八下数学将军饮马问题解题技巧

将军驿马和刮豆原理求辘值都是我们初中几何当中的热门高频辘值问题，很多同学拿到这类题都无从下手，但是将军驿马和刮豆原理一旦在和依次函数进行综合，那可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天我们一起来看到 代际综合当中的天花板难度的最深问题。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的，他说 a 点坐标告诉我们哈，为一到零，然后呢， c 点在 y 轴上运动 后呢，把 ca 绕着 c 点逆时针旋转九十度， ca 旋转到 cb， 然后呢，我们再连接 ob， 题目最后求的呢，就是 ob 再加上我们的 b a， 这两个边之合的最小值应该等于多少？ 这道题主要考察了将军一马和瓜豆圆综合的一道最值问题，来，我们一起来分析一下啊。首先呢，题目告诉我们 a 点坐标为 一斗零，所以这个长度 o a 就 应该等于一对吧？好，接下来说 c 点在歪手上运动啊，把 c a 绕着 c 点 旋转九十度到我们的 c b， 所以 这个夹角等于九十度，这两个边又是相等的，所以接下来三角形 b c a 就是 一个特别特殊的等腰直角三角形哎，如果比较熟悉刮豆原理，同学就该看出来了哈。这里面 c 点应该是我们的 主动点，那 b 点是因为 c 点的旋转而得到的，所以 b 点呢，应该是一个从动点。那我们说种瓜得瓜，种豆得豆哎，我们的主动点和从动点的轨迹呢，应该是保持一致的， c 点轨迹为直线，所以从动点 b 点轨迹也应该为直线，对吧？那为什么他为直线呢？这条直线又应该是哪条直线呢？我们一起来证明一下啊。哎，来，各位，这道题的突破口呢，就在于我们这个特殊的三角形 等腰值当中。那我们一提到等腰值，哎，大家立马想到我们全等三角形辅助线当中的一线三等角，对吧？来，如何去构造三等角呢？大家观察一下， 这里有个九十度，这里呢，也有一个九十度，哎，一线三垂直，这里面的一条直线应该有三个相等的九十度，现在只有两个，哎，我要去构造第三个，怎么办呢？来过 b 点，再向歪走做一条 垂线，对吧？好，这个是我们的 s 点。来，我们的全等又出来了，这个三角形跟这个三角形是不是全等的，对吧？好，来，我们写一下哈。所以三角形 b， c， s 全等于三角形 c a o 啊，它们俩是全等的。好，全等以后我们就可以倒边了，这个知道为一，那这个边呢？ c s 也是为一。好，再来，因为 c 点是动点，所以 oc 长度是不固定的，那我们把它设为一个参数 a 吗？这个长度呢，也是为 a， 这两个边是相等的，对吧？只要 a 测出来了，你看这个时候 b 点坐标是不是又出来了？横坐标就为 a， 重坐标应该是这个长度 e 再加上 a， 对 吧？来，所以 b 点坐标应该为 a 到一加 a 来。什么？ b 点是个动点，它的坐标为 a 到一加 a， 那 么这个是它的重坐标 y， 观察你会发现 它的纵坐标总是比横坐标要大一的，对吧？所以 b 点所在的解析式就出来了，直线应该是 y 等于 x 加一，哎，因为 a 加一等于一加 a， 对 吧？所以它正好的满足我们的依次函数的解析式，只要满足依次函数轨迹就一定是我们的直线，对吧？好，来，那我们 b 点轨迹好去画一画，首先这个直线过 b 点，然后呢是上升的， 我们来画一下，大概应该是这样的啊，这个直线，对吧？过 b 点，好，这个直线呢，就应该是我们 l y 等于 x 加一，那这两个交点我们也出来了，第一个与 y 的 交点 来一个交点是零到一，好，还有一个是与 x 交点为负一到零。来，同学们，好，我们写下这个 p 点坐标 啊，为，哎，与 x 交点负一到零， 对吧？好，直线我们找到了，接下来求什么呢？哎，求，来，只要这道题把这条轨迹直线找到以后，接下来就很好算了。他要求 b o， 哎，再加 b a 的 最小值 来， b 点在这个直线上动，好，这个时候 o 点是一个定点， a 点呢，也是一个定点，哎，这两个定点到这条定直线距离之和最小，那不就是大家比较熟悉的将军一马了吗， 对吧？好，来，那么过定点下定直线做对称点，那选 o 还是选 a 呢？很明显选 o 要好做一些啊，选 a 也可以做好，那么我们来做一下， 首先过 o 点做一条，哎，垂线擦掉，哎，做一条垂线，然后呢再给它 延长出去，哎，就是对称点了啊，这个点就是我们的 o e 撇啊，然后呢，我们再去连接 o e 撇 a， 这个就是我们这两个边之和的最小值，最后呢，就是求 o e 撇 a 等于多少， 对吧？好，来算算。那么这里面要算边长，一定要解三角形有没有特殊角呢？有，这条直线与 x 的 加角就是一个特殊角。来，我们把它延长一下，哈， 延长一下来，因为这个长度为一，这个长度呢，也是为一啊，所以来他应该就是一个等腰值，这个长度就应该是四十五度，对吧？来，四十五度已经算是非常特殊的角度了，哈，来，那么对称以后，他是垂直的， 对吧？好，所以呢，它是一个等腰值，那么我再连接 o e 撇 m， 那 么它也是一个小的等腰值。那接下来这个三角形呢，也是一个大的等腰值，那对应边 这个 o m 为一，这个 o e 撇 m 呢，也是为一，对吧？也是为一。那么我要求 o e 撇 a， 正好在这个直角三角形当中，哎，用勾股来算算，正好这个长度为 二，这个长度为一，求斜边啊，所以 o e 撇 a 就 等于根号下，这也是一的平方，再加二的平方应该等于根号五，所以最终答案呢，应该等于根号 五。哎，这道将军一马和我们的瓜豆求最值的结合，最值问题你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！

