超几何分布和二项分布快速判断

今天我们来讲一下高中数学当中这个什么呢，二项分布和抄学分布的这个区别的这个问题啊，你是拿到一道题目的时候，我们应该如何区分他究竟是用二项分布来算，还是用抄学分布来算啊？那具体的题目的话呢，是类似于这种啊，那么在二项分布和抄学分布当中， 最难区别的地方，也就是他都是一个什么呢？抽选的这个问题，你看啊，他这个是从 上述学生当中认取两人哈，这个是从该校的这个学生当中认取两人，他都是抽选的这个问题，那么他用的是不同的这个什么分布来求解这个分布列，也就是求这个概率哈，那么也知道，那么遇到题目的时候，我们如何快速的这个判别呢？啊， 一般来说是这样哈，我们要知道二项分布和超级分布的这个区别，他们俩的话呢，都有这个什么？都有这个公式 啊，你看他们俩都有这个公式，所以他们的公式是什么呢？我们来看一下二项分布的这个公式，二项分布呢叫做什么？独立重复试验啊，独立重复多次，那么他的公式的话是 p x 等于 k， 他是等于什么呢？他是等于 c n k 啊， p 的 k 次，然后呢一警 p 的什么呢？ n 警 k 次哈， n 警 k 次，这是二项分布。那么超级和分布呢，我们首先来看看他的这个公式，那么同学们的话呢，一般来说这个公式的话都是记得的，只是这个什么最终的这个结果，你看 p 的话，它是等于什么呢？ c g g 乘以 c g g 除以 c g g， 一般是这样子的哈，所以这两者它的区别就是什么样呢？ 好，我们看这个超级有分布，那超级有分布当中，它既是既是 c 级级，然后呢就是从几个当中选几个来进 组合， c 代表的是组合数，那他就必须要有明确的数量，必须要有明确的数量才可以用啊， 而且这个明确的数量必须是他有差别的部分，要知道啊，你看，比如说像我们看，所以说这两者的区别就是有无，怎么呢？有无明确的数量啊？ 有无明确的这个数量啊？如果说有明确的数量的话，那么就可以用这个什么来超级和分布，如果说没有明确的数量，那就只能用二项分布。好，那么具体的话呢，我们来看了，你看在这个当中，首先来说第一问当中，这一个 从上述学生当中来抽取两个人，那就是从什么？你看从这个当中来抽，那这个当中什么段有多少个人都知道了，说他是有明确的数量关系的啊？ 那么你看他说运动答案的话呢，是七至十一个称为运动答案，那就是后两个组，后两个组是多少？七加五的话呢，是十二个， 人家总共二十个学生当中十二个的话，他是运动达人，那么他要运动达人的这个人数 x 的分布列，所以我们要知道 x 可以取哪些数字在列，分布列的时候，那么这个的话呢，很好取，取两个嘛，那他有可能是一个都没有，有可能有一个，有可能有两个，那么 x 可取 零一二行的关键就是算他的这个概率，也就是当 x 等于零的时候，他的概率， 那我们就要选择该用超级和分布还是二线分布呢？那么这里就是用超级和分布了，因为很明确的数量，比如说要从几个当中选，是不是从二十个当中选两个？你看 c 二十二， x 等于零的意思就是什么运动达人 的话，一个人都没有，那么这十二个人当中就不能有，那这十二个人当中要选零个，那么这两个人是不是从这八个人当中产生了？从这八个人当中产生啊，那所以说可以算出来相应的这个什么呢？概率哈，那同理的话呢， x 等于一的时候，那同样还是二十个当中选两个不变，那么只不过有一个运动达人呢，就是十二个当中选了一个，那么八个当中呢？选了一个，那最终呢就产生了这种情况， 九十五分，这四十八哈，然后呢 px 等于二的时候，那么同理，那就是 c 二十二，二十个当中选两个哈，那么运动达人的话呢，必须两个都是运动达人，那么八个当中就选了零个哈 啊，算出了概率，那么就可以 算他相应的这个分布力了哈，那么分布力我们就不力了。第二步的话，他就要注意的是，你看他是从该校的学生当中认取啊，两个人啊，那么该校的学生他都没说总共有多少个人，或者这个学校当中怎么样呢？这个学校当中 这个运动答应有多少个，不是运动答应的有多少个他都不知道，所以他没有明确的数量关系，那么没有明确的数量关系，就只能用二项分布，二项分布的话，你就要找到这个批啊，他是多少？ 这个 n， 这个 k 是多少？ n 的话呢，就是选了几个人，是不是选了两个人？ k 的话呢，就是说这两个人呢，就有可能是一个都没有，有可能是有两个，有可能是有 一个啊，那么这里的批的话呢，就是说选一个人，他选到运动达人的这个概率，那么总共二十个人，你看用这二十个人就可以代替了他啦， 总共二十个人， 然后呢选一个选到这个运动答案的概率，那总共运动答案是有十二个嘛，所以他总共二十个，那么就是五分。二十分之十二，那就是五分之三的这个概率。哈， 那所以说这里的皮就有了。那么 y 等于零的时候，我们来演示一下啊，他就服从这个什么二项分布，那就很容易算，那你去看， n 就是二， k 就是零啊，那么批的话呢，就是这里的五分之三的零次啊，一减批就是一减五分之三，那么就是五分之二的三次，你看很容易就算出结果来了。 好，那五分之二的二次哈，注意一下这里总共是几个？总共是两个人， 那你看就可以算出来相应的结果。二十五分之四，那同理的话呢， y 等于一， y 等于二的时候，是不是都可以算出来，那么就可以带相应的公式，把该换的地方换掉就可以了。好，所以这道题的话呢，主要是在于区分二线分布和超级分布， 那么注意他们应该怎么区分，就看看他有没有明确的数量关系，就可以区分开了。其实呢，是比较简单的哈，理解一下就可以。本次课程呢，就讲解到这里，希望对大家有所帮助。

