arctanx等于什么

rco 贪 gtx 和贪 gtx 有什么关系？同学们好，我是罗老师，欢迎来到罗老师数学课堂。 rco 贪 gtx 是贪奸 tx 的反函数，接下来咱们讲解下这道题。咱们可以设元函数 y 等于贪奸题 x， 然后根据反函数的定义，咱们知道 x 等于 r q 摊间 ty， 但是这种写法不符合咱们的习惯，所以咱们通常是以 y 去代替 x， 然后再以 x 代替 y， 所以咱们就得到 y 等于 r 科贪 j t x。 好，为了以示区分，咱们通常用 f x 等于贪 j t x 表示为元函数，那他的反函数咱们通常写为 fx 杠一等于 r q 摊间 t y， 那这就是元函数与反函数的关系，能看懂吧？最后咱们来总结下这道题， 掌握反函数的求法是解决本题的关键，你学会了吗？好了，今天就到这，感谢大家，咱们下期再见！

我们来看这道题啊，这道题求 f x 在区间零到派上的所有原函数拿到之后呢？我们想，我的正常第一想法是所有的原函数是什么呀？ 那不就是不定积分吗？所以这个球不定积分不就完了吗？这个按照正照不定积分的算法来算，分母上先提一个 q c x 放出来，然后注意这一部分，什么呀？这一部分是个 d t t n x 前面也用 t n t x 表示出来，是不是显这样了，然后就可以用公式了，答案就这个， 你是想这样做啊？如果你这样做，我只能说什么呀，你太年轻了，还不知道人心的险恶呀。这个老头这种问法啊，很明显就不是正常那里算不定积分的问法，他问的是 f x 在区间领导派上的所有元函数是什么要求？元函数一定要注意什么呢？ 原函数在改定的这个区呢？必须得是可倒的，那你看我们这个函数在这个区上可倒吗？你发现一个问题， 这个弹减的 x， 他在二分之派，这一点是不是没有定义啊？那你想想，这个他都没有定义了，他能保证在这上面可倒吗？你保证不了，所以这个答案呢，不符合要求， 应该怎么做呢？因为这个表达是在二分之派这里没有定义，所以说我们算的时候呢，要分区间，当 x 属于零到二分之派的时候，哎，我们这个这样这样算出来， 然后呢，当 x 属于二分之派道派的时候呢？注意到我们算是也这样写，但是呢，这个任意场数要换一个符号写成 c 一，因为这俩是不一样的。 那怎么知道他俩的关系呢？很简单，这个大 f x 是不是得可倒？那要可倒是不是首先得连续？那他在二分之派正是不是就得连续？那叔叔呢？他在二分之派正的左极限和右极限是不是应该是相同的？ 那我们分别来算算啊，你比如说求左极限，左极限怎么求呢？你注意一下啊，当 x 从二分之派的左侧区进二分派的时候， 这个摊进来只确定什么呀？是不是确定正午冲的这一部分是个 ark 摊正的正午冲那就是个二分之派。哎，带进来是这样子的，然后呢，再求右几线啊，右几线这里边就确定负五重了，对不对？先就这个，根据这俩相同，我说可以得到 c 和 c， 它的关系是这样子的， 那么把这个 c 等这个带进去，我们是不是就得到大 f x 的表示了？就这道题这样做完了没有？没做完啊，还有一点是什么呀？你看二分之拍一点点的函数是不是还没算， 还是根据连续性？大 f 二分之派应该等于什么呀？是不是应该等于大 f x 在二分之派这点的左极限和右极限？我们算左极限啊，刚刚算过，是这个，那么再把大 f 二分派等于这个带进去，这就是我们这道题的答案。