本视频耗时十年制作共计一百五十小时，带你一口气学完初中数学。咱们今天来解决一个大家都非常头疼的问题，将军一马。想理解将军一马，就要先理解清楚他当中的一句口诀叫差大同和小意， 这句话理解清楚了，就是做将军一马问题的本质。那么首先来看什么是差大同，他就牵扯到了将军一马问题的一个典故， 那么他指的就是有一个将军，他在点 a 这个地方，那么他现在要往哪走呢？他现在要往点 b 这个地方走，那么他在点 a， 要去点 b， 按理来说他要直接走对不对？但是他的马儿怎么样呢？渴了需要喝水，那么刚好旁边有一条河 l， 所以这个时候将军怎么样呢？就要牵着他的马儿先去喝水，然后再回 bd， 那么这个时候问题来了，他时间很赶对不对？那么他 怎么样能快速的带他的马儿喝完水，然后回到 b 呢？要使这个距离最短，那怎么样能做到距离最短？我们先在 l 上任意的随便的找到一个点 p， 将军，假设他从 a 点出发到点 p 这个地方为马儿喝水，喝完水之后接着往 b 点跑，那这一段的距离 ap 加上 bp 如何找到他的最小值？这就是最经典的将军一马问题。那这个时候怎么去找 ap 加 bp 的最小值呢？我们要做的就是利用对称，那么这个时候这个点屁在哪里动？马儿喝水的地方，只要在河边他就可以喝水， 相当于点 p， 就在这条直线 l 上动这条直线就是动点 p 所在的直线，把它简称为动直线，所以接下来老师说动直线指的就是动点所在的直线，那我们就要做点 a 关于动直线的对称点， 也就是做点 a 关于直线 l 的对称点怎么做？这个对称点我们要把它做垂直，然后延长一倍到了 a 撇这个地方，所以 a 点和 a 撇点就是关于动点所在的直线 l 对称的点，那这个时候这个直线 l 就相当于 aa 撇的什么线呢？垂直平 分线，那么垂直平分线上的点到线段两端你的距离相等，所以只要我把 a 撇 p 连起来，就会得到 a 撇 p 和 ap 什么关系呢？相等，那原本让我们找的是 ap 加上 bp 的最小值， 那现在 a 撇 p 和 a p 什么关系呢？相等了，就相当于让我们去找 a 撇 p 加 b p 的最小值了。那 a 撇 p 加 b p 什么时候取最小？我们说两点之间线段最短，所以只需要 a 撇 p 和 b 三点，干嘛呢？贡献的时候他就取最 小值，所以这个最小值就是直接连接 a 撇 b， 所以最小值就是 a 撇 b。 那么此时点 p 的正确位置就在哪呢？点 p 的正确位置就在哎，老师标的这个地方。这就是最典型的将军一马问题的缘起叫何小义，所以这个何小义指的是什么呢？ 的是两个定点 a 和 b， 要找它和 p 之间的距离之和最小。那么这两个定点 a b 得在动直线 l 的什么呢？ e 侧，不在 e 侧，我们要把它对称过去，所以来看这个题目当中，那么 a 和 b 在直线 l 的什么呢？ 同一侧了，我们就要把它对称过来，把 a 和 b 变成什么呢？ e 侧的，这就叫和小 e。 好，那理解什么是和小 e 了，我们再来看什么是叉。大同现在有一条直线 l， 上面有两个点 a 和 b， 我让同学们在直线 l 上找到一个点 p， 使得 p a 减去 p b 的绝对值，怎么样呢？要取最大，这就是差最大问题， 那么这个差什么时候才能最大呢？那假如说哈，还是我在 l 上先任意的找一个点 p， 那这个时候我连接 ap， 连接 bp， 再连接 ab， 我们会发现什么呢？ abp， 它是一个三角形， 那这个时候根据什么呢？三角形的三边关系，两边之差小于第三边，所以 p a 减 p b 的绝对值此时是会小于 a b 的，那不管怎么样，他的差永远会比 a b 之间的距离怎么样呢？要小。那什么时候能逼近 a b 呢？或者说能做到和 a b 相等呢？那就是使得三个点 a b p 构不成三角形的时候。那什么时候 a b p 三个点构不成三角形的时候呢？贡献的时。 所以我们要找的点 p 的正确位置应该怎么找？应该要直接连接 b a， 并且延长和动直线 l 交于点 p， 那么此时我们会发现 p b 减去 p a 刚好等于 a b 的长度， 所以这个时候我们说 p a 减 p b 的绝对值就小于等于 a b。 那什么时候取到等号 a b p 三点贡献刚好构不成三角形的时候取得等号，所以 p a 减 p b 的最大值就是 a b 的长度，所以这个时候就隐身出来了。差大同 含义，要找到两个线段差的最大值，那么这两个定点 a 和 b 得在动直线 l 的什么侧呢？同侧才可以，我们看这里 a 和 b 在直线 l 的同一侧，直接连接 a、 b 并延长交直线 l 一点 p 就可以了。所以什么是差大同和小异？那么差大同就是两个定点， 得在动点所在直线的同侧，那和小翼就是两个定点，得在动点所在直线的翼侧，这就是差大同和小翼的含义。那么知道这个含义之后，我们在做题的时候遵循一个什么步骤，能把将军一马的问题百分百解决掉呢？那么将军一马同学 咱们都知道，家长也知道，他的模型非常的多，又是两个动点啊，又是一个定点啊，又是三角形啊，又是四边形啊，又是平移啊，对不对？很多很多个模型，但是这个模型万变不离其宗，就是刚才的那个口诀，差大同和小易。那么针对将军一码问题，所有的模型哈都有一个共同的做题步骤，第一步， 区分动定，知道谁是动点，谁是定点，并且还要找到动直线，动点所在的直线就叫做动直线。所以第一步把动定区分好了，动直线找到了。然后第二步我们要做的就 什么呢？判断，判断什么？我们要求的是差大还是和小？要求差大他就要同，要求和小他就要异，所以就是我们的口诀，差大同和小异，想要求差最大，那么两个定点逮在动直线的同 侧，想要求和最小，那么两个定点逮在动直线的一侧。然后我们再去看题目当中给的图，他在不在正确的位置，那么在正确的位置我们就可以直接做了，那么大部分百分之九十九的情况是不在正确位置的，不在正确位置我们要怎么办呢？这就是第三步，做对称。那么这个对称怎么做？ 一定是做定点，动点本来就不确定了，所以你没有办法再去做他的对称，只能做谁的对称点，做定点。关于动直线的对称点，那么最后一步就是直接连线求直，那么看题目让我们求的是最直，还是要求的是点 坐标，那么根据题目不同的要求，然后我们去计算就可以了，所以这就是将军一码问题的做题步骤，那么这个步骤就可以解决百分之九十的将军一码问题。那么还有两类不能解决的就是垂线段最短的问题，以及 一图不归。那么知道做题步骤之后，我们接下来按照步骤来做一下具体的练习来看。第一题基础练习，他说如图，在平面直角坐标系当中， a 点和 b 点的坐标都告诉我们了。第一位，让我们在 x 轴上求一点 p， 指得 p， a 加 p， b 的值怎么样呢？最小好，这个时候要求谁求他？我们按照我们的做题步骤，第一步干嘛区分动定，找到动值， 那么在这里 a 点和 b 点是两个定点，那么 p 就是动点，那么动点 p 在哪里动？在 x 轴上动，所以 x 轴就是我们的动直线。然后第二步，我们去判断我们要求的 差大同还是何小易，我们要求的是不是何最小，那么何最小。根据何小易两个定点， a 和 b 得在动直线 x 轴的预测，那现在你会发现 a 和 b 在不在 x 轴的预测是不是很明显？不在， 所以就到了我们的第三步，要做对称对称，怎么做？要做动点，关于定直线的对称点，那这个时候两个定点 a 和 b， 你随便选一个关于 x 轴对称就可以了。那么比如说我们选 b 要做点 b 关于 x 轴的对称点，那这个点就是我们的 b 撇，那 b 撇的坐标，我们知道点坐标关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反，所以 b 撇的坐标就是负二到负一。那这个时候到了最后一步，连线求值，直接连接 a b 撇 a， b 撇所在的这个点 p， 此时 p a 加 p b 撇，就会使这个式指的值最小。那么怎么求 p 点坐标呢？我们就要把 a b 撇的直线解析式给他求出来，那这个直线解析式怎么求？同学们可以选择用待定系数法，或者也可以用林老师教大家的快速求 k 法，把这个解析式给他求出来。那么快速求 k 法怎么去算呢？那在这里直接得 k 就等于纵坐标差，那么三减负一，比上横坐标差二减负 二，那么结果就等于多少？一，所以 y 就等于 x 加上 b， 那这个 b 等于多少呢？随便带一个数，比如说把点 a 带过去，当 x 等于二的时候， y 等于三，那这个 b 就等于几了， b 就等于一，所以我们就可以快速得到这个直线解析式，就是 y 等于 x 加一，那么得到这个直线解析式之后，点 p 在哪里？ p 在这条直线与 x 轴的交点上，所以我们直接令 y 等于零，就可以得到 x 等于负一，所以就可以得到此时 p 点坐标就是负一，逗零， 我们就把它算出来了，这就是第一问，要求什么呢？哎，何小异类型的。那再来看第二问，说让我们在 x 轴上求一点 q， 使得他们的差的值最大。所以按照我们的做题步骤，还是第一步要区分动定，找到动直线，那么在这里 a 和 b 是两个定点， 就是动点，那么动点 q 在 x 轴上运动，所以 x 轴就是我们的动直线。然后第二步就是去判断，根据差大同和小翼要求差最大，那么两个定点 a 和 b 得在动直线 x 轴的同侧，那在不在同侧，我们会发现 a 和 b 就在 x 轴的同， 所以到这一步就不需要做对称了，直接怎么样呢？直接连接并延长点 q， 就在这个位置求出答案即可。那此时点 q 怎么去求呢？点 q 是直线 a b 与 x 轴的这个焦点坐标，所以我们只需要把直线 a b 给它求 出来，那么利用快速求 k 法，那么 a b 的 k 值就等于纵坐标差三减一，比上横坐标差四，所以 y 就等于 k 是多少？二分之一，二分之一 x 加 b， 那这个时候我们选一个点坐标怎么样呢？带进去， 比如说把 a 点坐标带进去，那么就可以得到二分之一乘二，再加 b 等于三，那么 b 就等于三减一等于多少？等于二，所以我们就可以得到了这个 a， b 是 y 等于二分之一， x 加二，然后点 q 是这条直线与 x 轴的交点坐标，我们就令这条直线当中的 y 等于零，就可以得到二分之一 x 加二等于零，也就是二分之一 x 等于负二，那 x 等于 负四，所以 q 点坐标就是负四。逗零。好，这就是将军一码问题的基础应用，所以完全是套用连老师在前面教大家的做题步骤，只要按照做题步骤来，这种问题百分百可以解决，并且算 算出正确答案。那么接下来我们进行一下难度的升级，如果碰到再难一点的题目怎么办？我们来看他说，如图这条直线， y 等于三分之二， x 加二与 x 轴和 y 轴分别交于 a、 b 两边，那么 c 和 d 分别是 a、 b 和 o b 的什么点呢？重点，那么根据这条直线的解析式，我们可以得到 b 点坐标是多少呢？零逗二，另 x 等于零，得 y 等于二，那么我另 y 等于零呢？就可以得三分之二， x 加上二等于 于零，也就是三分之二， x 等于负二，那么 x 就等于负二，乘上二分之三就得多少，就得负三，所以 a 点坐标就是负三逗零。所以根据直线解析式，我们可以求出 a、 b 的点坐 标，那么他现在说了 c 和 d 分别是 a、 b 和 o b 的终点，所以根据终点坐标公式，那么点 d 是 o b 的 终点， o 点坐标是零豆零，那么 d 点坐标就是零豆一，那么 c 点作为 a、 b 的终点，那么 a、 b 两个点横坐标加起来除以二，纵坐标加起来除以二，所以 c 点的坐标就是负的二分之三豆。 好，那么得到了这个 cd 的坐标之后，他又说了点 p 在哪里？点 p 是 o a 上的一个动点，那么要求他最小的时候 p 点坐标是多少？好，题目读完了，是不是很快就能确定他是将军一马的考题？那这个时候按照陈老师前面教大家的步骤，第一步干嘛呢？区分动定，找到动 直线，所以在这里 pc 和 pd 当中， c 点和 d 点就是两个定点， p 就是动点，那么动点 p 在哪里动？在 oa 上动，所以动直线就是 oa。 那么到第二步了，就去判断我们要求什么样啊？和最小，是不是和小易和小易说明两个定点 c 和 d 在动直线 ov 的什么呢？预测，那么你会发现现在 c 和 d 在不在 ov 的预测，他很显然在同测，对不对？不满足要求，所以这个时候就到了第三步，要做对称，怎么做对称？要做定点，关于动直线的对称点，那现在定点 c 和 d 都是，我们选择一个把 它关于动直线 o a 对称就可以了，那么选谁呢？我们选 d 给它对称过来，做点 d 关于 o a 的对称点，那 d 撇的坐标就是多少零的哦， 负一，所以这个时候我们就可以得到了 p d 和谁的长度， p d 和 p d 撇的长度就相等，所以相当于变成了让我们求 p c 加上多少 p d 撇的最小值。那这个时候只需要怎么样呢？做完对称直接连线，所以这个时候 p 点的正确位置就在这， 那么怎么把 p 点坐标给它求出来呢？我们就要求出直线 c d 撇的解析式，那 c d 撇的解析是怎么去求 还是快速求？ k 法，纵坐标差比上横坐标差，结果就等于负的三分之四，所以 y 就等于负的三分之四。 x， b 是多少？它跟 y 轴交于零度负一，所以 b 就直接是负一，那么 y 等于负的三分之四， x 减一。当我们想要求 p 点错标， p 就是这条直线与 x 轴的交点，所以直线解析是求出来以后，我们直接另位等于零，那么就可以得到负的三分之四。 x 减一等于零，也就是负的三分之四。 x 等 一，那么 x 就等于多少呢？负的四分之三，所以 p 点坐标就是负的四分之三。逗零，我们就把它给算出来了，这种就是再复杂一点的将军一码问题， 那么再来再做一个更加复杂的，看看老师的那个步骤是否可行。他说如图，在这个平面直角坐标系当中，告诉我们， a 点坐标是十二 斗三，必点坐标是二斗七。好，两个定点已经把坐标告诉我们了。那么现在 x、 y 轴上分别有 p、 q， 让我们求四边形的周长最短，问周长的最小值是多少？要求这个四边形的周长最短。那么这个四边形 p a b q， 它的周长本来等于谁？这个 四边形 p a b q， 它的周长就本来应该等于什么呢？ b q 加上 p q， 再加上 p a， 再加上 a a b， 这个就是这个四边形周长的最小值。这个时候我们来看周长，我们已经把它写出来了，那么在这个周长当中，根据 a、 b 两个点坐标已经知道了，所以谁的长度是固定的， a、 b 的长度是固定的，我们就先把 a、 b 的长度给它算出来，那么根据两点间的距离公式， a、 b 的长度就等于横坐标差的平方，横坐标差的平方就是多少，二， 二和十二差就是十十的平方，再加上纵坐标差的平方，那么七和三它的差是四四的平方，所以结果就等于根号下一百，加上十六，结果就是根号下一百一十六，所以在这里 a b 的长度是固定的，那就是根号一百一十六，根号一百一十六，化减一下是多少呢？就是 二倍根号二十九，那么再加上 b q， 再加上 p q， 那么再加上 p a， 所以这个四边形的最小值就是 b q 加 p q， 再加 p a， 那这个时候他们仨的最小值怎么去求？好开始套用陈老师前面教大家的步骤。那么第一步区分动定，找到动 直线，那么在这里我们说 q 点和 p 点两个都是什么点？都是动点，所以这个题有几个动点了？两个动点，然后 a 和 b 两个是什么呢？两个是定点，所以两个定点，两 两个动点就区分开来了。然后这个时候再来看两个动点，他就有两个动直线，那这个时候动点 p 在哪里动？在 x 轴上动，所以 x 轴是动点 p 所在的直线，那么动点 q 在 y 轴上动， 所以外轴是动点 q 所在的直线，所以两条动直线 x 轴和外轴，我们就已经给他确定下来了。那么紧接着我们怎么样呢？第二步就是判断我们要求的是差大还是和 小，我们要求的是不是和的最小值，那么和小就要求什么呢？要求 e， 所以两个定点 a 和 b 得在动直线 x 轴和 y 轴的什么呢？ e 侧，他现在在不在 e 侧？明显 a 和 b 两个点既在动直线 x 轴的同侧，也在动直线 y 轴的同侧， 所以这个时候不满足要求，我们要干嘛呢？到了第三步，做对称，做定点。关于动直线的对称点，那么他现在有两个动直线，所以我们要做 两个对称，所以这个时候我们来看先做谁呢？ a 点离 x 轴比较近，我们就做点 a， 关于动直线 x 轴的对称点，定点 a， 把它对称过来就是 a 撇，那么 a 撇的坐标就是十二豆负 三。这个时候我们连接 p a 撇，会发现 p a 和 p a 撇的长度什么关系相等，所以这个时候我们要求的最值变成了二倍，根号二十九，加上这个 a p 就给他变成了 a 撇 p， 这个时候关于动直线 x 轴的对称点做好了。那还有关于动直线 y 轴的对称点呢？我们就做什么呢？做定点 b， 关于动直线 y 轴的对称点 b 撇， 那么 b 撇的坐标就是负二逗七，那么此时连接 b 撇 q， 会发现 b q 和 b 撇 q 什么关系相等，所以这个时候 b q 就把它变成了 b 撇 q， 所以这个四边形的周长就变成了二倍， 根号二十九，加上 b 撇 q 加 q p， 再加 a 撇 p 的最小值来给他描一下， b 撇 q 在这儿， p q 在这儿， p a 撇在这儿，要求这三条橙色的线的最小值，那这个时候最小值是什么？我们要说要使得 b 撇 a 撇 p 和 q 四点共 线才能有最小值，是不是两点之间线段最短啊？所以这个最小值我们直接连接 b 撇 a 撇，所以这个最小值直接就是二倍，根号二十九，加上什么呢？ b 撇 一撇，好，这就是最小值。那么 b 撇的坐标是负二到七， a 撇的坐标是十二到负三，所以这个时候根据两点间的距离公式，那么 a 撇 b 撇的长度我们就能把它做出来了，横坐标差的平方，那就是 十二减负二，那就是十四的平方，再加上纵坐标差的平方，那就是十的平方，把它算出来就是根号二百九十六，那二 二百九十六就是二倍根号七十四，所以答案就是二倍根号二十九，加上二倍根号七十四，那么这么一个复杂的题目我们就把它解决掉了。所以总结一下，遇到将军一马类的问题，我们就按照这个步骤去做。第一步区分动定，找到动直线。第二步去 判断是要求差大同还是和小易是否符合要求，那么不符合就到了第三步做对称，要做定点，关于动点所在直线的对称点，然后最后一步就是连线求值，那么按照这个步骤可以解决百分之九十的将军密码问题。

在八下我们学习了勾股定律之后，会出现这样的一类题型，非常常考，但是呢，百分之九十同学第一次看到都是蒙的，没有思路，但其实这道题的解法呢，特别巧妙，来看一下是不是和你想的一样吧。好，已知 x 加 y 加 z 等于六， 求根号下 x 平方加一，加根号下 y 平方加九，再加根号下 z 平方加十六的最小值。好，那同学们这道题是一个什么题目呢？它是一个代数题， 是几何题啊，很明显他是一个代数题，但是他能不能用代数方法算出来呢？很明显不行，至少用我们的初衷方法他不行，那么这个时候我们就要往几何法上面去思考了。好，我们看一下这个式子什么部分他能和几何图形扯上关系呢？其， 其实特别明显，对吧？我们学过勾股定律，那么我们把这三个部分呢拆开来看，那么首先这里边的一能不能看成一的平方，这个九能不能看成三的平方，十六可以看成 四的平方，那现在这三个部分呢，都是根号下平方和这样的形式，那么根据勾股定律，也就是直角三角形的两条直角边， a 和 b 的 平方应该等于斜边的平方，那么 斜边也就等于根号下两条直角边的平方和。所以说这三个部分我们分别可以看作是三个不同的直角三角形的 斜边。假如说这个直角三角形，它的直角边是 x 和一的话，那么它的斜边就是根号下 x 平方加一，假如说这个直角三角形，它的直角边是 y 和三的话，那么它的斜边就是它， 那如果说这个角三角形，它的直角边是 z 和四的话，那么它的斜边就是根号下 z 平方加十六，那么我们要求的这个式子的最小值，其实也就是这三条斜边之和的最小值。好，那么要求多条线段之和的最小值。咱们之前做过的最典型的题型就是将军一马。 回想一下，咱们要想求最小值，是不得先让这几条线段怎么样首尾相接。好，那怎么首尾相接呢？咱直接这样拼，为什么要这样拼呢？你看，咱有一个前提条件，叫做 x 加 y 加 z， 它 等于六，那你这样去拼的话，你把这个 x 给它挪下来，再把这个 y 也挪下来，那这样的话，这个部分是不是 x， 这个部分它是不是 y？ 那 么现在这整个线段它应该是 x 加 y 加 z， 也就是六。 好，那再看这条线段应该等于几呢？应该是一加三，再加四，也就是八了。好了，那么现在你看三条斜边已经首尾相接了，并且呢已经满足了 x 加 y 加 z 等于六的前提条件，那么现在要去求最小值，应该是根据两点之间线段最短值， 直接连接上这两个端点为最小。因为呢，我们这两条线段都是已知长度的定长，所以说这两个点肯定是定点，所以可以直接连两端得最小。好，那么怎么去求这个长度呢？六八 十是一组勾股数，所以说这个最小值呢，就是十了。好啦，同学们，那么像这样使用数形结合思维，把代数题巧妙地转化为几何题来解决的思路，你学会了吗？