大家好，今天我们快速来讲一下离散型随机变量的两点分布，二项分布，还有超级和分布。那么下节课当然我们就会专门的来讲正态分布了。什么是两点分布呢？其实非常容易理解，比如说在你扔骰子的实验中只扔一次，对于一个扔骰子的实验， 我们这个 x 代表什么呢？如果一点朝上了，咱们就代表一，如果是其他点数朝上，咱们就代表零，当然他的概率一点朝上当然是六分之一，其他点数朝上就是六分之五，这个又是非常典型的一个两点分布。两点分布的特点是什么呢？就是你只进行了一次什么一次实验， 那么看好了，他的分布列写的非常清楚，那么此时随机变量就服从两点分布，两点分布又称为零一分布啊，很简单，一就代表成功了，零就代表没有成功嘛。那么一 由于只有两个可能结果的这一次随机实验，这种实验呢，也叫博努力实验，所以说两点分布也称为博努力分布。你以后就记住临沂分布，两点分布，还有博努力分布，他都指的是一个意思就够了。那么现在我们来算一下两点分布的期望和方差。 期望非常容易算，这个数学期望的话，只需要一乘 p， 对吧？他的值零乘一减 p， 那最后算出来就是 p 啊，好，他的期望呢？就是 p， 然后这个方差怎么算？方差也一样啊，用一减去均值的平方，再乘所对应的概率，用零减去均值的平方，再乘所对应的概率，最后算出来是 p 乘以减 p 的，挺有意思的这样一个结论， 嗯，做一道题目吧，这道题目说的是六支白球，四支红球的口袋中任 取一只球，只取一只球啊。进行一次实验，然后用 x 表示取到白球的个数，那 x 肯定要么是一，要么是零啊，对不对？要么取到白球，要么没有取到白球，然后算他的这个数学期望和方差也是很简单的，关键他属于大题，应该怎么写这个过程？先写个解字，这样来写。 首先 x 等于零，也就是说没有取到白球，他的概率，那就取到的是红球呗，十分之四五分之二就行了。那取到白球取的那一只球是白球，那就是十分之六五分之三这样一个概率。所以他的分布呢， 典型就属于什么分布，就属于连续分布了。那么算完这样一个分布之后的话，你看均值、方差都容易算吧，均值呢，就是 p， 方差就是 p， 乘以一减 p 嘛，就都好算了。行了，那么算完这个之后的话，咱们继续 来看这个二项分布。什么叫二项分布呢？其实二项分布和零一分布关系非常密切，零一分布我们进行几次来着？零一分布我们进行一次实验，但是二项分布它进行不止一次实验， 什么意思啊？先介绍一下什么叫独立重复实验，如果每次实验我们只考虑两个结果，要么是正面，要么是反面，要么是 a， 要么就是 ac。 只有两种可能， 并且事件 a 发生的概率 p 是相同的，就是每次时间都是独立的，它的概率不会影响下一次的概率，每次概率啊， a 发生的概率永远是一致的， 然后在相同的条件下重复做 n 次实验，各次实验结果相互独立，那么此时我们就成为什么称这个实验就叫做 n 次独立 力重复实验，独立就独立在他的概率互不影响，永远都等于 p， 对吧？重复呢？重复就是重复 n 字的意思，独立重复实验。那么有了这样一个独立重复实验之后的话，咱们要算一下概率，算一算， 比如说我们一共进行了几次实验？进行了 n 次实验，每次啊 a 发生的概率，它其实都是等于 p 的， 那么现在他问的什么呢？问的是在这 n 次中恰好发生了 case， 这 n 次中恰好发生了 case， 是哪 case 啊？对吧？我们 n 里边选其中其中的 case， 对吧？然后 a 发生了 a 发生，那就是 概率是 p 吧。然后你每次每次都是先进行第一次，再进行第二次，这肯定是分布乘法技术原理， p 的 k 字方，因为他这样一个事件 a 发生 k 次，所以有 p 的 k 次方，那剩下 a 没有发生，那不就是一减 pa 没有发生多少次啊？ n 减 k 次方就可以了。这个一减 p 代表谁的概率？代表 a c 的这样一个概率，那么 n 减 k 代表什么？代表 a 发生的次数呗。 你 a 发生了 k 词，那剩下的这个 a 非肯定发生了 n 减 k 词啊，这个是很好理解的，所以锁定的概率也就算出来了。那么有了这个独立重复实验之后，接下来我们就可以介绍二项分布了。二项分布非常简单， 我们首先在独立重复实验中 n 次独立重复实验中，将事件 a 发生的次数假设为 x， 因为你一共进行了多少次实验？一共进行了 n 次实验，这个 x 最大，最大就是 n， 最小就是零，为什么是零？那 a 一次都没发， 这种情况是有可能存在的，对吧？好，事件 a 不发生的概率我们记为一减 p， 那发生的概率就是 p， 那么在 n 次独立重复实验中，事件 a 恰好发生 kiss 的概率，我们刚才已经写过了，对吧？那么 k 的取率是从零到 n， 所有的整数都是有的， 那么我们比如说随机看，能选出来吧。你说这个四 n 一代表什么？代表 a 事件只发生了一次 c n 一哦 p 了一次方，再上 q， n 减一次方，那么这样的分布列就成为什么？就成为二项分布的分布列了。此时呀，满足这样一个条件之后呢？离散型随机变量 x 服从什么？服从 参数为 n p 的二项分布。其实二项分布有专门的字母大写的 b x 啊，这样一个波浪线 b， 然后 n p， n 代表什么？ n 次独立重复实验， p 代表什么？每次实验中 a 事件发生的概率都是 p， 对吧？好，那现在我们继续往后来看。至于二项分布，其实我不想说二项分布，咱们先复习一下刚刚学完的两点分布，还记得吧，在两点分布中，他的 数学期望或者说均值是多少来着？是 p， 那么他的这样一个方差是多少来着？他的方差呢？是 p 乘一减 p， 还记得不？两点分布吧？那么二项分布其实就是在两点分布的基础上，两点分布 只进行了一次实验，然后呢，二项分布是进行了 n 次独立重复实验。所以啊，现在二项分布的数学期望，你不用管怎么推倒的，不会考察你怎么推倒，你就记住一个结论就行了，他就是乘个 n 就行了。那方差已 也是啊，在原来两点分的基础上进行了 n 次实验吗？那就乘个 n 就行了， n p 再乘一减 p 就行了。记住这样一个结论就行，他的推导过程不用去管。那好，现在我们仍然是练习一道题目，一名同学骑自行车上学，假如说每次啊，他遇到这个红绿灯的概率都是一样的， 从他家到学校，图中有六个路口，嗯，然后每个路口他遇到红灯的概率是相互独立的，遇到红灯的概率都是三分之一啊。说到这个科三就是遇到红灯次数，红灯次数显然是从零次到六次七种可能，对吧？ 那么关键是怎么去算呢？首先你要写的就是先文字上写清楚了，这个应该写克赛啊，离散型随机变量克赛，满足什么分布列，二项分布的分布列啊，他的参数分别是六和三分之一，六代表 什么？代表了六次或者六个路口，然后每次发生红灯的概率都是三分之一，得写先写清楚这一条才可以好写专业了，写清楚了，那么所以它的分布列是不是又写出来了呀？六次遇到 k 次红灯，那就 c 六 k 三分之一， k 次方三分之二，三分之二就代表没有遇到红灯啊，然后六减 k， 那么接下来我们分别算出来这些数字就可以了。代入你，比如说科三等于三的时候，你把这样一个式子里头的 k 都带成三，最后算出来就是七百二十九分之幺六零就没问题了。 好了，现在我们来看最难理解的超级和分布，这个超级和分布的话说的是一般的假设总数是 n 键，这个 n 键总数的话，其实分成了两类，比如说我们说甲类一共含有 m 键，那乙类的话，请告诉我短 多少键，那肯定就是大 n 减去 m 键了，对吧？然后从这所有的 n 键的两类物品中，从所有的物品中任取 n 键，然后问的是什么呢？问的是这 n 键中， 然后假类物品取出来的假类物品中，这个它的个数为小 m 的概率是多少？这个我觉得是很好理解的，咱们来一起讨论一下啊！ 看一下分母，我觉得是最容易理解，为什么当没有任何要求的时候，我就大恩小恩，从所有的恩件里头取小恩件物品，因为没有任何要求，所以分母就是这么多种可能。分子呢？分子的话现在看清楚了啊，甲类里头取了 m 个，那就是大 m 小 m， 乙类里头呢，乙类的话那就是 n 减 m， 这是乙类的总数，那么你说乙类去了多少件，那就是小 n 减去小 m 键就是这样来算的。那么 m 他这样一个趋势是从零到 l， 当然是正整数，但是正整数的话，大家一定要注意 l 是什么？ l 一定是 n 和 m 中最小的数字，为什么呀？因为你 m 是上标吧，你 m 再大不能大过谁，你不能大过这个大 m 是不是在这样一个组合书里头， 其次的话 n 减 m， 你不能出现负数吧。所以说大家一定要注意最终 m 最大的取值呢？它永远是取 小 n 和大 m 中比较小的一个，这个注意就行了。这个呢，就是超级和分布，超级和分布的话，它难点就在于参数太多了，有大 n、 u、 m， 然后还有 n， 有这三个参数才能构成一个超级和分布，应该理解吧。那么此时啊，我们就称理想，要随机变量，这种形式为超级和分布， 也称 x 复充。参数有几个？大 n、 大 m、 小 n， 超级分布一共有三个参数吧，所以得写清楚啊，在超级和分布中，只需要知道这三个参数，剩下的概率就好。算了，超级和分布是不放于抽样，这个你知道就行啊， 好，看好了，那么接下来超级和分布，他的数学期望与方差 都是画星号。什么叫画星号？你能记住就记住，记不住真的无所谓，不会考察这一点的啊，那现在我们还是练一道题， 这道题目的话挺有趣的啊，他说的是一个袋子中装有大小相同的球，一共是几个？一共是五个，三个。那此时大恩其实等于八的呀，一共有八个球，这是总数，然后从中随机摸取出三个球来。球摸的红球，红球的话 不就是等于五吗？因为你最后要求的是红球个数，然后这个小 n 多少，小 n 就是一共摸出多少个球来，三个球，那么接下来这三个参数确定了之后，这样一个超级的分布不就确定了呀，所以往后边写吧。看好了啊， 那么接下来的话就变成了摸到红球的个数啊，咱假设这个科赛是第三随机变量，他肯定就服从。大 n 等于八，总数是八，然后红球是五个，然后 n 代表取出的三个球，这样一个超级和分布，既然是超级和分布，我们就可以把这样的一个概率计算的公式来算出来，是不是 你一定要记住，科赛他取值是在 m 和小额里头，最什么肯定取的是比较小的那一个，最大就只能够取到三，因为 n 是三呢。那继续往后算，算完了只需要代入就行啊，代入之后最后他的分布列就算出来了。分布列算出来，那数也取， 就要应算呗，零乘他加上什么？加上他，乘他加上他的。当然你要记得这个数学期望的公式的话，也可以用啊， n 乘 m 除上 n， 最后算出来也是八分之十五，可以了吧。那么这节课我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。

