要过，第一做一条跟他平行，只要过。哎，因为这两个平面是很平行的，所以我只要做一 b 的 什么线，所以取他的中点， 但是我这个平面跟底面的交线在哪里啊？不能延长啊，所以我们要把平面进行延展，那要延展平面就是延长线，所以把第一跟这一点连起来，连起来，那么这连起来以后这一点呢？ 哎，这两段就什么关系相等，然后交线出来了，没？连起，连起，连起。所以这点什么点？中点，这点是中点，所以这个点 p 的 轨迹处角 啊，这条线段，这条线段的长度正好正好 啊，所以我们抓住这一点，你这条是过定点的直线，他运动成一个什么平面，那这个平面跟他就没有公共点啊，所以就是过。第一，做正面的菱形平面。那怎么做平行平面呢？ 那就做线的平行线，那我们确定平面再做平行，是吧？先确定在哪个平面里面做平行线啊？ 来进行我们这一类的问题。这是一个直的三棱柱，比上角 a 还是直角， 那这是什么模型的直三棱柱？全角的模型可以补成啊。长方体再看 c h 等于 h c， 也就是 h 点是它的终点，终点，那么在 a、 b 上是否有一点 k 使得呢？ h k， h k 和 a e， b c 平行？ 哈哈哈哈， s c， s c， 谁想这个问题就想到 s c s 什么动线层面？就是去过定点 s 做 平面的平行平面。所以要做平线还是做谁做谁的平线好，做自己的。哎， 你要做 a、 b、 c 的 平行平面，那是不是做这些人的平行线就行了？ 哪个好做？哎，先确定平面再来做平行线，对吧？你要过 h 点，那应该是 a、 e、 c 中最好做的，找什么点？中点， 这一条竖跟这平面是平行的，接着呢，终点你都已经决定了，现在换换谁谁做定点， 就上面这个点啊，说细点。然后呢？这谁的平行就哪一条的好做 啊？ b c， 那 要说 b c， 那 就在哪哪个面里面做平行，把 b c 移到那来，以谁取它什么点中点？ 那这两条，那这个面跟它会平行的吗？会的话，那这个截面跟 a 一 b 一 的焦点就是 k 啊， k 就 它什么点中点，所以我们就看出来了，是吧？ 所以要使得它平行，是吧？那结论中使它的平行，那就当什么呀？ a 一 k 比去 a 一 b 一 等于 一比二十，怎么样？ h k 跟正面就平行，然后要给它证明一下了，是吧？证明一下来，各位怎么证明？怎么证明？ k h 跟正面平行，用什么法证明？ 我们刚开始在面里面找线，做好找，找完以后怎么正好正线面平行，一种三格考虑面面平行，还有线格考虑线线平行来， 那这样子考虑，那我要确定平面找交界啊？怎么确定平面啊？是中心投影好投影还是平行投影啊？投影平行，为什么平行投影啊？ h 处在 c c 以上， c c 跟上面一个焦点是谁？ c， 所以我过 k 点去做谁的平线， c c e 的 平线，那就做谁的平线， b b 的 平线，那就这样写，取它的中点为 e， 然后呢？连接这个是吧？ 则它将 a b 于 f 点， f 是 它的什么点？中点， f 是 它的中点， 然后，所以呢？ k f 就 菱形且等于谁？二分之一的，对不对？ 对不对？然后呢？又 h c 呢？菱形且等于谁？二分之一， 所以出平行线相等。 k f 平行线等于 h c， 所以 这个四边形是，而四边形是平行四边形，所以，所以 k f u 平行谁 啊？啊？要不要这个啊？要。好，那就 k f 跟谁平行，所以 k k h 哈，跟谁平行？ f c 平行，所以见个面 平行，然后中间要加一个什么啊，再跟，这就完蛋了。 那看来烫焦的时候通过什么来烫焦会比较好？烫焦啊啊，先把线运动成面，在面里面找平行呢？是不是好找 来，那继续再看一下。 ahh， that is a。 怎么证明线面平行？过线做面找交线，也就这样个考虑线线平行或者啊，深刻考虑面面平行 来，那过线做面找下面怎么找？这条线用什么投影来找？平行？平行投影，那也就过 c 点做哪一条？ 你 c 在 这里要切进去找标线，对吧？过 c 点有哪条线啊？已经有哪条线了，哎， c b 了，已经有 c b 了，所以我现在要过 e 点做 c b 啊。 c e 的 什么？ c b 的 什么线？平行线，那就只需做斜的平行线就行了。 a d 的 平行线，为什么做 a d 平行线就行了？线面平行，然后所以得到什么啊？线 b c 跟谁平行？ ad 平行，这边加什么条件？ 线面平行，过线做面找标线，那就 b c 在 平面 abcd 里面，对吧？然后呢，平面 abcd， 交平面 abcd 和 abcd， 所以 能不能让它们平行 线面平行，折线线平行，再面对找交线是平行的，所以这底是一个梯形，那梯形的话， a d 是 不是他们的啊？中间的环节我们通过 a d 过渡一下，只要找这个边就好了。 然后呢，那做平行线就是找比例的这点吧，那我在 pa 上取一个点，这点是几等分点？三等分点，哎，我们把这点记作 f 吧。 f， 那 就哎， 在 pa 上取点 f， 使得什么 p f 比去 fa 等于，哎，一比二， 对吧？取点，然后我们连线连接 c f e 连接 f e， 则则具有 f e 平行且等于几？三分之一的 a、 d， 对 吧？ 那你这边呢？哎，你 b、 c 数也平行，且等于三分之一的 a d， b， c 等于三分之一的 a、 d， 所以呢？所以 f、 e 就 平行于谁？ b、 c 且相等，所以它是一个菱形四边形，所以我们的目标 b f 平行于谁？ c 过线桌面找交线，交线就平行了。我们用的是什么平行啊？什么投影 中心投影机吗？这条线 c 在 怎么个中心投影啊？地点上的人场徐徐泽龙。怎么中心投影？ 谁个中心啊？地点在谁上面？ p d， 所以 我只要把 d c 给它延长， d， c 给它延长，那颗 a b 有 没有个焦点？有，那这是把 c、 e 投影到这个面来了， 所以以它为中心投影过来了。其实就是过 c、 e 做面找的怎么样交线，再利用 平行线分现在成比例的逆时针比例出平行了啊，然后在这里面出搞定了，或者呢，或者升格为面，那就过一点，要做正面的平行线，只需做斜的平行线 p a p a， p a 是 在背面边，这边能不能做一圈，然后，然后呢？把这再给他连起来，说明他们是平行的，所以我们这两个面，就 那面里面线数跟他数都平行了啊，是否成在线段上点的 a 使的什么？使的 c， d 上的任意点 m 都有 m n 跟正面平行动线成面，面 是不是在这上面取一点？你得做一个面跟已知平面怎么样？因为你这条动的直线都形成一个平面 啊，这个点在上面，那我就要去做这条线就跟他平行，会平行吗？对不对？所以那就相当于 因为我 m 点运动成这条线嘛，相当于过这条线做正面的，怎么样平行的搞定了没？就一步到位了。 当然那你写的是要先把它怎么样找出来几等分点，三等分点，然后我们证明这一个线跟正面怎么样平行。那现在用什么来做？连起来要用什么来做？ 我要不要面面平行？所以线要面平行，不用了，我就用什么把 m、 a 投影到这里面，用什么办法来投影？平行？投影过 m 点做 e、 f 的， 哎，过这个做做 e、 f 的 什么线？平行线则这一条平行也跟它相等，所以侧平点选侧的，这会平行。对，搞定了没？ 这是跟平行有关的问题。来，那我们接下来来看一下第四节弯曲重点绕着一条线旋转这种弯曲的问题。 三角形 o、 c、 d 是 边长为四的等边三角形 o、 c、 d 是 边长为四的等边三角形，且 ab 是 中点，那这条路中位线， 然后把它绕着 ab 旋转起来，到达点 p 的 位置，得到这个四棱锥， 来到这个四棱锥，设意为四棱锥上的三等分点。求证 a、 p 跟 b、 c、 e 是 平行的， 然后求面积的体积的比，来思考一下。 hahaha， hahaha， yes， 来来，各位怎么想这问题？你要把这个结的结构是摸清， 那关键就是我们这一块直观图不好看啊，所以我们把直观图还原一下， 把平面图画出来是吧？平面图是 o、 c、 d 是 边长为四的，等边的是不是 边三是等边的，然后是不是中卫线拉起来撞起来啊？那是谁来旋转 ab， ab 就是 旋转轴是吧？ ab 是 不是就旋转轴？ 那么这翻起来以后再折同侧的面有没有改变啊？ o、 a、 b 的 形状有没有改变？所以 p、 a、 b 是 全长为二，边长为二的等边三角形是吧？ 然后底呢？底是一个什么形？ t 形，说 t 形上底是下底的一半，一半是不是？ 那你转起来以后就得到一个，所以这个三轮的结构我们知道有一个面是等边，底下是一个等腰一行就这样旋转起来的。看下第一位，线跟面平行，要正线面平行， 线线平行，哪条线在哪里？过线做面找交线。怎么做？面 中心投影还是平投影？谁个中心？因为 e、 p、 e、 p 是 c 出到 c 点了，所以我们就把斜连起来， ac 连起来，交它于 f 吧， 对吧？交它 f， 那 这是不是 e、 f 就 它投影呢？会平行吗？会成比例吗？是平行的， 所以线跟线平行，所以线跟面就平行于第二个关起来以后体积之比 这两个，这两个底底呢？底什么关系？ b、 c、 d， a， b、 c、 d 是 底数，共面的 顶是共面了，那好高，就是 p 点到正面的距离是吧？ p 点到正面的距离跟一点到正面距离什么关系？三米二米二，我们设它为高为 h 一， 再高为 h 二，则 h 一 比 h 二 啊，高出三比二，那还有什么什么之比？比面积？四边形 a、 b、 c、 d 的 面积比去谁？ b、 c、 d， 哎，他们什么关系啊？ 这比是什么呀？一比二高一样不一样谁？这两块面积比就是 来一比二，所以整个是几问三问他几问三比二，所以他们几级比为九比四，有九比四。好的， 请问点 p 的 轨迹是什么？ 请问点 p 在 哪里的时候，这个 p、 a、 b、 c 力的体积最大，那我是不是要把这个动点 p 的 轨迹给搞定？ 