各位，这道题啊，是典型的将军一马动点求最值问题啊，会的方法其实很简单，不相信，我们来看一下， 说你这角 a 九十度啊，再标注一下啊，角 a 九十度垂直，对吧？ ab 等于六， ac 等于八， ab ab 等于六，它是六，对吧？ ac 是 八， 这个是六，这个是八，那这个肯定是十了，对不对？六八十勾股定律对不对？ m n 为动点， m a 是 动点啊，动来动去的啊，很烦很啊。然后他求的是啥？ b m 加 m n 最小值， b m b m 不 就这条线吗？对不对？ m a m a 不 这条线吗？这两条线相加最短最小值。这两个点是动点啊， m a 在 动啊，也就是说啊，它可能是这个组合，也可能这个组合啊，这两个动点啊，啊，这两个都会动啊。那什么时候最小？ 有同学蒙啊，啊靠，感觉 m 在 这的时候最小， n 在 这最小，这可不能乱蒙啊，数学很严谨的啊。记住，两条线啊，相加求最小值，它就是将军一马的模型， 只要你做出来镜像啊，你记住，将军一马就是做镜像，只要做出来，镜像就解出来了。你看啊，这两条线随便啊，比如说做这条线的镜像啊，怎么做？把它给它翻到这边来，你看， 把这个镜像，把这个延长一个六，延长一个六，你看这个连起来，比如说这个长度是六，这俩相等，对不对？延长一个全等，两个全等出来，这条线是不是镜像到这了？各位， 不管这个 m 点怎么动，各位想象一下，这条线是不是始终等于这条线，为什么？因为这两个是全等的，镜像过来的这个点是 b 片啊 啊，这个点，然后他求的是这两条线相加，不就是这条线加这条线最小值吗？这条线加这条线什么时候最小？各位啊，我们想象一下，这个点也会动来动去，这个点也会动来动去 啊，这个点是定点不动的呀？啊？这个点是定点什么时候最小？肯定是垂直的时候最小呀，各位， 肯定，当 n 运动到这的时候， a 运动到这的时候， m 正好运动到这的时候啊，这条线加这条线最小，因为点点到直线的距离啊，最短的就是垂线，所以这就是最小值这个道理了。没明白。很简单，这最小值多少啊？能不能算出来 啊？这个是多少？怎么算啊？这个六，这个六，这个是十二，对不对？这个是多少？不知道呀， 你求这个了，那怎么求？各位，用三角形面积法，你看把它换上这个大三角形啊，这个底是十二乘上高，这个高不是八吗？八乘上十二 等于不对，十二啊，做题这样，八乘以十二等于这个底乘高，这个道理能不能？这个底乘高等于这个底乘高， 这个底不是十吗？等于十乘上这个高吗？这个高不是求的值 h 吗？ h 等于多少？它乘上它除以十等于多少？是不是九点六啊？啊？最小值是不是九点六？什么烂分比？所以说方法必须得学会啊，各位。

这个视频我们一起来看一下这道初二下学期平行四边形与将军印码综合的一个问题。如图，在扇形 abc 中，角 a、 c、 b 等于九十度， ac 等于五， bc 等于四 点， d 在 边 ab 的 延长线上作平行四边形， abd， e 则 b、 d 加上 b、 e 的 最小值是多少？ 根据题目条件，我们能确定出，在这里 a 点和 b 点是两个定点，而点 d 和点 e 是 两个动点，那想要求 b、 d 加 b、 e 的 最小值，那这里面点 d 和点 e 都是两个动点， 那如何来解决它呢？我们可以用方法叫将两动化一动，因为 a、 b、 d、 e 它是一个平行四边形，那根据平行四边形的性质，这边平行斜相等，所以这里 b、 d 的 场就等于这里的 a、 e 的 场， 所以 b、 d 加 b e 的 值就等于 a、 e 加 b e 的 值。这个时候我们能发现 a 点和 b、 e 的 值是两个定点， 那我们想要求 a、 e 加 b e 的 最小值，只需要研究点 e 的 一个轨迹就可以了。那如何来找到点 e 的 轨迹呢？在题目条件中还告诉我们，角 a、 c、 b 呢，它等于九十度，而这里的 a、 d 和 b、 e 呢，是平行四边形的对角线。根据平行四边形的对角线 是相互平分的，所以我们设这里的 a、 d 与 b、 d 交于点 o， 你 就能得到这里的 b、 o 和 e、 o 是 相等。又因为这里告诉我们 bc 是 垂直于 ad， 那 我们自然可以想到我们也过这里的点 e 做这里 ad 的 垂线， 交一点 f， 这时候我们就能得到这样一对三角形， b、 c、 o 是 全等于三角形 e、 f、 o 的， 那所以我们就能得到这一边相等，也就是 e、 f 和 bc 是 相等的， 同时 e、 f 还垂直于 b、 d， 也就说点 e 到 a、 d 之间的距离是一个定值，是等于这里的四的，所以点 e 的 运动轨迹是与 a、 d 平行的一条直线。那 我们找到了点 e 的 运动轨迹，我们可以利用将近一码的模型，选去 a 点和 b 点中这两个定点中的一个，做这个定值线的对称点。有时候我们可以过点 a 做这个二的对称点，然后连接这个对称点和我们的点 b。 在 这里面 a 片 b 这条线段就是我们想要求的。那么怎么求 a 片 b 呢？在这里，由于 ac 和 bc 是 垂直的，就是我们可以借助于这条线段延长 bc 过点 a 做 ad 的 垂线，这个时候交于点 m， 那此时 a 一 片 m b， 它就是一个直角，而且我们还能得到 a、 a 片 m、 c 呢，它是个矩形，所以 ac 等于五， a 片 m 也等于五，所以这里的 a 到 r 的 距离和 a 片到 r 的 距离都等于四， 然后所以这里的 b、 m 就 等于四，加四，再加四等于十二。利用固定，我们就能解出 a 片 b 高下五的平方，加十二的平方也就等于十三，所以 b， 所以 b、 d 加 b， e 就 等于 a， e 加 b， e 是大于等于 a 撇 b 就 等于十三的，所以最小值为十三。这道题解题的关键有两个，第一个就是借助于 a、 b、 d、 e 这个四边形，是一个平行四边形，将这里的 b、 d 转化到 a、 e 上来，所以就可以 将这里两个动点问题转化成一个动点的问题。另外一个就是借助于这里的 bc 和 ad 垂直。 我们也去过点 e 做 b d 的 垂线，得到这样一个八字线全等，进而我们得到 e f 一定是一个定值，也就是点 e 的 一个运动轨迹，是与 a d 平行且距离为四的这样一条直线上来， 然后最终借助于将军一码两个定点一个同点的问题做对称连接，利用购物定力来求解，你学会了吗。

我们看一下将军印马这一类的辅助线作图题好。这类的问题实际上只有最多三条公里，我们把这几个掌控一下。第一个两点之间线段最短，我们一般来用于做什么题呢？首先第一个，第一类红的 好，这条河一边是一个 a 点，另一边是一个 b 点 好，从 a 到 b 最短的路径。这个时候我们知道啊，如果是正常过河是两条边相加的距离，那如果想让它最短的话，我们就直接连接 a b， 这个就是我们的第一条公里，两点之间线段最短。 也就是说在直线上面找一点 p， 是 pa 加 pb 的 最小值，这个在我们初一上学期的时候会遇到的知识点。接着是第二个标准的将军印码图， 还是一条河，但是这个时候 a 点和 b 点在这条河的同侧， 我们需要在这里找到一个 p 点一样的，使得 pa 加 p b 最小， 也就是说从 a 点到这个河边，然后再返回到 b 点，它的最小的路径好。这个时候我们就需要用到第二点对称轴上的点到对应点的距离相等。我们来分析一下， 比方说这两个点关于到中间直线对称，那么这条直线上的任何一个点 好，到这两个对应点的距离都是相等的 好。所以对于这道题来说，我们把 pa 或者 p b 可以 找到一个和它相等的线段，也就是说关于 a 点 做一个对称点好。比方说这个点是 a 和 a 撇，关于这条直线 l 对 称，那我们就可以得到 pa 等于 pa 撇 好。这样画完了之后，我们的 pa 加 pb 的 最小值就被我们转化成了 pa 撇加 pb 的 最小值。 好，这个时候我们就可以发现啊，现在是这条边和这条边加起来最小值。那我和我们的第一个图实际上是变成一样的了，所以我们要画图直接连接这个对称点和这个点 b， 好， 与这条直线的交点就是我们所要求的点 p。 我们在做题的过程中呢，就是把未知的问题转化为我们已知的问题，所以这个第一幅图是基础，然后开始延伸到我们的第二幅图。 好，接着还有一个过河题。第三幅图， 我们现在 a 点和 b 点在这条有宽度的河的两侧，现在呢，我需要找一个过河点，使它先到这个过河点，然后过河只能垂直过河，然后再到点 b， 好， 就说这有一个 p， 这一个 q， 现在要求最短距离就是 a p 加 p q 再加 q b 的 最小值。 好，对于这个图，我们很明显的可以看到这个 p q 是 固定的， 这个长度是不会变的。所以我们要想求这三段线段距离长度的最小值，只需要求只需要求 ap 加 q b 的 最小值，再加上一个 p q， 这个 p q 是 固定不变的。 接着我们来把这两条线画一下 a p 在 这，这条蓝线 b q 在 这。我们发现一个很明显的问题啊，就是这两条线它不是连在一起的，那我们就要想办法把它们连在一起， 可以动谁呢？我们比方说动谁都可以啊，动 a p， 现在使这条屏把它平移到下面来。 哎，这样这两条线段就连在一起了。好，那既然平移，我们就可以 把这个 a 和 a 撇连在一起，这样的话，它其实补成了一个平行四边形啊，补成了一个平行四边形。现在这一段 a a 撇 好，对应点就移的，平移的距离也就等于 p q 好， 这个是固定的，所以说 a 撇这个点是定死的，固定在这， 然后 b 点也是固定在这，现在只有一个 q 的 动点了，求它们俩相加的最小值。好，又变成了我们的第一幅图 啊，这实际上是我们第三幅图，只需要连接这个 a 撇和 b， 就 可以找到这个 q 点， 那 p 点在哪呢？我们只能垂直过河，所以 p 点一定是在这的。 好，很明显啊，这个其实又是第一幅图和第二问，我们也是变成第一幅图 好，这三道题呢，就对应了这三个公里啊，实际上是很基础的知识点，但是我们要学会把它用起来。好，我们可以先暂时总结一下啊。第一个，若在一侧， 那两动点，两动点在一侧， 就直接连， 直接连。第二个，两动点不在一侧， 就在两边，那么就是一，先做一个对称，做一对称 好。二再连，连的是什么呢？连的是一个对称点和另一个圆点，只能做一个对称。 第三个问题，第三个图，也就是说，当我们发现三个一样的时候，我们先找到第一步，先找 固定的线段，把它摘出去，不要它找固定线段，先排除，因为它是不动的，它的长度是不动的 啊。第二步，若剩余线段， 若剩余线段没有位，首尾相连。 如果首尾相连就很简单啊，我们要不就取第一幅图，要么就第二幅图，如果未首尾相连，那我们就要进行的是平移，平移是为了使它连在一起。 好，这是我们三类题。至于这个问题呢，是可以引出很多种图形的啊。比方说一定两动一个角 a、 o b， 然后内部固定了一个点 p， 然后 m 是 动点， n 是 动点，它们俩分别在这个角的两条边上， 然后让求三角形 p m、 n 周长的最小值。 好，这种一样的也是转换，对不对？这三条线段虽然首尾相连，但是如果只看两个点的话，他们都是在一条边的一侧，所以我们要做的就是一样的，通过第二条公里对称转化，把这条边我们要转化到上面去。 怎么转化到上面去？因为我们在这里做一个 p 的 对称点，所以这两条边就相等。然后如果 b 关于这个做个对称点，那 p 两撇， 那么这条边和这条边就相等。那我们三角形的周长变成什么了？ 哎，三角形的周长变成这一条，加这一条加这一条，中间两个是动点，但是这边两个是定点，所以我们可以直接连接它，就可以直接找到周长最短的时候的 m n， 只用到了我们的第二条公里啊。然后还有第一个两点之间线段最短。 好，除了这些呢，还有很多其他类型的，比方说在一条河边 a、 b 两点好，在一侧，他要先到河边 一码，嗯，然后要走一段，比方说我们走十，长度为十的距离，好，怎么走距离最短？ 如果标的话，我们可以发现啊，它实际上就是求 a p 加 p q 加 b q 的 最小值，那这个我们已经知道是十， 剩下就只用看 a p 和 b q 这两条线段，它们俩不是首尾相连，所以我们要用平移，要把这段平移到这里来。 好，现在我们要求的就是 a 撇 q 加 q， b 的 最小值，然后同同一侧我们就可以直接做对称， a 两撇，然后直接连接 a 两撇 b 这个点呢？就是 q 点。