呃，这堂课讲的是这个超级和跟这个二项分布的一个区别好不好？一个区别。那么它考概率当中呢？主要是两种类型，但应该有印象，分母是 c 多少，然后分子是 c 多少乘以 c 多少，是不是还有一种类型是什么？什么 p a 乘 p p， 然后前面还乘一个 c 多少，但是有时候很多同学分不清啊，老师这边举通过一个简单的例子，帮你快速理清这个知识点的区别，所以一定要认真听啊。那我们先看看，给他给他看一个例子， 首先有个名词呢，它的超级和，但是大家不用过分的去呃，纠结它这个名字啊，那么我们看一看这边的细节在于什么是不放回好，呃，这个本质呢，是指的是古典概率，古典概率什么意思？符合的出于什么？是不是种的？ 然后这边我有个要求是什么？大家千万不要去背公式。来，我们看一个例子，比方说我拿三个球 好不好，但是我我我强调什么？我是不放回，是不是拿绿球的个数为随机变量 x 球分部列？好，我举了一个例子，有五个球，三个红的，两个绿的好不好，我一口气拿三个球， 跟我一次一次拿一个球不放回其实是一样的吗？对不对？那你告诉我这个 x 可以取什么？指 这个 x 是不是可以取什么？零一二，就一个都取不到了。 ok， 好，那我们看看这个零是什么意思？首先这种不放回的是什么概率？就古典概率，古典概率的公式是什么？符合的出于谁，是不是总的，那么我总共在里面这里有个 拿多个球出来，是不是三个球啊？我，我们也没有去排列对不对？所以是不是 c 五三可以吗？那么零个绿球是什么意思？ 没有绿就都是红球，只有动，是不是只有一种情况？所以是不是写个一就可以了？可不可以理解？好，那我们看看一个绿球呢？首先分母会不会变？肿了？会不会变？是不是 c 五三？是不是？哎？这个绿球是来源于哪里？ 是不是两个绿球里面选一个？所以这里是不是十二一，是不是两个绿球里面选一个？哎？还有两个球是不是红球？是不是红球来源于哪里？ 是不是？这里是三个里面取两个能不能上？那么如果绿球是两个呢？是不是绿球里面两个选两个？还有一个 球在哪里呢？是不是在那个红球里面选？请大家把这个例题抄好，笔记好，超级合格是不？放回他的本质是什么？是不是古典概型？请把这个地方的笔记按个暂停，把这里抄好， 然后课本上是关于这个东西是有给过公式的，千万不要背，因为考试的时候他会很灵活，你背公式反而会错你，你只要背，如果要背的话就背哪一个，符合的除以什么， 是不是重的可不理解。好，那我们看第二第二个类型，同样一个例子，这里有三个红球， 两个什么什么绿球，但是我强调了什么，我会干嘛？会干嘛？是不是放回？是不是？呃，我拿三个，我拿三次，是不是一样？拿三个球可不可以？ 好，那么乖，观察一下，我拿出第一个球之后我放回去，我拿第二个球的时候概率有没有变，是没有变是不是？但是刚刚这里的我不放回，我拿完一个球，我拿下一个球的时候，概率会不会变？所以他们的本质区别是什么？ 干嘛？概率要吗？有没有改变是不是？好？如果概率没有改变的话，他用的方法就是这个，这个公式 p a b 等于谁 p a 乘以谁是 p b， 因为你有放回的话，你下一第二次或者第三次摸球跟前面的结果有没有影响？ 也没影响，所以大家先抄这个笔记，那个那个独立事件，大家还记得吗？题，题目会有时候会强调这个事情他们是相互独立的，就相互没有干扰，是不是那么概，那么同时发生的话就是概率，干嘛？ 是不是相乘？但是要注意哈，这个成功概率是指什么？你要的结果才是成功？什么意思？比如说我这道题，我要红球还是绿球？绿球，所以得到绿球是不是成功？是不是？好？五个球当中绿球多少个？所以拿到绿球的概率有多少？ 是五分之二，所以成功概率是谁？是五分之二，明白吗？好，先把这个地方抄下来，就什么叫独立事件？把这地方抄下来？这里， 那我们来看这个例子。呃，有范回，每次的概率就不变，是不是？哎？我摸到绿球的概率有多少？是不是五分之二？那因为有范回，所以第二次摸 球的概率是不是还是五分之二？第三次、第四次，无论多少次是不是都是五分之二？好，那么我我拿三次摸到绿球的个数为随机变量 x， 那这个 x 可以什么值？是不是零一二三？是不是对比刚刚那个多了一个三，是不是？好，那我们我们先看看哈。 呃， s 等于零，是不是零个绿球，那是不是都？那是不是？他是不是三次都失败了？成功数五分之二，失败呢？五分之三是五分三，是不是的三次方概率相乘？ ok， 好，那我们看下这个地方， 这个一什么意思？是不是有一个绿球？两次干嘛？是不是红球？那么一次绿球的概率是五分之二，那么两次红球的概率是五分之三，同时发生，是不是相乘？ 但是问题来了，前面为什么要乘以七三一啊？因为我有，我摸到一次地球，他有没有说在第一次，第二次还是第三次？有没有说这有多种可能。所以是不是三三次当中选一次摸绿球， 明不明白？所以这句话你看到他的本质就是成功的成，以失败的概率，然后弄清楚前面干嘛干嘛，有多少种就前面有多少种情况，我们懂，我们懂，我意思，那么理解好，抄个笔记。那我们看下这个二呢？ 是不是两次成功，一次不成功，然后这两次成功什么时候呢？是不是西三？二？可不可以看不看得懂？请把这里把这个地方抄个笔记，然后再把这句话抄上去，然后我解释下为什么这里是纯语 西沙一哈。比方说我以我以这个例子为例，他是 x 等于一，是不是一次绿球，两次红球，那说一次成功，两次不成功了，那可能是第一次成功， 成功打勾，然后失败叉叉，可能是这一次叉，这次勾，这次叉，因为可能这两次失败了，这一次勾了，是不是？但是无论如何这三个的结果是不一样的，所以加在一起是不是乘以三，是不是就是 c 三一，明白了吧？但是还是那句话，千万不要被公示， 为什么呢？因为考试的时候容易在前面这个地方出手脚，比方说我注明了就是第一次就是不成功， 可不可以？那这里就还是乘以三吗？这只能乘以几了哦，明白没有？所以它的本质呢，就是概率乘概率，然后弄清楚前面有多少种就可以了。我们钟老师意思好，我们再来看看 到底什么时候是用概率乘概率，什么时候是用吸多少除以吸多少，关键是看什么看？这句话看到没有？他们本质区别是什么？概率是否有什么改变，而并不是放回跟不放回只是一种手段而已， 只是一种告诉你概率有没有改变的手段。因为放回了，我第二次第三次摸球，概率就不变，是不是？但是如果我不放回的话，我比方说我摸完第一个球，那么下个球再摸的概率是不是我发生改变了？所以概率不发生改变的情况下， 就是用概率乘概率发概率发生改变的情况下，就用吸多少除以吸多少，明白没有？明白没有。所以这个地方做好笔记，关键是概率是没有改变，但是有时候考试他也会给你提示的，比方说，哎，这道题他会强调他们是相互读， 独立的，不影响，那等于是暗示你用概率成概率，明白了没有？好做好笔记。如果他只是一个纯粹的二项分布的话，我们求他的期望跟他的方差是有简便公式的，请大家这边记一下。 这个 dx 呢？是这个期望，这公式是 n p， 这个 n 是什么东西？实验次数？ p 呢？成功概率，比方说刚才造体，比方说造体成功概率是谁？五分之二，我实验多少次？三次，所以三乘五分之二，多少？ 五分之六，明白吧？这个 dx 是什么？就方叉就方叉，方叉的话这个公式他也系好， 但是用这个公式的前提呢，就是他一定是一个什么纯粹的二项分布 才可以用。用这两个公式，请大家做好笔记。那什么叫纯粹的二项分布呢？就以这个例子为例，我这里比方说我摸一摸中一次绿球，他题目也额外限制，不允许哪一次摸中， 这种就是纯粹的二枪分布了，但是如果题目要强调，我就让你第一次摸不到，是不是他说额外加了条件，那就不允许用这两个东西了？ 学习蓝公司，面对纯粹的二战分布才可以用的。那么钟老师意思好，然后记住他的专属符号 x 服从 b， n p， 这个 b 呢就是二项分布的特有符号，一般可能出现在选择题会填空题当中，他会告诉你 x 服从 b， n p 就告诉你。哦，他就是个纯粹二项分布了。多号左边的这个呢是实验次数， p 呢？是什么？是成功 概率？把这个符号记一下，看到这个逼就是默认二相分布的意思。给了这两个的洁面公式，顺便给买这两个吧，就是刚刚大家首先要区分好这两个的区别哈，这个其实 在在超超级额当中，他的公式是这样的，他的那个那个期望也是 np。 这个 p 是什么意思？ 这个 p 就是 m 除以 n， 这个 p 只是你要的东西，比方说我要谁？我要绿球，绿球占了几分之几？ 这五分之二是不是？所以他的公式呢？也是 e x 等于九，就 n p 可以吗？请大家把这个记好， 这样然后做两道搞好真题就可以了。