你绕着谁来转动？这一条是轴，谁是轴？ a b 是 轴， 那么我们就想到我们刚学地理学的时候，企业的机构如果有行政轴，关键找什么啊？ 要旋转轴的话，你转起来是旋转体的话，关键就是找他什么线，从轴的垂线， 所以他从等边上绕着这来旋转，因此这个把中点连起来，中点都到了这里出垂直的，所以点 o 的 轨迹是 以 b 为圆心，以 o b 为半径的一个圆弧，是不是这个圆弧？ 那什么叫体积最大？那圆弧应该在最高点，最高点是跟这个底面是垂直的，垂直的。那此时我们发现，哎，这这个几何体是什么？ o a o p、 b 是 一个什么结合体啊？旋转的时候， o 啊， a、 o、 k、 b 是 一个什么结合体啊？转起来是一个圆锥的一部分，只有两个圆锥的组合体啊， 哎，你把这连起来吧，你看这些都是什么线？哎，母线是不是母线？所以你跟轴垂直，那就得到什么呀？圆锥是不是得到圆锥？ 所以点 b 在 运动过程中，它是一个圆啊，它是一个圆，理解了吗？所以旋转往往跟旋转体是相关呢？跟旋转体是相关的。 好，那如果动点到定点的距离是定长呢？ 那这空间里面就是什么球？这空间里面是不是球啦？来，那昨天我们这道题目没做完，我们继续来一起看一下，回忆一下这个，这是一个什么真理？ e f c e f 技术三个钟啊，终点， 然后呢？ d h 等于 e 是 啥东西啊？ d h 等于 e， 动点 h 到地点的距离为一，那他就是一个球球， 然后这个点既在球上又在什么面上？什么意思？那就这点是球被面截下来的，截下来的这个曲线上面是不是？ 所以我们要做的就是啊？球面面积得到是啥东西？小圆是不是？小圆？ 但是 e、 f、 g 整个洁面这个局部啊，所以我们要把它给延展。延展，那怎么做洁面呢？平行是不利用平行，利用平面的性质来做， 那 f g， 所以 我前面取它的中点这一条是跟背面这条平行的，接下来呢，把 f g 给延长。这边有没有交点？有，这个点既在前面也在 底面啊，底面这里是不是还有一个点？所以前面的底面的交线出来了没？那就取它的什么点？中点，那左右边的出来，左边呢？平行，所以取它什么点？ 这是一个什么东西？正六边，这六，这个正六边形跟 a、 e、 b、 c、 e 什么关系？ 这个，这六边形跟 a、 b、 c、 e 什么关系？平行的，所以这六边形也跟谁是垂直的？跟体椎腰线都垂直的，那体椎腰线跟它的交点在哪里啊？是相对于一切的终点啊， 那这个点就是我们这几何体的中心，是不是啊？ d、 o、 d、 o 跟正面是什么关系呢？垂直的，垂直的，那这段是不是他的高了？ 那这是点 d 到正面呢？是距离是几对角线的一半一半二分之根？号线 啊，球被一个面结得到的是一个小圆，球心到小圆的面积啊，高距离为几？二分之二三，球的半径为一，所以小圆半径问题解决了没？ 水到定点是定啥？它就是一个球，你又在某个结面里面，那就球被面结结出来的图形。 好，这是我们昨天做的哈，我们再回顾一下。哎，那空间几何体的截面，空间几何体的截面， 那特别呢？如果是球截啊，球被面截，那就人长为四的正四面， e、 f、 n 是 终点， 则正四面体的外接球被这个三角形所在平面截得的截面面积是多少？ 我们怎么研究正四面体的外界球半径？第一招是什么？ 正四面体，我们可以从规更规则的图形里面去找啊。正四面体的外接球跟正方体的一样不一样，一样 是不一样呢，所以，所以正方体的外接球是一样的，所以这个它的直径二 r 就 会等于谁来，你这是 a， 你这是 a， 是 正方形的边长是几？二分之根号 a 是 底角，对角线是二分之根号六，谁二等于谁？四分之根号六， 对吧？这是第一招。利用什么来做补体？补体来做第二招呢？直接，直接，直接法的话，我们是要去找球星的位置，是吧？ 球心在哪里啊？里面的重球心是不是这个前面的上方随 o h 跟正面是垂直的，而 a、 h 呢？也垂直，所以 a、 o、 h 上面共线， 那 o、 b 是 不是就是二了？ o a 呢？也是二，所以这段是 h 减二，是不是 h 减二？这恰好是不是三角形 a、 b、 c 外切圆的半径啊？所以我们说 r 方会等于谁？ r 方会等于 h 减 r 的 平方，再来加上小 r 平方， h 跟小 r 给它算出来，按能不减出来，这第二个数直接拿来做。我们的 h 是 多少啊？小 r 是 几啊？ 边长为 a， 所以 小 r 二分之根号三， a 的 三分之一开根号 a， 对 吧？ 哎，谁高是几啊？三分之二开根号，那就三分之根号六 a， 根号六 a， 可见二是等于多少的 h。 四分之三乘四分之三的 h。 哎，第三，内切球的半径呢？用什么办法来形容？内切球的半径？高等体积吧， 这个体积等于三分之底面积，再乘谁高？那么你有四个面，所以可以割成几个三棱锥？四个四个三棱锥，每个三棱锥的体积是多少啊？ 每个三分之一的三分之一底跟这底要不要要高就是我的什么，这些球的半径怎么样？ 所以这个那些球的半径等于谁啊？四分之一的可见怎么样？ 外些球，内些球半径之比为几？三十三比一，你看那边，我们讲过了考试又考，结果我们还有人错啊？还有人错， 三比一吧，三比一。所以每个问题用什么办法来解释？最优的？你要去比较一下，你这几种都要掌握，对吧？比一下哪个是最优？比如说壳补铁，那我们就给他补铁一下。来球外径球半径是比较好做的， 对吧？那些球一般来讲我们用什么会更更快一些啊？等一起是吧？等一起更快。好，那回到原地来，那这个被截面所截，那就是球被面截。关键是什么？要找出来 球形大小圆的什么呀？距离是吧？哎，请问咱们的距离是几啊？好意思啊，是多少的高？四分之一的高，是不是四分之一的高？ 四分之一的高，所以对斜的多少啊？那我们的这个这个外弦曲的半径是多少的高啊？四分之三的高，所以，所以呢？这个小 r 是 几啊？ 把四分高拿出来，是三一，所以等于二分之根号二 h， 而 h 是 三分之二，可根号 a， 三分之根号六，再乘以 a， 那 我这里 a 等于几？四？ a 零四，所以他应该是三分之四根号，有三十根号三，就把它放进去，搞定了没？ 所以球被他截最关键的就是要发现球心的位置啊，这个小圆圆心的位置在哪里？因为小圆圆心的球心连起来跟这截面是垂直的 来看，还是这个界面的问题？大家看一下，已知 h 是 在直径上，然后是直径的三等分点， a b 跟二法垂直，垂直于直径都截进去了，那么前面所截的的面积为派，这截下来的半径为几？ 哎，这小圆的半径为几？一小圆半径是等于几？哎，我们继续再往下看， m 为二把上的二把这平面内的一点，然后呢， m h 是 等于四分之二 破 m 点做球的结面，请问什么是二这个结面面积最大呢？破破圆形大圆是不是最大了？再再听听， 请问觉得面积最小的这个圆是几呢？ 所以过一点的前面最大最小的问题研究方法是什么呢？你们过圆一点，圆内一点做 啊？过球那一点做球的怎么样？前面什么时候会最小啊？ 那就是球心到他的距离要最最长的时候是什么时候会最长？把 o 点跟 m 点连起来，跟着前面是垂直的时候做最长，否则 不谁吃呢？又要过 m 和不谁吃呢？那连起来以后这个过程呢？直角三角形对不对？这是 o， m 是 他的神殿，神殿， 所以所以就垂直上弦心距离最长，圆的时候在弦心，弦心距离最长，所以弦长是最短，那在空间里面呢？ 就是球心跟这点这个中心连起来垂直的时候是最长，这个时候前面的半径最大，面积最小吧？ 啊？老铁们，那这个时候 o m 垂直的面是吧？那 o m 多长啊？ o m 垂多长啊？ 这是一比二，所以这段是几？这段是二分之二，这段是几？ 一比二，三，一比二。那这个应该是三分之二二，这段是三分之四二，这段等于等于一，怎么来求二？ 耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶耶。一方会等于三分之二二，乘以谁？三分之四二，那二能不能求出来？ 二柱可以求出来，那这段距离能不能求出来？对，可以，然后这等于四分之二过五。谷地里能不能把这个求出来？可以地求出来二，知道搞定了没？ 这是过熊那一点最大最小的解面问题啊。最大最小解面问题。好，那今天我们要讲的是这些 c 了吗？

好，同学们，我们今天来看最后一个平行间的性质转化这道题，它说上面是一个直四棱柱，那就代表着它的侧棱是垂直于底面的，被一个平面所截，然后截面为 c、 d， e、 f， e、 f 等于 c、 d， 然后告诉我们 dc 等于二， a、 d 等于四， a、 e 等于二，然后让我们求证 a、 d 平行于 bc， 我 们乍一看，发现 a、 d 平行于 bc， 好 像很正确，但是我们就会发现，如果你想直接得到 线线平行，那么最好的方式就是 a、 b、 c、 d 交 b c、 b c、 e 于 bc， 只需要证明 a、 d 平行于侧面它就可以了。但是我们发现这个题目中好像你没有办法去证明 a、 d 平行于这个侧面， 所以我们就需要转化思路。题目中给了 e、 f 等于 dc， 又因为它是一个值的四楞柱，所以代表着 e、 f 一定会平行于面 abcd， 这是怎么来的呢？就是因为它是个四棱柱，那么上下两个底面是一定平行的，我们能够通过面面平行得到线面平行。 好，他又告诉我们 e、 f 等于 dc。 哎，那我们就要想到，我们应该把 e、 f 和 dc 先放到一个平行四边形里面去弄，那 e、 f 和 dc 怎么放到平行四边形？是不是还需要一个 e、 f 平行于 dc？ 那就是我们要通过线面平行转化成我们需要的线线平行。又因为 e、 f， 它是在面 e、 f、 c、 d 中， e、 f、 c、 d 又会交这个平面于 dc， 所以 我们就可以通过线面平行推出来线交平行，所以可以得出来 e、 f、 dc 为平行四边形。好，然后我们再来观察一下，它既然是个平行四边形，那就代表着 e， f， 他就会等于 d， e， c， e， 而且平行于 d， e， c， e。 原因是因为 ef 平行且相等 dc， dc 平行且相等 d， e， c， e。 那 所以 ef 就 会平行且相等于 d， e， c， e。 那 么我们就可以把上面这个 e， f， c， e， d， e 转化成一个平行四边形。我们是不是立马可以得出来 e， d， e 平行于 c， e， f。 好 e， d。 一 又在 a， e， d。 一 上，那我们就可以推出来 a， e， d。 一 平行于 b， e， c， e。 那 么自然而然就可以推出来 a， d。 平行于 b， c。