从今天开始，我们进入将军一马的一个最值专题啊，我们先看一下将军一马呢，它长什么样子。 所谓的将军一马， 它其实是图形轴对称 和最短距离 它复合的一种结果啊，轴对称呢，它是一个解析手段 啊，也就解这类问题呢，我们是必须要通过进行轴对称来处理的，而最短距离这个东西呢，它是一个题眼，如果是出现了线段啊，一比一的格式， 所谓的一比一，说的是系数啊，一一，也就是说他对称，那二比二，三比三，也是一比一，同时出现这两个条件的时候，大概率就会往将军印码这个形式上去靠，你要注意这个问题啊，之前我们最熟悉的将军印码问题呢啊，一个是叫 两点一轴式两点啊，那这点 a， 这点 b， 然后呢要求从这个位置找一个点 p 啊，让这个 p a 加 p b 最短。这种就很简单了啊，你做一下它的对称点，然后把这个连起来啊，这个位置就是点 p， 在 这种情况下， p a 加 p b 最小啊。另外一个你还学过什么叫一点两周， 它大概长的是这样的，出现一个角哎， abc 这里边有一个点 p， 要求你从 ab 和 bc 上各找一个点 m， 一个 n， 然后呢使这个 p m n 它的周长最小啊，这种东西的做法呢，是做两个对称点啊， 这是个 p 一， 这是个 p 二，那么现在你把这个 p 一 p 二连起来，这时候呢，它就会有一个焦点 m， 有 一个焦点 n 啊， 这个 p m n 就是 刚才符合那个条件的三角形啊，直接算 p 一 和 p 二之间的距离就可以。 我们下面的专题呢，需要处理的是和这些东西啊，都不大相同的这个点，但是解析思路和它们完全一样啊。先看第一个， 这个，它叫做二幺幺型， 那什么叫二幺幺呢？它说的是两栋 一定一轴啊？看这边这个题目啊，这个题目说 a、 b、 c、 d 是 一个正方形，而且边长是个四啊，这个点 p 它在这个正方形内部啊，也可以包括这个边界， 但是它满足叫三角形 p、 b、 c， 它的面积等于四分之一 a、 b、 c、 d 的 面积。这时候呢，你就会产生一个疑问， 这个点 p 的 轨迹是什么 啊？好，他说这个 g 是 a、 d 上一个动点，而且这里边还有一个点 m， 说 m、 d 呢，等于一啊，他让求什么？求的是 g m 加上 g p 它的最小值。 我们看一下这个题目啊，和这个题型他的对应性，这里边说了两动一定一轴，那现在这个屁他的位置一定是不确定的，所以他一定是一个洞， 而这个 g 在 a 这上来回动，他也是个洞，那么定说的是谁呢？是不是这个是定呢？因为固定了这个长度就是一啊。那好，他现在还要出现一个对称轴， 那么你想我们以前的时候去处理哈这个这种问题的时候，他这两个点是不是一定是在对称同侧的啊？那你看我们解切的时候，是不是要把这个同侧的其中一个点变到对称的异侧，然后再利用折线段变成直线段，这样的出现最小问题啊。 那现在你看现在我们能明确看到的是什么来，这个 g 和这个 p 是 在 ad 的 下方的吧？对，哎，当然这个 m 也在 ap 的 下端啊。 然后现在我们去处理这种折线问题，按照我们刚才所提出的第一个疑问，我们先来解决点 p 的 运动轨迹，这个 p b c， 它是一个三角形，它的面积满足的是 二分之一乘以底，再乘一个高 h 啊，这个 h 我 随便画一个。 哎，比方说这是 p p e， 它的高就是一个 h， 而这个 abc d， 它的面积呢？是边长的平方，边长平方也是说 bc 的 平方啊。好，我们看一下这个四分之一是个啥意思？现在也就是说二分之一 bc 乘以这个 h 就 等于四分之一 bc 的 平方。 好，你这样的话，把这个和这个余量那出现的情况是不是 h 等于二分之一 b c 啊？也就说这个高是不是等于边长的一半？ 这个点屁不管在什么地方，这个高他都等于这个边长的一半，所以说这个点屁他应该是在什么地方呢？是不是 比方说这个是 e， 这是 f， 它是不是应该是在这条线上走？这条线是不是必须要平行于上下底？是不是？而且点 e 和点 f 呢？它是不是就是 ab 和 dc 的 终点啊？ 当我明确了这个事以后，那这个题呢，就相对来说啊，变得有可探求性了。好，下一步我们采用最基础的开始做对震点了啊，我们做一下这个点子的对震点啊，他和他都是动的，但是他是定的， 要做的是定点的对称点啊。好比方说这个就是 m 一 啊，这样这个 g m 加上这个 gp， 它就变成了 g m 一 加上 gp 了。嗯， 那看到这种问题以后，我们现在是不是和前边就一致了，现在出现了一个折线，是不是出现了折线以后，那要求最短的时候，是不是要把折线段要变成直线段？变成直线段以后，也就是说你能看到的是 现在这个 pm 一 现在是最短的啊， 但是这个点 p 它是 e f 上的一个动点啊，那它在 e f 上走的时候，那出现在哪一个位置会使这个 pm 一 最短呢？ 那这个明显是斜着它往这越挪，是不是这个会显得越长？你只有往这走的时候，是不是才会越来越短，越来越短？哎，结果你发现什么？ p 点是不是到 f 的 时候， 这时候这个 pm 一 等于 fm 一， 是不是才是最难的啊？对，所以这里边你要加一句，什么 pm 一 啊？ g m 一 加 g p 等于 pm 一， 哎，斜 你这个 pm 一， 它垂直于 e f 时，这样的话是不是它就最短？那我们看一下这个最短距离啊，它是一，那么它是不是就一，而这个 f 是 中点，边长又是四，所以这个是不是二，那么一加二是等于三，对吧？ 也就是说当这个，呃啊，叫做当 m 一 g p 贡献且 pm 一 垂直 e f 时啊， 这时候这个最小距离，它其实就等于 m 一 f 啊，一加二等于三啊，学会了吗？

同学们，你们好，今天我们来复习将军役马模型的基础款两定一动。 它的核心场景是两个定点 a 和 b， 一个动点 p 在 定直线上，也就是合上运动。我们要求 p a 加 p b 的 最小值。在这里分两种情况， 第一，和的异侧 a 点和 b 点在和的两边，这时候不用复杂操作，直接连接 a b， 和和的交点就是 p 点，因为两点之间线段最短， p a 加 p b 的 最小值就是线段 a、 b 的 长度。 和的同侧点 a 和点 b 都在和的同一侧，这时候就需要对称打法了。我们做其中一个点，比如 a 点关于和的对称点 a 撇， 再连接 a 撇 b 和和的交点 p 点即为一码点，这时候 pa 等于 pa 撇， 所以 p a 加 p b 的 长度等于 p a 撇加 p b 最小值就是 a 撇 b 的 长度。记住这个核心逻辑， 一侧直线连同侧做对称。破题的关键是两点之间线段最短，或者是三角形两边之隔大于第三边。 第二部分，两洞一定模型属于进阶款。第一部分，求三角形周长的最小值。 第一个场景，在 o c 和 o d 上找两个洞点 m n， 使得三角形 a m n 周长最小， 这里 m n 是 两个动点，而点 a 是 个定点，直接看很难判断，所以我们还是用对称转化，分别做定点 a 关于 o 系对称点 a 撇 定点 a 关于 o d 的 对称点 a 两撇，然后再连接 a a 两撇，这时候线段 a 撇 a 两撇与线段 o c、 o d 的 交点即为动点 m n 所处的位置。 根据两点之间线段最短，所以 a 撇 a 两撇的长度就是周长的最小值。 两动一定定点做双对称连线找交点。破题的关键是两点之间线段最短。 将军一马两动一定。我们再看一个变形，在 o c 上找一动点 m， o d 上找一动点 n， 使得 am 加 m n 之和最小。在这里注意， m 在 o c 上， n 在 o d 上 a 为定点，还是两动一定， 我们还是要做对称，但是这次要结合垂线段最短，我们先做点 a 关于 o c 的 对称点 a 撇，然后再通过 a 撇做 o d 的 垂线段 a 撇 n， 这时候 a 撇 n 与 o c 的 交点即为动点 m 所处的位置，垂足 n 即为动点 n 所处的位置。根据垂线段最短，所以 am 加 m n 就 等于即 a 撇 n 的 长度就是 am 加 m n 之合的最小值。破题的关键还是垂线段最短。 将军一马进阶型，两动两定。第一种类型，求四边形周长最小。 这两个定点在角的内部分分别为定点 c、 d 两个动点。在两条边上 o a 和 o b 边上两个动点 m n， 让我们求四条线段之和最短。 在这四条线段当中， c、 d 是 定长，我们只需要求出来 c m 加 m， n 加 n， d 的 最小值就行。同样道理，两动两定，求四边形周长的时候做两个定点。 关于线段的对称点，然后连线找交点。 第二个类型也称将军六马模型。这里 m n 的 长度是固定的，所以我们可以用平移转化， 我们可以把 am 的 长度平移到 an 的 位置，把求 am 加 b n 的 最小值转化成求 an 加 b n 的 最小值。我们可以做 a 点关于直线 l 的 对称点 a 撇，然后通过 a 撇 m 构造平行四边形， 把 a 撇 m 转化成了 a 两撇 n， 所以 求 an 加 b n 的 最小值，就相当于求 a 两撇 n 加 b n 的 最小值。根据两点之间线段最短，所以当 a 两撇点 n 点 b 共线时，就能求出来 a n 加 b n 的 最小值。 核心思路就是把定长 m n 通过平移转化成定点加对称加连线的基础模型。 好，我们把将军印码的三种模型都复盘完了，万变不离其宗，核心都是通过对称平移把折线转化成直线，利用两点之间线段最短和垂线段最短解决问题。 下次遇到这类题，先判断是哪种模型，再用对应的转化方法就能轻松搞定了。 今天的分享就到这里，同学们，下次我们再见！

a 小 值这个题同学们是不是经常记？那不就是刚才江豚马走过最短的距离吗？哈喽，同学们大家好，我是讲数学的艾老师，那么在今天呢，艾老师将和大家分享一道啊，在我们中考数学当中非常常见的一个题型，叫做 将军引马题型，相信很多同学啊，都听过这个模型，但很多同学都不会做，那我们来吧，我们一起来一探究竟啊。首先呢，将军引马，我们先来明白一下这个模型是什么意思啊？就是呢，有一条河，然后河的两一岸呢，有 a b 两个均营点。 现在啊，有一位将军，他要带着马从军营 a 处去河边喝水，然后喝完水之后再回到军营 b 处。那现在问题来了，我们有几个点可以喝水啊？ 好，有的老师在这喝水，来吧。啊，在这喝水，在这个点喝水，可以，在这个点喝水，是不是也可以？好，是不是也就意味着我们有无数个可以喝水的点，也就是说有无数个路可以走。但是呢，现在老师有一个要求， 我要求这个将军啊，他走的路程必须最短，那该怎么办呢？其实很简单，要路程最短，我们只需要做一件事，就是对称点。 什么意思呢？好，现在我过点 a 军营 a 做关于河的对称点 a 撇，此时我将 a 撇和我们的均赢 b 连接，我与和会交于一点，我称这个点为点 p， 这个时候 就是喝水距离最短的点。好，我们此时将 a p 连接起来，这个时候 a p 加 b p， 就是 将军所走过的最短的距离。好，那有的人说，老师你做了点 a 的 对称点，那我不行，我就喜欢，我就想做点 b 的 对称点，那行不行？ 也可以，当然可以了，来，我们做点 b 的 对称点，哎，关于何的对称点， b 撇，此时我将 a b 撇连接，我会发现一件很神奇的事情，哦，还是这个点屁了， 也就意味着将军以马，你不管是坐 a 点的对称点，还是坐 b 点的对称点，我们与另外一个军营相连接，我们始终找到的是同一点屁。 那么我们将这种题型啊，反映到我们的日常学习当中，他不会说直接以将军以马的形式对我们来考，他会怎么考呢？比如说啊，还是一条线， 这有 a 点，这有 b 点。然后现在老师问题来了，你看看是不是很像我们平常见的题啊，有一，动点屁， 动点屁，在直线 l 上运动。那么现在我要使得 a p 加 b p 取得最小值。 最小值这个题同学们是不是经常记？那不就是刚才将军马走过最短的距离吗？我们要干嘛？ 我们要做 a 点关于这条直线的对准点， a 撇，此时我们连接 a 撇和 b 与 l 所交的这个 p 点， 即是我们要找的最短距离那个点。此时我将 a p 连接，那么现在 a p 加 b p 就是 我们走的最短距离了啊。所以不知道大家现在对于将军马这个题型是否有一定的了解呢？其实我们只要找到三个字， 对称点，遇到这种 a p 加 b p 最小值这种题，直接去做对称点。这种题其实非常的简单， 那么纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行啊。老师讲的只是一个模型，当然我们还要将这个模型套到具体的题里面做啊，我们才能够实现，我们把题目做对，所以接下来呢，老师整理了几道啊关于将军引马的题型， 如果有同学啊有需要的话可以随时私信艾老师，艾老师可以将将军一马的具体题型发给咱们同学。咱们同学哎，我们可以来试验一下将军一马题型到底是怎么做的。

