2分之一加4分之一一直加下去公式

同学们，今天我们一起来学习一下解方程。首先我们观察一下这个方程，二分之一加 x 等于六分之五， 如果我们让方程左边剩一个 x， 说明这个二分之一就是多余的，我们需要减去一个二分之一，左边减去个二分之一，右边也要给他减去一个二分之一，那么这是利用了等式的性质。 在解方程的时候，我们首先要写解， 我们刚才分析 一下，左边应该减去二分之一，把原来的照抄下来，给他减去二分之一，等于号要对齐，那么六分之五，右边也要减去二分之一， 二分之一减二分之一没有了，只剩下一个 x， x 就应该等于六分之五减去二分之一。这就是我们前两节学习的异分母分数相减。 首先我们要找六和二的最小公倍数是六， 六分之五减去二变成六，扩大三倍，一也要扩大三倍，那么 f 四就应该等于分母不变六，五减三等于二。显然六分之二它不是一个最减分数，我们要进行约分， 分子分母同时除以二，二除以二等于一，六除以二等于三，所以 x 就应该等于三分之一。那么我们还可以利用数量关系来做， 在二分之一加 x 等于六分之五这个方程里边， x 叫加数，加数就应该等于和减去另一个加 加数，所以我们第一步还是写几， x 应该等于六分之五，减去二分之一， x 就应该等于通分六分之五不变 二分之一，二变成六，扩大三倍，一也要扩大三倍，那么 x 就应该等于 分母六不变五减三等于二，六和二。要进行约分，二除以二等于一，六除以二等于三。再写一步， x 应该等于三分之一。 同学们可以比较一下这两种方法，哪一种方法比较简便？

几分之一加几分之一，记住口诀，让你计算快十倍。母鸡子和什么意思呢？我们来看题。三分之一加四分之一母鸡，三四十二做分母 子和三加四等于七做分子。我们来看五分之一加七分之一五七三十五做分母， 五加七等于十二做分子。八分之一加三分之一 三八二十四做分母只和八加三等于十一做分子。你学会了吗？关注我，学习更多解析技巧！