好，同学们，咱们今天来看一下下一个类型题，也就是通过线面平行来判断一下我们这个点它在线段上的一些比例位置。以这个题为例，它告诉我们这是一个底面为平行四边形的四棱锥 点 e 是 靠近在 a、 d 上的三等分点，点 f 是 一个点，然后它告诉我们，当线面平行的时候，让我们去求 p f 和 p f、 c 的 一个比例关系。那么我们要先分析这个条件，这个题目的条件其实有两个，第一个是平行四边形三等分点基本上没有什么用， 那么下一个条件就应该是 pa 平行 e、 b。 我 们的出发点要考虑一下线面平行会得到什么有用的信息，那无非就是线交平。所以我们就需要把 pa 放到一个平面，能够和 e、 b、 f 交在 这个四轮锥的某个面上，最好是底面，因为底面有一个特殊的平行四边形，我们可以通过比例转化它。 那么观察一下 pa 在 哪里？ pa 在 pa d， pa 在 pa b， 这是两个明显的面，但是我们会发现 pa d 和 e、 b、 f 只有一个交点，是 e， 找不到第二个交点。同理这个 pa b 也是一样，只有一个点 b。 所以 我们就要想到这个题目肯定是要构造一个 pa 在 新的平面上出现， 使这个 p a 这条直线所在的平面明确与 e、 b、 f 能有一个交线，所以我们连接 a、 c， 连接完 a、 c 以后，我们可以发现这个 p p a， 它是在面 p a、 c 上。再观察一下，我们这是不会有个交点，这个 p a、 c 和 e、 b、 f， 这会有一个交点，我们记为点 h， 这个点 h 是 同时在两个面上，它在这个面 p a c 又在这个面 e b f， 那 么同理这个点 f 它也是既在又在，所以我们可以得到 h f 其实就是我们的 两个面的交线，所以我们就可以通过线面平行转化成 p a 平行于 f h， 下一步连接 f h 连接 f h 以后，我们就会让我们求的是 p f 比 p c， 那 其实无外乎就是 a h 比 a c， ah 比 ac， 它又告诉我们 a e 是 个三等分点，那所以 a e 比 bc 是 一比三，所以 a h 比 h， c 也是一比三，所以 a h 比 ac 就是 一比四。那么所以这个题目选到 d， 选。

今天来看对棱相等的四面体外接球问题，已知四面体 a、 b、 c、 d， a、 b 等于 c， d 等于 b， c 等于 a、 d， a、 c 等于 b、 d 啊，咱们分析啊，这个四面体有几条棱？有六条棱，它有三组对棱吧，对吧？咱们看这三组对棱之间的关系， a、 b 是 等于 c、 d 的， a、 d 是 等于 bc 的， 同时 a、 c 还等于 b、 d， 说明三组对棱都是相等的。那这样的四面体一定可以内嵌于一个长方体之中。老师画一个图， 这样我把原来的四面体棱换成红色表示，然后外面外扩出了一个黑色的长方体，对吧？那这样的话，这个四面体不就内嵌于这个黑色长方体之中了吗？而且发现 他每组对棱都是长方体一组对面的对角线吧，对吧？因为长方体对面是全等的，所以对角线也相等，正符合了四面体对棱相等啊这个特征，那所以说才有这个结论。那内嵌这个之后就简单了， 现要求的是四面体外接球，也就转化为了求这个长方体的外接球吧，求他的半径。我可以设长方体的长宽高为 abc。 呃，那么咱们能不能分别把 a、 b、 c 求出来呢？根据已知条件，这几个数可以求列方程， a 方加 b 方应该等于 b、 c 方吧，那就是二十五。同理，这个 a 方加 c 方应该等于 a、 c 方或者是 b、 d 方就是二十， 然后 b 方加 c 方应该等于 c， d 方等于二十五。那先用一减二，得 b 方减 c 方等于五，然后再和三相加，就得到二， b 方等于三十， b 就 求出来了，根号十五，那么相应的 a 和 c 就 都能求出来了， a 是 根号十， c 也是根号十吧。 好。 b 长方体的长宽高都求出来了，那求它的外接球半径，这是利用其对角线的一半有这个公式吧，其对角线的长就等于 根号下 a 方加 b 方加 c 方，算出来是根号三十五，那么它的外接球半径就是二分之。根号三十五，那长方体的外接球半径就是所求的 四面体 a b， c d 的 外接球半径吧。最后表面积公式代入四拍二方，答案是三十五拍。

圆形的判定及性质这块是相当关键了。直线与平面平行判定。啥叫判定？就是咋正他， 哎，怎么如何去正他呢啊？那平面外一条直线是咋体现的？是 a 不 在二环内，这叫平面外一条直线 b 在 二环内。 平行是咋体现的？ a 平行 b。 所以 说一共是三个条件，能推出来线面平行，这三个条件缺一不可， 这线面平行，哎，接下来性质，啥叫性质呢？就是一条直线一个平行，这叫前提，就你得先平行，咱才能谈性质啊。哎，要直线平行，就 a 平行于阿勒法，文字用符号形式表示 过该直线的平面， a 在 北的里边， a 在 北的里边，就说明北的过他， 这不过开鞋平面就背他吗？过他吗？他在他不就过他吗？与此平安相交，相交就是阿勒把交背他，等于 b， 这平面的平面相相交。这阿勒菲的香蕉，这简直嘎嘎细致，嘎嘎能听明白 完了之后那末咋的？该直线就是这条直线 a， 该直线就是这条直线 a 与交线就是 b， 哎， a 就 平行 b 了，这线边平行的性质， 那你看，一个是前提，这俩是条件，最终得出的是结论， 这是性质。就你这条线和这面平行了好，或这条线任何一平面与此面相交了，那么这个交线和这条直线平行了，这是相平行的。接下来面面平行的 一个平面内，平面内两条相交直线就是 a 在 这一块都是在 点，是属于啊，那这个在相交 a 交 b 等于 p， 是 相交与另一面平行，那就是 a 平行于阿勒法， b 平行于阿勒法， 这是和这平面平行，那么两平面就平行了，五个条件缺一不可。哪五个？一二三四， 这五神缺一不可。这是判定性质是啥呢？就是俩平面平行，这前提阿拉法平行北上了， 另一个平面是蛤蟆，另一个平面相相交了，那就阿拉法交啥了？蛤蟆等于这不直线 a 吗？垂的交线吗？也平行了， 这是一个性质。还有一个啥性质呢？就是你阿拉法和北的平行之后了，这不两面平行了吗？他里边任何一条线和这个面都平行，就你咋画线和这面都平行？

本期视频来看高一数学立体几何通过结面延展的方法证明垂直的问题。已知直三棱柱这个侧面有一个面是正方形， ab 等于 bc 等于二， ef 分 别为所在棱的中点 b f 垂直于 a 一 b 一， 然后 d 点现在是图中没有标出来，它是在 a 一 b 一 线段上的动点， 现在要证明 b f 是 垂直于 d e 的。 那么现在问题来了，这个 d 既然是动点，为什么要正垂直呢？大家观察一下这个 d， 我 标出来当地位于左、中、右三个位置的时候，这个 d e 连线是什么样的呢？是这样的，那现在要证明无论 d 在 什么位置，这个 d e 始终垂直于 b f 吧。那说明什么呢？什么样的线动起来之后和另外一个线一定垂直， 那就是线面垂直，对吧？如果一条线垂直于一个面，并且这个动线是在面内的，那这个动线始终垂直于这个垂线。所以说下面我要形成一个垂面连接 a e、 e 和 b e e。 嗯，证明 b f 始终垂直于 d e， 也就是要证明这个 b f 是 垂直于平面 a e、 b e 的 吧。好，下面如何证明线面垂直？最常用的方法就是证明这条线和面内两条相交直线都垂直，那线已经有这个 b f 垂直于 a e、 b e 了。 想要证明这个 b f 还垂直于面 a e、 b e、 e， 那 只需要在这个平面 a e、 b e、 e 内再找一条和 a e、 b e 相交的线，并且证明它和 b f 垂直就行了， 对吧？那现在很显然，这个现成的这个面里很难找到一条和 b f 垂直线。那我想到了一个平面延展，我将这个面 a e、 b e e 向右继续延展，所以我过一点做一条 这个 a e、 b e 的 平行线啊，和 b c 有 一个交点，设为 h， 然后再连接 b e h。 原来的平面 a e b e e。 就 延展为了平面 a e b e h e 吧。很显然，在右侧面有一个线 b e h。 我 现在能不能证明 b f 垂直于 b e h 呢？呃，在右侧平面内，我可以利用初衷平面几何的三角形全等正出 三角形 b b、 e、 h。 是 全等于三角形 c、 b f 的 理由很简单，应该是边角边啊，这个加角都是九十度，证明全等以后， 继而可以得到这个 b f 是 垂直于 b e h 的， 那么这个分析的思路就完成了闭合啊。最后咱们写证明过程的时候，就是从后往前写就可以了，大家理解了吗？