这里将军仪码问题可以说是进行下垂的压轴题，这道求两边之差的最大值，可以说是将军仪码问题中的最难题型。咱们来首先复习一下将军仪码相关问题的概念。我们将军仪码最长考的话是求两边之和的最小值，比如说我现在给了一个点 a， 给了一个点 b， 在 这个直线上定，直线上有一个动点 p， 让你求一下 p a 加 p b 的 一个最小值。这个问题咱们非常简单，其实就是去让 a 关于这个直线做对称点，或是让 b 关于这个直线做对称点， b a 撇点或 b 撇点，那这个二选一就行了。我们不妨就选 a， 选 a 去利用这个点去做一个对称点，那这样是 a 撇 a 撇去连接 a 撇和 b， 那 这个时候这个 p 点就在这，这个时候我们整个的 p a 加 p b 的 最小值就是这个 b a 撇二。所以这个其实利用的原理是两点之间直线在最短，直线呢会比较直线呢要更长，这是第常考的第一种题目。第二种题目的话，就是我们这一道题里面的求两边之差的最大值。 两边之差最大值其实利用的是三角形的一个性质，三角形两边之差较大于第三边。好，这点是 p 点，这点是 a 点，这点是 d 点。 这个时候我们去连接 p a 和 p b， 那 根据三角形的定义来说，假如说它们能够构成一个方形是 p a b， 那 这个时候 p a 减 p b 应该就要小于 ab， 那 什么时候能够取最大值呢？那就是等于等于 ab 的 时候，也就说 ab 和 p 这三点共线的时候就是 p 点，在这的时候，这样我的 p a 减 p b 是 刚好是最大值，就是 ab 的 长度，所以这是将你码中的两个考点。 我们回过来来看这道题，利用咱们刚才讲过的增益码的基本思路来去解决这道题。这道题里面的话说的是 m n 是 a c 的 正平方线， a b 等于 a， c 等于十，又给了这个三角形的边长是等于十八，注意好，这个写的是 c 而不是 s， 所以 边上不是面积， p 的 话是 m n 上的动点，让求 p a 减 p b 的 长度。好，我们首先来看这道题，它和我们刚才讲的增益码的模型题有一点区别， a 点和 b 点是在直线的同侧，我们刚才讲的那两种方法都是刚好在直线的同一侧， 那咱们就怎么处理呢？这道题的话其实比较简单的处理，因为他说了 m n 是 a c 的 一个垂直平分线，所以 a 点的话和 c 点的话是关于这个 直线 m n 对 称的，不过 p 点的话是在 m n 上， p 点在这，对吧？所以我们能够明显算出来的话，这个 p a 的 话应该是等于 p c， 对 吧？因为它俩的话是关于这个垂直平分线的，一个点的话是到两端点的距离是相等的，所以 p a 等于 p c。 好， 这个时候我就可以把这个 a 的 话给它挪到对准到这个 c 的 位置，对吧？然后这样其实就是求一下，就是咱们的 p c 减去 p b 的 一个最大值，对吧？那跟你刚才讲的两边之差的话，最大值的话，那这个时候刚好是没有办法构成象形，然后呈现出来的，就是我 去将这个 b c 的 话去做一个延长线，好，那这样的话就得到的是我们的目标点的话是 p， p 点应该在这个位置，对吧？ 然后接下来的话就是要求具体的这个长度了，就是 ab， bc 的 长，对吧？ bc 的 长的话是咱们的要求的结果，所以这个最大值的话，其实就转化成了 pa 减 pb 的 最大值，我们就把它转化成了 bc 长，好，那我们下一步的话就要去求这个 bc 长度了， bc 长度的话我们来看一下，我们不妨连接一下，这个 pa 的 话，是这个垂直平分线的延长线，所以我们的这个 pa 的 话，其实是刚好是等于 p c， 对 吧？ p a 和 p c 相等，那这个我们知道的话是哪呢？是 ab 的 话是等于 ac 刚好都等于十， ab 等于 ac 等于十，那我们能算出来啥呢？又给您了，这个周长的面积是十八， 那我们这个时候的话，其实就可以把这个三角形 m， bc， mbc 这个三角形给它转化一下，然后我们要的不是 bc 的 长度吗？那这个时候的话，我们可以来假设 bc 的 话是 x， 对 吧？ 然后这个边长的话，因为我们知道一个结果的话，是这个 m a 也等于 m c， 对 吧？所以我们假设这个 m a 和 m c 的 话，应该都等于边长，应该都都等于 都等于 a， 对 吧？好，所以这个时候的话，我们得到结果的话，这个应该是十减 a， 然后这个是 a， 然后这个是 x， 所以 得到一个结果就是十减 a， 它的，因为它的三角形的周长和的话是等于十八，那就是十减 a， 然后再加 a， 然后再减， 加上一个 x 刚好等于十八，那十减 a 加 a 的 话，这样的话 a 就 没了，所以也就说是十加 x 的 话刚好是等于个十八，对吧？所以 s 的 话也就是等于八了，那 s 等于八的话就能得到 bc 的 长度是八，那我们最大值的话也就是八，对吧？ 所以这是将移码问题的一个处理点，就是过做好对称，然后想办法的话把 a 点的话去对称到 c 点，这是非常非常重要的，去凑成咱们将移码两边之差的最大值的模型题。

细心的同学就会发现，菱形中求最值问题其实就是我们熟悉的将军引马模型，只要你掌握将军引马模型这一问题对你来说就是小小意思了，不信你看。 在菱形 a b c d 中，角 a b c 等于一百二十度。点一是边 a b 的 中点 p 是 对角线的动点，若 a b 等于二 a e， 那 么这里是 e 哈，则 p b 加 p e 的 最小值是多少？在将均引码模型里面， 它的公式是不是应该是一个动点，两个定点，对不对？那题目中的话，只有点 p 是 动点，点 b 和点 e 呢？是定点，说明它符合将均模型。 那么我们应该去做 b 的 对称点还是 e 的 对称点呢？要知道，在菱形中，对角线的两个端点，它们是互为对称点，既然它是个菱形，那我们肯定是要找 b 的 对称点， b 的 对称点应该是 d 点，对吧？假如这里是 p 拍啊，连接 d b， 再连接 d e， 那 么这个点应该是 点 p。 运动到这个点，连接 p b p e 这一条线段，就可以使得 p b 加 p e 取得最小值，那么这一条线段也就是 d e 的 长度， 他一定是可以求的。那这里他告诉我们 abc， 角 abc 是 一百二十度，那你是不是可以得到角 d a b， 他 是六十度，那菱形中呢？ ab 是 不是等于 ad 的？ 所以这里 ad 他 也是二，他长度，那么说明三角形 abd， 三角形 abd 是 等边三角形。 点 e， 它是中点，说明这里是一个直角 d e， 它是垂直于 a b 的 啊，虽然我画的不是特别像哈， d e 垂直 a b d e 就 可以求了，对不对？ a e， 这里是一二，那 d e 就 等于根号三，所以 p b 加 p 最小值就是根号三。

今天我们来讲一下昌平二六年八年级下册期中考试中填空题最后一题的题型。如图，菱形 a、 b、 c、 d 中对角线 a、 b 与 c、 d 相交于点 o， 且 a、 c 等于八厘米， b、 d 等于六厘米， e 在 a、 b 边上，且满足 a、 e 等于二点五厘米。 若 p 为 a、 c 上的一个动点，求 p e 加 p、 b 的 最小值，那么我们一看到最小值问题，我们首先就可以考虑到是不是和将军引马有关。 那么此题中既为 a、 c 上的一个动点，那我们知道利用将军引马解题，可以先找到对应动点所在的直线，以这条线作为对称轴，另一个定点进行对称。那么这个题中我们已知 e 点为动点， p 点也是动点，而 b 点是已知固定的点，那我们可以将 b 点关于 a、 c 进行对称， 那么此时 p、 e 加上 p、 b 的 长度就可以转化为 p d 加上 p e 的 长度，我在途中将它标出来。 此时我们可以看出此时 p 点作为一个动点，而 e 点和 d 点分居在 p 点的两侧，我们知道想求它们之间长度的最小值， 可以将它们转化到同一条直线上，那么此时相当于最小值就是满足 p 点。 d 点和 e 点在同一条直线的时候，也就是在途中我直接将它画出来，此时相当于直接求出现段 p、 d、 e 的 长度。 那么现在这个问题就转化为了如何求出 d、 e 线段的长度。 那么接下来我们就可以利用题干中已知的一些长度，看看能不能求出对应 d、 e 的 长度。已知 四边形 a、 b、 c、 d 为一个菱形，那么由此我们可以推出对角线之间的关系，可以满足哦， a、 c 垂直于 b、 d， 且满足 o， a、 c 和 b、 d 的 中点。那么此时我们可以知道，因为一点在 ab 边上，我们可以将 ab 边的长度求出来，那么此时我就可以求出 o a， o b 是 不是等于二分之一的 b， d， 也就是三厘米？同理， o a 等于二分之一的 a， c 等于四厘米。那么又由已知的直角，我可以求出 a、 b。 由勾股定律是不是可以得到 o a 的 平方，加上 ob 的 平方就等于五，很明显，这是对应的勾股数。 又已知 a， e 等于二点五厘米，那我就可以说 a 对 应等于二分之一的 ab， 正好相当于，所以 e 为 ab 的 中点， 那么我们继续分析。想求出 d e 的 长度，那我们知道，一般求出现断的长度，要将它放到一个对应的直角三角形中，而现在很明显 d、 e 并没有在一个对应的直角三角形中。那么我们观察一下图像，已知对应有直角， 还知道 e 点是一个中点。那么你看在三角形 o、 a、 b 中，我们考虑能不能构造出对应的一个直角三角形呢？可以怎么去构造？我们可以过点 e 向 b d 边做垂线， 我们做垂足为 m， 那 我可以说做 em 垂直于 b d， 那 么此时我就可以发现可以得到 a、 c 是 平行于 em 的， 又因为 e 为 ab 边的中点，那么由中位线定里，是不是可以得到 m 为 ob 边中点？ 我在这里标出来，对应的是中位线定里， 那么此时想求 d 的 长度，我们只需要在三角形 m、 e， d 中可以得到 d， m 边就等于对应的 o d 加上 o m， 也就是刚刚已经求出来了 o d 等于 o b 等于二分之一的 b， d 也就是三厘米， 加上对应的三的一半，也就是一点五厘米，也就是四点五厘米。 同理， md 由中位线定里等于二分之一的 o a， 那 么也就是二厘米。 最终由勾股定里可以得出 d 一 等于根号下 d m 方加上 m e 的 平方，在这里标出标错了，应该是 m e， 最终我们算出来结果应该是四点八厘米，所以这个题就完成了。 我们简单总结一下这个题重点涉及到哪？哪些考点。首先第一部分，它涉及到了一个将句引码进行解析， 那么将军法是将对应的两条线段的最小值转化到了同一条线段上，再去求它的长度，那么想要求它长度，利用菱形的一些性质可以得到对应的一些边长。 那么最终我们还要去构造一个勾股定律，将我们想求的线段放到一个直角三角形中， 最终进行解析。好了，这是这个题的解析思路。