嘿，大家好，数学是思维体操，我是考研数学杰哥。反三角函数的欠套一直以来是很多学生学习的疑惑点，好多同学搞不清楚三引二克三引 x 等于多少，以及二克三引三引 x 等于多少？很多同学会误认为二克三引三引 x 呢，直接等于 x， 其实很容易知道这是错误的，因为 a x 三以三 e x 很明显是周期函数，以二派为周期，但是 x 呢，并不是周期函数，所以显然不相等。 好不容易搞懂了三引二克三引 x 等于多少，以及二克三引三引 x 等于多少？我们 cosine 二克 cosine x 以及二克 cosine cosine x 又等于多少呢？又不知道啊。然后呢，二克 tangent tangent x 以及 tangent act tangent x 又等于多少呢？直接很多同学就一脸懵逼，被我说中， 同学呢，可以在弹幕上扣个一，大家看视频学知识，多跟杰哥互动互动啊，你们都是我的弟子，虽然不会见面，但是希望我的课程对大家有用，今天我就用一节课的时间教会你直接把阿克三以三以 x， 阿克扣三以扣三 x 以及阿克 tangent x 图像给画出来， 我让你知道，不论 x 取什么，你都能够把它解出来。那我们系好安全带，安全发车上课。 好，我们一起来上课，反三角函数欠套，一个视频帮你永久解决啊！听完我这节课呢，可以直接超神 反三角二千套，是很多题目的设计的一些细节啊，由于很多颜宝呢，呃，在课程中没有专门学习过此细节，所以在做题过程中会理所当然的认为某一些错误的结论啊，所以说很多时候呢，很多同学会问， 今天呢，我希望把这个问题呢给终结掉啊，这个课呢，适合所有学习数学的考研学生，我们首先要知道以下几个常识，首先第一个， saying 二和 saying cosine 二和 cosine tender act tender 永远都等，都等于 x， 横等。 接着我们再说 ak 三以三以 x， ak cosin cosin x， ak tangen tangenex 啊，就把他俩的位置换一下，他俩位置换一下，他俩位置换一下就不等了。很容易理解， 这三个函数全部都是周期函数，而我们的 x 并不是周期函数，所以你要画等号是不可能的，对不对？这是第一个。第二个就是我们 y 等于三， x 在 x 属于负二分之派到正二分之派上的反函数是 x 等于 x， 以 y。 好，我们现在呢，我们看一下， y 等于 x， y 等于三 e， x 啊，这是咱们 y 等于三 e， x， x 属于 r， 那 y 等于三 x， x 属于 r 的过程中，它不是一个单调函数， 它不是一个单调函数，就会导致一个 y， k 对应很多个 x， 所以 y 等于 c， x， x 属于，而这个呢，它是无法函数的。 好，现在我只需要做一个改变，我让 x 呢属于负二分之派到正二分之派， 也就是说，我现在选取这么一小节，我们知道 y 等于三， x 在负二分之派到正二分之派上，它是单调的， 单调递增的，一个 x 对应一个 y， 一个 y 对应一个 x， 所以这个情况下呢，它的反函数是 x 等于 r， c， c， y 啊，这个呢，是咱们这个数学家规定的啊。好，紧接着 我们再说，如果说呢，我想要知道，我想要知道， y 等于三 x， x 属于二分之派到二分之三派上的 反函数，怎么去求呢？你看，我们这一段也是单调的呀，所以它理音是存在反函数的，怎么去求？各位注意，我们呢，可以通过 x 等于 a x n y 去求，我现在画一条线，这就是 y 等于 y。 好，各位注意，当有了 y 之后，这个 x 呢，横坐标就是 a x n 以 y， 对吧？好，那我们来看这一点啊，这一点的横坐标，它实际上就是派减 ac 三引派， 为什么呢？因为这两点呢？关于直线 x 等于二分之派对称，所以它们的坐标之和除以二，应该是等于二分之派的。你看，派减 x 三于 y， 加上 x 三于 y 除以二，正好是我们的二分之派。 好，那也就是说它的反函数实际上是谁？是 x 等于派减 act 散以外， 对吧？当然，我们的 y 呢，全都是属于负一到一的，这个毋庸置疑。所以你会发现我们三 e x 呢，它在不同的 单调区间内，它的反函数呢，长相是不一样的。好，那比如说我们这一段，我再画一段这一段， 哎，这一段的是三 x 呢？在二分之三派到二分之五派啊，比如说 y 等于 三 e x， 当 x 属于二分之三派到二分之五派的时候，它的反应是什么呢？它实际上是二派加一个 r c c y。 有同学说，为什么呢？你看这个点和这个点，相当于 他挪了一个二派到这了，对不对？好，我只要知道这一点，坐标是 x 三以外呢？我加个二派，就知道这一点的坐标，横坐横坐标就是 xa， 二派加一个 x 以外， 对吧？好的，那么我们先把这个第二个给记住啊，这个是比较重要的。好，接着我们看第三个， y 等于 cosin x， x 属于零道派的反函数，是 x 等于 act cosin y。 那我们来看一下 cosin x 图像， 我们 cos x 图像呢？长这个样子。那么接着我们刚才所讲的 y 点 r 和 cos x 呢？ y 等于 q 三 x 啊， x 属于 r， 它是无法函数的。我如果说想要去 求反函数，必须要指定某个单调区间，那好说，现在我就指定一个领导派，哎，指定一个领导派，那当 x 属于领导派的时候， 数学家规定它的反函数是 x 等于 a cross x， 呃， crossing y 啊，好，那当然， y 是属于我们负一到一啊。好，那同学们，现在呢？我把这个领导派给他摆改成了派的二派， 我想再去求我们 y 等于 q 三 x 的反函数。那好说，现在呢，我们实际上说的是这一段了， 就是二排， pad 二排啊，这一段的反向数是多少？各位来看，我画一条线， 这是 y 等于 y。 好，当 y 已知时，这一点的横坐标呢？实际上就是 arc 啊， cosine y 啊。好，那请问我现在这一点啊， 这一点它的横坐标是多少呢？运用咱们刚才对称的理论， 这一点坐标应该是二派，减去 a， q， c y。 很显然嘛，这个点和这个点关于直线 x 等于派对称，所以它俩相加除以二，应该是等于我们的 pa 的，所以很显然，这个时候反而说是 x 等于二派，减去 a， c， q， c y， 对吧？哎，依次类推，我只要知道 y 点， cosex 在零道派上的，反而说是它，那我可以求出来， y 等于 cos x 任意的单调区间上的方函数。好，那紧接着呢，我们 y 等于 tangent x， 我们 tangent x 呢，它周期是 pa， 对呗，啊，它还有一个间接线，它方函数是 x x x 等于 act tangent y。 那么如果说我们想要去求 x 属于二分之派到二分之三派上的反函数的话，怎么去求呢？我还是画一条线 换颜色之后呢？我们知道啊，这是 y 等于 y， 那么已知这一点呢？坐标是 uptangeny， 那么他俩呢？周期相当于他加个派啊，所以这边应该是派加一个阿克 tangine y， 所以 y 等于 tangine x x x 属于二分之派到二分之三派时，这时候反而说是派 x 等于派加阿克 tangine 的 y， 对吧？好，所以这几点常识呢？首先得知道好，知道这个常识之后呢，我们现在把二科三以三 e x 图像给画出来啊，通过这个图像呢，以后同学们呢，就可以直接把二科三以三 e x 呢，到底等于多少直接写出来啊。 那这时候你看啊，首先 y 等于 arc 三 n 三 e x， 它的周期是多少？ 周期为二派，因为三引的周期是二派，对吧？好，呃，我们现在规定一下啊，叫什么呢？ 当 x 属于负二分之派到正二分之派的时候，当 x 属于负二分之派到正二分之派的时候，我们 y 等于三 e x， 它的反函数 是谁呢？是 x 等于 arc 三以 y 嘛，这是咱们刚才的常识。那现在呢，我们在这儿，由于 y 等于三 x， 反正说是他，所以我可以直接我 a x c 引我把 y 呢等于三 x 往里带， 哎，你就会发现， x n e x 呢，这时候就等于 x， 哎，就等于 x， 好，那么就是 x， x 属于负二分之排到正二分之排，这是很显然的嘛，对不对？好的， 当 x 属于二分之派到二分之三派的时候，我们 y 等于三 e x， 它的反函数 此时是多少呢？哎，我们已经说过了，我们二分之派到二分之三派是这条线，对不对？好， 我现在呢，这是 y 等于 y 这一点，这一点的横坐标是 a x saying y， 对不对？好，那 我们这一点的横坐标应该是一个派减 a c c y， 好，所以我们 y 零三 x 在二分之派到二分之三派上，反函数是派减 up 三以外，对吧？好，此时 我把我们的 y 等于三 x， 因为这时候 y 还是等于三 x 嘛，我往里带有派减去 ac 三引三引 x， 那么就说 x 是等于派减二克三引三引 x， 所以我们推出来 ac 三引 三 e x 呢，实际上是等于一个派减 x， 所以这些时候是一个派减 x。 i x 属于二分之派到二分之三派。好，那你看，从负二分之派到二分之三派，正好一个二派周期， 所以这个情况下呢，我们可以来画个图。好，这是我们负二分之派，这是我们正二分之派，这是我们的派，这是我们的二分之三派。很显然，负二分之派到正二分之派呢，是 x 啊， 好，那 x 斜率为一。好，那我们二分之 pad 到二分之三 pad 呢？是派减 x， 那么零点呢，是 pad 斜率为一，对， 对不对？好，那一个周期已经画完了。这种王二派，那在其他方面的都都都长这个样子了，对不对啊？就一直是这种直线。那很显然，你看这个呢，是方程，是 y d x 啊， 这个方程呢，是 y 等于派减 x， 那请问这个方程是什么呢？当然我们很明白的知道他的斜率是一，肯定是 x， 然后呢，加一个 b， 对吧？加一个 b， 由于呢，它的零点是多少？零点是二派，零点是二派，所以当 x 等于二派的时候呢， 它是零啊，所以零等于二派，加一个 b， 显然 b 呢，是负二派好，所以这个方程是 x 减二派，也就意味着是 什么呢？当我们 x 属于二分之三派到二分之五派的时候，我们这里应该是写上 x 减二派， 当 x 这个范围的时候， x 三与三 x 仍然是等于它。好，那我们这个图画出来了，是不是一切都一目了然了？那这个呢，是不是好像斜率也是负一嘛？负 x 加一个 b， 由于呢，它的零点是多少？ 零派，二派？三派，那这就是我们的一个负 x 加三派啊，三派减 x， 所以很容易能够搞定。那我们 ark 三三 x 图像帮助大家画完了啊，那我们来看一下 ark q 三 q 三 x 图像，实际上它也是周期函数，它长的样子呢，也是这种折线形式的。很显然， x 属于零道派的时候呢， y 等于 q 三 x 与 x 等于 r x q 三 y 呢， 是互为反函数的。那这种情况下呢，我们把 y 等于 cos x 往这里可以带啊，那就是 arc cosin cosin x 了，那你看它等于它， 那这个情况下呢， a 和 cosin cosin x 是和 x 相等的啊， 当 x 属于零到派的时候，那么当 x 属于我们派到二派的时候呢？ 我们 y 等于 cosine x， 它与 x 等于二派减二 x cosine y 互为法函数啊，那这刚才已经已经解释过了，对不对？ 好，这是零道派，这是派的二派，画一个 y 等于 y 啊，这一点呢，由于我们知道 是 a x cosine y 啊，这个是 x 等于派，所以我知道这一点的横坐标就是二派减去 a x cosine y 啊，因为这两者关于直线 x 等于派对称，所以它们的 横坐标相加除以二，应该是等于我们的派啊，那这个情况呢，我们可以把 y 等于 q 三 x 再往这里带啊，有二派减， 减去 a c 扣三，这边是扣三 x， 好，所以 a c 扣三扣三 x 这时候等于多少呢？把它往这挪，把它往那挪啊，那就是一个二派减 x 了。好，那这是二派减 x 啊， x 属于一个 零道派。呃，二派的二派，我们知道二个 cosin cosin x 也是周期为二派的啊，所以我现在呢，把一个周期先画出来。零到派上， 这是二分之派，这是派，这是二分，这是二分之三派，这是二派。零到派上是 x， 那就长这个样子，零到派上好，派到二派上，二派减 x， 这是 一个周期，好，那么在其他地方呢，也是这样画，对不对？很好看了啊，这个呢，是 y 等 x， 这个呢是 y 等二派减 x， 这个呢？哎，由于它的 斜率呢，也是我们的一，有 x 加一个 b， 零点呢，是二派，那让他减二派，对吧？好，所以我们可以把所有的这个图像都给画出来，而且这个方程也容易求，什么二可扣三扣三， x 也画出来了。 好，紧接着我们看 arc tangentinex 图像，那你看， 我们知道，当 x 属于负二分之派到正二分之派的时候， y 是等于摊进的， x 与 x 等于 arc tangent y 互为互为反函数，这个时候把 y 等于 tangent x， 可以往这里带，那就是 arc tangent tangent x。 好，那这时候呢？ x 等于它。好，所以 x tangen tangen x 等于。当 x 属于负二分之派到正二分之派的时候，它就是 x。 注意到我们 time in x 周期是派，而负二分之派到正二分派正好是一个周期。哎，所以这个图呢，就画完了啊。那各位来看，负二分派到正二分之派是 x 啊，是 x， 那么所以它的周期就一直长这个样子，哎，它就一直长这个样子 好，比如说 x 呢，属于二分之派到二分之三派，那这个方程等于多少呢？啊？它斜率是一， 我的 x 加 b 零点呢，哎，这是零，这是我们的派好，那就是减派，就是 x 减一个派，所以 a x tint x， 当 x 在这个范围内时候，它是等于 x 减派的，对吧？好，所以这个图像呢，也帮助大家画出来了，全是周期函数。 好，那我们再看 y 等于 a q c 三 x 图像，各位来看啊，这个里面呢，有一个比较重要的等式，叫什么呢？叫 a c q 三 u 加 a c 三 u 等于二分之派，这个是横等式，以及 a 克 type g 的 u 加 r c 靠 t t 的 u 也是很等式，也都等于二分之牌。所以我们想要画出它的图像，那我们要知道， y 等于 r 克 call saying c x 实际上可以写成， 我把把这个里面的 u 呢，看作是三 x 的话，它就可以写成二分之派，减去 a c 三 三引 x， 对不对？而 arc 三引三引 x 图像呢？我们刚才是不是已经已经画出来了，哎，是长这个样子对不对？好，填一个符号， 填一个符号，在网上整体挪一个二分之派，对不对？咱们就出来了，所以说很好弄啊，我们这个时候呢，谁要是随便可以写一下，当 x 是属于负二分之派到正二分之派的时候，那这个呢？是 x， 所以它是二分之派减 x， 那当 x 属于二分之派到二分之三派的时候， 那这个呢？实际上是它等于派减 x 啊，那二分之派减去派减 x， 那现在就是 x 减去一个二分之派啊，是不是很容易能写出来啊？所以 accord cosine 呢，也是一个很简单的这种周期函数的形式， 周期是个二派，我们把二分之派减 x 画出来， 这是二分之派。另外呢， x 减二分之派是这样的，哎，他是长这个样子的，这是负二分之派，这是二， 二分之三排好，周期二排好。所以这个图呢，是我们 arc causing 三 x 图，实际上如果让你去再去画我们 arc saying cosine x 图，也就是说想要去求它等于多少也是一样的。我把它写成二分之 pad 减去 arc cosine cosine x 嘛，利用它的特性来把它计算出来。 好，那如果说我让你计算 arc tangent cold tangent x， 怎么算呢？哎，我让你写成二分之 pad 减去 act tanging act cold tangent cold tangent x， 对不对啊？或者说这边呢？ arc call tangent tangent x， 哎，我让你写成 arc tangent tangent x， 总之，你知道这个就可以把它算出来，所以呢，混搭也是可以的啊。 那我讲到这里呢啊，应该是属于说是讲的比较清楚了，同学们呢要下课把，这几个呢要总结总结，真的，当你总结过后，你会发现 三角反三角，他们互相欠套，对你来说是易如反掌，就跟翻个手掌那么简单好不好， 听懂同学可以在弹幕扣个六六六啊。扣个六六六。好，那咱们今天课程到这里啊，如果视频对大家有帮助的话啊，希望大家能给杰哥三连，多多支持杰哥创作好不好，那咱们今天课程到这里，我们下节课再见。拜拜。