好，同学们，咱们今天继续来看平行关系的一些转化。以这个题为例，哎，它告诉我们底面是个平行四边形，然后告诉我们 m n 两个中点，以及 p b c 和 p a、 d 两个平面相交的信息。 第一问，他让我们去证明 l 与 bc 是 否平行。我们首先应该观察到 l 是 什么东西出现， l 是 作为我们两个平面的交线出现。 bc 是 谁？ bc 是 正好是任意一个平面上的一条直线， 那么我们在哪里会出现过这种线与交线的平行？毋庸置疑，肯定是我们的线面平行，那么是不是他一定可以推得出来，这个线会平行于 交线，则线交平。那这个什么叫交线呢？就是把这条线放在一个平面内，只要它现在所在的新平面与已知平面有相交，那么它一定会平行于那个交线。 那么我们观察一下，我们现在这个题目是不是就变成了去证明 b c 平行于 p b c， 这都无所谓。 所以第一问很简单，我们只需要去考虑，因为它是一个平行四边形，所以会得到 bc 平行于 a、 d， 又因为 bc 不 在面内，而且 a、 d 在 面内，那么自然而然 bc 就 会平行于面 b a、 d 又因为 bc 在 面 pbc 内，而且面 pbc 和 pad 有 个交线，那么所以就根据我们的性质可以得到 bc 是 平行于交线的。第二问，他问我们 mn 是 否与 pad 平行， 我们怎么去得到线面平行？这个题目中 m 和 n 两个都是中点，我们其实应该考虑的是，如果面面平行，那么是不是就自然而然会得到线面平行， 那么这个 m n 他 没有办法把它放在一个平面内，所以我们就要立马想到利用中点去构造我们的 中位线，找到 d c 边的中点 q 连接 n q 和 m q， 那 这样的话，自然而然就可以把 m n 放在 m n q 这个平面内。 又因为 n q 是 平行于 p a d， 所以 我们可以自然而然得到 m n q 这个平面，平行于 p a d 这个平面。那么 既然两个平面平行，那么平面内的一条线，它一定会平行于另一个平面。所以第二问，我们怎么写呢？找到 d c 中点 q 连接 n q， m q 平行于 a d， 而且 n q 交 m q 于点 q， pd 交 a d 于点 d， 那 么所以 面 m n q 就 会平行于面 p a d， 那 么又因为 m n 在 面内，所以 m n 就 会平行于面 p d a。

同学们好，我们今天来看一道高一立体几何的一个典型范例啊，本道题难度系数非常之低啊，我们从这道简单的几何题入手，来掌握一下我们高一数学立体几何当中的几类核心解决办法。 题目是能长为四的正方体 y 一 点 e 在 b e a 的 延长线上，然后如数所示，连接已知 m 为 b e 的 中点啊，嗯，这 m 和 a e 点是不重合的啊， 他说 n 为第一的中点。第一问 m， n 和这个平面是平行的，那么线面平行，我们主要是有三条解决思路，我将这个写在这啊，请大家做好笔记。 线平行面啊的三类用法 一，线平行面，我们只需要在面内找到一条直线与之平行就行了，所以第一是线平行面内一条直线， 那这个方法呢，就需要我们去找到那条直线，呃，大多数时候呢，那条直线不是现成的，需要我们去做辅助线啊， 如果辅助线到时候做不出来，那我们就起用方法二构建面面平行。因为如果平面阿尔法和平面贝塔平行，那么你在阿尔法里面随便画条线，画出来线，它一定和贝塔面是平行的啊。所以思路二， 构建面平行面，从而推出线平行面思路三间隙。 然后呢，需要计算法向量 新课标的同学们建议不要在大题当中直接使用方法三啊，因为本质上来说，这个新课标里面方法三是这个高二才学的啊。 好，但是今天呢，我们也给大家比较全面的将各种方法都给大家说一下啊，比如说第一位 m n 和平面 e b d 平行， 那么思路一就是在这个平面里面找到，怎么找到一条直线与之平行，对吧？那如果，如果就是实在找不到，那就构建面面平行啊。我先来给大家尝试一下。思路一， 这个时候需要我们在盯着这个三角形 e， b， d， 在 三角形 e， b， d 里面琢磨一条线和这个 a m 这条线是平行的，我们先把 a m， 哦，这个 n m 啊，先把 n m 稍微给它描一下啊。好，那我们先目测一下啊，不对咱们就改 有大概是这个样子吧，然后我们将其连接。那接下来请看我们这个红色的这个四边形是不是很像一个平行四边形，那我们来尝试一下，看看能不能把它正出来。 那上面这个点取的这个点，你大概率就知道是什么点了，应该是 b e 的 中点，我们假设命名为 q， 就是如图所示，取 e， b 的 中点为 q， 然后如图连接。由于 q 我 取的是 e b 的 中点， m 呢，它是 e， b， e 的 中点，所以 m q 它是平行且等于二分之一的 b， b， e 的， 然后呢？ n 个 d， n， 那 个 n， d， e 的 中点啊，而且这个后面这个块又是一个正方体，所以我们容易知道 d n 也是平行且等于二分之一的 b， b， e 的， 所以得出的结论是， m q 和我们的 d， n 是 平行且相等的。 m， q 啊，和 d n 平行且相等。这样就佐证了一个事实，什么事实呢？就是我们的红色的这个四边形是平行四边形啊， n， d， q， m 为平行四边形，那既然是平行四边形，所以就能得到 m n 平行于 d q， 然后需交代一下， m n 不 包含于平面 e， b， d， 然后 d q 包含于平面 e、 b、 d， 所以 m n 平行平面 e、 b、 d。 这就是法一啊，我写的不是特别特别的详细啊，你们去写的时候相对写详细细致一点啊。接下来我们看一下法二， 我们来构建面面平行。接下来我擦掉所有的辅助线，重新再来。 现在假设我没有找到刚才的辅助线，那我就需要构建一个平面，而且这个平面啊，第一它得把 m n 包起来，第二它得和这个三角形 e、 b、 d 啊，目测出一个平行关系，那我们可以这么找， 大致呈现这样，比如说我们把这边叫做 q 点，由于 m 是 e、 b 一 的中点，所以我 q 肯定是也是取的是 b b 一 的中点，所以这样的话， m q 是 平行于 e b 的， 理由是中位线，所以呢， m q 也就是平行于平面 e、 b、 d 的 一条有了，是吧？好，由于 q 是 b b， e 的 中点， n 是 d d， e 的 中点，所以说 n q 是 平行我们的 d、 b 的， 那当然也能证明 n q 是 平行平面 e、 b、 d 的。 只是值得注意的是，大家在书写的过程当中一定要交代一下，比如说 n q 平行于 b、 d 了之后啊，你不要直接就写 n q 和这个平面 e、 b、 d 平行，高一的时候改正比较严格，会扣分，应该写 n q 不 包含于平面 e、 b、 d， b、 d 包含于平面 e、 b、 d。 所以 n q 和平面 e、 b、 d 平行。 好，现在是不是两组啊？一组是 m q， 一 组是 n q， 需要交代一下， m q 和我们的 n q 是 交于 q 点的，它是相交之线，所以才能得到面面平行，也就是我们的平面 m q， n 平行于平面 e， b， d， 然后你说又因为 m n 包含于平面 m q， n， 所以 我们的 m n 和平面 e， b， d 平行， 这是法二，接下来略微有点超纲的法三，但是各位一定要把这个法三学好啊，因为他能在特殊的情况下啊，抢救一下法三间隙， 我接下来将刚才所有的辅助线全部擦掉，现在我们建立右手指甲坐标系，这个怎么刻上这个 x 和 y 的 命名规则啊？右手系是怎么去建的，我们已经给大家讲过了，在此不再重复啊， 不知道的同学，你们就自己上网去查一下什么叫右手系，什么叫左手系啊。好，现在我将系给大家进行了一个建立，接下来我需要找到这些关键点的坐标啊， 一个一个来，呃， b 点坐标零零四， b 点坐标零零零，呃，然后 n 点坐标应该是个四四二 啊。还有个 m 点， m 点的话，现在把 e 的 地方写一写，但是现在 b e 的 长度是多少我们不清楚，对吧？不清楚啊，所以我就设它为 二 t 零零。之所以设成二 t 零零的原因是这样的话， m 的 坐标就好写 m， 它不是这个 b、 e 的 终点吗？对吧？终点坐标是两头加起来除二，所以就变成 t 零零。 好，这就是 m 的 坐标，再就 d 的 坐标应该是一个四四四。 好了，接下来我们的准备工作就到此完毕啊，这个坐标的过程我再不写了啊。接下来我们就计算这个平面的法向量啊， 设平面 e、 b、 d 的 一条法向量为 n， x， y， z。 接下来我们从这个平面里面找两条香蕉向量啊， b、 d、 e 随便找两条都行啊。比如说我们找个 e b 吧， 找个 b e， 找个，找个 b d 啊，这个是无所谓的啊。 b e 的 话就是 e 的 去减，去 b 的 二 t 零零减零零四，得二 t 零负四，再来 b、 d、 d 的 减 b 的 四四， 然后零计算它的发向量。发向量和这个 b、 e 以及 b、 d 都是垂直的，所以点击为零 二 t x 零外不写了，减四 z 等于零， b d 和发向量点击一样，四 x 加四 y， 零 z 不 写了，然后等于零， 我们可以令 x 等于一，那么这样的话， y 就 可以等于负一，令 x 等于一了。之后我们代一下啊，上面这个式子就是二 t 减四， z 等于零，所以说 z 应该是等于这个二分之 t， 所以 这个平面的法向量就到此结束。 一负一二分之 t， 当然计算法向量还可以写行列式，掐头去尾啊。呃，在此呢，我们换个颜色的笔给大家做一个讲解说明， 请看。将二 t 零负四抄两遍， 四四零抄两遍， 然后抹掉它的头和尾，中间打上叉， 这个是我们现在得到了三组，呃，三组差，你要么撇减腊，要么腊减撇啊，都一样，比如说撇减腊，撇这两条，两个数字乘起来是负十六啊，这两个数字乘起来是零，负十六减零得负十六。 撇，这两个数字乘起来是零，这两个数字乘起来是呃，负十六，零减负十六，那么就是十六。