今天我们来学习一下超级和分布与二像分布的区别。首先我们来先回顾一下超级和分布的概念。 在超级和分布的概念里边，我们可以提炼出来几个特点，设有总数为 n 件的两类物品中，我们可以知道超级和分布的总体是有限的，并且它有两类物品。 从所有物品中认取 n 键 n 小于等于。答案里面我们可以得到超级和分布实际上是一个不放回的重要， 并且在超级和分布的一个概率特征里面，我们可以知道超级和分布他只注重实验的一个结果。接下来我们来看一下二项分布的概念。在二项分布里面说，如果在一次实验中，事件 a 发生的概率为 p， 那么在这一 句话中，我们实践可以得到，再一次实验中，事件 a 要么发生，要么不发生，也就是他总共有两种结果， 他的概率为 p， 概率是固定不变的，那么也就是说在每一次实验中，事件 a 发生的概率不变。 在 n 次独立重复实验中，在这句话我们所得到的是二项分布，是一个放回抽样。从二项分布的概率公式里边中的 cnk， 我们就要知道二项分布他实际上不单单注重实验的结果，还要注重实验发生的一个顺序。 接下来我们以一道例题来进而辨析超级和分布与二项分布。从立体中我们知道了它的次品率为百分之二，并且要现在要出 出三件进行检验。当样本容量分别为五百、五千和五万，是分别以放回和不放回的抽取。 当以放回的方式进行抽取时，我们的次品实际上满足了是一个二项分布，那么满足二项分布的时候，他的次品率百分之二是固定不变的，也就是不管要美容量为五百五千还是五万，是当 x 等于一的时候，他的概率都 是固定不变的，也就是下边的计算过程，当他如果以不放回的方式进行抽取时，也就是说他此时满足的是一个超级和分布。 那我们再分析超级和分布的定义，就说超级和分布是两类物品，那么在该题中应该是分为次品和非次品，那么从题目中的次品的概率为百分之 二，我们就知道，当 n 等于五百时，也就样本容量为五百的时候，次品的件数应该是十件，而非次品的件数是四百九十件。进而再进行 利用超级和分布的定义和他的一个公式来进而进行计算当 x 等于一的时候的概率。同样的道理，当 n 等于五千和五万的时候，我们分别要算出次品的建筑和非次品的建筑，进而利用公式来进行算出来他的一个概率。 从解题过程中我们可以发现，不管当 n 等于多少的时候，我们的二项分布，也就是有放回的抽取的时候，他的概率是不变的，当时是无放回的抽取的时候，他的概率在逐渐的变化，并且当样 容量小到大的一个变化过程时，我们会发现，当样美容量很大的时候，他算出来的概率是这样，和二项分布算出来的概率是非常接近的。 所以我们可以总结出来，当样本容量很大的时候，不放回的抽取也可以近似的看作是一个二项分布， 接下来我们来对这个二项分布和超级和分布的一个性质特征以及变细做一个对比。 前四个我们刚刚在分析定义的时候已经分析过了，我们来说最后一个在二项分布里边，一般做题他都会有有放回或者样本估计、总体频率视为概率等等字眼， 但是在超级和分布里边，一般来说他就会告诉大家是一个不放回的一个抽取实验，谢谢大家观看。

某个八人小组中，有四个男生从中任选三人参加活动，设选出的男生胃癌之人，让你求出这个 x 分布列， 不难想到，这三人中男生的个数当然可以有零个，一个、两个，甚至三个都是男的，因此这题就得分成这四种情况来考虑。而从这八人里选出三人，其实就得分成两波来考虑， 第一步，从男生中选出一部分。第二步，从女生中选出剩下的一部分。按照这种方法，咱就来看看第一种情况，这里没有男生，那男生这堆就得选零个，四选零就是 c 四零，而女生这堆就得选三个了。四选三就是 c 四三，再除以八选三的组合数，就是这种情况的概率了。 而第二种情况，一男两女，先选男生，四选一就是 c 四一，而这俩女生四选二就是 c 四二，再除以 c 八三，就是这种情况的概率了。第三种选， 选两个男生就是 c 四二，选一个女生就是 c 四一，最后再注意 c 八三，搞定最后一种，这里三个全是男的，那就是 c 四三。由于没有女生，那这四个女生一个都不用选记 c 四零，最后还得处以 c 八三，到此，所有的概率就都搞定了。 咱把 x 的取值写成一毫，相应的概率写在第二行，这就是要求的分布列了。不难发现，这些概率的分子都是由 c 四级和 c 四级这两部分组成的，这些表示从男生里选一部分，而这些则表示从女生里选出剩下的部分。 咱把符合这种形式的概率分布就成为超级和分布。了解了啥叫超级和分布，那咱就再来看个例子，如果一开始有一大堆人，其中男生有这么多，那女生的数量自然就是这么多了。如果还是要从这里选出一部分人来，那当然还是得分成两步，第一步，从男生里选一部分，有这么多种方法。第二步，从女 整理选出剩下的部分，则有这么多种方法。如果还是要选出的男生人数为 x， 那他取值为开始的概率就应该是他乘上他，再处理他，这就是超级和分布的概率，就算公式了，相应的分布列就长成这样。 由于这里总共有 n 个人，其中男生有 m 格，而要取的数量为 n， 这三个量比较重要，那咱就把这种分布称为 x。 普通参数为大 n、 大 m 和小 n 的超级和分布了，即为 x 杠 h， 大 n、 m 和小 n， 其中这个 x 就是随机变量， h 代表超级和分布，而这三个就是刚才说的三个参数了。 以后再看到这种符号，那就要反映出他就是超级和分布了。而在刚才的例子里，总人数就是八，一共要选出三个人，其中男生有四个，那这个 x 复层的参数自然就是大人等于八， m 等于四，小人等于三了。 ok， 总结一下，超级和分布的本质 就是不放回的出样，他的概率可以直接用这个公式来计算，这表示从全体中选一些人，这个表示从男生中选出一部分，而这个则表示从女生中选出剩下的那部分。怎么样，听懂了吧？赶紧动手试试吧！

大毛在射箭射中的概率是五分之四，那射不中的概率自然就是五分之一了。他连续射了三箭，假射射中的次数为 x， 让你抽出这个随机变量 x 的分布列。 不难想到，连续射了三箭，那这三次就都可以射中，也可以只射中其中的两次，一次甚至零次，因此这个 x 自然就可以取三二一零这四个指了。要想求出分不列，那就得先求出这些情况的概率。先来看看第一种，如果三箭全中，那这三次射中的概率就都是五分之四， 由于这三次之间还相互独立，那他们同时发生的概率竟然就是他们仨的成绩计五分之四的三次方。这个搞定了，就看看第二种，这里射中了两次，但是不一定是哪两次射中，那就从这三次里挑出两次有 c 三二种选法，比如就是这两次吧，他俩射中了，那概率当然就是两个五分之四，而这个美射中的 概率就是五分之一了，把他们撑到一起，就是这种情况的概率了，也就是 c 三二乘五分之四的平方乘五分之一。接下来看看第三种，这回射中了一次，那就从这三次里挑出这一次，也就是 c 三一，比如就是这一次吧，射中了，概率就是五分之四，而这两枚射中的概率就都是五分之一了， 把他们撑到一起，也就是 c 三一乘五分之四乘五分之一的平方，这就是相应的结果了。最后来看看第四种，这里三个全补种，那每次的概率就都是五分之一，结果也就是五分之一的三次方了。搞定 到此，把这四种取值和先人的概率放到一个表格里，这就是要求的分布列了。观察一下这四个概率，其中这两个都是 cg 级呈射中概率的几次方，再称每射中概率的几次方，其实这俩概率也可以写成这样的形式， x 等于三十，就是三次射击，选三次射中，计 c 三三。在这里没有美射中， 因此就得成为射中概率五分之一的零次放，结果就是这样。而 h 等于零时，其实就是三次射击，选零次射中 gc 三零，由于这里没有射中的，因此就得成射中概率五分之四的零次放，也就是这样。 到此，这四个概率的形式就统一了。根据这四个概率的计算，咱就可以总结出这种重复实验中中了 case 的概率，也就是 cnk， 成 p 的 case 方，再称一减 p 的 n 减 kiss 方公式听着有点晕吧，其实很容易理解，这里的 cnk 就是你从 n 次里挑 case， 让他中 这个屁就是重的概率，这个一减屁就是不重的概率了。撒骏眉这个式子其实和二项展开式的通向非常相似，对于这种类型的分布，也有一个专门的名字，叫做二项分布。再用这个符号来表示这种分布，其中这个 x 就是随机变量， b 表示二项分布，而这个 n 表示独立重复试验的次数， 这个屁就是重的概率。以后你再看到这样的符号，那就一定要想到，这其实就是二项分布了。好了，二项分布的定义和计算咱就讲完了，怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！