调和极数大家都很熟悉，从 e 到 n， 这个 k 分 之一加和，就是一分之一加二分之一，一直加到 n 分 之一。想如何证明这个东西不收敛呢？首先 我只要证明它可以任意大呗，它想多大就多大。呃，我们首先第一个正法来自科西 柯星呢，他把 s， n 呢，他记为一加二分之一，一直加到 n 分 之一， 那么 s 多少呢？我们先不管，他就等于一加二分之一加，把三分之一和四分之一放一起，把五分之一到八分之一呢放一起， 然后一直加。我们注意啊，三的话呢，是二的一次方加一，五的话呢，是二的二次方加一，那最后一个呢，他应该就是二的 n 减一次方加一分之一，一直加到二的 n 长分之一呗。 嗯，那当然了，他就是二的 n 次方，然后我们把三分之一呢放成四分之一，那这样的话是不是就是缩小了呀？缩小的话呢，就大于等于了这里全部放成八分之一 啊。最后呢，我们把它全部放为二的 n 次方分之一， 那么你会发现，第一个式子是一，第二个式子是二分之一，这个两个四分之加起来是二分之一，两个八分之加起来是二分之一，一直到呃，二的 n 减一次方各二的 n 次方分之一，它是二分之一， 它二分之一呢，是二的零次方加一，它是二的一次方加一，到最后二的 n 减一次方加一，一共有 n 个式子，那就是一加二分之 n， 这说明啥呀？ 这说明 s n， 它想多大就多大。所以说调和解会发散的呀，你想多大就多大吗？ 我们严格来讲的话，比方说对任意的 k 啊，我们对任意的这个 k 大 于零，我只要能证出来，呃，总能存在一个大，恩啊，使得 当 n 小 n 大 于大于 n 后，小 n 大 于大于 n 时，我的 s n 大 于这个 k 就 可以嘛，对吧？嗯， s n 大 于 k 就 可以。呃，那这个怎么证呢？你，首先你肯定能找到一个 s n 大 于一个 s r 的 m 次方嘛。 这个是想一下吧，你总就算你是一零二的话，你也能找到一个，呃，或者等于就算你这个 n 是 一的话，你也能找到一个 m 等于零嘛。然后， 呃，那，那我们知道 s 二的 f 次方呢？它大于等于一加二分之 m 的， 那你只需要找一个 m 大 于谁就可以啊？你只需要让 m 二分一加二分之 m， 它是大于 k 就 可以。呃，大于 k 的 话呢，就 m 呢二分之 m 大 于 k 减一，那么 m 呢？大于一个二， k 减二。 那咱咱们要求什么呀？咱们要求是，那你，呃，咱们要求呢？是这个小 n 呢？要大于大 n， 那 你只要，嗯，那你只要满足 m 大 于二， k 加二，是不是就可以？所以说他呢就大于 k， 嗯，这样的话，我的 s n 呢，他任意找一个 k 出来，你都能够找到一个这样的大 n， 使得当小 n 大 于大 n 之后啊，我的 s n 呢是大于 k 的， 所以这个调和极数呢，是不收敛的。然后科西啊，将这种判句它推广制了一个定理，叫科西明结定理 condensation test。 嗯，它这个定理的是怎么说的呢？就是我们射呀， a n 呢，它是非负的， 且地铁，然后就能得到。 嗯， a n 这个级数收敛的话，就等价于这个级数收敛二的 k 次方， a 二的 k 次方收敛。 证明方法和上面类似了，我们现在来看第二种证明方法。第二种证明方法的话呢，就是我们有这么一个式子，就是 n 趋近于无穷大的时候， 一加二分之一，一直加，加到 n 分 之一减零 n， 它等于伽马，是个常数。 呃，这个东西怎么得到呢？我们首先先证这个式子吧，先证这个式子的话，就是我只需要证明 a n 等于一加二分之一加加到 n 分 之一减零与 n 这个东西，它是有极限的，就可以呗。 那怎么办呢？我们可以用一下单调有界定律， n 加一呢，它等于一个一加二分之一，一直加到 n 加一分之一减零 n 加一。 那么 a n 加一减 a n 呢？是不是就是 n 加一分之一减零 n 加一，再加零 n 啊？ 