再来这两个数字乘起来是零，这两个数字乘起来是八 t 零减八 t 负八 t。 我 们可以同时呃，约掉一个十六啊，或者负十六啊，约个负十六吧， 他就变成一，约负十六变成负一，约负十六变成二分之 t， 那 么这个就和刚才这个法向量是一致的啊，这就是法向量的计算办法。二， 这是涉及到一点大学数学内容啊，这个方法呢，尽量不要用啊，以免扣分。好，回到这来，我们的发向量呢，到此结束。接下来我们只需要将这个 m n 这个向量算一算， m n， 也就是 n 的 去减去 m 的 四，四零减去这个东西，那也就是四减 t， 然后四减零得四，然后二减零得二。 我们判断 m n 是 否和平面平行，那我们只需要判断 m n 和这个平面的法向量是否垂直，因为法向量是和这个面垂直的，对吧？想象得到吧，这家是它法向量，如果 m n 和这个法向量垂直着，那说明 m n 和平面平行了。 所以我们把 m n 和反向量点击一下，横乘横，那就是四减 t 乘一，四减 t， 竖乘竖，负四纵乘纵加 t， 我 们发现刚好等于零，所以得出结论， m n 和这个平面的反向量是垂直的。然后又因为 m n 是 不包含于平面 e， b， d 的， 所以 m n 和平面 e， b， d 平行啊。第一问，到此结束。 好，有了上一问的这个铺垫啊，我们现在来做一下这道题的第二问，会简单的会简单许多。他说 a e 的 长度，他说等于一个八， a e 的 长度是八，然后这段是四啊，所以说总长度是十二，总长度是十二。他说此时此刻，让我们去求一下 m n 的 长度。嗯，这道题呢，我觉得用间隙也挺好做啊，我先用间隙把答案给大家做出来， n 点坐标我们不是知道了吗？是四，四二，现在只需要知道 m 点的坐标就好了， m 点呢？它是这个终点是吧？终点我们这个地方是四，然后 a e， e 是 八，那所以整个长就是多少，整个长就是十二，那么 e 是 这个 m 点是终点，所以 m 点的坐标就是六零零啊，六零零。 好，所以 m n 我 们只需要带两点间的距离公式即可。平方下六减四得二，二的平方得四，四的平方是六，二减零得二，二的平方是四，那就是 二十四四六二十四，也就是二倍根号六。这一问题就到此结束。接下来呢，我们来引用一下法二， 我们来擦一擦，建立在这个高一数学的角度上来讲的话，我们是不可以用间隙的啊，那么我们就可以考虑把 m n 构造到一个直角三角形里面，这也是常规化操作啊， 这点长度我们是知道的，这点长度是二，那么接下来我们只需要得到 md 的 长度就好了。呃，怎么得到呢？这点长度是毋庸置疑的，是等于四的，那么我们只需要得到 am， am 的 长度就好了， 这个也是非常容易的啊。嗯，整个长度我们刚才不是已经说过了，是多少来着？是十二，所以说 b e m 这边就是六，然后这段是四，所以说这是二啊，这点长度是二， 好，嗯，我们继续往后走啊，这点长度是二，这点长度是四，那么根据勾股定律， 因为这个地方肯定是直角，根据勾股定律，我们的 dm 的 长度就等于根号下十六加二点方四二十二倍根号五，所以说这点长度是二倍根号五，那这点长度又是二，这点长度又是二倍根号五，所以 m、 n 的 长度就出来了。 根号下二倍根号五的平方四，五，二十二的平方四，那就是根号下二十四，二倍根号六，到此结束。

立体几何是不是把你给愁坏了？洁面问题真让人头疼啊。别慌，两种办法搞定它。我们来思考这样一个问题，过三个点，怎样做一个洁面呢？嗯，其实就像切蛋糕一样， 一刀下去，把它分成两部分，新形成的这个面呢，就是洁面。 那么该从哪里下刀呢？当然要选择它其中的一个表面了哦。好了，我们来看第一种方法，平行线法。第一步，连接同一个表面上的两个点，得到直线 l， 这就是下刀的位置哦。第二步， 找到阿尔法平面的平行平面北塔，它上面有第三个点，那我们过第三个点做直线 l 的 平行线，它与棱的交点就是新的节点。第三步，将新得到的节点与已知的节点首尾相连，然后进行判断。 如果所有的连线均在这个几何体的表面上，那么我们就得到结面了。但是呢，有的连线在几何体内部，那我们就需要重复一二步。 还是这个题，我们用第二种方法，延长交界法，我们还是要找到在同一个表面上的两个点连接并延长。 然后呢，把与它位于同一个表面上的这条棱 d 撇、 c 撇也延长一下，相交于同一个点。第二步，连接点 p 与第三个点， 它与棱 d 撇、 c 撇会有一个新的节点。第三步，将新得到的节点与已知的节点首尾连接。 如果所有的连线均在几何体的表面上，那我们就得到结面了哦，如果不是，我们就要重复一二步。留了两个练习，你来试一下吧。

好，同学们，咱们今天来学习下一个知识点，也就是空间的点，线面的关系。我们先学习第一个就是直线与直线之间，它到底有几种位置关系？ 我们在初中的时候学过，哎，这直线和直线或者平行或者相交，它其实只有两种，那么这个垂直和重合只是特殊情况我们就不提，但是到了高中 我们把它扩展成了空间直线，那所谓空间直线就代表着这两个直线是不是共面都不一定了，那他就不能够只讨论他平行还是相交。所以我们对于空间直线来讲，他有三种位置关系，其中两种 它是基于共面直线去考虑的，也就是我们初中学过的平行线和相交线。剩下的第三种就是我们到了高中新引入的一种直线，叫做意面直线。 什么叫意面直线？就是两个直线本身就不在同一个平面内，我们就没有必要去讨论它是否相交或者平行。下面这个地方我们画图了，我们看到这个 b 直线 b 和直线 a 啊， b 是 过了这个 a 所在的平面，那么代表着这个 b 直线一定不会在这个平面内了， 所以 b 直线与 a 直线是异面的。第二种就是说两个平面如果有了假角，大家要把这个图看懂，这是平面贝塔，这是平面 r 法，他们两个有假角啊，那这一个一条直线在平面贝塔内，另一条直线在平面 r 法内，他俩也是异面的。第三种就是我们说这种，大家先认识这个图 好，然后我们来看一道例题，他说在正方体 a b c d a b e c d e d e 中 b e c 与 d e b 的 关系？我们先要找到 b， e， c 是 这条直线， d， e， b 是 这个体对角线，那它有什么关系呢？我们先要想一个问题，这个 b， e， c 和 d e， b 如果你要考虑平行或者相交， 那么他就必须得是在共面的情况下去讨论。那明显我们发现这个 d， e， b 他 应该是与这个 b， e， c 所在的平面是有一个交点的，他会交在这个位置。 所以代表什么意思？是不是代表着我 d， e， b 一定不在这个平面内？一定不在这个平面内的话，是不代表着他俩一定是一个意面直线。所以这个题目选择 c 选项。

同学们好，本期视频来看高一数学圆锥内切球的问题。一个轴结面为边长是二倍角三的正三角形的倒圆锥形封闭容器，先放入一个小球 o 一， 再放入一个半径为一的大球 o 二。 现在问小球 o 一 的体积与这个圆锥容器的体积之比的最大值为多少？嗯，现在没有图，我画一个，先画一个倒圆锥，因为他说轴结面是等边三角形，所以画着一个倒着的等边三角形，就代表他的轴结面 先放入一个小球 o 一， 再放入一个大球 o 二。这个 o 一 呢？最后问的是体积的最大比值，说明这个 o 一 可以无限小，对吧？它一定存在一个最大的半径，那这个 o 二它既然是固定的，我就先分析 o 二吧。看这个 o 二，它是大球，半径为一。 呃，看到轴结面为等的三角形，我画一个内切圆吧，把圆心设为 o， 那 么边长为二倍根二三。根据初衷知识，那他这个内切圆的半径应该就是一，那么就可以发现这个大球 o 二的轴结面就是 这个圆 o， 我 就可以把这个 o 改成 o 二了。那么咱们先放入的这个 o 一 在什么位置呢？一定是在底下吧。这个 o 一 怎么画最大的？ 是不这么画最大，保证这个 o 一 和 o 二相切，而且 o 一 和圆锥的侧面也都相切。那么现在求一下这个 o 一 的最大半径， 也是根据初衷的平面几何可以得到。此时这四段都是 o 一 的半径，用小二表示啊，因为整个这个等边三角形的高是三， 那三减二，剩下这段就是一吧，所以说可以求出二为三分之一，那么小圆就是这个小球 o 一 的半径最大值是三分之一。体积比就很简单了啊，那 o 一 的最大体积是三分之四， pi 二立方是八十一分之四， pi 这个圆锥的体积就是三分之一。底乘高，底呢，就是半径为根号三的圆高就是三，算完了是三派，所以比值最大值就是八十一分之四，派除以三派，答案就是二百四十三分之四。那这道题就做完了。