不同版本的头脑风包。 oh i think i know yes calling you she's fine easy cry there's a show we will 耶。 喵喵 敬礼。

最近看到一个十分特别的知识点啊，三 x 的反人数外面再套一个三等于 x 是对的，但是三 x 外面套一个反人数啊，等于 x 却是错的啊，大家可以思考一下，为什么会这样啊？ 好，我们看啊，首先啊，我们去看一下三 x 本身的一个函数图像，然后再去了解一下他的反函数的图像， y 等于三 x 的图像有个特点啊，一个外字可以对应好多 x， 但是一个 x 只能对应一个外字啊， 也就是说有一个 x 的话，肯定能够产生一个唯一的 y， 这就是函数的一个特点，那么他的反数图像该怎么画呢？ 凡数不就是把 xy 互换吗？大家开始画的时候肯定会画成这个样子啊，但是这个肯定是错的啊，如果这个是 y 等于 x 三 x， 那么他的一个 x 可以对应好多外啊，这跟函数的一个一应射的关系，一对应的关系是违背的啊，那如何让他产生一对应的关系呢？我们只能取一个区间啊，这个时候他的定义啊， 是负一到一，他的直域是负二分之派到二分之派，只有在这个区间里面啊，我们才能截取出一段啊， 一一对应的一个关系啊。所以啊，在这个定义直域的一个前提之下，我们才能判断 这两个是哪个式子是成立的啊，他给出了这样一个式子，那么肯定就可以判断出 x 的一个定义啊， x 属于负一到一之间，在这个前提之下啊，我们假设 y 等于， 那么这个 y 的范围啊，是负二分之派到二分之派之间，得到上外肯定对应啊，一个唯一的值啊，它的值也是对应 x 的， 所以啊，他成立啊，他是一对应的一个关系的。但是针对于这个二来说啊，却不确定呢， 因为这个是只能确定三 x 的范围是负一到一之间啊，而三 x 就飞到一之间的话， x 的值可以取变富无穷到正无穷啊。但是呢，这个的值欲啊，注定呢，这个整体的这个值 只能属于负二分之派到二分之派。也就是说啊，本来这个 x 是可以求出各种各样的值的啊， 现在他把他的纸给缩小了，所以说啊，这个不成立啊，关注我，让学习变得更有趣。