各位同学好，欢迎来到我们一题马的录制视频当中啊，我是数学黄老师，今天给大家带来一道压轴题啊，我们大同中学的二十五题压轴 好，略有难度。我们来看一下， e 是 b c 边上的一个动点，然后呢？啊 p， 关于 b 点啊的一个对称点啊，它让我们啊连接 a p， 并且做了一个射线。好，那我们先来做一下我们 p 点的这一个对称点啊， b 点的对称点，点 p， 那这边关于 a、 e 的 一个直线的对称点，所以说我们把这个 a p 给它连接起来好，然后呢，他说做射线 d p 好， d p 在 哪里呢？ d p 在 这里 啊，一个射线，那我们画长一点嘛，啊，能长就长，然后他说交我们的 a e 与点 f 好， 也就是说 a e 啊，它就会连接下来 到我们的这个 f 点。好的，那再来看一下第一小问，他问我们 b a e 等于二十度的话， b a、 e 这个角度是二十度，这个角度是不是自然也是二十度了，对吧？好，那大家一定要想想哈， b 对 称过去对不对？ a 对 称 轴对称的话，一定会有全等出现，对不对啊？也就是说这两个三角形， 哎，我们的 a b f 跟我们的 a p f， 哎，这两个三角形肯定是全等的，那也就是说我们的 a b 跟 a p 是 不会相等，对吧？那大家想想， a b 又跟谁相等啊？哎，它是一个正方形，对吧？ 正方形呢，是不是什么边都相等，是不会跟我们的 a， d， d， c 等等都相等，对吧？好，那他现在问我们 d a、 p 是 多少度，哎，这个很简单，正方形的性质，首先是九十度，减掉一个，这边是多少度啊？ 哎，四十度对不对？那也就是应该是五十度，对吧？好，所以这个答案是五十度。然后他又问我们角 a、 d、 p， 哎，这个角度是多少？ 哎，这个角度的话，大家有没有看到我们现在把这几条边都标上去了，对不对？哎，那这个是不是一个等腰三角形啊？对不对？那等腰三角形的话，我们知道一个顶角了，那我们剩下的角度是不是就是用一百八十度减去五十度除以二即可，也就是我们的六十五度？哎，第一小问还是非常的简单的。 好，那，那第一小问讲完了，那第一小问的条件能用到第二小问吗？同学们，那肯定是不能的哈，因为他是第一小题，是不是弱什么什么什么，对吧？啊？那我们现在再来看一下第二小问，他说，哎，先把这个给擦掉 好，再来看。他说， afpf 跟 pd 的 关系，哎， af 在 哪？ af 在 这， p f 在 哪？在这？ p d 在 这，哦，找到这三条线段的关系，哎呀，这个好像有点有点头疼，对不对？因为呢，这，这个很明显，这也不是什么等腰，什么七八八的一些奇奇怪怪的三角形，对不对？啊？那我们有点没头绪， 那不妨我们从题目给我的已知条件当中去找点端泥吧，好不好？哎，有没有看到这边是一个等腰，对不对？那这边等腰的话，想要跟我们这个底边打上关系的话，哎，那大家会想做一条什么线呢？ 高线，对不对？哎，为什么要做一条高线呢？这考察的是我们的什么三线合一，对不对？哎，我如果现在做一条高线的话，它既是高线又是中线还是什么？哎，角分线对吧？也就说 p d 呢，被我们分解成了两条线段，哎，我们的 pm 等于二分之一的 p d， 没毛病吧？哎，那现在呢，我们可不可以探求出 p f 跟 p d， 哎？ p d 是 谁啊？就是 pm 嘛， pm 就是 p d 嘛，还有我们 a f 之间的关系了呢？哎，当然是可以的，对不对？有没有发现这边有个勾股定律在这里？哎， 我们可以得到什么呢？是不是得到二分之一的 p d， 也就是我们的 pm 哈，这个就是我们的 pm 哈，然后呢的平方 加上我们的 p f 啊啊？加，呃，二分之一，不好意思，应该是二分之一的啊， pm 啊， pd， 二分之一的 pd 加上我们的 p f 的 平方，加上我们的 am 的 平方等于我们的 a f 的平方，对吧？好，那现在我要探求是谁呢？ a f， p f 跟 p d， a f 出现了， p f 出现了， p d 出现了，哎，但是他们三个人的关系怎么会有第四者的插足呢？也就是 a m am， 我 很讨厌。哎，那我为什么讨厌他？因为他并不是我想要索求这三条线段之间的关系吗？对不对？所以说我要做一个什么事情呢？找一下 am 跟我们这三条线段之间的关系。哎呀，那这个我们这边好像也没有别的条件了耶。只有角分线 啊，只有中线垂直，还有角分线对不对？所以说是不是还有个角分线没用到啊？同学们。哎，那大家看到双角平分线在这里了吗？看到没有，一个直角有两个角分线 哎。那两倍的 alpha 加上两倍的 beta 是 不是等于我们的九十度？所以一个 alpha 加上一个 beta 是 不是就是我们的四十五度啊？哎，所以说中间这个角 f a m 这个角度 是不是就是四十五度？哎，那这边又有个九十度，它就是一个什么等腰直角三角形，对不对？哎，那这个 am 我 是不是可以直接换成我们的那一条边？哪一条边呢？ 好，我给大家重新写一下，是不是就是二分之一的 p d 加上我们的 p f 的 平方， 对吧？是不是就是我们的 a f 的 平方，对吧？好，那这样计算很明显太复杂了，我们可以直接利用我们这个等腰三角形的这个比例去计算。 比例是什么呢？就是我们这一条直角边 p d 二分之一 p d 加上 p f 这条直角边的根号二倍，就是我们的 a f。 哎，这样计算就快多了，然后我们把它乘出来， 那最后等于我们的 a f， 那 我们把这个答案写上去就可以了。好，也就是说它利用了我们 等腰三角形的性质啊，做了一个垂直，利用到它这边是一个直角三角形中线，哎，是不是得到我们这个 p d 的 一半的长度？然后呢？还有角分线，是不是得到它？是不是一个等腰直角三角形？好，所以说这道题啊，就是跟我们上学期所学的等腰直角三角形充分的结合着起来。 好，这就是我们第二题的答案。好，再来看一下第二第三题，哎，最难的题目，那真的很难吗？其实还好吧。啊，那我们来看一下到底有多难， 他说已知 a b 等于二，哎， a b 等于二，我们标上去 p c 平行我们的 a e。 好， p c 平行我们的 a e， 我 们给他画出来， 大家这个一定要多尝试去画图哦，就是对于考试的时候啊，这个这个图哈，往往都是不太好画的哈，大家一定要在平时的时候去锻炼起自己画图的能力。好，那我们大概把它画出来，平行啊， p c c 平行，我们的 a e 啊，这里是 p 啊，不好意思标反啊， 好， pc 平行 a e， 然后呢，他说 m 跟 n 是 对角线上的两个动点。好，对角线上的两个动点， 然后呢？啊，哎，有一个这样一个奇怪的关系，哎呀，这个 b n 啊，加上 b 等于 b m 加上根号二， 哎呀，这个条件真的是不好解析，那我们不妨把它画在一条直线上吧，我把它单独独立出来啊，独立出来，我把它画在下面，单独的独立出来。 b n 跟我们的 b m 啊， b n 应该是 b n 更长才对哈， b n 等于我们的 b m 加上根号二，那 b m 这个线段的长度，哎， 也就是这段长度，是不是应该就是根号二？ b m 加上我们的根号二，是不是就是等于我们这段长度啊？是啊， b n。 好， 那也就是说，哎， n 跟 m 点的距离啊， 是不是横为根号二即可呀，对不对？那在我们的正方形当中哎，我们 n 跟 m 有 两个点，这是 n 点，这是 m 点，哎，它们两个会一起运动，就相当于这条线段， 这条线段会在我们的对角线上不断的平移啊，不断的运动，哎，好，那大家理解就可以了啊。好， 然后呢，那我们再来解读一下剩下的条件，它让我们是求解 e m 加上 a n 的 最小值，哎呀，这个图都不好画，更何况求它的最值，对不对？好，那我们就先从解读第一个条件开始。哎， p c 平行，我们的 a e 好， p c 平行 a e， p c 平行 a e 的 话，这个条件能得到什么，大家别忘了。哎，第一小题，它这个 p 是 怎么得来的？是不是由我们的 b 点关于我们的 a e 的 对称点得到的？那既然是对称的话，是不是这两个线段就会相等啊？我们用不同颜色笔标出来， 我们用蓝色的笔，这两个线段就会相等。哎，那这两个线段相等的话，它这个点 m 点是不是就是终点？哎， m 点是终点。题目又告诉我了， me 会平行于我们的 pc， 哎， ae 平行，我们 bc 嘛， me 跟 pc 是 不是也会平行？ 哎，这个大家就会想到什么呢？一个中点，然后呢？上下两个线段平行，这个是什么线呢？哎，中位线对不对？我们能够得到什么呢？哎，因为好，大家写个给大家写一个是因为 m 是 b p 的 中点， 且呢，我们的 m e 平行于我们的 pc， 所以呢， m e 是 中微线，那当然大家不用写中微线出来，我们直接写 m e 啊，我们直接写一个条件，什么呢？ e 是 我们的 bc 的 终点， 这个是我们想要得到的条件，也就是说，我把它翻译成了，哎，这个 e 是 终点了，对不对？ e 变成终点了，好，那也就是第一个条件，我把它翻译好了， e 告诉我 e 是 终点，那第二个条件呢？哎，我们来看一下 它，这现在呢，在 b d 上啊，有两个洞点，哎， b d 上有两个洞点，这边是 b 啊，然后呢？这边是 d， 然后 m n， 哎，它们两个线段的长度 啊，这个，这，这两个点的距离横为根号二，也就是说有两个点，哎，会在这边有一个线段 m n 在 在这个 b d 上运动吗？啊，这可以这样去理解，然后说，呃，哪，哪两个线段呢？一个是 em， em， em 在 哪里呢？ 我们把 e 点随便标一下吧，先随便标一下，到时候再图上再看好 em 跟 an， an 在 这里。 哎，这两个的最值，这两个线段之合的最值。大家一看到这个模型会想到什么？这很明显是将军马对不对？我们来复习一下，将军马的第一个模型呢，是不是两个同侧的点， 然后呢，我们会要求它的最值，我们是不是做 b 点的对称点？哎，大家都知道，然后连接之后呢，我们的 p 撇点就会是使得我们这个 a b 线段最小值的时候，那如果说像现在这题一样呢，这两个点呢， 就是我们这两个点是一侧的，我现在想要求最直的话，肯定是直接连啊，连接起来吗？对不对？肯定是直接连接起来，肯定是最小的，但是，哎，这有点不太对劲，我们这边有个点呢， m 点呢？在这， n 点呢？在这，哎，让我们求 am 跟 b n 的 最值，这，可这可如何是好？并且 m 跟 n 的 长度，它们之间是根号二，对不对？那这个我们要如何求求解它们的最值呢？ 我们是利用平移去求解，什么意思呢？我把 b n 呢给它往左边平移根号二的一个距离，哎，那这个 n 点是不是就跟 m 点会重合起来了？ 哎，那这个线段的长度会有改变吗？我是不是把我的 n b 转变成了 b 撇 m 这个线段，对吧？我原本要求的是哪两个线段的最值， a m 加上 b n 的 最小值。 现在是不是又转化为了 a m 加上 b 撇 m 的 最小值了？哎，那 a m 加上 b 撇 m 的 最小值，同学们还不会吗？是不是直接连接 a b 撇，即刻是不是就是他们的最小值了？所以说，对于这道题来说，我是不是就要去平移我们的某一条线段？ 好，那我们来看一下具体融入到这个题型当中哈， b d 在 这一条直线，然后呢？这条直线上呢？有两个异侧的点，然后呢？ m n 是 两个相隔距离固定的两个点，我们要求的是拿他们两个点的之间的什么值呢？现在，哎， a n 啊， a m 啊，不， a m 才对， a m 跟 e n 的 最值。那我要做一个什么事情？ 是不是把我的这个 e n 呐，或或者 a m 也可以哈，我平移 e n 就 好了， e n 呐，往这个方向，往直线的方向嘛，肯定是要往直线的方向嘛，对不对？对于我们刚才这个模型，是不是朝着这个直线的方向去平移，形成了一个平行四边形，对不对？ 所以说我这边是不是也肯定是 n e 往直线的方向平移，根号二个单位长度，然后到我们的 m， 那 n 很 明显就是平移到我们的 m 点，对不对？那我们的 e 点往上面平移根号二个单位长度会到哪呢？ 哎，大家别忘了，一是终点的，而且人家告诉我 ab 是 二了，这个是不是就是一，这个也是一，那我平移上去的话，这个是不是很明显是一个平行四边形，对不对？很明显是一个平行四边形，这个是根号二， 这个也是一，哎，那勾股定力是这边是九十度吧，对不对？因为我们是往上平移根号二个单位长度吧，对不对？所以说这个是根号二，那所以说这个长度是不是就为一啊？ 哎，那这个又为一，所以我们的一撇点是不就是我们 d c 的 中点啊？那一下就恍然大悟了，对不对？那现在呢，我们永远要求的是谁的最小值呢？我们把它写出来，是不是求的是 am 加上 e n 的 最小值， 就转化为了什么呢？ am 加上一撇 n 才对，一撇 m 的 最小值。 那一撇，那你这个还不会吗？一条直线，两个定点，然后呢？我相当于要走马路，哎，走走走，从这边一定要经过这一条直线，我要怎么走？最最短？肯定是连线最短了， 所以说 a 一 撇是不是就是我们所求的最小值了？那 a 一 撇怎么求呢？这是二，这是一勾股定律，根号五马上就解决了。 好，这就是我们这一道题的全部解析，把我们的四边形啊，对称，然后呢，还有我们的将军马进行了一个综合的应用，难度还是在。

今天高新一中刚结束期中考试，孩子们把卷子给我之后，我就给大家赶紧录制了数学的视频，所以也希望大家能够多多的点赞和转发。我是在西安高新讲解数学知识点的张老师，每天三分钟数学更轻松。 高新一中今天的期中考试数学卷其实总体难度不大，都是一些平时会考到的题型也都会遇到，所以我挑了这道的小压轴，给大家一起来看一下。 说，在平面直角坐标系中，点 a 是 零到二，点 d 五到四， bc 等于二，求 ab 加 cd 的 最小值。 这道题很明显是一道将军驿马问题，我们求 ab 加 cd 的 最小值，其实无非就是把 ab 加 cd 转化为一条线段。 因为我们学过两边之合大于第三边，所以如果求两个线段的最小值，一般就是把这两个线段转变为一条线段。所以该怎么做呢？因为我们知道 bc 是 等于二的，而点 a 的 坐标，我们就能知道这个线段的距离也是二。 点 d 的 坐标，我们就可以得到这个线段等于四， bc 是 二，所以我过点 a 平移一个二的距离， 比如说到这记为 a 一， 然后我再连接 a、 e、 c， 那 么大家会发现 a、 b、 c a 一 这个四边形其实是一个平行四边形，而平行四边形对边相等。所以为什么我们要做 a， a 一 也等于二，这时 a、 e、 c 就 会等于 ab， 所以 最终求 ab 加 cd 的 最小值，其实就是求 a、 e、 c 加 cd 的 最小值。那么求 a、 e、 c 加 cd 的 最小值，这是最基础的将军密码问题。有一个点 a、 e， 这有一条线， 线上有一个点 c， 这有一个点 d， 求 a、 e、 c 加 cd 的 最小值，大家就能联想到了，所以我们要做辅助线过 a 一 做 bc 的 对称点，即为 a 二， 连接 d a 二，这时与 b、 c 的 交点其实就是我们要求的 c 点，然后再连接 a、 e、 c， 所以 最终 a、 e、 c 加 cd 的 最小值其实就是等于 a 二 d 这条线段的， 所以我们只需要去算出 a 二、 d 就 可以，而 a 二、 d 怎么算呢？肯定要用到固定里，所以我们把 a 二、 d 放在一个直角三角形里面，延长这个边，这里得到一个直角，因为 这个线段是四，而这个线段是二，所以我们得到这个线段也是二， 因为 d 的 横坐标为五，而 a a 一 是二，所以这个距离就是三，所以最终我们的 a 二 d 的 距离就等于根号下三方加二加四等于六，加六方 就算出来就等于三倍刚好五，那么 ab 加 cd 的 最小值也就是三倍刚好五好。这是一道将军印法非常经典的问题， 他只是需要平移一下，我们就明白该如何去画辅助线。今天的讲解就先到此结束，先把八下的内容给大家去分享一下，希望各位能够多多点赞，多多转发，把这些有用的知识分享给身边的每一个人。