呃，咱们高二数学概率当中啊，我们学了两个非常复杂的概念，叫做超级和分布，以及咱们的二项分布， 这两个概念啊，有百分之六七十的同学根本上区分不清楚，学的可以说马马虎虎，只要题目稍微一复杂，马上就不会做了。当然对于这两个概念呢，首先它里面呢本身比较抽象的， 那么第二个呢，就是说这个概念相对比较复杂，大家呢没有掌握清楚他的本质。好， 那么接下来我就用一个篮球给大家彻底的讲清楚啊，不论你是幼儿园小学都能够听得懂。好，那么提到这个篮球啊，咱们有些同学啊，比较喜欢，是吧？自 也喜欢打篮球，那有些同学呢，可能自己不会打，但是呢也喜欢看别人打篮球，那么篮球当中啊，就是说我们会关注两件事情啊，一件事情呢，就是我们会关注这个篮球队，他的一个队员的一个情况，是吧？ 那么这个队员呢，我们重点看什么呢？我们重点会去看他的一个构成情况 啊，当然实际生活当中构成啊，是比较复杂的，是吧？咱们数学当中啊，讲的时候说 个构成里面呢，咱们只关注两种构成啊，我们只关注两种构成，比如说一种是里面是 a， 那么另外一种呢，我们把它叫做 b。 哎，比如说这个篮球队员里面 a， 比如说就是个子高的人， b 呢，就是某一项技术比较好的人，哎，我们只关注这两种构成，那么接下来呢，我们就要在这里面呢要选一些人了，哎，我们要选取一些人， 那么选取的时候呢啊，可能是 a 里面，也可能是 b 里面，也可能是这两个里面混合起来的，平时啊就是建的比较多的，就是我们选的人啊，是比较混合的，这里面选一些，这里面选一些，当然选几个人呢啊，可能是变化的， 那么把这样的一个事情呢，我们给他起了个名字，叫做超几何风波，那么他算概率的时候就是用咱们的排列组合，哎，这公式你认识吧？排列组合再加上一个 咱们古典概率的公式，然后呢就如何成了这样一个公式，这个呢，我们在前面详细讲解了他的名字是怎么来的，这个公式怎么来的，这块呢，我们就过多的不讲解了啊， 好，那么除了关注他队员的构成之外，我们还会关注另外一个事情，哎，就是说一场比赛结束了之后，我们就要去看他的比分情况把，这个呢，我们也叫做结果，是吧？ 那么一次比赛完了之后，这个结果大多数情况都是两种结果啊，当然我们也关注的就是两种结果，比如说 a 这个结果 啊，比这个结果，哎，比如说你是赢还是输，两种结果是吧？啊，再比如说咱们大家平时做题的时候，选择题是吧？那么他也有两种 结果，哎，你做一道选择题，那正确或者说错误啊，但是也有一些他的结果呢，可能比两个多是吧？哎，也有比两个多的，但是我们重点关注的是结果这个两个的，这个呢，咱们生活当中见的是最多的， 那么对于这样的一个事情呢，你会发现啊，一次结束之后，并不是说，哎呀，我们就整个比赛结束了，是吧？ 你说你做咱们的选择题，你做了一个还不行，你要做两个、三个，甚至十个、一百个、一千个，是吧？所以我们还要去重复这件事情，是吧？所以我们要对这样的事情呢，要重复的去做。 那么比如说这个比赛也是一样的，你比了一场之后，感觉好像不过一样，所以呢，我们还要去重复的比十次、八次甚至一百次，当然至于 多少次我不知道，所以我用这个嗯来表示多少次。那么总之呢，就是说遇到一种结果是两个的，这样的事情，我们很多时候啊，要重复的去干这个事情，当然 这个事情重复的时候，你发现你第一次干和第十次干，他之间呢是没有联系的。比如说你第一次没干好，那么第十次也可能没干好，也有可能第十次干就 太好了，所以这里面呢，有些他是不影响的啊，相互之间不影响，有些呢之间是有影响的啊，有影响的，所以呢，对于这个没有影响的，我们把它叫做独立重复实验 啊，独立重复视野。如果说你这第一次和第二次有影响了，那 那么把这样的事情呢，我们就叫做条件概率啊，这里面就有条件概率这个概念啊在里面了。好，我们今天呢，先不管住条件啊，我们先关注独立，就是说，哎，你每次啊，结果啊之间呢，他是不会相互影响的，这叫独立。 那么对于这样的呢，哎，我们就叫做什么二项分布，所以二项分布他特重于每次的这个结果是有两个，而且呢啊，第一次，第二次，第三、第四次，他之间呢是独立的，而且不会影响你就重复的再干一件事情， 只要是满足这种的，都叫做二项分布好，那么他的概率呢？哎，我们直接用这个公式来算，但是这个公式呢，与咱们呃学的这个呃算系数的 公式是不是非常的像？不要混淆。好了，那么区分清楚之后，下面我们来上一道题目啊，那么我们来看这道题目怎么样去读这个题目是吧？当然关键就是题目当中的这个文字啊。 首先他说有六道题目，那我们从这六道题目当中要选取三道，说至少完成两道，至少完成两道就是要么是两道，要么是三道才是可以通过的。 好，那么接下来呢，先说考生假是吧？假，那么假怎么了？假是说六道题目当中说有四道题目怎么样会做两道题目不， 不会做，所以他讲什么？他讲的是考生夹。对于这个题目当中，你看讲到他的构成了， 所以这个事情明显他属于什么？明显属于超级和分布，是吧？所以属于超级和。然后呢，我们套超级和的公式，你看把它就解决了， 再看考生意是怎么样？意是说每题正确的概率是说一个题目正确，是吧？所以他侧重于什么？侧重于的是结果，没说过程， 他的结果里面呢，是说正确的概率是三分之二，当然错误的概率就是三分之二一，所以他描述的是一次的一个结果，所以把这 这样的事情我们就叫做二项分布。哎，所以你看到此为止，是不是你就区分清楚了？那么通过这个题目，你发现 你这个应用题目搞不懂关键是什么？第一就是说你对咱们的概念本身理解的不够特彻，你就是单独把它给记住了，是吧？第一个，那么第二个呢，就是说对于咱们这个文字里面复杂的一些东西啊，你处理的时候不会处理， 所以导致整个题目啊，啊，做不出来，所以呢，就是这两个方面的啊，两个方面的。好，那么接下来呢，我们套公式的时候，你看说写出甲乙啊完成的分布力，分布力，那么我们先写乙啊，乙考商他的分布力，首先 先，比如说他的完成正确的题，可以是零个，也可以是一个，可以可以是两个，也可以是三个，然后呢，我们要算他的给力 掏空式啊，我们在这里面呢，随便写一个就行了啊，比如说写谁啊？比如说我们写二的啊，那就是谁啊？首先是三个题目，就是 c 三二， 那么做对的是两个，那么正确的概率是三分之二，所以是三分之二的平方，然后再乘上个三分之一，是做错的，是一个，就是一次方，你看这概率写出来，然后其他的呢，你自己去写，然后把这个期望 ex 写出来了。好，那么同样的道理，对于假的这个超几何的概率是不是也很简单？那么这个 x 同样他是 零啊，啊，一二三是吧？一二三，那么这时候啊，我们同样要算他的概率，这时候啊，咱们一定要注意啊，说对于这个假考生的话，那么他正确的，正确的， 呃，正确的，如果说零的话，你想你要取三个零的话，行不行啊？显然不行，所以这里面是没有零的啊，如果说取零的话，你正确的没有办法取出来啊，你正确不能取三个，如果你取三个的话，必然要有一个是正确的啊，所以只能是一， 那么一的时候他的概率怎么选呢？首先我们是六个题目，我们要选三个，然后呢你正确是一个，所以呢，我们在四道正确的里面选一个啊，然后呢你还要做两个， 那么剩余的两个题在哪里去选错的里面，所以是 c 二二。这样呢？你看咱们整个视频就出来了，所以他就是一二三，然后后面两个呢？你根据这个模式写出来，然后整个题是不就写出来了？哎，所以你看。

这是一个二项分布公式的演示，可爱的牛油果在操场上投篮，他的命中率高达百分之六十， 那么问题来了，给他十次投球的机会，有七次进球的概率是多少？果果在投篮一次时，进球的概率是百分之六十，那么他不进球的概率就是百分之四十。如果同时让五个果果投篮，会有两个没进球，三个进球。 接着邀请来更多的果果，第一次投篮时有百分之六十的进球了。这些果果在进行第二次投球时，进球的果果有百分之六十的概率再次进球，一共进球两次，没进球的果果也有百分之六十的概率再次进球，一共进球一次。 如图所示，两次投篮后没有进球的概率是，零点四乘以零点四等于百分之十六。进一次球的概率是零点四乘以零点六，加上零点六乘以零点四等于百分之四十八。 进两次球的概率是零点六乘以零点六等于百分之三十六。同理，我们再次邀请更多的国国同时投球三次后，计算出命中零次到三次的概率，得出二项分布公式。嗯，表示投篮次数， k 表示进球次数， t 表示进球的概率。根据这个公式，只要知道了果果进球的命中率，就可以算出头十次球进七次的概率。这个公式是在理想状况下得出的，真实情况是否准确呢？我们再次邀请来一千个命中率为百分之六十的果果同时投篮， 左侧是公式的预测值，右侧是裹过实际头球命中的数据。 我们可以看到，真实的投篮命中率数据与公式预测数据非常接近。

哈喽，大家好，我是大家的数学阿杜老师。这个视频给大家辨析一下超级和分布和二项分布。一道题就讲的明明白白， 同样是两个足球三个篮球，不同的取法直接导致一个是超级和分布，一个是二项分布。 先看第一个 c 五三代表五个球中取三个， c 二一代表两个足球中取一个，那么 c 三二代表三个篮球取两个。 再看第二个，有放回的取三个球，说明每次取出足球的概率都是五分之二。也就是说三次试验中发生了一次，没有发生两次。你听懂了吗？谢谢大家。