它等于 n 加一分之一加烙印 n 除以 n 加一，那岂不就是 n 加一分之一加烙印 一减 n 加一分之一。我们再利用常见的放缩烙印，加 x 小 于等于 x， 它呢就小于等于 n 加一分之一减 n 加一分之一等于零了。 好说明 a n 呢，是单调递减的，又由于 a n 呢大于零，故 limit n 趋近无穷，它的存在，极限 存在。也就是说呀，当 n 充分大的时候，我的这么一个级数， 它呢和这个 loe n 呢，它是一个近似的，就只差一点点，我们就只差一点点东西，那么 loe n 呢，它可以到无穷大，那么这个几何呢？也当然可以是无上界的。 嗯，那么我们还有正反三，由于啊，这个 lo x 分 之一呢，它带有递减的，所以说在图像上，咱们画出 x 分 之一 y 点 x 分 之一，嗯， 图像上我们可以得到什么式子呢？比方说，这里呢是 a， 这里呢是 a 加一。 那想一件吧，我们的 a 到 a 加一这一段面积啊，它是不是小于等于一个这一部分啊？ 这一部分就是 a 加一，把这个 x 带成 a dx， 那 其实就是 a 分 之一啊，它大于等于哪一段呢？是不是大于等于这一个面积啊？这个面积呢，就是从 a 到 a 加一的 a 加一分之一 d x， 他呢就是 a 加一分之一。那么咱们的一加二分之一加加到 n 分 之一，就是小于等于一个。嗯，一分之一加。 我看啊，我们的用的呢，想一件呢，是这个小于这一个。 呃，一的话呢，那就是 h 零了， h 零的话，或者咱不放了吧，咱从第二天开始放。那就是一分之二 x 分 之一 d x 一 直加二三四分之一 d x 一 直加到 n 减一分之一 n x 分 之一 d x， 那 其实就是一加从一到 n 的 x 分 之一 d x 呗，那就是一加 lowing n， 然后一加二分之一加加到 n 分 之一，它是不是就 大于等于一个从一到二分之一 d x 一 直加到从 n 到 n 加一 s 分 之一 d x， 嗯，就是从一到 n 加一 s 分 之一 d x 等于 l， n 加一分之 l n 加一。那么它可以取到无穷吗？那毫无疑问，我这个级数呢，也可以取到无穷，可以。呃， 在这里呢，欧拉他正玩这个调和极数不收敛，是不是？欧拉正的，反正就顺手推出了这么一个式子，他顺手就推出了呀。素鼠有无穷多个素鼠有无穷个？ 他是怎么通过无穷？他是怎么通过这个调和极数得到素数有无穷格的呢？我们假设反证法， 咱们假设素数呢，是有限的，也就是说全体，也就是说我们能够写出全体素数， 如果写出全体素式的话，那就是 p 一 小于 p 二小于 pm， 它是有限的。 然后我们有代数基本定律，我们可以知道每个正整数 n 啊，都可以表示为 p 一 的一次方， p 二的 f 二次方移到 p m 的 f m 次方，嗯， f i 呢，它是正整数，是正整数，或者说是非负整数，是零也是可以。对， 那么我们的一加二分之一一直加到 n 分 之一，它是不是小于等于一个？ 就是它小于等于这么一个式子， p 零分之一加 p 的 t 次方， 然后 p 二的零次方加加 p 二的 t 次方，一直乘乘到 pm 的 零次方分之一加加到 pm 的 t 层分之一。为什么啊？因为你可以发现呀。呃，我的 比方说，我想找一个 n 啊， n， 它等于这么个式子，那它完全给凑出来呀，你看你要几个 p 一， 比如说你要两个 p 一， 哦，两个 p 一 啊，这里找两个 p 一， 三个 p 二，四个 p 三，那么我完全可以凑出来。然后除了一到 n 之外呢，我们还有很多额外的项，所以说它是小于等于这个式子的。 然后，呃，我们再利用一个，呃，它呢是个等比数列嘛，给它进行一个求和之后呢，它就小于一减一分之 一，一减 p 二分之一，一直到一减 pm 分 之一。说明啥？说明它调这个，呃，调和极数呢，它可以小于一个确切的值，那就与我们的调和极数发生是矛盾的， 与我们的调和技术发散呀，它就是矛盾的，那么我们就站完了，这个简直是天才。