我们在算不定积分的时候，结果出来之后啊，可能是比较奇怪的，就比如屏幕当中这个式子， second arc 探，真的 x， 哎，那这是什么东西？ 有的题呢？他可能会出现你像这种口塞音啊，可看着他，哎，有可能会出现这种， 你可能会出现一个贪诊的阿克赛因。那这些是什么玩意？你对答案发现呢？跟答案不一样，说明他还可以进一步化解，哎，接下来咱们用一分钟学会怎么化解，非常简单啊，再找一页， 我们就把这个非常恶心的 arctendent 呢，给它设成 t， 令 arctendent x 等于 t， 那我们反解出来，就得到 x 等于 tendent t， 对不对？那么现在要求这个 second 啊，可摊着他，那么也就是要求 second t 了，对吧？那这个时候我们就可以画一个直角三角形，直角三角形标好，这是直角角度， t 要标出来， 因为我们要把这个式的放到直角三角形当中，这是 t 了，那摊着的 t 等于 x， 说明这是 x， 这是一勾股定理，可以算出斜边，它是 x 方加上一，那这时候我们要算 second t， 它等于什么？它等于口算与分之一啊， 口算等于什么？口算等于一，除以根号，那这个口算分之一呢？那直接就是根号就完了呗， x 方加一，这就算出来了， 哎，所以用这样子的方法去算，而且呢，这个题如果不是 second 的，如果这是散音，也可以直接把这个算出来。如果是口散音，口散音题，也可以直接算出来，非常快，就画一个直角三角， 行，扶住他就可以了，把最恶心的东西给他设成 t， 好，那这个方法会了，哎，同学们可以做做练习，将后面这个举一反三，做一下一练习，确保每个都没有问题。

哈喽，大家好，数学式思维体操，我是考研数学杰哥，关注杰哥学习更多的考研数学技巧，养成先在后干的好习惯。那今天呢，我们的课程主题呢，就是我们 accent 三 e x 和三 a ac 三 e x 到底等于多少？杰哥呢，可以在几分钟之内让你快速学会并且记住啊。首先我们要 看最简单的三引 a c 三引 x， 这个呢，我们就把它记成，它就是等于 x， 只要 x 属于负一到一都成立。但另外一方面呢，我们 y 等于 a c 三引 x 呢，它的定义域 就是 x 属于负一到一。好，所以只要这个 x 呢能够带到咱们 accent x 里面，那么三引 accent x 就等于 x， 所以一般我把它看作是一个横成立的。那第二个就是我们 a x 三引三引 x， 它等于 x， 有一个条件，就是 x 属于我们的负二分之派到正二分之派。 那不同于上面我们三 e x， 它的定义域呢，是一个 r， 那也就是说在这个定义域内，只有 x 满足从负二分之派到正二分之派这一小段的情况下，我们 a x in 三 e x 才等于我们的 x， 那如果 x 属于其他区，怎么去计算呢？比如说当 x 属于我们二分之派到二分之三派时，我们 up saying 三 e x 怎么去计算？那这时候呢，我们就以它为基准啊，以这个为基准咱们去计算啊。同志们，我们这时候就利用咱们的诱导工 是我们 seine x 和 seine 派减 x， 这是咱的诱导公式吗？ seine 啊法等于 seine 派减啊法。那么现在只要 x 属于二分之派到二分之三派， 那么负 x 呢？就属于负二分之三派到我们的负二分之派，那么派减 x 呢？是不是就属于我们的这个负二分之派到我们的二分之派啊？好，那么根据咱的诱导公式，三引 x， 我给它写成三引一个派减 x。 好，那你看这么一坨呢，我给它当成是一个 u 啊，我给它当成是一个 u， 那这个 u 是属于啥？ u 是属于负二分之派到正二分之派的，根据我们这个第二啊，根据我们这个第二， 只要 x 属于负二分之派到正二分之派，那么二克三引三引 x 就等于 x， 那也就是说他应该等于我们这个 u 啊，实际上就是等于我们的派减 x。 哎，那么我们是不是就通过咱们的诱导公式把它给写出来了啊？他就是我们的一个派减 x。 那你想，如果说我们这个 x 呢， 熟于二分之三派到二分之五派，我现在又让你去计算 upsein 三 e x 等于多少，你看我将这个区间呢？我让他向左平移二派个单位，他是不是就变到负二分之派到咱们的正二分之派了？ 那好，那么我们还是一样根据我们三音呢，它是个周期函数啊，我们 x 减掉一个二排， 三引 x 减二派和三引 x 呢，是相等的，而且这个时候我们 x 减二派，把它当做是一个 u 的话 啊，把它当做这个 u 的话，那这个 u 呢，就属于我们这个负二分之派到正二分之派，又根据我们的二呢，可以把它写成我们的 u， 就等于我们的 u u， 是，这时候就是我们 x 减去我们的一个二派， 对吧？好，那这个呢，就是我们在二呃，在决定我们二个三引三引 x 等于多少和三引二个三引 x 等于多少的一个小技巧啊。那再总结一下， 三引二克三引 x 等于 x 一般都是横成立的，只要保证我们二克三引 x 呢有意义。第二个就是当 x 属于负二分之派到正二分之派的时候，记住这个公式，然后当 x 不属于我们负二分之派到正二分之派时，我们就使用咱的诱导公式， 将我们这个 x 呢从其他区间呢拉到我们的这个负二分之派到正二分之派之间。今天这个知识点讲完了，那如果视频对你有帮助的话，希望大家能够给杰哥多多点赞，投币转发收藏，多多支持杰哥的创作，那我们下期节目再见了，拜拜。