超级和分布的分布率是一定要背的，但是超级和分布的分布率到底应该怎么背呢？如果大家死记硬背的话，那会非常非常的麻烦，你们看， 这就是超级和分布 x 服从，参数为 n m n 的超级和分布，那么怎么背就会变得很容易呢？大家只需要掌握超级和分布的意思，那么分布率根本就不用背，是自然而然的。我们来看一下超级和分布是什么意思啊？随机变量 x 服从，参数为 n m n 的超级和分布意味着 以下三件事，第一件事意味着 n 个物品中有 m 个特定物品，从中不放回的抽取小 n 个 x 表示这 n 次中抽取的特定物品的个数。同学们，只要大家把这个意思掌握了，超级和分布的分布率根本就不需要背。看这个屏幕下方这个例子， x 服从 啊，参数为二十四十一百的超级和分布。然后让我们写出随机变量 x 的分布率来，我带大家写一下，看应该怎么写啊。首先二十四十一百，根据刚才我讲的这个意思可知，现在相当于是一百个物品中有四十个特定物品 从中不放回的抽取二十次，这次表示这二十次中抽到特定这个数。咱们来写一下分布率啊，这个分布率怎么写？同学们，很简单，首先一共一百个，从一百个里边抽二十个，所以分母是这一 一百二十。从这个四十个特定物品中抽中了 k 个，所以是 c 四十 k， 那从剩下的这个六十个物品中，那就抽了二十减 k 个吧，因为一共抽了二十次，就这么简单， k 的范围怎么写？一共抽了二十次，可能那一个都没抽中， 最小取零最多的情况，那就是都取到了，所以 k 最大取二十。我现在写的这个就是 x 服从这个分布的超级和分 部的这个分布率，所以根本不需要背。你们需要记得是什么？只要大家把这个记下来了，那超级和分布的分布率自然而然也就记下来了。好，这节课就给大家讲到这，我是你们的新哥潘琪老师，我们下节课再见。

超级和分布来看他学什么内容呢，对吧？首先呢你要知道有个目标对不对？要有个知识啊，要有个能力。什么能力啊？解题的能力对不对？ 最后的话也能够课堂检测一下，对吧？最后呢有个作业对吧？这个都是一个套路的啊，都是一个讲解的，一个思路 啊，一个逻辑啊。我们先来看，对吧？什么叫做数字目标，定定方向啊，说白了就是你要看得到，对吧？他学什么对不对？嗯， 你看主要是了解超级和分布的一个概念。第二个呢要用到什么？他说求服从超级和分布的一个随机变量的概率，还有均值，对吧？ 这个镜子的话就是后面有内容啊，所以说太多了啊。啊，那第三个呢，就是你要知道这个二次分布和这个超级和分布有什么关系呢？对不对？要能够利用他的超级和分布的概念模型去解决实际问题，对吧？重，重点是用它去解决问题啊， 这才是我们的一个重中之重，对不对？嗯，好，再来看他的一个必备的知识，对吧？嗯，需要怎么样的知识呢？ 这里呢也有说，对不对？嗯，也是有说的啊。我们先来看一下这个超级分布他怎么去定义的，他说一般的假设一批产品共有 m 键，看得到吗？嗯 嗯，共有 n 键说明是什么呢？这个 n 的话表示的是他的总数，能懂吗？嗯，表示是总数，其中有 m 键。次品，这个呢是说在这个 n 键当中，对吧？ 他有的次品送，也就说 m 的话，他表示的是次品送， 对吧？然后呢从 n 中产品中随机抽取 n 件，这个呢是不放回的，对吧？就从这个总共的建设当中去抽取 n 件吗？懂吗？这个呢 n 呢表示的是他抽取的建设懂吗？ anna 表示的是他抽取的箭手 啊。然后呢用 s 来去表示它抽取的 n 件产品当中的 次品色对不对？嗯，就比如说是一件呢两件呢或者三件呢四件能懂吗？就这样子把它列出来对吧？抽取的 n 件产品的次品色这 s 分他说他的分布列就为 啊就为多少就是来开始等于 k 十 p 的概率你懂吗？啊就有这样的一个公式，那这个 k 呢等于多少呢？他说 k 等于 m 啊， m 加一 m 加一直一直这样下去了对不对？ 嗯好。他这个呢定义呢就感觉是有点绕啊。但是呢你后面你会发 线他呢当中是可以直接算的。我先给你理一下先你看他说其中 an 和 m 对吧？你要知道你这个 m 是不是指的是什么？ m 指的是次平数吧，对不对？ 嗯，你的次品数肯定是属于自然是属于证实数吧，正整数吧，对不对？嗯，你的次品数肯定会小于或等于他的总件数吧，对吧？能理解吗？嗯， 你抽取的这个建设对吧，那肯定也会比他的这个总共的建设要小于或等于啊，对不对？ 总共有这么多也可以说取这么多嘛，也可以抽这么多嘛，对吧？就类似于是那种全面抽样啊，对不对？嗯 啊，不过这个呢影响不大啊。那这个 m 的曲的话你要知道这个 m 的曲你要知道对吧？ 你看他是什么呀？你看 m n 减去 m 加 m 对不对？ n 减去 m 加上 m 这是大于零小于他，他这里是在他的零和他这个范围之内，对不对？但是这种的话你这个呢你就不用说去去管太多啊，但是呢我们后面是结了立体的去给你去推，你这样呢可能是这样子，就单看公司是看不出来的啊， 对不对？总之先记住的是什么这种形式的线啊，后面的话我给你用一下你就会理解的啊。嗯，好。如果随机变量 x 的分布列上具有这样的形式，你们发现具有这样的形式， 我们就称随机变量 x 服从超级和分布，懂吗？据说他的描述如果说是这样子描述说共有多少件对不对？其中有多少件这样的次品，对吧？再从这个总数当中抽取了 n 件对吧？ 啊？然后去求什么？听说抽取的大于或等于三件次品的概率或怎么样？这种描述的话就是多少，这种描述的话就是他的一个超级和分布的描述，懂吗？你知道这个呢就可以去呃把它给推出来啊，我给你举个例子，好吧，现在 就比如说举个例子有假假设一批产品有十件，对不对啊？其中有两啊，其中有三 是次品，对不对？他说从中的话抽取多少？从这个 n 件产品当中随机随机抽取四件假设啊，懂吗？啊？ 嗯，他说求抽取的那个次品数 多少？次品数大于或等于二，你懂吗？他的次品数大于或等于二的概率，懂吗？要这样的球你看怎么来呢？那如果这样描述那不就是他的超级分布的一个描述吗？对不对？ 那一样的，就比如说我们要求的是你要知道如果说是抽取多少件，如果抽取四件的话，他的他的次品数是不是可能是多少？ 抽取四件的话，可能一件饰品都没有，对不对？那有可能一件对不对？也可能有两件，也可能有三件呢，能懂吗？ 这个有没有问题？因为你总共有十件嘛，如果那四件的话，都是都不是次品，那不是零件了吗？对不对？如果四件当中有一件次品，那不就是 呀，是一吗？对不对？四件当中有两件次品，那就两件次品嘛，对不对？二嘛？四件当中有三件次品，那就是三嘛，对不对？ 明白吗？嗯，那如果说用这个公式怎么来呢？我给你理一下下啊，就比如说是我们求他是是多少是一键次品的时候，对不对？那是不是 p 的啊？是等于一啊，对不对？大家在公司 进去啊，你看，其实这个呢，我们把它理解下就可以这样子理解，你的概率肯定是部分出于总体的嘛，对不对？能懂吗？抽取到一件饰品的那个，那个多少？那个？ 呃，这个叫什么？说啊？他的基本事件数，对不对？在处于他的总件数，总件数，那不就是相当于是从这个十件次品当中不十件，十件多少？十件的总数当中，对不对？抽取的四件嘛，那就是 c c 十二呀，不， c 十四啊，对不对？这是基本的事件总数嘛。然后呢，我们再看，对吧？这个呢，要抽的时候也是一样的，其实就相当于是，就比如说你从事件当中， 对不对？你是从抽取的四件当中选了一件次品，对不对？选出一件次品，那不是四七四一吗？对不对？然后的话，对吧？那你这里是四件当中选选多少选一件，对吧？ 嗯，没问题吧？那你剩剩下的，那是不是应该是从剩下的六件当中选三件的？ 选三件就是不是次品了吗？能懂吗？这个有没有问题？ 对，那就这样子去练的吗？其实你可以，你可以发现是可以理解，根本就不用套在公式啊，你可以看为什么呢？我们带一下公式啊， 好吧，就比如说 c n c， 大写的 n， 小 n， 对不对？这不就是大写的 n， 表不是表示总数吗？对不对？小写的 n 呢？是看他抽取了多少件呢？抽取了件，是吧？对不对？ 能理解吧，所以也就说他这个分母，他这个表示这个分母说白了就是他的基本事件的一个总售，对不对？ 能懂吗？这个是我们之前学过怎么算的吗？我们可以用我们之前的公式啊，就是组合了，对不对？嗯，排列组合的一些公式啊，去把它直接直接求出来，就不用列表了，能懂吗？嗯， 而他的这个分子的话，你可以发现，你看 c k c 多少？ c m k， 你这个 m 不就是指的是他 m 的话，不 就是指的是他有多少件，什么 c m k， 对不对？ 能懂吗？哎，这里的话我刚才要错了，我刚才看错了。这个呢？是多少？我们是从三件当中选了一件吗？应该是 c 三一，能懂吗？我刚才看到下面去了，这个是多少？是不是从应该是从三件当中能懂吗？ 有没有问题？嗯，这里啊， 他应该是从三件当中选了一件次品啊，刚才看到这四去了，看看走眼了啊，没问题吧？嗯， 对，他就相当于是从哪里从这三件当中选了一件吗？从这个次品当中选了一件， 对不对啊？那剩下的多少呢？你会发现大家剩下七件呢，对不对？没问题吧？你看这里也是嘛， n 减 n， 对吧？ n 减去 m n， 那不就不就十吗？减去我们刚才抽取出来的，对不对？ 你懂吗？因为我们刚才已经已经从三件当中选了一件饰品了吗？那剩下的七件当中是选多少件呢？那肯定是你要选，你总归要选四件吗？对不对？那是不是要选三件没问题吧？嗯，那你看这个怎么来呢？这个 n 是不是抽取了四件呢？ 对吧？这个 k 的话，就是刚才你在次品当中，你在哪里？你在三件次品当中选出了一件，一件次品嘛，对不对？那是四减一十三呢，你们发现 能发现吗？他们是对应的啊， 有没有问题？对啊，所以他就可以通过这样来去把它给求出来，明白吗？啊？那一样的道理，对吧？一样的道理，就比如说我们， 我们是说去求 ps 等于二的概率，对不对？对吧？就说抽取的两件都是多少？抽取的两件都是什么？ 如果说我们假设他抽取的两件都是次品的概率，那是不是一样的，对吧？分母的话，肯定是球鞋的总售，对不对？从十件当中抽取的四件，对吧？那七十四对不对？ 而他的这个，这个多少？你这个分子的话，就是你先考虑他的次品的，能懂吗？对，从三件次品当中选了两件，对不对？再从他剩下的 多少，总共有十件嘛，对不对？总共有十件嘛？你这里的话都选了两件，你这里都选了三件了，对不对？从三件饰品当中选了两件嘛？那你这三件饰品是包括在总数里，对不对？那剩下还有多少件可以选呢？剩下的有， 有七件没有选呢，对不对？能懂吗？再从这个七件当中，你要选的是四件，对不对？你现在从视频中选出两件，你还有两件要选呢，能懂吗？ 对，所以就从剩下的七件当中再选两件，对吧？正品的啊，懂吗？你看，就这样子来，你看套公式是一样的道理啊， 对吧？啊？分母的话就还是一样，求他求求的是他基本事件的总数，分子的话，你看 c k， c 叫啥？ c m k， 你这个 m 指的就是他的次品数吗？对不对？从他的次品数当中，对吧？选出了多少件，对吧？ 啊？这边这个是 k， 然后呢？再从他的正品当正剩下的这个七件正品当中选两件，对吧？两件不就是他的四件当中减去他你前面抽选的两件次品吗？对不对？能懂吗？ 嗯，对，那就是二嘛，四减去二十二嘛，对吧？你看是可以直接来的，其实这个公式你背不背都没有，无所谓，你懂我意思不？嗯，对，你反而你进了这个公式之后，你反了更，你会感觉会更加 难，或者说更加的难去理解，或者感觉有点乱，你还不去理解的去记忆就更好，你懂吗？放到他具体的题型当中去记忆，那就更快了，懂吧？ 总之分为一定是基本的事件总数，对吧？这个不用说啊，总共主要是记得是分子，对不对？分子的话，你就这样子来，先求他抽取的次品的概念，能懂吗？ 啊？好，先求出他的求抽中的那个次品的基本事件售，对吧？然后再求他剩下的，能懂吗？ 对，剩下的那个数量当中他所包含的那个基本数，对吧？把他们两者一相乘就行了， 懂吗？次品中包含了基本数，能懂吗？然后剩下的对吧？ 书当中包含了基本书，这个呢？要知道这种的话是抽取的时候是不放回的，所以我才说，才说什么？所以才说是你说你从三件当中三件次品当中抽取了两件，那就说明那三件次品的话已经抽出去了，你懂吗？其中包括的两件次品懂不懂？ 对，那你既然不放回他，那不就意味着你还要再你你再抽的，因为你要抽四件，你还不够他抽两件，对不对？所以你还要再从这七件，对吧？剩下的七件正品当中再抽两件，所以是 c 七啊，对吧？你这样一来理解的话，其实你这个公式都不用套了，对吧？ 明白吗？他的思路就思路啊。再说一遍，那就是分某求基本事件总数，对不对？分子先求他从次品当中抽取 基本事件，说，对不对？能懂吗？再再怎么样，剩下的就是从求他从正品当中抽取的，能懂吗？所抽取的那个基本事件说，就这么简单，对吧？ 那肯定不会说什么题都是包括什么次品真品，他会换着来说，但是你要能够把它还原成这种模型，那你就可以用这个公式去求，懂吗？嗯嗯， 好，我们再来看一下啊，就是这样的一个分布了，然后对于后面这个呢是取什么呢？写我们后面会举的，会讲到，对不对？我们后面会给你讲的啊。 嗯，就比如说这个，这个 r 是吧？取，他说啥？他说取什么呢？这个 r 他说 m 和 n 当中他取较小的那个数啊，懂吗？ 较小的比如说有 n， 有 m， 对吧？你看比如说 n 的话是多少呢？ n 是四对不对？ 不？ m 的话是多少件？他是说抽取四件吗？对吧？ m 的话是他的一个次品数，对吧？啊？你取较小的，你就取他抽取了多少件，这也就这个呢，就是四件，对不对？嗯， 这个后面再给你讲啊，没关系啊，我们后面再给你结合这个立体来给你讲一下。你看君子的话怎么意思呢？就是一的 x， 对吧？ 等于 m， p， 他说其中 p 等于 p 等于 n 分之 m 是 n 键产品的次品率，其实这个呢，很简单对不对？你要求次品率，那肯定是将它的次品数除以总数啊， 能懂吗？所以你要记住的是他表示意义，这个 m 指的是次平瘦，这个 n 的话表示是总瘦，懂吗？这个 p 的话表示是概率。你这样子去记的话就简单了，如果说没有这样记的话，可能就不知道，不知道怎么做，对不对啊？但这个呢，要理理解啊， 没问题吧？对这个公式的话，你理解理解就记啊，不要说死记，死记硬背啊，对吧？嗯，所以对于这个超级分布，说白了他有两点是需要你掌握的啊。第一个要知道他的表受对不对 啊？他怎么去表述的？表述的话主要是为了定他的类型啊，对不对？嗯，第二个呢， 是不是要理解他的公式啊？嗯， 对不对？第三步呢，肯定是运用了啊。嗯，运用的话我们是看具体提醒，对吧？嗯啊，那行，我们来看一下啊。