一条视频带你掌握将军引马六个题型。好，现在我们来看将军引马的第一类题型，就是两定移动的问题，这里边呢，两定指的是点 a 和点 b 是 固定的，那么移动呢，指的是点 p 在 直线 l 上移动。好， 要求 pa 加 pb 的 最短距离。我们一提到最短距离，无非就想到两种，第一呢，就是两点之间线段最短，第二呢，就是点到直线的垂线段最短。好，我们来看第一种， 此时点 a 和点 b 在 同侧，所以我们就可以联想到哈，过直线 l 做一个点 a 的 对称，点 a 撇， 此时直线 l 就是 a a 撇的垂直平分线，这里我们可以去看一下对称相关的知识点哈，那么垂直平分线上的点到线段两端的距离是相等的， 此时呢，我们就由求 pa 加 pb 最小值的问题转化成了求 pa 撇加 pb 的 最小值问题。 那么什么情况下这两条线段相加是最短呀？当然是 a 撇 p 这三点共线的时候，也就是说此时我连接 a 撇 b 就 可以得到这条线段和直线 l 有 一个新的交点 p， 那 么此时点 p 就是 我们要求的最短路径，要经过的那个点， 那么此时 a 撇 b 的 距离就是我们要求的 pa 加 pb 的 最短距离。然后我们来看第二类一定两动的问题，这里边呢，一定指的是点 p 是 固定的，两动呢，指的是点 m 以及点 n 分 别在 o a o b 两条直线上进行运动，让我们求的是 p m 加 m， n 加 p n 这个三角形的最短周长。那么我们想到啊，我们说做对称点，一般我们都会选什么呀？选固定点来做对称，所以呢，这里边我们就选 点 p， 分 别过 o a 以及 o b 作点 p 的 两个对称点 p 一 和 p 二。那么我们求 pm 加 m n 加 p n 的 问题，就变成了求 p e m 加 m n 加 p 二 n 它们仨的最短路径的问题。好， 那么什么时候这个路径是最短呢？也就是 p e， m， p、 r、 n 它们四个点共线的时候，在一条直线上的时候，这条路径是最短的，也就是我们连接 p 一 p 二这条线段， 这就是我们要求的最短路径，此时 m n 所处的位置，也是最短路径上 m n 所在的位置。 第三类，两定两动的问题。那么这里边呢，两定指的是点 p、 点 q 是 固定的，而点 m 点 n 呢，是作为两动，分别在 o a 以及 o b 上运动。让我们求的是中间这个四边形 p m n、 q， 它的最短周长。 好，那么我们在做对称点的时候，同样啊，还是选这个固定的两个点做，所以我们过 o a 做点 p 的 对称点 p 撇，过 o b 做点 q 的 对称点 q 撇。 那么此时我们要明确一点，我们求这个四边形的周长，哪一条边是固定的呀？是 p q 这条边是固定的，所以我们求的这个最短路径，最短的周长。实际上求的是谁啊？求的是 pm 加 m n 加 n q 这三条边的最短路径。 所以呢，我们做完对称之后，发现 pm 就 转化成了 p 撇 m， 而 q n 呢，就转化成了 q 撇 n， 那 什么时候他们仨之间相加是最短呀？ 实际上就是连接 pp 撇和 q 撇这条线段，就是他们这三条边加起来的最短路径，因为两点之间线段最短。 第四类，一定两动的问题。这里面呢，一定指的是点 p， 是 固定的两动呢，指的是 m 和 n 分 别在 o b、 o a 上进行运动。那么此时呢，我们依旧是选取一个定点， 画它的对称点，我们做，我们过 o a 做点 p 的 对称点 p 撇，那么此时 p n 的 问题就转化成了 p 撇 n 的 问题，那么我们要求的就是 p 撇 n 加上 m n 的 最小值，也就是 实际上就是让我们求 p 撇到 o b 的 最短路径，所以 点到直线的垂线段是最短的，所以我们过 p 撇向 o b 做垂线段，交 o b 于点 m， 交 o a 于点 n， 此时呢就是我们要求的最短路径了， m n 也是最短路径上 m n 的 位置。 第五类，将军六马的问题。这类问题让我们求 am 加 m n 加 b n 的 最短路径，但是 a 和 b 也就是出发点和终点的位置是固定的，并且谁是固定的呀？ m n 这条线段的长度是固定的，也就是无论我的 m 位置落在哪，我一定要走 m n 这条长度的路程才能到达点 b， 那么我们可不可以换一种思路呀？我先走 a m， 再走 m n， 那 我可不可以先把这个固定长度给走完，我再去找 a m 加 b n 的 最短路径啊？好，什么意思呢？就是我们将 m n 这个长度 平移到从点 a 出发这个位置上，也就是先让点 a， 把 m n 这个长度给走完，到达 a 一 的位置， 这个时候我们再做 a 一 的对称点 a 二，此时连接 b 和 a 二这条线段，就是我 am 加上 b n 的 最短路径了， 那么此时我就可以确定了谁啊点 n 的 位置，再从点 n 向左横向去找相等长度去固定点 m 的 位置，此时最短路径就是我们在图中标出来的这个路径。 第六类题型，造桥选址，它和将军六马属于异曲同工的，所以呢，我们把第五类搞清楚，弄明白，那么第六类就很好理解了。好，我们来看一下啊。 造桥选址这一类题型，也是让我们求 am 加 m n 加 b n 的 最短路径，那么 m n 的 长度依旧是固定的，所以我们延续第五类的这个思路哈，我们先让点 a 走同等长度 m n 的 路径，到达 a 一 的位置， 此时我们再去连接 a 一 和 b 这条线段，那么就能确定了谁啊点 n 的 位置，这个时候我们再从点 n 向上去找 m 的 位置，此时最短路径，就像我们图中画出来的这个一样。

家里有江苏八年级的娃，不要错过这一道家权将军硬马的压轴题， 这道题呢是来自于我们内部的一个课堂啊，期中考试一般会出现在填空的第十八题，也就是小压轴题，建议晚上给家里的娃保全打印 这道题，百分之九十五的娃是没有思路，下不了手的。那为什么呢？因为这道题包含一个数学思想以及三大核心考点，掌握我这一个思想，三大核心考点，我们中等娃也可以秒懂， 也可以一招秒杀这道题，如果平时做题没有思路，没有方法，娃呢又肯学听懂这道题呢？还不够，可以把我这一份包含五十个考点加一百零八道好题的期中冲刺训练拿去练习，形成思维，掌握方法。 那么这道题到底需要哪一个数学思想以及三个核心考点？我们一起来把核心条件问题呢看一下，边长呢是一个六啊，这是一个正方形啊，然后的话， e、 f 分 别是在 a、 b、 b、 c 上呢运动， 并且呢我们 a 等于我们这样的一个怎么样？ b f， 哎， a 等于 b f， 抓住这个条件的话，你想到什么呢？ 可以在评论区打出你的发现，那你应该想到什么？立等线，有权等，而且我们正方形中这个 d 一 跟 a、 f 连接之后的话，那就是一个什么考点一，正方形中的 十字架像十字架怎么样？一样的全等模型，也就是说我们三角形 d、 a、 e 的 话，与我们三角形 a、 b、 f 怎么样，一定是可以证明全等， 那么全等之后的话，我们就发现了这个第一个 f 怎么样是垂直的。 好的，我们继续读题。点 m 的 话呢，是连接 df， 并且是 df 的 一个中点哦，有九十度 m 是 df 的 中点，那么你想到什么呢？评论区打出来， 你应该想到斜边中线等于斜边的一半，那么这个考点呢，是一个小考点，也就是 o m 等于二分之一的 d f， 我 们写在旁边好继续。 g 是 边 a b 上的点， a g 呢？等于两倍的 g b 啊，总共是一个六啊，分配一下， b g 呢是一个二， a g 呢就是一个，怎么样四呀， 啊，求什么呢？求的是 o m 加二分之一 f g 的 一个最小值，好，我们注意观察，那这样的一个将军印码的题我没见过呀，那能不能做一个转化呢？所以这道题我们首先要对我们二分之一的 f g 要做一个转化， 所以就用到我们的转化思想。所以考点是什么？考点是结合转化思想来破解我们的将军 印马线段和的最小值。我们可以把二分之一怎么样提到我们括号的前面，就构造成两倍的 o m 加上一个 f g 啊，为什么这样构造啊？因为两倍的 o m 就是 我们的 d f， 所以 就变成二分之一乘以括号 d f 加上 g f， 注意转化之后的话，哎，这不就是我们的两定移动型将军印码了吗？谁不会做呢，对吧？ 所以接下来我们只要过 g 点做 b f 的 对称点，再连接 d g 撇就结束了呀， 接下来我们对称连线找，所以我们 f 在 哪里啊？ f 在 这里的时候，此时 d f g 撇呢？三点共线，我们 d f 加 g f 有 最小值。 那么考点三就是求值，求什么？求第几？撇的一个怎么样？长度求值用什么方法呀？我们要明白，求值我们需要等量关系，那少不了我们的等级格股呀。好数据带进去， 这不就是一个二吗？那么 a g 撇的话就是一个八， a， d 呢是一个六勾股定律， d g 撇呢就是一个十，最后带进去，我们答案怎么样？就是一个五。 好，这道题我们就输完了呀。最后总结一下，这道题需要我们的数学思想是转化思想， 第一个考点是正方形中的十字架全等考点二是将军印马，注意要转化考点三是割股。求职结束， 你和孩子听懂了吗？听懂可以把我整理的五十个考点加一百零八道好题的期中冲刺训练拿去打印巩固，祝娃天天好运，苏科提优找大侠！