这个视频呢，主要讲一个易错的知识点啊，就是说这个 assign say， assign say， 它一定是等于 say 它的吗？这个是未必的啊，未必的。 呃，为什么呢？我们先说 a x n， 这个 x， 这个函数 y 等于 a x n x， 它的定义域呢？是多少？是从负一到一的，这就叫它的定义域， 那它的值域呢？是负大二分之派到二分之派的， 他的图像是长啥？长啥样子？长这个样子， 他跟三亚 图像是非常相似的，但是他只有这一小段，就这一小段。这个呢是福大分这派， 这个呢是二分之派，这儿是负一，这儿是这儿是一啊， 它的全部图像啊，就这么多，就这么多，并没有在延伸，因为如果说它在延伸的话，那它就不是一个函数了。 可能大家比较想比较希望的啊，是他是大概是这个种啊，这个样子，然后这个样子，然后再延伸啥的啊， 再往后延伸啊，就是跟 sand 有点类似吧，但是实际上是没有的，因为如果说有的话，那你看 现在我一个 x 就能对应两个 y， 我们的函数要求是一一对应的，一个 x 只能对应一个 y， 那这样的话，我现在一个 x 对于两个冠啊，这个就肯定是不成立的，它就不是函数了。所以说这一段是不存在的啊，后面的这这一部分啊，这些虚线这些部分，它都是不存在的。 呃，现在 alcony x 这个图像我讲明白了。那现在我们来说 alconsin sata 为啥就不一定是等于 sata 呢？举个例子， 比如说 arc san in san in 三分之二 pa， 它就不等于三分之二 pa， 它等于多少？它等于三分之 pa， 为什么呢？ san in 三分之二， pa 是多少？是不是二分之刚好三？所以 它相当于是等于谁的等于 arc 餐饮二分之根号塞的 是这个样子，那在负大二分之派的二分之派以内，那 satin 多少是等于二分之二三的 satin 三分之派，所以说他取的是三分之派，不是三分之二派， 这个相当于是多少？ arc， science， science， sata 呢？它是等于派减去 sata 的。 为什么是派减去 set 啊？我们现在来算一下。首先，如果说 accent in set 里面这个 se， 如果说它是在复杂二分之派的二分之派上，那这个式子就是成立的， 对吧？啊？这个时候是毫无疑问它是成立的。但是如果说是 say， 它是在复大分支派到二分之派以外，那这个时候怎么算呢？啊？可以按照下面的方式算， 这是三 x 的图像，对吧？ x o y， 其实上我们跟这个 ax 三也对应起来的图像，实际上只有复杂分支派 到二分之派这一小段，这一小段是我们关心的最多的地方，对吧？其他地方我们其实是不关心的。那现在 我的三分之二派大概在哪呢？三分之二派大概在这个地方，对吧？这个是三分之二派，因为这个是派啊。那我为啥说 arc sanine saint say 这个时候他应该取的是派减 say 呢？我画一条横线， 我找这个函数值与它相同的函数值对应的在负大二分之派到二分之派之内。嗯，二分之派之间内这个区间内，它对应的这个角度到底是多少？也就是说我需要去找这个点，它对应的这个角度是多少？假如说这是 x 一， 这是我们的 c， 它，对吧？那我的 x 一加上 c， 它应该是等于多少的？是等于二分之派， 同样的，因为二分之派是我们三 a x 的对称轴， x 等于二分之派是我们三 a x 的对称轴，那 x 一和 c 它它俩还如之相等，那它俩就是说关于这个 x 等于二分之派，这个是对称，这个是对称的，对吧？ 那这样的话， x 一加上 sata 就等于二乘以二分之派，二分之派相当于是个终点嘛，那 x 一呢？就等于派减 sata 啊。所以如果说这个 赛引 say 它里面这个 say 它的范围，它是在二分之派到派上的时候，你就可以用派减 say 它来算了， 对吧？大家其实上这个公式在哪个区间都买做在 alf 之派到派以内， 其实都满足的，对吧？也就是说，假如说是这个点，那我同样的画一条横线来找到这个角度这两个点，这个点和这个点肯定是关于 x 等于二分之派对称的嘛。 啊？这这样的话，你就可以用派减 c 台来表示啊，这就是二分之派到派这个区间内的。如果说再往后呢？再往后，比如说是这个点，那这个点你是不是向左平移啊？派个单位是不是就正好就移到了这个点处了， 对吧？那你直接减去二派，是不是直接就落在负大方之派的二方之派这个区间上了啊？是不是就 ok？ 那这样的话，我其实就是说，如果说他向左平移或者向右 向右平移二 k 派个单位，也就是说按照整个周期来去平移，你发现他正好落在负大二分之派的二分之派以内， 那你这个时候是不是直接拿这个 sata 减去 a k 派，或者说加上 a k 派啊？到底是这个 k 是多少？那你需要去算一算，是不是就直接落在负大分之派二分之派以内，那这样的话就 ok， 那就没啥问题。 那如果说你经过减了一个周期多少个周期以后，或者加了多少个周期以后，他没有落在复大分之派大分之派这个区间内呢？比如说这个点数， 那你减二派个单位是不是落在这个点处了，对吧？你先减二派，然后再按照这个点处的 算法算就行了。这个点数的算法我们刚刚说过了，利用 pa 减去它就行了，对吧？那所以说这个就要通过平移来看了，或者说减去二派个周期个单位 来看，他到底是落到哪个区间内呢？如果说直接落到这个区间内部，那你直接减去阿黑派是不是就完事了？如果说没有落到这个区间内部，那你就要按照刚才的这个，你用派件去塞他这样的方式来算了啊，这样的话就 ok， 下的算法应该也说明白了啊，然后他为什么说不等于 say 他啊？这个原因也说明白了啊。好，这个视频呢就讲到这。

同学们好，我是罗老师，今天咱们来看下这道题， y 等于 r， q， c， e， x 的定义域是什么？ y 等于 r q c， e x 的定义域是负一到一。 那我们要知道啊，这个 r 扣塞音 x， 它的这个元函数其实呢就为 y 等于 cying x， 那这个反函数啊，也就是啊，咱们这里告诉咱们的， y 等于 r， c cyingx， 简单来说， r 扣三引 x 是三引 x 的反函数。那根据原函数和反函数的关系，咱们知道原函数的直域是反函数的定义域，而原函数的这个直域在 x 这是属于 r 的前提下，他的这个直域呢，其实指的就是负一到一之间。因此根据他们的一个关系，咱们就知道，反函数的定义率呢，就是负一到一之间。 那么同样元函数的这个定义域就是反函数的值域。如果这道题要咱们求反函数的值域，那么很明显反函数值域就为 r 了，能看懂吗？好了，今天就到这儿，感谢大家，咱们下期再见。

注意看，这个微分方程叫小可，你轻松求出含任意 c 的 x， i、 n， y 等于 x i x 加 c 就是通解，也就是图中这些长得很像的断色曲线加组，但他们并非全部结。你又发现 y 等于也能让方程横成立即图中两条红色直线，但他们的形状和表达式都跟通解很不一样，这就是奇解。 有趣的是，奇解上每一个点都和通解中的某曲线相接，看起来就像包住了通解一样，所以也叫包落线。 把通解和其解找全，就是全部解。求通解的题，不求其解必然难分。有些微分方程，通解就是全部解，比如线性方程。那求特解又是什么呢？就是从全部解中挑出一根过指定点的曲线，其解也可以做特解。以下是基础总结，记得点赞保存！