好，我是来自北京师范大学附属实验中学的李桂春老师。今天我们主要讲的内容是大象分布与超级和分布。前面我们学习的理想型随机变相分布列，下面我们一起来回顾一下。 一、离散型随机变量的分布列。一般的，当离散型随机变量 x 的曲子范围是 x 一， x 二一直到 x n。 如果对任意的 k 属于一，二一直到 n， 概率 px 等于 xk 等于 pk 都是一致的，则称 x 概率分布是一致的。 理闪型随机变量 x 的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为 x 的概率分布或分 不练这个表格，第一行是 x， 每一个曲子是 x 一， x 二一直到 x n。 第二行是 x， 每一个曲子对应的概率分别是 p 一， p 二一直到 p n。 第二，我们学习了理闪型随机变量分布列满足的性质，第一， pk 大于等于零， k 等于一，二一直到 n。 第二， 所有概率和也知道谁敢 pkk 等于一到 n 等于 p 一加 p 二，一字加大， pn 等于一。 那么第三个，我们总结出了求离散型随机变量的分布列的基本的步骤。第一，找出离散型随机变量 x 的所有可能值， x k， k 等于一，二一道 n。 第二，求出每一个值的概率 px 等于 sk 等于 pk。 第三，列出表格， 我们又学习了第四个，就两点分布。一般的，如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式， 则称这个随机变量服从参数 p 的两点分布，或者我们称为零一分布。 x 取值为一和零取一的时候概率为 p， 取零的时候概率为一减 p。 在学习前面知识的基础之上，我们下面来看一个问题。为了增加系统的可靠性，人们经常使用备用勇于设备，那么这个叫 正在使用。设备出故障的时候才启用设备，那么已知某计算机网络的服务器采用的是一用两倍 及一台正常设备，两台备用设备这样的配置，那么在三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉。如果三台设备各自能正常工作的概率都为零点九， 他们之间相互不影响，那么问这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？ 那针对这个问题，我们学习了本节课的内容之后，就比较容易的来解答，所以下面我们来系统的学习本节课的内容。 我们已经知道一个不努力事业是适应的结果，可既为成功与不成功的事业， 在现实生活中，经常需要在相同的条件下，将一个薄努力试验重复多次。例如，为了了解观察抛硬币出现的统计规律性，可多次重复进行抛硬币这个薄努力试验。 再比如，为了了解支持改革的人的比例，可随机向多人进行访问，询问他们的态度是支持还是不支持。 那么这里就是得到一个重要的概念叫恩赐独立重复实验。那么在相同的条件下重复恩赐和努力事业的时候，人们总是约定这恩赐事业是相互独立的， 此时在恩赐博努力事业，也常称为恩赐独立重复实验。所以我们学习了一个重要概念，就叫恩赐独立重复实验。 那么在现实生活当中，比如我们对一批产品进行抽样检查，每次取一件来判断是否合格，有放回的抽取五次，那么这就是一个五次独立重复实验。 再比如篮球运动员一起投篮十次，可以认为每次投中的概率都相同，那么这也是一个十次 独立重复实验。在恩赐独立重复实验当中，我们经常关心的是成功出现的次数，那么我们下面来看这么一个问题， 已知某种药物对某种疾病的治愈率为四分之三，现有甲乙丙丁四个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈， 我们看几个问题啊。一，这能否看成独立重复实验？第二，球出甲乙丙都被治愈，而丁没被治愈的概率。 第三，求出恰有三个患者被治愈的概率。第四，设有 x 人被治愈，求 x 的分布，练同学们一次可以想一想。那么第一问，我们不难看出 四个患者是否会被治愈是相互独立的，因此我们这里尝试与发现中的情形，我们就可以看成四次独立重复实验。 那么第二文，我们如果用 a 一 a 二， a 三、 a 四分别表示假被自愈，已被自愈并被自愈并被自愈，我们比较容易得到。每一个被自愈的概率都等于四分之三， 没被制约概率是四分之一，那也就说 pai 等于四分之三， pai 的对立事件 等于一减 pa 等于四分之一，二等于一二三四，这样我们甲乙丙都被治愈，而丁没被治愈， 我们就可以表示成 a 一乘 a， 二乘 a， 三乘 a 四的对立事件，这样我们由事件的独立性我们可以得到 pa 一乘 a 二乘 a 三乘 a 四的对立事件，就等于 pa 一乘 pa 二乘 pa 三乘 pa 四的对立事件，带入就达到四分之三乘四分之三乘四分之三乘四分之一，等于二百五十六分之二十七， 这样我们就得到了加一并被治愈，而丁没被治愈的概率等于二百五十六分之二十七。有了第二问，我们就可以来看第三问， 注意到恰有三个患者被治愈的情况，那么四个人当中有三个被治愈， c 是三种情况，也从四个人当中选出三个是被治愈的，剩下那个是没被治愈的。那么如果用符号来表示，应该是 a 一的对立事件，乘 a 二乘 a 三乘 a 四，也是第一个人加没被治愈。 第二个是 a 一乘 a 二对立事件，乘 a 三乘 a 四，是一没被治愈。第三个是 a 一乘 a 二乘 a 三的对立事件，乘 a 四是并没被治愈。第四个 a 一乘 a 二乘 a 三乘 a 四的对立事件是丁没被治愈。 那这样我们可以看这四种情况两两都是互斥的，而且由第二我们可以达到每一种情况的概率都是四分之三的，三之方乘以四分之一， 他算出来应该等于二百五十六分之二十七，这样我们所求的概率应该是刚才的四种情况 的合的概率也装 pa 一的对立事件，乘 a 二乘 a 三乘 a 四加 a 一乘 a 二对立事件，乘 a 三乘 a 四加 a 一乘 a 二乘 a 三对立事件，乘 a 四 加 a 一乘 a 二乘 a 三乘 a 四的对立事件，那么根据互斥事件的概率应该等于这四种情况的概率的和，所以他应该等于 pa 一的对立事件乘 a 二乘 a 三乘 a 四， 加 pa 一乘 a 二。对立事件乘 a 三，乘 a 四，加 pa 一乘 a 二乘 a 三的对立事件乘 a 四。这个加 pa 一乘 a 二乘 a 三乘 a a 四的对比时间，那么就应该等于 c 四。三乘以四分之三的三之方，乘以四分之一，等于六至四分之二十七。这样我们就求出来了，恰有三个被治愈的概率等于六至四分之二十七。 下面我们接着来看第四题。因为共有四名患者服用的药物， 那么 x 表示被治愈的人数，那么可以得到 x 的曲子范围应该是零一、二、三、四， 那么分别求出他们的概率。刚才我们在第三问当中已经求出来了， x 等于三的概率是等于 c 十三乘四分三的三之方，乘四分之一，等于六十四分的 二十七。那也说从四个人当中取三个人是被治愈的，另外一个人没被治愈， 三个人被治愈应该是四分之三的三次方，一个人没被治愈是四分之一，所以是相乘，那么我们用类似的方法可以得到， px 等于零，说明四个人当中零个人被治愈，四个人没被治愈，所以他应该等于 c 四。零乘四分之三的零次方，乘以四分之一的四次方，算出来等于二百五十六分之一。 px 等于一，说明四个人当中有一个人治愈应该是 c 是一，一个人治愈乘以四分之三，还有三个人没被治愈，乘以四分之一的三次方，等于六十四分之三， px 等于二，四个人当中有两个人被治愈，两个人没被治愈，所以种情况应该是 c 是二乘以两个 治愈，被治愈，应该是四分之三的三只方，两个人没被治愈是四分之一的平方，一乘等于一百二十八分之二十七， px 等于四，说明四个人都被治愈，应该是四十四乘以都被治愈，应该是四分之三的四次方 零个人没被治愈，应该是乘以四分之一的零尺八，算起来等于二百五十六分之八十一。 好，算出来 x 对应的每一个字的概率，我们就可以得到 x 分不练，当 x 取零的时候，他等于二百五十六分之一，取一的时候等于六十四分之三，二的时候一百二十八分二十七， 取三的时候六十四分之二十七，取四的时候二百五十六分之八十一。然后列成这里的表格的形式 就是我们的 x 的分布列，那么这个分布是我们一个很重要的分布，我们把它称之为二项分布。那么什么叫二项分布呢？我们一起来看一下。就是一般的如果一次博努力试验中出现成功的概率为 p， gq 等于一紧 p， 且 n 次独立重复试验中出现成功的次数为 x， 则 x 的取之范围是零一二一直到 n。 而且 px 等于 k 等于 cnk 乘以 p 的 k 字方乘以 q 的 n 紧 k 次方 k 等于零一一字道 n， 那么这样我们得到 x 分布列。就是如这个表格所示，取零的时候， cn 零， p 的零字方乘 q 的 n 字方。取一的 时候， cn 一乘以 p 的一次方乘 q 的 n 减一次方一字道去 n 的时候， cnn 乘以 p 的 n 次方，乘以 q 的零次方。 让同学们观察一下这个分布列当中的第二行，也让 x 每一个值得对应的概率，这个试着跟我们所学的哪个内容 看起来相像，那我们可以注意到，上述 x 分布列第二行中的概率的值，都是 二项展开，是 p 加 q 的 n 次方，那么展开以后，他们可以展开一下，应该等于 cn 零乘以 p 的零次方， q 的 n 次方加 cn 一乘以 p 的一次方，乘以 q 的 n 紧一次方，一字加到 cnk 乘以 p 的 k 之方，乘以 q 的 n 紧 k 次方，一直加加到 cnn cp 的 n 次方， q 的零次方。刚才我们说了，那概率值是不是这个二项展开式当中对应向的值， 因此我们就称 x 服从参数 np 的二项分布。记住这个式子，那么这个式子要注意了，他的 n 是独立重复试验的次数， p 是一次不努力试验中成功的概率。 那么比如我们刚才上述尝试与发现当中的随机变量， x 就服从的是一个参数四四分之三的二项分布，那么你就可以把它记成 这个柿子啊，现在这个柿子。那么当然我们除了方向分布，用表格形式表 是我们服从二项分布的随机变量，我们他的概率分布也可以用一个图来直观的表示，比如像这里的图一样，这有类似我们的频率分布直方图。 好要啦，我们刚才所学的二项分布，我们回过头来解决一下我们本节一开始的情境与问题，我们把它叫做利益。我们来看，如果是本节一开始的情境与问题当中，能正常工作的设备数为 x， 第一写出 x 分布列，第二求出计算机网络不会断掉的概率，他们可以想一想， 那么第一个我们可以看出 x 服从参数为三 零点九的二项分布，因此我们就可以用二项分布计算概率的公式。 px 等于零等于 c 三，零乘以零点九的零次方乘以一减零点九的三次方等于零点零零一。 px 等于一，等于 c 三，一乘以零零九的一次方乘以一减零零九的二次方等于零点零二七。 px 等于二等于 c 三，二乘以零点九的二次方乘以一减零点九的一次方等于零点二十三。 px 等于三等于 c 三，三乘以零点九的三次方乘以一减零点九的零次方等于零点七二几。这样我们就得到 x 分布链， x 取零概率为零点零零一取一概率为零点零二七取二概率为零点二四。三取三的时候概率为零点七二九。又拉 x 的概率分布，我们就可以来做第二题了。 要是计算机网络不会断掉，那也就说要求能正常工作的设备至少有一台，也就说 x 大于等于一。求 x 大于等于一的时候的概率，那么同学们可以想有两种做法，一种大于等于一，那就是 x 等于一等于二等于三概率的和， 那么同学们还可以想， x 大于等于一，他的对立式建设 x 小于一， x 小于一，也就要 x 取零。同学们想，这两种方法你觉得哪一种方法简单？那当然同学们可以看，如果用他的对立式 事件的话，只用算一个 x 等于零的字，所以我们选择一种比较简单的方法来算，用对的时间来算这个我们所求的概率。 px 大于等于一就等于一减， px 小于一 等于一减， px 等于零，带入就等于一减零点零，零一等于零点九九九。 所以我们学习了这节课的知识以后，就很容易来解决我们本节开始提出的问题。好，下面我们接着来利用刚才所学的知识来看一下俩。假设某种人寿保险规定， 投保人没活过六十五岁时，保险公司要赔偿一百万元，活过六十五岁时，保险公司不赔偿。你知，购买此种人寿 保险的每个投保人能活过六十五岁的概率都为零点八。随机抽取三个投保人，设，其中活过六十五岁的人数为 x， 保险公司要赔偿给这三个人的总金额为外。外面， 那么看下面的问题，第一，指出 x 服从的分布，二、写出外与 x 的关系。第三，求 p y 等于三百，我们可以自己尝试一下。 好，我们来看第一个，我们不难看出 x 服从参数为三零点八的二项分布。第二，因为三个投保人中活过六十五 五岁的人数为 x， 那么则没活过六十五岁的人为三减 x， 因为没活过六十五岁的人每人要赔偿一百万，因此我们 y 就应该等于一百倍的三减 x。 好，接着来看第三问，因为我们要求外等于三百的时候概率，那么外等于三百，刚才外是等于一百倍的三级 x， 所以实际上等价于一百倍的三级 x 等于三百，减一下等于 x 等于零。 那么这样我们这道题要求的是 y 等于三百的时候呢概率，而我们题目给的是 x 的分布。练，这就想到我们前面在讲礼闪行随机变量的时候说了，当两个随机变量 x 和 y， y 等于 ax 加 b 的时候，这两个随机变量 x 和 y， 当 取相应值的就是取对应值的时候，他的概率是相同的，那也说 x 取零的概率和 y 取三百的概率是相同的。这样我们把 y 等于三百的概率转化为 x 等于零的时候概率，这样我们就可以用 py 等于三百，他只要等于 px 等于零，然后 x 等于零。首先就 x 是服从一个 二项分布，所以我们可以根据二项分布的求概率的方式来算，所以等于 c 三零乘零点八的零次方乘以一减零点八的三次方计算得到零点零零八。 那么通过上面的题我们可以看到，当 x 服从二项分布时，应弄清楚这个二项分布当中的实验次数 n 与我们成功的概率 p。 第二，解决二项分布问题的两个关注点，老铁们关注到，第一等于公式 pr 等于 k 等于 cnk 乘以 p 的 k， 四方乘以 q 的 n 紧 k 四方 k 等于零，一，一直到 n 必须在满足独立重复实验的时候才能运用，否则是不能运用这个公式的。 第二，我们要判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点，第一是对立性，即一次试验当中事件发生与否，两者必有其一。 第二是重复性，即实验是独立重复进行的。恩赐好，下面我们再来看一个问题，如果我们将一枚均匀的硬币抛一 一百次球正好出现五十次正面的概率是我们可以设正面出现的次数为 x， 那当然我们知道 x 服从参数为一百零点五的二项分布， 那么我们如果要求 x 等于五十的时候的概率，是不是可以用概率公式来算？所以 px 等于五十就等于 c 一百五十乘以零点五的五十次方，再乘一减零点五的五次方，一化减等于 c 一百五十乘以零点五的一百次方。 他们想这个事者如果我们手算的话容易吗？那当然不容易，但是人工去算不容易，但是我们有先进的计算机技术，所以我们如果用信息技术来计算，那么这概率值是比较容易的。所以我们 给同学们讲两种来计算这个概率的计算机软件。第一就是我们在一开始二当中，我们只要在任何一个单元格输入 等号，然后 binom 点 dist， 这使用是一个二项分布的英文的字母啊，括号，五十 逗号，一百逗号，零点五逗号，然后 false， 然后括号输入这个式子以后，我们就可以得到上述概率的小数的形式， 那么我们可以看一下，你看我们只要在任何一个单元格当中输入上面的这个式子之后，下面我们就能得到还等于五十的时候的概率，非常简单。 好，我们还可以用我们教材当中给的一个教学软件，那么如果打开这个教学软件的概率统计功能，然后我们选择二项分布， 然后一样我们可以得到有关的概率值，那同学们可以看看，比如我们在这个软件等概率统计功能当中选择内行二项分布，然后输入使用的次数是一百次， 那么成功的概率是零点五。这样我们求 px 等于五十，但这个软件当中没有 x 等于五十，所以只要输入一个不等式，大于等于五十，小于等于五十，那么它实用就是 x 等于五十，这样我们可以计算出他的概率。 所以通过这两个软件我们可以看出，用信息技术来计算二项分布的概率值 是非常容易的。好，下面我们对本节课所学的内容进行一个小节，我们第一个恩赐，独立重复实验。 在相同的条件下重复 n 次播努力试验的时候，人们总是约定这 n 次试验是相互独立的，此时这 n 次播努力试验，我们也常称为 n 次独立重复试验。 第二个，我们一个很重要的分布叫二项分布。一般的，如果一次博努力试验中出现成功的概率为 p， q 等于一减 p， 且 n 次独立重复实验中出现重控的次数为 x， 只要 x 取值范围是零一二一直到 n， 而且 px 等于 k 的时候，等于 cnk 乘以 p 的 k 次方，乘以 q 的 n 减 k 次方， k 等于零 一一直到 n， 那么它的概率分布如这个表格所写是，那我们就称 x 服从参数 nt 的二项分布。我们记住这个式子。 好，最后我们留一下本节的作业，我们教材七十九页练习 a 组的第二题，第四题，练习 b 组的第一题，这是 a 组的第二题， 这是 a 组的第四题，这是 b 组的第一题。好，今天我们就讲个这样，同志们，再见！