骚猫讲数学，立体几何是高一数学最难的板块了，但在这节课中呀，我把立体几何所有的解析技巧，解析妙招给大家总结了出来，用最通俗易懂的语言，让你拿下立体几何的六大解析技巧。废话不多说，赶紧开始吧，数学启动 一体几何究竟有多难呀？从八点一到八点六，此行猫呢，用这个必修二的系统课给大家把考点题型整理了出来，来请大家把自己觉得最难的板块的标题扣在弹幕里，是八点一还是八点二，还是到后面的八点五八点六了，以及中间补充了一个外接球与内接球专题。 那接着给大家欣赏一下本节课会讲到哪些解题妙招，以及针对哪种题型。第一个凑对称，来自二零二四年天津高考的真题体积问题。第二个妙招呢，是以尺子在这种正平行的题里面去找线线平行 这题看起来是一个小桥，但其实它包含了四个大题，看起来简单，其实一点也不难哟。接着呢，是换顶点问题，针对于求三棱锥的体积以及呢到了化解面问题，来自二零二一年全国二卷以及二零二三年全国一卷的高考真题 前脚转化两两垂直化为长方体以及向量法来求这种线线垂直的问题。一面直线垂直，这个可是很难的呦。 那首先第一个凑对称，针对于求体积问题，如果给了一个复杂的几何体， 那一般的思路就是割补法了，但不管是割还是补，它都是有依据的。比如这种遇到了结构对称的几何体，那咱们就抓住对称来直接看题。二零二四年天津高考，给了一个五面体，然后棱 a、 d、 b、 c、 f， 哦，这三条棱是 平行的，两两平行， ok， 互相平行，两两之间的距离为一，那说白了就是你这个棱之间的距离呀，哎，都为一，都为一， ok， a、 d、 b、 c、 f 分 别为一、二、三。问你五面问题的体积哇，这个五面问题，首先它很不规则，但是我知道这三条棱的长度分别是一、二、三。那各位学小猫，请在弹幕里扣一下，这个题怎么解决呢？是割还是补一？割成什么样子，补成什么样子， 哎，可能有同学想到的是去给他割一下，但割完之后其实非常难受，比如这里我找一个一啊，那这样，然后这里呢？找个三等分点，下面也是一， ok， 这个看起来呢，下面是一个棱台在上面，这个不太好求啊，上面再去割一下，那也蛮复杂的啊，有同学想到补了，很好，一、二、三，哎，你看这个三呀，他差了一个，差了一个一，那这补一个一出来， nice， 这里再补一个二出来啊，这么一连的话， ok， ok， ok， 哦，这个呢，就是整个一个棱台了，然后这是一个二二，这是一个一，但是看着还是很不爽，因为这个棱台，哎，他，你补出来了，这一部分也不规则呢，很难求，那咋办呢？ 哎呦，聪明的小黄猫，一看，一二三是个什么呀？各位小小猫，请在弹幕里扣一下一、二、三，这不就是等差熟练吗？那你何必补个一和二呢？一二三，我给他干嘛呀？我给他补个三二一出来，那这样不就非常完美，非常对称了吗？来，直接操作，你看这个，我给他补一个三， ok， 那 这个呢？我给他补一个二出来， 那这个呢？咱给他补一个一啊，这个三，我们再画长一点， ok， 到这里了，好，这三个线呢，长度分别为三二一，那这样你连一下就会非常惊奇的发现，哦，这一连到这了，这边一连呢？到这了， ok， 这二连呢？又到这里了，哦，这整个就是一个三棱台了，三棱柱，并且不仅补上了一个三棱柱，他还是一个非常规则非常对称的图形啊，没有发现吗？咱要求的是这块黑色部分的体积，而补出来这块红色部分的体积。 黑和红，他俩咋了呀？哦，他俩是一对啊，天生一对三二一一二三，他俩非常互补结合在一起了，是一对 cp。 那 我想用这个黑色体积不就是整个体积的二分之一吗？ amazing， 请把六六六扣在弹幕里， 那咱的五面体体积直接二分之一为这个三楞柱？好，三楞柱体球乘一个二分之一，答案嘚儿一下就出来了， 哎呦，那这个三棱柱体积怎么求嘞？两两之间距离为一啊，那说明这个三棱柱它中间之间的啊，这三个棱的距离一一一，哎，我家猫的名字一一，嘿嘿， 那这个结面就是一个边长为一的等边三角形了，等边三角形的面积，也就是底面积直接四分之根号三 a 方，那就四分之根号三乘以的平方四分之根号三。那么高的话，咱补完之后这个棱长都是四了呀，所以高就是一个四。 nice， 那 么最后的答案请扣在弹幕里， 二分之根号三选 c， 漂亮。也就是说遇到这种结构对称的几何体或者复杂的几何体，你可以给它补成结构对称。有的题呢，可能出来一个就是结构对称的，那么你其实只要求哎成个二分之一就行了，或者把总的求出来乘一个二分之一， nice， 另外这个两两之间距离为一，可以翻译成啊，这个棱柱啊，它的直径为一的等边三角形。 关于这玩意，怎么详细的证明在 b c r 系统课中啊，咱的配套讲义七十三页，本节课题目啊，均来源于三花猫 b c r 系统课配套讲义在 b c r 系统课也都是给大家进行全面的讲解了，只不过是把其中一些题型给大家抽了出来，所以需要 b c r 系统课的哎，可以在我的主页获取。 好，那各位是小毛，咱再回归到这个目录，我向大家比较难受的就是这个表面积体积问题，尤其这个体积问题啊，哎，刚刚就讲了一个呦！ 另外在必修二系统课中啊，丝毫把这些所有的知识点，题型技巧以及解题妙招全给大家讲完了。 系统课呢，不仅包含立体几何，还包含了必修二其他的章节，比如什么解三角形，平面向量以及统计概率等等。 最近好多小伙伴私信需要 bcr 系统课的，并且已经下单了。那小黄毛再给大家说一下， bcr 系统课有个五一假期特惠哦，仅针对于五一假期这两天。这些呢，就是跟着小黄毛学 bcr 系统课的部分截图啊。 三皇冠必修二系统课最大的特点呢，就是通俗易懂，我会用非常简洁的人话把一些很难的题型给大家拿下来啊，比如这位同学啊，说在学校听得一言难尽，然后三皇冠真的全靠你了。哎呦，系统课让他对数学重燃了斗志， 因为 pc 二系统不仅包含了全套 pc 的 课程视频，还包含，哎咱的配套讲义，一百页，总共一百页的哦，并且答案也是有的，包括电子版以及纸质版，还包含色号猫四个月大一最后的价格，大家直接在我的主页或者在本视频的链接获取，就能看到优惠完的价格了。 并且不管你的数学是多少分呀，其实都适合这个必选系统课的，因为每节课呢，我都会给大家讲哎最基本的知识点，然后接下来讲解题妙招。最后呢，讲这个题型的通法，哪怕你是零基础，你刚开始看知识点也是能看懂的，从零到一百分，以及再从一百分到一百三十分，把所有的题型全部拿下。 如果你的高中数学在学校学的难受，那必修二系统课就是你的法宝，包含了直指讲义，哪怕你平时在学校没有时间，也可以先做题，回来再看视频，因为每个视频的长度是三十到四十分钟，所以你每周去看一个板块就 ok 了，完全足够了，非常高效，非常通俗易懂。 那接着妙招二，移尺子哎，考试的时候可以带尺子的哟，就是对这种让你证明平行问题，说白了其实是找线线平行。比如你看这个第二题，哎，给了这么多条件问你不满足直线 m n 平行平面 abc， 那 我反过来思考杯，我就证明，哎，直线 m n 平行于平面 abc。 所以 这个题不简单嘞，它有四个选项，每个选项都需要你去判断一下或者证明一下 m n 是 否平行这个平面了。 那证明线面平行的方法是啥呀？在 b c r 系统课讲过了哦。啊，就是找线线平行，在平面 a b c 中找这么一个直线和 m n 平行，找线线平行。哦，那怎么找呢？哎，你偏平行这种感觉哦，用尺子一下不就出来了吗？这道题呢，也是 b c r 系统课配套讲义的五十六页 好，比如你看第一个 a 选项，我要证明 m n 平行这个平面 a b c。 那 在 a b c 中找一个线和 m 平行就完事了呀，怎么找呢？移尺子呀。啊，你看我这个尺子比了 m n， 然后往下移，我的眼睛就是尺一过一过，哎，它正好和 a c 平行了呀，平行吧，真的平行呀，那怎么正呢？ 哎，有了这个思路，先把它写上呗。我说白了就是证明 a c 平行于 m n 啊，如何证呢？我现在已经找到了。那你就哎顺着它的思路去思考。你看 a c 是 两个这个哎，终点一连 m n 也是两个终点了，但只不过这个终点小一点点，所以我需要去找这么一个面儿对角线让它变大。哦，那这我记为一个啊， p q 吧，所以通过 ac 平行 p q 以及 m n 平行 p q 平行线的传递性，那直接 ac 平行 m n 了，就挣出来了。 nice， 好， 接下来这个第二个，看我怎么移到这个东西你可能看着比较难受了，需要移尺子来，先把 m n 给它描一下 啊，当然，你们到时候用尺子移就行。你先用尺子比着 m n 啊，然后呢，给他往下移，下移，你看哪里平行了？一到 a 点啊，不行，这里太抽象，有点， 哎，看着有点难受了，他不在这个面里面，那一到 b 点都不得行哎，好像德行哦，一到 b 点呢，这边是一个 b， 这边交于了这个棱的中点了，那说明这个面呀，它太小了，给它延长一下啊，这里给它连接， ok， 这里也给它连接，连接到这里 来，我们用虚线吧。 ok， 这里给它记为一个 q 吧。啊， q 币，那整个这个 abc 平面是不是就相当于 a q c b 这个平面了？哦，那我只需要证明 m 平行， q b 就 完事， 那很明显，这个 m 和 q b 是 好正的，所以线面平行了啊，注意，这个平面和直线可以无限延伸的哦，你平完之后可以延伸了，那答案就出来了。好，接着第三个 m n 平行 abc 来，再用移尺子，哎，神奇的小尺子，移一移，这是 m n， 给它往左边移啊，移完之后， 哎，跑这了，焦点在哪呢？哦，焦点就在这个棱的中点啊。给大家也记为一个 q 吧，那连接 c q， 再连接 a q， ok， 你 会非常惊奇的发现，平面 abc 其实就是平面 abc， 那 我证明 m n 平行于 q b， 完事。 好，那通过移尺子，你发现 a b c 都是对的，那所以我肯定不能选 a， b c 就 要选大了，哦耶，答案就出来了，请在弹幕里扣出六六六移尺子，大家考试的时候一定要带尺子，这个非常关键，它是你至胜的法宝哟。啊，当然你也可以把三花猫带上，嘿嘿， 那这时候可能有好奇的小小猫了，三花猫呀，那最后一个移出来也是对的呀，为啥错了呢？最后一个，大家确实移出来，你发现 m n 和这个 a c 啊，它是平行的 啊，然后就觉得，哎， m n， 那 不就平行平面 abc 了吗？有这个思想的同学，我送你四个字啊，拖洋，拖死你跑，太年轻，太单纯呀。哎，这个 m 和 a c 是 平行的呀，但是注意这个正方形。给大家再补充一下，你没发现刚刚在 b 选项和 c 选项里面，我们都把这个面啊给他扩充了一下， 扩充其实就好看了，而这个 abc 你 看它非常的小，咱也可以给它扩充一下呀。你看 abc 在 棱的中点，那我多找几个中点呗。啊，这里 n 也是中点啊，咱把这个 b 和 n 连接一下。 欧耶， m 已经连接了。好，这我也找一个中点，把 c 和这个中点一点，再把 m 和这个中点一点。