如果你能记住这条竖轴，那么遇见塞 x 等这些函数做差的极限题目，你可以实现全部秒杀。那我们来看这条竖轴啊，那我们看他们中间差谁？ 我们中间这两个座差，他们之间一格的距离是六分之一 x 方，那这一格的距离也是六分之一 x 方，那我们这一个格，每一格他们之间的距离都是六分之一 x 方。 那好，那么我们比如说我们要找弹键的 x 减去 c x， 那么我们看它等价于谁呢？弹键的 x 在哪里？是不是在这 c x 在哪里？在这他们之间，我们看差一个格，两个格，三个格，对不对？ 那他就是等价于六分之一 x 三次方数乘三，那就是等价于二分之一 x 方，我们就可以这样去表示出来。那么我们看一下下面这两道题目，我们该怎么样去做？怎么样去应用这个数轴。 那我们看一下第一道题，分子是摊件的 x 减去 x， 我们看一下啊，这里面摊件的 x 和 x， 他们中间是不是差了两个格？所以说那上面呢，他应该是等价于谁？是不是六分之一 x 三次方乘二，是不 等价于谁？三分之一 x 三次团。好，那么我们看下面这个 octanjint x 和 occi x octantint x x i x， 他们之间差一个格，两个格，三个格，对，所以说他们之间这个怎么表示？是不是应该是六分之一 x 三次方乘三？但是你要注意他是不是从左啊，从左往右减， 那从左往右减呢？他就应该有个负号，因为是由小减大嘛，那他就等价于谁呢？是不是等价于负二分之一 x 团，那你算出来结果是不是等于负的？ 负的三分之二，对吧？负的三分之二，那我们现在看一下啊，这种题，有同学问我，像这种题步骤该怎么样写？那这种题步骤就很好写了，那么我们可以这样去写，那我们写它等于 limit x 去相于零 分子，你直接怎么写呢？就是六分三分之一 x 方，六分之一 x 方乘二嘛，三分之一 x 三次方加上小 ox 方，那分母呢？分母呢？就是负二分之一 x 方加上小 ox 方，所以说你算出来结果就等于谁呢？负三分之二， 这样好，那么我们同样去看下面的另外一道题，你看这里面出现了谁？是不是 e x 次方？ e 的 x i x x 次方，那你看一个亿，两个亿，对吧？这种函数差，大家很自然就想到拉格朗日终身定理走起来，对不对？那现在呢？那你就不需要用拉 老师通知定理了，那这里面啊，我们看一下。好，首先啊，我们写 limit x 去向于零，你先提出一项，提出谁呢？提出 e 的阿克赛 x 四方，好，提出来他之后，里面就变成了 e 的 x， 减去阿克赛 x， 再减去一，然后比上 x 方，是不是构造出了我们这里面的形式好，那么我们看这里面看，这是趋向于零的时候，阿克赛 x 也趋向于零，所以说 e 的阿克赛 x 说他趋向于一，趋向于一的话，他是一个不为零的因子，我们可以直接掉，直接把它去掉。 那好了，再注意啊， x 趋向于零的时候，大家要注意一框点一是不等价于框啊。好，那么我们看这里面，那他就等价于谁呢？ limit x 趋向于零，就是 x 减去阿克赛 x 比上 x 三次方好，那么我们看一下来 x x i x 是不是差一个格？一个格的话你看是不 x 减 x i x 是不是还是从左往右？那我们写，那它就等于 limit x 趋向于零， 负六分之一 x 三次方，再比上 x 三次方，他就等于谁呢？负六分之一，负六分之一。那么用竖轴法求极限，大家听明白了吗？ 数轴法求极限本质上就是泰勒公式求极限的一种应用。之后呢，我们会出一个求极限和讲泰勒公式的一个专题内容，大家如果学习中哪里有问题，欢迎大家评论区留言，我精选后会录制视频给大家讲解，信角哥高速带你拿满分！