两定一动，一定两动，两定两动， n 定 n 动。村村村将军印码一共有十一个模型，这谁能记得全呀？相信村村你就可以在接下来的期中考试当中， 将军印码模型一定是一个超高频考点，村村老师把将军印码所涉及到的十一个模型用一个口诀总结好了，直接交给你们该配合村村老师独家整理的将军印码十一大模型专项专列， 让你在考场之上看到这类题目，就像回了快乐老家。来吧，我们直接放大招，我们大招叫做核最小翼侧连，也就是说只要遇到我们的将军印码问题，我都可以通过把两个定点放到核的翼侧去进行连接就好，产生的焦点就一定是我的喂马点， 而利用的原理呢，就是两点之间线段最短，而如果这两个定点它不再和的一侧，我也可以通过做对称的方式找到一个对称点，将我们的对称点与之进行连接。同样的，眉开二度产生的焦点就应该是为马点行走的路径变成了 a p 加 b b p， 而它最短的原因呢，其实就是对称嘛， b p b 撇 p， 它一定是相等的，所以一加二最短，一加二一定就最短了。之后你所遇到的所有将军印码的变形，其实都是可以套用这个口诀去进行处理的。比如说这里的一定连 动问题，这里的 p 点呢，是一个固定的点，而 m n 两个点都在动，那我怎么办呢？很简单，我们可以先让一个点不动，比如说我就让这里的 n 点保持固定，那它是固定的， p 点暂时也是固定的，唯一的动点就是谁呀？ m 点对不对？根据点在谁上动，谁是我的河，所以 m 点所在的 o b 就 变成了那条喂马的河，河最小一侧连，它们已经分布在这里 o b 的 两侧了，所以我直接连接就好。 当然是这里。问题来了， n 点呢？我们只是施了一点点的定身咒啊，它只是暂时不动而已，它是还是会运动起来的，它在 o a 上随意运动，我想要达到一个最最最小值，我得让它干嘛呀？利用一个垂线短最短做垂直呗， 垂足所在的位置就是我 n 点的位置，而此时产生的焦点就应该是 m 点，我的位码点，整个行走的路径 p 到 m， m 到 n 这么一条垂线，它其实在原来的和最小一侧连之上，也就多了一个垂线段最短，原理还是没有改变的。那我们类似的 要是是这样的，一定要动呢？唯一的定点现在是 p 点，而 m、 n 呢，都在动，所以我一定得先让一个点不 不动，比如我就让这里的 n 点不动，那不就变成两定一动的问题了吗？唯一的动点是 m m 在 谁上动谁就是我将军卫马的那条河，所以 o b 是 河，观察两个定点应该在河的怎么样了？ 同侧了对不对？根据和最小异侧联，我一定得把它们放到和的异侧，怎么办呢？做对称呗，找到 p 点关于 o b 的 对称点，根据和最小异侧联连接 p e 撇 n 应该就可以了。但是 n 点呢，也是一直在动，所以我们再次利用垂线段最短干什么呀？ 做垂直，垂足所在的位置就是 m 点的位置，整个行走的路径变成了 pm 到 m n 最短的理由依然是对称线段相等，一加二要最短，一加二最短即可。那很多同学在做这类问题的时候呢，很容易把它和另一类问题搞混，观察它们有什么区别啊？同样都是一个一定两动问题， 这个将军呢，走到河喂完马之后，去了另一条河没有回来，这是著名的将军跳河问题。而这边的将军呢，喂完一次马，去第二条河，再喂一次马，回到营地开心回家。这是著名的将军宠马问题。 将军跳河的解决方法就是我们刚刚说的先对称，再垂直，而筹码模型怎么办呢？观察他们唯一的区别其实就是这里的将军有没有回来，这里有没有这里的第三段，前面没有第三段，我做一个垂直就可以了。而这边有第三段，也就是他要去两条河，我得做几次对称呀？ 当然是两次对称了， o a o b 啊，都适合，所以两次对称找到两个对称点，此时对应的点叫 p 一。 p 二的话，我们直接和最小一侧连就可以了，所以连接它们，你发现产生了两个交点，它们其实就是我两次位码的位置。我的 m 和 n， 整个行走的路径呢，变成 p m， m n， 还有这里的 p n 为什么最短？因为这边对称一次，它们俩相等。对称两次，它们俩相等，一加二加三要最短，我直接掰两段化折为直就最短啊，所以本质还是没有改变的，依然在用我们的和最小 一侧连。那你看到这个模型有没有觉得非常的熟悉？这种求周长最小值的问题见过不少次了吧，尤其在学四边形的同学，就它不仅会让我们求三角形的周长，这种四边形的周长出现的频率也非常之高，观察一下这俩又有什么区别？这边是我的一定两动问题，两条和两次对称，掰 这么两条直线过去，它是一个定点，做了两次对称。而这边呢，由于它们的固定 p q 之间的长度应该怎么样呀？ 也是固定的，这里要求一加二加三的最小值，这里不也是吗，要求一个一加二加三的最小值，所以我们依然是两条和两次对称，转移两条线段。所以老规矩，回到我们的主题和最小 侧联杯点在谁上动，谁是我的核，所以我把这里 q 点对称到这里的 q 一 没开二度点在谁上动，谁是我的核，所以这里 n 点在 o a 上动作出 p 点。关于 o a 的 对称点，这是我的 p 一 在下一侧连连接 p 一 q 一 产生的焦点就是我的两个位码点，寻找的路径变成了 p n m n q m 一 加二加三要最短，我让它一加二加三最短即可。那到这里呢，我们已经涉及到了两定两动问题了， 很多同学都觉得两定两动特别的难，原因呢，其实就是因为它可能会涉及到我们的将军造桥和 将军游泳来看吧，传闻中的超级难题，将军造桥说的是这里，将军在这儿要到这条宽宽的河上去造一个桥，过桥之后到达 b 点，所以他行走的路径是一二三这么三段。 而由于造桥的成本非常的高啊，所以这里我 m n 的 长度是永远不会改变的，它会沿着这里的河左右挪，我的问题就是，这里的桥到底要建在哪里，能够让我整个行走的路径达到最短。那你来观察啊， a b 两个点都已经固定好位置了，而 m n 呢，它应该是一直在动的， 所以这里的动点有几个呀？两个呗，两动点两条后肯定是没法做的，所以这里呢，我们要采取一种思想，叫做动点合一。怎么个动点合一法呢？你看啊，现在 m n 两个点，它是不是分布在这么两个地方，我有没有办法通过平移把它们放到一起？当然可以， 比如说我就觉得这里的 m 点看不顺眼它了，我想让它消失掉，我可以怎么办呢？沿着这边 m n 挪，挪挪挪，把这里的 m 点给挪到 n 点来，我强行的让它们俩合二为一，这个时候我的 a 点是不是也顺势的往下挪了， 也就是它变成了这里的 a 一。 如果在这儿，我去连接 a 和 a 一， 告诉我产生的这个新图形应该是一个什么图形啊？ 平行四边形对不对？平行四边形对边相等嘛。所以这边 a m 挪下来，应该变成了 a e n， 所以 这儿变成 a e n 喽， m n 的 长度永远是小 a， 保持不变，我不动，它还剩一个 n b， 由于小 a 的 长度固定，我想要求这里的最小值，我是不是让它俩加起来最小就可以了。看一下涉及到的点有哪几个吧。 首先， a 一 动点还是定点固定的对不对？一开始 a 是 定的嘛，向下挪了固定的长度之后，也是一个固定的点，没问题。 b 点呢？在这一开始的固定的点，所以两个点都是固定的，唯一的动点是谁啊？ 就是这里的 n， 所以 点在谁上动谁是我的河， a 一 b， 还有这条河，河最小一侧连我是不是只见 连接就好了？此时产生的焦点就应该是 n 点的位置，沿着 n 点向上找，应该就是我 m 点的位置。整个行走的路径， a 到 m， m 到 n， n 到 b， 为什么最短？ a m 和 a e n 是 相等的， 一加二要最短，一加二最短即可，再加上一条固定的 m n， 所以 整长度一定就是我的最小值。那如果这种两定两动问题你会了。将军游泳还不是手拿大锹吗？这里啊，同样有一个将军，那他不造桥了，他在这游泳，也就是沿着这里左右平移而摇的，长度呢？还 是固定的，体力不知啊。所以我们的问题是，将军从这出发来游泳，再去隔壁村吃顿烤全羊，整个路径一加二加三，怎么才能最短？是不是又是一个两地两洞问题啦， m n 两个洞点我肯定是没法做的，老规矩，我要干什么呀？ 洞点合一，随便挑一个洞点，比如还是这里的 m， 看他不顺眼，我给他挪挪挪挪挪，让他和另一个洞点重合在一起，合二为一。这个时候我们的 a 点跑到了 a 一， 与原来的 a 点和我们的 m n 构成了一个平行四边形， a m 就 直接平移到这边 a e n 了。 m n 的 长度为 a， 我 不用管它，所以我现在要搞定的就是 a e n 加 n， b 达到最小。同样的，找一找涉及到的点，谁动谁定。首先，这里的 a e 应该是一个固定的点，由 a 点挪过来的 b 点呢，一开始就固定了，所以唯一的动点就是最后一个，这里的 n 点在谁上动谁是我的河，所以 l 应该就是我的那条河。根据河最小易测连现在 a 和 b 两个点应该在河的，怎么样啊？ 同侧对不对？异侧联嘛，所以赶紧做对称，把它们找到异侧去对称 a 一 对称 b 都没有关系，随便找一个扔到和的对岸。假设对称这里的 b 点吧，这里就变成了一个 b 一 根据和最小异侧联，我们只需要连接 a 一 b 一 就可以。 此时产生的焦点应该就是 n 点的位置，沿着 n 点往左走， a 个单位就是我 n 点的位置。 行走的路径， a 到 m， m 到 n， n 到 b。 为什么最短？因为 a m 等于 a， e， n， b， n 呢？等于这里的 b， e， n， m， n 的 长度是没变的，所以一加二最短，一加二 最短即可。所以到这里和最小问题当中，最难最难的造桥选址和将军游泳问题，你也全部搞定了。结束了吗？并没有啊，因为除了和最小之外，你们还特别常考一类题型，叫做差最大。问题， 线段和最小，求的是两条线段加起来什么时候达到一个最小值而差最大呢？顾名思义，就是求差，求的是最大值。跟刚刚是不是反着来了？那我们的口诀自然而然也反着来了。和最小异侧联，而差最大要同侧沿。来尝试一下什么叫做同侧沿观察。 比如这里 a b 两个定点应该在和的同侧，我要同侧沿的话，我只能连接 a b 去延长它们，这才能保证在和的同侧，并且做了一个延长呀。我现在告诉你的是，这里延长之处产生的焦点就应该是 p 点的位置， p a 减， p b 变成了它减它，也就是这里 a b 的 长度，这个最大值就是 a b 啦。 哎，春春，我不信，来试一下啊。那我在隔壁随便去找一个屁点，你观察这个时候，屁 a 在 这，屁 b 在 这三角形当中，这叫两边之差小于第三边，而我要求什么呀？ 最大值，那肯定 a b 就 最大了嘛。那如果说 a b 两点不在和的同侧怎么办呀？一样的嘛，屁点在这动，这是我的和，跑到两边去了，我就可以通过对称把它们 放到同侧呗。所以这边把 b 点对称过来，这是我的 b 一 差最大，同侧延，所以这边连接 a b 一 延长出来，与 l 产生的交点就应该是 p 点真正在的位置，所以 a p 是 它， b p 是 它， b p 和 b e p 长度一致，所以 pa 减 pb 相当于它减，它依然是我 a b 一 的长度啊。 所以总结一下，不管是求和最小问题还是差最大问题，我们都可以用一套口诀把这所有的问题全部搞定，和最小异侧联差最大同侧严，不要忘记打印下来好好练习哦。崇思贤哪家乡青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！

家里有江苏八年级的娃请注意，这道题是我们内部课堂的一道好题，为什么是一道好题呢？因为它是将军印马加轨迹。 期中考试一般会出现在填空的第十八题，晚上给家里的娃念一下， 那么这道题呢，我们百分之九十的娃是下不了手的，但是用我今天的方法，你只需要一招就可以秒杀。那么听懂这道题，如果动点问题 最值，问题难突破，下不了手，没有思路，可以把我这一份报案五十个考点加一百零八道好题的期中冲刺训练拿去练习，练完考试不慌。那么接下来我们来看这一道题到底如何来破解。 那这道题的话，如果啊我们用系统的方法来做的话，可以这样做，我们发现 a b 与 a c p 的 话呢是相似， 于是于是我们这个角 dcp 的 话就是一个四十五度，从而推出 p 点的轨迹，这也是我们课堂讲的叫夹角定位法来定位 p 点的轨迹。接下来就是我们将军印马的作图连线求值。 当然对于我们初二的同学呢，我们也可以怎么样间隙通过设一点坐标，根据这个 k 字全等表示 p 点坐标，从而推出 p 点的轨迹呢？是 y 等于 x 减一，也就是它的轨迹。 接下来我们是怎么样做图求值也是可以的，但是考试的时候怎样才能够更快呢？好，我们把这个问题看一下，我们求的是三角形 a d p 的 一个周长， 显然 a d 呢是一，所以这个周长的最小值呢，只取决于 a p 加 d p 这个和的最小加一就可以了。 那么 a p 加 d p 的 和最小呢？这是什么？这不就是我们的将军印码的最小值吗？ 那我们就要研究什么 p 点的轨迹好， p 点的轨迹是什么呢？好的，我们用特殊指法来把 p 点的轨迹怎么样把它给画出来呀？那当一点在 b 的 时候， p 就是 在 c， 当一点在 c 的 时候呢， p 就 在这样一个位置， 所以我们这个线就是我们 p 点的轨迹了呀。那接下来老规矩，我们怎么样做对称 过 d 点做 c p 的 对称点， d 撇连线找到这个 p 撇。 显然当我们 a p 撇 d 撇三点共线的时候啊，此时我们 a p 加我们这个 d p 呢，是有最小值的。 最后我们只要把这个 a d 撇求一下就可以了。那怎么求呢？那肯定是勾股定律或者等极法呀， 怎么求啊？非常简单，我们只需要把这个 c 跟 d 撇把它连起来，然后数据标上去啊，这是几一？这是几一？这是几一？为什么？因为他跟我们这个 c、 d 是 对称的呀，那这多少度？九十度， 所以 a d 别是几呢？哦，是多少？根号五，所以我们答案多少？答案是根号五加一就搞定了呀。 最后我们总结一下啊，对于这种将军印码的线段和最小值的问题，你首先要研究它是属于什么样的类型，那这道题的属于什么？属于两定一动加轨迹，所以你要先研究轨迹。 所以呢，你可以用我们系统的方法，这一招和这一招考试的话呢，你可以用我讲的这一招 更快听懂这道题。如果对动点问题没有把握，可以把我这一份包含五十个考点加一百零八道好题的期中冲刺训练，拿去练习，祝你好运，苏科提优找大侠。

这是八年级下学期期末考试中的一道难题，利用将军引马去解决最短路径问题，好多同学在这道难题上我不会做，那么我为大家总结一下思路和解析过程。好，那么题里说了，如果角 a o b 等于四十六度， 然后呢？哎，点 p 为三角形角 a o b 内的一个定点，然后动点 m 在 o a 上， 而动点 n 在 o b 上，那么这时候人家要求，哎，我们三角形 p m n， p m n 的 周长最小值，那么好，我们知道三角形周长的最小值 是不是应该等于 p m 再加上 m n， 再加上 p n， 那么这个时候我们要找它的最小值，我们马上想到的应该就是利用将军野马做对称来解决最小值问题。 那么我们找对称一定要先找到我们的定点，人家说了点 p 是 定点，所以我们找到了定点 p 之后，第二个问题就是找谁为对称轴，那么在这里 m 这个动点在 o a 上，那么我要做对称的时候，首先就找到了对称轴 o a 以及定点 p， 那么这时候我只需要过点 p 做 o a 的 轴对称，那么这里是 p e， 那 么这时候我们 p e m 是 不是永远会和 pm 相等，所以 pm 我 们转换成了线段 pm m n 咱们不变，那么再看我们的 p n p n 点 m 在 o b 上，所以这回我们的对称轴换成了我们的射线 o b， 那 么这时候我过点 p 再做射线 o b 的 对称对称点 p 二， 那么这时候我们 p n 是 不是永远等于 p 二 n 了，那么我们已经把线段转换成了 p e m 加 m n， 再加上 p r n。 好， 那么这时候我们会发现它们三个点是不是都在我们这个角的？哎，内部和外部，那么这时候我们知道找最短路径，其实就是利用两点间线段最短，所以我们只需要连接 我们的 p 一 p 二，也就是说我们这个周长最小值就是我们的线段 p 一 p 二好，找到我们现在的 m n 两个点了 m 和点 n， 这才是我们最短路径。好，那看看人家问的什么，人家问的是 m p n 的 度数。 好，那么咱们看一下，因为我们知道角 o 是 不是四十六度，那么做完对称之后，这两个角是不是垂直的呀？那么我们命名这是点 h， 这是点 q， 那 么我们知道这个角 p e h m 是 直角，而角 p q n 也是直角，那么我们就会发现在这个四边形 o， 在四边形 o h p q 中，我们是不是会有角 o 再加上角 o h p 再加上角 o q 是 不是应该等于三百六十度啊？那么我又知道它俩都是九十， 那么我们又知道角 o 是 四十六度，那所以我是不是就能求出来？哎，我们角 p 一 p p 二的度数，也就是角 h q p h p q 等于一百八十度，减去四十六度，那么计算一下，一百八减四十六是不是应该等于一百三十四度？ 好，那我知道了它之后再看，我们如果用我们的这个角 p 一 p p 二减去角一和角二，那么是不是就达到了我们想要求的这个角 m p n 啊？那所以我现在是不是要求角一和角二的度数， 而又因为我们做对称的原因，所以角一是不是等于角三，角二是不是等于角四啊？那么角三加角四 是不是会等于我们一百八十度，减去我们的角 h p q， 也就是在三角形 p 一， p p 二，利用三角形的内角和去求解，那么这样算下来，我们的角三加角四是不是应该等于四十六度？ 那么角三加角四是不是恰好应该等于角一加角二， 所以它也等于四十六度？那么最后我们的结论，角 mpn 应该等于一百三十四，再减去四十六度等于八十八度。 好，那这道题就解完了。好，那家长们注意了，我们在解决将军引马的问题，只需要找到我们的定点，以及我们这个动点所在的直线作为对称轴做对称连接线段即可。