哎，你发现整个这个平面其实是啥呀？再来记为一个 a， c， q， m n， 它就是一个六边形，而咱要求的这个直线 m n， 它是包含在这平面里面的哟，包含在平面 abc 的， 因为咱把平面 abc 给它扩充一下，你发现是包含 m n 的， 那线和面平行需要啥呀？线不在面内才行呀，这个是线在面内，所以它就错了，这是一个易错点哦，注意正方体，你几个棱的中点相连，可以构成一个 正六边形，这也是一个场合的模型啊。 nice， 接着妙招三，转化顶点输入在 b c 二，系统课配套奖励的四十一。 好，直接看你三杠一，哎，值。三棱锥这玩意给了这么一堆条件，问你，三棱锥 b 杠 p a c 啊， b 是 一个顶点， p a c 呢？是一个底面。 ok， 没问题。那何为换顶点啊各位，就是针对于三棱锥的体积，这是个高频考点哦，咱干嘛呀？换高？因为三棱锥的体积众所周知是 v 等于三分之一 s、 h， 而在这个公式里面，最难搞的其实就是这个 h 了。 s 一 般好求，有了减三角形，二分之一 a、 b 三 c 就 求出来了。那这个 h 有 时候真的不好找，因为立体几何很抽象。比如你看这个题，我要求 v、 b 杠 a、 p、 c， 那 是不是需要从点 b 向这个平面 a、 p、 c 做一个垂线段才能找到这个高呀？ 那问题是，垂线它落在哪里呢？你做完之后落在这还是落在这？还是呢？落在这个棱上了，它不好找，因为找完之后，你这个长度也不好求。那所以其实呀，你如果以 b 为顶点去求这个高，真的难受，咋办呢？ 转换顶点，换顶点，换高，刚刚是以 b 为顶点高做出来这样子的，那我能不能以谁啊？以 c 为顶点，或者以 p， 或者以 a 为顶点。 三棱锥是有四个顶点的，那我以谁为顶点，其实都一样的呀。那你觉得哪个顶点好一些呢？各位，在 a、 b、 c、 b 中， ok， 请扣在弹幕里，那肯定是 p 好 点，为何呢？因为 a、 b、 c 这三个顶点都是二十六字母的前三个哟。嘿嘿，那 a、 b、 c 肯定是好球的。但是开个玩笑，这也是一个思路，你想想吧，点 p 是 这个 a、 c、 e 的 终点， a、 b、 c， 它就是这个三棱柱的底面哟，你看， a、 b、 c 不就这个三层柱的底面吗？那这个底面的面积非常好求呢？那我不就是求这个点屁到这个底面的高呢？那点屁到底面的高怎么求呀？哎，这个屁是个中点，你别忘了是个中点，那我通过这个点，屁往底面做了一个高， ok， 那 其实它是啥呀？它这个 c 到底面高的一半了，因为屁是它的中点，那我说白了就是 c 到它高，再乘二分之一就完事了。 好，有了这个思路，转换顶点启动，咱以 p 为顶点，把 v b 杠 abc 这个三棱锥给它转换成了 v p 杠 abc 啊，顶点换到 p 了，那咱刚又说了， p 是 终点，那 a c 一 的话，它是一条这个线， 那所以 c 到底面的距离是 p 到底面距离的两倍了。哎，这个很好看出来吧，那所以直接变成了五，哎，二分之一 v c 一 杠 abc 了。 其实这两步呢，都是这个三等球体积的两个妙招，我给大家标注一下，在这个 b 圈系统课都是讲过的， 第一步就是一个换顶点，第二步是比例放松，相当于出现了中点或者几等分点，那这样他的高也是他的几分之几啊，进行相应的放松就 ok 了，但一般这两个都是结合在一起出的，所以换顶点加比例放松。欧耶， 好，那现在这个就很简单了呀，直接二分之一啊， s 三角三分之 s 时，那就是三分之一 s 三角形 a b c 再乘一个高，高就是 c c 一 呀， nice， 所以其实我只要把 a 三角形 a b c 求出来就完事了。 a b c 的 面积怎么求呀？哎，他给了这个 a b 是 根号二， ok， bc 又是一个一，还给了 cos 角 a c b 是 三分之根号三，相当这个角的 cos 就 知道了。哎，那不就是解三角形问题吗？那怎么解？各位小伙伴自己操作一下吧， 四号猫马上公布答案。 ok， 四号猫要公布答案了，最后的答案如图所示，十二分是科二，各位学小猫算对的，请在弹幕里扣一个。 nice， 主要解三角形的过程我展示到这里了，先利用这个考材值算出来三边之长，然后再利用面积公式算一下三，答案就出来了。好，另外，这个三个二留作一个练习题，也对应于必须要系统课配套讲义的四十一页，大家做完了直接在系统课中对答案即可，或者在评论区抠出你的答案。 接着第四个妙招，化解面。呃，立体几何难就难在它是一个三维图形，但我们可以通过化解面把一个三维问题转化为一个二问题，也就是把一个立体几何问题转化为平面几何问题。 最突出，考的最频繁的你，像二零二一年全国二卷以及二零二三全国一卷，都考到了一个棱台的体积问题。棱台的体积我要去干嘛呀？哎，找这个高是最关键的。 ok， 棱台的体积公式还记得吗？来，记得的小小猫，在弹幕里面扣一个一， 是不是 v 等于三分之一？哎， s 一 加 s 二乘以个啥玩意呢？乘以个 h 漂亮， s e s r 好 求，主要这个 h 难求，所以其实求体积问题啊，说白了就是求高，求这个定海神针了。哟，那棱台这个高如何求呢？哎，我们先画一个图嘛。 ok， 如图所示。那我去找这个高啊，上里面中心，下里面中心，这么一连高就找到了。好，现在题目给了侧棱的长为二，说白了这个为二，那上下里面这个边上也知道，那我怎么求这个高呢？哎，这个二我都知道了，我要去找这个高，那说白了，哎，把这两个一连，这两个一连开心。 好，这是一个啥呀？因为他是高，所以这两个是垂直的。那这玩意其实是一个啊，直角梯形，那相当于这个轮胎，我通过把高移，哎，棱长，这个一连是不是做出来一个结面了？好，这个结面图形给它提取出来，如果还看不懂，可以提取一下呦。 提取完之后，直角梯形，这个腰长为二，那上下底边呢？哎，注意，上底边是啥呀？是整个上底面的对角线的一半啊，上里面这个边长为二对角线二倍根二乘以一个二，一半是一个根号二，同理下里面是二倍根号二。好，现在问你这玩意那不就是一个平面几何问题吗？ 怎么求呢？来，这再做一个平行，那这是根号二，那求他是不是直接勾一下就是一个根号二？漂亮， 所以求出来这个 h 就 等于根号二，欧耶。那接下来把这个东西一带，答案嘚儿一下就出来了。来，请把这道题的答案扣在答案里，快速算一下。 ok， 最后的答案如图所示。 选大。那这个题拿下了，给大家留个小小的练习题，四杠二，二零二三年全国一卷的题哦。 这个画界面其实它是一个非常重要的思想，也就是把立体结合问题给它转换成平面结合问题，多去把立体结合的界面画出来，因为咱们一般采用的斜二插画法，导致你在立体结合里面看图的时候非常难受， 那以及更多的方法，系统的讲解都在发红包，必秀二系统课，大家在我的主页获取或者该视频连接获取即可。 妙招五，墙角转化各行者们有没有玩过我的世界呀？简称 m c， 在 我的世界里面，我记得我小时候刚玩的时候就是去追那个猪打， 但发现这个猪每打一次就会乱跑，所以我就把它按到一个墙角，啊，边打啊，然后边这个它就跑不掉了。 那墙角是啥东西呢？就像我的世界一样，因为它我的世界那每个东西都是一个方块，那不就是个正方体或者长方体吗？哦，那咱们看题， 就相当于你看五杠一啊，三棱锥这玩意中给了 p a， 这不重要，重要是这句话， p a， p b， p c， 两两垂直。哦， 它都有个公共点， p， 两两垂直，那不够就构成了一个墙角吗？啊，你看，这里是 p b， 那 这是 pa， 这是一个 pc， ok， 是 不是构成一个墙角啊？这三个是两两垂直的啊，相当于我的世界里面一个角角落了。 那既然能勾出一个墙角，你想想，两两垂直，哎，他是我的世界一个方块的，一个一边喽。啊，一部分，那所以可可以把它放到一个方块里面，也就是放到一个长方体里面，好给他标一下吗？都是一个根三，哎，根三根三根三，长度还一样，那所以出来应该是个正方体，啥意思呢？ 如图所示，在这个正方体里面，既然刚刚这个 p 是 在这 p a p b， p c， 那 好，我用这个 p 在 这个正方体的顶点，那这里不就是 a b c， 哎， 你把一个三棱锥啊放到正方体里面了，每个三棱锥的顶点都在正方体的顶点上，我再给大家连接一下，现在是不是看得更舒服了啊？这个顶点 p 下面底面 a b c， 他 问你三棱锥的外接球， 哎，那这样这么一放到正方体里面，三棱锥的外接球其实就是谁呀？啊，这个蓝色的正方体的外接球，请把六六六扣在弹幕里， 那我求他的外接球，直接求正方的外接球，这个题答案就出来了。好，我先给大家梳理一遍思路，就相当于如果遇到一个三棱锥， 他出现了，哎，三条相邻的棱，两两垂直，那么这就是一个墙角模型了。利用墙角转化，把它当成一个墙角，那其实就是正方体的一个角了，那就给他转换成正方体外接球了。当然这个给的比较特殊，三条棱相等是正方体，有时候可能转化出来是一个长方体， 也输入在 b c 二系统个配套奖励的四十八页里面，给大家整理出来了这个三棱锥，哎，三棱锥外接球的各种球法，各种模型，这只是其中一种。 好了，各位学小猫大家自己求一下这个长方体它的外接球的体积。四号猫马上公布答案，最后的答案如图所示， 选报各位学小猫做对了，请在弹幕里扣一个， ok， 欧耶， nice， 都可以！ 那最后这个五杠二留作一个练习题吧，也是在 b c 二系统和配套讲义的。四十八 e， 注意这个正方体的外接球啊，它就是体对角线的一半，所以直接它的公式就是二分之根号三 a 了啊， a 是 这个正方体的棱长了，而在这道题里面，棱长就是一个根号三，所以咋把 a 等于根号三带进去，那算出来就是一个二分之三了。 nice！ 那 本节课的最后一个妙招，向量法。