节选题， f x 等于 ark ten x， z x 等于零处的按揭导数等于多少？哈喽，大家好，数学是思维体操，我是考研数学杰哥，关注杰哥学习更多的考研数学技巧。今天呢，咱们的课程主题呢，是一道高街道的经典好题啊，那么这两种方法呢，你都要会做 呃，我们同学们看到 act time 两 x 让你去求零数的按揭导数呢啊，实际上大家要要知道有两种方法，第一种方法呢，是我们 求高解导数的莱布尼字公式啊，带着大家一起来复习一下。如果说函数 u 和函数 v 相乘，它的 n 解导呢，实际上就是我们 c 格玛 可以从零开始到我们的 n c n k， 我们 u 的 k 接导， v 的 n 减 k 接导。那么另外一种方法呢，实际上就是我们的极速展开 啊，结束展开。那实际上是我们，我们有时候呢就是求高压导呢，用泰勒展开。呃，实际上本质上来讲是结束展开啊，本质上来讲是结束展开。所以今天呢，我们用这两种方法来做一下，带着大家一起来做， 尤其是这种带反三角函数的，我们该如何使用咱们求高阶导的栏目一的公式呢？哎，通过这道题目可以很好的将它拿捏好。首先，法一，我们使用求 高街岛的莱布尼兹公式。 好，各位来看， f x 等于二克 tangent x， 你看，它明显不符合我们求高跌倒的 labenager 公式的一个情形， 必须要求两个函数相乘，现在呢， r 个 tenj x 光秃秃的啊，我跟谁去组合呢？对吧？不行！那这种情况下呢，我们要注意到， f， e， p x 呢，是等于一加 x 平方分之一的， 那么我们是不是就得到一加 x 平方乘以一个 f， 一撇 x 呢？它是等于一的， 这时候呢，你看等号的左边，是不是两个函数相乘了？所以这个时候，如果说我对他取 n 阶倒数的话，那这个式子里面会出现 f n 阶倒 x 的 啊，它是会出现这个的，所以我直接对它用不了，我可以求完导之后对它再去使用，对不对？好，这时候呢，我对这两边同时取 n 阶导数，那就是 e 加 x 平方乘 f e p x 整体的一个 n 阶导数，应该是等于咱的零。 好，各位看这个等号的左边，我们 k 从零开始到咱的 n， 我们 c n k， e 加 x 平方的一个 k 接导， f e p x 整体的一个 n 减 k 接导等于零嘛？那各位注意，我们 e 加 x 平方的 k 接导，它是有个特殊性的，各位注意， e 加 x 平方，求一次倒二， x 再求一次倒是二，再求后面全是零了，那也就意味着 k 等于零， k 等于一， k 等于二之后的所有的项全是零。所以说我把 k 等于零代入，我得到了什么呢？实际上是 cn， 零乘一加 x 平方，乘以 f n 加一街道 x， 我把 k 等于一带入，那就是 c n 一一加 x 平方的倒数，再乘以 f n 接倒 x， 那我把 k 等于二带入，那就是 c n 二乘以一加 x 平方的两导，再乘以 f n 减一到 x 等于零嘛，那各位 注意，这个一加 x 平方的一节岛是不是就是二 x 啊？好，那这个一加 x 平方呢？二节岛是不是就是咱们的二啊？ 好，得到这个式子之后呢，由于我们求的是在零处的高阶导数啊，所以我只需要把 x 等于零带到这里边来就行了，你会发现这里有个二 x， 你如果把 x 等于零带入的话，这不就是零了吗？啊，所以我们直接能够得到的是什么呢？ 我们的一加零乘以 f， n 加一，接倒零加一个，注意，这个是 n 乘 n 减一啊， n 乘 n 减一，乘以 f， n 减一，接倒零等于零。 好，那我们也就得到了 f n 加一接到零，是等于负的 n 乘 n 减一，再乘以 f， n 减一接到零。那么现在呢，就是一个 f n 接到零呢，实际上是负的 n 减一乘 n 减二，我们 f n 减二接到零， 对吧？哎，我们得到了这样一个地推公式，就是说，我已知邻数的 n 阶岛，我就可以。我已知 n 减邻数的 n 减二阶岛，我就可以知道咱们邻数的 n 阶岛，这种叫什么？这种叫各项地推。那么各项地推呢，就得分 g o， 因为我如果知道， 我如果知道 f 两撇零，那我就可以通过这个地推公式呢，求出 f 四撇零，也就是 f 四阶倒零，但是我不能通过咱们这个地推公式呢，去求 f 三阶倒零，对不对？ 好，那么接着呢，我们往下做，那我们 n 等于二 k 的时候，咱们 f 二 k 接到零，就是负的二 k 减一乘二， k 减二，再乘以 f 二 k 减二接到零。 接着呢，我把它用一下地推啊，用一下地推，如果把这个 n 给另乘 f， 呃，另乘二， k 减二的话，我们会得到什么？ 负一倍的二 k 减三，乘二， k 减四，我们 f 二 k 减四减到零，各位注意一个特征啊，这必须是一个偶数啊，这里必须是个偶数。 二 k 减四还是个偶数嘛？而这里和这里数字是一样的啊，数字是一样的，那也就是说咱们现在呢，得到的是什么呢？ 负一的平方乘以二 k 减一，乘二， k 减二，乘二， k 减三，乘二， k 减四，然后 f 二 k 减四，减到零。 好，那我们能不能针对他呢？再用一次迭代，对不对？我无限次迭代下去啊，各位注意，我们就是负一的多少次方先不管，那就是二 k 减一，乘二， k 减二，一直乘 乘到最后肯定是乘三乘二，然后 f 两撇零，肯定是这样的啊，因为这是两撇，那这就得是二。 而每一次迭代出来呢？各位来看，迭代出来前面这个数字呢？比他大个一啊，比他大个一好，那这时候呢？谁让我们就可以理解，理解什么呢？注意，这里，这是二， 这个二可以写成什么呢？是二 k 减去一个，二 k 减二，对不对？那相当于是说这是减一，这是减二，一直减减到我们的二 k 减二了， 是连着的，所以你看咱们这里有多少项，它的项数是多少？ 那是不是就是二 k 减二项， 对不对？ 从一二 k 减一，乘二， k 减二，乘二， k 减三，一直乘乘到二 k 减去二 k 减三，乘到二 k 减去二 k 减二， 这是一二三移植到我们二 k 加上，所以它一共是我们的二 k 减二项， 对吧？啊？对吧？因为你想想看，一二三一直到我们的二 k 减一，这不是二 k 减一项吗？哎，我现在不算这个一，这是二 k 减二项。好，它是个偶数项，对不对？ 那前面这个负一的这个次方就是 k 减一次方啊，它就是负极的 k 减一次方 啊，为啥呢？你看前面已经找到规律了，这是四项的时候，它就是平方， 对吧？好，那这是两项的时候，他就是一次吧。好，我们已经找到了啊， 那各位再来看，实现这里就是负一的一个 k 减一次方，再乘一个二 k 减一的一个阶程啊，乘 f 两撇零，那 f 两撇零实际上是等于零的啊，所以我们就把我们 f 二 k 接到在零处的取值呢，求出来了啊，对不对？等于零，接着呢， 我们如果 n 等于二 k 加一的话，那咱们 f 二 k 接倒，二 k 加一接倒 在零处的取值啊，那就是负的在这里啊，我们把 n 等于二 k 加一往里带，也就是二 k 乘二 k 减一， f 的二 k 减一接倒在零处的取值。 还是跟刚才一样啊，我们呢，拿它呢再一次做个迭代， 负一乘以二 k 减二，二 k 减三， f 二 k 减三，接到零。 好，那最终呢，应该是乘一个负一的多少次方？然后呢，是一个二 k 乘二， k 减一，乘二， k 减二，一直乘 乘到我们乘二乘一，再乘以 f 一撇零。因为我本身呢，二 k 加一是个基数啊，所以我每每用一次咱们的这个迭代，哎，我这个 接数呢，都减二啊，所以肯定最后最终是一啊，所以你看这有多少项，这有二 k 项啊，这有二 k 项的话，这就是前面有 k 字方， 这就是咱的 k 次方。那 f 一撇零呢？我们也能算出来啊， f 一撇零就是咱的一啊，咱的一，所以就是我们的负一的 k 次方乘以二 k 的一个结成， 对吧？好，那么题目中呢，让我们去求在零处的 n 接倒数啊，所以咱们最终的答案是多少？最终答案应该这么写， f n 接倒零，应该是等于我们 n， n 等于二 k 的时候，它肯定是零，我们 n 等于二 k 加一的时候， n 等于二 k 加一的时候，哎，对，是不是就这儿啊，把这个往里带，对不对？就是负一的 k 次方 乘以我们二 k 的一个阶程，那其中 k 从几开始啊？ k 从零开始就行了 啊，它是个正准数啊，对吧？当 k 是零的时候，这是带到这里边来，就是可以算，算出一阶段啊，当 k 是零，带到这里边来呢，算出咱们的 f 零， 所以这是咱们第一种方法，求高阶导出的莱布尼斯公式。那么实际上有一道题目呢，跟这个非常相似，也是非常非常经典的一道题目，就是 f x 等于 act 三 e x 比 上公号呀，一减 x 平方，我们去求这个函数在零处的 n 加导数，这也是六六零上某一道高级导数题，是最难的一道题目，实际上他的一个做法呢，也是跟咱们这个题目的做法呢，是十分相似的啊，十分相似的，你看 f x 这俩还是相除哎，那我们倒不如呢，把它乘过来，然后呢，对两边同时求一次倒好，然后接着再使用咱们高阶倒的莱姆尼总公式。 所以这块通过这个题目先给大家做个铺垫啊，我回头再仔细再说一下这个题目，那么这个是我们方法一，接着呢，我们来学习咱们的方法二， 我们用咱们极速展开的知识啊，各位知道 f x 等于 act thange 的 x， 那 f 一撇 x 呢，就是我们一加 x 平方分之一，那么它的技术展开呢，是一个等比级数啊，等比级数公比呢，是负 x 平方啊，那就是负 x 平方， 这是一个 n 次方， n 从零开始到的呢，无穷嘛， 对吧？这是 f e p x 即入展开。哦，对，这两边呢，同时取积分就行了啊。 从零到 x， f 一撇 t d t， 那就是我们从零到 x c 个码 n 从零开始到无穷负的 t 方的 n 次方，再一个底 t， 那它就是我们 c 个码 n 从零开 开始到咱的无穷负一的一个 n 次方，从零到 x， 我们 t 的二 n 次方，一个底 t， 因为这个和这个呢符号可以互换，互换之后呢，积分变量是咱们的这个 t 啊，所以 n 呢，跟 t 无关，所以负一的 n 次方可以拿到外边来， 那这部分咱们可以提前算出来，对吧？那它的原函数指向是二 n 加一分之 t 的二 n 加一次方，现在是零，上面是 x， 所以把它往里一带，就是 x， 二 n 加一次方，比上一个二 n 加一 好。那你看这边是什么？这将是一个 f x 减 f 零，运用咱们牛顿栏目离子公式嘛，那 f 零是零啊，所以这是 f x， 所以 f x 等于它求出来了。那另外呢，我们又知道啊， f x 呢，它的泰勒技术是 n 从零开始到咱的无穷，我们 n 的阶层分之 f n 接到零的 x 的一个 n 字方， 对吧？这是咱的 tale 技术嘛。但是你会发现，我们 f x， 它的密集数展开呢，里面只有 x r n 加一次方这种，也就是说它这里面只有 x x 三次方， x 五次方，一直到 x r n 加一次方，而我们这个里边 却是不分的，所以呢，我需要把这部分呢，分一个，分一个基偶啊，分一个基偶出来，那就是说什么呢？ sigma n 从零开始 到咱的无穷 f 二 n 接到零比上二 n 整体的一个阶程， x 二 n 次方加 sigma n 从零开始到无穷 f 二 n 加一接到零比上二 n 加一的一个阶程， x 的二 n 加一次方。 好，你看，由于咱们这一坨里面呢，是没有藕刺的啊，没有藕刺的这种这种密码，所以就是这个东西肯定是零 啊，肯定是零，那接着再看这，你看， x 二人加一次方， x 二人加一次方，那前面的系数应该是相等的，那也就意味着 我们这里负一的 n 次方比上二 n 加一，应该是等于 f 二 n 加一接到零， 比上二 n 加一的一个阶程，对吧？好，那么我把它乘过来，所以 f 二 n 加一接到零，是不是就等于负一的 n 次方乘以咱们 r n 的一个阶程啊？ 对吧？好，所以我们就可以得出最终答案了， f n 接到零 n 等于二 k 的时候，必定是零 n 等于二 k 加一的时候，只需把这里这个 n 呢改成 k 啊，那就是负一的 n 次方乘以二 k 的一个结成， 对吧？好，所以咱们第二种方法呢，数一数三的同学呢，是必须要掌握的，那我们数二同学呢，要必须掌握咱们高阶导的 莱姆尼中式这类题目呢，实际上需要先对我们式子先求个导，之后再使用啊，所以直接不能用这个坑呢，在这里很有可能出一道这种填空题啊， 那最后如果视频对大家有帮助的话，拜托了，一定要给杰哥一个三连，这对我真的非常重要。大家也可以打卡在评论区啊，杰哥一起跟大家一起交流好不好？那咱们今天的课程呢？就到这里啊，那我们下节课再见。拜拜。