用数形结合的方式秒解这道分数计算题。二分之一，加四分之一，加八分之一，加十六分之一，加三十二分之一。我们首先画一个方框，表示一 二分之一，就是把它分成一半，这就是二分之一。四分之一就是把二分之一分出一半，这就是四分之一。 那八分之一呢？把它分成一半，这就是八分之一。再分出一半，这就是十六分之一。同样再分出一半，这就是三十二分之一。那剩余的这个地方当然也是三十二分之一。我们要求的是把这几个分数加在一起，也可以用整个一 去掉最后的空白部分，一减三十二分之一，求出它的结果等于三十二分之三十一，你学会了吗？

大家好，我们看这道题，找规律，分数求和。我们看这几个式子，这些分数，他的分子都是一分母，第一个分母是二， 第二个分母是第一个分母的两倍，二乘二得四。再看第二个式子的分母，二乘二得四，四乘二得八。再看 第三个式子的分母，二乘二得四，四乘二得八，八乘二得十六。 这几个式子他们的分子都是一分母，后边数的分母是前边数分母的两倍。我们找一下 规律，第一个式子，二分之一加四分之一，他就等于四分之二加四分之一等于四分之三。再看第二个，二分之一加四分之一 等于四分之三。所以第二个式子，四分之三加八分之一 等于四分之三，八分之六加八分之一，八分之七。再看第三个式子， 二分之一加四分之一加八分之一，他就等于八分之七，所以第三个式子就等于八分之七加十六分之一等于八分 分之七是十六分之十四加十六分之一，十六分之十五。 我们再看一个二分之一加四分之一加八分之一加十六分之一等于十六分之十五，十六分之十五加三十二分之一等于三十二分之三十一。 我们开始合四分之三。第一个式子，第二个八分之七。第三个十六分之十五，三十二分之三十一。他有什么规律？ 四分之三，他就等于一减四分之一等于四分之三，这是四分之一。一减四分之一。 第二个式子等于八分之七，一减八分之一等于八分之七。第三个式子，一减十六分之一等于十六分之十五。 第四个式子一减三十二分之一，等于三十二分之三十一。所以下面式子就等于一减六十四分之一， 等于六十四分之六十三。下面我们总结一下公式，这些分数的分子都是一，第一个分母是二的一次方。 第二个分五是二的二次方，二的三次方，一次。类推二的四次方，二的五次方。已知道二的 n 次方，他的结果他的和就等于一减二。 n 分之一 就等于分母是二的 n 次方，分子是二的 n 次方减一。好，这道题讲到这儿，谢谢大家的观看。

如何用最快的方法证明二分之一加四分之一加八分之一一直加下去，合的极限值等于一。

大家好，我是周老师。那今天我们来看一下除以的这样一个题型。一乘二分之一，加二乘三分之一，加三乘四分之一，加四乘五分之一，一直加到二零一九乘以二零二零分之一。 加二零二零乘二零二一分之一等于多少？以及下面这个题目怎么来算的问题。那么像这种题目我们肯定不能印算，印算肯定是算不出来的。那我们必须要有一个方法。那么我们把这个方法呢？就称之为是殿下求和。 好。什么叫做殿下求和呢？那殿下， 顾名思义就是要把这个一直按分离，把好分开。那我们怎么去分开？我们看一下啊。结 一乘二分之一，我们实际上是可以写成一减二分之一。那看一减二分之一是不是二分之一。上一乘二分之一也是二分之一，所以他们也是一样的二分二乘三分之一。那我就写成二分之一减三分之一。我们发现他们也是相等 一子内腿三乘四分之一就行了。三分之一减四分之一，加上四分之一减五分之一。好， 一直加，加到这个位置，那就是二零一九分之一，减至二零二零分之一，再加上一个二零二零分之一，减至二零二一分之一。那我发现 当你把它裂开之后，这里这里这里这里都可以抵消掉。那抵消完了之后剩下什么？只剩 剩下第一下和最后一下一减二零二一分之一，那得到的就是二零二一分之二零二零。好，这是这个题目。那么我们看一下下面这个题目是不是还是这样一个方法呢？ 那我们来看一下地开那一乘三分之一减，等于一减至三分之一。那我发现一减三分之一是三分之二，而上面这个式子 是三分之一。那很明显，下面你裂开之后多了一个多少二分之一，那你就乘一个二分之一即可。所以接下来 类似的道理，一三三分之一，减五分之一，也要乘一个二分之一，再加上一个五，乘七分之一，那变成五分之一， 减七分之一，也要乘一个二分之一，再加七分之一，减九分之一，也要乘一个二分之一。好，一直加到之后，我们就得到 二零一九分之一，减去二零二零分之一，也要乘一个二分之一。那我们发现每一下是不是都有二分之一？那我就提一个啊出来来。乘以一减二分之一， 加上三分之一，减五分之一，加五分之一，减七分之一，加七分之一减九分之一。好， 一直加到二零一九分之一，减二零二一分之一。所以他也可以抵消里面的一些，像，最后 只剩下手下和末下，所以他就等于二分之一，乘以二零二一分之二零二零。所以这个结构呢，就等于二零二一分之一零一零。那这个手 就会问了，那么什么时候要乘以这个几分之几呢？我们就看这两个数，相差几就乘以几分之几，相差二就乘以二分之一，如果还相差三，就乘以三分之一。好， 这是两个数字相乘的啊，分母是两个数字相乘的。就讲到这里。