哎呦，各位同学们还能还没有学过空间向量，但至少你学过平面向量吧。所以向量法在解决一些立体几何问题的时候非常舒服，哪怕今天你还没有学，在学校没有学没关系，塞红包直接给大家讲懂，特别简单。 那直接看题吧，他说一个正方体 ok， 然后呢？ ab 呢？都是顶点， e f 是 终点，在途中满足 ab 垂直， e f 的 图形有哪些？ ab 垂直， e f 是 不是线线垂直呢？ 而在 b 圈系统给大家讲过证明线线垂直的思路，其实有三个。第一个啊， e 面直线垂直，我们干嘛呀？直接平移加减三角形，你把两个 e 面直线垂直，我们干嘛呀？直接平移加减三角形。求一下这个夹角如果是直角，那就完事。 第二种思路，别忘了，线面垂直有一个性质，线面垂直是不是可以推线线垂直啊？所以第二个，你可以通过证明线面垂直，然后再来证线线垂直。哎，相当于垂直之间的一个转化了。另外第三种思路，这个就比较牛了，也是撒哈密最喜欢的一种办法哎，向量法。 好，那我们可以先看一下这个啊，第六个的第一个。另外各位学长们可以猜一下这个题答案有几个嘞？他说满足垂直的图形的个数为几个？各位可以按个暂停键自己试一下啊，你可以试一找，这道题难度其实非常大，如果你用皮筋和线面垂直，做起来非常难受。 好，我们看第一个啊，比如有同学想问，这个平移的办法可以吗？我给大家讲一下，这是 ab， 而这个呢，是个啊， e f。 那 现在我把这个 ab 到现在给它平移一下，平移完之后，呃，它能和这个 e f 放到一起共顶点，那是不是就好了？比如平移到这里， 哎，这里可以吗？哎，可以，平移完之后呢？你看这就交于了这个棱的中点了，所以这边呢，我找一个中点给它接为 q， 连接 q e， 好在连接这个 eq。 大家看一下，这个 eq 和 ab 平行吗？太平行了，因为 eq 是 这个啊，和这个红色的直线平行，它是中位线吗？而这个红线和它又平行，根据平行间的传递性。好，我只要能证出来这个角是九十度就完事了。 那问题是咋证的？各位小小猫，那你要把 q e 长度求出来， q f 长度以及 e f 长度都求出来，然后就勾股定律验证一下，解三角形。 那这三个长度其实求起来计算量蛮大的呦，虽然他是个正方，你都可以设他为一个二，但其实计算量也不小啊，在考试的时候，你未必想的出来，或者说未必能算出来，算完之后时间没了。好，我们不管这个方法了，不用平行法了，来换一个办法。那有同学说那第二个办法用线面垂直可以吗？当然可以，那问题是你去找哪个垂直呢？ 那现在如果告诉你这道题答案就是一，或者他想让你证明这个一成立，我们就假设他成立，也就是假设 ab 已经垂直到 e f， 哎，假设我想正他是慢慢去，往后，从后往前推呢？ 那如果在 e f 里面再做一条线，因为 e f 我 一个在这中间，一个在这中间，看着难受， ab 是 个对角线，看着舒服。 那众所周知， ab 对 角线在正方形中，对角线是不是互相垂直呀？ ab 和它垂直的哟，那它和谁又平行哎，它，我这里再找一个中点，给它接为一个 q， 连接 f q f q 是 不是和 ab 垂直呀？那如果 ab 又和 e f 垂直，那 ab 就 和这个 q f e 整个平面垂直了，所以我再连一下，哦，我说白了，只要证明 ab 垂直两个线，然后 ab 就 垂直这个平面了， ab 就 垂直 e f 了。 这个看起来是挺简单的，但是你这个辅助线确实不好想。那所以大家下面垂直如果学的不好也难受呀，那咱们干嘛呀？我给他教一个万能的办法，向量法， 正方体中去找向量。你想证明 ab 垂直 e f， 哎，如果把这个向量 ab 以及向量 f e， 我都给他用另外的这个项链来表示，两个项链数量即为零，不就挣出来了吗？那怎么去表示呀？这两个项链肯定难受，他的家教你看不出来，如果能看出来，那还挣个什么哟。哎，没关系，四号猫有方法， 找啥呀？找基底，在平面相中，我们找了两个基底，那咱们在空间中就去找三个基底，正方的基底非常好找，我以 a 为这个圆点 好，这一个项链 nice， 这一个项链 nice， 以及上面还有一个项链给它都记为一个项链 a， 项链 b 以及项链 c。 欧耶， 那 abc 是 啥呀？它是三个两两垂直的项链，其实每个项链的长度是不是都相等呀？我给它都记为一个一嘛。 abc 毛长你都知道了，加角都是九十度，加角也知道了，它可以作为空间中的三个基底，请把 ok 扣在弹幕里。 那这几个也一样的，我都以这个 a 为定点，去找这么一个基点。好，那用这三个向量把这个 a b 以及 f e 表示一下，大家看下这个向量 a b a b 不 就是向量 a 加向量 c 吗？根据平行四边形法则，那所以直接这个 a b， 哦， a 加 c 完事了。 那这个 fe 呢？ fe 在 哪呀？哦，它在这呢。 fe 还比较复杂呢，但是没关系，其实也简单， fe 它是不是就等于 fa 加上一个 a e 呢？ 哦， fa 是 啥呀？ fa 是 负二分之一 c， a e 是 啥玩意呢？ a， e 是 这个向量 b 加上二分之一 a， 那 就是二分之一 a 加上一个向量 b。 好，现在我想求这两个向量的加角，那么根据加角公式，我先求下两个向量的数量积，好吧，所以 ab 与 f e 的 数量积。 那其实就是啥呀？就这个基底的向量积， a 加 c 是 ab， ok， 再乘了一个啥？二分之一 a 加上 b， 减去二分之一 c， 我 给它调换一下顺序， 按照这个字母的顺序来写。好两千的数量积一乘，如果是零，那是不是就垂直了？自己算一下呗。哎，你同学说三花猫呀，二项式乘三项式难受呢。哪里难受了？ a 我 们一个算吧， a 乘二分之一，我们非常惊喜的发现，哎，它们共起点，所以就是一个二分之一 a 方了。这一项出来了。好，第二项， a 乘以 b， a 模 b 模扣上 c 的， 求个啥用？ a 和 b 不 就是垂直的吗？所以这一项直接是一个零了。 nice， 同理， a 乘负二分之一 c 也是一个零呀， abc 两两垂直，你看我找的多好呀，请把好扣在单位里。 那接下来另外三个 c 乘二分之一哎，也是零，垂直的 c 乘 b 也是零，最后一个 c 乘负二分之一 c， 所以 减去一个二分之一 c 方， 哎，你在三棱，在这个正方体里面， a 和 c 摩擦相等，所以二分之 a 方减二分之 c 方就是一个零。好， ab 点 e f， 它的数量积就是一个零，所以 ab 垂直于 e f。 nice， 这个就是一个项链的办法呀，我通过找了这么三个基点，然后求出来这个向量为零，答案就出来了，所以向量法用起来特别舒服，特别简单。 ok， 在 正方体里面向量也特别的好找，因为考试其实他就喜欢考这种正方体哎！ nice！ 好，剩下三个选项，各位学友们大家自己用这个来向量法给它正一下吧，我给大家透露一下答案哦！这个题其实有几个呀？啊，这个确实有点坑人了，四个全都是垂直的，嘿嘿，所以你如果用平移和向量垂直，它正起来真的非常复杂，向量法一步搞定，全部拿下。 给大家总结一下，通过这节课的学习，大家都理解和里面一些比较难的题，有了一些非常好的妙招了。凑对称题里面想到结构对称，解决了这个二零二四年天津高考，以及以尺子找线线平行，再到幻顶点求三棱锥的体积啊，再到这个棱彩的体积，我们去无脑的化解面 墙角转换，针对于两两垂直的一个棱锥以及向量法啊，用这个基底来表示求下就完事了。以上所有的题啊，都输入在这个三红猫 b c 二系统课里面对应的这个页数也都给大家做了一个标注的。 另外我们可以再看一下这个历史几何的一个啊，他的这个知识点以及知识框架都收入在三皇冠必学系统课呦，哪个板块最难可以扣在弹幕里啊？必学系统课五一节特惠我也放到这里了，大家有任何疑问的可以私信我，也可以直接点击链接。 另外下单了之后一定要私信我，我把这个纸版的讲义和笔记给你邮寄过去呀！吼，那咱们下个视频再见！

用一个视频教会你怎么做立方体的结面。好，同学们，我们今天来看一下如何用平行法去做一个平面的结面。首先我们在做这种题目之前，大家一定要先注意结面，并不是所有点的连线就是结面， 我们的结面它的要求必须得是所有的边都在这个几何体的 面上。所以这个题为例，他让我们做这个 d、 e、 f 的 结面，那我们连起来，发现他这个东西是个三角形，只有 d e、 f 这个边是在面上的，这个 e f 包括 d e、 e 他 都不在， 所以他肯定不是我们要求的结面。那么我们怎么做？我们今天来学习第一种方法，也叫平行线法，顾名思义就是要过某个点去做平行线，那这个平行线做法他是有考究的， 我们并不能任意去乱取，因为这样会加大我们的难度。所以我们第一步首先先要去优先考虑有没有哪条边在面上。 以这个图为例，发现了 d e、 f 在 面上，所以我们就要去过点 e 做 d e、 f 的 平行线，那么发现一下 d e、 f 是 后面这个面， 他完全可以给他平移到前面这个面，平移过来以后，只需要过点 e 做这个前面这条面上的平行线就可以了，我们随便给他取个点，大概在这个位置啊，就是我们点 p。 第二步，我们连接第一 p， 哎，发现了这个第一 p 现在在面上， d e、 f 也在面上，但是 ef 不 在， ef 不 在怎么办？那还是一样重复刚刚的步骤， 但是现在要换个点了，我们需要去过点 f 去做 p d 一 的平行线， p d 一 依然给他平行到这个位置了，就是 c 一 啊， p 一 这个位置只需要过点 f 做他的平行线，做完大概是这个位置，所以我们就找到了每一条边都在 面上的一个封闭图形，哎，我们发现是不是这样每一条边都在这个几何体的面上，所以这个图形就是我们最后要求的一个斜面，所以第三步就是重复使每条边都在面上。