对，这个极限是我们考研圈子里边有位美女出的题目啊，这个美女用这道题是要考察什么东西啊？主要是考察在帅哥的两点，第一点 就是你的诚意，第二点就是考察你的学员才华。很多追求者拿到这个题目以后就开始动脑筋抢纳，首先一看，这是谁啊？这是零比零。那零比零不是有三个方法吗？ 诺贝塔等价代换快乐，到底用谁呢？有一部分追求者是这样做的啊，别把一原是等于 x 区下于零的时候，那分布呢？ x 的三方上面呢？摊进题，摊进题 等价于贪禁题，贪禁题又等价于谁啊？ x 啊，这第一项等价于 x， 第二项，善意，善意等价于善意，善意又等价于谁？ x， 这多少简单啊。最后答案是零，这是一种追求者最后做出了答案。

极限的这一类问题都用等价无穷小，这些公式大家其实普遍的可能在书上就会看到一些，什么 x 趋近于零三引 x 与 x 是等价无穷小，其实人家给你这么一个普通的公式， 它有其中的奥妙，我们可以把 x 都换成框，这个公式依然成立，比如说框去近于零三，一框于框式等价无穷小。 论一加框于框是等价无穷小。当你明白了这个之后，那么做极限的这一类问题其实就是一个找框的问题。那比如来看，那你说这个我们怎么找框呢？ 说当 x 趋近于零时，三印二 x 比上 e 的三 x 四方减一，没有关系嘛，你找框嘛，那三印后边都是框，这三印二 x， 那么这个二 x 就是他的框，那 e 的框四方减一与框是 等价无穷小，你来看这 e 的三 x 是方减一，那么这个三 x 就是那个框，刚好呢？当 x 趋近于零时，这两个框都是趋近于零的，那么所以他们各自可以和框做等价无穷小，也就是变成厘米三 x 趋近于零， 二 x 比上三 x x， x 就消了，所以直接就等于三分之二。那有的同学就想，老师我只有趋近于零的时候才能做这个题吗？不不不，你小看了这个公式， 他只要满足框趋近于零，那么三引框和框做等价无穷小，也就是说这个框什么都有可能，可以是 x， 方，可以是二 x， 甚至可以是手机，可以是狗，只要满足这个形式，你就能用。咱们来看上面这个题，说 x 趋近于无穷 是不是不一样了？人家说 x 区间于无穷了呀，你别慌，你看后边这是不是 x 方分之一？别着急，先找框，你对照公式是不是发现 x 方分之一就是他的框，那 x 区间于无穷 x 方分之一 是不是趋近于零的，那么是不是出现了框趋近于零，那么他就可以和框做等价？无穷小，那么也就是厘米 xx 区近于无穷， x 方分之一比上 x 方分之一一样嘛？一样那就消了，直接等于一， 所以口算就可以出答案。看到这几个题，你学会了吗？如果学会了，可以在评论区里边留言。

这个题目是有一个弹吉 x， 最快就弹吉 f， 是有一点点烦的，你就先找出，先把它画出来一个弹吉 x， 不要想不到的话就看起来这种反复就想想的画一下子也就是算一个。找到一个太原，就是加上一个弹吉 x， 减去吧，减去一个弹吉 x， 减去一个弹吉 x 减去一个弹吉， 减去一个不断比心比较好用，再加上一个，加上一个他这个 x， 所以说再减去一个 x， 再减去 x 呢？是不是成这样的？所以在嗯，然后一个 x 取向于零，嗯，有台阶台的时候，我们就在马上分开上来三次方，再一个台阶台子减去一个台阶台， 再加上一个男女的男子学校里面 x 三十分，他这个 x 减 x， 在这个时候再补充一个标记的东西，就不要再去算了。他这个 x 减去一个，减去一个 x， 减去一个 x， 他是他是等价于等价于这个是的，就是我们他是讲过的，他是讲过的，嗯，他是一个三分之一的替身死亡者，我们都是记住的， 是不是 三次是弹性的三次， 嗯，要谢谢，有问题。 然后就相当于是在贴点贴笔上的贴三层，嗯，这个地方我们先把三分之一，不要忘记把它拿下来，再加三分之一，嗯，加上加上，加上，加上比较透的，然后这前面就是用嗯， 零比零，零比零 a 的，就是扩散 t 的 a 四方，但是二分之一 a t 方，然后还有一个就是一减去公赛赢 b t， 它是二分之一 b t， 这是一定要把它当成一个整体，扣起来是一个整体，相当于是，所以这道题公赛 t 减一，那么就是负的二分之一，提方加三分之一。不用，整体答案就是负三分之二，加三分之一等于个，就等于，等于，等于负的三分之一， 错了，没错，错了。

期末例题，这是什么？不定积分含什么含根号 s 可以根设换元。另，根号 s 等于 t， 老三样一写， s 等于 t 方， ds 等于二 tdt 现在换完之后形成到这，他是什么？他是一个积分，简单呈上，导师简单。反三角函数默认导师简单， 这个密函数默认积分简单。把谁往后放？把这个二梯往后放，把二梯往后放，把二梯的一个圆函数往后放。 二题的原函数是梯方，根据题目的需求，最好在后面再加上一个一，因为对他分不积分之后，你是要对这个导数简单求导的。他的导数是什么？先入为主的一个意识，他的导数是梯方加一分之一。那你要是在这 扣上了一个一求完倒之后，这两个东西正好就约掉了。化减很多啊，化减很多。最后还要把 t 等于根号 x 换回去。

这道题如果你不能一秒钟写出答案，那么你的数学真的是白学了。这是一道二零二二年专升本考试数学真题解答题的第二题。让我们求这个极限等于多少？这道题很明显考察的是等价无穷小替换求极限。 我们都知道，当 x 趋向于零的时候，阿可 tonty 的 x 是等价成 x 的，一的 x 减一也等价成 x。 因此呢，这道题就变成了分子是二 x， 分母是 x， 上下都有 x， 给他约掉，结果就等于二。这道题你做对了吗？