大家好，又到了大家又爱又怕的概率大题了哈，这道是二零一七年全国依旧的理科题第十九题，这个视频咱们只讲第一问，第二问呢，放在下一个视频哈。那这一问的难点在哪里呢？在于随机变量 x， 它服从什么分布呢？我们一起来看一下下面的分析哈。 这一款手写版的文字非常重要哈，是我们的分析思路，大家可以认真的看一下如何区分超级和分部和二项分部。然后下面呢，就是我们具体的解析过程哈，我相信通过对这个题的分析，大家以后就可以区分超级和分部和二项分部了。好，我们下一个视频来看第二问。

这个视频我们来讲一下二项分布与超几何分布。首先知识点，那第一个知识点就是什么是伯努力实验？什么是伯努力实验？ 有种实验呢，只有两种结果啊，只有两种结果的实验叫博努力实验。你比如说我们抛硬币，正面朝上和反面朝上，只有这两种结果，那么这个实验你抛一次硬币，那么就是一次博努力实验啊，这是博努力实验。 那么什么是 n 重波轮的实验？ n 重博努力实验，那就是 把薄重的实验呢？我们独立重复 n 次啊，独立重复 n 次，它实际上就是两层意思，一个是重复 n 次， 另外一个呢就是，那每次实验呢，都是独立的啊，相互独立就是各自独立啊。两层意思，一个是独立，一个是重重复 n 次啊，这是 n 重播种的实验。那 我们把 n 同博论实验讲了以后，那就是二项分布，那么什么是二项分布呢？ 二项分布，那么二项分布就是在 n 重博努力实验中， n 重博努力实验中 啊，在每次实验这个事件 a， 我们假如说每次实验中的事件 a， 这个 a 的概率我们知道等于 p 啊，等于 p， 那么 x 呢？表示 x 表示 a 发生的次数， a 发生的次数，那则我们就说这个 x 的分布列， 我们可以写出来啊，它就是二项分布为，就是 p， x 等于 k， 那 x 等于 k， 也就是 x 是什么？ a 发生的次数， a 发生了 k， 这次它的概率，它的概率呢？是，呃，从 n 个 n 中啊，因为 n 重波论实验选 k 个啊，这么多技术，然后 有 kig 是 a 发生了， a 发生的概率是 p， 那么就是 kig， p 相乘就是 p 的 k 次方，然后还有 n 减 k 个没有发生啊，没有发生，那就是他概率呢？是一减 p， 一减 p 的 n 减 k 次方，那么这个就是 二项分布的分布列啊，它的概率分布，那我们记住，记为随机变量 x 属于二项分布， b 用 b 来表示 np 啊， n 是 n 重播论实验，这个 n 做了 n 次重复独立重复实验，那 p 呢？是 a 发生的概率， a 发生概率，那如果 x 是二项分布了，那么它的均值呢？ 它的均值就等于 n p 方差就等于 n p 乘以一减 p 啊，这是二项分布，那么看超几何分布， 超几何分分布，什么是超几何分布？我们一般的我们是 有 n 个 n 键产品，那么其中这 n 键产品里面有 m 键 键次品， m 键次品，那我要从这里面我要抽，我要取 n 键产小 n 键产品， 小文件产品，那我用 x 呢表示这个随机变量， x 呢，表示取出的 次品的个数，也就是从这个 n 键小 n 键产品里面有多少个次品。取出次品的件数， 那么则它的分布也就是 x， 这个 x 呢？取出这次品的件数等于 k， 它就等于啥呢？就等于。呃，我们这个次品呢，是从大 m 里面取的，那就是 m 中 选出 k 个，那么有我们取出小 n 个产品呢，那么有 k 个次品，那么就是 n 小 n 减 k 个正品，那么正品从哪来呢？从大 n 减 m 个大 n 减大 m 中 来的正品，那么正品是多少个呢？是小 n 减 k， 小 n 减 k， 那么乘以它，然后再除以。我们是从 n 键产品里面抽小 n 键 啊，那么这个一除，那么就是他的概率啊，概率，那么他的时值，这个 k 呢？具体等什么值，那我们不写了，就是根据具体的情况，他 k 的取值，我们一般都能把它写出来啊，那他的时值就是一个古典概型 啊，抄几个分布，它的实质就是古典概型，按古典概型走就可以了，古典概型， 古典盖弦。那像我们二项分布，如果各个条件都一样的话，如果是有放回的抽样呢？我们是二项分布，如果我们抽样抽出来不放回，那么一般是超几何分布啊，超几何分布， 那我们看具体的例子。首先二项分布，哎，这个随机编的 x 呢，是属于二项分布的，它是 n， 是四 p 呢，是二分之一，那我们根据刚才的性值，那 x 属于二相分布的话，那它的均值呢？是等于 n p 的啊，均值是等于 n p， 那 我们就可以得出来，这个一 x 呢，就等于四乘二分之一等于二，那他呢，我们根据均值的性质呢，就可以得出来是二乘一个一 x 加上一，那么也就是二乘二加一等于五。选 d 啊，比较简单。这第一题我们看第二题，那么一个袋子袋中呢，装有大小形状相同的标号，一二三四五六的六个小球。某人呢，做如下的游戏，每次从袋中拿出一个球来记下标号，那么如拿出的 求的标号是基数，则一分，那么否则得零分，我们拿两次得分不小于一分的概率啊，这个，那不小于一分的概率，那 那就是大于等于一呗，大于等于一分，一分得一分，那么就是级，就是拿出的球的个数，级数，级数呢？标号是级数的 次数啊，次数，那么那我们不妨试我们第一个，第一个啊，我们是不妨试 这个事件。 a 呢，是拿的球，嗯，拿出的球啊，拿出的球为基数的啊，标号为基数的 这个时间，那拿出来球是基数，它的概率是多少呢？ p a， 我们从这里面拿出基数，有可能是一三五，那么总数是六，那也就是三比个六，古典概型，那么就是二分之一啊，概率是二分之一，我们把 我们设 x， 为什么呢？ x， 我们为我们设啊，这是设的 x 为，或者表示 a 发生的次数呗。 a 发生的次数 a 发生的次数， a 发生的次数级，就是得分吧。 a， a 拿到了球的是基数，拿，拿到球他，他发生一次，那就得一分啊。那么 x 发生几次呢？ a 发生几次呢？那就是得几分，那么级得分 啊，得分啊，记得分，那我们拿两，拿两次，得分，不小于拿两次，就等于说是做了两次的博努力实验啊，博努力实验他，因为我们是要么基础，要么是偶 数啊，拿出来求，要么技术，要么偶数，那么只有两种可能，不论实验，拿两次啊，拿两次，那我们要求的是啥呢？求就是求 x 这个随机变量， x 要大于 等于一不小于一吗？大于等于一的概率，那么大于等于一的概率。呃，我们可以用反向，那他的反向， 那也就是零啊，它的反向是零，那么也就是我们可以写成一减这个 p x 等于零的概率啊，这样，这样得出来，那么一 x 等于零， x 等于零，它是 因为 x 等于零，也就是说它拿了两次都是都不是基数啊，都是偶数，那么都是偶数的概率，那么我们是怎么 怎么来选？因为拿是基数的概率是二分之一，拿到偶数的概率也是二分之一，那么都是二分之一，那么就是 c 二零啊，乘以二分之一的二次方啊，乘以二分之一的二次方，那么也就是等于 这是四分之一。意见四分之一，四分之三，第一问就拿出解出来了啊。看第二问，那么第二问这个他是说拿四次得分，我们他说成可细啊，可细，他可细，他的可能取之是啥呢？可细的可能 取值。 when 他拿四次，有可能 得分是零次啊，得分得分是零次，也就是说出现基数的拿到拿到基数的是 零次，也可能是一次、两次，三次，四次，只有这五种可能。零一、二、三、四啊，只有这五种可能，那它是符合二项分布的。那么可 c 等于 k 的概率呢？等于啥呢？就是 c 四 k 啊，乘以二分之一的 k 次方，再乘以。呃，本来是二分之一的 k 次方，再乘以一减二分之一，就二，也是二分之二分之一的四减 k 次方，那由于都是二分之一，这俩是可以合并的， 那么也就是等于 c 四 k， 然后乘以二分之一的四次方。二分之一的四次方，那我们分布列，我们写成列表的形式，那么可惜的分布列为我们写成列表的形式， 更加明了， 这是可系，然后这是概率。 p 零零的时候，我们把它把它带进去。 c 四零，那么就十六分之一。十六分之一。一的时候，一的时候， c 四一是四，四乘以十六分之一，那就是四分之一。 那么二把二带进去。 c 四二，十六啊，六乘以十六分之一，那么就是八分之三，那三 三把它带进去 c 四四， c 四三呢就是 c 四一就四，四乘以的就是四分之一，然后四那就是十六分之一，十六分之一，哎，这分布列得出来了，那我们它的均值呢？ 可细的均值就是我们就是零乘以十六分之一，一乘以四分之一，我们把它乘一下就可以得出来了啊，那么乘一下，那么就是零乘以十六分之一，就是零了。一乘以四分之一，然后再 加上一个二乘以八分之一，八分之一呢就是四分之三，那就是一。再乘以四，三乘以四分之一，然后再加上四乘以十六分之一，那么这俩加起来是 一，那么这个四分之三和四分之一加起来也是一，一加一，那么就是等于二，那正值是二，这是第二题，我们看第三题，第三题呢是抄几个分部。那么五，我们 校长，五四青年节艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手四名，其中男生是两名，高二年级参战参赛选手呢四名，其中男生是三名，我们从这八名选手中随机选四名组成搭档参赛。我们看第一个 说 a 事件，是选出四名中恰有两名男生，且这两名男生来自同一年级，那么求事件 a a 的概率，我们说过超级核分部呢，是 古典概型，就按古典概型走就可以了。那么第一位呢，就是 pa 的概率，我们用古典概型就是基本实验数，这个事件 a 发生的基本实验数除以基本实践总数，那么选出四个人，恰有两个男生，恰有两个男生， 那么说这两个男生来，且这两个男生来自同一年级，那么假如说我们分类啊，来自两个男生，来自高一的，那么就是 c 二二两只有两个男生啊，高一的男生只有两个男的男生，那 只有两个男生，恰有两个男生，那么剩下的都是女生，那女生这个高一有两个，高二呢？只有一个女生的三个女生，我们从三个女生里面选两个，这是高一年级的男生的，那高二年的男级呢？两个男生来自于高二年级的话，那么也就是我们从 从三个，高二是三个男生选两个，然后再从三个女生中啊，总共是三个女生，三个女生中我们选出两个，然后除以总数，总数我们是从八名中我选出四名啊，那么也就是 最后算出来，得出来是三十五分之六，这是第一。第二题呢， 是 x 选出四人中男人男生的人数，求随机变量 x 的分布列啊，他是说 x 是 男生的人数，那我们选出来要么男生要么女生啊，有总共有五个男生，三个女生啊，这是五个男生，三个女生， 三个女生，那我们现在要 x 呢，是选出男生的人数啊，男生的人数，男生的人数，我们要选四个人，三四个人，那么 x 的可能取值， x 的可 能取值为那我们要选出四个人呢，女生只有三个人，他们，所以说男生呢，最少都要取一个，那么 可能其实是一，也可能是两个，也可能是三个，也可能是四个，那么最多是四个，不可能五个，我们就选四个人，那么也就是一二三四这四种情况，那 他的概率呢？就符合超级和分布啊。 p， x 等于 k， 那他是我们这男生 k， x 等于 k 啊，这是男生的人数，男生人数是从五个男生中选出来的啊， c 五 k， 那么剩下的呢？剩下还有四减 k 歌，四减 k 歌是从女生中，女生中有三个三四三， c 三 四减 k 啊，那除以个总数，从八个中选出四个，那么这个 k 呢？是等于一二三四的啊，我们要把它画成分布列的形式，那么就是表格的形式，就这样画 x p， 那么当 x 等于一的时候，那我把它带进去。 k 等于一带进去，就得出来是十四分之一 啊，我们 k 等于二的时候，我把它带到这里面。 c 五二啊，那 c 三二，这出一个 c 八四，那么最后得出来是七分之三， 三的时候，我们来带进去，得出来是七分之三，然后四的时候，我们带进去是十四分 之一，那么最后这是分布列，这是 x 的分布列啊，列表的形式，那我们要还要求他数列期望啊，期望值呢？就等于一乘以十四分之一，加上一个二乘以 七分之三，再加上一个三乘以七分之三，然后再加上一个四乘以十四分之一，最后计算得到二分之五。

发发发发发发。